SOLUCIONARIO4esomate
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Descripción: matematicas 4º eso sm...
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1.
Números reales ........................................................................................................... 4
2.
Expresiones algebraicas............................................................................................. 34
3.
Ecuaciones y sistemas .............................................................................................. 66
4.
Inecuaciones y sistemas .......................................................................................... 100
5.
Semejanza y trigonometría ....................................................................................... 126
6.
Aplicaciones de la trigonometría .............................................................................. 152
7.
Geometría analítica ................................................................................................. 172
8.
Funciones ................................................................................................................ 198
9.
Funciones elementales ............................................................................................ 226
10. Introducción al concepto de límite ........................................................................... 256 11. Introducción al concepto de derivada ...................................................................... 286 12. Combinatoria ........................................................................................................... 314 13. Probabilidad ............................................................................................................. 344 14. Estadística ............................................................................................................... 368
1 Números reales LEE Y APRENDE ¿Qué representan los números de los 10 primeros versos? Los números de los primeros versos son los primeros decimales del número Pi. ¿Qué quiere decir la autora al afirmar ¡Oh, qué corta es la cola del cometa…!? La autora considera que la cola de un cometa es pequeña comparada con el número de decimales del número Pi.
ANALIZA Y REFLEXIONA ¿Qué características tiene el número Pi? ¿A qué conjuntos de números pertenece? El número Pi tiene infinitos decimales que no siguen ningún patrón numérico. El número Pi pertenece al conjunto de los números irracionales. ¿Conoces algún otro número con las mismas características? Respuesta libre.
Actividades propuestas 1.
2.
Señala si los siguientes números son racionales o irracionales. a) 5,372 727 272…
c) 3,545 445 444 5…
b) 0,127 202 002 000…
d) 8,666 126 712 67…
a) Racional
c) Irracional
b) Irracional
d) Racional
Indica todos los conjuntos numéricos a los que puedan pertenecer estos números.
3 ; − 2; 1,2525...; 2,010010001...; − 4; 0,26 5 Irracionales: − 2 ; 2,010010001…
Enteros: –4 Racionales: –4;
3.
3 ; 1,2525…; 0,26 5
Di si estas frases son verdaderas o falsas. a) Todo número decimal es racional. b) El número
12 pertenece a , , y . 3
b) Verdadera, porque
Unidad 1| Números reales
(
d) Existe la fracción
(
12 =2 3
)
c) El número –1 pertenece al intervalo − 25, − 3 8 .
a = 3, 414114111411114... b
)
c) Falsa, porque − 25, − 3 8 = ( −5, −2 )
a) Verdadera.
4
Reales: Todos
d) Falsa, porque 3,414114… es un número irracional.
4.
5.
Calcula estos valores absolutos. a) │–7 + 2│
c) ││–5│–│–8││
b) │7 – │–9││
d) ││–9│+│2│ · │–5││
a) │–7 + 2│= │–5│ = 5
c) ││–5│–│–8││ = │5 – 8│ = │–3│ = 3
b) │7 – │–9││ = │7 – 9│ = │–2│ = 2
d) ││–9│+│2│·│–5││ = │9 + 2 · 5│ = │9 + 10│ = │19│ = 19
Aproxima
10 = 3,162 277 66… con tres cifras significativas y calcula el error absoluto y el error relativo.
3,162 277 66… ≈ 3,16 EA = |3,162 277 66 – 3,16| = 0,002 277 66 = ⇒ ER
0,002 277 66 = 0,000 720 259 ⇒ 0,07 % 3,162 277 66
6.
Actividad resuelta.
7.
Encuentra todos los números x que verifican estas igualdades. a) │x – 1│ = 2
b) │x + 2│ = 5
c) │3 – x│ =
4 5
a) Como │x – 1│ = 2 = d(x, 1), se buscan los números que distan 2 unidades de 1. x = 1 + 2 = 3 y x = 1 – 2 = –1 b) Como │x + 2│ = │x – (–2)│ = 5 = d(x, –2), se buscan los números que distan 5 unidades de –2. x = –2 + 5 = 3 y x = –2 – 5 = –7 c) Como │3 – x│ = x=3+
4 4 = d(3, x) = d(x, 3), se buscan los números que distan unidades de 3. 5 5
4 19 4 11 = yx=3– = 5 5 5 5
8.
Representa en la recta real los números
9.
¿Qué es mayor,
6>
6 o
7 , 2
12 , 2 3 .
7 ? Para averiguarlo, representa estos números en la recta real. 3
7 3
Números reales | Unidad 1
5
10. Escribe como semirrectas o intervalos las siguientes desigualdades. a) x ≥ –3
c) x < 7 y x > –8
e) 7 < x y x ≥ 9
b) –5 ≤ x < 7
d) 8 > x
f) x < –3 y x ≥ 1
a) [–3, +∞)
c) (–8, 7)
e) [9, +∞)
b) [–5, 7)
d) (–∞, 8)
f) ∅
11. Expresa con desigualdades y gráficamente los siguientes intervalos y semirrectas. a) [–1, +∞)
c) (–∞, 3)
b) (–2, 0]
d) [4, 8]
a) [–1, +∞) = {x ∈ / x ≥ –1}
c) (–∞, 3) = {x ∈ / x < 3}
b) (–2, 0] = {x ∈ / –2 < x ≤ 0}
d) [4, 8] = {x ∈ / 4 ≤ x ≤ 8}
12. Señala si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas. a) E[1, 2] = [–1, 3]
c) E(–2, 3) = (–5, 0)
b) E(0, 1) = [–1, 1]
d) E(4, 2) = (3, 5]
a) Verdadera
c) Falsa, porque E(–2, 3) = (–5, 1)
b) Falsa porque E(0, 1) = (–1, 1)
d) Falsa, porque E(4, 2) = (2, 6)
13. En el siglo XII, el matemático indio Bhaskara aseguró que: Dibuja un segmento de longitud
8 + 2 y otro de longitud
8+ 2= 18 18 , y compruébalo.
14. Responde en cada caso, expresando el resultado como un intervalo y como una desigualdad. a) ¿Qué números reales están a la vez en los intervalos (–7, 5] y [–6, 3]? b) ¿Qué números enteros están a la vez en las semirrectas (–∞, –2] y (–6, +∞]? a) [–6, 3] = {x ∈ / –6 ≤ x ≤ 3} b)
{–5, –4, –3, –2} = {x ∈ / −5 ≤ x ≤ −2}
15. Escribe los siguientes números como potencias cuya base sea un número primo. a) 8, 125, 243, 1024, 2401 b)
1 1 1 1 1 , , , , 625 343 256 81 32
a) 8 = 23; 125 = 52; 243 = 35; 1024 = 210; 2401 = 74 b)
6
1 1 1 1 1 = 2−5 = 5 −4 ; = 3 −4 ; = 7 −3 ; = 2−8 ; 32 625 343 256 81
Unidad 1| Números reales
16. Haz estas operaciones con potencias. −3
3 9 b) ⋅ 4 8
a) 4–3 · 42 : (4)–1
1 −2 c) 5 −3 5
2
2
a) 4–3 · 42 : (4)–1 = 40 = 1 −3
3
2
2
26 3 4 22 3 2 3 9 b) ⋅ = ⋅ 3 = 3 ⋅ 6 = 3 3 2 4 8 3 2 2
−4 1 −2 1 c) 5 −3 = 5 −3 ⋅ = 5 −3 ⋅ 5 4 = 5 5 5
17. Actividad resuelta. 18. Calcula x en cada una de estas igualdades. a) 2 · 162 · 32–7 = 2x
c) 102x · 10 000 = 0,001
b) 3 · 272 · 9–7 = 3x
d) 1002x ·
1 = 0,1–2 1000
a) 2 · 162 · 32–7 = 2 · 28 · 2–35 = 2–26 ⇒ x = –26 b) 3 · 272 · 9–7 = 3 · 36 · 3–14 = 3–7 ⇒ x = –7 c) 102x · 10 000 = 0,001 ⇒ 102x · 104 = 10–3 ⇒ 102x + 4 = 10–3 ⇒ 2x + 4 = –3 ⇒ x = − d) 1002x ·
7 2
1 5 = 0,1–2 ⇒ 104x · 10–3 = 102 ⇒ 104x – 3 = 102 ⇒ 4x – 3 = 2 ⇒ x = 1000 4
19. Simplifica al máximo estas expresiones. 4 ⋅ ( 10 −2 ) ⋅ 102 3
a)
12 ⋅ 10 −3 4 ⋅ (10 −2 ) ⋅ 102 10 −6 ⋅ 102 = = 12 ⋅ 10 −3 3 ⋅ 10 −3 3
a)
25 ⋅ ( 102 ) ⋅ 121 −5
b)
11⋅ 75 ⋅ 10 −9
b)
25 ⋅ (102 ) ⋅ 121 52 ⋅ 10 −10 ⋅ 112 11 11 = = = 11⋅ 75 ⋅ 10 −9 11⋅ 3 ⋅ 52 ⋅ 10 −9 3 ⋅ 10 30
b)
( 0,00012 ) ⋅ 106 −5 ( 1000−1 ) ⋅ 10−3
b)
(10 ) ⋅ 10 (10 ) ⋅ 10
−5
1 30
20. Expresa como potencia de 10 y opera.
( 0,0001−2 )
a)
3
−2
⋅ 1002
0,1⋅ 10000 ⋅ 10−5 −2 (0,0001 ) ⋅ 1002 (10−4 ) ⋅ 104 = = 3
a)
−4 −4
−6
0,1⋅ 10000 ⋅ 10−5
10−1 ⋅ 104 ⋅ 10−5
10
30
3 5
6
−3
= 1010
21. Actividad resuelta. 22. ¿Qué es mayor 3111 o 1714? Ayuda: piensa en 16 y 32 y ten en cuenta que 3111 < 3211 y 1614 < 1714. 11
31
256 < 3211 = (25)11 = 255 == 2 11
Por tanto, 31
24 ) (= 14
2
1614 < 1614 < 1714 2
14
< 17
Números reales | Unidad 1
7
23. Expresa en notación científica. a) La distancia media de Plutón al Sol: 5 913 500 000 km b) La masa de un átomo de hidrógeno: 0,000 000 000 000 000 000 000 001 661 g a) 5 913 500 000 km = 5,9135 · 109 km b) 0,000 000 000 000 000 000 000 001 661 gr = 1,661 · 10–24 g 24. Copia en tu cuaderno y completa: Escritura decimal 25 000 000
Escritura n · 10p
0,000 0043
●●●
●●●
Notación científica ●●● ●●●
●●●
–3
29 · 10
●●●
●●●
438 · 105
●●●
Escritura decimal 25 000 000
Escritura n · 10p 25 · 106
Notación científica 2,5 · 107
0,000 0043
43 · 10–7
4,3 · 10–6
–3
29 · 10
2,9 · 10–2
43 800 000
438 · 105
4,38·107
0,000 348
348 · 10–6
3,48 · 10–4
130 000
13 · 104
1,3 · 105
0,029 –4
●●●
●●●
3,48 · 10
●●●
●●●
1,3 · 105
25. María tiene que dar la respuesta de una actividad en notación científica, pero el profesor le dice que su respuesta no está bien. ¿Cuál es la respuesta correcta en notación científica?
16
La respuesta correcta sería 0,25 · 10
= 2,5 · 1015.
26. Actividad resuelta. 27. Si a = 2,3 · 108, b = 5,1 · 107, c = 4,6 · 10– 5, resuelve las siguientes operaciones y escribe el resultado en notación científica. a) a + b
b) a · b
c) a · c
d)
a c
a) a + b = 2,3 · 108 + 5,1 · 107 = 2,3 · 108 + 0,51 · 108 = 2,81 · 108 b) a · b = (2,3 · 108) · (5,1 · 107) = 11,73 · 1015 = 1,173 · 1016 c) a · c = (2,3 · 108) · (4,6 · 10–5) = 10,58 · 103 = 1,058 · 104 d)
a 2,3 ⋅ 108 = = 0,5 ⋅ 1013 = 5 ⋅ 1012 c 4,6 ⋅ 10 −5
28. Actividad interactiva. 29. Calcula mentalmente y escribe en tu cuaderno el valor de los siguientes radicales.
8
1
d)
40
81
e)
3
c) − 6 64
f)
− 36
a) 1
d) No es real.
g) 2
b) ±3
e) –10
h) ±0,1
c) –2
f) –6
i) No es real.
a)
55
b)
4
Unidad 1| Números reales
−1
g)
5
32
−1000
h)
4
0,0001
i)
4
−81
30. Expresa los siguientes radicales como potencias y simplifícalos. a)
3
729
c)
b)
4
1024
d)
a)
3
729 =
b)
4
= 1024
1
( 36 )=3
2 3= 9
2 2=
e)
10
81
8
f)
12
15 625
e)
10
81 =
f)
12
15 625 =
= 125
c)
5
1
4 ( 210 )=
6
125
5 5
1
23 ) 6 (=
6
5 2= 4 2
1
53 ) 2 (=
8 d) =
2
2
1
10 ( 3 4 )=
5 3=
1
12 ( 5 6 )=
5
9 1
2 5=
5
31. Calcula el valor de las siguientes potencias. 2
3
a) 25 2
c) 343 3 4
5
b) 49 2
d) 125 3
3
3
52 ) 2 (=
a) = 25 2 5
4
5
72 ) 2 (=
c) = 49 2
2
3 c) 343 =
125
3 16 807 d) 125 =
2
73 ) 3 (= 4
53 ) 3 (=
e) 160,25
g) 270,3
f)
h) 6250,25
810,75 1
49
0,25 e) 16 =
24 ) 4 (=
625
f)
0,75 81 =
34 ) 4 (=
( 3)
3
1
33 ) 3 (=
2 g) = 270,3 0,25
27 h) 625
3 1
= ( 54 ) 4 = 5
32. Expresa como un solo radical. a)
3
2⋅33⋅34
c)
b)
4
4 :42⋅48
d)
a) b) 33.
3
4
c)
3 2⋅3 3⋅3 4 = 24
4 : 4 2⋅48 =
4
d)
16 = 2
5
3
4
: 5 27
512 ⋅ 6 64
) : 27 ( 3= 4
5
3
5
5
= 3 4 : 5 33
5
3
512 ⋅ 6 64 = 6 29 ⋅ 6 26 = 6 215 = 25 = 4 2
Aplica las propiedades de los radicales y simplifica las siguientes expresiones. a)
4 3
4
a)
4 3
= 4
24
12
= 22
2
b)
3
8
b)
3
= 8
12
= 23
4
2
3
4
26
3 d) 64
c)
3
4
26 = 4 2
d) 3 64 =
0,5 34. Explica cómo expresiones tan distintas como 2 , 1
3
1
6 ( 23 )=
6 8=
1
6 2 2= 2= 20,5 =
2
c)
2
6
2 212 = 2= 4
1
2 y 8 6 pueden ser equivalentes.
2
35. Actividad resuelta. 36. Reduce a índice común y ordena de mayor a menor los siguientes radicales. a)
4
4,
b)
5
5,
a)
4 = 4
b)
5
8
8,
6
2,
10
24
= 46
6 20 24
= 212
2 5 = 10 25 y=
24
8 8 24 ⋅ 4 4 , =
10
32 ⇒
10
24
= 83
24
6 29 y = 6
24
= 64
24
24·34 ⇒
8
8 0, entonces
2 D = a + a + 1.
2 D = a + a + 1 = a(a + 1) + 1 y, como a(a + 1) es siempre par, entonces a(a + 1) + 1 es entero impar.
Por tanto,
D es entero impar.
La respuesta correcta es la C.
28
Unidad 1| Números reales
154. Si x verifica que A. x > B. −
1 1 > −3 , entonces: 2x y 1< –3x, es decir, x < y x < – , que, al ser x < 0, 2 x x 3 1 1 se reducen a x < – . Así pues, los números x que verifican las desigualdades dadas son los que verifican x > 2 3 1 y los que verifican x < – . 3 Las condiciones
La respuesta correcta es la A.
155. A =
6+ 2 yB= 4
2+ 3 verifican: 2
A. A2 > 1
C. A < B
B. A = B
D. A > B
A2 =
2+ 3 2+ 3 6 + 2 + 2 12 = y B2 = . 4 4 16
Como A2 = B2 y ambos son positivos, entonces A = B. La respuesta correcta es la B. 156. Si log2 a + log2 b ≥ 6, el valor mínimo de a + b es: A. 2 2
C. 8 2
B. 6
D. 16
log2 a + log2 b = log2 (ab) > 6, siendo a, b > 0. Por tanto, ab > 26 = 64. El valor mínimo de a + b se dará cuando ab = 64. Si dos números tienen producto constante, su suma será mínima cuando sean iguales, es decir, a + b = 16. La respuesta correcta es la D.
Números reales | Unidad 1
29
Encuentra el error 157. La profesora ha pedido resolver este problema por parejas: Si a y b son números reales positivos, simplifica la expresión E =
a 2 + b 2 + 2ab − a 2 + b 2 − 2ab a 2 + b 2 + 2ab + a 2 + b 2 − 2ab
Alicia y Pedro transforman la expresión teniendo en cuenta el cuadrado de un binomio. = E
•
(a + b)
2
(a + b)
2
−
(a − b)
2
= 2 + (a − b)
a + b − ( a − b ) 2b b = = a+b+a−b 2a a
Pedro comprueba con a = 5 y b = 2 que el resultado es correcto: 5 2 + 22 + 2 ⋅ 5 ⋅ 2 − 5 2 + 22 − 2 ⋅ 5 ⋅ 2 = 5 2 + 22 + 2 ⋅ 5 ⋅ 2 + 5 2 + 22 − 2 ⋅ 5 ⋅ 2
•
b 2 49 − 9 4 2 = En efecto, obtuvo el resultado esperado = = a 5 10 5 49 + 9
Alicia comprueba el resultado con otros valores, a = 5, b = 7. 5 2 + 72 + 2 ⋅ 5 ⋅ 7 − 5 2 + 72 − 2 ⋅ 5 ⋅ 7 144 − 4 10 5 = = = 2 2 2 2 144 + 4 14 7 5 + 7 + 2⋅5⋅7 + 5 + 7 − 2⋅5⋅7 b 7 = . realizado debería haber obtenido a 5
Pero según esta simplificación que han
¿Dónde está el error? La expresión no es cierta si b > a. En este caso E =
30
Unidad 1| Números reales
(a − b )
2
= b − a y el desarrollo sería:
a + b − ( b − a ) 2a a = = 2b b a+b+b−a
PONTE A PRUEBA ¿Como cuánto? Actividad resuelta Publicidad engañosa Un anuncio televisivo propone cuatro tipos de ofertas a los clientes de unos grandes almacenes.
1.
Estudia cada una de las ofertas y di cuál es la mejor si quieres comprar 2, 3, 4, 5 o 6 productos iguales. Descuento oferta 3 x 2 Descuento oferta 50% Descuento oferta 20% Descuento oferta 30%
2.
2 artículos 0% 25 % 20 % 20 %
3 artículos 33,33 % 16,66 % 13,33 % 30 %
4 artículos 25 % 25 % 20 % 22,5 %
5 artículos 20 % 20 % 16 % 18 %
6 artículos 33,33 % 25 % 20 % 30 %
La publicidad da a entender que la oferta descuento 20% es la más conveniente. a) ¿Es cierto en todos los casos? b) ¿Qué ventajas puede tener sobre las otras? a) No es cierto siempre. Por ejemplo, si se compran 3 artículos iguales es la oferta menos conveniente. b) Esta oferta tiene la ventaja de que se hace un descuento del 20% únicamente comprando dos artículos. Aún así, incluso en este caso, hay otra oferta mejor (50%).
El logaritmo del amoniaco Las siglas pH significan “potencial de hidrógeno”. Se trata de una escala que mide cómo de ácida o básica es una sustancia. Los ácidos fuertes, como el ácido sulfúrico, tienen altas concentraciones de iones de hidrógeno, y las soluciones alcalinas fuertes, como la sosa cáustica, tienen concentraciones bajas. La concentración de una sustancia se expresa como el número de moles por litro. Por ejemplo, el vinagre tiene 0,001 mol/l. Para evitar trabajar con números tan pequeños, en 1909 el químico danés Sørensen construyó una escala logarítmica para medir las concentraciones: el pH. El pH es el opuesto del logaritmo de la concentración de moles de iones de hidrógeno. pH (vinagre) = –log 0,001 = –log(10–3) = 3 • Si el pH = 7, se dice que la sustancia es neutra.
● Si el pH < 7, es ácida.
● Si el pH > 7, es básica.
Por ejemplo, el pH del amoniaco es 12, y el del vino, 4. 1.
La concentración mínima es de 10–14 moles/litro. ¿Cuál es el valor máximo que puede tomar el pH? –14
El valor máximo que puede tomar el pH es –log (10 2.
) = 14.
Considera el amoniaco, el vino y el vinagre. a) ¿Cuáles de ellos son básicos y cuáles ácidos? b) ¿Cuál es la concentración de moles por litro en cada uno de ellos? c) ¿Cuántas veces es mayor la concentración de iones de hidrógeno en el amoniaco que en el vino? a) El amoniaco es básico y, el vino y el vinagre, ácidos. b) La concentración del amoniaco es 10–12 moles/litro, la del vino, 10–4, y la del vinagre, 10–3. c) La concentración del amoniaco es 10–4 : 10–12 = 108 veces mayor que la del vino.
Números reales | Unidad 1
31
3.
¿Cuántas veces es más ácida una sustancia cuyo pH es 2 que una cuyo pH es 4? Como la acidez de la sustancia que tiene pH 2 es 10–2 y de la que tiene pH 4 es 10–4, es 100 veces más ácida.
4.
Para el cuerpo humano son corrosivas las sustancias con un pH menor que 3,5, y son cáusticas aquellas con un pH superior a 11,5. Relaciona el pH con las sustancias e indica cuáles no son adecuadas para el cuerpo humano. Zumo de limón
Café
Leche
Dentífrico
Lejía
pH = 5
pH = 6,5
pH = 2,3
pH = 9,9
pH = 13
pH limón = 2,3; pH café = 5; pH leche = 6,5; pH dentífrico = 9,9; pH lejía = 13 El amoniaco y la pasta de dientes no son sustancias adecuadas para el cuerpo humano.
AUTOEVALUACIÓN 1.
Representa en la recta real
5 y 3
13 . ¿Son racionales o irracionales?
5 2 = 1 + es racional. 3 3
2.
13 es irracional.
Un número real x cumple |x – 2| < 3. Describe los posibles valores de x gráficamente, con intervalos y mediante desigualdades. |x – 2| < 3 ⇔ x ∈ (−1,5) ⇔ −1 < x < 5 ⇔
3.
Escribe en notación científica el resultado de: (0,26 · 10–4) ⋅ (8,53 · 109)2 + 7,2 · 1013 (0,26 · 10–4) ⋅ (8,53 · 109)2 + 7,2 · 1013 = (0,26 · 10–4) ⋅ (72,7609 · 1018) + 7,2 · 1013 = 18,917834 · 1014 + 7,2 · 1013 = 1,8917834 · 1015 + 0,072 · 1015 = 1,9637834 · 1015
4.
Realiza las operaciones y simplifica el resultado. a)
3
b) a)
3
b) c)
c)
3⋅42
d) 4 50 − 3 128 + 5 72
5 2 := 3
15
3⋅4 2 =
4
3
4
2=
25 : 15= 33
32 ⋅ 4 2 =
6
= 24
15
4
18
= 22
3
3
25 ⋅ 3 −3
4
d) 4 50 − 3 128 + 5 72 = 20 2 − 24 2 + 30 2 = 26 2
32
Unidad 1| Números reales
3
2
4
2:53
5.
Opera y simplifica. a)
(
)(
18 − 20 ⋅
2− 5
)
b) 2 48 − 3 675 + 588 a)
)(
(
18 − 20 ⋅
c)
(
d)
(2 + 8 ) ⋅ (3 − 2 )
12 + 3
)
2
)
2 − 5 =16 − 5 10
b) 2 48 − 3 675 + 588 = 8 3 − 45 3 + 14 3 = −23 3
6.
c)
(
d)
(2 + 8 ) ⋅ (3 − 2 ) = 6 − 2
12 + 3
)
2
= 12 + 3 + 2 36 = 27 2 +6 2 −4 = 2+4 2
Calcula el valor de x en estas igualdades. a) 4x = (2–3)5
b)
( 5)
x
c) 0,001–5 · 100x = 0,015
= 25
x –3 5 2x –15 a) 4 = (2 ) ⇒ 2 = 2 ⇒ x = −7,5
b) 7.
x
0,015 ⇒ 1015 ⋅ 102x = 10 −10 ⇒ x = −12,5 c) 0,001−5 ⋅ 100 x =
x
−2 16 ⇒ 4 − x = 42 ⇒ x = d) 0,25 x =
= 25 ⇒ 5 2 = 52 ⇒ x = 4
Racionaliza estas expresiones. a) a)
8.
( 5)
d) 0,25x = 16
4
b)
8 4 4 8 = = 8 8
8 2 2 = = 2 2
1 3
c)
12
1 b) = 3 12
2
3
122 23 18 = = 12 12
3
18 6
c)
1 7+ 3 1 7+ 3
7− 3 4
=
Sabiendo que log 2= 0,301…., calcula: a) log 5
b) log 20
c) log 16
d) log5 2
a) log 5 = log 10 – log 2= 0,699
c) log 16 = 4log 2 = 1,204
b) log 20 = log 2 + log 10 = 1,301
d) log = 5 2
log 2 0,301 = = 0, 431 log 5 0,699
3
9.
x3 7 y2 z 4 Toma logaritmos en la expresión A = . t2 3
3
2 3 x3 7 y 2 z 4 x3 7 y 2 z 4 log log A= A ⇒ = ⇒ log A = 3 log x + log y + log z − 2log t 2 2 7 4 t t
10. Elimina los logaritmos en la expresión log A =
log A =
1 2 log x + log y − 8log z . 5 9
5 1 2 x ⋅ 9 y2 log x + log y − 8 log z ⇒ log A = log 5 x + log 9 y 2 − log z 8 ⇒ log A = log ⇒ A= 5 9 z8
5
x ⋅ 9 y2 z8
Números reales | Unidad 1
33
2 Expresiones algebraicas ANALIZA Y RESPONDE ¿Qué relación hay entre el pasatiempo Une los puntos y una película de animación? Al igual que en el pasatiempo Une los puntos, en una película de animación se marcan los puntos clave de los personajes y, mediante un programa de ordenador, se enlazan dichos puntos para generar el movimiento de los personajes. ¿Qué es un spline cúbico? Un spline cúbico es un polinomio de tercer grado.
REFLEXIONA Y SACA CONCLUSIONES ¿Por qué el autor afirma que Todas las películas de animación modernas están llenas de polinomios? El autor afirma que Todas las películas de animación modernas están llenas de polinomios porque el movimiento de los personajes se generan dibujando splines cúbicos. Y los splines cúbicos son polinomios de tercer grado. ¿A qué crees que se refiere el autor cuando habla de curvas suaves? Las curvas suaves son curvas que no poseen puntos angulosos.
Actividades propuestas 1.
Encuentra la expresión algebraica que describe cada uno de los siguientes enunciados. a) El perímetro de un rectángulo de base b y altura h. b) El área de un rombo de diagonal mayor D y diagonal menor d. c) El volumen de un prisma de base cuadrada de lado x y altura h. d) La propiedad distributiva de tres números reales a, b y c. e) El producto de potencias de base a y exponentes n y m es una potencia de base a cuyo exponente es la suma de los exponentes. f) El logaritmo en base a de x es y. a) P = 2 ·(b + h) b) A =
2.
D ⋅d 2
c) V = x2 · h
e) an · am = an + m
d) a(b + c) = ab + ac
f) loga x = y
¿Cuál de estas expresiones algebraicas es un monomio? 4 x
c) 3x–2
a)
12x
a)
12x = 12 x 2 no es un monomio porque el exponente de la variable x no es un número natural.
b)
b)
d) x 2 3
1
4 = 4x −1 no es un monomio porque el exponente de la variable x no es un número natural. x
c) 3x–2 no es un monomio porque el exponente de la variable x no es un número natural. d) x 2 3 sí es un monomio.
34
Unidad 2| Expresiones algebraicas
3.
Relaciona en tu cuaderno las magnitudes indicadas correspondientes a un triángulo equilátero de lado x con los monomios de la columna derecha.
3 x 2
1. Perímetro 2. Área
3x
3 2 x 4
3. Altura Perímetro: 3x
4.
Área:
3 2 x 4
Altura:
3 x 2
Explica cuáles de las siguientes expresiones algebraicas son polinomios y cuáles no. a) A(x) = x + 15 b) B(= x)
c) C( x= )
x3 − 13 5
d) D( x )=
5 + 23 x x x −x +3
a) Sí es un polinomio porque es la suma de varios monomios no semejantes. b) Sí es un polinomio porque es la suma de varios monomios no semejantes. c) No es un polinomio porque no es la suma de varios monomios no semejantes, ya que monomio, al ser el exponente de la variable x un número no natural.
5 = 5x −1 no es un x 1
x = x 2 no es un
d) No es un polinomio porque no es la suma de varios monomios no semejantes, ya que monomio, al ser el exponente de la variable x un número no natural. 5.
Actividad resuelta.
6.
Completa la tabla indicando los monomios, el grado y el valor numérico en x = –2, y = –3, z = 2 del polinomio P(x, y) = x2y3 + 3xy – 2x + 2.
7.
Monomio
●●●
●●●
●●●
●●●
●●●
Monomio
x2y3
3xy
–2x
2
P(xyz)
Grado
●●●
●●●
●●●
●●●
●●●
Grado
5
2
1
0
5
Valor numérico
●●●
●●●
●●●
●●●
●●●
Valor numérico
–108
18
4
2
–84
Dado el polinomio P(x) = x2 – 2x – 15: a) Calcula P(1), P(–1), P(0) y P(1000). b) ¿Para qué valores de x el valor numérico de P(x) se hace cero? a) P(1) = –16, P(–1) = –12, P(0)= –15, P(1000) = 997 985
{
2 ± 4 + 60 2 ± 64 2 ± 8 5 b) P( x ) =0 ⇒ x 2 − 2x − 15 =0 ⇒ x = = = = −3 2 2 2
8.
La trayectoria de una pelota de tenis viene dada por la expresión algebraica H = 2,2 + 7t – t2, donde H es la altura de la pelota en metros y t es el tiempo en segundos. a) Indica el grado del polinomio y los monomios que lo forman. b) Halla la altura a la que se encuentra la pelota, para cada uno de estos tiempos. t=0s
t=3s
t = 5,5 s
t=7s 2
a) Grado del polinomio: 2
Monomios: 2,2; 7t; –t
b) t = 0: H = 2,2
t = 5,5: H = 2,2 + 7 · 5,5 – 5,52 = 10,45
t = 3: H = 2,2 + 7 · 3 – 32 = 14,2
t = 7: H = 2,2 + 7 · 7 – 72 = 2,2
Expresiones algebraicas | Unidad 2
35
9.
Considera un triángulo isósceles cuyo lado desigual mide la mitad que uno de los lados iguales. Llama x al lado menor y encuentra la expresión algebraica del perímetro y del área. Si el lado desigual mide x, cada uno de los otros dos lados medirá 2x. 2
x2 x Calculamos la altura, h, mediante el teorema de Pitágoras: (2x )2 = h 2 + ⇒ 4x 2 = h 2 + ⇒h= 4 2
15 x x⋅ 2 El área del triángulo = es A( x ) = 2
15 x 2
15 x 2 . El perímetro es P(x) = 5x. 4
10. Expresa con un polinomio la fórmula del volumen de los siguientes ortoedros. a) Sus aristas miden x, 2xy y 3z + 1, respectivamente. b) Sus dimensiones son números consecutivos, siendo x el mayor de ellos. a) V = x · 2xy · (3z + 1) = 6x2yz + 2x2y b) Las aristas medirán x, x – 1 y x – 2: V = x · (x – 1) · (x – 2) = x · (x2 – 2x – x + 2) = x · (x2 – 3x + 2) = x3 – 3x2 + 2x. 11. El cuadrado de la figura tiene lado y. a) Escribe un polinomio que exprese el área del pentágono sombreado. b) Si x = 3 cm e y = 10 cm, calcula el área sombreada. a) A ( x, y ) = y2 − b) A ( 3,10 ) =
x (y − x) xy − x 2 2y 2 − xy + x 2 y2 − = = 2 2 2
2 ⋅ 102 − 3 ⋅ 10 + 32 200 − 30 + 9 179 cm2 = = 2 2 2
5 2 πx asociados a distintas figuras 3 geométricas. Relaciona en tu cuaderno las cantidades de estas tres columnas.
) 12. Sean los polinomios E ( x )= 4πx 2 , F ( x ) =2πx 2 + 10πx y G( x= Volumen de un cono de radio 3 y altura 5
E(3)
36 π
Área de un cilindro de altura 5 y radio 3
G(3)
15 π
Volumen de una esfera de radio 3
F(3)
48 π
Vcono=
π⋅3 ⋅5 5 = ⋅ π ⋅ 32= 15π= G ( 3 ) 3 3 2
Acilindro = 2 ⋅ π ⋅ 32 + 2 ⋅ π ⋅ 3 ⋅ 5= 2 ⋅ π ⋅ 32 + 10 ⋅ π ⋅ 3= 48π= F ( 3 )
Vesfera =
4 ⋅ π ⋅ 33 = 4 ⋅ π ⋅ 32 = 36π= E ( 3 ) 3
13. Dados los polinomios A(x) = 2x – 1, B(x) = –2x2 + 3x – 5 y C(x) = 4x3 – 3x2 + 1, calcula: a) A(x) – B(x)
c) 2x2 · A(x) – C(x)
b) A(x) · B(x)
d) [A(x) – C(x)]2
2 2 2 a) A(x) – B(x) = 2x – 1 – (–2x + 3x – 5) = 2x – 1 + 2x – 3x + 5 = 2x – x + 4 2 3 2 2 3 2 b) A(x) · B(x) = (2x – 1) · (–2x + 3x – 5) = –4x +6x – 10x + 2x – 3x + 5 = –4x +8x – 13x + 5 2 2 3 2 3 2 3 2 2 c) 2x · A(x) – C(x) = 2x · (2x – 1) – (4x – 3x +1) = 4x – 2x – 4x + 3x –1 = x –1
d) [A(x) – C(x)]2 = [2x – 1 – (4x3 – 3x2 +1)]2 = (–4x3 + 3x2 + 2x – 2)2 = (–4x3 + 3x2 + 2x –2) · (–4x3 + 3x2 + 2x – 2) = = 16x6 – 12x5 – 8x4 + 8x3 – 12x5 + 9x4 + 6x3 – 6x2 – 8x4 + 6x3 + 4x2 – 4x + 8x3 – 6x2 – 4x + 4 = 16x6 – 24x5 – 7x4 + 28x3 – 8x2 – 8x + 4
36
Unidad 2| Expresiones algebraicas
14. Si el grado de P(x) es 2 y el de Q(x) es 3, ¿qué grado tienen los siguientes polinomios? a) P(x) · Q(x) b) P(x) + [Q(x)]2 a) El grado de P(x) · Q(x) es grado (P(x)) + grado (Q(x)); es decir, 2 + 3 =5. b) El grado de P(x) + [Q(x)]2 es el grado de [Q(x)]2; es decir, 6. 15. Desarrolla aplicando las identidades notables. 2
( 3a + 2 b )
2
a) (3 – 4xy)
c)
b) (–b + 7x2)2
d) (2x – 5y)(2x + 5y)
a) (3 – 4xy)2 = 9 + 16x2y2 – 24xy
c)
b) (–b + 7x2)2 = b2 + 49x4– 14bx2
d) (2x – 5y)(2x + 5y) = 4x2 – 25y2
(3a + 2 b )
2
= 9a 2 + 4b + 12a b
16. Actividad resuelta. 17. Extrae el factor común de mayor grado posible de los siguientes polinomios. 3 2 a) 16x + 24x
c) –5x2z2 –10xz3 – 15x2z5
b) 3xy3 – 27x3y2
d) x2zy2 – 2yz2 + 4xy5
a) 16x3 + 24x2 = 8x2(2x + 3)
c) –5x2z2 –10xz3 – 15x2z5 = –5xz2 (x + 2z + 3xz3)
b) 3xy3 – 27x3y2 = 3xy2(y – 9x2)
d) x2zy2 – 2yz2 + 4xy5 = y (x2zy – 2z2 + 4xy4)
18. Efectúa las siguientes divisiones. a) (3x3 – 2x2 – 14x + 15) : (3x – 5) b) (x5 – 3x4 – 4x3 + 17x2 + 2) : (x3 – 5x + 2) c) (6x4 – 2x3 + 15x – 5) : (3x – 1) a) C(x) = x2 + x – 3
c) C(x) = 2x3 +5
R(x) = 0
3x 3 − 2x 2 − 14x + 15 3x − 5 −3x 3 + 5x 2
R(x) = 0
6x 4 −2x 3 + 15x − 5 3x − 1
x2 + x − 3
−6x 4 +2x 3
2x 3 + 5
3x 2 − 14x + 15
+ 15x − 5
−3x 2 + 5x
−15x + 5 0
−9x + 15 9x − 15 0 b) C(x) = x2 – 3x + 1
R(x) = 11x
x 5 − 3x 4 − 4x 3 + 17x 2
+ 2 x 3 − 5x + 2
+ 5 x 3 − 2x 2
x 2 − 3x + 1
−x 5
−3x 4 + x 3 +15x 2 +3x
+2
−15x + 6x 2
4
x
3
+ 6x + 2
−x
3
+ 5x − 2 11x
Expresiones algebraicas | Unidad 2
37
19. Encuentra un polinomio que multiplicado por 3x – 1 dé como resultado 6x3 + x2 – 7x + 2. 6x 3 + x 2 − 7x + 2 −6x + 2x 3
3x − 1 2x 2 + x − 2
2
3x 2 − 7x + 2 −3x 2 + x −6x + 2 6x − 2 0
El polinomio buscado es 2x2 + x – 2. 20. Actividad resuelta. 21. Expresa el perímetro y el área de estas figuras mediantes dos polinomios. a)
b)
a) P = 2 · (2 + 7 + x) + 2 · (3x – 1) = 4 + 14 + 2x + 6x – 2 = 8x + 16 A = 7 · (3x – 1 – 2) + 2 · (2 + 7 + x) = 21x – 7 – 14 + 4 + 14 + 2x = 23x – 3 b) P = 2 · (2x + 7 + 3x – 5) + 2 ·(2x + 3 + x) = 4x + 14 + 6x – 10 + 4x + 6 + 2x = 16x + 10 A = (2x + 3)2 + (3x – 1)(6 – x) + x(3x – 5) = 4x2 + 9 + 12x + 18x – 3x2 – 6 + x + 3x2 – 5x = 4x2 + 26x + 3 22. Actividad resuelta. 23. Copia y completa estas expresiones para que se correspondan con el cuadrado de un binomio. a) 4 + 6b + ●●●
c) 9x6 – 18x3y + ●●●
b) x2 + 25y2 + ●●●
d) x2 + 9x4 + ●●●
a) 4 + 6b +
9 2 3 b = 2 + b 4 2
2
b) x2 + 25y2 + 10xy = (x + 5y)2
c) 9x6 – 18x3y + 9y2 = (3x3 – 3y)2 d) x2 + 9x4 + 6x3 = (x + 3x2)2
24. Escribe estos polinomios como potencias de binomios utilizando las identidades notables. a) 16x2 – 8x +1
c) –4a2 + 36b2
b) 9x2 – 42xy + 49y2
d) 3x2 – 9y2
a) 16x2 – 8x +1 = (4x – 1)2
c) –4a2 + 36b2 = (6b – 2a)(6b + 2a)
b) 9x2 – 42xy + 49y2 = (3x – 7y)2
d) 3x2 – 9y2 =
(
3 x − 3y
)(
3 x + 3y
25. Descompón estas expresiones en factores.
38
2 a) z – 169
c) (2a – 7b)2 – (2a + 7b)2
b) 25x2 – 10xy + y2
d) –x2y2 – 9y2 – 6xy2
a) z2 – 169 = (z – 13)(z + 13)
c) (2a – 7b)2 – (2a + 7b)2 = –56ab
c) 25x2 – 10xy + y2 = (5x – y)2
d) –x2y2 – 9y2 – 6xy2 = –(xy + 3y)2
Unidad 2| Expresiones algebraicas
)
26. Actividad interactiva. 27. Divide usando la regla de Ruffini. a) (3x3 + 4x2 – 8x) : (x + 3)
c) (x4 – 2x2 – x + 1) : (x + 2)
b) (x4 + x3 – 2x – 2) : (x + 1)
d) (3x3 + 4x2 – 3x – 7) : (x – 5)
a) C(x) = 3x2 – 5x + 7
c) C(x) = x3 – 2x2 + 2x – 5
3 –3 3
4
–8
0
–9
15
–21
–5
7
–21
b) C(x) = x3 – 2 1 –1
R(x) = – 21
1 –2 1
1
0
–2
–2
–1
0
0
2
0
0
–2
0
1
0
–2
–1
1
–2
4
–4
10
–2
2
–5
11
d) C(x) = 3x2 + 19x + 92
R(x) = 0
3 5 3
R(x) = 11
R(x) = 453
4
–3
–7
15
95
460
19
92
453
28. Realiza las siguientes divisiones aplicando la regla de Ruffini e indica el cociente y el resto. a) (3x4 – 2x2 + x – 3) : (x + 1)
c) (2x3 – x2 + 3x – 1) : (x + 2)
b) (x5 – 2x3 – x + 1) : (x – 1)
d) (x4 + 3x2 – 2x) : (x – 2)
3 2 a) C(x) = 3x – 3x + x
c) C(x) = 2x2 – 5x + 13
3 –1 3
R(x) = –3
0
–2
1
–3
–3
3
–1
0
–3
1
0
–3
4 3 2 b) C(x) = x + x – x – x – 2
1 1 1
2 –2 2
–1
3
–1
–4
10
–26
–5
13
–27
d) C(x) = x3 + 2x2 + 7x + 12 R(x) = 24
R(x) = –1
0
–2
0
–1
1
1
1
–1
–1
–2
–1
–1
–2
–1
1
R(x) = –27
1 2 1
0
3
–2
0
2
4
14
24
2
7
12
24
29. Estudia cuál es el resto de estas divisiones sin realizarlas e indica si son exactas. a) (2x5 – 3x4 + 2x3 + x2 + 3x – 3) : (x + 2)
c) (x3 + x2 – 17x + 15) : (x + 5)
b) (2x4 – 7x3 + x2 – 5x + 9) : (x – 1)
d) (x3 + x2 – 12x + 7) : (x – 7)
¿Qué teorema has utilizado? 5 4 3 2 a) R = 2 · (–2) – 3 · (–2) + 2 · (–2) + (–2) + 3 · (–2) – 3 = –133 ≠ 0. La división no es exacta.
b) R = 2 · 14 – 7 · 13 + 12 – 5 · 1 + 9 = 0. 3
2
c) R = (–5) + (–5) – 17 · (–5) + 15 = 0. 3
2
d) R = 7 + 7 – 12 · 7 + 7 = 315 ≠ 0.
La división es exacta. La división es exacta. La división no es exacta.
Se ha utilizado el teorema del resto.
Expresiones algebraicas | Unidad 2
39
30. ¿Cuáles de los siguientes binomios son factores del polinomio P(x) = x3 + 4x2 – 25x – 100? Justifica tu respuesta. A. (x + 1)
B. (x – 1) 3
C. (x + 3)
2
A. P(–1) = (–1) + 4 · (–1) – 25 · (–1) – 100 = –72 ≠ 0 3
2
B. P(1) = 1 + 4 · 1 – 25 · 1 – 100 = –120 ≠ 0. 3
2
C. P(–3) = (–3) + 4 · (–3) – 25 · (–3) – 100 = –16 ≠ 0 3
2
D. P(3) = 3 + 4 · 3 – 25 · 3 – 100 = –112 ≠ 0 3
2
D. (x – 3)
E. (x + 5)
F. (x – 5)
⇒ (x + 1) no es un factor.
⇒ (x – 1) no es un factor. ⇒ (x + 3) no es un factor. ⇒ (x – 3) no es un factor.
E. P(–5) = (–5) + 4 · (–5) – 25 · (–5) – 100 = 0
⇒ (x + 5) sí es un factor.
F. P(5) = 53 + 4 · 52 – 25 · 5 – 100 = 0
⇒ (x – 5) sí es un factor.
31. Indica si los binomios (x – 2) y (x – 1) son factores del polinomio P(x) = x5 + x4 – 7x3 + 7x – 6. ¿Cuál es el resto de las divisiones P(x) : (x – 2) y P(x) : (x – 1)? Por el teorema del factor, x – 2 es un factor de P(x) si el resto de la división de P(x) entre x – 2 es cero. Aplicando el teorema del resto, R = P(2) = 25 + 24 – 7 · 23 + 7 · 2 – 6 = 0. Por tanto, x – 2 sí es un factor de P(x) y el resto de la división de P(x) : (x – 2) es cero. Por el teorema del factor, x – 1 es un factor de P(x) si el resto de la división de P(x) entre x – 1 es cero. 5 4 3 Aplicando el teorema del resto, R = P(1) = 1 + 1 – 7 · 1 + 7 · 1 – 6 = –4.
Por tanto, x – 1 no es un factor de P(x) y el resto de la división de P(x) : (x – 1) es –4. 3 2 32. ¿El polinomio P(x) = x – 6x + 9x tiene como factor al binomio (x – 3)? Realiza la división P(x) : (x – 3) y comprueba si el cociente es divisible por el mismo factor. ¿Qué puedes decir de P(x)?
Por el teorema del factor, x – 3 es un factor de P(x) si el resto de la división de P(x) entre x – 3 es cero. Aplicando el teorema del resto, R = P(3) = 33 – 6 · 32 + 9 · 3 = 0. Por tanto, x – 3 sí es un factor de P(x). x 3 − 6x 2 + 9x − x + 3x 3
x −3 x 2 − 3x
2
−3x 2 + 9x 3x 2 − 9x 0 Por el teorema del factor, x – 3 es un factor de C(x) = x2 – 3x si el resto de la división de C(x) entre x – 3 es cero. Aplicando el teorema del resto, R = C(3) = 32 – 3 · 3 = 0. Luego, x – 3 sí es un factor de C(x) y entonces P(x) es divisible ente (x – 3)2. 33. Escribe un polinomio P(x) de tercer grado que cumpla las siguientes condiciones. a) Que tenga como factor el binomio x + 7. b) Que su división entre x + 1 sea exacta. c) P(1) = 0 d) P(3) = 80 Por las condiciones a), b) y c) el polinomio es de la forma P(x) = a(x + 7)(x + 1) (x – 1), con a ∈ . Por la condición d), P(3) = a(3 + 7)(3 + 1) (3 – 1) = 80 ⇒ 80a = 80 ⇒ a = 1 Por tanto, el polinomio buscado es P(x) = (x + 7)(x + 1) (x – 1) = (x + 7)(x2 – 1) = x3 – x + 7x2 – 7 = x3 + 7x2 – x – 7. 34. Actividad resuelta.
40
Unidad 2| Expresiones algebraicas
35. Halla el valor de m para que: a) La división entre P(x) = x3 – 5x2 – 2x + m y (x – 4) sea exacta. b) La división entre Q(x) = 5x3 + 4x2 – mx – 3 y (x + 2) tenga resto 3. c) (x + 1) sea divisor de R(x) = x5 – 5x3 + 4x + m. d) S(x) = x4 – (mx)2 + x + 10 sea múltiplo de (x – 2). 3 2 a) Por el teorema del resto, P(4) = 4 – 5 · 4 – 2 · 4 + m = –24 + m = 0 ⇒ m = 24.
b) Por el teorema del resto, Q(–2) = 5 · (–2)3 + 4 · (–2)2 – m · (–2) – 3 = –27 + 2m = 3 ⇒ m = 15. c) Por el teorema del resto, R(–1) = (–1)5 – 5 · (–1)3 + 4 · (–1) + m = m = 0 ⇒ m = 0. 4 2 2 d) Por el teorema del resto, S(2) = 2 – (2m) + 2 + 10 = 28 – 4m = 0 ⇒ m = ± 7
36. ¿Cuánto debe valer k para que x – 2 sea un factor del polinomio P(x) = x3 – 7x + k? Por el teorema del factor, x – 2 es un factor de P(x) si el resto de la división de P(x) entre x – 2 es cero. 3 Aplicando el teorema del resto, R = P(2) = 2 – 7 · 2 + k = –6 + k = 0 ⇒ k = 6.
37. Actividad interactiva. 38. ¿Es x = 5 raíz de 5x98 + 5x49 + 44? 98
x = 5 no puede ser raíz del polinomio 5x
+ 5x49 + 44 porque no es divisor del término independiente.
39. Determina las raíces enteras de estos polinomios. a) P(x) = x4 – 100
c) R(x) = x2 – 3x – 4
b) Q(x) = x4 – 1
d) S(x) = 2x2 – 8
(
4 2 2 a) P(x) = x – 100 = (x – 10)(x + 10) = x − 10
)( x +
10
)(x
2
+ 100 ) ⇒ Raíces:
10 y − 10
4 2 2 2 b) Q(x) = x – 1 = (x – 1)(x + 1) = (x – 1)(x + 1)(x + 1) ⇒ Raíces: 1 y –1
c) = x
3 ± 9 + 16 3 ± 5 = = 2 2
{−41 ⇒ R(x) = x – 3x – 4 = (x – 4)(x + 1) ⇒ Raíces: 4 y –1 2
d) S(x) = 2x2 – 8 = 2(x2 – 4) = 2(x – 2)(x + 2) ⇒ Raíces: 2 y –2 40. Factoriza los siguientes polinomios. a) A(x) = 4x2 – 4x – 3
c) C(x) = 2x3 + 8x2 – 2x – 8
b) B(x) = x4 + 2x2 – 3
d) D(x) = x3 + 7x2 – 49x – 55
3 1 a) A(x) = 4 x − x + 2 2
c) C(x) = 2(x3 + 4x2 – x – 4) = 2(x – 1)(x + 1)(x + 4)
12 3 = 2 4 ± 16 + 48 4 ± 8 8 = = = x 8 8 −4 −1 = 8 2
1 1 1 –1 1
2
b) B(x) = (x – 1)(x + 1)(x + 3) 1 1 1 –1 1
4
–1
–4
1
5
4
5
4
0
–1
–4
4
0
d) D(x) = (x – 5)(x + 1)(x + 11)
0
2
0
–3
1
1
3
3
1
3
3
0
–1
0
–3
0
3
0
1
7
–49
–55
5
60
55
1
12
11
0
–1
–11
1
11
0
5 –1
Expresiones algebraicas | Unidad 2
41
41. Escribe un polinomio de grado 3 cuyas raíces sean x1 = –1, x2 = 2 y x3 = –4. ¿Existen más polinomios que verifiquen esas condiciones? ¿Por qué? Un polinomio de tercer grado cuyas raíces son –1, 2 y –4, puede ser: 3 2 P(x) = (x + 1)(x – 2)(x + 4) = x + 3x – 6x – 8
Existen infinitos polinomios de tercer grado cuyas raíces sean –1, 2 y –4. Todos los polinomios de la forma P(x) = a · (x3 + 3x2 – 6x – 8), con a ∈ , son polinomios de tercer grado cuyas raíces son –1, 2 y –4. 42. Descompón en factores irreducibles estos polinomios e indica si son primos entre sí. 3 2 a) A(x) = x – 5x + x – 5
c) C(x) = x3 + x2 – 6x – 6
b) B(x) = 3x3 + 5x2 – 2x
d) D(x) = x4 – 4x3 – 7x2 + 22x + 24
2 a) A(x) = (x – 5)(x + 1)
c) C(x) = (x + 1)(x2 – 6) = ( x + 1) x − 6
1 5 1
(
–5
1
–5
5
0
5
0
1
0
1 –1 1
1 b) B(x) = x(3x2 +5x – 2) = 3 x ( x + 2 ) x − 3 −5 ± 25 + 24 −5 ± 7 −2 x = = = 2 1 6 6 6 = 3
1
–6
–6
–1
0
6
0
–6
0
)( x + 6 )
d) D(x) = (x + 2)(x + 1)(x – 3)(x – 4) 1 –2 1 –1 1 3 1
Todos los polinomios son primos entre sí.
–4
–7
22
24
–2
12
–10
–24
–6
5
12
–1
7
–12
–7
12
0
3
–12
–4
0
43. Factoriza estos polinomios. a) P(x) = x4 – 9x2
c) R(x) = 2x3 – 2x
e) T(x) = 4x200 +12x100 + 9
b) Q(x) = x2 – 49
d) S(x) = x8 – 16x4
f) V(x) = x17 – 2x16
4 2 2 2 2 a) P(x) = x – 9x = x (x – 9) = x (x – 3)(x + 3)
b) Q(x) = x2 – 49 = (x – 7)(x + 7) 3 2 c) R(x) = 2x – 2x = 2x(x – 1) = 2x ( x − 1)( x + 1)
d) S(x) = x8 – 16x4 = x4(x4 – 16) = x4(x – 2)(x + 2)( x2 + 4) e) T(x) = 4x200 +12x100 + 9 = (2x100 + 3)2 f) V(x) = x17 – 2x16 = x16(x – 2) 44. Expresa los siguientes polinomios como producto de factores irreducibles sin hacer ninguna división. a) P(x) = x(3x – 4) + 3x – 4
c) R(x) = (x – 2)(x + 3) + x2 + 6x + 9
b) Q(x) = (x2 – 4)(x2 – 9)
d) S(x) = x3 + 7x2 + 12x
4 a) P(x) = x(3x – 4) + 3x – 4 = x(3x – 4) + (3x – 4) · 1 = (3x – 4)(x + 1) = 3 x − (x + 1) 3 b) Q(x) = (x2 – 4)(x2 – 9) = (x + 2)(x – 2)(x + 3)(x – 3)
1 c) R(x) = (x – 2)(x + 3) + x2 + 6x + 9 = (x – 2)(x + 3) + (x + 3)2 = (x + 3)(x – 2 + x + 3) = 2(x + 3) x + 2 d) S(x) = x3 + 7x2 + 12x = x(x2 + 7x + 12) = x(x + 4)(x + 3)
42
Unidad 2| Expresiones algebraicas
3 45. Factoriza el polinomio P(x) = 2x3 + 7x2 – 3x – 18 sabiendo que verifica P = 0 , P(–2) = 0 y P(–3) = 0. 2
3 3 2 El polinomio se factoriza como P(x) = 2x + 7x – 3x – 18 = 2 x − ( x + 2 )( x + 3 ) . 2 46. Actividad resuelta. 47. Calcula el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de los siguientes polinomios. 3 2 3 2 a) P(x) = x – 4x + x + 6 y Q(x) = x – 2x – x + 2
b) P(x) = x3 + x2 – 10x + 8 y Q(x) = x3 + 4x2 + 16x + 24 a) Factorizamos los polinomios P(x) y Q(x). P ( x ) = ( x − 3 )( x − 2 )( x + 1) mcm ( P( x ),Q( x )) = ( x − 3 )( x − 2 )( x + 1)( x − 1) ⇒ Q( x ) = ( x + 1)( x − 1)( x − 2 ) mcd ( P( x ),Q( x )) =( x − 2 )( x + 1)
b) Factorizamos los polinomios P(x) y Q(x). P ( x ) = ( x − 1)( x − 2 )( x + 4 ) mcm ( P( x ),Q( x )) = ( x − 1)( x − 2 )( x + 4 )( x + 2 ) ( x 2 + 2x + 12 ) = P ( x ) ⋅ Q ( x ) ⇒ Q( x ) = ( x + 2 ) ( x 2 + 2x + 12 ) mcd ( P( x ),Q( x )) = 1 3 2 48. Averigua si x = 3 es raíz del polinomio P(x) = x – 4x + 8x – 15. ¿Tiene más raíces reales? ¿Por qué?
x = 3 es raíz del polinomio P(x) = x3 – 4x2 + 8x – 15 porque la división P(x) : (x – 3) es exacta. 1
–4
8
–15
3
–3
15
–1
5
0
3 1
Factorizamos el polinomio P(x) = x3 – 4x2 + 8x – 15 = (x – 3)(x2 – x + 5) x2 – x + 5 es un polinomio irreducible porque x =
1 ± 1 − 4 ⋅ 1⋅ 5 1 ± −19 no existe. = 2 ⋅1 2
Por tanto la única raíz real del polinomio P(x) = x3 – 4x2 + 8x – 15 = (x – 3)(x2 – x + 5) es x = 3. 49. Sin multiplicar los binomios, halla el valor de k para que P(x) = (x – 1)2(x + 1)2(x + k)(x – 2) sea la 6 4 2 descomposición factorial de P(x) = x – 6x + 9x – 4. 2 2 6 4 2 Como P(x) = (x – 1) (x + 1) (x + k)(x – 2) y P(x) = x – 6x + 9x – 4, el producto de los términos sin x de 2 2 P(x) = (x – 1) (x + 1) (x + k)(x – 2) tiene que ser – 4. 2 2 (–1) · 1 · k · (–2) = –4 ⇒ k = 2 4 2 50. Factoriza el polinomio P(x) = 4x – 1. Para ello, suma y resta 4x y luego aplica las identidades notables.
P(x) = 4x4 – 1 = 4x4 – 1 + 4x2 – 4x2 = (2x2 +1)2 – 4x2 = (2x2 +1 – 2x)(2x2 +1 + 2x) 51. Actividad interactiva. 52. ¿Son equivalentes estos pares de fracciones algebraicas? a) A( x ) =
x +5 x +1 y B( x ) = 2 x − 3x − 4 x + x − 20 2
b) C( x ) =
2x 2 + 5 x + 3 x2 − 1 y D( x ) = x +1 2x + 3
a)
x+5 x +1 ≠ ⇒ (x2 + x – 20)(x + 5) = x3 + 6x2 – 15x – 100 ≠ x3 – 2x2 – 7x – 4 = (x2 – 3x – 4)(x + 1) x 2 − 3x − 4 x 2 + x − 20
b)
x 2 − 1 2x 2 + 5 x + 3 2 3 2 3 2 2 ≠ ⇒ (x – 1) · (x + 1) = x + x – x – 1 ≠ 4x + 16x + 21x + 9 = (2x + 5x + 3) · (2x + 3) 2x + 3 x +1
Expresiones algebraicas | Unidad 2
43
53. Factoriza
el
numerador
y
el
denominador
para
simplificar
la
fracción
algebraica
L(x) = 3x3 – 16x2 + 17x – 4 y R(x) = 2x3 – 13x2 + 23x – 12.
L( x ) , R( x )
1 L(x) = 3x3 – 16x2 + 17x – 4 = (x – 1)(3x2 – 13x + 4) = 3(x – 1)(x – 4) x − 3 3 1 3
–16
17
–4
3
–13
4
–13
4
0
3x 2 − 13x + 4 = 0 ⇒ x =
13 ± 169 − 4 ⋅ 4 ⋅ 3 13 ± 11 4 = 1 2⋅3 6 3
3 R(x) = 2x3 – 13x2 + 23x – 12 = (x – 1)(2x2 – 11x + 12) = 2(x – 1)(x – 4) x − 2 2 1 2
–13
23
–12
2
–11
12
–11
12
0
2x 2 − 11x + 12 = 0 ⇒ x =
11 ± 121 − 4 ⋅ 2 ⋅ 12 11 ± 5 4 = 3 2⋅2 4 2
1 3 ( x – 1) ( x – 4 ) x − 3 = 3x − 1 3 2x − 3 2 ( x – 1) ( x – 4 ) x − 2
L( x ) 3x 3 – 16x 2 + 17x – 4 = = R( x ) 2x 3 – 13x 2 + 23x – 12
54. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas y escríbelas como fracciones irreducibles. a) A( x ) =
x2 − 9 x − 6x + 9
c) C( x ) =
x5 − x3 2x + 4 x 2 − 6x
b) B( x ) =
x 2 + 3x + 2 x2 + x − 2
d) D( x ) =
x 4 − 4x 3 + 4x 2 4 x 3 + 16 x 2
2
a) A( x ) =
x2 − 9 = x 2 − 6x + 9
b) B( x ) =
x 2 + 3x + 2 = x2 + x − 2
( x − 3) ( x + 3) ( x − 3)
2
( x + 1) ( x + 2 ) ( x − 1) ( x + 2 )
=
=
x +3 x −3 x +1 x −1
3
c) C( x ) =
x 3 ( x − 1) ( x + 1) x 2 ( x + 1) x5 − x3 = = 2x 3 + 4x 2 − 6x 2 x ( x + 3 ) ( x − 1) 2 ( x + 3)
d) D( x ) =
x 2 ( x − 2) x 2 − 4x + 4 x 4 − 4x 3 + 4x 2 = = 3 2 2 4x + 16 4x + 16x 4 x ( x + 4) 2
55. Realiza las operaciones y expresa el resultado en forma de fracción algebraica irreducible.
44
a)
3 x x −2 + − x −1 x +1 x −1
c)
x x2 − 6 1 + − 2 x − 3 x − 2 x − 5x + 6
b)
x −1 1 + x 2 − 2x x 2 − 4 x + 4
d)
1 x x −1 + − x2 − 9 x − 3 x + 3
a)
3 x x −2 + −= x2 − 1 x + 1 x − 1
b)
x − 2 + ( x − 1) x 1 x −1 1 x −1 x2 − 2 + 2 = + = = 3 2 2 x − 2x x − 4 x + 4 x ( x − 2 ) ( x − 2 ) x − 4x 2 + 4x x ( x − 2)
c)
1 x x2 − 6 + − 2 = x − 3 x − 2 x − 5x + 6
d)
1 x x −1 + − = x2 − 9 x − 3 x + 3
2
3
( x − 1)( x + 1)
+
x x − 2 3 + x ( x − 1) − ( x − 2 )( x + 1) −= = x +1 x −1 ( x − 1)( x + 1)
5 x2 − 1
2
x − 2 + x ( x − 3) − x 2 + 6 = ( x − 2 )( x − 3 ) 1
( x − 3 )( x + 3 )
Unidad 2| Expresiones algebraicas
+
−2x + 4 = ( x − 2 )( x − 3 )
−2 ( x − 2 )
( x − 2) ( x − 3 )
x x − 1 1 + x ( x + 3 ) − ( x − 1)( x − 3 ) − = = x −3 x +3 ( x − 3 )( x + 3 )
=
−2
( x − 3)
7x − 2 x2 − 9
si
56. Realiza estas operaciones y expresa el resultado como una fracción algebraica irreducible.
x2 − 4 x − 2 : x 2 + 2x 2x
a)
x 2 + 6x x 2 − 1 ⋅ x 2 + 3x x + 1
a)
x 2 + 6x x 2 − 1 x ( x + 6 ) ( x − 1) ( x + 1) x 2 + 5x − 6 ⋅ ⋅ = = 2 x + 3x x + 1 x +3 x ( x + 3) x +1
b)
x 2 − 4 x − 2 ( x − 2) ( x + 2) x − 2 : = : =2 x 2 + 2x 2x 2x x ( x + 2)
b)
57. Dadas las fracciones A ( x ) =
3x − 6 x 2 − 2x y B(x) = 2 calcula: x − 5x + 6 x + x −6 2
a) A(x) · B(x)
c) A(x) : B(x)
b) [A(x) – B(x)] : [A(x) + B(x)]
d) [A(x)]2
A(x) =
3 ( x − 2)
3x − 6 = 2 x − 5x + 6
a) A ( x ) ⋅ B ( x ) =
( x − 2) ( x − 3 )
=
3 x −3
= B (x)
x 2 − 2x = x2 + x − 6
x ( x − 2)
( x − 2) ( x + 3 )
=
x x +3
3 x 3x 3x ⋅ = = x − 3 x + 3 ( x − 3 )( x + 3 ) x 2 − 9
x 3 x − x 2 + 6x + 9 x 2 + 9 − x 2 + 6x + 9 3 − + = : 2 = b) A ( x ) − B ( x ) : A ( x ) + B ( x ) = : = x2 − 9 x −9 x2 + 9 x −3 x +3 x −3 x +3 c) A ( x= ) : B (x)
3 ( x + 3) x 3 3x + 9 = = : x − 3 x + 3 x ( x − 3 ) x 2 − 3x 2
2 3 d) = A ( x ) = x −3
32 9 = 2 2 x 6 x +9 − ( x − 3)
58. Actividad resuelta. 59. Descompón en suma de fracciones simples las siguientes fracciones algebraicas.
9 x + 23 x 2 + 4x + 3
a) F ( x ) =
5x + 1 x 2 − 5x + 6
c) H ( x ) =
b) G ( x ) =
−2 x + 13 x2 + x − 2
d) I ( x ) =
a) F ( x ) =
A ( x − 3 ) + B ( x − 2) 5x + 1 5x + 1 A B = = + = x − 5x + 6 ( x − 2 )( x − 3 ) x − 2 x − 3 x 2 − 5x + 6
4 x 2 − 2x 2x 2 + 7x − 4
2
}
5x + 1 5x + 1 16 −11 x = 3 ⇒ B =16 ⇒ F (x) = 2 = = + x =⇒ 2 A= −11 x − 5x + 6 ( x − 2 )( x − 3 ) x − 2 x − 3
b) G ( x ) =
A ( x + 2 ) + B ( x − 1) −2x + 13 −2x + 3 A B = = + = 2 x + x − 2 ( x − 1)( x + 2 ) x − 1 x + 2 x2 + x − 2
11 x =1 ⇒ 11 =3A ⇒ A = 3
11 17 −2x + 13 ⇒ G ( x= = − ) 2 −17 2 3 1 3 x + x − x − x + 2) ( ) ( x =−2 ⇒ 17 =−3B ⇒ B = 3
c) H ( x ) =
A ( x + 3 ) + B ( x + 1) 9x + 23 9x + 23 A B = = + = x + 4x + 3 ( x + 1)( x + 3 ) x + 1 x + 3 x 2 + 4x + 3 2
}
9x + 23 9x + 23 7 2 x = −3 ⇒ −4 = −2B ⇒ B = 2 ⇒ H (x) = 2 = = + x =−1 ⇒ 14 =2A ⇒ A =7 x + 4x + 3 ( x + 1)( x + 3 ) x + 1 x + 3
= d) I ( x )
4 x 2 − 2x = 2x 2 + 7 x − 4
2x ( 2x − 1)
=
( 2x − 1) ( x + 4 )
2x 8 = 2− x+4 x+4
Expresiones algebraicas | Unidad 2
45
60. Descompón en suma de fracciones simples las siguientes fracciones algebraicas. a) F ( x ) =
−7 x − 23 6 x 2 + 11x + 4
c) H ( x ) =
b) G ( x ) =
5x + 1 x 3 + 2x 2 − x − 2
d) I ( x ) =
a) F ( x ) =
e) J ( x ) =
6 x 2 + 12 x + 16 x 3 + 7x 2 − x − 7
f)
K (x) =
3 x 2 − 44 x + 17 x 3 − 7x 2 − x + 7 2x 3 − 9x 2 + 8x + 7 x 3 − 5x 2 − x + 5
A ( 2x + 1) + B ( 3x + 4 ) −7x − 23 −7x − 23 A B = = + = 2 6x + 11x + 4 ( 3x + 4 )( 2x + 1) 3x + 4 2x + 1 6x 2 + 11x + 4
−1 ⇒ 2 −4 x= ⇒ 3 x=
b) G ( x ) =
x 2 − 3 x − 25 x2 − x − 6
−39 = 2 −41 = 3
5 −39 B⇒B= 2 5 41 −5 A⇒ A= 3 5
−7x − 23 = x) ⇒ F (= 2 6 x + 11x + 4
−7x − 23
=
( 3x + 4 )( 2x + 1)
41 −39 + 5 ( 3x + 4 ) 5 ( 2x + 1)
A ( x + 1)( x − 1) + B ( x + 2 )( x − 1) + C ( x + 2 )( x + 1) 5x + 1 A B C = + + = 2 x + 2x − x − 2 x + 2 x + 1 x − 1 x 3 + 2x 2 − x − 2 3
x = −2 ⇒ −9 = 3A ⇒ A = −3 5x + 1 5x + 1 −3 2 1 x =1 ⇒ 6 =6C ⇒ C =1 = = + + ⇒ G (x) = 3 2 + − − + + − + + −1 x 2 x x 2 x 2 x 1 x 1 x 2 x 1 x ( )( )( ) x = −1 ⇒ −4 = −2B ⇒ B = 2
A ( x − 3 ) + B ( x + 2) x 2 − 3x − 25 2x + 19 B A = 1− 2 = 1− + 1− c) H ( x ) = = 2 x −x −6 x −x −6 x2 − x − 6 x +2 x −3
}
2x + 19 5 3 5 x 2 − 3x − 25 −3 x = 3 ⇒ 25 = 5B ⇒ B = 5 1− 2 1− 1+ ⇒ H ( x ) =2 = = + − = x =−2 ⇒ 15 =−5A ⇒ A =−3 2 3 2 x −x −6 x −x −6 x x x x + − + −3
d) I ( x ) =
A ( x + 1)( x − 1) + B ( x + 7 )( x − 1) + C ( x + 7 )( x + 1) 6x 2 + 12x + 16 A B C = + + = 3 2 x + 7x − x − 7 x + 7 x + 1 x − 1 x 3 + 7x 2 − x − 7
−5 6 17 6x 2 + 12x + 16 113 5 17 x =1 ⇒ 34 =16C ⇒ C = = − + ⇒ I (x) = 3 2 8 7 7 24 7 6 1 8 x + x − x − x + x + x − 1) ( ) ( ) ( 113 x =−7 ⇒ 226 =48A ⇒ A = 24 x =−1 ⇒ 10 =−12B ⇒ B =
e) J ( x ) =
A ( x + 1)( x − 7 ) + B ( x − 1)( x − 7 ) + C ( x − 1)( x + 1) 3x 2 − 44x + 17 A B C = + + = x 3 − 7x 2 − x + 7 x − 1 x + 1 x − 7 x 3 − 7x 2 − x + 7
x =−1 ⇒ 64 =16B ⇒ B =4 3x 2 − 44x + 17 2 4 3 x = 1 ⇒ −24 = −12A ⇒ A = 2 ⇒ J ( x ) = 3 = + − 2 x − 7 x − x + 7 x − 1 x + 1 x −7 x = 7 ⇒ −144 = 48C ⇒ C = −3 f)
K (x) = 2+
A ( x + 1)( x − 5 ) + B ( x − 1)( x − 5 ) + C ( x − 1)( x + 1) x 2 + 10x − 3 A B C = + + = 2+ 2+ x − 5x 2 − x + 5 x −1 x +1 x − 5 x 3 − 5x 2 − x + 5 3
x = −1 ⇒ −12 = 12B ⇒ B = −1 x 2 + 10x − 3 2x 3 − 9 x 2 + 8 x + 7 1 1 3 −8A ⇒ A = −1 = = − + x =⇒ K (x) = 3 1 8= 2+ 3 2− ⇒ I (x) = 2 2 − − + − − + − + −5 x x x x x x x x x 5 5 5 5 1 1 x = 5 ⇒ 72 = 24C ⇒ C = 3 61. Expresa las siguientes cantidades en lenguaje algebraico. a) El área de un rectángulo de base b y altura h. b) El área de un cuadrado de lado l. c) El espacio recorrido en un tiempo t por un móvil que lleva una velocidad constante v. d) El volumen de un cubo de arista x. e) El volumen de un cilindro de radio r y altura h. f) El perímetro de un triángulo isósceles de lados iguales x y lado desigual y.
46
a) A = b · h
c) e = vt
e) V = πr2h
b) A = l2
d) V = x3
f) P = 2x + y
Unidad 2| Expresiones algebraicas
62. En estas columnas están desordenados cuatro polinomios y sus respectivos valores numéricos para ciertos valores de x. Polinomios
x
Valor numérico
2
x – 2x + x – 1
x=2
–1
x2 – 3(x + 1)
x=0
–3
x3 +1 2
x=1
–5
x5 – 3x4 – 2x3 + x + 1
x = –2
1
4
Relaciona en tu cuaderno cada polinomio con su valor numérico para el valor de x correspondiente. 4 2 x – 2x + x – 1 ⇒ x = 1 ⇒ Valor numérico –1
x3 + 1 ⇒ x =−2 ⇒ Valor numérico –3 2
x2 – 3(x + 1) ⇒ x = 2 ⇒ Valor numérico –5
x5 – 3x4 – 2x3 + x + 1 ⇒ x = 0 ⇒ Valor numérico 1
63. Dados los monomios A(x) = 6x2, B(x) = 3x4, C( x ) =
1 4 x y D(x) = –2x, realiza estas operaciones. 2
a) A(x) + D(x)
c) A(x) – B(x) + C(x)
e) B(x) : C(x)
g) A(x) · B(x) · C(x)
b) B(x) – C(x)
d) A(x) · D(x)
f) D(x) · B(x)
h) A(x) : [D(x) · B(x)]
a) A(x) + D(x) = 6x2 – 2x
e) B(x) : C(x) = 3x 4 :
1 4 x =6 2
b) B(x) – C(x) = 3x 4 −
1 4 5 4 x = x 2 2
f) D(x) · B(x) = –2x · 3x4 = –6x5
c) A(x) – B(x) + C(x) =
−5 4 x + 6x 2 2
g) A(x) · B(x) · C(x) = 6x 2 ⋅ 3x 4 ⋅
d) A(x) · D(x) = 6x2 · (–2x) = –12x3
1 4 x = 9x 10 2
h) A(x) : [D(x) · B(x)] = 6x2 : (–2x · 3x4) = –x–3
64. Realiza las operaciones indicadas con los siguientes polinomios P (x ) = 2x 4 − x 3 +
1 2 x − 3x + 1 2
a) P(x) + Q(x)
Q( x ) = 3 x 3 + x 2 −
b) Q(x) – R(x)
2 x +2 3
c) R(x) – Q(x) + P(x)
R( x ) = −4 x 4 + x 2 − 4 d) P(x) + Q(x) + R(x)
Indica el grado de los polinomios resultantes. a) P(x) + Q(x) = 2x4 – x3 +
3 2 11 1 2 2 x – 3x + 1 + 3x3 + x2 – x + 2 = 2x4 + 2x3 + x – x+3 2 2 3 3
b) Q(x) – R(x) = (3x3 + x2 –
2 2 x + 2) – (–4x4 + x2 – 4) = 4x4 + 3x3 – x+6 3 3
c) R(x) – Q(x) + P(x) = –4x4 + x2 – 4 – (3x3 + x2 –
1 2 2 x + 2) + 2x4 – x3 + x – 3x + 1 = 2 3
1 2 1 2 7 2 x – 2 + 2x4 – x3 + x – 3x + 1 = –2x4 – 4x3 + x – x–5 2 2 3 3 1 2 2 4 3 x – 3x + 1) + (3x3 + x2 – x + 2) + (–4x4 + x2 – 4) = d) P(x) + Q(x) + R(x) = (2x – x + 2 3 5 2 11 = –2x4 + 2x3 + x – x–1 2 3 Todos los polinomios resultantes son de grado 4. = –4x4 + x2 – 4 – 3x3 – x2 +
Expresiones algebraicas | Unidad 2
47
65. Realiza estas operaciones con los polinomios P ( x ) = a) P(x) · [Q(x) + R(x)]
1 4 3 2 x + 2 x 3 + 1 , Q(x) = 3x – 4x – 2 y R(x) = 4x – 5x + 3. 2
b) Q(x) · [R(x) – P(x)]
c) P(x) · [P(x) + Q(x)]
1 1 a) P(x) · [Q(x) + R(x)] = x 4 + 2x 3 + 1 · (3x3 – 4x – 2 + 4x2 – 5x + 3) = x 4 + 2x 3 + 1 · (3x3 + 4x2 – 9x + 1) = 2 2 3 7 35 4 9 5 1 4 3 7 7 6 6 5 4 3 3 2 6 = x + 2x – x + x + 6x + 8x – 18x + 2x + 3x + 4x – 9x + 1 = x + 8x + x5 – x + 5x3 + 4x2 – 2 2 2 2 2 2 9x + 1 1 4 3 b) Q(x) · [R(x) – P(x)] = (3x3 – 4x – 2) · (4x2 – 5x + 3 – x – 2x3 – 1) = – x7 – 6x6 + 12x5 – 15x4 + 6x3 + 2x5 + 8x4 2 2 3 – 16x3 + 20x2 – 8x + x4 + 4x3 – 8x2 + 10x – 4 = – x7 – 6x6 + 14x5 – 6x4 – 6x3 + 12x2 + 2x – 4 2 1 1 1 1 c) P(x) · [P(x) + Q(x)] = x 4 + 2x 3 + 1 ⋅ x 4 + 2x 3 + 1 + 3x 3 − 4x − 2 = x 4 + 2x 3 + 1 ⋅ x 4 + 5x 3 − 4x − 1 = 2 2 2 2 1 8 5 7 1 1 1 7 = x + x − 2x 5 − x 4 + x 7 + 10x 6 − 8x 4 − 2x 3 + x 4 + 5x 3 − 4x − 1 = x 8 + x 7 + 10x 6 − 2x 5 − 8x 4 + 3x 3 − 4x − 1 4 2 2 2 4 2 66. Calcula estas potencias. a) (x + y – 2z)2
b) (3a – 2b + c)2
a) (x + y – 2z)2 = x2 + xy – 2zx + xy + y2 – 2yz – 2xz – 2yz + 4z2 = x2 + y2 + 4z2 + 2xy – 4xz – 4yz b) (3a – 2b + c)2 = 9a2 – 6ab + 3ac – 6ab + 4b2 – 2bc + 3ac – 2bc + c2 = = 9a2 + 4b2 + c2 – 12ab + 6ac – 4bc 67. Simplifica los siguientes polinomios. a) (x – 2)(x + 2) – (x – 3)(x + 3) – x(2x + 1) – 4 b) (x2 + 2x + 1)(x4 – 2x3 + 3x2 + 1) – x6 + 2x3 a) (x – 2)(x + 2) – (x – 3)(x + 3) – x(2x + 1) – 4 = x2 – 4 – x2 + 9 – 2x2 – x – 4 = –2x2 – x + 1 b) (x2 + 2x + 1)(x4 – 2x3 + 3x2 + 1) – x6 + 2x3 = x6– 2x5 + 3x4 + x2 + 2x5 – 4x4 + 6x3 + 2x + x4 – 2x3 + 3x2 + 1 – x6 + + 2x3 = 6x3 + 4x2 + 2x + 1 68. Completa en tu cuaderno con el coeficiente adecuado. a) (2x2 + ●x – 1) – (–3x2 – 5x + ●) = 5x2 + 2x + 4 b) (5x3 + ●x2 + ●) + (●x3 + x2 – 2) = 2x3 – 3x2 – 3 a) (2x2 + (–3)x – 1) – (–3x2 – 5x + (–5)) = 5x2 + 2x + 4 b) (5x3 +(–4)x2 +(–1)) + ((–3)x3 + x2 – 2) = 2x3 – 3x2 – 3 69. Calcula los valores de a y b necesarios para que se cumplan estas igualdades. a) x5 – 5x3 + 4x2 – 3x – 2 = (x – 2)(x4 + ax3 + bx2 + 2x + 1) b) x6 – x5 – 2x4 – 4x2 + 4x + 8 = (x2 – x – 2)(x4 + ax3 + bx – 4) 4 3 2 5 4 3 2 4 3 2 5 4 3 a) (x – 2)(x + ax + bx + 2x + 1) = x + ax + bx + 2x + x –2x – 2ax – 2bx – 4x – 2 = x + (a – 2)x + (b – 2a)x
+ (2 – 2b)x2 – 3x – 2 ● a–2=0⇒a=2 ● b – 2a = –5 ⇒ b – 2 · 2 = –5 ⇒ b = –1 b) (x2 – x – 2)(x4 + ax3 + bx – 4) = x6 + ax5 + bx3 – 4x2 – x5 – ax4 – bx2 + 4x – 2x4 – 2ax3 – 2bx + 8 = x6 + (a – 1)x5 – (a + 2)x4 + (b – 2a)x3 – (4 + b)x2 + (4 – 2b)x + 8 ● a – 1 = –1 ⇒ a = 0 ● b – 2a = 0 ⇒ b = 2a ⇒ b = 0
48
Unidad 2| Expresiones algebraicas
70. Efectúa estas operaciones. a) (2x2 – 3y)2
d) (2x4 + x2)2
b) (3x – 2y)3
e) (5a + 3b) · (5a – 3b)
c) (3 x 3 − x )2
f) (2xy + 4zt) · (2xy – 4zt)
a) (2x2 – 3y)2 = 4x4 + 9y2 – 12x2y
d) (2x4 + x2)2 = 4x8 + 4x6 + x4
b) (3x – 2y)3 = 27x3 – 8y3 – 54x2y + 36xy2
e) (5a + 3b) · (5a – 3b) = 25a2 – 9b2
c) (3x 3 − x )2 = 9x6 + x – 6x3 x
f) (2xy + 4zt) · (2xy – 4zt) = 4x2y2 – 16z2t2
71. Completa las siguientes igualdades. a) 9 + ●●● – 30x = (3 – ●●●)
2
a) 9 + 25x2 – 30x = (3 – 5x)2
b) b2 + a4 + ●●● = (b + ●●●)2
c) x2 + 4 – ●●● = (●●●– ●●●)2
b) b2 + a4 + 2ba2 = (b + a2)2
c) x2 + 4 – 4x = (x – 2)2
72. Realiza las siguientes divisiones de polinomios. 3 2 2 a) (6x – 2x – 1) : (x + x + 2)
b) (–3x4 + x2 – 2x + 3) : (3x2 – 2x + 1) c) (x6 – 2x3 + 3x – 3) : (–2x3 + x – 2) a) C(x) = 6x – 8
R(x) = –4x + 15
6x 3 − 2x 2
− 1 x2 + x + 2
−6x 3 − 6x 2 − 12x
c) C ( x )=
−1 3 1 3 x − x+ 2 4 2 − 2x 3
x6
6x − 8
−x 6 +
−8x 2 − 12x − 1 − 4x + 15
−
1 4 x 2
+ −3x 3 + 3x 3
2 2 x+ 3 9
−x 2 − b) C ( x ) = −3x 4
+ x2
R= (x)
+ 3x − 3
1 4 x − x3 2 1 4 x − 3x 3 2
8x 2 + 8x + 16
R= (x)
1 2 x +x 4
−2x 3 + x − 2 1 1 3 − x3 − x + 2 4 2
+ 3x − 3 1 2 1 x − x 4 2 1 2 5 x + x −3 4 2 3 − x +3 2 1 2 x + x 4
−8 25 x+ 9 9
− 2x + 3 3 x 2 − 2x + 1
3 x 4 − 2x 3 + x 2
− x2 −
2 2 x+ 3 9
−2x 3 + 2x 2 − 2x + 3 4 2 2x 3 − x 2 + x 3 3 2 2 4 x − x +3 3 3 −
2 2 2 4 x + x− 9 9 3 −
8 25 x+ 9 9
Expresiones algebraicas | Unidad 2
49
73. Expresa las siguientes divisiones en la forma
D( x ) R( x ) = C( x ) + . d (x ) d (x )
a)
x 3 − 2x 2 + x − 2 x2 − x + 3
c)
2x 3 + x 2 − x + 3 x 3 + 2x − 1
b)
3x 2 − 3x + 1 x 2 + 2x − 1
d)
4x 2 − 1 x2 + 3
a)
x 3 − 2x 2 + x − 2 −3x + 1 =x–1+ 2 2 x −x +3 x −x +3
c)
2x 3 + x 2 − x + 3 x 2 − 5x + 5 = 2 + x 3 + 2x − 1 x 3 + 2x − 1
x 3 − 2x 2 + x − 2 x 2 − x + 3 −x 3 + x 2 − 3x
2x 3 + x 2 − x + 3
x −1
− 2x 3
− 4x + 2
x 3 + 2x − 1 2
x − 5x + 5 2
− x − 2x − 2 2
x − x +3 2
− 3x + 1
b)
3x 2 − 3x + 1 −9x + 4 =3+ 2 x 2 + 2x − 1 x + 2x − 1 3x 2 − 3x + 1 −3x 2 − 6x + 3
d)
x 2 + 2x − 1
4x 2 − 1 −13 =4+ 2 x2 + 3 x +3 4x 2 − 1
3
−4x 2 − 12
x2 + 3 4
− 13
− 9x + 4 74. Un polinomio es de grado 7, y otro, de grado 6. a) ¿De qué grado es el polinomio suma? b) ¿De qué grado es el polinomio producto? c) ¿De qué grado es el cubo del segundo?
a) La suma tendrá grado 7, ya que es el mayor de los grados de los dos polinomios. b) El producto tendrá grado 7 + 6 = 13. c) El cubo del segundo tendrá grado 3 · 6 = 18. 75. ¿Puede la suma de dos polinomios de grado 3 ser de grado 2? La suma será de grado 2 si los coeficientes de los términos de grado 3 son opuestos y los de grado 2 no lo son. 76. El divisor es x2 – 1, el cociente es x3 + 2 y el resto es 3x. ¿Cuál es el dividendo? D(x) = d(x) · c(x) + r = (x2 – 1) · (x3 + 2) + 3x = x5 – x3 + 2x2 + 3x – 2 77. Desarrolla estas expresiones. 2 3 2 2 a) (4x y – 5y t)
c) (5x3z + 7y2t) (5x3z – 7y2t)
b) (–3 + 6b3c4)2
2 2 d) ( 4 x + y ) − x ·( 4 x + y ) + x
a) (4x2y3 – 5y2t)2 = 16x4y6 + 25y4t2 – 40x2y5t b) (–3 + 6b3c4)2 = 9 + 36b6c8 – 36b3c4 c) (5x3z + 7y2t) (5x3z – 7y2t) = 25x6z2 – 49y4t2 2 2 d) ( 4x + y ) − x ·( 4x + y ) + x =
50
Unidad 2| Expresiones algebraicas
( 4x + y )
4
− x 2 = (16x 2 + y 2 + 8xy ) − x 2 = 256x 4 + y 4 + 64x 2 y 2 + 32x 2 y 2 + 256x 3 y + 16xy 3 − x 2 2
78. Comprueba estas dos nuevas identidades. a) a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
b) a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
2 2 3 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 3 3 3 a) (a – b)(a + ab + b ) = a + a b + ab – ba – ab – b = a + a b + ab – a b – ab – b = a – b
b) (a + b)(a2 – ab + b2) = a3 – a2b + ab2 + ba2 – ab2 + b3 = a3 – a2b + ab2 + a2b – ab2 – b3 = a3 – b3 3 3 79. Encuentra una fórmula para calcular el cubo de una suma y de una diferencia, (a + b) y (a – b) . 3 2 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 (a + b) = (a + b) (a + b) = (a + b + 2ab)(a + b) = a + a b + b a + b + 2a b + 2ab = a + 3a b + 3ab + b
(a – b)3 = (a – b)2(a – b) = (a2 + b2 – 2ab)(a – b) = a3 – a2b + b2a – b3 – 2a2b + 2ab2 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 80. Divide usando la regla de Ruffini: a) (2x2 – 3)2 : (x – 1) b) (x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1) : (x + 1) c) (5x6 – 1) : (x – 1) a) C(x) = 4x3 + 4x2 – 8x – 8 4 1 4
0
–12
0
9
4
4
–8
–8
4
–8
–8
1
b) C(x) = x4 + x2 + 1 1 –1 1
c) C(x) = 5x5 + 5x4 + 5x3 + 5x2 + 5x + 5
R=1
1
5 1 5
R=4
0
0
0
0
0
–1
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
4
R=0 1
1
1
1
–1
0
0
1
–1
0
–1
0
1
0
81. Calcula el resto de las siguientes divisiones sin realizarlas. a) (x7 – 3x2 + 1) : (x – 1)
b) (x101 – 2) : (x + 1)
c) (x5 – 2x3 + 3) : (x – 3)
b) R = (–1)101 – 2 = –3
c) R = 35 – 2 · 33 + 3 = 192
¿Qué teorema has utilizado? a) R = 17 – 3 · 12 + 1 = –1
En todos los casos se ha utilizado el Teorema del Resto. 82. Calcula el resto de la división M(x) : (x – 6) sabiendo que M(6) = 3. Por el teorema del resto, R = M(6) = 3. 83. Calcula el resto de las divisiones. 157
a) (x
– 49x38 + 17) : (x +1)
b) (x30 + x29 + x28 + …+ x2 + x + 1) : (x –1) c) (x2011 – 2012x2013 + 2014) : (x –1) Aplicando el teorema del resto. a) R = (–1)157 – 49 · (–1)38 + 17 = –33 b) R = 130 + 129 + 128 + … + 12 + 1 + 1 = 31 c) R = 12011 – 2012 · 12013 + 2014 = 1 – 2012 + 2014 = 3 84. Actividad resuelta.
Expresiones algebraicas | Unidad 2
51
85. Halla el valor de k en los siguientes polinomios teniendo en cuenta los datos indicados. a) x3 + (k + 2)x + 1 es divisible entre (x + 1). b) (x4 + kx2 + 2x + 1) : (x – 1) tiene de resto –4. Aplicando el teorema del resto: 3 a) R = (–1) + (k + 2) ·(–1) + 1 = 0 ⇒ – k – 2 = 0 ⇒ k = –2
b) R = 14 + k · 12 + 2 · 1 + 1 = –4 ⇒ 4 + k = –4 ⇒ k = –8 86. Actividad resuelta. 87. Halla los valores de a y b para que el resto de la división de (ax2 + bx – 3) entre (x – 2) sea 5 y entre (x + 1) sea 2. Aplicando el teorema del resto:
{
{
5 4a + 2b − 3 = 4a= 2a + 2b 8 = +b 4 ⇒ ⇒ ⇒ 2a + a − 5 = 4 ⇒ 3a = 9 ⇒ a = 3 ⇒ b = −2 = a−b 5 = a−5 b 3 2 a − b − =
88. Halla un polinomio de segundo grado, R(x), que cumpla R(1) = 5, R(–1) = 9 y R(0) = 4. R(x) será de la forma R(x) = ax2 + bx + c.
R(1) = a + b + c = 5 R(−1) = a − b + c = 9 R(0) == c 4
⇒
+ b =1 b =1 − a ⇒ ⇒ 1 − a = a − 5 ⇒ 6 = 2a ⇒ a = 3 ⇒ b = −2 {aa= − b 5 {a= −5 b
El polinomio es R(x) = 3x2 – 2x + 4. 2 89. Comprueba que al dividir un polinomio de segundo grado, A(x) = ax + bx + c, entre B(x) = x – 1, el resto es justamente la suma de los coeficientes del polinomio A(x).
ax 2 + bx
+c
−ax + ax 2
x −1 ax + b + a
(b + a)x + c −(b + a)x + b + a a+b+c
90. El resto de dividir un polinomio entre x – 5 es 2, y el resto de dividirlo entre x – 2 es 5. ¿Cuál será el resto 2 de dividirlo entre x – 7x + 10? 2 (x – 2)(x – 5) = x – 7x + 10
Como el resto al dividir entre x – 5 es 2, entonces: P(x) = (x – 5) · A(x) + 2 Como el resto al dividir entre x – 2 es 5, entonces: P(x) = (x – 2) · B(x) + 5 Multiplicando la primera igualdad por x – 2 y la segunda por x – 5, obtenemos: (x – 2) P(x) = (x – 2)(x – 5)A(x) + 2(x – 2) (x – 5) P(x) = (x – 5)(x – 2)B(x) + 5(x – 5) Restando miembro a miembro estas dos igualdades y operando: 3P(x) = (x – 2)(x – 5)[A(x) – B(x)] + (–3x + 21) 3P(x) = (x2 – 7x + 10)[A(x) – B(x)] + (–3x + 21) Dividiendo la igualdad entre 3, concluimos: P(x) = (x2 – 7x + 10)C(x) + (–x + 7) El resto es R(x) = –x + 7.
52
Unidad 2| Expresiones algebraicas
91. Indica razonadamente cuáles son las raíces de los polinomios que se indican a continuación. a) P(x) = (x – 1)(x + 2)(x – 3)
b) P(x) = (3x – 7)(x + 1)(x2 – 5)
a) x = 1, x = –2, x = 3
b) x =
7 , x = –1, x = ± 5 3
c) P(x) = (x + 1)(x2 + 9)(4x3 – 3) c) x = –1, x =
3
3 4
92. Actividad resuelta. 93. Calcula las raíces enteras de los siguientes polinomios. 3 2 a) P(x) = 2x + 6x – 2x – 6
b) Q(x) = x4 – 2x3 – 7x2 + 8x +12 c) R(x) = x4 + x3 – 8x2 – 9x – 9 a) Posibles raíces enteras: ±1, ±2, ±3, y ±6. El polinomio, por ser de grado 3, tendrá a lo sumo 3 raíces enteras. P(1) = 2 · 13 + 6 · 12 – 2 · 1 – 6 = 2 + 6 – 2 – 6 = 0 2 1 2
6
–2
–6
2
8
6
8
6
0
Los factores son P(x) = (x – 1)(2x2 + 8x + 6)
= x
−8 ± 82 − 4 ⋅ 2 ⋅ 6 −8 ± 16 x = −3 = ⇒ 2⋅2 2⋅2 x = −1
Raíces enteras de P(x): 1, –1 y –3 b) Posibles raíces enteras: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6 y ±12. El polinomio, por ser de grado 4, tendrá a lo sumo 4 raíces enteras. 4 3 2 Q(–1) = (–1) – 2 · (–1) – 7 · (–1) + 8 · (–1) + 12 = 1 + 2 – 7 – 8 + 12 = 0
Q(2) = 24 – 2 · 23 – 7 · 22 + 8 · 2 + 12 =16 – 16 – 28 + 16 + 12 = 0 1 –1 1 2 1
–2
–7
8
12
–1
3
4
–12
–3
–4
12
0
2
–2
–12
–1
–6
0
Los factores son P(x) = (x + 1)(x – 2)(x2 – x – 6)
= x
1 ± 12 − 4 ⋅ (−6) 1 ± 25 x = −2 = ⇒ 2 2 x = 3
Raíces enteras de Q(x): –1, 2, –2 y 3 c) Posibles raíces enteras: ±1, ±3 y ±9. El polinomio, por ser de grado 4, tendrá a lo sumo 4 raíces enteras. R(3) = 34 + 33 – 8 · 32 – 9 · 3 – 9 = 81 + 27 – 72 – 27 – 9 = 0 R(–3) = (–3)4 + (–3)3 – 8 · (–3)2 – 9 · (–3) – 9 = 81 – 27 – 72 + 27 – 9 = 0 1 3 1 –3 1
1
–8
–9
–9
3
12
12
9 0
4
4
3
–3
–3
–3
1
1
0 2
Los factores son P(x) = (x – 3)(x + 3)(x + x + 1) Como x2 + x + 1 no tiene raíces reales, las raíces enteras de R(x): 3 y –3
Expresiones algebraicas | Unidad 2
53
94. Halla las raíces de estos polinomios. a) A(x) = 3x2 – 4x + 1
c) C(x) = 2x3 – 9x2 + 4x + 15
b) B(x) = x3 – 5x2 + 3x + 9
d) D(x) = x3 – 4x2 – 13x + 40
1 1 a) A(x) = 3x2 – 4x + 1 = 3(x – 1) x − ⇒ Raíces: 1 y 3 3 = x
1 4 ± 16 − 4 ⋅ 3 ⋅ 1 4 ± 2 = = 1 6 6 3
b) B(x) = x3 – 5x2 + 3x + 9 = (x + 1)( x2 – 6x + 9) = (x + 1)(x – 3)2 ⇒ Raíces: –1 y 3 (doble) 1 –1 1
–5
3
9
–1
6
–9
–6
9
0
5 5 c) C(x) = 2x3 – 9x2 + 4x + 15= (x + 1)(2x2 – 11x + 15) = 2 ( x + 1)( x − 3 ) x − ⇒ Raíces: –1, 3 y 2 2 2 –1 2
–9
4
15
–2
11
–15
–11
15
0
2x 2 − 11x + 15 = 0 ⇒ x =
d) D(x) = x3 – 4x2 – 13x + 40 = (x – 5)(x2 + x – 8) ⇒ Raíces: 5, 1 5 1
–4
–13
40
5
5
–40
1
–8
0
3 11 ± 121 − 120 =5 4 2
−1 + 33 −1 − 33 y 2 2
−1 + 33 − ± + 1 1 32 2 = x2 + x − 8 = 0 ⇒ x = 4 −1 − 33 2
95. Calcula las raíces de estos polinomios. a) A(x) = x4 – 10x2 + 9
b) B(x) = 2x4 – 7x3 + 2x2 + 3x
c) C(x) = x6 – 1
4 2 2 a) A(x) = x – 10x + 9 = (x – 1)(x + 1)( x – 9) = (x – 1)(x + 1)(x + 3)(x – 3) ⇒ Raíces: –1, 1, –3 y 3.
1 1 1 –1 1
0
–10
0
9
1
1
–9
–9
1
–9
–9
0
–1
0
9
0
–9
0
b) B(x) = 2x4 – 7x3 + 2x2 + 3x = x(2x3 – 7x2 + 2x + 3) = x(x – 1)(x – 3)(2x + 1) ⇒ Raíces: 0, 1, 3 y 2 1 2 3 2
–7
2
3
2
–5
–3
–5
–3
0
6
3
1
6
0 3
c) C(x) = x – 1= (x + 1)( x3 – 1) =(x – 1)(x2 + x + 1)(x + 1)(x2 – x + 1) ⇒ Raíces: 1 y –1 x3 – 1 = (x – 1)(x2 + x + 1) 1 1 1
54
x3 + 1 = (x + 1)(x2 – x + 1)
0
0
–1
1
1
1
1
1
0
Unidad 2| Expresiones algebraicas
1 –1 1
0
0
1
–1
1
–1
–1
1
0
−1 2
96. Observa el siguiente esquema y escribe el polinomio inicial y su expresión factorizada.
P(x) = (x – 1)(x + 2)(x – 2)(x + 3) = x4 + 2x3 – 7x2 – 8x + 12 97. Expresa los siguientes polinomios como producto de factores irreducibles. 5 4 3 2 a) R(x) = x – x – x – 2x
c) T(x) = x4 – 2x3 – 8x2 + 21x
b) S(x) = 6x3 + 5x2 – 3x – 2
d) U(x) = 2x4 + 7x3 + 8x2 + 3x
5 4 3 2 2 3 2 2 2 a) R(x) = x – x – x – 2x = x (x – x – x – 2) = x (x – 2)(x + x + 1)
1
–1
–1
–2
2
2
2
1
1
0
2 1
1 2 b) S(x) = 6x3 + 5x2 – 3x – 2= (x + 1)(6x2 – x – 2) = 6·(x + 1) x + x − 2 3 6 –1 6
5
–3
–2
–6
1
2
–1
–2
0
6x – x – 2 = 0 ⇒ x = 2
1 ± 1 − 4 ⋅ ( −2 ) ⋅ 6 12
−1 1± 7 2 = = 2 12 3
c) T(x) = x4 – 2x3 – 8x2 + 21x = x(x + 3)(x2 – 5x + 7) ⇒ Raíces: 0 y –3 1 –3 1
–2
–8
21
–3
15
–21
–5
7
0
x 2 – 5x + 7 = 0 ⇒ x =
5 ± 25 − 28 Sin solución 12
1 1 d) U(x) = 2x4 + 7x3 + 8x2 + 3x = x (2x3 + 7x2 + 8x + 3) = x(x + 1)(2x2 + 5x + 3) = 2x(x + 1) x + x + 2 3 2 –1 2
7
8
3
–2
–5
–3
5
3
0
−1 −5 ± 25 − 4 ⋅ 2 ⋅ 3 −5 ± 1 2 = = 2x + 5 x + 3 = 0 ⇒ x = −1 12 12 3 2
98. Halla el polinomio de cuarto grado cuyo coeficiente principal es 3 y que tiene por raíces x1 = 1 (raíz doble), x2 = –2 y x3 = 4. Desarróllalo. 2 2 2 4 3 2 3 2 2 P(x) = 3(x – 1) (x + 2)(x – 4) = 3(x – 2x + 1)(x – 2x – 8) = 3(x – 2x – 8x – 2x + 4x + 16x + x – 2x – 8) =
= 3(x4 – 4x3 – 3x2 + 14x – 8) = 3x4 – 12x3 – 9x2 + 42x – 24 99. La suma de las raíces de un polinomio de grado 2 es 2, y su producto, –3. ¿Cuál es el polinomio sabiendo que su coeficiente de grado 2 es 1? El polinomio será de la forma (x – a)(x – b) = x2 – ax – bx + ab = x2 – (a + b)x + ab. Como a + b = 2, y a · b = –3, el polinomio buscado es x2 – 2x – 3.
Expresiones algebraicas | Unidad 2
55
100. Halla el polinomio de tercer grado que cumple estas tres condiciones. •
Su coeficiente principal es 8.
•
2 Es divisible por 2x + 1.
•
El resto de su división entre x + 2 es 56.
2 2 P(x) = 4(2x + 1)(x – a) porque es de tercer grado, es divisible por 2x + 1 y su coeficiente director es 8.
Como el resto de la división de P(x) entre x + 2 es 56, entonces P(–2) = 56. 56 14 14 32 32 = P(–2) = 4(8 + 1)(–2 – a) = 56 ⇒ –2 – a = ⇒ –a = + 2 ⇒ –a = ⇒a= − 36 9 9 9 9 32 El polinomio buscado es P(x) = 4(2x2 + 1) x + . 9 101. Demuestra que un polinomio es divisible entre x – 1 si la suma de sus coeficientes es cero. Consideramos el polinomio P(x) = anxn + an–1 xn–1 + an–2 xn–2 + … + a2x2 + a1 x + a0. Como el polinomio es divisible entre x – 1, entonces P(1) = 0. P(1) = an · 1n + an–1 · 1n–1 + an–2 · 1n–2 + … + a2 · 12 + a1 · 1 + a0 = 0 ⇒ an + an–1 + an–2 + … + a2 + a1 + a0 = 0 102. En el polinomio de coeficientes enteros P(x) = ax5 + bx4 +cx3 + dx2 + ex + f comprueba que si g es una raíz entera, entonces g + 1 es un divisor de P(–1) y g – 1 es un divisor de P(1). Si g es raíz de P(x), entonces a · g5 + b · g4 + c · g3 + d · g2 + e · g + f = 0 ⇒ f = –a · g5 – b · g4 – c · g3 – d · g2 – e · g 5 4 3 2 5 4 P(–1) = –a + b – c + d – e + f = –a + b – c + d – e – a · g – b · g – c · g – d · g – e · g = –a · (1 + g ) + b (1 – g ) – c ·(1 3 2 2 3 4 2 3 + g ) + d · (1 – g ) – e · (1 + g) = –a · (1 + g)(1 – g + g – g + g ) + b (1 + g)(1 – g + g – g ) – c ·(1 + g)(1 – g + g2) + d · 2 3 4 2 3 2 (1 + g)(1 – g) – e · (1 + g) = (1 + g) · [–a(1 – g + g – g + g ) + b(1 – g + g – g ) – c(1 – g + g ) + d(1 – g) – e].
Como P(–1) = (1 + g) · k, k ∈ , entonces 1 + g es divisor de P(–1). P(1) = a + b + c + d + e + f = a + b + c + d + e – a · g5 – b · g4 – c · g3 – d · g2 – e · g = –a · (g5 – 1) – b (g4 – 1) – c ·(g3 – 1) – d · (g2 – 1) – e · (g – 1) = –a · (g – 1)(1 + g + g2 + g3 + g4) – b (g – 1)(1 + g + g2 + g3 ) – c ·(g – 1)(1 + g + g2) + d · (g – 2 3 4 2 3 2 1) (g + 1) – e · (g – 1) =(g – 1)[–a(1 + g + g + g + g ) – b(1 + g + g + g ) – c(1 + g + g ) + d(g + 1) – e]. Como P(1) = (g – 1) · k, k ∈ , entonces (g – 1) es divisor de P(1). 103. Simplifica estas fracciones algebraicas. a) A( x ) =
x 3 + 4x 2 − 5x x 3 + 7 x 2 + 10 x
c) C( x ) =
x 3 − x 2 + 4x − 4 x3 − x2 + x − 1
e) E ( x ) =
b) B( x ) =
x 4 − 4x 2 x + 4x 4 + 4x 3
d) D( x ) =
5 x 2 − 20 x + 15 10 x 2 − 10 x − 60
f)
x ( x + 5 ) ( x − 1)
x ( x 2 + 4x − 5 ) = x ( x 2 + 7x + 10 )
F (x ) =
x −1 x+2
a) A( x ) =
x 3 + 4x 2 − 5x = x 3 + 7x 2 + 10x
b) B( x ) =
x 2 ( x 2 − 4) x 4 − 4x 2 = = 5 4 3 3 x + 4x + 4x x ( x 2 + 4x + 4 )
c) C( x ) =
x 3 − x 2 + 4x − 4 = x3 − x2 + x − 1
= d) D( x )
5 ( x − 3 ) ( x − 1) 5 ( x 2 − 4x + 3 ) 5x 2 − 20x + 15 x −1 x −1 = = = = 2 2 10x − 10x − 60 10 ( x − x − 6 ) 2 ⋅ 5 ( x − 3 ) ( x + 2 ) 2 ( x + 2 ) 2x + 4
e) E( x ) =
f) F ( x ) =
56
5
x 3 − 3x 2 + 3x − 1 = x 3 − 2x 2 + x
4 x 2 − 2x = 2x 2 + 7 x − 4
( x − 1) ( x 2 + 4 ) = ( x − 1) ( x 2 + 1)
x ( x + 5 ) ( x + 2)
x 2 ( x − 2) ( x + 2) x −2 x −2 = = 2 x ( x + 2 ) x 2 + 2x x 3 ( x + 2)
x2 + 4 x2 + 1
( x − 1) ( x 2 − 2x + 1) x ( x 2 − 2x + 1)
2x ( 2x − 1) = 1 2 ( x + 4) x − 2
Unidad 2| Expresiones algebraicas
=
=
x −1 x
2x ( 2x − 1)
( x + 4 ) ( 2x − 1)
=
2x x+4
x 3 − 3x 2 + 3x − 1 x 3 − 2x 2 + x 4 x 2 − 2x 2x 2 + 7x − 4
104. Realiza estas sumas y restas y expresa el resultado como una fracción algebraica irreducible.
5x 1 2x − − x − 1 x − 5 x2 − 1
a)
3 2x − 3 x + − x 2 − 3x + 2 x − 2 x − 1
a)
3 + ( 2x − 3 )( x − 1) − x ( x − 2 ) 3 + 2x 2 − 2x − 3x + 3 − x 2 + 2x x 2 − 3x + 6 3 2x − 3 x = + − = = x − 3x + 2 x − 2 x − 1 x 2 − 3x + 2 ( x − 1)( x − 2 ) ( x − 1)( x − 2 )
b)
−2 3 7 + − x − 1 x − 5 ( x − 1) 2
c)
2
−2 3 7 −2x 2 + 12x − 10 + 3x 2 + 3 − 6x − 7x + 35 = + − = b) 2 2 x − 1 x − 5 ( x − 1) ( x − 5 )( x − 1)
x 2 − x + 28
( x − 5 )( x − 1)
2
5x ( x + 1)( x − 5 ) − ( x − 1)( x + 1) − 2x ( x − 5 ) 5x 3 − 23x 2 − 15x + 1 5x 1 2x c) = − − 2 = x −1 x − 5 x −1 ( x − 5 )( x − 1)( x + 1) ( x − 5 )( x − 1)( x + 1)
105. Realiza estas operaciones y simplifica el resultado. a)
x +2 2x − 1 ⋅ 4 x 2 − 1 2x 2 + 5 x + 2
b)
a)
x+2 2x − 1 ⋅ = 4 x 2 − 1 2x 2 + 5 x + 2
x+2 2x − 1 ⋅ = ( 2x − 1)( 2x + 1) ( x + 2 )( 2x + 1)
x 2 − 4 x 3 + 3x 2 − 4 b) = : x2 − 1 x2 − x − 2 c)
( x + 2)
x 2 − 4 x 3 + 3x 2 − 4 : x2 − 1 x2 − x − 2
c)
2 2 ( x + 2) − ( x − 2)
8x
( x + 2 ) ( 2x − 1) 1 = 2 ( 2x − 1) ( 2x + 1) ( x + 2 ) ( 2x + 1) ( 2x + 1)
2 ( x − 2 ) ( x + 2 ) ( x + 1) ( x − 2 ) x − 2 )( x + 2 ) ( x − 1)( x + 2 ) (= = : − + + − x x x x 1 1 1 2 ) ( x − 1) ( x + 1) ( x − 1)( x + 2 ) 2 )( ) ( ( )(
x 2 − 4x + 4 x 3 − 3x + 2
− ( x − 2) x 2 + 4x + 4 − x 2 + 4x − 4 8x = = = 1 8x 8x 8x
2
2
106. Actividad resuelta. 107. Descompón en fracciones simples estas fracciones.
4x 2 − 5x + 2 x3 − x2
a)
5x + 2 x + 2x + 1
a)
A ( x + 1) + B Ax + A + B 5x + 2 5x + 2 A B = = + =2 =2 x 2 + 2x + 1 ( x + 1)( x + 1) x + 1 ( x + 1)2 x + 2x + 1 x + 2x + 1
2
b)
c)
−x + 3 x3 − x
}
5x + 2 5 3 A=5 ⇒ B =−3 ⇒ 2 = − 2 A+B = x + 2x + 1 x + 1 ( x + 1)2
b)
Ax ( x − 1) + B ( x − 1) + Cx 2 Ax 2 − Ax + Bx − B + Cx 2 4x 2 − 5x + 2 4x 2 − 5x + 2 A B C = = + + = = x3 − x2 x 2 ( x − 1) x x2 x − 1 x2 + x − 2 x2 + x − 2 A +C = 4 4x 2 − 5x + 2 3 2 1 −A + B =−5 3, C =⇒ 1 ⇒B= −2, A = =− 2 + 3 2 x x x x x − −1 2 −B =
c)
A ( x − 1)( x + 1) + Bx ( x + 1) + Cx ( x − 1) −x + 3 −x + 3 A B C = =+ + = x 3 − x x ( x − 1)( x + 1) x x − 1 x + 1 x3 − x x =1 ⇒ 2 = 2B ⇒ B =1 −x + 3 −3 1 2 x =−1 ⇒ 4 =2C ⇒ C =2 ⇒ = + + 3 − − +1 x x x x x 1 x =0 ⇒ 3 =−A ⇒ A =−3
Expresiones algebraicas | Unidad 2
57
108. ¿Verdadero o falso? ¿Por qué? a) Si x + 6 divide a L(x), entonces 6 es una raíz de L(x). b) Si G(–5) = 0, x + 5 es un factor de G(x). c) Si B(x) es irreducible, existe al menos un valor real x = a para el que B(a) = 0. d) Un polinomio de grado 5 no puede tener 6 raíces. e) Un polinomio con término independiente 0 posee al menos una raíz real. f)
xn + 1 es irreducible o tiene como única raíz real x = –1.
a) Falso, ya que si (x + 6) divide a L(x), entonces –6 es una raíz de L(x). b) Verdadero, por el teorema del factor. c) Falso, ya que si existiese un valor tal que B(a) = 0, entonces (x – a) dividiría a B(x), y B(x) no sería irreducible. d) Verdadero, el teorema fundamental del álgebra nos indica que como mucho tendrá 5 raíces. e) Verdadero, ya que x = 0 será una raíz. f)
Verdadero, ya que Si n es par, xn + 1 = 0 ⇒ xn = –1 no tiene raíces reales. Si n es impar, xn + 1 = 0 ⇒ xn = –1 ⇒ x = –1.
109. La representación adjunta demuestra geométricamente la identidad notable obtenida para el cuadrado de una suma. Justifica por qué. Trata de encontrar otra representación gráfica para justificar el cuadrado de una diferencia.
(a + b)2 = ab + b2 + a2 + ab
a2 = b(a – b) + b2 + (a – b)2 + b(a – b)
(a + b)2 = a2 + b2 +2ab
a2 = ab – b2 + b2 + (a – b)2 + ba – b2 = 2ab + (a – b)2 – b2 (a - b)2 = a2 – ab – ba + b2 = a2 – 2ab +b2
1 3 110. Realiza la división x 2 + x + 1 : x + . 2 2 1
−3 2 1
1 2 −3 2 –1
1
3 2
C(x) = x + 1
R (x) =
5 2
5 2
3 2 111. Calcula a, b y c sabiendo que x – 6x + ax + b es el cubo del binomio x + c.
(x + c)3 = x3 + 3x2c + 3xc2 + c3 Igualando los coeficientes correspondientes a los términos de igual grado: 2 2 3 3 –6 = 3c ⇒ c = –2; a = 3c ⇒ a = 3 · (–2) ⇒ a = 12; b = c ⇒ b = (–2) ⇒ b = –8
112. Si el polinomio P(x) = x2 – kx + t tiene una raíz doble en x = 2, ¿cuánto valen k y t? Como P(x) es un polinomio de segundo grado y tiene una raíz doble en x = 2, entonces P(x) = (x – 2)2 = x2 – 4x + 4. Igualando los coeficientes correspondientes a los términos de igual grado, se obtienen k = 4, t = 4.
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113. Realiza la división (3x3 – 4x + 1) : (x2 – 1) utilizando la regla de Ruffini. No se puede usar la regla de Ruffini porque el divisor es de grado 2. 114. Estudia el signo de este polinomio por el procedimiento que se indica a continuación: Q(x) = (x + 2)(x – 1)(x – 3) a) Encuentra sus raíces. b) Divide la recta real en los intervalos que tienen por extremos dichas raíces. c) Elige un punto en cada uno de esos intervalos y calcula el valor numérico de Q(x) en ese punto. El signo de este valor numérico es el de Q(x) en todo el intervalo. a) Ceros en x = –2, x = 1 y x = 3 b) Intervalos x ≤ –2, –2 < x ≤ 1, 1 < x ≤ 3, x > 3. c) Aunque el punto elegido y el valor obtenido en cada intervalo no tienen por qué coincidir, el signo sí. x = –3 ⇒ Q(–3) = (–3 + 2)(–3 – 1)(–3 – 3) = (–1) · (–4) · (–6) < 0 ⇒ para x ≤ –2. Q(x) es negativo. x = 0 ⇒ Q(0) = (0 + 2)(0 – 1)(0 – 3) = 2 · (–1) · (–3) > 0 ⇒ para –2 < x ≤ 1. Q(x) es positivo. x = 2 ⇒ Q(2) = (2 + 2)(2 – 1)(2– 3) = 4 · 1 · (–1) < 0 ⇒ para 1 < x ≤3. Q(x) es negativo. x = 4 ⇒ Q(4) = (4 + 2)(4 – 1)(4 – 3) = 6 · 3 · 1 > 0 ⇒ para x > 3. Q(x) es positivo. 115. Al caer en una casilla del Matempoly a Inés le ha tocado esta tarjeta: a) Llama x al dinero que tenías al caer en esa casilla y encuentra una expresión algebraica que represente el dinero que tendrás después de cumplir con la tarjeta. b) Si a Anita le tocó la misma tarjeta teniendo 200 €, ¿con cuánto dinero saldrá? c) Al pobre Tomás también le tocó esa tarjeta y se quedó justo con 0 €. ¿Cuánto dinero tenía al llegar a esa casilla? a) x2 – 240 · (x – 60) = x2 – 240x + 14 400 b) 2002 – 240 · 200 +14 400 = 6400 € c) x 2 − 240x + 14 400 = 0 = x
240 ± 57 600 − 57 600 240 ± 0 = = 120 € 2 2
116. Encuentra los polinomios que nos dan el perímetro y el área de estas figuras. a)
b)
a) P(x) = 11 + 2x + 8 – (x – 1) + 4 + 8 + x + 5 + 1 + x + x = 4x + 38 A(x) = x2 + (x – 1) · (5 + x) + x2 + 4 · (8 – x – x +1) = x2 + x2 + 4x – 5 + x2 + 32 – 4x – 4x + 4 = 3x2 – 4x – 1 b) P(x) = 2 + x + (x + 3) + 8 + 5 + 9 + x + 2x + (x + 3 + 5 + x – (2 + 7)) + (5 + x + 8 – (9 + 2x)) + 7 + 5 = 6x + 42 A(x) = 5 · (9 + 2x) + 2x · x + 7 · (5 + x + 8 – (9 + 2x)) + (x + 3)(5 – (5 + x + 8 – (9 + 2x)) + 2 · x = x2 + 6x + 85
Expresiones algebraicas | Unidad 2
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117. Demuestra que si n es un entero positivo, entonces se puede construir un triángulo rectángulo de catetos 2 a = 2n + 1 y b = 2n + 2n cuya hipotenusa es también un número entero. 2 2 2 2 4 2 3 4 3 2 2 2 (2n + 1) + (2n + 2n) = 4n + 1 + 4n + 4n + 4n + 8n = 4n + 8n + 8n + 4n + 1 = (2n + 2n + 1)
La hipotenusa será 2n2 + 2n + 1, que es un número entero porque n lo es. 118. La expresión que da la posición, s, de un objeto que sigue un movimiento uniformemente acelerado es 1 2 s(t )= at + v ot + so donde a es la aceleración, vo, la velocidad inicial, so, la posición inicial, y t, el tiempo. 2 a) ¿Puede el polinomio M(t) = 5t2 + 6t + 3 describir un movimiento uniformemente acelerado? Identifica en caso afirmativo los valores de a, vo y so. b) ¿Puede el monomio T(t) = 4,9t2 corresponder a un cuerpo que se deja caer en el vacío? ¿Por qué? ¿Cuál es el valor de a en este caso? a) M(t) puede identificar un movimiento uniformemente acelerado donde a = 10; v0 = 6; s0 = 3.
1 a = 4,9 ⇒ a = 9,8 (valor correspondiente a la gravedad), v0 = 0 (parte de velocidad 2 inicial nula) y s0 = 0 (cuando comienza a caer no ha recorrido ningún espacio).
b) Identificamos los valores:
119. Halla la suma de todas las raíces del siguiente polinomio: (2x + 3)(x – 4) + (2x + 3)(x – 6) A. 3,5
B. 4
C. 5
D. 7
(2x + 3)(x – 4) + (2x + 3)(x – 6) = (2x + 3)(x – 4 + x – 6) = (2x + 3)(2x – 10) = 0 ⇒ Raíces
−3 −3 +5 = 3,5 y5⇒ 2 2
La respuesta correcta es la A. 120. El polinomio ax3 – 60x2 + bx – 125 es el cubo de un binomio. El producto de a y b es: A. 150
B. 300
El binomio es
(
3
)
3
C. 750
D. 1200
3
a x − 5 = ax – 15 3 a 2 x 2 + 75 3 a x – 125, por lo que –15
3
a 2 = –60 y 75 3 a = b.
Luego a = 8 y b = 150. Por tanto, a · b = 1200. La respuesta correcta es la D. 121. Al dividir el polinomio P(x) entre el binomio (x2 – 1), el resto que se obtiene es 4x + 4. ¿Cuál es el resto de dividir P(x) entre (x – 1)? A. 0
B. –4x – 4
C. –4
2
D. 8 2
P(x) = C(x)(x – 1) + (4x + 4) porque al dividir P(x) entre el binomio (x – 1), el resto que se obtiene es 4x + 4. El resto de la división de P(x) entre x – 1 coincidirá, por el teorema del resto, con P(1): P(1) = C(1) · 0 + (4 + 4) = 8. La respuesta correcta es la D. 122. ¿Cuántos de los siguientes polinomios tienen al menos una raíz real? P(x) = x4 + x2 + 16
Q(x) = x8 + x4 + 16x
R(x) = x2 + 10x + 20
S(x) = (2x2 + 6x + 1)2 – (2x2 – x + 1)2
A. 5
B. 3
C. 2 4
D. 1
P(x) no tiene raíces reales porque P(x) = x + x + 16 > 0 para cualquier valor de x, Q(x) = x(x8 + x4 + 16x) y x = 0 es raíz de este polinomio, R(x) tiene dos raíces reales porque b2 – 4ac = 20 > 0 y S(x) tiene como mínimo una raíz real, x = 0, porque S(0) = 1 – 1 = 0. La respuesta correcta es la B.
60
Unidad 2| Expresiones algebraicas
2
123. El polinomio P(x) = x3 + ax2 + bx + c tiene la propiedad de que la media aritmética de sus raíces, el producto de sus raíces y la suma de sus coeficientes son iguales. Si P(0) = 2, ¿cuál es el valor de b? A. –11
B. –10
C. –9
D. 1
Llamando x1, x2 y x3 a las raíces de P(x). P(x) = x3+ ax2 + bx + c = (x – x1)(x – x2)(x – x3) = x3 – (x1 + x2 + x3)x2 + (x1x2 + x1x3 + x2x3)x – x1x2x3. Igualando coeficientes: x1 + x2 + x3 = –a, x1x2 + x1x3 + x2x3 = b y x1x2x3 = –c.
−a x1 + x2 + x3 = = x1x2x3 = 1 + a + b + c ⇒ –c = 1 + a + b + c y P(0) = c = 2 ⇒ a = 6 y b = –11 3 3 La respuesta correcta es la A.
