soluciones ejercicios logaritmos

Ejercicio 20 Resuelve:

a) log 100 

2

b) log 100 000 

5

c) log 0'1 

1

d ) log 0'000 001 

6

e) log 1027 

27

f ) log 10

g ) log 6 36 

2

h) log8 8 



i) log3 311 

11

j ) log 2 0'5 

1

2

2



Ejercicio 21 Resuelve:

a ) log 4 2 Igualamos a x y aplicamos la definición: log 4 2  x 4 x  2;

2 x

2 

 2; 2 2 x  21  2 x  1;

x



4x  2 ;

1 1 ; por tanto: log 4 2  2 2

b) log 10 Igualamos a x y aplicamos la definición: log 10  x  10 x  10 ; x

1 2

x

10  10; 10  10 ;

x

3 2

x

1 3

c) log 2 8  x  2  2

3

d ) log3 3  x  3  3

x

1 1 ; por tanto: log 10  2 2

 x

3 3 ; por tanto: log 2 8  2 2

1 1  x  ; por tanto: log 3 3 3  3 3

(Continuación)

e) log13 1  x

 13 x  1  x  0 ; por tanto: log13 1  0

f ) log 2 0 '125  x



2 x  0 '125; 2 x 

125 1   2 3  x  3 ; 1000 8 por tanto: log 2 0 '125  3

g ) log 5 0 ' 2  x  5 x  0 ' 2; 5 x 

2 1   51  x  1 ; por tanto: 10 5 log 5 0 ' 2  1

x

1 h ) log 1 27  x     27; 3 x  33  x  3 ; por tanto: log 1 27  3  3 3 3 x

1 1 1 1 4 i ) log 1  x     ; 3 x  34  x  4 ; por tanto: log 1 81 81 3 81   3 3 x

j ) log 1 10

3 3  1  x 1000  x     1000; 10  10 2  x  ; por tanto: 2  10 

log 1

1000 

10

Ejercicio 22 a) Halla la base en la cual el logaritmo de 16 es 2:

log x 16  2 

x 2  16;

x 2  42  x  4

b) Halla la base en la cual el logaritmo de 125 es 3:

log x 125  3 

x 3  125;

x 3  53  x  5

c) Halla la base en la cual el logaritmo de 729 es 3:

log x 729  3 

x 3  729;

x 3  36 ;

3

x 3   32   x  9

d) Halla la base en la cual el logaritmo de 27 es -3: 3

log x 27  3 

x

3

 27;

x

3

3

3 ;

x

3

1 1 1  3     x  3 3 3

3 2

Ejercicio 23 Calcula el valor de x en las siguientes igualdades: 3 a ) log x  3 ; aplicando la definición: 10  x  x 

1 ; 103

x

1 1000

4 4 b) log x 0 '5  4 ; aplicando la definición: x  0 '5  x  0 '5 ; x 

4

x

5 1 5 1 5 x 2    32  x  2  2  2  x  2 2 2

c) log 1 32  x 2

Hay tres consecuencias inmediatas de la definición: El logaritmo de 1 es cero (en cualquier base) El logaritmo de la base es 1:

base x  1  x  0

logbasebase  x  base x  base  x  1

Sólo tienen logaritmo los números positivos: loga N  x  a x  N Como a > 0, a x  0 siempre. (el ejercicio 24 es de calculadora)

Ejercicio 25 Aplicando propiedades (de momento sólo conoces una), obtén:

log 40  log 25  log  40  25  log1000  3 Ejercicio 26 Simplifica la expresión

log



 x  1  1  log   x  1  1

Aplicando la propiedad del producto:

log   log  

 

 x  1  1    x  1  1  x  1 

2

1 1 ; x 4 2 2

se trata de una suma por diferencia:

 12   log  x  1  1  log x 

Ejercicio 27 Aplicando propiedades obtén:

log 80  log 8  log

80  log10  1 8

Ejercicio 28 Sabiendo que

log x  log y  1 , encuentra la relación que existe entre x e y:

log x  log y  1 ; aplicando la propiedad del cociente: log 1 y por la definición de logaritmo: 10 

x x   10; y y

x  1; y

x  10 y

Ejercicio 29 Aplicando propiedades obtén: 1 2

1 1 1 log 4 4  log 4 4  log 4 4  1  2 2 2 Ejercicio 30 Sabiendo que

log 2  0 '3 , calcula:

a ) log 8  log 23  3  log 2  3  0 '3  0 '9 b) log 5  log

10  log 10  log 2  1  0'3  0'7 2

c ) log 125  log

53  23  log 1000  3log 2  3  3  0 '3  2 '1 23

d ) log 0 '64  log

64  log 26  log 100  6  0 '3  2  0 ' 2 100

Ejercicio 31 Sabiendo que

log 5  0 ' 69 , calcula:

a ) log 500  log 5  log 100  0 '69  2  2 '69 b) log 0'5  log

5  log 5  log 10  0 '69  1  0 '31 10

Ejercicio 32 Opera (sin calculadora):

a) log 2  log 5  log 10  1 b) log 40  log 5  log 20  log

c)

 log 25  log 4  log

5

40  5 200  log  log 10  1 20 20 3 5

3 6 1000  log100  log10  2  1  5 5

Ejercicio 33 Simplifica las siguientes expresiones:

a) 2log a 5  log a 4  log a 10  log a 25  4  log a 10  log a 10 1 1 b) log a 12   log a 9  log a 3 2

12 12  8   log a  log  log a 2 a 3 2 93 8 

c) log x 4  log x 3  4 log x  3log x  log x d ) 1  log 2  log 10  log 2  log 20 e) 3  log 2  log 1000  log 2  log 500 f ) log x3  2 log x  3log x  2 log x  5log x

Ejercicio 34 Expresa la propiedad anterior con una expresión matemática:

log a A  log a B  A  B Ejercicio 35 Pasa a forma algebraica las siguientes expresiones:

a ) log A  2 log x  3log y  2 log 5 log A  log x 2  log y 3  log 52 log A  log 25 x 2  log y 3

25x 2 25 x 2 log A  log 3 ; tomando antilogaritmos: A  3 y y b) log B  log  x  y   log  x  y  log B  log  x  y  x  y   log B  log  x 2  y 2  ; tomando antilogaritmos: B  x 2  y 2 x 2 3 log C  log x  log 25  log 2 1 x

c ) log C  3log x  log 32  log

log C  log x 3   log 25  log 2 1 x  x2 x3 x2 log C  log 4  log C  log ; tomando antilogaritmos: C  16 2 x 16 Ejercicio 36 Pasa a forma logarítmica las siguientes expresiones:

a)

A  x2 y3z4

log A  log  x 2 y 3 z 4  log A  log x 2  log y 3  log z 4 log A  2 log x  3log y  4 log z

a 3b 4 b) B  2 c

a 3b 4 log B  log 2 c log B  log  a 3b 4   log c 2 log B  3log a  4log b  2log c 2

c) C 

3

mn ñ5o

2

1 3

 mn  log C  log  5  ño 1 log C   log  mn 2   log  ñ5o   3 1 log C   log m  2 log n   5log ñ  log o   3 1 log C   log m  2 log n  5log ñ  log o  3