solution1(Mr lkrad)

Cours Vibration : Dr. Faouzi Lakrad

Vibrations libres des systèmes à 1 d.d.l. Exercice1 Pour des angles de rotation petits de la barre AB, autour de O, écrire l’équation du mouvement du système ci-contre en fonction de la variable x1 . On suppose que les masses des barres des liaisons sont négligeables. Voir la figure 1. Identifier la fréquence propre du système.

-Figure 1L’angle de rotation de la barre par rapport à O est noté  . Les déplacements x1 et x 2 sont liés à l’angle  par la relation suivante : x x sin( )  1  2 (1) a b et puisque l’angle  est pris très petit on peut écrire : sin( )   , l’équation (1) s’écrit : x x (2)  1 2 a b On peut conclure que le système étudié est à 1 degré de liberté puisque la connaissance de l’un des paramètres cinématiques x1 , x 2 ou  définie d’une façon complète le mouvement du système. Le problème est conservatif et à 1 d.d.l, ainsi on peut utiliser le théorème de la conservation de l’énergie mécanique pour écrire l’équation du mouvement. L’énergie cinétique est due au mouvement des deux masses, et elle s’exprime par : m m m m b2  Ec  1 x12  2 x 22   1  2 2  x12 (3)  2  2 2 2 a   L’énergie potentielle est due aux déformations des deux ressorts, et elle s’exprime par : k k k k b2  E p  1 x12  2 x 22   1  2 2  x12 (4) 2 2 2 2 a   dEM  0 . L’équation de Puisque l’énergie mécanique E M  E c  E p est conservée, alors dt mouvement s’écrit par conséquent : 2 2      m1  b m2  x1   k1  b k 2  x1  0 (5)    a2 a 2    

‫‌أ‬

2    k1  b k 2   a 2  x1   x1  0 2   b  m1  m  2 2  a  

(6)

Par identification avec l’équation d’un oscillateur linéaire x   2 x  0 , la pulsation  est donnée par : 2    k1  b k 2   a 2    2    m1  b m2    a2  

La fréquence propre f s’obtient en écrivant f 

(7)

 . 2

Exercice 2 Pour des angles de rotation petits de la barre AB, autour de O, écrire l’équation du mouvement du système ci-contre en fonction de la variable x . On suppose que les masses des barres des liaisons sont négligeables. Voir la figure 2. Identifier la fréquence propre et l’amortissement critique du système.

-Figure 2x m Le déplacement 2 de la masse 2 , ainsi que le déplacement de la masse m1 sont liés à l’angle de rotation  de la barre (AB) par la relation géométrique suivante : x x sin( )   2 (1) b a et puisque l’angle  est pris très petit on peut écrire : sin( )   , l’équation (1) s’écrit : x x (2)   2 b a Le problème n’est pas conservatif à cause de la présence de l’amortisseur de constante d’amortissement c . Le problème est à 1 d.d.l, ainsi on peut utiliser le théorème de l’énergie mécanique pour écrire l’équation du mouvement. L’énergie cinétique est due au mouvement des deux masses, et elle s’exprime par : m1 2 m2 2  m1 m2 a 2  2 Ec  x  x 2   x (3) 2   2 2 2 2 b   L’énergie potentielle est due aux déformations du ressort, et elle s’exprime par : k E p  x2 (4) 2

‌ ‫ب‬

Puisque l’énergie mécanique E M  E c  E p n’est pas conservée, alors la variation de l’énergie mécanique par rapport au temps est égale à la puissance de la force dEM d’amortissement :   . La puissance de la force de frottement est : dt a2 (5)   c x 22  c 2 x 2 b L’équation de mouvement s’écrit par conséquent : 2 2   m1  m2 a  x  c a x  kx  0 (6)  b 2  b2  Cette équation s’écrit aussi comme : c a2 k x  x  x0 2 2  (7) a a 2  m1  m2  b  m1  m2 2  2     b  b    Par identification avec l’équation d’un oscillateur linéaire amorti x  2  x   2 x  0 , la pulsation  est donnée par :



k

2  (8)  m1  m2 a   b 2   L’amortissement critique c c correspond à un taux d’amortissement   1 , ainsi on aura :

 a2  b2 b2 cc  2 m1  m2 2  2  2 2  b  a a 

 a2  k  m1  m2 2   b  

(9)

Exercice 3 Ecrire l’équation de mouvement linéaire de la masse m en fonction de x . La masse de la tige de liaison AB est supposée négligeable. Voir la figure 3. Identifier la pulsation propre du système et le coefficient d’amortissement critique.

