Solucionario Vallejo 1

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HENRY ALVARADO

Introducción La siguiente obra es una ayuda para cualquier estudiante del nivel medio, superior ó nivel universitario que brinda apoyo de guía en los ejercicios propuestos por el libro “FISICA VECTORIAL 1” de los autores VallejoZambrano. No hay explicaciones detalladas sobre los problemas, solo se sigue el camino de la razón y lógica para llegar a la solución es por eso que se pide al estudiante tener conocimientos básicos de álgebra, trigonometría y física vectorial. Las dudas o sugerencias serán aceptadas en la dirección que aparece a pie de página para poder conseguir un mejor entendimiento si es que le hace falta a la obra expuesta. Se considera esfuerzo al estudiante para poder desarrollar la capacidad del razonamiento matemático en la solución de problemas más complejos sin embargo las dudas de cualquier procedimiento no entendible serán bienvenidas a las siguientes direcciones: www.facebook.com/todoepn [email protected]

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ÍNDICE

EJERCICIO Nº 3 .................................................................................................................................... 4 EJERCICIO Nº 4 .................................................................................................................................. 16 EJERCICIO Nº5 ................................................................................................................................... 38 EJERCICIO Nº6 ................................................................................................................................... 59 EJERCICIO Nº 7 .................................................................................................................................. 66 EJERCICIO Nº8 ................................................................................................................................... 81 EJERCICIO Nº 9 ................................................................................................................................ 100 EJERCICIO Nº10 ............................................................................................................................... 106 EJERCICIO Nº11 ............................................................................................................................... 115 EJERCICIO Nº12 ............................................................................................................................... 120 EJERCICIO Nº13 ............................................................................................................................... 128 EJERCICIO Nº14 ............................................................................................................................... 155 EJERCICIO Nº 15 .............................................................................................................................. 162

EJERCICIO Nº 3 1. Expresar en coordenadas rectangulares los siguientes vectores:





  a) A  15 i  20 j m SOLUCIÓN:

A = 15, - 20 m b) B = 130 N,125º  SOLUCIÓN:

Bx = B cos 

By = B sen 

Bx = 130 Ncos125º

By = 130 Nsen125º

Bx = -74,56 N

By = 106, 49 N

c) C =  37cm, N37º E 

B =  Bx , B y  B =  -74,56;106, 49  N

Bx = B sen 

By = B cos 

Bx = 37 cm sen 37º

By = 37 cmcos 37º

Bx = 22, 27 cm

By = 29,55cm



d) D = 25kgf -0, 6 i- 0,8 j

B =  Bx , B y  B =  22, 27; 29,55 cm



SOLUCIÓN:



D = 25 kgf -0, 6 i- 0,8 j







D = -15 i- 20 j kgf D =  -15, - 20  kgf

2. Expresar en coordenadas polares los siguientes vectores:





a) A = -14 i+ 8 j m SOLUCIÓN:

8 14 8   tan 1    14    29, 74º tan  

14

A =

2

+ 82 

A = 16,12 m

  180º    180º 29, 74   150, 26º

A = 16,12 m;150, 26º 

b) B = 87, 91 N SOLUCIÓN:

91 87  91    tan 1    87    46, 29º tan  

B=

87

2

+ 912 

B = 125,90 N

B = 125,90 N; 46, 29º 



c) C = 45kgf 0, 707 i- 0, 707 j



SOLUCIÓN: tan 1 

0, 707 0, 707

  270º 1   270º 45º   315º

 0, 707  1  tan    0, 707  1  45º 1

C =  45 kgf; 315º 

d) D =  22 N,S28º O SOLUCIÓN:

  270º    270º 28º   242º

D =  22 N, 242º 

3. Expresar en coordenadas geográficas los siguientes vectores: a) A =  52,-25 N SOLUCIÓN:

52 25  52    tan 1    25    64,32º tan  

A = 52 2 + 252 A = 57, 7 N

b) B =  47 N, 245º 

  270º 245º   25º

B =  47 N, S 25º O 

A =  57, 7 N; S64,32º E 

SOLUCIÓN: c) C = -32 im+ 21 jm SOLUCIÓN:

32 21  32    tan 1    21    56, 73º tan  

C = 322 + 212 C = 38, 28 m



d) D = 35cm 0,866 i+ 0,5 j

C =  38, 28 m; N 56, 73O 



SOLUCIÓN: tan  

0,5 0,866  0,5    0,866 

  tan 1 

D =  35cm; N 30º E 

  30º 4. Exprese en función de sus módulos y vectores unitarios los siguientes vectores: a) A =  44m, 340º  SOLUCIÓN:

A x = A cos 

A y = A sen 

A x = 44 mcos 340º

A y = 44 msen 340º

A x = 41,35 m

A y = 15, 05 m





A = 41,35 i-15, 05 j m

A = A =

A A

 41,35 i-15, 05 j  m 44 m



A = 0,94 i  0,34 j



A = 44 m 0,94 i- 0,34 j





b) B =  25km, S14º O SOLUCIÓN:

  270º 14º   284º Bx = B cos 

B y = A sen 

Bx = 25 km cos 284º

B y = 25 km sen 284º A = 6,05 i- 24, 26 j km

Bx = 6, 05 km

B y = 24, 26 km

B = B =





B B

 6, 05 i- 24, 26 j  km 

25 km

B = 0, 24 i  0,97 j

c) C =  -21, 45 N SOLUCIÓN: C  212  452 C  49, 66º N





B = 25km 0, 242 i- 0,97 j



C  C 

C C

 -21 i+ 45 j  N



C  49,66 N -0, 42 i+ 0,90 j

49, 66 N



C  -0, 42 i+ 0,90 j









d) D = 17 i+ 9 j kgf SOLUCIÓN: D = 17 2  9 2 D = 19, 24 kgf

D  D 

D D

17 i+ 9 j  kgf 

19, 24 kgf

D  0,88 i+ 0, 47 j



D  19, 24 kgf 0,88 i+ 0, 47 j



5. Expresar el vector R =  -13,-27  m en: a) b) c) d)

Coordenadas polares Función de los vectores base Coordenadas geográficas Función de su modulo y unitario SOLUCIÓN:

R =  -13,-27  m a)



27 13  27  1  tan 1    13  1  64, 29º tan 1 

R = 132 + 27 2 R = 29,97 m

  64, 29º 180º   244, 29º

R =  29,97 m; 244, 29º 

b)





R = -13 i- 27 j m c)

  270º 244, 29º   25, 71º R =  29,97 m; S25, 71º O 

d)

R  R 

R R

 -13 i- 27 j  m 

29,97 m

 R  -0, 43 i- 0,9 j



R = 29,97 m -0, 43 i- 0,9 j



6. Expresar el vector V =  200km, 318º  en : a) b) c) d)

Coordenadas geográficas Coordenadas rectangulares Función de los vectores base Función de su modulo y unitario SOLUCIÓN:

V =  200km, 318º  a)

  318º 270º   48º

V =  200 km, S48º E 



b)

Vx = V cos 318º

Vy = V sen 318º

Vx = 200 kmcos 318º

Vy = 200 kmsen 318º

Vx = 148, 63km

Vy = -133,83km

V = 148, 63; -133,83 km

c)





V = 148,63 i-133,83 j km d)

V  V 

V V

148, 63 i-133,83 j  km 

200 km

V  0, 743 i- 0, 669 j



V = 200 km 0,743 i- 0,669 j





7. Expresar el vector K =  20 N, N 47º O  en: a) b) c) d)

Coordenadas polares Coordenadas rectangulares Función de su modulo y unitario Función de los vectores base SOLUCIÓN: a)

  90º 47º   137º

K =  20 N;137º 

b)

K x = K cos 

K y = K sen 

K x = 20 Ncos137º

K y = 20 Nsen137º

K x = -14, 63 N

K y = 13, 64 N

K =  -14, 63;13, 64  N

c)

K

K  K 

K

 -14, 63 i  13, 64 j  N 20 N



K  0, 73 i  0, 68 j



K  20 N 0, 73 i  0, 68 j



d)





K = -14,63 i  13,64 j N





8. Expresar el vector L = 147 cm mi- nj ; Si m = 3n , en: a) b) c) d)

Coordenadas geográficas Coordenadas polares Coordenadas rectangulares Función de los vectores base SOLUCIÓN:

    3n i- nj 

 L  mi- nj L 1

 3n 

2

 n2

9 n2  n2  1 10 n  1 1 10 n  0,316 n

a)

m  3n



  m  3n   3ni- nj    3  0,316 i- 0,316 j    0,948 i- 0,316 j 

L  mi- nj L L L



tan  

0,948 0,316  0,948    0,316 

L  147 cm; S71,57º O 

  tan 1 

  71,57º b)

  270º 71,57º   341,57º

L  147 cm; 341,57º 

c) L = 147 cm  0,948;-0,316  L = 139,36;-19,99  cm

d)





L = 139,36 i-19,99 j cm





9. Expresar el vector H = -29 i+ 35 j m s en: a) b) c) d)

Coordenadas rectangulares Función de su modulo y unitario Coordenadas polares Coordenadas geográficas SOLUCIÓN: a) H =  -29; 35  m s

b) H  29 2  352 H  45, 45 m/ s

H  H =

H H

 -29 i+ 35 j  m s 

45, 45 m s

H = 0, 64 i+ 0, 77 j



H  45, 45m/ s 0,64 i+ 0,77 j





c) tan  

0, 64 0, 77

  90º 39, 73º   129, 73

 0, 64    0, 77 

  tan 1 

  39, 73º H   45, 45 m/ s;129, 73º 

d) H   45, 45 m/ s; N 39, 73º O 





10. Expresar el vector E = 9 i+12 j m s 2 en: a) b) c) d)

Coordenadas rectangulares Coordenadas polares Coordenadas geográficas Función de su modulo y unitario SOLUCIÓN: a) E =  9;12  m s 2

b)

12 9  12    tan 1   9   53,13º tan  

E = 92 +122 E = 15 m/ s

c)

2

E = 15m/ s2 ; 53,13º 

  90º 53,13º   36,87º

E = 15m/ s2 ; N36,87º E 

d)

E  E

E E

9 i+12 j  m s  15 m s



2



E = 15m/ s 2 0, 6 i+ 0,8 j

2

E  0, 6 i+ 0,8 j





11. Exprese en función de sus vectores base los siguientes vectores: a) A =  65km/ h,121º  SOLUCIÓN:

A x = A cos 

A y = A sen 

A x = 65 km/ hcos121º

A y = 65 km/ hsen121º

A x = 33, 48 km/ h

A y = 55, 72 km/ h





A = -33, 48 i+ 55,72 j km/ h b) B =  70 N, NE  SOLUCIÓN:

Bx = B cos  Bx = 70 Ncos 45º



Bx = 49,5 N



c) C = 120 km 0,873 i- 0, 488 j SOLUCIÓN:



B = 49,5 i  49,5 j N







C = 104,76 i- 58,56 j km d) D =  -13, 40  N SOLUCIÓN:





D = -13 i  40 j N

EJERCICIO Nº 4 1. Si la magnitud de los vectores F y G son 40m y 30m respectivamente, determinar: a) La magnitud máxima del vector resultante de la suma vectorial de F + G b) La magnitud mínima del vector resultante de la suma vectorial de F + G c) La magnitud del vector resultante de la suma vectorial en caso de que F y G sean perpendiculares d) La magnitud máxima del vector resultante de la resta vectorial de F - G SOLUCIÓN: a)

  G =  30 i+ 0 j  m R =  70 i+ 0 j  m

R = 702 = 70 m

  G =  -30 i+ 0 j  m R = 10 i+ 0 j  m

R = 102 = 10 m

  G =  0 i+ 30 j  m R =  40 i+ 30 j  m

R = 402  302 = 50 m

F = 40 i+ 0 j m

b)

F = 40 i+ 0 j m

c)

F = 40 i+ 0 j m

d)





F = 40 i+ 0 j m



 R =  70 i+ 0 j  m









F = 40 i+ 0 j m G = -30 i+ 0 j m

-G = 30 i+ 0 j m R = 702 = 70 m

2. Dados los vectores F = 4 i+ 6 j y G = -6 i- j , encontrar: a) El ángulo formado por los vectores b) El área del paralelogramo formado por los vectores F y G



c) El vector unitario en la dirección de F - 2G



SOLUCIÓN: a)  F•G     cos   FG     4× -6 + 6× -1    cos 1    52  37    133,15º 1

F = 42 + 62

G = 6 2 +1

F  7, 21

G = 6, 08

b)

Á rea =

4

6

-6 -1

=  -4 + 36  = 32 u 2

c) F = 4 i+ 6 j

G = -6 i- j

2G = -12 i- 2 j

 F - 2G  =  4 i+ 6 j  -  -12 i- 2 j   F - 2G  = 16 i+ 8 j 

F  2G 

16 i+ 8 j  162  82

F  2G  0,89 i  0, 45 j

3. Dado el vector Q =  3, - 5 m , encontrar: a) Un vector P perpendicular a Q , de modo que su módulo sea de 17m y la coordenada Y sea positiva

b) El área del paralelogramo formado por Q y P c) La proyección de Q sobre P SOLUCIÓN: a)

Q =  3, - 5 m



Q • P =  3× Px - 5× Py 

 3× P

x

P 

- 5× Py  = 0

5 i+ 3 j  m 

52  32

P  0,86 i+ 0,51 j

3× Px  5× Py



P = 17 m 0,86 i+ 0,51 j





P = 5 i+ 3 j m

Q•P = 0







P = 14, 62 i  8, 67 j m

b)

Área =

3

-5

14,62 8,67

=  26,01+ 73,1 = 99,11m2

c) Los vectores son perpendiculares por lo tanto la proyección es cero





4. Dados los vectores P = 12 i-8 j m s Q = 15m s,120º  , encontrar: a) P - Q b) Q + P c) 3 / 2P d) Q • P e) El ángulo formado entre Q y P SOLUCIÓN:

Q = 15m s,120º 

Q x = Q cos 

Q y = Q sen 

Q x = 15 m/ scos120º

Q y = 15 m/ s sen120º

Q x = -7,5 m/ s

Q y = 12,99 m/ s

a)

 -8 j m s - Q =  7,5 i-12,99 j  m/ s P - Q  19,5 i- 20,99 j  m/ s P = 12 i

b)

   P =  12 i -8 j  m s Q  P   4,5 i  4,99 j  m/ s

Q = -7,5 i  12,99 j m/ s

c)





3 3 P = 12 i- 8 j m s 2 2 3 P = 18 i-12 j m s 2





d) Q • P =  -7,5×12 +12,99× -8  m/ s Q • P = -193,92 m/ s

e)   -7,5×12 +12,99× -8      = cos   2 2  15 m/ s  12 + 8     = 93,56º -1





f)

P×Q =

12

-8

-7,5 12,99





Q = -7,5 i+12,99 j m/ s

= 155,88 + 60  k = 215,88k

5. Dados los vectores M =  37, 25 m N =  41m, 213º  , hallar:

a) M + N b) N - M c) -2N d) N • M e) La proyección de N sobre M f) El área del paralelogramo formado por los dos vectores SOLUCIÓN: a)

N x = N cos 

N y = N sen 

N x = 41mcos 213º

N y = 41msen 213º

N x = -34,39 m

N y = -22,33m

 37 i + 25 j  m N =  -34,39 i- 22,33 j  m M + N =  2, 61 i+ 2, 67 j  m M=

b)

  - M =  - 37 i - 25 j  m N - M =  - 71,39 i- 47,33 j  m N = -34,39 i- 22,33 j m

c)





-2N = -2 -34,39 i- 22,33 j m





-2N = 68, 78 i+ 44, 66 j m

d) N • M =  -34,39×37 - 22,33× 25  N • M = -1830, 68

e)





N = -34,39 i- 22,33 j m

NM =

NM

N•M M

× M

-34,39×37 - 22,33× 25    37 i+ 25 j  m    = ×  

37 2 + 252





N M = 33,97 2 + 22,952

37 2 + 252 

N M = 40,99 m

N M = -33,97 i- 22,95 j m f)

Área =

37

25

-34,39 -22,33



=  -826, 21+ 934,75  = 33,54 m 2



6. Dados los vectores E = 15 N mi+ 0, 48 j ; I =  21N, SE  y F = 12 N, 312º  , hallar: a) E + I + F b) 2 / 3I - 3E + 5 / 2F



c) 2 / 5 F • E d)



 3I× 2F 

e) La proyección de E sobre el vector resultante de I + F



f) El ángulo comprendido entre los vectores F y E SOLUCIÓN:



E = 15 N mi+ 0, 48 j



I =  21N, SE 

m = 1-  0, 482 

  270º 45º   315º

m = 0,88



E = 15 N 0,88 i+ 0, 48 j



 E = 13, 2 i+ 7, 2 j





I x = I cos 

I y = I sen 

I x = 21Ncos 315º

I y = 21Nsen 315º

I x = 14,85

I y = -14,85





I = 14,85 i-14,85 j N

F = 12 N, 312º 

Fx = F cos 

Fy = F sen 

Fx = 12 Ncos 312º

Fy = 12 Nsen 312º

Fx = 8, 03

Fy = -15, 60





F = 8, 03 i-15, 60 j N

a)

  I = 14,85 i-14,85 j  N F =  8, 03 i-15, 60 j  N E + I + F   36, 08 i- 23, 25 j  N E = 13, 2 i+ 7, 2 j N

b)



2 / 3I =



2 14,85 i-14,85 j N 3





2 / 3I = 9,9 i- 9,9 j N

5 / 2F =



 -3E =  -39, 6 i- 21, 6 j  N



5 8, 03 i-15, 60 j N 2





5 / 2F = 20, 08 i- 39 j N

  - 3E =  -39, 6 i- 21, 6 j  N 5 / 2F =  20, 08 i- 39 j  N 2 / 3I - 3E + 5 / 2F =  -9, 62 i- 70,5 j  N 2 / 3I = 9,9 i- 9,9 j N

c)





2 / 5 F•E = F • E = -2,53

d)



-3E = -3 13, 2 i+ 7, 2 j N

2 8, 03×13, 2 -15, 60× 7, 2  5



 3I =  44,55 i- 44, 45 j  N

3I = 3 14,85 i-14,85 j N

3I× 2F =

44,55 -44,55 16,06

-31, 2





2F = 2 8, 03 i-15, 60 j N





2F = 16, 06 i- 31, 2 j N

k =  -1389,96 + 715, 47  k = -674, 49 k



e) La proyección de E sobre el vector resultante de I + F



  F =  8, 03 i-15, 60 j  N I + F   22,88 i- 30, 45 j  N I = 14,85 i-14,85 j N

E I+F =

E I+F =

E • I F I F

× I  F

13, 2× 22,88  7, 2× 30, 45  ×   22,88 i- 30, 45 j    22,882 + 30, 452   

22,882 + 30, 452





E I+F = 1,30 i-1, 73 j m E I+F = 1,302  1, 732 E I+F = 2,16

f)

 8, 03 13, 2  15, 60  7, 2   15 12     92, 01º

  cos 1 





7. Dados los vectores A = 31m s 0, 2 i+ mj ; B =  43m s,172º  y

C = 55, -12 m s , hallar: a) A - B + C b) 1 2 A + B - 2C

2 C 3

c) El área del paralelogramo formado por 2A y d) La proyección de e) f)

 A + B sobre C

 A×C +  A× B A •  B× C  SOLUCIÓN:



A = 31m s 0, 2 i+ mj

m = 1-  0, 2

2



B =  43m s,172º 



Bx = 43m/ scos172º By = 43m/ ssen172º

m = 0,98

Bx = -41,59



A = 31m s 0, 2 i+ 0,98 j



By = B sen 

Bx = B cos 









B = -41,59 i+ 5,98 j m/ s

 A = 6, 2 i+ 30,38 j m s



By = 5,98



C = 55 i-12 j m s

a)