Encuentra el error 3 2 124. A un estudiante le han pedido que efectúe la división (8x – 22x – 10) : (2x – 6) y él observa hábilmente que simplificando ambos términos entre 2, puede aplicar el algoritmo de Ruffini que tanto le gusta.
Divide entonces (4x3 – 11x2 – 5) : (x – 3) y obtiene cociente 4x2 + x + 3 y resto 4. Otro estudiante no tan osado, divide directamente los polinomios iniciales y obtiene cociente 4x2 + x + 3 y resto 8. ¿Cuál de los dos obtiene el resultado correcto? Convence al que se ha equivocado de su error.
D ( x ) = d ( x )C ( x ) + R ( x ) ⇒
D (x) d (x) R (x) = ⋅C (x) + ⇒ 4x 3 − 11x 2 − 5 = 2 2 2
( x − 3)C ( x ) +
R (x) 2
3 2 El primer estudiante está equivocado, pues al dividir D(x) = 4x – 11x – 5 y d(x) = 2x – 6 entre 2, el cociente permanece invariante pero el resto también queda dividido entre 2. Por tanto, el resto de la división inicial es 8.
Expresiones algebraicas | Unidad 2
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PONTE A PRUEBA Decorando la pared Actividad resuelta Codifica y descodifica El proceso de codificar un mensaje se llama “encriptación”, y hay muchos sistemas para llevarlo a cabo. Vamos a utilizar los polinomios para encriptar mensajes. En primer lugar, se establece una equivalencia para convertir cada letra en un número. A 0
B 1
C 2
D 3
E 4
F 5
G 6
H 7
I 8
J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z ¿ 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
? 28
Se emplea un sistema de sustitución cuya clave es el polinomio que asigna a cada letra del alfabeto otra letra. 1.
El cifrado César consiste en sustituir cada letra por la que ocupa 3 posiciones más adelante en el alfabeto. Es decir, su clave es el polinomio P(x) = x + 3. Si al aplicar P(x) al número asociado a una letra obtienes un número mayor que 28, continúa por el comienzo de la tabla; es decir, divide entre 29 y toma el resto. Utilizando el cifrado César: a) b) a) b)
2.
3.
Encripta el mensaje “La suerte está echada” Desencripta “Glñh d wx dor txh hp Fhvdu vrñr odpgd Fhvdu”. “Ñd vxhuwh hvwd hfkdgd”. “Dile a tu amo que en César solo manda César”.
Prueba con una clave más compleja, como el polinomio P(x) = x3 + 2. Por ejemplo, para cifrar la letra E: •
3 Como E equivale a 4, se calcula P(4) = 4 + 2 = 66.
•
Como 66 es un número mayor que 28, se divide entre las 29 posiciones que tienen la tabla 66 = 2·29 + 8.
•
Como 8, que es el resto de dividir 66 entre 29, equivale a I, se sustituye la letra E por la I.
a) b) a) b)
Encripta la frase de Woody Allen: “El eco siempre dice la última palabra”. Desencripta otra frase del mismo autor: “?nq snqñmu¿nq smifix ix¿fi cj?cmqnq”. “I? ikn quisjfi auki ?c m?¿usc jc?cdfc” “Los mosquitos mueren entre aplausos”.
Algunos polinomios sirven como claves para encriptar con este método, como P(x) = 3x + 1, y otros en 2 cambio no, como Q(x) = x + 1. ¿A qué se debe? Se debe a que a letras diferentes les correspondería en la encriptación el mismo signo. Por ejemplo: N y P tienen la misma encriptación porque N ↔ 13, P(13) = 132 + 1 = 170 = 6 · 29 + 25 y 25 ↔ Y. P ↔ 16, P(16) = 162 + 1 = 257 = 8 · 29 + 25 y 25 ↔ Y.
62
Unidad 2| Expresiones algebraicas
Cuenta con los polinomios. Los sistemas de numeración utilizan símbolos para representar diferentes cantidades. Hoy en día, en casi todo el mundo son posicionales, es decir, que el valor de cada símbolo depende de su posición dentro del número. Así, el 9 de 195 significa “noventa”, o 9 decenas, pero el 9 de 9341 significa “nueve mil”, o 9 millares. En los sistemas de numeración posicional se utilizan diferentes bases. Las más comunes son: Decimal: base 10
Consta de 10 cifras o guarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.
Binario: base 2
Solo hay dos cifras: 0 y 1.
Octal: base 8
Consta de 8 cifras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Consta de 16 cifras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F (donde A tiene el valor de 10, B el de 11, … , y F el de 15).
Hexadecimal: base 16
Cualquier número natural N escrito en una base k se puede representar mediante una expresión polinómica. Así, por ejemplo, el número 319 en las bases 10, 8 y 16 es: •
31910 = 3 · 102 + 1 · 10 + 9
•
4778 = 4 · 82 + 7 · 8 + 7 = 319
•
2 13F16 = 1 · 16 + 3 · 16 + 15 = 319
1.
El número 1 1101012 está escrito en base 2. ¿A qué número equivale en base 10? A. 101
B. 113 6
5
4
C. 117 3
D. 121
2
1 110 1012 = 1 · 2 + 1 · 2 + 1 · 2 + 0 · 2 + 1 · 2 + 0 · 2 + 1 = 64 + 32 + 16 + 4 + 1 = 117 La respuesta correcta es la C. 2.
¿Y el número 13 4225 escrito en base 5? A. 1212
B. 1221 4
3
C. 1112
D. 2122
2
13 4225 = 1 · 5 + 3 · 5 + 4 · 5 + 2 · 5 + 2 = 625 + 375 + 100 + 10 + 2 = 1112 La respuesta correcta es la C. 3.
Expresa el número 134810 en las bases 5, 8 y 16. 4 3 2 134810 = 1250 + 75 + 20 + 3 = 2 · 5 + 0 · 5 + 3 · 5 + 4 · 5 + 3 = 20 3435
134810 = 1024 + 320 + 4 = 2 · 83 + 5 · 82 + 0 · 8 + 4 = 25048 134810 = 1280 + 64 + 4 = 5 · 162 + 4 · 16 + 4 = 54416 4.
El sistema decimal no siempre ha sido el más común en Europa. En francés, 99 todavía se dice quatrevingt- dix- neuf, es decir, “cuatro veinte diecinueve”. ¿Qué base utilizaban? Expresa este número en la base adecuada inventando los símbolos que necesites. ¿Cuántas cifras ocupa? La base es 20. Las cifras, o símbolos, son: 0, 1, 2, …, 9, A, B,…, I, J ⇒ 9910 = 4J20
Expresiones algebraicas | Unidad 2
63
AUTOEVALUACIÓN 1.
x3 Calcula el valor numérico del polinomio P ( x ) = − 2( x 2 − 1) para x1 = 2 y x2 = –1. 2 23 P(2) = − 2(22 − 1) =4 − 8 + 2 =−2 2
2.
1) P(−=
(−1)3 −1 1) − 2((−1)2 −= 2 2
Realiza las operaciones indicadas dados los polinomios. •
P(x) = 3x2 – 2x + 4
•
Q(x) = –2x3 – x2 + 5x – 1
a) P(x) – Q(x) + R(x)
•
R(x) = x4 – x3 + 4x2 + 3x – 2
b) P(x) · Q(x) + R(x)
¿Qué grado tienen los polinomios resultantes? a) P(x) – Q(x) + R(x) = (3x2 – 2x + 4) – (–2x3 – x2 + 5x – 1) + (x4 –x3 + 4x2 + 3x – 2) = 3x2 – 2x + 4 + 2x3 + x2 – 5x + 1 + x4 –x3 + 4x2 + 3x – 2 = x4 + x3 + 8x2 – 4x + 3 ⇒ Grado 4 2 3 2 4 3 2 5 4 3 2 4 b) P(x) · Q(x) + R(x) = (3x – 2x + 4) · (–2x – x + 5x – 1) + (x –x + 4x + 3x – 2) = –6x – 3x + 15x – 3x + 4x + 2x3 – 10x2 + 2x – 8x3 – 4x2 + 20x – 4 + x4 –x3 + 4x2 + 3x – 2 = –6x5 + 2x4 + 8x3 – 13x2 + 25x – 6 ⇒ Grado 5
3.
Justifica cuáles de las siguientes expresiones son correctas. a) 9a2b2 – c2 = (3ab – c)2 b) 9a2b2 – 6abc + c2 = (3ab – c)2 c) 4x2y + 9y2z = (2x2y + 3y2z)(2x2y – 3y2z) d) 4x4y2 – 9y4z2 = (2x2y + 3y2z)(2x2y – 3y2z) e) 16x2y2 – 8xy + 4x2 = (4xy – 2x)2 Corrige en tu cuaderno las igualdades incorrectas. a) Incorrecta porque (3ab – c)2 = 9a2b2 + c2 – 6abc b) Correcta c) Incorrecta porque (2x2y + 3y2z)(2x2y – 3y2z) = 4x4y2 – 9y4z2 d) Correcta e) Incorrecta porque (4xy – 2x)2 = 16x2y2 – 16x2y + 4x2
4.
Realiza las siguientes divisiones de polinomios. 4 2 3 a) (5x – 3x + x – 1) : (x – x – 1)
b) (4x3 – 2x + 2) : (x2 + x + 1)
a) C(x) = 5x R(x) = 2x2 + 6x – 1
b) C(x) = 4x – 4 R(x) = –2x + 6
5x 4 − 3x 2 + x − 1
x3 − x − 1
−5x 4 + 5x 2 + 5x
− 2x + 2 x 2 + x + 1
4x 3
−4x 3 − 4x 2 − 4x
5x
2x 2 + 6 x − 1
4x − 4
−4x 2 − 6x + 2 4x 2 + 4x + 4 − 2x + 6
5.
Realiza las siguientes divisiones aplicando la regla de Ruffini e indica el cociente y el resto. a) (2x3 + 4x2 – 5x – 3) : (x – 2)
b) (x4 – 3x2 + 4x – 2) : (x + 3)
a) C(x) = 2x2 + 8x + 11
b) C(x) = x3 – 3x2 + 6x – 14
2 2 2
64
R(x) = 19
4
–5
–3
4
16
22
8
11
19
Unidad 2| Expresiones algebraicas
1 –3 1
R(x) = 40
0
–3
4
–2
–3
9
–18
42
6
–14
40
–3
6.
7.
Calcula el valor que debe tener k para que el polinomio P(x) = x5 + kx4 + x3 – 4x2 + x – 4 sea divisible entre x – 4. •
Para que el polinomio P(x) sea divisible entre x – 4, el resto de la división de P(x) : (x – 4) debe ser 0.
•
Por el teorema del resto, P(4) = 45 + k · 44 + 43 – 4 · 42 + 4 – 4 = 1024 + 256k = 0 ⇒ k = –4.
¿Es x + 1 un factor del polinomio x71 – 1? Razona tu respuesta. Por el teorema del factor, x + 1 es un factor de x
71
– 1 si el resto de la división (x71 – 1) : (x + 1) es cero.
Aplicando el teorema del resto, P(–1) = (–1)71 – 1 = –1 – 1 = –2 ≠ 0. Por tanto, x + 1 no es un factor de x71 – 1. 8.
Factoriza los siguientes polinomios. a) P(x) = 6x3 + 13x2 – 13x – 20 b) Q(x) = x5 + x4 – 5x2 – 11x – 6
5 3 2 2 a) P(x) = 6x + 13x – 13x – 20 = (x + 1)(6x + 7x – 20) = 6(x + 1) x + 2 6
13
–13
–20
–6
–7
20
1
0
–5
–11
–6
–1
0
0
5
6 0
4 x − 3
−30 −5 = 2 −7 ± 49 + 4 ⋅ 6 ⋅ 20 −7 ± 23 12 2 = 6x + 7x − 20 = 0 ⇒ x = 6 7 –20 0 2⋅6 12 16 4 = 12 3 b) Q(x) = x5 + x4 – 5x2 – 11x – 6 = (x + 1)(x4 – 5x – 6) = (x + 1)2(x – 2)(x2 + x + 3) –1
1 –1 1 –1 1
0
0
–5
–6
–1
1
–1
6
–1
1
–6
0
2
2
6
1
3
0
2 1
9.
x2 + x + 3 = 0 ⇒ x =
−1 ± 1 − 4 ⋅ 3 ⋅ 1 ⇒ Sin solución 2 ⋅1
Opera y simplifica. 3 x 2 − 4 x − 15 5 x + 1 − x 2 − 5x + 6 x −2
Factorizamos el primer denominador:
{
5 ± 25 − 4 ⋅ 1⋅ 6 5 ± 1 3 x 2 − 5x + 6 =0 ⇒ x = = ⇒ x 2 − 5x + 6 =( x − 3 )( x − 2 ) 2 ⋅1 2 2 Por tanto: 3x 2 − 4x − 15 5x + 1 3x 2 − 4x − 15 − ( 5x + 1)( x − 3 ) 3x 2 − 4x − 15 − 5x 2 + 15x − x + 3 = − = = x 2 − 5x + 6 x −2 ( x − 2 )( x − 3 ) ( x − 2 )( x − 3 )
=
−2 ( x 2 + 5x − 6 ) x 2 − 5x + 6
−2x 2 + 10x − 12 = ( x − 2 )( x − 3 )
= −2
Expresiones algebraicas | Unidad 2
65
3 Ecuaciones y sistemas LEE Y COMPRENDE ¿Qué modelizan las ecuaciones de Lotka – Volterra? Las ecuaciones de Lotka – Volterra modelizan las variaciones en el tamaño de las poblaciones correspondientes a dos especies que habitan en el mismo lugar y que compiten entre sí. ¿Bajo qué condiciones tienen sentido? ¿Por qué? Las ecuaciones tienen sentido siempre que las condiciones sean más o menos de aislamiento; es decir, sin la interferencia de agentes externos.
REFLEXIONA Y CONTESTA ¿Qué otras ecuaciones conoces? ¿Qué modelizan? ¿Por qué crees que son importantes? Respuesta libre.
Actividades propuestas 1.
Resuelve estas ecuaciones. a)
1− x = 3
x x +1 − 2 6
b) x(x + 5) = x(x – 1) + 2 a)
c) 3x(x + 3) = 9x + 12 d)
3− x 4 = 2
( x − 1)
e) 9x2 + 9x – 10 = 0 f) 3x2 + 5x = 5(x + 135)
1− x x x + 1 2 − 2x 3 x x + 1 3 = − ⇒ = − ⇒ 2 − 2x = 3 x − x − 1 ⇒ 2 + 1 = 3 x − x + 2x ⇒ 3 = 4 x ⇒ x = 3 2 6 6 6 6 4
b) x(x + 5) = x(x – 1) + 2 ⇒ x2 + 5x = x2 – x + 2 ⇒ 5x + x = 2 ⇒ 6x = 2 ⇒ x =
2 1 = 6 3
c) 3x(x + 3) = 9x + 12 ⇒ 3x2 + 9x = 9x + 12 ⇒ 3x2 = 12 ⇒ x2 = 4 ⇒ x = ±2 d)
3−x 3x − x 2 − 3 + x 4 ± 16 − 44 Sin solución = 4 ⇒ −x 2 + 4x − 3 = 8 ⇒ x 2 − 4x + 11= 0 ⇒ x = = 4 ⇒ 2 2 2
( x − 1)
5 30 − − 18 = 3 −9 ± 81 + 360 −9 ± 21 e) 9x 2 + 9x − 10 = 0 ⇒ x = = = 18 18 12 2 = 18 3 2 2 2 2 f) 3x + 5x = 5(x + 135) ⇒ 3x + 5x = 5x + 675 ⇒ 3x = 675 ⇒ x = 225 ⇒ x = ±15
66
Unidad 3| Ecuaciones y sistemas
2.
Encuentra las soluciones de estas ecuaciones. a) x2 – 6x – 7 = 0
c) –2x(x – 1) = x2 – 5x
b) x2 – 6x + 9 = 0
d) x2 – x(3x + 1) = 3
a) x 2 − 6x − 7 = 0 ⇒ x =
{
6 ± 36 + 28 6 ± 8 7 = = −1 2 2
2 2 b) x – 6x + 9 = 0 ⇒ (x – 3) = 0 ⇒ x = 3 (Doble) 2 2 2 2 2 2 c) –2x(x – 1) = x – 5x ⇒ –2x + 2x = x – 5x ⇒ –2x + 2x – x + 5x = 0 ⇒ –3x + 7x = 0 ⇒ x(–3x + 7) = 0 ⇒ x = 0 7 y x= 3
−1 ± 1 − 24 2 2 2 2 d) x – x(3x + 1) = 3 ⇒ x – 3x – x – 3 = 0 ⇒ 2x + x + 3 = 0 ⇒ x = Sin solución 4
3.
Halla las soluciones de las ecuaciones siguientes. 3 2 a) x – 5x + 6x = 0
c) 2x4 + 5x3 = x2 – 3x + 9
b) 2x4 – 6x3 – 32x2 + 96x = 0
d) x3 – 5x – 2 = 0
3 2 2 a) x – 5x + 6x = x(x – 5x + 6) = x(x – 3)(x – 2) = 0 ⇒ x = 0, x = 3 y x = 2
x 2 − 5x + 6 = 0 ⇒ x =
{
5 ± 25 − 24 5 ± 1 3 = = 2 2 2
4 3 2 3 2 b) 2x – 6x – 32x + 96x = 2x(x – 3x – 16x + 48) = 2x(x – 3)(x – 4)(x + 4) = 0 ⇒ x = 0, x = 3 y x = ±4.
3
1 1
–3 3 0
–16 48 0 –48 –16 0
x2 – 16 = 0 ⇒ x2 = 16 ⇒ x2 = ±4
c) 2x4 + 5x3 = x2 – 3x + 9 ⇒ 2x4 + 5x3 – x2 + 3x – 9 = 0 ⇒ x = 1 y x = –3 1 –3
2 2 2
5 2 7 –6 1
3 6 9 –9 0
–1 7 6 –3 3
(
–9 9 0
d) x3 – 5x – 2 = ( x + 2 ) x − 1 − 2
–2
1 1
0 –2 –2
–5 4 –1
–2 2 0
2x2 + x += 3=0⇒ x
)( x − 1+ 2 ) =0 ⇒ x = 2, x = x2 – 2x – 1 = 0 ⇒ x =
−1 ± 1 − 24 1 ± −23 = Sin solución 4 4
1+ 2 , x = 1− 2
2± 4+4 2± 8 2±2 2 = = = 1± 2 2 2 2
Ecuaciones y sistemas | Unidad 3
67
4.
Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas. a) x4 – 5x2 + 4 = 0
b) x4 + 10x2 + 9 = 0
c) x4 – 4x2 – 12 = 0
d) 2x4 – 6x2 – 20 = 0
5+3 2 z = 2 = 4 ⇒ x = 4 ⇒ x = ±2 5± 9 a) x4 – 5x2 + 4 = 0 y x2 = z ⇒ z 2 − 5z + 4 =0 ⇒ z = ⇒ 2 5−3 =1 ⇒ x 2 =1 ⇒ x =±1 z= 2 −10 + 8 =−1 ⇒ x 2 =−1 Sin solución z = 2 −10 ± 64 4 2 2 b) x + 10x + 9 = 0 y x = z ⇒ z 2 + 10z + 9 = 0 ⇒ z = ⇒ 2 −10 − 8 =−9 ⇒ x 2 =−9 Sin solución z = 2
4+8 2 z = 2 = 6 ⇒ x = 6 ⇒ x = ± 6 4 ± 64 c) x – 4x – 12 = 0 y x = z ⇒ z − 4z − 12 = 0 ⇒ z = ⇒ 4−8 2 z = =−2 ⇒ x 2 =−2 Sin solución 2 4
2
2
2
6 + 14 2 z = 4 = 5 ⇒ x = 5 ⇒ x = ± 5 6 196 ± 4 2 2 d) 2x – 6x – 20 = 0 y x = z ⇒ 2z 2 − 6z − 20 = 0 ⇒ z = ⇒ 4 6 − 14 =−2 ⇒ x 2 =−2 ⇒ Sin solución z = 4
5.
Halla la solución de las siguientes ecuaciones. 2 2 a) x(x – 4) = x + 8x
c) x2012 – x2011 = 0
b) (x – 5)(2x + 7) (x +3) = 0
d) x5 – 3x3 – 4x = 0
a) x(x2 – 4) = x2 + 8x ⇒ x3 – 4x = x2 + 8x ⇒ x3 – x2 – 4x – 8x = 0 ⇒ x3 – x2 – 12x = 0 ⇒ x(x2 – x – 12) = 0 ⇒ ⇒x = 0, x = 4 y x = –3 x 2 − x − 12 = 0 ⇒ x =
{
1 ± 49 4 = −3 2
b) (x – 5)(2x + 7) (x +3) = 0 ⇒ x = 5, x = 2012
c) x
−7 , x = –3 2
– x2011 = 0 ⇒ x2011(x – 1) = 0 ⇒ x = 0, x = 1
5 3 4 2 2 d) x – 3x – 4x = 0 ⇒ x(x – 3x – 4) = 0 ⇒ x(x – 2)(x + 2)(x + 1) = 0 ⇒ x = 0, x = 2 y x = –2
3+5 2 z = 2 = 4 ⇒ x = 4 ⇒ x = ±2 3 ± 25 x − 3x − 4 = 0 ⇒ z 2 − 3z − 4 =0 ⇒ z = ⇒ z = x2 2 −2 =−1 ⇒ x 2 =−1 ⇒ Sin solución z = 2
{ 6.
4
2
Averigua el tiempo máximo que tardarás en hacer este problema sabiendo que usarás leerlo,
1 del tiempo en 18
1 22 en plantearlo, en resolverlo y 1’30’’ en comprobar que la solución es correcta. 5 90
Sea x el tiempo máximo, en minutos, que tardaré en hacer este problema.
x x 22x + + + 1,5 = x ⇒ 5x + 18x + 22x + 135 = 90x ⇒ 135 = 90x – 5x – 18x – 22x ⇒ 135 = 45x ⇒ x = 3 18 5 90 Tardaré 3 minutos en resolver el problema. 7.
68
Actividad resuelta.
Unidad 3| Ecuaciones y sistemas
8.
Resuelve estas ecuaciones racionales.
4+ x x −2 = 2x + 1 5 − 2x
a)
3x =2 4x − 1
c)
b)
x −2 x +1 = x +3 x −1
d) −
a)
3x 2 = 2 ⇒ 3x = 8x – 2 ⇒ 2 = 8x – 3x ⇒ 2 = 5x ⇒ x = 4x − 1 5
b)
x − 2 x +1 1 = ⇒ (x – 2)(x – 1) = (x + 1)(x + 3) ⇒ x2 – 3x + 2 = x2 + 4x + 3 ⇒ –7x – 1 = 0 ⇒ x = − x + 3 x −1 7
c)
4+x x −2 = ⇒ (4 + x)(5 – 2x) = (2x + 1)(x – 2) ⇒ 20 – 3x – 2x2 = 2x2 – 3x – 2 ⇒ 0 = 4x2 – 22 ⇒ 2x + 1 5 − 2x
4x + 8 5x + 1 = x2 − 9 x +3
22 22 22 2 ⇒ 4x = 22 ⇒ x 2 = ⇒ x = ± = ± 4 4 2
d) −
4x + 8 5x + 1 = ⇒ –(4x + 8)(x + 3) = (5x + 1)(x – 3)(x + 3) ⇒ –(4x + 8) = (5x + 1)(x – 3) ⇒ x2 − 9 x +3
⇒ –4x – 8 = 5x2 – 14x – 3 ⇒ 5x2 – 10x + 5 = 0 ⇒ 5(x2 – 2x + 1) = 0 ⇒ 5(x – 1)2 = 0 ⇒ x = 1 (doble) 9.
Halla las soluciones de las ecuaciones racionales siguientes.
4x 16 = x−4 x−4
a)
x −3 x + = 3 x2 − 4 x − 2
c) x +
b)
x +1 x +9 = 5− x −3 x +2
d)
a)
x − 3 + x ( x + 2 ) 3 ( x − 2 )( x + 2 ) x −3 x + = 3⇒ = ⇒ x − 3 + x ( x + 2 ) = 3 ( x 2 − 4 ) ⇒ x − 3 + x 2 + 2x = 3x 2 − 12 2 x −4 x −2 ( x − 2 )( x + 2 ) ( x − 2 )( x + 2 ) ⇒ 2x 2 − 3 x − 9 = 0 ⇒ x =
b)
3x + 2 5 x + 1 1 = − 9 − x2 x +3 3− x
3 ± 32 + 72 3 ± 9 3 = = −6 −3 = 2⋅2 2⋅2 4 2
( x + 1)( x + 2 ) = 5 ( x − 3 )( x + 2 ) − ( x + 9 )( x − 3 ) ⇒ x + 1 x + 2 = 5 x 2 − x − 6 − x + 9 x − 3 x +1 x +9 = 5− ⇒ ( )( ) ( ) ( )( ) x −3 x+2 ( x − 3 )( x + 2 ) ( x − 3 )( x + 2 ) ⇒ x 2 + 3x + 2 = 5x 2 − 5x − 30 − x 2 − 6x + 27 ⇒ 3x 2 − 14x − 5 = 0 x ⇒ =
c) x +
14 ± 142 + 60 14 ± 16 5 = = −2 −1 = 2⋅3 6 6 3
{
x ( x − 4 ) + 4x 4x 16 16 4 = ⇒ = ⇒ x ( x − 4 ) + 4x = 16 ⇒ x 2 − 4x + 4x = 16 ⇒ x 2 = 16 ⇒ x = −4 x−4 x−4 x−4 x−4
x = 4 se descarta porque anula los denominadores de la ecuación. La única solución válida es x = –4 3x + 2 5x + 1 1 3x + 2 = − ⇒ − 2= 2 9 − x x + 3 3 − x x −9 d)
⇒−
( 5x + 1)( x − 3 ) + x + 3 ⇒ − 3x= +2 x −9 2
x −9 2
5x 2 − 15x + x − 3 + x + 3 ⇒ x2 − 9
3x + 2 5x 2 − 13x 10 ± 60 10 ± 2 15 5 ± 15 = ⇒ −3x − 2 = 5x 2 − 13x ⇒ 5x 2 − 10x + 2 = 0 ⇒ x = = = 2 2 x −9 x −9 10 10 5
Ecuaciones y sistemas | Unidad 3
69
10. El día que se iban a repartir 4000 € entre varios socios faltaron 9, con lo que los presentes tocaron a 90 € más cada uno. ¿Cuántos socios son? Sea x el número de socios.
{
4000 4000 9 ± 41 25 = + 90 ⇒ 4000x =4000x − 36 000 + 90x 2 − 810x ⇒ x 2 − 9x − 400 =0 ⇒ x = = −16 x −9 x 2
Son 25 socios. 11. Comprueba en cada caso cuáles de los posibles resultados son válidos para la ecuación original. a)
x + 2 + x = 10 ⇒ x = 7 y x = 14
c)
2 x − 3 = 2 + x − 5 ⇒ x = 6 y x = 14
b)
x + 7 − 13 − x =2 ⇒ x =−3 y x =9
d)
30 − 3 x =1 + 2 x − 10 ⇒ x =1 y x =7
a) Si x = 7 ⇒ 7 + 2 + 7 = 10 ⇒ 10 = 10 ⇒ x = 7 es solución. Si x = 14 ⇒ 14 + 2 + 14 = 10 ⇒ 18 ≠ 10 ⇒ x = 14 no es solución. b) Si x = –3 ⇒ −3 + 7 − 13 + 3 = 2 ⇒ −2 ≠ 2 ⇒ x = −3 no es solución. Si x = 9 ⇒ 9 + 7 − 9 + 3 = 2 ⇒ 2 = 2 ⇒ x = 9 es solución. c) Si x = 6 ⇒ 12 − 3 = 2 + 6 − 5 ⇒ 3 = 3 ⇒ x = 6 es solución. Si x = 14 ⇒ 28 − 3 = 2 + 14 − 5 ⇒ 5 = 5 ⇒ x = 14 es solución. d) Si x = 1 ⇒ 30 − 3 = 1 + 2 − 10 ⇒ 3 3 ≠ 1 + −8 (No existe ) ⇒ x = 1 no es solución. Si x = 7 ⇒ 30 − 21 =1 + 14 − 10 ⇒ 3 =3 ⇒ x =7 es solución. 12. Resuelve estas ecuaciones con un radical. a)
c) x =2 − 8 − x
x + 3 +1= x − 8
b) x + 4 + 5 x − 2 = 0 a)
d)
x + 3 +1= x − 8 ⇒ x + 3 = x − 9 ⇒
(
x +3
)
2
●
13 + 3 + 1= 13 − 8 ⇒ x = 13 es solución.
●
6 + 3 + 1 ≠ 6 − 8 ⇒ x = 6 no es solución.
12 − x − x = 8
= ( x − 9 ) ⇒ x + 3 = x 2 − 18x + 81 ⇒ x 2 − 19x + 78 = 0 ⇒ x = 2
(
b) x + 4 + 5 x − 2 =0 ⇒ x + 4 =−5 x − 2 ⇒ ( x + 4 ) = −5 x − 2 2
⇒= x
17 ± 5 = 2
{116
●
11 + 4 + 5 11 − 2 ≠ 0 ⇒ x = 11 no es solución.
●
6 + 4 + 5 6 − 2 ≠ 0 ⇒ x =6 no es solución.
(
c) x =2 − 8 − x ⇒ x − 2 =− 8 − x ⇒ ( x − 2 ) = − 8 − x 2
●
4 ≠ 0 = 2 − 8 − 4 ⇒ x = 4 no es solución.
●
−1 = 2 − 8 + 1 ⇒ x = –1 es solución.
d)
12 − x − x = 8 ⇒ 12 − x = 8 + x ⇒ ⇒ x 2 + 17x + 52 = 0 ⇒ x =
70
(
12 − x
{
)
2
2
2
⇒ x 2 + 16 + 8x =25x − 50 ⇒ x 2 − 17x + 66 =0 ⇒
{
3±5 4 ⇒ x 2 + 4 − 4x =8 − x ⇒ x 2 − 3x − 4 =0 ⇒ x = = −1 2
= ( 8 + x ) ⇒ 12 − x = 64 + x 2 + 16x ⇒ 64 + x 2 + 16x − 12 + x = 0 ⇒
−17 ± 9 −13 = −4 2
●
12 + 13 + 13 ≠ 8 ⇒ x = –13 no es solución.
●
12 + 4 + 4 = 8 ⇒ x = –4 es solución.
Unidad 3| Ecuaciones y sistemas
)
)
{136
2
13. Resuelve estas ecuaciones con radicales. a)
7x + = 1 2 x+4
b)
5x + 1 − x + 1 = 2
c)
x + 9 =1 + x + 2
d)
5 − 4 x − 2x + 7 + 2 = 0
a)
7x + 1 = 2 x + 4 ⇒
7x + 1
) = (2 2
x+4
)
2
⇒ 7x + 1 = 4x + 16 ⇒ 7x − 4x = 16 − 1 ⇒ 3x = 15 ⇒ x = 5
35 + 1 = 6 = 2 5 + 4 ⇒ x = 5 es solución.
● b)
(
5x + 1 − x + 1 = 2 ⇒
5x + 1 =
4x − 4 = 4 x + 1 ⇒ x − 1 =
x +1 + 2 ⇒
(
x + 1 ⇒ ( x − 1) = 2
5x + 1
(
●
5 ⋅ 0 + 1 − 0 + 1 ≠ 2 ⇒ x = 0 no es solución.
●
5 ⋅ 3 + 1 − 3 + 1 = 2 ⇒ x = 3 es solución.
c)
x + 9 =1 + x + 2 ⇒ ⇒ 32 =
x+2
)
x +9
) =(1+ 2
x+2
)
2
x +1
2
)
2
x +1 + 2
)
2
⇒ 5x + 1 = x + 1 + 4 + 4 x + 1 ⇒
⇒ x 2 + 1 − 2x = x + 1 ⇒ x 2 − 3 x = 0 ⇒ x =
{03
⇒ x + 9 =1 + x + 2 + 2 x + 2 ⇒ 6 =2 x + 2 ⇒ 3 = x + 2 ⇒
⇒9 = x+2⇒ x = 7
7 + 9 =1 + 7 + 2 ⇒ x = 7 es solución.
● d)
(
2
(
) =(
5 − 4 x − 2x + 7 + 2 = 0 ⇒
(
)
2
⇒ 2 2x + 7 =
( 3x + 3 )
2
(
5 − 4x
) =( 2
2x + 7 − 2
2
⇒ 5 − 4 x = 2x + 7 + 4 − 4 2x + 7 ⇒ 4 2x + 7 = 6 x + 6 ⇒
⇒ 4 ( 2x + 7 )= 9x 2 + 9 + 18x ⇒ 8x + 28= 9x 2 + 9 + 18x ⇒ 9x 2 + 9 + 18x − 8x − 28= 0 ⇒
⇒ 9x 2 + 10x − 19 = 0 ⇒ x =
−10 ± 28 1 = −38 −19 = 18 18 9
●
5 − 4 − 2 + 7 + 2 = 0 ⇒ x = 1 es solución.
●
5+
76 − 9
)
−38 −19 es solución. +7 +2 ≠ 0 ⇒ x = 9 9
Ecuaciones y sistemas | Unidad 3
71
14. Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales. a) x + 2 x 2 − 7 x + 5 = 1
c)
x 2 − 8 x + 22 = 2 ( x − 1)
b) 4 x − = 1 3 x2 + 9
d)
2x 2 + 1 = 2x +
1⇒ a) x + 2x 2 − 7x + 5 =
2x 2 − 7 x + 5 = 1− x ⇒
{
(
2x 2 − 7 x + 5
)
2
x +3
=(1 − x ) ⇒ 2x 2 − 7x + 5 = 1 + x 2 − 2x ⇒ 2
5±3 4 ⇒ x 2 − 5x + 4 =0 ⇒ x = = 1 2
●
4 + 32 − 28 + 5 ≠ 1 ⇒ x = 4 no es solución.
●
1 + 2 − 7 + 5 = 1 ⇒ x = 1 es solución.
(
b) 4x − 1 = 3 x 2 + 9 ⇒ ( 4x − 1) = 3 x 2 + 9 2
8 ± 48 = 14
⇒ = x
)
2
8 ± 2034 ⇒ 14
4 −40 = −20 14 7
●
16 − = 1 3 16 + 9 ⇒ x = 4 es solución.
●
−80 400 −20 −1≠ 3 +9 ⇒ x = 7 49 7
x 2 − 8x + 22 =2 ( x − 1) ⇒
c)
⇒ 16x 2 + 1 − 8x = 9x 2 + 81 ⇒ 7x 2 − 8x − 80 = 0 ⇒ x =
(
no es solución.
x 2 − 8x + 22
)
2
=( 2 ( x − 1) ) ⇒ x 2 − 8x + 22 =4x 2 + 4 − 8x ⇒ 3x 2 − 18 =0 ⇒ 3x 2 =18 ⇒ 2
⇒ x2 = 6 ⇒ x ± 6
d)
●
28 − 8 = 6 2
(
x 6 − 1 ⇒=
)
●
28 + 8 6 ≠ 2
(
6 −1 ⇒ x = − 6
)
2x 2 + 1 = 2x + x + 3 ⇒
( −4x
x +3
)
2
es solución.
6
(
2x 2 + 1
no es solución.
) = ( 2x + 2
x +3
)
2
⇒ 2x 2 + 1 = 4x 2 + x + 3 + 4x x + 3 ⇒ −4x x + 3 = 2x 2 + x + 2
= ( 2x 2 + x + 2 ) ⇒ 16x 2 ( x + 3 ) = 4x 4 + x 2 + 4 + 4x 3 + 8x 2 + 4x ⇒ 16x 3 + 48x 2 = 4x 4 + 4x 3 + 9x 2 + 4x + 4 2
0 = 4x 4 − 12x 3 − 39x 2 + 4x + 4 4 –2 4
–12
–39
4
4
–8
40
–2
–4
–20
1
2
0
La única raíz entera es x = –2. ●
2 ( −2 ) + 1 =3 ≠ 2 ( −2 ) + −2 + 3 ⇒ x =−2 no es solución. 2
15. La diagonal de un marco de fotos rectangular mide 2 cm más que el lado mayor. Si el perímetro mide 46 cm, ¿cuánto miden los lados del marco? Sea x la medida del lado mayor, e y, la del lado menor.
46 2x + 2y = y 23 − x = 2 2 2 ⇒ x + ( 23 − x ) = 2 2 ⇒ 2 2 2 x + y = x + 2 ( ) x + y = x + 2 ( )
x 2 − 50x + 525 = 0 ⇒ x =
Si x = 15 ⇒ y = 8, si x = 35 ⇒ y = –12 El lado mayor mide 15 cm y el menor, 8 cm.
72
{
50 ± 400 50 ± 20 15 = = 35 2 2
Unidad 3| Ecuaciones y sistemas
( x + 2)
2
⇒ x 2 + 529 + x 2 − 46x = x 2 + 4 + 4x ⇒
16. Resuelve mentalmente estas ecuaciones en las que aparecen logaritmos. a) log x = 6
d) log (x + 300) = 3
b) logx 16 = 2
e) log (6 – x) = 0
c) logx x = 1
f) log3 x7 = 7
a) x = 106 ⇒ log 106 = 6
d) 103 = x + 300 ⇒ x = 700 ⇒ log (700 + 300) = 3
b) x2 = 16 ⇒ x = 4 ⇒ log4 16 = 2
e) 100 = 6 – x ⇒ x = 5 ⇒ log (6 – 5) = 0
1
c) x = x ⇒ logx x = 1 con x ≠ 1 y x > 0
f) 37 = x7 ⇒ log3 37 = 7
17. Actividad resuelta. 18. Resuelve las ecuaciones logarítmicas siguientes. a) log x + log(x + 1) = log 6
b) log2 x – 1 = log2 (x – 16)
a) log x + log(x + 1) = log 6 ⇒ log [x(x + 1)] = log 6 ⇒ x(x + 1) = 6 ⇒ x2 + x – 6 = =0⇒x
−1 ± 25 = 2
{−23
● log (–3) no existe ⇒ x = 3 no es solución. ● log 2 + log 3 = log 6 ⇒ x = 2 es solución. b) log2 x – 1 = log2 (x – 16) ⇒ log2 x – log2 (x – 16) = 1 ⇒ log2
x x = 1⇒ = 2 ⇒ x = 2x – 32 ⇒ x = 32 x − 16 x − 16
● log2 32 – 1 = log2 25 – 1 = 5 – 1 = 4 = log2 16 = log2 (32 – 16) ⇒ x = 32 es solución. 19. Resuelve las ecuaciones logarítmicas siguientes. a) log (x2 – 15x) = 2 b) log5 x – 1 = log5 (x – 64) c) log9 (x + 1) – log9 (1 – x) = log9 (2x + 3) a) log (x2 – 15x) = 2 ⇒ x2 – 15x = 102 ⇒ x2 – 15x – 100 = = 0⇒ x
15 ± 25 = 2
{20−5
● log (202 – 15 · 20) = log 100 = 2 ⇒ x = 20 es solución. ● log (25 + 15 · 5) = log 100 = 2 ⇒ x = –5 es solución. b) log5 x – 1 = log5 (x – 64) ⇒ log5 x – log5 (x – 64) = 1 ⇒ log5
x x 1⇒ 5 ⇒ x = 5x – 320 ⇒ x = 80 = = x − 64 x − 64
● log5 80 – 1 = log5 80 – log5 5 = log5 16 = log5 (80 – 64) ⇒ x = 80 es solución.
x +1 x + 1 = 2x + 3 ⇒ x + 1 = (1 – x)(2x + 3) c) log9 (x + 1) – log9 (1 – x) = log9 (2x + 3) ⇒ log9 = log9 ( 2x + 3 ) ⇒ 1− x 1− x
−1 + 5 1 5 − ± ⇒ x + 1 = 2x + 3 – 2x2 – 3x ⇒ 2x2 + 2x – 2 = 0 ⇒ x2 + x – 1 == 0⇒ x = 2 2 −1 − 5 2 ●
−1 + 5 −1 + 5 −1 + 5 −1 + 5 es solución. log9 x + 1 − log9 1 − = + 3 ⇒= log9 2 ⋅ 2 2 2 2
●
−1 − 5 −1 − 5 −1 − 5 −1 − 5 no es solución. log9 + 1 − log9 1 − + 3 ⇒ x = ≠ log9 2 ⋅ 2 2 2 2
Ecuaciones y sistemas | Unidad 3
73
20. Halla la solución de las siguientes ecuaciones.
log x a)=
1 log ( x + 2 ) 2
1 − log 3 x + 5 c) log x = = 2x − 1 d) log9 5 27
b) log x - log (x + 3) = –1 a) log x =
1 log ( x + 2 ) ⇒ log x = log 2
)
x + 2 ⇒ x = x + 2 ⇒ x2 =
2 + 2 ⇒ x = 2 es solución de = x
2=
●
(
(
x+2
)
2
⇒ x2 − x − 2 = 0 ⇒ x =
{
1± 3 2 = −1 2
1 log ( 2 + 2 ) ⇒ x = 2 es solución. 2
x + 2 y log 2 =
● log (–1) no existe ⇒ x = –1 no es solución. b) log x - log (x + 3) = –1 ⇒ log ●
log
x x 1 3 1 =−1 ⇒ = ⇒ 10x =x + 3 ⇒ 9x =3 ⇒ x = = x +3 x + 3 10 9 3
1 1 10 1 1 − log + 3 =log − log =−1 ⇒ x = es solución. 3 3 3 3 3
c) log x =1 − log 3x + 5 ⇒ log x + log 3x + 5 =1 ⇒ log
⇒
(
3x + 5x 2
)
2
(
)
x ⋅ 3x + 5 =1 ⇒ log
(
)
3x 2 + 5x =1 ⇒ 3x 2 + 5x =10
−40 −20 = −5 ± 35 6 3 = = 10 ⇒ 3x + 5x = 100 ⇒ 3x + 5x − 100 =⇒ 0 x= 6 5 2
2
2
1 − log 20 ⇒ x = 5 es solución. 3x 2 + 5x = 10 y log 5 =
●
3 ⋅ 52 + 5 ⋅ 5 = 10 ⇒ x = 2 es solución de
●
−20 −20 no existe ⇒ x = no es solución. 3 3 3
5 5 2 2 x −1 d) log9 27 = 2x − 1 ⇒ 27 = 92x −1 ⇒ 3 5 = 3 ( ) ⇒
3 3 13 = 2 ( 2x − 1) ⇒ = 4x − 2 ⇒ 3 = 20x − 10 ⇒ 20x = 13 ⇒ x = 5 5 20
21. Actividad resuelta. 22. ¿Qué relación debe existir entre A y B para que se cumpla la relación log A = log B – log 3? log A = log B – log 3 ⇒ log = A log
B B ⇒= A 3 3
23. Despeja m en la siguiente igualdad. log m = b – logn log m = b – logn ⇒ log m + logn = b ⇒ log (mn) = b ⇒ mn = 10b ⇒ m =
10b n
24. Resuelve las ecuaciones exponenciales expresando las potencias en la misma base. a) 23x – 4 = 64 3x – 4
a) 2
x+1
b) 2
74
b) 2x + 1 = 1024
= 64 ⇒ 23x – 4 = 26 ⇒3x – 4 = 6 ⇒ 3x = 10 ⇒ x =
= 1024 ⇒ 2x + 1 = 210 ⇒ x + 1 = 10 ⇒ x = 9
Unidad 3| Ecuaciones y sistemas
10 3
25. Resuelve estas ecuaciones exponenciales tomando logaritmos y usando la calculadora. a) 5x + 3 = 9999
c) 5x = 2x + 3
b) 103 – x = 2x · 128
d) 2–x = 10 000
x+3
a) 5
x +3 = 9999 ⇒ log 5x + 3 = log 9999 ⇒ (x + 3) log 5 = log 9999 ⇒ =
log9999 log9999 = ⇒x = − 3 2,72 log5 log5
b) 103 – x = 2x · 128 ⇒ 103 – x = 2x · 27 ⇒ 103 – x = 2x + 7 ⇒ log 103 – x = log 2x + 7 ⇒ (3 – x)log 10 = (x + 7)log 2 ⇒ 3log 10 – xlog 10 = xlog 2 + 7log 2⇒ 3log 10– 7log 2 = xlog 10 + x log 2 ⇒ 3log 10– 7log 2 = x(log 10 + log 2)
= ⇒x
3 log10 − 7 log 2 = 0,687 log10 + log 2
c) 5x = 2x + 3 ⇒ log 5x = log 2x + 3 ⇒ xlog 5 = (x + 3)log 2 ⇒ xlog 5 = xlog 2 + 3log 2 ⇒ xlog 5 – xlog 2 = 3log 2 ⇒
= ⇒ x(log 5 – log 2) = 3log 2⇒ x
3 log 2 = 2,27 log5 − log 2
4 d) 2–x = 10 000 ⇒ log 2–x = log 10 000 ⇒ –xlog 2 = log 10 000 ⇒ –xlog2 = 4 ⇒ x = − = −13,29 log 2
26. Halla las soluciones de estas ecuaciones utilizando un cambio de variable. a) 4x – 9 · 2x + 8 = 0
c) 23 + 2x – 3 · 2x + 1 + 1 = 0
b) 4x – 8 = 2x + 1
d)
1 = 5 − 2 x −1 2x −3
a) 4x – 9 · 2x + 8 = 0 ⇒ 22x – 9 · 2x + 8 = 0 x 2 2 = z ⇒ z – 9z + 8 = 0 ⇒ z =
9 ± 81 − 32 9 ± 7 = = 2 2
{
8 ⇒ 2x = 8 ⇒ x = 3 1 ⇒ 2 x =1 ⇒ x =0
b) 4x – 8 = 2x + 1 ⇒ 22x – 8 = 2 · 2x ⇒ 22x – 2 · 2x – 8 = 0 2x = z ⇒ z2 – 2z – 8 = 0 ⇒ = z
2 ± 2 + 32 2 ± 6 = = 2 2
{
4 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2 −2 ⇒ 2 x =−2 ⇒ Sin solución
c) 23 + 2x – 3 · 2x + 1 + 1 = 0 ⇒ 23 · 22x – 3 · 2 · 2x + 1 = 0 ⇒ 8 · 22x – 6 · 2x + 1 = 0 4 6 ± 36 − 32 6 ± 2 16 = 2 = z ⇒ 8z – 6z + 1 = 0 ⇒ z = = = 8 16 16 = 16 2
x
d)
1 2x − 3
= 5 − 2 x −1 ⇒
2x = z ⇒
1 = 2−2 ⇒ 2 x = 2−2 ⇒ x = −2 4 1 = 2−1 ⇒ 2 x = 2−1 ⇒ x = −1 2
8 2x = − 5 2x 2
{
8 10 ± 100 − 64 10 ± 6 z 8 ⇒ 2x = 8 ⇒ x = 3 = 5 − ⇒ 16 = 10z − z 2 ⇒ z 2 − 10z + 16 = 0 ⇒ z = = = 2 ⇒ 2x = 2 ⇒ x = 1 2 2 2 z
27. Actividad interactiva.
Ecuaciones y sistemas | Unidad 3
75
28. Resuelve estos sistemas por el método que consideres más adecuado en cada caso. 13 5 x + y = 3 x + 4 y = 1
c)
4 x − 5y = 3 x − y = 2
−1 2 x − y = x + y = 6
d)
a)
11 x − 2y = 2 x + 3 y = −13
b)
a) Se resuelve el sistema por el método de sustitución. La solución del sistema es (x = 3 y = –2). 5x + y = 13 y = 13 − 5x ⇒ ⇒ 3x + 4 ⋅ (13 − 5x ) = 1 ⇒ 3x + 52 − 20x = 1 ⇒ 17x = 51 ⇒ x = 3 ⇒ y =−2 4y 1 4y 1 3x += 3x +=
5 13 ,y b) Se resuelve el sistema por el método de reducción. La solución del sistema es= x = . 3 3 −1 5 5 10 10 13 2x − y = ⇒ x = ⇒ 2⋅ − y = −1 ⇒ −y = −1 ⇒ y = + 1 = 3 3 3 3 3 x + y =6 3x
= 5
3 5 c) Se resuelve el sistema por el método de igualación. La solución del sistema es x = , y = − . 7 7 x= 4 + 5y 4 −10 −5 2+y 5 3 x − 5y = ⇒ ⇒ 14y =−10 ⇒ y = = ⇒ x =4 − 5 ⋅ = 2 + y ⇒ 4 + 5y = − = x y 3 2 = x 3 14 7 7 7 3
d) Se resuelve el sistema por el método de sustitución. La solución del sistema es (x = 1 y = –5). x − 2y =11 ⇒ −13 2x + 3y =
x =11 + 2y 1 ⇒ 2 (11 + 2y ) + 3y = −13 ⇒ 22 + 4y + 3y = −13 ⇒ 7y = −35 ⇒ y = −5 ⇒ x = −13 2x + 3y =
29. Sin resolver estos sistemas, indica su número de soluciones. 15 x − 3y =
a) x
0 5 x − 2y = b) 1 3 x − 4y =
a) La recta x – 3y = 15 se puede escribir como y=
x 1 − 5 , cuya pendiente es . 3 3
5 − +y = 3
La otra recta, −
1 x x cuya pendiente también es . 5 , se puede escribir como y= 5 + +y = 3 3 3
Las dos rectas tienen la misma pendiente, por lo que o serán paralelas o serán coincidentes. Como la ordenada en el origen de la primera recta es –5 y la de la segunda, 5, las rectas son paralelas y, por tanto, el sistema no tendrá solución. b) La recta 5x – 2y = 0 se puede escribir como y =
5x 5 , cuya pendiente es . 2 2
La otra recta, 3x – 4y = 1, se puede escribir como y =
3x − 1 3 cuya pendiente es . 4 4
Las rectas tienen distinta pendiente, por lo que serán secantes y, por tanto, el sistema tendrá una solución.
76
Unidad 3| Ecuaciones y sistemas
30. Resuelve los sistemas de ecuaciones siguientes. a)
4 x − y = 2 2 x + y =
c)
8 4 x − 6y = 12 6 x − 9y =
20 2 x + 5y = b) 0 2 x − 5y =
d)
8 x − y = y 3x − 5 3=
a) Se resuelve el sistema por el método de igualación. La solución del sistema es (x = 2 y = –2). x − y = 4 y = x − 4 ⇒ ⇒ x − 4 = 2 − 2x ⇒ x + 2x = 2 + 4 ⇒ 3x = 6 ⇒ x = 2 ⇒ y = 2 − 4 = −2 2x + y = 2 y = 2 − 2x
b) Se resuelve el sistema por el método de reducción. La solución del sistema es (x = 5 y = 2). 20 2x + 5y = ⇒ x = 5 ⇒ 2 ⋅ 5 + 5y = 20 ⇒ 5y = 10 ⇒ y = 2 0 2x − 5y = 4x
= 20
c) Se resuelve el sistema por el método gráfico. El sistema tiene infinitas soluciones.
d) Se resuelve el sistema por el método de sustitución. El sistema no tiene solución. x − y = 8 ⇒ 3x − 5 3y =
x = 8 + y ⇒ 3y = 3 ( 8 + y ) − 5 ⇒ 3y = 24 + 3y − 5 ⇒ 0y = 19 3x − 5 3y =
31. ¿Puede haber dos números que sumen 5 y cuyos dobles sumen 12? Razona tu respuesta. No existen dos números que sumen 5 y cuyos dobles sumen 12 porque, si dos números suman 5, sus dobles sumarán 10. 32. Si me das 70 monedas tendré el triple de dinero que tú, pero si yo te doy las 70 monedas, entonces tú tendrás el quíntuple que yo. ¿Cuántas monedas tenemos cada uno? Sea x el número de monedas que tengo yo e y el número de monedas que tienes tú.
3(y − 70) x − 3y = −280 x = 3y − 280 x + 70 = ⇒ ⇒ ⇒ 5 ( 3y − 280 ) − y= 420 ⇒ 15y − 1400 − y= 420 ⇒ 14y= 1820 y + 70 = 5( x − 70) 5 x − y = 420 5 x − y = 420 ⇒ y =130 ⇒ x = 3 ⋅ 130 − 280 =110 Yo tengo 110 monedas y tú, 130.
Ecuaciones y sistemas | Unidad 3
77
33. Resuelve estos sistemas de ecuaciones de segundo grado. 25 x2 − y 2 = a) 25 x + y =
47 2 x 2 − 3y 2 = c) 7 x − 2y =
7 x + y = b) 2 7 x − 3y =
−1 2 x − y = d) 2 2 7 y − 2x =
a) La solución del sistema es (x = 13 y = 12). − y 2 25 − y 2 25 x 2= x 2= 2 ⇒ ⇒ ( 25 − y ) − y 2 = 25 ⇒ 625 + y 2 − 50y − y 2 = 25 ⇒ 625 − 25 = 50y ⇒ 600 = 50y x + y = 25 x = 25 − y ⇒ y = 12 ⇒ x = 25 − 12 = 13
b) Las soluciones del sistema son (x = –7 y = 14) y (x = 4 y = 3).
{
x + y = 7 y = 7 − x −3 ± 11 −7 ⇒ y = 14 ⇒ 2 ⇒ x 2 − 3 ( 7 − x ) =7 ⇒ x 2 + 3x − 28 =0 ⇒ x = = 2 4⇒y = 3 3y 7 3y 7 2 x −= x −=
−67 −51 = ,y c) Las soluciones del sistema son x = y (x = 5 y = –1). 5 5 3y 2 47 2x 2 − 3y 2 47 = = 2x 2 − 2 ⇒ ⇒ 2 ( 7 + 2y ) − 3y 2 =47 ⇒ 98 + 8y 2 + 56y − 3y 2 =47 ⇒ 5y 2 + 56y + 51 =0 ⇒ x − 2y =7 x =7 + 2y −67 −56 ± 46 −51 ⇒ x = = ⇒y = 5 5 10 −1 5 ⇒x=
d) Las soluciones del sistema son (x = –3 y = –5) y (x = 1 y = 3). 2x + 1 −1 2x − y = y = 2 ⇒ ⇒ ( 2x + 1) − 2x 2 =7 ⇒ 4x 2 + 1 + 4x − 2x 2 =7 ⇒ 2x 2 + 4x − 6 =0 ⇒ x 2 + 2x − 3 =0 ⇒ 2 x 2 7 y 2 − 2= x2 7 y − 2= −2 ± 4 −3 ⇒ y =−5 ⇒ = x = 1⇒ y = 3 2
{
34. Resuelve estos sistemas de ecuaciones de segundo grado. 5 x 2 − xy = a) 1 3 x + y =
a) Las soluciones del sistema son (x =
x 2 − xy + y 2 = 7 b) 5 x + y =
5 −11 y= ) y (x = –1 y = 4). 4 4
xy 5 xy 5 x 2 −= x 2 −= 1 ± 1 + 80 ⇒ ⇒ x 2 − x (1 − 3x ) = 5 ⇒ x 2 − x + 3x 2 = 5 ⇒ 4x 2 − x − 5 = 0 ⇒ x = = 8 3x + y =1 y =1 − 3x −11 1 ± 9 5 = = 4 ⇒ y =4 8 −1 ⇒ y =4
b) Las soluciones del sistema son (x = 2 y = 3) y (x = 3 y = 2). y2 7 y2 7 x 2 − xy += x 2 − xy += 2 ⇒ ⇒ ( 5 − y ) − ( 5 − y ) y + y 2 =7 ⇒ 25 + y 2 − 10y − 5y + y 2 + y 2 =7 ⇒ x + y = 5 x = 5 − y 5 ±1 3 ⇒ x = 2 ⇒ 3y 2 − 15y + 18 =0 ⇒ y 2 − 5y + 6 =0 ⇒ y = = 2⇒ x = 3 2
{
78
Unidad 3| Ecuaciones y sistemas
4 x + y = 35. Resuelve el siguiente sistema siguiendo los pasos que se indican 2 2 x + y = 58
1º. Eleva al cuadrado la primera ecuación.
2º. Réstale la segunda ecuación.
4 16 x 2 + y 2 + 2xy = x + y = ⇒ 2 ⇒ 2xy = −42 ⇒ xy = −21 2 2 2 + = x y 58 + = x y 58
El sistema se transforma en el siguiente:
{
4 ± 10 x + y = 4 x = 4 − y 7⇒x = −3 ⇒ ⇒ (4 − y ) y = −21 ⇒ 4y − y 2 = −21 ⇒ y 2 − 4y − 21 = 0⇒y = = 7 −3 ⇒ x = −21 xy = −21 2 xy =
Las soluciones del sistema son (x = –3, y = 7) y (x = 7 y = –3). 36. La diferencia entre el triple de un número entero y la cuarta parte de otro es igual a 6. Además, la suma de los cuadrados de los números es igual a 145. ¿Cuáles son esos números? Sean x e y los números buscados.
y 6 12x − y= 24 y= 12x − 24 2 3x − = ⇒ 2 ⇒ 2 ⇒ x 2 + (12x − 24 ) = 145 ⇒ x 2 + 576 + 144x 2 − 576x = 145 ⇒ 4 2 2 x = + y 145 x = + y 145 x 2 + y 2 = 145
145x 2 − 576x + 431 = 0 ⇒ x =
−12 576 ± 286 1 ⇒ y = = 862 290 290
Los números son 1 y –12. 2 37. La suma de las áreas de dos cuadrados es 90 m y la suma de sus perímetros es 48 m. ¿Qué medida tiene el lado de cada cuadrado?
Sea x la medida del lado de un cuadrado e y la medida del lado de otro. + y 2 90 + y 2 90 x 2= + y 2 90 x 2= x 2= 2 ⇒ ⇒ ⇒ (12 − y ) + y 2 = 90 ⇒ 144 + y 2 − 24y + y 2 = 90 ⇒ 2y 2 − 24y + 54 = 0 4x + 4y = 48 x + y = 12 x = 12 − y 12 ± 6 9⇒x = 3 ⇒ y 2 − 12y + 27 = 0 ⇒ y = = 3⇒x = 9 2
{
El lado de un cuadrado mide 3 m y, el del otro, 9 m. 38. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 100 cm y su perímetro, 224 cm. ¿Cuánto miden sus catetos? Sean x e y las medidas de los catetos del triángulo. x 2 + y 2 1002 x 2 + y 2 1002 x 2 + y 2 1002 = = = 2 ⇒ ⇒ ⇒ (124 − y ) + y 2= 1002 ⇒ 15 376 + y 2 − 248y + y 2= 10 000 x + y + 100= 224 x + y= 124 x= 124 − y 124 ± 68 96 ⇒ y = 28 ⇒ 2y 2 − 248y + 5376 = 0 ⇒ y 2 − 124y + 2688 = 0 ⇒ y = = 28 ⇒ x = 96 2
{
Uno de los catetos mide 96 m y, el otro, 28 m. 39. La edad del profesor es 10x + y.
= = x + y 10 x + y 10 ⇒ 10y + x 9x − 9y =−36 10x + y + 36 =
{
10 x + y = y =7 ⇒ ⇒ x=3 − = − x y 4 2y = 14 El profesor tiene 37 años.
Ecuaciones y sistemas | Unidad 3
79
40. Resuelve estos sistemas de ecuaciones exponenciales.
3 x + y = 3 a) x − 2y = 81 3
23 2 x − 3 y − 1 = c) x + 1 y +1 2 3 − = −17
5 x + y = 125 b) x − 2y = 64 2
2 x −1 = 3y + 2 d) 2 x − 1 =3 32 y + 1
a) La solución del sistema es (x = 2, y = –1). 3 x ⋅ 3 y 3 33yx ==ts= = t ⋅ s 3 3 3 x + y = 3 3 t ⋅ s = 3 1 1 x ⇒3 ⇒ ⇒ 81s 3 = 3 ⇒ s 3 = = = 3 = 3 −3 = ( 3 −1 ) ⇒ s = 3 −1 ⇒ ⇒ t x − 2y 2 = 81 t = 81s 81 27 3 = 81 2y = 81 3 s2 3
3 x = 32 ⇒ x = 2 ⇒ t = 32 ⇒ y 3 −1 ⇒ y = −1 3 =
b) La solución del sistema es (x = 4, y = –1). = = 5 x + y 125 5 x + y 53 3 x + y = ⇒ x − 2y ⇒ x − 2y = x − 2y 6 6 ⇒ y =−1 ⇒ x =4 = 2 64 = 2 2 3y = −3
c) La solución del sistema es (x = 5, y = 3). s 2x = t s x 3y t 23 + = 3 y = s t − 23 = 2 x − 3 y −1 = 23 23 = s 3s − 17 2 − 3 ⇒ ⇒ ⇒ 23 = + ⇒ 3 ⇒ 3 x +1 y +1 3 17 s − 3 2 2 3 17 − = − 2 ⋅ 2 x − 3 ⋅ 3 y =−17 t = −17 2t − 3s = 2
⇒ 138 + 2s = 9s − 51 ⇒ 189 = 7s ⇒ s = 27 ⇒ t = 32 ⇒
{
s = 27 = 33 ⇒ 3 y = 33 ⇒ y = 3 t = 32 = 25 ⇒ 2 x = 25 ⇒ x = 5
d) La solución del sistema es x log18 , y 0 . = = log 2
2 x −1 = 3 y + 2 x 18 ⋅ 3 y 2= x −1 ⇒ x 2 2y 3 = 2= 18 ⋅ 3 3 2 y +1
s =1 ⇒ 3 y =1 ⇒ y =0 t = 18s 2 log18 18 18 1 18 s s s t ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ ⇒ 2 t = 18 ⇒ 2 x = 18 ⇒ x = t = 18s log 2 x
2 =t 3y = s
41. Resuelve estos dos sistemas logarítmicos. 9 x − y = a) x − y = log log 1
2 log(2 x − 4) + logy = b) 4 x − y = − 9
a) La solución del sistema es (x = 10, y = 1).
−y 9 −y 9 x= x= = x − y 9 x − y 9 ⇒ ⇒ x ⇒ ⇒ 10y − y = 9⇒y = 1⇒ x = 10 x = log 1 = 10 = log x − log y 1 = x 10y y y b) La solución del sistema es (x = 4, y = 25). 2 2xy − 4y= 100 log(2x − 4) + log y= 2 log ( 2x − 4 ) y = xy − 2y= 50 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ x ( 4x + 9 ) − 2 ( 4x + 9 ) = 50 ⇒ −9 4x − y = −9 y = 4x + 9 y = 4x + 9 4x − y = 25 4⇒y = −1 ± 33 ⇒ 4x + 9x − 8x − 18 =50 ⇒ 4x + x − 68 =0 ⇒ x = = 8 −17 No es solución. 4 2
42. Actividad interactiva.
80
Unidad 3| Ecuaciones y sistemas
2
43. Resuelve estas ecuaciones de primer grado. a) –4x + 3 = 7x – 19 b)
−3 x 1 + = −5 x + 26 4 2
d)
4x − 3 9 = 5 x + 1 16
e)
x + 3 2x − 1 1 + += 6 3 4
x −5 2 − 12 3
c) –5(2x – 1) + 3x – 2 = –(6x – 4) + 7 a) –4x + 3 = 7x – 19 ⇒ 19 + 3 = 7x + 4x ⇒ 22 = 11x ⇒ x = 2 b)
−3x 1 104 − 2 ⇒ 17x = 102 ⇒ x = 6 + = −5x + 26 ⇒ −3x + 2 = −20x + 104 ⇒ −3x + 20x = 4 2
c) –5(2x – 1) + 3x – 2 = –(6x – 4) + 7 ⇒ –10x + 5 + 3x – 2 = –6x + 4 + 7 ⇒ 5 – 2 – 4 – 7 = 10x – 3x – 6x ⇒ – 8 = x d)
4x − 3 9 = ⇒ 64x − 48 = 45x + 9 ⇒ 64x − 45x =+ 9 48 ⇒ 19x = 57 ⇒ x = 3 5x + 1 16
e)
x + 3 2x − 1 1 x − 5 2 + + = − ⇒ 2x + 6 + 8x − 4 + 3 =x − 5 − 8 ⇒ 9x =−18 ⇒ x =−2 6 3 4 12 3
44. Clasifica en tu cuaderno las siguientes ecuaciones según el número de soluciones distintas que tengan. a) 5x2 + 6x + 2 = 0
I. Sin solución
2
b) –3x + 4x + 5 = 0
II. Una solución
2
c) x – 6x + 1 = 0
III. Dos soluciones
2
d) x – 5 = 0 Se estudia el signo del discriminante: b2 – 4ac. a) 62 – 4 · 5 · 2 = 36 – 40 = –4 < 0 ⇒ Sin solución b) 42 – 4 · (–3) · 5 = 16 + 60 = 76 > 0 ⇒ Dos soluciones c) 62 – 4 · 1 · 1 = 36 – 4 = 32 > 0 ⇒ Dos soluciones d) 02 – 4 · 1 · (–5) = 0 + 20 = 2 > 0 ⇒ Dos soluciones 45. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado. a) 6x2 – 11x + 3 = 0
c) 3x2 + x + 5 = 0
b) –2x2 + 2x + 24 = 0
d) 4x2 + 4x + 1 = 0
a) 6x2 – 11x + 3 = 0
c) 3x2 + x + 5 = 0
1 4 12 = 3 11 ± 121 − 72 11 ± 7 = x = = 12 12 18 3 = 12 2
b) –2x2 + 2x + 24 = 0 = x
−2 ± 4 + 192 −2 ± 14 = = −4 −4
{−43
x =
−1 ± 1 − 60 −1 ± −59 Sin solución = 6 6
d) 4x2 + 4x + 1 = 0
= x
−4 ± 16 − 16 −4 ± 0 −1 = = (Doble) 8 8 2
46. Actividad resuelta.
Ecuaciones y sistemas | Unidad 3
81
47. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado por métodos distintos a la fórmula general.
5 x= 0 2
a) 3x2 – 27 = 0
c) −7 x 2 +
b) x2 + 2x + 1 = 0
d) (x – 2)2 – 25 = 0
a) 3x2 – 27 = 0 ⇒ x2 = 9 ⇒ x = ± 3 b) x2 + 2x + 1 = 0 ⇒ (x + 1)2 = 0 ⇒ x = –1 (Doble) c) −7x 2 +
x=0 5 5 5 x =0 ⇒ x −7x + =0 ⇒ x= 2 2 14
d) (x – 2)2 – 25 = 0 ⇒ (x – 2)2 = 25 ⇒
{xx −− 22 ==5−5⇒⇒x x= =5−3
48. Una de las soluciones de la ecuación x2 + bx – 14 = 0 es 2. ¿Cuál es la otra solución de la ecuación? 2 Como x = 2 es una de las soluciones de la ecuación x + bx – 14 = 0 es 2, entonces: 2 2 + 2b – 14 = 0 ⇒ 4 + 2b – 14 = 0 ⇒ 2b = 10 ⇒ b = 5
La ecuación es x2 + 5x – 14 = 0= ⇒ x
−5 ± 25 + 56 −5 ± 81 −5 ± 9 = = = 2 2 2
{−27
La otra solución de la ecuación es x = –7. 49. Resuelve las siguientes ecuaciones factorizando previamente. 3 2 a) –2x + 4x + 18x – 36 = 0
c) –3x4 + 3x3 + 12x2 – 12x = 0
b) 4x3 – 24x2 + 48x – 32 = 0
d) 6x4 – 5x3 – 43x2 +70x – 24 = 0
a) –2x3 + 4x2 + 18x – 36 = –2(x3 – 2x2 – 9x + 18) = –2(x – 3)(x + 3)(x – 2) = 0 ⇒ x = 3, x = –3 y x = 2 3
1 1
–2 3 1
–9 3 –6
18 –18 0
x2 + x – 6 = 0= ⇒ x
−1 ± 1 + 24 −1 ± 5 = = 2 2
{−23
b) 4x3 – 24x2 + 48x – 32 = 4(x – 2)(x2 – 4x + 4) = 4(x – 2)(x – 2)2 = 4(x – 2)3 ⇒ x = 2 (triple) 2
1 1
–6 2 –4
12 –8 4
–8 8 0
c) –3x4 + 3x3 + 12x2 – 12x = –3x(x3 – x2 – 4x + 4) = –3x(x – 1)(x2 – 4) = –3x(x – 1)(x – 2)(x + 2) = 0 ⇒ x = 0, x = 1, x = 2 y x = –2. 1
1 1
–1 1 0
–4 0 –4
4 –4 0
4 1 4 1 d) 6x4 – 5x3 – 43x2 +70x – 24 = 6 ( x − 2 )( x + 3 ) x − x − = 0⇒x = 2, x = −3, x = y x = 3 2 3 2 2 –3
82
6 6 6
–5 –43 70 –24 12 14 –58 –24 7 –29 12 0 –18 33 –12 –11 4 0
Unidad 3| Ecuaciones y sistemas
4 11 ± 121 − 96 11 ± 5 3 6x2 – 11x + 4 = 0= ⇒ x = = 12 12 1 2
50. Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas. a) x4 – 13x2 + 36 = 0 b) 3x4 – 15x2 + 12 = 0 c) x4 + 2x2 – 8 = 0 13 + 5 2 z = 2 = 9 ⇒ x = 9 ⇒ x = ±3 13 ± 25 a) x – 13x + 36 = 0 y x = z ⇒ z − 13z + 36 = 0 ⇒ z = ⇒ 13 − 5 2 z = = 4 ⇒ x 2 = 4 ⇒ x = ±2 2 4
2
2
2
b) 3x4 – 15x2 + 12 = 0 y x2 = z ⇒ 3z 2 − 15z + 12 = 0 ⇒ z =
4 2 2 c) x + 2x – 8 = 0 y x = z ⇒ z 2 + 2z − 8 = 0 ⇒ z =
15 + 9 2 z = 6 = 4 ⇒ x = 4 ⇒ x = ±2 15 ± 81 ⇒ 15 − 9 6 z= =1 ⇒ x 2 =1 ⇒ x =±1 6
−2 + 6 2 z = 2 = 2 ⇒ x = 2 ⇒ x = ± 2 −2 ± 36 ⇒ −2 − 6 2 z = =−4 ⇒ x 2 =−4 Sin solución 2
51. Halla las soluciones de estas ecuaciones de primer grado. a)
x−4 5x + 6 ( −4 x + 2 ) − 4 ( −2 x + 1) − = 2 ( x − 3) + 5 10 2
b) 3(2 x − 5) + 8 x − 6 =
x − (5 x + 3) 2
c)
3( x + 3) − 2(2 − 3 x )= 8 x − 1 − 2( x + 3) 2
d)
6 − 2( x − 3) 8 = − 7x 4
e)
3( x − 2) 2 −4 x + 3 16 + 2(−3 x + 1)= − + 5 5 15 3
a)
( −4x + 2 ) = x−4 5x + 6 x−4 −4x + 2 5x + 6 − 4 ( −2x + 1) − 2 ( x − 3) + ⇒ + 8x − 4 − =− 2x 6 + ⇒ 5 10 2 5 10 2 ⇒ 2x – 8 + 80x – 40 + 4x – 2 = 20x – 60 + 25x + 30 ⇒ 41x = 20 ⇒ x =
b) 3(2x − 5) + 8x − 6 =
20 41
x x 36 − (5x + 3) ⇒ 6x − 15 + 8x − 6 = − 5x − 3 ⇒ 12x – 30 + 16x – 12 = x – 10x – 6 ⇒ x = 2 2 37
c)
3( x + 3) − 2(2 − 3x )= 8x − 1 − 2( x + 3) ⇒ 3x + 9 – 8 + 12x = 16x – 2 – 4x – 12 ⇒ 3x = –15 ⇒ x = –5 2
d)
6 − 2( x − 3) 8 = − ⇒ 6 – 2x + 6 = –14x ⇒ 12x = –12 ⇒ x = –1 7x 4
e)
3( x − 2) 2 −4x + 3 16 ⇒ 9x – 18 – 90x + 30 – 6 = –4x + 3 + 80 ⇒ x = –1 + 2(−3x + 1)= − + 5 5 15 3
Ecuaciones y sistemas | Unidad 3
83
52. Resuelve estas ecuaciones de segundo grado. a)
3 x 2 4 x − 1 2 x ( x − 3) 17 − = + 2 4 6 12
2 b) 3 x 2 − 4 x + 5( x= − 2)
c) 6 x 2 − 1 + a)
3 x ( x − 2) + 14 2
3(− x + 2) 1 −2 x + 1 + 4x = x (−3 x + 1) − 5 3 2
e)
3x − 1 13 = 5 4x + 5
2 x (− x + 3) 5 x 2 − 2 59 = − 4x 2 + 3 6 6
3x 2 4x − 1 2x( x − 3) 17 − = + ⇒ 18x2 – 12x + 3 = 4x2 – 12x + 17 ⇒ 14x2 = 14 ⇒ x2 = 1 ⇒ x = ±1 2 4 6 12
2 b) 3x 2 − 4x + 5( x= − 2)
⇒ = x
3x( x − 2) 2 2 2 2 + 14 ⇒ 6x – 8x + 10x – 20 = 3x – 6x + 28 ⇒ 13x – 2x – 48 = 0 ⇒ 2
2 ± 4 + 2496 2 ± 50 2 = = −48 −24 26 26 26 = 13
c) 6x 2 − 1 +
2x(−x + 3) 5x 2 − 2 59 2 2 2 2 = − 4x 2 + ⇒ 36x – 6 – 4x + 12x = 5x – 2 – 24x + 59 = 0 ⇒ 3 6 6
⇒x ⇒ 17x2 + 4x – 21 = 0 =
d)
d)
−4 ± 1428 −4 ± 38 1 = = −42 −21 2 ⋅ 17 34 34 = 17
3(−x + 2) 1 −2x + 1 2 2 + 4x = x(−3x + 1) − ⇒ 18x + 36 – 80x + 40x = –90x + 30x – 15 ⇒ 5 2 3
−28 ± −1256 ⇒ 10x2 + 28x + 51 = 0 ⇒ x = No tiene solución. 20 e)
3x − 1 13 −11 ± 121 + 3360 −11 ± 59 −70 = −35 65 ⇒ 12x 2 + 11x − 70 = 0⇒x = = ⇒ 12x 2 − 4x + 15x − 5 = = 12 5 4x + 5 24 24 224
53. Encuentra las soluciones de las siguientes ecuaciones aplicando un cambio de variable. 6 3 a) x – 2x + 1 = 0
b) x10 – 31x5 – 32 = 0
2± 0 a) x6 – 2x3 + 1 = 0 y x3 = z ⇒ z 2 − 2z + 1 =0 ⇒ z = =1 ⇒ x 3 =1 ⇒ x =1 2 31 + 33 = 32 ⇒ x 5 = 32 ⇒ x = 2 z = 2 31 ± 1089 10 5 5 b) x – 31x – 32 = 0 y x = z ⇒ z 2 − 31z − 32 = 0 ⇒ z = ⇒ 2 31 − 33 =−1 ⇒ x 5 =−1 ⇒ x =−1 z = 2
54. Comprueba que en las ecuaciones de segundo grado de la forma x2 + bx + c = 0, que tienen dos soluciones, b es la suma de las soluciones cambiada de signo y c es el producto de las soluciones. A continuación resuelve mentalmente: a) x2 – 7x + 12 = 0
b) x2 + 3x – 10 = 0
2 Sean A y B las dos soluciones de la ecuación x + bx + c = 0.
Podemos escribir la ecuación de la forma (x – A)(x – B) = 0. Multiplicando se obtiene x2 – (A + B)x + AB = 0. Igualando coeficientes de las ecuaciones x2 + bx + c = 0 y x2 – (A + B)x + AB = 0, se obtiene: b = –(A + B) y c = AB 2
a) x – 7x + 12 = 0: soluciones: x = 4 y x = 3 b) x2 + 3x – 10 = 0: soluciones: x = –5 y x = 2
84
Unidad 3| Ecuaciones y sistemas
55. Resuelve las siguientes ecuaciones racionales. a)
4 6 1 − = x −2 x +3 3
c)
4x + 2 3 x +5 + = x 2 + 2x + 1 2 x +1
b)
x + 1 2x + 1 3 + = 3x − 2 x + 5 2
d)
3 6 −2 − = x + 1 x + 4 4x − 8
12( x + 3) − 18 ( x − 2 ) ( x − 2)( x + 3) 4 6 1 = ⇒ ⇒ 12x + 36 – 18x + 36 = x2 + x – 6 ⇒ x2 + 7x – 78 − = 3( x − 2)( x + 3) 3( x − 2)( x + 3) x −2 x +3 3
a)
=0 = ⇒x
−7 ± 49 + 312 −7 ± 19 = = 22 2
{−613
2( x + 1)( x + 5) + 2(2x + 1)(3x − 2) 3(3x − 2)( x + 5) x + 1 2x + 1 3 = ⇒ 2x2 + 12x + 10 + 12x2 – 2x – 4 = ⇒ + = 2(3x − 2)( x + 5) 2(3x − 2)( x + 5) 3x − 2 x + 5 2
b)
4 ± − ± 29 841 720 29 11 2 2 9x + 39x – 30 ⇒ 5x – 29x + 36 = 0 ⇒ = = = x 18 9 10 10 = 10 5 2(4x + 2) 3( x + 1)2 2( x + 5)( x + 1) 4x + 2 3 x +5 2 2 ⇒ + = ⇒ 8x + 4 + 3x + 6x + 3 = 2x + 12x + 10 ⇒ + = 2( x + 1)2 2( x + 1)2 2( x + 1)2 x + 2x + 1 2 x + 1
c)
2
2 x + 2x – 3 = 0 ⇒ = x
−2 ± 4 + 12 −2 ± 4 = = 2 ⋅1 2
{−13
6( x + 4)( x − 2) − 12( x + 1)( x − 2) −( x + 1)( x + 4) 3 6 −2 = ⇒ 6x2 + 12x – 48 – 12x2 + 12x + − = ⇒ 2( x + 1)( x + 4)( x − 2) 2( x + 1)( x + 4)( x − 2) x + 1 x + 4 4x − 8
d)
2 2 0⇒x 24 = –x – 5x – 4 ⇒ 5x – 29x + 20 ==
5 29 ± 841 − 400 29 ± 21 = = 8 4 2⋅5 10 10 = 5
56. Resuelve las ecuaciones con radicales siguientes. a) x − x − 6 = 0
b)
2 a) x − x − 6 = 0 ⇒ (x – 6) =
( x)
2
8 − x =2 − x
⇒ x2 – 12x + 36 = x ⇒ x2 – 13x + 36 = 0= ⇒ x
●
4 − 4 − 6 ≠ 0 ⇒ x = 4 no es solución.
●
9 − 9 − 6= 0 ⇒⇒ x = 9 es solución. 2 2 ⇒x 8 − x = 2 − x ⇒ 8 – x = 4 + x – 4x ⇒ x – 3x – 4 = 0=
b) ●
8 − 4 ≠ 2 − 4 ⇒ x = 4 no es solución.
●
8 + 1 = 2 + 1 ⇒ x = –1 es solución.
57. Resuelve, en función de a y b, esta ecuación:
3 ± 9 + 16 3 ± 5 = = 2 ⋅1 2
13 ± 25 13 ± 5 = = 2 ⋅1 2
{94
{−41
b a + = 2 x −a x −b
b ( x − b) a ( x − a) 2 ( x − a )( x − b ) b a + =2 ⇒ + = ⇒ bx − b 2 + ax − a 2 =2x 2 − 2xb − 2ax + 2ab ⇒ x −a x −b ( x − a )( x − b ) ( x − a )( x − b ) ( x − a )( x − b ) 3 (b + a ) + (a + b ) 2 2 = a+b 3 (b + a ) ± 9 (a + b ) − 8 (a + b ) 3 (b + a ) ± (a + b ) 4 ⇒ 2x − 3 x ( b + a ) + = = = (a + b ) ⇒ x 3 b + a − a + b ) ( ) = a+b 4 4 ( 4 2 2
2
Ecuaciones y sistemas | Unidad 3
85
58. Resuelve las siguientes ecuaciones con radicales. a) 2 x − 1 − 5 = b)
3 x −1
7x + = 1 2 x+4
3
x−
d)
5 x + 1 − 2=
x
= 1 x +1
3 =⇒ 2x – 2 – 5 x − 1 = 3 ⇒ –5 x − 1 = –2x + 5 ⇒ x −1 45 ± 35 10 2 2 2 0 ⇒ x = 10 5 ⇒ 25(x – 1) = 4x – 20x + 25 ⇒ 25x – 25 = 4x – 20x + 25 ⇒ 4x – 45x + 50 = = 8 8 = 4
a) 2 x − 1 − 5 =
●
b)
⇒
x −1
2 10 −= 1−5
3
5 x −1 x −1
⇒ x = 10 es solución.
) (2
(
−
2
7x + 1 =
x+4
)
2
●
5 −1 − 5 ≠ 4
2
3 5 −1 4
⇒ x=
5 no es solución. 4
⇒ 7x + 1 = 4(x + 4) ⇒ 7x + 1 = 4x + 16 ⇒ 3x = 15 ⇒ x = 5
7⋅5 +1 = 2 5 + 4 ⇒ x = 5 es solución.
●
2
x−
x 4−
● d)
x −1
10 − 1
= 2 x+4 ⇒ 7x + 1
c)
2 x −1 x −1
2
c)
= 1⇒ 2 4
5x + 1 − 2=
⇒x+1=
x x x
2
x =⇒ x – 2 = x x
−
= 1 ⇒ x = 4 es solución. x +1 ⇒
) (
(
2
5x + 1 − 2 =
● x +1
)
2
1−
2 1
( x) ⇒x 2
2
5±3 = 2
– 5x + 4 = 0 ⇒ ⇒ = x
≠ 1 ⇒ x = 1 no es solución.
⇒ 5x + 1 – 4 5x + 1 + 4 = x + 1 ⇒ 4x + 4 = 4
5x + 1 ⇒
2 2 5x + 1 ⇒ x + 2x + 1 = 5x + 1 ⇒ x – 3x = 0 ⇒ x = 0 y x = 3.
0 + 1 − 2 ≠ 1 ⇒ x = 0 no es solución.
●
2 x ⇒ (x – 2) =
●
15 + 1 − 2=
3 + 1 ⇒ x = 3 es solución.
59. Actividad resuelta.
60. Se define en el conjunto de los números reales la siguiente operación: a∇b=
a+3 + b−7 .
Resuelve la ecuación ( x + 2 ) ∇ ( x − 8 ) = 10 .
( x + 2 ) ∇ ( x − 8 ) =10 ⇒ ⇒
(
x +5
) =(10 − 2
x + 2 + 3 + x − 8 − 7 =10 ⇒ x + 5 + x − 15 =10 ⇒ x + 5 =10 − x − 15 ⇒
x − 15
)
2
⇒ x + 5 =100 + x − 15 + 20 x − 15 ⇒ −4 = x − 15 ⇒ 16 =x − 15 ⇒ x =31
61. Actividad resuelta. 62. Resuelve las ecuaciones de tipo logarítmico siguientes. a) log x
5
8 = −0, 4 2
= 2x − 1 b) log9 5 27 a) logx
5
5 3 −2 −1 8 8 = x −0.4 ⇒ 2 5 = x −0.4 ⇒ 2 5 = x −0.4 ⇒ 2−0,4 = x −0.4 ⇒ x = 2 = −0.4 ⇒ 2 2
= 2x − 1 ⇒ 92x–1 = b) log9 5 27
86
Unidad 3| Ecuaciones y sistemas
5
3
27 ⇒ 3 4 x − 2 = 3 5 ⇒ 4x – 2 =
3 13 ⇒ 20x – 10 = 3 ⇒ 20x = 13⇒ x = 5 20
{41
63. Halla las soluciones de las siguientes ecuaciones. d) ln(x – 1) + ln x2 = ln (x3 – 3x2 – 8)
a) log (x – 1) + log (x + 1) = 3log2 + log(x – 2) b) log( x − 2) −
1 log(3 x − 6) = log2 2
ln ( x − 1) + ln ( 3 x ) 1 = ln 2 x − 2 2
e)
c) log7 (x – 2) – log7 (x + 2) = 1 – log7 (2x – 7) 3 2 a) log(x – 1) + log(x + 1) = 3log2 + log(x – 2) ⇒ log [(x – 1) · (x + 1)] = log [2 · (x – 2)] ⇒ x – 1 = 8x – 16 ⇒
8±2 = 2
⇒ x2 – 8x + 15 = 0 ⇒ = x
{53
● log 4 + log 6 = 3log2 + log 3 ⇒ x = 5 es solución. ● og 2 + log 4 = 3log2 + log 1 ⇒ x = 3 es solución.
( x − 2)2 ( x − 2)2 1 16 ± 12 = 4 ⇒ x2 – 16x + 28 = = = log 22 ⇒ 0⇒ x = log(3x − 6) = log 2 ⇒ log 3x − 6 3x − 6 2 2
b) log( x − 2) − ●
log 12 −
1 log 36 = log 2 ⇒ x = 14 es solución. 2
{142
● log (2 – 2) no existe ⇒ x = 2 no es solución.
c) log7 (x – 2) – log7 (x + 2) = 1 – log7 (2x – 7) ⇒ log7 (x – 2) – log7 (x + 2) = log7 7 – log7 (2x – 7) ⇒ x −2 7 ⇒ (x – 2)(2x – 7) = 7(x + 2) ⇒ 2x2 – 11x + 14 = 7x + 14 ⇒ 2x2 – 18x = 0 ⇒ 2x(x – 9) = 0 ⇒ x = 9 = x + 2 2x − 7 yx=0 ● log7 7 – log7 11 = 1 – log7 11 ⇒ x = 9 es solución. 2
3
2
3
2
● log7 0 no existe ⇒ x = 0 no es solución. 3
d) ln(x – 1) + ln x = ln (x – 3x – 8) ⇒ ln(x –·x ) = ln (x – 3x2 – 8) ⇒ x3 –·x2 = x3 – 3x2 – 8 ⇒ x2 = –4 Sin solución
ln ( x − 1) + ln ( 3x ) 1 1 1 1 = ln 2x − ⇒ ln ( 3x 2 − 3x= ) ln 2x − 2 ⇒ 3x 2 − 3x= 2x − 2 ⇒ 3x 2 − 3x= 4x 2 − 2x + 4 ⇒ 2 2 2
e)
⇒ 4x 2 + 4x + 1 = 0 ⇒ ( 2x + 1) = 0 ⇒ x = 2
2
−1 ⇒ No es solución. 2
64. Resuelve las siguientes ecuaciones de tipo exponencial. 1 c) 25 x − 3 = 2
a) 63 – x = 216 b) 5 2 x − 3 = 3–x
a) 6
1 25
2x – 7
f)
1 3x 3
f)
2− x
⇒ 25x – 3 = 2x – 2 ⇒ 5x – 3 = x – 2 ⇒ x =
7 = 3
x −3
7x − 3
1 = 27
x
3−5x
g)
2 5
25 = 4
h)
23 · 2x – 5 = 0,25
3x −1
1 4
· 27 = 35x ⇒ 32x – 7 · 33 = 35x ⇒ 2x – 7 + 3 = 5x ⇒ x =
3x −7
1 3x 3
2 g) 5
d) 32x – 7 · 27 = 35x
3x − 7
1 1 ⇒ 52x – 3 = 5–2 ⇒ 2x – 3 = –2 ⇒ x = 2 25
1 c) 25 x − 3 = 2
3 e) 7
3 e) 7
= 216 ⇒ 63 – x = 63 ⇒ 3 – x = 3 ⇒ x = 0
b) 52x − 3 =
d) 3
2− x
7 = 3
x −3
3 −5x
7x −3
3 ⇒ 7
3x −7
3 = 7
−4 3
−7 x + 3
⇒ 3x – 7 = –7x + 3 ⇒ 10x = 10 ⇒ x = 1
x
1 x 3–x = 3–3x ⇒ x + 3 – x = –3x ⇒ x = –1 = ⇒3 ·3 27
25 = 4
3 x −1
2 ⇒ 5
3 −5x
5 = 2
2 ( 3 x −1)
5 ⇒ 2
5x −3
5 = 2
2 ( 3 x −1)
⇒ 5x – 3 = 2(3x – 1) ⇒ 5x – 3 = 6x – 2 ⇒ x = –1
h) 23 · 2x – 5 = 0,25 ⇒ 2x – 2 = 2–2 ⇒ x – 2 = –2 ⇒ x = 0
Ecuaciones y sistemas | Unidad 3
87
65. Actividad resuelta. 66. Resuelve las siguientes ecuaciones de tipo exponencial. a) 3 · 4x + 3 – 4x + 1 + 4x + 2 = 62
b) 132x – 6 · 13x + 5 = 0
c)
10x – 5x – 1 · 2x – 2 = 950
a) 3 · 4x + 3 – 4x + 1 + 4x + 2 = 62 ⇒ 192 · 4x – 4 · 4x + 16 · 4x = 62 ⇒ 96 · 4x – 2 · 4x + 8 · 4x = 31 ⇒ 102 · 4x = 31 ⇒ 31 31 31 ⇒= 4x ⇒ log = 4 x log ⇒ x log = 4 log ⇒ = x −0,86 102 102 102 6 ± 36 − 20 6 ± 4 = = 2 2
b) 132x – 6 · 13x + 5 = 0 y 13x = z ⇒ z2 – 6z + 5 = 0 = ⇒ z
{
1 ⇒ 13 x =1 ⇒ x =0 5 ⇒ 13 x = 5 ⇒ x = 0,63
c) 10x – 5x – 1 · 2x –2 = 950 ⇒ 100 · 10x – 2 – 5 · 10x – 2 = 950 ⇒ 95 · 10x – 2 = 950 ⇒ 10x – 2 = 10 ⇒ x – 2 = 1 ⇒ x = 3 67. ¿Qué relación debe existir entre A y B para que se cumpla la relación log A + log B = log (A + B). B log A + log B = log (A + B) ⇒ log (AB) = log (A + B) ⇒ AB = A + B ⇒ AB – A = B ⇒ A(B – 1) = B ⇒ A = B −1
68. Despeja m en la siguiente igualdad. log m = a – b log c. log m = a – blogc ⇒ log m + blogc = a ⇒ log m + logcb = a ⇒ log (mcb) = a ⇒ mcb = 10a ⇒ m =
10a cb
69. Resuelve estas ecuaciones exponenciales. x–1
a) 2 a) b)
+ 2x + 2 = 72
b)
3
128 = 4 2 x
2x – 1 + 2x + 2 = 72 ⇒ 2x – 1 + 8 · 2x – 1 = 72 ⇒ 9 · 2x – 1 = 72 ⇒ 2x – 1 = 8 ⇒ 2x – 1 = 23 ⇒ x = 4 3
7
128 = 42x ⇒ 2 3 = 24 x ⇒
7 7 = 4x ⇒ x = 12 3
70. Halla la solución de los siguientes sistemas lineales. 1 3 x − 7y = b) − + = 5 x 8 y 9
2 4x − y = a) x + 3 y = 7
a) Se resuelve el sistema por el método de sustitución. La solución del sistema es (x = 1 y = 2). x−y 2 4= ⇒ x + 3y =7
x−y 2 4= ⇒ 4 ( 7 − 3y ) − y = 2 ⇒ 28 − 12y − y = 2 ⇒ 26 = 13y ⇒ y = 2 ⇒ x = 1 x =7 − 3y
−71 −32 b) Se resuelve el sistema por el método de reducción. La solución del sistema es = = ,y x . 11 11 1 3x − 7y = ⇒ 5 x 8 y 9 − + =
5 −32 −71 15x − 35y = −32 ⇒y = ⇒ 3x − 7 ⋅ −15x + 24y = = 1⇒ x = 27 11 11 11 32 − 11y =
71. Añade una ecuación a 3x – 2y = 5 para formar un sistema: a) Que no tenga solución. b) Que tenga infinitas soluciones. c) Que tenga una única solución. ¿Puede ser esta solución (x = 3, y = 1)? ¿Y podría ser (x = 7, y = 8)? Sea ax + by = c la ecuación que se añade a 3x – 2y = 5 para formar un sistema. a b c a) La ecuación ax + by =c debe cumplir que = ≠ . Por ejemplo, 3x – 2y = 9. 3 −2 5
a b c b) La ecuación ax + by =c debe cumplir que = = . Por ejemplo, 6x – 4y = 10. 3 −2 5
c) (x = 3, y = 1) no será solución del sistema porque no satisface la ecuación 3x – 2y = 5. (x = 7, y = 8) satisface 3x – 2y = 5. Por tanto, será solución si satisface 3x – 2y = 5. Es decir, si 7a + 8b = c.
88
Unidad 3| Ecuaciones y sistemas
72. Resuelve los siguientes sistemas.
x 2y 6 5 − 3 = a) − x + 5y = −6 10 6
x y 0 3 − 2 = c) x + y = 2 6 4
1 x − y = b) 2 3 5 5 x + 4 y =
1 3(−2 x + 1) − 4y = d) 4 x − 2(3 y + 1) = 8
a) Se resuelve el sistema por el método de reducción. La solución del sistema es (x = 10 y = –6). x 2y 90 3x − 10y = 6 − = ⇒ ⇒ y =−6 ⇒ 3x − 10 ⋅ ( −6 ) =90 ⇒ x =10 5 3 −3x + 25y = −180 − x + 5y = −6 15y = −90 10 6 b) Se resuelve el sistema por el método de sustitución. La solución del sistema es (x = 5 y = 4).
1 x − y = x = 1+ y ⇒ ⇒ 8 (1 + y ) + 15y = 100 ⇒ 8 + 8y + 15y = 100 ⇒ 23y = 92 ⇒ y = 4 ⇒ x = 5 3 2 8x + 15y = 100 x+ y = 5 5 4
{
c) Se resuelve el sistema por el método de reducción. La solución del sistema es (x = 6 y = 4). x y 0 − = 3 2 ⇒ x + y = 2 6 4
0 2x − 3y = ⇒ x = 6 ⇒ 2 ⋅ 6 − 3y = 0 ⇒ y = 4 2x + 3y = 24 = 24 4x
d) Se resuelve el sistema por el método de igualación. La solución del sistema es (x = 1 y = –1).
{
{
⋅3 1 3 3(−2x + 1) − 4y = → 9 x + 6y = 6x + 4= 3x + 2= y 2 y 1 ⇒ ⇒ ⋅2 10 ⇒ x = 1 ⇒ 3 ⋅ 1 + 2y = 1 ⇒ y = −1 − 6y 10 − 3y 5 4x = 2x = → 4 x − 6y = 8 4x − 2(3y + 1) = = 13 13x
73. Observa la siguiente gráfica.
a) ¿Qué sistema representan las rectas? b) ¿Cuál es la solución de dicho sistema?
y= x − 2 a) y= 6 − x b) La solución es (x = 4, y = 2). 74. Actividad resuelta.
Ecuaciones y sistemas | Unidad 3
89
75. Estudia el número de soluciones de estos sistemas sin resolverlos. 10 − 6 x + 2y = a) 3 x − y = − 5
2 3 x + 2y = c) 3 4 2 x + y =
1 2 x + y = b) x + 2 y = −4
a) La recta –6x + 2y = 10 se puede escribir como y =
6x + 10 6 , cuya pendiente es =3. 2 2
La otra recta, 3x – y = –5, se puede escribir como y = 3x + 5 cuya pendiente también es 3. Las dos rectas tienen la misma pendiente, por lo que o serán paralelas o serán coincidentes. 10 = 5 y, la de la segunda 5, entonces las rectas son 2 coincidentes y, por tanto, el sistema tendrá infinitas soluciones.
Como la ordenada en el origen de la primera recta es
b) La recta 2x + y = 1 se puede escribir como y = –2x + 1, cuya pendiente es –2. La recta x + 2y = 4 se puede escribir como y =
−x + 4 1 , cuya pendiente es . 2 2
Las rectas tienen distinta pendiente, por lo que serán secantes y, por tanto, el sistema tendrá una solución. c) La recta 3x + 2y = 2 se puede escribir como y = La otra recta,
−3x + 2 −3 , cuya pendiente es . 2 2
3 3 −3 . x+y = 4 , se puede escribir como y = − x + 4 cuya pendiente también es 2 2 2
Las dos rectas tienen la misma pendiente, por lo que o serán paralelas o serán coincidentes. Como la ordenada en el origen de la primera recta es 1, y la de la segunda, 4, entonces son paralelas y, por tanto, el sistema no tendrá solución.
76. Calcula el valor de la x en el sistema, si a, b, c, d, p y q son números cualesquiera.
}
ax + by = p cx + dy = q
p − ax y = b qb − pd p − ax q − cx ax + by = p ⇒ ⇒ = ⇒ pd − adx = qb − bcx ⇒ x ( bc − ad ) = qb − pd ⇒ x = cx = + dy q q − cx bc − ad b d y = d
{
77. Se ha representado la gráfica de una recta y la de la parábola y = Resuelve analíticamente dicho sistema.
− x 2 + 6x . ¿Qué sistema representan? 2
− x 2 + 6x x = 4 ⇒ y = 4 y = − x 2 + 6x 1 5±3 2 ⇒ = x + 2 ⇒ x 2 − 5x + 4 =0 ⇒ x = ⇒ 5 1 2 2 2 = x =1 ⇒ y = 2 y x+2 2
78. Actividad resuelta.
90
Unidad 3| Ecuaciones y sistemas
79. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales. 12 3 x 2 + y 2 = a) xy = −3
61 x 2 + 3 xy + y 2 = c) 12 x ⋅ y =
25 5 x 2 + y 2 = e) 2 2 − = − 3 x y 25
( x − y ) 2 = 49 b) 2 x + 2 xy + y2 = 9
46 x 2 − 2y 2 = d) xy = 84
f)
a) Las soluciones del sistema son 12 3x 2 + y 2 = ⇒ xy = − 3
(
)(
)
3, − 3 , − 3, 3 , (x = 1, y = –3) y (x = –1, y = 3).
12 3x 2 + y 2 = 2 9 −3 2 4 2 4 2 ⇒ 3x 2 + −3 = 12 ⇒ 3x + 2 = 12 ⇒ 3x − 12x + 9 = 0 ⇒ x − 4x + 3 = 0 x x y = x
⇒ x4 – 4x2 + 3 = 0 y x2 = z ⇒ z 2 − 4z + 3 = 0 ⇒ z = Si x =
1 ( x − y )2 = 2 2 x − y = 7
2 4±2 ⇒ z = 3 ⇒ x2 = 3 ⇒ x = ± 3 2 z =1 ⇒ x =1 ⇒ x =±1
−3 −3 3⇒y= = − 3 ; si x = − 3 ⇒ = y = 3 − 3
3 ; si x = 1 ⇒ y = –3; si x = –1 ⇒ y = 3
b) Las soluciones del sistema son (x = 5, y = –2), (x = 2, y = –5), (x = –2, y = 5) y (x = –5, y = 2). 49 49 ±7 ( x − y )2 = ( x − y )2 = x − y = ⇒ ⇒ 2 2 2 x y + = ±3 2 9 ( ) 9 x xy y x y + + = + =
Quedan cuatro posibles sistemas: ●
{
7 x − y = x =5 ⇒ = −2 y + = x y 3
●
{
7 x − y = x=2 ⇒ y = −5 3 x + y = −
●
{
−7 x − y = x = −2 ⇒ y =5 3 x y + =
●
{
−7 x − y = x = −5 ⇒ y =2 3 x + y = −
c) Las soluciones del sistema son (x = 3, y = 4), (x = –3, y = –4), (x = 4, y = 3) y (x = –4, y = –3). 61 x 2 + 3xy + y 2 = ⇒ 12 x ⋅ y =
61 x 2 + 3xy + y 2 = 144 ⇒ 2 + 36 + y 2 = 61 ⇒ y 4 − 25y 2 + 144 = 0 12 = x y y
⇒ y4 – 25y2 + 144 = 0 e y2 = z ⇒ z 2 − 25z + 144 = 0 ⇒ z =
{
25 ± 7 z = 16 ⇒ y 2 = 16 ⇒ y = ±4 ⇒ z = 9 ⇒ y 2 = 9 ⇒ y = ±3 2
Si y = 4 ⇒ x = 3; si y = –4 ⇒ x = –3; si y = 3 ⇒ x = 4; si y = –3 ⇒ x = –4 d) Las soluciones del sistema son (x = 7, y = 12) y (x = –7, y = –12). 46 x 2 − 2y 2 = 46 x 2 − 2y 2 = 7056 ⇒ ⇒ − 2y 2 = 46 ⇒ 7056 − 2y 4 = 46y 2 ⇒ y 4 + 23y 2 − 3528 = 0 84 x = y2 xy = 84 y 4 2 2 ⇒ y + 23y – 3528 = 0 e y = z ⇒ z 2 + 23z − 3528 = 0 ⇒ z =
{
−23 ± 121 49 ⇒ y 2 = 49 ⇒ y = ±7 ⇒ 72 ⇒ y 2 = − −72 Sin solución 2
Si y = 7 ⇒ x = 12; si y = –7 ⇒ x = –12. e) Las soluciones del sistema son (x = 0, y = 0) y (x = 0, y = –5). 25 5x 2 + y 2 = ⇒x= 0 ⇒ y2 = 25 ⇒ y = ±5 2 2 −25 3x − y = 8x 2
=0
f) Las soluciones del sistema son (x = 4, y = 3) y (x = –4, y = –3). 1 ( x − y ) = ( x − y )2 = ±1 . ⇒ 2 2 ( )( 7 x y x y) = − + 7 x y − =
Quedan dos posibles sistemas: ●
{
1 x − y = x=4 ⇒ y =3 7 x + y =
●
{
−1 x − y = x = −4 ⇒ y = −3 −7 x + y =
Ecuaciones y sistemas | Unidad 3
91
80. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones exponenciales y logarítmicos.
2 x + 5 y = 9 a) x + 2 y +1 41 2 + 5 =
b)
2logx + logy = 5 c) {log ( xy ) = 4
5 x + 2 − 4 y = −3 3 ⋅ 5 x + 1 − 4 y − 2 = −1
d)
2 x + logy = {log 1 x − 6y =
a) La solución del sistema es (x = 2, y = 1).
{
2x + 5y = 9 ⇒ 2 x + 2 + 5 y +1 = 41
2x = t
5 y = s t + s = 9 2 x + 5 y = 9 t = 9 − s ⇒ ⇒s = 5⇒t = 4⇒ ⇒ x y + 5s 41 4t = + 5s 41 4t = 4 ⋅ 2 + 5 ⋅ 5 = 41
2 x = 4 ⇒ x = 2 y 5 = 5 ⇒ y = 1
b) La solución del sistema es (x = 10, y = 1000).
x y 10 2logx + logy = 5 log ( x y ) = 5 x y = 10 ⇒ ⇒ ⇒ = {log ( xy ) = 4 xy 10 xy = 10 log xy = 4 ( ) 2
2
5
2
4
5 4
⇒ x = 10 ⇒ y = 103 = 1000
c) El sistema no tiene solución. 25 ⋅ 5 x − 4 y =−3 54xy ==ts 5x + 2 − 4y = −3 ⇒ ⇒ 4y x 3 ⋅ 5 x +1 − 4 y − 2 = −1 = −1 15 ⋅ 5 − 16 solución. d) La solución del sistema es (x = 25, y = 4).
{
25t − s =−3 −13 −13 ⇒ 240t + 16= 25t + 3 ⇒ t= ⇒ 5 x = Sin s 15 t 1 − = − 215 215 16
−1 ± x + logy = 2 log ( xy ) = 2 xy = 10 ⇒ ⇒ ⇒ (1 + 6y ) y = 100 ⇒ 6y + y − 100 = 0 ⇒ y = {log x − 6y = 1 x = 1 + 6y x = 1 + 6y 2
2
1 + 2400 = 12
4 = −50 ⇒ y = 4 ⇒ x = 25 12 81. El cuadrado siguiente es mágico porque sus filas, sus columnas y sus diagonales suman lo mismo. 3x + 1 a b
5x 2x + 5 x+4
11 – x d c
¿Qué número representa la letra d? 1ª fila = 2ª columna ⇒ 3x + 1 + 5x + 11 – x = 5x + 2x + 5 + x + 4 ⇒ x = 3 1ª diagonal = 1ª fila ⇒ 3x + 1 + 2x + 5 + c = 3x + 1 + 5x + 11 – x ⇒ c = 2x + 6 = 12 1ª fila = 3ª columna ⇒ 3x + 1 + 5x + 11 – x = 11 – x + d + c ⇒ d = 8x + 1 – c = 24 + 1 – 12 = 13 82. La impresora ha soltado una mancha de tinta en una ecuación. Si la solución es x = 12, ¿cuál es el número x x +• oculto? − = x − 10 2 4 12 12 + • 12 + • 12 + • 12 + • x x +• − = x − 10 ⇒ − = 12 − 10 ⇒ 6 − = 2⇒ 6−2 = ⇒4= ⇒ 16 = 12 + • ⇒ • = 4 2 4 2 4 4 4 4
221 x2 + y 2 = de este modo: 83. Resuelve el sistema xy = 70
1.º Multiplica por dos la segunda ecuación y suma las ecuaciones. 2.ºResta el doble de la segunda ecuación a la primera y resuelve el sistema obtenido. 3.º Escribe las soluciones que se obtienen. 2 2 + 2xy 361 ( x= + y )2 361 + y 2 221 x= + y 2 221 x 2 + y 2 = x= , que da lugar a cuatro sistemas: ⇒ ⇒ 2 ⇒ 2 = = − 2xy 81 − y )2 81 xy 70 2xy 140 x + y = ( x=
●
92
{
19 x + y = x = 14 ⇒ ● y =5 9 x − y =
Unidad 3| Ecuaciones y sistemas
{
19 x + y = x =5 ⇒ ● y = 14 −9 x − y =
{
−19 x + y = x = −5 ⇒ ● y = −14 9 x − y =
{
−19 x + y = x = −14 ⇒ y = −5 −9 x − y =
84. El periodo de vida de una ballena es cuatro veces el de una cigüeña, que vive 85 años más que un conejillo de indias, que vive 6 años menos que un buey, el cual vive 9 años menos que un caballo, que vive 12 años más que un pollo, que vive 282 años menos que un elefante, que vive 283 años más que un perro, que vive 2 años más que un gato, que vive 135 años menos que una carpa, que vive el doble de un camello, que vive 1014 años menos que el total de los periodos de vida de estos once animales. ¿Cuánto vive un caballo? Cigüeña: x años
Buey: x – 79 años
Elefante: x + 200 años
Carpa: x + 50 años
Ballena: 4x años
Caballo: x – 70 años
Perro: x – 83 años
Camello:
Conejo: x – 85 años
Pollo: x – 82 años
Gato: x – 85 años
x + 4x + x – 85 + x – 79 + x – 70 + x – 82 + x + 200 + x – 83 + x – 85 + x + 50 +
x + 50 años 2
x + 50 x + 50 = + 1014 2 2
27x – 418 = x + 50 + 2028 ⇒ 26x = 2496 ⇒ x = 96 Un caballo vive 26 años. 85. Baskhara, matemático hindú del S.XIII, escribió en el libro Lilavati, el siguiente problema: “La raíz cuadrada de la mitad de un enjambre de abejas se esconde en la espesura de un jardín. Una abeja hembra con un 8 del enjambre macho quedan encerrados en una flor de loto, que los sedujo por su dulce perfume. Los 9 quedaron atrás. Dime el número de abejas.” Sea x el número de abejas del enjambre. 9 x x x x2 4x 153 ± 135 2 = −2⇒ = +4− ⇒ 2x − 153x + 648 = 0 ⇒ x = = 2 2 9 2 81 9 4 72 En el enjambre había 72 abejas. x 8x +2+ = x⇒ 2 9
86. Una empresa mezcla pasta de papel de baja calidad, que compra por 0,25 €/kg con pasta de papel de mayor calidad, de 0,40 €/kg, para conseguir 50 kg de pasta de 0,31 €/kg. ¿Cuántos kilogramos utiliza de cada tipo de pasta? Sea x los kilos de pasta de papel de baja calidad e y los kilos de pasta papel de mayor calidad. x + y = 50 x = 50 − y ⇒ ⇒ 0,25 ( 50 − y ) + 0, 4y = 15,5 ⇒ 0,15y = 3 ⇒ y = 20 ⇒ x = 30 + = ⋅ x y 0,25 0, 4 50 0,31 15,5 0,25x + 0, 4y =
Se utilizan 30 kg de pasta de baja calidad y 20 kg de pasta de mayor calidad. 87. Emprende. En una reunión cada persona saluda al resto de asistentes. Si has contado 66 saludos. ¿Cuántas personas han asistido? Sea x el número de personas que asistieron a la reunión. Cada persona dio la mano a x – 1 personas.
1 ± 23 12 x( x − 1) 2 ⇒ x = = 66 ⇒ x(x – 1) = 132 ⇒ x – x – 132 = 0= 2 2 −11 A la reunión asistieron 12 personas. 88. – Anda, Alba, dame 20 € y así tendré el triple del dinero que tú. – Qué graciosa eres Paula, dame tú 10 € y así tendremos las dos la misma cantidad. ¿Cuánto dinero tiene cada amiga? Sea x el dinero, en euros, que tiene Paula e y el dinero, en euros, que tiene Alba. x + 20 = 3 ( y − 20 ) ⇒ x − 10 =y + 10
3y − 80 x = ⇒ 3y − 80 =y + 20 ⇒ 2y =100 ⇒ y =50 ⇒ x =70 x y + 20 =
Paula tiene 70 €, y Alba, 50 €.
Ecuaciones y sistemas | Unidad 3
93
89. Un ciclista ha calculado la velocidad idónea para hacer un viaje de 30 km. Pero se entretiene y sale 3 minutos más tarde, con lo que viaja 1 km/h más deprisa y llega a tiempo. Determina la velocidad prevista del ciclista. Sea x la velocidad idónea que había calculado el ciclista e y el tiempo que iba a emplear en el viaje. 30 = xy ⇒ ( x + 1)( y − 0,05 ) 30 =
30 30 y = ⇒ 30 =30 − 0,05x + − 0,05 ⇒ 0,05x 2 + 0,05x − 30 =0 ⇒ x x 30 = xy − 0,05x + y − 0,05
⇒ x 2 + x − 600 = 0 ⇒ x =
−1 ± 49 24 = −25 2
{
La velocidad prevista por el ciclista era 24 km/h. 90. Ana, Bea, Clara y Delia se pesan de dos en dos. Ana y Bea pesan 88 kg, Bea y Clara pesan 91 kg, Clara y Delia pesan 86 kg. En ese momento, Delia dice que no hace falta hacer más pesadas. ¿Cuánto pesan Ana y Delia juntas? Ana + Bea = 88
Bea + Clara = 91
Clara + Delia = 86
Sumando la primera igualdad con la tercera: Ana + Bea + Clara + Delia = 88 + 86 Como Bea + Clara = 91, entonces Ana + 91 + Delia = 88 + 86 ⇒ Ana + Delia = 83 Ana y Delia pesan 83 kg juntas. 2 91. Calcula las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su diagonal mide 15 cm, y su área, 108 cm .
Sean x e y las dimensiones del rectángulo. 2 152 x2 + y 2 = 152 x 2 + y 2 = 108 2 2 2 2 4 2 4 2 108 ⇒ ⇒ + y = 15 ⇒ 108 + y = 225y ⇒ y − 225y + 11 664 = 0 e y = z x= 108 y x ⋅ y = y
⇒ z 2 − 225z − 11 664 = 0 ⇒ z =
{
225 ± 63 144 ⇒ y 2 = 144 ⇒ y = ±12 ⇒ 81 ⇒ y 2 = 81 ⇒ y = ±9 2
Las soluciones negativas no las consideramos porque las dimensiones de un rectángulo tienen que ser positivas. Si y = 12 ⇒ x = 9; si y = 9 ⇒ x = 12. El rectángulo tendrá por dimensiones 9 cm y 12 cm. 92. El área de un rombo son 120 cm2 y la proporción existente entre la diagonal mayor y la diagonal menor es 10:3. Calcula la medida de las diagonales. Sea D la medida de la diagonal mayor y d la medida de la diagonal menor.
Dd = 240 Dd = 120 3D 2 ⇒ 3D ⇒ D ⋅ = 240 ⇒ D = 800 ⇒ D= 2 d = 10 3D = 10d 10
800= 20 2 ⇒ d=
3 ⋅ 20 2 = 6 2 10
La diagonal mayor mide 20 2 cm y la menor 6 2 cm. 93. Las edades actuales de una mujer y su hijo son 49 y 25 años, respectivamente. ¿Hace cuántos años el producto de sus edades era 640? Edad actual
Edad hace x años
Madre
49
49 – x
Hijo
25
25 – x
(49 – x)(25 – x) = 640 ⇒ 1225 – 74x + x2 = 640 ⇒ x2 – 74x + 585 == 0⇒x
74 ± 56 65 = 2 9
Hace 65 años no pudo ser porque no habían nacido. Por tanto, hace 9 años el producto de las edades de la mujer y de su hijo era 640.
94
Unidad 3| Ecuaciones y sistemas
94. En unos laboratorios se ha comprobado que el número de células de una muestra se quintuplica cada minuto transcurrido. Si inicialmente había dos células, ¿cuántos minutos deben transcurrir para que el número de células sea de 19 531 250? Sea x los minutos que deben transcurrir para que el número de células sea de 19 531 250. x x x 10 2 · 5 = 19 531 250 ⇒ 5 = 9 765 625 ⇒ 5 = 5 ⇒ x = 10
Deben transcurrir 10 minutos. 95. Una muestra radiactiva se va desintegrando de modo que, cada cinco años, su masa se reduce a la mitad. Si se tienen 800 g de dicha sustancia radiactiva, ¿en cuánto tiempo su masa se reducirá a 50 g? Sea x el tiempo que ha de pasar para que su masa se reduzca a 50 gramos. x
x
x x 1 1 5 1 5 ⇒ 2 5 = 24 ⇒ = 4 ⇒ x = 20 800 = 50 ⇒ = 16 5 2 2 Han de transcurrir 20 años.
2 96. Si r y s son las soluciones de la ecuación ax + bx + c = 0, el valor de
A. b2 – 4ac
B.
b 2 − 4ac 2a
C.
1 1 es: + r 2 s2
b 2 − 2ac c2
b 2 − 2ac a 2c 2
D.
−b c Si r y s son las soluciones de la ecuación ax2 + bx + c = 0, entonces r + s = y r ⋅ s = : a a 2
c b − −2 1 1 r +s (r + s ) − 2rs a a b 2 − 2ac += = = = 2 r 2 s2 r 2s 2 (rs )2 c2 c a La respuesta correcta es la C. 2
2
97. Si la ecuación A.
2
x 2 − bx m − 1 tiene soluciones opuestas, el valor de m debe ser: = ax + c m+1
a−b a+b
B.
a+b a−b
C.
1 c
1 a
D.
x 2 − bx m − 1 2 2 = ⇒ (m + 1)(x – bx)x = (m – 1)(ax + c) ⇒ (m + 1)(x – bx) – (m – 1)(ax + c) = 0 ax + c m +1
(m + 1)x2 + (–mb – b – ma + a)x – mc + c = 0 Como las soluciones son opuestas, el coeficiente de x debe ser cero: –mb – b – ma + a = 0 ⇒ – b + a = mb + ma ⇒ a – b = m(a + b) ⇒ m =
a−b a+b
La respuesta correcta es la A.
3 x + y = 81 verifica que: 98. La solución del sistema x − y 81 = 3 A. No tiene solución B.= x
{
C. x e y son de distinto signo.
5 3 = ,y 2 2
{
D. Nada de lo anterior es cierto
{
{
15 17 3 x + y = 81 3 x + y = 34 x+y =4 x =4−y ⇒ 4x − 4y ⇒ ⇒ ⇒ 4 ( 4 − y ) − 4y =⇒ 1 16 − 4y − 4y =⇒ 1 y= ⇒x= 4x − = 4y 1 4x − = 4y 1 = 81x − y 3= 3 3 8 8 La respuesta correcta es la D.
Ecuaciones y sistemas | Unidad 3
95
Encuentra el error 99. Pablo se alegró al ver que la última pregunta del examen consistía en resolver una ecuación de primer grado. Y se confió y ni siquiera comprobó su solución. Observa cómo resolvió la ecuación y encuentra su error. 2 ( x − 1) 2 x − 4 3 ( x − 3 ) x −3 ⇒ − = ⇒ 2 ( x + 1) − 2 x − 4 = 3 ( x + 3 ) ⇒ 2 x + 2 − 2 x − 4 = 3 x − 9 ⇒ 2 3 6 2 7 ⇒ 7 = 3x ⇒ x = 3 x + 1 2x − 4 − = 3 6
La respuesta es incorrecta porque los denominadores de la segunda ecuación equivalente deberían ser todos 6, el signo del 4 de la tercera ecuación equivalente debería ser un más y, además, en el paréntesis de esta tercera ecuación debería aparecer x – 3. 2 ( x − 1) 2x − 4 3 ( x − 3 ) x + 1 2x − 4 x − 3 − = ⇒ − = ⇒ 2 ( x + 1) − 2x + 4 = 3 ( x − 3 ) ⇒ 2x + 2 − 2x + 4 = 3x − 9 ⇒ 3 6 2 6 6 6
⇒ 15 = 3x ⇒ x = 5
PONTE A PRUEBA La civilización del futuro Actividad resuelta. La conducción del gas El croquis muestra dos puntos, A y D, entre los que se quiere construir un canal para conducir el gas. Como se quiere aprovechar un trozo de un antiguo canal que unía los puntos B y D, hay que ubicar el punto C donde se unirán el tramo nuevo y el reformado. El coste del tramo nuevo AC es de 10 €/m, y el de reparar cada metro del tramo antiguo CD es de 2 €.
1.
La tabla muestra las tres opciones que se consideran para ubicar el punto C. Opción Distancia BC
I 30 m
II 50 m
III 100 m
Indica cuál es la opción más económica.
+ 302 + 752 = 80,78 m y CD: 250 – 30 = 220 m ⇒ Precio canal = 80,78 · 10 + 220 · 2 = 1247,80 € Opción I: AC =
+ 502 + 752 = 90,14 m , CD: 250 – 50 = 200 m ⇒ Precio canal = 90,14 · 10 + 200 · 2 = 1301,40 € Opción II: AC = + 1002 + 752 = 125 m , CD: 250 – 100 = 150 m ⇒ Precio canal = 125 · 10 + 150 · 2 = 1550 € Opción III: AC = La opción más económica es la I. 2.
Calcula la distancia x que debería tener BC para que el coste total fuera 1270 €. Llamamos x a la distancia BC e y a la distancia AC. y2 x 2 + 752 = y2 x 2 + 752 = 2 ⇒ ⇒ ( 385 − 5y ) + 752 = y 2 ⇒ 24y 2 − 3850y + 153 850 =⇒ 0 − + = 2 250 x 10 y 1270 = − x 5 y 385 ( )
= ⇒y
3850 ± 230 = 48
85 ⇒ x = 40 {75, 42 ⇒ x = −7,9
BC debería medir 40 m para que el coste total fuera 1270 €.
96
Unidad 3| Ecuaciones y sistemas
La glotocronología La glotocronología es una disciplina a caballo entre la lingüística y las matemáticas que se ocupa de la relación entre las lenguas a lo largo del tiempo. Fue desarrollada por el lingüista Morris Swadesh partiendo de dos principios: •
Existe un vocabulario básico en cada lengua, y es relativamente estable.
•
Las palabras básicas desaparecen de forma constante a una tasa del 14 % cada milenio.
Según la teoría de Swadesh, si una lengua originariamente tenía N0 palabras, el número N de palabras que se t conservarán después de t milenios viene dado por la expresión N = N0 · (1 – 0,14) . 1.
¿Cuál es la tasa de palabras básicas que se conservan? Justifica que no depende del número original de palabras. La tasa de palabras básicas que se conservan es
2.
N = 0,86t , que no depende del número original de palabras. N0
Dos lenguas emparentadas comparten hoy el 90 % de sus palabras básicas. De acuerdo con el método de Swadesh, ¿hace cuánto tiempo fueron la misma? A. 7000 años Como
B. 700 años
C. 800 años
D. 8000 años
log0,9 N = t = 0,7 milenios, es decir, 700 años. = 0,86t tenemos que 0,9 = 0,86t y, por tanto, log0,86 N0
La respuesta correcta es la B. 3.
La lengua indoeuropea, de la que entre otras muchas lenguas provienen el castellano, el hindi, el noruego o el yiddish, tuvo su origen aproximadamente en el 3000 a. C. Aplicando la teoría de Swadesh, ¿qué porcentaje de palabras básicas de tu lengua tiene su origen en la indoeuropea?
N 5 = 0, 47 . Se conserva el 47 % de las palabras básicas. Como han pasado 5 milenios, se tiene que= 0,86 N0
Ecuaciones y sistemas | Unidad 3
97
AUTOEVALUACIÓN 1.
Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas. a)
3(−2 x + 1) 3x − 1 1 − 5( x −= 3) + 2 4 2
a)
65 13 3(−2x + 1) 3x − 1 1 x = − 5( x −= 3) + ⇒ –12x + 6 – 20x + 60 = 3x – 1 + 2 ⇒ –35x = –65 ⇒= 35 7 2 4 2
2 b) P(x) =6(x – 3)(x + 3) x + 3 6
3 –3
2.
