Soluciones Taller 9 RELACIONES DE ORDEN

SOLUCIONES TALLER 9 DE FDM Ricardo A. Pastr´an 11 de junio de 2020

Sede Bogot´ a Departamento de Matem´aticas ´ 2015168-2 FUNDAMENTOS DE MATEMATICAS

1. Sea A = {a, b, c, d, e}, en cada literal defina una relaci´ on de orden en A que cumpla las condiciones dadas. Represente el orden en un diagrama de Hasse. (a) Que sea orden total con m´ınimo d. (b) Que sea orden parcial sin m´ınimo y con m´ aximo a. (c) Que tenga dos maximales. (d) Que tenga m´ınimo c y m´ aximo b. (e) Que sea un buen orden. (f) Que sea orden total con m´ aximo d y m´ınimo e. 2. Sea A = {1, 2, 3, ..., 20}, considere el conjunto ordenado (A, 4) donde a 4 b si y s´olo si a es divisor de b y el subconjunto B = {4, 6, 10, 12}. (a) Encuentre el conjunto de elementos maximales de A. (b) Encuentre el conjunto de cotas superiores de B. (c) Encuentre el conjunto de cotas inferiores de B. (d) Si existen, encuentre inf B, sup B, max B y min B. (e) ¿Existen max A y min A? En el caso que existan encu´entrelos. 3. Considere A como en el punto 2) pero ahora con el orden usual (A, ≤) y desarrolle los mismos literales a) hasta e) de 2). 4. Decida cu´ales de los siguientes enunciados son verdaderos cu´ ales son falsos. Justifique. (a) Si (A, 4) tiene m´ as de un maximal entonces (A, 4) no es orden total.

1

(b) (D30 , |) es un buen orden. (El conjunto de los divisores de 30 con el orden de la divisibilidad (c) Cualquiera sea el conjunto X, en el conjunto ordenado (℘(X), ⊆) todo subconjunto (de ℘(X)) es acotado superiormente. (d) Si (A, 4) es orden total entonces (A, 4) tiene m´ aximo. (e) Si (A, 4) tiene m´ as de un maximal entonces (A, 4) no tiene m´ aximo. (f) Todo buen orden es orden total. (g) Si (A, 4) tiene m´ınimo, ´el es el u ´nico minimal. (h) En R con el orden usual, para todo par de subconjuntos S y T se cumple que, si S es acotado superiomente y T ⊆ S, entonces T tambi´en es acotado superiormente y el conjunto de cotas superiores de T contiene al conjunto de cotas superiores de S. (i) En R con el orden usual, para todo par de subconjuntos S y T se cumple que, si S es acotado superiomente y T ( S entonces sup T < sup S. 5. En el conjunto N de los n´ umeros naturales defina, si es posible, un orden que satisfaga la condici´ on dada en cada caso. (a) Tener infinitos minimales. (b) Tener un u ´nico maximal y no tener m´ aximo (c) Tener m´ınimo y m´ aximo. 6. En cada uno de los literales a), b) y c) damos un conjunto ordenado y varios subconjuntos que llamamos B. En cada caso hallar (si es posible) el conjunto de cotas superiores de B, el conjunto de cotas inferiores de B, inf B, sup B, max B y min B. (a) En (R, ≤)

i) B = [1, 3]. iv) B = [−2, ∞)

ii) B = (−3, 1] ∪ (2, 4]

(b) En (D30 , |)

i) B = {2, 3}

v) B = Z

ii) B = {2, 5, 10}

(c) En (℘(A), ⊆) donde A = {a, b, c, d, e}. i) B = {{a}, {e}}

iii) B = Q ∩ (−2, 3] .

vi) B = N

vii) B = ∅.

iii) B = ∅.

ii) B = {{b}, {b, c}, {a, b, c}}

iii) B = {{a, c}, {b, c}, {b, e}}

7. En R2 se definen: El orden lexicogr´ afico: (a, b) 6l (c, d) si y s´ olo si se da uno de los dos siguientes casos: i) a < c o ii) a = c y b ≤ d, y el orden producto:(a, b) 6p (c, d) si y s´ olo si a ≤ c y b ≤ d. 2

´ • Soluci´ on del punto 2: RICARDO PASTRAN

• Soluci´ on del punto 1: JACKSEN J. NARVAEZ C.

3

4

• PREGUNTA: no alcanzo a ver muy bien, en la relaci´on de orden que propuso en el punto 1.a ¿esta tambi´en la pareja (b,c) o (c,b)? si no esta ninguna de esas dos parejas, entonces no es un orden total. ATT: CRISTIAN BARRETO • Soluci´ on del punto 3: JACKSEN J. NARVAEZ C.

• Soluci´ on del punto 4: JACKSEN J. NARVAEZ a.) La afirmaci´ on es verdadera. Hip´ otesis: (A, 4) tiene mas de un maximal. Conclusion: (A, 4) no es un orden total. Demostraci´ on por contradicci´ on: Sea A un conjunto, y 4 una relaci´ on de orden en A, tal que (A, 4) tiene mas de un maximal. Supongamos que (A, 4) es un conjunto totalmente ordenado, entonces se cumple que x 4 y o y 4 x, para todo x, y ∈ A. Ahora si α y β son elementos maximales de A, luego no existe x, y ∈ A, tal que α 4 x o β 4 y. Sin embargo, como α, β ∈ A luego α 4 β o β 4 α, en cualquiera de los dos casos se cumple que α y β no puede ser ambos elementos maximales, llegando a una contradicci´ on. Por lo tanto (A, 4) no es un orden total.

5

b.) La afirmaci´ on es falsa, la justificaci´ on se basa en el siguiente diagrama de Hasse donde se observa que existen subconjuntos de D30 para los cuales no existe m´ınimo, para este caso se ˜ = {3, 5, 15, 30}. escogio el subconjunto D

c.) La afirmaci´ on es verdadera. Para esto hay que demostrar que todo subconjunto de P(X) esta acotado superiormente. Demostraci´ on: Hip´ otesis: (P(X), ⊆) es un conjunto ordenado. Conclusi´ on: Todo subconjunto (de P(X) ) es acotado superiormente. Sea B ⊆ P(X) cualquiera. Por definici´on de P(X) se tiene que para todo a ∈ B, a ⊆ X. Por lo tanto como X ∈ P(X), X es una cota superior de B, es decir B esta acotado superiormente.

d.) La afirmaci´ on es Falsa. Como justificaci´on se da el siguiente contraejemplo: (N, ≤) es un orden total, sin embargo (N, ≤) no tiene m´aximo.

e.) La afirmaci´ on es Verdadera. Demostraci´ on:

Hip´ otesis:(A, 4) tiene m´ as de un maximal. Conclusi´ on:(A, 4) no tiene m´ aximo. Sea A un conjunto y 4 una relaci´ on de orden en A, tal que (A, 4) tiene m´as de un maximal. Sean a, b maximales diferentes de (A, 4), luego no existen x, y ∈ A tal que a 4 x o b 4 y. Ahora, supongamos que (A, 4) tiene m´aximo, sea este c, por lo tanto se tiene que z 4 c para todo z ∈ A, en particular como a, b ∈ A luego a 4 c y b 4 c, pero dado que a, b son maximales, luego para que se cumpla esta ultima relaci´on se debe cumplir que a = c y b = c, de donde se tiene que a = b, llegando as´ı a una contradicci´on. Por lo tanto (A, 4) no tiene m´ aximo. f.) La afirmaci´ on es verdadera. Demostraci´ on:

6

Hip´ otesis: 4 es buen orden. Conclusi´ on: 4 es orden total. Sea A un conjunto y 4 una relaci´ on de buen orden en A, luego existe min B para todo B ⊆ A, es decir que para cualquier B ⊆ A existe un a ∈ B tal que a 4 x para todo x ∈ B. Sin perdida de generalidad supongamos que C ⊆ A es un subconjunto formado por 2 elementos b y c, luego dado que 4 es buen orden se cumple que b 4 c o c 4 b pero no ambos, en cualquiera de estas situaciones se tiene por introducci´ on de la disyunci´on que b 4 c o c 4 b. Dado que C es un subconjunto cualesquiera se concluye que x 4 y o y 4 x, para todo x, y ∈ A. Por lo tanto 4 es orden total. Observaci´ on Creo que est´ as confundiendo disyunci´on con conjunci´on. Adem´as como ya tomaste B= {c, d}, ser´ıa mejor si usaras otra letra para denotar a cualquier subconjunto de A Att: Juan F. Moreno g.) La afirmaci´ on es verdadera. Demostraci´ on: Hip´ otesis: (A, 4) tiene minimo. Conclusi´ on: el minimo de (A, 4) es el u ´nico minimal. La demostraci´ on se divide en 2 partes, primero la existencia del minimal, y segundo la unicidad de este. Sea A un conjunto y 4 una relacion de orden en A tal que el conjunto (A, 4) tiene m´ınimo, llam´emoslo α, es decir que α 4 x para todo x ∈ A. Supongamos ahora que α no es minimal de (A, 4), luego existe un z ∈ A con z 6= α tal que z 4 α, pero como α es el m´ınimo, en particular se tiene que α 4 z, ahora por la propiedad antisimetrica de 4 se llega a que α = z, contradicci´ on. Por lo tanto α es minimal de (A, 4). Ahora supongamos que (A, 4) tiene 2 minimales, sean estos a, b, es decir que no existen x ∈ A con x 6= a y x 6= b tal que x 4 a o x 4 b, luego como α es el m´ınimo de (A, 4) se tiene que α 4 a y α 4 b, para que estas relaciones sean posibles se debe cumplir que α = a y α = b, entonces a = b. Por lo tanto se concluye que el minimal es u ´nico. Observaci´ on Creo que ser´ıa importante especificar en la primera parte, que si α 4 x para todo x ∈ A, en especial ocurre que α 4 z y luego ah´ı si decir que 4 es antisem´etrica para obtener que α = z. Att: Juan F. Moreno Respuesta Gracias por el comentario, pero creo que si tengo escrita esa parte:” llam´emoslo α, es decir que α 4 x para todo x ∈ A.” y posteriormente cuando menciono ”pero como α es el m´ınimo, en particular se tiene que α 4 z”, creer´ıa que ah´ı se explica lo que tu comentas. h.) La afirmaci´ on es verdadera. Demostraci´ on: Hip´ otesis: S, T ⊆ R S es acotado superiormente T ⊆S Conclusi´ on: T es acotado superiormente el conjunto de cotas superiores de T contiene al conjunto de cotas superiores de S. Sean S, T ⊆ R, tal que S es acotado superiormente, es decir existe un n ∈ R tal que x ≤ n para todo x ∈ S. Ahora, como por hip´otesis T ⊆ S, entonces si a ∈ T luego a ∈ S, y con ello 7

se tiene que a ≤ n para todo a ∈ T , por lo tanto T es acotado superiormente. Denotaremos por B ∗ (χ) al conjunto de cotas superiores de un conjunto χ. Ahora, si α ∈ B ∗ (S) luego x ≤ α para todo x ∈ S, en particular se tiene como se demostr´o anteriormente que a ≤ α para todo a ∈ T . Por lo tanto α ∈ B ∗ (T ), y con ello se concluye que B ∗ (S) ⊆ B ∗ (T ).

i.) La afirmaci´ on es Falsa. Como justificaci´on se da el siguiente contraejemplo:

Sean T, S ⊆ R definidos como sigue:T = {x ∈ R | 0 ≤ x < 1} y S = {x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 1}. Entonces se tiene que S es acotado superiormente, T ( S y sup T = 1 y sup S = 1. Por lo tanto se tiene que sup T = sup S. ¨ • Soluci´ on del punto 5: DAVID F. BAMBAGUE a). Sean x, y ∈ N y R una relaci´ on en N, definida por xRy si y solo si x = y. Veamos que (N, R) es un CPO, y para ello demostremos que la relaci´on R en N es reflexiva, antisimetrica y transitiva Reflexividad: Sea x ∈ N cualquiera. Note que se cumple que x = x, luego xRx, y como x es un elemento arbitrario de N, entonces la relaci´on es reflexiva. Antisimetria: Sean x, y ∈ N cualesquiera. Supongamos que xRy y yRx, es decir, que x = y y y = x, luego por definicion de relaci´on antisimetrica R es antisimetrica. Transitividad: Sean x, y, z ∈ N cualesquiera. Supongamos que xRy y que yRz, es decir, x = y y y = z, luego por la transitividad de la igualdad x = z, lo que significa que xRz, y por lo tanto la relaci´ on es transitixva. Demostrado el punto de que (N, R) es un CPO, note que dado cualquier x ∈ N no existe un α ∈ N tal que α ≤ x con x 6= a, pues no son comparables mediante la relacion R, asi todos los elementos de N son minimales de N. b). No es posible tener una relaci´ on de orden en los N, en la cual exista un unico maximal pero no un maximo.

Contraejemplo: La Relaci´ on  en N definida por el digrama de Hassel de arriba, tiene un unico maximal que es 1 (ya que ningun elemento de N, cubre a 1) , pero 1 no es maximo ya que en esta relacion por ejemplo 1 no es comparable con 2 luego, no es cierto que 2  1 y por lo tanto 8

1 no es maximo JUANDAVIDR c). No es posible definir una relaci´ on de orden que contenga un maximo y un minimo, pues los naturales no tienen maximo.

Contraejemplo: La Relaci´ on R en N definida por el digrama de Hassel de arriba, tiene un unico maximo, el cual es 2, y tiene un unico minimo, el cual es 1. JUANDAVIDR EJEMPLO 2 de una relacion de orden en los N que tiene maximo y minimo . DAVID FELIPE ¨ BAMBAGUE La relaci´ on de orden |(divide) en los N tiene como maximo el 0 pues para cualquier x ∈ N se tiene que x|0; y tiene como minimo a 1 pues para cualquier x ∈ N se tiene que 1|x Nota: en este ejemplo es erroneo decir que | es una relaci´on de orden en N donde 0 ∈ N, la relaci´ on | para que sea una relaci´ on de orden luego tiene que ser una relaci´on reflexiva, luego si a ∈ N entonces a|a, en particular si a=0, 0|0 lo cual no puede ser (el divisor no puede ser 0) JUANDAVIDR ´ La definici´ ANOTACION on de divisibilidad vista en clase dice: “Sean a, b ∈ N. Decimos que a divide a b si y s´ olo si existe k ∈ N tal que b = ak”. Puesto que 1 ∈ N y 0 ∗ 1 = 0, por la definici´on que se cit´ o anteriormente tenemos que 0|0. Por lo tanto, seg´ un la definici´on de divisibilidad vista en ´ clase, es correcto afirmar que 0|0. ATT: CARLOS A. GARZON. ¨ • Soluci´ on del punto 6: DAVID F. BAMBAGUE a). (R, ≤)

