Solucionario Pmar i u04 06

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento

SOLUCIONARIO

UNIDAD 4: Álgebra y funciones ................................ ...................... ...................... ....................... ......... 3 ACTIVIDADES ANTES DE COMENZAR-PÁG. 111...........................................................................................3 ACTIVIDADES Y TAREAS-PÁG. 114 ...............................................................................................................3 ACTIVIDADES Y TAREAS-PÁG. 115 ...............................................................................................................6 ACTIVIDADES Y TAREAS-PÁG. 118 ...............................................................................................................8 ACTIVIDADES Y TAREAS-PÁG. 119 .............................................................................................................10 ACTIVIDADES Y TAREAS: Aprendizaje cooperativo-PÁG. 119....................................................................11 ACTIVIDADES Y TAREAS-PÁG. 122 .............................................................................................................12 ACTIVIDADES Y TAREAS-PÁG. 123 .............................................................................................................13 ACTIVIDADES Y TAREAS: Investiga-PÁG. 123 .............................................................................................14 ACTIVIDADES Y TAREAS-PÁG. 126 .............................................................................................................15 ACTIVIDADES Y TAREAS-PÁG. 127 .............................................................................................................19 ACTIVIDADES Y TAREAS-PÁG. 130 .............................................................................................................21 ACTIVIDADES Y TAREAS-PÁG. 131 .............................................................................................................24 ACTIVIDADES Y TAREAS: Aplicación a la vida cotidiana-PÁG. 131.............................................................25 ACTIVIDADES Y TAREAS-PÁG. 133 .............................................................................................................26 ACTIVIDADES Y TAREAS: Aplicación a la vida cotidiana-PÁG. 133.............................................................30 TRABAJAMOS COMPETENCIAS-PÁG. 134 ..................................................................................................30 TRABAJAMOS COMPETENCIAS-PÁG. 135 ..................................................................................................32 DESAFÍO PISA-PÁG. 136 ............................................................................................................................. 37 INFORMÁTICA MATEMÁTICA-PÁG. 137 ....................................................................................................38 EVALUACIÓN-PÁG. 138 .............................................................................................................................. 40 MI PROYECTO-PÁG. 140 ............................................................................................................................ 41 MI PROYECTO-PÁG. 141 ............................................................................................................................ 42 UNIDAD 5: Estadística y probabilidad .............................. ...................... ....................... ...................... 44 ACTIVIDADES ANTES DE COMENZAR-PÁG. 143.........................................................................................44 ACTIVIDADES Y TAREAS-PÁG. 145 .............................................................................................................44 ACTIVIDADES Y TAREAS: Trabajo cooperativo-PÁG. 145...........................................................................46 ACTIVIDADES Y TAREAS-PÁG. 147 .............................................................................................................46 ACTIVIDADES Y TAREAS-PÁG. 149 .............................................................................................................50 ACTIVIDADES Y TAREAS-PÁG. 152 .............................................................................................................52 ACTIVIDADES Y TAREAS-PÁG. 153 .............................................................................................................55 ACTIVIDADES Y TAREAS-PÁG. 155 .............................................................................................................57 ACTIVIDADES Y TAREAS: Aprendizaje cooperativo-PÁG. 155....................................................................58 ACTIVIDADES Y TAREAS-PÁG. 157 .............................................................................................................60 ACTIVIDADES Y TAREAS: Investiga-PÁG. 157 .............................................................................................63 ACTIVIDADES Y TAREAS-PÁG. 159 .............................................................................................................63 ACTIVIDADES Y TAREAS-PÁG. 161 .............................................................................................................65 ACTIVIDADES Y TAREAS-PÁG. 163 .............................................................................................................67 TRABAJAMOS COMPETENCIAS-PÁG. 164 ..................................................................................................70 TRABAJAMOS COMPETENCIAS-PÁG. 165 ..................................................................................................72 DESAFÍO PISA-PÁG. 166 ............................................................................................................................. 73 INFORMÁTICA MATEMÁTICA-PÁG. 167 ....................................................................................................75 EVALUACIÓN-PÁG. 168 .............................................................................................................................. 75 MI PROYECTO-PÁG. 170 ............................................................................................................................ 76 MI PROYECTO-PÁG. 171 ............................................................................................................................ 77 UNIDAD 6: La materia y los cambios químicos .................................................................................... 78 ACTIVIDADES ANTES DE COMENZAR-PÁG. 173.........................................................................................78 ACTIVIDADES Y TAREAS-PÁG. 176 .............................................................................................................78 ACTIVIDADES Y TAREAS: Investiga-PÁG. 176 .............................................................................................78 ACTIVIDADES Y TAREAS: Experimenta-PÁG. 176.......................................................................................79 1

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento

SOLUCIONARIO

ACTIVIDADES Y TAREAS-PÁG. 177 .............................................................................................................79 ACTIVIDADES Y TAREAS-PÁG. 180 .............................................................................................................81 ACTIVIDADES Y TAREAS: Interpreta imágenes-PÁG. 180 .......................................................................... 82 ACTIVIDADES Y TAREAS: Interpreta imágenes-PÁG. 181 .......................................................................... 83 ACTIVIDADES Y TAREAS: Experimenta-PÁG. 181.......................................................................................84 ACTIVIDADES Y TAREAS-PÁG. 184 .............................................................................................................84 ACTIVIDADES Y TAREAS: Práctica científica-PÁG. 185 ...............................................................................86 ACTIVIDADES Y TAREAS-PÁG. 188 .............................................................................................................86 ACTIVIDADES Y TAREAS: Interpreta imágenes-PÁG. 188 .......................................................................... 87 ACTIVIDADES Y TAREAS: Trabajo cooperativo-PÁG. 188...........................................................................88 ACTIVIDADES Y TAREAS: Práctica científica-PÁG. 189 ...............................................................................88 ACTIVIDADES Y TAREAS-PÁG. 191 .............................................................................................................89 ACTIVIDADES Y TAREAS: Interpreta imágenes-PÁG. 191 .......................................................................... 89 ACTIVIDADES Y TAREAS: Trabajo cooperativo-PÁG. 191...........................................................................90 ACTIVIDADES Y TAREAS-PÁG. 193 .............................................................................................................90 ACTIVIDADES Y TAREAS: Práctica científica-PÁG. 193 ...............................................................................91 ACTIVIDADES Y TAREAS: Investiga-PÁG. 193 .............................................................................................92 ACTIVIDADES Y TAREAS-PÁG. 195 .............................................................................................................92 ACTIVIDADES Y TAREAS: Trabajo cooperativo-PÁG. 195...........................................................................94 TRABAJAMOS COMPETENCIAS-PÁG. 196 ..................................................................................................95 TRABAJAMOS COMPETENCIAS-PÁG. 197 ..................................................................................................96 DESAFÍO PISA-PÁG. 198 ........................................................................................................................... 100 TRABAJO CIENTÍFICO-PÁG. 199 ...............................................................................................................101 EVALUACIÓN-PÁG. 200 ............................................................................................................................ 102 MI PROYECTO-PÁG. 202 .......................................................................................................................... 103 MI PROYECTO-PÁG. 203 .......................................................................................................................... 103

2

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SOLUCIONARIO

UNIDAD 4: Álgebra y funciones ACTIVIDADES ANTES DE COMENZAR-PÁG. 111  Indica cuál de las siguientes expresiones algebraicas se corresponde con la frase «el doble de un número

menos su mitad»: x2

x

2x

2

2

x

x

2x

2x

x

2

2

La tercera expresión.  ¿Eres capaz de encontrar un número

que, puesto en el lugar de la x, cumpla la siguiente condición?

3x + 1 = 5 – x x=1  La siguiente fórmula nos da el c oste en euros de una llamada

de teléfono (C) en función de su duración en minutos (t): C = 0,20 + 0,15 t ¿Cuánto costaría una llamada de 5 minutos? ¿Y de dos minutos y medio? Una llamada de 5 minutos costaría 0,95 €. Una de dos minutos y medio costaría 0,58 €.

ACTIVIDADES Y TAREAS-PÁG. 114 1. Traduce al lenguaje algebraico las siguientes situaciones. a) El doble de un número menos cinco. a) 2x – 5 b) La tercera parte de un número menos el doble de otro. x b) – 2y 3

c) Dos veces el cuadrado de un número menos su tercera parte. x c) 2x2 – 3

d) Un número menos tres veces otro, todo ello al cubo. d) (x – 3y)3 e) La sexta parte de un número más 2 es igual a 3. e)

x 6

+2=3

3

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SOLUCIONARIO

f) Dividiendo el número de alumnos de una clase entre 2 y sumando al resultado 3, obtenemos 17. x f) + 3 = 17 2

g) El área de un círculo es el número pi por el radio al cuadrado. g) A = π · r2 h) El área de un rectángulo, que viene dado por el producto de su base y su altura, es 18. h) A = b · h = 18 2. Expresa, utilizando el lenguaje algebraico, las siguientes propiedades de números enteros y racionales. Escribe además dos ejemplos de cada una. a) Si multiplicamos el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número obtenemos una fracción equivalente. a)

a c a  b c b

b) El producto de dos potencias con la misma base es igual a dicha base elevada a la suma de los exponentes. b) an · am = an+m 3. Realiza las siguientes operaciones con monomios indicando el grado del monomio o polinomio resultante: a) 8x4 + 5x4 = 13x4, grado 4 b) 7x3 – 9x3= –2x3, grado 3 c) –2x2 + 4x5 + 3x2 – x5 = 3x5 + x2, grado 5 d) 4x7 – 2x + 5x – 4 = 4x7 + 3x – 4, grado 7 e) 3x4 · (–2x3) = –6x7, grado 7 f) ( –3x8) · (–6x3) = 18x24, grado 24 4. Realiza las siguientes sumas y restas de polinomios indicando el grado del polinomio resultante: a) (4x5 + x3 – 2x2 + x – 1) + (3x – 1) = 4x5 + x3 – 2x2 + 4x – 2, grado 5 b) (17x2 + x – 12) + (3 x3 – x2 + 5x – 4) = 3x3 + 16x2 + 6x – 16, grado 3 c) (4x2 – 11x + 6) – (4x2 + 10x – 5) = – 21x + 11, grado 1 d) (12x5 + x4 – 20x + 2) – (6x5 – 6) = 6x5 + x4 – 20x + 8, grado 5 4

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SOLUCIONARIO

5. Realiza los siguientes productos indicando el grado del polinomio resultante: a) (2x3) · (4x + 1) = 8x4 + 2x3, grado 4 b) (2x + 3) · (5 x2 – x + 4) = 10x3 + 13x2 + 5x + 12, grado 3 c) ( –6x2 + x) · (3 x2 + 4) = –18x4 + 3x3 – 24x2 + 4x, grado 4 d) (12x4 – x2 + 1) · (5x3 + x) = 60x7 + 7x5 + 4x3 + x, grado 7

6. El producto de polinomios también puede realizarse colocando un polinomio debajo de otro. Observa los siguientes ejemplos:

Realiza, utilizando este método, los s iguientes productos de polinomios:

a) (4 x2 + 4x + 4) · (3 x + 1)

c) (3 x4 + 2x2 – 4)–· (5 4)x2

5

b) (5 x3 + 2x2 – x + 5) · ( x2 + 1)

d) (

5

x

+ x3 – 1) · (x3 + 5x2 – 1)

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SOLUCIONARIO

ACTIVIDADES Y TAREAS-PÁG. 115 7. El valor numérico de un polinomio es el que obtenemos cuando sustituimos la variable por un valor fijo.

Calcula el valor numérico de los siguientes polinomios en los casos indicados: a) El polinomio 7 x2 + 2x –7: — para x = 1 — para x = 5 para x = 1 vale 7 · 1 2 + 2 · 1 – 7 = 2 para x = 5 vale 7 · 5 2 + 2 · 5 – 7 = 178 b) El polinomio x2 – 5x + 6: — para x = 2 — para x = –3 2

para – 52 ·–25(+ –3) 6 = +0 6 = 30 para xx == 2–3vale vale2( –3) c) El polinomio –x3 + x: — para x = –2 — para x =

1 2

para x = –2 vale –( –2)3 + ( –2) = 6 para x =

3

 1 1 3 vale      2 2 2 8 1

d) El polinomio 5 x3 – 4x2 + x – 14 — para x = –10 2

— para x = 5 para x = – 10 vale ( –10)3 – 4(–10) 2 + (–10) – 14 = –1 424 para vale x=

2 5

6

3

 2   2 5   4   5  5

2

2

14 

5

1.740



125

348 25

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento 8. Indica el grado de las siguientes ecuaciones: a) x + 5 = 3 x2 –1 a) Grado 2 b)

x

3 4

= 15x + 2

b) Grado 1 c) 6x – 1 = 2 · ( x – 1) c) Grado 1 d) x3 – x = 5 d) Grado 3 9. Indica cuáles de las siguientes expresiones son identidades y cuáles son ecuaciones: a) 3x + 4 = 3 a) Ecuación b) a2 + 3a2 = 4a2 b) Identidad c) 2x + 3x = 3x + 2x c) Identidad d) x + 5 = 2x – 5 d) Ecuación 10. Calcula mentalmente la solución de las siguientes ecuaciones: a) x + 5 = 7

e) 12x – 13 = 11

a) x = 2

e) x = 2

b) x – 4 = –3 b) x = 1

f) –x + 1 = 2 f) x = – 1

c) 2x + 4 = 10 c) x = 3

g) –3x + 10 = 4 g) x = 2

7

SOLUCIONARIO

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento

d) 5x – 1 = –16

h)

3 d) x = –

h)

x

2 3

SOLUCIONARIO

+1=3

x=4

11. Indica si son equivalentes entre sí los siguientes pares de ecuaciones comprobando si se c umplen para una misma solución: a) x – 3 = 1 y

1

2x

3

3

a) Equivalentes 4x

b) x + 4 = 6 y

3

11

2

b) No equivalentes c) 4x + 2 = 6 y

4



x

1 2

7

c) No equivalentes d) 3x – 1 = 2 y

6x

2

3

 1

7 3

d) Equivalentes

ACTIVIDADES Y TAREAS-PÁG. 118 1. Escribe en tu cuaderno la ecuación correspondiente a cada una de las imágenes. Explica además que hemos hecho en cada caso para pasar de una situación a otra.

4x + 2 = x + 14

Restamos 2 en ambos miembros: 4x = x + 12

Restamos x en ambos miembros: 3x = 12

Dividimos entre tres ambos miembros: x = 4

8

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento

SOLUCIONARIO

2. Resuelve la ecuación 3x + 6 = x + 12 y representa el proceso en tu cuaderno utilizando una balanza y pesas de valor x y 2 kg. Ecuación 3x + 6 = x + 12 3x = x + 6 2x = 6

Plato izquierdo de la balanza 3 pesas de x y 3 pesas de 2 kg 3 pesas de x 2 pesas de x

Plato derecho de la balanza Una pesa de x y 6 pesas de 2 kg Una pesa de x y 3 pesas de 2 kg 3 pesas de 2 kg

x=3 Cada pesa equivale a 3 kg. 3. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 5x – 3 = 12 b) 10x + 5 = 75 c) 4x + 5 = 1 d) 2x – 3 = 2

e) 6x + 1 = x + 11 f) 2x + 3 = x – 1 g) 4x – 5 = x + 2 h) 2x + 3 = x – 1

i) 12x – 10 = 5x + 3 j) 3 + 3x = 11 – x k) x + 5 = 1 – 3x l) 3 – 2x = x + 10

m) 6 – 3x = 2x + 1 n) 9 + x = 3x – 11 ñ) 5x + 1 = 2 – 3x o) 10x + 25 = 75 – 20x

a) x = 3 b) x = 7 c) x = –1

e) x = 2 f) x = 2 g) x = 7/3

i) x = 13/7 j) x = 2 k) x = –1

m) x = 1 n) x = 10 ñ) x = 1/8

d) x = 5/2

h) x = 2

l) x = –7/3

o) x = 5/3

4. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 2(x + 1) = x + 6 b) 8x + 3 = 5 (x + 6) c) 5 – (x+6) = x – 5 d) 4(2x + 1) = 3(x – 13)

e) 5 – 3(x + 1) = 10 f) 4(2 – x) = 5(x + 1) + 3 g) 3x – 4 – (4x + 1) = 5 – 6x h) 2(3 – 2x) + 1 = 4(2x + 3)

a) x = 4 b) x = 9 c) x = 2 d) x = 43/5

e) x = –8/3 f) x = 0 g) x = 2 h) x = –5/12

5. Resuelve las siguientes ecuaciones: a)

b)

x +1

2

=x - 1

2 x +4 3

9

=4

e)

f)

2 x +1 2 2x - 3 4

2- 3x

=

4

2 x +1

=

6

x

x

i) 2 + =3 4 5

j)

3x - 5 2

x - 14

+1 =

5

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento 3 x +7 c) 2 x - 3 = 2

d)

x +2

3

x- 2

=

5

g)

x

2

+1 =2 x - 5

h) 5 -

x

3

=3 - 2 x

SOLUCIONARIO

x

k) 2(x +1) = - 7 3

l)

2(x - 1) 3

1

+1 = -

a) x = 3

e) x = 0

i) x = 20/9

b) x = 4 c) x = 13 d) x = –8

f) x = 11/2 g) x = 4 h) x = –6/5

j) x = –1 k) x = –27/5 l) x = –2/25

5

x

ACTIVIDADES Y TAREAS-PÁG. 119 6. Completa la siguiente tabla en tu cuaderno calculando el valor de los dos miembros de cada ec uación para la solución propuesta. Indicando si es solución de esa ecuación o no.

Ecuación

Posible solución

Primer miembro

Segundo miembro

3x – 5 = x + 5 2x – 7 = 3x – 10

5 4

3 · 5 – 5 = 15 – 5 = 10 2·4–7=1

5 + 5 = 10 3 · 4 – 10 = 2

5 4 –(xx+=1)3x=+2x9 – 2

–1 –2 1

5 (–1)+ =1)6= –4 4 –· (–2

3 2 ·· (–1) (–2) +– 9 2 == 6 –6

1 +1

1- 1

x +1 2

x- 1

-2=

4

2

- 2 =- 1

4

=0

¿Es solución de la ecuación? SÍ No Sí No No

7. Sumando dos números consecutivos obtenemos 45. a) Si el primero de estos números es x, ¿cómo escribirías el segundo? x+1 b) Escribe la igualdad que representa que la suma de ambos números es 45. x + x + 1 = 45 c) Resuelve la ecuación resultante. ¿Cuáles son los números? x = 22. Los números son 22 y 23 8. Sumando la quinta parte de un número más su mitad obtenemos 14. ¿De qué número se trata? a) Si llamamos x al número que buscamos, ¿cómo escribíamos su quinta parte? ¿Y su mitad? x/5 y x/2 b) Escribe la igualdad que representa que la suma de ambas fracciones del número es 14. x

x

+ =14

c) Resuelve la ecuación resultante. ¿Cuál es el número? x = 20 10

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SOLUCIONARIO

9. Un grupo de amigos pide en una cafetería 4 refrescos y 3 bocadillos. La cuenta total ha sido de 9,25 € y sabemos que un bocadillo cuesta 0,75 € más que un refresco. ¿Cuánto cuesta cada bocadillo y cada refresco? x = precio refresco = 1€

precio bocadillo = 1 + 0,75 = 1,75

4x + 3(x + 0,75) = 9,25

x=1

10. Durante el verano, Ana, Elia y Nacho han leído en total 30 libros. Sabiendo que Ana ha leído ocho libros más que Nacho, y que Elia ha leído la mitad que Ana y N acho juntos, ¿cuántos libros ha leído cada uno? Denominamos x a los libros que ha leído Nacho. Entonces, Ana ha leído x + 8 y Elia ha leído x x   8

2x  8

 x 30x 4 16x 2 860 2

x  x 8 2



2x  8 2

6

Nacho ha leído 6 libros. Ana ha leído 14 libros. Elia ha leído 10 libros. ACTIVIDADES Y TAREAS: Aprendizaje cooperativo-PÁG. 119 En esta actividad tienes que trabajar con un compañero o c ompañera. Seguid estos pasos: a) Cada uno debe crear siete ecuaciones que cumplan los siguientes requisitos:

b) Escribid vuestras ecuaciones en una hoja cambiando el orden de la tabla. c) Intercambiad vuestras ecuaciones de forma que cada uno resuelva las del compañero. d) Para terminar, cada uno tiene que corregir las ecuaciones que ha hecho su pareja s eñalando los fallos que haya cometido y la forma correcta de hacerlo. Respuesta libre.

