Soluciones Examen Olimpiadas OPMAT La Paz

 

Categor´ ıa   β 

la casilla extrema con el lado que contiene a los n´ umeros umeros 10, 12 y 14, tenemos dos posibilidades. Si el n´ u umero mero de la casilla extrema es 14, entonces en el lado en cuesti´o on n tendr´ıamos ıamos los n´ u umeros meros 11,13 y 14 que no suman 36, pero si el n´ u umero mero en el extremo es 12, el lado en cuesti´on on ten tendr´ dr´ıa ıa los n´ umeros umeros 11, 13 y 12 que suma 36. b ) Si una cas casil illa la cont contie iene ne al 10 y la otra al 12 12,, la suma de los n´ u umeros meros de las casillas del lado ser´ ser´ıa 37. Si este es el caso el 15 debe estar, como en el caso anterior, anterior, en la casil casilla la central, pues si estuvi estuvieera en los extremos, la suma de las casillas de los n´ umeros umeros en los otros lados ser´ ser´ıa may mayor or a 37. El otro lado que contiene a 10 en una de sus casillas extremas, para sumar 37 que es un n´ u umero mero impar debe tener en sus casillas un n´ umero umero par y uno impar, es decir 13 y 14 o 11 y 14, esta segunda opci´on on se descarta por que no suma 37. En el tercer lado que contiene a 12 en una de sus casillas extremas, para sumar 37 debe tener igualmente en sus casillas un n´ umero umero par y uno impar, como comparten la casilla extrema con el lado que contiene a los n´ u umeros meros 10, 13 y 14, tenemos dos posibilidades. Si el n´ u umero mero de la casilla extrema es 13, entonces en el lado en cuesti´on on te tend ndr´ r´ııamos a mos los n´ u umeros meros 12,11 y 13 que no suman 37, pero si el n´ u umero mero en el extremo es 14, el lado en cuesti´on on ten tendr´ dr´ıa ıa los n´ umeros umeros 12, 11 y 14 que suma 37. c ) Si una cas casilla illa con contien tienee al 10 y la otr otra a al 13, la suma de los n´ u umeros meros de las casillas del llado ado ser´ıa ıa 38. Si este es el caso el 10 debe estar en la casilla central, pues si estuviera en alguna casilla extrema, la suma de las casillas de los n´ umeros umeros en el otro lado que lo contiene ser ser´ ´ıa menor a 38. El otro lado que contiene a 15 en una de sus casillas extremas, para sumar 38 que es un n´ u umero mero par debe tener en sus casillas un n´ u umero mero par y uno impar, es decir 11 y 12 o 11 y 14, esta segunda opci´on on se descarta por que no suma 38. En el tercer lado que contiene a 13 en una de sus casillas extremas, para sumar 38 debe tener igualmente en sus casillas un n´u umero mero par y uno impar, como comparten la casilla extrema con el lado que contiene a los n´ u umeros meros 11, 12 y 15, tenemos dos posibilidades. Si el n´ u umero mero de la casilla extrema es 12, entonces en el lado en cuesti´ o on n tendr´ıamos ıamos los n´ u umeros meros 12,14 y 13 que no suman 38, pero si el n´ u umero mero en el extremo es 11, el lado en cuesti´on on tendr´ıa ıa los n´ u umeros meros 11, 14 y 13 que suma 38. d ) Si una casilla contiene al 10 y la otra al 14, la suma de los n´ u umeros meros de las casillas del lado ser´ ser´ıa 39. Si este es el caso, como en el caso anterior, el 10 debe estar en la casilla central, pues si estuviera en alguna casilla extrema, la suma de las casillas de los n´ u umeros meros en el otro lado que lo contiene ser´ıa ıa menor a 39. El otro lado que contiene a 15 en una de sus casillas extremas, para sumar 39 que es un n´ u umero mero impar debe tener en ambas casillas un n´ u umero mero impar, es decir 11 y 13. En el tercer lado que contiene a 14 en una de sus casillas extremas, para sumar 39 debe tener en sus casillas un n´ u umero mero par y uno impar, como comparten la casilla extrema con el lado que contiene a los

Soluciones de la Primera Fase 5 de septiembre de 2015 1.   Respuesta: (C) Soluci´  on. El per´ ıımetro metro del tri´angulo angulo mide 7,17 cm+7,7 cm+13,13 cm = 28 cm, luego el lado del cuadrado mide 2 = 7 cm. 2Por lo tanto el ´ 28/4 a area rea del cuadrado mide 72 cmcm = 49 cm

2.   Respuesta: (D) Soluci´  on.

Armando el cubo tenemos X X U

M

U

M

X

X

Y

Y

U

U M

Y

M

Y S

S

S

S

A

A

A

A

3.   Respuesta: (C) Soluci´  on 1.  Entre 100 y 119 hay exactamente 2 n´ u umemeros que tienen el d´ıgito 2, entr entree 120 y 129 todos los n´ umeros umeros tienen al menos un d´ıgito 2 y entr entree 131 y 199 hay exactamente 7 n´ u umeros meros que tienen el d´ıgito 2. De esta forma concluimos que entre 100 y 199 hay exactamente 19 n´ umeros umeros que tienen ti enen el e l d´ııgito gito 2. An An´ a alo´logamente podemos concluir que entre 300 y 399 hay 19 n´ umeros umeros que q ue tienen tiene n el d´ıgito ıgito 2. Final Finalmente, mente, entre ent re 200 y 299 todos los n´ umeros umeros tienen el d´ıgito 2. Por lo tanto, entre 100 y 400 hay 138 n´umeros umeros que tiene tienen n el d´ıgito 2. 4.   Respuesta: (C) Soluci´  on.   El 8,5% de 60 es 60×0,085 = 5.1, el 8% de 60 es 60×0,08 = 4,8 y la diferencia es 0,3. Por lo tanto,, la diferencia tanto diferencia en lo que respecta al descuent descuento o son 30 centavos. 5.   Respuesta: (D) Soluci´  on. Primeramente observemos que como en cada lado del tri´ angulo angulo m´ agico agico tiene 3 casillas, la suma de los tres n´ umeros umeros en las casillas es mayor a 30. Adem´a as, s, como en alguna de las casillas debe ir el 15 y la suma de los n´ umeros umeros en las casill casilla a de cada lado del tri´ angulo angulo deben ser iguales, entonces las sumas deben ser mayores a 35. En el lado del tri´angulo angulo que contiene la casilla con el n´ u umero mero 15, las otras dos casillas solo pueden contener los n´ umeros umeros 10, 11, 12, 13, 14 y analicemos las posibilidades. a ) Si una casilla contiene al 10 y la otra al 11, la suma de los n´ umeros umeros de las casillas del lado ser ser´ ´ıa 36. Si este es el caso el 15 debe estar en la casilla central, centr al, pues si estuviera estuviera en los extremos, la suma de las casillas de los n´ umeros umeros en los otros lados ser´ ser´ıa mayor mayor a 36. El otro lado que cont contiene iene a 10 en una de sus casillas extremas, para sumar 36 que es un n´ u umero mero par debe tener en sus casillas igualmente n´ umeros umeros pares, es decir 12 y 14. En el tercer lado que contiene a 11 en una de sus casillas extremas, para sumar 36 debe tener en sus casillas un n´ umero umero par y uno impar, como comparten 1