Soluciones Problema 13

ULA. Maestría en E y A de la Física. Mecánica . Problema 2.1

La partícula de 0,5 lb es guiada a través de una trayectoria circular usando el brazo guía ranurado. Si el brazo tiene una velocidad angular de Ө´ = 4rad/s Y una aceleración angular de Ӫ = 8rad/s2, cuando Ө = 30°, calcule la fuerza de la guía sobre la partícula. El movimiento ocurre en el plano horizontal

Elaboremos un diagrama vectorial para el desplazamiento de la partícula

r 5 Ө 5

Nótese que la distancia variable (r) de la partícula respecto al eje de rotación es la suma de la distancia fija de 0,5 ft del centro de rotación al centro de la semicircunferencia (ranura) más el radio 0,5 ft. Aunque ambos son de magnitud fija, varia el ángulo Ө. Por tanto r = f(Ө)

Ahora establezcamos el diagrama de fuerzas sobre la partícula

F r Ө N

Preparado por : José L Vásquez

El borde de la ranura ejerce una fuerza normal sobre la partícula, colineal al radio de la ranura y formando un ángulo Ө con el vector posición r

ULA. Maestría en E y A de la Física. Mecánica . Expresemos r en función de Ө r = 0,5cosӨ + 0,5cosӨ = cosӨ parciales

; r es la suma de las proyecciones de las dos distancias

Encontremos las velocidades y aceleraciones radiales r´= -senӨ (Ө´)

; derivando r

r´´ = -cos(Ө) Ө´2 –sen(Ө) Ө´´

; volviendo a derivar

Aplicando condiciones iniciales: r= cos 30 = 0,86 ft

; posición para el instante especificado

r´= -sen 30 * 4 ft/s = - 2 ft /s

; velocidad para el instante especificado

r´´ = -cos 30 *(4ft/s)2 – sen 30* 8 ft/s2 = -17,856 ft/s2

; aceleración para el instante especificado

Transformando coordenadas Recordando que en coordenadas cilíndricas: ar = r´´ - r Ө´2

aӨ = r Ө´´+ 2 r´Ө´

az = z´´

Entonces: ar = r´´ - r Ө´2 = -17,856 – 0,866 (4 )2 = -31,713 ft/s2 aӨ = r Ө´´+ 2 r´Ө´ = 0,866(8) + 2(-2)(4) = -9,072 ft/s2 Aplicación de 2da ley del movimiento En dirección r, la fuerza presente es la componente N en esa dirección (NcosӨ) ΣFr = mar => - N cosӨ = (0,5 / 32,2) (31,713) => N = 0,5686 lb ; En dirección Ө , la fuerzas presentes son la componente NsenӨ y F (la ejercida por la guía) ΣFӨ = maӨ -> F - 0,5686 SenӨ = (0,5 /32,2) (-9,072) -> F = 0,143 lb

Preparado por : José L Vásquez