Solucionario Razonamiento Matematico UNASAM 2010 - I

M A

T

ACADEMIA

  SIGMAT

SOLUCIONARIO

SI G

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

Examen de Admisión UNASAM 2010 - I

DE PIE SOBRE LOS HOMBROS DE LOS DEMÁS

Razonamiento – Matemático Pregunta Nº. 1 Calcule la suma de cifras de: E  1  3  5  17  257  1

Pregunta Nº. 2 En cierto examen Rosa obtuvo menos puntos que María, Laura menos puntos que Lucía, Noemí el mismo puntaje que Sara; Rosa más que Sofía; Laura el mismo puntaje que María y Noemí más que Lucía. ¿Quién obtuvo menos puntaje?

T A M G I S

A) 6

B)12

D)16

C) 10

A I M E D A C A E) 13

A)Laura

B) María

C) Rosa

D)Sofía

Resolución Tema: Habilidad operativa

Se pide la suma de cifras del resultado de

E) Sara

Resolución

Tema: Ordenamiento lineal

Piden: ¿Quién obtuvo menos puntaje?

E  1  3  5  17  257  1

Los dos primeros factores de la izquierda las expresamos así:

De los datos: 

Rosa obtuvo menos puntos que María pero más puntos que Sofía.

E

 2  1   2  1  5  17  257  1

E

 22  1   22  1  17  257  1

María

 24  1   24  1  257  1

Sofía

E E

más

Rosa

menos

 28  1   28  1  1



E  216  1  1

Laura, menos puntos que Lucía e igual puntaje que María.

más

E  216 E  256

Lucía Laura

Respuesta

María Rosa

Por lo tanto, la suma de cifras de E es 13

Sofía Alternativa E

menos

1

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 

Noemí, más que Lucía y el mismo puntaje que Sara.

Pregunta Nº. 4 Sabiendo que:

más

ABA 

Noemí

AB B

Sara

Lucía

A35

Laura

María

Hallar: A B  B A

Rosa

A)5

Sofía

B) 3

D)7

menos

E) 8

Respuesta Por lo tanto, Sofía obtuvo menos puntaje.

T A M G I S Tema: Habilidad operativa

Disponemos la suma de la siguiente manera: ABA  AB  B  A35

A 1

3

B 1

3  5  15

100A  10B  A  10A  B  B  100A  35

5  15

11A  12B  35

Calcular el producto de A con B. A) 8

Resolución

A I M E D A C A Alternativa D

Pregunta Nº. 3 Si:

D) 5

A  1  B  2

De donde:

B) 4

C)

3

E)

15

Respuesta

Por lo tanto A B  B A  12  21  3

Resolución

Alternativa B

Tema: Habilidad operativa

3 5

Pregunta Nº. 5 Cuatro sospechosas de haber atropellado con su auto a un peatón, hicieron las siguientes afirmaciones cuando fueron interrogados por la policía:

3

 María

:

fue Lucía.

 Lucía

:

fue Leticia.

 Irene

:

yo no fui.

 Leticia

:

Lucía miente.

Multiplicando ambas ecuaciones:

 B  1 

  15   

A  1  15 

    A  B  1  2 15  15    3  2 A  B  1  15

C) 6

2



3 5

 5

2

15  5



A  B  1  2 15  15  3  2 15  5 Si solo uno de ellas miente, ¿Quién atropelló al peatón?

AB  8

Respuesta Por lo tanto el producto A  B  8

A) Lucía Alternativa A

D)Yamilet

B) Leticia

C) Irene E) María

2

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Resolución

Reemplazando en  

Tema: Razonamiento lógico   

Como Lucía y Leticia se contradicen, pues una de ellas será la que miente. Una primera posibilidad será que: si Lucía miente, entonces los demás dicen la verdad, con lo que podemos deducir que Lucía sería la culpable (según María) y también se verifica que los demás están diciendo la verdad, con lo que ya no es necesario analizar una segunda posibilidad. Respuesta Por lo tanto, quien atropello al peatón fue Lucía.

