solucionario pruebaib2012

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´ Indice general

Examen 2012 ´ Problema 1, Optica . . . . . . . . . . . . . . Problema Pro blema 2, Calculo a´ lculo Diferencial   . . . . . . . Problema 3, Mec´ Mecanica a´ nica . . . . . . . . . . . . . Problema 4, Electricidad y Magnetismo . . Problema Pro blema 5, Calculo a´ lculo integral   . . . . . . . . . Problema 6, Termodin´ Termodinamica a´ mica   . . . . . . . . . Problema 7, Termodin´amica amica   . . . . . . . . . Problema 8, Mec´anica  anica   . . . . . . . . . . . . . Problema 9, Algebra Alg ebra y Geometr´ Geome tr´ıa ıa   . . . . . . Problema 10, Mec´anica anica   . . . . . . . . . . . . Problema 11, Multiplicadores de Lagrange Problema 12, Electromagnetismo Ele ctromagnetismo . . . . . .

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1 2 4 6 8 10 12 14 15 17 20 21 23

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´ Problema 1, Optica

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Se tiene un prisma cuya base ABCD se muestra en la figura, construido con un material transparente cuyo ´ındice ındice de refracci´ refraccion ´ es n = 1.56 1.56.. El pris prisma ma est´ est´a inme inmers rso o enel aire ire (n0 = 1). 1). Un rayo de luz entra en el prisma por el punto p y sigue la trayectoria pq, marcada por la flecha, que es paralela al segmento AC .

1. Dibujar la trayectoria completa del rayo de luz, desde antes de ingresar al prisma (rayo incidente) hasta despu´es es de su salida al aire. 2. Calcular el angulo a´ ngulo de desviaci´ desviacion ´ entre el rayo incidente y el emergente.

Respuesta

Primero calculemos el angulo a´ ngulo de incidencia incidencia con que entro´ el rayo al prisma. Por la ley de Snell: n0 sin θ  = n  =  n sin30

Vemos entonces que el rayo incide a 51.26◦  sobre el lado AB del prisma. Para ver con que angulo a´ ngulo incide en el lado BC, trazamos la normal al lado en el punto q y vemos que el a´ ngulo de incidencia es de 45◦ . angulo Una vez que el rayo incide sobre BC pueden pasar dos cosas: una parte se refleja y ´ total. Para ver si pasa esto ultimo, ´ otra se refracta y ya salio´ al aire o tenemos reflexi´ reflexion calculamos el angulo a´ ng ulo cr´ c r´ıtico: ıtic o: 1,56 sin sin θC  = 1 sin sin 90

⇒θ

C 

= 39 39,,87

Como el angulo a´ ngulo de incidencia (45◦ ) es mayor que  θ C  tenemos reflexi´on total. El rayo reflejado a 45◦  incide sobre el lado AD con un angulo a´ ngulo de 30◦ . Este rayo parte se refleja y parte se refracta y ya sale al aire. Va a salir con un angulo a´ ngulo igual al angulo a´ ngulo de incidencia incidencia inicial debido a la geometr´ıa ıa de este prisma: 1,56sin30 = 1 sin sin θS 

 ⇒ θ

S 

= 51 51,,26

´ del rayo desde que entra al prisma hasta Se ve f acilmente a´ cilmente que el angulo a´ ngulo de desviaci´ desviacion ◦ que sale fue de 90 .

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30 45

30

51.26

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Problema 2, C´alculo alculo Diferencial

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´  f  : R Un famoso resultado de Brook Taylor dice que toda funci on R  que posea  n  derivadas en x 0  puede escribirse como  f (  f (x) =  P n (x) + R +  Rn (x)  donde P n (x)  es el conocido Polinomio de Taylor de  f   centrado en  x 0 y  R n (x)  es el resto de Taylor. Taylor. Se conocen varias formas para Rn (x). Por ejemplo, si  f  tiene   tiene n + 1 derivadas en un intervalo abierto que contiene a x0  y a x,

 →

f (n+1) (ξ ) Rn (x) = (x (n + 1)!

− x0) +1 n

 ξ  entre para para algun ´ numero ´  entre x0  y  x. En este ejercicio se desea hallar valores aproximados de ex para valores peque˜nos de x.

1. Aproximar  e x por un polinomio de Taylor  P (  P (x) centrado en x 0  = 0, de max  P (x)  para cualquier  x  entre 0 y 0,5 el error nera tal que al aproximar  e por  P ( cometido sea inferior a 0,01.  P (x) satisface la condici´on pedida sobre el error. 2. Probar que  P (  P (x), hallar e0,2 con error menor que 0,01. 3. Utilizando P (

4. En base a la estimaci´on del error error hallada hallada en los puntos anteriores, anteriores, ¿puede afirmarse afirmarse que las dos primeras primeras cifras despu´es es de la coma en la aproximaci´on ,2 0 de e hallada en el punto anterior son correctas?

Respuesta

´ ex alrede 1. Tenemos enemos que aproxi aproximar mar la funci funci´on alrededor dor del punto punto x0  = 0, de ma mane nera ra que que el err error cometido sea menor a  0,  0,01, para x  variando entre 0  y  1/  1/2. Para ello, tenemos que encontrar  0,01. cu´al al es menor orden n del polinomio de Taylor Taylor que da como resto un numero ´ menor a 0, Por un lado, sabemos que eξ Rn (x  (x) = xn+1 (n + 1)!

para cualquier  ξ 

 ∈  ∈

1

≤

e2 (n + 1)!

1 2

n+1

,

(1)

0,  12 . Por lo tanto, requerimos que 1

e2 (n + 1)!

1 2

n+1

<  0,  0 ,01 ,

(2)

o equivalentemente, que

1 1 b + h  tenemos E  = k (Q1 + Q  +  Q2 ) /r2 .

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2. La densidad de carga el´ electrica e´ ctrica σ R  en la superficie  r =  R , cuando la carga esta´ distri buida uniformemente sobre la superficie, es la carga total sobre el e l area ´ de la superficie. En q + Q1 q Q1 1 +Q2 este caso, tenemos: σa  = 4πa2 , σb  = 4πb2 = 4πb2 y σb+h  = 4π (b+h)2 = 4Q . π (b+h)2 b

−

b

h

  r   a  .   u � �    d   e .     b    i .   w   w   w    /    /   :   p     t    t     h

3. En esta esta pregu pregunta nta,, la respue respuesta sta var´ var´ıa ıa depend dependiend iendo o de cu´al sea el sist sistem emaa (en el ejer ejerci cici cio o no se aclara aclara donde ´ se colocar´ıan ıan los cables ca bles del d el circuito circuit o en donde dond e se usar´ usa r´ıa ıa al conjunto conj unto como un capacitor). Nosotros daremos la respuesta suponiendo que el capacitor se cierra entre el centro de la esfera e infinito. Para ello, es instructivo notar que el potencial el´ electrico e´ ctrico cae en las las regi region ones es dond dondee no hay hay ma mate teri rial al cond conduc ucto torr, de ma mane nera ra que que se pued puedee pens pensar ar que que tene tenemo moss un capacitor formado por dos capacitores en serie. La capacidad equivalente es C  =

C 1 C 2 = C 1  + C   +  C 2 k

1

1

a

+

1 b

 −

1 b+h

,

 

(63)

donde C 1  es la capacidad de la esfera y C 2  es la capacidad capacidad del cascar´on esf´erico. erico.

4. Al agregar un diel´ectrico ectrico s´ı se producen cambios; el campo el´ electrico ´ ahora  E ′  disminuye respecto al campo  E 0  que ten´ ten´ıamos ıamos cuando entre las superficies hab´ hab´ıa ıa vac´ vac´ıo ıo E ′  =

ya que ϵ > 1 .

E 0 < E 0 , ϵ

 

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