Solucionario Mates
April 29, 2020 | Author: Anonymous | Category: N/A
Short Description
Download Solucionario Mates...
Description
831106 _ 0001-0003.qxd
11/9/07
12:25
Página 1
Matemàtiques 3
ESO
Biblioteca del professorat
SOLUCIONARI
El Solucionari de Matemàtiques per a 3r d’ESO és una obra col·lectiva concebuda, dissenyada i creada al Departament d’Edicions Educatives de Grup Promotor / Santillana, dirigit per Enric Juan Redal i M. Àngels Andrés Casamiquela. En la realització han intervingut:
A. M. Gaztelu A. González M. Marqués EDICIÓ N. Grinyó R. Nevado C. Pérez DIRECCIÓ DEL PROJECTE D. Sánchez Figueroa
Grup Promotor Santillana
831106 _ 0001-0003.qxd
11/9/07
12:25
Página 2
Presentació El nom de la sèrie, La Casa del Saber, respon al plantejament de presentar un projecte de matemàtiques centrat en l’adquisició dels continguts necessaris perquè els alumnes puguin desenvolupar-se en la vida real. El saber matemàtic, en l’etapa obligatòria d’ensenyament, ha de garantir no només que s’interpreti i es descrigui la realitat, sinó també que s’hi actuï. En aquest sentit, i considerant les matemàtiques en aquests nivells com una matèria procedimental, recollim en aquest material la resolució de tots els exercicis i problemes formulats en el llibre de l’alumne. Pretenem que aquesta resolució sigui no només un instrument, sinó que es pugui entendre com una proposta didàctica per enfocar l’adquisició dels diferents conceptes i procediments que es presenten en el llibre de l’alumne.
5
Sistemes d’equacions
Una classe improvisada Estar convidat a la Festa de la Primavera, que cada any se celebrava al palau del maharajà, era un honor reservat només als personatges més influents. Quan pujava a l’elefant, el savi Brahmagupta i el seu jove ajudant, Serhane, van coincidir a reconèixer que el maharajà era molt generós d’enviar el seu seguici per portar-los al palau. El jove ajudant es va passar mig camí queixant-se de les disciplines que havia d’estudiar: –Mestre, per què he d’estudiar àlgebra? No té cap utilitat; si tinc cinc monedes són cinc monedes, no pas cinc incògnites... I que la incògnita pugui ser qualsevol cosa és antinatural. Brahmagupta va prendre la paraula i durant l’altre meitat del camí que els faltava li va explicar al seu deixeble la utilitat de l’àlgebra: –En aquest món tot té el seu significat: l’estel al front de l’elefant no és tan sols un estel, sinó que vol dir que pertany al maharajà, i la creu coronada per quatre cercles no és només un dibuix, és el símbol de la ciutat. En matemàtiques, el més senzill és treure-li el significat a les coses, operar amb nombres i, després, interpretar-ne el resultat. Després d’aquestes paraules, mestre i deixeble es van quedar en silenci durant el quilòmetre que faltava per arribar a palau.
EQUACIÓ LINEAL AMB DUES INCÒGNITES
SISTEMES DE DUES EQUACIONS AMB DUES INCÒGNITES
CLASSES DE SISTEMES
RESOLUCIÓ GRÀFICA
Amb l’ajuda d’una equació, calcula la distància que tots dos van recórrer dalt de l’elefant.
MÈTODES DE RESOLUCIÓ
x = distància SUBSTITUCIÓ
IGUALACIÓ
1 1 x+ x+1= x 2 4
REDUCCIÓ
§
2x + x + 4 = 4x § x = 4
Van recórrer una distància de 4 km.
RESOLUCIÓ DE PROBLEMES AMB SISTEMES DE DUES EQUACIONS I DUES INCÒGNITES
SOLUCIONARI
Nombres reals
c) La distància de la Terra a Neptú: 4,5 ⋅ 109 − 1,496 ⋅ 108 = 4,5 ⋅ 109 − 0,1496 ⋅ 109 = 4,3504 ⋅ 109 km La velocitat és de 360.000 km/h = 3,6 ⋅ 105 km/h. De la Terra a Neptú es triga: (4,3504 ⋅ 109) : (3,6 ⋅ 105) = 1,2084 ⋅ 104 = 12.084 horas = 503,5 dies A anar i tornar es trigarà el doble, és a dir, 1,006 dies, que equivalen aproximadament a 2 anys i 9 mesos. Per tant, sí que podríem anar i tornar de Neptú. Has de tenir en compte que estem suposant que des del primer moment assolim la velocitat màxima de 360.000 km/h.
A LA VIDA QUOTIDIANA Navegant per Internet hem arribat a la pàgina següent:
GGG Formació dels planetes Els planetes es van formar fa uns 4.500 milions d’anys, al mateix
temps que el Sol.
van allunyar més que els pesants. En general, els materials lleugers que no es van quedar al Sol es més denses, projectes de planetes. Al núvol de gas i pols original, que girava en espirals, hi havia zones i el moviment rotatori les va arrodonir. La gravetat i les col·lisions van portar més matèria a aquestes zones
Planetes Mercuri Venus Terra Mart
5,791 ⋅ 107
2.440 km
1,082 ⋅ 108
6.052 km
Llunes 0
Període de Rotació 58,6 dies
Òrbita 87,97 dies
0
–243 dies
224,7 dies
1
23,93 hores
365,256 dies
2
24,62 hores
686,98 dies
9,84 hores
11,86 anys
10,23 hores
29,46 anys
6.378 km
1,496 ⋅ 108
3.397 km
2,2794 ⋅ 108
71.492 km
7,7833 ⋅ 108
16
1,429 ⋅ 109
18*
25.559 km
2,87 ⋅ 109
15
17,9 hores
84,01 anys
24.746 km
4,5 ⋅ 109
8
16,11 hores
164,8 anys
Júpiter Saturn
60.268 km
Urà Neptú
Distància al Sol (km)
Radi equatorial
106 GGG
Concepte:
Exploració Diversión
Noticias
Asteriodes Estacions espacials Vida a l’espai Exploració Estem sols?
Navegació espacial Fins ara, gairebé totes les missions espacials han fet servir motors coets amb combustibles i comburents químics. Per desgràcia, aquests motors no són gaire eficaços; per exemple, més de la meitat del pes de la sonda espacial Rosetta de l’ESA en el moment del llançament era combustible.
Exploració ExpoMars Futures exploracions a Mart Nous mitjans de transport
L’ESA estudia actualment maneres de reduir la quantitat de combustible que transporten les naus. Una de les idees consisteix en un motor d’ions que faci servir una pistola elèctrica per disparar gas cap a l’espai.
a) Quina distància hi ha entre Mercuri i Saturn? b) Quina distància és més gran, la de la Terra a Urà o la de Mart a Neptú? c) Amb una nau com la que es descriu a la segona pàgina, quant es tardaria a arribar a Neptú? Podríem visitar Neptú i tornar a la Terra? a) La distància de Mercuri a Saturn: 1,429 ⋅ 109 − 5,791 ⋅ 107 = 1,429 ⋅ 109 − 0,05791 ⋅ 109 = = 1,37109 ⋅ 109 km b) La distància de la Terra a Urà: 2,87 ⋅ 109 − 1,496 ⋅ 108 = 2,87 ⋅ 109 − 0,1496 ⋅ 109 = 2,7204 ⋅ 109 km La distància de Mart a Neptú: 4,5 ⋅ 109 − 2,2794 ⋅ 108 = 4,5 ⋅ 109 − 0,22794 ⋅ 109 = 4,27206 ⋅ 109 km Hi ha més distància de Mart a Neptú que de la Terra a Urà.
REF.
6036786
DOCUMENT
DIVISA
IMPORT
CANVI
CONTRAVALOR
BITLLETS
GBP
200,0
0,649900
307,74 EUR
307,74 EUR
Comisiones i gastos
DATA OPERACIÓ:
31/07/2007
DATA VALOR:
Signatura de l’interessat
31/07/2007
TOTAL
307,74 EUR
BANC
CO
Signatura i segell
La sonda SMART 1 ha provat amb èxit un motor d’ions en el seu viatge de la Terra a la Lluna. Per cada quilogram de combustible consumit, aquest motor produeix un augment de la velocitat de la nau deu vegades més gran que si fos un motor coet ordinari. L’ESA també estudia fer servir naus espacials que utilitzin espelmes solars en lloc de motors coets. La llum solar bufa sobre una espelma molt gran que pot propulsar una nau espacial cap a altres planetes. Després de molts mesos de viatge amb el vent del Sol, una nau d’aquest tipus podria arribar a una velocitat de 360.000 km/h.
2
ENTITAT-OFICINA-COMPTE
2038 - 5538948273647783 EUR
OPERACIÓ INVISIBLE
Un euro val 0,649900 lliures, per tant, les 200 lliures que va canviar li van costar €. En Sergi es vol comprar uns pantalons que costen 48,5 lliures i ha de calcular-ne el cost en euros per fer-se una idea del seu valor. a) Creus que és correcta l’estimació que ha fet? Quin error comet? b) Si les cinc nits d’hotel li costen 467 lliures, quin serà el valor en euros que calcularà en Sergi segons les seves estimacions? I quin serà el valor real?
BAN
Tot i que la força d’empenta del motor coet elèctric d’ions és molt petita, en va augmentant la velocitat gradualment, fins que, quan arriba el moment, permet que la nau espacial es desplaci amb molta rapidesa.
72
BANC
COMPRA DE BITLLETS ESTRANGERS I/O XECS DE VIATGE EN DIVISA I/O PAGAMENT DE XEC DE COMPTE EN DIVISA Sr. SERGI AVELLANEDA GIL Domicili AVINGUDA DE LA LLUM, S/N Població BARCELONA C.P. 08013 D.N.I./C.I. 978687623
*Alguns astrònoms atribueixen 23 satèl·lits al planeta Saturn.
Lab
En Sergi acaba d’arribar a Londres. Abans de fer el viatge va canviar al banc 200 lliures i li van donar aquest rebut.
BAN
105
2
CO
138
Costa uns… 60 €
a) 48,5 : 0,649900 = 74,63 €. Per tant, la seva estimació és errònia i en Sergi comet un error absolut de 14,63 €, i un error relatiu de 0,196 €. b) El valor real és de 718,57 €, i l’error que cometrà és de: 718,57 ⋅ 0,196 = = 140,84 €. Per tant, estimarà: 718,57 − 140,84 = 577,73 €.
73
831106 _ 0001-0003.qxd
11/9/07
12:25
Página 3
Índex Unitat 0
Repàs
4-13
Unitat 1
Nombres racionals
14-43
Unitat 2
Nombres reals
44-73
Unitat 3
Polinomis
74-99
Unitat 4
Equacions de primer i segon grau
100-137
Unitat 5
Sistemes d’equacions
138-177
Unitat 6
Proporcionalitat numèrica
178-207
Unitat 7
Progressions
208-241
Unitat 8
Llocs geomètrics. Figures planes
242-273
Unitat 9
Cossos geomètrics
274-309
Unitat 10
Moviments i semblances
310-337
Unitat 11
Funcions
338-365
Unitat 12
Funcions de proporcionalitat
366-395
Unitat 13
Estadística
396-425
Unitat 14
Probabilitat
426-454
3
831106 _ 0004-0013.qxd
0
11/9/07
12:32
Página 4
Repàs NOMBRES
001
Troba sis múltiples de cada nombre: a) 5 b) 10 c) 50 d) 72 a) b) c) d) e) f) g) h)
002
Troba dos divisors dels nombres següents: a) 25 b) 15 c) 150 d) 190 e) 320 c) 3 i 50 d) 10 i 19
h) 723
f) 450
g) 600
h) 725
e) 20 i 80 f) 5 i 9
g) 6 i 100 h) 5 i 25
c) 125 és múltiple de 25 d) 51 és múltiple de 17
Esbrina quins d’aquests nombres són primers o compostos: 79, 93, 117, 239, 313, 585, 1.001 i 6.723. Primers: 79, 239, 313 Compostos: 93 = 3 ⋅ 31 117 = 32 ⋅ 13 1.001 = 7 ⋅ 11 ⋅ 13
005
g) 600
Completa els buits amb la paraula adequada (múltiple o divisor): a) 24 és … de 6 c) 125 és … de 25 b) 12 és … de 24 d) 51 és … de 17 a) 24 és múltiple de 6 b) 12 és divisor de 24
004
f) 450
10, 15, 20, 25, 30, 35 20, 30, 40, 50, 60, 70 100, 150, 200, 250, 300, 350 144, 216, 288, 360, 432, 504 200, 300, 400, 500, 600, 700 900, 1.350, 1.800, 2.250, 2.700, 3.150 1.200, 1.800, 2.400, 3.000, 3.600, 4.200 1.446, 2.169, 2.892, 3.615, 4.338, 5.061
a) 1 i 5 b) 3 i 5 003
e) 100
585 = 32 ⋅ 5 ⋅ 13 6.723 = 34 ⋅ 83
Busca els nombres primers compresos entre 100 i 120. Els nombres primers entre 100 i 120 són: 101, 103, 107, 109 i 113.
006
Completa els buits: a) Div (30) = {1, 2, 3, , , , 15, } b) Div (100) = {1, 2, , , 10, , 25, , 100} c) Div (97) = {, 97} d) Div (48) = {, 2, 3, 4, 6, , , , , } a) b) c) d)
4
Div (30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} Div (100) = {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100} Div (97) = {1, 97} Div (48) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}
831106 _ 0004-0013.qxd
11/9/07
12:32
Página 5
SOLUCIONARI
007
008
Calcula el m.c.d. de cada parella de nombres: a) 6 i 14 b) 9 i 10
c) 5 i 15 d) 42 i 4
a) 2 b) 1
c) 5 d) 2
c) 9 i 16 d) 8 i 25
a) 14 b) 84
c) 144 d) 200
e) 1 f) 2
g) 160 i 180 h) 281 i 354 g) 20 h) 1
e) 61 i 49 f) 280 i 416 e) 2.989 f) 14.560
g) 150 i 415 h) 296 i 432 g) 12.450 h) 15.984
Calcula el m.c.d. i el m.c.m. de cada grup de nombres: a) 25, 50 i 100 b) 6, 7 i 8
010
e) 76 i 85 f) 102 i 104
Calcula el m.c.m. d’aquests nombres: a) 7 i 14 b) 12 i 7
009
0
c) 40, 42 i 48 d) 12, 18 i 20
e) 8, 10, 12 i 14 f) 2, 4, 6, 8 i 10
a) m.c.m. (25, 50, 100) = 100
m.c.d. (25, 50, 100) = 25
b) m.c.m. (6, 7, 8) = 168
m.c.d. (6, 7, 8) = 1
c) m.c.m. (40, 42, 48) = 1.680
m.c.d. (40, 42, 48) = 2
d) m.c.m. (12, 18, 20) = 180
m.c.d. (12, 18, 20) = 2
e) m.c.m. (8, 10, 12, 14) = 840
m.c.d. (8, 10, 12, 14) = 2
f) m.c.m. (2, 4, 6, 8, 10) = 120
m.c.d. (2, 4, 6, 8, 10) = 2
Dos vaixells mercants surten d’un port el dia 1 de gener. El primer triga 26 dies a tornar, i el segon, 30 dias. Tots dos van i vénen constantment. Quants dies triguen els vaixells a coincidir de nou al port? Calculem el m.c.m. (26, 30) = 390. Els vaixells triguen 390 dies a tornar a coincidir al port, és a dir, coincidiran el 25 de gener de l’any següent.
011
Tenim dos rotllos de corda que tenen 144 i 120 m de longitud, respectivament. Quin és el nombre de trossos iguals, de mida màxima, que es pot fer amb els rotllos de corda? Calculem el m.c.d. (144, 120) = 24. La mida màxima dels trossos de corda és 24 m i, per tant, el nombre de trossos que es pot fer és: 144 120 + = 6 + 5 = 11 trossos. 24 24
5
831106 _ 0004-0013.qxd
11/9/07
12:32
Página 6
Repàs 012
Escriu tots els nombres enters: a) b) c) d)
Més Més Més Més
grans que −4 i més petits +2. petits que +3 i més grans que −5. petits que +1 i més grans que −2. grans que −5 i més petits que +6.
a) −4 < −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 b) −5 < −4 < −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < 3 c) −2 < −1 < 0 < 1 d) −5 < −4 < −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < 6 013
Representa a la recta numèrica els nombres següents: −6, 0, −8, +3, −5 i +4. −8
014
−6 −5
+3 +4
0
Indica el número enter que correspon a cada punt marcat a la recta numèrica. A
B
A
B
C
D
a) 0
C
D
b) 0
a) A = −5, B = −3, C = 2, D = 5 b) A = −6, B = −4, C = −1, D = 3 015
Completa amb nombres enters: a) −3 < < < +1 b) +3 > > > −1
c) −9 < < < −6 d) −15 < < < −10
Pots col·locar més d’un nombre a cada buit? a) −3 < −2 < −1 < +1
c) −9 < −8 < −7 < −6
b) +3 > +2 > +1 > −1
d) −15 < −14 < −13 < −10
La solució no és única; només ho és per a l’apartat c). 016
Calcula: a) ⏐+3⏐
017
c) ⏐−7⏐
d) ⏐−4⏐
e) ⏐+5⏐
a) ⏐+3⏐ = 3
c) ⏐−7⏐ = 7
e) ⏐+5⏐ = 5
b) ⏐−3⏐ = 3
d) ⏐−4⏐ = 4
f) ⏐−9⏐ = 9
f) ⏐−9⏐
Troba els oposats d’aquests nombres: a) −5
6
b) ⏐−3⏐
b) +8
c) −15
d) −40
e) +125
f) −134
a) Op (−5) = +5
c) Op (−15) = +15
e) Op (+125) = −125
b) Op (+8) = −8
d) Op (−40) = +40
f) Op (−134) = +134
831106 _ 0004-0013.qxd
11/9/07
12:32
Página 7
SOLUCIONARI
018
Calcula: a) (−11) + (+4) b) (+13) + (+12)
019
c) (−20) + (−12) d) (+11) + (−15)
a) (−11) + (+4) = −7
c) (−20) + (−12) = −32
b) (+13) + (+12) = 25
d) (+11) + (−15) = −4
Fes les restes: a) (−5) − (+5) b) (+3) − (−7)
020
c) (−15) − (−17) d) (+8) − (+7)
a) (−5) − (+5) = −10
c) (−15) − (−17) = 2
b) (+3) − (−7) = 10
d) (+8) − (+7) = 1
Calcula: a) (−4) + (+5) − (−18) b) (+30) − (+7) + (−18)
021
c) (+20) − (−5) − (+5) = 20
b) (+30) − (+7) + (−18) = 5
d) (−12) − (+3) − (−7) = −8
Completa els buits perquè les igualtats siguin certes:
a) −1
b) 8
c) −24
d) 15
c) (−40) ⋅ (−10) d) (+2) ⋅ (+15)
a) (+4) ⋅ (−5) = −20
c) (−40) ⋅ (−10) = 400
b) (−40) ⋅ (+8) = −320
d) (+2) ⋅ (+15) = 30
Fes aquestes divisions: a) (+35) : (−7)
024
c) (−15) − = (+9) d) − (+8) = (+7)
Calcula: a) (+4) ⋅ (−5) b) (−40) ⋅ (+8)
023
c) (+20) − (−5) − (+5) d) (−12) − (+3) − (−7)
a) (−4) + (+5) − (−18) = 19
a) (+13) + = (+12) b) + (−20) = (−12)
022
0
b) (−21) : (+3)
c) (−18) : (−2)
d) (+40) : (−10)
a) (+35) : (−7) = −5
c) (−18) : (−2) = 9
b) (−21) : (+3) = −7
d) (+40) : (−10) = −4
Completa els buits perquè les igualtats siguin certes: a) (+13) ⋅ = (+39) b) ⋅ (−6) = (−42) a) 3
b) 7
c) (−15) : = (+5) d) : (+8) = (+2) c) −3
d) 16
7
831106 _ 0004-0013.qxd
11/9/07
12:32
Página 8
Repàs 025
Fes aquestes operacions: a) b) c) d)
6 + (−4 + 2) − (−3 − 1) 7 − (4 − 3) + (−1 − 2) 3 + (2 − 3) − (1 − 5 − 7) −8 + (1 + 4) + (−7 − 9)
e) f) g) h)
10 − (8 − 7) + (−9 − 3) 1 − (2 − 3) + (−4 − 5) −1 − (−1 + 2 − 5 + 4) 3 + (5 − 9) − (7 − 5 − 7)
a) 6 + (−4 + 2) − (−3 − 1) = 6 + (−2) − (−4) = 8 b) 7 − (4 − 3) + (−1 − 2) = 7 − (+1) + (−3) = 3 c) 3 + (2 − 3) − (1 − 5 − 7) = 3 + (−1) − (−11) = 13 d) −8 + (1 + 4) + (−7 − 9) = −8 + (+5) + (−16) = −19 e) 10 − (8 − 7) + (−9 − 3) = 10 − (+1) + (−12) = −3 f) 1 − (2 − 3) + (−4 − 5) = 1 − (−1) + (−9) = −7 g) −1 − (−1 + 2 − 5 + 4) = −1 − (0) = −1 h) 3 + (5 − 9) − (7 − 5 − 7) = 3 + (−4) − (−5) = 4 026
Calcula el valor d’aquestes expressions: a) 8 + 7 − 6 + 5 − 11 + 2 b) (−12) ⋅ 7 : 3 c) 9 − 12 : 4
d) 100 − 22 ⋅ 5 e) (−26) : 2 − 6 : 3 + 4 f) 15 ⋅ (−9) − 7 ⋅ (−6) : 2
a) 8 + 7 − 6 + 5 − 11 + 2 = 5 b) (−12) ⋅ 7 : 3 = −28 c) 9 − 12 : 4 = 6 d) 100 − 22 ⋅ 5 = −10 e) (−26) : 2 − 6 : 3 + 4 = −13 − 2 + 4 = −11 f) 15 ⋅ (−9) − 7 ⋅ (−6) : 2 = −135 + 21 = −114 027
Fes aquestes operacions: a) b) c) d) e) f)
(−4) − (−6) : (+3) (+5) : (−5) − (−7) ⋅ (+2) (−11) − (+3) ⋅ (−4) : (−6) − (−9) (−18) − [(+4) + (−6)] : (+2) + (+5) (−5) − (−9) − (+4) ⋅ (−3) : (−2) : (−6) (+3) − (+6) : (+2) ⋅ (−3) : [(−2) + (−1)] a) (−4) − (−6) : (+3) = (−4) − (−2) = −2 b) (+5) : (−5) − (−7) ⋅ (+2) = −1 − (−14) = 13 c) (−11) − (+3) ⋅ (−4) : (−6) − (−9) = (−11) − (+2) − (−9) = −4 d) (−18) − [(+4) + (−6)] : (+2) + (+5) = (−18) − (−1) + (+5) = −12 e) (−5) − (−9) − (+4) ⋅ (−3) : (−2) : (−6) = (−5) − (−9) − (−1) = 5 f) (+3) − (+6) : (+2) ⋅ (−3) : [(−2) + (−1)] = (+3) − (−3) = 0
8
831106 _ 0004-0013.qxd
11/9/07
12:32
Página 9
SOLUCIONARI
028
0
Calcula: a) b) c) d)
(3 + 2) ⋅ (3 − 1 + 4) − 2 ⋅ (2 ⋅ 3) [(15 − 16 + 2) ⋅ (−1) + 9] ⋅ 7 2 ⋅ [−2 − 2 − (2 − 2 − 2)] [2 + 3 − (6 + 5)] − [(4 ⋅ 2) ⋅ (−3 ⋅ 6) + 1] a) (3 + 2) ⋅ (3 − 1 + 4) − 2 ⋅ (2 ⋅ 3) = 30 − 12 = 18 b) [(15 − 16 + 2) ⋅ (−1) + 9] ⋅ 7 = [(−1) + 9] ⋅ 7 = 56 c) 2 ⋅ [−2 − 2 − (2 − 2 − 2)] = 2 ⋅ (−2) = −4 d) [2 + 3 − (6 + 5)] − [(4 ⋅ 2) ⋅ (−3 ⋅ 6) + 1] = (−6) − (−143) = 137
029
Completa els buits perquè es compleixin les igualtats: a) (−6) ⋅ [(−1) + ] = −18 b) 8 ⋅ [4 − ] = 32 a) 4
030
c) −3
b) 0
d) −1
Expresa amb una raó. a) b) c) d)
De les 55 preguntes del test, n’he encertades 36. Teníem 68 ous i se n’han trencat 12. En el primer torn de menjar mengen 94 alumnes, i en el segon, 65. Una fruiteria té 7 caixes de tomàquets i 3 de pebrots. a)
031
c) 3 − [ ⋅ 5] = 18 d) 1 + [3 : ] = −2
36 55
b)
12 68
c)
65 94
d)
3 7
Al menjador de l’escola posen 3 barres de pa per cada 8 alumnes. Avui hi hem menjat 124 alumnes i han posat 50 barres. S’ha mantingut la proporció? Comprovem si les dues raons,
3 50 i , formen una proporció. 8 124 3 ⋅ 124 ⫽ 8 ⋅ 50
Per tant, no s’ha mantingut la proporció. 032
Identifica les raons que formen una proporció. a)
2 8 6 9 , , , 1 2 3 5
b)
10 50 30 20 , , , 2 10 8 5
c)
7, 5 4 3 10 , , , 3 6 2 4
2 6 = . 1 3 10 50 = b) Formen proporció: . 2 10 7, 5 10 = c) Formen proporció: . 3 4 a) Formen proporció:
9
831106 _ 0004-0013.qxd
11/9/07
12:32
Página 10
Repàs 033
«LA POBLA DE MONTALBÍ: NOMÉS EL 8% DELS ENQUESTATS CRITICA LA TASCA MUNICIPAL.»
Si la Pobla de Montalbí té 7.000 habitants, aproximadament quants aproven la tasca de l’alcalde? El 8 % de 7.000 = 560 persones critiquen la tasca municipal. Per tant, 7.000 − 560 = 6.440 persones aproven la tasca municipal.
034
A la dreta veus la composició d’un iogurt. Calcula el pes dels seus components si pesa 125 g.
VALOR NUTRITIU Proteïnes: 3,5 % Carbohidrats: 13,4 % Greixos: 1,9 %
En 125 g de iogurt hi ha: 3,5 % de 125 = 4,375 g de proteïnes 13,4 % de 125 = 16,75 g de carbohidrats 1,9 % de 125 = 2,375 g de greixos
GEOMETRIA 035
Dibuixa aquest polígon a la llibreta i assenyala’n els costats, els vèrtexs i els angles. Traça’n les diagonals. Quantes en té? G
Vèrtex Diagonal G G
Té 5 diagonals.
G
Angle
Costat
036
10
Dibuixa un octàgon, un enneàgon i un decàgon que no siguin regulars i traça’n les diagonals.
831106 _ 0004-0013.qxd
11/9/07
12:32
Página 11
SOLUCIONARI
037
0
Contesta si és cert o és fals: a) Un polígon pot tenir més vèrtexs que costats. b) Un polígon pot tenir més vèrtexs que angles. c) Un polígon pot tenir més vèrtexs que diagonals. a) Fals.
c) Cert, per exemple
b) Fals. 038
un triangle o un quadrat.
Dibuixa una circumferència amb un compàs. Després, traça una corda i els dos arcs que determina. B Arc BA
Corda
G F
A
039
Arc AB
G
En aquesta circumferència, assenyala els segments que són cordes, radis i diàmetres. Diàmetre
F
G
G
Radis G
Cordes
040
F
G
Contesta aquestes preguntes: a) Un triangle rectangle pot ser equilàter? b) Quin és el valor dels angles d’un triangle rectangle isòsceles? c) Quant fan els angles d’un triangle rectangle amb un angle agut que fa el triple que l’altre angle agut? a) No, perquè els tres angles d’un triangle equilàter són de 60°. b) Un angle fa 90° i els altres dos fan 45° cada un. c) Un angle fa 90°, l’altre 22,5°, i el tercer 67,5°.
041
Un triangle isòsceles té l’angle desigual de 50°. Quant fan els angles iguals? C
Els angles iguals fan: 180 − 50 = 65° . 2 A
B
11
831106 _ 0004-0013.qxd
11/9/07
12:32
Página 12
Repàs 042
Si dibuixem un triangle rectangle, un d’isòsceles i un d’escalè, i els tallem per una recta paral·lela a la base, quins polígons obtenim en cada cas?
En el cas del triangle rectangle, si la base és un dels catets, obtenim un altre triangle rectangle i un trapezi rectangle. Si la base és la hipotenusa, obtenim un triangle rectangle i un trapezi.
En el cas del triangle isòsceles, si la base és el costat desigual, obtenim un triangle isòsceles i un trapezi isòsceles. Si la base és el costat igual, s’obté un triangle isòsceles i un trapezi. Si el triangle és escalè, s’obté un triangle escalè semblant a l’original i un trapezi.
043
C
D
Calcula la mida de C$ en aquest trapezi rectangle si saps que B$ = 45°.
A
B
A$ = 90°, D$ = 90° i B$ = 45° → C$ = 360 − 90 − 90 − 45 = 135°
FUNCIONS 044
Indica les coordenades de cada punt. Y
Y
A C C
G
B
B
A 1
E X
1
D
F D
A(3, 2) B(−4, 2)
12
C (0, 4) D (1, −3)
1
E
E (5, −3) F (−2, −2)
X
1
F
A(3, 6) B(6, 1)
C (−4, 5) D (0, −1)
E (−5, 0) F (4, −3)
831106 _ 0004-0013.qxd
11/9/07
12:32
Página 13
SOLUCIONARI
045
0
Donats els punts següents: A (4, −1), B (3, 4), C (−3, 2) i D (−2, −3): a) Representa’ls en el pla. b) Uneix-los en ordre alfabètic i uneix també D i A. Quina figura obtens? Y B C 1 1
S’obté un romboide.
X
A
D
046
Fes el mateix amb els punts: A (5, 0), B (3, 4), C (−3, 4), D (−5, 0) i E (0, −4). Y C
B
La figura que s’obté és un pentàgon.
1
D
X
A
1
E
047
Representa els punts següents: A (−5, 2), B (4, 0), C (−5, −1), D (8, 2) i E (−1, 2). a) Indica els punts que tenen la mateixa ordenada. b) Quants punts tenen la mateixa abscissa? Quins són? Y 5 3
A
D
E 1
C
−3
−1
a) Tenen la mateixa ordenada: A, D i E.
B 0
3
5
7
X
b) Tenen la mateixa abscissa: A i C.
−3 −5
048
Dibuixa els eixos de coordenades perquè el punt sigui A (2, −1).
Y
2 −1
A
X
13
831106 _ 0014-0043.qxd
1
11/9/07
12:38
Página 14
Nombres racionals NOMBRES DECIMALS
NO EXACTES I NO PERIÒDICS
PERIÒDICS
EXACTES
PURS
MIXTOS
FRACCIONS
FRACCIÓ EQUIVALENT
OPERACIONS
FRACCIÓ IRREDUCTIBLE SUMA
RESTA
NOMBRES RACIONALS
14
MULTIPLICACIÓ
DIVISIÓ
831106 _ 0014-0043.qxd
11/9/07
12:38
Página 15
La sendera dels records La sala del tron papal li semblava enorme i buida, a Silvestre II. El que fou el poderós pontífex romà havia perdut tot el poder polític, però per a qualsevol la seva presència encara imposava un respecte gairebé místic. Ja era vell i li agradava passejar pel seu passat, l’únic lloc on només ell podia arribar i on se sentia lliure. Recordava, feliç, la seva estada al monestir català de Ripoll, les visites que sovint feia a la seva biblioteca i la ciència que venia del sud. Li venien a la memòria uns quants records i se li il·luminava el rostre; per exemple, aquell àbac que va fer ell mateix amb els nombres aràbics escrits a les fitxes, l’ús del qual va descriure amb detall; o el projecte d’una màquina per fraccionar el temps que havia de substituir la campana dels monjos: matines, laudes, prima, tèrcia... Va obrir el llibre i, per atzar, es va trobar el projecte de la màquina que mesurava el temps; les primeres línies deien: Dia i nit són les dues parts en què es divideix el dia, però no són pas iguals, el primer de desembre s’han consumit tres espelmes durant el dia i sis durant la nit... De cop i volta, com el fum de les espelmes després d’un cop d’aire, el camí imaginari traçat en el temps es va esborrar quan va sentir la veu del seu secretari. L’informava de la seva pròxima audiència. Quina fracció del dia li assignaries al dia i a la nit?
Al dia se li assigna:
3 1 = 9 3
A la nit se li assigna:
6 2 = 9 3
831106 _ 0014-0043.qxd
11/9/07
12:38
Página 16
Nombres racionals EXERCICIS 001
Calcula: a)
4 de 450 5 a)
002
b)
3 de 350 7
4 ⋅ 450 = 360 5
b)
3 ⋅ 350 = 150 7
Comprova si aquestes fraccions són equivalents: a)
7 21 i 2 6
b)
12 10 i 60 25
a) Són equivalents, ja que: 7 ⋅ 6 = 42 = 2 ⋅ 21. b) No són equivalents, perquè: 12 ⋅ 25 = 300 ⫽ 600 = 60 ⋅ 10. 003
Representa aquestes fraccions en un gràfic com a parts de la unitat. a)
4 10
b)
7 4
a)
004
d)
6 3
c)
d)
Escriu fraccions amb aquest valor numèric: b) −2 14 =2 7 −6 = −2 b) 3
c) 0,5
d) 1,5
1 = 0, 5 2 3 = 1, 5 d) 2
a)
c)
Escriu dues fraccions equivalents a cadascuna de les següents per amplificació i dues més per simplificació. a)
120 60
b)
690 360
AMPLIFICACIÓ
120 240 360 = = a) 60 120 180 690 1.380 2.070 = = b) 360 720 1.080 12 24 36 = = c) 28 56 84
16
5 5
b)
a) 2
005
c)
c)
12 28 SIMPLIFICACIÓ
120 60 40 = = 60 30 20 690 230 69 = = 360 120 36 12 6 3 = = 28 14 7
831106 _ 0014-0043.qxd
11/9/07
12:38
Página 17
SOLUCIONARI
006
Calcula la fracció irreductible d’aquestes fraccions. a)
007
1
18 40
b)
60 75
c)
42 56
a) m.c.d. (18, 40) = 2 ⎯→
18 9 = 40 20
b) m.c.d. (60, 75) = 15 →
60 4 = 75 5
c) m.c.d. (42, 56) = 14 →
42 3 = 56 4
Busca fraccions de denominador 100 que siguin equivalents 13 39 11 a les fraccions , i . 25 50 20 13 52 = 25 100 39 78 = 50 100 11 55 = 20 100
008
a és irreductible. Ho continuarà sent si multipliquem b el numerador i el denominador per 7? La fracció
No serà irreductible, ja que el numerador i el denominador tindran el 7 com a comú denominador. 009
Ordena de més petita a més gran: 4 , 9 3 b) , 5 a)
1 , 3 3 , 4
2 , 5 3 , 7
11 30 4 9
a) m.c.m. (9, 3, 5, 30) = 90;
4 40 1 30 2 36 11 33 = , = , = , = 9 90 3 90 5 90 30 90 1 11 2 4 < < < 3 30 5 9
b) m.c.m. (5, 4, 7, 9) = 1.260;
3 756 3 945 3 540 = , = , = , 5 1.260 4 1.260 7 1.260
4 560 = 9 1.260
3 4 3 3 < < < 7 9 5 4
17
831106 _ 0014-0043.qxd
11/9/07
12:38
Página 18
Nombres racionals 010
Ordena de més petita a més gran:
m.c.m. (9, 3, 4, 5 ,7) = 1.260;
5 700 −2 −840 −3 −945 = , = , = , 9 1.260 3 1.260 4 1.260
8 2.016 6 1.080 = , = 5 1.260 7 1.260
−3 −2 5 6 8 < < < < 4 3 9 7 5
a 7 > ? 5 5 a ha de ser més gran que 7: a > 7.
011
Quant ha de valer a perquè
012
Calcula: 7 3 + 8 8 7 b) 5 + 8
5 4 − 3 3 8 d) 4 − 3
a)
a)
c)
c)
7 3 10 5 + = = 8 8 8 4
b) 5 +
7 40 7 47 = + = 8 8 8 8
5 4 1 − = 3 3 3
d) 4 −
013
8 12 8 4 = − = 3 3 3 3
Multiplica: a)
12 7 ⋅ 5 3 a)
11 2
b) −5 −
9 3 − 4 14
11 −44 = = −22 2 2
Fes les operacions següents: a) −
7 9 5 + − 2 4 8 a) −
7 9 5 28 18 5 −15 + − =− + − = 2 4 8 8 8 8 8
b) −5 −
18
b) (−4 ) ⋅
12 7 84 28 ⋅ = = 5 3 15 5
b) (−4) ⋅
014
5 −2 −3 8 6 , , , , . 9 3 4 5 7
9 3 140 63 6 209 − =− − − = 4 14 28 28 28 28
831106 _ 0014-0043.qxd
11/9/07
12:38
Página 19
SOLUCIONARI
015
Completa amb una fracció: a)
016
1 + 3
=
1 4
1 1 −1 1 −1 1 − = → + = 4 3 12 3 12 4
b)
3 1 10 3 10 −1 + = → − = 7 21 21 7 21 21
−1 21
c) 4 :
7 2
d) (−5) :
10 9
a)
9 4 63 : = 5 7 20
c) 4 :
7 8 = 2 7
b)
8 3 40 : = 11 5 33
d) (−5) :
10 −45 −9 = = 9 10 2
Calcula: a)
⎛7 5 4 ⎞⎟ ⎟⎟ + ⎜⎜⎜ − ⎝ 9 5 15 ⎠ 5 ⎛⎜ 7 4 ⎞⎟ 5 17 ⎟⎟ = +⎜ − + = a) ⎜ ⎟ 9 ⎝5 15 ⎠ 9 15 ⎛8 4 7 ⎞⎟ 4 73 ⎟⎟ = − ⎜⎜ − − b) ⎜ 25 ⎝ 2 20 ⎟⎠ 25 20
⎛8 4 7 ⎞⎟ ⎟⎟ − ⎜⎜⎜ − ⎝ 25 2 20 ⎠
b) 76 45 =
349 100
Calcula: a)
019
=
Fes les divisions: 9 4 : 5 7 8 3 : b) 11 5
018
3 − 7
b)
a)
a)
017
1
⎛9 −7 ⎛⎜ 3 5 7 ⎞⎟ 5 8 ⎞ ⎛ −6 ⎞⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⋅⎜ + − + ⎟⎟⎟ : ⎜⎜⎜ b) ⎜⎜⎜ − ⎝4 3 ⎜⎝ 5 6 12 ⎠ 6 9⎠ ⎝ 5 ⎠ −7 ⎛⎜ 3 5 7 ⎞⎟ −7 51 357 ⎟⎟ = ⋅⎜ + − ⋅ = a) 3 ⎝⎜ 5 6 12 ⎟⎠ 3 60 180 ⎛9 5 8 ⎞ ⎛ −6 ⎞⎟ 83 ⎛⎜ −6 ⎞⎟ −415 ⎟⎟ = ⎟⎟ = + ⎟⎟⎟ : ⎜⎜ :⎜ b) ⎜⎜⎜ − ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎝ ⎝4 ⎠ ⎠ ⎝ ⎠ 6 9 5 36 5 216
Completa amb una fracció perquè les igualtats siguin certes: a)
3 : 5 a)
=
21 20
3 21 60 4 : = = 5 20 105 7
:
b) b)
3 6 = 5 3 6 3 30 6 : = = 5 5 15 3
19
831106 _ 0014-0043.qxd
11/9/07
12:38
Página 20
Nombres racionals 020
Indica la part entera, la decimal, el període i l’antperíode. a) 0,333… b) 234,4562525…
021
c) 3,37888… d) 0,012333…
a) Part entera: 0. Període: 3.
c) Part entera: 3. Antperíode: 37. Període: 8.
b) Part entera: 234. Antperíode: 456. Període: 25.
d) Part entera: 0. Antperíode: 012. Període: 3.
Classifica aquests nombres: a) 0,333… b) 34,45666…
c) 125,6
a) Periòdic pur. b) Periòdic mixt. c) Decimal exacte. 022
023
Completa fins a deu xifres decimals. a) 1,347347… c) 3,2666… b) 2,7474… d) 0,253737… a) 1,3473473473
c) 3,2666666666
b) 2,7474747474
d) 0,2537373737
Escriu dos nombres decimals no exactes i no periòdics. 2,12345678… i 56,12112111211112…
024
Sense fer la divisió, classifica aquestes fraccions en funció de si s’expressen com un nombre enter, un de decimal exacte o un de decimal periòdic. Explica com ho fas. 5 3 7 b) 6 9 c) 5
d)
g)
a) Periòdic.
f) Periòdic.
b) Periòdic.
g) Enter.
c) Decimal exacte. d) Enter.
h)
e)
20
−85 17 −84 h) 210 −346 i) −222
175 25 111 e) 240 17 f) 6
a)
111 37 = → Decimal exacte. 240 80
−84 −2 = → Decimal exacte. 210 5 −346 −173 = → Periòdic. i) −222 −111
831106 _ 0014-0043.qxd
11/9/07
12:38
Página 21
SOLUCIONARI
025
Escriu dues fraccions que expressin: a) Un nombre enter. b) Un nombre decimal exacte. c) Un nombre decimal periòdic. a)
026
1
4 20 i 2 4
b)
3 7 i 5 2
c)
5 8 i 3 35
Si tenim una fracció que té un numerador que no és múltiple del denominador i el denominador té factors diferents de 2 i 5, quin tipus de nombre decimal expressa? Expressa un decimal periòdic pur, ja que no és enter i els factors del denominador són diferents de 2 i 5.
027
Calcula la fracció generatriu d’aquests nombres decimals: ) a) 3,54 f) 0,8 ) b) 9,87 g) 0,77 ) c) 0,000004 h) 5,211 ) d) 24,75 i) 37,111 ) e) −7,002 j) −2,02 354 177 = 100 50 987 b) 100 4 1 = c) 1.000.000 250.000 2.475 99 = d) 100 4 −7.002 −3.501 = e) 1.000 500 a)
028
f) g) h) i) j)
8 9 7 9 5.206 999 4.120 111 −200 99
Expressa en forma de fracció: ) ) ) b) 1,79 c) 15,9 a) 3,9 A què equival el període format per 9? 36 162 144 =4 = 18 = 16 b) c) 9 9 9 El nombre decimal periòdic pur amb període 9 equival al nombre enter immediatament superior. a)
029
Completa:
a) 5,33 =
a) 5,33 =
533 100
533 b) 5,6 =
b) 5,6 =
5
28 5
21
831106 _ 0014-0043.qxd
11/9/07
12:38
Página 22
Nombres racionals 030
Calcula la fracció generatriu d’aquests nombres: ) ) b) 11,87 a) 3,24 a)
031
292 90
b)
1.069 90
)
c) 5,925 c)
5.866 990
Calcula. Fes servir fraccions generatrius. ) ) a) 2,75 + 3,8 b) 5,06 − 2,95 275 38 275 + 380 655 + = = = 6,55 100 10 100 100 456 266 190 − = = 2,1 b) 90 90 90 a)
032
Sense calcular la fracció generatriu, raona per què són falses les igualtats. 55 = 241 a) 0,243 c) 12,37 = 999 45 56 = 321 , = b) 0,023 d) 0124 990 495 a) És falsa perquè el denominador ha de ser 990, 99 del període i 0 de l’antperíode. b) És falsa perquè el numerador no pot ser més gran que la part entera, el període i l’antperíode junts, en aquest cas 23. c) És falsa perquè el quocient és menor que 2 (55 < 2 ⋅ 45) i el nombre és més gran que 12. d) És falsa perquè el denominador ha de ser divisor de 900 i no n’és.
033
Completa aquesta taula, tenint en compte que un nombre pot estar present en més d’una casella. −0,224466881010… 0,67543 Nombre natural 24
034
−1,897897897…− −3,0878787…
24 −1,5
Nombre Decimal Decimal Decimal no exacte Nombre enter exacte periòdic i no periòdic racional 24 0,67543 −1,897897897… −0,224466881010… 0,67543 −1,5 −3,0878787… −1,897897897… −3,0878787… 24 −1,5
Escriu quatre fraccions que representin nombres racionals que siguin: a) Més petits que 1 i més grans que −1. b) Més grans que −1 i més petits que 0. a)
22
−7 −2 2 48 , , , 9 3 5 65
b)
−5 −1 −2 −51 , , , 9 3 5 65
831106 _ 0014-0043.qxd
11/9/07
12:38
Página 23
SOLUCIONARI
035
1
Escriu quatre nombres que no siguin racionals i que estiguin comprensos entre: a) −1 i 1
b) −1 i 0
a) −0,01001000100001…; −0,12345678…; 0,122333444455555…; 0,135791113… b) −0,01001000100001…; −0,12345678…; −0,122333444455555…; −0,135791113…
ACTIVITATS 036 ●
Expressa aquests enunciats amb una fracció. a) b) c) d)
Han dividit una pizza en 8 parts i en Joan se n’ha menjat 2. D’una classe de 20 alumnes, 15 han anat d’excursió. D’un grup de 7 amigues, 3 són pèl-roges. Una de cada cinc persones té problemes d’esquena. a)
037 ●
●
b)
15 3 = 20 4
c)
3 7
d)
1 5
d)
3 5
Escriu la fracció que representa la parte pintada de cada figura. a)
c)
b)
d)
a)
038
2 1 = 8 4
1 3
b)
11 8
c)
2 1 = 8 4
Representa les fraccions següents fent servir figures geomètriques. a)
3 7
b)
5 2
c)
7 6
d)
a)
c)
b)
d)
4 9
23
831106 _ 0014-0043.qxd
11/9/07
12:38
Página 24
Nombres racionals 039
Pinta els
●
040 ●
2 de la figura. 3
Calcula: 1 de 180 2 5 b) de 420 6 a)
a) 90
041
−2 de 40 5 4 d) de 540 9
5 de 320 8 −3 f) de 1.342 11
c)
e)
c) −16
b) 350
d) 240
e) 200
f) −366
FES-HO AIXÍ COM ES REPRESENTEN FRACCIONS IMPRÒPIES A LA RECTA NUMÈRICA? 16 . 3 PRIMER. Expressem la fracció com un nombre enter més una fracció pròpia. Representa a la recta numèrica la fracció
16 16 → 3 1
3 5
→
16 1 = 5+ 3 3
La fracció està compresa entre 5 i 6. SEGON. Dividim el tros de recta comprès entre 5 i 6 en tantes parts com indica el denominador, 3, i agafem les que assenyala el numerador, 1. Per dividir el tros de recta tracem una semirecta, amb la inclinació que vulguem, amb origen a 5, i dibuixem tres segments iguals.
5
6
Unim l’extrem de l’últim segment amb el punt que representa 6 i tracem paral·leles a aquesta recta des de les altres dues divisions.
5 5
24
6 16 3
6
831106 _ 0014-0043.qxd
11/9/07
12:38
Página 25
1
SOLUCIONARI
042 ●
Representa aquests nombres racionals: a)
2 9
b)
13 3
c)
a)
●
−28 −8 −7 2 = −1 − 5 5
−2
1
2 9
13 1 = 4+ 3 3
4
043
d)
c)
0
b)
−7 5
−28 28 4 = = 3+ 8 −8 8
d)
5
13 3
−1
−7 5
3
28 8
4
Quina fracció representa cada recta? A
a) −3
−2
−1
B
b) 1
2
C
c) 6
2 −8 = a) −2 − 3 3 044 ●
7
b) 1 +
1 6 = 5 5
c) 6 +
2 38 = 6 6
Indica si són equivalents o no aquestes parelles de fraccions. 3 21 i 10 7 −1 −14 i b) 7 30 6 3 i c) 10 8 a)
−2 3 2 i e) 5 20 f) 50
d)
−4 5 8 20 120 i 450 i
a) 3 ⋅ 7 ⫽ 10 ⋅ 21. No són equivalents. b) −1 ⋅ 30 ⫽ 7 ⋅ (−14). No són equivalents. c) 6 ⋅ 8 ⫽ 10 ⋅ 3. No són equivalents. d) −2 ⋅ 5 ⫽ 3 ⋅ (−4). No són equivalents. e) 2 ⋅ 20 = 5 ⋅ 8. Sí que són equivalents. f) 20 ⋅ 450 ⫽ 50 ⋅ 120. No són equivalents.
25
831106 _ 0014-0043.qxd
11/9/07
12:38
Página 26
Nombres racionals 045 ●
Calcula el valor de x perquè les fraccions siguin equivalents. a)
10 x = 4 6
b)
9 6 = x 4
10 ⋅ 6 = 15 4 9⋅4 b) x = =6 6
x 6 = 12 9
d)
14 x = 42 9
12 ⋅ 6 =8 9 14 ⋅ 9 d) x = =3 42
a) x =
046
c) c) x =
Completa: 2 4 30 = = = = 3 6 30
●
2 4 4 20 30 = = = = 3 6 6 30 45 047
Agrupa les fraccions que siguin equivalents.
●
20 4 −1 −10 2 −3 , , , , , 40 2 2 −5 4 6 4 −10 i 2 −5
20 2 i 40 4 048 ●
Troba dues fraccions equivalents a cadascuna de les següents per amplificació i dues més per simplificació. 8 100
049 ●●
60 36
30 45
504 72
Amplificació:
8 16 24 = = . 100 200 300
Amplificació:
30 300 600 = = . 45 450 900
Simplificació:
8 4 2 = = . 100 50 25
Simplificació:
30 6 2 = = . 45 9 3
Amplificació:
60 300 600 = = . 36 180 360
Amplificació:
504 1.008 1.512 = = . 72 144 216
Simplificació:
60 30 10 = = . 36 18 6
Simplificació:
504 252 126 = = . 72 36 18
Amplifica les fraccions següents de manera que el denominador de la fracció amplificada sigui un nombre més gran que 300 i més petit que 400. a)
26
−1 −3 i 2 6
5 18
b)
27 52
c)
3 11
d)
−3 37
a)
100 360
c)
900 330
e)
120 320
b)
162 312
d)
−30 370
f)
−770 350
e)
3 8
f)
−11 5
831106 _ 0014-0043.qxd
11/9/07
12:38
Página 27
SOLUCIONARI
050 ●
051 ●●
1
Simplifica fins a obtenir la fracció irreductible d’aquestes fraccions. a)
20 40
d)
15 12
g)
55 11
b)
210 8
e)
16 18
h)
30 21
c)
8 18
f)
40 60
i)
6 18
a)
1 2
d)
5 4
g)
5 =5 1
b)
105 4
e)
8 9
h)
10 7
c)
4 9
f)
2 3
i)
1 3
Digues quines d’aquestes simplificacions estan mal fetes i per què. a)
22 11 + 11 11 = = 13 11 + 2 2
c)
20 15 + 5 5 = = 18 15 + 3 3
b)
22 2 ⋅ 11 11 = = 14 2⋅7 7
d)
40 40 : 20 2 = = 80 80 : 20 4
a) Malament, perquè no es poden simplificar sumands del numerador i del denominador. b) Bé. c) Malament, perquè no es poden simplificar sumands del numerador i del denominador. d) Bé, però encara es podria simplificar més.
052 ●●
1 4 Escriu una fracció equivalente a i una altra d’equivalent a , totes dues 5 6 amb el mateix denominador. m.c.m. (5, 6) = 30 →
053 ●
1 6 4 20 = y = 5 30 6 30
Ordena de més gran a més petit. a)
4 −7 , 9 8
d)
−4 −21 −5 , , 6 6 12
b)
−11 −7 , 8 8
e)
−43 10 −8 , , 60 40 10
c)
3 10 20 , , 8 24 48
f)
2 4 8 1 , , , 5 7 35 2
27
831106 _ 0014-0043.qxd
11/9/07
12:38
Página 28
Nombres racionals
054
a)
4 −7 > 9 8
b)
−7 −11 > 8 8
c)
3 18 10 20 10 20 3 = , = → = > 8 48 24 48 24 48 8
d)
−4 −8 −21 −42 −5 −4 −21 = , = → > > 6 12 6 12 12 6 6
e)
10 15 −8 −48 10 −43 −8 = , = → > > 40 60 10 60 40 60 10
f)
8 2 28 4 40 8 16 1 35 4 1 2 > = , = , = , = → > > 5 35 5 70 7 70 35 70 2 70 7 2
FES-HO AIXÍ COM OBTENIM UNA FRACCIÓ COMPRESA ENTRE DUES FRACCIONS? Troba i escriu una fracció compresa entre les fraccions PRIMER.
4 7 i . 9 6
Les sumem totes dues. 4 7 8 21 29 + = + = 9 6 18 18 18
SEGON.
Dividim entre 2 la fracció que hem obtingut. 29 29 :2= 18 36
La fracció
055 ●●
28
29 4 7 està compresa entre i . 36 9 6
Escriu una fracció compresa entre: a)
4 7 i 5 8
c)
7 8 i 6 6
e)
−1 1 i 6 5
b)
9 11 i 7 9
d)
−3 −2 i 7 5
f)
−5 −6 i 9 9
⎛4 7⎞ 67 a) ⎜⎜⎜ + ⎟⎟⎟ : 2 = ⎝5 8 ⎟⎠ 80
⎛ −3 −2 ⎞⎟ −29 ⎟⎟ : 2 = + d) ⎜⎜⎜ ⎝ 7 5 ⎟⎠ 70
⎛9 11 ⎞⎟ 158 ⎟⎟ : 2 = b) ⎜⎜⎜ + ⎝7 9 ⎟⎠ 126
⎛ −1 1⎞ 1 + ⎟⎟⎟ : 2 = e) ⎜⎜⎜ ⎝ 6 5 ⎟⎠ 60
⎛7 8⎞ 15 5 = c) ⎜⎜⎜ + ⎟⎟⎟ : 2 = ⎝6 6 ⎟⎠ 12 4
⎛ −5 −6 ⎞⎟ −11 ⎟⎟ : 2 = + f) ⎜⎜⎜ ⎝ 9 9 ⎟⎠ 18
831106 _ 0014-0043.qxd
11/9/07
12:38
Página 29
SOLUCIONARI
056 ●
057 ●
058 ●
059 ●
1
Calcula: a)
3 5 1 + + 4 4 4
7 8 +2+ 2 6
b)
c)
5 3 9 − − 2 2 2
d) 9 +
a)
8 4
c)
−7 2
b)
21 12 8 41 + + = 6 6 6 6
d)
63 5 6 62 + − = 7 7 7 7
5 6 − 7 7
Fes les restes següents: a)
33 10 − 11 11
b)
5 1 − 10 15
c)
3 1 2 − − 2 7 12
d)
7 1 1 − − 3 2 11
a)
23 11
c)
126 12 14 100 − − = 84 84 84 84
b)
15 2 13 − = 30 30 30
d)
154 33 6 115 − − = 66 66 66 66
Calcula: 25 11 2 + − 7 7 7 5 1 1 − + b) 7 10 3 a)
10 10 12 + − 11 7 11 1 7 + d) 4 − 6 6 c)
1 5 − 12 13 1 1 2 − + f) 3 − 21 7 9 e) 1 +
a)
34 7
d)
24 1 7 30 − + = =5 6 6 6 6
b)
150 21 70 199 − + = 210 210 210 210
e)
156 13 60 109 + − = 156 156 156 156
c)
70 110 84 96 + − = 77 77 77 77
f)
189 3 9 14 191 − − + = 63 63 63 63 63
Calcula: 3 5 3 + − 2 16 8 5 5 5 + + b) 6 3 4 a)
−2 3 + −1 5 4 7 2 1 − − d) 15 3 6
9 5 + −8 12 8 6 7 f) − − 3 − 7 3
c)
e)
a)
24 5 6 23 + − = 16 16 16 16
d)
14 20 5 −11 − − = 30 30 30 30
b)
10 20 15 45 15 + + = = 12 12 12 12 4
e)
18 15 192 −159 + − = 24 24 24 24
c)
−8 15 20 −13 + − = 20 20 20 20
f)
−18 63 49 −130 − − = 21 21 21 21
29
831106 _ 0014-0043.qxd
11/9/07
12:38
Página 30
Nombres racionals 060 ●
061 ●●
062 ●
Fes les operacions: a)
−5 −2 + 16 16
c)
b)
5 −1 + 7 10
d) 5 +
●●
7 1 5 + + 11 12 14
f)
13 1 11 + + 11 13 9
−7 16
d)
385 70 110 565 + + = 77 77 77 77
b)
50 −7 43 + = 70 70 70
e)
588 77 330 995 + + = 924 924 924 924
c)
9 −2 2 9 1 + + = = 18 18 18 18 2
f)
1.521 99 1.573 3.193 + + = 1.287 1.287 1.287 1.287
Emplena els buits: a)
1 + 3
=
1 2
c)
3 3 + 7 8
b)
4 − 5
=
4 6
d)
1 1 − − 4 5
a)
=
1 1 1 − = 2 3 6
c)
=
3 3 3 −79 − − = 9 7 8 504
b)
=
4 4 2 − = 5 6 15
d)
=
1 1 1 −7 − − = 4 6 5 60
=
3 9 =
1 6
Calcula aquests productes: a)
2 6 ⋅ 3 5 12 4 = 15 5
b)
5 ⋅8 14
b)
40 20 = 14 7
c) c)
7 10 ⋅ 2 3
70 35 = 6 3
d) 21 ⋅ d)
84 28 = 9 3
Calcula: 12 3 ⋅ 5 6 ⎛ 2 ⎜ −7 ⎞⎟ ⎟⎟ b) ⋅⎜ 9 ⎜⎝ 4 ⎠ a)
a)
36 6 = 30 5
b) − c)
30
10 10 + 11 7
e)
a)
a)
063
1 −1 2 + + 2 9 18
14 7 =− 36 18
27 9 = 42 14
9 3 ⋅ 6 7 ⎛ −1 ⎞⎟ ⎛ −3 ⎞⎟ ⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟ d) ⎜⎜⎜ ⎝ 4 ⎟⎠ ⎜⎝ 6 ⎟⎠ c)
e)
9 6 ⋅ ⋅3 7 5
f)
9 3 11 ⋅ ⋅ 4 11 3
d)
3 1 = 24 8
e)
162 35
f)
9 ⋅ 3 ⋅ 11 9 = 4 ⋅ 11 ⋅ 3 4
4 9
831106 _ 0014-0043.qxd
11/9/07
12:38
Página 31
SOLUCIONARI
064 ●
065 ●
Calcula: a)
5 3 : 8 2
b)
5 7 : 12 4
9 6 : 5 7 8 ⎛⎜ −6 ⎟⎞ ⎟⎟ :⎜ d) 15 ⎜⎝ 5 ⎠ c)
a)
10 5 = 24 12
c)
63 21 = 30 10
b)
20 5 = 84 21
d)
−40 −4 = 90 9
Fes les divisions: a)
7 21 : 5 2
b) 8 :
066
1
11 :7 3 5 ⎛⎜ −10 ⎞⎟ ⎟⎟ :⎜ d) 6 ⎜⎝ 3 ⎠ c)
3 8
a)
14 2 = 105 15
c)
11 21
b)
64 3
d) −
15 −1 = 60 4
Emplena els buits:
●●
a)
1 ⋅ 3
=
1 4
d)
b)
4 : 5
=
−4 6
e) (−5) ⋅
c)
3 3 ⋅ ⋅ 7 8
=
3 9
f)
1 1 : : 4 5
4 : 5
a)
=
1 1 3 : = 4 3 4
b)
=
4 −4 −6 : = 5 6 5
c)
=
3 3 3 56 : : = 9 7 8 27
d)
=
1 1 1 30 15 : : = = 4 5 6 4 2
e)
=
−10 2 : (−5) = 3 3
f)
=
4 −2 : (−2) = 5 5
=
1 6
=−
10 3
= −2
31
831106 _ 0014-0043.qxd
11/9/07
12:38
Página 32
Nombres racionals 067 ●●
Calcula: 4 1 7 − ⋅ 5 4 3 ⎛4 1⎞ 7 b) ⎜⎜⎜ − ⎟⎟⎟ ⋅ ⎝5 4⎠ 3 3 4 3 − : c) 2 ⋅ 5 7 4 a)
a) b) c) d)
068 ●●●
069 ●
3 −1 4 7 2 ⋅ + 3 5 ⎛7 2⎞ ⋅ ⎜⎜⎜ + ⎟⎟⎟ ⎝3 5⎠ :
⎛ 1⎞ 7 2 + g) ⎜⎜⎜9 − ⎟⎟⎟ ⋅ ⎝ ⎠ 4 3 5 2 3 1 3 : − ⋅ h) 3 4 5 7
7 2 529 + = 12 5 60 1 41 41 499 = 9− = f) 9 − ⋅ 4 15 60 60 35 7 2 245 2 1.441 ⋅ + = + = g) 36 3 5 108 5 540 8 7 33 − = h) 3 15 15 e) 9 −
Fes les operacions: ⎛ 3 7 8 ⎞⎟ ⎟⎟ − ⎜⎜⎜ + d) ⎝ 6 20 15 ⎠ 4 ⎛⎜ 5 4⎞ ⋅⎜ − ⎟⎟⎟ b) e) 5 ⎜⎝ 24 9⎠ 8 ⎛⎜ 3 11 ⎞⎟ ⎟⎟ : ⎜⎜ + c) f) ⎝ 5 5 30 ⎠ 7 21 49 − = a) 6 60 60 4 ⎛⎜ −17 ⎞⎟ −17 ⎟⎟ = ⋅⎜ b) 5 ⎜⎝ 72 ⎟⎠ 90 8 7 48 : = c) 5 30 7 72 13 72 : = d) 15 15 13 a)
⎛ 8 5 ⎞⎟ ⎛ 6 ⎞ ⎜⎜ : ⎟ : ⎜⎜ − 1 ⎟⎟ ⎟ ⎜⎝ 3 9 ⎟⎠ ⎜⎝ 5 3⎠ 2 3 5 ⋅ − 5 4 4 2 3 7 : − 5 10 18
2 21 +3: 7 35 1 6 7 4 ⋅ + : h) 2 5 5 3 g)
3 5 −19 − = 10 4 20 4 7 17 − = f) 3 18 18 2 37 +5= g) 7 7 3 21 33 + = h) 5 20 20 e)
Assenyala la part entera i decimal dels nombres següents: a) 0,75 b) 274,369 a) b) c) d) e) f)
32
3 4 : 5 7 1 e) 9 − 4 1 f) 9 − 4 4 7 48 − 35 13 − = = 5 12 60 60 11 7 77 ⋅ = 20 3 60 6 16 46 − = 5 21 105 7 2 −1 = 5 5 d)
Part entera: 0. Part entera: 274. Part entera: 1. Part entera: 127. Part entera: 2. Part entera: −7.
c) 1,8989… d) 127,4555… Part decimal: 75. Part decimal: 369. Part decimal: 8989… Part decimal: 4555… Part decimal: 161820… Part decimal: 0222…
e) 2,161820… f) −7,0222…
831106 _ 0014-0043.qxd
11/9/07
12:38
Página 33
SOLUCIONARI
070 ●
071 ●●
1
Expressa la part pintada de cadascuna de les figures mitjançant una fracció un nombre decimal. a)
c)
b)
d)
a)
1 = 0,5 2
c)
1 = 0,5 2
b)
3 = 0,75 4
d)
1 = 0,1666... 6
Indica quins dels nombres són periòdics i quins no. Assenyala’n el període en els que ho siguin. a) 1,333… b) 2,6565… c) 3,02333…
d) 6,987654… e) 0,010101… f) 1,001002003…
a) Periòdic; període: 3. b) Periòdic; període: 65. c) Periòdic; període: 3. d) No periòdic. e) Periòdic; període: 01. f) No periòdic. 072 ●●
Classifica aquests nombres decimals en exactes, periòdics purs, periòdics mixtos o no exactes i no periòdics. a) b) c) d) e)
1,052929… 0,89555… −7,606162… 120,8 −98,99100101…
f) g) h) i) j)
13,12345666… −1.001,034034… 0,0000111… −1,732 0,123456777…
a) Periòdic mixt.
f) Periòdic mixt.
b) Periòdic mixt.
g) Periòdic mixt.
c) No exacte i no periòdic.
h) Periòdic mixt.
d) Exacte.
i) Exacte.
e) No exacte i no periòdic.
j) Periòdic mixt.
33
831106 _ 0014-0043.qxd
11/9/07
12:38
Página 34
Nombres racionals 073 ●
Raona quin tipus de nombre expressen les fraccions següents: enter, decimal exacte o periòdic. a)
27 36
b) − c)
44 11
4 24
d)
51 20
g)
22 −1
e)
−34 30
h)
21 420
f)
15 21
i)
19 90
a) Exacte, perquè el denominador de la seva fracció irreductible només té 2 com a factor. b) Enter, perquè el numerador és múltiple del denominador. c) Periòdic mixt, perquè el denominador de la seva fracció irreductible té com a factors 2 i 3. d) Exacte, perquè el denominador només té com a factors 2 i 5. e) Periòdic mixt, perquè el denominador de la seva fracció irreductible té com a factors 5 i 3. f) Periòdic pur, perquè els factors del denominador són diferents de 2 i 5. g) Enter, perquè el numerador és múltiple del denominador. h) Exacte, perquè el denominador de la seva fracció irreductible només té com a factors 2 i 5. i) Periòdic mixt, perquè el denominador té com a factors 2, 3 i 5. 074 ●
075 ●
Calcula la fracció generatriu. ) a) 5,24 c) 3,7 ) b) 1,735 d) 5,43 a)
524 131 = 100 25
c)
34 9
e)
461 90
b)
1.735 347 = 1.000 200
d)
538 99
f)
233 990
Expressa en forma de fracció aquests ) a) −7 d) 9,6 ) b) 6,05 e) 4,07 ) c) −0,00182 f) −14,413
nombres: ) g) 9,54 ) h) 0,315 ) i) 0,0123
a)
−7 1
d)
87 29 = 9 3
g)
859 90
b)
605 121 = 100 20
e)
403 99
h)
312 52 = 990 165
i)
122 61 = 9.900 4.950
c) −
34
) e) 5,12 ) f) 0,235
182 91 =− 100.000 50.000
f) −
14.399 999
831106 _ 0014-0043.qxd
11/9/07
12:38
Página 35
SOLUCIONARI
076 ●
Expressa les fraccions en forma decimal i els decimals en forma fraccionària. 9 8 b) 7,35 ) c) 13,7 ) d) 8,91 a)
e)
f) g) h) i)
48 10
j)
9 11 0,278 ) 6,16 ) 18,57 ) 2,265
a) 1,125
k) l) m) n) ñ)
101 90 1,0435 ) 1,274 ) 0,315 ) 0,0123
) f) 0,81
735 147 = 100 20
g)
278 139 = 1.000 500
l)
10.435 2.087 = 10.000 2.000
c)
124 9
h)
555 37 = 90 6
m)
1.273 999
d)
802 401 = 90 45
i)
1.839 613 = 99 33
n)
284 71 = 900 225
j)
2.039 900
ñ)
12 2 = 990 165
077
Calcula fent servir les fraccions generatrius.
●●
a) 0,2777… + 2,333… b) 3,5666… − 2,2727…
●●
) k) 1,12
b)
e) 4,8
078
1
c) 0,44… ⋅ 2,5151… d) 1,13888… : 0,9393…
a)
25 21 235 47 + = = 90 9 90 18
c)
44 249 913 ⋅ = 100 99 825
b)
321 225 1.281 − = 90 99 990
d)
1.025 93 451 : = 900 99 372
Digues quines de les afirmacions següents són certes o falses i justifica la resposta. a) Qualsevol nombre decimal el podem expressar en forma de fracció. b) Un nombre enter el podem expressar com una fracció. c) En un nombre decimal periòdic les xifres decimals es repeteixen indefinidament després de la coma. d) Si un nombre decimal té el període 0, és un nombre exacte. a) Fals, els decimals no exactes i no periòdics no es poden expressar en forma de fracció. b) Cert, la fracció serà el quocient del nombre i la unitat. c) Cert en el cas dels periòdics purs, però no en els periòdics mixtos. d) Cert, ja que té un nombre exacte de xifres decimals.
35
831106 _ 0014-0043.qxd
11/9/07
12:39
Página 36
Nombres racionals 079 ●
080 ●
Tenim 30 m de tela. Calcula quants metres són: a)
3 de la tela 5
b)
a)
3 ⋅ 30 = 18 m 5
b)
7 ⋅ 30 = 7 m 30
c)
5 ⋅ 30 = 25 m 6
●
5 de la tela 6
2 ⋅ 12.300 = 4.920 €. 5
Un pare li dóna a la filla gran 30 € i al fill petit, la tercera parte del que ha rebut la gran. Quant ha rebut el fill petit? El fill petit ha rebut:
082
c)
Una empresa ha ingressat aquesta setmana dos cinquens de 12.300 €. Calcula quants diners ha ingressat. Ha ingressat:
081
7 de la tela 30
1 ⋅ 30 = 10 €. 3
FES-HO AIXÍ COM RESOLEM ELS PROBLEMES EN QUÈ CONEIXEM UNA PART DEL TOTAL? 2 parts són nois. Quantes noies hi ha si són 25 alumnes en total? 5 2 PRIMER. Restem la part que coneixem, , del total, 1, per calcular la part que no 5 coneixem. A la classe, les
1− SEGON.
2 5 2 3 = − = són noies 5 5 5 5
Calculem què representa aquesta part en el total d’alumnes, 25. 3 3 3 ⋅ 25 75 de 25 = ⋅ 25 = = = 15 noies 5 5 5 5
083 ●●
Li hem regalat al meu pare, pel seu aniversari, una capsa de bombons. 3 Ens hem menjat les de la caixa. Si n’hi havia 40, de bombons, 4 quants en queden? Queda
36
1 1 ⋅ 40 = 10 bombons. de la caixa, és a dir, 4 4
831106 _ 0014-0043.qxd
11/9/07
12:39
Página 37
SOLUCIONARI
084 ●●
Els tres vuitens del total d’alumnes d’un IES porten ulleres. Si en porten 129 alumnes, quants n’hi ha, en total? En total són
085 ●●
086 ●●
3 129 129 ⋅ 8 = → x = = 344 alumnes. 8 x 3
Un granger vol tancar un terreny de 2.275 m de llargada. El primer dia fa 3 2 els de la feina i, el segon dia, los . Quants metres falten per tancar? 7 5 ⎛3 ⎞⎟ 16 2 29 16 ⋅ 2.275 = 1.040 m falten. 1 − ⎜⎜ + ⎟⎟ = 1 − = → ⎜⎝ 7 ⎟ 35 5⎠ 35 35 1 Uns amics recorren 105 km en bicicleta. El primer dia fan del camí 3 4 i el segon dia . La resta la deixen per al tercer dia. 15 Quants quilòmetres fan cada dia? 1 ⋅ 105 = 35 km 3 4 ⋅ 105 = 28 km 2n dia → 15
1r dia →
087 ●●
Una familia es gasta
1 dels seus ingressos mensuals en el lloguer del pis, 15
1 ⋅ 3.000 = 200 € 15 1 ⋅ 3.000 = 50 € Telèfon → 60
●●
3r dia → 105 − (28 + 35) = 42 km
1 1 en el telèfon i en transport i roba. 60 8 Com es distribueixen les despeses si tenen uns ingressos mensuals de 3.000 €? Lloguer ⎯ →
088
1
Transport i roba →
1 ⋅ 3.000 = 375 € 8
3 1 En un campament, dels joves són europeus, asiàtics, i, la resta, 8 5 africans. Si en total hi ha 800 joves: a) Quants n’hi ha d’europeus? b) Si la meitat dels asiàtics són noies, quantes noies asiàtiques hi ha? c) Quants d’aquests joves són africans? 3 ⋅ 800 = 300 8 ⎛1 ⎞ b) Asiàtiques → ⎜⎜⎜ ⋅ 800⎟⎟⎟ : 2 = 160 : 2 = 80 ⎝5 ⎠ a) Europeus →
c) Africans
→ 800 − 300 − 160 = 340
37
831106 _ 0014-0043.qxd
11/9/07
12:39
Página 38
Nombres racionals 089
FES-HO AIXÍ COM CALCULEM UNA PART D’UNA FRACCIÓ? La Cristina s’ha de llegir un llibre per al col·legi. El primer dia en llegeix una quarta part, i el segon dia, la meitat del que li faltava per llegir. Quina fracció representa el que ha llegit el segon dia? PRIMER.
Calculem la fracció de la qual trobarem la part.
El primer dia llegeix SEGON.
1 1 3 = . , i li falten: 1 − 4 4 4
Calculem la part de la fracció.
El segon dia llegeix:
3 3 :2= . 4 8
Per tant, el segon dia llegeix
090 ●●
3 del llibre. 8
2 Tenim una peça de filferro de 90 m. En venem parts a 3 €/m, 3 1 de la resta a 4 €/m i els metres que falten a 2 €/m. Quant hi hem guanyat, 6 si havíem comprat el metro de filferro a 2 €? 2 ⋅ 90 = 60 m, a 3 €/m, són 180 €. 3 1 ⋅ (90 − 60) = 5 m, a 4 €/m, són 20 €. 6 90 − 60 − 5 = 25 m, a 2 €/m, ssón 50 €. El filferro ens va costar 90 ⋅ 2 = 180 € i hem cobrat: 180 + 20 + 50 = 250 €. Per tant, hi hem guanyat: 250 − 180 = 70 €.
091 ●●
Tres amics es reparteixen 90 € que han guanyat a la travessa de la manera següent: el primer se’n queda una cinquena part, el segon, la tercera part del que rep el primer, i el tercer, la meitat del que rep el segon. a) Quina fracció representa el que obté cadascú? b) Quants diners es queda cada amic c) Quants en deixen de pot? a) 1r →
1 5
2n →
1 1 1 ⋅ = 3 5 15
3r →
1 1 1 ⋅ = 2 15 30
b) 1r →
1 ⋅ 90 = 18 € 5
2n →
1 ⋅ 90 = 6 € 15
3r →
1 ⋅ 90 = 3 € 30
c) De pot deixen: 90 − (18 + 6 + 3) = 63 €.
38
831106 _ 0014-0043.qxd
11/9/07
12:39
Página 39
SOLUCIONARI
092
1
FES-HO AIXÍ COM CALCULEM EL TOTAL SI EN SABEM UNA PART? 7 de la seva capacitat. Encara fan falta 880 litres 9 perquè quedi totalment plena. Quina capacitat té la piscina? Una piscina està plena fins als
PRIMER.
Calculem la fracció que representa la part buida de la piscina 1−
SEGON.
7 9 7 2 = − = 9 9 9 9
Designem amb x la capacitat total de la piscina. 2 2 de x = ⋅ x = 880 9 9
Aïllem x : x = 880 :
2 880 ⋅ 9 7.920 = = = 3.960 9 2 2
La piscina té 3.960 litres de capacitat.
093 ●●●
D’un escalfador, primer se’n gasta la meitat de l’aigua i, després, la quarta part de la que quedava. Si encara en queden 12 litres, quina és la capacitat de l’escalfador? Primer:
1 . 2
Segon:
1 4
⎛ 1⎞ 1 ⋅ ⎜⎜1 − ⎟⎟⎟ = . ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 8
Aleshores, en queden: 1 − Per tant, x = 12 :
094 ●●●
1 1 3 − = . 2 8 8
3 = 32 ¬ és la capacitat de l’escalfador. 8
Uns amics fan una excursió a la muntanya. El primer dia recorren un quart del que tenien programat i el segon dia, un terç. La resta, que són 25 km, ho deixen per al tercer dia. Quina fracció representen els quilòmetres recorreguts el tercer dia? Quants quilòmetres han fet en total? El tercer dia recorren: 1 −
1 1 5 − = . 4 3 12
En total han fet: x = 25 :
5 = 60 km. 12
39
831106 _ 0014-0043.qxd
20/9/07
13:35
Página 40
Nombres racionals 095 ●●●
Calcula les diferències següents:
1
1-
1
2
2 1 4
-
-
1
1
3
-
3
1
1
5
5
-
1 4
1 6
a) Amb els resultats, fes aquesta suma. 1 1 1 1 1 + + + + 2 6 12 20 30 b) En vista del resultat anterior, quin creus que serà el resultat d’aquesta suma? 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + +…+ 2 6 12 20 30 42 1.001.000 1−
1 1 = 2 2
1 1 1 − = 3 4 12
1 1 1 − = 2 3 6 a)
1 1 1 − = 4 5 20
1 1 1 1 1 + + + + = 2 6 12 20 30 = 1−
b)
1 1 1 − = 5 6 30
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 + − + − + − + − = 1− = 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 6
1 1 1 = − 1.001.000 1.000 1.001 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + +…+ = 2 6 12 20 30 42 1.001.000 1 1.000 = 1.001 1.001
= 1−
096 ●●●
Si buidem aquests dos recipients en una gerra, quina serà la proporció d’aigua i de vinagre que hi haurà? BARREJA
BARREJA
2 parts d’aigua 1 part de vinagre
3 parts d’aigua 1 part de vinagre
La barreja resultant tindrà 5 parts d’aigua i 2 parts de vinagre. La proporció d’aigua és
40
5 2 i la de vinagre és . 7 7
831106 _ 0014-0043.qxd
11/9/07
12:39
Página 41
1
SOLUCIONARI
097 ●●
Aquesta figura conté nou quadrats, tots de costat 1. Els punts assenyalats verifiquen:
T S
1 PQ = QR = RS = ST = 4 Una recta uneix X amb un d’aquests punts i divideix la figura en dues regions amb la mateixa àrea. Quina és aquesta recta?
R Q P
X
Q
X
És la recta XQ , que forma un triangle i un quadrat. La base del triangle ⎛ 3 7 7⎞ = . Per tant, l’àrea del triangle serà: ⎜⎜4 ⋅ ⎟⎟⎟ : 2 = 3,5. és 4 i l’altura: 1 + ⎜ ⎝ 4 4 4 ⎟⎠ D’altra banda, l’àrea del quadrat és 1. 9 = 4,5. L’àrea és: 3,5 + 1 = 4,5, que és la meitat de l’àrea total: 2
A LA VIDA QUOTIDIANA 098 ●●●
Una comunitat de veïns vol instal·lar plaques solars per abastir part de l’energia elèctrica que es consumeix a l’edifici. Ho han consultat amb una empresa instal·ladora, que els ha proporcionat les dades següents: Segons els nostres informes, la instal·lació de plaques solars 2 permet un estalvi de del consum 7 energètic actual de l’edifici.
Ó
·LACI
AL NST S LA I R A SOLAR E P ST UES SUPO LAQ l, PRES DE P el So
; c/ d veïns
t de unita Com lars s s e o Plaqu l·lació. a i inst
23
000 €
l: 22.
Tota
41
831106 _ 0014-0043.qxd
11/9/07
12:39
Página 42
Nombres racionals L’empresa instal·ladora els ha informat que certs organismes oficials concedeixen subvencions per a la instal·lació de plaques solars. INSTITUT PER A LA DIVERSIFICACIÓ I ESTALVI DE L’ENERGIA En relació amb la subvenció sol·licitada per la seva comunitat per a la instal·lació de plaques solars a l’edifici situat al carrer del Sol, número 23, l’informem que la subvenció li ha estat atorgada, i que la quantitat ascendeix a la meitat del cost de les plaques i la instal·lació.
La companyia elèctrica subministradora de la comunitat cobra a 8,6726 cèntims el quilowatt. A l’últim rebut bimensual, cadascun dels 48 veïns ha pagat 46,34 €. Quant temps trigraran a amortitzar les plaques solars i la instal·lació, si el consum de la comunitat és manté? Cost de les plaques i la instal·lació: 22.000 €. 1 ⋅ 22.000 = 11.000 €. 2 Despesa mensual: (48 ⋅ 46,34) : 2 = 1.112,16 €. Subvenció:
2 ⋅ 1.112,16 = 317,76 €. 7 Temps d’amortització: (22.000 − 11.000) : 317,76 = 34,62 mesos. Estalvi en la despesa:
Per tant, trigaran una mica menys de tres anys a amortitzar la despesa. 099 ●●●
Les notícies sobre els accidents que hi ha hagut durant la Setmana Santa destaquen un important augment dels sinistres.
Sinistralitat durant la Setmana Santa a la carretera
108 persones han mort en accidents a la carretera La meitat dels morts en turismes no duien cordat el cinturó. Una de cada tres víctimes mortals en accident de motocicleta no portava casc. La meitat del morts tenia menys de 35 anys, i d’aquests, un de cada quatre era menor de 25 anys. La distracció s’apunta com el factor fonamental en dos de cada cinc accidents, la infracció de les normes de trànsit en un de cada tres i l’excés de velocitat en tres de cada deu.
42
Vehicle
Morts
Turismes
91
Motocicletes
17
831106 _ 0014-0043.qxd
11/9/07
12:39
Página 43
SOLUCIONARI
1
Morts Mesures de seguretat No duia el cinturó
1 ⋅ 91 = 45,5 ≈ 46 2
No portava casc
1 ⋅ 17 = 5,6 ≈ 6 3
Complia les mesures de seguretat
108 − 46 − 6 = 56
Edats Menors de 35 anys
1 ⋅ 108 = 54 2
Majors de 35 anys
1 ⋅ 108 = 54 2
Menors de 25 anys
1 ⋅ 54 = 13,5 ≈ 14 4
Causa principal de l’accident Distracció
2 ⋅ 108 = 43,2 ≈ 43 5
Infracció de normes de trànsit
1 ⋅ 108 = 36 3
Excés de velocitat
3 ⋅ 108 = 32,4 ≈ 32 10
Cap de les circumstàncies anteriors
L’excés de velocitat és una infracció de tràfic, per tant,108 − 36 − 43 = 29. Han mort 29 persones en aquestes circumstàncies. Estem suposant que la causa principal dels accidents és única, és a dir, que no es computen dues o més causes principals d’accident.
L’últim paràgraf de l’article es refereix a accidents, però nosaltres resolem el problema com si es tractés de morts. Així, el paràgraf fóra:
La distracció s’apunta com el factor fonamental en dos de cada cinc morts, la infracció de les normes de trànsit en un de cada tres i l’excés de velocitat en tres de cada deu. Si no ho consideréssim d’aquesta manera, no podríem determinar el nombre de morts, ja que en un mateix accident hi pot haver més d’un mort o no haver-n’hi cap.
43
831106 _ 0044-0073.qxd
2
11/9/07
12:48
Página 44
Nombres reals
NOMBRES RACIONALS
NOMBRES IRRACIONALS
NOMBRES REALS
POTENCIACIÓ
REPRESENTACIÓ
APROXIMACIONS
ERRORS
EXPONENT POSITIU
EXPONENT NEGATIU
NOTACIÓ CIENTÍFICA
OPERACIONS
SUMA
44
RESTA
MULTIPLICACIÓ
DIVISIÓ
831106 _ 0044-0073.qxd
11/9/07
12:48
Página 45
La raó irracional El gran Pitàgores, estudiós del món i la seva relació amb els nombres i descobridor de la bellesa racional de totes les coses, es confessava amb amargor, al final de la seva vida, en els albors del segle V aC, a un dels seus deixebles: –Escolta –li deia a Hipàs de Metapont–: Tota la vida he buscat la veritat en els nombres; l’explicació del que és diví i el que és humà era en els nombres o les seves raons, tot era perfecte i explicable, tot era raonable... Hipàs es mirava el seu mestre amb admiració i assentia amb el cap. Mentrestant, Pitàgores continuava: –Ara que he arribat al final de la vida, t’he de confessar una certesa horrible: fa temps que els vaig descobrir, n’hi ha d’altres. –Altres? –li va preguntar Hipàs. –Sí. Hi són, però són incommensurables: tothom pot construir un quadrat amb un costat que faci 1, però mesurar-ne la diagonal no és possible. Fins i tot la raó de la pentalfa no és com pensàvem, sinó que és un d’aquests camuflat. Si no t’ho creus, intenta mesurar la diagonal d’aquesta habitació que fa 3 passes d’amplada i 5 de llargada.
Apliquem el teorema de Pitàgores: 32 + 52 = =
9 + 25 = 34 = 5 , 830951…
Observem que, tot i que l’amplada i la llargada de l’habitació es poden mesurar amb nombres enters, la diagonal és un nombre irracional, és a dir, que no és mesurable.
831106 _ 0044-0073.qxd
11/9/07
12:48
Página 46
Nombres reals EXERCICIS 001
Calcula les potències següents: a) 32
d) (−5)3
g) (4,25)4
b) 74
e) (−2,02)4
c) (−9)2
⎛ 5⎞ f) ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⎝ 8 ⎟⎠
⎛ 1⎞ h) ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⎝ 3 ⎟⎠
3
5
002
i) (−14,32)8
a) 9
d) −125
g) 326,25390625
b) 2.401
e) 16,64966416
h) −
c) 81
f) −
3.125 32.768
1 27
i) 8.622.994,474905370624
Calcula (−0,8)2, (−0,8)3 i (−0,8)4. Quina és més gran? (−0,8)2 = 0,64
(−0,8)3 = −0,512
(−0,8)4 = 0,4096
2
El més gran és (−0,8) . 003
Expressa en forma de potència: a) 3 ⋅ 9 ⋅ 9 ⋅ 3
⎛ 1⎞ 1 1 ⋅ b) ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⋅ ⎝ 7 ⎟⎠ 7 7
a) 36
⎛ 1⎞ b) ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⎝ 7 ⎟⎠
3
004
Calcula aquestes potències: −4
d) (−5)−2
⎛8⎞ g) ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎝ 5 ⎟⎠
⎛ 8⎞ j) ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⎝ 5 ⎟⎠
1
b) 71
e) (−5)0
⎛8⎞ h) ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎝ 5 ⎟⎠
⎛ 8⎞ k) ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⎝ 5 ⎟⎠
−1
c) 7−1
f) (−5)−1
⎛8⎞ i) ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎝ 5 ⎟⎠
⎛ 8⎞ l) ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⎝ 5 ⎟⎠
a)
1 1 = 3 7 343
e) 1
0
−1
i)
5 8
b) 7
f)
1 1 =− (−5)1 5
j) −
c) 1 7
g)
54 625 = 84 4.096
k) 1
h)
8 5
l) −
d)
46
−5
a) 7−3
1 1 = (−5)2 25
55 3.125 =− 85 32.768
5 8
831106 _ 0044-0073.qxd
11/9/07
12:48
Página 47
SOLUCIONARI
005
2
Contesta si és cert o fals. a) Una potència d’exponent negatiu és sempre positiva. b) Una potència d’exponent 0 és sempre positiva. a) Fals, sempre serà positiva si l’exponent és parell. b) Cert, sempre val 1.
006
Com calcularies (0,2)−3? −3
0,2 =
007
⎛1⎞ −3 1 → (0,2) = ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 5 ⎟⎠ 5
Calcula: a) (8 ⋅ 4)3 b) [(−1) ⋅ (−4)]3
d) [6 ⋅ 5]−2 e) [(−3) ⋅ 5]−2
⎛4⎞ c) ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎝ 5 ⎟⎠
⎛ 5⎞ f) ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⎝ 3 ⎟⎠
−2
3
a) 83 ⋅ 43 = 512 ⋅ 64 = 32.768
d)
1 1 1 = = 62 ⋅ 52 36 ⋅ 25 900
b) (−1)3 ⋅ (−4)3 = (−1) ⋅ (−64) = 64
e)
1 1 1 = = (−3)2 ⋅ 52 9 ⋅ 25 225
f)
32 9 = 2 5 25
c)
008
= 5 3 = 125
43 64 = 3 5 125
Calcula: ⎛ 7⎞ a) ⎜⎜⎜2 ⋅ ⎟⎟⎟ ⎝ 3⎠
5
⎤ ⎡3 b) ⎢ ⋅ (−10)⎥ ⎥⎦ ⎢⎣ 5
−2
⎛ 14 ⎞ 145 537.824 a) ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ = 5 = ⎟ ⎝ 3 ⎠ 3 243 5
b) (−6)5 = 65 = 7.776 009
Quina desigualtat és certa? ⎛1⎞ 1 a) ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ < ⎝ 2 ⎟⎠ 4 3
b) [2 ⋅ (−1)]4 <
1 2
⎛1⎞ 1 1 < . a) És certa: ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ = ⎟ ⎝2⎠ 8 4 3
b) És falsa: [2 ⋅ (−1)]4 = 24 = 16 >
1 . 2
47
831106 _ 0044-0073.qxd
11/9/07
12:48
Página 48
Nombres reals 010
Expressa com una sola potència: a) 54 ⋅ 56 b) (−9)6 : (−9)2
e) [22]3 f) [(−2)2]3
⎛5⎞ c) ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎝ 6 ⎟⎠
⎛5⎞ : ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 6 ⎟⎠
⎛ 4⎞ ⎛ 4⎞ g) ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⎝ 3 ⎟⎠ ⎝ 3 ⎟⎠
⎡⎛ 3 ⎞4 ⎤ d) ⎢⎢⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎥⎥ ⎢⎣⎝ 5 ⎟⎠ ⎥⎦
2
10
3
6
⎛ 4⎞ ⎛ 4⎞ h) ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ : ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⎝ 3 ⎟⎠ ⎝ 3 ⎟⎠ 3
a) 54+6 = 510 10−6
⎛5⎞ c) ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎝ 6 ⎟⎠ ⎛3⎞ d) ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎝ 5 ⎟⎠
4 ·2
f) (−2)2⋅3 = 26 3+ 3
⎛4⎞ = ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 3 ⎟⎠
3− 3
⎛ 4⎞ = ⎜⎜− ⎟⎟⎟ = 1 ⎜⎝ 3 ⎟⎠
⎛ 4⎞ g) ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⎝ 3 ⎟⎠
⎛5⎞ = ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 6 ⎟⎠
4
⎛ 4⎞ h) ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⎝ 3 ⎟⎠
⎛3⎞ = ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 5 ⎟⎠
8
6
0
Simplifica aquestes operacions amb potències. a) (43 ⋅ 42)3 b) [(−5)3 : (−5)2]2 c) [(4,2)4 ⋅ (4,2)3]4
d) (711 : 75)2 e) (72 ⋅ 94)2 f) [(−3)5 ⋅ 45]2
a) 4(3+2)⋅3 = 415 (3−2)⋅2
b) (−5)
d) 7(11−5)⋅2 = 712
=5
e) 74 ⋅ 98
2
c) (4,2)(4+3)⋅4 = (4,2)28 012
3
e) 22⋅3 = 26
b) (−9)6−2 = 94
011
3
f) 310 ⋅ 410
Expressa com una sola potència. b) (3−5 ⋅ 93)−2
a) 25 ⋅ 43 a) 2 ⋅ 4 = 2 ⋅ 2 = 2 5
3
5
6
11
b) (3−5 ⋅ 93)−2 = (3−5 ⋅ 36)−2 = 3−2 013
Escriu en notació científica. a) 493.000.000 b) 315.000.000.000
014
e) 253 f) 256,256
a) 4,93 ⋅ 108
c) 4,464 ⋅ 10−4
e) 2,53 ⋅ 102
b) 3,15 ⋅ 1011
d) 1,200056 ⋅ 101
f) 2,56256 ⋅ 102
Escriu aquests nombres que apareixen en notació científica amb totes les xifres. a) 2,51 ⋅ 106 a) 2.510.000
48
c) 0,0004464 d) 12,00056
b) 9,32 ⋅ 10−8 b) 0,0000000932
c) 3,76 ⋅ 1012 c) 3.760.000.000.000
831106 _ 0044-0073.qxd
11/9/07
12:48
Página 49
SOLUCIONARI
015
Aquests nombres no estan ben escrits en notació científica. Corregeix-los. a) 0,247 ⋅ 108
b) 24,7 ⋅ 108
a) 2,47 ⋅ 107 016
2
c) 0,247 ⋅ 10−8
b) 2,47 ⋅ 109
c) 2,47 ⋅ 10−9
Els actius financers d’una entitat bancària són, aproximadament, 52 bilions d’euros. Expressa aquesta quantitat en notació científica. 5,2 ⋅ 1013
017
Fes aquestes operacions fent servir la notació científica: d) (34 ⋅ 103) ⋅ (25,2 ⋅ 10−2) e) (0,75 ⋅ 107) : (0,3 ⋅ 103) f) (8,06 ⋅ 109) ⋅ (0,65 ⋅ 107)
a) 7,77 ⋅ 109 − 6,5 ⋅ 107 b) 0,05 ⋅ 102 + 1,3 ⋅ 103 c) 37,3 ⋅ 10−2 + 0,01 ⋅ 102
No t’oblidis d’expressar el resultat en notació científica. a) 777 ⋅ 107 − 6,5 ⋅ 107 = 770,5 ⋅ 107 = 7,705 ⋅ 109 b) 0,005 ⋅ 103 + 1,3 ⋅ 103 = 1,305 ⋅ 103 c) 0,373 ⋅ 100 + 1 ⋅ 100 = 1,373 ⋅ 100 d) 3,4 ⋅ 104 ⋅ 2,52 ⋅ 10−1 = 8,568 ⋅ 103 e) (7,5 ⋅ 106) : (3 ⋅ 102) = 2,5 ⋅ 104 f) (8,06 ⋅ 109) ⋅ (6,5 ⋅ 106) = 52,39 ⋅ 1015 = 5,239 ⋅ 1016 018
Calcula l’element que falta en cada cas: a) 2,5 ⋅ 106 − = 8,4 ⋅ 105 b) 9,32 ⋅ 10−3 + = 5,6 ⋅ 10−2
019
c) (2,5 ⋅ 106) ⋅ = 8,4 ⋅ 105 d) (9,52 ⋅ 10−3) : = 5,6 ⋅ 10−2
a) = 1,66 ⋅ 106
c) = 3,36 ⋅ 101
b) = 4,668 ⋅ 10−2
d) = 11,7 ⋅ 10−1
Fes aquesta suma: 7,8 ⋅ 1099 + 5 ⋅ 1099. Després, torna a fer-la amb la calculadora. Què passa? Per què et sembla que passa? 7,8 ⋅ 1099 + 5 ⋅ 1099 = 1,28 ⋅ 10100. Amb la calculadora surt ∃, perquè l’ordre de magnitud és 100, que té 3 xifres, i la calculadora només treballa amb 2 xifres.
020
Classifica els nombres decimals següents en racionals i irracionals: a) b) c) d)
4,325325325… 4,330300300030000300000… 1,23233233323333233333... 3,12359474747… a) Racional.
c) Irracional.
b) Irracional.
d) Racional.
49
831106 _ 0044-0073.qxd
11/9/07
12:48
Página 50
Nombres reals 021
Escriu cinc nombres racionals i cinc d’irracionals.
) )
)
Racionals ⎯ → 1,16; 1,6; 8; 2,83; 0,4625 Irracionals → 2,123456789101112...; 6,111213141516171819...; 0,010010001...; π; 2 022
Pots anotar un nombre irracional amb un sol dígit després de la coma? I amb dos dígits? No, perquè es necessiten infinits dígits després de la coma.
023
Trunca i arrodoneix els nombres següents a les centèsimes i a les mil·lèsimes. a) 1,234564668 ) b) 2,7
g) 5 h) 3,222464
c) d) e) f)
i) 3 j) 1,6467538 k) 1,1234… ) l) 5,5
)
4,51 1,43643625 2,222 ) 3,127 a) Truncament: 1,23 i 1,234.
024
50
Arrodoniment: 1,23 i 1,235.
b) Truncament: 2,77 i 2,777.
Arrodoniment: 2,78 i 2,778.
c) Truncament: 4,51 i 4,515.
Arrodoniment: 4,52 i 4,515.
d) Truncament: 1,43 i 1,436.
Arrodoniment: 1,44 i 1,436.
e) Truncament: 2,22 i 2,222.
Arrodoniment: 2,22 i 2,222.
f) Truncament: 3,12 i 3,127.
Arrodoniment: 3,13 i 3,128.
g) Truncament: 2,23 i 2,236.
Arrodoniment: 2,24 i 2,236.
h) Truncament: 3,22 i 3,222.
Arrodoniment: 3,22 i 3,222.
i) Truncament: 1,73 i 1,732.
Arrodoniment: 1,73 i 1,732.
j) Truncament: 1,64 i 1,646.
Arrodoniment: 1,65 i 1,647.
k) Truncament: 1,12 i 1,123.
Arrodoniment: 1,12 i 1,123.
l) Truncament: 5,55 i 5,555.
Arrodoniment: 5,56 i 5,556.
Calcula l’error relatiu i absolut que s’ha comès en cadascun dels casos de l’exercici 23. a)
Aproximació Error absolut Error relatiu
1,23 0,004564668 0,003697391
1,234 0,000564668 0,000457382
1,235 0,000435332 0,00035262
b)
Aproximació Error absolut Error relatiu
2,77 0,007777778 0,0028
2,777 0,000777778 0,00028
2,78 0,002222222 0,0008
c)
Aproximació Error absolut Error relatiu
4,51 0,005151515 0,00114094
4,515 0,000151515 3,3557E−05
4,52 0,004848485 0,001073826
2,778 0,000222222 0,00008
831106 _ 0044-0073.qxd
11/9/07
12:48
Página 51
SOLUCIONARI
025
d)
Aproximació Error absolut Error relatiu
1,43 0,00643625 0,004480707
1,436 0,00043625 0,000303703
e)
Aproximació Error absolut Error relatiu
2,22 0,002 0,00090009
2,222 0 0
f)
Aproximació Error absolut Error relatiu
3,12 0,007777778 0,002486679
3,127 0,000777778 0,000248668
3,13 0,002222222 0,00071048
g)
Aproximació Error absolut Error relatiu
2,23 0,006067977 0,002713682
2,236 0,000067977 0,000030400
2,24 0,003932023 0,001758454
h)
Aproximació Error absolut Error relatiu
3,22 0,002464000 0,000764632
3,222 0,000464000 0,000143989
i)
Aproximació Error absolut Error relatiu
1,73 0,002050808 0,001184034
1,732 0,000050808 0,000029334
j)
Aproximació Error absolut Error relatiu
1,64 0,006753800 0,004101281
1,646 0,000753800 0,000457749
k)
Aproximació Error absolut Error relatiu
1,12 0,003456789 0,003076922
1,123 0,000456789 0,000406592
l)
Aproximació Error absolu Error relatiu
5,55 0,005555556 0,001000000
5,555 0,000555556 0,000100000
2
1,44 0,00356375 0,002480966
3,128 0,000222222 0,00007
1,65 0,003246200 0,001971272
1,647 0,000246200 0,000149506
5,56 0,004444444 0,000800000
5,556 0,000444444 0,000080000
En aproximar el pes d’un cuc de 2,1236 g hem comès un error absolut de 0,0236 g. I quan hem aproximat el d’un bou de 824,36 kg, hem comès un error de 4,36 kg. En quin cas ha estat més gran l’error? L’error relatiu, en el cas del cuc, és 0,01111. L’error relatiu, en el cas del bou, és 0,00528. Hem comès l’error més gran en el pes del cuc.
026
Representa a la recta real el nombre 3 de manera exacta i aproximada a les dècimes. Fes servir un triangle rectangle amb uns catets que facin 1 cm i
2 cm.
1
3 2 1
0
1
3
51
831106 _ 0044-0073.qxd
11/9/07
12:48
Página 52
Nombres reals 027
Representa el nombre 5 de manera exacta i aproximada a les dècimes. Fes servir un triangle rectangle amb uns catets que facin 1 cm i 2 cm. 5 = 2,236067… 5 1 2,2
2,4
2,7
5 0
028
1
2
Quin és el nombre representat a la figura?
OP 2 = 22 + 22 = 4 + 4 = 8 → OP = 8
2
P 0
029
1
2
Representa de manera exacta el nombre 13 . Com ho fas? S’agafen 3 unitats sobre l’eix horitzontal, i 2 sobre el vertical.
13
2
La hipotenusa farà: 13 0
030
1
2
32 + 22 =
3
13
Representa els intervals següents: a) [1, 4]
b) (2, 5)
c) (3, 6]
d) [3, 7)
a) 1
4
b) 2
5
c) 3
6
d) 3
031
7
Quin és l’interval representat? −7
−1
És l’interval (−7, −1). 032
Quins nombres pertanyen a l’interval (−1, 4]? a) 0
b) 3,98
c)
Tots els nombres pertanyen a l’interval.
52
2
)
d) −0,3
831106 _ 0044-0073.qxd
11/9/07
12:48
Página 53
SOLUCIONARI
033
2
Quants punts hi ha a l’interval [1, 2]? I a [1,1; 1,2]? I a [1,11; 1,12]? En qualsevol interval no buit hi ha infinits punts.
ACTIVITATS 034 ●
Escriu en forma de potència els productes de potències següents i calcula’n el resultat. a) 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 b) (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5) ⎛ −2 ⎞⎟ ⎛ −2 ⎞⎟ ⎛ −2 ⎞⎟ ⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟ c) ⎜⎜⎜ ⎝ 5 ⎟⎟⎠ ⎜⎝ 5 ⎟⎟⎠ ⎜⎝ 5 ⎟⎠⎟ a) 24 = 16 b) (−5)6 = 15.625 ⎛ −2 ⎞⎟ −8 ⎟ = c) ⎜⎜⎜ ⎝ 5 ⎟⎟⎠ 125 3
035 ●
Expressa en forma de producte i calcula el resultat. a) (−3)4 7 ⎛ 1 ⎞⎟ b) ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⎝ 2⎠
c) 56 2 ⎛ 10 ⎞⎟ ⎟⎟ d) ⎜⎜⎜ ⎝ 3 ⎠⎟
e) (2,5)3 f) (−2,3)4
a) (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) = 81 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ 1 b) ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ = − ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ 128 c) 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 15.625 ⎛ 10 ⎞ ⎛ 10 ⎞ 100 d) ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ = ⎟ ⎟ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 9 e) (2,5) ⋅ (2,5) ⋅ (2,5) = 15,625 f) (−2,3) ⋅ (−2,3) ⋅ (−2,3) ⋅ (−2,3) = 27,9841 036
Si es pot, escriu en forma de potència aquestes expressions:
●●
a) b) c) d)
9 3 4 2
⋅9⋅9⋅9⋅9 +3+3+3+3+3 ⋅4⋅4+4 ⋅5+2⋅5+2⋅5 a) 95
e) f) g) h)
(−2) ⋅ (−3) ⋅ (−2) ⋅ (−3) ⋅ (−2) ⋅ (−3) (6 + 6 + 6 + 6) ⋅ 6 23 + 23 + 23 + 23 5+5⋅5+5⋅5⋅5+5⋅5⋅5⋅5 e) 63
b) No és possible.
f) No és possible.
c) No és possible.
g) No és possible.
d) No és possible.
h) No és possible.
53
831106 _ 0044-0073.qxd
11/9/07
12:48
Página 54
Nombres reals Troba el resultat de les potències següents fent servir la calculadora:
037 ● 5
a) 2
⎛ 1 ⎟⎞ d) ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎝4⎠
g) (0,7)2
j) (−2)5
b) 64
⎛ 3 ⎞⎟ e) ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎝2⎠
h) (0,04)6
k) (−6)4
i) (1,32)8
l) (−12)3
6
4
⎛ 3 ⎞⎟ ⎟ f) ⎜⎜⎜ ⎝ 10 ⎟⎟⎠
3
c) 12
3
a) 64
e) 5,0625
i) 9,2170395205042176
b) 1.296
f) 0,027
j) −32
c) 1.728
g) 0,49
k) 1.296
d) 0,000244140625
h) 0,000000004096
l) −1.728
038
Expressa cada nombre com una potència d’un nombre positiu.
●●
a) 8
b) 27 3
a) 2
c) 16 3
b) 3
d) 81 4
e) 64 4
c) 2
d) 3
e) 2
3
f) 5
g) 49 2
g) 7
039
Escriu aquests nombres com una potència d’un nombre negatiu.
●●
a) 16 b) −125 a) (−4)2 b) (−5)3
c) 49 d) −128
e) 121 f) 144
c) (−7)2 d) (−2)7
040
Calcula les potències següents:
●●
a) (−2)2 a) 4
041
e) (−11)2 f) (−12)2
c) −(−82)
b) (−3)3 b) −27
Digues si són certes les igualtats.
●●
a) Falsa. b) Certa. c) Falsa.
54
f) 125
6
d) Falsa. e) Certa. f) Certa.
c) −64
g) −27 h) −216 g) (−3)3 h) (−6)3
d) −(−2)3 d) 8
h) 121 h) 112
i) 64 i) (−8)2
831106 _ 0044-0073.qxd
11/9/07
12:48
Página 55
SOLUCIONARI
042
Escriu cada nombre com una potència d’un nombre enter.
●●
a) −81
d) −1.000
g) −49
b) −8
e) −25
h) −2.187
c) −16
f) −512
043 ●●●
d) (−10)
g) −72
b) (−2)3
e) −52
h) (−3)7
c) −24
f) (−2)9
i) (−6)5
●
3
Calcula el valor de a en les igualtats següents: a) 2a = 32
c) a 4 = 2.401
b) 3 = 729
d) a 3 = 216
a
044
i) −7.776
a) −3
4
2
a) a = 5
c) a = 7
b) a = 6
d) a = 6
Calcula les potències següents: a) 2−3
d) 4−2 −2
b) (1,3)
−2
⎛ 1 ⎞⎟ c) ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎝2⎠
e) (−3)
g) (−5,02)−3 −2 −3
⎛ −3 ⎞⎟ ⎟ f) ⎜⎜⎜ ⎝ 5 ⎟⎟⎠
a)
1 1 = = 0,125 3 2 8
b)
1 1 = = 0,5917159 2 (1,3) 1,69
h) (−2)−4 −2
⎛ 1 ⎞⎟ i) ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⎝ 6⎠
c) 22 = 4 d)
1 1 = = 0,0625 2 4 16
e)
) 1 1 = = 0,1 2 (−3) 9
f)
53 125 =− (−3)3 27
g)
1 1 = = 0,0079047629 (−5,02)3 126,506008
h)
1 1 = = 0,0625 4 (−2) 16
i) (−6)2 = 36
55
831106 _ 0044-0073.qxd
11/9/07
12:48
Página 56
Nombres reals Troba el resultat de les potències següents fent servir la calculadora:
045 ●
a) 7−4
c) (−0,07)−4
b) (−4)−7
⎛ 3⎞ d) ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎝ 2 ⎟⎠
−4
046 ●●●
e) (0,12)−7 −3
⎛ 5⎞ f) ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⎝ 2 ⎟⎠
a) 0,0004164931
d) 0,19753086419753
b) −0,00006103515625
e) 2.790.816,47233653
c) 41.649,312786339
f) −0,064
Donades les potències 2−2, 2−3 i 2−5. a) Quina és la més gran? b) Com és la potència a mesura que l’exponent negatiu augmenta en valor absolut? c) Contesta les qüestions anteriors per a les potències 0,7−3, 0,7−4 i 0,7−5. a) La potència més gran és 2−2. b) La potència disminueix a mesura que augmenta l’exponent en valor absolut. c) La més gran és 0,7−5. La potència augmenta a mesura que ho fa l’exponent en valor absolut. La diferència amb el cas anterior és perquè, ara, la base és més petita que la unitat.
047 ●
Calcula el valor d’aquestes potències: a) 25 ⋅ 23 b) 25 : 23 c) 37 ⋅ 32 ⋅ 34 a) 28 = 256
d) (−4)15 = −1.073.741.824
b) 2 = 4
e) (−4)3 = −64
c) 313 = 1.594.323
f) 1
2
048 ●
Troba el resultat de les operacions amb potències següents fent servir la calculadora: a) b) c) d) e)
(0,03)2 ⋅ (0,03)4 (4,1)6 ⋅ (4,1)4 (1,2)2 ⋅ (1,2)5 ⋅ (1,2)8 (0,6)2 ⋅ (0,6)4 ⋅ (0,6)12 (0,7)6 ⋅ (0,7)13 ⋅ (0,7)11 a) 7,29 ⋅ 10−10 b) 1.342.265,931 c) 15,40702157 d) 1,015599567 ⋅ 10−4 e) 2,25393403 ⋅ 10−5
56
d) (−4)9 ⋅ (−4)5 ⋅ (−4) e) (−4)9 : (−4)5 : (−4) f) (7 ⋅ 4)0
831106 _ 0044-0073.qxd
11/9/07
12:48
Página 57
SOLUCIONARI
049
Expressa el resultat com una sola potència.
●●
a) (33 ⋅ 34 ⋅ 38) : 39 b) (−2)4 ⋅ (−2)6 ⋅ (−2)5 c) (−7)8 : (−7)4 ⋅ (−7)2 4 3 6 ⎛ 5⎞ ⎛ 5⎞ ⎛ 5⎞ d) ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ : ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎝ 2 ⎟⎠ ⎝ 2 ⎟⎠ ⎝ 2 ⎟⎠
2
⎡⎛ 1 ⎞2 ⎛ 1 ⎞3 ⎤ ⎡⎛ −1 ⎞4 ⎛ −1 ⎞⎤ ⎟⎟ : ⎜⎜ ⎟⎟⎥ e) ⎢⎢⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟⎟ ⎥⎥ : ⎢⎢⎜⎜⎜ ⎟ ⎟⎥ ⎢⎣⎝ 9 ⎠ ⎝ 9 ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣⎝ 9 ⎟⎠ ⎝⎜ 9 ⎟⎠⎥⎦ f) (−5)8 : [(−5)3 : (−5)3] g) [69 ⋅ 65] : [64 ⋅ 62] ⎛ 1⎞ ⎛1⎞ e) ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟⎟ = ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟⎟ ⎝ 9⎠ ⎝9⎠ f) (−5)8 g) 68 2
a) 36 b) (−2)15 c) (−7)6 = 76 1 ⎛ 5 ⎞⎟ ⎜ ⎟ d) ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝2⎠
2
050
Aplica les propietats de les potències per resoldre les expressions.
●●
a) (7 ⋅ 3)4 b) [(−5) ⋅ 3]5 3 ⎡ 4 ⎛ 8 ⎞⎟⎤ ⎜ ⎥ ⎢ ⎟ ⋅ − c) ⎢ ⎜⎜ ⎟⎟⎥ ⎣ 3 ⎝ 6 ⎠⎦ d) [(−8) : 5]3 e) [(0,16) : (−3)]2 ⎡⎛ 4 ⎞ f) ⎢⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎢⎝ 6 ⎟⎠ ⎣
⎛ 7 ⎞⎤ : ⎜⎜− ⎟⎟⎟⎥ ⎜⎝ 3 ⎟⎠⎥ ⎦
g) (−6)2 ⋅ (−6)4 ⋅ (−6)12 h) (0,3)2 ⋅ (0,3)4 i) (−0,5)6 ⋅ (−0,5)13 ⋅ (−0,5)11 ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ j) ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⎝ 6 ⎟⎠ ⎝ 6 ⎟⎠ 3
2
5
a) 74 ⋅ 34 = 2.401 ⋅ 81 = 194.481 b) (−5)5 ⋅ 35 = −3.125 ⋅ 243 = −759.375 64 ⎛⎜ 512 ⎞⎟ 4.096 ⎟⎟ = − ⋅ ⎜− c) 27 ⎜⎝ 216 ⎟⎠ 729 d) (−8)3 : 53 = −512 : 125 (0,16)2 0,0256 = (−3)2 9 ⎡⎛ 4 ⎞5 ⎛ 7 ⎞5 ⎤ 45 ⋅ 35 25 f) ⎢⎢⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟⎟ : ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟⎟ ⎥⎥ = − 5 5 = − 5 6 ⋅7 7 ⎢⎣⎝ 6 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎥⎦ g) (−6)18 e)
h) (0,3)6 i) (−0,5)30 5 ⎛ 3⎞ j) ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟⎟ ⎝ 6⎠
57
831106 _ 0044-0073.qxd
11/9/07
12:48
Página 58
Nombres reals 051
FES-HO AIXÍ COM RESOLEM PRODUCTES DE POTÈNCIES AMB BASES OPOSADES? Expressa com una sola potència: (−3)4 ⋅ 32. Descomponem la base negativa i després apliquem la propietat de potència d’un producte. (−3)4 ⋅ 32 = (−1 ⋅ 3)4 ⋅ 32 = (−1)4 ⋅ 34 ⋅ 32
PRIMER.
SEGON.
Fem les operacions amb potències de la mateixa base i operem. (−1)4 ⋅ 34 ⋅ 32 = (−1)4 ⋅ 34+2 = 1 ⋅ 36 = 36
052
Expressa el resultat de cada divisió com una sola potència.
●●
a) 38 : 34 b) (−9)12 : (−9)4 c) (−12)15 : 123 : 125
d) 3140 : (−31)4 : (−31) e) (0,5)30 : (0,5)5 : (0,5)3 d) −3135
a) 34 8
e) (0,5)22
b) (−9)
c) −127 053
Completa:
●●
a) 23 ⋅ = 25 b) (−4)5 ⋅ = (−4)10
d) (−3)12 : = (−3)6 e) : 56 = 5
⎛7⎞ ⎛7⎞ c) ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⋅ = ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎝ 2 ⎟⎠ ⎝ 2 ⎟⎠
⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ f) : ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ = ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⎝ 3 ⎟⎠ ⎝ 3 ⎟⎠
6
0
7
3
a) 23 ⋅ 22 = 25 b) (−4)5 ⋅ (−4)5 = (−4)10 ⎛7⎞ ⎛7⎞ ⎛7⎞ c) ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟⎟ = ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟⎟ ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎝2⎠ 6
1
7
d) (−3)12 : (−3)6 = (−3)6 e) 57 : 56 = 5 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ f) ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟⎟ : ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟⎟ = ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ 3
054 ●●●
0
3
Esbrina el valor de a en aquestes igualtats: a) 5a ⋅ 53 = 56
c) (−6)a : (−6)8 = (−6)0
a) a = 3
⎛ 5⎞ ⎛ 5⎞ d) ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎝ 3 ⎟⎠ ⎝ 3 ⎟⎠ c) a = 8
b) a = 2
d) a = 3
3
b) (−2)5a : (−2)2a = (−2)6
58
2a
⎛ 5⎞ = ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 3 ⎠⎟
9
831106 _ 0044-0073.qxd
11/9/07
12:48
Página 59
SOLUCIONARI
055
Fes les operacions:
●●
a) 24 ⋅ 2−2 ⋅ 23 c) (−3)−5 : (−3)2 ⋅ (−3)4 d) [(−3)−2]−4 : (−3)5 −2
−6
⎛1⎞ ⎛1⎞ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟⎟ : ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 3 ⎟⎠ ⎜⎝ 3 ⎠⎟ 5
−3
⎡⎛ ⎤ −1 ⎞⎟ ⎥ ⎟⎟ ⎥ : ⎢⎢⎜⎜ ⎜ ⎟ ⎢⎣⎝ 4 ⎠ ⎥⎦ −6 −7 g) 3 : 3 ⋅ 32 h) (−5)8 : (−5)−2 : (−5)−1 i) [(−6)3]−5 ⋅ [(−6)−5]4 −6
⎛ −1 ⎞⎟ ⎟ f) ⎜⎜⎜ ⎝ 4 ⎟⎟⎠
b) (2−2)3 ⋅ 2−4
⎛1⎞ e) ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎝ 3 ⎟⎠
2
2
a) 25 b) 2−6 ⋅ 2−4 = 2−10 c) (−3)−3 d) (−3)8 : (−3)5 = (−3)3 ⎛1⎞ e) ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟⎟ ⎝3⎠
9
−6
⎛ −1 ⎞⎟ ⎟ f) ⎜⎜⎜ ⎝ 4 ⎟⎟⎠
−6
⎛1⎞ : ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 4 ⎟⎠
⎛1⎞ = ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = 1 ⎜⎝ 4 ⎠⎟ 0
g) 33 h) (−5)11 i) (−6)−15 ⋅ (−6)−20 = (−6)−35 056
Indica els errors d’aquestes igualtats i corregeix-los.
●●
a) 32 + 33 + 35 = 32+3+5 = 310 b) 32 ⋅ 33 − 35 = 32+3 − 35 = 35 − 35 = 30 = 1 c) 49 : 42 ⋅ 44 = 49 : 42+4 = 49 : 46 = 49−6 = 43 d) (−2)6 ⋅ (−2)3 = [(−2) ⋅ (−2)]6+3 = 49 e) −32 ⋅ 32 = (−3)2+2 = (−3)4 = 34 f) 2 ⋅ (−3)2 = [2 ⋅ (−3)]2 = (−6)2 = 62 g) 85 ⋅ 87 = (8 + 8)5+7 = 1612 h) 31 ⋅ 30 = 31⋅0 = 30 = 1 a) 32 ⋅ 33 ⋅ 35 = 32+3+5 = 310 b) 32 ⋅ 33 − 35 = 32+3 − 35 = 35 − 35 = 0 c) 49 : 42 ⋅ 44 = 49−2 ⋅ 44 = 47 ⋅ 44 = 47+4 = 411 d) (−2)6 ⋅ (−2)3 = (−2)6+3 = (−2)9 e) −32 ⋅ 32 = −32+2 = −34 f) 2 ⋅ (−3)2 g) 85 ⋅ 87 = 812 h) 31 ⋅ 30 = 31+0 = 31
59
831106 _ 0044-0073.qxd
11/9/07
12:48
Página 60
Nombres reals 057
Justifica si les igualtats són certes o no.
●●
a) 9−1 = −9 b) (−2)−4 = 24 c) (−3)−6 = 3−6 d) (−3)−3 = (−3)−2 ⋅ 3−1 e) 4−3 = (−4)−1 ⋅ (−4)4 f) (2−5)−1 = 2−6 a) Falsa: 9−1 =
1 . 9 1 . 24
b) Falsa: (−2)−4 = 2−4 = c) Certa: (−3)−6 =
1 1 = 6 = 3−6. (−3)6 3
d) Falsa: (−3)3 = (−3)2 ⋅ (−3)−1 ⫽ (−3)2 ⋅ 3−1. e) Falsa: (−4)−1 ⋅ (−4)4 = (−4)3 ⫽ 4−3. f) Falsa: (2−5)−1 = 25. 058 ●
Expressa com una potència única. a) (23)4 b) [(−3)3]2 c) [−64]3 ⎡⎛ ⎞2 ⎤ 4 ⎢ 1 ⎥ d) ⎢⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟⎟ ⎥ ⎢⎣⎝ 3 ⎠ ⎥⎦ 5 3⎤ ⎡⎛ ⎢⎜− 3 ⎞⎟⎟ ⎥ e) ⎢⎜⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎣⎝ 5 ⎟⎠ ⎥⎦
f) [−52]4 a) 212
c) −612
⎛ 3⎞ e) ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟⎟ ⎝ 5⎠
b) (−3)6
⎛1⎞ d) ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟⎟ ⎝3⎠
f) 58
15
8
059
Calcula el valor d’aquestes potències:
●●
a) [(−3)2]2 ⋅ [(−3)3]3 b) [(5)8]2 : [(−5)4]3 a) (−3)4 ⋅ (−3)9 = (−3)13 = 1.594.323 b) 516 : (−5)12 = 516 : 512 = 54 = 625
60
831106 _ 0044-0073.qxd
11/9/07
12:48
Página 61
SOLUCIONARI
060 ●
2
Resol: a) (−2)−4 ⋅ [(−2)2]3
e) −2−3 ⋅ (−2−4)
b) 34 ⋅ [(−3)2]−2
f) (−26) ⋅ (−2−6)
−4
c) (−8) ⋅ 2 3
g) (−3)4 ⋅ (−34)
d) (−2)−3 ⋅ 2−3 −4
a) (−2)
h) 4−3 ⋅ 2−2 e) 2−7
⋅ (−2) = (−2) 6
2
b) 34 ⋅ 3−4 = 30 = 1
f) 20 = 1
c) (−2)9 ⋅ 2−4 = (−2)5
g) −38
−3
d) −2
−3
⋅2
−6
h) 2−6 ⋅ 2−2 = 2−8
= −2
061
Completa les igualtats següents:
●●
a) [(−5)3] : (−5)7 = (−5)5
c) [73]5 : 7 = 1
b) [2]5 ⋅ 4 = (−3)14
d) 119 ⋅ [112]3 = 11
a) [(−5)3]4 : (−5)7 = (−5)5 b) [(−3)2]5 ⋅ (−3)4 = (−3)14 c) [73]5 : 715 = 1 d) 119 ⋅ [112]3 = 1115
062
FES-HO AIXÍ COM CALCULEM PRODUCTES DE POTÈNCIES QUAN LES BASES TENEN ELS MATEIXOS FACTORS?
Calcula 162 ⋅ 32−2. PRIMER.
Descomponem en factors primers. 162 ⋅ 32−2 = (24)2 ⋅ (25)−2
SEGON. Fem les operacions: potència de potència i producte de potències amb la mateixa base. (24)2 ⋅ (25)−2 = 28 ⋅ 2−10 = 2(8−10) = 2−2
063 ●●●
Simplifica aquests productes de potències. a) 54 ⋅ 253
e) −123 ⋅ 185
2
b) 8 ⋅ 16
f) (−63)5 ⋅ 212
c) 63 ⋅ 125
g) −723 ⋅ (−4)7
d) 4 ⋅ 32
h) 322 ⋅ (−24)3
4
7
a) 54 ⋅ 56 = 510
e) −26 ⋅ 33 ⋅ 25 ⋅ 310 = −211 ⋅ 313
b) 212 ⋅ 28 = 220
f) −310 ⋅ 75 ⋅ 32 ⋅ 72 = −312 ⋅ 77
c) 2 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 3 = 2 ⋅ 3
g) −36 ⋅ 29 ⋅ (−214) = 36 ⋅ 223
d) 214 ⋅ 25 = 219
h) 210 ⋅ (−2)9 ⋅ 33 = (−2)19 ⋅ 33
3
3
10
5
13
8
61
831106 _ 0044-0073.qxd
11/9/07
12:48
Página 62
Nombres reals 064 ●●●
Calcula i expressa el resultat com una sola potència. a) (52 ⋅ 252)3 c) ((−2)12)3 ⋅ 85 e) ((3)12)3 ⋅ ((−27)5)2 2 4 4 3 2 6 b) (9 : (−27) ) d) (6 ⋅ 36 ) f) (162 : 643)5 ⋅ 44 a) (56)3 = 518 b) (−34 : 312)4 = 3−32
e) 336 ⋅ 330 = 366
c) 2 ⋅ 2 = 2
f) (44 : 49)5 ⋅ 44 = 4−25 ⋅ 44 = 4−21
36
065 ●●●
d) (67)6 = 642
15
41
Fes les operacions següents i simplifica’n el resultat tant com puguis. a) 4012 : ((−4)6)−6 b) (−45)15 ⋅ ((−15)3)−6 c) (92 : 274)−4 ⋅ (6−3 ⋅ 36−2) −1 ⎡⎛ 3 4 ⎞−3 ⎛ 3 ⎤ ⎢⎜ ⋅ ⎟⎟ : ⎜ ⋅ (−4 )⎞⎟⎟⎥ ⎜⎜ d) ⎢⎜⎜ ⎟ ⎟⎟⎠⎥⎥ ⎝2 ⎢⎣⎝ 4 3 ⎟⎠ ⎦ a) 512 ⋅ 236 : 2−72 = 512 ⋅ 2108 b) −330 ⋅ 515 ⋅ 3−18 ⋅ 5−18 = −312 ⋅ 5−3 c) (3−8)−4 ⋅ (2−7 ⋅ 3−7) = 2−7 ⋅ 3−39 d) [1−3 : (−2 ⋅ 3)]−1 = −2 ⋅ 3
066 ●
Expressa com una potència de base 10 el resultat de les operacions següents: a) 0,000000001 ⋅ 1.000.000 c) 0,00000000001 : 1.000.000.000 b) 0,0000000010 ⋅ 10.000.000 d) 0,000001 : 1.000 a) 10−3
067 ●
Escriu en notació científica. a) Tres bilions i mig. b) Dues-centes mil·lèsimes. a) 3,5 ⋅ 1012
068 ●
069 ●●
b) 2 ⋅ 10−1
c) 10−20
d) 10−9
c) Deu milionèsimes. d) Cent mil milions i mig. c) 1 ⋅ 10−5
d) 1,000005 ⋅ 1011
Escriu amb totes les xifres els nombres en notació científica següents: a) 3,432 ⋅ 104 c) 3,124 ⋅ 10−7 −3 b) 1,3232 ⋅ 10 d) 5,3732 ⋅ 107 a) 34.320
c) 0,0000003124
b) 0,0013232
d) 53.732.000
Sense fer les operacions prèviament, sabries dir quin és l’ordre de magnitud del resultat d’aquestes operacions? a) 6,3 ⋅ 102 + 4,5 ⋅ 102 c) (2,6 ⋅ 103) ⋅ (3,1 ⋅ 104) 4 4 b) 7,7 ⋅ 10 − 7,2 ⋅ 10 d) (5 ⋅ 107) : (2,5 ⋅ 106) a) 3
62
b) 10−2
b) 3
c) 7
d) 1
831106 _ 0044-0073.qxd
11/9/07
12:48
Página 63
SOLUCIONARI
070 ●
Fes les operacions següents i expressa el resultat en notació científica: a) b) c) d) e) f) g) h) i)
113,5 ⋅ 10−6 + 0,0001 ⋅ 104 7.693,57 ⋅ 10−2 + 0,7861 ⋅ 106 3.023.500 ⋅ 10 − 0,0317 ⋅ 1012 4.023 ⋅ 104 − 1.234,57 ⋅ 1011 (20.100 ⋅ 103) : (2,7 ⋅ 105) 0,35 ⋅ (1,24 ⋅ 10−8) (1.435 ⋅ 103) ⋅ (6,7 ⋅ 107) (32,130 ⋅ 10−6) : (3,7 ⋅ 107) (54,3 ⋅ 10−7) : (6,7 ⋅ 105) a) 1,0001135 ⋅ 100
d) −1,2345695977 ⋅ 1014
g) 9,6145 ⋅ 1013
b) 7,861769357 ⋅ 105
e) 7,444444444 ⋅ 101
h) 8,683783784 ⋅ 10−13
c) −3,1669765 ⋅ 1010
f) 4,34 ⋅ 10−9
i) 8,104477612 ⋅ 10−12
071
Calcula l’element que falta en cada cas.
●●
a) b) c) d)
072 ●
2
15 ⋅ 104 + = 13 ⋅ 103 4,6 ⋅ 1011 + = 2,1 ⋅ 104 (32,15 ⋅ 104) ⋅ = 65,53 ⋅ 104 (3,6 ⋅ 102) : = 6,12 ⋅ 1012 a) 1,37 ⋅ 105
c) 2,038258165 ⋅ 100
b) −4,59999979 ⋅ 1011
d) 5,882352941 ⋅ 10−11
Indica el conjunt numèric mínim a què pertany cada nombre o expressió. a) 7,65444… b) −11,2 c) 999
e) π − e f) 1,010222… g) 300,301302…
d) 9,88777…
h)
)
169
i) 99e j) 1 k) 6,585959… l) 1,00111…
a) 7,654 → Decimal periòdic mixt; conjunt Q. b) −11,2 → Decimal exacte; conjunt Q. c) 999 → Natural; conjunt N.
)
d) 9,887 → Decimal periòdic mixt; conjunt Q. e) π − e → Irracional; conjunt I.
)
f) 1,0102 → Decimal periòdic mixt; conjunt Q. g) 300,301302… → Irracional; conjunt I. h)
169 = 13 → Natural; conjunt N.
i)
99 e = 9, 94987… → Irracional; conjunt I.
j) 1 → Natural; conjunt N.
) )
k) 6,5859 → Decimal periòdic mixt; conjunt Q. l) 1,001 → Decimal periòdic mixt; conjunt Q.
63
831106 _ 0044-0073.qxd
11/9/07
12:48
Página 64
Nombres reals 073 ●
Ordena aquests nombres de més gran a més petit. 7 ; −1, 7333…; − 1, 73206 5 10 ; 1,111…; 1, 08999… b) 1; 1, 00111…; 9 a) − 3 ; −
7 = −1,4 5 ) −1,73 < −1,73206 < −1,7320508… < −1,4 ) 7 −1,73 < −1,73206 < − 3 < − 5 10 10 = 11 , → 1 < 1,001 < 1, 089 < 11 , = b) 9 9
a) − 3 = −1,7320508…; −
074 ●
075
Esbrina quins dels nombres següents són racionals i quins són irracionals. a) 0,444444… c) 0,151155111555… b) 0,323232… d) 0,234432234432… Quan sigui possible, determina l’expressió fraccionària del nombre. a) Racional,
4 . 9
c) Irracional.
b) Racional,
32 . 99
d) Racional,
234.432 2.368 = . 999.999 10.101
FES-HO AIXÍ C OM REPRESENTEM ARRELS EL RADICAND DE LES QUALS NO ÉS LA SUMA DE QUADRATS PERFECTES? Amb el regle i el compàs, dibuixa el nombre
3 a la recta real.
En descomponem el radicand en suma de quadrats fins que tots siguin quadrats perfectes.
PRIMER.
3 = 12 + ( 2 ) = 12 + ( 12 + 12 ) 2
2
SEGON. En ordre invers. dibuixem triangles rectangles que expressin les relacions calculades.
La primera relació és 12 + 12 =
( 2 )2 .
Construïm triangles rectangles, cadascun sobre la hipotenusa anterior. Després, amb centre 0 i com a radi la hipotenusa, tracem un arc que talli la recta en el punt P', que té com a abcissa l’arrel que busquem. Fem un altre triangle que expressi la relació ( 2 )2 + 12 = ( 3 )2 .
1 0
1
P
TERCER.
64
1 2
3 1 0
1
3
P'
831106 _ 0044-0073.qxd
11/9/07
12:48
Página 65
2
SOLUCIONARI
076
Representa, amb els procediments anteriors, els nombres reals següents:
●●
a)
6
8
b)
a), b) i c)
7
c)
8
( 5 ) = 22 + 12 2 2 ( 6) = ( 5) +1 2 2 ( 7) = ( 6) +1
7
2
6 5
6
( 8) = ( 7) +1
F
2
F
1
F
1 0
11
d)
2
3
2
8 7
11
d)
( 10 ) = 32 + 12 2 2 ( 11 ) = ( 10 ) + 12 2
10
0
077 ●
1
2
3
11 F
1
4
Representa aquests nombres reals amb regla i compàs. a)
26
b)
40
161
c)
a) 26 = 52 + 12
26
26
1
2
3
b) 40 = 62 + 22
4
F
1 0
187
d)
5
6
40
40
2 F
0
c) 161 = 122 + 17 17 = 4 + 1 2
2
1
2
3
4
5
6
7
1 161
4
161 F
12
d) 187 = 132 + 18 118 = 42 + 2
13
187
112 = 12 + 12 4
187 F
13
14
65
831106 _ 0044-0073.qxd
11/9/07
12:48
Página 66
Nombres reals 078
Explica de manera raonada la forma de representar els nombres reals següents:
●●
a)
2 2
c)
3 2
b)
3 2
d)
2 +
3
a) Representem 2 a partir de la diagonal d’un quadrat 1 × 1, tracem la mediatriu i tenim el punt mitjà del segment:
2 . 2
b) Tracem dues rectes que es tallin a 0. Representem 2 i 3 sobre una de les rectes, i 1 sobre l’altra. Tracem la recta que uneix 2 i 1, i després tracem la paral·lela que passa per
3 . El punt de tall
3 . 2
sobre la segona recta és
c) Representem 2 a partir de la diagonal d’un quadrat 1 × 1. Representem
3 a partir de la diagonal d’un quadrat 1 × 2 ,
tracem la mediatriu i tenim el punt mitjà del segment:
3 . 2
d) Representem 2 a partir de la diagonal d’un quadrat 1 × 1. Representem
3 a partir de la diagonal d’un quadrat 1 × 2
i traslladem la longitud de 2 a continuació de
079 ●●
3.
Quin és el nombre representat pel punt P en cada cas? a) 2
P 0
4
b)
3
P 0
66
4
a)
16 + 4 =
b)
16 + 9 = 5 . Per tant, P representa el número 5.
20 . Per tant, P representa el número 20 .
831106 _ 0044-0073.qxd
11/9/07
12:48
Página 67
SOLUCIONARI
080
El nombre 1 +
●●
a) És racional o irracional? b) Representa’l de manera exacta sobre la recta real.
2
2:
a) Irracional.
0
1
2
F
b)
1+
3
4
2
081
Representa de manera aproximada aquests nombres sobre la recta real.
●●
a) 0,9
)
c) − 15
b) 1,202202220… F
a) 0
)
1
0,9 F
b)
c) −4
F
1 1,202202220…
2
−3
− 15
082 ●●
Escriu tres nombres irracionals. Fes servir els dígits 0 i 1 a la part decimal i raona el procés de construcció de cada nombre. Comencem la part decimal per 1 i entre dos dígits 1 consecutius afegim un 0 més que entre els anteriors: 1,1101001000100001… Comencem per un 1 i un 0, a continuació dos 1 i dos 0: 1,10110011100011110000… En les posicions corresponents a nombres primers posem 1, i a la resta 0: 1,01101010001010001000001…
083
Escriu dos nombres reals i dos d’irracionals compresos entre:
●●
a) 7,1 i 7,11 8 i1 9 ) c) 0,63 i 0,636633666333… b)
d) i 10 a) Reals: 7,102 i 7,109. Irracionals: 50,5 i 7,10110111011110...
)
b) Reals: 0,9 i 0,95. Irracionals:
0,9 i 0,919293949596...
c) Reals: 0,634 i 0,635. Irracionals: 0,636465666768... i 0,636261605958... d) Reals: 3,15 i 3,16. Irracionals: 3,15012384… i 3,162122334489…
67
831106 _ 0044-0073.qxd
11/9/07
12:48
Página 68
Nombres reals 084 ●
Arrodoneix i truca els nombres següents a les mil·lèsimes i calcula l’error absolut comès.
) )
19
a) 1,2468
d) 0,67
g)
b) 5,3
e) 3,28
h) 9,12
c) 21,9673
f)
)
17
) )
i) 6,54
a) Arrodoniment: 1,247. Error: 0,0002. Truncament: 1,246. Error: 0,0008.
)
b) Arrodoniment: 5,333. Error: 0,0003. ) Truncament: 5,333. Error: 0,0003. c) Arrodoniment: 21,967. Error: 0,0003. Truncament: 21,967. Error: 0,0003.
)
d) Arrodoniment: 0,677. Error: 0,00032. ) Truncament: 0,0676. Error: 0,00076.
)
e) Arrodoniment: 3,283. Error: 0,00017. ) Truncament: 3,282. Error: 0,00082. f) Arrodoniment: 4,123. Error: 0,000105626... Truncament: 4,123. Error: 0,000105626... g) Arrodoniment: 4,359. Error: 0,000101056... Truncament: 4,358. Error: 0,000898944...
)
h) Arrodoniment: 9,121. Error: 0,00021. ) Truncament: 9,121. Error: 0,00021.
)
i) Arrodoniment: 6,545. Error: 0,00045. ) Truncament: 6,545. Error: 0,00045. 085 ●
Calcula l’error més gran que es pot cometre quan s’aproxima els nombres següents a les dècimes. a) 5,697
)
b) 0,28
c)
21
Quin resultat has obtingut? Depèn del nombre que has aproximat? a) 0,097
b) 0,088888
c) 0,0852575695...
En els tres casos, l’error es comet quan es trunquen els nombres, ja que el seu segon decimal és més gran que 5. 086
Escriu un nombre que:
●●
a) Quan l’arrodoneixis i el trunquis a les dècimes doni el mateix resultat. b) Quan l’arrodoneixis a les centèsimes doni com a resultat 5,87. c) Quan l’arrodoneixis a les centèsimes doni com a resultat 11,56 i l’error absolut comès sigui 0,003. d) Quan el trunquis a les dècimes doni com a resultat 0,7 i l’error absolut comès sigui 0,025. a) 1,23
68
b) 5,8685
c) 11,563
d) 0,675
831106 _ 0044-0073.qxd
11/9/07
12:48
Página 69
2
SOLUCIONARI
087 ●
Representa els intervals següents: a) [−2, 3] b) (−1, 0) a)
c) (−5, 1] d) [6, 9) c)
−2
b)
1
d) −1
088
−5
3
6
0
9
Quins són els intervals representats?
● −5
1
−2
4
Són [−5, 1) i (−2, 4). 089 ●
Representa sobre la recta real aquests intrervals i indica dos nombres que pertanyin als quatre intervals a la vegada. a) [1, 5]
b) (4, 6]
c) (3,5; 9)
a)
d) [0, 6)
c) 1
5
3,5
b)
9
d) 4
6
0
6
Nombres que pertanyen als quatre intervals: 5 i 4,5. 090 ●●
Fixa’t en l’exemple i expressa cada interval fent servir les desigualtats. (2, 5] equival a 2 < x ≤ 5 a) [−1, 2] b) (1, 5)
091 ●
092 ●
c) [0, π] d) (6, 7)
e) (11, 15] f) [0, 11)
a) −1 ≤ x ≤ 2
c) 0 ≤ x ≤ π
e) 11 < x ≤ 15
b) 1 < x < 5
d) 6 < x < 7
f) 0 ≤ x < 11
)
Escriu dos intervals que continguin el nombre −0,8. [−5, 0) i (−0,9; −0,8) Quins d’aquests intervals faries servir per expressar el conjunt dels nombres reals més grans que −3 i més petits o iguals que 5? a) (−3, 5)
b) [−3, 5)
c) (−3, 5]
d) [−3, 5]
L’opció és c): (−3, 5]. 093 ●●
Expressa en forma de potència quants avis, besavis i rebesavis tens. Avis: 22, besavis: 23, rebesavis: 24.
69
831106 _ 0044-0073.qxd
11/9/07
12:48
Página 70
Nombres reals 094 ●●
S’ha organitzat un concurs de tir amb arc. Després de seleccionar-ne els concursants, s’han format cinc equips de cinc membres cadascun. Cada membre de l’equip disposa de cinc fletxes per llançar a la diana. Quantes fletxes fan falta? 53 = 125. Es necessiten 125 fletxes.
095 ●●
La biblioteca de l’aula té tres prestatgeries. Cadascuna té tres prestatges i cada prestatge té tres apartats on hi ha tres llibres. Quants prestatges, apartats i llibres té la biblioteca? Expressa el resultat en forma de potència. Prestatges: 32 = 9
096 ●●●
Apartats: 33 = 27
La paga setmanal d’en Màrius és de 32 €. Els seus pares l’han castigat i la hi redueixen a la meitat cada setmana. a) Expressa aquest procés en forma de potències. b) Quantes setmanes han de passar perquè la paga quedi reduïda a 25 cèntims? a) 25, 24, 23, 22, 2, 1,
097 ●●
Llibres: 34 = 81
1 1 , ,… 2, 22
b) Han de passar 7 setmanes.
Un pis té una superfície de 117,13 m2 i un altre té 73,65 m2. Arrodoneix i trunca la superfície de cada pis a metres quadrats. Indica quina aproximació és més precisa. En el primer, l’arrodoniment és 117 m2, com el truncament. Per tant, l’error és el mateix: 0,13 m2. En el segon, l’arrodoniment és 74 m2, amb un error de 0,35 m2. El truncament és 73 m2, amb un error de 0,65 m2. Per tant, és més precís l’arrodoniment.
098 ●●
La distància a l’estació de tren més pròxima és de 16,74 km. En Lluís diu que són 16 kilòmetres i la Sara, que en són 17. Qui s’hi aproxima de manera més precisa? S’hi aproxima més la Sara, amb un error de 0,26 km, ja que en Lluís comet un error de 0,74 km.
099 ●●
Les notes que han tret els alumnes de 3r d’ESO en la primera avaluació de llengua han estat:
2,5 6,4 8,6 6,1 7,6 9 3,2
4,5 5,2 3,8 6,4 9,7 4,3
5,8 9,7 9,3 6,8 3,7 8,4
2,6 7,2 4,7 9,1 1,6 5
El professor posa la butlleta de la nota que resulta de truncar a l’enter més pròxim. a) Quina nota els correspondrà? b) Quina seria la nota si el professor arrodonís?
a) 2, 6, 8, 6, 7, 9, 3, 4, 5, 3, 6, 9, 4, 5, 9, 9, 6, 3, 8, 2, 7, 4, 9, 1, 5 b) 3, 6, 9, 6, 8, 9, 3, 5, 5, 4, 6, 10, 4, 6, 10, 9, 7, 4, 8, 3, 7, 5, 9, 2, 5
70
831106 _ 0044-0073.qxd
11/9/07
12:48
Página 71
SOLUCIONARI
100 ●●●
2
En una ampolla de 5 litres d’aigua mineral hi figura escrit: «5 litres ± 5 %». a) Què vol dir, aquesta indicació? b) Entre quins valors està compresa la capacitat de l’ampolla? a) Vol dir que el valor màxim que poden cometre quan indiquen que hi ha 5 litres d’aigua és el 5 % per defecte o per excés. b) Entre 4,75 i 5,25 litres.
101 ●●●
Una potència d’exponent enter positiu és sempre més gran que la base? En quins casos? És més gran que la base si aquesta base és més gran que 1.
102 ●●●
Una potència d’exponent enter negatiu és més gran que la base? Hi ha alguns valors de la base per als quals la potència sigui més petita? És més gran que la base si aquesta base és més petita que 1, i és més petita si la base és més gran que 1.
103 ●●●
Continua la sèrie: 22 = 12 + 3
22 = 12 + 3
32 = 22 + 5
32 = 22 + 5
4 =3 +7
42 = 32 + 7
52 = 2 +
52 = 42 + 9
n =…
n 2 = (n − 1)2 + (2n − 1)
2
2
2
104 ●●●
aC, Arquimedes va donar com 22 a aproximació del nombre π la fracció . 7 a) Escriu tres aproximacions per defecte i per excés de π d’aquesta fracció.
En el segle
III
b) Arrodoneix tots dos nombres a les mil·lèsimes i compara’n els resultats. c) I si els arrodoneixes a les centèsimes? a) Per defecte: 3; 3,1; 3,14. Per excés: 4; 3,2; 3,15. b)
22 ≈ 3,143; π ≈ 3,142 . La diferència de l’arrodoniment és 1 mil·lèsima. 7
c)
22 ≈ 3,14; π ≈ 3,14. L’arrodoniment a les centèsimes és el mateix. 7
71
831106 _ 0044-0073.qxd
11/9/07
12:48
Página 72
Nombres reals A LA VIDA QUOTIDIANA 105
Navegant per Internet hem arribat a la pàgina següent:
●●● Formació dels planetes Els planetes es van formar fa uns 4.500 milions d’anys, al mateix
temps que el Sol.
van allunyar més que els pesants. En general, els materials lleugers que no es van quedar al Sol es més denses, projectes de planetes. Al núvol de gas i pols original, que girava en espirals, hi havia zones i el moviment rotatori les va arrodonir. La gravetat i les col·lisions van portar més matèria a aquestes zones
Radi equatorial
Distància al Sol (km)
Mercuri
Planetes
Llunes
Període de Rotació
Òrbita
58,6 dies
87,97 dies
2.440 km
7
5,791 ⋅ 10
0
Venus
6.052 km
1,082 ⋅ 108
0
–243 dies
224,7 dies
Terra
6.378 km
1,496 ⋅ 108
1
23,93 hores
365,256 dies
3.397 km
2,2794 ⋅ 108
2
24,62 hores
686,98 dies
Júpiter
71.492 km
7,7833 ⋅ 108
16
9,84 hores
11,86 anys
Saturn
60.268 km
1,429 ⋅ 109
18*
10,23 hores
29,46 anys
Urà
25.559 km
2,87 ⋅ 109
15
17,9 hores
84,01 anys
Neptú
24.746 km
4,5 ⋅ 109
8
16,11 hores
164,8 anys
Mart
*Alguns astrònoms atribueixen 23 satèl·lits al planeta Saturn.
Exploració
Lab
Diversión
Noticias
Asteriodes Estacions espacials Vida a l’espai Exploració Estem sols?
Navegació espacial Fins ara, gairebé totes les missions espacials han fet servir motors coets amb combustib les i comburents químics. Per desgràcia, aquests motors no són gaire eficaços; per exemple, més de la meitat del pes de la sonda espacial Rosetta de l’ESA en el moment del llançament era combustib le.
Exploració ExpoMars Futures exploracions a Mart Nous mitjans de transport
L’ESA estudia actualment maneres de reduir la quantitat de combustible que transporte n les naus. Una de les idees consisteix en un motor d’ions que faci servir una pistola elèctrica per disparar gas cap a l’espai. Tot i que la força d’empenta del motor coet elèctric d’ions és molt petita, en va augmentant la velocitat gradualment, fins que, quan arriba el moment, permet que la nau espacial es desplaci amb molta rapidesa. La sonda SMART 1 ha provat amb èxit un motor d’ions en el seu viatge de la Terra a la Lluna. Per cada quilogram de combustible consumit, aquest motor produeix un augment de la velocitat de la nau deu vegades més gran que si fos un motor coet ordinari. L’ESA també estudia fer servir naus espacials que utilitzin espelmes solars en lloc de motors coets. La llum solar bufa sobre una espelma molt gran que pot propulsar una nau espacial cap a altres planetes. Després de molts mesos de viatge amb el vent del Sol, una nau d’aquest tipus podria arribar a una velocitat de 360.000 km/h.
a) Quina distància hi ha entre Mercuri i Saturn? b) Quina distància és més gran, la de la Terra a Urà o la de Mart a Neptú? c) Amb una nau com la que es descriu a la segona pàgina, quant es tardaria a arribar a Neptú? Podríem visitar Neptú i tornar a la Terra? a) La distància de Mercuri a Saturn: 1,429 ⋅ 109 − 5,791 ⋅ 107 = 1,429 ⋅ 109 − 0,05791 ⋅ 109 = = 1,37109 ⋅ 109 km b) La distància de la Terra a Urà: 2,87 ⋅ 109 − 1,496 ⋅ 108 = 2,87 ⋅ 109 − 0,1496 ⋅ 109 = 2,7204 ⋅ 109 km La distància de Mart a Neptú: 4,5 ⋅ 109 − 2,2794 ⋅ 108 = 4,5 ⋅ 109 − 0,22794 ⋅ 109 = 4,27206 ⋅ 109 km Hi ha més distància de Mart a Neptú que de la Terra a Urà.
72
831106 _ 0044-0073.qxd
11/9/07
12:48
Página 73
SOLUCIONARI
2
c) La distància de la Terra a Neptú: 4,5 ⋅ 109 − 1,496 ⋅ 108 = 4,5 ⋅ 109 − 0,1496 ⋅ 109 = 4,3504 ⋅ 109 km La velocitat és de 360.000 km/h = 3,6 ⋅ 105 km/h. De la Terra a Neptú es triga: (4,3504 ⋅ 109) : (3,6 ⋅ 105) = 1,2084 ⋅ 104 = 12.084 horas = 503,5 dies A anar i tornar es trigarà el doble, és a dir, 1,006 dies, que equivalen aproximadament a 2 anys i 9 mesos. Per tant, sí que podríem anar i tornar de Neptú. Has de tenir en compte que estem suposant que des del primer moment assolim la velocitat màxima de 360.000 km/h. En Sergi acaba d’arribar a Londres. Abans de fer el viatge va canviar al banc 200 lliures i li van donar aquest rebut.
BANC
COMPRA DE BITLLETS ESTRANGERS I/O XECS DE VIATGE EN DIVISA I/O PAGAMENT DE XEC DE COMPTE EN DIVISA
ENTITAT-OFICINA-COMPTE
2038 - 5538948273647783 EUR
Sr. SERGI AVELLANEDA GIL Domicili AVINGUDA DE LA LLUM, S/N Població BARCELONA C.P. 08013 D.N.I./C.I. 978687623 Concepte:
REF.
6036786
OPERACIÓ INVISIBLE
DOCUMENT
DIVISA
IMPORT
CANVI
CONTRAVALOR
BITLLETS
GBP
200,0
0,649900
307,74 EUR
307,74 EUR
DATA OPERACIÓ:
31/07/2007
DATA VALOR:
Signatura de l’interessat
31/07/2007
TOTAL
307,74 EUR
CO
Signatura i segell
Un euro val 0,649900 lliures, per tant, les 200 lliures que va canviar li van costar €. En Sergi es vol comprar uns pantalons que costen 48,5 lliures i ha de calcular-ne el cost en euros per fer-se una idea del seu valor. a) Creus que és correcta l’estimació que ha fet? Quin error comet? b) Si les cinc nits d’hotel li costen 467 lliures, quin serà el valor en euros que calcularà en Sergi segons les seves estimacions? I quin serà el valor real?
BAN
BANC
BAN
Comisiones i gastos
CO
106 ●●●
Costa uns… 60 €
a) 48,5 : 0,649900 = 74,63 €. Per tant, la seva estimació és errònia i en Sergi comet un error absolut de 14,63 €, i un error relatiu de 0,196 €. b) El valor real és de 718,57 €, i l’error que cometrà és de: 718,57 ⋅ 0,196 = = 140,84 €. Per tant, estimarà: 718,57 − 140,84 = 577,73 €.
73
831106 _ 0074-0099.qxd
3
11/9/07
12:44
Página 74
Polinomis MONOMIS
OPERACIONS
POLINOMIS
VALOR NUMÈRIC D’UN POLINOMI
OPERACIONS AMB POLINOMIS
SUMA
RESTA
MULTIPLICACIÓ
DIVISIÓ
IGUALTATS NOTABLES
QUADRAT D’UNA SUMA
74
QUADRAT D’UNA DIFERÈNCIA
PRODUCTE DE SUMA PER DIFERÈNCIA
831106 _ 0074-0099.qxd
11/9/07
12:44
Página 75
El servidor del califa Muhammad recorria, tot nerviós, les sales de la Casa de la Saviesa. Hi buscava el savi Al-Khwarizmi, que li havia ensenyat un mètode per comptar i operar amb quantitats desconegudes que el jove feia servir en la seva feina com a funcionari d’abastiment del palau del califa. Per fi, assegut al costat d’una font, va trobar el seu mestre. –Mestre, podem repassar els càlculs d’ahir? –M’alegro que tinguis aquest afany de coneixement. –Al-Khwarizmi estava estranyat que Muhammad dediqués tant temps lliure a aprendre. –La riquesa dels pobres és la bondat i el coneixement i, com tots els homes, vull ser ric. A més, aquesta riquesa no te la pot robar cap lladre –va contestar Muhammad amb un somriure. –Molt bé, molt bé! –va dir i, mig sorprès mig divertit, el savi li va proposar uns exercicis aritmètics mentre ell estudiava el llenguatge algebraic i les equacions. A la taula s’hi podia llegir: «Un quadrat i deu arrels són iguals a trenta-nou unitats...», que en llenguatge algebraic modern és: x 2 + 10x = 39. Com escriuries en llenguatge algebraic: «El cub d’un nombre menys tres vegades el seu quadrat menys cinc unitats»?
Cub d’un nombre = x3 Tres vegades el seu quadrat = 3 x2 Cinc unitats = 5 x3 – 3 x2 – 5
831106 _ 0074-0099.qxd
11/9/07
12:44
Página 76
Polinomis EXERCICIS 001
Indica el coeficient, la part literal i el grau d’aquests monomis. −2 5 a) −3x 3y 2z 4 b) −5b 2c 3 c) x 15y d) xy 3 a) Coeficient: −3
Part literal: b c
Grau: 2 + 3 = 5
c) Coeficient: 1
Part literal: x 15y
Grau: 15 + 1 = 16
Part literal: xy 5
Grau: 1 + 5 = 6
2 3
2 3
Determina si els monomis són semblants o no. 1 2 3 5 a) c) xy 3 i −xy 3 x y z i −5z 5x 2y 3 2 d) 7x i −x
b) 6x 3y 4 i 6x 4y 3
003
a) Són semblants.
c) Són semblants.
b) No són semblants.
d) Són semblants.
Escriu l’oposat d’aquests monomis. a)
1 3 2 xy z 2 a) −
004
Grau: 3 + 2 + 4 = 9
b) Coeficient: −5
d) Coeficient: − 002
Part literal: x 3y 2z 4
b) −4a 2b 3
1 3 2 xy z 2
c) −5x 9
b) 4a 2b 3
d) 9x 11
c) 5x 9
Escriu, si es pot, un monomi: a) b) c) d)
De De De De
coeficient 2 i part literal xy 6. coeficient −3 i semblant a −2x 3. grau 7 i semblant a −4x 2y. part literal x 3y 4 i oposat a −4x 3y.
a) 2xy 6 b) −3x 3 c) No és possible. No pot ser de grau 7 i 3 a la vegada. d) No és possible. No pot ser de grau 7 i 4 a la vegada. 005
Fes les operacions. a) 6x 2 + 2x 2 − x 2 + 3x 2 − x 2 b) 3x 2y 2 − 2x 2y 2 + 6x 2y 2 − x 2y 2 c) (−5ab) ⋅ (6abc) a) 9x 2
d) 32x 3y 3 e) −5y
2 2
b) 6x y
c) −30a b c 2
76
d) (−8x 2y) ⋅ (−4xy 2) e) (15xy) : (−3x) f) (2xyz) : (−2xy)
2
f) −z
d) −9x 11
831106 _ 0074-0099.qxd
11/9/07
12:44
Página 77
SOLUCIONARI
006
3
Simplifica les expressions següents: a) −2x 3 − x 2 + 5x 2 − 6x + x − 2x 2 − 6x b) 5x − (x 2 + 3x 3) + 3x 2 − x 3 + 2x c) 11x 7y 3 + 4xy 5 − 9x 7y 3 + xy 5 − x 2 a) −2x 3 + (−1 + 5 − 2)x 2 + (−6 + 1 − 6)x = −2x 3 + 2x 2 − 11x b) (−3 − 1)x 3 + (−1 + 3)x 2 + (5 + 2)x = −4x 3 + 2x 2 + 7x c) (11 − 9)x 7y 3 + (4 + 1)xy 5 − x 2 = 2x 7y 3 + 5xy 5 − x 2
007
Calcula: −x 2y − (−3x 2 ⋅ 7y) + (16x 2y 3z : 4y 2z). −x 2y + 21x 2y + 4x 2y = 24x 2y
008
Determina el grau, les variables i el terme independent d’aquests polinomis. a) b) c) d)
P (x, y) = −2x 5 − x 2y 2 + 5x 3 − 1 + 3x 3 + 3 Q (x, y) = x 2 + 4x 3 − x − 9 + 4x 4y 3 R (x, y) = x 9 − x 7y 3 + y 13 − 4 S (x, y, z) = 7x 2yz − 3xy 2z + 8xyz 2 a) Grau: 5. Variables: x, y. Terme independent: 3 − 1 = 2. b) Grau: 3 + 4 = 7. Variables: x, y. Terme independent:−9. c) Grau: 13. Variables: x, y. Terme independent: −4. d) Grau: 2 + 1 + 1 = 4. Variables: x, y, z. Terme independent: 0.
009
Redueix aquest polinomi i calcula’n l’oposat.
R (x) = x 5 + 1 − 3 + 4x 5 − 3x − 2x R(x) = 5x 5 − 5x − 2. El seu oposat és: −R(x) = −5x 5 + 5x + 2.
010
Escriu un polinomi de dues variables, de grau 7, que tinguin un terme de grau 3, que sigui reduït i no tingui terme independent. Per exemple: 5x 5y 2 − 3xy 2.
011
Calcula el valor numeric del polinomi en cada cas. a) P (x) = 3x 6 + 2x 5 − 3x 4 − x 2 + 7x − 2, per a x = 0. b) P (x, y) = −x 4y − x 2y + 7xy − 2, per a x = 1, y = 2. a) P (0) = 3 ⋅ 0 + 2 ⋅ 0 − 3 ⋅ 0 − 0 + 7 ⋅ 0 − 2 = −2 b) P (1, 2) = −1 ⋅ 2 − 1 ⋅ 2 + 7 ⋅ 1 ⋅ 2 − 2 = 8
77
831106 _ 0074-0099.qxd
11/9/07
12:44
Página 78
Polinomis 012
Donats els polinomis:
P (x, y) = 3x 2y + xy − 7x + y − 2 Q (x, y) = −xy 2 + 4y 2 − 3x calcula els valors numèrics: P (0, 0) P (1, 1) Q (0, −1) Q (0, 2) P (0, 0) = 3 ⋅ 0 ⋅ 0 + 0 ⋅ 0 − 7 ⋅ 0 + 0 − 2 = −2 P (1, 1) = 3 ⋅ 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 − 7 ⋅ 1 + 1 − 2 = −4 Q (0, −1) = −0 ⋅ (−1)2 + 4 ⋅ (−1)2 − 3 ⋅ 0 = 4 Q (0, 2) = −0 ⋅ 22 + 4 ⋅ 22 − 3 ⋅ 0 = 16 013
Redueix els polinomis següents i calcula’n el valor numèric per a x = 2. a) P (x) = 4 − 3x 2 + x − x 2 + 1 b) Q (x) = x 4 − 4 − 3x2 + x − x 2 + 1 − 3x 4 − 3x a) P (x) = −4x 2 + x + 5
x=2
⎯⎯→ P (2) = −4 ⋅ 22 + 2 + 5 = −9 x=2
b) P (x) = −2x 4 − 4x 2 − 2x − 3 ⎯⎯→ P (2) = −2 ⋅ 24 − 4 ⋅ 22 − 2 ⋅ 2 − 3 = −55 014
Un nombre és arrel d’un polinomi quan el valor numèric del polinomi per a aquest nombre és zero. Determina si els nombres −4 i 4 són arrels d’aquest polinomi. P (x) = x 2 − 5x + 4 Sabries trobar una altra arrel del polinomi?
P (−4) = (−4)2 − 5 ⋅ (−4) + 4 = 40 → −4 no és arrel d’aquest polinomi. P (4) = 42 − 5 ⋅ 4 + 4 = 0 → 4 és arrel d’aquest polinomi. Aquest polinomi té una altra arrel: x = 1. 015
Fes la suma, la resta i el producte de cada parell de polinomis. a) R (x) = x 4 − x + 1; S (x) = x 2 + 1 b) R (x) = x + 1; S (x) = x 2 + x − 1 c) R (x) = 5x7 − x 8 + 1; S (x) = x 2 + x 6 − 1 d) R (x) = x 5 − x 4 + x 3 + 2x + 1; S (x) = x 3 + 2x e) R (x) = 7x 3 + 2x 2 + x − 3; S (x) = x 4 + x 2 − 8 f) R (x) = x7 + 3; S (x) = x 3 + x 2 + 4x + 2 a) R(x) + S (x) = (x 4 − x + 1) + (x 2 + 1) = x 4 + x 2 − x + 2 R(x) − S (x) = (x 4 − x + 1) − (x 2 + 1) = x 4 − x 2 − x R(x) ⋅ S (x) = (x 4 − x + 1) ⋅ (x 2 + 1) = x 6 + x 4 − x 3 + x 2 − x + 1 b) R(x) + S (x) = (x + 1) + (x 2 + x − 1) = x 2 + 2x R(x) − S (x) = (x + 1) − (x 2 + x − 1) = −x 2 + 2 R(x) ⋅ S (x) = (x + 1) ⋅ (x 2 + x − 1) = x 3 + 2x 2 − 1 c) R(x) + S (x) = (5x 7 − x 8 + 1) + (x 2 + x 6 − 1) = −x 8 + 5x 7 + x 6 + x 2 R(x) − S (x) = (5x 7 − x 8 + 1) − (x 2 + x 6 − 1)= −x 8 + 5x 7 − x 6 − x 2 + 2 R(x) ⋅ S (x) = (5x 7 − x 8 + 1) ⋅ (x 2 + x 6 − 1) = = −x 14 + 5x 13 − x 10 + 5x 9 − 5x7 + x 8 + x 6 + x 2 − 1
78
831106 _ 0074-0099.qxd
11/9/07
12:44
Página 79
SOLUCIONARI
3
d) R(x) + S (x) = (x 5 − x 4 + x 3 + 2x + 1) + (x 3 + 2x) = = x 5 − x 4 + 2x 3 + 4x + 1 R(x) − S (x) = (x 5 − x 4 + x 3 + 2x + 1) − (x 3 + 2x) = x 5 − x 4 + 1 R(x) ⋅ S (x) = (x 5 − x 4 + x 3 + 2x + 1) ⋅ (x 3 + 2x) = = x 8 − x 7 + 3x 6 − 2x 5 + 4x 4 + x 3 + 2x 2 − 2x e) R(x) + S (x) = (7x 3 + 2x 2 + x − 3) + (x 4 + x 2 − 8) = = x 4 + 7x 3 + 3x 2 + x − 11 R(x) − S (x) = (7x 3 + 2x 2 + x − 3) − (x 4 + x 2 − 8) = = −x 4 + 7x 3 + x 2 + x + 5 R(x) ⋅ S (x) = (7x 3 + 2x 2 + x − 3) ⋅ (x 4 + x 2 − 8) = = 7x 7 + 7x 6 + 8x 5 − x 4 − 55x 3 − 11x 2 + 24 f) R(x) + S (x) = (x 7 + 3) + (x 3 + x 2 + 4x + 2) = x 7 + x 3 + x 2 + 4x + 5 R(x) − S (x) = (x 7 + 3) − (x 3 + x 2 + 4x + 2) = x 7 − x 3 − x 2 − 4x + 1 R(x) ⋅ S (x) = (x 7 + 3) ⋅ (x 3 + x 2 + 4x + 2) = = x 10 + x 9 + 4x 8 + 2x 7 + 4x 4 + 3x 3 + 3x 2 + 12x + 6 016
Calcula −A(x) + B(x) y −A(x) − B(x) amb els polinomis: A(x) = 3x 4 − 5x 3 + x 2 − 7 B(x) = −3x 4 + x 3 − 2x + 1 −A(x) + B (x) = −(3x 4 − 5x 3 + x 2 − 7) + (−3x 4 + x 3 − 2x + 1) = = −6x 4 + 6x 3 − x 2 − 2x + 8 −A(x) − B (x) = −(3x 4 − 5x 3 + x 2 − 7) − (−3x 4 + x 3 − 2x + 1) = = 4x 3 − x 2 + 2x + 6
017
Calcula el producte dels dos polinomis de l’exercici anterior. Fes servir la propietat distributiva.
A(x) ⋅ B (x) = (3x 4 − 5x 3 + x 2 − 7) ⋅ (−3x 4 + x 3 − 2x + 1) = = 3x 4 ⋅ (−3x 4 + x 3 − 2x + 1) − 5x 3 ⋅ (−3x 4 + x 3 − 2x + 1) + + x 2 ⋅ (−3x 4 + x 3 − 2x + 1) − 7 ⋅ (−3x 4 + x 3 − 2x + 1) = = (−9x 8 + 3x 7 − 6x 5 + 3x 4) + (15x 7 − 5x 6 + 10x 4 − 5x 3) + + (−3x 6 + x 5 − 2x 3 + x 2) + (21x 4 − 7x 3 + 14x − 7) = = −9x 8 + 18x 7 − 8x 6 − 5x 5 + 34x 4 − 14x 3 + x 2 + 14x − 7 018
Calcula: a) b) c) d) e) f) g) h) i)
(x 3 − 3x 2 + 2x) : x (2x 3 − 3x 2 − 5x − 5) : (x − 2) (2x 3 − 3x 2 + 4x − 3) : (x 2 + x − 1) (x 4 + x 3 − x 2 + x + 1) : (x 3 − 5) (−6x 5 + x 3 + 2x + 2) : (4x 3 + 2x + 3) (x 8 − 1) : (x 5 + x 3 + x + 2) (x − 1) : x (x 2 − 1) : (x + 1) (x 2 − 5x + 6) : (x − 2)
79
831106 _ 0074-0099.qxd
11/9/07
12:44
Página 80
Polinomis a) x 2 − 3x + 2 b)
2x 3 − 3x 2 − 5x − 5 − 2x 3 + 4x 2 x 2 − 5x − 5 − x 2 + 2x − 3x − 5 3x − 6 −11
x−2 2x 2 + x − 3
c)
2x 3 − 3x 2 + 4x − 3 − 2x 3 − 2x 2 + 2x −5x 2 + 6x − 3 + 5x 2 + 5x − 5 11x − 8
x2 + x − 1 2x − 5
d)
x 4 + x 3 − x 2 + 5x + 1 − x 4 + x 3 − x 2 + 5x x 3 − x 2 + 6x + 1 − x 3 − x 2 + 6x + 5 −x 2 + 6x + 6
e) −6x 5 + x 3 +
x3 − 5 x+1
+ 2x + 2
9 2 x 2 9 4x 3 + x 2 + 2x + 2 2 − 4x 3 + − 2x − 3
−6x 5 + 3x 3 +
9 2 x 2
80
x 8 − x 6 − x 4 + 2x 3 + x 2 + 2x − x 8 − x 6 − x 4 − 2x 3 + x 2 + 2x − x 6 − x 4 − 2x 3 + x 2 + 2x x 6 + x 4 + 2x 3 + x 2 + 2x − x 6 − x 4 − 2x 3 + x 2 + 2x
g)
x−1 −x x−1
h)
x2 − x − 1 − x2 − x − x2 − x − 1 − x2 − x + 1 − x2 − x − 0
x+1 x−1
−
3 2 x +1 2
−1
f)
x 1
4x 3 + 2x + 3
−1 −1 −1 −1 −1
x5 + x3 + x − 2 x3 − x
831106 _ 0074-0099.qxd
11/9/07
12:44
Página 81
SOLUCIONARI
i)
019
x 2 − 5x + 6 − x 2 + 2x − x 2 − 3x + 6 − x 2 − 3x − 6 −0
3
x−2 x−3
Fes les divisions següents i comprova si estan ben fetes. a) (x 3 − 4x 2 + 5x − 2) : (x 2 − 2) b) (x 4 + x 2 + 3) : (x 3 + 3x 2 + 2x + 6) a)
x 3 − 4x 2 + 5x − 12 − x 3 − 4x 2 + 2x − 4x 2 + 7x − 12 − 4x 2 + 7x − 18 7x − 10
x2 − 2 x−4
(x 2 − 2) ⋅ (x − 4) + (7x − 10) = (x 3 − 4x 2 − 2x + 8) + (7x − 10) = = x 3 − 4x 2 + 5x − 2 b)
x 4 − 3x 3 + 2x 2 − 6x + 13 − x 4 − 3x 3 − 2x 2 − 6x − 3x 3 − 2x 2 − 6x + 13 − 3x 3 + 9x 2 + 6x + 18 8x 2 + 6x + 21
x 3 + 3x 2 + 2x + 6 x−3
(x 3 + 3x 2 + 2x + 6) ⋅ (x − 3) + (8x 2 + 21) = (x 4 − 7x 2 − 18) + (8x 2 + 21) = = x 4 + x 2 +3 020
Calcula el residu d’aquesta divisió de polinomis. Dividend → P (x) Divisor ⎯→ Q (x) Quocient → C (x)
= x 5 + x 3 − x 2 + 5x − 3 = x3 + x − 1 = x2
R (x) = P (x) − Q (x) ⋅ C (x) = (x 5 + x 3 − x 2 + 5x − 3) − (x 3 + x − 1) ⋅ x 2 = = (x 5 + x 3 − x 2 + 5x − 3) − (x 5 + x 3 − x 2) = = 5x −3 021
Extreu factor comú en els polinomis següents: a) 8x 2 − 4x b) 18x 3y 2 − 12x 2y 3 c) 30a 2b − 15ab 2 + 5a 2b 2
d) −12ab3 + 4b 2 − 6b4 e) 34a4 − 14a3b + 28ab3 f) 20a 4b 2c + 36a 2b − 18a 3b 2
a) 4x ⋅ (2x − 1)
d) 2b 2 ⋅ (−6ab + 2 − 3b 2)
b) 6x y ⋅ (3x − 2y)
e) 2a ⋅ (17a 3 − 7a 2b + 14b 3)
c) 5ab ⋅ (6a − 3b + ab)
f) 2a 2b ⋅ (10a 2bc + 18 − 9ab)
2 2
81
831106 _ 0074-0099.qxd
11/9/07
12:44
Página 82
Polinomis 022
Extreu factor comú en aquests polinomis: a)
x2 x − 2 2
b) x ⋅ (xy 2 − y) + y 2 ⋅ (4xy − 3y)
c)
x 2 − 2x x2 − x − 7 5
x ⋅ (x − 1) 2 b) y [x ⋅ (xy − 1) + y 2(4x − 3)] ⎛x −2 x − 1 ⎞⎟ ⎟⎟ − c) x ⎜⎜⎜ ⎝ 7 5 ⎟⎠ a)
023
Calcula a perquè el factor comú de ax 3y + 4x 4y 2 − 6x ay 3 sigui 2x 2y. Observem el tercer terme. Si a > 2 el factor comú dels tres termes tindria x elevat a 3, i això no és possible; i si a < 2, el factor comú dels tres termes tindria x elevat a un nombre més petit que 2. Per tant, l’única solució és a = 2.
024
Desenvolupa els quadrats següents: a) b) c) d)
(x + 7)2 (2a + 1)2 (6 + x)2 (3a 2 + 2b)2
e) f) g) h)
a) x 2 + 14x + 49
e) x 2 − 8x + 16
b) 4a2 + 4a + 1
f) 9a 2 − 6ab + b 2
c) 36 + 12x + x
g) 25 − 10x + x 2
2
d) 9a 4 + 12a 2b + 4b 2 025
b) (x 2 + x 3)2
a) 9x − 6x a + a 6
3 2
4
b) x 4 + 2x 5 + x 6
a) (x + 3)2
d) (6ab 2 − 2y)2
c) 4x + 4x + x 6 2
4
d) 36a 2b 4 − 24ab 2y − 4y 2
c) x 2 + 4xy + 4y 2 d) x 4 + 2x 2 + 1 c) (x + 2y)2
b) (2x − 3y)
2
d) (x 2 + 1)2
Calcula els productes següents: a) (x + 7) ⋅ (x − 7) a) x − 49 2
82
c) (2x + x 3)2
Expressa com el quadrat d’una suma o una diferència, en funció del que convingui. a) x 2 + 6x + 9 b) 4x 2 − 12xy + 9y 2
027
h) 4b 4 − 20b 5 + 25b 6
Desenvolupa: a) (3x 3 − a 2)2
026
(x − 4)2 (3a − b)2 (5 − x)2 (2b 2 − 5b 3)2
b) (7x + 4y) ⋅ (7x − 4y) b) 49x 2 − 16y 2
831106 _ 0074-0099.qxd
11/9/07
12:44
Página 83
SOLUCIONARI
028
Estudia si aquestes expressions les podem expressar com una suma per diferència. a) x 2 − 1
b) x 4 − 9
a) (x + 1) ⋅ (x − 1) 029
c) 16 − x 2 b) (x 2 + 3) ⋅ (x 2 − 3)
c) (4 − x) ⋅ (4 + x)
Expressa en forma de producte. a) 4x 2 − 4x + 1 b) 9a 2 − 30ab + 25b 2
c) 100x 2 − 4z 6
a) (2x − 1)2 030
3
b) (3a − 5b)2
c) (10x + 2z 3) ⋅ (10x − 2z 3)
Fixa’t en l’exemple i calcula mentalment. 1.0002 − 9992 = (1.000 + 999) ⋅ (1.000 − 999) = 1.999 ⋅ 1 = 1.999 a) 462 − 452
b) 1202 − 1192
a) 91 031
x3 xy a)
b)
5x 3 y 2 3xy
x2 y
Simplifica: a) a)
033
b) 239
c) 999
Simplifica les fraccions algebraiques. a)
032
c) 5002 − 4992
b)
c)
6x 2 y 3x 2 y 2
5x 2 y 3
x 2 − 4x + 4 x −2
c)
b)
4x 2y 4 xy
2 y
d) x
x2 − 9 2x − 6
(x − 2)2 = x −2 x −2
Calcula a perquè
d)
b)
(x + 3) ⋅ (x − 3) x +3 = 2(x − 3) 2
4 x 2 + 4ax + a 2 = 2x + 3. 2x + 3
4x 2 + 4ax + a 2 = (2x + 3)2 = 4x 2 + 12x + 9 → a = 3
ACTIVITATS 034 ●
Indica si les expressions següents són monomis: a) 2x 2 + yz b)
2x 2 y −4 11
c) 5x 5y 2 d)
xyz
3 1 x + y 2 3 f) 3ab + 2a 2 e)
a) No monomi.
c) Monomi.
e) No monomi.
b) Monomi.
d) Monomi.
f) No monomi.
83
831106 _ 0074-0099.qxd
11/9/07
12:44
Página 84
Polinomis 035 ●
Digues si els monomis són semblants. a) xz, 3xy, −6xy b) ab, a 2b, 7b
c) 4c 9d, c 7d, cd 4 d) 8xy 2, 7xy
A a) són semblants: 3xy, −6xy; xz no és semblant als anteriors. No hi ha cap monomi semblant als apartats b), c) i d).
036 ●
Fes aquestes sumes de monomis: a) xz + 3xz + 6xz b) a 2b + 9a 2b + 27a 2b b) 37a 2b
a) 10xz
037 ●
038 ●
c) 11c 9
d) 81xy
Fes les restes de monomis següents: a) 3xz − 6xz b) 9a 2b − 2a 2b
c) 18xy − 7xy − 3xy − 3xy d) 5x 9 − x 9 − x 9 − x 9
a) −3xz
c) 5xy
b) 7a 2b
d) 2x 9
Fes les operacions i indica el grau del monomi resultant. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l)
2x 2 + 3x 2 − 7x 2 + 8x 2 − x 2 5xy 3 − 2xy 3 + 7xy 3 − 3xy 3 + 12xy 3 3abc − 2abc + 6abc + 9abc − 4abc 5xz − 3xz + 15xz − 11xz + 8xz − 3xz (2xyz) ⋅ (2x 2yz 3) (−2abc) ⋅ (3a 2b 2c 2) ⋅ (−bc) 7x ⋅ (2xy) ⋅ (−3xy 5) ⋅ (xy) (6ac3) ⋅ (−2a 2c3) ⋅ (−3ac) ⋅ (−4a 3c2) (21x 2y 3) : (7xy 2) (9abc) : (3bc) (16x 4y 5a 3b 6) : (8x 2y 3a 2b 5) (5m 3n 2g 4) : (2mng) a) 5x 2
Grau 2.
g) −42x 4y 7
Grau 11.
Grau 4.
h) −144a c
Grau16.
c) 12abc
Grau 3.
i) 3xy
Grau 2.
d) 11xz
Grau 2.
j) 3a
Grau 1.
e) 4x 3y 2z 4
Grau 9.
k) 2x 2y 2ab 5 2 3 m ng l) 2
Grau 6.
b) 25xy
3
f) 6a 3b 4c 4 Grau 11.
84
c) 9c 9 + c 9 + c 9 d) 8xy + 7xy + 43xy + 23xy
7 9
Grau 6.
831106 _ 0074-0099.qxd
11/9/07
12:44
Página 85
SOLUCIONARI
039 ●
Fes les operacions següents: a) −xz + 6xz + xyz − 8xz b) 9a 2b − 2a 2b + 8a 2b − a 2b a) −3xz + xyz
040 ●
●
c) 9c 9 − c 9 − c 9 + 10c 9 d) 8xy + 7xy − xy + 3xy − xy
b) 14a 2b
c) 17c 9
a) xy ⋅ 3xy ⋅ (−6xy) b) ab ⋅ a 2b ⋅ 7b ⋅ ab
8xy 2 ⋅ 7xy d) 15x 9 ⋅ (−3x 9)
c) b) 7a 4b 3
d) −45x 18
c) 4y
Fes les divisions de monomis següents: a) 9xy : 3xy b) 9ab : ab a) 3
c) 15x 8 : 5x 8 d) 8xy 2 : 2xy 2 b) 9
c) 3
e) 15x 9 : 3x 9 f) 32x 7 : 8x 4 d) 4
e) 5
042
Calcula i simplifica el resultat tant com puguis.
●●
a) b) c) d) e)
f) 4x3
2x 2 − 5(−x 2) + 8x 2 − (2x) ⋅ (3x) 2x ⋅ (−y) + 7xy − yx + (−4x) ⋅ (−5y) 3x 2 − (−x)2 + 3(−x 2) + (−3) ⋅ (−x)2 (2xy − 3xy + 7xy) ⋅ (2ab) (x 2 − 3x 2 + 6x 2 − 2x 2) ⋅ (−5zx) a) 2x 2 + 5x 2 + 8x 2 − 6x 2 = 9x 2 b) −2xy + 7xy − xy + 20xy = 24xy c) 3x 2 − x 2 − 3x 2 − 3x 2 = −4x 2
043
d) 16xy
Fes aquestes multiplicacions:
a) −18x 3y 3 041
3
d) (6xy) ⋅ (2ab) = 12xyab e) (2x 2) ⋅ (−5zx) = −10x 3z
Raona si les igualtats següents són certes o falses:
●●
a) x · x · x = x 3 b) x 2 - x = x c) x 3 · x 4 = x7
d) x 5 = 5x e) (x 2)2 = x 4 f) x -2 = -x 2
a) Certa: x ⋅ x ⋅ x = x 1+1+1 = x 3. b) Falsa, perquè no podem restar potències amb la mateixa base i exponent diferent. c) Certa: x 3 ⋅ x 4 = x 3+4 = x7. d) Falsa, ja que una potència consisteix a multiplicar un determinat nombre de vegades la base, i no sumar-la. e) Certa: (x 2)2 = x 2 ⋅ 2 = x 4. 1 f) Falsa: x −2 = 2 . x
85
831106 _ 0074-0099.qxd
11/9/07
12:44
Página 86
Polinomis 044 ●
045 ●●
Indica el grau, el terme independent i el polinomi oposat dels polinomis. a) P (x) = −x 3 + x 2 − 7x − 2 d) S (x) = 8 b) Q (x) = −x 2 + 2x + 6 e) T (x) = 12x − x 2 + x 4 1 2 1 c) R (x) = x + 1 f) U ( x ) = x −x − 2 6 a) Grau 3
Terme independent: −2
Oposat: x 3 − x 2 + 7x + 2
b) Grau 2
Terme independent: 6
Oposat: x 2 − 2x − 6
c) Grau 1
Terme independent: 1
Oposat: −x − 1
d) Grau 0
Terme independent: 8
Oposat: −8
e) Grau 4
Terme independent: 0
Oposat: −x 4 + x 2 − 12x
f) Grau 2
Terme independent: −
1 6
Oposat: −
1 2 1 x +x+ 2 6
Raona si és cert o fals. a) Un polinomi és la suma de dos monomis. b) El grau d’un polinomi és el grau més gran dels monomis que el formen. c) Els coeficients d’un polinomi són sempre nombres naturals. d) Tots els polinomis tenen un terme on apareix x 2. a) Fals. Un polinomi és la suma o la resta de dos monomis o més. b) Cert. c) Fals. Els coeficients poden ser qualsevol tipus de nombre. d) Fals. No cal que la variable sigui x, i no és necessari que tingui un terme de grau 2.
046 ●
Redueix els polinomis següents: a) P (x) = −x 2 − x − 2 − x 3 + x 2 − x − 2 b) Q (x) = −x 2 + x 2 + 6 − x + x 2 − 7x − 2 c) R (x) = x + 1 − x + x 2 d) S (x) = 8 − x + 34 − x + 324 e) T (x) = x 4 + x 4 − x 3 + x 2 − 7x − 2 f) U ( x ) =
1 2 1 2 x −x − − x2 2 6 7
a) P (x) = −x 3 − 2x − 4 b) Q (x) = x 2 − 8x + 4 c) R (x) = x 2 + 1 d) S (x) = −2x + 364 e) T (x) = 2x 4 − x 3 + x 2 − 7x − 2 f) U (x) =
86
3 2 1 x −x − 7 6
831106 _ 0074-0099.qxd
11/9/07
12:44
Página 87
SOLUCIONARI
047 ●
Calcula el valor numèric de cada polinomi per als valors de la variable. a) A (x) = x + 1, per a x = 1 1 b) B (x) = x 4 + 3, per a x = 2 2 c) C (x) = 4x 5 − x 2 + 3, per a x = −1 d) D (x) = −9x 4 + 7x 2 + 5,per a x = 1 e) E (x) = x 3 + x 2 + x + 2, per a x = −2 f) F (x) = x 4 + x 4 − x 3 + x 2 − 7x − 2, per a x = 0 g) G (x) = −14, per a x = −2 a) b) c) d) e) f) g)
048 ●
3
A (1) = 1 + 1 = 2 B (2) = 8 + 3 = 11 C (−1) = −4 − 1 + 3 = −2 D (1) = −9 + 7 + 5 = 3 E (−2) = −8 + 4 − 2 + 2 = −4 F (0) = −2 G (−2) = −14
Calcula els valors numèrics per al polinomi: P (x, y) = 2x 2y + xy 2 − 3xy + 5x − 6y + 9 a) P (0, 0) b) P (1, 1)
c) P (−1, 1) d) P (1, −1)
e) P (1, 2) f) P (2, 1)
a) P (0, 0) = 2 ⋅ 02 ⋅ 0 + 0 ⋅ 02 − 3 ⋅ 0 ⋅ 0 + 5 ⋅ 0 − 6 ⋅ 0 + 9 = 9 b) P (1, 1) = 2 ⋅ 12 ⋅ 1 + 1 ⋅ 12 − 3 ⋅ 1 ⋅ 1 + 5 ⋅ 1 − 6 ⋅ 1 + 9 = 8 c) P (−1, 1) = 2 ⋅ (−1)2 ⋅ 1 + (−1) ⋅ 12 − 3 ⋅ (−1) ⋅ 1 + 5 ⋅ (−1) − 6 ⋅ 1 + 9 = 2 d) P (1, −1) = 2 ⋅ 12 ⋅ (−1) + 1 ⋅ (−1)2 − 3 ⋅ 1 ⋅ (−1) + 5 ⋅ 1 − 6 ⋅ (−1) + 9 = 11 e) P (1, 2) = 2 ⋅ 12 ⋅ 2 + 1 ⋅ 22 − 3 ⋅ 1 ⋅ 2 + 5 ⋅ 1 − 6 ⋅ 2 + 9 = 4 f) P (2, 1) = 2 ⋅ 22 ⋅ 1 + 2 ⋅ 12 − 3 ⋅ 2 ⋅ 1 + 5 ⋅ 2 − 6 ⋅ 1 + 9 = 17
049
FES-HO AIXÍ COM CALCULEM EL COEFICIENT D’UN POLINOMI SI EN SABEM UN DELS VALORS ABSOLUTS?
Calcula el valor de k en el polonomi P (x) = x 2 − x + k, si P (2) = 5. PRIMER.
SEGON.
Substituïm al polinomi la variable pel seu valor. ⎫ x = 2 P (2) = 22 − 2 + k = 2 + k ⎪ F P (x) ⎬ → 2+k = 5 P (2) = 5 ⎭⎪⎪
Aïllem k a l’equació resultant. 2+k=5 → k=5−2=3
87
831106 _ 0074-0099.qxd
11/9/07
12:44
Página 88
Polinomis 050 ●●
Calcula el valor de k en cada polinomi si sabem que P (1) = 6. a) P (x) = kx 7 + x 3 + 3x + 1 d) P (x)= kx 6 − kx 3 + kx + k 4 3 b) P (x) = kx + kx + 4 e) P (x) = k c) P (x) = 9x 5 + kx 2 + kx − k a) k + 1 + 3 + 1 = 6 → k = 1 b) k + k + 4 = 6 → k = 1 c) 9 + k + k − k = 6 → k = 3
051 ●
d) k − k + k + k = 6 → k = 3 e) k = 6
Donats els polinomis: P (x) = 2x 5 − 3x 4 + 7x 3 − 2x 2 + 3x − 6 Q (x) = 3x 4 − 2x 3 + 5x 2 − 7x − 1 calcula: a) P (x) + Q (x) b) Q (x) + P (x)
c) P (x) − S (x) d) Q (x) − P (x)
R (x) = 3x 2 − x + 1 S (x) = 2x + 3
e) P (x) + R (x) f) R (x) + S (x)
g) Q (x) − R (x) h) R (x) − P (x)
a) (2x 5 − 3x 4 + 7x 3 − 2x 2 + 3x − 6) + (3x 4 − 2x 3 + 5x 2 − 7x − 1) = = 2x 5 + 5x 3 + 3x 2 − 4x − 7 b) (3x 4 − 2x 3 + 5x 2 − 7x − 1) + (2x 5 − 3x 4 + 7x 3 − 2x 2 + 3x − 6) = = 2x 5 + 5x 3 + 3x 2 − 4x − 7 c) (2x 5 − 3x 4 + 7x 3 − 2x 2 + 3x − 6) − (2x + 3) = = 2x 5 − 3x 4 + 7x 3 − 2x 2 + x − 9 d) (3x 4 − 2x 3 + 5x 2 − 7x − 1) − (2x 5 − 3x 4 + 7x 3 − 2x 2 + 3x − 6) = = −2x 5 + 6x 4 − 9x 3 + 7x 2 − 10x + 5 e) (2x 5 − 3x 4 + 7x 3 − 2x 2 + 3x − 6) + (3x 2 − x + 1) = = 2x 5 − 3x 4 + 7x 3 + x 2 + 2x − 5 f) (3x 2 − x + 1) + (2x + 3) = 3x 2 + x + 4 g) (3x 4 − 2x 3 + 5x 2 − 7x − 1) − (3x 2 − x + 1) = 3x 4 − 2x 3 + 2x 2 − 6x − 2 h) (3x 2 − x + 1) − (2x 5 − 3x 4 + 7x 3 − 2x 2 + 3x − 6) = = −2x 5 + 3x 4 − 7x 3 + 5x 2 − 4x + 7 052 ●
Suma i resta els polinomis següents: a) P (x) = −7x + 4; Q (x) = 2x + 5 b) P (x) = −3x 2 + 1; Q (x) = −x 2 + 2x c) P (x) = −3x 2 + 1; Q (x) = −x 2 + 2x + 6 d) P (x) = −5x 3 + x 2 − 7x − 2; Q (x) = 5x 3 + x 2 + 4x − 2 1 2 3 x − 2xy − y 2; Q (x) = x 2 − xy − y 2 2 2 1 3 1 2 f) P (x) = x 2 −2xy − y 2; Q (x) = x 2 − 2xy − y 2 2 2 3 3 x 1 2 1 2 g) P (x) = x − − 3; Q (x) = − x + x − 1 2 2 3 1 2 1 2 h) P (x) = x − 5x − 3; Q (x) = − x + 2 3 e) P (x) =
88
831106 _ 0074-0099.qxd
11/9/07
12:44
Página 89
SOLUCIONARI
053 ●
a) Suma: −5x + 9
Resta: −9x − 1
b) Suma: −4x 2 + 2x + 1
Resta: −2x 2 − 2x + 1
c) Suma: −4x 2 + 2x + 7
Resta: −2x 2 − 2x −5
d) Suma: 2x 2 − 3x − 4
Resta: −10x 3 − 11x
e) Suma:
3 2 5 x − 3xy − y 2 2 2
1 1 Resta: − x 2 − xy − y 2 2 2
f) Suma:
5 2 13 2 x − 4xy − y 6 6
Resta:
1 2 5 x − y2 6 6
g) Suma:
1 2 1 x − x−4 2 6
Resta:
3 2 5 x − x−2 2 6
h) Suma:
1 2 8 x − 5x − 2 3
Resta:
3 2 10 x − 5x − 2 3
3
Donats els polinomis:
P (x) = 2x 5 − 3x 4 + 7x 3 − 2x 2 + 3x − 6 R (x) = 3x 2 − x + 1 4 3 2 Q (x) = 3x − 2x + 5x − 7x − 1 S (x) = 2x + 3 calcula: a) P (x) + Q (x) + R (x) + S (x) c) [P (x) + Q (x)] − [R (x) + Q (x)] b) P (x) − R (x) + S (x) − Q (x) d) [P (x) − Q (x)] − [R (x) − Q (x)] a) (2x 5 − 3x 4 + 7x 3 − 2x 2 + 3x − 6) + (3x 4 − 2x 3 + 5x 2 − 7x − 1) + + (3x 2 − x + 1) + (2x + 3) = 2x 5 + 5x 3 + 6x 2 − 3x − 3 b) (2x 5 − 3x 4 + 7x 3 − 2x 2 + 3x − 6) − (3x 2 − x + 1) + (2x + 3) − − (3x 4 − 2x 3 + 5x 2 − 7x − 1) = 2x 5 − 6x 4 + 9x 3 − 10x 2 + 13x − 3 c) [(2x 5 − 3x 4 + 7x 3 − 2x 2 + 3x − 6) + (3x 4 − 2x 3 + 5x 2 − 7x − 1)] + + [(3x 2 − x + 1) + (3x 4 − 2x 3 + 5x 2 − 7x − 1)] = = (2x 5 + 5x 3 + 3x 2 − 4x − 7) − (3x 4 − 2x 3 + 8x 2 − 8x) = = −2x 5 − 3x 4 + 7x 3 − 5x 2 + 4x − 7 d) [(2x 5 − 3x 4 + 7x 3 − 2x 2 + 3x − 6) − (3x 4 − 2x 3 + 5x 2 − 7x − 1)] + + [(3x 2 − x + 1) − (3x 4 − 2x 3 + 5x 2 − 7x − 1)] = = [2x 5 − 6x 4 + 9x 3 − 7x 2 + 10x − 5] − [−3x 4 + 2x 3 − 2x 2 + 6x + 2] = = 2x 5 − 3x 4 + 7x 3 − 5x 2 + 4x − 7
054 ●●
Quin és el polinomi Q (x) que hem de sumar a P (x) = x 2 + 2x − 1 per obtenir com a resultat R (x). a) R (x) = x − 1 b) R (x) = 2x 2 − x − 6 c) R (x) = 5x 2 − x + 1
d) R (x) = −7x 2 − 3x e) R (x) = x 3 − x f) R (x) = x 3 − x 2
Q (x) = R (x) − P (x) a) Q (x) = −x − x
d) Q (x) = −8x 2 − 5x + 1
b) Q (x) = x − 3x − 5
e) Q (x) = x 3 − x 2 − 3x + 1
c) Q (x) = 4x 2 − 3x + 2
f) Q (x) = x 3 − 2x 2 − 2x + 1
2
2
89
831106 _ 0074-0099.qxd
11/9/07
12:44
Página 90
Polinomis 055 ●
Donats els polinomis: P (x) = 2x 6 − 7x 4 + 2x 3 − 2x 2 + x − 1 Q (x) = 3x 5 − 2x 3 + x 2 − x − 1 R (x) = x 2 − x + 1 calcula: a) P (x) ⋅ Q (x)
b) Q (x) ⋅ R (x)
c) P (x) ⋅ R (x)
d) R (x) ⋅ R (x)
a) (2x − 7x + 2x − 2x + x − 1) ⋅ (3x − 2x + x − x − 1) = = 6x 11 − 25x 9 + 8x 8 + 6x 7 − 10x 6 + 10x 5 + x 4 + 3x 3 + 1 6
4
3
2
5
3
2
b) (3x 5 − 2x 3 + x 2 − x − 1) ⋅ (x 2 − x + 1) = = 3x 7 − 3x 6 + x 5 + 3x 4 − 4x 3 + x 2 − 1 c) (2x 6 − 7x 4 + 2x 3 − 2x 2 + x − 1) ⋅ (x 2 − x + 1) = = 2x 8 − 2x 7 − 5x 6 + 9x 5 − 11x 4 + 5x 3 − 4x 2 + 2x − 1 d) (x 2 − x + 1) ⋅ (x 2 − x + 1) = x 4 − 2x 3 + 3x 2 − 2x + 1 056 ●●
Donats els polinomis: P (x) = 2x 5 − 3x 4 + 7x 3 − 2x 2 + 3x − 6 Q (x) = 3x 4 − 2x 3 + 5x 2 − 7x − 1 calcula: a) [P (x) − Q (x)] ⋅ S (x) b) [R (x) − Q (x)] ⋅ S(x)
R (x) = 3x 2 − x + 1 S (x) = 2x + 3
c) [P (x) + Q (x) + R (x)] ⋅ S (x) d) [P (x) + Q (x) − R (x)] ⋅ S (x)
a) [(2x5 − 3x 4 + 7x3 − 2x2 + 3x − 6) − (3x 4 − 2x3 + 5x2 − 7x − 1)] ⋅ (2x + 3) = = (2x 5 − 6x 4 + 9x 3 − 7x 2 + 10x − 5) ⋅ (2x + 3) = = 4x 6 − 6x 5 + 13x 3 − x 2 + 20x − 15 b) [(3x 2 − x + 1) − (3x 4 − 2x 3 + 5x 2 − 7x − 1)] ⋅ (2x + 3) = = (−3x 4 + 2x 3 − 2x 2 + 6x + 2) ⋅ (2x + 3) = = −6x 5 − 5x 4 + 2x 3 + 6x 2 + 22x + 6 c) [(2x 5 − 3x 4 + 7x 3 − 2x 2 + 3x − 6) + (3x 4 − 2x 3 + 5x 2 − 7x − 1) + + (3x 2 − x + 1)] ⋅ (2x + 3) = (2x 5 + 5x 3 + 6x 2 − 5x − 6) ⋅ (2x + 3) = = 4x 6 + 6x 5 + 10x 4 + 27x 3 + 8x 2 − 27x − 18 d) [(2x 5 − 3x 4 + 7x 3 − 2x 2 + 3x − 6) + (3x 4 − 2x 3 + 5x 2 − 7x − 1) − − (3x 2 − x + 1)] ⋅ (2x + 3) = (2x 5 + 5x 3 − 3x − 8) ⋅ (2x + 3) = = 4x 6 + 6x 5 + 10x 4 + 15x 3 − 6x 2 − 25x − 24 057
Fes les operacions següents:
●●
⎞ ⎛1 ⎞ ⎛7 3 ⎞⎟ ⎛⎜ 5 9 x ⎟⎟ − ⎜⎜ x + 7⎟⎟⎟ + ⎜⎜⎜ x 2 − x + 3⎟⎟⎟ a) ⎜⎜⎜ x 2 + ⎠ ⎝2 ⎠ ⎝2 4 4 ⎠ ⎝4 ⎛5 3 ⎞ ⎛ ⎞ 2 5 b) ⎜⎜⎜ x − x 2 + x − 7⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜⎜ x 2 − 3x ⎟⎟⎟ ⎝3 ⎠ ⎝2 ⎠ 5 ⎛1 2⎞ ⋅ ⎜⎜⎜ x 2 − x + ⎟⎟⎟ ⎝2 3⎠ ⎛1 5 5 4⎞ x ⋅ ( x 5 − x 2 + 3x − 1) − x 5 ⋅ ⎜⎜⎜ x 2 − x + ⎟⎟⎟ d) ⎝3 6 2 3⎠ c)
90
2 2 x ⋅ ( x 3 − 3x 2 + x − 1) − x 3 5
831106 _ 0074-0099.qxd
11/9/07
12:44
Página 91
SOLUCIONARI
3
⎛1 ⎛3 7⎞ 5 9⎞ 11 x −4 a) ⎜⎜⎜ + ⎟⎟⎟ x 2 − ⎜⎜⎜ − − ⎟⎟⎟ x + (−7 + 3) = 4 x 2 − ⎟ ⎟ ⎝2 ⎝4 2⎠ 4 4⎠ 4 b) 25 x 5 − 6 x 4 + 37 x 3 − 41 x 2 + 21x 6 10 2 ⎛2 6 2 2 ⎞ ⎛1 2 ⎞ c) ⎜⎜ x 5 − x 4 + x 3 − x 2 ⎟⎟⎟ − ⎜⎜ x 5 − x 4 + x 3 ⎟⎟⎟ = ⎜ ⎜⎝ 5 ⎟ 5 5 5 ⎠ ⎝2 3 ⎟⎠ 1 5 1 4 3 2 x + x4 − x − x2 =− 10 5 15 5 ⎛5 5 5 5 ⎞ ⎛ 5 4 ⎞ d) ⎜⎜ x 6 − x 3 + x 2 − x ⎟⎟⎟ − ⎜⎜− x 6 + x 5 ⎟⎟⎟ = ⎜ ⎜⎝ 6 ⎟ ⎠ ⎝ 6 2 6 2 3 ⎟⎠ 1 10 6 4 5 5 5 x − x5 − x3 + x2 − x = − x7 + 3 3 3 6 2 6
058 ●
Divideix: a) (4x 4 + 3x 3 − 5x 2 + x + 7) : (x − 1) b) (4x 4 − 2x 3 + 3x 2 − 2x + 5) : (x + 1) c) (7x 5 + 4x 4 + 3x 3 − 5x 2 + 2x − 1) : (x 2 + x) d) (x 4 − 2x 3 + x 2 − x + 3) : (x 2 + x + 1) e) (4x 4 − 2x 3 + 7x 2 − 2x + 3) : (x 2 − x − 2) a)
4x 4 + 3x 3 − 5x 2 + 2x + 7 − 4x 4 + 4x 3 7x 3 − 5x 2 + 2x + 7 − 7x 3 + 7x 2 + 2x 2 + 2x + 7 − 2x 2 + 2x − 3x + 17 − 3x + 13 10
b)
4x 4 − 2x 3 + 3x 2 − 2x + 15 − 4x 4 − 4x 3 − 6x 3 + 3x 2 − 2x + 15 − 6x 3 + 6x 2 + 9x 2 − 2x + 15 − 9x 2 − 9x − 11x + 15 − 11x + 11 16
x−1 4x 3 + 7x 2 + 2x + 3
x+1 4x 3 − 6x 2 + 9x − 11
91
831106 _ 0074-0099.qxd
11/9/07
12:44
Página 92
Polinomis
059 ●
c)
7x 5 + 4x 4 + 3x 3 − 15x 2 + 12x − 1 − 7x 5 − 7x 4 − 3x 4 + 3x 3 − 15x 2 + 12x − 1 − 3x 4 + 3x 3 + 6x 3 − 15x 2 + 12x − 1 − 6x 3 − 16x 2 − 11x 2 + 12x − 1 11x 2 + 11x 13x − 1
d)
x 4 − 2x 3 + 3x 2 − 1x + 3 − x 4 − 2x 3 − 3x 2 − 3x 3 + 3x 2 − 1x + 3 − 3x 3 + 3x 2 + 3x + 3x 2 + 2x + 3 − 3x 2 − 3x − 3 − 3x
e)
4x 4 − 2x 3 + 17x 2 − 12x + 13 − 4x 4 + 4x 3 + 38x 2 − 2x 3 + 15x 2 − 12x + 13 − 2x 3 + 12x 2 + 14x + 17x 2 + 12x + 13 − 17x 2 + 17x + 34 19x + 37
x2 + x + 1 x 2 − 3x + 3
x2 − x − 2 4x 2 + 2x + 17
Desenvolupa: a) (3x + 2)2 b) (3x − 2)2 c) (3x 2 − 2x)2
d) (7x 3 + 4x 2)2 e) (2x + 7) ⋅ (2x − 7) f) (2x 2 + 3x) ⋅ (2x 2 − 3x)
a) 9x 2 + 12x + 4
f) 4x 4 − 9x 2
c) 9x − 12x + 4x 4
g) (x 4 + 3x 5) ⋅ (x 4 − 3x 5) 2 ⎛ 1⎞ h) ⎜⎜⎜2x − ⎟⎟⎟ ⎝ 2⎠
e) 4x 2 − 49
b) 9x 2 − 12x + 4 3
2
d) 49x 6 + 56x 5 + 16x 4 060
Desenvolupa aquests quadrats:
●●
a) (x + 5)2 b) (2y − 7)2
c) (−y − 8)2 d) (xy − 6x)2
g) x 8 − 9x10 h) 4x 2 − 2x +
1 4
e) (−x − y)2 f) (x + 2xy)2
a) x 2 + 10x + 25
d) x 2y 2 − 12x 2y + 36x 2
b) 4y − 28y + 49
e) x 2 + 2xy + y 2
c) y 2 + 16y + 64
f) x 2 + 2x 2y + 4x 2y 2
2
92
x2 + x 7x 3 − 3x 2 + 6x − 11
831106 _ 0074-0099.qxd
11/9/07
12:44
Página 93
SOLUCIONARI
061
Completa les igualtats següents:
●●
a) (2x + 3)2 = + 12x + b) (5 − 3x)2 = 25 − + x 2
3
c) (9 + 7x) ⋅ (9 − 7x) = − d) ( + )2 = x 4 + 2x 3 + x 2
a) (2x + 3)2 = (2x)2 + 2 ⋅ 2x ⋅ 3 + 32 = 4x 2 + 12x + 9 b) (5 − 3x)2 = 52 − 2 ⋅ 5 ⋅ 3x + (3x)2 = 25 − 30x + 9x 2 c) (9 + 7x) ⋅ (9 − 7x) = 92 − (7x)2 = 81 − 49x 2 d) x 4 + 2x 3 + x 2 = (x 2)2 + 2 ⋅ x 2 ⋅ x + x 2 = (x 2 + x)2
062
FES-HO AIXÍ Fes l’operació següent: (2x − 3)2 − (2 + x)2 PRIMER.
Desenvolupem el polinomi aplicant el resultat de les igualtats notables. (2x − 3)2 − (2 + x)2 = (4x 2 − 12x + 9) − (4 + 4x + x 2)
SEGON.
Traiem els parèntesis. N’hem de tenir en compte els signes. (4x 2 − 12x + 9) − (4 + 4x + x 2) = 4x 2 − 12x + 9 − 4 − 4x − x 2
TERCER.
Reduïm el polinomi. 4x 2 − 12x + 9 − 4 − 4x − x 2 = 3x 2 − 16x + 5
Així doncs, (2x − 3)2 − (2 + x)2 = 3x 2 − 16x + 5.
063
Desenvolupa i simplifica les expressions següents:
●●
a) b) c) d) e) f)
5x 2 + (2x 2 + 1)2 − 2x 4 − (x − 1)2 (x − 1)2 − (x 2 + x + 1) (5x + 5)2 − (5x − 5)2 (2x 3 − 3x 2)2 − (2x + 2) ⋅ (2x − 2) (x + 6)2 − (x − 6)2 − (x − 5) ⋅ (x + 5) (2x + 1)2 − (2x − 1)2 + (2x + 1) ⋅ (3x + 2) a) 5x 2 + (2x 2 + 1)2 − 2x 4 − (x − 1)2 = 5x 2 + 4x 4 + 4x 2 + 1 − 2x 4 − x 2 + + 2x − 1 = 2x 4 + 8x 2 + 2x b) (x − 1)2 − (x 2 + x + 1) = x 2 − 2x + 1 − x 2 − x − 1 = −3x c) (5x + 5)2 − (5x − 5)2 = [(5x)2 + 2 ⋅ 5x ⋅ 5 + 52] − − [(5x)2 − 2 ⋅ 5x ⋅ 5 + 52] = 25x 2 + 50x + 25 − 25x 2 + 50x − 25 = 100x d) (2x 3 − 3x 2)2 − (2x + 2) ⋅ (2x − 2) = (2x 3)2 − 2 ⋅ 2x3 ⋅ 3x 2 + (3x 2)2 − − [(2x)2 − 22] = 4x 6 − 12x 5 + 9x 4 − 4x 2 + 4 e) (x + 6)2 − (x − 6)2 − (x − 5) ⋅ (x + 5) = = x 2 + 12x + 36 − x 2 + 12x − 36 − x 2 + 25 = −x 2 + 24x + 25 f) (2x + 1)2 − (2x − 1)2 + (2x + 1) ⋅ (3x + 2) = = (2x)2 + 2 ⋅ 2x + 1 − ((2x)2 − 2 ⋅ 2x + 1) + 6x 2 + 4x + 3x + 2 = = 4x 2 + 4x + 1 − 4x 2 + 4x − 1 + 6x 2 + 7x + 2 = 6x 2 + 15x + 2
93
831106 _ 0074-0099.qxd
11/9/07
12:44
Página 94
Polinomis 064
Expressa aquests polinomis com el quadrat d’una suma o diferència.
●●
c) x 2 + 16x + 64 a) 9x 2 + 18x + 9 b) 16x 2 − 16x + 4 d) 4x 2 + 4x + 1 2 2 2 a) 3 x + 2 ⋅ 3 ⋅ 3x + 3 = (3x + 3)2 b) 42x 2 − 2 ⋅ 4 ⋅ 2x + 22 = (4x − 2)2 c) 12x 2 + 2 ⋅ 1 ⋅ 8x + 82 = (x + 8)2 d) 22x 2 + 2 ⋅ 2 ⋅ 1x + 12 = (2x + 1)2
065
Expressa l’àrea de cada figura mitjançant un polinomi. Simplifica’n l’expressió.
●●
a)
c) x+4
x
x−1 x+3
2
x x+5
x+4
x
b)
d) x x−3 2x + 5
x+4
a) (x + 4)2 + x 2 = 2x 2 + 8x + 16 (x − 3) ⋅ (2x + 5) 1 15 = x2 − x − 2 2 2 c) (x + 5) ⋅ (x + 3) − 2(x − 1) = x 2 + 8x + 15 − 2x + 2 = x 2 + 6x + 17 b)
d)
x + (x + 4) ⋅ x = x 2 + 2x 2
066
Escriu els polinomis com un producte de dos factors.
●●
a) x 2 − 16 b) x 4 − 36 c) 4x 2 − 25 a) (x + 4) ⋅ (x − 4)
d) (x − 2)2
b) (x 2 + 6) ⋅ (x 2 − 6)
e) (4x − 3y)2
c) (2x + 5) ⋅ (2x − 5)
f) (4x 2 + 3)2
067
Fixa’t en l’exemple resolt i completa.
●●
[(x + 2) + 3] ⋅ [(x + 2) − 3] = (x + 2)2 − 9 a) [(3x − y) + 4] ⋅ [(3x − y) − 4] b) [(a + b) + c] ⋅ [(a + b) − c] a) (3x − y)2 − 16 b) (a + b)2 − c 2
94
d) x 2 − 4x + 4 e) 16x 2 − 24xy + 9y 2 f) 16x 4 + 24x 2 + 9
831106 _ 0074-0099.qxd
11/9/07
12:44
Página 95
SOLUCIONARI
068
Extreu factor comú en aquestes expressions:
●●
a) 3x 2 − 4x b) (x + 1) + 3(x + 1)
069 ●●
3
c) xy − 6xyz − 5xyzt d) 3x − 4x 2 − 6x 3
a) x (3x − 4)
c) xy (1 − 6z − 5zt )
b) (x + 1) ⋅ (1 + 3) = 4(x + 1)
d) x (3 − 4x − 6x 2)
Simplifica aquestes expressions aplicant les igualtats notables i extraient factor comú: a) b) c) d)
7x 2 − 14x + 7 16x 2 + 64x + 64 x 3 − 2x 2 + x 18x 4 − 12x 2 + 2
e) f) g) h)
(2x + 4) ⋅ (x − 2) (x − 5) ⋅ (x 2 + 5x) (−x − 7) ⋅ (x − 7) (−x 2 + 5) ⋅ (−x 2 − 5)
a) 7(x 2 − 2x + 1) = 7(x − 1)2 b) 16(x 2 + 4x + 4) = 16(x + 2)2 c) x (x 2 − 2x + 1) = x (x − 1)2 d) 2(9x 4 − 6x 2 + 1) = 2(3x 2 − 1)2 e) 2(x + 2) ⋅ (x − 2) = 2(x 2 − 4) f) x (x − 5) ⋅ (x + 5) = x (x 2 − 25) g) −(x + 7) ⋅ (x − 7) = −(x 2 − 49) = 49 − x 2 h) (x 2 − 5) ⋅ (x 2 + 5) = x 4 − 25
070
FES-HO AIXÍ COM SIMPLIFIQUEM EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES? Simplifica:
( y 4 − y 3 ) ⋅ ( x 2 − 2x + 1) xy 2 ( x − 1)
PRIMER. Descomponem el numerador i el denominador en tants factors com sigui possible.
F
F
( y 4 − y 3 ) ⋅ (x 2 − 2x + 1) y 3 ( y − 1) ⋅ (x 2 − 2x + 1) = = 2 xy 2 (x − 1) xy (x − 1) S’extreu factor comú a y 3: y 4 − y 3 = y 3 ⋅ (y − 1)
= SEGON.
Quadrat d’una diferència: x 2 − 2x + 1 = (x − 1)2
y 3 ( y − 1) ⋅ (x − 1)2 xy 2 (x − 1)
Dividim el numerador i el denominador pels factors comuns a tots dos. y 3 ⋅ ( y − 1) ⋅ (x − 1) 2 x ⋅ y ⋅ (x − 1) 2
=
y ( y − 1)(x − 1) x
95
831106 _ 0074-0099.qxd
11/9/07
12:44
Página 96
Polinomis 071 ●●
072 ●●●
073 ●●●
Simplifica les fraccions algebraiques: a)
x 2 + 2x + 1 x ( x + 1)
c)
y 2 ( x 2 − 4 x + 4) x ( x − 2)
b)
x 2 ( x 2 − 4) x ( x − 2)
d)
( x 2 − 9)( y 2 − 16) xy (2x − 6)( y + 4 )2
a)
(x + 1)2 (x + 1) = x (x + 1) x
b)
x 2 (x + 2) ⋅ (x − 2) = x (x + 2) x (x − 2)
c)
y 2 (x − 2)2 y 2 (x − 2) = x (x − 2) x
d)
(x + 3) ⋅ (x − 3) ⋅ ( y + 4) ⋅ ( y − 4) (x + 3) ⋅ ( y − 4) = 2 2xy (x − 3) ⋅ ( y + 4) 2xy ( y + 4)
Simplifica les fraccions algebraiques següents: a)
x 3 ( x 2 − 16) x ( x + 4)
d)
(3x − 2)2 9x 2 − 4
b)
x (2x 2 − 16 x + 32) ( x 2 − 16)
e)
( 6 x + 8 )2 27 x 2 − 48
c)
18 x 4 − 36 x 2 + 18 9x 2 ( x − 1)2
f)
(3x + 12)( x − 4 ) 2x 2 − 32
a)
x 2 (x − 4) ⋅ (x + 4) = x (x − 4) x (x + 4)
b)
2x (x − 4)2 2x (x − 4) = (x − 4) ⋅ (x + 4) (x + 4)
c)
2(x + 1)2 18(x 2 − 1)2 18(x − 1)2 ⋅ (x + 1)2 = = 2 2 2 2 9x (x − 1) 9x (x − 1) x2
d)
(3x + 2)2 (3x + 2) = (3x + 2) ⋅ (3x − 2) (3x − 2)
e)
4(3x + 4)2 4(3x + 4) = 3(3x + 4) ⋅ (3x − 4) 3(3x − 4)
f)
3(x + 4) ⋅ (x − 4) 3 = 2(x + 4) ⋅ (x − 4) 2
Si P (x) té grau 5 i Q (x) grau 2, determina, quan sigui possible, els graus dels polinomis: a) P (x) + Q (x) b) P (x) − Q (x)
c) P (x) ⋅ Q (x) d) El quocient i el residu de P (x) : Q (x).
Fes el mateix si P (x) i Q (x) tenen grau 5.
96
831106 _ 0074-0099.qxd
11/9/07
12:44
Página 97
SOLUCIONARI
a) b) c) d)
3
Grau 5. Grau 5. Grau 7 = 5 + 2. Quocient → Grau 3 = 5 − 2. Residu ⎯→ Grau més petit que 2.
Si P (x) i Q (x) tenen grau 5: a) No es pot saber, perquè pot passar que alguns dels termes s’anul·lin en la suma, si els coeficients són oposats. b) No es pot saber, perquè potser algun dels termes s’anul·la en la resta, si els coeficients són oposats. c) Grau10 = 5 + 5. d) Quocient → Grau 0 = 5 − 5. Residu ⎯→ Grau més petit que 5. 074
Les sumes següents són quadrats perfectes.
●●● 2
2 + 22 + 1 · 2 = 3 2 2 2 2 22 + 3 + 2 · 3 = 7 2
12
…
92
2
2 2 + 102 + 9 · 10 = 91
En vista d’aquests resultats, podries determinar a quin quadrat és igual l’expressió següent? x 2 + (x + 1)2 + x 2(x + 1)2 Comprova que la teva igualtat és correcta.
x 2 + (x + 1)2 + x 2(x + 1)2 = [x (x +1) + 1]2 Per demostrar aquesta fórmula, partim del segon membre: [x (x + 1) + 1]2 = [x (x + 1)]2 + 2x (x + 1) + 1 = x 2(x +1)2 + 2x (x + 1) + 1 = = x 2(x + 1)2 + 2x 2 + 2x + 1 = = x 2(x + 1)2 + x 2 + x 2 + 2x + 1 = = x 2 + (x + 1)2 + x 2(x + 1)2 075 ●●●
Comprova amb uns quants exemples que el producte de tres nombres enters consecutius sumat al nombre del mig és sempre un cub perfecte. Demostra-ho per a tres nombres enters consecutius qualssevol: x − 1, x i x + 1. Exemples: 2 ⋅ 3 ⋅ 4 + 3 = 27 = 33 4 ⋅ 5 ⋅ 6 + 5 = 125 = 53 9 ⋅ 10 ⋅ 11 + 10 = 1.000 = 103 (x − 1) ⋅ x ⋅ (x + 1) + x = (x 3 − x) + x = x 3
97
831106 _ 0074-0099.qxd
11/9/07
12:44
Página 98
Polinomis 076 ●●●
Esbrina, seguint el mètode aplicat per trobar el desenvolupament de les igualtats notables, els desenvolupaments de: a) (a + b)3 b) (a − b)3
c) (a + b)2 ⋅ (a − b)2 d) (a − b)4
a) (a + b)3 = (a + b)2 ⋅ (a + b) = (a 2 + 2ab + b 2) ⋅ (a + b) = = a 3 + 2a 2b + ab 2 + a 2b + 2ab 2 + b 3 = a 3 + 3a 2b + 3a 2b + b 3 b) (a − b)3 = (a − b)2 ⋅ (a − b) = (a 2 − 2ab + b 2) ⋅ (a − b) = = a 3 − 2a 2b + ab 2 − a 2b + 2ab 2 − b 3 = a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b 3 c) (a + b)2 ⋅ (a − b)2 = ((a + b) ⋅ (a − b)) ⋅ ((a + b) ⋅ (a − b)) = (a 2 − b 2)2 = = ((a 2)2 − 2(a 2) ⋅ (b 2) + (b 2)2) = a 4 − 2a 2b 2 + b 4 d) (a − b)4 = (a − b)3 ⋅ (a − b) = (a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b 3) ⋅ (a − b) = = a 4 − 3a 3b + 3a 2b 2 − ab 3 − a 3b + 3a 2b 2 − 3ab 3 + b 4 = = a 4 − 4a 3b + 6a 2b 2 − 4ab 3 + b4
A LA VIDA QUOTIDIANA 077 ●●●
Una fàbrica produeix taules fetes a mà. L’amo s’ha fixat que els costos de fabricació per unitat varien massa en funció del nombre de taules produïdes. A més, ha arribat a la conclusió que el cost total (en euros) de la producció de x taules està donat per la fórmula: C(x) = x 3 + 5x + 16.000 Segons tot això: a) Quin és el cost de producció de 40 taules? Quant costa produir cada unitat? I de 20 taules? Quant costa produir cada unitat en aquest cas? M’han fet una comanda de 18 taules i tinc dues opcions: • Fabricar 18 taules i vendre-les a preu de catàleg: 1.700 euros cadascuna. • Oferir al client una oferta de 20 taules a 1.640 euros cadascuna.
b) Quina és la diferència de beneficis per al fabricant en cada cas? Quina opció li suposarà un benefici més gran? a) El cost de fabricació de 40 taules és: C (40) = 403 + 5 ⋅ 40 + 16.000 = = 80.200 € Produir una unitat costa: 80.200 : 40 = 2.005 €. Fabricar 20 taules costa: C (20) = 203 + 5 ⋅ 20 + 16.000 = 24.100 € i produir una unitat costa: 24.100 : 20 = 1.205 €.
98
831106 _ 0074-0099.qxd
11/9/07
12:44
Página 99
3
SOLUCIONARI
b) Fabricar 18 taules costa: C (18) = 183 + 5 ⋅ 18 + 16.000 = 21.922 €. Els ingressos són: 1.700 ⋅ 18 = 30.600 €. Els guanys són: 30.600 − 21.922 = 8.678 €. Fabricar 20 taules costa: C (20) = 203 + 5 ⋅ 20 + 16.000 = 24.100 € Els ingressos són: 1.640 ⋅ 20 = 32.800 €. Els guanys són: 32.800 − 24.100 = 7.300 €. La diferència entre els beneficis és 8.678 − 7.300 = 1.378 € si ven 18 taules, que és l’opció més beneficiosa per al fabricant. 078 ●●●
EMBALATGES CARTILLA fabrica caixes de cartró per embalar. Tenen tres tipus de caixes i cada client pot triar el format i les dimensions en funció de les necessitats. Totes les mides estan expressades en centímetres i, per exigències de producció i de resistència del cartró, els valors de la variable tenen algunes restriccions segons el model. A més, han de ser més grans de 10 cm i més petites de 50.
x x x EMBALATGE
2x + 20
CÚBIC
x 2x EMBALATGE TRADICIONAL
x
3x
x
EMBALATGE ALLARGAT
a) Expressa en forma de polinomi la quantitat de cartró necessària per fabricar cada embalatge. b) Si el preu del cartró és de 0,02 €/m2, quin serà el preu del cartró necessari per fabricar 200 caixes d’embalatge tradicional de 30 × 60 × 80 cm? c) Quin tipus de caixes necessitem per embalar aquestes esferes? a) Embalatge cúbic: 6 cares de superfície x 2 → S (x) = 6x 2 Embalatge allargat: 2 cares de superfície x 2 i 4 cares de superfície: 3x 2 → S (x ) = 14x 2 Embalatge tradicional: 2 cares de superfície 2x 2, 2 cares de superfície 2x 2 + 20 i 2 cares de superfície 4x 2 + 40x → S (x ) = 2(8x 2 + 60x ) = = 16x 2 + 120x b) x = 30 → La superfície de cada caixa és: S(30) = 16 ⋅ 302 + 120 ⋅ 30 = 18.000 cm2 → 18.000 cm2 = 1,8 m2 200 caixes tenen una superfície de 200 ⋅ 1,8 = 360 m2 i un cost de 360 ⋅ 2 = 720 cèntims d’euro = 7,20 €. c) El diàmetre de l’esfera no pot mesurar més de 50 cm. Si volem que l’embalatge sigui individual, ho farem amb tres caixes cúbiques. Si volem embalar les tres esferes juntes, sense que sobri espai, farem servir l’embalatge allargat. Si volem embalar les tres esferes juntes i que sobri espai, farem servir l’embalatge tradicional.
99
831106 _ 0100-0137.qxd
4
11/9/07
12:55
Página 100
Equacions de primer i segon grau IGUALTATS ALGEBRAIQUES
EQUACIONS DE PRIMER GRAU
TIPUS D’EQUACIONS
MÈTODE GENERAL
EQUACIONS DE SEGON GRAU
EQUACIONS COMPLETES
EQUACIONS INCOMPLETES
FÓRMULA GENERAL
MÈTODES DE RESOLUCIÓ
RESOLUCIÓ DE PROBLEMES AMB EQUACIONS
100
ESTUDI DEL NOMBRE DE SOLUCIONS
831106 _ 0100-0137.qxd
11/9/07
12:55
Página 101
La fi del món L’octubre de 1533 a la presó de Wittenberg s’hi va celebrar una reunió força curiosa: Luter hi era per visitar Michael Stifel, amic íntim seu. Stifel havia aplicat a la Bíblia càlculs numèrics i havia profetitzat que la fi del món seria el 18 d’octubre d’aquell mateix any. Luter contenia el riure i li deia: –Michael, quantes vegades t’he dit que no barregis la fe amb la raó? –No em tornarà a passar mai més. Quan surti d’aquí em dedicaré a ordenar els meus escrits i a publicar els meus treballs científics. Però no barrejaré mai més l’aigua amb l’oli. Tal com va prometre, el 1544 va publicar la seva obra Arithmetica integra, en què generalitza l’ús dels signes + i − per a la suma i la resta. Hi admet, també, per primera vegada, els coeficients negatius a les equacions, tot i que no les solucions negatives. Segons Stifel...
quina seria la solució d’aquestes equacions? L’equació: x+1=0
segons Stifel, no tindria solució, perquè la seva solució és un nombre negatiu, x = –1. L’equació: x2 – 1 = 0
segons Stifel, tindria una única solució: x = 1.
831106 _ 0100-0137.qxd
11/9/07
12:55
Página 102
Equacions de primer i segon grau EXERCICIS 001
Calcula el valor numèric de les expressions: a) 2x + x 2 − 3 b) 3x + 4y c) x 3 − 2x + 2
si si si
x=4 x=y=2 x = −3
d) x + x 3 − x e) x 4 + 2
si si
x = −1 x = −1
a) 8 + 16 − 3 = 21 b) 6 + 8 = 14 c) −27 + 6 + 2 = −19 d) −1 − 1 + 1 = −1 e) 1 + 2 = 3 002
Assenyala quines d’aquestes igualtats són identitats o equacions: a) −6(x − 2) + 5 = −2(3x − 3) + 11 b) 6(x − 1) = 4(x − 2) − 3(−x − 5) a) −6x + 12 + 5 = −6x + 6 + 11 → −6x + 17 = −6x + 17 → Igualtat b) 6x − 6 = 4x − 8 + 3x + 15 → 6x − 6 = 7x + 7 Només és certa per a x = −13 → 6(−13) − 6 = 7(−13) + 7 → → −78 − 6 = −91 + 7
003
Escriu dues identitats i dues equacions. 7x + 2x − 8 = 9x + 4 − 12 −7x − 2 = 7(−x − 1) + 5 Equacions: 2x + 3 = 85 6x + 8 = 2x + 6
Identitats:
004
Determina els elements d’aquestes equacions: a) 2x − 5 = 4(x + 9) b) x 2 + x − 1 = x 2 − 2x c) x (x 2 − x) + 2 + x 2 = x 3 + x a) Primer membre: 2x − 5. Segon membre: 4(x + 9). Incògnita: x. Grau: 1. b) Primer membre: x 2 + x − 1. Segon membre: x 2 − 2x. Incògnita: x. Grau: 1. c) Primer membre: x (x 2 − x) + 2 + x 2. Segon membre: x 3 + x. Incògnita: x. Grau: 1.
102
831106 _ 0100-0137.qxd
11/9/07
12:55
Página 103
SOLUCIONARI
005
4
Quin dels dos nombres següents és la solució de l’equació 5x − 9 = 4(x − 5)? b) −3
a) 4
c) 14
d) −11
5x − 9 = 4(x − 5) a) 5 ⋅ 4 − 9 = 20 − 9 = 11 ⎪⎫ ⎬ → No 4(4 − 5) = 4(−1) = −41 ⎭⎪⎪ ⎪ b) 5(−3) − 9 = −15 − 9 = −24 ⎫ ⎬ → No ⎪ 4(−3 − 5) = 4(−8) = −32 ⎭ ⎪ c) 5 ⋅ 14 − 9 = 70 − 9 = 61 ⎫⎪ ⎬ → No 4(14 − 5) = 4 ⋅ 9 = 36 ⎪⎪⎭ d) 5(−11) − 9 = −55 − 9 = −64 ⎪⎫ ⎬ → La solució és x = −11 4(−11 − 5) = 4(−16) = −64 ⎪⎪⎭ 006
Escriu dues equacions que tinguin com a solució x = 1. 3x = 3
007
2x + 5 = 7
Escriu dues equacions que tinguin: a) Dues solucions. b) Cap solució. c) Infinites solucions. a) x 2 + 5x = −3
x2 = 4
b) x + 9 = 0
x2 + x + 1 = 0
c) 3x + 6 = 3(x + 2)
5x + 4 = 2x + 3 + 3x + 1
2
008
Resol aplicant les regles de la suma i del producte: a) x + 4 = 5 b) x − 2 = −1 c) 3 − x = 21
d) 8x = 24 e) −6x = 72 f) −4x = −24
a) x + 4 = 5 ⎯→ x + 4 − 4 = 5 − 4 → x = 1 b) x − 2 = −1 → x − 2 + 2 = −1 + 2 → x = 1 → 3 − x − 3 = 21 − 3 → −x = 18 → c) 3 − x = 21 ⎯ ⎯ → (−1)(−x) = (−1)18 → x = −18 d) 8x = 24 ⎯⎯→
8x 24 = → x =3 8 8
e) −6x = 72 ⎯→
−6 x 72 = → x = −12 −6 −6
f) −4x = −24 →
−4 x −24 = → x =6 −4 −4
103
831106 _ 0100-0137.qxd
11/9/07
12:55
Página 104
Equacions de primer i segon grau 009
Calcula: a) 2x + 4 = 16
b) 7x + 8 = 57
c) 5x − 5 = 25
a) 2x + 4 = 16 → 2x + 4 − 4 = 16 − 4 → 2x = 12 →
d) −6x − 1 = −13 2x 12 = →x=6 2 2
7x 49 = →x=7 7 7 5x 30 = c) 5x − 5 = 25 → 5x − 5 + 5 = 25 + 5 → 5x = 30 → →x=6 5 5 d) −6x − 1 = −13 → −6x − 1 + 1 = −13 + 1 → −6x = −12 → −6 x −12 = → →x=2 −6 −6
b) 7x + 8 = 57 → 7x + 8 − 8 = 57 − 8 → 7x = 49 →
010
Calcula:
a) −11x = −4x + 15 b) −1 − 2x = −3x − 11
c) 7x − 4 = −5 − 6x d) 4x − 8 = 6x + 2
a) −11x = −4x + 15 → −11x + 4x = −4x + 15 + 4x → −7x = 15 → −7x 15 15 = → x =− → −7 −7 7 b) −1 − 2x = −3x − 11 → −1 − 2x + 3x + 1 = −3x − 11 + 3x + 1 → → x = −10 c) 7x − 4 = −5 − 6x → 7x − 4 + 6x + 4 = −5 − 6x + 6x + 4 → 13x 1 1 =− → 13x = −1 → →x =− 13 13 13 d) 4x − 8 = 6x + 2 → 4x − 8 − 6x + 8 = 6x + 2 − 6x + 8 → −2x 10 → x = −5 → −2x = 10 → = −2 −2 011
Troba la solució d’aquesta equació: 3(x + 2) = 3x + 6. 3(x + 2) = 3x + 6 → 3x + 6 = 3x + 6. És una identitat: infinites solucions.
012
Resol aquestes equacions: a) 2x + 5 = 2 + 4x + 3 b) 3x − 5 = 2x + 4 + x − 9 c) 3x + 8 = 5x + 2
d) 4x − 5 = 3x − 2 + x − 5 e) 9x − 11 = 4x + 6 + 5x + 5 f) 6x + 2x + 4 = 3x + 3 − 5x − 9
a) 2x + 5 = 2 + 4x + 3 → 2x + 5 = 4x + 5 → 2x − 4x = 5 − 5 → x = 0 b) 3x − 5 = 2x + 4 + x − 9 → 3x − 5 = 3x − 5 → Identitat c) 3x + 8 = 5x + 2 → 3x − 5x = 2 − 8 → −2x = −6 → x = 3 d) 4x − 5 = 3x − 2 + x − 5 → 4x − 5 = 4x − 7 → 4x − 4x = −7 + 5 → → 0x = −2 → Equació incompatible e) 9x − 11 = 4x + 6 + 5x + 5 → 9x − 11 = 9x + 11 → → 9x − 9x = 11 + 11 → 0x = 22 → Equació incompatible f) 6x + 2x + 4 = 3x + 3 − 5x − 9 → 8x + 4 = −2x − 6 → x = −1
104
831106 _ 0100-0137.qxd
11/9/07
12:55
Página 105
SOLUCIONARI
013
4
Indica si el pas és correcte o no. a) 2x + 5x = 2x + 4 → 5x = 4 b) 3x − 5 = x − 9 → 4x = −4
014
a) 2x + 5x − 2x = 4 → 5x = 4.
Sí que és correcte.
b) 3x − x = −9 + 5 → 2x = −4.
No és correcte.
Què passa quan en els dos membres d’una equació apareix el mateix terme? Aleshores podem eliminar-lo dels dos membres, perquè si en transposem un ens quedaria la suma d’un dels dos més el seu oposat.
015
Resol: a) x − 5(x − 2) = 6x b) 120 = 2x − (15 − 7x) a) x − 5(x − 2) = 6x → x − 5x + 10 = 6x → −4x + 10 = 6x → → 10 = 6x + 4x → 10 = 10x → x = 1 b) 120 = 2x − (15 − 7x) → 120 = 2x − 15 + 7x → 120 = 9x − 15 → → 120 + 15 = 9x → 135 = 9x → x = 15 Calcula el valor de x. a)
x +2 x +3 = 2 3
b)
x 2x + 7 − = 5 2 5
c)
x 7x +5= 4 12
b)
x +2 x + 3 m.c.m. (2, 3) = 6 x +2 x+3 → = = 6⋅ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 6 ⋅ 2 3 2 3 → 3(x + 2) = 2(x + 3) → 3x + 6 = 2x + 6 → 3x − 2x = 6 − 6 → x = 0 x 2x + 7 x (2x + 7) − = 5 → 10 ⋅ − 10 ⋅ = 10 ⋅ 5 → 2 5 2 5 F
a)
m.c.m. (2, 5) = 10
→ 5x − 2(2x + 7) = 50 → 5x − 4x − 14 = 50 → x = 50 + 14 → x = 64 c)
x 7x x 7x +5= → 12 ⋅ + 12 ⋅ 5 = 12 ⋅ → 3x + 60 = 7x → 4 12 4 12 F
016
m.c.m. (4, 12) = 12
→ 60 = 7x − 3x → 60 = 4x → x =
60 = 15 4
105
831106 _ 0100-0137.qxd
11/9/07
12:55
Página 106
Equacions de primer i segon grau 017
Resol aquestes equacions: 4( x − 1) 2( x − 3) − = 5 3 6 ( x + 5) 3( x + 4 ) − = 7 − 3x b) 2x + 6 8 a)
4(x − 1) 2(x − 3) 4(x − 1) 2(x − 3) − = 5 → 6⋅ −6⋅ = 6⋅5 → 3 6 3 6 F
a)
m.c.m. (3, 6) = 6
→ 8(x − 1) − 2(x − 3) = 30 → 8x − 8 − 2x + 6 = 30 → 32 16 = → 6x − 2 = 30 → 6x = 32 → x = 6 3 (x + 5) 3(x + 4) − = 7 − 3x → 6 8 F
b) 2x +
m.c.m. (6, 8) = 24
(x + 5) 3(x + 4) − 24 ⋅ = 24(7 − 3x ) → 6 8 → 48x + 4(x + 5) − 9(x + 4) = 24(7 − 3x) → → 48x + 4x + 20 − 9x − 36 = 168 − 72x → → 43x − 16 = 168 − 72x → 43x + 72x = 168 + 16 → 184 8 → 115 x = 184 → x = = 115 5 → 24 ⋅ 2x + 24 ⋅
018
Escriu una equació de primer grau amb parèntesis i denominadors que tingui com a solució x = −1. x+3 4−x + 2(x + 1) = 2 5
019
Resol: a) x 2 − 7x + 12 = 0 b) x 2 − 9x + 18 = 0 c) 2x 2 − 8x + 8 = 0
d) x 2 − 9x + 14 = 0 e) x 2 − 6x + 8 = 0 f) 3x 2 + 12x + 9 = 0
a) x 2 − 7x + 12 = 0 → x = =
7±
b) x 2 − 9x + 18 = 0 → x = =
106
−(−7) ± (−7)2 − 4 ⋅ 12 = 2 49 − 48 7± 1 7±1 = = = 2 2 2
4 3
−(−9) ± (−9)2 − 4 ⋅ 18 = 2
9±
81 − 72 9± 9 9±3 = = = 2 2 2
6 3
831106 _ 0100-0137.qxd
11/9/07
12:55
Página 107
SOLUCIONARI
4
c) 2x 2 − 8x + 8 = 0 → → x =
−(−8) ± (−8)2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 8 8± = 4
64 − 64 8 = =2 4 4
−(−9) ± (−9)2 − 4 ⋅ 14 = 2 7 81 − 56 9 ± 25 9±5 = = = 2 2 2 2
d) x 2 − 9x + 14 = 0 → x = =
9±
e) x 2 − 6 x + 8 = 0 → x = =
6±
−(−6) ± (−6)2 − 4 ⋅ 8 = 2
36 − 32 6± 4 6±2 = = = 2 2 2
f) 3x 2 + 12x + 9 = 0 → x = =
020
4 2
−12 ± 122 − 4 ⋅ 3 ⋅ 9 = 2⋅3
−12 ± 144 − 108 −12 ± = 6 6
36
=
−12 ± 6 = 6
Expressa de la forma ax 2 + bx + c = 0 i resol: a) x 2 − x = 20 b) 2x 2 = 48 − 10x c) 3x 2 − 8 = −2x a) x 2 − x − 20 = 0 → x = =
−1 −3
d) x 2 + 9 = 10x
−(−1) ± (−1)2 + 4 ⋅ 20 = 2
1 ± 1 + 80 1 ± 81 1± 9 = = = 2 2 2
5 −4
b) 2x 2 = 48 − 10x → 2x 2 + 10x − 48 = 0 → →x = =
−10 ± 102 + 4 ⋅ 2 ⋅ 48 −10 ± 100 + 384 = = 2⋅2 4
−10 ± 484 −10 ± 22 = = 4 4
3 −8
c) 3x 2 − 8 = −2x → 3x 2 + 2x − 8 = 0 → → x = =
−2 ±
22 + 4 ⋅ 3 ⋅ 8 −2 ± 4 ± 96 = = 2⋅3 6 8/6 = 4/3 −2
−2 ± 100 −2 ± 10 = = 6 6
d) x 2 + 9 = 10x → x 2 − 10x + 9 = 0 → → x = =
−(−10) ± (−10)2 − 4 ⋅ 9 10 ± 100 − 36 = = 2 2
10 ± 64 10 ± 8 = = 2 2
9 1
107
831106 _ 0100-0137.qxd
11/9/07
12:55
Página 108
Equacions de primer i segon grau 021
Resol aquestes equacions: a) 2x 2 − 98 = 0
b) 5x 2 + 20x = 0
2 2 2 a) 2x − 98 = 0 → 2x = 98 → x = 49 → x = ± 49 =
7 −7
⎪⎧ x = 0 → x 1 = 0 b) 5x 2 + 20x = 0 → x 2 + 4x = 0 → x (x + 4) = 0 → ⎨ ⎪⎪⎩ x + 4 = 0 → x 2 = −4 D’una altra manera: −20 ±
202 − 4 ⋅ 5 ⋅ 0 −20 ± 400 → x = = 10 10 0 −20 ± 20 = = −4 10
5x 2 + 20x = 0 → x =
022
Determina el nombre de solucions de les equacions de segon grau. a) x 2 − 7x − 12 = 0 b) x 2 + 9x + 18 = 0 c) 3x 2 − x + 12 = 0 a) ∆ = (−7)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−12) = 49 + 48 = 97 > 0 → Té 2 solucions. b) ∆ = 92 − 4 ⋅ 1 ⋅ 18 = 81 − 72 = 9 > 0 → Té 2 solucions. c) ∆ = (−1)2 − 4 ⋅ 3 ⋅ 12 = 1 − 144 = −143 < 0 → No té solució.
023
Quantes solucions tenen aquestes equacions de segon grau? Calcula’n el valor. a) x 2 − 6x + 4 = 0 b) 2x 2 = 4 − 10x c) 3x 2 = 6x
d) x 2 − 5x + 9 = 0 e) 7x 2 + 1 = 6x f) 8x 2 = −3
a) x 2 − 6x + 4 = 0 → x =
6±
62 − 4 ⋅ 4 6± = 2 6+
=
6±
20 2
=
36 − 16 = 2
20 2
6 − 20 2
b) 2x 2 = 4 − 10x → 2x 2 + 10x − 4 = 0 → → x=
=
108
−10 ± 102 + 4 ⋅ 2 ⋅ 4 −10 ± 100 + 32 = = 2⋅2 4
−10 ± 132 = 4
−10 + 132 4 −10 − 132 4
831106 _ 0100-0137.qxd
11/9/07
12:55
Página 109
SOLUCIONARI
c) 3x 2 = 6x → 3x 2 − 6x = 0 → x = =
d) x 2 − 5x + 9 = 0 → x = =
4
−(−6) ± (−6)2 − 4 ⋅ 3 ⋅ 0 = 2⋅3 6±
36 6
=
6±6 = 6
−(−5) ± (−5)2 − 4 ⋅ 9 5± = 2
2 0 25 − 36 = 2
5 ± −11 → No té solucions reals 2
e) 7x 2 + 1 = 6x → 7x 2 − 6x + 1 = 0 → →x=
−(−6) ± (−6)2 − 4 ⋅ 7 6 ± 36 − 28 6± 8 = = = 2⋅7 14 14
6±2 2 3± 2 = = = 14 7
f) 8x 2 = −3 → x 2 = −
024
3+ 2 7 3− 2 7
3 3 → x =± − → No té solucions reals 8 8
Calcula el valor del discriminant i les solucions en cada cas. a) x 2 − 4x + 3 = 0 b) 2x 2 − 20x = −50
c) x 2 − 4x = −5 2 2 4 x + x = 0 d) 3 5
a) ∆ = (−4)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 3 = 16 − 12 = 4 > 0 → Té 2 solucions. b) 2x 2 − 20x + 50 = 0 → x 2 − 10x − 25 = 0 → → ∆ = (−10)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 25 = 100 − 100 = 0 → → Té 1 solució (doble). c) x 2 − 4x + 5 = 0 → ∆ = (−4)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 5 = 16 − 20 = −4 < 0 → → No té solució. ⎛4⎞ 2 2 4 2 x + x = 0 → ∆ = ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ − 4 ⋅ ⋅ 0 → Té 2 solucions. ⎝ ⎠ 3 5 5 3 2
c)
025
Escriu una equació de segon grau: a) Amb dues solucions. b) Amb una solució doble. c) Sense solució. a) x 2 + 7x + 12 = 0 → x1 = −3, x 2 = −4 b) x 2 + 6x + 9 = 0 → x = −3 (doble) c) x 2 − 3x + 5 = 0 → No té solucions reals.
109
831106 _ 0100-0137.qxd
11/9/07
12:55
Página 110
Equacions de primer i segon grau 026
Resol: a) b) c) d) e)
x 2 − 9x = 0 x 2 − 7x = 0 4x 2 − 5x = 0 7x 2 = 6x 2x 2 − 32 = 0
f) g) h) i) j)
x 2 + 6x = 0 x 2 + 9x = 0 10x 2 + 11x = 0 3x 2 = −4x 3x 2 − 243 = 0
⎧ x = 0 ⎯⎯→ x1 = 0 a) x 2 − 9x = 0 → x (x − 9) = 0 → ⎪⎨ ⎩⎪⎪ x − 9 = 0 → x2 = 9 ⎪⎧ x = 0 ⎯⎯→ x1 = 0 b) x 2 − 7x = 0 → x (x − 7) = 0 → ⎨ ⎩⎪⎪ x − 7 = 0 → x2 = 7 ⎪⎧ x = 0 ⎯⎯⎯→ x1 = 0 c) 4 x 2 − 5 x = 0 → x (4 x − 5) = 0 → ⎨ ⎪⎪⎩ 4x − 5 = 0 → x2 = 5/4 ⎧ x = 0 ⎯⎯⎯→ x1 = 0 d) 7x 2 − 6 x = 0 → x (7x − 6) = 0 → ⎪⎨ ⎩⎪⎪ 7x − 6 = 0 → x2 = 6/7 ⎪⎧ x1 = 4 e) 2x 2 = 32 → x 2 = 16 → ⎨ ⎩⎪⎪ x2 = −4 ⎪⎧ x = 0 ⎯⎯→ x1 = 0 f) x 2 + 6 x = 0 → x (x + 6) = 0 → ⎨ ⎪⎪⎩ x + 6 = 0 → x2 = −6 ⎧ x = 0 ⎯⎯→ x1 = 0 g) x 2 + 9x = 0 → x (x + 9) = 0 → ⎪⎨ ⎪⎪⎩ x + 9 = 0 → x2 = −9 ⎪⎧ x = 0 ⎯⎯⎯⎯→ x1 = 0 h) 10 x 2 + 11x = 0 → x (10 x + 11) = 0 → ⎨ ⎩⎪⎪ 10x + 11 = 0 → x2 = −11/10 ⎯→ x1 = 0 ⎪⎧ x = 0 ⎯⎯ i) 3x 2 + 4 x = 0 → x (3x + 4) = 0 → ⎨ ⎪⎪⎩ 3x + 4 = 0 → x2 = −4/3 ⎧x = 9 j) 3x 2 − 243 = 0 → x 2 = 81 → ⎪⎨ 1 ⎪⎪⎩ x 2 = −9 027
Calcula: a) 900x 2 = 9 b) 5x (2x − 1) = 7x
c) −x 2 = 3x − 10 d) (x − 2)(3x + 7) = 0
a) 900 x 2 = 9 → x 2 =
⎧⎪ x = 1/10 1 1 → x =± →⎨ 1 100 100 ⎩⎪⎪ x 2 = −1/10
b) 5x (2x − 1) = 30 → 10x 2 − 5x − 30 = 0 → →x= =
110
−(−5) ± (−5)2 + 4 ⋅ 10 ⋅ 30 5± = 2 ⋅ 10
25 + 1.200 = 20
⎧⎪ x = 2 5 ± 1.225 5 ± 35 = →⎨ 1 ⎪⎪⎩ x 2 = −30 / 20 = −3 / 2 20 20
831106 _ 0100-0137.qxd
11/9/07
12:55
Página 111
SOLUCIONARI
4
c) −x 2 = 3x − 10 → −x 2 − 3x + 10 = 0 → → x =
−(−3) ±
⎧⎪ x = −5 (−3)2 + 4 ⋅ 10 3 ± 49 3±7 = = →⎨ 1 ⎪⎪⎩ x 2 = 2 −2 −2 −2
⎧ x − 2 = 0 ⎯→ x1 = 2 d) (x − 2)(3x + 7) = 0 → ⎪⎨ ⎩⎪⎪ 3x + 7 = 0 → x2 = −7/3 028
Escriu una equació de segon grau amb algun coeficient igual a zero i dues solucions. ⎪⎧ x = 4 x 2 − 16 = 0 → x 2 = 16 → x = ± 16 → ⎨ 1 ⎩⎪⎪ x 2 = −4
029
La suma de dos nombres és 48. Si un és la meitat de l’altre, quins nombres són? Anomenem els dos nombres x i 2x. x + 2x = 48 → 3x = 48 → x = 16 → 2x = 32 Els dos nombres són 16 i 32.
030
La Maria té 4 tebeos menys que la Sara. Si la Maria li’n dóna dos dels seus, la Sara en tindrà el triple que ella. Quants tebeos té cadascuna? Tebeos de la Maria: x Tebeos de la Sara: x + 4
x + 4 + 2 = 3(x − 2) → x + 4 + 2 = 3x − 6 → x − 3x = −6 − 4 − 2 → → −2x = −12 → x = 6 La Maria té 6 tebeos i la Sara en té 10. 031
Quaranta-tres persones assisteixen a una festa. Si marxessin 3 nois, hi hauria el triple de noies que de nois. Quants nois i noies hi ha? Nre. de nois: x Nre. de noies: 43 − x 43 − x = 3(x − 3) → 43 − x = 3x − 9 → 43 = 4x − 9 → 52 = 4x → x = 13 Substituïm: 43 − 13 = 30. Hi ha 13 nois i 30 noies.
032
La suma de dos nombres consecutius senars çes 156. De quins nombres es tracta? Anomenem els dos nombres x i x + 2 → x + x + 2 = 156 → 2x = 154 → x = 77 Per tant, els dos nombres són 77 i 79.
033
El producte d’un nombre pel doble d’aquest nombre és 288. Quin nombre és? Hi ha més d’una solució? Nombre: x
x ⋅ 2x = 288 → 2x 2 = 288 → x 2 = 144 → x = ±12 Té dues solucions: 12 i −12.
111
831106 _ 0100-0137.qxd
11/9/07
12:55
Página 112
Equacions de primer i segon grau 034
L’Albert té el doble d’edat que l’Anna. Si multipliquem les seves edats obtenim el nombre 512. Quina edat té cadascun? Edat de l’Anna: x
Edat de l’Albert: 2x
x ⋅ 2x = 512 → 2x = 512 → x 2 = 256 → x = ±16 2
Com que l’edat és un nombre positiu, la solució és única. L’Anna té 16 anys, i l’Albert 32.
035
La suma d’un nombre i el seu quadrat és 42. De quin nombre es tracta?
x + x 2 = 42 → x 2 + x − 42 = 0 → → x =
⎧⎪ x = 6 −1 ± 12 + 4 ⋅ 42 −1 ± 169 −1 ± 13 = = →⎨ 1 ⎪⎪⎩ x 2 = −7 2⋅1 2 2
Hi ha dues solucions: Per a x = 6 ⎯→ 62 + 6 = 36 + 6 = 42 Per a x = −7 → (−7)2 + (−7) = 49 − 7 = 42
036
El producte de les edats de la Lluïsa i el seu germà, que té 5 anys menys que ella, és 176. Quants anys tenen tots dos? ⎫⎪ Edat de la Lluïsa: x 2 ⎬ x (x − 5) = 176 → x − 5 x − 176 = 0 Edat del seu germà: x − 5⎭⎪⎪ x =
−(−5) ± (−5)2 + 4 ⋅ 176 5± = 2 =
25 + 704 5 ± 729 = = 2 2
5 ± 27 ⎪⎧ x = 16 →⎨ 1 ⎪⎩⎪ x 2 = −11 2
La segona solució no és vàlida (una edat no pot ser negativa), així que la Lluïsa té 16 anys i el seu germà té 16 − 5 = 11 anys.
037
Troba dos nombres consecutius que quan els multipliquem obtinguem com a resultat 380 unitats. Anomenem els dos nombres x i x + 1.
x(x + 1) = 380 → x 2 + x − 380 = 0 → → x =
⎧⎪ x = 19 −1 ± 12 + 4 ⋅ 380 −1 ± 1.521 −1 ± 39 = = →⎨ 1 ⎪⎪⎩ x 2 = −20 2 2 2
Hi ha dues solucions: Per a x = 19 ⎯→ Els nombres són 19 i 20. Per a x = −20 → Els nombres són −20 i −19.
112
831106 _ 0100-0137.qxd
11/9/07
12:55
Página 113
SOLUCIONARI
038
4
Per tancar una finca rectangular de 750 m2 fem servir 110 m de tanca. Calcula les dimensions de la tanca. Els costats mesuren x i 55 − x. L’àrea serà: A = x (55 − x) = 750.
55 − x
x
Per trobar la mesura dels costats hem de resoldre l’equació de segon grau: x (55 − x) = 750 → 55x − x 2 = 750 → x 2 + 55x − 750 = 0
x= =
−55 ±
552 − 4 ⋅ 750 −55 ± = −2
3.025 − 3.000 = −2
−55 ± 25 −55 ± 5 ⎪⎧ x = 25 = →⎨ 1 ⎪⎪⎩ x 2 = 30 −2 −2
ACTIVITATS 039 ●
Determina si les igualtats algebraiques són identitats o equacions. a) b) c) d)
2x + 3 = 5(x − 1) − 3x + 8 2x − 3x − 7 = 5x + 1 − x 4x + 6 − x − 3x = 5 + 8x − 3 − 2x (x + 2)2 − x 2 − 4x = 4 a) 2x + 3 = 5(x − 1) − 3x + 8 → 2x + 3 = 5x − 5 − 3x + 8 → → 2x + 3 = 2x + 3 → Identitat b) 2x − 3x − 7 = 5x + 1 − x → −x − 7 = 4x + 1 → Equació c) 4x + 6 − x − 3x = 5 + 8x − 3 − 2x → 6 = 2 + 6x → Equació d) (x + 2)2 − x 2 − 4x = 4 → x 2 + 4x + 4 − x 2 − 4x = 4 → 4 = 4 → → Identitat
040 ●
Indica els membres d’aquestes equacions: a) b) c) d)
2x + 3 = 5 2x − 3x − 7 = 5x + x − 5x 4x + 6 − x − 3x = 5 + 2x − 3 − 2x (x + 2) − (x 2 − 2) = 4 a) 2x +3 =
5
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
1r membre 2n membre
b) 2x − 3x − 7 = 5x + x − 5x ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
1r membre
2n membre
c) 4x + 6 − x − 3x = 5 + 2x − 3 − 2x ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
1r membre
2n membre
d) (x + 2) − (x 2 − 2) =
4
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
1r membre
2n membre
113
831106 _ 0100-0137.qxd
11/9/07
12:55
Página 114
Equacions de primer i segon grau 041 ●
Assenyala els termes de les equacions. a) 5x + 1 = 25 b) 2x − x − 9 = x + 3x − 5x
c) 4x + 6 = 76 + 12x + 3 − 2x d) 9(x + 7) − 3(x 2 − 2) = 4
a) 5x + 1 = 25 → Termes: 5x, 1, 25 b) 2x − x − 9 = x + 3x − 5x → Termes: 2x, −x, −9, x, 3x, −5x c) 4x + 6 = 76 + 12x + 3 − 2x → Termes: 4x, 6, 76, 12x, 3, −2x d) 9(x + 7) − 3(x 2 − 2) = 4 → 9x + 63 − 3x 2 + 6 = 4 → → Termes: 9x, 63, −3x 2, 6, 4 042 ●
Indica el grau de les equacions següents: a) x 4 − 8 + x = 0 a) Grau 4.
043 ●
b) 2x 2 + x = 0 b) Grau 2.
c) 3x 2 + 75 = 0 c) Grau 2.
d) −4x 2 − 12x 5 = x 6
d) Grau 6.
Quin d’aquests nombres és la solució de l’equació x (x − 1) = x 2 + x ? a) x = 1
b) x = −1
c) x = 0
d) x = 2
e) x = −3
f) x = −2
La a solució és: c) x = 0, perquè 0(0 − 1) = 0 + 0. 044 ●
El valor 4 és la solució d’alguna d’aquestes equacions? a) x 2 − 16 = 0 b) x + 4 = 0
c) x 2 − 4 = 8 d) x 2 − x + 8 = x + 4
a) Sí, 16 − 16 = 0. b) No, 4 + 4 ⫽ 0. c) No, 16 − 4 ⫽ 8.
e) x 3 − 124 = 0 f) x 2 − x + 8 = x + 4 − 8
d) No, 16 − 4 + 8 ⫽ 4 + 4. e) No, 64 − 128 ⫽ 0. f) No, 16 − 4 + 8 ⫽ 4 + 4 − 8.
045
Escriu una equació:
●●
a) Amb dues incògnites i termes independents 5 i −3. b) Amb una incògnita i solució 7. c) Amb incògnita z i solució −9. a) x − 3y + 5 = 2x + y − 3 b) 2x − 5 = 9 → 2x = 14 → x = 7 c) 1 − z = 10 → −z = 10 − 1 = 9 → z = −9
046 ●
114
Esbrina quines de les equacions següents tenen com a solució x = 6. 4 c) −x = e) −x = −6 a) 4x = 24 3 8 d) 3x = 32 f) 4 x = b) 8x = 12 3 4 a) Sí, x = 6. c) No, x = − . e) Sí, x = 6. 3 3 32 2 b) No, x = . d) No, x = . f) No, x = . 2 3 3
831106 _ 0100-0137.qxd
11/9/07
12:55
Página 115
SOLUCIONARI
047 ●
048 ●
4
Escriu dues equacions en cada cas. a) Que tinguin com a solució x = 3. b) Que tinguin com a solució x = −2.
c) Que tinguin com a solució x = 5. d) Que tinguin com a solució x = −1.
a) 2x = 6 i 3x + 6 = 15
c) x − 5 = 0 i 2x = 10
b) 3x = −6 i 9 − 2x = 13
d) x + 1 = 0 i 3x = −3
Resol: a) b) c) d)
10 − x = 3 9+x=2 −12 − x = 3 16 + 3x = −12
e) f) g) h)
4x + 5 = 11 3x + 7 = 14 −5 + 20x = 95 −9 − 11x = 2
a) 10 − x = 3 → 10 − 3 = x → x = 7 b) 9 + x = 2 → 9 + x − 9 = 2 − 9 → x = −7 c) −12 − x = 3 → −12 − x + 12 = 3 + 12 → −x = 15 → x = −15 d) 16 + 3x = −12 → 16 + 3x − 16 = −12 − 16 → 3x = −28 → x = −
28 3
3 2 7 f) 3x + 7 = 14 → 3x = 14 − 7 → 3x = 7 → x = 3 200 g) −5 + 20x = 95 → 20x = 95 + 5 → x = =5 20 11 h) −9 − 11x = 2 → −11x = 2 + 9 → x = = −1 −11 e) 4x + 5 = 11 → 4x = 11 − 5 → 4x = 6 → x =
049 ●
Troba la solució d’aquestes equacions: a) 4x + 5 = −3x + 12 b) 3x + 7 = 2x + 16 c) 5 + 20x = 7 + 12x
d) 6x + 40 = 2x + 50 e) −3x − 42 = −2x − 7 f) 3x − 50 = 10 − 2x
g) 9x + 8 = −7x + 16 h) −5x − 13 = −2x − 4 i) 9x − 8 = 8x − 9
a) 4x + 5 = −3x + 12 → 4x + 3x = 12 − 5 → 7x = 7 → x = 1 b) 3x + 7 = 2x + 16 → 3x − 2x = 16 − 7 → x = 9
1 4 10 5 d) 6x + 40 = 2x + 50 → 6x − 2x = 50 − 40 → 4x = 10 → x = = 4 2 e) −3x − 42 = −2x − 7 → −3x + 2x = −7 + 42 → −x = 35 → x = −35 c) 5 + 20x = 7 + 12x → 20x − 12x = 7 − 5 → 8x = 2 → x =
f) 3x − 50 = 10 − 2x → 3x + 2x = 10 + 50 → 5x = 60 → x = 12 1 2 9 = −3 h) −5x − 13 = −2x − 4 → −5x + 2x = −4 + 13 → −3x = 9 → x = −3 i) 9x − 8 = 8x − 9 → 9x − 8x = −9 + 8 → x = −1 g) 9x + 8 = −7x + 16 → 9x + 7x = 16 − 8 → 16x = 8 → x =
115
831106 _ 0100-0137.qxd
11/9/07
12:55
Página 116
Equacions de primer i segon grau 050 ●●
051
Corregeix els errors en la resolució de l’equació. En el tercer pas, quan s’aïlla la x, el 5 ha de passar dividint amb el mateix 10 signe amb què multiplica la x, que, en aquest cas, és positiu, x = = 2. 5 FES-HO AIXÍ COM RESOLEM UNA EQUACIÓ AMB PARÈNTESIS? Resol 3(4 − 2x) − 2(3x − 1) = 2. PRIMER.
Eliminem els parèntesis. Hem de tenir en compte que si hi ha un signe menys davant d’un parèntesi hem de canviar tots els signes de l’interior. 3(4 − 2x) − 2(3x − 1) = 2 3 ⋅ 4 − 3 ⋅ 2x − 2 ⋅ 3x + 2 ⋅ 1 = 2 12 − 6x − 6x + 2 = 2
SEGON.
Agrupem els termes amb x en un membre i els nombres a l’altre. 12 − 6x − 6x + 2 = 2 → 12 + 2 − 2 = 6x + 6x
TERCER.
CUART.
Reduïm els termes semblants. 12 + 2 − 2 = 6x + 6x → 12 = 12x
Aïllem la x. 12 = 12x → x =
052 ●
12 =1 12
Resol: a) 6(x + 11) = 40 + 6(x + 2)
d) 120 = 2x − (15 − 7x)
b) 2(x − 17) = x − 3(12 − 2x)
e) 5(x + 4) = 7(x − 2)
c) x − 5(x − 2) = 6
f) 3(x + 7) − 6 = 2(x + 8)
a) 6(x + 11) = 40 + 6(x + 2) → 6x + 66 = 40 + 6x + 12 → → 6x + 66 = 6x + 52 → 6x − 6x = 52 − 66 → → 0x = 14 → No té solució b) 2(x − 17) = x − 3(12 − 2x) → 2x − 34 = x − 36 + 6x → 2 → 2x − 34 = 7x − 36 → 2x − 7x = −36 + 34 → −5x = −2 → x = 5 c) x − 5(x − 2) = 6 → x − 5x + 10 = 6 → −4x = −4 → x = 1 d) 120 = 2x − (15 − 7x) → 120 = 2x − 15 + 7x → 120 + 15 = 9x → 135 →x = = 15 9 e) 5(x + 4) = 7(x − 2) → 5x + 20 = 7x − 14 → 5x − 7x = −14 − 20 → → −2x = −34 → x = 17 f) 3(x + 7) − 6 = 2(x + 8) → 3x + 21 − 6 = 2x + 16 → → 3x + 15 = 2x + 16 → 3x − 2x = 16 − 15 → x = 1
116
831106 _ 0100-0137.qxd
11/9/07
12:55
Página 117
SOLUCIONARI
053 ●
Resol aquestes equacions: 4x = 3 20 3x b) = −21 6 a)
−2x = 4 3 7x d) = 28 4 c)
4x = 3 → 4 x = 3 ⋅ 20 → 4 x = 60 → x = 15 20
b)
3x 126 = −21 → 3x = −21 ⋅ 6 → 3x = −126 → x = − = −42 6 3
c)
−2x 12 = 4 → −2x = 12 → x = = −6 3 −2
d)
7x 112 = 28 → 7x = 28 ⋅ 4 → x = = 16 4 7
e)
9x −15 5 = −5 → 9x = −15 → x = =− 3 9 3
f)
−3x 50 = −25 → −3x = −50 → x = 2 3
Escriu una equació:
●●
a) Que tingui un parèntesi i solució −1. b) Que tingui denominador i solució 3. c) Que tingui dos parèntesis i solució 4. a)
●●
9x = −5 3 −3x f) = −25 2 e)
a)
054
055
4
3(x − 3) = −6 2
b)
x −5 = −1 2
c) 3(x − 1) − 6(5 − x) = 3
Resol: a) b)
x −2 =1 5
c)
3x + 20 = x + 25 2
3x + 15 3x d) = −7 − 1 = 12 − 3x 6 4 x −2 =1→ x −2 = 5 → x = 5+2 = 7 a) 5 b)
3x + 15 −57 = −7 → 3x + 15 = −42 → 3x = −57 → x = = −19 6 3
c)
3x 3x 1 + 20 = x + 25 → − x = 25 − 20 → x = 5 → x = 2 ⋅ 5 = 10 2 2 2
d)
3x 3x 3 + 12 − 1 = 12 − 3x → + 3x = 12 + 1 → x = 13 → 4 4 4 → 15 x = 13 ⋅ 4 → x =
52 15
117
831106 _ 0100-0137.qxd
20/9/07
13:15
Página 118
Equacions de primer i segon grau ●
Calcula el valor de x. a)
3x 2x +7= +9 5 6
d)
x +8 x −4 − = 2 2 6
b)
x +2 = 5x − 46 3
e)
x −5 8−x 2x − 10 + + = 3 5 2 2
f)
x − 10 x − 20 x − 30 − − = 5 2 4 3
c) x −
a)
x +4 x = 1+ 5 2
⎛ 3 ⋅ 6 − 2 ⋅ 5 ⎞⎟ 3x 2x 3x 2x ⎟⎟ x = 2 → +7= +9→ − = 9 − 7 → ⎜⎜⎜ ⎝ ⎠ 30 5 6 5 6 F
056
8 2 ⋅ 30 15 → x =2→ x = = 30 8 2
x +2 = 5x − 46 → x + 2 = 15x − 138 → x − 15x = −138 − 2 → 3 → −14x = −140 → x = 10
c) x −
x+4 x = 1+ → 10x − 2(x + 4) = 10 + 5x → 5 2 F
b)
m.c.m. (5, 6) = 30
m.c.m. (5, 2) = 10
→ 10x − 2x − 8 = 10 + 5x → 8x − 8 = 10 + 5x → → 8x − 5x = 10 + 8 → 3x = 18 → x = 6 x +8 x −4 (x + 8) (x − 4) − = 2→ 6⋅ −6⋅ = 6⋅2→ 2 6 2 6 F
d)
m.c.m. (2, 6) = 6
→ 3(x + 8) − (x − 4) = 12 → 3x + 24 − x + 4 = 12 → −16 = −8 → 2x + 28 = 12 → 2x = 12 − 28 → x = 2 e) x − 5 + 8 − x + 2x − 10 = 3 → F m.c.m. (5, 2) = 10 5 2 2 (x − 5) (8 − x ) (2x − 10) + 10 ⋅ + 10 ⋅ = 10 ⋅ 3 → → 10 ⋅ 5 2 2 → 2(x − 5) + 5(8 − x) + 5(2x − 10) = 30 → → 2x − 10 + 40 − 5x + 10x − 50 = 30 → 50 → 7x − 20 = 30 → 7x = 50 → x = 7 f) x − 10 − x − 20 − x − 30 = 5 → F m.c.m. (2, 4, 3) = 12 2 4 3 (x − 10) (x − 20) (x − 30) − 12 ⋅ − 12 ⋅ = 12 ⋅ 5 → → 12 ⋅ 2 4 3 → 6(x − 10) − 3(x − 20) − 4(x − 30) = 60 → → 6x − 60 − 3x + 60 − 4x + 120 = 60 → → −x + 120 = 60 → −x = 60 − 120 = −60 → x = 60
118
831106 _ 0100-0137.qxd
11/9/07
12:55
Página 119
4
SOLUCIONARI
Troba la solució d’aquestes equacions: 2x − 10 3( x − 12) − = −1 3 4 −3x − 3 = 3 − 4( x + 2) b) 5 2x − 5 x +1 + = 20 − x c) 5 4
3−x 3 + 2( x − 1) −x = 7 14 4x − 6 3( x + 1) + 2x = 21 − e) 10 12
a)
2x − 10 3(x − 12) (2x − 10) 3(x − 12) − = −1 → 12 ⋅ − 12 ⋅ = −12 → 4 3 4 3 F
a)
d)
m.c.m. (3, 4) = 12
→ 4(2x − 10) − 9(x − 12) = −12 → 8x − 40 − 9x + 108 = −12 → → −x + 68 = −12 → −x = −12 − 68 = −80 → x = 80 b)
c)
−3x − 3 −3x − 3 = 15 − 20(x + 2) → = 3 − 4(x + 2) → 5 ⋅ 5 5 → −3x − 3 = 15 − 20x − 40 → −3x + 20x = −25 + 3 → 22 → 17x = −22 → x = − 17 2x − 5 x +1 + = 20 − x → 5 4 m.c.m. (5, 4) = 20
(2x − 5) (x + 1) + 20 ⋅ = 20(20 − x ) → 5 4 → 4(2x − 5) + 5(x + 1) = 20(20 − x) → 8x − 20 + 5x + 5 = 400 − 20x → 415 → 13x + 20x = 400 + 15 → 33x = 415 → x = 33 → 20 ⋅
e)
3−x 3 + 2(x − 1) 3−x 3 + 2(x − 1) −x = → 14 ⋅ − 14 x = 14 ⋅ → 14 7 14 7 → 2(3 − x) − 14x = 3 + 2(x − 1) → → 6 − 2x − 14x = 3 + 2x − 2 → 6 − 16x = 1 + 2x → 5 → −16x − 2x = 1 − 6 → −18x = −5 → x = 18 4x − 6 3(x + 1) + 2x = 21 − → 10 12 m.c.m. (10, 12) = 60
4x − 6 3(x + 1) + 60 ⋅ 2x = 60 ⋅ 21 − 60 ⋅ → → 60 ⋅ 10 12 → 6(4x − 6) + 120x = 1.260 − 15(x + 1) → → 24x − 36 + 120x = 1.260 − 15x − 15 → 1.281 427 = → 144x + 15x = 1.245 + 36 → 159x = 1.281 → x = 159 53 F
d)
F
●
F
057
(: 3)
119
831106 _ 0100-0137.qxd
11/9/07
12:55
Página 120
Equacions de primer i segon grau 058 ●●
Està ben resolta aquesta equació? Esbrina-ho comprovant-ne la solució. Corregeix els errors que s’han comès. 4x − 2 x −1 = 2x − 7 4 1r Calculem el m.c.m. 2n Multipliquem per 28. 3r Eliminem els parèntesis. 4t Transposem els termes. 5è Reduïm els termes.
m.c.m. (7, 4) = 28 4(4x − 2) = 2x − 7(x − 1) 16x − 2 = 2x − 7x − 7 16x − 2x + 7x = −7 + 2 15x = −5
6è Aïllem la x.
x=
15 = −3 −5
2n No s’ha multiplicat 2x per 2: 4(4x − 2) = 56x − 7(x − 1) 3r La propietat distributiva està mal aplicada: 16x − 8 = 56x − 7x + 7 4t 14x − 56x + 7x = 7 + 8 5è S’ha sumat malament: −35x = 15 6è S’ha aïllat malament la x:
x =− 059 ●●
15 3 =− 35 7
Resol: a)
2( x + 5) ( x + 1)( x − 3) = 2 3
b)
x x 4( x − 1) 5( x − 2) − − = 6 3 2 2
c)
2x − 3( x − 5) x −3 = 2 4 a) 3(x + 5) = (x + 1)(x − 3) → 3x + 15 = x 2 − 2x − 3 → x 2 − 5x − 18 = 0
x =
5±
⎪⎧⎪ 5 + 97 ⎪⎪ x 1 = 25 + 72 5 ± 97 ⎪ 2 = →⎨ ⎪ 2 2 5 97 − ⎪⎪ ⎪⎪ x 2 = 2 ⎩
b) x − 2x − 12(x − 1) = 15(x − 2) → x − 2x − 12x + 12 = 15x − 30 → 3 → −28x = −42 → x = 2 c) 2(2x − 3(x − 5)) = x − 3 → 4x − 6x + 30 = x − 3 → −3x = −33 → → x = 11
120
831106 _ 0100-0137.qxd
11/9/07
12:55
Página 121
SOLUCIONARI
060 ●
4
Resol les equacions de segon grau aplicant la fórmula general. a) b) c) d)
x 2 − 5x + 6 = 0 2x 2 − 4x + 13 = 0 x 2 + 8x + 16 = 0 3x 2 + 2x − 16 = 0 a) x =
b) x =
e) x 2 − 2x + 1 = 0 f) 7x 2 − 3x + 1 = 0 g) −x 2 − 4x + 5 = 0
⎪⎧⎪ 5+1 =3 ⎪⎪ x 1 = 25 − 24 5± 1 2 = → ⎪⎨ ⎪⎪ 5 −1 2 2 =2 ⎪x 2 = 2 ⎩⎪⎪
5±
4 ± 16 − 104 4 ± −88 = → No té solució 4 4
64 − 64 −8 ± 0 = = −4 (doble) 2 2 −2 + 14 ⎪⎧⎪ =2 ⎪⎪ x 1 = −2 ± 4 + 192 −2 ± 196 6 = → ⎪⎨ d) x = ⎪⎪ −2 − 14 8 6 6 =− ⎪⎪ x 2 = 6 3 ⎪⎩ c) x =
e) x =
−8 ±
2±
4−4 2± 0 = = 1 (doble) 2 2
9 − 28 3 ± −19 = → No té solució 14 14 ⎧⎪ ⎪⎪ x 1 = −4 + 6 = 1 ⎪ 4 ± 16 + 36 −4 ± 36 2 = → ⎨⎪ g) x = ⎪⎪ −4 − 6 2 −2 = −5 ⎪⎪ x 2 = 2 ⎪⎩ f) x =
061 ●
3±
Esbrina, sense resoldre-les, el nombre de solucions d’aquestes equacions: a) x 2 + 5x + 6 = 0
e) x 2 + 8x + 16 = 0
b) −2x 2 − 6x + 8 = 0
f) 2x 2 − 4x + 13 = 0
c) x − 8x + 16 = 0
g) 7x 2 − 3x + 1 = 0
2
d) −x 2 + x + 1 = 0 a) ∆ = 25 − 24 = 1 > 0: 2 solucions. b) ∆ = 36 + 64 = 100 > 0: 2 solucions. c) ∆ = 64 − 64 = 0: 1 solució. d) ∆ = 1 + 4 = 5 > 0: 2 solucions. e) ∆ = 64 − 64 = 0: 1 solució. f) ∆ = 16 − 104 = −88 < 0: no té solució. g) ∆ = 9 − 28 = −19 < 0: no té solució.
121
831106 _ 0100-0137.qxd
11/9/07
12:55
Página 122
Equacions de primer i segon grau 062 ●
Determina el nombre de solucions de les equacions següents: a) b) c) d)
x2 −1 = 0 x 2 + 2x = 0 x 2 − 4x + 4 = 0 x 2 + 8x + 16 = 0
e) x 2 − x − 2 = 0 f) x 2 = 7x − 12 g) 2x 2 − 4 + 3x = x 2 + 2 + 2x
a) x 2 − 1 = 0 → x 2 = 1 → x = ±1 ⎧x1 = 0 b) x 2 + 2x = 0 → x (x + 2) = 0 → ⎪⎨ ⎩⎪⎪x + 2 = 0 → x2 = −2 c) x 2 − 4x + 4 = 0 → x =
−(−4) ± (−4)2 − 4 ⋅ 4 4 ± 16 − 16 = =2 2 2
d) x 2 + 8x + 16 = 0 → x =
−8 ±
82 − 4 ⋅ 16 −8 ± 64 − 64 = = −4 2 2
−(−1) ± (−1)2 + 4 ⋅ 2 1± 1+ 8 = = 2 2 ⎧⎪ ⎪⎪ x 1 = 1 + 3 = 2 1± 3 ⎪ 2 = → ⎪⎨ ⎪⎪ 1− 3 2 = −1 ⎪⎪ x 2 = 2 ⎪⎩
e) x 2 − x − 2 = 0 → x =
f) x 2 = 7x − 12 → x 2 − 7x + 12 = 0 → →x =
−(−7) ±
(−7)2 − 4 ⋅ 12 7± = 2
49 − 48 7±1 ⎪⎧ x = 4 = →⎨ 1 ⎪⎪⎩ x 2 = 3 2 2
g) 2x 2 − 4 + 3x = x 2 + 2 + 2x → 2x 2 − x 2 + 3x − 2x − 4 − 2 = 0 → → x2 + x − 6 = 0 → x =
063 ●
−1 ± 1 + 4 ⋅ 6 −1 ± 5 ⎪⎧ x = 2 = →⎨ 1 ⎪⎪⎩ x 2 = −3 2 2
Resol aquestes equacions de segon grau incompletes: a) b) c) d)
x2 −8 = 0 2x 2 + 50 = 0 3x 2 + 75x = 0 x 2 − 16 = 0
e) f) g) h)
a) x = ± 8 b) x 2 = −25 ⎯→ No té solució → x1 = 0, x2 = −25 c) 3x (x + 25) ⎯ d) x = ±4 e) −8x (x + 3) → x1 = 0, x2 = −3 f) −x (x + 1) ⎯→ x1 = 0, x2 = −1 g) x = ±1 h) 2x (x − 1) ⎯→ x1 = 0, x2 = 1
122
−8x 2 − 24x = 0 −x 2 − x = 0 x2 −1 = 0 4x 2 − 2x = 0
831106 _ 0100-0137.qxd
11/9/07
12:55
Página 123
SOLUCIONARI
064 ●
4
Resol les equacions amb el mètode més adequat. a) 7x 2 = 63 b) x 2 − 24 = 120 c) x 2 − 25 = 0 d) x 2 = 10.000 e) x 2 − 3 = 22 f) 5x 2 − 720 = 0 g) x 2 + 1 =
5 4
h) x 2 − 36 = 100 i) 2x 2 − 72 = 0 j) 5x 2 − 3 = 42 k) 9x 2 − 36 = 5x 2 l) 2x 2 + 7x − 15 = 0 a) 7x 2 = 63 → x 2 = 9 → x = ±3 b) x 2 − 24 = 120 → x 2 = 120 + 24 = 144 → → x = ±12 c) x 2 − 25 = 0 → x 2 = 25 → x = ±5 d) x 2 = 10.000 → x = ±100 e) x 2 − 3 = 22 → x 2 = 25 → x = ±5 f) 5x 2 − 720 = 0 → 5x 2 = 720 → → x 2 = 144 → x = ±12 g) x 2 + 1 =
5 5 1 → x2 = −1 = → 4 4 4 1 → x =± 2
h) x 2 − 36 = 100 → x 2 = 100 + 36 = 136 → → x = ± 136 i) 2x − 72 = 0 → 2x 2 = 72 → x 2 = 36 → x = ±6 2
j) 5x 2 − 3 = 42 → 5x 2 = 45 → x 2 = 9 → x = ±3 k) 9x 2 − 36 = 5x 2 → 9x 2 − 5x 2 = 36 → 4x 2 = 36 → → x 2 = 9 → x = ±3 l) 2x 2 + 7x − 15 = 0 → x =
−7 ±
49 + 120 = 4
⎧⎪ ⎪⎪ x 1 = 6 = 3 −7 ± 13 ⎪ 4 2 = → ⎪⎨ ⎪⎪ 20 4 = −5 ⎪⎪ x 2 = − 4 ⎪⎩
123
831106 _ 0100-0137.qxd
11/9/07
12:55
Página 124
Equacions de primer i segon grau 065 ●
Resol: a) x 2 − 7x = 0 b) x 2 + 3x = 0 c) x 2 − 25x = 0 d) x 2 − 10x = 0 e) 16x (x − 5) = 0 f) 3x 2 − 12x = 0 g) 3x = 4x 2 − 2x h) 4x 2 = 5x i) 25x 2 − 100x = 0 j) 6x 2 − 6x = 12x ⎧⎪x = 0 ⎯⎯→ x1 = 0 a) x 2 − 7x = 0 → x (x − 7) = 0 → ⎨ ⎪⎪⎩x − 7 = 0 → x 2 = 7 ⎧⎪x = 0 ⎯⎯→ x1 = 0 b) x 2 + 3x = 0 → x (x + 3) = 0 → ⎨ ⎪⎪⎩x + 3 = 0 → x 2 = −3 → x1 = 0 ⎪⎧x = 0 ⎯⎯⎯ c) x 2 − 25x = 0 → x (x − 25) = 0 → ⎨ ⎩⎪⎪x − 25 = 0 → x 2 = 25 → x1 = 0 ⎪⎧x = 0 ⎯⎯⎯ d) x 2 − 10x = 0 → x (x − 10) = 0 → ⎨ ⎪⎪⎩x − 10 = 0 → x 2 = 10 ⎧⎪16x = 0 ⎯→ x1 = 0 e) 16x (x − 5) = 0 → ⎨ ⎪⎪⎩x − 5 = 0 → x 2 = 5 ⎧⎪3x = 0 ⎯⎯ → x1 = 0 f) 3x 2 − 12x = 0 → 3x (x − 4) = 0 → ⎨ ⎪⎪⎩x − 4 = 0 → x2 = 4 g) 3x = 4x 2 − 2x → 4x 2 − 2x − 3x = 0 → 4x 2 − 5x = 0 → ⎧⎪ x = 0 ⎯⎯⎯ → x1 = 0 ⎪ → x (4x − 5) = 0 → ⎪⎨ 5 ⎪⎪4 x − 5 = 0 → x 2 = ⎪⎩ 4 h) 4x 2 = 5x → 4x 2 − 5x = 0 → x (4x − 5) = 0 → ⎪⎧⎪ x = 0 ⎯⎯⎯ → x1 = 0 → ⎪⎨ 5 ⎪⎪4 x − 5 = 0 → x 2 = ⎪⎩ 4 ⎧⎪25x = 0 ⎯→ x1 = 0 i) 25x 2 − 100x = 0 → 25x (x − 4) = 0 → ⎨ ⎪⎪⎩x − 4 = 0 → x 2 = 4 j) 6x 2 − 6x = 12x → 6x 2 − 18x = 0 → 6x (x − 3) = 0 → → x1 = 0 ⎪⎧6x = 0 ⎯⎯ →⎨ ⎩⎪⎪x − 3 = 0 → x 2 = 3
124
831106 _ 0100-0137.qxd
11/9/07
12:55
Página 125
SOLUCIONARI
066
4
FES-HO AIXÍ COM RESOLEM LES EQUACIONS EN QUÈ UN PRODUCTE ÉS IGUAL A ZERO? Resol l’equació ( x − 1)( x + 2) = 0. Perquè un producte de diversos factors valgui zero, almenys un dels factors ha de ser zero. PRIMER.
Igualem a zero cadascun dels factors. ⎧x − 1 = 0 (x − 1)(x + 2) = 0 → ⎪⎨ ⎪⎪⎩ x + 2 = 0
SEGON.
Resolem les equacions que hem obtingut. ⎪⎧ x − 1 = 0 → x = 1 (x − 1)(x + 2) = 0 → ⎨ ⎪⎪⎩ x + 2 = 0 → x = −2
L’equació té dues solucions: x 1 = 1 i x 2 = −2.
067 ●●
Calcula sense aplicar la fórmula general. a) (x + 2)(x1 − 2) = 0 b) (x − 3)(x2 + 3) = 0 ⎛ x⎞ c) (x + 3)(2x − 5) ⎜⎜⎜5 − ⎟⎟⎟ = 0 ⎝ 2⎠ 2 d) (x − 5) = 0 e) (x − 2)2 + x = x ⎛ 3x 4⎞ − ⎟⎟⎟ = 0 f) x ⎜⎜⎜ ⎝ 4 5⎠ 2
⎧ x + 2 = 0 → x 1 = −2 a) ⎪⎨ ⎪⎪⎩ x − 2 = 0 → x 2 = 2 ⎧ x + 3 = 0 → x 1 = −3 b) ⎪⎨ ⎩⎪⎪ x − 3 = 0 → x 2 = 3 ⎪⎧⎪ x + 3 = 0 ⎯→ x 1 = −3 ⎪ ⎪⎪⎪2x − 5 = 0 → x 2 = 5 c) ⎨ 2 ⎪⎪ ⎪⎪5 − x ⎯⎯⎯ → x 3 = 10 ⎪⎪⎩ 2 d) x − 5 = 0 → x = 5 (doble) e) (x − 2)2 = 0 → x − 2 = 0 → x = 2 (doble) ⎯⎯⎯⎯→ x 1 = 0 ⎪⎧⎪ x = 0 ⎯ ⎪ 2 f) ⎨⎛⎜ 3x 16 4 ⎞⎟ 3x 4 ⎪⎪⎜ (doble) − ⎟⎟ = 0 → − = 0 → x2 = ⎜ ⎟ 15 5⎠ 4 5 ⎪⎩⎪⎝ 4
125
831106 _ 0100-0137.qxd
11/9/07
12:55
Página 126
Equacions de primer i segon grau 068
Resol les equacions següents:
●●
a) (x + 1)(x − 3) + 3 = 0 b) (x + 9)(x − 9) = 3(x − 27) c) x (3x − 2) = 65
e) (2x + 3)(2x − 3) = 135 23 x = 18 f) x 2 − 4 13 = 0 g) x 2 − 7x + 4
d) 4x − (x 2 − 4) = 2x − 4
a) (x + 1)(x − 3) + 3 = 0 → x 2 + x − 3x − 3 + 3 = 0 → x 2 − 2x = 0 → ⎪⎧x = 0 ⎯⎯→ x1 = 0 → x (x − 2) = 0 → ⎨ ⎩⎪⎪x − 2 = 0 → x2 = 2 b) (x + 9)(x − 9) = 3(x − 27) → x 2 − 81 = 3x − 81 → x 2 − 3x = 0 → ⎪⎧x = 0 ⎯⎯→ x1 = 0 → x (x − 3) = 0 → ⎨ ⎪⎪⎩x − 3 = 0 → x2 = 3 c) x (3x − 2) = 65 → 3x 2 − 2x − 65 = 0 → → x =
2±
⎧⎪ x = 5 4 + 780 2 ± 28 = →⎨ 1 ⎪⎪⎩ x 2 = −13 6 6
d) 4x − (x 2 − 4) = 2x − 4 → 4x − x 2 + 4 − 2x + 4 = 0 → 22 + 4 ⋅ 8 −2 ± 4 + 32 = = 2 ⋅ (−1) −2 −2 ± 6 ⎪⎧ x = −2 = →⎨ 1 −2 ⎪⎪⎩ x 2 = 4
→ −x 2 + 2x + 8 = 0 → x =
−2 ±
e) (2x + 3)(2x − 3) = 135 → 4x 2 − 9 = 135 → 4x 2 = 144 → → x 2 = 36 → x = ±6 f) x 2 −
23 23 x = 18 → x 2 − x − 18 = 0 → 4 4
→ x =
−(−23 / 4) ± (−23 / 4)2 + 4 ⋅ 18 23 / 4 ± (529 /16) + 72 = = 2 2
23 / 4 ± (529 + 1.152) /16 23 / 4 ± 41/ 4 = → 2 2 ⎧⎪ ⎪⎪ x 1 = (23 / 4 + 41/ 4) = 64 / 4 = 64 = 8 ⎪ 2 2 8 → ⎪⎨ ⎪⎪ 18 / 4 9 (23 / 4 − 41/ 4) =− =− ⎪⎪ x 2 = 2 4 2 ⎪⎩
=
g) x 2 − 7x +
13 −(−7) ± (−7)2 − 4 ⋅ 13 / 4 =0→ x = = 4 2 =
126
7±
⎪⎧⎪ 13 ⎪⎪ x 1 = 49 − 13 7 + 36 2 = →⎨ ⎪⎪ 1 2 2 ⎪⎪ x 2 = 2 ⎪⎩
831106 _ 0100-0137.qxd
11/9/07
12:55
Página 127
SOLUCIONARI
069 ●●
4
Escriu una equació de segon grau que tingui tots els coeficients diferents de zero i una solució doble. L’equació és x 2 + 2x + 1 = 0. x =
070
−2 ±
4−4 2
=
−2 = −1 2
FES-HO AIXÍ COM RESOLEM EQUACIONS DE SEGON GRAU AMB PARÈNTESIS I DENOMINADORS? Resol
( x − 1)2 3 − 4x 5 + 4x . − = 2 4 4
PRIMER. Eliminem els denominadors. Calculem el m.c.m. dels denominadors i hi multipliquem els dos memnres de l’equació.
m.c.m. (2, 4) = 4 ⎛ (x − 1)2 3 − 4x 4⎜⎜⎜ − ⎝ 2 4
⎞⎟ ⎟⎟ = ⎠
⎛ 5 + 4x 4⎜⎜⎜ ⎝ 4
⎞⎟ ⎟⎟ ⎠
2(x − 1)2 − (3 − 4x) = (5 + 4x) SEGON.
Traiem els parèntesis. 2(x 2 − 2x + 1) − 3 + 4x = 5 + 4x 2x 2 − 4x + 2 − 3 + 4x = 5 + 4x
TERCER.
Passem tots els termes al primer membre i fem les operacions. 2x 2 − 4x + 2 − 3 + 4x − 5 − 4x = 0 2x 2 − 4x − 6 = 0
QUART.
Simplifiquem l’equació, si podem, i la resolem. 2x 2 − 4x − 6 = 0 x =
CINQUÈ.
2±
Dividim entre 2
F
x 2 − 2x − 3 = 0
⎧⎪ x = 3 4 + 12 2±4 = →⎨ 1 ⎪⎪⎩ x 2 = −1 2 2
Comprovem les solucions x=3
⎯⎯⎯→ x = −1
⎯⎯⎯→
(3 − 1)2 3−4⋅3 5+4⋅3 9 17 − = → 2+ = 2 4 4 4 4 (−1 − 1)2 3 − 4(−1) 5 + 4(−1) 7 1 − = → 2− = 4 4 2 4 4
127
831106 _ 0100-0137.qxd
11/9/07
12:55
Página 128
Equacions de primer i segon grau 071 ●●●
Resol les equacions següents: a) b) c) d) e) f)
( x − 2)2 14 x − 5 11 + = 3 6 6 ( x − 2)( x + 2) 14 x + 35 52x + 5 − = 5 6 10 (2x + 1)2 = −1 (x − 2) + (2x − 1)(x − 3) = x (3x − 3) − 2x (x − 1)(x + 2) = 2 + (x + 3)(x − 4) 3 2 4 x + x = 0 4 5 a) 2(x − 2)2 + 14x − 5 = 11 → 2x 2 − 8x + 8 + 14x − 5 = 11 → → 2x 2 + 6x − 8 = 0 → x 2 + 3x − 4 = 0 → ⎧⎪ ⎪⎪ x 1 = −3 + 5 = 1 ⎪ −3 ± 9 + 16 −3 ± 25 2 → ⎨⎪ = →x = ⎪⎪ −3 − 5 2 2 = −4 ⎪⎪ x 2 = 2 ⎪⎩ b) 12(x − 2)(x + 2) − 10(14x + 35) = 6(52x + 5) → → 12x 2 − 48 − 140x − 350 = 312x + 60 → 12x 2 − 452x − 458 = 0 → → 6x 2 − 226x − 229 = 0 x =
226 ±
51.076 + 5.496 226 ± 56.572 = → Té 2 solucions 12 12
c) 4x 2 + 4x + 2 = 0 → 2x 2 + 2x + 1 = 0 → →x =
−2 ±
4−8 4
=
−2 ± −4 → No té solució 4
d) x − 2 + 2x 2 − 7x + 3 = 3x 2 − 3x − 2x → −x 2 − x + 1 = 0 → ⎧⎪ ⎪⎪ x = 1 + 5 ⎪ 1 1± 1+ 4 1± 5 −2 = → ⎪⎨ →x = ⎪⎪ −2 −2 ⎪⎪ x 2 = 1 − 5 −2 ⎩⎪ e) x 2 + x − 2 = 2 + x 2 − x − 12 → 2x = −8 → x = −4 ⎧⎪ x 1 = 0 ⎛3 ⎪ 5⎞ f) x ⎜⎜⎜ x + ⎟⎟⎟ = 0 → ⎪⎨ 3 5 −5 ⎪⎪ x + = 0 → x2 = ⎝4 4 ⎟⎠ ⎪⎩ 4 4 3 072 ●●
128
Troba dos nombres consecutius que sumin 51. Els dos nombres són x i x + 1 → x + x + 1 = 51 → 2x = 50 → x = 25 Per tant, els nombres són el 25 i el 26.
073
Calcula un nombre el doble i el triple del qual sumin 10.
●●
El nombre és x → 2x + 3x = 10 → 5x = 10 → x = 2
831106 _ 0100-0137.qxd
11/9/07
12:55
Página 129
SOLUCIONARI
074 ●●
4
Calcula un nombre que, quan hi sumis 4, resulti el doble del nombre menys una unitat. El nombre és x → x + 4 = 2(x − 1) → −x = −6 → x = 6
075 ●●
Troba dos nombres consecutius si saps que la diferència dels seus quadrats és 567. Els dos nombres són x i x + 1. (x + 1)2 − x 2 = 567 → x 2 + 2x + 1 − x 2 = 567 → 2x = 566 → x = 283 Els nombres són 283 i 284.
076 ●●
El preu d’un anell i el seu estoig és de 10.200 € i l’anell val 10.000 € més que l’estoig. Quin és el preu de cada article? Estoig: x. Anell: x + 10.000 → x + x + 10.000 = 10.200 → 2x = 200 → → x = 100. L’estoig val 100 €, i l’anell 10.100 €.
077 ●●
Una bodega va exportar al gener la meitat dels seus barrils i, al cap de dos mesos, un terç dels que li quedaven. Quants barrils tenia al començament si ara hi ha 40.000 barrils? x 1⎛ x⎞ Barrils: x. Al gener exporta: , i durant els dos mesos següents, ⎜⎜⎜ x − ⎟⎟⎟. 2 3⎝ 2 ⎟⎠ x−
x x⎞ x x x 1⎛ − ⎜⎜ x − ⎟⎟⎟ = 40.000 → = 40.000 → − = 40.000 → ⎜ 3 2 3⎝ 2 ⎟⎠ 2 6 → x = 120.000 barrils
078
FES-HO AIXÍ COM RESOLEM ELS PROBLEMES D’EDATS AMB EQUACIONS? El gos de l’Àlex té 12 anys menys que ell. D’aquí a 4 anys, l’Àlex tindrà el triple de l’edat del seu gos. Quines edats tenen tots dos? PRIMER.
Plantejament.
Actualment D’aquí a 4 anys
Edat de l’Àlex x x+4
Edat del gos x − 12 x − 12 + 4 = x − 8
D’aquí a 4 anys, l’edat de l’Àlex serà el triple que la del gos: x + 4 = 3(x − 8). SEGON.
Resolució. x + 4 = 3(x − 8) → x + 4 = 3x − 24 → 28 = 2x → x = 14
TERCER.
Comprovació. L’Àlex té 14 anys, i el seu gos 14 − 12 = 2 anys. En 4 anys, ell en tindrà 18, i el gos 6; 18 = 6 ⋅ 3.
129
831106 _ 0100-0137.qxd
11/9/07
12:55
Página 130
Equacions de primer i segon grau 079 ●●
En Miquel té 4 anys més que el seu cosí Ignasi i, d’aquí a 3 anys, entre tots dos sumaran 20 anys. Quants anys té cadascun? Ignasi: x. Miquel: x + 4 → (x + 3) + (x + 4 + 3) = 20 → 2x = 10 → x = 5 Ignasi: 5 anys. Miquel: 9 anys.
080 ●●
Quina edat tinc ara si d’aquí a 12 anys tindré el triple de l’edat que tenia fa 6 anys? Edat actual: x → x + 12 = 3(x − 6) → −2x = −30 → x = 15 anys
081 ●●●
La Llúcia té tres fills. El petit té la meitat d’anys que el mitjà, i aquest té sis anys menys que el gran. Calcula les edats de tots tres, si saps que la suma de les edats que tenen ara és igual que l’edat de la seva cosina Anna, que és 12 anys més gran que el germà petit. Gran: x
Mitjà: x − 6
Petit:
x −6 2
Anna:
x −6 + 12 2
x −2 x −2 = + 12 → 2x = 18 → x = 9 2 2 Gran: 9 anys. Mitjà: 3 anys. Petit: 1 any i mig. x + x −6+
082
FES-HO AIXÍ COM RESOLEM ELS PROBLEMES DE BARREGES AMB EQUACIONS? Disposem de dos tipus de te: un de Tailàndia, a 5,20 €/kg, i un altre de l’Índia, a 6,20 €/kg, i volem obtenir 100 kg de te a 6 €/kg. Quants quilos hem de barrejar de cada tipus? PRIMER.
Plantejament. Quilos x 100 − x 100
Te tailandès Te indi
Barreja Preu per kg de barreja = SEGON.
Preu 5,2x 6,2(100 − x) 5,2x + 6,2(100 − x)
5,2x + 6,2(100 − x ) =6 100
Resolució. 5,2x + 6,2(100 − x ) = 6 → 5,2x + 620 − 6,2x = 600 → 20 = x 100
TERCER.
Comprovació. Necessitem 20 kg de te de Tailàndia i 100 − x = 80 kg de te de l’Índia.
El quilo de barreja val:
130
5,2 ⋅ 20 + 6,2 ⋅ 80 = 6 €. 100
831106 _ 0100-0137.qxd
11/9/07
12:55
Página 131
SOLUCIONARI
083 ●●
4
Quants litres de llet de 0,75 €/ ¬ hem de barrejar amb llet de 0,85 €/ ¬ per aconseguir-ne 100 litres a 0,77 €/ ¬? Llet de 0,75 €: x
Llet de 0,85 €: 100 − x
0,75x + 0,85(100 − x) = 100 ⋅ 0,77 → 85 − 0,1x = 77 → x = 80 S’han de barrejar 80 litres a 0,75 €/¬ i 20 litres a 0,85 €/¬. 084 ●●
En una fàbrica de maons barregen argila de 21 € la tona amb argila de 45 € la tona. Quantes tones de cada classe hem de fer servir per aconseguir 500 tones d’argila a 39 € la tona? Argila a 21 €/t: x. Argila a 45 €/t: 500 − x → 21x + 45(500 − x) = 500 ⋅ 39 → → 22.500 − 24x = 19.500 → x = 120 → 120 t a 21 €/t y 380 t a 45 €/t
085 ●●
En una papereria s’han venut 25 caixes de paper del tipus A i 14 caixes del tipus B per 7.700 €. Quin és el preu de la caixa de cada tipus 5 la del tipus A ? si el preu de la del tipus B és 6 Tipus A: x
Tipus B:
5 x 6
35 x = 7.700 → 75 x + 35 x = 23.100 → 110x = 23.000 → 3 → x = 210. Caixa del tipus A: 210 €. Caixa del tipus B: 175 €. 25x + 25 x +
086
FES-HO AIXÍ COM RESOLEM ELS PROBLEMES DE MOVIMENT AMB EQUACIONS? Un camió surt d’una ciutat a una velocitat de 80 km/h i, dues hores més tard, surt un cotxe de la mateixa ciutat a 120 km/h. A quina distància de la ciutat el cotxe atraparà el camió? PRIMER.
Plantejament.
x → Temps que ha passatr des que surt el cotxe fins que es troba amb el camió. Distància que recorre el camió Distància que recorre el cotxe
Avantatge 2 ⋅ 80
Moment de la trobada 2 ⋅ 80 + 80x 120x
La distància recorreguda per tots dos vehicles quan es troben és la mateixa → → 2 ⋅ 80 + 80x = 120x SEGON.
Resolució: 2 ⋅ 80 + 80x = 120x → 160 = 120x − 80x → x = 4
TERCER. Comprovació. Es troben 4 hores després de la sortida del cotxe, és a dir, al cap de 6 hores de l’inici del vaitge del camió. El camió, en 6 hores, recorre: 6 ⋅ 80 = 480 km. El cotxe, en 4 hores, recorre: 4 ⋅ 120 = 480 km.
131
831106 _ 0100-0137.qxd
11/9/07
12:55
Página 132
Equacions de primer i segon grau 087 ●●●
L’Ester viatja de Sevilla a Barcelona amb cotxex. Surt a les 8 del matí i va a una velocitat constant de 90 km/h. A 110 km de Barcelona, en Joan agafa a la mateixa hora un autobús que viatja a 70 km/h en la mateixa direcció que l’Ester. A quina hora es troba l’Ester amb l’autobús? Quina distància ha recorregut cadascun? El temps que triguen a trobar-se és x. 90x = 110 + 70x → 20x = 110 → x = 5,5 hores. Per tant, es troben a les 13 h 30 min. La distància que ha recorregut l’Ester és: 5,5 ⋅ 90 = 495 km. La d’en Joan: 495 − 110 = 385 km.
088 ●●●
A les 7 del matí, en Tomàs surt de Zamora amb direcció a Cadis, que estan a 660 km de distància, a 75 km/h. A la mateixa hora, la Natàlia surt de Cadis i es dirigeix a Zamora per la mateixa carretera que en Tomàs a una velocitat de 60 km/h. A quina hora es creuaran? I a quina distància estaran de Cadis? Si x és el temps que triguen a trobar-se i tenint en compte que estan a una distància de 660 km: 75x + 60x = 660 → 135x = 660 → → x = 4,888 hores = 4 h 53 min 20 s. Es creuaran a les 11 h 53 min 20 s i estaran a 4,888 ⋅ 60 = 293,333 km de Cadis.
089 ●●
Un terreny rectangular té una superfície de 1.739 m2 i fa 10 m més de llargada que d’amplada. Calcula’n les dimensions. Amplada: x. Llargada: x + 10 → x (x + 10) = 1.739 → x 2 + 10x − 1.739 = 0 ⎧⎪ ⎪⎪ x 1 = −10 + 84 = 37 ⎪ −10 ± 100 + 6.956 −10 ± 7.056 2 x = → ⎪⎨ = ⎪⎪ −10 − 84 2 2 = −47 ⎪⎪ x 2 = 2 ⎪⎩ Les dimensions són 37 m d’amplada i 47 m de llargada. L’altra solució no és vàlida perquè és negativa.
090 ●●
Si un camp de futbol fa 30 m més de llargada que d’amplada i la seva àrea és de 7.000 m2, calcula’n les dimensions. Amplada: x. Llargada: x + 30 → x (x + 30) = 7.000 → x 2 + 30x − 7.000 = 0 x =
−30 ±
900 + 28.000 −30 ± 28.900 = → 2 2
⎪⎧⎪ −30 + 170 = 70 ⎪⎪ x 1 = 2 → ⎪⎨ ⎪⎪ −30 − 170 = −100 ⎪⎪ x 2 = 2 ⎪⎩ Les dimensions del camp són 70 m d’amplada i 100 m de llargada. L’altra solució no és vàlida perquè és negativa.
132
831106 _ 0100-0137.qxd
11/9/07
12:55
Página 133
SOLUCIONARI
091 ●●
4
Troba dos nombres que es diferencien en 7 unitats si saps que el seu producte és 60. Menor: x. Major: x + 7 → x (x + 7) = 60 → x 2 + 7x − 60 = 0
x =
⎪⎧⎪ −7 + 17 =5 ⎪⎪ x 1 = −7 ± 289 49 + 240 2 → ⎪⎨ = ⎪⎪ −7 − 17 2 2 = −12 ⎪⎪ x 2 = 2 ⎪⎩
−7 ±
Les solucions són 5 i 12 o −12 i −5. 092 ●●●
En un triangle rectangle de 24 m de perímetre la longitud del catet és igual a tres quarts de la de l’altre. Troba’n les dimensions.. Catet 1: x Catet 2:
3 x 4
Hipotenusa:
x2 +
9 2 5 x = x 16 4
3 5 x + x = 24 → 3x = 24 → x = 8 4 4 Catet 1 = 8 m. Catet 2 = 6 m. Hipotenusa = 10 m. x+
093 ●●
Per enrajolar una sala de 8 m de llargada i 6 m d’amplada s’han fet servir 300 rajoles quadrades. Quant fa el costat de les rajoles? Costat de la rajola: x 300x 2 = 8 ⋅ 6 → x 2 = 0,16 → x = 0,4 La rajola fa 40 cm de costat.
094 ●●
La diagonal d’un rectangle fa 10 cm. Troba’n les dimensions si un catet fa 2 cm menys que l’altre. Major: x
Menor: x − 2
Diagonal:
x 2 + (x − 2)2
x 2 + (x − 2)2 = 102 → 2x 2 − 4x + 4 = 100 → x 2 − 2x − 48 = 0
x =
2±
⎪⎧⎪ 2 + 14 =8 ⎪⎪ x 1 = 4 + 192 2 ± 196 2 ⎪ →⎨ = ⎪⎪ 2 − 14 2 2 = −6 ⎪⎪ x 2 = 2 ⎪⎩
Les dimensions són 8 cm i 10 cm. L’altra solució no és vàlida perquè és negativa.
133
831106 _ 0100-0137.qxd
11/9/07
12:55
Página 134
Equacions de primer i segon grau 095 ●●●
Un cine té el mateix nombre de files que de seients per fila. El propietari decideix remodelar-lo i treure una butaca per fila i tres files. Després de la remodelació, el nombre de seients és 323. a) Quantes files tenia el cine abans de la remodelació? b) Quants seients hi ha ara en cada fila? a) Anomenem x = nre. de files = nre. de butaques/fila S’eliminen 3 files: x − 3. S’elimina 1 butaca per fila: x − 1. (x − 3)(x − 1) = 323 → x 2 − 3x − x + 3 = 323 → → x 2 − 4x − 320 = 0 → x = =
4±
42 + 4 ⋅ 320 = 2
4 ± 16 + 1.280 4 ± 36 ⎪⎧ x = 20 = →⎨ 1 ⎪⎪⎩ x 2 = −16 2 2
El valor negatiu no té sentit. Per tant, el cine tenia 20 butaques per fila i 20 files. b) Ara té 20 − 1 = 19 butaques per fila.
096 ●●●
Investigarem què passa amb les equacions de segon grau el coeficient de x 2 de les quals val 1, és a dir, les equacions de la forma: x 2 + bx + c = 0 Per fer-ho, seguim aquests passos: a) Resol les quatre equacions:
b) Quines relacions observes entre les solucions que has obtingut i els coeficients b i c? c) Troba les solucions de x 2 + bx + c = 0 i després calcula’n la suma i el producte. d) Aplica les relacions que has trobat i busca dos nombres la suma dels quals sigui 15 i el producte, 56.
134
831106 _ 0100-0137.qxd
11/9/07
12:55
Página 135
SOLUCIONARI
a) x 2 − 7x + 12 = 0 → → x =
⎪⎧⎪ 7+1 =4 ⎪⎪ x 1 = 49 − 48 7± 1 2 = → ⎪⎨ ⎪⎪ 7−1 2 2 =3 ⎪⎪ x 2 = 2 ⎩⎪
7±
x 2 − 3x − 10 = 0 → → x =
4
⎪⎧⎪ 3+7 =5 ⎪⎪ x 1 = 9 + 40 3 ± 49 2 ⎪ →⎨ = ⎪⎪ 3−7 2 2 = −2 ⎪⎪ x 2 = 2 ⎪⎩
3±
x 2 + 5x + 6 = 0 →
⎧⎪ ⎪⎪ x 1 = −5 + 1 = −2 ⎪ −5 ± 25 − 24 −5 ± 1 2 → x = = → ⎨⎪ ⎪⎪ −5 − 1 2 2 = −3 ⎪⎪ x 2 = 2 ⎪⎩
x 2 + 2x − 24 = 0 → → x =
⎧⎪ ⎪⎪ x 1 = 2 + 10 = 6 ⎪ 4 − 96 2 ± 100 2 → ⎨⎪ = ⎪⎪ 2 − 10 2 2 = −4 ⎪⎪ x 2 = 2 ⎪⎩
2±
b) b = −(x1 + x2), c = x1 ⋅ x2 ⎪⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ c) ⎬→ −b − b 2 − 4c ⎪⎪⎪ x2 = ⎪⎪ 2 ⎪⎭ x1 =
−b + b 2 − 4c 2
⎪⎧⎪ −b + ⎪⎪ x 1 + x 2 = ⎪ →⎨ ⎪⎪ ⎪⎪ x 1 ⋅ x 2 = −b + ⎪⎪⎩
−b − b 2 − 4c b 2 − 4c + = −b 2 2 b 2 − ( b 2 − 4c )2 b 2 − 4c −b − b 2 − 4c ⋅ = =c 2 2 4
d) x 2 − 15x + 56 = 0 → → x =
097 ●●●
15 ±
15 + 1 ⎪⎪⎧ =8 ⎪⎪ x 1 = 225 − 224 15 ± 1 2 = → ⎪⎨ ⎪⎪ 15 − 1 2 2 =7 ⎪⎪ x 2 = 2 ⎩⎪
Desenvolupa i simplifica l’expressió: A = (x − 1)2 + x 2 + (x + 1)2. Troba tres nombres enters consecutius la suma dels quadrats dels quals sigui 30.002.
A = (x − 1)2 + x 2 + (x − 1)2 → A = x 2 − 2x + 1+ x 2 + x 2 + 2x + 1 → → A = 3x 2 + 2 30.002 = 3x 2 + 2 → 30.000 = 3x 2 → x 2 = 10.000 → x = ±100 Té dues solucions: 99 i 100, 101 i −99, −100 i −101.
135
831106 _ 0100-0137.qxd
11/9/07
12:55
Página 136
Equacions de primer i segon grau 098 ●●●
Resol l’equació: 4 x 2 − 1 + (2x + 1)(x + 3) = 0 sense fer servir la fórmula general. Per fer-ho, factoritza l’expressió del primer membre. 4x 2 − 1 = (2x + 1)(2x − 1)
4x 2 − 1 + (2x + 1)(x + 3) = 0 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ → (2x + 1)(2x − 1) + (2x + 1)(x + 3) = 0 → ⎧⎪ ⎪⎪ x 1 = −1 ⎪ 2 → (2x + 1)[(2x − 1) + (x + 3)] = 0 → (2x + 1)(3x + 2) = 0 → ⎪⎨ ⎪⎪ −2 ⎪⎪ x 2 = 3 ⎪⎩
A LA VIDA QUOTIDIANA 099 ●●●
A la Mariam li falten pocs dies per donar a llum. A la seva feina tenen el costum de fer un regal als nounats. En Robert i la Pilar, companys seus, s’han encarregat de recollir els diners. La Mariam és molt popular a l’empresa, gairebé tothom la coneix. Per això la majoria dels seus companys han participat en el regal. Ahir, en Robert i la Pilar van ser en uns grans magatzems i han proposat comprar el cotxet de nadó, que està d’oferta, pel qual haurien de posar uns 8 € cadascun. Com que tothom hi estava d’acord, el van anar a comprar, però va resultar que l’oferta s’havia acabat i els faltaven 4 €. El que podem fer és posar-hi cadascun 9 € i amb els 8 € que sobren comprem una samarreta per al nen.
Finalment, en Robert i la Pilar m’han dit que, dels 14 companys, hi ha una persona que no ha posat els diners per al regal de la Mariam. Creus que és cert el que diuen? Persones que participen en el regal:x Preu original:8x Preu nou: 8x + 4 y 9x − 8 8x + 4 = 9x − 8 → x = 12 Per tant, el que han dit en Robert i la Pilar no és cert, ja que han posat diners 12 persones, i no 13.
136
831106 _ 0100-0137.qxd
11/9/07
12:55
Página 137
SOLUCIONARI
100 ●●●
4
En Marcel·lí és ferrer i s’ha trobat amb força problemes al llarg de la seva trajectòria professional. Molt sovint li fan encàrrecs que són difícils de portar a terme. A vegades, no només és difícil fer la feina, sinó també interpretar què és el que vol el client. A la terrassa, hi tinc un tros de paret que fa 1,30 m. Vull col·locar, sobre els extrems de la paret, una barra de ferro que formi un angle recte per instal·lar-hi un tendal que faci 1,70 de longitud.
Per això, quan algú li planteja un problema com aquest, en Marcel·lí l’ha de traduir a les tasques que ell ha de fer a la seva ferreria. El que vostè necessita és una barra de ferro que faci 1,70 m. Aquesta barra, l’hem de doblegar fins que faci un angle recte de manera que la distància entre els extrems sigui d’1,30 m.
Com haurà de doblegar la barra, en Marcel·lí? Catet 1 del triangle rectangle: x. Catet 2 del triangle rectangle: 170 − x.
x 2 + (170 − x 2) = 130 2 → x 2 + x 2 − 340x + 28.900 = 16.900 → → 2x 2 − 340x + 12.000 = 0 x=
340 ± 115.600 − 96.000 340 ± = 4 ⎪⎧⎪ ⎪⎪ x 1 = → ⎪⎨ ⎪⎪ ⎪⎪ x 2 = ⎪⎩
19.600 4
→
340 + 140 = 120 4 340 − 140 = 50 4 Haurà de doblegar la barra de manera que les dues parts facin 120 cm i 50 cm.
137
831106 _ 0138-0177.qxd
5
11/9/07
12:56
Página 138
Sistemes d’equacions EQUACIÓ LINEAL AMB DUES INCÒGNITES
SISTEMES DE DUES EQUACIONS AMB DUES INCÒGNITES
CLASSES DE SISTEMES
RESOLUCIÓ GRÀFICA
MÈTODES DE RESOLUCIÓ
SUBSTITUCIÓ
IGUALACIÓ
REDUCCIÓ
RESOLUCIÓ DE PROBLEMES AMB SISTEMES DE DUES EQUACIONS I DUES INCÒGNITES 138
831106 _ 0138-0177.qxd
11/9/07
12:56
Página 139
Una classe improvisada Estar convidat a la Festa de la Primavera, que cada any se celebrava al palau del maharajà, era un honor reservat només als personatges més influents. Quan pujava a l’elefant, el savi Brahmagupta i el seu jove ajudant, Serhane, van coincidir a reconèixer que el maharajà era molt generós d’enviar el seu seguici per portar-los al palau. El jove ajudant es va passar mig camí queixant-se de les disciplines que havia d’estudiar: –Mestre, per què he d’estudiar àlgebra? No té cap utilitat; si tinc cinc monedes són cinc monedes, no pas cinc incògnites... I que la incògnita pugui ser qualsevol cosa és antinatural. Brahmagupta va prendre la paraula i durant l’altre meitat del camí que els faltava li va explicar al seu deixeble la utilitat de l’àlgebra: –En aquest món tot té el seu significat: l’estel al front de l’elefant no és tan sols un estel, sinó que vol dir que pertany al maharajà, i la creu coronada per quatre cercles no és només un dibuix, és el símbol de la ciutat. En matemàtiques, el més senzill és treure-li el significat a les coses, operar amb nombres i, després, interpretar-ne el resultat. Després d’aquestes paraules, mestre i deixeble es van quedar en silenci durant el quilòmetre que faltava per arribar a palau. Amb l’ajuda d’una equació, calcula la distància que tots dos van recórrer dalt de l’elefant.
x = distància 1 1 x+ x+1= x 2 4
➜
2x + x + 4 = 4x ➜ x = 4
Van recórrer una distància de 4 km.
831106 _ 0138-0177.qxd
11/9/07
12:56
Página 140
Sistemes d’equacions EXERCICIS 001
Expressa les equacions següents de la forma ax + by = c, i indica el valor dels seus coeficients: a) y = 2x − 3 b) y = x + 3 c) −3x = 1 − y d) x = 2 − y Fes una taula de valors per a aquestes equacions. a) y = 2x − 3 → −2x + y = −3 → a = −2; b = 1; c = −3 y = 2x − 3 x y
−2 −7
−1 −5
0 −3
1 −1
2 1
b) y = x + 3 → −x + y = 3 → a = −1; b = 1; c = 3 y=x+3 x y
−1 2
0 3
1 4
2 5
−3 0
c) −3x = 1 − y → −3x + y = 1 → a = −3; b = 1; c = 1 y = 3x + 1 x y
−2 −5
−1 −2
0 1
1 4
2 7
d) x = 2 − y → x + y = 2 → a = 1; b = 1; c = 2 x=2−y→y=2−x x y
002
−1 3
0 2
1 1
2 0
−3 5
Representa en el pla les equacions: a) 2x + 3 = y
b) y + 1 = x
a) 2x + 3 = y
Y y = 2x + 3
x −1 0 1
y 1 3 5
b) y + 1 = x → y = x − 1
1 1
X
Y y=x−1
x −1 0 1
140
y −2 −1 0
1 1
X
831106 _ 0138-0177.qxd
11/9/07
12:56
Página 141
SOLUCIONARI
003
5
Escriu dues equacions lineals amb dues incògnites que tinguin com a solució x = 3, y = −2. Per exemple:3x + y = 7; y = 1 − x.
004
Troba la solució de cada sistema a partir de les taules de valors de les equacions que el formen. a) x + y = 5⎪⎫ ⎬ x − y = 3⎪⎪⎭
b) 2x + y = 13⎪⎫ ⎬ x − y = 2 ⎪⎪⎭
a) Solucions de x + y = 5: Solucions de x − y = 3:
x y
0 5
1 4
2 3
3 2
4 1
x y
0 −3
1 −2
2 −1
3 0
4 1
El punt (4, 1) és la solució del sistema a). b) Solucions de 2x + y = 13: Solucions de x − y = 2:
x y
0 13
1 11
2 9
3 7
4 5
5 3
x y
0 −2
1 −1
2 0
3 1
4 2
5 3
El punt (5, 3) és la solució del sistema b).
005
Representa gràficament aquests sistemes i determina’n les solucions. a) x + 2 y = 6 ⎫⎪ ⎬ x − 2 y = −2⎪⎭⎪
b) x + y = 0 ⎫⎪ ⎬ x − y = −2⎪⎭⎪
a) x + 2y = 6 → y = x y
0 3
2 2
6−x 2 4 1
x − 2y = −2 → y = x y
−2 0
0 1
6 0
x +2 2
2 2
1 1
4 3
Solució: (2, 2). b) x + y = 0 → y = −x x y
−2 2
−1 1
0 0
1 −1
x − y = −2 → y = 2 + x x y
−2 0
−1 1
0 2
1 −1
1 3
Solució: (−1, 1).
141
831106 _ 0138-0177.qxd
11/9/07
12:56
Página 142
Sistemes d’equacions 006
De quin dels sistemes següents és la solució (8, 4)? I (10, 2)? I (3, 1)? a) x + y = 12⎪⎫ ⎬ x − y = 4 ⎪⎪⎭ b) 2x + 4 y = 10⎪⎫ ⎬ 3x − y = 8 ⎭⎪⎪ • Vegem si el punt (8, 4) és solució de a) o b): ⎫ a) x + y = 12⎪⎫ 8 + 4 = 12⎪ ⎬→ ⎬ → Sí que n’és. ⎪ x − y = 4 ⎭⎪⎪ 8 − 4 = 4 ⎭ ⎪ 2 ⋅ 8 + 4 ⋅ 4 = 16 + 16 = 32 ⫽ 10⎪⎫ b) 2x + 4 y = 10⎪⎫ ⎬→ ⎬ → No n’és. 3x − 4 y = 8 ⎪⎭⎪ 3 ⋅ 8 − 4 = 24 − 41 = 20 ⫽ 80⎪⎪⎭ • Vegem si (10, 2) és solució de a) o b): a) x + y = 12⎪⎫ 10 + 2 = 12 ⎪⎫ ⎬→ ⎬ → No n’és. x − y = 4 ⎪⎭⎪ 10 − 2 = 8 ⫽ 4⎪⎪⎭ 2 ⋅ 10 + 4 ⋅ 2 = 20 + 8 = 28 ⫽ 10⎫⎪ b) 2x + 4 y = 10⎫⎪ ⎬→ ⎬ → No n’és. 3x − 4 y = 8 ⎪⎭⎪ 3 ⋅ 10 − 2 = 30 − 2 = 28 ⫽ 81⎪⎪⎭ • Vegem si (3, 1) és solució de a) o b): a) x + y = 12⎫⎪ 3 + 1 = 4 ⫽ 12⎫⎪ ⎬→ ⎬ → No n’és. x − y = 4 ⎪⎭⎪ 3 − 1 = 2 ⫽ 4 ⎪⎪⎭ 2 ⋅ 3 + 4 ⋅ 1 = 6 + 4 = 10⎪⎫ b) 2x + 4 y = 10⎪⎫ ⎬→ ⎬ → Sí que n’és. 3x − 4 y = 8 ⎭⎪⎪ 3 ⋅ 3 − 1 = 9 − 1 = 81⎭⎪⎪
007
Escriu una equació lineal amb dues incògnites de manera que una de les solucions sigui x = 2, y = 3. Escriu un sistema amb aquesta solució. x = 2, y = 3
3x − 2y = 0 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → 3⋅2−2⋅3=6−6=0 3x − 2 y = 0⎪⎫ x = 2, y = 3 3 ⋅ 2 − 2 ⋅ 3 = 0−⎪⎫ → ⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎬ x − y = −1⎪⎪⎭ 2 − 3 = −1⎪⎪⎭
008
Resol aquests sistemes i classifica’ls en funció del nombre de solucions: a) x + y = 5⎪⎫ ⎬ x − y = 3⎪⎪⎭
d) 2x + y = 13⎪⎫ ⎬ x − y = 2 ⎪⎭⎪
b) x + y = 7⎫⎪ ⎬ x − y = 5⎪⎪⎭
e)
x + y = 6 ⎫⎪ ⎬ 2x − 2 y = 12⎪⎪⎭
f)
x − 3 y = 2⎪⎫ ⎬ 3x − 2 y = 6⎪⎭⎪
c)
142
x + 2 y = 3⎪⎫ ⎬ 2x + 4 y = 6⎪⎭⎪
831106 _ 0138-0177.qxd
11/9/07
12:56
Página 143
SOLUCIONARI
a) x + y = 5 x y
5
x−y=3
0 5
1 4
2 3
3 2
x y
4 1
0 −3
1 −2
2 −1
3 0
4 1
La solució és (4, 1): sistema compatible determinat. b) x + y = 7 x y
0 7
1 6
2 5
3 4
4 3
5 2
6 1
1 −4
2 −3
3 −2
4 −1
5 0
6 1
x−y=5 x y
0 −5
La solució és (6, 1): sistema compatible determinat. c) x + 2y = 3 x 1 3
2x + 4y = 6
y 1 0
x 1 3
y 1 0
Les dues equacions són la mateixa recta: sistema compatible indeterminat. d) 2x + y = 13 x y
0 13
1 11
2 9
3 7
4 5
5 3
1 −1
2 0
3 1
4 2
5 3
x−y=2 x y
0 −2
La solució és (5, 3): sistema compatible determinat. e) x + y = 6 x y
0 6
1 5
2 4
3 3
4 2
5 1
6 0
1 −5
2 −4
3 −3
4 −2
5 −1
6 0
2x − 2y = 12 x y
0 −6
La solució és (6, 0): sistema compatible determinat. f) x − 3y = 2 x 2 −1
y 0 −1
3x − 2y = 6 x 0 2
y −3 0
Les dues rectes es tallen al punt (2, 0): sistema compatible determinat.
143
831106 _ 0138-0177.qxd
11/9/07
12:56
Página 144
Sistemes d’equacions 009
Resol aquests sistemes i classifica’ls: ⎫ a) x − y = 2 ⎪⎪⎪ b) x − y = 1 ⎫⎪ ⎬ ⎬ 2 3 2x − 2 y = 1 ⎪⎪⎭ ⎪ 3x − 2 y = 6⎪⎪⎭ a)
x y − =2 2 3 x y
0 −6
b) x − y = 1 2 −3
4 0
6 3
3x − 2y = 6 x y
0 −3
x y
−2 −3
0 −1
2 1
4 3
0 1 − 2
2 3 2
4 7 2
2x − 2y = 1 2 0
4 3
6 6
Incompatible
x y
−2 5 − 2
Incompatible. 010
Posa un exemple de sistema d’equacions compatible determinat, indeterminat i incompatible. Compatible determinat:
x + 2 y = 5⎪⎫ ⎬ −x + 3 y = 5⎪⎭⎪
Compatible indeterminat: Incompatible:
011
x + 2 y = 5 ⎫⎪ ⎬ −x − 2 y = −5⎭⎪⎪
x + 2 y = 5 ⎫⎪ ⎬ −x − 2 y = 10⎪⎪⎭
Resol pel mètode de substitució. x + y = 5⎪⎫ ⎬ x − y = 3⎪⎪⎭ x + y = 5⎪⎫ → y = 5 − x 8 ⎬ x − y = 3⎪⎪⎭ → x − (5 − x) = 3 → x − 5 + x = 3 → 2x = 3 + 5 → x = =4 2 y=5−x=5−4=1 La solució del sistema és x = 4, y = 1.
012
Resol per substitució i assenyala si és compatible o incompatible. x + y = 8⎫⎪ ⎬ x − y = 8 ⎪⎭⎪ x + y = 8⎪⎫ → y = 8 − x ⎬ x − y = 8⎪⎭⎪ → x − (8 − x) = 8 → x − 8 + x = 8 → 2x = 16 → x = 8 y=8−x=8−8=0 La solució del sistema és x = 8, y = 0. És compatible.
144
831106 _ 0138-0177.qxd
11/9/07
12:56
Página 145
SOLUCIONARI
013
5
Corregeix els errors comesos. 5x − 4 y = 12⎪⎫ ⎬ → y = 1 − 5x 2x − 4 y = 22⎪⎭⎪ y = 1 − 5x
2x − 4y = 22 ⎯⎯⎯⎯→ 2x − 4(1 − 5x) = 22 → 2x − 4 − 20x = 22 → 18 =1 → −18x = 18 → x = 18 x=1 5x − y = 1 ⎯⎯→ 5 ⋅ 1 − y = 1 → y = −4 5 x − 4 y = 12⎪⎫ ⎬ → y = 1 − 5x 2x − 4 y = 22⎪⎭⎪ S’ha eliminat el signe de la y ; hauria de posar: 5x − 1. y = 1 − 5x
2x − 4y = 22 ⎯⎯⎯⎯→ 2x − 4(1 − 5x) = 22 → 2x − 4 − 20x = 22 S’ha posat malament el signe; hauria de posar +20x. −18x = 18 Es passa el 4 restant, i s’hauria de passar sumant; ha de ser: −18x = 26.
x=
18 =1 18
S’ha dividit entre 18, i hauria de ser entre −18; ha de ser: x = −
18 = −1. 18
x=1
5x − y = 1 ⎯⎯→ 5 ⋅ 1 − y = 1 → y = −4 S’ha eliminat el signe de la y; hauria de posar y = −1. La solució correcta és: 5 x − 4 y = 12⎪⎫ ⎬ → y = 5x − 1 2x − 4 y = 22⎪⎭⎪ y = 5x − 1
2x − 4y = 22 ⎯⎯⎯⎯→ 2x − 4(5x − 1) = 22 → 2x − 20x + 4 = 22 → 18 = −1 → −18x = 18 → x = − 18 x = −1
y = 5x − 1 ⎯⎯→ y = −6 014
Resol pel mètode d’igualació aquests sistemes d’equacions: a) x + y = 5⎫⎪ ⎬ x − y = 3⎪⎪⎭
b) 2x + y = 13⎫⎪ ⎬ x − y = 2 ⎪⎭⎪
a) x + y = 5⎪⎫ → x = 5 − y ⎪⎫ ⎬ ⎬ → 5 − y = 3 + y → 5 − 3 = 2y → y = 1 x − y = 3 ⎪⎭⎪ → x = 3 + y ⎭⎪⎪ x=5−y=5−1=4 b) 2x + y = 13⎪⎫ → y = 13 − 2x ⎪⎫ → 13 − 2x = x − 2 → ⎬ ⎬ x − y = 2 ⎪⎭⎪ → y = x − 2 ⎪⎪⎭ → 15 = 3x → x = 5
y = 13 − 2x = 13 − 2 ⋅ 5 = 3
145
831106 _ 0138-0177.qxd
11/9/07
12:56
Página 146
Sistemes d’equacions 015
Resol pel mètode d’igualació, i assenyala si són compatibles o incompatibles. Quantes solucions tenen? a) 2x + 15 y = 10⎪⎫ b) 2x + y = 8 ⎪⎫ ⎬ ⎬ 4 x + 10 y = 20⎪⎪⎭ 2x + y = 12⎪⎪⎭ 5 ⎪⎫ ⎪⎫ a) 2x + 15 y = 10 ⎪⎪ → x = 5 − y ⎪⎪ 5 5 ⎪ 2 ⎪⎪ ⎬→ 5− y = 5− y → 5 = 5 ⎬ ⎪⎪ 5 ⎪⎪ 2 2 4 x + 10 y = 20⎪⎪ → x = 5 − y ⎪⎪ ⎪⎭ 2 ⎪⎭ Arribem a una igualtat. El sistema té infinites solucions, és compatible indeterminat. b) 2x + y = 81⎪⎫ ⎬ Aïllem y de la 1a equació, y = 8 − 2x 2x + y = 12⎪⎪⎭ i a la 2a: y = 12 − 2x, i igualem. 8 − 2x = 12 − 2x → 8 ⫽ 12. És un sistema incompatible: no té solució.
016
Corregeix els errors comesos en la resolució del sistema pel mètode d’igualació. x − y = 7 ⎪⎫⎪ → x = y − 7 ⎪⎫⎪ ⎪ y ⎪⎬ 3x − y = 1 ⎬⎪ → x = 1 + ⎪⎪ ⎪⎪ 3 ⎪⎭ ⎭ y y −7 = 1 + → 3(y − 7) = 1 + y → 3y − 21 = 1 + y → 3 22 = −11 → 3y − y = 1 + 21 → 2y = 22 → y = −2 y = −11 x − y = 7 ⎯⎯⎯→ x − 11 = 7 → x = 7 + 11 = 18 3x − y = 7⎪⎫⎪ → x = y − 7 ⎪⎫⎪ → Mal aïllat: x = y + 7 ⎪⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ y⎬ y + 1 ⎬⎪ 3x − y = 1⎪⎪ → x = 1 + ⎪⎪ → Mal aïllat: x = ⎪ ⎪⎭ 3 ⎪⎭ 3 ⎪⎭ y y−7=1+ → 3(y − 7) = 1 + y → Mal eliminat el denominador: 3 → 3(y − 7) = 3 − y → 3y − 21 = 1 + y → → 3y − y = 1 + 21→ 2y = 22 → 22 22 = 11. → y= → Mal aïllat: y = −2 2
y = −11
x − y = 7 ⎯⎯⎯→ x − 11 = 7 → Mal substituït: x + 11 = 7. x = 7 + 11 = 18 La solució correcta és: 3x − y = 7⎫⎪⎪ → x = y + 7 ⎫⎪⎪ y +1 ⎪ ⎪ → 3( y + 7) = 1 + y → ⎬ y + 1 ⎬⎪ → y + 7 = 3 3x − y = 1⎪⎪ → x = ⎪ 3 ⎪⎭ ⎪⎭ → 3y + 21 = 1 + y → 3y − y = 1 − 21→ 2y = −20 → −20 = −10 → y= 2 y = −10 x = y + 7 ⎯⎯⎯→ x = −10 + 7 → x = −3
146
831106 _ 0138-0177.qxd
11/9/07
12:56
Página 147
SOLUCIONARI
017
5
Resol pel mètode de reducció: a) x + y = 5⎪⎫ ⎬ x − y = 3⎪⎪⎭ b)
x − 5 y = 6⎫⎪ ⎬ 4 x − 3 y = 1 ⎪⎭⎪ a) 2x + y = 5 x−y=3 2x + y = 8
⎪⎫ ⎬ Sumem les dues equacions. ⎭⎪⎪ →x=4
I substituïm en una de les equacions: x=4
x + y = 5 ⎯⎯→ 4 + y = 5 → → y=5−4=1 ⋅4 b) 2x − 5y = 6 ⎪⎫ ⎯⎯→ −4x − 20y = 24 ⎪⎫ ⎬ ⋅ (−1) ⎬ 4x − 3y = 1 ⎪⎪⎭ ⎯⎯→ −4x + 03y = −1 ⎪⎪⎭
Sumem les equacions: ⎪⎫ ⎬ ⎪⎪⎭ 23 → y =− 17 I substituïm en la 1a equació: 4x − 20y = 24 −4x + 03y = −1 − 17y = 23
y =−
23 17
⎛ 23 ⎞ x − 5y = 6 ⎯⎯⎯⎯ → x − 5⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ = 6 → ⎝ 17 ⎠ → x = 6−
018
115 102 − 115 13 = =− 17 17 17
Resol pel mètode de reducció aquests sistemes d’equacions i assenyala si són compatibles o incompatibles: a)
x + 2 y = 0⎪⎫ ⎬ 2x + 4 y = 6⎪⎪⎭
b)
x − 2 y = 5 ⎫⎪ ⎬ 2x − 2 y = 10⎪⎪⎭ a)
1a equació ⋅ 2 x + 2y = 0 ⎪⎫ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 2x + 4y = 0 ⎪⎫ ⎬ ⎬ 2x + 4y = 6 ⎭⎪⎪ 2x + 4y = 6 ⎭⎪⎪ restem 0⫽6 Sistema incompatible: no té solució.
b)
1a equació ⋅ 2 x − y = 50 ⎫⎪ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 2x − 2y = 10 ⎫⎪ ⎬ ⎬ ⎪ 2x − 2y = 10 ⎪⎭ 2x − 2y = 10 ⎪⎪⎭ restem 0 = 10 Sistema compatible indeterminat: té infinites solucions.
147
831106 _ 0138-0177.qxd
11/9/07
12:57
Página 148
Sistemes d’equacions 019
Corregeix els errors comesos en la resolució del sistema. 2x + 2 y = 0 ⎫⎪ ⋅ 2 4 x + 2 y = 2 ⎪⎫ 4x + 2y = 2 ⎬ ⎯→ ⎬ 3x − 2 y = −4⎭⎪⎪ 3x − 2 y = −4⎭⎪⎪ − 3x − 2y = −4 x − 2y = −2 x = −2
2x + y = 0 ⎯⎯→ 2 ⋅ (−2) + y = 0 → −4 + y = 0 → y = −4 ⋅2
→ 4 x + 2 y = 2 ⎫⎪ El producte del terme independent, 2x + 2 y = 0 ⎫⎪ ⎯ ⎬⎯ ⎬ 3x − 2 y = −4⎭⎪⎪ → 3x − 2 y = −4⎭⎪⎪ 0 ⋅ 2 és 0. 4x + 2y = 2 − 3x − 2y = −4 No s’ha de restar, sinó sumar; a més, està mal restat. x − 2y = −2 x = −2
2x + 7 = 0 ⎯⎯→ 2(−2) + y = 0 → −4 + y = 0 → y = −4 Mal aïllat; hauria de ser y = 4. La solució correcta és: ⋅2
→ 4 x + 2 y = 2 ⎫⎪ 4x + 2y = 0 2x + 2 y = 0 ⎫⎪ ⎯ ⎬⎯ ⎬ ⎪ 3x − 2 y = −4⎪⎭ → 3x − 2 y = −4⎪⎪⎭ + 3x − 2y = −4 7x − 2y = −4 x =
−4 7
⎫⎪ ⎬ ⎪⎪⎭ −4 → x = 7
⎛ −4 ⎞⎟ −8 8 ⎟+ y = 0 → +y =0→ y = 2x + 7 = 0 ⎯⎯⎯→ 2⎜⎜⎜ ⎝ 7 ⎟⎠ 7 7 020
Resol pel mètode més adequat: a) 2x + 3 y = 5 + x + 2 y ⎫⎪ ⎬ ⎪⎪⎭ x − 2y − 3 = 3 − 4 y b)
c)
x +y =2 x + 4 + 2 y − 4 = 18 − x −
3 y + 3 = x − 2( x + y )⎫⎪⎪ ⎪⎬ 2x + 3 y ⎪⎪ = 18 ⎪⎭ 2 2x + 3 y = 5 + x + 2 y ⎫⎪ → x + 2y = −5 ⎬ ⎪⎪⎭ → x + 2y = −6 x − 2y − 3 = 3 − 4 y −y = −1 Substituïm a la 1a equació: x + 1 = 5 → x = 4. a)
b)
⎫⎪ ⎬ Restem les equacions. ⎪⎪⎭
→y=1
3 y + 3 = x − 2(x + y )⎫⎪⎪ → x + 5 y = −3 → x = −3 − 5 y ⎪⎬ 2x + 3 y ⎪⎪ = 18 ⎪⎭ 2 x = −3 − 5y 2x + 3 y 2(−3 − 5 y ) + 3 y = 18 ⎯⎯⎯⎯⎯ = 18 → y = −6 → 2 2 y = −6
x = −3 − 5 ⎯⎯⎯ → x = 27 c)
148
⎫⎪ ⎬ y ⎪⎪⎭
⎫⎪ → x + 3 y = 2 ⎫⎪ x+y =2 1a ⋅ 3 → ⎬ ⎬ ⎯⎯⎯⎯ x + 4 + 2 y − 4 = 18 − x − y ⎭⎪⎪ → 2x + 3 y = 18⎪⎭⎪ restem 3x + 3y = 1−6 ⎪⎫ Substituïm a la 1a equació: → ⎬ 2x + 3y = −18 ⎭⎪⎪ x + y = 2 → −12 + y = 2 → y = 14 x + 3y = −12
831106 _ 0138-0177.qxd
11/9/07
12:57
Página 149
SOLUCIONARI
021
5
Resol pel mètode més adequat: 2x − y ⎪⎫ + 2x − y = 4⎪⎪ ⎬ 3 ⎪ 2x − y = 4⎪⎪⎭ ⎫⎪ 4(2x − y ) 2x − y = 4 → 2x − y = 3⎪⎫⎪ + 2x − y = 4⎪⎪ → ⎬ 3 ⎬ 3 ⎪⎪ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 2 x − y = 4⎪⎪⎭ 2x − y = 4⎪⎭ I restant les equacions: 0 ⫽ −1. No té solució, és incompatible.
022
Escriu un sistema d’equacions que sigui apropiat per resoldre’l mitjançant la substitució i un altre mitjançant la reducció. Mitjançant substitució: 3x − 3y = 81 ⎪⎫ → 3x − 8 = y ⎬ 2x + 3y = 31 ⎭⎪⎪ → 2x + 3(3x − 8) = 31 → → 2x + 9x − 24 = 31 → 11x = 55 → x = 5 I substituint: y = 3 ⋅ 5 − 8 = 7. Mitjançant reducció: 2x − 3y = −4 ⎫⎪ ⎬ Sumem les equacions. 3x + 3y = +9 ⎪⎪⎭ 5x + 3y = +5 → x = 1 I substituint: 2 − 1 − 3y = −4 → −3y = −6 → y = 2.
023
La suma de les edats d’en Ferran i el seu pare és 40 anys. L’edat del pare és 7 vegades la del fill. Quina edat tenen tots dos? x + y = 40⎪⎫ ⎬ Aïllant a la 2a equació y = 7x ⎪⎭⎪ i substituint a la 1a: x + 7x = 40 → x = 5. I substituint: y = 35. Ferran: 5 anys. Pare: 35 anys.
Ferran: x. Pare: y.
024
En un examen contesto deu preguntes. Per cada encert em donen 2 punts, i per cada error me’n treuen 1. Si he tret 8 punts, quants encerts tinc? x + y = 10⎫ ⎪ ⎬ Aïllem x de la 1a equació: 2x − y = 8⎪ ⎪ ⎭ x = 10 − y, i substituïm a la 2a: 20 − 2y − y = 8 → y = 4. Substituint: x = 6. Encerts: 6. Errors: 4.
Encerts: x. Errors: y.
025
Un hotel té, entre habitacions dobles i individuals, 120 habitacions. Si el nombre de llits és 195, quantes habitacions dobles té? I habitacions individuals? x + y = 120⎫⎪ ⎬ Aïllem x de la 1a: x = 120 − y 2x + y = 195⎪⎪⎭ Substituïm a la 2a: 240 − 2y + y = 195 → y = 45. Substituint: x = 75. Dobles: 75. Individuals: 45.
Dobles: x. Individuals: y.
149
831106 _ 0138-0177.qxd
11/9/07
12:57
Página 150
Sistemes d’equacions 026
Si cada persona es menja 5 pastissos, en sobren 3; però si en mengen 6, en falta 1. Quantes persones i pastissos hi ha? Anomenem x = nre. de persones i y = nre. de pastissos. 5x = y − 3 ⎫⎪ → 5x + 3 = y ⎫⎪ → 5x + 3 = 6x − 1 → ⎬ ⎬ 6x = y + 1 ⎪⎪⎭ → 6x − 1 = y ⎪⎪⎭ → −x = −4 → x = 4 Substituïm a la 2a equació: y = 6 ⋅ 4 − 1 = 23. Hi ha 4 persones i 23 pastissos.
ACTIVITATS 027 ●
028
La solució d’aquestes equacions és x = 1 i y = 2? a) 3x + 2y = 7 b) x + 3 = y
c) 2x − y = 0 d) x + 1 = 7
a) 3 + 6 ⫽ 7. No ho és.
c) 2 − 2 = 0. Sí que ho és.
b) 1 + 3 ⫽ 2. No ho és.
d) 2 + 1 ⫽ 7. No ho és.
Aquesta és la taula de valors de l’equació 2x + 3y = 15.
●
x y
6 1
3 3
0 5
−3 7
−6 9
Dóna diverses solucions de l’equació, i indica un procediment per trobar alguna solució més. Altres solucions són (9, −1) i (12, −3). El procediment consisteix a aïllar una de les dues incògnites i donar valors a l’altra, i d’aquesta manera s’obtenen els parells de solucions. 029 ●
Fes una taula de solucions per a aquestes equacions. Pren com a valors de la variable x: −2, −1, 0, 1 y 2. a) y = x + 5 b) x + y = 4
150
c) y = 3 − x d) x = 5 + y
a) y = x + 5
x y
−2 3
−1 4
0 5
1 6
2 7
b) x + y = 4 → y = 4 − x
x y
−2 6
−1 5
0 4
1 3
2 2
c) y = 3 − x
x y
−2 5
−1 4
0 3
1 2
2 1
d) x = 5 + y → y = x − 5
x y
−2 −7
−1 −6
0 −5
1 −4
2 −3
831106 _ 0138-0177.qxd
11/9/07
12:57
Página 151
SOLUCIONARI
030 ●
5
Representa en el pla, per a cada equació de l’activitat anterior, les parelles de nombres que hagis obtingut i comprova que la seva representació és una recta. a)
c)
Y
Y y=3−x
y=x+5
X X
b)
d)
Y
Y
x+y=4
x=5+y
X
031 ●
X
Forma una taula de valors per a cada equació i indica’n algunes solucions. a) 3x + 2y = 18 b) x − 3y = 20 c) x − 7 = y a)
b)
c)
d)
e)
f)
d) 2x − 5y = 12 e) 3x + y = 24 f) y = 2x − 1
x y
0 9
2 6
4 3
6 0
x y
−1 −7
2 −6
5 −5
8 −4
Solucions: (−1, −7), (2, −6)...
x y
0 −7
2 −5
4 −3
6 −1
Solucions: (0, −7), (2, −5)...
x y
−4 −4
1 −2
6 0
11 2
x y
0 24
2 18
4 12
6 6
x y
0 −1
2 3
4 7
6 11
Solucions: (0, 9), (2, 6)…
Solucions: (−4, −4), (1, −2)...
Solucions: (0, 24), (2, 18)...
Solucions: (0, −1), (2, 3)...
151
831106 _ 0138-0177.qxd
11/9/07
12:57
Página 152
Sistemes d’equacions 032
Forma una taula de valors per a cada equació i indica’n algunes solucions.
●
x + 0 y = 5⎫⎪ ⎬ x − 2 y = 2 ⎪⎭⎪ Creus que hi ha cap parella de valors de x i y que surti a totes dues taules?
x+y=5 x y
0 5
2 3
4 1
6 −1
2 0
4 1
6 2
x − 2y = 2 x y
0 −1
La parella (4, 1) surt a les dues taules.
033 ●●
Escriu una equació lineal amb dues incògnites, de manera que una de les solucions sigui la parella de valors: a) x = 3, y = 0 b) x = 0, y = −1
034 ●●
c) x = 2, y = 3 d) x = −1, y = −5
a) x − y = 3
c) 2x − y = 1
b) 5x + y = −1
d) 5x − y = 0
Escriu dues equacions lineals amb dues incògnites la solució de les quals sigui x = 3, y = 2. Després, representa totes dues equacions. Què hi observes?
x − y = 1 ⎫⎪ → x − 1 = y ⎫⎪ ⎬ ⎬ → x − 1 = 2x − 4 → x = 3 2x − y = 4 ⎭⎪⎪ → 2x − 4 = y ⎭⎪⎪ Substituïm a la 1a equació: 3 − y = 1 → 3 − 1 = y → y = 2.
x−y=1 x 0 1
2x − y = 4
y −1 0
x 2 0
y 0 −4
Y
X x−y=1 2x − y = 4
Les dues rectes es tallen al punt (3, 2), que és la solució del sistema.
152
831106 _ 0138-0177.qxd
11/9/07
12:57
Página 153
SOLUCIONARI
035 ●●
Indica els coeficients i els termes independents dels sistemes. a) x + 2y = 5 ⎪⎫ b) x + 3y = 5 ⎪⎫ c) x − 2y = 1 ⎪⎫ d) 5x − 3y = 11 ⎪⎫ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ x + 2y = 6 ⎪⎪⎭ x − 3y = 1 ⎪⎪⎭ 2x + 2y = 7 ⎪⎪⎭ 4x + 3y = 11 ⎪⎪⎭
●
x + y = 5⎫⎪ a' = 1 ⎬ → x + 2 y = 6⎪⎪⎭ a' = 1
b' = 1 b' = 2
c' = 5 c' = 6
b) x + 3 y = 5⎪⎫ a' = 1 ⎬ → x − y = 1⎪⎭⎪ a' = 1
b' = 3 b' = −1
c' = 5 c' = 1
c) x − 2 y = 1⎪⎫ a' = 1 ⎬ → 2x + y = 7⎪⎪⎭ a' = 2
b' = −2 b' = 1
c' = 1 c' = 7
d) 5 x − 3 y = 1⎪⎫ a' = 5 ⎬ → 4 x + y = 11⎪⎪⎭ a' = 4
b' = −3 b' = 1
c' = 1 c' = 11
a)
036
5
Quina de les parelles de valors següents és la solució del sistema? 2x + 3y = 13 ⎫⎪ ⎬ 3x − 4y = 11 ⎪⎭⎪
a) (1, 5) b) (5, 1)
c) (2, 3) d) (0, 0)
La solució és l’opció b): (5, 1). 037 ●
Donat el sistema: 3x − 2y = 2 ⎪⎫ ⎬ esbrina si cap d’aquestes parelles de valors és la solució. 2x + 3y = 5 ⎪⎭⎪ a) x = 2, y = 4
c) x = 1, y = 1
b) x = 4, y = −1
d) x = 0, y = −
1 2
a) 6 − 4 = 2 i 4 + 12 ⫽ 5. No és solució de la 2a equació. b) 12 + 1 ⫽ 2 i 8 − 3 = 5. No és solució de la 1a equació.
038 ●●
c) 3 − 1 = 2 i 2 + 3 = 5.
Sí que és solució del sistema.
d) 0,5 ⫽ 2 i −1,5 ⫽ 5.
No és solució del sistema.
Un sistema té com a solució x = 2, y = −1 i una de les seves equacions és 2x − y = 5. Quina és l’altra? a) 4x − 2y = 6 b) 4x − 2y = 5
c) −x + 2y = 5 d) −x + 2y = −4
L’altra equació és la de l’opció d): −x + 2y = −4. 039 ●●
Escriu una equació lineal amb dues incògnites de manera que una de les solucions sigui x = 1, y = −2. Fes servir l’equació per determinar un sistema d’equacions amb aquesta solució. 3x + y = 1 x−y=3 4x − y = 4
⎫⎪ ⎬ Sumem les equacions. ⎪⎭⎪ →x=1
1 − y = 3 → y = −2
153
831106 _ 0138-0177.qxd
11/9/07
12:57
Página 154
Sistemes d’equacions 040 ●●
Troba la solució de cada sistema mitjançant les taules de valors de les equacions que el formen. a)
x − y = 1 ⎪⎫ ⎬ 2x − y = 4 ⎪⎭⎪
d) 2x + 3y = 7 ⎪⎫ ⎬ x − 3y = 0 ⎪⎭⎪ e) 2x + y = 13 ⎪⎫ ⎬ x − y = 12 ⎪⎪⎭
x + 3y = 2 ⎪⎫ ⎬ 2x − 3y = 9 ⎪⎭⎪ c) x − 2y = 1 ⎫⎪ ⎬ 2x + 0y = 7 ⎪⎪⎭ b)
f) −x + 2y = −2 ⎪⎫ ⎬ 3x − 4y = −2 ⎪⎭⎪
a) Solucions de x − y = 1: x y
0 −1
g) 5x − 3y = 11 ⎪⎫ ⎬ 4x + 3y = 11 ⎪⎭⎪ h) 5x + 3y = 16 ⎪⎫ ⎬ 3x − 3y = 10 ⎪⎪⎭
1 0
Solucions de 2x − y = 4: x y
3 2
2 1
0 −4
1 −2
3 2
2 0
La solució del sistema és x = 3, y = 2. b) Solucions de x + y = 2: x y
0 2
1 1
2 0
Solucions de 2x − 3y = 9:
3 −1
x y
1 2 3 0 −3 −7/3 −5/3 −1
La solució del sistema és x = 3, y = −1. c) Solucions de x − 2y = 1: x y
0 −1/2
1 0
Solucions de 2x + y = 7: x y
3 1
2 1/2
0 7
1 5
3 1
2 3
La solució del sistema és x = 3, y = 1. d) Solucions de 2x + y = 7: x y
0 7
1 5
Solucions de x − 3y = 0: x y
3 1
2 3
0 0
1 1/3
3 1
2 2/3
La solució del sistema és x = 3, y = 1. e) Solucions de 2x + y = 13: x y
0 13
1 11
2 9
3 7
Solucions de x − y = 2: 4 5
5 3
x y
0 1 −2 −1
2 0
3 1
4 2
La solució del sistema és x = 5, y = 3. f) Solucions de −x + 2y = 2: x y
0 1
1 3/2
2 2
Solucions de 3x − 4y = −2: x y
0 1/2
1 5/4
2 2
La solució del sistema és x = 2, y = 2. g) Solucions de 5x − 3y = 1: x y
0 1 −1/3 4/3
2 3
La solució del sistema és x = 2, y = 3.
154
Solucions de 4x + y = 11: x y
0 11
1 7
2 3
5 3
831106 _ 0138-0177.qxd
11/9/07
12:57
Página 155
SOLUCIONARI
h) Solucions de 5x + 3y = 16: x y
0 1 16/3 11/3
Solucions de 3x − 3y = 0: x y
2 2
5
0 0
2 2
1 1
La solució del sistema és x = 2, y = 2. 041 ●
Resol gràficament els sistemes d’equacions i indica de quin tipus són: a)
x + y = 2 ⎪⎫ ⎬ 2x − y = 1 ⎭⎪⎪
b) 2x + 3y = 2 ⎪⎫ ⎬ 6x + 3y = 6 ⎭⎪⎪ a) x + y = 2 x 0 2
y 2 0
c)
x + 3y = 5 ⎪⎫ ⎬ 3x − 4y = 2 ⎭⎪⎪
d)
x + 2y = 4 ⎪⎫ ⎬ 2x + 4y = 5 ⎭⎪⎪
2x − y = 1 x 0 1
y −1 1
La solució del sistema és x = 1, y = 1. El sistema és compatible determinat.
b) 2x + y = 2 x 0 1
y 2 0
6x + 3y = 6 x 0 1
y 2 0
Y x+y=2
X 2x − y = 1
Y 2x + y = 2 6x + 3y = 6
X
Les dues rectes coincideixen. El sistema és compatible indeterminat: té infinites solucions. c) x + 3y = 5 x 2 5
y 1 0
3x − 4y = 2 x 0 2/3
y −1/2 0
Y
x + 3y = 5 X
Les dues rectes es tallen al punt (2, 1). El sistema és compatible determinat. 3x − 4y = 2
Y
d) x + 2y = 4 x 0 4
y 2 0
2x + 4y = 5 x 0 5/2
y 5/4 0
x + 2y = 4 2x + 4y = 5
X
Les dues rectes són paral·leles, no es tallen. El sistema és incompatible.
155
831106 _ 0138-0177.qxd
11/9/07
12:57
Página 156
Sistemes d’equacions 042
Indica quin tipus de sistema d’equacions s’ha representat.
●●
a)
Y
c)
Y
X
X
b)
d)
Y
Y
X
X
a) b) c) d) 043 ●
Sistema compatible determinat: una solució. Sistema incompatible: no té solució. Sistema compatible indeterminat: infinites solucions. Sistema incompatible: no té solució.
Resol gràficament aquests sistemes: a) x + y = 2 ⎪⎫ b) 2x + 3y = 4 ⎪⎫ ⎬ ⎬ x − y = 2 ⎪⎪⎭ x − 2y = 2 ⎪⎪⎭ Què en pots afirmar? a) x + y = 2 x 0 1
y 2 1
x−y=2 x 0 2
y −2 0
Y
x+y=2
X
Solució: (2, 0). x−y=2
b) 2x + 3y = 4 x 2 0
y 0 4/3
x − 2y = 2 x 2 0
Y
y 0 −1
2x + 3y = 4
Solució: (2, 0). Es pot afirmar que tenen la mateixa solució: x = 2, y = 0. Són sistemes equivalents.
156
X
x − 2y = 2
831106 _ 0138-0177.qxd
11/9/07
12:57
Página 157
SOLUCIONARI
044 ●
5
Resol gràficament aquests sistemes i classifica’ls pel nombre de solucions: a) 2x − 3y = −4 ⎪⎫ ⎬ −x + 3y = −3 ⎪⎭⎪ b)
c) 2x − 3y = 38 ⎪⎫ ⎬ 4x − 2y = 10 ⎪⎭⎪
x + 3y = 36 ⎪⎫ ⎬ 2x + 6y = 12 ⎭⎪⎪
d) x − 2y = 0 ⎪⎫ ⎬ x + 2y = 0 ⎭⎪⎪
a) 2x − y = −4 x y
−6 −8
−3 −2
0 4
3 10
0 −1
3 0
−x + 3y = −3 x y
−6 −3
−3 −2
La solució és (−3, −2): sistema compatible determinat. b) x + 3y = 6 x y
−3 3
0 2
3 1
6 0
0 2
3 1
6 0
2x + 6y = 12 x y
−3 3
La solució és tota la recta, té infinites solucions: sistema compatible indeterminat. c) 2x − y = 8 x y
−2 −12
0 −8
2 −4
4 0
2 −1
4 3
4x − 2y = 10 x y
−2 −9
0 −5
No té solució: sistema incompatible. d) x − 2y = 0 x y
−2 −1
0 0
2 1
4 2
0 0
2 −1
4 −2
x + 2y = 0 x y
−2 1
La solució és (0, 0): sistema compatible determinat.
157
831106 _ 0138-0177.qxd
11/9/07
12:57
Página 158
Sistemes d’equacions 045 ●
Quantes solucions tenen aquests sistemes? a) 4x − 3y = 25 ⎪⎫ b) 2x + 3y = 25 ⎪⎫ ⎬ ⎬ 8x − 6y = 10 ⎪⎪⎭ 2x + 3y = 35 ⎪⎪⎭ a) 4x − 3y = 5 x y
1/2 −1
2 1
5 5
2 1
5 5
8x − 6y = 10 x y
1/2 −1
La solució és tota la recta, té infinites solucions: sistema compatible indeterminat. b) 2x + 3y = 5 x y
−5 5
−2 3
1 1
2x + 3y = 35 x y
1 11
4 9
7 7
No té solució: sistema incompatible. 046 ●
Esbrina si els sistemes són incompatibles o compatibles i, en aquest cas, si tenen solució única. a) 2x + 3y = 25 ⎫⎪ b) 3x − 2y = 5 ⎫⎪ ⎬ ⎬ ⎪ 4x + 6y = 10 ⎪⎭ 6x − 2y = 8 ⎪⎪⎭ ⋅2 a) 2x + 3 y = 5 ⎪⎫ ⎯→ 4 x + 6 y = 10⎪⎫ ⎬ ⎬ → Les dues equacions 4 x + 6 y = 10⎪⎪⎭ 4 x + 6 y = 10⎪⎪⎭ coincideixen i el sistema és compatible indeterminat. Infinites solucions. ⋅2 b) 3x − 2 y = 5⎪⎫ ⎯→ 6x − 2y = 10 ⎬ 6x − 2y = 18 6 x − 2 y = 8⎪⎪⎭ 0 = 12
047 ●
⎪⎫ ⎬ ⎪⎪⎭ → La igualtat és falsa, per tant, el sistema és incompatible.
Aquests sistemes tenen les mateixes solucions? a) 3x + 2y = 28 ⎪⎫ b) 6x + 4y = −16 ⎪⎫ ⎬ ⎬ 2x − 3y = 14 ⎪⎪⎭ −6x + 9y = −42 ⎪⎪⎭ Sí que tenen les mateixes solucions, perquè si simplifiquem les equacions en el segon sistema obtenim el primer sistema. :2 6 x + 4 y = 16 ⎫⎪ ⎯⎯→ 3x + 2 y = 8 ⎪⎫ ⎬ : (−3) ⎬ −6 x + 9 y = −42⎪⎪⎭ ⎯⎯→ 2x − 3 y = 14⎪⎪⎭
158
831106 _ 0138-0177.qxd
11/9/07
12:57
Página 159
SOLUCIONARI
048 ●●
Escriu una equació lineal amb dues incògnites que formi un sistema amb l’equació 3x − 2y = 4, i que tingui: a) Solució única.
b) Infinites solucions.
a) 3x − 2y = 4 ⎪⎫ ⎬ 2x + 3y = 1 ⎭⎪⎪
Escriu un sistema d’equacions que tingui com a solució:
●●
a) x = 2, y = 1
b) x − 2 y = 10⎫⎪ ⎬ x + 2 y = 1 ⎪⎪⎭
Sense resoldre aquests sistemes, indica el nombre de solucions que tenen a partir de les seves equacions. a) 2x − y = 5 ⎪⎫ c) 2x + 10y = 4 ⎪⎫ ⎬ ⎬ x + y = 1 ⎪⎪⎭ x + 5y = 4 ⎪⎪⎭ b) 3x + 4y = 8 ⎫⎪ ⎬ 6x + 8y = 10 ⎪⎪⎭
051
c) 3x − 2y = 4 ⎪⎫ ⎬ 9x − 6y = 4 ⎭⎪⎪
b) x = 4, y = −3
a) x + y = 3⎫⎪ ⎬ x − y = 1 ⎪⎪⎭
●●
c) Cap solució.
b) 3x − 2y = 4 ⎪⎫ ⎬ 9x − 6y = 12 ⎭⎪⎪
049
050
5
d) 3x + 2y = 1 ⎫⎪ ⎬ x − 8y = 5 ⎪⎭⎪
a) Compatible determinat.
c) Incompatible.
b) Incompatible.
d) Compatible determinat.
FES-HO AIXÍ COM ACONSEGUIM QUE UNA INCÒGNITA TINGUI COEFICIENTS IGUALS? Transforma aquest sistema perquè la incògnita x tingui el mateix coeficient a totes dues equacions. 24x + 13 y = 80 ⎪⎫ ⎬ 18x − 7 y = 90 ⎪⎪⎭ PRIMER.
Trobem el m.c.m. dels coeficients de la incògnita a la qual els volem
igualar. m.c.m. (24, 18) = 72 Dividim el m.c.m. per cada coeficient i multipliquem l’equació pel resultat. Primera equació: SEGON.
m.c.m. 72 = = 3 → 3 ⋅ (24x + 13y = 80) → 72x + 39y = 240 Coeficiente 24 Segona equació: m.c.m. 72 = = 4 → 4 ⋅ (18x − 7y = 90) → 72x − 28y = 360 Coeficiente 18 El sistema equivalent serà:
72x + 39y = 240 ⎪⎫ ⎬ 72x − 28y = 360 ⎪⎪⎭
159
831106 _ 0138-0177.qxd
11/9/07
12:57
Página 160
Sistemes d’equacions 052 ●●
7x − 2y = 04 ⎫⎪ ⎬ x + 3y = 17 ⎪⎪⎭ escriu sistemes que en siguin equivalents i que: a) Tinguin coeficients de x iguals. b) Tinguin coeficients de y iguals. c) Tinguin termes independents iguals. Donat el sistema:
a) Multipliquem la 2a equació per 7:
7x − 12 y = 114⎫⎪ ⎬ 7x + 21y = 119⎪⎪⎭
b) Multipliquem la 1a equació per 4 i la 2a per −2:
21x − 6 y = 12 ⎫⎪ ⎬ −2x − 6 y = −34⎪⎪⎭
c) Multipliquem la 1a equació per 17 i la segona per 4: 053 ●●●
119x − 34 y = 68⎪⎫ ⎬ 4 x + 12 y = 68⎪⎪⎭
Escriu un altre sistema equivalent les equacions del qual no tinguin denominadors. ⎫⎪ x y + = 5 ⎪⎪ 2 5 ⎪⎪⎬ ⎪ 2x y − = −1⎪⎪⎪ 3 2 ⎪⎭ Multipliquem la 1a equació pel m.c.m. (2, 5) = 10 i la 2a pel m.c.m. (2, 3) = 6: 5 x + 2 y = 50 ⎫⎪ ⎬ 4 x − 3 y = −6⎪⎪⎭
054 ●●●
Completa els sistemes perquè el primer tingui com a solució x = 2, y = −3, i el segon, x = −3, y = 2. a) 3x − 5y = ⎫⎪ b) −2x + y = 8 ⎫⎪ x − 2y = −7 ⎬⎪⎪⎭ x + 4y = 2 ⎬⎪⎪⎭ Si substituïm les variables per la solució, s’han de verificar les equacions. a) 3x − 5 y = 21⎪⎫ b) −2x + 2 y = 8 ⎪⎫ ⎬ ⎬ 7x + 4 y = 2 ⎭⎪⎪ x − 2 y = −7⎭⎪⎪
055 ●●●
Completa els sistemes perquè el primer sigui compatible i el segon, incompatible. a) 3x − 2y = ⎪⎫ b) x + 2y = 3 ⎪⎫ ⎬ 2x + y = ⎪⎪⎭ x + 2y = 6 ⎬⎪⎪⎭ a) Anirà bé qualsevol valor, sempre que no coincideixi que el terme amb x de la 2a equació sigui −3 i el terme independent de la 1a sigui diferent que −6. 3x − 2 y = 8−⎪⎫ ⎬ 3x + 2 y = −7⎪⎭⎪ b)
160
x + 2 y = 3 ⎪⎫ 2x + 2 y = 3⎪⎫ ⎬o ⎬ El terme independent de la 2a equació 2x + 4 y = −7⎪⎪⎭ 2x + 2 y = 5⎪⎪⎭ pot ser qualsevol nombre diferent de 6 en el primer sistema i diferent de 3 en el segon.
831106 _ 0138-0177.qxd
11/9/07
12:57
Página 161
SOLUCIONARI
056 ●●●
Completa aquests sistemes perquè el primer sigui compatible determinat i el segon, compatible indeterminat. a) x − 5y = ⎫⎪ 2x + y = 6 ⎬⎪⎪⎭
b) 2x + y = 10 ⎫⎪ x − y = 12 ⎬⎪⎪⎭
a) −2x − 5 y = 1 ⎫⎪ ⎬ 2x + 2 y = 6⎪⎪⎭ 057 ●●●
5
b)
2x + 5 y = 10⎫⎪ ⎬ 2, 4 x + 6 y = 12⎪⎪⎭
Escriu tres sistemes que tinguin com a solució x = 1, y = 2, de manera que: a) En el primer, els coeficients siguin 1 o −1. b) En el segon, els coeficients de x siguin el doble o la meitat que els de y. c) En el tercer, els coeficients de x i y siguin fraccions. a) x + y = 3 ⎪⎫ ⎬ x − y = −1⎪⎭⎪ b) 2x + 2 y = 5⎪⎫ ⎬ 2x + 2 y = 4⎪⎪⎭ c) x y ⎪⎫ + = 1⎪⎪ ⎪⎪ 3 3 ⎬ ⎪ x 2y + = 1⎪⎪ ⎪⎪⎭ 5 5
058 ●
Resol pel mètode de substitució. a) 3x + 5y = 1 ⎫⎪ ⎬ x + 5y = 1 ⎪⎭⎪ b) 7x + 8y = 23 ⎫⎪ ⎬ 3x + 2y = 07 ⎪⎭⎪ c) 2x − 3y = 5 ⎪⎫ ⎬ 5x + 0y = 4 ⎪⎪⎭
d) 5x − 3y = 01 ⎫⎪ ⎬ 4x + 0y = 11 ⎪⎭⎪ e) 4x − 3y = −3 ⎫⎪ ⎬ x + 3y = −4 ⎪⎪⎭
g) 3x + y = 10 ⎫⎪ ⎬ 2x − y = 10 ⎪⎭⎪ h) 3x + 5y = 20 ⎫⎪ ⎬ 7x + 4y = 39 ⎪⎭⎪
f) 2x + y = 12 ⎪⎫ ⎬ −x − y = −7 ⎪⎪⎭
a) 3x + 5y = 1 ⎫⎪ ⎬ x + 5y = 1 ⎪⎪⎭ → y = 1 − x Substituïm en la 1a equació: 3x + 5(1 − x) = 1 → 3x + 5 − 5x = 1 → −2x = −4 → x = 2 Calculem y → y = 1 − x = 1 − 2 = −1. b) 7x + 8y = 23 ⎪⎫ 7 3 ⎬ − x 3x + 2y = 7 ⎪⎪⎭ → 2y = 7 − 3x → y = 2 2 Substituïm en la 1a equació: ⎛7 3 ⎞ 7x + 8⎜⎜⎜ − x ⎟⎟⎟ = 23 → 7x + 28 − 12x = 23 → −5x = −5 → x = 1 ⎝2 2 ⎠ Calculem y → y =
7 3 7 3 − x = − ⋅ 1 = 2. 2 2 2 2
161
831106 _ 0138-0177.qxd
11/9/07
12:57
Página 162
Sistemes d’equacions c) 2x − 3y = 5 ⎫⎪ ⎬ 5x + 3y = 4 ⎪⎪⎭ → y = 4 − 5x Substituïm en la 1a equació: 2x − 3(4 − 5x) = 5 → 2x − 12 + 15x = 5 → 17x = 17 → x = 1 Calculem y: y = 4 − 5x = 4 − 5 ⋅ 1 = −1 d) 5x − 3y = 1 ⎫⎪ ⎬ 4x + 3y = 11 ⎪⎪⎭ → y = 11 − 4x Substituïm en la 1a equació: 5x − 3(11 − 4x) = 1 → 5x − 33 + 12x = 1 → 17x = 34 → x = 2 Calculem y: y = 11 − 4x = 11 − 4 ⋅ 2 = 3 e) 4x − y = −3 ⎫⎪ → −y = −3 − 4x → y = 3 + 4x ⎬ x + 3y = −4 ⎪⎪⎭ Substituïm en la 1a equació: x + 3(3 + 4x) = −4 → x + 9 + 12x = −4 → 13x = −13 → x = −1 Calculem y: y = 3 + 4x = 3 + 4 ⋅ (−1) = −1 f) 2x + y = 12 ⎪⎫ ⎬ −x − y = −7 ⎭⎪⎪ → −y = −7 + x → y = 7 − x Substituïm en la 1a equació: 2x + (7 − x) = 12 → 2x + 7 − x = 12 → 2x − x = 12 − 7 → x = 5 Calculem y: y=7−x=7−5=2 g) 3x + y = 10 ⎪⎫ → y = 10 − 3x ⎬ 2x − y = 10 ⎪⎪⎭ Substituïm en la 2a equació: 2x − (10 − 3x) = 10 → 2x − 10 + 3x = 10 → 5x = 20 → x = 4 Calculem y: y = 10 − 3x = 10 − 3 ⋅ 4 = −2 3 h) 3x + 5y = 20 ⎪⎫ → 5y = 20 − 3x → y = 4 − x ⎬ 5 7x + 4y = 39 ⎪⎪⎭ Substituïm en la 2a equació: ⎛ 3 ⎞ 12 7x + 4⎜⎜⎜4 − x ⎟⎟⎟ = 39 → 7x + 16 − x = 39 → ⎝ ⎠ 5 5 23 5 ⋅ 23 → x = 39 − 16 → x = =5 5 23 Calculem y → y = 4 −
162
3 ⋅ 5 = 4 − 3 = 1. 5
831106 _ 0138-0177.qxd
11/9/07
12:57
Página 163
SOLUCIONARI
059 ●
5
Resol els sistemes d’equacions següents pel mètode d’igualació: a) 3x + 5y = 1 ⎫⎪ ⎬ x + 5y = 1 ⎪⎭⎪ b) 7x + 8y = 23 ⎪⎫ ⎬ 3x + 2y = 07 ⎪⎪⎭ c) 2x − 3y = 5 ⎪⎫ ⎬ 5x + 0y = 4 ⎪⎭⎪
d) 4x − 0y = −3 ⎫⎪ ⎬ 0x + 3y = −4 ⎪⎭⎪ e) 3x + y = 10 ⎪⎫ ⎬ 2x − y = 10 ⎪⎪⎭
g) 5x + 3y = 16 ⎫⎪ ⎬ 3x − 3y = 00 ⎪⎭⎪ h) 3x + 5y = 20 ⎪⎫ ⎬ 7x + 4y = 39 ⎪⎪⎭
f) 5x − 3y = 11 ⎪⎫ ⎬ 4x + 3y = 11 ⎭⎪⎪
1 3 − x a) 3x + 5y = 1 ⎪⎫ → 5y = 1 − 3x → y = ⎬ 5 5 3x + 5y = 1 ⎭⎪⎪ → y = 1 − x 1 3 3 1 2 4 − x = 1− x → x − x = 1− → x = → x = 2. 5 5 5 5 5 5 Calculem y → y = 1 − x = 1 − 2 = −1. Igualem:
23 8 − y b) 7x + 8y = 23 ⎪⎫⎪ → 7x = 23 − 8 y → x = 7 7 ⎪ ⎬ ⎪⎪ 7 2 − y 3x + 2y = 7 ⎪⎭⎪ → 3x = 7 − 2 y → x = 3 3 23 8 7 2 23 7 2 8 − y = − y → − =− y+ y → 7 7 3 3 7 3 3 7 23 7 2 8 → 21 ⋅ − 21 ⋅ = −21 ⋅ y + 21 ⋅ y → 3 7 7 3 → 69 − 49 = −14y + 24y → 20 = 10y → y = 2 7 2 7 2 7−4 − y = − ⋅2 = = 1. Calculem x → x = 3 3 3 3 3 5 2 c) 2x − 3y = 5 ⎪⎫ → −3y = 5 − 2x → y = − + x ⎬ 3 3 5x + 3y = 4 ⎭⎪⎪ → y = 4 − 5x 5 2 2 5 → Igualem: − + x = 4 − 5 x → x + 5 x = 4 + 3 3 3 3 17 17 → x = → x =1 3 3 Calculem y → y = 4 − 5x = 4 − 5 ⋅ 1 = −1. Igualem:
d) 4x − 3y = −3 ⎫⎪ → 4x + 3 = y x 4 ⎬ 4x + 3y = −4 ⎪⎪⎭ → 3y = −x − 4 → y = − − 3 3 x 4 x 4 → 4x + =− −3 → Igualem: 4 x + 3 = − − 3 3 3 3 13x 13 → =− → x = −1 3 3 Calculem y → y = 4x + 3 = 4 ⋅ (−1) + 3 = −1. e) 3x + y = 10 ⎫⎪ → y = 10 − 3x ⎬ 2x − y = 10 ⎪⎪⎭ → 2x − 10 = y Igualem: 10 − 3x = 2x − 10 → 20 = 5x → x = 4. Calculem y → y = 10 − 3x = 10 − 3 ⋅ 4 = −2.
163
831106 _ 0138-0177.qxd
11/9/07
12:57
Página 164
Sistemes d’equacions 5 1 f) 5x − 3y = 1 ⎪⎫ → 5x − 1 = 3y → y = x − ⎬ 3 3 4x + y = 11 ⎪⎪⎭ → y = 11 − 4x 5 1 5 1 x− = 11 − 4 x → x + 4 x = 11 + → 3 3 3 3 17 34 → x = → 17x = 34 → x = 2 3 3 Calculem y → y = 11 − 4x = 11 − 4 ⋅ 2 = 3.
Igualem:
16 5 − x g) 5x + 3y = 16 ⎫⎪ → 3y = 16 − 5x → y = ⎬ 3 3 3x − 3y = 0 ⎪⎪⎭ → 3x = 3y → y = x 16 5 16 5 16 8 − x =x → = x+x → = x → 3 3 3 3 3 3 → 16 = 8x → x = 2 Calculem y → y = x = 2.
Igualem:
3 h) 3x + 5y = 20 ⎫⎪⎪ → 5 y = 20 − 3x → y = 4 − x 5 ⎪ ⎬ ⎪⎪ 39 7 − x 7x + 4y = 39 ⎪⎪⎭ → 4 y = 39 − 7x → y = 4 4 Igualem: 4 −
3 39 7 7 3 39 x = − x → x− x = −4 → 5 4 4 4 5 4 → 20 ⋅
7 3 39 x − 20 ⋅ x = 20 ⋅ − 20 ⋅ 4 → 4 4 5
→ 35x − 12x = 195 − 80 → 23x = 115 → x = 5 Calculem y → y = 4 −
3 3 x = 4 − ⋅ 5 = 4 − 3 = 1. 5 5
060
Resol pel mètode que consideris més adequat:
●●
a) −2(x − 2) = y − 4 ⎪⎫ ⎬ 3y − 2x = 0 ⎭⎪⎪
c) 3(x + y) − x + 2y = 15−⎪⎫ ⎬ 2x − (y + 8) = −11 ⎭⎪⎪
b) −5( y − 2) = x − 2 ⎪⎫ ⎬ x − 3y = −4 ⎭⎪⎪
d) 3(x + 2) − 7(x + y) = 15 ⎪⎫ ⎬ 5(x + 1) − y = 14 ⎭⎪⎪
a) −2(x − 2) = y − 4 ⎪⎫ −2x + 4 = y − 4⎪⎫ −2x − 3y = −8 ⎪⎫ ⎬→ ⎬→ ⎬ ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎭ 3y − 2x = 0 3y − 2x = 0 −2x + 3y = 0 ⎪⎪⎭ Restem la 1a equació de la 2a: −4y = −8 → y = 2. Substituïm a la 2a equació: 3 ⋅ 2 − 2x = 0 → 6 = 2x → x = 3. b) −5(y − 2) = x − 2 ⎫⎪ −5y + 10 = x − 2⎫⎪ −x − 5y = −12⎫⎪ ⎬→ ⎬→ ⎬ x − 3y = −4 ⎪⎪⎭ x − 3y = −4 ⎪⎪⎭ x − 3y = −4 ⎪⎪⎭ Sumem les dues equacions: −8y = −16 → y = 2. Substituïm a la 2a equació: x − 3 ⋅ 2 = −4 → x = −4 + 6 = 2.
164
831106 _ 0138-0177.qxd
11/9/07
12:57
Página 165
SOLUCIONARI
5
c) 3(x + y) − x + 2y = 15− ⎫⎪ 3x + 3y − x + 2y = 15− ⎫⎪ 2x + 5y = 15 ⎫⎪ ⎬→ ⎬→ ⎬ 2x − (y + 8) = −11 ⎪⎪⎭ 2x − y − 8 = −11 ⎪⎪⎭ 2x − 5y = −3 ⎪⎪⎭ Restem les dues equacions: 6y = 18 → y = 3 Substituïm a la 2a equació: 2x − 3 = −3 → 2x = 0 → x = 0 d) 3(x + 2) − 7(x + y) = 51⎪⎫ 3x + 6 − 7x − 7y = 51 ⎪⎫ ⎬→ ⎬ 5(x + 1) − y = 14⎪⎪⎭ 5x + 5 − y = 14 ⎪⎪⎭ −4x − 7y = 6−1 −4x − 7y = −1 ⎫⎪ 2a ⋅ (−7) ⎬ ⎯⎯⎯⎯→ −35x + 7y = −63 −5x − 7y = 9 ⎭⎪⎪ sumem = −64 −39x
⎫⎪ ⎬ ⎪⎪⎭
→ x =
64 39
Aïllem a la 2a equació: 64 320 320 − 351 31 −y =9→ −9 = y → y = =− 39 39 39 39
5⋅
061
FES-HO AIXÍ COM ELIMINEM ELS PARÈNTESIS I ELS DENOMINADORS EN UN SISTEMA? Resol el sistema:
PRIMER.
1 ⎫⎪ x 3y ⎪⎪ + = 2 ⎪⎪ 2 4 ⎬ ⎪ 3(2x − 2) 3( y + 1) − = −10⎪⎪ ⎪⎪⎭ 2 9
Eliminem els denominadors.
Calculem el m.c.m. dels denominadors en cada equació i hi multipliquem tots dos membres. Primera equació: m.c.m. (2, 4, 2) = 4 ⎡x 3y 4⎢ + ⎢⎣ 2 4
⎤ 1 ⎥ = 4⋅ → 2x + 3y = 2 ⎥⎦ 2
Segona equació: m.c.m. (2, 9) = 18 ⎡ 3(2x − 2) 3( y + 1) ⎤ ⎥ = 18 ⋅ (−10) → 9 ⋅ 3(2x − 2) − 2 ⋅ 3( y + 1) = −180 − 18 ⎢ ⎥⎦ ⎢⎣ 2 9 SEGON.
Traiem els parèntesis.
9 ⋅ 3(2x − 2) − 2 ⋅ 3( y + 1) = −180 → 54x − 54 − 6y − 6 = −180 TERCER.
Passem les incògnites a un membre, i els termes sense incògnita, a l’altre.
54x − 54 − 6y − 6 = −180 → 54x − 6y = −180 + 54 + 6 = −120 Sense parèntesis ni denominadors, el sistema és: 2x + 3y = 2 ⎪⎫ ⎬ 54x − 6y = −120 ⎪⎪⎭
Simplificant
F
2x + 3y = 2 ⎪⎫ ⎬ 9x − y = −20 ⎪⎪⎭
165
831106 _ 0138-0177.qxd
11/9/07
12:57
Página 166
Sistemes d’equacions 062 ●●
Resol pel mètode que consideris més adequat: 3x 2y ⎪⎫ − = 2 ⎪⎪ a) ⎬ 3 4 ⎪ 3 y + 5x = −1⎪⎪⎭ x y ⎪⎫ b) − = −1⎪⎪ 3 2 ⎪⎪⎬ ⎪ 2x y − = 7 ⎪⎪ 3 4 ⎪⎭⎪ a)
⎫⎪ ⎫⎪ 3x 2y 3x 2y − 12 ⋅ = 2 ⋅ 12⎪⎪ − = 2 ⎪⎪ → 12 ⋅ ⎬→ ⎬ 3 4 3 4 ⎪ ⎪ 5 x + 3 y = −1 ⎪⎪⎭ 3 y + 5 x = −1⎪⎪⎭ →
12x − 6y = 24 ⎫⎪ 2a ⋅ 2 ⎬ ⎯⎯⎯→ 15x + 3y = −1 ⎪⎪⎭ sumem
12x − 6y = 24 ⎫⎪ ⎬ 10x + 6y = −2 ⎪⎪⎭ = 22 → x = 1 22x
Substituïm en la 2a equació: 5 ⋅ 1 + 3y = −1 → 3y = −6 → y = −2 b)
x y ⎪⎫ x −6⋅ − = −1⎪⎪ 6⋅ ⎪⎬ → 3 2 3 ⎪ y 2x 2x − 12 ⋅ − = 7 ⎪⎪ 12 ⋅ ⎪⎪⎭ 3 3 4
⎫ ⎪⎫ y 2x − 3y = −6 ⎪⎪⎪ = −6⎪⎪ ⎪ restem ⎪ ⎯⎯⎯→ 2 ⎬→ ⎬ ⎪⎪ y ⎪ 8x − 3y = 84 ⎪⎪ = 84 ⎪ ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎭ 4
→ −6x = −90 → x = 15 Substituïm en la 1a equació: 15 y y − = −1 → − = −1 − 5 = −6 → y = 12 3 2 2 063 ●●●
Elimina els parèntesis i els denominadors en els sistemes següents: a)
⎫⎪ x y + = 0⎪⎪ ⎪⎪ 2 2 ⎬ ⎪ 5( x + 1) 2( y + 2) − = −2 ⎪⎪⎪ 7 3 ⎪⎭
b) 3(1 − x ) − ( y − 1) − 1 = 3 ⎫⎪⎪ ⎪ 3 5 2 2 ⎪⎪ ⎬ ⎪⎪ 5( x + 1) + 7(2 y − 1) = 2⎪⎪ ⎪⎭ 6
a) Multipliquem la 1a equació per 2 i la 2a per 21: x + y = 0 ⎪⎫ x + y = 0 ⎪⎫ ⎬→ ⎬→ 15(x + 1) − 14( y + 2) = −42⎭⎪⎪ 15 x + 15 − 14 y − 28 = −42⎭⎪⎪ x + 14 y = 0 ⎫⎪ → ⎬ 15 x − 14 y = −29⎪⎪⎭ b) Multipliquem la 1a equació per 10 i la 2a per 6: 10(1 − x ) − 2( y − 1) − 5 = 15⎫⎪ 10 − 10 x − 2 y + 2 − 5 = 15⎫⎪ ⎬→ ⎬→ 5(x + 1) + 7(2 y − 1) = 12⎪⎪⎭ 5 x + 5 + 14 y − 7 = 12⎪⎪⎭ −10 x − 12 y = 81⎪⎫ → ⎬ −15 x + 14 y = 14⎪⎪⎭
166
831106 _ 0138-0177.qxd
11/9/07
12:57
Página 167
SOLUCIONARI
064 ●●●
Resol pel mètode d’igualació aquests sistemes: x y ⎪⎫ x y +2 1 ⎪⎫⎪ + = 6⎪⎪ − = a) b) ⎪ ⎬ 2 3 2 2 2 ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪ x − 2 y = −4 ⎪⎭ 2( x − 1) y +2 − = −1⎪⎪ ⎪⎪⎭ 3 6
c)
5
x ⎪⎫ + y = 2⎪⎪ ⎬ 5 ⎪ 2x − 3 y = 7⎪⎪⎭
3x + 2 y = 36 ⎪⎫ ⎬ x − 2 y = −4⎭⎪⎪ 36 − 3x x+4 Aïllem y de la 1a equació, y = , i en la 2a, y = , 2 2 36 − 3x x+4 = → x = 8 . I si substituïm: y = 8. igualem: 2 2
a) Traiem denominadors:
b) Traiem denominadors:
x + 5 y = 10⎪⎫ ⎬ 2x − 3 y = 7 ⎪⎭⎪
7 − 3y , 2 7 − 3y 13 5 → y = igualem: 10 − 5 y = . I si substituïm: x = . 2 7 7 Aïllem x de la 1a equació, x = 10 − 5y, i en la 2a, x =
x − y = 3⎪⎫ ⎬ Aïllem y de la 1a equació, 4 x − y = 0⎪⎭⎪ y = x + 3 i en la 2a, y = 4x, igualem: x + 3 = 4x → x = 1, y = 4.
c) Traiem denominadors:
065 ●●●
Resol pel mètode de reducció els sistemes següents: x y ⎪⎫ x ⎪⎫ + = 6⎪⎪ + y = 2⎪⎪ a) c) ⎬ ⎬ 2 3 5 ⎪ ⎪ x − 2 y = −4 ⎪⎪⎭ 2x − 3 y = 7⎪⎪⎭ x y +2 1 ⎪⎫⎪ b) − = ⎪ 2 2 2 ⎪⎪ ⎬ ⎪ 2( x − 1) y +2 − = −1⎪⎪ ⎪⎪⎭ 3 6 3x + 2 y = 36 ⎫⎪ ⎬ Les sumem: 4x = 32 → x − 2 y = −4⎪⎪⎭ → x = 8. Substituïm en la 2a equació: 8 − 2y = −4 → y = 6.
a) Traiem denominadors:
x − y − 2 = 1 ⎫⎪ x − y = −1⎫⎪ ⎬→ ⎬ 2x − 2 − y − 2 = −6⎪⎪⎭ 2x − y = −2⎪⎪⎭ Les restem:−x = 1 , x = −1. Substituïm en la 1a equació: −1 − y = −1 → y = 0. x + 5 y = 10⎫⎪ ⎬ c) Traiem denominadors: 2x − 3 y = 7 ⎭⎪⎪ −2x − 10 y = −20⎫⎪ ⎬ Multipliquem la 1a equació per −2: 2x − 13 y = 7 ⎪⎭⎪
b) Traiem denominadors:
Les sumem: −13y = −13, y = 1. Substituïm en la 1a equació: x + 5 = 10 → x = 5.
167
831106 _ 0138-0177.qxd
11/9/07
12:57
Página 168
Sistemes d’equacions 066 ●●●
Resol pel mètode més adequat: a)
x + y = 0 ⎫⎪ ⎬ 2x − y = 0 ⎭⎪⎪
d)
b) 2x − 3y = 2 ⎫⎪ ⎬ 5x + 4y = 5 ⎪⎪⎭ e)
⎫⎪ x y −1 + = 0⎪⎪ c) ⎬ 2 2 ⎪ 3x − y = 6⎪⎪⎭
2x + 1 3y − 4 2 ⎫⎪⎪ − = ⎪ 5 10 5 ⎪⎪ ⎬ 5( x + 1) 1 8⎪ − y + = − ⎪⎪ 7 2 2 ⎪⎪⎭ 3( x + 1) − x y +1 3 ⎪⎫⎪ −y − = ⎪⎪ 6 5 2 ⎪⎬ 3( y − 1) 1 x + 3 ⎪⎪ x − + = ⎪ 10 5 3 ⎪⎪⎭
a) x + y = 0⎪⎫ ⎬ Les sumem: 3x = 0 → x = 0. 2x − y = 0⎪⎪⎭ Substituïm a la 1a equació: y = 0. b) 2x − 3 y = 2 ⎪⎫ ⎬ Multipliquem la 1a equació per 5 i la 2a per −2: 5 x + 4 y = 5⎪⎭⎪ 10 x − 15 y = 10 ⎪⎫ ⎬ Les sumem: 23y = 0 → y = 0. −10 x − 18 y = −10⎪⎭⎪ Substituïm a la 1a equació: 2x = 2 → x = 1.
x + y = 1 ⎫⎪ 7 ⎬ Les sumem: 4x = 7 → x = 3x − y = 6⎪⎭⎪ 4 −3 Substituïm a la 1a equació: y = . 4
c) Traiem denominadors:
d) Traiem denominadors:
4 x − 13 y = −2 ⎫⎪ ⎬ 10 x − 14 y = −73⎪⎪⎭
Aïllem x de la 1a equació: x =
3y − 2 . 4
Substituïm a la 2a equació: ⎛ 3 y − 2 ⎞⎟ ⎟ − 14 y = −73 → 15y − 10 − 28y = −146 → 10⎜⎜ ⎜⎝ 4 ⎟⎟⎠ 136 → −13y = −136 → y = 13 191 Substituïm: x = . 26 e) Traiem denominadors:
10 x − 36 y = 36⎫⎪ ⎬ 20 x − 39 y = 15 ⎭⎪⎪
Multipliquem la 1a equació per −2:
−20 x + 72 y = −72⎪⎫ ⎬ 20 x − 79 y = 15 ⎭⎪⎪
−19 . 21 57 12 = 15 → x = Substituïm a la 2a equació: 20 x + . 7 35 Les sumem: 63 y = −57 → y =
168
831106 _ 0138-0177.qxd
11/9/07
12:57
Página 169
SOLUCIONARI
067
5
FES-HO AIXÍ COM EXPRESSEM CERTS ENUNCIATS MITJANÇANT EQUACIONS AMB DUES INCÒGNITES? Expressa com a equacions de dues incògnites: a) La suma de dos nombres és 50. b) La diferència d’edat de dos germans és 5 anys. c) Un pare té el doble d’edat que el seu fill. d) Un nombre en supera un altre en 10 unitats. PRIMER.
Assignem una incògnita a cada dada desconeguda. Dades desconegudes
Incògnites
Dos nombres
x, un nombre y, l’altre nombre
Edat de dos germans
x, edat del primer y, edat del segon
Edats del pare i el fill
x, edat del pare y, edat del fill
Dos nombre
x, un nombre y, l’altre nombre
SEGON.
Relacionem les dades conegudes i les desconegudes amb una igualtat (equació).
a) La suma és 50. x + y = 50 b) La diferència és de 5 anys. x−y=5 c) El pare dobla l’edat al fill. x = 2y d) Un supera en 10 l’altre. x = y + 10
068
Expressa mitjançant equacions de dues incògnites:
●●
a) b) c) d)
Un entrepà i un refresc valen 5 €. Dos entrepans i tres refrescos costen 15 €. Un entrepà val 1 € més que un refresc. He pagat un entrepà i dos refrescos amb 10 € i me n’han tornat 3 €. Preu de l’entrepà: x. Preu del refresc: y. a) x + y = 5 b) 2x + 3y = 15 c) x = y + 1 d) x + 2y + 3 = 10
169
831106 _ 0138-0177.qxd
11/9/07
12:57
Página 170
Sistemes d’equacions 069 ●
Tria la resposta adequada: a) Fa tres anys, l’edat d’un oncle era el triple de la del nebot, però d’aquí a 5 anys serà només el doble. Les edats de l’oncle i el nebot són: 1. Oncle: 15; nebot: 5. Oncle: 27; nebot 11. 2. Oncle: 35; nebot: 15. b) En un teatre s’han venut 250 entrades entre seients de platea i de llotja. Les primeres costen 15 € cadascuna i les segones, 30 €. Si la recaptació va ser de 4.500 €, les entrades venudes de cada tipus van ser: 1. Platea: 50; llotja: 250. 3. Platea: 200; llotja: 50. 2. Platea: 100; llotja: 150. 4. Platea: 125; llotja: 125. a) Oncle: x
Nebot: y x = 3y ⎪⎫ Substituïm x a la 2a equació: 3y + 5 = 2y + 10 → ⎬ x + 5 = 2( y + 5)⎭⎪⎪ → y = 5, x = 15
La solució és l’opció 1. Oncle: 15 anys. Nebot 5 anys. Butaques de llotja: y b) Butaques de platea:x ⎫ x + y = 250 ⎪ → x = 250 − y ⎬ 15 x + 30 y = 4.500⎪⎭⎪ Substituïm x a la 2a equació: 15(250 − y ) + 30y = 4.500 → → 3.750 + 15y = 4.500 → y = 50, x = 200 La solució és l’opció 3. Butaques de platea: 200. Butaques de llotja: 50. 070 ●
071 ●●
Calcula dos nombres la suma dels quals és 10 i la diferència, 6. x + y = 10⎪⎫ ⎬ Sumem les equacions: 2x = 16 → x = 8, y = 2. x − y = 6 ⎪⎭⎪ Calcula les dimensions d’un rectangle si en saps que el perímetre fa 60 cm i la base és el doble de l’altura. 2x + 2 y = 60⎫⎪ ⎬ Substituïm la 2a en la 1a: 4y + 2y = 60 → y = 10, x = 20. x = 2 y ⎪⎭⎪ Base: 20 cm. Altura: 10 cm.
072 ●●
Dos quilos d’albercocs i tres de figues costen 13 €. Tres quilos d’albercocs i dos quilos de figues en costen 12 €. Quin és el preu del quilo d’albercocs? Albercocs: x
Figues: y
2x + 3 y = 13⎪⎫ ⎬ Multipliquem la 1a equació per 3 i la 2a per −2: 3x + 2 y = 12⎪⎭⎪ 6 x + 9 y = 39⎪⎫ ⎬ −6 x − 4 y = −24⎪⎪⎭ Sumem les equacions: 5y = 15 → y = 3, x = 2. Albercocs: 2 €/kg. Figues: 3 €/kg.
170
831106 _ 0138-0177.qxd
11/9/07
12:57
Página 171
SOLUCIONARI
073 ●●
5
En una compra s’han fet servir monedes de 2 € i bitllets de 5 €. En total, entre monedes i bitllets són 13 i s’han pagat 33 €. Quantes monedes de 2 € s’han fet servir? I bitllets de 5 €? Monedes: x Bitllets: y x + 5 y = 13⎪⎫ ⎬ Aïllem x de la 1a equació: x = 13 − y. 2x + 5 y = 32⎪⎪⎭ Substituïm a la 2a: 26 − 2y + 5y = 32 → y = 2, x = 11.
074 ●●
En una drogueria venen 3 sabons i 2 ampolles de colònia per 12 €, i també 4 sabons i 3 ampolles de colònia per 17 €. Calcula el preu de cada producte. Preu del sabó: x
Preu de l’ampolla de colònia: y
3x + 2y = 12 ⎪⎫ 1a ⋅ 3 ⎬ ⎯⎯⎯⎯→ 4x + 3y = 17 ⎪⎪⎭ 2a ⋅ (−2) sumem
9x + 6y = −36 −8x − 6y = −34 x =− 32
⎪⎫ ⎬ ⎪⎪⎭
Substituïm a la 1a equació: 3 ⋅ 2 + 2y = 12 → 2y = 6 → y = 3. El sabó val 2 €, i l’ampolla de colònia 3 €. 075 ●●
Hem adquirit segells de 0,26 € i de 0,84 €. En total hem pagat 5,18 € per 11 segells. Quants són de 0,26 €? I de 0,84 €? Segells de 0,26 €: x Segells de 0,84 €: y x + 0, 84 y = 11 ⎪⎫ ⎬ Aïllem x de la 1a equació: x = 11 − y. 0, 26 x + 0, 84 y = 5,18⎪⎪⎭ Substituïm a la 2a: 2,86 − 0,26y + 0,84y = 5,18 → y = 4, x = 7. Hem comprat 7 segells de 0,84 € i 4 segells de 0,26 €.
076 ●●
Per a un berenar s’han comprat entrepans de pernil a 2,80 € la unitat i de formatge a 2,50 €. En total, es paguen 48 € per 18 entrepans. Quants se’n compren de pernil? Entrepans de formatge: y Entrepans de pernil: x ⎫ x + 2, 50 y = 18⎪ ⎬ Aïllem x de la 1a equació: x =18 − y. 2, 80 x + 2, 50 y = 48⎪⎪⎭
Substituïm a la 2a: 50,4 − 2,8y + 2,5y = 48 → y = 8, x = 10.
Pernil: 10 entrepans. Formatge: 8 entrepans. 077 ●●
En un taller hi ha 50 vehicles, entre motos i cotxes. Si el nombre total de rodes és 140, quants vehicles hi ha de cada tipus? Cotxes: x
Motos: y x + 2 y = 50 ⎫⎪ → x = 50 − y ⎬ 4 x + 2 y = 140⎪⎭⎪ Substituïm a la 2a: 200 − 4y + 2y = 140 → y = 30, x = 20.
Cotxes: 20. Motos: 30.
171
831106 _ 0138-0177.qxd
11/9/07
12:57
Página 172
Sistemes d’equacions 078 ●●
El perímetre d’una parcel·la rectangular és 350 m i el triple de la seva llargada és igual al quàdruple de l’amplada. Quines són les dimensions de la parcel·la? Llargada:x
Amplada: y
2x + 2 y = 350⎪⎫ 3x ⎬ 3x = 4 y ⎪⎪⎭ → y = . Substituïm y a la 1a equació: 4 3x 2x + = 350 → 7x = 700 → x = 100, y = 75 2 Llargada: 100 m. Amplada: 75 m. 079 ●●
En Josep li diu a l’Agnès: «Si et dono 10 discos en tindries tants com jo.» L’Agnès li respon: «Tens raó, només et faltem 10 discos per doblar-me’n el nombre.» Quants discos té cadascun? Discos de Josep: x
Discos d’Agnès: y
x − 10 = y + 10 ⎫⎪ → x − 2y = 20 ⎫⎪ Restem les equacions: ⎬ ⎬ x + 10 = 2y x − 2y = −10 ⎭⎪⎪ −y − (−2y) = 20 − (−10) → y = 30 ⎭⎪⎪ Substituïm a la 1a equació: x − 10 = 30 + 10 → x = 50. En Josep té 50 discos i l’Agnès en té 30. 080 ●●●
Una empresa de lloguer de cotxes n’ofereix dos models, un de quatre places i un altre de cinc. Durant el dia, l’empresa lloga 10 cotxes en què viatgen 42 persones, i queden dues places sense ocupar. Quants cotxes han llogat de cada tipus? Cotxes de quatre places: x Cotxes de cinc places: y
x + y = 10 ⎪⎫ → 4x + 5y = 10 ⎪⎫ → y = 10 − x ⎬ ⎬ 4x + 5y − 2 = 42 ⎪⎪⎭ 4x + 5y = 44 ⎪⎪⎭ Substituïm a la 2a equació: 4x + 5(10 − x) = 44 → 4x + 50 − 5x = 44 → −x = −6 → x = 6 Aïllem: y = 10 − x = 10 − 6 = 4. Han llogat 6 cotxes de quatre places i 4 de cinc places. 081 ●●●
En Joan ha comprat una camisa i uns pantalons. Els preus d’aquestes peces sumaven 60 €, però li han fet un 10 % de descompte en la camisa i un 20 % en els pantalons. Per tot plegat paga 50,15 €. Quin era el preu sense rebaixar de cada peça? Preu de la camisa: c
Preu dels pantalons: p ⎪⎫ c + p = 60,15 ⎪⎫ 0,9c + 0,9p = 60 ⎬ ⎬ c (100 % − 10 %) + p (100 % − 20 %) = 50,15 ⎪⎪⎭ 0,9c + 0,8p = 50,15 ⎪⎪⎭
Aïllant a la 1a equació: p = 60 − c. Substituïm a la 2a: 0,9c + 0,8(60 − c) = 50,15 → 0,9c + 48 − 0,8c = 50,15 → → 0,1c = 2,15 → c = 21,50 € Aïllem: p = 60 − c = 60 − 21,50 = 38,50 €.
172
831106 _ 0138-0177.qxd
11/9/07
12:57
Página 173
SOLUCIONARI
082
5
FES-HO AIXÍ COM RESOLEM ELS PROBLEMES DE BARREGES MITJANÇANT SISTEMES D’EQUACIONS? Volem barrejar dos tipus de vi: un de 5,20 €/ ¬ i un altre de 6,20 €/ ¬ per obtenir 100 ¬ de vi que tingui un preu de 6 €/ ¬. Quants litres de cada tipus fan falta? PRIMER.
Plantejament. Litres
y 100
5,2x + 6,2 y =6 100
x + y = 100
Equacions
SEGON.
Preu 5,2x 6,2y 5,2x + 6,2y
x
Vi A Vi B Barreja
Resolució. x + y = 100⎫⎪⎪ x = 100 − y ⎪⎫ ⎪→ ⎬ ⎬ 5,2x + 6,2 y ⎪⎪⎭ 5,2x + 6,2 y = 600 = 6 ⎪⎪ ⎪⎭ 100
Substituïm el valor a l’altra equació: x = 100 − y
⎯⎯⎯⎯→ 5,2(100 − y ) + 6,2y = 600 → y = 80 y = 80
x = 100 − y ⎯⎯⎯→ x = 20 TERCER.
Comprovació. La barreja contindrà 20 ¬ del vi A i 80 20 + 80 = 100 ¬. I el preu de la barreja és:
¬
del vi B. La quantitat de barreja serà
5,2 ⋅ 20 + 6,2 ⋅ 80 104 + 496 = =6€ 100 100
083 ●●●
Barregem licor de 12 €/ ¬ amb licor de 15 €/ ¬, fins que tenim 50 ¬ de licor de 13 €/ ¬. Quants litres de cada licor hem barrejat? Licor de 12 €/¬: x Licor de 15 €/¬: y
⎫⎪ Aïllem x de la 1a equació: x + 15 y = 50 ⎬ 12x + 15 y = 50 ⋅ 13⎭⎪⎪ x = 50 − y. Substituïm a la 2a: 600 − 12 y + 15 y = 650 → y = Licor de 12 €/¬:
50 100 ,x = 3 3
100 50 litres. Licor de 15 €/¬: litres. 3 3
173
831106 _ 0138-0177.qxd
11/9/07
12:57
Página 174
Sistemes d’equacions 084 ●●●
En una fàbrica de sucs barregem dos tipus de qualitats, una de 50 cèntims el litre i una altra de 80 cèntims el litre. Quants litres de suc hem de barrejar de cada tipus per obtenir-ne 120 amb un cost total de 85,50 €? Suc de 0,50 €/¬: x
Suc de 0,80 €/¬: y 0,50x + 0,50y = 120 ⎫⎪ → y = 120 − x ⎬ 0,50x + 0,80y = 85,50 ⎪⎪⎭
Substituïm a la 2a equació: 0,50x + 0,80(120 − x) = 85,50 → 0,50x + 96 − 0,80x = 85,50 → → −0,30x = −10,50 → x = 35 Aïllem:y = 120 − x = 120 − 35 = 85.
S’han de barrejar 35 litres de suc de 0,50 €/¬ i 85 litres de suc de 0,80 €/¬. 085 ●●●
Hem barrejat 40 kg de cafè a 10 €/kg amb una altra quantitat de cafè a 14 €/kg. Quants quilos hem fet servir de cada classe si venem la barreja a 12,80 €/kg? Cafè de 12 €: x Total de cafè: y y − 14 x = 40 ⎪⎫ ⎬ Aïllem y de la 1a equació: y = 40 + x. 12, 80 y − 14 x = 400⎪⎪⎭ Substituïm a la 2a equació: 280 400 ,y = 512 + 12,80x − 14x = 400 → x = 3 3 Cafè de 12 €/kg:
086 ●●●
280 400 kg. Total de cafè: kg. 3 3
Si en un sistema d’equacions amb solució única multipliquem tots els termes d’una equació per 3: a) b) c) d)
La nova solució és el triple de l’original. La solució és la mateixa. El nou sistema no pot tenir solució. Cap de les tres opcions és certa. b) La solució és la mateixa, perquè si multipliquem tots els termes d’una equació per la mateixa quantitat, l’equació resultant és equivalent, és a dir, tenen les mateixes solucions.
087 ●●●
Si aïllem la mateixa incògnita en dues equacions i, un cop igualades, no podem resoldre l’equació amb una incògnita que resulta, com és el sistema, compatible o incompatible? Raona la resposta. És incompatible, perquè si no té solució per a aquesta incògnita, el sistema no pot tenir cap solució, ja que s’aportaria una solució a l’equació que no en tenia.
174
831106 _ 0138-0177.qxd
11/9/07
12:57
Página 175
SOLUCIONARI
088 ●●●
5
La suma de les dues xifres d’un nombre és a i la seva diferència també és a. De quin tipus són els nombres que compleixen aquesta condició? x + y = a ⎪⎫ ⎬ x − y = a ⎪⎪⎭ Sumem les equacions: 2x = 2a → x = a. Anomenem les xifres x i y :
Substituïm a la 1a equació: y = 0. Els nombres que compleixen aquesta condició són les desenes. 089 ●●●
La suma de les dues xifres d’un nombre és 2a i la seva diferència és a. Quins nombres compleixen aquesta condició? x + y = 2a ⎫⎪ ⎬ Sumem les equacions: 2x = 3a → x − y = a ⎭⎪⎪ 3a a →x = . Substituïm a la 1a equació: y = . 2 2 Anomenem les xifres x i y :
Com que a ha de ser parell i menor que 7 (a = 2, 4, 6), els nombres són 93, 39, 62, 26, 31 i 13. 090 ●●●
En el triangleABC , el costat BC fa 8 cm i l’altura AH en fa 4. Volem inscriure en aquest triangle un rectangle, MNPQ, on els vèrtexs P i Q estiguin al costat BC, M a AB i N a AC. Calcula les longituds de MN i MQ perquè el perímetre del rectangle MNPQ sigui 12 cm. A
M
B
N
Q
H
C
P
Base del rectangle: x. Altura del rectangle: y. Els triangles ABC i AMN són semblants, ja que MN és paral·lel a AB. La base de AMN mesura x, i la seva altura mesura 4 − y. Base de AMN Base de ABC 2x + 2 y = 12 x 4−y = 8 4
=
Altura de AMN Altura de ABC
→
x 4−y = 8 4
⎫⎪ ⎪⎪ Eliminem denominadors 2x + 2y = 12 ⎪⎫ → ⎬→ ⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎪⎪ x = 8 − 2y ⎪⎪⎭ ⎭⎪ 2x + 2y = 12 ⎪⎫ Restem ⎯⎯⎯→ ⎬ 8x + 2y = 38 ⎪⎭⎪ 2x + 2y = 14 → 8 + 2y = 12 → y = 2
Base del rectangle: MN = 4 cm. Altura del rectangle: MQ = 2 cm.
175
831106 _ 0138-0177.qxd
11/9/07
12:57
Página 176
Sistemes d’equacions A LA VIDA QUOTIDIANA 091 ●●●
En Xavier va a Sevilla amb un tren que ha sortir a les 17.00 h. Tot i que la seva mare ha insistit que no s’oblidés res, en Xavier s’ha deixat a casa una cosa molt important: el carnet d’identitat. La seva mare l’ha trobat i ha anat a l’estació de tren per informar-se, i el cap d’estació li ha dit: El tren només farà una parada a Villarrual, a 83 quilòmetres d’aquí... El tren va a una velocitat de 70 km/h, més o menys. D’aquí a Villarrual hi ha autovia, i vostè podria anar a 120 km/h.
Si la mare d’en Xavier arribés abans que el tren a l’estació de Villarrual, el podria buscar i donar-li el carnet. El problema és que ja han passat 20 minuts des que el tren ha sortit. Creus que la mare d’en Xavier pot arribar a temps a l’estació? 83 = 1 h 11 min 9 s. 70 83 = 41 min 30 s. Però com ha de sortir La mare triga a arribar: 120 20 min més tard, en total trigarà 1 h 1 min 30 s. Per tant, sí que pot arribar-hi a temps. El tren triga a arribar a Villarrual:
092 ●●●
L’Alícia i la Maria han aconseguit una beca per estudiar durant 2 anys a París. Quan facturaven l’equipatge han vist que l’Alícia portava 18 kg i la Maria, 27. Vostè porta 18 kg d’equipatge, no ha de pagar sobrepès.
176
Vostè en porta 27. Haurà d’abonar 42 € per sobrepès.
831106 _ 0138-0177.qxd
11/9/07
12:57
Página 177
SOLUCIONARI
5
Els avions de passatgers permeten un pes determinat dels equipatges; si se sobrepassa, el passatger ha d’abonar una quantitat per cada quilo de més que porti. Perquè a la Maria li surti més barat, l’hostessa que els factura els equipatges ha tingut una idea: Com que viatgen totes dues juntes, i a la seva amiga li falten uns quants quilos per arribar al pes màxim, podem unir els dos equipatges, i així vostè només hauria de pagar 30 €.
Quin és el pes permès a cada passatger? Quant s’ha de pagar per quilo de sobrepès? Pes permès: x
Preu per quilo: y
(27 − x ) y = 42⎫⎪ 27 y − 2xy = 42⎫⎪ ⎬→ ⎬ [27 − (x − 18) − x ]y = 30⎪⎪⎭ 45 y − 2xy = 30⎪⎪⎭ ⋅ (−2) 27 y − 2xy = 42⎪⎫ ⎯⎯⎯→ −54y + 2xy = −84 ⎬ 45y − 2xy = −30 45 y − 2xy = 30⎪⎪⎭ 2−9y + 2xy = −54
⎫⎪ ⎬ ⎪⎪⎭ →y=6
y=6
(27 − x)y = 42 ⎯⎯⎯→ (27 − x)6 = 42 → 27 − x = 7 → x = 20 Pes permès: 20 kg. Preu per quilo: 6 €.
177
831106 _ 0178-0207.qxd
6
11/9/07
13:07
Página 178
Proporcionalitat numèrica MAGNITUDS
DIRECTAMENT PROPORCIONALS
INVERSAMENT PROPORCIONALS
REGLA DE TRES SIMPLE
DIRECTA
INVERSA
REPARTIMENTS PROPORCIONALS
DIRECTES
INVERSOS
PROPORCIONALITAT COMPOSTA
PERCENTATGES
INTERÈS SIMPLE
178
831106 _ 0178-0207.qxd
11/9/07
13:07
Página 179
Un tros de la història Finalment, l’Alí havia aconseguit fer sortir l’Schoene de l’hotel, on feia quatre dies que s’havia reclòs sense apartar la vista d’aquell llibre, que de tant en tant feia que l’Schoene s’exclamés: –És meravellós! Fantàstic! Ha estat perdut durant segles i l’he trobat jo! Aquella tarda, mentre passejaven pel soc, l’Schoene no parava de parlar de la seva nova adquisició; deia que era una petita peça del puzle de la història. –Alí, el llibre és la prova. –l’Schoene se’l mirava emocionat–. És una traducció d’un llibre de matemàtiques d’Heró d’Alexandria perdut fa molt de temps. L’original es va escriure el segle I. –Jo prefereixo la realitat a les teories matemàtiques –va contestar l’Alí sense l’entusiasme del seu company. –T’equivoques, Alí. Aquest llibre està ple de teories pràctiques: ensenya maneres d’aproximar arrels quadrades no exactes, mètodes per calcular les àrees de polígons, volums de cossos i, fins i tot, divisió de superfícies en parts proporcionals... Aquests coneixements eren molt útils a l’Egipte del segle I; per exemple, per calcular les mides dels terrenys que cultivaven o per repartir les herències. Com repartiries un terreny de 1.000 m2 entre dues famílies de manera que a una n’hi corresponguin 7 parts i a l’altra, 13? Dividim el terreny en: 7 + 13 = 20 parts →
1.000 = 50 20
Cada part fa 50 m 2. Per tant: 07 parts → 07 ⋅ 50 = 350 m 2 13 parts → 13 ⋅ 50 = 650 m 2 Una família rebrà 350 m2, i l’altra 650 m 2.
831106 _ 0178-0207.qxd
11/9/07
13:07
Página 180
Proporcionalitat numèrica EXERCICIS 001
Completa aquestes taules perquè siguin de proporcionalitat directa. 2 6
002
4 12
5 15
8 24
40 120
1 5
0,25 1,25
3 15
2,4 12
8 40
Si el preu de 9 menús és 166,50 €, quant costaran 5 menús? 166, 50 x 5 ⋅ 166, 50 = → x = = 92,50 € 9 5 9
003
En un mapa, 14 cm representen 238 km en la realitat. Per quina longitud es representen 306 km? Una longitud de 10 cm al mapa, quina longitud real representa? 238 306 14 ⋅ 306 = = 18 cm → x = 14 x 238 238 x 238 ⋅ 10 = = 170 km ⎯→ x = 14 10 14
004
Inserir anuncis en un diari costa 10 € per 3 línies de text, i 3 € per cada línia que hi afegim. Fes la taula que relaciona les magnituds. És de proporcionalitat numèrica? Línies Preu
3 10
4 13
5 16
6 19
La taula no és de proporcionalitat, ja que
005
Completa les taules perquè siguin de proporcionalitat inversa. 1 24
006
3 4 . ⫽ 10 13
2 12
3 8
4 6
6 4
10 15
15 10
25 6
6 25
Un vaixell porta menjar per a 8 tripulants i una travessa de 15 dies. Si només són 6 tripulants, per a quants dies tindran menjar? El nombre de tripulants i el temps són magnituds inversament proporcionals, de manera que: 8 ⋅ 15 = 6 ⋅ x → x =
8 ⋅ 15 = 20 6
Tindran menjar per a 20 dies.
180
12 12,5
831106 _ 0178-0207.qxd
11/9/07
13:07
Página 181
SOLUCIONARI
007
6
Classifica en proporcionalitat directa o inversa. a) El costat d’un quadrat i el seu perímetre. b) Obrers i temps per acabar una feina. a) Directa, amb constant de proporcionalitat 4. b) Inversa.
008
A la cuina d’un IES han pagat 42 € per 70 barres de pa. Quant haurien de pagar si haguessin comprat 45 barres? Apliquem una regla de tres simple directa: 70 barres ⎯→ 42 € ⎪⎫ → x = 45 ⋅ 42 = 27 € ⎬ 45 barres ⎯→ x € ⎭⎪⎪ 70
009
Un cotxe gasta 46 cèntims d’euro de gasolina cada 4 km. Quant costarà el combustible en un viatge de 270 km si manté aquest consum? Apliquem una regla de tres simple directa: 4 km ⎯⎯→ 0,46 € ⎪⎫ → x = 270 ⋅ 0, 46 = 31,05 € ⎬ 270 km ⎯→ x € ⎪⎪⎭ 4
010
El preu de 15 menús en un restaurant ha estat de 120 €. Quant costa el menú? Si hi van 7 persones, quant pagaran? Apliquem una regla de tres simple directa: 15 menús ⎯→ 120 € ⎪⎫ → x = 7 ⋅ 120 = 56 € pagaran en total ⎬ 7 menús ⎯⎯→ 1x € ⎭⎪⎪ 15 El menú costa:
011
120 56 = = 8 €. 15 7
Un arbre de 2,25 m d’altura fa una ombra de 2 m. Quina altura tindrà una torre que, a la mateixa hora, fa una ombra de 188,8 m? Apliquem una regla de tres simple directa: 2,25 m d’altura ⎯→ 2 m d’ombra x m d’altura ⎯→ 188,8 m d’ombra x =
012
⎪⎫ ⎬ ⎪⎪⎭
2, 25 ⋅ 188, 8 = 212,4 m d’altura 2
Si el temps que 7 treballadors han dedicat a netejar un carrer és de 7 hores, quant trigaran 5 treballadors? El nombre de treballadors i el temps són magnituds inversament proporcionals, de manera que: 7⋅7 = 9,8 h = 9 h 48 min 7⋅7=5⋅x→x = 5
181
831106 _ 0178-0207.qxd
11/9/07
13:07
Página 182
Proporcionalitat numèrica 013
La Marta triga 5 minuts a anar de casa seva al col·legi en monopatí a una velocitat mitjana de 6 km/h. Quant trigarà quan hi va caminant, si va a una velocitat de 4 km/h? La velocitat i el temps són magnituds inversament proporcionals. S’han de convertir els minuts en hores, per mantenir unitats coherents i evitar errors conceptuals en física. 5 min =
5 h 60
5 5 60 6⋅ = 4⋅x → x = = 0,125 h → 60 4 → x = 0,125 ⋅ 60 = 7,5 min 6⋅
014
Per una aixeta brollen 6 litres per minut i fan falta 5 hores per omplir un dipòsit. Si hi brollés 1 litre per minut, quant trigaria? El cabdal en litres/minut i el temps són magnituds inversament proporcionals. Per utilitzar magnituds coherents, hem de convertir les hores en minuts: 5 hores = 5 ⋅ 60 minuts = 300 minuts 6 ⋅ 300 = 1.800 min → 6 ¬ /min ⋅ 300 min = 1 ¬ /min ⋅ x min → x = 1 1.800 → x = = 30 hores 60
015
Per construir una piscina, 10 obrers treballen 16 dies. Quants obrers hi van treballar si van tardar 40 dies? El nombre d’obrers i el temps són magnituds inversament proporcionals. 10 ⋅ 16 = 4 obrers 10 obrers ⋅ 16 dies = x obrers ⋅ 40 dies → x = 40
016
Reparteix 102 € en parts directament proporcionals a 3, 2 i 1, respectivament. x y z 102 = = = 3 2 1 6 x =
017
3 ⋅ 102 2 ⋅ 102 1 ⋅ 102 = 51 €; y = = 34 €; z = = 17 € 6 6 6
Un pare reparteix 99 € entre els seus tres fills en parts directament proporcionals a 3, 2/3 i 11/6. Quant li correspon a cadascun? x y z 99 = = = 3 2/ 3 11/ 6 5,5 x =
182
3 ⋅ 99 2 / 3 ⋅ 99 11/ 6 ⋅ 99 = 54 €; y = = 12 €; z = = 33 € 5,5 5,5 5,5
831106 _ 0178-0207.qxd
11/9/07
13:07
Página 183
SOLUCIONARI
018
6
La senyora Francesca reparteix les seves terres entre els néts en parts directament proporcionals a les edats que tenen: 8, 12 i 15 anys. Si al petit li toquen 12 hectàrees, esbrina el total d’hectàrees repartides. 12 y z Total = = = 8 12 15 (8 + 12 + 15) 12 Total 12 ⋅ 35 = → Total = = 52, 5 ha 8 35 8
019
Reparteix 70 parts inversament proporcionals als nombres 3 i 4 k =
020
Reparteix 1.100 en parts inversament proporcionals als nombres 5 i 6. k =
021
70 840 = = 120 → A 3 corresponen: 120 : 3 = 40 parts 1 1 7 + i al 4 corresponen: 120 : 4 = 30 parts. 3 4
1.100 33.000 = = 3.000 → Al 5 li corresponen: 1 1 11 3.000 : 5 = 600 + 5 6 I al 6, li corresponen: 3.000 : 6 = 500
Vull repartir 620 € entre els meus nebots en parts inversament proporcionals a les edats que tenen, que són 1, 3 i 7 anys. Quant he de donar a cadascun? La constant de proporcionalitat és: k =
x =
022
620 620 620 ⋅ 21 = = = 420 1 1 1 21 + 7 + 3 31 + + 1 3 7 21 420 = 420 € 1
y =
420 = 140 € 3
z =
420 = 60 € 7
1 1 1 Hem repartit 300 € en parts inversament proporcionals a , i . 3 5 7 1 Quina és la part corresponent a ? 5 300 300 300 = = = 20 1 1 1 3+5+7 15 + + 1 1 1 3 5 7 1 k = 20 ⋅ 5 = 100 €. La part que correspon a és: 1 5 5
k =
183
831106 _ 0178-0207.qxd
11/9/07
13:07
Página 184
Proporcionalidad numérica 023
Si reparteixo 1.200 proporcionalment a 5 i 6 i dono 500 a 6 i 700 a 5, ha estat un repartiment inversament proporcional? No, perquè 500 ⋅ 6 = 3.000 i 700 ⋅ 5 = 3.500. Aquestes quantitats haurien de ser iguals i coincidir amb la constant de proporcionalitat.
024
En 7 dies, 8 màquines han obert una rasa de 1.400 m de llargada. Quantes màquines faran falta per fer una rasa de 300 m en 6 dies?
F
F
F
F
Si en 7 dies ⎯⎯→ 8 màquines ⎯⎯→ 1.400 m de rasa ⎫⎪ ⎬ Si en 6 dies ⎯⎯→ x màquines ⎯⎯→ 1.300 m de rasa ⎪⎪⎭ Inversa
Directa
6 1.400 8 8.400 8 2.100 ⋅ 8 ⋅ = → = → x = = 2 màquines 7 300 x 2.100 x 8.400 025
Vint treballadors han posat 400 m de cable durant 6 dies. Hi han treballat 8 hores diàries. Quantes hores al dia hauran de treballar 24 treballadors durant 14 dies per posar 700 m de cable? Inversa F
F
Metres 400 700
Hores al dia 8 x
F
F F
Dies 6 14
F
Obrers 20 24
Directa Inversa
24 14 400 8 134.400 8 84.000 ⋅ 8 ⋅ ⋅ = → = → x = = 5 horas 20 6 700 x 84.000 x 134.400 I
I
D
Els obrers treballaran 5 hores diàries durant 14 dies per posar 700 m de cable. 026
La mestressa d’una pensió ha pressupostat 250 € per alimentar els 18 hostes que té durant 12 dies. Si el nombre d’hostes augmenta en 6 persones, per a quants dies arribarà el pressupost?
F
F
Si per a 18 hostes ⎯→ 12 dies ⎯→ 250 € ⎪⎫ ⎬ Si per a 24 hostes ⎯→ x dies ⎯→ 250 € ⎪⎪⎭ Inversa
En aquest cas, com que el pressupost no varia, es tracta d’una regla de tres simple inversa: 18 x 18 ⋅ 12 = → x = = 9 dies 24 12 24
184
831106 _ 0178-0207.qxd
20/9/07
14:20
Página 185
SOLUCIONARIO
027
6
Un embassament amb una capacitat de 200 hm3 es troba al 45 % de la capacitat. Quina quantitat d’aigua conté? x 45 45 ⋅ 200 = → x = = 90 hm3 100 200 100
028
En un diari diuen que 80 de cada 1.500 persones practiquen esports de risc. Expressa aquesta dada amb un percentatge. 80 x 80 ⋅ 100 % = → x = = 5,3 1.500 100 1.500
029
Una raqueta de tennis costa 180 € més un 16% d’IVA. Quin n’és el preu final? 180 +
030
16 ⋅ 180 = 180 ⋅ (1 + 0,16) = 180 ⋅ 1,16 = 208,80 € 100
La Maria compra un llibre per 15€. En aquest preu s’hi inclou un 4 % d’IVA. Quant val el llibre sense IVA? Al preu net del llibre (x) s’hi ha de sumar un 4 %: 0,04 ⋅ x €. Per tant:
x + 0,04 ⋅ x = 15 → 1,04 ⋅ x = 15 → x =
031
15 = 14,42 € sense IVA 1, 04
Un disc compacte val 12 €. El botoguer me’l rebaixa un 15 % perquè sóc bon client i quan pago em cobra un 16 % d’IVA. Quant pago pel disc? Quin percentatge suposa el preu final sobre l’inicial? Si em rebaixen un 15 % ⎯⎯⎯→ 1 − 0,15 = 0,85 I si em cobren el 16 % d’IVA → 1 + 0,16 = 1,16 Encadenant els percentatges, tenim que: 0,85 ⋅ 1,16 ⋅ 12 = 0,986 ⋅ 12 = 11,83 € El preu final suposa el 98,6 % del preu inicial.
032
El valor d’una acció és de 15 €. Dilluns puja un 3 %, dimarts baixa un 7 % i dimecres puja un 10 %. Amb quin valor comença dijous? En quins moments el valor és superior a l’inicial? Apliquem els successius percentatges de pujada o davallada: Si puja un 3 % ⎯→ 1 + 0,03 = 1,03 Si baixa un 7 % → 1 − 0,07 = 0,93 Si puja un 10 % → 1 + 0,10 = 1,10 Dijous, l’acció valdrà: 1,03 ⋅ 0,93 ⋅ 1,10 ⋅ 15 = 1,05 ⋅ 15 = 15,80 € El valor és el 5,36 % més gran que el valor inicial.
185
831106 _ 0178-0207.qxd
11/9/07
13:07
Página 186
Proporcionalitat numèrica 033
Hi ha hagut unes quantes variacions en el preu dels tomàquets. A principis de juny, el preu mitjà d’un quilo de tomàquets era de 2,10 €. Durant aquest mes el preu va pujar un 10 %. El mes de juliol el preu del quilo de tomàquets també es va incrementar un 17 %, i el mes d’agost va baixar un 8 % respecte al preu del mes de juliol. Quin era el preu d’un quilo de tomàquets a finals del mes d’agost? Quin ha estat el percentatge de pujada del preu dels tomàquets entre juny i agost? El quilo de tomàquets valia: 2,10 ⋅ El percentatge de pujada és:
034
110 117 92 ⋅ ⋅ = 2,49 € a finals d’agost. 100 100 100
0, 39 = 19 % de juny a agost. 2,10
Calcula l’interès que donen 1.800 € en 9 mesos al 4 % anual. I =
C ⋅r ⋅t 1.800 ⋅ 4 ⋅ 9 = = 54 € 1.200 1.200
Produeixen un interès de 54 €. 035
La Marta va deixar a en Joan 2.460 € al 3 % durant 4 anys. Quants diners en total li va tornar en Joan un cop passat aquest temps? 2.460 + I = 2.460 +
2.460 ⋅ 3 ⋅ 4 = 2.460 + 295, 2 = 2.755,20 € 100
Li va tornar 2.755,20 €. 036
Quin interès rebrem per una iversió de 4.500 € al 4 % anual si retirem els diners 2 mesos i 9 dies després del començament de la inversió? I =
C ⋅r ⋅t 4.500 ⋅ 4 ⋅ 69 = = 34,50 € 36.000 36.000
Rebrem un interès de 34,50 €. 037
Esbrina el capital que he invertit en un banc al 4,5 % durant 2 anys si en total m’han tornat 1.463 €. Substituïm a l’expressió: I =
C ⋅r ⋅t C ⋅ 45 ⋅ 2 → → 1.463 − C = 100 100 → (1.463 − C) ⋅ 100 = 90C → 146.300 − 100C = 90C → → 146.300 = 190C → C =
El capital és de 770 €.
186
146.300 = 770 € 190
831106 _ 0178-0207.qxd
11/9/07
13:07
Página 187
SOLUCIONARI
6
ACTIVITATS 038 ●
Indica quins dels parells de magnituds següents són directament proporcionals. a) La longitud del costat d’un quadrat i el seu perímetre. b) La longitud del costat d’un quadrat i la seva àrea. c) El nombre de fills d’una família i el nombre de dies de vacances. És directament proporcional el parell de magnituds de l’apartat a).
039 ●
En un mercat hi ha dues parades on venen pomes, i tenen aquestes taules de preus. 1 kg
Parada A 2 kg
3 kg
1 kg
Parada B 2 kg
3 kg
0,53 €
1,06 €
1,59 €
0,60 €
1€
1,50 €
En quina de les parades les magnituds preu i pes són directament proporcionals? Vegem si les proporcions s’acompleixen o no: 0, 53 ? 1, 06 ? 1, 59 = = → 0,53 = 0,53 = 0,53 1 2 3 0, 60 ? 1 ? 1, 50 = → 0,60 ⫽ 0,50 = 1 2 3 Per tant, les magnituds pes i preu són directament proporcionals a la parada A. 040
Completa la taula. Tingues en compte que és una proporcionalitat directa.
● 100 4
041 ●
500 20
1.000 40
5.000 200
25.000 1.000
Observa la taula de proporcionalitat de les magnituds següents: Magnitud M Magnitud M'
4 12
6 18
7 21
9 y
10 y'
Comprova que les magnituds M i M' són directament proporcionals, i calcula y i y'. S’haurà d’acomplir que:
) ) ) 4 6 7 = = → 0,3 = 0,3 = 0,3 12 18 21
4 9 12 ⋅ 9 = = 27 ⎯ → 4 ⋅ y = 12 ⋅ 9 ⎯→ y = 12 y 4 4 10 12 ⋅ 10 = = 30 → 4 ⋅ y ' = 12 ⋅ 10 → y' = 12 y' 4
187
831106 _ 0178-0207.qxd
11/9/07
13:08
Página 188
Proporcionalitat numèrica 042 ●
Assenyala quins dels parells de magnituds següents són inversament proporcionals. a) b) c) d)
El nombre de màquines i el temps que triguen a fer una feina. L’edat d’una persona i la seva velocitat quan camina. La base i l’altura d’un rectangle amb una àrea de 20 cm2. La base i l’altura d’un rectangle de 40 cm de perímetre. Són inversament proporcionals els parells de magnituds dels apartats a) i c).
043 ●
Estudia si les magnituds són directament o inversament proporcionals. a) El radi d’una circumferència i la seva longitud. b) La velocitat d’un cotxe i el temps que tarda a fer un recorregut determinat. c) El nombre d’entrades d’un cinema i el preu. d) La superfície d’una paret i el temps que es tarda a pintar-la. e) La gasolina que gasta un cotxe i la distància que recorre. a) Directament proporcional. b) Inversament proporcional. c) Directament proporcional.
044 ●
045 ●
d) Directament proporcional. e) Directament proporcional.
Completa les taules següents perquè siguin de proporcionalitat inversa. a)
2 0,90
3 0,60
4 0,45
b)
5 0,36
4 420
12 140
30 56
60 28
Comprova que les magnituds M i M' són inversament proporcionals, i calcula el valor de y i y'. Magnitud M Magnitud M'
4 12
6 8
8 6
10 y
16 y'
S’haurà d’acomplir que: 4 ⋅ 12 = 6 ⋅ 8 = 8 ⋅ 6 → 48 = 48 = 48 4 ⋅ 12 = 4, 8 10 4 ⋅ 12 =3 4 ⋅ 12 = 16 ⋅ y ' → y' = 16
4 ⋅ 12 = 10 ⋅ y ⎯ →y =
046 ●●
En cadascuna d’aquestes taules de proporcionalitat inversa hi ha un error. Corregeix-lo i calcula la constant de proporcionalitat. a)
9 6
k = 54
188
6 9
5,4 10
4,5 4 12 13,5
b)
1,2 50
k = 60
2,4 4,8 25 12,5
6 10
7,2 ) 8,3
831106 _ 0178-0207.qxd
11/9/07
13:08
Página 189
SOLUCIONARI
047 ●
Per construir una tanca de 12 metres s’han pagat 1.250 €. Quant s’haurà de pagar per una altra tanca de 25 metres?
12 m
6
25 m
25 ⋅ 1.250 12 → 1.250 ⎫⎪ = 2.604,17 € ⎬→x = x ⎪⎪⎭ 25 → 12 048 ●
L’Amanda ha comprat un tros de roba de 2 m que li ha costat 32 €. Quant li hauria costat un tros de 3,2 metres? 3, 2 ⋅ 32 2 ⎯→ 32 ⎪⎫ = 51,20 € ⎬→x = 3,2 → x ⎪⎪⎭ 2
049 ●
Un cotxe consumeix 25 litres de combustible en un viatge de 300 km si va a una velocitat determinada. Quant consumirà en un viatge de 550 km si va a la mateixa velocitat? 25 ⋅ 550 300 → 25 ⎪⎫ = 45, 83 litres ⎬→x = 550 → x ⎪⎪⎭ 300
050 ●●
Un tren que circula a 100 km/h triga 5 hores a arribar a una ciutat. A quina velocitat circula un altre tren que triga 6 hores i un quart a fer el mateix recorregut?
La velocitat i el temps són magnituds inversament proporcionals. 100 ⋅ 5 = x ⋅ 6,25 → x =
100 ⋅ 5 = 80 km/h 6, 25
051
Si un pintor ha pintat 75 m2 de paret amb 125 quilos de pintura:
●●
a) Quanta pintura hauria necessitat per pintar 300 m2 de paret? b) Amb 50 kg, quants metres quadrats pot pintar? Els quilos de pintura i la superfície de paret (m2) són magnituds directament proporcionals. 125 ⋅ 300 a) Si amb 125 kg ⎯⎯→ 275 m2 ⎪⎫ = 500 kg ⎬→x = Si amb x kg ⎯⎯→ 300 m2 ⎪⎭⎪ 75 50 ⋅ 75 b) Si amb 125 kg ⎯⎯→ 75 m2 ⎪⎫ = 30 m2 ⎬ ⎯→ x = Si amb 500 kg ⎯⎯→ x m2 ⎭⎪⎪ 125
189
831106 _ 0178-0207.qxd
20/9/07
14:20
Página 190
Proporcionalitat numèrica 052 ●●
Quinze persones fan el muntatge d’unes plaques solars en tres setmanes. a) Quant trigarien 35 persones a fer aquest muntatge? b) Si el volem fer en només 15 dies, quantes persones necessitarem? El nombre de persones i el temps són magnituds inversament proporcionals. Expressem el temps en dies: 15 ⋅ 21 = 9 dies a) 15 persones ⋅ 21 dies = 35 persones ⋅ x dies → x = 35 b) 15 persones ⋅ 21 dies = x persones ⋅ 15 dies → x =
053 ●●
15 ⋅ 21 = 21 persones 15
Tres capses de bombons pesen 2,7 quilos. a) Quant pesen 15 capses? b) Si la nostra furgoneta pot transportar 5000 kg, hi podem portar 230 capses de bombons? El nombre de capses i el pes són magnituds directament proporcionals. a)
3 capses 15 capses 2, 7 ⋅ 15 = → x = = 13, 5 kg 2, 7 kg x kg 3
230 ⋅ 2, 7 b) Si 030 capses ⎯⎯→ 2,7 kg ⎪⎫ = 207 kg ⎬→x = 230 capses ⎯⎯→ x kg ⎪⎭⎪ 3 Com que 207 kg < 500 kg (pes màxim admisible), sí que podem portar les 230 capses. 054 ●●
Una explotació agrària té herba per alimentar 48 vaques durant 18 setmanes. a) Per a quantes setmanes en tindria si fossin 24 vaques més? b) Si passades 7 setmanes compren 18 vaques, fins quan hi haurà herba? El nombre de vaques i el temps són magnituds inversament proporcionals. 48 ⋅ 18 = 12 setmanes a) 48 vaques ⋅ 18 setmanes = (48 + 24) ⋅ x → x = 72 b) Passades 7 setmanes, hi hauria herba per 11 setmanes més per a les 48 vaques inicials. Si es compren 18 vaques més: 48 ⋅ 11 = 8 setmanes 48 vaques ⋅ 11 setmanes = (48 + 18) ⋅ x → x = 66
055 ●●
En una casa on viuen 6 persones es consumeix, per a la higiene personal, una mitjana de 900 litres d’aigua diaris. Quant es gastarà en aquesta casa si hi entren a viure 5 persones més? 11 ⋅ 900 16 → 900 ⎫⎪ = 1.650 litres ⎬ → x = 11 → x ⎪⎭⎪ 6
190
831106 _ 0178-0207.qxd
11/9/07
13:08
Página 191
SOLUCIONARI
056 ●●●
6
El consum d’aigua en un gimnàs on van 150 persones és de 6.000 litres diaris. a) Quin en serà el consum si s’hi inscriuen 30 persones més? b) Si a partir de 7.000 litres el consum té un recàrrec, quin és el nombre màxim de clients nous que s’hi poden inscriure sense pagar aquest recàrrec? El nombre de persones i el consum d’aigua són magnituds directament proporcionals. 180 ⋅ 6.000 a) Si 150 persones ⎯⎯→ 6.000 litres ⎪⎫ = 7.200 litres ⎬ → x = Si 180 persones ⎯⎯→ x litres ⎪⎪⎭ 150 150 ⋅ 7.000 b) Si 150 persones ⎯⎯→ 6.000 litres ⎫⎪ = 175 persones ⎬ → x = x persones ⎯⎯→ 7.000 litres ⎪⎭⎪ 6.000 S’hi podran inscriure 25 clients més.
057 ●●●
Per fer una minipizza de 10 centímetres de diàmetre necessitem 100 grams de mozzarella. Si volem fer una pizza de 20 centímetres de diàmetre, quina quantitat de formatge farem servir? L’àrea de la pizza (el diàmetre no) i els grams de formatge són magnituds directament proporcionals. Si per a π ⋅ 52 cm2 ⎯⎯→ 100 g ⎫⎪ π ⋅ 102 ⋅ 100 = 400 g ⎬ → x = 2 2 Si per a π ⋅ 10 cm ⎯⎯→ x g ⎪⎪⎭ π ⋅ 52
058 ●
Un constructor vol repartir 1.000 € entre tres dels seus treballadors de manera directament proporcional a l’antiguitat que tenen a l’empresa. L’Andreu fa 9 anys que és a l’empresa, mentre que en Bernat i en Carles només en fa 3. Quina part els correspon?
1.000 Andreu 1.000 ⋅ 9 = = 600 € → Andreu = 9+3+3 9 9+3+3 1.000 Carles 1.000 ⋅ 3 = = 200 € ⎯ → Carles = 9+3+3 3 9+3+3 A en Bernat també li corresponen 200 €.
191
831106 _ 0178-0207.qxd
11/9/07
13:08
Página 192
Proporcionalitat numèrica 059 ●
060 ●●
061 ●●
Un avi decideix repartir 120 caramels entre els seus quatre néts de manera directament proporcional a les edats que tenen, que són 4, 6, 6 i 8 anys, respectivament. Quants caramels corresponen a cada nét? El nét que té 4 anys:
120 a = → a = 20 caramels 4+6+6+8 4
Els néts que tenen 6 anys:
120 b = → b = 30 caramels 4+6+6+8 6
El nét que té 8 anys:
120 c = → c = 40 caramels 4+6+6+8 8
Dos amics munten un negoci. Un d’ells es retira al cap de 8 mesos. L’altre soci continua fins al final d’any, i el resultat són unes pèrdues de 1.500 €. Quant ha de pagar cada amic? L’amic que hi ha estat 8 mesos:
1.500 a = ⎯ → a = 600 € 8 + 12 8
L’amic que hi ha estat 1 any:
1.500 b = → b = 900 € 8 + 12 12
En Vicenç i la Sílvia obren una llibreta d’estalvis en un banc. En Vicenç hi posa 400 € i la Sílvia, 800. Uns anys després els tornen 1.380 €. Com els han de repatir? Quant correspon a cadascú? Hauran de repartir-los de manera directament proporcional. 400 ⋅ 1.380 x y 1.380 = 460 € per en Vicenç = = → x = 1.200 400 800 400 + 800 y =
062 ●●
800 ⋅ 1.380 = 920 € per a la Sílvia 1.200
Decidim construir un pont que costa un milió d’euros. L’han de pagar tres localitats en parts inversament proporcionals a la distància de cadascuna del pont. Albareda és a 6 km, Bonaigua, a 8 km i Cabester, a 10. Calcula quant ha de pagar cada localitat. k =
1.000.000 240.000.000 = = 2.553.191, 49 1 1 1 94 + + 6 8 10
Albareda ha de pagar ⎯→ 2.553.191,49 : 6 = 425.531,91 € Bonaigua ha de pagar ⎯→ 2.553.191,49 : 8 = 319.148,94 € Cabester ha de pagar ⎯→ 2.553.191,49 : 10 = 255.319,15 €
192
831106 _ 0178-0207.qxd
11/9/07
13:08
Página 193
SOLUCIONARI
063
6
FES-HO AIXÍ COM CALCULEM LA QUANTITAT REPARTIDA SI EN SABEM UNA PART DIRECTAMENT PROPORCIONAL? Hem repartit una quantitat de forma directament proporcional a les edats de tres germans, que són 8, 4 i 3 anys. Si al germà més gran li han correspost 800 €, quina quantitat hem repartit? PRIMER.
Trobem la constant de proporcionalitat. k =
800 = 100 8
SEGON. Calculem el total: (8 + 4 + 3) ⋅ 100 = 1.500. Hem repartit 1.500 €.
064 ●●
En Lluís, en Damià i en Carles van comprar un dècim de loteria de Nadal. En Carles hi va posar 10 €, en Damià 6 i en Lluís 4. El dècim va ser premiat i en el repartiment a en Carles li van tocar 5.000 €. Quant els va correspondre als altres dos?
k =
5.000 = 500 10
A en Damià li van correspondre: 6 ⋅ 500 = 3.000 €. A en Lluís li van correspondre: 4 ⋅ 500 = 2.000 €. 065 ●●●
Un avi reparteix 10.350 € entre els seus tres néts de manera proporcional a les edats que tenen. Si els dos petits tenen 22 i 23 anys, calcula: a) L’edat del germà gran si saps que li corresponen 3.600 €. b) Les quantitats dels altres germans. a)
10.350 3.600 = → 10.350 x = 3.600 x + 162.000 → x = 24 anys x + 22 + 23 x 3.600 = 150 . Al nét que té 22 anys li corresponen: 24 150 ⋅ 22 = 3.300 €. Al nét que té 23 anys: 150 ⋅ 23 = 3.450 €.
b) k =
193
831106 _ 0178-0207.qxd
20/9/07
14:20
Página 194
Proporcionalitat numèrica 066
FES-HO AIXÍ COM CALCULEM LA QUANTITAT REPARTIDA SI EN CONEIXEM UNA PART INVERSAMENT PROPORCIONAL? Hem repartit una herència de forma inversament proporcional a les edats de tres cosins, que són 25, 20 i 16 anys. Al cosí de 25 anys li han correspost 800 €. Quina quantitat s’ha repartit? PRIMER.
SEGON.
Calculem la constant de proporcionalitat. k 800 = → k = 800 ⋅ 25 = 20.000 25
Calculem el total. k k k + + = Herència 25 20 16 20.000 20.000 20.000 + + = 3.050 € 25 20 16
Hem repartit 3.050 €.
067 ●●
Si reparteixes una quantitat a parts inversament proporcionals a 10, 7 i 3, la quantitat que li correspon a 3 és 50. Quines quantitats corresponen a 10 i 7?
k = 3 ⋅ 50 = 150. A 10 li correspon → 150 : 10 = 15 I a 7 li correspon → 150 : 7 = 21,43. 068 ●●
D’acord amb un testament, repartim 359.568 € entre tres persones en parts inversament proporcionals al seu sou mensual. Calcula quant correspondrà a cadascú si el sou més baix 2 és del sou mitjà, 3 3 el qual és del més alt. 4 Més alt: x k =
Mitjà:
3x 4
Més baix:
x 2
359.568 1.078.704 x = = 82.977, 23x 1 4 2 13 + + x 3x x Més alt: 82.977,23x : x = 82.977,23 € 3x = 110.636,31 € 4 x Més baix: 82.977,23x : = 165.954,46 € 2
Mitjà:
194
82.977,23x :
831106 _ 0178-0207.qxd
20/9/07
14:20
Página 195
SOLUCIONARI
069 ●●
6
Un grup de 8 amic va pagar 940 € per una estada de 3 dies en un hotel. Quant costava l’estada d’un dia de cada amic?
F
F
F
8 persones ⎯⎯→ 3 dies ⎯⎯→ 940 € ⎪⎫ ⎬ 1s persona ⎯⎯→ 1 sdia ⎯⎯→ 9 x € ⎭⎪⎪ F
Directa Directa
8 3 940 24 940 940 ⋅ = → = → x = = 39,17 € 1 1 x 1 x 24 070 ●●
Dues màquines consumeixen 1.500 kWh en un dia si funcionen 6 hores diàries. Quant consumiran 3 màquines si funcionen 8 hores al dia? Màquines 2 3
Tres màquines consumiran:
071 ●●●
Hores 6 8
Consum 1.500 x
1.500 x 1.500 ⋅ 3 ⋅ 8 = → x = = 3.000 kWh 2⋅6 3⋅8 2⋅6
Una barra de metall de 10 m de llargada i 2 cm2 de secció pesa 8,45 kg. Quant pesarà una barra del mateix material de 5 m de llargada i 7 cm2 de secció?
F
F
F
10 m de llargada ⎯⎯→ 2 cm2 de secció ⎯⎯→ 8,45 kg 15 m de llargada ⎯⎯→ 7 cm2 de secció ⎯⎯→ x kg F
Directa
⎫⎪ ⎬ ⎪⎪⎭
Directa
10 2 8, 45 20 8, 45 35 ⋅ 8, 45 ⋅ = → = → x = = 14, 79 kgg 5 7 x 35 x 20 Per les festes d’un barri col·loquen 1.200 fanalets que s’encenen 8 hores al dia. Això suposa una despesa de 1.440 €. Quina seria la despesa si es col·loquessin 600 fanalets més i s’encenguessin 2 hores menys?
Directa
F
F
1.200 fanalets ⎯⎯→ 8 hores/dia ⎯⎯→ 1.440 € ⎫⎪ ⎬ x € ⎪⎪⎭ 1.800 fanalets ⎯⎯→ 6 hores/dia ⎯⎯→ F
●●
F
072
Directa
1.200 8 1.440 9.600 1.440 ⋅ = → = → x = 1.620 € 1.800 6 x 10.800 x
195
831106 _ 0178-0207.qxd
11/9/07
13:08
Página 196
Proporcionalitat numèrica 073 ●●
Es creu que, per construir la piràmide de Kheops, van treballar 20.000 persones durant 10 hores al dia. I van trigar 20 anys a acabar-la. a) Quant haurien trigat si haguessin estat 10.000 persones més. b) I si haguessin treballat 8 hores diàries? 20.000 ⋅ 20 a) 20.000 → 20⎫⎪ = 13, 33 = 13 anys i 4 mesos ⎬→ x = 30.000 → x ⎪⎭⎪ 30.000 10 ⋅ 20 b) 10 → 20⎪⎫ = 25 anys ⎬→ x = 8 → x ⎭⎪⎪ 8
074 ●●
Cent treballadors tarden 300 dies a construir un vaixell treballant 8 hores diàries. a) Si s’augmentés la plantilla en 20 persones, quants dies s’avançaria la construcció? b) Si es reduís la plantilla en 20 persones, quants dies s’endarreriria la construcció? c) I si la plantilla es reduís en 20 persones però s’augmentessin els torns a 9 hores diàries?
F
F
100 x a) 100 persones ⎯⎯→ 300 dies ⎪⎫ = → x = 250 dies ⎬→ 120 persones ⎯⎯→ x dies ⎭⎪⎪ 120 300 Inversa
S’avançaria 50 dies.
F
F
100 x b) 100 persones ⎯⎯→ 300 dies ⎫⎪ = → x = 375 dies ⎬→ 80 persones ⎯⎯→ x dies ⎪⎪⎭ 80 300 Inversa
S’endarreriria 75 dies.
F
Inversa
F
F
F
c) 100 persones ⎯⎯→ 8 hores/dia ⎯⎯→ 300 dies ⎪⎫ ⎬ 80 persones1 ⎯⎯→ 9 hores/dia ⎯⎯→ 1x1 dies ⎪⎪⎭ Inversa
80 9 300 720 300 ⋅ = → = → x = 333, 33 dies 100 8 x 800 x S’endarreriria gairebé 34 dies.
075 ●
Tres de cada 5 alumnes han tingut la grip en el mes de gener. Expressa aquesta dada en forma de percentatge. 3 x 3 ⋅ 100 = → x = = 60 % 5 100 5
196
831106 _ 0178-0207.qxd
11/9/07
13:08
Página 197
SOLUCIONARI
076 ●
6
Em fan un 15 % de descompte per un CD que costa 21 €. Quants diners m’estalvio? 15 x 21 ⋅ 15 = → x = = 3,15 € 100 21 100
077 ●●
En un institut, 63 alumnes, que són el 15 % del total, han viatjat a l’estranger. Quants alumnes té l’institut? 15 63 63 ⋅ 100 = → x = = 420 alumnes 100 x 15
078
Un venedor de cotxes rep com a comissió el 0,8 % de les vendes que fa.
●●
a) Si en un mes va rebre 300 € de comissió, quines vendes va fer? b) Si el mes següent va vendre per valor de 45.000 €, quina comissió va obtenir? a)
079 ●●
300 ⋅ 100 = 37.500 € 0, 8
b)
45.000 ⋅ 0, 8 = 360 € 100
Un comerciant decideix apujar el preu d’una mercaderia, que era de 72 €, un 3%, i la setmana següent un altre 3% sobre l’últim preu. Quin és el preu final de la venda? 1r augment del 3 % → 1,03 2n augment del 3 % ⎯ → 1,03 Encadenem els percentatges d’augment: 1,03 ⋅ 1,03 ⋅ 72 = 1,0609 ⋅ 72 = 76,38 €
080 ●●
Dues setmanes consecutives s’ha aplicat al preu d’un article augments del 2 % i el 5 %. Quin percentatge s’ha incrementat l’article sobre el preu original? 102 105 ⋅ = 107,10 € 100 100 S’ha incrementat un 7,1 %.
100 ⋅
081 ●●
En una botiga apugen el preu d’un producte de 200 € un 10 %. La setmana següent decideixen rebaixar-lo un 10 % del preu que té en aquell moment. Què ha passat amb el preu? 110 90 ⋅ = 198 €; és a dir, s’ha rebaixat 2 €, El preu final és: 200 ⋅ 100 100 un 1 %.
197
831106 _ 0178-0207.qxd
11/9/07
13:08
Página 198
Proporcionalitat numèrica 082
FES-HO AIXÍ COM COMPAREM MITJANÇANT PERCENTATGE? En una cafeteria han augmentat els preus dels refrescos: la taronjada, d’1 € a 1,05 €, i els refrescos de cola, d’1,10 € a 1,15 €. Ha estat proporcional, l’augment? Calculem la pujada lineal. 1,05 − 1 = 0,05 1,15 − 1,10 = 0,05 Els dos refrescos pugen la mateixa quantitat.
PRIMER.
SEGON.
Calculem el percentatge que representa la pujada. 0,05 = 0,05 → 5 % 1
0,05 = 0,0454 → 4,54 % 110 ,
L’augment no és proporcional.
083 ●●
Per Nadal, la carn de xai va pujar de preu: de 8,85 €/kg a 11,55 €/kg. També es va encarir el raïm, de 2,10 €/kg a 3,95 €/kg. Quin producte es va apujar més en proporció? Carn:
11, 55 − 8, 85 = 0, 305 = 30, 5 %. 8, 85
3, 95 − 2,10 = 0, 881 = 88,1 % . 2,10 S’ha apujat més el preu del raïm. Raïm:
084 ●●
Hem escalfat una barra de metall d’1 m a 200 °C i s’ha dilatat fins que ha fet 1,04 m. Quan hem escalfat una barra de 60 cm d’un altre metall a la mateixa temperatura, s’ha dilatat fins a arribar a mesurar 61,9 cm. Quin metall es dilata menys? Barra d’1 m:
1, 04 − 1 = 0, 04 = 4 %. 1
Barra de 60 cm:
61, 9 − 60 = 3,16 %. = 0,0316 60
Es dilata menys el metall de la barra de 60 cm. 085 ●●●
En un envàs de galetes anuncien que conté un 25 % més pel mateix preu. Els envasos antics pesaven 1 kg, i l’envàs actual, amb l’oferta, pesa 1,20 kg. És certa la publicitat? 25 x kg = → x = 0, 25 kg 100 1 kg Per tant, el pes actual del paquet hauria de ser d’1,25 kg. Com que 1,20 < 1,25, la publicitat no és certa. El 25 % d’1 kg és:
198
831106 _ 0178-0207.qxd
11/9/07
13:08
Página 199
SOLUCIONARI
086 ●●
087
Quin interès donen 3.000 € al 4,3 % durant 5 anys? I durant 15 mesos? I durant 150 dies? I =
C ⋅r ⋅t 3.000 ⋅ 4,3 ⋅ 5 = = 645 € 100 100
I =
C ⋅r ⋅t 3.000 ⋅ 4,3 ⋅ 15 = = 161,25 € 1.200 1.200
I =
C ⋅r ⋅t 3.000 ⋅ 4,3 ⋅ 150 = = 53,75 € 36.000 36.000
Quin és el capital que, al 7,5 %, produeix 3.760 € en un any?
●●
3.760 =
088 ●●
6
C ⋅ 7,5 ⋅ 1 3.760 ⋅ 100 →C = = 50.133,33 € 100 7,5
L’Emili ha decidit invertir els estalvis, que són 9.600 €, en un dipòsit financer que ofereix un interès del 3,85 % durant 4 anys. a) Quant cobrarà d’interessos durant els 6 primers mesos? b) I per 3 mesos i 20 dies? c) Si decidís treure els diners abans que acabés el període d’inversió, 4 anys, el penalitzarien amb un pagament del 5 % del capital invertit. Després d’un any i dos mesos i mig, hi perdrà o hi guanyarà diners? d) Quant temps ha de passar perquè, quan cancel·li el dipòsit, no hi perdi diners? 9.600 ⋅ 3,85 ⋅ 1 = 369,60 €, 100 369,6 ⋅ 6 = 184,80 €. Per a 6 mesos és: 12
a) L’interès d’un any és: I =
369,6 ⋅ 3 = 92,40 €, 12 369,6 ⋅ 20 = 20,25 €. En total, 112,65 €. Per a 20 dies és: 365
b) L’interès per a 3 mesos és:
c) L’interès per a 1 any és 369,60 i per 2,5 mesos és: En total, 446,60 €. 9.600 ⋅ 5 = 480 €. La penalització és: 100 En total perdrà: 480 − 446,6 = 33,40 €. d) 480 =
369,6 ⋅ 2,5 = 77 €. 12
9.600 ⋅ 3,85 ⋅ t 480 ⋅ 100 →t = = 1,3 anys = 100 9.600 ⋅ 3,85 = 1 any, 3 mesos i 18 dies
199
831106 _ 0178-0207.qxd
11/9/07
13:08
Página 200
Proporcionalitat numèrica 089 ●●
En Mateu ha rebut una herència de 40.000 €. Els inverteix en un dipòsit amb un interès del 5 % anual durant 5 anys i mig. Quan hagi passat aquest temps, els interessos que rebrà els repartirà entre els seus 4 fills, de manera inversament proporcional a l’edat que tenen, que són 15, 14, 12 i 10 anys.
a) Quina quantitat rebrà d’interessos quan acabi la inversió, és a dir, al cap de 5 anys i mig? b) Quants diners correspondran a cada fill? a) I =
40.000 ⋅ 5 ⋅ 5,5 = 11.000 € 100
b) k =
11.000 4.620.000 = 34.222,22 = 1 1 1 1 28 + 30 + 35 + 42 + + + 15 14 12 10
Al fill de 15 anys corresponen → 34.222,22 : 15 = 2.281,48 € Al fill de 14 anys corresponen → 34.222,22 : 14 = 2.444,44 € Al fill de 12 anys corresponen → 34.222,22 : 12 = 2.851,85 € Al fill de 10 anys corresponen → 34.222,22 : 10 = 3.422,22 €
090
FES-HO AIXÍ COM RESOLEM ELS PROBLEMES DE MESCLES? Mesclem dos tipus de farina, A i B, amb uns preus de 0,75 €/kg i 0,50 €/kg. La proporció és de 5 kg del tipus A i 3 kg del tipus B. A quin preu surt el quilo de la mescla? Calculem el preu i la quantitat total. Total de farina = 5 kg + 3 kg = 8 kg Preu total = 5 ⋅ 0,75 + 3 ⋅ 0,50 = 5,25 €
PRIMER.
SEGON.
Ho reduïm a la unitat.
Preu de la mescla =
200
5,25 = 0,66 €/kg 8
831106 _ 0178-0207.qxd
11/9/07
13:08
Página 201
SOLUCIONARI
091 ●●
6
Mesclem 8 kg de cafè de 2,25 €/kg amb 5 kg de cafè d’1,66 €/kg. A quant haurem de vendre el quilo si volem quanyar un 10 % del preu per quilo? Total de cafè = 8 + 5 = 13 kg Preu total = 8 ⋅ 2,25 + 5 ⋅ 1,66 = 26,30 € Si hi sumem el 10 % serà: 26,30 ⋅ 1,1 = 28,93 €. El preu per quilo és:
28,93 = 2,23 €/kg. 13
Per guanyar un 10 %, hem de vendre el quilo de mescla a 2,23 €/kg.
092 ●●
Fonem un lingot de plata de 200 g de llei del 90 % (90 % de puresa) amb un altre de 300 g del 80 % de llei. Quina és la llei del lingot nou? El metall total és: 200 + 300 = 500 g El total de plata pura és: 200 ⋅ 90 300 ⋅ 80 + = 420 g 100 100 La llei de la mescla és: 420 = 84 % 500 La llei del lingot nou és del 84 %.
093 ●●
Tenim alcohol del 96 %. Si mesclem 1 litre d’alcohol amb mig litre d’aigua, quina serà la graduació de l’alcohol que en resulta? El total de líquid és d’1,5 litres i el total d’alcohol és de 0,96 litres. La graduació de la mescla serà::
094 ●●●
0,96 = 0,64 = 64 % . 1,5
En quina proporció hem de mesclar dos tipus de cafè, A i B amb uns preus de 5 €/kg i 8 €/kg perquè en resulti un cafè de 7,25 €/kg? Suposem que mesclen 1 kg del cafè A i x kg del B. El preu total és: 1⋅ 5 + x ⋅ 8 = 7,25 €/kg 1+ x 5 + 8x = 7,25 + 7,25x → 0,75x = 2,25 → x = 3 kg Per tant, la proporció és 1 kg de cafè A i 3 kg de cafè B (25 % de A i 75 % de B).
201
831106 _ 0178-0207.qxd
11/9/07
13:08
Página 202
Proporcionalitat numèrica 095 ●●●
Un lingot d’or i coure del 90 % de llei té un pes de 100 g. Amb quina quantitat de coure l’haurem de fondre perquè la llei baixi al 75 %? Si x és la quantitat de coure, la quantitat de l’aliatge serà (100 + x) g. La quantitat d’or pur és: 100 ⋅ 90 % = 90 g. L’aliatge tindrà una llei de:
096
90 = 0,75 → 90 = 75 + 0,75x → 100 + x 15 → x = = 20 g de coure 0,75
FES-HO AIXÍ COM RESOLEM ELS PROBLEMES DE MÒBILS? Un tren de passatgers va a una velocitat de 90 km/h i un de mercaderies que circula per una via paral·lela va a 50 km/h. a) Si surten a la mateixa hora de punts oposats, a una distància l’un de l’altre de 350 km, i un va a trobar l’altre, quant tardaran a trobar-se?
b) Si tots dos surten del mateix punt i el tren de mercaderies, que ha sortit abans, té un avantatge de 140 km, quant tardarà el tren de passatgers a atrapar-lo?
PRIMER.
Sumem o restem les velocitats en funció de si van en la mateixa direcció
o no. El quocient entre la distància que els separa i la velocitat a què s’acosten és el temps.
SEGON.
a) VELOCITAT D’ACOSTAMENT = 90 + 50 = 140 km/h S’acosten a una velocitat de 140 km/h. Temps =
distància 350 = = 2,5 velocitat 140
Tardaran 2,5 hores a trobar-se. b) VELOCITAT D’ACOSTAMENT = 90 − 50 = 40 km/h El tren de passatgers s’acosta al de mercaderies amb una velocitat de 40 km/h. Temps = Tardarà 3,5 hores a atrapar-lo.
202
distància 140 = = 3,5 40 velocitat
831106 _ 0178-0207.qxd
11/9/07
13:08
Página 203
SOLUCIONARI
097 ●●
6
A les 9.45 h surt de Sevilla un AVE en direcció a Madrid que circula a una velocitat mitjana de 220 km/h. A la mateixa hora surt de Madrid un tren de mercaderies que circula per una via paral·lela a la de l’AVE i que va a una velocitat de 40 km/h. A quina hora es trobaran si la distància entre Madrid i Sevilla és de 520 km? La velocitat d’acostament és: 220 + 40 = 260 km/h Per tant, el temps de trobada és: 520 = 2 hores 260 Es trobaran a les 11.45 h.
098 ●●●
Un ciclista que circula a una velocitat de 15 km/h té una hora d’avantatge respecte a un cotxe que circula a 60 km/h. Quant temps trigarà el cotxe a atrapar el ciclista?
Com que el ciclista porta 1 hora d’avantatge, va 15 km per davant del cotxe. La velocitat d’acostament és: 60 − 15 = 45 km/h Temps =
099 ●●●
15 hores = 20 minuts = 0,3 45
Si una magnitud, A, és directament proporcional a una altra magnitud, B, i aquesta és inversament proporcional a C, com són A i C?
A i B són directament proporcionals →
A = k1 B
B i C són inversament proporcionals → B ⋅ C = k2 Si multipliquem els dos termes de la igualtat per k1: B ⋅ C = k 2 → B ⋅ C ⋅ k1 = k 2 ⋅ k1 → B ⋅ C ⋅
A = k 2 ⋅ k1 → A ⋅ C = k 2 ⋅ k1 B
Per tant A i C són inversament proporcionals.
203
831106 _ 0178-0207.qxd
11/9/07
13:08
Página 204
Proporcionalitat numèrica 100 ●●●
Reparteix un nombre k en dues parts directament proporcionals a dos nombres qualsevol, m i n, i després fes el repartiment inversament proporcional als mateixos valors, m i n. a) Quina relació hi ha entre les parts obtingudes en cada repartiment? b) Passa sempre el mateix? El repartiment proporcional corresponent a m és: m ⋅k m + n → k ⎫⎪ ⎬→ x = m ⎯⎯→ x ⎪⎪⎭ m +n I el de n és: n ⋅k m + n → k ⎫⎪ ⎬→ x = n ⎯⎯⎯→ x ⎪⎭⎪ m +n El repartiment és inversament proporcional i la constant és: c =
k 1 1 + m ⋅k n ⋅k m +n m +n
=
k m +n m +n + m ⋅k n ⋅k
=
m ⋅ n ⋅ k2 (m + n)2
Per tant, el repartiment és m →
m ⋅k n ⋅ m ⋅ k2 m ⋅k n ⋅k : → = 2 (m + n) m +n m +n m +n
n →
n ⋅k n ⋅ m ⋅ k2 n ⋅k m ⋅k : → = (m + n)2 m +n m +n m +n
k = 100, m = 12 y n = 8 El repartiment proporcional corresponent a 12 és: 1.200 20 → 100 ⎫⎪ = 60 ⎬→ x = 12 → 1x ⎪⎪⎭ 20 I el de 8 és: 800 20 → 100 ⎪⎫ = 40 ⎬→ x = 18 → 1x ⎪⎪⎭ 20 El repartiment és inversament proporcional i la constant és: c =
100 12.000 = = 2.400 1 1 5 + 60 40
Per tant, el repartiment és: 12 → 60 → 2.400 : 60 = 40 18 → 60 → 2.400 : 40 = 60 a) El repartiment, en cada cas, és el contrari; la quantitat que correspon a m en el repartiment directament proporcional és la que correspon a n en el repartiment inversament proporcional, i a la inversa. b) Sí, i la demostració és la que hem fet abans.
204
831106 _ 0178-0207.qxd
11/9/07
13:08
Página 205
SOLUCIONARI
101 ●●●
6
Si una certa quantitat la disminuïm un 10 %, quin percentatge l’hem d’incrementar per obtenir la mateixa quantitat? 1.000 100 10 → 90 ⎫⎪ % de la quantitat disminuïda = = 11,1 ⎬→ x = x → 100 ⎭⎪⎪ 90 9
102 ●●●
Una làmina de vidre absorbeix el 20 % de la llum vermella que li arriba, és a dir, en deixa passar el 80 %. Quantes làmines fan falta, com a mínim, una sobre l’altra, perquè passi com a mínim la meitat de la llum vermella que li arribi? 0,80x < 0,5
0,80 ⋅ 0,80 = 0,64 0,64 ⋅ 0,80 = 0,512 0,512 ⋅ 0.80 = 0,4096 Fan falta, com a mínim, 4 làmines.
EN LA VIDA COTIDIANA 103 ●●●
En Norbert ha passat les vacances de Setmana Santa a casa dels seus oncles. S’hi va endur els apunts de classe perquè havia de fer unes quantes feines que li havien manat. Quan ha tornat se’ls ha deixat, per això la seva cosina Helena els hi enviarà per missatger. En Norbert ha trobat a casa una factura d’una empresa de missatgeria que el seu pare havia contractat feia temps. L’Helena ha pesat el paquet amb els apunts d’en Norbert, 3,2 kg, i ha mesurat en un mapa la distància que hi ha fins a la seva ciutat: 126 km. Quant pagarà l’Helena si envia el paquet amb aquesta empresa? I si ho fa amb el servei urgent?
Aquestes empreses cobren una quantitat fixa per cada servei i n’hi afegeixen una altra que depèn proporcionalment del pes del paquet i de la distància a què s’envia.
ress PackE55x4p5EE07
CIF 45 566 300 Tel: 902 kexpress.com www.pac opaló tiago C Sr. San CLIENT: 5286 13 DNI: 38 / Romaní, 13 :C Domicili
Servei t Transpor 25 km A 7 % d’IV
2,00 € 250 g a € 18,75 1,45 €
22,20 €
Total
un hi haurà e ei urgent Per serv d’un 30 % sobr t en increm l. ta to el
La despesa de transport serà: ⎪⎫ 18,75 → 250 ⋅ 25 ⎬ → x → 3.200 ⋅ 126 ⎪⎪⎭ 18,75 ⋅ 3.200 ⋅ 126 7.560.000 = = 1.209,60 € 250 ⋅ 25 6.250 La despesa sense IVA serà: 2 + 1.209,6 = 1.211,60 €. I la despesa amb IVA és: 1.211,6 ⋅ 1,07 = 1.296,41 €. Si l’envia pel servei urgent, li costarà: 1.296,41 ⋅ 1,3 = 1.685,34 €. → x=
205
831106 _ 0178-0207.qxd
11/9/07
13:08
Página 206
Proporcionalitat numèrica 104 ●●●
Vilaplana i Vilapujada són dos pobles veïns. Com que acaben de construir una autopista prop dels dos municipis, els alcaldes han decidit variar la carretera per fer-hi una incorporació a aquesta autovia. El problema és que no es posen d’acord sobre com es dividiran les despeses.
Jo crec que hauríem de dividir les despeses de manera directament proporcional als veïns de cada municipi.
Hi estic d’acord, però hem de tenir en compte que Vilaplana té més veïns i, per tant, hi hauria de contribuir en més mesura. Tot i això, posa la major part de la despesa en el manteniment de la resta de carreteres de la zona...
Després de moltes discussions han decidit el següent:
BAN MUNICIPAL Es construirà una variant de la carretera entre Vilaplana i Vilapujada que connectarà amb l’autovia nova. Les despeses d’aquesta obra es dividiran de manera proporcional al nombre de veïns censats en cada poble, i inversament proporcional a les despeses que cada municipi té en el manteniment de les carreteres veïnals. Habitants
Despeses
Vilaplana
6.748
16.860 €
Vilapujada
1.230
12.400 €
Quin percentatge del total del cost de l’obra haurà de pagar cada municipi?
206
831106 _ 0178-0207.qxd
11/9/07
13:08
Página 207
SOLUCIONARI
6
Inversa Directa 16.860 ← ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ x ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → 6.748 ⎪⎫⎪ ⎬ Inversa Directa 12.400 ←⎯⎯⎯⎯ 100 − x ⎯⎯⎯⎯→ 1.230 ⎪⎭⎪
x 6.748 2.400 16.195.200 = ⋅ = 737.800 100 − x 1.230 16.860 20.7 16.195.200 ⋅ x = (100 − x) ⋅ 20.737.800 36.933.000x = 2.073.780.000 → x = 56,15 % Vilaplana hi aportarà el 56,15 % i Vilapujada el 43,85 %.
207
831106 _ 0208-0241.qxd
7
11/9/07
15:06
Página 208
Progressions SUCCESSIONS
TERME GENERAL
SUCCESSIONS RECURRENTS
PROGRESSIÓ ARITMÈTICA
SUMA DE n TERMES
TERME GENERAL
PROGRESSIÓ GEOMÈTRICA
TERME GENERAL
SUMA I PRODUCTE DE n TERMES
INTERÈS COMPOST 208
SUMA D’INFINITS TERMES
831106 _ 0208-0241.qxd
11/9/07
15:06
Página 209
La mascota de la princesa El rei de Sicília, Frederic II, havia encarregat al filòsof de la cort, Joan de Palerm, que examinés Leonardo de Pisa amb problemes matemàtics difícils de resoldre. Leonardo, més conegut com a Fibonacci, li va presentar les solucions i es va esperar que les avaluessin. A mesura que estudiaven la feina, les seves cares reflectien la sorpresa que els produïa. Mentrestant, Fibonacci s’havia allunyat una mica i xerrava amb una nena que, asseguda a l’escala, amanyagava un conillet que tenia a la falda. –Jo vaig tenir una parella de conills –li va dir Fibonacci. –De quin color eren? –es va interessar la nena. –Eren blancs i els vaig tenir a casa, amb les seves cries, durant 12 mesos. Després em vaig traslladar amb el meu pare i no me’ls vaig poder endur. En un any tenia 144 parelles! –Això és impossible –va dir la nena mentre s’ho imaginava tot ple de conills. –La primera parella va criar el segon mes, de cada llorigada em quedava amb una altra parella, que començava a procrear al cap de dos mesos de vida –repassava mentalment el savi. Mes
E
F
M
A
M
J
Parelles
1
1
2
3
5
8
J
A
S
O
N
D
13 21 34 55 89 144
La nena anava apuntant i, de cop i volta, ho va veure clar. –El nombre de parelles és, cada mes, la suma dels dos mesos anteriors. Quantes parelles tindria al cap de catorze mesos? I al cap de dos anys? Calculem el nombre de parelles que tindria als 14 mesos trobant a14: a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a10 a11
a12
a13
a14
1
1
2
3
5
8
13 21 34 55 89 144 233 377 …
…
Al cap de dos anys hauran passat 24 mesos, per tant, s’ha de calcular a24: …
a13
a14
a15
a16
a17
a18
…
233
377
610
987
1.597
2.584
a19
a20
a21
a22
a23
a24
…
4.181
6.765
10.946
17.711
28.657
46.368
…
831106 _ 0208-0241.qxd
11/9/07
15:06
Página 210
Progressions EXERCICIS 001
Digues quins són els termes a1, a3 i a6 de les successions següents. a) 6, 7, 8, 9, 10, … b) 0, −2, −4, −6, −8, … c) 1; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; … d) −1, −1, −1, −1, −1, … e) −2, −4, −8, −16, −32, … f) 1, 2, 3, 5, 8, … Determina’n la regla de formació. a) a1 = 6, a3 = 8, a6 = 11. Cada nombre és l’anterior més 1. b) a1 = 0, a3 = −4, a6 = −10. Cada nombre és l’anterior menys 2. c) a1 = 1; a3 = 0,01; a6 = 0,00001. Cada nombre és l’anterior dividit entre 10. d) a1 = −1, a3 = −1, a6 = −1. Tots els nombres són −1. e) a1 = −2, a3 = −8, a6 = −64. Cada nombre és el doble de l’anterior. f) a1 = 1, a3 = 3, a6 = 13. Cada nombre és la suma dels dos anteriors.
002
Fes una successió que compleixi que: a) El primer terme és 5 i cadascun dels següents és la suma de l’anterior més 3. b) El primer terme és 12 i cadascun dels següents és l’anterior multiplicat per 3. a) 5, 8, 11, 14, 17, ... b) 12, 36, 108, 324, 972, ...
003
Fes una successió amb els termes a1 = 2, a2 = 3 i a3 = 4, en què els termes següents siguin la suma dels tres anteriors. 2, 3, 4, 9, 16, 29, ...
004
Escriu els quatre primers termes de la successió amb terme general: a) an = n 2 −3n + 2
n+4 2n + 1
a) a1 = 12 − 3 ⋅ 1 + 2 = 0
a3 = 32 − 3 ⋅ 3 + 2 = 2
a2 = 2 − 3 ⋅ 2 + 2 = 0
a4 = 42 − 3 ⋅ 4 + 2 = 6
2
210
b) an =
b) a1 =
1+ 4 5 = 2⋅1+1 3
a3 =
3+4 7 = =1 2⋅ 3+1 7
a2 =
2+4 6 = 2⋅2+1 5
a4 =
4+4 8 = 2⋅ 4+1 9
831106 _ 0208-0241.qxd
11/9/07
15:06
Página 211
SOLUCIONARI
005
7
Troba els quatre primers termes de cada successió. a) a1 = −1, an = n + an−1
b) a1 = 2, an = 2a 2n −1 − 3n
a) an = n + an−1 → a1 = −1, a2 = 2 + (−1) = 1, a3 = 3 + 1 = 4 a4 = 4 + 4 = 8 b) an = 2 ⋅ a 2n−1 − 3n a1 = 2, a2 = 2 ⋅ 22 − 3 ⋅ 2 = 8 − 6 = 2 a3 = 2 ⋅ 22 − 3 ⋅ 3 = 8 − 9 = −1 a4 = 2 ⋅ (−1)2 − 3 ⋅ 4 = 2 − 12 = −10 006
Inventa’t el terme general d’una successió i calcula el valor dels termes 13, 25 i 64.
an = 2n 2 + 1 007
a25 = 1.251
a64 = 8.193
Escriu els termes generals de les successions. a) 2, 3, 4, 5, 6, …
c) 5, 10, 15, 20, 25, …
b) 3, 6, 9, 12, 15, …
d) 8, 11, 14, 17, 20, …
a) an = n + 1 008
a13 = 339
b) an = 3n
c) an = 5n
d) an = 5 + 3n
Determina si les successions següents són progressions aritmètiques. a) 1, 0, −1, −2, …
c) 2, 4, 7, 11, 16, …
b) 4, 5, 6, 7, 8, 9, …
d) 1, 4, 9, 16, 25, …
e) 11, 10, −1, −2, …
a) a2 − a1 = 0 − 1 = −1 a3 − a2 = −1 − 0 = −1 a4 − a3 = −2 − (−1) = −1 → d = −1 → Sí que ho és. b) a2 − a1 = 5 − 4 = 1 a3 − a2 = 6 − 5 = 1 a4 − a3 = 7 − 6 = 1 a5 − a4 = 8 − 7 = 1 → d = 1 → Sí que ho és. c) a2 − a1 = 4 − 2 = 2
a3 − a2 = 7 − 4 = 3 → No ho és.
d) a2 − a1 = 4 − 1 = 3
a3 − a2 = 9 − 4 = 5 → No ho és.
e) a2 − a1 = 10 − 11 = −1 009
En una progressió aritmètica, a1 = 4,8 i a2 = 5,6. Calcula. a) La diferència, d. a) d = 5,6 − 4,8 = 0,8
010
a3 − a2 = −1 − 10 = −11 → No ho és.
b) El terme a8. b) a8 = 4,8 + 7 ⋅ 0,8 = 10,4
En una progressió aritmètica, el terme a4 = 12 i la diferència d = −3. Calcula a1 i a8. 12 = a1 + 3 ⋅ (−3) → a1 = 12 + 9 = 21 → an = 21 + (n − 1) ⋅ (−3)
a8 = 21 + (8 − 1) ⋅ (−3) = 21 − 21 = 0
211
831106 _ 0208-0241.qxd
11/9/07
15:06
Página 212
Progressions 011
Troba el terme general d’aquestes progressions aritmètiques. a)
1 3 5 , 1, , 2, , … 2 2 2
b) 25, 22, 19, 16, …
1 1 1 1 1 = ⎯→ an = + (n − 1) ⋅ = n 2 2 2 2 2 b) d = 22 − 25 = −3 → an = 25 − (n − 1) ⋅ 3 = 28 − 3n a) d = 1 −
012
En una progressió aritmètica, el primer terme és 5 i la diferència, −2. Determina an.
a1 = 5, d = −2 → an = a1 + (n − 1) ⋅ d = 5 − (n − 1) ⋅ 2 = 7 − 2n 013
En una progressió aritmètica, el tercer terme és 9 i la diferència, 7. Troba el primer terme i el terme general.
a3 = a1 + (3 − 1) ⋅ d → 9 = a1 + 2 ⋅ 7 → a1 = −5 an = a1 + (n − 1) ⋅ d = −5 + (n − 1) ⋅ 7 = 7n − 12 014
En una progressió aritmètica, a6 = 17 i a9 = 23. Calcula a1 i el terme general. 23 = 17 + (9 − 6) ⋅ d → d = 6 : 3 = 2 → 17 = a1 + 5 ⋅ 2 → → a1 = 17 − 10 = 7, an = 7 + (n − 1) ⋅ 2
015
Calcula la suma dels 10 primers termes de la progressió: 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, …
d = 7 − 3 = 4 → a10 = 3 + 9 ⋅ 4 = 39 S10 =
016
3 + 39 ⋅ 10 = 210 2
Donada la progressió aritmètica amb an = 10 − 5n, troba la suma dels 25 primers termes.
a25 = 10 − 5 ⋅ 25 = 10 − 125 = −115 a1 = 10 − 5 ⋅ 1 = 5 S25 =
017
5 − 115 ⋅ 25 = −1.375 2
Vull col·locar 7 fileres de testos de manera que a la primera fila hi posaré 3 testos, i cadascuna de les files següents tindrà 3 testos més que l’anterior. Quants testos col·locaré en total?
an = a1 + (n − 1) ⋅ d → an = 3 + (n − 1) ⋅ 3 = 3n a1 = 3, a7 = 3 + 6 ⋅ 3 = 21 S7 =
212
3 + 21 ⋅ 7 = 84 testos 2
831106 _ 0208-0241.qxd
11/9/07
15:06
Página 213
SOLUCIONARI
018
Determina si són progressions geomètriques. a) 1, 5, 25, 125, 625, … b) 7, 14, 28, 56, 112, … c) −1, −2, −4, −8, −16, …
019
7
d) 3, 9, 24, 33, … e) 4, 4, 4, 4, 4, …
a)
5 25 125 625 = = = = 5 = r → Sí que ho és. 1 5 25 125
b)
14 28 56 112 = = = = 2 = r → Sí que ho és. 7 14 28 56
c)
−2 −4 −8 −16 = = = = 2 = r → Sí que ho és. −8 −1 −2 −4
d)
9 24 → No ho és.. ⫽ 3 9
e)
4 4 4 4 = = = = 1 = r → Sí que ho és. 4 4 4 4
Troba el terme general i el terme a6. a)
2 4 8 , , ,… 3 15 45 a)
b) 3, 3 3 , 9, 9 3 , …
a2 2 = a1 5 a3 2 = a2 3 2 2 ⫽ 5 3
No és una progressió, perquè
b) an = 3 ⋅ r n −1 → a2 = 3 ⋅ r = 3 3 → r = n −1
→ an = 3 ⋅ ( 3 )
020
3 →
→ a6 = 3 ⋅ ( 3 )5 = 27 3 = 46, 765
En una progressió geomètrica, a2 = 2 i a 4 =
1 . Calcula an i a5. 2
1 a2 = a1 ⋅ r = 2 ⎫⎪⎪ 2a : 1a 1 1 2 = →r =± 1 ⎪⎬ ⎯⎯⎯→ r 2 = a4 = a1 ⋅ r 3 = ⎪⎪ 2 4 2 2 ⎪⎭ Substituïm r =
1 1 en la primera equació: 2 = a1 ⋅ → a1 = 4 2 2
⎛1⎞ 1 1 Comprovem que s’acompleix la 2a equació: 4 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = 4 ⋅ = . ⎜⎝ 2 ⎠⎟ 8 2 3
Si r = −
⎛ 1⎞ 1 en la primera equació: 2 = a1 ⋅ ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ → a1 = −4 ⎝ 2 ⎟⎠ 2
213
831106 _ 0208-0241.qxd
11/9/07
15:06
Página 214
Progressions Comprovem que s’acompleix la 2a equació: ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ 1 (−4) ⋅ ⎜⎜− ⎟⎟⎟ = (−4) ⋅ ⎜⎜− ⎟⎟⎟ = ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 8 ⎟⎠ 2 3
n −1
⎛1⎞ Per tant, hi ha dues solucions: an = 4 ⋅ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎝ 2 ⎟⎠ 5−1
⎛1⎞ a5 = 4 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 021
n −1
⎛ 1⎞ i an = (−4) ⋅ ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⎝ 2 ⎟⎠ 5−1
= 4⋅
⎛ 1⎞ 1 1 i a5 = (−4) ⋅ ⎜⎜− ⎟⎟⎟ = ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 16 4
= (−4) ⋅
1 1 =− 16 4
Donada la successió: 2; 3; 4,5; 6,75; 10,125; … a) Comprova que és una progressió geomètrica. Troba’n la raó. b) Calcula’n el terme general. c) Troba la suma dels 10 primers termes. a)
3 4, 5 6, 75 10,125 = = = = 1, 5 → Si que ho és.. 2 3 4, 5 6, 75
b) an = 2 ⋅ 1,5n−1 c) S 10 =
022
2 ⋅ (1, 510 − 1) 113, 33 = = 226, 66 1, 5 − 1 0, 5
Troba la suma dels 7 primers termes de la progressió: 3, 3 3 , 9, 9 3 , …
a2 = a1 ⋅ r → 3 3 = 3 ⋅ r → r = 3 → an = 3 ⋅ ( 3 )n−1 a7 = 3 ⋅ ( 3 )6 = 3 ⋅ 33 = 81 S7 =
023
3 ⋅ ( 37 − 1) 3 −1
=
3 ⋅ (33 ⋅
3 − 1)
3 −1
= 187, 55
Una ameba es reprodueix per bipartició cada 5 minuts. Quantes n’hi haurà al cap de 10 hores? En 10 hores = 10 ⋅ 60 = 600 minuts s’hauran produït: 600/5 = 120 biparticions. Es tracta d’una progressió geomètrica en què a1 = 1 i r = 2. Per tant: a120 = 1 ⋅ 2120−1 = 6,646 ⋅ 1035.
024
Calcula el terme general i la suma dels termes infinits de les progressions geomètriques següents. 1 1 b) a1 = 2 i r = 2 10 n −1 ⎛1⎞ 5 5 →S = = = 10 a) an = 5 ⋅ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎝ 2 ⎟⎠ 1 1 1− 2 2 n −1 ⎛ 1 ⎞⎟ 2 2 20 = = b) an = 2 ⋅ ⎜⎜⎜ ⎟⎟ → S = ⎝ 10 ⎠⎟ 9 1 9 1− 10 10
a) a1 = 5 i r =
214
831106 _ 0208-0241.qxd
11/9/07
15:06
Página 215
SOLUCIONARI
025
7
Troba, si és possible, la suma dels termes infinits d’aquestes progressions: a)
2 4 8 , , ,… 3 15 45 a)
b) 3, 3 3 , 9, 9 3 , …
a2 2 a3 2 = = ⫽ a1 5 a2 3 No en podem calcular la suma perquè no és una progressió geomètrica.
b) a2 = a1 ⋅ r → 3 3 = 3 ⋅ r → r =
3
La raó és més gran que la unitat; per tant, no en podem calcular la suma (és infinita). 026
En una progressió geomètrica, S = 20 i a1 = 5, quant val la raó? S=
027
5 5 1 1 3 a1 → 20 = → 1− r = → 1− r = → 1− = r → r = 1− r 1− r 20 4 4 4
Troba el producte dels 4 primers termes d’una progressió geomètrica amb a1 = 3 i r = 5.
a4 = a1 ⋅ r 3 → a4 = 3 ⋅ 53 = 375 → P4 = (3 ⋅ 375)4 = (1.125)2 = 1.265.625 028
En una progressió geomètrica, a4 = 12 i r = 3, troba el producte dels 10 primers termes.
a4 = a1 ⋅ r 3 → 12 = a1 ⋅ 33 → a1 = a10 = a1 ⋅ r 9 → a10 = ⎛4 ⎞ P10 = ⎜⎜⎜ ⋅ 8.748⎟⎟⎟ ⎟⎠ ⎝9
12 4 = 27 9
4 9 ⋅ 3 = 4 ⋅ 37 = 8.748 9
10
029
= (3.888)5 = 8,884 ⋅ 1017
Tenim una progressió geomètrica el terme general de la qual és an = 4 ⋅ 2n−1, calcula P6. a 6 = 4 ⋅ 25 = 128 → P6 =
030
Troba la raó d’una progressió geomètrica amb a1 = 1 i P5 = 1.024. P5 = 1.024 =
031
(4 ⋅ 128)6 = 134.217.728
a = r4
5 (1 ⋅ a5 )5 ⎯⎯→ 1.024 =
r 20 → r 10 = 1.024 → r = 2
Calcula el capital obtingut si hem invertit 200 € al 2 % anual durant 10 anys. 10 ⎛ 2 ⎞⎟ ⎟⎟ = 200 ⋅ 1,22 = 243,80 € C10 = 200 ⋅ ⎜⎜⎜1 + ⎝ 100 ⎟⎠
215
831106 _ 0208-0241.qxd
11/9/07
15:06
Página 216
Progressions 032
Calcula el capital que obtindríem si invertíssim 50 cèntims d’euro al 5 % anual durant un segle. Quin seria el capital si el rèdit fos de l’1 %? 100 ⎛ 5 ⎞⎟ ⎟⎟ = 65,75 € C100 = 0,50 ⋅ ⎜⎜⎜1 + ⎝ 100 ⎟⎠
033
Quin capital produiria 3.000 € en 3 anys amb un interès compost de l’1 % mensual? ⎛ 1 ⎞⎟ ⎟⎟ → 3.000 = C ⋅ 1,43 → C = 2.097,90 € 3.000 = C ⋅ ⎜⎜⎜1 + ⎝ 100 ⎟⎠ 36
034
Determina el capital que, amb un interès compost del 10 % anual, produeix 133,10 € en 3 anys. ⎛ 10 ⎞⎟ ⎟⎟ → 133,10 = C ⋅ 1,331 → C = 100 € 133,10 = C ⋅ ⎜⎜⎜1 + ⎝ 100 ⎟⎠ 3
ACTIVITATS 035 ●
Escriu els termes següents d’aquestes successions. a) 5, 6, 7, 8, 9, …
c) 7, 14, 21, 28, 35, …
b) 30, 20, 10, 0, −10, …
d) 1, 5, 25, 125, …
Quin criteri de formació segueix cadascuna? a) b) c) d)
5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ... → Augmenta d’1 en 1. 30, 20, 10, 0, −10, −20, −30, −40, ... → Disminueix de 10 en 10. 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, ... → Augmenta de 7 en 7. 1, 5, 25, 125, 625, 3.125, 15.625, ... → Augmenta multiplicant per 5.
036
Donada la successió: 1, 8, 27, 64, …
●●
a) Quin n’és el terme sisè? a) 63 = 216
037 ●●
b) an = n3
La successió 1, 4, 9, 16, 25, … té com a terme general an = n 2. Troba el terme general de les successions. a) 2, 8, 18, 32, 50, …
c) 4, 9, 16, 25, …
b) 3, 6, 11, 18, 27, …
d) 16, 25, 36, 49, …
a) an = 2n
2
b) an = n 2 + 2
216
b) I el criteri de formació?
c) an = (n + 1)2 d) an = (n + 3)2
831106 _ 0208-0241.qxd
11/9/07
15:06
Página 217
SOLUCIONARI
038 ●●
039 ●
7
La successió 2, 4, 6, 8, 10, ... té com a terme general an = 2n. Determina el terme general de les successions. a) −1, 1, 3, 5, 7, …
c) −2, −4, −6, −8, …
b) 6, 8, 10, 12, …
d) 6, 12, 18, 24, 30, …
a) an = 2n − 3
c) an = −2n
b) an = 2n + 4
d) an = 6n
Troba els 5 primers termes de la successió el terme general de la qual és: a) an = 2n
d) an = 2 + 4(n + 1)
b) an = (−3)n+2
⎛1⎞ e) an = 2 ⋅ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟⎟ ⎝ 3⎠
f) an = n 2 + 3n − 2
n −1
g) an =
n+3 n2
c) an = 5 − 3n a) an = 2n → 2, 4, 8, 16, 32, … b) an = (−3)n+2 → (−3)3, (−3)4, (−3)5, (−3)6, (−3)7, … = = −27, 81, −243, 729, −2.187, … c) an = 5 − 3n → 2, −1, −4, −7, −10, … d) an = 2 + 4 ⋅ (n + 1) → 10, 14, 18, 22, 26, … n −1
⎛1⎞ e) an = 2 ⋅ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟⎟ ⎝3⎠
→ 2,
2 2 2 2 , , , ,… 3 9 27 81
f) an = n 2 + 3n − 2 → 2, 8, 16, 26, 38, … g) an =
040 ●
n+3 5 6 7 8 , , , ,… → 4, n2 4 9 16 25
Escriu els 5 primers termes de les successions següents: a) El primer terme és 5 i cada terme l’obtenim sumant 2 a l’anterior. b) El primer terme és 2 i cadascun dels següents l’obtenim multiplicant 1 per l’anterior. 2 c) El primer terme és 3, el segon, 4 i els següents són la suma dels dos anteriors. d) El primer terme és 8 i els següents són cadascun la meitat de l’anterior. a) 5, 7, 9, 11, 13 b) 2, 1,
1 1 1 , , 2 4 8
c) 3, 4, 7, 11, 18 d) 8, 4, 2, 1,
1 2
217
831106 _ 0208-0241.qxd
11/9/07
15:06
Página 218
Progressions 041
FES-HO AIXÍ COM DETERMINEM EL TERME GENERAL D’ALGUNES SUCCESSIONS DE FRACCIONS? Troba el terme general de la successió següent. 4 9 16 25 , , , ,… 1 3 5 7 PRIMER.
Busquem el criteri de formació dels numeradors i en determinem el terme
general.
⎯ → El primer terme és el quadrat de 2. 4, 9, 16, 25, … ⎯ El segon és el quadrat de 3. El tercer, el quadrat de 4... Terme general ⎯ → (n + 1)2 SEGON. Busquem el criteri de formació dels denominadors i en determinem el terme general. 1, 3, 5, 7, … ⎯⎯→ Successió de nombres senars. Terme general ⎯ → 2n − 1
El terme general de la successió serà el quocient entre els dos termes generals. (n + 1)2 → Terme general ⎯ 2n − 1
TERCER.
042 ●●
La successió 1, 2, 3, 4, 5... té com a terme general an = n. La successió 2, 4, 8, 16... té com a terme general an = 2n. Troba el terme general d’aquestes successions. 1 , 2 5 , b) 4, 2 a) 1,
1 , 3 6 , 3
a) an = 043 ●
1 ,… 4 7 ,… 4 1 n
1 , 2 1 d) , 2 c)
b) an =
n+3 n
1 , 4 3 , 4
1 , 8 7 , 8
1 ,… 16 15 ,… 16
c) an =
d) an =
Troba els 5 primers termes de les successions recurrents següents. a) a1 = 1, a2 = 3, an = an−2 − an−1 bn −1 bn −2 c) c1 = −1, c2 = 0, c3 = 1, cn = cn−1 + cn−2 + cn−3 b) b1 = 2, b2 = 4, bn =
d) d1 = 2, dn = dn−1 + n a) 1, 3, −2, 5, −7 b) 2, 4, 2,
218
1 2n
1 1 , 2 4
c) −1, 0, 1, 0, 1 d) 2, 4, 7, 11, 16
2n − 1 2n
831106 _ 0208-0241.qxd
11/9/07
15:06
Página 219
SOLUCIONARI
044
Troba la regla de formació d’aquestes successions recurrents.
●●
a) 3, 4, 7, 11, 18, 29, …
c) 1, 2, 3, 6, 11, 20, …
1 1 , , 1, … b) 1, 3, 3, 1, 3 3
d) −5, 1, 6, 5, −1, −6, …
7
a) a1 = 3, a2 = 4, an = an−1 + an−2 b) a1 = 1, a2 = 3, an =
an −1 an −2
c) a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3, an = an−1 + an−2 + an−3 d) a1 = −5, a2 = 1, an = an−1 − an−2 045 ●
Troba la diferència i el terme general d’aquestes progressions aritmètiques. c) 7, 2, −3, −8, …
a) 10, 7, 4, 1, … b)
2, 2 2, 3 2, 4 2, …
d) 16, 8, 0, −8, …
a) d = 7 − 10 = −3 → an = 10 − 3 ⋅ (n − 1) = 13 − 3n b) d = 2 2 − 2 =
2 → an =
2 +
2 ⋅ (n − 1) =
2n
c) d = 2 − 7 = −5 → an = 7 − 5 ⋅ (n − 1) = 12 − 5n d) d = 8 − 16 = −8 → an = 16 − 8 ⋅ (n − 1) = 24 − 8n 046 ●
Amb les dades de les progressions aritmètiques següents: a) b) c) d)
a1 = 13 i a2 = 5, calcula d, a8 i an. b1 = 4,5 i b2 = 6, calcula d, b10 i bn. c2 = 13 i d = −5, calcula c1, c8 i cn. h1 = 8 i h3 = 3, calcula d, h10 i hn. a) 5 = 13 + (2 − 1) ⋅ d → d = −8 → a8 = 13 + (8 − 1) ⋅ (−8) = −43 an = 13 + (n − 1) ⋅ (−8) b) 6 = 4,5 + (2 − 1) ⋅ d → d = 1,5 → b10 = 4,5 + (10 − 1) ⋅ 1,5 = 18 bn = 4,5 + (n − 1) ⋅ 1,5 c) 13 = c1 + (2 − 1) ⋅ (−5) → c1 = 18 → c8 = 18 + (8 − 1) ⋅ (−5) = −17 cn = 18 + (n − 1) ⋅ (−5) d) 3 = 8 + (3 − 1) ⋅ d → d = −2,5 → h10 = 8 + (10 − 1) ⋅ (−2,5) = −14,5 hn = 8 + (n − 1) ⋅ (−2,5)
047 ●
Donada la successió 2, 4, 6, 8, 10… a) És una progressió aritmètica? b) Troba’n el terme general.
c) Calcula’n el terme 30.
a) Sí, és una progressió aritmètica; d = 4 − 2 = 6 − 4 = 8 − 6 = 10 − 8 = 2. b) an = 2 + (n − 1) ⋅ 2 = 2n c) a30 = 2 ⋅ 30 = 60
219
831106 _ 0208-0241.qxd
11/9/07
15:06
Página 220
Progressions 048 ●
5 4 2 , , 1, , 0, …: 3 3 3 a) Comprova que és una progressió aritmètica. b) Troba’n el terme general. Donada la successió
4 5 4 2 1 2 1 − = 1− = −1 = − =− =d 3 3 3 3 3 3 3 ⎛ 1 ⎞⎟ n 5 5 − ( − 1 ) 6−n + (n − 1) ⋅ ⎜⎜− ⎟⎟ = = b) an = ⎜⎝ 3 ⎟⎠ 3 3 3 a)
049 ●
Tenint en compte que els termes d’una progressió aritmètica els podem obtenir amb la calculadora, mitjançant el sumand constant:
d +
+
a1 =
=
=
=
=
…
troba els 10 primers termes de les progressions aritmètiques. a) a1 = 8 i d = 5
c) c1 = −10 i d = 3
b) b1 = 3 i d = −5
d) h1 = −12 i d = −8
a) 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48, 53 b) 3, −2, −7, −12, −17, −22, −27, −32, −37, −42 c) −10, −7, −4, −1, 2, 5, 8, 11, 14, 17 d) −12, −20, −28, −36, −44, −52, −60, −68, −76, −84 050 ●
051 ●●
En una progressió aritmètica, a10 = 32 i d = 5. Esbrina el valor del terme a25.
a25 = a10 + (25 − 10) ⋅ d → a25 = 32 + 15 ⋅ 5 = 32 + 75 = 107 En una progressió aritmètica, a3 =
1 5 i a4 = . 2 6
a) Troba a1 i d. b) Determina’n el terme general. 5 1 1 1 1 1 1 − = → a1 = a3 − 2 ⋅ = −2⋅ =− 6 2 3 3 2 3 6 1 1 b) an = − + (n − 1) ⋅ 6 3 a) d = a4 − a3 =
052 ●●
En una progressió aritmètica, a8 = 12 i a12 = 32. Calcula la diferència i el terme general. a12 − a8 32 − 12 = =5 4 4 a1 = a8 − 7 ⋅ d = 12 − 35 = −23 a12 = a8 + 4d → d =
an = −23 + 5 ⋅ (n − 1) = −28 + 5n
220
831106 _ 0208-0241.qxd
11/9/07
15:06
Página 221
SOLUCIONARI
053 ●●●
7
En una progressió aritmètica, a1 = 7 i d = 6. Esbrina quin lloc hi ocupa un terme que val 79.
a1 = 7, d = 6 → an = 7 + (n − 1) ⋅ 6 → 79 = 7 + 6 ⋅ (n − 1) → → 72 = 6 ⋅ (n − 1) → 12 = n − 1 → n = 13 054
Troba el terme de les progressions aritmètiques següents.
●●
a) 1,73; 1,77; 1,81; 1,85, …
c)
1 3 , 1, , 2, … 2 2
b) 5, 2, −1, −4, −7, …
d)
1 3 5 7 , , , ,… a a a a
a) a1 = 1,73; d = 0,04 → an = 1,73 + (n − 1) ⋅ 0,04 = 1,69 + 0,04n b) a1 = 5, d = −3 → an = 5 − 3 ⋅ (n − 1) = 8 − 3n 1 ,d= 2 1 d) a1 = , d = a c) a1 =
055 ●●●
1 → an = 2 2 → an = a
1 1 1 + ⋅ (n − 1) = n 2 2 2 1 2 1 2n + ⋅ (n − 1) = − + a a a a
Troba el terme general d’una progressió aritmètica en què a4 = 13 i a2 + a11 = 41.
a4 = a2 + 2d = 13 → a2 = 13 − 2d Substituïm per trobar d:
a2 + a11 = 41 → a2 + a2 + (11 − 2) ⋅ d = 41 → 2a2 + 9d = 41 → → 2 ⋅ (13 − 2d ) + 9d = 41 → 26 − 4d + 9d = 41 → → 5d = 41 − 26 = 15 → d = 3 Substituint tenim que: a2 = 13 − 2d → a2 = 13 − 2 ⋅ 3 = 13 − 6 = 7 Com que a2 = a1 + d → 7 = a1 + 3 → a1 = 4. El terme general serà: an = 4 + (n − 1) ⋅ 3 = 1 + 3n. 056 ●●●
En una progressió aritmètica de 8 termes, el primer i l’últim sumen 21. El tercer terme és 6. Escriu la progressió.
a1 + a8 = 21 a3 = a1 + 2d = 6
→a
1
= 6 − 2d
a1 + a8 = 21 → a1 + a1 + (8 − 1) ⋅ d = 21 → → 2a1 + 7d = 21 → 2 ⋅ (6 − 2d ) + 7d = 21 → → 12 − 4d + 7d = 21 → 3d = 21 − 12 → 3d = 9 → d = 3 Aïllem: a1 = 6 − 2d = 6 − 2 ⋅ 3 = 0. Per tant, an = (n − 1) ⋅ 3 = 3n − 3 → 0, 3, 6, 9, ...
221
831106 _ 0208-0241.qxd
11/9/07
15:06
Página 222
Progressions 057
FES-HO AIXÍ COM INTERPOLEM TERMES QUE FORMEN UNA PROGRESSIÓ ARITMÈTICA? Interpola tres termes entre 1 i 9 perquè formin una progressió aritmètica. PRIMER. Calculem a1 i d. La progressió que volem fer serà de la forma: 1, a2, a3, a4, 9. Per tant, a1 = 1 i a5 = 9.
Com que ha de ser una progressió aritmètica: n=5
an = a1 + (n − 1)d ⎯⎯→ 9 = 1 + (5 − 1)d 9 = 1 + 4d → d =
8 =2 4
Trobem els termes intermitjos. a2 = 1 + (2 − 1) ⋅ 2 = 3 a3 = 1 + (3 − 1) ⋅ 2 = 5 a4 = 1 + (4 − 1) ⋅ 2 = 7 Els tres termes que hi hem d’interpolar seran 3, 5 i 7. SEGON.
058
Interpola 6 termes entre 1 i 3 perquè formin una progressió aritmètica.
●●
059 ●●
2 7 9 11 13 15 17 19 , , , , Els 6 termes són: , . 7 7 7 7 7 7
a1 = 1, a8 = 3, d = (3 − 1) : (8 − 1) =
7 7 Interpola 5 termes entre els nombres − i perquè formin una progressió 2 2 aritmètica. 7 2 + 2 7 7 7 53 = a1 = − , a7 = , d = 2 2 7 −1 84 29 41 135 47 241 , , , , . 84 42 84 21 84
Els 5 termes són:
060 ●●●
Aquestes successions són progressions aritmètiques. Completa-hi els termes que falten. 1 , 2
,
,
b)
; 1,5; ; 2,5;
a) d =
222
5 , 6
a)
,
5 1 − 6 2 4−2
=
1 , 4
, ,
1 , 2
5 , 3
,
8 3
c)
,
d)
, , ,
1 1 1 2 5 7 → , , , , 1, 6 3 2 3 6 6
831106 _ 0208-0241.qxd
11/9/07
15:06
Página 223
SOLUCIONARI
7
b) d = (2,5 − 1,5) : (4 − 2) = 0,5 → 1; 1,5; 2; 2,5; 3 1 1 − 2 4
1 1 1 1 5 1 7 = → , , , , , 5−2 12 6 4 3 12 2 12 8 5 − 1 1 2 7 5 13 8 3 3 = → , , , , , d) d = 6−4 2 6 3 6 3 6 3 c) d =
061 ●
an = 4n + 1 és el terme general d’una progressió aritmètica. Calcula a25 i la suma dels 20 primers termes. a25 = 4 ⋅ 25 + 1 = 101 → a1 = 4 ⋅ 1 + 1 = 5 a + a20 5 + 81 S20 = 1 ⋅ 20 = ⋅ 20 = 860 2 2
062 ●
En una progressió aritmètica, a8 = 40 i d = 7. Troba’n el primer terme i la suma dels 10 primers.
a8 = a1 + 7 ⋅ d → 40 = a1 + 7 ⋅ 7 → a1 = −9 a10 = a1 + 9d → a10 = −9 + 9 ⋅ 7 = 54 S10 =
063 ●
a1 + a10 −9 + 54 ⋅ 10 → S10 = ⋅ 10 = 225 2 2
Calcula la suma dels 10 primers termes d’una progressió aritmètica si el tercer terme és 24 i el desè és 66.
a3 = 24, a10 = a3 + 7d → 66 = 24 + 7d → 42 = 7d → d = 6 a3 = a1 + 2d → 24 = a1 + 2 ⋅ 6 → a1 = 12 S10 =
064 ●
Fes la suma dels 100 primers nombres parells.
a1 = 2 → an = a1 + (n − 1) ⋅ d → an = 2 + 2 ⋅ (n − 1) = 2n → → a100 = 2 + 2 ⋅ 99 = 200 S100 =
065 ●●
a1 + a10 12 + 66 ⋅n= ⋅ 10 = 390 2 2
a1 + a100 2 + 200 ⋅n= ⋅ 100 = 10.100 2 2
Calcula la suma dels múltiples de 3 compresos entre 200 i 301.
a1 = 201, an = 300 → an = a1 + (n − 1) ⋅ d → 300 = 201 + (n − 1) ⋅ 3 → 300 − 201 → = n − 1 → n − 1 = 33 → n = 34 3 S34 =
201 + 300 a1 + a34 ⋅n= ⋅ 34 = 8.517 2 2
223
831106 _ 0208-0241.qxd
11/9/07
15:06
Página 224
Progressions 066 ●
Troba la suma dels 15 primers termes d’una progressió aritmètica en què a1 = 7 i a4 = 40.
a4 = a1 + 3d → 40 = 7 + 3d → d = 11 a15 = a1 + 14d → a15 = 7 + 14 ⋅ 11 = 161 S15 =
Troba la suma dels n primers nombres naturals.
●●●
an = n → Sn =
Quants nombres senars consecutius a partir d’1 sumen 2.916?
●●●
4 7 + 49
27 + 29
51 +
+
5
43 + 45 +
+ 25
+
7
17 +
31
3 + 35 +3
11 + 13 + 1 5 9+ + + 9+4 +3 37 = 3…
+
1+3+5+
1+
068
a1 + an 1+n n2 + n ⋅n= ⋅n= 2 2 2
2.916
067
a1 + a15 7 + 161 ⋅ n → S15 = ⋅ 15 = 1.260 2 2
19 + 21 + 23 +
Els nombres senars formen una successió el terme general de la qual és an = 2n − 1.
Sn =
a1 + an 1 + 2n − 1 ⋅ n → 2.916 = ⋅ n → 2.916 = n 2 → n = 54 2 2
Per tant, es tracta dels 54 primers nombres senars.
069 ●●
Calcula la suma i l’últim terme d’una progressió aritmètica de diferència 4 si saps que té 12 termes i el primer val 7.
a12 = 7 + (12 − 1) ⋅ 4 = 51, S 12 =
224
(7 + 51) ⋅ 12 = 348 2
831106 _ 0208-0241.qxd
11/9/07
15:06
Página 225
SOLUCIONARI
070 ●●●
Calcula la suma dels termes d’una progressió aritmètica limitada el primer terme de la qual és 4, l’últim és 40 i la diferència és 3. (4 + 40) ⋅ 13 = 286 2
40 = 4 + (n − 1) ⋅ 3 → n = 13, S 13 =
071 ●●●
7
La suma dels 5 primers termes d’una progressió aritmètica és 2,5. La suma dels 8 primers termes és 5,2. Escriu la progressió. ⎪⎫⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪⎪ a1 + a8 S8 = ⋅ n = 5,2 → (a1 + a8) ⋅ 8 = 10,4 ⎪⎪⎪⎭ 2 a1 + a5 = 1 → a − a = 3d = 0,3 → d = 0,1 8 5 a1 + a8 = 1,3
S5 =
a1 + a5 ⋅ n = 2,5 → (a1 + a5) ⋅ 5 = 5 2
冧
Substituïm en la 1a equació:
a1 + a5 = 1 → 2a1 + 4d = 1 → 2a1 + 0,4 = 1 → 2a1 = 0,6 → a1 = 0,3 La progressió és 0,3; 0,4; 0,5; 0,6, …
072 ●
Calcula la diferència o la raó de les progressions següents i troba’n el terme general. a) 3, 6, 12, 24, …
c) 1, 1, 1, 1, …
e) 16, 8, 0, −8, …
b) 10, 7, 4, 1, …
d) 16, 8, 4, 2, 1, …
f) 3, 9, 15, 21, …
a) r = 6 : 3 = 2; an = 3 ⋅ 2n−1 b) d = 7 − 10 = −3; an = 10 + (n − 1) ⋅ (−3) c) r = 1; an = 1 n −1
d) r =
⎛1⎞ 8 1 = = 0, 5 ; an = 16 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 16 2
n −5
⎛1⎞ = ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 2 ⎟⎠
e) d = 8 − 16 = −8; an = 16 + (n − 1) ⋅ (−8) = (n − 3) ⋅ (−8) f) d = 9 − 3 = 6; an = 3 + (n − 1) ⋅ 3 = 3n 073 ●
074 ●
En una progressió geomètrica, a1 = 4 i a2 = 3. Troba’n el terme general i a20. n −1
⎛3⎞ 3 → an = 4 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟⎟ 3 = 4r → r = ⎜⎝ 4 ⎟⎠ 4
⎛3⎞ a20 = 4 ⋅ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎝ 4 ⎟⎠
19
En una progressió geomètrica, a1 = 6 y a3 = 30. Troba’n a4 i el terme general.
a3 = a1 ⋅ r 2 → 30 = 6r 2 → r = ± 5 Hi ha dues solucions: an = 6 ⋅ (± 5 )n−1 → a4 = 6 ⋅ (± 5 )3 = ±30 5
225
831106 _ 0208-0241.qxd
11/9/07
15:06
Página 226
Progressions 075 ●
Calcula. a) El terme general d’una progressió geomètrica en què a1 = 3 i r = 5. b) El terme 7. a) an = 3 ⋅ 5n−1 b) a7 = 3 ⋅ 56 = 46.875
076 ●
2 2 2 2 , , , , … 3 9 27 81 a) Comprova que és una progressió geomètrica. Donada la successió
b) Calcula’n el terme 10. 2 2 2 2 2 2 1 : = : = : = =r 9 3 27 9 81 27 3 9 2 ⎛⎜ 1 ⎞⎟ 2 2 ⋅ ⎜ ⎟⎟ = 10 = b) a10 = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 3 3 59.049 a)
077 ●●
Troba els termes que falten als forats de les progressions geomètriques següents. a) 1; 0,1;
; 0,001;
b)
,
1 1 , , 2 6
,
c)
,
1 , 3
1 , 12
d)
,
3 81 , , , 2 4
,
1 , 54
a) 1; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 3 1 1 1 1 1 , , , , , 2 2 6 18 54 162 2 1 1 1 1 , , , , c) 3 3 6 12 24 1 3 9 27 81 , , d) 3 , , 3 3 4 2 2⋅ 2 2⋅ 4 4 b)
078 ●
El terme general de la progressió 3, 6, 12, 24, ... és: a) b) c) d)
an = 3 + (n − 1) ⋅ 3 an = 3 ⋅ 3n−1 an = 3 ⋅ 2n−1 No es pot calcular. c) an = 3 ⋅ 2n−1
226
831106 _ 0208-0241.qxd
11/9/07
15:06
Página 227
SOLUCIONARI
079 ●
7
En una progressió geomètrica de termes positius, a2 = 60 i a4 = 2.400. Troba’n: a) Els 5 primers termes. b) El terme general. c) Els 10 primers termes. 2.400 = 60 · r 2 → r =
40 = 2 10
a) 3 10 , 60, 120 10 , 2.400, 2.800 10 b) an = 3 10 ⋅ (2 10 )n −1 c) 3 10 , 60, 120 10 , 2.400, 2.800 10 , 96.000, 192.000 10 , 3.840.000, 7.680.000 10 , 153.600.000 080 ●
En una progressió geomètrica, a2 = 10 i a5 = 10.000. Calcula r i els 10 primers termes de la progressió. Quin n’és el terme general? 10.000 = 10 ⋅ r 3 → r = 10, an = 10n−1 Els 10 primers termes són: 1, 10, 100, 1.000, 10.000, 100.000, 1.000.000, 10.000.000, 100.000.000, 1.000.000.000.
081 ●●
Un terme d’una progressió geomètrica val 3.720.087. Si el primer terme és 7 i la raó és 3, de quin terme parlem? 3.720.087 = 7 ⋅ 3n−1 → 3n−1 = 531.441 → n − 1 = 12 → n = 13
082 ●●●
Dos termes consecutius d’una progressió geomètrica valen 3 i 4. Esbrina quin lloc ocupen si a1 =
27 . 16
⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎬ Dividint obtenim: 4 = r. 27 n 3 an+1 = ⋅ r = 4 ⎪⎪ ⎪⎪⎭ 16 Substituïm en la 1a equació:
an = ⋅ r n−1 = 3
27 16
n −1
⎛4⎞ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 3 ⎟⎠
n −1
→
⎛4⎞ 48 16 = = ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎝⎜ 3 ⎟⎠ 27 9 F
3=
→
(: 3)
→n−1=2→n=3 Són els termes 3r i 4t. 083 ●
En una progressió geomètrica, el primer terme és 5 i la raó és 3. Calcula la suma dels 8 primers termes.
a1 = 5, r = 3 Sn =
a1 ⋅ (r n − 1) 5 ⋅ (38 − 1) → S8 = = 16.400 r −1 3−1
227
831106 _ 0208-0241.qxd
11/9/07
15:07
Página 228
Progressions 084 ●
1
En una progressió geomètrica, el segon terme és 2 i el quart és . 2 Troba la suma dels 6 primers termes. 1 1 → a4 = a2 ⋅ r 2 → = 2 ⋅ r 2 → r = ± 2 2 ⎛ 1 ⎞⎟ a2 = a1 ⋅ r → 2 = a1 ⋅ ⎜⎜⎜± ⎟⎟→ a1 = ±4 ⎝ 2 ⎟⎠
a2 = 2, a4 =
⎡⎛ 1 ⎞6 ⎤ 4 ⋅ ⎢⎢⎜⎜ ⎟⎟⎟ − 1⎥⎥ ⎜ ⎟ ⎢⎣⎝ 2 ⎠ ⎥⎦ 63 S6 = = ⎛1 ⎞⎟ 8 ⎜⎜ − 1⎟ ⎟⎠⎟ ⎜⎝ 2 085
1 1 =± 4 2
⎡⎛ 1 ⎞6 ⎤ (−4) ⋅ ⎢⎢⎜⎜− ⎟⎟⎟ − 1⎥⎥ ⎜ ⎟ ⎥⎦ ⎢⎣⎝ 2 ⎠ 21 o S6 = =− ⎛ 1 ⎞⎟ 8 ⎜⎜− − 1⎟ ⎟⎟⎠ ⎜⎝ 2
FES-HO AIXÍ COM CALCULEM LA SUMA DELS INFINITS TERMES D’UNA PROGRESSIÓ GEOMÈTRICA? Calcula la suma dels infinits termes d’aquestes progressions geomètriques. 1 a) a1 = 3 i r = 2 c) c1 = −2 i r = 3 1 d) d1 = i r = −2 b) b1 = −1 i r = 2 2 Calculem la raó de la progressió. Analitzem els diferents casos.
PRIMER. SEGON.
• Si r > 1, la suma sempre és +⬁ o −⬁. a) r = 2 > 1. La successió és: 3, 6, 12, 24, 48, … La suma de tots els termes és +⬁.
b) r = 2 > 1. La successió és: −1, −2, −4, −8, −16, −32, −64, … La suma de tots els termes és −⬁. a1 . • Si −1 < r < 1, apliquem la fórmula S = 1−r 1 c) −1 < r = < 1. Apliquem la fórmula: 3 −2 −2 c1 = = = −3 S= 1 2 1−r 1− 3 3 • Si r < −1, no ho podem calcular. d) r = −2 < −1. La successió és: 1 , −1, 2, −4, 8, −16, 32, … 2 No podem calcular la suma dels infinits termes.
228
831106 _ 0208-0241.qxd
11/9/07
15:07
Página 229
SOLUCIONARI
086 ●
Tenim una progressió geomètrica en què a1 = 2 i r = 0,1. Calcula. a) La suma dels 6 primers termes. b) La suma dels infinits termes. 2 ⋅ (0,16 − 1) −1, 999998 = = 2, 22222 0,1 − 1 −0, 9
a) S6 = b) S =
087 ●
7
2 2 = = 2,2 1 − 0,1 0, 9
En una progressió geomètrica, a1 = −1 i r = 7. Calcula. a) La suma dels 10 primers termes. b) La suma dels infinits termes. a) S10 =
−1 ⋅ (710 − 1) 282.475.248 = = 47.079.208 7 −1 6
b) La suma dels infinits termes d’una progressió geomètrica de raó més gran que 1 és infinit. 088 ●
Troba la suma dels infinits termes de la progressió 16, 12, 9,
a2 = a1 ⋅ r → 12 = 16 ⋅ r → r = S=
089 ●●
12 3 = 16 4
27 ,… 4
a1 16 →S= = 64 1−r 1 − 3/ 4
Donades les successions següents, calcula, en els casos en què sigui possible, la suma dels infinits termes.
a) r =
1 →S = 2
10 1−
1 2
= 20
229
831106 _ 0208-0241.qxd
11/9/07
15:07
Página 230
Progressions 3 2 b) r = = 3 → No és possible, ja que 3 > 1. 1 2 c) r = −
1 →S = 3
−1 3 =− ⎛ 1 ⎞⎟ 4 1 − ⎜⎜− ⎟⎟ ⎜⎝ 3 ⎟⎠
−3 < −1 → No és possible. 2 e) No és possible, és una successió aritmètica i no geomètrica. d) r =
f) No és possible, és una successió aritmètica i no geomètrica. g) r = 1, i, per tant, no és possible. 1 10 100 →S = = h) r = 10 9 1 1− 10 090 ●●●
La suma dels infinits termes d’una progressió geomètrica és i la raó és
1 . Troba els 4 primers termes de la successió. 5
15 4
15 15 5a1 a1 a1 → = → = → 15 = 5a1 → a1 = 3 1 1−r 4 4 4 1− 5 1 3 3 3 = , a3 = , a4 = a2 = a1 ⋅ r = 3 ⋅ 5 5 25 125
S=
091 ●●
El sisè terme d’una progressió geomètrica és 18 i el quart és 6. a) Troba’n el terme general. b) Calcula el producte dels 10 primers termes. a) a6 = a4 ⋅ r 2 → 18 = 6 ⋅ r 2 → r = ± 3 Per a r = + 3 → a4 = a1 ⋅ r 3 → 6 = a1 ⋅ ( 3 )3 → a1 =
an = 2 3 ⋅ ( 3 )n −1 = 2 ⋅ ( 3 )n 3 3 Per a r = − 3 → 6 = a1 ⋅ (− 3 )3 → a1 =
an = −
2 3 ⋅ (− 3 )n −1 3
6 −3 3
=
6 3 3
=
2 3 3
−2 3 3
2 2 ⋅ (± 3 )10 = ⋅ 35 = 2 ⋅ 34 = 162 3 3 5 ⎛ 2 3 ⎞⎟ ⎜ ⋅ 162⎟⎟⎟ = (±187,06)5 = ±2,29 ⋅ 1011 P10 = (a1 ⋅ a10 )10 = ⎜⎜± ⎜⎝ ⎟⎠ 3
b) a10 =
230
831106 _ 0208-0241.qxd
11/9/07
15:07
Página 231
SOLUCIONARI
●●
El vuitè terme d’una progressió geomètrica és 1.458 i la raó és 3. a) Troba’n el terme general. b) Calcula el producte dels 8 primers termes de la progressió. a) a8 = a1 ⋅ r 7 → 1.458 = a1 ⋅ 37 → a1 =
1.458 2 2 = → an = ⋅ 3n −1 2.187 3 3 F
092
7
(: 729)
⎛2 ⎞ ⎜⎜ ⋅ 1.458⎟⎟ = 9724 = 8,926 ⋅ 1011 ⎟⎟⎠ ⎜⎝ 3 8
b) P8 = (a1 ⋅ a8 )8 → P8 =
093 ●●
El cinquè terme d’una progressió geomètrica és 160 i el segon és 20. a) Troba’n el sisè terme. b) Calcula el producte dels 7 primers termes d’aquesta progressió. a) a5 = a2 ⋅ r 3 → 160 = 20 ⋅ r 3 → r = 8 = 2 a2 = a1 ⋅ r ⎯ → 20 = a1 ⋅ 2 → a1 = 10 a7 = a1 ⋅ r 6 → a7 = 10 ⋅ 26 = 640 3
b) P7 = (a1 ⋅ a7 )7 = 094 ●●
(10 ⋅ 640)7 = 807 = 2,097 ⋅ 1013
El nombre d’usuaris d’un poliesportiu els caps de setmana era, al començament, de 150 persones, però va augmentar en 30 persones cada cap de setmana a partir de llavors. a) Quants usuaris va tenir el cap de setmana 12? b) I en les 10 primeres setmanes? És una progressió aritmètica amb d = 30. a) a12 = 150 + 11 ⋅ 30 = 480 usuaris b) S10 =
095 ●●
(150 + 420) ⋅ 10 = 2.850 usuaris 2
La Teresa ha comprat un cavall i el vol ferrar. Per això li ha de posar 20 cargols, i el primer val 1 cèntim d’euro, i la resta valen 1 cèntim d’euro més que l’anterior. Quant paga en total per ferrar-lo? Es tracta d’una progressió aritmètica amb a1 = 1 i d = 1. a20 = 1 + 19 ⋅ 1 = 20 cèntims 1 + 20 a1 + a20 ⋅ 20 = ⋅ 20 = 2 2 = 210 cèntims = 2,10 €
S20 =
231
831106 _ 0208-0241.qxd
11/9/07
15:07
Página 232
Progressions 096 ●●
Quant pagaria la Teresa si el preu del primer cargol fos el mateix, però cadascun dels següents li costés el doble que l’anterior? Es tracta d’una progressió geomètrica de raó r = 2 i a1 = 1.
S20 =
097 ●●
a1 ⋅ (r 20 − 1) 1 ⋅ (220 − 1) → S20 = = 1.048.575 cèntims = 10.485,75 € r −1 2 −1
En un aparcament cobren 0,25 € per la primera hora d’estacionament i el doble que l’anterior per cadascuna de les següents. Quant pagarem per tenir-hi el vehicle aparcat 8 hores? És la suma dels 8 primers termes d’una progressió geomètrica amb r = 2 i a1 = 0,25 → S 8 =
098 ●●
0, 25 ⋅ (28 − 1) = 63, 75 € 2 −1
Un arbre de creixement ràpid multiplica la seva altura per 1,2 cada any. Si al començament de l’any feia 0,75 cm, quina altura tindrà al cap de 10 anys? Quant haurà crescut en aquests 10 anys? És una progressió geomètrica amb r = 1,2 i a1 = 0,75.
a10 = 0,75 ⋅ 1,29 = 3,87 m mesurarà al cap de 10 anys; per tant, haurà crescut: 3,87 − 0,75 = 3,12 m. 099 ●●
Deixem caure una pilota d’una altura d’1 metre i en cadascun dels bots que fa puja a una altura igual a la meitat del bot anterior. A quina altura arribarà en el cinquè bot? És una progressió geomètrica amb r = 0,5 i a1 = 1. El cinquè bot és el terme 6è de la progressió: a6 = 1 ⋅ 0,55 = 0,03125 m.
100
Llancem una pilota que fa bots al llarg d’un passadís, tal com veiem a la figura.
●●
Si en el sisè bot xoca amb la paret i s’atura, quina distància haurà recorregut? És una progressió geomètrica amb r =
2 i a1 = 1. 3
La suma dels 7 primers termes és: S7 =
232
⎛⎛ 2 ⎞8 ⎞⎟ ⎜ 1 ⋅ ⎜⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ − 1⎟⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜⎝ 3 ⎠ ⎟⎟⎠ ⎝ 2 −1 3
= 2,8 883 m.
831106 _ 0208-0241.qxd
20/9/07
13:43
Página 233
SOLUCIONARI
101 ●●
7
Calcula la profunditat d’un pou si s’han pagat 20 € per l’excavació del primer metre i, per cadascun dels altres, 5 € més que l’anterior, si el cost total és de 1.350 €. És una progressió aritmètica amb d = 5 i a1 = 20. (a1 + a1 + (n − 1) ⋅ d ) ⋅ n (20 + 20 + (n − 1) ⋅ 5) ⋅ n = = 2 2 5n 2 + 35n = → 5n 2 + 35n − 2.700 = 0 → n = 20 m 2
1.350 = Sn =
La solució negativa de n no la considerem, ja que una mesura de longitud negativa no és possible. 102 ●●
Una granota és a la vora d’una bassa circular de 7 m de radi i vol arribar al centre saltant. El primer salt que fa és de 3 metres i, després, avança en cadascun la meitat que en l’anterior. Aconseguirà arribar al centre?
És una progressió geomètrica amb r = 0,5 i a1 = 3. La distància màxima que recorrerà és la suma dels infinits termes. S =
103 ●●
3 = 6 m , i per tant no arribarà al centre de la bassa. 1 − 0, 5
Durant els 4 primers mesos de vida, un nadó ha anat guanyant cada mes un 20 % del pes. Si quan va néixer pesava 2.900 grams, quin ha estat el seu pes al final del quart mes? És una progressió geomètrica de raó r = 1,2 i a1 = 2.900.
a4 = a1 ⋅ r 3 → a4 = 2.900 ⋅ (1,2)3 = 5.011,2 grams 104 ●●
Una escala té tots els esglaons iguals menys el primer, que fa 20 cm. Si pugem 100 esglaons, haurem ascendit a una altura de 1.505 m. Quina és l’altura de cada esglaó?
h = altura d’un dels 99 esglaons iguals 1.485 = 15 cm 99 Podem considerar que els 99 esglaons formen una progressió aritmètica de diferència d = 0. 1.505 − 20 = 99 ⋅ h → h =
233
831106 _ 0208-0241.qxd
11/9/07
15:07
Página 234
Progressions 105 ●●●
Una biòloga estudia l’evolució d’una població de mosques.
a) Si el nombre inicial de mosques és de 50 i cada 10 dies la població de mosques es quadriplica, troba el terme general de la progressió formada pel nombre de mosques cada 10 dies. b) Quantes mosques hi haurà al cap de 50 dies? c) Si el preu de l’aliment per a mosques el primer dia és d’1 €, i cada dia augmenta 2 cèntims més, troba el terme general de la progressió. d) Determina el valor de l’aliment el dia 20. e) Calcula el valor de l’aliment en els 40 primers dies. a) És una progressió geomètrica amb r = 4 i a1 = 50. Per tant, an = 50 ⋅ 4n−1. b) a5 = 50 ⋅ 44 = 12.800 mosques c) d = 0,02 i a1 =1, en què an = 1 + (n − 1) ⋅ 0,02. d) a20 =1 + (20 − 1) ⋅ 0,02 = 1,38 € e) S 40 =
106 ●●
(1 + 1, 78) ⋅ 40 = 55, 60 € 2
Dipositem 5.000 € al 4 % anual el 31 de desembre en una empresa financera. Si no en retirem els diners durant 6 anys, quin capital tindrem al final de cada any? Primer any:
⎛ 4 ⎞⎟ ⎟⎟ = 5.200 € C1 = 5.000 ⋅ ⎜⎜1 + ⎜⎝ 100 ⎟⎠
Segon any:
⎛ 4 ⎞⎟ ⎟⎟ = 5.408 € C2 = 5.000 ⋅ ⎜⎜1 + ⎜⎝ 100 ⎟⎠
Tercer any:
⎛ 4 ⎞⎟ ⎟⎟ = 5.624, 32 € C 3 = 5.000 ⋅ ⎜⎜1 + ⎜⎝ 100 ⎟⎠
Quart any:
⎛ 4 ⎞⎟ ⎟⎟ = 5.849, 29 € C 4 = 5.000 ⋅ ⎜⎜1 + ⎜⎝ 100 ⎟⎠
2
3
4
⎛ 4 ⎞⎟ ⎟⎟ = 6.083, 26 € Cinquè any: C5 = 5.000 ⋅ ⎜⎜⎜1 + ⎝ 100 ⎟⎠ 5
⎛ 4 ⎞⎟ ⎟⎟ = 6.326, 60 € C6 = 5.000 ⋅ ⎜⎜1 + ⎜⎝ 100 ⎟⎠ 6
Sisè any:
234
831106 _ 0208-0241.qxd
11/9/07
15:07
Página 235
SOLUCIONARI
107 ●●
7
Calcula el capital que, invertit a un interès compost del 5 %, produeix en 4 anys un capital final de 1.500 €. ⎛ 5 ⎟⎞ 1.500 ⎟⎟ → C = 1.500 = C ⋅ ⎜⎜1 + = 1.234, 05 € 4 ⎜⎝ 100 ⎟⎠ ⎞ ⎛ ⎜⎜1 + 5 ⎟⎟ ⎟ ⎜⎝ 100 ⎟⎠ 4
108 ●●
Si un capital de 5.00 € es converteix en 6.000 € en una situació d’interès compost al cap de 2 anys, quin és l’interès a què s’ha invertit el capital inicial? ⎛ r ⎞⎟ ⎟⎟ → 6.000 = 5.000 ⋅ ⎜⎜1 + ⎜⎝ 100 ⎟⎠ 2
→
109
6 r r = = 1+ → 5 100 100
6 −1 → 5
r = 0, 095 → L’interès serà del 9,5 %. 100
FES-HO AIXÍ COM RESOLEM UN PROBLEMA D’INTERÈS COMPOST AMB AUGMENTS DE CAPITAL? Una família fa un pla d’estalvis durant 4 anys amb un ingrés, al començament de cada any, de 3.000 € a un 5 % anual d’interès compost. Quants diners tindrà quan acabi el pla? PRIMER.
Calculem l’interès de cada aportació.
– El primer any ingressa 3.000 €, que estaran 4 anys al banc. N’obté: 3.000 ⋅ 1,054 € – El segon any ingressa 3.000 €, que estaran 3 anys al banc. N’obté: 3.000 ⋅ 1,053 € – El tercer any ingressa 3.000 €, que estaran 2 anys al banc. N’obté: 3.000 ⋅ 1,052 € – El quart any ingressa 3.000 €, que estaran 1 any al banc. N’obté: 3.000 ⋅ 1,05 € SEGON.
Sumem les quantitats obtingudes.
3.000 ⋅ 1,05 + 3.000 ⋅ 1,052 + 3.000 ⋅ 1,053 + 3.000 ⋅ 1,054 Així obtenim la suma dels termes d’una progressió geomètrica en què: a1 = 3.000 ⋅ 1,05 a4 = 3.000 ⋅ 1,054 r = 1,05
S=
3.000 ⋅ 1,055 − 3.000 ⋅ 1,05 a4 ⋅ r − a1 = = 13.576,90 € 1,05 − 1 r −1
235
831106 _ 0208-0241.qxd
11/9/07
15:07
Página 236
Progressions 110 ●●●
La Rosa rep una gratificació al principi de cada trimestre de 1.000 €. Si els diners els diposita en una entitat bancària al 4 % d’interès compost, quants diners tindrà al final de cada any? Com que la gratificació la rep al principi del trimestre, la quantitat corresponent al primer trimestre es converteix en 1.000 ⋅ 1,04, 3
2
1
al segon 1.000 · 1,04 4 , al tercer 1.000 · 1,04 4 i al quart 1.000 · 1,04 4 . Calculem la suma dels termes d’una progressió geomètrica, 1
1
amb a1 = 1.000 · 1,04 4 i r = 1,04 4 . 5
S4 =
1
1.000 ⋅ 1,04 4 − 1.000 ⋅ 1,04 4 1
1,04 4 − 1
111 ●●●
=
1.050,2 25 − 1.009,85 = 4.080,21 € 0,0099
En un examen, les preguntes estaven ordenades en funció de la dificultat. La primera valia 2 punts, i cadascuna de les següents, 3 punts més que l’anterior. Si en total comptem 40 punts, quantes preguntes tenia l’examen?
És una progressió aritmètica amb d = 3 i a1 = 2. (a1 + a1 + (n − 1) ⋅ 1) ⋅ n (2 + 2 + (n − 1) ⋅ 3) ⋅ n = = 2 2 2 3n + n = → 3n 2 + n − 80 = 0 → n = 5 preguntes 2
40 = Sn =
No considerem la solució negativa de n perquè un nombre negatiu de preguntes és impossible.
112 ●●
El nombre 0 pot ser el primer terme d’una progressió geomètrica? I d’una progressió aritmètica? Si el primer terme d’una progressió geomètrica és 0, tots els termes seran 0, ja que la resta de termes es calculen multiplicant el primer per la raó elevada a una potència determinada. D’altra banda, el primer terme d’una progressió aritmètica pot ser 0.
236
831106 _ 0208-0241.qxd
11/9/07
15:07
Página 237
SOLUCIONARI
113 ●●●
7
Tenim una progressió geomètrica amb a1 ⴝ 0 i r ⴝ 0, i una progressió aritmètica amb a1 = 0. Si sumem, terme a terme, aquestes dues progressions obtenim: 1, 1, 2, … Quina és la suma dels 10 primers termes? La successió geomètrica és an i l’aritmètica és bn (con b1 = 0). La suma és an + bn.
a1 + b1 = 1, i com que b1 = 0, aleshores a1 = 1. Per tant, tindrem que: an = r n−1 i bn = (n − 1) ⋅ d. a1 + b1 = r + d = 1 ⎫⎪⎪ → d = 1 − r ⎫⎪⎪ ⎬ ⎬ 2 ⎪⎪⎭r + 2 ⋅ (1 − r ) = 2 → a2 + b2 = r 2 + 2d = 2⎪⎪⎭ → r 2 − 2r = 0 → r = 0 y r = 2 Com que r no pot ser 0, r = 2 i d = −1. La suma dels 10 primers termes és la suma dels 10 termes de cada una de les successions. ⎫⎪ 1 ⋅ (29 − 1) = 511 ⎪⎪ ⎪⎪ 2 −1 ′ + S10 ′′ = 516 ⎬ → S10 = S10 ⎪ ( 0 + (−1)) ⋅ 10 ′′ = S10 = 5⎪⎪⎪ 2 ⎪⎭ ′ = S10
114 ●●●
La suma dels n primers termes d’una progressió aritmètica (n > 1) és 153 i la diferència és 2. Si a1 és un nombre enter, quants valors possibles hi ha per a n? La diferència és d = 2. (a1 + an ) ⋅ n (a + a1 + (n − 1) ⋅ d ) ⋅ n = 1 = 2 2 (2a1 + 2 ⋅ (n − 1)) ⋅ n = = (a1 + n − 1) ⋅ n = 153 2
La suma és Sn =
El valor de n ha de ser enter i, per tant, serà divisor de 153. Div (153) = {1, 3, 9, 17, 51, 153} Busquem els valors que seveixen com a solució: • n = 3 → a1 + 3 − 1 = 51 → a1 = 49, a2 = 51, a3 = 53 i la suma fins a a3 es 153. • n = 9 → a1 + 9 − 1 = 17 → a1 = 9, a2 = 11, a3 = 13… i la suma fins a a9 es 153. • n = 17 → a1 + 17 − 1 = 9 → a1 = −7, a2 = −5, a3 = −3… i la suma fins a a17 es 153. • n = 51 → a1 + 51 − 1 = 3 → a1 = −47, a2 = −45, a3 = −43… i la suma fins a a51 es 153. • n = 153 → a1 + 153 − 1 = 1 → a1 = −151, a2 = −149, a3 = −147… i la suma fins a a153 es 153.
237
831106 _ 0208-0241.qxd
11/9/07
15:07
Página 238
Progressions 115 ●●●
. Per fer-ho, escriu-lo Expressa de forma fraccionària el nombre periòdic 0,5 de la forma: 0,5 + 0,05 + 0,005 + … i troba la suma de la progressió. És una progressió geomètrica, de terme general: n −1
⎛ 1 ⎞ an = 0, 5 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 10 ⎟⎠
116 ●●●
=S= → 0,5
0, 5 1 1− 10
5 9
=
fent servir la suma de la progressió. Calcula la fracció generatriu de 2,8 = 2,8888… = 2 + 0,8 + 0,08 + 0,008 + 0,0008… Com que 2,8 Suma d’una progressió geomètrica amb a1 = 0,8 i r = 0,1
= 2+ 2,8
117 ●●●
0, 8 8 26 = 2+ = . 1 − 0,1 9 9
Dividim el costat AC d’un triangle rectangle ABC en 8 parts iguals. Per fer-ho, aixequem des dels punts de divisió paral·leles al costat BC. Si BC fa 10 cm, calcula la suma de les longituds dels altres 7 segments.
10
cm
B
C
A
n AC i, per semblança 8 de triangles, el costat paral·lel a BC que passa per aquesta divisió serà: La distància de A a cada divisió n de AC és
⎪⎫ n AC → AC ⎪⎪ 10n 5n = , ⎬→ x = 8 ⎪⎪ 8 4 x → 10 ⎪⎭ Per tant, formen una progressió aritmètica de diferència
d=
5 5 i a1 = . 4 4
Així, la suma és: S10 =
238
⎛5 ⎞ ⎜⎜ + 10⎟⎟ ⋅ 10 ⎟⎟⎠ ⎜⎝ 4 2
⎛5 ⎞ 225 = ⎜⎜ + 10⎟⎟⎟ ⋅ 5 = . ⎜⎝ 4 ⎟⎠ 4
831106 _ 0208-0241.qxd
11/9/07
15:07
Página 239
SOLUCIONARI
7
A LA VIDA QUOTIDIANA 118 ●●●
En Julià Gasol, el propietari d’una gasolinera de Vilapoble, ha tingut una idea per premiar la fidelitat dels camioners que habitualment van a la seva gasolinera. Durant aquest mes els donarem punts per cada 100 € de gasolina... La primera vegada que vinguin els donarem 1 punt per cada 100 €; la segona, 2 punts per cada 100 €; la tercera, 3 punts per cada 100 €; la quarta, 4 punts... i així successivament..
100 PUNTS Menú gratis 1.000 PUNTS Un creuer per a dues persones.
Aquests punts es podran canviar per menús en una cafeteria o per un magnífic creuer. En Marià té un camió de tipus mitjà amb un dipòsit de 350 litres, i l’omple normalment cada setmana. Com que el litre de gasoil acostuma a costar una mica menys d’1 €, omplir el dipòsit cada setmana li costa uns 350 €. Si segueix amb la mateixa despesa, podria obtenir un menú gratis? I el creuer?
El seu amic Antoni, que té un camió més gran que el seu, li diu que creu que no tindrà problemes per aconseguir el creuer. Si la freqüència amb què omple el dipòsit és un cop a la setmana, quants litres de gasoilnecessitarà setmanalment? Suposem que no es donen fraccions de punts. Els punts obtinguts formen una progressió aritmètica amb terme general an = 3n. La suma dels punts en n repostatges és: Sn =
(3 + 3n) ⋅ n 3n 2 + 3n = . 2 2
239
831106 _ 0208-0241.qxd
11/9/07
15:07
Página 240
Progressions 3 ⋅ 42 + 3 ⋅ 4 = 30 punts, 2 i per tant, no aconseguirà ni el menú ni el creuer. Si omple el dipòsit quatre cops al mes, S 4 =
Per aconseguir els 1.000 punts del creuer: 3n 2 + 3n → 3n 2 + 3n − 1.000 = 0 → 2 ⎪⎧⎪ 106, 58 = 17, 76 ⎪⎪n = −3 ± 9 + 12.000 −3 ± 109, 58 6 →n= = → ⎪⎨ ⎪⎪ 112, 58 6 6 = −118, 76 ⎪⎪n = − 6 ⎪⎩ Per tant, en Marià necessita omplir el dipòsit 18 cops.
1.000 = Sn =
El seu amic Antoni segueix una progressió aritmètica amb an = xn. en què x són els litres (en centenars) que posa: Sn =
(x + xn) ⋅ n xn 2 + xn = → 2 2
x ⋅ 42 + x ⋅ 4 = 10 x → x = 100 2 L’Antoni ha de posar cada cop 10.000 litres de combustible. → 1.000 = S 4 =
119 ●●●
Segons un informe d’una revista econòmica, el millor pla de pensions que hi ha al mercat és el Bancverd. En aquest pla de pensions es fan ingressos periòdics de diners: mensualment, trimestralment, anualment... Els diners inicials que s’hi ingressen i els que s’hi van afegint cada any reporten un 4,45 % anual i l’únic problema és que, també cada any, cobren un 0,99 % de comissió de gestió.
PLA DE PENSIONS BANCVERDE ■ Amb les comissions més baixes del mercat
0 0 0 0 ,99 ■ Alt potencial de rendibilitat
Si tinc 40 anys i he decidit ingressar 2.000 € a l’any, quants diners rebré quan en faci 65?
Comissió de subscripció Comissió de reemborsament Comissió de dipòsit Comissió de gestió
4,45 %
Anual assegurat
A veure... Si ingresso 2.000 € a l’any tindré aquests 2.000 € més el 4,45 % del total, i hi he de restar el 0,99 % del total. El segon any ingresso 2.000 € més, que he d’afegir als diners del primer any, i em donen el 4,45 % del total, però també hi he de restar altre cop el 0,99 %...
240
831106 _ 0208-0241.qxd
11/9/07
15:07
Página 241
SOLUCIONARI
7
Per a un any li correspon: 2.000 + 2.000 ⋅
4, 45 ⎛⎜ 4, 45 ⎞⎟ 0, 99 ⎟⎟ ⋅ = − ⎜2.000 + 2.000 ⋅ ⎜ ⎝ 100 100 ⎟⎠ 100 ⎛ 4, 45 ⎞⎟ ⎛⎜ 0, 99 ⎞⎟ ⎟⎟ ⋅ ⎜1 − ⎟⎟ = 2.000 ⋅ ⎜⎜1 + ⎜⎝ ⎜ 100 ⎟⎠ ⎝ 100 ⎟⎠
⎛ 4, 45 ⎞⎟ ⎛⎜ 0, 99 ⎞⎟ ⎟⎟ ⋅ ⎜1 − ⎟⎟ Per a dos anys li correspon: 2.000 ⋅ ⎜⎜1 + ⎜⎝ 100 ⎟⎠ ⎜⎝ 100 ⎟⎠ 2
2
En aquesta progressió geomètrica, per a t anys li correspon: ⎛ 4, 45 ⎞⎟ ⎛⎜ 0, 99 ⎟⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ ⋅ ⎜1 − 2.000 ⋅ ⎜⎜1 + ⎜⎝ ⎜ ⎟ 100 ⎠ ⎝ 100 ⎟⎠ t
t
Per tant, la suma de les aportacions dels 24 anys que li falten per arribar als 65 és:
S24 =
=
24 ⎛ 4, 45 ⎞⎟ ⎛⎜ 0, 99 ⎟⎞ ⎛⎜⎜⎛⎜ 4, 45 ⎞⎟ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜1 + ⎟⎟ ⋅ ⎜1 − ⎟⎟ 2.000 ⋅ ⎜⎜1 + ⎜⎝ 100 ⎟⎠ ⎜⎝ 100 ⎟⎠ ⎜⎜⎝⎜⎝ 100 ⎟⎠
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎜⎜1 + 4, 45 ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜1 − 0, 99 ⎟⎟ − 1 ⎟⎟⎠ ⎜⎝ ⎟ ⎜⎝ 100 100 ⎟⎠
24 ⎞⎟ ⎛ 0, 99 ⎞⎟ ⎟⎟ − 1⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜1 − ⎜⎝ ⎟⎟⎠ 100 ⎟⎠
=
2.478,47455989 = 72.556,04 € 0,03415945
241
831106 _ 0242-0273.qxd
8
11/9/07
13:17
Página 242
Llocs geomètrics. Figures planes PERÍMETRES I ÀREES DE POLÍGONS
PARAL·LELOGRAMS I TRIANGLES
POLÍGONS REGULARS
POLÍGONS QUALSEVOL
PERÍMETRES I ÀREES DE FIGURES CIRCULARS
LONGITUD DE LA CIRCUMFERÈNCIA
LONGITUD D’UN ARC
ÀREA DEL CERCLE
ÀREA DE FIGURES CIRCULARS
ANGLES EN FIGURES PLANES
ANGLES EN POLÍGONS
242
ANGLES EN LA CIRCUMFERÈNCIA
831106 _ 0242-0273.qxd
11/9/07
13:17
Página 243
La riquesa dels savis Aquella va ser la gota que va fer vessar el got: la seva mare li retreia que, tot i ser tan savi, no fos ric. El comentari no era nou, però a Tales de Milet li va doldre especialment. Es va tancar a casa i va començar a tramar un pla. Els seus estudis sobre els astres li van permetre predir un any perfecte per al cultiu. Així doncs, va reunir tots els diners de què disposava i fins i tot el que, en secret, va poder demanar i va aconseguir totes les premses d’oli de Milet i la veïna Quios. La seva predicció sobre el clima va ser encertada, i els seus veïns es fregaven les mans de pensar en els beneficis de la collita de l’oliva. Però quan van anar a premsar les olives, els somriures se’ls van convertir en ganyotes, perquè van haver de pagar el que va estipular Tales. Quan va haver complert la seva petita venjança, que li va permetre, a més, convertir-se en ric, es va vendre les premses i les terres i es va dedicar als seus estudis de filosofia i matemàtiques. Abans, però, els va dir als seus veïns: «Preneu per a vosaltres els consells que doneu als altres.» Un dels postulats de Tales és que un angle inscrit en una semicircumferència és sempre un angle recte. Com faries un triangle rectangle amb una hipotenusa de 4 cm? Amb un compàs tracem una circumferència de radi 2 cm i hi assenyalem un dels diàmetres, que farà 4 cm, i que és la hipotenusa. Després, agafem qualsevol punt de la circumferència (que no pertanyi al diàmetre), A, i unim el punt amb els extrems del diàmetre per formar el triangle rectangle. A
2 cm
831106 _ 0242-0273.qxd
11/9/07
13:17
Página 244
Llocs geomètrics. Figures planes EXERCICIS 001
Dibuixa a la llibreta el lloc geomètric dels punts que compleixen aquestes condicions a) Equidisten dels extrems d’un segment de 6 cm de longitud. b) Equidisten dels costats d’un angle de 90°. c) Són a 2 cm del punt P. a) El lloc geomètric és la mediatriu d’un segment de longitud 6 cm. b) El lloc geomètric és la bisectriu d’un angle de 90°. c) El lloc geomètric és una circumferència de 2 cm de radi i centre P.
002
Determina el lloc geomètric dels punts que equidisten d’una recta. Els punts que equidisten d’una recta són dues rectes paral·leles que estan a la mateixa distància de la recta inicial.
003
Defineix les rectes vermelles com a lloc geomètric. a)
d
d
2
r
d 2
r
b) d
P
d a) És el lloc geomètric dels punts que equidisten una distància 2 de la recta r. b) És el lloc geomètric dels punts que estan a una distància d de r i que estan alineats amb el punt P i hi formen una recta 004
Dibuixa una circumferència circumscrita a aquests triangles. a)
C
b)
C
A
A
B
a)
B
b) C
C A A
244
B
B
831106 _ 0242-0273.qxd
11/9/07
13:17
Página 245
SOLUCIONARI
005
8
Dibuixa un triangle equilàter i determina’n el baricentre i el circumcentre. Què hi observes? Passa el mateix en qualsevol triangle equilàter? El baricentre i el circumcentre coincideixen en qualsevol triangle equilàter, ja que les mediatrius coincideixen amb les mitjanes.
006
Defineix el baricentre com un lloc geomètric. El baricentre és el lloc geomètric dels punts que estan a doble distància dels vèrtexs que dels seus costats oposats.
007
Dibuixa la circumferència inscrita d’aquests triangles. a)
b)
C
C
A A
B B
a)
008
b)
Dibuixa un triangle equilàter i determina’n l’ortocentre i l’incentre. Què hi observes? Passa el mateix en qualsevol triangle equilàter? L’ortocentre i l’incentre coincideixen en qualsevol triangle equilàter, perquè les bisectrius coincideixen amb les altures.
009
Defineix la circumferència inscrita com un lloc geomètric. La circumferència és el lloc geomètric de tots els punts la distància dels quals a l’incentre és igual que la distància de l’incentre a qualsevol dels costats del triangle
010
Calcula el valor de la hipotenusa d’un triangle rectangle amb uns catets de 32 cm i 24 cm. a=
322 + 242 =
1.600 = 40 cm
245
831106 _ 0242-0273.qxd
11/9/07
13:17
Página 246
Llocs geomètrics. Figures planes 011
Avalua si les mides següents determinen els costats d’un triangle rectangle. a) 8 cm, 5 cm i 4 cm
b) 10 cm, 8 cm i 6 cm
a) No és rectangle, perquè 8 ≠ 52 + 42. b) Sí que és rectangle, perquè 102 = 82 + 62. 2
012
Calcula el tercer costat d’un triangle rectangle si en sabem els altres dos costats: 28 cm i 21 cm. Si suposem que els costats coneguts són els catets: a=
282 + 212 =
1.225 = 35 cm
I si suposem que els costats coneguts són la hipotenusa i un catet: a=
013
282 − 212 =
343 = 18, 52 cm
Sense fer operacions, raona per què el triangle de costats 35, 77 i 85 no pot ser rectangle. No pot ser rectangle perquè com que 35 i 77 són múltiples de 7, la suma dels seus quadrats serà múltiple de 7. Com que 85 no és múltiple de 7, el seu quadrat tampoc no ho serà, i per tant, no s’acompleix el teorema de Pitàgores.
014
Calcula el valor de a en aquest triangle equilàter i el quadrat. a)
b)
015
a
4 cm
a
a) a =
42 − 22 =
12 = 3, 46 cm
b) a =
62 + 62 =
72 = 8, 49 cm
Determina el costat d’un quadrat la diagonal del qual fa 8 cm. d 2 = l 2 + l 2 = 2l 2 → 64 = 2l 2 → l =
016
6 cm
32 = 5, 66 cm
Calcula el costat d’un triangle equilàter d’altura 28 cm. ⎛l⎞ l2 l 2 = 282 + ⎜⎜ ⎟⎟⎟ → l 2 = 784 + → ⎜⎝ 2 ⎠⎟ 4
h = 28 cm
2
246
→ 4l 2 = 3.136 + l 2 → 3l 2 = 3.136 → l 2 = → l = 32, 33 cm
3.136 → 3
831106 _ 0242-0273.qxd
11/9/07
13:17
Página 247
SOLUCIONARI
017
8
Calcula l’àrea dels polígons següents. a) Un trapezi amb bases de 12 cm i 8 cm i altura de 5 cm. b) Un rombe amb diagonals de 12 cm i 9 cm. a) A =
018
(12 + 8) ⋅ 5 = 50 cm2 2
b) A =
12 ⋅ 9 = 54 cm2 2
Calcula l’àrea de la figura. 6 cm 10 cm
4 cm
26 cm
2 cm
Àrea total = Àrea rectangle + Àrea triangle 1 + Àrea triangle 2 Àrea rectangle = 26 ⋅ 2 = 52 cm2 Àrea triangle 1 =
16 ⋅ 2 = 16 cm2 2
10 ⋅ 6 = 30 cm2 2 Àrea total = 52 + 16 + 30 = 98 cm2 Àrea triangle 2 =
019
Calcula l’àrea d’un rectangle de 3 cm d’altura i 5 cm de diagonal. Base = 52 − 32 = 16 = 4 cm Àrea = 4 ⋅ 3 = 12 cm2
020
Calcula l’àrea de cadascun dels tres triangles. Els triangles laterals són iguals:
12 cm
12 ⋅ 5 A= = 30 cm2 2
10 cm
L’àrea del triangle central és: A =
021
Calcula l’apotema d’un heptàgon regular de 6 cm de costat i 130,8 cm2 d’àrea. A=
022
12 ⋅ 10 = 60 cm2 . 2
P ⋅a 2⋅A 2 ⋅ 130, 8 →a= = = 6, 23 cm 2 P 6⋅7
Calcula l’àrea d’un quadrat de 7 cm de costat aplicant la fórmula de l’àrea d’un polígon regular.
A=
P ⋅a →A= 2
4l ⋅ 2
l 2
28 ⋅ →A=
2
7 2
= 49 cm2
247
831106 _ 0242-0273.qxd
11/9/07
13:17
Página 248
Llocs geomètrics. Figures planes 023
Determina l’àrea d’un hexàgon regular de 6 cm de costat. L’apotema és l’altura d’un triangle equilàter de 6 cm de costat que podem dividir en dos triangles rectangles. a=
62 − 32 =
27 = 5, 2 cm
36 ⋅ 5, 2 A= = 93, 6 cm2 2 024
Calcula l’àrea de la figura següent. Fixa’t que l’interior és un hexàgon regular.
2 cm
L’àrea és el doble de l’àrea de l’hexàgon de 2 cm de costat. L’apotema és l’altura d’un triangle equilàter de 2 cm de costat. a= A=
22 − 12 =
2 cm 2 cm
2 cm
2 cm
3 = 1, 73 cm
12 ⋅ 1, 73 = 10, 38 cm2 2
L’àrea de la figura és: 2 ⋅ 10,38 = 20,76 cm2. 025
Determina l’altura i el perímetre d’un triangle equilàter de 2 dm2 d’àrea ⎛l⎞ l 2 − ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = ⎜⎝ 2 ⎠⎟ 2
L’altura respecte del costat és: h = A=2=
l ⋅ 0, 87l →l= 2
3 2 l = 0, 87l. 4
4 = 2,14 dm 0, 87
h = 0,87 ⋅ 2,14 = 1,86 dm P = 3 ⋅ 2,14 = 6,42 dm 026
Calcula l’àrea d’un cercle el diàmetre del qual fa 6 cm. d 6 → r = = 3 cm 2 2 L = 2r → L = 2 ⋅ 3 = 18,84 cm
r=
A = r 2 → A = ⋅ 32 = 28,26 cm2 027
Dues circumferències concèntriques tenen radis de 5 i 3 cm, respectivament. Calcula l’àrea de la corona que originen. Calcula també l’àrea dels cercles que generen. Àrea corona = ⋅ (R 2 − r 2) = ⋅ (52 − 32) = ⋅ 16 = 50,24 cm2 Àrea cercle gran = r 2 = ⋅ 52 = ⋅ 25 = 78,5 cm2 Àrea cercle petit = r 2 = ⋅ 32 = ⋅ 9 = 26,26 cm2
248
831106 _ 0242-0273.qxd
11/9/07
13:17
Página 249
SOLUCIONARI
028
8
Calcula l’àrea del segment circular associat a un sector de 120º i radi 20 cm.
ASegment = ASector − ATriangle π ⋅ 202 ⋅ 120° = 418, 67 cm2 ASector = 360° 2 ⎛r ⎞ r 2 = h 2 + ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ → h = 202 − 102 = ⎝ 2 ⎟⎠
300 = 17,3 cm
b ⋅h 20 ⋅ 17, 3 = = 173 cm2 2 2 ASegment = 418,67 − 173 = 245,67 cm2
ATriangle =
029
Quina relació hi ha entre els radis de dues circumferències si la corona circular que generen és la meitat de l’àrea del cercle més gran? L’àrea de la circumferència més gran és el doble de la més petita, i, per tant, el radi de la circumferència més gran serà el de la més petita multiplicat per 2 .
ACTIVITATS 030 ●
031 ●
Relaciona aquests elements. a) Baricentre
1) Altures
b) Incentre
2) Mediatrius
c) Circumcentre
3) Mitjanes
d) Ortocentre
4) Bisectrius
a) → 3) b) → 4)
c) → 2) d) → 1)
Dibuixa uns quants triangles rectangles i assenyala’n l’ortocentre. On està situat? Està situat al vèrtex de l’angle recte. C H
C
B H
H A
A B
C
B
A
249
831106 _ 0242-0273.qxd
11/9/07
13:17
Página 250
Llocs geomètrics. Figures planes 032 ●●
Dibuixa tres punts que no estiquin alineats i traça una circumferència que hi passi. C A
Tracem els segments que els uneixen i les seves mediatrius. El punt de tall és el centre de la circumferència.
B O
033 ●●
Dibuixa un triangle rectangle i traça’n les mediatrius. Assenyala’n el circumcentre. Què hi observes? C
A
El circumcentre està situat en el punt mitjà de la hipotenusa.
B O
034 ●●
En un triangle rectangle i isòsceles la hipotenusa fa 10 cm. Si tracem una circumferència circumscrita, quin n’és el radi? Com que l’incentre està en el punt mitjà de la hipotenusa, el diàmetre serà aquesta hipotenusa i, per tant, el radi fa 5 cm.
035 ●●
En un triangle equilàter de perímetre 36 cm tracem la circumferència circumscrita. Sabem que la mitjana fa 10,39 cm. Quin és el radi de la circumferència? Com que en un triangle equilàter coincideixen les rectes i els punts notables, el radi és la distància del baricentre al centre: r = 10,39 ⋅ 2 : 3 = 6,93 cm.
036 ●●
En un triangle rectangle, el baricentre, l’ortocentre, el circumcentre i l’incentre són punts situats: a) A l’exterior del triangle. c) Sobre un costat. b) A l’interior del triangle. L’incentre i el baricentre són punts interiors, mentre que l’ortocentre i el circumcentre estan situats sobre un costat.
037 ●●
Assenyala el circumcentre i l’ortocentre d’un triangle rectangle i isòsceles. El segment que uneix aquests dos punts del triangle és: a) Mitjana
b) Mediatriu
c) Altura
d) Bisectriu
Es verifica en un triangle escalè, això? H C
A
250
O
El segment coincideix amb una mitjana, una mediatriu, una altura i una bisectriu. Si el triangle és escalè, no es verifica. B
831106 _ 0242-0273.qxd
11/9/07
13:17
Página 251
SOLUCIONARI
038 ●●
8
En un triangle rectangle i isòsceles: a) L’altura corresponent a la hipotenusa és més gran que un catet? b) La mitjana corresponent a la hipotenusa és més gran o més petita que un catet? a) No, perquè l’altura forma dos triangles rectangles la hipotenusa dels quals és el catet del triangle inicial. La hipotenusa és el costat més gran. b) La mitjana coincideix amb l’altura i és més petita que un catet, per la mateixa raó que hem explicat a l’apartat a).
039 ●
La hipotenusa d’un triangle rectangle fa 12 cm i un dels catets en fa 6. Calcula la longitud de l’altre catet. b =
040 ●
144 − 36 =
108 = 10, 39 cm
Calcula la longitud del costat que falta en cada triangle rectangle (a és la hipotenusa). a) a = 34 cm, b = 30 cm
041 ●●
b) b = 28 cm, c = 21 cm
a) c =
1.156 − 900 =
256 = 16 cm
b) a =
784 + 441 =
1.225 = 35 cm
Calcula la longitud de la hipotenusa d’un triangle si saps que els catets es diferencien en 2 cm i que el petit fa 6 cm. Els catets fan 6 cm i 6 + 2 = 8 cm, i la hipotenusa mesura: a=
042 ●
36 + 64 =
100 = 10 cm
Determina si els triangles següents són rectangles. En cas afirmatiu, indica la mida de la hipotenusa i els catets. a) Triangle amb costats de 5 cm, 12 cm i 13 cm. b) Triangle amb costats de 6 cm, 8 cm i 12 cm. c) Triangle amb costats de 5 cm, 6 cm i
61 cm.
d) Triangle amb costats de 7 cm, 24 cm i 25 cm. a) 13 = 122 + 52 = de 12 cm i 5 cm.
169 → Rectangle, d’hipotenusa 13 cm i catets
b) 12 ≠
100 = 10 → No és rectangle.
c)
82 + 62 =
61 = 52 + 62 → Rectangle, d’hipotenusa 61 cm i catets de 6 cm i 5 cm.
d) 25 = 242 + 72 = de 24 cm i 7 cm.
625 → Rectangle, d’hipotenusa 25 cm i catets
251
831106 _ 0242-0273.qxd
11/9/07
13:17
Página 252
Llocs geomètrics. Figures planes Calcula la longitud dels segments indicats.
●●
a)
m 1c
043
cm C
?
B 1 cm A
E
2 cm
E
2 cm
? F
2 cm
a) EB =
1+ 4 =
5 → EC =
1+ 5 =
b) FB =
4+4 =
8 → FC =
1 + 8 = 3 → FD =
→ FE =
●
C
B
A
044
4 cm
m 3c m 1c
1
D
b)
D
6 → ED =
18 + 16 =
1+ 6 = 9+9 =
7 18 →
34
Sabem que els costats iguals d’un triangle isòsceles fan 7 cm i l’altre, 4 cm. Calcula’n l’altura.
7 cm
7 cm
h
4 cm
7 = h + 22 2
2
h 2 = 72 − 22 h 2 = 49 − 4 h=
45
h = 6,71 cm 045 ●●
046 ●●
Calcula l’altura d’un triangle equilàter de perímetre 30 cm. El costat és: 30 : 3 = 10 cm, L’altura és: 100 − 25 = L’àrea mesura: 10 ⋅ 8,66 : 2 = 43,3 cm2.
75 = 8, 66 cm
Calcula la longitud de la base d’un triangle isòsceles si els costats iguals fan 17 cm i l’altura, 8 cm. La meitat de la base forma un triangle equilàter amb l’altura i un dels costats. Si apliquem el teorema de Pitàgores, tenim que: b = 172 − 82 = 225 = 15 cm → b = 30 cm 2
252
831106 _ 0242-0273.qxd
20/9/07
13:51
Página 253
SOLUCIONARI
047 ●●
8
Calcula la longitd dels costats iguals d’un triangle isòsceles el costat desigual del qual fa 42 cm i l’altura, 20 cm. La meitat de la base forma un triangle equilàter amb l’altura i un dels costats. Apliquem el teorema de Pitàgores: l=
048 ●●
212 + 202 =
841 = 29 cm
Determina la longitud del costat d’un triangle equilàter amb una altura de 6 cm. La meitat de la base forma un triangle equilàter amb l’altura i un dels costats. Apliquem el teorema de Pitàgores: ⎛c ⎞ 3 3 h 2 = c 2 − ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = c 2 → 36 = c 2 → c = ⎜⎝ 2 ⎠⎟ 4 4 2
049
48 = 6, 93 cm
FES-HO AIXÍ COM CALCULEM L’ALTURA D’UN TRIANGLE QUALSEVOL SI EN CONEIXEM ELS COSTATS?
Calcula l’altura d’un triangle amb uns costats de 5 cm, 8 cm i 10 cm. PRIMER.
Dibuixem el triangle i n’anomenem cadascun dels elements. C
L’altura divideix la base en dues parts: 5 cm
h
H
G
• AH, la longitud de la qual anomenem x. • HB, la longitud de la qual serà 10 − x.
10 − x
x A
8 cm
B 10 cm
F
Apliquem el teorema de Pitàgores als dos triangles rectangles que obtenim.
SEGON.
En AHC : 52 = x 2 + h 2 → h 2 = 52 − x 2 En HBC : 82 = (10 − x)2 + h 2 → h 2 = 8 2 − (10 − x)2 TERCER.
Igualem totes dues expressions i fem l’equació.
⎫⎪ h = 5 − x2 → 52 − x 2 = 82 − (10 − x )2 2 2 2⎬ h = 8 − (10 − x ) ⎪⎪⎭ 2
2
25 − x 2 = 64 − (100 + x 2 − 20x) 25 − x 2 = 64 − 100 − x 2 + 20x 20x = 61 → x = 3,05 cm QUART.
Calculem h. h 2 = 52 − x 2 → h =
52 − 3 , 052 = 3 , 96 cm
253
831106 _ 0242-0273.qxd
11/9/07
13:17
Página 254
Llocs geomètrics. Figures planes 050
Calcula l’altura d’un triangle els costats del qual fan:
●●
a) AB = 4 cm b) AB = 6 cm c) AB = 5 cm
BC = 7 cm BC = 10 cm BC = 11 cm
CA = 9 cm CA = 14 cm CA = 15 cm
⎪⎫ a) h 2 = 42 − x 2 2 2 2 2 ⎬ → 4 − x = 7 − (9 − x ) h 2 = 72 − (9 − x )2 ⎪⎪⎭ 16 − x 2 = 49 − 81 + 18x − x 2 18x = 48 → x = 2,67 cm h 2 = 42 − x 2 → h =
16 − 7,11 = 2, 98 cm
⎪⎫ b) h = 6 − x 2 2 2 2 ⎬ → 6 − x = 10 − (14 − x) h 2 = 102 − (14 − x )2 ⎪⎪⎭ 36 − x 2 = 100 − 196 + 28x − x 2 28x = 132 → x = 4,71 cm 2
2
2
h 2 = 62 − x 2 → h =
36 − 22, 22 = 3, 71 cm
c) h = 5 − x ⎪⎫⎬ → 52 − x 2 = 112 − (15 − x)2 h 2 = 112 − (15 − x )2 ⎪⎪⎭ 25 − x 2 = 121 − 225 + 30x − x 2 30x = 129 → x = 4,3 cm 2
2
2
h 2 = 52 − x 2 → h = 051 ●●●
25 − 18, 49 = 2, 55 cm
Calcula la distància d’un punt, P, a un altre punt, A, perquè es verifiqui que la longitud del segment CP és igual que la del segment DP als gràfics. C
a)
b) D
D C 4 cm 3 cm
P A
7 cm
B
3 cm
2 cm
P A
a) Si CP = PD = d ⎫⎪ d 2 = 42 + x 2 → 42 + x 2 = 32 + (7 − x )2 2 2 2⎬ d = 3 + (7 − x ) ⎪⎪⎭ 4 + x 2 = 9 + 49 − 14x + x 2 14x = 54 → x = 3,86 cm d 2 = 42 + x 2 → d =
16 + 18, 49 = 5, 56 cm
b) Si CP = PD = d d 2 = 22 + x 2 ⎪⎫⎬ → 22 + x 2 = 32 + (6 − x )2 d 2 = 32 + (6 − x )2 ⎪⎪⎭ 4 + x 2 = 9 + 36 − 12x + x 2 12x = 41 → x = 3,42 cm d 2 = 22 + x 2 → d =
254
4 + 18, 49 = 3, 96 cm
6 cm
B
831106 _ 0242-0273.qxd
20/9/07
13:51
Página 255
SOLUCIONARI
052 ●
8
Calcula la longitud de x a les figures. a)
c)
x
4 cm
x
5 cm
8 cm
b)
d) 10
x
cm
7 11
cm
x
9 cm
a) x =
42 + 42 =
32 = 5, 66 cm 100 → x = b) 102 = x 2 + x 2 → x 2 = 2 c) x = 82 + 52 = 89 = 9, 43 cm 2
d) x = 053
117 − 92 =
50 = 7, 07 cm
117 − 81 =
36 = 6 cm
Fixa’t en la figura i calcula.
●●
a) El costat del rombe. b) La longitud del catet AB, del catet AC i de la hipotenusa BC.
C
G
a) c =
c
82 + 62 =
64 + 36 =
100 = 10 cm
16 cm
D 16 +D = + 16 = 24 cm 2 2 d 12 AB = +d = + 12 = 18 cm 2 2
b) AC = F
AG
B
F
12 cm
BC =
AC 2 + AB 2 → AC =
054
Calcula el perímetre de les figures següents:
●●
a)
242 + 182 = 30 cm
b)
25 cm
12 cm 14 cm
28 cm
18 cm
c
28 cm
a 16 cm
x
7 cm
b 5 cm
a) x = 252 + 102 = 725 = 26, 93 cm P = 28 + 25 + 18 + 26,93 = 97,93 cm b) a =
162 + 72 =
b =
5 +7
c =
142 + 122 =
2
2
=
305 = 17, 46 cm 74 = 8, 6 cm 340 = 18, 44 cm
P = 17,46 + 14 + 28 + 12 + 18,44 + 8,6 + 5 + 28 + 16 = 147,5 cm
255
831106 _ 0242-0273.qxd
20/9/07
13:51
Página 256
Llocs geomètrics. Figures planes 055 ●●
Fixa’t en la figura següent.
20 cm
Si els costats del rectangle fan 15 cm i 20 cm, quant fa el radi de la circumferència?
15 cm G
El radi és la meitat de la diagonal: 400 + 225 = 2
r = 056 ●●●
625 = 12, 5 cm 2
Fixa’t en les set peces del tangram xinès.
5 cm
Calcula l’àrea de cadascuna de les peces. Primer trobem la diagonal del quadrat: c +c
2
= c 2 → d = 10 2 cm
5 cm 2,5 cm
d =
2
5 2 ⋅5 2 25 ⋅ 2 = = 25 cm2 2,5 cm 2 2 5⋅5 ATriangle mitjà = = 12,5 cm2 2 d d 10 2 10 2 ⋅ ⋅ 100 ⋅ 2 4 4 4 4 = = = 6, 25 cm2 ATriangle petit = 2 2 16 ⋅ 2
ATriangle gran =
2 ⎛ 10 2 ⎛d ⎞ AQuadrat = ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ = ⎜⎜⎜ ⎜⎝ 4 ⎝ 4 ⎟⎠
⎞⎟ ⎟⎟ = 100 ⋅ 2 = 12, 5 cm2 ⎟⎟ 16 ⎠ 2
c c ⋅ → ARomboide = 5 ⋅ 2,5 = 12,5 cm2 2 4 Comprovem que la suma de les àrees de totes les peces és igual a l’àrea total del quadrat, 102 cm2:
ARomboide = b ⋅ h =
2 ⋅ 25 + 12,5 + 2 ⋅ 6,25 + 12,5 + 12,5 = = 50 + 12,5 + 12,5 + 12,5 + 12,5 = 100 cm2 057 ●
Tria la resposta correcta en cada cas. a) L’àrea d’un rombe amb diagonals de 2 cm i 4 cm és: III) 6 cm2 I) 4 cm2 II) 2 cm2 IV) 12 cm2 b) L’àrea d’un trapezi amb bases de 10 cm i 8 cm i altura de 6 cm és: I) 240 cm2 III) 108 cm2 2 II) 54 cm IV) 60 cm2 c) L’àrea d’un triangle equilàter el costat del qual fa 10 cm és: III) 43,3 cm2 I) 86,6 cm2 2 II) 50 cm IV) 100 cm2 a) → I) 4 cm2
256
b) → II) 54 cm2
c) → I) 86,6 cm2
831106 _ 0242-0273.qxd
11/9/07
13:17
Página 257
SOLUCIONARI
058 ●●
8
L’àrea d’un triangle isòsceles és 24 m2 i el costat desigual fa 6 m. Calcula la longitud dels altres costats. 6⋅h 24 ⋅ 2 b ⋅h → 24 = →h= =8m 2 2 6 l 2 = 32 + 82 → l 2 = 9 + 64 → l = 73 = 8,54 m A=
059 ●●
L’àrea d’un triangle rectangle és 12 cm2 i un dels costats fa 6 cm. Calcula la longitud de la hipotenusa. L’altre catet fa:12 ⋅ 2 : 6 = 4 cm La hipotenusa fa:
060 ●●
52 = 7, 21 cm.
Calcula l’àrea d’un triangle equilàter de 90 cm de perímetre. El costat fa: 90 : 3 = 30 cm L’altura mesura: Àrea =
061
36 + 16 =
302 − 152 =
675 = 25, 98 cm.
25, 98 ⋅ 30 = 789, 7 cm2 2
Si l’àrea d’un triangle equilàter és 30 cm2, calcula la longitud del costat.
●●
Si el costat és x, l’altura serà: h = x⋅ Àrea = 30 =
062 ●●
x−
x x 3 = . 2 2
x 3 x2 3 2 = → x = 8,32 cm 2 4
Calcula l’àrea d’un triangle rectangle de 13 cm d’hipotenusa si un dels catets fa 5 cm. L’altre catet és: 169 − 25 = 144 = 12 cm L’àrea és: (5 ⋅ 12) : 2 = 30 cm2.
063 ●●
064 ●●
065 ●●
Determina l’àrea d’un quadrat si saps que la diagonal fa 7,07 cm. Si considerem el quadrat com un rombe, l’àrea mesura: (7,07 ⋅ 7,07) : 2 = 25 cm2. Calcula l’àrea d’aquest rectangle. La meitat de la base és: 41 − 16 = 5 cm . Per tant, l’àrea és de:10 ⋅ 8 = 80 cm2.
cm 41
4 cm
Calcula l’àrea d’un rectangle la base del qual fa 10 cm i la diagonal, 116 cm. L’altura és: 116 − 100 = 4 cm . L’àrea mesura: 10 ⋅ 4 = 40 cm2.
257
831106 _ 0242-0273.qxd
11/9/07
13:17
Página 258
Llocs geomètrics. Figures planes 066 ●●
Determina l’àrea d’un triangle de 7 cm de base i 24 cm de perímetre. 7 + 7 + 2h = 24 → 2h = 10 → h = 5 cm Àrea = 5 ⋅ 7 = 35 cm2
067
Calcula l’àrea de la zona enfosquida.
●●
9 cm 4 cm 8 cm
6 cm F
11 cm
4 cm
A = 6 ⋅ 8 + 4 ⋅ 9 + 11 ⋅ 8 + 9 ⋅ 4 = 48 + 36 + 88 + 36 = 208 cm2 068
FES-HO AIXÍ COM CALCULEM L’ÀREA D’UN TRAPEZI ISÒSCELES SI EN DESCONEIXEM L’ALTURA? D
Calcula l’àrea d’aquest trapezi isòsceles.
2,5 cm
A PRIMER.
C
5 cm
B
8 cm
Calculem la base del triangle rectangle que determina l’altura.
Com que el trapezi és isòsceles, les altures determinen dos triangles rectangles iguals les bases dels quals són la meitat de la diferència de les bases del trapezi. D 2,5 cm
C
5 cm
h
2,5 cm
h
1,5
A
1,5
E
8 cm
F
B
AB − CD 8−5 = = 1,5 cm 2 2
AE = FB =
Apliquem el teorema de Pitàgores en el triangle rectangle que determina l’altura.
SEGON.
D 2,5 cm
1,52 + h 2 = 2,52 h
h=
1,5
A TERCER.
4 = 2 cm
E
Calculem l’àrea del trapezi. A=
258
h 2 = 2,52 − 1,52 = 4
(B + b ) ⋅ h (8 + 5) ⋅ 2 = = 13 cm2 2 2
831106 _ 0242-0273.qxd
11/9/07
13:17
Página 259
SOLUCIONARI
069
Càlcula l’àrea d’aquests trapezis isòsceles.
●●
a)
c)
6 cm
3 cm
7m 3,5 m
8
4,13 m
10 cm 16 m
b)
d)
164 m
4m
14 m
24 m
D
A
3m
C
E
F
B
⎛ 10 − 6 ⎞⎟ ⎟ = 32 − ⎜⎜ ⎜⎝ 2 ⎟⎟⎠ 2
a) h = DE = A=
(10 + 6) ⋅ 2, 24 (B + b ) ⋅ h = = 17, 92 cm2 2 2
(
b) h = DE = A=
5 = 2, 24 cm
)
2
164
⎛ 24 − 16 ⎞⎟ ⎟⎟ = − ⎜⎜ ⎜⎝ ⎟⎠ 2 2
148 = 12,17 m
(B + b ) ⋅ h (24 + 16) ⋅ 12,17 = = 243, 4 m2 2 2
c) AE = 4,132 − 3, 52 = 4, 81 = 2,19 m B = AB = 7 + 2 ⋅ 2,19 = 11, 38 m (B + b ) ⋅ h (11, 38 + 7) ⋅ 4,13 A= = = 37, 95 m2 2 2 d) b = 14 − 2 ⋅ 4 = 6 m (B + b ) ⋅ h (14 + 6) ⋅ 3 A= = = 30 m2 2 2
Determina l’àrea de: a) Un hexàgon regular de 2 cm de costat. b) Un octàgon regular de 48 cm de perímetre. a) L’apotema és: a= a
22 − 12 = 3 = 1, 73 cm P ⋅a 12 ⋅ 1, 73 A= = = 10, 38 cm2 2 2
x
b) El costat fa 6 cm.
a
cm
●●
6
070
x
x
62 = x 2 + x 2 → x = 18 = 4, 24 cm 6 a = 4, 24 + = 7, 24 cm 2 P ⋅a 48 ⋅ 7, 24 A= = = 173, 76 cm2 2 2
259
831106 _ 0242-0273.qxd
20/9/07
13:51
Página 260
Llocs geomètrics. Figures planes 071
Calcula la longitud del segment vermell d’aquesta figura.
●●●
Si tracem la mediatriu del segment, la distància al vèrtex és la meitat del radi, 3 cm, i forma un triangle equilàter amb un costat de l’hexàgon i la meitat del segment. Per tant, la meitat del segment és: 36 − 9 = 27 = 5, 2 cm, i el segment fa 10,4 cm.
072
Determina l’àrea de les superfícies pintades.
●●
a)
b)
c)
6 cm
d)
G
5 cm 4 cm
3 cm
3 cm
5,54 cm
a) Quadrat gran − Quadrat petit − 2 ⋅ Triangles ⎛ 5 ⋅ 2, 5 ⎞⎟ ⎟ = 6, 25 cm2 A = 52 − 2, 52 − 2 ⋅ ⎜⎜⎜ ⎝ 2 ⎟⎠⎟ b) Si tracem els triangles equilàters que formen l’hexàgon, la zona pintada és la meitat de cada triangle, i per tant serà la meitat de l’àrea de l’hexàgon. Com que l’hexàgon té una apotema de 3,46 cm, la seva àrea és 41,57 cm2 i l’àrea pintada fa 20,78 cm2. c) Si tracem els triangles equilàters que formen l’hexàgon, la zona pintada és un triangle sencer i la meitat dels altres dos. Per tant, equival a dos triangles, és a dir, la tercera part de l’hexàgon. Com que l’hexàgon té una apotema de 2,6 cm, la seva àrea és 23,4 cm2 i l’àrea pintada fa 7,8 cm2. d) L’àrea total és l’àrea dels triangles: x = 9 − 7, 67 = 1, 33 = 1,15 cm. x 3 cm
073 ●●
4 cm
5,5
A = Triangle gran + Triangle petit = = 5,54 ⋅ 5,54 : 2 + 5,54 ⋅ 1,15 : 2 = 18,53 cm2
Determina l’àrea d’un cercle circumscrit a un triangle rectangle amb catets de 6 cm i 8 cm. La hipotenusa fa 10 cm i coincideix amb el diàmetre. Per tant, el radi és de 5 cm i l’àrea mesura 25π = 78,5 cm2.
074 ●●
Calcula l’àrea de la corona circular limitada per les circumferències circumscrita i inscrita d’un quadrat de 8 cm de costat. El radi de la circumferència interior és la meitat del costat, 4 cm, i el de l’exterior és la meitat de la diagonal ( 64 + 64 = 128 = 11, 31 cm ): 5,66 cm. Àrea = π ⋅ (32 − 16) = 50,24 cm2
260
831106 _ 0242-0273.qxd
11/9/07
13:17
Página 261
8
SOLUCIONARI
075 ●●
Calcula l’àrea d’un sector circular de 60º d’amplitud i una circumferència de longitud 12π cm com a radi. Si la circumferència és 12π cm, el radi fa 6 cm. Com que el sector 36π = 18, 84 cm2 . és una sisena part del cercle, la seva àrea mesura: 6
076 ●●
Determina l’àrea d’un cercle el diàmetre del qual és igual que el perímetre d’un quadrat de 7 cm de costat. El diàmetre és 28 cm, el radi és 14 cm i l’àrea mesura: 196π = 615,44 cm2.
077 ●●
En una circumferència de 5 cm de radi s’inscriu un triangle rectangle isòsceles. Calcula l’àrea compresa entre el cercle i el triangle. La base del triangle coincideix amb el diàmetre, i l’altura amb el radi. Per tant, l’àrea del triangle és: 10 ⋅ 5 : 2 = 25 cm2. L’àrea compresa entre el cercle i el triangle és: 25π − 25 = 53,5 cm2.
078 ●●
Determina l’àrea de la zona pintada si saps que el diàmetre de la circumferència fa 10 cm. a)
c)
b) 10 cm
10 cm
10 cm
a) 25π − 2 ⋅ 6,25π = 39,25 cm2 b) És la meitat del cercle: 25π : 2 = 39,25 cm2. 30 ⋅ 4, 33 = 64, 95 cm2. L’àrea 2 compresa fa: 25π − 64,95 = 13,55 cm2.
c) L’àrea de l’hexàgon de costat 5 cm és:
079 ●●●
Calcula l’àrea de les figures següents. a)
b)
12 cm
4 cm
a) És un semicercle al qual traiem i sumem la mateixa superfície. Per tant, serà equivalent a l’àrea del semicercle: A = 36π = 113,04 cm2. b) És un semicercle més un quart de cercle (és a dir, tres quarts de cercle) més un triangle equilàter. A = 0,75 ⋅ 4π + 2 ⋅ 1,73 : 2 = 11,15 cm2
261
831106 _ 0242-0273.qxd
11/9/07
13:17
Página 262
Llocs geomètrics. Figures planes 080 ●●●
Calcula l’àrea de les figures següents. a)
c) 5 cm 7 cm
3 cm
5 cm
2 cm 5 cm
b)
d) 2,5 cm
4 cm
10 cm
2,5 cm
a) La figura és un rectangle menys un quadrat: A = 7 ⋅ 5 − 3 ⋅ 3 = 26 cm2. b) A la figura base s’hi suma i se’n treu la mateixa superfície. Per tant, l’àrea és la de la superfície base: A = 10 ⋅ 4 = 40 cm2. c) La figura és un quadrat més un triangle equilàter menys un cercle:
h = 52 − 2, 52 = 4,33 → A = 5 ⋅ 5 + (5 ⋅ 4,33) : 2 − 4π = 23,27 cm2. d) A la figura base s’hi suma i se’n treu la mateixa superfície. Per tant, l’àrea és la de la superfície base: A = 2,5 ⋅ 2,5 = 6,25 cm2.
081
FES-HO AIXÍ COM CALCULEM L’ÀREA D’UN TRAPEZI CIRCULAR?
PRIMER.
20 cm F
30°
8 cm
Calcula l’àrea d’aquesta part de corona circular limitada per dos radis (trapezi circular). Calcula l’àrea dels sectors circulars.
En aquest cas tenen una amplitud de 30º, i els radis fan 20 cm i 8 cm, respectivament.
SEGON.
A1 =
π ⋅ 202 ⋅ 30 = 104 , 67 cm2 360
A2 =
π ⋅ 82 ⋅ 30 = 16 , 75 cm2 360
Restem les àrees de tots dos sectors. A1 − A 2 = 104 , 67 − 16 , 75 = 87,92 cm2
L’àrea del trapezi circular és 87,92 cm2, aproximadament.
262
831106 _ 0242-0273.qxd
11/9/07
13:17
Página 263
SOLUCIONARI
082 ●●
8
Calcula l’àrea del trapezi circular generat per la corona circular de l’activitat anterior i de 120º d’amplitud. Aplicant una regla de tres tenim que: 30° → 87, 92⎪⎫⎪ 2 ⎬ → A = 87, 92 ⋅ 4 = 351, 68 cm ⎪⎪⎭ 120° → A
083 ●●
Calcula l’àrea d’un trapezi circular de 120 cm i 6 cm de radis i 270º d’amplitud. π ⋅ 122 ⋅ 270 = 339,12 cm2 360 π ⋅ 62 ⋅ 270 = 84, 78 cm2 ASector petit = 360 ATrapezi = 339,12 − 84,78 = 254,34 cm2
ASector gran =
084 ●●
Fixa’t en la margarida i calcula l’àrea de cada pètal de la part groga, de la blanca i de l’àrea total. 4 cm
45°
L’àrea de cada sector de la part blanca serà:
G
G
A=
π ⋅ 42 ⋅ 45 = 6,28 cm2 360
L’àrea de cada sector de la part groga serà: π ⋅ (82 − 42 ) ⋅ 45 3,14 ⋅ (64 − 16) ⋅ 45 = A' = = 18,84 cm2 360 360 L’àrea total serà:
AT = 6 ⋅ (A + A') = 6 ⋅ (6,28 + 18,84) = 6 ⋅ 25,12 = 150,72 cm2
●●
Fixa’t en aquesta torre i l’ombra que fa. Quina distància hi ha des del punt més alt de la torre fins a l’extrem de l’ombra?
150 m
085
d 2 = 1502 + 2002 → d 2 = 62.500 → → d = 250 m 200 m
●●
Una escala de 10 m de longitud està recolzada sobre una paret. El peu de l’escala dista 6 m de la paret. A quina altura arriba l’escala sobre la paret? 102 = h 2 + 62 → h 2 = 100 − 36 = 64 → →h=8m 10 m
6m
10 m
086
h 6m
263
831106 _ 0242-0273.qxd
20/9/07
13:51
Página 264
Llocs geomètrics. Figures planes 087 ●●
Als costats d’un camp rectangular s’hi han plantat 32 arbres separats 5 m entre ells. Quina és l’àrea del camp? Quant fa el costat? Com que hi ha 32 arbres i es completa el perímetre del quadrat, hi haurà 32 separacions de 5 m, és a dir:
P = 32 ⋅ 5 = 160 m → 4c = 160 → c = 40 m L’àrea és: A = c2 → A = 402 = 1.600 m2. 088 ●●
Aquest senyal de trànsit indica l’obligatorietat d’aturar-se. Calcula’n l’àrea si l’altura és 90 cm i el costat fa 37 cm. L’apotema és la meitat de l’altura: 45 cm. El perímetre és:37 ⋅ 8 = 296 cm. A=
089 ●●●
296 ⋅ 45 = 6.660 cm2 2
Cadascun dels 50 pisos d’un edifici té la planta d’aquesta figura. El costat de l’hexàgon fa 30 m. Si al terra hi ha una moqueta que costa 20 €/m2, calcula el que s’ha pagat en total per la moqueta de l’edifici. L’apotema és: a =
302 − 152 =
675 = 26 m.
30 m
P ⋅a 6 ⋅ 30 ⋅ 26 →A= = 2.340 m2 2 2 AQuadrat = 302 = 900 m2
AHexàgon =
1 3 ⋅ 30 ⋅ 30 ⋅ = 390 m2 2 2 L’àrea d’un pis és: 2.340 + 900 + 390 = 3.630 m2.
ATriangle =
La moqueta d’un pis costa: 3.630 ⋅ 20 = 72.600 €.
41 cm
38 m
x
264
412 − 382 = 15, 4 m
m
y =
602 − 382 = 46, 4 m
m
da 4,5
m
x = 45
am
6d
y
G
60
4,1 dam
En Màrius té un jardí en forma de romboide. Un dels costats fa 45 m. A més, hi ha un camí i en coneixem les mides. Calcula el perímetre del jardí i l’àrea.
38
090 ●●●
m
La moqueta de tot l’edifici valdrà: 50 ⋅ 72.600 = 3.630.000 €.
Perímetre: P = 2 ⋅ (x + y) + 2 ⋅ 45 = = 2 ⋅ (15,4 + 46,4) + 2 ⋅ 45 = 213,6 m Àrea: A = b ⋅ a = (x + y) ⋅ 38 = = (15,4 + 46,4) ⋅ 38 = 2.348,4 m2
831106 _ 0242-0273.qxd
11/9/07
13:17
Página 265
8
SOLUCIONARI
091 ●●●
Hem col·locat una vidirera triangular. Calcula l’àrea de la part de la vidriera de color vermell si saps que la finestra és un triangle euilàter d’1 m de costat. Cada triangle vermell fa 1/8 m de costat i és equilàter. Per tant, la seva altura serà: 2
h=
At =
1m
⎛ 1 ⎞⎟ ⎛ ⎞ ⎜⎜ ⎟ − ⎜⎜ 1 ⎟⎟ = ⎜⎝ 8 ⎟⎟⎠ ⎜⎝ 16 ⎟⎟⎠ 2
1 1 3 = 0,11 m − = 16 64 256
b ⋅h 1/ 8 ⋅ 0,11 = = 0, 007 m2 2 2
Com que hi ha 27 triangles vermells, l’àrea total serà:
A = 27 ⋅ 0,007 = 0,189 m2 092 ●●
Llancem en una pista circular 1 kg de sorra per metre quadrat. Quin radi té la pista si hi han llançat 4.710 kg de sorra en total? Trobem, primer, el nombre de metres quadrats que té la pista: 4.710 : 15 = 314 m2
A = r 2 → 314 = r 2 → r 2 = 100 → r = 10 m 093 ●●
En una altra pista circular de 30 m de diàmetre hi volen llançar 30 kg de sorra per metre quadrat. a) Quantes tones de sorra fan falta? b) Si una carreta mecànica carrega 157 sacs de 5 kg cadascun, quants desplaçaments haurà de fer?
D = 30 m → r = 15 m → A = ⋅ 152 = 706,5 m2 a) Es necessiten 30 kg/m2 ⋅ 706,5 m2 = 21.195 kg 艑 21,2 t de sorra. b) En cada viatge transporta: 5 ⋅ 157 = 785 kg. Per tant, haura de fer:
094 ●●
21.195 = 27 viatges. 785
Volem fer un cercle amb lloses en un jardí quadrat, tal com indica la figura. a) Quant fa l’àrea enllosada? b) Quina àrea ha quedat amb gespa?
10 m
a) ACercle = r 2 → A = ⋅ 52 = 78,5 m2 b) AQuadrat = 102 = 100 m2
AGespa = AQuadrat − ACercle = 100 − 78,5 = 21,5 m2
265
831106 _ 0242-0273.qxd
11/9/07
13:17
Página 266
Llocs geomètrics. Figures planes 095 ●●●
Un pastisser ha cobert de sucre la part superior de 200 rosquilles com la de la figura. Si ha fet servir 5 kg de sucre, quants grams de sucre fan falta per cobrir cada cm2 de rosquilla?
m 5c
F
G
G
6 cm F
Trobem l’àrea de la part superior (plana) de cada rosquilla:
A = ⋅ (R 2 − r 2) → A = ⋅ (8,52 − 2,52) = 66 = 207,24 cm2 Com que hi ha 200 rosquilles, l’àrea total que s’ha de cobrir és: 200 ⋅ 207,24 = 41.448 cm2 Si ha fet servir 5 kg de sucre, per cada cm2 caldran: 5.000 g : 41.448 cm2 = 0,12 g 096 ●●
Construïm la muntura d’un monocle amb 10 cm de filferro. Quina és l’àrea de la lent que s’encaixa a la muntura?
L = 2r → 10 = 2r → r = 1,6 cm A = r 2 → A = ⋅ 1,62 = 8 cm2 097 ●●
Calcula l’àrea que es pot gravar (a la fotografia de color blau) d’un disc compacte. Quin percentatge de l’àrea total del disc s’aprofita per gravar?
F
G
F
2 cm
Àrea aprofitada =
G
6 cm
A = ⋅ (62 − 22) = ⋅ 32 = 100,5 cm2
098 ●●●
100, 5 ⋅ 100 = 88,9 % 113
Un jardiner ha plantat una zona de gespa en forma de corona circular. La longitd del segment més gran que podem traçar-hi és de 15 m. Quina àrea de gespa ha plantat el jardiner? L’àrea que es demana és la de la corona circular:
A = ⋅ (R 2 − r 2)
R 7,5
r
Com que el segment fa 15 m, apliquem el teorema de Pitàgores: 2 ⎛ 15 ⎞ R 2 = r 2 + ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟⎟ → R 2 − r 2 = 7,52 ⎝ 2 ⎠
Si substituïm, tenim que: A = ⋅ (R 2 − r 2) = ⋅ 7,52 = 176,63 m2
266
831106 _ 0242-0273.qxd
11/9/07
13:17
Página 267
SOLUCIONARI
099 ●●
Aquesta és la bandera del Brasil. Mesura i calcula quin percentatge de l’àrea total suposa l’àrea de cada color.
ACercle = ⋅ 62 = 113 mm2 ARombe = D ⋅ d = 27 ⋅ 18 = 486 mm2 ARectangle = 37 ⋅ 24 = 888 mm2 113 Blau = ⋅ 100 = 12,7 % 888 888 − 486 ⋅ 100 = 45, 3 % Verd = 888 100 ●●
8
Groc =
486 − 113 ⋅ 100 = 42 % 888
El telefèric de la ciutat A surt de la base d’una muntanya i arriba fins al cim. Des d’aquest punt es dirigeix a la ciutat B o a la ciutat C. 800 m
a) Quina distància recorre el telefèric de la ciutat A a la C? b) I de A a B ?
A
1.500 m
3.200 m
B
a) Distància (A-Cim) = 2.250.000 + 640.000 =
C
2.890.000 = 1.700 m
Distància (Cim-C ) = 10.240.000 + 640.000 = 10.880.000 = = 3.298,48 m Distància (A-C ) = 1.700 + 3.298,48 = 4.998,48 m b) Distància (A-B) = 1.700 + 800 = 2.500 m 101 ●●●
Un pintor decora una tanca amb una d’aquestes figures. Si cobra el metre quadrat de tanca pintada a 32 €, quant cobrarà per cadascuna?
4m 10 m
Figura 1: la figura per formar la tanca es repeteix quatre vegades i la seva àrea coincideix amb la del semicercle de radi 2 m, que és: A = π ⋅ 4 : 2 = 6,28 m2. Com que són 4 figures, l’àrea farà 25,12 m2 i el preu serà de: 25,12 ⋅ 32 = 0,08 € = 8 cèntims 10.000 Figura 2: són 8 pètals que podem inscriure en un quadrat de 5 m de costat, i que són simètrics per la diagonal del quadrat. L’àrea de cada meitat és la d’un sector circular de 90º i radi 5 m a la qual es resta l’àrea d’un triangle 25π 5⋅5 − = 7,125 m2. de base i altura 5 m: 4 2 L’àrea del pètal és 14,25 m2 i la unió dels 8 pètals fa 114 m2, 114 amb un preu de ⋅ 32 = 0,36 € = 36 cèntims. 10.000
267
831106 _ 0242-0273.qxd
11/9/07
13:17
Página 268
Llocs geomètrics. Figures planes 102 ●●●
Tracem les mitjanes d’un triangle qualsevol i es formen 6 triangles que tenen com a vèrtex comú el baricentre. Justifica que tots tenen la mateixa àrea. A partir d’aquest resultat, demostra que el baricentre dista de cada vèrtex el doble que del punt mitjà del costat oposat.
D
E F
C B
A
Les bases dels triangles A i B mesuren igual (per la definició de mitjana), i com que la seva altura és igual, les àrees coincideixen. És a dir,SA = SB, SC = SD, SE = SF. Considerem el triangle total. Pel mateix raonament: SA + SB + SC = SD + SE + SF. S =S ;S =S
A B E F Com SC = SD → SA + SB = SE + SF ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 2SA = 2SE → SA = SE.
Per tant, SA = SB = SE = SF. Si repetim el raonament amb qualsevol mitjana, trobem que són iguals a SC i SD: SA = SB = SC = SD = SE = SF.
b2
D h
b1
Com que SB =
C
B
b1 ⋅ h b2 ⋅ h i SC + SD = a més, SB = SC = SD, deduïm que: 2 2
⎛ b ⋅ h ⎞⎟ ⎛ b ⋅ h ⎞⎟ b ⋅h b ⋅h b ⋅h b ⎟= 2 ⎟⎟ = 2 2⎜⎜ 1 → 2⎜⎜ 1 → b1 = 2 = 2 ⎜⎝ 2 ⎟⎟⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 2 2 2⋅h 2 C
103 ●●●
Què és més gran, l’àrea del triangle rectangle ABC o la suma de les àrees de L1 i L2? (Les circumferències que veus tenen com a diàmetre cadascun dels costats del triangle.)
L1
A
L2
B
Si A1 i A2 són les àrees dels semicercles complets corresponents a L1 i L2, es àrees dels tres semicercles són: πr 12 πr 22 A2 = 2 2 Pel teorema de Pitàgores:
A1 =
A3 =
πr 23 2
πr 12 πr 22 π(r 12 + r 22) πr 23 = = = = A3 2 2 2 2 Com que l’àrea que li falta al triangle per ser igual que el semicercle més gran és la que li falta a L1 i L2, les àrees de L1 i L2 són iguals a la del triangle.
A1 + A2 =
268
831106 _ 0242-0273.qxd
11/9/07
13:17
Página 269
SOLUCIONARI
104 ●●●
8
Compara les àrees de la zona ratllada i de la zona blanca. Si r és el radi del quart de cercle més gran, r/2 és la dels dos semicercles més petits. Les seves àrees són: ⎛r ⎞ π ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟⎟ 2 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ π ⋅ r2 π⋅r π ⋅r2 A1 = A2 = A3 = = A1 = → A2 + A3 = 4 2 8 4 Com que l’àrea del quart de cercle és la mateixa que la suma de les àrees dels semicercles, la seva intersecció, que és la zona ratllada, és igual a la zona blanca, que és exterior als semicercles. 2
105 ●●●
Els segments traçats en aquests quadrats són diagonals o unixen vèrtexs del quadrat amb punts mitjos de costats oposats. Quina fracció de l’àrea del quadrat està enfosquida?
D
C
A
B
Suposem el triangle ABC . L’àrea enfosquida és un dels 6 triangles que es formen en tallar les seves medianes. Com ja s’ha vist a l’activitat 102, són iguals, són una sisema part 1 de la meitat del quadrat i la seva fracció és . 12 Es formen 4 triangles iguals, 4 trapezis iguals i 1 quadrat. Per semblança de triangles, el catet més gran dels triangles coincideix amb el costat del quadrat, i el catet més petit dels triangles coincideix amb la base més gran dels trapezis. Per tant, si unim un trapezi amb un triangle, formem un quadrat idèntic a l’enfosquit, i així el quadrat total equival a 5 quadrats com l’enfosquit, 1 i la fracció és . 5 Per la mateixa raó que en l’apartat anterior, el triangle és la tercera part del trapezi i la quarta part del quadrat. 1 Per tant, la seva fracció és . 20 Com en la segona solució, tenim l’equivalent 2 a 2 quadrats centrals, i la fracció és . 5
D
C a
c
b
A
B
Com en la primera solució, l’àrea c i l’àrea a són triangles formats per la unió de les mitjanes. 1 Per tant, la seva àrea és del total, i la superfície enfosquida 12 1 és el doble que l’àrea a, i la seva fracció és . 6
269
831106 _ 0242-0273.qxd
11/9/07
13:17
Página 270
Llocs geomètrics. Figures planes A LA VIDA QUOTIDIANA 106 ●●●
Aquest és el plànol d’una parcel·la en què es constuirà un edifici d’oficines. La parcel·la té forma de triangle equilàter de 1.300 m de costat i tres carreteres la voregen.
G
F
1.300 m
El contractista i l’arquitecte de l’obra han coincidit en la ubicació de l’edifici. Jo crec que l’edifici hauria de ser a la mateixa distància de les tres carreteres... D’aquesta manera el soroll i la contaminació serien menors.
Hi estic d’acord... Però llavors hauràs de fer un pressupost del cost de les tres vies de sortida que haurem de construir.
Si tenim en compte que l’edifici que es construirà tindrà forma quadrada i una superfície de 484 m2, i que el metre lineal de la via de sortida costarà 1.150 €, quin serà el cost de les tres vies que s’han de construir?
270
831106 _ 0242-0273.qxd
20/9/07
13:51
Página 271
SOLUCIONARI
8
Dibuixem el quadrat inscrit en un cercle, amb centre a l’incentre, i dibuixem l’hexàgon que formen les rectes que tallen el cercle. El radi del cercle és la meitat de la diagonal del quadrat. d =
484 = 22 m
r =
484 + 484 = 15, 56 m 2 C
D O
A
B
L’apotema de l’hexàgon és: OA =
242 − 60, 5 = 13, 47 m
Per semblança de triangles, tenim que: OD OB 11 ⋅ 15, 56 = → OD = = 12, 71 m OC OA 13, 47 La distància del quadrat al lateral és la distància que hi ha del baricentre al lateral menys OD. La distància del baricentre al lateral és la tercera part de l’altura. h=
1.3002 − 6502 = 1.125, 83 m
Distància lateral =
1.125, 83 − 12, 71 = 362, 57 m 3
La distància del quadrat a la base és la tercera part de l’altura menys la meitat del costat del quadrat: 1.125, 83 22 − = 364, 28 m. 3 2 La suma de les distàncies és: 2 ⋅ 362,57 + 364,28 = 1.089,42 m. Per tant, el cost serà de: 1.089,42 ⋅ 1.150 = 1.252.833 €.
271
831106 _ 0242-0273.qxd
11/9/07
13:17
Página 272
Llocs geomètrics. Figures planes 107 ●●●
Volem col·locar un repetidor al cim d’una muntanya per assegurar les comunicacions de quatre localitats que hi ha a la zona. Argant
Bern
100 km
60 km
Pic del Bou Pico de Buey
Cabrers
Diders
Les quatre localitats estan situades als vèrtexs d’un rectangle i les distàncies entre elles són: Argant - Bern
100 km
Bern - Cabrers
60 km
Tal com pots veure al mapa, les distàncies entre la muntanya i els pobles d’Argant i Bern són fàcils de mesurar. Són les següents: Argant - Pic del Bou
50 km
Bern - Pic del Bou
80 km
Les distàncies del pic del Bou als altres dos pobles, en canvi, no es poden mesurar fàcilment perquè hi ha un llac al mig.. Sabem, pels mesuratges que s’han fet d’altres repetidors similars, que el senyal és acceptable fins a una distància no superior a 90 km del repetidor.
272
831106 _ 0242-0273.qxd
11/9/07
13:17
Página 273
SOLUCIONARI
8
Serà acceptable el senyal als pobles de Cabrers i Diders? ⎪⎫ h 2 = 502 − x 2 2 2 2 2 ⎬ → 50 − x = 80 − (100 − x ) h 2 = 802 − (100 − x )2 ⎭⎪⎪ 2.500 − x 2 = 6.400 − 10.000 + 200x − x 2 200x = 6.100 → x = 30,5 km h 2 = 502 − x 2 → h =
2.500 − 930, 25 = 39, 62 km
PC =
(60 − 39, 62)2 + (100 − 30, 5)2 = 72, 42 km
PD =
(60 − 39, 62)2 + 30, 52 = 36, 68 km
Com que les distàncies són inferiors a 90 km, el senyal serà acceptable.
273
831106 _ 0274-0309.qxd
9
11/9/07
13:33
Página 274
Cossos geomètrics POLIEDRES
ELEMENTS
FÓRMULA D’EULER
PRISMES I PIRÀMIDES
ELEMENTS
TIPUS
ÀREES
COSSOS DE REVOLUCIÓ
FIGURES ESFÈRIQUES
ÀREES
VOLUMS
PRINCIPI DE CAVALIERI
VOLUMS DE PRISMES I PIRÀMIDES
L’ESFERA TERRESTRE COORDENADES GEOGRÀFIQUES
274
VOLUMS DE CILINDRES, CONS I ESFERES
831106 _ 0274-0309.qxd
11/9/07
13:33
Página 275
El llegat d’Arquimedes A Sicília, preocupat perquè l’ideal del seu fill Marc fos l’esperit guerrer i les conquestes de Juli Cèsar, Ciceró mirava de raonar amb ell i li deia: –Molt a prop d’aquí, a Siracusa, va viure l’enginyer bèl·lic més gran de tots els temps. Ell sol va ser capaç d’aturar l’exèrcit romà durant més de tres anys. Marc es va interessar molt pel tema i el seu pare li va explicar la història d’Arquimedes i li va prometre que l’endemà anirien a veure’n la tomba. L’endemà, davant de la tomba on Marc esperava veure les gestes d’Arquimedes, només hi va trobar una esfera escrita en un cilindre. Llavors Ciceró li va dir al seu fill: –Tot i els seus èxits en enginyeria militar, no en va deixar cap d’escrit, però sí molts de matemàtiques i mecànica. Ell pensava que el seu millor tresor era haver descobert que el volum de l’esfera és dos terços del volum del cilindre que la conté. Aquestes figures es generen per rotació de figures planes. De quines figures es tracta? Coneixes cap altre cos que es generi així?
El cilindre es genera per la rotació d’un rectangle sobre l’eix que en conté un dels costats. L’esfera es genera per la rotació d’un semicercle sobre l’eix que en conté el diàmetre.
831106 _ 0274-0309.qxd
11/9/07
13:33
Página 276
Cossos geomètrics EXERCICIS 001
Determina el nom dels poliedres i el nombre de cares i arestes que tenen. a)
b)
a) Hexaedre: 6 cares i 10 arestes. b) Hexaedre: 6 cares i 12 arestes.
002
Fes el desenvolupament pla dels poliedres de l’exercici anterior. Indica els passos que segueixes. a)
b)
003
Dibuixa dos heptaedres que tinguin un nombre d’arestes i de vèrtexs diferent. (Fixa’t en els exemples anteriors.)
004
Aquest poliedre és un cub truncat (cada vèrtex del cub ha estat tallat formant un triangle equilàter). El poliedre és còncau o convex? Comprova si es compleix la fórmula d’Euler. És convex. Cares = 14. Arestes = 36. Vèrtexs = 24. Sí que s’acompleix la fórmula d’Euler → 14 + 24 = 36 + 2.
276
831106 _ 0274-0309.qxd
11/9/07
13:33
Página 277
SOLUCIONARI
005
9
Indica el poliedre regular que es pot formar amb: a) Triangles equilàters.
b) Quadrats.
Quantes cares coincideixen en cada vèrtex? a) Tetraedre (3), octaedre (4) i icosaedre (5). 006
b) Cub (3).
Podries formar un poliedre regular fent servir només hexàgons regulars? I fent servir polígons regulars de més de sis costats? No és possible formar poliedres regulars amb poliedres de més de 6 costats, ja que la mesura dels angles poliedres seria més gran de 360°. Classifica aquests prismes i anomena’n els elements principals. a) Altura
G G G
b)
Aresta bàsica Aresta lateral Cara lateral
Base
G G G
Ortoedre 008
G
Altura
007
Aresta bàsica Cara lateral Aresta lateral Base
Prisma hexagonal oblic
Calcula l’àrea d’un cub de 9 cm d’aresta. L’àrea és la suma de l’àrea de les seves 6 cares. Per tant A = 6 ⋅ 92 = 486 cm2.
009
Calcula l’àrea d’un prisma triangular, és a dir: la base és un triangle equilàter, regular de 5 cm d’aresta bàsica i 16,5 cm d’altura. Trobem, primer, l’àrea de la base: h= h
AB =
52 − 2,52 = 4,3 cm
1 1 b ⋅ h → AB = ⋅ 5 ⋅ 4,3 = 10,8 cm2 2 2
5 cm
AL = 3 ⋅ ACara → AL = 3 ⋅ 5 ⋅ 16,5 = 247,5 cm2 AT = AL + 2 ⋅ AB → AT = 247,5 + 2 ⋅ 10,8 = 269,1 cm2 010
Calcula l’àrea d’un prisma hexagonal regular de 8 cm d’aresta bàsica i 10 cm d’altura. Calculem, primer, l’àrea de la base: a= m 8c
a
4 cm
ABase =
82 − 42 =
64 − 16 = 6,9 cm
P ⋅a 6 ⋅ 8 ⋅ 6,9 → ABase = = 165,6 cm2 2 2
AL = 6 ⋅ ACara = 6 ⋅ 8 ⋅ 10 = 480 cm2 AT = AL + 2 ⋅ AB → AT = 480 + 2 ⋅ 165,6 = 811,2 cm2
277
831106 _ 0274-0309.qxd
11/9/07
13:33
Página 278
Cossos geomètrics 011
Classifica aquestes piràmides i anomena’n els elements principals. Vèrtex
G
a)
G
F
Altura
Apotema
Aresta bàsica
Aresta lateral
G
Cara lateral
G
Base
F
Piràmide triangular recta 012
Vèrtex
G
b)
Base
Aresta lateral
G
Cara lateral
F
Altura
G
F
Aresta bàsica
G
Piràmide hexagonal obliqua
Calcula l’àrea total d’una piràmide hexagonal regular de 6 cm d’aresta bàsica i 12 cm d’apotema de les cares laterals. Trobem l’àrea de la base hexagonal: 62 = a 2 + 32 → a =
36 − 9 =
27 = 5,2 cm
m 6c
P ⋅a 6 ⋅ 6 ⋅ 5,2 AB = → AB = = 93,6 cm2 2 2 a 1 1 3 cm A Cara = b ⋅ h → A Cara = ⋅ 6 ⋅ 12 = 36 cm2 2 2 AL = 6 ⋅ ACara → AL = 6 ⋅ 36 = 216 cm2 AT = AL + AB → AT = 216 + 93,6 = 309,6 cm2 013
Amb qualsevol triangle com a base podem fer una piràmide recta. És possible fer-ho amb qualsevol quadrilàter? Amb un triangle sí que és possible, perquè el vèrtex estarà en la recta perpendicular al triangle que passa per la intersecció de les mediatrius (circumcentre). Amb un quadrilàter no és possible, ja que les mediatrius no han de tallar-se necessàriament en un punt.
014
Dibuixa el desenvolupament pla i calcula l’àrea dels cossos de revolució següents. a) Un cilindre de 3 cm de radi de la base i 5 cm d’altura. b) Un con de 4 cm de radi i 6 cm de generatriu. a)
3 cm
AL = 2πrh → AL = 2π ⋅ 3 ⋅ 5 = 94,2 cm2
G
AB = πr 2 → AB = π ⋅ 32 = 28,26 cm2
5
AT = AL + 2 ⋅ AB → → AT = 94,2 + 2 ⋅ 28,26 = 150,72 cm2
b) 6 cm
AL = πrg → AL = π ⋅ 4 ⋅ 6 = 75,36 cm2
G
4 cm
278
AB = πr 2 → AB = π ⋅ 42 = 50,24 cm2 AT = AL + AB → AT = 75,36 + 50,24 = = 125,6 cm2
831106 _ 0274-0309.qxd
11/9/07
13:33
Página 279
SOLUCIONARI
015
Quina altura té un cilindre de 75,36 cm2 d’àrea lateral i 4 cm de radi de la base?
AL = 2πrh → 75,36 = 2π ⋅ 4 ⋅ h → h = 016
9
75,36 = 3 cm 25,12
Un con té la mateixa base que un cilindre i la seva àrea és la meitat. Quin tindrà més altura? Com que tenen el mateix radi i la meitat d’àrea: πr (h + r) = πr (g + r) → h = g L’altura del cilindre ha de ser igual que la generatriu del con, i com que l’altura del con és sempre menor que la seva generatriu, l’altura del cilindre és més gran que la del con.
017
En una esfera de 20 cm de radi, calcula l’àrea del fus esfèric de 40° i un casquet esfèric de 10 cm d’altura. 4πr 2 ⋅ n 4π ⋅ 202 ⋅ 40 → AFus = = 558,2 cm2 360 360 ACasquet = 2πrh ⎯→ ACasquet = 2π ⋅ 20 ⋅ 10 = 1.256 cm2
AFus =
018
En una taronja de 15 cm de diàmetre, quina àrea de pell li correspon a cadascun dels 12 grills? Cada grill és un fus esfèric de
AFus = 019
360 = 30° d’amplitud. 12
4πr 2 ⋅ n 4π ⋅ 7,52 ⋅ 30 → AFus = → AFus = 58,9 cm2 360 360
Calcula l’altura d’una zona esfèrica perquè la seva àrea sigui la mateixa que la d’un fus esfèric de 10º d’amplitud, si el radi de l’esfera associada és de 15 cm. I si el radi fos de 30 cm? El resultat depèn del radi de l’esfera?
h 15 cm
4πr 2 ⋅ n 4π ⋅ 152 ⋅ 10 → AFus = → AFus = 78,5 cm2 360 360 AZona = 2πr 2h → AZona = 2π ⋅ 152 ⋅ h = 1.413 ⋅ h Per tant, 78,5 = 1.413 ⋅ h → h = 0,06 cm. Si el radi és r = 30 cm, tenim que:
AFus =
4π ⋅ 302 ⋅ 10 = 314 cm2 360 314 314 = 2π ⋅ 302 ⋅ h → h = = 0,06 cm 5.652 que és la mateixa altura de la zona, cosa que podíem haver deduït plantejant la igualtat i simplificant:
AFus =
4πr 2 ⋅ n 2⋅n = 2πr 2h → h = 360 360 expressió en què no intervé el radi, r.
279
831106 _ 0274-0309.qxd
11/9/07
13:33
Página 280
Cossos geomètrics 020
Calcula el volum d’un prisma hexagonal regular l’aresta de la base del qual fa 3 cm i l’altura, 4 cm. Trobem l’àrea de la base: 32 = a 2 + 1,52 → a = m 3c
a
1,5 cm
021
9 − 2,25 = 2,6 cm
P ⋅a 6 ⋅ 3 ⋅ 2,6 → AB = = 23,4 cm2 2 2 V = AB ⋅ h → V = 23,4 ⋅ 4 = 93,6 cm3
AB =
Calcula el volum del cilindre circumscrit en el prisma de l’exercici anterior. El radi del cilindre coincideix amb el costat de l’hexàgon (3 cm). V = πr 2h = π ⋅ 32 ⋅ 4 = 113,04 cm3
022
Determina la longitud de l’aresta d’un cub el volum del qual és igual al d’un ortoedre amb arestes de 3, 4 i 5 cm, respectivament.
VOrtoedre = 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 60 cm3 023
VCub = l3 → 60 = l3 → l = 3,91 cm
Si els volums de dos cilindres són iguals i els radis són un el doble que l’altre, quina relació hi ha entre les seves altures? r' = 2r
πr 2h = πr' 2h' ⎯⎯⎯⎯⎯ → πr 2h = π ⋅ 4 ⋅ r 2h' → h = 4h' L’altura del cilindre amb radi més petit és el quàdruple que la de l’altre cilindre. 024
Calcula el volum de les figures següents. a)
b)
7 cm
5 cm
4 cm
3 cm
025
a) V =
1 1 ABase ⋅ h → V = ⋅ 32 ⋅ 7 = 21 cm3 3 3
b) V =
1 2 1 πr h → V = π ⋅ 42 ⋅ 3 = 50, 24 cm3 3 3
Calcula el volum comprès entre el cub i el con de la figura.
VCub = 103 = 1.000 cm3 1 1 πr 2h → VCon = π ⋅ 52 ⋅ 10 = 261,7 cm3 3 3 VCub − VCon = 1.000 − 261,7 = 738,3 cm3
VCon =
280
10 cm
831106 _ 0274-0309.qxd
11/9/07
13:33
Página 281
SOLUCIONARI
026
9
Tenim un con de radi r i altura h. Com augmenta més de volum, si augmentem 1 cm el radi o si augmentem 1 cm l’altura? Si augmentem 1 cm el radi: 1 1 1 1 (π(r + 1)2 ⋅ h) = (π(r 2 + 2r + 1) ⋅ h) = (πr 2 ⋅ h) + (π(2r + 1) ⋅ h) 3 3 3 3 1 El volum augmenta: (π(2r + 1) ⋅ h). 3 1 1 1 Si augmentem 1 cm l’altura: V = (πr 2 ⋅ (h + 1)) = (πr 2 ⋅ h) + (πr 2 ). 3 3 3 1 El volum augmenta: (πr 2 ). 3 1 1 r2 (π(2r + 1) ⋅ h) > (πr 2 ) → (2r + 1) ⋅ h > r 2 → h > 3 3 2r + 1 2 r . És més gran l’augment en el cas del radi quan h > 2r + 1
V =
Calcula el volum d’una esfera el diàmetre de la qual és de 10 cm. V =
Si el volum d’una esfera és 22 dm3, quin n’és el radi? V =
029
10 cm
4 3 4 πr → 22 = πr 3 → r = 3 3
3
22 = 1,74 dm 4 π 3
Determina el volum de les esferes circumscrita i inscrita en un cilindre d’1 m d’altura i de diàmetre. Quina és la diferència entre els radis de totes dues esferes? L’esfera inscrita té de radi la meitat del diàmetre del cilindre: 0,5 m.
1m
F
028
4 3 4 πr = π ⋅ 5 3 = 523, 33 cm3 3 3
1m
G
027
4 3 4 πr = π ⋅ 0,5 3 = 0,52 m3 3 3 El radi de l’esfera circumscrita és la meitat de la diagonal del cilindre, que calculem amb el teorema de Pitàgores. V =
Aquesta diagonal fa: 12 + 12 =
2 m.
⎛ 1,41 ⎞⎟ 2 4 4 ⎟ = 1,47 m3 m → V = πr 3 = π ⋅ ⎜⎜ ⎜⎝ 2 ⎟⎟⎠ 2 3 3 3
r =
La diferència entre els radis és:
2 1 − = 2 2
2 −1 1,41 − 1 = = 0,205 m. 2 2
281
831106 _ 0274-0309.qxd
11/9/07
13:33
Página 282
Cossos geomètrics 030
Busca en un atles una ciutat que tingui latitud nord i longitud oest, i una altra que tingui latitud sud i longitud est. Latitud nord i longitud oest: Nova York. Latitud sud i longitud est: Sidney.
031
Les coordenades de la ciutat A són 20° E 30° N, i les de la ciutat B són 50° O 25° S. Quants graus de longitud i latitud separen les ciutats A i B? La diferència en latitud és: 25° + 30° = 55°. La diferència en longitud és: 20° + 50° = 70°.
032
A
Els punts A i B són en el mateix paral·lel, quina relació hi ha entre les seves latituds?
B
Tindrien cap relació si estiguessin en el mateix meridià? Si són en el mateix paral·lel, tenen la mateixa latitud. I si són en el mateix meridià, tenen la mateixa longitud, però no en sabem res de la latitud.
ACTIVITATS 033
Dibuixa el desenvolupament d’aquests poliedres.
●●
a)
c)
b)
282
d)
a)
c)
b)
d)
831106 _ 0274-0309.qxd
11/9/07
13:33
Página 283
SOLUCIONARI
034 ●●
a)
Els poliedres següents són regulars? Raona la resposta.
b)
9
c)
No són regulars, perquè la seves cares no són iguals ni en forma ni en mida. 035
Comprova si aquests poliedres compleixen la fórmula d’Euler.
●●
a)
c)
e)
g)
b)
d)
h)
f)
Classifica’ls en còncaus i convexos. a) Cares = 10 Convex. b) Cares = 9 Còncau. c) Cares = 12 Convex. d) Cares = 9 Còncau. e) Cares = 8 Convex. f) Cares = 4 Convex. g) Cares = 9 Convex. h) Cares = 11 Còncau. 036 ●●
Vèrtexs = 7
Arestes = 15 → 10 + 7 = 15 + 2
Vèrtexs = 9
Arestes = 16 → 9 + 9 = 16 + 2
Vèrtexs = 10 Arestes = 20 → 12 + 10 = 20 + 2 Vèrtexs = 9
Arestes = 16 → 9 + 9 = 16 + 2
Vèrtexs = 8
Arestes = 14 → 8 + 8 = 14 + 2
Vèrtexs = 4
Arestes = 6 → 4 + 4 = 6 + 2
Vèrtexs = 9
Arestes = 16 → 9 + 9 = 16 + 2
Vèrtexs = 16 Arestes = 24 → 11 + 16 ⫽ 24 + 2
En aquesta taula hi ha representats els poliedres regulars. Completa-la i comprova que tots compleixen la fórmula d’Euler. Tetraedre Cub Octaedre Dodecaedre Icosaedre
C 4 6 8 12 20
V 4 8 6 20 12
A 6 12 12 30 30
C + V −A 2 2 2 2 2
283
831106 _ 0274-0309.qxd
11/9/07
13:33
Página 284
Cossos geomètrics 037 ●
Dibuixa una piràmide pentagonal. Compta’n les arestes, els vèrtexs i les cares i comprova que es compleix la fórmula d’Euler. F
Cares = 6, vèrtexs = 6, arestes = 10. Sí que es compleix la fórmula d’Euler → 6 + 6 = = 10 + 2. D
E A
038 ●
C B
Determina el polígon que forma la base d’un prisma en cada cas. a) Si té 10 vèrtexs. b) Si té 9 arestes. c) Si té 9 cares. a) Pentàgon.
039 ●
040 ●●
b) Triangle.
c) Heptàgon.
Determina el polígon que forma la base d’una piràmide en cada cas. a) Si té 10 vèrtexs. b) Si té 12 arestes. c) Si té 9 cares. a) Enneàgon.
b) Hexàgon.
c) Octàgon.
Tenim un tetraedre i un octaedre, amb la mateixa longitud d’aresta, i els enganxem per una cara per formar un altre poliedre. Compleix la fórmula d’Euler, aquest poliedre? Cares = 10, vèrtex = 7, arestes = 15. Sí que la compleix: 10 + 7 = 15 + 2.
041 ●
Les tres arestes d’un ortoedre fan 5, 6 i 4 cm, respectivament. Calcula’n la diagonal.
d = diagonal de la base = 62 + 52 → D d
→d=
4 cm 5 cm
●●
→ D = 16 + 61 =
77 = 8,8 cm
Calcula la diagonal d’un cub l’aresta del qual fa 3 cm.
d = diagonal de la base = 32 + 32 cm D = diagonal del cub = 32 + ( 18 )2 =
284
61 = 7,8 cm
D = diagonal l’ortoedre = 42 + d 2 →
6 cm
042
36 + 25 =
9 + 18 =
27 = 5,2 cm
831106 _ 0274-0309.qxd
11/9/07
13:33
Página 285
9
SOLUCIONARI
043 ●●●
La diagonal d’un cub fa 27 m. Quant fa l’aresta? I la diagonal d’una cara?
d 2 = l2 + l2 = 2l2 D 2 = d 2 + l2 = 3l2 → ( 27 )2 = 3l2 → l2 = 9 → l = 3 m
d l
044 ●
D
d 2 = 2l2 → d = l 2 → d = 3 2 = 4,2 m
L’apotema d’una piràmide quadrangular regular fa 12 cm i l’aresta bàsica, 10 cm. Quant fa d’altura?
12 cm
h
2 ⎛l⎞ a 2 = h 2 + ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ → 122 = h 2 + 52 → ⎝2⎠ 2 → h = 144 − 25 = 119 → h = 10,9 cm
045 ●
G
G
l = 10 cm
l 2
L’apotema d’una piràmide hexagonal regular fa 10 cm i l’aresta bàsica, 10 cm. Quant farà d’altura? Trobem l’apotema, a', de la base: G
a = 10 cm
10 cm
a'
h a'
5 cm
102 = a'2 + 52 → a' = 75 cm Apliquem el teorema de Pitàgores al triangle de color de la piràmide:
a 2 = h 2 + a'2 → 102 = h 2 + ( 75 )2 → → h 2 = 100 − 75 → h = 25 = 5 cm
046
Calcula la longitud dels segments marcats en els cossos geomètrics següents.
●●
a)
b)
8 cm
6 cm 8 cm
a) Trobem la diagonal de la base, que és un quadrat de costat l = 6 cm.
l
h G
d 2
d 2 = 62 + 62 = 2 ⋅ 62 → d = 6 2 cm Apliquem el teorema de Pitàgores al triangle de color: 2 2 ⎛ 6 2 ⎞⎟ ⎛ d ⎞⎟ ⎜ 2 2 2 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ l = h + ⎜⎜ ⎟ → 6 = h + ⎜ ⎟ → ⎝2⎠ ⎝ 2 ⎟⎠ → h 2 = 36 − 18 → h = 18 = 3 2 cm
Per tant, el segment mesura 2h = 2 18 = 6 2 = 8,5 cm. b) El segment marcat és la diagonal d’un quadrat de costat l = 8 cm. d =
82 + 82 =
2 ⋅ 82 = 8 2 = 11,3 cm
285
831106 _ 0274-0309.qxd
11/9/07
13:33
Página 286
Cossos geomètrics 047
FES-HO AIXÍ COM CALCULEM L’ALTURA DE LA CARA LATERAL D’UN TRONC DE PIRÀMIDE? Calcula la longitud de l’altura de la cara lateral d’aquest tronc de piràmide.
4 cm
G
4 cm
G
G
7 cm
Tronc de piràmide: és un poliedre amb dues cares paral·leles, anomenades bases, i diverses cares laterals que són trapezis isòsceles. Es formen quan es talla una piràmide per un pla paral·lel a la base. 4 cm
Definim el triangle rectangle ABC .
G
PRIMER.
AB = 7 − 4 = 3 cm AC = h = 4 cm SEGON.
4 cm
A
●●
B
Apliquem el teorema de Pitàgores. (BC)2 = (AB)2 + (AC)2
048
C
G
BC =
32 + 42 = 5 cm
3 cm
Quan tallem un con per un pla paral·lel a la base, obtenim un altre con i un tronc de con. Calcula l’altura del tronc del con.
8 cm
L’altura és: h= 049 ●●●
82 − (5 − 3)2 =
60 = 7,75 cm
5 cm
Dibuixa un tronc de piràmide de base quadrada. Els costats de les bases fan 8 cm i 11 cm, i l’altura, 4 cm. Calcula l’altura de la cara lateral. Apliquem el teorema de Pitàgores en l’espai:
8 cm
⎛ 11 − 8 ⎞⎟ ⎜⎜ ⎟ + 42 = ⎜⎝ 2 ⎟⎟⎠ 2
a=
a F
h
b 2 + h2 =
050 ●●●
=
b
11 cm
18,25 = 4,27 cm
Calcula l’aresta lateral, x, del tronc de piràmide i l’altura, h, de la piràmide. ⎛ 8 − 6 ⎞⎟ ⎛ 8 − 6 ⎞⎟ ⎜⎜ ⎟ + ⎜⎜ ⎟ + 4,82 = ⎜⎝ 2 ⎟⎟⎠ ⎝⎜ 2 ⎟⎟⎠ 2
x =
2
25,,04 = 5 cm
h m 6c
Per semblança de triangles, agafem H = h + 4,8:
h ⎯⎯⎯→ 6 ⎪⎫ ⎬ → h = 14,4 cm → h + 4,8 → 8 ⎪⎪⎭ → H = 14,4 + 4,8 = 19,2 cm
286
x
F
8 cm 4,8 cm
831106 _ 0274-0309.qxd
11/9/07
13:33
Página 287
SOLUCIONARI
051 ●
9
Calcula l’àrea total d’un prisma triangular recte d’altura 3 cm i la base del qual és un triangle equilàter de 2 cm de costat.
2 cm
a 1 cm
Calculem l’àrea de la base:
AB =
22 = a 2 + 12 → a =
4 −1 =
1 1 b ⋅ a → AB = ⋅2⋅ 2 2
3 =
3 cm 3 cm2
Calculem l’àrea d’una cara lateral (rectangle):
ACara = 2 ⋅ 3 = 6 cm2 → AL = 3 ⋅ AC = 3 ⋅ 6 = 18 cm2 AT = AL + 2 ⋅ AB → AT = 18 + 2 3 = 21,5 cm2 052 ●
Calcula l’àrea d’un ortoedre d’altura 5 cm la base del qual és un rectangle de 3 × 4 cm. Calculem l’àrea de cada classe de cara lateral:
A➀ = 3 ⋅ 5 = 15 cm2 ABase = 4 ⋅ 3 = 12 cm2
A➁ = 4 ⋅ 5 = 20 cm2
AT = 2 ⋅ A➀ + 2 ⋅ A➁ + 2 ⋅ ABase AT = 2 ⋅ 15 + 2 ⋅ 20 + 2 ⋅ 12 = 30 + 40 + 24 = 94 cm2 053
La llargada d’un ortoedre és el doble que l’amplada, i l’amplada és el doble
●●
que l’altura. Si la diagonal val
21 cm, calcula’n l’àrea total.
21
cm
4x
x
2x
Altura = x Amplada = 2x Llargada = 2 ⋅ 2x = 4x La diagonal de la base, d ', és:
d' = (4 x )2 + (2x )2 =
20 x 2 cm
La diagonal de l’ortoedre, d, és:
d 2 = d ' 2 + x 2 → ( 21 )2 = ( 20 x 2 )2 + x 2 → 21 = 20x 2 + x 2 → → 21 = 21x 2 → x = 1 cm Per tant, les seves dimensions són 4 cm, 2 cm i 1 cm: AT = 2 ⋅ 4 ⋅ 2 + 2 ⋅ 4 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 ⋅ 1 = 16 + 8 + 4 = 28 cm2
287
831106 _ 0274-0309.qxd
11/9/07
13:33
Página 288
Cossos geomètrics 054 ●
Determina l’àrea total d’una piràmide triangular recta amb arestes laterals de 6 cm, i amb un triangle equilàter de 4 cm de costat com a base. Trobem l’apotema d’una cara lateral:
a=
6 cm
a
ACara =
2 cm G
62 − 22 =
32 = 5,66 cm
1 1 b ⋅ a → AC = ⋅ 4 ⋅ 5,66 = 11,32 cm2 2 2
AL = 3 ⋅ AC → AL = 3 ⋅ 11,32 = 34 cm2 Calculem l’àrea de la base:
h=
4 cm
h
42 − 22 =
12 = 3,5 cm
1 1 b⋅h= ⋅ 4 ⋅ 3,5 = 7 cm2 2 2 AT = AL + AB → AT = 34 + 7 = 41 cm2
AB =
2 cm
055 ●●
Calcula l’àrea d’una cara i l’àrea total d’un tetraedre regular l’aresta del qual fa 2 cm. Calculem l’àrea d’un cara: h= 2 cm
h
●●
1 1 ⋅2⋅ b ⋅ h → AC = 2 2
3 cm 3 =
3 cm2
AT = 4 ⋅ AC = 4 3 = 6,93 cm2
1 cm
056
ACara =
22 − 12 =
Calcula l’àrea d’una cara i l’àrea total d’un octaedre regular l’aresta del qual fa 4 cm. Calculem l’àrea d’una cara: h=
4 cm
h
2 cm
ACara =
42 − 22 =
12 cm
1 ⋅ 4 ⋅ 12 = 4 3 cm2 2
AT = 8 ⋅ ACara → AT = 8 ⋅ 4 3 = 32 3 = 55,4 cm2 057 ●●
Calcula l’àrea d’una cara i l’àrea total d’un icosaedre regular l’aresta del qual fa 6 cm. L’àrea total de l’icosaedre és: AT = 20 ⋅ ACara. h
6 cm
h=
62 − 32 =
ACara = 3 cm
ATotal = 20 ⋅ 15,6 = 312 cm2
288
36 − 9 =
27 → h = 5,2 cm
1 1 b ⋅ h → ACara = ⋅ 6 ⋅ 5,2 = 15,6 cm2 2 2
831106 _ 0274-0309.qxd
11/9/07
13:33
Página 289
9
SOLUCIONARI
058
Calcula l’aresta de:
●●
a) Un tetraedre d’àrea total 16 3 cm2. 3 cm2.
b) Un icosaedre les cares del qual fan c) Un octaedre d’àrea total 18 3 cm2.
a) AT = 4 ⋅ ACara → 16 3 = 4 ⋅ AC → AC = 4 3 cm2 ⎛l⎞ l 2 − ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 2
h= l
h
A Cara =
1 1 l 3 l2 3 l ⋅ h → AC = l ⋅ = → 2 2 2 4
l 2
b) A Cara =
→4 3 =
1 b ⋅h → 2
2
h=
l2 −
l
A Cara = l 2
9 3 cm2 4
l2 l 3 = 4 2
1 l 3 9 3 l2 3 ⋅l⋅ → = → 2 2 4 4 → l2 = 9 → l = 3 cm
Calcula l’àrea dels cossos i figures esfèriques següents. c)
e) 6 cm G
4 cm
40°
3 cm
3 cm
3 cm
b)
3 cm G
g) 4 cm
5 cm
a)
d)
f)
h) 6 cm
5 cm
●
3l 2 → 4
3 → l2 = 4 → l = 2 cm 2
c) AT = 8 ⋅ ACara → 18 3 = 8 ⋅ AC → AC =
059
l2 3 → l2 = 16 → l = 4 cm 4
⎛l⎞ 1 l ⋅ l 2 − ⎜⎜ ⎟⎟⎟ → 2 3 = l ⋅ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 2
3 =
→ 2 3 = l2 ⋅
h
3l 2 l 3 = 4 2
G
6 cm
5 cm 9 cm 3 cm
G
G
4 cm
289
831106 _ 0274-0309.qxd
11/9/07
13:33
Página 290
Cossos geomètrics a) AT = 2 ⋅ (3 ⋅ 4) + 2 ⋅ (4 ⋅ 5) + 2 ⋅ (3 ⋅ 5) = 24 + 40 + 30 = 94 cm2 b) AT = 2πr 2 + 2πrh → AT = 2π ⋅ 32 + 2π ⋅ 3 ⋅ 5 → → AT = 56,52 + 94,2 = 150,72 cm2 c) AEsfera = 4πr 2 → AEsfera = 4π ⋅ 32 = 113,04 cm2 d) ACasquet = 2πrh → ACasquet = 2π ⋅ 5 ⋅ 3 = 94,2 cm2 e) Calculem l’apotema d’una cara lateral: a= 6 cm
a
1,5 cm
62 − 1,52 =
33,75 = 5,8 cm
1 1 ACara = b ⋅ a → AC = ⋅ 3 ⋅ 5,8 = 8,7 cm2 2 2 AL = 6 ⋅ AC → AL = 6 ⋅ 8,7 = 52,2 cm2
Després, determinem l’àrea de la base:
a' = 32 − 1,52 = m 3c
a'
1,5 cm
6,75 = 2,6 cm
P ⋅ a' 6 ⋅ 3 ⋅ 2,6 → AB = = 23,4 cm2 2 2 AT = AL + AB → AT = 52,2 + 23,4 = 75,6 cm2
AB =
f) Calculem l’àrea lateral: AL = πrg → AL = π ⋅ 4 ⋅ 6 = 75,36 cm2 AB = πr 2 → AB = π ⋅ 42 = 50,24 cm2 AT = AL + AB → AT = 75,36 + 50,24 = 125,6 cm2 4πr 2 ⋅ n 4π ⋅ 42 ⋅ 40° → AFus = = 22,33 cm2 360° 360° h) AZona = 2πrh → AZona = 2π ⋅ 9 ⋅ 6 = 339,12 cm2 g) AFus =
060 ●
Calcula l’àrea de: a) b) c) d) e) f) g) h)
Un cub amb una cara la diagonal de la qual fa 10 cm. Un cilindre de 20 cm de diàmetre de la base i 12 cm d’altura. Un con de 4 cm de radi i 6 cm d’altura. Una esfera de 12 cm de diàmetre. Un fus esfèric de 80° i radi de 20 cm. Un casquet esfèric de 10 cm de radi i 9 cm d’altura. Una zona esfèrica de 8 cm d’altura i 12 cm de radi. Una piràmide hexagonal regular de 3 cm d’altura i 3 cm de costat de la base. a) d 2 = l2 + l2 → 102 = 2l2 → l = 50 cm ACara = l2 → AC = 50 cm2 ACub = 6 ⋅ AC → ACub = 6 ⋅ 50 = 300 cm2 b) AL = 2πrh → AL = 2π ⋅ 10 ⋅ 12 = 753,6 cm2 AB = πr 2 → AB = π ⋅ 102 = 314 cm2 AT = AL + 2 ⋅ AB → AT = 753,6 + 2 ⋅ 314 = 1.381,6 cm2
290
831106 _ 0274-0309.qxd
11/9/07
13:33
Página 291
SOLUCIONARI
9
c) AL = πrg → AL = π ⋅ 4 ⋅ 42 + 62 = 90,56 cm2 AB = πr 2 → AB = π ⋅ 42 = 50,24 cm2 AT = AL + AB → AT = 90,56 + 50,24 = 104,8 cm2 d) AEsfera = 4πr 2 → AEsfera = 4π ⋅ 62 = 452,2 cm2 4πr 2 ⋅ n 4π ⋅ 202 ⋅ 80° → AFus = = 1.116,4 cm2 360° 360°
e) AFus =
f) ACasquet = 2πrh → ACasquet = 2π ⋅ 10 ⋅ 9 = 565,2 cm2 g) AZona = 2πrh → AZona = 2π ⋅ 12 ⋅ 8 = 602,9 cm2 h) Calculem, primer, l’aresta lateral i l’apotema de la cara lateral: Aresta =
32 + 32 = 4,24 cm
3 cm
Apotema =
3 cm
18 − 1,52 = 3, 97 cm
3 ⋅ 3,97 = 5,96 cm2 2 AL = 6 ⋅ 5,96 = 35,76 cm2 A Cara =
L’apotema de la base és: a=
32 + 1,52 = 2,6 cm
ABase =
P ⋅a 18 ⋅ 2,6 = = 23,4 cm2 2 2
AT = 35,76 + 23,4 = 59,16 cm2 061 ●●
L’àrea lateral d’una piràmide recta de base quadrada i, per tant, regular, és 80 cm2 i el perímetre de la base fa 32 cm. Calcula l’apotema de la piràmide. AL =
062 ●●
P ⋅a 32 ⋅ a → 80 = → a = 5 cm 2 2
Dos cilindres tenen la mateixa superfície lateral i els radis fan 6 m i 8 m. Calcula’n l’altura si saps que es diferencien de 3 m. Calcula també la superfície lateral i total de cada cilindre. 2 ⋅ π ⋅ 6 ⋅ (x + 3) = 2π ⋅ 8 ⋅ x → 12,56x = 113,04 → x = 9 m El cilindre de radi 6 m té una altura de 12 m, i el cilindre de radi 8 m té una altura de 9 m. Cilindre de radi 6 m: Àrea lateral = 2π ⋅ 6 ⋅ 12 = 452,16 m2 Àrea base = π ⋅ 62 = 113,04 m2 Àrea total = 452,16 + 2 ⋅ 113,04 = 678,24 m2 Cilindre de radi 8 m: Àrea lateral = 2π ⋅ 8 ⋅ 9 = 452,16 m2 Àrea base = π ⋅ 82 = 200,96 m2 Àrea total = 452,16 + 2 ⋅ 200,96 = 854,08 m2
291
831106 _ 0274-0309.qxd
11/9/07
13:33
Página 292
Cossos geomètrics 063 ●●
Un cilindre té una altura igual que el diàmetre de la base i l’àrea és de 470 cm2. Calcula el radi de la base. Altura: 2x, radi: x. Àrea lateral = 2x ⋅ π ⋅ x = 6,28x 2 Àrea base = π ⋅ x 2 = 3,14x 2 Àrea total = 6,28x 2+ 2 ⋅ 3,14x 2= 12,56x 2 = 470 → x = 6,12 cm
064 ●●
Calcula l’altura d’un cilindre si l’àrea d’una de les bases és igual a la superfície lateral, i cadascuna d’elles fa 154 cm2. Calcula’n l’àrea total. Radi: x, altura: y. Àrea base = π ⋅ x 2 = 154 → x = 7 cm Àrea lateral = 14 ⋅ π ⋅ y = 154 → y = 3,5 cm Radi: 7 cm, altura: 3,5 cm.
065 ●●
Determina la superfície lateral d’un con l’altura del qual coincideix amb el diàmetre de la base, si la longitud de la circumferència de la base fa 18,85 cm. 2πr = 18,85 cm → r = 3 cm, h = 3 ⋅ 2 = 6 cm g =
066
62 + 32 = 6, 71 cm → AL = πrg = 3,14 ⋅ 3 ⋅ 6, 71 = 63, 21 cm2
FES-HO AIXÍ COM CALCULEM L’ÀREA D’UN TRONC DE PIRÀMIDE I D’UN TRONC DE CON? Calcula l’àrea lateral d’aquestes figures. a)
b) 12
14 cm
G
10 cm
cm
15 cm G
12 cm
24 cm
a) L’àrea lateral d’un tronc de piràmide és: l'
a
n ⋅ (c + c') ⋅a = 2 4 ⋅ (24 + 14) = ⋅ 12 = 912 cm2 2
ALateral =
l
b) L’àrea lateral d’un tronc de con és: 2πr'
g 2πr
292
ALateral = π(r + r' )g = π(12 + 10) ⋅ 15 = = 1.036,2 cm2
831106 _ 0274-0309.qxd
11/9/07
13:33
Página 293
SOLUCIONARI
067
9
Calcula l’àrea total d’aquestes figures.
●●●
a)
G
c)
3 cm
G
8 cm
14 cm
G
6 cm
b)
10 cm
G
12 cm
6 cm
16 cm
10 cm
d) 8 cm
G
22 cm
9 cm
a) Àrea lateral = π ⋅ (6 + 3) ⋅ 8 = 226,08 cm2 Àrea base 1 = π ⋅ 62 = 113,04 cm2 Àrea base 2 = π ⋅ 32 = 28,26 cm2 Àrea total = 226,08 + 113,04 + 28,26 = 367,38 cm2 b) Àrea lateral = 5 ⋅
16 + 22 ⋅ 10 = 950 cm2 2
c) La generatriu és: g =
142 + 22 =
200 = 14,14 cm.
Àrea lateral = π ⋅ (10 + 12) ⋅ 14,14 = 976,79 cm2 Àrea base 1 = π ⋅ 122 = 452,16 cm2 Àrea base 2 = π ⋅ 102 = 314 cm2 Àrea total = 976,79 + 452,16 + 314 = 1.742,95 cm2 6+9 ⋅ 8 = 240 cm2 2 Àrea base 1 = 81 cm2
d) Àrea lateral = 4 ⋅
Àrea base 2 = 36 cm2 Àrea total = 240 + 81 + 36 = 357 cm2 068 ●
069 ●●
El radi d’una esfera fa 3 cm. Calcula’n l’àrea total.
A = 4π ⋅ 32 = 113,04 cm2 El cercle màxim d’una esfera té una àrea de 78,54 cm2. Determina’n el radi i l’àrea total. Cercle = π ⋅ x 2 = 78,54 cm2 → x = 5 cm A = 4π ⋅ 52 = 314 cm2
293
831106 _ 0274-0309.qxd
11/9/07
13:33
Página 294
Cossos geomètrics 070 ●●
Calcula l’àrea total dels cossos geomètrics següents. a)
c)
6 cm
3 cm
e) 4 cm
G
8 cm
7 cm
b)
2 cm
d)
3 cm
5 cm
6 cm
a) Calculem l’àrea d’un quadrat de costat l = 3 cm → A = l2 = 9 cm2. Hi ha 6 creus i cada creu consta de 5 quadrats → A = 6 ⋅ 5 ⋅ 9 = 270 cm2. Hi ha 8 forats i cada forat està format per 3 quadrats → → A = 8 ⋅ 3 ⋅ 9 = 216 cm2 Per tant, l’àrea total serà: AT = 270 + 216 = 486 cm2 que és igual a l’àrea d’un cub d’aresta: 3 ⋅ 3 = 9 cm → → ACara = 92 = 81 cm2 → AT = 6 ⋅ AC → AT = 6 ⋅ 81 = 486 cm2 b) La superfície total és la suma de l’àrea de les 5 cares del cub i les 4 cares laterals de la piràmide.
ACub = 5 ⋅ 62 = 5 ⋅ 36 = 180 cm2 AL Piràmide = 4 ⋅ ACara Per trobar l’àrea d’una cara, en calculem l’apotema, a: ⎛l⎞ a 2 = h 2 + ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ → a = ⎝2⎠ 2
h
a G
ACara = l 2
22 + 32 =
13 → a = 3,6 cm
1 1 b ⋅ a → AC = ⋅ 6 ⋅ 3,6 = 10,8 cm2 2 2
AL Piràmide = 4 ⋅ 10,8 = 43,2 cm2
Per tant, AT = 180 + 43,2 = 223,2 cm2. c) L’àrea del cilindre és: A = 2πrh + πr 2 = 2π ⋅ 6 ⋅ 7 + π ⋅ 62 = 376,8 cm2 I la de la semiesfera és: 4πr 2 → A = 2π ⋅ 62 = 226,1 cm2 2 AT = 376,8 + 226,1 = 602,9 cm2
A=
294
831106 _ 0274-0309.qxd
20/9/07
13:59
Página 295
SOLUCIONARI
9
d) Calculem l’àrea del semicilindre: 2πrh + 2rh − rh = π ⋅ 1,5 ⋅ 5 + 1,5 ⋅ 5 = 31,05 cm2 2 πr 2 ABases = 2 ⋅ → AB = π ⋅ 1,52 = 7,07 cm2 2 AT = 31,05 + 7,07 = 38,12 cm2
AL =
Per calcular l’àrea del semicon hem de trobar què mesura la generatriu: g =
AL =
52 + 1,52 =
25 + 2,25 = 5,22 cm
πrg 3,14 ⋅ 1,5 ⋅ 5,22 → AL = = 12,29 cm2 2 2
ABase =
5 cm
πr 2 3,14 ⋅ 1,52 → AB = = 3,53 cm2 2 2
g
1,5 cm
AT = 12,29 + 3,53 = 15,82 cm
2
e) Determinem què mesura el costat del triangle de la cantonada:
c2 = 42 + 42 = 32 → c = 32 = 5,66 cm
4 cm
c
4 cm
ACara completa = 82 = 64 cm2 1 1 b⋅h= ⋅ 4 ⋅ 4 = 8 cm2 2 2 ACara retallada = 64 − 8 = 56 cm2
ATall =
L’àrea lateral del cub és: AL = 3 ⋅ A Cara + 3 ⋅ A Cara retallada → AL = 3 ⋅ 64 + 3 ⋅ 56 = 192 + 168 = 360 cm2 Finalment, calculem l’àrea del triangle de la cantonada del cub:
h = 5, 662 − 2, 832 =
24 → h = 4,9 cm
1 1 ACantonada = c ⋅ h → ACantonada = ⋅ 5,66 ⋅ 4,9 = 13,9 cm2 2 2 AT = 360 + 13,9 = 373,9 cm2 071 ●
5,66 cm
h
2,83 cm
Calcula el volum d’una piràmide quadrangular recta de 10 cm d’aresta i 5 cm d’altura.
h
c
AB = c2 → AB = 102 = 100 cm2 V=
1 1 AB ⋅ h → V = ⋅ 100 ⋅ 5 = 166,7 cm3 3 3
295
831106 _ 0274-0309.qxd
11/9/07
13:33
Página 296
Cossos geomètrics 072
Calcula el volum d’un prisma triangular recte de 8 cm d’altura la base del qual és un triangle equilàter de 4 cm de costat.
8 cm
●●
h
4 cm 2 cm
4 cm
Trobem l’àrea de la base:
h = 42 − 22 = 12 cm 1 1 AB = b ⋅ h → AB = ⋅ 4 ⋅ 12 = 6,9 cm2 2 2 V = AB ⋅ h → V = 6,9 ⋅ 8 = 55,2 cm3
●●
Calcula el volum d’una piràmide triangular recta amb arestes laterals de 8 cm, i amb un triangle equilàter de 7 cm de costat com a base.
h'
8c m
073
7 cm
h r 7 cm
3,5 cm
Trobem l’àrea de la base:
h' = 72 − 3,52 = AB =
36,75 = 6,1 cm
1 1 b ⋅ h' → AB = ⋅ 7 ⋅ 6,1 = 21,4 cm2 2 2
Per calcular l’altura de la piràmide apliquem el teorema de Pitàgores al triangle de color i tenim en compte que, com que és equilàter, el radi és:
r=
2 2 h' → r = ⋅ 6,1 = 4,1 cm 3 3
82 = h 2 + r 2 → h = 64 − 16,81 = 6,9 cm
V= 074 ●●
1 1 AB ⋅ h → V = ⋅ 21,4 ⋅ 6,9 = 49,2 cm3 3 3
Calcula el volum d’un cilindre de 12 cm de diàmetre i el triple del diàmetre d’altura. G
6 cm
h = 3 ⋅ 12 = 36 cm
296
V = πr 2h → V = π ⋅ 62 ⋅ 36 = 4.069,4 cm3
831106 _ 0274-0309.qxd
11/9/07
13:33
Página 297
SOLUCIONARI
075 ●●●
9
Calcula el volum d’aquests cossos geomètrics. a)
b) 8 cm
G
5c m
a) L’aresta és: 5 = a 2 + a 2 + a 2 = a 3 → a = 2,89 cm. V = 2,893 = 25,66 cm3 ⎛a⎞ a 3 a 2 − ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = → a = 9,23 cm. ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 2 2
b) L’aresta és: 8 =
⎛8⎞ 82 − ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = ⎜⎝ 3 ⎟⎠ 2
L’altura és: h =
56,88 = 7,54 cm.
V = 9,23 ⋅ 8 ⋅ 7,54 = 556,75 cm3
076
FES-HO AIXÍ COM CALCULEM EL VOLUM D’UN TRONC DE PIRÀMIDE I D’UN TRONC DE CON? Calcula el volum d’aquestes figures. a)
b)
G
G
3 cm G
4 cm
9 cm
9 cm 6 cm
5 cm
El volum d’un tronc de piràmide o d’un tronc de con el podem calcular amb la fórmula: S2
S2
G
r' h
V =
h
S1
S1
r
h (S1 + S2 + S1 ⋅ S2 ) 3
a) S1 = 62 = 36 cm2 S2 = 42 = 16 cm2 V =
9 ⋅ (36 + 16 + 3
36 ⋅ 16 ) = 228 cm3
b) S1 = πr 2 = π ⋅ 52 = 78,5 cm2 S2 = πr' 2 = π ⋅ 32 = 28,26 cm2 V =
9 ⋅ (78,5 + 28,26 + 3
78,5 ⋅ 28,26 ) = 461, 58 cm3
297
831106 _ 0274-0309.qxd
11/9/07
13:33
Página 298
Cossos geomètrics 077
Calcula el volum d’aquestes figures.
●●
a)
7 cm
b)
9 cm
3 cm
G
5 cm 4 cm
12 cm
a) Apliquem el teorema de Pitàgores en l’espai i trobem l’altura ⎛ 12 − 7 ⎞⎟ ⎟ = 92 − ⎜⎜ ⎜⎝ 2 ⎟⎟⎠ 2
de la cara lateral: h Cara =
74,75 = 8,64 cm.
Apliquem una altra vegada el teorema de Pitàgores i trobem l’altura del tronc de piràmide: h = V =
8,642 − 2,52 =
68,4 = 8,27 cm . El volum és:
8,27 ⋅ (122 + 72 + 122 ⋅ 72 ) = 763,6 cm3 3
b) Apliquem el teorema de Pitàgores i trobem l’altura: h=
52 − (4 − 3)2 = V =
078 ●●
24 = 4,9 cm. El volum és:
4,9 ⋅ (π ⋅ 32 + π ⋅ 42 + 3
π ⋅ 32 ⋅ π ⋅ 42 ) = 189,76 cm3
A l’interior d’un cub de 12 cm d’aresta construïm una piràmide la base de la qual és una cara del cub i el vèrtex, el centre de la cara oposada. Calcula l’àrea i el volum d’aquesta piràmide. L’apotema és: a =
122 + 62 =
180 = 13,42 cm.
12 cm 12 ⋅ 13,42 = 322,08 cm2 2 Àrea base = 122 = 144 cm2. Àrea total = 144 + 322,08 = 366,08 cm2
Àrea lateral = 4 ⋅
Volum =
079 ●
122 ⋅ 12 = 576 cm3 3
Calcula el volum d’un con: a) De 5 cm de radi i 8 cm d’altura. b) De 5 cm de radi i 8 cm de generatriu. a) V =
1 1 πr 2h → V = π ⋅ 52 ⋅ 8 = 209,3 cm3 3 3
b) Calculem l’altura del con: h= h
8 cm
V= 5 cm
298
82 − 52 =
64 − 25 = 6,24 cm
1 1 πr 2h → V = π ⋅ 52 ⋅ 6,24 = 163,28 cm3 3 3
831106 _ 0274-0309.qxd
20/9/07
13:59
Página 299
SOLUCIONARI
080
Calcula el volum d’una esfera el diàmetre de la qual fa 20 cm.
●●
V=
081
9
4 4 πr 3 → V = π ⋅ 103 = 4.186,7 cm3 3 3
Un cub i una esfera tenen una àrea de 216 cm2. Quin té més volum?
●●●
ACub = 6 ⋅ ACara = 6c2 → 216 = 6c2 → c = 36 = 6 cm AEsfera = 4πr 2 → 216 = 4πr 2 → r = 17, 2 = 4,15 cm VCub = c3 → VCub = 63 = 216 cm3 4 4 VEsfera = πr 3 → VEsfera = π ⋅ 4,153 = 299,2 cm3 3 3 L’esfera té més volum. Calcula el volum dels cossos geomètrics següents. a)
e)
2 cm
3
cm
2 cm 5 cm 4 cm
2 cm
b)
4 cm
f)
G
4 cm
G
082 ●●●
3 cm 4 cm 6 cm
c)
g) 4 cm
4 cm
8 cm
4 cm
d)
h) 3 cm
6 cm G
7 cm
1 1 8 AB ⋅ h → VPiràmide = ⋅ 22 ⋅ 2 = = 2,7 cm3 3 3 3 VOrtoedre = a ⋅ b ⋅ c → VOrtoedre = 4 ⋅ 2 ⋅ 2 = 16 cm3
a) VPiràmide =
VT = VPiràmide + VOrtoedre = 2,7 + 16 = 18,7 cm3
299
831106 _ 0274-0309.qxd
20/9/07
13:59
Página 300
Cossos geomètrics 1 1 πr 2h → VCon = π ⋅ 32 ⋅ 4 = 37,68 cm3 3 3 VCilindre = πr 2h → VCilindre = π ⋅ 32 ⋅ 4 = 113,04 cm3
b) VCon =
VT = 37,68 + 113,04 = 150,72 cm3 1 π ⋅ 42 ⋅ 4 = 67 cm3 3 VCilindre = πr 2h → VCilindre = π ⋅ 42 ⋅ 8 = 401,92 cm3
c) VCon =
VT = VCilindre − VCon = 401,92 − 67 = 334,92 cm3 d) VCub = c3 → VCub = 93 = 729 cm3
VForat = 33 = 27 cm3 VT = VCub − 8 ⋅ VForat = 729 − 8 ⋅ 27 = 513 cm3 1 1 πr 2h → VSemicilindre = π ⋅ 1,52 ⋅ 5 = 17,66 cm3 2 2 1 1 VSemicon = πr 2h → VSemicon = π ⋅ 1,52 ⋅ 5 = 5,89 cm3 6 6
e) VSemicilindre =
VT = 17,66 + 5,89 = 23,55 cm3 1 1 AB ⋅ h = ⋅ 62 ⋅ 2 = 24 cm3 3 3 VCub = c3 = 63 = 216 cm3
f) VPiràmide =
VT = VCub − VPiràmide = 216 − 24 = 192 cm3 g) Trobem el costat del triangle equilàter: 4 cm
c
4 cm
c2 = 42 + 42 = 32 → c =
32 = 4 2 cm
VCub = l = 8 = 512 cm 3
3
3
ABase =
4 cm
4 cm
Determinem el volum del pic que s’ha biselat del cub (és una piràmide triangular):
VPic = 4 cm
1 ⋅ 4 ⋅ 4 = 8 cm2 2
1 1 ABase ⋅ h → VPic = ⋅ 8 ⋅ 4 = 10,7 cm3 3 3
1 4 3 1 4 ⋅ πr = ⋅ ⋅ π ⋅ 63 = 452,16 cm3 2 3 2 3 VCilindre = πr 2h = π ⋅ 62 ⋅ 7 = 791,28 cm3
h) VSemiesfera =
VT = 452,16 + 791,28 = 1.243,44 cm3
300
831106 _ 0274-0309.qxd
11/9/07
13:33
Página 301
9
SOLUCIONARI
083
Observa la situació de les ciutats A i B i contesta.
●●
a) La ciutat B és en el mateix paral·lel que la ciutat A. Quina és la latitud de B? Quines relacions hi ha entre les latituds de A i B?
A
b) Les ciutats A i E són en el mateix meridià. Quina relació hi ha entre les seves longituds?
B
E
a) Les latituds són iguals. b) Les longituds són iguals. 084 ●●
Un ascensor té les mides següents: 100 × 100 × 250 cm. S’hi pot introduir una vara que faci 288 cm? La longitud de la vara més gran que es pot posar a l’ascensor és la diagonal d’aquest mateix ascensor. d =
1002 + 1002 + 2502 =
82.500 = 287,22 cm < 288 cm
Per tant, la vara no es podrà introduir a l’ascensor. 085 ●●
Volem pintar una habitació rectangular (inclòs el sostre) de 4 × 6 m i 3 m d’altura. Cadascun dels pots que farem servir té pintura per pintar 30 m2. a) Quants pots haurem de comprar si fem cas del que diu el fabricant? b) Si al final hem fet servir 4 pots, per a quants metres quadrats hem fet servir cada pot? L’àrea lateral és: (4 + 4 + 6 + 6) ⋅ 3 = 60 m2. L’àrea del sostre és: 6 ⋅ 4 = 24 m2. L’àrea total és: 60 + 24 = 84 m2. a) El nombre de pots és: 84 : 30 = 2,8. Per tant, necessitem 3 pots. b) Si hem gastat 4 pots sencers, amb cada pot podem pintar: 84 : 4 = 21 m2.
086
La piràmide de Kefren té les mides que es veuen a la figura.
●●
Quina és l’altura de la piràmide?
G
179,37 m
215,25 m
Si formem un triangle rectangle amb l’apotema, l’altura i mig costat, l’altura serà: h=
179,372 − 107,6252 =
20.590,46 = 143,49 m
301
831106 _ 0274-0309.qxd
20/9/07
13:59
Página 302
Cossos geomètrics 087 ●●
Calcula l’àrea total de la torre cúbica de 10 m d’aresta que té una teulada en forma piramidal l’altura de la qual és 12 m. G
12 m
L’àrea total de la part cúbica és: 10 m
ACub = 4 ⋅ 102 = 400 m2
Per trobar l’àrea lateral de la piràmide, calculem primer què mesura l’altura d’una de les seves cares. ⎛l⎞ a 2 = h 2 + ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ → a = ⎝2⎠ 2
a
h
l 2
ACara =
122 + 52 = 13 m
1 1 b ⋅ a → ACara = ⋅ 10 ⋅ 13 = 65 m2 2 2
AL Piràmide = 4 ⋅ 65 = 260 m2; AT Piràmide = AL + AB = 400 + 260 = 660 m2 AT = 400 + 660 = 1.060 m2 088 ●●
Un cub i una esfera tenen el mateix volum, 125 cm3. Quina té l’àrea més petita? Si haguessis de construir un dipòsit cúbic o esfèric, amb quina forma faria falta menys material?
VCub = c3 → 125 = c3 → c = 5 cm ACub = 6 ⋅ AC = 6l 2 → ACub = 6 ⋅ 52 = 150 cm2 4 4 3 ⋅ 125 = 3,1 cm πr 3 → 125 = πr 3 → r = 3 3 3 4π AEsfera = 4πr 2 → AEsfera = 4 ⋅ π ⋅ 3,12 = 120,7 cm2
VEsfera =
L’àrea de l’esfera és menor que la del cub. Per tant, escolliria la forma esfèrica. 089 ●●
La Géode és un gegantesc cinema amb forma d’esfera. Calcula’n l’àrea si saps que el seu volum és de 24.416.640 dm3.
4 4 3 ⋅ 24.416.640 = 180 dm πr 3 → 24.416.640 = πr 3 → r = 3 3 3 4π A = 4πr 2 → A = 4π ⋅ 1802 = 406.944 dm2
V=
302
831106 _ 0274-0309.qxd
20/9/07
13:59
Página 303
SOLUCIONARI
090 ●●
9
Calcula el volum de la piscina.
Si considerem la piscina com un prisma de base trapezoidal, l’àrea de la base 4+2 ⋅ 20 = 60 m2 . I el volum és: V = 60 ⋅ 4 = 240 m3. és: ABase = 2 091 ●●●
En un dipòsit cúbic ple d’aigua que té una aresta de 3 m hi introduïm els cossos següents. a) Quin percentatge de la quantitat inicial d’aigua hi ha al cub després d’introduir-hi una esfera d’1,5 m de radi?
b) Quin percentatge queda de la quantitat inicial d’aigua si hi introduïm un cilindre de 3 m de diàmetre i altura?
c) I si hi introduïm un con de 3 m de diàmetre i la mateixa altura?
3m
3m
3m
a) VCub = c3 → VCubo = 33 = 27 m3 4 4 πr 3 → VEsfera = ⋅ π ⋅ 1,53 = 14,13 m3 3 3 VCub − VEsfera = 27 − 14,13 = 12,87 m3
VEsfera =
El tant per cent el trobem amb una regla de tres: 1.287 Si de 2272 m3 ⎯⎯→ 12,87 m3 ⎫⎪ = 47,7 % ⎬→ x = Si de 100 m3 ⎯⎯→ x m3 ⎪⎪⎭ 27 Queda el 47,7 % del volum inicial. ⎛3⎞ b) VCilindre = πr 2h → VCilindre = π ⋅ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⋅ 3 = 21,2 m3 ⎝2⎠ VCub − VCilindre = 27 − 21,2 = 5,8 m3 2
580 Si de 2272 m3 ⎯⎯→ 5,8 m3 ⎪⎫ = 21,5 % ⎬→ x = Si de 100 m3 ⎯⎯→ x m3 ⎪⎪⎭ 27 ⎛3⎞ 1 1 πr 2h → VCon = π ⋅ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⋅ 3 = 7,1 m3 ⎝2⎠ 3 3 VCub − VCon = 27 − 7,1 = 19,9 m3 2
c) VCon =
1.990 Si de 2272 m3 ⎯⎯→ 19,9 m3 ⎪⎫ = 73,7 % ⎬→ x = Si de 100 m3 ⎯⎯→ x m3 ⎪⎪⎭ 27
303
831106 _ 0274-0309.qxd
11/9/07
13:33
Página 304
Cossos geomètrics 092 ●●
Una empresa ven suc en envasos amb forma d’ortoedre que tenen unes mides d’11 × 6 × 15 cm. Decideixen canviar aquests envasos per uns amb les característiques següents: – Disminueix un 10 % l’àrea de la base. – Augmenta un 10 % l’altura. a) El volum de l’envàs nou és més gran o més petit que el de l’antic? b) Si es manté el mateix preu, és més rendible per al client l’envàs nou? c) El preu del bric és 1,40 €. Quant guanya l’empresa si envasa 99.000 litres de suc al mes? I quant guanyava abans? a) V = 11 ⋅ 6 ⋅ 15 = 990 cm3 AB = 11 ⋅ 6 = 66 cm2 → AB' = 0,9 ⋅ 66 = 59,4 cm2 h' = 1,1 ⋅ h → h' = 110 % ⋅ 15 = 16,5 cm V ' = AB' ⋅ h' → V ' = 59,4 ⋅ 16,5 = 980,1 cm3 Per tant, el volum de l’envàs nou és més petit que el de l’antic. b) No, perquè pel mateix preu té menys suc. c) V ' = 980,1 cm3 = 0,98 dm3 = 0,98 ¬
99.000 ¬ : 0,98 ¬ = 101.020,4 envasos
Actualment guanya: 101.020 ⋅ 1,40 €/envàs = 141.428 €.
V = 990 cm3 = 0,99 dm3 = 0,99 ¬
99.000 ¬ : 0,99 ¬ = 100.000 envasos Abans guanyava: 100.000 ⋅ 1,40 €/envàs = 140.000 €. 093 ●●●
Una formiga es troba en un vèrtex d’un octoedre i decideix recórrer totes les arestes sense passar dues vegades per la mateixa aresta. Indica un camí possible. Curiosament, la formiga no podria fer el mateix en un cub. Comprova-ho. Si considerem els quatre laterals de l’octaedre, cada punt final és el punt inicial del lateral següent. Inici 4.
o
1.o 3.o
5.o
2.o Final
304
Amb el cub no es pot fer perquè cada vèrtex és la intersecció de tres arestes (i no de quatre) i, quan l’intenta recórrer, la segona vegada que l a formiga arribi a un vèrtex no en podrà sortir.
831106 _ 0274-0309.qxd
11/9/07
13:33
Página 305
SOLUCIONARI
094 ●●●
9
Imagina que envoltem amb una corda l’equador de la Terra. a) Si sabem que el radi de la Terra fa 3.378 km, quina longitud tindrà la corda? b) Amb una corda un metre més llarga fem una circumferència. Quina és la diferència entre els radis de totes dues? r = 6.378 km G
c) Fem el mateix amb una bola que té 18 mm de radi. Quina és ara la diferència entre els radis de totes dues circumferències? a) Longitud = 2πr = 2π ⋅ 6.378 = 40.074,15588 km → 40.074.155,88 m b) 40.074.156,88 = 2πr r = 6.378.000,16 6.378.000,16 − 6.378.000 = 0,16 m = 16 cm → La diferència són 16 cm. c) La distància no varia, independentment de la longitud del radi. 2πr + 1 = 2π(r + d ) → d =
095 ●●●
1 = 0,16 m = 16 cm 2π
L’any 1638 el gran matemàtic Galileu va proposar el problema següent. «Si enrotllem un full de paper en els dos sentits possibles, obtenim dos cilindres diferents.» Aquests cilindres tenen el mateix volum?
Considerem que els costats mesuren a i b. El volum del cilindre d’altura a és: b b2 b 2a → V = πr 2a = π a= 2 2π 4π 4π El volum del cilindre d’altura b és: r =
a a2 a 2b → V = πr 2b = π b = 2π 4π 2 4π Per tant, només tenen el mateix volum si el full és quadrat. r =
305
831106 _ 0274-0309.qxd
20/9/07
13:59
Página 306
Cossos geomètrics 096 ●●●
Si tenim una esfera inscrita en un cilindre, calcula quina és la diferència entre l’esfera i el cilindre en funció del radi de l’esfera. Volum cilindre = πr 2 ⋅ (2r) = 2πr 3 4 3 πr 3 2 Per tant, el volum de l’esfera és del volum del cilindre. 3 2 La diferència és: πr 3 . 3 Volum esfera =
097 ●●●
En un llibre de matemàtiques hi hem trobat aquest problema: «Si el costat d’un octaedre és c, el seu volum és: V = c3 ⋅ 0,4714». Investiga com obtenim aquest fórmula. El volum de l’octaedre és el de dues piràmides amb base un quadrat de costat i aresta c. ⎛c ⎞ c 2 − ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 2
L’apotema lateral és: a =
3 c. 2
2 ⎛ 3 ⎞⎟ ⎛ ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ − ⎜⎜ c ⎟⎟ = c ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ 2 ⎟⎟⎠ ⎝ 2 ⎟⎠ 2
L’altura de la piràmide és: h = VPiràmide =
1 1 2 ABase ⋅ h = c 2 ⋅ c = 3 3 2
VOctaedre = 2 ⋅ VPiràmide =
2 c. 2
2 3 c 6
2 3 c = 0,4714c 3 3
A LA VIDA QUOTIDIANA 098 ●●●
Christo Javacheff i la seva dona Jeanne són dos dels artistes actuals més populars. Les seves obres més representatives consisteixen a embolicar amb roba objectes i monuments. Les seves primeres obres es reduïen a empaquetar ampolles, llaunes i capses amb roba o plàstic. A poc a poc, però, van anar augmentant la producció. El 1982 van embolicar 11 illes de la badia de Florida. Per fer-ho van fer servir 603.000 m2 de roba rosa. El 1985 van empaquetar el pont Neuf sobre el riu Sena, a la ciutat de París. El 1995 van embolicar també amb roba l’immens edifici del Reichstag, a Berlín.
306
831106 _ 0274-0309.qxd
11/9/07
13:33
Página 307
SOLUCIONARI
9
Entre els seus futurs projectes hi ha embolicar la Puerta de Alcalá de Madrid i l’estàtua de Colom de Barcelona. Això és un croquis de la Puerta de Alcalá amb les mides que fa.
Quants metres quadrats de roba necessitaran, aproximadament, per embolicar completament aquest monument sense tapar les arcades? La figura està formada per un prisma rectangular principal de dimensions 42 × 10,5 × (23 − 6,75) m, més un prisma rectangular superior de 12 × 10,5 × 4 m, més un prisma rectangular en forma de teulada amb un triangle de base 12 m i altura 6,75 m − 4 m i una altura del prisma de 10,5 m, menys l’espai de les tres portes de 3,5 × 10,5 × 6,75 m, menys l’espai de les tres portes centrals que estan formades per un prisma rectangular de 5,4 × 10,5 × (10,8 − 2,7) m i mig cilindre de radi 2,7 m i altura 10, 5 m.
VPrincipal = 42 ⋅ 10,5 ⋅ 16,25 = 7.166,25 m3 VSuperior = 12 ⋅ 10,5 ⋅ 4 = 504 m3 12 ⋅ 2,75 ⋅ 10,5 = 173,25 m3 2 VPorta lateral = 3,5 ⋅ 10,5 ⋅ 6,75 = 248,06 m3 VPorta principal = 5,4 ⋅ 10,5 ⋅ 8,1 + π ⋅ 2,72 = 459,27 + 22,89 = 482,16 m3 VTotal = 7.166,25 + 504 + 173,25 − 2 ⋅ 248,06 − 3 ⋅ 482,16 = 5.900,9 m3
VTeulada =
307
831106 _ 0274-0309.qxd
11/9/07
13:33
Página 308
Cossos geomètrics 099 ●●●
El producte més venut de la fàbrica de dolços LA LLAMINERA són unes galetes circulars de 6 cm de diàmetre i una gruixària de 5 mm. Les galetes es comercialitzen en paquets de 40 unitats, embolicades en paper de cel·lofana, i es venen en capses amb forma d’ortoedre que contenen quatre paquets en cadascuna. Les capses van embolicades amb el mateix paper de cel·lofana que els paquets.
LA LLAMINERA La producció de galetes diària s’estima en unes 10.000 unitats, i el departament financer està avaluant la conveniència que la forma de la capsa sigui un ortoedre. Quants metres quadrats de cartró necessitem al dia? I de paper de cel·lofana?
Jo crec que la qüestió és quin percentatge del volum de la capsa ocupen les galetes.
Creus que si la capsa tingués una altra forma se’n podria aprofitar millor l’espai? Quina quantitat de cartró s’estalviarien diàriament?
308
831106 _ 0274-0309.qxd
11/9/07
13:33
Página 309
SOLUCIONARI
9
Un paquet té forma de cilindre, de 3 cm de radi i una altura de 0,5 ⋅ 40 = 20 cm. El paper de cel·lofana per a un paquet és igual a la seva àrea: A Paquet = 2πr 2 + 2πrh = 2πr (r + h) = 2π ⋅ 3(3 + 20) = 433,32 cm2 L’àrea de la caixa és: ACaixa = 2 ⋅ 12 ⋅ 12 + 12 ⋅ 4 ⋅ 20 = 1.248 cm2. El material necessari per fabricar cada caixa és: A Cel·lofana = 4 ⋅ 433,32 + 1.248 = 2.981,28 cm2 A Cartró = 1.248 cm2 El nombre de caixes diàries és 10.000 : 40 = 250. Per tant, el total de material emprat és: TotalCel·lofana = 250 ⋅ 2.981,28 cm2 = 745.320 cm2 = 74,32 m2 TotalCartró = 250 ⋅ 1.248 cm2 = 312.000 cm2 = 31,2 m2 Si les col·loquem de la manera següent, tenim que:
L’àrea lateral és la mateixa, però l’àrea de la base és menor. Per tant, s’estalvia cartró. La base del romboide és dues vegades el diàmetre de la galeta, 12 cm, i l’altura és:
3 cm
h
3 cm
Altura = 3 +3 + h, en què h és l’altura d’un triangle equilàter de costat igual al diàmetre de la galeta, 12 cm. h=
122 − 62 = 10,39 cm
h = 6 + 10,39 = 16,39 cm ABase = 24 ⋅ 16,39 = 393,36 cm2 EstalviCartró = 2 ⋅ (AQuadrat − ARomboide) = 2 ⋅ (242 − 393,36) = 365,28 cm2 Total estalvi = 250 ⋅ 365,28 = 91.320 cm2 = 9,132 m2 L’estalvi diari de cartró seria de 9,132 m2.
309
831106 _ 0310-0337.qxd
10
11/9/07
13:31
Página 310
Moviments i semblances VECTORS
COMPONENTS I MÒDUL
ELEMENTS
TRANSFORMACIONS GEOMÈTRIQUES
SEMBLANCES
MOVIMENTS
TRANSLACIÓ GIR SIMETRIA CENTRAL SIMETRIA AXIAL
310
831106 _ 0310-0337.qxd
11/9/07
13:31
Página 311
El carro del Sol Explica la llegenda que a Alexandria, a l’època en què es construïa el famós Far, un grup d’homes va derrotar el Sol. Apol·lo, qui altres anomenen Ra, va ordenar als seus serfs que li portessin els set homes més savis de tots els temps, perquè volia la saviesa del món per a ell. Els serfs van començar la feina i van trobar els set primers. Va ser fàcil, perquè tots set eren a l’Hades i se’ls coneixia com els Set Savis. El vuitè el van buscar entre els vius i entre els morts, a la terra i al cel, però no apareixia. Cansats de tant buscar, ho van preguntar a l’Oracle: –El seu nom és Euclides i es troba a la biblioteca d’Alexandria. Dalt del carro d’Apol·lo van volar fins a la biblioteca i hi van trobar un grup d’homes. El més ancià, que estudiava dos quadrats de mida diferent i n’anotava les semblances i les diferències, va ser capturat pels serfs d’Apol·lo. –Euclides és nostre! En aquell instant, la resta d’homes els van envoltar mentre deien: –Jo sóc Euclides! Jo sóc Euclides! Els enviats, davant la impossibilitat de reconèixer qui era realment Euclides, se’n van anar i van dir a Apol·lo que el vuitè savi no existia, que era un i eren tots. Després d’això, Apol·lo va alliberar els Set Savis i quan li van preguntar per què ho feia va contestar que no hi ha murs que continguin la saviesa i el coneixement. En què s’assemblen i es diferencien dos quadrats de mida diferent?
Els dos quadrats s’assemblen en el fet que tenen la mateixa forma i es diferencien en el fet que són de mida diferent.
831106 _ 0310-0337.qxd
11/9/07
13:31
Página 312
Moviments i semblances EXERCICIS 001
Donades les parelles de punts següents, calcula en cada cas les coordenades ជ i troba’n el mòdul. del vector AB
B(−4, 5) a) A(1, 3) b) A(4, 0) B(−1, −5) c) A(−1, −3) B(5, −7) ជ = (−4 − 1, 5 − 3) = (−5, 2) → |AB ជ | = (−5)2 + 22 = a) AB
29
ជ = (−1 − 4, −5 − 0) = (−5, −5) → |AB ជ | = (−5)2 + (−5)2 = b) AB ជ = (5 + 1, −7 + 3) = (6, −4) → |AB ជ | = 6 + (−4) = c) AB 2
002
2
52
ជ (−3, 5), determina el punt B, extrem de AB ជ. Donats el punt A(2, 4) i el vector AB
A (2, 4); B (x, y) → −3 = x − 2 → x = −1⎫⎪ ⎬ → B (−1, 9) 5 = y − 4 → y = 9⎭⎪⎪ 003
Escriu tres vectors amb mòdul 4. En pots escriure un amb mòdul −2? ជ (4, 0); CD ជ (0, 4) i EF ជ( 8, 8) AB No hi ha cap vector el mòdul del qual sigui −2, ja que el mòdul, que representa una mesura de longitud, no pot ser negatiu.
004
Quines de les figures següents són el resultat d’aplicar un moviment a la figura? b)
a)
c)
d)
Les figures dels apartats a) i b).
005
Indica si les afirmacions següents són certes. a) Una transformació és un moviment. b) Un moviment conserva sempre la forma. c) Una transformació manté la mida de les figures. És certa l’afirmació de l’apartat b).
006
Dibuixa una lletra E i aplica-li diferents transformacions geomètriques.
E 312
50
F
E
F
E
F
E
831106 _ 0310-0337.qxd
11/9/07
13:31
Página 313
SOLUCIONARI
007
10
Y
Troba la figura traslladada de la figura F per mitjà del vector ជ v.
6
v ជ 4
F
2
2
4
6
8
10
X
Quan apliquem el vector de translació ជ v =ជ AB = (11 − 7, 3 − 6) = (4, −3) als vèrtexs de la figura F, tenim que: Y
ជ v (4, −3)
A (1, 6) ⎯⎯⎯⎯⎯→ A' (5, 3) B (4, 5) ⎯⎯⎯⎯→ B' (8, 2) C (3, 3) ⎯⎯⎯⎯→ C' (7, 0) D (2, 4) ⎯⎯⎯⎯→ D' (6, 1)
6 4
A B D
A' C
2
F'
B'
D' 2
008
ជ v
F
4
6 C' 8
10
X
Un quadrat té com a vèrtexs els punts A (−1, 1), B (1, 1), C (1, −1) i D (−1, −1).
v a) Determina’n el traslladat A'B'C'D' per mitjà de la translació del vector ជ (4, −2). b) Comprova gràficament que els punts A', B', C ' i D' també formen un quadrat. ជ v (4, −2)
a) A (−1, 1) ⎯⎯⎯⎯⎯→ A' (3, −1) B (1, 1) ⎯⎯⎯⎯⎯→ B' (5, −1) C (1, −1) ⎯⎯⎯⎯→ C' (5, −3) D (−1, −1) ⎯⎯⎯⎯→ D' (3, −3) b)
Y
1
009
3
5
−1
A'
B'
−3
D'
C'
X
Determina la translació que transforma el punt A (−1, 4) en A'(5, 2). ជ v = (5 − (−1), 2 − 4) = (6, −2)
010
Troba la figura transformada de la figura F mitjançant un gir de centre O i angle 90°.
313
831106 _ 0310-0337.qxd
11/9/07
13:31
Página 314
Moviments i semblances 011
Un triangle té com a vèrtexs els punts A (3, 0), B (−1, 4) i C (2, 5). Troba’n la transformada per un gir de centre (2, −1) i angle 180°. Y C
B
A
1 −1
X
A'
−3 −5
B'
C'
012
En quina figura es transforma el quadrat ABCD mitjançant un gir G (A; 90°)? I mitjançant un gir G (A; −90°)? +90°
C'
B' D
D'
014
C
A A'
B D'
B'
C'
C
A' A
−90°
B
En tots dos casos es transforma en un quadrat. 013
D
Troba la figura transformada de la figura F per mitjà d’una simetria central de centre O.
F O
F'
Dibuixa un quadrat de vèrtexs: A (1, 1) B (−1, 1) C (−1, −1) D (1, −1) i calcula’n el simètric respecte a l’origen de coordenades i respecte del punt A (1, 1). Y
Y 3
B'
3
A'
D' A'
B A
−3
3
C'
X
D' −3
Respecte de l’origen és el mateix quadrat.
314
−3
C' B' 3
C
X
D
−3
A' = (1, 1), B' = (3, 1), C' = (3, 3) i D' = (1, 3)
831106 _ 0310-0337.qxd
11/9/07
13:31
Página 315
SOLUCIONARI
015
10
Ha desaparegut la meitat d’aquesta figura i sabem que és simètrica al punt O. Reconstrueix-la.
O
F
016
Troba la figura transformada de la figura F per mitjà d’una simetria d’eix e.
017
Assenyala tots els eixos de simetria que tinguin les figures següents.
018
Un triangle té els vèrtexs A (2, −1), B (4, 5) i C (−3, 6). Troba’n el transformat mitjançant una simetria respecte a l’eix d’abscisses.
F'
C
e
F
Y B
5 3
A' −5 −3 −1
3
5
A
X
−3 −5
B'
C'
019
Transforma aquest hexàgon per mitjà d’una homotècia de centre el vèrtex A i raó 3. E
D
F
C
A
B
315
831106 _ 0310-0337.qxd
11/9/07
13:31
Página 316
Moviments i semblances 020
Determina si un triangle de costats de 3, 4 i 5 cm és semblant a un altre de costats 1,5; 2 i 2,5 cm. Són semblants, de raó 2. 3 4 5 = = =2=k 1,5 2 2,5
021
Troba els punts i les rectes dobles d’una homotècia. L’únic punt doble d’una homotècia és el centre de l’homotècia, O. Les rectes dobles són les rectes que es transformen en elles mateixes, és a dir, les rectes que passen pel centre de l’homotècia.
022
Troba les longituds que no coneixem.
y m
5c
2,2 m 3c
x
1,5 cm
5 cm
3 2,25 y = = → x = 2 cm; y = 7,5 cm x 1,5 5
023
1,6 =
024
B A
OA AB OB = = OA' A'B' OB'
1,6 =
AB → AB = 8 cm 5
1,6 =
OB → OB = 15,52 cm 9,7
O
A' 4,7 cm
Divideix un segment AB de 5 cm en 7 parts iguals.
A
316
r
OA = 1,6; Si saps que la raó calcula AB i OB. OA'
B
B' 5 cm
s
831106 _ 0310-0337.qxd
11/9/07
13:31
Página 317
SOLUCIONARI
025
10
Divideix gràficament el segment AB de 20 cm de longitud en: a) b) c) d)
3 7 2 4
parts iguals. parts iguals. parts en què la segona sigui la meitat que la primera. parts, en què cada part sigui el doble que l’anterior. a)
d) 8d
4d
A
B
d
2d
A
B
b)
A
B d
c)
2
d
A
026
B
Divideix gràficament el segment AB, de 16 cm de longitud, en parts proporcionals a dos segments de longituds 2 cm i 3 cm. m 3c m 2c
A
027
16 cm
B
En Raül ha de tallar un llistó de 30 cm en 7 parts iguals. Només disposa d’un tros que fa 21 cm. Com el pot dividir? Dividim el tros de 21 cm en 7 parts iguals, de 3 cm cada una, i apliquem el teorema de Tales. Unim els dos llistons per un extrem i després unim amb un segment els altres dos extrems. Després, tracem paral·leles al segment perles divisions del llistó de 21 cm. Els punts de tall amb el llistó de 30 cm són els llocs per on hem de tallar.
317
831106 _ 0310-0337.qxd
11/9/07
13:31
Página 318
Moviments i semblances 028
?
Troba les dimensions reals d’aquest camp de futbol. Llargada: 4 cm ⋅ 3.000 = 12.000 cm = 120 m Amplada: 2,5 cm ⋅ 3.000 = 7.500 cm = 75 m
029
1 : 3.000
A quina escala s’ha dibuixat un mapa en què la distància entre dues poblacions és 4,5 cm si la distància real és de 54 km? 54 km 5.400.000 cm = = 1.200.000 4,5 cm 4,5 cm Escala 1 : 1.200.000
030
Dos pobles A i B estan separats entre ells per 50 km. A quina distància es troben en un mapa a escala 1 : 800.000? 5.000.000 cm : 800.000 = 6,25 cm
ACTIVITATS 031 ●
ជ Donades les parelles de punts, calcula les coordenades del vector AB i el seu mòdul. c) A (4, −1), B (2, −6) d) A (−3, −3), B (−1, −2)
a) A (−1, 3), B (4, 5) b) A (−2, 0), B (1, −3)
ជ = (4 − (−1), 5 − 3) = (5, 2) → ⏐AB ជ⏐ = 29 a) AB ជ = (1 − (−2), −3 − 0) = (3, −3) → ⏐AB ជ⏐ = 18 b) AB ជ = (2 − 4, −6 − (−1)) = (−2, −5) → ⏐AB ជ⏐ = 29 c) AB ជ = (−1 − (−3), −2 − (−3)) = (2, 1) → ⏐AB ជ⏐ = 5 d) AB 032 ●
ជ i representa’l gràficament. Determina les coordenades de A en el vector AB ជ a) AB (2, 3) i B (−3, 4) ជ (−1, 0) i B (2, 5) b) AB a) A = (−5, 1)
b) A = (3, 5) Y
Y 5
B
5
B
A
3 3 1
A −5
−3
−1
X
1 1
318
3
5
X
831106 _ 0310-0337.qxd
11/9/07
13:31
Página 319
SOLUCIONARI
033 ●
ជ i representa’l. Troba les coordenades de B en el vector AB ជ (2, −2) i A (−3, 3) a) AB ជ (−2, −3) i A (2, −1) b) AB ⎛ ⎞ ជ (3, 0) i A ⎜⎜2, − 5 ⎟⎟ c) AB ⎜⎝ 2 ⎟⎠ a) B = (−1, 1)
Y 5
A B −5
−3
⎛ 5⎞ c) B = ⎜⎜⎜5, − ⎟⎟⎟ ⎝ 2⎠
b) B = (0, −4) Y
034
10
−1
Y 1
3
A
1
X
3
−1
1
−3
−3
B
−5
X
3
5
−1
X A
B
FES-HO AIXÍ COM CALCULEM LES COORDENADES D’UN VECTOR EN UN SISTEMA DE COORDENADES? Calcula les coordenades d’aquests vectors. Y
5 3
C
C' D
1
B A'
A 1
3
5
X
Considerem el vector com la diagonal d’un rectangle i en calculem les dimensions dels costats. La primera coordenada del vector és la dimensió de la llargada del rectangle que determina. La considerem positiva si el desplaçament és cap a la dreta, i negativa, si és cap a l’esquerra. PRIMER.
a) AA' ⎯→ 3 unitats cap a la dreta ⎯→ 3 b) CC' → 3 unitats cap a l’esquerra → −3 La segona és la dimensió de l’altura del rectangle. La considerem positiva si el desplaçament és cap amunt, i negativa si és cap avall. → 2 unitats cap amunt → 2 a) A'B ⎯ b) C'D → 1 unitat cap avall ⎯⎯ → −1 ជ(3, 2) i CD ជ(−3, −1). Així doncs, les coordenades dels vectors són AB SEGON.
319
831106 _ 0310-0337.qxd
11/9/07
13:31
Página 320
Moviments i semblances 035 ●
ជ i troba’n Determina les coordenades dels extrems del vector AB les coordenades i el mòdul. a)
b)
Y
Y
A 5
5
3
3
1
1
B 1
3
5
ជ = (6, 5) − (1, 2) = (5, 3) b) AB ជ| = 52 + 32 = 25 + 9 = |AB
●●
A 1
X
ជ = (5, 1) − (1, 6) = (4, −5) a) AB ជ| = 42 + (−5)2 = 16 + 25 = |AB
036
B
3
5
X
41
34
Dibuixa el vector d’extrems A(−2, 2) i B(3, 0) i calcula’n les coordenades i el mòdul. Y A
ជ = (3 − (−2), 0 − 2) = (5, −2) AB
3 1
−3
037 ●●●
038 ●
−1
B 1
3
X
ជ| = 52 + (−2)2 = 29 |AB ជ és l’oposat a AB ជ. El vector BA
Escriu tres vectors amb mòdul 9. En podries escriure més? Quants? Per exemple, (0, 9), (−9, 0) i (9,0). Es poden escriure infinits vectors. Per a cada punt d’origen són tots els vectors que acaben a la circumferència de radi 9 el centre de la qual és aquest punt. Observa el dibuix i indica si les figures següents s’han obtingut per mitjà d’un moviment o no. Raona la resposta.
Figura 1
Figura 3 Figura 2
Figura 4
Les figures 1 i 2 conserven la forma i la mida, i, per tant, s’han obtingut mitjançant un moviment. Les figures 3 i 4 no. La figura 3 no conserva ni la forma ni la mida, i la figura 4 conserva la forma però no la mida.
320
831106 _ 0310-0337.qxd
11/9/07
13:31
Página 321
SOLUCIONARI
039
10
Dibuixa, a partir de les figures, altres figures en què es conservi:
●
a) La mida. b) La forma. c) La mida i la forma. d) Ni la mida ni la forma. a)
b)
c)
d)
040 ●
Troba la figura transformada de la figura F per mitjà d’una translació de vector ជ v. a)
c)
Y F
F'
vជ
2
Y 4
vជ
2 2
F'
8
X
10
F 2
b)
d)
Y vជ
4 2
6
8
10
4
X
8
10
X
Y
F' 4
6
6
F
2
4
F' F
2
vជ 2
4
6
8
10
X
321
831106 _ 0310-0337.qxd
11/9/07
13:31
Página 322
Moviments i semblances 041
Completa la taula següent.
●● Punt A(1, 3) B(−2, −4) C (10, 7) D (1, 5) E (0, 3)
042 ●
Vector de translació ជ v (1, −2) uជ(2, 7) w ជ(−3, −5) ជ s (4, −4) ជ t (3, −2)
Punt traslladat A'(2, 1) B'(0, 3) C'(7, 2) D'(5, 1) E '(3, 1)
Quin és el vector de la translació que porta el punt A (2, −3) al punt A'(−1, 7)? ជ v = (−3, 10)
043 ●
Calcula les coordenades del punt transformat del punt B (4, −2) ⎛1 2⎞ mitjançant una translació del vector vជ⎜⎜⎜ , − ⎟⎟⎟ . ⎝5 3⎠ ⎛ 21 −8 ⎞⎟ ⎟⎟ B' = ⎜⎜ , ⎜⎝ 5 3 ⎟⎠
044 ●●
Determina gràficament els vectors de les translacions que transformen la figura F en F ' i F ", respectivament. Troba’n també les coordenades. Y
vជ
5
F' C'
3
F C −4
w ជ F"
1
−2
C" 1
3
5
7
X
Agafem el vèrtex superior esquerre de les tres figures:
En F ⎯ → A(−4, 4) → ជ v = (2 − (−4), 6 − 4) = (6, 2) → A'(2, 6) En F ' ⎯ ជ = (4 − (−4), 3 − 4) = (8, −1) En F " → A"(4, 3) → w Ho comprovem transformant el vèrtex dret de la figura F: ជ v (6, 2)
C (−1, 2) ⎯⎯⎯⎯⎯→ C ' (5, 4) wជ (8, −1)
C (−1, 2) ⎯⎯⎯⎯⎯→ C " (7, 1) que corresponen a les coordenades dels pics de F ' i F ".
322
831106 _ 0310-0337.qxd
20/9/07
14:05
Página 323
10
SOLUCIONARI Y
045 ●●
Troba la figura F que ha donat lloc a la figura F ', en aplicar-hi una translació de vector ជ v (−2, −3). Abans de fer-ho, determina quines seran les coordenades dels vèrtexs de la figura F.
F
A' G'
F'
E' D'
−8
−6
5
B'
3
C'
1
−4
−2
1
3
X
⎧ x − 2 = −6 → x1 = −4 ⎪ ជ v (−2, −3) A(x1, y1) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ A'(−6, 4) ⎨ 1 ⎪ ⎪ y1 − 3 = 4 ⎯→ y1 = 7 ⎩ ⎧⎪ x − 2 = −4 → x2 = −2 ជ v (−2, −3) B(x2, y2) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ B'(−4, 3) ⎨ 2 ⎪⎪⎩ y2 − 3 = 3 ⎯→ y2 = 6 ⎧ x − 2 = −4 → x3 = −2 ⎪ ជ v (−2, −3) C (x3, y3) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ C'(−4, 1) ⎨ 3 ⎪ ⎪ ⎩ y3 − 3 = 1 ⎯→ y3 = 4 ⎪⎧ x − 2 = −8 → x4 = −6 ជ v (−2, −3) D(x4, y4) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ D'(−8, 1) ⎨ 4 ⎪⎪⎩ y4 − 3 = 1 ⎯→ y4 = 4 ⎧ x − 2 = −7 → x5 = −5 ជ v (−2, −3) E(x5, y5) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ E '(−7, 2) ⎪⎨ 5 ⎩⎪⎪ y5 − 3 = 2 ⎯→ y5 = 5 ⎧⎪ x − 2 = −8 → x6 = −6 ជ v (−2, −3) G (x6, y6) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ G'(−8, 3) ⎨ 6 ⎩⎪⎪ y6 − 3 = 3 ⎯→ y6 = 6 046 ●●●
Troba la figura transformada de la figura F mitjançant la translació de vector ជ v . Anomena-la F '. Després, troba la figura transformada de F ' per la translació de vector w ជ. Anomena-la F ".
Y 5 3
vជ
F
w ជ
1
1 3 5 7 9 a) Pots passar directament de F a F " amb una translació? Si creus que sí, dibuixa el vector d’aquesta translació i escriu-ne les coordenades. b) Escriu les coordenades de ជ v iw ជ i suma’n les abscisses i ordenades. Quina relació té el resultat amb el de l’apartat a)?
vជ = (8, 2) − (5, 5) = (3, −3) Els punts de F es convertiran en: ជ v (3, −3)
A (1, 5) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ A'(4, 2) B (4, 5) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ B'(7, 2) C (2, 4) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ C'(5, 1) D (1, 4) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ D'(4, 1)
11
X
Y 5 3
A
F
B
vជ
D C
w ជ
F'
1
F" 1
7
9
11
X
w ជ = (10, 1) − (12, 3) = (−2, −2) Els punts de F ' es convertiran en: w ជ(−2, −2)
→ A"(2, 0) A '(4, 2) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ B'(7, 2) ⎯⎯⎯⎯⎯→ B"(5, 0) C'(5, 1) ⎯⎯⎯⎯⎯→ C"(3, −1) D'(4, 1) ⎯⎯⎯⎯⎯→ D"(2, −1)
323
831106 _ 0310-0337.qxd
11/9/07
13:31
Página 324
Moviments i semblances a) Sí, perquè mantenen la forma i la mida. Ho comprovem amb la transformació d’un punt de F en F " i ho apliquem als altres tres punts de F. Y
tជ(x, y)
⎯ → A"(2, 0) A (1, 5) ⎯⎯⎯⎯⎯
5
1 + x = 2 → x = 1⎪⎫ ⎬ → tជ(1, −5) 5 + y = 0 → y = −5⎪⎪⎭
3
F vជ ជ t
1
w ជ
F'
F" 1
5
7
9
11
X
Si apliquem el vector tជ als altres tres punts de F: tជ(1, −5)
⎯ → B"(5, 0) B (4, 5) ⎯⎯⎯⎯⎯ C (2, 4) ⎯⎯⎯⎯→ C"(3, −1) D (1, 4) ⎯⎯⎯⎯→ D"(2, −1) veiem que coincideixen amb els punts obtinguts mitjançant els dos moviments. ជ = (3, −3) + (−2, −2) = (1, −5) b) vជ + w És el vector tជ obtingut a l’apartat a). 047 ●●
Considera el punt P (0, 5). Si fem una translació de vector vជ(3, 4) i, seguidament, una altra de w ជ(−2, −1): a) Quin és el punt que obtenim? b) Si després de fer les dues translacions obtinguéssim el punt Q (2, −2), de quin punt hauríem partit? a) P' = (0 + 3 − 2, 5 + 4 − 1) = (1, 8) b) R = (2 − 3 + 2, −2 − 4 + 1) = (1, −5)
048 ●
Troba la figura transformada de F pel gir de centre O i l’angle indicat. a) Angle 90°. b) Angle 45°.
c) Angle −120° (120° en el sentit de les agulles del rellotge). d) Angle 180°.
a)
c) −120°
O F
F 90°
b)
F' O
d) F
F
F'
O O 180°
45°
F'
324
F'
831106 _ 0310-0337.qxd
11/9/07
13:31
Página 325
SOLUCIONARI
049 ●●
10
Troba la figura F ', transformada de F per un gir de centre l’origen de coordenades i angle 90°. Quines són les coordenades dels vèrtexs de F ? I les dels vèrtex transformats? Quina relació observes en els resultats? Y G' D' C' B'
E'
5
B C D
3
F'
F
A'
−4
−2
1
E G
A
3
5
X
7
A(1, 1) ⎯→ A'(−1, 1) B(2, 4) ⎯→ B'(−4, 2) C (3, 3) ⎯→ C'(−3, 3) D (4, 3) ⎯→ D'(−3, 4) E (4, 2) ⎯→ E'(−2, 4) G (5, 1) ⎯→ G'(−1, 5) El transformat d’un punt P (x, y ), per un gir de centre l’origen i angle de 90°, és P'(−y, x). 050 ●●
Determina el centre i el gir de l’angle que transforma F en F '.
F' F
El centre O és el de la figura.
O
L’angle de gir és de −120° aproximadament. 051 ●●
Troba la figura F que ha donat lloc a la figura F ' en aplicar-li un gir de centre l’origen i angle 90°. Si apliquem un gir de 90º als vèrtexs de F, es compleix que:
A(x1, y1) ⎯→ A'(−6, 3) → x1 = 3, y1 = 6 B(x2, y2) → B'(−5, 5) → x2 = 5, y2 = 5 C (x3, y3) ⎯→ C'(−4, 4) → x3 = 4, y3 = 4 D (x4, y4) → D'(−3, 5) → x4 = 5, y4 = 3 E (x5, y5) ⎯→ E '(−3, 1) → x5 = 1, y5 = 3 G (x6, y6) → G'(−5, 1) → x6 = 1, y6 = 5 052 ●●
Y A D'
B'
G
C' A'
F
F'
E
B C D
90°
G'
E' X
Completa aquesta taula, referida a diferents girs amb centre l’origen de coordenades. Punt
Angle
A (1, 0) B(3, 0) C (1, 2) D(−3, −4) E (0, 3)
90° 90° 180° 180° 90°
Punt transformat A'(0, 1) B'(0, 3) C'(−1, −2) D'(3, 4) E '(−3, 0)
325
831106 _ 0310-0337.qxd
11/9/07
13:31
Página 326
Moviments i semblances 053 ●●●
Troba la figura F ', transformada de la figura F mitjançant un gir de centre O i angle 90°. Després, troba la figura F ", transformada de F ' per un gir de centre O i angle 60°. a) Troba la transformada de F per un gir de centre O i angle 150° (90° + 60°). Què hi observes? b) Segons el resultat anterior, a quin moviment equivalen dos girs consecutius amb el mateix centre? c) I dos girs consecutius de 270°? a) La figura transformada pel gir de 150° és igual a la que resulta si apliquem un gir de 90º i després un altre de 60°
F" O
b) Equivalen a un gir amb el mateix centre i d’amplitud la suma de les amplituds.
F 60° F'
90°
c) Equivalen a un gir de 540°. 054 ●
Troba la figura transformada de F per una simetria central de centre O. a) Les coordenades dels vèrtexs de F' seran: A(−2, 2) ⎯→ A'(2, −2) B(−4, 0) ⎯→ B'(4, 0) C (−5, 1) ⎯→ C'(5, −1) D (−5, 2) ⎯→ D'(5, −2)
A
D
F
C
d) Les coordenades dels vèrtexs de F' seran: A(−2, 3) ⎯→ A'(2, −3) B(−1, 3) ⎯→ B'(1, −3) C (0, 2) ⎯⎯→ C'(0, −2) D (−1, 1) ⎯→ D'(1, −1) E (−2, 0) ⎯→ E'(2, 0) G(−3, 1) ⎯→ G'(3, −1)
326
O
F' C'
A'
b) Les coordenades dels vèrtexs de F' seran: A(−3, 3) ⎯→ A'(3, −3) B(−3, −1) ⎯ → B'(3, 1) C (−4, −1) ⎯ → C'(4, 1) D (−4, 0) ⎯→ D'(4, 0) E (−6, 1) ⎯→ E'(6, −1) G(−5, 1) ⎯→ G'(5, −1) c) Les coordenades dels vèrtexs de F' seran: A(0, 2) ⎯⎯→ A'(0, −2) B(1, 1) ⎯⎯→ B'(−1, −1) C (3, 2) ⎯⎯→ C'(−3, −2) D (2, 0) ⎯⎯→ D'(−2, 0) E (3, −1) ⎯→ E'(−3, 1) G(1, −1) ⎯→ G'(−1, 1)
B'
B
D'
A E'
F
F'
D'
C
B
G'
O
B' C'
D E
G
A'
A E
G
B' C'
F
D'
D
F'
O
C B
G' A'
A B G
F
C D
E
O D'
C'
E'
F' B' A'
G'
E'
831106 _ 0310-0337.qxd
11/9/07
13:31
Página 327
SOLUCIONARI
055 ●
10
Determina la figura transformada de F per mitjà de: a) Una simetria de centre l’origen. b) Una simetria d’eix l’eix d’ordenades. Quina relació hi ha entre les coordenades dels vèrtexs de F i els dels seus transformats? a)
Y 5
A G E
F
D
−6
−4
B
3
C
1
−2
1
C'
3
−2
5
D'
A(−4, 4) ⎯→ A'(4, −4) B(−2, 3) ⎯→ B'(2, −3) C (−2, 1) ⎯→ C'(2, −1) D (−6, 1) ⎯→ D'(6, −1) E (−5, 2) ⎯→ E'(5, −2) G(−6, 3) ⎯→ G'(6, −3)
X
E'
F'
G'
B'
−4
A'
P (x, y) es transforma en P'(−x, y) quan hi apliquem una simetria d’eix Y. b)
Y 5
A G E
F
C
D
−6
B
−4
−2
A(−4, 4) ⎯→ A'(4, 4) B(−2, 3) ⎯→ B'(3, 2) C (−2, 1) ⎯→ C'(1, 2) D (−6, 1) ⎯→ D'(1, 6) E (−5, 2) ⎯→ E'(5, 2) G(−6, 3) ⎯→ G'(3, 6)
A' B'
3 1
G'
F'
E' D'
C'
1
3
5
X
P (x, y) es transforma en P'(y, x) quan hi apliquem una simetria amb centre a l’origen. 056 ●●
Determina el centre de simetria que transforma F en F' i F' en F ", i l’eix de simetria que fa les mateixes transformacions. e
F
F'
P
F"
La simetria respecte de l’eix e transforma F en F'. I la simetria respecte del punt P transforma F en F".
327
831106 _ 0310-0337.qxd
11/9/07
13:31
Página 328
Moviments i semblances 057
Completa la taula, referida a una simetria de centre l’origen de coordenades.
●●
058
Punt A(1, 0) B(1, −2) C (−3, 0) D (0, 2)
Punt transformat A'(−1, 0) B'(−1, 2) C'(3, 0) D'(0, −2)
Completa la taula, referida a diferents simetries.
●● Eix de simetria Ordenades Ordenades Abscisses Abscisses
Punt
A (1, 3) B (0, 3) C (2, −1) D (5, 0)
059
Punt traslladat A'(−1, 3) B'(0, 3) C'(2, 1) D'(5, 0)
FES-HO AIXÍ COM FEM UNA COMPOSICIÓ DE MOVIMENTS?
C
Transforma el triangle ABC mitjançant un gir de centre O i angle 90º, i trasllada’n el transformat amb el vector vជ.
A O B C'
PRIMER.
B'
Fem el primer moviment. En aquest cas, el gir
de 90º. C"
B"
Sobre la figura que en resulta, A'B'C', fem el segon moviment. En aquest cas, la translació.
SEGON.
A' v ជ
La figura de la composició de moviments, un gir i una translació, és el triangle A"B"C".
A"
060
Apliquem a aquesta figura les composicions de moviments següents.
●●
C D
ជ v
B O A r
a) Una traslació de vector vជ i un gir de 180°. b) Una simetría de centre O i un gir de 90°. c) Una simetría respecte de la recta r i una traslació de vector vជ.
328
831106 _ 0310-0337.qxd
11/9/07
13:31
Página 329
SOLUCIONARI
a)
10
C v ជ
D
B
E
O
A
b) C D
B
E
O A
c)
r ជ v
061 ●●●
Dibuixa una figura i aplica-li dues simetries centrals consecutives del mateix centre. Quina relació hi ha entre la figura original i l’última figura que obtens? F"
F
La figura original i l’última figura obtinguda són la mateixa. F'
062
Les figures T i T ' són homotètiques. Troba el centre i la raó de l’homotècia.
● 1,8 cm 1,2 cm
T
r =
T'
1,8 = 1,5 1,2
329
831106 _ 0310-0337.qxd
11/9/07
13:31
Página 330
Moviments i semblances 063 ●
Calcula la longitud dels costats d’un triangle semblant a un altre els costats del qual fan 7, 11 i 13 cm, si la raó de semblança és k = 3. Els costats seran
064 ●●
7 11 13 = 2,33 cm; = 3,66 cm i = 4,33 cm. 3 3 3
Els sis costats d’un hexàgon fan 13, 14, 15, 17, 19 i 20 cm. Un costat d’un altre hexàgon semblant fa 80 cm. Si la raó de semblança és un nombre enter, quant fan la resta de costats? Perquè la raó de semblança sigui un nombre enter, el costat de 80 cm correspondrà amb el de 20 cm, ja que és l’únic divisor. La raó és 4 i els costats mesuraran 52, 56, 60, 68, 76 i 80 cm, respectivament.
065 ●●
Dibuixa un rectangle de 8 × 6 cm i afegeix-li 3 cm en cada costat. Has obtingut un rectangle semblant? Per què? 3
No són rectangles semblants perquè els costats no són proporcionals.
6
8
066 ●●
3
Calcula la raó de semblança d’aquests polígons. Quina relació tenen els perímetres?
1,4 cm
F 3 cm 5,1 cm
La raó és: 5,1 : 3 = 1,7. L’altura del segon triangle és: 1,4 ⋅ 1,7 = 2,38 cm. La raó dels perímetres és: 14,96 : 8,8 = 1,7. 067 ●
Calcula les longituds que no coneixem. a)
m 2c m 4c 3 cm
a)
330
b) 4,8
cm
m 2c
x
4 2 = → x = 1,5 3 x
x
3 cm
b)
2 4, 8 = → x = 1,25 x 3
831106 _ 0310-0337.qxd
11/9/07
13:31
Página 331
SOLUCIONARI
068 ●
069
cm 4,5
OB = 0,8. A la figura següent, la raó OB' Calcula OA', AB i BC. 0,8 =
OA 2,3 = ⎯ → OA' = 2,875 cm OA' OA'
0,8 =
AB AB = → AB = 2,24 cm A'B' 2,8
0,8 =
BC BC = → BC = 3,6 cm B'C' 4,5
10
cm 2,8
A
A'
B'
B
2,3 cm
Divideix gràficament un segment AB, amb AB = 14 cm, en 10 parts iguals.
●
A
070 ●●
B
14 cm
Divideix gràficament un segment AB, amb AB = 10 cm, en parts proporcionals a dos segments de mides 2 cm i 6 cm. Calcula numèricament les longituds dels segments trobats i compara-les amb la solució gràfica.
6
10 x y = = → x = 2,5 cm; y = 7,5 cm 8 2 6
2
A
071 ●
2,5
7,5
B
La longitud d’un cotxe a la realitat és de 4,2 m. Quina en serà la longitud en una maqueta a escala 1 : 200? I a escala 1 : 400?
En l’escala 1 : 200 mesurarà: 420 : 200 = 2,1 cm. I en l’escala 1 : 400 mesurarà: 420 : 400 = 1,05 cm.
331
831106 _ 0310-0337.qxd
11/9/07
13:31
Página 332
Moviments i semblances 072 ●●
Si tenim una maqueta del cotxe anterior que fa 7,5 cm, a quina escala està feta? 420 : 7,5 = 56. L’escala és 1 : 56.
073
En un mapa apareix aquesta escala gràfica.
●● 0
80
160
240
320 m
a) Quina n’és l’escala numèrica? b) Quina distància real separa dos punts que en el mapa disten 8 cm? a) 1 : 8.000 b) 8 ⋅ 8.000 = 64.000 cm = 640 m 074 ●●
Fes l’escala gràfica corresponent a les escales numèriques 1 : 350 i 1 : 6.000. 1 : 350 0
075 ●●
3,5
1 : 6.000
7
10,5
14 m
0
60
120
180
240 m
Tenim dos mapes que representen una regió. L’escala del primer és 1 : 400.000 i la del segon, 1 : 1.000.000. a) Quin dels dos mapes és més gran? b) Si dues poblacions són a 20 km de distància en la realitat, quina distància les separa en cadascun dels mapes? c) En el primer mapa, dues ciutats, A i B, estan separades per 2,3 cm. A quina distància es troben realment? d) A quina distància seran dues ciutats en el segon mapa? C
Q B
P A
a) És més gran el primer mapa, perquè té una escala menor. b) En el primer mapa: 2.000.000 cm : 400.000 = 5 cm. En el segon mapa: 2.000.000 cm : 1.000.000 = 2 cm. c) 2,3 cm ⋅ 400.000 = 920.000 cm = 9,2 km d) 920.000 cm : 1.000.000 = 0,92 cm = 9,2 mm
332
831106 _ 0310-0337.qxd
11/9/07
13:31
Página 333
SOLUCIONARI
076 ●●●
10
Tenim un mapa a escala 1 : 150.000. a) Si en fem una fotocòpia al 80 %, quina serà l’escala nova? b) I si la fem al 120 %? c) Una distància real de 15 km, quina longitud tindrà en cadascun dels tres mapes? a)
b)
150.000 = 187.500. Escala 1 : 187.500. 80 100 150.000 = 125.000. Escala 1 : 125.000. 120 100
c) 15 km = 1.500.000 cm 1.500.000 = 10 cm en l’escala 1 : 150.000. 150.000 1.500.000 = 8 cm en l’escala 1 : 187.500. 187.500 1.500.000 = 12 cm en l’escala 1 : 125.000. 125.000 077 ●●
Volem fer un armari en miniatura semblant a un altre que té unes dimensions de 180 × 110 × 45 cm, de manera que tingui una altura de 13,5 cm. Calcula’n l’amplada i la profunditat. La raó de semblança és: 180 : 13,5 = 13,33. L’amplada és: 110 : 13,33 = 8,25 cm La profunditat és: 45 : 13,33 = 3,375 cm.
078 ●●
Determina les dimensions que tindrà una casa rectangular en un pla a escala 1 : 50, si en la realitat la seva base és la meitat de l’altura i l’àrea és 144 m2. Base: x. Altura: 2x → 2x ⋅ x = 144 → x = 8,49 Base: 8,49 m. Altura: 16,97 m. En el plànol a escala 1 : 50, les dimensions són: Base: 8,49 m : 50 = 17 cm Altura: 17 cm ⋅ 2 = 34 cm
079 ●●
Una cèl·lula humana té un diàmetre aproximat de 3,5 milionèsimes de metre i, amb un microscopi electrònic, la veiem amb un diàmetre d’1,75 cm. Calcula quants augments té el microscopi. 0,0000035 m = 0,00035 cm →
1,75 = 5.000 augments 0,00035
333
831106 _ 0310-0337.qxd
11/9/07
13:31
Página 334
Moviments i semblances 080 ●●●
Es farà una desviació en una carretera de manera que el traçat sigui una línia recta respecte a dues poblacions, A i B. Calcula en quin punt de la carretera s’haurà de fer la desviació perquè el trajecte cap a totes dues poblacions sigui el mínim.
6 km 3 km
x 12 km
La desviació s’ha de fer en el punt en què es formin dos triangles semblants. 3 12 − x = → x 2 − 12x + 18 = 0 → x = 10,24 x 6 081 ●●●
Calcula l’altura x d’una muntanya si des de l’extrem de la seva ombra podem mesurar la distància al cim, la qual és de 2.325 m, i en aquest moment un bastó d’1 m fa una ombra de 1,1 m.
2.325 km
x=? 1,1 m 1m
Com que els triangles són semblants, la hipotenusa del triangle format pel bastó és: 1 + 1,21 = 1,49 m . Fem una regla de tres: 2.325 1,49 → 2.325 ⎫⎪⎪ = 1.560 m és l’altura de la muntanya. ⎬→ x = ⎪⎪⎭ 1 ⎯⎯ →x 1,49 082 ●●●
Un ocell és sobre la branca d’un arbre (punt A) situat a la vora d’un riu, i vol passar a un altre arbre de la vora oposada (punt B) i aprofitar per beure aigua sense aturar el vol. Cap a quin punt del riu s’ha de dirigir per fer el recorregut més curt? S’ha de dirigir cap al punt en què els dos triangles que es formen amb la seva trajectòria, el riu i les altures dels punts siguin semblants. És el punt on l’ocell veu reflectit el punt B a l’aigua.
334
831106 _ 0310-0337.qxd
11/9/07
13:31
Página 335
SOLUCIONARI
083 ●●●
10
Per sumar gràficament els vectors ជ v iw ជ, col·loquem l’origen de w ជ a l’extrem de ជ v i el vector suma té com a origen el de ជ v i com a extrem el de w ជ. ជ v
ជ v
w ជ
v
ជ
w ជ +
w
ជ
Per multiplicar un vector per un nombre positiu dibuixem un vector, de la mateixa direcció i sentit que l’original, el mòdul del qual sigui el del vector original multiplicat pel nombre.
v 3ជ
v ជ −3
Si el nombre és negatiu, fem el mateix procés però canviant el sentit. Basant-te en això i fixant-te en la figura, ជ , BC ជ , FO ជ , EO ជ , EA ជ , EB ជ, escriu els vectors AB ជ ជ ជ ជ AC i OD en funció de p ជ = EF i qជ = ED. ជ =q ជ AB ជ BC = −pជ ជ =q ជ FO ជ =p ជ+ q ជ EO ជ ជ ជ =p ជ+ q ជ+ p ជ= 2 ⋅ p ជ+ q ជ EA = EO + OA ជ ជ EB = 2 ⋅ EO = 2 ⋅ pជ + 2 ⋅ qជ
E
F
D
C
O
A
B
ជ = FE ជ + ED ជ = −p ជ+ q ជ AC ជ = −p ជ OD 084 ●●●
Escriu el perímetre p, l’altura h i l’àrea a dels triangles petits en funció del perímetre P, l’altura H l’àrea A del triangle gran. Els costats i l’altura de cada triangle petit són un terç dels del triangle més gran. h=
H 3
p =
P 3
BASE H ⋅ base ⋅ h A 3 3 a= = = 2 2 9
335
831106 _ 0310-0337.qxd
11/9/07
13:31
Página 336
Moviments i semblances A LA VIDA QUOTIDIANA 085 ●●●
En els aeroports es controlen els moviments dels avions per coordinar-ne els aterratges i els enlairaments. Aquesta feina la fan els controladors aeris, que mitjançant el radar situen la posició dels avions i n’estableixen la trajectòria, posició i velocitat amb què s’aproximen a les pistes d’aterratge. A la pantalla d’un radar s’hi observa, en un moment determinat, la posició de quatre avions que segueixen trajectòries rectilínies.
Després d’uns minuts, la posició dels avions ha canviat i des de la torre de control han d’informar de la nova posició, la trajectòria i la velocitat de cadascun dels avions. Descriu la trajectòria dels quatre avions i compara’n les velocitats. Y B' B
A'
C
C'
X A
D' D
A(2, −1) ⎯→ A'(1, 3). Trajectòria (−1, 4); mòdul 17 . B(0, 3) ⎯⎯→ B'(3, 4). Trajectòria (3, 1); mòdul 10 . C(−2, 0) ⎯→ C'(−6, 0). Trajectòria (−4, 0); mòdul 4. D(−2, −4) → D'(−4, −2). Trajectòria (−2, 2); mòdul 8 . La velocitat més alta és la de l’avió vermell, seguida de la velocitat dels avions blau cel, blau fosc i blanc.
336
831106 _ 0310-0337.qxd
11/9/07
13:31
Página 337
SOLUCIONARI
086 ●●●
Al restaurant EL TIBERI el seu famós xef barreja productes tradicionals amb un toc imaginatiu d’alta cuina. Per això està molt valorat per públic i crítics.
10
Vull cobrir el terra amb una gran rajola en forma d’octàgon que porti el teu retrat. La resta la cobrirem amb rajoles que formin una espècie de corona al teu voltant.
L’amo del restaurant, Julià Guisat, en vista de la reforma que es farà del local, ha ideat una manera de potenciar la figura del xef en el restaurant. En el primer disseny que ha fet ha col·locat l’octàgon al centre de la sala rectangular i després l’ha envoltat amb diferents rajoles grogues, fins a cobrir completament la sala.
És possible fer-ho? Com ha de col·locar les corones per aconseguir-ho? Sí que és possible. Una manera de fer-ho és la següent:
337
831106 _ 0338-0365.qxd
11
11/9/07
13:40
Página 338
Funcions CONCEPTE DE FUNCIÓ
EXPRESSIONS D’UNA FUNCIÓ
ENUNCIAT
TAULA
FÓRMULA
CONTINUÏTAT
DOMINI I RECORREGUT
PUNTS DE TALL
CREIXEMENT I DECREIXEMENT
MÀXIMS I MÍNIMS
SIMETRIES
PERIODICITAT
338
GRÀFICA
831106 _ 0338-0365.qxd
11/9/07
13:40
Página 339
L’epidèmia de grip Salamanca, 1918. Dues infermeres, una d’elles visiblement esgotada, feien el canvi de torn a l’hospital. La infermera que sortia, la Carme, li donava unes pautes a la inexperta infermera que l’havia de rellevar. –No t’involucris personalment amb el pacient, no en vulguis saber ni el nom, perquè probablement d’aquí a pocs dies serà mort. –La grip causava estralls entre la població–. Observa els símptomes i si veus que el malalt té els peus blaus... no t’hi entretinguis i resa per la seva ànima. Tres anys després, l’Anna, que havia acabat la seva feina com a voluntària, llegia al diari local les xifres oficials de morts per grip en els últims anys.
E l D ia ri Morts anuals a per grip a Espany 81 6.4 1915 7.021 1916 7.479 1917 147.114 1918 21.235 1919 17.825 1920 5.837 1921
Els ulls se li van omplir de llàgrimes quan va recordar la seva amiga Carme, que formava part de la llista de víctimes corresponent a 1918. El nombre de morts a causa d’aquesta epidèmia es va xifrar entre 20 i 40 milions a tot el món. L’altre diari de la ciutat, en lloc d’una taula, va presentar la informació amb una gràfica.
Series capaç de construir i interpretar aquesta gràfica? Quin tipus de gràfica faràs servir?
160.000 140.000 120.000 100.000 80.000 60.000 40.000 20.000 1915 1916 1917 1918 1919 1920 1921
En aquest cas, fem servir una gràfica de punts i els unim per apreciar millor l’evolució de les morts per grip durant aquells anys.
831106 _ 0338-0365.qxd
11/9/07
13:40
Página 340
Funcions EXERCICIS 001
Digues, raonant la resposta, si la relació entre els parells de magnituds següents és una funció o no. a) b) c) d) e)
El pes d’una persona i la seva altura. El pes d’un barril i la quantitat de líquid que conté. La longitud del costat d’un polígon regular i el seu perímetre. La qualificació d’un examen i el nombre d’hores dedicades a estudiar. El nombre d’obrers i el temps que tarden a acabar una feina. a) No, perquè a un valor d’altura li poden correspondre diversos valors de pes, i a la inversa. b) Sí, perquè el pes del barril està en funció del líquid que conté. c) Sí, perquè per a cada valor de costat tindrem un valor de perímetre. d) No és necessàriament una funció, perquè pot passar que l’examen surti malament. e) Sí, perquè quan augmenta el nombre d’obrers disminueix el temps que es triga a acabar la feina.
002
Donats els nombres 3, 5, 7 i 9, calcula per a cadascun el nombre o nombres que els corresponen amb les relacions següents, i indica quines són funcions. a) El doble més 2. b) Sumar-li una unitat i dividir el resultat entre 2. a) 3 → 2 ⋅ 3 + 2 = 8
c) La quarta potència. d) L’arrel quadrada. 7 → 2 ⋅ 7 + 2 = 16
5 → 2 ⋅ 5 + 2 = 12
9 → 2 ⋅ 9 + 2 = 20
3+1 =2 2 5+1 5→ =3 2
7+1 =4 2 9+1 9→ =5 2
b) 3 →
c) 3 → 34 = 81 5 → 54 = 625 d) 3 → ± 3 5→± 5
7→
7 → 74 = 2.401 9 → 94 = 6.561 7→± 7 9 → ± 9 = ±3
Són funcions les relacions dels apartats a), b) i c). 003
Escriu dues relacions que siguin funcions i dues més que no ho siguin. Exemple de relacions que siguin funcions: • El cost d’una trucada telefònica i la seva durada. • El temps de descàrrega d’un arxiu a Internet i la seva mida. Exemple de relacions que no siguin funcions: • El nombre d’alumnes en una aula i el nombre d’aprovats. • Els anys d’una persona i el seu pes.
340
831106 _ 0338-0365.qxd
11/9/07
13:40
Página 341
11
SOLUCIONARI
004
Expressa, per mitjà d’un enunciat, les funcions següents. a) y = 2x − 1 b) y = −x + 3 a) Funció que associa a cada nombre el seu doble menys 1. b) Funció que associa a cada nombre el seu oposat més 3.
005
Troba l’expressió algebraica de la funció que associa a cada nombre: a) b) c) d)
El seu triple. El seu quadrat. El seu doble més 5. La seva meitat. a) y = 3x
006
b) y = x 2
c) y = 2x + 5
d) y =
x 2
Donada la funció que associa a cada nombre la seva quarta part més 3: a) Escriu-ne l’expressió algebraica. b) Calcula f (8), f (−4) i f (10). a) y = f (x) = b) f (8) =
8 +3=5 0
f (10) =
007
x +3 4
f (−4) =
−4 +3=2 4
10 10 + 12 22 11 +3= = = 4 4 4 2
Pensa en una funció de la qual no puguis trobar l’expressió algebraica. La funció que associa el DNI d’una persona i la seva alçada en centímetres.
008
Troba una taula de valors per a les funcions següents. Expressa-les amb un enunciat i fes-ne la representació gràfica. a) b) c) d)
y=x+2 y = 2x + 3 y = x2 y = x2 + x
e) f) g) h)
y = −3x − 1 y = x2 + 1 y = 4x − 4 y = −x
a) Funció que associa a cada nombre aquest nombre més 2. x y
−2
−1
0
1
2
0
1
2
3
4
Y 2
y=x+2 1
X
341
831106 _ 0338-0365.qxd
11/9/07
13:40
Página 342
Funcions b) Funció que associa a cada nombre el seu doble més 3. x y
−2
−1
0
1
2
−1
1
3
5
7
Y
y = 2x + 3
2 1
c) Funció que associa a cada nombre el seu quadrat. x y
−2
−1
0
1
2
4
1
0
1
4
X
Y y = x2
2
X
1
d) Funció que associa a cada nombre el seu quadrat més el nombre mateix.
Y y = x2 + x 2
x y
−2
−1
0
1
2
2
0
0
2
6
e) Funció que associa a cada nombre el triple del seu oposat menys 1. x y
X
1
Y
−2
−1
0
1
2
1
5
2
−1
−4
−7
1
X
y = −3x − 1
Y
f) Funció que associa a cada nombre el seu quadrat més 1. x y
−2
−1
0
1
2
5
2
1
2
5
y = x2 + 1 1
g) Funció que associa a cada nombre el seu quadruple menys 4. x y
−2
−1
0
1
2
−12
−8
−4
0
4
Y y = 4x − 4 1 2
h) Funció que associa a cada nombre el seu oposat. x y
−2
−1
0
1
2
2
1
0
−1
−2
X
1
X
Y y = −x
2 1
X
342
831106 _ 0338-0365.qxd
11/9/07
13:40
Página 343
SOLUCIONARI
009
11
Un punt pertany a una gràfica d’una funció si les seves coordenades en verifiquen l’equació. (−1, 2) i (0, −1) pertanyen a y = −2x ? (−1, 2) → 2 = −2 ⋅ (−1) → Sí que hi pertany. (0, −1) → −1 ⫽ −2 ⋅ 0 ⎯→ No hi pertany.
010
El preu d’una entrada és 15,75 €. Expressa aquesta funció amb una equació, una taula i una gràfica. Y y = 15,75x x y
0
1
2
3
0
15,75
31,50
47,25
y = 15,75x
31,50 15,75
1 2 3
011
X
Raona com serien les variables que relacionen les gràfiques següents. Y
Y
X
X
La primera gràfica és escalonada, ja que la variable x és contínua i la variable y és discreta. La segona gràfica és discreta, perquè està formada per punts aïllats. 012
Un venedor de mobles té un sou fix de 480 € i, per cada moble que ven cobra 10 € de comissió. Dibuixa la gràfica que expressa el guany en funció del nombre de mobles venuts. És una funció discontínua, ja que la variable del nombre de mobles és discreta i no contínua, ja que només pot agafar valors enters.
Y 540 520 500 480
1
013
3
5
X
Posa un exemple de funció la gràfica de la qual sigui discreta, i un altre amb una gràfica esglaonada. • Exemple de gràfica discreta: nombre de gols marcats en una jornada de lliga respecte del nombre de jornada. • Exemple de gràfica escalonada: el cost d’una trucada de telèfon respecte de la seva durada (tarifa per minuts).
343
831106 _ 0338-0365.qxd
11/9/07
13:40
Página 344
Funcions 014
Y
Estudia la continuïtat de la funció amb la gràfica següent. Indica, si els té, els punts de discontinuïtat.
4 2
La funció té dos punts de discontinuïtat, a x = −3 i a x = 3, en els quals presenta un salt. 015
−2 −2
3
X
−4
Donades les funcions y = −x + 3 i y = x2: a) Forma les taules de valors. b) Representa les funcions. c) Estudia’n la continuïtat. Y
y = −x + 3 x y
−2
−1
0
1
2
5
4
3
2
1
y = −x + 3 X
La funció f (x) = −x + 3 és contínua.
y = x2 x y
Y −2
−1
0
1
2
4
1
0
1
4
y = x2
La funció f (x) = x 2 és contínua.
016
X
Dibuixa les gràfiques d’aquestes funcions. a) A cada nombre natural li fem correspondre el seu doble menys 2. b) A cada nombre enter li fem correspondre el seu doble menys 2. c) A cada nombre real li fem correspondre el seu doble menys 2. a)
Y
Y
b)
9 7 5 3 1
X
−2 1 3 5 −3 −5 −7
X
−2 1 3 5 −3 −5 −7
X
Y
Estudia la continuïtat de la funció que a cada nombre real li fem correspondre el nombre 4. És una funció contínua, ja que es pot dibuixar amb un sol traç.
344
9 7 5 3 1
9 7 5 3 1 1 3 5
017
Y
c)
5 3 1 −6 −4 −2
1
3
5
7
X
831106 _ 0338-0365.qxd
11/9/07
13:40
Página 345
SOLUCIONARI
018
Y 5 3 1
Determina el domini i el recorregut de la funció. Dom f = [−5, 5] Im f = [−5, 5]
019
11
−4 −2 1 3 5 −3 −5
X
Donada la funció que associa a cada nombre real el seu triple menys 6, troba: a) L’expressió algebraica. b) El domini, recorregut i gràfica. Y
a) y = 3x − 6
3
b) Dom f = ; Im f =
1 −2 −2
020
1
3
X
y = 3x − 6
Donada la funció que associa a cada nombre real el seu invers més 3: a) Escriu-ne l’expressió algebraica. b) Troba’n el domini i el recorregut. c) Quina és la imatge de 2? (Recorda que no es pot dividir entre 0.) a) y =
1 +3 x
b) Dom f = − {0}; Im f = − {3} c) f (2) = 021
1 + 3 = 3, 5 2
Representa la funció que a cada nombre real li fa correspondre −1 si el nombre és negatiu i +1 si és positiu. a) Quina és la imatge de 2? I de −2? b) Dibuixa’n la gràfica. c) Determina’n el domini i el recorregut. a) f (2) = 1; f (−2) = −1 Y
b)
1 −6
−4
−2
1
3
5
X
c) Dom f = − {0}, perquè 0 no és un nombre positiu ni negatiu; Im f = {−1, 1}, perquè només té dos valors: 1 i −1.
345
831106 _ 0338-0365.qxd
11/9/07
13:40
Página 346
Funcions 022
Representa les funcions següents i troba els punts de tall amb els eixos. a) y = 3x − 6
b) y = x + 1
c) y = −2x
d) y = x 2 − 2 Y
a) Punt de tall amb l’eix X: y = 0 → 3x − 6 = 0 → x = 2 → (2, 0)
3 1
Punt de tall amb l’eix Y: x = 0 → y = 3 ⋅ 0 − 6 = −6 → (0, −6)
−2 −2
y=x+1
1 −2 −2
1
3
X
3
X
Y
c) Punt de tall amb l’eix X: y = 0 → −2x = 0 → x = 0 → (0, 0)
3
y = −2x
Punt de tall amb l’eix Y: x = 0 → y = −2 ⋅ 0 = 0 → y = 0 → (0, 0)
1 −2 −2
1
Y
(+ 2 , 0) (− 2 , 0)
Punt de tall amb l’eix Y: x = 0 → y = 02 − 2 = −2 → (0, −2)
3 1 −2
3 X y = x2 − 2
La funció y = x 2 − 5x + 6, en quins punts talla els eixos? Punts de tall amb l’eix X:
y = 0 → x 2 − 5x + 6 = 0 → x =
5±
25 − 24 5±1 = = 2 2
3 2
Els punts de tall són (3, 0) i (2, 0). Punt de tall amb l’eix Y: x = 0 → y = 0 − 5 ⋅ 0 + 6 = 6 → (0, 6) 024
Representa la funció y = 3. Què hi observes? En quins punts talla els eixos? Y y=3 1 −2 −2
346
1
3
X
X
y = 3x − 6
3
Punt de tall amb l’eix Y: x = 0 → y = 0 + 1 = 1 → (0, 1)
023
3
Y
b) Punt de tall amb l’eix X: y = 0 → x + 1 = 0 → x = −1 → (−1, 0)
d) Punts de tall amb l’eix X: y = 0 → x2 − 2 = 0 → x = ± 2
1
És una recta paral·lela a l’eix X, que talla l’eix Y en el punt (0, 3).
831106 _ 0338-0365.qxd
11/9/07
13:40
Página 347
SOLUCIONARI
025
2 , digues en quins punts talla els eixos. x
Donada la funció y = Y 3
Punts de tall amb l’eix X: 2 x
y =
1 −2
1 −2
3
y=0→
X
8 = 0 → No té solució, no el talla. 0
Punts de tall amb l’eix Y:
x=0→y= 026
11
8 → No està definit, no el talla. 0
La funció y = 5x, en quin punt talla l’eix Y ? I la funció y = 5x + 1? I la funció y = 5x − 2? Amb els resultats anteriors, en quin punt creus que tallarà l’eix Y la funció y = 5x − 7? Punts de tall amb l’eix Y:
x = 0 → y = 5 ⋅ 0 = 0 ⎯⎯⎯→ (0, 0) x = 0 → y = 5 ⋅ 0 + 1 = 1 ⎯→ (0, 1) x = 0 → y = 5 ⋅ 0 − 2 = −2 → (0, −2) La funció y = 5x − 7 tallarà l’eix Y en el punt (0, −7). 027
Quants punts de tall pot tenir una funció amb l’eix Y ? I amb l’eix X? Amb l’eix Y una funció només pot tallar un cop, ja que si no 0 tindria més d’una imatge. Amb l’eix X pot tallar infinites vegades.
028
Observa els preus (en euros) del quilogram de patates en el període 2003-2007. Representa les dades en una gràfica i analitza’n el creixement i decreixement. Any
2003
2004
2005
2006
2007
Preu
0,51
0,65
0,57
0,49
0,64
És creixent en (2003, 2004) i (2006, 2007). És decreixent en (2004, 2006). 029
0,70
Y
0,40 0,10
X 03 04 05 06 07
Dibuixa la gràfica d’una funció que sigui creixent en els intervals (0, 3) i (6, 8) i decreixent en (3, 6) i (8, 10). Y y = f (x)
5 3 1 3
6
8
X
347
831106 _ 0338-0365.qxd
11/9/07
13:40
Página 348
Funcions 030
La taula següent mostra les vendes de cotxes durant els cinc primers mesos de l’any. Sense representar les dades, analitza’n el creixement i decreixement. Mes Vendes
E
F
M
A
M
2.000
1.875
1.690
1.600
1.540
És decreixent en tot el domini presentat a la taula (des de gener fins a maig). 031
1 , i analitza’n el creixement x i decreixement. És constant en cap tram? Representa gràficament la funció y =
Y 3
y =
1 −2
032
1 −2
1 x
És decreixent en les dues branques, i és una hipèrbola. X
3
No és constant en cap tram.
Determina els màxims i mínims de la funció. La funció té mínims en els punts d’abscissa x = − 3, −1 i 2. A x = −1 hi ha un mínim absolut, i els altres dos són relatius.
Y 4 2 2 −4 −2
4
X
−4
033
La funció té màxims en els punts d’abscissa x = −4, −2, 1 i 4. A x = −2 hi ha un màxim absolut, i els altres tres són relatius. Y
Dibuixa una funció que tingui màxims en x = −2 i x = 3 i mínims en x = 1 i x = 2.
5 3 1 −8 −6 −4 −2 −2
034
3
5
X
7
Dibuixa una funció de període 2 i una altra de període 4. Amb període 2:
−4
348
1
−2
Amb període 4:
Y
Y
2
2 2
4
X
−2
2
4
6
8
10
X
831106 _ 0338-0365.qxd
11/9/07
13:40
Página 349
SOLUCIONARI
035
11
Dibuixa la gràfica de la funció que fa l’angle format per les agulles del rellotge des de les 00.00 hores fins a les 02.00 hores. Quins són els màxims i els mínims? Y
Suposem que agafem l’angle agut que formen, els màxims se situen aproximadament a les 0:30 h (0 h 30 min 44 s) i a la 1:35 h (1 h 38 min 11 s), i el mínim a la 1:05 h.
180
27 s 98 mi n1 1s 13 0m in 54 s
X
in 65 m
32 m
44 s
90
Y
036
Representa gràficament la funció donada mitjançant aquesta taula de valors. És una funció simètrica? x y
…
−2
−1
0
1
2
…
…
7
4
3
4
7
…
6 4 2
És una funció simètrica respecte de l’eix Y. 037
038
Analitza les simetries d’aquestes funcions. a) y = 4 b) y = x 4
2
X
c) y = x 3
冧
a)
f (x) = 4 f (−x) = f (x) → Funció parella f (−x) = 4
b)
f (x) = x 4 f (−x) = f (x) → Funció parella f (−x) = (−x)4 = x 4
c)
f (x) = x 3 f (−x) ⫽ f (x) ⎯→ Funció no parella f (−x) = (−x)3 = −x 3 f (−x) = −f (x) → Funció imparella
冧
冧
Pot ser simètrica respecte de l’eix X una funció? Raona la resposta. No, perquè cada valor de X tindria dos imatges i no seria una funció.
ACTIVITATS 039 ●
De les relacions següents, assenyala’n les que representen una funció. Raona la resposta. a) Un nombre positiu i la seva arrel quadrada. b) Un nombre positiu i la seva arrel cúbica. c) Un nombre positiu i el seu valor absolut. d) El nombre de costats de la base d’una piràmide i el seu nombre total d’arestes. a) És correspondència. Un nombre positiu té una arrel positiva i una de negativa. b) És funció. Un nombre només té una arrel cúbica. c) És funció. Cada nombre negatiu té un valor absolut, que és el mateix nombre canviat de signe. d) És funció. El nombre d’arestes és el doble que el nombre de costats, i a cada nombre de costats correspon un únic nombre d’arestes.
349
831106 _ 0338-0365.qxd
11/9/07
13:40
Página 350
Funcions 040
Escriu tres exemples de funcions i assenyala quina és cada variable.
●
Velocitat d’un cotxe i temps que triga a recórrer 100 km. Divisors d’un nombre entrer; variable x: nombre enter, y: divisors. Altura d’un núvol i temps que triga a caure una gota de pluja.
041
FES-HO AIXÍ COM IDENTIFIQUEM UNA FUNCIÓ PER MITJÀ DE LA SEVA REPRESENTACIÓ GRÀFICA? Indica si aquestes gràfiques són funcions o no. a)
b)
Y
Y
X PRIMER.
a)
X
Determinem si a algun valor de x li correspon més d’un valor de y. b)
Y
Y
X
X
SEGON. Si és així, la gràfica no correspon a una funció. En cas contrari, sí que correspon a una funció. Per tant, b) és una funció i a) no ho és.
042 ●
Indica quines són funcions i quines no ho són. a)
c)
Y
Y
X
X Y
b)
d)
X
a) b) c) d)
350
No és funció. Sí que és funció. No és funció. Sí que és funció.
Y
X
831106 _ 0338-0365.qxd
11/9/07
13:40
Página 351
SOLUCIONARI
043 ●
Escriu l’expressió algebraica de la relació que hi ha entre les magnituds següents. a) El radi d’una circumferència i la seva longitud. b) El radi d’una esfera i el seu volum. c) L’àrea d’un cercle i el seu radi. a) y = 2πx
044 ●
11
b) y =
4 3 πx 3
c) y = πx 2
Donada la funció que associa a cada nombre l’invers de la suma d’aquest nombre més 5: a) Determina’n l’expressió algebraica. b) Existeix valor de la funció per a x = −2? 1 x +5 1 b) Sí, y = 3 a) y =
045 ●●
La relació existent entre el nombre de vèrtexs d’una piràmide i el seu nombre d’arestes: a) És una funció? Fes una taula de valors i representa’ls gràficament. b) És possible establir una expressió algebraica que representi la funció? a) Sí que és una funció.
Arestes
Y 15 13 11 9 7 5 3 1
Vèrtexs
4
5
6
7
8
9
…
Arestes
6
8
10
12
14
16
…
1 3 5 7 9 X Vèrtexs
b) y = 2(x −1), per a x ≥ 4. 046
Expressa, de totes les maneres possibles, les funcions següents.
●●
a) y = x + 5
b) y = −3x + 1 Y
c) y = x 2 + x + 1
d) y =
x 5
c) a)
d)
X b)
Es recomana practicar en comú l’expressió d’una funció de diverses formes amb els exemples d’aquesta activitat, que engloben els tipus de funcions més habituals.
351
831106 _ 0338-0365.qxd
11/9/07
13:40
Página 352
Funcions 047 ●●
Una bossa de patates fregides val 1,50 €. Expressa algebraicament la funció Nombre de bosses–Preu, fes una taula de valors i dibuixa’n la gràfica. Y x y
0
1
2
3
0
1,50
3
4,50
4,50 3 1,50 1 2 3 X
y = 1,50x
048 ●●
Fes una taula de valors amb la llargada i l’amplada dels rectangles d’àrea 36 m2. Expressa de forma algebraica i representa la funció Llargada–Amplada. 18 Llargada
18
12
9
6
4
3
2
Amplada
2
3
4
6
9
12
18
y =
36 x
Y
6 4 2
X 2 4 6
049 ●
18
Estudia la continuïtat d’aquestes funcions. Tenen punts de discontinuïtat? Y
a)
b)
Y 2
2 −5
−3
−1
−4 1
3
5X
−2
2
4
X
−2
−2
a) No, perquè té dos salts en els punts d’abscissa x = −1 i x = 4. b) No, perquè té un salt a x = 0.
●
En Lluís està malalt i li prenen la temperatura 4 vegades al dia durant 3 dies. Obtenen els punts de la gràfica següent. Podem unir els punts? Serà una funció contínua o discontínua? Sí, podem unir el punts. Les variables són contínues i la gràfica també ho és.
352
Y Temperatura (°C)
050
40 39 38 37 36 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 Temps (h)
X
831106 _ 0338-0365.qxd
11/9/07
13:40
Página 353
SOLUCIONARI
051 ●
11
Determina el domini i el recorregut d’aquestes funcions. a)
b)
Y
Y 4
4
2
2
4
6
8
X
X
2
4
6
8
a) Domini = [−1, 8] − (1, 2) – (5, 6) = [−1, 1] + [2, 5] + [6, 8] Recorregut = [0, 3] + {5} b) Domini = [−1, 7] − (2, 3) = [−1, 2] + [3, 7] Recorregut = [0, 5]
052
FES-HO AIXÍ COM CALCULEM EL DOMINI D’UNA FUNCIÓ AMB LA SEVA EXPRESSIÓ ALGEBRAICA? Troba el domini de les funcions. a) y = 2x − 3 PRIMER.
b) y =
3 + 2x x +1
c) y =
x −1
Analitzem el tipus d’expressió.
a) y = 2x − 3 ⎯→ És una expressió polinòmica. b) y = c) y = SEGON.
3 + 2x x +1
→ És una expressió que té la variable x en el denominador.
x −1 ⎯ → És una expressió que té la variable x sota una arrel. Calculem el domini depenent del tipus d’expressió.
a) Aquestes expressions estan definides per a tots els nombres reals: Dom f = R. b) Un quocient no està definit quan el denominador és 0, per tant, la funció no està definida en x = 1: Dom f = R − {1}. c) Les arrels només estan definides per a nombres positius; per tant, la funció està definida quan x és més gran o igual que 1: Dom f = [1, +⬁).
053 ●●
Calcula el domini d’aquestes funcions. a) y = x 2 + 1 5 b) y = x −5 a) R b) R − {5}
c)
x +1
d)
x −2
c) [−1, +⬁) d) [2, +⬁)
353
831106 _ 0338-0365.qxd
11/9/07
13:40
Página 354
Funcions 054 ●●
Estudia la continuïtat de la funció y = x 3 i troba’n el domini i el recorregut.
Y y = x3 1
És una funció contínua amb domini R i recorregut R.
055 ●●●
X
1
2 Estudia la continuïtat de la funció y = x −1 i troba’n el domini i el recorregut.
Y 2 x −1
y = 1
y =
2 Dom f = ⺢ − {1} → Im f = ⺢ − {0} x −1
冦
X
1
La función es continua en ⺢ − {0}. 056 ●●●
Donada la funció f ( x ) = x + 4 : a) Fes una taula de valors. b) Estudia’n la continuïtat. a)
x
0
1
2
−4
y
2
5
6
0
c) Dibuixa’n la gràfica. d) Determina’n el domini i recorregut. c)
Y y =
b) És contínua en tot el seu domini. d) Dom f = [−4, +⬁) Im f = [0, +⬁) 057 ●
x+4
X
Troba els punts de tall amb els eixos de les funcions. a) y = 4x − 1 c) y = x 2 − 3 e) y = x 3 − 8 b) y = 5 d) y = (x − 3)2 f) y = −3 a) y = 4x − 1 → Eix Y → x = 0 → y = 4 ⋅ 0 − 1 = −1 → P (0, −1) ⎛1 ⎞ 1 → Q ⎜⎜ , 0⎟⎟⎟ Eix X → y = 0 → 0 = 4x − 1 → x = ⎝⎜ 4 ⎠⎟ 4 b) y = 5 → Eix Y → x = 0 → y = 5 → P (0, 5) Eix X → y ⫽ 0, no té punt de tall amb aquest eix. c) y = x 2 − 3 → Eix Y → x = 0 → y = 0 − 3 = −3 → P (0, −3) Eix X → y = 0 → x 2 − 3 = 0 → x = ± 3 → Q ( 3 , 0) i Q ' (− 3 , 0) d) y = (x − 3)2 → Eix Y → x = 0 → y = (0 − 3)2 = 9 → P (0, 9) Eix X → y = 0 → 0 = (x − 3)2 → x = 3 → Q (3, 0) e) y = x 3 − 8 → Eix Y → x = 0 → y = −8 → P (0, −8) Eix X → y = 0 → x 3 − 8 = 0 → x = 2 → Q (2, 0) f) y = −3 → Eix Y → x = 0 → y = −3 → P (0, −3) Eix X → y ⫽ 0, no té punt de tall amb aquest eix.
354
831106 _ 0338-0365.qxd
11/9/07
13:40
Página 355
SOLUCIONARI
058
11
Y
Analitza el creixement d’aquesta funció.
5
●●
4
La funció és creixent en [−1, 2] i en [5, 8]; és decreixent en [3, 4], i és constant en (4, 5).
3 2
X
−1
059
1
2
3
4
5
6
7
8
Observa la gràfica corresponent a aquesta funció.
●
Y 7 6 5 4 3 2 1 1
2
3 4
5
6
7 8 9 10
X
a) Assenyala’n el domini i el recorregut. b) És una funció contínua? c) Estudia’n el creixement i decreixement. d) Assenyala’n els màxims i mínims, si en té.
a) Dom f = [0, 10]; Im f = [0, 7] b) És contínua en tot el domini. c) És creixent en [0, 1] ∪ [2, 4] ∪ [5, 6] ∪ [8, 10]. És decreixent en [1, 2] ∪ [4, 5] ∪ [6, 8]. d) Té màxims a x = 1, x = 4 i x = 6. Té mínims a x = 2, x = 5 i x = 8. 060 ●●
Completa les gràfiques següents perquè resulti una funció simètrica respecte de l’eix Y. a)
b)
Y
−2
Y
3
3
1
1
1
3
−2
X
X
3
−2
−2
a)
1
Y
−2 −2
b)
Y
3
3
1
1
1
3
X
−2 −2
1
3
X
355
831106 _ 0338-0365.qxd
11/9/07
13:40
Página 356
Funcions 061 ●●●
Una funció pot ser simètrica respecte de l’eix Y i respecte de l’origen? Si creus que sí, posa’n un exemple. Només no és la funció y = 0, ja que verifica: f (−x) = −f (−x).
062
Indica quines de les gràfiques següents corresponen a funcions periòdiques.
●●
a)
c)
Y
Y
X
X
b)
Y
d)
Y
X
X
Són periòdiques les funcions dels apartats a) i c) i no ho són les funcions dels apartats b) i d).
063
Estudia les característiques de les funcions que relacionen:
●●
a) La longitud del costat d’un hexàgon regular amb la seva àrea. b) La longitud del costat d’un quadrat amb la seva diagonal. c) Un nombre real i el seu cub. d) Un nombre real i el triple de la seva arrel quadrada.
P ⋅a = a) A = 2
6l ⋅ l ⋅ 2
3 2
=
3l 2 3 2
És una funció contínua i creixent en tot el domini → Dom f = ⺢ b) La funció és d =
2l 2 = l 2 ; és contínua i creixent → Dom f = ⺢
c) y = x 3 → Dom f = ⺢; Im f = ⺢ És contínua, creixent, no té màxims ni mínims i és simètrica respecte de l’origen. d) y = 3 x → Dom f = ⺢+ = [0, +⬁) Im f = ⺢+ = [0, +⬁) És contínua, creixent i no té màxims ni mínims.
356
831106 _ 0338-0365.qxd
11/9/07
13:40
Página 357
SOLUCIONARI
064
Estudia les característiques de les funcions següents.
●●
a) y = −3x
c) y = x 2 + 2x + 1
b) y = 2x − 5
d) y =
2 −2 x
11
e) y = (x − 1)2 f) y = x 3 − 3
a) y = −3x → Dom f = ⺢; Im f = ⺢ És contínua, decreixent, no té màxims ni mínims ni presenta simetries. b) y = 2x − 5 → Dom f = ⺢; Im f = ⺢ És contínua, creixent, no té màxims ni mínims ni presenta simetries. c) y = x 2 + 2x + 1 → Dom f = ⺢; Im f = ⺢ És contínua, decreixent des de −⬁ fins a −1, creixent des de −1 fins a +⬁, i té un mínim a x = −1. No és simètrica respecte de l’eix Y ni respecte de l’origen de coordenades. 2 − 2 → Dom f = ⺢ − {0}; Im f = ⺢ − {−2} d) y = x És contínua i decreixent, no presenta simetries respecte de l’eix Y, i és simètrica respecte de l’origen de coordenades. e) y = (x − 1)2 → Dom f = ⺢; Im f = ⺢ És contínua, decreixent des de −⬁ fins a 1, creixent des d’1 fins a +⬁, i té un mínim a x = 1. No és simètrica respecte de l’eix Y ni respecte de l’origen de coordenades. f) y = x 3 − 3 → Dom f = ⺢; Im f = ⺢ És contínua i creixent i no presenta simetries respecte de l’eix Y ni respecte de l’origen de coordenades. 065 ●●●
Analitza aquestes funcions. a) y = ⏐x⏐ (valor absolut de x) a) y = ⏐x⏐ =
⎧ −x si x ≤ 0 ⎪ b) y = ⎨ 2 ⎪ ⎪ ⎩ x si x > 0
−x si x < 0 x si x > 0
冦
Y 3
Dom f = ⺢; Im f = [0, +⬁) És contínua. Decreix a (−⬁, 0) i creix a (0, +⬁). Té un mínim absolut a x = 0. És simètrica respecte de l’eix Y. b) y =
冦−x x sisi xx >≤ 00 2
y = ⏐x⏐
1 −2 −2
1
3
X
Y 3
y = −x
Dom f = ⺢; Im f = [0, +⬁) És contínua. Decreix a (−⬁, 0) i creix a (0, +⬁). Té un mínim absolut a x = 0. No presenta simetries.
y = x2
1
−2 −2
1
3
X
357
831106 _ 0338-0365.qxd
11/9/07
13:40
Página 358
Funcions 066
FES-HO AIXÍ COM REPRESENTEM UNA FUNCIÓ SI EN SABEM ALGUNES DE LES CARACTERÍSTIQUES? Representa una funció amb aquestes dades. – Dom f = R – Passa pels punts (−2, 0), (2, 0) y (4, 0). – Té un màxim a (3, −2). – Té un mínim a (0, 2). PRIMER.
Representem els punts per on passa la funció.
Y
Dibuixem els punts en què hi ha màxims i mínims. Sobre els mínims, representem un arc amb la part còncava cap a baix. I sobre els màxims, un arc amb a part còncava cap a dalt.
SEGON. 2 2
4
X
−2 −2
Y TERCER. Seguint les indicacions de les fletxes que assenyalen la direcció de la gràfica i els punts per on passa, representem la funció.
067 ●●
Representa una funció que: – Dom f = R – Passa pels punts (5, 0) i (7, 0). – Té punts mínims a (0, 1) i (6, −3). – Té un màxim a (3, 5).
068 ●●
358
Representa una funció amb aquestes característiques. – Dom f = R – Passa pels punts (−3, 0) i (0, 2). – És creixent fins a x = −2, constant en l’interval (−2, 4) i decreixent a partir de x = 4.
2 2
4
−2
X
−2
Y 5 3 1 −4 −2 −2
1
3
5
7
3
5
7
X
Y 3 1 −4 −2 −2 −4
1
9
X
831106 _ 0338-0365.qxd
11/9/07
13:40
Página 359
SOLUCIONARI
069 ●●
11
Dibuixa una funció periòdica, amb domini l’interval (−5, 5) i recorregut (−2, 2). Hi ha més d’una solució? Y 3 1 −4 −2 −2
1
3
5
X
Hi ha infinites solucions. 070 ●●●
Representa la gràfica d’una funció simètrica respecte l’eix Y i que sempre sigui creixent. És possible? No és possible, perquè si és creixent entre els valors positius, serà decreixent en els negatius, i a la inversa, ja que és simètrica respecte de l’eix Y. Si a > b > 0, aleshores f (a) > f (b), ja que és creixent i simètrica respecte de l’eix Y. Amb tot, la condició f (−a) > f (−b) és impossible perquè, com que −b > −a, és una funció creixent.
071 ●●
En un institut han mesurat la longitud de l’ombra de l’edifici principal cada hora, al llarg d’un dia d’hivern (a partir de les 18.00 hores era de nit) i han obtingut aquesta taula: Hora
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
Longitud
23
18
14
10
4
2
6
10
16
21
a) Fes la representació gràfica. b) És una funció contínua o discontínua? c) Estudia les característiques de la funció. a)
Y 23 21 19 17 15 13 11 9 7 5 3 1 1
5
9
13
17
X
b) És contínua. c) És decreixent des que surt el sol fins a les 13:00 hores, quan passa a ser creixent fins que es pon el sol. Té un mínim a les 13:00 hores. El domini és el conjunt representat per les hores de sol.
359
831106 _ 0338-0365.qxd
11/9/07
13:40
Página 360
Funcions 072 ●●
Un tren fa el trajecte entre dues ciutats, A i B. Surt a les 07.00 hores i es dirigeix a B a velocitat constant. Hi arriba en 40 minuts. Després, s’atura durant 20 minuts i surt de B cap a A. Hi arriba en 50 minuts. S’atura 10 minuts i, a l’hora en punt, torna a sortir en direcció a B. a) Representa la funció Temps–Distància a la ciutat A. b) Fes un estudi complet de la funció. Distància
a)
20
60
100 140 180 220 Temps (min)
b) La funció és contínua en tot el domini. És creixent als intervals (0, 40), (120, 160)… És contant als intervals (40, 60), (110, 120), (160, 180)… És decreixent als intervals (60, 110), (180, 230)... c) Sí, és una funció periòdica, amb període T = 120 minuts.
073 ●●
En una gràfica es mostra la superfície d’edificació d’habitatges (en milions de m2) concedida en cada mes de l’any.
Y 13 12 11
a) b) c) d)
Analitza’n la continuïtat. 10 En quins punts talla els eixos? 9 Estudia’n el creixement. Assenyala’n màxims i mínims G F M A MG J JL AG S O i indica si són absoluts o relatius. e) Quins mesos es van superar els 12 milions de metres quadrats? Entre quins dos mesos es va registrar el creixement més important?
X N
a) És una funció contínua. b) No talla l’eix X i talla l’eix Y a (G; 8,5). c) És creixent de gener a febrer, de març a abril, de juny a juliol i d’agost a octubre. És decreixent de febrer a març, d’abril a juny, de juliol a agost i d’octubre a desembre. d) Màxims relatius: febrer, abril, juliol i octubre. Màxim absolut: octubre. Mínims relatius: març, juny i agost. Mínim absolut: gener. e) Es van superar els 12 milions a l’octubre, novembre i desembre. El creixement més gran es va enregistrar als mesos d’agost i setembre.
360
D
831106 _ 0338-0365.qxd
11/9/07
13:40
Página 361
SOLUCIONARI
074 ●●
11
En un entrenament per a una carrera de 5.000 m un atleta ha registrat aquests temps. Temps (s)
0
10
20
50
…
Espai (m)
0
65
130 195 260 325
…
30
40
a) Representa les dades en una gràfica. b) Si continua amb la mateixa velocitat, quant temps tardarà a recórrer 5.000 m? c) Escriu l’expressió algebraica que relaciona l’espai recorregut amb el temps que hi ha dedicat. a)
b) t = 3.000 : 6,5 = 461,54 s = 7 min 41,54 s
Y 13
c) y = 6,5x
11 9 7 5 3 1 1 3 5 7 9 11 X
075
Quina gràfica correspon a l’acció d’omplir cada recipient?
●●●
Volum
4
Volum
Altura
3
Altura
2
Altura
Altura
1
Volum
Volum
Altura
2
a) És un con. A mesura que creix el volum, l’altura creix cada cop més depressa. La gràfica és:
Volum
3
Altura
b) La part inferior és un cilindre, i el volum és proporcional a l’altura; després és un con, i per tant, a mesura que augmenta el volum el creixement de l’altura s’accelera. La gràfica és:
Volum
361
831106 _ 0338-0365.qxd
11/9/07
13:40
Página 362
Funcions 1
Altura
c) És una esfera. L’altura creix més depressa al principi i en acabar d’omplir el volum de l’esfera, coincidint amb els pols. La gràfica és:
Volum
d) És un con invertit. El creixement de l’altura es ralentitza a mesura que tenim un volum més gran. La gràfica és:
Altura
4
Volum
076 ●●●
Si una funció és contínua: a) Quants màxims, com a mínim, haurà de tenir la funció si talla exactament 4 vegades l’eix X? b) Y no és constant en cap interval. Quin és el nombre més gran de vegades que pot tallar l’eix X si té 3 mínims? a) Els quatre punts de tall amb l’eix X delimiten tres intervals en què, com que la funció és contínua, hi ha d’haver, almenys, un màxim o un mínim. El menor nombre de màxims s’aconsegueix amb dos mínims i un màxim entre ells. Y
X
b) Com que presenta 3 mínims, té com a molts 4 màxims i, com que és una funció contínua, cada mínim se situarà entre 2 punts màxims. Cada màxim pot generar dos punts de tall amb l’eix X, i, per tant, tindrà com a màxim 8 punts de tall amb l’eix X. Y
X
077 ●●●
Una funció parella pot valer −7 a x = 0? I una funció imparella? No, perquè si és una funció imparella serà simètrica respecte de l’origen i, per tant, també hauria de passar pel punt (0, 7), cosa que no és possible perquè, aleshores, el 0 tindria més d’una imatge. Totes les funcions imparelles que tallen l’eix Y ho fan al punt (0, 0).
362
831106 _ 0338-0365.qxd
11/9/07
13:40
Página 363
SOLUCIONARI
078 ●●●
11
D’una funció, en sabem que tots els elements del seu conjunt Imatge són positius i, a més:
f (x + y) = f (x) ⋅ f (y) ⎛2⎞ Si f ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = 4 , quant val f (5)? I f (0)? ⎜⎝ 3 ⎟⎠ ⎛2⎞ ⎛2 ⎞ ⎛2⎞ 4 = f ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = f ⎜⎜ + 0⎟⎟⎟ = f ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⋅ f (0) = 4 ⋅ f (0) → f (0) = 1 ⎜⎝ 3 ⎠⎟ ⎜⎝ 3 ⎜⎝ 3 ⎟⎠ ⎟⎠ ⎛1⎞ ⎛2⎞ ⎛1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ ⎛ 1 ⎞⎞ 1⎞ 4 = f ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = f ⎜⎜ + ⎟⎟⎟ = f ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⋅ f ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = ⎜⎜⎜f ⎜⎜ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟ → f ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = ⎜⎝ 3 ⎟⎠ ⎜ ⎜⎝ 3 ⎟⎠ ⎜ ⎜⎝ 3 ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ ⎝ 3 ⎠⎟⎠ 3⎠ 2
⎛ 1 ⎞ ⎛ ⎛ 1 ⎞⎞ f (5) = f ⎜⎜15 ⋅ ⎟⎟⎟ = ⎜⎜⎜f ⎜⎜ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟ ⎜⎝ 3 ⎟⎠ ⎝ ⎜⎝ 3 ⎟⎠⎟⎠
4 =2
15
= 215 = 32.768
A LA VIDA QUOTIDIANA 079 ●●●
La Marta va decidir invertir els estalvis l’any 2002. Va haver d’escollir entre dos productes financers: un dipòsit a termini fix o un fons d’inversió.
SIT
DIPÒ INI FIX RM A TE DA: DURANYS A 5 LITAT: IBI REND15 % 3%
AL
ANU
FONS D’INVERSIÓ
PARTICIPACIÓ: 15,80 € ALTA
RENDIBILIT
AT
El dipòsit a termini fix tenia una durada de 5 anys. Un cop passat aquest temps, el banc li havia de tornar el capital ingressat més el 15 % d’interessos. Si retirava els diners abans, el banc li oferia un interès del 3 % cada any. D’altra banda, el fons d’inversió no tenia una rendibilitat fixa, i l’interès podia variar en funció dels índexs borsaris. Finalment, la Marta es va decidir pel fons d’inversió i en va comprar 1.519 participacions.
363
831106 _ 0338-0365.qxd
11/9/07
13:40
Página 364
Funcions Ahir va rebre la informació sobre la rendibilitat del seu fons en els últims 5 anys. Hi apareixia aquesta gràfica. 22 Preu per participació (€)
21 20 19 18 17 16 15 99
00
01
02
03
04
05
06
Any
En vista de la gràfica, hauria estat millor haver invertit en el dipòsit a termini fix? En quins moments, des de l’any 2002, el dipòsit a termini fix li hauria ofert més rendibilitat? L’elecció depèn del moment en què es treguin els diners. Per exemple, durant tot l’any 2002, i en gairebé tots els mesos dels anys 2003 i 2004, hauria estat més rendible el dipòsit a termini fix. 080 ●●●
L’Institut General de Mitjans de Comunicació (IGMC) ha fet públiques les dades recollides en la seva última enquesta feta als oients.
En aquesta gràfica apareix el nombre d’oients (en milions) de les dues emissores de ràdio amb més audiència del país.
Nre. d’oients (milions)
3
Ràdio-Ràdio
2
1 Emissora-Ràdio 4
364
8
12
16
20
24
Hores
831106 _ 0338-0365.qxd
11/9/07
13:40
Página 365
SOLUCIONARI
11
Aquestes són les programacions diàries de les dues cadenes.
RÀDIO – RÀDIO 0–4h 4–7h
Cultural Música
rmatius 7 – 10 h Info evistes 10 – 14 h Entr rmatius 14 – 15 h Info rts 15 – 16 h Espo or 16 – 20 h Hum rmatius 20 – 22 h Info rts 22 – 24 h Espo
EMISSORA – RÀDIO 0 – 4 h Entrevi stes 4 – 7 h Humor 7 – 10 h Music al 10 – 12 h Inform atius 12 – 14 h Esports 14 – 16 h Cultu ral 16 – 19 h Esports 19 – 20 h Inform atius 20 – 22 h Music al 22 – 24 h Cine
Quines conclusions extreus de l’estudi de la gràfica i de les programacions? Com modificaries la programació de les cadenes per augmentar-ne l’audiència? Observem que l’audiència més gran s’obté amb l’emissió de programes esportius o informatius, mentre que les audiències menors corresponen a programes culturals i d’humor. Fóra aconsellable que les cadenes augmentessin els programes amb aquests tipus de contingut per augmentar l’audiència.
365
831106 _ 0366-0395.qxd
12
11/9/07
13:41
Página 366
Funcions de proporcionalitat FUNCIONS DE PROPORCIONALITAT
FUNCIONS LINEALS
PENDENT D’UNA RECTA
366
REPRESENTACIÓ GRÀFICA
FUNCIONS DE PROPORCIONALITAT INVERSA
REPRESENTACIÓ GRÀFICA
831106 _ 0366-0395.qxd
11/9/07
13:41
Página 367
El càlcul té dos pares Quan va sentir que s’obria la porta, Leibniz va aixecar la vista del paper on escrivia i, sense ni saludar a qui havia entrat, es va començar a queixar, molt alterat: –Tothom sap que la trajectòria de la meva vida és impecable. Com és possible que dubtin de mi? He donat proves d’honestedat i talent suficients per a això i encara per a més. La respiració agitada de Leibniz va fer que el seu interlocutor, Bernoulli, el calmés assegurant-li que ningú, enlloc del món, tret d’Anglaterra, dubtava d’ell. –Jo no coneixia la feina del mestre Newton, fins i tot li vaig escriure per explicar-li els meus progressos. Però no he plagiat la feina de ningú –va assegurar Leibniz. –He vingut a comunicar-te una bona notícia: la comissió ha acabat les investigacions i la seva conclusió és que totes dues teories han estat desenvolupades de manera independent. A més, segons la meva opinió el teu sistema és molt millor, sobretot per la notació que fas servir. La teoria desenvolupada per Leibniz i per Newton és de capital importància per a l’estudi de moltes propietats relatives a les funcions. Leibniz va ser el primer de fer servir el terme funció per designar la relació entre dues magnituds. Sabries escriure la funció que relaciona cada nombre amb el seu doble menys tres unitats?
La funció que relaciona cada nombre amb el seu doble menys tres unitats és: f(x) = 2 x – 3
831106 _ 0366-0395.qxd
11/9/07
13:41
Página 368
Funcions de proporcionalitat EXERCICIS 001
Indica si les funcions són lineals i, si ho són, determina’n el pendent i el creixement o decreixement. 3 4 x c) y = e) y = a) y = 3x − 4 4 x 1 2 x +2 b) y = 5x d) y = f) y = x 3 a) No és lineal. b) És lineal i creixent.
002
c) És lineal i creixent. d) No és lineal.
e) No és lineal. f) No és lineal.
Posa dos exemples de funció lineal creixent i dos més de decreixent. Funció lineal creixent: y = 3x; y = 4x. Funció lineal decreixent: y = −5x; y = −x.
003
Troba una taula de valors i representa les funcions lineals següents: a) y = 0,5x a)
x y
b) y = −2x
c) y = 4x
0
1
2
3
0
0,5
1
1,5
d) y = x d)
x y
e) y = −0,5x 0
1
2
3
0
1
2
3
Y
Y y = 0,5x X
0,5
y=x X
1 2 3
b)
x y
0
1
2
3
0
−2
−4
−6
e)
Y
x y
1
0 0
y = −0,5x
y = −2x
2
x y
Y
X
0
1
2
3
0
4
8
12
f)
y = 4x X
0
1
2
3
0
10
20
30
y = 10x 1 2
X
Una funció de proporcionalitat directa passa pel punt P (−5, 10). a) Calcula’n el pendent. c) Com és la funció, b) Determina’n l’expressió algebraica. creixent o decreixent? a) m = 10 : (−5) = −2
368
x y
Y 20 10
Y
004
3
−0,5 −1 −1,5
X
c)
f) y = 10x
b) y = −2x
c) És decreixent.
831106 _ 0366-0395.qxd
11/9/07
13:41
Página 369
SOLUCIONARI
Indica si aquestes funcions són afins i determina’n el pendent i l’ordenada. c) y = x 2 − 5
c) No és afí.
2 b) És afí: m = − , n = 3. 5
d) No és afí.
Representa la funció afí y = 2x + n per a n = 1, n = 2, n = −1 i n = 0. Com són les rectes que has dibuixat?
y = 2x + 1 y = 2x 2
Y
Són rectes paral·leles.
5 3
−2
007
1
7
y=
006
2 +1 x
d) y =
2x −
b) y =
2x +
−2 x +3 5 a) És afí: m = 3, n = −4.
a) y = 3x − 4
y=
005
12
1 −2
3
X
5
Troba una taula de valors i representa aquestes funcions afins: a) y = 2x + 3 c) y = −3x + 1 e) y = 5x − 5 b) y = −x + 4 d) y = x + 3 f) y = 0,5x + 3 a)
x y
0
1
2
3
3
5
7
9
d)
x y
0
1
2
3
3
4
5
6
Y
Y
y = 2x + 3
y=x+3 X
X
b)
x y
0
1
2
3
4
3
2
1
e)
x y
0
1
2
3
−5
0
5
10
Y
Y y = −x + 4
y = 5x − 5 X
X
c)
x y
0
1
2
3
1
−2
−5
−8
Y
f)
x y
0
1
2
3
3
3,5
4
4,5
Y y = 0,5x + 3 X y = −3x + 1
X
369
831106 _ 0366-0395.qxd
11/9/07
13:41
Página 370
Funcions de proporcionalitat 008
Una recta que passa per tres quadrants és una funció lineal o afí? Raona la resposta. És afí, perquè per tal que passi per tres quadrants cal que no passi per l’origen.
009
Determina dos punts pels quals passin les funcions següents i representa-les. a) y = −3x c) y = −2x + 4 e) y = 4x − 2 g) y = −0,4x b) y = −6x + 7 d) y = −4x f) y = −x + 3 h) y = x − 2 a) x = 0 → y = 0 x = 1 → y = −3
e) x = 0 → y = −2 x=1→y=2 Y
Y y = −3x
y = 4x − 2 X
X
b) x = 0 → y = 7 x=1→y=1
f) x = 0 → y = 3 x=3→y=0
Y
Y y = −x + 3 X
y = −6x + 7
X
c) x = 0 → y = 4 x=2→y=0
g) x = 0 → y = 0 x = 1 → y = −0,4
Y
Y y = −2x + 4 X
X y = −0,4x
d) x = 0 ⎯→ y = 0 x = −1 → y = 4
h) x = 0 → y = −2 x=2→y=0
Y
Y
y=x−2
X
X
y = −4x
010
Y
Estudia la recta que passa per (0, 2) i (1, 2). És una recta paral·lela a l’eix X. La seva expressió algebraica és y = 2.
370
y=2 (0, 2) −5
−3
−1
(1, 2) 1
3
5
X
831106 _ 0366-0395.qxd
11/9/07
13:41
Página 371
011
Y
Representa, en uns mateixos eixos, les funcions i explica’n les diferències.
5
a) y = 2x b) y = 2x − 3 c) y = 2x + 1
3 1 −2
Són rectes paral·leles que es diferencien en el valor de l’ordenada a l’origen.
012
12
y= 2x + y= 1 2x y= 2x − 3
SOLUCIONARI
1 −2
3
X
−4 −6
Troba l’equació de la recta que passa pels punts següents: a) A (1, 6) i B (3, 9) b) A (−1, 0) i B (0, 4) c) A (−3, 6) i B (2, −4)
d) A (2, 4) i B (3, 1) e) A (−1, −2) i B (2, 5)
9−6 3 3 3 9 = →6= ⋅1+n→6− =n→n= 3 −1 2 2 2 2 3 9 y= x + 2 2
a) m =
4−0 = 4 → 0 = 4 ⋅ (−1) + n → n = 4 0 − (−1) y = 4x + 4
b) m =
−4 − 6 −10 = = −2 → 6 = −2 ⋅ (−3) + n → n = 0 2 − (−3) 5 y = −2x
c) m =
1− 4 = −3 → 4 = −3 ⋅ 2 + n → n = 10 3−2 y = −3x + 10
d) m =
5 − (−2) 7 7 7 1 = = → −2 = ⋅ (−1) + n → n = −2 + 2 − (−1) 3 3 3 3 7 1 y= x + 3 3
e) m =
013
Comprova si les rectes anteriors passen pel punt de coordenades (1, 1). N’hi ha cap que correspongui a una funció afí? 3 9 + = 6 . No hi pertany. 2 2 b) 1 ⫽ 4 + 4 = 8. No hi pertany.
a) 1 ⫽
c) 1 ⫽ −2. No hi pertany.
d) 1 ⫽ −3 + 10 = 7. No hi pertany. e) 1 ⫽
7 1 8 + = . No hi pertany. 3 3 3
Són funcions afins, excepte la de l’apartat c), que és lineal.
371
831106 _ 0366-0395.qxd
11/9/07
13:41
Página 372
Funcions de proporcionalitat Y
014
Troba l’equació de la recta d’aquesta gràfica: Com que passa per (4, 1) i (0, −2) → m = 0,75. Com que passa per (0, −2) → → −2 = 0,75 ⋅ 0 + n → n = −2 L’equació de la recta és: y = 0,75x − 2.
015
A
1 1
B
3 4
X
−2
Calcula l’equació de la recta que té el mateix pendent que la recta que passa pels punts A (3, 5) i B (−1, 4) i que passa, a la vegada, per C (5, 0). 4−5 −1 = = 0, 25. Com que passa per (5, 0) → 0 = 0,25 ⋅ 5 + n → −4 −1 − 3 x −5 → n = −1,25. L’equació de la recta és: y = 0,25x − 1,25 → y = . 4
m=
016
Determina la posició relativa d’aquests parells de rectes: b) y = 6x c) y = 2x + 3 a) y = x + 2 y = −x + 2 y = 6x − 5 y = 2x − 11
d) y = x − 9 y = −x + 9
a) y = −x + 2⎪⎫⎪ m' = 1 ⎪⎫⎪ ⎬ ⎬ → Són secants. y = −x + 2⎪⎪⎭ m' = −1⎪⎪⎭ Sumem les dues equacions: 2y = 4 → y = 2 → 2 = x + 2 → x = 0 → P (0, 2) b) y = 6 x − 5⎪⎫⎪ m' = 6⎪⎫⎪ ⎬ ⎬ ⎯→ Són paral·leles. y = 6 x − 5⎪⎪⎭ m' = 6⎪⎪⎭ c) y = 2x + 3 ⎫⎪⎪ m' = 2⎫⎪⎪ → Són paral·leles. ⎬ ⎬ ⎯ y = 2x − 11⎪⎪⎭ m' = 2⎪⎪⎭ d) y = −x − 9 ⎪⎫⎪ m' = 1 ⎪⎫⎪ ⎬ ⎬ → Són secants. y = −x + 9⎪⎪⎭ m' = −1⎪⎪⎭ Sumem les dues equacions: 2y = 0 → y = 0 → 0 = x − 9 → x = 9 → P (9, 0) 017
Troba el punt de tall de les rectes. a) y = x + 8 y = 2x
b) y = 3x + 1 y = 6x + 2
a) y = 2x + 8⎫⎪⎪ ⎬ → x + 8 = 2x → x = 8 → y = 16 y = 2x + 8⎪⎪⎭ Es tallen en el punt P (8, 16). −1 b) y = 3x + 1⎪⎫⎪ → y =0 ⎬ → 3x + 1 = 6 x + 2 → 3x = −1 → x = ⎪ y = 6 x + 2⎪⎭ 3 ⎛ ⎞ Es tallen en el punt P ⎜⎜ −1 , 0⎟⎟⎟ ⎜⎝ 3 ⎟⎠
372
831106 _ 0366-0395.qxd
11/9/07
13:41
Página 373
SOLUCIONARI
018
12
Calcula les coordenades dels vèrtexs d’un triangle que té els costats a les rectes: r : y = −x + 5 s: y = x + 7 t : y = 2x − 9 Els vèrtexs són la solució dels tres sistemes d’equacions: y = −x + 5⎫⎪⎪ ⎬ → −x + 5 = x + 7 → x = −1 → y = 6 . Solució: (−1, 6). y = −x + 7⎪⎪⎭ ⎛ 14 1 ⎞⎟ 14 1 y = −x + 5⎫⎪⎪ → y = . Solució: ⎜⎜ , ⎟ ⎬ → −x + 5 = 2x − 9 → x = ⎜⎝ 3 3 ⎟⎟⎠. 3 3 y = 2x − 9 ⎪⎪⎭ y = 2x − 9 ⎪⎫⎪ ⎬ → 2x − 9 = x + 7 → x = 16 → y = 23 . Solució: (16, 23). y = −x + 7⎪⎪⎭
019
Escriu tres rectes secants i tres de paral·leles a les rectes següents: a) y = −x + 4 b) y = 3x − 7
020
c) y = −6x − 1 d) y = 4
a) y = −x + 4 Rectes secants: Rectes paral·leles:
y = 3x − 1 y = −x + 1
y=x−4 y = −x − 1
y = 2x + 3 y = −x + 2
b) y = 3x − 7 Rectes secants: Rectes paral·leles:
y=x−7 y = 3x − 1
y = −x + 1 y = 3x + 1
y = 2x − 1 y = 3x + 2
c) y = −6x − 1 Rectes secants: Rectes paral·leles:
y=x+1 y = −6x + 1
y = 6x − 5 y = −6x − 2
y = −x + 3 y = −6x
d) y = 4 Rectes secants: Rectes paral·leles:
y=x−1 y=0
y=x y = −1
y=x+1 y=2
Representa les rectes següents: a) y = −7 b) y = 0 c) y = 1
d) y = 2 e) y = −2 f) y = 3
Y
1 −4 −2
1
3
5
y=3 y=2 y=1 y=0 X y = −2
−4 −6
y = −7
373
831106 _ 0366-0395.qxd
11/9/07
13:41
Página 374
Funcions de proporcionalitat
a) b) c) d)
022
x = −3 x=0 x=4 x = −2
−5
−1
1 3 −2
x=4
x=0
x = −2
Y
Representa gràficament aquestes rectes:
x = −3
021
5
X
−4
Determina la posició relativa de les rectes y = 3, x = −2. Calcula’n el punt de tall en el cas que siguin secants. Són rectes secants, perpendiculars, que es tallen en el punt P (−2, 3).
023
Troba l’equació de la recta: a) Paral·lela a l’eix X i que passa per P (1, 3). b) Paral·lela a l’eix Y i que passa per P (−1, 4). a) És paral·lela a l’eix X → m = 0 → y = n. Passa per P (1, 3) → 3 = 0 ⋅ 1 + n → n = 3. Per tant, és la recta y = 3. b) És paral·lela a l’eix Y → x = k. Passa per P (−1, 4) → x = −1. Per tant, és la recta x = −1.
024
Representa aquestes funcions: a) y =
−1 x
a)
b) y = Y 5 4 3 2 1
3
5
−5 −3 −1 −2 −3 −4 −5
b)
X
y =
−1 x
y =
2 x
Y
−5 −3
5 4 3 2 1 −1 −2 −3 −4 −5
374
2 x
3
5
X
831106 _ 0366-0395.qxd
20/9/07
14:17
Página 375
12
SOLUCIONARI
025
Construeix una taula de valors i representa les següents funcions: a) x ⋅ y = 8 a)
b) x ⋅ y − 5 = 0
x
…
−4
−2
−1
…
1
2
4
…
Y
y
…
−2
−4
−8
…
8
4
2
…
6 4 2 −6 −4 −2 −2
2
4
6
X
−4 −6
b)
x
…
−5
−1 −0,5
…
0,5
1
5
…
y
…
−1
−5 −10
…
10
5
2
…
Y 5
−5
5
X
−5
026
Completa la gràfica i estudia’n les propietats. Y 4 2 −4
−2 −2
2
4
X
−4
Propietats: • Funció discontínua (hipèrbola) • Funció creixent • Assímpota vertical x = 0 • Assímptota horitzontal: y = 0 027
Indica quines de les funcions següents són de proporcionalitat directa, inversa o no corresponen a cap d’elles: 5 a) y = 3x − 5 b) y = x ⋅ x c) y = x La funció c) és de proporcionalitat inversa. Les altres dues no són de proporcionalitat.
375
831106 _ 0366-0395.qxd
11/9/07
13:41
Página 376
Funcions de proporcionalitat 028
2 4 10 ,y = ,y = Fes la representació gràfica de les funcions següents y = x x x en els mateixos eixos de coordenades. a) Per a valors positius de la x, quina és la funció que està per sobre de les altres? b) I per a valors negatius? Y 4 x F
−6
4 −2 2 −4 G −8
029
y =
10 x
G
8 y =
6 y =
X 2 x
L’àrea d’un rectangle és de 120 m2. Escriu l’expressió algebraica de la funció que relaciona les dues magnituds i representa-la. Expressió algebraica:
Y 60 50 40 30 20 10 0 10 20 30 40 50 60
030
X
Una funció de proporcionalitat inversa, pot tallar l’eix d’ordenades? I l’eix d’abscisses? Pot passar per l’origen? Raona la resposta. Cap funció de proporcionalitat inversa no pot tallar ni l’eix d’ordenades ni l’eix d’abscisses i tampoc no pot passar per l’origen de coordenades.
031
En una parada del mercat hem vist l’oferta següent: «Una bossa de 10 kg de tomàquets val 16 €.» a) b) c) d)
Si ho considerem una funció, quines variables estem relacionant? Expressa la funció de totes les formes possibles. Quin tipus de funció és? Quant val una bossa de 7 kg? a) Relacionem el nombre de quilos de tomàquets (variable independent) amb el preu (variable dependent). 16 ⋅ 1 b) 10 kg ⎯ 16 € →y= = 1,6 → y = 1,6x 01 kg ⎯ y € 10
冧
c) És una funció lineal. d) y = 1,6 ⋅ 7 = 11,20 €
376
831106 _ 0366-0395.qxd
20/9/07
14:17
Página 377
12
SOLUCIONARI
Y
032
La temperatura en un lloc de l’Antàrtida a les 12 h és de 5 °C, i cada hora baixa 4 °C. Expressa la funció de totes les maneres possibles.
5
1
y = 5 − 4x, en què x és el nombre d’hores transcorregudes des de les 12 h i y la temperatura (en °C).
−2
5
X
−4
L’equació que ens dóna l’interès d’un dipòsit bancari és y = 3 ⋅ t. Si el capital invertit és 150 €, troba l’equació que relaciona el capital amb el temps, i representa-la.
150
Capital = Capital invertit + Interès → C = 150 + 3t
034
1 3 −2
Capital (€)
033
y = 5 − 4x
3
Temps
Y
Calcula gràficament el punt de tall de les rectes següents: y = 2x − 3 y = −2x + 1 Estudia’n també les propietats.
y = −2x + 1
y = 2x − 3 (−1, 1)
X
Són rectes afins que es tallen al punt (−1, 1). La recta y = 2x – 3 és creixent, amb pendent 2. La recta y = −2x + 1 és decreixent, amb pendent −2. Per celebrar la festa de final de curs, un grup d’amics lloga un local, i han de triar entre dos. Les ofertes que els fan són: CAMELOT: 1.000 € i 5 € per assistent. MORGANA: 200 € i 10 € per assistent. La capacitat màxima a tots dos locals és de 300 persones. Quin dels dos triaries? Y L’equació del cost respecte els assistents és: Camelot: y = 1.000 + 5x Morgana: y = 200 +10x Si el nombre d’assistents és més petiti que 160, és preferible escollir Morgana. Però si és més gran que 160, és millor Camelot.
t) elo (160, 1.800)
am
1.500 Diners (€)
035
y=
00
1.0
x (C +5
1.000 500
y = 200 + 10x (Morgana) 50
100
150
X
Assistents (persones)
377
831106 _ 0366-0395.qxd
11/9/07
13:41
Página 378
Funcions de proporcionalitat 036
La companyia DIRECTEACASA fa propaganda repartint fulls al carrer. El cap de personal sap que una sola persona reparteix 1.000 fulls en un dia i vol repartir 50.000 fulls. a) Quant trigarien dues persones a repartir ho tot? I deu? Fes una taula que indiqui la relació entre el nombre de persones i els dies que triguen a repartir els 50.000 fulls. b) Escriu l’expressió algebraica d’aquesta funció i representa-la gràficament. a) Dues persones trigarien 25 dies i 10 persones trigarien 5 dies. x (persones)
1
2
5
10
20
25
50
…
y (dies)
50
25
10
5
2,5
2
1
…
b) y = 50/x Y
Dies
40 30 20 10 0 0
037
10
20 30 40 Persones
X
Un tren surt de Retort amb destinació a Vilera a una velocitat de 90 km/h. En aquest moment surt un altre tren de Vilera a Retort a 100 km/h. Si la distància entre les dues poblacions és de 344 km, a quina distància de totes dues creus que es creuaran els trens? L’equació del trajecte dels trens en funció dels temps és:
Per tant, es creuen a 163 km de Retort.
=
200
34 (V 4 − ile ra 10 0 )
100
y= (1 h 48 min, 163 km)
x
El punt de tall de les dues rectes és (1 h 48 min, 163 km).
rt) to Re ( x 90
300
y
Sortida de Retort: y = 90x Sortida de Vilera: y = 344 – 100x
Distància (km)
Y
1
2
3
X
Temps (hores)
ACTIVITATS 038 ●●
Una funció lineal passa pel punt de coordenades (2, 8). Determina’n el pendent i l’equació. És creixent o decreixent?
y = mx → 8 = m ⋅ 2 → m = 4 → y = 4x → És creixent.
378
831106 _ 0366-0395.qxd
11/9/07
13:41
Página 379
SOLUCIONARI
039 ●
12
Aquesta és la gràfica d’una funció de proporcionalitat directa. Dibuixa’n els eixos si el punt A té d’abscissa x = 3. a) Quina és l’ordenada del punt A? b) I l’expressió algebraica de la funció? a) Ens desplacem tres unitats des del punt A a l’esquerra i després es traça una recta vertical que tallarà la funció en l’origen de coordenades. L’ordenada del punt és y = 6. b) La funció és y = 2x i la seva representació gràfica és la següent: Y 7 6 5 4 3 2 1 −4
040
−2
A
−1 2
4
X
Classifica les funcions següents en lineals i afins. Com ho fas?
● t
Y
u
r s X
Són lineals les funcions s i t. Són afins les funcions r i u. Les funcions lineals són rectes que passen per l’origen de coordenades. 041 ●
Classifica les funcions següents: a) y = −
1 x 3
b) y = −0,25x
c) y =
1 x +5 2
d) y = 1,7x
Són lineals les funcions de a), b) i d). És afí la funció de l’apartat c). 042 ●
A les funcions següents, assenyala quin és el valor del pendent i de l’ordenada a l’origen. a) y = −3x + 6 a) b) c) d)
b) y = 10x
c) y = −2x − 5
d) y = −9x
Pendent: −3. Ordenada a l’origen: 6. Pendent: 10. Ordenada a l’origen: 0. Pendent: −2. Ordenada a l’origen: −5. Pendent: −9. Ordenada a l’origen: 0.
379
831106 _ 0366-0395.qxd
11/9/07
13:41
Página 380
Funcions de proporcionalitat 043 ●
Classifica les funcions en creixents i decreixents sense representar-les. Com ho fas? a) y = 12x − 3 b) y =
12 x 5 f) y = 0,7x + 0,65 e) y = −
c) y = 0,25x − 3
1 2 x + 6 3
d) y = −7x − 4
Són creixents les funcions dels apartats a), b), c) i f), perquè tenen pendents positius. Són decreixents les funcions dels apartats d) i e), perquè tenen pendents negatius. 044
Determina el signe del pendent i el de l’ordenada a l’origen d’aquestes funcions:
●●
t
Y
r
u s X
Recta r: m > 0 i n > 0 Recta s: m > 0 i n < 0
Recta t: m < 0 i n > 0 Recta u: m < 0 i n < 0
El signe del pendent el deduïm per la inclinació de la recta, i el de l’ordenada a l’origen pel punt de tall amb l’eix Y. 045 ●
Y
Representa les funcions següents: a) y = x + 2 b) y = 2,5x c) y = −2x − 3
c)
2
b)
1 a)
046 ●●
Dibuixa en uns eixos de coordenades: a) Una funció lineal de pendent negatiu. b) Una funció afí de pendent positiu i ordenada a l’origen negativa. c) Una funció afí de pendent negatiu i ordenada a l’origen positiva. t
r
Y s
X
380
a) Recta r. b) Recta s. c) Recta t.
X
831106 _ 0366-0395.qxd
11/9/07
13:41
Página 381
12
SOLUCIONARI
047 ●
Y
Calcula les expressions algebraiques de les funcions representades per aquestes rectes:
b) a) 1
X
1 d)
c)
1 . 2 Com que passa per (0, −3) → −3 = 0 + n → n = −3.
a) Passa per (0, −3) i (6, 0) → m =
L’equació de la recta és: y =
x − 3. 2
b) Passa per (0, 0) i (1, 4) → m = 4. Com que passa per (0, 0) → 0 = 0 + n → n = 0. L’equació de la recta és: y = 4x. c) Passa per (0, 2) i (2, 0) → m = −1. Com que passa per (0, 2) → 2 = 0 + n → n = 2. L’equació de la recta és: y = −x + 2. d) Passa per (0, 8) i (−4, 0) → m = 2. Com que passa per (0, 8) → 8 = 0 + n → n = 8. L’equació de la recta és: y = 2x + 8.
048
Quina és la representació de y = −
●
a)
c)
Y
1
1 x −1 ? 2 Y
1
1
X
b)
Y
d)
1
1
X
1
X
Y
1 1
X
Com que la funció té pendent negatiu és decreixent i com que, a més, passa per (0, −1), la solució és la de l’apartat b).
381
831106 _ 0366-0395.qxd
11/9/07
13:41
Página 382
Funcions de proporcionalitat 049
Digues quins punts pertanyen a la funció y = 3x − 6:
●●
A (1, 3) B (−1, −9) C (1, −9)
D (11, 27) E (−4, −6) F (5, 9)
A (1, 3) ⎯⎯→ y = 3 ⋅ 1 − 6 = −3 ⫽ 3 B (−1, −9) → y = 3 ⋅ (−1) − 6 = −9 C (1, −9) ⎯⎯ → y = 3 − 6 = −3 ⫽ −9 D (11, 27) ⎯→ y = 3 ⋅ 11 − 6 = 33 − 6 = 27 E (−4, −6) ⎯ → y = 3 ⋅ (−4) − 6 = −18 ⫽ −6 F (5, 9) ⎯⎯⎯ → y = 3 ⋅ 5 − 6 = 15 − 6 = 9 Pertanyen a la funció els punts B, D i F. 050 ●●
Escriu quatre punts que pertanyin a cadascuna d’aquestes rectes: a) y = 2x − 5 b) y = −3x − 2 1 3 x − 2 2 d) y = 0,25x − 3 c) y = −
a) Per a x = 0 ⎯→ y = 2 ⋅ 0 − 5 = −5 → (0, −5) Per a x = 1 ⎯→ y = 2 ⋅ 1 − 5 = −3 → (1, −3) Per a x = −1 → y = 2 ⋅ (−1) − 5 = −7 → (−1, −7) Per a x = 2 ⎯→ y = 2 ⋅ 2 − 5 = −1 → (2, −1) b) Per a x = 0 ⎯→ y = −3 ⋅ 0 − 2 = −2 → (0, −2) Per a x = 1 ⎯→ y = −3 ⋅ 1 − 2 = −5 → (1, −5) Per a x = −1 → y = −3 ⋅ (−1) − 2 = 1 → (−1, 1) Per a x = 2 ⎯→ y = −3 ⋅ 2 − 2 = −8 → (2, −8) 3 2 1 Per a x = 1 ⎯→ y = − 2 1 Per a x = −1 → y = − 2 1 Per a x = 2 ⎯→ y = − 2
c) Per a x = 0 ⎯→ y = −
⎛ 3⎞ → ⎜⎜⎜0, − ⎟⎟⎟ ⎝ 2 ⎟⎠ 3 ⋅1− = −2 → (1, −2) 2 3 ⋅ (−1) − = −1 → (−1, −1) 2 ⎛ 5⎞ 3 5 ⋅2− = − → ⎜⎜2, − ⎟⎟⎟ ⎝⎜ 2 ⎠⎟ 2 2
d) Per a x = 0 ⎯→ y = −3 → (0, −3) Per a x = 1 ⎯→ y = 0,25 ⋅ 1 − 3 = −2,75 → (1; −2,75) Per a x = −1 → y = 0,25 ⋅ (−1) − 3 = −3,25 → (−1; −3,25) Per a x = 2 ⎯→ y = 0,25 ⋅ 2 − 3 = −2,5 → (2; −2,5)
382
831106 _ 0366-0395.qxd
11/9/07
13:41
Página 383
SOLUCIONARI
051 ●●
12
Determina si aquestes funcions són lineals o afins, i si són creixents o decreixents: a) y + 6x = 4 b) 5x + y = 0 c) x − 5y = 0
d) x = 3y e) y − 3x = 0 f) 2x − y = 5
a) y = −6x + 4 → Funció afí: m = −6, i decreixent. b) y = −5x ⎯⎯→ Funció lineal: m = −5, i decreixent. x 1 ⎯⎯⎯→ Funció lineal: m = , i creixent. 5 5 x 1 d) y = ⎯⎯⎯→ Funció lineal: m = , i creixent. 3 3 e) y = 3x ⎯⎯⎯→ Funció lineal: m = 3, i creixent. c) y =
f) y = 2x − 5 ⎯→ Funció afín: m = 2, i creixent. 052
Determina l’equació i el tipus de funció a partir de la descripció.
●●
a) La gràfica passa per l’origen i pel punt de coordenades (3, −4). b) El pendent és m = −4 i passa per (1, 5). c) L’ordenada és n = 2 i passa per (2, 6). 4 3 4 Funció y = − x. És lineal. 3
a) −4 = m ⋅ 3 → m = −
b) y = mx + n → 5 = −4 ⋅ 1 + n → n = 9 Funció y = −4x + 9. És afí. c) 6 = m ⋅ 2 + 2 → 4 = 2m → m = 2 Funció y = 2x + 2. És afí. 053 ●
Donats els punts A(0, −3) i B (3, 5): a) Calcula el pendent i l’ordenada a l’origen de la recta que hi passa. b) Quina és l’equació d’aquesta recta? c) Representa gràficament la funció. 5+3 8 = 3−0 3 Com que passa per (0, −3), l’ordenada a l’origen és −3.
a) m =
b) y =
8 x −3 3
c)
Y B(3, 5) 8 y = x −3 3 X A(0, −3)
383
831106 _ 0366-0395.qxd
11/9/07
13:41
Página 384
Funcions de proporcionalitat 054 ●
Troba l’equació de la recta que passa per cada parell de punts i indica de quin tipus de funció es tracta. a) (1, 5) i (−3, −15) b) (0, 2) i (1, 4) c) (1, −1) i (−2, −6)
d) (2, 4) i (4, 6) e) (−1, 4) i (3, −12) f) (−1, 2) i (5, −2)
−15 − 5 −20 = = 5 → y = 5x + n −3 − 1 −4 Substituïm el punt A (1, 5): 5 = 5 ⋅ 1 + n → n = 0 → y = 5x → Funció lineal
a) m =
4−2 = 2 → y = 2x + n 1− 0 Substituïm el punt A (0, 2): 2 = 2 ⋅ 0 + n → n = 2 → y = 2x + 2 → Funció afí
b) m =
−6 − (−1) −5 5 5 = = →y= x+n 3 −2 − 1 −3 3 Substituïm el punt A (1, −1):
c) m =
−1 =
5 8 5 8 → Funció afí ⋅1+n→n=− →y= x− 3 3 3 3
6−4 =1→y=x+n 4−2 Substituïm el punt A (2, 4): 4 = 2 + n → n = 2 → y = x + 2 → Funció afí
d) m =
−12 − 4 −16 = = −4 → y = −4x + n 3 − (−1) 4 Substituïm el punt A (−1, 4): 4 = −4 ⋅ (−1) + n → 4 = 4 + n → n = 0 → y = −4x → Funció lineal
e) m =
−2 − 2 −4 2 2 = =− →y=− x+n 5 − (−1) 6 3 3 Substituïm el punt A (−1, 2): 2 4 2 4 2 = − ⋅ (−1) + n → n = → y = − x + → Funció afí 3 3 3 3
f) m =
055 ●
056 ●●
384
Determina l’equació de la recta el pendent de la qual és m = 1 i passa per l’origen. L’equació és y = x. Troba l’equació d’una recta: a) Que tingui pendent m = −3 i l’ordenada a l’origen sigui −1,5. b) Que passi per A (2, 4) i tingui el mateix pendent que y = −3x − 5. c) Que tingui el mateix pendent que 3x + 2y = 6 i passi per B (−2, 3).
831106 _ 0366-0395.qxd
11/9/07
13:41
Página 385
SOLUCIONARI
12
a) y = −3x − 1,5 b) y = −3x + n → 4 = −3 ⋅ 2 + n → n = 10 → y = −3x + 10 3 3 x→m=− 2 2 3 3 3 y = − x + n → 3 = − ⋅ (−2) + n → 3 = 3 + n → n = 0 → y = − x 2 2 2
c) 2y = 6 − 3x → y = 3 −
057 ●●
Donada la recta de l’equació 2(x − 5) = 5(y − 3): a) Calcula su pendiente. b) Determina si pasa por el punto A(2, 7). a) m =
058 ●
2 = 0, 4 5
b) 2 ⋅ (2 − 5) = −6 ⫽ 5 ⋅ (7 − 3) = 20. No passa per A.
Troba l’equació de la recta que passa pel punt A (−1, 5) l’ordenada a l’origen de la qual és −4. Passa pels punts (−1, 5) i (0, −4) → −4 − 5 = −9. L’equació de la recta és: y = −9x − 4. →m = 0+1
059
Calcula el pendent de la recta que passa per l’origen i pel punt B (1, 5).
●
Passa pels punts (1, 5) i (0, 0) → m =
060 ●●
061
5−0 = 5. 1− 0
Escriu les equacions dels eixos de coordenades. L’equació de l’eix d’abscisses és y = 0 i la de l’eix d’ordenades és x = 0. FES-HO AIXÍ COM COMPROVEM SI TRES PUNTS ESTAN ALINEATS? Comprova si els punts A (−1, 2), B (1, 4) i C (3, 6) estan alineats. Tres punts estan alineats si estan a la mateixa recta. PRIMER. Trobem la recta que passa per dos punts. Triem dos punts: A(−1, 2) i B (1, 4).
m=
b2 − a2 4−2 = =1 b1 − a1 1 − (−1) A(−1, 2)
y = 1 ⋅ x + n ⎯⎯⎯→ 2 = −1 + n → n = 3 La recta que passa per A i B és y = x + 3. SEGON.
Comprovem si el tercer punt pertany a la recta. C(3, 6)
y = x + 3 ⎯⎯⎯→ 6 = 3 + 3 Veiem que C pertany a la recta que passa per A i B. Per tant, els tres punts estan alineats.
385
831106 _ 0366-0395.qxd
11/9/07
13:41
Página 386
Funcions de proporcionalitat 062 ●●
063 ●●
064 ●●
⎛ 1 ⎞ ⎛ 3 5⎞ ⎛ 23 ⎞⎟ ⎟⎟ estan alineats. Esbrina si els punts A ⎜⎜⎜1, − ⎟⎟⎟, B ⎜⎜⎜− , − ⎟⎟⎟ i C ⎜⎜⎜ 4, ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 12 4 4 12 ⎠ 5 1 − + 2 4 12 = , I com que passa per A: La recta que passa per A i B és: m = 3 3 1 2 3 − −1 − = +n → n = − . 4 12 3 4 2 3 L’equació de la recta és: y = x − . Mirem si C pertany a la recta: 3 4 23 2 3 = ⋅ 4 − . Per tant, els tres punts estan alineats. 12 3 4 ⎛ 2⎞ Donats els punts A(2, −1), B ⎜⎜⎜−3, − ⎟⎟⎟ i C (6, k), calcula k perquè estiguin alineats. ⎝ 3⎠ 2 +1 1 3 = . I com que passa per A: La recta que passa per A i B és: m = 3 2 3 − − 1 5 1 5 −1 = ⋅ 2 + n → n = − . L’equació de la recta és: y = x − , 3 3 3 3 1 5 1 ⋅6− = . i perquè passi per C → k = 3 3 3 Troba la recta que passa per A (2, 3) i B (1, −3). Troba el valor de p perquè el punt C ( p, −5) pertanyi a la recta. −3 − 3 = 6 → y = 6x + n 1− 2 Substituïm el punt A (2, 3): 3 = 6 ⋅ 2 + n → n = 3 − 12 = −9 → y = 6x − 9. 2 Substituïm el punt C (p, −5): −5 = 6p − 9 → 4 = 6p → p = . 3
m=
065 ●●
Els punts A (2, 3), B (3, 4) i C (5, 7), pertanyen a la mateixa recta? Determina-ho sense representar-los. Explica com ho fas. Agafem dos dels punts, A i B, i trobem l’equació de la recta que els uneix: 4−3 m= =1→y=x+n→3=2+n→n=1→y=x+1 3−2 Després comprovem si el punt C (5, 7) pertany o no a la recta: y = 5 + 1 = 6 ⫽ 7 → Els tres punts no pertanyen a la mateixa recta.
066 ●
Determina, sense representar-les, si els parells de rectes següents són secants o paral·leles: a) y = −4x + 2 y = 4x + 1 c) y = 2x + 3 y = −2x − 11 y = −3x + 6 d) y = 1,5x y = −1,5x b) y = −3x Comprovem si les dues rectes tenen el mateix pendent o no: a) m = −4, m' = 4 → Són secants. b) m = −3, m' = −3 → Són paral·leles. c) m = 2, m' = −2 → Són secants. d) m = 1,5; m' = −1,5 → Són secants.
386
831106 _ 0366-0395.qxd
11/9/07
13:41
Página 387
SOLUCIONARI
067 ●
12
Troba, de forma algebraica i gràfica, el punt de tall de cada parell de rectes. a) y = x + 2; y = −x + 1 b) y = −3x; y = 3x + 6 c) y = 2x; y = −2x + 4 d) y = 3x; y = 2x − 5 a) x + 2 = −x + 1 → 2x = −1 → 1 1 3 →x=− →y=− +2= 2 2 2 ⎛ 1 3⎞ P ⎜⎜− , ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 2 2 ⎟⎠ b) −3x = 3x + 6 → → −6x = 6 → x = −1 y = −3 ⋅ (−1) = 3 P (−1, 3)
Y y=x+2 X y = −x + 1 Y
X y = 3x + 6
c) 2x = −2x + 4 → → 4x = 4 → x = 1 y=2⋅1=2 P (1, 2)
y = −3x Y
X y = −2x + 4
y = 2x
d) 3x = 2x − 5 → x = −5 y = 3 ⋅ (−5) = −15 P (−5, −15)
Y 10 5
X y = 3x
−10
y = 2x − 5
068 ●●
Escriu una equació de tres rectes paral·leles i tres de secants a les rectes següents. a) y = 9x − 6 c) y = −11x + 13 b) y = −7x d) y = x Les rectes paral·leles tindran el mateix pendent (m) i diferent ordenada a l’origen (n). Les rectes secants tindran pendent diferent. a) Rectes paral·leles: y = 9x Rectes secants: y=x
y = 9x − 1 y=x+5
y = 9x + 3 y = −x + 1
b) Rectes paral·leles: y = −7x + 1 Rectes secants: y=x
y = −7x − 1 y = 2x − 3
y = −7x + 3 y = 7x
c) Rectes paral·leles: y = −11x Rectes secants: y=x
y = −11x + 1 y=x−1
y = −11x − 1 y = 3x + 5
d) Rectes paral·leles: y = x + 3 Rectes secants: y = 3x + 2
y=x−4 y = −2x + 5
y=x+1 y = 8x − 3
387
831106 _ 0366-0395.qxd
11/9/07
13:41
Página 388
Funcions de proporcionalitat 069 ●●
Y
Determina una recta que sigui paral·lela a la recta de la figura i passi pel punt A.
3 1 −3
−1
A 1
X
3
−2
2−0 1 = = 0, 5 . Com que passa per A(3, 1): 0+4 2 1 1 1= ⋅ 3 + n → n = − = −0, 5 2 2 1 1 L’equació de la recta és: y = x − . 2 2 El pendent és: m =
070 ●●
Donada la recta r : 2x − 3y = 12, calcula. a) La recta s, paral·lela a r, i que passa per B (−3, 2). b) La recta t, que tingui la mateixa ordenada a l’origen que r i passi pel punt A (2, −7). c) La recta z, paral·lela a t, que passa per l’origen de coordenades. a) Com que és paral·lela a r, és de la forma 2x − 3y = c, i com que passa per (−3, 2) → −6 − 6 = c → c = −12. La recta és: 2x − 3y = −12. b) L’ordenada a l’origen és −4, i com que passa per (0, −4) i (2, 7): 7+4 m= = 6, 5. L’equació de la recta és: y = 6,5x − 4. 2−0 c) Com que és paral·lela a t i passa per l’origen de cordenades, y = 6,5x.
071 ●●
Fes una taula de valors per a la funció y = Representa-la en uns eixos de coordenades. x
…
−4
−2
−1
y
…
−1
−2
−4
−1/2 −1/4 −8
Funció discontínua i decreixent. Y 6 4 2 −6 −4 −2 −2 −4 −6
388
4 i estudia’n les característiques. x
2
4
6
X
−16
…
1/4
1/2
1
2
4
8
…
…
16
8
4
2
1
172
…
831106 _ 0366-0395.qxd
11/9/07
13:41
Página 389
SOLUCIONARI
072 ●
La taula següent correspon a una funció de proporcionalitat inversa: a) Completa la taula. b) Escriu l’expressió algebraica de f (x). c) Representa la funció. a)
x
−3
−1
4
7
11
y
−1/3
−1
1/4
1/7
1/11
b) y =
073 ●●
12
1 x
Y
c)
4 3 2 1 −3
−1 −2 −3 −4
1 2 3 4
X
2 Representa les funcions y = 2x i y = i calcula’n gràficament i analíticament x els punts de tall. Y 4 3 2 1
Les gràfiques són les següents: No es tallen en cap punt, com es veu a la representació gràfica. Si resolem el sistema:
−3
−1 −2 −3 −4
1 2 3 4
X
2 ⎪⎫ 2 ⎪⎫⎪ y = ⎪⎪ ⎪⎪ x ⎪⎪ x⎪→ ⎬ ⎬ → −2 = 2 → sistema incompatible ⎪ ⎪ − 2 2 −2 ⎪ = ⎪⎪ y = ⎪⎪ x/ x/ ⎭⎪⎪ x ⎪⎭ És incompatible. y =
074 ●
La Pilar vol comprar patates fregides a granel per al seu aniversari. Una bossa de 200 grams li costa 2 €. a) Estudia i representa gràficament la funció que relaciona els grams comprats i el preu. b) Quant costarà comprar-ne mig quilo? 2 x ⋅x= 200 100 en què x = pes (g) y = preu (€)
a) y =
b) y =
500 =5€ 100
Y (€)
3 2 1
y =
x 100
100 300 500
X (g)
389
831106 _ 0366-0395.qxd
11/9/07
13:41
Página 390
Funcions de proporcionalitat 075
Una motocicleta es desplaça a una velocitat constant de 35 km/h.
●●
a) Escriu l’equació de la funció que relaciona el temps amb l’espai recorregut. b) De quin tipus és? Fes-ne la gràfica. e (km) c) Quant temps tarda a recórrer 245 km? a) e = 35t, en què t = temps (h) e = espai (km)
175
e = 35t
105
b) És una funció lineal.
35
c) Per a e = 245 → 245 = 35t → t = 7 h
t (h)
1 2 34 5
076
Un poble té 20.000 m3 d’aigua per al consum diari.
●●
a) Expressa per mitjà d’una taula la quantitat d’aigua diària que pot gastar cada habitant si el nombre d’habitants és de 100, 200… b) Escriu l’equació de la funció que relaciona el nombre d’habitants del poble amb l’aigua que pot gastar al dia. c) Quin tipus de funció és? d) Representa-la gràficament. a)
Habitants (x )
100
200
400
1.000
2.000
Aigua: m3 (y )
200
100
50
20
10
b) y = c)
5.000 10.000 4
2
… …
2.000 x
100 75 50 25 0 0
077 ●●
390
50.000
150.000
La taula següent relaciona la pressió que exerceix l’aigua al mar i la profunditat a què ens trobem. Estudia la funció que relaciona totes dues magnituds i representa-la. Quina pressió exercirà l’aigua a la fossa de les Mariannes, que té una profunditat d’11.033 m?
Profunditat (m) Pressió (atm)
1
2
3
10
0,096
0,192
0,288
0,96
831106 _ 0366-0395.qxd
11/9/07
13:41
Página 391
SOLUCIONARI
12
Pressió (atm)
y = 0,096x, en què x = profunditat (m) y = pressió (atm)
y = 0,096x
0,096 1
Profunditat (m)
Per a x = 11.033 m → y = 0,096 ⋅ 11.033 = 1.059,17 atm 078 ●●
A nivell del mar, l’aigua bull a 100 °C, però cada increment de 100 m a l’altitud suposa una dècima de grau menys per arribar al punt d’ebullició. a) Calcula el punt d’ebullició al cim de l’Aneto (3.404) i de l’Everest (8.844). b) Indica l’expressió algebraica de la funció Temperatura d’ebullició – Altitud. a) A l’Aneto bull a: 100 − (3.404 : 100) ⋅ 0,1 = 95,596 °C. A l’Everest bull a: 100 − (8.850 : 100) ⋅ 0,1 = 91,596 °C. b) y = 100 −
079
x 1.000
Un corredor surt del quilòmetre 2 d’una marató amb una velocitat de 9 km/h.
●●
a) Completa la taula. b) Escriu l’expressió algebraica de la funció Distància – Temps i representa-la gràficament. a)
Temps (hores)
0
1
2
3
4
…
Distància (al km 0)
2
11
20
29
38
…
b) y = 9x + 2 Distància (km)
Y 30 25 20 15 10 5
y = 9x + 2 (2, 20) (1, 11) 1 2 3 4 5 6 X Temps (h)
391
831106 _ 0366-0395.qxd
11/9/07
13:41
Página 392
Funcions de proporcionalitat 080 ●
Temperatura (°C)
Y
La gràfica següent reflecteix la temperatura atmosfèrica en funció de l’altitud (en km). a) Escriu l’expressió algebraica de la funció Altitud – Temperatura. b) Quina n’és l’ordenada a l’origen? Quin significat té? c) Quina temperatura hi haurà a 9 km d’altitud?
10 6 2
−2
1
3
5X
−6
a) Com que passa per (0, 12) y (2, −2) → m = −7. Altitud (km) I com que passa per (0, 12) → 12 = 0 + n → → n = 12. L’equació de la recta és: y = −7x + 12. b) L’ordenada a l’origen és 12, i això vol dir que a nivell del mar la temperatura de l’aire és de 12 °C. c) Hi haurà −51 °C. 081 ●●●
El cost fix a la factura mensual de l’aigua és de 10 € al mes. S’hi ha d’afegir el preu per metre cúbic, que depèn del consum. – Consums inferiors a 80 m3: 0,90 €. – Consums entre 80 m3 i 120 m3: 1,50 €. – Consums superiors a 120 m3: 2 €. Representa sobre els mateixos eixos les funcions Consum – Preu per a cadascun dels tres trams de consum. Per a consums de x < 80 m3: y = 10 + 0,90x. Per a x = 80 → y = 10 + 72 = 82 €. Preu (€)
Per a consums de 80 m3 < x < 120 m3: y = 82 + (x − 80) ⋅ 1,50. Per a x = 120 m3 → → y = 82 + 40 ⋅ 1,50 = 142 €.
160 80 40
Per a consums de x > 120 m3: y = 142 + (x − 120) ⋅ 2. 082 ●●●
20
120
L’Elena ha fet la gràfica del preu final d’un article en funció del preu inicial, després d’aplicar-li un 25 % de descompte. a) Quina de les gràfiques següents és la més adequada per representar aquesta funció? Per què? b) Calcula l’equació de les rectes. Y
Y
6
6 2
1
4
4 2
2
2
392
80
Consum (m3)
4
6
8
X
2
4
6
8
X
831106 _ 0366-0395.qxd
11/9/07
13:41
Página 393
SOLUCIONARI
12
a) La gràfica més adequada és la 1 , ja que el preu final és més baix que l’original. Allò que valia 4, ara en val 3. El punt (4, 3) no és a la gràfica b)
083 ●●●
1
: y = 0,75x.
2
: y = 1,25x.
Hem trobat l’afirmació següent: Investiga si és certa i fes-la servir per trobar la recta que passa pels punts (3, 0) i (0, 5).
2
.
Si (a, 0) i (b, 0) só n els punts de tall d’una rect a amb eixos, en què a = /0ib= / 0, llavors l’equació d’aquesta recta és: x y + =1 a b
Com que passa per (a, 0) i (0, b), −b el pendent és m = , i, per tant, a −b x + n. l’equació és: y = a Com que passa per (0, b), tenim que n = b, i l’equació és:
−b y −1 x y x +b → = x +1 → + =1 a b a b a Per tant, l’equació és correcta. x y + = 1. L’equació de la recta que passa per (3, 0) i (0, 5) és: 3 5 y =
084 ●●●
Completa el raonament següent: r i s són dues rectes perpendiculars. AD = m1 . El pendent de r és BD AD = m 2 , perquè I el pendent de s és − DC com que s és decreixent, el seu pendent serà … El triangle ABC és … perquè A$ és …
Y A s B
D
C
X
r
Com que AD és una … del triangle ABC , els triangles ABD i ADC són … i els seus costats són … AD DC = Així doncs, i m1 ⋅ m2 = … BD AD Quina relació hi ha entre els pendents de dues rectes perpendiculars? AD = m1. BD AD = m2 , perquè com que s és decreixent, El pendent de s és − DC el pendent serà negatiu. El triangle ABC és rectangle perquè A$ és un angle Siguin r i s dues rectes perpendiculars. El pendent de r és
recte. Com que AD és una altura del triangle ABC , els triangles ABC i ABC són semblants i els seus costats són proporcionals. AD DC AD ⎛⎜ −AD ⎞⎟ −1 ⎟⎟ = −1. Per tant, m1 = = ⋅⎜ Així, i m1 ⋅ m2 = . BD AD BD ⎜⎝ DC ⎟⎠ m2
393
831106 _ 0366-0395.qxd
11/9/07
13:41
Página 394
Funcions de proporcionalitat A LA VIDA QUOTIDIANA 085 ●●●
Per fer un experiment de química amb els seus alumnes, el professor Potassi ha de comprar mercuri. Per això va a dos laboratoris de productes químics a informar-se dels preus, i li donen la informació següent. Cada gram de mercuri val 5 cèntims. El mercuri va envasat en uns tubs d’assaig amb una capacitat màxima de 100 g. El preu de cada tub d’assaig és de 2 €.
LABORATORI SULFURÓS
Cada gram de mercuri val 4 cèntims. El mercuri va envasat en uns tubs d’assaig amb una capacitat màxima de 200 g. El preu de cada tub d’assaig és de 5 €.
LABORATORI LITI
El professor Potassi, quan arriba a classe, comenta amb els alumnes aquesta informació i els pregunta com poden decidir quina de les dues ofertes serà la més econòmica. Al final opten per dibuixar sobre els mateixos eixos les gràfiques que representen els laboratoris i fan un estudi dels costos fins a un màxim d’1 quilo de mercuri. Quins resultats creus que han obtingut? A partir de quina quantitat interessa un laboratori o un altre? Els interessa comprar al Laboratori Sulfurós per a quantitats de centenes parells fins a 600 g, i al Laboratori Liti per a la resta de quantitats. 70 Sulfurós Liti
60
Preu (€)
50 40 30 20 10 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1.000 Capacitat (g)
394
831106 _ 0366-0395.qxd
11/9/07
13:41
Página 395
SOLUCIONARI
Aquestes vacances, la Desi i la seva família han viatjat a un poble de la muntanya. En el viatge d’anada van travessar carreteres molt estretes i amb molt pendent. En una d’elles el germà de la Desi va veure aquest senyal i va preguntar què significava.
RECORDEU
La Desi li va explicar que havia estudiat a matemàtiques que el pendent d’una recta marcava el grau d’inclinació que tenia. Llavors va deduir que 12 % devia significar que, per cada 100 metres que s’avança en horitzontal, es pugen 12 metres en vertical.
MATEMÀTIQUES Pendent del 12 % 100 m
Com que no estava segura del que havia explicat al seu germà, quan va arribar a casa va consultar el codi de circulació. Hi va veure que, en trànsit, el pendent té un significat diferent.
F
F
G
F
100
m
12 m CARRETERA Pendent del 12 % G
086 ●●●
12
G
Un pendent del 12 % a la carretera significa que per cada 100 metres que recorres a la carretera es pugen 12 metres en vertical. Quin dels dos pendents, a la carretera o en matemàtiques, indica més inclinació? Quina inclinació hauria d’indicar un senyal de trànsit que marqués un pendent matemàtic del 12 %? El pendent de carretera indica més pendent, ja que en fer-ho sobre 100 m recorreguts, que és la hipotenusa del triangle, la base o el catet és menor que 100 m. Per això, a igual pendent s’indica el mateix desnivell i, en horitzontal, es recorren menys metres.
100 m 12 m
x
Un pendent de trànsit del 12 % equival a un triangle d’hipotenusa 100 m i catet altura 12 m.
x = 1002 − 122 =
9.856 = 99, 28 m
El pendent en matemàtiques és: m=
12 = 0,121 → 12,1%. 99, 28
395
831106 _ 0396-0425.qxd
13
11/9/07
13:51
Página 396
Estadística POBLACIÓ I MOSTRA
VARIABLES ESTADÍSTIQUES
QUALITATIVES
QUANTITATIVES
DISCRETES
CONTÍNUES
FREQÜÈNCIES
ABSOLUTES I RELATIVES
ACUMULADES
MESURES DE CENTRALITZACIÓ
MITJANA
MEDIANA
MODA
MESURES DE DISPERSIÓ
RECORREGUT I DESVIACIÓ MITJANA
396
VARIÀNCIA I DESVIACIÓ TÍPICA
COEFICIENT DE VARIACIÓ
831106 _ 0396-0425.qxd
11/9/07
13:51
Página 397
Déu salvi la reina! Sidney Herbert, que ocupava el càrrec de secretari d’Estat per a la Guerra, havia pres la decisió més arriscada de la seva carrera política en encarregar a la seva amiga Florence Nightingale l’organització del cos d’infermeres de campanya, amb l’objectiu de millorar els hospitals en la guerra de Crimea. Era l’any 1854 i el seu futur polític estava en mans d’aquella dama. Quan es preparava per anar a la zona de conflicte, el país sencer es va estremir per l’aniquilació de la Brigada Lleugera, després d’una càrrega suïcida contra les bateries russes. L’acció es va difondre no com un desastre, sinó com la prova del valor i l’honor dels anglesos. Nightingale va començar a aplicar mesures higièniques, i va anar recollint dades i organitzant-les per mitjà de gràfics per facilitar-ne la lectura. L’informe, que es va enviar al secretari de la Guerra, sol·licitava ajuda per posar fi a les traves que trobava entre els comandaments de l’exèrcit i acabava amb una nota manuscrita que deia: xes, 2.761 es “Al gener, de les 3.168 bai ioses. 83 van tag con van deure a malalties 4, per altres 32 i rra gue ser per ferides de causes... onor d’Anglaterra Senyor, no permeteu que l’h d’hospital.” sigui enterrat en una sala Déu salvi la reina!
Representa les dades de la nota amb un gràfic adequat. Per representar les dades podríem fer servir un diagrama de barres o de sectors, tot i que és preferible el de sectors: DIAGRAMA DE SECTORS Combat
Altres causes
2.400 F
1.800
F
Baixes (persones)
DIAGRAMA DE BARRES
1.200 600 Contagi Contagi Combat Causes
Altres
831106 _ 0396-0425.qxd
11/9/07
13:51
Página 398
Estadística EXERCICIS 001
Volem fer un estudi estadístic del número que calcen els alumnes de 3r d’ESO d’un institut. a) Quina seria la població? b) Tria una mostra. Quina grandària té? a) La població és el conjunt d’alumnes de 3r d’ESO de l’institut. b) Una mostra és, per exemple, els alumnes d’una de les classes. La mida de la mostra és el nombre d’alumnes de la classe.
002
Assenyala en quin cas és més convenient estudiar la població o una mostra. a) La longitud dels cargols que produeix una màquina ininterrompudament. b) L’alçada de tots els turistes en un any. c) El pes d’un grup de cinc amics. a) Una mostra, no podem mesurar tots els cargols. b) Una mostra, perquè hi ha molts turistes. c) La població, perquè és un grup petit.
003
Aquest és el titular d’un diari: «EL PES MITJÀ DELS CATALANS ÉS 69 KG»
a) Com creus que s’arriba a aquesta conclusió? S’ha estudiat tota la població? b) Quines característiques ha de tenir la mostra? Tots els individus de la mostra podrien tenir la mateixa edat? Si tots fossin dones, la mostra seria correcta? a) S’ha agafat una mostra representativa dels diferents grups en què es pot dividir la població, se’ls ha enquestat i s’ha calculat la mitjana. Fóra molt car i pràcticament impossible preguntar tots els espanyols. b) La mostra ha de ser representativa de les diverses edats i sexes, que han d’estar en la mateixa proporció en què apareixen en la població.
004
Pensa i escriu un exemple de població per fer un estudi estadístic. Quina mostra podríem agafar? Indica quins són els individus i la grandària de la mostra. Població: tots els joves d’una ciutat determinada inscrits en equips de futbol. Mostra: tots els joves d’un institut que juguen a futbol en algun equip. Individus: cada un dels joves de la mostra anterior. Mida de la mostra: nombre de joves de la mostra anterior.
398
831106 _ 0396-0425.qxd
11/9/07
13:51
Página 399
SOLUCIONARI
005
13
Determina si les variables estadístiques són qualitatives o quantitatives. a) b) c) d) e) f) g)
Any de naixement. Color dels cabells. Professió d’una persona. Perímetre toràcic. Estat civil. Perímetre de la cintura. Nombre de vegades que s’ha viatjat en avió. Són qualitatives b), c) i e). Són quantitatives a), d) f) i g).
006
Classifica aquestes variables en qualitatives o quantitatives i, en aquest cas, digues si són discretes o contínues. a) b) c) d)
Província de residència. Nombre de veïns d’un edifici. Professió del pare. Consum de gasolina per cada 100 km. Són quantitatives b) i d). Són qualitatives a) i c). És discreta b), i és contínua d).
007
Si una variable estadística quantitativa pot prendre infinits valors, és discreta o contínua? En principi, no ha de ser necessàriament discreta ni contínua. En canvi, sí que podem afirmar que si una variable és contínua pot prendre infinits valors. Si la variable és discreta, el nombre de valors que pot agafar en cada tram és finit, però la variable pot agafar infinits valors. Per exemple, si preguntem quin és el nombre natural preferit, en principi hi ha infinites respostes, que són tots els nombres naturals, tot i que la variable és discreta.
008
Les alçades (en cm) de 28 joves són: 155 178 170 165 173 168 160 166 176 169 158 170 179 161 164 156 170 171 167 151 163 158 164 174 176 164 154 157 Forma una taula amb intervals, fes el recompte de dades i troba les marques de classe de cada interval. Interval [150, 160) [160, 170) [170, 180)
Marca de classe 155 165 175
Recompte 7 11 10
399
831106 _ 0396-0425.qxd
11/9/07
13:51
Página 400
Estadística 009
El color dels cabells (M = morè, R = ros, P = pèl-roig) de 30 persones és: MRPMM MMPRR
MMRRP RPMMM
PMMMM MRMMM
Fes una taula de freqüències. Color Morè Ros Pèl-roig Total
010
fi 18 7 5 30
hi 0,6 0,23 0,17 1
Fi 18 25 30
Hi 0,6 0,83 1
Per què els intervals de les taules són tancats per un costat i oberts per l’altre? Si fossin oberts per tots dos costats, hi hauria un punt que no estaria en cap interval, i si els dos fossin tancats hi hauria un punt que estaria en dos intervals. Aquestes dues situacions no són correctes.
011
3 3 2 1 0 1
El nombre d’hores diàries que treballen amb l’ordinador 30 persones és: a) De quin tipus és la variable estadística? b) Fes la taula de freqüències.
4 4 5 2 3 2
0 5 3 2 1 1
5 0 2 1 2 4
5 2 0 2 1 3
a) La variable és quantitativa discreta. b)
012
fi 4 6 8 5 3 4 30
Hores diàries 0 1 2 3 4 5 Total
hi 0,13 0,2 0,27 0,17 0,1 0,13 1
Els resultats d’un test d’intel·ligència fet a 20 persones ha estat: 100 101
80 100
92 102
101 97
65 89
72 73
121 121
68 114
Fes la taula de freqüències prenent intervals d’amplitud 10. Edat [65, 75) [75, 85) [85, 95) [95, 105) [105, 115) [115, 125) Total
400
fi 4 2 4 6 2 2 20
hi 0,2 0,1 0,2 0,3 0,1 0,1 1
75 113
93 94
831106 _ 0396-0425.qxd
11/9/07
13:51
Página 401
SOLUCIONARI
013
13
Què passa si la suma de les fi no és igual que el nombre total de dades? Si passa això és perquè no hem comptabilitzat alguna de les dades o ens hem equivocat en el càlcul.
014
Els pesos (en kg) de 24 persones són: 68,5 46,5 58,6 59,4
34,2 58,3 50,2 39,3
47,5 62,5 60,5 48,6
39,2 58,7 70,8 56,8
47,3 80 30,5 72
79,2 63,4 42,7 60
a) Agrupa’ls en intervals d’amplitud 20 i fes la taula de freqüències. b) Quantes persones pesen menys de 50 kg? c) Calcula el tant per cent sobre el total que representa l’interval de més freqüència absoluta. a)
Interval [30, 40) [40, 50) [50, 60) [60, 70) [70, 80) [80, 90)
fi 4 5 6 5 3 1 24
Fi 4 9 15 20 23 24
hi 4/24 = 0,17 5/24 = 0,21 6/24 = 0,25 5/24 = 0,21 3/24 = 0,12 1/24 = 0,04
Hi 0,17 0,38 0,63 0,84 0,96 1
b) Si ens fixem en la columna de les freqüències absolutes acumulades, Fi, veiem que 9 persones pesen menys de 50 kg. c) L’interval amb més freqüència és fi = 6 i hi = 0,25 → 25 %.
015
El nombre d’hores diàries d’estudi de 30 alumnes és: 3 4 3 5 5 0 3 2 2 1
1 1 1 1 2 2 1 3 2 0
3 4 5 0 2 1 2 1 4 3
Fes la taula de freqüències. Què signifiquen les freqüències acumulades? Hores diàries 0 1 2 3 4 5 Total
fi 3 8 7 6 3 3 30
hi 0,1 0,27 0,23 0,2 0,1 0,1 1
Fi 3 11 18 24 27 30
Hi 0,1 0,37 0,6 0,8 0,9 1
Les freqüències acumulades representen el nombre d’alumnes o la proporció d’alumnes que estudien com a màxim un determinat nombre d’hores.
401
831106 _ 0396-0425.qxd
11/9/07
13:51
Página 402
Estadística 016
Explica com completaries una taula de freqüències en què coneixes només les freqüències absolutes acumulades. La primera freqüència absoluta acumulada coincideix amb la primera freqüència absoluta. La resta de freqüències absolutes es calculen per la diferència de freqüències absolutes acumulades consecutives.
f1 = F1
fi = Fi − Fi −1
La mida mostral és l’última freqüència absoluta acumulada i, a partir d’aquí, obtenim les freqüències relatives. 017
En un edifici de 16 veïns, el nombre de televisors per habitatge és: 0 1 1 2 1 3 2 1 1 1 2 2 3 0 3 2 a) Fes la taula de freqüències. Quin tipus de variable és? Raona la resposta. b) Fes el diagrama de barres i el polígon de freqüències de les dades. c) Fes el mateix amb les freqüències acumulades. a) És una variable quantitativa discreta.
b)
c)
6 5 4 3 2 1 1 2 Televisors
3
Fi 2 8 13 16
a)
Color del cotxe Vermell Groc Platejat Blanc Verd Blau Negre
fi 25 19 39 50 27 30 10
hi 25/200 = 0,125 19/200 = 0,095 39/200 = 0,195 50/200 = 0,25 27/200 = 0,135 30/200 = 0,15 10/200 = 0,05
Hi 0,125 0,5 0,8125 1
16 14 12 10 8 6 4 2 0
1 2 Televisors
En una aparcament públic hi ha 25 cotxes vermells, 19 de grocs, 39 de platejats, 50 de blancs, 27 de verds, 30 de blaus i 10 de negres. a) Fes la taula de freqüències. b) Pots trobar les freqüències acumulades? c) Fes el diagrama de barres.
402
hi 0,125 0,375 0,3125 0,1875 1
FREQÜÈNCIES ACUMULADES
Veïns
Veïns
FREQÜÈNCIES ABSOLUTES
0
018
fi 2 6 5 3 16
Televisors 0 1 2 3 Total
3
831106 _ 0396-0425.qxd
11/9/07
13:51
Página 403
SOLUCIONARI
13
b) No es poden trobar les freqüències acumulades, perquè és una variable qualitativa. c)
fi
50 40 30 20 10
V
019
G
P
B
Verd Blau
N
Fes els gràfics de l’exercici anterior amb les freqüències relatives. Què hi observes? 0,25
hi
0,20 0,15 0,10 0,5 V
G
P
B
Verd Blau
N
És la mateixa gràfica, però ha canviat l’escala de freqüències.
020
La longitud (en cm) de 18 grills és: 1,8 1,7 2,3
1,9 1,9 2,7
2 2,3 2,9
2,4 1,6 1,5
2,6 2,1 1,8
2,8 3 2,6
a) Fes la taula de freqüències prenent intervals. b) Representa les dades mitjançant un histograma i un polígon de freqüències. c) Fes un diagrama de sectors. Quin gràfic et sembla més adequat? a)
c)
fi 7 5 6
Interval [1,5; 2) [2; 2,5) [2,5; 3)
[2,5; 3)
[1,5; 2)
[2; 2,5)
b)
fi
És preferible l’histograma, ja que les dades corresponen a una variable quantitativa
7 6 5 4 3 2 1 1,5
2
2,5
3
403
831106 _ 0396-0425.qxd
11/9/07
13:51
Página 404
Estadística 021
Representa aquestes dades: en una classe de 50 alumnes, 12 han suspès, 30 han tret un suficient, un 12% ha obtingut un notable i la resta, un excel·lent. fi 12 30 6 2 50
Notes Suspens Suficient Notable Excel·lent
022
Suficient
Excel·lent Notable
Fes la taula de freqüències que correspon a aquest gràfic: fi 15 30 45 50 35 25 200
Variable [0, 10) [10, 20) [20, 30) [30, 40) [40, 50) [50, 60) Total
023
Suspens
hi 0,075 0,15 0,225 0,25 0,175 0,125 1
50 40 30 20 10
Y
X 10
20
30
40
50
60
Les altures (en cm) de 24 alumnes de 3r d’ESO són: 158 168 162
160 158 158
168 156 156
156 164 166
166 162 160
158 166 168
160 164 160
168 168 160
a) Agrupa-les en intervals. b) Calcula’n la mitjana, la mediana i la moda. a)
024
Interval [155, 160) [160, 165) [165, 170)
fi 27 29 28 24
xi 157,5 162,5 167,5
b) x苶 =
3.905 = 162,7 24
Me = 162,5 Mo = 1652,5
Interpreta les mesures de centralització del nombre de suspensos de 15 alumnes. 4 1 0 4 1 Suspensos 0 1 2 3 4
404
fi ⋅ xi 1.102,5 1.462,5 1.340,5 3.905,5
fi 3 4 2 2 4 15
4 1 2 3 0 hi 0,2 0,27 0,13 0,13 0,27 1
Fi 3 7 9 11 15
Hi 0,2 0,47 0,60 0,73 1
2 4 0 3 1
831106 _ 0396-0425.qxd
11/9/07
13:51
Página 405
SOLUCIONARI
13
0 ⋅ 3 + 1⋅ 4 + 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 2 + 4 ⋅ 4 30 = =2 15 15 Cada alumne té 2 suspensos de mitjana.
x苶 =
Hi ha dues modes: Mo = 1 i Mo = 4. Com que Me = 2, la meitat dels alumnes ha suspès com a màxim 2 assignatures. 025
Afegeix un valor que no faci variar la mediana. 18 8 7 9 12 15 21 12 La mitjana actual és 12 i, independentment del valor que afegim, seguirà sent 12, ja que ara són nombres parells i, si afegim un nombre més seran imparells, algun dels dos valors 12 seguirà sent el valor central.
026
Calcula els quartils d’aquest conjunt de dades que expressen els dies de baixa laboral de 10 treballadors. 0 Baixes 0 1 2 3 4 Total
2
3
fi 3 2 2 2 1 10
4
2
1
1
0
0
3
Fi 3 5 7 9 10
10 ⋅ 0,25 = 2,5 → Q1 = 0 10 ⋅ 0,5 = 5 → Q2 = Me =
1+ 2 = 1,5 2
10 ⋅ 0,75 = 7,5 → Q3 = 3 027
Interpreta els quartils que has calculat a l’exercici anterior. Els treballadors que no han estat de baixa són, almenys, el 25 %; la meitat dels treballadors ha estat com a màxim 1 dia de baixa, i el 75 % dels treballadors ha estat com a màxim 3 dies de baixa.
028
S’han convocat unes oposicions en què hi ha 50 places i s’hi han presentat 200 persones. Els resultats són els següents: Notes Opositors fi
3 6
4 25
5 34
6 42
7 50
8 24
9 13
10 3
Amb quina nota s’aconsegueix una plaça? Les 50 places es corresponen amb el quartil tercer, ja que 150 persones no les aconsegueixen: el 75 %. En aquest cas es correspon amb una nota de 7.
405
831106 _ 0396-0425.qxd
11/9/07
13:51
Página 406
Estadística 029
Calcula el centil 10, el primer quartil i el centil 90 de la taula següent. xi fi
a) 32 ⋅
10 = 3,2 → C10 = 20 100
b) 32 ⋅
1 = 8 → Q 1 = 20 4
c) 32 ⋅
90 = 28,8 → C 90 = 60 100
Determina gràficament els centils i el quartil anterior i interpreta’ls. Frequències acumulades (Fi)
030
10 20 30 40 50 60 2 7 5 9 5 4
28,8
8 3,2
35 30F 25 20 15 10 F 5F 10
20
30
40
50
60
Dades (xi)
Hi ha un 10 % de dades que són menors o iguals a 20; també que un 25 % són menors o iguals que 20 i que un 90 % de les dades són menors o iguals a 60. 031
Es va dur a terme una prova de matemàtiques a dos grups de 3r d’ESO i es van obtenir els resultats següents: xi fi
1 7
2 8
3 9
4 10
5 4
6 4
7 2
8 3
9 1
10 2
Si es considera apte a partir de 5, quants estan suspesos? A quin centil correspon? Si es vol considerar aptes un mínim del 80 % dels alumnes, quina serà la nota de tall? Nre. suspesos = 7 + 8 + 9 + 10 = 34 Com que són 50 alumnes → 68 % → C68 50 ⋅
032
80 = 40 → C 80 = 6 100
Les longituds (en mm) d’una mostra de cargols són les següents: Calcula’n les mesures de dispersió fent servir les marques de classe.
406
Interval [13, 14) [14, 15) [15, 16) [16, 17)
fi 8 7 2 3
831106 _ 0396-0425.qxd
11/9/07
13:51
Página 407
SOLUCIONARI
Intervalo [13, 14) [14, 15) [15, 16) [16, 17)
x苶 =
fi 8 7 2 3 20
fi ⋅ xi 108,5 101,5 31,5 49,5 290,5
⏐xi − x苶⏐ fi ⋅ ⏐xi − x苶⏐ fi ⋅ (xi − x苶)2
1 0 1 2
8 0 2 6 16
8 0 2 12 22
290 = 14,5 20
DM =
033
xi 13,5 14,5 15,5 16,5
13
16 = 0,8 20
22 = 1,1 20
σ2 =
σ = 1,05
Les notes obtingudes per un alumne en cinc exàmens han estat: 3, 8, 5, 7 i 4, i les d’un altre alumne: 2, 9, 4, 5 i 7. En quin alumne és més gran la dispersió? Per al primer alumne:
R=8−3=5
x苶 = σ=
27 = 5,4 5 17, 2 = 1,85 5
Per al segon alumne:
R=9−2=7
x苶 = σ=
27 = 5,4 5 29, 2 = 2,42 5
xi 3 4 5 7 8
fi 1 1 1 1 1 5
fi ⋅ xi 3 4 5 7 8 27
DM =
8, 4 = 1,68 5
CV =
1, 85 = 0,34 5, 4
xi 2 4 5 7 9
fi 1 1 1 1 1 5
fi ⋅ xi 2 4 5 7 9 27
DM =
10, 4 = 2,08 5
CV =
2, 42 = 0,45 5, 4
⏐xi − x苶⏐ fi ⋅ ⏐xi − x苶⏐ fi ⋅ (xi − x苶)2
2,4 1,4 0,4 1,6 2,6
2,4 1,4 0,4 1,6 2,6 8,4
5,76 1,96 0,16 2,56 6,76 17,266
⏐xi − x苶⏐ fi ⋅ ⏐xi − x苶⏐ fi ⋅ (xi − x苶)2
3,4 1,4 0,4 1,6 3,6
3,4 1,4 0,4 1,6 3,6 10,4
11,56 1,96 0,16 2,56 12,96 29,20
Per tant, la dispersió és més gran en el segon alumne.
034
Pregunta a 5 companys l’edat i l’alçada que tenen. Compara la dispersió de les dues variables. Els resultats variaran segons la mostra.
407
831106 _ 0396-0425.qxd
11/9/07
13:51
Página 408
Estadística 035
Calcula amb la calculadora la mitjana aritmètica i la desviació típica de les dades la taula:
xi fi
7 6
9 2
11 9
13 4
15 3
17 6
Després d’introduir les dades a través del quadre d’estadístiques, obtindrem el següent:
S’observa que n = 30 són les dades que hem introduït. Ara només hem de prémer les tecles: → → → 036
Calcula els mateixos paràmetres sense utilitzar la calculadora. Fem una taula
I calculem:
xi 7 9 11 13 15 17 ∑=
fi 6 2 9 4 3 6 30
Mitjana: x =
xifi 42 18 99 52 45 102 358
2 ⏐xi − x⏐
4,93 2,93 0,93 1,07 3,07 5,07
24,34 8,60 0,87 1,14 9,40 25,67
fi⏐xi − x⏐2 146,03 17,21 7,84 4,55 28,21 154,03 357,87
358 = 11,93333 30
Desviació típica: σ =
037
⏐xi − x⏐
357,87 = 30
11,929 = 3,453838
Els resultats són els mateixos? Per què? La mitjana és la mateixa, però com que la desviació típica es calcula mitjançant diferents arrodoniments de les diverses operacions que es fan (restes, quadrats i arrels) fan que surti aquesta petita diferència.
ACTIVITATS 038 ●
Volem fer un estudi del nombre d’hores que els alumnes dediquen a la lectura. a) Tria una mostra per fer l’estudi. b) Quina grandària té la nostra mostra? c) Quina és la població?
408
831106 _ 0396-0425.qxd
11/9/07
13:51
Página 409
SOLUCIONARI
13
a) Per exemple, els alumnes de la classe. b) El nombre d’alumnes de la classe. c) Tots els alumnes de l’institut. 039 ●
Indica el tipus de variable estadística que estudiem i digues, en cada cas, si seria millor estudiar la mostra o la població. a) b) c) d) e) f) g) h)
El programa preferit dels membres de la teva família. El número de calçat dels alumnes d’un IES. La temperatura mitjana diària a la teva comarca. L’edat dels habitants d’un país. El sexe dels habitants del teu poble. Els diners gastats a la setmana pels Els efectes a l’ésser humà d’un medicament nou. El color dels cabells dels teus companys de classe. a) Qualitativa. Població.
040 ●
e) Qualitativa. Mostra.
b) Quantitativa discreta. Mostra.
f) Quantitativa discreta. Població.
c) Quantitativa contínua. Població.
g) Qualitativa. Mostra.
d) Quantitativa discreta. Mostra.
h) Qualitativa. Població.
De les variables següents, quines són discretes? a) b) c) d) e)
Nombre de mascotes. Número de calçat. Perímetre cranial. Ingressos diaris en un fruiteria. Quilograms de carn consumits al menjador d’un IES durant la setmana. Són discretes a) i b). Són contínues c), d) i e).
041 ●
Quan vam preguntar a 20 persones sobre el nombre de vegades que havien anat a l’estranger, el resultat va ser: 3 5 4 4 2 3 3 3 5 2 6 1 2 3 3 6 5 4 4 3 a) Organitza les dades fent-ne el recompte. b) Fes la taula de freqüències. a) Ordenem les dades: 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6. b)
xi 1 2 3 4 5 6
fi 1 3 7 4 3 2 20
Fi 1 4 11 15 18 20
hi 1/20 = 0,05 3/20 = 0,15 7/20 = 0,35 4/20 = 0,20 3/20 = 0,15 2/20 = 0,10 1
Hi 0,05 0,20 0,55 0,75 0,90 1
% 5 15 35 20 15 10 100
409
831106 _ 0396-0425.qxd
11/9/07
13:51
Página 410
Estadística 042
El número que calcen 20 alumnes en una classe d’educació física és:
●
37 38 43 40
40 38 40 37
39 41 38 37
37 42 38 38
38 37 38 38
Representa el diagrama de barres i el polígon de freqüències per a les freqüències absolutes i per a les freqüències absolutes acumulades. FREQÜÈNCIES ABSOLUTES
FREQÜÈNCIES ACUMULADES
10 Alumnes
Alumnes
8 6 4 2 37
043
38
39
40 41 Talles
42
20 18 16 14 12 10 8 6 4 2
43
37
38
39
40 41 Talles
42
43
Aquestes són les alçades (en cm) de 27 joves:
●
155 169 167
178 158 151
170 170 163
165 179 158
173 161 164
168 164 174
160 156 176
166 170 164
176 171 154
a) Fes servir intervals d’amplitud 5 per formar la taula de freqüències. b) Representa les dades en un histograma, fent servir les freqüències absolutes i les freqüències absolutes acumulades. a)
Interval [150, 155) [155, 160) [160, 165) [165, 170) [170, 175) [175, 180)
xi 152,5 157,5 162,5 167,5 172,5 177,5
fi 2 4 6 5 6 4 27
Fi 2 6 12 17 23 27
hi 2/27 = 0,074 4/27 = 0,148 6/27 = 0,222 5/27 = 0,185 6/27 = 0,222 4/27 = 0,148 1
FREQÜÈNCIES ACUMULADES
FREQÜÈNCIES ABSOLUTES
b) 6
Joves
Joves
5 4 3 2 1 150 155 160 165 170 175 180 Alçada (cm)
410
Hi 0,074 0,222 0,444 0,629 0,851 1
26 22 18 14 10 6 2 150 155 160 165 170 175 180 Alçada (cm)
831106 _ 0396-0425.qxd
20/9/07
14:14
Página 411
SOLUCIONARI
044 ●●
Dels 30 assistents a un sopar, el 20 % va menjar vedella; el 40 %, xai, i la resta, peix. Indica la variable estadística i organitza els resultats en una taula de freqüències. Després, representa les dades en un gràfic de sectors. fi 6 12 12 30
Menjar Vedella Xai Peix
045 ●●●
13
hi 0,2 0,4 0,4 1
El nombre de vegades que es va llogar cada mes la pista de tenis d’un poliesportiu el representem en aquest gràfic:
Xai (12)
Vedella (6)
Peix (12)
f 126 140 i 120 120 100 100 97 90 100 78 70 80 69 60 66 62 60 40 20 G F M A M J J A S O N D
a) Troba les freqüències relatives i acumulades. b) En quin percentatge de mesos es va llogar la pista més de 80 vegades? c) Representa el polígon de freqüències absolutes acumulades. a)
Mes Gen Feb Març Abr Maig Juny Jul Ag Set Oct Nov Des
fi 100 60 70 62 97 120 100 78 66 126 69 90
Fi 100 160 230 292 389 509 609 687 753 879 948 1.038
hi 0,096 0,058 0,067 0,060 0,093 0,116 0,096 0,075 0,063 0,121 0,066 0,087
Hi 0,096 0,154 0,221 0,281 0,374 0,490 0,586 0,661 0,724 0,845 0,911 1
b) Es va llogar més de 80 vegades al gener, maig, juny, juliol, octubre i desembre, és a dir, el 50 % dels mesos. c)
Fi 1.000
500 100 G F MA M J J A S O N D
411
831106 _ 0396-0425.qxd
11/9/07
13:51
Página 412
Estadística 046 ●
Troba les mesures de centralització d’aquesta sèrie de dades: 3 2 4 9 8 1 0 2 4 1 8 6 3 4 0 xi fi Fi
047 ●●
0 4 4
7 3 2 4 5 2 5 6 5 4 9 2 5 7 4
1 8 6 1 5 7 1 3 0 5 0 2 1 5 6 Mitjana: x苶 =
1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 6 4 6 7 4 3 3 2 10 16 20 26 33 37 40 43 45
176 = 3,91 45
Mediana: Me = 4 Moda: Mo = 5
Torna a fer l’activitat anterior amb intervals d’amplitud 2. Obtens els mateixos resultats? Per què creus que passa, això? xi 1 3 5 7 9
Variable [0, 2) [2, 4) [4, 6) [6, 8) [8, 10)
fi 10 10 13 7 5
Fi 10 20 33 40 45
Mitjana: x苶 =
199 = 4,42 45
Mediana: Me = [4, 6) Moda: Mo = [4, 6)
Els resultats són diferents. Això passa perquè quan agrupem suposem que les dades estan a la marca de classe i, per això, les operacions varien.
048 ●
Determina la mediana d’aquestes dades: a)
xi fi
1 5
2 3
3 4
4 2
5 4
b) Var.
6 6
fi
[0, 10) 1
[10, 20) [20, 30) [30, 40) 3 5 2
a) Com que N = 5 + 3 + 4 + 2 + 4 + 6 = 24, la mediana correspondrà al valor xi que ocupi les posicions 12-13. En aquest cas:
x12 = 3 y x13 = 4 → Me =
3+4 = 3,5 2
11 → 2 → Me = marca de classe de l’interval [20, 30) = 25
b) Com que N = 1 + 3 + 5 + 2 = 11 i F3 = 9 >
049 ●●
Troba la mitja, la mediana, la moda, els quartils i el centil 30 de les dades d’aquesta taula: xi fi
26 6
28 7
30 4
32 3
a) Si cada valor de la taula el multipliquem per 3, quina serà la mitjana? I la mediana? I la moda? b) Si a tots els valors de la variable els restem o els dividim entre un mateix nombre, quina serà la nova mitjana? c) Calcula gràficament els paràmetres de posició.
412
831106 _ 0396-0425.qxd
11/9/07
13:51
Página 413
SOLUCIONARI
x苶 =
13
26 ⋅ 6 + 28 ⋅ 7 + 30 ⋅ 4 + 32 ⋅ 3 568 = = 28, 4 20 20
Com que N = 20, la mediana correspondrà al valor xi que ocupi les posicions 10-11. En aquest cas, Me = 28, Q1 = 26 i Q3 = 30. El valor més repetit és Mo = 28. a) x苶 = =
(3 ⋅ 26) ⋅ 6 + (3 ⋅ 28) ⋅ 7 + (3 ⋅ 30) ⋅ 4 + (3 ⋅ 32) ⋅ 3 = 20 3 ⋅ (26 ⋅ 6 + 28 ⋅ 7 + 30 ⋅ 4 + 32 ⋅ 3) = 3 ⋅ x苶anterior 20
En aquest cas, x苶nova = 3 ⋅ 28,4 = 85,2. Per tant, Me = 3 ⋅ 28 = 84, Q1 = 78, Q3 = 90 i Mo = 84.
c)
Frequències acumulades (Fi)
b) Si a tots els valors els restem el mateix nombre, x苶nova = x苶 − nombre. Si tots els valors els dividim entre el mateix nombre, x苶nova = x苶 : nombre. 20
Q3 15 Q2 10 C30 6 5 Q1 26
28
30
32
Dades (xi)
050 ●●●
Les dades 10, 17, a, 19, 21, b, 25 tenen de mitjana, mediana i moda 19. Quant valen a i b?
x苶 =
10 + 17 + a + 19 + 21 + b + 25
= 19 7 92 + a + b = 7 ⋅ 19 = 133 → a + b = 41
10 - 17 - a - 19 - 21 - b - 25 Com que a ha de ser 19 (moda) → 19 + b = 41 → b = 22.
051 ●●●
Considera el conjunt de dades següent: 23 17 19 x y 16 Si saps que la mitjana és 20 i la moda és 23, quins són els valors x i y ? 20 =
23 + 17 + 19 + x + y + 16 6
→ 120 = 75 + x + y → x + y = 45
Si la moda és Mo = 23, x o y (o tots dos) han de ser iguals a 23. Si fossin x = y = 23 → x + y = 23 + 23 = 46 ⫽ 45. Per tant, x = 23 → y = 45 − 23 = 22.
413
831106 _ 0396-0425.qxd
11/9/07
13:51
Página 414
Estadística 052 ●●●
Aquestes són les dades d’una enquesta sobre el nombre de ràdios a les llars catalanes: Nre. de ràdios Nre. de llars
0 432
1 8.343
2 6.242
3 1.002
4 562
a) Quantes ràdios tenen la quarta part de les llars? b) I el 75%? I el 85%? c) Quin significat té la mediana? a)
16.581 = 4.145,25 → Q1 = 1 4 El 25 % de les llars te 1 ràdio o cap.
Xi 0 1 2 3 4
85 = 14.093,85 → C 85 = 2 100 El 75 % de les llars té 2 ràdios o menys.
b) 16.581 ⋅
c) La mediana és un valor que té tantes dades més grans que ella com menors que ella. 053 ●
fi 432 8.343 6.242 1.002 562 16.581
Resol amb la calculadora aquesta activitat. Durant un mes, vuit dependents han venut els aparells d’aire condicionat següents. 8 11 5 14 8 11 16 11 Calcula la mitjana, la desviació típica i el coeficient de variació de les dades. Ordenem les dades: 5 - 8 - 8 - 11 - 11 - 11 - 14 - 16.
x苶 = σ2 = = =
054 ●●
5 ⋅ 1 + 8 ⋅ 2 + 11 ⋅ 3 + 14 ⋅ 1 + 16 ⋅ 1 8 (5 − 10,5)2 ⋅ 1 + ... + (16 − 10,5)2 ⋅ 1 8 30,25 + 12,5 + 0,75 + 12,25 + 30,25 8
84 = 10,5 8
= =
3,28 86 = 0,312 = 10,75 → σ = 10,75 = 3,28 → CV = 10,5 8
Les edats (en anys) dels 30 primers visitants al planetari han estat: 20 7 10 13 4 7 8 11 16 14 8 10 16 18 12 3 6 9 9 4 13 5 10 17 10 18 5 7 10 20 Troba’n les mesures estadístiques.
414
=
Fi 432 8.775 15.017 16.019 16.581
831106 _ 0396-0425.qxd
11/9/07
13:51
Página 415
SOLUCIONARI
13
Ordenem les dades: 3 - 4 - 4 - 5 - 5 - 6 - 7 - 7 - 7 - 8 - 8 - 9 - 9 - 10 - 10 - 10 - 10 - 10 11 - 12 - 13 - 13 - 14 - 16 - 16 - 17 - 18 - 18 - 20 - 20
x苶 =
3 ⋅ 1 + 4 ⋅ 2 + ... + 20 ⋅ 2
Me = 10 σ2 =
30 Mo = 10
=
320 = 10,7 30
R = 17
(3 − 10,7) ⋅ 1 + ... + (20 − 10,7)2 ⋅ 2 2
30
σ2 = 23,29 → σ = 23, 29 = 4,83 → CV =
055
=
4, 83 = 0,451 10, 7
FES-HO AIXÍ COM COMPAREM LA DISPERSIÓ DE DUES VARIABLES ESTADÍSTIQUES? El pes mitjà d’una mostra de nadons és x = 2,85 kg i la desviació típica és σ = 1 kg. El pes mitjà de les mares és x = 62 kg, amb una desviació típica de σ = 15 kg. En quines de les distribucions és més gran la dispersió? PRIMER.
Calculem els coeficients de variació.
CVnadons =
1 = 0,35 = 35 % 2,85
CVmares =
15 = 0,24 = 24 % 62
Comparem els coeficients. 0,35 > 0,24 → La dispersió és més gran en els pesos dels nadons que en els de les mares, encara que pugui semblar el contrari si n’observem les desviacions típiques: 1 < 15.
SEGON.
056 ●●
Les notes de l’Albert en 5 exàmens són 4, 6, 6, 7 i 5, i les de l’Anna són 43, 62, 60, 50 i 55. Quin dels dos és més regular en el rendiment acadèmic? En el cas de l’Albert, les mesures estadístiques són: 28 = 5, 6 5 5, 2 = 1, 04 → σ = 1, 02 σ2 = 5 1, 02 = 0,18 CV = 5, 6
x苶 =
En el cas de l’Anna, les mesures estadístiques són: 270 = 54 5 238 σ2 = = 47, 6 → σ = 6, 9 5 6, 9 CV = = 0,13 54 Per tant, el rendiment acadèmic de l’Anna és més regular.
x苶 =
415
831106 _ 0396-0425.qxd
11/9/07
13:51
Página 416
Estadística 057 ●●
Troba la mitjana, la mediana, la moda i la desviació típica de les dades següents. Pes [41, 47) [47, 53) [53, 59) [59, 65) [65, 71)
xi 44 50 56 62 68
Pes [41, 47) [47, 53) [53, 59) [59, 65) [65, 71)
x苶 =
fi 5 6 1 4 2 18
Nre. d’alumnes 5 6 1 4 4
Fi 5 11 12 16 18
fi ⋅ xi 220 300 56 248 136 960
(xi − x苶)2 87,11 11,11 7,11 75,11 215,11
fi ⋅ (xi − x苶)2 435,56 66,67 7,11 300,44 430,22 1.240,22
960 = 53, 33 18
Me = [47, 53) Mo = [47, 53) σ2 =
058 ●●
1.240 = 68, 89 → σ = 8, 3 18
Les notes que han tret 40 alumnes en música han estat: 6 4 1 7 3 5 3 7 8 4
6 6 2 5 2 6 0 5 8 7
4 9 5 10 8 6 9 7 2 5
2 6 10 5 7 6 8 7 3 6
Aula de música
Calcula la mitjana i la desviació típica de les dades tenint en compte primer la variable com a discreta i, després, agrupant les dades en els intervals [0, 5), [5, 7), [7, 9), [9, 10]. Quines diferències hi veus?
416
831106 _ 0396-0425.qxd
11/9/07
13:51
Página 417
SOLUCIONARI
13
Ordenem, primer, les dades: 0-1-2-2-2-2-3-3-3-4-4-4-5-5-5-5-5-5-6-6-6-6-66 - 6 - 6 - 7 - 7 - 7 - 7 - 7 - 7 - 8 - 8 - 8 - 8 - 9 - 9 - 10 - 10
x苶 = σ2 =
1 + 2 ⋅ 4 + 3 ⋅ 3 + 4 ⋅ 3 + 5 ⋅ 6 + 6 ⋅ 8 + 7 ⋅ 6 + 8 ⋅ 4 + 9 ⋅ 2 + 10 ⋅ 2 40 (0 − 5,5)2 ⋅ 1 + ... + (10 − 5,5)2 ⋅ 2 40
σ = 5, 8 = 2,4 → CV =
= 5,5
= 5,8
2, 4 = 0,06 40
Agrupem les dades en intervals: Interval [0, 5) [5, 7) [7, 9) [9, 10]
x苶 = σ = 2
2,5 ⋅ 12 + 6 ⋅ 14 + 8 ⋅ 10 + 9,5 ⋅ 4 40
=
232 = 5,8 40
(2,5 − 5,8)2 ⋅ 12 + ... + (9,5 − 5,8)2 ⋅ 4 40
σ = 5, 86 = 2,42 → CV =
fi 12 14 10 4
Marca de classe 2,5 6,5 8,5 9,5
= 5,86
2, 42 = 0,06 40
Podem observar que la mitjana i la desviació típica varien.
059 ●●
Els preus del lloguer mensual de l’habitatge es recullen a la taula següent. a) Quina és la mitjana dels lloguers? b) Digues quin és el preu més habitual. c) Troba la mediana. Què significa? d) Calcula la variància i la desviació típica. Per a què serveixen aquests nombres? Preu (€) 240 270 300 330 360 390 420
fi 13 33 40 35 30 16 20 187
Fi 13 46 86 121 151 167 187
fi ⋅ xi 3.120 8.910 12.000 11.550 10.800 6.240 8.400 61.020
(xi − x苶)2 57.600,00 72.900,00 692,22 13,61 1.135,01 4.056,40 8.777,79
Preu (€) 240 270 300 330 360 390 420
Nre. d’habitatges 13 33 40 35 30 16 20
fi ⋅ (xi − x苶)2 748.800,00 2.405.700,00 27.688,98 476,52 34.050,16 64.902,33 175.555,72 302.673,71
417
831106 _ 0396-0425.qxd
11/9/07
13:51
Página 418
Estadística 61.020 = 326,31 € 187 b) El preu més comú és la moda: Mo = 300 €. a) x苶 =
c) La mediana és Me = 330 €, que és el preu per sota del qual estan situats la meitat dels lloguers. 302.673, 71 = 1.618,58 → σ = 40,23 € 187 Aquests nombres serveixen per veure la dispersió de les dades; en aquest cas, per comprovar si hi ha molta diferència entre uns lloguers i uns altres, és a dir, si el preu del lloguer és homogeni.
d) σ2 =
060 ●●
A partir d’aquests gràfics, determina’n la taula de freqüències i troba la mitjana, la mediana, la moda i la desviació típica de les dades.
a)
7 6 5 4 3 2 1
Y
X 1
b)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Y
10 8 6 4 2
X 10
a)
xi fi
x苶 =
1 2
2 3
3 2
4 3
5 6
6 2
11
7 3
8 2
12
13
9 3
10 1
14
15
1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 2 + 4 ⋅ 3 + 5 ⋅ 6 + ... + 10 ⋅ 1
= 5,26 27 Com que N = 27, la mediana correspondrà al valor que ocupa la posició 14 → Me = 5. La moda és Mo = 5. σ2 =
(1 − 5,26)2 ⋅ 2 + ... + (10 − 5,26)2 ⋅ 1 27
= 6,41
σ = 6, 41 = 2,53 b)
Interval [10, 11) [11, 12) [12, 13) [13, 14) [14, 15)
σ2 =
fi 5 3 10 5 1
xi 10,5 11,5 12,5 13,5 14,5
10,5 ⋅ 5 + ... + 14,5 ⋅ 1 24
= 12,25
Me = 12,5 Mo = 12,5
(10,5 − 12,25)2 ⋅ 5 + ... + (14,5 − 12,25)2 ⋅ 1
σ = 1, 27 = 1,13
418
x苶 =
24
= 1,27
831106 _ 0396-0425.qxd
11/9/07
13:51
Página 419
SOLUCIONARI
061
13
FES-HO AIXÍ COM INTERPRETEM LA MITJANA I LA DESVIACIÓ TÍPICA CONJUNTAMENT? Un equip de bàsquet necessita un aler. S’han seleccionat dos jugadors que, en últims cinc partits, han anotat els punts següents. Quin d’ells triaries? Jugador A Jugador B PRIMER.
16 25
14 10
13 8
13 6
14 21
Calculem la mitjana i la desviació típica. x A = 14 ⎫⎪ ⎬ Jugador A σ A = 1,09⎪⎪⎭ x B = 14 ⎫⎪ ⎬ Jugador B σB = 7,56⎪⎪⎭
Analitzem els resultats anteriors. Com que les mitjanes són iguals, si l’entrenador vol un jugador regular triarà el jugador A (desviació típica baixa significa dades semblants); tot i això, si vol un jugador que pugui actuar de revulsiu, triarà el B, ja que alterna partits molt bons amb altres de pitjors (desviació típica elevada indica dades molt diferents). SEGON.
062 ●●●
Compara el rendiment de dos alumnes que fan 5 proves i obtenen els resultats següents: Joan Anna
2 0
6 1
5 9
7 8
5 7
Joan: mitjana = 5, desviació típica = 1,87. Anna: mitjana = 5, desviació típica = 4,18. Amb la mateixa mitjana, en Joan és més constant en els resultats, ja que té menys desviació típica. 063 ●
A la primera avaluació, dels alumnes d’una classe, el 10 % ho va aprovar tot, el 20 % va suspendre una assignatura, el 50 % en va suspendre dues, i la resta en va suspendre més de dues. Fes una taula de freqüències amb les dades. Hi ha algun tipus de freqüència que respongui a la pregunta de quants alumnes van suspendre menys de dues assignatures? Raona la resposta. Suspesos 0 1 2 Més de 2 Total
fi 3 6 15 6 30
hi 0,1 0,2 0,5 0,2 1
Fi 3 9 24 30
Hi 0,1 0,3 0,8 1
Els alumnes que van suspendre menys de dues assignatures el representa la freqüència absoluta acumulada en 1, que són 9 alumnes.
419
831106 _ 0396-0425.qxd
20/9/07
14:14
Página 420
Estadística 064 ●●
Un corredor s’entrena de dilluns a divendres recorrent les distàncies següents: 2, 5, 5, 7 i 3 km, respectivament. Si el dissabte també s’entrena: a) Quants quilòmetres ha de recórrer perquè la mitjana sigui la mateixa? b) I perquè la mediana no variï? c) I perquè la moda romangui constant? 2+5+5+7+3 = 4,4. Mediana: 5. Moda: 5. 5 a) Dissabte ha de recórrer 4,4 km. b) Qualsevol distància més gran o igual que 5 km. c) Qualsevol distància que no sigui 2, 3 o 7 km.
x苶 =
065 ●●
Els resultats d’una prova de càlcul mental (CM) i una de psicomotricitat (P) que hem fet als 28 alumnes d’una classe són els següents: a) En quina prova s’han obtingut millors resultats (mitjana més alta)? b) En quina va ser més gran la dispersió? (Fes servir el coeficient de variació.)
Puntuació [10, 20) [20, 30) [30, 40) [40, 50) [50, 60) [60, 70)
CM 2 8 11 4 2 1
a) Trobem les mitjanes respectives: 15 ⋅ 2 + 25 ⋅ 8 + 35 ⋅ 11 + 45 ⋅ 4 + 55 ⋅ 2 + 65 ⋅ 1
x苶CM = x苶CM = x苶P =
28
970 = 34,64 28 15 ⋅ 1 + 25 ⋅ 7 + 35 ⋅ 9 + 45 ⋅ 5 + 55 ⋅ 4 + 65 ⋅ 2 28
=
=
1.080 = 38,57 28 A la prova de psicomotricitat es van obtenir millors resultats.
x苶P =
b) σ2CM =
(15 − 34,64)2 ⋅ 2 + ... + (65 − 34,64)2 ⋅ 1
24 3.696, 44 = 132,02 → σCM = 11,49 σCM2 = 28 σ 11, 49 CV = → CV = = 0,332 x 34, 64 σ2P =
(15 − 38,57)2 ⋅ 1 + ... + (65 − 38,57)2 ⋅ 1 28
=
=
4.642, 86 12, 87 = 165,82 → σP = 12,87 → CV = = 0,334 28 38, 57 La dispersió va ser pràcticament la mateixa en les dues proves. σP2 =
420
P 1 7 9 5 4 2
831106 _ 0396-0425.qxd
11/9/07
13:51
Página 421
SOLUCIONARI
066 ●●
Dels 50 alumnes que van respondre a una prova de 12 preguntes, el 10 % va contestar correctament a 3; el 50 %, a 7; el 30 % a 10, i la resta, al total de la prova. Calcula la mitjana, la mediana i la moda de les dades. Troba’n també la desviació típica. Primer elaborem la taula de freqüències:
x苶 =
3 ⋅ 5 + 7 ⋅ 25 + 10 ⋅ 15 + 12 ⋅ 5
=8 50 La mediana correspondrà al valor mitjà dels valors 25è i 26è, ja que N = 50. En aquest cas, és Me = 7. El valor amb fi més gran és Mo = 7. σ2 =
067 ●●●
13
(3 − 8)2 ⋅ 5 + ... + (12 − 8)2 ⋅ 5 50
xi 3 7 10 12
fi 10 % ⋅ 50 = 5 50 % ⋅ 50 = 25 30 % ⋅ 50 = 15 10 % ⋅ 50 = 5
= 5,8 → σ = 2,4
Els diplomats en informàtica de gestió tenen un salari mitjà, en la seva primera feina, de 1.280 €, amb una desviació típica de 380 €. D’altra banda, els diplomats en informàtica de sistemes tenen un salari mitjà de 1.160 €, amb una desviació típica de 350 €. Si a un diplomat en informàtica de 1.160 € gestió li ofereixen un sou 1.280 € de 1.400 €, i a un diplomat en informàtica de sistemes, un sou de 1.340 €: a) Quins dels dos rep una oferta millor? b) Raona per què és millor una oferta que l’altra. La resposta sembla obvia, ja que 1.400 > 1.340 i per tant, aparentment, la millor oferta seria la del diplomat en informàtica de gestió. Però per comparar-ho tenint en compte la població a què pertany cada individu hem de considerar la mitjana salarial i la dispersió de sou dins de cada grup. Informàtica de gestió: guanya 1.400 € i presenta una desviació de 120 € per sobre de la mitjana del seu grup (1.280 €). Comparem aquesta desviació (120 €) amb la dispersió que presenta 120 = 0, 31. Com més gran sigui aquest nombre, el seu grup: σ = 380, 380 més allunyat estarà de la mitjana salarial. Informàtica de sistemes: guanya 1.340 € i presenta una desviació de 180 € per sobre de la mitjana del seu grup (1.160 €). Comparem la desviació (120 €) amb la dispersió que presenta el seu grup: 180 = 0, 52 . σ = 340, 340 D’aquesta manera veiem que, realment, la millor oferta és la que rep el diplomat en informàtica de sistemes, perquè 0,52 > 0,31 i, per tant, l’oferta que li fan s’allunya més de la mitjana salarial del seu grup.
421
831106 _ 0396-0425.qxd
11/9/07
13:51
Página 422
Estadística 068 ●●●
Un conjunt de dades, compost de nombres enters positius i diferents entre si, té 47 com a mitjana. Si una de les dades és 97 i la suma de totes les dades és 329, quin és el nombre més gran que pot tenir? x = 47 =
329 329 →N = = 7 és el nombre de dades. N 47
Com que una dada és 97, fem que la resta siguin els menors valors possibles: 1, 2, 3, 4 i 5. El setè nombre és: 329 − (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 97) = 217. Així, 217 és el nombre més gran possible.
069 ●●●
Donat el conjunt de dades: 14 12 26 16 x calcula x perquè la mediana i la mitjana de les dades siguin iguals. Si x val més que 16, la mediana ha de ser 16, i com que volem que la mitjana sigui 16, la suma dels cinc termes ha de ser 80 i, per tant, x = 80 − (12 + 14 + 16 + 26) = 12. Com que 12 no és més gran que 16, això no és possible. Si x val 15, la mediana serà 15, i com que volem que la mitjana sigui 15, la suma dels cinc termes ha de ser 75, i per tant, x = 75 − (12 + 14 + 16 + 26) = 7, que no és possible. Si x val menys que 14, la mediana ha de ser 14, i com que volem que la mitjana sigui 14, la suma dels cinc termes ha de ser 70, i per tant, x = 70 − (12 + 14 + 16 + 26) = 2. Com que 2 és més petit que 14, la solució és x = 2.
070 ●●●
Si en un conjunt de cinc dades la mitjana és 10 i la mediana és 12, quin és el valor més petit que pot prendre el recorregut? Com que la mediana és 12, hi ha d’haver dos valors més grans o iguals que 12 i uns altres dos menors o iguals que 12, i perquè el recorregut sigui mínim, els dos valors han de ser els menors possibles (ja que la mediana és més gran que la mitjana), per la qual cosa tindran valor 12. La suma dels cinc termes ha de ser 50 i tres dels termes sumen 36, per tant, els altres dos han de sumar 14. Perquè el recorregut sigui mínim, el valor més petit ha de ser al més gran possible, i això passa quan els dos valors menors són iguals, i, per tant, agafaran valor 7. Els valors seran 7, 7, 12, 12, 12, 12 i el recorregut és 5.
071 ●●●
422
Quan escrivim en ordre creixent la mitjana, la mediana i la moda del conjunt de dades 10, 2, 5, 2, 4, 2, x, obtenim una progressió aritmètica. Calcula tots els valors possibles de x.
831106 _ 0396-0425.qxd
11/9/07
13:51
Página 423
SOLUCIONARI
13
La moda en qualsevol dels casos és 2. Si x és més petit que 2, la mediana serà 2. Per tant, perquè estiguin en progressió aritmètica la mitjana també hauria de ser 2, cosa que no és possible. Si x agafa el valor 3, la mediana és 3, i per tant, perquè estiguin en progressió aritmètica la mitjana hauria de prendre valor 2, 5 o 4, i això és impossible. Si x agafa valor més gran o igual que 4, la mediana és 4, i com que la mitjana pren valors més grans que 4, per estar en progressió aritmètica la mitjana ha de ser 6. Per tant, la suma dels termes és 36: x = 36 − (2 + 2 + 2 + 4 + 5 + 10) = 11. 072 ●●●
Després d’ordenar un conjunt de set dades, prenem les quatre primeres i la seva mitjana és 5; però si prenem les quatre últimes, la mitjana és 8. 46 Si la mitjana de tots els nombres és , quina en serà la mediana? 7 46 → x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 = 46 7 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 20⎪⎫ ⎬ → 58 = x1 + x2 + x3 + x4 + x4 + x5 + x6 + x7 = x 4 + x 5 + x 6 + x 7 = 38⎪⎪⎭ = 46 + x4 → x4 = 12 x =
La mediana és 12.
A LA VIDA QUOTIDIANA 073 ●●●
El Departament d’Educació està valorant el rendiment dels alumnes en matemàtiques. Per fer-ho, ha elaborat un informe en què es mostren els resultats dels alumnes de secundària en matemàtiques durant el curs passat. Un resum de l’informe es mostra mitjançant aquests gràfics:
% 35
15 %
30
25 %
25 %
25
35 %
20 15 10 5
INS.
BE
SUF.
NOT. + EXC.
INS SUF BE NOT. EXC.
423
831106 _ 0396-0425.qxd
11/9/07
13:51
Página 424
Estadística Per fer el diagrama de sectors han agrupat les notes més altes, NOTABLE i EXCEL·LENT, i s’han inclòs els percentatges d’alumnes que han obtingut cada nota. L’informe indica que el nombre d’estudiants que han tret SUFICIENT és de 28.413. En vista dels gràfics i els percentatges, calcula el nombre total d’alumnes avaluats i quants han obtingut la qualificació d’EXCEL·LENT. Si el 35 % del total són 28.413 → Total = Nombre de béns i insuficients →
074 ●●●
2.841.300 = 81.180 alumnes 35
81.180 ⋅ 25 = 20.295 alumnes 100
Nombre de notables →
81.180 ⋅ 10 = 8.118 alumnes 100
Nombre d’excel·lents →
81.180 ⋅ 5 = 4.059 alumnes 100
El nombre d’espectadors d’una cadena de televisió determina el cost de la publicitat que s’hi emet. Per això se’n fan públics regularment els índexs d’audiència. La cadenes de televisió amb més índex d’audiència han presentat els seus resultats dels quatre primers mesos de l’any. Aquests són els gràfics que apareixen en diferents mitjans de comunicació.
CANAL Milers 400 350 300 250 200 150 100 50 0
Milers 290
Gen.
FREE
Febr.
Març
Abr.
TV MIRO
250
210 Gen. Febr. Març
Abr.
Totes dues cadenes han tingut un gran creixement, però els responsables de TV Miro insisteixen que el seu creixement ha estat més gran.
424
831106 _ 0396-0425.qxd
11/9/07
13:51
Página 425
SOLUCIONARI
13
Tal com mostren els gràfics publicats en els diferents mitjans de comunicació, hem experimentat un creixement superior al de Canal Free.
Quants espectadors ha guanyat cada cadena? Quina representació reflecteix millor la situació? Les escales de les dues gràfiques són diferents, i per això sembla que el creixement de TV Miro és més gran. Però l’augment d’espectadors de CANAL FREE és, aproximadament, de 40.000, mentre que l’augment d’audiència de l’altra cadena és menor: uns 30.000 telespectadors més. El creixement s’aprecia millor a la gràfica de TV MIRO i, tot i que les dues representacions són vàlides, per poder comparar la informació hem de fer servir la mateixa escala.
425
831106 _ 0426-0456.qxd
14
11/9/07
13:48
Página 426
Probabilitat EXPERIMENTS ALEATORIS
ESPAI MOSTRAL
ESDEVENIMENTS
ESDEVENIMENTS ELEMENTALS
ESDEVENIMENTS COMPATIBLES
ESDEVENIMENTS INCOMPATIBLES
PROBABILITAT
LLEI DELS GRANS NOMBRES
REGLA DE LAPLACE
PROBABILITAT DE LA UNIÓ
PROBABILITAT DEL COMPLEMENTARI
DIAGRAMES D’ARBRE
426
OPERACIONS AMB ESDEVENIMENTS
831106 _ 0426-0456.qxd
11/9/07
13:48
Página 427
Escac i mat! Des que va creuar el canal, perseguit per la intransigència política i religiosa de l’Europa continental, se’l podia trobar en aquell cafè: l’Slaufhter’s Coffee House era per a Abraham de Moivre com una segona llar. Era un centre de reunió d’intel·lectuals, on es podien defensar les idees sense cap més arma que la raó. Els dos personatges que acabaven d’entrar al local, Newton i Halley, amics d’Abraham de Moivre, el van buscar amb la mirada i el van trobar en una de les taules del fons, jugant a escacs. El seu contrincant, visiblement nerviós, movia la mà d’una peça a una altra sense decidir-se a moure’n cap. De seguida que ho va haver fet, Abraham va cantar triomfal: Escac i mat!, i es va aixecar per acostar-se als seus amics. –No n’aprendrà mai, encara pensa que en els escacs hi intervé l’atzar i que algun dia guanyarà. –Monsieur De Moivre –va contestar Halley–, jugueu amb l’avantatge dels vostres coneixements de probabilitat i d’aquest joc apassionant. El vostre contrincant tenia set possibles moviments, però només després de dos d’ells podíeu fer escac i mat. –Tot i això, ho ha fet i jo he guanyat –va respondre De Moivre mentre es guardava a la butxaca les monedes que havia apostat en la partida. Quina era la probabilitat de fer escac i mat? I de no fer-ne?
Hi ha 2 possibilitats entre 7 de guanyar. Per tant, la probabilitat de fer escac 2 i mat és . 7 Hi ha 5 possibilitats entre 7 que després del moviment no pugui fer escac i mat. Per tant, la probabilitat de no poder 5 fer-lo és . 7
831106 _ 0426-0456.qxd
11/9/07
13:48
Página 428
Probabilitat EXERCICIS 001
Classifica els experiments següents en aleatoris o deterministes: a) b) c) d) e)
Extreure una carta d’una baralla. Pesar un litre de mercuri. Preguntar als teus companys un nombre. Llançar tres monedes i anotar el nombre de cares. Restar dos nombres coneguts. Els experiments de a), c) i d) són aleatoris, i els de b) i e) són deterministes.
002
En una bossa hi ha 10 boles de 3 colors diferents. Escriu un experiment aleatori i un altre de determinista. Aleatori: treure una bola de la bossa. Determinista: trobar el pes de les tres boles.
003
Proposa dos experiments aleatoris. Determina’n els esdeveniments elementals i dos esdeveniments compostos. • Experiment 1: preguntar un nombre de l’1 al 10. Esdeveniments elementals: {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {7}, {8}, {9}, {10}. Edeveniment compost: obtenir un nombre parell. • Experiment 2: encertar la travessa. Esdeveniments elementals: {0}, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {7}, {8}, {9}, {10}, {11}, {12}, {13}, {14}. Esdeveniment compost: encertar les apostes necessàries per obtenir el premi.
004
Escriu els possibles resultats que podem obtenir en l’experiment aleatori de llançar dues monedes a l’aire. Si anomenem c = cara, x = creu, els resultats possibles seran: (c, c), (c, x), (x, c) i (x, x).
005
Llancem una moneda i un dau de sis cares. Quin és l’espai mostral? Fes servir un diagrama d’arbre.
cara
creu
428
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
E = {cara 1, cara 2, cara 3, cara 4, cara 5, cara 6, creu 1, creu 2, creu 3, creu 4, creu 5, creu 6}
831106 _ 0426-0456.qxd
11/9/07
13:48
Página 429
SOLUCIONARI
006
14
Determina dos esdeveniments compatibles i dos més d’incompatibles a l’exercici anterior. Compatibles: creu i múltiple de 3, creu i parell. Incompatibles: creu i parell, creu i més petit que 3.
007
Hi ha cap esdeveniment incompatible amb tota la resta? I compatible? Un esdeveniment incompatible amb tots els altres és l’esdeveniment impossible, i el compatible amb tots és l’esdeveniment segur.
008
Donats els esdeveniments següents: A = {1, 2, 3} i B = {1, 3, 5} calcula’n la unió i la intersecció.
A ∪ B = {1, 2, 3, 5} A ∩ B = {1, 3} 009
Traiem una carta de la baralla espanyola. Expressa en forma d’unions i interseccions els esdeveniments següents: a) «Que surti un nombre més petit que 5 i més gran que 2.» b) «Que surti una figura i sigui bastons.» c) «Que no surti un as.» a) {Sortir nombre més petit que 5} ∩ {Sortir nombre més gran que 2} b) {Sortir figura} ∩ {Sortir bastos} c) {Sortir nombre més gran o igual que 2} ∪ {Sortir figura} Una altra manera de fer-ho és fer servir l’esdeveniment complementari: si A = {sortir as} → A = {No sortir as}
010
Extraiem una carta de la baralla. Troba la unió i la intersecció dels parells d’esdeveniments següents: a) A = «Treure oros» i B = «Treure copes» b) C = «Treure as» i D = «No treure as» c) F = «Treure bastons» i G = «Treure as» a) A ∪ B = {Treure oros o copes} → A ∩ B = ∅ b) C ∪ D = E → A ∩ B = ∅ c) F ∪ G = {Treure bastos o as} → A ∩ B = {Treure as de bastos}
011
Pot coincidir la unió de dos esdeveniments amb un d’ells? Si és així, pot coincidir amb la intersecció? La unió de dos esdeveniments coincideix amb un dels esdeveniments quan un està inclòs en l’altre; en aquest cas, la unió dels dos esdeveniments és l’esdeveniment més gran, i la intersecció és el més petit.
429
831106 _ 0426-0456.qxd
11/9/07
13:48
Página 430
Probabilitat 012
Quan llancem un dau de 8 cares considerem els esdeveniments següents.
A = {2, 4, 5, 8} i B = {1, 2, 3, 7} Calcula. a) A ∪ B b) A ∩ B c) A ∩ B
d) A ∪ B e) A ∪ B f) A ∩ B
Què observes en els resultats c) i d)? I en els resultats e) i f)? a) A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8} b) A ∩ B = {2} c) A,∩,B = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8} d) A = {1, 3, 6, 7}
B = {4, 5, 6, 8} → A ∪ B = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
e) A,∪,B = {6} f) A ∩ B = {6} Es compleix que A,∩,B = A ∪ B y A,∪,B = A ∩ B. 013
Considera l’experiment de llançar una moneda. Calcula l’espai mostral i tots els esdeveniments que puguis classificant-los en elementals i compostos. Troba el complementari de cada esdeveniment.
E = {cara, creu}
Esdeveniment
∅
{cara} {creu} E
014
Complementari E {creu} {cara}
∅
Si un esdeveniment A està contingut en un altre, B, què passa amb els seus complementaris? El complementari de A conté el complementari de B.
015
Llancem 2 daus i sumem els punts que surten. Determina: a) Un esdeveniment segur. b) Un esdeveniment impossible. Quina serà la probabilitat d’aquests dos esdeveniments? a) Esdeveniment segur: «Treure més d’un punt». Probabilitat 1. b) Esdeveniment impossible: «Treure més de 12 punts». Probabilitat 0.
016
En una urna hi ha 5 boles blanques i 4 boles vermelles. Escriu: a) Un esdeveniment impossible.
b) Un esdeveniment segur.
a) Esdeveniment impossible: «Treure bola verda». b) Esdeveniment segur: «No treure bola blava».
430
831106 _ 0426-0456.qxd
11/9/07
13:48
Página 431
SOLUCIONARI
017
14
A l’experiment de llançar una moneda: a) Calcula l’espai mostral. b) Digues un esdeveniment segur i un d’impossible. c) Quina probabilitat li assignaries al esdeveniment «Sortir cara»? Raona la resposta. a) E = {cara, creu} b) Esdeveniment segur: «Sortir cara o creu». Esdeveniment impossible: «Sortir as d’oros». c) Si la moneda no està trucada, hi haurà la mateixa possibilitat de sortir cara 1 que de sortir creu, i per tant P (Sortir cara) = . 2
018
A què és igual la unió d’un esdeveniment segur i un d’impossible? I la intersecció? Calcula les seves probabilitats. La unió és l’esdeveniment segur i la intersecció és l’esdeveniment impossible. P (esdeveniment segur) = 1 P (esdeveniment impossible) = 0
019
Quan llancem un dau, calcula la probabilitat d’obtenir: a) b) c) d) e)
Múltiple de 5. Divisor de 2. Nombre primer. Nombre 3. Divisor de 6.
f) g) h) i)
a) P (múltiple de 5) = b) P (divisor de 2) =
1 6
2 1 = 6 3
c) P (nombre primer) = d) P (nombre 3) =
Parell i divisor de 4. Múltiple de 7. Més petit que 10. Nombre senar.
3 1 = 6 2
1 6
e) P (divisor de 6) =
4 2 = 6 3
f) P (parell i divisor de 4) = g) P (múltiple de 7) =
0 =0 6
h) P (més petit que 10) = i) P (nombre senar) =
2 1 = 6 3
6 =1 6
3 1 = 6 2
431
831106 _ 0426-0456.qxd
11/9/07
13:48
Página 432
Probabilitat 020
Extraiem una carta d’una baralla espanyola. Quina és la probabilitat de treure un cavall? I una figura? I oros? I una sota que no sigui de copes? 4 1 = 40 10 12 3 = P (figura) = 40 10 10 1 = P (oros) = 40 4
P (cavall) =
P (sota no de copes) =
021
En una capsa hi ha 5 boles grogues i 7 de vermelles. Quina és la probabilitat de treure una bola groga? I una de vermella?
P (bola groga) =
022
3 40
5 12
P (bola vermella) =
7 12
Pensa en un experiment els esdeveniments del qual siguin equiprobables, però en què sigui impossible aplicar la regla de Laplace. Per exemple, en escollir un punt d’un interval de la recta real no es pot aplicar la regla de Laplace perquè el nombre de casos possibles és infinit.
023
S’ha llançat una moneda 85 vegades i s’han obtingut 43 cares. Quina és la freqüència relativa de l’esdeveniment «Surt creu»? a)
43 85
b) 42
c)
42 85
d) 0,42
Si les cares són 43, les creus seran 42. La freqüència és c) 024
Es llança un dau de 4 cares i s’anoten les vegades que no surt la cara 1. Llançaments fi
20 7
40 11
60 15
a) Fes la taula de freqüències relatives. b) Cap a quin valor tendeix? c) Quina probabilitat hi assignaries? a)
Llançaments 20 40 60 80 100 fi 7 11 15 18 27 hi 0,35 0,28 0,25 0,23 0,27
b) Tendeix cap a 0,25. c) P (no sortir cara 1) =
432
42 . 85
1 4
80 18
100 27
831106 _ 0426-0456.qxd
11/9/07
13:48
Página 433
SOLUCIONARI
025
14
En una bossa hi ha boles numerades de l’1 al 5. N’extraiem 5.000 vegades una bola, anotem el resultat i la tornem a la bossa. Aquests han estat els resultats. Bola fi
1 1.200
2 800
3 700
4 1.300
5 1.000
Calcula la probabilitat d’obtenir múltiple de 2. Si a la bossa hi ha 100 boles, quantes són de cada classe? Justifica la resposta.
P (treure parell) =
800 + 1.300 = 0, 42 5.000
Bola 1 2 3 4 5 Total
fi 1.200 800 700 1.300 1.000 5.000
hi 0,24 0,16 0,14 0,26 0,20 1
Com que la probabilitat s’aproxima amb les freqüències relatives, aplicant la regla de Laplace quan el nombre de casos possibles és 100, tenim que: 1-24, 2-16, 3-14, 4-26, 5-20. 026
Una màquina fabrica cargols. Com ho faries per calcular la probabilitat que, si escollim un cargol a l’atzar, sigui defectuós? Agafaria una mostra de cargols a l’atzar, comptaria els defectuosos i dividiria el nombre de cargols defectuosos entre la mida de la mostra.
027
Es llancen 2 daus i se sumen els punts. Troba la probabilitat que la suma sigui: a) 3
b) Més gran que 10.
c) 7
d) 4 o 5
Quan llancem 2 daus es poden donar 36 combinacions possibles: E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), ..., (1, 6), (2, 1), ..., (2, 6), (3, 1), ..., (3, 6), (4, 1), ..., (4, 6), (5, 1), ..., (5, 6), (6, 1), ..., (6, 6)} a) Hi ha 2 combinacions que sumen 3: (1, 2) i (2, 1). 2 1 P(suma 3) = = 36 18 b) Hi ha 3 combinacions que donen que la suma és més gran que 10: (5, 6), (6, 5) i (6, 6). 3 1 = P (suma més gran que 10) = 36 12 c) Hi ha 6 combinacions que sumin 7: (1, 6), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4) i (4, 3). 6 1 P(suma 7) = = 36 6 d) Hi ha 7 combinacions que sumen 4 o 5: (2, 2), (1, 3), (3, 1), (1, 4), (4, 1), (2, 3) i (3, 2). 7 P(suma 4 o 5) = 36
433
831106 _ 0426-0456.qxd
11/9/07
13:48
Página 434
Probabilitat 028
Extraiem una carta d’una baralla espanyola. Troba la probabilitat que sigui: a) Espases. b) Espases i rei.
c) Sota o oros. d) Diferent d’una figura.
a) P (espases) =
10 1 = 40 4
b) P (espases i rei) = 029
1 40
d) P (no figura) =
3 + 10 13 = 40 40
40 − 12 28 7 = = 40 40 10
Una urna té 4 boles blanques, 2 de vermelles i 5 de negres. Calcula la probabilitat de treure una bola: a) Blanca.
b) Vermella.
a) P (blanca) =
c) Blanca o negra.
4 11
b) P (vermella) =
030
c) P (sota o oros) =
c) P (blanca o negra) =
9 11
2 11
Si en un experiment aleatori P (B) = 0,2 i, a més, P (A ∪ B ) = P (A), A i B són incompatibles? I complementaris? Com que P (A ∪ B) = P (A), tenim que: P (A ∩ B) = P (B) = 0,2; per tant, A i B no són incompatibles ni complementaris.
031
El resultat d’una enquesta política a peu de carrer durant una hora, ha estat el següent: Quina és la probabilitat que si escollim una dona, hagi votat a l’esquerra?
Dreta Esquerra Total
Homes 8
Dones 7
17
Completem la taula, amb els següents càlculs: a) Homes − esquerra = Total (17) − Homes − dreta (8) = 9 b) Esquerra = Homes − esquerra (9) + dones − esquerra (7) = 16 c) Total − dreta = Total (30) − Total − esquerra ( 16 = 14 d) Dones − dreta = Total − dreta (14) − Homes − dreta ( 8) = 6 e) Dones − Total = Dones − dreta (6) + Dones − esquerra (7) = 13 I per tant, queda la taula següent: Homes 8 9 (a) 17
Dreta Esquerra Total
A partir d’aquí, podem calcular
P (dona − esquerra) =
434
7 30
Dones 6 (d) 7 13 (e)
Total
Total 14 (c) 16 (b) 30
30
831106 _ 0426-0456.qxd
20/9/07
14:20
Página 435
SOLUCIONARI
032
14
Completa la taula de contingència: A B B Total
A 0,15
Total
A 0,15 0,48 0,67
Total 0,28 0,72 1
0,24 0,37
De manera anàloga, podem calcular: A 0,13 0,24 0,37
B B Total
033
Per què la suma dels totals en la taula de contingència de probabilitats és sempre igual a 1? El total, en horitzontal o en vertical, ens dóna l’esdeveniment segur i, per tant, la seva probabilitat és 1.
034
Llancem enlaire un dau i a continuació un altre. a) Fes un diagrama d’arbre per representar l’experiment aleatori compost. b) Calcula la probabilitat que surtin dos nombres imparells. a) Si solament estudiem el cas que surti un nombre parell o imparell, el diagrama en arbre serà el següent: parell
1/2 1/2
imparell
1/2 1/2 1/2 1/2
parell imparell parell imparell
b) La probabilitat que surtin dos nombres imparells serà:
P (imparell, imparell) =
035
1 1 1 ⋅ = 2 2 4
Un joc amb la baralla consisteix a treure dues cartes sense devolució i guanya el que tregui dues copes. Quina probabilitat hi ha de guanyar? Fem el diagrama amb les probabilitats 40 10/ 30
/40
I per tant, P (copa, copa) =
copa no copa
9/39 30/39
copa no copa
10/39 30/39
copa no copa
10 9 9 ⋅ = = 0,0577 40 39 156
435
831106 _ 0426-0456.qxd
20/9/07
14:20
Página 436
Probabilitat 036
En el joc anterior, és més fàcil guanyar si la primera carta que traiem la podem tornar? Fem també el diagrama en aquesta nova situació /40
10 30
/40
copa no copa
10/40 30/40
copa no copa
10/40
copa no copa
30/40
10 10 1 ⋅ = = 0,0625 , i per tant és La probabilitat serà P (copa, copa) = 40 40 16 més fàcil guanyar.
ACTIVITATS 037 ●
Classifica els experiments següents en deterministes o aleatoris. a) b) c) d) e) f) g) h) i)
Extreure una carta de la baralla espanyola. Mesurar la hipotenusa d’un triangle rectangle amb catets de 3 i 4 cm. Llançar 3 monedes i anotar el nombre de cares. Llançar una xinxeta i apuntar la posició de caiguda. Pitjar un botó que encén una bombeta en un circuit elèctric. Triar a l’atzar una fitxa de dòmino. Mesurar l’altura de la classe. Llançar una pedra al buit i mesurar-ne l’acceleració. Esbrinar el resultat d’un partit abans que es jugui. Són aleatoris a), c) d), f) i i). Són deterministes b), e) g) i h).
038 ●
Escriu dos experiments aleatoris i dos més que no ho siguin. Justifica la resposta. Aleatoris: el pes d’un alumne i el número que sortirà a la loteria. No aleatoris: l’edat d’un alumne de 1r d’Educació Infantil i els anys en què s’assoleix la majoria d’edat a Espanya.
039 ●
436
Escriu l’espai mostral dels experiments aleatoris següents. a) b) c) d) e) f) g)
Extreure una carta de la baralla espanyola. Llançar una xinxeta i apuntar la posició de caiguda. Treure una bola d’una urna amb 5 boles vermelles, 3 de blaves i 2 de verdes. Llançar dos daus i restar-ne les cares superiors. Llançar dos daus i multiplicar-ne les cares superiors. Agafar les espases de la baralla espanyola i extreure una carta d’aquest grup. Triar a l’atzar un país de la Unió Europea.
831106 _ 0426-0456.qxd
11/9/07
13:48
Página 437
SOLUCIONARI
14
a) E = {as, dos, ..., rei d’oros, as, dos, ..., rei de copes, as, dos, ..., rei d’espases, as, dos, ..., rei de bastos} b) E = {cap amunt, cap avall} c) E = {vermella, blava, verda} d) E = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 30, 36} f) E = {as, dos, tres, quatre, cinc, sis, set, sota, cavall, rei} g) E = {Alemanya, Àustria, Bèlgica, Bulgària, Xipre, Dinamarca, Eslovàquia, Eslovènia, Espanya, Estònia, Finlàndia, França, Grècia, Hongria, Irlanda, Itàlia, Letònia, Lituània, Luxemburg, Malta, Països Baixos, Polònia, Portugal, Regne Unit, República Txeca, Romania, Suècia} 040 ●
Llancem 2 daus, un de vermell i un altre de blau. Quin és l’espai mostral d’aquest experiment?
E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), ..., (1, 6), (2, 1), ..., (2, 6), (3, 1), ..., (3, 6), (4, 1), ..., (4, 6), (5, 1), ..., (5, 6), (6, 1), ..., (6, 6)} 041 ●
Llancem dos daus i multipliquem el nombre de punts obtingut en cada un. Quants resultats podem obtenir? Descriu l’espai mostral i indica dos esdeveniments que no siguin elementals. Hi ha 18 resultats diferents. E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 30, 36} Esdeveniments elementals: {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {8}, {9}, {10}, {12}, {15}, {16}, {18}, {20}, {24}, {25}, {30}, {36} Esdeveniments no elementals: «Parell», «Més petit que 20».
042 ●
Triem una fitxa de dòmino a l’atzar. Determina: a) L’espai mostral. b) A = «Triar una fitxa els nombres de la qual sumin 6» c) B = «Triar una fitxa els nombre multiplicats de la qual donin 12». Els esdeveniments A i B, són compatibles o incompatibles? a) El joc del dòmino no distingeix entre (a, b) i (b, a). E = {(0, 0), ..., (6, 6)} b) A = {(6, 0), (1, 5), (2, 4), (3, 3)} c) B = {(2, 6), (3, 4)} A ∩ B = ∅ → Són incompatibles.
043 ●●
Considera el llançament de 3 monedes. Escriu els esdeveniments següents: A = «Obtenir almenys una cara» i B = «Obtenir una sola cara». Calcula: b) A ∩ B c) A d) B a) A ∪ B
A = {CCC, CC+, C+C, +CC, C++, +C+, ++C} a) b) c) d)
B = {C++, +C+, ++C}
A ∪ B = {CCC, CC+, C+C, +CC, C++, +C+, ++C} = A A ∩ B = {C++, +C+, ++C} = B A = {+++} B = {CCC, CC+, C+C, +CC, +++}
437
831106 _ 0426-0456.qxd
11/9/07
13:48
Página 438
Probabilitat 044 ●●
De les 28 fitxes del dòmino, n’extraiem una a l’atzar i sumem els punts. Escriu els esdeveniments. a) A = «Obtenir múltiple de 5»
b) B = «Obtenir nombre parell»
Calcula: A ∪ B, A ∩ B, A y B, A ∪ A, B ∩ B. a) A = {5, 10}
b) B = {2, 4, 6, 8, 10, 12}
A ∪ B = {2, 4, 5, 6, 8, 10, 12} A ∩ B = {10} A = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12} B = {0, 1, 3, 5, 7, 9, 11} A ∪ A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} B∩B=∅ 045 ●●
En un bombo hi ha 15 boles numerades de l’1 al 15 i n’extraiem una. Escriu els elements que formen els esdeveniments. a) Múltiple de 3. b) Múltiple de 2. c) Més gran que 4.
d) Més gran que 3 i més petit que 8. e) Nombre senar.
Escriu un esdeveniment compatible i un altre d’incompatible amb cadascun d’ells, i també l’esdeveniment contrari. a) A = {3, 6, 9, 12, 15} Esdeveniment compatible ⎯→ «Treure més gran que 12» Esdeveniment incompatible → «Treure més petit que 3» A = «No múltiplo de 3» = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14} b) B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} Esdeveniment compatible ⎯→ «Treure múltiple de 3» Esdeveniment incompatible → «Treure més petit que 2» B = «No par» = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15} c) C = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15} Esdeveniment compatible ⎯→ «Treure múltiple de 7» Esdeveniment incompatible → «Treure més petit que 3»
C = «Menor o igual que 4» = {1, 2, 3, 4} d) D = {4, 5, 6, 7} Esdeveniment compatible ⎯→ «Treure múltiple de 5» Esdeveniment incompatible → «Treure més gran que 12» D = {1, 2, 3, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15} e) E = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15} Esdeveniment compatible ⎯→ «Treure múltiple de 7» Esdeveniment incompatible → «Treure parell més gran que 10»
E = «No imparell» = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}
438
831106 _ 0426-0456.qxd
11/9/07
13:48
Página 439
SOLUCIONARI
046 ●
14
Quan llancem un dau de 6 cares, A = {2, 4} i B = {1, 2, 3}. Calcula. a) A b) A
∩B ∪B
c) Són compatibles A i B? d) Troba el contrari dels esdeveniments A, B, A ∩ B i A ∪ B
Entre els esdeveniments anteriors, troba una parella d’esdeveniments compatibles, una d’incompatibles i una altra de contraris. a) A ∩ B = {2} b) A ∪ B = {1, 2, 3, 4} c) A ∩ B ⫽ ∅ → Són compatibles d) A = {1, 3, 5, 6} A,∪,B = {5, 6}
B = {4, 5, 6}
A,∩,B = {1, 3, 4, 5, 6}
A i B són compatibles → A ∩ B ⫽ ∅ A ∩ B i B són incompatibles → (A ∩ B) ∩ B = ∅ A i A són contraris. 047 ●●
Llancem un dau de 6 cares i considerem els esdeveniments A = {1, 3, 5, 6}, B = {1, 2, 4, 5} i C = {3, 4}. Calcula. a) A
d) A ∪ B
g) A ∪ B
b) B
e) A ∩ B
h) A ∩ B
c) C
f) B ∪ C
i) A ∪ B
a) A = {2, 4}
f) B ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5}
b) B = {3, 6}
g) A,∪,B = ∅
c) C = {1, 2, 5, 6}
h) A ∩ B = ∅
d) A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = E
i) A ∪ B = {2, 3, 4, 6}
e) A ∩ B = {1, 5} 048 ●
Traiem dues cartes d’una baralla espanyola. Un esdeveniment impossible és: a) b) c) d)
«Treure «Treure «Treure «Treure
dos oros» dos cavalls de copes» dues cartes de pal diferent» dues figures iguals del mateix pal»
Hi ha dos esdeveniments impossibles: b) «Treure dos cavalls de copes» i d) «Treure dues figures iguals del mateix pal». Per tant, les dues cartes no poden ser iguals. 049 ●
Ordena de més gran a més petit grau de probabilitat d’obtenir els esdeveniments següents quan llancem un dau. a) «Nombre parell» b) «Nombre igual o més gran que 5»
c) «Nombre més petit que 7» d) «Nombre més gran que 7»
P (d) = 0 < P (b) < P (a) < P (c) = 1
439
831106 _ 0426-0456.qxd
11/9/07
13:48
Página 440
Probabilitat 050 ●
D’una baralla de 40 cartes n’extraiem una. Calcula les probabilitats dels esdeveniments següents. a) A = «Obtenir oros» b) B = «Obtenir el rei d’oros» c) C = «Obtenir espases o copes»
051 ●●
a) P (A) =
10 = 0, 25 40
b) P (B ) =
1 = 0, 025 40
c) P (C ) =
20 = 0, 5 40
Llancem un dau a l’aire i sumem els punts de totes les cares menys de la de dalt. Troba l’espai mostral i la probabilitat d’obtenir un nombre múltiple de 3.
E = {15, 16, 17, 18, 19, 20}
052 ●●
P (múltiple de 3) =
) 2 1 = = 0,3 6 3
En el joc del parxís s’ha trucat el dau perquè la probabilitat que surti 5 sigui cinc vegades la probabilitat que surti qualsevol altra cara. Quina afirmació és certa? a) P (cara 5) =
2 3
c) P (cara 5) =
5 6
b) P (cara 5) =
1 2
d) P (cara 1) =
1 6
Com que la suma de les pobabilitats és 1, si x és la probabilitat que surti qualsevol de les cares diferents de 5, i 5x la de 5: x + x + x + x + x + 5x = 1 → x = 0,1 i 5x = 0,5. Per tant, la solució és b) P (cara 5) =
053
1 . 2
En el cas del dau anterior, la probabilitat que surti cara senar és:
●●
a)
1 2
c)
7 6
b)
3 10
d)
7 10
P (senar) = P ({1, 3, 5}) = P (1) + P (3) + P (5) = 0,7. La solució és d)
440
7 . 10
831106 _ 0426-0456.qxd
11/9/07
13:48
Página 441
SOLUCIONARI
054 ●
14
Quan llancem una xinxeta, pot caure amb la punta cap amunt o cap avall. a) És un experiment aleatori o determinista? b) Quins són els esdeveniments elementals? c) Aquests esdeveniments són equiprobables? a) És aleatori. b) Els esdeveniments elementals són «Punta cap amunt» i «Punta cap avall». c) No són equiprobables, ja que és més probables que caigui amb la punta cap avall.
055 ●
Per comprovar si els esdeveniments elementals de l’activitat anterior són equiprobables, fes l’experiment 100 vegades (agafa 10 xinxetes i llança-les 10 vegades). La freqüència relativa de l’esdeveniment «Punta cap amunt» és més gran? Compara el teu resultat amb el que han obtingut els teus companys i feu una taula ajuntant tots els resultats. És més gran la freqüència relativa de l’esdeveniment «Punta cap amunt».
056 ●●
En un bombo hi ha 10 boles numerades del 0 al 9. Repetim 100 vegades l’experiment de treure una bola i reemplaçar-la. Els resultats són: Bola fi
0 7
1 13
2 11
3 12
4 8
5 10
6 12
7 6
8 10
9 11
Donats els esdeveniments següents: A = «Múltiple de 3», B = «Nombre senar» i C = «Divisor de 6», calcula:iii a) La freqüència relativa de A, B i C. b) La freqüència relativa de A ∪ B, A ∩ B i A ∪ C. Quina probabilitat li assignaries a cada esdeveniment?
A = {3, 6, 9}
B = {1, 3, 5, 7, 9}
C = {1, 2, 3, 6}
a) Freqüència de A = 12 + 12 + 11 = 35 Freqüència de B = 13 + 12 + 10 + 6 + 11 = 52 Freqüència de C = 13 + 11 + 12 + 12 = 48 b) Freqüència de A ∪ B = 13 + 11 + 12 + 10 + 12 + 6 + 11 = 75 Freqüència de A ∩ B = 12 + 11 = 23 Freqüència de A ∪ C = 13 + 11 + 12 +12 + 11 = 59 P (A) =
35 = 0, 35 100
P (A ∪ B ) =
P (B ) =
52 = 0, 52 100
P (C ) =
48 = 0, 48 100
75 23 59 = 0, 75 P (A ∩ B ) = = 0, 23 P (A ∪ C ) = = 0, 59 100 100 100
441
831106 _ 0426-0456.qxd
11/9/07
13:48
Página 442
Probabilitat 057 ●●
Llancem 100 vegades un dau tetraèdric i anotem el nombre de la cara oculta, i obtenim:
Cara fi
1 28
2 22
3 30
4 20
Troba la freqüència relativa de l’esdeveniment: a) Múltiple de 3. b) Múltiple de 2. c) Cara més gran que 1. d) Cara més petita que 1. Quina probabilitat assignaries a cadascun dels esdeveniments anteriors? a) Freqüència 30 → P =
) 30 = 0,3 100
42 = 0, 42 100 72 = 0,72 c) Freqüència 22 + 30 + 20 = 72 → P = 100 d) Freqüència 0 → P = 0 b) Freqüència 22 + 20 = 42 → P =
058
Llancem 4 monedes iguals.
●●
a) Quina és la probabilitat d’obtenir 4 cares? b) I de no obtenir-ne cap? c) Quin esdeveniment és més probable, obtenir 2 cares o obtenir, com a mínim 3 creus? Hi ha 16 esdeveniments elementals equiprobables. a) P (4 cares) =
1 = 0, 0625 16
b) P (0 cares) = P (4 creus) =
1 = 0, 0625 16
c) «Obtenir 2 cares» = {CC++, C+C+, C++C,+CC+, +C+C, ++CC} 6 = 0, 375 P (2 cares) = 16 «Obtenir almenys 3 creuss» = {+++C, ++C+, +C++, C+++, ++++} 5 = 0, 3125 . La probabilitat d’obtenir 2 cares P (almenys 3 creus) = 16 és més gran que la d’obtenir almenys 3 creus.
442
831106 _ 0426-0456.qxd
11/9/07
13:48
Página 443
SOLUCIONARI
059 ●●●
14
Un examen tipus test consta de 5 preguntes, cadascuna de les quals té tres possibles respostes. a) Calcula la probabilitat d’encertar 3 preguntes si contestes a l’atzar. b) Si per aprovar l’examen s’han de contestar com a mínim 3 preguntes correctament, troba la probabilitat d’aprovar i de suspendre.
P (encertar una pregunta) =
1 3
P (no encertar una pregunta) =
2 3
a) «Encertar 3 preguntes» = {AAANN, AANAN, AANNA, ANAAN, ANANA, ANNAA, NAAAN, NAANA, NANAA, NNAAA} 1 1 1 2 2 4 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 3 3 3 3 3 243 4 40 = P (encertar 3 preguntas) = 10 ⋅ 243 243
P (esdeveniment elemental) =
b) «Encertar 4 preguntas» = {AAAAN, AAANA, AANAA, ANAAA, NAAAA} 2 243 2 10 = P (encertar 4 preguntas) = 5 ⋅ 243 243
P (esdeveniment elemental) =
«Encertar 5 preguntas» = {AAAAA}
P (encertar 5 preguntas) = P (aprovar) =
1 243
1 + 10 + 40 51 = 243 243
P (suspendre) = 1 − P (aprovar) = 1 −
060 ●●●
51 192 = 243 243
Fem un estudi amb 100 persones sobre si es consideren destres o esquerranes a l’hora d’escriure i hem obtingut la taula següent. Completa-la i calcula la probabilitat que si escollim un home sigui esquerrà. Primer posem el total, que és 100, i completem la taula, que quedarà així:
Dretà Esquerrà Total
Homes 34 9 43
Dones 26 31 57
I a partir d’aquí, P (home esquerrà) =
Total 60 40 100
9 = 0,09 100
443
831106 _ 0426-0456.qxd
20/9/07
14:20
Página 444
Probabilitat 061 ●●●
Quants resultats són possibles en el llançament de tres daus? Fes un diagrama d’arbre i calcula la probabilitat d’obtenir al menys un sis. Si pensem l’experiment aleatori de llançar un dau, tenim l’espai mostral 1 següent: E = {6, no 6} amb les probabilitats següents: P(6) = 6 5 i P(no 6) = , el diagrama d’arbre amb 3 llançaments serà: 6
6
1/6
1/ 6
5/6
6
1/6 5/6
no 6
1/6 5/6
6 5/
no 6
1/6 5/6
6
no 6
1/6 5/6 1/6 5/6
6 no 6 6 no 6 6 no 6 6 no 6
I la probabilitat d’obtenir almenys un 6 la podem obtenir mitjançant l’esdeveniment contrari: A = {obtenir almenys un 6} → A = {cap 6} = {no 6, no 6, no 6}, la probabilitat del qual és P (A) =
062 ●●●
5 5 5 125 91 ⋅ ⋅ = = 0,4213 → P (A) = 1 − P (A) = 6 6 6 216 216
En una urna tenim 7 boles blanques i 4 de negres, i traiem tres boles. Calcula la probabilitat que les tres siguin blanques si cada vegada es torna la bola que es treu a la urna. Fem el diagrama d’arbre tenint en compte únicament la probabilitat de l’esdeveniment que hem de calcular: /11
Blanca 1
1
7/11 4/11
7
4/1
7/ 1
Blanca
Blanca Negra Blanca Negra
Blanca
Blanca Negra
Negra
Blanca Negra
1
1 4/
Negra
Negra
Per tant: P (blanca, blanca, blanca) =
444
7 7 7 343 ⋅ ⋅ = = 0,2577 11 11 11 1.331
831106 _ 0426-0456.qxd
20/9/07
14:20
Página 445
SOLUCIONARI
063 ●●●
14
En l’exercici anterior, calcula la probabilitat que siguin del mateix color en els dos casos: que la bola que es treu es torni a l’urna i que no es torni. Tornem a fer el diagrama amb les seves probabilitats en els dos casos. a) Amb devolució de la bola: 1 7/1
Blanca
4/11
Blanca 4/1
7/ 11
1
11 4/
/11
Negra
Blanca
7
Negra 4/1
1
7/11
Negra
7/11 4/11 7/11 4/11 7/11 4/11
Blanca Negra Blanca Negra Blanca Negra Blanca Negra
L’esdeveniment {del mateix color} és un esdeveniment compost que té la probabilitat següent: P (A) = P (B, B, B) + P (N, N, N) = 3 3 ⎛ 7 ⎞ ⎛ 4 ⎞ 409 343 64 = = 0,3073 + = ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ + ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ = ⎝ 11 ⎠⎟ ⎝ 11 ⎠⎟ 1.331 1.331 1.331 b) Sense devolució: les probabilitats són diferents. Fem el diagrama: 0 6/1
Blanca
4/9
Blanca 7/ 11
4/1
11 4/
Negra
5/9
Blanca Negra
0
Negra
Blanca Negra
0 7/1
Blanca
Blanca Negra
3/1
0
Negra
7/9 2/9
Blanca Negra
P (A) = P (B, B, B) + P (N, N, N) = 7 6 5 4 3 2 234 = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = = 0, 236 11 10 9 11 10 9 990 064 ●
La probabilitat d’un esdeveniment és 0,2. Quina és la probabilitat de l’esdeveniment contrari?
P (A) = 1 − 0,2 = 0,8 065 ●●
Si en un dau P (1) = P (2) = P (3) = 0,14 i P (4) = P (5) = P (6) = x, quin és el valor de x ? 3 4 + 3x = 1 → x = 7 21
445
831106 _ 0426-0456.qxd
11/9/07
13:48
Página 446
Probabilitat 066
En una dau trucat, la probabilitat que surti cadascuna de les cares és:
●●
Cara 1 fi 0,1
2 0,1
3 0,1
4 a
5 b
6 0,4
Si saps que P (4) = 2P (5), quant valen a i b ?
a = 2b → 0,1 + 0,1 + 0,1 + 2b + b + 0,4 = 1 → b = 0,1 i a = 0,2 067 ●●
Extraiem una carta de la baralla espanyola. Troba la probabilitat de: a) b) c) d)
Obtenir un cavall. No sortir una figura. No sortir ni oros ni bastons. Treure rei d’oros o d’espases. a) P (cavall) =
4 1 = = 0,1 40 10
b) P (figura) =
12 3 = = 0, 3 → P (no figura) = 1 − 0, 3 = 0, 7 40 10
c) P (no oros ni bastos) =
20 1 = = 0, 5 40 2
d) P (rei d’oros o d’espases) =
068 ●●
2 1 = = 0, 05 40 20
Triem a l’atzar un número de l’1 al 30. Tenim els esdeveniments A = «Obtenir un nombre parell més petit o igual que 14», B = «Obtenir un múltiple de 3 més petit o igual que 10» i C = «Obtenir un múltiple de 10». Calcula la probabilitat de: a) A ∪ B b) A ∪ C
c) A ∪ B d) C ∪ B
A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}
e) B ∩ C f) A ∩ B
B = {3, 6, 9}
C = {10, 20, 30}
a) A ∪ B = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14} P (A ∪ B) = 0,3 b) A ∪ C = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 20, 30} P (A ∪ C) = 0,3 c) A ∪ B = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30}
P (A ∪ B) =
446
28 = 0, 93 30
831106 _ 0426-0456.qxd
11/9/07
13:48
Página 447
SOLUCIONARI
14
d) C ∪ B = B ∪ C = {3, 6, 9, 10, 20, 30}
P (C ∪ B) =
6 = 0, 2 30
e) B ∩ C = ∅ → P (B ∩ C ) = 0 f) A ∩ B = {3, 9} → P (A ∩ B) =
069 ●●
2 = 0, 06 30
En una urna hi ha 100 boles numerades de l’1 al 100. Traiem una bola el nombre de la qual sigui n i definim els esdeveniments.
A = «n és múltiple de 5» B = «n és múltiple de 3» C = «n és divisible per 2» D = «n és divisible per 10» E = «n és divisible per 1» a) Quants esdeveniments elementals componen cada esdeveniment? Quina és la probabilitat de cadascun? b) Hi ha dos esdeveniments incompatibles? c) Hi ha dos esdeveniments compatibles? I contraris? d) Troba la probabilitat de A ∩ B, B ∪ C i D. a) A = 20 ⎯→ P (A) = 0,2 B = 33 ⎯ → P (B) = 0,33 C = 50 ⎯→ P (C) = 0,5 D = 10 ⎯ → P (D) = 0,1 E = 100 → P (E) = 1 b) No n’hi ha. c) Totes les parelles són compatibles. No hi ha esdeveniments contraris. d) P (A ∩ B) = P (A) ⋅ P (B) = 0,2 ⋅ 0,33 = 0,6 P (B ∪ C ) = P (B) + P (C ) − P (B ∩ C ) = 0,33 + 0,5 − 0,165 = 0,665 P (D ) = 0,1 070 ●●●
Considera un joc en què llances dos daus i guanyes si la suma dels punts és 11 o 7. a) Descriu l’espai mostral d’aquest experiment. b) Calcula la probabilitat de guanyar. a) E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), ..., (1, 6), (2, 1), ..., (2, 6), (3, 1), ..., (3, 6), (4, 1), ..., (4, 6), (5, 1), ..., (5, 6), (6, 1), ..., (6, 6)} b) P (7 u 11) =
8 4 = 36 9
447
831106 _ 0426-0456.qxd
11/9/07
13:48
Página 448
Probabilitat 071 ●●
En un dinar hi ha 28 homes i 32 dones. Han menjat carn 16 homes i 20 dones, i la resta, peix. Si triem una persona a l’atzar, calcula la probabilitat d’aquests esdeveniments. a) Que sigui home. b) Que hagi menjat peix. c) Que sigui home i hagi menjat peix. Homes Dones Total
Carn 16 20 36
a) P (home) = b) P (peix) =
072 ●●
Peix 12 12 24
Total 28 32 60
28 7 = = 0, 46 60 15
c) P (home i peix) =
12 1 = = 0, 2 60 5
24 2 = = 0, 4 60 5
En una llar d’infants hi ha 20 nens i 16 nenes. La meitat dels nens i tres quartes parts de les nenes són morens i la resta són rossos. Quina és la probabilitat que si en triem un a l’atzar sigui nen o tingui els cabells morens? Nens → morens = 10, rossos = 10 Nenes → morenes =
3 ⋅ 16 = 12, rosses = 4 4
P (nen o morè) = P (nen) + P (morè) − P (nen i morè) P (nen o morè) =
073 ●●●
20 22 10 32 + − = = 0, 89 36 36 36 36
En una ciutat llegeixen el diari A el 30 % dels habitants, el diari B, el 20 % dels habitants i el 7 % llegeixen tots dos diaris. a) Quina probabilitat hi ha que si triem algú a l’atzar llegeixi algun dels dos diaris? b) I que no en llegeixi cap? I que en llegeixi un? a) P (llegeix A o B) = P (llegeix A) + P (llegeix B) − − P (llegeix A i B) P (llegeix A o B) = 0,3 + 0,2 − 0,07 = 0,43 b) P (no llegeix A ni B) = 1 − P (llegeix A o B) P (no llegeix A ni B) = 1 − 0,43 = 0,57
P (en llegeix només un) = 1 − [P (llegeix A i B) + P (cap)] P (en llegeix només un) = 1 − [0,07 + 0,57] = 1 − 0,64 = 0,36
448
831106 _ 0426-0456.qxd
11/9/07
13:48
Página 449
SOLUCIONARI
074 ●●
14
En Lluís i en Joan han de recollir l’habitació que comparteixen. En Lluís posa en una bossa 3 boles vermelles, 2 de verdes i 1 de blava, i li proposa al seu germà que en tregui una. Si és vermella, recull en Joan, i si és blava, ell. a) Quina és la probabilitat de cada bola? b) És just el que proposa en Lluís? c) En Joan no accepta el tracte i proposa que si surt vermella, reculli ell, i si surt blava o verda, ho faci en Lluís. És just aquest tracte? Per què? a) P (vermella) =
3 1 = = 0, 5 6 2
P (blava) =
1 = 0,16 6
b) No, perquè és el triple de probable que li toqui a en Joan. c) Sí, perquè P (blava o verda) = 0,5 = P (vermella). 075 ●●●
Si tinc 3 claus que obren els 3 panys d’una porta, però no sé quina obra cadascuna, quina és la probabilitat que encerti amb la combinació a la primera oportunitat? I si tingués 3 claus i només 2 panys? (Una de les claus no obre cap pany.) Si tinc tres claus, E = {123, 132, 213, 231, 312, 321}. La combinació adecuada és només una de les sis:
P (encertar a la primera) =
1 6
Si tinc dos claus: E = {12, 13, 21, 23, 31, 32}. La combinació adecuada és només una de les sis:
P (encertar a la primera) =
076 ●●●
1 6
La Paula va a una botiga 2 vegades per setmana, i en Robert treballa en aquesta botiga 4 dies per setmana. Si el divendres és l’únic dia que no hi va cap dels dos, quina és la probabilitat que coincideixin dos dies? (La botiga tanca el diumenge.) Com que en Robert treballa quatre dels cinc dies possibles (dilluns, dimarts, dimecres, dijous i dissabte), només hi ha un dia que no treballa, i, per tant, almenys coincideixen un dia. L’esdeveniment «Coincidir un dia» es dóna quan el dia en què en Robert no treballa és un dels dos en què la Paula 2 = 0, 4 (casos favorables = 2 dies, treballa, i la probabilitat és: 5 casos posibles = 5 dies). Com que l’esdeveniment «Coincidir dos dies» és el contrari de «Coincidir un dia», la probabilitat és: 1 − 0,4 = 0,6.
449
831106 _ 0426-0456.qxd
11/9/07
13:48
Página 450
Probabilitat 077 ●●●
A l’Oest, tres vaquers han de fer una acció arriscada, tallen amb longituds diferents tres palets, els tapen de manera que sembli que tenen la mateixa altura i cada vaquer en tria un. El que l’agafa més curt perd. Per què no discuteixen mai qui tria primer?
A = «Vaquer primer agafa el pal més curt» B = «Vaquer segon agafa el pal més curt» C = «Vaquer tercer agafa el pal més curt» Són incompatibles, i per això cada esdeveniment està inclòs en el complementari dels altres.
P (A) =
1 3
P (A ∩ B) = P (B) =
1 3
P (A ∩ B ∩ C) = P (C) =
1 3
Per tant, els tres vaquers tenen la mateixa probabilitat d’agafar el pal més curt. 078 ●●●
Nadal és millor que Federer en terra batuda i la probabilitat que té de guanyar-li un set és 3/5. Si el cansament els afecta tots dos igual, explica per què Nadal prefereix jugar al millor de 5 sets que al millor de 3 sets. Fem el diagrama d’arbre amb la freqüència de victòries per a cada cas.
N 3/5 de 3/5 N 3/5 F 2/5 de 3/5
N 3/5 de 2/5 F 2/5 F 2/5 de 2/5
450
N 3/5 de 9/25
Guanya Nadal 27/125
F 2/5 de 9/25
Guanya Nadal 18/125
N 3/5 de 6/25
Guanya Nadal 18/25
F 2/5 de 6/25
Guanya Federer 12/125
N 3/5 de 6/25
Guanya Nadal 18/25
F 2/5 de 6/25
Guanya Federer 12/125
N 3/5 de 4/25
Guanya Federer 12/125
F 2/5 de 4/25
Guanya Federer 8/125
831106 _ 0426-0456.qxd
11/9/07
13:48
Página 451
SOLUCIONARI
14
S’observa que la probabilitat que guanyi Nadal és: P(Nadal) =
27 18 18 18 81 + + + = = 0,65 125 125 125 125 125
N 3/5 de 9/25
N 3/5 de 27/125
N → Guanya Nadal 243/3.125 F⎯ → Guanya Nadal 162/3.125 N → Guanya Nadal 162/3.125 F⎯ → Guanya Nadal 108/3.125
N 3/5 de 3/5
N → Guanya Nadal 162/3.125 F 2/5 de 9/25
F⎯ → Guanya Nadal 108/3.125 N → Guanya Nadal 108/3.125 F⎯ → Guanya Federer
N 3/5
N → Guanya Nadal 162/3.125 N 3/5 de 6/25
F⎯ → Guanya Nadal 108/3.125 N → Guanya Nadal 108/3.125 F⎯ → Guanya Federer
F 2/5 de 3/5
N → Guanya Nadal 108/3.125 F 2/5 de 6/25
F⎯ → Guanya Federer N → Guanya Federer F⎯ → Guanya Federer N → Guanya Nadal 108/3.125
N 3/5 de 6/25
F⎯ → Guanya Nadal 108/3.125 N → Guanya Nadal 108/3.125 F⎯ → Guanya Federer
N 3/5 de 2/5
N → Guanya Nadal 108/3.125 F 2/5 de 6/25
F⎯ → Guanya Federer N → Guanya Federer F⎯ → Guanya Federer
F 2/5
N → Guanya Nadal 108/3.125 N 3/5 de 4/25
F⎯ → Guanya Federer N → Guanya Federer F⎯ → Guanya Federer
F 2/5 de 2/5
N → Guanya Federer F 2/5 de 4/25
F⎯ → Guanya Federer N → Guanya Federer F⎯ → Guanya Federer
2+ 243 + 162 + 162 + 162 + 108 + 162 + 108 + 108 + 162 + 108 + 108 + 108 + 162 + 108 + 108 + 108 + 108 = P(Nadal) = 3.125 2.295 = 0, 73 = 3.125 Per tant, Nadal té més probabilitat de guanyar en 5 sets.
451
831106 _ 0426-0456.qxd
11/9/07
13:48
Página 452
Probabilitat 079 ●●●
Tinc a la butxaca dues monedes de 20 cèntims, dues de 10 cèntims i dues de 5 cèntims. Si trec dues monedes a l’atzar, quina és la probabilitat d’obtenir una quantitat superior o igual a 20 cèntims? Fem el diagrama d’arbre que representa l’extracció de les monedes: Primera moneda
20 cts. 2/6
10 cts. 2/6
5 cts. 2/6
Segona moneda
Total
20 cts. 1/5 de 2/6
40 cts. → 2/30
10 cts. 2/5 de 2/6
30 cts. → 4/30
5 cts. 2/5 de 2/6
25 cts. → 4/30
20 cts. 2/5 de 2/6
30 cts. → 4/30
10 cts. 1/5 de 2/6
20 cts. → 2/30
5 cts. 2/5 de 2/6
15 cts. → 4/30
20 cts. 2/5 de 2/6
25 cts. → 4/30
10 cts. 2/5 de 2/6
15 cts. → 4/30
5 cts. 1/5 de 2/6
10 cts. → 2/30
La probabilitat de treure almenas 20 cèntims amb dues monedes és: 2+4+4+4+2+4 20 2 P(> 20 cts.) = = = 30 30 3 080 ●●●
En una classe de 23 alumnes, el tutor revisa les fitxes dels alumnes i comprova que dos d’ells fan els anys el mateix dia del mateix mes. Quan ho comenta al professor de matemàtiques, aquest li diu que això és més habitual que el contrari, és a dir, que no hi hagi cap coincidència. Comprova si el professor de matemàtiques té raó. Quan són dos alumnes, la probabilitat que no hagin nascut en la mateixa data 364 és . La probabilitat que tres alumnes no hagin nascut en la mateixa 365 363 364 363 ⋅ 364 de = data és: . 365 365 3652 362 363 ⋅ 364 362 ⋅ 363 ⋅ 364 de = . 365 3652 365 3 Així, la probabilitat que en 23 alumnes no hi hagi coincidències de dates 342 ⋅ 343 ⋅ ... ⋅ 363 ⋅ 364 = 0, 46 . de naixement és: 36522 Per tant, la probabilitat que existeixi una coincidencia és 0,54, i per tant és més probable. La probabilitat de Quatre alumnes és:
452
831106 _ 0426-0456.qxd
11/9/07
13:48
Página 453
SOLUCIONARI
14
A LA VIDA QUOTIDIANA 081 ●●●
Amb motiu de la setmana cultural de l’institut, s’ha celebrat un campionat de dards. Després d’unes quantes eliminatòries, hem quedat com a finalistes l’Anna, en Bernat, la Camil·la i jo. Des de fa temps he anat apuntant les partides que hem jugat i qui les ha guanyades.
Jo contra…
Partides jugades Guanyades per mi Anna
36
22
Bernat
44
35
31
12
Camil·la
L’Anna contra... Partides jugades Guanyades per l’Anna Bernat
27
16
Camil·la
29
13
Bernat contra…
Partides jugades Guanyades per en Bernat 9
32
Camil·la
La final consisteix en una lliga en què jugarem tots contra tots. Cada victòria atorgarà 1 punt al guanyador i 0 punts al perdedor. Al final de la lliga guanyarà el concursant amb la puntuació més alta. Segons les dades anotades, quina probabilitat tinc de guanyar el campionat? I de perdre’l? Si considerem que guanyar és tenir més punts en solitari, sense empats, l’única manera de fer-ho és guanyar les tres partides, ja que si només se’n guanyen dues, en les altres quatre partides de la lliga sempre hi haurà un jugador que en guanyi almenys dues, i per tant empataria. La probabilitat de guanyar les tres partides, si fem el diagrama d’arbre, és: Guanyar a Anna 22/36 = 11/18
Guanyar a Bernat 35/44 de 11/18 = 35/72
Guanyar a Camil·la 12/31 de 35/72 = 35/186
35 = 0,18 . 186 De la mateixa manera que la victòria, si considerem que perdre és aconseguir el menor nombre de punts, l’única opció possible és perdre totes les partides, ja que si guanyem una de les cinc partides que queden és impossible que tots en guanyin dos. La probabilitat de guanyar el campionat és
La probabilitat de perdre les tres partides, si fem el diagrama d’arbre, és: Perdre amb Anna 14/36 = 7/18
Perdre amb Bernat 9/44 de 7/18 = 7/88
La probabilitat de perdre el campionat és:
Perdre amb Camil·la 9/31 de 7/88 = 63/2.728
63 = 0, 02. 2.728
453
831106 _ 0426-0456.qxd
11/9/07
13:48
Página 454
Probabilitat 082 ●●●
La Direcció General de Trànsit (DGT) portarà a terme una campanya per reduir la sinistralitat a les carreteres. Un elevat nombre d’accidents amb víctimes mortals és degut a dos factors: • No fer servir el cinturó de seguretat. • No respectar la distància de seguretat. Per determinar la incidència d’aquestes infraccions, s’han fet múltiples controls de trànsit. Aquestes són les dades recollides: En cada control, els agents han inspeccionat 500 vehicles: • Una mitjana de 60 conductors no portava el cinturó. • D’aquests 60 conductors, 40 no respectaven la distància de seguretat. • I 410 circulaven correctament.
Els conductors que no portaven el cinturó se’ls va sancionar amb la pèrdua de 2 punts, i els que no respectaven la distància de seguretat, amb 3 punts. En vista d’aquestes dades, la DGT planteja fer controls persuasius. Quants vehicles aproximadament s’han d’inspeccionar en cada control per no sobrepassar els 10 conductors sancionats amb la penalització màxima, és a dir, la pèrdua de 5 punts? La freqüència de conductors que no porten cinturó i no respecten la distància 40 2 = de seguretat és: . Per tant, per no superar els 10 conductors 500 25 que són sancionats amb 5 punts, hem d’inspeccionar menys de 125 vehicles. 2 x⋅ < 10 → x < 125 25
454
831106 _ 0426-0456.qxd
11/9/07
13:48
Página 455
Direcció d’art: José Crespo Projecte gràfic: Portada: CARRIÓ/SÁNCHEZ/LACASTA Interiors: Manuel García, Rosa Barriga Il·lustració: Grafitti s.c., José María Valera Cap de projecte: Rosa Marín Coordinació d’il·lustració: Carlos Aguilera Cap de desenvolupament de projecte: Javier Tejeda Desenvolupament gràfic: José Luis García, Raúl de Andrés Direcció tècnica: Ángel García Encinar Coordinació tècnica: Félix Rotella Confecció i muntatge: Luis González, Fernando Calonge, Marisa Valbuena Correcció: Marta Rubio, Gerardo Z. García Documentació i selecció fotogràfica: Nieves Marinas Fotografies: A. Toril; D. López; F. de Madariaga; GOYENECHEA; J. Jaime; J. M.ª Escudero; J. V. Resino; M. G. Vicente; M. Montes; ORONOZ; Prats i Camps; S. Enríquez; A. G. E. FOTOSTOCK; AGENCIA ESTUDIO SAN SIMÓN/A. Prieto; COMSTOCK; EFE/EPA/Justin Lane, Andreu Dalmau; EFE/M. Hernández de León; EFE/EPA PHOTO/Wolfgang Kumm; EFE/SIPA-PRESS/Peter Stumpf; FOAT; I. Preysler; JOHN FOXX IMAGES; PHOTODISC; STOCKBYTE; Airman Joe Hendricks, U. S. Navy; EL MUSEO CANARIO, LAS PALMAS DE GRAN CANARIA; M. Vives; MATTON-BILD; SERIDEC PHOTOIMAGENES CD; ARXIU SANTILLANA
© 2007 by Grup Promotor/Santillana Educación, S. L. Frederic Mompou, 11 (Vila Olímpica) 08005 Barcelona Imprès per
ISBN: 978-84-7918-133-8 CP: 831106 Dipòsit:
Es prohibeix, llevat d’excepció prevista per la llei, qualsevol forma de reproducció, distribució, comunicació pública i transformació d’aquesta obra sense l’autorització dels titulars de la propietat intel·lectual. La infracció dels drets esmentats pot constituir delicte contra la propietat intel·lectual (articles 270 i següents del Codi Penal).
831106 _ 0426-0456.qxd
11/9/07
13:48
Página 456
View more...
Comments