7 –52 18 75 25 23 –18 –21 7 2
6 6
b) 6x4 + 7x3 – 52x2 – 63x – 18 = 0
1 2 1 yx=– x + ⇒ Soluciones: x = 3, x = –3, x = – 2 2 3
–63 –18 69 18 6 0 –6 0
−8 −2 = 3 −7 ± 49 − 48 −7 ± 1 12 2 6x + 7x + 2 = 0= ⇒ x = = 12 12 −6 −1 = 12 2
Resuelve estas ecuaciones racionales. a)
4x + 5 1 = 3 2x + 3
a)
4x + 5 1 −22 ± 100 −2 = ⇒ ( 4x + 5 )( 2x + 3 ) = 3 ⇒ 8x 2 + 22x + 12 = 0 ⇒ x = = −12 −3 3 2x + 3 16 16 = 4
b)
x2 − 3 −3 = 2 ⇒ ( x 2 − 3 )( 2x 2 + 1) =−6 ⇒ 2x 4 − 5x 2 + 3 =0 2 2x + 1
x2 − 3 −3 = 2 2x 2 + 1
b)
c)
3 8 x +1 + = x − 2 x + 5 x 2 + 3 x − 10
z =1 ⇒ x 2 =1 ⇒ x =±1 5 ± 25 − 24 5 ± 1 ⇒z 2x – 5x + 3 = 0 y z = x ⇒ 2z – 5z + 3 = 0 = = ⇒ 6 3 3 3 2 4 4 z = 4 = 2 ⇒ x = 2 ⇒ x = ± 2 4
c)
3.
2
2
2
2
3 8 x +1 3( x + 5) + 8( x − 2) x +1 1 += ⇒ = ⇒ 3x + 15 + 8x – 16 = x + 1 ⇒ x = x − 2 x + 5 x 2 + 3x − 10 ( x − 2)( x + 5) ( x − 2)( x + 5) 5
Resuelve las siguientes ecuaciones. c) 9x – 10 · 3x + 9 = 0
= 3x + 2 b) log3 5 81
a)
4 x + 13 + 2 = −2 x + 3
a)
1 −26 ± 28 = 9 4x + 13 + 4 4x + 13 + 4 =−2x + 3 ⇒ 2 4x + 13 =−3x − 7 ⇒ 9x 2 + 26x − 3 =0 ⇒ x = 18 −3
● b)
4 2 1 + 13 + 2 ≠ − + 3 ⇒ x = no es solución 9 9 9 4
log3 5 81 = 3x + 2 ⇒ 5 81 = 33 x + 2 ⇒ 3 5 = 33 x + 2 ⇒
−12 + 13 + 2 =
●
4 −6 −2 = 3x + 2 ⇒ 4 = 15x + 10 ⇒ x = = 5 15 5
c) 9x – 10 · 3x + 9 = 0 ⇒ 32x – 10 · 3x + 9 = 0 x 2 ⇒ z 3 = z ⇒ z – 10z + 9 = 0=
98
Unidad 3| Ecuaciones y sistemas
6 + 3 ⇒ x = –3 es solución
10 ± 100 − 36 10 ± 8 = = 2 2
{
9 ⇒ 3x = 9 ⇒ x = 2 1 ⇒ 3 x =1 ⇒ x =0
4.
{
19 Resuelve el siguiente sistema lineal: 2 x + 5y = 3x − y = 3 19 2x + 5y = = 19 ⇒ ⇒ 2x + 5 ( 3x − 3 ) = 19 ⇒ 2x + 15x − 15 = 19 ⇒ 17x = 34 ⇒ x = 2 ⇒ y = 3 {23xx+−5yy = 3 y 3x − 3 =
5.
29 3 x 2 + 2y 2 = Resuelve el siguiente sistema no lineal: 2 x − 4 y = 5
{
2 2 29 29 3x 2 + 2y 2 = −6 ± 64 3x + 2y = 1⇒ x = ±3 ⇒ 2 ⇒ y 2 + 6y − 7 = 0 ⇒ y = ⇒y= 2 2 7 − ⇒ x =−23 Sin solución 3 12 15 x − y = 2 x 4 y 5 − =
2y 2 + 12y = 14
6.
¿Cuánto mide la hipotenusa de este triángulo rectángulo? (3x – 2)2 = x2 + (2x + 2)2 ⇒ 9x2 + 4 – 12x = x2 + 4x2 + 4 + 8x ⇒ 4x2 – 20x = 0 ⇒ 4x(x – 5) = 0 ⇒ x =
7.
{05 ⇒ La hipotenusa del triángulo mide 3 · 5 – 2 = 13.
Un grupo de estudiantes decide contratar un autobús. Si cada uno paga 14 euros, faltarán 4 € para poder pagar el autobús, pero si cada uno paga 16 €, sobrarán 6 €. ¿Cuántos euros debe pagar cada uno para recaudar el precio exacto? Llamamos x al precio del autobús e y al número de alumnos que van a la excursión. = x 14y + 4 ⇒ 14y + 4 = 16y − 6 ⇒ 10 = 2y ⇒ y = 5 ⇒ x = 74 = x 16y − 6
El precio del autobús es 74 € y van 5 amigos. Cada uno tendrá que pagar 14,80 €.
Ecuaciones y sistemas | Unidad 3
99
4 Inecuaciones y sistemas PIENSA Y CONTESTA ¿Qué montaña rusa alcanza mayor altura? ¿Y mayor velocidad? La montaña rusa que alcanza mayor altura es la Kingda Ka, que mide 139 m. La montaña rusa que alcanza mayor velocidad es la Formula Rossa, que alcanza una velocidad de 240 km/h. ¿Qué más variables crees que se deben tener en cuenta? Además de la altura de las caídas verticales y la velocidad máxima, se deben tener en cuenta otras variables como la aceleración máxima, radios de curvas… ¿Qué es una montaña rusa invertida? Una montaña rusa invertida es aquella montaña rusa en la que los vagones o coches van colgados sobre los raíles y los pies de los ocupantes cuelgan al vacío.
ANALIZA Y SACA CONCLUSIONES ¿Qué velocidades puede alcanzar la Steel Dragon 2000? ¿Cómo lo expresarías?
= La Steel Dragon 2000 lleva una velocidad media de v
2479 m = 10,33 m/s 4 ⋅ 60 s
Estima cuánto tiempo puede transcurrir como máximo en cada zona de la Kingda Ka. Analizad las respuestas en grupo y estableced una única conclusión. Respuesta libre. Piensa en alguna montaña rusa que conozcas, ¿sabes qué velocidad máxima alcanza? ¿Y qué altura? Respuesta libre.
Actividades propuestas 1.
Plantea como ecuaciones o inecuaciones. a) Tres cafés cuestan más de 4 euros. b) Cuatro vasos de agua son menos de un litro. c) Un bollo cuesta 1,20 euros y por tres cafés y un bollo he pagado 5,70 euros. d) El perímetro de un triángulo equilátero es mayor de 10 centímetros. e) La medida del lado de un triángulo si los otros dos lados mide 5 cm y 7 cm. a) Llamando x al precio de un café, 3x > 4. b) Llamando x a la capacidad, en litros, de un vaso de agua, 4x < 1. c) Llamando x al precio de un café, 1,20 + 3x = 5,70. d) Llamando x a la medida, en centímetros, del lado del triángulo, 3x > 10. e) Llamando x a la medida del lado del triángulo: ●7 5(x + 1) – 1
c)
5x − 2 x +6 − 3 ( x − 1) ≥ − 2 10
b) x – 2(x + 3) > – 5 + 19x
d)
3x − 1 2x + 3 x + 5 − ≤ 2 3 6
a) 3(x – 5) – 5 > 5(x + 1) – 1 ⇒ 3x – 15 – 5 > 5x + 5 – 1 ⇒ –15 – 5 + 1 – 5 > 5x – 3x ⇒ –24 > 2x ⇒ –12 > x ⇒ ⇒ x ∈ (–∞, –12) b) x – 2(x + 3) > – 5 + 19x ⇒ x – 2x – 6 > – 5 + 19x ⇒ –6 + 5 > 2x – x + 19x ⇒ –1 > 20x ⇒ −1 −1 ⇒x< ⇒ x ∈ −∞, 20 20 c)
d)
5x − 2 x+6 − 3 ( x − 1) ≥ − ⇒ 25x – 10 – 30x + 30 ≥ –x – 6 ⇒ –10 + 30 + 6 ≥ –x – 25x + 30x ⇒ 26 ≥ 4x ⇒ 2 10 13 26 13 ⇒x≤ = ⇒ x ∈ −∞, 2 4 2 3 x − 1 2x + 3 x + 5 14 7 − ≤ ⇒ 9x – 3 – 4x – 6 ≤ x + 5 ⇒ 9x – 4x – x ≤ 5 + 3 + 6 ⇒ 4x ≤ 14 ⇒ x ≤ =⇒ 2 3 6 4 2 7 ⇒ x ∈ −∞, 2
4.
Actividad resuelta.
5.
Resuelve
2x − 3 x + 1 x − 1 − ≥ sabiendo que 15 es la solución de la ecuación asociada. 5 4 10
El valor de x para el que
2x − 3 x + 1 x − 1 − ≥ vale cero indica dónde esta expresión cambia de signo. 5 4 10
La solución x = 15 divide a la recta real en dos intervalos: (–∞, 15) y (15, + ∞). Basta ver qué signo tiene la inecuación toda la semirrecta. Si x = 0 ⇒
2x − 3 x + 1 x − 1 − ≥ para un valor del intervalo, para saber su signo en 5 4 10
2 ⋅ 0 − 3 0 + 1 −17 0 − 1 −1 2x − 3 x + 1 x − 1 − = ≤ = − ≥ ⇒ en [15, + ∞). 5 4 20 10 10 5 4 10
Por tanto, el intervalo de soluciones es [15, + ∞).
Inecuaciones y sistemas | Unidad 4
101
6.
Determina las soluciones de estas inecuaciones de segundo grado. a) 2x2 < 6
c) x2 + 1 < 2x
e) 2x2 + 5x > 8 – x
b) 1 – x2 ≤ –3
d) 3x2 – 2x ≥ 2x2 + 15
f) (3x – 1)(–5x + 2) ≥ 0
(
2 2 a) 2x < 6 ⇒ x – 3 < 0 ⇒ x − 3
–∞
)( x + 3 ) < 0
− 3
+∞
3
x− 3
x = –2 –
x=0 –
x=2 +
x+ 3
–
+
+
–
+
( x − 3 )( x + 3 ) + Solución: x ∈ ( − 3, 3 )
d) 3x2 – 2x ≥ 2x2 + 15 ⇒ (x + 3)(x – 5) ≥ 0 –∞
–2
2
x=0 –
x+2
–
+
+
(x + 2)(x – 2)
+
–
+
–
+
+
(x + 3)(x – 5)
+
–
+
–∞
x=2 +
+∞
1
–4
x = –4 –
x=0 –
x=6 +
x+4
–
+
+
2(x + 4)(x – 1)
+
–
+
x–1
Solución: x ∈ (–∞, –4) U (1, +∞)
2
c) x + 1 < 2x ⇒ x – 2x + 1 < 0 2
x+3
e) 2x2 + 5x > 8 – x ⇒ 2(x + 4)(x – 1) > 0
Solución: x ∈ (–∞, –2] U [2, +∞) 2
x–5
x=6 +
+∞
x = –2 –
x–2
+∞
5 x=0 –
Solución: x ∈ (–∞, –3] U [5, +∞)
b) 1 – x2 ≤ –3 ⇒ x2 – 4 ≥ 0 ⇒ (x + 2)(x – 2) ≥ 0 –∞
–3
x = –4 –
f) (3x – 1)(–5x + 2) ≥ 0 –∞
2
(x – 1) < 0, pero (x – 1) > 0 para todo x
13
25
+∞
3x – 1
x=0 –
x = 0,34 +
x=1 +
–5x + 2
+
+
–
(3x – 1)(–5x + 2)
–
+
–
2
x + 1 < 2x no tiene solución.
1 2 Solución: x ∈ , 3 5 7.
Halla las soluciones de estas inecuaciones. a) x3 + 4x2 ≥ 6 – x
c) x4 – 5x2 + 6 ≤ 0
b) 2x3 – 4x2 > 5x(1 + x) d) x4 + 4 < 3x2 a) x3 + 4x2 + x – 6 ≥ 0 ⇒ (x – 1)(x + 2)(x + 3) ≥ 0 –3 –2 –∞
e) x4 – 3x3 ≤ 10x2
g) 15x2 + 8 ≥ x4 – 8
f) x4 + 6x3 + 11x2 < –6x
h) –2(x – 2)(x + 3)2 < 0
1
+∞
x = –4 –
x = –2,5 –
x=0 –
x=2
x–1 x+2
–
–
+
+
x+3
–
+
+
+
x3 + 4x2 + x – 6
–
+
–
+
+
Solución: x ∈ [–3, –2] U [1, +∞) b) 2x3 – 4x2 > 5x(1 + x) ⇒ 2x(x – 5)(x + 0,5) > 0 −1 2 0 –∞
+∞
x–5 x
x = –1 – –
x = –0,4 – –
x=1 – +
x=6 + +
x + 0,5
–
+
+
+
2x(x – 5)(x + 0,5)
–
+
–
+
−1 Solución: x ∈ , 0 U ( 5, + ∞ ) 2
102
5
Unidad 4| Inecuaciones y sistemas
(
c) x4 – 5x2 + 6 ≤ 0 ⇒ x − 3
)( x + 3 )( x − 2 )( x + 2 ) ≤ 0 –∞
− 3
3
− 2
x = –2 x = –1,5
+∞
x=0
x = 1,5
x=2
x− 3
–
–
–
–
+
x− 2
–
–
–
+
+
x+ 2
–
–
+
+
+
x+ 3
–
+
+
+
+
+
–
+
–
+
( x − 3 )( x + 3 )( x − 2 )( x + 2 ) Solución: x ∈ − 3, − 2 U 2, 3 d) x4 + 4 < 3x2 ⇒ x4 – 3x2 + 4 < 0
x4 – 3x2 + 4 > 0 para todo x ⇒ x4 + 4 < 3x2 no tiene solución. e) x4 – 3x3 ≤ 10x2 ⇒ x2(x2 – 3x – 10) ≤ 0 ⇒ x2 – 3x – 10 ≤ 0 ⇒ (x – 5)(x + 2) ≤ 0 –∞
–2
5
+∞
x–5
x = –3 –
x=0 –
x=6 +
x+2
–
+
+
(x + 2)(x – 5)
+
–
+
Solución: x ∈ [–2, 5] f) x4 + 6x3 + 11x2 + 6x < 0 ⇒ x(x + 1)(x + 2)(x + 3) < 0 –3 –2 –∞
0
–1
x = –4 x = –2,5 x = –1,5 x = –0,5 – – – –
x x+1
–
x+2 x+3 x(x – 1)(x + 2)(x + 3)
+∞ x=1 +
–
–
+
+
–
–
+
+
+
–
+
+
+
+
+
–
+
–
+
Solución: x ∈ (–3, –2) U (–1, 0) 2
4
4
2
2
g) 15x + 8 ≥ x – 8 ⇒ x – 15x – 16 ≤ 0 ⇒ (x + 4)(x – 4)(x + 1) ≤ 0 ⇒ (x + 4)(x – 4) ≤ 0 –∞
–4
4
+∞
x–4
x = –5 –
x=0 –
x=5 +
x+4
–
+
+
(x + 4)(x – 4)
+
–
+
Solución: x ∈ [–4, 4] h) –2(x – 2)(x + 3)2 < 0 ⇒ (x – 2)(x + 3)2 > 0 ⇒ x – 2 > 0 ⇒ x > 2 ⇒ Solución: x ∈ (2, + ∞) 8.
Utiliza la gráfica del polinomio P(x) = x3 + 6x2 – x + 30 para resolver las inecuaciones. a) x3 + 6x2 – x + 30 > 30 b) x3 + 6x2 – x + 30 ≤ 50 a) x ∈ (–6,8; +∞) b) x ∈ (–∞;–5,5] U [–2,15; 1,68]
Inecuaciones y sistemas | Unidad 4
103
9.
Actividad resuelta.
10. Resuelve estas inecuaciones racionales. a)
x−4 >0 x +5
c)
x +3 0 x +5
–∞
2
+∞
4
–5
x–4
x = –6 –
x=0 –
x=6 +
x+5
–
+
+
x−4 x +5
+
–
+
Solución: x ∈ (–∞, –5) U (4,+∞) b)
x2 ≥0 x +1
Como x2 ≥ 0 para cualquier valor de x, entonces únicamente debe cumplirse que x + 1 > 0 ⇒ x > –1. Solución: x ∈ (–1, +∞) c)
5x + 9 x +3 x +3 x + 3 − 6x − 12 −5x − 9 2 ⇒ x ∈ (2, +∞) ⇒ Solución: x ∈ (2, +∞)
C.
{−54xx −+ 23 >≤ 6−1
III.
B. 3x + 4 < 1 ⇒ 3x < –3 ⇒ x < –1 ⇒ x ∈ (–∞, –1) y x ≥ –2 ⇒ x ∈ [–2, +∞) ⇒ Solución: x ∈ [–2, –1) ⇒ –2 ≤ x < –1 C. –4x + 3 ≤ –1 ⇒ x ≥ 1 ⇒ x ∈ [1, +∞) y 5x – 2 > 6 ⇒ x >
8 8 8 ⇒ x ∈ , +∞ ⇒ Solución , +∞ 5 5 5
18. Resuelve los siguientes sistemas. a) b)
{xx +− 12 >≤ 105 {8xx−−24≤>187
3 x − 8 > 4 x − 15 c) − x + 5 ( x + 1) ≤ 8
e)
{
3 − ( 2 x − 1) ≤ x d) 4x − 3 ( x − 5 ) ≤ 1− x
f)
( x + 1) ( x + 5 ) < 5 4x − 2 ≥ 3 x − 1 + 1 ( )
3x 2 − 5 x − 2 ≥ 0 4 x + 5 > −3
a) x + 1 > 10 ⇒ x > 9 ⇒ x ∈ (9, +∞) y x – 2 ≤ 5 ⇒ x ≤ 7 ⇒ x ∈ (–∞, 7] No tiene solución. b) 8x – 4 > 7 ⇒ 8x > 11 ⇒ x >
11 11 ⇒ x ∈ , + ∞ y x – 2 ≤ 18 ⇒ x ≤ 20 ⇒ x ∈ (–∞, 20] 8 8
11 11 Solución: x ∈ , + ∞ ∩ (–∞, 20] = , 20 8 8 c) 3x – 8 > 4x – 15 ⇒ x < 7 ⇒ x ∈ (–∞, 7) y –x + 5(x + 1) ≤ 8 ⇒ 4x ≤ 3 ⇒ x ≤
3 ⇒x∈ 4
3 −∞, 4
3 3 Solución: x ∈ (–∞, 7) ∩ −∞, = −∞, 4 4 d) 3 – (2x – 1) ≤ x ⇒ 3x ≥ 4 ⇒ x ≥
4 4 ⇒ x ∈ , + ∞ y 4x – 3(x – 5) ≤ 1 – x ⇒ 2x ≤ –14 ⇒ x ≤ –7 ⇒ x ∈ (–∞, –7] 3 3
4 Solución: x ∈ , + ∞ ∩ (–∞, –7]. Sin solución 3 −1 2 e) 4x + 5 > –3 ⇒ x > –2 ⇒ x ∈ [–2, +∞) ⇒ 3x – 5x – 2 ≥ 0 ⇒ (x – 2)(3x + 1) ≥ 0 ⇒ x ∈ −∞, [ 2, + ∞ ) 3 −1 Solución: x ∈ −2, [ 2, + ∞ ) 3 −1 3 –∞
2
+∞
x = –7 –
x = –1 –
3x + 1
–
+
+
(x – 2)(3x + 1)
+
–
+
x–2
x=1 +
f) 4x – 2 ≥ 3(x – 1) + 1 ⇒ x ≥ 0 ⇒ x ∈ [0, +∞) y (x + 1)(x + 5) < 5 ⇒ x(x + 6) < 0 ⇒ x ∈ (–6, 0) No tiene solución. –∞
+∞
0
–6
x = –7 –
x = –1 –
x=1 +
x+6
–
+
+
x(x – 6)
+
–
+
x
Inecuaciones y sistemas | Unidad 4
107
19. Resuelve los siguientes sistemas e indica, si existen, soluciones con x = 3. a)
{3xx+−45yy≤>815
a)
b)
{6xx−+y5≥y 0< 30
b)
Sí que existen soluciones con x = 3.
Sí que existen soluciones con x = 3.
Por ejemplo, si x = 3 ⇒ y = –4
Por ejemplo, si x = 3 ⇒ y = 1
20. Halla la solución de estos sistemas. a)
{yx ≥< 4−6
a)
2 ( x + 2y ) < 3 − x b) y − x ≤ 4 b)
21. Actividad resuelta. 22. Halla la solución de estos sistemas. 2 ( x + 3 ) ≥ 2 − 3 ( y − 4 ) a) 2 x + 3y ≤ −15
2 x − y ≤ 3 y +3 b) x≥ 2
a)
b)
23. Actividad resuelta. 24. Un supermercado lanza una oferta con dos lotes: lote A, con dos latas de tomate y un paquete de pasta, y lote B, con tres latas de tomate y dos paquetes de pasta. Si dispone de 350 latas de tomate y 200 paquetes de pasta, ¿cuántos lotes de cada tipo puede hacer? Llamando x al número de lotes tipo A e y al número de lotes tipo B: 2x + 3y ≤ 350 x + 2y ≤ 200 x≥0 y ≥0
La solución del problema son los puntos del semiplano coloreado cuyas coordenadas son números naturales.
108
Unidad 4| Inecuaciones y sistemas
25. Relaciona en tu cuaderno cada desigualdad con su equivalente y con la operación en los dos miembros que pasa de una a otra. Desigualdad A
Operación
Desigualdad B
–4 < 7
Dividir entre –2
–4 < 5
12 > –6
Sumar –5
–6 < 3
−4 10 < 3 6
● –4 < 7, sumar –5 ⇒ –9 < 2
Multiplicar por 3
–9 < 2
● 12 > –6, dividir entre –2 ⇒ –6 < 3
●
−4 10 multiplicar por 3 ⇒ –4 < 5 < 3 6
26. Transforma en desigualdades estas frases. a) Elena necesita correr por debajo de 16 s para clasificarse en una prueba. b) En algunas atracciones del parque temático exigen una altura superior a 1,20 m. c) He pasado el kilómetro 125 de la A-2, pero aún no he llegado al 145. d) El juego está recomendado para niños entre 6 y 10 años. e) Los automóviles, cuando circulan por una autopista, deben llevar una velocidad de al menos 60 km/h y no más de 120 km/h. a) Llamando x al tiempo en segundos, x < 16 b) Llamando x a la altura en metros, x > 1,20 c) Llamando x al punto kilométrico, 125 < x < 145 d) Llamando x a la edad, 6 < x < 10 e) Llamando x a la velocidad, 60 ≤ x ≤ 120 27. Partiendo siempre de la desigualdad 4 – 5x > x, copia en tu cuaderno y completa como en el ejemplo. Suma 5x
4 > 6x
Suma 5x
4 > 6x
●●●
1 – 5x ● x – 3
Restar 3
1 – 5x > x – 3
●●●
10x – 8 ● –2x
Multiplicar por –2
10x – 8 < –2x
●●●
0 ● 6x – 4
Sumar 5x – 4
0 > 6x – 4
●●●
–6x ● –4
Sumar –x – 4
–6x > –4
28. Comprueba en cada caso si los valores dados pertenecen a la solución de las inecuaciones. a) x = –1 si x3 + x2 + x – 6 ≤ 0
b) x = 3 si 3x2 – 2x + 1 ≤ (x + 1)2
c) x = 0 si
3x − 6 9x + 1 < 2 6
3 2 3 2 a) x = –1 sí que pertenece a la solución de x + x + x – 6 ≤ 0, porque (–1) + (–1) + (–1) – 6 = –7 ≤ 0. 2 2 2 2 b) x = 3 no pertenece a la solución de 3x – 2x + 1 ≤ (x + 1) , porque 3 · 3 – 2 · 3 + 1 = 22 > (3 + 1) = 16.
c) x = 0 sí que pertenece a la solución de
29.
3x − 6 9x + 1 3⋅0 − 6 9⋅0 +1 1 , porque < =−3 < = . 2 6 2 6 6
Decide si son ciertas o falsas estas afirmaciones. a) Una inecuación, o no tiene solución, o tiene una, o tiene infinitas. b) La solución de x + 5 ≤ 3 es una semirrecta. c) Una inecuación del tipo x + a > b, con a y b números reales, a veces no tiene solución. a) Falsa. Por ejemplo, la inecuación (x – 1)2 · (x – 2)2 ≤ 0 tiene dos soluciones: x = 1 y x = 2. b) Verdadera. Si x + 5 ≤ 3 ⇒ x ≤ –2. Por tanto, la inecuación tiene como solución la semirrecta (–∞, –2]. c) Falsa. Si x + a > b ⇒ x > b – a. Por tanto, la inecuación tiene como solución la semirrecta (b – a, +∞).
Inecuaciones y sistemas | Unidad 4
109
30. ¿Son equivalentes estas inecuaciones? a) –2x ≤ 14 y x ≤ 7
x > −5 y x > 10 2
b)
a) No son equivalentes porque no tienen la misma solución. ● –2x ≤ 14 ⇒ x ≥ –2 ⇒ Solución x ∈ [–2, +∞) ● x ≤ 7 ⇒ Solución x ∈ (–∞, 7] b) No son equivalentes porque no tienen la misma solución. ●
x > −5 ⇒ x > −10 ⇒ Solución x ∈ (–10, +∞) 2
● x > 10 ⇒ Solución x ∈ (10, +∞) 31. Si multiplicas por x ambos miembros, ¿qué puedes decir de la inecuación 2x2 – 3x < 18? Si x > 0, entonces 2x3 – 3x2 < 18x Si x < 0, entonces 2x3 – 3x2 > 18x 32. Si a < b y c ≤ d, copia y completa con los símbolos , ≤ y ≥ en los casos en que sea posible. Si no lo es, explica por qué. a) b – 10 ● a –10
c) a – d ● b – c
e) –a + 3 ● 3 – b
b) a + c ● b + d
d) 2c + 3 ● 2d + 5
f) a · c ● b · d
a) b – 10 > a –10
d) 2c + 3 < 2d + 5
b) a + c < b + d
e) –a + 3 > 3 – b
c) a – d < b – c
f) Si a = –3, b = 1, c = –5 y d = 2, entonces a · c > b · d Si a = c = 1 y b = d = 2, entonces a · c < b · d
33. Resuelve las siguientes inecuaciones y representa sus soluciones en una recta. a) 7x – 2(1 – 3x) ≤ 2x + 3 b)
x x +1 5 − ≥ −x 3 2 6
c) 5 >
d) 4 x − 1 ≥
a) 7x – 2(1 – 3x) ≤ 2x + 3 ⇒ 7x – 2 + 6x ≤ 2x + 3 ⇒ x ≤ b)
3x + 1 2
8x − 5 2
5 5 ⇒ x ∈ −∞, 11 11
x x +1 5 8 8 ⇒ x ∈ , +∞ − ≥ − x ⇒ 2x – 3x – 3 ≥ 5 – 6x ⇒ 5x ≥ 8 ⇒x ≥ 5 3 2 6 5
c) 5 >
3x + 1 ⇒ 10 > 3x + 1 ⇒ x < 3 ⇒ x ∈ ( −∞,3 ) 2
d) 4x − 1 ≥
8x − 5 ⇒ 8x – 2 ≥ 8x – 5 ⇒ 0 ≥ –3 ⇒ x ∈ 2
34. Halla la solución de las siguientes inecuaciones y representa sus soluciones en una recta.
x − 1 2 ( x − 1) + 7 < 3 ( x + 2) − 6 3
a)
2 ( 5 x + 1) 5 ≤ −4( x − 3) + 3 2
a)
2 ( 5x + 1) 83 83 5 ⇒ x ∈ −∞, ≤ −4( x − 3) + ⇒ 20x + 4 ≤ –24x + 72 + 15 ⇒ x ≤ 44 44 3 2
b) 2
−45 −45 x − 1 2 ( x − 1) + 7 < 3 ( x + 2 ) ⇒–45 < 16x ⇒ x > , + ∞ ⇒ x ∈ b) 2 − 6 16 16 3
110
Unidad 4| Inecuaciones y sistemas
35. Resuelve estas inecuaciones. a) (5x – 2)2 ≤ 0 b) (2x + 4)3 > 0 a) (5x – 2)2 ≤ 0 ⇒ 5x – 2 = 0 ⇒ x =
2 5
3 b) (2x + 4) > 0 ⇒ 2x + 4 > 0 ⇒ x > –2 ⇒ Solución (–2, +∞)
36. Resuelve las inecuaciones siguientes. a) x2 – 2x – 4 ≤ 0
c) –7(4x + 1)(–x + 2) < 0
2
d) (2x2 + 9x – 5)(x + 1) > 0
b) –10x + 17x – 3 ≤ 0
(
a) x2 – 2x – 4 ≤ 0 ⇒ x − 1 + 5
)( x − 1− 5 ) ≤ 0 1+ 5
1− 5
–∞
+∞
x − 1− 5
x = –2 –
x=0 –
x=4 +
x − 1+ 5
–
+
+
2
+
–
+
x – 2x – 4
Solución: x ∈ 1 − 5, 1 + 5 b) –10x2 + 17x – 3 ≤ 0 ⇒ –(2x – 3)(5x – 1) ≤ 0 ⇒ (2x – 3)(5x – 1) ≥ 0 15
–∞
3 2
+∞
2x – 3
x=0 –
x=1 –
x=2 +
5x – 1
–
+
+
(2x – 3)(5x – 1)
+
–
+
1 3 Solución: x ∈ −∞, , + ∞ 5 2
c) –7(4x + 1)(–x + 2) < 0 ⇒ (4x + 1)(–x + 2) > 0 2
−1 4
–∞
+∞
4x + 1
x = –1 –
x=0 +
x=3 +
–x + 2
+
+
–
(4x + 1)(–x + 2)
–
+
–
−1 Solución: x ∈ , 2 4
d) (2x2 + 9x – 5)(x + 1) > 0 ⇒ (x + 5)(2x – 1)(x + 1) > 0 –∞
–5
12
–1
+∞
2x – 1 x+1
x = –6 – –
x = –4 – –
x=0 – +
x=1 + +
x+5
–
+
+
+
(x + 5)(2x – 1)(x + 1)
–
+
–
+
1 Solución: x ∈ ( −5, − 1) , + ∞ 2
Inecuaciones y sistemas | Unidad 4
111
37. Halla la solución de las siguientes inecuaciones racionales. a)
x +5 ≤0 x +2
a)
x +5 ≤0 x+2
b)
3− x 0 x2
+∞
–2
–5
–∞
x+4 ≤0 x −3
c)
x+2
x = –6 –
x = –3 –
x=0 +
x+5
–
+
+
x +5 x+2
+
–
+
Solución: x ∈ [–5, –2) b)
3−x 0 ⇒ x + 3 > 0 y x ≠ 0 ⇒ x > −3 y x ≠ 0 ⇒ Solución: x ∈ (–3, 0) U (0, +∞) x2
f)
( x − 2)( x + 5) ≥0 4x − 6
x–2 4x – 6 x+5 ( x − 2)( x + 5) 4x − 6
2
+∞
x = –6 – – –
x=0 – – +
x = 1,75 – + +
x=3 + + +
–
+
–
+
3 Solución: x ∈ −5, [ 2, + ∞ ) 2
112
32
–5
–∞
Unidad 4| Inecuaciones y sistemas
f)
( x − 2)( x + 5) ≥0 4x − 6
38. Resuelve las siguientes inecuaciones con dos incógnitas. a) x + 3y ≤ 4
b) x −
a)
b)
y >1 2
c) 5x – 4y < 0
d)
c)
d)
x y + ≥ −1 2 3
39. Halla la solución de las siguientes inecuaciones polinómicas. a) 2x4 + 5x3 + 5x > x2 + 3
c) x4 ≤ 4x2
b) x4 + 3x3 – 7x < 3x2 – 6
d) –2(x – 2)(x + 3)2 < 0
a) 2x4 + 5x3 + 5x > x2 + 3
c) x4 ≤ 4x2
(x + 3)(2x – 1)(2x2 + 2) > 0 ⇒ (x + 3)(2x – 1) > 0 12 –3 –∞ +∞ x = –4 –
x=0 –
x=1 +
x+3
–
+
+
(2x – 1)(x + 3)
+
–
+
2x – 1
1 Solución: x ∈ ( −∞, − 3 ) , + ∞ 2
–∞
+∞
2
–2
x = –4 –
x=0 –
x+3
–
+
+
(x – 2)(x + 2)
+
–
+
x–2
x=3 +
Solución: x ∈ [–2, 2]
4 3 2 b) x + 3x – 7x < 3x – 6
d) –2(x – 2)(x + 3)2 < 0
(x + 3)(x + 2)(x – 1)2 < 0 ⇒ (x + 3)(x + 2) < 0 –3 –2 –∞ +∞ x+2
x2(x2 – 4) ≤ 0 ⇒ x2 – 4 ≤ 0 ⇒ (x – 2)(x + 2) ≤ 0
x = –4 x = –2,5 – –
–2(x – 2) < 0 ⇒ x – 2 > 0 ⇒ x > 2 ⇒ Solución: (2, +∞)
x=0 +
x+3
–
+
+
(x + 2)(x + 3)
+
–
+
Solución: x ∈ (–3, –2) 40. Comprueba que, aunque las siguientes ecuaciones tienen las mismas soluciones, no ocurre lo mismo con las inecuaciones asociadas. ¿Por qué ocurre esto? a)
2x − 6 2x − 6 3x − 5 3x − 5 = 0 y 2x – 6 = 0; < 0 y 2x – 6 < 0 b) = 1 y 3x – 5 = 2x + 1; ≥ 1 y 3x – 5 ≥ 2x + 1 2x + 1 2x + 1 x +5 x +5
a)
2x − 6 = 0 ⇒ 2x − 6 = 0 ⇒ x = 3 x +5
2x – 6 = 0 ⇒ 2x = 6 ⇒ x = 3
2x − 6 < 0 ⇒ Solución: x ∈ (–5, 3) x +5
2x – 6 < 0 ⇒ 2x < 6 ⇒ x < 3 ⇒ Solución (–∞, 3)
3x − 5 = 1 ⇒ 3 x − 5 = 2x + 1 ⇒ x = 6 2x + 1
3x – 5 = 2x + 1 ⇒ x = 6
b)
−1 x −6 ≥ 0 ⇒ Solución: x ∈ −∞, [6, + ∞) 2 2x + 1
3x – 5 ≥ 2x + 1 ⇒ x ≥ 6 ⇒ Solución [6, +∞)
Esto ocurre porque para resolver una ecuación racional se tienen en cuenta solo las raíces del numerador, pero para resolver una inecuación racional se tienen en cuenta las raíces del numerador y las del denominador. 41. Actividad resuelta.
Inecuaciones y sistemas | Unidad 4
113
42. Escribe como una única fracción algebraica y resuelve las inecuaciones. a)
x 1 ≥ x −2 5
c)
1+ x 1 − ≥0 2x + 7 x − 1
e)
x +1 x −2 < x x +3
g)
x 2 + 2x + 3 2 < x2 − x + 1 3
b)
1 x ≥ x +2 x
d)
x −2 x +4 < x x +1
f)
2x − 1 x −2 −1> x +1 3− x
h)
5 −x 2 − 4 ≤ x2 − x − 6 6
a)
2 ( 2x + 1) x x 1 1 5x − x + 2 4x + 2 2x + 1 ≥ ⇒ − ≥0⇒ ≥0⇒ ≥0⇒ ≥0⇒ ≥0 x −2 5 x −2 5 x −2 5 ( x − 2) 5 ( x − 2) 5 ( x − 2)
−1 2
–∞ x–2 2x + 1 2x + 1 x −2
+∞
2
x = –1 – –
x=0 – +
x=3 + +
+
–
+
−1 Solución: x ∈ −∞, ( 2, + ∞ ) 2 b)
( x − 2 )( x + 1) ≥ 0 x 1 x 1 x2 − x − 2 ≥ ⇒ − ≥0⇒ ≥0⇒ x+2 x x+2 x x ( x + 2) x ( x + 2) –2 –1 0 –∞ x = –4 – – – –
x–2 x x+1 x+2 ( x − 2 )( x + 1) x ( x + 2)
x = –1,5 x = –0,5 – – – – + – + +
+
+
–
2
+∞
x=1 – + + +
x=3 + + + +
–
+
Solución: x ∈ (–∞,–2) U [–1, 0) U [2, +∞) c)
(1 + x )( x − 1) − ( 2x + 7 ) ≥ 0 ⇒ x 2 − 1 − 2x − 7 ≥ 0 ⇒ x 2 − 2x − 8 ≥ 0 ⇒ ( x − 4 )( x + 2 ) ≥ 0 1+ x 1 − ≥0⇒ 2x + 7 x − 1 ( 2x + 7 )( x − 1) ( 2x + 7 )( x − 1) ( 2x + 7 )( x − 1) ( 2x + 7 )( x − 1) 4 –2 1 +∞ −7 2 x=5 x = –4 x = –3 x = –0,5 x = 2 – + – – – – + + – – – + + + – – + + + +
–∞ x–4 x–1 x+2 2x + 7 ( x − 4 )( x + 2 ) ( 2x + 7 )( x − 1)
+
+
–
–
+
−7 Solución: −∞, [ −2, 1) [ 4, + ∞ ) 2 d)
( x − 2 )( x + 1) − x ( x + 4 ) < 0 ⇒ −5x − 2 < 0 ⇒ 5x + 2 > 0 x −2 x +4 x −2 x +4 < ⇒ − ⇒ − 1− >0⇒ >0⇒ >0⇒ 3−x 3−x x +1 x +1 ( x + 1)( x − 3 ) ( x + 1)( x − 3 ) ( x + 1)( x − 3 )
–1
–∞ x–3 x–2 x–1 x+1 ( x − 1) ( x − 2) ( x + 1)( x − 3 )
1
3
2
+∞
x = –2 – – – –
x=0 – – – +
x = 1,5 – – + +
x = 2,5 – + + +
x=4 + + + +
+
–
+
–
+
Solución: x ∈ (–∞,–1) U (1, 2) U (3, +∞) g)
x 2 + 2x + 3 2 x 2 + 2x + 3 2 x 2 + 8x + 7 ≤ ⇒ 2 − ≤0⇒ 2 ≤ 0 ⇒ x 2 + 8x + 7 ≤ 0 ⇒ ( x + 7 )( x + 1) ≤ 0 2 x − x +1 x − x +1 3 x − x +1 3
–∞ x+1 x+7 x2 + 8x + 7
x = –8 – – +
–7 x = –2 – + –
–1
x=0 + + +
+∞
Solución: x ∈ [–7, –1] h)
− ( x − 1)(11x + 6 ) ( x − 1)(11x + 6 ) ≥ 0 −x 2 − 4 5 −x 2 − 4 5 −11x 2 + 5x + 6 ≤ ⇒ 2 − ≤0⇒ ≤0⇒ ≤0⇒ 2 x −x −6 6 x −x −6 6 6 ( x 2 − x − 6) 6 ( x − 3 )( x + 2 ) ( x − 3 )( x + 2 )
x–3 x–1 11x + 6 x+2 ( x − 1)(11x + 6 ) ( x − 3 )( x + 2 )
−6 11
–2
–∞
1
3
+∞
x = –3 – – – –
x = –1 – – – +
x=0 – – + +
x=2 – + + +
x=4 + + + +
+
–
+
–
+
−6 Solución: x ∈ ( −∞, − 2 ) , 1 ( 3, + ∞ ) 11
3 < −5 da lugar a dos inecuaciones, según que el denominador sea mayor o menor x+4 que 0. Encuentra todas sus soluciones.
43. La inecuación −
Si x + 4 > 0, es decir, si x > –4, tenemos que –3 < –5(x + 4) ⇒ −
17 17 > x, y la solución es −4, − . 5 5
Si x + 4 < 0, es decir, si x < –4, tenemos que –3 > –5(x + 4) ⇒ − que las dos condiciones son incompatibles.
17 < x, con lo que no obtenemos soluciones, ya 5
Inecuaciones y sistemas | Unidad 4
115
44. Actividad resuelta. 45. Resuelve las siguientes inecuaciones transformándolas previamente en inecuaciones polinómicas. a)
b) 2 · 4–x – 7 · 2–x – 4 ≤ 0
x 2 − 6 x + 9 ≥ −2
a) Se supone que estamos tomando la raíz positiva, por tanto
x 2 − 6x + 9=
( x − 3)
2
≥0.
Luego la solución de la inecuación es x ∈ b) Haciendo el cambio de variable 2–x = t se obtiene la inecuación 2t2 – 7t – 4 ≤ 0. 2t2 – 7t – 4 ≤ 0 ⇒ (2t + 1)(t – 4) ≤ 0 −1 2 4 –∞
+∞
t–4
t = –1 –
t=0 –
t=5 +
2t + 1
–
+
+
(2t + 1)(t – 4)
+
–
+
−1 Solución: t ∈ , 4 2
Por tanto, −
1 –x –x –x 2 ≤ 2− x ≤ 4 .Pero como 2 > 0, entonces 0 < 2 ≤ 4 ⇒ 0 < 2 ≤ 2 ⇒ –x ≤ 2 ⇒ x ≥ –2. 2
La solución es x ∈ [–2, +∞). 46. Calcula los valores de m para que se cumpla la condición indicada en cada caso. 2 a) Que mx – mx + 1 ≤ 0 tenga una sola solución.
b) Que x4 + 4mx – 8m sea menor o igual que 0.
a) Para que la inecuación tenga una sola solución, el polinomio mx2 – mx + 1 debe tener una única raíz (doble). 2 Es decir, m – 4m = 0 ⇒ m = 0 o m = 4. Si m = 0, la inecuación queda 1 ≤ 0, que no es posible. Si m = 4, la inecuación resulta 4x2 – 4x + 1 ≤ 0 ⇒ (2x – 1)2 ≤ 0, cuya única solución es x =
1 . 2
b) Hay que calcular el valor de m para que x4 + 4mx – 8m ≤ 0 para cualquier valor de x. Para x = 2, se obtiene 24 + 8m – 8m = 16 > 0. Por tanto, no hay ningún valor de m que verifique x4 + 4mx – 8m ≤ 0 para cualquier valor de x. 47. Encuentra, si existen, las soluciones de estos sistemas de inecuaciones con una incógnita. 2 x − 3 > 5 x − 6 a) x + 2 ≤ 2( x + 11)
x ≤ x +3 b) 2 1 − x > 4( x − 1)
5(1 − 3 x ) > 8 + 3 x c) 3 x − 1 ≥ 1 − ( x + 2)
x ≥ 15 − 2 x d) 10 + 2 x ≥ 6 x − 10
a) 2x – 3 > 5x – 6 ⇒ 3 > 3x ⇒ x < 1 ⇒ x∈ (–∞, 1) y x + 2 ≤ 2(x + 11) ⇒ x + 2 ≤ 2x + 22 ⇒ –20 ≤ x ⇒ x ∈ [–20, +∞) Solución: x ∈ (–∞, 1) ∩ [–20, +∞) = [–20, 1) b)
x ≤ x + 3 ⇒ x ≤ 2x + 6 ⇒ –6 ≤ x ⇒ x ∈ [–6, +∞) y 1 – x > 4(x – 1) ⇒ 1 – x > 4x – 4 ⇒ 1 > x ⇒ x∈ (–∞, 1) 2 Solución: x ∈ [–6, +∞) ∩ (–∞, 1)= [–6, 1)
c) 5(1 – 3x) > 8 + 3x ⇒ 5 – 15x > 8 + 3x ⇒ x <
−1 ⇒x ∈ 6
−1 −∞, y 3x – 1 ≥ 1 – (x + 2) ⇒ x ≥ 0 ⇒ x ∈ [0, +∞) 6
−1 Solución: x ∈ −∞, ∩ [0, +∞). Sin solución 6 d) x ≥ 15 – 2x ⇒ 3x ≥ 15 ⇒ x ≥ 5 ⇒x ∈ [5, +∞) y 10 + 2x ≥ 6x – 10 ⇒ 20 ≥ 4x ⇒ 5 ≥ x ⇒ x ∈ (–∞, 5] Solución: x ∈ [5, +∞) ∩ (–∞, 5] ⇒ x = 5
116
Unidad 4| Inecuaciones y sistemas
y < −3 x + 3 48. Dado el sistema y los puntos: y ≤ −x + 6
A(3, 2)
B(5, 3)
C(–2; 8,5)
D(4, 2)
E(0, 0)
F(–1,5; 7,5)
a) Indica cuáles son solución del sistema.
c) ¿Cuáles satisfacen solo la segunda?
b) ¿Cuáles satisfacen solo la primera inecuación?
d) ¿Cuáles no son solución de ninguna?
a) El punto E es solución del sistema porque satisface las dos ecuaciones. b) El punto C satisface únicamente la primera ecuación porque 8,5 ≤ –3 · (–2) + 3 = 9 y 8,5 > 2 + 6 = 8. c) Los puntos A, D y F satisfacen únicamente la segunda ecuación, porque: A: 2 > –3 · 4 + 3 y 2 ≤ –4 + 6
D: 2 > –3 · 4 + 2 y 2 ≤ –4 + 6
F: 7,5 > –3 · (–1,5) + 2 y 7,5 ≤ 1,5 + 6
d) El punto B no satisface ninguna ecuación porque 3 > –3 ·5 + 3 = –12 y 3 > –5 + 6 = 1. 49. Resuelve gráficamente estos sistemas. x − 2y ≤ 1 a) 3 x + y > 2
x + y ≥ 4 b) x + y < 2
y ≤ 3 c) x + y > 4
x ≥ −21 d) y < 1
a)
b)
c)
d)
50. Resuelve los siguientes sistemas. a)
{
2 ( x − 1) ( x − 3 ) > 0 b) 4 x − 2 ≥ 3 x + 1
x 2 − 5x + 6 ≤ 0 x > −3
a) x > −3 ⇒ x ∈ ( −3, +∞ ) y x 2 − 5x + 6 ≤ 0 ⇒ ( x − 2)( x − 3) ≤ 0 ⇒ x ∈ [ 2,3] Solución: x ∈ ( −3, +∞ ) [ 2,3] = [ 2,3]
–∞ x–3 x–2 (x – 2)(x – 3)
2
x=0 – – +
x = 2,5 – + –
3
+∞ x=4 + + +
a) 4x − 2 ≥ 3x + 1 ⇒ x ≥ 3 ⇒ x ∈ [3, +∞ ) y 2·( x − 1)( x − 3) > 0 ⇒ ( x − 1)( x − 3) > 0 ⇒ x ∈ ( −∞,1] [3, +∞ ) Solución: x ∈ [3, +∞ )
1
–∞ x–3 x–1 (x – 1)(x – 3)
x=0 – – +
x=2 – + –
3
+∞ x=4 + + +
2 51. Sombrea sobre unos ejes de coordenadas el recinto encerrado entre la parábola y = x y la recta y = –2x + 2 y escribe el sistema de inecuaciones cuya solución sea dicho recinto.
y ≥ x 2 El sistema de inecuaciones es: y ≤ −2x + 2
Inecuaciones y sistemas | Unidad 4
117
52. Resuelve el siguiente sistema gráficamente dibujando las gráficas de las funciones que surgen de cada inecuación.
{ { { { {
2 x + 10 ≤ 2y − 10 4 y − 6 ≥ x 2 + 6 x + 3y + 8
2x + 10 ≤ 2y − 10 4y − 6 ≥ x 2 + 6 x + 3y + 8 −2y ≤ −10 − 10 − 2x 4y − 3y ≥ x 2 + 6 x + 8 + 6 −2y ≤ −20 − 2x y ≥ x 2 + 6x + 14 y ≥ 10 + x y ≥ x 2 + 6x + 14
3 x ≤ a 53. Para el sistema , halla qué deben cumplir a y b para que su solución sea: bx > −8
a) (–4, –2]
b) (–∞, 2)
Caso 1: b > 0 3x ≤ a ⇒ x ≤ ● Si
a a −8 −8 ⇒ x ∈ −∞, y bx > –8 ⇒ x > ⇒ x ∈ , + ∞ b 3 3 b
a −8 < ⇒ Sin solución 3 b
−8 a a) (–4, –2] = , ⇒ b = 2 y a = –6 b 3
● Si
a −8 −8 a ≥ ⇒ Solución: , 3 b b 3
−8 a b) , = (–∞, 2) ⇒ Sin solución b 3
Caso 2: b < 0 3x ≤ a ⇒ x ≤ ● Si a)
a a −8 −8 ⇒ x ∈ −∞, y bx > –8 ⇒ x < ⇒ x ∈ −∞, b b 3 3
a −8 a < ⇒ Solución: −∞, 3 b 3
● Si
a −8 −8 ≥ ⇒ Solución: −∞, 3 b b
a −8 a a a −8 < ⇒ −∞, = (–∞, 2] ⇒ Sin solución < ⇒ −∞, = (–4, –2] ⇒ Sin solución b) b 3 3 3 b 3 a −8 −8 ≥ ⇒ −∞, = (–4, –2] ⇒Sin solución 3 b b
a −8 −8 ≥ ⇒ −∞, = (–∞, 2) ⇒ b = –4 ⇒ a ≥ 6 3 b b
Conclusión: a) b = 2 y a = –6
b) b = –4 ⇒ a ≥ 6
54. ¿Qué condiciones debe cumplir el tercer lado de un triángulo si los otros dos lados miden 2 y 5 cm, respectivamente? El lado del triángulo debe medir más de 3 cm y menos de 7 cm. ● 5 0
c)
f(x) ≥ 0
b) f(x) < 0
d)
f(x) ≤ 0
a) (–∞, –1) U (5, +∞)
c)
(–∞, –1] U [5, +∞)
b) (–1, 5)
d)
[–1, 5]
60. Escribe, en cada caso, un sistema de inecuaciones que tenga como solución: a) El cuadrado de lado 2 centrado en el origen c) El tercer cuadrante del plano b) El intervalo ( –3, 7] −1 ≤ x x ≤ 1 a) −1 ≤ y y ≤ 1
d) La semirrecta [5, +∞) −3 < x b) x ≤ 7
x ≤ 0 c) y ≤ 0
x ≥ 5 d) x > 0
61. Investiga qué sistemas de inecuaciones tienen como solución estas regiones del plano. a)
b)
c)
d)
y > 2 a) y < x − 1
−1 ≤ x ≤ 3 b) −2 ≤ y ≤ 3
x ≥ −1,5 c) y ≤ 1
y ≤ x + 4 d) y ≤ −x + 4
Inecuaciones y sistemas | Unidad 4
119
62. Observa la conversación y responde.
Sea x la nota del tercer examen. 6,2 + 8,1 + x ≥ 7,5 ⇒ 6,2 + 8,1 + x ≥ 22,5 ⇒ x ≥ 22,5 − 6,2 − 8,1 ⇒ x ≥ 8,2 3
Tiene que sacar una nota igual o superior a 8,2 para obtener como mínimo un 7,5 de media. 63. Un carpintero va a colocar un rodapié en una habitación rectangular de 6 metros de ancho y con un perímetro menor de 30 metros. ¿Cuánto puede valer el largo del cuarto? Sea x la longitud del cuarto. 2(x + 6) < 30 ⇒ 2x + 12 < 30 ⇒ 2x < 18 ⇒ x < 9 La longitud del cuarto estará entre 0 y 9 metros. 64. Tengo un rebaño de cabras. Si añado siete cabras, tengo menos que el triple de la cantidad inicial, pero si solamente añado cinco cabras, tengo más que el doble de la cantidad inicial. ¿Cuántas cabras hay en mi rebaño inicial? Sea x el número de cabras del rebaño inicial. 7 7 x + 7 < 3 x ⇒ 7 < 2x ⇒ < x ⇒ x ∈ , + ∞ 7 7 2 2 ⇒ Solución: x ∈ , + ∞ ( 0, 5 ) = , 5 2 2 x + 5 > 2x ⇒ 5 > x ⇒ x ∈ ( 0, 5 ) Como x es un número natural, entonces hay 4 cabras en el rebaño inicial. 65. La tirada de una revista mensual tiene unos costes de edición de 30 000 € y 1,50 € de gastos de distribución por cada revista publicada. Si cada ejemplar se vende a 3,50 € y se obtienen unos ingresos de 12 000 € por publicidad, ¿cuántas revistas se deben vender para empezar a obtener beneficios? Sea x el número de revistas que se deben vender para empezar a obtener beneficios. 30 000 + 1,5x < 12 000 + 3,50x ⇒ 30 000 – 12 000 < 3,50x – 1,50x ⇒ 18 000 < 2x ⇒ 9000 < x A partir de 9000 revistas vendidas se empiezan a obtener beneficios. 66. Un ascensor soporta una tonelada. Luis quiere subir cajas y sacos. Las cajas pesan 35 kg más que los sacos. Tras cargar cinco de cada uno, mete otra caja y salta la alarma, así que la cambia por un saco y no hay problemas. ¿Entre qué valores está el peso del saco? Si x es el peso del saco, entonces x + 35 es el peso de una caja. 790 790 5x + 6 ( x + 35 ) > 1000 ⇒ 5x + 6x + 210 > 1000 ⇒ 11x > 790 ⇒ x > 11 ⇒ x ∈ 11 , + ∞ ⇒ x ∈ 790 , 75 11 6x + 5 ( x + 35 ) < 1000 ⇒ 6x + 5x + 175 > 1000 ⇒ 11x < 825 ⇒ x < 75 ⇒ x ∈ ( 0, 75 ) El peso del saco está entre
120
790 ≈ 71,82 kg y 75 kg. 11
Unidad 4| Inecuaciones y sistemas
67. Para confeccionar dos tipos de pantalones se dispone de 40 unidades de algodón cardado y de 100 de algodón peinado. El contenido en cada tipo de algodón de los dos modelos se indica en la siguiente tabla. Tipo I (extra) Tipo II (medio)
Unidades de algodón cardado 1 3
Unidades de algodón peinado 5 3
a) ¿Es posible confeccionar 15 pantalones del tipo I y 10 del tipo II? b) Representa la zona que incluye las distintas posibilidades de confeccionar x pantalones de tipo I e y de tipo II. a) 15 pantalones de tipo I y 10 de tipo II precisan 15 + 3 · 10 = 45 unidades de algodón cardado. Como se cuenta con 40 unidades de cardado, no se podrá confeccionar 15 pantalones del tipo I y 10 del tipo II. b) El sistema que se plantea es el siguiente: x + 3y ≤ 40 5x + 3y ≤ 100 x ≥ 0 y ≥ 0
Las soluciones son los puntos de coordenadas naturales que se encuentran en la intersección de las regiones.
68. En una tienda de comercio justo venden cafés de Ecuador y de Colombia. El que procede de Ecuador cuesta 1,30 € por paquete, y el de Colombia, 1,65 €. Averigua el número de paquetes de cada tipo que puedo adquirir con 25 € si quiero comprar el doble de paquetes de Colombia que de Ecuador. Si x es el número de paquetes de café de Ecuador, entonces 2x es el número de paquetes de café de Colombia. 1,30x + 1,65 · 2x ≤ 25 ⇒ 1,30x + 3,30x ≤ 25 ⇒ 4,6x ≤ 25 ⇒ x ≤ 5,4 Se pueden adquirir, como máximo, 5 paquetes de café de Ecuador y 10 de Colombia. 69. Indica para qué valores de x el área del triángulo equilátero es mayor que la del rectángulo. Aplicando el teorema de Pitágoras, la altura del triángulo es: 2
h=
x x2 − = 2
Atriángulo =
x⋅ 2
x2 −
3x 2 =
x2 = 4
3x 2 = 4
3x . 2
3x2 y Arectángulo = 3x. 4
3x2 12 12 3 > 3x ⇒ 3 x > 12 ⇒ x > = = 4 3 4 3 3 Si x > 4 3 , entonces el área del triángulo equilátero es mayor que la del rectángulo. 70. Si el área de un cuadrado es menor o igual que 64 cm2, calcula los posibles valores de su diagonal. Sea x la medida del lado del cuadrado. 2 x ≤ 64 y x > 0 ⇒ 0 < x ≤ 8
Como la diagonal del cuadrado mide d =
x2 + x2 =
2x 2 =
2 x , entonces 0 < d ≤ 8 2 .
Inecuaciones y sistemas | Unidad 4
121
71. Calcula para qué valores de x el área del triángulo ABC es menor que la del trapecio ACDE.
El área del triángulo ABC es
x ⋅ x x2 x2 y, la del trapecio ACDE, 82x − . = 2 2 2
x2 x2 < 82x − ⇒ x 2 < 164x − x 2 ⇒ 2x 2 − 164x < 0 ⇒ 2x ( x − 82 ) < 0 2 2
Como x > 0, entonces la inecuación resulta x – 82 < 0. Por tanto, x < 82. Para que el área del triángulo ABC sea menor que la del trapecio ACDE, la medida x debe ser menor de 82 cm. 72. Un test tiene 25 preguntas. Se obtienen 5 puntos por cada respuesta correcta, 2 puntos por cada respuesta en blanco y 0 puntos por cada respuesta incorrecta. Si María tiene 3 respuestas incorrectas y algunas en blanco, ¿cuál es el mínimo de aciertos que necesita para obtener al menos 90 puntos? A. 15
B. 16
C. 17
D. 18
Si x el número de aciertos, entonces el número de respuestas en blanco es 25 – x – 3. 5x + 2 · (25 – x – 3) ≥ 90 ⇒ 5x + 50 – 2x – 6 ≥ 90 ⇒ 3x ≥ 46 ⇒ x ≥
46 ≈ 15,33 3
María necesita, al menos, 16 respuestas correctas. La respuesta correcta es la B. 73. Indica cuál es el conjunto de todas las soluciones de la inecuación │x – 1 │ + │x + 2│ < 5. A. (–3, 2)
B. (–1, 2)
3 7 C. − , 2 2
•
x < –2 ⇒ 1 – x – x – 2 < 5 ⇒ –2x < 6 ⇒ x > –3 ⇒ Solución: (–3, –2)
•
–2 ≤ x ≤ 1 ⇒ 1 – x + x + 2 < 5 ⇒ 3 < 5 ⇒ Solución: [–2, 1]
•
x > 1 ⇒ x – 1 + x + 2 < 5 ⇒ x < 2 ⇒ Solución: (1, 2)
D. (–2, 1)
El conjunto de todas las soluciones de la inecuación es (–3, –2) U [–2, 1] U (1, 2). Es decir, el intervalo (–3, 2). La respuesta correcta es la A. 74. ¿Cuál es la única afirmación correcta? A. Si x < 1, entonces x2 < x
C. Si x2 > x, entonces x > 0
B. Si x2 > x, entonces x < 0
D. Si x < 0, entonces x2 > x
A. Falso, por ejemplo para x = –2
C. Falso, por ejemplo para x = –1
B. Falso, por ejemplo para x = 3
D. Correcta, pues al ser x < 0 y x2 > 0, entonces x2 > x.
75. Un número positivo x satisface la desigualdad A. x >
1 4
Como x > 0 y
B. x > 2
C. x <
1 4
D. x < 4
2 2 2 x < 2x, entonces: x < (2x) ⇒ x < 4x ⇒ x – 4x < 0 ⇒ x(1 – 4x) < 0 ⇒ 1 – 4x < 0 ⇒ x >
La respuesta correcta es la A.
122
x > 2 x si y solo si:
Unidad 4| Inecuaciones y sistemas
1 4
76. Los números x tales que
x2 − 4 > 0 son: x2 − 1
A. {x / x > 2 o x < –2 o –1 < x < 1} x2 − 4 = x2 − 1
( x − 2 )( x + 2 ) ( x − 1)( x + 1)
B. {x / x > 2 o x < –2}
C. {x / x > 1 o x < –2}
>0
x–2 x–1 x+1 x+2 x − ( 2 )( x + 2 ) ( x − 1)( x + 1)
–2
–∞
–1
x = –3 x = –1,5 – – – – – – – + +
2
1
+∞
x=0 – – + +
x = 1,5 – + + +
x=3 + + + +
+
–
+
–
D. {x / x ≠ 1 y x ≠ –1}
Solución: x ∈ (–∞, –2) U (–1, 1) U (2, +∞) = {x / x > 2 o x < –2 o –1 < x < 1} La respuesta correcta es la A. Encuentra el error
x −1 1 de esta manera: 3(x – 1) ≤ 2x + 3 ⇒ 3x – 2x ≤ 3 + 3 ⇒ x ≤ 6 ≤ 2x + 3 3 −10 − 1 11 1 Sin embargo, al sustituir x = –10 no se cumple la inecuación: = > . 2 ⋅ ( −10 ) + 3 17 3 ¿Dónde está el error?
77. Joaquín ha resuelto la inecuación
Joaquín resuelve la inecuación como si fuera una ecuación racional y, al tratarse de una inecuación racional, no se pueden eliminar los denominadores.
PONTE A PRUEBA Una dieta matemática Actividad resuelta. Geografía con inecuaciones. Para determinar un punto sobre la superficie terrestre se utilizan las coordenadas geográficas: latitud y longitud. Pero para delimitar una región o un país con un sistema de coordenadas geográficas, las fronteras corresponden a una curva de ecuaciones bastante complicadas. No obstante, se puede aproximar esa curva por una línea poligonal cuyos segmentos rectilíneos corresponden a ecuaciones de primer grado. La definición de una región convexa puede hacerse mediante un sistema de inecuaciones geográficas. Se toma un sistema de coordenadas geográficas con dos ejes: el meridiano de Greenwich (X) y el Ecuador (Y). Se designa la latitud mediante la variable x y la longitud mediante la y. Así, un punto de la superficie terrestre de coordenadas (+23º, –15º) corresponde a un lugar de latitud 23º N y una longitud de 15º O. 1.
La península ibérica se asemeja a una forma pentagonal. a) Dos de las rectas que determinan los lados del pentágono tienen por ecuaciones 4x – y = 150; 8x + y + 339 = 0 en el sistema de coordenadas geográficas. Identifica cuáles son y halla la ecuación de las otras. 4x – y = 150 es la línea que une la punta de Tarifa con el cabo de Gata. 8x + y + 339 = 0 es la línea que une el cabo de Ortegal con el cabo de Creus. AE: y + 9 = 0 es la línea que une el cabo de San Vicente con el cabo de Ortegal. BC: 10x – 11y = 392 es la línea que une el cabo de Creus con el cabo de Gata. DE: 7x + 2y = 241 es la línea que une el cabo de San Vicente con la punta de Tarifa. b) Determina mediante inecuaciones la porción de la superficie terrestre representada por la península ibérica. 4x – y ≥ 150; 8x + y + 339 ≤ 0; y + 9 ≥ 0; 10x – 11y ≥ 392; 7x + 2y ≥ 241
Inecuaciones y sistemas | Unidad 4
123
AUTOEVALUACIÓN 1.
Indica cuál de los siguientes intervalos es la solución de la inecuación –4x + 1 ≤ –3. a) [1, + ∞)
b) [–1, + ∞)
c) (–∞, 1]
d) (–∞,–1]
–4x + 1 ≤ –3 ⇒ –4x ≤ –4 ⇒ x ≥ 1 ⇒ x ∈ [1, + ∞) ⇒ Respuesta a). 2.
¿Cuáles de las siguientes inecuaciones son equivalentes a x – 2 ≤ 10? a) x – 7 ≤ 5
b) x + 1 ≤ 7
c) 2 – x ≥ –10
d) 3x – 6 ≤ –30
En los casos afirmativos, indica la transformación que permite pasar de una a otra ecuación.
3.
a) Equivalente, sumando –5.
c) Equivalente, multiplicando por –1.
b) No es equivalente.
d) No es equivalente.
Resuelve las siguientes inecuaciones. a) –2x2 + 2x + 12 ≤ 0
b) 3x3 + x2 – 3x – 1 ≥ 0
c) x4 – 4 > 0
d)
x2 − x 0 ⇒ (x2 + 2)(x2 – 2) > 0 ⇒ ( x 2 + 2 ) x − 2 –∞ x− 2
x = –2 –
x=0 –
x=2 +
x+ 2
–
+
+
–
+
( x − 2 )( x + 2 ) + Solución: x ∈ ( −∞, − 2 ) ( d)
x ( x − 1) x2 − x 0
+∞
2
− 2
+∞
Unidad 4| Inecuaciones y sistemas
4.
Escribe la inecuación cuya solución es el siguiente semiplano. y<
5.
1 x–1 3
Resuelve estos sistemas de inecuaciones. x + 1 ≤ 3 a) 3 x > −1
− x 2 − 3 x + 10 > 0 c) x < −1
x + 2 > 6 b) x − 2 ≤ 2x
a) x + 1 ≤ 3 ⇒ x ≤ 2 ⇒ x∈ (–∞, 2] y 3x > –1 ⇒ x >
x + y ≤ 3 d) x + 3y > 1
−1 −1 ⇒ x ∈ , + ∞ 3 3
−1 −1 Solución: x ∈ (–∞, 2] ∩ , + ∞ = , 2 3 3 b) x + 2 > 6 ⇒ x > 4 ⇒ x∈ (4, +∞) y x – 2 ≤ 2x ⇒ x ≥ –2 ⇒ x ∈ [–2, +∞) Solución: x ∈ (4, +∞) ∩ [–2, +∞) = (4, +∞) 2
c) x < – 1 ⇒ x ∈ [–∞,–1) y –x – 3x + 10 > 0 ⇒ –(x – 2)(x + 5) > 0 ⇒ (x – 2)(x + 5) < 0 ⇒ x ∈ (–5, 2) Solución: x ∈ [–∞,–1) ∩ (–5, 2) = (–5, –1) –∞ x–2 x+5 (x – 2)(x + 5)
x = –6 – – +
2
–5 x=0 – + –
+∞ x=3 + + +
d)
6.
Marcos quiere encargar a un cristalero un espejo circular, aunque no tiene claro qué tamaño le conviene. Lo que sabe es que el radio puede variar entre 20 cm y 25 cm. ¿Entre qué valores oscilaría el área del cristal? ¿Y su perímetro? Llamamos r al radio del espejo: 20 ≤ r ≤ 25 ⇒ 400π ≤ Área ≤ 625π y 40π ≤ Perímetro ≤ 50π
7.
3 Dos comerciantes disponen de 35 000 € para comprar ordenadores y de 40 m de espacio para almacenarlos. Dos proveedores les venden aparatos de 500 € y 700 € que ocupan 0,3 m3 y 0,5 m3, respectivamente. ¿Cuántos ordenadores, como máximo, pueden comprar para optimizar el espacio y ajustarlo a su presupuesto?
Llamamos x al número de ordenadores de 500 € e y al de 700. 500x + 700y ≤ 35 000 0,3x + 0,5y ≤ 40 x ≥ 0 y ≥ 0 El máximo número de ordenadores que se pueden comprar para optimizar el espacio y ajustarlo al presupuesto es 70 ordenadores de 500 € y 0 de 700 €. En este caso se gasta todo el presupuesto y se ocupan 21 m3.
Inecuaciones y sistemas | Unidad 4
125
5 Semejanza y trigonometría PIENSA Y CONTESTA ¿Cómo respondió el alumno a la pregunta del examen? El estudiante respondió: “Lleve el barómetro hasta la azotea del edificio, átele una cuerda muy larga, descuelgue el barómetro hasta la calle y después vuelva a subirlo, midiendo la longitud de la cuerda. Dicha longitud será igual a la altura del edificio”. El alumno dice que hay muchas formas de responder. ¿Cuántas se te ocurren? Respuesta libre. ¿Por qué el profesor se resistía a darle la nota máxima? El profesor se resistía a darle la nota máxima porque una nota alta supondría que el alumno certificaba un alto nivel en física, pero con la respuesta aportada no se confirmaba que el estudiante tuviera ese nivel.
ANALIZA Y REFLEXIONA ¿Crees que sería válida esta respuesta? “Se lleva el barómetro y se llama a la puerta del conserje. Cuando el conserje responda, se le dice lo siguiente: “Sr Conserje, aquí tengo un barómetro estupendo. Si me dice la altura del edificio se lo regalo”. Respuesta libre.
Actividades propuestas 1.
Calcula las longitudes de los lados de un triángulo semejante a otro que tiene por lados 3, 12 y 10 cm si la 16 razón de semejanza es k = . 5 Los lados del triángulo semejante medirán 3 ⋅
2.
Actividad resuelta.
3.
Calcula los lados desconocidos de las figuras. a)
a)
b)
3 3+8 24 = ⇒ 11x = 24 ⇒ x = x 8 11 y = 8 – x = 8−
126
16 16 48 16 192 = = 9,6 cm , 12 ⋅ = = 38, 4 cm y 10 ⋅ = 32 cm . 5 5 5 5 5
24 64 = 11 11
Unidad 5| Semejanza y trigonometría
b) 3y = y + 6 ⇒ 2y = 6 ⇒ y = 3
3 6 = ⇒ 3x + 12 = 6x ⇒ 3x = 12 ⇒ x = 4 x x+4
4.
Juan mide 1,75 m y proyecta, en un momento dado, una sombra de 1,4 m. Calcula la sombra que proyecta en ese instante una farola de 4 m de altura. Llamamos x a la sombra que proyecta la farola. 1,75 4 5,6 = ⇒ 1,75x = 5,6 ⇒ x = = 3,2 m 1, 4 1,75 x
5.
Calcula la distancia que debe recorrer un pájaro que quiere volar desde la copa del árbol A a la del B. Llamamos x a la distancia que hay desde el suelo hasta la copa del árbol A. Llamamos d a la distancia que hay entre la copa del árbol A y la copa del árbol B. La altura del árbol A es igual a 3 m y la altura del árbol B es igual a 9 m. Usando el teorema de Pitágoras: x 2 = 32 + 32 ⇒ x = Por semejanza,
18 = 3 2 m.
x d = ⇒ d = 2x = 6 2 = 8, 49 m. 3 6
El pájaro deberá recorrer 8,49 m. 6.
Razona si los triángulos siguientes son semejantes y calcula los lados desconocidos. a)
b)
a) Los triángulos son semejantes por tener dos ángulos iguales (Criterio 1 de semejanza). 9 6 27 = ⇒y= = 4,5 cm y 3 6
x=
92 + 62 = 10,82 cm
x 6 x 10,82 = ⇒z= = = 5, 41 cm 2 2 z 3
b) Los triángulos son semejantes por estar en posición de Tales.
9 17 51 = ⇒x= = 5,67 cm 3 x 9 7.
¿Los triángulos interior y exterior de un cartabón son semejantes? Razona tu respuesta. Los ángulos que forman los triángulos interior y exterior de un cartabón son iguales pues sus lados son paralelos. Por el criterio 1 de semejanza, los triángulos interior y exterior de un cartabón son semejantes.
8.
En un triángulo rectángulo, uno de los catetos mide 7,5 cm y su proyección sobre la hipotenusa tiene una longitud de 4,5 m. ¿Cuánto mide la hipotenusa del triángulo? Llamamos H a la hipotenusa del triángulo. Por el teorema del cateto, 7,52 = 4,5 · H ⇒ H = 12,5 cm
9.
En un triángulo rectángulo, la hipotenusa y un cateto miden 40 y 24 cm, respectivamente. a) Halla la medida del valor del otro cateto. b) Halla la medida de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. c) Halla la altura sobre la hipotenusa. a) Llamamos x a la medida del otro cateto. Aplicando el teorema de Pitágoras: x =
402 − 242 =
1024 = 32 cm
b) Llamamos m a la proyección del cateto de 32 cm sobre la hipotenusa y n a la proyección del cateto de 24 cm. Aplicando el teorema del cateto: 322 = 40 · m ⇒ m = 25,6 cm y 242 = 40 · n ⇒ n = 14,4 cm c) Llamamos h a la altura del triángulo sobre la hipotenusa. Aplicando el teorema de la altura: h2 = m · n = 25,6 · 14,4 = 368,64 ⇒ h = 19,2 cm
Semejanza y trigonometría | Unidad 5
127
10. Demuestra los criterios 2 y 3 de semejanza de triángulos de forma análoga a la demostración del primer criterio. Criterio 2: “Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales”.
´ , y los lados que y A Para demostrar el criterio 2, se parte de dos triángulos, ABC y A´B´C´, con un ángulo igual A lo forman proporcionales, y se prueba que son semejantes. Sobre el lado AB del primer triángulo se lleva la medida A´B´ del segundo y se marca el vértice B´´. Se traza el segmento B´´C´´, paralelo a BC.
Los triángulos AB´´C´´ y A´B´C´ son iguales, ya que tienen dos de sus ángulos y un lado iguales. Los triángulos ABC y AB´´C´´ están en posición de Tales y, por tanto, son semejantes. En consecuencia, los triángulos ABC y A´B´C´ son también semejantes. Criterio 3: “Dos triángulos son semejantes si tienen los tres lados proporcionales”. Para demostrar el criterio 2, se parte de dos triángulos, ABC y A´B´C´ con los lados que lo forman proporcionales, y se prueba que son semejantes. Sobre el lado AB del primer triángulo se lleva la medida A´B´ del segundo y se marca el vértice B´´. Sobre el lado AC se lleva la medida A´C´ y se marca el punto C´´. Se traza el segmento B´´C´´.
Los triángulos AB´´C´´ y A´B´C´ son iguales, ya que tienen tres lados iguales. Los triángulos ABC y AB´´C´´ están en posición de Tales y, por tanto, son semejantes. En consecuencia, los triángulos ABC y A´B´C´ son también semejantes. 11. Indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones, justificando tu respuesta. a) Dos triángulos isósceles siempre son semejantes. b) Un triángulo rectángulo con un ángulo de 30º es semejante a otro con un ángulo de 60º. a) Falso. Dos triángulos isósceles no son siempre semejantes porque sus ángulos no tienen por qué ser iguales. b) Verdadero. Un triángulo rectángulo con un ángulo de 30º es semejante a otro con un ángulo de 60º porque en ambos casos sus ángulos miden 30º, 60º y 90º. (Criterio 1 de semejanza de triángulos). 12. Un cateto de un triángulo rectángulo mide 8 cm, y la altura sobre la hipotenusa, 4. Halla el área del triángulo. Aplicando el teorema de la altura: 16 = m · n Aplicando el teorema del cateto: 64 = m · (m + n). Se plantea el siguiente sistema: 16 4 3 4 3 16 3 16 = mn 2 cm ⇒ m + n = 4 3 + cm = 64 m ( m + n ) ⇒ 64 = m m + ⇒ m = 48 ⇒ m = 4 3 cm ⇒ n = = 3 3 3 m
16 3 ⋅4 32 3 3 El área del triángulo es A = cm2 = 2 3
128
Unidad 5| Semejanza y trigonometría
13. Pasa a radianes los siguientes ángulos expresados en grados sexagesimales. a) 60º a) 60º =
b) 120º
π rad 3
b) 120º =
c) 210º
2π rad 3
c) 210º =
d) 135º
7π rad 6
d) 135º =
e) 330º
3π rad 4
e) 330º =
11π rad 6
14. Calcula, aproximando a los segundos, la medida de un radián en grados sexagesimales. 1 rad = 1 ·
180º = 57º 17´ 45´´ π
15. Convierte a grados sexagesimales los siguientes ángulos expresados en radianes. a)
π 4
b)
π 5
c)
π 6
d)
2π 3
e) 4π
a)
π rad = 45º 4
b)
π rad = 36º 5
c)
π rad = 30º 6
d)
2π rad = 120º 3
e) 4π rad = 720º
= 40º y B = 1,54 rad. Calcula en grados y en 16. Las medidas de dos de los ángulos de un triángulo ABC son A radianes la medida de C .
= 180º – (40º + 88,24º) = 51,76º = 0,9 rad = 1,54 rad = 88,24º y C B = 65º. Halla los otros tres ángulos en grados y en 17. La medida de un ángulo de un paralelogramo es A radianes.
23π mide 65º = 13π rad y, cada uno de los otros dos ángulos, 360º −2 ⋅ 65º = 115º = El ángulo opuesto de A rad. 2 36 36 18. Indica las razones trigonométricas que relacionan el ángulo y los lados indicados en los siguientes triángulos rectángulos y calcúlalas. a)
b)
c)
17 cm. a) La hipotenusa h mide h = + 82 + 152 =
= 15 sen A 17
= 8 cos A 17
= 15 tg A 8
35 cm. b) El cateto c mide c = + 372 − 122 =
= 12 sen B 37
= 35 cos B 37
= 12 tg B 35
d)
12 cm. c) El cateto b mide b = + 152 − 92 =
= 12 sen C 15
= 9 cos C 15
= 12 tg C 9
20 cm. d) El cateto x mide x mide x = + 292 − 212 =
= 21 sen D 29
= 20 cos D 29
= 21 tg D 20
19. Calcula las razones trigonométricas inversas de las obtenidas en la actividad anterior.
= 17 a) cosec A 15
= 17 cotg A = 8 sec A 8 15
= 15 c) cosec C 12
= 15 sec C 9
= 9 cotg C 12
= 37 b) cosec B 12
= 37 sec B 35
= 29 d) cosec D 21
= 29 sec D 20
= 20 cotg D 21
= 35 cotg B 12
Semejanza y trigonometría | Unidad 5
129
20. Halla las razones trigonométricas de los ángulos agudos en el siguiente triángulo.
¿Qué relación hay entre las razones trigonométricas del ángulo B y el ángulo C?
= 12 sen B 20
= 12 tg B 16
= 16 cos B 20
= 16 sen C 20
= 12 cos C 20
= 16 tg C 12
es: y el ángulo C La relación que hay entre las razones trigonométricas del ángulo B = 12 = cos C sen B 20
= 16 = sen C cos B 20
= 12 = cotg C tg B 16
21. Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos en estos triángulos rectángulos. a) Cateto b = 28 cm, cateto c = 45 cm b) Hipotenusa a = 73 cm, cateto b = 48 cm c) Hipotenusa a = 15 cm, cateto c = 12 cm a) La hipotenusa h mide h = + 282 + 452 = 53 cm .
= 28 sen B 53
= 28 tg B 45
= 45 cos B 53
= 45 sen C 53
= 28 cos C 53
= 45 tg C 28
= 55 sen C 73
= 48 cos C 73
= 55 tg C 48
= 12 sen C 15
= 9 cos C 15
= 12 tg C 9
b) El cateto c mide c = + 732 − 482 = 55 cm .
= 48 sen B 73
= 55 cos B 73
= 48 tg B 55
c) El cateto b mide b = + 152 − 122 = 9 cm .
= 9 sen B 15
= 9 tg B 12
= 12 cos B 15
22. Define en radianes los cuatro cuadrantes del plano. 1.er cuadrante: 0 rad 2.º cuadrante:
π 3π rad 3.er cuadrante: π rad rad 2 2
π 3π rad - π rad 4.º cuadrante: rad - 2π rad 2 2
23. ¿En qué cuadrantes se puede encontrar cada uno de los siguientes ángulos? a) α si sen α > 0
c) φ si tg φ < 0
e) δ si sec δ < 0
b) γ si cos γ < 0
d) β si cosec β > 0
f) λ si cotg λ < 0
a) Primer o segundo cuadrante
c) Segundo o cuarto cuadrante
e) Segundo o tercer cuadrante
b) Segundo o tercer cuadrante
d) Primer o segundo cuadrante
f) Segundo o cuarto cuadrante
24. Calcula la secante, cosecante y cotangente de los ángulos de 30º y 60º.
130
α
sec α
cosec α
cotg α
30º
2 3 3
2
3
60º
2
2 3 3
3 3
Unidad 5| Semejanza y trigonometría
25. Expresa los siguientes ángulos como la suma de un número completo de vueltas más un ángulo menor de 360º. a) 400º
c) 2350º
e) 4315º
b) 540º
d) 2880º
f) 6000º
a) 400º = 1 · 360º + 40º
c) 2350º = 6 · 360º + 190º
e) 4315º = 11 · 360º + 355º
b) 540º = 1 · 360º + 180º
d) 2880º = 8 · 360º
f) 6000º = 16 · 360º + 240º
26. Actividad resuelta. 27. Calcula las razones trigonométricas de los siguientes ángulos. a) sen 300º
b) cos (–330º)
c) tg (–480º)
a) sen 300º = sen (360º – 60º) = sen (–60º) = –sen 60º =
− 3 2
b) cos (–330º) = cos 330º = cos (360º – 30º) = cos 30º =
3 2
c) tg (–480º) = –tg 480º = –tg (360º + 120º) = –tg 120º = –tg (180º – 60º) = tg 60º =
3
28. Actividad resuelta. 29. Calcula sen α y cos α si α es un ángulo agudo y tg α = 0,75. Como α es un ángulo agudo entonces sen α > 0 y cos α > 0. 2 1 + tg α =
1 1 1 ⇒ 1 + 0,752 = ⇒ 1,5625 = ⇒ cos2α = 0,64 ⇒ cos α = 0,8 cos2 α cos2 α cos2 α
2 2 2 2 2 2 sen α + cos α = 1 ⇒ sen α + 0,8 = 1 ⇒ sen α = 1 – 0,8 = 0,36 ⇒ sen α = 0,6
30. Calcula el seno y la tangente de un ángulo agudo si su coseno vale 0,554. Como el ángulo α es agudo entonces sen α > 0 y tg α > 0. 2 2 2 2 2 2 sen α + cos α = 1 ⇒ sen α + 0,554 = 1 ⇒ sen α = 1 – 0,554 = 0,69 ⇒ sen α = 0,83
= tg α
sen α 0,83 ⇒= tg α = 1,5 cos α 0,554
31. Calcula la cosecante y la tangente de un ángulo agudo si su seno vale 0,2. Como α es un ángulo agudo entonces cos α > 0 y tg α > 0. sen2α + cos2α = 1 ⇒ 0,22 + cos2α = 1 ⇒ cos2α = 1 – 0,22 = 0,96 ⇒ cos α = 0,98 = α tg
sen α 0,2 1 1 = = 0,204 y cosec= α = = 5 cos α 0,98 sen α 0,2
32. Calcula las razones trigonométricas de los dos ángulos agudos del triángulo aplicando solo la definición del seno. Como α es un ángulo agudo entonces sen α >0, cos α > 0 y tg α > 0. sen α =
65 sen α = 0,67 ⇒ 0,672 + cos2α = 1 ⇒ cos α = 0,74 y = tg α = 0,91 97 cos α
Como α y β son ángulos complementarios, entonces: sen β = cos α = 0,74, cos β = sen α = 0,67 y tg β = cotg α = 1,1
Semejanza y trigonometría | Unidad 5
131
33. Actividad resuelta.
34. Si cos α = Como
−28 π y < α < π, halla sen α, sec α y tg α. 53 2
π < α < π, entonces sen α > 0, sec α < 0 y tg α < 0. 2 2
2
2
45 −28 −28 −28 2 2 sen2α + cos2α = 1 ⇒ sen2α + = 1 ⇒ sen α + = 1 ⇒ sen α = 1 – ⇒ sen α = 53 53 53 53
= tg α
sen α 0,85 −45 −53 1 y sec α = = ⇒= tg α = cos α 28 cos α −0,53 28
−77 3π yπ 0. 2 2 2 2 2 2 sen α + cos α = 1 ⇒ 0,6 + cos α = 1 ⇒ cos α = 1 – 0,6 = 0,64 ⇒ cos α = 0,8
tg= α
140
sen α 0,6 = = 0,75 cos α 0,8
Unidad 5| Semejanza y trigonometría
76. Halla el seno y la tangente de un ángulo agudo α cuyo coseno vale 0,75. Como el ángulo α es agudo, entonces sen α > 0 y tg α > 0. 2 2 2 2 2 2 sen α + cos α = 1 ⇒ sen α + 0,75 = 1 ⇒ sen α = 1 – 0,75 = 0,4375 ⇒ sen α = 0,66
= α tg
sen α 0,66 ⇒ tg = α = 0,88 cos α 0,75
77. Calcula el seno y el coseno de un ángulo agudo α cuya tangente es igual a
5.
Como α es un ángulo agudo, entonces sen α > 0 y cos α > 0. 1 + tg2α =
1 ⇒1+ cos2 α
( 5)
2
1 1 ⇒6= ⇒ cos2α = 0,17 ⇒ cos α = 0,41 cos2 α cos2 α
=
2 2 2 2 2 2 sen α + cos α = 1 ⇒ sen α + 0,41 = 1 ⇒ sen α = 1 – 0,41 = 0,83 ⇒ sen α = 0,91
78. Con la ayuda de la calculadora, halla las medidas en grados sexagesimales de los siguientes ángulos agudos. Aproxima los resultados a los minutos.
= 0,125 a) sen A
= 0,245 b) cos B
= 1,25 c) tg C
= arcsen 0,125 = 7º 11´ a) A
= arcos 0,245 = 75º 49´ b) B
= arctg 1,25 = 51º 20´ c) C
79. Con la ayuda de la calculadora, halla las medidas en radianes de los siguientes ángulos agudos. Expresa los resultados con tres cifras.
= 0,85 a) sen A
= 0,645 b) cos B
= 0,556 c) tg C
= arcsen 0,85 = 1,016 a) A
= arcos 0,645 = 0,870 b) B
= arctg 0,556 = 0,507 c) C
80. Halla las razones trigonométricas restantes del ángulo α en cada caso. a) cos α = a) Como
2 3
3π < α < 2π 2
b) sen α = 0,75
π –1.
83. Si cos α =
5 , y α es un ángulo agudo halla: 13
a) sen (α + 180º)
c) cos (180º – α)
b) tg (90º – α)
d) sen (–α)
Como el ángulo α es agudo entonces sen α > 0 y tg α > 0. 2
2
144 12 5 5 2 2 2 2 ⇒ sen α = sen α + cos α = 1 ⇒ sen α + = 1 ⇒ sen α = 1 – = 169 13 13 13 = tg α
sen α 12 5 12 ⇒= tg α = : cos α 13 13 5
a) sen (α + 180º) = –sen α = b) tg (90º – α) = cotg α =
142
−12 13
5 12
Unidad 5| Semejanza y trigonometría
c) cos (180º – α) = –cos α = d) sen (–α) = –sen α =
−12 13
−5 13
84. Actividad resuelta. 85. Demuestra esta igualdad trigonométrica. 1 2 + 1 tg2 α tg α = 1 + 2 sen α cos α sen2 α 1+
1 2 cos2 α 2 cos α 1+ 2 + + 1+ tg α tg α sen2 α sen α = = 1 + 2 sen α cos α 1 + 2 sen α cos α
1 ( sen2 α + cos2 α + 2 cos α sen α ) 1 + 2 cos α sen α 1 sen2 α = = 1 + 2 sen α cos α sen2 α (1 + 2 sen α cos α ) sen2 α
86. Demuestra las siguientes igualdades. a)
1 = cos x 1 + tg2 x
a)
1 = 1 + tg2 x
b)
b)
sen x cos x = 1 − sen2 x tg x
c) (1 + tg2x)cos2x = 1
= cos2 x cos x
sen x cos x sen x cos2 x = = cos2 x = 1 − sen2 x tg x sen x
2 2 2 2 2 2 2 c) (1 + tg x)cos x = cos x + tg x · cos x = cos x + sen x = 1
87. Demuestra las identidades siguientes. 2 2 2 a) tg α(1 – sen α) = sen α
2 2 a) tg α(1 – sen α) =
b)
b)
sen2 α − cos2 α + 1 = sen2 α 2
c) (tg x + cotg x)2 = sec2x +cosec2x
sen2 α 2 ⋅ cos= α sen2 α cos2 α
sen2 α − cos2 α + 1 sen2 α + sen2 α 2 sen2 α = = = sen2 α 2 2 2 2
2
2
1 1 sen2 x + cos2 x sen x cos x c) (tg x + cotg x)2 = + =sec 2 x + cosec 2 x = = = 2 cos x sen2 x cos x sen x cos x sen x cos x sen x
88. Con la ayuda de la calculadora, halla las medidas en radianes de los siguientes ángulos.
= 0,559 a) sen A
π 0. 2
2
65 4 4 sen2α + cos2α = 1 ⇒ + cos2α = 1 ⇒ cos2α = 1 – = ⇒ cos α = 81 9 9 = tg α
65 9
sen α 4 65 36 36 65 4 65 ⇒= = tg α := = cos α 9 9 585 65 9 65
sen (α + 180º) = –sen α = −
4 9
cos (α + 180º) = –cos α = −
65 9
tg (α + 180º) = tg α =
4 65 65
95. Actividad resuelta. 96. ¿Verdadero o falso? Razona tu respuesta. a) Todos los rectángulos son semejantes. b) Todos los triángulos equiláteros son semejantes. c) Todos los triángulos que son a la vez rectángulos e isósceles son semejantes. d) Los ángulos de dos triángulos semejantes son proporcionales. a) Falso Por ejemplo, un rectángulo de lados 1 cm y 2 cm y otro de lados 1 cm y 3 cm no tienen sus lados homólogos proporcionales y, por tanto, no son semejantes. b) Verdadero Todos los triángulos equiláteros tienen sus ángulos iguales, 60º, y los lados homólogos son proporcionales ya que en un triángulo equilátero los lados son iguales. c) Verdadero Los ángulos correspondientes son iguales, ya que en todos los casos miden 90°, 45° y 45°, y los lados correspondientes son proporcionales, pues son de la forma x, x y x 2. . d) Verdadero Los ángulos de dos triángulos semejantes son iguales. Es decir, son proporcionales con razón de proporcionalidad 1. 97. Emprende Halla la altura del edificio donde estudias utilizando únicamente un lápiz, un papel y una cinta métrica. Explica el método que has utilizado. Respuesta libre. 98. Una plancha de hierro fundido tiene una masa de 8,5 kg. ¿Qué masa tendrá otra plancha semejante del mismo metal y grosor si sus dimensiones son el triple de las de la plancha original? La razón de semejanza es k = 3. La razón de las áreas será k2 = 9. Al mantenerse el grosor, la masa de la segunda plancha será nueve veces la masa de la primera: 9 · 8,5 = 76,5 kg
Semejanza y trigonometría | Unidad 5
145
99. Se quieren fabricar losetas como las de la figura que estén formadas por un rombo de diagonales 18,1 y 8,36 cm, respectivamente, y un cuadrado inscrito en él. Calcula el área de la zona verde (cuadrado interior) y la suma de las áreas de las zonas naranjas (superficie entre el rombo).
Los triángulos ABC y EBD son semejantes por estar en posición de Tales. 4,18 x 37,829 = ⇒ 37,829 − 4,18= x 9,05x ⇒= x = 2,86 cm 9,05 9,05 − x 13,23
Área verde: 2,862·4 = 32,7 cm2 Área naranja:
18,10 ⋅ 8,36 42,96 cm2 − 32,7 = 2
100. Observa el decágono regular y contesta. a) ¿Qué ángulo hay que recorrer para llevar el radio r desde el vértice A hasta B en el sentido contrario a las agujas del reloj? b) ¿A dónde llegará r si se encuentra inicialmente en B y se le aplica un giro de 108º? c) ¿A dónde llegará r si se encuentra inicialmente en G y se le aplica un giro de – 144º? Desde un vértice hasta el vértice consecutivo, el radio r recorre un ángulo de 360º : 10 = 36º. a) Para ir del vértice A hasta el vértice B el radio r recorre un ángulo de 36º en el sentido de las agujas del reloj. Es decir, recorre un ángulo de 360º–36º = 324º. b) Si el radio r se encuentra inicialmente en B y se le aplica un giro de 108º = 3 ·36º, el radio llegará al vértice I. c) Si el radio r se encuentra inicialmente en G y se le aplica un giro de 144º = 4 ·36º, en sentido contrario a las agujas del reloj, el radio llegará al vértice C. 101. El carnet del polideportivo tiene la propiedad que el rectángulo ABCD que lo forma es semejante al rectángulo ECDF. La zona ABEF es un cuadrado de lado b. Calcula el cociente de las dos medidas a y b del carnet.
ABCD y ECDF son semejantes por tener sus ángulos iguales y sus lados homólogos proporcionales.
(
a b b ± b 2 + 4b 2 b ± 5b 2 b ± b 5 b 1 ± 5 = ⇒ a 2 − ab =b 2 ⇒ a 2 − ab − b 2 =0 ⇒ a = = = = b a−b 2 2 2 2
(
)
b 1+ 5 a = a ⇒ Como a > 0, entonces = 2 b
146
Unidad 5| Semejanza y trigonometría
(
b 1+ 5
)
1+ 5 2 = 2 b
)
102. El valor h en la siguiente figura es:
A. h = 4
B. h = 6
C. h =
24
D. h =
10
Un ángulo interior de una circunferencia que abarca un diámetro mide 90º. Por tanto, se forma un triángulo rectángulo cuya altura sobre la hipotenusa es h y las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 4 y 6. Aplicando el teorema de la altura: h = 4 · 6 = 24 ⇒ h = 24 La respuesta correcta es la C. 103. El seno del ángulo α de la figura vale: A. 0,3 B. 0,4 C. 0,5 D. 0,6
sen α=
8−5 3 = = 0,6 5 5
La respuesta correcta es la A. Encuentra el error 104. Halla la hipotenusa de un triángulo rectángulo de área 46,875 cm2 semejante a otros cuyos catetos miden 5 y 12 cm. 12 ⋅ 5 2 El área de un triángulo semejante es 13 cm. = 30 cm , y su hipotenusa, 5 2 + 122 = 2 Luego, la razón de semejanza de los dos triángulos es:
46,875 = 1,5625 30 La hipotenusa mide: 13 · 1,5625 = 20,3125 cm ¿Dónde está el error? La razón de semejanza de las áreas es el cuadrado de la razón de semejanza de las longitudes. En este ejercicio, el error está en considerar que las razones de semejanza de las áreas coinciden con la razón de semejanza de las longitudes. 46,875 La razón de semejanza entre las áreas= es k 2 = 1,5625 . 30
= Por tanto, la razón de semejanza entre las longitudes es k La hipotenusa mide: 13 · 1,25 = 16,25 cm.
= 1,5625 1,25 .
Semejanza y trigonometría | Unidad 5
147
PONTE A PRUEBA La profundidad del pozo Actividad resuelta. El túnel de Eupalinos Cuando Polícrates encargó a Eupalinos construir un túnel bajo la montaña que, partiendo simultáneamente de A y B, se encontrara en las profundidades de la roca, el sabio griego recurrió a los triángulos semejantes. El siguiente método le permitió calcular la dirección con la que se debía horadar la montaña desde cada uno de los extremos.
1.
Traza el triángulo imaginario ABC y, en la falda de la montaña, toma las medidas AP = 100 m, PQ = 700 m, QR = 1060 m y RB = 300m, en las que todos los ángulos son rectos. Obtén las distancias AC y CB. AC = PQ – BR = 400 m
2.
CB = QR – AP = 960 m.
¿Cuánto medirá el túnel? Aplicando el teorema de Pitágoras: AB =
AC 2 + CB 2 =
4002 + 9602 = 1040
El túnel medirá 1040 m. 3.
¿Cómo deben ser los segmentos PX y RY para que los triángulos ABC, XPA y BRY sean semejantes? PX BR AC Los segmentos PX y RY deben ser una prolongación de PQ y QR tales que = = . AP RY BC
4.
Halla las distancias PX y RY.
PX 400 = ⇒ PX = 41,67 m 100 960
148
y
Unidad 5| Semejanza y trigonometría
300 400 = ⇒ RY = 720 m RY 960
¿Son o no segmentos paralelos? Observa la figura y resuelve.
Si las medidas de los segmentos son:
OA = 46,656 cm 1.
OB = 41,472 cm
OC = 20,736 cm
OD = 23,328 cm
Compara los productos de las distancias OA ⋅ OC y OB ⋅ OD .
OA ⋅ OC = 46,656 · 20,736 = 967,458816 y OB ⋅ OD = 41,472 · 23,328 = 967,458816 Los productos de las distancias OA ⋅ OC y OB ⋅ OD son iguales. 2.
Compara los productos de las distancias OA ⋅ OD y OB ⋅ OC .
OA ⋅ OD = 46,656 · 23,328 = 1088,391168 y OB ⋅ OC = 41,472 · 20,736 = 859,963392 3.
Con los resultados obtenidos en los apartados anteriores, ¿puedes decidir si los segmentos AB y CD son o no paralelos? AB y CD no son paralelos porque OA ⋅ OD ≠ OB ⋅ OC
4.
¿Y si se modifica únicamente la distancia OD para el valor OD = 18,432 cm?
OA ⋅ OD = 46,656 · 23,328 = 859,963392 = 41,472 · 20,736 = OB ⋅ OC En este caso AB y CD son paralelos porque OA ⋅ OD = OB ⋅ OC La altura del alcornoque Cinthya ha encontrado un alcornoque con un nido de buitre negro en la copa. Se ha alejado unos 35 m del árbol para mirar con su catalejo y poder observar el nido con perspectiva. Sus ojos están a una altura de metro y medio y el catalejo forma un ángulo de 11º con el suelo. 1.
¿A qué altura está el nido? A. Menos de 6 m
B. Entre 6 y 6,5 m
C. Entre 6,5 y 7 m
D. Más de 7 m
Llamamos x a la distancia que hay desde el suelo hasta el nido. tg 11º =
x − 1,5 ⇒ x – 1,5 = 35 · tg 11º ⇒ x – 1,5 = 6,8 ⇒ x = 8,3 35
La respuesta correcta es la D. 2.
Si se aleja 100 m del pie del alcornoque, ¿aumenta o disminuye la inclinación del catalejo para seguir observando el nido? ¿Qué ángulo forma el catalejo con el suelo en este caso? Si se aleja 100 m del pie del alcornoque la inclinación del catalejo para seguir mirando el suelo disminuye. Llamamos α al ángulo que forma el catalejo con el suelo. tg α =
6,8 = 0,068 ⇒ α = arctg 0,068 = 3º 53´24´´ 100
El catalejo forma un ángulo de 3º 53´24´´ con el suelo.
Semejanza y trigonometría | Unidad 5
149
AUTOEVALUACIÓN 1.
Calcula el valor de x, y, z en la siguiente figura.
Aplicando el teorema de Tales: AB BC 3,2 x 2 ⋅ 3,2 ⇒ ⇒x= = 2,13 = = A ' B ' B 'C ' 3 3 2
3 2 A'B ' B 'C ' 3 ⋅ 1,9 = ⇒ ⇒y= = 2,85 = y 1,9 A '' B '' B '' C '' 2 z = 1,9 + y = 1,9 + 2,85 = 4,75 2.
El perímetro de un triángulo es de 15 cm y es semejante a otro triángulo de lados 7,5; 6 y 9 cm. ¿Cuánto miden los lados de ese triángulo? ¿Cuál es la razón de semejanza? El perímetro del triángulo semejante es P = 7,5 + 6 + 9 = 22,5 cm. La razón de semejanza de las longitudes de los triángulos es k =
22,5 = 1,5 . 15
Por tanto, los lados del triángulo original medirán: Homólogo al lado de 7,5 cm: x · 1,5 = 7,5 ⇒ x = 5 cm Homólogo al lado de 6 cm: x · 1,5 = 6 ⇒ x = 4 cm Homólogo al lado de 9 cm: x · 1,5 = 9 ⇒ x = 6 cm 3.
Las áreas de dos hexágonos semejantes son 104 y 26 cm2, respectivamente. ¿Cuánto mide el perímetro del mayor si el del menor es de 12 cm? La razón de semejanza entre las áreas es k2 = hexágonos es k = 2.
104 = 4 . Por tanto, la razón de semejanza de las longitudes de los 26
El perímetro del mayor es 12 · k = 12 · 2 = 24 cm. 4.
Considera los triángulos de la figura. a) ¿Cómo deben ser los segmentos MN y BC para que los triángulos ABC y AMN sean semejantes? b) Halla el valor de x suponiendo que se verifica la condición del apartado anterior e indica la razón de semejanza. a) Para que los triángulos ABC y AMN sean semejantes, los segmentos MN y BC deben ser paralelos. b)
5.
5 5+x ⇒ 5x = 15 + 3x ⇒ 2x = 15 ⇒ x = 7,5 = 3 x
La razón de semejanza es k =
7π 7,5 rad en grados y 96º en radianes. = 2,5 .Expresa 12 3
7π 7π 180º rad = 105º ⋅ = 12 12 π
96º = 96 ⋅
150
π 8π rad = rad 180 15
Unidad 5| Semejanza y trigonometría
6.
Halla el seno y el coseno del ángulo α del cuarto cuadrante y tal que tg α = −
4 . 3
Como α es un ángulo del cuarto cuadrante, entonces sen α < 0 y cos α > 0. 2 1 + tg α =
tg α=
7.
2
1 1 16 9 3 1 −4 ⇒1+ ⇒1+ = ⇒ cos2α = ⇒ cos α = − = 2 2 3 cos α cos2 α cos α 9 5 25
sen α −4 −3 4 ⇒ sen α= tg α ⋅ cos α= ⋅ = cos α 3 5 5
Si sen α = 0,2, y α es un ángulo agudo halla: a) sen (180º – α)
b) cos (90º – α)
c) cos (–α)
Como α es un ángulo agudo entonces cos α > 0. 2 2 2 2 2 2 sen α + cos α = 1 ⇒ 0,2 + cos α = 1 ⇒ cos α = 1 – 0,2 = 0,96 ⇒ cos α = 0,98
a) sen (180º – α) = sen α = 0,2 8.
b) cos (90º – α) = sen α = 0,2
c) cos (–α) = cos α = 0,98
Demuestra la siguiente igualdad. sen2 x + sen x cos x = sen2 x 1 1+ tg x 2 sen2 x + sen x cos x sen2 x + sen x cos x sen x ( sen x + sen x cos x ) sen2 x ( sen x + cos x ) = = = = sen2 x 1 cos x sen cos sen x + cos x x x + 1+ 1+ tg x sen x
9.
El triángulo de la figura es rectángulo en A. a) Calcula las medidas de los lados desconocidos y de h. b) Calcula las razones trigonométricas del ángulo α. c) Calcula las amplitudes de los ángulos α y β. a) Calculamos la distancia CH : cos 62º =
CH ⇒ CH = cos 62º · 4 = 1,88 cm 4
Aplicando el teorema de Pitágoras: h = 42 − 1,882 =3,53 cm Por el teorema de la altura: 3,532 = 1,88 · BH ⇒= BH
3,532 = 6,63 cm 1,88
CB = CH + BH = 1,88 + 6,63 = 8,51 cm Aplicando el teorema de Pitágoras: AB =
3,532 + 6,632 = 7,51 cm
b) El ángulo de 62º y α son ángulos complementarios. sen α = cos (90º – α) = cos 62º = 0,47 cos α = sen (90º – α) = sen 62º = 0,88 tg α = cotg (90º – α) = cotg 62º =
1 = 0,53 tg 62º
c) α = 180º – (90º + 62º) = 180º – 152º = 28º sen β =
3,53 = 0,47 ⇒ β = arcsen 0,47 = 28º 7,51
Semejanza y trigonometría | Unidad 5
151
6 Aplicaciones de la trigonometría LEE Y COMPRENDE El relato narra cómo se calculó la medida de la Tierra para establecer una medida de longitud universal: el metro. ¿Cómo se llevó a cabo? El cálculo de la medida de la Tierra se llevó a cabo mediante el método de la triangulación. Con este método se pudo calcular la medida del cuadrante de todo el meridiano y, con ello, calcular el tamaño de la Tierra. ¿Qué es la triangulación? ¿En qué se basa? La triangulación es el uso de la geometría de los triángulos para determinar posiciones de puntos, distancias o áreas. Se basa en un teorema elemental de la geometría: “Si se conocen los tres ángulos de un triángulo, más la longitud de uno cualquiera de los lados, se puede calcular la longitud de los otros dos lados”. Como ves, la base de todo este proceso es la resolución de triángulos. ¿Qué crees que es la geodesia? La geodesia es la ciencia que estudia la forma y dimensiones de la Tierra y las posiciones sobre la misma.
INVESTIGA Y REFLEXIONA Las herramientas de medida de los ángulos tienen que ser muy precisas. ¿Qué instrumentos utilizan los topógrafos en la actualidad para hacer este tipo de medidas? ¿Qué popular herramienta tecnológica nos proporciona en la actualidad la distancia entre lugares? Los topógrafos utilizan la brújula, el transito, el teodolito, el taquímetro… El GPS es una popular herramienta tecnológica que nos proporciona la distancia entre lugares.
Y TÚ, ¿QUÉ OPINAS? Todas las herramientas que utilizamos en la actualidad para calcular distancias son posibles gracias a la creatividad de personas como Hipatia, Tales, Eratóstenes, Delambre, … ¿Crees que es imprescindible la creatividad para realizar descubrimientos científicos que ayuden a la evolución de la sociedad? ¿Qué otras cualidades crees que son necesarias? Respuesta libre.
152
Unidad 6| Aplicaciones de la trigonometría
Actividades propuestas 1.
Resuelve estos triángulos rectángulos. a)
c)
b)
d)
a) a =
42 + 82 =
16 + 64 = 8,94 cm
72 − 62 =
49 − 36 = 3,61 cm
= 8 =2⇒ C = arctg 2 = 63º 26´ 6´´ tg C 4
= 6 = 0,86 ⇒ C = arccos 0,86 = 31º 10´´ cos C 7
= 180º – 90º – 63º 26´ 6´´ = 26º 33´ 54´´ B
= 180º – 90º – 31º 10´´ = 58º 59´ 50´´ B
= 180º – 90º – 45º = 45º b) C sen 45º = tg 45º =
2.
c) c =
2 2 ⇒b= = 2,83 cm b sen 45º
2 2 = 2 cm ⇒c= tg 45º c
= 180º – 90º – 30º = 60º d) A cos 30º =
a ⇒ a = 8 · cos 30º = 6,93 cm 8
sen 30º =
b ⇒ b = 8 · sen 30º = 4 cm 8
Resuelve estos triángulos rectángulos.
= 90º, C = 43º, a = 5 cm a) A
= 90º, B = 52º, a = 10 cm c) A
= 90º, a = 8 cm, c = 6 cm b) B
= 90º, a = 5 cm, c = 13 cm d) C
= 180º – 90º – 43º = 47º a) B
= 180º – 90º – 52º = 38º c) C
sen 43º =
c ⇒ c = 5 · sen 43º = 3,41 cm 5
sen 52º =
b ⇒ b = 10 · sen 52º = 7,88 cm 10
cos 43º =
b ⇒ b = 5 · cos 43º = 3,66 cm 5
cos 52º =
c ⇒ c = 10 · cos 52º = 6,16 cm 10
b) b =
62 + 82 =
36 + 64 = 10 cm
d) b =
132 − 52=
169 − 25= 12 cm
= 6 = 0,6 ⇒ B = arccos 0,6 = 53º 7´ 49´´ tg B = 12 = 2,4 ⇒ B = arctg 2,4 = 67º 22´´ 48´´ cos B 5 10
= 180º – 90º – 53º 7´ 49´´ = 36º 52´ 11´´ C
= 180º – 90º – 67º 22´ 48´´ = 22º 37´ 12´´ A
Aplicaciones de la trigonometría | Unidad 6
153
3.
Calcula la altura h en estos triángulos. a)
b)
a) sen 35º =
4.
h ⇒ h = 4 · sen 35º = 2,29 cm 4
b) h =
72 − 62 =
49 − 36 = 3,61 cm
Desde un pozo situado a 200 m del pie del edificio se ve la antena de la azotea bajo un ángulo de 60º. ¿A qué altura se encuentra el extremo de la antena? Llamamos h a la altura a la que se encuentra el extremo de la antena. tg 60º =
h ⇒ h = 200 · tg 60º = 346,41 200
El extremo de la antena se encuentra a 346,41 m. 5.
¿Qué altura alcanza la cometa?
Llamamos h a la altura que alcanza la cometa. La hipotenusa del triángulo es H = 25 + 1,5 = 26,5 m sen 70º =
h ⇒ h = 26,5 · sen 70º = 24,9 26,5
La cometa alcanza una altura de 24,9 m. 6.
Se ha colocado un proyector sobre un trípode de 1,2 m y a una distancia de 5 m de la pantalla medida en el horizontal. La imagen proyectada está a 3 m del suelo. ¿Qué inclinación sobre la horizontal tiene el foco del proyector? Llamamos α al ángulo que forma el foco del proyector con la horizontal. tg α =
7.
154
3 − 1,2 1,8 = = 0,36 ⇒ α = arctg 0,36 = 19º 47´56´´ 5 5
Actividad resuelta.
Unidad 6| Aplicaciones de la trigonometría
8.
Desde la orilla de un río se ve un árbol en la otra orilla bajo un ángulo de 40º, y si se retrocede 4 m, se ve bajo un ángulo de 28º. Calcula la altura del árbol y la anchura del río.
tg 40º =
h ⇒ h = x · tg 40º = 0,84x x
tg 28º =
h ⇒ h = (x + 4)· tg 28º = (x + 4)· 0,53 = 0,53x + 2,12 x+4
Igualando ambas expresiones: 0,84x = 0,53x + 2,12 ⇒ 0,31x = 2,12 ⇒ x = 6,84 m.⇒ h = 5,75 m. 9.
Una escalera de 6 m de longitud está apoyada sobre la ventana de un edificio situada a 4,5 m del suelo. Si bascula sobre su base, se apoya en una farola de 3,20 m situada en la misma acera. a) ¿Con qué ángulo de inclinación está apoyada la escalera sobre la ventana? ¿Y si se apoya sobre la farola? b) Calcula la distancia entre la fachada del edificio y la farola. a) Llamamos α y β a los ángulos de inclinación de la escalera sobre la fachada y sobre la farola, respectivamente. sen α =
4,5 = 0,75 ⇒ α = arcsen 0,75 = 48º 35´ 25´´ 6
sen β =
3,20 = 0,53 ⇒ α = arcsen 0,53 = 32º 20´´ 6
b) Llamamos x a la distancia del pie de la escalera al edificio e y a la distancia del pie de la escalera a la farola. x=
62 − 4,52 = 3,97 m e y =
62 − 3,22 = 5,08 m ⇒ La distancia es 3,97 + 5,08 = 9,05 m.
10. Calcula el lado desconocido en los siguientes triángulos. a)
b)
c)
d)
Aplicando el teorema del seno:
= 180º – 22º – 79º = 79º a) A
= 180º – 2 · 66,4º = 47,2º c) C
8 a 8 ⋅ sen 79º = = ⇒a = 20,96 cm sen 22º sen 79º sen 22º
5 b 5 ⋅ sen 66, 4º = = ⇒b = 5 cm sen 66, 4º sen 66, 4º sen 66, 4º
8 c 8 ⋅ sen 79º = = ⇒c = 20,96 cm sen 22º sen 79º sen 22º
5 c 5 ⋅ sen 47,2º = = ⇒c = 4 cm sen 66, 4º sen 47,2º sen 66, 4º
= 180º – 85º – 60º = 35º b) A
d)
15 12 = = 53º 7´ 48´´ = ⇒ sen C 0,8 ⇒ C sen 92º sen C
3,5 a 3,5 ⋅ sen 85º = = ⇒a = 4,03 cm sen 60º sen 85º sen 60º
= 180º – 92º – 53º 7´ 48´´ = 34º 52´ 12´´ = 34,87º A
3,5 b 3,5 ⋅ sen 35º = = ⇒b = 2,32 cm sen 60º sen 35º sen 60º
a 15 15 ⋅ sen 34,87º = = ⇒a = 8,58 cm sen 34,87º sen 92º sen 92º
Aplicaciones de la trigonometría | Unidad 6
155
11. Halla el lado a de los triángulos en cada caso.
= 80º; b = 5 cm = 38º; B a) A = 110º; b = 6,5 cm; c = 10,25 cm b) C
= 70º; c = 4,96 cm = 51º; B c) C Aplicando el teorema del seno: a)
5 a 5 ⋅ sen 38º = = ⇒a = 3,13 cm sen 80º sen 38º sen 80º
b)
10,25 6,5 = 0,596 ⇒ B = arcsen 0,596 = 36,58º ⇒ A = 180º – 110º – 36,58º = 33,42º = ⇒ sen B sen110º sen B 10,25 10,25 ⋅ sen 33, 42º a = = ⇒a = 6 cm sen110º sen 33, 42º sen110º
= 180º – 70º – 51º = 59º c) A 4,96 a 4,96 ⋅ sen 59º = = ⇒a = 5, 47 cm sen 51º sen 59º sen 51º 12. Calcula los ángulos restantes de los siguientes triángulos.
= 41º; b = 6 cm; c = 6 cm b) C
= 65º; a = 14 cm; c = 15 cm a) A
a) Aplicando el teorema del seno: 14 15 = arcsen 0,886 = 62º = 40º 21´ 0,47´´ = 15 ⋅ sen 65º = 0,886 ⇒ C = ⇒ sen C sen 65º sen C 14
= 180º – 65º – 40º 21´ 0,47´´ = 52º 38´ 59,53´´ B 14 b 14 ⋅ sen 52º 38 ' 59,53 '' = = ⇒b = 12,28 cm sen 65º sen 52º 38 ' 59,53 '' sen 65º
b) Aplicando el teorema del seno: 6 6 6 ⋅ sen 41º ⇒= 41º B B = ⇒ sen= sen 41º sen B 6
= 180º – 82º = 98º A
= a
6 sen 98º = 9,05 cm sen 41º
13. Encuentra el tercer lado de un recinto triangular si dos de sus lados miden 100 m y 120 m y forman un ángulo de 60º. Llamamos a al tercer lado del recinto triangular. Aplicando el teorema del coseno: a2 = 1002 + 1202 – 2 · 100 · 120 · cos 60º = 12 400 ⇒ a = 111,36 El tercer lado del recinto triangular mide 111,36 m.
156
Unidad 6| Aplicaciones de la trigonometría
14. Calcula el valor desconocido. a)
c)
b)
d)
Aplicando el teorema del coseno: a) b2 = 22 + 42 – 2 · 2 · 4 · cos 50º = 9,72 ⇒ b = 3,12 cm b) c2 = 402 + 452 – 2 · 40 · 45 · cos 44º = 1035,38 ⇒ c = 32,18 cm c) b2 = 362 + 262 – 2 · 36 · 26 · cos 69º = 1301,14 ⇒ b = 36,07 cm d) a2 = 62 + 52 – 2 · 6 · 5 · cos 70º = 40,48 ⇒ a = 6,36 cm
en los siguientes triángulos. 15. Halla el ángulo A a) a = 9,85 cm, b = 6 cm, c = 5 cm
b) a = 4 cm, b = 7 cm, c = 9,5 cm
Aplicando el teorema del coseno: 2 2 2 ⇒ cos A = –0,6 ⇒ A = arccos (–0,6) = 126º 52´ 12´´ a) 9,85 = 6 + 5 – 2 · 6 · 5 · cos A 2 2 2 ⇒ cos A = 0,927 ⇒ A = arccos 0,927 = 22º 1´ 41´´ b) 4 = 7 + 9,5 – 2 · 7 · 9,5 · cos A
16. Dos coches que se desplazan con velocidades constantes de 90 km/h y 100 km/h, respectivamente, toman dos carreteras que se bifurcan con un ángulo de 75º. ¿Qué distancia habrá entre ellos cuando lleven 10 minutos de viaje? El primer coche recorre 90 ·
1 1 = 15 km en 10 minutos y, el segundo, 100 · = 16,67 km. 6 6
Llamamos x a la distancia que habrá entre los coches a los 10 minutos y aplicando el teorema del coseno: x2 = 152 + 16,672 – 2 · 15 · 16,67 · cos 75º = 373,45 ⇒ x = 19,32 A los 10 minutos de viaje habrá 19,32 km de distancia entre los coches. 17. Si las piernas de un patinador mide 130 cm de largo cada una, ¿qué ángulo forman si al girar traza una circunferencia de diámetro 90 cm? Llamamos α al ángulo que forman las piernas del patinador al trazar una circunferencia de diámetro 90 cm. Aplicando el teorema del coseno: 902 = 1302 + 1302 – 2 · 130 · 130 · cos α ⇒ cos α = 0,76 ⇒ α = arccos 0,76 = 40º 32´ 9´´
Aplicaciones de la trigonometría | Unidad 6
157
18. Resuelve los siguientes triángulos. a)
b)
a) Llamamos a = 8 cm, b= 6 cm y c = 7 cm. Aplicando el teorema del coseno:
⇒ cos A = 0,25 ⇒ A = arccos 0,25 = 75º 31´ 21´´ 82 = 62 + 72 – 2 · 6 · 7 · cos A 2 2 2 ⇒ cos B = 0,688 ⇒ B = arccos 0,688 = 46º 31´ 41´´ 6 = 8 + 7 – 2 · 8 · 7 · cos B
= 180º – 75º 31´ 21´´ – 46º 31´ 41´´ = 57º 56´ 58´´ C = 22º. = 110º y C b) Llamamos a = 8 cm, B = 180º – 110º – 22º = 48º A Aplicando el teorema del seno: b 8 8 ⋅ sen110º = = ⇒b = 10,12 cm sen 48º sen110º sen 48º
8 8 ⋅ sen 22º c = = ⇒b = 4,03 cm sen 48º sen 22º sen 48º
19. Resuelve los siguientes triángulos y clasifícalos.
= 38º a) a = 25 cm, b = 30 cm y C b) a = 15 cm, b = 55 cm y c = 45 cm a) Aplicando el teorema del coseno: c2 = 252 + 302 – 2 · 25 · 30 · cos 38º = 342,98 ⇒ c = 18,52 cm
⇒ cos A = 0,556 ⇒ A = arccos 0,556 = 56º 13´ 13´´ 252 = 302 + 18,522 – 2 · 30 · 18,52 · cos A 2 2 2 ⇒ cos B = 0,073 ⇒ B = arccos 0,073 = 85º 48´ 49´´ 30 = 25 + 18,52 – 2 · 25 · 18,52 · cos B
Triángulo acutángulo escaleno. b) Aplicando el teorema del coseno:
⇒ cos A = 0,9747 ⇒ A = 12º 54´ 57´´ 152 = 552 + 452 – 2 · 55 · 45 · cos A 2 2 2 ⇒ cos B = –0,574 ⇒ B = arccos –0,574 = 125º 1´ 47´´ 55 = 15 + 45 – 2 · 15 · 45 · cos B
= 180º – 12º 54´ 57´´ – 125º 1´ 47´´ = 42º 3´ 16´´ C
Triángulo obtusángulo escaleno. 20. Calcula el perímetro de un triángulo cuyos lados miden 40 cm y 45 cm y el ángulo comprendido entre ellos, 44º. Llamamos x a la medida del lado del triángulo. Aplicando el teorema del coseno: 2 2 2 x = 40 + 45 – 2 · 40 · 45 · cos 44º = 1035,38 ⇒ x = 32,18 cm
El perímetro del triángulo es P = 40 + 45 + 32,15 = 117,18 cm.
158
Unidad 6| Aplicaciones de la trigonometría
21. El lado de un polígono regular de 15 lados, mide 50 cm. Calcula el radio y la apotema.
r =
a=
50 = 120,24 cm 180º 2 sen 15
50 = 117,62 cm 180º 2 tg 15
22. Indica el número de lados de un polígono regular cuyo radio vale 24,27 cm y cuyo lado mide 15 cm. Llamamos n al número de lados del polígono regular. 24,27 =
15 180º 2 sen n
180º 180º sen = 18º ⇒ n = 10 = 0,309 ⇒ n n El polígono regular tiene 10 lados. 23. Halla el área de los siguientes triángulos. a) a = 15 cm, b = 24 cm, c = 15 cm
= 75º, b = 15 cm, c = 18 cm b) A
⇒ cos C = 0,8 ⇒ α = arccos 0,8 = 36,87º a) Por el teorema del coseno: 152 = 152 + 242 – 2 · 15 · 24 · cos C 1 S = ⋅ 15 ⋅ 24 ⋅ sen 36,87º = 108 cm2 2 b) S =
1 ⋅ 15 ⋅ 18 ⋅ sen 75º = 130,40 cm2 2
24. Calcula el perímetro y el área de un trapecio rectángulo cuyas bases miden 8 y 4 cm y cuya altura mide 3 cm. Llamamos x a la medida del lado oblicuo del trapecio rectángulo. 2 2 2 x = 3 + (8 – 4) = 25 ⇒ x = 5
Entonces, A =
(8 + 4) ⋅ 3 2
= 18 cm2 y P = 8 + 5 + 3 + 4 = 20 cm
25. Halla el área de un tetraedro de lado 5 cm. El
área de un tetraedro es 1 S = 4 ⋅ ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ sen 60º = 43,30 cm2 2
la
suma
de
cuatro
triángulos
equiláteros
de
lado
5
cm:
26. Calcula el área de un sector circular de radio 4 cm y cuyo arco mide 8 cm. 8=
π⋅4⋅α π ⋅ 42 ⋅ 114,59º ⇒ α = 114,59º ⇒ Asector = = 16 cm2 180º 360º
27. Halla el área de un eneágono regular de perímetro 63 cm. El lado del eneágono mide
63 = 7 cm. Por tanto, la apotema medirá a = 9
El área del eneágono es S =
7 = 9,62 cm. 180º 2 tg 9
63 ⋅ 9,62 = 303,03 cm2. 2
Aplicaciones de la trigonometría | Unidad 6
159
28. Calcula la superficie de un prisma de altura 5 cm y cuya base es un triángulo rectángulo isósceles de catetos 2 cm. Llamamos x a la hipotenusa del triángulo rectángulo de la base: x = Alateral = 2 · 5 · 2 + 5 · 2,83 = 34,15 cm2 y Abase =
22 + 22 = 2,83 cm
2⋅2 = 2 cm2 2
Por tanto, Atotal = Alateral + 2 · Abase = 34,15 cm2 + 2 · 2 = 38,15 cm2 29.