i). B = [1, 3] B ∗ = [3, ∞) B∗ = (−∞, 1] supB = 3 inf B = 1 maxB = 3 minB = 1

9

ii). B = (−3, 1] ∪ (2, 4] B ∗ = [4, ∞) B∗ = (−∞, −3] supB = 4 inf B = −3 maxB = 4 minB = N ohay iii). B = Q ∩ (−2, 3] B ∗ = [3, ∞) B∗ = (−∞, −2] supB = 3 inf B = −2 maxB = 3 minB = nohay iv). B = (−2, ∞) B∗ = ∅ B∗ = (−∞, −2] supB = N o hay inf B = −2 maxB = N o hay minB = N o hay v). B = Z] B∗ = ∅ B∗ = ∅ supB = N o hay inf B = N o hay maxB = N o hay minB = N o hay vi). B = N] B∗ = ∅ B∗ = (−∞, 0] supB = N o hay inf B = 0 maxB = N o hay minB = 0 Observaci´ on Como 0 ∈ / N luego B∗ = (−∞, 1], inf B = 1 y minB = 1. Observaci´ on Seg´ un el desarollo de las clases por convenci´on 0 ∈ N B). (D30 , |

i). B = {2, 3}

10

ii). B = {2, 5, 10}

´ N´ ANOTACION otese que los tres elementos de B dividen a 10, luego 10 es una cota superior de B. Esto significa que B ∗ = {10, 30}. Como 10|10 y 10|30, entonces 10 es el m´ınimo de B ∗ . Por lo ´ tanto, supB = 10. ATT: CARLOS A. GARZON c). (P(A), ⊆) A = {a, b, c, d, e} a). B = {{a}, {e}} B ∗ = {{a, e}, {a, e, b}, {a, e, c}, {a, e, d}, {a, e, b, c}, {a, e, b, d}, {a, e, c, d}, A} B∗ = supB = A inf B = ∅ maxB = N o hay 11

minB = N o hay ´ Por definici´ ANOTACION on el supremo de B es el m´ınimo de B ∗ . Es incorrecto decir que supB = A porque A no es el m´ınimo de B ∗ . En este caso, supB = {a, e}. Por otra parte, la u ´nica ´ cota inferior de B es ∅, luego B∗ = {∅}. ATT: CARLOS A. GARZON b). B = {{b}, {b, c}, {a, b, c}} B ∗ = {{a, b, c} {a, b, c, d}, {a, b, c, e}, A} B∗ = ∅, {b} supB = A inf B = ∅ maxB = {a, b, c} minB = {b} ´ B∗ denota el conjunto de las cotas inferiores de B. Es incorrecto decir que B∗ = ∅, {b} ANOTACION ´ porque ∅, {b} no es un conjunto. ATT: CARLOS A. GARZON c). B = {{a, c}, {b, c}, {b, e}} B ∗ = {{a, b, c, e}, A} B∗ = ∅ supB = A inf B = ∅ maxB = N ohay minB = N ohay ´ Al igual que en el inciso a), la u ANOTACION ´nica cota inferior de B es ∅, luego B∗ = {∅}. ATT: ´ CARLOS A. GARZON ´ El SupB, se define como la menor de las cotas superiores de B, en otras palabras es el ANOTACION m´ınimo de las cotas superiores de B, es decir de los elementos del conjunto B ∗ Veamos que {a, b, c, e} ⊆ {a, b, c, e} y {a, b, c, e} ⊆ A, entonces SupB = {a, b, c, e} ATT: Juan F. Moreno • Soluci´ on del punto 7: KEVIN N. RAMOS a). En R2 se define se define: 1. El orden lexicografico: (a, b) ≤l (c, d) si y solo si se da uno de los dos. siguientes casos: i) a < c o ii) a = c y b ≤ d. 2. El orden del producto: (a, b) ≤p (c, d) si y solo si a ≤ c y b ≤ d.. a). Pruebe que realmente ≤l y ≤p definen relaciones de orden en R2 . Propiedad reflexiva para ≤l : ∀(a, b) ∈ R2 se cumple que ((a, b), (a, b)) ∈ R2 × R2 , debido a que este par de parejas ordenadas cumple una de las propiedades lexicogr´aficas ii) a = c y b ≤ d. pues en este caso a = a satisface la propiedad a = c y b = b en especial b ≤ d como se supuso. Propiedad antisim´ etrica para ≤l : Para cualesquiera (a, b), (c, d) ∈ R2 , si tenemos de forma simultanea (a, b) ≤l (c, d) y (c, d) ≤l (a, b), en consideraci´on de la segunda condici´ on del orden lexicogr´ afico de ii) a = c y b ≤ d, sabremos que a = c tanto para (a, b) ≤l (c, d) como para (c, d) ≤l (a, b), nuevamente de la segunda condici´on del orden lexicogr´ afico tenemos b ≤ d y que d ≤ b, por lo tanto b = d, entonces la pareja ordenada 12

(a, b)satisf ace(a, b) = (c, d). Propiedad transitiva para ≤l : Para cualesquiera (a, b), (c, d), (e, f ) ∈ R2 , si tenemos que (a, b) ≤l (c, d) ≤l (e, f ), por la segunda condici´on del orden lexicogr´afico de ii) a = c y b ≤ d, para (a, b) ≤l (c, d) se sabe que a = c y para (c, d) ≤l (e, f ) tenemos que c = e, entonces a = c = e; nuevamente por la segunda condici´on del orden lexicogr´afico de ii) a = c y b ≤ d, sabemos que para (a, b) ≤l (c, d) se satisface b ≤ d y para (c, d) ≤l (e, f ) se satisface d ≤ f , por lo tanto b ≤ d ≤ f , de donde podemos concluir que b ≤ f . Como se tiene que a = e y que b ≤ f , decimos que (a, b) ≤l (e, f ). ——————————————————————————————— Propiedad reflexiva para ≤p : ∀(a, b) ∈ R2 se cumple que ((a, b), (a, b)) ∈ R2 × R2 , debido a que este par de parejas ordenadas cumple con la propiedad del orden del producto i) a ≤ c y b ≤ d, pues en este caso a ≤ a satisface la propiedad a ≤ c y en el caso de b ≤ b tambi´en se cumple con b ≤ d como se supuso. Propiedad antisim´ etrica para ≤p : Para cualesquiera (a, b), (c, d) ∈ R2 , si tenemos de forma simultanea (a, b) ≤p (c, d) y (c, d) ≤p (a, b), en consideraci´on de la propiedad del orden del producto i) a ≤ c y b ≤ d, sabremos que a ≤ c y c ≤ a, entonces a = c, de la misma forma b ≤ d y d ≤ b, entonces b = d. Como a = c y b = d, se tiene que (a, b) = (c, d). Propiedad transitiva para ≤p : Para cualesquiera (a, b), (c, d), (e, f ) ∈ R2 , si tenemos que (a, b) ≤p (c, d) ≤p (e, f ), por la propiedad del orden del producto i) a ≤ c y b ≤ d, para (a, b) ≤p (c, d) se sabe que a ≤ c y para (c, d) ≤l (e, f ) tenemos que c ≤ e, entonces a ≤ c; nuevamente por la propiedad del orden del producto i) a ≤ c y b ≤ d, sabemos que para (a, b) ≤p (c, d) se satisface b ≤ d y para (c, d) ≤l (e, f ) se satisface d ≤ f , por lo tanto b ≤ d ≤ f , de donde podemos concluir que b ≤ f . Como se tiene que a ≤ e y que b ≤ f , decimos que (a, b) ≤l (e, f ). b). Encuentre {(x, y)|(x, y) ≤l (1, 2)} y represente este conjunto en el plano cartesiano. {(x, y)|(x, y) ≤l (1, 2)} = ((−∞, 2] × (−∞, ∞))U ({2} × (−∞, 2])

13

Hay un error en los intervalos de R para el dominio, ya que debe cumplirse que en el primer caso x < 1 es decir x ∈ (−∞, 1) y en el segundo x = 1 as´ı: x ∈ {1}. As´ı mismo, creo que la gr´afica deber´ıa verse sombreada en todos los valores menores a 1 en el eje x. ATT: SOFIA CHAUSTRE c). Encuentre {(x, y)|(x, y) ≤p (1, 2)} y represente este conjunto en el plano cartesiano. {(x, y)|(x, y) ≤p (1, 2)} = ((−∞, 1] × (−∞, 2])

d). Encuentre, para el orden ≤l cada uno de los subconjuntos B dados en: 1.) el conjunto de cotas superiores de B,2.) el conjunto de cotas inferiores de B,3.) El conjunto de los elementos inf B, sup B, max B y min B (en caso de que no existan explique porque): i) B = [1, 2] × [2, 3] ii) B = [2, ∞) × (−1, 3] iii) B = (−∞, 2) × [1, 3] ———————————————————Para B = [1, 2] × [2, 3] . 1) B ∗ = ((2, ∞) × (−∞, ∞))U ([1, 2] × [3, ∞)) En el segundo conjunto el intervalo para el dominio est´a errado, veamos un contraejemplo: tome 1 ∈ [1, 2] y 3 ∈ [3, ∞) es decir suponemos que (1, 3) es cota superior de B = [1, 2] × [2, 3] por definici´on x ≤l (1, 3) para todo x ∈ B entonces tomemos (2, 3) ∈ ([1, 2] × [2, 3]) vemos que (2, 3) 6≤l (1, 3) ya que 2 6< 1 es decir no se cumple el caso 1 ni 2 = 1 para el caso dos. El ajuste que se debe hacer es dejar como intervalo el conjunto unitario del dos. Quedar´ıa: B ∗ = ((2, ∞)×(−∞, ∞))∪({2}×[3, ∞)) ATT: SOFIA CHAUSTRE 2) B∗ = ((−∞, 1) × (−∞, ∞)) ∪ ([1, 2] × (−∞, 2]) 3) supB = (1, 3)

14

inf B = (2, 2) maxB = (2, 3) minB = (1, 2) ———————————————————Para B = [2, ∞) × (−1, 3] . 1) B ∗ = [2, ∞) × [3, ∞) No puede ser porque 2 6≤ ∞ 2) B∗ = ((−∞, 2) × (−∞, ∞))U ([2, ∞) × [−1, ∞)) 3) supB = (2, 3) inf B = No tiene, esto debido a que por la primera propiedad del orden lexicogr´afico, (a, b) ≤l (c, d) se satisface si i) a < c, pero como para B∗ se tiene que (a, b) ∈ B∗ tal que a ∈ (−∞, ∞), no es posible encontrar un elemento (c, d) que sea cumpla (a, b) ≤l (c, d), a < c, ∀a, c ∈ B∗ maxB = No tiene, esto debido a que por la primera propiedad del orden lexicogr´afico, (a, b) ≤l (c, d) se satisface si i) a < c, pero como para B se tiene que (a, b) ∈ B tal que a ∈ [2, ∞), no es posible encontrar un elemento (c, d) que sea cumpla (a, b) ≤l (c, d), a < c ∀a, c ∈ B minB = No tiene, ya que en B, siempre puede encontrarse una pareja ordenada (a, b) ∈ B tal que (a, b) ≤l (c, d) ∀(c, b) ∈ B, esto es posible debido a que b ∈ (−1, 3], como b pertenece a un intervalo abierto en -1, es posible encontrar cada vez que se quiera una pareja (a, b) ∈ B tal que (a, b) ≤l (c, d) ∀(c, b) ∈ B. ———————————————————Para B = (−∞, 2) × [1, 3] . 1) B ∗ = ([2, ∞) × (−∞, ∞))U ((−∞, 2) × [3, ∞)) 2) B∗ = (−∞, 2) × (−∞, 1] 3) supB = No tiene, debido a que por la primera propiedad del orden lexicogr´afico, (a, b) ≤l (c, d), (a, b), (c, d) ∈ B ∗ se satisface si i) a < c, el elemento (2, f ) ∈ B ∗ , la satisface, puesto que c < 2 para c diferente de 2, pero por la segunda propiedad del orden lexicofr´afico, (c, d) ≤l (2, f ), (c, d), (2, f ) ∈ B ∗ si y solo si ii) 2 = c y d ≤ f , si tenemos (2, d) ≤l (2, f ), y sabemos qu para los elementos d, f ∈ (−∞, ∞), no es posible encontrar una pareja ordenada (2, f ) ∈ B ∗ , tal que d ≤ f y que por lo tanto (2, d) ≤l (2, f ). inf B = No tiene, debido a que por la primera propiedad del orden lexicogr´afico, (a, b) ≤l (c, d), (a, b), (c, d) ∈ B∗ se satisface si i) a < c, para B∗ , no es posible encontrar un elemento c ∈ (−∞, 2) que (a, b) ≤l (c, d), y pueda satisfacer a < c debido a que el intervalo (−∞, 2) es abierto, lo que garantiza que siempre ser´ a posible encontrar c que b < c, para b ∈ (−∞, 2). maxB = No tiene, esto debido a que por la primera propiedad del orden lexicogr´afico, (a, b) ≤l (c, d) se satisface si i) a < c, pero como para B se tiene que (a, b) ∈ B tal que a ∈ [2, ∞), no es posible encontrar un elemento (c, d) que sea cumpla (a, b) ≤l (c, d), a < c ∀a, c ∈ B. minB = No tiene, ya que en B, siempre puede encontrarse una pareja ordenada (a, b) ∈ B tal que (a, b) ≤l (c, d) ∀(c, b) ∈ B, esto es posible debido a que b ∈ (−1, 3], como b pertenece a un intervalo abierto en -1, es posible encontrar cada vez que se quiera una pareja (a, b) ∈ B tal que (a, b) ≤l (c, d) 15

∀(c, b) ∈ B. ———————————————————e). Encuentre, para el orden ≤P cada uno de los subconjuntos B dados en: 1.) el conjunto de cotas superiores de B,2.) el conjunto de cotas inferiores de B,3.) El conjunto de los elementos inf B, sup B, max B y min B (en caso de que no existan explique porque): i) B = [1, 2] × [2, 3] ii) B = [2, ∞) ×(1, 3] iii)( ∞, 2) × [1, 3] ———————————————————Para B = [1, 2] × [2, 3] . 1) B ∗ = ([2, ∞) × [3, ∞)) 2) B∗ = ((−∞, 1] × (−∞, 2]) 3) supB = (2, 3) inf B = (1, 2) maxB = (2, 3) minB = (1, 2) ———————————————————Para B = [2, ∞) × (−1, 3] . 1) B ∗ = ∅, ya que por la condici´ on impuesta del orden del producto (a, b) ≤p (c, d) si y solo si a ≤ c y b ≤ d, para nuestro caso, si sabemos que B = [2, ∞) × (−1, 3], no hay un conjunto de n´ umeros que contenga elementos c ∈ R, que cumplan con a ≤ c, ∀a ∈ [2, ∞), ya que si bien, podr´ıan cumplir con a = c, existir´ıa a > c, haciendo imposible que se cumpla con las condiciones a ≤ c y b ≤ d. simult´aneamente. 2) B∗ = (−∞, 2] × (−∞, −1] 3) supB = No hay porque el conjunto B ∗ es un conjunto vac´ıo. inf B = (2, 1)