  - B =  41,59 i- 5,98 j  m/ s C =  55 i -12 j  m s A - B + C  102, 79 i  12, 4 j  m s A = 6, 2 i+ 30,38 j m s

b) 1 2 A + B - 2C

1/ 2A =





1 6, 2 i+ 30,38 j m s 2





1/ 2A = 3,1 i+15,19 j m s



 -2C =  -110 i+ 24 j  m s -2C = -2 55 i-12 j m s

  B =  -41,59 i+ 5,98 j  m/ s - 2C =  -110 i+ 24 j  m s 1 2 A + B - 2C   -148, 49 i+ 45,17 j  m s 1/ 2A = 3,1 i+15,19 j m s

c)



 2A = 12, 4 i+ 60, 76 j  m s

2A = 2 6, 2 i+ 30,38 j m s

Área =

12, 4

60,76

36,66

-8

 2 / 3C =  36, 66 i- 8 j  m s 2 / 3C =



2 55 i-12 j m s 3

= -99, 2 - 934,75 = 2326,66

 A + B sobre C A =  6, 2 i+ 30,38 j  m s B =  -41,59 i+ 5,98 j  m/ s A + B =  -35,39 i+ 36,36 j  m/ s

d) La proyección de

 A+ BC =  A+ BC =

A+ B • C C



× C

 -35,39×55 + 36,36× -12  ×   55 i-12 j   552 +122

 A+ BC =  -41,35 i+ 9, 02 j 

e)



C = 55 i-12 j m s

 A+ BC

= 41,352  9, 022

 A+ BC

= 42,32

 552 +12 2   

A×C =

A×B =

6, 2 30,38 55

-12

=  -74, 4 -1670,9  k = -1745,3k

6, 2

30,38

-41,59

5,98

=  -37,08 +1263,5  k = 1226, 42 k

 A × C  +  A × B  = -1745,3k+1226, 42 k  A × C  +  A × B  = -518,88 k f) B× C es producto cruz por tanto es perpendicular al vector A entonces





A • B×C  0





8. Tomando en consideración los vectores R =  20m, N 25º O ; S = 15 i+ 9 j m ;





T =  30m, 260º  y U =17 m 0,5 i- 0,866 j , hallar:



a) 3 4 S - 2R + U b) 5U -1 2 T + R - 2S c) d) e)

 R •S +  T • U   T× U  +  R ×S 3R  • 2  T  





 El área del paralelogramo formado por  R - T  y  S + U 

f) La proyección de R + S sobre T - U g)

SOLUCIÓN:

R =  20m, N 25º O

  90º 25º   115º

T =  30m, 260º 

R x = R cos 

R y = R sen 

Tx = T cos 

Ty = T sen 

R x = 20 mcos115º

R y = 20 msen115º

Tx = 30 mcos 260º

Ty = 30 msen 260º

R x = -8, 45 m

R y = 18,13m

Tx = -5, 21m

Ty = -29,54 m







R = -8, 45 i+18,13 j m



U = 17 m 0,5 i- 0,866 j







T = -5, 21 i- 29,54 j m



U  8,5 i-14, 72 j m a)



3 / 4S =



3 15 i+ 9 j m 4







-2R = -2 -8, 45 i+18,13 j m



3 / 4S = 11, 25 i+ 6, 75 j m





-2R = 16,9 i- 36, 26 j m

  - 2R = 16,9 i- 36, 26 j  m U   8,5 i-14, 72 j  m 3 4S - 2R + U   36, 65 i- 44, 23 j  m 3 / 4S = 11, 25 i+ 6, 75 j m

b)





5U  5 8,5 i-14, 72 j m





5U  42,5 i- 73, 6 j m





-2S = -2 15 i+ 9 j m





-2S = -30 i-18 j m

-1/ 2T = -







1 -5, 21 i- 29,54 j m 2



-1/ 2T = 2, 6 i+14, 77 j m

  -1/ 2T =  2, 6 i+14, 77 j  m R =  -8, 45 i+18,13 j  m - 2S =  - 30 i -18 j  m 5U -1 2 T + R - 2S =  6, 65 i- 58, 7 j  m 5U = 42,5 i- 73, 6 j m

c) R • S =  -8, 45×15 +18,13×9  R • S = 36, 42 T • U =  -5, 21×8,5 - 29,54× -14, 72  T • U = 390,54

 R • S +  T • U  = 36, 42 + 390,54  R • S +  T • U  = 426,96 d)

T× U =

R ×S =

-5, 21 -29,54 8,5

-14,72

-8, 45 18,13 15

9

=  76,69 + 251,09  k = 327,78k

=  -76,05 - 271,95  k = -348k

 T × U  +  R ×S = 327, 78 k- 348 k  T × U  +  R ×S = -20, 22 k e)



 3R =  -25,35 i+ 54,39 j  m 3R = 3 -8, 45 i+18,13 j m



 2T =  -10, 42 i- 59, 08 j  m

2T = 2 -5, 21 i- 29,54 j m

3R  • 2  T  =  -25,35× -10, 42 + 54,39× -59, 08  3R  • 2  T  = -2949, 21 f)

  S = 15 i+ 9 j  m R + S   6,55 i+ 27,13 j  m

  - U =  -8,5 i+14, 72 j  m T - U =  -13, 71 i-14,82 j  m

R = -8, 45 i+18,13 j m

 R+ ST-U =  R+ ST-U

R+ S• T- U T- U

T = -5, 21 i- 29,54 j m

× T-U

6,55× -13, 71+ 27,13× -14,82    -13, 71 i-14,82 j     = ×  13, 712 +14,82 2   

13, 712 +14,822

 R+ ST-U = 16,54 i+17,88 j 

g)

 R+ ST-U

= 16,542  17,882

 R+ ST-U

= 24,36

  - T =  5, 21 i+ 29,54 j  m R - T =  -3, 24 i+ 47, 67 j  m

  U   8,5 i-14, 72 j  m S + U   23,5 i- 5, 72 j  m

R = -8, 45 i+18,13 j m

Área =

3, 24 47,67 23,5

-5,72

S = 15 i+ 9 j m

= 18,53-1120, 24 = 1101,71





9. Considérese los vectores A = 46cm mi- 0, 23 j ; B = 81cm,155º  ,





C = 57cm, N 21º E  y D = -32 i- 29 j m , determinar: a) 1 2 A + 2C - B

b) 2D - 3A +1 3C - 2 5 B c) d) e) f) g)

3B + 2 3A  • -C - 3 4 D   D - 3C × 3 2 B + 4A   B• A  +  C • D  2A×C + 5B× D El ángulo formado por  D - A  y  B + C  SOLUCIÓN:



A = 46cm mi- 0, 23 j m = 1-  0, 48

2



B = 81cm,155º 



m = 0,88



  A =  40, 48 i-10,58 j 

Bx = B cos 

By = B sen 

Bx = 81cmcos155º

By = 81cmsen155º

Bx = -73, 41cm

By = 34, 23cm

A = 46 cm 0,88 i- 0, 23 j





B = -73, 41 i+ 34, 23 j cm

C = 57cm, N 21º E 

  90º 21º   69º C x = C cos 

C y = C sen 

C x = 57 cmcos 69º

C y = 57 cmsen 69º

C x = 20, 43cm

C y = 53, 21cm





C = 20, 43 i+ 53, 21 j cm a) 1/ 2A =





1 40, 48 i-10,58 j cm 2





1/ 2A = 20, 24 i- 5, 29 j cm



 2C =  40,86 i+106, 42 j  cm

2C = 2 20, 43 i+ 53, 21 j cm





B = -73, 41 i+ 34, 23 j cm

  2C =  40,86 i+106, 42 j  - B =  73, 41 i- 34, 23 j  1 2 A + 2C - B = 134,51 i+ 66,89 j  1/ 2A = 20, 24 i- 5, 29 j

b)



2D = 2 -32 i- 29 j



2D = -64 i- 58 j

1/ 3C =







 -3A =  -121, 44 i+ 31, 74 j  -3A = -3 40, 48 i-10,58 j



1 20, 43 i+ 53, 21 j 3



1/ 3C = 6,81 i+17, 73 j



-2 / 5B = -







2 -73, 41 i+ 34, 23 j 5

-2 / 5B = 29,36 i-13, 69 j

  - 3A =  -121, 44 i+ 31, 74 j  1/ 3C =  6,81 i+17, 73 j  - 2 / 5B =  29,36 i-13, 69 j  2D - 3A +1 3C - 2 5 B   149, 27 i- 22, 22 j  2D = -64 i- 58 j

c)



3B = 3 -73, 41 i+ 34, 23 j





3B = -220, 23 i+102, 69 j

-4 / 3D = -





4 -32 i- 29 j 3

2 / 3A =





-4 / 3D = 42, 66 i+ 38, 66 j





2 40, 48 i-10,58 j 3



2 / 3A = 26,99 i- 7, 05 j









  - 4 / 3D =  42, 66 i+ 38, 66 j  -C - 4 3D =  22, 23 i-14,55 j 

  2 / 3A =  26,99 i- 7, 05 j  3B + 2 3A =  -193, 24 i+ 95, 64 j 

- C = -20, 43 i- 53, 21 j

3B = -220, 23 i+102, 69 j

3B + 2 3A  •  -C - 4 3D  =  -193, 24× 22, 23 + 95, 64× -14,55 3B + 2 3A  •  -C - 4 3D  = -5687, 28 d)



-3C = -3 20, 43 i+ 53, 21 j



-3C = -61, 29 i-159, 63 j





3 / 2B =



3 -73, 41 i+ 34, 23 j 2



3 / 2B = -110,12 i+ 51,35 j







 4A = 161,92 i- 42,32 j  4A = 4 40, 48 i-10,58 j

  - 3C =  -61, 29 i-159, 63 j  D - 3C =  -93, 29 i-188, 63 j 

  4A = 161,92 i- 42,32 j  3 2 B + 4A   51,8 i  9, 03 j 

 D - 3C × 3 2 B + 4A  =

9,03

D = -32 i- 29 j

3 / 2B = -110,12 i+ 51,35 j

-93, 29 -188,63 51,8

=  -842, 41+ 9771,03 k = 8928,62 k

e) B • A =  -73, 41× 40, 48 + 34, 23×-10,58 

C • D =  20, 43× -32 + 53, 21× -29 

B • A = -3333, 79

C • D = -2196,85

 B • A  +  C • D  = -3333, 79 - 2196,85  B • A  +  C • D  = -5530, 64

f)

 2A×C + 5B× D 

2A = 2 40, 48 i-10,58 j



2A = 80,96 i- 21,16 j

2A×C =





80,96 -21,16 20, 43 53, 21



 5B =  -367, 05 i+171,15 j  5B = 5 -73, 41 i+ 34, 23 j

=  4307,88 + 432,30  k = 4740,18k



 

g) El ángulo formado por D - A y B + C

  - A =  -40, 48 i+10,58 j  D - A =  -72, 48 i-18, 42 j 

  C =  20, 43 i+ 53, 21 j  B + C =  -52,98 i+ 87, 44 j 

D = -32 i- 29 j

  = cos     = 73, 05º -1



 B = -73, 41 i+ 34, 23 j

-72, 48× -52,98 -18, 42×87, 44 72, 482 +18, 422



52,982 + 87, 44 2



    

10. Dados los vectores D =  5km, 63º  , E =  -7, -1 km y F = 4km; S70º E  , calcular: a) 2D + E + 3F b) E - D - 2F c) D • E



d) D - E × F



e) La proyección de E sobre D f)

El ángulo comprendido entre E y F

g) El área del paralelogramo formado por los vectores D y E SOLUCIÓN: a)

D x = D cos 

D y = D sen 

D x = 5 kmcos 63º

D y = 5 kmsen 63º

D x = 2, 27 km

D y = 4, 46 km







D = 2, 27 i+ 4, 46 j km



E = -7 i-1 j km

  270º 70º   340º Fx = F cos 

Fy = F sen 

Fx = 4 kmcos 340º

Fy = 4 kmsen 340º

Fx = 3, 76 km

Fy = 1,37 km





2D = 2 2, 27 i+ 4, 46 j km





2D = 4,54 i+ 8,92 j km



 3F = 11, 28 i- 4,11 j  km

3F = 3 3, 76 i-1,37 j km

  E =  - 7 i -1 j  km 3F = 11, 28 i- 4,11 j  km 2D  E  3F   8,82 i  3,81 j  km

2D = 4,54 i+ 8,92 j km

b) E - D - 2F



 -2F =  -7,52 i+ 2, 74 j  km

-2F = -2 3, 76 i-1,37 j km





F = 3, 76 i-1,37 j km

 - 7 i -1 j  km - D =  -2, 27 i- 4, 46 j  km - 2F =  -7,52 i+ 2, 74 j  km E - D - 2F =  -16, 79 i- 2, 72 j  km E=

c) D • E =  2, 27× -7 + 4, 46× -1 D • E = -20,35

d)

E× F =

-7

-1

k =  9,59 + 3,76  k = 13,35k

3,76 -1,37

  - E× F =  0 i + 0 j-13,35k  D -  E× F    2, 27 i+ 4, 46 j-13,35k  D = 2, 27 i+ 4, 46 j+ 0k

e)

ED =

ED

E•D D

× E

 -7× 2, 27  1 4, 46  ×   2, 27 i+ 4, 46 j   =  

5



E D = -1,85 i- 3, 63 j f)

 

5

 



E =  -7, -1 km y F = 3,76 i-1,37 j km   -7×3, 76 -1× -1,37      = cos   4  7 2 +1       = 86, 25º -1





g)

Área =

2, 27 4, 46 -7

-1

=  -2, 27 + 31, 22  = 28,95km2

E D = 1,852  3, 632 E D = 4, 07

11. Si la suma de los vectores A y B es 2 i- 4 j y su diferencia es 6 i-10 j encontrar el ángulo formado por los vectores A y B SOLUCIÓN:

A x + Bx = 2...........(1)  A x - Bx = 6............(2) De (2) A x = 6 + Bx .............(3)

A y + By = -4.......................(1)  A y - B y = -10.....................(2) De (2) A y = -10 + B y .............(3)

(3) en (1) 6 + Bx + Bx = 2

(3) en (1) -10 + B y + B y = -4

2 Bx = -4

2 By = 6

Bx = -2

By = 3

Reemplazando el valor de Bx en (1)

Reemplazando el valor de By en (1)

Ax - 2 = 2

A y + 3 = -4

Ax = 4

A y = -7



A = 4 i- 7 j





B = -2 i+ 3 j



 A B    A B  

  cos 1 

 4  2  7  3   cos  2 2 22  32  4 7    176, 05º 1







    

12. Determine las magnitudes de los vectores A y B , para A + B + C = 0





C = 0 i-16 j N

Para que Y=0 A y = - C y  A y = 16 Calculando A x

tan 37º =

16 Ax

16 tan 37º A x = 21, 24 como esta en X(-)  -21, 24 Ax =





A = -21, 24 i+16 j N A = 21, 242 +162

A = 26,59 N

Para que X=0 Bx = - A x Þ Bx = 21, 24





B = 21, 24 i+ 0 j N

B = 21, 24 N

EJERCICIO Nº5 1. En el reloj de una iglesia el minutero mide 1,2 m y el horero 80 cm determinar la posición relativa del extremo del horero respecto al extremo del minutero, en las siguientes horas: a) b) c) d) e) f) g) h) i)

10H10 12H35 5H40 8H20 9H10 6H50 2H40 11H05 4H00 SOLUCIÓN: Basados en el siguiente grafico para determinar los vectores: 90º 120º

60º

150º

30º

180º

0º

330º

210º 240º

300º 270º

Datos: L min = 1, 2 m

L hor = 0,8 m

a)

rmin = 1, 2 m; 30º 

12 11

1

10

2

9

rXmin = 1, 04 m



4 7

rYmin = 0,6 m



rmin = 1, 04 i+ 0, 6 j m

3

8

rYmin = 1, 2 msen 30º

rXmin = 1, 2 mcos 30º

rhor =  0,8 m;150º 

5

rXhor = 0,8 mcos150º

6

rXhor = 0, 69 m



rYhor = 0,8msen150º rYhor = 0, 4 m



rhor = -0, 69 i+ 0, 4 j m

rhor/min = rhor - rmin

   =  -1, 73 i- 0, 2 j  m



rhor/min = -0, 69 i+ 0, 4 j m- 1, 04 i+ 0, 6 j m rhor/min b) 12 11

1

10

rmin = 1, 2 m; 30º  2

9

rYmin = 1, 2 msen 240º

rXmin = 1, 2 mcos 240º 3

rYmin = -1,04 m

rXmin = -0, 6 m





rmin = -0, 6 i-1, 04 j m 4

8 7

5 6





rhor = 0 i+ 0,8 j m

rhor/min = rhor - rmin

   =  0, 6 i  1,84 j  m



rhor/min = 0 i+ 0,8 j m- -0, 6 i-1, 04 j m rhor/min

c)

rmin = 1, 2 m; 210º 

12 11

1

10

2

rXmin = -1, 04 m 9



3

7

rYmin = -0,6 m



rmin = -1,04 i- 0,6 j m

4

8

rYmin = 1, 2 msen 30º

rXmin = 1, 2 mcos 210º

rhor =  0,8 m; 300º 

5

rYhor = 0,8msen 300º

rXhor = 0,8 mcos 300º

6

rYhor = 0,69 m

rXhor = -0, 4 m





rhor = -0, 4 i- 0, 69 j m

rhor/min = rhor - rmin

   =  -0, 64 i- 0, 09 j  m



rhor/min = -1, 04 i- 0, 6 j m- -0, 4 i- 0, 69 j m rhor/min

d) rmin = 1, 2 m; 30º 

12 11

1

10

2

9

4 7

5 6

rYmin = -0,6 m

rXmin = 1, 04 m

rmin = 1,04 i- 0,6 j  m

3

8

rYmin = 1, 2 msen 330º

rXmin = 1, 2 mcos 330º

rhor =  0,8 m; 210º 

rYhor = 0,8msen 210º

rXhor = 0,8 mcos 210º

rYhor = -0, 4 m

rXhor = -0, 69 m





rhor = -0, 69 i- 0, 4 j m

rhor/min = rhor - rmin

   =  -1, 73 i+ 0, 2 j  m



rhor/min = -0, 69 i- 0, 4 j m- 1, 04 i- 0, 6 j m rhor/min

e) rmin = 1, 2 m; 30º 

12 11

1

10

2

9

rYmin = 1, 2 msen 30º

rXmin = 1, 2 mcos 30º

rYmin = 0,6 m

rXmin = 1, 04 m





rmin = 1, 04 i+ 0, 6 j m

3

4

8 7

5



6



rhor = -0,8 i+ 0 j m

rhor/min = rhor - rmin

   =  -1,84 i- 0, 6 j  m



rhor/min = -0,8 i+ 0 j m- 1, 04 i+ 0, 6 j m rhor/min

f) rmin = 1, 2 m;150º 

12 11 10

rYmin = 1, 2 msen 30º

rXmin = 1, 2 mcos150º

1

rYmin = -0,6 m

rXmin = -1, 04 m

2





rmin = -1,04 i- 0,6 j m 9

3

4

8 7

5 6

rhor/min = rhor - rmin

   = 1, 04 i- 0, 2 j  m





rhor/min = 0 i- 0,8 j m- -1, 04 i- 0, 6 j m rhor/min

g)



rhor = 0 i- 0,8 j m

rmin = 1, 2 m; 210º 

12 11

rYmin = 1, 2 msen 210º

rXmin = 1, 2 mcos 210º

1

10

rYmin = -0,6 m

rXmin = -1, 04 m

2





rmin = -1,04 i- 0,6 j m 9

3

rhor =  0,8 m; 30º 

4

8 7

rYhor = 0,8msen 30º

rXhor = 0,8 mcos 30º

5 6

rYhor = 0, 4 m

rXhor = 0, 69 m





rhor = 0, 69 i+ 0, 4 j m

rhor/min = rhor - rmin

   = 1, 73 i+ j  m



rhor/min = 0, 69 i+ 0, 4 j m- -1, 04 i- 0, 6 j m rhor/min h) rmin = 1, 2 m; 60º 

12 11

1

rYmin = 1, 2 msen 30º

rXmin = 1, 2 mcos 60º

10

2

9

rXmin = 0, 6 m

4 7

5 6





rmin = 0, 6 i+1, 04 j m

3

8

rYmin = 1,04 m

rhor =  0,8 m;120º 

rYhor = 0,8msen120º

rXhor = 0,8 mcos120º

rYhor = 0,69 m

rXhor = -0, 4 m





rhor = -0, 4 i+ 0, 69 j m

rhor/min = rhor - rmin

   =  - i- 0,35 j  m



rhor/min = -0, 4 i+ 0, 69 j m- 0, 6 i+1, 04 j m rhor/min

i) 12 11



1



rmin = 0 i+1, 2 j m 10

2

9

3

rhor =  0,8 m; 330º 

rYhor = 0,8msen 330º

rXhor = 0,8 mcos150º 4

8 7

rYhor = -0, 4 m

rXhor = 0, 69 m

5



6



rhor = 0, 69 i- 0, 4 j m

rhor/min = rhor - rmin

   =  0, 69 i-1, 6 j  m



rhor/min = 0, 69 i- 0, 4 j m- 0 i+1, 2 j m rhor/min

2. Una persona vive a 2km en dirección NE del centro de la ciudad, si para ir a la tienda mas cercana camina 200m al este y luego 100m al sur, determinar: a) La posición de la tienda respecto a la ciudad b) La posición de la tienda respecto a la casa de la persona c) La distancia en línea recta de la casa a la tienda SOLUCIÓN: Datos: Ciudad=origen





rcasa =  2 km; NE   1, 41 i+1, 41 j km

rtienda/casa =  200i-100 j m  rtienda/casa =  0, 2i- 0,1 j km a)

rtienda/casa = rtienda - rcasa rtienda = rtienda/casa + rcasa

  = 1, 61 i+1,31 j  km

rtienda = 1, 41 i+1, 41 j km+  0, 2i- 0,1 j km rtienda

b)

rtienda/casa =  200i-100 j m  rtienda/casa =  0, 2i- 0,1 j km c) rtienda/casa = 2002 +1002 rtienda/casa = 223, 60 m  0, 223km