El volumen de una pirámide es de 1000 m3, su base es un cuadrado y el ángulo de las alturas laterales con la base es de 30º. ¿Cuál es la longitud del lado de la base? ¿Y la altura de la pirámide? Llamamos x al lado del cuadrado de la base, d a la diagonal de la base y h a la altura de la pirámide.
d=
Entonces V =
x2 ⋅ 3
6x 6 =
x 2 + x 2=
2x 2=
6x3 ⇒ 1000 = 18
2 x cm tg30º =
6x3 ⇒ 18 000 = 18
h 2x 2
3 ⇒ = 3
h 2x 2
⇒= h
6x cm 6
6x 3 ⇒ x = 19,44 cm ⇒ h = 7,93 cm
30. Calcula el volumen de los siguientes cuerpos. a)
b)
a) El volumen total es la suma de los volúmenes de un cubo de arista 4 cm y de un cilindro de radio 2 cm y altura 2 cm. 3 2 3 V = 4 + π · 2 · 2 = 89,13 cm
b) Llamamos r al radio de la base de un cono: tg 20º =
r ⇒ r = 40 · tg 20º = 14,56 cm 40
El volumen total es la suma de los volúmenes de dos conos de altura 40 cm y radio de la base 14,56 cm. V = 2⋅
π ⋅ 14,562 ⋅ 40 = 17 759,93 cm3 3
31. Actividad interactiva. 32. Calcula la medida de los ángulos y lados desconocidos.
160
a)
b)
= 180º – 90º – 40º = 50º a) C
= 180º – 90º – 40º = 60º b) A
sen 40º =
b ⇒ b = 15 · sen 40º = 9,64 cm 15
sen 40º =
cos 40º =
c ⇒ c = 15 · cos 40º = 11,49 cm 15
tg 40º =
Unidad 6| Aplicaciones de la trigonometría
20 20 ⇒c= = 31,11 cm c sen 40º
20 20 ⇒b= = 23,84 cm tg 40º b
es un ángulo recto. 33. Resuelve los triángulos sabiendo que B = 65º, a = 22 cm a) C b) c = 15 cm, b = 18 cm c) a = 20 cm, c = 20 cm
= 180º – 90º – 65º = 25º a) A tg 65º = b) a =
c 22 22 ⇒ c = 22 · tg 65º = 47,18 cm y cos 65º = ⇒b= = 52,06 cm cos 65º 22 b
182 − 152 =
324 − 225 = 9,95 cm
= 56º 26´ 34´´ y A = 180º – 90º – C = 15 = 0,833 ⇒ B = 33º 33´ 26´´ sen C 18 c) b =
202 + 202 =
400 + 400 = 28,28 cm
= 20 = 1 ⇒ A = arctg 1 = 45º y B = 180º – 90º – 45º = 45º tg A 20 34. Un trapecio rectángulo tiene por bases 15 y 25 cm. El lado que no es perpendicular a las bases mide 12 cm. Calcula los ángulos del trapecio.
= 25 − 15 cos D = 0,833 ⇒ D = arccos 0,833 = 33º 35´ 31´´ 12 = 90º = B A
= 360º – 90º – 90º – 33º 35´ 31´´ = 146º 24´ 29´´ C
35. Actividad resuelta. 36. Las proyecciones de los catetos de un triángulo rectángulo sobre su hipotenusa valen m = 3,6 cm y n = 10 cm, respectivamente. Resuelve el triángulo.
Se calcula el lado a = 3,6 + 10 = 13,6 cm. 2 Aplicando el teorema de la altura: h = 3,6 · 10 = 36 ⇒ h = 6 cm
y C : Se calculan los ángulos B
= 6 = 0,6 ⇒ B = arctg 0,6 = 31º tg B 10 = 180º – 90º – 31º = 59º C
Se calculan los lados b y c: cos 59º = c=
3,6 3,6 ⇒b= = 6,99 b cos 59º
13,62 − 6,992 = 11,67 cm
Aplicaciones de la trigonometría | Unidad 6
161
37. Resuelve los siguientes triángulos. a)
b)
a) Aplicando el teorema del coseno:
⇒ cos C = 0,739 ⇒ C = arccos 0,739 = 42º 21´ 13´´ 262 = 362 + 362 – 2 · 36 · 36 · cos C
⇒ cos B = 0,361 ⇒ B = A = arccos 0,361 = 68º 50´ 18´´ 362 = 262 + 362 – 2 · 26 · 36 · cos B = 180º – 109,7º - 49,73º = 20,57º b) C 5 b 5 ⋅ sen 49,73º = = ⇒b = 4,05 cm sen109,7º sen 49,73º sen109,7º
5 c 5 ⋅ sen 20,57º = = ⇒c = 1,87 cm sen109,7º sen 20,57º sen109,7º
38. Resuelve el triángulo. ¿De qué tipo es?
= 180º – 90º – 45º 34´ = 44º 26´ A 7 7 ⋅ sen 45º 34´ c = = ⇒c = 5 cm sen 90º sen 45º 34´ sen 90º 7 a 7 ⋅ sen 44º 26´ = = ⇒a = 4,9 cm sen 90º sen 44º 26´ sen 90º
Es un triángulo rectángulo escaleno. 39. Resuelve estos triángulos y clasifícalos.
= 120º a) a = 5 cm, c = 12 cm, C
= 65º, a = 23 cm, c = 32 cm d) B
= 100º b) a = 20 cm, b = 12 cm, C
= 32º, A = 65º, b = 12 cm e) B
c) a = 20 cm, b = 40 cm, c = 25
f)
= 38º, b = 12 cm, a = 16 cm A
a) Aplicando el teorema del seno: 12 5 = arcsen 0,361 = 21º 9´ 42´´ = 5 ⋅ sen120º = 0,361 ⇒ A = ⇒ sen A sen120º sen A 12
= 180º – 120º – 21º 9´ 42´´ = 38º 50´ 18´´ B 12 b 12 ⋅ sen 38º 50´ 18´´ = = ⇒b = 8,69 cm sen120º sen 38º 50´ 18´´ sen120º
b) Aplicando el teorema del coseno: c2 = 202 + 122 – 2 · 20 · 12 · cos 100º = 627,35 ⇒ c = 25,05 cm
⇒ cos A = 0,618 ⇒ A = arcos 0,618 = 51º 49´ 47´´ 202 = 25,052 + 122 – 2 · 25,05 · 12 · cos A = 180º – 100º – 51º 49´ 47´´ = 28º 10´ 13´´ B c) Aplicando el teorema del coseno:
⇒ cos A = 0,9125 ⇒ A = arcos 0,9125 = 24º 8´ 49´´ 202 = 402 + 252 – 2 · 40 · 25 · cos A 2 2 2 ⇒ cos B = –0,575 ⇒ B = arcos (–0,575) = 125º 5´ 59´´ 40 = 20 + 25 – 2 · 20 · 25 · cos B
= 180º – 24º 8´ 49´´ – 125º 5´ 59´´ = 30º 45´ 12´´ C
162
Unidad 6| Aplicaciones de la trigonometría
d) Aplicando el teorema del coseno: 2 2 2 b = 23 + 32 – 2 · 23 · 32 · cos 65º = 930,91 ⇒ b = 30,51 cm
= 0,730 ⇒ A = 43º 6´ 49´´ 232 = 30,512 + 322 – 2 · 30,51 · 32 · cos A = 180º – 65º – 43º 6´ 49´´ = 71º 53´ 11´´ B
= 180º – 32º – 65º = 83º y aplicando el teorema del seno: e) C 12 a 12 ⋅ sen 65º = = ⇒a = 20,52 cm sen 32º sen 65º sen 32º
12 c 12 ⋅ sen 83º = = ⇒c = 22, 48 cm sen 32º sen 83º sen 32º
f) Aplicando el teorema del seno: 16 12 = arcsen 0,462 = 27º 30´ 58´´ = 12 ⋅ sen 38º = 0, 462 ⇒ B = ⇒ sen B sen 38º sen B 16
= 180º – 38º – 27º 30´ 58´´ = 114º 29´ 2´´ C 16 c 16 ⋅ sen114º 29´ 2´´ = = ⇒c = 23,65 cm sen 38º sen114º 29´ 2´´ sen 38º
Todos los triángulos son escalenos. Además los triángulos a), b), c), f) son obtusángulos, y el resto, acutángulos. 40. La diagonal de un rectángulo mide 25 m y forma con la base un ángulo de 43º 40´. Halla su perímetro y su área. Llamamos b a la base del rectángulo y h a su altura. cos 43º 40´=
b ⇒ b = 25 · cos 43º 40´ = 18,08 m 25
P = 2 · 18,08 + 2 · 17,26 = 70,68 m
sen 43º 40´=
h ⇒ h = 25 · sen 43º 40´ = 17,26 m 25
A = 18,08 · 17,26 = 312,0608 m
2
41. Un trapecio isósceles tiene por bases 30 y 45 cm. Los lados iguales miden 12 cm cada uno. Calcula los ángulos del trapecio.
= sen A
45 − 30 2 = 0,625 ⇒ A = arcsen 0,625 = 38º 40´ 56´´ 12
= D = 38º 40´ 56´´ A
= C = 360º −2 ⋅ 38º 40´ 56´´ B = 141º 19´ 4´´ 2
42. El radio de un octógono regular mide 45 cm. Calcula la medida del lado y de la apotema y el área del octógono. Llamamos l y a a la medida del lado y de la apotema, respectivamente. 45 =
34, 44 l 180º = 41,57 cm ⇒ l = 45 ⋅ 2 sen = 34,44 cm a = 180º 180º 8 2 tg 2 sen 8 8
El área del octógono es A =
8 ⋅ 34, 44 ⋅ 41,57 = 5726,68 cm2. 2
Aplicaciones de la trigonometría | Unidad 6
163
43. Calcula el área total y el volumen de los cuerpos. a)
c)
b)
d)
a) Llamamos h a la altura del cilindro y r al radio de la base. sen 27º =
h ⇒ h = 24 · sen 27º = 10,9 cm 24
cos 27º =
2r 24 ⋅ cos 27º ⇒r= = 10,69 cm 24 2
Atotal = Alateral + 2 · Abase = 2 · π · 10,69 · 10,9 + 2 · π · 10,692 = 732,12 + 718,02 = 1450,14 cm2 V = Abase · h = π · 10,692 · 10,9 = 3913,2 cm3 b) Llamamos d a la diagonal de la base: d = tg 40º =
252 + 252 = 35,36 cm
35,36 h ⇒ h = tg 40º · = 14,84 cm 35,36 2 2
Atotal = Alateral + Abase = 4 ·
H=
19,40 cm 12,52 + 14,842 =
A ⋅ h 625 ⋅ 14,84 = 3091,67 cm3 V= = base 3 3
25 ⋅ 19, 4 + 252 = 970 + 625 = 1595 cm2 2
c) Llamamos x a la altura del cono deficiente. tg 64º =
8 8 ⇒r= = 3,9 cm tg 64º r
h=
8,58 cm 82 + ( 7 − 3,9 ) = 2
7 3,9 31,2 = ⇒ 7x= 3,9x + 31,2 ⇒ 7x − 3,9x= 31,2 ⇒ 3,1x= 31,2 ⇒ x= = 10,06 cm x +8 x 3,1
Atotal = Alateral + Abase inferior + Abase superior = π · (3,9 + 7) · 8,58 + π · 72 + π · 3,92 = 495,23 cm2 V = Vcono grande – Vcono deficiente =
π ⋅ 72 ⋅ ( 8 + 10,06 ) π ⋅ 3,92 ⋅ 10,06 926,71 – 160,23 = 766,48 cm3 − = 3 3
d) Llamamos x a la altura del ortoedro de la base, y, al largo, a, a la apotema de la pirámide de las caras cuya base mide 4 cm, b, a la apotema de la pirámide de las caras cuya base es y, y h, a la altura de la pirámide. tg 26º =
x ⇒ x = 4 · tg 26º = 1,95 cm 4
tg 32º =
3,12 1,56 1,56 ⇒b= = 4,29 cm tg 20º = 2 = tg 20º b b a=
1,95 x 1,95 ⇒y= = 3,12 cm = tg32º y y
h=
4,292 − 22 = 3,8 cm
1,562 + 3,82 = 4,1 cm
At = Al ortoedro + Abase + Al pirámide = (2 · 4 · 1,95 + 2 · 3,12 · 1,95) + 4 · 3,12 + 2 ⋅ V = Vortoedro + Vpirámide = 4 · 1,95 · 3,12 +
164
Unidad 6| Aplicaciones de la trigonometría
4 ⋅ 3,12 ⋅ 3,8 = 40,14 cm3 3
4 ⋅ 4,1 3,12 ⋅ 4,29 + 2⋅ = 70,03 cm2 2 2
44. La generatriz de un cono mide 10 dm y el ángulo que forma esta con la altura del cono es de 36º. Calcula: a) El área total.
b) El volumen del cono.
Llamamos r al radio del cono y h a su altura. a) sen 36º =
r ⇒ r = 10 · sen 36º = 5,88 dm 10
b) cos 36º =
Atotal = π · 5,882 + π · 5,88 · 10 = 293,34 dm2
V=
h ⇒ h = 10 · cos 36º = 8,09 dm 10
π ⋅ 5,882 ⋅ 8,09 = 292,91 cm3 3
45. Calcula las dimensiones del paralelogramo y sus dos alturas h1 y h2.
= B = 360º −2 ⋅ ( 55º +26º )= 99º D 2
Aplicando el teorema del seno en el triángulo ADC: 20 CD 20 ⋅ sen 55º 20 20 ⋅ sen 26º AD = ⇒ AD = = 8,88 cm = BC = ⇒ CD = = 16,59 cm = AB y sen 99º sen 26º sen 99º sen 99º sen 55º sen 99º
Calculamos las alturas h1 y h2: sen (55º + 26º) =
h2 h1 ⇒ h1 = 8,77 y sen (55º + 26º) = ⇒ h2 = 16,39 cm 16,59 8,88
46. Junto a un compañero, encontrad una fórmula que proporcione el área de un polígono regular en función del número de lados, n, y la medida de su lado a. Aplícala para obtener las áreas de cuatro polígonos regulares. a 180º 2 tg n = 2
n ⋅a⋅ P ⋅a A= = 2
na 2 180º 4 tg n
Respuesta abierta. 47.
En una esfera de 10 cm de radio se inscribe un cono, tal y como aparece en la figura. Halla el volumen del cono si el área de su base es de 50 cm2.
El área de la base del cono es Ab = π · r2 ⇒ 50 = π · r2 ⇒ r = 3,99 cm. Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo sombreado: r2 + (h – 10)2 = 102 ⇒ (h – 10)2 = 100 – r2 ⇒ h = 10 + El volumen del cono es V =
100 − r 2 = 19,17 cm
50 ⋅ 19,17 = 319,5 cm3. 3
Aplicaciones de la trigonometría | Unidad 6
165
48. Desde un lugar situado cerca de una montaña se observa su cumbre con un ángulo de elevación de 45º. Si se retrocede 1061 metros, el ángulo es de 30º. Calcula la altura de la montaña.
tg 45º =
h ⇒ h = x tg 45º = x x
tg30º =
h ⇒= h tg30º·( x + 1061 = ) 0,58x + 612,57 x + 1061
Igualando: x = 0,58x + 612,57 ⇒ 0,42x = 612,57 ⇒ x = 1458,5 m
49. Se quiere calcular la distancia que separa las cimas de dos montañas. Para ello, se fijan dos puntos P y Q distantes entre sí 50 m y que forman los ángulos que aparecen en la figura. ¿Cuál es la distancia entre las dos cimas?
Llamamos x = PB , y = AP y d = AB Aplicando el teorema del seno en el triángulo BPQ:
50 50 ⋅ sen130º x = = ⇒x = 111,99 m sen130º sen 20º sen 20º Aplicando el teorema del seno en el triángulo APQ:
y 50 50 ⋅ sen 45º = = ⇒y = 83,66 m sen 45º sen 25º sen 25º Aplicando el teorema del coseno en el triángulo PAB: d2 = x2 + y2 – 2xy · cos 80º = 111,992 + 83,662 – 2 · 111,99 · 83,66 · cos 80º = 16 286,91 ⇒ d = 127, 62 m 50. Calcula la distancia PQ sabiendo que:
AB = 16 m α1 = 84º 30´ α2 = 36º α3 = 40º 30 α4 = 76º Llamamos x = AQ , y = AP y d = PQ Aplicando el teorema del seno en el triángulo QAB:
x 16 16 ⋅ sen104º = = ⇒x = 54,66 m sen104º sen16º 30´ sen16º 30´ Aplicando el teorema del seno en el triángulo APB:
y 16 16 ⋅ sen 63º 30´ = ⇒ = y = 39,96 m sen 63º 30´ sen 21º sen 21º Aplicando el teorema del coseno en el triángulo APQ: d2 = x2 + y2 – 2xy · cos 36º = 54,662 + 39,962 – 2 · 54,66 · 39,96 · cos 36º = 1050,39 ⇒ d = 32,41 m 51. Actividad resuelta.
166
Unidad 6| Aplicaciones de la trigonometría
52. Dos puntos A y B de la esfera terrestre están situados en un mismo paralelo de latitud 48º N y sus longitudes respectivas son de 160º E y 80º E. Calcula las distancias que los separan sobre el paralelo común y sobre el círculo máximo de la esfera que pasa por los dos puntos. Radio de la Tierra: R = 6371 km. Calculamos la medida en grados del arco AB: 160º – 80º = 80º Hallamos el radio, r, del paralelo de la esfera terrestre de latitud 48º: r = 6371 · cos 48º = 4263,03 km La distancia de A a B sobre el arco que determinan estos dos puntos en el paralelo en el que están situados es: L=
π ⋅ 4263,03 ⋅ 80º = 5952,3127 km 180º
La distancia de A a B sobre el arco de circunferencia máxima que determinan estos dos puntos es: L=
π ⋅ 6371⋅ 48º = 5337,36 km 180º
mide 120º; los ángulos B y D son ángulos rectos, AB = 13 y AD = 53. En el cuadrilátero ABCD, el ángulo A 46. La longitud AC es: A. 60
B. 62
C. 64
D. 65 2
2
= 360º – 120º – 90º – 90º = 60º y AC = DC + 462 = 360º – A – B – D C Trazamos por D una paralela a AB. Se construye el triángulo rectángulo DEC.
= 180º – 90º – 60º = 30º ⇒ ADE – C = D – EDC = 180º – E = 90º – 30º = 60º EDC = 46 · cos 60º = 23 ⇒ DE = DF + FE = DF + AB = 23 + 13 = 36 DF = 46 · cos ADE = DE ⇒ cos 30º = 36 ⇒ DC = 36 = 41,57 cos EDC cos 30º DC DC 2
2
Por tanto, AC = DC + 462 = 41,572 + 462 = 3844,06 ⇒ AC = 62 La respuesta correcta es la B. 54. ¿Cuántos triángulos de área 10 tienen por vértices los puntos (5cos α, 5senα), (–5, 0) y (5, 0)? A. 0
B. 2
C. 4
D. 6
Tomamos como base del triángulo el segmento de extremos (–5, 0) y (5, 0). El área de este triángulo es A = Si A = 10, entonces 10 =
10 ⋅ h , donde h es la altura del triángulo. 2
10 ⋅ h ⇒ h = 2. Por tanto, la ordenada en el origen de la altura debe ser 2 o –2. 2
Luego 5sen α = 2 o 5sen α = –2. Calculamos los ángulos α, 0º < α < 360º, tales que 5sen α = 2 o 5sen α = –2. Si 5sen α = 2 ⇒ sen α =
{
2 2 23,58º ⇒ α = arcsen = 156,42º 5 5
Si 5sen α = –2 ⇒ sen α = −
{
2 2 156, 42º ⇒ α = arcsen − = 336, 42º 5 5
Hay en total cuatro valores que cumplen que 5sen α = 2 o 5sen α = –2, con 0º < α < 360º. La respuesta correcta es la C.
Aplicaciones de la trigonometría | Unidad 6
167
Encuentra el error
y la 55. Los lados de un triángulo miden a = 12 cm, b = 15 cm y c = 25 cm. Calcula la medida del ángulo A medida del ángulo C . Aplicando el teorema del coseno: 2 2 2 ⇒ 122 = 152 + 252 – 2 · 15 · 25cos A ⇒ 144 = 225 + 625 – 750cos A ⇒ a = b + c – 2bccos A
⇒ cos A = 144 = 1,44 ⇒144 = 100cos A 100 y, por tanto, los datos no se corresponden Como el coseno ha salido mayor que 1, no se puede calcular A con ningún triángulo. Aplicando el teorema del coseno: 2 2 2 ⇒ 252 = 122 + 152 – 2 · 12 · 15cos C ⇒ 625 = 144 + 225 – 360cos C ⇒ c = a + b – 2ab cos C
= –256 ⇒ cos C = − 256 < 0 ⇒ 360cos C 360 y, por tanto, los datos no se corresponden Como el coseno ha salido negativo, no se puede calcular C con ningún triángulo. ¿Dónde está el error? En la primera aplicación del teorema del coseno, el error está al resolver la ecuación:
⇒ –706 = –750cos A = 706 = 0,94 ⇒144 – 225 – 625 = –750cos A ⇒ cos A 144 = 225 + 625 – 750cos A 750 = arccos 0,94 = 19º 56´ 54´´ Por tanto, A En la segunda aplicación del teorema del coseno, el error está al decidir que no existen ángulos cuyo coseno sea negativo: = arccos (–0,71) = 135º 14´ 6´´ = − 256 = –0,71 ⇒ C cos C 360
PONTE A PRUEBA El cuadro Actividad resuelta. Tiro a gol Olga entrena para la competición de fútbol femenino. El campo donde entrena es un rectángulo de dimensiones 40 m x 25 m y el ancho de la portería es de 3 m. El entrenador le ha pedido que se coloque justo en P, que es el punto medio de la banda. Olga quiere saber qué ángulo α de tiro a gol tiene ese punto. 1.
Busca dos triángulos rectángulos, en los que intervenga, de alguna forma, el ángulo α e indica el valor de sus catetos. Se forman dos triángulos rectángulos, PAB y PAC, en los que de alguna forma interviene el ángulo α.
168
Unidad 6| Aplicaciones de la trigonometría
Triángulo PAB: AP = 20 m y AB:
25 3 − = 11 m 2 2
Triángulo PAC: AP = 20 m y AC:
25 3 + = 14 m 2 2
2.
Con la ayuda de estos triángulos, calcula el valor de α como diferencia de dos ángulos agudos de ellos. tg (α + β) =
14 11 11 14 ⇒ α + β = arctg = 34º 59´ 31´´ y tg β = ⇒ β = arctg = 28º 48´ 39´´ 20 20 20 20
Entonces α = 34º 59´ 31´´ – 28º 48´ 39´´ = 6º 10´ 52´´ 3.
Si se coloca en otro punto Q situado a 10 m del córner, ¿tiene mayor o menor ángulo de tiro que en P? Triángulo QAB: AQ = 10 m y B:
25 3 − = 11 m 2 2
Triángulo QAC: AQ = 10 m y AC:
25 3 + = 14 m 2 2
+ BQC = 54º 27´ 44´´ y tg AQB = 11 ⇒ AQB = 47º 43´ 35´´ + BQC = 14 ⇒ AQB tg AQB 10 10
(
)
= 54º 27´ 44´´ – 47º 43´ 35´´ = 6º 44´ 9´´. El ángulo de tiro es mayor en Q que en P. Entonces BQC
Las agujas del reloj Las agujas del reloj de la estación de trenes miden 30 y 25 cm respectivamente. Se considera el triángulo que tiene los vértices en el centro del reloj y en los extremos las agujas. 1.
Expresa el área del triángulo en función del ángulo α que forman las agujas.
1 S = ⋅ 25 ⋅ 30 ⋅ sen α 2 2.
¿Cuál es el área del triángulo a las 3 en punto? ¿Y a las 8 en punto? A las 3 en punto forman un ángulo de 90º, S = 375 cm2. Y a las 8 en punto un ángulo de 120º, S = 325 cm2
3.
¿Cuál es el área a las 12 y media? A las 12 y media no se forma un triángulo porque los extremos de las agujas y el centro del reloj están alineados.
4.
Si a una hora entre las 12 y las 12:30 el área del triángulo es de 375 cm2, ¿qué hora es?
1 ⋅ 25 ⋅ 30 ⋅ sen α ⇒ α= 90º , hay que hallar la hora, entre las 12 y las 12:30, en la que las agujas del 2 reloj formen un ángulo de 90º. En un minuto la aguja de las horas avanza 0,5º y, la de los minutos, 6º. Como 375=
Supongamos que son las 12 h x min, con 0 < x < 30. En este caso la manecilla de las horas habrá avanzado 0,5xº y, la de los minutos, 6xº. Se plantea la ecuación 6x – 0,5x = 90, cuya solución es x = 16,36. Por tanto, son las 12 h 16,36 minutos. Es decir, las 12 h 16 min 22 s.
La pirámide La pirámide del Museo de Louvre, en París, tiene una base cuadrada de lado 35 m y caras laterales que son triángulos isósceles cuyo ángulos iguales miden 57,8º. 1.
El tercer ángulo de cada cara lateral es… A. 14,5º
B. 64,4º
C. 72,2º
D. 122,2º
El tercer ángulo de cada cara lateral es de 180º – 2 · 57,8º = 64,4º. La respuesta correcta es la B.
Aplicaciones de la trigonometría | Unidad 6
169
2.
¿Cuánto mide la arista lateral? A. 27,8 m
B. 32,8m
C. 35m
D. 37,3 m
Llamamos x a la medida de la arista lateral. cos 57,8º =
17,5 17,5 ⇒x= = 32,84 m cos 57,8º x
La respuesta correcta es la B. 3.
Halla el área de cada cara lateral y del total de la pirámide. Llamamos a a la apotema de la cara lateral: a = El área de una cara lateral será A =
32,842 − 17,52 = 27,79 m
35 ⋅ 27,79 = 486,33 m2 y, el área lateral, Alateral = 4 · 486,33 = 1945,32 m2. 2
Entonces, Atotal = Alateral + Abase = 1945,32 + 352 = 3170,32 m2. 4.
Calcula la altura y el volumen de la pirámide. Llamamos h a la altura de la pirámide: h =
27,792 − 17,52 = 21,6 m ⇒ V =
352 ⋅ 21,6 = 8820 m3 3
AUTOEVALUACIÓN 1.
Resuelve los siguientes triángulos. a)
b)
= 180º – 90º – 35º = 55º a) C sen 35º = tg 35º = b) a =
2.
18 18 ⇒b= = 31,38 cm sen 35º b
18 18 ⇒c= = 25,71 cm tg35º c
82 − 52 = 6,25 cm
c)
d)
= 180º – 30º – 34º = 116º c) C 16 a 16 ⋅ sen 30º = = ⇒a = 14,31 cm sen 34º sen 30º sen 34º 16 c 16 ⋅ sen116º = = ⇒c = 25,72 cm sen 34º sen116º sen 34º
d) c2 = 122 + 202 – 2 · 12 · 20cos85º = 502,17 ⇒ c = 22,41
8 6,25 = 0,78 ⇒ C = 51,26º = ⇒ sen C sen 90º sen C
22, 41 20 0,889 ⇒= 62,75º = ⇒ sen= B B sen 85º sen B
= 180º – 90º – 51,26º = 38,74º A
= 180º – 85º – 62,75º = 32,25º A
Calcula el área del triángulo de lados 15, 25 y 30 cm, respectivamente. Llamando α al ángulo comprendido entre los lados de 25 y 30 cm, y aplicando el teorema del coseno: 152 = 252 + 302 – 2 · 25 · 30 · cos α ⇒ cos α = 0,867 ⇒ α = arccos 0,867 = 29,89º 1 Por tanto, A = ⋅ 25 ⋅ 30 ⋅ sen 29,89º = 186,88 cm2. 2
170
Unidad 6| Aplicaciones de la trigonometría
3.
Halla la medida de los lados desconocidos de este trapecio rectángulo. Calcula el área del trapecio.
sen 25º =
b a ⇒ b = 12 · sen 25º = 5,07 cm y cos 25º = ⇒ a = 12 · cos 25º = 10,88 cm 12 12
12 15 12 ⋅ sen 65º ⇒= sen α = 0,725 ⇒ α = arsen 0,725 = 46º 28´ 8´´ Aplicando el teorema del seno = sen α sen 65º 15 β = 180º – 65º – 46º 28´ 8´´ = 68º 31´ 52´´ Aplicando el teorema del coseno: c2 = 122 + 152 – 2 · 12 · 15 · cos 68º 31´ 52´´ = 237,24 ⇒ c = 15,4 cm A= 4.
(5,07 + 15, 4)·10,88 = 111,36 cm2 2
Para que una antena permanezca vertical se le han colocado dos anclajes en el suelo a ambos lados y alineados con su base. La distancia entre los anclajes es de 40 m y si se observa la parte más alta de la antena desde cada uno de ellos, los ángulos de elevación son de 30º y 60º, respectivamente. Halla la altura de la antena. tg 60º =
h ⇒ h = x · tg 60º = 1,732x x
tg 30º =
h ⇒ h = (40 – x) · tg 30º = 23,08 – 0,577x 40 − x
Igualando: 1,732x = 23,08 – 0,577x ⇒ x = 10 m ⇒ h = 17,32 m 5.
Calcula el área y el volumen del cuerpo geométrico.
Llamamos h a la altura del cilindro inferior y x a la del superior. tg 40º =
x h ⇒ h = 9 · tg 40º = 7,55 cm y tg 65º = ⇒ x = 3 · tg 65º = 6,43 cm 9 3
2 2 Atotal = Acilindro inferiror + Alateral cilindro superior = 2 · π · 9 + 2 · π · 9 · 7,55 + 2 · π · 3 · 6,43 = 1057,08 cm 2 2 3 V = Vcilindro inferiror + Vcilindro superior = π · 9 · 7,55 + π · 3 · 6,43 = 2103,04 cm
6.
2 La luna tiene una superficie de 38 000 000 km y se encuentra a 380 000 km de la Tierra. ¿Qué ángulo ocupa en el cielo? 2 Llamamos r al radio de la luna: 38 000 000 = 4πr ⇒ r = 1739 km
Llamando α al ángulo que ocupa la luna en el cielo, y aplicando el teorema del coseno: 34782 = 380 0002 + 380 0002 – 2 · 380 0002 · cos α ⇒ cos α = 0,999 958 ⇒ α = arccos 0,999 958 = 31´ 30´´
Aplicaciones de la trigonometría | Unidad 6
171
7 Geometría analítica ANALIZA Y CALCULA ¿Qué ángulo formarán las direcciones de las bolas si ambas siguen en la misma línea recta? Las direcciones de las bolas, si ambas siguen en la misma línea recta, formarán un ángulo de 0º. ¿Qué crees que quiere decir ecuación vectorial? ¿Y ecuación escalar? Una ecuación vectorial es una igualdad entre dos expresiones algebraicas en la que intervienen vectores y una ecuación escalar es una igualdad entre dos expresiones algebraicas. ¿Qué es un choque elástico? Un choque elástico es una colisión entre dos o más objetos en la que estos no sufren deformaciones.
REFLEXIONA Y SACA CONCLUSIONES Una bola de billar al golpear una banda lateral sigue las leyes de reflexión, es decir, el ángulo que forma la trayectoria de la bola con la banda antes de golpear y el ángulo después del choque miden lo mismo. ¿En qué otros fenómenos se producen las leyes de reflexión? Respuesta modelo: la reflexión de la luz, el sonido o las ondas en el agua. En el billar francés, a tres bandas, una bola ha de golpear a las otras dos y tocar en tres de las bandas de la mesa. En las bandas largas hay dibujados 7 rombos o diamantes y en las cortas hay 3. Investiga cómo utilizan los jugadores profesionales los rombos para conseguir carambolas. Respuesta libre.
Actividades propuestas 1.
2. 3.
4.
Calcula las coordenadas de los vectores AB , BC y CA . AB = (4, 2) BC = (0, –4) CA = (–4, 2)
Actividad resuelta.
Las coordenadas de un punto P son (1, 3), y las del vector PQ , (–2, –2). Calcula las coordenadas de Q y de QP . Q = (1, 3) + (–2, –2) = (–1, 1) y QP = (1 + 1, 3 – 1) = (2, 2) Calcula el módulo del vector AB en cada caso.
a) Origen A(–1, 0) y extremo B(3, 5) a)
172
AB =
( 3 + 1)
2
+ 52 =
Unidad 7| Geometría analítica
41
b) Origen A(7, –4) y extremo B(–2, 3) b)
AB =
( −2 − 7 )
2
+ (3 + 4) = 2
130
5.
Identifica los vectores equipolentes de la imagen y los vectores libres que determinan.
No hay vectores equipolentes porque todos los vectores tienen distinto módulo, dirección o sentido.
6.
Calcula la distancia entre los puntos: a) A(5, –3) y B(1, –1) a) d(A, B) = AB=
7.
(1 − 5 )
b) C(–2, 3) y D(–1, –4) 2
+ ( −1 + 3 ) = 2 5 2
b) d(C, D) = CD =
( −1 + 2 )
2
+ ( −4 − 3 ) = 5 2 2
Los vértices de un triángulo son A(3, 5), B(10, 0) y C(4, –1). a) Calcula los vectores de forman cada lado. b) Halla la longitud de cada lado. a) AB = (10 – 3, 0 – 5) = (7, –5)
8.
9.
b) d(A, B) = AB=
72 + ( −5 )= 2
BC = (4 – 10, –1 – 0) = (–6, –1)
d(B, C) = BC =
( −6 )
AC = (4 – 3, –1 – 5) = (1, –6)
d(C, A) = AC=
12 + ( −6 ) =
2
74
+ ( −1) = 2
2
37 37
Si u = (–3, 2), v = (1, 2) y w = (0, 3), realiza las operaciones. a) u + v c) v + w b) 5u + w d) 3 w + 2 v a) u + v = (–3 + 1, 2 + 2) = (–2, 4) c) v + w = (1 + 0, 2 + 3) = (1, 5) b) 5u + w = (–15, 10) + (0, 3) = (–15, 13) d) 3 w + 2 v = (0, 9) + (2, 4) = (2, 13) Dados los vectores u = (4, 2), v = (–6, 3) y w = (2, 0), indica si son linealmente dependientes. a) u y v b) u y w c) v y w a) u y v son linealmente independientes porque no existe k ∈ tal que u = k · v . b) u y w son linealmente independientes porque no existe k ∈ tal que u = k · w . c) v y w son linealmente independientes porque no existe k ∈ tal que v = k · w .
10. Actividad resuelta. 11. Comprueba si los puntos A(–2, 3), B(–2, 1) y C(–5, 5) están alineados.
Para que A, B y C estén alineados debe verificarse que los vectores AB y AC sean proporcionales. Por tanto: 0 −2 AB = −2 + 2, 1 − 3 ) = ( 0, − 2 ) ( ≠ ⇒ Los puntos A, B y C no están alineados. ⇒ AC = ( −5 + 2, 5 − 3 ) = ( −3, 2 ) 2 −3
12. Actividad resuelta.
Geometría analítica | Unidad 7
173
13. Dado el segmento de extremos A(2, –5) y B(10, –1), halla los puntos P, Q y R que dividen AB en cuatro partes iguales.
1 8 4 Si se considera el vector AB = (10 – 2, –1 + 5) = (8, 4), se observa que:= AP = AB = , 4 4 4 OP = OA + AP = (2, –5) + (2, 1) = (4, –4) ⇒ P(4, –4) OQ = OA + 2 AP = (2, –5) + 2(2, 1) = (6, –3) ⇒ Q(6, –3) OR = OA + 3 AP = (2, –5) + 3(2, 1) = (8, –2) ⇒ R(8, –2)
( 2, 1) y, por tanto:
14. Actividad resuelta.
15. Dados los vectores u = (–2, 2) y v = (–1, 3), calcula su producto escalar, sus módulos y el ángulo que forman.
u =
u ⋅ v = –2 (–1) + 2 · 3 = 2 + 6 = 8
cos u, v =
( )
8
( −2 )
2
+ 22 = 8 = 2 2
v =
( −1)
2
+ 32 = 10
= 0,894 ⇒ α = arccos 0,894 = 26º 37´ 11´´
2 2 ⋅ 10
16. Actividad resuelta.
17. Calcula el valor de m para que los vectores u = (m, 2m – 1) y v = (1 – m, m): a) Sean perpendiculares. b) Tengan un módulo de 1. a) u ⋅ v = m · (1 – m) + (2m – 1) · m = m – m2 + 2m2 – m = m2 = 0 ⇒ m = 0. b) = u
m 2 + ( 2m − 1)= 2
m 2 + 4m 2 + 1 − 4m =
2 5m 2 − 4m += 1 1 ⇒ 5m – 4m = 0 ⇒ m = 0 o m =
4 5
2 2 v = (1 − m ) + m 2 = 1 + m 2 − 2m + m 2 = 2m 2 − 2m + 1 =1 ⇒ 2m – 2m = 0 ⇒ m = 0 o m = 1
18. Comprueba si el triángulo de vértices A(8, 9), B(2, 1) y C(1, 8) es rectángulo e indica el vértice correspondiente al ángulo recto. Se consideran los vectores AC = (1 – 8, 8 – 9) = (–7, –1) y AC · BC = –7 · (–1) + (–1) · 7 = 7 – 7 = 0 ⇒ Los vectores
BC = (1 – 2, 8 – 1) = (–1, 7). AC y BC son perpendiculares.
El triángulo es rectángulo y C es el vértice correspondiente al ángulo recto.
19. Calcula los ángulos del triángulo A(–1, 0), B(2, –1) y C(4, 2). ¿Suman 180º?
Sean los vectores AB = (3, –1), BA = (–3, 1), BC = (2, 3), CB = (–2, –3), AC = (5, 2), y CA = (–5, –2).
cos BA, BC =
(
)
cos CB, CA =
(
)
cos AB, AC =
(
)
−3 ⋅ 2 + 1⋅ 3 3 + ( −1) ⋅ 2 + 3 2
2
2
2⋅5 + 3⋅2 22 + 3 2 ⋅ 5 2 + 22
2
=
3 ⋅ 5 − 1⋅ 2 3 + ( −1) ⋅ 5 + 2 2
2
2
2
=
−3 10 ⋅ 13
16 13 ⋅ 29 =
= –0,263 11 ⇒ α = arccos –0,263 11 = 105º 15´ 16´´
= 0,824 04 ⇒ β = arccos 0,824 04 = 34º 30´ 31´´
13 10 ⋅ 29
= 0,76 338 ⇒ γ = arccos 0,763 38 = 40º 14´ 13´´
α + β + γ = 105º 15´ 16´´ + 34º 30´ 31´´ + 40º 14´ 13´´ = 180º
174
Unidad 7| Geometría analítica
20. Actividad resuelta. 21. Indica si A(0, –1) y B(6, –1) pertenecen o no a las rectas. a) r:
{yx==−32+−3tt
a) A sí pertenece a la recta r porque B no pertenece a la recta r porque
b) s: 2x – 3y = 15
3 + 3t 0= 3 + 3t t= −1 ⇒ ⇒ {yx = =−2 − t {−1 =−2 − t {t =−1 3 + 3t 6= 3 + 3t t= 1 ⇒ ⇒ {yx = =−2 − t {−1 =−2 − t {t =−1
b) A no pertenece a la recta s porque 2 · 0 – 3 · (–1) = 3 ≠ 15 B sí pertenece a la recta s porque 2 · 6 – 3 · (–1) = 12 + 3 = 15
22. Halla un punto, un vector director y un vector normal de cada una de las siguientes rectas. a) 4x – 3y – 1 = 0
b) y = x c) (x, y) = (–3, 2) + t(–1, 4) Llamamos P a un punto de la recta, v , a un vector director, y n , a un vector normal. a) P(1 , 1), v = (3, 4) y n = (4, –3) b) P(0 , 0), v = (1, 1) y n = (1, –1) c) P(–3 , 2), v = (–1, 4) y n = (4, 1)
23. Halla dos puntos de cada una de las siguientes rectas y el vector director. a) (x, y) = (1, 1) + t(0, –3) b)
{yx= = 32t− 5t
c) y – 3 = –2(x + 5) d) x =
y+4 5
Llamamos P y Q a dos puntos de la recta, y v , a un vector director.
a) Si t = 0 ⇒ x = 1, y = 1 ⇒ P(1, 1) Si t = 1 ⇒ x = 1, y = –2 ⇒ Q(1, –2) v = (0, –3) b) Si t = 0 ⇒ x = 0, y = 3 ⇒ P(0, 3)
c) Si x = 0, y = –7 ⇒ P(0, –7) Si x = –1, y = –5 ⇒ P(–1, –5)
y – 3 = –2(x + 5) ⇒ 2x + y + 7 = 0 ⇒ v = (–1, 2)
d) Si x = 0, y = –4 ⇒ P(0, –4)
Si t = 1 ⇒ x = 2, y = –2 ⇒ Q(2, –2)
Si x = 1, y = 1 ⇒ P(1, 1)
v = (2, –5)
x=
y +4 ⇒ 5x – y – 4 = 0 ⇒ v = (1, 5) 5
24. Actividad resuelta. 25. Calcula la ecuación continua de la recta que pasa por los puntos: a) P(–2, 3) y Q(1, 2)
b) P(0, 3) y Q(–2, –3)
x −1 y − 2 = a) El vector PQ = (3, –1) es el vector director de la recta. La ecuación continua es . 3 −1 x y −3 = b) El vector PQ = (–2, –6) es el vector director de la recta. La ecuación continua es . −2 −6
Geometría analítica | Unidad 7
175
26. Calcula la ecuación general de la recta que pasa por P(–2, 3) y tiene pendiente m = –4.
Como m = –4, un vector director de la recta es v = (1, –4). Por tanto, la ecuación general de la recta es de la forma 4x + y + k = 0, con k ∈ . Como la recta pasa por P(–2, 3), entonces 4 ·(–2) + 3 + k = 0 ⇒ k = 5 La ecuación general de la recta que pasa por P(–2, 3) y tiene pendiente m = –4 es 4x + y + 5 = 0.
27. Calcula, en todas sus formas posibles, la ecuación de la recta en los siguientes casos. a) Pasa por el punto A(5, –2) y lleva dirección del vector u = (1, –3). b) Pasa por el punto A(–5, 4) y tiene pendiente m = –2. c) Pasa por los puntos A(–1, 3) y B(5, –2) Calcula la pendiente y la ordenada en el origen de cada una. a) Un vector director es u (–1, 3). Por tanto, la pendiente de la recta es m = –3. Ecuación vectorial: (x, y) = (5, –2) + t(1, –3)
Ecuación general: 3x + y – 13 = 0
Ecuaciones paramétricas:
Ecuación explícita: y = –3x + 13
Ecuación continua:
{yx==−52+−t 3t donde t ∈
x −5 y +2 = 1 −3
Ecuación punto – pendiente: y + 2 = –3(x – 5)
La ordenada en el origen es n = 13.
b) La pendiente de la recta es m = –2. Por tanto, un vector director es v (1, –2).
Ecuación vectorial: (x, y) = (–5, 4) + t(1, –2) Ecuaciones paramétricas: Ecuación continua:
5+t {xy=− = 4 − 2t
Ecuación general: 2x + y + 6 = 0
donde t ∈
x +5 y −4 = 1 −2
Ecuación explícita: y = –2x – 6 Ecuación punto – pendiente: y – 4 = –2(x + 5)
La ordenada en el origen es n = –6. 5 c) La recta pasa por A(–1, 3) y B(5, –2). Por tanto, un vector director es v (6, –5). La pendiente es m = – . 6
Ecuación vectorial: (x, y) = (–1, 3) + t(6, –5)
Ecuación general: 5x + 6y – 13 = 0
Ecuaciones paramétricas:
Ecuación explícita: y =
Ecuación continua:
{xy==−31−+56t t donde t ∈
x +1 y − 3 = −5 6
La ordenada en el origen es n =
−5x 13 + 6 6
Ecuación punto – pendiente: y – 3 = –
5 (x + 1) 6
13 . 6
28. Estudia la posición relativa de las rectas. a) r: 2x + y – 5 = 0 y s: 4x + 3y = 11 a)
2 1 ≠ ⇒ Rectas secantes 4 3
b) r : − b) −
1 3 5 x+ y+ = 0 y s: 2x – 3y – 5 = 0 2 4 4
1 1 3 5 :2= − = : ( −3 ) = : (−5) ⇒ Rectas coincidentes 2 4 4 4
29. Actividad resuelta. 30. Calcula el valor de m para que las rectas r: 5x + my + 1 = 0 y s: –x – y + 3 = 0 sean paralelas. ¿Hay algún valor de m que las haga coincidentes? ¿Y secantes?
m 5 5 5 1 = ⇒m= 5 ⇒ = ≠ −1 −1 −1 −1 3 Para m ≠ 5 las rectas son secantes y para m = 5 las rectas son paralelas.
176
Unidad 7| Geometría analítica
31. Halla la ecuación de la recta paralela a r: 3x – 4y = 12 y que pasa por el punto P(5, –5). Las rectas paralelas a r: 3x – 4y = 12 son de la forma 3x – 4y + k = 0. Como la recta pasa por P, entonces 3 · 5 – 4 · (–5) + k = 0 ⇒ k = –35. La ecuación de la recta es: 3x – 4y –35 = 0
32. Halla la ecuación de la recta perpendicular a r: –2x – 4y = 5 y que pasa por el origen de coordenadas. Las rectas perpendiculares a r: –2x – 4y = 5 son de la forma –4x + 2y + k = 0. Como la recta pasa por el origen de coordenadas, entonces –4 · 0 + 2 · 0 + k = 0 ⇒ k = 0. La ecuación de la recta perpendicular a r pasando por el origen de coordenadas es: –4x + 2y = 0
{ x=
2 − 2t
33. Dada la recta de ecuaciones paramétricas r: y =−1 + 3t : a) Calcula su ecuación general. b) Halla la recta paralela a r que pasa por A(–1, 4). c) ¿Cuál es la ecuación de la perpendicular a r que pasa por (–2, 2)? a)
y +1 {yx==−21−+23tt ⇒ x−−22 = 3
⇒ 3x – 6 = –2y – 2 ⇒ 3x + 2y – 4 = 0
b) Las rectas paralelas a r: 3x + 2y – 4 = 0 son de la forma 3x + 2y + k = 0. Como la recta pasa por A, entonces 3 · (–1) + 2 · 4 + k = 0 ⇒ k = –5. La ecuación de la recta paralela a r pasando por A es: 3x + 2y – 5= 0 c) Las rectas perpendiculares a r: 3x + 2y – 4 = 0 son de la forma 2x – 3y + k = 0. Como la recta pasa por A, entonces 2 · (–2) – 3 · 2 + k = 0 ⇒ k = 10. La ecuación de la recta perpendicular a r pasando por (–2, 2) es: 2x – 3y + 10 = 0
34. Halla la ecuación explícita de la recta que pasa por el punto A(–2, 4) y es paralela a la que tiene por ecuación 7x – 14y + 3 = 0.
Las rectas paralelas a r: 7x – 14y + 3 = 0 son de la forma 7x – 14y + k = 0. Como la recta pasa por A, entonces 7 · (–2) – 14 · 4 + k = 0 ⇒ k = 70. La ecuación de la recta paralelas a r pasando por A es: 7x – 14y + 70 = 0
y Despejando y se obtiene su ecuación explícita: =
x 7x 70 + +5 . Es decir, y= 14 14 2
Geometría analítica | Unidad 7
177
35. Comprueba si las rectas r y s son perpendiculares. a) r:
1 3 5 3 x− y = −6 y s: x − y = −8 2 5 6 5
b) r:
2 1 x+ y = 0 y s: 3 4
{
x= 2 + 5t x =−2 + t 1 y s: c) r: y =−4 + 10t = − y t 3 2
x= 2 − 3t y= 3 − 9 t 8
3 1 3 5 a) Un vector director de la recta r es v = , y uno de la recta s es w = , . 5 6 5 2 3 1 3 5 3 3 1 5 9 5 233 v ⋅w = , ⋅ , = ⋅ + ⋅ = + = ≠ 0 ⇒ Las rectas no son perpendiculares. 5 2 5 6 5 5 2 6 25 12 300 −1 2 −9 b) Un vector director de la recta r es v = , y uno de la recta s es w = −3, . 8 4 3 −1 2 −9 −1 2 −9 3 18 3 3 v ⋅ w = , ⋅ −3, ⋅ ( −3 ) + ⋅ − = − = 0 ⇒ Las rectas son perpendiculares. = = 8 4 3 8 4 24 4 4 4 3 −1 c) Un vector director de la recta r es v = 5, y uno de la recta s es w = (1, 10). 2 −1 −1 v ⋅ w = 5, ⋅ (1,10 ) = 5 ⋅ 1 + ⋅ 10 = 5 − 5 = 0 ⇒ Las rectas son perpendiculares. 2 2
36. Decide en cuáles de los siguientes triángulos casos los puntos A, B y C están alineados y en cuáles forman un triángulo.
a) A(–1, –5), B(0, –3), C(–2, –7) b) A(1, –2), B(0, 1), C(–2, 7) c) A(1, 2), B(2, 7), C(–1, 3)
Para que A, B y C estén alineados debe verificarse que los vectores AB y AC sean proporcionales. Por tanto: 1 2 AB = ( 0 + 1, − 3 + 5 ) = (1, 2 ) a) = ⇒ A, B y C están alineados y, por tanto, no forman un triángulo. ⇒ AC = ( −2 + 1, − 7 + 5 ) = ( −1, − 2 ) −1 −2 AB =( 0 − 1, 1 + 2 ) =− ( 1, 3 ) ⇒ −1 =3 ⇒ A, B y C están alineados y, por tanto, no forman un triángulo. b) AC = ( −2 − 1, 7 + 2 ) = ( −3, 9 ) −3 9 1 5 AB = ( 2 − 1, 7 − 2 ) = (1, 5 ) c) ≠ ⇒ A, B y C no están alineados y, por tanto, forman un triángulo. ⇒ AC = ( −1 − 1, 3 − 2 ) = ( −2, 1) −2 1
37. Actividad resuelta.
38. Dados los puntos A, B, C y D, calcula las coordenadas de los vectores BA , CD , BC y AD . ¿Cuáles de ellos son equipolentes?
BA CD BC AD
= (4 + 1, 5 +1) = (5, 6) = (6 – 1, 4 + 2) = (5, 6) = (1 + 1, –2 + 1) = (2, –1)
= (6 – 4, 4 – 5) = (2, –1) Son equipolentes BA con CD y BC con AD .
178
Unidad 7| Geometría analítica
39. Calcula las coordenadas del punto A y el módulo del vector AB = (5, 3) si el punto B es (–1, 4). A = (–1 – 5, 4 – 3) = (–6, 1) y AB =
52 + 32 =
34
40. Calcula la distancia entre los puntos. a) A(4, –2) y B(0, 9) a) d(A, B) = AB =
b) C(–1, 10) y D(8, –5)
(0 − 4)
2
+ ( 9 + 2) = 2
137
b) d(C, D) = CD=
( 8 + 1)
2
+ ( −5 − 10 )= 2
306 = 3 34
41. Calcula los puntos P, Q, R y S que dividen el segmento de extremos A(–2, 6) y B(13, –4) en cinco partes iguales.
1 15 −10 Si se considera el vector AB = (13 + 2, –4 – 6) = (15, –10), se observa que: AP = AB = , = 5 5 5 por tanto: OP = OA + AP = (–2, 6) + (3, –2) = (1, 4) ⇒ P(1, 4) OQ = OA + 2 AP = (–2, 6) + 2(3, –2) = (4, 2) ⇒ Q(4, 2) OR = OA + 3 AP = (–2, 6) + 3(3, –2) = (7, 0) ⇒ R(7, 0) OS = OA + 4 AP = (–2, 6) + 4(3, –2) = (10, –2) ⇒ S(10, –2)
( 3, − 2 ) y,
42. Actividad resuelta. 43. Calcula el valor o los valores de m para que A, B y C estén alineados. a) A(5, 0), B(2, 4), C(m, 8) b) A(–2, 2), B(m, m – 1), C(0, –6) c) A(4, –5), B(m, –4), C(2, –m)
Para que A, B y C estén alineados debe verificarse que los vectores AB y AC sean proporcionales. Por tanto: a) AB = (–3, 4) y AC = (m – 5, 8)
m−5 8 m−5 = ⇒ =2 ⇒ m − 5 =−6 ⇒ m =−1 −3 −3 4 b) AB = (m + 2, m – 3) y AC = (2, –8) 2 −8 = ⇒ 2m − 6 =−8m − 16 ⇒ 10m =−10 ⇒ m =−1 m+2 m−3 c) AB = (m – 4, 1) y AC = (–2, –m + 5)
{
9± 9 9±3 −2 −m + 5 6 = ⇒ −2 = ( m − 4 )( −m + 5 ) ⇒ −2 = −m 2 + 9m − 20 ⇒ m 2 − 9m + 18 = 0 ⇒ m = = = 3 m−4 1 2 2
44. Realiza estas operaciones con vectores. a) (2, –1) – (4, 3)
c) 2(–4, 0) – 3(–1, 2)
e) (3, –1) – 5(1, –2)
b) 6(–3, 1) + (10, –2)
d) 4(1, –1) + 2(3, 0)
f) (9, 6) – 2(4, 1)
a) (2, –1) – (4, 3) = (–2, –4)
c) 2(–4, 0) – 3(–1, 2) = (–5, –6)
e) (3, –1) – 5(1, –2) = (–2, 9)
b) 6(–3, 1) + (10, –2) = (–8, 4)
d) 4(1, –1) + 2(3, 0) = (10, –4)
f) (9, 6) – 2(4, 1) = (1, 4)
Geometría analítica | Unidad 7
179
45. Dados los vectores u = (5, –3), v = (–1, 4) y w = (2, 2), calcula. a) u − v + w
(
d) 5w − 3v + u
)
b) 3u − 2 w − v
(
e) 2 w + v − u
)
(
1 v −u 2 a) u − v + w = (5, –3) – (1, 6) = (4, –9)
(
c)
3 u − 2v + w 4 d) 5w − 3v + u = (10, 10) – (–3, 12) + (5, –3) = (18, –5)
)
(
f)
)
b) 3u − 2 w − v = (15, –9) – (6, –4) = (9, –5)
(
c)
e) 2 w + v − u = 2(1, 6) – (5, –3) = (–3, 15)
)
(
1 1 7 v − u = ( −6, 7 ) = −3, 2 2 2
(
)
)
f)
)
3 9 31 33 15 u − 2v + w = , − – (–2, 8) + (2, 2) = , − 4 4 4 4 4
46. Calcula el valor de x e y en cada caso. a) (5, –9) =3(x, y) – 2(x, 0)
c) (2y, 0) =(x, y) – 2(x, 5)
b) (x, –4) =2(y, 5) + (3, x)
d) (3x, –y) =2(1, –x) + (y, 9)
a)
b)
x= 3 x − 2x 5 ⇒{ {−59= =3y y =−3 −17 y = 2 x = 2y + 3 −14 = 2y + 3 ⇒ ⇒⇒ −4 =10 + x x =−14 x = −14
{
{
c)
= x − 2x x= −2y x= −20 ⇒{ ⇒{ {02y= y − 10 y= 10 y= 10
d)
y= 2+y 3x − 2 ⇒{ ⇒ x =−7 ⇒ y =− 23 {−3yx = =−2x + 9 y =2x − 9
47. Halla las coordenadas de los puntos medios de los lados del triángulo de vértices A(2, 1), B(2, 5) y C(–2, 3). Los puntos medios de los lados del triángulo son: 2 + 2 5 + 1 MAB , = (2, 3) 2 2
2 − 2 1+ 3 MAC , = (0, 2) 2 2
2−2 5+3 MBC , = (0, 4) 2 2
48. Estudia si los vectores u = (2, –4), v = (3, 1) y w = (11, –15) son linealmente dependientes.
Los vectores son linealmente dependientes porque (11, –15) = 4(2, –4) + (3, 1). Es decir, w = 4u + v .
49. Escribe a = (–7, –9) como combinación lineal de los vectores u = (4, –3) y v = (5, 1).
Para que sea combinación lineal deben existir dos números reales, λ y µ, tales que a = λu + µv .
(–7, –9) = λ(4, –3) + µ(5, 1) ⇒
{−−97 == −43λλ++5µµ ⇒ {45−7 == 154λλ+−55µµ ⇒ 38 = 19λ ⇒ λ = 2 ⇒ µ = −3
50. Expresa los vectores c y d como combinación lineal de a y b . a = (0, 2), b = (2, –2), c = (0, 4) y d = (6, 0). (0, 4) = λ(0, 2) + µ(2, –2) ⇒ (6, 0) = λ(0, 2) + µ(2, –2) ⇒
180
Unidad 7| Geometría analítica
{µλ ==02 {
c 2a + 0b ⇒=
µ =3 d 3a + 3b ⇒= λ =3
a 2u − 3v . ⇒=
51. Actividad resuelta. 52. Calcula el punto simétrico de: a) A(–3, 7) respecto del punto P(0, –3). b) A(3, 1) respecto del punto P(2, 2). 3 2 1 c) A , 1 respecto del punto P − , . 2 3 2 Llamamos A´(a, b) al simétrico de A respecto P.
−3 + a 7+b , −3 = ⇒ a =3, b =−13 ⇒ A´( 3, −13 ) a) 0 = 2 2
3+a 1+ b ,2= ⇒ a = 1, b = 3 ⇒ A´(1,3 ) 2 2
b) 2 =
3 +a 2 2 1 1+ b 17 17 c) − = , = ⇒a= − ,b = 0 ⇒ A´ − ,0 3 2 2 2 6 6
53. Dados u = (5, 8), v = (–2, 6) y w = (–1, –3), calcula:
c) v ⋅ w
a) u ⋅ v b) u ⋅ w
d) u ⋅ ( v + w )
a) u ⋅ v = 5 · (–2) + 8 · 6 = –10 + 48 = 38 b) u ⋅ w = 5 · (–1) + 8 · (–3) = –5 – 24 = –29
c) v ⋅ w = (–2) · (–1) + 6 · (–3) = 2 – 18 = –16
d) u ⋅ (v + w ) = (5, 8) · (–3, 3) = 5 · (–3) + 8 · 3 = –15 + 24 = 9
54. Conocidos los vectores u = (–6, 8) y v = (1, 7), realiza las siguientes operaciones. a) u ⋅ v
b)
c)
( −2u ) ⋅ v
( −2u ) ⋅ v
d) 2v − 3u
a) u ⋅ v = (–6) · 1 + 8 · 7 = –6 + 56 = 50
b)
u − 3v
c)
= 12 · 1 + (–16) · 7 = 12 – 112 = –100 d)
u − 3v = |(–9, –13)| = 2v − 3u = |(18, –10)| =
( −9 )
2
+ ( −13 = ) 2
182 + ( −10 = ) 2
250 = 5 10 424 = 2 106
55. Estudia si las siguientes parejas de vectores son perpendiculares entre sí.
a) u = (6, 9) y v = (–3, 2) c) u = (–3, 6) y v = (10, 5) d) u = (–1, –2) y v = (4, 2) b) u = (2, 4) y v = (–8, –4) a) u ⋅ v = 6 · (–3) + 9 · 2 = –18 + 18 = 0 ⇒ u y v son perpendiculares entre sí. b) u ⋅ v = 2 · (–8) + 4 · (–4) = –16 – 16 = –32 ≠ 0 ⇒ u y v no son perpendiculares entre sí. c) u ⋅ v = (–3) · 10 + 6 · 5 = –30 + 30 = 0 ⇒ u y v son perpendiculares entre sí. d) u ⋅ v = (–1) · 4 + (–2) · 2 = –4 – 4 = –8 ≠ 0 ⇒ u y v no son perpendiculares entre sí.
Geometría analítica | Unidad 7
181
56. Calcula el ángulo que forman los vectores. a) u = (–2, –4) y v = (2, –1) b) u = (3, 9) y v = (2, –1) c) u = 2, 3
(
)
a) cos u, v =
( )
b) cos u, v =
( )
y v =
3, 1
−2 ⋅ 2 + ( −4 ) ⋅ ( −1)
( −2 )
2
+ ( −4 ) ⋅ 2 + ( −1) 2
2
3 ⋅ 2 + 9 ⋅ ( −1) 3 + 9 ⋅ 2 + ( −1) 2
2
c) cos u, v =
( )
)
(
2
2
2 +
( ) ( ) 2
3
⋅
3
2
0
=
20 ⋅ 5
−3
=
90 ⋅ 5
2 ⋅ 3 + 3 ⋅1 2
2
= –0,14 142 ⇒ α = arccos –0,14 142 = 98º 7´ 44´´
3 3
=
7⋅ 4
+1
2
= 0 ⇒ α = arccos 0 = 90º
= 0,98 198 ⇒ α = arccos 0,98198 = 10º 53´ 37´´
57. Calcula el ángulo que forman los vectores u y v sabiendo que u = 2 , v = 1 y que u ⋅ v =3 . cos u, v =
3 3 ⇒ α = arccos = 2 ⋅1 2
( )
3 = 30º 2
58. Comprueba si son perpendiculares los vectores u = (6, 15) y v = (5, –2). u ⋅ v = 6 · 5 + 15 · (–2) = 30 – 30 = 0 ⇒ u y v son perpendiculares entre sí.
59. Halla el valor de a para que los vectores u = (a, 3) y v = (–1, 5) sean perpendiculares. u ⋅ v = a · (–1) + 3 · 5 = –a + 15 = 0 ⇒ a = 15
60. Calcula el valor de a para que los vectores u = (4, 3) y v = (a, 1) formen un ángulo de 45º. cos 45º =
4a + 3 2 ⇒ cos u, v = = 2 5 a 2 + 12
(
2 2 2 ⇒ 8a + 6= 5 2a 2 + 2 ⇒ 64a + 96a + 36 = 50a + 50 ⇒ 2
)
⇒ 14a2 + 96a – 14= =0⇒ a
−7 4 =1 28 7
−96 ± 100 = 28
61. Determina mediante vectores si el triángulo de vértices A(–4, –2), B(0, 1) y C(3, 2) es rectángulo. Consideramos los vectores BA = (–4, –3) y BC = (3, 1).
cos BA, BC =
(
182
)
( −4 ) ⋅ 3 + ( −3 ) ⋅ 1 2 2 ( −4 ) + ( −3 ) ⋅ 32 + 12
Unidad 7| Geometría analítica
=
−15 5 10
= –0,948 68 ⇒ α = 161º 33´ 52´´ ⇒ Triángulo obtusángulo.
62. Clasifica los siguientes triángulos según sus lados y según sus ángulos. a) A(3, 4), B(4, –1), C(–1, –2) a) AB = (1, –5), AC = (–4, –6) y BC = (–5, –1) AB=
26 , AC =
12 + ( −5 ) = 2
cos AB, BC =
(
)
( −4 )
( −5 )
1 + ( −5 ) ⋅ 2
2
52 , BC =
+ ( −6 ) =
2
2
1⋅ ( −5 ) + ( −5 ) ⋅ ( −1) 2
b) A(–1, –2), B(3, 4), C(6, –2)
+ ( −1)
2
=
0 26 26
( −5 )
2
+ ( −1) = 2
26 ⇒ Triángulo isósceles.
= 0 ⇒ α = 90º ⇒ Triángulo rectángulo.
b) AB = (4, 6), AC = (7, 0) y BC = (3, –6)
AB =
42 + 62 =
cos BA, BC =
(
)
cos BC, AC =
(
)
cos AB, AC =
(
)
52 , AC =
72 + 02 = 7 , BC=
−4 ⋅ 3 − 6 ⋅ ( −6 ) 3 + 6 ⋅ 4 + ( −6 ) 2
2
2
2
3 ⋅ 7 + ( −6 ) ⋅ 0 32 + ( −6 ) ⋅ 72 + 02 2
4⋅7 + 6⋅0 42 + 62 ⋅ 72 + 02
=
24
=
=
45 52 21 7 45
28 7 52
32 + ( −6 )= 2
45 ⇒ Triángulo escaleno.
= 0,496 ⇒ α = arccos 0,496 = 60º 15´ 51´´
= 0,447 ⇒ α = arccos 0,447 = 63º 26´ 55´´
= 0,555 ⇒ α = arccos 0,555 = 56º 17´ 21´´
El triángulo es acutángulo.
63. Comprueba si el punto B(4, –6) pertenece a alguna de las rectas siguientes. a) y = 9 – 3x
b) 5x + 3y – 2 = 0
a) 9 – 3 · 4 = 9 – 12 = –3 ⇒ El punto B no pertenece a la recta. b) 5 · 4 + 3 · (–6) – 2 = 20 – 18 – 2 = 0 ⇒ El punto B pertenece a la recta.
64. Determina el vector director, un vector normal y un punto de las siguientes rectas. a)
x −3 y +4 = 5 −2
b) (x, y) = (4, 0) + t(2, –6) a) P(3 , –4), v = (–2, 5) y n = (5, 2) b) P(4 , 0), v = (2, –6) y n = (6, 2)
c)
{yx== 52 +− 3t t
d) 4x – y = 0
c) P(2 , 5), v = (–1, 3) y n = (3, 1)
d) P(0 , 0), v = (1, 4) y n = (4, –1)
{ x =−1+ 2t
65. Obtén un punto, un vector director y la pendiente de la recta de ecuaciones paramétricas: r: y = 5t Un punto P(–1, 0), un vector director v = (2, 5) y la pendiente m = 2,5.
Geometría analítica | Unidad 7
183
66. Escribe de todas las formas posibles la ecuación de las siguientes rectas. a) Pasa por el punto A(3, 1) y tiene la dirección del vector u = (5, –2).
b) Pasa por el punto A(–2, 2) y su pendiente es m = –3. a) Ecuación vectorial: (x, y) = (3, 1) + t(5, –2) Ecuaciones paramétricas: Ecuación continua:
{xy== 31−+ 25tt donde t ∈
x − 3 y −1 = 5 −2
Ecuación continua:
Ecuación explícita: y =
−2x 11 + 5 5
Ecuación punto – pendiente: y – 1 =
b) Ecuación vectorial: (x, y) = (–2, 2) + t(1, –3) Ecuaciones paramétricas:
Ecuación general: 2x +5y – 11 = 0
{xy==−22−+3tt donde t ∈
x +2 y −2 = 1 −3
−2 (x – 3) 5
Ecuación general: 3x + y + 4 = 0 Ecuación explícita: y = –3x – 4 Ecuación punto – pendiente: y – 2 = –3(x + 2)
67. Escribe de todas las formas posibles la ecuación de las rectas. a) r: 3x – 2y = –10 b) r:
c) r: y = –2x + 3
x −3 y +1 = 4 2
d) r :
a) La pendiente es m =
3 y un punto por el que pasa (0, 5). 2
Ecuación vectorial: (x, y) = (0, 5) + t(2, 3) Ecuaciones paramétricas: Ecuación continua:
{yx==−21+−23tt
{yx==
0 + 2t donde t ∈ 5 + 3t
x y −5 = 2 3
Ecuación general: 3x – 2y + 10 = 0 Ecuación explícita: y =
3x +5 2
Ecuación punto – pendiente: y – 5 =
b) Un vector director v = (4, 2) y un punto por el que pasa (3, –1).
Ecuación vectorial: (x, y) = (3, –1) + t(4, 2)
Ecuación general: 2x – 4y – 10 = 0
Ecuaciones paramétricas:
Ecuación explícita: y =
Ecuación continua:
{yx==−31++42t t donde t ∈
x − 3 y +1 = 4 2
3 x 2
2x 10 − 4 4
Ecuación punto – pendiente: y + 1 =
2 (x – 3) 4
c) La pendiente es m = –2 y un punto por el que pasa (0, 3). Ecuación vectorial: (x, y) = (0, 3) + t(1, –2)
Ecuación general: 2x + y – 3 = 0
Ecuaciones paramétricas:
Ecuación explícita: y = –2x + 3
Ecuación continua:
{yx== t3 − 2t donde t ∈
x y −3 = −2 1
Ecuación punto – pendiente: y – 3 = –2x
d) Un vector director v = (2, –3) y un punto por el que pasa (2, –1).
Ecuación vectorial: (x, y) = (2, –1) + t(2, –3)
Ecuación general: 3x + 2y – 4 = 0
Ecuaciones paramétricas:
Ecuación explícita: y =
Ecuación continua:
184
{yx==−21+−23tt donde t ∈
x − 2 y +1 = 2 −3
Unidad 7| Geometría analítica
−3x +2 2
Ecuación punto – pendiente: y + 1 =
−3 (x – 2) 2
68. Halla la pendiente y un punto por el que pasa cada una de las siguientes rectas y represéntalas gráficamente. a)
x +1 =y 2
c) 5x – 2y + 3 = 0
b)
x −3 y −2 = 5 −4
d)
x y − = 1 8 5
a) Punto P(–1, 0) y pendiente m =
1 2
c) Punto P(1, 4) y pendiente m =
5 2
b) Punto P(3, 2) y pendiente m =
−4 5
d) Punto P(8, 0) y pendiente m =
5 8
69. ¿Son secantes las rectas r: 4x – 5y – 2 = 0 y s: y = 2x – 4? En caso afirmativo, calcula su punto de corte. Las formas generales de las rectas r y s son: r: 4x – 5y – 2 = 0 y s: 2x – y – 4 = 0. Se estudian los coeficientes de x e y:
4 −5 ≠ ⇒ Las rectas son secantes, es decir, se cortan en un punto P. 2 −1
Para calcular el punto de corte P se resuelve el sistema:
{=4yx −25xy−−42 =0 ⇒ 4x − 5 (2x − 4) − 2 = 0 ⇒ 4x − 10x + 20 − 2 = 0 ⇒ −6x = −18 ⇒ x = 3 ⇒ y = 2
⇒ P(3, 2)
70. Estudia la posición relativa de estos pares de rectas. a) r: 4x – 6y + 10 = 0 y s: 2x – 3y + 4 = 0
b) r: 2x + 3y + 6 = 0 y s: 6x + 9y + 18 = 0
4 −6 10 ≠ a) = ⇒ Las rectas son paralelas. 2 −3 4
b)
2 3 6 = = ⇒ Las rectas son coincidentes. 6 9 18
71. Estudia la posición relativa de estos pares de rectas y, si son secantes, halla su punto de corte. a) r: 2x – 5y + 7 = 0 y s: x – 2y – 2 = 0 b) r: 6x + 4y – 12 = 0 y s: 3x + 2y – 6 = 0 c) r: x – 5y + 3 = 0 y s: 3x – 15y + 8 = 0 a)
2 −5 ≠ ⇒ Las rectas son secantes. Para calcular el punto de corte P se resuelve el sistema: 1 −2
{
{
2x − 5= y +7 0 2x − 5= y +7 0 ⇒ ⇒ 4y + 4 − 5y + 7 = 0 ⇒ y = 11 ⇒ x = 24 ⇒ El punto de corte es P(24, 11). x − 2y − 2 = 0 x = 2y + 2
b)
6 4 −12 = = ⇒ Las rectas son coincidentes. 3 2 −6
1 −5 3 ≠ ⇒ Las rectas son paralelas. c)= 3 −15 8
Geometría analítica | Unidad 7
185
72. Calcula la ecuación general de las rectas que contienen a los lados del triángulo de vértices A(–2, 3), B(1, –1) y C(2, –2).
Ecuación de la recta que pasa por A y B:
x +2 y −3 x +2 y −3 = ⇒ = ⇒ −4x − 8= 3y − 9 ⇒ 4x + 3y= 1 1 + 2 −1 − 3 3 −4 Ecuación de la recta que pasa por B y C:
x −1 y +1 x −1 y +1 = ⇒ = ⇒ x − 1 =−y − 1 ⇒ x + y = 0 1 − 2 −1 + 2 −1 1 Ecuación de la recta que pasa por A y C:
x+2 y −3 x +2 y −3 = ⇒ = ⇒ −5x − 10 = 4y − 12 ⇒ 5x + 4y= 2 2 + 2 −2 − 3 4 −5
73. Actividad resuelta. 74. Calcula la ecuación general de la recta r si cumple las siguientes condiciones. a) Pasa por A(–2, –4) y forma un ángulo de 45º con la parte positiva del eje X. b) Pasa por el origen de coordenadas y forma un ángulo de 60º con la parte positiva del eje X. a) Como la recta forma un ángulo de 45º con la parte positiva del eje X, su pendiente será m = tg 45º = 1. Utilizando la ecuación punto – pendiente: y + 4 = x + 2 ⇒ x – y – 2 = 0. b) Como la recta forma un ángulo de 60º con la parte positiva del eje X, su pendiente será m = tg 60º = Utilizando la ecuación punto – pendiente: y =
3 x⇒
3 x – y = 0.
75. Actividad resuelta. 76. Dados los puntos A(2, 3), B(–4, –1) y C(0, 2): a) Calcula las ecuaciones de todas las rectas que pasan por dos de los puntos anteriores. b) Calcula la paralela a la que contiene a A y a B y que pasa por C. c) Calcula la perpendicular a la que contiene a A y a B y que pasa por C. a) Ecuación de la recta que pasa por A y B:
x −2 y −3 x −2 y −3 = ⇒ = ⇒ −4x + 8 =−6y + 18 ⇒ 4x − 6y =−10 ⇒ 2x − 3y + 5 =0 −4 − 2 −1 − 3 −6 −4 Ecuación de la recta que pasa por B y C:
x −0 y −2 x y −2 = ⇒ = ⇒ −3x = −4y + 8 ⇒ 3x − 4y + 8 = 0 −4 − 0 −1 − 2 −4 −3 Ecuación de la recta que pasa por A y C:
x −0 y −2 x y −2 = ⇒= ⇒= x 2y − 4 ⇒ x − 2y += 4 0 2−0 3−2 2 1 b) Las rectas paralelas a 2x – 3y + 5 = 0 son de la forma 2x – 3y + k = 0. Como la recta pasa por C, entonces 2 · 0 – 3 · 2 + k = 0 ⇒ k = 6. La ecuación de la recta paralela a la que contiene a A y a B y que pasa por C es: 2x – 3y + 6 = 0 c) Las rectas perpendiculares a 2x – 3y + 5 = 0 son de la forma 3x + 2y + k = 0. Como la recta pasa por C, entonces 3 · 0 – 2 · 2 + k = 0 ⇒ k = 4. La ecuación de la recta perpendicular a la que contiene a A y a B y que pasa por C es: 3x + 2y + 4 = 0
186
Unidad 7| Geometría analítica
3.
77. Halla la ecuación de la recta perpendicular a la que pasa por los puntos A(–2, 3) y B(–1, –1) y que pasa por el origen de coordenadas.
Se calcula la ecuación de la recta que pasa por A y B:
x +2 y −3 x +2 y −3 = ⇒ = ⇒ 4x += 8 −y + 3 ⇒ 4x + y += 5 0 −2 + 1 3 + 1 −1 4 Las rectas perpendiculares a 4x + y + 5 = 0 son de la forma –x + 4y + k = 0. Como la recta pasa por el origen de coordenadas, entonces –0 + 4 · 0 + k = 0 ⇒ k = 0. La ecuación de la recta perpendicular es: –x + 4y = 0
78. Calcula la ecuación de la recta que pasa por el punto A(0, 3) y por el punto de corte de r: 8x – 5y + 2 = 0 y s: 2x + y – 4 = 0.
Para calcular el punto de corte, P, de las rectas r y s se resuelve el sistema:
{
{
8x − 5y + 2 =0 8x − 5y =−2 ⇒ ⇒ 18x =18 ⇒ x =1 ⇒ y =2 ⇒ El punto de corte de r y s es P(1, 2). +y −4 0 x + 5y 20 2x = 10=
Calculamos la ecuación de la recta que pasa por A(0, 3) y P(1, 2):
x −0 y −3 x y −3 = ⇒ = ⇒= −x y − 3 ⇒ x + y= −3 0 1− 0 2 − 3 1 −1
79. Halla la mediatriz del segmento de extremos A y B en los siguientes casos. a) A(–2, 4) y B(2, –4)
b) A(1, 4) y B(–2, 3)
a) Calculamos la ecuación de la recta r que pasa por A y B:
x+2 y −4 x+2 y −4 = ⇒ = ⇒ 8x + 16= −4y + 16 ⇒ 8x + 4y= 0 ⇒ 2x + y= 0 −2 − 2 4 + 4 −4 8 −2 + 2 4 − 4 , Hallamos el punto medio, M, del segmento de extremos A y B: M = ( 0, 0 ) 2 2 Las rectas perpendiculares a 2x + y = 0 son de la forma –x + 2y + k = 0. Como la recta perpendicular a r pasa por M = (0, 0), entonces –0 + 2 · 0 + k = 0 ⇒ k = 0. La mediatriz del segmento de extremos A y B es: –x + 2y = 0 b) Calculamos la ecuación de la recta r que pasa por A y B:
x −1 y − 4 x −1 y − 4 = ⇒ = ⇒ x −= 1 3y − 12 ⇒ x − 3y + = 11 0 1+ 2 4 − 3 3 1 1 − 2 4 + 3 −1 7 Hallamos el punto medio, M, del segmento de extremos A y B: M , = , 2 2 2 2 Las rectas perpendiculares a x – 3y + 11 = 0 son de la forma 3x + y + k = 0. −1 7 −1 7 Como la recta perpendicular a r pasa por M , , entonces 3 ⋅ + + k = 0 ⇒ k = –2. 2 2 2 2 La mediatriz del segmento de extremos A y B es: 3x + y – 2 = 0
Geometría analítica | Unidad 7
187
80. Halla las medianas y el baricentro del triángulo de vértices A(–3, 2), B(1, 6) y C(5, 0). Las medianas de un triángulo son las rectas que pasan por un vértice y por el punto medio del lado opuesto. El baricentro es el punto donde se cortan las medianas. Calculamos los puntos medios de los lados del triángulo: 1+ 5 6 + 0 −3 + 5 2 + 0 −3 + 1 2 + 6 M , , , = (3, 3) y P = (1, 1) = (–1, 4), N 2 2 2 2 2 2 Hallamos las ecuaciones de las medianas:
x +3 = −3 − 3 x −5 = mCM: 5 +1 mBP: x = 1
mAN:
y −2 x +3 y −2 ⇒ = ⇒ −x= − 3 −6y + 12 ⇒ x − 6y += 15 0 2−3 −6 −1 y −0 x −5 y ⇒ = ⇒ −4x + 20 = 6y ⇒ 4x + 6y − 20 = 0 ⇒ 2x + 3y − 10 = 0 0−4 6 −4
Se calcula el baricentro resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de dos medianas: 16 8 8 0 ⇒ El punto baricentro es el punto G 1, . ⇒ 1 − 6y + 15 = 0 ⇒ y = = {xx −= 61y + 15 = 6 3 3
81. Se consideran las rectas r: y = x – 3 y s, determinada por los puntos A(7, 5) y B(–4, 1). ¿Cuál es su posición relativa?
Calculamos la ecuación de la recta s que pasa por A(7, 5) y B(–4, 1):
x −7 y −5 = ⇒ 4x − 28 = 11y − 55 ⇒ 4x − 11y + 27 = 0 11 4 Las formas generales de las rectas r y s son: r: x – y – 3 = 0 y s: 4x – 11y + 27 = 0 1 −1 ≠ ⇒ Las rectas son secantes, es decir, se cortan en un punto. Se estudian los coeficientes de x e y: 4 −11
82. Los lados de un triángulo de vienen dados por las rectas 3x – y – 6 = 0, 3x + y – 18 = 0 e y= 0. a) Halla las coordenadas de los vértices. b) Clasifica el triángulo en función de sus lados. c) Halla las ecuaciones de las medianas. d) Halla el baricentro del triángulo. a) Calculamos el vértice A, intersección de las rectas 3x – y – 6 = 0 y 3x + y – 18 = 0: 3x − y − 6 = 0 ⇒ 6x − 24 = 0 ⇒ x = 4 ⇒ y = 6 ⇒ Vértice A = (4, 6). 3x + y − 18 = 0
{
Calculamos el vértice B, intersección de las rectas 3x – y – 6 = 0 e y = 0 ⇒ Vértice B = (2, 0). Calculamos el vértice C, intersección de las rectas 3x + y – 18 = 0 e y = 0 ⇒ Vértice C = (6, 0). b) AB = (–2, –6), AC = (2, –6) y BC = (4, 0) 2 2 2 42 + 02 = 4 = 2 10 , BC = AB = ( −2 ) + ( −6 ) = 40 = 2 10 , AC= 22 + ( −6 )= 40 El triángulo es isósceles. c) Calculamos los puntos medios de los lados del triángulo: 2+6 0+0 4+6 6+0 4+2 6+0 M , , , = (4, 0) y P = (5, 3) = (3, 3), N 2 2 2 2 2 2 Hallamos las ecuaciones de las medianas: mAN: x = 4 x −6 y −0 x −6 y = ⇒ = ⇒ x − 6 =−y ⇒ x + y − 6 =0 mCM: 6−3 0−3 3 −3 x −2 y −0 x −2 y −0 = ⇒ = ⇒ x −= 2 y ⇒ x − y −= 2 0 mBP: −3 −3 2−5 0−3 d) Se calcula el baricentro resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de dos medianas: x −y −2 = 0 ⇒ 4 − y − 2 = 0 ⇒ y = 2 ⇒ El punto baricentro es el punto G (4, 2). x=4
{
188
Unidad 7| Geometría analítica
83. Un triángulo tiene dos vértices en A(0, 0) y B(2, 0). Halla las coordenadas del tercer vértice sabiendo que es equilátero.
Llamamos C(a, b) al tercer vértice. Como el triángulo es equilátero d(A, B) = d(B, C) = d(A, C).
(2 − 0)
d(A, B) =
2
+ (0 − 0)
2
(2 − a)
= 2, d(B, C) =
2
+ b 2 y d(A, C) =
a2 + b2 .
Para hallar las coordenadas del vértice C, se resuelve el sistema:
{
2 2 − a 2 + b 2 = 0 2 ( 2 − a ) + b 2 = 4 ⇒ −4a 2 + a 2 = ( ) ⇒ 2 ⇒ − 4a = −4 ⇒ a = 1 2 2 2 − − = − a b 4 2 2 + = a b 4 2 a + b =
Si a = 1 ⇒ b= ± 3
(
)
(
Por tanto, C 1, 3 o C 1, − 3
)
84. Siendo u = (4, x), halla el valor de x en cada una de las siguientes situaciones. a) El módulo de u vale 20 unidades. b) Si v = (3, –5) es tal que el producto escalar de u por v es igual a 2. a)
u =
42 + x 2 =
2
2
20 ⇒ 16 + x = 20 ⇒ x = 4 ⇒ x = ± 2
b) u ⋅ v = 4 · 3 + x · (–5) = 12 – 5x = 2 ⇒ x = 2
85. Determina un vector cuyo módulo valga horizontal.
10 unidades lineales y que forme un ángulo de 30º con la
Llamamos v = (a, b) al vector.
2 + b 2 10 + b 2 10 a2 + b2 = a 2= a 2= 10 3a 15 30 2 10 ⇒ 9a 2 + 3a 2 = 90 ⇒ a 2 = ⇒ a = a ⇒ ⇒ ⇒ + = ± 3 3 b b a 3 tan 30º b = = = 2 2 3 3 a a
Si a =
30 30 10 10 10 30 10 30 ⇒ b= y si a = − ⇒ b= − . Por tanto, v , ,− o v − 2 2 2 2 2 2 2 2
86. Las rectas r: x – y + 1 = 0, s: x + y – 7 = 0, t: x – y – 5 = 0 y u: x + y – 5 = 0 determinan un cuadrilátero. a) Calcula la medida de los lados y de los ángulos interiores. b) ¿Qué tipo de cuadrilátero es? Las rectas r y t son paralelas, al igual que las rectas s y u. Por tanto, el cuadrilátero es un paralelogramo de vértices A, B, C y D, determinados por la intersección de las rectas r y s, r y u, t y u y s y t, respectivamente. Resolviendo los correspondientes sistemas lineales obtenemos: A(3, 4), B(2, 3), C(5, 0) y D(6, 1). a) Calculamos la medida de sus lados: d(A, B) =
(2 − 3)
d(C, D) =
(5 − 6)
2
2
+ ( 3 − 4 ) =2
d(B, C) =
(2 − 5)
+ ( 0 − 1) =2
d(D, A) =
(6 − 3)
2
2
2
2
+ (3 − 0) =
18= 3 2
+ (1 − 4 ) =
18= 3 2
2
2
Por ser un paralelogramo, los ángulos interiores suman 360º y, los ángulos opuestos, son iguales. −1⋅ 3 + ( −1) ⋅ ( −3 ) cos AB, AD = cos ((–1, –1), (3, –3)) = = 2 ⋅ 18
(
)
0 2 ⋅ 18
=90º = B = 90º ⇒ D = C =0⇒ A
b) El cuadrilátero, al tener lados paralelos e iguales 2 a 2 y ángulos que miden 90º, es un rectángulo.
Geometría analítica | Unidad 7
189
87. Actividad resuelta.
88. Calcula el punto simétrico de: a) A(3, –4) respecto de la recta r: 2x + y = 3.
1 1 3 b) A , respecto de la recta r: x + y = 0. 2 4 2
a) Calculamos la perpendicular a r pasando por A. Las rectas perpendiculares a r son de la forma –x + 2y + k = 0. Como la recta perpendicular a r pasa por A, entonces –3 + 2 · (–4) + k = 0 ⇒ k = 11. La recta que pasa por A y A´ es s: –x + 2y + 11 = 0 Se calcula el punto M intersección de r y s:
{
{
−19 17 17 −19 = 2x + y 3 = 2x + y 3 ⇒ ⇒ 5y = −19 ⇒ y = ⇒ x = ⇒M , −x + 2y + 11 =0 −2x + 4y =−22 5 5 5 5
Como M debe ser el punto medio del segmento de extremos A y A´, despejando: 17 3 + a 19 −19 −4 + b −18 19 −18 = ⇒ a= , = ⇒ b= ⇒ A´ , 5 2 5 5 2 5 5 5 b) Calculamos la perpendicular a r pasando por A. Las rectas son de la forma –x + Como la recta perpendicular a r pasa por A, entonces − La recta que pasa por A y A´ es s: −x +
1 y + k = 0. 2
1 1 3 1 + ⋅ +k =0⇒ k = . 2 2 4 8
1 1 y+ = 0 2 8
Se calcula el punto M intersección de r: x + 2y = 0 y s: –8x + 4y + 1 = 0 1 −1 1 −1 −2= x + 2y 0 x − 4y 0 ⇒ ⇒ −10x = −1 ⇒ x = ⇒y= ⇒M , {= −8x + 4y + 1 = −1 0 { −8x + 4y = 10 20 10 20
Como M debe ser el punto medio del segmento de extremos A y A´, despejando: 1 = 10
1 +a −3 −1 2 ⇒ a= , = 2 10 20
3 +b −17 −3 −17 4 ⇒ b= ⇒ A´ , 2 20 10 20
89. Calcula el triángulo simétrico del que tiene como vértices A(–2, 0), B(1, 4) y C(2, –2) respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrante.
Calculamos los puntos A´, B´ y C´, simétricos de A, B y C respectivamente, respecto a la recta r: y = x. A´: La recta perpendicular a r pasando por A es s: x + y = –2. El punto M, intersección de r y s, es M(–1, –1). Como M debe ser el punto medio del segmento de extremos A y A´, entonces A´(0, –2). 5 5 B´: La recta perpendicular a r pasando por B es t: x + y = 5. El punto N, intersección de r y t, es N , . 2 2 Como N debe ser el punto medio del segmento de extremos B y B´, entonces B´(4, 1). C´: La recta perpendicular a r pasando por C es s: –x – y = 0. El punto P, intersección de r y s, es M(0, 0). Como P debe ser el punto medio del segmento de extremos C y C´, entonces P´(–2, 2).
190
Unidad 7| Geometría analítica
90. Se va a implantar un sistema de riego automático en una rosaleda. Si dos de los rosales están situados en
los puntos A(4, 6) y B(9, 8), y un tercero, en el punto C(0, 6), ¿es posible conseguir que una tubería recta pase por los tres a la vez? Para que A, B y C estén alineados debe verificarse que los vectores AB y AC sean proporcionales. Por tanto: −4 0 AB = 9 − 4, 8 − 6 ) = ( 5, 2 ) ( ≠ ⇒ Los puntos A, B y C no están alineados. ⇒ AC =( 0 − 4, 6 − 6 ) =− ( 4, 0 ) 5 2 No es posible conseguir que una tubería recta pase por los tres rosales a la vez.
91. Un barco lanza un mensaje de socorro indicando su posición: A(1460, 765). Dos barcos situados en
B(3525, 2490) y C(585, 3500) acuden en su ayuda. Si los dos navegan a la misma velocidad y en línea recta hacia A, ¿cuál llegará primero? Calculamos las distancias de A a B y de A a C. d(A, B) =
(1460 − 3525 )
2
d(A, C) =
(1460 − 585 )
+ ( 765 − 3500 = )
2
+ ( 765 − 2490 = ) 2
2
7 239= 850 2690,70 unidades
8 245= 850 2871,56 unidades
Llegará primero el barco situado en el punto B.
92. Con un solo golpe sobre la bola A, se debe golpear primero a la bola B y después a la bola C. Si se
consideran dos lados de la mesa como ejes de coordenadas, las coordenadas de las bolas son A(20, 28), B(5, 10) y C(12, 36). ¿Con qué ángulo, respecto de la trayectoria seguida por A cuando golpea a B, debe salir la bola para golpear a la bola C? Calculamos el ángulo, α, formado por los vectores BA = (15, 18) y BC = (7, 26). cos BA, BC =
)
(
15 ⋅ 7 + 18 ⋅ 26 15 + 18 ⋅ 7 + 26 2
2
2
2
=
573 549 ⋅ 725
= 0,9082 ⇒ α = arccos 0,9082 = 24º 44´ 32´´
93. Un rayo de luz incide en el espejo con una trayectoria rectilínea determinada por los puntos A(–2, 4) y B(3, 2),
siendo B el punto de contacto con el espejo y A el punto de origen. Al reflejarse, la pendiente de la recta que 2 describe su trayectoria es . 5 a) Escribe las ecuaciones de las rectas que determinan los rayos incidente y reflejado. b) Halla un vector director de cada una de ellas y el ángulo que forman. c) La posición del espejo forma el mismo ángulo con el rayo incidente y el reflejado. Encuentra la ecuación de la recta que la define. a) La recta r del rayo incidente pasa por A y B:
x −3 y −2 = ⇒ 2x + 5y − 16= 0 3+2 2−4
2 2 y pasa por B: y – 2 = (x – 3) ⇒ 2x – 5y + 4 = 0 5 5 b) Un vector director de r es v = (5, –2) y uno de la recta s es w = (5, 2). La recta s del rayo reflejado tiene pendiente
cos v, w =
(
)
5 ⋅ 5 + ( −2 ) ⋅ 2 52 + ( −2 ) ⋅ 52 + 22 2
=
21 29 ⋅ 29
= 0,724 ⇒ α = 43º 37´
c) Sea u = (a, b) el vector director de la recta que determina la posición del espejo. cos cos
(u,v ) = (
u, w =
)
5a − 2b a + b 2 ⋅ 29 ⇒ 5a − 2b =5a + 2b ⇒ 4b =0 ⇒ b =0 5a + 2b 2
a 2 + b 2 ⋅ 29
El vector director de la recta del espejo será u = (a, 0); es decir, será una recta con pendiente 0. Como la recta que contiene al espejo pasa por B(3, 2), entonces será y = 2.
Geometría analítica | Unidad 7
191
94. Una altura de un triángulo es el segmento que tiene por extremo uno de los vértices y es perpendicular al lado opuesto. El ortocentro de un triángulo es el punto donde se cortan las tres alturas. Dado el triángulo de vértices A(3, 1), B(2, –2) y C(–2, 2):
a) Halla las ecuaciones de sus tres alturas. b) Calcula el ortocentro H resolviendo el sistema formado por dos de sus alturas. c) Comprueba que H pertenece a las tres alturas.
a) Un vector director de la recta r que pasa por A y B es v1 = (1, 3). Por tanto, cualquier recta perpendicular a r tendrá vector director w1 = (3, –1). La altura, a, correspondiente al vértice C es la recta que, pasando por C, tiene vector director (3, –1). a:
x +2 y −2 = ⇒ −x − 2 = 3y − 6 ⇒ x + 3y= 4 −1 3
Un vector director de la recta s que pasa por B y C es v 2 = (4, –4). Por tanto, cualquier recta perpendicular a s tendrá vector director w 2 = (4, 4). La altura, b, correspondiente al vértice A es la recta que, pasando por A, tiene vector director (4, 4). b:
x − 3 y −1 = ⇒ x − 3 = y −1⇒ x − y = 2 4 4
Un vector director de la recta t que pasa por A y C es v 3 = (5, –1). Por tanto, cualquier recta perpendicular a s tendrá vector director w 3 = (1, 5). La altura, c, correspondiente al vértice B es la recta que, pasando por B, tiene vector director (1, 5). c:
x −2 y +2 = ⇒ 5x − 10 =y + 2 ⇒ 5x − y =12 1 5
b) Se calcula el ortocentro resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de dos alturas: 2 1 5 5 1 4 ⇒ 4y = 2 ⇒ y = = ⇒ x = ⇒ El ortocentro es el punto H , . {xx +− 3yy== 2 4 2 2 2 2
c)
5 1 5 3 8 5 1 4 5 1 25 1 24 − = = 12 +3⋅ = + = = 4 , − = = 2 y 5⋅ − = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 H satisface la ecuación de las tres alturas. Por tanto, H pertenece a las tres alturas.
95. Considera dos puntos B y C en un plano. Sea S el conjunto de todos los puntos A de ese plano para los que el área del triángulo ABC es 1. ¿Qué es S? A. Dos rectas paralelas
B. Una circunferencia
C. Un segmento
D. Dos puntos
Consideramos como base del triángulo el segmento AB, y llamamos d a la distancia de A a B. El área del triángulo 2 d ⋅h , donde h es la altura correspondiente al lado AB. Por tanto, h = . Luego, todos los puntos C ABC es 1 = 2 d 2 que disten unidades de la recta que pasa por A y B, serán el tercer vértice de un triángulo ABC de área 1. d Esto puntos están en las dos rectas paralelas a la recta que pasa por A y B, y que distan La respuesta correcta es la A.
192
Unidad 7| Geometría analítica
2 de ella. d
96. Si m y b son números reales y mb > 0, la recta de ecuación y =mx + b no puede contener al punto: A. (0, 2011)
B. (20, 10)
C. (20, –10)
D. (2011, 0)
Supongamos que la recta contiene al punto (2011, 0). Por tanto, 0 = 2011m + b ⇒ b = –2011m. Luego mb = m(–2011m) = –2011m2 < 0, pero mb > 0. Por tanto la recta no puede contener al punto (2011, 0). La respuesta correcta es la D.
97. El área del triángulo limitado por las rectas y = x, y = –x e y = 6 es: A. 48
B. 36
C. 24
D. 18
Calculamos los puntos de corte de las rectas:
y = x y = x y = −x ⇒x= −x ⇒ x = 0⇒y = 0, ⇒x= 6⇒y = 6, ⇒ −x = 6⇒x = −6 ⇒ y = 6 −x 6 6 y = y = y =
Los vértices del triángulo son A(0, 0), B(6, 6) y C(–6, 6). Consideramos como base del triángulo el segmento BC: d(B, C) =
(6 + 6)
2
12 . + (6 − 6) = 2
Para hallar la altura del triángulo, correspondiente a la base BC, hallamos la recta perpendicular al segmento BC pasando por A. La recta BC es y = 6. Por tanto, la recta perpendicular a y = 6 pasando por A es x = 0. El punto de corte de x = 0 con y = 6 es D(0, 6). Por tanto, la altura del triángulo será d(A, D) = 6. El área del triángulo es
12 ⋅ 6 = 36 . 2
La respuesta correcta es la B.
98. Una recta r divide en dos trozos de igual área al rectángulo de vértices (–2, 0), (0, 0), (0, 4) y (–2, 4) y al rectángulo de vértices (1, 0), (5, 0), (1, 12) y (5, 12). ¿Cuál es la pendiente de esta recta? A. –4
B. –1
C. 0
D. 1
Si una recta divide a un rectángulo en dos trozos de igual área, tiene que pasar por su centro. Así pues, la recta dada pasará por (–1, 2) y por (3, 6), por lo que su pendiente será 1. La respuesta correcta es la D. Encuentra el error
99. Andrea ha realizado uno de los ejercicios propuestos por su profesor:
Calcula la recta que tiene como vector normal u = (5, –2) y que pasa por el punto A(–2, 4). Esta es su respuesta: 2x + 5y + k = 0 ⇒ –4 + 20 + k = 0 ⇒ k = –16. La recta es 2x + 5y = 16. ¿Dónde está el error? Andrea ha confundido el vector normal de la recta con el vector director de la misma. Si una recta tiene vector normal (5, –2) entonces la recta es de la forma 5x – 2y + k = 0. Como la recta pasa por el punto (–2, 4) entonces 5 · (–2) – 2 · 4 + k = 0 ⇒ k = 18. La recta es 5x – 2y + 18 = 0.
Geometría analítica | Unidad 7
193
PONTE A PRUEBA Situación del punto limpio Actividad resuelta. Superficie de un huerto Un huerto de hortalizas tiene forma de triángulo y quiere conocerse su área. Los vértices están situados en los puntos O(0, 0), A(5, 0) y B(6, 5).
1.
La distancia menor entre sus vértices es: A. d(O, A) d(O, A) =
B. d(O, B)
(5 − 0)
2
+ (0 − 0) = 2
25= 5 , d(O, B) =
C. d(A, B)
(6 − 0)
2
D. Ninguna
+ ( 5 − 0 ) =61 y d(A, B) = 2
(6 − 5)
2
La respuesta correcta es la A.
2.
Halla la ecuación de la perpendicular r al eje X que pasa por B. Como la recta r es perpendicular al eje X es de la forma x = k . Como pasa por B, entonces x = 6.
3.
¿Cuáles son las coordenadas del punto H donde r corta al eje X? Las coordenadas del punto H son (6, 0).
4.
¿Cuál es la distancia que separa a B de H? A. 3 u d (B, H) =
B. 4 u
(6 − 6)
2
+ (5 − 0) = 2
25= 5 u
La respuesta correcta es la C.
5.
Calcula el área del huerto. A=
194
d (O, A ) ⋅ d (B,H) 5 ⋅ 5 2 = = 12,5 u 2 2
Unidad 7| Geometría analítica
C. 5 u
D. 6 u
+ ( 5 − 0 ) =26 2
La trayectoria adecuada Cualquier jugador de billar debe recordar el principio de reflexión: cuando una bola golpea un lado de la mesa, el ángulo que forma su trayectoria con el lado al llegar es igual al ángulo que forma con él al rebotar. Observa estas dos situaciones:
El objetivo es golpear la bola negra y lograr que choque con la bola blanca, pero rebotando previamente en los lados QR y RO de la mesa de billar. Por ejemplo, se ha marcado el punto A que es donde la bola negra debe rebotar en el lado QR.
1.
Utiliza el sistema de referencia para calcular la trayectoria adecuada a cada situación.
2.
Indica las coordenadas de los puntos de rebote y los ángulos correspondientes en cada caso. 1ª situación: A(9, 4) y B(5, 0) −4 ⋅ 0 + 4 ⋅ 4 Ángulo en QR: cos= AB, AR = 4 32
(
)
4⋅4 + 4⋅0 Ángulo en OR: cos= BA, BR = 4 32
(
)
2 2 ⇒ α = arccos = 45º 2 2 2 2 ⇒ β = arccos = 45º 2 2
2ª situación: A(9, 3) y B(3, 0) −6 ⋅ 0 + ( −3 ) ⋅ ( −3 ) 9 Ángulo en QR: cos AB= , AR = = 3 45 3 45
(
)
5 = 0,4472 ⇒ α = arccos 0,4472 = 63º 26´ 9´´ 5
6⋅6 + 3⋅0 36 2 5 Ángulo en OR: cos BA= = 0,8944 ⇒ β = arccos 0,8944 = 26º 34´ 7´´ , BR = = 5 6 45 6 45
(
)
Geometría analítica | Unidad 7
195
AUTOEVALUACIÓN 1.
Calcula el vector resultante en cada caso. a) 3 ∙ (6, 2) + (5, –4) – 6 ∙ (2, 1) b) 5 ∙ [(7, –2) + (–8, 1)] c) (2, 3) – [(6, 1) – 4 ∙ (–3, –2)] a) 3 ∙ (6, 2) + (5, –4) – 6 ∙ (2, 1) = (18, 6) + (5, –4) – (12, 6) = (11, –4) b) 5 ∙ [(7, –2) + (–8, 1)] = 5 · (–1, –1) = (–5, –5) c) (2, 3) – [(6, 1) – 4 ∙ (–3, –2)] = (2, 3) – [(6, 1) – (–12, –8)] = (2, 3) – (18, 9) = (–16, –6)
2.
Calcula las coordenadas del extremo Q en los siguientes casos. a) El vector PQ es (5, 3) y P(–1, 2). b) El vector PQ es (–2, 6) y P(–2, –4). a) Q = (–1, 2) + (5, 3) = (4, 5)
3.
Estudia si son perpendiculares los vectores e indica el ángulo que forman. a) u = (–2, 8) y v = (4, 1). b) u = (–3, 7) y v = (2, –1). c) u = (–1, 6) y v = (3, 1). a) u ⋅ v = –2 · 4 + 8 · 1 = –8 + 8 = 0 ⇒ Los vectores son perpendiculares y, por tanto, forman un ángulo de 90º.
b) cos u, v =
( )
c) cos u, v =
( )
4.
b) Q = (–2, –4) + (–2, 6) = (–4, 2)
−3 ⋅ 2 + 7 ⋅ ( −1)
( −3 )
2
+ 7 ⋅ 2 + ( −1) 2
2
−1⋅ 3 + 6 ⋅ 1
( −1)
2
+ 6 ⋅ 3 +1 2
2
2
=
2
=
−13 58 ⋅ 5
3 37 ⋅ 10
= –0,7634 ⇒ α = arccos –0,7634 = 139º 45´ 53´´
= 0,1559 ⇒ α = arccos 0,1559 = 81º 1´ 52´´
Comprueba si las siguientes rectas pasan por el punto (3, –3). x= 9 + 2t 1 b) y =−4 − 3 t
a) 6x – 4y = 6
Escribe un vector de dirección y otro normal de cada una de las dos rectas. a) 6 · 3 – 4 · (–3) = 18 + 12 = 30 ≠ 6 ⇒ La recta no pasa por el punto (3, –3). Un vector de dirección de la recta es v = (4, 6) y otro normal n = (6, –4). b) La recta pasa por el punto porque si t = –3 ⇒ x = 3 e y = –3. −1 1 Un vector de dirección de la recta es v = 2, y otro normal n = , 2 . 3 3
5.
Escribe todas las formas posibles de la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(9, 4) y B(8, 1). La recta pasa por A(9, 4) y B(8, 1). Por tanto, un vector director es v (1, 3). Ecuación vectorial: (x, y) = (9, 4) + t(1, 3) Ecuaciones paramétricas: Ecuación continua:
196
{yx== 49 ++ 3t t
x −9 y −4 = 1 3
Unidad 7| Geometría analítica
donde t ∈
Ecuación general: 3x – y – 23 = 0 Ecuación explícita: y = 3x – 23 Ecuación punto – pendiente: y – 4 = 3(x – 9)
6.
Calcula la ecuación general de la recta que pasa por el origen de coordenadas y: a) Es paralela a la recta r:
{yx==−31++5tt
b) Es perpendicular a la recta s: –2x + 4y –
a)
3 =0 5
t= x + 1
{yx==−31++5tt ⇒ t = y 5− 3 ⇒ x + 1 = y 5− 3 ⇒ 5x + 5 = y − 3 ⇒ 5x − y + 8 = 0 Las rectas paralelas a r: 5x – y + 8 = 0 son de la forma 5x – y + k = 0. Como la recta pasa por el origen de coordenadas, entonces 5 · 0 – 0 + k = 0 ⇒ k = 0. La ecuación de la recta es: 5x – y = 0
b) Las rectas perpendiculares a s: –2x + 4y –
3 = 0 son de la forma 4x + 2y + k = 0. 5
Como la recta pasa por el origen de coordenadas, entonces 4 · 0 + 2 · 0 + k = 0 ⇒ k = 0. La ecuación de la recta perpendicular a s pasando por el origen de coordenadas es: 4x + 2y = 0
7.
Estudia la posición relativa de las rectas: a) r: 3x – y + 6 = 0 y s: 3x – 4y + 2 = 0 b) r: 4x + 6y + 12 = 0 y s: 2x + 3y + 9 = 0 En el caso de que sean secantes, indica las coordenadas de su punto de intersección. a)
3 −1 ≠ ⇒ Las rectas son secantes. 3 −4 Para calcular el punto de corte P se resuelve el sistema: −4 −22 3x= −22 −4 3x= −y +6 0 −y +6 0 ⇒ El punto de corte es P , ⇒ ⇒ 3y + 4 = 0 ⇒ y = ⇒x= . +2 0 −2 0 3 3 9 9 −3x + 4y = 3 x − 4 y =
d)
8.
4 6 12 = ≠ ⇒ Las rectas son paralelas. 2 3 9
Dado el triángulo de vértices conocidos A(5, –9), B(–2, –1) y C(7, 2): a) Calcula las coordenadas de los puntos medios de sus lados. . b) Halla la medida de sus lados y del ángulo A . c) Calcula la ecuación de la mediana que parte del vértice A
a) Llamamos M al punto medio de AB, N al punto medio de BC y P al punto medio de AC. 5 − 2 −9 − 1 , = M 2 2 b) AB = (–7, 8), AC AB =
( −7 )
2
+ 82 = 113 , AC =
cos AB, AC =
(
)
3 −2 + 7 −1 + 2 5 1 5 + 7 −9 + 2 −7 , , = , y P = 6, , − 5 , N 2 2 2 2 2 2 2 2 = (2, 11) y BC = (9, 3) 22 + 112 =
−7 ⋅ 2 + 8 ⋅ 11
( −7 )
2
+ 8 ⋅ 2 + 11 2
2
2
=
125 y BC =
74 113 ⋅ 125
92 + 32 =
90 = 3 10
= 0,6226 ⇒ α = arccos 0,6226 = 51º 29´ 38´´
c) La mediana, mAN, es la recta que pasa por A y por el punto medio, N, del lado BC. mAN:
x −5 y +9 x −5 y +9 = ⇒ = ⇒ −19x + 95 = 5y + 45 ⇒ 19x + 5y = 50 5 1 5 −19 5− −9 − 2 2 2 2
Geometría analítica | Unidad 7
197
8 Funciones ANALIZA Y CONTESTA ¿Qué magnitudes relaciona la función representada en un cardiograma? En un cardiograma se relaciona la diferencia de potencial de los impulsos eléctricos del corazón, medidos en milivoltios, con el tiempo, medido en segundos. ¿Cuál es la variable independiente? ¿Y la dependiente? La variable independiente es el tiempo, y la dependiente, la diferencia de potencial de los impulsos eléctricos del corazón. ¿Qué es la bradicardia fisiológica? ¿Y la taquicardia? La bradicardia fisiológica es un número bajo de pulsaciones por minuto (menos de 50 sístoles por minuto) y la taquicardia es un número elevado de pulsaciones por minuto (por encima de 100 sístoles por minuto).
OBSERVA Y SACA CONCLUSIONES Observa la gráfica de un electrocardiograma y señala dos características matemáticas de la gráfica que dan información al cardiólogo del estado del corazón. Respuesta modelo: la periodicidad, la amplitud de las ondas, los máximos y los mínimos, la concavidad y la convexidad…
Y TÚ, ¿QUÉ OPINAS? El electrocardiograma permite conocer el estado del corazón y realizar diagnósticos sobre nuestra salud. Pero es nuestra responsabilidad llevar unos hábitos de vida saludables. ¿Crees que eres responsable tú con tu salud? ¿Qué comportamientos favorecen una vida saludable? Respuesta libre.
Actividades propuestas 1.
Observa las gráficas de las siguientes correspondencias entre dos conjuntos. I)
II)
a) ¿Las correspondencias son funciones? b) ¿Las correspondencias son inyectivas? a) La correspondencia de la gráfica I no es función porque para cada valor de x no hay un único valor de y. Por ejemplo, si x = –1 ⇒ y = 1 e y = 3 La correspondencia de la gráfica II sí es función porque para cada valor de x hay un único valor de y. b) La correspondencia de la gráfica I sí es inyectiva porque si f(x1) = f(x2), entonces x1 = x2. La correspondencia de la gráfica II no es inyectiva, ya que si sustituimos el valor de x por 2 y por –2 se obtiene el mismo valor de y. Es decir, f(2) = f(–2) = –2.
2.
198
Actividad resuelta.
Unidad 8| Funciones
3.
De las siguientes correspondencias, indica cuáles son funciones. En caso afirmativo, indica la variable dependiente e independiente. a) Cada estudiante de una clase anota el deporte que practica. b) A cada número natural le corresponde su cubo. c) y = x2 – 2x a) No es una función, ya que cada estudiante puede practicar más de un deporte. La variable independiente son los estudiantes y la dependiente, los deportes. b) Es una función, ya que a cada número natural le corresponde un único número natural. La variable independiente son los números naturales y la dependiente, los números naturales. c) Es una función, ya que a cada valor de x le corresponde un único valor de y. La variable independiente es x y la dependiente, y.
4.
De las correspondencias del ejercicio anterior, señala las que son inyectivas. Justifica tu respuesta. a) Cada estudiante de una clase anota el deporte que practica. Esta correspondencia no es inyectiva porque puede haber varios estudiantes que practiquen el mismo deporte. b) A cada número natural le corresponde su cubo. Esta función es inyectiva porque números diferentes tienen cubos diferentes. c) y = x2 – 2x Esta función no es inyectiva porque si sustituimos el valor de x por 0 y por 2, se obtiene el mismo valor de y.
5.
Representa gráficamente la función a trozos:
x + 1 f ( x ) = −x + 2 2
si si si
−5 ≤ x ≤ −1 −1 < x < 3 4< x 0 ⇒ Positiva
•
En (–1,1): f(0) = –1 < 0 ⇒ Negativa
•
En (1, +∞): f(2) = 15 > 0 ⇒ Positiva
b) La función h ( x ) = •
1 , con D(h) = − {2} , no corta al eje X. Los intervalos a estudiar son: x −2
En (–∞, 2): h(1) = –1 < 0 ⇒ Negativa
c) La función i ( x ) =
•
En (2, +∞): h(3) = 1 > 0 ⇒ Positiva
x , con D(i) = − {−2, 2} , corta al eje X en el punto (0, 0).Los intervalos a estudiar son: x2 − 4
•
En (–∞, –2): i(–4) = −
•
En (–2, 0): i(–1) =
1 < 0 ⇒ Negativa 3
1 > 0 ⇒ Positiva 3
•
En (0, 2): i(1) = −
1 < 0 ⇒ Negativa 3
•
En (2, +∞): i(4) =
1 > 0 ⇒ Positiva 3
Funciones | Unidad 8
203
31. Completa estas gráficas en tu cuaderno para valores negativos de x, sabiendo que la función f es impar y la g es par. a)
b)
a)
b)
32. Estudia la simetría de las funciones: a) f ( x ) =
3 x −1
2 b) g(x) = 5x – 3x
c) h ( x= )
4 + x2
e)
j (x) =
2 x3
f) k(x) = x3 + 27
d) i(x) = 5x
a) La función f(x) no es par porque f(–x) ≠ f(x) y tampoco es impar porque f(–x) ≠ –f(x). b) La función g(x) no es par porque g(–x) ≠ g(x) y tampoco es impar porque g(–x) ≠ –g(x). c) La función h(x) es par porque h ( −x )=
4 + ( −x ) = 2
4 + x 2= h ( x ) .
d) La función i(x) es impar porque i(–x) = 5(–x) = –5x = –i(x) e) La función j(x) es impar porque i ( −x ) =
2
( −x )
3
= −
2 = −i ( x ) x3
f) La función k(x) no es par porque k(–x) ≠ k(x) y tampoco es impar porque k(–x) ≠ –k(x).
33. Actividad interactiva. 34. Actividad resuelta. 35. La siguiente gráfica corresponde a una función periódica cuyo periodo es T = 6.
a) Cópiala en tu cuaderno y complétala en el intervalo [–6, 18]. b) Halla los siguientes valores de la función: f(9), f(31), f(–13) y f(2015). a)
b) f(9) = f(3 + 6) = f(3) = 1 f(31) = f(1 + 5 · 6) = f(1) = 1
204
Unidad 8| Funciones
f(–13) = f(–1 – 2 · 6) = f(–1) = 3 f(2015) = f(5 + 335 · 6) = f(5) = f(–1 + 6) = f(–1) = 3
36. Justifica que si se suman dos funciones periódicas del mismo período T resulta otra función periódica. ¿Cuál será el período de la función suma?
Sean f(x) y g(x) dos funciones periódicas de período T. Entonces f(x) = f(x + T) y g(x) = g(x + T). (f + g)(x + T) = f(x + T) + g(x + T) = f(x) + g(x) = (f + g)(x) Luego la suma de dos funciones periódicas de período T, es otra función periódica cuyo peíiodo también es T.
37. Indica los puntos de discontinuidad y los intervalos de continuidad de las funciones representadas. a)
b)
a) La función es continua en todos los puntos de su dominio; es decir, es continua en (–2, 1) ∪ (3, 6). No tiene puntos de discontinuidad. b) La función es continua en [–2, 0) ∪ (0, 3) ∪ (3, 4) ∪ (4, +∞). La función es discontinua en x = 0, x = 3 y x = 4.
38. Dibuja en tu cuaderno la gráfica de una función que presente discontinuidades en los puntos x = –2 y x = 5. ¿En qué intervalos es continua la función que has representado? 1 si x < −2 Respuesta modelo: la función= f ( x ) 2 si −2 ≤ x < 5 1 si 5 ≤ x
La función es continua en (–∞,–2) ∪ (–2, 5) ∪ (5, +∞). Presenta discontinuidades en x = –2 y x = 5.
39. Representa las siguientes funciones en tu cuaderno. Indica los puntos de discontinuidad si los hubiera. − x + 3 = a) f ( x ) 4 2 x − 5
si si si
x < −1 −1 ≤ x ≤ 3 x>3
a) La función es discontinua en x = 3.
b) g(x) = |x – 1| + 3 b) g ( x ) =
{24 +− xx
si si
x f(–5) ⇒ TVM f[a, –5] =
f ( −5 ) − f ( a ) < 0 y si a ∈ (0, 5) ⇒ TVM f[0, a] < 0 −5 − a
Creciente: (–5, 0) ∪ (5, +∞) Si a ∈ (–5, 0) ⇒ TVM f[–5, a) > 0 y si a > 5 ⇒ f(a) > f(5) ⇒ TVM f[5, a] = Máximo en x = 0 y mínimos en x = –5 (absoluto) y x = 5 Para que f sea decreciente en (0, 5) no es suficiente que TVM f(0, 5) < 0.
206
Unidad 8| Funciones
f (a ) − f (5) >0 a−5
44. ¿Cómo son los máximos y mínimos de una función creciente en (–∞, 1) ∪ (2, 5) y decreciente en (1, 2) ∪ (5, +∞)?
La función tendrá un mínimo en x = 2 y máximos en x = 1 y x = 5.
45. Dibuja la gráfica de una función que presente simetría par, con dominio en (–∞, 0) ∪ (0, +∞), creciente en (0, 4) y decreciente en (4, +∞). Indica cuáles son los máximos y mínimos de la función que has dibujado. Respuesta modelo:
La función presenta un máximo en x = –4 y otro en x = 4. No tiene mínimos.
46. Actividad resuelta. 47. Estudia el crecimiento y el decrecimiento de las funciones: a) f(x) = 2x + 7, D(f) = [–5, 4] b) g(x) = 4 – x2, D(g) = [–10, 0] a) Si tomamos dos valores del dominio x1 y x2, tales que x1 < x2, se cumple que 2x1 + 7 < 2x2 + 7 ⇒ f(x1) < f(x2). Por tanto, TVMf[x1, x2] > 0 y la función es creciente en todo su dominio. b) Si tomamos dos valores del dominio x1 y x2, tales que x1 < x2, se cumple que x12 > x22 ⇒ 4 – x12 < 4 – x22 ⇒ ⇒ f(x1) < f(x2). Por tanto, TVMf[x1, x2] > 0 y la función es creciente en todo su dominio.
48. Indica si las siguientes funciones están acotadas superior o inferiormente y, en caso afirmativo, señala cuál es su cota. a)
b)
a) No está acotada superiormente.
b) Está acotada superiormente por 2.
Está acotada inferiormente por –2.
Está acotada inferiormente por –3.
49. Analiza si las siguientes funciones están acotadas o no. En caso de estarlo indica alguna de sus cotas. a) f ( x )= 2 + b) g (= x)
1 con dominio en (0, +∞) x
x2 + 1
2 c) h(x) = x – 2x
a)
1 1 > 0 ⇒ 2 + > 2 ⇒ 2 es una cota inferior de f(x). No está acotada superiormente. x x
b) x2 > 0 ⇒ 1 + x2 > 1 ⇒ 1 es una cota inferior de g(x). No está acotada superiormente. c) La función es una parábola con vértice en x = 1. Por tanto 1 es una cota inferior de h(x). No está acotada superiormente.
Funciones | Unidad 8
207
50. Indica si las funciones tienen asíntotas y en caso afirmativo, escribe su ecuación. a)
b)
a) Asíntota horizontal: y = 1
b) Asíntota oblicua: y = x
Asíntota vertical: x = 1
Asíntota vertical: x = 1
51. Halla las asíntotas verticales y horizontales de las siguientes funciones, si las hay. a) f ( x ) =
5 x −3
a) Asíntota horizontal: y = 0
b) g ( x ) =
1 16 − x 2
b) Asíntota horizontal: y = 0
Asíntota vertical: x = 3
Asíntotas verticales: x = –4 y x = 4
52. Calcula las asíntotas oblicuas de las siguientes funciones. a) f ( x ) = a) f ( x ) =
x2 x +1 1 x2 = x − 1+ x +1 x +1
b) f ( x ) =
2x 3 + 3 x2
b) f ( x= )
2x 3 + 3 3 = 2x + 2 x2 x
Asíntota oblicua: y = x – 1
Asíntota oblicua: y = 2x
53. De las siguientes correspondencias entre dos conjuntos indica cuáles son funciones y los conjuntos inicial y final.
a) A cada coche su matrícula. b) A cada alumno de una clase, el año en que nació. c) A cada cuadrado perfecto, su raíz cuadrada. d) A cada triángulo rectángulo, el valor de su hipotenusa. a) Es una función porque cada coche tiene una única matrícula. El conjunto inicial está formado por los coches y, el final, por las matrículas. b) Es una función porque cada alumno nació en un único año. El conjunto inicial está formado por los alumnos y, el final, por los años de nacimiento. c) No es una función porque si a es un cuadrado perfecto, entonces a tiene dos imágenes: ± a . El conjunto inicial está formado por los cuadrados perfectos y, el final, por sus raíces. d) Es una función porque cada triángulo rectángulo tiene una única hipotenusa. El conjunto inicial está formado por los triángulos rectángulos y, el final, por las medidas de las hipotenusas.
54. De las correspondencias del ejercicio anterior señala las que son inyectivas y justifícalo. a) Es una correspondencia inyectiva porque coches distintos tienen matrículas diferentes. b) No es una correspondencia inyectiva porque alumnos distintos pueden haber nacido el mismo año. c) Es una correspondencia inyectiva porque cuadrados perfectos distintos tienen raíces cuadradas diferentes. d) No es una correspondencia inyectiva porque triángulos rectángulos diferentes pueden tener igual hipotenusa. Por ejemplo, todos los triángulos cuya hipotenusa es el diámetro de una circunferencia y el vértice opuesto es un punto de la circunferencia, son triángulos rectángulos con igual hipotenusa.
