Soluciones Energia Potencial y Conservacion de Energia Selectividad
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1.
En el átomo de hidrógeno el electrón se encuentra a una distancia aproximada de 5,2 10 11 m del núcleo, donde está localizado el protón. Calcula la fuerza electrostática con que se atraen ambas partículas y compárala con la fuerza gravitatoria entre ellas. −
⋅
Datos: G 6,67 10 11 N m2 kg 2; m p 1,67 10 27 kg; m e 9,1 10 31 kg; K q p 1,6 10 19 C; q e 1,6 10 19 C. =
=
=
−
⋅
−
⋅
⋅
⋅
=
−
−
⋅
−
⋅
= −
⋅
9
=
⋅
109 N
m2
⋅
C
2
;
−
⋅
−
Trabajaremos,salvoqueseindiquelocontrario,enunidadesdelSI. Elmódulodelafuerzaelectrostáticaes: FE
=
K
qp q e ⋅
⋅
=
2
9 10 ⋅
9
19 2
(1, 6 10 ⋅
(5,2 10
d
)
-
⋅
11 2
)
-
⋅
=
8,5207 10
8
-
⋅
N
Obtendremoslafuerzagravitatoriaentreellasconlaexpresión: FG
=
=
G
mp m e ⋅
⋅
=
2
d
⋅
1, 67 67 10 ⋅
27
-
47
-
⋅
9,1 10 ⋅
⋅
31
-
=
11 2
(5,2 10 ⋅
3, 7489 10 ⋅
6,67 10
11
-
)
-
N
Aunqueambasfuerzastienenlamismadirecciónysentido(protón yelectrónseatraen),elmódulodelafuerzaelectrostáticaesmucho mayorqueenelcasodelafuerzagravitatoria. 2.
Dos partículas, a y b, tienen masas iguales de 1,6 g y cargas de igual valor, pero de signos contrarios. La partícula b está fija en el espacio y la partícula a está colgada del techo por 30° a b un hilo de masa despreciable (ver la figura). Cuando ambas partículas están separadas 0,25m una distancia de 0,25 m, la partícula a se halla en equilibrio y el hilo forma un ángulo de 30° con la vertical. Calcula: a) La tensión del hilo. b) La fuerza de atracción entre las partículas. c) El valor absoluto de la carga de las partículas. Datos: K 9 109 N m2 C 2; g 9,8 m s 2. =
⋅
⋅
⋅
−
=
Planteamoselbalancedefuerzas delamasasuspendida. Despreciamoslafuerzadeatracción gravitatoriaentrelasdospartículas porque,comosededuce delaactividadanterior,serámucho menorquelafuerza electrostática.
⋅
−
T
W
30°
a F E
W
0,25m P W
b
Observaquelatensióndebedescomponerseensuscomponentes verticalyhorizontal,quesecalculanrelacionando T conelángulo conelángulo queformaconlavertical(30°): • Ejevert Ejevertical ical:: T
⋅
cos 30°
P
=
m g
=
⋅
0, 0016 kg 9, 8 m/s2
=
⋅
=
0, 015 68 N
• Ejehorizontal: T sen 30° ⋅
FE
=
=
K
q 2 ⋅
9 10
=
2
⋅
9
q 2 ⋅
d
0, 252
a) Obtenemoslatensióndelhilo, T ,apartirdelbalance ,apartirdelbalance correspondientealejevertical: T
3
15, 68 10
-
⋅
N
=
0, 018 106 106 N
=
cos 30°
b) Conociendoelvalordelatensión T podemosobtenerelvalor podemosobtenerelvalor delafuerzaelectrostáticadeatraccióndelaspartículas apartirdelbalancecorrespondientealejehorizontal: FE
=
T sen 30° ⋅
=
18,106 10
3
-
⋅
N sen 30º ⋅
=
3
9, 053 10
-
⋅
N
c) Conociendoelvalordelafuerzaelectrostáticadeatracción delaspartículasysabiendoquesucargaesidéntica,podemos obtenersuvalor: FE
→
q
=
K
F E 0, 252
⋅
9 10
9
2
=
9 10 ⋅
q 2
9
⋅
2
→
0, 25
d
9, 053 10
⋅
⋅
3.
=
q 2
3
-
⋅
=
9 10 ⋅
⋅
0, 252
9
=
2, 5 10 10 ⋅
7
-
C
Dos car cargas gas puntual puntuales es de 10 C cada una están están en las posici posiciones ones (5, 0) y ( 5, 0). Una tercera carga de 0,1 C y 2 kg de masa se deja en libertad y con velocidad nula en el punto (0, 10). Calcula: −
a) La aceleración que actúa sobre la tercera carga en las posiciones A (0, 10) y B (0, 0). b) La velocidad de la tercera carga en (0, 0). a) Calcularemos laaceleraciónencada puntopormediode laexpresiónF m a . . Comoconocemossu masa,bastaconcalcular lafuerzaqueresultade lainteracciónelectrostática delasotrasdoscargas sobreellaencadapunto. W
=
⋅
A(0,10)
W
( 5,0)
(5,0)
-
q 1 10C =
B(0,0)
q 2 10C =
Lafuerzasecalcularáencadacasohaciendousodelprincipio desuperposición:F T = F 1 + F 2. W
W
W
Lafuerzaeléctricaexistenteentrecadapardecargases: FE
q ⋅ q 0
K ⋅
=
W
⋅ u r W
2
d
CálculodelafuerzaenelpuntoA(0,10). Elvectorr 1Atieneorigenen( -5,0)yextremoen(0,10). Portanto: W
r1A
W
→ u1A =
5 i + 10 j
=
W
W
r 1A
5 i + 10 j W
W
=
W
r 1A
5 i + 10 j
W
W
=
W
52 + 102
125 125
10 ⋅ (-0,1)
5 i + 10 j
W
Entonces: F1A W
q1 ⋅ q 0
K ⋅
=
9
9 ⋅ 10 ⋅
⋅ u 1A = W
2
r 1A
W
⋅
125 7
= -3, 22 ⋅ 10 10
i
-
W
W
=
125
6, 44 ⋅ 10 1 07 j N W
Elvectorr 2Atieneorigenen(5,0 tieneorigenen(5,0)yextremo )yextremoen(0,10). en(0,10). Portanto: W
r2 A
W
=
5 i + 10 j W
W
→ u2A =
r 2 A
-5 i + W
W
W
r 2 A
=
10 j
-5 i +
W
W
=
52 + 102
W
10 j
W
125
Entonces: F2A W
=
q2 ⋅ q 0
K ⋅
⋅ u 2A = W
2
r 2A
=
9
9 ⋅ 10 ⋅
10 ⋅ (-0,1)
(-5 i + 10 j ) W
⋅
125
W
=
125
3, 22 ⋅ 10 107 i - 6, 44 ⋅ 10 107 j N W
W
Portanto: FEA W
=
F1A W
+
W
(3,22 ⋅ 107 i
+
7
10 = (-3, 22 ⋅ 10
F2A
-
W
i
-
W
6, 44 ⋅ 10 1 07 j ) + W
6, 44 ⋅ 107 j ) = -1, 288 ⋅ 108 j N W
W
Ylaaceleraciónserá: F EA W
a A
=
W
=
-128, 8 ⋅
106 j
W
2
m
6
= -64, 4 ⋅ 10
j m/s2 W
RepetimosloscálculosparaelpuntoB(0,0). Elvectorr 1Btieneorigenen( -5,0)yextremoen(0,0). Portanto: W
r1B
W
=
5i
W
→ u 1B W
r 1B
=
5 i
W
W
r 1B
=
W
5
=
i
W
2
Entonces: F1B = K ⋅ W
q1 ⋅ q 0 2 1B
r
⋅ u1B = W
9 ⋅ 109 ⋅
10 ⋅ (-0,1) 25
⋅
i =
W
-3,6 60 ⋅ 10
8
i N
W
Elvector r 2Btieneorigenen(5,0)yextremoen(0,0).Portanto: W
r2B = -5 i
W
W
→ u 2B =
r 2B
W
W
r 2B
-5 i
W
=
52
W
= -i
W
Entonces: F2B = K ⋅ W
q2 ⋅ q 0
⋅ u2B = 9 ⋅ 109 ⋅
10 ⋅ (-0,1)
W
2 2B
r
25
⋅ (-i ) = 3, 60 ⋅ 108 i N W
W
Finalmente: FEB = F1B + F2B = 0 N W
W
W
→ aB =
F EB W
W
= 0 m/s2
m Lógico,puestoqueelpuntoBestájustoentre q 1yq yq 2.
b) Admitiendoquelaúnicainteraccióneslaelectrostática,sepuede obtenerlavelocidadenelpuntoB(0,0)apartirdelteorema deconservacióndelaenergíamecánica: E CB + E P B = E C A + E P A = E M →
q1 ⋅ q 0 q2 ⋅ q 0 = → m ⋅ v A + K ⋅ + K ⋅ r 1A r 2A 2 q1 ⋅ q 0 q2 ⋅ q 0 1 2 → = m ⋅ v B + K ⋅ + K ⋅ r r 2 1B 2B 1
2
10 ⋅ (-0,1) 9 9 10 ⋅ (-0,1) = → 9 ⋅ 10 ⋅ + 9 ⋅ 10 125
125
10 ⋅ (-0,1) 10 ⋅ (-0,1) 9 9 → = ⋅ 2 ⋅ v + 9 ⋅ 10 ⋅ + 9 ⋅ 10 ⋅ 2 5 5 1
2 B
→ -1,61 ⋅ 109 = v B2 + (-3, 6 ⋅ 109 ) → → v B = 4.
3, 6 ⋅ 10 109
61 ⋅ 109 = 4, 46 ⋅ 10 104 m/s - 1, 61
En tres vértices de un cuadrado de 1 m de lado se disponen cargas de +10 μC. Calcula: a) El vector intensidad de campo eléctrico en el cuarto vértice. b) El potencial eléctrico en dicho vértice. c) El trabajo necesario para llevar una carga de +5 μC desde el centro del cuadrado hasta el cuarto vértice. Dato: K = 9 ⋅ 109 N ⋅ m2 ⋅ C−2.
a) Envirtuddelprincipiodesuperposición,podemosobtener elvectorintensidaddecampoenelcuartovérticeapartir delosvectoresintensidaddecampoquegeneracadacarga porseparado: E TA = E AB + E AC + E AD W
W
W
W
A(0,1)
B(1,1) +10mC
(0,5,0,5) 0
C(0,0) +10mC
D(1,0) +10mC
Elvectorr ABtieneorigenen(1,1)yextremoen(0,1).Portanto: W
rAB = -i
W
W
→ u AB W
r AB
-i
W
W
=
r AB
=
= -i
W
12
W
ObtenemoselcampogeneradoenAporlacargasituadaenB conlaexpresión: E AB = K ⋅ W
Q B 2
10 ⋅ 10-6
9
⋅ u AB = 9 ⋅ 10 ⋅
⋅ (- i ) = -9 ⋅ 104 i N/C W
W
r AB
1
W
Elvectorr ACtieneorigenen(0,0 tieneorigenen(0,0)yextremoe )yextremoen(0,1).Po n(0,1).Portanto: rtanto: W
rAC = j
W
W
→ u AC W
r AC
j
W
W
=
r AC
=
= j
W
12
W
ObtenemoselcampogeneradoenAporlacargasituadaenC conlaexpresión: E AC = K ⋅ W
Q C 2
r AC
9
⋅ u AC = 9 ⋅ 10 ⋅
10 ⋅ 10-6
W
1
⋅ j = 9 ⋅ 104 j N/C W
W
Elvectorr ADtieneorigenen(1,0)yextremoen(0,1).Portanto: W
rAD = -i + j
W
W
W
→ u AD =
r AD
W
r AD W
-i + j W
W
=
W
-i + j W
=
1+1
W
2
ObtenemoselcampogeneradoenAporlacargasituadaenD conlaexpresión: 10 ⋅ 10-6 -i + j Q D 9 ⋅ u AD = 9 ⋅ 10 ⋅ ⋅ = E AD = K ⋅ 2 2 r AD 2 W
W
W
W
= -3,182 ⋅ 104 i + 3,18 182 ⋅ 104 j N/C W
W
Finalmente: E TA = E AB + E AC + E AD = W
W
W
W
= -9 ⋅ 10 4 i + 9 ⋅ 104 j + (-3,182 ⋅ 104 ii + 3,182 ⋅ 104 j ) = W
W
W
W
= -1, 2182 ⋅ 105 i + 1, 2182 ⋅ 105 j N/C W
W
b) Tambiénenvirtuddelprincipiodesuperposiciónhallaremos elpotencialcreadoenAporlascargasenlosrestantesvértices, sabiendoque: VA = VBA + VCA + VDA Además,conocemoslosvectorescorrespondientesacadavértice, yaqueparaelpotencialcreadoenAcoincidenconlosobtenidos enelapartadoanterior. • VAB = K ⋅
• VAC = K ⋅
• VAD = K ⋅
Q B
9
= 9 ⋅ 10 ⋅
9
= 9 ⋅ 10 ⋅
10 ⋅ 10-6
= 9 ⋅ 104 V
1
r AC Q D
= 9 ⋅ 104 V
1
r AB Q C
10 ⋅ 10-6
9
= 9 ⋅ 10 ⋅
10 ⋅ 10-6
r AD
= 6, 364 ⋅ 104 V
2
Sumando: VA = VAB + VAC + V AD = = 9 ⋅ 10 4 V + 9 ⋅ 104 V + 6, 364 ⋅ 104 V = 2, 4364 ⋅ 105 V
c) Sabemosque: WO → A = -DE P = -q ⋅ (VA - VO ) HemosobtenidoelvalordelpotencialcreadoenelvérticeA enelapartadoanterior,porloquebastaconrepetir loscálculosparaelcentrodelcuadradodefinido enelenunciado. Comosetratadeuncuadrado,ladistanciaalaqueseencuentra cadaunadelascargasqueestánenB,CoDdelcentroes lamisma,ycoincideconlamitaddeladiagonal: r =
1
⋅
2
12 + 12 = 0,71 m
Comolastrescargassonigualesylastresdistanciassoniguales, elpotencialquecreacadaunadelascargasenelcentro delcuadradotambiénesigual: VO = VOB + VOC + VOD → →
= 3⋅
VO = 3 ⋅ VOB = 3 ⋅ K ⋅
9 ⋅ 109 ⋅ 10 ⋅ 10-6 →
0, 71
Q B
=
r OB
V O = 3, 8184 ⋅ 105 V
Deacuerdoconloexpuestoalprincipiodelapartado: WO → A = -DE P = -q ⋅ (VA - VO ) = 6 5 5 = -5 ⋅ 10- C · (2, 4364 ⋅ 10 V - 3, 8184 ⋅ 10 V) = 0, 7 J
5.