3. Los vértices de un triangulo son los puntos P1  0,5 , P2  2,-1 y P3 3,6  , determinar: a) El valor de los ángulos internos del triangulo b) El tipo de triangulo en función de sus lados SOLUCIÓN:

a)

  =  2 i- 6 j 

P1P2 = 2 i- j - 0 i+ 5 j P1P2



  P P = 3 i  j 

P1P3 = 3 i  6 j - 0 i+ 5 j 1 3



  P P =  i+ 7 j 

P2 P3 = 3 i+ 6 j - 2 i- j



2 3

 PP •PP A = cos  1 2 1 3  P1P2 P1P3 

   

-1

 A = cos    -1



 PP •P P B = cos  1 3 2 3  P1P3 P2 P3  -1

   32  1  

2  3  6 1 22  62



A = 90º



 B = cos    -1



   

3  1  1 7 32  1



1  72



    

B = 63, 43º

63, 43º +90º +C = 180º C = 180º -90º -63, 43º C = 26,57º b) Triangulo rectángulo 4. Los vértices de un triangulo son los puntos A 8,9 m , B  -6,1 m , C  0,-5m , determinar: a) El valor de los ángulos internos del triangulo b) El área del triangulo ABC SOLUCIÓN:

a)

   AB =  -14 i- 8 j  m



   BC =  6 i- 6 j  m



   AC =  -8 i-14 j  m

AB = -6 i+ j m- 8 i+ 9 j m



AC = 0 i- 5 j m- 8 i+ 9 j m

BC = 0 i- 5 j m- -6 i+ j m

 AB • AC   A = cos-1   AB AC     A = cos    -1



 AC • BC   C = cos -1   AC BC   

14  8  8 14 142  82



A = 30,51º B = 180º -30,51º -74, 74º B = 74, 75º

82  142



    

 C = cos    -1



C = 74, 74º

-8× 6 -14× -6 82 +142



62 + 62



    

b)

1 AB× AC 2 1 -14 -8 Área = = 196 - 64 = 132 m 2 2 -8 -14 Área =

5. Una ciudad está delimitada por las rectas que unen los vértices: P  4,5 km ,

Q  0, 4 km , R 1,1 km , S  5, 2 km , determinar: a) b) c) d)

La forma geométrica de la ciudad El área de la ciudad La posición relativa del punto R respecto del punto P La posición relativa del punto S respecto del punto R SOLUCIÓN:

a) Paralelogramo b)

    RQ =  - i+ 3 j  km

RQ = 0 i+ 4 j km- i+ j km

Área = RQ× RS Área = c)

-1 3 = -1-12 = 13km 2 4 1

    RS =  4 i+ j  km

RS = 5 i+ 2 j km- i+ j km

   =  -3 i- 4 j  km



rR/P = i+ j km- 4 i+ 5 j km rR/P

d)

    =  4 i+ j  km

rS/R = 5 i+ 2 j km- i+ j km rS/R

6. tiene las ciudades P, Q y R; determine la posición relativa de la ciudad P respecto a R para los siguientes casos: a) rP/Q  50km; S60º E  y rR/Q  70km; NO  b) rP/Q 80km; SO y rR/Q  25km; N70º O  c) rP/Q  65km; N15º O y rR/Q 90km; S30º O  d) rP/Q  40km; N75º E  y rR/Q 100km; S25º E  SOLUCIÓN: rP/Q = rP - rQ

rR/Q = rR - rQ

 rQ = rP - rP/Q ...................(1)

 rQ = rR - rR/Q ...................(2)

rP/R = rP - rR ..............(3) Igualando (1) y (2) rP - rP/Q = rR - rR/Q rP - rR = rP/Q - rR/Q ...............(4) a)

rP/Q  50km; S60º E 

  270º 60º   330º

(3) en (4) rP/R = rP/Q - rR/Q

rP/Q x = rP/Q cos 

rP/Q y = rP/Q sen 

rP/Q x = 50 kmcos 330º

rP/Q y = 50 kmsen 330º

rP/Q x = 43,30 km

rP/Q y = -25 km





rP/Q  43,30 i- 25 j km

rR/Q  70km; NO 

  90º 45º   135º rR/Q x = rR/Q cos 

rR/Q y = rR/Q sen 

rR/Q x = 70 kmcos135º

rR/Q y = 70 kmsen135º

rR/Q x = -49,50 km

rR/Q y = 49,50 km





rR/Q  -49,50 i  49,50 j km rP/R = rP/Q - rR/Q

   =  92,50 i- 74,50 j  km



rP/R = 43,30 i- 25 j km  -49,50 i  49,50 j km rP/R

b)

rP/Q 80km; SO

  270º 45º   225º rP/Q x = rP/Q cos 

rP/Q y = rP/Q sen 

rP/Q x = 80 kmcos 225º

rP/Q y = 80 kmsen 315º

rP/Q x = -57,57 km

rP/Q y = -56,57 km





rP/Q = -56,57 i- 56,57 j km

rR/Q  25km; N70º O

  90º 70º   160º

rR/Q x = rR/Q cos 

rR/Q y = rR/Q sen 

rR/Q x = 25 kmcos160º

rR/Q y = 25 kmsen160º

rR/Q x = -23, 49 km

rR/Q y = 8,55 km





rR/Q  -23, 49 i  8,55 j km rP/R = rP/Q - rR/Q

   =  -33, 08 i- 48, 02 j  km



rP/R = -56,57 i- 56,57 j km- -23, 49 i+ 8,55 j km rP/R

c)

rP/Q  65km; N15º O

  90º 15º   105º rP/Q x = rP/Q cos 

rP/Q y = rP/Q sen 

rP/Q x = 65 kmcos105º

rP/Q y = 65 kmsen105º

rP/Q x = -16,82 km

rP/Q y = 62, 79 km





rP/Q = -16,82 i+ 62, 79 j km

rR/Q  90km; S30º O 

  270º 30º   240º rR/Q x = rR/Q cos 

rR/Q y = rR/Q sen 

rR/Q x = 90 kmcos 240º

rR/Q y = 90 kmsen 240º

rR/Q x = -45 km

rR/Q y = -77,94 km





rR/Q = -45 i- 77,94 j km rP/R = rP/Q - rR/Q

   =  28,18 i+140, 73 j  km



rP/R = -16,82 i+ 62, 79 j km- -45 i- 77,94 j km rP/R

d)

rP/Q  40km; N75º E 

  90º 75º   15º rP/Q x = rP/Q cos 

rP/Q y = rP/Q sen 

rP/Q x = 40 kmcos15º

rP/Q y = 40 kmsen15º

rP/Q x = 38, 64 km

rP/Q y = 16,82 km





rP/Q = 38, 64 i+16,82 j km

rR/Q 100km; S25º E 

  270º 25º   295º rR/Q x = rR/Q cos 

rR/Q y = rR/Q sen 

rR/Q x = 100 kmcos 295º

rR/Q y = 100 kmsen 295º

rR/Q x = 42, 26 km

rR/Q y = -90, 63km





rR/Q = -45 i- 77,94 j km rP/R = rP/Q - rR/Q

   =  83, 64 i+ 94, 76 j  km



rP/R = 38, 64 i+16,82 j km- -45 i- 77,94 j km rP/R

7. Para los casos del ejercicio anterior. Si se construye una carretera directa en línea recta desde la ciudad P hacia ciudad R, determine el ahorro de combustible para un auto que consume 1galon de gasolina por cada 45 km, si se compara el nuevo camino con la ruta que une las ciudades P hacia Q y Q hacia R en línea recta. 8. Dados los puntos L 8, - 6 m y J  -4, 3 m , determinar: a) Los vectores posición de L y J respecto al origen b) La posición relativa de L con respecto a J

c) La distancia entre los puntos L y J SOLUCIÓN: a)





rL = 8 i- 6 j m





rJ = -4 i+ 3 j m

b) rL/J = rL - rJ

   = 12 i- 9 j  m



rL/J = 8 i- 6 j m- -4 i+ 3 j m rL/J

c) rL/J = 122 + 92 rL/J = 15 m

9. La cumbre de la montaña A está a 3km del suelo y la cumbre de la montaña B a 2km del suelo. Si las montañas se unen como indica el siguiente grafico:

Determinar: a) La posición relativa de la cumbre de la montaña B respecto a la cumbre de la montaña A b) La longitud del cable para instalar un teleférico de la cumbre de la montaña A a la cumbre de la montaña B SOLUCIÓN:

tan 60º =

rA x rA y

rA x tan 60º 3km rA y = tan 60º rA y = 1, 73km

tan 40º =

rB x rB y

rB x tan 40º 2 km rB y = tan 40º rB y = 2,38 km

rA y =

rB y =

rA =  -1,73i+ 3 j km

rB = 2,38 i+ 2 j km





a)

  =  4,11 i- j  km

rB/A = 2,38 i+ 2 j km-  -1, 73i+ 3 j km rB/A

b) rB/A = 4,112 +1 rB/A = 4, 23km

Considerando ida y vuelta por cables independientes 4, 23km 2  8, 46

10. Las coordenadas de los puntos inicial y final de un vector E son  5, - 2 m y

 -4, 7 m

respectivamente, determinar:

a) Las componentes rectangulares del vector E b) La magnitud del vector E c) El vector unitario del vector E SOLUCIÓN: a)

E   -4, 7  m   5, - 2  m E   -9, 9  m b) E = 92 + 92 E = 12, 73m

c)

E  E 

E E

 -9 i+ 9 j  m 

12, 73m



E  -0, 706 i+ 0, 706 j m 11. Un avión de aeromodelismo está a  4km, SO de la torre de control. En ese momento, su dueño desea impactar en un blanco que esta ubicado en el punto

 6, - 4 km , determinar: a) La posición del avión respecto al blanco b) La dirección que debe tomar el avión para lograr su propósito c) La distancia del avión al blanco SOLUCIÓN: a)

 4km, SO A x = A cos 

A y = A sen 

A x = 4 kmcos 225º

A y = 4 kmsen 225º

A x = -2,83km

A y = -2,83km





A = -2,83 i- 2,83 j km

   =  -8,83 i+1,17 j  km



rA/B = -2,83 i- 2,83 j km- 6 i- 4 j km rA/B

b)

 8,83    1,17 

  tan 

S82, 45º E

  82, 45º c) rA/B = 8,832 +1,17 2 rA/B = 8,91km

12. En un aeropuerto, un avión B se halla parqueado en la posición  200m, N 28º E  respecto a la torre de control. En ese instante otro avión A se encuentra en la posición  200m, SO respecto a la misma torre de control, determinar: a) La posición relativa de B respecto de A b) La distancia que existe entre los dos aviones SOLUCIÓN: a)

 200m, N 28º E  Bx = B cos 

B y = B sen 

Bx = 200 mcos 62º

B y = 200 msen 62º

Bx = 93,89 m

B y = 176,59 m

 200m, SO





B = 93,89 i+176,59 j m

A x = A cos 

A y = A sen 

A x = 200 mcos 225º

A y = 200 msen 225º A = -141, 42 i-141, 42 j m

A x = -141, 42

A y = -141, 42

   =  235,31 i+ 318, 01 j  m







rB/A = 93,89 i+176,59 j m- -141, 42 i-141, 42 j m rB/A

b) rB/A = 235,312 + 318, 012 rB/A = 395, 60 m

13. Un bote tiene 2 motores fuera de borda. El primer motor impulsa el bote en dirección NO con una velocidad de 20m/s, el segundo motor impulsa al bote en dirección N25ºE con una velocidad de 15m/s, determinar: a) La velocidad resultante del bote en magnitud y dirección b) El vector unitario del vector velocidad resultante c) Los ángulos directores del vector velocidad resultante SOLUCIÓN: a)

A =  20m/ s; NO  A x = A cos 

A y = A sen 

A x = 20 m/ scos135º

A y = 20 m/ ssen135º A = -14,14 i+14,14 j m/ s

A x = -14,14 m/ s

A y = 14,14 m/ s

B = 15m/ s; N 25º E 





Bx = B cos 

By = B sen 

Bx = 15 m/ scos 65º

By = 15 m/ ssen 65º

Bx = 6,34 m/ s

By = 13,59 m/ s

   V =  -7,8 i+ 27, 73 j  m/ s





B = 6,34 i+13,59 j m/ s



V = -14,14 i+14,14 j m/ s+ 6,34 i+13,59 j m/ s

 7,8    27, 73 

V = 7,82 + 27, 732

  tan 1 

V = 28,81m/ s

  15, 71º

V =  28,81m/ s; N15,71º O 

b)

V  V =

V V

 -7,8 i+ 27, 73 j  m/ s 

28,81m/ s



V = -0, 27 i+ 0,96 j m/ s c)

  90º 15, 71º   105, 71º

  15, 71º

14. Una mesa de billar tiene las siguientes dimensiones:

a) La posición relativa de la buchaca F respecto a la buchaca A b) La posición relativa de la buchaca C respecto a la buchaca E c) El ángulo formado por los vectores EA y EC

d) La posición relativa de una bola ubicada en el punto Q respecto a la buchaca D e) La proyección del vector AE sobre AQ SOLUCIÓN: Considerando A como origen: a)





rF/A = 2,8 i-1,5 j m

b)







rc = 2,8 i+ 0 j m



rE = 1, 4 i-1,5 j m

rC/E = rC - rE

   = 1, 4 i+1,5 j  m



rC/E = 2,8 i+ 0 j m- 1, 4 i-1,5 j m rC/E c)

EA = A - E



EC = C - E





   cos      86, 05º 1



1, 4 1, 4  1,5 1,5 1, 42  1,52



1, 42  1,52



    

d)





Q = 2,1 i- 0, 75 j m

   =  2,1 i  0, 75 j  m





D = 0 i-1,5 j m



rQ/D = 2,1 i- 0, 75 j m- 0 i-1,5 j m rQ/D



EC = 1, 4 i  1,5 j m

EA = -1, 4 i+1,5 j m

e)







AE = 1, 4 i-1,5 j m

AE AQ =

AE AQ =

AE • AQ AQ



AQ = 2,1 i- 0, 75 j m

 AQ

1, 4  2,1  1,5  0, 75  2,1 i- 0, 75 j   2,12  0, 752 2,12  0, 752 





   

AE AQ = 1, 72 i- 0, 61 j m





AE AQ = 1, 72 i- 0, 61 j m AE AQ = 1,82 m

EJERCICIO Nº6 1. Un insecto se mueve rectilíneamente 8cm al Este, luego 12cm al NE y finalmente 5cm al Sur; determinar: a) b) c) d)

Los desplazamientos realizados El desplazamiento total realizado El modulo del desplazamiento total La distancia total recorrida SOLUCIÓN: a)

 r2 x = 12cm cos 45º

 r2 y = 12cmsen 45º

 r2 x = 8, 49cm

 r2 y = 8, 49cm





 r1  8 i+ 0 j cm

b)





 r2  8, 49 i+ 8, 49 j cm





 r3 = 0 i- 5 j cm

 r   r1   r2   r3

    r  16, 49 i+ 3, 49 j  cm







 r  8 i+ 0 j cm  8, 49 i+ 8, 49 j cm  0 i- 5 j cm

c)  r  16, 492  3, 492  r  16,85cm

d) d = 8cm+12 cm+ 5cm d = 25cm

2. Comenzando en el origen de coordenadas se hacen los siguientes desplazamientos en el plano XY: 45mm en la dirección Y(-); 30mm en la dirección X(-) y 76mm a 200º, todos en línea recta;: determinar: a) b) c) d) e)

Los desplazamientos realizados Los vectores posición en cada punto El desplazamiento total realizado El módulo del desplazamiento La distancia recorrida SOLUCIÓN: a)

 r3 x = 76 mmcos 200º

 r3 y = 76 mmsen 200º

 r3 x = -71, 41mm

 r3 y = -25,99 m





 r1  0 i- 45 j mm





b)





r1  0 i- 45 j mm





 r2  -30 i+ 0 j mm  r3 = -71, 41 i- 25,99 j mm





r2  -30 i- 45 j mm

r3  r2   r3

     -100, 41 i- 70,99 j  mm



r3  -30 i- 45 j mm  -71, 41 i- 25,99 j mm r3

c)  r   r1   r2   r3

     r   -100, 41 i- 70,99 j  mm





 r  0 i- 45 j mm  -30 i+ 0 j mm  -71, 41 i- 25,99 j mm

d)  r  100, 412  70,99 2  r  122,97 mm

e) d = 45mm+ 30 mm+ 76 mm d = 152 mm

3. Un auto parte a las 7h00 de una ciudad A  -85, 204 km y la lectura de su odómetro es 10235 km, viaja rectilíneamente hacia B 123, 347  km y llega a las 11h10; determinar: a) b) c) d) e)

Los vectores posición de cada ciudad El desplazamiento realizado La lectura del odómetro cuando llega a B La velocidad media La velocidad media con la que debería regresar de inmediato por la misma ruta para llegar a las 14h15. SOLUCIÓN:

a)







rA = -85 i+ 204 j km



rB = 123 i+ 347 j km

b)  r = rB - rA

    r =  208 i+143 j  km



 r = 123 i+ 347 j km- -85 i+ 204 j km

c)  r = 2082  1432

Lectura = 10235 km+ 252, 41km Lectura = 10487, 41km

 r = 252, 41km

d)

