Solucionario Practica n

SOLUCIONARIO PRACTICA N° 1 1. Realizar los siguientes ejercicios. a) Hallar el vector v de la magnitud dada y en la dirección del vector u 1)

‖‖ =6 =0, 3   = ‖‖ ‖‖ ‖‖ = √ 19 = 3 ‖=6‖ =30,0,10,0,3=0, =0,61 ‖‖ =5 =1, 2   = ‖‖ ‖‖ ‖‖ = √51 1 2   = 1,  1, 2 =  , ‖‖ √ 5 1 2 √ 5 √ 5  = 5  √ 5 , √ 5=√5,2√5 ‖=‖ ‖=3‖ cos, =0° c os, s isi n  =3cos0, s i n 0=31, 0  =3, 0  ‖=‖ ‖=2‖ cos, =150° cos, sisin  √ 3 1 =2cos150,sin150=2 2 , 2 =√  =√ 3,3,1 =2,3∙ =5,1  = ‖‖  ∙=103=13 ‖‖ =13√ 2626 5 1  = 26 5,5,1 = 2 , 2  = 5 1 1 5  = 2,2,3  2 , 2= 2 , 2 2)

b)

5allar las componentes de v dadas su magnitud y el ángulo que forman con el ej e x positivo 1)

2)

2. Calcular la proyección de u en v, y h allar la componente vectorial de u ortogonal a v. a)

b)

c)

d)

=2,∙3 =3,2  =‖‖ ∙=66=0 ‖‖=0,=√ 013  =  =2, = 2 ,  3 0 , 0  3 =2,1∙,2 =0,3,4  =‖‖ ∙=038=11 ‖‖ =511 33 44  = 25 0,3,4=0, 25 , 25  = 33 44 8 6  =2,1,20, 25 , 25=2, 25 , 25 =1,0∙,4 =3,0,2  =‖‖ ∙=308=11 ‖‖ =√ 1113 33 22  = 13 3,0,2=13 , 0, 13  = 33 22 20 30  =1,0,413 , 0, 13= 13 , 0, 13 =2,3,1 =1,  2, 1   =21  32 11= ∙∙= =12,,3,2,11∙∙1,1,1,1,1=121=0 1=231=0 =1,1,2  =0, 1,0 =0 1 11 02=2 ∙∙= =0,11,,01∙,2∙2,2,0,0,1=0 1=22=0

3. Calcular u x v, y probar que es ortogonal tanto a u como a v a)

b)

c)

d)

=  =  =12 11  11=23 ∙∙= =21,,11,,1∙1∙2,32,,3,1=231=0  1=431=0 = =   =1 2 61 01=613 ∙∙= =1,2,6,10,∙1∙6,6,1,1,13=66=0 13=12113=0       =

4. Encuentre la ecuación de la esfera, con centro en el plano XZ que pasa por los puntos P(0,8,0), Q(4,6,2) y R(0,12,4). Ecuación de la esfera :

Para encontrar la ecuación de la esfera n ecesitamos encontrar el punto central y el radio, de la pregunta tenemos que el centro se encuentra en el plano xz, por lo que la coordenada en y será cero (0), entonces: Si el punto central está dado por C(a,b,c) entonces tenemos:

=0,8,0,,=,8, ⟹ ‖‖ =  8   1 =4,6,2,,=4 , 6 , 2 ⟹ ‖‖ = 4  6  2 2 =01,12,43 ,,=,12,4⟹ ‖‖ =  1 2 4  3   88   = = 1 2 1 2  4 4  =02⇒3=12        44  66  22  = =1 2 1 2 4 4 =0  =12 ⇒ =7 = ‖‖ =  7 8 12 =√257  7   12 =257 Igualando

 y

Como

Igualando

 y

 y remplazando el valor de c

Como

Las coordenadas del centro encontradas son C(-7,0, 12)

Para encontrar el radio reemplazamos el punto en la ecuación (1)

Finalmente, la ecuación de la esfera es:

=2 =

5. Dos fuerzas , se aplican en un punto. ¿Qué fuerza F3, debe aplicarse en el mismo punto para cancelar el efecto de F1 y F2?