´ N´ OTACION otese que (2, 1) ∈ / B∗ . Por lo tanto, inf B 6= (2, 1). En realidad inf B = (2, −1). ATT: CARLOS A. ´ GARZON. maxB = No hay porque en el conjunto B que contiene parejas ordenadas de la forma (a, b) ∈ [2, ∞) × (−1, 3] vemos que a al poder tomar valores en el intervalo [2, ∞) hace que siempre sea posible encontrar valores unos m´ as grande que otros, raz´ on por la cual, en el conjunto [2, ∞) no se presentan m´aximos. minB = No hay porque en el conjunto B que contiene parejas ordenadas de la forma (a, b) ∈ [2, ∞) × (−1, 3] vemos que b al poder tomar valores en el intervalo (−1, 3] hace que siempre sea posible encontrar valores unos m´ as peque˜ nos que otros, sin llegar al valor ”1”, raz´on por la cual, en el conjunto (−1, 3] no se presentan m´ınimos. ———————————————————Para B = (−∞, 2) × [1, 3] . 1) B ∗ = ([2, ∞) × [3, ∞)) 16

2) B∗ = ∅, ya que por la condici´ on impuesta del orden del producto (a, b) ≤p (c, d) si y solo si a ≤ c y b ≤ d, para nuestro caso, si sabemos que B = (−∞, 2) × [1, 3], no hay un conjunto de n´ umeros que contenga elementos a ∈ R, que cumplan con a < c o a = c y de paso con b ≤ d, ∀c ∈ (−∞, 2), ya que si bien, podr´ıan cumplir con a = c, existir´ıa siempre c < a, haciendo imposible que se cumpla con las condiciones a ≤ c y b ≤ d. simult´ aneamente. 3) supB = (2, 3) inf B = No hay porque el conjunto B∗ es un conjunto vacio. maxB = No hay porque en el conjunto B que contiene parejas ordenadas de la forma (a, b) ∈ (−∞, 2) × [1, 3] vemos que a al poder tomar valores en el intervalo (−∞, 2) hace que siempre sea posible encontrar valores unos m´ as grande que otros sin llegar a tomar el valor de ”2” debido a que el intervalo es abierto en 2, raz´ on por la cual, en el conjunto (−∞, 2) no se presentan m´aximos.

minB = No hay porque en el conjunto B que contiene parejas ordenadas de la forma (a, b) ∈ (−∞, 2) × [1, 3] vemos que b al poder tomar valores en el intervalo [−1, 3] hace que sea posible encontrar un valor a = 1 para el que se cumple con b ≤ d,∀d ∈ [1, 3], pero a su vez no es posible encontrar un valor a ∈ (−∞, 2) que cumpla con a ≤ c, ∀c ∈ (−∞, 2), debido a que el conjunto (−∞, 2), se extiende hasta el menos infinito, siempre tendremos un valor c < a haciendo imposible encontrar un m´ınimo.

17

• Ejercicios 7.4 Bloch 7.4.1 Soluci´ on: JACKSEN J. NARVAEZ C. ¿Es cada una de las relaciones dadas en el punto 5.1.3 antisim´etrica, un orden parcial y/o un orden total? Sea A = {1, 2, 3} ¯ = {(3, 3), (2, 2), (1, 2), (2, 1)}. 1.) M ¯ 2 y 2M ¯ 1 pero a 6= b. Adem´as, M ¯ carece de las La relaci´ on no es antisim´etrica, pues 1M ¯ , y transitiva, ya que (1, 2) y (2, 1) ∈ M ¯ pero propiedades: reflexiva, dado que (1, 1) ∈ /M ¯ , por tanto se ve claramente que M ¯ no es un orden. (1, 1) ∈ /M ¯ = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2)}. 2.) N ¯ b y bN ¯ a luego a = b, para todo a, b ∈ A. La relaci´ on es antisim´etrica, pues cumple que si aN Y adem´ as es un orden, pues como se puede verificar cumple con la propiedad reflexiva, ¯ ) es un POSET. En este caso N ¯ no es un TOSET antisim´etrica y transitiva, luego (A, N ¯ pues (2, 3) o (3, 2) ∈ / N. ¯ = {(1, 1), (2, 2), (1, 2)}. La relaci´on es antisim´etrica, pues cumple que si aOb ¯ y bOa ¯ luego 3.) O a = b, para todo a, b ∈ A. Pero no es un orden, pues carece de la propiedad reflexiva, ya ¯ que (3, 3) ∈ / O. 4.) P¯ = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}. ¯ y bOa ¯ luego a = b, para todo a, b ∈ A. La relaci´ on es antisim´etrica, pues cumple que si aOb Adem´ as la relaci´ on cuenta con las propiedades reflexiva y transitiva, por lo tanto es un orden, luego (A, P¯ ) es un POSET, pero este no es un TOSET, pues para cualesquiera elementos a, b ∈ A con a 6= b no se cumple que aP¯ b o bP¯ a. ¯ = {(1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (1, 1)}. 5.) Q ¯ y 2Q ¯ pero 1 6= 2, tambi´en 1Q3 ¯ y 3Q1 ¯ pero 1 6= 3. La relaci´ on no es antisim´etrica, pues 1Q2 ¯ Por tanto Q no es un orden. ¯ = {(1, 2), (2, 3), (3, 1)}. 6.) R ¯ y bOa ¯ luego a = b, para todo a, b ∈ A. La relaci´ on es antisim´etrica, pues cumple que si aOb ¯ no es un orden pues carece de las propiedades: reflexiva ya que (1, 1), (2, 2), (3, 3) ∈ Pero R / ¯ transitiva ya que (1, 2) y (2, 3) ∈ R ¯ pero (3, 1) ∈ ¯ R, / R. 7.) T¯ = {(1, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 3), (1, 3)}. ¯ y bOa ¯ luego a = b, para todo a, b ∈ A. La relaci´ on es antisim´etrica, pues cumple que si aOb Adem´ as la relaci´ on cuenta con las propiedades reflexiva y transitiva, por lo tanto es un orden, luego (A, T¯) es un POSET. Como para todo a, b ∈ A se cumple aT¯b o bT¯a, luego (A, T¯) es un TOSET. ¨ 7.4.2. Soluci´ on: DAVID F. BAMBAGUE ¿Cada una de las siguientes relaciones es antisim´etrica, un ordenamiento parcial y / o un ordenamiento total? a). Sea F el conjunto de personas en Francia, y sea M la relaci´on sobre F definida por xM y si y solo si x come m´ as queso anualmente que y, para todo x ∈ F . Soluci´ on: antisimetria: Sean x, y ∈ F cualesquiera. Supongamos que xRy y que yRx, lo que significa que x come m´ as queso anualmente que y, y que y come m´as queso anualmente que x. Note que x e y no pueden comer mas queso juntos al tiempo, es decir, o x come mas queso o y come mas queso, pero no ambos, por lo que x = y y la relaci´on es antisimetrica. Note que la relacion xRx y xRx (valga la redundancia) que se obtine al hacer x = y es valida pues el antecedente nunca se da, es decir, x no puede ser mas alto que el mismo, por lo que la implicaci´ on es verdadera.

18

La reaci´ on no es un POSET, pues la relacion no es reflexiva, es decir, que para todo x ∈ F no se tiene que xRx, o lo que es lo mismo, x no puede ser mas alto que si mismo. b). Sea W el conjunto de todas las personas que han vivido y vivir´an, y sea A la relaci´on en W definida por xAy si y solo si y es un antepasado de x o si y = x para todo x, y ∈ W Antisimetria: Sean x, y ∈ W cualesquiera. Supongamos que xAy y yRx, es decir, y es un antepasado de x, y si x es un antepasado de y, o x = y, sin embargo note que las dos relaciones no se pueden dar al tiempo, o lo que es lo mismo, y es un antepasado de x o x es un antepasado de y, as´ı para que ambas se cumplan debe pasar que x = y, por lo tanto A es antisimetrica. La relaci´ on no es un POSET, pues la relaci´on no es reflexiva, es decir, que para ningun x ∈ W se cumple que x es antepasado de si mismo. Observaci´ on Es cierto que para un elemento cualquiera x ∈ W no es antepasado de si mismo, pero no se tuvo en cuenta que la relaci´ on es xAy si y s´olo si y es un antepasado de x, o y=x, como x = x, podemos afirmar que xAx y que A es reflexiva en W ATT: Juan F. Moreno c). Sea T el conjunto de todos los tri´angulos en el plano, y sea L la relaci´on en T definida por xLy si y solo si x tiene un ´ area menor o igual a y, para todos los tri´angulos x, y ∈ T . Soluci´ on: antisimetria: Sean x, y ∈ T cualesquiera. Supongamos que xLy y LRx, es decir, x tiene un ´ area menor o igual a y, y y tiene un ´area menor o igual a x, lo que podemos escribir como, x tiene un ´ area menor a y o x tiene un ´area o igual a y, y, y tiene un ´area menor a y o y tiene igual area a y. Note que solo se cumplen ambas si xtieneunareaigualay, asi, la relaci´ on es antisimetrica. Veamos que la relaci´ on L es una relaci´on de orden, por lo que probaremos que la relaci´on es reflexiva, transitiva, y atisimetrica, esta ultima ya fue probada anteriormente. Reflexividad: Sea x ∈ T cualquiera. Note que x tiene mayor o igual area que si mismo, en particular x tiene la misma area que si mismo, asi x esta relacionado mediante L con sigu mismo, y por lo tanto al la relacion L es reflexiva. Transividad: Sean x, y, z ∈ T cualesquiera. Supongamos que xLy y que yLz, es decir, x tiene un ´ area menor o igual a y y y tiene un ´area menor o igual a z. Note que tambien es cierto que x tiene un ´ area menor o igual a z, por lo que xLZ y por lo tanto la relaci´on es transitiva Como L es una relacion de orden en T , entonces (T, L) es un POSET. Note que todos los elementos de T son comparables mediante la relacion L pues todos los triangulos tienen area, asi la relacion es un TOSET. 7.4.3. Soluci´ on: JACKSEN J. NARVAEZ C. Sea A ⊂ N un subconjunto, y 4 la relaci´on sobre A definida por a 4 b si y solo si b = ak para algun k ∈ N, para todo a, b ∈ A. Probar que (A, 4) es un poset. ¿Es (A, 4) un conjunto totalmente ordenado?. Demostraci´ on: Hipotesis: A ⊂ N. 4 es la relaci´ on sobre A definida por a 4 b si y solo si b = ak , para alg´ un k ∈ N, para todo a, b ∈ A. Conclusi´ on: (A, 4) es un poset. Para demostrar que (A, 4) es un poset hay que probar que 4 es una relaci´on de orden, es decir 4 es reflexiva, antisim´etrica y transitiva. 19

Reflexividad: Sea x ∈ A, entonces se tiene que x = x1 , y como 1 ∈ N luego x 4 x, para todo x ∈ A. Antisim´ etria: Sean x, y ∈ A. Supongamos que x 4 y y y 4 x, esto es y = xk y x = y l , para alg´ un x, l ∈ N, luego desarrollando las siguientes expresiones algebraicas y = xk Reemplazando el valor de x k

y = (y l )

Aplicando propiedades de potenciaci´on y = y kl y esto solo se cumple si xl = 1, luego x = 1 y l = 1, con lo cual se tiene que y = x. Transitividad: Sean x, y, z ∈ A. Supongamos que x 4 y y y 4 z, esto es y = xk y z = y l con k, l ∈ N. Entonces aplicando procedimientos algebraicos similares a los del anterior paso se tiene que z = xkl , ahora por cerradura de la multiplicaci´on en N se tiene que x 4 z. En general se tiene que el conjunto (A, 4) no es totalmente ordenado. Veamos dos ejemplos en los cuales se cumple que el conjunto es un POSET y un TOSET respectivamente: A = {1, 2, 4, 8}, como se puede verificar 1 no se relaciona con ning´ un otro elemento diferente de el mismo en el conjunto A. B = {2, 4, 16}, ya que 2 4 4, 2 4 16, 4 4 16. 7.4.4. Soluci´ on: JACKSEN J. NARVAEZ C. Dibujar el diagrama de Hasse para cada uno de los siguientes POSETs. El conjunto A = {1, 2, 3, . . . , 15}, y la relaci´on a | b. El conjunto B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}, y la relaci´on a | b. El conjunto B = {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64}, y la relaci´on a | b. El conjunto B = {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64}, y la relaci´on 4 definido por a 4 b si y solo si b = ak para algun k ∈ N, para todo a, b ∈ C. 5.) El conjunto P({1, 2, 3}), y la relaci´on ⊆.

1.) 2.) 3.) 4.)

20

21

Y 7.4.5. Soluci´ on: DAVID F. BAMBAGUE. a). D´e un ejemplo de una relaci´ on en R que sea transitiva y antisim´etrica pero que no sea sim´etrica ni reflexiva. Solucion: Sea R una relaci´ on en R difinida por xRy si y solo si x < y. Antisimetria: Note que la relaci´on es antisimetrica, es decir, si xRy y yRx entonces x = y, lo que es verdadero por que el antecedente de la relaci´on es falso pues no puede ser que x < y y que y < x por la tricotimia, por lo que la proposicion es verdadera. Transitividad: Note que la relacion es transitiva, pues dados x, y, z ∈ R cualesquiera, se tien que si x < y y y < z, entonces x < z. Simetria y reflexividad: Note que la relaci´on no es sim´etrica pues si x < y no puede ser que y < x; de igual manera x < x no se puede dar, ambos por tricotom´ıa. b). Sea A un conjunto no vac´ıo y sea R una relaci´on sobre A. Suponga que R es sim´etrico y antisim´etrico. Demuestre que cada elemento de A est´a relacionado a lo m´as consigo mismo. Demostraci´ on: hip´ otesis: R es una relaci´ on sim´etrica y anti-sim´etrica conclusi´ on: R es reflexiva. Sean x, y ∈ A cualesquiera. supongamos que R es una relaci´on sim´etrica, asi si xRy entonces yRx, adem´ as supongamos que R es antisim´etrica, luego si xRy y yRx entonces x = y, por lo que la relaci´ on xRy es ahora xRx, lo que significa que R reflexiva. 22

7.4.6. Soluci´ on: KEVIN N. RAMOS. a). Demuestre que si un POSET tiene un elemento m´as grande en comparaci´on de los dem´as, entonces el elemento m´ as grande es u ´nico, y si un POSET tiene un elemento m´ınimo, entonces el elemento m´ınimo es u ´nico. ´ DEMOSTRACION: * Un POSET (A, 4) que tiene un elemento m´as grande en comparaci´on a los dem´as cumple que ∃a, tal que x 4 a ∀x ∈ A, supongamos que el elemento que es m´as grande a los dem´as no es u ´nico, entonces deben existir a, b ∈ A los cuales son elementos m´as grandes en comparaci´on de los dem´ as, por lo tanto ambos satisfacen la misma propiedad: 1.) a ∈ A cumple con x 4 a ∀x ∈ A 2.) b ∈ A cumple con x 4 b ∀x ∈ A Para la primera propiedad si x 4 a ∀x ∈ A, y sabemos que b ∈ A, entonces b 4 a. Para la segunda propiedad si x 4 b ∀x ∈ A, y sabemos que a ∈ A, entonces a 4 b. Como la relaci´ on 4 es antisim´etrica, entonces tenemos que: * ( ((b 4 a) ∧ (a 4 b)) −→ (a = b) ) Como se parti´ o de que a es diferente de b y se lleg´o a que a = b, entonces es falso que existen dos elementos m´ as grandes en comparaci´on de otros en A, por lo tanto, si existe un elemento m´ as grande que todos los dem´ as este es u ´nico. * Un POSET (A, 4) que tiene un elemento m´as peque˜ no en comparaci´on a los dem´as cumple que ∃a, tal que a 4 x ∀x ∈ A, supongamos que el elemento que es m´as peque˜ no a los dem´as no es u ´nico, entonces deben existir a, b ∈ A los cuales son elementos m´as peque˜ nos en comparaci´ on de los dem´ as, por lo tanto ambos satisfacen la misma propiedad: 1.) a ∈ A cumple con a 4 x ∀x ∈ A. 2.) b ∈ A cumple con b 4 x ∀x ∈ A. Para la primera propiedad si a 4 x ∀x ∈ A, y sabemos que b ∈ A, entonces a 4 b. Para la segunda propiedad si b 4 x ∀x ∈ A, y sabemos que a ∈ A, entonces b 4 a. Como la relaci´ on 4 es antisim´etrica, entonces tenemos que: * ( ((a 4 b) ∧ (b 4 a)) −→ (a = b) ) Como se parti´ o de que a es diferente de b y se lleg´o a que a = b, entonces es falso que existen dos elementos m´ as peque˜ nos en comparaci´on de otros en A, por lo tanto, si existe un elemento m´ as peque˜ no que todos los dem´ as este es u ´nico. b). Encuentre un ejemplo de un POSET que tenga un elemento menor y un elemento mayor, un ejemplo que tenga un elemento menor pero no un elemento mayor, un ejemplo que tenga un elemento mayor pero no un elemento menor y por u ´ltimo un ejemplo en el que no tenga ninguno. (R, ≤) Es un POSET, ya que ≤ es reflexiva, a ≤ a para todo a ∈ R, ≤ es antisim´etrica, si a, b ∈ R se cumple que ((a ≤ b) ∧ (b ≤ a)) −→ (a = b)), es transitiva, si a, b, c ∈ R se cumple 23

que (a ≤ b) ∧ (b ≤ c) −→ (a ≤ c). Si (R, ≤) Es un POSET, si B ⊆ R, entonces (B, ≤) es tambi´en un POSET. Los siguientes conjuntos en considerarse son subconjuntos de R, entonces junto a la relaci´on ≤, dichos subconjuntos son POSET. 1.) Un POSET que tenga un elemento mayor y un elemento menor: (A, ≤), donde A = [1, 2]. 2.) Un POSET que tenga un elemento menor pero no un elemento mayor: (A, ≤), donde A = [1, 2). 3.) Un POSET que tenga uun elemento mayor pero no un elemento menor: (A, ≤), donde A = (1, 2]. 4.) Un POSET que no tenga elemento mayor ni elemento menor: (A, ≤), donde A = (1, 2). 7.4.7. Soluci´ on: KEVIN N. RAMOS. a). Demuestre que el elemento m´ as grande de un POSET es un elemento maximal, y que el elemento m´ as peque˜ no de un POSET es un elemento minimal. 1.) Sea (A, 4) un POSET con un elemento que es m´as grande que los dem´as a, dicho elemento satisface que: a ∈ A cumple con x 4 a ∀x ∈ A. Un elemento maximal β es aquel el cual cumple con que no existe x ∈ A tal que β 4 x y β 6= x, si suponemos que a a pesar de ser el elemento m´as grande del POSET A, este no es un elemento maximal, entonces existe x ∈ A tal que a 4 x y a 6= x; como sabemos, el elemento a al ser un m´ aximo cumple con que ∀x ∈ A, x 4 a. Como la relaci´ on 4 es una relaci´ on de orden, esta cumple con ser antisim´etrica, entonces si consideramos (a 4 x) ∧ (x 4 a), se tiene que (a = x), pero como se empez´o suponiendo que existe x ∈ A tal que a 4 x y a 6= x, tenemos ((a = x) ∧ (a 6= x)), como se lleg´o a una contradicci´ on, es falso que a no es un elemento maximal, por lo que es posible concluir que a ∈ A, es un elemento maximal. 2.) Sea (A, 4) un POSET con un elemento que es m´as peque˜ no que los dem´as a, dicho elemento satisface que: a ∈ A cumple con a 4 x ∀x ∈ A. Un elemento mminimal β es aquel el cual cumple con que no existe x ∈ A tal que x 4 β y β 6= x, si suponemos que a a pesar de ser el elemento m´as peque˜ no del POSET A, este no es un elemento minimal, entonces existe x ∈ A tal que x 4 a y a 6= x; como sabemos, el elemento a al ser un m´ınimo cumple con que ∀x ∈ A, a 4 x. Como la relaci´ on 4 es una relaci´ on de orden, esta cumple con ser antisim´etrica, entonces si consideramos (x 4 a) ∧ (a 4 x), se tiene que (a = x), pero como se empez´o suponiendo que 24

existe x ∈ A tal que x 4 a y a 6= x, tenemos ((a = x) ∧ (a 6= x)), como se lleg´o a una contradicci´ on, es falso que a no es un elemento minimal, por lo que es posible concluir que a ∈ A, es un elemento minimal. 7.4.8. Soluci´ on: JACKSEN J. NARVAEZ C. Sea (A, 4) un POSET, y sea B ⊆ A un subconjunto. La relaci´on 4 es definida por un subconjunto ¯ ⊆ A × A. Luego R ¯ ∩ B × B define una relaci´on sobre B, la cual puede ser pensada como la R restricci´ on de 4 a B; por conveniencia, para no generar confusi´on, tambi´en se denotara esta relaci´on e Probar que (B, 4) e es un POSET. sobre B por 4. Hip´ otesis: (A, 4) es un POSET. B ⊆ A. e es un POSET. Conclusi´ on: (B, 4) e es un POSET, hay que probar que 4 e es una relaci´on de orden en B, es Para demostrar que (B, 4) decir, es reflexiva, antisim´etrica y transitiva. ¯ es un orden, luego cumple con la Reflexividad:Sea x ∈ B ⊆ A. Por hip´ otesis se tiene que R ¯ propiedad reflexiva, es decir aRa para todo a ∈ A, ahora como B ⊆ A, en particular se tiene que ¯ para todo x ∈ B. Entonces como (x, x) ∈ B × B y (x, x) ∈ R, ¯ luego (x, x) ∈ R ¯ ∩ B × B, es xRx e e decir x4x para todo x ∈ B. Por lo tanto 4 es reflexiva. ¯ ∩ B × B, e y y 4x, e esto es (x, y), (y, x) ∈ R Antisim´ etrica: Sean x, y ∈ B. Supongamos que x4y ¯ ¯ luego (x, y), (y, x) ∈ R. Como por hip´ otesis R es un orden , luego es antisim´etrica, y por tanto se tiene que x = y. ¯ ∩ B × B, luego e y y 4z, e esto es (x, y), (y, z) ∈ R Transitiva: Sean x, y, z ∈ B. Supongamos que x4y ¯ ¯ (x, y), (y, z) ∈ R. Como por hip´ otesis R es un orden, luego es transitiva, con lo cual se tiene que ¯ ahora como (x, z) ∈ R ¯ y (x, z) ∈ B × B, entonces (x, y) ∈ R ¯ ∩ B × B, es decir x4z. e Por lo xRz, e tanto 4 es transitiva. 7.4.10. Soluci´ on: KEVIN N. RAMOS. a). Sea A un conjunto no-vac´ıo, y R una relaci´on sobre A. La relaci´on R que satisface ser casiorden si esta relaci´ on es reflexiva y transitiva. Suponga que R es una relaci´ on casi-ordenada. Sea ∼ una relaci´on sobre A definida por x ∼ y si y solo si xRy y yRx, para todo x, y ∈ A. 1.) Pruebe que es una relaci´ on de equivalencia. Propiedad reflexiva para ∼: Debido a que la relaci´on R es reflexiva, cumple con que ∀a ∈ A, aRa. Si consideramos ((xRy) ∧ (yRx) ) −→ (x ∼ y), entonces ((aRa) ∧ (aRa) ) −→ (a ∼ a), ∀a ∈ A, por lo tanto, ∼ es reflexiva. Propiedad sim´ etrica para ∼: Para x, y ∈ A, si se considera la siguiente propiedad: * ((xRy) ∧ (yRx) ) −→ (x ∼ y) Tambi´en tenemos que las siguiente propiedad es posible gracias a las propiedades de el conector ∧:

25

* ((yRx) ∧ (xRy) ) −→ (y ∼ x) Por lo tanto, haciendo uso de la doble implicaci´on. * (x ∼ y) −→ ((xRy) ∧ (yRx) ) −→ ((yRx) ∧ (xRy) ) −→ (y ∼ x). Haciendo uso de la regla de inferencia conocida como el silogismo hipot´etico, finalmente tenemos: * (x ∼ y) −→ (y ∼ x), entonces, ∼ es sim´etrica. Propiedad transitiva para ∼: Para x, y, z ∈ A, si tenemos que (x ∼ y) ∧ (y ∼ z) y considera las siguientes propiedades, dada por el uso de la doble implicaci´on de la hip´otesis a probar: * (x ∼ y) −→ ((xRy) ∧ (yRx)) * (y ∼ z) −→ ((yRz) ∧ (zRy)) Para x, y, z ∈ A, si (x ∼ y) y (y ∼ z), se tiene ((xRy) ∧ (yRx)) y ((yRz) ∧ (zRy)), en particular es posible considerar xRy ∧ yRz y .zRy ∧ yRx Como la relaci´ on R es transitiva, de xRy ∧ yRz y zRy ∧ yRx, tenemos: * ((xRy) ∧ (yRz) −→ (xRz)) * ((zRy) ∧ (yRx) −→ (zRx)) Debido al uso de las propiedades anteriores, si tenemos (xRz) y (zRx), consideremos la relaci´on casi-ordenada: ((xRz) ∧ (zRx) ) −→ (x ∼ z) Debido a que se parti´ o de suponer (x ∼ y)∧(y ∼ z) y de aqu´ı se lleg´o a (x ∼ z), ∼ es transitiva. 2.) Sea x, y, a, b ∈ A. Pruebe que si xRy, y x ∼ a, y y ∼ b, entonces aRb. Debido a que en nuestra hip´ otesis tenemos que ((xRy) ∧ (x ∼ a) ∧ (y ∼ b)) −→ (aRb), consideremos la siguiente enumeraci´ on compuesta por todos los elementos que hacen parte del antecedente de la proposici´ on: (1) (xRy) (2) (x ∼ a) (3) (y ∼ b) Seg´ un la relaci´ on del casi-orden, ((xRy) ∧ (yRx) ) s´ı y s´olo si (x ∼ y), por lo tanto es v´alido expresar las premisas de la siguiente forma: (1) (xRy) (2) (x ∼ a) −→ ((xRa) ∧ (aRx) ) (3) (y ∼ b) −→ ((yRb) ∧ (bRy) ) De (2) y (3), obtenemos las proposiciones:

26

(4) (aRx) (5) (yRb) Con (1) y (5), tenemos la proposici´ on compuesta ((xRy) ∧ (yRb)), como R es transitiva, podemos obtener la siguiente proposici´ on: (6) (xRb) Con (4) y (6), tenemos la proposici´ on compuesta ((aRx) ∧ (xRb)), como R es transitiva, podemos obtener la siguiente proposici´ on: (7) (aRb) Por lo tanto, ((xRy) ∧ (x ∼ a) ∧ (y ∼ b))) −→ (aRb), como se buscaba probar. 3.) Sea S la relaci´ on sobre (A/ ∼) definida por [x]S[y] s´ı y solo s´ı xRy. Pruebe que S es bien definida. ´ NO SE ´ QUE ´ ES UNA RELACION ´ BIEN DEFINIDA —————————————————– AUN :v 4.) Pruebe que (A/ ∼, S) es un POSET. Propiedad reflexiva para S: Para a ∈ A, si se sabe que la relaci´on R es reflexiva, se tendr´ıa que aRa ∀a ∈ A, y como [x]S[y] s´ı y solo s´ı xRy, es posible considerar que si tenemos aRa, entonces [a]S[a] ∀[a] ∈ (A/ ∼). Luego S es una relaci´on reflexiva. Propiedad antisim´ etrica para S: Para x, y ∈ A y [x], [y] ∈ (A/ ∼), si se considera: 1.) ([x]S[y]) ∧ ([y]S[x]) Tenemos por separado que seg´ un la propiedad [x]S[y] s´ı y solo s´ı xRy, nos es posible podemos obtener: 2.) ([x]S[y]) −→ (xRy) 3.) ([y]S[x]) −→ (yRx) De donde obtenemos (xRy) y (yRx). Como ∼ representa una relaci´on de equivalencia sobre A tal que x ∼ y si y solo si xRy y yRx, para todo x, y ∈ A, podemos utilizar la doble implicaci´on para decir que: 4.) ((xRy) ∧ (yRx)) −→ (x ∼ y) Como ∼ representa una relaci´ on de equivalencia sobre A tenemos que para x, y ∈ A se cumple que [x] = [y] si y solo si (x ∼ y). Entonces de (x ∼ y) se obtiene [x] = [y]. Como se supuso que (([x]S[y]) ∧ ([y]S[x])) y se lleg´o a [x] = [y], S es antisim´etrica. Propiedad transitiva para S: Para x, y, z ∈ A y [x], [y], [z] ∈ (A/ ∼), si se tiene: 1.) ([x]S[y]) ∧ ([y]S[z])

27

Tenemos por separado que seg´ un la propiedad [x]S[y] s´ı y solo s´ı xRy, nos es posible podemos obtener: 2.) ([x]S[y]) −→ (xRy) 3.) ([y]S[z]) −→ (yRz) De donde obtenemos (xRy) y (yRz). Como R es una relaci´on transitiva, se concluye que: 4.) ((xRy) ∧ (yRz)) −→ (xRz) Debido a que [x]S[y] s´ı y solo s´ı xRy, y tenemos que (xRz), entonces [x]S[z]. Como se supuso que (([x]S[y]) ∧ ([y]S[z])) y se lleg´o a [x] = [z], S es transitiva. 7.4.11. Soluci´ on: JUAN DAVID R

28

29

30

Nota: t.q. es una forma r´ apida de decir ”tal que”.

31