S
Dos cargas puntuales q 1 = +2,0 nC y q 2 = −1,0 nC están fijas y separadas una distancia de 8 cm. Calcular: a) El campo eléctrico en el punto T situado en el punto medio entre las cargas.
4cm
q 1 +
8cm
b) El potencial eléctrico en los puntos S y T. c) El trabajo necesario para trasladar otra carga, q ', de desde el punto S hasta el punto T. Datos: K = 9
⋅
109 N
⋅
m2
⋅
− q 2
T
C−2; 1 nC
+3,0
nC
10−9 C.
=
a) ObtenemoselcampototalquelasdoscargascreanenelpuntoT haciendousodelprincipiodesuperposición: E T W
= E TA + E TB W
W
S(0,4)
A(-4,0)
B(4,0)
q 1=2nC
q 2= -1nC
T(0,0)
• CampogeneradoenTporlacargasituadaenA( q 1). Elvector r TAtieneorigenen( -4,0)yextremoen(0,0). Portanto: W
rTA
W
=
4i
W
→ u TA
r TA
=
W
4 i
W
W
r TA
=
=
4
W
i
W
Entonces: E TA W
=
K ⋅
q 1 2
r TA
⋅ uTA = W
9
9 ⋅ 10 ⋅
2 ⋅ 10-9 4
2
⋅
i
=
W
1125 , i N/C W
• CampogeneradoenTporlacargasituadaenB( q 2). Elvector r TBtieneorigenen(4,0)yextremoen(0,0).Portanto: W
rTB
W
= -4 i
W
→ u TB W
r TB
=
-4 i
W
W
r TB
=
W
4
= -i
W
Entonces: E TB W
=
K ⋅
q 2 2 TB
r
⋅ uTB = -9 ⋅ 10 W
9
⋅
1 ⋅ 10-9
⋅ (- i ) = W
4
2
0,5625 i N/C W
Sumando: E T = E TA + E TB = 1,125 i + 0, 5625 i = 1, 69 i N/C W
W
W
W
W
W
b) Tambiénutilizaremoselprincipiodesuperposiciónparacalcular elpotencialcreadoenTyenSporlascargassituadasenAyB. •VTA = K ⋅ •VTB = K ⋅
q 1
9
= 9 ⋅ 10 ⋅
2 ⋅ 10-9 4
r TA q 2
9
= 9 ⋅ 10 ⋅
= 4,5 V
(-1 ⋅ 10-9 ) 4
r TB
= -2,25 V
Portanto: VT = VTA + V TB = 4, 5 V - 2, 25 V = 2, 25 V Ladistanciaalaqueseencuentracadaunadelascargas delpuntoSes: rSA = r SB = 42 + 42 = 32 m • VSA = K ⋅
• VSB = K ⋅
q 1
9
= 9 ⋅ 10 ⋅
2 ⋅ 10-9
r SA q 2
= 3,18 V
32 =
9 ⋅ 10 9 ⋅ (-1 ⋅ 10-9 )
r SB
= -1,59 V
32
Portanto: VS = VSA + V SB = 3,18 V - 1, 59 V = 1, 59 V c) Sabemosque: WS → T = -DE P = -q ⋅ (VT - VS ) = = -3 ⋅ 10-9 C ⋅ (2, 25 V - 1, 59 V) = -1, 98 ⋅ 10-9 J
Eltrabajoesnegativo,esdecir,hayquerealizarloencontra delasfuerzasdelcampo. 6.
Dos cargas negativas iguales, de 1 mC, se encuentran sobre el eje de abscisas, separadas una distancia de 20 cm. A una distancia de 50 cm sobre la vertical que pasa por el punto medio de la línea que las une se abandona una carga positiva de 1 mC y masa 1 g, inicialmente en reposo. Calcula la velocidad que tendrá al pasar por el punto medio de la línea que las une. C(0,50),q = +1mC, m = 1g,v 0 = 0
A(-10,0) q 1= -1mC
B(10,0) T(0,0)
q 2= -1mC
Lasdistanciasserán: d AC = d BC =
102
+ 502 =
2600
= 51 cm
Comolainteracciónelectrostáticaesconservativa,laenergíamecánica delsistemapermaneceráconstante: E C O + E P O = E C C + E PC →
q1 ⋅ q q2 ⋅ q = + K ⋅ → m ⋅ v + K ⋅ d AO d BO 2 1
2 O
q1 ⋅ q q2 ⋅ q = m + K ⋅ m ⋅ v C + K ⋅ d AC d BC 2 1
2
ExpresandotodaslasmagnitudesenunidadesdelSI:
1 ⋅ 10-3 · (-1 ⋅ 10-3 ) 9 = ⋅ 1 ⋅ 10 ⋅ v + 2 ⋅ 9 ⋅ 10 ⋅ 2 0,1 1 ⋅ 10-3 ⋅ (-1 ⋅ 10-3 ) 9 → = 2 ⋅ 9 ⋅ 10 ⋅ 0, 51 1
→
7.
-3
v O =
2 O
2 ⋅ 10 3
⋅ (-3, 53 ⋅ 104 + 18 ⋅ 104 ) = 1, 7 ⋅ 104 m/s
Una partícula de masa 5 g y carga −2 μC se deja en libertad y en reposo a 0,5 m de dos cargas fijas de 5 μC separadas 0,6 m. Suponiendo que solo intervienen fuerzas eléctricas, determina: a) El campo eléctrico en el punto donde se ha dejado la partícula. b) El potencial en ese punto. b) La velocidad que tendrá la partícula cuando llegue al punto medio de las dos cargas.
C(0,0,5),q = -1mC,m = 5g
A(-0,3,0) q 1= +5mC
B(0,3,0) q 2= +5mC
O(0,0)
a) Envirtuddelteoremadesuperposición,podemosobtenerelvector intensidaddecampoenelpuntoinicialapartirdelosvectores intensidaddecampoquegeneracadacargaporseparado enelmismo: E C = E AC + E BC W
W
W
• CampogeneradoenCporlacargasituadaenA. Elvectorr ACtieneorigenen( -0,3,0)yextremoen(0,0,5). Portanto: W
rAC
W
→ u AC W
r AC
=
W
W
0, 3 i + 0, 5 j W
W
=
0, 3 i + 0, 5 j →
r AC
=
2
0, 3 + 0, 5
W
0, 3 i + 0, 5 j
W
W
=
2
W
0, 34
Entonces: E AC W
q 1
K ⋅
=
9
9 ⋅ 10 ⋅
5 ⋅ 10-6
0, 3 i + 0, 5 j W
2
⋅ u AC =
=
6, 81 ⋅ 104 i + 1,135 ⋅ 105 j N/C
W
r AC
⋅
0, 34 W
W
=
0, 34 W
• CampogeneradoenCporlacargasituadaenB. Elvectorr BCtieneorigenen(0,3,0)yextremoen(0,0,5). Portanto: W
rBC
W
→ u BC
r BC
= -0, 3 i + W
-0, 3 i + W
W
=
W
=
r BC
0, 5 j → W
0, 5 j
-0, 3 i +
=
0, 32 + 0, 52
W
0, 5 j
W
W
W
0, 34
Entonces: q 2
E BC = K ⋅ W
⋅ u BC = W
2
r BC
5 ⋅ 10-6
9
9 ⋅ 10 ⋅
-0, 3 i + W
·
0, 34
= -6, 81 ⋅ 10
4
i
+
W
0, 5 j j
W
0, 34
1,135 ⋅ 105 j N/C W
Sumando: EC
=
W
E AC W
+
E BC
+ (-6, 81 ⋅ 10
W
4
i
=
+
W
(6, 81 ⋅ 104 i
+
W
1,135 ⋅ 105 j ) + W
1,135 ⋅ 105 j ) = 2, 27 ⋅ 105 j N/C W
W
b) Tambiénenvirtuddelprincipiodesuperposiciónhallaremos elpotencialcreadoenCporlasdoscargas. • VAC
• VBC
=
=
q 1
K ⋅
=
9
9 ⋅ 10 ⋅
r AC q 2
K ⋅
5 ⋅ 10-6
=
7, 7174 ⋅ 104 V
=
7, 7174 ⋅ 104 V
0, 34
=
9
9 ⋅ 10 ⋅
r BC
5 ⋅ 10-6 0, 34
Sumando: VC
=
VAC
+ V BC =
2 ⋅ 7, 7174 ⋅ 104 V = 1,5435 ⋅ 105 V
c) Calculamoslasdistancias: d AC
=
dBC
=
0, 34 m; d A 0 = dBO = 0, 3 m
=
Deacuerdoconelteoremadeconservacióndelaenergía: E C O + E PO = E C C + E P C →
q1 ⋅ q q2 ⋅ q = + K ⋅ m ⋅ v + K ⋅ d AO d BO 2 1
→
=
2 O
1
m ⋅ v C2 + K ⋅
2
q1 ⋅ q d AC
+ K ⋅
q2 ⋅ q
d BC
UtilizamostodaslasmagnitudesenunidadesdelSIysustituimos:
5 ⋅ 10-6 ⋅ (-2 ⋅ 10-6 ) 9 ⋅ 5 ⋅ 10 ⋅ v + 9 ⋅ 10 ⋅ ⋅ 2 = 2 0, 3 5 ⋅ 10-6 ⋅ (-2 ⋅ 10-6 ) 9 = 9 ⋅ 10 ⋅ ⋅ 2 → 0, 34 1
→
-3
→
8.
2 O
v O =
2 ⋅ (-0, 31 + 0, 6) -3
5 ⋅ 10
= 10,77 m/s
a) Un campo electrostático que obedece a la expresión E está dirigido en el sentido positivo del eje Y.
W
=
104 j N/C W
a1) Calcular la fuerza que ejerce este campo sobre un electrón y comparar el resultado con el peso del electrón. ¿Qué conclusión se puede derivar de esta comparación? a2) Hallar la energía cinética adquirida por el electrón cuando haya recorrido 1 cm, partiendo del reposo, y el tiempo que necesita para recorrer dicha distancia. Datos: masa del electrón: 9,1 10 31 kg; carga del electrón: 1,6 10 19 C. ⋅
−
⋅
−
−
a1) Obtenemoselvalordelafuerzaelectrostáticaqueejerceelcampo descritoenelenunciado: FE = q ⋅ E = -1,6 ⋅ 10-19 ⋅ 104 j = -1, 6 ⋅ 10-15 j N W
W
W
W
Su peso es: P = m ⋅ a ⋅ (- j ) = 9,1 ⋅ 10-31 ⋅ 9, 8 ⋅ (- j ) = -8, 92 ⋅ 10-30 j N W
W
W
W
Ambasfuerzastienenlamismadirecciónysentido,sibienelmódulo delpesoesdespreciablefrentealdelafuerzaelectrostática. a2) Enunaregióndondeelcampoelectrostáticoesconstante secumple:E ⋅ d = DV . Además,enfuncióndelteoremadeconservacióndelaenergía mecánica: E Ci + E Pi = E C f + E P f → E Pi - E P f = E C f = DE P
Y además: V =
E P
→
q
DE P =
q
⋅ DV
UtilizandotodaslasmagnitudesenunidadesdelSI: 1 2 =
9.
⋅ m ⋅v
2
=
q ⋅E ⋅d
→
v =
2 ⋅ 1, 6 ⋅ 10-19 ⋅ 104 ⋅ 10-2 9,1 ⋅ 10-31
2 ⋅ q ⋅ E ⋅ d
m 6
= 5, 93 ⋅ 10
=
m/s
Dibuja aproximadamente las líneas del campo eléctrico contenidas en un plano en el que hay dos cargas eléctricas, una Q y otra, 2Q . −
Elnúmerodelíneasdecampo debeserproporcional alcampoencadapunto; enconsecuencia,elnúmero delíneasdecampoeléctrico entrantesenlacarganegativa deberíadesereldoblede lassalientesdelacargapositiva. 10.
Tenemos dos cargas iguales separadas una cierta distancia, en un caso de signos contrarios y en el otro del mismo signo, tal como se muestra en las figuras 1) y 2). a) Representa las líneas del campo eléctrico en los dos casos. b) Representa las superficies equipotenciales para los dos casos.
1)
2)
Nota: haz las representaciones en el plano que contiene ambas cargas.
Caso1:cargasdesignoopuesto. a) Líneas de campo:
b) Superficies equipotenciales:
Caso2:doscargaspositivas. a) Líneas de campo:
b) Superficies equipotenciales:
+
11.
Defina la magnitud flujo del vector campo eléctrico. Enuncie el teorema de Gauss. Considere las dos situaciones de la figura. ¿El flujo que atraviesa la esfera es el mismo en ambas situaciones? ¿El campo eléctrico en el mismo punto P es igual en ambas situaciones? Razone en todo caso su respuesta.
P 1mC
+
P 1mC 4mC
1mC 1mC
Sellamaflujo,φ,elnúmerodelíneasdecampoqueatraviesan unasuperficie.Serepresentadetalmaneraqueelnúmerodelíneas decampoporunidaddesuperficieperpendicularalasmismasindica laintensidaddelcampo. ElteoremadeGaussparaelcampoelectrostáticodicequeelflujoneto queatraviesaunasuperficiequesesitúaenelinteriordeuncampo dependedelacargaencerradapordichasuperficie. Elflujoeléctricoesindependientedelradiodelasuperficiegaussiana; solodependedelacargaencerradaporesasuperficie ydelaconstantedieléctricadelmedio,peronodeotrosfactores, comolaformadelasuperficieolaposicióndelacargaensuinterior. φ=
Q encerrada
.EstaesladefinicióndelteoremadeGauss
ε paraelcampoelectrostático.
Enrelaciónconlassituacionesmostradasenlafigura,elflujo eléctricoseráelmismoparaamboscasos,yaque,deacuerdo conelteoremadeGauss,esteúnicamentedependedelacarga encerrada,yestaeslamismaenamboscasos.Sinembargo, estonoesasíparaelvalordelcampoeléctricoenP,yaqueeste sídependedelosvectoresdeposicióndeladistribucióndecarga, queenestecasoesdiferente,puesladistribucióndecarga esdiferente.
12.
Si el flujo de un campo eléctrico a través de una superficie cerrada es cero, ¿pueden existir cargas eléctricas en el interior de dicha superficie? Razone la respuesta.
Puedenexistircargaseléctricasdentrosiempreycuandoelbalance decargaspositivasynegativasseaigual,deformaquelacarga positivaseigualeconlanegativaylasumadetodasseanula. 13.
Dos pequeñas esferas conductoras de radios r 1 1,00 cm y r 2 2,00 cm se encuentran cargadas con cargas q 1 2,0 nC y q 2 5,0 nC, respectivamente. Si la distancia que separa sus centros es 2,6 m, determina: =
=
=
= −
a) El módulo de la fuerza electrostática que ejerce una esfera sobre la otra. b) Si las esferas se unen con un hilo conductor de capacidad despreciable, calcula la carga y el potencial que adquiere cada esfera. Datos: K
=
9
⋅
109 N
⋅
m2 C ⋅
2
−
; 1 nC
=
10
9
−
C.
a) Aunadistanciamuchomayorquesusradios,deacuerdocon elteoremadeGauss,lasesferassecomportaráncomounacarga puntualdevalorigualalacargadetodalaesferaysituada ensucentro.Obtenemos,portanto,lafuerzaelectrostática queejercenentresíconsiderándolascomocargaspuntuales separadasunadistanciaigualalaseparacióndesuscentros. F = K ⋅
Q ⋅ q R 2
9
= 9 ⋅ 10 ·
2 ⋅ 10-9 · (-5 ⋅ 10-9 ) 2, 62
= -13, 31 ⋅ 10-9 N
Ypuestoquelascargassondesignosopuestos,esunafuerza atractiva. b) Aluniralasesferasconunhiloconductoralcanzaránelequilibrio electrostático,demaneraquesuspotencialesseigualarán. V1 = V2
→
K ⋅
q 1 r 1
q 2
= K ⋅
q 1
→
1
-2
r 2 =
q1
→
1 ⋅ 10
q 2
→
2
q 1 =
=
m
q 2 -2
2 ⋅ 10
→
m
q 2 2
Comolacargadelsistemaseconserva: q1 + q 2 = -3 ⋅ 10-9 C Relacionandolasexpresionesanteriores: -9
q1 + 2 ⋅ q1 = -3 ⋅ 10
q 2
C
→
q 1 =
-3 ⋅ 10-9 C 3
= -1 ⋅ 10-9 C
Y entonces: q2
-9
= 2 ⋅ q 1 = 2 ⋅ (-1 ⋅ 10
C)
-9
= -2 ⋅ 10
C
DeacuerdoconlodeducidopormediodelteoremadeGauss, elpotencialdentrodecadaesferacoincideconelque hayensusuperficie: • V1
• V2
=
=
K ⋅
K ⋅
q 1 r 1 q 2 r 2
9
= 9 ⋅ 10 ⋅
9
= 9 ⋅ 10 ⋅
N ⋅ m2 2
C
N ⋅ m2 2
C
-9
⋅
-1 ⋅ 10
-2
1 ⋅ 10
m
-9
⋅
-2 ⋅ 10
-2
2 ⋅ 10
C
C
m
= -900 V
= -900 V
Secompruebaqueelpotencialdelasdosesferaseselmismo. 14.
Dos placas metálicas cargadas eléctricamente están dispuestas horizontalmente separadas d 2 una distancia d 20 10 m, creando en su interior un campo eléctrico de E 2,50 104 N/C. Una microgota de aceite de 5,1 10 14 kg de masa, cargada negativamente, está en equilibrio suspendida en un punto equidistante de ambas placas. Determinar: =
=
−
⋅
⋅
−
⋅
a) ¿Cuál de las placas está cargada negativamente? b) ¿Cuánto vale la diferencia de potencial entre las placas? c) La carga de la gota. d) La magnitud de la fuerza eléctrica que se ejercería sobre la gota si estuviera solo 1 cm por encima de la placa inferior. Dato: g
=
9,8 m
⋅
s
2
−
.
a) Paraquelagotaestéenequilibrio, lafuerzaelectrostáticadebeser F E igualydesentidocontrarioalpeso, E esdecir,verticalyhaciaarriba. P Lacargadelagotaesnegativa, loquedeterminaquelafuerza electrostáticatendrálamismadirección,perosentidoopuesto alcampo.Enconsecuencia,elvectorcampoelectrostáticodebe tenerdirecciónverticalysentidohaciaabajo.Dadoqueelsentido delaslíneasdecampovadelascargaspositivasalasnegativas, laplacapositivadebeserlasuperior. W
W
W
b) Paradosplacascargadas,planasyparalelassecumple, conuncampoconstante: DV =
E ⋅ d = 2, 5 ⋅ 104 V/m ⋅ 20 ⋅ 10-2 m
3
= 5 ⋅ 10
V
c) Siestáenequilibrio,seráqueelmódulodesupesoeselmismo queeldelafuerzaelectrostática,deformaque,altenersentidos contrarios,lagotasemantieneenequilibrio. P = m ⋅ g = FE = E ⋅ q →
→q =
m ⋅ g
=
5,1 ⋅ 10-14 kg ⋅ 9, 8 N/kg 2, 5 ⋅ 104 N/C
E
= 2 ⋅ 10-17 C
d) Comoelcampoesconstante,seráelmismoencualquierpunto entrelasdosplacas.Conociendolacargadelagotadeaceite podemosobtenerlafuerzaelectrostáticaqueseejercesobreella deacuerdoconestaexpresión: FE = q ⋅ E = 2 ⋅ 10-17 C ⋅ 2, 5 ⋅ 104 N/C = 5 ⋅ 10-13 N 15.
Un electrón se mueve con una velocidad de 5 10 5 m s 1 y penetra en un campo eléctrico de 50 N C 1 de igual dirección y sentido que la velocidad. ⋅
⋅
−
−
⋅
a) Haga un análisis energético del problema y calcule la distancia que recorre el electrón antes de detenerse. b) Razone qué ocurriría si la partícula incidente fuera un protón. e
=
1,6
⋅
10
19
−
C ; m e
=
9,1
⋅
10
31
−
kg; m p
=
1,7
⋅
10
27
−
a) Lainteracciónelectrostáticaesconservativa. Enconsecuencia,laenergíamecánica delelectrónpermanececonstante. Supongamosqueiniciasumovimiento enAysedetienecuandollegaaB: E C A + E P A = E CB + E PB →
→ ECA
kg.
E
W
v 0
W
A
B
d
= E PB - E PA = q ⋅ (VB - V A ) = q ⋅ DV [1]
Comoelcampoentrelasplacasesconstante,secumpleque: [2]
DV = -E ⋅ d
Relacionandolasecuaciones[1]y[2]: 1 2
mE ⋅ v 02 = q ⋅ (-E ⋅ d )
Sustituimoslosdatosteniendoencuentaquelacargadelelectrón esnegativa: 1 2
⋅ 9,1 ⋅ 10-31 ⋅ (5 ⋅ 105 )2 = -1, 6 ⋅ 10-19 ⋅ (- 50 ⋅ d )
→
→ d = 14, 2 ⋅ 10-3 m Llegamosalmismoresultadohaciendounestudiodinámico delproblema.
Puestoqueelelectróntienecarganegativa,estarásometido aunafuerzaelectrostáticadelamismadirecciónque E ysentido contrario.Portanto,delamismadirecciónysentidoopuestoasu velocidadinicial.Tendrá,portanto,unmovimientodecelerado: W
F E = q ⋅ E = m ⋅ a x W
W
W
SustituimoslosdatosexpresándolosenunidadesdelSI: 1,6 ⋅ 10-19 ⋅ (50 i ) = 9,1 ⋅ 10-31 ⋅ a W
W
→a
W
= -8, 79 ⋅
1012 i m/s s2 W
Conociendosuvelocidadinicialysuaceleraciónpodemosconocer eltiempoquetardaráendetenerseapartirde: v
→ t =
-v 0
=
v0
+
a ⋅t →
5
-5 ⋅ 10
=
12
-8, 79 ⋅ 10
a
=
5, 6 ⋅ 10-8 s = 56,883 ns
Yconociendoestetiempopodemosyaobtenerladistancia recorridaenesteintervalo: x -
1 2
⋅
=
v0 ⋅ t
+
1 2
a ⋅ t 2 = 5 ⋅ 105 ⋅ 56, 883 ⋅ 10-9
+
8,79 ⋅ 1012 ⋅ (56, 883 ⋅ 10-9 )2 = 0, 014 22 m = 14,22 mm
b) Silapartículaincidentefueraunprotón,suaceleraciónsería positivay,portanto,nosedetendríaporlaaccióndelcampo eléctrico,sinoquesumovimientoseaceleraría. 16.
Una partícula de masa m y carga 10 6 C se encuentra en reposo al estar sometida al campo gravitatorio terrestre y a un campo eléctrico uniforme E 100 N C 1 de la misma dirección. −
=
−
−
⋅
a) Haga un esquema de las fuerzas que actúan sobre la partícula y calcule su masa. b) Analice el movimiento de la partícula si el campo eléctrico aumentara a 120 N C 1 y determine su aceleración. −
⋅
g
=
10 m
⋅
s
2
−
.
a) Silapartículaseencuentraenreposo,significa queelmódulodelafuerzagravitatoriayeldelafuerza F E electrostáticaqueactúansobreellasonidénticos. Lasfuerzastendránasimismolamismadirección E P ysentidosopuestos,demaneraquemantienen alacargaenequilibrioyenreposo.Observaque, comolacargaesnegativa,lafuerzatienesentidoopuestoalcampo: W
W
W
P
→ m =
=
m⋅ g
=
FE
=
E ⋅q→
E ⋅q 100 N/C ⋅ 1 ⋅ 10-6 C = 10 m/ s2 g
=
1⋅1
b) Puestoquetienecarganegativa,estarásometidoaunafuerza electrostáticadelamismadirecciónque E ysentidocontrario; portanto,delamismadirecciónysentidoopuestoalafuerza gravitatoria.Elcuerpodejarádeestarenequilibrioysemoverá haciaarribaconunmovimientoacelerado: W
F = FE + FG = q ⋅ E + P = W
W
W
W
W
= (-10-6 ) ⋅ (-120 j ) - 10-5 ⋅ 10 j = 2 ⋅ 10-5 j N W
W
Y queda: F =m⋅a W
17.
W
→
a =
F
=
W
2 ⋅ 10-5 N
m
10-5 kg
= 2 m/s2
Sea una partícula de masa 1 g, cargada positivamente y que se mueve en el seno de un campo eléctrico uniforme E 1 104 N/C cuyas líneas de campo son perpendiculares al suelo. Inicialmente la partícula está en reposo y a una altura de 5 m del suelo. Si se la deja libre, la partícula toca el suelo con una velocidad de 20 m/s. Determinar el sentido de las líneas de campo y la carga de la partícula. =
Dato: tomar g
=
⋅
10 m/s2.
Dadoquelapartículatienecargapositiva, severásometidaaunafuerzaenladirección ysentidodelcampo.Ladirecciónserá vertical,yelsentido,hacialosvalores deYnegativos,yaquelapartículadesciende 5mdesdelaposicióninicial.
i E
W
d f
Aplicamoselprincipiodeconservacióndelaenergíamecánica alasposicionesinicialyfinaldelmovimientodelapartícula: E Ci + E Pi = E Cf + E P f → E Pi = E C f + E P f → E P = q ⋅ (-DV ) → E C f = E Pi - E P f = -DE Enelsenodeuncampoeléctricouniforme: DV = -E ⋅ d . Relacionandolasdosexpresionesanteriores: E C f = q ⋅ E ⋅ d →
18.
q =
m ⋅ v f 2 2 ⋅ d ⋅ E
→
=
q ⋅d ⋅E =
1 2
1 ⋅ 10-3 ⋅ 202 2 ⋅ 5 ⋅ 104
2
⋅ m ⋅ v f → = 4 ⋅ 10-6 C
a) Explique las analogías y diferencias entre el campo eléctrico creado por una carga puntual y el campo gravitatorio creado por una masa puntual, en relación con su origen, intensidad relativa, dirección y sentido. b) ¿Puede anularse el campo gravitatorio y/o el campo eléctrico en un punto del segmento que une a dos partículas cargadas? Razone la respuesta.
a) Lasanalogíasylasdiferenciassededucendelassiguientes expresiones: Campo gravitatorio F G
M
W
g
W =
=
m
G
-
⋅
2
r
Campo electrostático F E
Q
W
u r
E
W
W
Laslíneasdecampotienen direcciónradialysiempre muerenenelcuerpoque creaelcampo.
=
=
q
K
⋅
2
r
u r
W
Laslíneasdecampotienendirección radialysalendelcuerpoquecrea elcampositienecargapositiva ymuerenenélsitienecarganegativa.
LaconstanteG esuniversal LaconstanteK dependedelmedio ysuvalorenelSIesdel enqueseestudiaelcampo. ordende10 11. Suvalorenelvacío,medidoen unidadesdelSI,esdelordende109. -
b) Dadasdospartículas,siemprehabráunpuntoenelsegmento quelasunedondeelcampogravitatorioseanula. m 1
m 2 g 2
g 1
W
W
Silaspartículastienencargadelmismosigno,habráunpunto delsegmentoquelasunedondeelcampoelectrostáticoseanule; sitienencargadesignocontrario,elcamponuncaseránulo enelsegmentoquelasune: q 1
q 2
q 1
E 1 W
E 2
E 1
E 2
W
W
q 2
W
Elpuntodondeseanulaelcampo,ensucaso,estaráenelpunto mediodelsegmentosiamboscuerpostienenlamismamasa olamismacarga;enotrocaso,elpuntodondeseanulaestará máspróximoalcuerpodemenormasaomenorcarga. 19.
En una región del espacio el campo es nulo. ¿Debe ser nulo también el potencial eléctrico en dicha región? Razona la respuesta.
No.Dadosdoscuerposconcargadelmismosigno,habráunpunto enelsegmentoquelosunedondeelcampoesnulo,peronoesnulo elpotencial,queesunamagnitudescalarytendráelsigno delascargas. q 1
q 2 E 1 W
E 2 W
DeacuerdoconelteoremadeGauss:
#E
W
⋅d
r
W
= -DV
Enelinteriordeunconductoresféricoenequilibrio,elcampoesnulo. Deellosederivaqueelpotencialesconstante,loquenoindica queseanecesariamentenulo. 20.
Dos cargas eléctricas puntuales, positivas y en reposo, están situadas en dos puntos A y B de una recta. Conteste razonadamente: a) ¿Puede ser nulo el campo eléctrico en algún punto del espacio que rodea a ambas cargas? ¿Y el potencial eléctrico?
Paradoscargaseléctricaspuntualespositivasyenreposohabráalgún puntoenlalíneaquelasunedondeelcamposeránulo.Elpunto estaráenelcentrodelsegmentosilasdoscargassoniguales; encasocontrario,estarámáspróximoalacargamenor. q 1
q 2 E 1
E 2
W
W
Elpotencialesunamagnitudescalarcuyovalordepende delsignodelascargas;silasdossonpositivas,elpotencialsiempre serápositivo. 21.
Si el campo electroestático es constante en una determinada región del espacio, ¿también lo es el potencial en esa misma región? Enunaregióndelespaciodondeelcampoelectrostático seaconstante: E
⋅
W
#d r
W
= -DV
→
E
W
⋅ D r = -DV W
Deacuerdoconesto,cuandoelcampoelectrostáticoesconstante, elpotencialdependedelvalordelcampoydelaposición queseconsidere,porloquenoseráconstanteenesaregión, sinoquesuvalordependerádecadapuntodelaregión. 22.
¿Qué relación hay entre el potencial y el campo eléctricos? ¿Cómo se expresa matemáticamente esa relación en el caso de un campo eléctrico uniforme?
Elpotencialyelcampoeléctricoserelacionansegún:
#E
W
⋅d
r
W
= -DV
Además,sielcampoeléctricoesuniforme(nodependedelaposición) podremosdecirque: E
⋅
W
23.
#d r
W
= -DV
→
E
W
⋅ D r = -DV
W
Si una carga puntual produce, a una cierta distancia r un potencial eléctrico de 10 V y un campo de módulo E , ¿cuánto vale el potencial en otro punto en el cual el campo es E /4?
ComparamoselmódulodeE conelvalordelpotencialenunmismopunto: W
• E
=
K ⋅
• V
=
K ⋅
Q r 2 Q r
Tenemos: E'
=
K ⋅
Q r '
2
= →
1 4
E
r '2
→
K
= 4r
2
⋅
Q r '
→
2
r '
=
1 4
⋅
K
⋅
Q 2
→
r
= 2r
Yentonces: V'
24.
=
K ⋅
Q r '
=
K ⋅
Q 2r
=
V 2
= 5 V
Una partícula cargada que se deja en libertad en un punto de un campo eléctrico se va a mover: a) En el sentido de los potenciales crecientes. b) En el sentido de los potenciales decrecientes. c) La partícula no se mueve a menos que sobre ella se aplique una fuerza. Nota: haz el estudio tanto para una partícula con carga positiva como con carga negativa. Silapartículatienecargapositivasemoveráenladirecciónysentido delcampo.Portanto,enelsentidodelospotencialesdecrecientes. Porelcontrario,silapartículatienecarganegativa,elmovimientoserá contrarioalcampoysemoveráenelsentidodelospotencialescrecientes.
25.
Una carga q > 0 se encuentra bajo la acción de un campo eléctrico uniforme E . Si la carga se desplaza en la misma dirección y sentido que el campo eléctrico, ¿qué ocurre con su energía potencial eléctrica? ¿Y si movemos la carga en dirección perpendicular al campo? Justifica ambas respuestas. W
Cuandounacargasemueveenuncampoeléctrico,eltrabajo querealizanlasfuerzasdelcampoesigualydesignocontrario alavariacióndelaenergíapotencial:
#
WA →B = F ⋅ d r = -DE P W
W
Siunacargapositivasemueveenlamismadirecciónysentido queelcampoeléctrico,sealejadelacargaquegeneraelcampo (tambiénpositiva).Eltrabajoquerealizanlasfuerzasdelcampo espositivo(elmovimientoserealizadeformaespontánea)ylacarga quesemuevepierdeenergíapotencial. Silacargasemuevedeformaperpendicularalcampo,lafuerza esperpendicularaldesplazamiento,porloqueeltrabajo querealizanlasfuerzasdelcampoesnuloylaenergíapotencial permanececonstante. 26.
Se dispone un sistema de cargas eléctricas positivas, puntuales, del mismo valor y alineadas tal como indica la figura: +q
+q
+q
r
r
1. La energía potencial electrostática del sistema es: a) 2K
q 2
b) 3K
r
q 2
c) 5K
2r
q 2 2r
2. Si la carga del centro se acercase a uno de los extremos, la energía potencial electrostática del sistema: a) Aumentaría. b) Disminuiría. c) No cambiaría, porque el sistema sería el mismo.
1. Laenergíapotencialdelsistemaeslasumadelaenergíapotencial detodaslasparejasdecargasquesepuedanestablecer: E P = K ⋅
q ⋅ q r
+ K ⋅
q ⋅ q r
+ K ⋅
q ⋅ q 2r
= 5K ⋅
q ⋅ q 2r
Larespuestacorrectaeslac). 2. Aumentaría.Enlaexpresiónquepermiteelcálculohayuntérmino quenocambia(elqueserefierealaenergíapotencial delascargasqueestánenlosextremos).Delosotrosdos, laenergíapotencialdelascargasqueseaproximanaumenta másdeloquedisminuyelaenergíadelascargasquesealejan, porquelaenergíapotencialvaríaconelinversodeladistancia.
27.
Dos cargas positivas e iguales están situadas en el eje Y; una está situada en y = a, y la otra, en y = −a . Calcular el campo y el potencial eléctrico en un punto situado sobre el eje X y a una distancia d del origen. ¿Cómo varía el resultado si a >> d ? ¿Y si es d >> a ?
Obtenemoselcampoeléctricocreado enelpuntoD(d ,0)porlascargas devalorQ situadasenA(0,a ) yB(0,-a ).Paraello,envirtud delprincipiodesuperposición: E D = E A W
W
A
Q
a D
+ E B W
d
a
• CampogeneradoenDporlacarga situadaenA.
Q B
Elvector r Atieneorigenen(0, a ) yextremoen(d ,0). W
Portanto: rA
W
=
di
-
W
aj
W
r A
→ u A =
di
aj
-
W
W
=
W
r A
d2
W
W
a 2
+
Entonces: EA W
K ⋅
=
Q
uA W
2
r A
=
Q
K ⋅
d
2
+
di
aj
-
W
2
⋅
a
2
d
W
N/C
2
a
+
• ObtenemoselcampogeneradoenDporlacargasituadaenB. Elvector r Btieneorigenen(0, -a )yextremoen(d ,0). W
Portanto: rB
W
=
di
-
W
aj
W
r B
→ uB =
di
aj
-
W
W
W
r B
=
d2
W
W
a 2
+
Entonces: EB W
=
K ⋅
Q
uB W
2 B
r
=
Q
K ⋅
d
2
+
di
-
W
2
⋅
a
d
2
aj
+
W
N/C
2
a
Sumando: ED W
+
=
K ⋅
EA W
+
EB W
Q d
2
+
=
K ⋅ di
Q d
+
W
2
a
⋅
d2
2
+
a j
+
di
-
W
2
⋅
a
W
=
a 2
(Lascomponentesverticalesseanulan.)
d2
aj
+
W
+
a 2
2 ⋅ K ⋅ Q ⋅ d
i
W
(d
2
+
2 3 / 2
a )
Tambiénenvirtuddelprincipiodesuperposiciónhallaremos elpotencialcreadoenDporlasdoscargas. VA
= VB =
Q
K ⋅
r A
• Sia >> d ,(d 2 ED W
+
→
a 2
a 2)3/2 . a 3y d 2
2 ⋅ K ⋅
Q ⋅ d a 3
+
a 2)3/2 . d 3y d 2
ED
=
2 ⋅ K ⋅
Q d 2
+
i ; VD
W
• Sid >> a ,(d 2 W
28.
Q
K ⋅
d2
+
=
=
i ; VD
W
VD a2
=
Q
2K ⋅
= VA + VB =
d2
+
a 2
. a :
2 ⋅ VA = 2 ⋅ K ⋅
Q a
. d :
+
a2
=
2 ⋅ VA = 2 ⋅ K ⋅
Q d
Explica qué son las líneas de campo eléctrico y las superficies equipotenciales. Razona si es posible que se puedan cortar dos líneas de campo. Dibuja esquemáticamente las líneas de campo y las superficies equipotenciales correspondientes a una carga puntual positiva.
Laslíneasdecamposonlíneastangentes, encadapunto,alvectorintensidad decampoenesepunto.Sedibujandetal maneraqueelnúmerodelíneasdecampo queatraviesanunaunidaddesuperficie perpendicularalaslíneasesproporcional alaintensidaddelcampoenelpunto.
E 2 W
E 1 W
P
Laslíneasdecamponosepuedencortarporque,silohiciesen, enelpuntodecortehabríadosvaloresdistintosparaelcampo (dostangentesdistintas)yelcampotieneunvalorúnicoencada puntodelespacio. Lassuperficiesequipotencialessonregionesdelespacio paralascualeselpotencialeléctricotieneelmismovalor. Enconsecuencia,eltrabajoparadesplazarunacargadeunpunto aotrodeunasuperficieequipotencialesnulo: Wi→ f
= -(E P f - E Pi ) = -(q ⋅ V f - q ⋅ Vi) =
0
Paraunacargapuntualpositiva: Líneas de campo:
Superficies equipotenciales:
29.
Dos pequeñas esferas, de masa m = 5 g y con carga q , cada una, se suspenden del mismo punto mediante hilos iguales, de masa despreciable y longitud L = 0,5 m, en presencia del campo gravitatorio terrestre. ¿Cuál debe ser el valor de la carga q para que, en equilibrio, los hilos formen un ángulo a = 60°? Considera g = 10 N/kg; K =
1
=
4 pε0
N ⋅ m2
9
9 ⋅ 10
C
2
.
( Planteamoselbalancedefuerzaspara cadaunadelascargassuspendidas yenequilibrio.
L
L a
• Ejevertical:
T
W
T ⋅ cos θ = P = m ⋅ g
• Ejehorizontal:
T
W
m, q
m, q
F E
F E W
W
T ⋅ sen θ = FE = K ⋅
q ⋅ q
P
P
W
W
d 2
Laseparaciónentrelascargases d = 2 ⋅ L ⋅ sen θ .Elánguloes: θ =
a
2
= 30°
Paracalcularlacarga,dividimosmiembroamiembroysustituimos losdatosquetenemos,expresandolasmagnitudesenunidadesdelSI: T ⋅ cos θ T ⋅ senθ
→
m ⋅ g
=
K ⋅
q 2 2
(2 ⋅ 0, 5 ⋅ sen 30°) →
30.
→
2
=
q
(2 ⋅ L ⋅ sen θ)2 5 ⋅ 10-3 ⋅ 10 ⋅ sen 30° 9
→
9 ⋅ 10 ⋅ cos 30°
q = 89,5 ⋅ 10-6 C
Sean dos cargas Q 1 y Q 2 colocadas en los puntos del plano XY dados por (−d , 0) y (d , 0), respectivamente. Si Q 1 > 0 y Q 2 < 0 y se cumple ⎮Q 1⎮ = 4 ⋅ ⎮Q 2⎮, averiguar en qué puntos del plano XY el campo eléctrico es nulo.
Encualquierpuntoentrelasdoscargaselcampocreadoporcada unadeellastendrálamismadirecciónysentido;portanto, noseránulo.Elcamposeanularáenunpuntoenelqueelcampo creadoporunadelascargastengalamismadirecciónysentido contrarioqueelquecrealaotra(unpuntofueradelsegmento
quelasune)yamboscampostenganelmismomódulo. Enconsecuencia,elpuntoestaráfueradelsegmentoquelasune ymáspróximoalacargademenorvalor( Q 1): E T = E 1 W
E 1
+ E 2 W
Q 1
E 2
W
W
W
P (- x ,0)
E 1
Q 2
E 2
d
W
O
- d
W
Buscamosunpuntoalaizquierdade Q 1donde ⎮E 1⎮ = ⎮E 2⎮. W
Q 1
9 ⋅ 10 9 ⋅
(x
2
Q 2
9 ⋅ 109 ⋅
=
W
- d )
(x
+
d )2
Teniendoencuentaque ⎮Q 1⎮ =4⋅ ⎮Q 2⎮: 4 ⋅ Q 2
(x →
31.
(x
- d )
Q 2
=
2
(x
- d ) =
+
→
2
d )
(x + d ) ⋅ 2
→
(x
2
- d)
=
(x
+
2x + 2d = x - d
d )2 ⋅ 4 →
x
→
= -3d
Una carga puntual de 5 nC está situada en el origen de coordenadas de un sistema cartesiano. Otra carga puntual de −15 nC está situada en el eje OY a 30 cm del origen del mismo sistema. Calcula: a) La intensidad de campo electrostático en un punto A, situado en el eje OX, a 40 cm del origen. b) El valor del potencial electrostático en el punto A. c) El trabajo realizado por el campo de fuerzas eléctricas cuando una carga de 10 nC se desplaza desde el punto A a otro punto B de coordenadas (40 cm, 30 cm). Datos: K = 9
⋅
109 N
⋅
m2 ⋅ C−2; 1 nC
=
10−9 C.
TrabajamosenunidadesdelSI.
q 2= -15nC
B(0,4,0,3)
D(0,0,0,3)
C(0,0) q 1=5nC
A(0,4,0)
a) ParaobtenerelcampocreadoenelpuntoA(0,4,0) porlascargassituadasenD(0,0,3)yC(0,0)utilizamos elprincipiodesuperposición: E A
= E D + E C
W
W
W
Para cada carga: E
W
K ⋅
=
Q
u W
2
r
• CalculamoselcampoquelacargaqueestáenDcreaenA. r Dtieneorigenen(0,0,3)yextremoen(0,4,0).Portanto:
W
rD = 0, 4 i
0, 3 j
-
W
W
W
→ uD =
r D
0, 4 i - 0, 3 j W
W
r D
=
W
2
0, 4 i - 0, 3 j W
=
0, 5
2
0, 4 + 0, 3
W
W
Entonces: ED W
=
K ⋅
Q 2 2
r D
u D W
9
9 ⋅ 10 ⋅
=
(-15 ⋅ 10-9 ) 0,5
= -432i +
2
324 j
W
W
0, 4 i - 0, 3 j W
⋅
W
=
0, 5
N C
• CalculamoselcampoquelacargaqueestáenCcreaenA: r Ctieneorigenen(0,0)yextremoen(0,4,0).Portanto:
W
rC
W
=
0,4 i
W
→ u C W
r C
W
=
r C
=
i
W
W
Entonces: EC W
=
K ⋅
Q 1 r C2
uC
=
W
9
9 ⋅ 10 ⋅
5 ⋅ 10-9
i
W
0, 42
=
281, 25 i
W
N C
Obtenemoselcampototaloriginadoporlasdoscargas enelpuntoA: E A = E D + E C = W
= (-432 i + W
W
W
324 j ) + 281, 25 i = -150, 75 i + 324 j W
W
W
W
N C
b) TambiéncalculamoselpotencialcreadoenAporlascargas situadasenByChaciendousodelprincipiodesuperposición: VA = VD + V C. Además,conocemoslosvectorescorrespondientesacadacarga, yaqueparaelpotencialcreadoenAcoincidenconlosobtenidos enelapartadoanterior. • VD • VC
=
=
K ⋅ K ⋅
Q 2
=
9
9 ⋅ 10 ⋅
r C
= -270
0, 5
r D Q 1
(-15 ⋅ 10-9 )
=
9
9 ⋅ 10 ⋅
5 ⋅ 10-9 0, 4
=
112,5 V
V
Sumando: VA = VD + V C = -270 V + 112, 5 V = -157, 5 V c) Calculamoseltrabajoenesedesplazamientoporlarelación: WA →B = -DE P = -q ⋅ (VB - VA) HemosobtenidoelvalordelpotencialenA.Deformasimilar obtenemoselpotencialquelasdoscargasinicialescrean enB:VB = VD' + V C' . • VD' = K ⋅ • VC' = K ⋅
Q 2
(-15 ⋅ 10-9 )
9
= 9 ⋅ 10 ⋅
0, 4
r D' q 1
5 ⋅ 10-9
9
= 9 ⋅ 10 ⋅
= -337, 5 V
= 90 V
0, 5
r C'
Sumando: VB = VD' + V C' = -337, 5 V + 90 V = -247, 5 V Deacuerdoconloexpuestoalprincipiodelapartado: WA →B = -DE P = -q ⋅ (VB - VA ) = 9 7 = -10 ⋅ 10- C ⋅ (-247, 5 V + 157, 5 V) = 9 ⋅ 10- J
32.
Dos cargas puntuales de 3 10 6 C están localizadas en los puntos (0, 2) y (0, 2), respectivamente. Otras dos cargas Q están localizadas en (4, 2) y (4, 2). Sabiendo que el campo eléctrico en el origen de coordenadas es 3 106 N/C i , determinar el valor de Q . ⋅
−
−
W
⋅
Secalculaelcampoeléctrico quetodasestascargascrean enelorigendecoordenadas haciendousodelprincipio desuperposición:
A(0, 2)
C(4, 2) Q
3⋅106C
E O = E OA + E OB + E OC + E OD W
W
W
W
W
Consideramosquelospuntos citadossecorresponden conA(0,2),B(0, -2), C(4,2)yD(4,-2)yque lascoordenadas seexpresanenmetros.
O
3⋅106C
Q D(4,-2)
B(0,2)
• CampocreadoporlacargasituadaenA. Elvector r OAtieneorigenen(0,2)yextremoen(0,0).Portanto: W
rOA = -2 j
W
W
→ u OA W
=
r OA W
r O A W
-2 j
W
=
2
= - j
W
Entonces: E OA W
=
q A
K ⋅
uOA
2 r OA
9 ⋅ 10 ⋅
=
W
3 ⋅ 106
9
· (- j ) = -6, 75 ⋅ 1015 j W
4
W
• CampocreadoporlacargasituadaenB. Elvector r OBtieneorigenen(0, -2)yextremoen(0,0). Portanto: W
rOB
W
2j
=
W
→ u OB
r OB
2 j
W
W
=
W
=
r OB
= - j
W
2
W
Entonces: E OB
=
W
q B
K ⋅
uOB
=
W
2 r OB
3 ⋅ 106
9
9 ⋅ 10 ⋅
·j
W
4
=
6, 75 ⋅ 1015 j
W
• CampocreadoporlacargasituadaenC. Elvector r OCtieneorigenen(4,2)yextremoen(0,0). Portanto: W
rOC
W
= -2 j
→ u OC
W
W
=
r OC
-4 i W
W
r OC
=
2j
W
-4 i -
=
42 + 22
W
2j
W
W
20
Entonces: E OC W
=
q C
K ⋅
u OC W
2
r OC
= -4,025 ⋅ 10
=
Q
9
9 ⋅ 10 ⋅
-4 i W
⋅
20 8
⋅Q
i
-
W
2 j
W
=
20
2, 0125 ⋅ 108 ⋅ Q j
W
• CampocreadoporlacargasituadaenD. Elvector r ODtieneorigenen(4, -2)yextremoen(0,0). Portanto: W
rOC
W
= -4 i + W
2j
W
→ uOD =
r OD
-4 i + W
W
=
W
r OD
2j
-4 i +
W
W
=
W
20
42 + 22
W
2i
Entonces: E OD W
=
K ⋅
q D 2
r OD
u OD W
= -4,025 ⋅ 10
=
9
9 ⋅ 10 ⋅
Q
-4 i + W
·
20 8
⋅Q
i
+
W
2 j
W
=
20
2, 0125 ⋅ 108 ⋅ Q j
W
Sumandoloscuatrovectoresdecampocomprobamosque seanulanlascomponentesendireccióndelejeYysolo quedanlascomponentesenladireccióndeXcorrespondientes alcampoquecreanlascargasCyD: E O = E OA W
W
8
+ E OB + E OC + E OD = -2 ⋅ 4, 025 ⋅ 10 ⋅ Q W
W
→ Q = -
W
3 ⋅ 106 2 ⋅ 4, 025 ⋅ 10
i
W
=
-3
8
= -3, 73 ⋅ 10
C
3 ⋅ 106 i
→
W
33.
Q 1
a) Explica el concepto de potencial eléctrico. ¿Tiene sentido este concepto si la fuerza electrostática no fuese conservativa?
d m
c b) Dos cargas eléctricas puntuales d B 0 3 de valor Q 1 = −9 μC y Q 2 = +16 μC están fijas en el espacio ocupando dos vértices de un triángulo rectángulo 40cm A Q 2 (ver figura). Calcula el potencial eléctrico en los puntos A y B. ¿Qué trabajo realizará el campo eléctrico para llevar una carga puntual de 2 μC desde el punto B al punto A?
K =
1
N ⋅ m2
9
4 pε0
= 9 ⋅ 10
C
2
; 1 μC = 10−6 C.
a) Sedenominapotencialenunpunto( V )alaenergíapotencial delaunidadpositivadecargaenesepunto: V =
E P q
= K ⋅
Q r
Elpotencialesunamagnitudescalary,enelSistemaInternacional, semideenvoltios,V.1V =1J/C. Desdeelpuntodevistafísico,sedefineelpotencialenunpunto comoeltrabajoquerealizanlasfuerzasdelcampoparallevar launidaddecargadesdeesepuntohastafueradelcampo, convelocidadconstante. W i→ q
`
=
#
`
i
=-
F E
W
q
⋅ d r = K ⋅ Q ⋅
K ⋅ Q r
`
W
#
`
i
+
K ⋅ Q r i
→
`
1 ⋅ dr = K ⋅ Q ⋅ - = r r 2 i 1
W i→ q
`
=
K ⋅ Q r i
= V i
Notendríasentidoladefinicióndepotencialsielcampo electrostáticonofueraconservativo,yaqueparasucálculo únicamenteseconsiderasuvalorenelpuntoinicialyelfinal, ynolatrayectoriaseguida,loqueúnicamentetienesentidopara camposconservativos(eltrabajorealizadoporlasfuerzas delcampoelectrostáticodependesolodelpuntoinicial yfinaldeldesplazamiento,ynodelatrayectoriaseguida). b) Sabemosque: WA →B = -DE P = -q ⋅ (VB - VA) Haciendousodelprincipiodesuperposición,calcularemos elpotencialquelasdoscargascreanenAcomolasuma delpotencialquecadaunadeellascreaenesepunto.Deforma similar,calcularemoselpotencialqueambascargascreanenB.
EnlasexpresionesqueutilicemosempleamosunidadesdelSI paratodaslasmagnitudes. CálculodelpotencialenA. VA = VA1 + V A2 . Q 1
• VA1 = K ⋅
9
= 9 ⋅ 10 ⋅
0, 3
r A1 Q 2
• VA2 = K ⋅
(-9 ⋅ 10-6 )
9
= 9 ⋅ 10 ⋅
16 ⋅ 10-6 0, 4
r A2
= -2, 7 ⋅ 105 V
= 3, 6 ⋅ 105 V
Sumando: VA = VA1 + V A2 = -2, 7 ⋅ 105 V + 3, 6 ⋅ 105 V = 9 ⋅ 104 V CálculodelpotencialenB. VB = VB1 + V B2. Paraobtenerladistanciadecadacargaalpunto,calculamos elvalordelahipotenusa: h = 2·d = Q 1
• VB1 = K ⋅
0, 32 + 0, 42 = 0,5 m 9
= 9 ⋅ 10 ⋅
0, 25
r B1 Q 2
• VB2 = K ⋅
(-9 ⋅ 10-6 )
9
= 9 ⋅ 10 ⋅
16 ⋅ 10-6 0, 25
r B2
→
d = 0,25 m
= -3, 24 ⋅ 105 V
= 5, 76 ⋅ 105 V
Sumando: VB = VB1 + V B2 = -3, 24 ⋅ 105 V + 5, 76 ⋅ 105 V = 2, 52 ⋅ 105 V Deacuerdoconloexpuestoalprincipiodelapartado: WA →B = -DE P = -q ⋅ (VB - VA) = = -2 ⋅ 10-6 C ⋅ (2, 52 ⋅ 105 V - 9 ⋅ 10 4 V) = -0, 324 J
Eltrabajoesnegativo,loqueimplicaquelasfuerzasdelcampo nodesplazaránalapartículadesdeAhastaB.Paraqueserealice esedesplazamientohayqueaplicarunafuerzaexterna. 34.
Tres partículas cargadas Q 1 = +2 μC, Q 2 = +2 μC y Q 3 de valor desconocido están situadas en el plano XY. Las coordenadas de los puntos en los que se encuentran las cargas son Q 1: (1, 0), Q 2: (−1, 0) y Q 3: (0, 2). Si todas las coordenadas están expresadas en metros: a) ¿Qué valor debe tener la carga Q 3 para que una carga situada en el punto (0, 1) no experimente ninguna fuerza neta? b) En el caso anterior, ¿cuánto vale el potencial eléctrico resultante en el punto (0, 1) debido a las cargas Q 1, Q 2 y Q 3? K =
1 4 pε0
9
= 9 ⋅ 10
N ⋅ m2 C2
; 1 μC = 10−6 C.
a) Haciendousodelprincipio desuperposición,calculamos lafuerzaquelastrescargasejercen sobrelaqueseencuentraenel puntoD(0,1);estaráenreposo cuandolafuerzatotalqueactúe sobreellaseacero: F T W
C(0,2) Q 3 D B(-1,0)
A(1,0) Q 1
Q 2
= F 1 + F 2 + F 3 =0 W
W
W
Para cada carga: FE
W
Q ⋅ q
K ⋅
=
u r
W
2
r
• Fuerzaejercidaporlacarga Q 1queseencuentraenA(1,0). Elvectorr Atieneelorigenen(1,0)yelextremoen(0,1). Portanto: W
rA
= -i + W
W
j
W
r A
→ u A =
-i +
j
W
W
W
r A
=
-i +
W
=
12 + 12
W
j
W
W
2
Entonces: F1
W
Q 1 ⋅ q
K ⋅
=
u A
=
W
2
r A
= -6, 364 ⋅
9
9 ⋅ 10 ⋅
2 ⋅ 10-6 ⋅ q
-i +
j
W
⋅
2
W
=
2
10 3 ⋅ q ⋅ i + 6, 364 ⋅ 103 ⋅ q ⋅ j W
W
• Fuerzaejercidaporlacarga Q 2queseencuentraenB( -1,0). Elvectorr Btieneorigenen( -1,0)yextremoen(0,1). Portanto: W
rB
W
= -i + W
j
→ uB =
W
r B
i
j
+
W
W
=
W
r B
i
W
=
12 + 12
W
j
+
W
W
2
Entonces: F2
W
=
K ⋅
Q 2 ⋅ q
=
u B W
2 B
r
=
9
9 ⋅ 10 ⋅
2 ⋅ 10-6 ⋅ q
i
+
W
⋅
2
=
2
6,364 ⋅ 10 3 ⋅ q ⋅ i + 6, 364 ⋅ 103 ⋅ q j
W
W
j
W
• Fuerzaejercidaporlacarga Q 3queseencuentraenC(0,2). Elvectorr Ctieneorigenen(0,2)yextremoen(0,1). Portanto: W
rC
W
= -j
W
→ u C W
r C
=
r C
- j
W
W
=
W
= - j
W
12
Entonces: F3 = K ⋅ W
Q 3 ⋅ q r C2
u C W
=
9 ⋅ 109 ⋅
Q 3 ⋅ q 1
⋅ (- j
)
W
9
= -9 ⋅ 10 ⋅ Q 3 ⋅
q j j
W
Sumando: FT = F1 + F2 + F3 = 0 = (-6, 364 ⋅ 103 · q · i + 6, 364 · 103 · q · j ) + W
W
W
W
W
W
+ (6, 364 · 103 · q i + 6, 364 ⋅ 103 ⋅ q j ) - 9 ⋅ 109 ⋅ Q 3 ⋅ q j W
W
→
→
W
→
1, 2728 ⋅ 104 ⋅ q j = 9 ⋅ 109 ⋅ Q 3 ⋅ q j →
Q 3 =
W
1,2728 ⋅ 104
W
= 1, 414 ⋅ 10-6 C = 1, 414 mC
9 ⋅ 109
b) Denuevo,haciendousodelprincipiodesuperposición podemosobtenerelpotencialtotalenunpuntoapartir delospotencialesquecadaunadelascargasindividualescrea enesepunto:VT = V1 + V2 + V3 . • V1 = K ⋅
• V2 = K ⋅
• V3 = K ⋅
Q 1
9
= 9 ⋅ 10 ⋅
r A
= 1, 2728 ⋅ 104 V
2
Q 2 r B
9
= 9 ⋅ 10 ⋅
2 ⋅ 10-6
= 1, 2728 ⋅ 104 V
2
Q 3 r C
2 ⋅ 10-6
9
= 9 ⋅ 10 ⋅
1, 414 ⋅ 10-6 1
. 1,2728 ⋅ 104 V
Sumando: VT = V1 + V2 + V3 = 3 ⋅ 1,2728 ⋅ 104 V = 3, 8184 ⋅ 104 V 35.
Dos cargas puntuales de −5 ⋅ 10−4 C están fijas en los puntos x = 0 y x = 5 cm del eje OX. Calcular el módulo, la dirección y el sentido de la intensidad del campo eléctrico E , además del potencial electrostático V , en los puntos x = 8 cm y x = 10 cm. Si se abandona en reposo una partícula de masa m = 5 mg y carga positiva q = + 10−9 C en el punto x = 10 cm, ¿cuál será su velocidad al pasar por x = 8 cm? W
q 1 = -5⋅104C
q 2 = -5⋅10-4C
A(0, 0)
B(5, 0)
C(8, 0)
D(10, 0)
a) Podemosdeterminarlaexpresióndelcampoeléctrico encualquieradelosdospuntosC(8,0)yD(10,0)envirtud delprincipiodesuperposición: • E C = E AC + E BC W
W
W
• E D = E AD + E BD W
W
W
ConsideramosquelascargasseencuentranenA(0,0)yB(5,0) yhacemostodosloscálculosenelSIdeunidades.
• Campocreadoporq 1yq 2enC. Elvectorr ACtieneorigenen(0,0)yextremoen(0,08,0).Portanto: W
r AC =0,08 i → u AC = i W
W
W
W
Entonces: E AC = K ⋅
q A
W
⋅ u AC = W
2
r AC
(-5 ⋅ 10-4)
9
9 ⋅ 10 ⋅
i =
W
2
0, 08
-7, 03 ⋅
108 i N/C W
Elvectorr BCtieneorigenen(0,05,0)yextremoen(0,08,0). Portanto: r BC =0,03 i → u BC = i Entonces: W
W
W
E BC = K ⋅ W
q B
uBC
2
r BC
(-5 ⋅ 10-4)
9
9 ⋅ 10 ⋅
=
W
W
W
i =
W
2
0, 03
-5 ⋅ 10
9
i N/C
W
Sumando: E C = E AC + E BC = W
W
W
-7, 03 ⋅
108 i - 5 ⋅ 109 i = -5, 703 ⋅ 109 i N/C W
W
W
• Campocreadoporq 1yq 2enD. Elvector r ADtieneorigenen(0,0)yextremoen(0,1,0).Portanto: W
r AD
W
=0,1 i
→ u AD = i
W
W
W
Entonces: E AD = K ⋅ W
q A
u AD = 9 ⋅ 10
9
⋅
W
2
r AD
(-5 ⋅ 10-4) 2
0,1
· i = W
-4, 5 ⋅ 10
8
i N/C
W
Elvectorr BDtieneorigenen(0,05,0)yextremoen(0,1,0). Portanto: r BD =0,05 i → u BD = i Entonces: W
W
W
E BD = K ⋅ W
q B
uBD = 9 ⋅ 10
9
2
r BD
(-5 ⋅ 10-4)
⋅
W
W
W
i = W
2
0, 05
-1, 8 ⋅ 10
9
i N/C W
Sumando: E D = E AD + E BD W
W
W
= -4, 5 ⋅ 10
8
i
- 1, 8 ⋅
W
109 i = -2, 25 ⋅ 109 i N/C W
W
Tambiénutilizamoselprincipiodesuperposiciónparacalcular elpotencialqueambascargascreanenlospuntosCyD. • Potencialcreadopor q 1yq 2enC. VAC = K ⋅
q A
=
9
9 ⋅ 10 ⋅
(-5 ⋅ 10-4) 0, 08
r AC
VBC = K ⋅
q B
=
9
9 ⋅ 10 ⋅
(-5 ⋅ 10-4 ) 0, 03
r BC
= -5, 625 ⋅
107 V
= -1,5 ⋅ 10
8
V
Sumando: VC = VAC + V BC =
7
-5, 625 ⋅ 10
V - 1, 5 ⋅ 108 V = -2, 0625 ⋅ 108 V
• Potencialcreadopor q 1yq 2enD: VAD = K ⋅
q A
9
= 9 ⋅ 10 ⋅
(-5 ⋅ 10-4 ) 0,1
r AD q B
VBD = K ⋅
= -4,5 ⋅ 107 V
(-5 ⋅ 10-4)
9
= 9 ⋅ 10 ⋅
7 = -9 ⋅ 10 V
0, 05
r BD
Sumando: VD = VAD + V BD = -4, 5 ⋅ 107 V - 9 ⋅ 107 V = -1, 35 ⋅ 108 V b) Dadoquelainteracciónelectrostáticaesconservativa,haremosuso delprincipiodeconservacióndelaenergíamecánicaparacalcular lavelocidadquealcanzalapartículaalpasarporelpuntoCcuando esliberadaenDenreposo( v D =0): E CD + EPD = E C C + E PC → 1 →
2
m ⋅ v D2 + q ⋅ VD =
1 2
→
36.
2
m ⋅ v C2 + q ⋅ VC →
1 ⋅ 10-9 ⋅ (-1, 35 ⋅ 108) =
→
=
1
⋅ 5 ⋅ 10-3 ⋅ v C2 + 1 ⋅ 10-9 ⋅ (-2, 0625 ⋅ 108)
2 ⋅ (-0,135 + 0, 206 25)
v C =
-3
5 ⋅ 10
→
= 5, 34 m/s
En una región del espacio existe un campo eléctrico uniforme vertical, de manera que la diferencia de potencial entre dos puntos situados uno encima del otro y distantes 2 cm es de 100 V. a) ¿Qué fuerza se ejerce sobre un electrón situado en esa región del espacio? b) Si el electrón se abandona en reposo en el punto de menor potencial, ¿con qué velocidad llegará al otro punto? c) Representar gráficamente el vector campo eléctrico, la fuerza ejercida sobre el electrón, el punto de menor potencial y el punto de mayor potencial. Datos: K 9 109 N m2 C carga del electrón: 1,6 10 =
⋅
⋅
−
⋅
2
; masa del electrón: 9,1 19 C.
−
⋅
10
31
−
kg;
−
⋅
a) Sielcampoeléctricoesuniforme,secumpleque:
#
E ⋅ d r = -DV W
W
→
E ⋅ D r = -DV W
W
→
E =
V d
=
100 V 2m
= 50
N C
Conociendolacargadelelectrónyelcampoeléctricouniforme existentepodemosobtenerlafuerzaqueejercesobreelelectrón: FE = q ⋅ E W
W
→
FE = q ⋅ E = -1, 6 ⋅ 10-19 C ⋅ 50 N/C = -8 ⋅ 10-18 N
b) Suponiendoquelasúnicasfuerzasqueactúansobreelsistema sonlasfuerzaselectrostáticas: E Ci + E Pi = E C f + E P f
→
-E P f + E Pi = E C f + E Ci →
-DE P = E C f
→
-q ⋅ DV = E C f →
1 →
2
⋅ 9,1 ⋅ 10-31 ⋅ v f 2 = (-1, 6 ⋅ 10-19 ) ⋅ (-100) →
→
v f = 5, 93 ⋅ 106 m/s
c) Comoelelectrónesunapartícula concarganegativa,lafuerza V = 0V queactúasobreéltieneelsentido E F 2cm opuestoaldelcampoeléctrico. v f V = 100V Sumovimientoesdesdeelpunto demenorpotencialalpuntode mayorpotencial.Deahíque sumovimientoenestecamposeaelqueseindicaporlaflecha azulqueestáentrelasdoslíneasquemarcanlazona entrelaqueexisteladiferenciadepotencialde100V.
W
W
37.
Un dipolo eléctrico está formado por dos cargas eléctricas de valor 1 nC de signo contrario y separadas una distancia de 6 cm. a) Dibujar las líneas de fuerza del campo eléctrico de la distribución. b) Calcular el valor del campo eléctrico en un punto situado a 2 cm de la carga positiva y en otro situado a 2 cm de la negativa. c) Calcular el valor del potencial eléctrico en esos puntos. d) Si se abandona un electrón en reposo en el punto de menor potencial, calcular la velocidad que alcanzará cuando pase por el punto de mayor potencial. Datos: K 9 109 N m2 C carga del electrón: 1,6 10 =
⋅
⋅
−
⋅
⋅
2
; masa del electrón: 9,1 19 C.
−
⋅
10
31
−
kg;
−
a) Sonlíneasquesalen delacargapositiva yentranenlacarga negativa.
q A = -1nC C(-5, 0)
A(-3,0)
q B =1nC O
B(3, 0)
D(5, 0)
b) Suponemosquelascargasseencuentranenlospuntos decoordenadasA( -3,0)yB(3,0). Enamboscasosutilizaremoselprincipiodesuperposiciónpara obtenerelvalordelcampoeléctricoqueambascargascrean enlospuntosC(-5,0)yD(5,0). E C W
= E AC + E BC; E D = E AD + E BD W
W
W
W
W
• CampototalquelascargasqueseencuentranenAyBcrean enelpuntoC( -5,0). Enloscálculostendremosencuentaquelascoordenadasestán dadasencentímetros;debemosexpresarlasenmetros. Elvector r ACtieneorigenen( -3,0)yextremoen(-5,0). Portanto: W
r AC = -0,02 i → u AC = i W
W
W
W
Entonces: q A
E AC = K ⋅ W
u AC = 9 ⋅ 10
9
W
2
r AC
(-1 ⋅ 10-9 )
⋅
⋅ (-i ) = W
2
0, 02
2,25 ⋅ 104 i N/C W
Elvector r BCtieneorigenen(3,0)yextremoen( -5,0). Portanto: W
r BC = -0,08 i → u BC W
W
W
i
=
W
Entonces: q B
E BC = K ⋅ W
uBC = 9 ⋅ 10 W
2
r BC
9
(-1 ⋅ 10-9)
⋅
2
0, 08
⋅ (-i ) = W
1,406 ⋅ 103 i N/C W
Sumando: E C = E AC + E BC = 2,25 ⋅ 104 i W
W
W
+
W
1, 406 ⋅ 103 i = 2, 391 ⋅ 104 i N /C / W
W
• CampototalquelascargasqueseencuentranenAyBcrean enelpuntoD(5,0). Elvector r ADtieneorigenen( -3,0)yextremoen(5,0). Portanto: W
r AD =0,08 i → u AD W
W
W
=
i
W
Entonces: E AD = K ⋅
q A
W
2 r AD
u AD W
=
(-1 ⋅ 10-9 )
9
9 ⋅ 10 ⋅
i =
W
0, 082
-1, 406 ⋅ 10
3
i N/C
W
Elvector r BDtieneorigenen(3,0)yextremoen(5,0). Portanto: W
r BD =0,02 i → u BD W
W
W
=
i
W
Entonces: E BD = K ⋅ W
q B 2
r BD
uBD = 9 ⋅ 10 W
9
⋅
(-1 ⋅ 10-9 ) 2
0, 02
i =
W
-2, 25 ⋅ 10
4
i N/C
W
Sumando: E D = E AD W
W
+ E BD = -1, 406 ⋅ 10 W
3
i
-
W
2, 25 ⋅ 104 i = - 2, 391 ⋅ 104 i N/C W
W
Observaqueenambospuntos(CyD)elcampotieneelmismo móduloydirección,perosentidoscontrarios. c) ParacalcularlospotencialescreadosenCyD podemosutilizartambiénelprincipiodesuperposición, demaneraque: VC = VAC + V BC;VD = VAD + V BD • PotencialtotalquelascargasqueseencuentranenAyBcrean enelpuntoC( -5,0). VAC
=
VBC
K ⋅
=
q A
(-1 ⋅ 10-9 )
9
9 ⋅ 10 ⋅
=
V
0, 02
r AC
K ⋅
= -450
q B
=
9
9 ⋅ 10 ⋅
1 ⋅ 10-9
=
0, 08
r BC
112, 5 V
Sumando: VC
+ V BC = -450
VAC
=
V + 112, 5 V = -337, 5 V
• PotencialtotalquelascargasqueseencuentranenAyBcrean enelpuntoD(5,0). VAD
=
K ⋅
VBD
q A
9 ⋅ 10 ⋅
0, 08
r AD K ⋅
=
=
(-1 ⋅ 10-9 )
9
q B
=
1 ⋅ 10-9
9
9 ⋅ 10 ⋅
= -112, 5
=
V
450 V
0, 02
r BD
Sumando: VD
=
VAD
+ V BD = -112, 5
V - 450 V = 337, 5 V
d) ElpuntodemenorpotencialdondeabandonaremoslacargaesC, yobtendremossuvelocidadcuandopasaporD. Suponiendoquelasúnicasfuerzasqueactúansobreelsistema sonlasfuerzaselectrostáticas: E CC
+
→ E CC →
=
1
⋅
2 →
v D
EP C
+
=
EP C
E CD
=
+
E CD
E PD →
+
E PD →
0 + (-1, 6 ⋅ 10-19 ) ⋅ (-337, 5) =
9,1 ⋅ 1 0-31 ⋅ v D2 + (-1, 6 ⋅ 10-19 ) ⋅ 337,5
=
2 ⋅ (5, 4 ⋅ 10-17 ⋅ 2) 9,1 ⋅ 10-31
=
→
1, 54 ⋅ 107 m/s
38.
Un modelo eléctrico simple para la molécula de cloruro de sodio consiste en considerar a los átomos de sodio y cloro como sendas cargas eléctricas puntuales de valor 1,6 ⋅ 10−19 C y −1,6 ⋅ 10−19 C, respectivamente. Ambas cargas se encuentran separadas una distancia d = 1,2 ⋅ 10−10 m. Calcula: 1. El potencial eléctrico originado por la molécula en un punto O localizado a lo largo de la recta que une ambas cargas a una distancia 50d de su punto medio. Considera el caso en que el punto O se encuentra más próximo a la carga positiva. 2. El potencial eléctrico originado por la molécula en un punto P localizado a lo largo de la recta mediatriz del segmento que une las cargas y a una distancia 50d de su punto medio. 3. El trabajo necesario para desplazar a un electrón desde el punto O hasta el punto P. −19
Datos: e = 1, 6 ⋅ 10
N ⋅ m2
9
C; K e = 9 ⋅ 10
2
.
C [Nota: donde se indica molécula supón que se refiere al dipolo formado por un ion Cl− y un ion Na+.]
Esquematizamoselproblemaestableciendolalocalización delascargasylasdelospuntosOyP.Enelgráficoseexpresan suscoordenadasenunidades d . P
(0,50d )
B
A (-d /2,0)
O
(d /2,0)
(50d ,0)
1. CalculamoselpotencialenOhaciendousodelprincipio desuperposición: VO = VAO + V BO • VAO = K ⋅
• VBO = K ⋅
q A
9
= 9 ⋅ 10 ⋅
r AO q B r BO
9
= 9 ⋅ 10 ⋅
(-1,6 ⋅ 10-19 ) -10
50, 5 ⋅ 1, 2 ⋅ 10 1, 6 ⋅ 10-19
-10
49, 5 ⋅ 1, 2 ⋅ 10
= -0,238 V
= 0, 242 V
Sumando: VO = VAO + V BO = -0, 238 V + 0, 242 V = 4 ⋅ 10-3 V 2. CalculamoselpotencialenPhaciendousodelprincipio desuperposición: VP = VAP + V BP LadistanciadePalospuntosAyBes: (0, 6 ⋅ 10-10 )2 + (50 ⋅ 1, 2 ⋅ 10-10 )2 ≈ 6 ⋅ 10-9 m
rAP = r BP = Por tanto: • VAP = K ⋅
• VBP = K ⋅
q A
9
= 9 ⋅ 10 ⋅
r AP q B
9
= 9 ⋅ 10 ⋅
r BP
(-1,6 ⋅ 10-19 )
= -0,24 V
-9
6 ⋅ 10
1, 6 ⋅ 10-19 -9
6 ⋅ 10
= 0,24 V
Sumando: VP = VAP + V BP = 0 3. Sabemosque: WO →P = -DE P = -q ⋅ (VP - VO ) = = -(-1, 6 ⋅ 10-19 C) ⋅ (0 - 4 ⋅ 10-3 V) = -6, 4 ⋅ 10-22 J
Eltrabajoesnegativo,loqueindicaquelasfuerzasdelcampo nodesplazaránelelectróndesdeOhastaP;habráqueaplicaruna fuerzaexternaparalograrlo. 39.
N
Sobre la circunferencia máxima de una esfera de radio R = 10 m están colocadas equidistantes entre sí seis cargas positivas iguales y de valor q = 2 μC. Calcule:
q
a) El campo y el potencial debidos al sistema de cargas en uno cualquiera de los polos (puntos N y S).
q
q
q
q
O
q
S
b) El campo y el potencial debidos al sistema de cargas en el centro O de la esfera. a
E 2 W
E 1 W
N
a) Podemoscalcularelcampo eléctricoenalgunodelospolos, envirtuddelprincipio desuperposicióndeuna distribucióndecargascomo: E T = W
a
r q
q
E 2
q
W
E 1 W
O
q
q
q
∑ E i
W
i
siendoE ielcampocreado por cualquiera de las cargas enelpuntoconsiderado.
S
W
r 2 = R2 + R2 cos a =
R r
→
=
r=
2R 2 =
R 2
=
R
2 ⋅R 1 2
Sumóduloesigualparatodaslascargasdelsistema ysecorrespondecon: E i = K ⋅
q r
2
9
= 9 ⋅ 10 ⋅
2 ⋅ 10-6 2
2 ⋅ 10-6
9
= 9 ⋅ 10 ⋅
(
r =
9 ⋅ 10 9 ⋅ 2 ⋅ 10-6 2
2
10 + 10
R 2 + R 2
)
2
=
= 90 N/C
Sidescomponemoselcampoquecreacadapartícula ensucomponenteverticalyhorizontal,vemosquecada partículatieneotracolocadadeformasimétrica,demodo quelascomponenteshorizontalesdeambasseanulan. Enconsecuencia,alhacerlasumavectorialdelcampocreado porlasseispartículasseanulanlascomponenteshorizontales, quedandosolounacomponenteverticalqueesigualaseisveces lacomponenteverticaldelcampoquecreaunadeellas: ▶
Ei = W
1
∑ E i = 6 ⋅ 90 ⋅ cos a i = 6 ⋅ 90 ⋅ W
W
cosa
i = 381, 84 ⋅ i
W
2
i
N
W
C
Tambiénporelprincipiodesuperposiciónobtenemoselpotencial creadoporladistribuciónenelcentro: VT = 6 ⋅ V siendoV elpotencialquecreaunacargaenelpolo,queesigual paratodaslascargas. q
V = K ⋅
9
= 9 ⋅ 10 ⋅
= 1,27 ⋅ 103 V
→
2 ⋅ 10
2 · R →
2 ⋅ 10-6
V T = 6 ⋅ 1, 27 ⋅ 103 V = 7, 62 ⋅ 103 V
b) Elcentrodelacircunferenciacorrespondealpuntomedio decadaparejadedoscargasdelmismosigno.Sabemos queenelpuntomediodelalíneaqueuneadoscargas igualeselcampoesnulo;portanto,porelprincipio desuperposición,elcampototalcreadoporlastres parejasdecargasenesepuntoserátambiénnulo. E T 0. =
Tambiénporelprincipiodesuperposiciónobtenemoselpotencial creadoporladistribuciónenelcentro: VT = 6 ⋅ V siendoV elpotencialquecreaunacargaenelcentro,queesigual paratodaslascargas. V = K ⋅ →
q R
9
= 9 ⋅ 10 ⋅
2 ⋅ 10-6 10
= 1, 8 ⋅ 103 V
V T = 6 ⋅ 1, 8 ⋅ 103 V = 1, 08 ⋅ 104 V
→
40.
¿Qué conclusiones se pueden sacar del hecho de que el flujo neto a través de una superficie gaussiana sea cero? a) El campo eléctrico es cero en toda la superficie. b) No hay cargas eléctricas en el interior. c) La suma algebraica de las cargas en el interior es cero. Larespuestacorrectaeslac).Deacuerdoconelteorema deGauss,elflujodependedelacargatotalcontenida dentrodelasuperficiequeseconsidere.Paraquelacarga totalseanula,puedeserquenoexistancargasenelinterior, peroúnicamenteesuncasoparticulardeunomásgeneral enelquesepuedentenercargaspositivasynegativas,siempre ycuandoelvalortotalpositivoynegativoseiguale,deforma queeltotalseanulo.
41.
a) Cargamos una esfera de plomo de 2 mm de radio a un potencial de 500 V. Determina la carga de la esfera. b) Introducimos la esfera cargada en una caja de cerillas. Determina el flujo eléctrico a través de la caja. ε0 =
8,85
⋅
10
12
−
⋅
C2
⋅
N
1
−
⋅
m
2
−
.
a) DeacuerdoconelteoremadeGauss,sedetermina elpotencialdeunaesferacargadadeacuerdo conlaexpresión:
#
VR = -
R
R
#
E ⋅dr = W
W
`
`
Q
Q
K ⋅ ur ⋅ d r = -K ⋅ 2 R R 2 W
W
#
R
dr = K ⋅
`
Q R
Segúnesto,conociendoelradio R delaesferaysupotencial podemosdeterminarsucarga: Q =
VR ⋅ R K
=
500 ⋅ 2 ⋅ 10-3 9 ⋅ 109
= 1,11 ⋅ 10-10 C
b) EnvirtuddelteoremadeGauss,elflujoqueatraviesa unasuperficieesfunciónúnicamentedelacargaqueseencierra conesasuperficieydelaconstantedieléctrica;nodepende delvalordelasuperficie: Q encerrada φ= ε Enestecaso,lacargaencerradaeslacargadelaesferacalculada enelapartadoanterior,Q : φ=
1,11 ⋅ 10-10 C 8, 85 ⋅ 10-12
2
C N ⋅ m2
= 12,55 Wb
42.
En el interior de un conductor esférico cargado y en equilibrio electrostático se cumple: a) El potencial y el campo aumentan desde el centro hasta la superficie de la esfera. b) El potencial es nulo, y el campo, constante. c) El potencial es constante, y el campo, nulo.
Enunconductoresféricocargadoyenequilibriolascargastotales sedistribuyenporlasuperficiedelmismo,demanera queensuinteriornoexistencargas.EnvirtuddelteoremadeGauss, larespuestacorrectaeslac),yaqueelcampototalseránulo y,portanto,supotencialseráconstante. 43.
Si el flujo del campo eléctrico a través de una superficie gaussiana que rodea a una esfera conductora cargada y en equilibrio electrostático es Q / ε0, el campo eléctrico en el exterior de la esfera es: a) Cero b) Q /4pε0r 2 c) Q / ε0
Dadoque,pordefinicióndeflujodecampoeléctrico,severifica φ queE = ,lasrespuestasa)yc)conincorrectas, S siendolab)laexpresiónquesecorrespondealcampoeléctrico enelexteriordelasuperficiedeunaesfera. 44.
Dos conductores esféricos concéntricos y huecos tienen de radios 2 y 4 cm. La esfera interior lleva una carga de 12 ⋅ 10 9 C, y la exterior, 20 ⋅ 10 9 C. Determinar el campo eléctrico y el potencial a estas distancias del centro: 1, 3 y 5 cm. −
−
• Distanciade1cm: Lacargaencerradaporunasuperficie gaussianaderadio1cmnocontiene ningunacarga,porloquesuflujoserá φ nulo.DadoqueE = ,seránulo S tambiénelcampoeléctrico.Porotra parte,parapuntosinterioresalaesfera cargada,E =0→ V =constante.
5cm 12 ⋅10-9C 3cm 1cm
2cm 4cm
20 ⋅10-9C
Suvalorcoincideconelde V RcuandoR =2cm +elvalor deV RcuandoR =4cm: Q Q + K ⋅ = VT = VR (2 cm) + VR (4 cm) = K ⋅ R (2 cm) R (4 cm) 9
0 ⋅ = 9 ⋅ 10
12 ⋅ 10-9
9
+ 9 ⋅ 10 ⋅
2 ⋅ 10-2
20 ⋅ 10-9 4 ⋅ 10-2
= 9, 9 ⋅ 10 3 V
• Distanciade3cm: Aestadistancialacargaencerradaporlasuperficiegaussiana esladelaprimeraesferacargadaderadio2cm. ParacualquiersuperficiedeGaussfueradelaesfera: φ=
$
E ⋅ dS = W
W
Q encerrada ε
Elconductoresféricosecomportacomounpuntomaterialsituado enelcentrodelaesferayquecontengatodalacargadelamisma. E = K ⋅
Q 1 r 2
9
= 9 ⋅ 10 ⋅
12 ⋅ 10-9
(3 ⋅ 10-2 )2
= 1, 20 ⋅ 105 N/C
Elpotencialenesepuntoseráeldebidoalconductorinterior máseldebidoalconductorexterior. –Potencialdebidoalconductoresféricointeriorenunpuntoexterior: Vr = K ⋅
Q 1
9
= 9 ⋅ 10 ⋅
r
12 ⋅ 10-9 3 ⋅ 10-2
= 3, 6 ⋅ 103 V
–Potencialdebidoalconductoresféricoexteriorenunpuntointerior almismo,V RcuandoR =4cm: 9
V R = 9 ⋅ 10 ⋅
20 ⋅ 10-9 4 ⋅ 10-2
= 4,5 ⋅ 103 V
Sumando: V T = V r + V R = 3, 6 ⋅ 103 V + 4, 5 ⋅ 103 V = 8,1 ⋅ 103 V • Distanciade5cm: Enestecaso,lacargatotalencerradaporlasuperficiedeGauss eslasumadelascargasdelosdosconductoresesféricos. Elrazonamientoescualitativamenteigualaldelapartadoanterior. ParacualquiersuperficiedeGaussfueradelaesfera: φ=
$
E ⋅ dS = W
W
Q encerrada ε
Losconductoresesféricossecomportancomounpuntomaterial situadoenelcentrodelaesferayquecontengatodalacarga. E = K ⋅
Q r 2
9
= 9 ⋅ 10 ⋅
12 ⋅ 10-9 + 20 ⋅ 10-9
(5 ⋅ 10-2 )2
= 1,152 ⋅ 105 N/C
Deformaparecidapodemosobtenerelpotencialenunpunto exterioralconductoresférico: Vr = K ⋅
45.
Q r
9
= 9 ⋅ 10 ⋅
12 ⋅ 10-9 + 20 ⋅ 10-9 5 ⋅ 10-2
= 5, 76 ⋅ 103 V
Tres pequeñas esferas conductoras, A, B y C, todas ellas de igual radio y con cargas Q A = 1 μC, Q B = 4 μC y Q C = 7 μC se disponen horizontalmente. Las bolitas A y B están fijas a una distancia de 60 cm entre sí, mientras que la C puede desplazarse libremente a lo largo de la línea que une A y B. a) Calcule la posición de equilibrio de la bolita C. b) Si con unas pinzas aislantes se coge la esfera C y se le pone en contacto con la A dejándola posteriormente libre, ¿cuál será ahora la posición de equilibrio de esta esfera C? Nota: es imprescindible incluir en la resolución los diagramas de fuerzas oportunos.
a) LaposicióndeequilibriodelaesferaCseráaquellapara laquelasfuerzaselectrostáticasqueactúansobreellafruto delascargasAyBseigualenenmódulo.Sussentidosson opuestosparaamboscasos,yaquetodaslascargassonpositivas, porloquetodaslasfuerzassonrepulsivas. • FA = K ⋅
• FB = K ⋅
QA ⋅ Q C x
9
= 9 ⋅ 10 ⋅
2
Q B ⋅ Q C
1 ⋅ 10-6 ⋅ 7 ⋅ 10-6
x 9
2
(0,6 - x )
= 9 ⋅ 10 ⋅
2
=
4 ⋅ 10-6 ⋅ 7 ⋅ 10-6 2
(0,6 - xx )
63 ⋅ 10-3
x 2 =
252 ⋅ 10-3
(0,6 - x )2
x Q A =1mC
Q B =4mC
F A
F B
W
W
Q C =7mC 60cm
Ycomodebenseriguales: 63 ⋅ 10-3
x
2
→
=
252 ⋅ 10-3 2
→
(0, 6 - x )
0,6 - x = x ⋅ 2
→
(0, 6 - x )2 = x 2 ⋅ 4
→
x = 0,2 m = 20 cm
Laposicióndeequilibrioestá20cmaladerechadelacargaA. b) Aluniralasesferasconunhiloconductoralcanzarán elequilibrioelectrostático,demaneraquesuspotenciales seigualarán.
Comolasesferassondeigualradio,lacargatotaldeambasse repartiráapartesigualesentrelasdos,demaneraquelanueva distribucióndecargaserátalque: QA = Q C =
1 ⋅ 10-6 C + 7 ⋅ 10-6 C 2
= 4 ⋅ 10-6 C
Repetimosloscálculosparalaposicióndeequilibrioconesta nuevadistribucióndecarga: • FA = K ⋅
• FB = K ⋅
QA ⋅ Q C x
2
9
= 9 ⋅ 10 ⋅
QB ⋅ Q C
4 ⋅ 10-6 ⋅ 4 ⋅ 10-6 2
x 9
2
(0, 6 - x )
= 9 ⋅ 10 ⋅
4 ⋅ 10-6 ⋅ 4 ⋅ 10-6 2
(0,6 - xx )
=
144 ⋅ 10-3
=
x 2 144 ⋅ 10-3
(0,6 - x )2
Enestecaso,comotodaslascargasdelsistemasoniguales, (Q A = Q B = Q C =4mC)lafuerzageneradaporcada unadelascargasAyBsobreCseráigualenelpuntomedio entrelasdoscargasAyB:x =30cmserálaposicióndeequilibrio paralacargaC. 46.
Dos esferas metálicas de 5 cm y 10 cm de radio se cargan a 1000 V y −1000 V, respectivamente. Una vez cargadas se alejan hasta una distancia de 10 m, que se puede considerar muy grande comparada con los radios. Estas esferas ¿se atraen o se repelen? ¿Con qué fuerza? Las dos esferas se ponen en contacto mediante un hilo metálico. Al cabo de un rato se corta el hilo. En esta nueva situación, ¿con qué fuerza se atraen o se repelen? ¿Cuál ha sido la variación de energía del sistema entre la situación inicial y la final? Dato: K = 1/(4πεo) = 9 ⋅ 109 N ⋅ m2 ⋅ C−2.
a) Calculamoslacargadelasesferasmetálicasconociendo elpotencialensusuperficie: • Q A =
• Q B = =
VA ⋅ R A K VB ⋅ R B K
=
1000 ⋅ 5 ⋅ 10-2 9 ⋅ 109
= 5,556 ⋅ 10-9 C = 5,556 nC
=
-1000 ⋅ 10 ⋅ 10-2
9 ⋅ 109
= -11,112 ⋅ 10-9 C = -11,112 nC
Lasesferasseatraerán,puestoquesucargaesdediferente signo. Aunadistanciamuchomayorquesuradiosecomportan comocargaspuntualessituadasenelcentrodelaesfera.
Podemoscalcularelmódulodelafuerzaconlaqueseatraen apartirde: F = -9 ⋅ 10
9
K ⋅
=
QA ⋅ Q B 2
=
R
5, 556 ⋅ 10-9 ⋅ 11,112 ⋅ 10-9
⋅
= -5, 556 ⋅
102
10-9 N
b) Aluniralasesferasconunhiloconductor,alcanzaránelequilibrio electrostático,demaneraquesuspotencialesseigualarán. VA
=
VB
K
→
⋅
Q A
K
=
R A QA
→
⋅
Q B
5
→
10
Q B
=
-2
-2
5 ⋅ 10
R B Q B
=
QA
→
Q A
=
→
10 ⋅ 10
Q B 2
Comolacargadelsistemaseconserva: -9
+ Q B = -5, 556 ⋅ 10
QA
C
Relacionandolasexpresionesanteriores: QA
+
2 ⋅ Q A = -5, 556 ⋅ 10-9 C
→
Q B →
Q A
=
10-9 C
-5, 556 ⋅
3
-9
= -1, 852 ⋅ 10
C
Y tenemos entonces: QB
=
2 ⋅ Q A = -2 ⋅ 1, 852 ⋅ 10-9 C = -3, 704 ⋅ 10-9 C
Calculamoslafuerzaconlaqueserepelen(porsercargas delmismosigno)enestaocasión: F 9
9 ⋅ 10 ⋅
=
47.
-1, 852 ⋅
K ⋅
=
QA ⋅ Q B 2
=
R
10-9 ⋅ (-3, 704 ⋅ 10-9 ) 102
=
6,1738 ⋅ 10-9 N
Un electrón, con una velocidad de 6 106 m s 1, penetra en un campo eléctrico uniforme y su velocidad se anula a una distancia de 20 cm desde su entrada en la región del campo. ⋅
⋅
−
a) Razone cuáles son la dirección y el sentido del campo eléctrico. b) Calcule su módulo. e
=
1,6
⋅
10
19
−
C; m e
=
9,1
⋅
10
31
−
kg.
a) Comoseapreciaenelesquemadelapáginasiguiente,paraque sumovimientoseadecelerado(suvelocidadseanulatrasentrar enelcampo),elcampoeléctricodebetenerlamismadirección
ysentidoquelavelocidaddelelectrón. Elelectrónesunapartículadecarganegativa, ylafuerzaqueelcampoejercesobreella esdesentidoopuestoaldelpropiocampo. Estoes,sielelectrónsemueveenladirección ysentidodei ,elcampoeléctricotendrá direcciónysentidode i ,puestoquesucarga esnegativa.
F E W
v
W
E
W
W
W
b) F E = q ⋅ E = m ⋅ a x.Sustituimoslosdatosexpresándolos enunidadesdelSI: W
W
W
-19
-1,6⋅10
-31
⋅ E =9,1⋅10 W
a
⋅
[1]
W
Comoelcampoesconstante,lafuerzaqueactúasobreelelectrón tambiénloes.Portanto,tendráunmovimientouniformemente acelerado.Utilizamossusecuacionesparaestudiarelmovimiento delelectrón. Sedetienea20cmdelinicio;esdecir,aesadistanciasuvelocidad sehace0: v
v0
=
→
6
0 = 6 ⋅ 10 + a ⋅ t
-
→
6 ⋅ 106
a
=
t
Por otra parte: y
=
v 0t
1
+
at 2
2
→
20 ⋅ 10-2 = 6 ⋅ 106 ⋅ t →
1 2
⋅
6 ⋅ 106 ⋅ t →
t = 6,67 ⋅ 10-8 s
Por tanto: a =
-
6 ⋅ 106
= -
6 ⋅ 106 m/s -8
6, 67 ⋅ 10
t
13
m/ s2
= -8, 995 ⋅ 10
s
Yretomandolaecuaciónanterior[1]: -19
-1, 6 ⋅ 10
= -
48.
⋅E = W
-31
9,1 ⋅ 10
⋅
a
W
→
9,1 ⋅ 10-31 ⋅ (-8, 995 ⋅ 1013 )
E = W
9,1 ⋅ 1 0-31 ⋅ a W
-
-19
=
1,6 ⋅ 10
i → E E = 551, 59 i N/C
W
1,6 ⋅ 10-19
W
W
Un protón se acelera desde el reposo bajo la acción de un campo eléctrico uniforme E 640 N/C. Calcular el tiempo que tarda en alcanzar una velocidad de 1,2 106 m/s. = ⋅
Datos: Q protón
=
1,6
⋅
10
−
19
C; m protón
F E W
→
a =
q ⋅ E m
=
=
=
1,67
⋅
10
27
−
kg.
q ⋅ E = m ⋅ a x → W
W
1, 6 ⋅ 10-19 ⋅ 640 1, 67 ⋅ 10-27
=
6,131 ⋅ 1010 m/ /s2
Comoelcampoesconstante,elprotóntendráunmovimiento uniformementeacelerado.Calculamoseltiempoquetardaenalcanzar esavelocidadconlaecuacióncorrespondiente: v = v 0 + at →
49.
t =
→
1,2 ⋅ 106 m/s
1, 2 ⋅ 106 m/s 6,131 ⋅ 1010 m/s2
= 0 + 6,131 m/s2 ⋅ 1010 ⋅ t
= 1, 957 ⋅ 10-5 s = 19, 57 ms
Una pequeña esfera cargada de masa m se encuentra en equilibrio en el seno del campo gravitatorio terrestre y de un campo electrostático de módulos g y E , respectivamente, teniendo ambos la misma dirección y sentido. Determina la carga de la esfera en función de m , g y E , e indica su signo.
Paraquelacargaestéenequilibrio,lafuerza gravitatoriaylafuerzaelectrostáticaqueactúan sobreelladebenserigualesenmóduloyopuestas. Comoloscampos g yE tienenlamismadirección ysentido,lacargadebesernegativa,afin dequelafuerzaeléctricatengasentidopuesto alcampo.Suvalorserá: W
F E W
W
P = m ⋅ g = FE = E ⋅ q → q =
50.
→
E
W
P W
m ⋅ g E
Una partícula, de 0,1 g de masa y 1 μC de carga se mueve a la velocidad de 1 m/s en dirección horizontal cuando entra en una zona donde existe un campo eléctrico uniforme de 200 N/C en la dirección vertical. Calcula: a) El punto en que incidirá con una pantalla perpendicular situada a 1 m del lugar donde aparece el campo eléctrico. b) La energía cinética que tiene la partícula en ese instante. a) Lapartículasigueun movimientoparabólico; sumovimientoes uniformeenelejeX yuniformemente aceleradoenelejeY. y Suposiciónencada instantevienedadaporlas coordenadas(x , y ),donde:
v o
W
E
W
• x = v 0 ⋅ t • y =
1 2
ay ⋅ t 2
x
Calculamoslaaceleración: F E = q ⋅ E = m ⋅ a y W
W
W
sustituyendolosdatosexpresadosenunidadesdelSI: a y =
q ⋅ E
=
1 ⋅ 10-6 ⋅ 200
m
0,1 ⋅ 10-3
2 = 2 m/s
Cuandoalcanzalapantallaperpendicularalcampo,lapartícula harecorrido1menladirecciónvertical: y =
1 2
ay ⋅ t 2
→
1m=
1 2
⋅ 2 m/s2 ⋅ t 2
→
t = 1 s
Eldesplazamientohorizontalquesehaproducidoenesetiempoes: x = v 0 ⋅ t = 1 m/s ⋅ 1 s = 1 m b) Suponiendoquelasúnicasfuerzasqueactúansobrelapartícula sonlaselectrostáticas,seconservalaenergíamecánicaporqueson fuerzasconservativas. E Ci + E Pi = E C f + E P f
→
E Ci + E Pi - E P f = E C f
→
E Ci - DE P = E C f [ 1]
Comoelcampoesuniforme,podemosconsiderarladiferencia depotencialaunaciertadistanciadelmismopormediode laexpresión: DV = -d ⋅ E . DE P = q ⋅ DV = -q ⋅ d ⋅ E
Retomandolaecuación[1]: E Ci - DE P = E C f
1 →
2
m ⋅ v i2 + q ⋅ d ⋅ E = E C f
SustituyendolosdatosexpresadosenunidadesdelSI: 1 2
51.
⋅ 0,1 ⋅ 10-3 ⋅ 12 + 1 ⋅ 10-6 ⋅ 1 ⋅ 200 = E C f
→
E C f = 2, 5 ⋅ 10-4 J
Cada uno de los electrones que componen un haz tiene una energía cinética de 1,6 ⋅ 10−17 J. a) Calcula su velocidad. b) ¿Cuál será la dirección, sentido y módulo de un campo eléctrico que haga que los electrones se detengan a una distancia de 10 cm, desde su entrada en la región ocupada por el campo? (Carga del electrón: e = −1,6 ⋅ 10−19 C; masa del electrón: m e = 9,1 ⋅ 10−31 kg.)
a) Laenergíacinéticaes: EC =
1 2
m ⋅v
2
→
v =
2 ⋅ E C
m
=
2 ⋅ 1, 6 ⋅ 10-17 9,1 ⋅1 0-31
= 5, 93 ⋅ 106 m/s
b) Comoseapreciaenelesquema,paraquesu F E movimientoseadecelerado(suvelocidad v seanulatrasentrarenelcampo),elcampo eléctricodebetenerlamismadirección E ysentidoquelavelocidaddelelectrón. Elelectrónesunapartículaconcarganegativa, ylafuerzaqueelcampoejercesobreellaesdesentido opuestoaldelpropiocampo. Estoes,sielelectrónsemueveenladirecciónysentido de i ,elcampoeléctricotendrádirecciónysentidode i ,puesto quesucargaesnegativa. W
W
W
W
W
F E = q ⋅ E = m ⋅ a x W
W
W
SustituimoslosdatosexpresándolosenunidadesdelSI: -1,6⋅10-19 ⋅ E =9,1⋅10-31 ⋅ W
a
[1]
W
Comoelcampoesconstante,lafuerzaqueactúasobreelelectrón tambiénloes;portanto,tendráunmovimientouniformemente acelerado.Utilizamossusecuacionesparaestudiarelmovimiento delelectrón. Sabiendoquesedetienea10cmdelinicio: y = v 0t +
1 2
at 2
→
10 ⋅ 10-2 = 5, 93 ⋅ 106 ⋅ t +
1 2
a ⋅ t 2
[2]
Por otra parte: v = v 0 + at
→
6
0 = 5, 93 ⋅ 10 + a ⋅ t
-
→
5, 93 ⋅ 106
=
t
a
Sustituyendoenlaecuación[2]: -2
10 ⋅ 10
6
= 5,93 ⋅ 10 ⋅ t -
1
5,93 ⋅ 106
⋅
2
t
⋅t
2
→
t = 3,373 ⋅ 10-8 s
Yentoncesnos queda: -
5, 93 ⋅ 106
=
t
a
→
5, 93 ⋅ 106
a = -
14
3, 373 ⋅ 10-8
= -1, 76 ⋅ 10
m/s2
Elsignomenosindicaquelaaceleraciónseoponealavelocidad (sentidoopuestoai ). W
Yretomandolaecuación[1]: -19
-1, 6 ⋅ 10
-31
⋅ E = 9,1 ⋅ 10 W
⋅
a
W
→
9,1 ⋅ 10-31 ⋅ (-1, 76 ⋅ 1014 i )
E = W
9,1 ⋅ 1 0-31 ⋅ a W
-19
-1, 6 ⋅ 10
W
=
-19
-1,6 ⋅ 10
→
E = 1000 i N/C W
W
=
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