Soluciones Tema 4 Vectores
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Descripción: mates...
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10 Vect Vecto o r es EJERCICIOS PROPUESTOS 1.
Ejercici o resuelto .
2.
Indica dos vectores vectores equipolentes para cada uno de los siguientes CB , MH y AC :
Vectores equipolentes de CB : KA , DO , LJ , EN , FP , MI y GH .
Vectores equipolentes de MH : LP y DN .
Vectores equipolentes de AC : JD y PE .
3.
Expresa GH y
GH
JK
4 y 5.
128
JK
en función de
OA , OB
1
5
2
6
1
1
6
2
y
OC .
1
5
2
6
5
1
6
2
= GE GE + EL EL + LH = CE + EF − OC = OB + OA − OC = OA + OB − OC
5
2
1
6
3
2
= JM J M + MO MO + OC + CK = − OA − OB + OC + OA = OA − OB + OC
Ejercici os resuelt os.
Unidad 10|Vectores
6.
Escribe, Escribe, si es posible, el vector vector u w 1,1,2 . Se debe intentar calcular
5, 1, 22 como combinación combinación lineal lineal de los vectores vectores v
0,1, ,1, 3 y
λ y µ tales que u = λv + µw .
( −5, −1, −22) = λ ( 0,1, −3) + µ( 1,1, 2)
−5 = µ Si el sistema −1 = λ + µ es compatible, se podrá escribir u como combinación lineal de −22 = −3λ + 2µ En este caso se obtiene la solución
7.
v y w .
λ = 4,µ = −5 y, por tanto, u = 4v − 5w .
Compru eba, en cada caso, si los vector es u , v y w forman o n o una base de V3:
a) u = ( −3,4,2) , v = ( 2,1, −3 ) , s
w
= (0, −3,0 )
5,17,, −14 ) b) u = (1,3,−2 ) , v = ( 2, −2,2 ) , w = ( −5,17
c) u = ( 4,8,−8 ) , v = (3,0, 3,0, −10) , w = ( −3,0,3)
8.
−3 2 0
4 1 −3
b)
1 2 −5
3 −2 1 17 7
c)
4 3 −3
8 0 0
a)
2
−3 = −12 + 27 = 15 ≠ 0 ⇒ Sí forman base. 0
−2 2 −14
68 − 30 + 20 20 − 34 + 84 = 0 ⇒ No forman base. = 28 − 68
−8 72 = 312 ≠ 0 ⇒ Sí forman base. −10 = 240 + 72 −3
Calcula las coo rdenadas del vector a
7, 13,8 13,8 en la base u
2, 4, 4 , v
Se debe comprobar que, efectivamente, u, v y w forman una base de V 2 0 −9
−4 0 −9
3
0, 0, 2 , w
9, 9, 6
.
:
4
−2 = −72 − 36 = −108 ≠ 0 ⇒ Sí forman base. 6
( −7, −13, 8 ) = λ1 ( 2, −4, 4) + λ2 ( 0, 0, −2) + λ3 ( −9, −9, 6) ⇒
2λ1 − 9λ3 = −7 −4λ − 9λ = −13 ⇒ Resolviendo el sistema se obtiene su única solución λ = 1 , λ = 1 , λ = 1 . 1 2 3 1 3 4λ − 2λ + 6λ = 8 1 2 3
Por tanto: a
= u +v +w
Las coordenadas de a en esta base son (1,1,1) .
Vectores | Unidad 10
129
6.
Escribe, Escribe, si es posible, el vector vector u w 1,1,2 . Se debe intentar calcular
5, 1, 22 como combinación combinación lineal lineal de los vectores vectores v
0,1, ,1, 3 y
λ y µ tales que u = λv + µw .
( −5, −1, −22) = λ ( 0,1, −3) + µ( 1,1, 2)
−5 = µ Si el sistema −1 = λ + µ es compatible, se podrá escribir u como combinación lineal de −22 = −3λ + 2µ En este caso se obtiene la solución
7.
v y w .
λ = 4,µ = −5 y, por tanto, u = 4v − 5w .
Compru eba, en cada caso, si los vector es u , v y w forman o n o una base de V3:
a) u = ( −3,4,2) , v = ( 2,1, −3 ) , s
w
= (0, −3,0 )
5,17,, −14 ) b) u = (1,3,−2 ) , v = ( 2, −2,2 ) , w = ( −5,17
c) u = ( 4,8,−8 ) , v = (3,0, 3,0, −10) , w = ( −3,0,3)
8.
−3 2 0
4 1 −3
b)
1 2 −5
3 −2 1 17 7
c)
4 3 −3
8 0 0
a)
2
−3 = −12 + 27 = 15 ≠ 0 ⇒ Sí forman base. 0
−2 2 −14
68 − 30 + 20 20 − 34 + 84 = 0 ⇒ No forman base. = 28 − 68
−8 72 = 312 ≠ 0 ⇒ Sí forman base. −10 = 240 + 72 −3
Calcula las coo rdenadas del vector a
7, 13,8 13,8 en la base u
2, 4, 4 , v
Se debe comprobar que, efectivamente, u, v y w forman una base de V 2 0 −9
−4 0 −9
3
0, 0, 2 , w
9, 9, 6
.
:
4
−2 = −72 − 36 = −108 ≠ 0 ⇒ Sí forman base. 6
( −7, −13, 8 ) = λ1 ( 2, −4, 4) + λ2 ( 0, 0, −2) + λ3 ( −9, −9, 6) ⇒
2λ1 − 9λ3 = −7 −4λ − 9λ = −13 ⇒ Resolviendo el sistema se obtiene su única solución λ = 1 , λ = 1 , λ = 1 . 1 2 3 1 3 4λ − 2λ + 6λ = 8 1 2 3
Por tanto: a
= u +v +w
Las coordenadas de a en esta base son (1,1,1) .
Vectores | Unidad 10
129
9.
Calcula u
i
las
coordenadas
2, 4 , 4 , v
0 , 0, 2 , w
= (1,0,0 )
j
de
los 9, 9 , 6 .
vectores
−4 0 −9
la
base
canónica
en
la
= ( 0,1,0)
2 u , v y w forman base porque 0 −9
de
k = ( 0,0,1) 4
−2 = −72 − 36 = −108 ≠ 0 . 6
1 = 2λ1 − 9λ 3 1 1 2 ⇒ λ1 = ,λ2 = , λ3 = − (1, 0, 0 ) = λ1 ( 2, −4, 4) + λ2 ( 0, 0, − 2) + λ3 ( −9, − 9, 6) ⇒ 0 = − 4λ1 − 9λ3 6 9 27 0 = 4λ − 2λ + 6λ 1 2 3 Por tanto, (1,0,0 ) =
1 1 2 u+ v− w. 6 9 27
0 = 2λ1 − 9λ 3 1 4 1 ⇒ λ1 = − , λ2 = − , λ3 = − ( 0,1, 0 ) = λ1 ( 2, −4, 4) + λ2 ( 0, 0, − 2) + λ3 ( − 9, − 9, 6) ⇒ 1 = − 4λ1 − 9λ3 6 9 27 0 = 4λ − 2λ + 6λ 1 2 3 Por tanto, ( 0,1,0 ) = −
1 4 1 u− v− w. 6 9 27
0 = 2λ1 − 9λ 3 1 ⇒ λ1 = 0, λ2 = − , λ3 =0 ( 0, 0,1) = λ1 ( 2, −4, 4) + λ2 ( 0,0, −2) + λ3 ( −9, −9, 6) ⇒ 0 = −4 λ1 −9 λ3 2 1 = 4λ − 2λ + 6λ 1 2 3 Por tanto, ( 0,0,1) = −
1 v. 2
10. Calcula el valor o valores de a, si es que existen, para que u , v y w sean linealmente dependientes.
u
= ( 2, a,3 )
v
= (1,2, a )
w = ( 5, −2,4 )
Para que sean linealmente dependientes, el determinante formado con sus coordenadas debe ser nulo. 2 1 5
a 2 −2
3 a 4
= 16 − 6 + 5a2 − 30 + 4a − 4a = 0 ⇒ 5a 2 − 20 = 0 ⇒ a = 2, a = −2
Luego los valores de a son 2 y −2.
11 a 13. Ejercic Ejercic ios r esueltos .
130
Unidad 10|Vectores
base
14. Dados los vector es u
2, 2,4 y v
1, 2,3 calcula:
a) ( 2u + 3v ) ⋅ ( 2u − 3v )
b) (u + 2v ) ⋅ (u − 3v ) + (3u + v ) ⋅ (3u − 2v ) c) (u − 2 v ) ⋅ ( u + 3 v ) − ( 3u − v ) ⋅( 3u + 2v)
a) ( 2u + 3v ) ⋅ ( 2u − 3v ) = ( 4, − 4,8 ) + ( − 3,− 6,9 ) ⋅ ( 4,− 4, 8) − (− 3,− 6, 9) = (1,− 10,17) ⋅ ( 7, 2,− 1) = − 30
b) (u + 2v ) ⋅ (u − 3v ) + (3u + v ) ⋅ (3u − 2v ) =
= ( 2, −2, 4 ) + ( −2, −4, 6 ) ⋅ ( 2, −2, 4 ) − ( −3, −6,9 ) + ( 6, −6,12 ) + ( −1, −2,3 ) ⋅ ( 6, −6,12 ) − ( −2, −4, 6 ) = = ( 0, −6,10 ) ⋅ (5, 4, 4, −5 ) + (5, −8,15 ) ⋅ (8, −2, 6 ) = −74 + 146 = 72
c) (u − 2 v ) ⋅ ( u + 3 v ) + ( 3u − v ) ⋅ ( 3u + 2v) =
= ( 2, −2, 4 ) − ( −2, −4, 6 ) ⋅ ( 2, −2, 4 ) + ( −3, −6,9 ) − ( 6, −6,12 ) − ( −1, −2,3 ) ⋅ ( 6, −6,12 ) + ( −2, −4, 6 ) = = ( 4, 2, −2 ) ⋅ ( −1, −8,13 ) − (7, −4,9 ) ⋅ (4, −10,18 ) = −46 − 230 = −276
15. a) Comprueba si los vectores u = (1, −2,3 ) y v = ( −4,1,2 ) son o no perpendiculares.
b) Calcula un vector perpendicular a u = ( 2, −2, −2 ) cuya primera coordenada sea 0.
a) u ⋅ v = (1, −2, 3 ) ⋅ ( −4,1, 2 ) = −4 − 2 + 6 = 0 ⇒ Sí son perpendiculares. b)
(0,1, −1) .
16. Calcula, en cada caso, el el valor de la incógni ta para para que los vectores u y v sean perpendiculares.
a) u = ( 2 x, −1,5)
v
b) u = ( 2 x + 1, −3, x − 1)
v
= ( x, x + 1, −1)
c) u = ( 2x, − x, x + 2 )
= (1, x, x )
d) u = (3 x, −1, 4 x + 2 )
v
v
= ( x + 3,1, −4x ) = ( x − 3,3 3,3, −3 x )
a) u ⋅ v = 0 ⇒ ( 2 x, −1, 5 ) ⋅ ( x, x + 1,− 1) = 2x 2 − x − 1− 5 = 0 ⇒ 2x 2 − x − 6 = 0 ⇒ ⇒x=
1 ± 1 + 48 4
=
1± 7 4
⇒ x = 2, x = −
3 2
b) u ⋅ v = 0 ⇒ ( 2x + 1, − 3, x − 1) ⋅ ( 1,x ,x ) = 2x + 1− 3x + x 2 − x = 0 ⇒ x 2 − 2x + 1 = 0 ⇒ x =
2± 4−4 2
=1
c) u ⋅ v = 0 ⇒ ( 2 x, − x, x + 2) ⋅ ( x + 3,1,− 4x ) = 2x 2 + 6x − x − 4x2 − 8x = 0 ⇒ − 2x2 − 3x = 0 ⇒ ⇒ x ( −2 x − 3) = 0 ⇒ x = 0, x = −
3 2
d) u ⋅ v = 0 ⇒ ( 3 x, −1, 4 x + 2) ⋅ ( x − 3,3,− 3x ) = 3x 2 − 9x − 3 − 12x2 − 6x = 0 ⇒ − 9x2 − 15x − 3 = 0 ⇒ x
=
−5 + 13 13 6
,x =
−5 − 1 3 6
Vectores | Unidad 10
131
17. ¿Existe algún valor de m para que los vectores perpendiculares? ¿Y paralelos?
u
1 m i
j
2k
y
v
2i
mj
k
sean
Si existe algún valor de m para que los vectores u y v sean perpendiculares, entonces su producto escalar ha de ser cero.
u ⋅v
= 0 ⇒ 2 + 2m − m − 2 = 0 ⇒ m = 0
Si existe algún valor de m para que los vectores u y v sean paralelos, entonces debe cumplir: 1+ m
=
2
1
−m
=
−2 1 .
Luego: 1+ m
=
2
−2 1
⇒ m = −5
1
y − m
=
−2 1
⇒m=
1 2 .
Por tanto, no existe un valor de m para que los vectores u y v sean paralelos.
18. Calcula el valor de u v sabiendo que u v
2
2
45 y u v
10 .
2
2 2 2 ⇒ u + v = u + v − 2u ⋅ v ⇒ 2 2 2 2 u + v − u −v 2 2 2 ⇒ u + v = 2u ⋅ v + u − v u ⋅v = 2
u ⋅v
u
=
+v − u − v
2
2
2
2
2
⇒ u + v − 2u ⋅ v = 2u ⋅ v + u − v ⇒ u + v − u − v = 4u ⋅ v
(
)
45
2
2
− u −v
= 4 ⋅ 10 ⇒ u − v
= 45 − 40 = 5 ⇒ u − v =
5.
19. Sean u y v dos vectores ort ogonales de módulos 4 y 3, respectivamente. Calcula el módul o de u v y de u v .
u
u
2
2
2
2
2
2
− v = (u − v ) ⋅ (u − v ) = u − 2u ⋅ v + v . + v = (u + v ) ⋅ (u + v ) = u + 2u ⋅ v + v .
u y v ortogonales
u
2
2
2
2
2
+ v = (u + v ) ⋅ (u + v ) = u + 2u ⋅ v + v = 16 + 0 + 9 = 25 ⇒ u + v = 25 = 5 2
u −v
132
⇒ u ⋅v = 0 .
= (u − v ) ⋅ (u − v ) = u − 2u ⋅ v + v = 16 − 0 + 9 = 25 ⇒ u − v = 25 = 5
Unidad 10|Vectores
20. Los vector es
y v definen el paralelog ramo de la figu ra. Se sabe que:
u
u
=5
v
u ⋅v
= 13
= 15
a) Expresa los vectores que definen las diagonales como combinación lineal de u y v .
b) Calcula la medida de las dos diagonales.
a) D = u + v
b) u ⋅ v =
u ⋅v
2
u +v
2
2
−u −v
2
2
=
= u −v
2
2
2
⇒ u + v = u + v + 2u ⋅v = 25 + 13 + 30 = 68 ⇒ D = 68
2
2
+ v − u −v
u
d
2
2
2
⇒ u − v = u + v − 2u ⋅ v = 25 + 13 − 30 = 8 ⇒ d = 8
2
21. Desarrolla y simpli fica las siguientes expresiones. a) (u − v ) ⋅ ( u − v )
b) 4u ⋅ ( 2u − v )
c) ( 2u − 3v ) ⋅ ( u + v ) d) (u + v ) ⋅ (u − v )
2
2
2
a) u − v = (u − v ) ⋅ (u − v ) = u − 2u ⋅ v + v
2
b) 4u ⋅ ( 2u − v ) = 4u ⋅ 2u − 4u ⋅ v = 8 u − 4u ⋅ v
2
2
c) ( 2u − 3v ) ⋅ (u + v ) = 2u ⋅ u + 2u ⋅ v − 3v ⋅ u − 3v ⋅ v = 2u ⋅ u + 2u ⋅ v − 3u ⋅ v − 3v ⋅ v = 2 u − u ⋅ v − 3 v
2
2
d) (u + v ) ⋅ (u − v ) = u ⋅ u − u ⋅ v + u ⋅ v − v ⋅ v = u − v 22 a 25. Ejercic ios r esueltos .
26. Calcula el ángulo que forman los vectores u
cos α
=
u ⋅v
u
⋅v
=
2 , 2 ,0
y v
2 , 2, 1
.
−2 + 2 + 0 = 0 ⇒ α = arccos 0 = 90º 2 + 2 ⋅ 2+ 2+1 .
Los vectores son perpendiculares.
Vectores | Unidad 10
133
27. a) Calcula todos los vectores unitarios que sean paralelos al v ector x = 4 i + 4 j − 7k .
b) Calcula todos los vectores que sean paralelos a AB = (1, −4, −8) y que tengan por módulo el triple que el
módulo de AB .
a) Todos los vectores paralelos a x son de la forma ( 4λ, 4λ ,−7 λ ) .
Obligando a que su módulo valga la unidad: 1 4 4 7 λ = ⇒ , , − 1 9 9 9 9 16λ 2 + 16λ 2 + 49λ 2 = 1 ⇒ 81λ 2 = 1 ⇒ λ2 = ⇒ 81 λ = − 1 ⇒ − 4 , − 4 , 7 9 9 9 9
b) Todos los vectores paralelos a AB son de la forma ( λ, −4 λ, −8λ ) . Obligando a que su módulo valga 3 ⋅ 1 + 16 + 64
= 3 ⋅ 9 = 27 :
λ = 27 = 3 ⇒ 3, −12, −24 ( ) 729 9 2 2 2 2 2 λ + 16λ + 64λ = 27 ⇒ 81λ = 27 ⇒ λ = ⇒ 81 λ = − 27 = −3 ⇒ ( −3,12,24 ) 9 28. Calcula dos vectores linealmente independientes y que sean ambos perpendiculares al vector u
v1
2 1 , , 2 . 3 5
1 2 = , − ,0 5 3
v2
1 = 0,2, 5
29. Calcula los valores de k para que los vectores u
cos 45º =
k2
2 = 2
+ k2
2k 2
=
⋅ 2k + 2 k = 1 ⇒ 2k 2 + 2 = 2k ⇒ 2k 2 + 2 = 4k 2 ⇒ k 2 = 1 ⇒ k = −1 k
2
+k ⋅ k +k +2
k , k ,0 y v
2
2
2
2
k 2
=
2 ⋅k 2k + 2 2
k, k,
2
form en un ángul o de 45º.
⇒ 2 ⋅ 2k 2 + 2 = 2 ⋅ k ⋅ 2 ⇒
30. Comprueba que no existe ningún valor de k para el cual los vectores u
k ,1,1 y v
1, 2 , k
formen un
ángul o de 45º.
u ⋅v
cos 45º = u v
−k + 2 + k
= k
2
+ 1+ 1 1+ 2 + k
2
2
= k
2
2
+2 k +3
=
2 2
⇒ k 2 + 2 k 2 + 3 = 2 ⇒ ( k 2 + 2)( k 2 + 3) = 4 ⇒
⇒ k 4 + 3k 2 + 2k 2 + 6 − 4 = 0 ⇒ k 4 + 5 k 2 + 2 = 0 ⇒ No tiene solución.
Por tanto, no existe ningún valor de k para que los vectores u y v formen un ángulo de 45º.
134
Unidad 10|Vectores
31. Dado el vector u
1,2,3 :
a) Calcula el ángulo que forma con cada uno de los tres vectores de la base i , j y k .
b) Calcula la medida de las proyecciones de u sobre cada uno de los vectores de la base i , j y k .
i = (1,0,0)
j
a) cos α = cos (u, i ) =
u⋅i
u⋅i
u⋅ j
( ) = u ⋅ j
cos β = cos u, j
= cos (u, k ) =
cos γ
u ⋅k
u⋅k
b) proyi u =
u⋅i
i
2 ⇒ β = arccos 57º 41' 14 14
=
3 ⇒ γ = arccos 36º 42' 14 14
1+ 4 + 9 3
=
=
2
=
= (0,0,1)
k
−1 −1 1 = ⇒ α = arccos − 105º 30 ' 1+ 4 + 9 14 14
=
= (0,1,0 )
1+ 4 + 9
2
3
= −1 = 1 proy j u =
u⋅ j
= 2 =2
proyk u
j
=
u ⋅k
k
= 3 =3
32 a 34. Ejercic ios r esueltos . 35. Calcula las coordenadas de un vector que sea ortogonal a los vectores u módulo sea la unidad. ¿Cuántos vectores de estas características existen?
u ×v
i
j 2 −2
k 0 2
= −1 −1
1,2,0 y v
1, 2,2 y cuyo
= 4i + 2 j + 4k = ( 4,2, 4 ) .
Por tanto, todos los vectores perpendiculares a u y v a la vez deberán ser de la forma: ( 4λ, 2λ, 4λ )
Obligando a que este vector tenga por módulo 1, se obtiene los valores de λ : 16λ 2
+ 4λ 2 + 16λ 2 = 36λ2 = 1 ⇒ 6λ = ±1 ⇒ λ =
2 , 1 , 2 y w 2 3 3 3
Los vectores buscados son w1 =
1 6
,λ
=−
1 6
2 1 2 = − , − , − . 3 3 3
36. Calcula los valores de x e y para que el vector u v
2i
j
v
v
×w =
i 2 0
k y w
2j
1
x i
yj
2k
sea ortogonal a los vectores
3k .
j k −1 1 2 3
= −5 i − 6 j + 4k ⇒ v × w = ( −5, −6,4) . El vector u debe llevar la misma dirección que
× w = ( −5, −6,4 ) y, por tanto, debe ser proporcional a él. Luego: 1+ x
−5
=
y
−6
=
−2 4
3
⇒ x = ,y = 3 2
Vectores | Unidad 10
135
37. Dados los vector es u
3,1, 2 y v
3, , 2 .
a) Calcula el valor de α para que los vectores sean paralelos.
b) Calcula el valor de α para que los vectores sean perpendiculares. Para este valor, calcula u × v . a) Para que sean paralelos deben ser proporcionales: 3
−3
1
=
α
=
−2 2
⇒ α = −1
b) Para que sean perpendiculares, su producto escalar debe ser nulo: 3 ⋅ ( −3 ) + α − 2 ⋅ 2 = 0 ⇒ −9 + α − 4 = 0 ⇒ α = 13
u ×v
=
i 3 −3
j 1 13
k −2 2
= 28i + 42k ⇒ u × v = ( 28,0, 42)
38. a) Calcula las coordenadas de los vectores u y v de la figura en la base canónica {i j k } .
,
b) Calcula el área del paralelogramo determinado por u y v .
a) u = (1,2,2) , v = ( 2,3,1) .
b) u × v =
i 1 2
j 2 3
k 2 1
= − 4i + 3 j − k ⇒ u × v = ( −4,3, − 1)
Por tanto, el área del paralelogramo es: A = u × v = 16 + 9 + 1 =
39 y 40. Ejercicios resueltos.
136
Unidad 10|Vectores
2
26 u .
,
41. Dados los vector es u
1,3,6
,v
1, 8,5
y w
−1
3
3
4
6 5 −5
j −1 3 −1 − 8
=
1
= 330 − 45 − 1089 + 24 = − 780
i
u ×w
11 1 −15
11 12
9
= −40 − 24 + 45 + 144 + 20 − 15 = 130
−2 −5
b) [u + v ,u − v ,3w ] = 0
d) u + v ,2u − v , u × w 5 3 2
a) [u,v ,w ] = −1 − 8
c) u × v =
1 3
b) [u + v ,u − v,3w ]
, calcula:
c) [u × v ,u × w ,w ]
a) [u,v ,w ]
3, 4 , 5
k 6 5
= 63i − j + 11k ⇒ u × v = ( 63, −1,11)
i
j −1 3 3 4
k 6 −5
= −39i + 13 j − 13k ⇒ u × w = ( −39,13, −13)
63 −1 11 u × v , u × w ,w = −39 13 −13 = −4095 − 1716 + 39 − 429 + 3276 + 195 = − 2730 3 4 −5
−
11
10 d) 1 u + 3 v ,2u − 1 v,u × w = 5 5 3 2 −3 −39
−
33
6
10 26
31
3 13
3 −13
=
35711 10
42. Calcula el volu men del paralelepípedo determinado por los vecto res u w
VP
2, 3,7 , v
12,0,5
y
13, 2, 7 .
2
−3
13
0 −2
= u,v ,w = −12
7 5 −7
= 168 − 195 + 20 + 252 = 245u3
43. Calcula los valores de k para que los vectores AB
1, k , 3 , AC
k ,1,4
y AD
3,0,2 :
a) Determinen un paralelepípedo de volumen de 11 unidades cúbicas. b) Determinen un paralelepípedo de volumen de 39 unidades cúbicas.
1
a) AB, AC , AD = k
−3
k 1 0
−3
4 = 2 − 12k − 9 − 2k 2 = 11 ⇒ 2k 2 + 12k + 18 = 0 ⇒ k 2 + 6k + 9 = 0 ⇒ 2
⇒ (k + 3)2 = 0 ⇒ k = −3 1
b) AB, AC, AD = k
−3
k 1 0
−3
4 = 2 − 12k − 9 − 2k 2 = 39 ⇒ 2k 2 + 12k + 46 = 0 ⇒ 2
⇒ k 2 + 6k + 23 = 0 ⇒ k =
−6 ± −56 2
. No existe ningún valor real de k para el que se cumpla la condición.
Vectores | Unidad 10
137
44. Calcula los valores de k para que los vectores AB 2, k , 4 , AC ningún paralelepípedo. ¿Cómo d eben ser estos t res vectores?
y AD
5,1, k
7,6, 1 no determinen
Los tres vectores deben ser linealmente dependientes. Su producto mixto debe ser nulo: 2
AB, AC, AD = 5
7
k
=
17 ± 2809 14
4
k 1 6
=
− k = − 2 + 120 − 7k 2 − 28 + 12k + 5k = 0 ⇒ 7k 2 − 17k − 90 = 0 −1 17 ± 53 14
⇒ k = 5,k = −
.
18 7
45. Si los módulos de los vectores u , v y w son 12, 14 y 15 respectivamente, ¿entre qué valores está comprendido el valor absoluto de su producto mixto ?
, w ) cos ( u, v × w ) . u, v ,w = u ⋅ ( v × w ) = u v × w cos ( u, v × w ) = u v w sen ( v
, w y cos u, v × w toman su valor El valor máximo absoluto del producto mixto u , v , w se obtiene cuando sen v
( )
(
)
máximo, es decir, uno. Por tanto:
u, v ,w = u v w = 12 ⋅ 14 ⋅ 15 = 2520 , w o cos u, v × w toman su valor mínimo, es decir, cero. El valor mínimo absoluto se obtiene cuando sen v
( )
(
)
Por tanto:
u, v , w = 0 46. Calcula el volum en y una de las alturas del pris ma de la fig ura.
El volumen del prisma será: 0
( 0, 25, 0 ) , ( −15, 0, 15) , ( −2, 0, 10) = −15 −2
25 0 0 15 0 10
= −750 + 3750 = 3000
La altura es el cociente entre el volumen y el área de la base:
h
47. Ejercicio interactivo. 48 a 54. Ejercic ios r esueltos .
138
Unidad 10|Vectores
=
3000 ( 0, 25, 0 ) × ( −15, 0, 15 )
=
3000 281 250
=
8 2
=4 2
.
EJERCICIOS Vectores libres en el espacio 55. Observa la figu ra:
a) Indica un vector equipolente de cada uno de los siguientes: FL , FE y EB . b) Compara el módulo dirección y sentido de las parejas de vectores:
AF y BE
i)
FE y BA
ii)
c) Indica dos vectores del mismo módulo y dirección que EJ pero con diferente sentido.
a) Vectores equipolentes de FL : AG , BH , CI , DJ , EK
Vector equipolente de FE : LK
Vectores equipolentes de EB : KH , JI , DC
b) i) AF y BE tienen igual dirección e igual sentido y sus módulos son diferentes y verifican que BE = 2AF .
FE y BA tienen diferente dirección y, por tanto, no tiene sentido comparar sus sentidos. Sus módulos son iguales.
ii)
c) JE y IB .
56. Dados los vector es u , v y w cuyas coordenadas respecto de la base canónica son u 3i
v
2j
3k
y w
i
j
2i
3j
k,
2 k , calcula las coord enadas de los siguientes vectores referida a la misma
base:
a) 2u + 3v − w b)
c)
1 1 u − 4v − w 2 5
u
d) 2 (u − v ) + 1 ( 2u + 3v − 3w )
2
= ( 2,3, −1)
2 1 2 u+ v− w 3 3 3
v
= ( −3,2,3 )
w
= (1,1, −2)
a) 2u + 3v − w = ( 4,6, −2) + ( −9,6,9) − ( 1,1,− 2) = ( − 6,11,9) b)
1 1 u − 4v − w 2 5
c)
2 1 2 u+ v− w 3 3 3
3 1 1 1 2 64 67 121 = 1, , − + (12, − 8,− 12) + − ,− , = ,− ,− 2 2 5 5 5 5 10 10 4 2 2 3 2 2 4 1 5 = ,2, − + −1, , + − ,− , = − ,2, 3 3 3 3 3 3 3 3 3
d) 2 (u − 3v ) + ( 2u + 3v − 3w ) = ( 22, −6, − 20) + − 4, ,
1 2
9 13 3 27 = 18,− , − 2 2 2 2
Vectores | Unidad 10
139
57. Calcula los valores de a, b y c para que se verifique la igu aldad: au sabe que u
au + bv
3,0, 2 , v
2, 1,4 y w
bv
cw
1 2
3,2,0
1 4
2, 2,2
si se
3, 1, 1 .
1 1 3 1 3 1 + cw = ( −3,2,0 ) − ( 2, −2,2) ⇒ au + bv + cw = −2, , − ⇒ ( − 3a + 2b + 3c, −b − c, − 2a + 4b − c ) = − 2, ,− 2 4 2 2 2 2
Por tanto:
−3a + 2b + 3c = −2 21 11 29 −b − c = 3 ⇒ a = − , b = − ,c = − 2 34 17 34 1 −2a + 4b − c = − 2 58. Decide si los sigui entes tríos de vectores u , v y w son linealmente independientes o linealmente dependientes. ¿En qué c asos los tres vectores u , v y w forman una base de V3?
a) u = (1,1, −1) , v = (1, −1,1) , w = ( −1,1,1)
b) u = (1,2, −3 ) , v = ( 2,−1,3 ) , w = ( 5,0,3)
c) u = , − , −2 , v = 0, , − 2 , w = (1,0, −10 ) 2 4 2
1
3
1
3
Tres vectores linealmente independientes de V forman base. Si son linealmente dependientes, no forman base.
a)
1 1 −1
1 −1 −1 1 = −1 − 1 − 1 + 1 − 1 − 1 = −4 ≠ 0 ⇒ Sí forman base de V3.
1
2
−3
5
0
3 3
1 2
−
1
b) 2 −1
c)
0 1
3 4 1 2 0
1
= −3 + 30 − 15 − 12 = 0 ⇒ No forman base de V3.
−2 −2 −10
5 2
3 2
= − + + 1 = 0 ⇒ No forman base de V3.
59. Calcula la relación qu e ha de existi r entre a y b para que los vectores u w a 3 2
a , 2, b , v
2,4,0 sean linealmente independientes.
−2 b 2 4
a = 12b − 4a − 4b − 4a2 = 0 ⇒ a2 + a − 2b = 0 ⇒ b =
0
a2
+a 2
Por tanto, la relación entre a y b para que los vectores u , v y w sean linealmente independientes es: b
140
3,2, a
Unidad 10|Vectores
≠
a2
+a 2
y
60. Calcula el valor o los valores de k para que los vectores u , v y w no for men una base de V3.
a) u = ( 2,2, −5) v = ( 4,1,7 ) w = ( k,5, −3 )
b) u = (1, k,3 ) v = ( 2,4,−6 ) w = ( k, −5,9)
c) u = (1, −2,3) v = ( 4,−1,k ) w = ( k + 1, −k ,11) 2
−5
k
5
7 −3
1
k 4 −5
2
a) 4 1
b) 2 k
c)
= 19k − 152 = 0 ⇒ k =
152 19
= 8⇒k = 8
3
−6 = −6k 2 − 30k − 24 = 0 ⇒ k = − 4,k = − 1 9
−2 3 −1 k = −k 2 − 11k + 80 = 0 ⇒ k = −16,k = 5 k + 1 −k 11 1 4
61. Para cada caso, comp rueba si los vectores u , v y w forman una base de V3 y, en caso afirmativo, expresa 12, 30,4 como combinación lineal de los vectores de esa base. el vector a
a) u = (1,0,−2 ) , v = ( −1,3, −2 ) , w = ( −5, −9,2 )
b) u = ( −2,3, −1) , v = (1, −1,2 ) , w = ( −1,2,1)
a)
1
0
−1 3 −5 −9
−2 −2 = 6 − 18 − 30− 18 = − 60 ≠ 0 ⇒ Sí forman base de V3. 2
( −12, −30,4 ) = λ1 (1,0, −2 ) + λ 2 ( −1,3, −2 ) + λ3 (−5, −9,2 ) ⇒ λ1 − λ2 − 5λ3 = −12 ⇒ 3λ2 − 9λ3 = −30 ⇒ λ1 = 2, λ2 = −1, λ3 = 3 −2λ − 2λ + 2 λ = 4 1 2 3
Por tanto, a
= 2u − v + 3w .
Las coordenadas de a en esta base son: ( 2, −1,3 )
b)
−2
3 −1 −1 2 = 2 − 2 − 6 + 1 + 8 − 3 = 0 ⇒ No forman base de V3.
1 −1
2
1
62. Se sabe que los vectores u , v y w son linealmente independientes. Estudia, para cada caso, si los vectores, a , b y c son o no linealmente independientes.
a) a = 2u − 4v + w
b) a = u − v + w
a)
b
b
= −u − 2v + 3w = −u − 2v + 4w
c
c
= −3u − v + 3w
= u − 4v + 6w
2 −4 1 −1 −2 3 = −12 + 1 + 36 − 6 + 6 − 12 = 13 ⇒ Sí son linealmente independientes. −3 −1 3 1
−1 1
1
−4
b) −1 −2 4 = − 12 + 4 − 4 + 2 + 16 − 6 = 0 ⇒ Sí son linealmente dependientes. 6
Vectores | Unidad 10
141
63. a) Comprueba que los vectores u = ( 2, −1, −2 ) y v = (1, −3,2 ) son linealmente independientes. b) Indica un vector
w1
tal que u , v y
w1 sean
3
linealmente independientes. ¿Formarán los tres una base de V ?
c) Indica un vector w 2 tal que u , v y w 2 sean linealmente dependientes. ¿Formarán los tres una base de V3? a) Dos vectores de V3 son linealmente independientes si no son proporcionales: 2 1
≠
−1 −2 ≠ ⇒ Son linealmente independientes. −3 2
b) Cualquier otro vector que, con los dos anteriores, determine un determinante no nulo hará que los tres sean
linealmente independientes. Por ejemplo, w1 = (1,0,0 ) : 2 1 1
−1 −2 −3 2 = −2 − 6 ≠ 0 0
0
c) Cualquier otro vector que, con los dos anteriores, determine un determinante nulo hará que los tres sean
linealmente dependientes. Por ejemplo, w 2 2 1 3
= u + v = (3, −4,0 ) :
−1 −2 −3 2 = 8 − 6 − 18 + 16 = 0 −4 0
No forman base porque son linealmente dependientes.
64. a) Comprueba que los vectores u = (1, −1, −3 ) , v = (1, −2,2) y w = ( −1,5, −17 ) son linealmente dependientes.
¿Se puede escribir cualquier otro vector a como combinación lineal de u , v y w ?
b) Intenta escribir a = ( 4, −6, −2) como combinación lineal de u , v y w .
a)
1 1 −1
−1 −2 5
−3 2
−17
= 34 − 15 + 2 + 6 − 10 − 17 = 0
3
Al no formar base u , v y w , no es posible que cualquier otro vector de V pueda escribirse como combinación lineal de ellos. (Eso no quiere decir que algunos particulares sí se puedan escribir).
b) ( 4, −6, −2) = λ1 (1, −1,−3) + λ 2 ( 1,−2,2) + λ 3 ( − 1,5,− 17) ⇒ 1 1 −1 −1 −2 5 −3 2 −17
4 1 1 −1 0 −1 4 −6 → F2 →F1 + F2 −2 F3 →3F1 + F3 0 5 −20
4 1 1 −1 0 −1 4 −2 → F3 →−5 F2 − F3 0 0 0 10
Sistema compatible indeterminado. Como, por ejemplo, una solución es
puede escribir como combinación lineal de u , v y w : a
142
Unidad 10|Vectores
= 2u + 2v + 0w
.
4 −2 0
λ1 = 2, λ 2 = 2,λ 3 = 0 el vector a sí se
65. a) Calcula los valores de k para que los vectores u = ( −1, k ,2 ) , v = ( k + 2, k − 1, k ) y w = ( 4, −3,4 ) sean linealmente dependientes.
b) Para k = 0 , intenta escribir a = ( 6, −4,4 ) como combinación lineal de u , v y w .
c) Para k = 0 , intenta escribir b = ( 3,2,0 ) como combinación lineal de u , v y w . d) Para k = 1 , intenta escribir b = ( 3,2,0 ) como combinación lineal de u , v y w . k 2 −1 a) k + 2 k − 1 k = −4k + 4 − 6k − 12 + 4k 2 − 8k + 8 − 3k − 4k 2 − 8k = −29k = 0 ⇒ k = 0 . 4 −3 4
Para cualquier valor k ≠ 0 , los vectores u , v y w son linealmente independientes.
b) ( 6, −4,4) = λ1 ( −1,0,2) + λ 2 ( 2, −1,0) + λ 3 ( 4,−3,4) ⇒ −1 2 4 0 −1 −3 2 0 4
6 4 −1 2 −4 → 0 −1 −3 0 −4 −12 4 F3 →−2F1 −F3
6 −1 2 4 0 −1 −3 −4 → F3 → 4F2 − F3 0 0 0 −16
6 −4 0
Sistema compatible indeterminado. Como, por ejemplo, una solución es
λ1 = 2, λ 2 = 4,λ 3 = 0 , el vector a sí se puede escribir como combinación
lineal de u , v y w :
a
= 2u + 4v
c) ( 3,2,0 ) = λ1 ( −1,0,2 ) + λ2 ( 2, −1,0 ) + λ3 ( 4, −3,4 ) ⇒
−1 2 4 0 −1 −3 2 0 4
3 −1 2 → 0 0 F3 →− 2F1 − F3 0
2
4
−1 −3 − 4 − 12
3 −1 0 2 → F → 4F − F − 6 3 2 3 0
2
4
0
0
−1 − 3
6 2 14
Sistema incompatible.
El vector a no se puede escribir como combinación lineal de u , v y w .
d) ( 3,2,0 ) = λ1 ( −1,1,2 ) + λ 2 (3,0,1) + λ3 ( 4, −3,4 ) ⇒
−1 3 4 1 0 −3 2 1 4
3 −1 0 → 2 F2 →− F1 − F2 0 F3 →− 2F1−F3 0
3 4 3 3 −1 3 4 −3 −1 −5 → − − 0 3 1 5 F3 → 7 F2 − 3 F3 − 7 − 12 − 6 0 0 29 − 17
Sistema compatible determinado con única solución:
λ1 =
7 29
, λ2
=
54 29
, λ3
=−
17 29
El vector a sí se puede escribir como combinación lineal de u , v y w :
a
=
7 54 17 u+ v− w 29 29 29
Vectores | Unidad 10
143
Producto escalar de vectores 66. Calcula el prod uct o escalar de los vectores u y v .
a) u = ( −3,5,−10)
v
= ( −1, −2,12)
b) u = , − , 2 4 5
v
2 1 1 = , − , 3 6 10
1
3 1
a) u ⋅ v = ( −3,5, −10 ) ⋅ ( −1,− 2,12) = 3 − 10 − 120 = − 127
= . b) u ⋅ v = , − , ⋅ , − , = + + 2 4 5 3 6 10 3 8 50 600
1
3 1
2
1 1
67. Dados los vector es u
1
1
1
3,5, 10 y v
287
1, 2,12 , calcula los prod uctos escalares.
a) 2u ⋅ ( −3v ) 1 1 1 b) u − 4v ⋅ u + v 5 2 4
1
c) u ⋅ v ( 3u ) + 3v ⋅ v 2
a) 2u ⋅ ( −3v ) = ( −6,10 − 20 ) ⋅ ( 3,6, − 36) = − 18 + 60 + 720 = 762 13 37 101 16 23 38 26 851 1919 8319 1 1 1 ⋅ − , ,− = − + + = b) u − 4v ⋅ u + v = , , − 4 5 5 5 5 40 10 40 5 8 8 2 4
1
c) u ⋅ v (3u ) + 3v ⋅ v = − ( −9,15, −30 ) + ( −3, −6,36) ⋅ ( − 1,− 2,12) = 2 2
127
1137 1917 49 281 ,− ,1941 ⋅ ( −1, − 2,12) = = 2 2 2
68. Calcula el valor o los valores de k para que se verifiquen las sigui entes igualdades: a) ( 2, −3,4) ⋅ ( k ,1 − k ,3) = −5 b) ( −1,2,k ) ⋅ ( k + 2,k ,k − 4) = −2
1
1
k
1
9
c) , − ,k ⋅ , − ,k = 2 2 8 8 8 a) 2k − 3 + 3k + 12 = 5 ⇒ 5k = −4 ⇒ k = − 4
5
b) −k − 2 + 2k + k 2 − 4k = −2 ⇒ k 2 − 3k = 0 ⇒ k = 0, k = 3 c)
144
k 16
+
1 16
+ k2 =
Unidad 10|Vectores
9 8
⇒ k2 +
k 16
−
17 16
= 0 ⇒ 16k 2 + k − 17 = 0 ⇒ k = 1, k = −
17 16
69. Se cons idera el tetraedro regul ar AB CD de la figura de arista a.
a) Calcula los productos escalares AB ⋅ AC y AB ⋅ AD .
b) Calcula el producto escalar AB ⋅ CD . ¿Qué puedes concluir?
1
a2
2
2
a) AB ⋅ AC = AB ⋅ AC ⋅ cos60º = aa =
AB ⋅ AD = AB ⋅ AD ⋅ cos60º = aa
1 2
=
a2
2
b) AB ⋅ CD = AB ⋅ (CA + AD) = AB ⋅ CA + AB ⋅ AD = − AB ⋅ AC + AB ⋅ AD = −
a2
2
+
a2
2
=0
Las aristas AB y CD son perpendiculares.
Aplicaciones del producto escalar 70. Dados los vector es u
1, 1,2 , v
1,2,3 calcula:
a) Los módulos de u y de v .
b) El producto escalar de u ⋅ v .
c) La medida del ángulo que forman u y v .
d) La medida de la proyección de v sobre u .
a) u = 12 + ( −1)2 + 22 = 6 , v = ( −1)2 + 22 + 3 2 = 14
b) u ⋅ v = 1 ⋅( −1) + ( −1) ⋅ 2 + 2 ⋅3 = 3
c) cos (u,v ) =
u ⋅v
=
u v
3 6 ⋅ 14
=
3 84
⇒ (u ,v ) = arccos
d) Proyección de v sobre u : proyv u =
u ⋅v
u
=
3 84
70º 53' 36''
3 6
Vectores | Unidad 10
145
71. Los módulos de tres vectores u , v y w son 4, 4 y 2 respectivamente. Los vectores si guen las direcciones y sentidos de los vectores de la base canónica y, por tanto, son perpendiculares dos a dos.
a) Halla las coordenadas de u , v y w y de u + v + w . b) Determina el módulo del vector suma.
c) Calcula el valor de los ángulos que el vect or suma forma con cada uno de los vectores u , v y w . a) Se puede tomar las direcciones de los ejes coordenados como las de los tres vectores dados:
u
= 4i , v = 4 j ,
w
= 2k y el vector suma vendrá determinado por las coordenadas s = u + v + w = ( 4,4,2 ) .
b) u + v + w = 42 + 42 + 22 = 36 = 6 . c)
s ⋅u
cos s ,u
( )=
s u
s ⋅v s v
s ⋅w s w
( )
cos s,v =
( )
cos s,w =
16
=
=
6⋅4
=
2 3
⇒ (s ,u ) = arccos
2 3
48º11' 23''
16 2 2 ,v = arccos 48º11'23'' = ⇒ s 6⋅4 3 3
=
( )
4 1 1 ,w = arccos 70º 31' 44'' = ⇒ s 6⋅2 3 3
( )
72. Halla el valor o los valores de
para que los vectores u
3, 2,5
y v
sean perpendiculares.
1, 1,
Para que dos vectores no nulos sean perpendiculares es necesario y suficiente que su producto escalar sea nulo:
( 3, −2,5α ) ⋅ (1, − 1, −α ) = 3 + 2 − 5α 2 = 0 ⇒ α = 1,α = − 1
73. Se cons ideran los vecto res de coor denadas a
1,2, 1 , b
x ,1, y
y c
2, x
y ,0 .
a) Calcula los valores de x e y para que el vector a sea perpendicular al vector b − c y para que el vector b sea
perpendicular al vector c
−a.
b) Demuestra que, para los valores de x y de y hallados, el vector c es perpendicular al vector a − b .
a ⋅ (b − c ) = 0 ⇒ ( 1,2, −1) ⋅ ( x − 2,1 − x − y, y ) − x − 3y = 0 3 1 ⇒ ⇒ x = ,y = − a) 2 2 x + y = 1 b ⋅ (c − a ) = 0 ⇒ ( x,1, y ) ⋅ (1, x + y − 2,1) 1 1 b) ( 2,1,0 ) ⋅ − ,1,− = − 1+ 1 = 0 ⇒ c es perpendicular a a − b .
2
146
Unidad 10|Vectores
2
74. Calcula las coordenadas de todos los vectores que lleven la misma dirección que u módulo 15 unidades de longitud.
Todos los vectores paralelos a u son de la forma
1,2, 1 y tengan por
( λ,2 λ, −λ ) . Obligando a que su módulo valga 15:
75 75 75 , 150, − ⇒ λ = 2 2 2 75 λ2 + 4λ2 + λ2 = 15 ⇒ 6λ2 = 15 ⇒ λ2 = ⇒ 2 75 75 75 λ = − 2 ⇒ − 2 , − 150, 2 . 75. Calcula todos los vectores unitarios que sean paralelos al vector u
(1, 2,
1) .
Todos los vectores paralelos a u son de la forma ( λ,2 λ, −λ ) . Obligando a que su módulo valga 1:
1 2 1 1 ⇒ , , − λ = 6 6 1 6 3 λ 2 + 4λ 2 + λ 2 = 15 ⇒ 6λ 2 = 1 ⇒ λ2 = ⇒ 6 λ = − 1 ⇒ − 1 , − 2 , 1 6 3 6 6 76. Calcula el ángulo que forman los vectores:
a) u = ( 4, −4,7 ) y v = (1, −8, −4 )
b) u = , − , − y v = , − , 2 2 2 2 3 6
1
1
1
1
1 1
1 1 1 10 3 c) u = , −2,− y v = , − , 5 3 4 9 2
a) cos α =
u ⋅v u ⋅v
b) cos α =
u ⋅v u ⋅v
=
4 + 32 − 28 16 + 16 + 49 ⋅ 1 + 64 + 16
=
1 4
+
1 4
1 4
+
+
1 4
c) cos α =
u ⋅v u ⋅v
=
1 4
+4+
1 6
⋅
1 12 1 1 1 + + 4 9 36
−
1 1 2 + − 6 2 3 9 1 1 ⋅ + 25 9 16
=
100 + 81
77. Calcula el valor de k para que los vectores y u
u ⋅v
cos 60º = u
⋅v
=
−2k 8 4+k
2
=
1 2
=
8 ⇒ 81 1 3 7 24
α = arccos
8 = 84º 20 ' 81
⇒ α = arccos
24 3 7
= 51º 53'
= 0 ⇒ α = arccos 0 = 90º
2, 2, 0
y v
0, k , 2
formen un ángulo de 60º.
⇒ −4k = 32 + 8k 2 ⇒ 16k 2 = 32 + 8k 2 ⇒ 8k 2 = 32 ⇒
⇒ k = 2 (FALSA ) , k = −2 . Por tanto, el único valor de k es −2.
Vectores | Unidad 10
147
78. Calcula las coordenadas del vector proyección de u
u ⋅v
6, 6,17
sobre el vector v
6,10,15
= −36 − 60 + 255 = 159 > 0
Por ser proyv u de la misma dirección y mismo sent ido que v , será de la forma:
proyvu
= ( −6λ,10λ,15λ ) para algún λ positivo. Obligando a que el módulo de proyv u valga:
u ⋅v v
159
=
36 + 100 + 225 159 19
= 36λ2 + 100λ 2 + 225λ2 =
proyv u
El vector proyección buscado es proyv u
=
159 19
⇒ 19λ =
159 , se obtiene el valor de λ : 19
⇒λ=
954 1590 2385 , , = − . 361 361 361
79. Calcula las coordenadas del vector proyección de u
u ⋅v
159 361
4,4,7 sobre el vector v
= −4 + 8 − 14 = −10 < 0
Por ser proyv u de la misma dirección y diferente sentido que v , será de la forma:
proyv u
= ( λ,2λ, −2λ ) para algún λ negativo.
Obligando a que el módulo de proyv u valga
u ⋅v
proyvu
v
=
10 , se obtiene el valor de 3
= λ2 + 4λ 2 + 4λ 2 =
El vector proyección buscado es proyvu
10 3
⇒ 3λ = −
10 3
λ:
⇒λ=−
10 9
10 20 20 = − , − , . 9 9 9
80. Dos vector es u y v verifican que u
15 , v
12 y u
v
25 .
a) Calcula el producto escalar u ⋅ v ¿De qué tipo es el ángulo que forman u y v ?
b) Calcula el ángulo que forman u y v .
c) Calcula el ángulo que forma u − v con el vector v . 2
a) u ⋅ v =
u
2
2
+ v − u −v
=
2
225 + 144 − 625 = −128 2
Al ser el producto escalar negativo, los vectores u y v formar un ángulo obtuso.
b) cos (u ,v ) =
u ⋅v
u ⋅v
=
−128 15 ⋅12
−0,7111 ⇒ (u ,v ) arccos ( −0,7111) 135º 20'
148
Unidad 10|Vectores
u ⋅v
2
−v c) cos (u − v ,v ) = = u −v ⋅ v 25 ⋅12
(u − v ) ⋅ v
−0,9067 ⇒ (u − v ,v ) arccos ( −0,9067 ) = 155º3'
1,2, 2 .
.
81. Los módul os de dos vectores valen 40 y 30 unidades de longitud, respectivamente. El módulo d e la suma de dichos vectores es 50 unidades de longitud. Calcula el ángulo que forman los vectores suma y diferencia de los dos cons iderados. u +v
u ⋅v =
u ⋅v
=
2
−u −v
2
=
2 2
2
u
2
2
u
2
2
2
− v = 402 − 302 = 700
(u + v ) ⋅ ( u − v ) cos ( u + v ,u − v ) = =
u
2
=0
= 0 ⇒ u − v = u + v = 502 ⇒ u − v = 50
2
2
2
+ v − u −v
(u + v ) ⋅ (u − v ) =
502 − 402 − 302
+v ⋅ u −v
700 50 ⋅ 50
= 0,28 ⇒ ( u + v ,u − v ) arccos ( 0,28) = 73º 44 '
82. En física, se define el trabajo de una fuerza con stante sobr e una partícula como el produ cto escalar de dicha fuerza por el vector desplazamiento de dicha partícula. Con esta información, calcula qué tr abajo h a ejercido una fuerza, F 2, 3,4 (N) sobre una partícula que se ha movido entre los puntos A 1,0, 3 y B 2,2,2 (m).
Vector desplazamiento: AB = ( 2, 2, 2) − (1, 0, − 3) = (1, 2, 5)
la partícula es: F ⋅ AB
F sobre
Por tanto, el trabajo de la fuerza
= ( 2, −3,4 ) ⋅ (1,2,5) = 2 − 6 + 20 = 16 J.
Producto vectorial de vectores 83. Calcula el producto vectorial de los vectores u
u ×v
=
i 2 −4
j 3 3
k −2 −5
2i
3j
2k
y v
4i
3j
5k
.
= −9i + 18 j + 18k ⇒ u × v == ( −9,18,18 )
84. Expresa los vector es MN y
PQ como
combinación lineal de los vectores de la base canónica i , j , k
y
calcula su producto escalar y su prod ucto vectorial.
MN
MN ⋅ PQ
= 2i + 2k
PQ
=i + j
= ( 2,0,2) ⋅ (1,1,0) = 2
MN × PQ
=
i 2 1
j 0 1
k 2 0
= − 2 i + 2 j + 2k
Vectores | Unidad 10
149
85. a) Calcula el producto vectorial u × v de los vectores u = ( 0, −2,4 ) y v = ( −1,3,3 ) .
b) Calcula el módulo de u × v .
c) Calcula el seno del ángulo que forman u y v .
a) u × v =
i 0 −1
j −2 3
k 4 3
= −18i − 4 j − 2k
b) u × v = 324 + 16 + 4 = 344 c) sen α =
u ×v
344
=
u ⋅v
4 + 16
⋅ 1+ 9 + 9
344 380
=
=
86 95
86. Calcula el producto vectorial de los vectores u y v y demuestra que el vector resultado es p erpendicul ar a los dos dados:
a) u = (1, −3,5) y v = ( −3, −2,4 ) 1 1 1 1 1 1 b) u = , − , − y v = , − , 2 2 2 2 3 6
a) u × v =
i 1 −3
j −3 −2
k 5 4
= − 2i − 19 j − 11k ⇒ u × v = ( − 2,− 19,− 11)
(u × v ) ⋅ u = −2 + 57 − 55 = 0 ⇒ u × v ⊥ u
b) u × v =
i 1
j
k 1
2 1 2
− −
1
−
2 1
2 1
3
1
=− i − 4
(u × v ) ⋅ v = 6 + 38 − 44 = 0 ⇒ u × v ⊥ v
1 1 j + k 3 12
1 1 1 ⇒ u ×v = − , − , 4 3 12
6
1
1
8
6
(u × v ) ⋅ u = − +
−
1 24
87. Dados los vector es u
1,2, 1 y v
1
1
8
9
(u × v ) ⋅ v = − +
= 0 ⇒u×v ⊥u
+
1 72
⇒ u ×v ⊥v
2,1,0 :
a) Demuestra que u y v son perpendiculares.
b) Escribe, con ayuda de parámetros, todos los vectores x tales que verifiquen que u × x = v .
c) ¿Qué hubiera ocurrido si u y v no hubieran sido perpendiculares?
a) u ⋅ v = (1,2, −1) ⋅ ( −2,1,0) = −2 + 2 = 0 ⇒ u y v son perpendiculares.
b) x = ( a, b,c ) ⇒ u × x =
i j 1 2 a b
k −1 = ( 2c + b ) i − (a + c ) j + ( b − 2a) k c
2c + b = − 2 = −2i + j ⇒ a + c = −1 ⇒ b − 2a = 0
⇒ a = −1 − λ, b = −2 − 2λ,c = λ ⇒ x = (− 1 − λ, − 2 − 2λ,λ )
c) No habría ninguna solución, ya que el producto vectorial de dos vectores es perpendicular a cada uno de ellos.
150
Unidad 10|Vectores
Aplicaciones del producto vectorial 88. Calcula las coordenadas de un vector que sea perpendicular a los vectores u que su módulo mida
u ×v
0, 1,2 y tal
9 6
unid ades de l ongitud. ¿Cuántos vectores de estas características existen?
i
j k −1 2 3 0 −1 2
=
1,2,3 y v
= 7i + 2 j + k ⇒ Todos los vectores ortogonales a u y a
Como el módulo debe ser 9 6 , entonces:
49λ 2
v son de la forma ( 7λ, 2λ, λ ) .
+ 4λ 2 + λ2 = 54λ2 = 486 ⇒ λ = 3 o λ = − 3 .
Existen dos vectores con las características requeridas: ( 21,6,3 ) y ( −21, −6, −3 ) .
89. Calcula todos los vectores uni tarios que sean perpendicul ares a los vector es u v
4i
u ×v
=
3j
3j
2k
y
.
5k
i 2 −4
j 3 3
k −2 −5
El vector
2i
= −9i + 18 j + 18k
( −9,18,18 ) tiene la misma dirección que el vector ( −1,2,2 ) .
Todos los vectores ortogonales a u y a v son de la forma
( − λ, 2 λ, 2λ ) .
λ2 + 4λ2 + 4λ2 = 9λ 2 = 1 ⇒ λ =
Como el módulo debe ser 1, entonces:
Existen dos vectores con las características requeridas:
− 1 , 2 , 2 y 3 3 3
1 o 3
λ= −
1 3
1 ,− 2 ,− 2 3 3 3
90. Calcula el área del paralelogr amo determin ado por los vectores:
a) u = (1, −1,0 ) y v = ( 0,1, −1)
b) u = (1, −2, 2 ) y v =
(
)
2,1, −1
c) u = , −1, y v = 2, ,1 4 2 2
1
a) u × v =
b) u × v =
c) u × v =
3
1
i 1 0
j −1 1
k 0 −1
i 1 2
j −2 1
k 2 −1
i 1 2
j
k 3 4
2
−1 1 2
= i + j +k
= (2 − 2 ) i + 3 j + (1+ 2 2 ) k
=−
A = u × v
11 9 i +j + k 8 4
A = u × v
A
= 1 + 1 + 1 = 3 u2
=
= u ×v =
2
(2 − 2 )
2
+ 32 + (1 + 2 2 ) = 24 u2
121 81 +1+ 64 16
=
509 2 u 8
1
Vectores | Unidad 10
151
91. Calcula el área del triáng ulo determinado por los vectores u
u ×v
=
i 2 4
j −1 4
k 3 −10
= −2i + 32 j + 12k
A =
2, 1,3 y v
1 u ×v 2
=
1 2
4,4, 10 .
4 + 1024 + 144
2 = 293 u
92. Calcula los posib les valores de a para que el área del paralelogramo determinado por los vectores 2 u 2 ,a , 3 y v 4, 1,5 valga 633 u .
u ×v
=
i 2 4
j a −1
k −3 5
= ( 5a − 3 ) i − 22 j − ( 2 + 4a ) k
2 2 2 2 (5a − 3 ) + 222 + ( 2 + 4a ) = 633 ⇒ ( 5a − 3 ) + 484 + ( 2 + 4a ) = 633 ⇒ 41a2 − 14a − 136 = 0 ⇒
⇒a=
14 ± 150
⇒ a = 2,a = −
82
68 41
93. La fuerza de Lorenz es la fuerza que sufr e una partícula con carga eléctri ca q cuando se mueve con una velocidad u dentro de un campo magnético B y viene dada por la expresión F qv B . Un protó n cuya carga es de 1,6·10 19 C, entra un campo magnético uniforme B fuerza sobre el prot ón en el instante en que su veloci dad es:
1,2,3
(T). Determina el valor de la
a) v = ( 3,1,5 ) (ms−1)
b) v = ( 2,1,0) (ms−1)
c) v paralela a B y con un valor de 5 ms−1.
a) F = 1,6 ⋅ 10−19 ( 3,1,5) × ( − 1, 2,3) = 10−20 ( − 112,− 224,112) ( J) b) F = 1,6 ⋅ 10−19 ( 2,1,0) × ( − 1,2,3) = 10−20 ( 48,− 96,80) (J)
c) Como v es paralela a B , entonces qv también es paralelo a B , luego qv × B = 0 . Por tanto, F = 0 .
Producto mixto de vectores 94. Calcula el producto mixto de los vectores u , v y w .
a) u = ( 2,4,−5 ) , v = ( −2, −2,5 ) , w = ( −2,4,6 )
b) u = , , − , v = , − , − 1 , w = − , ,0 2 2 2 2 4 2 4
1 1
1
2
4
a) [u,v,w ] = −2 −2 −2 4
b) [u,v ,w ] =
152
1 2 1 2 1 − 2
Unidad 10|Vectores
1 2 1 − 4 1 4
1
−5
1
1 1
= −24 + 40 − 40 + 20 − 40 + 48 = 4
5 6
−
1 2
−1 = − 0
1 16
+
1 4
+
1 16
+
1 8
=
3 8
95. Calcula el producto mixto de los vectores u
−1 [u,v ,w ] = −10 −4
3j
i
4k
,v
10i
3j
2k
y w
4i
2j
4k .
−4 −2 = 12 + 80 + 24 − 48 − 4 − 120 = − 56 −4
3 3 2
96. Dados los vecto res u
2,1, 1 , v
2, 2,1
y w
1, 2, 3 , comprueba que se verifica la igualdad
v ,w ,u .
u ,v ,w
−2 −2 1 v ,w, u = 1 −2 −3 = −4 + 1 + 12 + 4 − 6 − 2 = 5 2 1 −1
2 1 −1 u,v,w = −2 −2 1 = 12 − 4 + 1 − 2 + 4 − 6 = 5 1 −2 −3
Aplicaciones del producto mixto 97. Calcula el volu men del paralelepípedo determinado por los vector es:
a) u = ( 0,2, −2) , v = ( −3,0,−1) , w = (3,−8,0 )
b) u = ( 2,0,0 ) , v = ( −2, −12,24) , w = (10, −22, −36) 0
3
2 0 −8
2
0
a) VP = [u,v,w ] = −3
−2 −1 = −48 − 6 = 54 u3. 0
0
b) VP = [u,v ,w ] = −2 − 12 24 = 1920 = 1920 u3. 10 −22 − 36
98. Dada la figu ra:
a) Calcula las coordenadas de los vectores u , v y w . b) Calcula el volumen del paralelepípedo determinado por los tres vectores.
a) u = (1,0,3) , v = ( 0,5,3) y w = (1,5,0) 1
0
3
b) [u,v ,w ] = 0 5 3 = −15 − 15 = − 30 ⇒ V = [u ,v ,w ] = − 30 = 30 u3.
1
5
0
Vectores | Unidad 10
153
99. Calcula los valor es de a para que el volu men del paralelepípedo fo rmado por los vectores u v
8i
9k y w
j 1
a
ai
i
aj
5k ,
3 j valga 173 unidades cúbicas.
5
u, v ,w = 8 1 −9 = 120 + 9a 2 + 5a + 27 = 9a2 + 5a + 147 = 173 ⇒ 9a2 + 5a − 26 = 0 ⇒ a = −a 3 0
−5 ± 31 18
⇒a =
13 ,a 9
= −2
Síntesis 100. Se consi dera el vector de coor denadas u
1,1,1 .
a) Escribe, con ayuda de los parámetros necesarios, la expresión de todos los vectores ortogonales au .
b) Descompón el vector a = ( −3 − 0, 3) como suma de dos vectores, uno de los cuales sea paralelo a u y el otro
ortogonal a u .
a) Los vectores serán de la forma ( α, λ,µ ) pero debe verificarse que su producto escalar sea nulo:
( −1,1,1) ⋅ ( α, λ,µ ) = 0 ⇒ −α + λ + µ = 0 ⇒ α = λ + µ Los vectores pedidos son de la forma
( λ + µ, λ,µ ) .
− x + λ +µ = −3 ⇒ − x − x + 3 − x = −3 b) ( −3,0,3 ) = ( − x, x, x ) + (λ + µ,λ,µ ) ⇒ x + λ = 0 x + µ = 3 ⇒ x = 2, λ = −2, µ = 1 ⇒ ( −3,0,3) = ( −2,2,2) + ( −1, −2,1)
101. Dados los vectores u
2,1, 3
,v
2, 2, 1
y w
a) Calcula el producto escalar 2u ⋅ 3v .
b) Calcula el producto vectorial 2u × 2w .
c) Calcula el producto mixto u,v,w .
a) 2u ⋅ 3v = ( −4,2, −6) ⋅ ( 6,−6,−3) = −24 − 12 + 18 = −18
i
j 2 4
k −6 0
b) 2u × 2w = −4
−2
−2
c) [u,v ,w ] = 2
−1
154
Unidad 10|Vectores
1 −3 −2 −1 = −9 2
0
= 24i + 12 j − 12k
1,2,0
:
102. Dados los vectores u
1, 1,0
,v
y w
3, 2,3
1,1,3
, calcula:
a) El área del paralelogramo determinado por u y v .
b) El volumen del paralelepípedo determinado por u , v y w .
c) La medida de la altura del paralelepípedo sobre la cara determinada por u y v .
a) u × v =
i 1 3
j −1 −2
k 0 3
1 −1 0 b) [u,v ,w ] = 3 −2 3 = 3 −1 1 3
c) h =
VP A
=
3
= −3i − 3 j + k ⇒ u × v = ( −3, −3,1)
A = u × v
2
2
= ( −3) + ( −3) + 12 = 19
2
4,36 u .
= u,v ,w = 3 u3.
VP
u.
19
103. Calcu la:
a) El valor de x para que los vectores u = (1, x,0 ) y v = ( x + 3,2, −8) sean ortogonales y, para ese valor hallado, calcula el área del paralelogramo determinado por los dos vectores.
b) Todos los valores de y que hacen que los vectores ortogonales del apartado anterior junto con el vector w = ( y, −1, y + 1) determinen un paralelepípedo de 20 unidades cúbicas de volumen. a) Dos vectores no nulos son perpendiculares cuando su producto escalar es nulo. Entonces:
u ⋅v
= 0 ⇔ x + 3 + 2x = 0 ⇒ x = −1 ⇒ u = (1, −1,0) ,v = ( 2,2, −8)
A = u × v
=
i 1 2
j −1 2
k 0 −8
−1
1 2 y
b) [u,v ,w ] =
= 8i + 8 j + 4k = 64 + 64 + 16 = 12 u2
0 2 −8 −1 y + 1
12 y − 4 = 20 si y ≥ 1 ⇒ y = 2 3 = 12y − 4 ⇒ 12y − 4 = 20 ⇒ 4 − 12 y = 20 si y < 1 ⇒ y = − 4 3 3
CUESTIONES 104. Se consideran u y v vectores de V3 no nulos, no iguales y no opuestos. Demuestra que se verifica la siguiente p ropiedad.
u
⇒) (u + v ) ⋅ (u − v ) =
2
u
2
= v ⇔ u + v y u − v son perpendiculares.
− u ⋅v + u ⋅v − v = 0 ⇒ u + v ⊥ u − v
⇐) Como u + v ⊥ u − v entonces (u + v ) ⋅ (u − v ) = 0 . Por tanto: 2
u
2
2
2
− u ⋅v + u ⋅v − v = 0 ⇒ u = v ⇒ u = v
Vectores | Unidad 10
155
105. Se consideran u y v vectores de V3 no nulos, no iguales y no opuestos. Demuestra que se verifica la siguiente p ropiedad.
u +v
= u − v ⇔ u y v son perpendiculares.
Por el ejercicio 104 sabemos que dos vectores tienen el mismo módulo si y solo si su suma y su diferencia son perpendiculares.
Considerando los vectores a = u + v y b
= u − v , entonces, a = b ⇔ a + b ⊥ a − b .
Por tanto:
u
106. Dado el vecto r u
u 1i
+ v = u − v ⇔ u + v + u − v ⊥ u + v − ( u − v ) ⇔ 2u ⊥ 2v ⇔ u ⊥ v
u3 k :
u2 j
a) Demuestra que
u
u
es un vector unitario.
b) Calcula los cosenos de los ángulos que forma u con los vectores i , j y k de la base canónica.
a)
u
u
=
u
=1
u
b) u = ( u1,u2 ,u3 )
)=
u⋅i
( )=
u⋅ j
cos (u, i
cos u, j
u i
=
=
u j
u ⋅k
cos (u, k ) = u k
156
i = (1,0,0)
Unidad 10|Vectores
=
u1
u ⋅1 u2
u ⋅1 u3
u ⋅1
= =
=
u1
u
u2
u
u3
u
j
= ( 0,1,0 )
k
= ( 0,0,1)
107. Ind ica, razonadamente, si las siguient es afir macion es son verdaderas o falsas.
a) Si u , v y w son tres vectores no nulos de V3 tales que u y v son linealmente dependientes, entonces u , v
y w también son linealmente dependientes.
b) Si u , v y w son tres vectores no nulos de V3 tales que u y v son linealmente independientes y v y w son
linealmente independientes, entonces u , v y w también son linealmente independientes.
c) u + v = u + v
d) Si u ⋅ v = u ⋅ w y u ≠ 0 ⇒ v = w
e) Si u × v = u × w y u ≠ 0 ⇒ v = w a) Verdadero.
⇒ u = λv ⇒ u = λv + 0w ⇒ u, v y
u y v son linealmente dependientes
w son linealmente dependientes.
b) Falso.
Por ejemplo,
u
= (1, 0, 0) ,v = ( 0,1, 0) ,w = (1,1, 0)
c) Falso.
Por ejemplo, si u
= (1,0,0) ,v = ( 0,1,0) , entonces, u + v = (1,1,0) , u + v =
2, u
+ v =2
d) Falso.
Por ejemplo, si u
= (1,1, 0) ,v = (1, 0, 0) ,w = ( 0,1, 0) , entonces u ⋅ v = u ⋅ w = 1 y v ≠ w
e) Falso.
Por ejemplo, si u
= (1, 0, 0) ,v = ( 0,1, 0) ,w = (1,1, 0) , entonces:
u ×v
=
i 1 0
j 0 1
k 0 0
= k , u ×w =
i 1 1
j 0 1
k 0 0
=k ,
v
≠w
Vectores | Unidad 10
157
PROBLEMAS
108. Un avión vi aja en direcci ón Este Oeste partiendo del pu nto A y con una velocidad de 800 km/h. a) Calcula la velocidad verdadera si en ese momento hay un viento de 100 km/h que sopla en dirección Norte−Sur. Determina dicha velocidad verdadera dando su módulo y el ángulo que forma con la dirección Este−Oeste.
b) Calcula la velocidad verdadera si en ese momento hay un viento de 100 km/h que sopla del Noreste al Sudoeste (La dirección del viento forma 45º con el Oeste y 45º con el Sur)
a)
La velocidad del avión es v = 800 km/h. La velocidad del viento es v s
= 100 km/h.
El módulo de la velocidad verdadera será: v r
= 8002 + 100 2 = 100 65 = 806, 225 km/h
La velocidad verdadera formará un ángulo α con la dirección Este−Oeste: cos α
=
800 100 65
=
8 ⇒ α = arccos 7º 8' 65 65
8
b)
La velocidad del avión es v = 800 km/h. La velocidad del viento es v s
= 100 km/h.
El módulo de la velocidad verdadera será: vr2
= 8002 + 1002 − 2 ⋅ 800 ⋅ 100 ⋅ cos135º = 763137,085 ⇒ vr = 873,577 km/h
La velocidad verdadera formará un ángulo
100 sen α
158
Unidad 10|Vectores
=
873,577 sen 135º
α con la dirección Este−Oeste: ⇒ sen α = 0,081 ⇒ α = 4º 39 '
109. Un barc o se diri ge hacia el este con una veloci dad prop ia de 12 km/h en un momento en que la corriente es de 3 km/h en dirección al SW. Encuentra la velocidad verdadera del barco. La velocidad propia del barco es v = 12 km/h. La velocidad de la corriente es v = 3 km/h. El módulo de la velocidad verdadera será: vr2
= 122 + 32 − 2 ⋅ 12 ⋅ 3 ⋅ cos 45º = 102,088 ⇒ vr = 10,104 km/h
La velocidad verdadera formará un ángulo
α con la dirección W−E:
3 10,104 = ⇒ sen α = 0,21 ⇒ α = 12º 7' sen α sen 45º
110. Dos remolcadores arrastran hacia el puerto un petrolero según el esquema de la figura. Si cada uno tira del barco remolcado con una fuerza de 105 N, calcula el ángulo que forman los dos cables entre sí sabiendo que la resultante tiene un valor de 1,5 105 N. Llamando α al ángulo formado por la resultante y uno de los dos remolcadores, y utilizando el teorema del coseno, se obtiene:
1010 = 1010 + 1,5 ⋅ 1010 − 2 ⋅10 5 ⋅1,5 ⋅10 5 ⋅cos α Operando resulta:
cos α = 0,75
⇒ α = 41º 24 '
Multiplicando por 2 se obtiene el ángulo entre los dos remolcadores: 82º48'
111. Se considera el octaedro regular AB CDEF de la figura y la base de V3 formada por BC, BE ,BA a) Indica los ángulos que forman los vectores de la base.
b) Escribe los vectores BD , AD y AF en función de los vectores de la base.
c) Calculando el producto escalar AF ⋅ BD demuestra que las rectas AF y BD son perpendiculares. Recuerda que un octaedro regular está formado por ocho triángulos equiláteros.
a)
(
BC,BE
)
(
= 90º
BC,BA
)
(
= 60º
BE,BA
) = 60º
b) BD = BC + BE
AD
AF
= AB + BD = −BA + BC + BE = BC + BE − BA
= AB + BF = AB + AD = −BA + BC + BE − BA = BC + BE − 2BA
c) Suponiendo que los lados del octaedro miden todosa unidades de longitud.
AF ⋅ BD
= (BC + BE − 2BA ) ⋅ (BC + BE ) = BC ⋅ BC + BC ⋅ BE + BE ⋅ BC + BE ⋅ BE − 2BA ⋅ BC − 2BA ⋅ BE =
= a 2 + 0 + 0 + a 2 − 2a 2 cos 60 − 2a 2 cos 60º = 2a 2 − 4a 2 ⋅
1 2
= 2a 2 − 2a 2 = 0
Vectores | Unidad 10
159
PARA PROFUNDIZAR 112. Las coordenadas del vector a respecto d e la base de V3 u , v , w son a a respecto de la base canónica si u
a
2i
3j
k
,v
2j
i
k
y w
8,4,1 .Halla las co ordenadas de
2i
2j
k
.
= 8u + 4v + w = 8 ( 2i + 3 j − k ) + 4 ( −i + 2 j − k ) + ( 2i + 2 j + k ) =
= 16i + 24 j − 8k − 4i + 8 j − 4k + 2i + 2 j + k = 14i + 34 j − 11k
113. Las c oord enadas del vector a respecto de la base de V3 coordenadas de v3
u1 2u2
respecto de la base
a
v 1, v 2 , v 3
si
son a
u 1, u 2u 3
v1
u 1 3u 2
10, 8,3 . Halla las
2u 3 ,
v2
3u 3 .
Se supone que a = 10u1 − 8u 2
+ 3u3 = xv1 + yv 2 + zv3 .
Entonces:
10u1 − 8u2
1 1 13
10 22 13
= ( x + 2 y + z ) u1 + ( −3 x + y − 2 z ) u2 + ( 2 x − 2 y + 3 z ) u3 Por tanto, se resuelve el sistema:
x + 2y + z = 10 − x + y − z = − 2 8 3 2 x − 2 y + 3 z = 3 1 2 1 −3 1 −2 2 −2 3
10 1 0 −8 → F2 →3F1 + F2 0 3 F3 →−2F1 + F3
2 7 −6
1 1 1
10 1 0 22 → F → 6F + 7F −17 3 2 3 0
El sistema es compatible determinado con solución única:
x
= 3, y = 3, z = 1 .
Por tanto:
a
160
+ 3u3 = xv1 + yv2 + zv3 = x ( u1 − 3u2 + 2u3 ) + y ( 2u1 + u2 − 2u3 ) + z ( u1 − 2u2 + 3u3 ) =
Unidad 10|Vectores
= 3v1 + 3v2 + v3 .
2 7 0
2u1 u 2
2u3
y
114. a) Demuestra que:
(u ⋅ v )2 + u × v 2 = u 2 ⋅ v 2
b) Calcula los módulos de los vectores u y v sabiendo que son iguales y que sus productos escalar y vectorial valen:
u ⋅v
= − 208
u ×v
= ( −85, −6,10)
a) Sea α el ángulo que forman los vectores u y v , entonces:
(u ⋅ v )2 + u × v 2 = ( u ⋅ v ⋅ cos α)2 + ( u ⋅ v ⋅ sen α) 2 = u 2 ⋅ v 2 ⋅ cos2 α + u 2 ⋅ v 2 ⋅ sen2 α =
2 2 2 2 = u ⋅ v ( cos2 α + sen2 α ) = u ⋅ v 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 b) (u ⋅ v ) + u × v = u ⋅ v ⇒ u ⋅ u = ( −208 ) + ( ( −85 ) + ( −6 ) + 102 ) = 50 625 ⇒
4
⇒ u = 50 625 ⇒ u = v = 4 50 625 = 15
115. Se consi deran los vector es de V3: u
v
u 1,0,0
v 1, v 2 ,0
w
w 1, w 2 , w 3
a) Calcula u × (v × w ) .
b) Calcula (u ⋅ w ) v − (u ⋅ v ) w .
c) Calcula el valor de u × (v × w ) si u = (1, −2,3) , v = ( −1,4, −2) y w = ( −3,3, −1) .
a) v × w =
i v1 w1
j v2 w2
k 0 w3
i u1 v 2w 3
j 0 −v1w3
k 0
u × (v × w ) =
= v2w3 i − v1w3 j + ( v1w2 − v 2w1 ) k
v1w2
− v2 w1
= ( −u1v1w2 + u1v2 w1 ) j − u1v1w3 k
b) (u ⋅ w ) v − ( u ⋅ v ) w = u1w1v − u1v1w = u1w1 ( v1 i + v2 j ) − u1v1 ( w1 i + w2 j + w3 k) =
= (u1w1v1 − u1v1w1 ) i + (u1w1v 2 − u1v1w 2 ) j − u1v1w 3k = (u1w 1v 2 − u 1v 1w 2 ) j − u 1v 1w 3k
Se deduce que u × (v × w ) = (u ⋅ w ) v − ( u ⋅ v ) w .
c) u = (1, −2,3) , v = ( −1,4, −2) y w = ( −3,3,−1) .
u × (v
× w ) = (u ⋅ w ) v − (u ⋅ v ) w = ( −3 − 6 − 3 )v − ( −1 − 8 − 6)w = −12 ( −1,4, −2 ) + 15 ( −3,3, −1) = ( −33, −3,9 )
Vectores | Unidad 10
161
AUTOEVALUACIÓN Comprueba qué has aprendido 1.
En el tetraedro AB CD de la figura se consideran los vectores u AB v AC y w AD que forman una base del espacio V3. Escribe, en función de los vectores u , v y w el vector BM donde M es el punto medio del segmento de extremos D y C.
AM
BM
2.
= DA + AC = AC − AD = v − w
DC
= AD + DM = AD +
1 1 1 1 DC = w + ( v − w ) = v + w 2 2 2 2
= BA + AM = − AB + AM = − u +
Dados los vector es u
1 1 v+ w 2 2
2, 1, 2 y w
1, 1,0 , v
0, 3,3 :
a) Prueba que son linealmente independientes. ¿Forman base de V3?
b) Escribe a = ( 8,7, −18) como combinación lineal de u , v y w . ¿Cuáles son las coordenadas de a respecto de
u , v y w ?
a) Tres vectores son linealmente independientes si el determinante formado por ellos no es nulo: 1 2 0
−1 0 −1 −2 = −3 − 6 + 6 = −3 ≠ 0 −3 3
3
Los vectores u , v y w sí forman una base de V .
λ1 + 2λ 2 = 8 b) a = λ1 (1, −1,0 ) + λ2 ( 2, −1, −2) + λ3 (0, −3,3) ⇒ −λ1 − λ2 −3 λ3 = 7 −2 λ + 3λ = −18 2 3
1 2 0 −1 −1 −3 0 −2 3
8 1 0 7 → F2 →F1 + F2 0 −18
2 1 −2
0
−3 3
8 1 0 15 → F → 2F + F −18 3 2 3 0
El sistema es compatible determinado con solución única
2 1 0
λ1 = 2, λ 2 = 3, λ3 = −4 .
Por tanto:
a
= 2u + 3v − 4w .
Las coordenadas de a respecto de la base B = {u, v ,w } serán ( 2,3, −4 ) .
162
Unidad 10|Vectores
0
−3 −3
8 15 12
3.
Dados los vector es u
1, 1,0 , v
2, 3, 1 y w
6, 7, 1 .
a) Prueba que son linealmente dependientes. ¿Son base de V3?
b) Escribe w como combinación lineal de u y v . a) Tres vectores son linealmente dependientes si el determinante formado por ellos es nulo: 1 2 6
−1 0 −3 −1 = 3 + 6 − 7 − 2 = 0 . Los vectores u , v y w no forman una base de V3. −7 −1
λ1 + 2λ 2 = 6 b) ( 6, −7, −1) = λ1 (1, −1,0) + λ2 ( 2, −3, −1) ⇒ −λ1 −3 λ2 = −7 −λ = −1 2 El sistema es compatible determinado con solución única:
= 4u + v .
Por tanto: w
4.
λ1 = 4, λ 2 = 1
Calcula los valores de a para que los vectores u
a , a,5 y v
a 7,1, a sean perpendiculares.
Dos vectores son perpendiculares cuando su producto escalar es nulo:
u ⋅v
u ⋅v
5.
= a ( a + 7 ) + a + 5a = a 2 + 7a + 6a = a 2 + 13a = a (a + 13 )
= 0 ⇒ a ( a + 13 ) = 0 ⇒ a = 0, a = −13
Dados los vector es u
2i
j
3k
,v
2i
2 j 2k y w
3i
4j
5k :
a) Calcula el producto escalar ( 2u + 3v ) ⋅ ( 3v − w ) .
b) Calcula el producto vectorial 3u × ( −2w ) .
c) Calcula el producto mixto u, v , w .
u
a)
= ( −2,1, −3 )
v
= ( −2,2,2 )
w
= ( 3,4, −5 )
( 2u + 3v ) ⋅ (3v − w ) = (−10,8,0) ⋅ (−9,2,11) = 90 + 16 = 106
i
j 3 −8
k −9 10
b) 3u × ( −2w ) = −6
−6
−2 1 − 3
c) [u,v ,w ] = −2 2 3
4
2 −5
= −42i + 114 j + 66k
= 20 + 24 + 6 + 18 + 16 − 10 = 74
Vectores | Unidad 10
163
6.
Dados los vector es u
5k , v
4i
4i
y w
3j
2i
3j
5k
, calcula:
a) La medida de la proyección de u sobre v .
b) El área del paralelogramo determinado por u y v .
c) El volumen del paralelepípedo determinado por u , v y w .
u = ( 4,0, −5 )
a) proyvu =
u ⋅v
v
=
i 4 −4
j 0 3
k −5 0
A = u × v
16 16 + 9
w
= ( −2, −3,5)
=
16 5
= 15i + 20 j + 12k
= 152 + 202 + 122 = 769 u2
4
0
c) VP = [u,v ,w ] = −4 3 −2 −3
7.
= ( −4,3,0 )
b) u × v =
v
−5 0 5
= 60 − 60 − 30 = 30 u3.
Halla las coor denadas de todo s los vecto res paralelos a u unidades de longitud.
6 , 6 , 7 y que tengan módulo igual a 33
Todos los vectores paralelos a u son de la forma ( 6λ , −6λ ,−7λ ) . Obligando a que su módulo valga 33 se tiene:
36λ 2 Si λ = 3 , entonces (18, −18, −21) . Si
164
λ = −3 , entonces ( −18,18,21) .
Unidad 10|Vectores
+ 36λ2 + 49λ2 = 33 ⇒ 121λ2 = 33 ⇒ λ2 = 9
8.
Dados los vector es u
1, 12,12 y v
8,9, 12 , calcula:
a) El ángulo que forman. b) Un vector unitario y perpendicular a ambos.
c) Las coordenadas del vector proyección de u sobre v .
u ⋅v
−8 − 108 − 144 −260 = = −0,8997 ⇒ (u ,v ) = 154º 7' 289 1 + 144 + 144 64 + 81 + 144
a) cos (u ,v ) =
u ⋅v
i 1 −8
j −12 9
k 12 −12
b) u × v =
=
= 36i − 84 j − 87k , es decir, todos los vectores ortogonales a u y a
v son de la
forma:
( 3 6λ ,−8 4λ, −8 7λ ) . Como el módulo debe ser 1, entonces: λ=
1 15921
Por tanto, existen dos vectores:
o
362 λ 2
+ 842 λ2 + 872 λ2 = 15921λ2 = 1 . Luego:
1
λ= −
15921
84 87 36 , − , − y 15921 15921 15921
36 84 , , − 15921 15921
15921 87
c) u ⋅ v = −8 − 108 −144 = −260 < 0
Por ser proyvu de la misma dirección y diferente sentido que v , será de la forma:
proyvu
= ( −8λ,9λ, −12λ ) para algún λ negativo.
Obligando a que el módulo de proyvu valga
proyvu
= 64λ 2 + 81λ2 + 144 λ2 =
260 17
El vector proyección buscado es proyv u
u ⋅v
v
260
=
⇒ 17 λ = −
64 + 81 + 144
260 17
⇒λ=−
= ,− , 289 289 289 2080
=
260 , se obtiene el valor de λ : 17
260 289
2340 3120
.
Relaciona y contesta
Elige la única respuesta correcta en cada caso 1.
Si u , v y w son tres vectores no nulos:
A. El vector u × (v × w ) se puede escribir como combinación lineal de u y de v . B. El vector u × (v × w ) se puede escribir como combinación lineal de u y de w . C. El vector u × (v × w ) se puede escribir como combinación lineal de v y de w . D. Nada de lo anterior es verdad.
La respuesta correcta es la C porque el vector u × (v × w ) es perpendicular a v × w que, a su vez, es perpendicular
a v y a w a la vez.
Por tanto, el vector u × (v × w ) es combinación lineal de v y w .
Vectores | Unidad 10
165
2.
En el paralelepípedo de la figu ra el prod ucto escalar GM J K vale:
A. 0
B. 25
C. 61
D. 72
La respuesta correcta es B.
GM
JK
2
3
1
1 4
3
3 4
1 2
= JO + OA + AE + EK = − OB + OA + OC + OB = OA + OB +OC
GM ⋅ JK
1
1
1 1 1 OC ⋅ OB − OC⋅ OC = 3 6 3
= OA ⋅ OA + OA ⋅ OB + OA ⋅ OC − OB ⋅ OA − OB ⋅ OB − OB⋅ OC − OC ⋅ OA− 2
2
= OA −
3.
= GB + BO + OA + AM = −OC −OB + OA + OC = OA − OB − OC
2
1 2 OB 2
Se sabe que u v
−
1 2 OC 3
= 62 −
1 2
1
⋅ 4 2 − ⋅ 32 = 36 − 8 − 3 = 25 3
w y que u , v y w no son nulos:
A. Los vectores u y v son perpendiculares. B. Los vectores u y w son perpendiculares.
C. Los vectores u × v y −v × u tienen diferente sentido.
D. Los vectores u × v y v × u tienen el mismo sentido.
La respuesta correcta es B. porque la dirección de w
= u × v es perpendicular a los dos vectores u y
particular es perpendicular al vector u .
Señala, en cada caso, las respuest as correct as 4.
1
Se cons ideran los vectores u A. B. C. D.
, 1,
2
2 2
y v
2 2
, 1,
1
:
2
Los vectores tienen el mismo módulo. Son ortogonales. Forman un ángulo de 60º. Llevan la misma dirección.
Las respuestas correctas son A. y C. u =
1 2 + 1+ = 2 4
(u,v ) = arccos
166
Unidad 10|Vectores
2, v =
1 2⋅ 2
2 1 + 1+ = 4 2
1 2
2 , es decir, los vectores tienen el mismo módulo.
= arccos = 60º , es decir, forman un ángulo de 60º.
v . En
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