11

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SOLUCIONARIO

ACTIVIDADES Y TAREAS-PÁG. 122 1. Realiza las operaciones necesarias y agrupa todos los términos de las siguientes ecuaciones en el primer miembro. Indica cuáles de ellas son realmente ecuaciones de segundo grado: a) x2 – 5x = 3x – 7 c) 3(x2 – 1) = 3x 2 + 2x e) (x + 1) (x – 1) = x2 + x g) x – 6(x 2 – 1) = x 2 – 1 b) 2x2 – 5x = 3x + x 2 d) 2x 2 – 3x = x 2– 3(x + 1) f) 4 – (x 2 – 5x) = 1 – x 2 h) x(x + 1) = 2x 2 + 4 a) x2 – 8x + 7 = 0

c) –2x – 3 = 0

e) –x – 1 = 0

g) –7x2 + x +7 = 0

Segundo grado

Lineal

Lineal

Segundo grado

b) x2 – 8x = 0 Segundo grado

d) x2 + 3 = 0 Segundo grado

f) 5x + 3 = 0 Lineal

h) –x2 + x – 4 = 0 Segundo grado

2. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado: a) x2 – 9 = 0 f) 9x 2 + x = 4 + x 2 b) x – 1 = 0 g) x2 – 5x = 9 – 5x c) 2x 2 – 2 = 0 h) 25x2 + 2x = 2(x + 8) d) 3x2 – 75 = 0

i)

x

2

-1

2

e) 18 – 2x2 = 0

j)

x

2

3

a) x = –3, 3 b) x = –1, 1 c) x = –1, 1 d) x = –5, 5 e) x = –3, 3

=4

x

2 x +12

2

4

+ =

f) x = –2/3, 2/3 g) x = –3, 3 h) x = –4/5, 4/5 i) x = –3, 3 j) x = –3, 3

3. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado: a) x2 – 2x = 0 f) x2 – 2x + 1 = x + 1 2 b) x + 5x = 0 g) 3x2 + 2x = x2 – x 2 c) 3x – 12x = 0 h) x2 – (x + 5) = 3x – 5 d) 5x2 + 4x = 0

i)

x

2

-

x

3

e) 2x2 – x = 0

j)

x

2

3

a) x = 0, 2 b) x = –5, 0 c) x = 0, 4 d) x = –4/5, 0 e) x = 0, ½

12

=4 x

1

2 x +2

2

4

+ =

f) x = 0, 3 g) x = –3/2, 0 h) x = 0, 4 i) x = 0, 13 j) x = 0, 2/3

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SOLUCIONARIO

4. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado. Para ello completa la siguiente tabla indicando primero el valor de s us coeficientes: Ecuación x2 – 3x + 2 = 0 x2 – 2x – 3 = 0 x2 – 3x – 10 = 0

a 1 1 1

b -3 -2 -3

c 2 -3 -10

Soluciones 1, 2 -1,3 -2, 5

1 2 6 1 1

1 10 -1 -2 4

-20 12 -2 -15 -21

-5,4 -2, -3 -1/2, 2/3 -3, 5 -7, 3

1

3

-4

-4, 1

2

x + x – 20 = 0 2x2 + 10x + 12 = 0 6x2 – x – 2 = 0 x2 – 2 (x + 5) = 5 x

2

-1

4

x

2

+x =5 x

-2=

2

- 3x 2

5. Podemos resolver ecuaciones de segundo grado incompletas utilizando la fórmula general. Para ello basta con tomar los coeficientes de los términos que faltan como cero. Resuelve las siguientes ecuaciones incompletas utilizando la fórmula de las ecuaciones de segundo grado: a) x2 – 16 = 0 b) 2x2 – 5x = 0 c) –5x 2 + 125 = 0 d) 4x2 + 3x = 0 e) 4x2 – 1 = 0 a) x = –4, 4

b) x = 0, 5/2

d) x = –3/4, 0

e) x = –1/2, 1/2

6. Indica en cuáles de las siguientes ecuaciones x = –1 es solución: a) x2– 2x – 3 = 0 b) 4x 2 – 4x = 0 c) 2x 2 – 10x – 12 = 0

d) 2x2 + x = 0

e) 4x2 – 4 = 0

Sí

No

Sí

No

c) x = –5, 5

Sí

ACTIVIDADES Y TAREAS-PÁG. 123 7. El área de un rectángulo cuya base es 5 metros más larga que su altura es de 500 m2. a) Si llamamos x a la altura del rectángulo, ¿cómo escribiríamos su base? x+5 b) Escribe la expresión algebraica que nos da el área de este rectángulo en función de x. A = x · (x + 5) c) Iguala esta expresión a 500 y resuelve la ecuación resultante. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo? x · (x + 5) = 500

13

altura = 20 y base = 25 m

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento 8. Calcula las dimensiones de los siguientes polígonos: a) Su área es 168 m 2 b) Su área es 16 m 2 c) El perímetro es 45 m

SOLUCIONARIO

d) El área es 189 m2

x x –1 x–2 x+2 x+7

x+3

a) 12 y 14 m

b) 4 y 8 m

x+1

c) 9 m

d) 21 m y 18 m

9. El producto de un número multiplicado por el resultado de sumarle 5 es 176. ¿Cuál es ese número? Hay dos soluciones: –16 y 11 10. Queremos construir una mesa de 1 m 2 de superficie que tenga un lado 45 cm más largo que el otro. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de esta mesa? 80 y 125 cm ACTIVIDADES Y TAREAS: Investiga-PÁG. 123 11. En la fórmu la para resolver ecuaci ones de seg undo grado aparece una raíz cuadrada con un sig no . Por este motivo hemos obtenido dos soluciones para las ecuaciones de las actividades anteriores, pero ¿obtendremos siempre dos soluciones cuando resolvamos una ecuación de segundo grado? Para contestar esta pregunta debes seguir los siguientes pasos: a) Completa, en tu cuaderno, la siguiente tabla calculando para cada ecuación el valor del número que iría dentro de la raíz en la fórmula de las ecuaciones de segundo grado. Este número se denomina discriminante.

Ecuación

Discriminante

Ecuación

x2 – 8x + 7 = 0

b2 – 4ac = (-8)2 – 4·1·7 = 64 – 28 = 36

x2 + x + 10 = 0

–39

x2 + 5x – 50 = 0

225

x2 – 6x + 9 = 0

0

x2 – 4x + 4 = 0

0

2x2 – 2x + 5 = 0

–36

14

Discriminante

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento

SOLUCIONARIO

b) ¿Podemos calcular la raíz de un número negativo? ¿Qué ocurre entonces con las ecuaciones cuyo discriminante sea un número negativo? No tienen solución.

c) En algunos casos el valor del discriminante es 0. ¿Qué diferencia hay entre sumar y restar 0? ¿Qué podemos concluir entonces sobre la solución de las ecuaciones cuyo determinante sea 0? Solo tienen una solución. d) Escribe tus conclusiones en el cuaderno. Para que sea más sencillo, puedes hacerlo uniendo cada frase de la izquierda con otra de la derecha.

e) Indica, sin resolverlas, cuántas soluciones tienen las siguientes ecuaciones. a) x2 + 6x + 5 = 0

c) x2 – 7x + 12 = 0

e) 2x2 – 3x + 5 = 0

g) -5x2 + 4x – 10 = 0

2 soluciones b) x2 – x + 5 = 0

2 soluciones d) x2 – 8x + 16 = 0

No tiene solución f) 2x 2 + 8x + 8 = 0

No tiene solución h) x2 + 5x + 4 = 0

No tiene solución

Una solución

Una solución

Dos soluciones

ACTIVIDADES Y TAREAS-PÁG. 126 1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método de reducción:

a) Sumando ambas ecuaciones: 3x = 3 x=1 Sustituyendo en la primera ecuación: 1+y=2 y=1 b) x

 3y  6



3 3x

 x  3 y  6   y   8  9 x3 24 y 15

  

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento Sumando ambas ecuaciones: 10x = 30; x = 3 Sustituyendo en la primera ecuación: 3 + 3y = 6; y = 1 c) x = 2, y = 3 d) x = 0, y = 5 e) x = –1, y = –1 f) x = 12, y = –7 2. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método de sustitución:

a) Despejamos x de la primera ecuación: x = 12 – 2y Sustituimos en la segunda: 3 (12 – 2y) – y = 1 36 – 6y – y = 1 –7y = –35

y=5

Con esto: x = 12 – 2 · 5; x = 2 b) Despejamos y en la primera ecuación: y = 8 – 3x Sustituimos en la segunda: 2x + 5 (8 – 3x) = 14

2 x + 40 – 15x = 14

Con esto: y = 8 – 3 · 2; y = 2 c) x = 0, y = 1 d) x = 4, y = 7 e) x = 3, y = 1 f) x = –4, y = 1

16

–13x = – 26; x = 2

SOLUCIONARIO

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento 3. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método de igualación:

a) Despejamos x en ambas ecuaciones: x = 11 – 2y

- 5- y -2

x=

Igualando estas dos expresiones: - 5-

11 - 2 y =

y

®

-2

5 y =21 ®

con esto tenemos: x 

21

y=

5

17 5

b) Despejamos y en ambas ecuaciones: y = –2x y

x 7 3

Igualando estas dos expresiones:

2 x

x 7 6;  7x 3

x

x=1 Con esto tenemos: y = –2 c) x = 2, y = 5 d) x = 0, y = –4 e) x = 3, y = –2 f) x = –1, y = –3

17

SOLUCIONARIO

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento 4. Escribe dos sistemas de ec uaciones distintos que tengan como solución:

Respuesta libre. 5. Comprueba si los siguientes sistemas tienen como solución la indicada:

a) Sí

d) No

b) Sí

e) No

c) No

f) Sí

6. Intenta resolver los siguientes sistemas y señala si son compatibles o incompatibles:

a) Incompatible

c) Compatible determinado; x = –3; y = –3

b) Incompatible

d) Incompatible

18

SOLUCIONARIO

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento

SOLUCIONARIO

ACTIVIDADES Y TAREAS-PÁG. 127 7. Intenta resolver los siguientes sistemas y señala si son compatibles determinados o indeterminados.

a) Compatible determinado; x = 5, y = –4. b) Compatible indeterminado. c) Compatible indeterminado. d) Compatible indeterminado. e) Compatible indeterminado. f) Compatible determinado; x = 3, y = 3.

8. Resuelve los siguientes sistemas por el método que prefieras, indicando, en cada caso, si el sistema es incompatible, compatible determinado o compatible indeterminado:

a) Incompatible. b) Compatible determinado; x = 1, y = –2. c) Compatible indeterminado. d) Incompatible. e) Compatible determinado; x = 1/3, x, y = 1. f) Compatible indeterminado. 9. En una tienda de música venden discos compactos a dos precios distintos: 16 € y 18 €. Si se han vendido un total de 45 discos la última semana, y han obtenido unos ingresos de 770 €, ¿cuántos discos de cada clase se han vendido?

Denominamos: x = discos a 16 € y = discos a 18 € 19

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento

SOLUCIONARIO

Tendremos entonces: x  y  45

 

16 x 18 y 770 

Solución: x = 20 discos a 16 €, y = 25 discos a 18 €. 10. Las dos cifras de 21. la edad de Isabel suman 7. Si a cinco veces la primera le restamos dos veces la segunda, obtenemos ¿Cuántos años tiene Isabel? Denominamos: x = primera cifra y = segunda cifra Tendremos entonces: xy 7

 

5 x 2 y 21  

Solución: x = 5, y = 2 Isabel tiene 52 años. 11. El precio de un ordenador de segunda mano es cinco veces menor que el de uno nuevo. Si resulta que un ordenador viejo cuesta 720 € menos que uno a estrenar, ¿cuánto cuesta cada ordenador? Denominamos: x = precio del ordenador de segunda mano. y = precio del ordenador nuevo Tendremos entonces: y  5x

  y  x  720  Solución: x = 180 €, y = 900 € 12. En una clase de 27 alumnos el número de chicas es el doble que el de chicos. ¿Cuántos chicos y cuántas chicas hay? Denominamos: x = número de chicas Tendremos entonces: x  y  27   x  2y  Solución: x = 18, y = 9 20

y = número de chicos

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento

SOLUCIONARIO

13. En una clase hay alumnos de 14 y de 15 años de edad. Si en total suman 20 alumnos y la edad media es de 14,25 años, ¿cuántos alumnos hay de cada edad?

Denominamos: x = alumnos de 14 años y = alumnos de 15 años Tendremos entonces: x  y  20

 

14 x 15 y 285 

Solución: x = 15, y = 5 ACTIVIDADES Y TAREAS-PÁG. 130 1. Dibuja en tu cuaderno unos ejes como los de la figura de la derecha y representa los siguientes puntos: A(1,3)

F(0,4)

B(5,3)

G(-1,0)

C(-1,6)

H( 1 ,2) 2

D(-3,-5)

I(-4,

3) 2

E(2,-7)

J(7, - 7 ) 2

21

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento 2. La relación entre el lado de un cuadrado y su área es: A = l 2

b)

Donde A es el área y l es el lado. Considerando esta relación como una función:

SOLUCIONARIO

l (m)

A (m2)

0

0

a) ¿Cuál es la variable independiente? ¿Y la dependiente?

1

1

El lado es la variable independiente y el área la dependiente.

2

4

b) Copia en tu cuaderno la tabla de valores y complétala.

3

9

4

16

5

25

c) Indica su dominio. El dominio está formado por todos los números reales. d) Representa en unos ejes de c oordenadas los puntos obtenidos.

3. La siguiente función muestra el número de clientes que hay en un a cafetería en cada hora en que está abierta:

a) ¿Cuáles son la variable independiente y la variable dependiente en esta función? V. independiente: horas. V. dependiente: número de clientes. 22

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento b) Según la gráfica, ¿a qué hora abre y cierra la cafetería? Abre a las 6 y cierra a las 24 h. c) Indica en qué momentos crece y en cuáles decrece el número de clientes de esta cafetería. Crece en los intervalos (6,8); (11,12); (13,15); (21,23). Decrece en los intervalos (9,11); (12,13); (15,21); (23,24). d) ¿En qué momentos el número de clientes de la cafetería permanece constante? Entre las 8 y 9. e) ¿Hay algún momento en el que la cafetería se queda vacía? A las 21 horas. f) Construye una tabla de valores con los puntos señalados en la gráfica. Horas

23

Clientes

6

0

7

10

8

25

9

25

10

15

11

10

12

15

13

10

14

25

15

30

16

20

17

10

18

5

19

5

20

5

21

0

22

15

23

25

24

10

SOLUCIONARIO

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento

SOLUCIONARIO

ACTIVIDADES Y TAREAS-PÁG. 131 4. La tabla de valores de la derecha contiene algunos datos sobre los beneficios (o pérdidas cuando son negativos) que ha tenido una empresa desde su fundación en 1997.

Año

Beneficio (en miles de €)

Año

Beneficio (en miles de €)

1997

- 1,5

2007

7

a) ¿Cuál es la variable independiente? ¿Y la dependiente?

1999

-1

2009

1,5

2001

1

2011

- 1,5

El año es la variable independiente, el beneficio la dependiente.

2003 2005

5,5 4

2013 2015

-2 1,5

b) Representa gráficamente esta función.

c) Localiza los puntos de corte con el eje horizontal. ¿Qué significado tienen en este caso? (2000,0); (2010,0); (2014,0) Son los puntos en los que el beneficio fue 0. d) Señala en qué épocas la función es positiva (está por encima del eje horizontal) y en cuáles es negativa. ¿Qué significado tiene? Los beneficios son positivos de 2000 a 2010 y de 2014 a 2015. Los beneficios son negativos de 1997 a 2000 y de 2000 a 2014. e) Señala los intervalos en los que esta función es creciente y decreciente. ¿Tiene algún máximo o mínimo? Indícalos. Es creciente de 1997 a 2003, de 2005 a 2007 y de 2013 a 2015. Es decreciente de 2003 a 2005 y de 2007 a 2013. Tienen un máximo en (2007, 7) y un mínimo en (2013, –2) 24

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento

SOLUCIONARIO

ACTIVIDADES Y TAREAS: Aplicación a la vida cotidiana-PÁG. 131 5. La siguiente gráfica muestra el porcentaje de carga de la batería de un teléfono móvil en las últimas 24 horas:

a) Indica en qué momentos la función es c reciente y en cuáles es decreciente. ¿Qué significado tiene esto? La función es decreciente desde las 0 horas a las 18 y desde las 21 hasta las 24. En estos periodos la batería se está descargando. La batería es creciente entre las 18 y las 21 horas. Durante este periodo el teléfono está conectado al cargador. b) ¿Cuál es el porcentaje de carga mínimo que se alcanza? ¿En qué momento se alcanza? 10 % a las 18 horas. c) ¿Qué sucede a las 21 h (punto H)? Se alcanza un máximo relativo con un 90 % de carga. En ese momento se desconecta el teléfono del cargador. d) El teléfono móvil muestra un aviso cuando la carga de la batería es menor del 20%. ¿Cuándo apareció este mensaje? Aparece en el punto F (14,20). Aparece a las 14 horas. 6. Una impresora de chorro de tinta cuesta 50 € y cada cartucho de tinta cuesta 30 €. a) Copia en tu cuaderno y completa la siguiente tabla de valores: b) ¿Cuál es la variable independiente? ¿Y la dependiente?

Cartuchos comprados

Coste total

La variable independiente es el número de cartuchos comprados. La dependiente el coste total.

0 1

80

c) Indica el dominio de la función.

2

110

Los números naturales.

3

140

4

170

5

200

25

50

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento

SOLUCIONARIO

c) Representa la función en unos ejes de coordenadas.

ACTIVIDADES Y TAREAS-PÁG. 133 1. Vamos a estudiar las propiedades de las funciones afines comparando las gráficas y las ecuaciones de tres grupos de rectas: GRUPO 1 Función 1: y = x + 1 Función 2: y = x + 3 Función 3: y = x

GRUPO 2 Función 4: y = 2x + 1 Función 5: y = 2x + 3 Función 6: y = 2x

GRUPO 3 Función 7: y = -2x + 1 Función 8: y = -2x + 3 Función 9: y = -2x

a) ¿Son todas funciones afines? Justifica tu respuesta. Son todas funciones afines ya que su expresión algebraica se ajusta a la forma y = mx + n

b) Completa una tabla de valores como la de la derecha para cada recta. GRUPO 1 Función 1

Función 2

Función 3

x

y

x

y

x

y

-2

-1

-2

1

-2

-2

0

1

0

3

0

0

2

3

2

5

2

-1

26

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento

SOLUCIONARIO

GRUPO 2 Función 4

Función 5

Función 6

x

y

x

y

x

y

-2

-3

-2

-1

-2

-4

0

1

0

3

0

0

2

5

2

7

2

4

x

y

x

y

x

y

-2

5

-2

7

-2

4

0

0

0

0

0

0

2

-3

2

-1

2

-4

GRUPO 3 Función 7

Función 8

Función 9

c) Representa estas funciones utilizando un único sistema de coordenadas para cada grupo. Usa colores distintos para cada recta de forma que sea fácil identificarlas. GRUPO 1

27

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento GRUPO 2

GRUPO 3

d)

¿Qué tienen en común las representaciones gráficas de las funciones de cada grupo?

Son rectas paralelas. 28

SOLUCIONARIO

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento e)

SOLUCIONARIO

Señala cuál es la pendiente y la ordenada en el srcen de cada una de las funciones. GRUPO 1 1

2

3

GRUPO 2

Pendiente

1

O. Origen

1

Pendiente

1

O. Origen

3

Pendiente

1

O. Origen

0

4

5

6

GRUPO 3

Pendiente

2

O. Origen

1

Pendiente

2

O. Origen

3

Pendiente

2

O. Origen

0

7

8

9

Pendiente

-2

O. Origen

1

Pendiente

-2

O. Origen

3

Pendiente

-2

O. Origen

0

f) ¿Cómo crees que influye el valor de la pendiente en la representación gráfica de las funciones? La pendiente determina la inclinación de la recta. g) Compara las primeras funciones de cada grupo. ¿Tienen algo en común? ¿Y las segundas? ¿Y las terceras? Cortan en el mismo punto al eje vertical h) ¿Cómo crees que influye el valor de la ordenada en el srcen en la representación gráfica de una función? La ordenada en el srcen determina el punto de corte de la recta con el eje vertical.

2. Identifica cada una de las rectas representadas en el sistema de coordenadas con una de las siguientes expresiones algebraicas: a) y = 3x – 6

b) y = 2x + 4

d) y = –3x + 1

e) y = 3x

a) Recta 4

b) Recta 2

d) Recta 5

e) Recta 3

c) y = –x + 4 c) Recta 1

3. Las funciones cuya ordenada en el srcen es 0 se denominan funciones lineales. Su expresión algebraica es siempre de la forma: y = mx a) Escribe cuatro ejemplos de funciones lineales. Respuesta libre. b) Represéntalas gráficamente. Respuesta libre. c) ¿Qué tienen en común las representaciones gráficas de todas las funciones lineales? Todas las funciones lineales pasan por el srcen de coordenadas. 4. Repite la actividad anterior con las funciones denominadas constantes, que son las que tienen pendiente 0. Respuesta libre. Todas las funciones constantes son rectas horizontales.

29

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento

SOLUCIONARIO

ACTIVIDADES Y TAREAS: Aplicación a la vida cotidiana-PÁG. 133 5. Carlos tiene ahorrados 35 €. Cada semana recibe 10 € de paga, de los que consigue ahorrar 5 €.

Semana

Ahorros

1

40

a) Completa en tu cuaderno una tabla de valores como la de la derecha indicando cuánto dinero ahorrado tendrá Carlos cada semana a partir de la actual.

2

45

3

50

b) En esta función, ¿cuáles la variable independiente? ¿Y la dependiente?

4

55

La variable independiente es el tiempo (en semanas) y la variable dependiente es el dinero que Carlos tiene ahorrado.

5 6

60 65

c) Representa gráficamente estos datos en unos ejes de coordenadas. d) ¿De qué tipo de función se trata? Justifica tu respuesta. Es una función afín porque su representación gráfica es una recta. e) Escribe la expresión algebraica de esta función. y = 35 + 5x

TRABAJAMOS COMPETENCIAS-PÁG. 134 1. Una empresa construye piscinas cuadradas como las de las figuras. Los cuadrados azules representan el agua de la piscina, y los cuadrados blancos, las baldosas que se c olocan en el borde. Cada cuadrado mide 1 m y tiene 1 m 2 de área.

a) Realiza una tabla en tu cuaderno indicando la superficie de agua y el número de baldosas blancas necesarias para los modelos representados en la figura.

30

Piscina

Superficie de agua (m2)

Baldosas

1

9

16

2

16

20

3

25

24

4

36

28

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento

SOLUCIONARIO

b) ¿Qué superficie de agua tendría una piscina cuadrada de 7 m de lado? ¿Cuántas baldosas blancas necesitaríamos para los bordes? 49 m2 de agua, 32 baldosas. c) Y para una piscina de 10 m de lado, ¿cuántas baldosas necesitaríamos? ¿Cuál sería su superficie? 100 m2 de agua, 44 baldosas. d) Escribe una expresión algebraica que nos sirva para calcular la superficie de agua para una piscina de lado x. S = x2 e) Escribe una expresión algebraica que nos dé el número de baldosas blancas que se necesitan para construir una piscina de lado x. B = 4x + 4 2. Las siguientes ecuaciones tienen como solución x = 1 o x = –1. Completa en tu cuaderno la siguiente tabla escribiéndolas en la columna adecuada. 2x + 5 = 7 3x – 1 = 4x 5x + 11 = 5 – x 3(x + 1) = 6 2(x – 1) = 0 4(1 – x) = 2(2x – 2) 1- 2x 3

=x +2

6 x +4 5

Ecuaciones con solución x = 1 2x + 5 = 7 3(x + 1) = 6 2(x – 1) = 0 6 x +4 5

3 x +1

=

2

4(1 – x) = 2(2x – 2)

3 x +1

9 - 11 x

2

4

=

10 - 5 x

=

3

Ecuaciones con solución x = –1 3x – 1 = 4x 1- 2 x 3

=x +2

9 - 11x 4

10 - 5 x

=

3

5x + 11 = 5 – x

3. La siguiente función muestra la cantidad relativa de consultas sobre términos relacionados con la telefonía móvil en Google a lo largo de los últimos años. Puedes observar que hay picos muy señalados que indican que en determinados momentos las consultas sobre este tema aumentan bruscamente.

31

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento

SOLUCIONARIO

a) Analiza la gráfica y señala qué momentos se producen estos máximos en la función. ¿Son siempre en la misma época del año? Se producen siempre al final del verano y al final del año. b) Uno de estos momentos es al final de cada año. ¿A qué crees que se debe este aumento? El aumento de consultas (y previsiblemente de ventas) en torno a telefonía móvil está relacionado con los regalos navideños. c) Busca información sobre las fechas de lanzamiento de los dispositivos de telefonía móvil más famosos y trata de relacionarlos con la gráfica. El máximo del final del verano coincide con la presentación de los distintos modelos de iPhone. TRABAJAMOS COMPETENCIAS-PÁG. 135 4. a) Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado: x2 – 4 = 0

x2 – 2x – 3 = 0

x2 – 5x = 0

x = –2, 2

x = –1, 3

x = 0, 5

x2 + 4x + 4 = 0

x2 + x + 9 = 0

–x2 – 4x + 5 = 0

x=2

No tiene solución

x = –5, 1

b) Utiliza alguna aplicación o página web para representar las siguientes funciones: y = x2 – 4

32

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento

y = x2 – 2x – 3

y = x2 – 5x

y = x2 + 4x + 4

33

SOLUCIONARIO

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento

SOLUCIONARIO

y = x2 + x + 9

y = –x2 – 4x + 5 = 0

c) Observa los puntos de corte de las funciones representadas con el eje horizontal. ¿Qué relación tienen con las soluciones de las ecuaciones correspondientes? ¿Sabrías decir por qué? Las soluciones a la ecuación de segundo grado nos dan los puntos de corte de la parábola correspondiente con el eje x. Cuando solo hay una solución, el único punto de corte es el vértice. También se puede dar el caso de que una parábola no llegue a cortar el eje x, correspondiente con una ecuación sin soluciones. 5. Completa en tu cuaderno la siguiente tabla escribiendo las ecuaciones de cada sistema como funciones. Para ello solo tienes que despejar la y en función de la x:

ïü ý ïþ

y=6–x

y = –2x + 1

y = –2x + 6

y = 3x/2 – 1/2

Función 2

y=x+2

y = –3x

y = –2x + 1/2

y = 3x/2 – 1/2

4 x +2y =1

3 x - 2 y =1

ïü ý ïþ

Función 1

3 x +y =0

2 x +y =6

ïü ý ïþ

x +y =6 - x +y =2

34

2 x +y =1

ïü ý ïþ

Sistema

6 x - 4 y =2

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento

SOLUCIONARIO

a) Resuelve los sistemas de ecuaciones. Sistema 1: x = 2; y = 4 Sistema 2: x = -1; y = 3 Sistema 3: No tiene solución (sistema incompatible) Sistema 4: Tiene infinitas soluciones (sistema compatible indeterminado)

b) Representa las funciones de cada sistema en un mismo eje de coordenadas. Sistema 1 Sistema 2

Sistema 3

Sistema 4

c) ¿Observas alguna relación entre las soluciones de cada sistema y la representación de las dos rectas que lo forman? ¿Qué ocurre cuando las rectas son paralelas? ¿Qué sucede cuando el sistema tiene infinitas soluciones? Escribe un breve texto explicando tus conclusiones. Cuando un sistema de ecuaciones no tiene solución (SI), la representación gráfica de las funciones que lo forman son dos rectas paralelas. Cuando el sistema tiene infinitas soluciones (SCI), ambas funciones son la misma recta. 35

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento

SOLUCIONARIO

6. Observa los datos sobre llamadas internacionales que nos ofrece una factura de teléfono.

a) Si sabemos que esta compañía no cobra nada por el establecimiento de llamada, ¿cuánto cuesta cada minuto? 0,24 €/minuto b) Escribe una expresión algebraica que nos dé el coste en euros en función de la duración de la llamada (en segundos). C = 0,004 · t c) ¿Cuál es la variable independiente? ¿Y la dependiente? C, el coste, es la variable dependiente. t, el tiempo, es la variable independiente. d) ¿Cuánto costaría una llamada de 5 minutos y 15 segundos? 1,26 € e) Si una llamada ha costado 0,84 €, ¿cuál fue su duración? 21 segundos f) Representa gráficamente la función. ¿Qué tipo de función es? Es una función lineal.

36

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento

SOLUCIONARIO

DESAFÍO PISA-PÁG. 136 1. Tamara llega a casa a las 15:05 horas. ¿Qué hora es en cada una de las ciudades de sus dos amigos? Son las 9:05 en Nueva York y las 17:05 en Moscú. 2. Tamara ha tenido una idea: ha escrito las siguientes fórmulas para calcular la hora en las ciudades donde viven sus amigos: NY = MA – 6

MO = MA + 2

Escribe las fórmulas que deberían utilizar Derek y Sergéi. Derek: MA = NY + 6 MO = NY + 8 Sergéi: MA = MO – 2 NY = MO – 8 3. Copia y completa la siguiente tabla en tu cuaderno: Madrid

Nueva York

Moscú

14:31

8:31

16:31

3:30 (+1 día) 22:15 (-1 día)

21:30 16:15 (-1 día)

5:30 (+1 día) 00:15

4. Teniendo en cuenta los horarios de los tres amigos, ¿Crees que es buena idea que Derek intenté conectarse para chatear a las 17 :20 horas de Nueva York? Qué están haciendo en ese momento Sergéi y Tamara? A esa hora son las 23:20 en Madrid y la 1:20 en Moscú, por lo que Tamara y Sergéi están durmiendo. 5. Encuentra todos los huecos en los que podrían chatear los tres amigos. Para ello puede serte útil representar en tres ejes paralelos como el del ejemplo el horario de cada uno de los amigos.

Tamara

Derek

Sergéi

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Durmiendo

9

10 11

12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Instituto

21 22 23 24 0

2

2

5

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 1

3

4

6

7

8

9

Instituto

4

5

6

7

8

9

Durm.

18 19 20

Durmiendo

3

In.

10 11 12 13 14 15 16 17 18

Piano

2

Durmiendo

El único periodo en el que pueden conectarse los tres amigos a la vez es el comprendido entre las 19:00 y las 20:30 hora española. 37

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento

SOLUCIONARIO

INFORMÁTICA MATEMÁTICA-PÁG. 137 En un laboratorio están estudiando las características térmicas de un material. Tras calentarlo a cierta temperatura lo introducen en un congelador y lo dejan enfriar, recogiendo datos de temperatura en distintos momentos. Puedes ver estos datos en la tabla de la derecha. 1. Configura tu espacio de trabajo para disponer de unos ejes adecuados y representa estos datos tomando el tiempo en minutos como variable independiente (eje horizontal) y la temperatura en oC como variable dependiente (eje vertical).

38

Tiempo (min)

Temperatura (oC)

2

37,5

4

25

5

18,75

7

6,26

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento

SOLUCIONARIO

2. Utiliza la herramienta recta ( ) para trazar la recta que une estos puntos. Puedes comprobar que Geogebra no solo la dibuja sino que escribe su expresión algebraica en el margen derecho. ¿Cuál es la pendiente de esta recta? ¿Y la ordenada en el srcen?

La pendiente es –6,25 y la ordenada en el srcen 50. (Puede cambiarse la forma de expresar la ecuación de la recta de general a explícita o ecuaciones paramétricas pulsando con el botón derecho sobre la recta). 3. Utiliza la información gráfica y algebraica para contestar a las siguientes preguntas: a) ¿Cuánto baja la temperatura de este material cada minuto? 6,25 oC b) ¿A qué temperatura estaba el material al inicio del experimento? 50 oC c) ¿En qué momento alcanza los 0 oC? A los 8 minutos. d) ¿Qué temperatura tendrá cuando hayan transcurrido 20 minutos? A los 20 minutos habrá alcanzado los 75 grados bajo cero.

39

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento

SOLUCIONARIO

EVALUACIÓN-PÁG. 138 1. Resuelve la siguiente resta de polinomios: (x3 + 3x2 – x +12) – (2x3 – x + 5) a) – x3 + 3x +27

– x3 + 3x22x –+7

b)

– x3 + 3x27–

c)

d) x

3

+ 3x2 + 7

a) – x3 + 3x2 + 7 2. Resuelve la siguiente multiplicación de polinomios: (x 3 + 2x – 3) · (x2 – 5x) a) 2x5 – 5x4 + 2x3 – 13+ 15x x2 4 b) x5 – 5x15 + 2x3 –

5

c) x

5

d) x

– 5x4 + 2x3 – 7x2 + 15x – 5x4 + 2x3 – 13 x2 + 15x

d) x5 – 5x4 + 2x3 – 13 x2 + 15x 3. Resuelve la siguiente ecuación: x – 4(x + 1) = 3x + 8 a) x = 1 b) x = –1

c) x = 2

d) x = –2

d) x = –2 4. Resuelve la siguiente ecuación: 2 x +1 5

a) x = 1

b) x = –1

c) x = 2

3x - 6

- 1=

4

d) x = –2

c) x = 2 5. Resuelve la siguiente ecuación de s egundo grado: x2 – 12x + 35 = 0 a) No tiene solución

b) –7 y 5

c) 5 y 7

d) 10 y 14

c) 5 y 7 6. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método que prefieras: 2 x +5y =- 4 4 x - 2y =16

a) x = –5; y = 1

b) x = 3; y = –2

ü ï ý ïþ

c) x = 5; y = –1

d) x = 3; y = 2

b) x = 3; y = -2 7. Cada paquete de cuatro yogures tiene un precio de 1 €, y el de cuatro flanes, 1,20 €. Si he comprado flanes y yogures y me he gastado 8 € y 60 céntimos en 32 unidades en total, ¿cuántos flanes y cuántos yogures he comprado? a) 20 yogures y 12 flanes b) 12 yogures y 20 flanes c) 16 yogures y 16 flanes d) 32 yogures y 0 flanes a) 20 yogures y 12 flanes. 40

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento

SOLUCIONARIO

8. Indica con qué expresión algebraica se corresponde la tabla de datos siguiente: a) y = 2x 1– b) y = –x+2 1

c) y = x d) y = x

2 2

+1 –1

x –1 2 4

y 0 3 15

d) y = x 2 – 1 9. En una página web de venta en internet venden fundas para teléfonos móviles a 5,80 € la unidad. Los gastos de envío son siempre 8 € , independientemente del número de fundas que pidas. Escribe la expresión algebraica que resume la relación entre el precio total a pagar en euros (€) y el número de fundas que se compran (n): a) C = 5,80n b) C = 8n + 5,80

c) C = 5,8n + 8 d) C = n + 5,80

c) C = 5,8n + 8 10. Indica qué recta de las siguientes se corresponde con la función y = –2x + 6 a) Recta roja b) Recta azul

c) Recta verde d) Recta rosa

b) Recta azul.

MI PROYECTO-PÁG. 140 1. Según el Instituto Nacional de Estadística, ¿qué porcentaje de jóvenes de entre 10 y 15 años contacta con personas que no conocen a través de redes sociales? ¿Cuántos han sufrido algún tipo de acoso? Un tercio, es decir, el 33 %. 2. Comenta la siguiente frase: «La identidad de un adolescente es su móvil y su perfil en redes sociales». ¿Qué crees que quiere decir? ¿Estás de acuerdo? Respuesta libre. 3. Pregunta a que tus compañeros: usáis habitualmente alguna red social? ¿Cuál es la que más usáis? ¿Creéis vuestro uso es¿Cuántos responsable? Respuesta libre. Tanto en esta actividad como en la anterior lo alumnos pueden exponer sus respuestas mediante una puesta en común en el grupo de clase.

41

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento

SOLUCIONARIO

MI PROYECTO-PÁG. 141 Paso 1. Elegir el mensaje Respuesta libre. Paso 2. Crear un lema Respuesta libre. Paso 3. ¿Dónde imprimimos las camisetas? 1.

Camisetas

Precio A (€)

Precio B (€)

10

50

40

50

140

140

100

240

265

150

340

390

2. IMPRENTA A: Recta roja IMPRENTA B: Recta azul

a) Imprimir 40 camisetas es 5 € más barato en la imprenta B. b) Imprimir 90 camisetas es 20 € más barato en la imprenta A. c) En general, para una cantidad pequeña de camisetas es más barato imprimir en la imprenta B. A partir de 50 camisetas (que cuesta 140 € en ambas opciones) empieza a ser más económico trabajar con la imprenta A. 3. Respuesta libre.

42

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SOLUCIONARIO

Ordenad toda la información de los pasos uno, dos y tres e incorporadla como una nueva entrada en el blog de vuestra asociación. Incluid algunos datos sobre uso de redes por adolescentes y un anuncio de la camiseta con el precio que habéis decidido. Respuesta libre. En esta actividad se intenta que el alumno resuelva problemas y tome decisiones en un contexto lo más real posible. Siempre que sea posible se recomienda utilizar datos reales de su centro educativo y en la evaluación del resultado debe analizarse cómo se ajustan las respuestas a esa realidad. En este sentido también es muy importante la forma en la que el alumno comunica sus resultados mediante las publicaciones en el blog de la asociación. Esta actividad puede alcanzar su máximo potencial si el proyecto desarrollado se lleva a la práctica.

43

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento

SOLUCIONARIO

UNIDAD 5: Estadística y probabilidad ACTIVIDADES ANTES DE COMENZAR-PÁG. 143 

Estas son las notas que ha obtenido Mónica en los exámenes de Matemáticas que ha hecho en esta evaluación: 8, 3, 5, 6, 5, 7. ¿Cuál es su nota media? 5,67



En la siguiente figura está representado el resultado de una encuesta en la que se ha pedido a un grupo de alumnos que valoren las jornadas culturales que se han organizado en el instituto:

-

¿Qué tipo de diagrama es? Es un diagrama de sectores.

-

¿Qué piensan la mayoría de los alumnos? Que les ha gustado mucho.

-

Compara los resultados positivos («Mucho» y «Bastante») c on los negativos («Poco» y «Nada»). ¿Qué porcentaje de alumnos hay en cada caso? Los alumnos que valoran positivamente las jornadas culturales (les ha gustado mucho o bastante) suman un 80 %, frente a un 20 % de ellos a los que no les ha gustado nada o les ha gustado poco.



Si tiramos dos monedas al aire: - ¿Es igual de probable obtener dos caras que dos cruces? Sí, en ambos casos la probabilidad es 1/4. -

Y obtener una cara y una cruz, ¿es más o menos probable que las situaciones anteriores? Justifica tu respuesta. Este caso es más probable ya que hay dos combinaciones (cara – cruz y cruz – cara) que nos conducen a este resultado, por lo que la probabilidad es 2/4 o lo que es lo mismo, 1/2.

ACTIVIDADES Y TAREAS-PÁG. 145 1. Clasifica las siguientes variables estadísticas en cualitativas, cuantitativas discretas y cuantitativas continuas: a) El color de ojos de cada persona. Cualitativa. b) El precio del m 2 de vivienda en cada barrio. Cuantitativa continua. 44

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento

SOLUCIONARIO

c) El tipo de combustible que utiliza cada coche. Cualitativa. d) Los libros que ha leído cada persona en el último mes. Cuantitativa discreta. e) La temperatura media diaria en un municipio. Cuantitativa continua. f) El número de vehículos que utilizan cada día una autopista. Cuantitativa discreta. 2. Analiza los siguientes ejemplos de estudios estadísticos y completa la tabla en tu cuaderno indicando en cada caso cuál es la población, la muestra (si hay), la variable estadística y el tipo de dicha variable. Estudio estadístico

Población

Muestra

Variable

Tipo de variable

Una encuesta electoral en la que se pregunta a 2 000 personas a qué partido van a votar en las próximas elecciones.

Todas las 2 000 personas. personas inscritas en el censo electoral.

Intención voto.

de

Cualitativa.

En un instituto se evalúa el rendimiento de los 15 alumnos de PMAR I analizando las notas de todos

Los alumnos de PMAR I.

Los alumnos de PMAR I.

Notas.

Cuantitativa discreta.

Una empresa registra el navegador con el que acceden todos los usuarios a su web.

Los usuarios de la web.

Los usuarios de la web.

Navegador utilizado para acceder.

Cualitativa.

Un profesor pide a un grupo de 20 alumnos que califiquen una actividad entre 0 y 10 para valorar la opinión de los 90 alumnos que han participado en ella.

Los 90 alumnos que han participado en la actividad.

Los 20 alumnos a los que pregunta el profesor.

Valoración de la actividad.

Cuantitativa discreta.

Un grupo de biólogos registra el número de crías en cada uno de los nidos de buitre negro en un parque natural.

Los nidos de buitre negro del parque.

Los nidos de buitre negro del parque.

Número crías.

Cuantitativa discreta.

Un periódico realiza un reportaje sobre el mundo laboral preguntando a 500 trabajadores por su sueldo.

Los trabajadores de todo el país.

Los 500 trabajadores a los que pregunta.

El sueldo.

Cuantitativa discreta.

En un hospital registran la estatura de todos los recién nacidos en ese hospital.

Los recién nacidos en ese hospital.

Los recién nacidos en ese hospital.

La estatura.

Cuantitativa continua.

ellos.

45

de

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento

SOLUCIONARIO

3. Indica en los siguientes casos si consideras más oportuno estudiar la población al completo o utilizar una muestra. Justifica tu respuesta. a) Resultados en Matemáticas en una clase. Población completa porque son pocos. b) Satisfacción de los usuarios de Google. Muestra, porque sería imposible preguntar a todos los usuarios de Google. c) Profesores de cada asignatura en una comunidad autónoma. Muestra, porque son muchos y es complicado preguntar a todos. d) Ventas de los distintos modelos de móviles. Muestra porque es difícil reunir los datos de todas las ventas de teléfonos móviles. e) Audiencias televisivas. Muestra porque es imposible preguntar a todos los telespectadores. f) Valoración de una obra de teatro por los espectadores. Podría preguntarse a todos (con algún tipo de encuesta rápida a la salida), aunque posiblemente sea más cómodo seleccionar una muestra. ACTIVIDADES Y TAREAS: Trabajo cooperativo-PÁG. 145 4. Para realizar esta actividad debéis trabajar en grupos de dos o tres personas. a) Buscad en grupo casos de estadística presentes en vuestro entorno: noticias en prensa, televisión, internet, encuestas, etc. b) Siguiendo las instrucciones de vuestro profesor o profesora, formad nuevos grupos de manera que no coincidáis con vuestros compañeros del apartado anterior. Compartid los ejemplos que habéis encontrado e indicad en cada uno de ellos la población objeto del estudio, la muestra (si existe), la variable estadística y el tipo al que pertenece. Respuesta libre.

ACTIVIDADES Y TAREAS-PÁG. 147 1. Observa la tabla del ej emplo de la página anterior y responde a las siguientes preguntas: a) Según esa encuesta, ¿cuál es el número de dispositivos móviles más habitual? 4 b) ¿Qué es m ás habitual, tener 2 o 6 dispositivos móviles en una casa? 2 c) ¿Qué porcentaje de encuestados declara tener 5 dispositivos móviles en casa? 20 % d) ¿Qué fracción de encuestados tiene 4 o menos dispositivos móviles? 14/20 = 7/10 46

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento

SOLUCIONARIO

e) ¿Qué porcentaje tiene 5 o más dispositivos móviles? 30% 2. Una compañía de telecomunicaciones realiza una encuesta a 500 clientes para valorar su satisfacción con el servicio de c onexión a internet. En esta encuesta les pide que valoren este se rvicio asignándole un valor entre 1 (muy disconforme) y 5 (muy satisfecho). La siguiente tabla muestra los resultados obtenidos: Valores

f

1 2 3 4 5 Total

145 98 25 179 53 500

a) ¿Cuál es la variable estadística? ¿De qué tipo es? Variable cuantitativa discreta: satisfacción con el servicio. b) Completa en tu cuaderno la tabla de frecuencias añadiendo las columnas correspondientes a las frecuencias acumuladas, las f recuencias relativas y los porcentajes.

x

f

F

1 145 145

h

Porcentaje

0,29

29 %

2

98

243 0,196

3

25

268

0,05

19,6 % 5%

4 179 447 0,358

35,8 %

5

10,6 %

53

500 0,106

500

1

100 %

c) ¿Qué fracción de clientes ha calificado con la máxima puntuación el servicio de conexión a internet? 53/500 = 0,106 = 10,6 % d) Si en la empresa consideran como valoración negativa 3 o menos, ¿qué porcentaje de clientes han valorado negativamente el servicio? 268/500 = 67/125 = 53,6%

47

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento 3. La tabla de la derecha muestra los datos de los 10 juegos con más propietarios en la plataforma Steam a principios de 2015.

Juego DOTA 2 Team Fortress 2 Unturned Counter-Strike: GO Counter-Strike: Source Garry’s Mod Warframe The Elder Scrolls V: Skryim

a) ¿Cuál es la variable estadística? ¿De qué tipo es? Variable estadística cuantitativa discreta: número de propietarios. b) Completa en tu cuaderno la tabla de frecuencias con las frecuencias acumuladas y relativas y los porcentajes.

Propietarios 58 562 308 31 097 789 19 226 823 18 593 687 14 471 946 13 802 077 12 032 992 10 689 731

x

f

F

h

Porcentaje

DOTA 2

58562308

58562308

0,3281

32,81 %

Team Fortress 2

31097789

89660097

0,1742

17,42 %

Unturned

19226823

108886920

0,1077

10,77 %

Counter-Strike: GO

18593687

127480607

0,1042

10,42 %

Counter-Strike: Source

14471946

141952553

0,0811

8,11 %

Garry’s Mod

13802077

155754630

0,0773

7,73 %

Warframe

12032992

167787622

0,0674

6,74 %

The Elder Scrolls V: Skryim

10689731

178477353

0,0599

5,99 %

1

100 %

178477353

SOLUCIONARIO

c) ¿Cuántos propietarios acumulan entre todos los juegos? 178 477 353 d) ¿Qué porcentaje de estos propietarios lo son del juego más popular? 32,81 % son propietarios del juego DOTA 2 e) ¿Qué porcentaje de jugadores acumulan entre los tres primeros juegos? 61,01 % f) ¿Qué diferencia en porcentaje hay entre el primer juego y el último juego de esta lista? 26,82 % 4. A continuación puedes ver las notas obtenidas en la asignatura de Matemáticas en un grupo de 28 alumnos. 8 6 5 7 7 2 9 1 2 8 4 5 7 5 5 6 10 3 9 7 8 4 4 6 5 6 3 8 a) ¿Cuál es la variable estadística en este caso? ¿De qué tipo es? Variable estadística cuantitativa discreta: la nota de Matemáticas. 48

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento b) Ordena los datos en una tabla de frecuencias. x

f

F

h

Porcentaje

1

1

1

0,0357

3,57%

2

2

3

0,0714

7,14%

3

2

5

0,0714

7,14%

4 5

3 5

8 13

0,1071 0,1786

10,71% 17,86%

6

4

17

0,1429

14,29%

7

4

21

0,1429

14,29%

8

4

25

0,1429

14,29%

9

2

27

0,0714

7,14%

10

1

28

0,0357

3,57%

1

100,00%

28

c) ¿Cuál ha sido la nota más frecuente en esta clase? 5 con un 17,86 % d) ¿Qué diferencia en porcentaje hay entre la primera y la segunda nota más frecuente? 3,57 % e) ¿Qué porcentaje de alumnos ha s uspendido? 28,57 % f) ¿Qué fracción de alumnos ha sacado una nota superior a 8? 10,71 %

49

SOLUCIONARIO

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento

SOLUCIONARIO

ACTIVIDADES Y TAREAS-PÁG. 149 1. Los siguientes datos muestran las horas semanales dedicadas al estudio por 30 alumnos de PMAR I : 14,5 13,5 10 20,5 8,5 25 9 12,5 14 26 4 11 14 21,5 20,5 7 18 17,5 19 6 14 17 18 29 10 15 15,5 23 27 19 a) Completa en tu cuaderno la siguiente tabla de frecuencias agrupando los datos en los intervalos indicados: Intervalo

Marca de clase

f

F

h

(0,5]

2,5

1

1

0,0333

3,33%

(5,10]

7,5

6

7

0,2000

20,00%

(10,15]

12,5

8

15

0,2667

26,67%

(15,20]

17,5

7

22

0,2333

23,33%

(20,25]

22,5

5

27

0,1667

16,67%

(25,30]

27,5

3

30

0,1000

10,00%

1

100,00%

Total

30

Porcentaje

b) ¿Qué significado tiene el uso de corchetes o paréntesis en la definición de los intervalos? Nos indica si se incluyen o no los límites de los intervalos. En este caso cada intervalo incluye el límite superior pero no el inferior. c) ¿En qué intervalo se encuentra el mayor número de alumnos? ¿Qué porcentaje suponen del total? El 26,67 % de los alumnos se encuentran en el intervalo (10,15] d) ¿Qué porcentaje del total suponen los alumnos que estudian 5 horas o menos a la semana? 3,33 % e) ¿Y 15 horas o menos a la semana? 50 % 2. En un equipo de baloncesto el entrenador ha registrado el tiempo de juego que cada jugador ha estado en la cancha durante el último partido. Esto son los datos de los 12 jugadores del equipo (en minutos): 38,2

3,3

31,7

1,8

15,9

13,4

15,7

21,9

15,8

24,4

25,5

32,4

a) ¿Cuál es la variable estadística? ¿De qué tipo es? Variable cuantitativa continua: tiempo de juego. b) Elige 4 intervalos para clasificar estos datos. Los más razonables son: (0,10]; (10,20]; (20,30]; (30,40] 50

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento

SOLUCIONARIO

c) Calcula la marca de clase de cada intervalo. 5, 15, 25, 35. d) Ordena los datos en una tabla de frecuencias utilizando los cuatro intervalos que has definido en los apartados anteriores.

Intervalo

Marca de clase

f

F

h

Porcentaje

(0,10]

5

2

2

0,1667

16,67%

(10,20]

15

4

6

0,3333

33,33%

(20,30]

25

3

9

0,2500

25,00%

(30,40]

35

3

12

0,2500

25,00%

1

100,00%

12

e) ¿Qué intervalo incluye a un mayor número de jugadores? ¿Qué porcentaje suponen del total de jugadores? (10,20] incluye al 33,33 % de los jugadores. f) ¿Qué porcentaje del total suponen los jugadores que han jugado menos de 5 minutos? Son dos jugadores que suponen el 16,67 % del total. g) ¿Y los que han jugado más de 20 minutos? Un 50 % 3. La empresa propietaria de una sala de cine realiza una encuesta a la salida de un estreno preguntando a los asistentes por su edad (en años). Estos son los datos que obtiene: 45

34

91

56

76

40

21

14

17

22

38

28

51

72

29

31

36

39

44

65

61

51

33

16

6

14

61

26

a) Indica cuál es la variable estadística en este caso. ¿De qué tipo es? Variable cuantitativa discreta: edad. b) Elige unos intervalos adecuados para clasificar estos datos. Justifica tu respuesta. Respuesta libre. En este caso hay numerosas opciones que tendrían sentido, dependiendo si se le da más importancia a la precisión (intervalos más pequeños) o a simplificar los resultados (intervalos más grandes). También pueden influir otras consideraciones como agrupar edades por segmentos de población (menores de edad, trabajadores, jubilados…). c) Ordena los datos en una tabla de frecuencias. Respuesta libre. En función de los intervalos elegidos. d) ¿A qué intervalo pertenecen la mayoría de los encuestados? ¿Qué porcentaje suponen respecto del total? Respuesta libre. En función de los intervalos elegidos. 51

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento

SOLUCIONARIO

e) ¿Qué intervalo es el que incluye menos espectadores? ¿Qué porcentaje suponen respecto del total? Respuesta libre. En función de los intervalos elegidos. ACTIVIDADES Y TAREAS-PÁG. 152 1. En la tabla de la derecha están resumidos los datos obtenidos en una encuesta en la que se ha preguntado a un grupo de 60 a lumnos por su asignatura favorita.

Asignatura Ciencias Naturales

Alumnos 17

Ciencias Sociales Inglés Lengua Castellana Matemáticas Educación Física

7 8 5 8 15

a) Completa en tu cuaderno esta tabla añadiendo la frecuencia relativa y el porcentaje. x

f

F

h

Porcentaje

Ciencias Naturales

17

17

0,2833

28,33%

Ciencias Sociales

7

24

0,1167

11,67%

Inglés

8

32

0,1333

13,33%

Lengua Castellana Matemáticas

5 8

37

0,0833

8,33%

45

0,1333

13,33%

Educación Física

15

60

0,2500

25,00%

1

100,00%

60

b) Representa gráficamente estos datos utilizando un diagrama de barras.

30,00% 25,00% 20,00% 15,00% 10,00% 5,00% 0,00%

52

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento

SOLUCIONARIO

2. Los siguientes datos muestran la duración (en minutos y segundos) de los 28 vídeos realizados por los alumnos de un grupo para un trabajo en la asignatura de inglés.

a) Clasifica los datos utilizando intervalos de 30 segundos de amplitud. Los intervalos son: (0:00,0:30]; (0:30,1:00]; (1:00,1:30];… (4:00,4:30] b) Ordena estos datos en una tabla de frecuencias.

Intervalo

Marca de clase

f

F

h

Porcentaje

(1:00,1:30]

1:15

1

1

0,0357

3,57%

(1:30,2:00]

1:45

4

5

0,1429

14,29%

(2:00,2:30]

2:15

3

8

0,1071

10,71%

(2:30,3:00]

2:45

6

14

0,2143

21,43%

(3:00,3:30]

3:15

5

19

0,1786

17,86%

(3:30,4:00]

3:45

6

25

0,2143

21,43%

4:15

3 28

28

0,1071 1

10,71% 100,00%

(4:00,4:30]

c) Representa estos gráficos utilizando un histograma. 25,00% 20,00% 15,00% 10,00% 5,00% 0,00%

d) Analiza los datos utilizando la gráfica que has elaborado. En la gráfica puede apreciarse que la mayor parte de los videos tienen una duración de entre 2:30 y 4:00 minutos. El intervalo que incluye menos vídeos es el de menor duración, entre 1:00 y 1:30.

53

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento

SOLUCIONARIO

3. Las pirámides de población son un gráfico estadístico formados por dos histogramas horizontales opuestos. En ambos casos la longitud de las barras nos indica el porcentaje de población para cada tramo de edad. En la derecha están representadas los hombres y en la izquierda las mujeres. Observa la pirámide de población de España en el año 2011.

a) Según la gráfica, ¿qué porcentaje de la población corresponde a hombres de entre 50 y 54 años? ¿Y a mujeres de entre 25 y 29 años? Casi un 7 %. b) ¿Cuál es el grupo de edad más numeroso entre las mujeres? ¿Y entre los hombres? 35-39 años, tanto en hombres como en mujeres. c) Según la gráfica, ¿ahora la natalidad es mayor o menor que en los años 70? Justifica tu respuesta. El hecho de que la pirámide se estreche en la base indica que la natalidad ha disminuido en los últimos años. Según la gráfica el máximo de natalidad debió alcanzarse hace unos 40 años. 4. Los siguientes datos recogen las notas obtenidas en un examen por un grupo de 28 alumnos: 6 4 7 7 3 8 1 9 8 5 6 5 7 10 9 2 5 7 7 6 7 5 2 9 4 8 a) Ordena los datos en una tabla de frecuencias. x

f

F

h

1

1

1

0,0357

3,57%

2

2

3

0,0714

7,14%

3

1

4

0,0357

3,57%

4

2

6

0,0714

7,14%

5

4 10

0,1429

14,29%

6

4

14

0,1429

14,29%

7

6

20

0,2143

21,43%

8

3

23

0,1071

10,71%

9

4

27

0,1429

14,29%

10

1

28

0,0357

3,57%

1

100,00%

28

54

Porcentaje

6 9

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento

SOLUCIONARIO

b) Represéntalos gráficamente mediante un polígono de frecuencias. 25,00% 20,00% 15,00% 10,00% 5,00% 0,00% 1

2

3

4

5

6

7

8

91

0

c) Analiza los resultados de este examen utilizando la gráfica que has dibujado. En la gráfica puede apreciarse que la mayor parte de los alumnos se agrupan en un intervalo que va desde el 5 hasta el 9. La nota más común ha sido el 7 y podemos ver que han sido muchos menos los alumnos suspensos que los aprobados. ACTIVIDADES Y TAREAS-PÁG. 153 5. El diagrama de sectores de la derecha muestra los resultados de un estudio sobre el uso de las redes sociales en el mundo. Se muestra el porcentaje de usuarios activos de las principales redes sociales respecto al total de usuarios registrados. a) ¿Qué red tiene mayor porcentaje de usuarios? Whatsapp b) Si hay un total de 4 000 millones de usuarios ac tivos, ¿cuántos usuarios utilizan Skype? 320 millones de usuarios. c) ¿Qué porcentaje suman las tres redes s ociales más populares? 53 % 6. En el mapa siguiente se muestra la distribución de la población mundial en los distintos países.

55

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento

SOLUCIONARIO

a) ¿Qué países son los más poblados del mundo? La India y China. b) ¿Qué país de Sudamérica es el que tiene mayor población? ¿Y en África? Brasil, en América del Sur y Nigeria, en África. c) ¿Dónde crees que la población es mayor, en Europa, en Asia o en América? En Asia, ya que además de contar con los dos países más poblados del mundo, en el resto de países predominan más los colores más oscuros. 7. La imagen inferior apareció en el diario El Paíscon motivo del Mundial de Baloncesto 2014. En ella se muestran los datos más importantes de los ocho equipos que alcanzaron los cuartos de final. a) ¿Crees que los gráficos elegidos ayudan a entender mejor la información? Respuesta libre. Esta pregunta puede dar pie a abrir un debate sobre la utilización de gráficos más elaborados (que aumenta el atractivo de la publicación) frente a los más tradicionales (que pueden ser más claros aunque menos llamativos). b) ¿Por qué crees que destacaron en color los datos de España y Estados Unidos? De esta forma se comparaba la situación de la selección española con su principal rival en el campeonato.

8. Analiza los datos que aparecen en el pictograma y di si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) El único aspecto en el que España superaba a Estados Unidos es en los tapones por partido. Verdadero. b) España realizó, de promedio, cinco asistencias más por partido que Serbia. Falso, fueron 4 más. d) El número de rebotes por partido de Estados Unidos duplica el de Brasil. Falso, EE. UU. obtuvo un promedio de 42,5 rebotes, mientras Brasil obtuvo 38,5. e) España robó más del doble de balones que Lituania. Verdadero. f)

España ocupó la primera o segunda posición en todos los aspectos representados en la imagen.

Verdadero.

56

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento

SOLUCIONARIO

h) La diferencia en robos de balones entre Brasil y Francia fue la misma que entre Eslovenia y Turquía. Falso. El promedio de robos de Brasil supera en 3 al de Francia mientras que Eslovenia solo supera al de Turquía en 1 robo por partido. ACTIVIDADES Y TAREAS-PÁG. 155 1. La siguiente gráfica muestra los datos de un estudio estadístico sobre la antigüedad de los coches de los empleados de una empresa. a) Extrae los datos del gráfico y ordénalos en una tabla de frecuencias.

x

f

F

h

0

3

Porcentaje

3

0,0769

7,69%

1

5

2

7

3

4

4

2

5

3

6

1

7 8

4 5

9

3

10

2

8

0,1282

12,82%

15

0,1795

17,95%

19

0,1026

10,26%

21

0,0513

5,13%

24

0,0769

7,69%

25

0,0256

2,56%

29

0,1026

10,26%

34

0,1282

12,82%

37

0,0769

7,69%

36

0,0513

5,13%

1

100,00%

39

b) Calcula la media, la moda y la mediana. Media = 4,49 años Moda = 2 años Mediana = 4 años 2. La duración de la batería de un teléfono móvil depende de su capacidad. A continuación puedes ver la capacidad de la batería en miliamperios-hora (mAh) de 30 modelos distintos: 800 1900 1220 3650

1200 2000 1400 2800

57

1000 1800 3800 3100

4000 1220 1700 2300

1100 2700 1350 3600

4500 1700 1750 1550

900 2400 1150

1400 2300 2600

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento

SOLUCIONARIO

a) Completa en tu cuaderno la siguiente tabla de frecuencias:

Intervalo

x

f

F

h

Porcentaje

(500, 1000]

750

3

3

0,1000

10,00%

(1000, 1500]

1250

8

11

0,2667

26,67%

(1500, 2000]

1750

7

18

0,2333

23,33%

(2000, 2500]

2250

3

21

0,1000

10,00%

(2500, 3000]

2750

3

24

0,1000

10,00%

(3000, 3500]

3250

1

25

0,0333

3,33%

(3500, 4000]

3750

4

29

0,1333

13,33%

(4000, 45000]

4250

1

30

0,0333

3,33%

1

100,00%

30

b) Calcula la media sin tener en cuenta los intervalos, es decir, sumando todos los datos y dividiéndolos entre 30. 2096,33 c) Calcula la media considerando que todos los valores incluidos en un intervalo están representados por su marca de clase. 2066,66 d) Compara los dos resultados y escribe un breve texto que indique las ventajas y los inconvenientes de calcular la media utilizando la marca de clase cuando los datos están agrupados en intervalos. Los resultados difieren aunque no mucho (apenas un 1,4% de diferencia). Este pequeño error se produce al considerar que todos los valores incluidos en un intervalo equivalen a la marca de clase por lo que el error aumentará si los intervalos son más amplios y se reducirá cuando los intervalos sean más ajustados. Al mismo tiempo, al usar intervalos simplificamos nuestros cálculos, aunque esta simplificación se reducirá cuantos más intervalos utilicemos. ACTIVIDADES Y TAREAS: Aprendizaje cooperativo-PÁG. 155 3. En esta actividad vais a trabajar en parejas. A continuación puedes ver las notas obtenidas por los alumnos de dos grupos de PMAR I en un examen del ámbito científico-matemática: PMAR I A PMAR I B 1 9 10 1 1 9 1 1 2 10 4 6 7 3 6 9 3 1 3 4 10 9 10 3 1 1 1 10 1 10 8 6 9 4 3 5 4 6 4 6

58

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento

SOLUCIONARIO

a) Analizad cada uno los resultados de un grupo ordenando los datos en una tabla de frecuencias, representándolos mediante un diagrama de barras y calculando su media, moda y m ediana. PMAR I A

x

f

F

h

Porcentaje

1

9

9

0,4500

45,00%

2

1

10 0,0500

5,00%

3

1

11 0,0500

5,00%

4

0

11 0,0000

0,00%

5

0

11 0,0000

0,00%

6

0

11 0,0000

0,00%

7

0

11 0,0000

0,00%

8

0

11 0,0000

0,00%

9

3

14 0,1500

15,00%

10

6

20 0,3000

20

40,00% 35,00% 30,00% 25,00% 20,00% 15,00% 10,00% 5,00% 0,00% 1

2

3

4

5

6

7

8

91

0

30,00%

1

Media: 5,05

50,00% 45,00%

100,00%

Moda: 1

Mediana: 2,5

PMAR I B x

f

F

h

Porcentaje

1

1

1

0,0500

5,00%

2

0

1

0,0000

0,00%

30,00%

3

4

5

0,2000

20,00%

25,00%

4

5

10 0,2500

25,00%

20,00%

5

1

11 0,0500

5,00%

15,00%

6

5

16 0,2500

25,00%

7

1

8

1

17 0,0500 18 0,0500

5,00% 5,00%

9

2

20 0,1000

10,00%

10

0

20 0,0000

0,00%

20 Media: 5,05 59

1

10,00% 5,00% 0,00%

100,00%

Moda: 4 y 6

Mediana: 4,5

1

2

3

4

5

6

7

8

91

0

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento

SOLUCIONARIO

b) Comparad los resultados obtenidos en cada caso contestando juntos a las siguientes preguntas: 

¿En qué grupo se ha obtenido mejor nota media?

Se ha obtenido la misma media en ambos grupos. 

¿Qué grupo tiene una mediana superior?

PMAR I B 

Comparad las gráficas obtenidas.

Respuesta libre. 

¿En qué grupo consideráis que se han obtenido mejores resultados? Razonad vuestra respuesta utilizando las gráficas que habéis realizado y los parámetros de centralización obtenidos.

Si analizamos la media, los resultados son igual de buenos, pero analizando la mediana podemos ver que en PMAR I B hay más gente con mejores resultados; en PMAR I A casi la mitad de la gente ha sacado un 1, mientras que en PMAR I B la mitad de la clase ha sacado 4 o más. Esta situación se observa claramente en las gráficas de ambas distribuciones. ACTIVIDADES Y TAREAS-PÁG. 157 1. En la siguiente tabla se muestra el número de alumnos que hay en un instituto, clasificados según su edad. a) Completa la tabla en tu cuaderno calculando las frecuencias acumuladas, relativas y el porcentaje. x-

f

F

h

%

11

21

21

0,0540

5,40%

-3,40

11,57

12

62

83

0,1594

15,94%

-2,40

5,76

13

57

140 0,1465

14,65%

-1,40

1,96

14

68

208 0,1748

17,48%

-0,40

0,16

15

61

269 0,1568

15,68%

0,60

0,36

16

56

325 0,1440

14,40%

1,60

2,56

17

34

359 0,0874

8,74%

2,60

6,75

18

25

384 0,0643

6,43%

3,60

12,95

19

5

389 0,0129

1,29%

4,60

21,15

389

1

x

(x -

)2

x

x

100,00%

b) Calcula la media, la moda y la mediana. Media: 14,4

Moda: 14

Mediana: 14

c) Calcula el rango, la varianza y la desviación típica. Rango: 9

60

Varianza: 3,98

Desviación típica: 1,99

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento

SOLUCIONARIO

2. En la siguiente tabla puedes ver todas las notas que han obtenido dos alumnos en los exámenes realizados en el primer trimestre.

a) Completa dos tablas de frecuencias, una para cada alumno. Mario:

x

f

1

2

2

2

3

0

4

2

5

6

6 7

2 4

8

2

x

(x -

x

)2

h

2

0,1000

10,00%

-4,00

16,00

4

0,1000

10,00%

-3,00

9,00

4

0,0000

0,00%

-2,00

4,00

6

0,1000

10,00%

-1,00

1,00

12

0,3000

30,00%

0,00

0,00

14

0,1000

10,00%

1,00

1,00

18

0,2000

20,00%

2,00

4,00

20

0,1000

10,00%

3,00

9,00

1

100,00%

20

Porcentaje

x-

F

Andrea:

x

f

1

6

2

2

3

0

4

0

5

0

6

4

7

2

8

2

9

4

x

(x -

)2

h

6

0,3000

30,00%

-4,00

16,00

8

0,1000

10,00%

-3,00

9,00

8

0,0000

0,00%

-2,00

4,00

8

0,0000

0,00%

-1,00

1,00

8

0,0000

0,00%

0,00

0,00

12

0,2000

20,00%

1,00

1,00

14

0,1000

10,00%

2,00

4,00

16

0,1000

10,00%

3,00

9,00

20

0,2000

20,00%

61

Porcentaje

x-

F

4,00

x

16,00

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento

SOLUCIONARIO

b) Calcula las notas medias de Mario y Andrea. Mario: 5 Andrea: 5 c) Calcula la desviación típica de ambos. Mario: 2,1 Andrea: 3,1 d) Según los resultados que has obtenido, ¿quién ha logrado mejores resultados? ¿Quién ha sido más irregular? Según la media ambos han obtenido resultados similares. La desviación típica nos indica que Mario ha sido más regular que Andrea, es decir, que sus notas son, en general, más similares entre sí. Andrea, por el contrario, ha sacado notas más dispares. 3. En un supermercado realizan un estudio sobre el gasto de sus clientes en cada compra. Para ello analizan una muestra de 350 compras. El siguiente histograma representa los resultados obtenidos, mostrando el número de personas que han realizado un intervalo de gasto determinado.

a) Ordena los datos del histograma en una tabla de frecuencia que incluya la marca de clase de cada intervalo.

Interva los

x

f

20

40

60

68

100

75

140

61

180

37

220

32

260

22

300

15

(0,40] (40,80] (80,120] (120,160] (160,200] (200,240] (240,280] (280,320]

350

Porcentaje

x-

x

(x -

x

)2

F

h

40

0,1143

11,43%

-108,11

11688,70

108

0,1943

19,43%

-68,11

4639,56

183

0,2143

21,43%

-28,11

790,41

244

0,1743

17,43%

11,89

141,27

281

0,1057

10,57%

51,89

2692,13

313

0,0914

9,14%

91,89

8442,98

335

0,0629

6,29%

131,89

17393,84

350

0,0429

4,29%

171,89

29544,70

1

100,00%

b) Calcula la media de esta distribución utilizando la marca de clase de cada intervalo. Media: 128,11 c) Calcula la varianza y la desviación típica utilizando la marca de clase. Varianza: 5847,30 62

Desviación típica: 76,47

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento

SOLUCIONARIO

ACTIVIDADES Y TAREAS: Investiga-PÁG. 157 Pregunta en clase por el número de personas que viven en la casa de cada compañero. Con estos datos, realiza un estudio estadístico que incluya los siguientes elementos: a) Tabla de frecuencias (incluyendo frecuencia absoluta, acumulada, relativa y porcentaje). b) Representación gráfica (elige el tipo que creas más conveniente). c) Cálculo de la media, la moda y la mediana. d) Cálculo del rango, la varianza y la desviación típica. e) Análisis de los resultados: ¿podemos considerar que la media representa bien a la mayoría de los casos? Respuesta libre en función de los datos obtenidos. ACTIVIDADES Y TAREAS-PÁG. 159 1. Indica cuáles de las siguientes situaciones son deterministas y cuáles son aleatorias. Justifica tu respuesta. a) Dejamos caer una pelota rodando por una rampa. ¿Con qué velocidad llegará al final? Determinista. b) Lanzamos una moneda al aire. ¿Saldrá cara o cruz? Aleatoria. c) Escogemos una carta de un mazo después de haberlo mezclado, ¿es de oros? Aleatoria. d) Mi próximo cumpleaños, ¿en qué día de la semana caerá? Determinista. e) En tu próximo examen de matemáticas, ¿qué nota sacarás? Aleatoria. f) ¿A qué hora amanecerá mañana? Determinista. g) Un jugador tira un penalti en un partido de fútbol. ¿Será gol? Aleatoria. h) Pongo una olla con agua al fuego. ¿Cuánto subirá su temperatura? Determinista.

63

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento

SOLUCIONARIO

2. Escribe el espacio m uestral de las siguientes situaciones aleatorias. a) Lanzar una moneda al aire. E = {Cara, Cruz} b) Lanzar un dado de 4 caras. E = {1, 2, 3, 4} c) Lanzar un dado de 12 caras. E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} d) Lanzar un tiro libre en un partido de baloncesto. E = {Canasta, Fallo} e) Abrir un libro por una página cualquiera y fijarse en la primera letra. E = {a, b, c, d,…, x, y, z} f) Sacar un bolígrafo de tu estuche y observar el color. Respuesta libre 3. Nacho prepara dos cajas de cartón con una bola roja, una bola verde y una bola azul en cada una. Le pide a Rocío que tome, sin mirar, una bola de cada caja. a) Escribe el espacio muestral de esta situación. E = {RR, RA, RV, AR, AA, AV, VR, VA, VV} b) Construye el suceso B = «sacar una bola roja y una bola azul». B = {RA, AR} c) Construye el suceso A = «sacar dos bolas iguales». A = {RR, AA, VV} d) Construye el suceso sacar dos bolas distintas. Sacar dos bolas distintas = {RA, RV, AR, AV, VR, VA}

4. Introducimos en un saco de tela 10 tarjetas numeradas del 0 al 9. Sacamos una de ellas al azar: a) Escribe el espacio muestral de esta situación aleatoria. E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9} b) Construye el suceso A = «Sacar 6 o más». A = {6, 7, 8,9} c) Construye el suceso B = «Sacar un número par». B = {2, 4, 6, 8} d) Construye el suceso = {2, 3, 6, 7, 8, 9} e) Construye el suceso = {6,8} 64

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento

SOLUCIONARIO

f) ¿Cuál de los sucesos anteriores corresponde a «sacar un número que sea par y además mayor que 6»? = {6,8} g) ¿Cuál de los s ucesos anteriores corresponde a «sacar un número que sea mayor que 6 o par»? = {2, 3, 6, 7, 8, 9}

5. En un instituto hay alumnos desde 1º de ESO hasta 2º de bachillerato. Si escogemos un alumno al azar y le preguntamos por s u curso, a) ¿Qué respuestas podemos obtener? Escribe el espacio muestral de este suceso aleatorio. E = {1ESO, 2ESO, 3ESO, 4ESO, 1BAC, 2BAC} b) Construye el suceso E = «ser un estudiante de la ESO». S = {1ESO, 2ESO, 3ESO, 4ESO} c) Construye el suceso B, contrario al suceso S del apartado anterior. ¿Qué s ucesos lo forman? B = {1BAC, 2BAC} d) Calcula = {1ESO, 2ESO, 3ESO, 4ESO, 1BAC, 2BAC} e) Calcula =ø

ACTIVIDADES Y TAREAS-PÁG. 161 1. Completa en tu cuaderno el diagrama en árbol de la figura sabiendo que representa los posibles resultados de lanzar al aire tres monedas. Hemos utilizado C para representar el suceso «cara» y Z para representar el suceso «cruz». PRIMERA MONEDA SEGUNDA MONEDA TERCERA MONEDA RESULTADO C

3 CARAS

Z

2 CARAS Y 1 CRUZ

C

2 CARAS Y 1 CRUZ

Z

2 CRUCES Y 1 CARA

C

2 CARAS Y 1 CRUZ

Z

2 CRUCES Y 1 CARA

C

2 CRUCES Y 1 CARA

Z

3 CRUCES

C

C Z

C

Z Z

65

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento

SOLUCIONARIO

2. En una bolsa de tela metemos bolas rojas y negras y, a continuación, sacamos tres bolas al azar. a) Dibuja un diagrama en árbol que muestre todos los resultados posibles. R

3 ROJAS

N

2 ROJAS Y 1 NEGRA

R

2 ROJAS Y 1 NEGRA

N

1 ROJA Y 2 NEGRAS

R

2 ROJAS Y 1 NEGRA

N

1 ROJA Y 2 NEGRAS

R

1 ROJA Y 2 NEGRAS

N

3 NEGRAS

R

R N

R

N N

b) Escribe el espacio muestral de esta situación. E = {RRR, RRN, RNR, RNN, NRR, NRN, NNR, NNN} c) Construye el suceso «sacar dos bolas negras y una roja». A = {RNN, NRN, NNR} 3. En un concesionario de coches venden un modelo de coche en 4 colores distintos: blanco, negro, rojo y azul. Además, podemos elegir entre tres motores distintos: gasolina, diésel y eléctrico. La siguiente tabla muestra los coches que se han vendido de cada tipo: a) Completa la tabla en tu cuaderno calculando los totales. b) ¿Cuántos coches se han vendido en total? 32. c) ¿Qué combinación es la más vendida? ¿Cuál es la menos vendida? Blanco con motor diésel la que más (6). Eléctrico negro la que menos (0). d) ¿Qué motor es el que más se ha vendido? Gasolina y diésel por igual (14 cada uno). e) ¿Cuál es el color menos vendido? Azul (4). 66

Blanco

Negro

Rojo

Azul

TOTAL

Gasolina

4

3

5

2

14

Diésel

6

2

5

1

14

Eléctrico

1

0

2

1

4

TOTAL

11

5

12

4

32

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento

SOLUCIONARIO

4. La s iguiente tabla nos muestra los alumnos aprobados y suspensos que hay en cada curso de la ESO de un instituto. Complétala en tu cuaderno y contesta las s iguientes preguntas. a) ¿Cuántos alumnos hay en total?

1º ESO

2º ESO

3º ESO

4º ESO

TOTAL

239.

Aprobados

40

47

43

51

181

b) ¿En qué curso hay más alumnos?

Suspensos

19

13

14

12

58

TOTAL

59

60

57

63

239

4º ESO. c) ¿En qué curso hay más suspensos? 1º ESO. ACTIVIDADES Y TAREAS-PÁG. 163

1. Hacemos girar una ruleta como la de la figura: a) Escribe el espacio muestral de este suceso. E = {1, 2, 3} b) Calcula la probabilidad de obtener 1. P(1) = 4/8 = 1/2 c) Calcula la probabilidad obtener 2. P(2) = 3/8 d) Calcula la probabilidad de obtener 3. P(3) = 1/8 e) Calcula la probabilidad del suceso « obtener 2 o más». P(2 o más) = 4/8 = 1/2 f) Calcula la probabilidad de obtener menos de 2. P(menos de 2) = P(1) = 1/2 2. El grupo preferido de Laura editó 5 discos. En la siguiente tabla se muestra el número de canciones que tiene cada uno de ellos y cuántas de ellas se encuentran entre las canciones favoritas de Laura. Si elige los 5 discos y los reproduce de forma aleatoria, ¿cuál es la probabilidad de que la primera canción sea una de sus favoritas? P(Favorita) = 9/55

67

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento

SOLUCIONARIO

3. En una bolsa de tela introducimos 4 bolas rojas, 5 negras y 2 blancas. a) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola negra? Definimos los sucesos N = bola negra, R = bola roja y B = bola blanca. P(N) = 5/11 b) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola blanca? P(B) = 2/11 c) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola que sea roja o blanca? P(R

B) = 6/11

d) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola que no sea negra? P( N ) = 1 – P(N) = 6/11 4. En la s iguiente tabla se muestran las galletas de cada tipo y tamaño que hay en una caja: a) Completa la tabla en tu cuaderno calculando los totales correspondientes.

Chocolate negro

Chocolate blanco

Coco

TOTAL

b) Cogemos una galleta de la caja al azar:

Grande

5

10

5

20

- ¿Cuál es la probabilidad de que sea una galleta grande de chocolate negro?

Pequeña

15

4

5

24

TOTAL

20

14

10

44

Definimos los sucesos: G = Galleta grande. N = Galleta de chocolate negro. B = Galleta chocolate blanco. C = Galleta de coco. P( G Ç N ) = 5/44 - ¿Cuál es la probabilidad de que sea una galleta pequeña de coco?

P( G Ç C ) = 5/44 - ¿Cuál es la probabilidad de que sea una galleta pequeña?

P( G ) = 24/44 = 6/11 - ¿Cuál es la probabilidad de que sea una galleta de chocolate blanco?

P(B) = 14/44 = 7/22 - ¿Cuál es la probabilidad de que no sea una galleta de chocolate? P( N

B ) = P(C) = 10/44 = 5/22

68

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento 5. La siguiente gráfica muestra la distribución de los alumnos de un grupo de 2 º de ESO según la optativa que cursan. a) Completa la tabla en tu cuaderno.

Asignatura

Alumnos

Porcentaje

Alemán

6

20%

Cultura Clásica

9

30%

Francés

15

50%

b) Si seleccionamos a un alumno de este grupo al azar: - ¿Cuál es la probabilidad de que estudie Francés? Definimos los sucesos: F = estudia francés. A = estudia alemán. C = estudia cultura clásica. P(F) = 0,5 - ¿Cuál es la probabilidad de que estudie Alemán? P(A) = 0,2 - ¿Cuál es la probabilidad de que estudie Cultura Clásica? P(C) = 0,3 - ¿Cuál es la probabilidad de que no estudie Francés? P( F ) = 0,5 - ¿Cuál es la probabilidad de que estudie Alemán o Cultura Clásica? P(A

C) = 0,5

- ¿Cuál es la probabilidad de que no estudie ninguno de esos idiomas? P( F

A ) = P(C) = 0,3

69

SOLUCIONARIO

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento

SOLUCIONARIO

TRABAJAMOS COMPETENCIAS-PÁG. 164 1. Los siguientes datos muestran el promedio de días de lluvia anuales en las capitales de las 5 2 provincias españolas en los últimos 30 años. Representa estos datos en un cartograma siguiendo estos pasos: a) Busca en internet mapa político mudo un de España. Descarga el archivo en tu ordenador. b) Elige los colores que vas a utilizar para agrupar los datos en los siguientes intervalos y represéntalos coloreando las celdas inferiores de una escala como la siguiente:

0 - 25

26 - 50

51 - 75

76 - 100

101 - 125

126 - 150

150 - 175

c) Colorea el mapa mudo con el color correspondiente para cada provincia. Para ello puedes utilizar un programa de edición de imágenes, como por ejemplo GIMP (es gratuito).

70

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento

SOLUCIONARIO

2. La siguiente tabla muestra el número total de concursos y festivales de música que se han organizado en España en los últimos años.

a) Construye un polígono de frecuencias para cada serie de datos (concursos y festivales). Utiliza unos únicos ejes de coordenadas y un color distinto para cada polígono para que sea más sencillo distinguirlos. 1000 900 800 700 600 Festivales

500

Concursos

400 300 200 100 0 2005

2006

2007

2008

2009

2010

2011

2012

2013

2014

b) Analiza la gráfica que has obtenido: - ¿Cómo ha evolucionado el número de festivales musicales organizados en España? Aunque de forma irregular, el número de festivales se ha incrementado en los años representados en la gráfica. - ¿Ha ocurrido lo mismo con los concursos? Al contrario que los festivales, el número de concursos se ha mantenido bastante estable y ha disminuido en los últimos dos años incluidos en la serie. 3. Pide a tus profesores datos sobre el rendimiento de vuestro grupo en Ámbito Científico y Matemático y en Ámbito Lingüístico y Social. Pueden ser, por ejemplo, las notas de la evaluación anterior o las del último examen. a) Realiza un estudio estadístico de estos datos calculando la media, la moda, la mediana y la desviación típica en cada caso. b) Analiza la situación de vuestro grupo según estos datos y escribe un breve texto comparando ambas asignaturas y realizando propuestas de mejora. Respuesta libre. 71

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento

SOLUCIONARIO

TRABAJAMOS COMPETENCIAS-PÁG. 165 4. Las siguientes imágenes muestran las pirámides de población de tres países distintos:

a) ¿Cuáles son las diferencias principales que aprecias entre ellas? Escribe un breve texto que describa cada una de ellas analizando en qué franja de edad es más ancha cada pirámide y comparando la situación de hombres y mujeres en cada país. En cada caso predomina un grupo de edad distinto: niños y jóvenes en A, jóvenes y mediana edad en B y mediana edad en C. Además, a diferencia de A y C, en B la distribución es asimétrica, habiendo muchos más hombres que mujeres entre los 20 y los 64 años. b) Asocia cada uno de los siguientes textos a una de las pirámides de población: A partir de 1976, en España se

En Somalia, la esperanza de

La

produjo una reducción brusca

vida al nacer es de 55 años, una

Árabes

de la tasa de natalidad. Esto ha

de las más bajas del mundo.

condicionada por la inmigración.

provocado

preocupante

Esto provoca que la mayor parte

El 81  % de sus habitantes

envejecimiento de la población

de la población sea menor de 40

proviene de otros países y

aunque en las últimas décadas

años y que el porcentaje de ancianos sea muy pequeño.

suelen ser hombres jóvenes que

un

la llegada de inmigrantes ha

está

de

Emiratos fuertemente

llegan de países más pobres en

reducido este problema.

España: gráfica C.

población

busca de trabajo.

Somalia: gráfica A.

Emiratos Árabes: gráfica B.

5. Introducimos en una caja cuatro bolas numeradas del 0 al 3. Sacamos una bola y a continuación otra sin devolver la primera a la caja. Por último, multiplicamos los números de las bolas que hemos extraído. a) Completa la siguiente tabla en tu cuaderno calculando todos los posibles resultados. Segunda bola 0 0

72

1

2

3

0

0

0

2

3

1

0

2

0

2

3

0

3

6 6

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento

SOLUCIONARIO

b) Completa el espacio muestral de este experimento: E = {0 · 1, 0 · 2, 0 · 3, 1 · 0, ...} E = {0 · 1, 0 · 2, 0 · 3, 1 · 0, 1 · 2, 1 · 3, 2 · 0, 2 · 1, 2 · 3, 3 · 0, 3 · 1, 3 · 2} c) ¿De cuántas formas podemos obtener como resultado final 0 ? Construye el suceso O = «obtener 0». O = {0 · 1, 0 · 2, 0 · 3, 1 · 0, 2 · 0, 3 · 0} d) ¿De cuántas formas podemos obtener 4? Construye el suceso C = «obtener 4». C = {ø} e) Aplica la regla de Laplace para calcular las probabilidades de los sucesos definidos en los apartados anteriores. P (O) = 6/12 = 1/2 P (C) = 0 DESAFÍO PISA-PÁG. 166 Actividad 1. Busca en internet la definición de «umbral de pobreza». Según esta definición: a) ¿El umbral de pobreza es el mismo en todos los países? La mayor parte de los organismo (Euroestat, Banco Mundial,…) definen umbral de la pobreza como el 60 % de la mediana de los ingresos por unidad de consumo. La unidad de consumo se calcula ponderando las personas que viven en cada hogar (1 para el primer adulto; 0, para los siguientes; 0,3 para los menores, etc…). De esta forma, tiene un valor distinto en cada país. b) ¿Puede aumentar la riqueza de un país y que crezca la tasa de riesgo de pobreza? Justifica tu respuesta. Puede ocurrir si aunque aumente la riqueza esta no se reparte equitativamente y la mediana no se vea afectada. Actividad 2. Representa, mediante un polígono de frecuencias, los datos de todos estos años de tu comunidad autónoma junto con los del total nacional (primera fila). Respuesta libre. En la gráfica está representado el total nacional. 23 22 21 20 19 18 2008

2009

2010

2011

2012

2013

2014

a) Compara los datos de 2014 para tu comunidad autónoma con los estatales. ¿Es la situación mejor o peor? Respuesta libre. 73

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento

SOLUCIONARIO

b) Compara la evolución que ha sufrido la tasa de riesgo de pobreza en tu comunidad autónoma con la evolución a nivel estatal. Respuesta libre. Actividad 3. Realiza una tabla en la que se observe la diferencia entre los datos de 2014 y 2008 en todas las comunidades autónomas. Tasa de riesgo de pobreza 2008

2009

2010

2011

Diferencia

2012

2013

2014 2014 – 2008

Nacional Andalucía Aragón Asturias, Principado de Balears, Illes Canarias Cantabria Castilla y León Castilla - La Mancha Cataluña Comunitat Valenciana Extremadura Galicia Madrid, Comunidad de Murcia, Región de Navarra, Comunidad Foral de País Vasco

19,8 27,3 14,9 13,2 18,1 30,7 14,3 17,5 26,4 12,3 23,6 35,3 20,9 14,9 24,5 5,9 9,1

20,4 28,8 11,3 13,0 18,1 30,4 13,9 18,8 24,8 15,2 20,9 30,9 20,6 15,9 29,1 7,8 10,0

20,7 28,3 14,2 11,5 22,7 29,7 20,1 19,5 28,3 14,7 22,7 35,7 18,1 14,4 29,8 10,7 11,7

20,6 30,7 15,5 14,1 21,0 30,1 16,7 17,6 29,4 14,2 22,0 31,7 16,1 14,0 25,8 8,1 13,8

20,8 28,3 14,5 13,0 19,9 33,6 17,7 15,9 30,0 15,8 25,0 29,4 18,3 14,2 25,2 7,0 13,3

20,4 29,1 16,1 14,1 19,8 28,4 17,8 17,5 31,3 13,9 23,6 30,9 17,2 13,4 26,8 9,9 10,5

22,2 33,3 16,9 16,7 17,9 27,6 20,6 20,4 28,4 15,8 26,2 33,1 15,4 14,7 37,2 11,9 10,2

2,4 6,0 2,0 3,5 -0,2 -3,1 6,3 2,9 2,0 3,5 2,6 -2,2 -5,5 -0,2 12,7 6,0 1,1

Rioja, La Ceuta Melilla

16,2 40,1 17,7

17,2 36,4 30,0

21,2 31,3 25,8

20,6 26,3 26,5

16,8 32,2 8,6

19,3 40,8 21,7

16,2 44,3 19,2

0,0 4,2 1,5

a) Representa estos datos con un diagrama de barras. 15,0 10,0 5,0 0,0 -5,0 -10,0

b) ¿Cuáles son las c uatro comunidades autónomas en la que ha mejorado más la s ituación en estos años? Galicia (-5,5); Canarias (-3,1); Extremadura (-2,2); Illes Balears (-0,2); Comunidad de Madrid (-0,2) c) ¿Cuáles son las cuatro comunidades autónomas en la que la situación ha empeorado más? Murcia (+12,7); Cantabria (+6,3); Comunidad Foral de Navarra (+6); Andalucía (+6) 74

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento

SOLUCIONARIO

INFORMÁTICA MATEMÁTICA-PÁG. 167 1. Sigue los pasos indicados y representa los datos del ejemplo en tu propia hoja de cálculo. 2. Pregunta a tus compañeros sobre cuál es su actividad principal en su tiempo libre y realiza tu propia encuesta representando los datos gráficamente en una hoja de cálculo. Trata de descubrir nuevas opciones de gráficos y formatos explorando en los distintos menús de la aplicación. Respuesta libre. EVALUACIÓN-PÁG. 168 1. Si realizamos una encuesta preguntando a los alumnos del centro cuántos hermanos tienen, ¿de qué tipo de variable se trata? a) Cualitativa

c) Cuantitativa discreta

b) Cuantitativa continua

d) Ninguna de los anteriores

c) Cuantitativa discreta. 2. ¿Con qué gráfico se representarían mejor los datos del estudio de la actividad anterior? a) Histograma

c) Diagrama de barras

b) Diagrama de sectores

d) Los dos anteriores son válidos

d) Los dos anteriores son válidos. 3. Los siguientes datos muestran las reproducciones que ha tenido un video en los últimos 10 días: 23 21 45 67 89 88 96 107 121 103 Calcula la media de estos datos: a) 76

b) 77

c) 78

d) 79

a) 76 4. ¿Cuál es la mediana de los datos de la actividad 3? a) 88

b) 89

c) 88,5

d) 89,5

c) 88,5 5. La desviación típica de los datos de la actividad 3 es: a) 45,7

b) 33,6

c) 1128,6

d) 1207,1

b) 33,6 6. La siguiente tabla muestra los resultados, agrupados en intervalos, de una encuesta sobre las horas que dedican al sueño los empleados de una empresa. ¿Cuál sería la media de estos datos?: Horas de sueño

75

Empleados

6) [4 –

5

8) [6 –

15

10) [8 –

23

12) [10 –

7

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento a) 8,28

b) 82,8

c) 0,83

SOLUCIONARIO

d) 7,35

a) 8,28 7. Si lanzamos un dado de 6 caras, ¿qué es más probable, obtener un número par o un número menor que 3? a) Sacar un número par.

c) Los dos tienen una probabilidad de 0,5.

b) Sacar un número menor que 3.

d) Los dos tienen una probabilidad de 0,33.

a) Sacar un número par. 8. En una clase de 25 alumnos, 10 de ellos estudian Francés; 9, Cultura Clásica, y 6, Alemán. Si escogemos un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea un alumno que estudie Francés? a) 0,24

b) 0,36

c) 0,4

d) 0,6

c) 0,4 9. Introducimos en una bolsa de tela 10 bolas de colores: 3 rojas, 5 azules y 2 verdes. Sacamos dos de estas bolas al azar. ¿Cuántos resultados posibles podemos obtener? a) 3

b) 6

c) 9

d) 12

c) 9 10. Si sacamos una única bola al az ar de la bolsa descrita en la actividad anterior, ¿cuál es la probabilidad de extraer una bola que no sea verde? a) 0,2

b) 0,3

c) 0,5

d) 0,8

d) 0,8 MI PROYECTO-PÁG. 170 1. Según la autora, ¿qué a spectos positivos tienen los deberes? ¿Y negativos? «Los deberes son necesarios y convenientes, pero bien orientados y en su justa medida. Permiten reforzar lo aprendido y ayudan al niño a entrenarse en el esfuerzo, la organización y la planificación del tiempo. A condición de que sean tareas atractivas y tengan la ayuda necesaria, porque a veces, no saber gestionar bien los deberes es una fuente de frustración y angustia». «… no hay que olvidar que los niños son niños y necesitan jugar y explayarse. En el aprendizaje de la vida, tan importante es saber matemáticas como aprender a jugar y a relacionarse con otros niños en la plaza». 2. Según tu propia experiencia, ¿se ajusta la cantidad de deberes a vuestras necesidades educativas? ¿Establecerías algún tipo de límite? Respuesta libre. 3. Organizad un debate en clase comentando las principales ideas del texto y vuestra propia opinión. Respuesta libre.

76

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento

SOLUCIONARIO

MI PROYECTO-PÁG. 171 Paso 1. Diseñar la encuesta Respuesta libre. Paso 2. Elegir la muestra Respuesta libre. Paso 3. Realizar la encuesta y analizar los resultados Respuesta libre. Ordenad toda la información de los pasos uno, dos y tres e incorporadla como una nueva entrada en el blog de vuestra asociación. No olvidéis incluir las gráficas que habéis elaborado ya que es la forma más eficiente de transmitir información estadística. Además, escribid un breve texto explicando las conclusiones a las que habéis llegado. Respuesta libre. En esta actividad se intenta que el alumno resuelva problemas y tome decisiones en un contexto lo más real posible. Siempre que sea posible se recomienda utilizar datos reales de su centro educativo y en la evaluación del resultado debe analizarse cómo se ajustan las respuestas a esa realidad. En este sentido también es muy importante la forma en la que el alumno comunica sus resultados mediante las publicaciones en el blog de la asociación.

77

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento

SOLUCIONARIO

UNIDAD 6: La materia y los cambios químicos ACTIVIDADES ANTES DE COMENZAR-PÁG. 173  ¿Por

qué el hielo flota en el agua?

Porque tiene menor densidad.  ¿Qué es la s ublimación?

El cambio de estado mediante el cual el sólido pasa a ser gas.  ¿Por qué se oxidan las barandillas de hierro? Porque el hierro reacciona con el oxígeno atmosférico.  ¿Qué agentes contaminantes produce una industria química?

Gases de efectos invernadero, vertidos tóxicos a las aguas… ACTIVIDADES Y TAREAS-PÁG. 176 1. ¿Qué es la materia? Escribe cinco formas diferentes de presentación de la materia. La materia es todo lo que tiene masa y ocupa volumen. Una mesa, una pelota, un bolígrafo, un plato, un ordenador. 2. ¿Cuáles son las propiedades generales de la materia? Defínelas. La masa es la cantidad de materia que tiene un cuerpo. El volumen es la porción del espacio que ocupa un cuerpo. ACTIVIDADES Y TAREAS: Investiga-PÁG. 176 3. Busca información en un diccionario sobre las siguientes propiedades de la materia y completa en tu cuaderno la siguiente tabla con su definición y un ejemplo de una sustancia que posea esa propiedad. PROPIEDAD Conductividad Dilatación Tenacidad Dureza Fragilidad Ductilidad Maleabilidad

78

DEFINICIÓN Propiedad que tienen los cuerpos de conducir la temperatura o la electricidad. Aumento de longitud, superficie o volumen de un cuerpo por separación de sus moléculas con disminución de su densidad. Que opone mucha resistencia a romperse o deformarse.

EJEMPLO Hierro

Resistencia que un mineral ser rayado por Propiedad de seropone quebradizo, y quea con facilidad seotro. hace pedazos. Que admite grandes deformaciones mecánicas en frío sin llegar a romperse. Que mecánicamente se puede extender en alambres o hilo. Propiedad que permite a los materiales batirse y extenderse.

Diamante Vidrio

Metales

Acero

Vidrio

Metales

Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento

SOLUCIONARIO

4. Teniendo en cuenta las propiedades anteriores, señala a qué propiedad corresponde cada uno de los fenómenos siguientes y por qué: a) El volumen de las vías del tren aumenta en verano. Dilatación. b) Los cables de la luz están fabricados con hilos de cobre. Conductibilidad. c) Las cucharas que se utilizan para cocinar se fabrican de madera o de silicona, pero no de metal. Conductibilidad. d) Los vasos de vidrio se rompen con un impacto. Frágil. e) Para hacer cortes precisos de vidrio se utilizan puntas de diamante. Dureza.

ACTIVIDADES Y TAREAS: Experimenta-PÁG. 176 5. En la unidad 1 hemos visto cómo medimos el volumen de los líquidos. Pero, ¿cómo tomamos la cantidad adecuada de un reactivo sólido o de una muestra? Para ello utilizamos la balanza de precisión. Estas balanzas son muy precisas, y el número de decimales que proporcionan varía dependiendo del modelo. Algunas, además, poseen una estructura que protege la muestra a medir del aire, para así obtener mayor precisión. ¿Cómo se utilizan?: a) Encendemos la balanza y colocamos un vidrio de reloj s obre la misma. En la pantalla aparecerá la masa de este instrumento. Las balanzas nos permiten tarar, es decir, restar la masa del vidrio de reloj para que podamos tomar la masa adecuada del reactivo con más facilidad. Para ello debemos pulsar el botón de tara. b) Con una espátula, y en cantidades pequeñas, tomamos la sustancia que vamos a pesar. c) Cuando el valor esté cercano al que deseamos, mantenemos la espátula sobre el vidrio de reloj y con la otra mano sacudimos el extremo final de la espátula para que caigan pequeñas cantidades. Ahora hazlo tú. Utilizando una balanza, prepara cuatro muestras de sal con las siguientes medidas: 0,01 g, 100 μg, 2,5 g y 0,35 g.

Respuesta libre.

ACTIVIDADES Y TAREAS-PÁG. 177 6. En una balanza de cocina, pesa diversos elementos: patatas, tomates, pan, etc. Escribe en tu cuaderno los resultados ordenándolos de menor a mayor masa. Respuesta libre

79

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SOLUCIONARIO

7. Introduce una canica de acero en un vaso de agua. ¿Flota o se hunde? ¿Y si introduces un cubito de hielo? El acero se hunde porque su densidad es mayor que la del agua, sin embargo la del hielo es menor y por eso flota. 8. Busca en la tabla de densidades, la densidad del alcohol y calcula el volumen que ocupa 1 kg de alcohol. V = m/d

V = 1 kg/790 kg/m 3 = 0,0013 m3 o bien 1,3 L

9. Observa en la misma tabla la densidad del corcho y calcula la masa de una bola de corcho de 0,1 m 3 de volumen. El corcho tiene una densidad de 240 kg/m 3 . Como d = m/V , despejamos la masa y queda m = d · V Sustituyendo los datos: m = 240 kg/m 3 x 0,1 m 3 = 24 kg 10. Comprueba ahora en la tabla la densidad aproximada de una persona. Pésate y expresa tu masa en kilogramos. ¿Qué volumen aproximado ocupas? Si fueras un cubo, ¿cuánto medirían tus lados? Volumen del cubo = lado3 Para conocer su volumen el alumno dividirá su masa en kg entre la densidad apróximada de una persona en kg/m3 (1 070). La unidad de volumen será en m3. Para saber el alumno cuánto medirían sus lados si fuera un cubo, tiene que calcular la raíz cúbica de su volumen. 11. Un acuario tiene 1,60 m de largo, 1 m de ancho y 0,90 m de alto. ¿Cuál es su volumen? Si está completamente lleno de agua, ¿qué masa de agua tendrá? Volumen = largo · ancho · alto = 1,44 m3 M=d·V m = 1000 kg/m3 · 1,44 m3 = 1 440 kg de agua. 12. Calcula el volumen que ocupan 2 kg de hierro. ¿Qué volumen ocuparían si fueran de plata? Hierro m = 2 kg

V = m/d

V = 2 kg /7 900 kg/m3 = 2,5 · 10-4 m3

V = m/d

V = 2 kg /10 500 kg/m3 = 1,9 · 10-4 m3

d = 7 900 kg/m3 V=? Plata m = 2 kg d = 10 500 kg/m V=?

80

3

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SOLUCIONARIO

ACTIVIDADES Y TAREAS-PÁG. 180 1. Las siguientes imágenes muestran los tres estados de agregación de la materia. Relaciona cada imagen con el estado que representan.

A: líquido B: sólido C: gas

¿Cómo se explica, utilizando la teoría cinético-molecular, el comportamiento de las moléculas que constituyen los gases, los líquidos y los sólidos? Los sólidos, los líquidos y los gases están formados por partículas invisibles a simple vista. Aunque hay un gran vacío entre ellas, existen fuerzas de atracción que las mantienen más o menos unidas. Estas partículas están en continuo movimiento. Cuando los sólidos se calientan, se convierten en líquidos, y si seguimos calentándolos, los líquidos se convierten en gases, esto es porque la energía calorífica se transforma en energía cinética. 2. Realiza en tu cuaderno un cuadro de doble entrada donde se resuman las características de los tres estados en los que se puede encontrar la materia.

Propiedad

GAS

LÍQUIDO Se comprimen muy poco.

No se comprimen.

Volumen

Se comprimen, ocupan el volumen del recipiente que los contiene.

Forma

La del recipiente que los contiene.

La del recipiente que los contiene.

Fija.

Fuerzas de cohesión entre las moléculas

Nula.

Media.

Muy alta, las moléculas de un sólido tienen muy poca movilidad.

Las partículas están en continuo movimiento.

Las partículas se mueven pero menos que las del

Las partículas mueven.

Partículas

SÓLIDO

no

se

gas.

3. ¿Conoces alguna sustancia que se encuentre en la naturaleza en los tres estados? El agua. 4. Define: a) Temperatura de fusión: temperatura a la cual una sustancia pasa de estado sólido a estado líquido. b) Temperatura de ebullición: temperatura a la cual una sustancia pasa de estado líquido a estado gas. 81

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5. ¿Qué diferencia existe entre evaporación y ebullición? La ebullición es una vaporización que ocurre en toda la masa del líquido a la vez, mientras que la evaporación solo ocurre en la superficie del líquido. La ebullición ocurre a una temperatura característica para cada sustancia y la evaporación a cualquier temperatura. 6. Señala qué cambio de estado es responsable de cada uno de estos fenómenos: a) La ropa se seca en verano y en invierno no. b) En los días de frío, los cristales del aula se empañan y posteriormente se forman gotas de agua en su superficie. c) Si calentamos agua en una cacerola tapada, llega un momento que la tapa comienza a moverse. d) Al abrir el congelador sale «humo». e) En invierno se puede patinar en la superficie de los lagos. a) Evaporación. b) Condensación. c) Ebullición. d) Sublimación. e) Solidificación. ACTIVIDADES Y TAREAS: Interpreta imágenes-PÁG. 180 7. Observa las siguientes imágenes y emite una hipótesis que las explique. Para ello utiliza los siguientes términos: agua, densidad, líquido, hielo, flotabilidad y sólido. ¿Por qué ocurre este fenómeno? Busca información sobre la estructura del agua y realiza un dibujo que explique la distribución de las moléculas de agua líquida y sólida.

El hielo (agua sólida) flota en el agua líquida debido a que la densidad del primero es menor que en el segundo caso. Esto ocurre porque en el proceso de solidificación las moléculas de agua se organizan en el espacio de manera que la distancia entre ellas es mayor que en el agua líquida. Esto provoca que en un mismo volumen, en el hielo haya menos moléculas de agua que en el agua líquida y por tanto su densidad es menor. 82

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ACTIVIDADES Y TAREAS: Interpreta imágenes-PÁG. 181 8. La siguiente gráfica muestra cómo ocurren los cambios de estado de una sustancia según aumenta su temperatura. Observa que mientras está ocurriendo el cambio de estado, conviven los dos estados y la temperatura no aumenta.

Observa las siguientes gráficas y contesta a las cuestiones:

a) ¿Cuál es la temperatura inicial en cada una de ellas? A: –25 °C

83

B: 100 °C

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b) ¿Cuál es la temperatura final en cada una de ellas? A: 125 °C

B: –30 °C

c) ¿A qué temperatura ocurre la fusión? A: 0 °C

B: –15 °C

d) ¿A qué temperatura ocurre la ebullición? A: 100 °C

B: 70 °C

e) ¿La gráfica representa un calentamiento o un enfriamiento? La gráfica A representa un calentamiento y la B un enfriamiento debido a que la temperatura inicial en el primer caso es menor que la final y en el segundo al contrario. f) ¿Puedes identificar alguna de las sustancias? La sustancia A es agua, puesto que su temperatura de fusión es 0° C y la de ebullición es 100 °C. ACTIVIDADES Y TAREAS: Experimenta-PÁG. 181 9. Como ya hemos estudiado, los gases se pueden comprimir. ¿Cómo podemos comprobarlo? Para ello, vamos a utilizar una jeringuilla grande y un g lobo pequeño. 1. Inflamos el globo. 2. Introducimos el globo en la jeringuilla. 3. Ponemos el émbolo de la jeringuilla y tapamos con el dedo la salida de la jeringuilla. 4. Bajamos el émbolo. ¿Qué ha ocurrido? ¿Por qué? Lo que ocurre es que el aire que hay dentro del globo (y el que hay dentro de jeringuilla) se comprime al bajar el émbolo, y por ello, el volumen del globo se hace menor. ACTIVIDADES Y TAREAS-PÁG. 184 1. Realiza en tu cuaderno un esquema clasificando los distintos tipos de sustancias:

SUSTANCIAS PURAS ELEMENTOS

MEZCLAS COMPUESTOS

HETEROGÉNEAS

HOMOGÉNEAS DISOLUCIONES

84

DISOLUCIONES COLOIDALES

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2. ¿Es una mezcla el aire? ¿Y el mar? Razona tu respuesta. El aire es una mezcla heterogénea puesto que lleva partículas que pueden ser vivibles a simple vista o con el microscopio, al igual que el mar. 3. ¿En qué s e diferencian una disolución y un coloide? Las disoluciones de los coloides se diferencian por el tamaño de las partículas que las forman. En los coloides debe estar entre 10 y 100 nm y en las disoluciones es mayor. Esto les hace presentar diferentes características como es el caso del efecto Tyndall de los coloides. 4. El amoniaco es un gas. Sin embargo, el que utilizamos en casa para limpiar está en estado líquido. ¿Cómo es posible este fenómeno? Porque las moléculas de gas se disuelven en el agua. 5. ¿Siempre que unimos dos líquidos se mezclan de forma homogénea? Explica razonadamente la respuesta. No, los líquidos si tienen una diferencia de densidad considerable, no son miscibles. Es el caso del agua y el aceite, el alcohol y el aceite, la glicerina y el agua, la gasolina y el agua,… 6. El disolvente y el soluto de una disolución pueden presentarse en todos los estados, por lo cual, se pueden dar los siguientes tipos de disolución. Busca información sobre las disoluciones y completa el cuadro en tu cuaderno con otro ejemplo de cada tipo. SOLUTO GAS

LÍQUIDO

SÓLIDO

DISOLVENTE GAS LÍQUIDO SÓLIDO GAS LÍQUIDO SÓLIDO GAS LÍQUIDO SÓLIDO

EJEMPLO 1 Aire Bebidas gaseosas Hidrógeno en paladio Niebla Alcohol en agua Amalgama Humo Azúcar en agua Aleaciones

EJEMPLO 2 Oxígeno y Nitrógeno Amoniaco en agua Polvo en suspensión Espuma de limón Vinagreta Tinta china Merengue Gelatina Cristal rubí

7. Clasifica las siguientes sustancias en puras (elemento o compuesto) y mezclas (homogéneas o heterogéneas): a) Agua con arena. b) Cobre. c) Dióxido de carbono. d) Plata. e) Zumo de limón y aceite. f) Agua con sal. g) Amoniaco. 85

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h) Agua con aceite. i) Miel. j) Limaduras de hierro y alcohol. a) Agua con arena: mezcla heterogénea. b) Cobre: aleación (mezcla homogénea). c) Dióxido de carbono: sustancia pura, compuesto. d) Plata: sustancia pura, elemento. e) Zumo de limón y aceite: mezcla heterogénea. f) Agua con sal: mezcla homogénea. g) Amoniaco: sustancia pura, compuesto. h) Agua con aceite: mezcla heterogénea. i) Miel: mezcla heterogénea. j) Limaduras de hierro y alcohol: mezcla heterogénea. ACTIVIDADES Y TAREAS: Práctica científica-PÁG. 185 8. Identificación y clasificación de mezclas en heterogéneas y homogéneas, diferenciando las disoluciones de los coloides utilizando el efecto Tyndall. Anota en tu cuaderno los resultados obtenidos y clasifica las mezclas realizadas en el experimento. Respuesta libre. ACTIVIDADES Y TAREAS-PÁG. 188 1. Realiza un esquema en tu cuaderno sobre las distintas técnicas de separación de mezclas que existen.

Mezclas heterogéneas

Mezclas homogéneas

Filtración Sedimentación Decantación Separación magnética o imantación Centrifugación Destilación Evaporación y cristalización Cromatografía

2. Define: a) Decantación. b) Evaporación. 

Decantación: método de separación de mezclas heterogéneas que se utiliza para separar un sólido insoluble de un líquido o para separar dos líquidos que no se mezclen entre sí, como el agua y el aceite. Se basa en la diferente densidad de los componentes de la mezcla. 86

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

SOLUCIONARIO

Evaporación: La evaporación es un procedimiento que se emplea para separar las disoluciones de sólidos y líquidos. Consiste en evaporar el disolvente líquido de forma que el soluto sólido permanezca en el recipiente srcinal.

3. Escribe en tu cuaderno qué método de separación emplearías para las siguientes mezclas: garbanzos de lentejas, azúcar disuelto en un vaso de agua muy azucarada, agua mezclada con aceite, limaduras de hierro mezcladas con sal, y ropa mojada con agua.     

Garbanzos de lentejas: centrifugación. Azúcar disuelto en un vaso de agua muy azucarada: cristalización. Agua mezclada con aceite: decantación. Limaduras de hierro mezcladas con sal: separación magnética. Ropa mojada con agua: evaporación.

ACTIVIDADES Y TAREAS: Interpreta imágenes-PÁG. 188 4. Observa la siguiente imagen y busca información sobre ella. a) ¿Qué nombre recibe? b) ¿Para qué se utiliza? c) ¿En qué industria podemos encontrarlo? a) Es un alambique. b) Se utiliza para realizar destilaciones de alcoholes. c) Se ha utilizado tradicionalmente para la fabricación de bebidas destiladas, como licores, aguardientes, etc.

5. La siguiente imagen representa el resultado obtenido después de realizar un procedimiento de separación de mezclas. a) ¿De qué método se trata? b) ¿En qué consiste el procedimiento? c) Observando el resultado de la separación. ¿Qué conclusiones se pueden extraer? a) La imagen muestra la separación de sustancias coloreadas, es una cromatografía. b) Es una técnica que separa las sustancias según la velocidad a la que se mueven cada una de ellas, a través de un medio poroso, arrastradas unrecibe disolvente en movimiento. Con van estadesplazándose técnica se comenzaron separar componentes coloreados, por de ahí su nombre. Las sustancias a través dea la fase estacionaria, de forma que las de mayor tamaño se paran antes y las más pequeñas ascienden más. El grosor de la línea, nos indica la cantidad que posee, a mayor grosor más cantidad de soluto. c) Las conclusiones que se obtienen son que la tinta que se ha separado está formada por un conjunto de pigmentos: amarillos verdes, pardos, naranjas, morados, amarillos… Por orden, según se han mencionado, el de mayor tamaño corresponde al primer amarillo y el de menor al amarillo más intenso que está representado en la última banda. Por el grosor de la banda se aprecia que el que se encuentra en mayor cantidad es el verde. 87

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ACTIVIDADES Y TAREAS: Trabajo cooperativo-PÁG. 188 6. El objetivo de este trabajo es conocer la importancia de las salinas y recopilar información sobre su localización. Dividimos la clase en grupos de tres personas y cada uno de los grupos se encargará de una salina de nuestro país. Deberán buscar información sobre el nombre de la salina, el tipo de sal que produce y su historia. La información se presentará al resto de sus compañeros mediante un cartel que contendrá imágenes del lugar, situación geográfica, usos e historia del lugar.

Respuesta libre. ACTIVIDADES Y TAREAS: Práctica científica-PÁG. 189 7. Vas a realizar en el laboratorio tres tipos de separación de mezclas: por filtración, por cristalización y por sublimación. a) Escribe en tu cuaderno los pasos que has dado para realizar las tres prácticas. Respuesta libre b) Elabora un pequeño resumen de todo lo observado e intenta dar una explicación. Tu profesor o profesora te ayudará si tienes alguna duda. Respuesta libre c) Busca en el diccionario las definiciones de: filtración, cristalización y sublimación, y anótalas en tu cuaderno. 

Filtración : acción de filtrar o filtrarse; filtrar: hacer pasar un líquido por un filtro.



Cristalización: acción y efecto de cristalizar; cristalizar: tomar ciertas sustancias la forma cristalina.



Sublimación: acción y efecto de sublimar; sublimar: pasar directamente del estado sólido al estado de vapor.

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ACTIVIDADES Y TAREAS-PÁG. 191 1. Define fenómeno físico y fenómeno químico. ¿Cómo los puedes diferenciar? Los cambios físicos son aquellos cambios en los que no se produce una modificación de la naturaleza de la materia, al final del cambio, la materia no se ha transformado. Los cambios químicos se producen cuando, al final del cambio, ha habido una transformación de la sustancia inicial, es decir, una modificación de la naturaleza de la materia, sus propiedades han cambiado. Para diferenciar los cambios químicos y físicos, tenemos que tener en cuenta si las sustancias transformadas dejan de ser ellas mismas transformándose en otras diferentes. 2. Clasifica como cambio físico o químico las siguientes transformaciones: a) Evaporación del agua. b) Encender un fuego. c) Congelación del agua. d) Echar azúcar en el café. e) Cocinar un trozo de carne. f) Formación de agua a partir de hidrógeno y oxígeno. a) Físico. b) Químico. c) Físico. d) Físico. e) Físico. f) Químico. ACTIVIDADES Y TAREAS: Interpreta imágenes-PÁG. 191 3. Observa las siguientes imágenes y señala si se ha producido un cambio físico o químico. a) Químico. b) Físico. c) Físico. d) Físico. e) Químico. f) Químico. g) Físico. h) Químico.

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ACTIVIDADES Y TAREAS: Trabajo cooperativo-PÁG. 191 4. Dividid la clase en cinco grupos. Cada uno de los grupos va a realizar una pequeña experiencia al resto de la clase, de las que se citan a continuación: a) Cortar un folio en trozos muy pequeños. b) Quemar un trozo de papel. c) Arrugar un folio hasta convertirlo en una bola. d) Introducir un folio en un vaso con agua. e) Construir un barco con un folio. Realizaréis un informe de la actividad que contenga los siguientes apartados: 1. Título; 2. Material necesario; 3. Hipótesis; 4. Procedimiento; 5. Resultado; 6. Conclusiones. Respuesta libre. Es importante que los alumnos sean capaces de justificar al resto de la clase, si el fenómeno estudiado es físico o químico. El informe se puede presentar mediante un video realizado en el aula, o mediante una exposición oral.

ACTIVIDADES Y TAREAS-PÁG. 193 1. Observa el siguiente esquema que representa una reacción química y explica lo que significa cada uno de los términos: nX+mZ→BT

La sustancia X se combina con la Z para dar el compuesto BT. Las letras n y m son los coeficientes de los reactivos X y Z, es decir indican el número de átomos de X y Z que se combinan.

2. Enumera cinco reacciones químicas que puedas observar a tu alrededor. ¿Sabrías decir cada uno de los componentes de las mismas?

   



La oxidación de las frutas al estar en contacto con el oxígeno atmosférico. La combustión que ocurre en cualquiera de los motores de los vehículos. La combustión del gas en los calentadores o en las calderas. El cambio de color del líquido de cocer la lombarda al añadirle limón. Es una reacción de sustitución que realmente se puede utilizar para medir el pH. Los procesos de maduración de las frutas.

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3. Clasifica las siguientes reacciones químicas: a) Combustión. b) Descomposición. c) Combustión. d) Descomposición. e) Formación. f) Formación. g) Formación. h) Sustitución.

ACTIVIDADES Y TAREAS: Práctica científica-PÁG. 193 4. Realiza una serie de prácticas sencillas: a) Añade 1 g de bicarbonato de sodio en un matraz aforado y vierte sobre él unas gotas de vinagre. - ¿Qué ocurre? - Toca el matraz. ¿Qué temperatura tiene? b) Enciende una vela, y con un folio doblado a modo de c analón, dirige el gas hacia la llama. - ¿Qué observas? - Emite una hipótesis sobre la reacción que ha tenido lugar y esc ríbela. c) En un tubo de ensayo, añade unas gotas de sulfato de cobre(II) y, sobre él, cinc metálico. Déjalo reposar unos minutos. - ¿De qué color es el sulfato de cobre(II)? - ¿Qué ha ocurrido? - Busca información sobre esta reacción y escríbela. d) Llena un cuarto de vaso de precipitado de azúcar y sobre él vierte ácido sulfúrico concentrado. ¡Cuidado! El ácido sulfúrico resulta peligroso. - ¿Qué le ha ocurrido al azúcar? - ¿Se ha desprendido algún gas? - Busca información sobre esta reacción y explica lo que ocurre. Estas prácticas las podéis grabar en vídeo y explicárselas a otros grupos del centro, o exponerlas en el centro a vuestras familias. a) Al mezclar bicarbonato de sodio y agua, se produce una reacción de neutralización que da lugar a la aparición de CO2 y agua. Por ello, se producen burbujas y el recipiente se calienta. b) La llama se apaga por que el CO 2 producido es más denso que el oxígeno del aire, por lo que lo desplaza y en las proximidades de la vela no hay oxígeno y se para la combustión. 91

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SOLUCIONARIO

c) El sulfato de cobre es azul. Se produce una reacción de óxido reducción. El cinc tiene menor potencial de reducción que el cobre por lo que al juntarlos el Cu 2+ de la sal se reduce a Cu metal y el Zn metal se oxida a Zn2+. Zn + Cu2+



Zn2+ + Cu

d) El ácido sulfúrico deshidrata él azúcar. No se produce gas. En el vaso quedará carbono y agua (huele a caramelo quemado).

ACTIVIDADES Y TAREAS: Investiga-PÁG. 193 5. Antoine-Laurent de Lavoiser realizó importantes investigaciones sobre las reacciones químicas. Investiga sobre su vida y trabajo científico y contesta las siguientes cuestiones: a) ¿Dónde y cuándo nació y vivió? b) Describe algunos de los experimentos que realizó. c) ¿Cuál fue su aportación a la ciencia? a) París, 26 de agosto de 1743. b) Respuesta abierta. La naturaleza de la combustión entre otros. c) Ley de conservación de la masa.

ACTIVIDADES Y TAREAS-PÁG. 195 1. Observa el siguiente decálogo de buenas prácticas en nuestra vida diaria y señala por lo menos una acción que realices para cumplir cada una de estas diez premisas.

Respuesta libre.

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2. Investiga sobre las luces OLED, diodos orgánicos emisores de luz. - ¿De qué material están construidas? - ¿Cómo es su funcionamiento? - ¿Qué ventajas presentan frente a las otras lámparas? Los OLED, o LED orgánicos, reciben este nombre al estar compuestos por dos finas capas orgánicas, una capa de emisión y otra capa de conducción, que a su vez están comprendidas entre una fina película que hace de ánodo (polo +) y otra igual que hace de cátodo (polo -). En general, estas capas orgánicas están constituidas por polímeros semiconductores que poseen una conductividad eléctrica variable, comportándose como avilantes normalmente. Sin embargo, cuando se aplica un voltaje eléctrico entre los extremos de un OLED, los electrones del ánodo (+) tienden a desplazarse hacia el cátodo (-) haciendo que la capa de conducción contigua pierda electrones para reemplazar a los perdidos por el ánodo, quedándose así huecos en ésta. Por el contrario, la capa de emisión se carga negativamente como consecuencia de la llegada de los electrones y de la proximidad del cátodo. Dado que en los semiconductores orgánicos, los huecos se desplazan a mayor velocidad que los electrones, la recombinación de los electrones y de los huecos se produce en la capa de emisión. En esta recombinación, los átomos atrapan electrones haciendo que éstos reduzcan el nivel energético en el que se encuentran, liberando energía igual a la diferencia entre energías inicial y final, en forma de un fotón. Así, la radiación de esta energía liberada se producirá a una frecuencia en el rango espectral visible, por lo que se observará un punto de luz en un color determinado. La suma de muchas de estas recombinaciones, que ocurren de forma simultánea, es lo que forma la luz de un OLED. La elección de los materiales orgánicos así como de la estructura de las capas determinan las características de funcionamiento del dispositivo: tipo de color emitido, tiempo de vida y eficiencia energética. Funcionamiento de los OLED El funcionamiento de una pantalla OLED se basa en una serie de OLED situados sobre una superficie que se iluminan y cambian de color en función de la intensidad del estímulo eléctrico que reciban, de ahí que para formar una imagen se requiera de un gran número de estos elementos. Ventajas de los OLED Los OLED ofrecen muchas ventajas en comparación con los LCD, LED habituales y/o pantallas de plasma, al contar con las siguientes características: • Delgadez y flexibilidad. Las capas orgánicas de polímeros de los OLED son más delgadas, luminosas y mucho más flexibles que las capas cristalinas de un LED o LCD. A su vez, el substrato utilizado en los OLED puede ser el plástico, más flexible que el cristal que da soporte a los LCD o pantallas de plasma. • Economía. A pesar de que en la actualidad, su elaboración es costosa, en el futuro disminuirán enormemente los costes al utilizarse procesos de fabricación y materiales más económicos a gran escala. • Brillo. Los píxeles, o punto de luz, de un OLED emiten luz directamente, posibilitando así, un rango más grande de colores, más brillo y contrastes, y más ángulo de visión, que los LCD. • Reducido consumo. Un OLED apagado realmente no produce luz (blacklight), por tanto no consume energía. Los LCD, por el contrario, no pueden mostrar un verdadero negro y lo componen con luz de varios colores, consumiendo así energía continuamente. Uno de los mayores contratiempos de los OLED es el gran impacto medioambiental que suponen, al resultar muy complicado el reciclado de sus componentes orgánicos (polímeros). 93

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SOLUCIONARIO

Aplicaciones de los OLED Como consecuencia de las características previamente mencionadas, las aplicaciones de los OLED son infinitas. La compañía Samsung, líder en tecnología TFT-LCD, desarrolló en 2005 el primer televisor (de 40 pulgadas) usando tecnología OLED. La misma compañía desarrolló en 2009 una pantalla de 6’5 pulgadas totalmente flexible 3. Realiza un mapa mental que resuma los diferentes residuos que pueden generar las industrias.

Respuesta libre.

ACTIVIDADES Y TAREAS: Trabajo cooperativo-PÁG. 195

4. Dividid la clase en grupos de tres personas. Cada uno de estos grupos realizará una investigación sobre un tipo de industria, como por ejemplo: química, producción de alimentos, productos textiles, materiales de embalaje, etc. Cada grupo realizará una exposición a sus compañeros mediante un vídeo. Este material audiovisual debe contener: a) Productos que fabrican. b) Materias primas de las que parten. c) Proceso de fabricación. d) Tipos de residuos que generan. e) Plan de gestión de los residuos que generan. f) Opinión personal.

Respuesta libre.

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TRABAJAMOS COMPETENCIAS-PÁG. 196 1. Define: a) Materia. b) Masa. c) Volumen. d) Densidad. e) Temperatura. a) Materia es todo lo que tiene una masa y ocupa volumen. b) Masa: es la cantidad de materia que tiene un cuerpo y se mide en kilogramos (kg). c) Volumen: porción del espacio que ocupa un cuerpo (m 3). d) Densidad: es la masa que contiene la unidad de volumen de un cuerpo. (kg/m 3) e) Temperatura: cantidad de calor que tiene un cuerpo. 2. Copia y completa los siguientes textos en tu cuaderno:   

      

La densidad depende de la masa y el volumen. Un cuerpo caliente pierde calor, mientras que uno frio lo absorbe. En los cambios físicos la naturaleza de la materia no se transforma, pero en los cambios químicos sí se transforma la materia. La materia se puede presentar en tres estados: sólido, líquido y gas. Los cuerpos sólidos tienen masa constante, y forma fija. Su volumen también es fijo. Los cuerpos líquidos tienen una masa y un volumen constantes, pero no tienen forma propia. Los gases tienen una masa fija, su volumen no es fijo y tampoco tienen forma propia. El paso de s ólido a líquido se llama fusión, y el de líquido a gas vaporización. La temperatura de ebullición del agua es de 100 °C. El paso de líquido a sólido se denomina solidificación, y el de gas a líquido se denomina condensación.

3. De las s iguientes sustancias, indica cuáles son puras y cuáles son mezclas: mármol, agua del grifo, s al, zumo, nieve, oro, hormigón, crema de dientes, diamante y aire. Razona la respuesta.

Sustancia pura

Mezcla

sal, oro, diamante.

mármol, agua del grifo, zumo, nieve, hormigón, crema de dientes, aire.

Las sustancias puras están formadas por átomos o moléculas con propiedades fijas. 4. ¿Por qué métodos separarías los componentes de las siguientes disoluciones: agua y alcohol, agua y sal común, y agua azucarada?

Agua y alcohol: destilación. Agua y sal común: cristalización. Agua y azúcar: cristalización. 95

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SOLUCIONARIO

5. Escribe en tu cuaderno si se trata de una mezcla homogénea o heterogénea, y por qué: a) Ensalada

e) Harina con garbanzos

i) Agua y alcohol

b) Agua

f) Limonada

j) Agua con azúcar

c) Paella

g) Café

k) Gasolina

d) Leche

h) Sopa de fideos

l) Aceite y agua

a) Ensalada: heterogénea. b) Agua: homogénea. c) Paella: heterogénea. d) Leche: heterogénea. e) Harina con garbanzos: heterogénea. f) Limonada: heterogénea. g) Café: heterogénea. h) Sopa de fideos: heterogénea. i) Agua y alcohol: homogénea. j) Agua con azúcar: homogénea. k) Gasolina: heterogénea. l) Aceite y agua: heterogénea. 6. Lee el siguiente fragmento de la obrita de teatro La bruja Sinforosa y explica qué tipo de mezcla están realizando las brujas y cómo separarías algunos de sus componentes.

Recomendar al alumnado que siga un método, por ejemplo separar primero las sustancias sólidas a través de diferentes filtros, luego separar los distintos líquidos, etc. Esta actividad puede hacerse por equipos y realizar una puesta en común discutiendo las posibles soluciones.

TRABAJAMOS COMPETENCIAS-PÁG. 197 7. El juego de los cambios de estado. Dependiendo de cuántos seáis en clase, os colocaréis en varias filas. Si, por ejemplo, sois 20 os colocaréis en cinco filas de cuatro alumnos. Os pondréis muy cerca unos de otros y los de cada f ila os cogeréis del brazo. Los de los extremos darán la mano que les queda libre a los de los extremos de la fila de atrás, y así hasta que todos forméis un bloque compacto: estáis representando el estado sólido. El profesor dirá que está administrando calor, así que os empezaréis a separar, primero sin soltaros y, después, algunos de vosotros quedaréis libres. Ahora sois un líquido. 96

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SOLUCIONARIO

Si el calor continúa, os iréis soltando poco a poco hasta que todos quedéis libres. Habréis escenificado el estado gaseoso. Ahora vamos a volver al estado sólido. ¿Cómo? Muy fácil, aplicaremos frío. Si a un gas se le enfría lo suficiente se transforma en un líquido y si se sigue aplicando frío el líquido pasará a sólido. Se trata de que los alumnos mediante este juego entiendan la teoría cinética y su aplicación a los cambios de estado. 8. Indica en tu cuaderno a qué conceptos corresponden los siguientes términos:

a–4 b–3 c–1 d–5 e–2 f–6

9. Las aleaciones son mezclas de dos metales. Tienen una importancia clave para muchos procesos industriales. Investiga sobre el bronce, el acero, el latón y el acero inoxidable, y contesta las siguientes cuestiones: a) ¿Cuál es s u composición? b) ¿En qué momento de la historia se descubrieron? c) ¿Cuáles son sus aplicaciones? d) Realiza una línea del tiempo que resuma todos estos aspectos añadiendo imágenes. COMPOSICIÓN Cobre y estaño

Bronce

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DESCUBRIMIENTO Cerca del año 3500 a.C., en Mesopotamia El bronce fue la primera aleación fabricada voluntariamente por el ser humano: se realizaba mezclando el mineral de cobre (calcopirita, malaquita, etc.) y el de estaño (casiterita) en un horno alimentado con carbón vegetal.

APLICACIONES Actualmente, el bronce se emplea especialmente en aleaciones conductoras del calor, en baterías eléctricas, en la fabricación de llaves, válvulas, tubos y uniones de gasfitería. El bronce puede contener además otros elementos que le confieren propiedades especiales, que lo hacen más apropiado a un uso determinado. Por ejemplo, existe el bronce maleable para monedas y medallas, el bronce duro para engranajes y otras piezas de máquinas, el bronce de campanas, el bronce de arte, el bronce al plomo para

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Carbono hierro

y

Se han identificado productos elaborados de acero, en el año 3000 a.C., sin embargo los primeros aceros producidos con características similares de calidad ( cantidad suficiente) al acero actual fueron obtenidos por Sir Henry Bessemer en 1856 con la ayuda de un proceso por el diseñado utilizando fósforo y azufre, sin embargo debido a la necesaria presencia de estos elementos, ha caído en desuso, siendo sustituido por el sistema inventador por Sir William Siemens en 1857 el cual descarburiza la aleación de acero con la ayuda de óxido de hierro.

Acero

Cinc y cobre

Hacia el 1400 a.C. se descubre el latón. En el 250 a.C. se intensificó su uso al utilizarse para la fabricación de monedas por el imperio romano.

Carbono, hierro y cromo, que es el encargado de evitar la oxidación.

Los primeros trabajos realizados para la fabricación de los hierros y aceros inoxidables datan del siglo XIX. Ya en aquellos días se sabía que el hierro aleado con ciertos metales, como el

Latón

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SOLUCIONARIO

cojinetes, el bronce al fósforo (o bronce desoxidado), que es utilizado en la fabricación de muelles, telas metálicas y enrejados para filtros y tamices, entre otros. El acero se usa para la fabricación de herramientas, utensilios, equipos mecánicos, partes de electrodomésticos y maquinas industriales. El acero se consume en la construcción de camiones y de maquinaria para la agricultura. Las construcciones ferroviarias, ya sea de vías o material rodantes, consumen grandes cantidades de acero. Se puede encontrar este elemento en la industria de las armas, sobre todo en el armamento pesado, vehículos blindados y acorazados. Los astilleros que construyen barcos petroleros, gasistas y buques cisternas son grandes consumidores del acero. Otra industria que recurre mucho acero es la automotriz, ya que muchas partes de los automóviles están compuestas por ese material, por ejemplo: el cigüeñal, piñones, ejes de transmisión de caja de de velocidades articulación la dirección.y brazos de En la vida cotidiana encontramos el acero en envases como latas de conservas o bebidas, o bidones para pinturas, grasas o solventes. También es un elemento importante que se utiliza para las estructuras de viviendas comunes y en gran parte de los edificios modernos. Es utilizado para armar el hormigón, reforzar los cimientos, transportar agua o gas. Es fundamental para formar el armazón de los edificios, además es utilizado como revestimiento en fachadas y techos Las aplicaciones de los latones abarcan los campos más diversos, desde el armamento, pasando por la ornamentación, soldadura, fabricación de alambres, tubos de condensador y terminales eléctricos. Como no es atacado por el agua salada, se usa también en las construcciones de barcos y en equipos pesqueros y marinos. Los usos del acero inoxidable son casi ilimitados. En el hogar, el acero inoxidable se utiliza en la producción de vajillas y otros cubiertos, vajilla, ollas y utensilios de cocina, fregaderos,

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Acero inoxidable

cobre y el níquel resistía mejor a la oxidación que el hierro ordinario. En 1865 ya se hacían, aunque en cantidades muy limitadas, aceros con 25 y 35 % de níquel que resistían muy bien la acción de la humedad del aire y, en general, del medio ambiente; pero se trataba de fabricaciones en muy pequeña escala que nunca se continuaron. En esa época no se llegó a estudiar ni a conocer bien esta clase de aceros.

SOLUCIONARIO

estufas, parrilleras al aire libre y herramientas de jardinería y mobiliario. En las ciudades y pueblos, el acero inoxidable se utiliza en fachadas de edificios, paradas de autobuses, ascensores y escaleras mecánicas, cabinas telefónicas y otros accesorios de la calle, vagones de metro y equipo de la estación. En la industria, su uso incluye herramientas que crean productos farmacéuticos y alimenticios, plantas industriales para el tratamiento de agua potable y residual, plantas petroquímicas y químicas, partes de motores de avión, aeronáutica y de auto, y tanqueros químicos y de petróleo.

10. La fabricación de jabón de aceite ha permitido reutilizar un compuesto muy contaminante para el agua desde tiempos antiguos. Imagina que vas a crear una fábrica de jabón. Para ello, investiga sobre los siguientes aspectos y elabora un informe con los mismos: a) ¿En qué consiste el proceso de fabricación del jabón? ¿Qué materias primas se necesitan? b) ¿En qué reacción química se basa el proceso? c) Elabora un plan para la recogida del aceite usado para la elaboración del jabón. d) ¿Dónde lo puedes fabricar y almacenar? e) ¿Qué productos de desecho se generan? ¿Cómo puedes gestionarlos de forma sostenible? a) Para fabricar jabón casero se necesitan las siguientes materias primas: aceite usado, agua destilada y sosa cáustica. Proceso: Se diluye la sosa cáustica en el agua. ¡OJO! Nunca hacerlo a la inversa pues la reacción química que se produce puede provocarnos importantes quemaduras en la piel, ir agregándola poco a poco y lentamente y con mucho cuidado, ya que puede producir vapores que son muy tóxicos. A continuación se producirá una reacción química de la sosa caustica que liberará calor, pudiendo hasta llegar hasta los 800. Mucho cuidado con ello y esperar a que enfríe, esté preparado que obtendremos se lo conoce como lejía caustica. Vierte lentamente la lejía cáustica sobre el aceite, siempre y cuando estén aproximadamente a la misma temperatura, que no haya más de 5 grados de diferencia a ser posible, para ello se puede calentar el aceite hasta que llegue a unos 40 0 de temperatura más o menos, que sería la ideal para realizar la mezcla, removiendo en forma constante y en el mismo sentido, para evitar que se corte el jabón, también se puede utilizar una batidora para que la mezcla se haga más rápida con una velocidad baja, con mucho cuidado para que no nos salpique. Sabremos cuando esta ya bien en el momento que tenga una espesura y consistencia similar al de la mahonesa, si se desea, se puede aromatizar y colorear, agregando los colorantes naturales y los aceites esenciales, eso siempre y cuando la mezcla tenga una temperatura igual o más baja a los 40 0C. Por último se vuelca la mezcla obtenida en los moldes que deseéis, que pueden ser de silicona, plástico o madera, se debe tapar con un film de cocina y cubrir con un paño para que el calor se mantenga y enfrié 99

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poco a poco, una buena recomendación es untar con un poco de aceite los moldes para un mejor desmoldado. Esta mezcla la dejaremos reposar durante un día o dos para luego proceder a su desmoldado y su posterior corte a los tamaños deseados si el molde que utilizamos es grande. Es importante dejar endurecer durante aproximadamente un mes o mes y medio para que se culmine satisfactoriamente el proceso de saponificación. Después ya lo podréis utilizar, vender o regalar.

b) Ácidos Grasos + Solución Alcalina  Jabón + Glicerina

c) Respuesta libre. d) Ya se ha explicado en el proceso de fabricación. e) No se generan productos de desecho.

DESAFÍO PISA-PÁG. 198 Actividad 1. La fermentación hace que la mezcla se hinche. ¿Por qué se hincha? a) Se hincha porque se produce alcohol, que se transforma en gas. b) Se hincha porque los hongos unicelulares se reproducen dentro de e lla. c) Se hincha porque se produce un g as, el dióxido de carbono. d) Se hincha porque la fermentación transforma el agua líquida en vapor. c) Se hincha porque se produce un gas, el dióxido de carbono. Actividad 2. En la mezcla, la levadura transforma el almidón y los azúcares de la harina mediante una reacción química en la que se producen dióxido de carbono y alcohol. ¿De dónde provienen los átomos de carbono que forman parte del dióxido de carbono y del alcohol? Contesta en tu cuaderno, «sí» o «no», para cada una de las posibles explicaciones siguientes.

Son ciertas las dos primeras afirmaciones y falsas las dos segundas.

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SOLUCIONARIO

Actividad 3. Cuando la mezcla de pan hinchada (fermentada) se cuece en el horno, las burbujas de gas y vapor que hay en la mezcla se dilatan. ¿Por qué se dilatan los gases y los vapores al calentarse? a) Sus moléculas se hacen más grandes. b) Sus moléculas se mueven más deprisa. c) Aumenta su número de moléculas. d) Sus moléculas entran en colisión con menos frecuencia. b) Sus moléculas se mueven más deprisa.

TRABAJO CIENTÍFICO-PÁG. 199 1. Calcula las densidades de todos los elementos utilizados en tu práctica y completa con ellos en tu cuaderno una tabla parecida a la siguiente. ¿Qué objeto ha tenido mayor densidad? ¿Y menor? Este último, ¿podrá flotar en el agua?

Respuesta libre.

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Ámbito científico y matemático I Programa de mejora del aprendizaje y del rendimiento EVALUACIÓN-PÁG. 200

1 d); 2 a); 3 c); 4 a); 5 b); 6 d); 7 b); 8 c); 9 d); 10 c)

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SOLUCIONARIO

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MI PROYECTO-PÁG. 202 1. Según el texto, ¿qué compuesto desprenden las frutas cuando maduran? 1. Etileno. 2. ¿Qué ocurre si metemos en una bolsa cerrada fruta ya madura con otra aún verde? ¿Tiene que ser el mismo tipo de fruta o pueden ser distintos tipos? 2. La fruta verde madurará más rápido debido al etileno que desprende la fruta más madura. Da igual el tipo de fruta que utilicemos porque todas las frutas maduras desprenden el mismo compuesto. 3. Si no te interesa que la fruta que tienes en casa madure muy rápidamente, ¿es mejor guardarla en un frutero o en una bolsa de plástico? 3. En un frutero para que el etileno que desprenden ellas mismas les afecte menos. 4. ¿Por qué evitamos que las galletas se sequen al guardarlas con una rebanada de pan? 4. Porque el pan aporta humedad al ambiente. 5. ¿Qué ocurre si guardamos galletas en un recipiente abierto y el ambiente tiene m ucha humedad? Las galletas absorberán mucha humedad y pueden llegar a quedarse blandas. La clave es que absorbiendo humedad del entorno, la galleta tiende a igualar su grado de humedad con el del aire que la rodea. Por eso, en un frasco cerrado, con poca humedad, las galletas terminan secándose, mientras que si la humedad del aire que la rodea es alta, las galletas terminarán blandas. MI PROYECTO-PÁG. 203 Paso 1. Calcular los ingredientes 1. 15 g de mantequilla, 6,5 g de huevo, 17,5 g de harina 12,5 g de azúcar. 2. Respuesta libre. 3. Respuesta libre. Paso 2. Definir el precio 1. Respuesta libre. 2. Respuesta libre. Paso 3. Elegir una organización Respuesta libre. Añadid una nueva entrada al blog de vuestra asociación con información sobre la actividad de venta de galletas (cantidad de galletas elaboradas, cantidades de ingredientes empleados…) y un póster en el que la anunciéis. El póster debe incluir el precio de venta de las galletas e información sobre la ONG elegida. Respuesta libre. En esta actividad se intenta que el alumno resuelva problemas y tome decisiones en un contexto lo más real posible. Siempre que sea posible se recomienda utilizar datos reales de su centro educativo y en la evaluación del resultado debe analizarse cómo se ajustan las respuestas a esa realidad. En 103

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este sentido también es muy importante la forma en la que el alumno comunica sus resultados mediante las publicaciones en el blog de la asociación. Esta actividad puede alcanzar su máximo potencial si el proyecto desarrollado se lleva a la práctica.

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