10 min

Vm = Vm =

1h = 0,166 h 60 min

r t

 208 i+143 j  km 

4,166 h



Vm = 49,93 i+ 34,33 j km/ h

 t  tf - t0  t  11,166 h- 7 h  t  4,166 h r t 252, 41km Vm = 4,166 h Vm = 60,58 km/ h Vm =

e)

15 min

1h = 0, 25 h 60 min

 t  tf - t0  t  14, 25h-11,166 h  t  3, 084 h

r t 252, 41km Vm = 3, 084 h Vm = 81,85 km/ h Vm =

4. Dos aviones parten del mismo punto, el uno viaja a 865km;15º  hasta A y el otro





vuela -505 i+ 253 j km hasta B en 2 horas en línea recta; determinar: a) b) c) d) e)

Los vectores posición de los puntos A y B Los desplazamientos realizados por cada avión La velocidad media de cada avión La rapidez media de cada avión La velocidad media a la que debería viajar un avión desde A hasta B SOLUCIÓN: a)

865km;15º  rA x = 865kmcos15º

rA y = 865kmcos15º

rA x = 835,53km

rA y = 223,88km







rA = 835,53 i+ 223,88 j km



rB  -505 i+ 253 j km b)





 rA = 835,53 i+ 223,88 j km

c)





 rB  -505 i+ 253 j km

VmA = VmA =

r t

VmB =

835,53 i+ 223,88 j  km 

2h

VmB =



r t

 -505 i+ 253 j  km 

VmA = 417, 77 i+116,94 j km/ h

2h



VmB = -252,5 i+126,5 j km/ h

d) VmA = 417, 77 2  116,942

VmB = 252,52  126,52

VmA = 433,83km/ h

VmB = 282, 42 km/ h

e)  r  rB  rA

    r   -1340,53 i+ 476,88 j  km



 r  -505 i+ 253 j km 835,53 i+ 223,88 j km

VmA = VmA =

r t

 -1340,53 i+ 476,88 j  km 

3h

VmA = 446,842 +158,96 2 VmA = 474, 27 km/ h



VmA = -446,84 i+158,96 j km/ h





5. Una partícula cuya velocidad era de 12 i+15 j m/ s se detiene en 20s por una ruta rectilínea; determinar: a) b) c) d)

El modulo de la velocidad inicial El vector unitario de la velocidad inicial El vector velocidad final La aceleración media de la partícula SOLUCIÓN: a)

V0 = 12 2 +152 V0 = 19, 21m/ s ç b)

V  0

V 

V0 V0

12 i+15 j  m/ s

0



19, 21m/ s

V  0, 62 i+ 0, 78 j 0



c) Como la partícula recorre hasta detenerse la velocidad final es 0 d)

a= a=

Vf - V0 t

 -12 i-15 j  m/ s 

20s



a = -0, 6 i- 0, 75 j m/ s 6. Un móvil que viaja con una aceleración constante, cambia su velocidad de

 -21 i-18 j  m/ s a  24m/ s; S30º E  ; en 10s determinar:

a) Los vectores unitarios de la velocidad inicial y final b) La aceleración media SOLUCIÓN: a)

 24m/ s; S30º E 

Vf x = Vf cos 

Vf y = Vf sen 

Vf x = 24 m/ scos 300º

Vf y = 24 m/ ssen 300º

Vf x = 12 m/ s

Vf y = 20, 78 m/ s

V = 0

V =

V0

V = f

V0

 -21 i-18 j  m/ s

0



212 +182





Vf Vf

12 i- 20, 78 j  m/ s

f

 V = -0, 76 i- 0, 65 j m/ s 0

V =



Vf = 12 i- 20, 78 j m/ s



24 m/ s



V = 0,5 i- 0,87 j m/ s f

b) a= a= a=

Vf - V0 t

12 i- 20, 78 j  m/ s-  -21 i-18 j  m/ s 10s

 33 i- 2, 78 j  m/ s 

10s



a = 3,3 i- 0, 278 j m/ s

EJERCICIO Nº 7 1. Si un vehículo se mueve de la ciudad A  -35, 50 km a la ciudad B -25,  45 km en línea recta y con rapidez constante en 2 horas; determinar: a) El desplazamiento realizado b) La velocidad media c) El desplazamiento durante los primeros 40 minutos de viaje SOLUCIÓN: a)

    r  10 i- 95 j  km



 r  -25 i- 45 j km- -35 i+ 50 j km

b)

V= V=

r t

10 i- 95 j  km 

2h



V = 5 i- 47,5 j km c)

 r  V× t 40 min

   r   3,33 i- 31, 64 j  km

1h = 0, 666 h 60 min

 r  5 i- 47,5 j km/ h 0, 666 h

2. Dos autos A, B se mueven por carreteras rectas horizontales con velocidades





constantes de modo que al instante t=0 sus posiciones son -40 i+ 20 j y

15 i  30 j m y al instante t=10s sus posiciones son  20 i  y  -10 j km respectivamente; determinar: a) El desplazamiento de cada vehículo durante ese intervalo b) La velocidad media de cada vehículo c) La velocidad de A respecto a B SOLUCIÓN: a)

 rA = rfA - r0A

   =  60 i- 20 j  m



 rB = rfB - r0B

   =  -25 i+ 30 j  m



 rA = 20 i+ 0 j m- -40 i+ 20 j m

 rB = -10 i+ 0 j m- 15 i- 30 j m

 rA

 rB

b)

VA = VA =

r t

VB =

 60 i- 20 j  m 

VB =

10s



r t

 -25 i+ 30 j  m 

VA = 6 i- 2 j m/ s

10s



VB = -2,5 i+ 3 j m/ s

c)

   =  8,5 i- 5 j  m/ s



VA/B = 6 i- 2 j m/ s- -2,5 i+ 3 j m/ s VA/B

3. Un tren cuya velocidad es 60 i km/ h , pasa por un túnel recto de 400 m de largo y desde que penetra la maquina hasta que sale el ultimo vagón demora 30s; determinar: a) El desplazamiento del tren en 30, 60 y 90 (s) b) La longitud del tren SOLUCIÓN: a) 60 i km 1000 m 1h = 16, 67 m/ s h 1km 3600s

 r = V×  t  r = 16, 67 m/ s 30s

 r = V×  t  r = 16, 67 m/ s 60s

 r = V×  t  r = 16, 67 m/ s 90s

 r = 500 m

 r = 1000 m

 r = 1500 m

b) x =  r- 400 m x = 500 m- 400 m x = 100 m

4. Una partícula parte del punto  25, 20 m y moviéndose rectilíneamente llega al punto  6,  30 m con una rapidez constante de 40 km/ h ; determinar: a) La velocidad empleada b) El tiempo empleado c) El punto al que llegaría si continúa moviéndose por 10s más. SOLUCIÓN: a) 40 km 1000 m 1h = 11,11m/ s h 1km 3600s

 r = rf - r0

    r =  -31 i- 50 j  m

V = V ×  r



 r = -6 i- 30 j m- 25 i  20 j m

 -31 i- 50 j  V = 11,11m/ s   2 2  31  50 





V = -5,85 i- 9, 44 j m/ s

 r = 312  50 2  r = 58,83m

b) t =

r VA

58,83m 11,11m/ s  t = 5,30s t =

c)

 r = V×  t

 r =  r1   r2

 r = -5,85 i- 9, 44 j m/ s10s

 r = -31 i- 50 j m  -58,5 i- 94, 4 j m

   r =  -58,5 i- 94, 4 j  m

    r =  -89,5 i-144, 4 j  m



5. Un deportista se desplaza 1000 i km por una ruta rectilínea, parte en moto y parte en bicicleta, sabiendo que las velocidades han sido 120 i km/ h en moto y 40 i km/ h en bicicleta y que el tiempo empleado ha sido 10 horas; determinar:

a) La velocidad media durante las 10 horas b) El desplazamiento en moto c) El tiempo que recorrió en bicicleta SOLUCIÓN: a) r t 1000 i km V= 10 h V = 100 i km/ h V=

b)

 r   rmoto   rbici ................(1)  rmoto = Vmoto  t moto ...............(3)

 t =  t moto   t bici   t bici   t   t moto .................(2)

 rbici = Vbici  t bici ...............(4)

(3) y (4) en (1)  r  Vmoto   t moto  Vbici   t bici ..................(5)

(2) en (5)  r = Vmoto   t moto  Vbici    t   t moto  Vmoto   t moto  Vbici   t  Vbici   t moto =  r Vmoto   t moto  Vbici   t moto =  r  Vbici   t





 t moto Vmoto  Vbici =  r  Vbici   t  t moto

 r  Vbici   t = Vmoto  Vbici

 rmoto = 120 km/ h× 7,5 h  rmoto = 900 km

1000 km- 40 km/ h×10 h 120 km/ h- 40 km/ h = 7,5 h

 t moto =  t moto

c)

 t bici  10 h- 7,5h  t bici  2,5h 6. Una partícula se mueve de acuerdo al grafico posición-tiempo:

Determinar: a) La posición inicial b) La rapidez en cada tramo del viaje c) El tiempo que permaneció en reposo d) La posición cuando t=35(s) e) Cuándo la partícula está a 20m del origen y cuando esta en el origen SOLUCIÓN: a)

r0 = 10m b) Tramo 1

V=

Tramo 2

rf - r0 tf - t0

30 m-10 m 10s V = 2 m/ s V=

Tramo 3

V= Reposo

rf - r0 tf - t0

40 m- 30 m 30s- 20s V = 10 m/ s V=

Tramo 4

V=

rf - r0 tf - t0

0 m- 40 m 40s- 30s V = -4 m/ s V=

c)  t  20s-10s  t  10s

d)  r = V t  r = 4 m/ s 5s  r = 20 m

e) Está a 20m del origen a los 5s y a los 35s, y se encuentra en el origen a los 40s 7. Una persona parte de la esquina  0, 0 de una cancha de futbol que mide 100m x 60m y camina primero por detrás del arco Sur, lado que se hace coincidir con el eje X(+), hacia el Este y continúa su recorrido bordeando todo su perímetro a una rapidez constante igual a 2m/ s ; determinar:

a) La velocidad en cada tramo b) El tiempo que demora en recorrer cada lado c) El desplazamiento y la distancia recorrida cuando ha llegado a la esquina opuesta que partió d) El tiempo mínimo que demoraría en llegar a la esquina opuesta caminando a esa misma rapidez SOLUCIÓN: a) Como se mueve tanto en el eje X como Y con rapidez constante la velocidad en cada tramo será: Tramo 1

Tramo 2

 

Tramo3

 

V = 2 i m/ s

 

Tramo 4

 

V = 2 j m/ s

V = -2 i m/ s

V = -2 j m/ s

Lado 2 r t = V 100 m t = 2 m/ s  t = 50 s

Lado 3 r t = V 60 m t = 2 m/ s  t = 30s

Lado 4 r t = V 100 m t = 2 m/ s  t = 50 s

b) Lado 1 r t = V 60 m t = 2 m/ s  t = 30s c) Como recorre 60m en el eje X y 100 en Y el desplazamiento será:





 r  60 i  100 j m

d)

 r = 602  1002  r = 116, 62 m

r V 116, 62 m t = 2 m/ s  t = 58,31s t =

8. Dos vehículos cuyas velocidades son 10 i km/ h y 12 j km/ h se cruzan y siguen su camino sin cambiar sus respectivas direcciones; determinar: a) El desplazamiento realizado por cada vehículo al cabo de 6 horas b) La distancia que los separa al cabo de 6 horas c) En qué tiempo desde que se cruzan estarán a 100 km de distancia SOLUCIÓN: a)

 rA = VA   t

rB = VB t

 rA = 10 i km/ h 6 h

 r B = 12 j km/ h 6 h

 rA = 60 i km

 r B = 72 j km

b)



 rA  B = 60 2  72 2



 rA B = 60 i  72 j km

 rA  B = 93, 72 km

c)

10 km/ h× t  + 12 km/ h× t  2

2

= 100 km

100 km 2 / h 2 × t 2 +144 km 2 / h 2 × t 2 = 100 km 244 km 2 / h 2 × t 2 = 100 km t 244 km/ h = 100 km 100 km 244 km/ h t = 6, 40 h t=

9. Dos puntos A y B están separados 80m. Desde A parte hacia B un móvil con una rapidez constante de 3 m/ s . Cinco segundos después y desde B un móvil con la misma dirección y sentido que el primero y con una rapidez constante de 2 m/ s ; determinar: a) Analíticamente y gráficamente cuando y donde se encuentran b) En qué tiempo la distancia que los separa será nuevamente 80m SOLUCIÓN: a) t B = t A - 5s...............(1)

 rB   rA  80 m...............(2)

r t   rA  VA  t A ...............(3) V=

  rB  VB  t B ...............(4) (3) y (4) en (2) VB  t B = VA  t A  80 m...........(5)

(1) en (5) VB  t A - 5s  = VA × t A - 80 m VB × t A - VB ×5s = VA × t A - 80 m VA × t A - VB × t A = 80 m- VB ×5s t A  VA - VB  = 80 m- VB ×5s tA =

80 m- VB ×5s VA - VB

80 m- 2 m/ s×5s 3m/ s- 3m/ s t A = 70s tA =

  rA = VA × t A  rA = 3m/ s×70s  rA = 210 m

Gráfico 260 250 240 230 220 210 200 190 180 170 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0

5

10

15

20

25

30

35

40

Móvil A

45

50

55

60

Móvil B

b) Después de encontrarse  rA =  rB + 80 m...........(1)

r t   rA  VA  t A ...............(3) V=

  rB  VB  t B ...............(4)

(3) y (4) en (1) VA × t A = VB × t B + 80 m...........(5)

t A = t B ...................(2)

65

70

75

80

85

(2) en (5) VA × t A = VB × t A + 80 m VA × t A - VB × t A = 80 m tA =

80 m VA - VB

80 m 3m/ s- 2 m/ s t A = 80s tA =

Desde que el móvil partió desde A t = 70s+ 80s t = 150s

10. Dos autos A y B parten simultáneamente, A con una velocidad de 53 i km/ h y B con una velocidad de 32 i km/ h , si los autos se encuentran al cabo de 2,4 horas; determinar: a) La distancia que los separaba inicialmente b) El tiempo en que A llega al punto donde partió B c) El tiempo que demoraría B en llegar al punto de partida A, suponiendo que en el instante en que encuentran B invierte el sentido SOLUCIÓN: a)

r t   rA  VA  t A ...............(2) V=

x =  rA   rB ..................(1)

  rB  VB  t B ...............(3) (2) y (3) en (1) x = VA × t A - VB × t B x = 53km/ h× 2, 4 h- 32 km/ h× 2, 4 h x = 50, 4 km

b)

r V 50, 4 km t= 53 km/ h t = 0,95 h t=

c) Desde el punto de encuentro

t=

 rA VB

53km/ h× 2, 4 h 32 km/ h t = 3,98 h t=

11. Dos automóviles viajan en la misma ruta rectilínea y están a 134km de distancia, si el mas rápido viaja a 63 km/ h ; determinar: a) La rapidez del mas lento, si los dos viajan en el mismo sentido y se encuentran al cabo de 3 horas b) Dónde y cuándo se encuentran si los dos viajan en sentido contrario y con la rapidez dada para el más rápido y la obtenida en el punto anterior para el otro SOLUCIÓN: a) Desplazamiento del más rápido

Desplazamiento del más lento

 rA = VA × t

 rB =  rA -134 km

 rA = 63km/ h×3h

 rB = 189 km-134 km

 rA = 189 km

 rB = 55 km

 rB t 55km VB = 3h VB = 18,33km/ h

 VB =

b)  rA +  rB  134 km...............(1)

t1 = t 2 ...............(2)

 rA = VA × t1 .............(3)  rB = VB× t 2 .............(4) (2) en (5) VA × t1 + VB × t1 = 134 km t1  VA + VB  = 134 km

(3) y (4) en (1) VA × t1  VB × t 2  134 km........(5)

t1 =

134 km VA + VB

134 km 63km/ h+18,33km/ h t1 = 1, 65 h t1 =

12. Dos puntos A y B están en la misma horizontal, desde A parte hacia B un móvil con una rapidez constante de 2 m/ s y 5 minutos después parte desde B hacia A otro móvil a 10 km/ h , si A y B distan 3km; determinar: a) Analíticamente, dónde y cuándo se encuentran b) Gráficamente, dónde y cuándo se encuentran SOLUCIÓN: Datos: VA = 2 m/ s

VB = 10 km/ h t B-reposo = 5 min

 r  3km 10 km 1000 m 1h = 2, 78 m/ s h 1km 3600s 3km 1000 m  3000 m 1km

5 min 60s = 300s 1min

a)  rA +  rB  3000 m...............(1)

t1 = t 2 + 300s...............(2)

 rA = VA × t1 .............(3)  rB = VB× t 2 .............(4) (2) en (5) VA ×  t 2 + 300s  + VB × t1 = 3000 m (3) y (4) en (1) VA × t1  VB × t 2  3000 m........(5)

VA × t 2  VA ×300s+ VB × t1 = 3000 m t1  VA + VB  = 3000 m  VA ×300s t1 =

3000 m VA ×300s VA + VB

3000 m- 2 m/ s×300s 2 m/ s+ 2, 78 m/ s t1 = 502,1s t1 =

t1 = 502,1s+ 300s t1 = 802,1s  rA = 2 m/ s×802,1s

 rB = 3000 m-1604, 2 m

 rA = 1604, 2 m

 rB = 1395,8m

b)

Gráfico 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 0

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 Móvil A

Móvil B

EJERCICIO Nº8

1. Una partícula se mueve con MRUV retardado y aceleración 15m/ s 2 ; N15º E  .Si a t=0, la partícula se encuentra en la posición  -2, 3 m y su rapidez es de 8 m/ s . Para un intervalo entre 0 y 8s; determinar: a) El desplazamiento realizado b) La velocidad media SOLUCIÓN: a)

15m/ s ; N15º E  2

a x = 15m/ s 2cos 75º a x = 3,88m/ s





2

r0 = -2 i+ 3 j m

a y = 15 m/ s 2sen 75º a y = 14, 49 m/ s

2





a = 3,88 i  14, 49 j m/ s 2

Para que sea retardado

a = -V

0

a =

3,88 i  14, 49 j  3,882  14, 492







a = 0, 26 i  0,97 j  V  -0, 26 i- 0,97 j



0

V0 = 8 m/ s -0, 26 i- 0,97 j









V0 = -2, 08 i- 7, 76 j m/ s 1  r  V0  t  a  t 2 2

   r  107,52 i  401, 6 j  m

 r  -2, 08 i- 7, 76 j m/ s 8s 





1 2 3,88 i  14, 49 j m/ s 2  8s  2

b) Vm = Vm =

r t

107,52 i  401, 6 j  m 

8s



Vm = 13, 44 i  50, 2 j m/ s

2. El grafico Vx- t , representa el movimiento de dos partículas A y B que parten de dos partículas A y B que parten de una misma posición inicial y sobre la misma trayectoria rectilínea.

Determinar: a) El tipo de movimiento de cada partícula en cada intervalo b) La distancia que recorre cada partícula de 0(s) hasta 12(s) c) La distancia que existe entre las dos partículas a los 4(s), 8(s) y 12 (s) d) Dónde y cuándo se encontrarán gráfica y analíticamente e) Los gráficos rx - t y a x - t de cada partícula SOLUCIÓN: a) Partícula A 0-4s MRUVA

4-8s MRU

Partícula B 0-8S MRUVA b) Partícula A: Intervalo de 0 a 4s

8-16 MRUVR

V t 30 m/ s a= 4s a = 7,5 m/ s

1  r  V0  t  a t 2 2 1 2  r   7,5 m/ s 2  ×  4s  2  r  60 m

a=

Intervalo de 4 a 8s  r = V× t  r = 30 m/ s× 4 s  r = 120 m

Intervalo de 8 a 12s V t -30 m/ s a= 4s a = -7,5 m/ s

1  r = V0  t  a t 2 2 1 2  r = 30 m/ s× 4s+  7,5 m/ s 2  ×  4s  2  r = 180 m

a=

 r = 60 m+120 m+180 m  r = 360 m

Partícula B Intervalo de 0 a 12s V t 30 m/ s a= 4s a = 7,5 m/ s a=

1  r  V0  t  a t 2 2  r  -30 m/ s×12 

1 2 7,5 m/ s 2  × 12s   2

 r  180 m

c) Desplazamiento de la partícula B de 0 a 4 s

1  r  V0  t  a t 2 2  r  -30 m/ s× 4s 

1 2 7,5 m/ s 2  ×  4s   2

 r  -60 m

 rA/B = 60 m-  -60 m   rA/B = 120 m

Desplazamiento de la partícula B de 0 a 8s

1  r  V0  t  a t 2 2  r  -30 m/ s×8s 

1 2 7,5 m/ s 2  ×  0s   2

r  0m

Desplazamiento de la partícula A de 0 a 8s  r = 60 m+120 m  r = 180 m

 rA/B = 180 m Distancia de A a B a 12s  rA/B = 240 m-180 m  rA/B = 60 m

d)

Gráfico r(x)-t Partícula A y B 340 320 300 280 260 240 220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 -20 0 -40 -60 -80

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

Tomando la distancia que los separa a los 12s que es 60m r =  rA +  rB 1 1 60 m = V0A × t + at 2 + V0B × t+ at 2 2 2 2 2 60 m = 7,5 m/ s t + 60 m/ s× t 7,5 m/ s 2 t 2 + 60 m/ s× t- 60 m = 0 t=

-60 ± 602 + 4× 7,5× 60 2× 7,5

t1 = 0,898s

t 2 = -8,898

1 2  r = 240 m- 7,5 m/ s 2  0,898  2  r = 236,98 m e)

14

15

16

17

Gráfico r(x)-t Partícula A 260 240 220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

Gráfico r(x)-t Partícula B 340 320 300 280 260 240 220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 -20 0 -40 -60 -80

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Gráfico a-t Partícula A 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 0 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

Gráfico a-t Partícula B 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

3. Un móvil se desplaza a lo largo del eje X con una aceleración constante. Si su posición para t=0 es 30 i m y se mueve en dirección X negativa con una rapidez de 15 m/ s que está disminuyendo a razón de 1,5 m/ s cada s; determinar:

a) b) c) d)

La aceleración El gráfico velocidad contra tiempo El gráfico posición contra tiempo El tiempo que tarda la partícula en recorrer los primeros 75m SOLUCIÓN: a) a = 1,5 i m/ s 2

b)

Gráfico V(x)-t 4 2 0 -2

0

2

4

6

8

10

12

14

-4 -6 -8 -10 -12 -14 -16

c)

Gráfico r(x)-t 35 30 25 20 15 10 5 0 -5 0 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 -45 -50

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Series1

11

12

13

14

15

16

17

18

19

d)

1  r = V0 × t- a× t 2 2 1 75 m = 15 m/ s× t- 1,5 m/ s 2× t 2 2 2 2 0, 75 m/ s × t -15 m/ s× t- 75 m = 0 15 ± 152 - 4× 0, 75× 75 2× 0, 75 t = 10s t=

4. El móvil A parte al encuentro con B, con una rapidez inicial de 10 m/ s y acelerando a 3 m/ s 2 en línea recta; cinco segundos más tarde B parte hacia A desde el reposo y con una aceleración constante de 5 m/ s 2 también en línea recta. Si inicialmente A y B están separados una distancia horizontal de 1700m; determinar: a) Dónde y cuándo se encuentran b) En cuánto tiempo quedan a 500m de distancia mientras se acercan y también mientras se alejan SOLUCIÓN: a)  r =  rA +  rB 1 1 1700 m = V0 A × t A + a A × t A 2 + a B × t B 2 ...................(1) 2 2 t A = t B + 5s....................(2)

(2) en (1) 1 1 2 1700 m = V0A ×  t B + 5s  + a A ×  t B + 5s  + a B× t B 2 2 2 1 1 1700 m = V0A × t B + V0A ×5s+ a A ×  t B 2 +10s× t B + 25s 2  + a B× t B 2 2 2 1 1 1 1 1700 m = V0A × t B + V0A ×5s+ a A × t B 2 + a A ×10s× t B + a A × 25s 2 + a B× t B 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1700 m = 10 m/ s× t B +10 m/ s×5s+ 3m/ s 2 × t B 2 + 3m/ s 2×10s× t B + 3m/ s 2 × 25s 2 + 5 m/ s 2 × t B 2 2 2 2 2 2 1700 m = 87,5 m+ 25× t B + 4 m/ s × t B 4 m/ s 2 × t B 2 + 25× t B -1612,5 m = 0 -25 ± 25 2 +4× 4×1612,5 8 t B1 = 17,19s t B2 = 23, 44s

tB =

t A = 17,19s+ 5s t A = 22,19s 1 2  rA = 10 m/ s× 22,19s+ 3m/ s 2 ×  22,19s  2  rA = 960,5 m

1 2 5 m/ s 2 × 17,19s  2  rB = 738, 74 m  rB =

b)

5. Dos vehículos A y B se desplazan con MRUV. A se acelera a razón de 3 m/ s 2 y





pasa por el punto P 3, 5 m con una velocidad -3 i- 4 j m/ s , en ese mismo momento B pasa por el punto Q  1, 3 m con una velocidad de -30 j m/ s y desacelera a razón de 2 m/ s 2 ; determinar: a) La aceleración de cada uno de los vehículos b) La posición de A y de B después de 7s SOLUCIÓN:

6. Una partícula se mueve de manera que su velocidad cambia con el tiempo como se indica en los gráficos siguientes:

Determinar: a) El vector velocidad para t=0s, t=2s, t=3s b) El vector aceleración para t=0s, t=2s, t=3s c) Si la partícula tiene movimiento rectilíneo SOLUCIÓN:

7. Una partícula se mueve a lo largo del eje X, inicia su recorrido en el punto -8m desde el reposo y acelera a razón de 5 m/ s 2 hasta que alcanza el punto 12m y entonces mantiene la velocidad alcanzada constante por 5s y luego desacelera hasta detenerse 5s mas tarde; determinar: a) Cuánto tiempo tuvo movimiento acelerado b) La distancia que recorrió con MRU c) El desplazamiento total y la aceleración durante los últimos 5s SOLUCIÓN:

8. Desde la ventana de un edificio se lanzan dos piedras A y B. La piedra A se lanza verticalmente hacia arriba con una rapidez inicial igual a la que B es lanzada verticalmente hacia abajo; determinar:

a) Cuál de las dos piedras tiene mayor rapidez al llegar al suelo SOLUCIÓN:

9. Dos partículas A y B se mueven con MRUV acelerado con la misma aceleración cuyo modulo es 2 m/ s 2 .Si para t=0s la rapidez de A es 5m/s y la de B es 2,5m/s; determinar: a) Cuándo A ha recorrido 100m y cuándo B ha recorrido 50m b) Cuándo la relación entre la rapidez de A y la rapidez de B es 3/2 SOLUCIÓN:

10. Un avión toma la pista con una aceleración de 20 i m/ s 2 y recorre en línea recta 200 i m antes de detenerse; determinar:

a) Con qué velocidad toca la pista b) Qué tiempo demora en detenerse c) Con qué velocidad constante un auto recorrería esa misma distancia en ese tiempo SOLUCIÓN:

11. Un observador ve pasar por su ventana ubicada a 50m de altura un objeto hacia arriba y 3s después lo ve pasar hacia abajo; determinar: a) La velocidad con la que fue lanzado el objeto desde la base del edificio b) La altura que alcanzó respecto a la base del edificio SOLUCIÓN:

12. Dos cuerpos A y B situados sobre la misma vertical distan 65m, si son lanzados uno contra otro con rapidez de 16m/s y 12 m/s respectivamente; determinar: a) Dónde y cuándo se chocan, si A sube y B baja b) Dónde y cuándo se chocan, si A baja y B sube

SOLUCIÓN:

13. Desde un globo que se encuentra a 100m de altura, se deja caer un objeto; determinar: a) Cuánto tiempo tarda el objeto en tocar el suelo si el globo está en reposo b) Cuánto tiempo tarda el objeto en llegar al suelo si el globo ascendía a 1m/s c) Cuánto tiempo tarda el objeto en llegar al suelo si el globo descendía a 1m/s SOLUCIÓN:

14. Se deja caer una piedra desde una gran altura; determinar: a) El módulo del desplazamiento durante los primeros 5 segundos b) El módulo del desplazamiento durante los 5 segundos siguientes c) La rapidez alcanzada al final de cada uno de los intervalos anteriores SOLUCIÓN:

15. Los móviles A y B parten por una trayectoria rectilínea desde el mismo punto y desde el reposo con una aceleración constante de 2 i m/ s 2 cada uno parte 2s más tarde; determinar: a) La distancia entre A y B cuándo han transcurrido 2s de haber partido A b) La distancia entre A y B cuándo han transcurrido 4s de haber partido A c) La distancia entre A y B cuándo han transcurrido 6s de haber partido A SOLUCIÓN:

16. Una partícula con MRUV se mueve a lo largo del eje X. Cuando t=0s se encuentra a 1m a la izquierda del origen, a t=3s se encuentra a 15m a la derecha del origen, y a t=5s se encuentra a 20m a la derecha del origen; determinar: a) La aceleración de la partícula b) El instante en que retorna al origen

SOLUCIÓN:

17. Una partícula inicialmente en reposo en el origen de coordenadas, se mueve con una aceleración de 5 i m/ s 2 hasta que su velocidad es de 10 i m/ s , en ese instante se le somete a una aceleración de 10 i m/ s 2 hasta que la distancia total recorrida desde que partió del reposo es 30m; determinar: a) La velocidad media para todo el recorrido b) El grafico Vx contra t SOLUCIÓN:

18. Un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba, su posición cambia con el tiempo como indica la figura, siendo el nivel de referencia el suelo

Determinar: a) Los valores de t1 y t 2 b) La velocidad con la que llega al suelo 19. Dos autos A y B se desplazan por la misma trayectoria rectilínea. A se mueve con una velocidad constante de 8 i m/ s y parte de la posición 7 i m . B inicia en el punto 5 i m con una velocidad de 8 i m/ s y al tiempo t=4s su velocidad es 8 i m/ s . Si se mueve con aceleración constante; determinar:

a) La aceleración de B b) En qué instante coinciden las posiciones de A y B SOLUCIÓN:

20. Una partícula se mueve con MRUVA de modo que la magnitud de su desplazamiento de 0 a 2s es 40m y de 2 a 4s es 65m; determinar: a) La magnitud de la aceleración b) El módulo del desplazamiento entre 0 y 10s SOLUCIÓN:

21. Dos partículas A y B se mueven sobre carreteras rectas. A se mueve con aceleración constante de modo que en t 0 = 0s, r0 = -300 i m y v0 = 30i m/ s y en

t1 =10s, r1 =10 i m , B se mueve con velocidad constante de modo que en t 0 = 0s, r0 = 200 j m y en t1 =10s, r1 = 300 i m ; determinar: a) La velocidad de A en t1 = 10s b) La velocidad de A respecto a B en t1 = 10s SOLUCIÓN:

22. Se deja caer libremente un objeto desde una altura de 120m medida desde el suelo, en ese mismo instante se arroja hacia abajo un segundo objeto desde una altura de 190m; determinar: a) La velocidad inicial del segundo objeto para que los dos lleguen al piso al mismo tiempo SOLUCIÓN:

23. Dos móviles A y B se mueven de acuerdo al siguiente grafico:

Si parten del origen; determinar: a) La posición de cada móvil para t=10s b) La posición y el tiempo en que los dos móviles se encuentran por primera vez luego de partir SOLUCIÓN:

24. Un automóvil viaja a 18m/s y un bus a 12m/s sobre una carretera recta en direcciones contrarias. De manera simultanea los choferes se ven y frenan de inmediato, el auto disminuye su rapidez a razón de 2m/ s2 y el bus a 3m/ s2 ; determinar: a) La distancia mínima entre los dos al momento que frenan para evitar que colisionen SOLUCIÓN:

25. Se lanza un objeto verticalmente hacia arriba con una cierta rapidez inicial desde el borde de un precipicio y en 9s llega al fondo. Luego desde el mismo lugar se lanza otro objeto verticalmente hacia abajo con la misma rapidez inicial y tarda 2s en llegar al fondo; determinar: a) La rapidez inicial con la que fueron lanzados los objetos b) La altura del precipicio SOLUCIÓN:

26. Se dispara verticalmente hacia arriba un móvil y cuando ha ascendido 5m lleva una velocidad de 10 j m/ s ; determinar: a) La velocidad con la que fue disparado b) La altura que alcanza c) El tiempo que demora en ascender esos 5m y el que demora en pasar nuevamente por dicha posición SOLUCIÓN:

27. Una partícula se mueve a lo largo del eje X, a t=2s, su velocidad es 16 i m/ s y su aceleración es constante e igual a 2 i m/ s 2 ; determinar: a) La velocidad de la partícula a t=5s y t=15s b) El desplazamiento de la partícula entre t=5s y t=15s SOLUCIÓN:

28. En el interior de un tren que parte del reposo y acelera a razón de 4 i m/ s 2 , un objeto desliza sin rozamiento por el piso del vagón con una velocidad de 8 i m/ s respecto a tierra; determinar: a) El tiempo que debe transcurrir para que el objeto alcance nuevamente su posición original b) En ese mismo momento la velocidad instantánea del vagón respecto a tierra c) En ese instante, la velocidad del objeto respecto a la velocidad del vagón SOLUCIÓN:

29. Un cohete es lanzado verticalmente hacia arriba, desde el reposo, con una aceleración constante de 14, 7 i m/ s 2 durante 8s, en ese momento se le acaba el combustible y el cohete continua moviéndose de manera que únicamente queda sujeta a la gravedad de la tierra; determinar: a) La altura máxima que alcanza el cohete b) El tiempo que tarde en regresar a la tierra

c) El grafico velocidad-tiempo para este movimiento SOLUCIÓN:

EJERCICIO Nº 9 1. Desde un puente se dispara un proyectil con una velocidad de 30 i m/ s , si impacta en la superficie del río con un ángulo de 45º; determinar: a) En cuánto tiempo impacta el proyectil b) La altura del puente respecto a la superficie del río c) La aceleración tangencial y centrípeta al momento del impacto SOLUCIÓN:

2. Un bombardero que vuela horizontalmente con una velocidad de 480 i km/ h , a una altura de 5500m dispara a un auto que se mueve a una velocidad constante de 125 i km/ h , en el mismo plano vertical. Para que el proyectil impacte en el blanco;

determinar: a) El ángulo que forma la visual del avión al auto con la horizontal en el instante en que el avión debe soltar la bomba b) El tiempo que tarda la bomba en impactar el auto c) La distancia que recorre el avión desde que suelta la bomba hasta que impacta en el blanco SOLUCIÓN:

3. Se lanza una pelota desde una altura de 5m con una velocidad de 12 i m/ s ; determinar: a) La distancia a la que debe colocarse una persona que alzando los brazos alcanza 2,20m de altura, para cogerla b) El tiempo que la pelota permanece en el aire c) Las aceleraciones tangencial y centrípeta en el momento que la persona recepta

SOLUCIÓN:

4. Desde lo alto de un edificio se lanza un objeto con una velocidad de 100 i m/ s ; determinar: a) En qué tiempo el módulo de la aceleración tangencial es igual al módulo de la aceleración centrípeta b) La velocidad en ese instante c) La posición en ese instante respecto al punto de lanzamiento SOLUCIÓN:

5. En una mesa de 0,75m de altura un objeto desliza y cae describiendo una trayectoria semiparabólica. Sabiendo que cuando se encuentra a 0,15m de altura, la distancia hasta el borde de la mesa es 80cm; determinar: a) La velocidad con la que el objeto abandona la mesa b) El tiempo en el que llega a la posición indicada y el tiempo en que impacta en el suelo c) La velocidad en la posición indicada y la velocidad con que choca contra el suelo SOLUCIÓN:

6. Una pelota de tenis se impulsa con una raqueta de tal modo que su velocidad inicial es 56 i km/ h desde el borde de una cancha que mide 23,77m de largo y desde una altura de 2,5m; determinar: a) La distancia a la que rebota por primera vez respecto a la red central cuya altura es de 0,92m b) La velocidad mínima que se le debe comunicar a la pelota para que justamente logre pasar la red c) La velocidad que se le debe comunicar a la pelota para que caiga justamente al borde opuesto de la cancha SOLUCIÓN:

7. Un proyectil es disparado con una rapidez de 45m/s y un ángulo de 40º sobre la horizontal; determinar: a) b) c) d)

La velocidad del proyectil cuando forma un ángulo de 30º sobre la horizontal El desplazamiento cuando alcanza dicho punto La altura máxima que alcanza El alcance horizontal SOLUCIÓN:

8. Se impulsa una pelota desde el suelo con una rapidez de 50m/s y con un ángulo de 45º desde la horizontal; determinar: a) La velocidad de la pelota cuando su componente en el eje y es de -20 j m/ s b) La posición de la pelota cuando dicha alcanza velocidad c) La aceleración total, tangencial y centrípeta en dicho instante d) La altura máxima SOLUCIÓN:

9. Un avión que lleva una velocidad de 50 i+ 60 j m/ s deja caer una bomba; determinar: a) La altura máxima que alcanza la bomba desde el nivel de lanzamiento b) El tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima c) La altura por debajo del nivel de lanzamiento a la que la bomba tiene una velocidad de 50 i  100 j m/ s SOLUCIÓN:

10. Un proyectil es lanzado desde una altura de 80m desde el suelo formando un ángulo de 40º sobre la horizontal, si cae al suelo a una distancia horizontal de 300m desde el punto de lanzamiento; determinar: a) La velocidad inicial del proyectil b) La posición del proyectil en el punto mas alto respecto al punto de lanzamiento

c) El tiempo que demora en llegar al suelo SOLUCIÓN:

11. De un cañón se dispara un proyectil con una rapidez de 200m/s y un ángulo de 50º y luego se dispara otro con la misma rapidez y un ángulo de 30º sobre la horizontal; determinar: a) El intervalo de tiempo con que deben realizarse los disparos para que los proyectiles choquen b) La altura máxima que alcanza cada proyectil respecto al cañón c) El alcance horizontal de cada proyectil d) Dónde chocan los proyectiles respecto al cañón SOLUCIÓN:

12. Un proyectil con movimiento parabólico se encuentra en el punto A, donde su velocidad instantánea es de 20m/s y forma un ángulo de 30º sobre la horizontal. Si el proyectil demoró 1,2s en llegar a A desde su lanzamiento; determinar: a) b) c) d)

La velocidad inicial del lanzamiento La altura máxima Las aceleraciones: total, tangencial y centrípeta en el punto A El ángulo de lanzamiento SOLUCIÓN:

13. Un proyectil es disparado con una rapidez de 100m/s y con un ángulo de 60º sobre la horizontal desde un punto A  -10, - 2 m ; determinar: a) b) c) d)

La velocidad en el instante en que X=0m La aceleración tangencial en Y=0m por primera vez Las coordenadas del punto donde la altura es máxima La coordenada en Y cuando X=2m SOLUCIÓN:

14. Desde lo alto de un edificio de 20m de altura se lanza una pelota con una velocidad de 5m/s y un ángulo de 45º sobre la horizontal; determinar: a) b) c) d)

A que distancia horizontal de la base del edificio impacta la pelota La altura máxima que alcanza A que distancia horizontal de la base del edificio alcanza la altura máxima La velocidad con la que llega al suelo SOLUCIÓN:

15. Una persona con patines sube por una rampa de 20º, cuando abandona la rampa, salta hasta una grada situada a 2m de distancia horizontal y 0,5m abajo del punto donde abandona la rampa; determinar: a) La velocidad mínima con la que debe abandonar la rampa para llegar justamente a la grada sin problema b) La máxima altura que alcanza desde el punto donde abandona la rampa c) Si con la misma rapidez calculada en el punto a) abandona una rampa de 15º, ¿Logra alcanzar la grada sin problema? SOLUCIÓN:

16. Una pelota es lanzada a 20m/s formando un ángulo de 60º con la horizontal; a 10m del punto de lanzamiento se encuentra un obstáculo de 14m de altura; determinar: a) Si la pelota supera el obstáculo; si no lo hace a que altura del mismo impacta b) La máxima altura que alcanza c) En qué puntos podrían colocarse dos vallas de 10m de altura, para que la pelota los pase exactamente SOLUCIÓN:

17. Se lanza un balón de manera que pasa exactamente sobre dos barreras cada una de 2m de altura que están separadas 10m. Si el tiempo que demora el balón en recorrer la distancia entre las barreras es 1s; determinar: a) La velocidad inicial con que fue lanzado el balón

b) La altura máxima c) El alcance horizontal d) El tiempo total desde que es lanzado hasta que llega nuevamente al nivel del lanzamiento SOLUCIÓN:

18. Se dispara una flecha a 20m/s y 30º sobre la horizontal, para dar en un árbol que se encuentra a 25m de distancia; determinar; a) La altura a la que se elevará la flecha b) En ángulo que formarán la flecha con el árbol c) El tiempo que tarda la flecha hasta dar en el árbol SOLUCIÓN:

19. Desde la base de una montaña cuya pendiente es 35º se lanza hacia la cima una piedra a 30m/s y 60º sobre la horizontal; determinar: a) La altura a la que impacta la piedra (desde la base de la montaña) b) El tiempo que tarda en impactar c) Si el impacto sucede antes o después de que la piedra a alcanzado su altura máxima d) La velocidad con la que impacta la piedra SOLUCIÓN:

20. Desde una cancha de futbol ubicada al pie de una colina de 30º de pendiente, se realiza un lanzamiento desde un punto ubicado a 10m de la base de la colina y hacia ella; determinar: a) La velocidad inicial con que se debe lanzar la pelota para que impacte en la colina a una altura de 3m justo cuando llega a su altura máxima b) Dónde y cuándo impacta la pelota si la velocidad inicial es 10m/s y 30º sobre la horizontal c) Dónde y cuándo impacta la pelota si la velocidad inicial es 15m/s y 30º sobre la horizontal

SOLUCIÓN:

EJERCICIO Nº10 1. Una partícula animada de movimiento circular parte del punto  3, 5 cm y gira antihorariamente, con centro en el origen, 1000º en 12s. Determinar: a) b) c) d)

El desplazamiento angular La velocidad angular media La posición angular inicial La posición final SOLUCIÓN: a) 1000º   17, 45 rad 180º b)  t 17, 45 rad = 12s  = 1, 45 rad/ s

=

c)

5     59, 04º

  tan 1   3

59, 04º   1, 03rad 180º

d)

 f     0  f  17, 45 rad  1, 03rad  f  18, 48 rad 2. Calcular la velocidad angular de cada una de las tres manecillas de un reloj SOLUCIÓN: Segundero

Minutero

 t 2 rad = 60s  = 0,105 rad/ s

=

Horero

=

2 rad 3600s  = 1, 745 10 3 rad/ s

2 rad 43200s  = 1, 454 10 4 rad/ s

=

3. El radio de una rueda de bicicleta gira con una velocidad angular de 0,7 rad/s durante 4 minutos. Determinar: a) En ángulo descrito en grados b) Cuantas vueltas ha dado SOLUCIÓN: a)      t   0, 7 rad/ s 240 s   168 rad

168 rad 180



 9625, 69º

b)

168rad 2 rad v u eltas  26,74 v u eltas 

4. Una partícula gira por una trayectoria circular con una velocidad angular constante de 8 rad/s. Determinar:

a) b) c) d)

El tiempo necesario para girar un ángulo de 1000º El tiempo necesario para dar una revolución El ángulo girado en un minuto El numero de revoluciones que da por minuto SOLUCIÓN: a) 1000º   17, 45 rad 180º

t =





17, 45 rad 8 rad/ s  t = 2,18s t =

b) t = t =



 2 rad

8 rad/ s  t = 0, 79s

c)  =    t  = 8 rad/ s× 60s  = 480 rad

d) 8 rad 1rev 60s  76,39 RPM s 2 rad 1min

5. Una partícula que gira por una trayectoria circular da 25 vueltas en 6s. Determinar:

a) La velocidad angular media b) El ángulo girado en 3s c) El tiempo necesario para girar un ángulo de 1600º SOLUCIÓN: a) 25 vueltas 2 rad  50 rad 1vuelta

 t 50 rad = 6s  = 26,18 rad/ s

=

b)

 =    t  = 26,18rad/ s 3s  = 78,54 rad c) 1600º  rad  27,93rad 180º

t =





27,93rad 26,18 rad/ s  t = 1, 07 s t =

6. Una partícula parte del punto  -5, - 6 cm y gira en sentido antihorario con una velocidad angular constante de 18 rad/s. Si el centro de la trayectoria es el origen, determinar: a) La posición angular inicial b) El desplazamiento angular en 4s

c) La posición angular final d) La posición final SOLUCIÓN: a)

6  

  180º  tan 1   5   129,80º

129,80º  rad  2, 27 rad 180º

b)  =    t  = 18 rad/ s 4s  = 72 rad

c)

f     0 f  72 rad  2, 27 rad f  74, 27 rad

74, 27 rad 180º  4255,36º  rad

d)

52  6 2 7,81cm



r0 x = 7,81cmcos 4255,36º

r0 y = 7,81cmsen 4255,36º

r0 x = 3,35cm

r0 y = 7,06cm



r0 = 3,35 i- 7,06 j cm

7. La velocidad angular de un motor cambia uniformemente de 1200 a 2100 RPM en 5s. Determinar: a) La aceleración angular b) La velocidad angular media c) El desplazamiento angular SOLUCIÓN:

a) 1200 rev 2 rad 1min = 125, 66 rad/ s min 1rev 60s



2100 rev 2 rad 1min = 219,91rad/ s min 1rev 60s

f  0

t 219,91rad/ s-125, 66 rad/ s  5s 2   18,85rad/ s b)



f  0

2 125, 66 rad/ s+ 219,91rad/ s  2   172, 79 rad/ s

c)

 =    t  = 172, 79 rad/ s 5s  = 863,95rad 8. Un cuerpo parte del punto  4, 7  cm en sentido antihorario por una trayectoria circular y gira un ángulo de 120 rads en 8 seg, alcanzando una velocidad angular de 25 rad/s. Si el centro de la trayectoria es el origen, determinar: a) b) c) d)

La velocidad angular media La velocidad angular inicial La posición angular final La aceleración angular SOLUCIÓN: a)

 t 120 rad = 8s  = 15 rad/ s

=

b)



f  0 2

25 rad/ s+  0 2  0  25 rad/ s  30 rad/ s

15 rad/ s 

 0  30 rad/ s  25 rad/ s  0  5 rad/ s c)

7   0  60, 26º

0  tan 1   4

60, 26º  rad  1, 05 rad 180º

 f     0  f  120 rad  1, 05 rad  f  121, 05 rad

d)

=

f  0

t 25 rad/ s- 5 rad/ s = 8s  = 2,5 rad/ s 2 9. Un cuerpo parte del punto  3, - 6  cm en sentido antihorario por una pista circular con centro en el origen, con una velocidad angular de 6rad/s y se mueve durante 10s con una aceleración angular de 2 rad/ s2 ; Determinar: a) La velocidad angular final b) La velocidad angular media c) El desplazamiento angular

d) La posición final SOLUCIÓN: a)

=

f  0

t f =   t   0

f = 2 rad/ s 2 ×10s+ 6 rad/ s f = 26 rad/ s b)



f  0

2 26 rad/ s+ 6 rad/ s  2   16 rad/ s c)  =    t  = 16 rad/ s10s  = 160 rad

d)

160 rad 180º  9167,32º  rad

 6    3    63, 43º

  tan 1 

f  9167,32º 63, 43º f  9103,89º

32  62  6,71m rf x = 6, 71cos9103,89º

rf y = 6, 71sen 9103,89º

rf x = 1, 61m

rf y = 6,51m





rf = -1,61i+ 6,51 j m

10. Desde un mismo punto de la circunferencia parten dos móviles en sentido opuesto. El primero recorre la circunferencia en 1h45min y el segundo recorre un ángulo de 10º30’ en un minuto Determinar dónde y cuándo se encuentran SOLUCIÓN:

1h : 45min = 6300s 10º 31'  10,52º 1min = 60s 10,52º  rad = 0,184 rad 180º

1 =

1  t1

2 =

2 rad 6300s 1 = 9,97 104 rad/ s

1 =

 2  t2

0,184 rad 60s 2 = 3, 07 10 3 rad/ s

2 =

Para determinar el encuentro: 1   2  2 rad................(1)

 =    t ............(2)

 t1   t 2 .........(3)

(2) y (3) en (1)

1   t  2   t  2 rad  t 1  2   2 rad t 

2 rad 1  2

2 rad 9,97 10 rad/ s  3, 07 103 rad/ s  t  1544,92s t 

4

1 = 1   t

 2 = 2   t

1 = 9,97 104 rad/ s1544,92s

 2 = 3, 07 103 rad/ s1544,92s

1 = 1,54 rad

 2 = 4, 74 rad

EJERCICIO Nº11 1. Un volante cuyo diámetro es de 1,5m está girando a 200RPM, determinar: a) b) c) d) e)

La velocidad angular El periodo La frecuencia La rapidez de un punto del borde El módulo de la aceleración centrípeta SOLUCIÓN:

2. Un cuerpo que gira con MCU está provisto de una velocidad angular de 2rad/s. Determinar: a) b) c) d) e)

El ángulo girado en 4s El número de vueltas que da en 4s El tiempo necesario para girar un ángulo de 500º El periodo La frecuencia SOLUCIÓN:

3. Las manecillas de un reloj miden: el horero=4cm, minutero =7cm y segundero=10cm. Para cada una, determinar: a) b) c) d) e)

El periodo La frecuencia La velocidad angular La rapidez del extrema El módulo de la aceleración centrípeta del extremo SOLUCIÓN:

4. Un cuerpo gira en una trayectoria circular de 70 cm de radio y da 750 rev cada 2,5 minutos. Determinar:

a) b) c) d)

La velocidad angular La distancia recorrida La rapidez del cuerpo El módulo de la aceleración centrípeta SOLUCIÓN:

5. Un móvil se mueve en una circunferencia de 1,2m de radio con una velocidad angular constante de 22 rad/s durante 6s. Determinar: a) b) c) d) e)

El desplazamiento angular La distancia recorrida El periodo La rapidez del móvil El modulo de la aceleración centrípeta SOLUCIÓN:

6. Una rueda de bicicleta tiene 60cm de diámetro y recorre una distancia de 12m en 15s. Determinar: a) b) c) d) e)

El ángulo girado El número de vueltas que dio La velocidad angular El periodo El módulo de la aceleración centrípeta SOLUCIÓN:

7. La tierra cuyo radio aproximado tiene 6375km, gira sobre su propio eje (rotación). Determinar: a) El periodo de rotación b) La frecuencia

c) La velocidad angular d) La rapidez de un punto del ecuador en km/h e) El módulo de la aceleración centrípeta SOLUCIÓN:

8. El radio de la orbita seguida por la tierra en su movimiento alrededor del sol (traslación), mide 1, 49 x1011 m . Determinar: a) b) c) d) e)

El periodo de revolución La frecuencia La velocidad angular La rapidez en km/h El módulo de la aceleración centrípeta SOLUCIÓN:

9. La luna orbita alrededor de nuestro planeta; la distancia promedio que la separa de la tierra es de 3,84 x108 m . Determinar: a) b) c) d) e)

El periodo de revolución La frecuencia La velocidad angular La rapidez en km/h El módulo de la aceleración centrípeta SOLUCIÓN:

10. El Sol efectúa un movimiento de traslación de la Vía Láctea; el radio de la orbita es 2, 4 x10 20 m y su periodo de revolución es de 6,3 x1015 s . Determinar: a) La frecuencia b) La distancia recorrida en 50 años c) La velocidad angular

d) La rapidez en km/h e) El módulo de la aceleración centrípeta SOLUCIÓN:

11. Una partícula animada de MCU parte del punto  2, 7 m y gira alrededor del origen en sentido antihorario describiendo un ángulo de 215º en 6s. Determinar: a) b) c) d) e) f) g) h)

La velocidad angular La posición angular inicial La posición angular final La posición final El periodo La frecuencia La velocidad en la posición final La aceleración centrípeta en la posición inicial SOLUCIÓN:

12. Un cuerpo animado de MCU se encuentra en la posición indicada en la figura en t=2s. Si se mueve en sentido horario 6s, determinar:

a) b) c) d) e) f)

La velocidad angular El desplazamiento angular Cuántas vueltas da La distancia recorrida La posición final El periodo

g) La velocidad en t=2s h) La aceleración centrípeta en t=8s SOLUCIÓN:

13. Un cuerpo parte del punto  4, -3 m en sentido antihorario por una trayectoria circular con centro en el origen y se mueve 12s con una velocidad angular constante de 3rad/s. Determinar: a) b) c) d) e) f) g) h)

El desplazamiento angular La posición angular inicial La posición angular final La posición final Cuántas vueltas da El periodo La velocidad en la posición inicial La aceleración centrípeta en la posición final SOLUCIÓN:

14. Una partícula animada de MCU se encuentra en la posición que indica la figura en t=4s. Si gira en sentido horario con una velocidad angular de 5rad/s durante 10s, determinar:

a) El desplazamiento angular b) La posición angular inicial

c) d) e) f) g) h)

La posición angular final La posición final Cuántas vueltas da El periodo La velocidad en t=14s La aceleración centrípeta en t=4s SOLUCIÓN:

15. Una partícula parte del punto  -4,1 m en sentido horario con MCU. Si gira con una rapidez de 2m/s durante 15s. Determinar: a) b) c) d) e) f) g) h)

El desplazamiento angular El periodo La posición angular inicial La posición angular final La posición final Cuántas vueltas da La velocidad en la posición inicial La aceleración centrípeta en la posición final SOLUCIÓN:

EJERCICIO Nº12 1. Un automóvil parte del reposo en una vía circular de 400m de radio con MCUV hasta que alcanza una rapidez de 72km/h en un tiempo de 50s. Determinar: a) b) c) d) e) f) g)

La velocidad angular final La velocidad angular media La aceleración angular El desplazamiento angular La distancia recorrida El tiempo que tarda en dar 100 vueltas El módulo de la aceleración total final

SOLUCIÓN:

2. Una turbina de un jet se acelera de 0 a 6000 RPM en 20s. Si el radio de la turbina es 1,2m, determinar: a) b) c) d) e) f) g)

La velocidad angular final La velocidad angular media La aceleración angular La rapidez media El desplazamiento angular La distancia recorrida por el extremo de la turbina El módulo de la aceleración total final SOLUCIÓN:

3. Un punto animado de movimiento circular cambia su velocidad angular de 200 RPM a 2600 RPM en 2 min. Si el radio de la trayectoria es 1,5 m, determinar: a) b) c) d) e) f) g)

La rapidez inicial La velocidad angular final La aceleración angular El desplazamiento angular Cuántas vueltas dio La distancia recorrida El módulo de la aceleración total inicial SOLUCIÓN:

4. Un cuerpo describe una trayectoria circular de 1m de radio con una aceleración angular de 1,3rad/ s 2 . Cuando ha girado un ángulo de 7 / 3rad alcanza una velocidad angular de 42 RPM. Determinar: a) La velocidad angular inicial b) La velocidad angular media

c) La rapidez inicial d) El tiempo empleado SOLUCIÓN:

5. A una partícula que está girando con una velocidad angular de 6 rad/s se le comunica una aceleración angular de 2 2,8 rad/ s 2 durante 1 min. Si el radio de la trayectoria circular es de 0,6m, determinar: a) b) c) d) e) f) g)

La rapidez inicial La velocidad angular final La rapidez final La velocidad angular media El desplazamiento angular Cuántas vueltas da El módulo de la aceleración total inicial SOLUCIÓN:

6. La velocidad angular de un volante disminuye uniformemente de 1000 RPM en 7s. Si el radio de la curvatura es de 25cm, determinar: a) b) c) d) e) f) g)

La rapidez inicial La velocidad angular media La aceleración angular El desplazamiento angular Cuántas vueltas da Qué tiempo será necesario para que el volante se detenga El modulo de la aceleración total final SOLUCIÓN:

7. Un volante de 10cm de radio gira en torno a su eje a razón de 400 RPM. Un freno lo para en 15s. Determinar:

a) b) c) d) e) f) g)

La velocidad angular inicial La rapidez en el momento de aplicar el freno La velocidad angular media El desplazamiento angular Cuántas vueltas da hasta detenerse La distancia recorrida El modulo de la aceleración total inicial SOLUCIÓN:

8. Una partícula describe una trayectoria circular de 0,8 m de radio en sentido antihorario. Si parte del reposo y del punto A, realizando un desplazamiento angular de 10 rad en 3s, determinar:

a) b) c) d) e) f) g)

La aceleración angular La posición angular final La posición final La velocidad angular media La distancia recorrida La velocidad final La aceleración total final SOLUCIÓN:

9. Una partícula se mueve en una trayectoria circular de 1,4m de radio en sentido horario. Si parte del reposo y del punto B, alcanzando una velocidad angular de 7rad/s en 4s, determinar:

a) b) c) d) e) f) g)

La aceleración angular El desplazamiento angular La velocidad angular media La posición angular final La posición final La velocidad final La aceleración total final SOLUCIÓN:

10. Una partícula animada de MCUV, parte del punto A, como indica la figura, con una rapidez de 4m/s y luego de 3s pasa por el punto B con una rapidez de 10m/s. Determinar:

a) b) c) d) e) f) g)

La velocidad angular inicial La aceleración angular El desplazamiento angular La posición inicial La velocidad en B La aceleración total en A La aceleración total en B SOLUCIÓN:

11. Una partícula se mueve en la trayectoria circular de la figura con una rapidez de 10m/s y una aceleración angular de  -2 / 5 rad/ s2 hasta detenerse. Determinar:

a) b) c) d) e) f) g)

La velocidad angular inicial La velocidad inicial El tiempo hasta detenerse El desplazamiento angular La posición angular final La posición final La aceleración total inicial SOLUCIÓN:

12. Una partícula animada de MCUV está en la posición que indica la figura. Si se mueve durante 4s con una aceleración angular de -1rad/ s 2 , determinar:

a) b) c) d) e)

La velocidad angular inicial La velocidad angular final El desplazamiento angular La posición angular final La posición final

f) La velocidad final g) La aceleración total final SOLUCIÓN:

13. Una partícula se mueve en la trayectoria circular de la figura con una V=4m/s en t=0s y una aceleración angular de 0,8 rad/ s 2 . Determinar:

a) b) c) d)