  

b1

Hallar: E   b  1

 b1

A) 8

B) 16

D) 4

C) 32

Resolución

Se pide el valor de

  

b1 E   b  1  

b1



Como dato tenemos: 320 81 b  b320   b320      b320    81

81 veces

b480  8180

b  4

a 3  b 2  b3  a 2

;

x 2  1  2x  1

Calcular: E  5  17   343  16  B) 48

C) 65

D) 50

E) 60

Resolución

Se pide el resultado de E  5  17   343  16 

Como dato se tiene x 2  1  2x  1 , para x  4 la igualdad cumple, o sea:

 



17  17

Además se sabe que a 3  b 2  b3  a 2 , dando forma a los números, se tiene: 343  16  7 3  4 2  4 3  7 2 343  16  15

Reemplazando en E

E  5  17  15

E  26  1 E  65

80

 81

b  81  3 b3

Si

E  37  6 2  1

b320  8180

80

Pregunta Nº. 7

4 2  1  24  1

Tema: Habilidad operativa.

4

Alternativa B

Tema: Operaciones matemáticas.

E) 3



Respuesta Por lo tanto, el valor de E  16

A) 70

81 veces



2

E  22  16

A I M E D A C A

320 81 b  b320   b320      b320    81

81 b320  8181

31

T A M G I S Alternativa A

Pregunta Nº. 6 Si:

31 E   3  1  

4

Respuesta Por lo tanto, el valor de E  65 Alternativa C

3

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Pregunta Nº. 8 Sumar:

Pregunta Nº. 9 Se vende un vestido en 4 200 soles ganando el 14% del costo más el 5% de la venta, ¿Cuánto costó el vestido?

    20  23  26   50 términos

B) 2745

A) 2475

C) 2374

A) 3 685

B) 3 475

D) 4 000

E) 3 500

E) 2476

D) 2375 Resolución

Resolución Tema: Tanto por cuanto. Piden calcular el precio de costo del vestido. Se sabe que:

Tema: Series y Sumatorias

T A M G I S

   20  23  26 Piden calcular S    



 

A I M E D A C A

PV  PC  Ganancia

50 términos

Como es una serie aritmética, sumaremos los 50 términos haciendo uso de la siguiente fórmula:

Según el enunciado se tiene:



4200  PC  14%  PC  5%  4200



5  14  4200  PC    PC   4200  100  100 

 t  tn  S 1 n  2 

4200 

Como datos iniciales se tiene:

t n  26 ; r  3 ; n  50 Ahora hallamos t1 :

C) 3 800

114  PC 100

PC  3500

Respuesta Por lo tanto el vestido costó S/. 3 500

Alternativa E

t n  t1  r  n  1 26  t1  3  50  1

t1  121

Pregunta Nº. 10 3400 personas asistieron al estadio “Rosas Pampa” de Huaraz. Se observa que por cada 10 mujeres había 24 varones. ¿Cuántos varones asistieron?

Reemplazando datos en la fórmula

A) 1 000

B) 1 200

D) 1 600

 121  26  s   50 2  

C) 2 400 E) 1 400

Resolución

S   95  25 

Tema: Razones y proporciones

S  2375

Piden calcular el número de varones que asistieron al estadio.

Respuesta

Sean:

Por lo tanto, la suma de la serie es 2375 Alternativa D

V

:

número de varones.

M

:

número de mujeres.

4

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Según el enunciado del problema M 10  V 24



M  10k   V  24k

Entonces: P A 

 



90 9  100 10

Hallando el total de personas (varones y mujeres)

Respuesta Por lo tanto, la probabilidad de observar una página

10k  24k  3400

que no termine en cero es:

34k  3400

9 10 Alternativa C

k  100

Reemplazando en   M  10 100    V  24 100 



Pregunta Nº. 12

T A M G I S A I M E D A C A

Sabiendo que:

M  1000   V  2400

Hallar

Respuesta Por lo tanto asistieron 2400 varones

Alternativa C

Pregunta Nº. 11 Al abrir un libro cuya numeración es de 1 a 100, la probabilidad de observar una página que no termine en cero es: A) 9/100 D) 1/100

B) 8/100

C) – 4 E) – h

Resolución

Tema: Operaciones matemáticas. Aplicando la definición se tiene:

Resolución

R

El espacio muestral tendrá 100 elementos, veamos:

B) h+4

D) 4

R

Tema: Probabilidades.

x  x2 x

A) h

C) 9/10

E) 7/100

R

2

a   a  1  h

R

  1, 2, 3, , 99, 100 , luego

x  x2 x

 x  1

2

2  h    x  2  1  h    x



x 2  2x  1  h  x 2  2x  1  h



x

n     100

R

x 2  2x 1  h  x 2  2x 1  h x

Consideremos ahora el evento A:

R

4x x

A :

R  4

página que no termine en cero



A  1, 2, 3, , 10 , , 20 , , 30 , , 100

n  A   90



Respuesta Por lo tanto, el valor de R  4 Alternativa C

5

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Pregunta Nº. 13

Tema: Planteo de inecuaciones.

En la expresión: y  4ax  x 2  3a 2  9 ¿para qué valores de “a” el máximo valor de “y” es 0?

Disponemos los datos en el siguiente cuadro:

A) 0 y 1

# de pasteles que preparan

C) 3

B) 1

D) 1 y 3

E) 1 y  3 Resolución

Ana

x

Beatriz

y

Tema: Máximos y Mínimos.

Condiciones del problema:

Piden calcular los valores de “a” para que el valor máximo de “y” sea cero.

3x  y  51   2x  y  24

2

2

I  II 



T A M G I S

y  4ax  x  3a  9

Completando cuadrados.

A I M E D A C A



Reemplazando (II) en (I) 3x  2x  24  51

y    x 2  4ax  3a 2  9    2 y    x  2a   a 2  9    2

y    x  2a   a 2  9

5x  75 x  15

Como la cantidad tiene que ser mínima, entonces:

El valor máximo de “y” será cero, cuando el término independiente sea cero. a2  9  0 a2  9 a  3

Respuesta Por lo tanto, los valores de “a” son 3 .

x  16  y  8

Respuesta Por lo tanto, la cantidad mínima de pasteles que pueden hacer juntas es: 24 Alternativa C Pregunta Nº. 15 En el siguiente diagrama, se define las funciones: f, g y h.

Alternativa C

A

Pregunta Nº. 14 Ana y Beatriz preparan pasteles. Si el triple de lo que prepara Ana más lo de Beatriz es mayor que 51 y, si además el doble de Ana menos lo de Beatriz es 24, ¿Cuál es la cantidad mínima de pasteles que pueden hacer juntas? A) 21

B) 23

D) 25

C) 24 E) 28

Resolución

f

B

g

C

0

1

3

2

0

0

1

1

1

h gf

Si h(x)  ax 2  bx  c , entonces a  b  c es: A) 1 D) 3

B) 0

C) – 2 E) 4

6

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Resolución

A) S/. 7

B) S/. 16

C) S/. 30

D) S/. 35

Tema: Funciones

E) S/. 15

En el gráfico se dan las funciones “f” y “g”, tales que: f : A  B ; g : B  C , entonces la

función comTema: Planteo de ecuaciones

puesta g  f es aquella función

f

A

Resolución

Para dar solución a este ejercicio, usaremos el siguiente cuadro, “método práctico”

B g

h  gf

Dinero inicial

C

x

h 0  a 0  b 0  c c3

ii)

h  2   4a  2b  c 1  4a  2b  3 2a  b  1

iii)

h 1  a  b  c 1ab3 a  b  2

Restando iii) de ii)

Limosna

Queda

16

x  16

T A M G I S

Como  g  f  x   h  x   ax 2  bx  c , entonces, en el gráfico se observa que: i)

Duplica

A I M E D A C A

2

16

2

16

2

16

2

16

2

16

2

16



Se queda sin dinero

Al final de la cuarta visita César se queda sin dinero, entonces sucede que: 16  0

2

8

a  1  2a  b  1 a  1      b  3  a  b  2  b  3 c  3 

2

 12

2

Respuesta Por lo tanto a  b  c  1

16  8

16  12  14

Alternativa A Pregunta Nº. 16 En una iglesia de Huaraz está el patrono “San Sebastián”, un Santo que hace el milagro de duplicar tu dinero, luego de darle una limosna de S/. 16. César, que es muy avariento, le hace 4 visitas en un día con el fin de volverse rico; pero para sorpresa de él, al final se quedó sin dinero. ¿Cuánto dinero llevo César al inicio?

De donde

x  16  14 x  30 Respuesta Por lo tanto al inicio César llevo S/. 30 Alternativa C

7

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Pregunta Nº. 17 La edad que tendré dentro de “x” años es a lo que tenía hace “x” años como 14 es a 3. Si actualmente tengo 34 años ¿Qué edad tendré dentro de A) 45

B) 40

x años? 2

C) 38

D) 48

E) 54

Resolución Tema: Logaritmos M

M  log 5  3  5   log 3  3  5    log 3 5  log 5 3 M

 log 5 3  log 5 5  log 3 3  log 3 5   log 3 5  log 5 3

M

 log 5 3  11  log 3 5   log 3 5  log 5 3

Resolución Tema: Edades Distribuyendo los datos en el siguiente cuadro:

M  log 5 3  log 5 3  log 3 5  1  log 3 5  log 3 5  log 5 3

T A M G I S x

Yo

 log 5 15   log 3 15   log 3 5  log 5 3

A I M E D A C A M  11

x

Pasado

Presente

Futuro

yx

y

yx

M 2

Respuesta

Según el cuadro y los datos del problema, se tiene: x  y 14  yx 3

Al simplificar, el valor de M es

2

Alternativa B

(dato : y  34)

;

x  34 14  34  x 3

Pregunta Nº. 19 Marcos desea realizar un viaje entre dos ciudades que distan 820 km en exactamente 7 horas; para lo cual debe hacer uso de una avioneta y un automóvil. Si la avioneta viaja 200 km/h y el auto a 55 km/h. ¿Qué distancia debe recorrer en auto?

102  3x  476  14x 17x  374 x  22

A) 260 km

x  11 2

B) 220 km

D) 150 km

E) 105 km

Resolución

Respuesta Dentro de 11 años tendré 34  11  45 años.

Alternativa A

C) 190 km

Tema: Móviles.

Pregunta Nº. 18 El valor de: M

 log 5 15  log 3 15   log 3 5  log 5 3

Es: A) 2 D) 2 2

Para el primer tramo (en avioneta) B)

2

C)

3

E) 3 2

e  vt x  200t



 1

8

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Para el segundo tramo (en automóvil) e  vt 6 cm

820  x  55  7  t  x  55t  435

A

8 cm

3 cm x

 2



53º

D

C

53º

200t  55t  345

En el triángulo CAB se cumple:

145t  435

 3  4   5  AF

t3

Respuesta

T A M G I S En el triángulo CAM

Por lo tanto, la distancia que debe recorrer Marcos en auto será: 820  600  220 km.

Alternativa B

Pregunta Nº. 20 En la figura: “C” es centro de la semicircunferencia de radio 5m y AM es mediana del triángulo ABC. ¿Qué valor tiene el perímetro del triángulo sombreado?

 12  3 2  CF 2     5 

9  CF 2 

CF 2  CF 

2

144 25

81 25

9 5

En el triángulo FAM 2

 12   7  x2        5   10 

6 cm

A

C

A) 3 m

B

12 5

A I M E D A C A AF 

t  3 De donde:  x  600

37º

5 cm

5 cm

Reemplazando (1) en (2)

F M

12 5

4 cm

B) 8 m

D) 9 m

M

C) 5 m E) 7 m

Resolución Tema: Perímetros de áreas sombreadas.

