Soluções - Cálculo Numérico - Neide Bertoldi Franco

 

ERRATA

Exerc´ıcio

onde se lˆe

leia-se

2.34   ... sem sem o fato fato de que  J  (1) → 0... n

 

3.38   1o¯   grau

t2

 

a)...doi ... doiss d´ıgitos. ıgi tos... ..   b) b)Refine Refine a solu¸cc˜ao ˜ao obtida em a) em  a)..

 

4.36   ...matr ... matriz iz sim´etrica etri ca   A   ´e...   8.25

 2

9.18

1

2

+ 3x − 2

 0

9.45

−2

dx x + 3

 

dx

2

+ 3x − 2

dx

−2

h  = 0.1

 

x





x + 3

∈ [0, 0.1]   ,

h  = 0.05

y (1) = 1

 

x2 y + (y )2 y  = 0

−

√ dx 2(x + 1) −x

 0

10.28   y (1) = 0 

 

0 1 2 3 4 5 6 -1   α   5   β    7   γ    13

0.9460830704

10.16   x ∈ [0, 0.4]  ,

10.29   xy

x f(x)

1

9.29   0.45970

 

a).. a)...t .trˆ rˆeess d´ııgit g itos os.. .... b) b) Refine  Refine uma vez a solu¸cc˜ ao a˜o obtida em  em   a). a).

 2

dx

√  2(x − 1) −x

− 0.0001t − 3.999

...matriz sim´etrica  A , positiva posi tiva definida, definida , ´ee... ...

0 1 2 3 4 5 6 -1   α   5   β    7   γ    13

 

n

2o¯  grau

3.47   x2 − 0.0001x − 3.999 4.20

... com o fat fatoo que  J  (1) → 0...

 

y

x2 y + (y )2 y  = 0





−



 

Cap´ıtu tullo 1

´ espa¸co 1. 1.1) 1) a)  E co vetorial. b) b)   N˜ ao ao ´e esp espa¸ a¸co co vetorial, pois n˜ao ao vale (α + β )u =  αu + βu . ´ combina¸cc˜ 1.2)   E ao a˜o linear. ´ combina¸cc˜ 1.3)   E ao a˜o linear. 1. 1.4) 4) a) a) Os  Os vetores s˜ao ao LI. b) b) Os  Os vetores s˜ao ao LI. t

  − 1,   − 1) . 1.6)   v  = 2f  − 10f   + 7 f  . 1.5)   v  = (4,

1

1.7)   P 3 (x) =

2

  19

3

5 + 20 x

 { }

1 + 4 x2

5x + 3 + 2 x3

{ − } { −

5 1. 1.8) 8) a) a) (  ( x, y ) = 1.

4 .

} { − }

b) b)   (x, y) = 8. 1. 1.9) 9) a) a) (  ( f, g ) =

 1 . 4

b) b)   (x, y) =

−  121 .

1. 1.11 11)) a) a) Os  Os vetores s˜ao ao ortogonais. b) b) Os  Os vetores s˜ao ao ortogonais. c) Os c)  Os vetores n˜ao ao s˜ao ao ortogonais. 1.12)   m = 7.

√   − 3 ± 14   . 1.13)   m = 5

− 23  + x ). 2

1.14)   f (x) =  P 2 (x) =  k ( 1.15)   m = 2. 1.16)

   x   =  y    = 1

1

1.17)   (x, y) = x+y x+y

   x    = 10 e    x    = √ 110. √  24,   y    = 12 e    y    = 6 5. √  √  √  7,    x   = 6,   y   = 30, d(x, y ) = 22 √ 2 16,

    = 1.19)   (u, v) = −1. 

∞

∞

10

 (4 ,   3,   4,   3)t .

E 

E 

e

 

   A    = 5,    A    = 5 e    x    = 3√ 2.  B    = 8,    B    = 8 e    B    = √ 43.  C      = 21,    C      = 24 e    C      = √ 305. √ 3 √ 6  2 4   2  √ 2 1.21)   e  =   (1,   1,   1) , e  = , e  =   (−1,   0,   1) . , − , 3 3 3 4 2 3 √ 5 √ 30  1   2  √ 10  1   1  1.22)   e   =   (0,   2,   1,   0) , e   = 1,   − , ,   0 , e  = , ,   −1,   −1 , 5 5 5 6 5 2 2 √ 15    4   4   8   4  . e  = , − , , 15 5 15 15 4 √ 2 √     1  √ 3   3 10 , .... 1.23)   P   (x) = x −   , P   (x) =   x, P   (x) = 3 2 4 2  √    3  √     13 1.24)   Q (x) = 1, Q (x) = 2 3 x − , Q (x) = 180 x − 3x + , .... 2 6

1.20)

1

E 

∞

1

E 

∞

1

E 

∞

t

t

∗

1

∗

∗

2

3

t

t

t

∗

1

t

∗

∗

2

3

t

∗

4

∗

∗

0

2

∗

1

2

∗

∗

∗

0

1

2

2

t

1.25)   x0

   = − 1   25   26 . 3

,

3

 ,

3

{ − 3} +   127 {x − x}. 1.29)  Para a matriz  A :  P (λ) =  λ − 5λ − 2;   λ   − 0.3723 e   λ   5.3723. Para   λ  ⇒ v  (1,   − 0.6862) e para  λ  ⇒ v  (1,   2.1862) . Para a matriz  B :  P (λ) = −λ − 2λ + 2;  λ   0.7709, λ   − 0.3855+1.5639i e   λ   − 0.3855 − 1.5639i  . Para   λ  ⇒ v  (0.6740,   0.4228,   1) , para  λ  ⇒ v  (− 3.6827 + 0.3581i,   1.3855 − 1.5639i,   −1.7710 + 3.1278i) e

1.26)   P 2 (x) =

 4   29 3 + x 5 35

2

{}

2

1

2

t

t

1

2

3

1

2

3

t

1

t

2

t

 ⇒  

−

 −

−

v (1.2089 1.5639i,   1.3855 + 1.5639i, 1.7710 3.1278i) . para  λ 1.30)   Os autovalores de   A  s˜ao: a o: 4 e 1, de   A2 s˜ao: a o: 16 e 1 e de  A 3 s˜ao: ao: 64 e 1. 3

1.31)   P (A) =

   14   − 6  −6

20

  e   Q(A) = Θ.

− 2Q (x) + 5Q (x) − 3Q (x).  3   16   143  { 8} − {3x + 2} + {5x − 3x}. 1.33)   P  (x) = 5 15 30 1.32)   P 3 (x) = 4Q0 (x)

1

2

3

2

2

1. 1.34 34)) a) a) (  ( x, y ) = 4.

  x   = √ 30,   y  = √ 14. √  b)  x    = 13.

b) 1. 1.36 36))

 

√ 2

√ 6  1   1  √ 3  2 2   2  − 2 , 2 ,   1 , e  = 2 3 , − 3 , 3 .   (1,   1,   0) , e   = 1.38)   e  = 2 3 √  √   1  1 1.39)   L (x) = 1, L (x) = 12(x − ), L (x) = 180(x − x + ), . . . . 6 2 ∗

t

t

1

t

∗

∗

2

3

2

0

2

1

1.40)   P 0 (x) = 3 , P 1 (x) =  x

−  12 , P  (x) =  x − x +   16 . 2

2

1.41)   v0  = (1,   1,   0)t .

−2.2214 + 4.5948x.  1   12  1  4  1 1.43)   P  (x) = {3} + {x − } +  {x − x + }. 6 7 2 15 15 1.44)  Para a matriz  A :  P (λ) =  λ − λ + 1, e para a matriz   B :   P (λ) = −  λ + 3λ + 2λ − 5. 1.45)   λ − q, λ − q , . . . , λ − q . 1.42)   P 1 (x) =

2

2

2

3

1

2

2

n

1.48)   Para as matrizes   A  e   C  os   os autovalores s˜ao ao reais e est˜ao ao nos intervalos [0, 4] e

−

[ 1, 5], respectivamente. Para a matriz  B  os autovalores est˜ao ao na reuni˜aaoo do doss c´ırcul ır culos os  C 1  e  C 2  de centro em 1 e raio 2 e, centro em 4 e raio 1, respectivamente. Para a matriz   D  os autovalores est˜aaoo na reuni˜aaoo dos c´ırculos ırcu los   C 1 ,   C 2   e   C 3   de centro em 3 e raio 1, centro em 2 e raio 2 e centro em 0 e raio 1, respectivamente.

 

Cap´ıtu tullo 2

(overflo erflow) w) e × 10−4,3 x2   = − 0.1352 × 10−2, x3  = 0.1256 × 103, x4   (ov × 10 . 2.2)   x1  (overflow),   x2  (underflow),  x 3  = 0.125 × 103 ,   x4  (overflow),   x5  (underflow).

2.1)   x1  = 0.4321 x5  = 0.3400

2.3)   x1  = (100010)2 , x2  = (0.0010)2 , x3  = (100001.00111 . . .)2 . 2.4)   x1  = (55)10 , x2  = (0.34375)10 , x3  = (3.3125)10 . 2.5)   x1  = (30)5 , x2  = (0.2132 . . .)5 , x3  = (24.02331 . . .)5 . 2. 2.6) 6) a) a) 145  145 n´ umeros. umeros. As formas for mas da mantissa s˜aao: o: 0.100,   0.101,   0.102,   0.110,   0.111, 0.112,   0.120,   0.121,   0.122,   0.200,   0.201,   0.202, 0.210,   0.211,   0.212,   0.220,   0.221,   0.222. a o: 3−2 ,   3−1 ,   30 ,   31 . As formas de   β  s˜ao: e

b)   x1  = 0.101

× 30, x2  = 0.221 × 31.

2. 2.7) 7) a) a) 161  161 n´ umeros. umeros. b) b)   (1.9375)10 . 2. 2.8) 8) a)   0.099995

≤ s