El desplazamiento angular El espacio angular recorrido El espacio lineal recorrido La posición cuando V0 = 0

e) La posición final de la partícula f) La velocidad en t=8s g) La aceleración total en t=8s SOLUCIÓN:

14. Una partícula que tiene movimiento circular, se encuentra en la posición que indica la figura en t=4s. Si gira con una aceleración angular de -1rad/ s 2 durante 10s. Determinar:

a) b) c) d) e) f) g)

El desplazamiento angular El espacio angular recorrido El espacio lineal recorrido La posición cuando V=0 La posición final de la partícula La velocidad en t=14s La aceleración total en t=14s SOLUCIÓN:

15. Una partícula se mueve en la trayectoria circular de la figura con una V0 = 3m/ s en t=0s y una aceleración angular de  - / 3 rad/ s2 durante 7s. Determinar:

a) b) c) d) e) f) g)

El desplazamiento angular El espacio angular recorrido El espacio lineal recorrido La posición cuando V=0 La posición final de la partícula La velocidad en t=7s La aceleración total en t=7s

SOLUCIÓN:

EJERCICIO Nº13 1. Un cuerpo de 200kg adquiere una velocidad de 108km/h en 10s, cuando se le comunica una fuerza constante de 98[N]. Determinar: a) La aceleración producida b) Qué velocidad llevaba al empezar a acelerar SOLUCIÓN: Datos: m=200kg V=108km/h t=10s F=98[N] a) F = m× a F m 98[N] a= 200 kg a=

a = 0, 49 m/ s 2

b) 108 km 1000 m 1h = 30 m/ s h 1km 3600s

Vf = V0 + a× t V0 = Vf - a× t V0 = 30 m/ s- 0, 49 m/ s×10s V0 = 25,1m/ s

2. A un automóvil de 1000kg que va por una carretera recta se le acciona con una fuerza constante de 490[N] durante 8s, llegando a tener una velocidad de 36m/s. Determinar: a) La velocidad que tenia el automóvil antes de empezar a acelerar b) Qué velocidad lleva cuando ha recorrido 150m SOLUCIÓN:

3. Una fuerza horizontal de 1568[N] produce una aceleración de 2, 44 m/ s 2 en un cuerpo de 400kg que descansa sobre una superficie horizontal. Determinar: a) La fuerza normal ejercida por la superficie sobre el cuerpo b) El coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y la superficie

SOLUCION: Datos: F=1568[N] a = 2, 44 m/ s 2

m=400kg a)  Fy = 0 N- P = 0 N=P N = m× g N = 400 kg×9,8 m/ s 2 N = 3920[N]

b)

 Fx = m× a F- fr = m× a fr = F- m× a fr = 1568[N] - 400 kg× 2, 44 m/ s 2 fr = 592[N]

fr =   N fr N 592[N]  3920[N]   0,15



4. Un cuerpo de 6kg parte del reposo y adquiere una velocidad de 36km/h en una distancia horizontal de 28m. Si   0, 25 , determinar: a) El valor de la fuerza horizontal aplicada b) La aceleración producida SOLUCIÓN:

5. En un lugar de la superficie terrestre, un cuerpo de 500g pesa 4,89[N]. Determinar: a) El valor de la aceleración de la gravedad en dicho punto b) La masa de un cuerpo de 200[N] en dicho lugar

SOLUCIÓN: Datos: m=500g=0,5kg P=4,89[N] a) P = m× g P g= m 4,89[N] g= 0,5 kg g = 9, 78 m/ s 2

b)

P = m× g P m= g 200[N] m= 9, 78 m/ s 2 m = 20, 45 kg

6. Un automóvil de 1200kg cambia su velocidad en forma constante de

 -12, 61 i-12, 79 j  km/ h a  -70 i- 71 j  km/ h en 1 minuto. Determinar:

a) La aceleración producida b) La fuerza ejercida por el motor SOLUCIÓN:

7. Un cuerpo de 8kg está en reposo en el punto  4, - 7  m en t=0s. Si se le aplica una





fuerza constante de 8 i+16 j  N  , determinar: a) La posición del cuerpo en t=8s b) La velocidad del cuerpo en t=12s SOLUCIÓN: Datos: m=8kg

r0 =  4, - 7  m





F = -8 i+16 j [N]

a)

1 rf = r0 + V0 × t + a× t 2 2 1 rf = r0 + a× t 2 2 1 2 rf = 4 i- 7 j m+ - i+ 2 j m/ s 2 8s  2

F = m× a a=

F m

 -8 i+16 j [N] a= 

8 kg



a = - i+ 2 j m/ s

rf 2

rf

    =  4 i- 7 j  m+  -32 i+ 64 j  m =  -28 i+ 57 j  m

b)

V t V = a× t

a=

  V =  -12 i+ 24 j  m/ s

V = - i+ 2 j m/ s 2 ×12s 2

8. Un cuerpo de 2kg se encuentra en el punto  5, 2 m en t=2s con una velocidad de

 -7 i+ 3 j  m/ s . Si se le aplica sobre él una fuerza constante de  -175 i+ 75 j   N durante 6s; determinar: a) La posición final del cuerpo b) El desplazamiento realizado por el cuerpo c) La velocidad final del cuerpo SOLUCIÓN:

9. En la figura, un cuerpo de 20kg se mueve a lo largo de una superficie horizontal lisa con una aceleración constante de 1m/ s2 . Determinar: a) El valor de la fuerza normal b) Qué fuerza F se necesita para producir esa aceleración

SOLUCIÓN: Datos: m=20kg a = 1m/ s 2

a)

 Fy = 0 N- P = 0 N=P N = m× g N = 20 kg×9,8[N] N = 196[N] b)

F = m×a F = 20 kg×1m/ s 2 F = 20[N] 10. Un bloque de 15kg se encuentra en reposo sobre una superficie horizontal como indica la figura. Cuando sobre él actúa una fuerza de 60[N] durante 3s y si  c  0, 2 , determinar: a) La aceleración del bloque b) La velocidad final del bloque

SOLUCIÓN:

11. En la figura, si el cuerpo es de 10kg y c  0,15 , determinar:

a) Qué valor debe tener la fuerza para que el cuerpo se mueva con velocidad constante b) Qué valor debe tener la fuerza para que el cuerpo se mueva con una aceleración de 2m/ s2

SOLUCIÓN: Datos: m=10kg

c  0,15 a) fr =   N................(2)

 Fy = 0 N- P+ Fsen 25 = 0

P = m× g

N = P- Fsen 25.............(1)

P = 10 kg×9,8 m/ s 2 P = 98[N]

(1) y (2) en (3) Fcos 25º -  P- Fsen 25º  = 0 Fcos 25º +  Fsen 25º - P = 0  Fx = 0 Fcos 25 - fr = 0..............(3)

F  cos 25º +  sen 25º  =  P F= F=

P

 cos 25º + msen 25º  0,15×98[N]  cos 25º +0,15sen 25º 

F = 15,16[N]

b)

(1) y (2) en (4) Fcos 25º -   P- Fsen 25º  = m× a Fcos 25º +  Fsen 25º -  P = m× a  Fx = m× a Fcos 25 - fr = m× a ..............(4)

F  cos 25º +  sen 25º  =  P  m× a F= F=

 P  m× a

 cos 25º + msen 25º  0,15×98[N]  10 kg× 2 m/ s 2  cos 25º +0,15sen 25º 

F = 35, 78[N] 12. Un cuerpo de 5kg es empujado hacia arriba de un plano inclinado liso mediante una fuerza de 30[N] como indica la figura. Determinar: a) La fuerza que ejerce el plano sobre el cuerpo b) La aceleración del bloque

SOLUCIÓN:

13. En la figura, si el bloque es de 30 kg y  c  0, 2 , determinar-. a) b) c) d)

El valor de F para que el bloque suba con velocidad constante El valor de F para que el bloque baje con velocidad constante El valor de F para que el bloque suba con una aceleración de 1m/ s2 El valor de F para que el bloque baje con una aceleración de 1m/ s2

SOLUCIÓN: Datos: m=30kg

c  0, 2 a)

 Fx = 0 Fx- fr- Px = 0 Fcos15º -fr- mgsen 28º = 0............(1)

 Fy = 0 N+ Fy- Py = 0 N = Py- Fy N = mgcos 28º - Fsen15º..............(2)

fr =  N.............(3)

(2) y (3) en (1) Fcos15º - fr- mgsen 28º = 0 Fcos15º -   mgcos 28º - Fsen15º  - mgsen 28º = 0 Fcos15º -  mgcos 28º + mFsen15º - mgsen 28º = 0 Fcos15º +  Fsen15º =  mgcos 28º + mgsen 28º F  cos15º +  sen15º  = mg   cos 28º + sen 28º  F=

mg   cos 28º + sen 28º   cos15º +  sen15º 

F=

30 kg×9,8 m/ s 2  0, 2 cos 28º + sen 28º   cos15º +0, 2sen15º 

F = 186, 64[N]

b)

 Fx = 0 Px- Fx- fr = 0 mgsen 28º - Fcos15º -fr = 0............(4)

(2) y (3) en (4) mgsen 28º - Fcos15º - fr = 0 mgsen 28º - Fcos15º -   mgcos 28º - Fsen15º  = 0 mgsen 28º - Fcos15º -  mgcos 28º + mFsen15º = 0  Fsen15º - Fcos15º =  mgcos 28º - mgsen 28º F   sen15º - cos15º  = mg   cos 28º -sen 28º  F=

mg   cos 28º -sen 28º    sen15º - cos15º 

30 kg×9,8 m/ s 2  0, 2 cos 28º -sen 28º  F=  0, 2sen15º - cos15º  F = 94,19[N]

c)

 Fx = m×a Fx- fr- Px = m×a Fcos15º -fr- mgsen 28º = m×a ............(5) (2) y (3) en (5) Fcos15º - fr- mgsen 28º = m× a Fcos15º -  mgcos 28º - Fsen15º  - mgsen 28º = m× a Fcos15º - mgcos 28º + mFsen15º - mgsen 28º = m× a Fcos15º +  Fsen15º =  mgcos 28º + mgsen 28º  m× a F  cos15º +  sen15º  = mg   cos 28º + sen 28º   m× a F=

mg   cos 28º + sen 28º   m× a  cos15º +  sen15º 

F=

30 kg×9,8 m/ s 2  0, 2 cos 28º + sen 28º   30 kg×1m/ s 2  cos15º +0, 2sen15º 

F = 216,12[N]

d)

 Fx = m×a Px- Fx- fr = m×a mgsen 28º - Fcos15º -fr = m×a ............(6) (2) y (3) en (4) mgsen 28º - Fcos15 - fr = m× a mgsen 28º - Fcos15º -   mgcos 28º - Fsen15º  = m× a mgsen 28º - Fcos15º -  mgcos 28º + mFsen15º = m× a  Fsen15º - Fcos15º =  mgcos 28º - mgsen 28º  m× a F   sen15º - cos15º  = mg   cos 28º -sen 28º   m× a F=

mg   cos 28º -sen 28º   m× a   sen15º - cos15º 

F=

30 kg×9,8 m/ s 2  0, 2 cos 28º -sen 28º   30 kg×1m/ s 2  0, 2sen15º - cos15º 

F = 61,36[N]

14. En la figura, si el bloque es de 16kg y c  0,1 , determinar: a) b) c) d)

El valor de F para que el bloque suba con velocidad constante El valor de F para que el bloque baje con velocidad constante El valor de F para que el bloque suba con una aceleración de 2m/ s2 El valor de F para que el bloque baje con una aceleración de 2m/ s2

SOLUCIÓN:

15. En la figura, si el bloque es de 10kg y c  0,15 , determinar: a) El valor de F para que el bloque suba con velocidad constante b) El valor de F para que el bloque baje con velocidad constante c) El valor de F para que el bloque suba con una aceleración de 0, 7 m/ s 2

d) El valor de F para que el bloque baje con una aceleración de 0, 7 m/ s 2

SOLUCIÓN: Datos: m=10kg

c  0,15 a)

 Fx = 0 Fx- fr- Px = 0 Fcos10º -fr- mgsen 20º = 0............(1)

 Fy = 0 N+ Fy- Py = 0 N = Py- Fy N = mgcos 20º - Fsen10º..............(2)

fr =  N.............(3)

(2) y (3) en (1) Fcos10º - fr- mgsen 20º = 0 Fcos10º -   mgcos 20º - Fsen10º  - mgsen 20º = 0 Fcos10º -  mgcos 20º + mFsen10º - mgsen 20º = 0 Fcos10º +  Fsen10º =  mgcos 20º + mgsen 20º F  cos10º +  sen10º  = mg   cos 20º + sen 20º  F=

mg   cos 20º + sen 20º   cos10º +  sen15º 

F=

10 kg×9,8 m/ s 2  0,15cos 20º + sen 20º   cos10º +0,15sen10º 

F = 46,82[N]

b)

 Fx = 0 Px- Fx- fr = 0 mgsen 20º - Fcos10º -fr = 0............(4) (2) y (3) en (4) mgsen- 20º Fcos10º - fr = 0 mgsen 20º - Fcos10º -   mgcos 20º - Fsen10º  = 0 mgsen 20º - Fcos10º -  mgcos 20º + mFsen10º = 0  Fsen10º - Fcos10º =  mgcos 20º - mgsen 20º F   sen10º - cos10º  = mg   cos 20º -sen 20º  F=

mg   cos 20º -sen 20º    sen10º - cos10º 

F=

10 kg×9,8 m/ s 2  0,15cos 20º -sen 20º   0,15sen10º - cos10º 

F = 20,55[N]

c)

 Fx = m×a Fx- fr- Px = m×a Fcos10º -fr- mgsen 20º = m×a ............(5) (2) y (3) en (5) Fcos10º - fr- mgsen 20º = m× a Fcos10º -  mgcos 20º - Fsen10º  - mgsen 20º = m× a Fcos10º - mgcos 20º + mFsen10º - mgsen 20º = m× a Fcos10º +  Fsen10º =  mgcos 20º + mgsen 20º  m× a F  cos10º +  sen10º  = mg   cos 20º + sen 20º   m× a F=

mg   cos 20º + sen 20º   m× a  cos10º +  sen10º 

F=

10 kg×9,8 m/ s 2  0,15cos 20º + sen 20º   10 kg× 0, 7 m/ s 2  cos10º +0,15sen10º 

F = 53, 75[N]

d)

 Fx = m×a Px- Fx- fr = m×a mgsen 28º - Fcos15 - fr = m×a ............(6)

(2) y (3) en (4) mgsen 20º - Fcos10º - fr = m× a mgsen 20º - Fcos10º -   mgcos 20º - Fsen10º  = m× a mgsen 20º - Fcos10º -  mgcos 20º + mFsen10º = m× a  Fsen10º - Fcos10º =  mgcos 20º - mgsen 20º  m× a F   sen10º - cos10º  = mg   cos 20º -sen 20º   m× a F=

mg   cos 20º -sen 20º   m× a   sen10º - cos10º 

10 kg×9,8 m/ s 2  0,15cos 20º -sen 20º   10 kg× 0, 7 m/ s 2 F=  0,15sen10º - cos10º  F = 13, 25[N]

16. Se lanza un cuerpo hacia arriba, en un plano inclinado de 28º respecto a la horizontal, con una velocidad inicial de 10m/s. Si  c  0, 2 , determinar: a) La distancia recorrida por el cuerpo sobre el plano hasta detenerse b) El tiempo empleado en subir SOLUCIÓN:

17. Dos cuerpos del mismo peso, inicialmente en reposo, se dejan en libertad sobre un plano inclinado de 30º, hallándose separados 25cm. Si el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo superior y el plano es 0,1 y entre el inferior y el plano es 0,25, determinar: a) En qué tiempo el cuerpo superior alcanza al inferior b) La distancia recorrida por el cuerpo inferior hasta que es alcanzado por el cuerpo superior SOLUCIÓN:

Datos: mA = mB

  30º e = 25cm = 0, 25m

 A  0,1

 B  0, 25 a)

CUERPO A

 Fx = m A × a A PA x- frA = m A × a A m A gsen 30º -A m A gcos 30º = m A × a A m A × a A = m A gsen 30º -A m A gcos 30º a A = g  sen 30º -A cos 30º  a A = 9,8 m/ s 2  sen 30º -0,1cos 30º  a A = 4, 05 m/ s 2

 Fx = m B × a B PB x- frB = m B × a B m Bgsen 30º -B m A gcos 30º = m B × a B m B × a B = m B gsen 30º -B m B gcos 30º a B = g  sen 30º -B cos 30º  a B = 9,8 m/ s 2  sen 30º -0, 25cos 30º  a B = 2, 77 m/ s 2 De la ecuación 1  r  V0 × t+ a× t 2 2

Cuerpo A

Cuerpo B

 Fy = 0 N- Py = 0 N = Py N = m A gcos 30º

1  r  V0 × t + a A × t 2 2 1 x+ e = a A t 2 2 1 x = a A t 2 - e.......................(1) 2

1  r  V0 × t + a B × t 2 2 1 x = a B t 2 ....................(2) 2

Igualando (1) y (2)

1 1 a A t 2 - e  a Bt 2 2 2 1 1 a A t 2 - a Bt 2  e 2 2 2 t aA - aB   2 e t

2e aA - aB 

t

2× 0, 25 m  4, 05 m/ s2 - 2, 77 m/ s2 

t  0, 63s

b) 1 aA× t2 - e 2 1 x = 4, 05 m/ s 2 × 0, 63s 2 - 0, 25 m 2 x = 0,56 m x=

18. En la figura los bloques A y B son de 100 y 30 kg respectivamente. Determinar la aceleración de cada bloque y la tensión de la cuerda cuando: a) No hay rozamiento b) El coeficiente de rozamiento cinético entre el cuerpo y el plano es 0,15

SOLUCIÓN:

19. En la figura los bloques A y B son de 5 y 8kg respectivamente. Si el plano inclinado es liso, determinar:

a) b) c) d)

La aceleración en cada bloque En qué sentido se mueve cada uno de los bloques La tensión de la cuerda La velocidad del bloque B a los 2s de dejarlo en libertad

SOLUCIÓN: Datos: m A = 5 kg m B = 8 kg

a) CUERPO A  Fx = m A × a

CUERPO B  Fy = m B × a

T- PA x = m A × a

PB - T = m B × a

T- m A gsen 30 = m A × a ......................(1)

T = m Bg- m B × a ............(2)

(2) en (1) T- m A gsen 30º = m A × a m Bg- m B × a- m A gsen 30º = m A × a m A × a+ m B × a = m Bg- m A gsen 30º

a  m A + m B  = g  m B - m Asen 30º  a=

g  m B - m A sen 30º   mA + mB 

a=

9,8 m/ s 2  8 kg- 5 kgsen 30º   5 kg+ 8 kg 

a = 4,15 m/ s 2

b) A=hacia arriba B=hacia abajo c)

T = m Bg- m B ×a T = 8 kg×9,8 m/ s 2 -8 kg× 4,15 m/ s 2 T = 45, 20[N] d) V t V = a× t

a=

V = 4,15 m/ s 2 × 2s V = 8,3m/ s

20. En la figura el bloque B es de 10kg. Si el coeficiente de rozamiento cinético para todas las superficies es 0,3, determinar: a) La masa del bloque A para que los dos bloques se muevan con velocidad constante b) La masa del bloque A para que los dos bloques se muevan con una aceleración de 1,5 m/ s 2

SOLUCIÓN:

21. En la figura los bloques A y B son de 45 y 15kg respectivamente. Si  c  0, 2 para todas las superficies, determinar: a) La aceleración de cada bloque b) En qué sentido se mueven los bloques c) La velocidad del bloque A, 4s después de partir del reposo

SOLUCIÓN: Datos: mA = 45 kg m B = 15 kg

c  0, 2 a) CUERPO A

 Fx = m A × a

 Fy = 0

PA x- TAB - frA = m A × a

N- Py = 0

TAB = m A gsen 30º - frA - m A × a .............(1)

N = m A gcos 30º...............(2)

fr =  × N...........(3)

(2) y (3) en (1) TAB = m A gsen 30º - mm A gcos 30º - m A × a ...........(4)

CUERPO B

 Fx = 0 TAB - PB x- frB = mB ×a

 Fy = 0 N B - PB y = 0

TAB = mBgsen 60 + frB + m B×a ...............(5) N B = m Bgcos 60º...............(6) (3) y (6) en (5) TAB = m Bgsen 60º +  m Bgcos 60º + m B × a ..............(7)

Igualando (4) y (7) m A gsen 30º - m A gcos 30º - m A  a = m Bgsen 60º +  m Bgcos 60º + m B  a m A  a+ m B  a = m A gsen 30º -  m A gcos 30º - m Bgsen 60º -  m Bgcos 60º a=

m A gsen 30º - m A gcos 30º - m Bgsen 60º - m Bgcos 60º mA + mB

a=

45 kg 9,8 m/ s 2  sen 30º -0, 2  45 kg 9,8 m/ s 2  cos 30º -15 kg 9,8 m/ s 2  sen 60º -0, 2 15 kg 9,8 m/ s 2  cos 60º 45 kg+15 kg

a = 0, 035 m/ s 2

b) A=hacia arriba B=hacia abajo c) V t V = a t

a=

V = 0, 035 m/ s 2  4s V = 0,14 m/ s

22. Dos cuerpos A y B de 20 y 12kg respectivamente están unidos por una cuerda flexible e inextensible como indica la figura. Si  A  0, 25 y  B  0,32 , determinar: a) La tensión de la cuerda cuando se dejan libres los cuerpos

b) La aceleración de cada bloque c) La distancia recorrida por el bloque A 3s después de partir del reposo

SOLUCIÓN:

23. Dos esferas iguales y lisas de 15kg cada una, están apoyadas como se indica en la figura. Si las paredes son lisas, determinar las reacciones producidas en los puntos de apoyo A, B, C, D.

