SOLUCIONARIO:
´ NUMEROS REALES Ca Cami milo lo Andr´ An dr´eess Ra Ram m´ırez ır ez S´a anch n chez ez Polit´ecnico ecni co Grancolom Granc olombian biano o
[email protected] Modalidad Virtual Bogot´ Bog ot´a a.. 201 2013 3
´ SOLUCIONARIO: NUMEROS
REALES
´Indice
´Indice
1. Ejerci Ejercicio cio 1
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2. Ejerci Ejercicio cio 2
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3. Tall aller er 1 4. Ejerci Ejercicio cio 3
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Introducci´ on on
Estimado estudiante. El presente documento se ha realizado con el prop´osito osito fundament fundamental al de ser un apoyo apoyo en el proceso de formaci´ on on del m´odulo. odulo. Aqu´ı encontrar enco ntrar´as ´as las soluciones y los procedimientos de los ejercicios y problemas de la lectura uno, ten en cuenta que lo aqu´ı planteado y desarrollado no es la la u aqu´ unica ´ nica manera en que se puede abordar un problema por lo tanto puedes llegar a la misma respuesta justific´aandola ndola de manera diferente. En el desarrollo de estos ejercicios se ha optado por ser lo mas minucioso posible, es decir, en algunos ejercicios encontrar´aass paso a paso el procedimiento junto con la justificaci´oon. n. Es recomendable que antes de ver las soluciones y procedimientos de alg´u un n ejercicio aqu´ aqu´ı planteado lo intentes intentes desarrollar con el prop´osito osito de que primero te enfrentes a este, lo pienses y resuelvas y luego verifiques la respuesta y en caso de que hayas cometido alg´ un un error puedas identificarlo y corregirlo.
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´ SOLUCIONARIO: NUMEROS
REALES
Ejercicio Ejerc icio 1
1. Ejercicio 1
1. Esc Escrib ribaa un n´umero umero racional no entero Desarrollo
Recordemo Recordemoss que los n´ umeros umeros Racionales contienen a los Enteros y a los Naturales, esto quiere decir que cualquier n´ cualquier u umero mero Entero es Racional pero no al contrario; no todos los n´umeros umeros Racionales son Enteros. 12 , 0.2, 12.3˜2,
−
− 98
Son algunos ejemplos de n´umeros umeros Racionales que no son Enteros. 3. ¿Es posible encontr encontrar ar un n´umero umero racional e irracional a la vez? Explique Desarrollo
No, no es posible porque estos dos conjun conjuntos tos de n´u umeros meros son disyuntos , es decir que no tienen elementos
comunes. 4. ¿Todo ¿Todo natural es entero? entero? Explique Explique Desarrollo
Si porque el conjun conjunto to de los n´ u umeros meros Naturales est´a contenido en el conjunto de los n´umeros umeros Enteros
5. ¿Todo ¿Todo racional es entero? entero? Explique Explique Desarrollo
No, en el punto punto 1. 1. est´ a al algunos gunos ejemplo de p porqu´ orqu´ e no todo Racional es Entero.
6. Dado el conjunto conjunto A de n´ umeros umeros reales: A =
−
√ √
50 0.7, 5, 20, 0, 0.3666..., , 42, 4
−
√ − 25, −2
Completar Desarrollo
a. Los naturales naturales que pertenecen al conjunto conjunto A son: 0, 42
−√ 25, −2 √ 50 c. Los racionales racionales que pertenecen pertenecen al conj conjunto unto A son: 0, 42, − 25, −2, −0.7, −0.366..., 4 √ √ d. Los irracion irracionales ales que perten p ertenecen ecen al conju conjunto nto A son: 5, 20 b. Los enter enteros os que pertenecen pertenecen al conju conjunto nto A son: 0, 42,
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´ MEROS SOLUCIONARIO: NU
REALES
Taller 1
2. Ejercicio 2
Ubicar los siguientes reales en la recta num´eerica rica (utilizar aproximaci´oon n a una cifra decimal). a. 1.39 50 3.8462 b. 13 4 c. 0.5714 7
≈ − ≈ −
Desarrollo
3. Taller 1 1. Dado el conjunto conjunto B =
√ 8 √ 3
−1.75555...,
2
,
5
2, 1234, 2.807, 401.1,
−
−
−
32 31
a. Determinar Determin ar qu´e elementos del conjunto conj unto B son naturales, enteros, racionales o irracionales. Desarrollo
√ √ − √ − − √ 3
8 2
N=
3
Z=
8 , 1234 2
3
8 , 1234, 1.75555..., 2.807, 401.1, 2
Q= I=
5
−
−
32 31
2 b. Ubicar cada uno de los elemento elementoss del conjunt conjuntoo B en la rect rectaa num´eerica. ri ca. Desarrollo
3. Determine Determine si las siguientes siguientes afirmaciones afirmaciones son verdader verdaderas as o falsa falsas, s, Justifique Justifique sus respuestas respuestas.. Desarrollo
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REALES
Ejercicio Ejerc icio 3
[Verdadero]:: Porque el conjunto de los n´ a. Todo entero es racional. racional. [Verdadero] u umeros meros enteros Z est´a contenido en el conjunto de los n´ umeros umeros racionales Q. b. Alg´ un un natural no es entero. [Falso] entero. [Falso]:: Porque el conjunto de los n´u umeros meros naturales N est´a contenido en el conjunto de los n´ umeros umeros enteros Z . c. Todo irracional irracional es real. [Verdadero] real. [Verdadero]:: Porque el conjunto de los n´ u umeros meros irracionales I est´a contenido en el conjunto de los n´ umeros umeros reales R . d. Alguno Algunoss racionales racionales no son reales. [Falso] reales. [Falso]:: Porque todo n´ u umero mero racional Q es real R.
4. Ejercicio 3
Simplificar cada expresi´oon n utilizando utilizando las propi propiedade edadess de las operac operaciones iones.. 1. 3
− {−5 + 5(2 + 3) − 2}5 + 1
Desarrollo
3
− {−5 + 5(2 + 3) − 2}5 + 1
3
− {−5 + 5(2 + 3) − 2}5 + 1
− 7(3 + 4) − 1.5 + 0.5 Desarrollo 20 − 7(3 + 4) − 1.5 + 0.5
= = = = =
3 3 3 3
− {−5 + 5(5) − 2}5 + 1 − {−5 + 25 − 2}5 + 1 18 5 + 1 − {90 +} 1 −86 = −86
Se resuelve par´entesis entesis Se oper operaa ra raci cion onal ales es Se resuelve par´entesis Se opera racionales Se opera racionales
2. 20
20
4
− 7(3 + 4) − 1.5 + 0.5
− − − −
= 20 7(7) 1.5 + 0.5 Se resuelve par´ par´entesis entesis = 20 49 1.5 + 0.5 Se oper operaa ra raci cion onal ales es = 30 Se opera racionales
− = −30
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3. 100 + 50(3 50(3
REALES
Ejercicio Ejerc icio 3
− (−7))2 − 1
Desarrollo
100 + 50(3
100 + 50(3
− (−7))2 − 1
= 100 100 + 50(3 50(3 + 7)2 7)2 1 De Defin finic ici´ i´ on on de opuesto ( a) = a = 100 + 50( 50(10) 10)22 1 Se res resuel uelve ve par´ par´entes entesis is = 100 100 + (500 (500)2 )2 1 Pr Prop opie ieda dad d as asoci ociat ativ ivaa de la multi ultipl plic icac aci´ i´ oon n Se opera racionales racionales = 100 100 + 1000 1000 1 Se opera racionales = 1099 Se opera racionales
− (−7))2 − 1
= 1099
− − −
−
− −
4. Utilizando Utilizando las propiedades propiedades de los n´u umeros meros reales, reducir: a. Desarrollo c. (2x + 3y ) ( 2z
− − − 8x + y)
−
Desarrollo
−(2x + 3y) − (−2z − 8x + y) −(2x + 3y) − (−2z − 8x + y) e. 7 − 4(m + 3) + (m − 5)2 + 8
= 2x 3y + 2 z + 8 x = 6x 4y + 2 z
− − − = 6x − 4y + 2 z
− y Definici´on on de opuesto −(−a) = a Se opera t´erminos erminos semejantes
Desarrollo
7
− 4(m + 3) + (m − 5)2 + 8
− 4(m + 3) + (m − 5)2 + 8 g. {−(8x + 3y − 1)} − {(−7x + 3)5} 7
= 7 4m 12 + 2m = 2m 7
− − − − = −2m − 7
− 10 + 8
Propiedad Propiedad distrib distributiv utivaa a (b + c) = ab + ac Se opera t´erminos semejantes
Desarrollo
{−(8x + 3y − 1)} − {(−7x + 3)5} = −8x − 3y + 1 − {−35x + 15} Definici´on on de opuesto −(−a) = a Propiedad distributiva a (b + c) = ab + ac = −8x − 3y + 1 + 35x − 15 Definicion ´on de opuesto −(−a) = a = 27x − 3y − 14 Se operan t´erminos semejantes {−(8x + 3y − 1)} − {(−7x + 3)5} = 27x − 3y − 14 i. 21 − 9(−d + 3) − (5 − 4d)2 − 3 Desarrollo
21
− 9(−d + 3) − (5 − 4d)2 − 3
= 21 + 9d 27 = 17d 19
21
− 9(−d + 3) − (5 − 4d)2 − 3 k. (a − b) − (a + 2b)(a + 3b)
=
− − 10 + 8d − 3 − 17d − 19
Propiedad Propiedad distr distributiv ibutivaa a (b + c) = ab + ac Se operan t´erminos semejantes
2
Desarrollo
(a
2
− b) − (a + 2b)(a + 3b)
= a2 = a2 = a2 =
(a
5
2
− b) − (a + 2b)(a + 3b)
2
− 2ab + b − (a + 2b)(a + 3b) − 2ab + b − (a + 3ab + 2ab + 6b ) − 2ab + b − a − 3ab − 2ab − 6b
7ab
2
2
5b2
− − = −7ab − 5b
2
2
2
2
2
Producto notable (a b)2 = a 2 2ab + b2 Propiedad Propiedad distri distributiv butivaa a (b + c) = ab + ac Ley de opuestos ( a) = a Propiedad distributiva a (b + c) = ab + ac Se opera operan n t´erminos erminos semejantes
− − −
−