=  =234 =5

Para cancelar el efecto de R se necesita un R igual, pero de sentido contrario (-R)

 ==5

6. Dos fuerzas con magnitudes de 500 libras y 200 libras actúan sobre una pieza de la maquina a ángulos de 30° y 45° respectivamente, con el eje x. hallar la dirección y la magnitud de la fuerza resultante.

=   =500cos30sin30 200cos45sin45  =(250√ 3100√ 2)250100√ 2 ‖‖ =  (250√ 3100√ 2) 250100√ 2  ≈584,6  (250100√  2 ) tan= (250√  ≈0,189 3 100√  2 ) =10,7° =      =75 c os30  si n 30  =100c os45  si n 45  =12575 cos120125sin120075 125

7. Tres fuerzas de magnitudes de 75, 100 y 125 libras, actúan sobre un objeto a ángulos de 30°, 45° y 120° respectivamente, con el eje x positivo. Hallar la dirección y la magnitud de la fuerza resultante.

= 2 √ 3 50√ 2  2  2 50√ 2  2 √ 3

‖‖=  752 √ 3 50√ 2  1252 752 50√ 2  1252 √ 3 ≈228,5  75 125  50√  2  2 − =tan 752 √ 3 50√ 2 2 125√ 23 ≈71,3°

8. Encontrar la tensión en cada cable que s ostiene la carga dada en la figura.

 == ‖‖‖‖  cos130, s i n 130   cos30,sin30 Σ =2000  ‖ ‖ cos130, ‖ ‖ cos30=0    ‖‖ sin130, ‖‖ sin30=2000 Σ ‖‖‖‖ =1758, 7 7   =1305,40  Resolviendo el sistema tenemos



9. Un avión vuela en dirección 302°, su velocidad con respecto al aire es de 900 Km/h, el viento a la altitud del avión viene del suroeste a 100 Km/h. ¿Cuál es l a verdadera dirección del avión y cuál es su velocidad respecto al suelo?

=   =100 =900ccos148  si n 148  os45  si n 45 = 9 00cos148100cos45   900si n 148100si n 45  900sin148100sin45  ≈882,9 /ℎ ‖=tan ‖ =−900cos148100cos45  +   + ≈38,34° 38,34°al norte del oeste, o también 51,66° noroeste

10. Un avión vuela a una velocidad constante de 400 millas/h, hacia el este, respecto al suelo, y se encuentra con un viento de 50 millas/h, proveniente del noroeste  (sopla al noroeste). Encontrar la velocidad relativa al aire y el rumbo que permitirán al avión mantener su velocidad respecto al suelo y su dirección haci a el este.

=  =50 =400cos135sin135 =(40025√ 2)25√  2 ‖‖ =  (40025√ 2) 25√ 2 √  ) ≈5,5° =tan− (−√  Rumbo:

∙ cos= ‖ ‖‖ ‖   ∙=1 ‖‖‖‖ ==√  61  12 = √ 6 ∗√ 11  cos60= 6141=0 =41 =2±√ 3 ∙ cos= ‖ ‖‖ ‖   ∙=34 ‖‖‖‖ ==5   =1  12 = 345 cos60= 5=68 = 56  43     =1 =1 56  43   =1  8011=0 1004±3√  3 3∓4√  3 = 34√  , = 10 10  = 10 3 , 4 3√ 10 3 ,  =34√ 10 3 , 4 3√ 10 3

N 84,5°E

11. ¿Para qué valores de a, el ángulo entre los vectores u= (1,2,1,) y v=(1,0,a) es igual a 60°?