SOLUCIÓN: Datos: m1 = m 2 = 15 kg

CUERPO 1  Fy = 0 R A cos 50º + R Dsen 20º - mg = 0.............(1)

 Fx = 0 R Asen 50º - R Dcos 20º = 0 RD =

R Asen 50º ..................(2) cos 20º

Reemplazando (2) en (1)  R sen 50º  R A cos 50º +  A  sen 20º - mg = 0  cos 20º  R A cos 50º cos 20º + R A sen 50º sen 20º = mgcos 20º R A  cos 50º cos 20º + sen 50º sen 20º  = mgcos 20º mgcos 20º cos 50º cos 20º + sen 50º sen 20º 15 kg 9,8 m/ s 2 cos 20º RA = cos 50º cos 20º + sen 50º sen 20º RA =

R A = 159,50[N]

Reemplazando el valor de R A en (2) RD =

159,50[N]sen 50º cos 20º

R D = 130, 03[N] CUERPO 2

 Fy = 0 R B - R Dsen 20º - mg = 0 R B = R Dsen 20º + mg..............(3)

 Fx = 0 R Dcos 20º - R C = 0 R C = R Dcos 20º.............(4) Reemplazando el valor de R D en (3) R B = 130, 03[N]sen 20º +15kg 9,8m/ s R B = 191, 47[N]

Reemplazando el valor de R D en (3) 2

R C = 130, 03[N]cos 20º R C = 122,19[N]

24. Dos cilindros lisos e iguales de 20kg cada uno y de radio 10cm, tienen conectados sus centros por medio de una cuerda AB de 25cm de longitud, descansando sobre un plano horizontal sin rozamiento, Un tercer cilindro, también liso de 30kg y de 10cm de radio, se coloca sobre los dos anteriores como indica la figura. Determinar: a) La tensión de la cuerda AB b) Las fuerzas ejercidas sobre el piso en los puntos de contacto D y E

SOLUCIÓN:

25. Dos cuerpos A y B de 35 y 30 kg respectivamente, están sujetos por una cuerda que pasa por una polea sin rozamiento. Si los cuerpos parten del reposo, determinar: a) La aceleración de cada bloque b) La tensión de la cuerda c) La distancia recorrida por el cuerpo A en 6s

SOLUCIÓN: Datos: mA = 35 kg

m B = 30 kg V0 = 0

a) CUERPO A

CUERPO B

 Fy = m A a

 Fy = m Ba

PA - T = m A a

T- PB = m Ba

T = m A g- m A a ...........(1)

T = m Bg+ m Ba ..................(2)

Igualando (1) y (2) m A g- m A a = m Bg+ m Ba m A a+ m Ba = m A g- m Bg

a  m A + m B  = m A g- m Bg a= a=

m A g- m Bg mA + mB

35 kg 9,8 m/ s 2 - 30 kg 9,8 m/ s 2 35 kg  30 kg a = 0, 75 m/ s 2

b)

Reemplazando el valor de a en (1) T = 35kg 9,8m/ s 2 - 35kg 0, 75m/ s 2 T = 316, 64[N] c) 1  r = V0 t + at 2 2 1  r = at 2 2 1 2  r =  0, 75 m/ s 2   6s  2  r = 13,5 m

26. Dos cuerpos A y B de 300g cada uno, están sujetos a los extremos de una cuerda que pasa por una polea sin rozamiento. Si sobre el cuerpo B se coloca otro de 100g. Determinar: a) La aceleración de cada cuerpo b) La tensión de la cuerda c) La velocidad del bloque B a los 5s de dejarlo en libertad

SOLUCIÓN:

27. Tres cuerpos A, B y C de 10,20 y 30kg respectivamente, están unidos mediante dos cuerdas como indica la figura Si  A  0,3 y  B  0,15 , determinar: a) La aceleración del cuerpo B b) Las tensiones en las cuerdas

SOLUCIÓN: Datos: m A = 10 kg mB = 20 kg mB = 20 kg

 A  0,3

B  0,15

28. Tres cuerpos A, B y C de 40, 20 y 60 kg respectivamente, están unidos mediante dos cuerdas como indica la figura. Si todas las superficies son lisas; determinar: a) La aceleración del cuerpo C b) En qué sentido se mueve cada uno de los cuerpos c) Las tensiones en las cuerdas

SOLUCIÓN:

29. En el sistema de la figura se tiene que m B = m C = 15 kg . Si  A  0,1;  B  0, 2 y

C  0,3 , determinar:

a) La masa de A para que el cuerpo B se mueva hacia la derecha con velocidad constante b) La masa de A para que el cuerpo B se mueva hacia la izquierda con velocidad constante c) La masa de A para que el cuerpo B se mueva hacia la derecha con una aceleración de 1,3 m/ s 2 d) La masa de A para que el cuerpo B se mueva hacia la izquierda con una aceleración de 1,3 m/ s 2 SOLUCIÓN: Datos:

m B = m C = 15 kg

 A  0,1

 B  0, 2 C  0,3 a) CUERPO A

 Fy = 0 N A - mA gcos  A = 0

 Fx = 0 T1 - mA gsen  A  A mA gcos  A  0

N A = mA gcos  A

T1  mA gsen  A  A mA gcos  A ...................(1)

CUERPO B

 Fy = 0 N- mBg = 0 N = m Bg

 Fx  0 T2 - T1 - B m Bg = 0....................(2)

CUERPO C

 Fy = 0 N C - mC gcos C = 0

 Fx = 0 mCgsen  - T2 - C mCg cos C = 0

N C = mCgcos C

T2 = mCgsen  - C mC g cos C ..................(3)

(3) y (1) en (2) mC gsen  - C m C g cos  C -  m A gsen  A  A m A gcos  A  - B m Bg = 0 m A gsen  A  A m A gcos  A  m C gsen  - C m C g cos  C - B m Bg m A g  sen  A  A cos  A   g  m Csen  - C m C cos  C - B m B  mA 

g  mCsen  - C m C cos  C - B m B 

mA 

g  sen  A  A cos  A 

mCsen  - C m C cos  C - B m B sen  A  A cos  A

b)

30. En el sistema de la figura los cuerpos A y B son de 18 y 6kg respectivamente. Si C  0, 25 ; determinar: a) La aceleración de cada bloque b) En qué sentido se mueve cada uno de los bloques c) Las tensiones en las cuerdas C y D

SOLUCIÓN:

EJERCICIO Nº14 1. Un cuerpo de 2kg atado al extremo de una cuerda de 1,5m de longitud, gira sobre un plano horizontal liso con una aceleración angular de 10rad/s2. Determinar: a) La aceleración tangencial del cuerpo

b) La fuerza tangencial a que esta sometido el cuerpo c) Que fuerza neta actúa sobre el cuerpo, cuando su rapidez es 3m/s SOLUCIÓN:

2. Un automóvil de 1200kg recorre una curva horizontal de 350m de radio con una rapidez de 36km/h. Si la curva no tiene peralte, determinar: a) La aceleración centrípeta que actúa sobre el cuerpo b) La fuerza ejercida por las ruedas sobre la carretera, para mantener el movimiento sobre la curva SOLUCIÓN:

3. Un cuerpo de 500g atado al extremo de una cuerda de 1m de longitud, gira sobre un plano horizontal liso con una velocidad angular de 40 rad/s. Determinar: a) La aceleración centrípeta del cuerpo b) La tensión de la cuerda c) La máxima rapidez con la que puede girar, si la tensión de rotura es 1000[N] SOLUCIÓN:

4. Un avión lleva una rapidez de 648km/h en una curva horizontal. Si la fuerza centrípeta que actúa sobre el piloto de 65kg es de 1000[N], determinar: a) La aceleración centrípeta que actúa sobre el piloto b) El radio de la curva en que se mueve el avión SOLUCIÓN:

5. Un cuerpo de 15kg parte del reposo y se mueve alrededor de una circunferencia horizontal de 40m de radio, por la acción de una fuerza tangencial de 1200[N] que actúa durante 8s. Determinar: a) La aceleración tangencial que actúa sobre el cuerpo b) La aceleración angular c) La fuerza centrípeta que actúa sobre el cuerpo al término de los 8s. SOLUCIÓN:

6. Un cuerpo de 10kg atado a una cuerda de 1,6 m de longitud, gira con velocidad constante en círculos horizontales. Si el periodo es de 3s, determinar: a) La velocidad del cuerpo b) La fuerza centrípeta que actúa sobre el cuerpo SOLUCIÓN:

7. Un cuerpo de 8kg atado a una cuerda de 1,3 m de la longitud, gira por una trayectoria circular horizontal a 720 RPM. Determinar: a) La aceleración centrípeta b) La fuerza centrípeta que actúa sobre el cuerpo SOLUCIÓN:

8. Un péndulo de 1,5 m de longitud, describe un arco de circunferencia sobre un plano vertical. Si la tensión de la cuerda es cuatro veces el peso del cuerpo, cuando están en la posición indicada en la figura, determinar: a) La aceleración tangencial del cuerpo b) La aceleración centrípeta c) La rapidez del cuerpo

SOLUCIÓN:





  9. Se lanza un proyectil de 5kg con una velocidad de 26 i  32 j m s . Determinar a los

2s de vuelo: a) El valor de la fuerza tangencial que actúa sobre el proyectil. b) El valor de la fuerza centrípeta que actúa sobre el proyectil c) El valor de la fuerza neta que actúa sobre el proyectil SOLUCIÓN:

10. El cuerpo de un péndulo cónico es de 2kg y cuelga de una cuerda de 8m de longitud, describiendo una trayectoria circular en un plano horizontal. Si el cuerpo se desvía de la vertical hasta que la cuerda forme un ángulo de 30º con la vertical, determinar: a) La tensión de la cuerda b) Cual es la rapidez del cuerpo SOLUCIÓN:

11. Un motociclista y su maquina, que pesan 1500[N], describen un rizo de 4m de radio. Si μ  0 , determinar: a) La velocidad critica b) La fuerza que ejerce el rizo sobre el mo9vil en la parte superior

c) La fuerza que ejerce el rizo sobre el móvil en la parte inferior, si su rapidez en ese punto es de 14m/s. SOLUCIÓN:

12. Una carretera en una curva de 50m de radio, tiene un ángulo d peralte de 18º. Si μ  0,3 , determinar: a) El rango de velocidades con que podría entrar en la curva de un auto, para que no derrape b) El valor de la velocidad optima con la que el auto deberá tomar la curva SOLUCIÓN:

13. En un péndulo cónico, la longitud de la cuerda es 0,65m y el cuerpo de 0,8kg describe una trayectoria circular horizontal con una velocidad angular de 4rad/s. Determinar: a) La tensión de la cuerda b) El ángulo entre la cuerda y la vertical SOLUCIÓN:

14. Un cuerpo de 1kg describe una circunferencia vertical atado al extremo de una cuerda de 1,2m de longitud, con una rapidez constante de 5m/s. Determinar la tensión de la cuerda cuando: a) b) c) d)

El cuerpo se encuentra en el punto mas bajo de la trayectoria El cuerpo se encuentra en el punto mas alto de la trayectoria El cuerpo se encuentra al mismo nivel que el centro de la circunferencia Esta forma un ángulo de 60º sobre la horizontal SOLUCIÓN:

15. Un vehículo de 800kg describe una curva horizontal de 35m de radio. Si μ  0,2 , determinar: a) La máxima velocidad en km/h con que podrá tomar la curva sin derrapar, si no hubiese peralte b) El peralte de la curva para que no derrape a la velocidad de 108m/h SOLUCIÓN:

16. Sobre un disco se coloca un cuerpo de 50g a una distancia de 15cm del centro. Si el sistema gira en el plano horizontal partiendo del reposo, con una aceleración angular de 2,5rad/s2 y si el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el disco es 0,2, determinar: a) El tiempo que el cuerpo permanecerá sin deslizar, respecto del disco b) Que rapidez tendrá el cuerpo cuando comienza a deslizarse SOLUCIÓN:

17. Un cuerpo de 15kg se mueve con rapidez constante de 4m/s por la pista de la figura. Determinar la reacción que ejerce la pista sobre el cuerpo en los puntos A, B y C.

SOLUCIÓN:

18. Un cuerpo de 1,5kg cuelga de una cuerda de 1,8m de longitud. Cuando la cuerda forma un ángulo de 40º con la vertical, el cuerpo tiene una velocidad de 6m/s. Determinar-.

a) b) c) d) e)

La aceleración tangencial La aceleración centrípeta El valor de la aceleración total La tensión en la cuerda El valor de la fuerza total ejercida sobre el cuerpo SOLUCIÓN:

19. Un móvil de 4kg se desplaza con una rapidez constante de 5m/s por la pista de la figura. Determinar el valor de la fuerza centrípeta en los puntos A, B y C

SOLUCIÓN:

20. El sistema de la figura gira alrededor de un eje vertical con velocidad constante. Conociendo que el coeficiente de rozamiento entre el pequeño bloque A y la pared cilíndrica es 0,2, determinar la mínima velocidad para la cual el bloque permanecerá en contacto con la pared

SOLUCIÓN:

EJERCICIO Nº 15 1. Calcular el torque de la fuerza F de la figura respecto del punto o por tres métodos diferentes.

SOLUCIÓN:

2. En la figura: F1  35N, F2  30N, F3  50N, F4  40N. Calcular el torque resultante respecto a los puntos O y P

SOLUCIÓN:

3. La viga horizontal AB de la figura es uniforme y pesa 200[N]. Determinar la tensión en cada una de las cuerdas que soportan la viga, cuando se cuelga un peso W=100[N] en la posición indicada en la figura.

SOLUCIÓN:

4. Una regla graduada de 1m, se equilibra con un apoyo en su centro. Si se coloca un cuerpo de masa 100g en la marca de 80 cm, ¿En que marca deberá colocarse otra masa de 60g para que la regla siga en equilibro? 5.

En la figura representada, ¿Cuál debe ser el mayor de la distancia x en metros, para que el sistema permanezca en equilibrio? Se considera despreciable el peso de la barra.

SOLUCIÓN:

6. En la figura, determinar las reacciones en los apoyos A y B, causadas por las cargas que actúan sobre la viga, cuyo peso es despreciable.

SOLUCIÓN:

7. En la figura determinar las reacciones en los apoyos A y B, causadas por las cargas que actúan sobre la viga de peso despreciable.

SOLUCIÓN:

8. En la figura, la barra AB pesa 150[N] por metro de longitud y esta sostenida por el cable BC y un pasador en A. Determinar la tensión en el cable y la reacción en A.

SOLUCIÓN:

9. La viga homogénea de la figura, tiene un peso de 400[N]. Determinar

a) La fuerza que hace el pasador sobre la viga b) La tensión en el cable horizontal

SOLUCIÓN:

10. Una viga uniforme de 15kg está articulada en A y sostenida en su otro extremo por un alambre, como se muestra en la figura. Si la tensión en el alambre es 500[N], determinar:

a) El valor de la masa M, que sostiene la viga b) Cual es la fuerza que hace el pasador A, sobre la viga

SOLUCIÓN:

11. En la figura, la viga AB tiene un peso de 300[N] por metro de longitud. Determinar:

a) La tensión sobre el cable

b) La fuerza del pasador A sobre la viga

SOLUCIÓN:

12. En la figura la barra AB de 200[N] de peso y 6m de longitud, esta pivoteada en el extremo izquierdo. Determinar:

a) La tensión en el cable de apoyo b) La fuerza del pasador A sobre la barra

SOLUCIÓN:

13. En la figura, la viga AB tiene un peso de 800[N]. Determinar:

a) La tensión en el cable de apoyo b) La fuerza del pasador A sobre la viga

SOLUCIÓN:

14. La barra AB de 250[N], y 10m de longitud, se mantiene en la posición de la figura por la acción de dos cuerdas AD y BC. Si se coloca un peso de 700[N] a 2m del extremo superior, determinar las tensiones en las cuerdas.

SOLUCIÓN:

15. Una escalera de 15m de longitud tiene una masa de 20 kg. Descansa contra una pared vertical lisa, y su parte inferior se encuentra en el piso a 4m de la pared. ¿Cuál debe ser el coeficiente mínimo de fricción estática entre la escalera y el suelo, para que una persona de 80kg pueda subir con seguridad hasta el 70% de la escalera?

SOLUCIÓN:

16. En la figura, la grúa de 6000[N] está sostenida por medio de dos pasadores A y B, siendo liso el A. Si el centro de gravedad esta localizado en B, determinar las reacciones en A y en B.

SOLUCIÓN:

17. En la figura, la barra AB tiene un peso de 400[N]. Determinar la tensión en el cable y la reacción en A.

SOLUCIÓN:

18. Una escalera de 5m longitud y 100[N] de peso, esta apoyada contra una pared vertical, como se indica en la figura: Cuando un hombre de 700[N] de peso alcanza un punto a 4m del extremo inferior A, la escalera está a punto de resbalar. Si el coeficiente de rozamiento entre la escalera y la pared es 0,3 calcular el coeficiente de rozamiento entre el piso y la escalera.

SOLUCIÓN:

19. En la figura, la viga AB de peso despreciable y 10m de longitud, está apoyada en una pared vertical A y en una esquina C perfectamente lisas. Determinar: a) El ángulo θ para que la viga este en equilibrio b) Las reacciones en los puntos de apoyo

SOLUCIÓN:

20. En el sistema de la figura, si m 3 es mayor que m 2 , demuestre que:

m1 m 2  m 3  L1  4 m 2 . m 3 . L 2 , para que la varilla AB de masa despreciable esté en

equilibrio

SOLUCIÓN: