Solucions Tema 6

 

6

Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 66

Pág. 1

Entrénate parcela con forma de cuadrilátero irregular tiene 820 m2 de área y su lado menor mide 40 m. Hacemos un plano de la parcela en el que el lado menor mide 16 cm. ¿Cuál

1 Una

será el área de la parcela en el plano?   16 cm  = 16  = 1   40 m 4 000 250 Si la razón entre las longitudes de la realidad y de la representación es 1 , entonces la 250 2 1 razón entre las áreas es . 250 2    A = 820 · 1 = 131,2 cm2 250

( )

( )

razónn entre llas as áreas ddee dos rectángulos semejantes es 9/16. Si el per perímet ímetro ro del meno menorr 2  La razó es 138 m, ¿cuál será el perímetro del mayor?

2   9  = 3  8 La razón entre las longitudes es 3 .

()

4

16 4 4   P  =  = 138 ·  = 184 m 3 3 Queremos

hacer una maqueta a escala 1:25 de un barco que mide 9 m de largo. La superficie de la cubierta es de 21 m 2 y el volumen del casco es 31,5 m3. ¿Cuáles serán estas medidas en la maqueta?   l  =  = 9 · 1  = 0,36 m = 36 cm 25 2   S  =  = 21 · 1 = 0,0336 m2 = 336 cm2 25 2   V  =  = 31,5 · 1 = 0,002016 m3 = 2 016 cm3 25

( ) ( )

4  Los catetos de un triángulo rectángulo miden 12 cm y 1 166 cm. ¿Cuál será el área de otro

semejante cuya hipotenusa mide 85 cm?

  Calculamos la hipotenusa del triángulo pequeño: h = √122 + 16 162  = 20 cm. 2   La razón entre los triángulos es 20 , por tanto  A = 85 12 · 16 = 1 734 cm2. 2 20 85

( )(

)

áreas de los círculos máximos de dos esferas son 100π cm2 y 16π cm2. ¿Cuál será la razón entre su radios? ¿Y la razón entre los volúmenes de las dos esferas?     2    r  = 16 8  r  = 4 = 0,4 100 r'  10 r'  5 Las

( )

 

 

    V  = (0,4)3 = 0,064

V' 

Unidad 6. La semejanza. Aplicaciones

 

6

Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 67

Pág. 1

1 a)

Un edificio de la maqueta anterior tiene forma de ortoedro. Sus dimensiones son 9 cm Ò 6,4 cm de planta y 4 cm de altura. altura. Halla las dimensiones, el área de la fachada y el volumen en la realidad. b) La superficie de un campo de fútbol sala en la maqueta es de 32 cm 2. ¿Cuál es la superficie en la realidad? c) Una caseta de la maqueta está hecha con 0,3 cm 3 de poliexpán. ¿Cuál es su verdadero volumen? d) La altura de un edificio en la realidad es 65 m. ¿Cuál es su altura en la maqueta? a) Las dimensiones reales del edificio con forma de ortoedro son:   9 cm 8  9 · 5500 00 cm = 44500 500 cm = 45 m   6,4 cm 8  6,4 · 500 cm = 33200 200 cm = 32 m   4 cm 8  4 · 5500 00 cm = 22000 000 cm = 20 m   Área de la fachada:   2 · 45 · 20 20 + 2 · 32 · 2200 = 1 800 + 1280 1 280 = 3080 3 080 m2   Volumen = 45 · 32 · 20 = 28 800 m3 b) Superficie real = 32 · 5002 = 8000000 cm2 = 800 m2 c) Volumen real = 0,3 · 5003 = 37 37 500000 500 000 cm3 = 37,5 m3 d) Altura en la maqueta = 6 500  = 13 cm 500

2  La

Luna está a 384 384000 000 km de nosotr nosotros os y su diáme diámetro tro es 3 500 km. a) Calcula Calcula su superficie y su volumen. b) El Sol está a 150 000 000 km de nosotros. Y su tamaño aparen aparente te es igual que el de la Luna.   Según esto, halla el diámetro del Sol. Halla también su superficie y su volumen a partir de las correspondientes magnitudes de la Luna. LUNA

a) Suponemos que la Luna es una esfera perfecta.   S  =  = 4πr 2 = 4π · 1 750 7502 = 38 38 484510 484 510 km2 ≈ 3,85 · 107 km2 7503 = 2244 22 4499 297 297 500 500 km3 ≈ 2,24 · 1010 km3   V  =  = 4 πr 3 = 4 π · 1 750 3 3 b) La razón de semejanza entre la Luna y el Sol será: d      = k   8  k   == 384 000  = 0,00256 d  150 000 000   Por tanto: D  1 367187 187,5 ,5 ≈ 1,37 · 106 km   D  =   = 3 500  = 1367 k  0,00256 S  3,85 · 107 ≈ 12 2  = k 2  = (0,00256)2    5,87 · 10  km   S  10 V    V  = 3  = 2,24 · 10 3  ≈ 1,34 · 1018 km3 (0,00256) k Unidad 6. La semejanza. Aplicaciones

SOL

 

6

Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 68

Pág. 1

1 Las

medidas de este dibujo son:  AB  =  = 2,3 cm   BC  =  = 1,5 cm

C 

B 

c 

 A b

  B'C'  = 2,4 cm

a 

r  s 

 A'  B' 

 

C' 

 Aplica  Apl ica el tteor eorema ema de Tales y calcu calcula la la la longi longitud tud de  A'B  A'B'. '.   BC   =  AB   8  A'B'  A'B'   = =  AB  · B'C'  = 2,3 · 2,4  = 3,68 cm 1,5 B'C'   A'B'  BC  2  Para aplicar el teorema

de Tales, Tales, trazamos por  A  una recta paralela a   b  y a c :

 

C  B 

 m 5  cc  2 , 5

r   A

s 

 m 5  cc  1 , 5 c  b

4  c m B'   x  

  Calcula  x .    AB   = BC   8 x   x   = = B'C'   == BC   ··  AB'  = 1,5 · 4  = 2,4 cm 2,5  AB'  B'C'   AB 

Unidad 6. La semejanza. Aplicaciones

C' 

 

6

Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 69

Pág. 1

Entrénate En el triángulo rectángulo  ABC   conocemos  AB   = 9 cm y   = 26 cm. cm. A 6 cm del vvértic érticee C   cortamos el triángulo  AC  =

C 

6 cm

CDE    de forma que. DE   sea paralela a  AB . Halla el área del trapecio  ADEB 

D 

E 

BC  = √ AC 2 –  AB 2  = √262 – 92 = 24,39 cm BE  = BC  – EC  = 24,39 – 6 = 18,39 cm

26 cm

DE  = EC   8  DE  = EC  ·  AB   = 6 · 9  = 2,21 cm 24,39  AB  BC  BC   A = ( AB  + DE ) BE   = (9 + 2,21) · 18,39  = 103,08 cm2

2

Unidad 6. La semejanza. Aplicaciones

2

 A

9  cm

B 

 

6

Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 70

Pág. 1

1 Calcula

la altura de un árbol que proyecta una sombra de 7,22 m en el momento en que un poste de 1,60 m da una sombra de 67 cm. B 

 x 

B ´

 AB   =  A'B'  8   x   = 1,6  8   AC   A'C'  7,22 0,67 8 x   x   == 1,6 · 7,22  = 17,24

0,67

1,60 m  A

7,22 m

A´ 67  cm C ´

C   

El árbol mide 17,24 m de alto. 2 Halla

los lados del triángulo  ABC .

B 

EB   = = √52 – 42  = 3 cm 8  AB  AB   = =  AE   ++ EB  =  = 11 cm

5 cm D 

E 

 AC  ED   AC   =  8 AC   == 11 · 4  = 14,67 cm 3  AB  EB 

4 cm

8 cm

BC  = BD  8 BC   = = 11 · 5  = 18,33 cm  3  AB  EB 

C 

 A

3 En

el mismo instante y lugar de la actividad 1, ¿qué longitud tendrá la sombra de un edificio que mide 32 m de altura? B 

 AC  =  A'C'  8   x   = 0,67 8  32 1,6  AB   A'B' 

32 m

8 x   x   ==

B ´

1,6 m  A

 x 

0,67 · 32  = 13,4 1,6

 A´ 67  cm C ´

C 

El edificio proyectará una sombra de 13,4 m. 4 Si

la altura de Rita es 1,65 m, ¿cuál es la altura de la farola?  AC  ED   =  8   x   = 1,65  8 2,5 + 1,5 1,5  AB  EB 

 x   == 8 x 

1,65 m 2,5 m

1,5 m

La farola mide 4,4 m de alto.

Unidad 6. La semejanza. Aplicaciones

1,65 · 4  = 4,4 1,5

 

6

Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 71

Pág. 1

1  En

el procedimiento descrito arriba para obtener una hoja de papel con dimensiones áureas a partir de una A-4 y con la ayuda del D.N.I., se aplica una homotecia. ¿Cuál es su centro? ¿Y su razón?

NOMBRE PAPELLIDO SAPELLIDO

NOMBRE PAPELLIDO SAPELLIDO

 A

P 

P´ 

• El centro de la homotecia es  A  (esquina inferior inferior izquierda de los rectángulos rectángulos). ). • La razón de la homotecia es  AP'    (P   es la esquina inferior derecha del D.N.I. y   AP 

  P'  es  es la esquina inferior derecha de la hoja DIN A-4).

Unidad 6. La semejanza. Aplicaciones

 

6

Soluciones a “Ejercicios y problemas” PÁGINA 72

Pág. 1

 Practica

Figuras semejantes   1 

¿Cuáles de estas figuras son semejantes? ¿Cuál es la razón de semejanza? F1

 

F2

 

F3

F1 es semejante a F3. La razón de semejanza semejanza es 3 . 2   2 

a) ¿Son semejantes los triángulos interior y exterior? b) ¿Cuántas unidades medirán los catetos de un triángulo semejante al menor cuya razón de semejanza sea 2,5? a) No. La razón entre los catetos es 2  en el interior y 5  en el exterior. 7 3 b) 2 · 2,5 = 5    ° unidades.     ¢  Los catetos medirán 5 y 7,5 unidades. 3 · 2,5 = 7,5    £

  3 

  4 

Una fotografía de 9 cm de ancha y 6 cm de alta tiene alrededor un marco de 2,5 cm de ancho. ¿Son semejantes los rectángulos interior y exterior del marco? Responde razonadamente. 14  ?  11  8  No son semejantes. 9 6 Un joyero quiere reproducir un broche como el de la figura duplicando su tamaño. a) Haz un dibujo de la figura ampliada. amp liada. b) Calcula su superficie. a)

6

11

9 14

1 cm

1 cm

b) • El área de las dos partes inferiores se puede hallar sin más que contar cuadraditos: 26 + 12 = 38 cm 2

  Unidad 6. La semejanza. Aplicaciones

 

  • La parte de arriba es m medio edio círculo de rad radio io 2. Po Porr tanto, su superficie es: 1π 2 1 π 2 π 2   2 (  · r ) = 2  ·  · 2  = 2  cm   • La superficie total de la figura es: S  =  = (38 + 2π) cm2

 

6

Soluciones a “Ejercicios y problemas” 5 

Un rombo cuyas diagonales miden 275 cm y 150 cm, ¿qué área ocupará en un plano de escala 1:25?  Área = 275 · 150  = 20625 cm2 2 En el plano ocupará 20 625  = 33 cm2.

252 Una maqueta está hecha a escala 1:250. Calcula:   6  a) Las dimensiones de una torre cilíndrica que en la maqueta mide 6 cm de altura y 4 cm de diámetro. b) La superficie de un jardín que en la maqueta ocupa 40 cm2. c) El volumen de una piscina que en la maqueta contiene 20 cm 3 de agua. a) 1 cm 8  250 cm   ° cm = 15 m    °La torre cilíndrica mide 15 m de altura   §h = 1 500 cm  6 cm 8  h   ¢    ¢  y 10 m de diámetro. d  =   = 1 000 cm = 10 m   §    £ 4 cm 8  d     £ b) 40 · 2502 = 2500000 cm2 = 250 m2 c) 20 · 2503 = 312 312 500 500 000 000 cm3 = 312,5 m3   7 

En un mapa de escala 1:1 500 000, la distan distancia cia entre dos poblacio poblaciones nes es de 2 cm. a) ¿Cuál ¿Cuál es la distancia real? b) ¿Qué distancia habrá eenn el plano entre dos ciudades que distan 180 km? a) Dista Distancia ncia real real = 2 · 1500 1 500000 000 = 3000 3 000000 000 cm cm = 30 km b) 180 km = 18 000 000000 000 cm   Distancia en el mapa = 18 000 000  = 12 cm 1 500 000

  8 

Esta figura es el logotipo de una empresa automovilística. Quieren reproducirlo de forma que ocupe 54 cm2  de superficie. ¿Cuáles serán sus dimensiones? Dibújalo.

La superficie del logotipo es, siempre, de 6 cuadraditos (consideramos que al hacer la ampliación, también se amplían en la misma proporción los cuadraditos). Necesitamos que la superficie de 6 cuadraditos de lado l  sea  sea 54 cm2. Por tanto:  = 3 cm 6 l 2 = 54 8 l 2 = 9 8 l  = Esto es, tenemos que hacer una ampliación en la que 1 cm se convierte en 3 cm. Luego las dimensiones de la figura serán: Unidad 6. La semejanza. Aplicaciones

1 cm

1 cm

Pág. 2

 

6

Soluciones a “Ejercicios y problemas”   9 

¿Cuánto medirán los lados de un trapecio semejante al de la figura, cuyo perímetro sea 163,2 cm?

Pág. 3

12 cm 10 cm

8 cm 21 cm

El perímetro de la figura inicial mide 21 + 10 + 12 + 8 = 51 cm. z   y 

t   x 

10 

Por tanto: 163,2  =  x   =  y   = z   = t  51 21 10 12 8  x  =  = 67,2 cm;  y  =  = 32 cm; z  =  = 38,4 cm; t  =  = 25,6 cm

a) Copia esta figura en tu cuaderno y amplíala al doble tomando O   como centro de homotecia. C ´ b) Redúcela a 1/3 toma tomando ndo  A  como centro de homotecia.

C 

´

´

 

B 

D 

´´

C 

D 

B 

´´

B 

´´

D  O 

´´

 A

 A

´

 A

11 

Halla el centro y la razón de homotecia que transforma la figura  ABCDE   en  A'B'C'D'E' . C  B

D  C'  B' 

 A

 A'

D' 

O 

E' 

El centro es el punto medio de  AE . La razón es 1 . 2 Unidad 6. La semejanza. Aplicaciones

E 

 

6

Soluciones a “Ejercicios y problemas” PÁGINA 73

Pág. 1

Semejanza de triángulos 12 

El perímetro de un triángulo isósceles es 49 m y su base mide 21 m. Halla el perímetro de otro triángulo semejante, cuya base mide 4 m. ¿Cuál es la razón de semejanza entre el triángulo mayor y el menor? 21  = 5,25 4 Perímetro del triángulo semejante: 49  = 9,33 m P' =  = 49 m P  = 5,25 P ´ La razón de semejanza es 5,25. 21 m

13 

4m

En el triángulo  ABC  hemos   hemos trazado DE  paralelo  paralelo a CB . ¿Por qué son semejantes los triángulos  ABC   y  ADE ? 7 cm Calcula  y  AC   AB.

 A

10 cm

D 

  12 cm

C 

E  B 

18 cm

Los triángulos son semejantes porque están en posición de Tales.  AC  =  AD  8  AC   AB   =  AE   8  AB  AC   = = 7 · 18  = 10,5 cm AB   = = 10 · 18  = 15 cm 12 12 CB  DE  CB  DE  14 

¿Por qué son semejantes los triángulos  ABC    y  AED ? Halla el perímetro del trapecio  EBCD . Porque son rectángulos con un ángulo agudo común,  A . Tienen los tres ángulos iguales. ^

B    m   c      7    1

E 

6 cm

 c m  A  1 0 c

C 

D 

• Hallamos EA   aplicando el teorema de Pitágoras: Pitágoras:   EA  = √102 – 62 = 8 cm;  AB  =  = 8 + 17 = 25 cm •  AC  =  AB   8  10 + x  = 25   8  80 + 8 x  =  = 250 8  x  =  = 21,25 8  DC  =  = 21,25 cm 10 8  AD  EA • BC  =  AB   8  BC  = 25   8  BC   == 150  = 18,75 cm 6 8 8 ED   AE  • Perímetro de EBCD  =  = 17 + 18,75 + 21,25 + 6 = 63 cm 15 

 A 7       , 2       c    m   

Observa esta figura, en la que el segmento  AB   es paralelo a CD . 10 ,6  c  m

B 

 cc m , 5   8 5

 m  6  cc

O 

C 

 y 

Unidad 6. La semejanza. Aplicaciones

 x  D 

a) Di por qué son semejantes los triángulos OAB   y ODC . b) Calcula  x   e  y .

 

6

Soluciones a “Ejercicios y problemas” a) Son semejantes porque tienen un ángulo igual,  AOB   == COD   por ser opuestos por el vértice, y los lados opuestos a ese ángulo son paralelos. 6  =  y    8  y   == 10,6 · 6  ≈ 7,48 cm b)  x   = 6   8  x   == 7,2 · 6 ≈ 5,08 cm 7,2 8,5 8,5 8,5 10,6 8,5 16

  metroEn triángulo catetosmide es 3/4. Halla el perídeun otro triángulorectángulo, semejante laenrelación el que elentre catetolosmenor 54 cm. 54  = 3   8  x   == 54 · 4  = 72 cm mide el cateto mayor.  x  4 3

 x 

3

h = √542 + 722  = 90 cm mide la hipotenusa. 54 cm

4

17 

 

Perímetro = 54 + 72 + 90 = 216 cm

La razón de semejanza entre dos triángulos es 2/5. Si el área del mayor es 150 cm2, ¿cuál es el área del menor? 2 El área del menor es 15 · 2  = 24 cm2. 5



18 

El perímetro de un triángulo isósceles es 64 m, y el lado desigual mide 14 m. Calcula el área de un triángulo semejante cuyo perímetro es de 96 m. Altura del triángulo: h2 = 252 – 72  8  h = 24 24 m Área = 14 · 24  = 168 m2 2 Razón de semejanza = 96  = 3 64 2 2  Área del triángulo semejante = 168 · 3  = 378 cm2 2

    25 m

25 m

h

 

14 m

 Aplica 19 



 

lo aprendido

En una carretera de montaña, nos encontramos una señal que nos advierte que la pendiente es del 8%; es decir, por cada 100 m que 8  %  recorremos, el desnivel es de 8 m. a) ¿Cuál es el desnivel que se produce cuando re-corremos 3 km? b) Para que el desnivel sea de 500 m, ¿cuántos kilómetros tendremos que recorrer?

a)

 

8 

 x 

8m 100 m

 x   = 8     x  = 8  = 240 m

3 000

100

3 km

  Se produce un desnivel de 240 m. b)

 

500  x 

8 

 x   = 100  8  x   = = 100 · 500  = 6250 6 250 m

500

  Tendremos que recorrer 6,25 km. Unidad 6. La semejanza. Aplicaciones

8

8

Pág. 2

 

6

Soluciones a “Ejercicios y problemas” 20 

Esta figura representa, a escala 1:2 000, una parcela de terreno. Calcula su perímetro y su área, tomando las medidas necesarias. PLANO 

3 cm 8  3 · 22000 000 = 6 000 cm = 60 m

4 cm 2,5 cm 3,5 cm 3 cm

3,5 cm 8  3,5 · 22000 000 = 7 000 cm = 70 m 4 cm 8  4 · 22000 000 = 8 000 cm = 80 m 2,5 cm 8  2,5 · 22000 000 = 5 000 cm = 50 m

P  =  = 60 + 70 + 80 = 210 m; 21 

REALIDAD

S   = = 1 (80 · 50) 50) = 2 000 m2

2

Dos triángulos  ABC   y PQR   son semejantes. Los lados del primero miden 24 m, 28 m y 34 m. Calcula la medida de los lados del segundo triángulo sabiendo que su perímetro es 129 m. Perímetro del triángulo  ABC : 24 + 28 + 34 = 86 m Razón de semejanza: 129 86  = 32 Lados del triángulo PQR : 24 · 3  = 36 cm; cm; 28 · 3  = 42 cm; 34 · 3  = 51 cm 2 2 2

22 

Los lados mayores de dos triángulos semejantes miden 8 cm y 13,6 cm, respecti vamente. Si el áárea rea del menor es es 26 cm cm2, ¿cuál es el área del mayor?

Razón de semejanza = 13,6  = 1,7 8  Área del mayor = 26 26 · 1,72 = 75,14 cm2  Resuelve 23 

proble mas problemas

¿Cuál es la profundidad de un pozo, si su anchura es 1,2 m y alejándote 0,8 m del borde, desde una altura de 1,7 m, ves que la visual une el borde del pozo con la línea del fondo? 1,7 m

0,8 m

 x   = 1,2   8  x   = = 1,2 · 1,7   8  x  =  = 2,55 m

1,7 0,8 0,8 La profundidad es de 2,55 m.

Unidad 6. La semejanza. Aplicaciones

 x 

1,2 m

Pág. 3

 

6

Soluciones a “Ejercicios y problemas” 24 

Entre dos pueblos  A  y B hay una colina. Para medir la distancia  AB , fijamos un punto P   desde el que se ven los dos pueblos y tomamos las medidas:  AP  =   = 15 km, PM   = 7,2 km y  MN   = 12 km. ( MN   MN  es   es paralela a  AB )).. Calcula la distancia  AB .  A

 A

B 

B 

 M

N  P 

1      5      k     M  m    7       , 2      k     m   

  Los triángulos  APB   y  MPN   son semejantes. semejantes. Por tanto:  AB  15  =   8   AB   == 15 · 12  = 25 km 7,2 12 7,2

Unidad 6. La semejanza. Aplicaciones

12 km N 

P 

Pág. 4

 

6

Soluciones a “Ejercicios y problemas” PÁGINA 74 25 

Pág. 1

Una lámpara situada a 25 cm de una lámina cuadrada de 20 cm de lado, proyecta una sombra sobre una pantalla paralela que está a 1,5 m de la lámpara. ¿Cuánto mide el lado del cuadrado proyectado? L

 = 10   8  x   == 10 · 150  = 60 25 150 25  x 

25 10

Por tanto, el lado del cuadrado proyectado mide 2 · 60 = 120 cm.

150 cm

 x 

26 

Queremos construir un ortoedro de volumen 36 015 cm3 que sea semejante a otro de dimensiones 25 Ò 15 Ò 35 cm. ¿Cuánto medirán sus aristas? V  =  = 25 · 15 · 35 = 13125 cm3 k 3 = 36 015  = 2,744 8  k  =  = 1,4

13 125 Las aristas del ortoedro ort oedro deben medir: medir : 25 · 1,4 = 35 cm; 15 · 1,4 = 21 cm; 35 · 1,4 = 49 cm.

27 

Para hacer un embudo de boca ancha, hemos cortado un cono de 5 cm de radio a 3 cm del vértice. La circunferencia obtenida tiene 2 cm de radio. Halla el volumen del embudo.

3

 

2

ò  x 

5

28 

 

2 cm

 x 

4 14,4

  10

Unidad 6. La semejanza. Aplicaciones

 x  = x  +  + 14,4  8  10 x  =  = 4 x  +  + 57,6 8  x  =  = 9,6 m

4

5 cm

3 x  +  + 5  = 3   8  3 + x   == 15   8  x  =  = 4,5 cm 2 2 2 V   = = 1  (π · 52 · 7,5) – 1  (π · 22 · 3) = 58,5π cm3 3 3

Hemos recubierto con un tejado cónico un depósito cilíndrico de 4 m de radio y 14,4 m de altura. Si el radio del cono es 10 m, ¿cuál es el volumen de la zona comprendida entre el cono y el cilindro?

ò

3 cm

10

 

6

Soluciones a “Ejercicios y problemas V  = 1  (π · 102) · (14,4 + 9,6) = 800π m3   °   §  V = V  – V  = 3   ¢   §= 800π – 230,4π = 569,6π m3 2 3 V  = (π · 4 ) · 14,4 = 230,4π m    £ 29 

La base de una escultura tiene forma de tronco de pirámide cuadrangular regular en el que los lados de las bases miden 80 cm y 140 cm, y su altura, 150 cm. Halla su volumen.

80 cm

  m   c    0    5    1

140 cm

 

Calculamos la altura de la pirámide:  x  +  + 150  = 70   8  40 x  +  + 6000 = 70 x   8  x  =  = 200 cm  x  40 Altura = 200 + 150 = 350 cm

 x 

  40 cm

 150 cm  

Volumen tronco = V    – V    = 8600 00 0000 cm3 = 1 860 dm3 = 1  1402 · 350 – 1  82 · 200 = 1 86 3 3

70 cm

  30 

Halla el volumen de una maceta como la de la figura, en la que los radios de las bases miden 6 cm y 14 cm, y la generatriz, 30 cm. 6

 

Pág. 2

h

ò

14

h

h = √302 – 82  =

30

14 cm

   m       c          0          3 6 cm

28,91 cm

14 – 6

 x   x  +  + 28,91

 

6

 =

14

  8  14 x  =  = 6 x  +  + 173,46 8  x  =  = 21,68 m

 x 

 

  = 1 V  3  (π · 142) · (28,91 + 21,68) = 3305,21 π cm3

6

V   = 1  (π · 62) · (21,68) = 260,16π cm3

 

3

28,91

V   = V   – V   = 3 04 045,0 5,055π cm3

  14

 

La maceta tiene un volumen de 9 561,46 cm3.

Unidad 6. La semejanza. Aplicaciones

 

6

Soluciones a la Autoevaluación Autoevaluación PÁGINA 74

Pág. 1

 ¿Manejas la semejanza de figuras para obtener medidas me didas de una a partir de la otra?  1  Queremos hacer una maqueta de un jardín rectangular a escala 1:400. Su perímetro es

de 850 m, y su área, de 37500 m 2. ¿Cuáles serán estas medidas en la maqueta? Perímetro = 850  = 2,125 m = 212,5 cm 400 2 = 2 343,75 2  Área = 37 500  = 0,234375 m 343, 75 cm 4002

 ¿Conoces las condiciones que se de deben ben compr comprobar obar para asegurar que dos triángulos sson on semejantes?  2 Comprueba

si son semejantes dos triángulos  ABC   y  A'B'C'  umplen las condi A'B'C'   que ccumplen ciones siguientes: a) AB  =  = 10, BC  =  = 18; CA = 12  A'B'  =  = 25; B'C'  =  = 45; C'A'  = 30 b) AB  =  = 20; BC  = 30; CA = 40  A'B'  =  = 40; B'C'  =  = 50; C'A'  =  = 60  = 35° c) A  = 58°; B  = 97°  A' = 58°; C '  = a) Comprobamos si los lados son proporcionales. Esto es, si:    AB   = BC  = CA  8  10  = 18  = 12 = 2,5. 2,5. Sí son semejantes.  A'B'  B'C'  C'A'  25 45 30 ^

^

^

^

semejantes. es. b) 20  ?  30  ?  40 . No son semejant 40 50 60 58° – 97° = 25° 25°.. Como C  ? C ' , los triángulos triángulos no son sem semejantes. ejantes. c) C  = 180° – 58° ^

^

^

 ¿Utilizas con soltura la semejanza para resolver problemas?  3  Álvaro debe situarse a 3 m de un charco para ver

la copa de un árbol reflejada en él. Si

la del árbol? charco al árbol es de 10,5 m y la estatura de Álvaro es de 1,72 m, ¿cuál es distancia la altura del

 x 

1,72 3

 

 x   = = 10,5 · 1,72  = 6,02 m mide el árbol.

3

10,5

4 Un

centro comercial P   está situado entre dos vías paralelas r   y s . Se quiere unir, mediante carreteras, con las poblaciones  A, B, C  y  y D. Con los datos de la figura, calcula  x   e  y . C  6,75 km D  r  6      k   m   P   y   m    k   x    0 

  1

 A

9 km

B 

s 

Unidad 6. La semejanza. Aplicaciones

Los triángulos CDP   y  APB  son   son semejantes. 6 6,75  x  = 9   8  x  =  = 8 km  y  6,75   8  y  =  = 7,5 km  = 9 10

 

6

Autoevaluación Soluciones a la Autoevaluación bases ses 5  Un florero tiene forma de tronco de pirámide de ba

cuadradas de 8 cm y 12 cm de lado, y altura 16 cm. Calcula su volumen.

12 cm

  m   c    6    1

12 cm 6

8 cm

   

8 cm

 x  = x  +  + 16  8  6 x  =  = 4 x  +  + 64 8  2 x  =  = 64 8  x  =  = 32

16

  m   c    6    1

4

ò

4

6

Altura de la piramide = x  +  + 16 = 48 cm  x 

 

Unidad 6. La semejanza. Aplicaciones

V   = = 1  · 122 · 48 – 1  · 82 · 32 = 1621, 1 621,33 cm

3

3

Pág. 2