12. Encontrar 2 vectores unitarios que forman un ángulo de 60° con el vector u=(3,4). Sea v=(a,b)

Remplazando en el módulo unitario

13. Encuentre el área del triángulo con vértices en los puntos P(1,1,0), Q(1,0,1) y R(0,1,1).

 = 12 ℎ= 12 ‖‖‖‖ sin= 12 ‖‖ ⃗ =1,0, 1  ,  ⃗ =1,1,0 =11 10 10 = ‖1‖ =√ 3  = 2 √ 3

14. Encuentre el área del triángulo con vértices en los puntos P(1,3,-2), Q(2,4,5) y R(-3,-2,2).

 = 12 ℎ= 12 ‖‖‖‖ sin= 12 ‖‖ ⃗ =1,1,7 ,  ⃗ =4,5,4 =1 4 1 5 47=3932 ‖1‖ =√2546  = 2 √2546

15. Encuentre el volumen del paralelepípedo con aristas adyacentes OP, OQ y OR, donde P,Q y R son los puntos P(1,1,0), Q(1,0,1) y R(0,1,1). Sea O el punto en el origen.

=∙   ⃗ =1,1,0  ,  ⃗ =1,0,1 , ⃗ =0,1,1 =01 10 11= =1,1,1∙1,1,0=2

16. Encuentre el volumen del tetraedro cuyas aristas adyacentes son OP, OQ y OR, donde P,Q y R son los puntos P(1,3,-2), Q(2,4,5) y R(-3,-2,2). Sea O el punto en el origen.

= 16 ∙ ⃗ =1,3,2 3, ⃗2 =22,4,5 , ⃗ =3,2,2 ∙= 21 43 25 =55 = 556   ≈9,167

17. Un camión de 4800 libras esta estacionado sobre una pendiente de 10°. Si se supone que la única fuerza a vencer es la de gravedad, hallar: a) La fuerza requerida para evitar que el camión ruede cuesta abajo. b) La fuerza perpendicular a la pendiente. a)

b)

=48000 =cos10si n 10 ∙   = =48000‖‖sin10cos10sin10 ‖ =8335, 1 cos10  si n 10  ‖ =8335,1  =   =48000  8335, 1 cos10  si n 10   =8208,546552,6 ‖‖ =47270,8 

18. Un coche de juguete se jala ejerciendo una fuerza de 25 libras. Sobre una manivela que forma un ángulo de 20° con la horizontal. Calcular el trabajo realizado al jalar el coche 50 pies. Trabajo= Fuerza*Distancia

= ‖‖‖⃗ ‖ =‖‖ =cos ‖‖‖‖ = ∙ ⃗ =25cos20sin20 =1250c =50 os20≈1174,6 .  19. Un niño frena una bicicleta aplicando una fuerza dirigida hacia debajo de 20 libras sobre el pedal, cuando la manivela forma un ángulo de 40° con la horizontal. La manivela tiene 6 pulgadas de longitud. Calcular el momento respecto a P.

6"=⃗    =   ⃗ = 12 cos40sin 40  = 20   =cos4020 si20n240 00=10cos40

=⃗=10cos40≈7,66 .

20. Una fuerza de 200 libras actúa s obre el soporte mostrado en la figura.

 ⃗=200cos =1512 sin



a) Determine el vector AB y el vector F que represente la fuerza. (F estará en términos de  )

‖ ‖         =200cos 15 200s12 in  00=3000sin2400cos  = ‖ ‖ =3000sin2400cos  = ‖ ‖ =250sin200cos =30°  == ‖‖  ‖‖ =250si n 30200cos30 =298,2 .   = 250cos30200sin30=0 tan= 54 =51,34°

b) Calcular la magnitud del momento respecto a A evaluando

Dividimos entre 12 para convertir de pulgadas a pies

c)

Usar el resultado del apartado b) para determinar la magnitud del momento cuando

d) Usar el resultado del apartado b) para determinar el ángulo cuando la magnitud del momento es m áxima, a ese ángulo, ¿Cuál es la relación entre los vectores F y AB?

La relación entre los vectores F y AB es que son ortogonales entre si.

21. Determinar si las rectas L1 y L2 son paralelas oblicuas o se cortan. Si se cortan, encuentre el punto de intersección.

1:2: =1 =12 =3 =2 =4 =13 = 2 , 3 ,  1   , =1, 1 , 3  ≠      12=1 1  , =       3=4 2        2  3     = 2=13 3 Paralelismo:

Intersección entre rectas:

Como no cumple la igualdad, entonces no se intersectan, por lo tanto, son oblicuos.

22. Sea L una recta que pasa por el punto P(1,2,3) y es perpendicular al plano xy, hallar las coordenadas de los puntos de L que están a una distancia de 7 unidades del punto Q(3,-1,5). Como es perpendicular al plano XY entonces tenemos:

 =8 ⇒ 1 , 2 , 1 1 =4 ⇒1,2,1   =6 =6 = =1

 = 1 , 2 , 3  0, 0 , 1  =1 , =2 , =3 3 149  122   5=493 =7  432=0  =8=4 = =1 =1 =1, 1 , 1  =1 =1,1,1   0,1,1

23. Hallar un conjunto de ecuaciones para métricas de la rec ta que pasa por el punto (1,0,2) y es paralela al plano dado por , y es perpendicular a la recta Del plano  tenemos De la recta   tenemos Según la gráfica existe una infinidad de rectas contenidas en el plano, y que pueden pasar por el punto

24. El plano que pasa por los puntos (2,2,1) y (-1,1,-1) y es perpendicular al plano

  = 2 , 2 , 1  1, 1 ,  1= 3 , 1 , 2           =2, 3,1  =32 1 3 12=711 7711=5  1 111 1=0  =1, = 1 , 0 , 1 0 , 1 , 1  1, 0  =1,1 ,0 0,1= ,1=1,0,1 =11 10 10 =2  0 1 1=0  normal

25. El plano que pasa por los puntos (0,1,1), (1,0,1) y (1,1,0).

23=3

26. El plano que pasa por el punto (6,0, -2) y contiene a la recta:

=42 =35 =74

=2, = 6 , 0 ,  2 4 , 3 , 7  3,  9 =2, 5 , 4  =22 35 94 =33104 3333104=190  410 34 7=0 =2 23=1  =1,=2,1,1,13     = 12 11 13  =253 =2,5,3          =2 1 23=1 2 32=3 ⟹ =1 =1 23   ==01,2⟹,1==1  1 , 1 , 0  =2, 1 , 1 , 0 1 , 1   = 22 51 31  =248 224=1  14 18 0=0 =1 2=3 2=1  =1,=0,10,,21     = 10 01  12 =2 =1,2,1        =1    1 =32    2 =1,=01,⟹2 =1 =3 1,3,0     = 11 21 21  =333 3=4  13 33 0=0

27. Plano que pasa por el punto (-1,2,1) y contiene a la recta de intersección de los planos

y

Encontrando un punto en la recta de intersección

Reemplazando en (1)

28. El plano que pasa por la recta de intersección de los planos

Encontrando un punto en la recta de intersección

y

y es perpendicular al plano

29. Encuentre el punto en el que se cortan las rectas dadas y la ecuación del plano que contiene estas rectas

1:2: =1 =1 =2 =2 = =2 1=2 1= 2=2 ⟹ =12,0,2 =0     = 11 11 20 =22 2 2 2 0 =0 =2 =2 =1 =1 =2 =1, 1 , 1  =1,1,2   = 11 1 1 21 =32 =3 =1 =22 =1 =1 =2 == 1 , 1 , 2 0, 1 , 2  =1,  , 2 2 =1,  1, 2  ∙=0    1 144=0 ⟹ = 2 =32 ,  12 ,1= 12 3,1,2 =3 =1 =22 Igualando componentes:

Punto de intersección

El plano que contiene a estas rectas es:

30. Encuentre ecuaciones paramétricas para la recta que pasa por el punto (0,1,2) es paralela al plano y perpendicular a la recta

31. Encuentre ecuaciones paramétricas para la recta que pasa por el punto (0,1,2) y es perpendicular a la recta

Primero encontramos el vector dirección de la re cta buscada.