B

x2 

144 49  25 100

x2 

625 100

2

x  2,5

El perímetro de la región sombreada es: Perímetro  2,5  2,5  4  9

Respuesta Por lo tanto, el perímetro es 9 cm Alternativa D

9

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Pregunta Nº. 21 La figura ABCD es un cuadrado, tal que PQ // BC y 5PB  QD . La razón entre el área de la región no sombreada y el área de la región sombreada es:

S no sombreada 

x 2 25x 2 26x 2   2 2 2

B

C

Ahora, para hallar el área de la región sombreada, aremos una diferencia de áreas, o sea, el área total del cuadrado menos el área de la región no sombreada. Así:

P

Q

S sombreada  S  S no sombreada 2

S sombreada   6x   13x 2

S sombreada  36x 2  13x 2

A

7 A) 23

T A M G I S D

3 B) 22

13 D) 23

A I M E D A C A 5 C) 23

11 E) 23

Resolución

S sombreada  23x 2

La razón que hay entre el área de la región no sombreada y la sombreada, es: F

13 x 2 23 x

2



13 23

Respuesta

Tema: Área de regiones planas

Por lo tanto, la razón de las áreas es

Analizando la gráfica:

B x

P

Alternativa D

C

O

Q

13 . 23

Pregunta Nº. 22 Halle el número total de triángulos:

5x

A

D

Los triángulos PBO y OQD son isósceles, de ahí que sus áreas son respectivamente:

 (x)(x) x 2   Área del PBO   2 2  (5x)(5x) 25x 2  Área del  OQD    2 2 Por lo tanto, el área total de la región no sombreada, será:

A) 14 D) 21

B) 17

C) 19 E) 22

10

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Resolución

A) 16 u 2

B) 16 u 2

C) 3 u 2

D) 8  u 2

Tema: Conteo de figuras.

E) 4  u 2 Resolución

Se pide el número total de triángulos. En el siguiente gráfico, se puede aplicar el conteo de

Tema: Área de regiones planas.

n  n  1 . 2 Tanto para los triángulos sombreados como para el triángulo resaltado n  3

Como las cuatro semicircunferencias tienen radios iguales a 2u. entonces realizamos el siguiente traslado:

triángulos por la fórmula

3 4  2  20 2

B

A

E

T A M G I S A I M E D A C A F

A

4u

4u

D

B

C

D

3 4 6 2

Además, se observan 2 triángulos simples señalados a los extremos del gráfico y dos triángulos que son ACF y EBD . Entonces, número total de triángulos: 12  6  2  2  22

C

C

1

1

B

Respuesta Por lo tanto, el número total de triángulos será 22.

A

D

4u

Ahora calculamos el área del cuadrado de 4u. de lado. 2

S   4   16

Respuesta Por lo tanto, el área sombreada es 16 u 2 Alternativa A

Alternativa E Pregunta Nº. 24 Pregunta Nº. 23 Calcular el área sombreada de la figura, donde cada una de las semicircunferencias tiene radio 2u:

Una araña se encuentra en el vértice P de una caja con forma de paralelepípedo. Para llegar al punto Q, escoge la ruta más corta. Sabiendo que la araña en muy inteligente ¿cuál es la longitud mínima recorrida? P 18 cm

Q 36 cm

30 cm

11

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO A) 48 cm

B) 50 cm

D) 2 30 cm

E) 6



C) 60 cm



A) 3 cm

B) 8 cm

C) 4 cm

D) 5 cm

61  3 cm

E) 7/4 cm Resolución

Resolución

Tema: Razonamiento geométrico.

Tema: Máximos y Mínimos. La solución consistirá en levantar la cara superior de la caja y extender los laterales, y así obtener un plano que nos permitirá trazar el recorrido mínimo, que obviamente será la recta que une P con Q.

Piden calcular OM . Como dato se tiene que M es punto medio de PQ .

Q

T A M G I S M

A I M E D A C A 48 cm

6 cm

P

O

P

36 cm

O1

8 cm

Aplicando el teorema de Pitágoras: PQ 

 36 

O2

Q

2

2

  48   12 3 2  4 2

PQ  12  5   60

Respuesta Por lo tanto, la longitud mínima recorrida por la araña será 60 cm. Alternativa C

Separamos el triangulo PQO de todo el sistema: Q

10 cm

Pregunta Nº. 25 En la figura, calcular OM (M es punto medio de PQ )

5 cm

5 cm

M

P

8 cm 6 cm Q

O2

M P

8 cm

O

Gracias al teorema de la mediana relativa a la hipotenusa, se tiene: OM 

PQ 2

OM 

10 5 2

O

O1

6 cm

Respuesta Por lo tanto, la medida de OM  5 Alternativa D

12