-Figure 3La petite rotation  de la barre AB implique que les déplacements x de la masse et x B du point B sont reliés par la relation suivante : x x (1) sin( )     B a b L’énergie mécanique du système s’écrit : m k E M  x 2  x 2 (2) 2 2 La puissance de la force de frottement est :

  c x B2  c

b2 a

2

x 2

(3) ‌ ‫ت‬

En utilisant le théorème de l’énergie

dEM   , on trouve l’équation de mouvement suivante dt

b2

c b2 k x  x  x  0 2 ma m

(4) x  k x  0  a2 Par identification avec l’équation d’un oscillateur linéaire amorti x  2  x   2 x  0 , la pulsation  est donnée par : k (5)  m L’amortissement critique c c correspond à un taux d’amortissement   1 , ainsi on aura :

m x  c

cc  2  m

a2 b2

2

a2 b2

km

(6)

Exercice 4 Montrer que la fréquence propre du système masse ressort, de la figure 4, est indépendante de l’angle  .

-Figure 4L’équilibre statique de la masse se traduit par : k  st  mg sin( )

(1) avec  st le déplacement statique de la masse par rapport à la position à vide du ressort. En donnant une énergie mécanique initiale au système, il commence à vibrer à partir de la position d’équilibre statique et la 2ème loi de Newton s’écrit : m x  k (  st  x)  mg sin( ) (2) avec x est l’allongement du ressort à partir de la position d’équilibre statique. En utilisant l’équation d’équilibre statique (1), l’équation de mouvement s’écrit m x  kx  0 (3) Ainsi, la pulsation  

k est indépendante de l’angle  . m

Exercice 5 Si les deux ressorts ne sont pas déformés quand la masse est dans la position montrée sur la figure 5, (a) Déterminer le déplacement statique  st de la masse. (b) Calculer la période de la vibration de la masse autour de la position d’équilibre statique. Solution : (a)   m g sin( ) ; (b) T  2 st

3k

m 3k

-Figure 5-

(a) Les deux ressorts sont en parallèle, ainsi l’équation de l’équilibre statique s’écrit : ‌ ‫ث‬

3k  st  mg sin( ) Ainsi le déplacement statique est mg  st  sin( ) 3k (b) La vibration autour de la position d’équilibre statique s’écrit m x  3k x  0 Par identification, la pulsation est



3k m

(1) (2) (3) (4)

La période T est T

2



 2

m 3k

(5)

Exercice 6 En utilisant la conservation de l’énergie mécanique, trouver la fréquence propre du système de la figure 6. Supposez des petits angles. La tige est de masse négligeable.

-Figure 6L’énergie cinétique du système est due au mouvement des deux masses, elle s’écrit : M L  2 M 5 Ec  ( )  ( L) 2  ML2 2 (1) 2 2 2 8 L’énergie potentielle du système est due à l’énergie d’élasticité du ressort et aux énergies potentielles gravitationnelles des deux masses, elle s’écrit k 3L L E p  ( sin( )) 2  MgL(1  cos( ))  Mg (1  cos( )) 2 4 2 (2) k 3L 3 2  ( sin( ))  MgL(1  cos( ) 2 4 2 Puisque l’angle  est petit, on peut écrire les relations suivantes 2 (3) sin( )   et cos( )  1  2 En prenant en compte (3), l’énergie potentielle s’écrit k 3L 3 E p  (  ) 2  M g L 2 (4) 2 4 4 dEM  0 , l’équation du mouvement La conservation de l’énergie mécanique implique que dt s’écrit donc 2 5 3MgL  2   9kL ML     (5)   0 4 2   16 La pulsation est donc 9k 6g (6)   20 M 5 L ‌ ‫ج‬

Exercice 7 La période entre deux maxima consécutifs de la réponse vibratoire linéaire d’un système de masse m  4 Kg est Ta  3.5s . La décroissance après 5 cycles d’oscillations des amplitudes x(t 0 )  2.0. est   x(t 5 ) (a) Calculer la pseudo pulsation  a . (b) Calculer le taux d’amortissement  . (c) Calculer la pulsation propre  . (d) Calculer la constante de raideur k . (e) Calculer le coefficient d’amortissement c . 2 (a) La pulsation amortie  a  . Ta Application numérique :  a  1.8 rad/s. 1 (b) Le décrément logarithmique s’écrit   ln( ) . 5 Le taux d’amortissement  s’obtient en fonction du décrément logarithmique



  2  4 2

.

Application numérique :   0.14 et   0.02 . (c) La pulsation propre  

a

1 2 Application numérique :   1.8 rad/s. (d) La constante de raideur k  m 2 Application numérique : k  12.9 N/m. (e) Le coefficient d’amortissement c  cc  2m   Application numérique : c  0.3 N.s/m.

Exercice 8 Soit la réponse vibratoire linéaire d’un système de masse m  1Kg . (a) Calculer la pseudo pulsation  a . (b) Calculer le taux d’amortissement  . (c) Calculer la constante de raideur k . (d) Calculer le coefficient d’amortissement c .

‌ ‫ح‬

(a) D’après la réponse temporelle la pseudo période est Ta  amortie  a 

2 . Ta

1 s  0.33 s. La pulsation 3

Application numérique :  a  18 .85 rad/s. (b) Le décrément logarithmique s’obtient à partir de la réponse temporelle 1 0.6   ln( )  0.064 . Le taux d’amortissement  s’obtient en fonction du décrément 17 0.2 logarithmique  



  4 Application numérique :   0.01 . 2

(c) La pulsation propre  

2

.

a

et la constante de raideur k  m 2

1 Application numérique :   18.85 rad/s et k  344.34 N.s/m. (d) Le coefficient d’amortissement c  cc  2m   Application numérique : c  0.38 N.s/m. 2

Exercice 9 1- La vibration linéaire libre réelle d’un système à 1d.d.l se fait à : (1) la pulsation naturelle ; (2) la pseudo-pulsation ; (3) aucune des deux. 2- Quelles sont les sources d’amortissement dans les systèmes mécaniques ? 3- Donner la définition de l’amortissement critique et son effet sur les vibrations libres. 4- Quelles équations modélisent un mouvement vibratoire (a) x  x  0 ; (b) x  x  0 ; (c) x  x  x  0 ; (d) x  0.1 x  x  0 . 5- Déterminer les raideurs équivalentes des systèmes suivants et les équations de mouvement: u

(A) m

u

(B)

k1 f(t)

k1

k2 m

f(t)

k2

(C)

u k1

k3 m

f(t)

k2

6- Pour un mouvement périodique, quelles sont les composantes fréquentielles qui peuvent existées : a) toujours une seule fréquence ; b) des fréquences multiples et discrètes ; c) des fréquences multiples continues.

1- La vibration libre se fait à la pseudo-pulsation car il y a toujours un amortissement. 2- Les sources d’amortissement dans les systèmes mécaniques sont : le caractère viscoélastique des matériaux, les frottements avec l’environnement (contact solidesolide, déplacement dans un fluide). ‌ ‫خ‬

3- L’amortissement critique est l’amortissement visqueux seuil entre un mode vibratoire et un mode sur-amorti. Il arrête le plus rapidement possible le mouvement libre d’un corps à un degré de liberté. 4- Seule l’équation (d) donne lieu à un mouvement vibratoire libre sous amorti. 5- Lorsque les ressorts sont en parallèles les raideurs s’ajoutent et lorsqu’ils sont en série les souplesses s’ajoutent. Les trois systèmes ont la même forme d’équations de mouvement : m u  k eq u  f ( t ) Les raideurs équivalentes des trois systèmes sont : kk kk (A) k eq  k1  k 2 ; (B) k eq  1 2 ; (C) k eq  1 2  k 3 . k1  k 2 k1  k 2 6- Un mouvement périodique est composé d’une fréquence fondamentale et de ses multiples. La réponse est (b).

‫‌د‬