208
Unidad 8| Funciones
55. Expresa mediante una expresión o fórmula las correspondencias siguientes. a) A cada número real positivo x, la longitud de la diagonal del cuadrado de lado x. b) A cada número x, su distancia al número 5. c) A cada número x, el inverso de x + 1. a) D(x) =
2x 2=
x 2 + x 2=
2x
b) d(x) = |x – 5| c) i ( x ) =
1 x +1
56. Relaciona en tu cuaderno las tablas de valores con la función a la que corresponden. A.
x
0
1
2
y
0
1
2
B.
x
0
1
2
y
0
1
4
C.
x
0
1
3
y
0
1
9
I. f(x) = x
II. g(x) = x2
III. h(x) = x3 – 3x2 + 3x
A. ⇒ f(x) = x y h(x) = x3 – 3x2 + 3x
B. ⇒ g(x) = x2
C. ⇒ g(x) = x2 y h(x) = x3 – 3x2 + 3x
57. Completa la tabla correspondiente a la función: f (x) =
{
4x − x 2 2x − 1
si si
x 0 ⇒ –4 ≤ x ≤ 3 ⇒ D = [–4, 3] e) 2x + 5 > 0 ⇒ x >
−5 −5 ⇒ D = , + ∞ 2 2
f) 3 – |x| > 0 ⇒ –3 ≤ x ≤ 3 ⇒ D = [–3, 3]
60. Actividad resuelta. 61. Halla el recorrido de las funciones: a) y = 5 – 2x
con –2 ≤ x < 3
c) y = 8 − 9 − x 2
b) y = 6x – x2 con –1 < x ≤ 3
d) y =
3 x +3 2
a) La función es una recta decreciente. Por tanto, como f(–2) = 9 y f(3) = –1 ⇒ R = [–1, 9]. b) La función es una rama de parábola creciente en el intervalo (–1, 3). Luego, f(–1) = –7 y f(3) = 9 ⇒ R = [–7, 9]. c) D = [–3, 3]. En este intervalo, 0 ≤ 9 – x2 ≤ 9 ⇒ 0 ≤
9 − x 2 ≤ 3 ⇒ 0 ≥ − 9 − x 2 ≥ −3 ⇒ 8 ≥ 8 − 9 − x 2 ≥ 5
⇒ R = [5, 8]. d) x2 + 3 > 3 ⇒ 0 <
1 1 3 3 1 ⇒ R = (0, 1]. ≤ ⇒0< 2 ≤ = x2 + 3 3 x +3 3
62. Se considera la función f(x) = |4 – x2| definida en el intervalo [–3, 3]. Exprésala a trozos. Se expresa el valor absoluto como:
4 − x2 4−x = 2 − (4 − x )
− (4 − x2 ) x2 < 4 2 ⇒ 4 − x = 4 − x2 x2 ≥ 4 − (4 − x2 )
si si
2
si si si
x ≤ −2 −2 < x < 2 2≤x
Por tanto, la función definida a trozos en el intervalo [–3, 3] es:
− ( 4 − x 2 ) f ( x )= 4 − x2 − 4 − x 2 ) (
si si si
−3 ≤ x ≤ −2 −2 < x < 2 ⇒ f ( x ) = 2≤x≤3
x 2 − 4 2 4 − x 2 x − 4
si si si
−3 ≤ x ≤ −2 −2 < x < 2 2≤x≤3
63. La función parte decimal de un número real x, asigna a cada número real su parte decimal. Se define como f(x) = x – [x], donde [x] representa la parte entera de x. a) Indica los valores de f(2,34), f(5) y f(–2,3). b) Representa gráficamente la función en el intervalo [–4, 4]. a) f(2,34) = 2,34 – 2 = 0,34 f(5) = 5 – 5 = 0 f(–2,3) = –2,3 – (–3) = 0,7.
210
Unidad 8| Funciones
b)
64. Dadas las funciones f(x) = x2 y g(x) =
5 calcula: x−4
a) (f + g)(1)
c) (f –2g)(–5)
2 e) ( f + g ) f 3
b) (f · g)(1)
d) (f ◦ g)(–1)
f) (g ◦ f)(2)
a) (f + g)(1) = f(1) + g(1) = 1 –
5 −2 = 3 3
−5 −5 b) (f · g)(1) = f(1) · g(1) = 1 · = 3 3
c) (f – 2g)(–5) = f(–5) – 2g(–5) = 25 +
10 236 = 9 9
d) (f ◦ g)( –1) = f[g(–1)] = f(–1) = 1 2 2 4 4 −3133 e) ( f + g ) f = f +g = ( f + g ) f = 3 3 9 9 2592
f) (g ◦ f)(2) = g[f(2)] = g(4) no existe porque D(g) = − {4} .
65. Dadas las funciones f(x) = x + 3, g(x) = x2 – 2 y h(x) =
1 . Calcula: x
a) (g ◦ h)
c) (f ◦ g)
e) (h ◦ g)
g) (g ◦ f)
b) [f ◦ (g ◦ h)]
d) [(f ◦ g)◦ h)]
f) [(h ◦ g)◦ f]
h) [h ◦ (g ◦ f)]
¿A la vista de los resultados anteriores se puede afirmar que la composición de funciones tiene la propiedad asociativa? 2
1 − 2x 2 1 1 2 a) (g ◦ h)(x) = g[h(x)] = g = −= x2 x x 1 − 2x 2 x 2 + 1 = 2 x2 x
e) (h ◦ g)(x) = h[g(x)] = h(x2 – 2) =
1 x −2 2
1
1 x 2 + 6x + 7
b) [f ◦ (g ◦ h)](x) = f ◦ g[h(x)] = f
f) [(h ◦ g) ◦ f](x) = (h ◦ g)(x + 3) =
2 2 2 c) (f ◦ g)(x) = f[g(x)] = f(x – 2) = x – 2 + 3 = x + 1
g) (g ◦ f)(x) = g[f(x)] = g(x + 3) = (x + 3)2 – 2 = x2 + 6x + 7
2
x2 + 1 1 1 1 d) [(f ◦ g)◦ h)](x) = (f ◦ g) = += x2 x x
( x + 3)
2
−2
=
h) [h ◦ (g ◦ f)](x) = [h ◦ (g ◦ f)](x) = h(x2 + 6x + 7) =
1 x 2 + 6x + 7
Como f ◦ (g ◦ h)](x) = [(f ◦ g)◦ h)](x) y [(h ◦ g) ◦ f](x) = [h ◦ (g ◦ f)](x) se puede afirmar que la composición de funciones tiene la propiedad asociativa.
66. Expresa la función h(x) = 2x2 – 3x + 1 como producto de dos funciones polinómicas de primer grado f(x) y g(x). ¿Puedes encontrar más de una solución para estas funciones?
Como h(x) = (2x – 1)(x – 1), entonces una posible solución sería f(x) = 2x – 1 y g(x) = x – 1. Se pueden encontrar más soluciones: si f(x) = k(2x – 1) y g(x) =
1 (x – 1), donde k es un número real no nulo. k
67. Calcula la expresión algebraica de la función (f · g) donde f ( x ) = dominio? (f · g)(x) = f(x) · g(x) =
5 y g(x) = x2 – 1. ¿Cuál es su x −1
5 · (x2 – 1) = 5(x + 1) y D(f · g) = D(f) ∩ D(g) = − {1} porque D(f) = − {1} y D(g) = . x −1
68. Si D(f) = (–∞, 2) ∪ (2, 4] y g(x) = x2 – 5x, determina el dominio de: a) (f + g)
b) (f · g)
c)
f g
d)
g f
a) D(f + g) = D(f) ∩ D(g) = (–∞, 2) ∪ (2, 4]
f c) D = D(f) ∩ D(g) y g(x) ≠ 0 = (–∞, 0) ∪ (0, 2) ∪ (2, 4] g
b) D(f · g) = D(f) ∩ D(g) = (–∞, 2) ∪ (2, 4]
g d) D = D(f) ∩ D(g) con f(x) ≠ 0 f
Funciones | Unidad 8
211
69. Con las funciones f(x) = x, g(x) = 3 y h ( x ) =
1 obtén la expresión de las siguientes funciones. x
a) (f · h)(x)
c) (f · f + g)(x)
e) (h ◦ h)(x)
b) [(f + g) · h](x)
d) (g ◦ h)(x)
f) (h ◦ g)(x)
a) (f · h)(x) = f(x) · h(x) = x ·
1 d) (g ◦ h)(x) = g[h(x)] = g = 3 x
1 =1 x
b) [(f + g) · h](x) = [f(x) + g(x)] · h(x) =
1 e) (h ◦ h)(x) = h[h(x)] = h = x x
x +3 x
c) (f · f + g)(x) = f(x) · f(x) + g(x) = x2 + 3
70. Se consideran las funciones f ( x ) =
f) (h ◦ g)(x) = h[g(x)] = h(3) =
1 3
4x − 3 x +3 y g(x) = . Calcula, si es posible: 4− x x +1
a) f(0)
e) f(–1)
i) f(–5)
b) g[f(0)]
f) g[f(–1)]
j) g[f(–5)]
c) f(2)
g) f(5)
k) f(4)
d) g[f(2)]
h) g[f(5)]
l) g[f(4)]
En primer lugar hallamos g[f(x)]: (g ◦ f)(x) = g[f(x)] = g 4x − 3 = x +1
4x − 3 +3 x +1 = 4x − 3 4− x +1
4x − 3 + 3x + 3 x +1 = 4x + 4 − 4x + 3 x +1
4x − 3 + 3x + 3 = 4x + 4 − 4x + 3
x = x 1
23 4
a) f(0) = –3
e) f(–1) No existe.
i) f(–5) =
b) g[f(0)] = 0
f) g[f(–1)] = No existe.
j) g[f(–5)] = –5
c) f(2) =
5 3
g) f(5) =
d) g[f(2)] = 2
17 6
h) g[f(5)] =5
k) f(4) =
13 5
l) g[f(4)] = 4
71. Con los datos y los resultados obtenidos en los apartados del ejercicio anterior, ¿qué puedes afirmar de las funciones f y g? ¿Cuál es el dominio de g ◦ f? ¿Cuál es el dominio de f ◦ g? Como (g ◦ f)(x) = x, entonces se puede afirmar que f y g son funciones inversas. Como D(f) = − {−1} y D(g) = − {4} , entonces D(g ◦ f) = − {−1} y D(f ◦ g) = − {4} .
72. Actividad resuelta. 73. Si h = (x)
2 x + 3 es la función compuesta (f ◦ g)(x) de f(x) y g(x), ¿cuáles pueden ser esas funciones? Calcula en ese caso la función (g ◦ f)(x).
Para que al componer dos funciones se obtenga h(x), una posibilidad es que una función sea la raíz y la otra el radicando: f ( x ) = x ⇒ h(x) = f[g(x)] = ) 2x + 3 g ( x=
2x + 3
Se calcula (g ◦ f)(x): f ( x ) = x ⇒ g[f(x)] = 2 x + 3. ) 2x + 3 g ( x=
212
Unidad 8| Funciones
74. Las gráficas siguientes corresponden a dos funciones f(x) y g(x).
Representa de forma aproximada en tu cuaderno las gráficas de las funciones: a) (–f)
b) 2g
c) f + g
a)
b)
c)
75. Las siguientes tablas de valores corresponden a dos funciones cuyo dominio es [0, 10]. Una de ellas tiene función inversa, y la otra, no. I.
x
1
3
4
4,5
6
10
y
10
5
1
0
–3
–10
II.
x
1
3
4
4,5
6
10
y
1
5
6
6,2
7
6
a) Indica, justificando la respuesta, cuál de ellas no tiene función inversa. b) Escribe una tabla de valores correspondiente a la función inversa de la otra función. a) La tabla II no es una función inyectiva porque f(4) = f(10) = 6. Por tanto, como no es inyectiva, no tiene inversa. b) La tabla de valores de la inversa de la función I es: x
–10
–3
0
1
5
10
y
10
6
4,5
4
3
1
76. Comprueba, mediante una tabla de valores, que las funciones f (= x) inversa de la otra.
3 1 4x + 2 y g(x) = son una x− 4 2 3
a) Represéntalas gráficamente en los mismos ejes de coordenadas. b) ¿Qué simetría observas entre ambas gráficas? c) ¿En qué punto se cortan las gráficas? d) ¿Por qué crees que ese punto de corte tiene sus dos coordenadas iguales? x
–10
–6
–2
2
6
10
x
–8
–5
–2
1
4
7
f(x)
–8
–5
–2
1
4
7
g(x)
–10
–6
–2
2
6
10
a)
b) f(x) y g(x) son simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante; es decir, respecto a la recta y = x. c) Se cortan en el punto (–2, –2). d) Porque los puntos de corte de dos funciones inversas siempre pertenecen a la recta y = x.
Funciones | Unidad 8
213
77. Actividad resuelta. 78. En los ejercicios siguientes determina la función inversa de f(x) de manera intuitiva e informal. Confirma –1 –1 después que f(f (x)) = f (f(x)) = x.
x −5 3
a) f(x) = 5x
c) f(x) = 6 – 3x
e) f ( x ) =
b) f(x) = x – 7
d) f ( x ) =
f) f(x) = x3 + 7
3
x
a) Al aplicar f a un valor de x se multiplica por 5. Entonces, la función inversa dividirá entre 5: f −1 ( x ) =
x . 5
x 5x x –1 –1 –1 f(f (x)) = f =5 ⋅ =x y f (f(x)) = f (5x) = =x 5 5 5 b) Al aplicar f a un valor de x se le resta 7. Entonces, la función inversa sumará 7: f–1(x) = x + 7. f(f–1(x)) = f(x + 7) = x + 7 – 7 = x y f–1(f(x)) = f–1(x – 7) = x – 7 + 7 = x c) Al aplicar f a un valor de x primero se multiplica por –3 y, después, se suma 6. Entonces, la función inversa x −6 6−x 1 primero restará 6 y luego dividirá entre –3: f −= . (x) = −3 3 6 − ( 6 − 3x ) 6 − 6 + 3x 6−x 6−x –1 –1 f(f–1(x)) = f = 6 − 3⋅ = 6 − 6 + x = x y f (f(x)) = f (6 – 3x) = = = x 3 3 3 3
d) Al aplicar f a un valor de x se calcula su raíz cúbica. Entonces, la función inversa elevará al cubo: f–1(x) = x3. –1 3 f(f (x)) = f(x ) =
3
–1 –1 x 3 = x y f (f(x)) = f
( x) = ( x) 3
3
3
=x
e) Al aplicar f a un valor de x primero se resta 5 y, después, se divide entre 3. Entonces, la función inversa primero multiplicará por 3 y luego sumará 5: f–1(x) = 3x + 5. –1 f(f (x)) = f(3x + 5) =
3x + 5 − 5 x −5 –1 –1 x − 5 = x y f (f(x)) = f = 3 +5 = x −5+5 = x 3 3 3
f) Al aplicar f a un valor de x primero se eleva al cubo y, después, se suma 7. Entonces, la función inversa restará primero 7 y, después, calculará su raíz cúbica: f–1(x) = f(f–1(x)) = f
(
3
) (
x −7 =
3
x −7
)
3
3
x −7 . –1
–1
3
+ 7 = x − 7 + 7 = x y x y f (f(x)) = f (x + 7) =
3
x3 + 7 − 7 = x =x
79. Verifica en cada caso que f y g son funciones inversas la una de la otra. a) f ( x ) = b) f ( x = ) c) f ( x ) =
5x + 1 x −1 x−4
1 ,x≥0 x +1
g(x) =
x −1 x +5
g ( x= ) x2 + 4 , x ≥ 0
g(x) =
a) f y g no son inversas. (f ◦ g)(x) = f[g(x)] = f x − 1 = x +5 b) f y g son inversas. (f ◦ g)(x) = f[g(x)] = f(x2 + 4) =
1− x ,0 0 ⇒ Positiva
•
1 1 En 0, : f = –2 < 0 ⇒ Negativa 2 4
•
1 En , + ∞ : f(1) = 1 > 0 ⇒ Positiva 2
b) La función g(x), con D(g) = − {−1} , corta al eje X en el punto (2, 0). Los intervalos a estudiar son: •
En (–∞, –1): g(–2) = 12 > 0 ⇒ Positiva
•
En (–1, 2): g(0) = –6 < 0 ⇒ Negativa
•
En (2, +∞): g(3) =
3 > 0 ⇒ Positiva 4
c) La función h(x), con D(h) = (–1, +1) corta al eje X en el punto (0, 0).Los intervalos a estudiar son: •
En (–1, 0): h (–0,5) = –0,58 < 0 ⇒ Negativa
•
En (0, 1): h(0,5) = 0,58 > 0 ⇒ Positiva
d) La función i(x), con D(j) = corta al eje X en los puntos (2, 0), (5, 0) y (–5, 0).Los intervalos a estudiar son: •
En (–∞, –5): f(–6) = –88 < 0 ⇒ Negativa
•
En (2, 5): f(4) = –18 < 0 ⇒ Negativa
•
En (–5, 2): f(0) = 50 > 0 ⇒ Positiva
•
En (5, +∞): f(6) = 44 > 0 ⇒ Positiva
e) La función j(x), con D(j) = − {5} , corta al eje X en los puntos (2, 0) y (7, 0).Los intervalos a estudiar son: •
En (–∞, 2): f(–1) = –4 < 0 ⇒ Negativa
•
En (5, 7): f(6) = –4 < 0 ⇒ Negativa
•
En (2, 5): f(3) = 2 > 0 ⇒ Positiva
•
En (7, +∞): f(8) = 2 > 0 ⇒ Positiva
5 −5 , 0 .Los intervalos son: f) La función k(x), con D(k) = corta al eje X en los puntos (0, 0), , 0 y 3 3
216
•
−5 En −∞, : f(–2) = 44 > 0 ⇒ Positiva 3
•
5 En 0, : f(1) = –16 < 0 ⇒ Negativa 3
•
−5 , 0 : f(–1) = –16 > 0 ⇒ Negativa En 3
•
5 En , + ∞ : f(2) = 44 > 0 ⇒ Positiva 3
Unidad 8| Funciones
85. La siguiente gráfica corresponde a una función periódica de período T = 6.
a) Representa en tu cuaderno otros dos períodos de la gráfica de la función, uno a la izquierda y otro a la derecha. b) ¿Cuál es el recorrido de la función? c) ¿Está acotada? ¿Cuáles son sus cotas? d) Halla los valores de la función f(1), f(–2), f(0), f(27), f(–31) y f(2016). e) ¿En qué puntos del intervalo [60, 70] la función es igual a –2? a)
b) R(f) = [–1, 3] c) La función está acotada superiormente porque f(x) < 3 e inferiormente porque f(x) > –1. d) f(1) = 2 f(–2) = 3
f(0) = 2
f(–31) = f(–1 – 5 · 6) = f(–1) = 2
f(27) = f(3 + 4 · 6) = f(3) = –1
f(2016) = f(0 + 336 · 6) = f(0) = 2
e) La función no es igual a –2 nunca en el intervalo [–4, 2]. Como la función es periódica, entonces en ningún punto del intervalo [60, 70] la función es igual a –2.
a) [1, 3]
4 en los intervalos siguientes: x c) [–5, –1]
b) [2, 4]
d) [–2, –1]
86. Halla la tasa de variación media de la función f ( x ) =
¿Tendría sentido hallar la TVM f[–2, 1]? ¿Por qué? Con los resultados obtenidos, ¿qué puedes decir acerca del crecimiento de la función? 4 f ( 3 ) − f (1) 3 − 4 4 a) TVM f[1, 3] = = = − 3 −1 2 3 b) TVM f[2, 4] =
f ( 4 ) − f ( 2) 1 − 2 1 = = − 4−2 2 2
4 f ( −1) − f ( −5 ) −4 + 5 4 c) TVM f[–5, –1] = = = − −1 + 5 4 5 d) TVM f[–2, –1] =
f ( −1) − f ( −2 ) −4 + 2 = = −2 −1 + 2 1
No tendría sentido hallar la TVM f[–2, 1] porque la función no es continua en x = 0, ya que D(f) = − {0} Como la TVM es siempre negativa, la función parece ser decreciente en todo su dominio.
Funciones | Unidad 8
217
87. Representa una función continua que cumpla las siguientes condiciones: 1. Su dominio es (–2, 1) ∪ (1, +∞)
2. Es continua en todo su dominio. 3. Tiene como asíntotas las rectas: x = –2, x = 1, y = 3 4. Corta a los ejes de coordenadas en los puntos: A(–1, 0), B(0, 5), C(3, 0). 5. Es creciente en (–2, 1) ∪ (1, 5) y decreciente en (5, +∞). 6. Solo tiene un máximo relativo en (5, 5).
88. Se define la siguiente función para valores de x pertenecientes al intervalo [n, n + 1) en donde n representa un número entero:
f (x) =
{−11
si n es par si n es impar
Así por ejemplo f(4,3) = 1 porque 4,3 pertenece al intervalo [4, 5) y el 4 es par. a) Halla los valores f(1), f(1,25), f(–4,2), f(π). b) Representa la función en el intervalo [–5, 5). c) La función es periódica. ¿Cuál es su periodo? ¿Por qué? a) f(1) = –1 f(1,25) = –1
f(–4,2) = –1 f(π) = –1.
b)
c) Es una función periódica de período T = 2, porque si x es un número del intervalo [n, n + 1) entonces x + 2 es un número del intervalo [n + 2, n + 2 + 1) y, como n y n + 2 tienen la misma paridad entonces f(x) = f(x + 2).
218
Unidad 8| Funciones
89. Si f y g son funciones pares, h y k son funciones impares, y ninguna de ellas es la función nula, ¿qué se puede asegurar sobre la simetría de las siguientes funciones? a) f + g
c) f · g
b) f – g
d)
h g
e) h + k
g) f · (h + k)
f) (f + g) · k
h)
f +g h⋅k
Como f y g son funciones pares, entonces f(x) = f(–x) y g(x) = g(–x). Como h y k son funciones impares, entonces –h(x) = h(–x) y –k(x) = k(–x). a) (f + g)(–x) = f(–x) + g(–x) = f(x) + g(x) = (f + g)(x) ⇒ Función par b) (f – g)(–x) = f(–x) – g(–x) = f(x) – g(x) = (f – g)(x) ⇒ Función par c) (f · g)(–x) = f(–x) · g(–x) = f(x) · g(x) = (f · g)(x) ⇒ Función par h ( −x ) −h ( x ) h h d) ( −x ) = = = − ( x ) ⇒ Función impar g ( −x ) g (x) g g
e) (h + k)(–x) = h(–x) + k(–x) = –h(x) – k(x) = –(h + k)(x) ⇒ Función impar f) [(f + g) · k](–x) = (f + g)(–x) · k(–x) = (f + g)(x) · [–k(x)] = –[(f + g) · k](x) ⇒ Función impar g) [f · (h + k)](–x) = f(–x) · (h + k)(–x) = f(x) · [–(h + k)(x)] = –[f · (h + k)](x) ⇒ Función impar f +g h) = ( −x ) h⋅k
( f + g= )( −x ) ( h ⋅ k )( −x )
f ( −x ) + g ( −x ) f (x) + g (x) f (x) + g (x) f + g = = = ( x ) ⇒ Función par h ( −x ) k ( −x ) −h ( x ) −k ( x ) h(x)k (x) h⋅k
90. Halla g ◦ f y f ◦ g, siendo: f (x) =
{
{13−x x
2 x + 1 si x < 0 si x < 2 y g(x) = x + 5 si x ≥ 0 si x ≥ 2
6x + 1 si x < 0 Si x < 0 o si x ≥ 2 ⇒ f(x) < 0 y si 0 ≤ x < 2 ⇒ f(x) ≥ 0 ⇒ (g ◦ f)(x) = 3x + 5 si 0 ≤ x < 2= 2 (1 − x ) + 1 si 2 ≤ x
Si x < 0 ⇒ g(x) < 2 y si 0 ≤ x ⇒ g(x) ≥ 2 ⇒ (f ◦ g)(x) =
{(
3 2x + 1) 1− x − 5
{
si x < 0 6x + 3 = si x ≥ 0 −x − 4
6x + 1 3x + 5 3 − 2 x
si x < 0 si 0 ≤ x < 2 si 2 ≤ x
si x < 0 si x ≥ 0
91. Para grupos de 50 o más personas una empresa de transportes ofrece, para una excursión, un precio por persona, en euros, según la fórmula:
P(n) = 40 – 0,5(n – 50), n > 50, donde n es el número de excursionistas. a) Escribe cuál será el ingreso, G(n), para la empresa en función del número n de excursionistas. b) Copia y completa la tabla en tu cuaderno. n G(n)
60
•
70
•
90
•
110
•
120
•
140
•
160
•
c) A la vista de los resultados, ¿cuál parece ser el número de personas más conveniente para la empresa? d) Determina de manera exacta y razonada cuál es ese número de personas y cuánto ingresaría la empresa. 2 2 a) G(n) = n · [40 – 0,5(n – 50)] = n · (40 – 0,5n + 25) = 40n – 0,5n + 25n = –0,5n + 65n
b)
n G(n)
60 70 90 110 2100 2100 1800 1100
120 600
140 160 –700 –2400
c) Observando la tabla, se concluye que el número de personas más conveniente sería entre 60 y 70. d) La función G(n) = –0,5n2 + 65n corresponde a la gráfica de una parábola cuyo vértice está en el punto de abscisa x = 65 y ordenadas G(65) = 2112,5. Como la parábola tiene las ramas hacia abajo, el vértice es un máximo. Por tanto, el número de personas más conveniente para la empresa es 65 y, con ese número de personas, obtendría unos beneficios de 2112,5 €.
Funciones | Unidad 8
219
92. El coste de producir n palas de pádel viene dado por la expresión: P(n) = 40 + 16 n − 1 , con n ≤ 50. Si la empresa pretende ganar un 50 % en la venta de cada pala, determina:
a) El precio U(n) de producción de cada una de las palas al producir n. b) ¿A qué precio deberá vender cada pala si producen 17? c) ¿Cuánto dinero ganará si producen 30 palas pero solo logran vender 25? d) La ganancia, G(n), al producir y vender n palas. e) Analiza si cada una de las funciones P(n), U(n) y G(n) son crecientes o decrecientes. a) U(n) =
P ( n ) 40 + 16 n − 1 = n n
b) 2 · U(17) = 2 ⋅
40 + 16 17 − 1 = 12,24 € 17
c) Al producir 30 palas sus gastos serán P(30) = 40 + 16 30 − 1 = 126,16 € y si vende 25 conseguirá unos
(
)
ingresos de 2 · P(25) = 2 ⋅ 40 + 16 25 − 1 = 236,77 €. Por tanto, ganará 236,77 – 126,16 = 110,61 €. d) G(n) = 2P(n) – P(n) = P(n) = 40 + 16 n − 1 e) Sea n1 < n2. Entonces: n1 < n2 ⇒ n1 – 1 < n2 – 1 ⇒
n1 − 1 < n2 − 1 ⇒ 16 n1 − 1 < 16 n2 − 1 ⇒ 40 + 16 n1 − 1 < 40 + 16 n2 − 1 ⇒
P(n1) < P(n2) y G(n1) < G(n2) ⇒ P(n) y G(n) son funciones crecientes. n1 < n2 ⇒ n1 – 1 < n2 – 1 ⇒
n1 − 1 < n2 − 1 ⇒ 16 n1 − 1 < 16 n2 − 1 ⇒ 40 + 16 n1 − 1 < 40 + 16 n2 − 1 ⇒
40 + 16 n1 − 1 40 + 16 n2 − 1 > ⇒ U(n1) > U(n2) ⇒ U(n) es una función decreciente. n1 n2
93. Un jugador de béisbol golpea a la pelota y esta sigue la trayectoria y = 0,9 + 0,2x – 0,0012x2, donde x e y están en metros.
a) ¿Pasará por encima de una valla que tiene 5 metros de altura y está a 155 m del jugador? b) Si no existiera la valla y el suelo fuera totalmente horizontal, ¿qué distancia alcanzaría la pelota antes de caer al suelo? a) f(155) = 3,07 < 5 ⇒ La pelota no pasará por encima de la valla. b) 0,9 + 0,2x – 0,0012x2 = 0 ⇒ x = –4,38 y x = 171,05 La pelota alcanzaría 171,05 m antes de caer al suelo.
94. Con un cartón rectangular de 40 x 60 cm se construye una caja, sin tapa, recortando en las esquinas unos cuadraditos de lado x cm y doblando el material.
a) Determina el volumen de la caja y la superficie del cartón que forma la caja en función de x. b) ¿Cuál es el dominio de ambas funciones? c) ¿Cuál es el volumen de la caja y la superficie del cartón cuando x = 10 cm? a) V(x) = (40 – 2x)(60 – 2x)x
S(x) = 40 · 60 – 4x2
b) D(V) = [0, 20] y D(S) = [0, 20] porque si x > 20 no se pueden formar las esquinas de los cuadrados. c) V(10) = (40 – 2 · 10)(60 – 2 · 10)· 10 = 8000 cm3 y S(10) = 40 · 60 – 4 · 102 = 2000 cm2
95. ¿Cuál de estas funciones expresa que el número y es el 30 % menos que el número x? A. y = 0,7x
B. y = 0,3x
y = x – 30 % de x = x – 0,3x = 0,7x La respuesta correcta es la A.
220
Unidad 8| Funciones
C. y =
x 0,3
D. y = x – 0,3
96. Las gráficas de y = –|x – a| + b e y = |x – c| + d se cortan en los puntos (2, 5) y (8, 3). El valor de a + c es: A. 7
B. 8
C. 10
D. 13
La recta y = –|x – a| + b pasa por los puntos (2, 5) y (8, 3): 5 =–|2 – a| + b y 3 = –|8 – a| + b. Restando ambas ecuaciones se obtiene: 2 = –|2 – a| + b + |8 – a| – b = –|2 – a| + |8 – a| •
Si a < 2 ⇒ 2 = –2 + a + 8 – a = 6 Imposible
•
Si a > 8 ⇒ 2 = 2 – a + a – 8 = –6 Imposible
•
Si 2 ≤ a ≤ 8: 2 = 2 – a + 8 – a = 10 – 2a ⇒ a = 4
La recta y = –|x – c| + d pasa por los puntos (2, 5) y (8, 3): 5 = |2 – c| + d y 3 = |8 – c| + d. Restando ambas ecuaciones se obtiene: 2 = |2 – c| + d – |8 – c| – d = |2 – c| – |8 – c| •
Si c < 2 ⇒ 2 = 2 – c – 8 + c = –6 Imposible
•
Si c > 8 ⇒ 2 = c – 2 – c – 8 = –10 Imposible
•
Si 2 ≤ c ≤ 8: 2 = c – 2 – 8 + c = 2c – 10 ⇒ c = 6
Por tanto, a + c = 4 + 6 = 10 La respuesta correcta es la C.
( ( 2 )) =
97. Sea f la función definida por f(x) = ax2 – A.
2− 2 2
B.
2 con a > 0. Si f f
1 2
( ( 2 ))= f ( 2a − 2 )= a ( 2a − 2 )
− 2= f f
C. 2 − 2 2
(
− 2 ⇒ − 2= a 2a − 2
La respuesta correcta es la D.
− 2 , el valor de a es: D.
)
2
2 2
a=0 2 − 2 ⇒ a 2a − 2 = 0 ⇒ 2 a = 2
(
)
x 98. Si f = x2 + x + 1, ¿cuál es la suma de todos los valores z para los que f(3z) = 7? 3 −1 A. 3
9z 7= f ( 3z )= f = 3
B.
( 9z )
2
−1 9
C. 0
D.
5 9
+ 9z + 1= 81z 2 + 9z + 1 ⇒ 7= 81z 2 + 9z + 1 ⇒ 81z 2 + 9z − 6= 0
−b −9 −1 La suma de las soluciones de esta ecuación de segundo grado es S = = = . a 81 9
La respuesta correcta es la B. Encuentra el error
99. Antonio ha obtenido un 6 en el último examen de Matemáticas y quiere convencer a su profesor para que le ponga un notable en la evaluación:
Para ello, hace el siguiente razonamiento: Mi nota ha sido x = 6, luego 13x = 78 y x2 = 36. Como 36 = 78 – 42 puedo escribir que x2 = 78 – 42 = 13x – 42. Si resto 6x a ambos miembros de la igualdad obtengo x2 – 6x = 7x – 42. Es decir, x(x – 6) = 7(x – 6) y de aquí se obtiene que evidentemente x tiene que ser 7. Muy bueno tu intento, le dice el profesor, pero algo has hecho mal para concluir que un 6 es igual que un 7. ¿Cuál es el error en el razonamiento de Antonio? Indica el error en la solución incorrecta. El error está al simplificar x(x – 6) = 7(x – 6). Para simplificar, el alumno divide entre x – 6, pero no se puede dividir entre esta expresión porque como ha supuesto que x = 6, entonces x – 6 = 0.
Funciones | Unidad 8
221
PONTE A PRUEBA ¿Cómo invertir dinero? Actividad resuelta. La gravedad Son muchas y muy variadas las actividades de la vida en las que es preciso tener en cuenta y conocer adecuadamente las consecuencias de la fuerza de la gravedad en nuestro planeta. Por citar algunas de ellas basta fijarse en actividades deportivas como el parapente, el ala delta, los lanzamientos de jabalina, el tiro con arco… En todas ellas, para determinar su trayectoria, influyen muchos otros factores como son: la resistencia del aire, la velocidad y el ángulo de salida, la fuerza del viento…, cuyos efectos se suman para dar lugar a la trayectoria final. Se plantea, mediante el manejo de funciones elementales, estudiar y obtener la trayectoria que seguirá un objeto lanzado con cierta velocidad y despreciando la resistencia del aires. Desde una plataforma horizontal y situada a 20 m de altura se lanza una bola, que rueda sobre la plataforma, con una velocidad de 2 m/s. El espacio que recorre horizontalmente será x = 2t (velocidad por el tiempo) y 1 2 verticalmente = y g ⋅ t 2 , donde g es la aceleración de la gravedad, g ≅ –10 m/s . En ese caso, como se lanza 2 desde una altura de 20 m, la posición inicial de la bola en cada instante será y = 20 – 5t2.
1.
¿Cuánto tiempo tardará en caer al suelo? 0 = 20 – 5t2 ⇒ t2 = 4 ⇒ t = ± 2 ⇒ Tardará 2 s en caer al suelo.
2.
¿Qué desplazamiento horizontal habrá tenido la bola en ese tiempo? x=2·2=4m
3.
¿En qué punto caerá la bola? La bola caerá a 4 m de la vertical del borde de la plataforma.
4.
5.
Halla las posiciones de la bola cada 0,2 segundos y represéntalas sobre unos ejes de coordenadas. Tiempo 0
x 0
y 20
0,2
0,4
19,8
0,4
0,8
19,2
0,6
1,2
18,2
0,8
1,6
16,8
1
2
15
1,2
2,4
12,8
1,4
2,8
10,2
1,6
3,2
7,2
1,8
3,6
3,8
2
4
0
La gráfica que obtienes, ¿a qué tipo de función corresponde? Halla la expresión de esa función de la forma habitual y =f(x) eliminando el tiempo t entre las dos expresiones que has utilizado. La gráfica que se obtiene corresponde a una parábola, con vértice en el punto V(0, 20), cóncava hacia abajo, y con 0 ≤ x ≤ 4.
{
2 x 5x 2 x2 t = x = 2t x ⇒ y = 20 − 5 ⋅ ⇒ y = 20 − 5 ⋅ ⇒ y = 20 − 2 ⇒ 2 y 20 − 5t = 4 4 2 y 20 − 5t 2 =
222
Unidad 8| Funciones
AUTOEVALUACIÓN
1.
En el conjunto C = {1, 2, 3, …, 100} formado por los 100 primeros números naturales y el conjunto B formado por los 20 primeros, establecemos la siguiente correspondencia: A cada elemento de C le corresponde la suma de sus cifras. a) ¿Esta correspondencia, f, es una función? b) ¿Es inyectiva? ¿Por qué? c) ¿Cuál es su recorrido? d) ¿Cuántos elementos de C verifican que f(x) = 9? a) La correspondencia f es una función porque a cada elemento del conjunto C le corresponde un único elemento del conjunto B. b) No es una función inyectiva porque, por ejemplo, a los elementos 24 y 51 de C les corresponde el mismo elemento de B, 6. c) R = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18} d) Hay 10 elementos de C que verifican que f(x) = 9: {9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99}
2.
Dadas las funciones f ( x ) =
1 y g(x) = x2 – 4, determina: x +3
a) El dominio de f + g, de f · g y
f . g
b) El valor de (f ◦ g)(2). c) El dominio de (f ◦ g). D(f) = − {−3} y D(g) = a) D(f + g) = D(f) ∩ D(f) = − {−3} = (–∞, –3) ∪ (–3, +∞) D(f · g) = D(f) ∩ D(f) = − {−3} = (–∞, –3) ∪ (–3, +∞) f D = D(f) ∩ D(f) y g(x) ≠ 0 = − {−3, − 2, 2} = (–∞, –3) ∪ (–3, –2) ∪ (–2, –2) ∪ (2, +∞) g
b) (f ◦ g)(2) = f[g(2)] = f(22 – 4) = f(0) =
1 3
c) D(f ◦ g)(x) = {x ∈ D(g) / g(x) ∈ D(f)} = − {−1, 1} = (–∞, –1) ∪ (–1, 1) ∪ (1, +∞)
3.
Observa la siguiente gráfica:
a) Indica su dominio y su recorrido. b) ¿Es par o impar? c) Calcula f[4 + f(2)] a) D(f) = (–8, 8) y R(f) = [0, 5] b) La función es par porque es simétrica respecto el eje Y. c) f[4 + f(2)] = f(4 + 2) = f(6) = 5
Funciones | Unidad 8
223
4.
La gráfica que aparece a continuación se corresponde con una función periódica.
a) ¿Cuál es su recorrido? ¿Está acotada? ¿Es simétrica? b) Calcula f(2016) y f(–2020). c) ¿Cuál es el período de f(2x)? a) R(f) = (–4, 4] Está acotada superiormente porque f(x) ≤ 4 e inferiormente porque f(x) < –4, para todo x del dominio de f. La gráfica no es simétrica. b) La gráfica es periódica de período T = 8. f(2016) = f(0 + 252 · 8) = f(0) = 0 f(–2020) = f(–4 – 252 · 8) = f(–4) = 4 c) El período de f(2x) será T = 4, porque f(2x) = f(2x + 8) = f[2(x + 4)].
5.
Las gráficas siguientes corresponden a dos funciones f y g.
a)
¿Están acotadas?
b) Indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento. ¿Cuáles son sus máximos y sus mínimos? c)
¿Cuáles pueden ser las asíntotas de la función f?
a) La función f está acotada superiormente porque f(x) ≤ 2 para todo x del dominio de f, pero no está acotada inferiormente. La función g está acotada superiormente porque f(x) ≤ 4 e inferiormente porque f(x) ≥ –2, para todo x del dominio de f. b) Función f •
Creciente: (0, 2)
•
Decreciente: (–∞, 0) ∪ (2, +∞)
•
Tiene un máximo en x = 2.
•
No tiene mínimos. Función g
•
Creciente: (–2, 0) ∪ (1, 4)
•
Decreciente: (–4, –2) ∪ (0, 1)
•
Tiene un máximo en x = 0 y que vale g(0) = 2.
•
Tiene un mínimo en x = –2, que vale g(–2) = –2, y otro en x = 1, que vale g(1) = –1. Por tanto, el mínimo en x = – 2 es mínimo absoluto.
c) Asíntota horizontal: y = 0 Asíntota vertical: x = 0
224
Unidad 8| Funciones
Funciones | Unidad 8
225
9 Funciones elementales ANALIZA Y DECIDE ¿Qué tipo de curva no se utiliza en los ramales de entrada y salida de las autopistas? ¿Cuál es la más adecuada? Un arco de circunferencia no se utiliza en los ramales de entrada y salida de las autopistas. La curva más adecuada en estos casos es la espiral de Cornu o clotoide. ¿Conoces otro tipo de espirales que se den en la naturaleza o en obras construidas por el hombre? Compara tu respuesta con tus compañeros. Respuesta libre. Por ejemplo, la espiral aúrea o de Durero que aparece en las escamas de una piña, en las semillas del girasol, en el nautilus, en “La Mona Lisa” de Da Vinci, en el Partenón de Atenas… o la espiral logarítmica que aparece en los brazos de las galaxias o de los huracanes, en las telas de araña…
OBSERVA Y CONTESTA Dibuja una espiral en tu cuaderno. ¿Es igual que la parte de la espiral que se ve en la fotografía? ¿Cuántas dimensiones tienen cada una? Respuesta libre.
Actividades propuestas 1.
Señala cuáles de las siguientes funciones son polinómicas. En caso afirmativo, indica el grado y la variable independiente. a) f(x) = 2 b) f(z) = –5 – 2z
2
−2 x − 2 x 2 c) f ( x ) =
e) f ( x = ) x+
d) f(t) = –3t3 – 4t
f)
f (v ) =
1 2x
v3 2
a) Función polinómica de grado 1 y cuya variable independiente es x. b) Función polinómica de grado 2 y cuya variable independiente es z. c) No es función polinómica. d) Función polinómica de grado 3 y cuya variable independiente es t. e) No es función polinómica. f) Función polinómica de grado 3 y cuya variable independiente es v.
2.
226
Representa estas funciones lineales e indica su pendiente y su ordenada en el origen. a) f(x) = 2
b) f(x) = –2x
c) f(x) = x – 3
d) f(x) = –2x + 2
a)
b)
c)
d)
Pendiente a = 0
Pendiente a = –2
Pendiente a = 1
Pendiente a = –2
Ordenada b = 2
Ordenada b = 0
Ordenada b = –3
Ordenada b = 2
Unidad 9| Funciones elementales
3.
La gráfica de la función polinómica de primer grado y = f(x) pasa por el punto (3, 5) y su pendiente es 2. Determina: a) f(4). b) La expresión de la función f(x). c) La ordenada en el origen. a) La expresión de la función polinómica de primer grado es y = 2x + b. a=
f ( 4) − f (3) = f(4) – 5 = 2 ⇒ f(4) = 7 4−3
b) Como la recta pasa por el punto (3, 5), entonces 5 = 2 · 3 + b ⇒ b = –1. La expresión de la función es f(x) = 2x – 1. c) La ordenada en el origen es b = –1.
4.
Determina el sentido de las ramas, las coordenadas del vértice y la ecuación del eje de simetría de las siguientes parábolas. a) f(x) = x2 + 4x
c) f(x) = x2 – 2x + 1
b) f(x) = –x2 + 4x – 1
d) f(x) = 2x2 – 5x
a) a = 1 > 0 ⇒ las ramas de la parábola se abren hacia arriba. Vértice V(–2, f(–2)) = V(–2, –4) ⇒ Eje de simetría: x = –2 b) a = –1 < 0 ⇒ las ramas de la parábola se abren hacia abajo. Vértice V(2, f(2)) = V(2, 3) ⇒ Eje de simetría: x = 2 c) a = 1 > 0 ⇒ las ramas de la parábola se abren hacia arriba. Vértice V(1, f(1)) = V(1, 0) ⇒ Eje de simetría: x = 1 d) a = 2 > 0 ⇒ las ramas de la parábola se abren hacia arriba.
5 5 5 5 −25 Vértice V , f = , ⇒ Eje de simetría: x = 4 4 4 4 8
5.
Actividad resuelta.
6.
Representa las siguientes funciones cuadráticas. a) f(x) = x2 – 1
b) f(x) = (x – 3)2
a) f(x) = x2 – 1 •
a = 1 > 0 ⇒ las ramas se abren hacia arriba.
•
Vértice V(0, f(0)) = V(0, –1)
•
Eje de simetría: x = 0
•
Punto de corte con el eje Y: f(0) = –1 ⇒ (0, –1)
•
Puntos de corte con el eje X: x2 – 1 = 0 ⇒ x2 = 1 ⇒ x = ±1 ⇒ (–1, 0) y (1, 0)
b) f(x) = (x – 3)2 = x2 – 6x + 9 •
a = 1 > 0 ⇒ las ramas se abren hacia arriba.
•
Vértice V(3, f(3)) = V(3, 0)
•
Eje de simetría: x = 3
•
Punto de corte con el eje Y: f(0) = 9 ⇒ (0, 9)
•
Puntos de corte con el eje X: 2 (x – 3) = 0 ⇒ x = 3 ⇒ (3, 0)
Funciones elementales | Unidad 9 227
7.
Estudia las características y representa de forma aproximada la gráfica de la función f(x) = x3 – 1. D(f) = Punto de corte con el eje Y: f(0) = –1 ⇒ (0, –1) Puntos de corte con el eje X: x3 – 1 = 0 ⇒ x = 1 ⇒ (1, 0) Es función impar porque –f(x) = –x3 + 1 =f(–x) x
0
y
–1
0,1
0,5
0,999 –0,875
1
1,5
2
0
2,375
7
8.
Actividad resuelta.
9.
Indica cuáles de las funciones son racionales. Justifícalo. a) f ( x ) = b) f ( x ) = a) f ( x ) =
b) f ( x ) =
3 + x 2 − 2x x
( x + 3 ) ( x − 1) x −1
c) f ( x ) =
x2 − x − 1 5
d) f ( x ) =
x 3 − 2x x +1
3 x 3 − 2x 2 + 3 es una función racional, puesto que es el cociente de dos polinomios. + x 2 − 2x = x x x + 3 )( x − 1) (= x −1
x 2 + 2x − 3 es una función racional, puesto que es el cociente de dos polinomios. x −1
c) f ( x ) =
x2 − x − 1 1 2 1 1 es una función polinómica, puesto que f ( x ) = x − x− . 5 5 5 5
d) f ( x ) =
x 3 − 2x no es una función racional, porque el numerador, P(x) = x 3 − 2x , no es un polinomio. x +1
10. Halla el dominio de estas funciones. a) f ( x ) =
2x + 3 x2 + 1
c) f ( x ) =
x2 + 1 2x + 3
b) f ( x ) =
5 x ( 3 x + 1)
d) f ( x ) =
4x + 8 x − 8x + 7
a) D(f) = −1 b) D(f) = − 0, 3
2
−3 c) D(f) = − 2 d) f ( x ) =
4x + 8 = x 2 − 8x + 7
11. Indica el dominio y el crecimiento de las funciones. a) y =
3 x
c) y =
b) y =
−2 x
d) y =
a) D(f) = − {0} k = 3 ⇒ Decreciente b) D(f) = − {0} k = –3 ⇒ Creciente
228
Unidad 9| Funciones elementales
1 −x
1 x 2 c) D(f) = − {0} k = –1 ⇒ Creciente d) D(f) = − {0} k = 2 ⇒ Decreciente
4x + 8
( x − 1)( x − 7 )
⇒ D(f) = − {1, 7}
12. Determina los puntos de corte con los ejes y el signo de las siguientes funciones racionales. a) y =
2x + 3 x2 − 1
b) y =
( x + 3 ) ( x − 1) x −1
a) Punto de corte con el eje Y: x = 0 ⇒ y = –3 ⇒ (0, –3) Puntos de corte con el eje X: y = 0 ⇒ 0 =
−3 2x + 3 −3 ,0 ⇒x= ⇒ 2 x2 − 1 2
Signo de la función: −3 La función, con D(f) = (–∞,–1) ∪ (–1, 1) ∪ (1, +∞), corta al eje X en el punto ,0 . 2 Los intervalos a estudiar son: •
1 −3 En −∞, : f(–2) = − < 0 ⇒ Negativa 2 3
•
En (–1, 1): f(0) = –3 < 0 ⇒ Negativa
•
88 −3 5 , − 1 : f = > 0 ⇒ Positiva En 9 2 4
•
En (1, +∞): f(2) =
b) y =
( x + 3 )( x − 1) x −1
7 > 0 ⇒ Positiva 3
= x + 3, con D(f) = (–∞,1) ∪ (1, +∞).
Punto de corte con el eje Y: x = 0 ⇒ y = 3 ⇒ (0, 3) Puntos de corte con el eje X: y = 0 ⇒ 0 = x + 3 ⇒ x = –3 ⇒ (–3, 0) Signo de la función: La función, con D(f) = (–∞,1) ∪ (1, +∞), corta al eje X en el punto (–3, 0). Los intervalos a estudiar son: •
En (–∞, –3) : f(–4) = –1 < 0 ⇒ Negativa
•
En (–3, 1): f(0) = 3 > 0 ⇒ Positiva
•
En (1, +∞): f(2) = 5 > 0 ⇒ Positiva
13. El dominio de la función y =
x +5 es D(f) = (–∞,–2) ∪ (–2, 4) ∪ (4, +∞). Calcula b y c. x 2 + bx + c
Como el dominio es D(f) = (–∞,–2) ∪ (–2, 4) ∪ (4, +∞), entonces las raíces del denominador son x = –2 y x = 4. 2 2 Por tanto, x + bx + c = (x + 2)(x – 4) = x – 2x – 8 ⇒ b = –2 y c= –8.
14. Actividad resuelta. 15. ¿Cuál es la expresión que permite obtener la base de un rectángulo de 12 cm2 de área en función de su altura?
De la expresión del área del rectángulo se despeja su base: A = b · h ⇒ b =
A 12 ⇒b= h h
Por tanto, se puede escribir como b = f(h), donde b expresa la longitud de la base y h la longitud de la altura: b = f(h) =
12 , que es una función de proporcionalidad inversa. h
16. Actividad interactiva.
Funciones elementales | Unidad 9 229
17. Determina las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de las siguientes funciones racionales. a) y =
x x2 − 1
b) y =
2x 2 + x + 1 x −1
c) y =
3x − 2 x 2 − 5x + 6
a) Asíntotas horizontales Como grado (x)= 1 < grado (x2 – 1) = 2, entonces la función tiene una asíntota horizontal en y = 0. Asíntotas verticales Como D(f) = − {1, − 1} , la función tiene asíntotas verticales en x = 1 y x = –1. Asíntotas oblicuas La función no tiene asíntotas oblicuas por tener asíntotas horizontales. b) Asíntotas horizontales Como grado (2x2 + x + 1) = 2 > grado (x – 1) = 1, entonces la función no tiene asíntotas horizontales. Asíntotas verticales Como D(f) = − {1} , la función tiene una asíntota vertical en x = 1 . Asíntotas oblicuas Como
2x 2 + x + 1 4 , la función tiene una asíntota oblicua en y = 2x + 3. = 2x + 3 + x −1 x −1
c) Asíntotas horizontales 2 Como grado (3x – 2) = 1 < grado (x – 5x + 6) = 2, entonces la función tiene una asíntota horizontal en y = 0.
Asíntotas verticales Como D(f) = − {2, 3} , la función tiene asíntotas verticales en x = 2 y x = 3. Asíntotas oblicuas La función no tiene asíntotas oblicuas por tener asíntotas horizontales.
18. Determina el dominio, los puntos de corte y las asíntotas de las siguientes funciones. Luego, trata de esbozar sus gráficas. x2 a) y = x + 1 + x−4 a) y = x + 1 +
b) y =
2x x +1
2x 2 − 3 x − 4 x2 ⇒ D(f) = − {4} = x−4 x−4
Punto de corte con el eje Y: x = 0 ⇒ y = 1 ⇒ ( 0, 1) Puntos de corte con el eje X: y = 0 ⇒ 0 = 2x2 – 3x – 4 = ⇒x
3 + 41 3 ± 41 ⇒ 0, 4 4
3 − 41 y 0, 4
Asíntotas horizontales Como grado (x2 – 3x – 3) = 2 > grado (x – 4) = 1, entonces la función no tiene asíntotas horizontales. Asíntotas verticales Como D(f) = − {4} , la función tiene una asíntota vertical en x = 4. Asíntotas oblicuas 2x 2 − 3 x − 4 16 = 2x + 5 + ⇒ y = 2x + 5 x−4 x−4
230
Unidad 9| Funciones elementales
2x x +1 D(f) = − {−1}
b) y =
Punto de corte con el eje Y: x = 0 ⇒ y = 0 ⇒ (0, 0) Puntos de corte con el eje X: y = 0 ⇒ 0 = 2x ⇒ (0, 0) Asíntotas horizontales Como grado (2x) = 1 = grado (x + 1), entonces la función tiene una asíntota horizontal en y = 2. Asíntotas verticales Como D(f) = − {−1} , la función tiene una asíntota vertical en x = –1. Asíntotas oblicuas La función no tiene asíntotas oblicuas por tener asíntotas horizontales.
19. La siguiente gráfica corresponde a la función f(x) = 3x.
a) Comprueba que verifica todas las propiedades de las funciones exponenciales. b) Dibuja en tu cuaderno la gráfica de g(x) = 3–x. a) Dominio = (–∞, +∞) y recorrido (0, +∞). Es continua en todo su dominio. Pasa por los puntos (0, 1) y (1, 3). La función es creciente y la recta y = 0 es una asíntota horizontal cuando x va tomando valores cada vez menores. b) La función g(x) = 3–x es simétrica de f(x) = 3x respecto del eje Y.
20. Representa en tu cuaderno la gráfica de la función f(x) = e–x. Compárala con la gráfica de la función g(x) = ex, ¿qué observas?
La gráfica de f(x) = e–x y la gráfica de g(x) = ex son simétricas respecto del eje Y.
Funciones elementales | Unidad 9 231
21. Representa en tu cuaderno las siguientes funciones de base 10 y compáralas. ¿Qué tienen en común? ¿Qué relación hay entre ellas? f(x) = 10x
g(x) = 10–x
h(x) = –10x
Las gráficas de las funciones 10x y 10–x son simétricas respecto del eje Y. Las gráficas de las funciones 10x y –10x son simétricas respecto del eje X.
22. Actividad resuelta. 23. Halla el dominio y los puntos de corte de estas funciones. a) y = logx2
c) y = 2logx 2
b) y = 3log(4 – x )
d) y = ln(e + x)
a) x2 > 0 ⇒ D(f) = − {0} = (–∞, 0) ∪ (0, +∞) Punto de corte con el eje Y: x = 0 ⇒ f(0) no existe. ⇒ No corta al eje Y. Puntos de corte con el eje X: y = 0 ⇒ 0 = logx2 ⇒ log 1 = logx2 ⇒ 1 = x2 ⇒ x = ± 1 ⇒ (1, 0) y (–1, 0) 2 2 b) 4 – x > 0 ⇒ 4 > x ⇒ D(f) = (–2, 2)
Punto de corte con el eje Y: x = 0 ⇒ f(0) = 3log4 ⇒ (0, 3log4) Puntos de corte con el eje X: y = 0 ⇒ 0 = 3log(4 – x2) ⇒ log 1 = log(4 – x2)3 ⇒ 1 = (4 – x2)3 ⇒ 1 = 4 – x2 ⇒ 2 x =3⇒x=± 3 ⇒
(
) (
3, 0 y − 3, 0
)
c) x > 0 ⇒ D(f) = (0, +∞) Punto de corte con el eje Y: x = 0 ⇒ f(0) no existe. ⇒ No corta al eje Y. Puntos de corte con el eje X: y = 0 ⇒ 0 = 2logx ⇒ log 1 = logx2 ⇒ 1 = x2 ⇒ x = ± 1 ⇒ (1, 0), pues D(f) = (0, +∞) d) e + x > 0 ⇒ x > –e ⇒ D(f) = (–e, +∞) Punto de corte con el eje Y: x = 0 ⇒ f(0) = ln e = 1 ⇒ (0, 1) Puntos de corte con el eje X: y = 0 ⇒ 0 = ln(e + x) ⇒ ln 1 = ln(e + x) ⇒ 1 = e + x ⇒ x = 1 – e ⇒ (1 – e, 0)
24. Halla y compara la tasa de variación de los siguientes pares de funciones en los intervalos indicados. I.
[1, 2 ]
II. [10, 20]
a) f(x) = x5 y g(x) = 2x 5
5
III. [100, 120] b) f(x) = log x y g(x) =
5
5
x
a) TVf[1, 2] = 2 – 1 = 31
TVf[10, 20] = 20 – 10 = 3 100 000
TVf[100, 200] = 2005 – 1005 = 3,1 · 1011
TVg[1, 2] = 22 – 21 = 2
TVg[10, 20] = 220 – 210 = 1 047 552
TVg[100, 200] = 2200 – 2100 = 1,6 · 1060
Se observa que la función exponencial crece más rápido que la función potencial. b) TVf[1, 2] = log 2 – log 1 = 0,3 TVg[1, 2] =
2 − 1 = 0,414
TVf[10, 20] = log 20 – log 10 = 0,3 TVg[10, 20] =
20 − 10 = 1,309
TVf[100, 200] = log 200 – log 100 = 0,3 TVg[100, 200] =
Se observa que la función logaritmo crece más lentamente que la función raíz cuadrada.
232
Unidad 9| Funciones elementales
200 − 100 = 4,14
25. Halla la función inversa de estas funciones. a) y = 2logx a) y = 2logx ⇒
b) y = ln(e · x) y 2
y log x ⇒ 10 =⇒ 10 x f −1 ( x ) = = 2
x 2
b) y = ln(e · x) ⇒ ey = e · x ⇒ x = ey – 1 ⇒ f–1(x) = ex – 1
26. A partir de la gráfica de la función f(x) = ln (x – 2), halla la fórmula de la función g(x). Demuestra que la función que has hallado es correcta dando algunos valores y comprobándolos en la gráfica.
La función g(x) es la inversa de la función f(x) = ln(x – 2): y = ln(x – 2) ⇒ ey = x – 2 ⇒ x = ey + 2 ⇒ f–1(x) = g(x) = ex + 2 –4 2,0183
x g(x)
–3 2,0498
–2 2,1353
–1 2,3678
–0,5 2,6065
0 3
0,5 3,6487
1 7,3891
27. Indica si las siguientes funciones crecen o decrecen en los intervalos indicados calculando la tasa de variación media correspondiente.
π π 2π 5π a) f(x) = sen x, en , y , 6 4 3 6
π π c) h(x) = tg x, en − , 0 y 0, 3 3
3π π 3π y , 2π b) g(x) = cos x, en , 2 2 4
π π a) TVMf = 6 , 4
π π π π f − f sen − sen 4= 6 4 = 6 π π π − 4 6 12
2π 5π , TVMf = 3 6
(
5π 2π 5π 2π f −f sen − sen 3 6 = 3 6 = 5π 2π π − 6 3 6 3π π 3π π g − g cos − cos 4 2 4 = 2 = 3π π π − 4 2 4
π 3π b) TVMg = , 2 4
3π TVMg , 2π = 2
π c) TVMh − , 0 = 3
π TVMh 0,= 3
2 1 − 12 2 − 1 6 2 2 = = π 2π 12
)
(
) > 0 ⇒ Creciente
2 −1 π
1 3 − 6 1− 3 3 1− 3 2= 2 = < 0 ⇒ Decreciente π 2π π 6
(
)
(
)
− 2 −0 4 2 −2 2 2= −= < 0 ⇒ Decreciente π 2π π 4
3π 3π g ( 2π ) − g sen ( 2π ) − sen 2 = 2 = 0 − ( −1) = 2 > 0 ⇒ Creciente π π 3π π 2π − 2 2 2
π π h ( 0 ) − h − tg ( 0 ) − t g − 0 − − 3 3 3 3 = 3 = = > 0 ⇒ Creciente π π π π 0 −− 3 3 3
π π h − h ( 0 ) tg − tg ( 0 ) 3 = 3 = π π −0 3 3
(
)
3 −0 3 3 = > 0 ⇒ Creciente π π 3
Funciones elementales | Unidad 9 233
28. Representa estas funciones trigonométricas en tu cuaderno. j ( x ) = tg
x 2
a) f(x) = sen (2x)
c) h(x) = sen2x
e)
b) g(x) = 2cos x
d) i(x) = 2 + cosx
f) k(x) = 2 – cosx
a)
c)
e)
b)
d)
f)
29. Actividad resuelta. 30. Determina el dominio, la simetría y el período de las funciones: f(x) = sec x y g(x) = tgx. f(x) = sec x π D(f) = {x ∈ / cos x ≠ 0} = − + k π k ∈ 2 f(–x) = sec (–x) = f(x) = sec (x) =
1 1 = = sec x ⇒ f(x) es par. cos x cos ( −x )
1 1 = = sec ( x + 2π= ) f ( x + 2π ) ⇒ f(x) es periódica de período T = 2π. cos x cos ( x + 2π )
g(x) = tg x π D(g) = {x ∈ / cos x ≠ 0} = − + k π k ∈ 2 g(–x) = tg (–x) =
g(x) = tg (x) =
sen ( −x ) − senx = = cos ( −x ) cos x
–tg x = –g(x) ⇒ g(x) es impar.
sen x − sen ( x + π ) = = tan ( x += π ) g ( x + π ) ⇒ g(x) es periódica de período T = π. cos x − cos ( x + π )
31. A partir de la gráfica de la función f(x) = x4 – x2, representa en tu cuaderno las gráficas de las siguientes funciones.
234
a) g(x) = x4 – x2 – 3
b) h(x) = (x + 1)4 – (x +1)2
c) j(x) = 2x4 – 2x2
d)
a)
b)
c)
d)
Unidad 9| Funciones elementales
k(x) = –x4 + x2
32. A partir de la gráfica de la función f(x) = funciones. a) g(x) =
b) h(x) =
1 , representa en tu cuaderno las gráficas de las siguientes x3
1
( x + 2 )3 2x 3 + 1 x3
a)
b)
33. A partir de la gráfica de la función f(x) = 2x, representa en tu cuaderno las gráficas de las siguientes funciones.
a) g(x) = 1 + 2x
c) j(x) = 2–x
x
b) h(x) = 2 2
d) k(x) =
2x 4
x Halla la función inversa de y = 2 y represéntala.
a)
c)
b)
d)
La función inversa de y = 2x es f-1(x) = log2 x. Representación gráfica:
Funciones elementales | Unidad 9 235
34. Se considera la función f(x) = cos x definida en el intervalo [0, 2π]. A partir de su gráfica, representa las funciones:
a) g(x) = 1 + cos x
c) j(x) = cos(2x)
π b) h(x) = cos x − 2
d) k(x) = 3cos(2x)
a)
c)
b)
d)
35. Clasifica las siguientes funciones polinómicas. a) f(x) = 5
c) f(x) = x(2 – x)
e) f(x) = 3x – 1
b) f(x) = 3x – x + 1
d) f(x) = –2x
f) f(x) = 5(2 – x)
a) Función constante
c) Función cuadrática
e) Función lineal
b) Función cuadrática
d) Función lineal
f) Función lineal
2
36. ¿Qué tipo de función es f(x) = ax + b según los valores de a y b? a) Si a ≠ 0, b = 0
c) Si a = 0, b = 0
b) Si a ≠ 0, b ≠ 0
d) Si a = 0, b ≠ 0
a) Función de proporcionalidad directa
c) Función nula
b) Función lineal
d) Función lineal constante
37. Representa estas funciones en tu cuaderno e indica la pendiente de cada una. a) f(x) = 3 – 2x
b) f(x) = x
c) f(x) = –2
d) f(x) = x + 2
a)
b)
c)
d)
Pendiente a = –2
236
Pendiente a = 1
Unidad 9| Funciones elementales
Pendiente a = 0
Pendiente a = 1
38. Escribe la expresión de la función polinómica de primer grado que cumpla las condiciones de cada apartado.
a) Pendiente 2 y ordenada en el origen 0
c) Pendiente 1 y ordenada en el origen 1
b) Pendiente –2 y ordenada en el origen 1
d) Pendiente –3 y ordenada en el origen –1
a) y = 2x
c) y = x + 1
b) y = –2x + 1
d) y = –3x – 1
39. De la función f(x), se sabe que es polinómica de primer grado y que su gráfica pasa por los puntos (0, –2) y (3, 4).
a) Dibuja su gráfica.
c) ¿Cuál es su pendiente?
b) Halla su ecuación.
d) ¿Cuál es la ordenada en el origen?
a)
b) La función es polinómica de primer grado. Luego es de la forma y = ax + b. Como pasa por los puntos (0, –2) y (3, 4):
{
{
−2 =0a + b b =−2 ⇒ La ecuación es y = 2x – 2. ⇒ 4= 3a + b a= 2
c) La pendiente es a = 2. d) La ordenada en el origen es b= –2.
40. Determina el eje y el vértice de las parábolas cuya ecuación es: a) f(x) = 1 – x2
c) f(x) = (x – 2)2
b) f(x) = 6x –x2
d) f(x) = x2 + 3x – 1
a) Vértice V(0, f(0)) = V(0, 1) ⇒ Eje de simetría: x = 0 b) Vértice V(3, f(3)) = V(3, 9) ⇒ Eje de simetría: x = 3 c) f(x) = (x – 2)2 = x2 – 4x + 4: Vértice V(2, f(2)) = V(2, 0) ⇒ Eje de simetría: x = 2
−3 −3 −3 −3 −13 d) Vértice V ,f , = ⇒ Eje de simetría: x = 2 2 2 2 4
Funciones elementales | Unidad 9 237
41. Representa la gráfica de las siguientes funciones e indica: el sentido de las ramas, los puntos de corte con los ejes, las coordenadas del vértice y la ecuación del eje. a) y = 2 – x2
c) y = (x – 1)2 + 3
b) y = 6x + x2
d) y = x2 – 3x – 4
a) y = 2 – x2 •
a = –1 < 0 ⇒ las ramas se abren hacia abajo
•
Vértice V(0, f(0)) = V(0, 2)
•
Eje de simetría: x = 0
•
Punto de corte con el eje Y: f(0) = 2 ⇒ (0, 2)
•
Puntos de corte con el eje X: 2 – x2 = 0 ⇒ x2 = 2 ⇒ x = ± 2 ⇒
(
) (
2, 0 y − 2, 0
b) y = 6x + x2 •
a = 1 > 0 ⇒ las ramas se abren hacia arriba.
•
Vértice V(–3, f(–3)) = V(–3, –9)
•
Eje de simetría: x = –3
•
Punto de corte con el eje Y: f(0) = 0 ⇒ (0, 0)
•
Puntos de corte con el eje X: 2 6x + x = 0 ⇒ x = 0 y x = –6 ⇒ (0, 0) y (–6, 0)
c) y = (x – 1)2 + 3 = x2 – 2x + 4 •
a = 1 > 0 ⇒ las ramas se abren hacia arriba.
•
Vértice V(1, f(1)) = V(1, 3)
•
Eje de simetría: x = 1
•
Punto de corte con el eje Y: f(0) = 4 ⇒ (0, 4)
•
Puntos de corte con el eje X: 2 x – 2x + 4 = 0 ⇒ No tiene solución
d) y = x2 – 3x – 4 •
a = 1 > 0 ⇒ las ramas se abren hacia arriba.
•
3 3 3 −25 Vértice V , f = , 2 2 2 4
•
Eje de simetría: x =
•
Punto de corte con el eje Y: f(0) = 4 ⇒ (0, –4)
•
Puntos de corte con el eje X:
3 2
x2 – 3x – 4 = 0 ⇒ x = 4 y x = –1 ⇒ (4, 0) y (–1, 0)
238
Unidad 9| Funciones elementales
)
42. ¿Puede haber una función polinómica de primer grado con pendiente cero? ¿Por qué? Una función polinómica de primer grado es de la forma y = ax + b, donde a es la pendiente de la recta. Si a = 0, entonces y = b es una función polinómica de grado cero. Por tanto, no puede haber ninguna función polinómica de primer grado con pendiente cero.
43. Representa en tu cuaderno la función definida a trozos: f (x ) =
{
−4 − 2 x 2x − x 2 − 4
si x < 0 si x ≥ 0
a) A partir de la gráfica, indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento y comprueba tu respuesta calculando la tasa de variación media en cada intervalo. b) ¿Presenta algún máximo o mínimo relativo? ¿Dónde? c) Estudia el signo de la función.
a) Decreciente: (–∞, 0) ∪ (1, +∞) Si a < 0 ⇒ f(a) > f(0) ⇒ TVMf[a, 0] =
f ( 0 ) − f ( a ) −4 − f ( a ) = 1 ⇒ f(a) < f(1) ⇒ TVMf[1, a] =
f ( a ) − f (1) f ( a ) + 5 = 0 1− 0 1
b) Presenta un mínimo relativo para x = 0 y un máximo relativo para x = 1. c) Punto de corte con el eje Y: (0, –4) Puntos de corte con el eje X: (–2, 0) Signo de la función: La función, con D(f) = (–∞, +∞), corta al eje X en el punto (–2, 0). Los intervalos a estudiar son: •
En (–∞,–2): Positiva
•
En (–2, +∞): Negativa
44. Actividad resuelta. 45. De una parábola de ecuación y = ax2 +bx + c, se sabe que su vértice es el punto V(–1, 4) y que pasa por el punto A(–2, 3). ¿Qué función cuadrática representa?
El valor de la abscisa del vértice es igual a –1, por lo que:
−b =−1 ⇒ b =2a 2a
Pasa por el punto (–2, 3): 4a – 2b + c = 3 y como b = 2a ⇒ 4a – 4a + c = 3 ⇒ c = 3. Pasa por el punto (–1, 4): a – b + c = 4 y como b = 2a ⇒ a – 2a + c = 4 ⇒ –a + c = 4 ⇒ a = c – 4 = 3 – 4 = –1. Luego b = 2a = –2 Por tanto, a = –1, b = –2 y c = 3 2 La ecuación de la función cuadrática es y = –x – 2x + 3.
Funciones elementales | Unidad 9 239
46. El vértice de la parábola y =x2 + bx + c es el punto (–3, –4). Calcula los valores b y c y representa la función.
El valor de la abscisa del vértice es igual a –3, por lo que:
−b =−3 ⇒ b =6a =6 2a
Pasa por el punto (–3, –4): 9 – 3b + c = –4 y como b = 6 ⇒ 9 – 18 + c = –4 ⇒ c = 5. 2 La parábola es y = x + 6x + 5.
47. Actividad resuelta. 48. Representa las funciones f(x) = 2x + 3 y g(x) = x2. Halla las coordenadas de los puntos en los que se cortan sus gráficas.
Para representar la parábola g(x) = x2. •
a = 1 > 0 ⇒ las ramas se abren hacia arriba.
•
Punto de corte con el eje Y: f(0) = 0 ⇒ (0, 0)
•
Vértice V(0, f(0)) = V(0, 0)
•
Puntos de corte con el eje X: x2 = 0 ⇒ x = 0 ⇒ (0, 0)
•
Eje de simetría: x = 0
•
Tabla de valores:
x
–3
–2
2
3
g(x)
9
4
4
9
Para representar la recta f(x) = 2x + 3 •
Tabla de valores:
x
0
2
f(x)
3
7
Representación gráfica:
Para calcular los puntos de corte se resuelve el sistema de ecuaciones formado por las dos funciones: = y 2x + 3 ⇒ x 2 =2x + 3 ⇒ x 2 − 2x − 3 =0 ⇒ x =−1 y x =3 ⇒ P(−1, 1) y B(3, 9) y = x2
{
49. Representa las funciones f(x) = 9 – x2 y g(x) = 5 y determina los valores de x que verifican 9 – x2 ≥ 5. Para representar la parábola f(x) = 9 – x2. •
a = –1 < 0 ⇒ las ramas se abren hacia abajo.
•
Vértice V(0, f(0)) = V(0, 9) y Eje de simetría: x = 0
•
Punto de corte con el eje Y: f(0) = 9 ⇒ (0, 9)
•
Puntos de corte con el eje X: 9 – x2 = 0 ⇒ x2 = 9 ⇒ x = ± 3 ⇒ (3, 0) y (–3, 0).
2 Observando la gráfica se comprueba que los puntos que verifican la inecuación 9 – x ≥ 5 son x ∈ [–2, 2].
240
Unidad 9| Funciones elementales
50. Halla el dominio de las siguientes funciones racionales. a) y =
3x − 1 x +2
a) D(f) = − {−2}
b) y =
x2 − 1 x ( x − 3)
b) D(f) = − {0, 3}
c) y =
x −3 x2 + 2
d) y =
x +7
( x + 2 ) x ( x 2 − 1)
d) D(f) = − {−2, − 1, 0, 1}
c) D(f) =
51. Determina los puntos de corte con los ejes y el signo de las siguientes funciones racionales. a) y =
x2 + 1 2x − 3
b) y =
x 3 − 3x + 2 x ( x − 5)
−1 −1 ⇒ 0, 3 3 x2 + 1 Puntos de corte con el eje X: y = 0, pero ≠ 0 ⇒ No corta al eje X. 2x − 3
a) Punto de corte con el eje Y: x = 0 ⇒ y =
Signo de la función: 3 3 La función, con D(f) = −∞, ∪ , + ∞ , no corta al eje X. 2 2 Los intervalos a estudiar son: •
−1 3 En −∞, : f(0) = < 0 ⇒ Negativa 2 3
b) y =
•
3 En , + ∞ : f(2) = 5 > 0 ⇒ Positiva 2
x 3 − 3x + 2 , con D(f) = − {0, 5} x ( x − 5)
Punto de corte con el eje Y: x = 0 no está en el dominio ⇒ No corta al eje Y. Puntos de corte con el eje X: y = 0 ⇒
x 3 − 3x + 2 = 0 ⇒ x = –2 y x = 1 ⇒ (–2, 0) y (1, 0). x ( x − 5)
Signo de la función. La función, con D(f) = − {0, 5} , corta al eje X en el punto (–2, 0) y (1, 0). Los intervalos a estudiar son: •
En (–∞, –2) : f(–4) =
•
En (–2, 0): f(–1) =
−25 < 0 ⇒ Negativa 18
2 > 0 ⇒ Positiva 3
•
−5 1 En (0, 1): f = < 0 ⇒ Negativa 18 2
•
En (1, +∞): f(2) =
−2 < 0 ⇒ Negativa 3
52. ¿Cuáles de las siguientes funciones son de proporcionalidad inversa? Indica en esos casos la constante de proporcionalidad. a) y =
x 4
= y b)
x +3 −1 x
c) y = −
4 x
a) No es función de proporcionalidad inversa porque no es de la forma y =
y b) =
d) y =
2 3x
k . x
x +3 3 = −1 es función de proporcionalidad inversa. La constante de proporcionalidad es k = 3. x x
c) Es función de proporcionalidad inversa. La constante de proporcionalidad es k = –4.
2 2 2 3 y = d) = es función de proporcionalidad inversa. La constante de proporcionalidad es k = . 3x x 3
Funciones elementales | Unidad 9 241
53. Identifica cada gráfica con la función a la que corresponde. A. y = −
4 x
B. y =
x +3 x +1
C. y =
2x + 1 x −3
D. y =
I.
II.
III.
IV.
A. II.
B. III
C. IV
D. I
x −1 −x − 1
54. Indica cuáles son las asíntotas de las funciones racionales siguientes y efectúa su representación gráfica después. a) y =
3x − 1 x +2
a)= y
−7 3x − 1 = +3 x+2 x+2
b) y =
x −3 x
c) y =
x +1 x −3
c)= y
x +1 4 = +1 x −3 x −3
d) y =
Asíntotas horizontales: y = 3
Asíntotas horizontales: y = 1
Asíntotas verticales: x = –2
Asíntotas verticales: x = 3
y b) =
x − 3 −3 = +1 x x
d)= y
4x + 8 x−4
4x + 8 24 = +4 x−4 x−4
Asíntotas horizontales: y = 1
Asíntotas horizontales: y = 4
Asíntotas verticales: x = 0
Asíntotas verticales: x = 4
55. Halla las asíntotas de estas funciones racionales. a) y =
x 2 + 2x x +1
a) = y
−1 x 2 + 2x = + x +1 x +1 x +1
b) y =
x3 + x2 x2 + 1
x 2 − 4x + 1 2x 2 + x − 3
c) y=
−9x + 5 x 2 − 4x + 1 1 1 = + 2x 2 + x − 3 2 2 ( 2x + 3 )( x − 1)
d) y =
( x + 1) ( x − 3 )
Asíntota oblicua: y = x + 1
Asíntotas horizontales: y = 0,5
Asíntota vertical: x = –1
Asíntotas verticales: x = 1 y x = –1,5
y b) =
x 3 + x 2 −x − 1 = + x +1 x2 + 1 x2 + 1
Asíntota oblicua: y = x + 1
c) y =
2x + 3
( x + 1) ( x − 3 ) 2
Asíntotas horizontales: y = 0 Asíntotas verticales: x = 3 y x = –1
242
2x + 3
c) y =
Unidad 9| Funciones elementales
2
56. Los siguientes puntos pertenecen a la gráfica de una función de proporcionalidad inversa: A(a, 8)
B(b, –2)
C(–6, 4)
D(1, d)
a) Halla la constante de proporcionalidad. b) Halla los valores de a, b, d. c) Escribe la fórmula de la función. d) Representa su gráfica de forma aproximada. a) Los puntos de una función de proporcionalidad inversa cumplen que xy = k, donde k es la constante de proporcionalidad. Como el punto C pertenece a la gráfica, entonces k = 4 · (–6) = –24. b) a · 8 = –24 ⇒ a = –3, b · (–2) = –24 ⇒ b = 12 y 1 · d = –24 ⇒ d = –24 c) La fórmula de la función es y =
−24 . x
d)
57. La función racional f ( x ) =
ax 2 + bx + 4 tiene dos asíntotas: una vertical, x = –2, y otra oblicua, y = x – 5. cx + 4
a) Halla los valores de a, b y c. b) Calcula los puntos de corte con el eje X. c) Determina el signo de la función.
−4 −4 4 =−2 ⇒ c =2 . a) Como D(f) = − − , la función tienen una asíntota vertical en x = . Por tanto, c c c a b − 2a a b − 2a 4 − 2b + 4a y x+ Como f ( x ) =x + , la función tiene una asíntota oblicua en= . + 2 2 2 2 2x + 4 Por tanto,
a b − 2a =1 ⇒ a =2 y =−5 ⇒ b =2a − 10 =−6 2 2
b) Puntos de corte con el eje X: y = 0 ⇒ 2x2 – 6x + 4 = 0 ⇒ x = 2 y x = 1 ⇒ (2, 0) y (1, 0). c) La función, con D(f) = − {−2} , corta al eje X en los puntos (1, 0) y (2, 0). •
En (–∞, –2) : f(–4) = –15 < 0 ⇒ Negativa
•
En (–2, 1): f(0) = 1 > 0 ⇒ Positiva
• •
−1 3 En (1, 2): f = < 0 ⇒ Negativa 14 2
En (2, +∞): f(3) =
2 > 0 ⇒ Positiva 5
58. ¿Cuáles de las siguientes funciones corresponden a una función exponencial? a) y = (–2)x
b) y = 82x
c) y = 1x
d) y = (2,5)x
Una función exponencial es de la forma y = ax, donde a > 0 y a ≠ 1. Por tanto, son funciones exponenciales y = 82x e y = (2,5)x.
59. Indica cuáles de las siguientes exponenciales son crecientes y cuáles son decrecientes. 3 a) y = 5
x
a) Decreciente
b) y =
( 2)
x
b) Creciente
c) y = πx
d) y = (0,88)x
c) Creciente
d) Decreciente
Funciones elementales | Unidad 9 243
x
x
3 2 60. Completa la siguiente tabla de valores correspondiente a las funciones f ( x ) = y g ( x ) = . 2
–3
x f(x) g(x)
–2
–1
0
1
2
3
3
a) Representa en tu cuaderno de forma aproximada ambas funciones en los mismos ejes de coordenadas. b) ¿Qué relación observas entre sus gráficas? –3 8 27 27 8
x f(x) g(x)
–2 4 9 9 4
–1 2 3 3 2
0 1 1
1 3 2 2 3
2 9 4 4 9
3 27 8 8 27
a)
b) Las funciones son simétricas respecto del eje Y.
61. Indica cuál es el dominio de las siguientes funciones. 2 a) y = ln(x – 9)
b) y = log x
a) x2 – 9 > 0 ⇒ D(f) = (–∞,–3) ∪ (3, +∞)
b)
x > 0 y x > 0 ⇒ D(f) = (0, +∞)
62. Indica cuáles son las funciones inversas de las siguientes funciones inyectivas. a) y = 2x
a) y = log2 x
2 b) y = 3
x
b) y = log 2 x
c) y = log3 x
d) y = log 1 x 2
1 d) y = 2
c) y = 3x
3
x
63. Halla las funciones inversas de las funciones si es posible. En caso afirmativo, represéntalas en tu cuaderno.
2 a) f(x) = 3ln(x – 2)
b) h ( x ) =
1 log ( 3 x ) 2
a) f(x) no tiene función inversa porque no es inyectiva. Por ejemplo, f(3) = f(–3) = 3ln 7. b) y =
244
1 102y 102x log ( 3x ) ⇒ 2y = log ( 3x ) ⇒ 102y = 3x ⇒ x = ⇒ h −1 ( x ) = 2 3 3
Unidad 9| Funciones elementales
64. Relaciona las siguientes funciones con sus gráficas. A. y = sen x
B. y = cos (2x)
C. y = cos x
D. y = 2sen x
I.
II.
III.
IV.
A. IV
B. I
C. III
D. II
65. Justifica si la función f(x) = cos x es creciente o decreciente en el intervalo (23π, 24π), teniendo en cuenta el período.
La función f(x) = cos x es periódica de período T = 2π. Como f(23π) = f(π + 11 · 2π) = f(π) y f(24π) = f(2π + 11 · 2π) = f(2π), la función f(x) = cos x se comporta igual en el intervalo (23π, 24π) que en el intervalo (π, 2π). Como en el intervalo (π, 2π) la función f(x) = cos x es creciente, también lo será en el intervalo (23π, 24π).
66. Averigua el período de las funciones: a) y = sen 2x
x b) y = cos 4
c) y = 2 + sen x
d) y = 3cos (πx)
a) f(x) = sen 2x = sen (2x + 2π) = sen [2(x + π)] = f(x + π) ⇒ El período es T = π. x x x + 8π 2π cos = b) f(x) = cos = cos += 4 4 4
= f(x + 8π) ⇒ El período es T = 8π.
c) f(x) = 2 + sen x = 2 + sen (x + 2π) = f(x + 2π) ⇒ El período es T = 2π. d) f(x) = 3cos (πx)= 3cos(πx + 2π) = 3cos[π(x + 2)] = f(x + 2) ⇒ El período es T = 2.
67. A partir de la gráfica de f(x) = x, representa las siguientes funciones mediante traslaciones y dilataciones. a) g(x) = 2x b) g (= x)
1 x +3 2
c) h(x) = x – 2 d) h(x) = –x + 2
a) Dilatación vertical de razón 2
c) Traslación hacia debajo de 2 unidades
b) Contracción vertical de razón 0,5
d) Gráfica simétrica respecto de la original
Traslación hacia arriba de 3 unidades
Traslación de 2 unidades hacia arriba
Funciones elementales | Unidad 9 245
68. Actividad resuelta. 69. A partir de la gráfica de f(x) = x2, representa las siguientes funciones mediante traslaciones y dilataciones. a) g(x) = 2(x + 1)
2
a) Traslación horizontal a la izquierda de 1 unidad Dilatación vertical de razón 2
b) h= (x)
1 2 x −2 2
b) Contracción vertical de razón 0,5 Traslación hacia abajo de 2 unidades
70. Dada la función exponencial f(x) = 2x, representa en los mismos ejes de coordenadas las funciones: a) f(x), f(x + 1), f(x + 2) y f(x + 3) b) f(x), 2f(x), 4f(x) y 8f(x) c) ¿Qué relación hay entre las funciones de los apartados? a) f(x + 1) = 2x + 1, f(x + 2) = 2x + 2 y f(x + 3) = 2x + 3
b) 2f(x) = 2 · 2x, 4f(x) = 4 · 2x y 8f(x) = 8 · 2x
c) Las funciones de los dos apartados son las mismas, porque: f(x + 1) = 2x + 1 = 2 · 2x = 2f(x) f(x + 2) = 2x + 2 = 22 · 2x = 4f(x) f(x + 3) = 2x + 3 = 23 · 2x = 8f(x)
71. Teniendo en cuenta cómo es la gráfica de la función y = ln x, representa las funciones.
246
a) y = –ln x
b) y = ln (–x)
a) Simétricas respecto del eje Y
b) Simétrica respecto del eje X
Unidad 9| Funciones elementales
72. A partir de la gráfica de y = sen x, representa por traslación y simetría las funciones: a) y = 2 + sen x b) y =
c) y = –sen(2x)
1 sen x 2
d) y = –3sen x
a) Traslación vertical de 2 unidades
c) Contracción horizontal de razón 2 y una simetría
b) Contracción vertical de razón 0,5
d) Dilatación vertical de razón –3
73. A partir de la gráfica de y = cos x, representa por traslación y simetría las funciones: a) y = cos(x + 2)
b) y = cos(2 – x)
a) Traslación a la izquierda 2 unidades
b) Simetría y traslación hacia la izquierda 2 unidades.
74. Actividad resuelta. 75. Expresa como funciones definidas a trozos y representa las gráficas de estas funciones. a) f(x) = |–2x2 + 2| b) f(x) = |ln x| a) Se expresa el valor absoluto como:
si 2 > 2x 2 2 − 2x 2 si 1 > x 2 2 − 2x 2 = = 2 − 2x 2 − 2 −= 2 2 2 − − < x x x 2 2 si 2 2 2 si 1 < x2 ) ) ( ( 2x 2 − 2 Por tanto, f ( x ) = −2x 2 + 2 2x 2 − 2
{
2 − 2x 2 2x 2 − 2
si 1 > x 2 si 1 < x 2
si x < −1 si − 1 ≤ x ≤ 1 si x > 1
b) Se expresa el valor absoluto como: = ln x
{−lnlnx x
si si
{
ln x < 0 − ln x ⇒ f (x) = ln x ln x ≥ 0
si si
0 < x 0
76. Dada la función definida a trozos f ( x ) = x 2 2
:
a) Halla su dominio. b) Represéntala gráficamente. c) Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la función a partir de la gráfica y comprueba los resultados utilizando la tasa de variación media. a) D(f) = − {0} b)
c) Creciente en todo su dominio.
2 2 Si a < b< 0 son dos puntos del dominio de f, entonces f (a) = 2 < f (b) = 2 pues a 2 > b 2 : a b f (b ) − f (a ) >0. TVMf[a, b] = b−a
Si b > a > 0 son dos puntos del dominio de f, entonces f (b) =b 2 > f (a) =a 2 : TVMf[a, b] =
f (b ) − f (a ) >0. b−a
x
1 77. La función f(x) = = 2–x es una función decreciente y no simétrica y la función g(x) = 2x es creciente y 2 tampoco es simétrica. Justifica que h(x)= f(x) + g(x) y k(x) = g(x) – f(x) son funciones simétricas e indica el tipo de simetría. –x x x –x h(x) = f(x) + g(x) = 2 + 2 ⇒ h(–x) = 2 + 2 = h(x) ⇒ h(x) es una función par.
k(x) = g(x) – f(x) = 2x – 2–x ⇒ k(–x) = 2–x – 2x = –(2–x – 2x) = k(–x) ⇒ k(x) es una función impar.
78. La factura de la energía eléctrica de una empresa suministradora se puede resumir en tres conceptos: •
Cuota fija por potencia contratada: 38 €
•
Consumo: 0,14 € cada kilovatio hora (kWh)
•
IVA: 21 %
a) Escribe la función, f(x), que determina el importe de la factura durante un período en el que se han consumido x kWh. b) ¿Cuál es el importe de la factura si se han consumido 324 kWh? c) Determina la función, g(x) que indica el coste de kWh consumido. a) f(x) = 1,21 · (0,14x + 38) = 0,1694x + 45,98 b) f(324) = 0,1694 · 324 + 45,98 = 100,87 €
g (x) c) =
45,98 + 0,1694x 45,98 = + 0,1694 x x
79. Un taller de planchas de aluminio tiene que fabricar canaletas para conducciones de agua. Las planchas de aluminio que va a utilizar son rectangulares de 40 cm de ancho y las doblan mediante una prensa. a) Determina la anchura de la canaleta en función de su altura x. b) Escribe una función que representa el área de la sección transversal, S, de la canaleta. ¿Cuál es su dominio? c) Determina cómo se debe plegar la plancha de aluminio para que S tenga la mayor superficie posible. a) Llamamos y a la anchura de la canaleta: y = 40 – 2x b) S = x · y = x · (40 – 2x) = 40x – 2x2 ⇒ D(S) = [0, 20] c) La función S = 40x – 2x2 corresponde a una parábola orientada hacia abajo. Por tanto, su máximo estará en el vértice: Vx = 10. La plancha se debe plegar de forma que la anchura de la canaleta sea 20 cm, y la altura, 10.
248
Unidad 9| Funciones elementales
80. Actividad resuelta. 81. Una especie de bacteria se duplica cada 20 min. En una placa de Petri con un cultivo de esta bacteria había inicialmente 12 microorganismos. a) ¿Cuál es la fórmula de la función que representa el crecimiento de la población de la bacteria? b) ¿Cuántas bacterias hay en la placa después de 3 horas? c) ¿Cuántas horas deben pasar para que el número de bacterias sea de 10 000 microorganismos? a) Llamamos x al número de horas que transcurren. 3x Como cada 20 minutos las bacterias se duplican, entonces: f(x) = 12 · 2 . b) f(3) = 12 · 29 = 6144 bacterias.
10 000 log 10 000 10 000 10 000 3x 3x 12 = 3,234 = 2 ⇒ log = log 2 ⇒ log = 3x · log 2 ⇒ x = c) 10 000 = 12 · 2 ⇒ 12 12 12 3 log 2 Deberán pasar 3,234 horas = 3 h 14 min, aproximadamente. 3x
82. El vértice de la parábola y = ax2 + bx + c es el punto (4, 2). Si el punto (2, 0) pertenece a la parábola, ¿cuál es el valor de a + b + c? 5 −5 A. B. 2 2
C. 5
El valor de la abscisa del vértice es igual a 4, por lo que:
D. 10
−b = 4⇒b= −8a 2a
Pasa por el punto (2, 0): 4a + 2b + c = 0 y como b = –8a ⇒ 4a – 16a + c = 0 ⇒ c = 12a
−2 −1 = 4 2
Pasa por el punto (4, 2): 16a + 4b + c = 2 y como b = –8a y c = 12a ⇒ 16a – 32a + 12a = 2 ⇒ a = Luego b = –8a = 4 y c = 12a = –6. Por tanto, a + b + c =
83. La función f(x) =
−5 −1 +4–6= . La respuesta correcta es la B. 2 2
x 4 + 3x 3 − 4 x tiene: ( x 2 − 1) ( x + 2 )
A. Una asíntota vertical y una oblicua.
C. Tres asíntotas verticales y una oblicua.
B. Tres asíntotas verticales y una horizontal.
D. Dos asíntotas verticales y una oblicua.
La función f(x) =
x 4 + 3x 3 − 4x tiene una asíntota oblicua porque el grado del numerador es mayor que el grado ( x 2 − 1) ( x + 2)
del denominador. No tiene asíntotas horizontales por tener una asíntota oblicua. Las posibles asíntotas verticales son x = 1, x = –1 y x = –2. Los tres valores de x también anulan el numerador. Por tanto, se debe comprobar si son asíntotas tomando valores de x próximos a estos puntos de discontinuidad. La función no tiene una asíntota vertical en x = 1, porque cuando la variable independiente se va acercando a 1, la función no toma valores grandes: x
0
0,5
0,9
0,99
1,01
1,1
2
y
0
0,8333333
1,3736842
1,4874874
1,5124875
1,6238095
2,6666666
La función tiene una asíntota vertical en x = –1, porque cuando la variable independiente se va acercando a –1, la función toma valores grandes: x
–1,9
–1,1
–1,01
–0,99
–0,9
–0,5
0
y
0,2111111
9,9
99,99
–99,99
–9,9
–1,5
0
La función no tiene una asíntota vertical en x = 2, porque cuando la variable independiente se va acercando a 1, la función no toma valores grandes: x
1,01
1,5
1,9
1,99
2,01
2,1
3
y
1,5124876
2,1
2,5551724
2,6555514
2,6777749
2,7774193
3,75
Por tanto, la función tiene una asíntota oblicua y una asíntota vertical. La respuesta correcta es la A.
Funciones elementales | Unidad 9 249
84. Sea f la función definida por f(x) = A.
1 f (x)
f ( −x= )
x +1 , cuando x2 ≠ 1, f(–x) es: x −1
B. –f(x)
C.
1 f ( −x )
D. –f(–x)
1 −x + 1 − ( x − 1) x − 1 = = = −x − 1 − ( x + 1) x + 1 f ( x )
La respuesta correcta es la A. Encuentra el error
85. Pedro ha encontrado una curiosa propiedad con la función: f (= x)
100 x − 20 x 2 + x + x 3
Calcula distintos valores de la misma y obtiene: f(2) = 10 2 ; f(3) = 10 3 ; f(4) = 20 = 10 4 ; f(5) = 10 5 por lo que concluye que es igual a la función f(x) = 10 x . Ana hace los siguientes cálculos y concluye que tiene razón:
f ( x ) = 100 x − 20 x 2 + x +
x 3 = x ( 100 − 20 x + x 2 ) +
x 3 = x ( 10 − x ) + 2
x ⋅ x 2 =( 10 − x ) x + x x =10 x
Sin embargo, su profesor no está de acuerdo con los cálculos y les dice que comprueben con f(15). Calcula esos valores y encuentra el error en los cálculos de Pedro y Ana. Usando la expresión inicial se obtiene: f(15) =
100 ⋅ 15 − 20 ⋅ 152 + 153 + 153=
100 ⋅ 15 − 20 ⋅ 152 + 153 + 153=
375 + 15 15= 5 15 + 15 15= 20 15
Con la expresión que ha hallado Pedro, f(15) = 10 15 . Ambos resultados no coinciden. El error está al considerar que
k 2 = k , puesto que se debe tomar la raíz positiva de
k 2 ; es decir,
k 2 = |k|.
Entonces: f (x) =
x (10 − x ) + x ⋅ x 2 = 10 − x 2
Con esta nueva expresión f(15) =
x+ x
(10 − x ) x + x x x = ( x − 10 ) x + x x
15 (10 − 15 ) + 15 ⋅ 152 = 2
que sí que coincide con el hallado con la expresión inicial.
250
Unidad 9| Funciones elementales
si 0 ≤ x < 10 si x ≥ 10
15 ⋅ 25 + 15 ⋅ 152 = 5 15 + 15 15 = 20 15 , valor
PONTE A PRUEBA Investigación forense Actividad resuelta. El precio El departamento de ventas de una empresa que fabrica teléfonos móviles ha determinado una función que analiza la demanda para un nuevo modelo: p = 160 – 0,000 015x, para 0 ≤ x ≤ 8 000 000, donde p es el precio en euros, por móvil, y x representa el número de móviles vendidos. La fabricación de x teléfonos cuesta 10 € por cada teléfono más un coste de 40 000 000 € de desarrollo. Los ingresos de la empresa vienen dados por la venta de x móviles al precio de p € y la función que proporciona los beneficios B, es la diferencia entre ingresos, I, y costes, C.
1.
Escribe cuál será la función ingresos I, la función costes, C, y la función beneficios, B. 2 2 I(x) = x · p(x) = 160x – 0,000 015x , C(x) = 10x + 40 000 000 y B(x) = I – C = –0,000 015x + 150x – 40 000 000.
2.
¿A qué precio habría que vender cada móvil si se fabrica el máximo número de ellos? ¿Qué ganancias tendría la empresa? Como máximo se pueden fabricar 8 000 000 móviles. p = 160 – 0,000 015x = 160 – 0,000 015 · 8 000 000 = 40, entonces cada móvil habría que venderlo a 40 €. En este caso se obtendría un beneficio de B(8 000 000) = 200 000 000 €.
3.
¿Cuál es el mínimo número de móviles que hay que vender para que la empresa no tenga pérdidas? B(x) es una parábola, orientada hacia abajo, que corta al eje X en los puntos 274 184,4 y 9 725 667. Por tanto, como mínimo, se deberían vender 274 185 móviles para que la empresa no tuviera pérdidas.
4.
Si la empresa quiere ganar un mínimo de 250 000 000 €, ¿a qué precio debe vender cada móvil? B(x) ≥ 250 000 000 ⇒ –0,000 015x2 + 150x – 290 000 000 ≥ 0. Es decir, 2 619 533 < x < 7 380 467 y, el precio, p sería 120,7 € > p > 49,3 €.
5.
¿Cuál sería el número de móviles que debe fabricar la empresa para obtener la ganancia máxima? ¿Cuál sería la ganancia obtenida? Como B(x) es una parábola, orientada hacia abajo, el máximo estará en el vértice. Es decir, el máximo está en x = 5 000 000. Por tanto, habría que fabricar 5 000 000 de móviles. En este caso, el beneficio sería B(5 000 000) = 335 000 000 €.
Funciones elementales | Unidad 9 251
Meteorología En cierto punto del hemisferio norte, las temperaturas máximas a lo largo de un año se aproximan por la πt πt πt πt función M(t) = 29,2 – 6,5cos – 5sen y las mínimas se aproximaron por m(t) = 10 – 3,8cos – 3,8sen , 6 6 6 6 donde t es el tiempo en meses y la temperatura viene dada en grados centígrados. En el diagrama se representan ambas funciones, comenzando a las 0:00 del día 1 de enero.
1.
¿Durante qué meses las temperaturas máximas superaron los 30º C? ¿En qué períodos las mínimas no llegaron a 10º C? Las temperaturas máximas superaron los 30º C desde el inicio de junio hasta mediados de noviembre. Las mínimas no llegaron a 10º C desde el inicio del año hasta final de mayo, y de mitad de noviembre a final de año.
2.
¿Cuál es el período de cada función? El período de ambas funciones es T = 12.
3.
¿Consideras que estas funciones son válidas para el próximo año? Aunque haya pequeñas variaciones, se pueden considerar válidas porque son funciones periódicas.
4.
La amplitud térmica es la función que marca la diferencia entre las máximas y las mínimas. ¿Cuál es su expresión? ¿Es también periódica? A(t) = M(t) – m(t) = 29,2 − 6,5 cos
πt πt πt πt πt πt − 5 sen – 10 − 3,8 cos − 3,8 sen = 19,2 − 2,7 cos − 1,2 sen 6 6 6 6 6 6
Esta función también es periódica.
5.
¿Cuándo es mayor la amplitud térmica? Observando la gráfica se deduce que la amplitud térmica es mayor para t = 8. Es decir, en agosto.
6.
¿A qué crees que es debido que las temperaturas más altas no coincidan exactamente con los meses que tienen más horas de sol? ¿Ocurre algo con las temperaturas más bajas? La tierra y el agua del mar se van calentando lentamente y enfriando de igual forma. Por eso, las temperaturas más altas se dan un mes después del solsticio de verano y, las mínimas, uno después del solsticio de invierno.
252
Unidad 9| Funciones elementales
AUTOEVALUACIÓN
1.
Una función polinómica de primer grado tiene ordenada en el origen b = –2. Además el punto P(3, 4) pertenece a su gráfica. a) ¿De qué función se trata? b) ¿Cuál es su pendiente? a) Se trata de una función lineal de la forma y = ax – 2, donde a es la pendiente de la recta. b) Como P(3, 4) pertenece a su gráfica: 4 = 3a – 2 ⇒ a = 2.
2.
Determina el eje de simetría, las coordenadas del vértice, los puntos de corte con los ejes y estudia el signo de la función f(x) = 6x – x2. Represéntala de forma aproximada. a = –1 < 0 ⇒ las ramas se abren hacia abajo. Vértice V(3, f(3)) = V(3, 9) Eje de simetría: x = 3 Punto de corte con el eje Y: f(0) = 0 ⇒ (0, 0) Puntos de corte con el eje X: 6x – x2 = 0 ⇒ x = 0 y x = 6 ⇒ (0, 0) y (6, 0) Signo de la función: f(x) es una función, con D(f) = , que corta al eje X en (0, 0) y (6, 0).
3.
•
En (–∞, 0) : f(–1) = –7 < 0 ⇒ Negativa
•
En (0, 6): f(1) = 5 > 0 ⇒ Positiva
•
En (6, +∞): f(7) = –7 < 0 ⇒ Negativa
Halla el dominio de las funciones racionales. a) y =
2x x2 + 2
b) y =
x 2 + 3x + 4 x +1
¿Cuáles son sus asíntotas? a) x2 + 2 ≠ 0 ⇒ D(f) = Asíntotas horizontales. Como grado (2x) < grado (x2 + 2), entonces la función tiene una asíntota horizontal en
y = 0.
Asíntotas verticales. Como D(f) = , la función no tiene asíntotas verticales. Asíntotas oblicuas. La función no tiene asíntotas oblicuas por tener asíntotas horizontales. b) x + 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ –1 ⇒ D(f) = − {−1 } Asíntotas horizontales. 2 Como grado (x + 3x + 4) > grado (x + 1), entonces la función no tiene asíntotas horizontales.
Asíntotas verticales. Como D(f) = − {−1 } , la función tiene una asíntota vertical en x = –1. Asíntotas oblicuas. Como = y
x 2 + 3x + 4 2 = + x + 2 , la función tiene una asíntota oblicua en y = x + 2. x +1 x +1
Funciones elementales | Unidad 9 253
4.
Una función de proporcionalidad inversa, f(x), verifica que f(4) = 6. a) Halla la constante de proporcionalidad. b) Indica si es creciente o decreciente. c) Halla el número a para que f(a) = –18. d) Escribe la expresión de la función f(x). a) Los puntos de una función de proporcionalidad inversa cumplen que xy = k, donde k es la constante de proporcionalidad. Como f(4) = 6, entonces k = 4 · 6 = 24. b) La función es decreciente porque k = 24 > 0. c) a · (–18) = 24 ⇒ a = d) y =
5.
−24 −4 = 18 3
24 x
x
2 Se considera la función exponencial f(x) = . Determina: 3
a) Su dominio y su recorrido. b) Los puntos de corte con los ejes. c) Sus asíntotas. Represéntala de forma aproximada ayudándote de una tabla de valores. a) D(f) = y R(f) = (0, +∞) b) Corte con el eje X: x = 0 ⇒ f(0) = 1 ⇒ (0, 1) No corta al eje Y, porque f(x) > 0 para todo x. c) La función tiene una asíntota horizontal por la derecha, y = 0. Tabla de valores: x y
–3 27 = 3,375 8
–2 9 = 2,25 4
Representación gráfica
254
Unidad 9| Funciones elementales
–1 3 = 1,5 2
0
1
1 2 = 0,66... 3
2 4 = 0, 44... 9
3 8 = 0,296... 27
6.
Halla la inversa de las siguientes funciones y represéntalas a partir de las gráficas de las funciones de partida. a) y = 2 ln x
a) y = 2 ln x ⇒
b) y = log(x – 2)
y y =ln x ⇒ e 2 =x ⇒ e y =x ⇒ f −1 ( x ) = e x 2
b) y = log(x – 2) ⇒ x – 2 = 10y ⇒ x = 2 + 10y ⇒ f–1(x) = 2 + 10x
7.
A partir de la gráfica de la función f(x) = cos x, representa las gráficas de las siguientes funciones. a) g(x) = cos x + a) Trasladar f(x)
π 2
π unidades hacia arriba 2
π b) h(x) = cos x + 2 b) Trasladar f(x)
π unidades hacia la izquierda 2
Funciones elementales | Unidad 9 255
10 Introducción al concepto de límite PIENSA Y CONTESTA Según Zenón de Elea, ¿quién ganará la carrera: Aquiles o la tortuga? Según Zenón de Elea la carrera la ganará la tortuga. ¿Por qué no es correcto el razonamiento de Zenón? El error del razonamiento de Zenón fue creer que la suma de infinitos tramos, aunque sean infinitamente pequeños, será una distancia infinita y, por tanto, inalcanzable.
¿Qué significa límite en la frase “…su valor exacto es el límite de esta suma S = 600 + … +
6 2000 = "? 10n 3
En la frase, límite significa que la suma de los infinitos tramos que tiene que recorrer Aquiles se aproxima cada vez más 2000 . al número 666,666… = 3
INVESTIGA Y RESUELVE Las series infinitas atrajeron la atención de los matemáticos desde los tiempos de Newton. No todas las sumas 1 1 1 de números cada vez más pequeños tienen límite finito. La suma de la serie armónica, S = 1 + + + + ... no 2 3 4 es un número finito. Investiga por qué se la conoce como serie armónica. Esta serie se conoce como serie armónica porque cada término es igual a la media armónica de sus dos términos contiguos. Es decir, cada término de la serie armónica verifica que an =
2 1 1 + an −1 an +1
.
Euler resolvió el Problema de Basilea, formulado por J. Bernoulli, que consiste en calcular la suma de los 1 1 inversos de los cuadrados de los números naturales: S = 1 + 2 + 2 ... ¿Cómo lo resolvió? 1 2 La función sen x se puede aproximar por un polinomio infinito sen x = x −
x3 x5 x7 + − + ... 3! 5! 7!
El método de Euler consiste en utilizar el polinomio infinito y realizando algunas transformaciones algebraicas obtener 1 1 π2 . que S = 1 + 2 + 2 ... = 1 2 6
Actividades propuestas 1.
Calcula el límite de las funciones en los valores indicados. a) f ( x ) =
x , para x = 3 y x = 1. x −2
a) lim = f (x) x →3
256
3 1 = −1 = 1 y lim f ( x ) = x →1 1− 2 3−2
Unidad 10| Introducción al concepto de límite
x) b) f ( =
x − 1 , para x = 0 y x = 4.
b) lim f ( x ) = 0 − 1 =−1 y lim f ( x )= x →0
x →4
4 − 1= 1
2.
Halla los límites, construyendo una tabla de valores en cada caso para estudiar hacia qué valor tiende la función. a)
lim
x → −2
a)
lim
x →−2
2+ x x2 − 2
b) lim x →0
sen x x
c) lim+ x − 1
d)
x →1
lim− tg x
x→
π 2
2+ x =0 x2 − 2
x
–1,9
–1,99
–1,999
–2,001
–2,01
–2,1
f(x)
0,062 111
0,005 101
0,000 501
–0,000 499
–0,004 901
–0,041 493
b) lim
x →0
sen x =1 x
x
–0,1
–0,01
–0,001
0,1
0,11
0,111
f(x)
0,998 334
0,999 983
0,999 999
0,998 334
0,997 985
0,997 948
c) lim+ x − 1 = 0 x →1
x
1,5
1,1
1,01
1,001
1,0001
1,000 01
f(x)
0,707 107
0,316 228
0,1
0,031 622
0,01
0,003 162
lim− tg x = +∞
d)
x→
3.
π 2
x
1
1,5
1,57
1,5707
1,570 79
1,570 796
f(x)
1,557 408
14,101 42
1255,765
10 381,33
158 057,9
3 060 022
1 cuando x tiende a 0 e indica si existe el límite en ese x
Calcula los límites laterales de la función f(x) = punto. lim
x → 0+
1 = +∞ x
x
0,1
0,01
0,001
0,0001
0,000 01
0,000 001
f(x)
10
100
1000
10 000
100 000
1 000 000
x
–0,1
–0,01
–0,001
–0,0001
–0,000 01
–0,000 001
f(x)
–10
–100
–1000
–10 000
–100 000
–1 000 000
lim
x → 0−
1 = −∞ x
Como los límites por la derecha y por la izquierda son distintos, la función no se aproxima a un único valor cuando x tiende a 0, por lo que no existe el límite en ese punto. 4.
A partir de la gráfica de f(x), indica el valor de la función, los límites laterales y el límite si existe en: a) x = –2
c) x = 1
b) x = 0
d) x = 3
a) f(–2) = 3 y lim f ( x ) no existe porque lim − f ( x ) = 3 y lim + f ( x ) = 5 . x →−2
x →−2
x →−2
b) f(0) = 1 y lim f ( x ) = 3 porque lim− f ( x ) = 3 y lim+ f ( x ) = 3 x →0
x →0
x →0
c) f(1) = 2 y lim f ( x ) = 2 porque lim− f ( x ) = 2 y lim+ f ( x ) = 2 x →1
x →1
x →1
d) f(3) = 5 y lim f ( x ) = 0 porque lim− f ( x ) = 5 y lim+ f ( x ) = 5 x →3
x →3
x →3
Introducción al concepto de límite | Unidad 10
257
5.
− x − 1 si Representa la función f(x) = x + 2 si 4 si ¿Existe el límite en cada caso?
x ≤ −2 −2 < x ≤ 2 . Calcula los límites laterales cuando x tiende a –2 y a 2. x>2
= f ( x ) lim = f (x) 4 . lim f ( x ) no existe porque lim − f ( x ) = 1 y lim + f ( x ) = 0 y lim f ( x ) = 4 porque lim − +
x →−2
6.
x →−2
x →2
x →−2
Calcula los límites laterales para x = 2 de la función f ( x ) =
x →2
{
x −1 5 − x2
si si
x →2
x2
lim f ( x ) = 1 porque lim− f (= x ) lim− ( x −= 1) 1 y lim f ( x= ) xlim ( 5 − x 2=) 1 x →2 x →2 x →2 x →2 →2 +
7.
+
Halla el valor de los siguientes límites. a)
x2 − 2 lim 2− x
c)
x → 2+
x2 − 4 b) lim+ x →2 2− x
a)
x2 − 2 lim 2− x
x → 2−
x2 − 4 d) lim− x →2 2− x
x2 − 2 lim+ = −∞ x →2 2−x
x
2,1
2,01
2,001
2,0001
2,000 01
2,000 001
f(x)
–24,1
–204,01
–2004,001
–20 004
–200 004
–2 000 004
x2 − 4 b) lim+ = −4 x →2 2−x
c)
x
2,1
2,01
2,001
2,000 1
2,000 01
2,000 001
f(x)
–4,1
–4,01
–4,001
–4,0001
–4,000 01
–4,000 001
x2 − 2 lim− = +∞ x →2 2−x
x
1,9
1,99
1,999
1,999 9
1,999 99
1,999 999
f(x)
16,1
196,01
1996,001
19 996
199 996
1 999 996
x2 − 4 d) lim− = −4 x →2 2−x
258
x
1,9
1,99
1,999
1,999 9
1,999 99
1,999 999
f(x)
–3,9
–3,99
–3,999
–3,9999
–3,999 99
–3,999 999
Unidad 10| Introducción al concepto de límite
8.
Calcula los siguientes límites de funciones. a) b) a)
b)
c)
d)
9.
−2 x + 1 lim 5+ x
c)
4x 2 − x lim 2 x → +∞ 2x + 1
d)
x → +∞
x +2 lim 5 x − 30
x → +∞
x 2 − 2x + 2 lim 2 x → −∞ 5− x
−2x + 1 lim = −2 5+x
x →+∞
x
1
10
100
1000
10 000
100 000
f(x)
–0,166 667
–1,266 667
–1,895 238
–1,989 055
–1,998 901
–1,999 890
4x 2 − x lim =2 2 2x + 1
x →+∞
x
1
10
100
1000
10 000
100 000
f(x)
1
1,940 299
1,994 900
1,999 499
1,999 949
1,999 995
1 x+2 lim = = 0,2 5 5x − 30
x →+∞
x
1
10
100
1000
10 000
100 000
f(x)
–0,12
0,6
0,217 021
0,201 610
0,200 160
0,200 016
x 2 − 2x + 2 lim = −1 2 x →−∞ 5−x
x
–1
–10
–100
–1000
–10 000
–100 000
f(x)
1,25
–1,284 211
–1,020 710
–1,002 007
–1,000 200
–1,000 020
ex Con la ayuda de la calculadora completa la tabla de valores para determinar el siguiente límite: lim 5 x → +∞ x x
2
10
20
30
50
f(x)
•
•
•
•
•
x
2
10
20
30
50
f(x)
0,230 908
0,220 265
151,6141
439 772,6
1,6 · 1013
ex Por tanto, lim 5 x →+∞ x
= +∞
Introducción al concepto de límite | Unidad 10
259
4− x 10. Dada la función f ( x ) = x − 2 2x − 2 x +1
si
x0 n + 1+ 2 n+2 n+3 n + 2 ( n + 3 )( n + 2 )
bn + 1 – bn > 0, entonces bn + 1 > bn y, por tanto, la sucesión es creciente. La sucesión está acotada inferiormente, ya que b1 =
5 . 3
La sucesión está acotada superiormente, ya que lim
4n + 1 =4. n+2
x →∞
264
Unidad 10| Introducción al concepto de límite
2n + 1 n2
c) cn +1 − cn =
2 ( n + 1) + 1
( n + 1)
2
−
2n + 1 = n2
2n + 3
( n + 1)
2
−
2n + 1 −2n 4 − 4n − 1 = 0, entonces cn + 1 < cn y, por tanto, la sucesión es decreciente. La sucesión está acotada inferiormente, ya que lim
x →∞
2n + 1 =0. n2
La sucesión está acotada superiormente, ya que c1 = 3. 26. Calcula los siguientes límites e indica si las sucesiones son convergentes. a) lim
n →∞
n3 + 1 n ( n 2 + 1)
b) lim
n →∞
2n 2 n − 2n + 2 3
a) La sucesión es convergente.
n3 + 1 n3 + 1 n 3 + 1 +∞ lim = lim . Indeterminación ⇒ lim = lim = n →∞ n 3 + n n →∞ n →∞ n n 2 + 1 ( ) n →∞ n 3 + n +∞
n3 1+ 3 n 1+
1 n3 1 n2
1 1+ 3 = lim n = 1= 1 1 n →∞ 1 + 1 n2
b) La sucesión es convergente.
2n 2 +∞ 2n 2 . Indeterminación ⇒ lim 3 lim¡ 3 = = lim n →∞ n − 2n + 2 n →∞ n − 2n + 2 n →∞ +∞
2 0 n = lim = = 0 2 2 2 2 n →∞ 1 3 1− 2 + 3 n 1− 2 + 3 n n n n n3 ⋅
2 n
27. Calcula los siguientes límites de sucesiones. 2 + 3n n →∞ 2n − 1
a) lim
b) lim 1 + n →∞
2
2 2n − 1
2 + 3n n →∞ 2n − 1
c) lim n
2 + 2n n →∞ 3n − 1
d) lim
n 3 + 2 + 3n 2 + 3n a) lim = = lim lim n →∞ n →∞ n →∞ 2n − 1 2n − 1 n2 − 2
n
2
2n
2
2 2 2 2 3 + 9 n 3 n = = = lim n →∞ 1 1 2 4 2− n n
lim n
n
2 2 n→∞ ∞ 1 . Indeterminación = lim 1 + b) lim 1 + n →∞ 2n − 1 2n − 1 n →∞ n
n
2 1 1 lim 1 + lim 1 + lim 1 + = = n →∞ n →∞ n →∞ n n − −1 2 1 2 n 2 1 − 2 2
n 3 + 2 + 3n 2 + 3n c) lim = lim = lim n →∞ n →∞ n →∞ 2n − 1 2n − 1 n2 − n
n
2 3+ n = lim n →∞ 1 2− n
n2 + 2 + 2n 2 + 2n d) lim = = lim lim n →∞ n →∞ n →∞ 3n − 1 3n − 1 n 3 − 2n
2n
n
2n −1 2 ⋅ ⋅n 2 2n −1
lim
2n −1 n →∞ 1 2 =lim 1 + 2n − 1 n →∞ 2
2 n 1 n
2 ⋅n 2 n −1
lim
e n→∞ =
2n 2 n −1
2
e2 = e =
n
+∞ 3 = = +∞ 2
2n
2n 2 2 +∞ 2+ n 2 n = = = lim 0 n →∞ 1 1 3 − 3 n n
Introducción al concepto de límite | Unidad 10
265
28. Resuelve los siguientes límites de sucesiones. 2 + 3n
a) lim n →∞ 2n − 1
2 n
2 + 2n 2n − 1
b) lim n →∞
2n + 1
Halla el término 1000 de la sucesión y comprueba que se aproxima al límite obtenido.
n 3 + 2 3 2 3 n n + + lim lim = = a) lim n →∞ n →∞ n →∞ 2n − 1 2n − 1 n2 − 2 n
2 n
2
2
2 n 3+ n = lim n →∞ 1 2− n
2
2 n 0 3 n 1 = = 1 2 n
0,002
2 + 3 ⋅ 1000 1000 3002 = 1,000 814 a1000 = = 2 ⋅ 1000 − 1 1999 lim ( 2n +1)
2n +1
2 + 2n 2 + 2n n→∞ b) lim lim 1+∞ . Indeterminación = = n →∞ 2n − 1 n →∞ 2n − 1 2 + 2n lim n →∞ 2n − 1
2n +1
1 = lim 1 + n →∞ 2n − 1 3
2n +1
2001
1 lim 1 + = n →∞ 2n − 1 3
lim
6n + 3
2n −1 n →∞ 2n −1 1 3 lim 1 + e3 = = 2n − 1 n →∞ 3
2n −1 3 ⋅ ⋅( 2n +1) 3 2n −1
2001
2 + 2 ⋅ 1000 2002 a1000 = = 20,100 614 = 2 ⋅ 1000 − 1 1999
29. Completa la tabla de valores en tu cuaderno para determinar la tendencia de las siguientes funciones en el 4 punto x= 2: f(x) = x2 – 2, g ( x ) = . 2− x 1 • •
x f(x) g(x)
1,9 • •
1,99 • •
1,999 • •
2,001 • •
2,01 • •
2,1 • •
3 • •
¿Cuáles parecen ser los siguientes límites? lim− f ( x ) ; lim+ f ( x ) ; lim f ( x ) ; lim− g ( x ) ; lim+ g ( x ) ; lim g ( x ) x →2
1 –1 3
x f(x) g(x)
lim f ( x ) = 2
x → 2−
1,9 1,61 40
lim f ( x ) = 2
x → 2+
1,99 1,9601 400
x →2
x →2
1,999 1,996 001 4000
lim f ( x ) = 2
2,001 2,004 001 –4000
lim g ( x ) = +∞
x →2
2,01 2,0401 –400
lim g ( x ) = −∞
x → 2−
x →2
x →2
x → 2+
2,1 2,41 –40
x →2
3 7 –4
lim g ( x ) No existe. x →2
30. Actividad resuelta 31. Determina la tendencia de la función h ( x )=
x 2 + x − 6 en el punto x = 2, construyendo en tu cuaderno
una tabla de valores. ¿Cuáles parecen ser los límites? lim− h ( x ) ; lim+ h ( x ) ; lim h ( x ) x →2
x h(x)
1 No existe
lim h ( x ) No existe.
x → 2−
266
1,9 No existe
1,99 No existe
lim h ( x ) = 0
x → 2+
Unidad 10| Introducción al concepto de límite
1,999 No existe
x →2
2,001 0,070 718
lim h ( x ) No existe. x →2
x →2
2,01 0,223 830
2,1 0,51
3 2,449 490
32. Sabiendo que lim f ( x ) = 3 , lim g ( x ) = −2 , lim f ( x ) = −5 y lim g ( x ) = 7 , calcula los siguientes límites en el x →a
x → −2
x →a
caso de que existan.
f (x) g(x)
f (x)
c) lim
b) lim f ( x ) ⋅ g ( x )
d) lim f ( x )
g(x)
f)
x →a
x →a
g) lim [ g f ] ( x )
e) lim g ( x ) x →a
a) lim f ( x ) + g ( x ) x →a
x →a
x →3
x →a
g(x)
lim [ f g ] ( x )
h) lim ( f g ) ( x )
x →a
a) lim f ( x ) + g ( x ) = lim f ( x ) + lim g ( x ) = 3 − 2 = 1 e) lim g ( x ) x →a x →a x →a x →a
f (x)
x →a
lim f ( x )
= lim g ( x ) x →a x →a
= −8 ( −2 ) = 3
lim f ( x ) lim g ( x ) = 3 ( −2 ) = −6 f) Como lim g ( x ) = −2 ⇒ lim [f g ] ( x ) = lim f ( x ) = −5 b) lim f ( x ) ⋅ g ( x ) = x →a x →a x →a x →a x →a x →−2 lim f ( x ) −3 f (x) →a c) lim = x= x →a g ( x ) lim g ( x ) 2
f ] ( x ) lim = g (x) 7 g) Como lim f ( x ) = 3 ⇒ lim [ g= x →a
x →a
x →3
x →a
g(x)
lim g ( x )
h) Como lim [f g ] ( x ) − 5 < 0 ⇒ lim ( f g )( x ) x →a x →a
d) = lim f ( x ) lim = 3 −2 f ( x ) x →a x →a x →a
33. La función f ( x ) =
g(x)
no existe.
2x − 2 no existe en x = 1 pero sí en los puntos cercanos a 1. Completa la tabla de sen ( x − 1)
valores para estudiar la tendencia de la función cuando x → 1. 0,9 • 1,1 •
x f(x) x f(x)
0,99 • 1,01 •
0,999 • 1,001 •
0,9999 • 1,0001 •
0,999 99 • 1,000 01 •
0,9999 2,000 000 003 1,0001 2,000 000 003
0,999 99 2,000 000 000 03 1,000 01 2,000 000 000 03
Utiliza la calculadora para hacer los cálculos en radianes. 0,9 2,003 337 226 1,1 2,003 337 226
x f(x) x f(x)
Por tanto, lim
x →1
0,99 2,000 033 334 1,01 2,000 0333 334
0,999 2,000 000 333 1,001 2,000 000 333
2x − 2 =2 sen ( x − 1)
34. Con la ayuda de una tabla de valores, halla los límites laterales para x = 2 de la función: f (x) =
{
x −1 5 − x2
si si
x2
Representa su gráfica de forma aproximada. x f(x)
1,9 0,9
1,99 0,99
1,999 0,999
2,001 0,995 999
2,01 0,9599
2,1 0,59
lim f ( x ) = 1 y lim+ f ( x ) = 1 ⇒ lim f ( x ) = 1
x → 2−
x →2
x →2
1
35. Sea f ( x= )
( 3 + x ) x −1 . Calcula, ayudándote de tu calculadora, f(2), f(1,1), f(1,02), f(0), f(0,9), f(0,98). ¿Qué te sugieren estos resultados acerca de lim f ( x ) ? x →1 x f(x)
2 5
1,1 1,34 · 106
1,02 1,63 · 1030
0 0,333 333
0,9 1,22 · 10–6
0,98 1,01 · 10–30
lim f ( x ) no existe porque lim− f ( x ) = 0 y lim+ f ( x ) = +∞ . x →1
x →1
x →1
Introducción al concepto de límite | Unidad 10
267
36. Indica cuáles de los siguientes límites dan lugar a indeterminaciones y cuáles pueden calcularse directamente. En ese caso, calcula su valor. a) b) a) b) c) d) e)
lim ( 2 x − 1)
c)
lim ( 2 x − 1)
d)
x → +∞
x → −∞
lim ( 2 x − x 2 )
e)
lim ( 2 x − x 2 )
f)
x → +∞
x → −∞
lim
1 − 2x
g)
lim
1 − 2x
h)
x → +∞
x → −∞
lim ( 1 − 2 x )
x
lim ( 1 − 2 x )
x
i)
x → +∞
j)
x → −∞
1 − 2x lim 3+ x
x
1 − 2x lim x → −∞ 3 + x
x
x → +∞
lim ( 2x − 1) = +∞
f)
lim ( 2x − 1) = −∞
g)
lim ( 2x − x 2 ) = ∞ − ∞ . Indeterminación
h)
lim ( 2x − x 2 ) = −∞
i)
∞ 1 − 2x . Indeterminación lim = x →+∞ ∞ 3+x
j)
∞ 1 − 2x . Indeterminación lim = x →−∞ ∞ 3+x
x →+∞
x →−∞
x →+∞
x →+∞
1 − 2x = + ∞
1 x lim (1 − 2x ) . No existe porque D(f) = −∞, 2
x →+∞
lim (1 − 2x ) = 0 x
x →−∞
x
x →−∞
lim
lim
x →−∞
x
1 1 − 2x . No existe porque D(f) = −∞, . 2
37. Compara los valores de las funciones f ( x ) = Puedes hacerlo completando la tabla.
3x 2 − 2x + 6 y g(x) = 3x – 5 cuando x → +∞ y cuando x→ –∞. 1+ x
x f(x) g(x)
99 • •
999 • •
9999 • •
–101 • •
–1001 • •
–10 001 • •
x f(x) g(x)
99 292,11 292
999 2992,011 2992
9999 29 992,001 29 992
–101 –308,11 –308
–1001 –3008,011 –3008
–10 001 –30 008,0011 –30 008
Las funciones f(x) y g(x) toman valores muy próximos cuando x → +∞ y cuando x→ –∞ porque: lim f ( x ) − g ( x )=
x →+∞
lim
x →+∞
11 = 0 y lim f ( x ) − g ( x )= x →−∞ 1+ x
lim
x →−∞
11 = 0. 1+ x
38. Opera y calcula los límites a partir de una tabla de valores. a) a)
b)
c)
268
3x 2 − 2x + 6 lim : x 1+ x
x → +∞
b)
3x 2 − 2x + 6 − 3x lim 1+ x
c)
x → +∞
3x 2 − 2x + 6 lim − ( 3x − 5 ) 1+ x
x → +∞
3 x 2 − 2x + 6 lim : x = 3 x →+∞ 1 + x x 1 10 f(x) 3,5 2,6
100 2,951 089
1000 2,995 011
10 000 2,999 500
100 000 2,999 950
3 x 2 − 2x + 6 lim − 3x = −5 x →+∞ + 1 x x 1 10 f(x) 0,5 –4
100 –4,891 089
1000 –4,989 011
10 000 –4,998 900
100 000 –4,999 890
3 x 2 − 2x + 6 lim − ( 3x − 5 ) = 0 1+ x x 1 10 f(x) 11 1
100 0,108 911
1000 0,010 989
10 000 0,001 100
100 000 0,000 009
x →+∞
Unidad 10| Introducción al concepto de límite
39. Resuelve los siguientes límites, que son indeterminaciones del tipo
0 . 0
x 2 − 2x a) lim x →0 x
c)
x 3 − x 2 − 6x lim 3 2 x − 4 x − 3 x + 18
x2 + x b) lim 2 x → −1 x − 2 x − 3
x 3 − x 2 − 6x d) lim− 3 2 x →3 x 4 x 3 x 18 − − +
x → 3+
x ( x − 2) x 2 − 2x x 2 − 2x 0 a) lim lim = lim ( x − 2 ) = −2 = = . Indeterminación ⇒ lim x → 0 x → 0 x →0 x →0 x x x 0 x ( x + 1) x2 + x 0 1 x x2 + x = . Indeterminación ⇒ lim 2 = b) lim 2 = lim = xlim x →−1 x − 2x − 3 x →−1 x − 2x − 3 x →−1 x − 3 →−1 ( x + 1)( x − 3 ) 0 4
c)
x 3 − x 2 − 6x 0 x ( x + 2 )( x − 3 ) x 3 − x 2 − 6x x lim+ 3 = . Indeterminación ⇒ lim 3 = lim = lim = +∞ 2 2 x →3 x → 3 x − 4 x 2 − 3 x + 18 x →3 x − 4x − 3x + 18 0 ( x + 2 )( x − 3 ) x →3 ( x − 3 ) +
+
+
x ( x + 2 )( x − 3 ) x 3 − x 2 − 6x 0 x 3 − x 2 − 6x x d) lim− 3 = lim = lim = −∞ = . Indeterminación ⇒ xlim 2 3 x →3 → 3 x →3 ( x − 3 ) x − 4x 2 − 3x + 18 x →3 ( x + 2 )( x − 3 )2 x − 4x − 3x + 18 0 −
−
−
40. Calcula los siguientes límites de funciones racionales. a) b)
4− x lim 3 + 4x
c)
x 2 − 2x lim x → +∞ 3 + 4x
d)
x → +∞
4−x ∞ 4−x a) lim = = . Indeterminación ⇒ xlim x →+∞ 3 + 4 x →+∞ 3 + 4 x ∞
b)
x3 + 1 lim 1− x
x → +∞
x3 + x2 − 5 lim x → +∞ 1 − x 2 + 4 x 3
4 x − 1 x lim = x →+∞ 3 x + 4 x
4 −1 −1 x lim = x →+∞ 3 4 +4 x
x ( x − 2) x 2 − 2x ∞ x −2 x 2 − 2x . Indeterminación ⇒ lim lim = = lim = +∞ = xlim x →+∞ x →+∞ x →+∞ 3 →+∞ 3 3 4 x + ∞ + 3 4 x +4 x + 4 x x
1 1 x x2 + x2 + x3 + 1 ∞ x3 + 1 x x c) lim = lim = −∞ = . Indeterminación ⇒ xlim = lim x →+∞ x →+∞ 1 →+∞ 1− x ∞ 1 − x x →+∞ x 1 − 1 −1 x x x3 + x2 − 5 ∞ x3 + x2 − 5 d) lim . Indeterminación ⇒ = lim = x →+∞ 1 − x 2 + 4 x 3 x →+∞ 1 − x 2 + 4 x 3 ∞
1 5 x 3 1+ − 3 x x lim = x →+∞ 1 1 x3 4 − + 3 x x
1 5 1+ − 3 1 x x lim = x →+∞ 1 1 4 4− + 3 x x
41. Actividad resuelta.
Introducción al concepto de límite | Unidad 10
269
42. Calcula los siguientes límites de funciones racionales. x +5 3 − x2
c)
x 2 − 2x lim x → −∞ 3 + 4x
d)
a) lim
x →∞
b)
4− x lim 3 + 4x
x → −∞
1− x 2 + 4x 3 lim 3 2 x → −∞ x + x −5
x +5 ∞ x +5 a) lim . Indeterminación ⇒ lim= = 2 x →−∞ 3 − x 2 x →−∞ 3−x ∞
b)
5 x 1+ x lim = x →+∞ 3 x − x x
5 1+ x = lim 0 x →+∞ 3 −x x
x ( x − 2) x −2 x 2 − 2x x 2 − 2x ∞ = lim = +∞ lim . Indeterminación ⇒ lim = lim = x →+∞ 3 + 4x x →+∞ x 3 + 4 x →+∞ 3 + 4 3 + 4x ∞ x x
x →+∞
4−x ∞ 4−x = c) lim = . Indeterminación ⇒ xlim x →−∞ 3 + 4 x →−∞ 3 + 4 x ∞
4 x − 1 x lim = x →+∞ 3 x + 4 x
1 − x 2 + 4x 3 ∞ 1 − x 2 + 4x 3 = d) lim 3 . Indeterminación ⇒ lim = 2 3 2 x →−∞ x →−∞ x + x −5 ∞ x + x −5
4 −1 −1 x = lim x →+∞ 3 4 +4 x
1 1 x3 4 − + 3 x x lim = x →+∞ 1 5 x 3 1+ − 3 x x
1 1 4− + 3 x x lim 4 = x →+∞ 1 5 1+ − 3 x x
43. Resuelve estas indeterminaciones del tipo ∞ – ∞. a)
x 2 − 3x + 1 lim − x x → +∞ x +5
b)
x 2 − 3x + 1 x 2 + 4 x − 3 − lim x → +∞ x +5 x +1
c)
lim
x → +∞
(
x2 + x + 1 − x
)
1 1 x −8 + −8 + −8x + 1 x 2 − 3x + 1 x x lim lim lim − x = = = = −8 a) lim x →+∞ x →+∞ x →+∞ 5 5 x +5 x →+∞ x + 5 1+ x 1+ x x
19 16 19 16 x 2 −12 − + 2 −12 − + 2 −12x 2 − 19x + 16 x 2 − 3x + 1 x 2 + 4x − 3 x x x x = − lim = lim = lim −12 b) lim = 2 x →+∞ x x x →+∞ →+∞ →+∞ 6 5 6 5 x +1 x + 6x + 5 2 x +5 1+ + 2 x 1+ + 2 x x x x c)
(
)
lim = x2 + x + 1 − x
x →+∞
lim
x →+∞
1 x 1+ x = lim = x →+∞ 1 1 x 1 + + 2 + 1 x x
270
(
x2 + x + 1 − x
x + x +1 + x) )(= 2
x2 + x + 1 + x
1 1+ 1 x = lim x →+∞ 2 1 1 1+ + 2 + 1 x x
Unidad 10| Introducción al concepto de límite
x 2 + x + 1− x 2 lim= x2 + x + 1 + x
x →+∞
x +1 lim= x2 + x + 1 + x
x →+∞
44. Estudia la continuidad de cada una de las siguientes funciones racionales y clasifica sus discontinuidades. a) f ( x ) =
x 2 − 3x + 2 x −1
c) f ( x ) =
x 2 + 3x + 2
b) f ( x ) =
x2 + 2 x +1
d) f ( x ) =
x2 + 2 x2 + 1
( x + 1)2
a) En x = 1, f(x) presenta una discontinuidad evitable porque lim
x →1
( x − 1)( x − 2 ) = x 2 − 3x + 2 = −1 . lim lim ( x − 2 ) = x →1 x →1 x −1 x −1
La función es continua en (–∞,1) ∪ (1, +∞) y presenta una discontinuidad evitable en x = 1. b) En x = –1, f(x) presenta una discontinuidad inevitable de salto infinito porque
lim f ( x ) = −∞ .
x →−1−
La función es continua en (–∞,–1) ∪ (–1, +∞) y presenta una discontinuidad inevitable de salto finito en x = –1. c) En x = –1, f(x) presenta una discontinuidad inevitable de salto infinito porque lim− x →−1
x 2 + 3x + 2
( x + 1)
2
= lim− x →−1
x+2 = −∞ . x +1
La función es continua en (–∞,–1) ∪ (–1, +∞) y presenta una discontinuidad inevitable de salto finito en x = –1. d) D(f) = ⇒ La función es continua en toda la recta real. 45. Analiza la continuidad de las funciones y clasifica sus discontinuidades. −3 − x a) f(x) = x + 1 3 − x
si si si
x < −2 −2 ≤ x ≤ 2 2< x
−3 − x x 2 + 2 x − 3 si 1 ≠ x ≠ −3 b) g( x ) = 1 si x = −3 4 0 si x = 1
c) h ( x ) =
x −7 4− x −3
a) La función es continua en x = –2 porque f(–2) = lim − f ( x ) = lim + f ( x ) = −1 . x →−2
x →−2
En x = 2 hay una discontinuidad inevitable de salto finito porque lim− f ( x ) = 3 y lim+ f ( x ) = 1 . x →2
x →2
La función es continua en (–∞, 2) ∪ (2, +∞) y presenta una discontinuidad inevitable de salto finito en x = 2. b) La función es continua en x = –3 porque g(–3) = lim
x →−3
− (3 + x ) −3 − x −1 1 . = lim = lim = x 2 + 2x − 3 x →−3 ( x + 3 )( x − 1) x →−3 x − 1 4
En x = 1 hay una discontinuidad inevitable de salto infinito porque lim− g ( x ) = −∞ . x →1
La función es continua en (–∞,1) ∪ (1, +∞) y presenta una discontinuidad inevitable de salto finito en x = 1. c) En x = –1 presenta una discontinuidad inevitable de salto infinito porque lim+ h ( x ) = −∞ . x →−1
En x = 7 hay una discontinuidad evitable porque lim
x →7
x −7 x −7 = lim = −1 pero no existe h(7). 4 − x − 3 x →7 7 − x
La función es continua en (–∞,–1) ∪ (–1, 7) ∪ (7, +∞) y presenta una discontinuidad inevitable de salto finito en x = –1 y una discontinuidad evitable en x = 7.
Introducción al concepto de límite | Unidad 10
271
46. La función f ( x ) =
x 4 − 3x 3 − 3x 2 − 3x − 4 no está definida en x = ±1 y x = 4. ( x 2 − 1) ( x − 4 )
a) Analiza el tipo de discontinuidad que presenta la función en cada uno de estos puntos. b) Define los valores que debería tomar la función en esos puntos para evitar esas discontinuidades cuando sea posible. La función f ( x ) =
x 4 − 3x 3 − 3x 2 − 3x − 4 = ( x 2 − 1) ( x − 4 )
( x 2 + 1) ( x + 1)( x − 4 ) ( x − 1)( x + 1)( x − 4 )
a) En x = –1 presenta una discontinuidad evitable pues lim
x →−1
no está definida en x = ±1 y x = 4.
( x 2 + 1) ( x + 1)( x − 4 ) = ( x − 1)( x + 1)( x − 4 )
En x = 1 presenta una discontinuidad inevitable de salto infinito pues lim− x →1
En x = 4 presenta una discontinuidad evitable porque lim
x →4
x2 + 1 = −1 y f(–1) no existe. x →−1 x − 1 lim
( x 2 + 1) ( x + 1)( x − 4 ) = ( x − 1)( x + 1)( x − 4 )
)( x − 4 ) ( x 2 + 1) ( x + 1= ( x − 1)( x + 1)( x − 4 )
lim
x →1−
x2 + 1 = −∞ . x −1
x 2 + 1 17 y f(4) no existe. lim = x →4 x − 1 3
b) Se pueden evitar las discontinuidades en x = –1 y en x = 4. Para evitar esas discontinuidades la función debería valer f(–1) = lim f ( x ) = –1 y f(4) = lim f ( x ) = x →4
x →−1
17 . 3
x + a si x < −π = f ( x ) sen x si − π ≤ x ≤ π 47. Calcula los valores de a y b para que la función f(x) sea continua: x + b si π < x Represéntala gráficamente. Los puntos que se deben estudiar son x = –π y x = π, ya que en estos valores cambia la definición de la función.
lim f = (x)
lim f ( x ) = lim − ( x + a ) = −π + a
f(–π) = sen (–π) = 0
x →−π−
x →−π+
x →−π
x ) sen (= −π ) 0 lim ( sen=
x →−π+
Para que sea continua en x = –π, el valor de la función y de los límites deben coincidir: 0 = –π + a ⇒ a = π
π 0 lim f ( x= ) lim− ( sen x=) sen=
f(π) = π + b
x →π−
lim f ( x ) = lim+ ( x + b ) = π + b
x →π+
x →π
x →π
Para que sea continua en x = π, el valor de la función y de los límites deben coincidir: π + b = 0 ⇒ b = –π
48. Halla los valores de a y b para que la función siguiente sea continua en todo su dominio. x 2 − 3x − 4 x 3 − 4 x 2 − x + 4 f (x ) = a b
si − 1 ≠ x ≠ 4 si x = −1 si x = 4
¿Es discontinua en algún punto?
( x + 1)( x − 4 ) = lim 1 = −1 ⇒ a = −1 x 2 − 3x − 4 = lim x →−1 x 3 − 4 x 2 − x + 4 x →−1 ( x + 1)( x − 1)( x − 4 ) x →−1 x − 1 2 2
f(1) = a y lim f ( x ) = lim x →−1
f(4) = b y lim f ( x ) = lim x →4
x →4
( x + 1)( x − 4 ) = lim 1 = 1 ⇒ b = 1 x 2 − 3x − 4 = lim x − 4x 2 − x + 4 x → 4 ( x + 1)( x − 1)( x − 4 ) x → 4 x − 1 3 3 3
D(f) = − {1} y como lim− f ( x ) = lim− x →1
272
x →1
1 = −∞ , la función presenta una discontinuidad de salto infinito en x = 1. x −1
Unidad 10| Introducción al concepto de límite
49. La función f(x) es continua para cierto valor de a.
8 − x 2 si − 2 ≥ x = f (x ) a x si − 2 < x < 2 8 − x 2 si 2 ≤ x a) Calcula el valor de a. b) Representa la función para ese valor de a. c) Representa la función para a = 1 y explica el tipo de discontinuidad que presenta la función. a) Los puntos que se deben estudiar son x = –2 y x = 2, ya que en estos valores cambia la definición de la función. f(–2) = 4
lim f ( x= )
x →−2−
lim ( 8 − x 2= ) 4
= lim + f ( x )
x →−2−
x →−2
= lim ( a x ) 2a
x →−2+
Para que sea continua en x = –2, el valor de la función y de los límites deben coincidir: 4 = 2a ⇒ a = 2 f(2) = 4
lim f ( x= ) lim+ ( 8 − x 2=) 4
x → 2+
lim f ( x= a 4 ) lim− ( a x=) 2=
x → 2−
x →2
x →2
Para a = 2 la función es continua. b)
c)
En x = –2 y en x = 2 hay discontinuidades inevitables de salto finito. 50. Dada la función: −3 − x x + 1 si − 2 ≤ x f ( x= ) x + 3 si − 2 < x < 1 x +5 si 1 ≤ x x 2 + 2 x a) Calcula f(–3), f(–2), f(–1), f(0,24), f(1). b) Justifica que la función es continua en toda la recta real. −3 − ( −3 ) −3 − ( −2 ) = 0 , f(–2) = = 1 , f(–1) = −3 + 1 −2 + 1 1+ 5 =2. f(1) = 1+ 2
a) f(–3) =
−1 + 3=
2= 1, 41 , f(0,24) =
0,24 += 3
3,24 = 1,8 y
b) Los puntos que se deben estudiar son x = –2 y x = 1, ya que en estos valores cambia la definición de la función. En el resto de puntos la función es continua.
lim − f ( x ) La función es continua en x = –2 porque f(–2) = 1,= x →−2
−3 − x = lim 1 y lim + f= (x) x →−2 x +1
x →−2−
lim
x →−2+
x= + 3 1.
x +5 = 2. x= +3 2 = La función es continua en x = 1 porque f(1) = 2, lim− f = y lim+ f ( x ) lim ( x ) xlim x →1 x →1+ x 2 + 2x x →1 →1− La función es continua en toda la recta real.
Introducción al concepto de límite | Unidad 10
273
51. Resuelve los siguientes límites de sucesiones. a)
2+n lim n → +∞ 1 + n
n
1 + 2n 3 + 2n
b) lim n → +∞ c)
2n
2−n lim 2 + n → +∞ n+2
n
d)
3+n lim n → +∞ n
e)
2 lim 1 + n → +∞ 1+ n
f)
5 + n n +1 lim n →∞ 3 + n
n +1 2
n2
n
Todos los límites son indeterminaciones tipo 1∞. n
n
1 1 2+n a) lim =nlim 1+ =nlim 1+ n →+∞ 1 + n →∞ →∞ 1 + n 1 + n
1 + 2n b) lim n →+∞ 3 + 2n
c)
2n
n
f)
274
2n
n 2−n 1 = lim 2 + lim 1 + n →+∞ n →+∞ + n 2 n+2 4
3+n d) lim = n →+∞ n
e)
−2 = lim 1 + n →∞ 3 + 2n
2 lim 1 + n 1 +
n →+∞
n
3 lim 1 + = n →+∞ n
n +1 2
1+ n 1 ⋅ ⋅⋅n 1 1+ n
1 = lim 1 + n →∞ 3 + 2n −2 n
1 = lim 1 + n →+∞ + n 2 4
1 lim 1 + n →+∞ n 3
1 lim 1 + = n →+∞ n +1 2
lim
3 + 2n −2 ⋅ ⋅ 2n −2 3 + 2n
1
⋅n
n +1 n lim 1+ n 1 n→∞ 1+ n = lim 1 + =e n→∞ =e n →∞ 1 + n
n +2 4 ⋅ ⋅n 4 n +2
1 = lim 1 + n →∞ 3 + 2n − 2
1 = lim 1 + n →+∞ + n 2 4 lim
3 + 2n −2
n +2 4
lim
−4n
n→∞ 3 + 2n −4 n lim 3 + 2n 1 = e n→∞ = e −2 = e2
lim
4n
n→∞ n + 2 4n lim n + 2 =e n→∞ =e 4
3n
n n →∞ n 3 1 = lim 1 + = e3 n →+∞ n 3
n 3 ⋅ ⋅n 3 n
n +1 2
e =
n2 n2 2 n +1 1 5 + n n +1 = = lim lim 1 + lim 1 + n →∞ 3 + n n →∞ + n 3 3 + n n →∞ 2
Unidad 10| Introducción al concepto de límite
n2 3+n 2 ⋅ ⋅ 2 3 + n n +1
1 = lim 1 + n →∞ + n 3 2
3+n 2
lim
n→+∞
2 n2 ⋅ 3 + n n +1 2n2 lim 2 n →+∞ n + 4 n + 3
= e
= e2
52. Calcula los siguientes límites de sucesiones. 2n 2 + 5 lim n → +∞ n 2 + 4n
n−2
2n 2 + 5 b) lim 2 n → +∞ n + 4n
2−n
n 2 + 4n lim 2 n → +∞ 2n + 5
n−2
n 2 + 4n d) lim 2 n → +∞ 2n + 5
2−n
a)
c)
2n − 3
n 2 + 4n 1+ n e) lim 2 n → +∞ 2n + 5
1+ n
f)
n 2 + 4n 2n − 3 lim 2 n → +∞ 2n + 5
a) lim 2n + 5 n →+∞ n 2 + 4n 2
n −2
5 2 n 2 + n = lim n →+∞ n2 1+ 4 n
n −2
2−n
5 2 2 n 2 + n = b) lim 2n + 5 = lim n →+∞ n 2 + 4n n →+∞ n2 1+ 4 n 2−n
n −2
4 2 2 n 1+ n n 4 n + c) lim lim = = n →+∞ 2n 2 + 5 n →+∞ n2 2 + 5 n n −2
d)
n + 4n lim n →+∞ 2n 2 + 5 2
2−n
4 2 n 1+ n = lim n →+∞ n2 2 + 5 n
2n − 3
e)
f)
n 2 + 4n 1+ n lim 2 = n →+∞ 2n + 5
2−n
5 2+ n = lim n →+∞ 1+ 4 n 5 2+ n lim n →+∞ 1+ 4 n
n −2
= 2+∞ = +∞
2−n
−∞ = 2= 0 n −2
4 +∞ 1+ n 1 lim 0 = = n →+∞ 2 2+ 5 n 4 1+ n = lim n →+∞ 2+ 5 n
3 n 2− n 1 n 1+ n
4 2 n 1 + n = lim n →+∞ n2 2 + 5 n
5 2 1+ n n 2 + n 2n 2 + 5 2n − 3 lim = nlim →+∞ n →+∞ n 2 + 4n n2 1+ 4 n
1 n 1+ n 3 n 2− n
2−n
1 = 2
−∞
= 2+∞ = +∞
3 n 1 1+ n
2−
4 2 1+ n 1 1 = = lim n →+∞ 5 2 4 2+ n
5 2+ n = lim n →+∞ 1+ 4 n
1 n 3 2− n 1+
1 2 = 2=
2
53. Actividad resuelta
Introducción al concepto de límite | Unidad 10
275
54. Calcula estos límites.
−n a) lim n → +∞ n + 4
2n + 1
−n − 3 b) lim n → +∞ n
2(n − 1)
n+4 c) lim n → +∞ 1 − n
2n
n+1 d) lim n → +∞ n + 4
2n + 1 3
a) Aparece la indeterminación (–1)∞. Como el exponente siempre es impar, la función es siempre negativa, por lo que se puede escribir el límite como: −n lim n →+∞ n + 4
lim
= −e n →∞
2n +1
−8n − 4 n+4
n =lim ( −1) ⋅ n →+∞ + 4 n
2n +1
n =− lim n →+∞ n + 4
2n +1
−4 =− lim 1 + n →+∞ +4 n
2n +1
1 =− lim 1 + n →+∞ n+4 −4
n+4 −4
−4
n+4
⋅( 2n +1)
=
1 = −e −8 = − 8 e
b) Aparece la indeterminación (–1)∞. Como el exponente siempre es par, la función es siempre positiva, por lo que se puede escribir el límite como: 3
2( n −1)
−n − 3 lim = n →+∞ n lim
2( n −1)
n +3 lim ( −1) ⋅ = n →+∞ n
2( n −1)
n+3 lim = n →+∞ n
2( n −1)
3 lim 1 + = n →+∞ n
1 lim 1 + n →+∞ n 3
⋅ 2( n −1)
n n 1 3 lim 1 = + = n →+∞ n 3 2( n −1)
6( n −1) n
n →+∞ = e= e6
c) Aparece la indeterminación (–1)∞. Como el exponente siempre es par, la función es siempre positiva, por lo que se puede escribir el límite como: 5
⋅ 2n
n −1 n −1 5 n + 4 5 1 1 n+4 n+4 1+ = = − ⋅ = = + = + = lim lim 1 lim lim 1 lim 1 lim ( ) n →+∞ 1 − n n →+∞ n →+∞ n →+∞ n →+∞ n →+∞ n −1 n −1 n − 1 n − 1 n −1 5 5 2n
2n
2n
2n
2n
10n lim n −1 n →+∞
= e= e10
d) Aparece la indeterminación 1∞. Como el exponente siempre es par, la función es siempre positiva, por lo que se puede escribir el límite como: n +1 lim n →+∞ n + 4 lim
= e n →+∞
2( n +1) 3
2n +1 − n+4
3 = lim 1 − n →+∞ n+4
−2 = e=
2( n +1) 3
1 = lim 1 + n →+∞ n+4 −3
2( n +1) 3
1 = lim 1 + n →+∞ n+4 −3
n+4 −3
−3
n+4
·
2( n +1) 3
=
1 e2
55. Actividad resuelta. 56. Halla el valor de los siguientes límites de funciones. x +2
2x + 1 x −1 b) lim+ x →1 x + 2
1
a) lim+ ( 2 x − 1) 2 x − 2 x →1
a)
276
lim ( 2x − 1)
x →1+
1 2x − 2
1 = lim+ 1 + x →1 1 2x − 2
1
2x − 2 =e
Unidad 10| Introducción al concepto de límite
x +2
x +2
x +2
x − 1 x −1 1 x −1 2 x + 1 x −1 b) lim+ = lim+ 1 + = lim+ 1 + = e x →1 x → x → 1 1 x + 2 x+2 x+2 x −1
57. Los siguientes límites de funciones dan lugar a indeterminaciones del tipo 1∞. Resuélvelas. a)
2x − 1 lim x → +∞ 2 x + 3
2x − 2
b)
2x − 1 lim x → −∞ 2 x + 3
2− x
a)
2x − 1 lim x →+∞ 2x + 3
2x − 2
1 lim 1 + = x →+∞ 2x − 2
2− x
−4 = lim 1 + x →−∞ +3 x 2
2x − 1 c) lim x →+∞ 2x + 3
x +2
2x − 1 lim 2x + 3
x +2
2x − 1 b) lim x →−∞ 2x + 3
d)
x →−∞
c)
2x − 1 lim x → +∞ 2 x + 3
x +2
d)
2x − 1 lim x → −∞ 2 x + 3
x +2
2x − 2
e =
2− x
1 = lim 1 + x →−∞ 2x + 3 −4
−4 = lim 1 + x →+∞ 2x + 3
x +2
1 = lim 1 + x →+∞ 2x + 3 −4
−4 = lim 1 + x →−∞ 2x + 3
x +2
1 = lim 1 + x →−∞ 2x + 3 −4
1 = lim 1 + x →−∞ 2x + 3 −4
2 x + 3 −4 ⋅ ⋅( 2 − x ) −4 2 x + 3
2 x + 3 −4 ⋅ ⋅( x + 2 ) −4 2 x + 3
1 = lim 1 + x →+∞ 2x + 3 −4
2 x + 3 −4 ⋅ ⋅( x + 2 ) −4 2 x + 3
1 = lim 1 + x →−∞ 2x + 3 −4
2x + 3 −4
4x −8
2x + 3 = e2 −4 x − 8
2x + 3 −4
2x + 3 = e −2
2x + 3 −4
2x + 3 = e −2
−4 x − 8
58. Calcula los límites que dan lugar a indeterminaciones. 4x − 2 4 x 2 − 6x + 2
a) lim 1 x→
b)
2
lim2
x →−
3
b)
9x 2 − 4 3x 2 + 5 x + 2
d) lim−
2 x − 10 x 3 − 10 x 2 + 25 x
x →5
2
2
lim2
x →−
2 x − 10 x 3 − 10 x 2 + 25 x
x → 5+
2 ( 2x − 1) 4x − 2 1 4x − 2 0 = lim1 = lim1 = −2 = . Indeterminación ⇒ lim1 2 4x 2 − 6x + 2 0 x → 4x − 6x + 2 x → 2 ( x − 1)( 2x − 1) x→ x − 1
a) lim 1 x→
lim
c)
3
2
2
( 3x − 2 )( 3x + 2 ) = lim 3x − 2 = −12 9x − 4 0 9x − 4 = . Indeterminación ⇒ lim2 = lim2 2 3x 2 + 5x + 2 0 ( 3x + 2 )( x + 1) x →− 2 x + 1 x →− 3 x + 5 x + 2 x →− 2
2
3
3
3
lim
2 ( x − 5) 2x − 10 0 2x − 10 2 = . Indeterminación ⇒ lim+ 3 = lim+ = lim+ = +∞ 2 x → 5 x − 10 x 2 + 25 x x →5 x →5 x ( x − 5 ) x 3 − 10x 2 + 25x 0 x ( x − 5)
d) lim
2 ( x − 5) 2x − 10 0 2x − 10 2 = . Indeterminación ⇒ lim− 3 = lim− = lim− = +∞ 2 x → 5 x − 10 x 2 + 25 x x →5 x →5 x ( x − 5 ) x 3 − 10x 2 + 25x 0 x ( x − 5)
c)
x → 5+
x → 5−
59. Sean f(x) = a) b) c) a) b) c)
3x 2 − 2x + 1 3x 2 + x − 7 y g(x) = , calcula: x +3 3− x
lim f ( x )
d)
lim g ( x )
e)
lim ( f + g ) ( x )
f)
x → +∞
x → +∞
x → +∞
3 x 2 − 2x + 1 = +∞ x +3
d)
3x 2 + x − 7 = −∞ x →+∞ 3−x
e)
lim f ( x ) = lim
x →+∞
x →+∞
lim g ( x ) = lim
x →+∞
21x − 11x − 18 lim ( f + g )( x ) = lim = −21 x →+∞ x →+∞ 9 − x2 2
lim ( f − g ) ( x )
x → +∞
lim ( f ⋅ g ) ( x )
x → +∞
lim ( f : g ) ( x )
x → +∞
lim ( f − g )( x ) = lim f ( x ) − lim g ( x ) = ∞ − ( −∞ ) = +∞
x →+∞
x →+∞
x →+∞
lim ( f ⋅ g )( x ) = lim f ( x ) ⋅ lim g ( x ) = +∞ ⋅ ( −∞ ) = −∞
x →+∞
x →+∞
−3x + 11x 2 − 7x + 3 = −1 x →+∞ 3 x 3 + 10 x 2 − 4 x − 21
f) lim ( f : g )( x ) = lim x →+∞
x →+∞
3
Introducción al concepto de límite | Unidad 10
277
60. Calcula los siguientes límites de sucesiones racionales. a)
lim
n → +∞
2n + 5 n 2 − 3n + 1
c)
2n 2 + 5 n → +∞ n 2 + 4n
lim
n → +∞
2n + 5 n+1
n+ n+5 3n + 1 2 5 n2 + 2 2n + 5 ∞ + n 2 5 n n = a) lim 2 = . Indeterminación ⇒ lim 2 = lim n →+∞ n − 3n + 1 n →+∞ n − 3n + 1 n →+∞ ∞ 3 1 2 n 1− + 2 n n
b) lim
d)
2n 2 + 5 ∞ 2n 2 + 5 b) lim 2 = . Indeterminación ⇒ lim 2 = n →+∞ n + 4n →+∞ n ∞ n + 4n
c)
lim
n →+∞
∞ 2n + 5 2n + 5 . Indeterminación ⇒ = = lim n →+∞ n +1 ∞ n +1
lim
n → +∞
5 n2 2 + 2 n = lim n →+∞ 4 n 2 1 + n 2 5 n + 2 n n lim = n →+∞ 1 n 1+ n
2 5 + n n 2 = 0= 0 n →+∞ 3 1 1 1− + 2 n n lim
5 2 2 n = = 2 lim n →+∞ 4 1 1+ n 2+
2 5 + 2 n n lim 0 = n →+∞ 1 1+ n
1 5 n 1+ + n n 2 n+ n+5 ∞ n+ n+5 . Indeterminación ⇒ = d) lim = lim lim = n →+∞ n →+∞ n →+∞ 1 3n + 1 ∞ 3n + 1 n 3 + n
61. Calcula lim+ x →1
lim+
x →1
x 2 − 2x + 1 y justifica que lim− x →1 x2 + x − 2
x 2 − 2x + 1 0 = . Indeterminación ⇒ lim+ x →1 0 x2 + x − 2
1 5 1+ + 2 1 n n lim = n →+∞ 1 3 3+ n
x 2 − 2x + 1 no existe. x2 + x − 2 x 2 − 2x + 1 lim = x 2 + x − 2 x →1+
x − 1) (= x − ( 1)( x + 2 ) 2
x −1 lim = 0 x+2
x →1+
x 2 − 2x + 1 ≥ 0 . La solución x2 + x − 2 de esta inecuación es (–∞,–2) ∪ [1, +∞) y, por tanto, la función no existe por la izquierda de x = 1.
El límite no existe porque el dominio de la función son los valores de x que satisfacen
62. Ana se ha pasado toda la mañana contando los coches que pasaban por su calle para su estudio sobre contaminación. Cada 15 minutos apuntaba en una gráfica la cantidad de coches que habían pasado en ese periodo de tiempo. La gráfica que obtuvo al cabo de 6 horas es:
Para obtener una función que se ajuste a la gráfica, le pide ayuda a su hermana mayor, que le da esta respuesta: “La función es continua y pasa por el punto (2, 3). Las constantes k, a y b que faltan las puedes hallar tú.” x2 2 + k si 0 ≤ x ≤ 2 f ( x )= ax + b si 2 < x ≤ 4 2 si 4 < x ≤ 6 x −3
Calcula esas constantes y representa la gráfica de la función para valorar el ajuste. Ayúdate de tu compañero y proponed otra función que también ajuste los datos de Ana. La función pasa por (2, 3) ⇒ k = 4. La función es continua en x = 4 ⇒ f(4) = lim− f ( x= ) 4a + b = lim+ f ( x ) = 2 ⇒ x →4
4a + b = 2 y es continua en x = 2 ⇒ f(2) = lim− f ( x ) = 3 = lim+ f ( x= ) 2a + b ⇒ 2a + b = 3. x →2
278
Unidad 10| Introducción al concepto de límite
x →2
x →4
x2 2 + 3 si 0 ≤ x ≤ 2 −1 −x 2a + b = 3 ⇒ 2a =−1 ⇒ a = ⇒ b =4 ⇒ f ( x= ) + 4 si 2 < x ≤ 4 4a + b = 2 2 2 2 si 4 < x ≤ 6 x −3
{
63. Un científico ha obtenido que el número de miles de bacterias que hay en un cultivo de laboratorio viene dado por la función: 3 2 t + 2 si 0 ≤ t ≤ 2 f (t) = 4 15 si 2 < t t + 1
Donde la variable, t, representa el tiempo en horas. Determina: a) El número de bacterias que había al principio. b) El número de bacterias que hay al cabo de 150 minutos. c) A partir de qué instante habrá menos de 1000 bacterias. d) ¿Qué ocurrirá con el número de bacterias al cabo de mucho tiempo? e) ¿Es continua la función f(t)? a) f(0) = 2. Al principio había 2000 bacterias. b) 150 minutos = 2,5 horas ⇒ f(2,5) = 4,286. Al cabo de 150 minutos había 4286 bacterias, aproximadamente. c)
15 < 1 ⇒ 15 < t + 1 ⇒ t > 14 . A partir de las 14 horas habrá menos de 1000 bacterias. t +1
15 d) = lim f ( x ) lim = 0 . Al cabo de mucho tiempo las bacterias desaparecerán. t →+∞ t →+∞ t + 1 e) El punto que se debe estudiar es x = 2, ya que en este valor cambia la definición de la función. En el resto de puntos la función es continua. f (x) La función es continua en x = 2 porque f(2) = 5, lim−= t →−2
3 + 2 5 y= lim t 2= lim f ( x ) t →−2+ 4
t →−2−
15 lim = 5. t + 1
t →−2+
Introducción al concepto de límite | Unidad 10
279
64. Irene y Ricardo se proponen ahorrar para poder comprar material escolar para el próximo curso. •
Irene comienza con 2 CENT, al día siguiente añade otros 2 los que añadió el día anterior.
•
Ricardo comienza con 3 CENT, al día siguiente añade 1, y cada día va añadiendo un céntimo más de los que añadió el día anterior.
CENT
y cada día va añadiendo 2
CENT
más de
a) Escribe los 10 primeros términos de la sucesión que obtiene cada uno de ellos con el número de céntimos que van acumulando cada día. 1 n + d . Calcula a, b, c y d. ¿Llegaría 2 alguna vez a tener ahorrado Irene el doble de céntimos que Ricardo?
b) El término general de cada una es: I n = n 2 − an + b
Rn = cn 2 −
a) Irene: 2, 4,8, 14, 22, 32, 44, 58, 74, 92... Ricardo: 3, 4, 6, 9, 13, 18, 24, 31, 39, 48… b) Como I1 = 2 e I2 = 4, se plantea el siguiente sistema:
+b 2 −a= +b 1 ⇒ ⇒ a =1 ⇒ b = 2 ⇒ I = n − n + 2 {41−−2aa= += b 4 {−2a += b 0 n
2
Como R1 = 2 e R2 = 4, se plantea el siguiente sistema: 1 n2 n 1 2d 7 4c += 4d 14 c − +d = 3 ⇒ 2c += ⇒ ⇒ 3d = 9 ⇒ d = 3 ⇒ c = ⇒ Rn = − +3 2 c +d 5 c +d 5 4= 4= 2 2 2 4c − 1 + d =4
{
{
Para comprobar si Irene tendrá alguna vez el doble de dinero que Ricardo se plantea la ecuación In = 2Rn: n2 n n2 − n + 2 = 2 − + 3 ⇒ n2 − n + 2 = n2 − n + 6 ⇒ 2 = 6 2 2
La ecuación no tiene solución. Por tanto, Irene nunca tendrá el doble de dinero que Ricardo. 65. Si f(x) una función estrictamente creciente en , considera las siguientes afirmaciones: I. II.
lim f ( x ) = −∞
III. f(x) es continua en
lim f ( x ) = +∞
IV. f(x) puede estar acotada en
x → −∞
x → +∞
Entonces se verifica: A. Todas son ciertas excepto III
C. Todas son falsas.
B. La única cierta es IV
D. Todas son verdaderas.
−1 si x < −1 es una función creciente en , pero no verifica I porque lim f ( x ) = 0 La función f (t) = x x →+∞ x + 2 si x ≥ −1 si 1 ≤ x x es una función creciente en , pero no verifica ni II ni III porque lim f ( x ) = 4 y La función f (t) = 4x − 2 x →+∞ si 1 ≤ x x la función no es continua en x = 1.
Por tanto, la única afirmación que se puede asegurar es que una función f(x) continua en puede estar acotada. La respuesta correcta es la B. 66. La sucesión racional: − uno. Su límite es: A. −
1 3
21 16 11 ,− ,− ,... tiene por término general un cociente de polinomios de grado 7 10 13
B. 0
El término general de la sucesión es an =
C.
D. +∞
−21 + ( n − 1) ⋅ 5 5n − 26 5 y su límite es . = 3 7 + ( n − 1) ⋅ 3 3n + 4
La respuesta correcta es la C.
280
5 3
Unidad 10| Introducción al concepto de límite
67. Si lim f ( x ) = 0 y lim g( x ) = +∞ el lim ( f ⋅ g ) ( x ) no puede ser: x →a
x →a
x →a
A. 1 B. 0 C. Ninguna de las dos D. Pueden ser las dos cosas. Si f(x) = x – a y g(x) =
1 x −a ) lim = 1 , entonces lim ( f ⋅ g ) ( x= x →a x →a x − a x −a
Si f(x) = (x – a)2 y g(x) =
1 ( x − a )= lim x − a= 0 , entonces lim ( f ⋅ g ) ( x= ) lim ( ) x →a x →a x →a x −a x −a 2
El límite lim ( f ⋅ g ) ( x ) puede ser cualquiera de las dos opciones. x →a
La respuesta correcta es la D. Encuentra el error 68. Pilar ha hecho una descripción de las discontinuidades de la siguiente función. Corrige lo que sea erróneo.
•
Hay una discontinuidad evitable en x = 3.
•
Hay una discontinuidad inevitable cuando x tiende a 2 por la derecha.
•
Hay una discontinuidad evitable en x = 2.
El error está en considerar que hay una discontinuidad evitable en x = 2. En x = 2 hay una discontinuidad inevitable de salto infinito porque lim+ f ( x ) = +∞ . x →2
Introducción al concepto de límite | Unidad 10
281
PONTE A PRUEBA Interés continuo Actividad resuelta El gasto en ocio y cultura El lunes 1 de septiembre de 2014, la EAE Business School (Escuela de Administración de Empresas) presentó el estudio sobre El Gasto en Ocio y Cultura en España 2014 en el que analizaba la inversión en bienes culturales y de ocio en España. Según el análisis realizado por EAE, en 2013 se invirtieron en España 27 990 millones de euros en ocio, cultura y espectáculos, un 7,38 % menos que el año anterior. El gasto ha caído un 17 % respecto a 2006 y un 24 % respecto a 2007. También descienden el gasto medio por hogar, que pasa a ser de 1537 € y cae un 8 % respecto a 2012, y el gasto medio por persona, que se sitúa en 607 € anuales y presenta una caída del 7 % respecto del año anterior. En un colectivo de familias se hace un estudio particular relacionando el gasto mensual, G(x), con sus ingresos mensuales, x, ambos en miles de euros, y se obtiene una relación que puede expresarse mediante la función:
0,05 x G(= x ) 0,2 x − 0,07 3x 2 x + 13 1.
si si
0≤ x ≤1 1< x ≤ 2
si
2< x
¿Qué cantidad se invirtió en España en el año 2012 en ocio y cultura? ¿Y en 2007? Llamamos x a la cantidad invertida en 2012 en España en ocio y cultura. x – 7,38 % de x = 27 990 ⇒ x – 0,0738x = 27 990 ⇒ 0,9262x = 27 990 ⇒ x = 30 220,26 En España, en 2012, se invirtieron 30 220,26 millones de euros en ocio y cultura. Llamamos y a la cantidad invertida en 2007 en España en ocio y cultura. y – 7,38 % de y = 27 990 ⇒ y – 0,24x = 27 990 ⇒ 0,76x = 27 990 ⇒ y = 36 828,95 En España, en 2007, se invirtieron 36 828,95 millones de euros en ocio y cultura.
2.
¿Cuál fue el gasto medio por hogar en 2012? Llamamos x al gasto medio por hogar en 2012 en España en ocio y cultura. x – 8 % de x = 1537 ⇒ x – 0,08x = 1537 ⇒ 0,92x = 1537 ⇒ x = 1670,65 El gasto medio por hogar en 2012 fue de 1670,65 €.
3.
¿Cuál es el número medio de personas por hogar en 2012? Llamamos x al gasto medio por persona en 2012 en España en ocio y cultura. x – 7 % de x = 607 ⇒ x – 0,07x = 607 ⇒ 0,93x = 607 ⇒ x = 652,69 El gasto medio por persona en 2012 fue de 652,69 €. Como el gasto medio en 2012 fue de 1670,65 € por hogar y de 652,69 € por persona entonces el número medio de 1670,65 persona por hogar en 2012 es = 2,56 . 652,69
4.
¿Es continua la función gasto G(x)? Los puntos que se deben estudiar son x = 1 y x = 2, ya que en estos valores cambia la definición de la función. En el resto de puntos la función es continua. En x = 1 la función presenta una discontinuidad inevitable de salto infinito en porque:
= lim− G ( x ) lim = 0,05x 0,05 y lim+ G ( x ) =lim+ ( 0,2x − 0,07 ) =0,2 − 0,07 =0,13 − x →1
x →1
x →1
x →1
En x = 2 la función presenta una discontinuidad inevitable de salto infinito en porque: lim G ( x ) =lim− ( 0,2x − 0,07 ) =0, 4 − 0,07 =0,33 y lim+ G ( = x ) lim+
x → 2−
x →2
x →2
La función gasto G(x) es continua en [0, 1) ∪ (1, 2) ∪ (2, +∞).
282
Unidad 10| Introducción al concepto de límite
x →2
3x 6 = = 0,35 2x + 13 17
5.
Justifica que el gasto en ocio y cultura de ese colectivo es siempre creciente con los ingresos. Si 0 ≤ x < 1 la función G(x) = 0,05x es una recta con pendiente a = 0,05 positiva. Por tanto, la función G(x) es creciente. Si x = 1, G(1) = 0,05 y lim+ G ( x ) =lim+ ( 0,2x − 0,07 ) =0,2 − 0,07 =0,13 . Por tanto, la función G(x) es creciente. x →1
x →1
Si 1 < x < 2 la función G(x) = 0,02x – 0,07 es una recta con pendiente a = 0,02 positiva. Por tanto, la función G(x) es creciente.
x ) lim+ Si x = 2, G(2) = 0,02 · 2 – 0,07 = –0,03 y lim+ G ( = x →2
x →2
creciente.
3x 6 = = 0,35 . Por tanto, la función G(x) es 2x + 13 17
3x 3 2x 3 13 = = 1− es creciente porque si 2 < x1 < x2 ⇒ 2x1 < 2x2 ⇒ 2x + 13 2 2x + 13 2 2x + 13 13 13 13 13 3 13 3 13 ⇒ 1− ⇒ 1− 2x1 +13 < 2x2 + 13 ⇒ < 1− > < 1− ⇒ 2x1 + 13 2x2 + 13 2x1 + 13 2x2 + 13 2 2x1 + 13 2 2x2 + 13
Si 2 < x la función G(x) =
⇒
3x1 3x2 ⇒ G(x1) < G(x2). < 2x1 + 13 2x2 + 13
La función G(x) es creciente. 6.
Justifica que, según ese estudio, ninguna familia de ese colectivo realiza un gasto superior a 1500 € mensuales en ocio y cultura.
lim G ( x ) La función es creciente y= x →+∞
3x 3 lim = = 1,5 miles de euros. 2x + 13 2
x →+∞
Por tanto, ninguna familia de este colectivo realiza un gasto superior a 1500 €. 7.
Si los ingresos de una familia en 2012 fueron de 2050 €, y en 2013, de 1900 €, ¿se puede decir que la función del colectivo de familias refleja la situación descrita por la EAE?
3 ⋅ 2,05 3 ⋅ 1,9 = 0,3596 y G(1900) = = 0,3393 , esta familia gastó, en 2012, 359,6 € en 2 ⋅ 2,05 + 13 2 ⋅ 1,9 + 13 ocio y cultura y, en el año 2013, 339,3 €. Como G(2050) =
Por tanto, como
359,6 − 339,3 = 0,0564 , el gasto de esta familia en 2012 descendió un 5,64 % respecto al 2013. 359,6
Este porcentaje es ligeramente inferior al 8 % que obtuvo la EAE en su estudio. AUTOEVALUACIÓN 1.
Calcula los siguientes límites de funciones. 5x + 3 x −3
c)
lim
x +5 25 − x 2
b) lim
x 7 + 3x 5 − 4 x 3 x4 − x3
d) lim
x +5 25 − x 2
a)
5x + 3 5 ⋅ ( −3 ) + 3 −12 = = = 2 x −3 −3 − 3 −6
a)
lim
x → −3
x →0
lim
x →−3
b) lim
x →0
c)
lim
x → 5+
x → 5+
x 3 ( x 4 + 3x 2 − 4 ) x 7 + 3x 5 − 4x 3 0 x 7 + 3x 5 − 4x 3 x 4 + 3x 2 − 4 −4 = . Indeterminación ⇒ lim = lim = lim = = 4 4 3 4 3 3 → → → 0 0 0 x x x x −x 0 −1 x −x x ( x − 1) x −1
x →−5
d) lim
x → −5
x +5 0 x +5 = . Indeterminación ⇒ lim = x →−5 25 − x 2 25 − x 2 0
lim
x →−5
x +5 = − ( x − 5 )( x + 5 )
lim
x →−5
−1 −1 −1 1 = = = x − 5 −5 − 5 −10 10
x +5 1 = −∞ 25 − x 2 0 −
Introducción al concepto de límite | Unidad 10
283
2.
Halla los siguientes límites en el infinito. a) b)
a)
lim
x +5 2x − 7
c)
lim
x + 5x 2 − 3 1 + 2x 2 − 7x
d)
x → +∞
x → +∞
∞ x +5 x +5 . Indeterminación ⇒ lim = = x →+∞ 2x − 7 x →+∞ 2x − 7 ∞ lim
lim
x 2 + 2x 3− x
lim
x 3 − 2x + 3 1− x 2
x → +∞
x → −∞
5 x 1 + x lim = x →+∞ 7 x 2 − x
x + 5x 2 − 3 ∞ x + 5x 2 − 3 b) lim = . Indeterminación ⇒ lim = x →+∞ 1 + 2x 2 − 7 x x →+∞ 1 + 2x 2 − 7 x ∞
c)
lim
x →+∞
1 3 x2 5 + − 2 x x lim = x →+∞ 7 1 x2 2 − + 2 x x
2 3 2 3 x2 x − + 2 x− + 2 x x x x = +∞ = lim x →−∞ 1 2 1 −1 x 2 − 1 x2 x
Resuelve las siguientes indeterminaciones. a)
(
lim x −
x → +∞
x2 + x
)
c)
x +1
x2 x2 lim − x +1 x +3
x → +∞
b)
4x − 3 lim x → +∞ 1 + 4 x
a)
⇒ lim x − x 2 + x lim x − x 2 + x = ∞ − ∞ . Indeterminación =
=
b)
x →+∞
(
lim
x →+∞
d)
)
x →+∞
x2 − ( x2 + x ) = x + x2 + x
4x − 3 lim x →+∞ 1 + 4 x
x +1
lim
x →+∞
−x = x + x2 + x
lim
x →+∞
1 + 3x lim 2 − x → +∞ 2 + 3x
(
1+ 4 x −4
−4
1+ 4 x
⋅( x +1)
)
−x = 1 x 1+ 1+ x
4x − 3 = 1∞ . Indeterminación ⇒ lim x →+∞ 1 + 4 x
1 lim 1 + = x →+∞ 1 + 4x −4
284
1 3 5+ − 2 5 x x lim = x →+∞ 7 1 2 2− + 2 x x
x ( x + 2) x 2 + 2x ∞ x 2 + 2x x+2 = . Indeterminación ⇒ lim = lim = lim = −∞ x →+∞ 3 − x x →+∞ 3−x ∞ 3 x →+∞ 3 − 1 x − 1 x x
3 x 3 − 2x + 3 ∞ d) lim . Indeterminación ⇒ lim x − 2x + 3 = lim = 2 x →+∞ x x →−∞ →−∞ 1− x ∞ 1− x 2
3.
5 1+ 1 x = lim x →+∞ 7 2 2− x
−4 lim 1+ 4 x ⋅( x +1) x →+∞
lim
x +1
lim
x →+∞
(
)(
−1
−1 −1 = = 1 1+ 1 2 1+ 1+ x
−4 = lim 1 + x →+∞ 1 + 4x
−4 x − 4 1+ 4 x
)
x − x2 + x x + x2 + x lim = x →+∞ x + x2 + x
x +1
4 x −4 − x lim 1 x →+∞ x 4 + x
1 = lim 1 + x →+∞ 1 + 4x −4
1+ 4 x −4 ⋅ ⋅( x +1) −4 1+ 4 x
=
4 −4 − x lim 1 x →+∞ 4 + x
e e x →+∞ e e e −1 = = = = =
c)
x2 x2 x2 x2 − = ∞ − ∞ . Indeterminación ⇒ lim lim −= x →+∞ x + 1 x →+∞ x + 1 x +3 x +3
d)
1 + 3x lim 2 − x →+∞ 2 + 3x
3x + 2
3x + 2
1 + 3x = 1∞ . Indeterminación ⇒ lim 2 − x →+∞ 2 + 3x
Unidad 10| Introducción al concepto de límite
3x + 2
lim
x →+∞
2x 2 = x + 4x + 3 2
1 = lim 1 + x →+∞ 2 + 3x
3x + 2
2x 2 = 2 x →+∞ 4 3 1+ + 2 x x lim
1 = lim 1 + x →+∞ 2 + 3x
3x + 2
= e
4.
Calcula los siguientes límites de sucesiones. a) b) a)
3n − 3 lim 2 + 4n
lim ( 3 − n − n 2 )
c)
2n 2 + n + 1 lim 2 n → +∞ n −n+8
1 + 3n d) lim 1 +
n → +∞
n → +∞
n → +∞
3n + 2
2 + 3n
lim ( 3 − n − n 2 ) = −∞
n →+∞
1 1 n2 2 + + 2 n n lim = x →+∞ 1 8 n2 1− + 2 n n
2n 2 + n + 1 ∞ 2n 2 + n + 1 b) lim 2 = = . Indeterminación ⇒ nlim 2 n →+∞ →+∞ − + ∞ n n 8 n −n+8
n +1
3 n 3 − n 3n − 3 ∞ − 3 3 n . Indeterminación ⇒ lim c) lim = = lim = n →+∞ 2 + 4n n →+∞ 2 + 4n x →+∞ ∞ n4 + 2 n
n +1
3 +∞ 3− n 3 = = lim 0 x →+∞ 4 4+ 2 n
n +1
d)
5.
1 + 3n lim 1 + 2 + 3n
3n + 2
n →+∞
∞ . Indeterminación⇒ lim 1 + 1 + 3n = n →+∞ ∞ 2 + 3n
3n + 2
1 1 2+ + 2 n n lim 2 = x →+∞ 1 8 1− + 2 n n
3 + 6n = lim n →+∞ 2 + 3n
== lim n →+∞
3n + 2
3 +6 n 2 +3 n
3n + 2
= 2+∞ = +∞
Calcula los siguientes límites. a) lim x →3
b)
x − x +6 2x − 6
1+ x lim x → +∞ x
a) lim
x →3
c)
2x
1+ x lim x → +∞ x + 3
5x
x 3 + 3x 2 + 3x + 1 x → −1 x 2 − 5x − 6
d) lim
(
)(
)
x− x+6 x+ x+6 x− x+6 0 x2 − x − 6 ⇒ lim x − x + 6 lim = lim = . Indeterminación = = x x x 3 3 3 → → → 2x − 6 0 2x − 6 ( 2x − 6 ) x + x + 6 ( 2x − 6 ) x + x + 6
(
)
(
)
3 )( x + 2 ) ( x −= x+2 3+2 5 = lim lim = = x →3 x →3 12 2 ( x − 3) x + x + 6 2 x+ x+6 2 3+ 3+6
(
b)
1+ x lim x →+∞ x
1+ x c) lim x →+∞ x + 3
2x
5x
)
(
)
(
)
1+ x = 1∞ . Indeterminación ⇒ lim x →+∞ x
1+ x = 1 . Indeterminación ⇒ lim x →+∞ x + 3
1 =+ lim 1 x →+∞ x +3 −2
∞
x +3 −2
−2
x +3
⋅5 x −10 x x →+∞ x + 3 lim
lim
x →+∞
5x
−10 x 3 x 1+ x
2x
=
−2 =lim 1 + x →+∞ x +3 lim
x →+∞
5x
x
1 lim 1 + = e x →+∞ x 1 =lim 1 + x →+∞ x +3 −2
x + 3 −2 ⋅ ⋅5 x −2 x + 3
=
−10 3 x
1+
= = == e e e e −10
x 3 + 3x 2 + 3x + 1 ∞ x 3 + 3x 2 + 3x + 1 . Indeterminación ⇒ lim = = x →−1 x →−1 ∞ x 2 − 5x − 6 x 2 − 5x − 6
d) lim
6.
x
1+ x lim = x →+∞ x
( x + 1) = x →−1 ( x + 1)( x − 6 ) 3
lim
( x + 1) lim = 0 x →−1 x − 6 2
Estudia la continuidad y la discontinuidad de la función: 1 si x < 0 x f (x ) = 4 − 2 x si 0 ≤ x < 3 7 − x 2 si 3 < x En x = 0 la función presenta una discontinuidad inevitable de salto infinito porque lim− f ( x ) = lim− x →0
x →0
1 = −∞ . x
En x = 3 la función presenta una discontinuidad evitable porque f(3) no existe y lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = −2 . x →3
x →3
La función f(x) es continua en (–∞, 0) ∪ (0, 3) ∪ (3, +∞).
Introducción al concepto de límite | Unidad 10
285
11 Introducción al concepto de derivada ANALIZA Y CALCULA ¿Sobre qué trata el libro Analyse des infiniment petits pour l´intelligence des lignes courbes, obra del marqués de l´Hôpital? El libro Analyse des infiniment petits pour l´intelligence des lignes courbes es el primer libro publicado sobre la aplicación del cálculo diferencial al estudio de las curvas. Comenta la referencia que hace marqués de l´Hôpital a su maestro en su libro. En la referencia que hace el marqués de l´Hôpital a su maestro en el libro, reconoce que su obra se basa en los descubrimientos de los hermanos Bernoulli, y que los ha publicado con su nombre y sin el consentimiento de los mismos. Además asume cualquier reclamación que pudieran hacer los hermanos.
INVESTIGA Y CONTESTA La polémica entre Newton y Leibniz sobre la paternidad del cálculo diferencial es la más popular en la historia de las matemáticas. Busca información de cómo nació, se desarrolló y terminó esa polémica. ¿Qué papel jugaron los hermanos Bernoulli en la misma? Respuesta libre.
Actividades propuestas 1.
Observa la gráfica de la función y calcula su tasa de variación media en cada uno de los intervalos siguientes. a) [0, 2]
c) [3, 9]
e) [12, 15]
b) [3, 5]
d) [5, 11]
f) [0, 15]
¿En qué intervalos la función crece? ¿Y en cuáles decrece? a) TVM f[0, 2] =
f ( 2 ) − f ( 0 ) 3 − 5 −2 = = = −1 2−0 2 2
d) TVM f[5, 11] =
f (11) − f ( 5 ) 2 − 2 0 = = = 0 11 − 5 6 6
b) TVM f[3, 5] =
f (5) − f (3) 2 − 2 0 = = = 0 5−3 2 2
e) TVM f[12, 15] =
f (15 ) − f (12 ) 0 − 5 −5 = = 15 − 12 3 3
c) TVM f[3, 9] =
f (9) − f (3) 6 − 2 4 2 = = = 9−3 6 6 3
f) TVM f[0, 15] =
f (15 ) − f ( 0 ) 0 − 5 −5 −1 = = = 15 − 0 15 15 3
La función crece en los intervalos cuya tasa de variación media es positiva. Es decir, en [3, 9]. La función decrece en los intervalos cuya tasa de variación media es negativa. Es decir, en [0, 2], [12, 15] y [0, 15].
286
Unidad 11| Introducción al concepto de derivada
2.
Halla la TVM de estas funciones en el intervalo [1, 4]. a) f(x) = 5
c) f(x) = –2x + 1
b) f(x) = x
3.
e) f(x) =
2
x x
f) f(x) = 2
d) f(x) = x
a) TVM f[1, 4] =
f ( 4 ) − f (1) 5 − 5 0 = = = 0 4 −1 3 3
d) TVM f[1, 4] =
f ( 4 ) − f (1) 16 − 1 15 = = = 5 4 −1 3 3
b) TVM f[1, 4] =
f ( 4 ) − f (1) 4 − 1 3 = = = 1 4 −1 3 3
e) TVM f[1, 4] =
f ( 4 ) − f (1) 2 − 1 1 = = 4 −1 3 3
c) TVM f[1, 4] =
f ( 4 ) − f (1) −7 − ( −1) −6 = = = −2 4 −1 3 3
f) TVM f[1, 4] =
f ( 4 ) − f (1) 16 − 2 14 = = 4 −1 3 3
Halla la TVM de la función f(x) = 3x – 8 en los siguientes intervalos. a) [–7, –3]
c) [–4, 1]
e) [1, 10]
b) [–6, –4]
d) [0, 6]
f) [–2, 15]
¿Qué observas? ¿Por qué ocurre esto? ¿Tiene algo que ver el coeficiente de x de la función dada? a) TVM f[–7, –3] =
f ( −3 ) − f ( −7 ) 3 ⋅ ( −3 ) − 8 − ( 3 ⋅ ( −7 ) − 8 ) −17 − ( −29 ) 12 = = = = 3 −3 − ( −7 ) −3 + 7 4 4
b) TVM f[–6, –4] =
f ( −4 ) − f ( −6 ) 3 ⋅ ( −4 ) − 8 − ( 3 ⋅ ( −6 ) − 8 ) −20 − ( −26 ) 6 = = = = 3 −4 − ( −6 ) −4 + 6 2 2 f (1) − f ( −4 ) 3 ⋅ 1 − 8 − ( 3 ⋅ ( −4 ) − 8 ) −5 − ( −20 ) 15 = = = = 3 1 − ( −4 ) 1+ 4 5 5
c) TVM f[–4, 1] =
f ( 6 ) − f ( 0 ) 3 ⋅ 6 − 8 − ( 3 ⋅ 0 − 8 ) 10 − ( −8 ) 18 = = = = 3 6−0 6 6 6
d) TVM f[0, 6] = e) TVM f[1, 10] =
f) TVM f[–2, 15] =
f (10 ) − f (1) 3 ⋅ 10 − 8 − ( 3 ⋅ 1 − 8 ) 22 − ( −5 ) 27 = = = = 3 10 − 1 9 9 9
f (15 ) − f ( −2 ) 3 ⋅ 15 − 8 − ( 3 ⋅ ( −2 ) − 8 ) 37 − ( −14 ) 51 = = = = 3 15 − ( −2 ) 15 + 2 17 17
La tasa de variación media en todos los intervalos es 3, y coincide con la pendiente de la recta f(x) = 3x – 8.
4.
Calcula la tasa de variación instantánea de las siguientes funciones en el punto indicado. 2 , en x = 2 x
a) f(x) = 2x – 5, en x = 7
c) f(x) =
2 b) f(x) = x – 3x + 2, en x = 1
d) f(x) = x3 + 2, en x = –3
a) TVI f(7) = lim
h →0
f (7 + h ) − f (7) 2 (7 + h ) − 5 − (2 ⋅ 7 − 5) 2h = lim = lim= lim = 2 2 h → h →0 h h →0 0 h h
f (1 + h ) − f (1) (1 + h ) − 3 (1 + h ) + 2 − (1 − 3 + 2 ) =lim h2 − h =lim h ( h − 1) =lim h − 1 =−1 = lim ( ) h →0 h →0 h →0 h →0 h →0 h h h h 2
b) TVI f(1) = lim
2 −1 f ( 2 + h ) − f ( 2) −h −1 −1 2 h + c) TVI f(2) = lim lim = lim = lim = = h →0 h →0 h →0 h ( 2 + h ) h →0 2 + h 2 h h h ( h 2 − 9h + 27 ) f ( −3 + h ) − f ( −3 ) + h ) + 2 − ( −25 ) ( −3= h 3 − 9h 2 + 27h d) TVI f(–3) = lim = lim lim = lim = h →0 h →0 h →0 h →0 h h h h 3
= lim ( h 2 − 9h + 27 ) = 27 h →0
Introducción al concepto de derivada | Unidad 11
287
5.
Calcula las derivadas de las siguientes funciones en x = 1, x= 4, x = 0, x = –4. a) f(x) = 3x + 1
b) f(x) = –x + 4
¿Qué observas? a) f´(1) = lim
x →1
3x + 1 − 4 3x − 3 = lim = lim = 3 3 x → 1 x −1 x − 1 x →1
b) f´(1) = lim
x →1
−x + 4 − 3 −x + 1 =lim =lim − 1 =−1 1 x → x −1 x − 1 x →1
f´(4) = lim
3x + 1 − 13 3x − 12 = lim = lim = 3 3 x →4 x − 4 x →4 x−4
f´(4) = lim
−x + 4 − 0 −x + 4 =lim =lim − 1 =−1 x →4 x − 4 x →4 x−4
f´(0) = lim
3x + 1 − 1 3x 3 3 = lim= lim = x →0 x x →0 x −0
f´(0) = lim
−x + 4 − 4 −x =lim =lim − 1 =−1 x →0 x x →0 x −0
x →4
x →0
f´(–4) = lim
x →−4
3x + 1 + 11 = x+4
lim
x →−4
3x + 12 = x+4
x →4
x →0
lim = 3 3
x →−4
f´(–4) = lim
x →−4
−x + 4 − 8 −x − 4 =lim =lim − 1 =−1 x →−4 x + 4 x →−4 x+4
En ambos casos la tasa de variación media coincide con la pendiente de la recta f(x). En el primer apartado la pendiente es 3 y, en el segundo, –1.
6.
Actividad resuelta.
7.
Dada la función f(x) = x2, calcula f´(3), f´(–2), f´(5). Comprueba que para cualquier valor x = a, f´(a) = 2a. f ( x ) − f (3) ( x − 3 )( x + 3 ) =lim x + 3 =6 =2 ⋅ 3 x2 − 9 =lim =lim ( ) x →3 x →3 x − 3 x →3 x →3 x −3 x −3
f´(3) = lim
f ( x ) − f ( −2 ) ( x − 2 )( x + 2 ) = lim x − 2 =−4 =2 ⋅ −2 x2 − 4 = lim = lim ( ) ( ) x →−2 x →−2 x + 2 x →−2 x →−2 x − ( −2 ) x+2
f´(–2) = lim f´(3) = lim
f ( x ) − f (5) ( x − 5 )( x + 5 ) =lim x + 5 =10 =2 ⋅ 5 x 2 − 25 =lim =lim ( ) x → 5 x → 5 x →5 x −5 x −5 x −5
f´(a) = lim
f ( x ) − f (a ) ( x − a )( x + a= ) lim x + a= 2a x 2 − a2 = lim = lim ( ) x → a x → a x →a x −a x −a x −a
x →5
x →a
Se verifica que f´(a) = 2a para cualquier valor de x.
8.
Calcula la pendiente de la recta tangente a las siguientes funciones en los puntos indicados. ¿Qué ángulo forman con el eje de abscisas? a) f(x) = 4x – x2, en x = 0 y x = 5
b) f(x) =
2 , en x = 1 y x = –2 x
f ( x ) − f (0) x (4 − x ) 4x − x 2 = lim = lim = lim ( 4 − x= ) 4 0 0 x →0 x x x →0 → → x −0 x x
a) En x = 0 ⇒ m = f´(0) = lim
Como tg α = 4 ⇒ α = arctg 4 = 75,964º ⇒ α = 75º 57´ 49,5´´ 4x − x 2 − ( −5 ) f ( x ) − f (5) − ( x − 5 )( x + 1) =lim =lim =lim ( −x − 1) =−6 5 5 x →5 x → x → x →5 x −5 x −5 x −5
En x = 5 ⇒ m = f´(5) = lim
Como tg α = –6 ⇒ α = arctg (–6) = –80,538º ⇒ α = –80º 32´ 16,8´´ 2 −2 f ( x ) − f (1) −2 ( x − 1) 2 − 2x −2 b) En x = 1 ⇒ m = f´(1) = lim = lim x = lim = lim = lim = −2 x →1 x →1 x − 1 x →1 x( x − 1) x →1 x( x − 1) x −1 x →1 x
Como tg α = –2 ⇒ α = arctg –2 = –63,435º ⇒ α = –63º 26´ 6´´ f ( x ) − f ( −2 ) En x = –2 ⇒ m = f´(–2) = lim = x →−2 x+2
Como tg α =
288
2 +1 x lim = x →−2 x + 2
lim
x →−2
2+ x = x ( x + 2)
−1 −1 ⇒ α = arctg = –26,565º ⇒ α = –26º 33´ 54´´ 2 2
Unidad 11| Introducción al concepto de derivada
1 −1 lim = x 2
x →−2
9.
Halla la recta tangente a las funciones en el punto indicado. a) f(x) = x2 + 2x – 3 en x = 0
b) f(x) =
1 , en x = –1 x
a) El punto de tangencia es A(0, f(0)) = A(0, –3).
f ( x ) − f (0) x 2 + 2x − 3 − ( −3 ) x 2 + 2x = lim = lim = lim ( x + 2= ) 2. x →0 x →0 x →0 x →0 x −0 x x
La pendiente de la tangente es f´(0) == lim
Por tanto, la ecuación de la recta tangente es: y – (–3) = 2(x – 0) ⇒ y = 2x – 3 b) El punto de tangencia es A(–1, f(–1)) = A(–1, –1). 1 − ( −1) f ( x ) − f ( −1) 1+ x 1 x La pendiente de la tangente es f´(–1) = = lim = lim = lim = lim = −1 . x →−1 x →−1 x →−1 x ( x + 1) x →−1 x x − ( −1) x +1 Por tanto, la ecuación de la recta tangente es: y – (–1) = –(x – (–1)) ⇒ y = –x – 2
10. Actividad resuelta. 11. La recta y = –x + 2 es tangente a la parábola y = x2 – 5x + 6 en un punto. ¿Cuáles son sus coordenadas? Halla la derivada de la función en ese punto.
El punto de tangencia entre la recta y la parábola es la solución del sistema: y =−x + 2 2 ⇒ − x + 2 =x 2 − 5x + 6 ⇒ x 2 − 4x + 4 =0 ⇒ ( x − 2 ) =0 ⇒ x =2 ⇒ y =0 2 = − + y x 5 x 6
Las coordenadas del punto de tangencia son (2, 0). La derivada en x = 2 coincide con la pendiente de la recta tangente en ese punto:
lim m = f´(2) = =
x →2
f ( x ) − f ( 2) ( x − 2 )( x − 3 ) = x 2 − 5x + 6 + 0 = = −1 lim lim lim ( x − 3 ) = → x x →2 x →2 2 x −2 x −2 x −2
12. ¿Cuáles de las siguientes rectas son tangentes a la parábola y = x2 – 3? 1. y = x – 4
3. y = –3
5. y = x – 7
2. y = –4x – 7
4. y = x
6. y = 2x
a) Halla el punto de tangencia. b) Calcula la derivada de la función en esos puntos. Se plantean los sistemas y se estudia la solución de los mismos. y= x − 4 1 ± −3 1. ⇒ x2 − x + 1 = 0 ⇒ x = y x2 − 3 2 =
y = x 1 ± 13 4. ⇒ x2 − x − 3 = 0 ⇒ x = y x2 − 3 2 =
−4x − 7 y = ⇒ x 2 + 4x + 4 = −2 0⇒x = y x2 − 3 =
y= x − 7 1 ± −15 5. ⇒ x2 − x + 4 = 0 ⇒ x = 2 y x −3 2 =
y = −3 ⇒ x2 = 0 ⇒ x = 0 y x2 − 3 =
y = 2x 2 ± 16 6. ⇒ x 2 − 2x − 3 =0 ⇒ x = 2 = − y x 3 2
2.
3.
Las únicas rectas tangentes con la parábola y = x2 – 3 son y = –4x – 7 e y = –3. a) El punto de tangencia de y = –4x – 7 con la parábola y = x2 – 3 es A(–2, f(–2)) = A(–2, 1). El punto de tangencia de y = –3 con la parábola y = x2 – 3 es A(0, f(0)) = A(0, –3).
f ( x ) − f ( −2 ) ( x − 2 )( x + 2 ) =lim x − 2 = x2 − 3 − 1 x2 − 4 = lim = lim = lim ( ) −4 x →−2 x →−2 x →−2 x + 2 x →−2 x →−2 x − ( −2 ) x+2 x+2
lim b) f´(–2) = =
f ( x ) − f (0) x 2 − 3 − ( −3 ) x2 = lim = lim= lim = x 0 x →0 x →0 x →0 x x →0 x −0 x
= f´(0) = lim
Introducción al concepto de derivada | Unidad 11
289
13. La gráfica de la función= y
25 − x 2 es una semicircunferencia de centro O(0, 0) y radio 5.
a) Halla la ecuación de la tangente a la semicircunferencia en el punto de abscisa x = 3. b) ¿Qué ángulo forma la tangente con el eje de abscisas? a) El punto de tangencia es A(3, f(3)) = A(3, 4).
f ( x ) − f (3) 25 − x 2 − 4 = = lim= lim La pendiente de la tangente es f´(3) lim x →3 x →3 x →3 x −3 x −3
(
25 − x + 4 ) )(= ( x − 3 ) ( 25 − x + 4 )
25 − x 2 − 4
2
2
− ( x − 3 )( x + 3 ) − ( x + 3) 9 − x2 −6 −3 . lim lim = lim = = = x →3 x →3 x →3 2 2 2 8 4 25 − x + 4 ( x − 3 ) 25 − x + 4 ( x − 3 ) 25 − x + 4
(
)
(
)
Por tanto, la ecuación de la recta tangente es: y – 4 = b) Como tg α =
(
)
−3 −3 25 (x – 3) ⇒ y = . x+ 4 4 4
−3 −3 ⇒ α = arctg = –36,870º ⇒ α = –36º 52´ 12´´ 4 4
14. Actividad interactiva. 15. Calcula la función derivada de las siguientes funciones utilizando la definición. a) f(x) = 7x – 2 a) = f´(x) lim
h →0
b) m(x) =
1 x
c) g(x) = 3x2 + 5x – 6
d) r(x) = x3 – 5
f ( x + h) − f ( x ) 7 ( x + h ) − 2 − ( 7x − 2 ) 7h = lim = lim= lim = 7 7 → → h 0 h 0 h h h h →0
1 1 − m ( x + h) − m ( x ) −h −1 −1 + x h x b) m´(x) lim = = lim = lim= lim = h →0 h →0 h → 0 hx ( x + h ) h →0 x ( x + h ) h h x2
3 ( x + h ) + 5 ( x + h ) − 6 − ( 3x 2 + 5x − 6 ) g ( x + h) − g ( x ) h ( 6x + 3h + 5 ) = lim = lim = 6x + 5 → → h →0 h h 0 0 h h h 2
= lim c) g´(x)
h ( 3x 2 + 3xh + h 2 ) ( x + h ) − 5 − ( x3 − 5) r ( x + h) − r ( x ) 2 = lim = lim = lim = lim ( 3x 2 + 3xh + h= d) r´(x) ) 3x 2 h →0 h →0 h →0 h →0 h h h 3
16. Actividad resuelta. 17. Halla las derivadas de las siguientes funciones. 2
a) f(x) = x
c) f(x) =
x
b) f(x) = x – 2
d) f(x) =
x x3
e) f(x) = 5x f) f(x) =
9x 32 x
1
a) f´(x) = 2x
−5 1 −3 −5 −27 x x2 d) f(x) = = x = x 2= x 2 ⇒ f´(x) = 3 3 2 x x
b) f´(x) = 1
x e) f´(x) = 5 · ln x
c) f´(x) =
290
1 2 x
=
x 2x
Unidad 11| Introducción al concepto de derivada
f) f(x) =
9x (32 )x 32x = = 2x = 1 ⇒ f´(x) = 0 32x 32x 3
18. Sean las funciones f(x) = x4, g(x) =
3
a) f´(2) b) f´(–1) 3
f´(x) = 4x
a) f´(2) = 4 · 8 = 32 b) f´(–1) = –4
x y h(x) = log x. Calcula los valores de:
c) g´(8)
e) h´(1)
d) g´(–1) 1 −2 1 g´(x) = x 3 = 3 33 x 2 1 1 c) g´(8) = = 3 2 12 3 8
f) h´(100) 1 h´(x) = x ln10
d) g´(–1) = =
e) h´(1) =
1 1 = 2 3 3 3 ( −1)
1 ln10
f) h´(100) =
1 100 ln10
19. Averigua los puntos en los que la tangente a la parábola de ecuación f(x) = 8x – x2 tienen pendiente: a) Nula.
b) Positiva.
c) Negativa. 2
La pendiente de la recta tangente a la parábola f(x) = 8x – x es m = f´(x) = 8 – 2x. a) 8 – 2x = 0 ⇒ x = 4
b) 8 – 2x > 0 ⇒ 4 > x
c) 8 – 2x < 0 ⇒ 4 < x
1 la tangente tiene una pendiente m = –4? ¿Cuál es su ecuación? x
20. ¿En qué puntos de la hipérbola y =
La pendiente de la recta tangente a la hipérbola y =
−1 1 1 −1 es m = f´(x) = 2 y m = –4 ⇒ –4 = 2 ⇒ x = ± . x x 2 x
Si x =
1 1 1 , el punto de tangencia es , 2 ⇒ La ecuación de la tangente es: y – 2 = –4 x − ⇒ y = –4x + 4 2 2 2
Si x =
1 −1 −1 , el punto de tangencia es , − 2 ⇒ La ecuación de la tangente es: y + 2 = –4 x + ⇒ y = –4x – 4 2 2 2
21. Actividad resuelta. 22. Halla las derivadas de las funciones. a) f(x) = (x3 – 1)(x2 + 5x)
b) f(x) = x2 · 2x
d) f(x) = (ln x)2
c) f(x) = sen xcos x
2 2 3 4 3 4 3 4 3 a) f´(x) = 3x (x + 5x) + (x – 1)(2x + 5) = 3x + 15x + 2x + 5x – 2x – 5 = 5x + 20x – 2x – 5
b) f´(x) = 2x · 2x + x2 · 2 = 6x2 c) f´(x) = cos x · cos x + sen x · (–sen x) = cos2x – sen2x d) f´(x) = 2ln x ·
1 2ln x = x x
23. Obtén las derivadas de las funciones siguientes. a) f(x) =
x +1 x −1
c) f(x) =
x 3 + x 2 + 3x − 3 x
b) f(x) =
2x + 3 x +2
d) f(x) =
x 3 + e 2x x +1
a) f´(x) =
b) f´(x) =
x − 1 − ( x + 1)
( x − 1)
2
=
−2
( x − 1)
2 ( x + 2 ) − ( 2x + 3 )
( x + 2)
2
=
2
1
( x + 2)
2
c) f´(x) =
( 3 x 2 + 2x + 3 ) x − ( x 3 + x 2 + 3 x − 3 ) = 2x 3 + x 2 + 3
d) f´(x) =
( 3x 2 + 2e x ) ( x + 1) − ( x 3 + e2x ) = 2x 3 + 3x 2 + 2xe2x
x2
( x + 1)
2
x2
( x + 1)
2
Introducción al concepto de derivada | Unidad 11
291
24. Halla la derivada de la función y = cotg x: a) Como cociente entre el cos x y el sen x. a) y = cotg x = y´ =
1 . tgx
cos x senx
2 2 −senx ⋅ senx − cos x ⋅ cos x −sen2 x − cos2 x − ( sen x + cos x ) −1 = = = 2 2 2 sen x sen x sen x sen2 x
b) y = cotg x =
y´ =
b) A partir de la igualdad cotg x =
1 tgx
− (1 + tg2 x ) −1 − tg2 x − cos2 x − sen2 x − ( cos2 x + sen2 x ) −1 = = = = tg2 x tg2 x sen2 x sen2 x sen2 x
En ambos casos se obtiene el mismo resultado.
25. Calcula la derivada de las siguientes funciones en los puntos indicados. a) f(x) = xsen x, en x = π b) g(x) =
c) h(x) = 2x + x , en x = 16
ln x , en x = 1 x
d) i(x) = x2 + 5x – 1, en x =
a) f´(x) = sen x + xcos x ⇒ f´(π) = sen π + πcos π = –π
1 ⋅ x − ln x 1 − ln x 1 − ln1 = b) g´(x) = x ⇒ g´(1) = =1 x2 x2 12 c) h´(x) = 2 +
1 2 x
26. Si f(x) = 3x, g(x) =
⇒ h´(16) = 2 +
1
17 = 8 2 16
3 2
e) j(x) = 3x + 5x, en x = 0 f) k(x) =
senx π , en x = 2 x2
3 3 d) i´(x) = 2x + 5 ⇒ i´ = 2 ⋅ + 5 = 8 2 2
e) j´(x) = 3 + 5 = 8 ⇒ j´(0) = 8 f) k(x) =
cos x ⋅ x 2 − 2xsenx π ⇒ j´ = x4 2
−π −16 = π4 π3 16
1 y h(x) = ex, halla la expresión de las siguientes funciones y de sus derivadas. x
a) (g ◦ f)(x)
c) (h ◦ f)(x)
e) (h ◦ f ◦ g)(x)
b) (g ◦ h)(x)
d) (f ◦ h ◦ g)(x)
f) (g ◦ h ◦ f)(x)
a) (g ◦ f)(x) = g[f(x)] = g(3x) = x b) (g ◦ h)(x) = g[h(x)] = g(e ) =
1 −1 −3 −1 y (g ◦ f)´(x) = g´[f(x)] · f´(x) = g´(3x) · f´(x) = ⋅3 = = 2 2 3x 9x 9x 3x 2 1 −1 −1 y (g ◦ h)´(x) = g´[h(x)] · h´(x) = g´(ex) · h´(x) = 2x ⋅ e x =x ex e e
3x 3x 3x c) (h ◦ f)(x) = h[f(x)] = h(3x) = e y (h ◦ f)´(x) = h´[f(x)] · h´(x) = h´(3x) · f´(x) = e · 3 = 3e 1
1 1 1 −3e x −1 1 d) (f ◦ h ◦ g)(x) = f h = f e x = 3e x y (f ◦ h ◦ g)´(x) = f´[h[g(x)] · h´[g(x)] · g´(x) = 3 · e x · 2 = x2 x x
3
3 3 −3e x 1 −1 3 e) (h ◦ f ◦ g)(x) = h f = h = e x y (h ◦ f ◦ g)´(x) = h´[f[g(x)] · f´[g(x)] · g´(x) = e x · 3 · 2 = x2 x x x
f) (g ◦ h ◦ f)(x) = g[h(3x)] = g(e3x) =
292
1 −1 −3 y (g ◦ h ◦ f)´(x) =g´[h[f(x)] · h´[f(x)] · f´(x) = 6 x · e3x · 3 = 3 x e3x e e
Unidad 11| Introducción al concepto de derivada
27. Halla las derivadas de las siguientes funciones. a) f(x) = (3x +1)3
c) f(x) = 52x – 3
e) f(x) = sen xln x
b) f(x) =
d) f(x) = sen (lnx)
f) f(x) = sen3x
4x − 1 2
a) f´(x) = 3(3x +1) · 3 = 9(3x +1) b) f´(x) =
4 2 4x − 1 2x – 3
c) f´(x) = 5
=
2
2
h) f(x) = ln (sen x) 1 senx e) f´(x) = cos xln x + sen x · = cos xln x + x x f) f´(x) = 3sen2x· cos x
4x − 1
· ln 5 · 2 = 2ln 5 · 52x – 3
d) f´(x) = cos (ln x) ·
g) f(x) = ln (x2 + x + 1)
1 cos ( ln x ) = x x
g) f´(x) =
1 2x + 1 ⋅ ( 2x + 1) =2 x + x +1 x + x +1
h) f´(x) =
1 cos x ⋅ cos x = = cotg x senx senx
2
28. Calcula las coordenadas del vértice de estas parábolas e indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento. 2 b) y = 1 – x2 c) y = 3x2 + 6x – 3 a) y = x – 4x + 4 a) y´ = 2x – 4 = 0 ⇒ x = 2. Los intervalos de crecimiento y decrecimiento son: (–∞, 2) y (2, +∞)
–∞ y´ y
x = –3 –
2
x=3 +
d) y = (2x – 1)2
+∞
La función es decreciente en (–∞, 2) y creciente en (2, +∞). Como en x = 2 la función cambia de ser decreciente a creciente, es un mínimo y coincide con el vértice de la parábola. Sus coordenadas son (2, f(0)) = (2, 0). b) y´ = –2x = 0 ⇒ x = 0. Los intervalos de crecimiento y decrecimiento son: (–∞, 0) y (0, +∞)
–∞ y´ y
x = –1 +
0
x=1 –
+∞
La función es creciente en (–∞, 0) y decreciente en (–∞, 0). Como en x = 0 la función cambia de ser creciente a decreciente, es un máximo y coincide con el vértice de la parábola. Sus coordenadas son (0, f(0)) = (0, 1). c) y´ = 6x + 6 = 0 ⇒ x = –1. Los intervalos de crecimiento y decrecimiento son: (–∞, –1) y (–1, +∞)
–∞ y´ y
x = –3 –
–1
x=0 +
+∞
La función es decreciente en (–∞, –1) y creciente en (–1, +∞). Como en x = –1 la función cambia de ser decreciente a creciente, es un mínimo y coincide con el vértice de la parábola. Sus coordenadas son (–1, f(–1)) = (–1, –6). 1 d) y´ = 8x – 4 = 0 ⇒ x = . 2 Los intervalos de crecimiento y decrecimiento son: (–∞, 2) y (2, +∞)
–∞ y´ y
x=0 –
1 2
x=3 +
+∞
La función es decreciente en (–∞,
1 1 ) y creciente en ( , +∞). 2 2
1 la función cambia de ser decreciente a creciente, es un mínimo y coincide con el vértice de la 2 1 1 parábola. Sus coordenadas son ( , f(0)) = ( , 0). 2 2
Como en x =
Introducción al concepto de derivada | Unidad 11
293
29. Determina el dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y los mínimos relativos de las siguientes funciones. a) f(x) = 3x2 – 12x + 7
c) f(x) =
x x −5
e) f(x) =
x 2 + 6x − 7
3 4 b) f(x) = 4x – x
d) f(x) =
2x + 1 x −3
f) f(x) =
x 2 + 6x + 9
a) D(f) = y f´(x) = 6x – 12 = 0 ⇒ x = 2
Los intervalos de crecimiento y decrecimiento son: (–∞, 2) y (2, +∞)
–∞ f´(x)
2
x=0 –
x=3 +
+∞
f(x) La función es decreciente en (–∞, 2) y creciente en (2, +∞). Como en x = 2 la función cambia de ser decreciente a creciente, es un mínimo relativo. 2 3 b) D(f) = y f´(x) = 12x – 4x = 0 ⇒ x = 0 o x = 3
Los intervalos de crecimiento y decrecimiento son: (–∞, 0), (0, 3) y (3, +∞).
–∞ f´(x)
0
x = –1 +
x=1 +
3
+∞
x=4 –
f(x) La función es creciente en (–∞, 0) ∪ (0, 3) y decreciente en (3, +∞). Como en x = 3 la función cambia de ser creciente a decreciente, es un máximo relativo. c) D(f) = − {5} f´(x) =
−5
( x − 5)
2
< 0 , entonces la función es decreciente en todo su dominio y no tiene ni mínimos ni máximos
2
< 0 , entonces la función es decreciente en todo su dominio y no tiene ni mínimos ni máximos
relativos. d) D(f) = − {3} f´(x) =
−7
( x − 3)
relativos. 2 e) x + 6x – 7 > 0 ⇒ x ∈ (–∞, –7) ∪ (1, +∞) ⇒ D(f) = (–∞, –7) ∪ (1, +∞)
f´(x) =
2x + 6 2 x + 6x − 7 2
x +3
=
x + 6x − 7 2
= 0 ⇒ x = –3, que no pertenece al dominio.
Los intervalos de crecimiento y decrecimiento son: (–∞, –7) y (1, +∞)
–∞ f´(x)
x = –8 –
–7
1
No definida
x=2 +
+∞
No definida
f(x)
La función es decreciente en (–∞, –7) y creciente en (1, +∞). En x = –7 y x = 1, la función tiene mínimos. f) f(x) =
x 2 + 6x + 9 =
( x + 3)
2
−x − 3 = x + 3 = 0 x + 3
si x < −3 si x = −3 ⇒ D(f) = si x > −3
Si x < –3 ⇒ f´(x) = –1 < 0 y la función es decreciente. Si x > –3 ⇒ f´(x) = 1 > 0 y la función es creciente. Por tanto, la función es decreciente en (–∞, –3) y creciente en (–3, +∞). Como en x = –3 la función cambia de ser decreciente a creciente, es un mínimo relativo.
294
Unidad 11| Introducción al concepto de derivada
30. Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones. 2 2 a) f(x) = x (8 – x )
c) f(x) = 2xex
e) f(x) =
b) f(x) = (2x – 1)3
d) f(x) = ln (x + 4)
f) f(x) = 22 x − x
x 2 − 2x + 2 2
a) f´(x) = 16x – 4x3 = 0 ⇒ x = 0, x = 2 o x = –2 Los intervalos de crecimiento y decrecimiento son: (–∞, –2), (–2, 0), (0, 2) y (2, +∞)
–∞ f´(x)
x = –3 +
–2
0
x = –1 –
x=1 +
2
x=3 –
+∞
f(x) La función es creciente en (–∞, –2) ∪ (0, 2) y decreciente en (–2, 0) ∪ (2, +∞). Como en x = –2 la función cambia de ser creciente a decreciente, es un máximo relativo. Como en x = 0 la función cambia de ser decreciente a creciente, es un mínimo relativo. Como en x = 2 la función cambia de ser creciente a decreciente, es un máximo relativo. 2 b) f´(x) = 6(2x – 1) > 0 para todo x ≠
dominio.
1 1 . Como f´(x) = 0 para x = , entonces la función es creciente en todo su 2 2
c) f´(x) = 2ex + 2xex = 2ex (1 + x) = 0 ⇒ x = –1. Los intervalos de crecimiento y decrecimiento son: (–∞, –1) y (–1, +∞) –1 –∞ +∞ x = –2 x=0 f´(x) – + f(x) La función es decreciente en (–∞, –1) y creciente en (–1, +∞). Como en x = –1 la función cambia de ser decreciente a creciente, es un mínimo relativo. d) x + 4 > 0 ⇒ x > –4 ⇒ D(f) = (–4, +∞) ⇒ f´(x) = dominio.
( x − 1)
x 2 − 2x + 2=
e) f(x) = f´(x) =
2 ( x − 1) = 2 2 ( x − 1) + 1
2
1 > 0 en todo su dominio ⇒ f(x) es creciente en todo su x+4
+ 1 ⇒ D(f) =
x −1 = 0 ⇒ x = 1. 2 ( x − 1) + 1
Los intervalos de crecimiento y decrecimiento son: (–∞, 1) y (1, +∞)
–∞ f´(x)
x = –8 –
1
x=2 +
+∞
f(x) La función es decreciente en (–∞, 1) y creciente en (1, +∞). Como en x = 1 la función cambia de ser decreciente a creciente, es un mínimo relativo. 2
f) f´(x) = ln2 · (2 – 2x) 22x − x = 0 ⇒ x = 1. Los intervalos de crecimiento y decrecimiento son: (–∞, 1) y (1, +∞) 1 –∞ +∞ x=0 x=2 f´(x) + – f(x) La función es creciente en (–∞, 1) y decreciente en (1, +∞). Como en x = 1 la función cambia de ser creciente a decreciente, es un máximo relativo.
Introducción al concepto de derivada | Unidad 11
295
31. Actividad resuelta.
32. El precio previsto de un terreno durante los 2 próximos años, es P(t) =
t −8
(t + 2)
2
+ 100 , donde t es el tiempo
transcurrido en meses. ¿Cuál es el mejor momento de vender? Para hallar cuál es el mejor momento de vender se estudian los extremos de P(t), cuyo dominio es [0, +∞). P´(t) =
(t + 2)
2
− 2 ( t + 2 )( t − 8 ) t + 2 − 2 ( t − 8 ) = = 4 3 (t + 2) (t + 2)
18 − t = 0 ⇒ t = 18 3 ( t + 2)
Los intervalos de crecimiento y decrecimiento son: (–∞, 18) y (18, +∞)
0 P´(t) = P(t) =
18 − t
(t + 2)
t −8
(t + 2)
2
3
,
x=1 +
18
x = 20
+∞
–
+ 100
La función es creciente en [0, 18) y decreciente en (18, +∞). Como en x = 18 la función cambia de ser creciente a decreciente, es un máximo relativo. Por tanto, el mejor momento para vender el terreno es a los 18 meses.
33. Determina la TVM en cada uno de los intervalos indicados, correspondientes a la función de la gráfica adjunta.
296
a) [0, 5]
c) [1, 9]
e) [13, 17]
b) [3, 6]
d) [4, 6]
f) [0, 17]
a) TVM f[0, 5] =
f ( 5 ) − f ( 0 ) 160 − 100 60 = = = 12 5−0 5 5
d) TVM f[4, 6] =
b) TVM f[3, 6] =
f ( 6 ) − f ( 3 ) 140 − 140 0 = = = 0 6−3 3 3
e) TVM f[13, 17] =
c) TVM f[1, 9] =
f ( 9 ) − f (1) 260 − 120 140 = = = 17,5 9 −1 8 8
f) TVM f[0, 17] =
Unidad 11| Introducción al concepto de derivada
f ( 6 ) − f ( 4 ) 140 − 200 −60 = = = −30 6−4 2 2 f (17 ) − f (13 ) 240 − 160 80 = = = 20 17 − 13 4 4 f (17 ) − f ( 0 ) 240 − 100 140 = = 17 − 0 17 17
8 en los siguientes intervalos. x −1 a) [–29, –25] c) [–4, 0] e) [13, 17] b) [–17, –13] d) [2, 6] f) [51, 55] ¿En qué intervalos es mayor? ¿Por qué crees que ocurre eso? −8 −8 − f ( −25 ) − f ( −29 ) 26 30 −2 a) TVM f[–29, –25] = = = −25 − ( −29 ) 4 195
34. Halla la tasa de variación media de la función f ( x ) =
f ( −13 ) − f ( −17 ) b) TVM f[–17, –13] = = −13 − ( −17 ) f ( 0 ) − f ( −4 ) c) TVM f[–4, 0] = = 0 − ( −4 )
−4 −8 − 7 18 −2 = 4 63
−8 −8 − 5 −8 = 4 5
8 −8 5= −8 4 5 1 2 f (17 ) − f (13 ) 2 − 3 −1 e) TVM f[13, 17] = = = 17 − 13 4 24 4 4 f ( 55 ) − f ( 51) 27 − 25 −2 f) TVM f[51, 55] = = = 55 − 51 4 675 f ( 6 ) − f ( 2) d) TVM f[2, 6] = = 6−2
La TVM es mayor en [51, 55] porque, al ser todas las tasas negativas, decrece menos de media en este intervalo.
35. ¿Por qué no tiene sentido hallar la TVM de la función f ( x ) =
3 en el intervalo [1, 4]? ¿Y en el intervalo x −2
[3, 6]? En x = 2, la función f(x) no es continua y, por tanto, no tiene sentido calcular la tasa de variación media en ningún intervalo que contenga a x = 2. Luego, no tiene sentido calcular la TVM de f(x) en [1, 4]. En el intervalo [3, 6] la función f(x) es continua, por tanto sí que tiene sentido calcular la tasa de variación media.
36. Actividad resuelta. 37. Calcula la TVM de la función f(x) = x2 – 4 en cada uno de los intervalos siguientes. a) [3, 4]
c) [3; 3,01]
e) [3; 3,0001]
b) [3; 3,1]
d) [3; 3,001]
f) [3; 3,000 01]
¿Cuál parece ser la TVI de la función en x = 3? Compruébalo hallando su valor mediante la definición. f ( 4 ) − f ( 3 ) 12 − 5 = = 7 4−3 1 f ( 3,1) − f ( 3 ) 5,61 − 5 b) TVM f[3; 3,1] = = = 6,1 3,1 − 3 0,1
a) TVM f[3, 4] =
c) TVM f[3; 3,01] = d) TVM f[3; 3,001] =
f ( 3,01) − f ( 3 ) 5,0601 − 5 = = 6,01 3,01 − 3 0,01
f ( 3,001) − f ( 3 ) 5,006 001 − 5 = = 6,001 3,001 − 3 0,001
f ( 3,0001) − f ( 3 ) 5,000 600 01 − 5 e) TVM f[3; 3,0001] = = = 6,0001 3,0001 − 3 0,0001 f ( 3,000 01) − f ( 3 ) 5,000 06 − 5 f) TVM f[3; 3,00001] = = = 6,000 01 3,000 01 − 3 0,000 01 f (3 + h ) − f (3) ( 3 + h ) − 4 − 5= lim h 2 + 6h= lim h + 6= 6 = lim ( ) h →0 h →0 h →0 h →0 h h h 2
La TVI en x = 3 parece ser 6: TVI: f(3) = lim
Introducción al concepto de derivada | Unidad 11
297
38. Calcula la tasa de variación instantánea de la función f(x) = 3x – 8 en cada uno de los siguientes puntos. a) x = 0 b) x = 5 c) x = –2 ¿Qué observas en todos los casos? ¿Por qué crees que ocurre esto? a) TVI f(0) = lim
3h − 8 − ( −8 ) f (0 + h ) − f (0) 3h = lim = lim = 3 h →0 h →0 h h h
b) TVI f(5) = lim
f (5 + h ) − f (5) 3 ⋅ (5 + h ) − 8 − 7 3h = lim = lim = 3 h →0 h →0 h h h
h →0
h →0
c) TVI f(–2) = lim
f ( −2 + h ) − f ( −2 ) 3 ( −2 + h ) − 8 − ( −14 ) 3h = lim = lim = 3 → → h h 0 0 h h h
d) TVI f(–7) = lim
f ( −7 + h ) − f ( −7 ) 3 ( −7 + h ) − 8 − ( −29 ) 3h = lim = lim = 3 h →0 h →0 h h h
h →0
h →0
d) x = –7
En todos los casos la TVI es 3, porque coincide con la pendiente de la recta f(x) = 3x – 8.
39. Halla la derivada de las siguientes funciones polinómicas de segundo grado y comprueba que en la abscisa de su vértice el valor de la derivada es cero. 2 b) f(x) = –x2 + 2x + 3 c) f(x) = x2 + 4x + 1 a) f(x) = x – 4x
d) f(x) = 2x2 – 6x + 5
( x + h ) − 4 ( x + h ) − ( x 2 − 4x ) f ( x + h) − f ( x ) h 2 + 2xh − 4h = lim = lim = lim ( h + 2x − 4 ) = 2x − 4 a) f´(x) = lim h →0 h →0 h →0 h →0 h h h 2
La abscisa de su vértice es x = 2 ⇒ f´(2) = 2 · 2 – 4 = 0.
− ( x + h ) + 2 ( x + h ) + 3 − ( − x 2 + 2x + 3 ) f ( x + h) − f ( x ) −h 2 − 2xh + 2h = lim = lim = b) f´(x) = lim h →0 h →0 h →0 h h h 2
= –2x + 2
La abscisa de su vértice es x = 1 ⇒ f´(1) = –2 · 1 + 2 = 0.
( x + h ) + 4 ( x + h ) + 1 − ( x 2 + 4x + 1) f ( x + h) − f ( x ) h 2 + 2xh + 4h = lim = lim = lim ( h + 2x + 4 ) = 2x + 4 h →0 h →0 h →0 h →0 h h h 2
c) f´(x) = lim
La abscisa de su vértice es x = –2 ⇒ f´(1) = 2 · (–2) + 4 = 0.
2 ( x + h ) − 6 ( x + h ) + 5 − ( 2x 2 − 6 x + 5 ) f ( x + h) − f ( x ) 2h 2 + 4xh − 6h = = lim lim = 4x – 6 d) f´(x) = lim h →0 h →0 h →0 h h h 2
La abscisa de su vértice es x =
6 3 3 = ⇒ f´(1) = 4 ⋅ − 6 = 0. 4 2 2
40. Halla la TVI en el punto x = 2 de cada una de las funciones siguientes. a) f(x) = 4x – 1 b) f(x) = x2 a) TVI f(2) = lim
h →0
4 + 5x x d) f(x) = x3 – 4x2
e) f(x) = 8 2x
c) f(x) =
f) f(x) = –x2 + 8x + 5
4 (2 + h ) − 1− 7 f ( 2 + h ) − f ( 2) 4h 4 4 = lim = lim= lim = h →0 h →0 h h →0 h h
f ( 2 + h ) − f ( 2) ( 2 + h ) − 4= lim h2 + 4h= lim h + 4= 4 = lim ) ( h →0 h →0 h →0 h →0 h h h 2
b) TVI f(2) = lim
4 + 5 ( 2 + h ) − 12 f ( 2 + h ) − f ( 2) 5h 2 + 8h 5h + 8 2 h + = lim = lim= lim = 4 h →0 h →0 h →0 h ( 2 + h ) h →0 2 + h h h
c) TVI f(2) = lim
f ( 2 + h ) − f ( 2) ( 2 + h ) − 4 ( 2 + h ) − ( −8 ) = h 3 + 2h 2 − 4h = = −4 lim lim lim ( h 2 + 2h − 4 ) = h →0 h →0 h →0 h →0 h h h 3
2
d) TVI f(2) = lim
8 2 ( 2 + h ) − 16 f ( 2 + h ) − f ( 2) 16h 16 e) TVI f(2) = lim = lim = lim = lim = 4 h →0 h →0 h →0 h →0 h h 4 2h + 2 + h 2 (2 + h) + 2
(
)
− ( 2 + h ) + 8 ( 2 + h ) + 5 − 17 f ( 2 + h ) − f ( 2) −h 2 + 4h = lim = lim = lim ( −h + 4= ) 4 h →0 h →0 h →0 h →0 h h h 2
f) TVI f(2) = lim
298
Unidad 11| Introducción al concepto de derivada
41. Determina la TVI de cada una de las funciones representadas en el punto x = 2. ¿Cuál será la TVI en el punto x = 123? Las pendientes de las rectas son mf = –1, mg= 2 y mh = 0. Por tanto: TVI f(2) = TVI f(123) = –1 TVI g(2) = TVI g(123) = 2 TVI h(2) = TVI h(123) = 0
42. Halla la tasa de variación instantánea de la función f(x) = ax + b en el punto x = p. TVI f(p) = lim
h →0
f ( p + h) − f ( p) a ( p + h ) + b − ( ap + b ) ah = lim = lim= lim = a a h → 0 h →0 h h →0 h h
43. Aplicando directamente la definición, calcula la derivada de las siguientes funciones en los puntos indicados.
a) f(x) = 4x – 7 en x = 3
c) h(x) =
3 en x = 0 x +1
2 b) g(x) = 2x – x en x = –2
d) i(x) =
3 x + 7 en x = –1
a) f´(3) = lim
h →0
e) j(x) =
x en x = 3 x −2
4 (3 + h ) − 7 − 5 f (3 + h ) − f (3) 4h 4 4 = lim = lim= lim = h →0 h →0 h h →0 h h
2 ( −2 + h ) − ( −2 + h ) − ( −8 ) g ( −2 + h ) − g ( −2 ) 6h − h 2 = lim = lim = lim ( 6 − h= ) 6 h →0 h →0 h →0 h →0 h h h 2
b) g´(–2) = lim
3 −3 h (0 + h ) − h (0) −3h −3 h = lim + 1 = lim = lim = −3 h →0 h →0 h → 0 h ( h + 1) h →0 h + 1 h h
c) h´(0) = lim
3 ( −1 + h ) + 7 − 2 i ( −1 + h ) − i ( −1) 3h + 4 − 2 d) i´(–1) = lim = lim = lim = lim h →0 h →0 h →0 h →0 h h h
(
)(
)
3h + 4 − 2 3h + 4 + 2 = h 3h + 4 + 2
(
)
3h 3 3 = lim = lim = h →0 h →0 3h + 4 + 2 4 h 3h + 4 + 2
(
)
h+3 3 − j (3 + h ) − j (3) h + 3 − 3 ( h + 1) h + 3 − 3h 2 − 3 − 6h 1 1 h + e) j´(3) = lim= lim = lim = lim = h →0 h →0 h →0 h →0 h h h ( h + 1) h ( h + 1) h + 3 + 3 ( h + 1)
(
= lim
h →0
h ( h + 1)
(
−3h 2 − 5h
= lim h →0 h + 3 + 3 ( h + 1) ( h + 1)
)
(
−3h − 5 = h + 3 + 3 ( h + 1)
)
)
−5 −5 = 3+ 3 2 3
Introducción al concepto de derivada | Unidad 11
299
44. Escribe la ecuación de la recta tangente a las gráficas de las funciones f(x), h(x) y i(x) en los puntos indicados.
2 a) g(x) = 2x – x en x = –2
b) h(x) =
3 en x = 0 x +1
c) j(x) =
3 x + 7 en x = –1
a) El punto de tangencia es A(–2, f(–2)) = A(–2, –8). La pendiente es g´(–2) =
f ( x ) − f ( −2 ) 2x − x 2 − ( −8 ) − ( x + 2 )( x − 4 ) = lim = lim = lim − ( x − 4 ) = 6 . x →−2 x →− 2 x →− 2 x →−2 x − ( −2 ) x+2 x+2 lim
Por tanto, la ecuación de la recta tangente es: y + 8 = 6 · (x + 2) ⇒ y = 6x + 4 b) El punto de tangencia es A(0, f(0)) = A(0, 3). La pendiente es h´(0) = lim
x →0
f ( x ) − f (0) −3x −3 = lim = lim = −3 . x → 0 x ( x + 1) x →0 x + 1 x −0
Por tanto, la ecuación de la recta tangente es: y – 3 = –3 · (x – 0) ⇒ y = –3x + 3 c) El punto de tangencia es A(–1, f(–1)) = A(–1, 2).
f ( x ) − f ( −1) 3x + 7 − 2 3x + 3 3 3 = = lim = lim = lim = La pendiente es j´(–1) lim . x →−1 x →− x →− x →− 1 1 1 x − ( −1) x +1 3x + 7 + 2 4 ( x + 1) 3x + 7 + 2
(
Por tanto, la ecuación de la recta tangente es: y + 1 =
)
3 3x 11 + · (x – 2) ⇒ y = 4 4 4
45. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva de ecuación y = (x – 1)2 en el punto x = 3. El punto de tangencia es A(3, f(3)) = A(3, 4).
f ( x ) − f (3) 4 ) lim x += ( x − 3 )( x + 1= ( x − 1) −= x 2 − 2x − 3 = lim = lim lim ( 1) 4 . → → → x →3 x 3 x 3 x 3 x →3 x −3 x −3 x −3 x −3 2
= lim La pendiente es f´(3)
Por tanto, la ecuación de la recta tangente es: y – 4 = 4(x – 3) ⇒ y = 4x – 8
46. ¿En qué puntos corta la recta y = x a la curva de ecuación y = curva en cada uno de esos puntos.
2 ? Halla la ecuación de la tangente a la x −1
Los puntos de tangencia entre la recta y la hipérbola son la solución del sistema: y = x 2 1± 1+ 8 1± 3 2 2 ⇒ x2 − x − 2 = 0 ⇒ x = = = ⇒y = 2 ⇒x= −1 −1 = y − x 1 2 2 x −1
{
{
Las coordenadas de los puntos de corte son (2, 2) y (–1, –1). La derivada en x = 2 coincide con la pendiente de la recta tangente en ese punto:
2 −2 −2 ( x − 2 ) f ( x ) − f ( 2) 4 − 2x −2 x = = = lim = = −2 lim lim − 1 lim lim m = f´(2) = = x →2 x →2 x → 2 ( x − 1)( x − 2 ) x → 2 ( x − 1)( x − 2 ) x →2 x − 1 x −2 x −2 Por tanto, la ecuación de la recta tangente en x = 2 es: y – 2 = –2(x – 2) ⇒ y = –2x + 6 La derivada en x = –1 coincide con la pendiente de la recta tangente en ese punto:
2 − ( −1) f ( x ) − f ( −1) 1 x +1 −1 x 1 lim = lim −= = lim = m == f´(–1) = lim 1 1 1 x →−1 x →− x →− x →− x − ( −1) x +1 x −1 2 ( x − 1)( x + 1) Por tanto, la ecuación de la recta tangente en x = –1 es: y + 1 =
47. Actividad resuelta.
300
Unidad 11| Introducción al concepto de derivada
−1 −x 3 − (x + 1) ⇒ y = 2 2 2
48. La hipérbola de ecuación y =
6 tiene dos tangentes paralelas a la recta y = 7 – 6x. x
a) ¿En qué puntos son tangentes? b) ¿Cuál es la ecuación de las dos tangentes? a) Como las tangentes son paralelas a la recta y = 7 – 6x entonces tendrán la misma pendiente: m = –6. La pendiente de las rectas tangentes a la hipérbola y =
6 −6 −6 es m = f´(x) = 2 y m = –6 ⇒ –6 = 2 ⇒ x = ±1. x x x
Si x = 1 ⇒ y = 6 y si x = –1 ⇒ y = –6. Por tanto, las coordenadas de los puntos de tangencia son (1, 6) y (–1, –6). b) Si x = 1, la ecuación de la recta tangente es: y – 6 = –6(x – 1) ⇒ y = –6x + 12 Si x = –1, la ecuación de la recta tangente es: y + 6 = –6(x + 1) ⇒ y = –6x – 12
49. Halla la derivada de estas funciones polinómicas. a) f(x) = x5
c) f(x) = x6 + x
e) f(x) = –3x3 + 2x
b) f(x) = x4 + 3
d) f(x) = 2x – 1
f) f(x) = x2 + 2x – 3 h) f(x) = x5 + 2x4 – 3x3 + 5x2
a) f´(x) = 5x4
c) f´(x) = 6x5 + 1 e) f´(x) = –9x2 + 2
g) f´(x) = 4x3 – 4x
b) f´(x) = 4x3
d) f´(x) = 2
h) f´(x) = 5x4 + 8x3 – 9x2 + 10x j) f´(x) = 3x2 – 6x + 3
f) f´(x) = 2x + 2
g) f(x) = x4 – 2x2 + 1
i) f(x) = 4x4 – 3x2 – 3x – 10 j) f(x) = x3 – 3x2 + 3x – 1 i) f´(x) = 16x3 – 6x – 3
50. Deriva las funciones potenciales. a) f(x) = (2x – 1)5
c) f(x) = (x6 + x)3
e) f(x) = (x2 – 1)2
b) f(x) = (x2 – 1)–2
d) f(x) = (x2 + 2x – 3)–1
f) f(x) = (3x + x2)–3
a) f´(x) = 10(2x – 1)4
c) f(x) = 3(6x5 + 1)(x6 + x)2
e) f(x) = 4x(x2 – 1)
b) f(x) = –4x(x2 – 1)–3
d) f(x) = –(2x + 2)(x2 + 2x – 3)–2
f) f(x) = –3(3 + 2x)(3x + x2)–4
51. Expresa las siguientes funciones racionales como potenciales, halla su derivada y después exprésala otra vez como racionales. a) f ( x ) =
2 ( x − 1)2
c) f ( x ) =
3 (3 − 2 x )2
e) f ( x ) =
5 ( x 2 + x + 4)4
b) f ( x ) =
2 ( x + 1)3
d) f ( x ) =
1 (2 x + 1)3
f)
5 ( x − 3 x )5
a) f ( x ) =
2 −4 = 2(x – 1)–2 ⇒ f´(x) = –4(x – 1)–3 = ( x − 1)3 ( x − 1)2
b) f ( x ) =
2 −12x = 2(x2 + 1)–3 ⇒ f´(x) = 2·(-3)(x2 + 1)–4·2x= 2 ( x 2 + 1)3 ( x + 1)4
c) f ( x ) =
3 12 = 3(3 – 2x)–2 ⇒ f´(x) = 12(3 – 2x)–3 = (3 − 2x )2 (3 − 2x )3
d) f ( x ) =
−6 1 = (2x + 1)–3 ⇒ f´(x) = –6(2x + 1)–4 = (2x + 1)3 (2x + 1)4
e) f ( x ) =
−20 ( 2x + 1) 5 = 5(x2 + x + 4)–4 ⇒ f´(x) = –20(2x + 1)(x2 + x + 4)–5 = 2 ( x + x + 4)5 ( x 2 + x + 4)4
f)
−25 ( 3x 2 − 3 ) 5 = 5(x3 – 3x)–5 ⇒ f´(x) = –25(3x2 – 3)(x3 – 3x)–6 = 5 ( x 3 − 3x )6 ( x − 3x )
f (x) =
2
f (x ) =
3
3
Introducción al concepto de derivada | Unidad 11
301
52. Calcula f´(0) en las siguientes funciones exponenciales. 2x 4x
a) f(x) = 10x
c) f ( x ) =
e) f(x) = 3x · 5x
b) f(x) = 2x
d) f(x) = ex
x a) f´(x) = 10 · ln10 ⇒ f´(0) = ln10
c) f ´( x ) =2− x ⋅ ln
b) f´(x) = 2x · ln2 ⇒ f´(0) = ln2
d) f´(x) = ex ⇒ f´(0) = 1
f)
1 1 ⇒ f ´(0) =ln 2 2
f (x ) =
ex 22 x
e) f´(x) =15x · ln15 ⇒ f´(0) = ln15 x
f)
e e e f ´(= x ) ln ⇒ f ´(0) = ln 4 4 4
53. Actividad resuelta. 54. Expresa estas funciones como funciones potenciales y después deriva. a) f ( x ) = 4 x
c) f ( x ) =
(x ) b) f=
(x ) d) f=
2x + 1 1 2
1 2x ⇒ f ´( x ) = 2⋅ x a) f ( x ) = 2 1
−1 2
b) f ( x ) = ( 2x + 1) 2 ⇒ f ´( x ) =2 ⋅
x3 3
6x + 2
1 = x −1 1 1 ( 2x + 1) 2 = 2 2x + 1
3 3 1 3 x c) f ( x ) = x 3 = x 2 ⇒ f ´( x ) = x 2 = 2 2
d) f ( x )=
3
1
( 6x + 2 ) 3
6x + 2 =
2
−2
⇒ f ´( x )= 2 ( 6x + 2 ) 3 =
3
( 6x + 2 )
2
55. Deriva las funciones. 2− x
a) f(x) = (2x – 1)3(x + 1)2
c) f ( x ) =
b) f(x) = x(x + 1)(x + 2)
x+4 d) f ( x ) = x +3
( x + 1)2 2
a) f´(x) = 6(2x – 1)2(x + 1)2 + 2(2x – 1)3(x + 1) = 40x4 + 16x3 – 30x2 – 2x + 4 b) f´(x) = (x + 1)(x + 2) + x(x + 2) + x(x + 1) = x2 + 2x + x + 2 + x2 + 2x + x2 + x = 3x2 + 6x + 2 − ( x + 1) − 2 ( x + 1)( 2 − x ) −x 2 − 1 − 2x − 4x + 2x 2 − 4 + 2x x 2 − 4x − 5 ( x + 1)( x − 5) = = = = 4 4 4 ( x + 1)4 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) 2
c) f ´( x ) =
2 x+4 x + 4 ( x + 3 ) − ( x + 4 ) 2x + 8 −1 d) = f (x) = 2 = ⋅ = ⋅ 2 x + 3 ( x + 3 )2 x +3 x + 3 ( x + 3)
−2x − 8
( x + 3)
3
56. Deriva las funciones trigonométricas.
302
sen x cos ( 2 x )
a) f(x) = sen4x
c) f ( x ) =
b) f(x) = cos(1 – x)
sen x d) f ( x ) = cos x
a) f´(x) = 4cos4x
c) f ´( x ) =
b) f´(x) = sen(1 – x)
sen x cos2 x + sen2 x 2sen x d) f ´( x ) = 2 =3 ⋅ cos2 x cos x cos x
Unidad 11| Introducción al concepto de derivada
2
cos x ⋅ cos ( 2x ) + 2sen x ⋅ sen ( 2x )
( cos ( 2x ) )
x −5
( x + 1)
2
3
57. Deriva las funciones logarítmicas. a) f(x) = ln (2x + 1)
c) f(x) = ln2 (3x + 1)
e) f(x) = log (1 + 7x)3
b) f(x) = ln (3x + 1)2
d) f(x) = log (2 – 3x)
f) f(x) = log2 (5x)
a) f ´( x ) =
2 2x + 1
= b) f ´( x )
6 ( 3x + 1) 6 = 2 ( 3x + 1) 3x + 1
c) f ´( x ) =
6 ln ( 3x + 1) 3x + 1
d) f ´( x ) =
−3 ( 2 − 3x ) ln10 21(1 + 7x ) = 3 (1 + 7x ) ⋅ ln10 2
e) f ´( x ) =
f ´( x ) f)=
21
(1 + 7x ) ⋅ ln10
5 1 = 5x ⋅ ln 2 x ⋅ ln 2
58. Halla la derivada de las funciones en los puntos indicados. a) f ( x ) = x 2 + b) g( x ) =
1 + x en x = 1 x2
d) i(x) = x2ln(x + 3) en x = –2
2x en x = 0 x2 + 1
e) j(x) = x3e2x en x = –1
π h( x ) sen 2 x − en x = 2π c)= 2 a) f ´( x ) = 2x −
b) g´( x ) =
2 1 1 + ⇒ f ´(1) = x3 2 x 2
2 ( x 2 + 1) − 4x 2
( x 2 + 1)
2
2x ln ( x + 3 ) + d) i´( x ) =
x2 4 ⇒ i´(−2) = −4ln1 + = 4 x +3 1
e) j´(x) = 3x2e2x + 2x3e2x ⇒ j´(–1) = 3e–2 – 2e–2 = e–2
⇒ g´(0) = 2
7π π h´( x ) 2 cos 2x − ⇒ h´(π) 2 cos = = 0 c) = 2 2
59. Deriva las funciones: a) f(x) = ln(x) a) f ´( x ) =
b) f(x) = ln(senx)
1 x
b) f ´( x ) =
cos x sen x
c) f(x) = xln(x)
d) f(x) = ln(tgx)
c) f ´(= x ) ln x + 1
d) f ´( x ) =
1 + tg2 x tg x
60. Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos de la función f(x) = x3 – 6x2 – 15x + 2. f´(x) = 3x2 – 12x – 15 = 0 ⇒ x = –1 o x = 5 Los intervalos de crecimiento y decrecimiento son: (–∞,–1), (–1, 5) y (5, +∞)
–∞
f´(x)
x = –2 +
–1
x=0 –
5
x=6 +
+∞
f(x) La función es creciente en (–∞, –1) ∪ (5, +∞) y decreciente en (–1, 5). Como en x = –1 la función cambia de ser creciente a decreciente, es un máximo relativo. Como en x = 5 la función cambia de ser decreciente a creciente, es un mínimo relativo.
Introducción al concepto de derivada | Unidad 11
303
61. Determina los extremos relativos de las funciones: 3 a) f(x) = x – 12x + 7
c) f ( x ) =
b) f(x) = 6 + 4x3 – x4
2x − 7 2x + 3
d) f ( x ) =
x 2 + 2x + 1
a) f´(x) = 3x2 – 12 = 0 ⇒ x = –2 o x = 2. Los intervalos de crecimiento y decrecimiento son: (–∞,–2), (–2, 2) y (2, +∞) –2 –∞ 2 +∞ x = –3 x=0 x=3 f´(x) + – + f(x) La función es creciente en (–∞, –2) ∪ (2, +∞) y decreciente en (–2, 2). Como en x = –2 la función cambia de ser creciente a decreciente, es un máximo relativo. Como en x = 2 la función cambia de ser decreciente a creciente, es un mínimo relativo. 2 3 b) f´(x) = 12x – 4x = 0 ⇒ x = 0 o x = 3.
Los intervalos de crecimiento y decrecimiento son: (–∞, 0), (0, 3) y (3, +∞)
–∞ f´(x)
x = –1 +
0
x=1 +
3
x=4 –
+∞
f(x) La función es creciente en (–∞, 3) y decreciente en (3, +∞). Como en x = 3 la función cambia de ser creciente a decreciente, es un máximo relativo. −3 c) D(f) = − 2 f´(x) =
2 ( 2x + 3 ) − 2 ( 2x − 7 ) = 2 ( 2x + 3 )
20
( 2x + 3 )
2
> 0 en todo su dominio ⇒ f(x) es creciente en todo su dominio.
No tiene extremos relativos. d) f(x) =
x 2 + 2x + 1 =
( x + 1)
2
−x − 1 si x < −1 = x + 1 = 0 si x = −1 ⇒ D(f) = x + 1 si x > −1
Si x < –1 ⇒ f´(x) = –1 < 0 y la función es decreciente. Si x > –1 ⇒ f´(x) = 1 > 0 y la función es creciente. Por tanto, la función es decreciente en (–∞, –1) y creciente en (–1, +∞). Como en x = –1 la función cambia de ser decreciente a creciente, es un míximo relativo.
304
Unidad 11| Introducción al concepto de derivada
62. Estudia la monotonía y determina los extremos relativos de las siguientes funciones. a) f ( x ) =
x3 x −1
b) f ( x ) =
a) D ( f = ) −= {1} y f ´( x )
x x −2
c) f ( x ) = e − x
d) f ( x ) =
2
ln x x
x 2 ( 2x − 3 ) 3 = 0⇒x=0ox= 2 2 ( x − 1)
3 3 Los intervalos de crecimiento y decrecimiento son: (–∞,0), 0, y , + ∞ 3 2 2 –∞ 0 +∞ 2 x = –1 x = 0,5 x=2 f´(x) – – + f(x) 3 3 La función es decreciente en −∞, y creciente en , + ∞ . 2 2 Como en x =
3 la función cambia de ser decreciente a creciente, es un mínimo relativo. 2
b) D(f) = ( −∞,0] ∪ ( 2, + ∞ ) y f´(x) =
−1
( x − 2)
2
x −2 < 0 en todo su dominio ⇒ f(x) es decreciente en todo su x
dominio. Presenta un mínimo en x = 0. c) D ( f ) = y f ´( x ) = −2xe − x = 0 ⇒ x = 0. 2
Los intervalos de crecimiento y decrecimiento son: (–∞, 0) y (0, +∞) –∞ 0 +∞ x = –2 x=1 f´(x) + – f(x) La función es creciente en (–∞, 0) y decreciente en (0, +∞). Como en x = 0 la función cambia de ser creciente a decreciente, es un máximo relativo. d) D ( f= )
( 0, +∞ )
y f ´( x ) =
1 − ln x = 0 ⇒ x = e. x2
Los intervalos de crecimiento y decrecimiento son: (0, e) y (e, +∞) e 0 +∞ x=1 x=3 f´(x) + – f(x) La función es creciente en (0, e) y decreciente en (e, +∞). Como en x = e la función cambia de ser creciente a decreciente, es un máximo relativo.
63. Estudia la monotonía y determina los extremos relativos de las funciones: x a) f ( x ) = sen en –2π ≤ x ≤ 2π 2
a) f ´( x ) =
b) f(x) = x + cos x en –π ≤ x ≤ π
1 x cos = 0 ⇒ x = π o x = –π. 2 2
Los intervalos de crecimiento y decrecimiento son: [–2π, –π), (–π, π) y (π, 2π] π –π –2π 2π x = –4 x=1 x=4 f´(x) – + – f(x) La función es decreciente en [–2π, –π) ∪ (π, 2π] y creciente en (–π, π). Como en x = –π la función cambia de ser decreciente a creciente, es un mínimo relativo. Como en x = π la función cambia de ser creciente a decreciente, es un máximo relativo. b) f´(x) =1 – sen x ≥ 0 en [–π, π] ⇒ Es creciente en todo su dominio. Tiene un mínimo en f(–π) = –π – 1 y un máximo en f(π) = π – 1.
Introducción al concepto de derivada | Unidad 11
305
64. Todas las funciones siguientes pasan por el punto (1, 0). Halla sus derivadas y determina cuáles de las funciones son derivables en ese punto. a) f ( x ) = ln x x
(
b) g ( x ) = ln x x
)
c) h ( x ) = x ln x
e)
j (x) =
d) i ( x ) = ln x
f)
k ( x ) = x ln x
x ln x
Escribe la ecuación de la recta tangente en ese punto a cada una de las funciones derivables en él. x ln x 1 ln1 + ⇒ f ´(1) = + =1 + 0 =1 x 1 2 1 2 x
a) f ´( x ) =
La derivada en x = 1 coincide con la pendiente de la recta tangente en ese punto: Por tanto, la ecuación de la recta tangente en x = 1 es: y = x – 1 b) g´( x ) =
1
x 3x 3 3 ⋅ x + = 2 = ⇒ g´(1) = 2x 2 x x 2 x 2x
3 coincide con la pendiente de la recta tangente en ese punto: 2
La derivada en x =
Por tanto, la ecuación de la recta tangente en x = 1 es: y = c) h´( x= ) ln x +
1 1 = ln x + ⇒ g´(1= ) 2 2 x 2 x
x
⋅
La derivada en x =
1
1 coincide con la pendiente de la recta tangente en ese punto: 2
Por tanto, la ecuación de la recta tangente en x = 1 es: y = d) i´(= x) e)
j´= (x)
f)
k´( = x)
3 3x 3 (x – 1) ⇒ y = – 2 2 2
x 1 1 (x – 1) ⇒ y = – 2 2 2
1
1 1 ⇒ i(x) no es derivable en x = 1. = ⋅ x 2 ln x 2x ln x
1
x ln x + 1 ⋅ ln x += ⇒ j(x) no es derivable en x = 1. x 2 x ln x 2 x ln x ln x + x ⋅
1
= 2x ln x
ln x +
1 2 ln x
⇒ k(x) no es derivable en x = 1.
65. Actividad resuelta. 66. Halla la derivada de las siguientes funciones e indica su dominio. x2 + 1 a) f ( x ) = ln 2x − 3
b) f ( x ) = ln x 5
c) f ( x ) = ln ( x cos x )
2x 2 3 3 f ´( x ) − a) f(x) = ln(x2 + 1) – ln(2x – 3) y D(f) = , + ∞ ⇒ = y D(f´) = , + ∞ . x 2 + 1 2x − 3 2 2 5
b) f= x2 ( x ) ln=
5 5 ln x y D(f) = (0, +∞) ⇒ f ´( x ) =y D(f) = (0, +∞). 2x 2
−π −3π c) f(x) = lnx + ln(cos x) y D(f) = − k π, − kπ 2 2 D(f´) = D(f).
306
Unidad 11| Introducción al concepto de derivada
5π π 3π + k π, + kπ ∪ 0, ∪ 2 2 2
1 − tg x y ) ; k ≥ 0 ⇒ f ´( x= x
67. Se sabe que la derivada de la función f(x) es f´(x) = (x2 – 1) x . a) Calcula sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. b) ¿Tiene máximos o mínimos relativos? En caso afirmativo, calcúlalos. 2 a) D(f´) = [0, +∞) y f´(x) = (x – 1) x = 0 ⇒ x = 0 o x = 1.
Los intervalos de crecimiento y decrecimiento son: [0, 1) y (1, +∞) 0 1 +∞ x = 0,5 x=1 f´(x) – + f(x) La función es decreciente en [0, 1) y creciente en (1, +∞). b) Como en x = 1 la función cambia de ser decreciente a creciente, es un mínimo. En x = 0 presenta un máximo.
68. Halla dos números enteros que cumplan las siguientes condiciones. •
La suma de los dos números debe ser 18.
•
La suma del cuadrado del primero más 10 veces el segundo debe ser lo más pequeña posible.
Sean x y 18 – x los números. 2 2 Se trata de optimizar la función f(x) = x + 10(18 – x) = x – 10x + 180.
f´(x) = 2x – 10 = 0 ⇒ x = 5. Los intervalos de crecimiento y decrecimiento son: (–∞, 5) y (5, +∞) –∞ 5 +∞ x=0 x=6 f´(x) – + f(x) La función es decreciente en (–∞, 5) y creciente en (5, +∞). Como en x = 5 la función cambia de ser decreciente a creciente, es un mínimo. Por tanto, los números son 5 y 13.
69. La función f(x) = x3 + ax2 + b tiene un extremo relativo en el punto (4, 13). a) Determina los valores de a y b. b) Indica si el extremo relativo corresponde a un máximo o a un mínimo. c) La función tiene otro extremo relativo. Halla el punto en el que se encuentra. d) Con los datos obtenidos representa la gráfica de la función. a) Como f´(x) = 3x2 + 2ax y la función presenta un extremo relativo en x = 4, entonces 3 · 42 + 8a = 0 ⇒ a = –6. La función pasa por el punto (4, 13), entonces 43 + a · 42 + b = 13 ⇒ 64 – 96 + b = 13 ⇒ b = 45. 2 b) f´(x) = 3x – 12x = 0 ⇒ x = 0 o x = 4.
Los intervalos de crecimiento y decrecimiento son: (–∞, 0), (0, 4) y (4, +∞)
–∞ f´(x) f(x)
x = –1 +
0
x=1 –
4
x=5 +
+∞
La función es creciente en (–∞, 0) ∪ (4, +∞) y decreciente en (0, 4). Como en x = 4 la función cambia de ser decreciente a creciente, es un mínimo relativo. c) Como en x = 0 la función cambia de ser creciente a decreciente, es un máximo relativo. d)
Introducción al concepto de derivada | Unidad 11
307
x − 10 + 1 , donde x ( x − 10)2 + 1 representa la distancia recorrida, e y, la altura sobre el nivel del mar, en kilómetros. Si la carrera tiene una longitud de 50 km, determina:
70. El perfil de una carrera ciclista puede ajustarse mediante la función, = y
a) La altura del punto de salida y de llegada. b) Los tramos del recorrido que son de subida y los que son de bajada. c) Los puntos donde se alcanza la altura máxima y la altura mínima. d) La altura máxima y la mínima del recorrido. e) El punto de subida de máxima pendiente. a) El punto de salida se encuentra a una altura de y(0) =
0 − 10 −10 += 1 += 1 0,900 km = 900 m. (0 − 10)2 + 1 101
El punto de llegada se encuentra a una altura de y(50) =
( x − 10)2 + 1 − 2 ( x − 10 ) 1 − ( x − 10 ) = = 0 ⇒ x = 9 o x = 11. 2 2 ( x − 10)2 + 1 ( x − 10)2 + 1 2
b) D(y)= = [0, 50] e y´
50 − 10 40 91 += 1 += 1 = 1,025 km = 1025 m. (50 − 10)2 + 1 1601 101 2
Los intervalos de crecimiento y decrecimiento son: (0, 9), (9, 11) y (11, 50]
0 f´(x) f(x)
x=1 –
9
x = 10 +
11
x = 15 –
50
La función es decreciente en [0, 9) ∪ (11, 50) y creciente en (9, 11). Por tanto, desde los 9 km a los 11 km es un tramo de subida y, el resto de la carrera, es de bajada. c) Como en x = 9 la función cambia de ser decreciente a creciente, es un mínimo relativo. Por tanto, a los 9 km se alcanza la mínima altura. Como en x = 11 la función cambia de ser creciente a decreciente, es un máximo relativo. Por tanto, a los 11 km se alcanza la máxima altura. d) La altura mínima se alcanza a los 9 km y es y(9) =
9 − 10 +1= 0,5 km = 500 m. (9 − 10)2 + 1
La altura máxima se alcanza a los 11 km y es y(11) =
11 − 10
(11 − 10 )
2
+1
+1= 1,5 km = 1500 m.
e) Para hallar el punto de máxima pendiente hay que hallar el máximo de la función derivada en el tramo de subida; es decir en el tramo (9, 11).
(
2
)
2 2 2 2 2 −2 ( x − 10 ) ( x − 10 ) + 1 − 4 1 − ( x − 10 ) ( x − 10 ) + 1 ( x − 10 ) 2 ( x − 10 ) −2 + 2 ( x − 10 ) − ( x − 10 ) + 1 = = y´´ 4 3 ( x − 10)2 + 1 ( x − 10)2 + 1 2 2 2 2 ( x − 10 ) −2 + 2 ( x − 10 ) − ( x − 10 ) − 1 2 ( x − 10 ) ( x − 10 ) − 3 0 ⇒ x = 10, x = 10 ± 3 . = = 3 3 ( x − 10)2 + 1 ( x − 10)2 + 1
Únicamente x = 10 está en el tramo de subida. Los intervalos de crecimiento y decrecimiento son: (–∞, 5) y (5, +∞)
9 y´´ y´
x = 9,5 +
10
x = 10,5 –
11
La función derivada es creciente en (9, 10) y decreciente en (10, 11). Como en x = 10 la función cambia de ser creciente a decreciente, es un máximo. En el kilómetro 10 la pendiente es máxima.
71. Actividad resuelta.
308
Unidad 11| Introducción al concepto de derivada
72. Se lanza un objeto verticalmente y hacia arriba desde una grúa. La función que determina la altura del 2 objeto, en metros, en cada instante es h(t) = –4,9t + 39,2t + 21,6, donde t es el tiempo en segundos.
a) ¿Qué altura tiene la grúa? b) ¿Con qué velocidad se lanzó el objeto? c) ¿Cuándo alcanzará el objeto su altura máxima? ¿Cuál es la altura máxima alcanzada? d) ¿Cuánto tiempo tardará el objeto en llegar al suelo? ¿Qué velocidad tendrá en ese momento? a) h(0) = 21,6 m tiene la grúa. b) v(t) = h´(t) = –9,8t + 39,2 ⇒ v(0) = 39,2 m/s se lanzó el objeto. c) v(t) = h´(t) = –9,8t + 39,2 = 0 ⇒ t = 4. A los 4 segundos el objeto alcanzó su altura máxima. La altura máxima alcanzada fue h(4) = 100 m. d) h(t) = –4,9t2 + 39,2t += 21,6 = 0 ⇒ h
−39,2 ± 1960 = −9,8
8,52 {−0,52
El objeto tardará, aproximadamente, 8,52 s en caer al suelo. En ese momento su velocidad será v(8,52) = h´(8,52) = –44,296 m/s.
73. Para optimizar la producción de aceitunas en un terreno se quiere aumentar el número de olivos.
Actualmente hay 80 olivos que producen una media de 60 kg cada uno. Se prevé que por cada olivo que se añada la producción de cada uno disminuirá en un 1 %. a) ¿Cuál es la producción prevista si se plantan 20 olivos? ¿Y si se plantan x? b) Calcula el número de olivos que hay que plantar para que la producción total sea máxima. c) En el caso de producción máxima, ¿cuál es la producción media de cada árbol? a) Si se plantan 20 olivos, la producción prevista será (80 + 20) · 60 · (1 – 0,01 · 20) = 4800 kg. Si se plantan x olivos, la producción prevista será P(x) = (80 + x) · 60 · (1 – 0,01x) = –0,6x2 + 12x + 4800 kg. b) D(P) = [0, +∞) y P´(x) = –1,2x + 12 = 0 ⇒ x = 10. Los intervalos de crecimiento y decrecimiento son: [0, 10) y (10, +∞) 0 10 +∞ x=1 x = 11 P´(x) + – P(x) La función es creciente en [0, 10) y decreciente en (10, +∞). Como en x = 10 la función cambia de ser creciente a decreciente, es un máximo. Por tanto, hay que añadir 10 olivos para que la producción sea máxima. c) Si se añaden 10 olivos, se producirán P(10) = 4860 kg entre todos. Por tanto, cada olivo producirá 4860 : 90 = 54 kg de media.
74. Si f ( x ) =x + x 2 − 6 x + 8 entonces f’(3) es: A. 0
B. 1
C. +∞
D. No existe.
f´(3) no existe porque x = 3 no pertenece al dominio de f(x). La respuesta correcta es la D.
75. La TVM de la función f ( x ) = A. 2
4x − 2 en el intervalo [1, 5] es: x −2
B. 1
C. 8
D. No hay.
La función f(x) no es continua en x = 2. Como el punto x = 2 pertenece al intervalo [1, 5], entonces no tiene sentido calcular la tasa de variación media. La respuesta correcta es la D.
Introducción al concepto de derivada | Unidad 11
309
76. Las funciones f y g son continuas y derivables en (0, 6) y además, f(1) = 2, g(1) = 3, f ’ (1) = 3, f ’ (3) = – 5, g ’ (1) = 4 y g ’ (2) = 7. El valor de (f g)’(1) + (g f)’(1) es:
A. 0
B.
1
C. –1
D. Otro valor
(f g)’(1) + (g f)’(1) = f´(g(1)) · g´(1) + g´(f(1)) · f´(1) = f´(3) · 4 + g´(2) · 3 = –5 · 4 + 7 · 3 = 1 La respuesta correcta es la B.
77. La función f(x)= x2 sen x en el punto x = 0: A. Es creciente.
B. Tiene un máximo.
f´(x) = 2xsenx + x2cosx= 0 ⇒ x = 0 o x = ±
C. Es decreciente.
D. Tiene un mínimo.
π 2
π −π Estudiamos la monotonía en los intervalos: , 0 y 0, 2 2 −π π 0 2 2 x = –1 x=1 f´(x) + – f(x) −π π La función es creciente en , 0 ∪ 0, . 2 2 La función es creciente en x = 0. La respuesta correcta es la A. Encuentra el error
78. Sergio tiene que estudiar el crecimiento, decrecimiento , máximos y mínimos de la función f ( x= ) 2
1 − cos2 x en el intervalo [0, 2π] y ha procedido así:
sen x + cos2x = 1 ⇒ 1 – cos2x = sen2x ⇒ f(x) = sen x. La derivada de esta función es f´(x) = cos x π 3π π 3π Esta derivada se anula en el intervalo [0, 2π] para x = yx= , y como cos x > 0 en 0, ∪ , 2π y 2 2 2 2 π π π π 3 3 π 3 π cos x < 0 en , , 2π y decreciente en , , la función es creciente en 0, ∪ , con un 2 2 2 2 2 2 π 3π y un mínimo en x = . máximo en x = 2 2 Si su respuesta es incorrecta, ¿dónde ha cometido el error?
1 − cos2 x = sen2 x = senx es incorrecta porque La expresión f ( x ) =
2 sen = x sen = x
π Si 0 ≤ x ≤ π, f´(x) = cos x y f´(x) < 0 en el intervalo , π y f´(x) > 0 en el intervalo 2
x {−sen senx
si 0 ≤ x ≤ π . si π < x ≤ 2π
π 0, . 2
3π 3π Si π ≤ x ≤ 2π, f´(x) = –cos x y f´(x) < 0 en el intervalo , 2π y f´(x) > 0 en el intervalo π, . 2 2 π 3π π 3π Por tanto, la función es creciente en el intervalo 0, ∪ π, y decreciente en , π ∪ , 2π . 2 2 2 2 Como en x =
310
π 3π y en x = la función cambia de ser creciente a decreciente, son máximos relativos. 2 2
Unidad 11| Introducción al concepto de derivada
PONTE A PRUEBA Aprovechando el vidrio Actividad resuelta. La velocidad de la sombra Una farola de 5 m de altura está situada en una calle horizontal y recta por la que camina un hombre de 2 m de altura si incluimos la longitud de su sombrero. Pasea a velocidad constante de 1 m/s, alejándose de la farola. En un instante, se fija en la sombra que proyecta y comprueba que mide exactamente lo mismo que él. A los 6 s, se da cuenta de que la sombra es ahora bastante más larga, por lo que deduce que el tamaño de la sombra crece a una cierta velocidad y que la sombra que proyecta su sombrero avanza bastante más rápida que él sobre la calzada de la calle. El hombre se plantea estas preguntas: ¿Es posible determinar la velocidad de crecimiento de la sombra?, ¿Y la velocidad de alejamiento de la sombra del sombrero? ¿En qué instante la sombra del sombrero estará a cierta distancia de la farola? Para contestar a estas cuestiones pueden ayudarte estas indicaciones:
1.
Realiza un gráfico que represente la situación. Incluye la distancia a la que estaba el hombre de la farola cuando hizo la primera y segunda observación, el tiempo que había transcurrido desde que pasó junto a la farola en la primera y en la segunda observación, la longitud de su sombra en la segunda observación…
2.
Si llamas x a la distancia del hombre a la farola y s a la longitud de la sombra, expresa ambas en función del tiempo t. x(t) = 3 + vt = 3 + 1 · t = 3 + t Como los triángulos FGC´ y A´B´C´ son semejantes por estar en posición de Tales, entonces Es decir,
3.
2 s (t ) x (t ) + s (t ) ⇒ 5s(t) = 2x(t) + 2s(t) ⇒ 3s(t) = 2x(t) ⇒ 3s(t) = 2(3 + t) ⇒ s(t) = 2 + t = 3 2 5
Si z es la distancia del extremo de la sombra del sombrero a la farola, expresa z también como una función del tiempo t. z(t) = x(t) + s(t) = 3 + t + 2 +
4.
2 5 t=5+ t 3 3
Halla la velocidad a la que crece la longitud de la sombra y la velocidad con la que la sombra del sombrero se va alejando de la farola. s´(t) =
5.
A´C´ FC´ = . A´B´ FG
2 5 m/s crece la sombra y z´(t) = m/s se aleja la sombra del sombrero de la farola. 3 3
Si se supone que la luz de la farola sea suficientemente intensa, ¿cuánto tiempo tardará en llegar la sombra del sombrero a un punto situado a 150 m de la farola? Si z(t) = 150 m entonces z(t) = 5 +
5 t = 150 ⇒ t = 87 segundos. 3
Introducción al concepto de derivada | Unidad 11
311
AUTOEVALUACIÓN
1.
La siguiente tabla muestra las temperaturas de una ciudad desde las 6 hasta las 12 h. Hora Temp. ºC
6 4
7 4,5
8 5
9 7,5
10 8,6
11 10
12 13
Calcula la tasa de variación media de la temperatura en los intervalos [6, 12] y [9, 10]. f (12 ) − f ( 6 ) 13 − 4 9 = = = 1,5 12 − 6 6 6
TVM f[6, 12] =
2.
b) g( x ) =
h 3 + 16h 2 + 85h = 85 h →0 h
b) TVI f(5) = lim
8 en x = –7 3− x
b) TVI f(–7) = lim
h →0
8h 8 = 10h (10 − h ) 100
Halla la derivada de las siguientes funciones. a) f(x) =
1− x x +3
b) f(x) = = a) f´(x) =
b) f´(x) =
4.
f (10 ) − f ( 9 ) 8,6 − 7,5 1,1 = = = 1,1 10 − 9 1 1
Halla la TVI de las funciones: 3 2 a) f(x) = x + x en x = 5
3.
TVM f[9, 10] =
2x + 3
− ( x + 3 ) − (1 − x ) = 2 ( x + 3) 2 2 2x + 3
=
1 2x + 3
−4
( x + 3)
2
c) f(x) = (3x2 – x)3
e) f(x) = cos(π – 4x)
1− x d) f(x) = ln x +3
f) f(x) = x2ex
c) f´(x) = 3(3x2 – x)2(6x – 1)
e) f´(x) = 4sen(π – 4x)
d) f´(x) =
−4 −4 x +3 ⋅ = 1 − x ( x + 3 )2 (1 − x )( x + 3 )
f) f´(x) = 2xex + x2ex
Si f(x) = x2 – 5x + 2 calcula f´(0), f´(4), f´(–1). f´(x) = 2x – 5 ⇒ f´(0) = –5, f´(4) = 3 y f´(–1) = –7.
5.
Calcula la ecuación de la recta tangente a la parábola f(x) = x2 – 3x – 4 en uno de los puntos en los que la función corta al eje X. 2 0 = x – 3x – 4 ⇒ Los puntos de tangencia son A(4, 0) y B(–1, 0). Además como f´(x) = 2x – 3, entonces la pendiente de la recta tangente en A es f´(4) = 5 y la de la recta tangente en B es f´(–1) = –5.
Por tanto, la ecuación de la recta tangente en A es y = 5(x – 4), y la de la recta tangente en B es y = –5(x +1).
6.
Determina los extremos relativos de la función f(x) = 3x(x– 4)2. Indica sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento. f´(x) = 3(x – 4)2 + 6x(x – 4) = 3(x – 4)[(x – 4) + 2x] = 3(x – 4)(3x – 4) = 0 ⇒ x = 4 o x =
4 3
4 4 4 La función es decreciente en , 4 y creciente en −∞, ∪ (4, +∞). Como en x = la función cambia de ser 3 3 3 creciente a decreciente, es un máximo relativo. Como en x = 4 la función cambia de ser decreciente a creciente, es un mínimo relativo.
312
Unidad 11| Introducción al concepto de derivada
7.
Desde la ventana del edificio, se lanza una pelota verticalmente. Su altura, en metros, viene determinada 2 por la función: h(t) = –4,9t + 14,63t + 30,5 donde t es el tiempo en segundos, y su velocidad se halla calculando la derivada de la posición respecto del tiempo. a) ¿A qué altura está la ventana? b) ¿Con qué velocidad se lanzó la pelota? c) ¿Cuándo alcanzará la pelota su altura máxima? ¿Cuál es la altura que alcanza? d) ¿Cuánto tiempo tardará en caer el objeto? a) h(0) = 30,5 m está la ventana. b) v(t) = h´(t) = –9,8t + 14,63 ⇒ v(0) = 14,63 m/s se lanzó la pelota. c) v(t) = h´(t) = –9,8t + 14,63 = 0 ⇒ t = 1,5 s. A los 1,5 segundos el objeto alcanzó su altura máxima. La altura máxima alcanzada fue h(1,5) = 41,42 m. 2 d) h(t) = –4,9t + 14,63t + 30,5 = 0 ⇒ t = 4,4. Tardará 4,4 s en caer el objeto al suelo.
Introducción al concepto de derivada | Unidad 11
313
12 Combinatoria ANALIZA Y CALCULA En muchos países europeos existen loterías parecidas a esta. En España, es popular la bonoloto. Cada apuesta consiste en marcar 6 números de una tabla (del 1 al 49). Se obtiene premio si se aciertan tres números o más. ¿Crees que importa el orden en que se marcan los números? El orden en que se marcan los números no importa. ¿Es más fácil acertar la bonoloto (6 de 49) o la antigua lotería genovesa (5 de 90)? Es más fácil acertar la bonoloto porque, aunque hay que acertar un número más, hay muchos menos números para elegir. Es mucho más fácil acertar tres números que los seis del sorteo. ¿Con cuántas apuestas distintas se pueden acertar 3 de los números de la combinación ganadora? Con 18 424 apuestas distintas se pueden acertar tres de los números de la combinación ganadora de la bonoloto.
REFLEXIONA Y SACA CONCLUSIONES ¿Cuál es el origen de la lotería? ¿Dónde surgió? La lotería genovesa surgió en Génova a finales del siglo XVI. Génova era una república gobernada por cinco senadores, elegidos al azar entre noventa candidatos cada seis meses. En épocas de elecciones los ciudadanos empezaron a hacer apuestas sobre el resultado de las elecciones. Aunque al principio fue un juego prohibido, posteriormente se legalizó y adoptó el nombre de lotería genovesa. ¿Cuántas apuestas diferentes se pueden hacer: más de 100 000, más de un millón? ¿Crees que es muy complicado acertar los 5 números? Se pueden hacer más de un millón de apuestas diferentes. En concreto, se pueden hacer 43 949 268 apuestas diferentes en la lotería genovesa. Por tanto, es bastante complicado acertar los 5 números.
Actividades propuestas 1.
Una chica tiene 3 faldas y 5 blusas. ¿Cuántas combinaciones distintas de falda y blusa puede ponerse? Por el principio de la multiplicación se puede poner N = 3 · 5 = 15 combinaciones distintas de falda y blusa.
2.
Actividad resuelta.
3.
Utiliza los siguientes dígitos y contesta: 2, 4, 6 y 8. a) ¿Cuántos números distintos de tres cifras pueden formarse? b) ¿Cuántos números que no contengan ninguna cifra repetida? c) ¿Cuántos que tengan un solo dígito repetido? a) Cada cifra del número se puede elegir entre cualquiera de las cuatro disponibles. Por el principio de la multiplicación, se podrán formar N = 4 · 4 · 4 = 64 números distintos de tres cifras. b) Una de las cifras del número puede ser cualquiera de los cuatro dígitos disponibles, otra cifra cualquiera de los tres dígitos restantes... Por el principio de la multiplicación, se podrán formar N = 4 · 3 · 2 = 24 números distintos de tres cifras que no contengan ninguna cifra repetida. c) En total se pueden formar 64 números, de los cuales 24 no contienen ninguna cifra repetida y 4 contienen todas las cifras repetidas. Por tanto, habrá 64 – 24 – 4 = 36 números que tengan un solo dígito repetido.
314
Unidad 12| Combinatoria
4.
En una fila del cine van a sentarse 4 hombres y 3 mujeres. a) ¿De cuántas formas pueden sentarse para que no haya ni dos hombres ni dos mujeres juntas? b) ¿Y si todos los hombres han de estar juntos y las mujeres también? ¿Y si las mujeres han de estar juntas pero los hombres pueden estar separados? a) Si no puede haber ningún hombre ni ninguna mujer juntos, la única forma de sentarse es HMHMHMH, donde H representa a un hombre y M a una mujer. Es decir, un hombre puede ocupar las posiciones impares y, una mujer, las pares. Por tanto, habrá 4 · 3 · 2 · 1 = 24 maneras de ordenar a los hombres y 3 · 2 · 1 = 6 de ordenar a las mujeres. Por el principio de la multiplicación habrá N = 24 · 6 = 144 formas de ordenar a 4 hombres y 3 mujeres en una fila, de manera que no haya dos hombres ni dos mujeres juntas. b) Si todos los hombres han de estar juntos y las mujeres también, existen dos formas de sentarse: HHHHMMM o MMMHHHH. En cada ordenación hay 4 · 3 · 2 · 1 = 24 maneras de ordenar a los hombres y 3 · 2 · 1 = 6 de ordenar a las mujeres. Por el principio de la multiplicación habrá N = 2 · 24 · 6 = 288 formas de ordenar a 4 hombres y 3 mujeres en una fila, de manera que los hombres estén juntos y las mujeres también. Si las mujeres han de estar juntas y los hombres pueden estar separados, existen cinco formas de sentarse: HHHHMMM, HHHMMMH, HHMMMHH, HMMMHHH o MMMHHHH. En cada ordenación hay 4 · 3 · 2 · 1 = 24 maneras de ordenar a los hombres y 3 · 2 · 1 = 6 de ordenar a las mujeres. Por el principio de la multiplicación habrá N = 5 · 24 · 6 = 720 formas de ordenar a 4 hombres y 3 mujeres en una fila, de manera que las mujeres estén juntas. ¿Cuántos menús puede elaborar Juan con estos platos? Realiza el recuento con la ayuda de un diagrama de árbol. Menú
5.
1.er plato Menestra de verduras Frijoles con arroz Ensalada templada Tallarines al pesto
2.º plato Pollo en salsa Salmón a la plancha Albóndigas
Postre Fruta Natillas Tarta de queso Cuajada con miel
Por cada primer plato se pueden elaborar 12 menús diferentes. Como hay 4 opciones para elegir como primer planto, entonces Juan podrá elaborar 12 · 4 = 48 menús diferentes.
6.
¿Cuántos resultados se pueden obtener al extraer dos bolas sin reemplazamiento de una urna que contiene 2 bolas blancas, 1 verde y 1 amarilla?
Se podrán obtener 7 resultados diferentes.
Combinatoria | Unidad 12 315
7.
Utiliza un diagrama de árbol para expresar todos los resultados obtenidos al lanzar una moneda y un dado y haz un recuento de los resultados.
Hay 12 resultados posibles.
8.
¿Cuántas banderas distintas se pueden formar con 3 franjas horizontales de color azul, blanco o verde? Realiza un diagrama de árbol para ver todas las posibilidades teniendo en cuenta que dos franjas del mismo color no pueden estar juntas. Denotamos por A = “azul”, B = “blanco” y V = “verde”. El diagrama de árbol es el siguiente:
Hay 12 banderas distintas.
9.
Se quiere construir una clave alfanumérica de cinco caracteres que contenga 3 letras y 2 cifras. Las cifras no se pueden repetir, pero las letras sí, aunque solo se pueden usar vocales. ¿Cuántas claves diferentes, con estas condiciones, existen? Existen 10 formas distintas de ordenar 3 vocales y 2 cifras en 5 huecos. Las cifras se pueden elegir de 10 · 9 = 90 maneras diferentes, porque se seleccionan dos cifras distintas del 0 al 9. Las vocales se pueden elegir de 5 · 5 · 5 = 125 maneras diferentes, porque se eligen tres vocales de las cinco existentes y se pueden repetir. Por el principio de la multiplicación, habrá N = 10 · 90 · 125 = 11 250 claves diferentes.
316
Unidad 12| Combinatoria
10. En una liga de baloncesto escolar participan 12 equipos. Cada equipo juega contra todos los demás, a doble vuelta. ¿Cuántos partidos se disputan en total?
Para cada partido se eligen 2 equipos de los 12. El orden influye, ya que hay partidos de ida y vuelta. Entonces de 12 elementos hay que elegir 2 diferentes y el orden es determinante. Se trata de calcular las variaciones sin repetición de 12 elementos tomados de 2 en 2. V12, 2 = 12 · 11 = 132 Se disputan 132 partidos en total.
11. Con las letras de la palabra BURGOS: a) ¿Cuántas palabras de 4 letras, con significado o sin él, se pueden formar? b) ¿Cuántas de ellas tienen alguna letra repetida? a) Hay que seleccionar 4 letras de entre 6, pero una misma letra puede estar repetida y el orden influye. Se trata de calcular las variaciones con repetición de 6 elementos tomados de 4 en 4. VR6, 4 = 64 = 1296 Se pueden formar 1296 palabras de 4 letras, con significado o sin él. b) Calculamos el número de palabras de 4 letras, con significado o sin él, que se pueden formar sin repetir ninguna letra. Para cada palabra se eligen 4 letras diferentes de las 6 disponibles. El orden influye, ya que al intercambiar dos letras la palabra es distinta. Entonces de 6 elementos hay que elegir 4 y el orden es determinante. Se trata de calcular las variaciones sin repetición de 6 elementos tomados de 4 en 4. V6, 4 = 6 · 5 · 4 · 3 = 360 Se pueden formar 360 palabras de 4 letras, con significado o sin él, sin repetir ninguna letra. Por tanto, habrá 1296 – 360 = 936 palabras, con o sin significado, en las que se repita al menos una letra.
12. Con los dígitos {3, 4, 5, 6, 7 y 8}: a) ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar? b) ¿Cuántos no tienen ninguna cifra repetida? a) Hay que seleccionar 3 cifras de entre 6, pero una misma cifra puede estar repetida y el orden influye. Se trata de calcular las variaciones con repetición de 6 elementos tomados de 3 en 3. VR6, 3 = 63 = 216 Se pueden formar 216 números de tres cifras. b) Para cada número se eligen 3 dígitos diferentes de los 6 disponibles. El orden influye, ya que al intercambiar dos cifras el número es distinto. Entonces de 6 elementos hay que elegir 3 diferentes y el orden es determinante. Se trata de calcular las variaciones sin repetición de 6 elementos tomados de 3 en 3. V6, 3 = 6 · 5 · 4 = 120 Se pueden formar 120 números de 3 cifras sin repetir ninguna cifra.
13. En el alfabeto Braille cada letra y cada signo está representado por 6 puntos, distribuidos en dos columnas de 3, de los cuales unos están en relieve y otros no. ¿Cuántos signos distintos se pueden formar así? Hay que seleccionar 6 elementos de entre 2. En cada grupo habrá elementos repetidos y el orden influye. Se trata de calcular las variaciones con repetición de 2 elementos tomados de 6 en 6. VR2, 6 = 26 = 64 Se pueden formar 64 signos distintos.
14. Actividad resuelta.
Combinatoria | Unidad 12 317
15. Cinco amigos han sacado cinco entradas consecutivas en la misma fila para ver el último estreno de cine. a) ¿De cuántas maneras pueden sentarse? b) Luis y Carmen quieren estar en butacas contiguas. ¿De cuántas maneras se pueden sentar ahora los cinco amigos? a) Cualquiera de los 5 amigos puede ocupar cualquiera de las 5 butacas. Entonces, de 5 elementos, se toman los 5 y dos ordenaciones serán distintas si los amigos están en diferente butaca. Se trata de calcular las permutaciones de orden 5. P5 = 5! = 120 Se pueden sentar de 120 maneras diferentes. b) Si dos amigos quieren estar juntos, se pueden considerar como uno solo y quedan 4 amigos para colocar: P4 = 24. Pero hay dos formas de colocar a los dos amigos que quieren estar juntos: P2 = 2! = 2. Aplicando el principio de la multiplicación, los amigos tendrán N = 24 · 2 = 48 formas de sentarse.
16. ¿De cuántas maneras distintas pueden sentarse 5 personas en un coche si… a) … todos tienen carnet de conducir? b) … solo una de ellas tienen carnet de conducir? c) … hay dos que tienen carnet de conducir? a) Cualquiera de las 5 personas puede ocupar cualquiera de los 5 asientos del coche. Entonces, de 5 elementos, se toman los 5 y dos ordenaciones serán distintas si las personas están en diferente asiento. Se trata de calcular las permutaciones de orden 5. P5 = 5! = 120 Se pueden sentar de 120 maneras diferentes. b) La persona que tiene carnet de conducir tiene que sentarse en el asiento del conductor. Cualquiera de las 4 personas restantes puede ocupar cualquiera de los 4 asientos restantes del coche. Entonces, de 4 elementos, se toman los 4 y dos ordenaciones serán distintas si las personas están en diferente asiento. Se trata de calcular las permutaciones de orden 4. P4 = 4! = 24 Se pueden sentar de 24 maneras diferentes. c) Las personas que tienen el carnet de conducir son las únicas que se pueden sentar en la plaza del conductor. Así estas dos personas se pueden considerar como una sola y quedan 4 personas para colocar: P4 = 24. Pero hay dos formas de colocar a las dos personas que tienen el carnet de conducir: P2 = 2! = 2. Aplicando el principio de la multiplicación, habrá N = 24 · 2 = 48 formas de sentarse.
17. ¿Cuántas palabras distintas de 4 letras, con significado o sin él, se pueden formar con las letras de la palabra GAME? Si las colocamos por orden alfabético, ¿en qué posición estará la palabra GAME?
Como GAME tiene 4 letras, se quieren hacer grupos de 4 elementos distintos y el orden es determinante, se trata de calcular permutaciones de orden 4. P4 = 4! = 24 Se pueden hacer 24 palabras, con significado o sin él, con las letras de la palabra GAME. Para hallar la posición en la que estará la palabra GAME se cuentan cuántas palabras empiezan por A y cuántas por E. Palabras que empiezan por A: se quieren hacer grupos de 3 elementos con las 3 letras restantes. Se trata de calcular permutaciones de orden 3: P3 = 3! = 6. Palabras que empiezan por E: se quieren hacer grupos de 3 elementos con las 3 letras restantes. Se trata de calcular permutaciones de orden 3: P3 = 3! = 6. Por G, ordenadas alfabéticamente, las palabras que se pueden formar son: GAEM, GAME… Por tanto, si colocamos por orden alfabético las palabras, la palabra GAME ocupará la posición 14.
318
Unidad 12| Combinatoria
18. En el código morse, los caracteres están formados por dos símbolos: punto y raya. Por ejemplo, los dígitos del 0 al 9 se representan mediante grupos de 5 símbolos:
¿Cuántos caracteres distintos se pueden formar con grupos de 3 rayas y 2 puntos, como el número 2 o el número 8? En cada carácter se utilizan todos los elementos. Además, los elementos se repiten y el orden influye. Se trata de calcular las permutaciones con repetición de 5 elementos en los que uno se repite 2 veces y otro 3 veces. 2,3 PR = 5
5! = 10 2! ⋅ 3!
Se pueden formar 10 caracteres distintos.
19. En un garaje hay 10 plazas numeradas para aparcar los 10 coches de los vecinos, pero están sin asignar. a) ¿De cuántas formas distintas pueden aparcar los 10 coches? b) Si los tres vecinos del primer piso ocuparan las tres primeras plazas, ¿de cuántas maneras podrán aparcar ahora? a) Cualquiera de los 10 coches puede ocupar cualquiera de las 10 plazas de garaje. Entonces, de 10 elementos se toman 10 sin repetir y dos combinaciones serán distintas solo si dos coches están en distinto orden. Se trata de calcular las permutaciones de orden 10. P10 = 10! = 3 628 800 Hay 3 628 800 formas distintas de aparcar los 10 coches. b) Si los tres vecinos del primer piso ocupan las tres primeras plazas, hay P3 = 3! = 6 formas distintas de aparcar estos 3 coches en las 3 primeras plazas. Pero además hay P7 = 7! = 5040 formas distintas de aparcar los coches de los 7 vecinos restantes en las 7 plazas que quedan vacías. Aplicando el principio de multiplicación, habrá N = 6 · 5040 = 30 240 formas de aparcar.
20. ¿De cuántas maneras diferentes pueden colocarse en fila 7 bolas de billar de igual tamaño, de las que 4 son lisas, 2 rayadas y una negra? ¿Y si la bola negra debe estar en el centro?
En cada ordenación se utilizan todos los elementos y, además, los elementos se repiten porque hay bolas lisas y rayadas iguales y el orden influye en cada grupo. Se trata de calcular las permutaciones con repetición de 7 elementos en los que uno se repite 4 veces, otro 2 veces y otro una vez. = PR74,2,1
7! = 105 4! ⋅ 2! ⋅ 1!
Se pueden agrupar de 105 formas distintas. Si la bola negra debe estar en el centro, entonces quedan 6 huecos en los que colocar 4 bolas lisas y 2 rayadas. Se trata de calcular las permutaciones con repetición de 6 elementos en los que uno se repite 4 veces y otro 2 veces. 4,2 PR = 6
6! = 15 4! ⋅ 2!
Si la bola negra debe estar en el centro, se pueden agrupar de 15 formas distintas.
Combinatoria | Unidad 12 319
21. Ana nació en el año 2000 y quiere crear una clave de 7 caracteres con las letras de su nombre y los dígitos de su año de nacimiento.
a) ¿Cuántas claves distintas podrá formar? b) ¿Cuántas de ellas tienen las tres letras al principio y las cuatro cifras al final? c) ¿Cuántas tienen las tres letras juntas? a) Hay que crear claves de 7 caracteres con los símbolos 2, 0, 0, 0, A, N, A. Por tanto, se toman todos los elementos, el orden influye y en cada grupo hay elementos repetidos. Se trata de calcular las permutaciones con repetición de 7 elementos en los que uno se repite 3 veces, otro, 2 veces, y los otros dos, 1 vez. = PR73,2,1,1,
7! = 420 3! ⋅ 2! ⋅ 1! ⋅ 1!
Se pueden crear 420 claves distintas. 2,1 b) Si las tres letras deben ir al principio, hay PR = 3
3! = 3 formas distintas de ordenar las letras al inicio de la 2! ⋅ 1!
clave. 3,1 Pero además hay PR = 4
4! = 4 formas distintas de ordenar las cuatro cifras al final de la clave. 3! ⋅ 1!
Aplicando el principio de multiplicación, habrá N = 3 · 4 = 12 claves diferentes. c) Si las tres letras deben estar juntas, se pueden considerar como una sola y quedan 5 símbolos para colocar. Se trata de calcular las permutaciones con repetición de 5 elementos en los que uno se repite 3 veces y los otros 2 una vez. = PR51,1,3
5! = 20 3! ⋅ 1! ⋅ 1!
2,1 Pero hay 3 formas de ordenar las tres letras: PR = 3
3! = 3 2! ⋅ 1!
Aplicando el principio de multiplicación, habrá N = 20 · 3 = 60 claves diferentes.
22. Usando todas las letras de la palabra BANANA. a) ¿Cuántas palabras distintas, con significado o sin él, se pueden formar? b) ¿En cuántas de estas palabras las tres aes ocupan los lugares pares? c) ¿En cuántas de ellas las tres aes están juntas? a) Se trata de calcular las permutaciones con repetición de 6 elementos en los que uno se repite 3 veces, otro, 2 veces, y otro, 1 una vez. = PR63,2,1
6! = 60 3! ⋅ 2! ⋅ 1!
Se pueden crear 60 palabras distintas. b) Si las tres aes deben ocupar los lugares pares, entonces el resto de letras tienen que ocupar los lugares impares. Se trata de calcular las permutaciones con repetición de 3 elementos en los que uno se repite 2 veces, y otro, 1 vez. 2,1 PR = 3
3! = 3 2! ⋅ 1!
Se pueden crear 3 palabras distintas. c) Si las tres aes están juntas, se pueden considerar como una sola y quedan 4 letras para colocar. Son permutaciones con repetición de 4 elementos en los que uno se repite 2 veces, y los otros dos, 1 vez. = PR42,1,1
4! = 12 2! ⋅ 1! ⋅ 1!
Se pueden crear 12 palabras distintas.
320
Unidad 12| Combinatoria
23. Mario va a colocar 50 libros en cajas de 6. ¿De cuántas formas puede hacerlo? Mario dispone de 50 libros de los que hay que seleccionar 6 diferentes sin importar el orden de esos 6. Se trata de calcular las combinaciones de 50 elementos tomados de 6 en 6. = C50,6
50! = 15 890 700 6! ⋅ 44!
Se pueden colocar de 15 890 700 formas distintas.
24. Para aprobar un examen de 5 preguntas es necesario contestar bien a tres de ellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir las tres preguntas?
De 5 preguntas hay que seleccionar 3 diferentes sin importar el orden de esas 3. Se trata de calcular las combinaciones de 5 elementos tomados de 3 en 3. = C5,3
5! = 10 3! ⋅ 2!
Las tres preguntas se pueden elegir de 10 formas distintas.
25. Ocho equipos llegan a cuartos de final en un campeonato. ¿Cuántos partidos diferentes se pueden dar? De 8 equipos hay que seleccionar 2 diferentes sin importar el orden de esos 2. Se trata de calcular las combinaciones de 8 elementos tomados de 2 en 2. = C8,2
8! = 28 2! ⋅ 6!
Se pueden dar 28 partidos diferentes.
26. En una clase de baile de salón hay 12 personas. ¿Cuántas parejas de baile pueden darse? De 12 personas hay que seleccionar 2 diferentes sin importar el orden de esas 2. Se trata de calcular las combinaciones de 12 elementos tomados de 2 en 2. = C12,2
12! = 66 2! ⋅ 10!
Se pueden dar 66 parejas de baile diferentes.
27. Un estudiante debe elegir 3 temas de física de 5 posibles, y 2 de química, de 4 posibles. ¿De cuántas maneras puede elegir los temas de física? ¿Y los temas que va a estudiar?
De 5 temas de física hay que seleccionar 3 diferentes sin importar el orden de esos 3. Se trata de calcular las combinaciones de 5 elementos tomados de 3 en 3: C5,3 = 10 Puede elegir de 10 formas diferentes los temas de física. De 4 temas de química hay que seleccionar 2 diferentes sin importar el orden de esos 2. Se trata de calcular las combinaciones de 4 elementos tomados de 2 en 2: C4,2 = 6 Puede elegir de 6 formas diferentes los temas de química. Aplicando el principio de multiplicación, habrá N = 10 · 6 = 60 formas diferentes de elegir los temas que va estudiar.
28. Calcula los siguientes números combinatorios. 4 a) 1
5 b) 2
5 c) 3
6 d) 6
4! 4 = a) = 4 1 1! ⋅ 3!
5! 5! 6! 5 = 5 = 6 = b) = 10 c) = 10 d) = 1 2 3 6 2! ⋅ 3! 3! ⋅ 2! 6! ⋅ 0!
8 e) 5 8! 8 = e) = 56 5 5! ⋅ 3!
Combinatoria | Unidad 12 321
29. Comprueba que se cumple la siguiente igualdad. 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4 0 1 2 3 4 2 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4 4 4 4 4 1 + 4 + 4! + 4 + 1 = 10 + 6 = 16 = 24 0 1 2 3 4 0 + 1 + 2 + 1 + 0 = 2!⋅ 2!
30. Si se lanzan dos dados consecutivamente, ¿cuántos resultados se pueden producir? ¿Y si se lanzan dos dados y dos monedas?
Si se lanzan dos dados consecutivamente, al lanzar el primer dado se pueden obtener 6 resultados diferentes y, al lanzar el segundo dado, otros 6. Por el principio de la multiplicación, se pueden producir N = 6 · 6 = 36 resultados diferentes. Si se lanzan dos dados y dos monedas consecutivamente, al lanzar el primer dado se pueden obtener 6 resultados diferentes y, al lanzar el segundo dado, otros 6. Al lanzar una moneda se pueden obtener 2 resultados distintos y, al lanzar la segunda moneda, otros 2. Por el principio de la multiplicación, se pueden producir N = 6 · 6 · 2 · 2 = 144 resultados diferentes.
31. Actividad resuelta. 32. Los padres de Pedro, Laura y Daniel van a repartir las tareas entre todos. •
La madre quiere que se encargue un chico de hacer la compra.
•
Daniel no puede salir solo de casa.
•
El padre ha pedido no pasear al perro.
¿De cuántas formas pueden asignarse las tareas, teniendo en cuenta todas las condiciones? Construimos un diagrama de árbol, teniendo en cuenta las condiciones dadas.
Si Laura pasea al perro hay 8 formas de asignar la tarea. Por simetría, si la madre pasea al perro hay otras 8 maneras de asignar la tarea. Si es Pedro el que pasea al perro hay 4 maneras de asignar las tareas. En total habrá 8 + 8 + 4 = 20 maneras diferentes de asignar las tareas.
322
Unidad 12| Combinatoria
33. Para volar de Madrid a Wellington (Nueva Zelanda) hay que hacer dos escalas: en Dubái y en Melbourne. Hay tres compañías que vuelan de Madrid a Dubái, dos que vuelan de Dubái a Melbourne y tres que enlazan Melbourne y Wellington. a) Haz un diagrama en árbol. b) ¿De cuántas maneras se puede organizar el viaje? a) Llamamos C1, C2, C3 a las compañías que vuelan de Madrid a Dubái, C4 y C5 a las que vuelan de Dubái a Melbourne y C6, C7 y C8 a las que unen Melbourne con Wellington. El diagrama de árbol es el siguiente:
Si se vuela de Madrid a Dubái con la compañía C2 o la C3, las ramas del árbol serían igual. b) De Madrid a Dubái se puede viajar con 3 compañías, de Dubái a Melbourne con 2 y de Melbourne a Wellington con 3. Aplicando el principio de multiplicación, habrá N = 3 · 2 · 3 = 18 formas diferentes de viajar.
34. Una línea de ferrocarril constaba de 10 estaciones. En cada billete figura la estación de partida y la de llegada. a) ¿Cuántos billetes distintos hay?
b) La línea se ha ampliado con 3 nuevas estaciones. ¿Cuántos billetes nuevos habrá que imprimir? a) La estación de partida puede ser cualquiera de las 10 estaciones de las que constaba el ferrocarril y, la de llegada, cualquiera de las 9 restantes. Aplicando el principio de multiplicación, habrá N = 10 · 9 = 90 billetes distintos. b) La estación de partida puede ser cualquiera de las 13 estaciones de las que consta el ferrocarril y, la de llegada, cualquiera de las 12 restantes. Aplicando el principio de multiplicación, habrá N = 13 · 12 = 156 billetes distintos. Por tanto, habrá que imprimir 156 – 90 = 66 billetes nuevos.
35. Calcula. a) V7, 5
d) V20, 5
b) V6, 1
e) VR2, 5
c) V12, 3
f) VR3, 4
a) V7, 5 = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 = 2520
d) V20, 5 = 20 · 19 ·18 · 17 · 16 = 1 860 480
b)
e) VR2, 5 = 25 = 32
V6, 1
=6
c) V12, 3 = 12 · 11 · 10 = 1320
f) VR3, 4 = 34 = 81
Combinatoria | Unidad 12 323
36. ¿De cuántas maneras pueden aparcar 4 coches en 7 plazas de garaje diferentes? Para cada ordenación se eligen 4 plazas de las 7 disponibles. Entonces de 7 elementos hay que elegir 4 diferentes y el orden es determinante. Se trata de calcular las variaciones sin repetición de 7 elementos tomados de 4 en 4. V7, 4 = 7 · 6 · 5 · 4 = 840 Hay 840 maneras de aparcar diferentes.
37. Una expedición de alta montaña está formada por 10 alpinistas, 4 expertos y 6 novatos. a) ¿De cuántas maneras pueden formar una cordada de 3 personas? b) Si la cordada la tiene que encabezar un alpinista experto, ¿cuántas cordadas diferentes pueden formar? a) Para cada cordada se eligen 3 alpinistas de los 10 disponibles. Entonces de 10 elementos hay que elegir 3 diferentes y el orden es determinante. Se trata de calcular las variaciones sin repetición de 10 elementos tomados de 3 en 3. V10, 3 = 10 · 9 · 8 = 720 Hay 720 cordadas de tres personas diferentes. b) De 4 expertos hay que seleccionar 1 para encabezar la cordada. Entonces hay 4 formas diferentes de encabezar la cordada. De los 9 restantes alpinistas hay que elegir 2 para la cordada. Entonces de 9 elementos hay que elegir 2 diferentes y el orden es determinante. Se trata de calcular las variaciones sin repetición de 9 elementos tomados de 2 en 2. V9, 2 = 9 · 8 = 72 Hay 72 formas diferentes de elegir a los dos alpinistas. Aplicando el principio de multiplicación, habrá N = 4 · 72 = 288 cordadas diferentes encabezadas por un alpinista experto.
38. La profesora de lengua quiere organizar una obra de teatro en la que haya 5 personajes masculinos y 3 femeninos. En la clase hay 10 chicas y 13 chicos. a) ¿De cuántas maneras puede repartir los papeles masculinos entre los chicos? b) ¿Y los femeninos entre las chicas? c) ¿Cuántos repartos globales diferentes puede organizar? a) Para la obra se eligen 5 chicos de los 13 disponibles. Entonces de 13 elementos hay que elegir 5 diferentes y el orden es determinante. Se trata de calcular las variaciones sin repetición de 13 elementos tomados de 5 en 5. V13, 5 = 13 · 12 · 11 · 10 · 9 = 154 440 Hay 154 440 maneras diferentes de repartir los papeles masculinos entre los chicos. b) Para la obra se eligen 3 chicas de las 10 disponibles. Entonces de 10 elementos hay que elegir 3 diferentes y el orden es determinante. Se trata de calcular las variaciones sin repetición de 10 elementos tomados de 3 en 3. V10, 3 = 10 · 9 · 8 = 720 Hay 720 maneras diferentes de repartir los papeles femeninos entre las chicas. c)
324
Aplicando el principio de multiplicación, se podrán organizar N = 154 440 · 720 = 111 196 800 repartos globales.
Unidad 12| Combinatoria
39. El consejo asesor de una gran empresa está formado por 15 consejeros. El consejo ejecutivo se elige entre los
miembros del consejo asesor y está formado por un presidente, un vicepresidente, un secretario y un asesor. Todos son elegibles y no pueden ocupar dos puestos. ¿De cuántas maneras distintas puede constituirse el consejo ejecutivo? De los 15 miembros del consejo asesor hay que elegir 4 para el consejo ejecutivo. Entonces de 15 elementos hay que elegir 4 diferentes y el orden es determinante. Se trata de calcular las variaciones sin repetición de 15 elementos tomados de 4 en 4. V15, 4 = 15 · 14 · 13 · 12 = 32 760 Hay 32 760 formas diferentes de constituir el consejo directivo.
40. ¿Cuántos números de cinco cifras hay formados exclusivamente por las cifras impares? a) ¿Cuántos de ellos no tienen ninguna cifra repetida? b) ¿Cuántos de ellos tienen alguna cifra repetida? c) ¿Cuántos tienen la misma cifra al principio y al final del número? d) ¿Cuántos son capicúas? Hay que seleccionar 5 cifras de entre 5 cifras impares que existen. Se trata de calcular las variaciones con repetición de 5 elementos tomados de 5 en 5. VR5, 5 = 55 = 3125 Se pueden formar 3125 números diferentes formados exclusivamente por las cifras impares. a) De las 5 cifras impares hay que elegir 5. Entonces de 5 elementos hay que elegir 5 diferentes y el orden es determinante. Se trata de calcular las variaciones sin repetición de 5 elementos tomados de 5 en 5. V5, 5 = P5 = 5! = 120 Se pueden formar 120 números diferentes formados por las cifras impares y sin repetir ninguna cifra. b) Hay 3125 – 120 = 3005 números diferentes formados exclusivamente por las cifras impares con alguna cifra repetida. c) La última cifra del número tiene que ser la misma que la primera. Por tanto, de las 5 cifras impares hay que elegir 4. Entonces de 5 elementos hay que elegir 4 y el orden es determinante. Se trata de calcular variaciones con repetición de 5 elementos tomados de 4 en 4. VR5,4 = 54 = 625 Hay 625 números diferentes con las cifras impares, tales que la primera cifra y la última sean iguales. d) Los números capicúas de 5 cifras verifican que la primera y la última cifra son iguales, y la segunda y la cuarta también. Por tanto, de las 5 cifras impares hay que elegir 3. Entonces de 5 elementos hay que elegir 3 y el orden es determinante. Se trata de calcular variaciones con repetición de 5 elementos tomados de 3 en 3. VR5,3 = 53 = 125 Se pueden formar 125 números capicúas diferentes con las cifras impares.
41. Calcula. a) P3
c) P12
e) PR82,3,3
b) P6
d) P8
f)
a) P3 = 3! = 6
c) P12 = 12! = 479 001 600
e)= PR82,3,3
8! = 560 2! ⋅ 3! ⋅ 3!
c) P6 = 6! = 720
d) P8 = 8! = 40 320
5,3,7 f) = PR15
15! = 360 360 5! ⋅ 3! ⋅ 7!
5,3,7 PR15
Combinatoria | Unidad 12 325
42. Utilizando exclusivamente las cifras pares 2, 4, 6 y 8, y sin que se repita ninguna. a) ¿Cuántos números distintos de 4 cifras se pueden formar? b) ¿Cuántos de ellos son mayores que 7000? c) ¿Cuántos de ellos son menores que 5000? a) Como hay 4 cifras para elegir y se quieren hacer grupos de 4 elementos diferentes, se trata de calcular permutaciones de orden 4. Hay P4 = 4! = 24 números distintos de 4 cifras utilizando las cifras pares. b) Si el número ha de ser mayor de 7000 la primera cifra debe ser 8. Por tanto, se trata de calcular permutaciones de orden 3. Hay P3 = 3! = 6 números distintos mayores que 7000. c) Si el número ha de ser menor que 5000 la primera cifra debe ser 2 o 4. Por tanto, para cada caso se trata de calcular permutaciones de orden 3. Hay 2 · P3 = 2 · 3! = 2 · 6 = 12 números distintos menores que 5000.
43. La palabra HOUSEMAID no tiene ninguna letra repetida y además contiene 5 vocales. Si utilizamos una sola vez cada una de sus letras:
a) ¿Cuántas palabras distintas podemos formar? b) ¿Cuántas tienen las 5 vocales juntas al principio? c) ¿En cuántas las vocales ocupan las posiciones impares y las consonantes, las pares? d) ¿Cuántas empiezan por consonante? e) ¿Cuántas empiezan y terminan por consonante? a) Como HOUSEMAID tiene 9 letras, se quieren hacer grupos de 9 elementos sin repetir ninguno e influye el orden. Se trata de calcular las permutaciones de orden 9. P9 = 9! = 362 880 Se pueden formar 362 880 palabras distintas. b) Para ordenar las vocales hay que elegir 5 diferentes de las 5 disponibles y el orden es determinante. Se trata de calcular las permutaciones de orden 5. P5 = 5! = 120 Se pueden formar 120 grupos distintos. Para ordenar las consonantes hay que elegir 4 diferentes de las 4 disponibles y el orden es determinante. Se trata de calcular las permutaciones de orden 4. P4 = 4! = 24 Se pueden formar 24 grupos distintos. Aplicando el principio de multiplicación, habrá N = 120 · 24 = 2880 palabras diferentes. c) Las vocales pueden ocupar cualquiera de los 5 lugares impares que hay. Se trata de calcular las permutaciones de orden 5: P5 = 5! = 120 Las consonantes pueden ocupar cualquiera de los 4 lugares pares que hay. Se trata de calcular las permutaciones de orden 4: P4 = 4! = 24 Aplicando el principio de multiplicación, habrá N = 120 · 24 = 2880 palabras diferentes en las que las vocales ocupen los lugares impares y las consonantes los pares. d) La primera letra puede ser cualquiera de las 4 consonantes disponibles. Para ordenar el resto de letras hay que elegir 8 diferentes de las 8 que quedan disponibles y el orden es determinante. Se trata de calcular las permutaciones de orden 8. P8 = 8! = 40 320 Aplicando el principio de multiplicación, habrá N = 4 · 40 320 = 161 280 palabras diferentes en las que la primera letra es una consonante. e) La primera letra puede ser cualquiera de las 4 consonantes disponibles y, la última, cualquiera de las 3 consonantes restantes. Para ordenar el resto de letras hay que elegir 7 diferentes de las 7 que quedan disponibles y el orden es determinante. Se trata de calcular las permutaciones de orden 7. P7 = 7! = 5 040 Aplicando el principio de multiplicación, habrá N = 4 · 3 · 5040 = 60 480 palabras diferentes en las que la primera y la última letra sea una consonante.
326
Unidad 12| Combinatoria
44. En la lotería de Navidad hay 100 000 números, desde el 00 000 hasta el 99 999. ¿Cuántos números distintos hay que tengan 3 veces la cifra 3 y 2 veces la cifra 2?
Se trata de calcular las permutaciones con repetición de 5 elementos en los que uno se repite 3 veces y otro 2. 5! = 10 3! ⋅ 2! Hay 10 números distintos que tengan 3 veces la cifra 3 y 2 veces la cifra 2. 3,2 PR = 5
45. Con las letras de la palabra ANAGRAMA, ¿cuántas palabras, con o sin significado, puedes formar? a) ¿Cuántas empiezan y terminan por A? b) ¿Cuántas tienen las letras A en la misma posición que la palabra ANAGRAMA? Se quieren hacer grupos de 8 elementos en los que uno se repite 4 veces y los otros 4 una vez, e influye el orden. Son permutaciones con repetición de 8 elementos en los que uno se repite 4 veces, y los otros cuatro, 1 vez. = PR84,1,1,1,1
8! = 1680 4! ⋅ 1! ⋅ 1! ⋅ 1! ⋅ 1!
Se pueden formar 1680 palabras diferentes, con o sin significado, con las letras de la palabra ANAGRAMA. a) La primera letra y la última deben ser una A. Para ordenar el resto de letras, se quieren hacer grupos de 6 elementos en los que uno se repite 2 veces y los otros cuatro, 1 vez, e influye el orden. Se trata de calcular las permutaciones con repetición de 6 elementos en los que uno se repite 2 veces y los otros cuatro, 1 vez. = PR62,1,1,1,1
6! = 360 2! ⋅ 1! ⋅ 1! ⋅ 1! ⋅ 1!
Se pueden formar 360 palabras diferentes, con o sin significado, con las letras de la palabra ANAGRAMA que empiezan y terminan por A.. b) Las letras A se fijan en la misma posición que en la palabra ANAGRAMA. Para ordenar el resto de letras hay que elegir 4 diferentes de las 4 que quedan disponibles y el orden es determinante. Se trata de calcular las permutaciones de orden 4. P4 = 4! = 24 Se pueden formar 24 palabras diferentes, con o sin significado, con las A en la misma posición que en la palabra ANAGRAMA.
46. Calcula. a) C5,3
c) C7,2
b) C8,6
d) C10,9
a) C5,3 =
5! = 10 3! ⋅ 2!
c) C7,2 =
7! = 21 5! ⋅ 2!
b) C8,6 =
8! = 28 6! ⋅ 2!
d) C10,9 =
10! = 10 9! ⋅ 1!
47. Antes del inicio de una reunión, sus 10 asistentes se dan la mano entre sí. ¿Cuántos choques de mano se producen?
De 10 asistentes hay que seleccionar 2 diferentes sin importar el orden de esos 2. Se trata de calcular las combinaciones de 10 elementos tomados de 2 en 2. = C10,2
10! = 45 8! ⋅ 2!
Se producen 45 choques de manos en total.
Combinatoria | Unidad 12 327
48. Alberto, Belén, Carlos y Diana quieren jugar al pádel en partidos dobles. a) ¿Cuántos equipos distintos pueden formarse? b) Si los equipos han de ser mixtos, ¿cuántos equipos distintos se pueden formar? a) De 4 jugadores hay que seleccionar 2 diferentes sin importar el orden de esos 2. Se trata de calcular las combinaciones de 4 elementos tomados de 2 en 2. = C4,2
4! = 6 2! ⋅ 2!
Se pueden formar 6 equipos diferentes. b) Para cada equipo, de 2 hombres hay que seleccionar uno y de 2 mujeres hay que seleccionar una. C2,1 · C2,1 = 2 · 2 = 4 Se pueden formar 4 equipos mixtos diferentes.
49. ¿Qué valor corresponde al número 6 ? 4
A. 24
C. 1
B. 15
D. 6
6! 6 = = 15 4 4! ⋅ 2!
La respuesta correcta es la B.
50. Encuentra otro número combinatorio que valga lo mismo que: 7 a) 3
5 c) 1
8 b) 8
20 d) 16
7 7 7 = a)= 3 7 − 3 4
5 5 5 = c)= 1 5 − 1 4
8 8 8 = b)= 8 8 − 8 0
20 20 20 = d) = 16 20 − 16 4
51. Comprueba que se cumplen las igualdades: 8 8 9 a) + = 4 5 5 9 9 b) = 4 5
8! 8! 9! a) 8 + 8 = 9 ⇒ + = ⇒ 70 + 56 = 126 4 5 5 4! ⋅ 4! 4! ⋅ 5! 5! ⋅ 4! 9! 9! b) 9 = 9 ⇒ = ⇒ 126 = 126 4 5 4! ⋅ 5! 5! ⋅ 4!
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Unidad 12| Combinatoria
52. Una baraja española consta de 40 cartas, 10 cartas de cada palo: oros, copas, espadas y bastos. a) ¿Cuántas manos diferentes de 4 cartas se pueden formar? b) ¿En cuántas de ellas las 4 cartas son de oros? c) ¿En cuántas dos cartas son de oros, y dos, de copas? a) De 40 cartas hay que seleccionar 4 diferentes sin importar el orden de esas 4. Se trata de calcular las combinaciones de 40 elementos tomados de 4 en 4. = C40,4
40! = 91 390 4! ⋅ 36!
Se pueden formar 91 390 manos diferentes. b) De 10 cartas de oros hay que seleccionar 4 diferentes sin importar el orden de esas 4. Se trata de calcular las combinaciones de 10 elementos tomados de 4 en 4. = C10,4
10! = 210 4! ⋅ 6!
Las cuatro cartas son de oros en 210 manos. c) De 10 cartas de oros hay que elegir 2 diferentes sin importar el orden de esas 2. Se trata de calcular las combinaciones de 10 elementos tomados de 2 en 2. = C10,2
10! = 45 2! ⋅ 8!
Hay 45 manos en las que las dos cartas son de oros. De 10 cartas de copas hay que elegir 2 diferentes sin importar el orden de esas 2. Se trata de calcular las combinaciones de 10 elementos tomados de 2 en 2. Hay 45 manos en las que las dos cartas son de copas. Aplicando el principio de multiplicación, habrá N = 45 · 45 = 2025 manos en las que dos cartas sean de copas y dos de oros.
Combinatoria | Unidad 12 329
53. En un torneo de tenis participan 5 hombres y 4 mujeres. ¿Cuántos partidos se pueden organizar en las modalidades?
a) Individual masculino.
d) Dobles femeninos.
b) Individual femenino.
e) Dobles mixtos.
c) Dobles masculinos. a) De 5 hombres hay que elegir 2 diferentes sin importar el orden de esos 2. Se trata de calcular las combinaciones de 5 elementos tomados de 2 en 2. = C5,2
5! = 10 2! ⋅ 3!
Se pueden organizar 10 partidos individuales masculinos diferentes. b) De 4 mujeres que elegir 2 diferentes sin importar el orden de esas 2. Se trata de calcular las combinaciones de 4 elementos tomados de 2 en 2. = C4,2
4! = 6 2! ⋅ 2!
Se pueden organizar 6 partidos individuales femeninos diferentes. c) Para formar el primer equipo, de 5 hombres hay que seleccionar 2 diferentes sin importar el orden de esos 2. Se trata de calcular las combinaciones de 5 elementos tomados de 2 en 2: C5,2 = 10 El primer equipo se puede formar de 10 formas diferentes. Para formar el segundo equipo, de los 3 hombres que quedan hay que seleccionar 2 diferentes sin importar el orden de esos 2. Se trata de calcular las combinaciones de 3 elementos tomados de 2 en 2: C3,2 = 3 El segundo equipo se puede formar de 3 formas diferentes. Aplicando el principio de multiplicación N = 10 · 3 = 300, pero en ellos se está incluyendo dos veces cada partido porque una pareja puede estar en el primer equipo o en el segundo. Por tanto, habrá
C5,2 ⋅ C3,2 10 ⋅ 3 = = 15 partidos dobles masculinos diferentes. P2 2!
d) Para formar el primer equipo, de 4 mujeres hay que seleccionar 2 diferentes sin importar el orden de esas 2. Se trata de calcular las combinaciones de 4 elementos tomados de 2 en 2: C4,2 = 6 El primer equipo se puede formar de 6 formas diferentes. Para formar el segundo equipo, hay que seleccionar a las 2 mujeres que quedan. Hay una única manera de formar el segundo equipo. Aplicando el principio de multiplicación N = 6 · 1 = 6, pero en ellos se está incluyendo dos veces cada partido porque una pareja puede estar en el primer equipo o en el segundo. Por tanto, habrá
C4,2 ⋅ C2,2 6 ⋅ 1 = = 3 partidos dobles femeninos diferentes. P2 2!
e) Para formar el primer equipo, de 5 hombres hay que seleccionar uno y de 4 mujeres hay que seleccionar una. El primer equipo se puede formar de C5,1 · C4,1 = 5 · 4 = 20 formas diferentes. Para formar el segundo equipo, de los 4 hombres que quedan hay que seleccionar uno y de 3 mujeres que quedan hay que seleccionar una. El segundo equipo se puede formar de C4,1 · C3,1 = 4 · 3 = 12 formas diferentes. Aplicando el principio de multiplicación N = 20 · 12 = 240, pero en ellos se está incluyendo dos veces cada partido porque una pareja puede estar en el primer equipo o en el segundo. Por tanto, habrá
C5,1 ⋅ C4,1 ⋅ C4,1 ⋅ C3,1 5 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 3 = = 120 partidos mixtos diferentes. P2 2!
54. Actividad resuelta.
330
Unidad 12| Combinatoria
55. Encuentra el valor de x para que se cumplan las igualdades. x x a) = 4 5
10 10 11 b) + = 4 x x
x! x! x x a) = ⇒ = ⇒ 4! ⋅ ( x − 4 ) ⋅ ( x − 5 ) ! =5 ⋅ 4! ⋅ ( x − 5 ) ! ⇒ x − 4 =5 ⇒ x = 5 + 4 = 9 4 5 4! ⋅ ( x − 4 ) ! 5! ⋅ ( x − 5 ) ! 10! ⋅ (11 − x ) 11! 10! 11⋅ 10! 10 10 11 10 11 10 10 10 b) += − ⇒= − ⇒ x x ⇒= 4 x − x ⇒= 4 4 4 x ! ⋅ (11 − x ) ! x ! ⋅ (10 − x ) ! x ! ⋅ (11 − x ) ! x ! ⋅ (11 − x ) ! 10! ⋅ x 10 10! ⋅ (11 − 11 + x ) ⇒= 10 10 ⇒= ⇒= 4 4 4 x ! ⋅ (11 − x ) ! x! ⋅ (11 − x ) !
10!
( x − 1) ! ⋅ (11 − x ) !
⇒
10 10 ⇒ = ⇒ x −1= 4 ⇒ x = 5 4 x − 1 10 10 10 10 Como = ⇒ = ⇒ x −1= 6 ⇒ x = 7 4 6 6 x − 1
56. Escribe en función de m el valor de los siguientes números combinatorios. m b) m − 2
m + 2 a) m
m + 2 a) = m
m + 2 ) ! ( m + 2 ) ⋅ ( m + 1) ⋅ m ! ( m + 2 ) ⋅ ( m + 1) (= = =
m b)= m − 2
m ⋅ ( m − 1) ⋅ ( m − 2 ) ! m ⋅ ( m − 1) m 2 − m m! = = = 2! 2 ( m − 2 ) ! ⋅ 2! ( m − 2) ! ⋅ 2!
m! ⋅ 2!
m! ⋅ 2!
2!
m 2 + 3m + 2 2
57. Utiliza las propiedades de los números combinatorios para encontrar el valor de las incógnitas. m m a) = 5 8
8 m p c) + = n 4 4
12 m b) = n 7
m m 12 d) + = n 6 6
a) m = m ⇒ m = 5 + 8 = 13 5 8
p ⇒ m= 8, n= 4 − = c) 8 + m= 1 3, p= 8 + = 1 9 n 4 4
b) 12 = m ⇒ m = 12, n = 12 − 7 = 5 n 7
d) m + m = 12 ⇒ m = 12 − 1 = 11, n = 6 − 1 = 5 n 6 6
58. Aplica las propiedades de los números combinatorios para calcular las siguientes sumas. 5 5 5 5 5 5 a) + + + + + 0 1 2 3 4 5
5 5 5 b) + + 0 1 2
5 5 5 c) + + 0 2 4
5 5 5 5 5 5 5 5 5 2 1 + 5 + 10 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 =⋅ a) + + + + + = ( ) 32 2 0 + 1 + 2 =⋅ 0 1 2 3 4 5 0 1 2 2 1 0 5! b) 5 + 5 + 5 = 1 + 5 + = 1 + 5 + 10 = 16 0 1 2 2! ⋅ 3!
c) 5 + 5 + 5 = 0 2 4
5 + 5 + 5 = 0 2 1
5 + 5 + 5 = 16 0 1 2
Combinatoria | Unidad 12 331
59. Una urna contiene 10 bolas numeradas del 1 al 10. ¿Cuántos resultados distintos se pueden obtener si…? a) … se sacan tres bolas sucesivamente? b) … se sacan de una en una, y tras cada extracción, se vuelve a introducir la bola en la urna? c) … se sacan tres bolas simultáneamente? a) De las 10 bolas hay que extraer 3 sucesivamente. Entonces de 10 elementos hay que elegir 3 diferentes y el orden es determinante. Se trata de calcular las variaciones sin repetición de 10 elementos tomados de 3 en 3. V10, 3 = 10 · 9 · 8 = 720 Se pueden obtener 720 resultados diferentes. b) De las 10 bolas hay que extraer 3 con reemplazamiento. Entonces de 10 elementos hay que elegir 3, los elementos pueden repetirse y el orden es determinante. Se trata de calcular las variaciones con repetición de 10 elementos tomados de 3 en 3. VR10, 3 = 103 = 1000 Se pueden obtener 1000 resultados diferentes. c) De 10 bolas hay que elegir 3 diferentes sin importar el orden de esas 3. Se trata de calcular las combinaciones de 10 elementos tomados de 3 en 3. = C10,3
10! = 120 3! ⋅ 7!
Se pueden obtener 120 resultados diferentes.
60. ¿Cuántas palabras distintas, con o sin significado se pueden formar con las letras de estas palabras? a) LIBELULA
b) CACATUA
c) ANACONDA
a) Se quieren hacer grupos de 8 elementos en los que uno se repite 3 veces y los otros 5 una vez, e influye el orden. Son permutaciones con repetición de 8 elementos en los que uno se repite 3 veces y los otros cinco, 1 vez. 8! PR83,1,1,1,1,1 = 6720 = 3! ⋅ 1! ⋅ 1! ⋅ 1! ⋅ 1! ⋅ 1! Se pueden formar 6720 palabras diferentes, con o sin significado, con las letras de la palabra LIBELULA. b) Se quieren hacer grupos de 7 elementos en los que uno se repite 3 veces, otro 2 veces, y los otros dos, 1 vez, e influye el orden. Son permutaciones con repetición de 7 elementos en los que uno se repite 3 veces, otro 2 veces, y los otros dos, 1 vez. 7! = PR73,2,1,1 = 420 3! ⋅ 2! ⋅ 1! ⋅ 1! Se pueden formar 420 palabras diferentes, con o sin significado, con las letras de la palabra CACATUA. c) Se quieren hacer grupos de 8 elementos en los que uno se repite 3 veces, otro, 2 veces, y los otros tres, 1 vez, e influye el orden. Son permutaciones con repetición de 8 elementos en los que uno se repite 3 veces, otro, 2 veces, y los otros tres, 1 vez. 8! = PR83,2,1,1,1 = 3360 3! ⋅ 2! ⋅ 1! ⋅ 1! ⋅ 1! Se pueden formar 3360 palabras diferentes, con o sin significado, con las letras de la palabra ANACONDA.
332
Unidad 12| Combinatoria
61. Un estudiante debe resolver en un examen 8 problemas de 10 propuestos. a) ¿De cuántas formas puede hacer la selección? b) Si debe resolver obligatoriamente los 4 primeros. ¿De cuántas formas puede seleccionar ahora los problemas? c) Debe responder obligatoriamente 3 de los 5 primeros problemas. ¿De cuántas maneras puede hacer la selección del examen ahora? a) De 10 problemas propuestos hay que elegir 8 diferentes sin importar el orden de esos 8. Se trata de calcular las combinaciones de 10 elementos tomados de 8 en 8. = C10,8
10! = 45 8! ⋅ 2!
La selección se puede hacer de 45 formas diferentes. b) Si debe resolver obligatoriamente los 4 primeros problemas, de los 6 problemas restantes hay que elegir 4 diferentes sin importar el orden de esos 4. Se trata de calcular las combinaciones de 6 elementos tomados de 4 en 4. = C6,4
6! = 15 4! ⋅ 2!
La selección se puede hacer de 15 formas diferentes. c) Si tiene que contestar 8 preguntas de 10 obligatoriamente tendrá que escoger 3 de los 5 primeros problemas, pues únicamente podrá dejar sin contestar 2 problemas en total. Por tanto, habrá 45 formas diferentes.
62. La diagonal de un polígono une dos de sus vértices no consecutivos. Un triángulo no tiene ninguna diagonal, un cuadrado tiene dos, un pentágono 5… a) ¿Cuántas diagonales tiene un decágono? b) ¿Cuántas diagonales tiene un polígono de n lados? 10! = 45 uniones posibles de 2 vértices distintos, consecutivos o 2! ⋅ 8! no. Si de estas 45 uniones posibles eliminamos las que corresponden a vértices consecutivos, se obtendrá el número de diagonales de un decágono.
a) Un decágono tiene 10 vértices. Hay = C10,2
Como un polígono tiene tantas uniones de vértices consecutivos como lados tiene, entonces un decágono tendrá 45 – 10 = 35 diagonales. b) Hay Cn,2 =
n! uniones posibles de 2 vértices distintos, consecutivos o no. 2! ⋅ ( n − 2 ) !
De estas uniones posibles eliminamos las que corresponden a vértices consecutivos. Como un polígono de n lados tiene n uniones de vértices consecutivos, entonces un polígono de n lados tendrá: n ( n − 1) n ( n − 1) − 2n n 2 − n − 2n n 2 − 3n n! diagonales. = −n = −n = = 2! ⋅ ( n − 2 ) ! 2 2 2 2
63. La diagonal de un poliedro es la recta que une dos vértices no pertenecientes a la misma cara. ¿Cuántas diagonales tiene un dodecaedro?
Un dodecaedro tiene 12 caras, 20 vértices y 30 aristas. 20! = 190 uniones posibles de 2 vértices distintos, pertenecientes o no a la misma cara. Si de estas 2! ⋅ 18! 190 uniones posibles eliminamos las que corresponden a las aristas y a las diagonales de una cara, se obtendrá el número de diagonales de un dodecaedro.
Hay= C20,2
Un dodecaedro está formado por caras que son pentágonos regulares. Cada cara tendrá
52 − 3 ⋅ 5 = 5 diagonales. 2
Por tanto, un dodecaedro tendrá 190 – 30 – 12 · 5 = 100 diagonales.
Combinatoria | Unidad 12 333
64. ¿De cuántas maneras pueden colocarse en fila 5 chicos y 3 chicas? ¿Y si no puede haber dos chicas juntas?
Hay que elegir 8 personas diferentes de las 8 disponibles y el orden es determinante. Se trata de calcular las permutaciones de orden 8. P8 = 8! = 40 320 Se pueden colocar de 40 320 maneras distintas. Para colocar en fila 5 chicos y 3 chicas, sin que haya dos chicas juntas, se debe dar la situación AOAOAOAOAOA, donde O representa el lugar donde se sienta un chico y A las posiciones donde podrían situarse las chicas. En total hay 6 posiciones en las que las 3 chicas se podrían situar para que no hubiera dos de ellas juntas. De estas 6 posiciones disponibles hay que elegir 3 donde se vayan a colocar las chicas. Por tanto, hay C6,3 formas de seleccionar las posiciones para las chicas. Como hay 3 chicas, en cada una de estas posiciones se pueden sentar de P3 maneras. Por tanto, las chicas se pueden sentar de C6,3 · P3 maneras distintas. Como los chicos se pueden sentar de P5 formas, entonces hay P5 · C6,3 · P3 = = 14 400 formas de colocar a 5 chicos y 3 chicas, de forma que no haya dos chicas juntas.
65. Dos hermanas mellizas tienen 5 faldas y 4 blusas que comparten. Esta tarde deciden salir juntas. ¿De cuántas maneras diferentes pueden vestirse si ambas llevan falda y blusa?
Una de las hermanas podrá elegir una falda de las 5 disponibles y una blusa de las 4 disponibles. Aplicando el principio de multiplicación, una hermana se podrá vestir de 5 · 4 = 20 formas diferentes. La otra hermana podrá elegir una falda de las 4 restantes y una blusa de las 3 restantes. Aplicando el principio de multiplicación, la otra hermana se podrá vestir de 4 · 3 = 12 formas diferentes. Las hermanas se podrán vestir de 20 · 12 = 240 formas diferentes.
66. Cuatro amigos, dos chicos y dos chicas, van juntos al teatro y sacan cuatro entradas consecutivas en una misma fila.
a) ¿De cuántas maneras distintas pueden sentarse? b) ¿De cuántas formas diferentes pueden colocarse si se sientan de forma alterna chico – chica? c) ¿De cuántas si las chicas deciden estar juntas? ¿Y si tanto las chicas como los chicos están juntos? a) Hay que elegir 4 personas diferentes de las 4 disponibles y el orden es determinante. Se trata de calcular las permutaciones de orden 4. P4 = 4! = 24 Los cuatro amigos se pueden sentar de 24 maneras distintas. b) Para ordenar a las chicas hay que elegir 2 diferentes de las 2 disponibles y el orden es determinante. Se trata de calcular las permutaciones de orden 2: P2 = 2! = 2 Para ordenar a los chicos hay que elegir 2 diferentes de las 2 disponibles y el orden es determinante. Se trata de calcular las permutaciones de orden 2: P2 = 2! = 2 Como el primero que se puede sentar en la fila puede ser chico o chica, por el principio de la multiplicación, hay N = 2 · P2 · P2 = 2 · 2 · 2 = 8 formas diferentes. c) Si las chicas deciden estar juntas se pueden considerar como una sola y quedan 3 personas para colocar: P3 = 3! = 6 Pero hay dos formas de colocar a las dos chicas: P2 = 2! = 2 Por el principio de la multiplicación habrá N = 6 · 2 = 12 formas de sentarse los 4 amigos si las chicas deciden estar juntas. Si tanto los chicos como las chicas deciden estar juntas se pueden considerar como un solo chico y una sola chica, respectivamente, y quedan 2 personas para colocar: P2 = 2! = 2 Pero hay P2 = 2! = 2 formas de colocar a las dos chicas y otras P2 = 2! = 2 formas de colocar a los chicos. Por el principio de la multiplicación habrá N = 2 · 2 · 2 = 8 formas de sentarse los 4 amigos si tanto los chicos como las chicas deciden estar juntos.
334
Unidad 12| Combinatoria
67. Actividad resuelta. 68. Si en una administración de loterías pides un número al azar, ¿qué es más probable? a) Que el número no tenga ninguna cifra repetida. b) Que tenga al menos una repetida. a) De las 10 cifras disponibles hay que elegir 5 distintas. Entonces de 10 elementos hay que elegir 5 diferentes y el orden es determinante. Se trata de calcular las variaciones sin repetición de 10 elementos tomados de 5 en 5. V10, 5 = 10 · 9 · 8 · 7 · 6 = 30 240 Existen 30 240 números que no tienen ninguna cifra repetida. b) Hallamos la cantidad de números de lotería que existen en total. De las 10 cifras disponibles hay que elegir 5 que pueden ser iguales o diferentes. Entonces de 10 elementos hay que elegir 10 y el orden es determinante. Se trata de calcular las variaciones con repetición de 10 elementos tomados de 5 en 5. 5 VR10, 5 = 10 = 100 000 Existen 100 000 números en total. De los 100 000 números, 30 240 no tienen ninguna cifra repetida. Por tanto, habrá 100 000 – 30 240 = 69 760 números en los que haya, al menos, una cifra repetida. Existen 30 240 números sin ninguna cifra repetida y 69 760 números con, al menos, una cifra repetida. Por tanto, al pedir un número al azar en una administración de lotería, es más probable que el número tenga alguna cifra repetida.
69. Se extraen 3 cartas de una baraja de 40 naipes. a) b) c) d) a)
¿Cuántas resultados distintos podemos obtener? ¿En cuántos de ellos habrá 3 ases? ¿En cuántos habrá dos ases y un rey? ¿En cuántos no habrá ningún as? De los 40 naipes que hay en la baraja hay que elegir 3 diferentes sin importar el orden de esos 3. Se trata de calcular las combinaciones de 40 elementos tomados de 3 en 3.
= C40,3
40! = 9880 3! ⋅ 37!
Se pueden obtener 9880 resultados distintos. b) De los 4 ases que hay en la baraja hay que elegir 3 diferentes sin importar el orden de esos 3. Se trata de calcular las combinaciones de 4 elementos tomados de 3 en 3. = C4,3
4! = 4 3! ⋅ 1!
En 4 resultados distintos habrá 3 ases. c) De los 4 ases que hay en la baraja hay que elegir 2 diferentes sin importar el orden de esos 2. Se trata de calcular las combinaciones de 4 elementos tomados de 2 en 2. = C4,2
4! = 6 2! ⋅ 2!
En 6 resultados distintos habrá 2 ases. De los 4 reyes que hay en la baraja hay que elegir 1. Hay 4 maneras diferentes de elegir un rey de la baraja. Aplicando el principio de multiplicación, en N = 6 · 4 = 24 resultados distintos habrá dos ases y un rey. d) De los 36 naipes que hay en la baraja que no son ases hay que elegir 3 diferentes sin importar el orden de esos 3. Se trata de calcular las combinaciones de 36 elementos tomados de 3 en 3. = C36,3
36! = 7140 3! ⋅ 33!
En 7140 resultados distintos no habrá ningún as.
Combinatoria | Unidad 12 335
70. Cada apuesta de la bonoloto consiste en marcar 6 números entre el 1 y el 49. a) ¿Cuántas apuestas distintas se pueden hacer? b) Cada apuesta cuesta 0,50 €. ¿Cuánto dinero hay que jugar para tener la certeza de acertar la combinación ganadora? c) El promedio de los 10 mejores premios repartidos en este juego es 4 879 272,82 €. ¿Crees que es rentable invertir en ese juego? d) Analiza otro juego de azar y compara tus conclusiones con las de tu compañero. a) De los 49 números que hay en una apuesta de la bonoloto hay que elegir 6 diferentes sin importar el orden de esos 6. Se trata de calcular las combinaciones de 49 elementos tomados de 6 en 6. = C49,6
49! = 13 983 816 6! ⋅ 43!
Se pueden hacer 13 983 816 apuestas distintas. b) 13 983 816 · 0,50 = 6 991 908 € hay que jugar para tener la certeza de acertar la combinación ganadora. c) No es rentable invertir en este juego porque, para tener la certeza de acertar la combinación ganadora, hay que invertir mucho más dinero que el que se obtiene, de media, de premio. d) Respuesta libre.
71. ¿Cuántos números de seis cifras se puede formar con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4 y 5 que sean múltiplos de 5? ¿Y qué sean múltiplos de 2?
Los múltiplos de 5 son los números que acaban en 0 o en 5. En ambos casos la primera cifra no puede ser un 0, porque en ese caso el número no sería de 6 cifras. Por tanto, puede ser cualquiera de los otros 5 dígitos disponibles. Las 4 cifras restantes pueden ser cualquiera de los 6 dígitos disponibles. Aplicando el principio de 4 multiplicación, se pueden formar N = 5 · 6 · 2 = 12 960 números distintos con las cifras 0, 1, 2, 3, 4 y 5 que sean múltiplos de 5. Los múltiplos de 2 son los números que acaban en 0, en 2 o en 4. En todos los casos la primera cifra no puede ser un 0, porque en ese caso el número no sería de 6 cifras. Por tanto, puede ser cualquiera de los otros 5 dígitos disponibles. Las 4 cifras restantes pueden ser cualquiera de los 6 dígitos disponibles. Aplicando el principio de 4 multiplicación, se pueden formar N = 5 · 6 · 3 = 19 440 números distintos con las cifras 0, 1, 2, 3, 4 y 5 que sean múltiplos de 2.
72. ¿De cuántas maneras pueden sentarse en un restaurante 6 personas en una mesa circular? Las 6 personas se pueden sentar de (6 – 1)! = 120 maneras distintas en una mesa circular.
73. La profesora de lengua manda a cada uno de sus 25 alumnos leer 3 libros de una lista de 6. ¿Puede ocurrir que no haya dos alumnos que hayan seleccionado los mismos libros?
Calculamos el número de combinaciones distintas que se pueden hacer eligiendo 3 libros de los 6 disponibles. Se trata de calcular las combinaciones de 6 elementos tomados de 3 en 3. = C6,3
6! = 20 3! ⋅ 3!
Se pueden hacer 20 selecciones distintas de 3 libros. Por tanto, obligatoriamente habrá dos alumnos que hayan elegido los mismos libros, porque hay 20 combinaciones distintas y son 25 alumnos.
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Unidad 12| Combinatoria
74. Nos podemos desplazar sobre una cuadrícula moviéndonos hacia la derecha o hacia arriba. ¿Cuántos itinerarios diferentes podemos tomar para llegar desde el punto A al punto B? Para llegar desde el punto A hasta el punto B, con cualquier itinerario, hay que desplazarse 4 casillas a la derecha y 3 hacia arriba. El número de itinerarios posibles son las permutaciones con repetición de 7 elementos, en los que uno se repite 4 veces y otro 3. 7! = 35 4! ⋅ 3! Hay 35 itinerarios diferentes de A a B. 4,3 = PR 7
75. Los ordenadores operan en sistema binario. Solo utilizan los dígitos 0 y 1. Cuando se introdujo el código
ISO se usaban 8 celdas (bits) ocupadas por 0 y 1 para formar los distintos símbolos. Cada conjunto de 8 bits es un octeto o byte. a) ¿Cuántos octetos diferentes se pueden formar? b) ¿Cuántos están formados por 4 ceros y 4 unos? c) ¿Cuántos tienen más unos que ceros? a) Se trata de calcular las variaciones con repetición de 2 elementos tomados de 8 en 8. VR2, 8 = 28 = 256 octetos b) El número de octetos formados por 4 ceros y 4 unos son las permutaciones con repetición de 8 elementos, en los que cada uno se repite 4 veces. 8! 4,4 PR = = 70 octetos. 8 4! ⋅ 4! c) Los octetos que tienen más unos que ceros son aquellos formados por 5 unos y 3 ceros, 6 unos y 2 ceros, 7 unos y 1 cero u 8 unos. 8! 8! 8! 8! PR85,3 + PR86,2 + PR87,1 + PR88,0 = + + + = 56 + 28 + 8 + 1= 93 octetos. 5! ⋅ 3! 6! ⋅ 2! 7! ⋅ 1! 8! ⋅ 0!
76. Coloca en orden alfabético las 120 palabras de 5 letras formadas con las letras de la palabra NEPAL. ¿Cuál es la última letra de la que ocupa el lugar 86º? A. N
B. E
C. P
D. L
Ordenamos las letras de la palabra NEPAL: AELNP. En primer lugar calculamos el número de palabras que se pueden formar con las letras de la palabra NEPAL que empiecen por A. Como NEPAL tiene 5 letras, y la primera letra ha de ser A, se quieren hacer grupos de 4 elementos distintos y el orden es determinante. Se trata pues de calcular permutaciones de orden 4: P4 = 4! = 24. Existen 24 palabras que empiecen por A. De igual forma se concluye que existen 24 palabras que empiezan por E y otras 24 que empiezan por L. Por tanto, hay 72 palabras que empiezan por A, E o L. Luego, la palabra que ocupa el lugar 86 empieza por N. De las palabras que empiezan por N, hay P3 = 3! = 6 palabras que empiezan por NA y otras 6 que empiezan por NE. Por tanto, hay 12 palabras que empiecen por NA o NE. En total, y ordenadas alfabéticamente, hay 84 palabras que empiezan por A, E, L, NA y NE. Por tanto, la palabra que ocupa la posición 85 es NLAEP y, la que ocupa el lugar 86, es NLAPE. La respuesta correcta es la B.
77. ¿Qué cifra ocupa el lugar 2010 en el desarrollo decimal de x = 0,1234567891011…998999? A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
En el desarrollo decimal de x los números de un dígito ocupan las 9 primeras posiciones, los números de dos dígitos las siguientes 90 · 2 = 180 posiciones y, los números de tres dígitos, las siguientes 900 · 3 = 2700 posiciones. Por tanto, la cifra que ocupa el lugar 2010 corresponde a un dígito de un número de tres cifras. Como 2010 – (180 + 9) = 1821, la cifra que ocupa el lugar 2010 del desarrollo decimal de x será el dígito que ocupa el lugar 1821 de los números de tres cifras. Además, como 1821 : 3 = 607, la cifra que ocupa el lugar 2010 del desarrollo decimal de x será el último dígito del número que ocupa la posición 607 de los números de tres cifras. Como 100 ocupa la posición 1 de los números de tres cifras, 101 ocupa la posición 2 de los números de tres dígitos…entonces 606 será el número que ocupa la posición 607 de los números de tres cifras. La respuesta correcta es la B.
Combinatoria | Unidad 12 337
78. En un aula hay 9 asientos en fila que van a ser ocupados por 6 estudiantes y 3 profesores. Los profesores llegan antes y deciden ocupar los asientos de manera que cada uno esté entre dos estudiantes. ¿De cuántas formas diferentes pueden elegir sus asientos los tres profesores? A. 12
B. 36
C. 60
D. 84
Para colocar en fila 6 estudiantes y 3 profesores, de forma que cada profesor esté entre dos alumnos, se debe dar la situación EPEPEPEPEPE, donde E representa el lugar donde se sienta un estudiante y P las posiciones donde podrían situarse los profesores. En total hay 5 posiciones en las que los 3 profesores se podrían situar para que no hubiera dos de ellos juntos. De estas 5 posiciones disponibles hay que elegir 3 donde se vayan a colocar los profesores. Por tanto, hay C5,3 formas de seleccionar las posiciones para los profesores. Como hay 3 profesores, en cada una de estas posiciones se pueden sentar de P3 maneras. Por tanto, los profesores se pueden sentar de C5,3 · P3 = 10 · 6 = 60 maneras distintas. La respuesta correcta es la C.
79. Un niño tiene una caja de 96 piezas. Cada una es, o bien de plástico, o bien de madera; pequeña, mediana o grande; azul, verde, roja o amarilla, y puede ser un círculo, un hexágono, un cuadrado o un triángulo. ¿Cuántas piezas se diferencian del “círculo rojo de plástico mediano” en exactamente dos características? A. 29
B. 39
C. 48
D. 56
Hay 1 · 2 = 2 piezas distintas con las características “círculo rojo”, 3 · 2 = 6 piezas distintas con las características “círculo plástico”, 3 · 1 = 3 piezas distintas con las características “círculo mediano”, 3 · 2 = 6 piezas distintas con las características “rojo plástico”, 3 · 1 = 3 piezas distintas con las características “rojo mediano” y 3 · 3 = 9 piezas distintas con las características “plástico mediano”. En total, habrá 2 + 6 + 3 + 6 + 3 + 9 = 29 piezas que se diferencian en exactamente dos características del “círculo rojo de plástico mediano”. La respuesta correcta es la A.
80. ¿Cuántos números de 3 cifras tienen estas en orden creciente o en orden decreciente? A. 168
B. 204
C. 216
D. 240
Orden creciente Como el orden es creciente no puede intervenir la cifra 0. Existen 7 números en orden creciente de la forma 12x, 6 números en orden creciente de la forma 13x, 5 números en orden creciente de la forma 14x, 4 números en orden creciente de la forma 15x, 3 números en orden creciente de la forma 16x, 2 números en orden creciente de la forma 17x y 1 número en orden creciente de la forma 18x. Por tanto, hay 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28 números de 3 cifras en orden creciente que empiecen por 1. Razonando de igual forma se concluye que existen 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21 números de 3 cifras en orden creciente que empiezan por 2; 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 números de 3 cifras en orden creciente que empiezan por 3; 4 + 3 + 2 + 1 = 10 números de 3 cifras en orden creciente que empiezan por 4; 3 + 2 + 1 = 6 números de 3 cifras en orden creciente que empiezan por 5; 2 + 1 = 3 números de 3 cifras en orden creciente que empiezan por 6 y 1 número de 3 cifras en orden creciente que empieza por 7. En total, hay 84 números de 3 cifras en orden creciente. Orden decreciente En orden creciente existen los 84 números anteriores escritos al revés, más aquellos números que incluyan el 0. Existen 8 números de la forma 9x0; 7 números de la forma 8x0; 6 números de la forma 7x0; 5 números de la forma 6x0; 4 números de la forma 5x0; 3 números de la forma 4x0; 2 números de la forma 3x0 y un número de la forma 2x0. Por tanto, hay 84 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 120 números de 3 cifras en orden decreciente. En total, hay 84 + 120 = 204 números de 3 cifras en orden creciente o decreciente. La respuesta correcta es la B.
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Unidad 12| Combinatoria
Busca la solución correcta
81. ¿Cuántos números entre el 0000 y el 9999 tienen al menos una vez la cifra 3? •
Solución A. Si tiene que haber un 3, este puede estar en cuatro posiciones distintas. Se supone que está en la de las unidades, se tienen que ocupar las otras tres posiciones y se dispone de los 10 dígitos. Las posibilidades son: VR10, 3 = 103 = 1000. Como el 3 puede estar en 4 posiciones, el 3 número de posibilidades totales será: 4 · VR10, 3 = 10 = 4000 números.
•
Solución B. Se cuentan cuántos números de los 10 000 no tienen ningún 3. El resto tendrá algún 3. Números sin 3: Se dispone de 9 dígitos para ocupar 4 lugares y se pueden repetir: VR9, 4 = 94 = 6561 posibilidades. Por tanto, la cantidad de números que sí llevan al menos un 3 será: 10 000 – 6561 = 3439 números.
Elige la solución correcta razonando tu respuesta. La solución A es incorrecta porque hay varios resultados que se han contado dos o más veces. Por ejemplo, el número 5233 es un número que contiene al menos un 3. Pero este número se ha contabilizado en los números que contienen un 3 en la cifra de las unidades y también en los números que contienen un 3 en la cifra de las decenas. El recuento se debería haber hecho de la siguiente forma: Números que contienen 4 treses: 1
Números que contienen 2 treses: 9 · 9 · C4,2 = 486
Números que contienen 3 treses: 9 · C4,3 = 36
Números que contienen 1 tres: 9 · 9 · 9 · C4,1 = 2916
En total hay 1 + 36 + 486 + 2916 = 3439 números que llevan al menos un 3. La respuesta B es correcta.
Combinatoria | Unidad 12 339
PONTE A PRUEBA Contando rectángulos Actividad resuelta. Combinatoria y ajedrez. El problema de las ocho torres En el juego del ajedrez una torre se puede mover en horizontal o en vertical cualquier número de casillas y come a cualquier pieza de distinto color cuya posición pueda alcanzar. El problema de las 8 torres consiste en colocar 8 torres de tal forma que ninguna pueda comer a otra. La solución más simple es la que puedes observar en la ilustración, pero, ¿exactamente, de cuántas formas se pueden colocar las 8 piezas para que no se coman entre sí?
Cada torre debe estar en una fila y en una columna diferente. Colocamos la primera torre en una fila del tablero. Hay 8 posiciones que puede ocupar. Colocamos la segunda torre en otra fila del tablero. Esta torre puede ocupar cualquier casilla de esta fila, exceptuando la casilla correspondiente a la columna en la cual está la primera torre. Por tanto, puede ocupar 7 posiciones diferentes. Razonando de igual modo con el resto de torres, se concluye que se trata de calcular las permutaciones de orden 8. Existen P8 = 8! = 40 320 posiciones diferentes en las que las torres no se pueden comer entre sí. Un nuevo lenguaje de programación. Un grupo de chicos ha ideado un lenguaje de programación al que han llamado TREAX. Las palabras reservadas que sirven para establecer órdenes de forma automática son las que se obtienen al permutar las letras de TREAX y se clasifican en: Tipo de orden Instrucciones aritméticas
Empiezan por
Acaban en
Consonante
Consonante
Instrucciones algebraicas
A
Consonante
Instrucciones condicionales
E
X
E
Consonante distinta de X
Vocal
Vocal
Instrucciones iterativas Funciones y procedimientos
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1.
¿Cuántas palabras reservadas diferentes tiene este lenguaje? Como TREAX tiene 5 letras, se quieren hacer grupos de 5 elementos distintos y el orden es determinante. Se trata de calcular permutaciones de orden 5: P5 = 5! = 120 Hay reservadas 120 palabras distintas para este lenguaje.
2.
Calcula el número de órdenes de cada tipo que se pueden establecer. Aritméticas: 3 · 3 · 2 · 1 · 2 = 36 órdenes Algebraicas: 3 · 2 · 1 · 3 = 18 órdenes Condicionales: 3 · 2 · 1 = 6 órdenes Iterativas: 3 · 2 · 1 · 2 = 12 órdenes Funciones: 2 · 3 · 2 · 1 · 1 = 12 órdenes En total se pueden establecer 84 órdenes.
3.
¿Existen palabras reservadas no utilizadas en ninguna de las órdenes? En caso afirmativo, calcula su número y descríbelas. Como en total se pueden hacer 120 palabras y únicamente se utilizan 84, entonces no se utilizan 120 – 84 = 36 palabras. Coinciden con las palabras que empiezan por consonante y acaban por vocal.
Unidad 12| Combinatoria
El problema de la coincidencia. Leonhard Euler, en 1779, escribió un artículo titulado Una cuestión interesante de la teoría de las combinaciones. Esta cuestión está basada en un viejo juego de azar de origen francés, llamado Rencontre (coincidencia). Las reglas son: un jugador baraja las 13 cartas de un palo de una baraja francesa. Luego las levanta de una en una, diciendo uno al levantar la primera, dos al levantar la segunda, etc. Gana si la carta coincide con el número que ha dicho. Euler lo planteó utilizando letras: “Dada una serie de n letras a, b, c, d, e,… ¿De cuántas maneras se pueden colocar sin que ninguna ocupe la posición que inicialmente ocupaba?” 1.
¿De cuántas maneras no hay coincidencias con solo tres letras: a, b, c? A. 1
B. 2
C. 4
D. 6
Existen P3 = 3! = 6 formas diferentes de colocar las tres letras. Para hallar el número de combinaciones en las que no hay coincidencias, restaremos al número total de colocaciones el número de combinaciones que fijan alguna letra. Si fijamos la letra a, debemos permutar los otros 2 elementos en los 2 lugares restantes. Esto se puede hacer de 2! formas distintas. Lo mismo ocurriría si fijamos cualquiera de las otras letras. Por tanto, existen C3,1 · 2! maneras de fijar una letra. Sin embargo, las permutaciones que fijan a y b han sido contabilizadas tanto en las que fijan a como en las que fijan b y, por tanto, han sido contadas 2 veces. Igual ocurre con las permutaciones que fijan a y c y b y c. Como hay C3,2 formas de elegir 2 letras distintas de las 3 existentes, y el número de permutaciones que fijan 2 letras es 1!, entonces habrá que restar C3,2 · 1!. Además las permutaciones que fijan las tres letras han sido contabilizadas tres veces, una vez en cada una de las que fijan cada una de las letras. Sin embargo, también se han descontado tres veces, una en la permutación que fija a y b, otra en la que fija b y c y otra en las que fija a y c. Por tanto, se deben añadir una vez. Como hay C3,3 = 1 formas de elegir tres letras distintas, y hay una única permutación que fija tres letras, entonces habrá que sumar C3,3 · 1. Por tanto, no hay coincidencias con solo tres letras en: 3 3 3 3! – (C3,1 · 2! – C3,2 · 1! + C3,3 · 0!) = 3! − ⋅ 2! − ⋅ 1! + ⋅ 0! = 6 – (6 – 3 + 1) = 2 maneras 2 3 1
La respuesta correcta es la B. 2.
¿De cuántas maneras no hay coincidencias con solo cuatro letras: a, b, c, d? Existen P4 = 4! = 24 formas diferentes de colocar las tres letras. Para hallar el número de combinaciones en las que no hay coincidencias, restaremos al número total de colocaciones el número de combinaciones que fijan alguna letra. Si fijamos la letra a, debemos permutar los otros 3 elementos en los 3 lugares restantes. Esto se puede hacer de 3! formas distintas. Lo mismo ocurriría si fijamos cualquiera de las otras letras. Por tanto, existen C4,1 · 3! maneras de fijar una letra. Sin embargo, las permutaciones que fijan a y b han sido contabilizadas tanto en las que fijan a como en las que fijan b y, por tanto, han sido contadas 2 veces. Igual ocurre con las permutaciones que fijan dos letras cualesquiera. Como hay C4,2 formas de elegir 2 letras distintas de las 4 existentes, y el número de permutaciones que fijan 2 letras es 2!, entonces habrá que restar C4,2 · 2! Además las permutaciones que fijan tres letras han sido contabilizadas tres veces, una vez en cada una de las que fijan cada una de las letras. Sin embargo, también se han descontado tres veces, una en la permutación que fija a y b, otra en la que fija b y c y otra en las que fija a y c. Por tanto, se deben añadir una vez. Como hay C4,3 formas de elegir tres letras distintas, y hay una única permutación que fija tres letras, entonces habrá que sumar C4,3 · 1. Razonando de igual forma para las permutaciones que fijan 4 letras, se concluye que no hay coincidencias con cuatro letras en: 4 4 4 4 24 – (24 – 12 + 4 – 1) = 9 4! – (C4,1 · 3! – C4,2 · 2! + C4,3 · 1! – C4,4 · 0!) = 4! − ⋅ 3! − ⋅ 2! + ⋅ 1! − ⋅ 0! = 2 3 4 1
¿Y si son cinco letras: a, b, c, d, e? Razonando de igual forma que en los casos anteriores, se deduce que no hay coincidencias con cinco letras en: 5 5 5 5 5 120 – 5! – (C5,1 · 4! – C5,2 · 3! + C5,3 · 2! – C5,4 · 1! + C5,5 · 0!) = 5! − ⋅ 4! − ⋅ 3! + ⋅ 2! − ⋅ 1! + ⋅ 0! = 2 3 4 5 1 (120 – 60 + 20 – 5 + 1) = 44 maneras.
Combinatoria | Unidad 12 341
AUTOEVALUACIÓN
1.
¿Cuántos resultados distintos puedes obtener al lanzar dos dados de distinto color? Se trata de calcular las variaciones con repetición de 6 elementos tomados de 2 en 2. VR6,2 = 62 = 36 Se pueden obtener 36 resultados distintos al lanzar dos dados de distinto color.
2.
Un salón tiene un sofá de tres plazas, y otro, de dos plazas. a) ¿De cuántas formas diferentes se pueden sentar 5 personas? b) Si hay tres hombres y dos mujeres, ¿de cuántas maneras pueden sentarse estando los tres hombres juntos? a) Para el sofá de tres plazas, de 5 personas hay que seleccionar 3 diferentes y el orden es determinante. Se trata de calcular las variaciones sin repetición de 5 elementos tomados de 3 en 3. V5,3 = 5 · 4 · 3 = 60 En el sofá de tres plazas se pueden sentar de 60 formas diferentes. Para el sofá de dos plazas, de las 2 personas restantes hay que seleccionar a las dos. Por tanto, en el sofá de dos plazas se pueden sentar de dos formas distintas. Aplicando el principio de multiplicación hay N = 60 · 2 = 120 formas diferentes de sentar a 5 personas en un sofá de tres plazas y otro de dos. b) Si los tres hombres deben estar juntos entonces se tienen que sentar en el sofá de tres plazas. Se trata de calcular las permutaciones de orden 3. P3 = 3! = 6 Hay 6 formas diferentes de sentar a los tres hombres en el sofá de tres plazas. Las dos mujeres tienen que sentarse en el sofá de dos plazas. Hay 2 formas diferentes de sentar a las mujeres en el sofá de 2 plazas. Aplicando el principio de multiplicación hay N = 6 · 2 = 12 formas diferentes de sentar a los 3 hombres juntos.
3.
Con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5 y 6: a) ¿Cuántos números de 4 cifras pueden formarse? b) ¿Cuántos tienen las 4 cifras distintas? c) ¿Cuántas empiezan y terminan en cifra impar? a) Hay que seleccionar 4 cifras de entre 6, pero una misma cifra puede estar repetida y el orden influye. Se trata de calcular las variaciones con repetición de 6 elementos tomados de 4 en 4. VR6, 4 = 64 = 1296 Se pueden formar 1296 números de 4 cifras. b) Hay que seleccionar 4 cifras de entre 6, pero una misma cifra no puede estar repetida y el orden influye. Se trata de calcular las variaciones sin repetición de 6 elementos tomados de 4 en 4. V6, 4 = 6 · 5 · 4 · 3 = 360 Se pueden formar 360 números de 4 cifras distintas. c) La primera cifra y la última cifra pueden ser cualquiera de las 3 cifras impares disponibles. Se trata de calcular las variaciones con repetición de 3 elementos tomados de 2 en 2. VR3, 2 = 32 = 9 Las dos cifras centrales pueden ser cualquiera de las 6 cifras disponibles. Se trata de calcular las variaciones con repetición de 6 elementos tomados de 2 en 2. VR6, 2 = 62 = 36 Aplicando el principio de multiplicación hay N = 9 · 36 = 324 números diferentes.
342
Unidad 12| Combinatoria
4.
¿Cuántas palabras, con o sin significado, se pueden formar con las letras de la palabra TEGUCIGALPA? Se quieren hacer grupos de 11 elementos en los que dos se repiten 2 veces y los otros 9 una vez, e influye el orden. Son permutaciones con repetición de 11 elementos en los que 2 se repiten 11 veces y los otros 9 una vez.
2,2,1,1,1,1,1,1,1 = PR11
11! = 9 979 200 2! ⋅ 2! ⋅ 1! ⋅ 1! ⋅ 1! ⋅ 1! ⋅ 1! ⋅ 1! ⋅ 1!
Se pueden formar 9 979 200 palabras diferentes, con o sin significado, con las letras de la palabra TEGUCIGALPA.
5.
Un equipo de voleibol consta de 10 jugadores, 4 zagueros, 4 delanteros y 2 líberos. a) ¿Cuántas alineaciones distintas de 6 jugadores pueden hacerse? b) ¿En cuántas alineaciones juegan simultáneamente los dos líberos? c) El entrenador quiere jugar con 2 zagueros, un líbero y 3 delanteros. ¿De cuántas formas puede hacerlo? a) De 10 jugadores del equipo hay que elegir 6 diferentes sin importar el orden de esos 6. Se trata de calcular las combinaciones de 10 elementos tomados de 6 en 6. = C10,6
10! = 210 6! ⋅ 4!
Se pueden hacer 210 alineaciones diferentes. b) Si los dos líberos han de jugar, entonces de los 8 jugadores restantes hay que elegir 4 diferentes sin importar el orden de esos 4. Se trata de calcular las combinaciones de 8 elementos tomados de 4 en 4. = C8,4
8! = 70 4! ⋅ 4!
En 70 alineaciones diferentes juegan simultáneamente los dos líberos. c) De 4 zagueros hay que seleccionar 2 diferentes sin importar el orden de esos 2. Se trata de calcular las combinaciones de 4 elementos tomados de 2 en 2. C4,2 =
4! = 6 2! ⋅ 2!
Los zagueros se pueden seleccionar de 6 formas diferentes. De 2 líberos hay que seleccionar 1 sin importar el orden. Se trata de calcular las combinaciones de 2 elementos tomados de 1 en 1. = C2,1
2! = 2 1! ⋅ 1!
Los líberos se pueden seleccionar de 2 formas diferentes. De 4 delanteros hay que seleccionar 3 diferentes sin importar el orden de esos 3. Se trata de calcular las combinaciones de 4 elementos tomados de 3 en 3. = C4,3
4! = 4 3! ⋅ 1!
Los delanteros se pueden seleccionar de 4 formas diferentes. Aplicando el principio de multiplicación, se pueden formar N = 6 · 2 · 4 = 48 equipos diferentes.
Combinatoria | Unidad 12 343
13 Probabilidad ANALIZA Y CALCULA ¿Crees que merece la pena aplicar razonamientos matemáticos en los juegos de azar o piensas que al final el azar decide por su cuenta? Respuesta libre. En la cita Jakob Bernoulli vincula la probabilidad a la toma de decisiones, ¿por qué? Jakob Bernoulli dice que se deben medir las probabilidades de las cosas, para que en nuestras acciones podamos elegir lo más satisfactorio y razonable. ¿A qué se refiere cuando habla de la sabiduría del filósofo y la prudencia del político? Jakob Bernoulli, en su obra, pretende desarrollar una teoría estudiada por los filósofos para la toma de decisiones prudentes y razonables en temas políticos. ¿Piensas que el conocimiento de las leyes del azar nos ayuda en nuestra vida cotidiana? Pon algún ejemplo. Respuesta libre.
REFLEXIONA Y SACA CONCLUSIONES En la pregunta del texto, ¿qué opción elegirías? ¿Por qué? Es más ventajoso apostar por sacar un seis en cuatro tiradas de un dado. ¿Por qué crees que matemáticos tan notables dedicaban su tiempo y sus esfuerzos en resolver problemas relacionados con juegos de azar? Respuesta libre.
Actividades propuestas 1.
Se lanza una moneda tres veces. a) Escribe el espacio muestral. b) Describe dos sucesos elementales y uno compuesto. c) Escribe el suceso S = “salir una cara” y el suceso contrario S . a) E = {CCC, CCX, CXC, XCC, XXC, XCX, CXX, XXX} b) Sucesos elementales, por ejemplo, A = “sacar tres caras” = {CCC} y B = “sacar tres cruces” = {XXX}. Suceso compuesto, por ejemplo, C = “sacar una cara” = {XXC, XCX, CXX} c) S = {XXC, XCX, CXX} y S = {CCC, CCX, CXC, XCC, XXX}
2.
Se extraen tres bolas de una urna con 5 bolas rojas y 5 bolas blancas. a) Describe dos sucesos elementales y uno compuesto. b) Escribe el suceso contrario de S = “sacar dos bolas blancas y una roja”. a) Sucesos elementales, por ejemplo, A = “sacar tres bolas blancas” = {BBB} y B = “sacar tres rojas” = {RRR} Suceso compuesto, por ejemplo, C = “sacar dos bolas rojas y una blanca” = {RRB, RBR, BRR}. b) S = {RRR, RRB, RBR, BRR, BBB}
344
Unidad 13| Probabilidad
3.
En el experimento consistente en extraer una carta de una baraja española de 40 naipes, describe los elementos de los sucesos: a) A = “sacar un oro”
c) C =”sacar una figura”
b) B = “sacar un rey”
d) A ∪ B y B ∪ C
a) A = {as de oros, dos de oros, tres de oros, cuatro de oros, cinco de oros, seis de oros, siete de oros, sota de oros, caballo de oros, rey de oros}. b) B = {rey de oros, rey de copas, rey de espadas, rey de bastos}. c) C = {sota de oros, caballo de oros, rey de oros, sota de copas, caballo de copas, rey de copas, sota de espadas, caballo de espadas, rey de espadas, sota de bastos, caballo de bastos, rey de bastos}. d) A ∪ B = “sacar oro o rey” = {as de oros, dos de oros, tres de oros, cuatro de oros, cinco de oros, seis de oros, siete de oros, sota de oros, caballo de oros, rey de oros, rey de copas, rey de espadas, rey de bastos}. B ∪ C = “sacar rey o figura” = C = {sota de oros, caballo de oros, rey de oros, sota de copas, caballo de copas, rey de copas, sota de espadas, caballo de espadas, rey de espadas, sota de bastos, caballo de bastos, rey de bastos}.
4.
Se extrae una bola de un bombo que contiene 10 bolas numeradas de 0 a 9. Se consideran los sucesos A = “sacar un número par”, B= “sacar un múltiplo de tres”. Calcula: a) A ∪ B
b) A ∩ B
c) A – B
a) A ∪ B = “sacar un número par o múltiplo de tres” = {0, 2, 3, 4, 6, 8, 9}. b) A ∩ B = “sacar un número par y múltiplo de tres” = {0, 6}. c) A – B = A ∩ B = “sacar un número par no múltiplo de tres” = {2, 4, 8}.
5.
En una bolsa hay 4 bolas rojas, 3 verdes y 2 azules. Si se saca al azar una bola de la bolsa, halla las siguientes probabilidades. a) Que la bola sea verde.
c) Que la bola sea verde o azul.
b) Que la bola no sea roja.
d) Que la bola no sea roja ni azul.
a) P(bola verde) =
3 1 = 9 3
b) P(bola no roja) =
6.
7.
c) P(bola verde o azul) =
5 9
5 9
d) P(bola no roja ni azul) =
3 1 = 9 3
Se elige un número al azar entre 1 y 50. Calcular la probabilidad de que: a) Sea un múltiplo de 4.
c) Sea múltiplo de 6 y de 4.
b) Sea múltiplo de 6.
d) Sea múltiplo de 6 o de 4.
a) P(múltiplo de 4) =
12 6 = 50 25
c) P(múltiplo de 6 y 4) =
b) P(múltiplo de 6) =
8 4 = 50 25
d) P(múltiplo de 6 o de 4) =
4 2 = 50 25
16 8 = 50 25
Se lanzan un dado blanco y otro rojo y se consideran los sucesos A = “la suma de los puntos es 6”, B = “sacar los mismos puntos en los dos dados” y C = “sacar más de 3 en el dado rojo”. Calcula las probabilidades de los sucesos: a) A, B y C a) P(A) = b)
( )
b) B
6 1 5 18 1 = = , P(B) = y P(C) = 36 6 36 36 2
P B = 1 – P(B) = 1 −
1 5 = 6 6
c) A ∩ C y A ∪ C c) P(A ∩ C) =
(
)
d) A ∩ B
2 1 21 7 = = y P(A ∪ C) = 36 18 36 12
d) P A ∩ B = 1 – P(A ∩ B) = 1 −
1 35 = 36 36
Probabilidad | Unidad 13 345
8.
Si A y B son dos sucesos de un mismo experimento y sabemos que P(A) = 0,6, P(B) = 0,3 y P(A ∪ B) = 0,7. ¿Son A y B sucesos incompatibles? Calcula la probabilidad de A ∩ B. Los sucesos A y B no son incompatibles porque P(A ∪ B) = 0,7 ≠ P(A) + P(B) = 0,6 + 0,3 = 0,9. P(A ∩ B) = P(A) + P(B) – P(A ∪ B) = 0,6 + 0,3 – 0,7 = 0,2.
9.
De una baraja de 40 cartas se extraen simultáneamente dos cartas (equivale a no reponer la primera). Halla las probabilidades de que: a) Las dos sean copas.
b) Al menos una sea copas.
Consideramos los sucesos A = “sacar copa en la primera extracción” y B = “sacar copas en la segunda extracción”: a) P(A ∩ B) =
10 9 90 3 ⋅ = = 40 39 1560 52
(
)
b) P(A ∪ B) = 1 – P A ∪ B = 1 –
30 29 870 29 23 ⋅ =− =− = 1 1 40 39 1560 52 52
10. Una bolsa contiene 5 bolas blancas, 3 rojas y 2 azules. Se extraen dos bolas sucesivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos sean del mismo color si devolvemos la primera bola a la bolsa? ¿Y si no lo hacemos? Consideramos los sucesos B = “sacar bola blanca”, R = “sacar bola roja” y A = “sacar bola azul”. Con devolución: P(igual color) = P(1ªB 2ªB) + P(1ªR 2ªR) + P(1ªA 2ªA) = Sin devolución: P(igual color) = P(1ªB 2ªB) + P(1ªR 2ªR) + P(1ªA 2ªA) =
5 5 3 3 2 2 38 19 ⋅ + ⋅ + ⋅ = = 10 10 10 10 10 10 100 50 5 4 3 2 2 1 28 14 ⋅ + ⋅ + ⋅ = = 10 9 10 9 10 9 90 45
11. En una clase hay 12 chicas y 16 chicos. Si se eligen 2 alumnos al azar, calcula la probabilidad en cada caso.
a) Que sean los dos chicos.
c) Que haya al menos una chica.
b) Que sean exactamente un chico y una chica. d) Que no haya ningún chico. Consideramos los sucesos O = “sea chico” y A = “sea chica”. a) P(OO) = b) P(OA) =
16 15 240 20 ⋅ = = 28 27 756 63
16 12 12 16 384 32 ⋅ + ⋅ = = 28 27 28 27 756 63
c) P(al menos una chica) = 1 – P(ninguna chica) = 1 – P(OO) = 1 − d) P(ningún chico) = P(AA) =
346
Unidad 13| Probabilidad
12 11 132 11 ⋅ = = 28 27 756 63
20 43 = 63 63
12. Un alumno ha estudiado 10 de los 15 temas de un examen. El profesor preselecciona dos temas y deja que
el alumno escoja uno de los dos. Halla la probabilidad de que el alumno pueda elegir uno de los temas estudiados. Casos posibles. El profesor puede preseleccionar dos temas cualesquiera de los 15. Por tanto, puede escoger los temas de C15,2 = 105 formas distintas. Casos favorables. El alumno se ha estudiado uno de los dos temas preseleccionados
Para que el alumno pueda escoger uno de los dos temas propuestos, de los 10 que se ha estudiado, el profesor habrá preseleccionado uno y, de los 5 temas que no se ha estudiado, el profesor habrá preseleccionado otro. Entonces, existen C10,1 · C5,1 = 10 · 5 = 50 casos en los que el alumno se sabe uno de los dos temas preseleccionados. El alumno se ha estudiado los dos temas preseleccionados Para que el alumno pueda escoger cualquiera de los dos temas propuestos, el profesor habrá preseleccionado dos 10·9 de los 10 que se ha estudiado. Entonces, existen C= = 45 casos en los que el alumno se sabe los dos 10,2 2 temas preseleccionados. Por tanto, P(“el alumno puede elegir uno de los temas preseleccionados”) = P(“el alumno puede elegir uno de los dos temas preseleccionados”) + P(“el alumno puede elegir cualquiera de los dos temas preseleccionados”) = 50 45 10 9 19 = + = + = . 105 105 21 21 21
13. En una ciudad el 25 % de las mujeres y el 40 % de los hombres usan gafas. Calcula la probabilidad de que, al elegir una persona al azar, sea mujer y use gafas. Mujer Hombre Total
Gafas 25 40 65
No gafas 75 60 135
Total 100 100 200
P(mujer con gafas) =
25 1 = 200 8
14. En una academia de inglés se imparten clases de tres niveles: inicial, básico y avanzado. •
En el nivel inicial están el 50 % de los inscritos, en el básico, el 30 %, y en el avanzado, el 20 %.
•
En el nivel inicial hay un 55 % de mujeres, en el nivel básico, un 60 %, y en el avanzado, un 45 %.
a) Se elige al azar una persona inscrita. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un hombre y esté en el nivel básico? b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea una mujer? Definimos los sucesos: I = “estar inscrito en el nivel inicial” B = “estar inscrito en el nivel básico” A = “estar inscrito en el nivel avanzado” H = “ser hombre” M = “ser mujer”. a) P(B ∩ H) = P(B) · P(H / B) = 0,30 · 0,40 = 0,12 b) P(M) = P(I) · P(M / I) + P(B) · P(M / B) + P(A) · P(M / A) = = 0,50 · 0,55 + 0,30 · 0,60 + 0,20 · 0,45 = 0,545
Probabilidad | Unidad 13 347
15. Una industria fabrica dos tipos de tornillos A y B. •
Produce al día 600 del tipo A y 800 del tipo B.
•
El 4 % de los del tipo A y el 5 % de los del B salen defectuosos.
Si se selecciona un tornillo al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no sea defectuoso? Hay 4 % de 600 = 24 tornillos defectuosos del tipo A y 5 % de 800 = 40 tornillos defectuosos del tipo B. En total se producen 600 + 800 = 1400 tornillos, de los cuales 24 + 40 = 64 son defectuosos. Por tanto, de 1400 1336 167 = tornillos, 1400 – 64 = 1336 no son defectuosos. Entonces, P(no defectuoso) = 1400 175
16. Una urna contiene 4 bolas blancas y negras del mismo tamaño. Se sabe que al menos hay una de cada color. Se extrae una bola. ¿Cuál es la probabilidad de que sea blanca?
Como la urna debe tener, al menos, una bola de cada color entonces puede tener 1 blanca y 3 negras, 2 blancas y 2 negras o 3 blancas y 1 negra. Sean los sucesos: U1 = “elegir la urna con 1 bola blanca y 3 negras” U2 = “elegir la urna 2 bolas blancas y 2 negras” U3 = “elegir la urna con 3 bolas blancas y 1 negra” B = “extraer bola blanca” N = “extraer bola negra”.
P(B) = P(U1) · P(B / U1) + P(U2) · P(B / U2) + P(U3) · P(B / U3) =
1 1 1 2 1 3 6 1 ⋅ + ⋅ + ⋅ = = 3 4 3 4 3 4 12 2
17. En una ferretería hay tres cajas de bombillas. La primera contiene 20 bombillas, de las cuales 3 están
fundidas, en la segunda hay 16 bombillas, con 2 fundidas, y en la tercera caja hay 10 bombillas, ninguna de ellas fundida. a) ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una bombilla al azar esté fundida? b) Se saca una bombilla y está fundida. ¿Qué probabilidad hay de que sea de la tercera caja? Sean los sucesos: C1 = “elegir la caja 1” C2 = “elegir la caja 2” C3 = “elegir la caja 3” F = “la bombilla está fundida”
F = “la bombilla no está fundida”
a) P(F) = P(C1) · P(F / C1) + P(C2) · P(F / C2) + P(C3) · P(F / C3) = 1 1 ⋅1 P (C3 ) ⋅ P F / C3 40 3 3 b) P C3 = = = = /F 11 109 109 P F 1− 120 120
(
348
)
Unidad 13| Probabilidad
(
( )
)
1 3 1 2 1 22 11 ⋅ + ⋅ + ⋅0 = = 3 20 3 16 3 240 120
18. En una ciudad el 25 % de la población activa tiene estudios superiores. La tasa de paro entre los titulados superiores es del 8 %, mientras que en el resto de la población activa es del 30 %. Se elige una persona al azar que tiene empleo, ¿qué probabilidad tiene de ser titulado superior? Sean los sucesos: T = “ser titulado superior”
T = “no ser titulado superior”
P = “estar en el paro”
P = “no estar en el paro”
(
)
P T= /P
(
)
P (T ) ⋅ P P / T = P P
( )
25 92 ⋅ 100 100 = 25 92 75 70 ⋅ + ⋅ 100 100 100 100
23 46 100 = 151 151 200
19. Actividad interactiva. 20. En un concurso hay dos bolsas. En la bolsa A hay 3 bolas verdes y 2 rojas y en la bolsa B hay 7 bolas verdes, una blanca y 5 bolas rojas. Tienes que elegir una bolsa y sacar una bola roja para ganar un premio. a) ¿Qué bolsa elegirías? b) ¿Qué probabilidad tienes de ganar? c) Si ha salido bola roja, ¿qué probabilidad hay de que el concursante haya elegido la bolsa A? a) Elegiría la 1ª bolsa porque la proporción de bolas rojas es mayor. b) P(R) = P(A) · P(R / A) + P(B) · P(R / B) = P ( A) ⋅ P (R / A) c) P ( A = / R) = P (R )
1 2 1 5 51 ⋅ + ⋅ = 2 5 2 13 130
1 2 1 ⋅ 26 2= 5 5 = 51 51 51 130 130
21. Mi abuelo ha marcado las 6 caras de un dado con cuatro ∆ y dos O y dos urnas, una con un ∆ y otra con una O.
Me pide tirar el dado y sacar una bola de la urna marcada con esa letra y dice que me dará el equivalente en euros al número de la bola. a) Calcula la probabilidad de que me dé 45 €. b) Calcula la probabilidad de que me dé solo 3 €. Sean los sucesos ∆ = “obtener ∆ al lanzar el dado”
O = “obtener O al lanzar el dado”
3 = “extraer una bola con un 3”
15 = “extraer una bola con un 15”
45 = “extraer una bola con un 45” a) P(45) = P(∆) · P(45 / ∆) + P(O) · P(45 / O) = b) P(3) = P(∆) · P(3 / ∆) + P(O) · P(3 / O) =
4 2 1 1 ⋅0 + ⋅ = 6 6 4 12
4 3 2 3 3 ⋅ + ⋅ = 6 4 6 4 4
Probabilidad | Unidad 13 349
22. En un juego se utilizan dos monedas iguales pero una de ellas está trucada y sale cara un 75 % de las veces. Se escoge una moneda al azar y se lanza. a) ¿Cuál es la probabilidad de sacar cara? b) En el lanzamiento ha salido cara, ¿cuál es la probabilidad de haber elegido la moneda trucada? Sean los sucesos: M1 = “elegir la moneda trucada”
M2 = “elegir la moneda no trucada”
C = “sacar cara”
X = “sacar cruz”
a) P(C) = P(M1) · P(C / M1) + P(M2) · P(C / M2) = b) P ( M1 / C= )
P ( M1 ) ⋅ P (C / M1 ) = P (C )
1 3 ⋅ 2 4= 5 8
1 3 1 1 5 ⋅ + ⋅ = 2 4 2 2 8
3 8= 3 5 5 8
23. Calcula la probabilidad de ganar en este juego de cartas. •
Se ponen en un montón las cartas as, 2, 3, 4 y 5 de oros de una baraja española.
•
Se barajan las cinco cartas y se sacan una tras otra tres de ellas sin reemplazamiento.
•
Se gana si las tres cartas son consecutivas.
Casos posibles. Hay que seleccionar 3 cartas de 5, el orden influye y las cartas no se pueden repetir. Se trata de calcular variaciones sin repetición de 5 elementos tomados de 3 en 3: V5,3 = 5 · 4 · 3 = 60 formas diferentes. Casos favorables. Para ganar existen tres únicas formas. Extraer 1 – 2 – 3, 2 – 3 – 4 o 3 – 4 – 5. Por tanto, P(“ganar el juego”) =
3 1 = . 60 20
24. Se ha realizado un test sobre una nueva vacuna a 12 000 personas. En 75 de ellas, entre las que había 30 mujeres embarazadas, se ha producido una reacción secundaria adversa.
a) Si la vacuna se ha administrado a 700 mujeres embarazadas, ¿cuál es la probabilidad de que una mujer embarazada sufra la reacción? b) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona no embarazada tenga una reacción adversa? a) Se organizan los datos en una tabla de contingencia, completando los que faltan. Reacción No reacción Total
Embarazada 30 670 700
b) P(reacción / no embarazada) =
No embarazada 45 11 255 11 300
Total 75 11 925 12 000
P(reacción / embarazada) =
30 3 = 700 70
45 9 = 11 300 2260
25. Indica cuáles de los experimentos siguientes son aleatorios. Cuando lo sean escribe su espacio muestral. a) Medir el volumen de una botella de agua. b) Encestar al lanzar un triple de espaldas a la canasta. c) Extraer una carta de una baraja y mirar su palo. d) Acertar el segundo premio del sorteo de la lotería de Navidad. a) Suceso determinista. b) Suceso aleatorio. c) Suceso aleatorio. E = {oros, copas, espadas, bastos}. d) Suceso aleatorio. E = {00 000, 00 001, 00 002, ..., 99 999}.
350
Unidad 13| Probabilidad
26. En una urna hay nueve bolas numeradas del 1 al 9. a) Escribe los sucesos elementales. b) Describe dos sucesos compuestos. c) Describe dos sucesos incompatibles. a) Cada uno de los resultados posibles del espacio muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. b) A = “sacar bola par” = {2, 4, 6, 8, 9} y B = “sacar bola impar” = {1, 3, 5, 7, 9} c) Los sucesos A = “sacar bola par” y B = “sacar bola impar” son incompatibles porque A ∩ B = ∅.
27. Se pueden construir dados equiprobables con los cinco poliedros regulares. ¿Cuántos sucesos elementales hay en los siguientes experimentos? a) Lanzar un dado dodecaédrico y uno cúbico. b) Lanzar un dado octaédrico y un tetraédrico. c) Lanzar tres dados icosáedricos. a) 12 · 6 = 72 sucesos elementales.
b) 8 · 4 = 32 sucesos elementales. c) 203 = 8000 sucesos elementales
28. Se lanza un dado de ocho caras y se consideran los sucesos: A = “sacar más de 5”
B = “sacar un número par”
C = “sacar un múltiplo de 3”
a) Escribe los elementos de los sucesos A, B y C. b) Di si son compatibles: A y B, A y C, B y C. c) Escribe los sucesos: C , A ∩ B, B ∪ C, B – C d) Describe: A ∪ B , B ∩ C , A ∪ C , B ∩ C . a) A = {6, 7, 8}, B = {2, 4, 6, 8} y C = {3, 6}. b) A y B son compatibles porque A ∩ B = {6, 8} ≠ ∅, A y C son compatibles porque A ∩ C = {6} ≠ ∅ y B y C son compatibles porque B ∩ C = {6} ≠ ∅. c) C = “no sacar un múltiplo de 3” = {1, 2, 4, 5, 7, 8} A ∩ B = “sacar par mayor de 5” = {6, 8} B ∪ C = “sacar par o múltiplo de 3” = {2, 3, 4, 6, 8} B – C = B ∩ C = “sacar un número par no múltiplo de 3” = {2, 4, 8} d) A ∪ B = “sacar menor o igual que 5 o par” = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8} B ∩ C = “sacar impar múltiplo de 3” = {3, 9}
A ∪ C = “sacar menor o igual que 5 y no múltiplo de 3” = {1, 2, 4, 5} B ∩ C = “sacar impar o no múltiplo de 3” = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8}.
Probabilidad | Unidad 13 351
29. Lanzamos un dado cúbico y consideramos los sucesos: A = {1, 2, 3, 5}, B = {3, 4, 5} y C = {4, 5, 6}. a) Copia en tu cuaderno el diagrama de Venn y coloca los números en las regiones correspondientes.
b) Calcula los sucesos: A ∪ B ∪ C; (A ∪ B) ∩ C; A ∪ (B ∩ C); A ∪ B ; A ∩ C a)
b) A ∪ B ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = E
A ∪ (B ∩ C) = {1, 2, 3, 4, 5}
A ∩C = ∅
A ∪ B = {3, 4, 5, 6}
(A ∪ B) ∩ C = {4, 5}
30. Se escoge al azar una carta de una baraja de 40 cartas. Consideramos los sucesos A = “sacar un basto”, B = “sacar un rey”, C = “sacar una carta más baja que 3”. Describe los sucesos: a) A ∩ C
b) A ∩ B
c) A ∩ B
d) A − C
a) A ∩ C = “sacar un basto menor que 3”. b) A ∩ B = “sacar una carta que no sea un rey ni bastos” c) A ∩ B = “sacar cualquier carta de bastos que no sea el rey” d) A − C = “sacar una carta que no sea bastos o que sea bastos menor que 3”
31. Utiliza diagramas de Venn para comprobar si son ciertas las igualdades siguientes:
352
a) A ∪ B = A ∩ B
b) A ∩ B = A ∪ B
a) Cierta. A ∪ B = A ∩ B
b) Cierta. A ∩ B = A ∪ B
Unidad 13| Probabilidad
32. Se lanzan dos dados y se mira la diferencia de puntos entre uno y otro. a) Escribe el espacio muestral del experimento. b) ¿Son sucesos equiprobables? En caso negativo, escribe las probabilidades de cada suceso elemental. c) Halla la probabilidad del suceso A = “la diferencia es menor que 4”. a) E = {0, 1, 2, 3, 4, 5} b) No son sucesos equiprobables. En la siguiente tabla se muestran los resultados obtenidos al hallar la diferencia entre puntos obtenidos al lanzar dos dados. 1
1 0
2 1
3 2
4 3
5 4
6 5
2
1
0
1
2
3
4
3
2
1
0
1
2
3
4
3
2
1
0
1
2
5
4
3
2
1
0
1
6
5
4
3
2
1
0
c) P(A) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) =
P(0) =
6 1 = 36 6
P(1) =
10 5 = 36 18
P(2) =
8 2 = 36 9
P(3) =
6 1 = 36 6
P(4) =
4 1 = 36 9
P(5) =
2 1 = 36 18
1 5 2 1 15 5 + + + = = 6 18 9 6 18 6
33. Se elige un número de tres cifras. ¿Qué probabilidad hay de que tenga alguna cifra repetida? Llamamos al suceso A = “el número tiene alguna cifra repetida”. Por tanto, A = “el número tiene todas sus cifras
( )
distintas”. Calculamos P A . Casos posibles: todos los números de tres cifras. Es decir, hay 9 · 102 = 900 números. Casos favorables: todos los números de tres cifras con todas sus cifras distintas. Es decir, hay 9 · 9 · 8 = 648 números.
( )
Por tanto, P(A) = 1 – P A = 1 –
648 7 = 900 25
34. Actividad resuelta. 35. Se lanzan dos dados y consideramos los sucesos: A = “sacar al menos un 6” B = “la diferencia de puntos es 2” Calcula las probabilidades de: a) A ∩ B
b) A ∪ B
c) A – B
A = {(1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6 ,6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5)} ⇒ P(A) = B = {(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6), (3, 1), (4, 2), (5, 3), (6, 4)} ⇒ P(B) = a) A ∩ B = {(4, 6), (6, 4)} ⇒ P(A ∩ B) =
2 1 = 36 18
b) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) =
11 2 1 17 + – = 9 36 18 36
c) P(A – B) = P(A) – P(A ∩ B) =
11 36
8 2 = 36 9
11 1 9 1 = – = 18 36 36 4
Probabilidad | Unidad 13 353
36. Se elige al azar un número de 6 cifras (no puede empezar por 0). ¿Cuál es la probabilidad de que tenga al menos una cifra impar?
Llamamos al suceso A = “el número tiene alguna cifra impar”. Por tanto, A = “el número tiene todas sus cifras
( )
pares”. Calculamos P A . Casos posibles: todos los números de seis cifras. Es decir, hay 9 · 105 = 900 000 números. Casos favorables: todos los números de seis cifras con todas sus cifras pares. Es decir, hay 4 · 55 = 12 500 números.
( )
Por tanto, P(A) = 1 – P A = 1 –
12 500 71 = 900 000 72
37. En una empresa hay 20 trabajadores: 12 hombres y 8 mujeres. Se eligen tres de ellos al azar para formar una comisión. Halla la probabilidad de que: a) Entre los elegidos haya solo una mujer. b) Haya al menos una mujer. c) La comisión no sea mixta, es decir, haya sólo hombres o sólo mujeres. En todos los apartados los casos posibles son las comisiones formadas por tres personas elegidas al azar de entre 20. Es decir, hay C20,3 = 1140 comisiones posibles. a) Casos favorables: comisiones formadas por dos hombres elegidos de entre 12 y una mujer elegida de entre 8. Es decir, hay C12,2 · C8,1 = 528 comisiones. Por tanto, P(“en la comisión hay una sola mujer”) =
528 44 = 1140 95
b) Llamamos al suceso A = “la comisión tiene al menos una mujer”. Por tanto, A = “la comisión no tiene ninguna
( )
mujer”. Calculamos P A . Casos favorables: comisiones formadas por tres hombres elegidos al azar de entre 12. Es decir, hay C12,3 = 220 comisiones.
( )
Por tanto, P(A) = 1 – P A = 1 –
220 46 = 1140 57
c) Llamamos al suceso A = “la comisión está formada solo por mujeres”. Casos favorables: comisiones formadas por tres mujeres elegidas al azar de entre 8. Es decir, hay 56 14 = C8,3 = 56 comisiones. Por tanto, P(A) = 1140 285 P(“la comisión está formada sólo por hombres”) = P(“la comisión no tiene ninguna mujer”) = Por tanto, P(“la comisión no es mixta) =
220 11 = 1140 57
14 11 23 + = 285 57 95
38. Colocamos 3 bolas rojas, 3 verdes y 3 azules en fila sin mirar su color. ¿Cuál es la probabilidad de que no hay dos bolas azules juntas?
Casos posibles: todas las filas distintas que se pueden hacer con 3 bolas rojas, 3 verdes y 3 azules. Es decir, hay P93,3,3 = 1680 filas distintas. Casos favorables. Para colocar en fila 3 bolas rojas, 3 verdes y 3 azules, sin que haya dos azules juntas, se debe dar la situación AOAOAOAOAOAOA, donde O representa el lugar donde se coloca una bola roja o verde y A las posiciones donde podrían situarse las azules. En total hay 7 posiciones en las que las 3 bolas azules se podrían situar para que no hubiera dos de ellas juntas. De estas 7 posiciones disponibles hay que elegir 3 donde se vayan a colocar las bolas azules. Por tanto, hay C7,3 formas de seleccionar las posiciones. Como las bolas rojas y verdes se pueden colocar de P63,3 formas diferentes, entonces hay P63,3 · C7,3 = 700 formas de colocar las bolas, de forma que no haya dos azules juntas. Por tanto, P(“no hay dos bolas azules juntas”) =
354
Unidad 13| Probabilidad
700 5 = 1680 12
39. ¿Cuál es la probabilidad de tener 4 ases al sacar 5 cartas de una baraja de 52 cartas? Casos posibles: formas diferentes de extraer 5 cartas de 52. Es decir, hay C52, 5 = 2 598 960 formas distintas. Casos favorables: formas diferentes de extraer los 4 ases de la baraja y otra carta cualquiera de las 48 restantes. Es decir, hay C4,4 · C48,1 = 48 formas distintas. Por tanto, P(“extraer 4 ases”) =
48 1 = 2 598 960 54 145
40. Se lanza una moneda 4 veces. Calcula las probabilidades de: a) Sacar 4 cruces.
c) Sacar al menos 3 cruces.
b) Sacar exactamente 3 cruces.
d) Sacar al menos una cruz.
a) P(4 cruces) =
1 1 1 1 1 ⋅ ⋅ ⋅ = 2 2 2 2 16
c) P(al menos 3 cruces) = P(3 cruces) + P(4 cruces) =
b) P(3 cruces) =
1 1 1 1 4 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 4= = 2 2 2 2 16 4
d) P(al menos 1 cruz) = 1 – P(4 caras) = 1 −
1 1 5 + = 16 4 16
1 15 = 16 16
41. Observa la bolsa que contiene bolas del mismo tamaño.
Se sacan al azar dos bolas al mismo tiempo. Calcula la probabilidad de que: a) Las dos sean del mismo color. b) Las dos tengan el mismo número. a) P(“las dos sean del mismo color”) = P(“sacar 2 blancas”) + P(“sacar dos negras”) =
3 2 5 4 13 ⋅ + ⋅ = 8 7 8 7 28
b) P(“las dos tengan el mismo número”) = P(“sacar dos bolas con un 1”) + P(“sacar dos bolas con un 3”) + 2 1 2 1 2 1 3 P(“sacar dos bolas con un 5”) = ⋅ + ⋅ + ⋅ = 8 7 8 7 8 7 28
42. Con la misma bolsa del ejercicio anterior se consideran los sucesos A =”sacar bola negra”, B = “sacar un número impar”. ¿Son sucesos dependientes? Justifica la respuesta. Como P(A) · P(B) =
5 6 30 3 · = ≠ P(A ∩ B) = , entonces los sucesos son dependientes. 8 8 64 8
43. Una paloma mensajera llamada Pronta llega a su destino con el mensaje el 90 % de las veces. Otra paloma menos experta, llamada Tarda, entrega el mensaje el 80 % de las veces. Se envía a las dos palomas a un mismo destino. Calcula las posibilidades siguientes. a) Que al menos una de las palomas entregue el mensaje. b) Que no llegue ninguna de las dos. Llamamos a los sucesos P = “la paloma Pronta llega a su destino” y T = “la paloma Tarda llega a su destino”. a) Como los sucesos P y T son independientes, entonces P(P ∩ T) = P(P) · P(T) =
90 80 72 · = . 100 100 100
72 90 80 98 + – = . 100 100 100 100 90 80 10 20 2 ⋅ = b) P P ∩ T =P P ⋅ P T =(1 − P ( P ) ) (1 − P (T ) ) = 1 − 1− = 100 100 100 100 100 Entonces, P(P ∪ T) = P(P) + P(T) – P(P ∩ T) =
(
)
( ) ( )
Probabilidad | Unidad 13 355
44. Se extraen sucesivamente tres cartas de una baraja de 40 cartas. Calcula la probabilidad de que las tres cartas sean reyes si:
a) Se vuelven a meter al mazo las cartas extraídas. b) No se devuelven al mazo las cartas. a) P(“tres reyes”) =
4 4 4 64 1 ⋅ ⋅= = 40 40 40 64 000 1000
b) P( “tres reyes”) =
4 3 2 24 1 ⋅ ⋅= = 40 39 38 59 280 2470
45. Las habitaciones de un hotel están numeradas de tal forma que la primera cifra indica la planta y las otras
dos el número de la habitación en esa planta. El hotel tiene 3 plantas y en cada planta hay 40 habitaciones. Si se eligen dos habitaciones al azar, calcula la probabilidad de que las habitaciones sean contiguas. Supongamos que las plantas del hotel están numeradas con los números 1, 2 y 3 y, en cada planta, las habitaciones están numeradas del 1 al 40. Entonces las habitaciones del hotel serán 101, 102, …, 139, 140, 201, 202, …, 239, 240, 301, 302, …, 339, 340. Si las habitaciones del hotel estuvieran, en cada planta, en un lado del pasillo, entonces las habitaciones 101, 140, 201, 240, 301 y 340 únicamente tendrían una habitación contigua. El resto de habitaciones tendrían 2 habitaciones contiguas. Es decir, habría 6 habitaciones con una única habitación contigua y, 114 habitaciones, con 2 habitaciones contiguas. Por tanto, P(“sean contiguas”) =
1 1 1 2 39 ⋅ ⋅6 + ⋅ ⋅ 114 = 120 119 120 119 2380
Si las habitaciones del hotel estuvieran, en cada planta, en forma circular, entonces todas las habitaciones tendrían 2 habitaciones contiguas. Por tanto, P(“sean contiguas”) =
1 2 2 ⋅ ⋅ 120 = 120 119 119
46. Actividad resuelta. 47. En un congreso de médicos hay 200 congresistas. De ellos 130 son morenos, 80 tienen los ojos castaños, de los cuales 50 son morenos. Se selecciona al azar a un asistente. Haz una tabla de contingencia y calcula la probabilidad de que: a) Sea moreno y con los ojos castaños. b) No tenga los ojos castaños y no sea moreno. Se organizan los datos en una tabla de contingencia, completando los que faltan. Moreno No moreno Total a) P(moreno y ojos castaños) =
Ojos castaños 50 30 80
50 1 = 200 4
No ojos castaños 80 40 120
Total 130 70 200
b) P(ojos no castaños y no moreno) =
40 1 = 200 5
48. En una rifa con números del 001 al 500 se sortean tres premios distintos. Luisa ha comprado 10 boletos. Calcula las probabilidades siguientes: a) Al menos un boleto tenga premio. b) Tengan premio a lo sumo dos boletos. a) P(“al menos un boleto tiene premio”) = 1 – P(“ningún boleto tiene premio”) = 1 –
490 ⋅ 489 ⋅ 488 = 0,058 923 500 ⋅ 499 ⋅ 498
b) P(“tengan premio a lo sumo dos boletos”) = P(“ningún boleto tiene premio”) + P(“tenga premio 1 boleto”) + + P(“tengan premio 2 boletos”) = 1 – P(“tengan premio 3 boletos”) – P(“tengan premio los 3 boletos”) = 1 – 10 ⋅ 9 ⋅ 8 – = 0,999 994 500 ⋅ 499 ⋅ 498
356
Unidad 13| Probabilidad
49. Un estudio de una tienda de electrodomésticos dice que 6 de cada 10 clientes compra un televisor. La
probabilidad de que un cliente compre un lector de DVD si ha comprado un televisor es 0,4, mientras que si no ha comprado el televisor la probabilidad es 0,2. Calcular la probabilidad de que: a) Compre un televisor y un lector de DVD. b) Compre un lector de DVD. c) Compre un televisor si ha comprado un lector de DVD. Sean los sucesos: T = ”comprar un televisor”
T = ”no comprar un televisor”
D = “comprar un DVD”
D = “no comprar un DVD”
a) P(T ∩ D) = P(T) · P(D / T) =
6 4 6 ⋅ = 10 10 25
( )
(
)
b) P(D) = P(T) · P(D / T) + P T · P D / T =
c) P = (T / D )
6 4 4 2 8 ⋅ + ⋅ = 10 10 10 10 25
6 4 P (T ) ⋅ P ( D / T ) 10 ⋅ 10 3 = = 8 4 P (D ) 25
50. Actividad resuelta. 51. Se dispone de dos urnas A y B. La urna A contiene 3 bolas blancas y una negra y la urna B una blanca y 2 negras. Se lanza un dado y si sale un número menor que 3 se saca una bola de la urna A y si no es así se saca de la urna B. a) Calcula la probabilidad de sacar una bola negra. b) Se saca una bola de una de las urnas y es blanca. ¿Cuál es la probabilidad de que haya salido más de 2 en el dado? Sean los sucesos: A = ”extraer bola de la urna A”
B = ”extraer bola de la urna B”
Bl = “extraer bola blanca”
N = “extraer bola negra”
a) P(N) = P(A) · P(N / A) + P(B) · P(N / B) =
b) P ( B= / Bl )
2 1 4 2 19 ⋅ + ⋅ = 6 4 6 3 36
4 1 ⋅ P ( B ) ⋅ P ( Bl / B ) 8 6 3 = = 19 17 P ( Bl ) 1− 36
Probabilidad | Unidad 13 357
52. Existen tres medicamentos genéricos para combatir una enfermedad, excluyentes entre sí. •
El A lo toman el 60 % de los enfermos y su índice de curación es del 85 %.
•
El B lo toman el 25 % de los enfermos y es eficaz en 9 de cada 10 pacientes.
•
El C lo toman el resto y su nivel de eficacia es del 80 %.
a) Calcula la probabilidad global de curación de un paciente. b) Se ha seleccionado al azar a un paciente que no ha respondido positivamente al tratamiento. Calcula la probabilidad de que haya tomado el medicamento B. Sean los sucesos: A = “tomar el medicamento A”
B = “tomar el medicamento B”
Cu = “el paciente se cura”
Cu = “el paciente no se cura”
C = “tomar el medicamento C”
60 85 25 9 15 80 171 ⋅ + ⋅ + ⋅ = 100 100 100 10 100 100 200 25 1 ⋅ P ( B ) ⋅ P Cu / B 5 10 b) Aplicamos el teorema de Bayes: P= B / Cu = 100 = 171 29 P Cu 1− 200
a) P(Cu) = P(A) · P(Cu / A) + P(B) · P(Cu / B) + P(B) · P(Cu / B) =
(
(
)
)
( )
53. Indica el suceso contrario en los siguientes casos. a) En una clase se eligen al azar dos estudiantes. A = “los dos son chicos” b) En un restaurante Luis pide dos platos: B = ”sopa y pescado” c) En una rifa Juan lleva tres números distintos: C = “al menos uno está premiado” a) A = “al menos un estudiante es chica”. b) B = “no sopa y pescado simultáneamente” c) C = “ninguno está premiado”.
54. Se lanza una moneda tres veces. Consideramos los sucesos, A = “solo han salido caras” y B = “ha salido al menos una cara”. Calcula las probabilidades de los sucesos: a) A
c) A ∩ B
b) A ∪ B
d) A ∪ B
E = {CCC, CCX, CXC, XCC, XXC, XCX, CXX, XXX} ⇒ A = {CCC} y B = {CCC, CCX, CXC, XCC, XXC, XCX, CXX}
( )
a) P A =1 − P ( A ) =1 −
1 7 = 8 8
1 7 1 7 1 ⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = + − = 8 8 8 8 8 6 3 c) A ∩ B = {CCX, CXC, XCC, XXC, XCX, CXX} ⇒ P A ∩ B = = 8 4 2 1 d) A ∪ B = {CCC, XXX} ⇒ P A ∩ B = = 8 4
b) A ∩ B = {CCC} ⇒ P(A ∩ B) =
(
(
358
Unidad 13| Probabilidad
)
)
55. Una urna contiene 5 bolas rojas, 3 negras y 2 blancas. Se sacan 3 bolas sin remplazarlas. Calcula las probabilidades de los sucesos siguientes: a) Que las tres sean del mismo color. b) Que sean de tres colores distintos. a) P(“igual color”) = P(“tres rojas”) + P(“tres negras”) =
5 4 3 3 2 1 11 ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = 10 9 8 10 9 8 120
b) P(“distinto color”) = 3! · P(“bola roja, bola negra, bola blanca”) = 6 ⋅
5 3 2 1 ⋅ ⋅ = 10 9 8 4
56. Se tienen 4 cajas numeradas del 1 al 4 y repartimos al azar 10 bolas idénticas entre las 4 cajas. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna esté vacía? Casos posibles. Formas distintas de repartir 10 bolas idénticas en 4 cajas. El problema es equivalente a contar de cuántas formas diferentes se pueden distribuir 10 bolas y 3 barras. Por ejemplo, la distribución ••|•••|•|••••, significa que en la primera caja hay 2 bolas, en la segunda 3, en la tercera 1 y en la cuarta 4. Por tanto, hay C13,3 = 286 formas diferentes de distribuir 10 bolas idénticas en 4 cajas. Casos favorables. Formas distintas de repartir 10 bolas idénticas en 4 cajas, de forma que ninguna caja esté vacía. Repartimos una bola en cada caja. De esta forma ninguna caja está vacía. Ahora falta repartir 6 bolas idénticas en 4 cajas. El problema es equivalente a contar de cuántas formas diferentes se pueden distribuir 6 bolas y 3 barras. Es decir, hay C9,3 = 84 formas diferentes de distribuir 10 bolas idénticas en 4 cajas, de forma que ninguna caja esté vacía. Por tanto, P(“ninguna caja vacía”) =
84 42 = 286 143
57. En un experimento la probabilidad de un suceso A es P(A) = 0,50 y la de otro suceso B es P(B) = 0,45. La probabilidad de la unión es P(A ∪ B) = 0,90. a) ¿Son incompatibles A y B? b) ¿Son independientes? c) Calcula las probabilidades de A ∩ B, A / B, B / A y A ∩ B . a) P(A ∪ B) = 0,90 ≠ P(A) + P(B) = 0,50 + 0,45 = 0,95 ⇒ A y B no son incompatibles. b) P(A ∩ B) = P(A) + P(B) – P(A ∪ B) = 0,50 + 0,45 – 0,90 = 0,05 P(A ∩ B) = 0,05 ≠ P(A) · P(B) = 0,50 · 0,45 = 0,225 ⇒ A y B no son independientes. c) P(A ∩ B) = 0,05
P(A / B) =
P ( A ∩ B ) 0,05 1 = = P (B ) 0, 45 9
P(B / A) =
(
P ( A ∩ B ) 0,05 1 = = P ( A) 0,50 10
)
P(B) – P(A ∩ B) = 0,45 – 0,05 = 0,40 P A∩B =
Probabilidad | Unidad 13 359
58. En un concurso de redacción el ganador elige un libro al azar entre 5 novelas y 3 libros de poesía y tras él, el segundo clasificado elige otro libro. Calcular la probabilidad de que: a) Al segundo le toque un libro de poesía. b) Al ganador le haya tocado una novela si sabemos que al segundo le tocó un libro de poesía. c) Que a los dos les toque un libro del mismo género. Sean los sucesos: 1ºN = “el ganador elige novela”
1ºP = “el ganador elige poesía”
2ºN = “el segundo elige novela”
2ºP = “el segundo elige poesía”
a) P(2ºP) =
5 3 3 2 3 ⋅ + ⋅ = 8 7 8 7 8
P (1º N ) ⋅ P ( 2º P / 1º N ) b) P (1º N / 2º = = P) P ( 2º P )
5 3 ⋅ 8= 7 5 3 7 8
c) P(“mismo género”) = P(1ºN ∩ 2ºN) + P(1ºP ∩ 2ºP) =
5 4 3 2 13 ⋅ + ⋅ = 8 7 8 7 28
59. Un pastillero A1 contiene 4 pastillas blancas y 3 azules, otro A2 tiene 5 blancas y ninguna azul y un tercero A3 tiene 2 blancas y 4 azules.
a) Se escoge un pastillero al azar y de él se extrae una pastilla. Calcula la probabilidad de que sea blanca. b) Si ha salido una pastilla blanca, ¿cuál es la probabilidad de que la pastilla estuviera en el primer pastillero? c) Se han juntado todas las pastillas y se extrae una al azar. Calcula la probabilidad de que sea del primer pastillero. Sean los sucesos: A1 = “elegir el pastillero A1” A2 = “elegir el pastillero A2” A3 = “elegir el pastillero A3” B = “extraer pastilla blanca” A = “extraer pastilla azul”.
a) P(B) = P(A1) · P(B / A1) + P(A2) · P(B / A2) + P(A3) · P(B / A3) = P ( A1) ⋅ P ( B / A1) b) P ( A1/ B) = = P (B )
1 4 1 1 2 40 ⋅ + ⋅1+ ⋅ = 3 7 3 3 6 63
1 4 ⋅ 3 3= 7 40 10 63
c) En total hay 18 pastillas, de las cuales 7 pertenecen al primer pastillero ⇒ P(A1) =
7 . 18
60. Tres bolsas contienen bolas de colores, la A tiene 5 bolas negras y 2 blancas, la B, 4 negras y 3 blancas, y la C, 4 negras y 4 blancas. Se elige una bolsa al azar y se extraen dos bolas de la misma. Calcula la probabilidad de que las dos bolas sean del mismo color. 1 2 1 1 3 2 1 4 3 1 5 4 1 4 3 1 4 3 29 P(“igual color”) = P(BB) + P(NN) = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = 3 7 6 3 7 6 3 8 7 3 7 6 3 7 6 3 8 7 63
360
Unidad 13| Probabilidad
61. En un campamento hispano-francés los participantes se han apuntado a un único deporte según la siguiente tabla:
Tenis 40 14
Español Francés
Natación 24 21
Vela 16 35
Indica si los siguientes pares de sucesos son independientes. a) A = “ser español” y T = “practicar tenis”. b) B = “ser francés” y V = “practicar vela”. Dos sucesos son independientes si P(A ∩ B) = P(A) · P(B). Tenis 40 14 54
Español Francés Total
Natación 24 21 45
Total 80 70 150
Vela 16 35 51
a) P(A ∩ T) =
80 54 24 40 4 ≠ P(A) · P(T) = ⋅ = ⇒ A y T no son independientes. = 150 150 125 150 15
b) P(B ∩ V) =
70 51 119 35 7 ≠ P(B) · P(V) = ⋅ = ⇒ B y V no son independientes. = 150 150 750 150 30
62. En un comercio hay instaladas dos alarmas A y B contra incendios en zonas distintas. La probabilidad de
que se active la alarma A es P(A) = 0,90, la probabilidad de que se active B es P(B) = 0,75 y la probabilidad de que se activen ambas simultáneamente es P(A ∩ B) = 0,70. Si hay un incendio, calcula las siguientes probabilidades: a) Que se active alguna alarma. b) Que no se active ninguna de las dos alarmas. c) Que se active solo una alarma. a) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = 0,90 + 0,75 – 0,70 = 0,95
(
)
(
)
(
) (
)
1 P ( A ∪ B ) =1 – 0,95 = 0,05 b) P A ∩ B =P A ∪ B =− c) P A ∩ B + P A ∩ B = P(A) – P(A ∩ B) + P(B) – P(A ∩ B) = 0,90 – 0,70 + 0,75 – 0,70 = 0,25
63. Una bolsa contiene 5 bolas rojas numeradas del 1 al 5 y 3 bolas azules numeradas del 1 al 3. Se extraen, sin reponerlas, tres bolas al azar. Calcula las probabilidades siguientes: a) No sacar 3 bolas rojas. b) No sacar ninguna bola roja. c) Sacar al menos una bola roja. a) P(“no sacar tres bolas rojas”) = 1 – P(“sacar tres bolas rojas”) = 1 – b) P(“no sacar ninguna bola roja”) = P(“sacar tres bolas azules”) =
5 4 3 23 ⋅ ⋅ = 8 7 6 28
3 2 1 1 ⋅ ⋅ = 8 7 6 56
c) P(“sacar al menos una bola roja”) = 1 – P(“no sacar ninguna bola roja”) = 1 –
1 55 = 56 56
Probabilidad | Unidad 13 361
64. En un plató de televisión hay dos cámaras que enfocan al presentador en todo momento. La cámara A falla en un 8 % de los casos, y la B, en un 5 %. En un 2 % fallan los dos simultáneamente. Calcula la probabilidad de que: a) Fallen las dos cámaras. b) Falle B sabiendo que ha fallado A. c) No falle ninguna cámara. Llamamos a los sucesos FA =”falla la cámara A” y FB = “falla la cámara B”. a) P(FA ∩ FB) = 0,02 b) P(FB / FA) =
(
P ( FA ∩ FB ) 0,02 = = 0,25 0,08 P ( FA )
(
)
)
c) P FA ∩ FB = 1 − P FA ∩ FB = 1 − P ( FA ∪ FB ) = 1 − ( P ( FA ) + P ( FB ) − P ( FA ∩ FB ) ) = 1 − ( 0,08 + 0,05 − 0,02 ) = = 1 − 0,11 = 0,89
65. En una fábrica de envases se ha realizado un test de calidad resultando que el 3 % salen defectuosos. Se han seleccionado 10 piezas al azar. Calcula la probabilidad de que: a) Ningún envase sea defectuoso. b) El primer envase defectuoso salga en la tercera extracción. c) Que haya exactamente un envase defectuoso. a) P(“ningún envase defectuoso”) = 0,9710 = 0,74 b) P(“el primer envase defectuoso salga en la tercera extracción”) =
97 96 3 388 ⋅ ⋅ = 100 99 98 13 475
9 c) P(“un envase defectuoso”) = 10 · 0,97 · 0,03 = 0,23
66. Un estudiante hace un test de 8 preguntas. En cada una de ellas debe elegir la respuesta correcta entre tres posibles. Para pasar el test hay que acertar al menos 6 respuestas. Decide rellenar todas las respuestas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que pase el test?
Para superar el test, el alumno debe acertar al menos 6 respuestas. La probabilidad de acertar cada respuesta es 2 1 y, de fallarla, . 3 3 P(“acertar al menos 6 preguntas”) = P(“acertar 6 preguntas”) + P(“acertar 7 preguntas”) + P(“acertar 8 preguntas”)= 8 1 = ⋅ 6 3
6
2
2 8 1 ⋅ + ⋅ 7 3 3
7
8
2 1 ⋅ + = 0,0197 3 3
67. En el claustro de profesores de un centro el 60 % de los miembros son mujeres. Entre las profesoras una de cada 3 lleva gafas, mientras que entre los profesores las llevan uno de cada 2. Se elige al azar a un miembro del claustro, ¿cuál es la probabilidad de que sea una profesora si sabemos que llevaba gafas? Sean los sucesos: M = “es mujer”
H = “es hombre”
G = “lleva gafas”
G = “no lleva gafas”
P ( M ) ⋅ P (G / M ) = P (M / G ) = P (G )
362
Unidad 13| Probabilidad
60 1 ⋅ 1 100 3 = 60 1 40 1 2 ⋅ + ⋅ 100 3 100 2
68. La probabilidad de que al seleccionar un número capicúa entre 1000 y 10 000 sea múltiplo de 7 es: A.
1 4
B.
1 5
C.
1 6
D.
1 7
Casos posibles. Todos los números capicúas de 4 cifras. Es decir, hay 9 · 10 · 1 · 1 = 90 números capicúas de 4 cifras. Casos favorables. Todos los números capicúas de 4 cifras múltiplos de 7. 1000a + 100b + 10b + a, con a = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y b = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, es un número capicúa de 4 cifras. Como el número tiene que ser múltiplo de 7, entonces es de la forma 7k, k ∈ . Por tanto, 1000a + 100b + 10b + a = 7k ⇒ 1001a + 110b = 7k ⇒ 11(91a + 10b) = 7k. Como 11 no es divisible entre 7, entonces 91a + 10b debe ser múltiplo de 7. Como 91a = 13 · 7a es divisible entre 7, entonces 10b debe ser también divisible entre 7. Es decir, 10b = 7k. Pero b = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, por tanto b = 0 o b = 7. Si b = 0, el número capicúa es de la forma a00a ⇒ existen 9 números de la forma a00a múltiplos de 7. Si b = 7, el número capicúa es de la forma a77a ⇒ existen 9 números de la forma a77a múltiplos de 7. Existen 18 números capicúas de 4 cifras múltiplos de 7. Por tanto, P(“el número capicúa de 4 cifras sea múltiplo de 7”) = La respuesta correcta es la B.
18 1 = 90 5
69. A y B son dos sucesos tales que P(A) = 0,40, P(B / A) = 0,25 y P(B) = b. ¿Cuál es el mayor valor posible que puede tomar b? A. 0,40
B. 0,36
C. 0,70
D. 1
P(A ∩ B) = P(B / A) · P(A) = 0,25 · 0,40 = 0,1 ⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = 0,40 + b – 0,1 = 0,3 + b Como P(A ∪ B) ≤ 1 ⇒ 0,3 + b ≤ 1 ⇒ b ≤ 0,7. La respuesta correcta es la C.
70. Se escoge un punto al azar en el interior de un cuadrado de lado 1 y se mide la distancia del punto al lado más próximo. ¿Cuál es la probabilidad de que esa 1 1 y ? distancia esté comprendida entre 5 3 A.
45 225
C.
56 225
B.
55 225
D.
60 225
Casos posibles Área del cuadrado de lado 1: Acuadrado = 12 = 1. Casos favorables Área de la zona coloreada de la figura. Es un marco cuyo borde exterior está a cuadrado y, cuyo borde interior, está a 2
1 de distancia del lado del 5
1 de distancia del lado del cuadrado. 3
2
2 2 56 Azona sombreada = 1 − − 1 − = 225 5 3
1 1 Por tanto, P distancia comprendida entre y= 5 3
56 56 225 = 1 225
La respuesta correcta es la C.
Probabilidad | Unidad 13 363
Encuentra el error
71. Un fallo con historia. Si se lanzan al aire dos monedas. ¿Cuál es la probabilidad de que salga alguna cara? El matemático francés Jean Le Rond d´Alembert (1717 - 1783) dijo que la probabilidad era
2 . Razonó así: 3
•
Si la primera moneda sale cara ya se cumple nuestro suceso.
•
Si no es así los resultados pueden ser (X, C) o (X, X). En dos de los casos sale alguna cara y en el 2 tercero no sale ninguna. Luego la probabilidad de salir alguna cara es . 3
¿Estás de acuerdo con d´Alembert? Calcula la probabilidad de obtener “al menos una cara” al lanzar dos monedas. Encuentra el fallo, si lo hay, en el razonamiento de d´Alembert. Jean Le Rond d´Alembert cometió un error al contabilizar el número de casos posibles. Si se lanzan dos monedas, el espacio muestral es E = {CC, CX, XC, XX}. Por tanto, hay 4 posibles resultados. De esos 4 posibles resultados, al menos se obtiene una cara en tres de ellos. Por tanto, P(“obtener al menos una cara”) =
3 . 4
PONTE A PRUEBA La importancia de los análisis médicos y de las leyes del azar Actividad resuelta. Un juego con trampa Belén y Carlos han descubierto un nuevo juego: •
Se introducen tres fichas en un sombrero.
•
Una de ellas tiene las dos caras blancas, otra las dos caras rojas y la tercera una blanca y otra roja.
•
Uno de los ellos extrae una ficha, mira sólo una de sus caras y le muestra el color al otro jugador.
Carlos apuesta a que la ficha es la que tiene las dos caras iguales, y Belén a que es la que tiene las caras diferentes. Parece que los dos jugadores tienen las mismas posibilidades de acertar, ya que si la cara que se ha visto es roja la cara oculta o es roja también, en cuyo caso sería la ficha de dos caras rojas, o por el contrario, es blanca, y entonces la ficha extraída sería la blanca-roja.
1.
¿Tienen los dos jugadores las mismas probabilidades de ganar? Los jugadores no tienen las mismas probabilidades de ganar. Tendría más posibilidades de ganar el jugador que apueste por la ficha de doble color; es decir, si la cara que han visto es roja tendría más posibilidades el jugador que apueste por la ficha rojo – rojo y, si la cara que han visto es blanca, tendría más posibilidades de ganar el jugador que apueste por la ficha blanca – blanca. Por tanto, tendría más posibilidades de ganar Carlos.
2.
En caso contrario, ¿por cuál de las dos opciones apostarías? Calcula la probabilidad de ganar de cada jugador. Llamamos a los sucesos: RR = “la ficha elegida es la que tiene las dos caras rojas” BB = “la ficha elegida es la que tiene las dos caras blancas” RB = “la ficha elegida es la que tiene una cara roja y otra blanca” R = “la cara de la ficha que se enseña sea roja” B = “la cara de la ficha que se enseña sea azul”
364
Unidad 13| Probabilidad
Supongamos que se ha sacado una ficha y la cara que se ve es roja. Belén apostaría por la ficha RB y, Carlos, por la ficha RR. P(RR/R)=
P ( RR ) ⋅ P ( R / RR ) = P (R )
1 ⋅1 P ( RB ) ⋅ P ( R / RB ) 2 3 y P(RB/R)= = = 1 1 1 3 P (R ) ⋅1+ ⋅ 3 3 2
1 1 ⋅ 1 3 2 = 1 1 1 3 ⋅1+ ⋅ 3 3 2
Por tanto, Carlos tendría más probabilidades de ganar. Si la cara que se viera fuera blanca, Belén apostaría por la ficha RB y, Carlos, por la ficha BB. P ( BB ) ⋅ P ( B / BB ) P(BB/B)= = P (B )
1 ⋅1 P ( RB ) ⋅ P ( B / RB ) 2 3 y P(RB/B)= = = 1 1 1 P (B ) ⋅ + ⋅1 3 3 2 3
1 1 ⋅ 1 3 2 = 1 1 1 ⋅ + ⋅1 3 3 2 3
De nuevo, Carlos tendría más probabilidades de ganar. Una partida sin terminar. Reparto justo. Blaise Pascal (1623-1662) y Pierre de Fermat (1601-1665) son dos de los fundadores de la teoría de la probabilidad. Se intercambiaron numerosas cartas planteándose problemas relacionados con el azar. Uno de ellos fue cómo habría que repartir las cantidades apostadas por dos jugadores si hubieran de interrumpir el juego antes del final y uno fuera ganando al otro. En una carta escrita el 29 de julio de 1654 Pascal le remite a Fermat su solución: “He aquí como lo hago para saber el valor de cada una de las partidas cuando dos jugadores juegan al mejor de tres partidas, y cada uno ha apostado 32 monedas. Supongamos que el primero ha ganado dos y el otro una. Ahora están jugando una partida cuya suerte es que, si gana el primero, gana la apuesta, las 64 monedas. Si gana el otro empatan a dos partidas, y por tanto, si suspenden el juego cada uno retiraría su apuesta. Considerad, señor, que si gana el primero le pertenecen 64 monedas y 32 si pierde. Ahora bien, si no quieren arriesgar esta partida y separarse sin jugarla, el primero debe decir: “estoy seguro de ganar 32 monedas, porque aunque pierda las tengo; pero las otras 32 quizás las tendré yo o quizás las tendréis vos; el azar es igual, repartamos pues estas monedas mitad por mitad, y me dais, además de estas 16 las 32 monedas que me corresponden con seguridad”. Tendrá, pues, 48 monedas el primero y el otro 16”
1.
¿Estás de acuerdo con la solución de Pascal? Sí, porque Pascal plantea que hay que tener en cuenta lo que podría ocurrir si siguieran jugando, y repartir el dinero en base a ello.
2.
¿No sería más justo este razonamiento: “si han jugado tres partidas y uno ha ganado dos y el otro una, lo lógico es dividir las 64 monedas en tres partes y que el primero se lleve dos partes y el otro una. Es decir, 2 1 al primero le corresponden ⋅ 64 = 42,66 y al otro ⋅ 64 = 21,33 ? 3 3 No sería más justo porque no se tendrían en cuenta las probabilidades de ganar cada uno, en función de su trayectoria.
3.
Haz un diagrama de árbol, suponiendo que los dos tiene la misma probabilidad de ganar una partida y saca tus propias conclusiones. Denotamos por X / Y al número de partidas ganadas por cada jugador, donde X representa el número de partidas por el primer jugador e Y el número de partidas ganadas por el segundo. Por ejemplo, 2 / 1 significa que el primer jugador ha ganado dos partidas y, el segundo, una.
El jugador que lleva ventaja en el momento de plantearse parar el juego gana 2 de cada 3 partidas.
Probabilidad | Unidad 13 365
AUTOEVALUACIÓN
1.
Se consideran dos sucesos A y B de un experimento aleatorio y se sabe que P(A) = 0,7; P(B) = 0,4 y P(A ∩ B) = 0,3. Representa los sucesos A y B mediante un diagrama de Venn y calcula: a) P(A∪B) b) P (B) c) P (A ∪ B) a) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = 0,7 + 0,4 – 0,3 = 0,8 b) P(B )= 1 − P ( B ) = 1 – 0,4 = 0,6 c) P( A ∪ B ) = P(A) + P(B ) – P( A ∩ B ) = 0,7 + 0,6 – 0,4 = 0,9
2.
Los dados para rellenar quinielas son dados cúbicos con estas características: tres caras están marcadas con un 1 que representa la victoria local, dos caras con una X que representa el empate y una cara con un 2, que representa la victoria visitante. Calcula las probabilidades de que al lanzar el dado tres veces: a) Salgan 3X.
b) No salga ninguna X.
c)Salga al menos una X.
3
1 1 a) P(3X) = = 3 27 3
8 4 b) P(“ninguna X”) = = 27 6 c) P(“al menos una X) = 1 – P(“ninguna X”) =
3.
19 27
Se elige un número al azar entre 1000 y 9999. Calcula la probabilidad de que: a) Tenga alguna cifra repetida. b) Tenga solo una cifra repetida dos veces. a) P(“alguna cifra repetida”) = 1 – P(“ninguna cifra repetida”) = 1 – b) P(“una cifra repetida dos veces”) =
4.
9⋅9⋅8⋅7 4536 62 = = 1− 9000 9000 125
9 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 1⋅ 6 3888 54 = = 9000 9000 125
Se extraen 4 cartas de una baraja de 40 naipes. Calcula la probabilidad de que: a) Tres de las cuatro cartas tengan el mismo valor: tres cuatros, tres reyes… b) Las cuatro tengan distinto valor. 40 3 2 36 144 ⋅ ⋅ ⋅ = 40 39 38 37 9139 40 36 32 28 5376 b) P(“las cuatro cartas tengan distinto valor”) = ⋅ ⋅ ⋅ = 40 39 38 37 9139
a) P(“tres de las cuatro cartas tienen igual valor”) = 4 ⋅
5.
En un concurso de televisión, un concursante domina 5 de los 8 temas sobre los que le pueden preguntar. En la primera ronda, el presentador elige dos sobres al azar y le muestra los temas que contienen al concursante, para que elija uno de ellos. a) Halla la probabilidad de que el concursante pueda elegir uno de los temas que domina. b) Halla la probabilidad de que el presentador le muestre al concursante dos temas que conoce. a) P(“el concursante se sabe al menos un tema”) = b) P(“el concursante se sabe los dos temas”) =
366
Unidad 13| Probabilidad
C5,2 C8,2
C5,1 ⋅ C3,1 C8,2
=
5 14
+
C5,2 C8,2
=
15 10 25 + = 28 28 28
6.
En una ciudad hay tres centros educativos A, B y C que presentan alumnos al examen de acceso a la Universidad. El 50 % de los alumnos presentados son del centro A, el 35 % del B y el 15 % del C. El centro A tiene un porcentaje de aprobados del 90 %, el B del 88 % y el C del 96 %. a) ¿Cuál es el índice global de aprobados en la ciudad? b) Se ha elegido un estudiante al azar y ha suspendido, ¿cuál es la probabilidad de que sea alumno del centro A? Sean los sucesos: A = “asistir al centro A” B = “asistir al centro B” C = “asistir al centro C” S = “el alumno suspende”
S = “el alumno no suspende”
( )
a) P S = 0,5 ⋅ 0,9 + 0,35 ⋅ 0,88 + 0,15 ⋅ 0,96 = 0,902 b) P = (A / S)
P ( A ) ⋅ P (S / A ) 0,5 ⋅ 0,1 = = 0,51 P (S ) 1 − 0,902
Probabilidad | Unidad 13 367
14 Estadística PIENSA Y CONTESTA Las variables que se representan en los gráficos estadísticos son de lo más variado. Y no todas son numéricas. Encuentra gráficos estadísticos en los que se representen características no cuantitativas. Respuesta libre. Por ejemplo, en la representación del deporte practicado, de la marca de coche preferida, del medio de transporte utilizado para ir al instituto…se representan características no cuantitativas.
ANALIZA Y REFLEXIONA En la actualidad es difícil abrir una revista o un periódico y no encontrar un gráfico estadístico. Pero son un invento relativamente reciente en la historia de las matemáticas. Poco más de dos siglos. ¿En qué áreas de la vida cotidiana aparecen a menudo gráficos estadísticos? Piensa en una en la que no se utilicen. Respuesta libre. Por ejemplo, se utilizan en economía, en estudio del crecimiento de la población… ¿Por qué crees que las gráficas estadísticas tienen tanto éxito en actividades tan dispares? Respuesta libre.
Y TÚ, ¿QUÉ OPINAS? William Playfair creó distintas representaciones gráficas y sin embargo “su nombre no se encuentra ni siquiera en las grandes enciclopedias”. ¿Crees que es justo que se le reconozca por este hecho? ¿Por qué motivo crees que es justo que se valore o reconozca a una persona? Respuesta libre.
Actividades propuestas 1.
Unos grandes almacenes quieren hacer un estudio sobre el grado de satisfacción de sus clientes. Para ello, seleccionan al azar, entre ellos, a 100 que han gastado menos de 1000 € el último año, otros 100 entre los que han gastado entre 1000 € y 5000 € y otros 100 entre los que han gastado más de 5000 €. ¿Es representativa la muestra? La población en estudio, los clientes, se ha dividido en tres estratos o partes según el dinero gastado en los almacenes. De cada estrato se han elegido al azar 100 individuos. Por tanto, se ha realizado un muestreo aleatorio estratificado. La muestra será representativa si la proporción de individuos en cada estrato de la misma coincide con la proporción del estrato en la población. Es decir, la muestra será representativa si una tercera parte de la clientela se gastó menos de 1000 €, otra tercera parte se gastó entre 1000 € y 5000 €, y otro tercio de la población más de 5000 €.
2.
Clasifica las siguientes variables estadísticas: a) Número de goles en una jornada de la liga. b) Cotización en bolsa de una empresa en una semana. c) Profesiones con menos índice de paro. d) Causas de mortalidad en una población. a) Variable cuantitativa discreta. b) Variable cuantitativa continua. c) Variable cualitativa. d) Variable cualitativa.
368
Unidad 14| Estadística
3.
Los resultados de una encuesta a 40 jóvenes sobre el número de horas que utilizan una consola el fin de semana son: 4
2
3
7
6
4
3
7
6
8
3
4
3
5
3
2
1
0
5
4
3
7
8
0
1
6
4
5
7
6
1
4
3
7
5
4
3
1
0
3
a) ¿De qué tipo es la variable estadística? b) Haz una tabla de frecuencias indicando la frecuencia absoluta, relativa, y las frecuencias acumuladas de cada dato. c) ¿Qué porcentaje utiliza la consola menos de 3 horas? ¿Y más de 6? a) La variable es cuantitativa discreta. b) N.º de horas: xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8
fi 3 4 2 9 7 4 4 5 2 N = 40
hi 0,075 0,1 0,05 0,225 0,175 0,1 0,1 0,125 0,05 1
Fi 3 7 9 18 25 29 33 38 40
Hi 0,075 0,175 0,225 0,45 0,625 0,725 0,825 0,95 1
Hi (%) 7,5 17,5 22,5 45 62,5 72,5 82,5 95 100
c) El 22,5 % utiliza la consola menos de 3 horas, y el 100 % – 82,5 % = 17,5 %, más de 6 horas.
4.
El número de alumnos, en miles, matriculados en enseñanzas no universitarias en España en el curso 2015/2016 fue: E. Infantil
1978
E. Primaria
2918
E.S.O.
1865
Bachillerato
698
F. Profesional
784
a) Construye el diagrama de barras de la distribución escolar y el polígono de frecuencias acumuladas. b) Si los datos en 2012/2013 fueron respectivamente 1900, 2827, 1806, 692 y 663, haz un diagrama lineal con los datos de ambos cursos y comenta la evolución. a) Diagrama de barras
Polígono de frecuencias acumuladas
b) Diagrama lineal El número de alumnos en Educación Primaria se ha mantenido constante y ha sido muy superior a los matriculados en otras enseñanzas. Tanto el número de matriculados en E.S.O. como en Educación Infantil ha disminuido ligeramente, al contrario de lo que ha ocurrido con los matriculados en Formación Profesional y Bachillerato.
Estadística | Unidad 14
369
5.
En una fábrica de bombillas se estudia la vida de un tipo de bombilla. Se ha tomado una muestra de 200 lámparas con los siguientes resultados. Vida en horas [100, 300)
N.º de bombillas 10
[300, 500)
65
[500, 700)
75
[700, 900)
35
[900, 1100)
15
Dibuja el polígono de frecuencias acumuladas en porcentaje. ¿Cuál es el porcentaje de bombillas que dura más de 800 horas? Intervalos [100, 300) [300, 500) [500, 700) [700, 900) [900, 1100)
Marca: xi 200 400 600 800 1000
fi 10 65 75 35 15 N = 200
hi 0,05 0,325 0,375 0,175 0,075 1
Fi 10 75 150 185 200
Hi 0,05 0,375 0,75 0,925 1
Hi (%) 5 37,5 75 92,5 100
Como 800 horas es la mitad del 4 intervalo, se busca el tanto por ciento acumulado correspondiente a la mitad de ese intervalo, es decir, 83,75 %. Este resultado se puede ver de forma aproximada en la gráfica.
El 100% – 83,75 % = 16,25 % de las bombillas duran más de 800 horas.
6.
Actividad resuelta.
7.
La edad de los 50 socios de un club deportivo juvenil viene dado por la tabla: Edad N.º
16 5
17 8
18 10
20 9
19 12
21 6
Halla la moda, la media y la mediana y los cuartiles. Edad: xi 16 17 18 19 20 21
= x
930 = 18,6 50
fi 5 8 10 12 9 6 N = 50
Fi 5 13 23 35 44 50
xi · fi 80 136 180 228 180 126 930
Mo = 19
El 25 % de 50 es 12,5. El primer cuartil es Q1 = 17, ya que es el valor que deja por debajo al 25 % de los datos. El 50 % de 50 es 25. El segundo cuartil es Q2 = M = 19. El 75 % de 50 es 37,5. El tercer cuartil es Q3 = 20.
370
Unidad 14| Estadística
8.
La evaluación de un test realizado a los 215 trabajadores de una empresa ha sido: Nota N.º Trab.
1 9
2 7
3 8
4 34
5 40
6 37
7 50
8 13
9 10
10 7
a) Completa la tabla de frecuencias y representa la distribución con un diagrama de barras. b) Calcula la moda, la media, la mediana y los cuartiles. c) Deberán hacer un curso de formación los trabajadores por debajo del tercer decil. ¿Cuántos son? a) Nota: xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
fi 9 7 8 34 40 37 50 13 10 7 N = 215
hi 0,042 0,033 0,037 0,158 0,186 0,172 0,233 0,060 0,047 0,033 1
Fi 9 16 24 58 98 135 185 198 208 215
Hi 0,042 0,074 0,112 0,270 0,456 0,628 0,860 0,921 0,967 1,000
Hi (%) 4,186 7,442 11,163 26,977 45,581 62,791 86,047 92,093 96,744 100
xi · fi 9 14 24 136 200 222 350 104 90 70 1219
1219 = 5,67 215 25 % de 215 = 53,78 ⇒ Q1 = 4, 50 % de 215 = 107,5 ⇒ Q2 = M = 6 y 75 % de 215 = 161,25 ⇒ Q3 = 7 = x
b) Mo = 7
c) El 30 % de 215 es 64,5. El tercer decil es D3 = 5. Deberán hacer un curso de formación todos los trabajadores que hayan obtenido menos de un 5, que son 58 en total.
9.
En un saco de patatas, su masa se distribuye de la forma: Peso Patatas
[0, 100) 3
[100, 200) 32
[200, 300) 54
[300, 400) 41
[400, 500) 20
a) Dibuja el gráfico de frecuencias acumuladas en porcentaje. b) Halla la mediana y los cuartiles. c) ¿Qué número aproximado de patatas pesarán menos de 230 g? a) Se completa la tabla de frecuencias acumuladas. Extremos 100 200 300 400 500
Fi 3 35 89 130 150
Hi (%) 2 23,33 59,33 86,67 100
b) Q1 = 206,6; M = Q2 = 274,1; Q3 = 357,32. c) Aproximadamente, el 34,1 % de las patatas pesarán menos de 230 g.
Estadística | Unidad 14
371
10. El número de libros solicitados por los usuarios de una biblioteca ha sido: Libros Usuarios
1 8
2 12
3 9
4 6
5 3
6 2
a) Calcula el recorrido y el recorrido intercuartílico. b) Halla la varianza y la desviación típica. a) Libros: 1 2 3 4 5 6
fi 8 12 9 6 3 2 N = 40
xi · fi 8 24 27 24 15 12 110
xi 2 · fi 8 48 81 96 75 72 380
Recorrido = 6 – 1 = 5 El 25 % de 40 = 10 ⇒ Q1 = 2, el 50 % de 40 = 20 ⇒ Q2 = M = 2 y el 75 % de 40 = 30 ⇒ Q3 = 4 Recorrido intercuartílico = Q3 – Q1 = 4 – 2 = 2 b) x=
110 380 = 2,75 ⇒ s 2= − 2,752= 1,94 ⇒ s= 1,39 40 40
11. Las notas de 10 alumnos en una prueba han sido: 6, 5, 3, 6, 3, 7, 5, 8, 5, 4. a) Halla el recorrido y el recorrido intercuartílico. b) Calcula la desviación típica y el coeficiente de variación. c) El profesor decide puntuar sobre 20 y para ello multiplica las notas por 2. ¿Qué les ocurre a los tres parámetros estadísticos? ¿En qué caso hay mayor dispersión relativa? Notas: 3, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 8. a) Recorrido = 8 – 3 = 5 El 25 % de 10 = 2,5 ⇒ Q1 = 4, el 50 % de 10 = 5 ⇒ Q2 = M = 5 y el 75 % de 10 = 7,5 ⇒ Q3 = 6 Recorrido intercuartílico = Q3 – Q1 = 6 – 4 = 2 b) x = CV =
3⋅2 + 4 + 5⋅3 + 6⋅2 + 7 + 8 32 ⋅ 2 + 42 + 52 ⋅ 3 + 62 ⋅ 2 + 72 + 82 = 5,2 ⇒ s 2 = − 5,22 = 2,36 ⇒ s = 1,54 10 10 1,54 = 0,3 → 30 % 5,2
c) Notas: 6, 6, 8, 10, 10, 10, 12, 12, 14, 16. Recorrido = 16 – 6 = 10 ⇒ El recorrido queda multiplicado por 2. El 25 % de 10 = 2,5 ⇒ Q1 = 8 ⇒ Q1 queda multiplicado por 2. El 50 % de 10 = 5 ⇒ Q2 = M = 10 ⇒ Q2 queda multiplicado por 2. El 75 % de 10 = 7,5 ⇒ Q3 = 12 ⇒ Q3 queda multiplicado por 2. Recorrido intercuartílico = Q3 – Q1 = 12 – 8 = 4 ⇒ El rango intercuartílico queda multiplicado por 2.
x s2
= s CV =
372
6 ⋅ 2 + 8 + 10 ⋅ 3 + 12 ⋅ 2 + 14 + 16 = 10, 4 ⇒ La media queda multiplicada por 2. 10 62 ⋅ 2 + 82 + 102 ⋅ 3 + 122 ⋅ 2 + 142 + 162 = − 10, 442 9, 44 ⇒ La varianza queda multiplicada por 4. 10
= 9, 44 3,08 ⇒ La desviación típica queda multiplicada por 2. 3,08 = 0,3 → 30 % ⇒ El coeficiente de variación no varía, por tanto hay igual dispersión en los dos casos. 10, 4
Unidad 14| Estadística
12. Se han seleccionado dos pruebas A y B de 120 preguntas tipo test cada una. ¿En cuál es más representativa la media? •
En la prueba A la media de respuestas correctas ha sido 72, y la desviación típica, 15.
•
En la prueba B la media ha sido 58, y la desviación típica, 13.
Se calculan los coeficientes de variación de las dos pruebas: Prueba A: CV =
15 = 0,2083 ⇒ 20,83 % 72
Prueba B: CV =
13 = 0,2241 ⇒ 22,41 % 58
Como 20,83 % < 22,41 %, la media es más representativa en la prueba A.
13. Para medir la eficacia de un abono se han medido el crecimiento de 20 plantas en un mes. Altura (cm) N.º plantas
[0, 10) 4
[10, 20) 7
[20, 30) 5
[30, 40) 4
a) Halla la media, el recorrido, la desviación típica y el coeficiente de variación. b) ¿Entre qué valores se encuentra el 68 % de los datos? ¿Y el 95 %? a) Recorrido = 40 – 0 = 40 Intervalos [0, 10) [10, 20) [20, 30) [30, 40)
x=
Marca: xi 5 15 25 35
xi2 · fi 100 1575 3125 4900 9700
xi · fi 20 105 125 140 390
fi 4 7 5 4 N = 20
390 9700 10,23 2 2 104,75 ⇒ s= 10,23 ⇒ CV= = 19,5 ⇒ s= − 19,5= = 0,5246 → 52,46 % 20 20 19,5
b) El 68 % de los datos se encuentran entre 19,5 – 10,23 = 9,27 y 19,5 + 10,23 = 29,73. El 95 % de los datos se encuentran entre 0 y 19,5 + 2 · 10,23 = 39,96.
14. Actividad resuelta. 15. Dada la siguiente distribución bidimensional. X Y
2 4
3 3
5 6
6 5
8 5
9 6
10 8
Representa la nube de puntos e indica el tipo de correlación entre las variables.
Existe una correlación fuerte directa entre X e Y.
Estadística | Unidad 14
373
16. Las puntuaciones obtenidas por 40 personas en dos test que miden la comprensión lectora (X) y el cálculo numérico (Y) han sido:
X
Y
20
30
40
50
3 5 1 0
4 2 3 1
2 2 4 3
1 1 2 6
20 30 40 50
a) ¿Cuántas personas han obtenido 30 puntos en comprensión lectora? ¿Y 50 puntos en cálculo numérico? b) ¿Hay correlación entre ambas habilidades? a) Han obtenido 30 puntos en comprensión lectora 10 personas. Han obtenido 50 puntos en cálculo numérico 10 personas. b) Sí que hay correlación entre ambas habilidades porque, por lo general, las personas que han obtenido mejor nota en comprensión lectora también han obtenido mejor puntuación en cálculo numérico.
17. Se quiere estudiar la relación entre las ventas de un producto y el espacio destinado a su exposición. Se anotan las ventas, en unidades, y la longitud de los expositores, en metros, durante seis semanas: Semana Metros Unidades
1.ª 0,5 12
2.ª 1 15
3.ª 1,5 13
4.ª 2 25
5.ª 3 24
6.ª 4 30
a) Representa la nube de puntos e indica qué tipo de correlación existe. b) Calcula el centro de gravedad de la distribución. c) Calcula la media y la desviación típica de cada variable. d) Halla la covarianza y el coeficiente de correlación. a) Como los puntos de la nube se ajustan a una recta creciente, entonces existe correlación fuerte directa.
b) Llamando X a los metros e Y a las unidades:
= x
0,5 + 1 + 1,5 + 2 + 3 + 4 12 = = 2 6 6
= y
12 + 15 + 13 + 25 + 24 + 30 119 = = 19,83 6 6
El centro de gravedad de la distribución es (2; 19,83). c) Completamos la tabla para calcular los parámetros. Semana 1.ª 2.ª 3.ª 4.ª 5.ª 6.ª
sx2= d) s= x, y
374
xi 0,5 1 1,5 2 3 4
yi 12 15 13 25 24 30
x i2 0,25 1 2,25 4 9 16 32,5
y i2
xi − x
yi − y
144 225 169 625 576 900 2639
–1,5 –1 –0,5 0 1 2
–7,83 –4,83 –6,83 5,17 4,17 10,17
32,5 2639 − 22= 1, 412 ⇒ sx= 1,19 y s 2y = − 19,832= 46,6 ⇒ sy= 6,83 6 6 44,50 7, 412 r = 7, 412 ⇒= = 0,912 6 1,19 ⋅ 6,83
Unidad 14| Estadística
( x i − x )( y i − y ) 11,75 4,83 3,42 0,00 4,17 20,33 44,50
18. La tabla muestra los datos de importaciones y exportaciones de los años 2007 a 2014, en miles de millones de euros.
Año X (I) Y(E)
08 270 191
09 210 163
10 247 192
11 271 220
12 263 230
13 256 238
14 270 245
Dibuja la nube de puntos y calcula el coeficiente de correlación. Año 08 09 10 11 12 13 14
xi 270 210 247 271 263 256 270 1787
yi 191 163 192 220 230 238 245 1479
x i2 72 900 44 100 61 009 73 441 69 169 65 536 72 900 459 055
y i2
xi − x
yi − y
36 481 26 569 36 864 48 400 52 900 56 644 60 025 317 883
268 208 245 269 261 254 268
–20,29 –48,29 –19,29 8,71 18,71 26,71 33,71
= x
1787 459 055 2 2 = 255,29 ⇒ s= − 255,29= 406,30 ⇒ s= 20,16 x x 7 7
y =
1479 317 883 2 2 = 211,29 ⇒ s= − 211,29= 768,39 ⇒ s= 27,72 y y 7 6
( x i − x )( y i − y ) –5436,57 –10 043,43 – 4725,00 2344,14 4884,43 6785,43 9035,43 2844,43
2844, 43 406,35 = 406,35 = ⇒r = 0,727 7 20,16 ⋅ 27,72
s x, y =
19. Se ha preguntado a 10 viandantes sobre el número de veces que han ido al teatro y al cine en el último año.
Teatro Cine
0 6
1 12
2 15
3 10
3 5
4 8
5 6
5 9
6 4
7 2
¿Hay correlación entre las dos variables? Justifica tu respuesta. Para comprobar si existe correlación entre el teatro, X, y el cine, Y, calculamos el coeficiente de correlación lineal.
x=
xi
yi
x i2
y i2
xi − x
yi − y
( x i − x )( y i − y )
0 1 2 3 3 4 5 5 6 7 36
6 12 15 10 5 8 6 9 4 2 77
0 1 4 9 9 16 25 25 36 49 174
36 144 225 100 25 64 36 81 16 4 731
–3,6 –2,6 –1,6 –0,6 –0,6 0,4 1,4 1,4 2,4 3,4
–1,7 4,3 7,3 2,3 –2,7 0,3 –1,7 1,3 –3,7 –5,7
6,12 –11,18 –11,68 –1,38 1,62 0,12 –2,38 1,82 –8,88 –19,38 – 45,2
36 174 = 3,6 ⇒ sx2 = − 3,62 = 4, 44 ⇒ sx = 2,11 10 10
y=
77 731 = 7,7 ⇒ s 2y = − 7,72 = 13,81 ⇒ sy = 3,72 10 10
−45,2 −4,52 s x, y = =−4,52 ⇒ r = =−0,576 ⇒ Hay correlación inversa no muy fuerte. 10 2,11⋅ 3,72
Estadística | Unidad 14
375
20. Los datos de importaciones y exportaciones de un país entre los años 2008 a 2014 en miles de millones de euros son:
I E
270 191
210 163
247 192
271 220
263 230
256 238
270 245
Calcula la recta de regresión de Y sobre X. I: xi 270 210 247 271 263 256 270 1787
E: yi 191 163 192 220 230 238 245 1479
x i2 72 900 44 100 61 009 73 441 69 169 65 536 72 900 459 055
y i2
xi − x
yi − y
36 481 26 569 36 864 48 400 52 900 56 644 60 025 317 883
14,71 –45,29 –8,29 15,71 7,71 0,71 14,71
–20,29 –48,29 –19,29 8,71 18,71 26,71 33,71
( x i − x )( y i − y ) –298,49 2186,65 159,80 136,94 144,37 19,08 496,08 2844,43
1787 459 055 2 2 = 255,285 ⇒ s= − 255,285= 408,85 ⇒ s= 20,22 x x 7 7 1479 317 883 2 2 = y = 211,29 ⇒ s= − 211,29= 768,39 ⇒ s= 27,72 y y 7 7
= x
= s x, y
2844, 43 406,35 = 406,35 ⇒ y − 211= ,29 = y 0,994x − 42, 43 ( x − 255,285 ) ⇒ 7 408,85
La recta de regresión es y = 0,994x – 42,43.
21. Las edades de los actores que han protagonizado “Romeo y Julieta¨” en las últimas 8 representaciones de un teatro han sido:
Romeo Julieta
27 23
32 30
39 32
37 40
45 39
38 38
43 32
25 34
Dibuja la nube de puntos y calcula la recta de regresión. ¿Cuál es la edad esperada de Julieta si Romeo tiene 36 años? Llamamos X a la edad de Romeo e Y a la de Julieta. xi 27 32 39 37 45 38 43 25 286
yi 23 30 32 40 39 38 32 34 268
x i2 729 1024 1521 1369 2025 1444 1849 625 10586
y i2
xi − x
yi − y
529 900 1024 1600 1521 1444 1024 1156 9198
–8,75 –3,75 3,25 1,25 9,25 2,25 7,25 –10,75
–10,50 –3,50 –1,50 6,50 5,50 4,50 –1,50 0,50
( x i − x )( y i − y )
286 10586 = 35,75 ⇒ s x2= − 35,752= 45,19 ⇒ s x= 6,72 8 8 268 9198 y= = 33,5 ⇒ s 2y = − 33,52= 27,5 ⇒ sy = 5,24 8 8 x=
s= x,y
153,01 19,13 = 19,13 ⇒ y − 33,5 = y 0,42x + 18,37 ( x − 35,75 ) ⇒= 8 45,19
La recta de regresión es y = 0,42x + 18,37. Si Romeo tiene 36 años, la edad esperada de Julieta será y = 0,42 · 36 + 18,37 = 33,5 años.
376
Unidad 14| Estadística
91,88 13,13 –4,88 8,13 50,88 10,13 –10,88 –5,38 153,01
22. Emprende Se quiere realizar un estudio sobre el tipo de mascotas que tiene la población de una ciudad de 10 000 habitantes. Se proponen varias alternativas para seleccionar una muestra de 500 ciudadanos: •
Muestra aleatoria utilizando el censo municipal.
•
Muestra estratificada por edad de forma aleatoria.
•
Muestra aleatoria estratificada por barrios de la ciudad donde viven.
a) ¿Qué muestra consideras más representativa? b) Se quiere hacer un estudio sobre el gasto que supone tener una mascota. Diseña el tipo de muestreo que consideres más adecuado y compáralo con el de tu compañero. ¿Qué muestra es más representativa? a) La muestra más representativa sería la muestra estratificada por edad. b) Respuesta libre.
23. Un supermercado realiza un estudio estadístico de sus clientes para conocer: a) El número de clientes cada hora. b) El importe de la compra de cada cliente. c) Medio de transporte utilizado para llegar. Indica de qué tipo es cada una de estas variables. a) Variable cuantitativa discreta. b) Variable cuantitativa continua. c) Variable cualitativa.
24. La Encuesta de Población Activa (EPA), mide la tasa de parados y de población ocupada. La realiza el
Instituto Nacional de Estadística (INE) sobre una muestra de unas 200 000 personas cada trimestre. La población total del estudio (población activa) asciende a 23 015 500 personas.
Miles de personas
El gráfico muestra la evolución del número de parados desde 2011 a 2015.
a) ¿Qué porcentaje de la población total forma la muestra? ¿Es representativa? b) ¿De qué tipo es el gráfico estadístico? c) Los puntos representan trimestres. ¿Cuándo se alcanza el máximo? ¿En cuánto aumentó el paro entre el 4.º trimestre de 2011 y el máximo del número de parados? d) Indica de forma aproximada la diferencia de parados entre el principio y el final de la serie. a) Cada trimestre, la muestra la forma el
200 000 = 0,0087 ⇒ 0,87 % de la población. 23 015 500
La muestra es representativa. b) El gráfico estadístico es un diagrama lineal. c) El máximo se alcanzó en el primer trimestre del 2013, con 6300 parados. Entre el 4.º trimestre de 2011 y el máximo del número de parados, el paro aumentó en 6300 – 5300 = 1000, es decir, en 1 millón de personas. d) Entre el principio y el final de la serie, el número de parados pasó de ser de 5300 mil personas a 5100. El número de parados disminuyó en 200 mil personas.
Estadística | Unidad 14
377
25. Durante el mes de junio las temperaturas máximas en una ciudad han sido (en grados centígrados): 28, 27, 28, 29, 25, 24, 23, 25, 27, 30, 29, 28, 29, 30, 26, 28, 31, 30, 30, 27, 29, 28, 30, 29, 30, 31, 32, 29, 30, 31 a) Define la variable estadística. ¿De qué tipo es? b) Completa la tabla de frecuencias relativas y acumuladas. c) ¿Tiene sentido agrupar los datos en intervalos? Justifica tu respuesta. a) La variable estadística “Temperatura máxima en una ciudad en junio” es cuantitativa discreta. b) Temperaturas: xi 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
fi 1 1 2 1 3 5 6 7 3 1 N = 30
hi 0,03 0,03 0,07 0,03 0,10 0,17 0,20 0,23 0,10 0,03 1
Fi 1 2 4 5 8 13 19 26 29 30
Hi 0,03 0,07 0,13 0,17 0,27 0,43 0,63 0,87 0,97 1
Hi (%) 3,33 6,67 13,33 16,67 26,67 43,33 63,33 86,67 96,67 100
c) No tiene sentido agrupar los datos en intervalos, porque se trata de una variable cuantitativa discreta con pocos datos diferentes.
26. Según datos del Ministerio de Educación, Cultura y Deporte (MECyD) los estudiantes matriculados en grados universitarios en 2014/2015 fueron 1 373 000, distribuidos así:
a) Calcula la amplitud de los sectores correspondientes a los estudios de Ciencias y Ciencias de la salud. b) ¿Cuántos estudiantes cursan Ingeniería y Arquitectura? a) Ciencias: 5,9 % de 360º = 21,24º Ciencias de la Salud: 18,6 % de 360º = 66,96º b) Cursan Ingeniería y Arquitectura 21 % de 1 373 000 = 288 330 estudiantes.
378
Unidad 14| Estadística
27. Se ha interrogado a 50 personas para saber si pasaban sus vacaciones en el extranjero. Los resultados han sido:
Extranjero
Nunca
A veces
A menudo
Siempre
Número
4
20
22
4
a) ¿De qué tipo es la variable? b) Construye la tabla de frecuencias acumuladas. c) Representa la distribución. ¿Qué tipo de gráfico es el más aconsejable? a) La variable es cualitativa. b) Extranjero Nunca A veces A menudo Siempre
fi 4 20 22 4 N = 50
Fi 4 24 46 50
hi 0,08 0,4 0,44 0,08 1
Hi (%) 0,08 0,48 0,92 1
Amplitud 28,8 144 158,4 28,8
c) Representamos la variable en un diagrama de sectores.
28. Se recomienda ingerir las calorías que necesita una persona de la siguiente forma: Hidratos de carbono 50 %
Grasas Proteínas 35 %
15 %
Representa los datos en un diagrama de sectores. Amplitud de los sectores: Hidratos de carbono: 50 % de 360º = 180º Grasas: 35 % de 360º = 126º Proteínas: 15 % de 360º = 54 º
Estadística | Unidad 14
379
29. Según datos del Ministerio de empleo y seguridad social sobre actividad económica, el número de empresas y de trabajadores por sectores en 2014. ACTIVIDAD ECONÓMICA Industria Construcción Transporte y almacenamiento Hostelería Información, comunicaciones y actividades financieras, e inmobiliarias Actividades profesionales, científicas y técnicas Actividades administrativas y servicios auxiliares Actividades artísticas, recreativas y de entretenimiento.
Nº de empresas 107 195 105 103 63 407 159 488 18 753 86 862 47 894 24 858
Nº de trabajadores 1 795 103 597 357 594 952 962 144 369 762 617 004 1 133 914 205 011
a) ¿Cuál es el mejor tipo de gráfico para representar la participación de cada sector? b) Utiliza una hoja de cálculo para hacer los gráficos de cada columna. ¿Hay correspondencia entre ellos? a) El mejor tipo de gráfico para representar cada sector es un diagrama de barras. b)
30. Representa en el gráfico más adecuado el gasto mensual de una familia en comida y en ropa en los últimos 6 meses.
Comida Ropa
380
Unidad 14| Estadística
325 220
285 180
345 68
300 120
280 90
290 280
31. Una empresa de marketing hace una encuesta sobre un producto entre 20 personas. Han de valorar el producto de 1 a 5:
1 = muy malo
2 = malo
3 = regular
4 = bueno
5 = muy bueno.
Los resultados obtenidos han sido: 1, 3, 3, 4, 1, 2, 2, 5, 1, 4, 5, 1, 5, 5, 1, 1, 2, 2, 3, 5 a) Halla la media, la moda y la mediana de las valoraciones. b) Elige el gráfico adecuado para representar los resultados. a) x
6 ⋅1+ 4 ⋅ 2 + 3 ⋅ 3 + 2 ⋅ 4 + 5 ⋅ 5 = 2,8 20
Mo = 1
M=
2+3 = 2,5 2
b)
32. Las notas obtenidas por Juan en los exámenes escritos en matemáticas a lo largo de un curso han sido: 3, 5, 6, 4, 6, 7, 5, 7, 8, 6, 7, 6 a) Calcula la moda, la media y la mediana. b) Halla los cuartiles. Notas: 3, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8 a) x
3 + 4 + 2⋅5 + 4⋅6 + 3⋅7 + 8 = 5,83 12
b) Q1 = 5
Q2 = 6
Mo = 6
M=6
Q3 = 7
33. La cantidad mensual de lluvia recogida por un observatorio a lo largo de un año ha sido: E 182
F 170
M 137
A 117
M 149
J 80
JL 40
A 122
S 133
O 156
N 198
D 182
a) ¿Se trata de un clima seco o húmedo? b) Calcula la media y la mediana. c) Halla los cuartiles. Lluvias: 40, 80, 117, 122, 133, 137, 149, 156, 170, 182, 182, 198. a) Por la cantidad de lluvia recogida mensualmente, se trata de un clima húmedo. b) x
182 + 170 + 137 + 117 + 149 + 80 + 40 + 122 + 133 + 156 + 198 + 182 = 138,83 12
M= =
137 + 149 = 143 2
c) Q1 = 122 Q2 = M = 143 Q3 = 182
Estadística | Unidad 14
381
34. El número de pensionistas en España y la cuantía de las pensiones en 2015 viene dados en este gráfico.
a) Haz la tabla de frecuencias relativas acumuladas (%) y dibuja el histograma. b) Calcula la moda, la media y la mediana. a) Intervalos [300, 600) [600,900) [900, 1200) [1200,1500) [1500,1800) [1800,2100) [2100,2400) [2400,2700) [2700,3000)
Marca: xi 450 750 1050 1350 1650 1950 2250 2550 2850
b) Mo = [900, 1200) = x
1,128 ⋅ 1010 = 1210 9 322 249
M = [900, 1200)
382
Unidad 14| Estadística
xi · fi fi 313 908 75 697 575 144 668 10 1 928 908 377 091 01 3 591 343 141 840 31 1 050 669 119 794 95 726 030 848 062 80 434 904 698 080 50 310 258 590 192 40 231 448 100 067 49 351 114 N = 9 322 249 1,128 · 1010
hi 0,07 0,21 0,39 0,11 0,08 0,05 0,03 0,02 0,04
Fi 697 575 2 626 483 6 217 826 7 268 495 7 994 525 8 429 429 8 739 687 8 971 135 9 322 249
Hi 0,07 0,28 0,67 0,78 0,86 0,90 0,94 0,96 1,00
Hi (%) 7,48 28,17 66,70 77,97 85,76 90,42 93,75 96,23 100,00
35. Los resultados de una prueba de evaluación externa en un centro han sido: Puntos Alumnos
0 2
1 12
2 32
3 38
4 45
5 54
6 68
7 60
8 54
9 29
10 6
a) Halla la moda, la media y la mediana de las notas. b) Dibuja el polígono de frecuencias acumuladas. c) Calcula los cuartiles. d) Dibuja el diagrama de cajas. Puntos: xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
fi 2 12 32 38 45 54 68 60 54 29 6 N = 400
hi 0,005 0,03 0,08 0,095 0,1125 0,135 0,17 0,15 0,135 0,0725 0,015 1
Fi 2 14 46 84 129 183 251 311 365 394 400
Hi 0,005 0,035 0,115 0,21 0,3225 0,4575 0,6275 0,7775 0,9125 0,985 1
Hi (%) 0,5 3,5 11,5 21 32,25 45,75 62,75 77,75 91,25 98,5 100
xi · fi 0 12 64 114 180 270 408 420 432 261 60 2221
a) Mo = 6 = x
2221 = 5,55 400
El 50 % de 400 = 200 ⇒ M = 6 b)
c) El 25 % de 400 = 100 ⇒ Q1 = 4. El 50 % de 400 = 200 ⇒ M = Q2 = 6. El 75 % de 400 = 300 ⇒ Q3 = 7 d) Máximo = 10, mínimo = 0, Q1 = 4, M = Q2 = 6 y Q3 = 7
Estadística | Unidad 14
383
36. Se ha preguntado a 30 personas sobre el número de horas diarias que ven la televisión, con el siguiente resultado:
Horas TV N.º personas
0 4
1 6
2 8
3 7
4 4
5 1
a) Calcula la media, la varianza y la desviación típica. b) Halla el coeficiente de variación. Horas TV: 0 1 2 3 4 5
xi 2 · fi 0 6 32 63 64 25 190
xi · fi 0 6 16 21 16 5 64
fi 4 6 8 7 4 1 N = 30
64 190 = 2,13 ⇒ s 2 = − 2,132 = 1,80 ⇒ s = 1,34 30 30
a) x = b) = CV
1,34 = 0,6291 → 62,91% 2,13
37. Actividad resuelta.
38. En una empresa de madera una sierra automática corta tablones de 2 m de longitud. En un control se ha medido una muestra de 10 tablones y las longitudes han sido: 2,01
2,03 1,96
2,06
1,98
2,05
2,08
1,95
2,10
1,92
a) Halla la media y la desviación típica. b) Se desechan los tablones cuyas longitudes no estén comprendidas entre x − s y x + s . ¿Cuántos tablones de la muestra hay que desechar? a) x = s2
1,92 + 1,95 + 1,96 + 1,98 + 2,01 + 2,03 + 2,05 + 2,06 + 2,08 + 2,10 = 2,014 10
1,922 + 1,952 + 1,962 + 1,982 + 2,012 + 2,032 + 2,052 + 2,062 + 2,082 + 2,102 −= 2,0142 0,003 244 = ⇒ s 0,057 10
b) Se desechan los tablones que no estén comprendidos entre 1,957 cm y 2,071. Es decir, se desechan los tablones que miden: 2,08
384
Unidad 14| Estadística
1,95
2,10
1,92.
39. Las edades de los empleados de unos grandes almacenes vienen dadas en la tabla: Edad N.º
[20, 30) 22
[30, 40) 48
[40, 50) 50
[50, 60) 42
[60, 70) 28
a) Haz el histograma de frecuencias y el polígono de frecuencias acumuladas. b) Halla la media y la mediana. c) Calcula el recorrido intercuartílico, la varianza y la desviación típica. Intervalos [20, 30) [30, 40) [40, 50) [50, 60) [60, 70)
Marca: xi 25 35 45 55 65
fi 22 48 50 42 28 N = 190
Fi 22 70 120 162 190
xi · fi 550 1680 2250 2310 1820 8610
xi 2 · fi 13 750 58 800 101 250 127 050 118 300 419 150
a) Histograma y polígono de frecuencias acumuladas
b) = x
8610 = 45,32 190
El 50% de 190 = 95 ⇒ M = 45 c) Representamos el polígono de frecuencias acumulados en porcentaje, para hallar los cuartiles.
Cuartiles: Q1 = 35,31, Q2 = M = 45 y Q3 = 55,36 ⇒ Recorrido intercuartílico = 55,36 – 35,31 =20,05 = s2
419 150 2 − 45,32 = 152,15 ⇒ = s 12,33 190
40. Observa los siguientes diagramas de dispersión e indica el tipo de relación entre las variables. a)
b)
a) Correlación débil.
b) Correlación fuerte inversa.
41. Actividad resuelta.
Estadística | Unidad 14
385
42. Asocia los coeficientes de correlación r, con su nube de puntos. a)
b)
c)
A. r = –0,8
B. r = 0,4
C. r = 0,9
a) La primera nube de puntos no se ajusta claramente a ninguna recta, por lo que su coeficiente de correlación lineal debe ser r = 0,4. b) La segunda nube de puntos se ajusta a una recta de pendiente positiva, por lo que su coeficiente de correlación debe ser r = 0,9. c) La tercera nube de puntos se ajusta a una recta de pendiente negativa, por lo que su coeficiente de correlación debe ser r = –0,8.
43. Para llegar al trabajo Isa puede ir en su coche o en autobús. Durante una semana va en su coche y la siguiente en transporte público para controlar el tiempo que tarda, en minutos. Coche Autobús
L 25 27
M 18 22
X 22 21
J 24 28
V 23 30
a) Dibuja la nube de puntos y el centro de gravedad. b) Halla la covarianza e interpreta el resultado. c) Calcula el coeficiente de correlación. Día L M X J V
Coche: xi 25 18 22 24 23 112
Autobús: yi 27 22 21 28 30 128
x i2 625 324 484 576 529 2538
y i2
729 484 441 784 900 3338
xi − x
2,6 –4,4 –0,4 1,6 0,6
yi − y
1,4 –3,6 –4,6 2,4 4,4
a)
= x
112 128 = 22, 4 e= y = 25,6 5 5
El centro de gravedad de la distribución es (22,4; 25,6). b) = s x, y c) sx2=
386
27,8 = 5,56 > 0 ⇒ Hay una correlación directa entre las dos variables. 5
2538 3338 5,56 − 22, 42= 5,84 ⇒ sx =2,42; sy2= − 25,62= 12,24 ⇒ sy = = 3,5 y r = 0,66 2, 42 ⋅ 3,5 5 5
Unidad 14| Estadística
( x i − x )( y i − y ) 3,64 15,84 1,84 3,84 3,64 27,8
44. El director de un comercio quiere evaluar el impacto de los gastos en publicidad en el volumen de ventas de su negocio. Ha recogido los gastos en publicidad y ventas, en miles de euros, los últimos ocho meses: 2,6 280
G V
2,5 220
2,4 250
1,5 180
0,9 150
3 340
2,7 300
2,3 220
a) Dibuja la nube de puntos y marca el centro de gravedad. b) Halla la desviación típica de ambas variables. c) Calcula la covarianza y el coeficiente de correlación. d) Halla las ventas estimadas si el gasto en publicidad hubiese sido de 1,2 millones de euros. G: xi 2,6 2,5 2,4 1,5 0,9 3 2,7 2,3 17,9
V: yi 280 220 250 180 150 340 300 220 1940
x i2 6,76 6,25 5,76 2,25 0,81 9 7,29 5,29 43,41
y i2
xi − x
78 400 48 400 62 500 32 400 22 500 115 600 90 000 48 400 498 200
0,36 0,26 0,16 –0,74 –1,34 0,76 0,46 0,06
yi − y 37,5 –22,5 7,5 –62,5 –92,5 97,5 57,5 –22,5
( x i − x )( y i − y ) 13,5 –5,85 1,2 46,25 123,95 74,1 26,45 –1,35 278,25
a)
= x
17,9 1940 e y = 242,5 = 2,2375 = 8 8
El centro de gravedad de la distribución es (2,24; 242,5). 2 b) s= x
s= x, y
43, 41 498 200 2 2 − 2,2375= 0, 4198 ⇒ s= 0,6479 y= s 2y − 242,5 = 3468,75 ⇒ = sy 58,8961 x 8 8 278,25 34,78 r = 34,78 ⇒= = 0,91 8 0,6479 ⋅ 58,8961
c) La recta de regresión de Y sobre X es y – 242,5 =
34,78 (x – 2,2375) ⇒ y = 82,85x + 57,12. 0, 4198
d) Si se gastasen 1,2 miles de euros en publicidad, se estimarían unas ventas de y = 82,85 · 1,2 + 57,12 = 156,54 miles de euros.
45. ¿Cuál de estas dos nubes de puntos representa la edad (X) y las notas obtenidas en un examen de acceso a la universidad de mayores de 25 años? ¿Por qué? A.
B.
La gráfica A. tiene una correlación débil debido a que los puntos de la nube están bastante dispersos y no se ajustan a una recta. Sin embargo, en la gráfica B, hay una correlación directa fuerte porque los puntos de la nube se ajustan a una recta creciente. Por tanto, la gráfica A representa la edad y las notas obtenidas en un examen de acceso a la universidad de mayores de 25 años, porque no existe correlación fuerte, ni directa ni inversa, entre estas dos variables.
Estadística | Unidad 14
387
46. Una sociedad industrial vende máquinas a varias empresas. El precio mínimo es de 10 000 €. El número de máquinas vendidas, Y, está relacionada con el precio, X, en miles de euros según la tabla: Precio N.º máquinas
10 98
11 72
12 52
13 44
14 32
15 12
a) Representa la nube de puntos. b) Calcula la recta de regresión. c) ¿Cuáles serían las ventas estimadas para un precio de 11 500 €? Precio: xi 10 11 12 13 14 15 75
N.º máquinas: yi 98 72 52 44 32 12 310
x i2 100 121 144 169 196 225 955
y i2
xi − x
yi − y
9604 5184 2704 1936 1024 144 20 596
–2,5 –1,5 –0,5 0,5 1,5 2,5
46,33 20,33 0,33 –7,67 –19,67 –39,67
( x i − x )( y i − y ) –115,83 –30,50 –0,17 –3,83 –29,50 –99,17 –279,00
a)
b) x =
310 75 955 = y = 51,67 = 12,5 ⇒ s 2x = − 12,52 = 2,92 e 6 6 6
s x, y =
−279 = −46,5 6
La recta de regresión de Y sobre X es y – 51,67 =
−46,5 (x – 12,5) ⇒ y = –15,92x + 250,67 2,92
c) Para un precio de 11 500 €, se estiman unas ventas de y = –15,92 · 11,5 + 250,67 = 67,59 máquinas.
388
Unidad 14| Estadística
47. La tabla muestra las emisiones de CO2 por habitante (en toneladas métricas) y el uso de combustibles fósiles como fuente de energía 2013 (Fuente Banco Mundial). CO2/Hab. (Tm) Alemania Argelia Brasil Canadá China Colombia España Ghana EE.UU.
8,9 3,3 2,2 14,1 6,7 1,6 5,8 0,4 17,0
C. fósiles (% sobre el total de energía) 80,9 99,9 56,5 73,4 88,2 75,6 75,0 43,6 83,7
a) ¿Existe alguna correlación entre las dos variables? Halla el coeficiente de correlación para justificar tu respuesta. b) Halla la recta de regresión del uso de combustibles fósiles sobre las emisiones de CO2. c) ¿Serían fiables el valor aproximado de uso de combustibles fósiles para un país con unas emisiones de CO2 de 10 Tm por habitante? y i2 x i2 CO2: xi C. fósiles: yi xi − x 8,9 80,9 79,21 6544,81 2,23 3,3 99,9 10,89 9980,01 –3,37 2,2 56,5 4,84 3192,25 –4,47 14,1 73,4 198,81 5387,56 7,43 6,7 88,2 44,89 7779,24 0,03 1,6 75,6 2,56 5715,36 –5,07 5,8 75 33,64 5625 –0,87 0,4 43,6 0,16 1900,96 –6,27 17 83,7 289 7005,69 10,33 60 676,8 664 53 130,88 60 676 8 79 21 6544 81 69 60 664 a) x = = 6,67 ⇒ s 2x = − 6,672 = 29,29 ⇒ sx = 5, 41 9 9 676,8 53 130,88 y= = 75,2 ⇒ s 2y = − 75,22= 248,39 ⇒ sy = 15,76 9 9
= s x, y
yi − y 5,7 24,7 –18,7 –1,8 13 0,4 –0,2 –31,6 8,5
( x i − x )( y i − y )
57
12,71 –83,24 83,59 –13,37 0,39 –2,028 0,174 198,13 87,81 284,16 39 33
284,16 31,573 = 31,573 ⇒ = r = 0,37 9 5, 41⋅ 15,76
b) La recta de regresión de Y sobre X es y – 75,2 =
31,573 (x – 6,67) ⇒ y = 1,078x + 68. 29,29
c) El coeficiente de correlación lineal es r = 0,369 e indica una dependencia débil. El modelo lineal únicamente tendría sentido a la hora de realizar estimaciones en puntos cercanos al centro de gravedad. Por tanto, no sería fiable el valor obtenido al estimar el valor del uso de combustibles fósiles para un país con unas emisiones de CO2 de 10 Tm por habitante.
48. Actividad resuelta. 49. Calcula la recta de regresión de Y sobre X en una distribución bidimensional (X, Y) si x = 195; y = 92,1; r = 0,94; sx = 6,07; sy = 6,56. Como r =
Sxy s x sy
⇒ Sxy = rsx sy ⇒ Sxy = 0,94 ⋅ 6,07 ⋅ 6,56 = 37, 43
Por tanto, la recta de regresión de Y sobre X es y – 92,1 =
37, 43 (x – 195) ⇒ y = 1,02x – 106,8. 6,072
Estadística | Unidad 14
389
50. Las notas de 8 alumnos en un examen de Matemáticas han sido: 4, 5, 6, 4, 7, 9, 3 y 5. a) Representa los datos en un gráfico adecuado. b) Calcula la media y la desviación típica. c) El profesor premia a sus alumnos y les sube 2 puntos a cada uno. ¿Qué les sucede a la media y la desviación típica? a)
b) x = c) x = sx2=
3 + 4⋅2+ 5⋅2+ 6 + 7 + 9 32 + 42 ⋅ 2 + 52 ⋅ 2 + 62 + 72 + 92 = 5,375 y sx2= − 5,3752= 3,23 ⇒ sx= 1,79 8 8 5 + 6 ⋅ 2 + 7 ⋅ 2 + 8 + 9 + 11 = 7,375 ⇒ La media aumenta 2 puntos. 8 52 + 62 ⋅ 2 + 72 ⋅ 2 + 82 + 92 + 112 − 7,3752= 3,23 ⇒ sx= 1,79 ⇒ La desviación típica no varía. 8
51. Las previsiones de la Agencia Estatal de Meteorología AEMET para una semana en Zaragoza han sido:
a) Dibuja la nube de puntos que relaciona la temperatura máxima con la probabilidad de precipitación. b) Calcula la covarianza correlación.
y
el
coeficiente
de
c) ¿Existe alguna correlación entre la temperatura máxima y la probabilidad de precipitaciones? ¿De qué tipo es? Temperatura xi 13 13 12 13 17 80
Precipitación yi 53,3 10 12,5 50 35 190,8
x i2 169 169 144 169 289 1084
y i2
xi − x
yi − y
2840,89 100 156,25 2500 1225 7722,14
–0,33 –0,33 –1,33 –0,33 3,67
21,50 –21,80 –19,30 18,20 3,20
( x i − x )( y i − y )
a)
80 1084 = 13,333 ⇒ s 2x = − 13,3332 = 2,9 ⇒ sx = 1,7 6 6 190,8 7722,14 y= = 31,8 ⇒ s 2y = − 31,82 = 275,78 ⇒ sy = 16,6 6 6
b) x =
sx,= y
33,9 5,65 = 5,65 ⇒ = r = 0,2 6 1,7 ⋅ 16,6
c) Existe correlación directa entre ambas variables, pero muy débil porque r está próximo a cero. 390
Unidad 14| Estadística
–7,17 7,27 25,73 –6,07 11,73 33,90
52. Luis quiere comprarse una moto de 1000 c.c. Compara precios, potencia y peso de varios modelos. Marca € CV Kg
Tuzuki 14 300 185 208
Conda 15 700 175 199
MMM 16 500 170 202
ZVK 17 500 193 209
Tamiha 16 000 182 216
Asawaki 14 600 188 208
MV Felicia 18 500 186 212
a) Representa la nube de puntos en la que X es el precio en miles de euros e Y la potencia. Halla el coeficiente de correlación. Explica el tipo de relación entre las dos variables. b) Representa la nube de puntos en la que X sea la potencia e Y el peso. ¿Qué puedes indicar de la correlación entre ambas? a) Nube de puntos:
y i2 x i2 Precio: xi Potencia: yi xi − x 14,3 185 204,49 34 225 –1,86 15,7 175 246,49 30 625 –0,46 16,5 170 272,25 28 900 0,34 17,5 193 306,25 37 249 1,34 16 182 256 33 124 –0,16 14,6 188 213,16 35 344 –1,56 18,5 186 342,25 34 596 2,34 113,1 1279 1840,89 234 063 60 676 8 79 21 6544 81 69 113,1 1840,89 2 2 x= = 16,157 ⇒ s= − 16,157= 1,936 ⇒ s= 1,39 x x 7 7 1279 234 063 2 2 = y = 182,714 ⇒ s= − 182,714= 53,166 ⇒ s= 7,29 y y 7 7
sx,y=
yi − y
2,29 –7,71 –12,71 10,29 –0,71 5,29 3,29 57
( x i − x )( y i − y ) –4,24 3,53 -4,36 13,81 0,11 –8,23 7,70 8,31 39 33
8,31 1,19 = 1,19 ⇒ r= = 0,117 ⇒ Dependencia directa débil. 7 1,39 ⋅ 7,29
b) La nube de puntos es la siguiente:
Estadística | Unidad 14
391
53. Un pediatra ha obtenido esta nube de puntos al estudiar la relación entre el peso y la edad de seis niños de su consulta. Se conocen los datos de la distribución: x = 4,83 , y = 30 , s x2 = 4, 47 , sy2 = 117,33 , s xy = 22,83
a) Halla el coeficiente de correlación. ¿Qué indica? b) Calcula la ecuación de la recta de regresión de Y sobre X. c) ¿Cuál sería el peso aproximado de un niño de 6 años? ¿Es fiable esta estimación? a) r =
22,83 = 0,997 ⇒ Correlación directa muy fuerte. 4, 47 ⋅ 117,33
b) y – 30 =
22,83 (x – 4,83) ⇒ y = 5,11x + 5,32 4, 47
c) El peso aproximado de un niño de 6 años sería y = 5,11 · 6 + 5,32 = 35,98 kg. Es muy fiable esta estimación porque existe correlación directa muy fuerte entre el peso de un niño y la edad.
54. En una clase de 30 alumnos de 4.º ESO, las chicas calzan por término medio un 37, y los chicos, un 42. La media global de la clase es un 40. ¿Cuántas chicas hay en clase? A. 10
B. 12
C. 16
D. 20
Sea x el número de chicas y 30 – x el número de chicos. 37x + 42 ( 30 − x ) = 40 ⇒ 37x + 1260 − 42x = 1200 ⇒ 60 = 5x ⇒ x = 12 30
La respuesta correcta es la B.
55. La media de la estatura de 8 personas es 169 cm y la desviación típica 6,68. Se ha descubierto un error en
los datos y una estatura de 180 cm se había anotado como 170 cm. ¿Cuál será la desviación típica correcta? A. 6,54
B. 6,70
C. 5,92
D. 7,62
Llamamos A a la distribución que contiene los datos x1, x2,…,x7, 170 y, B, a la distribución que contiene los datos x1, x2,…,x7, 180. x1 + x2 + x3 + x 4 + x5 + x6 + x7 + 180 x1 + x2 + x3 + x 4 + x5 + x6 + x7 + 170 xB = x A + 1,25 = 170,25 = = + 1,25 = 8 8 x12 + x22 + x32 + x 42 + x52 + x62 + x72 + 1702 2 2 6,682 ⇒ x12 + x22 + x32 + x 42 + x52 + x62 + x= 199 944,9792 ⇒ − 169= 7 8 2 x 2 + x22 + x32 + x 42 + x52 + x62 + x72 + 1802 199 944,98 + 1802 sB = 1 − 170,252 = − 170,252 = 58,0599 ⇒ s B = 7,62 8 8 2
s= A
La respuesta correcta es la D.
56. De una distribución bidimensional (X,Y) se sabe que r = 0,9, sxy = 2,268 y que sy = 2,1. La pendiente de la recta de regresión es: A. –2,52 Como r=
B. 1,2 sxy s x sy
⇒ sx=
sxy r ⋅ sy
⇒ sx=
La respuesta correcta es la C.
392
Unidad 14| Estadística
C. 1,575
D.
2,52
2,268 2,268 = 1,2 Por tanto, la pendiente de la recta de regresión es = 1,575 1,22 0,9 ⋅ 2,1
57. Las pulsaciones por minuto de un atleta pueden bajar con el entrenamiento. Meses Pulsaciones/min
3 64
0 65
6 62
9 58
12 57
15 55
¿Cuántas pulsaciones por minuto tendrá tras 4 años de entrenamiento ininterrumpido? A. 50
B. 45
C. No se sabe y i2
x i2 Meses: xi Pulsaciones: yi 0 65 0 3 64 9 6 62 36 9 58 81 12 57 144 15 55 225 45 361 495 60 676 8 79 21 45 495 x= = 7,5 ⇒ s 2x = − 7,52 = 26,25 6 6
yi − y
xi − x
4225 –7,5 4096 –4,5 3844 –1,5 3364 1,5 3249 4,5 3025 7,5 21803 6544 81 69 361 = y = 60,17 6
La recta de regresión de Y sobre X es y – 60,17 =
D. 31 4,83 3,83 1,83 –2,17 –3,17 –5,17
( x i − x )( y i − y ) –36,23 –17,24 –2,75 –3,26 –14,27 –38,78 –112,50 39 33
57 −112,50 s x, y = = −18,75 6
−18,75 (x – 7,5) ⇒ y = –0,715x + 65,53. 26,25
Tras 4 años = 48 meses de entrenamiento, tendrá y = –0,715 · 48 + 65,53 = 31,21 pulsaciones. La respuesta correcta es la D. Encuentra el error
58. Una imagen vale más que mil palabras.
A veces los parámetros estadísticos pueden jugar malas pasadas. El estadístico Francis J. Anscombe se empeñó en demostrarlo con imágenes. Observa las dos tablas que inventó. x y
4 4,26
5 5,68
6 7,24
7 4,82
8 6,95
9 8,81
10 8,04
11 8,33
12 10,84
13 7,58
14 9,96
x y
4 3,1
5 4,74
6 6
7 7,26
8 8,14
9 8,87
10 9,14
11 9,26
12 9,13
13 8,74
14 8,1
•
La media de la variable y en las dos distribuciones es 7,5.
•
En ambas, la variable x toma los mismos valores.
•
En las dos el coeficiente de correlación es r = 0,816.
•
La recta de regresión de las dos es: y = 0,5x + 3.
Y sin embargo, si decimos que el valor estimado de y para x = 16 es 11 cometo un error grave en una de las dos. ¿Por qué? Dibuja las dos nubes de puntos y explica la situación. Tabla I
Tabla II
Los datos de las variables de la primera tabla presentan una regresión lineal. Sin embargo, los datos de las variables de la segunda tabla muestran una regresión polinómica.
Estadística | Unidad 14
393
PONTE A PRUEBA ¿Influye el género en los índices de colesterol? Actividad resuelta. Los niveles de CO2. Desde hace varias décadas el aumento del gas CO2 en la atmósfera está ayudando a producir un cambio climático. El diagrama muestra los niveles de emisión de CO2 en 2000 (barras claras) de varios países, los niveles de emisión en 2011 (barras oscuras) y el porcentaje de cambio en los niveles (flechas).
1.
El incremento de emisiones en la federación rusa ha sido del 16 %. Explica con los datos del gráfico cómo se ha obtenido ese 16 %. El nivel de emisiones de CO2 de Rusia en el año 2000 fue de 1558 y, en el año 2011, de 1808. Como entonces se produjo un incremento del 16 % desde el año 2000 al año 2011.
2.
1808 = 1,16 , 1558
Luisa se fija en los cambios en los niveles de Países Bajos (+2 %) y de la Unión Europea (–12 %) y le resulta extraño que mientras en el conjunto de la UE desciende, en Países Bajos aumenta. ¿Cuál es el porcentaje global de cambio del resto de los países para que esos datos sean ciertos? Sea x el índice global de cambio del resto de países de la UE: 1,02 · x = 0,88 ⇒ x = 0,86. El resto de países de la UE ha descendido sus emisiones en un 14 %.
3.
Luisa y Antonio discuten sobre qué país o región tuvo el mayor aumento de emisiones. Cada uno llega a una conclusión distinta basándose en el diagrama. Da dos posibles respuestas “correctas” a esta pregunta y explica por qué ambas lo son. El mayor aumento de emisiones lo tuvieron aquellos países cuyas emisiones en 2001 (barras oscuras) son mayores que sus emisiones en 2000 (barras claras). Rusia y Australia tuvieron el mayor aumento de emisiones.
394
Unidad 14| Estadística
Abandono escolar y gasto por estudiante España tenía en 2014 una de las tasas de abandono escolar prematuro más altas de la Unión Europea, con el 21,9 %. Es decir, casi 22 de cada 100 estudiantes abandonan los estudios sin obtener el título de secundaria. ¿Hay alguna relación entre la tasa de abandono y el gasto por estudiante de secundaria? En la ilustración puedes ver los datos del gasto por estudiante de secundaria expresado en términos de paridad de poder adquisitivo en euros (PPS) y la tasa de abandono escolar en tanto por ciento (TAE). Países FRANCIA BÉLGICA HOLANDA FINLANDIA ALEMANIA AUSTRIA CHIPRE ITALIA
PPS xi 8356 8476 9117 7096 7412 9373 10 646 6260 66 736
TAE yi 8,5 9,8 8,6 9,5 9,5 7 6,8 15 74,7
PPS: 9117 € TAE: 8,6 % PPS: 8476 € TAE: 9,8 %
PPS: 7096 € TAE: 9,5 %
PPS: 7412 € TAE: 9,5 %
PPS: 8356 € TAE:8,5 %
x i2 69 822 736 71 842 576 83 119 689 50 353 216 54 937 744 87 853 129 113 337 316 39 187 600 570 454 006
PPS: 9373 € TAE: 7 % PPS: 10 646 € TAE: 6,8 %
PPS: 6260 € TAE: 15 %
y i2
72,25 96,04 73,96 90,25 90,25 49 46,24 225 742,99
xi − x
14 134 775 –1246 –930 1031 2304 –2082
yi − y
–0,84 0,46 –0,74 0,16 0,16 –2,34 –2,54 5,66
( x i − x )( y i − y –11,73 61,98 –571,56 –202,48 –151,13 –2409,96 –5846,40 –11 789,33 –20 920,60
1.
Dibuja la nube de puntos ajustando las unidades de los ejes.
2.
Halla el coeficiente de correlación. ¿Existe correlación entre las dos variables? ¿De qué tipo es? 66 736 570 454 006 2 2 1 717 786,75 ⇒ sx= 1310,64 = 8342 ⇒ s = − 8342= x 8 8 74,7 742,99 y= = 9,3375 ⇒ s 2y= − 9,33752= 5,685 ⇒ sy= 2,38 8 8 x=
−20 920,60 −2615,075 s x, y = =−2615,075 ⇒ r = =−0,838 ⇒ Correlación fuerte inversa. 8 1310,64 ⋅ 2,38
3.
Encuentra la ecuación de la recta de regresión de Y (abandono escolar) sobre X (gasto por estudiante). La recta de regresión de Y sobre X es y – 9,3375 =
4.
−2615,075 (x – 8342) ⇒ y = –0,0015x + 21,85. 1 717 786,75
El gasto por estudiante en España es de 7364 €. Según este dato, ¿qué tasa de abandono escolar sería la esperada? Compara el resultado con el valor real. Intenta explicar la diferencia. Con un gasto de 7364 € se esperaría una tasa de abandono de y = –0,0015 · 7364 + 21,85 = 10,8 %. España tiene una tasa de abandono del 21,9 %, muy superior a la 10,8 % esperado, porque se trata de un dato atípico.
Estadística | Unidad 14
395
AUTOEVALUACIÓN
1.
En una encuesta en una ciudad se ha preguntado el número de periódicos comprados a lo largo de una semana con los siguientes resultados expresados en porcentaje de encuestados: N.º de periódicos Personas (%)
0 8
1 15
2 23
3 17
4 12
5 11
6 9
7 5
a) Construye el diagrama de barras y el polígono de frecuencias. b) Calcula la media de periódicos comprados semanalmente. c) Halla la mediana y los cuartiles. d) Representa el diagrama de cajas. % 8 15 23 17 12 11 9 5
Periódicos: xi 0 1 2 3 4 5 6 7
fi 40 75 115 85 60 55 45 25 500
xi · fi 0 75 230 255 240 275 270 175 1520
Fi 40 115 230 315 375 430 475 500
a)
b) = x
1520 = 3,04 500
c) 25 % de 500 es 125 ⇒ Q1 = 2. El 50 % de 500 = 250 ⇒ Q2 = M = 3. El 75 % de 50 = 375 ⇒ Q3 = 4 d)
2.
Una tienda de embutidos hace recuento del número de jamones y su peso. Los resultados son: [5,5; 6) 3
[6; 6,5) 7
[6,5; 7) 8
[7; 7,5) 12
[7,5; 8) 8
[8; 8,5) 2
a) Representa la distribución con un histograma. b) Calcula la media, la varianza y la desviación típica. c) Halla el coeficiente de variación Intervalos [5,5; 6) [6; 6,5) [6,5; 7) [7; 7,5) [7,5; 8) [8; 8,5)
396
Unidad 14| Estadística
Marca: xi 5,75 6,25 6,75 7,25 7,75 8,25
fi 3 7 8 12 8 2 N = 40
xi · fi 17,25 43,75 54,00 87,00 62,00 16,50 280,5
xi2 · fi 99,19 273,44 364,50 630,75 480,50 136,13 1984,5
a)
b) x = = s2
CV = c)
3.
4.
280,5 = 7,0125 40 1984,5 2 − 7,0125 = = s 0,6613 0, 4373 ⇒ 40
0,6613 = 0,0943 7,0125
Asocia cada nube de puntos con su correspondiente coeficiente de correlación r:
A. r = –0,2
B. r = 0,9
C. r = –0,5
A. Segunda nube.
B. Primera nube.
C. Tercera nube.
Las notas obtenidas por 10 alumnos en Lengua (xi) y en Música (yi) han sido: 6 7
xi yi
4 5
8 7
5 5
3 4
7 8
5 7
10 9
5 6
4 6
a) Representa la nube de puntos. b) Calcula la media y las desviaciones típicas de las dos variables. c) Halla la covarianza y el coeficiente de correlación. d) Encuentra la recta de regresión de Y sobre X. e) ¿Cuál será la nota esperada en Música por un alumno que haya tenido un 8,5 en Lengua? Lengua: xi 6 4 8 5 3 7 5 10 5 4 57
Música: yi 7 5 7 5 4 8 7 9 6 6 64
x i2 36 16 64 25 9 49 25 100 25 16 365
y i2
xi − x
yi − y
49 25 49 25 16 64 49 81 36 36 430
0,3 –1,7 2,3 –0,7 –2,7 1,3 –0,7 4,3 –0,7 –1,7
0,6 –1,4 0,6 –1,4 –2,4 1,6 0,6 2,6 –0,4 –0,4
( x i − x )( y i − y ) 0,18 2,38 1,38 0,98 6,48 2,08 –0,42 11,18 0,28 0,68 25,2
a)
57 365 b) x = =5,7 ⇒ s 2x = − 5,72 =4 ⇒ sx =2 10 10
c) sx,= y
y=
64 430 = 6, 4 ⇒ s 2y = − 6, 42 = 2,04 ⇒ sy = 1, 43 10 10
25,2 2,52 = 2,52 ⇒ = r = 0,88 10 2 ⋅ 1, 43
d) La recta de regresión de Y sobre X es y – 6,4 =
2,52 (x – 5,7) ⇒ y = 0,63x + 2,81. 4
e) Un alumno que ha obtenido un 8,5 en Lengua se espera que obtenga y = 0,63 · 8,5 + 2,81 = 8,165 en Música.
Estadística | Unidad 14
397
El solucionario de Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas de 4.º de ESO forma parte del Proyecto Editorial de Educación de SM. En su realización ha participado el siguiente equipo: Autoría Fernando Alcaide, Joaquín Hernández, Esteban Serrano, María Moreno, Juan Jesús Donaire, Antonio Pérez, Vanesa Fernández Edición Belén Martínez, Eva Béjar Corrección científica Miguel Nieto Corrección Javier López Ilustración Juan Antonio Rocafort, Daniel García Diseño de cubierta e interiores Estudio SM Responsable de proyecto Eva Béjar Coordinación editorial de Matemáticas Josefina Arévalo Dirección de Arte del proyecto Mario Dequel Dirección editorial Aída Moya
Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transformación de esta obra solo puede ser realizada con la autorización de sus titulares, salvo excepción prevista por la ley. Diríjase a CEDRO (Centro Español de de Derechos Reprográficos, www.cedro.org) si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra.
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