1,2,3 =2 =23 =5 =2,2,02,2,01,2,3=1,0,3 =1,3, 5    = 11 30 35  =983 ‖‖‖ =√35 ‖ =√154 = ‖‖‖‖ = √ √ 13545 =  252   ≈2,1 2,8,5  22=1 ===0 ⟹ =1 ⟹  1 , 0 , 0   = 1 , 0 , 0 2 , 8 , 5  1,  8,  5 = 1 ,  2,  2 ‖=‖ =√ | ∙1 44=3 | 25 = ‖‖ 3 |      = ||1∗2   2∗8   2∗51| |2 16101| 25   √  = =2=1 3 3 = 3 63=4  =1,=3,26,,13 1,2=,1=31,  2,1  ==0 ⟹ =1 ⟹  1 , 0 , 0  |  3∗14 7 7√  6 = |3 ∗06 ∗0 = = 3√ 6 3√ 6 18 =  =   = √ |  |  = |√      |    |  |  = , ,         ⟹ = √   

32. Distancia del punto a la reta:

33. Distancia del punto al plano:

Primero encontramos un punto en el plano:

O también de la siguiente forma:

34. Distancia entre dos planos paralelos:

3

Del primer plano obtenemos un punto P

35. Demuestre que la distancia entre los planos paralelos

De la ecuación de la distancia de un punto a u n plano tenemos:

y

es:

36. Encuentre la ecuación de los planos que son paralelos al plano

22=1

=|√ 1| | |  2=6=13  ⟹⟹  =7 6= | 1| 6=1 ⟹  =5   22=7 22=5 ⁄6 =       =   : tan=   = 6 ⟹ √ 33 = √  =    =26  2 = 23 tan 3 =√ 3 ⟹ √ 3 =  =√ 3  − √  = =      =−√    =0 0 =1=00 ⟹ 0,0,0 1 = √ 3  ⟹ √ 3 ,0,1

37. Ecuación del plano que contiene al eje Y y for ma un ángulo de (

 y distan 2 unidades de él.

) con el eje X positivo.

Recta del plano buscado

Entonces encontramos la recta normal del plano

Entonces la recta normal al plano es: Parametrizando la recta normal:

Ahora encontramos puntos en la recta normal:

3 3 ==√ 3 3 ,0,1 0,0,0 =√ 3 3 ,0,1 Hallando el vector dirección v

= √ 3 3    √ 3=0    =0 3

Observamos que el vector dirección es igual a la normal del plano buscado, v=n

Finalmente, la ecuación del plano buscado es:

√ 3 3=0

38. Describa y trace la superficie: a)

b)

 4 =1=4 4

Cilindro Elíptico

  =1

Cilindro Hiperbólico

3=344=1212 /12 4  3  12 =1

39. Reduzca la ecuación a una de las formas estándar, clasifique la superficie y trácela. a)

Hiperboloide de una hoja con eje en z

b)

  4=4 =   44  44 =  = 2

Paraboloide hiperbólico

   =16 =4=4   =2 =2cos ∅∅=2si ∅=2si n ∅si n  n ∅si n  sin∅=2sin =   cos  sin  = =cos∅=cos2∅∅ ∅cos2 cos∅= cos∅= ∅cos2

40. Escriba la ecuación en Coordenadas Cilíndricas y en Coordenadas Esféricas a) Cilíndricas: Esféricas: b)

Cilíndricas: Esféricas:

c)

Cilíndricas: Esféricas: