SOLUCIONARIO MATEMATICAS 2ºESO

917840 _ 0001-0003.qxd

17/3/08

12:34

Página 1

Matematika 2

DBH

Irakaslearentzako baliabideak

ERANTZUNAK

DBHko bigarren mailarako Matematika 2 Erantzunak Zubia / Santillanaren Hezkuntza-argitalpenetarako Sailean eta Enric Juan Redalen eta Joseba Santxo Uriarteren zuzendaritzapean sortu, taxutu eta gauzaturiko talde-lana da. Proiektu honetan egile-talde honek esku hartu du: Ana María Gaztelu Augusto González EDIZIOA Rafael Nevado Carlos Pérez PROIEKTU-ZUZENDARITZA Domingo Sánchez Figueroa Ainhoa Basterretxea Llona

Zubia Santillana

917840 _ 0001-0003.qxd

7/2/08

15:43

Página 2

Aurkezpena Sailaren izenak (Jakintzaren Etxea) planteamendu jakin bati erantzuten dio: ikasleek eguneroko bizitzan moldatzeko beharrezko ezagutzak lortzea helburu duten Matematikako proiektu bat aurkezteko planteamenduari. Irakaskuntzaren derrigorrezko etapan, matematika-jakintzak, errealitatea interpretatzen eta deskribatzen ez ezik, hartan jarduten lagundu behar die ikasleei. Ildo horretan, eta kontuan izanda Matematika, maila hauetan, prozedurazko irakasgai hutsa dela, ikaslearen liburuan egindako ariketa eta problema guztiak ebatzita daude material honetan. Gure helburua ez da ebatzitako ariketak tresna hutsa izatea, proposamen didaktikoa baizik, ikasleei liburuan aurkezten diren kontzeptu eta prozedura guztiak bereganatzen laguntzeko.

3

Zenbaki hamartarrak ZENBAKI HAMARTARRAK

Haizearen norabidean Enkargua amaituta zegoen, eta ontziak haizearen laguntzaz abiadura hartu eta, noraezean, hondartzan aurrera kilometro mordoa egin ahala, bidaiarien aurpegia antzaldatzen ari zen: batzuen aurpegiko kolorea zurbiltzen hasia zen, eta erabat ikaratuta eusten zieten gurdiaren heldulekuei; beste batzuk, aitzitik, musugorritzen ari ziren eta oihu egiten zuten gurdia zeramaten zaldi ikusezinak akuilatu nahiko balituzte bezala. Maurizio Nassaukoa kondea, obraren mezenasa, oso gustura zegoen.

HAMARTAR ZEHATZAK

HAMARTAR EZ-ZEHATZAK ETA EZ-PERIODIKOAK

HAMARTAR PERIODIKOAK

–Stevin jauna, haizearen indarrak mugitzen duen gurdi honek, oihala puztuta daramala, sobera gainditzen du nik emaniko enkargua. Hogeita bost pertsona baino gehiago gara gurdian eta azkarrago goaz zaldiz lauhazka bizian atzetik datozkigunak baino. Simon Stevinek une bat hartu zuen zenbait kopuru idazteko:

PERIODIKO SOILAK

–Kalkuluetan ikus dezakezuen bezala, gurpil txikiagoak erabiliz gero, metro eta hogeita sei zentimetrokoak, handitu egin daiteke abiadura.

PERIODIKO MISTOAK

0 1 2

ZENBAKI HAMARTARREN ERAGIKETAK

126 m

Stevinek 1,26 zenbaki hamartarra idatzi zuen.

BATUKETA

KENKETA

BIDERKETA

ZATIKETA

Zein da zure altuera metrotan? Idatzi Simon Stevinek egingo zukeen bezala.

Esate baterako, ikasle baten garaiera 1,76 m bada, 176 zenbakia eta 1 zenbakiaren gainean barruan 0 duen zirkulua idazten da; 7aren gainean, barruan 1 zenbakia duen zirkulua, eta 6aren gainean, 2 zenbakia duena.

82

ERANTZUNAK

Adierazpen aljebraikoak EGUNEROKOAN 086 GGG

Etxebizitzari eta bizigarritasunari buruz asko eztabaidatu ondoren, etxebizitzaren neurri egokiei buruzko zenbait ondorio atera dira.

087 GGG

Bi logelako etxebizitzetarako, hauek dira gomendioak:

5

SANTILIBURU argitaletxeak zientzia-fikziozko liburuen bilduma atera behar du. Diseinatzaile grafikoek itxura berritzailea eman nahi diote. Gainera, letra-tipoa eta liburuaren formatua aldatzea pentsatu dute: orrialdeen luzera zabalera baino 5 cm handiagoa izango da. Zuzendaritza-taldeak hiru aukera eman dizkie: a) Orrialdeen zabalera 3 cm handitzea. b) Orrialdeen luzera 3 cm handitzea. c) Zabalera eta luzera 3 cm handitzea.

• Harrera-gelaren luzerak zabalera halako hiru izan behar du. • Sukaldearen eta logelen zabalerek harrera-gelaren zabalera halako bi izan behar dute, eta luzerek, harrera-gelaren zabalera halako hiru. • Korridorearen zabalerak sukaldearenaren erdia izan behar du, eta luzerak, harrera-gelaren zabalera halako bost. • Egongelaren zabalerak sukaldearen luzeraren berdina izan behar du, eta luzerak, harrera-gelaren zabalera halako bost. • Komunak karratua izan behar du, eta haren aldeak, sukaldearen zabaleraren berdina.

Orrialde bat inprimatzeko tintaren kostua 0,007 €/cm2 bada, zer alde dago lau proposamenen kostuen artean? Luzera arrunta: y. Azalera arrunta: xy. Zabalera arrunta: x. Azalera, zabalera 5 cm handituta: xy + 5y. Kostuen aldea: 0,035y €. Azalera, zabalera 3 cm handituta: xy + 3y. Kostuen aldea: 0,021y €. Azalera, luzera 3 cm handituta: xy + 3x. Kostuen aldea: 0,021x €. Azalera, zabalera 3 cm eta luzera 3 cm handituta: xy + 3x + 3y. Kostuen aldea: 0,021 ⋅ (x + y) €.

Harrera-gelaren zabalerak ezin badu izan 1,5 m baino txikiagoa, zenbatekoa da ezaugarri horiek dituen etxebizitza baten gutxienezko azalera?

088 GGG

TORA enpresa eraikitzaileak karratu forma duen lur-sail bat erosi eta urbanizazio-proiektu bat egin du, udalari aurkezteko. Hirigintza-arauen arabera, orubearen alde bateko 3 m-ko zabalerako lur-saila udalari eman behar dio.

Harrera-gelaren zabalera: x = 1,5 m → Harrera-gelaren luzera: 3x = 4,5 m. Harrera-gelaren azalera: 1,5 ⋅ 4,5 = 6,75 m2. Sukaldearen eta logelen zabalera: 2x = 3 m. Sukaldearen eta logelen luzera: 3x = 4,5 m. Sukaldearen eta logelen azalera: 3 ⋅ 4,5 = 13,5 m2. 2x = x = 1, 5 m → Korridorearen luzera: 5x = 7,5 m. Korridorearen zabalera: 2 Korridorearen azalera: 1,5 ⋅ 7,5 = 11,25 m2. Egongelaren zabalera: 3x = 4,5 m → Egongelaren luzera: 5x = 7,5 m. Egongelaren azalera: 4,5 ⋅ 7,5 = 33,75 m2. Komunaren zabalera: 2x = 3 m → Komunaren luzera: 2x = 3 m. Komunaren azalera: 3 ⋅ 3 = 9 m2. Azalera osoa = 6,75 + 3 ⋅ 13,5 + 11,25 + 33,75 + 9 = 101,25 m2

152

2

a) Zenbatean txikitu da orubearen azalera? b) Zer gastu da hori, hasieran orubeari esker 422.000 €-ko etekina lortuko zutela uste bazuten? Aldea x dela suposatuko dugu. a) Azalera 3x m2 txikitu da. 422.000 da; x2 422.000 1.266.000 ⋅ 3x = €. x2 x

b) Etekina metro koadroko beraz, gastua hau da:

153

917840 _ 0001-0003.qxd

7/2/08

15:43

Página 3

Aurkibidea 0. unitatea Berrikusketa

4-15

1. unitatea Zenbaki osoak

16-47

2. unitatea Zatikiak

48-81

3. unitatea Zenbaki hamartarrak

82-109

4. unitatea Sistema hirurogeitarra

110-131

5. unitatea Adierazpen aljebraikoak

132-153

6. unitatea Lehen eta bigarren mailako ekuazioak

154-185

7. unitatea Ekuazio-sistemak

186-221

8. unitatea Zenbakizko proportzionaltasuna 222-251 9. unitatea Proportzionaltasun geometrikoa 252-283 10. unitatea Irudi lauak. Azalerak

284-315

11. unitatea Gorputz geometrikoak

316-347

12. unitatea Gorputz geometrikoen bolumenak

348-371

13. unitatea Funtzioak

372-403

14. unitatea Estatistika

404-429

3

917840 _ 0004-0015.qxd

0

7/2/08

16:19

Página 4

Berrikusketa ZENBAKIAK

001

Idatzi hizkuntza matematikoan. a) 12 handiagoa da 7 baino. c) 45 txikiagoa da 46 baino. a) 12 > 7

002

b) 25 handiagoa da 21 baino.

b) 25 > 21

c) 45 < 46

Ordenatu, handienetik txikienera, zenbaki hauek: 356, 3.467, 34.671, 346.710, 346.709, 34.609, 3.469, 349. 346.710 > 346.709 > 34.671 > 34.609 > 3.469 > 3.467 > 356 > 349

003

Idatzi falta diren zenbakiak, eragiketak zuzenak izateko. c) 698 −  = 359 e) 95 ⋅  = 6.270 a) 498 +  = 657 b)  + 1.324 = 6.570 d)  − 489 = 51 f)  ⋅ 39 = 1.638 a) 159 b) 5.246

004

c) 339 d) 540

e) 66 f) 42

Zatiketa batean, zatidura 37 da; zatikizuna, 1.340; eta hondarra, 8. Kalkulatu zatitzailea.

zk = zt ⋅ zd + h → 1.340 = zt ⋅ 37 + 8 → zt = 36 005

Zatiketa batean, zatitzailea 42 da; zatidura, 33; eta hondarra, 71. Zuzen ebatzita al dago zatiketa? Ez dago zuzen ebatzita; izan ere, zatiketa baten hondarrak ezin du zatitzailea baino handiagoa izan.

006

Aitor motoz joaten da lanera. Egunero 18 km egiten ditu goizez eta 12 km arratsaldez. Zenbat kilometro egiten ditu hilabetean? Eta urtebetean?

18 + 12 = 30 denez, Aitorrek 30 km egiten ditu egunero motoz, lanera joateko. Hilabete batek 22 lanegun ditu. Beraz, hilabetean kilometro hauek egiten ditu: 22 ⋅ 30 = 660 km. Urtebetean 11 hilabete egiten da lan. Beraz, urtebetean kilometro hauek egiten ditu: 11 ⋅ 660 = 7.260 km.

4

917840 _ 0004-0015.qxd

7/2/08

16:19

Página 5

ERANTZUNAK

007

Ebatzi eragiketak. a) 1.250 + 350 − 1.256 b) 2.345 − 98 − 127 c) 897 − 456 − 23 a) 344 b) 2.120

008

d) 3.456 − (945 − 654) + 12 e) (234 − 56) + (23 − 18) f) (876 − 345) − (128 − 79) c) 418 d) 3.177

e) 183 f) 482

Kalkulatu. a) 25 + 2 ⋅ (9 − 7) − 4 b) 37 − 4 + 3 ⋅ (8 − 6) c) 2 ⋅ (10 + 5) − 7 a) 25 b) 39

009

0

d) 25 − 7 : (76 − 13) + 3 ⋅ 4 e) 5 ⋅ 7 − 6 ⋅ 4 + 250 : 5 f) 400 − 150 ⋅ 2 + 15 ⋅ 6 − 8 c) 23 d) 478

e) 61 f) 182

Egin eragiketak eta lotu ebazpen bera duten adierazpenak. a) b) c) d) e) f) g) h)

78 + 34 − 12 − 12 ⋅ 4 − 2 ⋅ 6 : 3 78 + (34 − 12) − 12 ⋅ (4 − 2) ⋅ 6 : 3 78 + 34 − (12 − 12) ⋅ 4 − 2 ⋅ (6 : 3) 78 + (34 − 12 − 12) ⋅ 4 − (2 ⋅ 6) : 3 78 + 34 − 12 − 12 ⋅ (4 − 2 ⋅ 6 : 3) (78 + 34 − 12 − 12) ⋅ 4 − 2 ⋅ 6 : 3 78 + 34 − 12 − (12 ⋅ 4 − 2 ⋅ 6) : 3 (78 + 34 − 12 − 12 ⋅ 4 − 2 ⋅ 6) : 3

Eragiketa guztietako zenbakiak eta ikur aritmetikoak berdinak badira, zergatik dituzte emaitza desberdinak? a) 48 b) 52

c) 108 d) 114

e) 100 f) 348

g) 88 h) 100

Emaitza bera duten eragiketa bakarrak e) eta h) ataletakoak dira. Parentesiak erabiltzearen ondorioz sortzen dira emaitza desberdinak, eragiketak egiteko ordena desberdina baita. 010

Hileko lehen egunean, 1.000 € nituen bankuko kontuan. Egun hartan, 345 € sartu nituen. Hurrengo astean, 276 € atera nituen, eta ondoren, 193 € atera, berriro ere. Hileko azken egunean, 315 € sartu nituen. Zenbat diru nuen azkenean?

ILA

I O L

TUA

Z I O L A O A A ABU

1.000 + 345 − 276 − 193 + 315 = 1.191 Azkenean, 1.191 € nituen kontuan.

5

917840 _ 0004-0015.qxd

7/2/08

16:19

Página 6

Berrikusketa 011

Idatzi irudi bakoitzeko margotutako zatia adierazten duen zatikia, esan nola irakurtzen den, eta identifikatu zenbakitzailea eta izendatzailea. a)

c)

b)

d)

a)

012

3 4

b)

e)

1 3

c)

3 10

d)

7 6

e)

2 5

Adierazi zatikiak grafikoki. 5 7 6 7 3 b) c) d) e) 3 4 5 6 7 Nola adierazten da grafikoki zatikiaren zenbakitzailea? Eta izendatzailea? a)

013

a)

c)

b)

d)

Eman bina adibide: a) b) c) d)

11 11 11 11

izendatzailea duten eta bat baino handiagoak diren zatikiak. izendatzailea duten eta bat baino txikiagoak diren zatikiak. zenbakitzailea duten eta bat baino handiagoak diren zatikiak. zenbakitzailea duten eta bat baino txikiagoak diren zatikiak.

a)

014

e)

12 13 eta 11 11

b)

1 2 eta 11 11

c)

11 11 eta 2 3

11 11 eta 12 13

12 arkatzeko kutxa batek 6,60 € balio du. 2 ? 3 b) Esan zenbat balio duten arkatz horiek.

6,60 €

a) Zenbat arkatz dira kutxaren

a) 12ren

6

d)

2 2 = ⋅ 12 = 8 arkatz 3 3

b) 6,60ren

2 2 = ⋅ 6, 60 = 4, 40 € 3 3

917840 _ 0004-0015.qxd

7/2/08

16:19

Página 7

ERANTZUNAK

015

0

Deskonposatu zenbaki hamartarrak eta esan nola irakurtzen diren.

6,478 95,809 0,076 32,003

Zati osoa Hamarrekoak Batekoak 0 6 9 5 0 0 3 2

Hamarrenak 4 8 0 0

Zati hamartarra Ehunenak 7 0 7 0

Milarenak 8 9 6 3

6,478 «sei bateko laurehun eta hirurogeita hamazortzi milaren» irakurtzen da. 95,809 «laurogeita hamabost bateko eta zortziehun eta bederatzi milaren». 0,076 «hirurogeita hamasei milaren» irakurtzen da. 32,003 «hogeita hamabi bateko eta hiru milaren» irakurtzen da.

016

Idatzi zifratan, eta adierazi zein diren zati osoa eta zati hamartarra. a) b) c) d) e) f)

Berrogeita lau bateko eta laurehun eta hamabost milaren. Hirurogeita bi bateko eta hirurogeita hamahiru milaren. Lau bateko eta hogeita bi ehunen. Hamabi bateko eta hiru ehunen. Bost bateko eta bi hamarren. Bost hamarren.

44,415 62,073 4,22 12,03 5,2 0,5

017

Zati osoa Hamarrekoak Batekoak 4 4 6 2 4 1 2 5 0

Hamarrenak 4 0 2 0 2 5

Zati hamartarra Ehunenak 1 7 2 3

Milarenak 5 3

Idatzi zenbaki bakoitza baino bi zenbaki handiago eta bi txikiago. a) 543,005 b) 12,067 a) b) c) d) e) f) g) h)

c) 3,08 d) 2,4

e) 3,004 f) 2,03

g) 3,124 h) 12,7

543,001 < 543,002 < 543,005 < 543,006 < 543,007 12,065 < 12,066 < 12,067 < 12,068 < 12,069 3,06 < 3,07 < 3,08 < 3,09 < 3,1 2,3 < 2,35 < 2,4 < 2,45 < 2,5 3,002 < 3,003 < 3,004 < 3,005 < 3,006 2,01 < 2,02 < 2,03 < 2,04 < 2,05 3,122 < 3,123 < 3,124 < 3,125 < 3,126 12,5 < 12,6 < 12,7 < 12,8 < 12,9

7

917840 _ 0004-0015.qxd

7/2/08

16:19

Página 8

Berrikusketa 018

Idatzi zenbaki hauen arteko bina zenbaki: a) 6,2 eta 6,9 b) 3,12 eta 3,45

c) 4,202 eta 4,212 d) 0,234 eta 0,26

a) 6,2 < 6,3 < 6,4 < 6,9 b) 3,12 < 3,25 < 3,35 < 3,45 019

c) 4,202 < 4,203 < 4,204 < 4,212 d) 0,234 < 0,24 < 0,25 < 0,26

Julek 1 kilo tomate erosi du, 35 zentimoan; 1 kilo madari, 1,22 €-an; eta 1 kilo sagar, 2 € eta 5 zentimoan. 5 €-ko billete bat eman badu, zenbat diru itzuliko diote?

5€

5 − (0,35 + 1,22 + 2,05) = 5 − 3,62 = 1,38 € 020

Adierazi arrazoiek proportzioa osatzen duten ala ez. a)

3 9 eta 8 24

b)

7 21 eta 5 14

c)

12 3 eta 8 2

d)

0, 5 0, 75 eta 3 4, 5

3 9 → Proportzioa osatzen dute. = 8 24 7 21 b) 7 ⋅ 14 = 98 ≠ 105 = 5 ⋅ 21 → → Ez dute proportzioa osatzen. ⫽ 5 14 12 3 c) 12 ⋅ 2 = 24 = 8 ⋅ 3 → → Proportzioa osatzen dute. = 8 2 0, 5 0, 75 d) 0,5 ⋅ 4,5 = 2,25 = 3 ⋅ 0,75 → → Proportzioa osatzen dute. = 3 4, 5

a) 3 ⋅ 24 = 72 = 8 ⋅ 9 →

021

Kalkulatu x, berdintza bakoitza proportzio bat izan dadin. a)

8

3 9 = 8 x

b)

7 x = 5 14

c)

a)

3 9 8⋅9 = = 24 →x = 8 x 3

b)

7 x 7 ⋅ 14 = = 19, 6 →x = 5 14 5

c)

12 3 12 ⋅ 2 = =8 →x = x 2 3

d)

x 0, 75 3 ⋅ 0, 75 = = 0, 5 →x = 3 4, 5 4, 5

12 3 = x 2

d)

x 0, 75 = 3 4, 5

917840 _ 0004-0015.qxd

7/2/08

16:19

Página 9

ERANTZUNAK

022

0

Kalkulatu ehunekoak. a) 520ren % 10 b) 52ren % 70

c) 21en % 42 d) 1.422ren % 22,5

10 = 52 100 70 = 36, 4 b) 52ren % 70 = 52 ⋅ 100 42 = 8, 82 c) 21en % 42 = 21 ⋅ 100 22, 5 = 319, 95 d) 1.422ren % 22,5 = 1.422 ⋅ 100 a) 520ren % 10 = 520 ⋅

023

Auto bat 3 egunez alokatzeak 92 € balio du, eta 5 egunez alokatzeak, 114 €. Ba al dago proportziorik alokairuaren prezioaren eta egun kopuruaren artean? Alokairuaren prezioak eta egun kopuruak ez dute 3 ⋅ 114 = 342⎪⎫ ⎬→ 5 ⋅ 92 = 460⎪⎪⎭ proportzioa osatzen.

024

Zer prezio du 285 orrialdeko eleberri baten itzulpenak, lehen 30 orrialdeak 175 € ordaindu badira? Proportzio horri eutsiko zaiola suposatuko dugu: 30 285 175 ⋅ 285 = → x = = 1.662, 5 175 x 30 Eleberriaren itzulpenak 1.662,50 € balio du.

025

Gozogile batek 40 minutuan egiten du tarta bat. Zenbat denbora behar du bi tarte egiteko?

40 min

Proportzio horri eutsiz gero, denbora bikoitza behar du: 40 ⋅ 2 = 80 min = 1 h 20 min. 026

Ikasgelako 25 ikasleen % 60 txango batera joan dira. Zenbat ikasle ez dira joan txangora? 25en % 60 = 25 ⋅

60 = 15 ikasle joan dira txangora. 100

Beraz, 25 − 15 = 10 ikasle ez dira joan txangora.

9

917840 _ 0004-0015.qxd

17/3/08

15:50

Página 10

Berrikusketa 027

Osatu. a) 56,3 hm = … m b) 1,8 dam = … dm c) 127 cm = … dam

d) 1.234 mm = … dm e) 987,5 dm = … hm f) 0,76 m = … mm

a) 56,3 hm = 5.630 m b) 1,8 dam = 180 dm c) 127 cm = 0,127 dam 028

Kalkulatu. a) 3,6 dam2 = … m2 b) 5,1 km2 = … hm2 c) 8,3 m2 = … dm2

d) 1.500 mm2 = … dm2 e) 4,67 dm2 = … cm2 f) 578,9 hm2 = … km2

a) 3,6 dam2 = 360 m2 b) 5,1 km2 = 510 hm2 c) 8,3 m2 = 830 dm2 029

d) 1.234 mm = 12,34 dm e) 987,5 dm = 0,9875 hm f) 0,76 m = 760 mm

d) 1.500 mm2 = 0,15 dm2 e) 4,67 dm2 = 467 cm2 f) 578,9 hm2 = 5,789 km2

Kamioi batek 20 hl 34 ¬ esne daramatza. Prezioa 0,92 €/¬ bada, zenbatekoa da esne guztiaren prezioa? 20 hl 34 ¬ = 2.000 + 34 = 2.034 ¬ Prezioa: 2.034 ⋅ 0,92 = 1.871,28 €.

030

Txahal baten atal batek 43,24 kg-ko pisua du. 4 zati berdinetan banatu badugu, zer pisu du zati bakoitzak? Zati bakoitzaren pisua: 43,24 : 4 = 10,81 kg.

031

3 hektareako lur-sail bat hartu dugu oinordetzan. Zenbat metro koadro egokituko zaizkigu bakoitzari, 5 oinordeko bagara? 3 : 5 = 0,6 denez, oinordeko bakoitzari 0,6 ha = 6.000 m2 egokituko zaizkigu.

GEOMETRIA 032

Kalkulatu  A,  B,  C eta  D angeluen anplitudea.  A = B eta  A + B = 180° →  A = B = 90°  B

 A  C

 A = 90°

10

 D

 B = 90°

 C+ D = 180° →  D = 15°  C = 180° −  D = 180° − 15° = 165° → →  C = 165°  C = 165°

 D = 15°

917840 _ 0004-0015.qxd

17/3/08

15:50

Página 11

ERANTZUNAK

033

0

Marraztu. a) Angelu kamuts bat, 80°-koa baino handiagoa. b) Angelu kamuts bat, 100°-koa baino txikiagoa. c) Angelu zorrotz bat, 100°-koa baino txikiagoa. a)

b) 135°

034

c) 95°

Marraztu koadernoan bi zuzen, r eta s, irudikoen moduan elkar ebakitzen dutenak. Neurtu osatzen dituzten lau angeluak, garraiagailua erabiliz.

45°

s

r

a) Zenbat da angeluen batura? b) Ba al dago angelu berdinik? c) Beti emaitza hori lortzen al da? Angelu kamutsak 141°-koak dira, eta zorrotzak, 39°-koak. a) Lau angeluen batura 360° da. b) Angelu kamutsak berdinak dira eta angelu zorrotzak ere bai. c) Bai, erpinez aurkako angeluak berdinak direlako. 035

Adieraz al daitezke irudi hauek poligonoen bidez? a)

c)

b)

d)

e)

a) Irudi lau bat dela onartzen badugu, triangelu baten bidez adieraz daiteke. b) Aurpegiak poligonoak dira (triangeluak eta laukizuzenak), baina gorputza denez ezin da poligono baten bidez adierazi. c) Gaztaren azalaren zatia kurbatua da, eta, beraz, ezin da poligono baten bidez adierazi. d) Irudi lau bat dela onartzen badugu, txokolate-tableta laukizuzen baten bidez adieraz daiteke, bai eta txokolate-ontzak ere. e) Karta ezin da poligono baten bidez adierazi, izkinak borobilduta dituelako.

11

917840 _ 0004-0015.qxd

17/3/08

15:50

Página 12

Berrikusketa 036

Poligono batean: a) Egon al daiteke erpin gehiago alde baino? b) Eta alde gehiago angelu baino? a) Ez, poligono baten erpin eta alde kopurua bera delako. b) Ez, angelu eta erpin kopurua bera delako, eta beraz, alde kopurua ere bera da.

037

Egin zirkunferentzia bat konpasa erabiliz. Ondoren marraztu korda bat eta zehazten dituen bi arkuak. B A

038

Zirkunferentzian, adierazi zer zuzenki diren kordak, erradioak eta diametroak. Kordak: AC, AD, CE eta DE. Erradioak: OA, OB, OC, OD eta OE. Diametroak: AD eta CE.

E

O C A

039

B

Idatzi poligonoen izenak. a)

b)

a) Eneagonoa 040

D

b) Endekagonoa

Sailkatu laukiak. a)

d) c)

b)

a) Trapezoidea b) Karratua

12

e)

c) Trapezio eskalenoa d) Laukizuzena

e) Erronboidea

917840 _ 0004-0015.qxd

17/3/08

15:50

Página 13

ERANTZUNAK

041

0

Marraztu laukizuzen bat koadernoan. Elkartu aldeen erdiko puntuak. a) Zer paralelogramo lortu duzu? b) Elkartu lortutako paralelogramoaren erdiko puntuak. Egin hori zenbait aldiz. Nolakoak dira lortutako paralelogramo berriak?

a) Erronbo bat lortzen da. b) Laukizuzen bat lortzen da.

042

Erantzun galderei. a) b) c) d)

Ba al dago hiru angeluak 90° baino handiagoak dituen triangelu kamutsik? Eta bi angelu 90° baino handiago dituenik? Ba al dago aldi berean isoszelea eta angeluzuzena den triangelurik? Ba al dago aldi berean aldeberdina eta angeluzuzena den triangelurik? a) Ez, batura 180° baino handiagoa izango litzatekeelako, triangelu baten hiru angeluen batura baino handiagoa, alegia. b) Ez, arrazoi beragatik. c) Bai, angelu bat 90°-koa da, eta bi angelu berdinak, 45°-koak. Triangelu hori angeluzuzena da, 90°-ko angelu bat duelako, eta isoszelea, bi angelu berdin dituelako. d) Ez, triangelu aldeberdinen angeluak 60°-koak direlako.

043

Beheko multzoen artean, adierazi zein diren triangelu baten aldeen luzerak. a) 3 cm, 4 cm eta 5 cm b) 1 cm, 2 cm eta 3 cm

c) 5 cm, 15 cm eta 30 cm d) 15 cm, 8 cm eta 20 cm

a) Triangelu baten aldeak dira. b) Ez dira triangelu baten aldeak, alde handiena beste bien baturaren berdina delako: 1 + 2 = 3. c) Ez dira triangelu baten aldeak, alde handiena beste bien batura baino handiagoa delako: 30 > 15 + 5. d) Triangelu baten aldeak dira.

044

ABC triangeluan,  A angelua 105°-koa da. Zenbatekoa da  B eta  C angeluen batura?  A = 105° bada, beste bi angeluen batura 75° izango da, 180 − 105 = 75 delako.

13

917840 _ 0004-0015.qxd

17/3/08

15:50

Página 14

Berrikusketa 045

Bi triangeluk hiru aldeak eta bi angelu berdinak dituzte. Esan al daiteke berdinak direla? Bai, berdinak dira. Izan ere, hiru aldeek triangelua mugatzen dute.

046

C

Zenbatekoak dira triangelu aldeberdin baten angeluak? b

a

Triangelu aldeberdinetan, angelu bakoitza 60°-koa da. A

047

Triangelu isoszele baten alde desberdina 50°-koa da. Zenbatekoak dira angelu berdinak? 180 − 50 = 130 →

048

B

c

130 = 65. Angelu berdin bakoitza 65°-koa da. 2

Zenbatekoak dira triangelu angeluzuzen isoszele baten angelu berdinak? 180 − 90 = 90 →

90 = 45. Angelu berdin bakoitza 45°-koa da. 2

FUNTZIOAK 049

Adierazi puntu hauek planoan:

Y

A

4

A (2, 5) B (−3, −4) C (4, −4) D (0, −2)

2 −5

−3

3

−4

B

050

−1 1 −2 D

C

A (3, 4), B (0, 5), C (−3, 4), D (−2, −3) eta E (2, −3) puntuak emanda: Y a) Adierazi B a) koordenatu-ardatzetan. A C 4 2

b) Elkartu puntuak alfabetikoki, eta gero, E eta A. Zer irudi lortu duzu? b) Puntuak elkartuz, pentagono bat lortzen da.

14

−5

−3

−1 −2

D

1

3

E −4

5

5

X

X

917840 _ 0004-0015.qxd

17/3/08

15:50

Página 15

ERANTZUNAK

051

Zer koordenatu dituzte irudiko hegazkina osatzeko falta diren puntuek?

A (−5, −2) B (−4, −1) C (−1, −1) D (−2, −2)

052

4

0

Y

2

E (−1, −3) F (1, −1) G (3, −1)

−4 B

A

−2 C D −2

X

2

F

G

E

Adierazi irudiko puntuen koordenatuak. Adierazi zertan datozen bat puntu pare hauek: a) A eta D b) B eta E c) E eta D

d) B eta F

Y A

F 4

D

2

B

G −4

H

A (3, 6) B (6, 1) C (4, −3) D (1, 3) a) b) c) d)

−2 −2 −4

E

2

X

4

C

E (0, −1) F (−4, 5) G (−5, 0) H (−5, −4)

Puntuen koordenatuak positiboak dira. Ez datoz bat. Ez datoz bat. Bi puntuetan, bigarren koordenatua positiboa da. Horrek esan nahi du puntuak abzisa-ardatzetik gora daudela.

15

917840 _ 0016-0047.qxd

1

17/3/08

15:23

Página 16

Zenbaki osoak ZENBAKI OSOAK

ERAGIKETAK

BATUKETA

KENKETA

BIDERKETA

ZATIKETA

ZATIGARRITASUNA ZATIGARRITASUN IRIZPIDEAK

MULTIPLOAK ETA ZATITZAILEAK

MULTIPLO KOMUNETAN TXIKIENA

16

ZATITZAILE KOMUNETAN HANDIENA

917840 _ 0016-0047.qxd

8/2/08

12:20

Página 17

Zerogarren urtea Monje txikia korrika zihoan Aita Santuaren jauregiko korridoreetan barrena, aurpegiko poztasun-zantzuak ezkutatu ezinik. Aita Santua zegoen aretora heldu zenean, belauniko jarri, haren eraztunari muin egin eta honela esan zion itxurazko apaltasunez: –Aurkitu dut, berorren santutasun: Salbazioaren urtea, gure Jaungoikoa mundura sortu zenekoa. Aita Santuak irrika irakurri zuen Dionisio txikiak emandako agiria; Kristo Erroma eraiki ondoko 753. urtean jaio zela zioena. Bien bitartean, monjeak honela zioen: –Erroma eraiki ondoko 754. urtea gure lehen urtea da: primus anno Domini, Jainkoaren Aroaren lehen urtea. Baina bi pertsonaia horiek ez ziren ohartu urteak ordinalean zenbatuz gero —lehen urtea, bigarren urtea, hirugarren urtea...—, ezabatu egiten zela zerogarren urtea. Gertakari horrek eztabaida handia eragin zuen orain dela urte batzuk; izan ere, zenbaitek XXI. mendea 2000ko urtarrilaren 1ean hasten zela uste bazuen ere, argi dago 2001eko urtarrilaren 1ean hasi zela. Jesu Kristo Cesar Augustoren agintaldian jaio zen. Cesar Augusto K.a. 63. urtean jaio eta K.o. 14. urtean hil bazen, zenbat urterekin hil zen?

Adina kalkulatzeko, hil zen urtea ken jaio zen urtea egin behar da: 14 – (–63) = 14 + 63 = 77 Eta kopuru horri urte bat kendu behar zaio. Izan ere, ez dago zerogarren urterik eta zenbatzean aintzat hartu dugu: 77 – 1 = 76 Cesar Augusto 76 urterekin hil zen.

917840 _ 0016-0047.qxd

8/2/08

12:20

Página 18

Zenbaki osoak ARIKETAK 001

Adierazi zenbaki osoen bidez. a) Hegazkina hiru mila metroko altueran doa. b) Hiru gradu daude zero azpitik. c) Bost euro zor dizkiot anaiari. a) +3.000 m b) −3 °C c) −5 €

002

003

Lortu zenbaki bakoitzaren balio absolutua: −4, +5, −13, +27, −1, +18 ⏐−4⏐ = 4

⏐+27⏐ = 27

⏐+5⏐ = 5

⏐−1⏐ = 1

⏐−13⏐ = 13

⏐+18⏐ = 18

Idatzi zenbaki hauek erabili beharko liratekeen egoerak. a) +57 €

b) −100 m

c) −6 °C

d) +2

a) Taladroaren prezioa berrogeita hamazazpi eurokoa da. b) Txibia ehun metroko sakoneran bizi da. c) Urtarrileko tenperatura minimoa zero azpiko sei gradukoa izan zen. d) Bi neba-arreba gara. 004

a zenbaki oso baten balio absolutua 7 da. Zer zenbakirena? ⏐a⏐ = 7 bada, a = +7 edo a = −7 da.

005

Idatzi zenbaki bakoitzaren aurkakoa. a) −8

006

18

b) +54

c) +3

d) −5

a) +8

c) −3

b) −54

d) +5

Osatu hutsune hauek. Horretarako, idatzi bietako bat: < edo > . a) −2  −5

c) −1  +2

b) −7  0

d) −3  −4

a) −2 > −5

c) −1 < +2

b) −7 < 0

d) −3 > −4

917840 _ 0016-0047.qxd

8/2/08

12:20

Página 19

ERANTZUNAK

007

Egiaztatu grafikoki desberdintza hauek betetzen direla. a) −4 < +9

b) +8 > −5

c) −8 < −4

a)

d) −4 > −9

c) −4

+0

+9

b)

−8

−4

+0

d) −5

008

1

+0

+8

−9

−4

+0

a < −3 bada, izan al daiteke a < 0? a < −3 denez eta −3 < 0, a < 0 izango da.

009

Kalkulatu ikasitako bi metodoen bidez. a) b) c) d) e) f)

−11 + 8 − 6 − 7 + 9 3 − 8 + 12 − 15 − 1 + 10 − 4 15 − 14 + 9 − 21 − 13 + 6 −(4 − 9 + 3) + (11 − 8 − 7) + (−15) (+3) − (4 + 7 − 9) − (−19 + 3 − 10) + (−2) −8 − 3 − (4 − 6) − (9 + 3) − 5 a) −11 + 8 − 6 − 7 + 9 = −3 − 6 − 7 + 9 = −9 − 7 + 9 = −16 + 9 = −7 −11 + 8 − 6 − 7 + 9 = (8 + 9) − (11 + 6 + 7) = 17 − 24 = −7 b) 3 − 8 + 12 − 15 − 1 + 10 − 4 = −5 + 12 − 15 − 1 + 10 − 4 = = 7 − 15 − 1 + 10 − 4 = −8 − 1 + 10 − 4 = −9 + 10 − 4 = 1 − 4 = −3 3 − 8 + 12 − 15 − 1 + 10 − 4 = (3 + 12 + 10) − (8 + 15 + 1 + 4) = = 25 − 28 = −3 c) 15 − 14 + 9 − 21 − 13 + 6 = 1 + 9 − 21 − 13 + 6 = 10 − 21 − 13 + 6 = = −11 − 13 + 6 = −24 + 4 = −18 15 − 14 + 9 − 21 − 13 + 6 = (15 + 9 + 6) − (14 + 21 + 13) = = 30 − 48 = −18 d) −4 + 9 − 3 + 11 − 8 − 7 − 15 = 5 − 3 + 11 − 8 − 7 − 15 = = 2 + 11 − 8 − 7 − 15 = 13 − 8 − 7 − 15 = 5 − 7 − 15 = −2 − 15 = −17 −4 + 9 − 3 + 11 − 8 − 7 − 15 = (9 + 11) − (4 + 3 + 8 + 7 + 15) = = 20 − 37 = −17 e) 3 − 4 − 7 + 9 + 19 − 3 + 10 − 2 = −1 − 7 + 9 + 19 − 3 + 10 − 2 = = −8 + 9 + 19 − 3 + 10 − 2 = 1 + 19 − 3 + 10 − 2 = = 20 − 3 + 10 − 2 = 17 + 10 − 2 = 27 − 2 = 25 3 − 4 − 7 + 9 + 19 − 3 + 10 − 2 = (3 + 9 + 19 + 10) − − (4 + 7 + 3 + 2) = 41 − 16 = 25 f) −8 − 3 − 4 + 6 − 9 − 3 − 5 = −11 − 4 + 6 − 9 − 3 − 5 = = −15 + 6 − 9 − 3 − 5 = −9 − 9 − 3 − 5 = −18 − 3 − 5 = −21 − 5 = −26 −8 − 3 − 4 + 6 − 9 − 3 − 5 = 6 − (8 + 3 + 4 + 9 + 3 + 5) = = 6 − 32 = −26

19

917840 _ 0016-0047.qxd

8/2/08

12:20

Página 20

Zenbaki osoak 010

Kattalinek 250 € zituen banketxean. Hara joan, eta 485 €-ko ordainagiri bat ordaindu eta 900 € kobratu ditu. Zenbat diru du orain? 250 − 485 + 900 = −235 + 900 = 665 €

011

Lortu a-ren balioa. 4 − (a + 2) − 3 = −1 4 − a − 2 − 3 = −1 → −1 − a = −1 → a = 0

012

Egin biderketa hauek. a) (−3) ⋅ (+2) b) (−2) ⋅ (−8) c) (+7) ⋅ (−4) a) −6 b) 16 c) −28

013

014

a) (−12) : (+6) b) (−6) : (−2) c) (+28) : (−4)

d) (+21) : (+7) e) (+24) : (−4) f) (−42) : (−7)

a) −2 b) 3 c) −7

d) 3 e) −6 f) 6

Egin eragiketa hauek.

a) 48 b) 96 c) −24

d) (+20) : (+2) : (−5) e) (−32) : (−4) : (−8) f) (−80) : (−20) : (−4) d) −2 e) −1 f) −1

Bete hutsuneak. a) () : 4 = −10

c) (−100) : () = −25

b) 40 : () = −8

d) () : (−12) = 6

a) (−40) : 4 = −10 b) 40 : (−5) = −8

20

d) 14 e) −20 f) 35

Egin zatiketa hauek.

a) (−4) ⋅ (+2) ⋅ (−6) b) (+8) ⋅ (−3) ⋅ (−4) c) (−2) ⋅ (−3) ⋅ (−4)

015

d) (+2) ⋅ (+7) e) (+5) ⋅ (−4) f) (−5) ⋅ (−7)

c) (−100) : 4 = −25 d) (−72) : (−12) = 6

917840 _ 0016-0047.qxd

8/2/08

12:20

Página 21

ERANTZUNAK

016

Idatzi nola irakurtzen den berreketa hauetako bakoitza eta kalkulatu balioa. a) 35 b) 22 a) b) c) d)

017

c) (−8)6 d) (−5)3

e) 103 f) 42

3 ber 5 hau da: 243. 2ren berbidura 4 da. −8 ber 6 hau da: 262.144. −5en kuboa −125 da.

e) f) g) h)

10en kuboa 1.000 da. 4ren berbidura 16 da. −4ren berbidura 16 da. −2ren kuboa −8 da.

c) (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2) d) (−5) ⋅ (−5)

a) 63 = 216 b) 25 = 64

c) (−2)3 = −8 d) (−5)2 = 25

Lortu berreketa bakoitzaren berretzailea. a) 3 = 27 b) (−3) = −27

c) 4 = 64 d) (−2) = 16

a) 33 = 27 b) (−3)3 = −27 019

g) (−4)2 h) (−2)3

Adierazi berreketa gisa eta kalkulatu balioa. a) 6 ⋅ 6 ⋅ 6 b) 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2

018

1

c) 43 = 64 d) (−2)4 = 16

Lortu ber 4 eginez gero balio bera duten bi zenbaki. Zenbat zenbakik betetzen dute baldintza hori? Esate baterako, 24 = 16 = (−2)4. Edozein zenbaki eta haren aurkakoa ber lau eginda, zenbaki bera lortzen da.

020

Idatzi zenbaki hauek 10eko berreketen bidez. a) 20.000 b) 493.000

c) 493.000.000 d) 315.000.000.000

a) 2 ⋅ 104 b) 493 ⋅ 103 021

Egin berreketen eragiketa hauek. a) 34 ⋅ 35 a) 39

022

c) 493 ⋅ 106 d) 315 ⋅ 109

b) 67 : 64 b) 63

c) (−3)6 ⋅ (−3)7 c) (−3)13

d) (−6)8 : (−6)4 d) (−6)4

Ebatzi batuketak. a) 3 ⋅ 103 + 4 ⋅ 102 + 1 ⋅ 10 + 2 a) 3.412

b) 2 ⋅ 106 + 5 ⋅ 104 + 7 ⋅ 10 b) 2.050.070

21

917840 _ 0016-0047.qxd

8/2/08

12:20

Página 22

Zenbaki osoak 023

Ipini eragiketa bakoitzean falta den berretzailea. a) 46 ⋅ 4 = 49 a) 46 ⋅ 43 = 49

024

a) 724 b) (−2)12 c) 1

a) 33 ⋅ 23 b) 84 : 44 c) (−3)3 ⋅ 23

a) 163 b) 43

1 4 a) Zuzena

c) [(−3) ⋅ 2]3 d) [(−8) : 4]4

e) [(−3) ⋅ (−2)]3 f) [(−8) : (−4)]4

d) (−8)4 : 44 e) (−3)3 ⋅ (−2)3 f) (−8)4 : (−4)4

c) (−12)5 ⋅ 45 d) (−12)5 : 45 c) (−48)5 d) (−3)5

e) (−14)8 ⋅ (−7)8 f) (−14)8 : (−7)8 e) 988 f) 28

b) (−2 : 7)3 > 1 b) Okerra

Lortu zenbaki bakoitzaren erro koadroa. a) 169 b) 400 a) 13 b) 20

029

d) 1 e) −4 f) 23

Ebatzi gabe, esan desberdintzak zuzenak diren. a) (1 : 2)3 <

028

e) (−4)1 f) 231

Adierazi berreketa bakar banaren bidez. a) 83 ⋅ 23 b) 83 : 23

027

c) 40 d) (−2)0

Adierazi eragiketa bakoitza berreketen biderketa edo zatiketa gisa. a) (3 ⋅ 2)3 b) (8 : 4)4

026

b) (−7)6 : (−7)3 = (−7)3

Egin berreketa hauek. a) (74)6 b) ((−2)3)4

025

b) (−7) : (−7)3 = (−7)3

c) 196 d) 900 c) 14 d) 30

e) 225 f) 1.600 e) 15 f) 40

Lortu erro koadro osoa eta hondarra. a) 45

b) 87

c) 115

a) Erroa: 6, hondarra: 9. b) Erroa: 9, hondarra: 6. c) Erroa: 10, hondarra: 15.

22

917840 _ 0016-0047.qxd

8/2/08

12:20

Página 23

ERANTZUNAK

030

1

Zenbaki baten erro koadro osoa 6 da, eta haren hondarra, 2. Lortu zenbaki hori. 6 ⋅ 6 + 2 = 36 + 2 = 38

031

Zer balio izan dezake gehienez ere erro koadro oso baten hondarrak? Hondarra erro koadro osoaren bikoitza izango da, gehienez.

032

Kalkulatu. a) (+4) ⋅ (−7) + (−3) ⋅ (−2) b) (+16) : (−8) + (−24) : (−6)

c) (−4) ⋅ (−5) − (+3) ⋅ (−2) d) (−12) : (−3) − (+4) : (−2)

a) −28 + 6 = −22 b) −2 + 4 = 2 033

c) 20 − (−6) = 26 d) 4 − (−2) = 6

Egin eragiketa hauek. a) (+7) − (−12) ⋅ (+5) b) (−5) − [(−6) − (−5) ⋅ (−9)]

c) ( 64 − 16 ) : (2 ⋅ (−2)) d) ( 81 − 4) ⋅ 25 − 1

a) (+7) − (−12) ⋅ (+5) = 7 + 60 = 67 b) (−5) − [(−6) − (−5) ⋅ (−9)] = −5 − [−6 − 45] = −5 − (−51) = = −5 + 51 = 46 c) ( 64 − 16 ) : (2 ⋅ (−2)) = (8 − 4) : (−4) = 4 : (−4) = −1 d) ( 81 − 4) ⋅ 25 − 1 = (9 − 4) ⋅ 25 − 1 = 5 ⋅ 25 − 1 = = 5 ⋅ 5 − 1 = 25 − 1 = 24 034

Egin eragiketa hauek. a) (+45) : [(−7) + (+2)] b) (+2) ⋅ [(−63) : (−7)] c) (−25) : [(+3) − (+8)]

d) (−8) ⋅ [(+21) : (−3)] e) (−7) − [(−14) : (+2) − (−7)]

a) (+45) : [(−7) + (+2)] = 45 : [−7 + 2] = 45 : (−5) = −9 b) (+2) ⋅ [(−63) : (−7)] = 2 ⋅ 9 = 18 c) (−25) : [(+3) − (+8)] = −25 : (−5) = 25 : 5 = 5 d) (−8) ⋅ [(+21) : (−3)] = −8 ⋅ (−7) = 56 e) (−7) − [(−14) : (+2) − (−7)] = −7 − (−7 + 7) = −7 035

Kalkulatu. a) (+50) − (−4)2 + (−3)3

b) − 64 − (−5)2 − (−12)

a) (+50) − (−4)2 + (−3)3 = 50 − (+16) + (−27) = 50 − 16 − 27 = = 50 − 43 = 7 b) − 64 − (−5)2 − (−12) = −8 − (+25) + 12 = −8 − 25 + 12 = = −33 + 12 = −21

23

917840 _ 0016-0047.qxd

8/2/08

12:20

Página 24

Zenbaki osoak 036

Kalkulatu zenbaki bakoitzaren hamar multiplo eta zatitzaile guztiak. a) −8

b) −7

d) −10

c) 4

Zenbat multiplo ditu zenbaki oso batek? •

a) (−8) = {0, ±8, ±16, ±24, ±32, ±40} Zt (−8) = {±1, ±2, ±4, ±8} •

b) (−7) = {0, ±7, ±14, ±21, ±28, ±35} Zt (−7) = {±1, ±7} •

c) 4 = {0, ±4, ±8, ±12, ±6, ±20} Zt (4) = {±1, ±2, ±4} •

d) (−10) = {0, ±10, ±20, ±30, ±40, ±50} Zt (−10) = {±1, ±2, ±5, ±10} Zenbaki oso batek infinitu multiplo ditu. 037

Zenbaki hauetako zein dira lehenak? Zergatik? 4, −5, 9, 11, −14, 17, −21 −5 lehena da, soilik bi zatitzaile dituelako: {±1, ±5}. 11 lehena da, soilik bi zatitzaile dituelako: {±1, ±11}. 17 lehena da, soilik bi zatitzaile dituelako: {±1, ±17}.

038

Osatu. Zt (−18) = {±1,

, , ±6, , ±18} Zt (45) = {±1, , , , , ±45}

Zt (−18) = {±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18} Zt (45) = {±1, ±3, ±5, ±9, ±15, ±45} 039

Lortu zenbaki bakoitzaren zatitzaileak. a) −28 a) b) c) d)

040

a) b) c) d)

Zt (−28) = {±1, ±2, ±4, ±7, ±14, ±28} Zt (−36) = {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18, ±36} Zt (100) = {±1, ±2, ±4, ±5, ±10, ±20, ±25, ±50, ±100} Zt (−23) = {±1, ±23}

b) 3.467

c) 12.624

d) −212

145 5ez zatigarria da. 3.467 ez da zenbaki horietako bakar batez ere zatigarria. 12.624 2z eta 3z zatigarria da. −212 2z eta 11z zatigarria da.

Deskonposatu zenbaki lehenetan. a) 210

b) −210

a) 210 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 b) −210 = (−1) ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7

24

d) −23

c) 100

Aztertu 2, 3, 5, 10 eta 11z zatigarriak diren ala ez. a) 145

041

b) −36

c) −66

d) 92 c) −66 = (−1) ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 11 d) 92 = 22 ⋅ 23

917840 _ 0016-0047.qxd

8/2/08

12:20

Página 25

ERANTZUNAK

042

1

Idatzi biderkaduratzat 30 duten balio pare guztiak. 1 eta 30, 2 eta 15, 3 eta 10, 5 eta 6; −1 eta −30, −2 eta −15, −3 eta −10, −5 eta −6

043

Kalkulatu a, 3a 6 zenbakia 11ren multiploa izateko.

a=3+6=9 044

045

Deskonposatu zenbaki hauek biderkagai lehenetan, eta kalkulatu zatitzaile komunetan handiena eta multiplo komunetan txikiena. a) 18 eta 20

d) 18 eta 32

b) 28 eta 42

e) 48 eta 32

c) 18 eta 4

f) −21 eta 28

a) 18 = 2 ⋅ 32 20 = 22 ⋅ 5 z.k.h. (18, 20) = 2 m.k.t. (18, 20) = 180

d) 18 = 2 ⋅ 32 32 = 25 z.k.h. (18, 32) = 2 m.k.t. (18, 32) = 288

b) 28 = 22 ⋅ 7 42 = 2 ⋅ 3 ⋅ 7 z.k.h. (28, 42) = 14 m.k.t. (28, 42) = 84

e) 48 = 24 ⋅ 3 32 = 25 z.k.h. (48, 32) = 16 m.k.t. (48, 32) = 96

c) 18 = 2 ⋅ 32 4 = 22 z.k.h. (18, 4) = 2 m.k.t. (18, 4) = 36

f) −21 = (−1) ⋅ 3 ⋅ 7 28 = 22 ⋅ 7 z.k.h. (−21, 28) = 7 m.k.t. (−21, 28) = 84

Lortu zenbaki hauen z.k.h. eta m.k.t. a) 10, 12 eta 35 a) 10 = 2 ⋅ 5 12 = 22 ⋅ 3 35 = 5 ⋅ 7 b) 15 = 3 ⋅ 5 20 = 22 ⋅ 5 27 = 33

046

b) 15, 20 eta 27

冧 冧

z.k.h. (10, 12, 35) = 1 m.k.t. (10, 12, 35) = 22 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 420 z.k.h. (15, 20, 27) = 1 m.k.t. (15, 20, 27) = 22 ⋅ 33 ⋅ 5 = 540

Kalkulatu x, kontuan hartuta m.k.t. (x, 8) = 40 dela. Balio bakarra al dagokio x-ri? Ez, x 5, 10, 20 edo 40 izan daiteke.

25

917840 _ 0016-0047.qxd

8/2/08

12:20

Página 26

Zenbaki osoak ARIKETAK 047 ●

Adierazi zenbaki oso baten bidez. a) Egoitzek 6.000 € irabazi zituen loterian. b) Termometroak zero azpiko 7 °C adierazten du. c) Marta laugarren solairuan bizi da. d) Denda bigarren sotoan dago.

048

a) +6.000

c) +4

b) −7

d) −2

Osatu zenbakizko zuzen hau.

● −4

049

−3

−2

−1

2

1

Adierazi zenbaki hauek zenbakizko zuzen batean:

●

−5, 7, −9, 0, −3, 2

−9

050

0

−5

−3

−0

−2

−7

Zenbat zenbaki oso daude −4 eta 4 artean?

● −4

−0

−4

7 zenbaki oso daude.

051 ●

052 ●

Osatu < edo > ikurra erabiliz.

 −12 b) 3  −2 a) −9

a) −9 > −12

c) −1 > −4

b) 3 > −2

d) −7 < −5

Idatzi aurreko eta ondorengo zenbakia. a) b)

26

 −4 d) −7  −5 c) −1

 4 5 8 10

Zer balio du a-k

2 2 2 2 > > > 2 4 5 8

b)

0,25 > 0,2 > 0,125 > 0,1 015

2

1 > 0,5 > 0,4 > 0,25

a 4 zatikia baino handiagoa bada? 5 5

a 4 > → a > 4, izendatzaileak berdinak direlako. 5 5 016

Kalkulatu eta, ahal bada, sinplifikatu emaitza. 4 1 + 3 3 3 1 1 + − b) 2 5 10 a) 2 +

3 7 1 − − 4 2 3 4 2 1 + − d) 7 4 2 c)

9 1 + −1 5 7 7 8 9 − + f) 5 3 10 e)

4 1 6+ 4+1 11 + = = 3 3 3 3 1 1 15 + 2 − 1 16 8 + − = = = 5 10 10 10 5 7 1 9 − 42 − 4 −37 37 − − = = =− 2 3 12 12 12 2 1 16 + 14 − 14 16 4 + − = = = 4 2 28 28 7 1 63 − 5 − 35 23 + −1 = = 7 35 35 8 9 42 − 80 + 27 −11 11 − + = = =− 3 10 30 30 30

a) 2 + b) c) d) e) f)

3 2 3 4 4 7 9 5 7 5

53

917840 _ 0048-0081.qxd

8/2/08

12:22

Página 54

Zatikiak 017

018

Kalkulatu. ⎛ 5 ⎞ 2 7 + + ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ a) ⎝ 12 ⎠ 15 18

b)

⎛ 5 ⎞ 2 7 + − ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⎝ 12 ⎠ 15 18

a)

⎛ 5 ⎞ 2 7 2 7 5 24 + 70 − 75 19 + + ⎜⎜− ⎟⎟⎟ = + − = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 15 18 12 15 18 12 180 180

b)

⎛ 5 ⎞ 2 7 2 7 5 24 + 70 + 75 169 + − ⎜⎜− ⎟⎟⎟ = + + = = 15 18 ⎜⎝ 12 ⎟⎠ 15 18 12 180 180

Kalkulatu a-ren balioa. a 1 45 + 3− = 7 2 14 a 1 45 2a + 42 − 7 45 +3− = → = → 2a + 42 − 7 = 45 → a = 5 7 2 14 14 14

Egin eragiketa hauek. 3 2 1 ⋅ ⋅ a) 5 5 6 a)

b)

4 5 9 ⋅ ⋅ 7 6 5

3 2 1 3⋅ 2⋅1 6 1 ⋅ ⋅ = = = 5 5 6 5⋅5⋅6 150 25 F

019

(: 6)

F

4 5 9 4⋅5⋅9 180 6 ⋅ ⋅ = = = b) 7 6 5 7⋅6⋅5 210 7 (: 30)

020

Kalkulatu. a) 60ren a)

021

2 3

b) 90en

2 2 ⋅ 60 120 ⋅ 60 = = = 40 3 3 3

Herri bateko uraren

b)

3 5 3 3 ⋅ 90 270 ⋅ 90 = = = 54 5 5 5

3 birziklatu egiten da, eta birziklatutako 4

2 , ureztatze-lanerako erabiltzen. Uraren zer zatiki erabiltzen da 5 ureztatze-lanerako? uraren

3 2 2 3 2⋅3 6 3 en = ⋅ = = = 4 5 5 4 5⋅4 20 10 Herriko uraren

54

3 ureztatze-lanerako erabiltzen da. 10

917840 _ 0048-0081.qxd

8/2/08

12:22

Página 55

ERANTZUNAK

022

2

1 1 erretzen da ordubetean. Kandelaren badugu, zenbat orduan 4 2 izango dugu piztuta? Kandela baten

1 1 1 4 4 1 : = ⋅ = = 2 denez, -ekin 2 ordu izango dugu piztuta. 2 4 2 1 2 2 023

Egin eragiketa hauek. ⎛2 1 1⎞ − ⎟⎟⎟ ⋅ 4 a) ⎜⎜⎜ + ⎝5 2 3⎠

c) 3 ⋅

⎛1 1 1⎞ − ⎜⎜⎜ + 1 − ⎟⎟⎟ : 2 ⎝2 4⎠ 4

⎛ 1 1 7⎞ 5 − + ⎟⎟⎟ : b) ⎜⎜⎜1 + ⎝ 4 3 6⎠ 3

d) 1 +

1 ⎛⎜ 2 5⎞ 1 ⋅ ⎜⎜ − ⎟⎟⎟ − 3 : ⎝ 2 4 3 6⎠

F

F

⎛2 ⎛ 12 17 68 34 1 1⎞ 15 10 ⎞⎟ ⎟⎟ ⋅ 4 = ⋅4= = + − a) ⎜⎜ + − ⎟⎟⎟ ⋅ 4 = ⎜⎜ ⎜⎝ 5 ⎜ ⎟ ⎝ 30 30 30 15 2 3⎠ 30 30 ⎠⎟ m.k.t. (5, 2, 3) = 30

(: 2)

F

⎛ ⎛ 12 + 3 − 4 + 14 ⎟⎞ 5 25 5 1 1 7⎞ 5 ⎟⎟ : = : = − + ⎟⎟⎟ : = ⎜⎜ b) ⎜⎜1 + ⎜⎝ ⎜⎝ ⎟⎠ 3 12 3 4 3 6 ⎟⎠ 3 12 m.k.t. (4, 3, 6) = 12

c) 3 ⋅

1 4

= 1+

024

(: 5)

(: 3)

1 ⎛⎜ 1 1⎞ 3 ⎛⎜ 2 + 4 − 1 ⎞⎟ 3 5 ⎟⎟ : 2 = − ⎜ + 1 − ⎟⎟⎟ : 2 = −⎜ − :2= ⎜ ⎟⎠ 4 ⎜⎝ 4 4 ⎝2 4 ⎟⎠ 4 4 =

d) 1 +

F

25 ⋅ 3 75 15 5 = = = 12 ⋅ 5 60 12 4 F

=

3 5 1 3 5 6−5 1 − ⋅ = − = = 4 4 2 4 8 8 8

⎛2 5⎞ 1 1 ⎛⎜ 4 − 5 ⎞⎟ ⎟⎟ − 3 ⋅ 2 = ⋅ ⎜⎜ − ⎟⎟⎟ − 3 : = 1+ ⋅⎜ ⎜⎝ 3 ⎟ 6⎠ 2 4 ⎜⎝ 6 ⎟⎠ 1 4

⎛ 1⎞ 1 1 −120 − 1 121 ⋅ ⎜⎜− ⎟⎟⎟ − 6 = 1 − − 6 = −5 − = =− ⎜⎝ 6 ⎟⎠ 24 24 24 24

Egin eragiketa hauek. ⎡ 1 1 ⎛⎜ 1 1 ⎞⎤ ⋅ ⎜⎜− − ⎟⎟⎟⎥ ⋅ 2 a) ⎢− + ⎢⎣ 4 ⎝ 3 3 6 ⎠⎥⎦ ⎡ 1 1 a) ⎢− + ⎢ 4 3 ⎣

⎛4 ⎞ b) ⎜⎜⎜ − 3⎟⎟⎟ ⋅ (−2) ⎝5 ⎠

⎡ 1 ⎡ 1 ⎛ 1 1 ⎞⎤ 1 ⎛⎜ 1 ⎞⎟⎤⎥ 1⎤ ⋅ ⎜− ⎟⎟ ⋅ 2 = ⎢− − ⎥ ⋅ 2 = ⋅ ⎜⎜− − ⎟⎟⎟⎥ ⋅ 2 = ⎢− + ⎜⎝ 3 ⎜ ⎥ ⎥ ⎢ ⎟ ⎟ ⎢⎣ 4 6 ⎠⎦ 3 ⎝ 2 ⎠⎦ 6 ⎥⎦ ⎣ 4 ⎡ 5 ⎤ 5 ⎥⋅2 =− = ⎢− ⎢⎣ 12 ⎥⎦ 6

⎛4 ⎛ 11 ⎞ ⎞ 22 b) ⎜⎜⎜ − 3⎟⎟⎟ ⋅ (−2) = ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⋅ (−2) = ⎟ ⎝5 ⎝ 5 ⎟⎠ ⎠ 5

55

917840 _ 0048-0081.qxd

8/2/08

12:22

Página 56

Zatikiak 025

Kalkulatu a-ren balioa. ⎛a 1⎞ 11 a) −⎜⎜⎜ + ⎟⎟⎟ ⋅ (−1) = ⎝2 ⎠ 3 6 ⎛a ⎞ ⎞ ⎛1 a 39 − a ⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜⎜ + 1⎟⎟⎟ = − b) ⎜⎜⎜ − ⎟ ⎠ ⎝4 ⎠ ⎝2 3 8 ⎛a ⎛ 3a + 2 ⎞⎟ 1⎞ 11 11 ⎟⎟ ⋅ (−1) = a) −⎜⎜⎜ + ⎟⎟⎟ ⋅ (−1) = → −⎜⎜⎜ → ⎟ ⎟ ⎝2 ⎝ 6 ⎠ 3⎠ 6 6 3a + 2 11 = → 3a + 2 = 11 → a = 3 6 6

→

⎛a ⎞ ⎛1 ⎞ a 39 −13a 3 39 − a ⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ + 1⎟⎟⎟ = − ⋅ =− b) ⎜⎜ − → → ⎜⎝ 4 ⎜ ⎟ ⎟⎠ ⎠ ⎝2 3 8 12 2 8 −39a 117 =− → a=3 24 24

→

026

Idatzi berreketa gisa. a)

⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ b) ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠

2 2 2 ⋅ ⋅ 5 5 5 ⎛2⎞ 2 2 2 ⋅ ⋅ = ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 5 ⎟⎠ 5 5 5

⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ b) ⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜− ⎟⎟⎟ = ⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 3 ⎟⎠ ⎜⎝ 3 ⎟⎠ ⎜⎝ 3 ⎟⎠

3

a)

027

Kalkulatu. a)

36 49

b) 36 6 = 49 7

a)

028

2

4 9

c) 4 2 = 9 3

b)

3 3 3 3 ⋅ ⋅ ⋅ 4 4 4 4

b)

81 9 = 25 5

5 5 25 ⋅ ⋅ 7 7 49

⎛3⎞ 3 3 3 3 ⋅ ⋅ ⋅ = −⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 4 ⎟⎠ 4 4 4 4

4

a) −

Ba al da zatikirik erro koadrotzat 2

⎛5⎞ 5 5 25 54 ⋅ ⋅ = 4 = ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎝⎜ 7 ⎟⎠ 7 7 49 7

4

b)

7 zatikia duenik? 3

⎛7⎞ 49 7 49 = ; izan ere, ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = . ⎜⎝ 3 ⎟⎠ 9 3 9

56

c)

Idatzi berreketa gisa. a) −

029

81 25

917840 _ 0048-0081.qxd

8/2/08

12:22

Página 57

ERANTZUNAK

2

ARIKETAK 030

EGIN HONELA NOLA ADIERAZTEN DA EGOERA BAT ZATIKI BATEN BIDEZ? Adierazi zatiki baten bidez. a) Erregaiaren heren bat soilik gelditzen da autoaren andelean. b) 400 km egin ditut eta 250 km falta zaizkit helmugara iristeko. LEHENA. Enuntziatuak zatikiaren berri ematen badu (erdia, herena, laurdena...), zenbakizko hizkuntzaren bidez adieraziko dugu. 1 a) Herena → 3

Hala ez bada, zatikiaren zenbakitzaileak zatia adieraziko du (kontsumoa, gastua...), eta izendatzaileak, zati osoa.

BIGARRENA.

b) 400 km egin ditut. 250 km falta dira ⎫⎪ 400 8 = ⎬→ Bidaia osoa: 400 + 250 = 650 km ⎪⎪⎭ 650 13

031 ●●

Adierazi egoera hauek zatikien bidez. Esan zein diren baliokideak. a) Anderrek 3 bonboi jan ditu 12 bonboiko kutxa batetik. b) Maria ordu-laurden egon da zain. c) Bederatzi haurretik hiruk maskotaren bat du. d) Jonen liburuak 10na orrialdeko 15 kapitulu ditu eta 100 orrialde irakurri ditu dagoeneko. e) Iraitzek egunean sei ordu ematen ditu lotan. f) Itsasontziak egin beharreko ibilbidearen bi heren egin ditu. g) Lata-erdi bat freskagarri edan dut. h) Autoaren bost letretatik bi ordaindu ditut. i) Aste-sariaren erdia aurrezten dut. a)

3 12

d)

100 150

g)

1 2

b)

1 4

e)

6 24

h)

2 5

c)

3 9

f)

2 3

i)

1 2

Atal hauetako zatikiak baliokideak dira: a), b) eta e) ataletakoak; eta d), f), g) eta i) ataletakoak.

57

917840 _ 0048-0081.qxd

8/2/08

12:22

Página 58

Zatikiak 032 ●●

Egunaren zer zatiki dira 22 minutu? Zatiki laburtezina al da? Arrazoitu erantzuna. 22 Egunak 1.440 minutu ditu; beraz, zatikia da eta ez da laburtezina, 1 . 440 22 11 = sinplifikatu daitekeelako: . 1.440 720

033 ●●

Astearen zer zatiki dira 2 egun? Eta hilabetearen zer zatiki 9 egun? Lortutako bi zatikiak laburtezinak al dira? Arrazoitu emandako erantzuna. 2 9 3 = dira, eta 9 egunak, hilabetearen: . 7 30 10 Ikusi dugunez, lehen zatikia laburtezina da, baina bigarrena ez, sinplifika daitekeelako. Bi egunak astearen

034 ●●

Urtearen zer zatiki dira 3 hilabete? Eta urtearen zer zatiki 2.160 ordu? Baliokideak al dira? Arrazoitu erantzuna. 3 hilabete urtearen

3 1 = dira. 12 4

2.160 ordu = 90 egun direnez, urtearen

90 18 = dira. 365 73

Zatiki horiek ez dira baliokideak. Esan genezake baliokideak direla, 90 egun 3 hilabete gisa hartuz gero, eta zatikia egiteko hori kontuan hartuta. 035 ●

58

Esan zatiki pare hauek baliokideak diren ala ez. a)

6 36 eta 8 48

c)

5 15 eta 4 8

e)

9 72 eta 13 104

b)

15 60 eta 12 48

d)

8 24 eta 5 10

f)

72 123 eta 25 115

a)

6 36 ? = ⎯ ⎯→ 6 ⋅ 48 = 8 ⋅ 36 → 288 = 288. Baliokideak dira. 8 48

b)

15 60 ? = ⎯→ 15 ⋅ 48 = 12 ⋅ 60 → 720 = 720. Baliokideak dira. 12 48

c)

5 15 ? = ⎯⎯ → 5 ⋅ 8 = 4 ⋅ 15 → 40 ≠ 60. Ez dira baliokideak. 4 8

d)

8 24 ? = ⎯⎯ → 8 ⋅ 10 = 5 ⋅ 24 → 80 ≠ 120. Ez dira baliokideak. 5 10

e)

9 72 ? = ⎯ → 9 ⋅ 104 = 13 ⋅ 72 → 936 = 936. Baliokideak dira. 13 104

f)

72 123 ? = → 72 ⋅ 115 = 25 ⋅ 123 → 8.280 ≠ 3.075. Ez dira. 25 115

917840 _ 0048-0081.qxd

8/2/08

12:22

Página 59

ERANTZUNAK

036 ●

037 ●

Lortu zatiki hauetako bakoitzaren lau zatiki baliokide. a)

2 7

b)

1 5

c)

11 22 33 44 55 = = = = 6 12 18 24 30

b)

1 2 3 4 5 = = = = 5 10 15 20 25

d)

13 26 39 52 65 = = = = 2 4 6 8 10

a)

6 24 −12 , eta 5 20 10

d)

4 7 28 7 , , eta 7 4 4 28

b)

1 3 2 , eta 5 15 10

e)

−1 2 3 −4 , , eta 2 −4 −6 8

9 24 eta 3 8

−6 −42 −9 , eta 2 −14 3

f) −3,

d) Ez dira baliokideak. e) Baliokideak dira. f) Ez dira baliokideak.

Adierazi zer zenbaki falta den zatiki hauek baliokideak izan daitezen. 8 2 6 9 = = a) c) 12  3  4  = 5 10 a) b)

●

13 2

Aztertu zatiki hauek baliokideak diren ala ez.

b)

039

d)

2 4 6 8 10 = = = = 7 14 21 28 35

a) Ez dira baliokideak. b) Baliokideak dira. c) Baliokideak dira.

●●

11 6

c)

a)

c) 3,

038

2

6

d)

 9

=

8 18

9 18 → = =2 3 9

c)

4 40  = →= =8 5 10 5

d)



=

8 2 24 →= = =3 12 8 

 9

=

8 72 →= =4 18 18

Kalkulatu zatiki laburtezina. a)

75 30

b)

182 48

a)

75 75 : 15 5 = = 30 30 : 15 2

b)

182 182 : 2 91 = = 48 48 : 2 24

c)

121 121 : 11 11 = = = 11 11 11 : 11 1

c)

121 11

59

917840 _ 0048-0081.qxd

8/2/08

12:22

Página 60

Zatikiak 040 ●●

Osatu zatiki hauek zatiki laburtezinak izan daitezen. 5 −6   a) b) c) d) 4 3  

60

e)

f)



10



Zatikiko zenbakiarekin biderkagai komun lehenik ez duen edozein zenbaki idatzi behar da. a)

041 ●●

1 4

b)

2 3

c)

5 7

d)

−6 11

e)

60 77

f)

10 13

Erantzun galdera hauei. 2 zatikiaren baliokide denik? 5 2 b) Ba al da 12 izendatzailea duen zatikiaren baliokiderik? 5 2 c) Ba al da −10 izendatzailea duen zatikiaren baliokiderik? 5 a) Ba al da zatiki laburtezinik

2 a) Zatikiaren zatiki laburtezina, zatikiaren baliokidea dena, bera da, 5 laburtezina delako. b) Ez, 12 ez delako 5en multiploa. 2 −4 = c) Bai; esate baterako, . 5 −10 042 ●

Ordenatu zatiki hauek handienetik txikienera. a)

7 4 9 , , 3 3 3

b)

5 4 7 , , 12 12 12

9 7 4 > > 3 3 3 7 5 4 > > b) 12 12 12 a)

043

c) 1,

11 7 > >1 6 6 4 4 >1> d) 3 11 c)

Osatu taula hau.

●

Zatikiak

Izendatzaile beraz adierazita 50 105 , 36 , 60 60 60 35 470 , 184 , 0 12 120 120

60

7 11 , 6 6

Txikienetik handienera ordenatuta 3 5, 7 , 5 6 4

7 24

,

23 , 47 15 12

d)

4 4 , ,1 3 11

917840 _ 0048-0081.qxd

8/2/08

12:22

Página 61

ERANTZUNAK

044

Ordenatu txikienetik handienera.

●

045 ●

2

a)

1 4 7 , , 3 6 18

c)

9 3 7 , , 2 4 12

b)

2 1 3 , , 5 6 2

d)

7 2 1 7 , , , 6 3 18 2

a)

1 7 4 < < 3 18 6

b)

1 2 3 < < 6 5 2

c)

7 3 9 < < 12 4 2

d)

1 2 7 7 < < < 18 3 6 2

Ordenatu handienetik txikienera. 2 −1 4 −1 5 , , , , 5 3 9 4 2 3 1 −3 −9 , , b) , 5 3 8 4 a)

046

a)

5 4 2 −1 −1 > > > > 2 9 5 4 3

b)

3 1 −3 −9 > > > 5 3 8 4

Kalkulatu.

●

a)

3 1 5 + + 2 4 8

c)

4 1 7 + + 6 4 3

b)

5 1 3 1 − + − 3 6 2 8

d)

5 1 7 + − 2 3 6

a)

3 1 5 12 + 2 + 5 19 + + = = 2 4 8 8 8

b)

5 1 3 1 40 − 4 + 36 − 3 69 23 − + − = = = 3 6 2 8 24 24 8

c)

4 1 7 8 + 3 + 28 39 13 + + = = = 6 4 3 12 12 4

d)

5 1 7 15 + 2 − 7 10 5 + − = = = 2 3 6 6 6 3

61

917840 _ 0048-0081.qxd

8/2/08

12:22

Página 62

Zatikiak 047 ●

Egin eragiketa hauek. a) 1 + b)

3 4

11 −2 3 a) 1 +

048 ●●

15 −7 2 4 d) 7 + 3

c)

4 7 2 f) 3 − 5

1 1 − 3 6 1 1 + 5− h) 4 3

e) 9 −

3 4+3 7 = = 4 4 4

g) 9 +

2 15 − 2 13 = = 5 5 5 1 1 54 + 2 − 1 55 − = = 3 6 6 6

11 11 − 6 5 −2 = = 3 3 3

g) 9 +

c)

15 15 − 14 1 −7 = = 2 2 2

h)

4 21 + 4 25 = = 3 3 3

e) 9 −

4 63 − 4 59 = = 7 7 7

1 5 + 4 2

f) 3 −

b)

d) 7 +

i) 7 −

1 1 3 + 60 − 4 59 +5− = = 4 3 12 12

i) 7 −

1 5 28 − 1 + 10 37 + = = 4 2 4 4

Egin eragiketa hauek. ⎛1 3⎞ ⎛ 4 7⎞ a) ⎜⎜⎜ + ⎟⎟⎟ − ⎜⎜⎜ + ⎟⎟⎟ ⎝ ⎝2 ⎠ 6 5 3⎠ ⎛7 4⎞ ⎛6 2⎞ b) ⎜⎜⎜ − ⎟⎟⎟ + ⎜⎜⎜ + ⎟⎟⎟ ⎝3 5⎠ ⎝5 7⎠ ⎡4 ⎛1 ⎞ 2 1⎤ c) 2 − ⎢ − ⎜⎜⎜ + ⎟⎟⎟ − ⎥ ⎢⎣ 3 ⎝2 5⎠ 3 ⎥⎦

⎛5 1 ⎞ ⎛ −1 2 1⎞ + − ⎟⎟⎟ d) ⎜⎜⎜ − ⎟⎟⎟ + ⎜⎜⎜ ⎝ ⎝4 ⎠ 5 3 5 4⎠ ⎛1 ⎛6 1 ⎞⎟ 1 5⎞ ⎟⎟ + 2 − ⎜⎜⎜ − + ⎟⎟⎟ e) ⎜⎜⎜ − ⎝2 ⎝5 15 ⎠ 3 6⎠ ⎛ ⎞ ⎛1 ⎞ 2 1 5 7 − ⎜⎜⎜ − ⎟⎟⎟ f) ⎜⎜⎜ + ⎟⎟⎟ − ⎝6 ⎝3 5⎠ 4 6⎠

⎛1 3⎞ ⎛4 7⎞ 3+3 12 + 35 6 47 47 − = − = 1− = a) ⎜⎜ + ⎟⎟⎟ − ⎜⎜ + ⎟⎟⎟ = ⎜⎝ 2 ⎜ ⎟ ⎟ 6⎠ ⎝5 3⎠ 6 15 6 15 15 =

15 − 47 −32 = 15 15

F

⎛7 4⎞ ⎛6 2⎞ 35 − 12 42 + 10 23 52 + = + = b) ⎜⎜ − ⎟⎟⎟ + ⎜⎜ + ⎟⎟⎟ = ⎜⎝ 3 ⎜ ⎟ ⎟ 5⎠ ⎝5 7⎠ 15 35 15 35 =

161 + 156 317 = 105 105

m.k.t. (15, 35) = 105

⎡4 ⎛1 ⎡4 1⎤ 40 − 27 − 10 2⎞ 1⎤ 5+4 = − ⎥ = 2− c) 2 − ⎢ − ⎜⎜⎜ + ⎟⎟⎟ − ⎥ = 2 − ⎢ − ⎥ ⎢3 ⎝2 ⎟ ⎥ ⎢ ⎠ 3⎦ 30 5 3⎦ 10 ⎣3 ⎣ 60 − 3 57 19 = = = 30 30 10 ⎛5 1 ⎞ ⎛ −1 2 1⎞ 21 (−11) 63 − 11 52 26 13 + − ⎟⎟⎟ = + = = = = d) ⎜⎜ − ⎟⎟⎟ + ⎜⎜ ⎜⎝ 4 ⎜ ⎟ 5⎠ ⎝ 3 5 4 ⎟⎠ 20 60 60 60 30 15

62

917840 _ 0048-0081.qxd

8/2/08

12:22

Página 63

ERANTZUNAK

2

⎛6 ⎛1 6 17 1 ⎞⎟ 1 5⎞ 17 ⎟⎟ + 2 − ⎜⎜ − +2− = + 2−1 = + ⎟⎟⎟ = e) ⎜⎜⎜ − ⎜ ⎟ ⎟ ⎝5 ⎝2 6 15 15 ⎠ 3 6⎠ 15 17 17 + 15 32 = +1= = 15 15 15 ⎛1 2⎞ 1 ⎛5 7⎞ 5+6 1 5−7 11 1 2 − − = − + = f) ⎜⎜⎜ + ⎟⎟⎟ − − ⎜⎜⎜ − ⎟⎟⎟ = ⎟ ⎟ ⎝3 5⎠ 4 ⎝6 6⎠ 15 4 6 15 4 6 44 − 15 + 20 49 = = 60 60 049

EGIN HONELA NOLA EGITEN DIRA ZATIKI NEGATIBOEN BATUKETAK ETA KENKETAK? Kalkulatu: LEHENA.

⎛ 5⎞ ⎛ 4⎞ 9 + ⎜⎜− ⎟⎟⎟ − ⎜⎜− ⎟⎟⎟ . ⎜⎝ 4 ⎟⎠ ⎜⎝ 5 ⎟⎠ 2

Parentesiak kentzen dira. −⋅−=+ F

F

9 ⎛⎜ 5 ⎞⎟ ⎛⎜ 4 ⎞⎟ 9 5 4 + ⎜− ⎟⎟ − ⎜− ⎟⎟ = − + 2 ⎜⎝ 4 ⎟⎠ ⎜⎝ 5 ⎟⎠ 2 4 5 +⋅−=− BIGARRENA.

050 ●●

Emaitza horien eragiketak egiten dira. m.k.t. (2, 4, 5) = 22 ⋅ 5 = 20 90 − 25 + 16 81 9 5 4 90 25 16 = = − + = − + 20 20 2 4 5 20 20 20

Egin eragiketa hauek. 4 9 ⎛ 2 ⎞⎟ b) 8 − ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⎝ 5⎠ a) −3 +

−3 + (−8) 7 5 − (−7) d) 4 c)

−4 + (−6) 3 ⎛ −3 ⎞⎟ ⎟ −2 f) −⎜⎜⎜ ⎝ 4 ⎟⎠

e)

4 −27 + 4 23 = =− 9 9 9 ⎛ 2 ⎞⎟ 2 40 + 2 42 = = b) 8 − ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ = 8 + ⎝ 5⎠ 5 5 5 a) −3 +

c)

−3 −3 −3 − 56 59 + (−8) = −8 = =− 7 7 7 7

d)

5 5 5 + 28 33 − (−7) = +7= = 4 4 4 4

−4 + (−6) = 3 ⎛ −3 ⎞⎟ ⎟−2 = f) −⎜⎜⎜ ⎝ 4 ⎟⎟⎠ e)

−4 −4 − 18 22 −6 = =− 3 3 3 3 3−8 5 −2 = =− 4 4 4

63

917840 _ 0048-0081.qxd

8/2/08

12:22

Página 64

Zatikiak 051 ●●

Egin eragiketa hauek. ⎛ 4⎞ 1 − 2 − ⎜⎜− ⎟⎟⎟ a) ⎝⎜ 9 ⎟⎠ 3 ⎛ 5 3⎞ − ⎜⎜−2 + ⎟⎟⎟ ⎜ ⎝ 2 5 ⎟⎠ ⎛2 1⎞ c) 4 − ⎜⎜ − ⎟⎟⎟ ⎝⎜ 3 4 ⎠⎟ b)

⎛ 3 1⎞ d) −7 + ⎜⎜− + ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 2 7 ⎟⎠ ⎛ 4⎞ 1 − 2 − ⎜⎜− ⎟⎟⎟ = ⎜⎝ 9 ⎟⎠ 3 5 ⎛⎜ 3⎞ − ⎜−2 + ⎟⎟⎟ = b) ⎜ 2 ⎝ 5 ⎟⎠

1 4 3 − 18 + 4 −11 −2+ = = 3 9 9 9 5 ⎛⎜ −10 + 3 ⎞⎟ 5 ⎛⎜ −7 ⎞⎟ 5 7 ⎟⎟ = ⎟⎟ = −⎜ −⎜ + = ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎠ 2 ⎝ 5 2 ⎝ 5 ⎠ 2 5 25 + 14 39 = = 10 10

a)

⎛2 1⎞ 8−3 5 48 − 5 43 = 4− = = c) 4 − ⎜⎜ − ⎟⎟⎟ = 4 − ⎜⎝ 3 12 12 12 12 4 ⎟⎠ ⎛ ⎞ d) −7 + ⎜⎜− 3 + 1 ⎟⎟ = −7 + −21 + 2 = −7 − 19 = −98 − 19 = −117 ⎟ ⎜⎝ 2 14 7 ⎟⎠ 14 14 14 052 ●

053 ●

64

Egin biderketa hauek. a)

1 2 ⋅ 2 3

c) 3 ⋅

b)

3 10 ⋅ 5 2

d)

9 6

7 7 12 ⋅ ⋅ 2 4 21

a)

1 2 2 1 ⋅ = = 2 3 6 3

c) 3 ⋅

b)

3 10 30 ⋅ = =3 5 2 10

d)

9 27 9 = = 6 6 2

7 7 12 588 147 7 ⋅ ⋅ = = = 2 4 21 168 42 2

Egin zatiketa hauek. 12 4 : 7 14

a)

2 4 : 3 5

c)

b)

9 4 : 2 6

d) 3 :

6 4

a)

2 4 10 5 : = = 3 5 12 6

c)

12 4 168 : = =6 7 14 28

b)

9 4 54 27 : = = 2 6 8 4

d) 3 :

6 12 = =2 4 6

917840 _ 0048-0081.qxd

17/3/08

13:38

Página 65

ERANTZUNAK

054

2

EGIN HONELA NOLA EGITEN DIRA ZATIKI NEGATIBOEN BIDERKETAK ETA ZATIKETAK? Kalkulatu. ⎛ 2⎞ 1 a) ⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎝ 3 ⎟⎠ 4

b) −

3 ⎛⎜ 6 ⎞⎟ : ⎜− ⎟⎟ 5 ⎜⎝ 7 ⎟⎠

LEHENA. Eragiketak egin behar dira zeinuak kontuan hartu gabe, eta ahal bada, emaitza sinplifikatu.

a)

2 1 2⋅1 2 1 ⋅ = = = 3 4 3⋅4 12 6

b)

3 6 3 7 3⋅7 21 7 : = ⋅ = = = 5 7 5 6 5⋅6 30 10

BIGARRENA.

Zeinuen araua aplikatu behar da.

⎛ 2⎞ 1 1 =− a) ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⋅ ⎝ 3 ⎟⎠ 4 6 b) −

055

3 ⎛⎜ 6 ⎞⎟ 7 : ⎜− ⎟⎟ = 5 ⎜⎝ 7 ⎟⎠ 10

Kalkulatu.

●●

a)

4 ⎛⎜ −3 ⎞⎟ ⎟⎟ :⎜ 7 ⎜⎝ 14 ⎠

1 2 −3 ⎛⎜ 5 ⎞⎟ ⋅ ⎜− ⎟⎟ c) 5 ⎜⎝ 9 ⎠ b) −5 :

a)

d)

g)

1 = −10 2 ⎛ 5⎞ 15 1 ⋅ ⎜⎜− ⎟⎟⎟ = = ⎜⎝ 9 ⎟⎠ 45 3

c)

−3 5

d)

−6 3 −18 −9 ⋅ = = 5 10 50 25

e)

5 −10 ⋅ (−2) = = −5 2 2

1 ⎛⎜ 2 ⎞⎟ : ⎜− ⎟⎟ 2 ⎜⎝ 4 ⎠

−1 : (−6) 4 9 ⎛ 21 ⎞⎟ ⎟⎟ i) − : ⎜⎜⎜− 4 ⎝ 2 ⎠

5 ⋅ (−2) 2 −3 ⎛⎜ 3 ⎞⎟ ⎟ : ⎜⎜ f) ⎝ −4 ⎟⎠ 8 e)

4 ⎛⎜ −3 ⎞⎟ 56 −8 ⎟⎟ = :⎜ = 7 ⎜⎝ 14 ⎟⎠ −21 3

b) −5 :

−6 3 ⋅ 5 10

h)

f)

−3 ⎛⎜ 3 ⎞⎟ 12 1 ⎟⎟ = :⎜ = 8 ⎜⎝ −4 ⎟⎠ 24 2

g)

1 ⎛⎜ 2 ⎞⎟ 4 : ⎜− ⎟⎟ = − = −1 ⎜ ⎟ 2 ⎝ 4⎠ 4

h)

−1 1 : (−6) = 4 24

i) −

9 ⎛⎜ 21 ⎞⎟ 18 3 : ⎜− ⎟⎟ = = 4 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 84 14

65

917840 _ 0048-0081.qxd

8/2/08

12:22

Página 66

Zatikiak 056 ●●

Osatu adierazpenak eragiketetako berdintzak bete daitezen.



4 4 = 9 3 20  4 ⋅ = b) 3 9 9 a)

3

a) 9 057

Egin eragiketak.

●

⎛2 7⎞ 1 a) ⎜⎜ : ⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎝ 3 4 ⎠ 5 ⎛ 10 5 ⎞⎟ b) ⎜⎜ ⎜⎝ 3 : 6 ⎟⎟⎠ ⋅ 4



5 10 = 9 9 27  8 : = d) 6 9 16

⋅

c)

:

81

b) 15

c) 50

d) 9

1 ⎛⎜ 2 −3 ⎞⎟ ⎟⎟ :⎜ ⋅ 7 ⎝⎜ 4 5 ⎠ ⎛8 4⎞ d) 9 : ⎜⎜ : ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 3 9 ⎠ c)

⎛2 7⎞ 1 8 1 8 = ⋅ = a) ⎜⎜ : ⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎝ 3 4 ⎟⎠ 5 21 5 105 ⎛ 10 5 ⎞⎟ 60 240 : ⎟⎟ ⋅ 4 = ⋅4= = 16 b) ⎜⎜ ⎜⎝ 3 15 6 ⎟⎠ 15 c)

1 ⎛⎜ 2 −3 ⎞⎟ 1 (−6) 20 −10 ⎟⎟ = :⎜ ⋅ : = = 7 ⎜⎝ 4 5 ⎟⎠ 7 20 (−42) 21 F

⎛8 4⎞ 72 108 3 = = d) 9 : ⎜⎜ : ⎟⎟⎟ = 9 : ⎜⎝ 3 9 ⎟⎠ 12 72 2 (: 12)

058 ●

66

Kalkulatu. 3 a) 60ren 4 2 b) 23ren 3 7 c) 27ren 3

3 8 1 e) 78ren 3 4 f) 29ren 7

2 5 1 h) 70en 5 8 i) 9ren 2

d) 90en

g) 10en

a)

3 3 ⋅ 60 180 ⋅ 60 = = = 45 4 4 4

f)

4 4 ⋅ 29 116 ⋅ 29 = = 7 7 7

b)

2 2 ⋅ 23 46 ⋅ 23 = = 3 3 3

g)

2 2 ⋅ 10 20 ⋅ 10 = = =4 5 5 5

c)

7 7 ⋅ 27 ⋅ 27 = = 7 ⋅ 9 = 63 3 3

h)

1 1 ⋅ 70 70 ⋅ 70 = = = 14 5 5 5

d)

3 3 ⋅ 90 270 135 ⋅ 90 = = = 8 8 8 4

i)

8 8⋅9 72 ⋅9= = = 36 2 2 2

e)

1 78 ⋅ 78 = = 26 3 3

917840 _ 0048-0081.qxd

8/2/08

12:22

Página 67

ERANTZUNAK

059 ●●

2

Egin eragiketak. a)

5 1 ⋅ −2 6 3

c) 4 −

b)

7 4 −3 ⋅ 2 5

d)

3 7 ⋅ 2 9

5 1 −3 ⋅ 2 4

a)

5 1 5 5 − 36 −31 ⋅ −2= −2= = 6 3 18 18 18

b)

7 4 7 12 35 − 24 11 −3⋅ = − = = 2 5 2 5 10 10

c) 4 −

3 7 21 72 − 21 51 17 ⋅ = 4− = = = 2 9 18 18 18 6

5 1 5 −3⋅ = − 2 4 2 ⎛ −3 ⎞⎟ 4 10 ⎟= ⋅ + ⎜⎜ e) ⎜⎝ 2 ⎟⎟⎠ 5 8 d)

f)

7 9

⎛ −3 ⎞⎟ 4 10 ⎟ ⋅ + ⎜⎜ ⎜⎝ 2 ⎟⎟⎠ 5 8 7 ⎛⎜ −12 ⎞⎟ ⎛⎜ −3 ⎞⎟ ⎟⎟ + ⎜ ⎟⎟ ⋅⎜ f) 9 ⎝⎜ 5 ⎠⎟ ⎜⎝ 4 ⎟⎠

e)

3 10 − 3 7 = = 4 4 4 40 3 −1 − = 40 2 2

⎛ −12 ⎞⎟ ⎛ −3 ⎞⎟ −28 3 −112 − 45 −157 ⎟+⎜ ⎟= ⋅ ⎜⎜ − = = ⎜⎝ 5 ⎟⎟⎠ ⎜⎜⎝ 4 ⎟⎟⎠ 15 4 60 60

060

Kalkulatu.

●●

⎛3 1⎞ ⎛1 6⎞ a) ⎜⎜⎜ − ⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜⎜ − ⎟⎟⎟⎟ ⎝4 6⎠ ⎝4 8⎠ ⎛1 2 ⎞⎟ ⎛⎜ 1 1 ⎞⎟ ⎟⎟ ⋅ ⎜ − ⎟⎟ b) ⎜⎜⎜ + ⎝5 15 ⎠⎟ ⎝⎜ 3 10 ⎟⎠

⎛5 1⎞ ⎛1 1⎞ d) ⎜⎜⎜ − ⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜⎜ − ⎟⎟⎟⎟ ⎝2 7⎠ ⎝3 6⎠ ⎛4 3⎞ ⎛ 1 1⎞ + ⎟⎟⎟ e) ⎜⎜⎜ − ⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜⎜ ⎝5 4 ⎠ ⎝ 10 4 ⎟⎠

⎛4 1⎞ ⎛ 2 1⎞ + ⎟⎟⎟ c) ⎜⎜⎜ − ⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜⎜ ⎝7 ⎝ ⎠ 3 21 6 ⎟⎠

⎛1 1⎞ ⎛1 1⎞ f) ⎜⎜⎜ − ⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜⎜ − ⎟⎟⎟⎟ ⎝8 ⎝ ⎠ 6 2 4⎠

⎛3 7 ⋅ (−4) 7 1⎞ ⎛1 6⎞ 9−2 2−6 = =− ⋅ a) ⎜⎜⎜ − ⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜⎜ − ⎟⎟⎟ = ⎝4 8 12 ⋅ 8 24 6 ⎟⎠ ⎝ 4 8 ⎟⎠ 12 ⎛1 2 ⎞⎟ ⎛⎜ 1 1 ⎞⎟ 3 + 2 10 − 3 5⋅7 7 ⎟⎟ ⋅ ⎜ − ⎟⎟ = ⋅ = = b) ⎜⎜ + ⎜⎝ 5 ⎜ ⎟ ⎟ 15 ⎠ ⎝ 3 10 ⎠ 15 30 15 ⋅ 30 90 ⎛4 1⎞ ⎛ 2 1⎞ 12 − 7 4 + 7 5 ⋅ 11 55 + ⎟⎟⎟ = ⋅ = = c) ⎜⎜ − ⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎜⎝ 7 ⎜ ⎟ 3 ⎠ ⎝ 21 6 ⎟⎠ 21 42 21 ⋅ 42 882 ⎛5 1⎞ ⎛1 1⎞ 35 − 2 2 − 1 33 ⋅ 1 11 ⋅ = = d) ⎜⎜ − ⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ − ⎟⎟⎟ = ⎜⎝ 2 7 ⎟⎠ ⎜⎝ 3 6 ⎟⎠ 14 6 14 ⋅ 6 28 ⎛4 3⎞ ⎛ 1 1⎞ 16 − 15 2 + 5 1⋅ 7 7 + ⎟⎟⎟ = ⋅ = = e) ⎜⎜ − ⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎜⎝ 5 ⎜ ⎟ ⎟ 4 ⎠ ⎝ 10 4⎠ 20 20 20 ⋅ 20 400 ⎛1 −1 ⋅ 1 1 1⎞ ⎛1 1⎞ 3− 4 2−1 = =− ⋅ f) ⎜⎜ − ⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ − ⎟⎟⎟ = ⎜⎝ 8 ⎜ ⎟ 4 24 ⋅ 4 96 6⎠ ⎝2 4 ⎟⎠ 24

67

917840 _ 0048-0081.qxd

8/2/08

12:22

Página 68

Zatikiak 061

Egin eragiketak. Horretarako, adierazi zer urrats eman dituzun.

●●

a)

3 ⎛⎜ 1 2⎞ ⋅ ⎜ − ⎟⎟⎟ − 1 ⎜ 8 ⎝2 5 ⎟⎠

b)

3 1 2 ⋅ − −1 8 2 5

5 2 ⎛⎜ 7 1⎞ − ⋅ ⎜ − ⎟⎟⎟ ⎜ 3 5 ⎝2 3 ⎟⎠ ⎛5 2⎞ 7 1 − d) ⎜⎜⎜ − ⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⎝3 5⎠ 2 3 c)

⎛1 2⎞ 3 5−4 3⋅1 3 ⋅ ⎜⎜ − ⎟⎟⎟ − 1 = ⋅ −1 = −1 = −1 = ⎜⎝ 2 5 ⎟⎠ 8 10 8 ⋅ 10 80 3 − 80 77 = =− 80 80

a)

3 8

b)

3 1 2 3 2 15 − 32 − 80 97 ⋅ − −1 = − −1 = =− 8 2 5 16 5 80 80

⎛7 5 19 1⎞ 5 2 21 − 2 5 2 ⋅ 19 = − = ⋅ ⎜⎜ − ⎟⎟⎟ = − ⋅ = − ⎜⎝ 2 3 15 3 ⎟⎠ 3 5 6 3 5⋅6 25 − 19 6 2 = = = 15 15 5 ⎛5 1 133 1 2⎞ 7 1 25 − 6 7 1 19 ⋅ 7 − = − = − = ⋅ − = d) ⎜⎜ − ⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎝ 3 3 30 3 5 ⎠⎟ 2 3 15 2 3 15 ⋅ 2 133 − 10 123 41 = = = 30 30 10 c)

062

5 2 − 3 5

Egin eragiketa hauek.

●●

a)

⎛2 7⎞ 5 1 − ⎜⎜ ⋅ ⎟⎟⎟ − ⎜⎝ 5 2 ⎟⎠ 3 3

⎛2 3⎞ 7 c) ⎜⎜⎜ ⋅ 5 − ⎟⎟⎟ ⋅ ⎝3 4 ⎟⎠ 2

⎛5 3 4 ⎞⎟ 4 ⋅ ⎟⎟ − ⋅2 e) ⎜⎜⎜ − ⎝4 8 9 ⎟⎠ 5

b)

⎛2 7 5 1⎞ − ⎜⎜ ⋅ − ⎟⎟⎟ ⎜ ⎝5 2 3 3 ⎟⎠

⎤ 5 ⎡⎛ 7 ⎞ 4 − 2⎥ ⋅ d) ⎢⎢⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⋅ ⎥ 3 ⎟ ⎦ ⎣⎝ 3 ⎠ 5

f) −3 ⋅

⎛7 ⎞ 4 − ⎜⎜ ⋅ 5 − 9⎟⎟⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎝8 15

a)

5 ⎛⎜ 2 7 ⎞⎟ 1 5 7 1 25 − 21 − 5 1 − ⎜ ⋅ ⎟⎟ − = − − = =− 3 ⎜⎝ 5 2 ⎟⎠ 3 3 5 3 15 15

b)

5 ⎛⎜ 2 7 1⎞ 5 ⎛⎜ 7 1⎞ 5 21 − 5 5 16 3 −⎜ ⋅ − ⎟⎟⎟ = − ⎜ − ⎟⎟⎟ = − = − = ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ 3 ⎝5 2 3⎠ 3 ⎝5 3⎠ 3 15 3 15 5

⎛2 ⎛ 10 3⎞ 7 3⎞ 7 40 − 9 7 217 = ⎜⎜ − ⎟⎟⎟ ⋅ = ⋅ = c) ⎜⎜ ⋅ 5 − ⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎝ 3 ⎜⎝ 3 4 ⎟⎠ 2 4 ⎟⎠ 2 12 2 24 ⎤ 5 ⎡⎛ 7 ⎞ 4 ⎛ 28 ⎞ 5 58 5 58 = ⎜⎜− − 2⎟⎟⎟ ⋅ =− ⋅ =− − 2⎥ ⋅ d) ⎢⎢⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⋅ ⎜ ⎥ ⎟⎠ 3 ⎟ ⎝ 15 15 3 9 ⎦ 3 ⎣⎝ 3 ⎠ 5 ⎛5 ⎛5 13 8 31 3 4 ⎞⎟ 4 1⎞ 8 = − =− ⋅ ⎟⎟ − ⋅ 2 = ⎜⎜ − ⎟⎟⎟ − e) ⎜⎜ − ⎜⎝ 4 ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎠ 5 12 5 60 8 9 5 4 6 f) −3 ⋅

68

⎛7 ⎞ ⎞ 4 4 ⎛ 35 4 ⎛ 37 ⎞⎟ 153 ⎟⎟ = − ⎜⎜ ⋅ 5 − 9⎟⎟⎟ = − − ⎜⎜ − 9⎟⎟⎟ = − − ⎜⎜− ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ 15 ⎝ 8 5 ⎝ 8 5 ⎜⎝ 8 ⎟⎠ 40

917840 _ 0048-0081.qxd

8/2/08

12:22

Página 69

ERANTZUNAK

063

Kalkulatu.

●●

⎛3 1 1 ⎞⎟ 3 6 ⎟⎟ ⋅ 5 − + ⋅ a) ⎜⎜⎜ − ⎝2 5 10 ⎟⎠ 4 5 ⎡⎛ 3 1⎞ 1 ⎤⎥ 3 6 ⋅ − b) ⎢⎢⎜⎜⎜ − ⎟⎟⎟⎟ ⋅ 5 − 5⎠ 10 ⎥⎦ 4 5 ⎣⎝ 2 ⎛ ⎞ 3 1 ⎜1 1 ⎟ ⎟⎟ ⋅4− ⋅⎜ − c) 1 − 2 3 ⎜⎝ 5 10 ⎟⎠

2

⎡3 1 ⎛2 1 ⎞⎤ d) 1 − ⎢⎢ ⋅ 5 − ⋅ ⎜⎜⎜ + ⎟⎟⎟⎟⎥⎥ 2 ⎝3 9 ⎠⎦ ⎣2 ⎤ ⎡ ⎛1 ⎞⎟ 8 5 − ⎢2 : ⎜⎜ − 1⎟⎟ − ⎥ e) ⎜⎝ 3 ⎢ ⎟⎠ 3 2 ⎥⎦ ⎣

⎛3 1 1 ⎞⎟ 3 6 13 9 13 9 56 28 ⎟⎟ ⋅ 5 − ⋅ = ⋅5− = − = = a) ⎜⎜ − + ⎜⎝ 2 ⎟ 5 10 ⎠ 4 5 10 10 2 10 10 5 ⎡⎛ 3 ⎡ 13 1 ⎤ 3 6 1⎞ 1 ⎤⎥ 3 6 ⎥⋅ b) ⎢⎜⎜ − ⎟⎟⎟ ⋅ 5 − ⋅ − =⎢ ⋅5− − = ⎥ ⎢⎜⎝ 2 ⎟ ⎥⎦ 4 ⎢ ⎠ 10 5 5 10 4 5 10 ⎣ ⎦ ⎣ 32 3 6 24 6 18 = ⋅ − = − = 5 4 5 5 5 5 ⎛ ⎞ 3 1 1 1 ⎟ 3 1 1 1 151 ⎟⎟ = 1 − ⋅ 4 − ⋅ = 1− 6 − =− c) 1 − ⋅ 4 − ⋅ ⎜⎜ − 2 3 10 2 3 ⎜⎝ 5 10 ⎟⎠ 30 30 ⎡3 ⎛3 ⎛ 15 7 ⎞⎟ 1 ⎛2 1 ⎞⎤ 1 7 ⎞⎟ d) 1 − ⎢ ⋅ 5 − ⋅ ⎜⎜ + ⎟⎟⎟⎥ = 1 − ⎜⎜ ⋅ 5 − ⎟⎟ = ⋅ ⎟⎟ = 1 − ⎜⎜ − ⎜⎝ 2 ⎜⎝ 2 ⎜⎝ 3 ⎢2 ⎟⎠ ⎟⎠ ⎟⎠⎥ 2 9 18 2 9 ⎦ ⎣ 64 55 = 1− =− 9 9 e)

064

⎡ 8 − ⎢2 ⎢ 3 ⎣

⎡ ⎛ 2⎞ 5⎤ ⎛1 ⎞ 5⎤ 8 ⎛⎜ 5⎞ 8 : ⎜⎜ − 1⎟⎟⎟ − ⎥ = − ⎢2 : ⎜⎜− ⎟⎟⎟ − ⎥ = − ⎜−3 − ⎟⎟⎟ = ⎜ ⎜⎝ 3 ⎜ ⎥ ⎢ ⎟⎠ 2 ⎥ ⎟ ⎝ ⎝ ⎠ 2⎦ 3 2 ⎟⎠ 3 3 ⎦ ⎣ 8 ⎛⎜ 11 ⎞⎟ 8 11 49 = − ⎜− ⎟⎟ = + = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 2 3 2 6

EGIN HONELA NOLA EBAZTEN DIRA IZENDATZAILEAN BESTE ZATIKI BAT DUTEN ZATIKIAK? Kalkulatu.

a)

3 2 1+ 5

b) 2 −

3 3−

7 4

Izendatzailean agertzen den eragiketa egin behar da. 2 5 2 7 7 12 7 5 = + = = − = a) 1 + b) 3 − 5 5 5 5 4 4 4 4 LEHENA.

Zenbakitzailea zatituko dugu lortutako zatikiaz. 3 7 15 = =3: = a) 2 7 5 7 1+ 5 5 ⎛ 3 3 5⎞ 2 12 10 12 b) 2 − = 2− = 2 − ⎜⎜3 : ⎟⎟⎟ = 2 − =− = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 4 5 5 5 5 5 7 3− 4 4 BIGARRENA.

3

69

917840 _ 0048-0081.qxd

8/2/08

12:22

Página 70

Zatikiak 065 ●●●

Egin eragiketa hauek. a)

1

b) 4 −

a)

2+ 7

1

1+ =

1

2+

2+ d) −3 +

=4

= 4−

3 5

11

c) 1 −

8 3

1 4 7

b) 4 −

1 5 2

d) −3 +

3 2+ 5

3 1− 4

066

11

c) 1 −

3 1− 4

1 5 2

= 1−

8 1+ 3

7 13 5 11 11 5

= 4−

= 1 − 5 = −4

2

= −3 +

35 17 = 13 13

11 3

= −3 +

6 27 =− 11 11

Idatzi biderketa hauek berreketa gisa eta lortu emaitza.

●

a)

⎛8⎞ 8 8 8 512 ⋅ ⋅ = ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = ⎜⎝ 3 ⎟⎠ 3 3 3 27

b)

⎛1⎞ 1 1 1 1 1 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = ⎜ ⎟ ⎝2⎠ 2 2 2 2 2 32

3

5

⎛ 8⎞ ⎛ 8⎞ ⎛ 8⎞ 64 16 = c) ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ = ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ = ⎝ 6 ⎟⎠ ⎝ 6 ⎟⎠ ⎝ 6 ⎟⎠ 36 9 2

⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ 8 d) ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ = ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ = − ⎝ 5 ⎟⎠ ⎝ 5 ⎟⎠ ⎝ 5 ⎟⎠ ⎝ 5 ⎟⎠ 125 3

70

917840 _ 0048-0081.qxd

8/2/08

12:22

Página 71

ERANTZUNAK

067

2

Idatzi berreketa gisa, ahal bada.

●●

a)

8 8 8 8 8 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 11 11 11 11 11

⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ d) ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟⎟ ⎝ 7⎠ ⎝ 7⎠ ⎝ 7⎠

b)

4 4 4 4 ⋅ ⋅ ⋅ 9 8 7 6

c)

4 3 2 ⋅ ⋅ 7 7 7

⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ 2 e) ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⎝ 7⎠ ⎝ 7⎠ 7 ⎛ 2⎞ 2 2 ⋅ f) ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⎝ 7⎠ 7 7

8 8 ⋅ 11 11 4 4 ⋅ ⋅ b) 9 8 4 3 ⋅ ⋅ c) 7 7 a)

⎛ 8 ⎞ 8 8 8 ⋅ ⋅ = ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 11 ⎟⎠ 11 11 11 4 4 ⋅ → Ezin da berreketa gisa idatzi. 7 6 2 → Ezin da berreketa gisa idatzi. 7 5

⋅

⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ d) ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ = ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⎝ 7 ⎟⎠ ⎝ 7 ⎟⎠ ⎝ 7 ⎠⎟ ⎝ 7 ⎟⎠

3

⎛2⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ 2 ⎛ 2⎞ 2 = ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = ⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⋅ e) ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎝ 7 ⎟⎠ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎝ 7⎠ ⎝ 7⎠ 7 ⎝ 7⎠ 7 2 3 ⎛2⎞ ⎛ 2⎞ 2 2 ⎛ 2⎞ ⎛2⎞ ⋅ = ⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = −⎜⎜ ⎟⎟⎟ f) ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎝ 7 ⎟⎠ ⎜⎝ 7 ⎟⎠ ⎜⎝ 7 ⎟⎠ ⎝ 7 ⎟⎠ 7 7 2

068 ●

3

Adierazi berreketak biderketa gisa eta lortu emaitza. ⎛ 10 ⎞⎟ ⎟ a) ⎜⎜ ⎜⎝ 3 ⎟⎟⎠

⎛ 1⎞ c) ⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 2 ⎟⎠

⎛2⎞ b) ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 3 ⎟⎠

2

4

7

⎛ 1⎞ 17 1 c) ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ = − 7 = − ⎝ 2 ⎟⎠ 2 128

⎛ 10 ⎞ 102 100 a) ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ = 2 = ⎝ 3 ⎟⎠ 3 9 2

7

⎛2⎞ 24 16 b) ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ = 4 = ⎟ ⎝3⎠ 3 81 4

069

Kalkulatu.

●●

a)

16 25

c)

81 49

e)

49 144

b)

25 36

d)

121 441

f)

64 16

a)

16 4 = 25 5

c)

81 9 = 49 7

e)

49 7 = 144 12

b)

25 5 = 36 6

d)

121 11 = 441 21

f)

64 8 = =2 16 4

71

917840 _ 0048-0081.qxd

8/2/08

12:22

Página 72

Zatikiak 070

Esan zer balio duen a-k berdintza bakoitzean.

●●

⎛5⎞ 125 a) ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟⎟ = ⎝4⎠ 64

⎛3⎞ 9 c) ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟⎟ = ⎝4⎠ 16

⎛ 5⎞ 125 b) ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟⎟ = − ⎝ 4⎠ 64

⎛ 3⎞ 9 d) ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟⎟ = ⎝ 4⎠ 16

a

a

a

a

⎛5⎞ 125 →a=3 a) ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ = ⎝ 4 ⎟⎠ 64

⎛3⎞ 9 →a=2 c) ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ = ⎝ 4 ⎟⎠ 16

⎛ 5⎞ 125 →a=3 b) ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ = − ⎝ 4 ⎟⎠ 64

⎛ 3⎞ 9 →a=2 d) ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ = ⎝ 4 ⎟⎠ 16

a

a

a

071 ●●●

Adierazi berdintza hauek zuzenak diren ala ez. ⎛ 5⎞ 25 a) ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟⎟ = ⎝ 3⎠ 3

d)

⎛ 2⎞ (−2)5 = ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ 5 ⎝ 7⎠ 7

⎛ −3 ⎞⎟ ⎟ = 81 b) ⎜⎜⎜ ⎝ −3 ⎟⎟⎠

e)

⎛ 2⎞ (−2)4 = ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ 4 ⎝ 7⎠ 7

⎛ 7⎞ −343 c) −⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟⎟ = ⎝ 2⎠ 8

f)

⎛2⎞ (−2)4 = ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ 4 ⎝7⎠ 7

2

5

4

4

3

072 ●●

a

4

a) Ez da zuzena.

d) Zuzena da.

b) Ez da zuzena.

e) Zuzena da.

c) Ez da zuzena.

f) Zuzena da.

4 4 ureztatu du, eta Anek, gainerako a. Bietan zeinek 6 12 ureztatu du zatirik handiena? Igorrek zelaiaren

4 8 4 8 4 = → > ; Anek: 6 12 12 12 12 Igorrek ureztatu du zatirik handiena. Igorrek:

073 ●●

1 Liburu bat egiteko, 18 pertsonak hartu dute parte. Haietatik, egileak 3 1 1 2 dira; , idazkariak; , maketagileak; , marrazkilariak; eta gainerako guztiak, 9 6 6 inprimategiko langileak. Esan arlo bakoitzeko zenbat langilek egin duten liburua. 18ren

1 = 6 egile 3

18ren

1 = 3 maketagile 6

18ren

1 = 2 idazkari 9

18ren

2 = 6 marrazkilari 6

Inprimategiko langileak = 18 − (6 + 2 + 3 + 6) = 18 − 17 = 1

72

917840 _ 0048-0081.qxd

8/2/08

12:22

Página 73

ERANTZUNAK

074 ●●

2

Ikastetxe bateko 1.095 ikaslek eskolaz kanpoko jarduerak egiten dituzte: 1 2 ek judo egiten du, italiera ikasten ari da eta gainerakoek balleta egiten 3 5 dute. Zenbat ikaslek egiten dute jarduera bakoitza? 1 2 = 365 ikasle. Italiera: 1.095en = 438 ikasle. 3 5 4 Balleta: 1.095en = 292 ikasle. 15 Judo: 1.095en

075 ●●

1 Kamioi batek 15 tona fruta daramatza; zamaren 5 2 laranjak dira; , sagarrak eta gainerakoak, udareak. 3 Fruta mota bakoitzeko zenbat tona daramatza kamioiak? 1 15 = = 3 tona. 5 5 2 30 Sagarrak: 15en = = 10 tona. 3 3 Udareak: 15 − (3 + 10) = 2 tona.

Laranjak: 15en

076

EGIN HONELA NOLA KALKULATZEN DA GUZTIZKOAREN ZATI BAT? Festa batean koloretako 16 bonbilla jarri ziren. Festa amaitutakoan, laurdenak soilik egiten zuen argia. Zenbat bonbilla erre ziren? LEHENA.

Erretako bonbillei dagokien zatikia kalkulatu behar da. 1 1 1 4 1 3 1− = − = − = 4 1 4 4 4 4 3 erre egin ziren. 4

Bonbillen

BIGARRENA.

Zatiki horrek zer zenbaki adierazten duen zehaztu behar da.

16ren

3 3 ⋅ 16 48 = = = 12 bonbilla 4 4 4

12 bonbilla erre ziren.

077

Gela bateko 30 ikasletik

●●

30en

3 neskak dira. Zenbat dira mutilak? 5

3 3 = ⋅ 30 = 18 neska. Beraz, 30 − 18 = 12 dira mutilak. 5 5

73

917840 _ 0048-0081.qxd

17/3/08

13:38

Página 74

Zatikiak 078 ●●

4 erabiltzen da zukua egiteko; izan ere, gainerakoa azala da. 9 27 kg laranja erabiltzen baditugu, zenbat zuku lortuko dugu? Eta zenbat azal? Laranja baten

4 4 = ⋅ 27 = 12 → 12 kg zuku 9 9 27 − 12 = 15 kg azal

27ren

079 ●●

24 ikasleko gela bateko

3 ek gripea izan du. Ikasleen zer zatiki ez da 8

gaixotu? Zenbat dira? Ikasleen

3 3 5 = gaixotu badira, ikasleen 1 − ez dira 8 8 8

gaixotu. 24ren

080

5 5 = ⋅ 24 = 15 . 15 ikasle ez dira gaixotu. 8 8

EGIN HONELA NOLA LORTZEN DA GUZTIZKOA ZATIETAKO BAT JAKINDA? 3 900 metro egin ditut; hots, ibilbide osoaren . Zein da ibilbidearen luzera? 7 LEHENA. Zati bakoitza ibilbide osoaren zenbat metro diren kalkulatu behar da.

300 m

300 m

300 m

m 900

3 1 900 m badira → hau da: 900 : 3 = 300 m 7 7 BIGARRENA.

Ibilbide osoa zehaztu behar da.

7 zatietako bat 300 m luze bada, 7 zatiak 300 ⋅ 7 = 2.100 m luze izango dira.

74

917840 _ 0048-0081.qxd

8/2/08

12:22

Página 75

ERANTZUNAK

081

Hiru kilo-laurden urdaiazpikok 15 € balio badu, zenbat balio du kilo eta erdik?

●●

Kiloaren

3 1 ek 15 € balio badu, kiloaren ek hau balio du: 15 : 3 = 5 €. 4 4

Kilo eta erdi hau da: 1 +

082 ●●

2

1 3 6 = = ; eta prezio hau du: 6 ⋅ 5 = 30 €. 2 2 4

1 behar izaten 3 dutela etxebizitza ordaintzeko; hots, urtean 11.000 € inguru. Zein da herrialde horretako familia baten hileko batez besteko errenta? Inkesta batek dio herrialde bateko familiek irabazten dutenaren

Urteko errentaren

1 11.000 € bada, urteko errenta: 11.000 ⋅ 3 = 33.000 €. 3

Hileko batez besteko errenta: 33.000 : 12 = 2.750 €.

083 EGIN HONELA NOLA KALKULATZEN DA ZATIKI BATEN ZATIKIA? Parke natural bateko animalien hiru bosten ugaztunak dira, eta animalia ugaztun horien bost seiren, berriz, haragijaleak. Parke naturaleko animalia guztien zer zatiki dira ugaztun haragijaleak? LEHENA.

Egoera grafikoki adieraztea.

Irudia 30 zatitan banatuta gelditu da eta haietatik 15 hartu behar dira. BIGARRENA.

Zati osoaren zatikia kalkulatzea. 3 5 15 1 ⋅ = = 5 6 30 2

Ugaztun haragijaleak parke naturaleko animalia guztien erdia dira.

75

917840 _ 0048-0081.qxd

8/2/08

12:22

Página 76

Zatikiak 084 ●●

Aukeraketa egin dute telebistako lehiaketa baterako. Lehen proban, aurkeztutakoen 7 4 bota dituzte eta gelditzen zirenen ek bertan behera utzi dute bigarren proba. 12 13 a) Lehiakideen zer zatikik gainditu dute bigarren proba? b) 130 lehiakidek gainditu badute lehen proba, zenbat gelditu dira bigarrenaren ondoren? 5 4 4 5 9 = en a) 2. proban en bota dituzte; jarraitzen dutenak: 1 − . 12 13 13 12 13 b) 2. probaren ondoren, 130en

●●

1 hartzen du astero. 100 3.415 ogi saltzen baditu eta eman egiten baditu sobera geratutakoak, 1 ogien , zenbat ogi egiten ditu astean? 70 Okin batek, etxean jateko, egindako ogien

3.415 ogiak ogi guztien 1 −

1 1 683 − = dira. 100 70 700 F

085

9 9 = ⋅ 130 = 90 lehiakide geratu dira. 13 13

m.k.t. (100, 70) = 700

Beraz, okinak 3.415 ⋅

086 ●●●

Aitorrek, Ibonek eta Egoitzek Eguberritan senitartekoek emaniko diru guztia bildu zuten. 6 Aitorrek 100 €-ren jaso zuen; 8 7 Ibonek, 100 €-ren ; eta Egoitzek, 8 3 berriz, 100 €-ren . Hortaz, zenbat diru bildu zuten guztira hiru lagunen artean? 8 Aitorrek: 100en Ibonek: 100en

76

700 = 3.500 ogi egiten ditu. 683

6 = 75 €. 8 7 = 87,50 €. 8

Egoitzek: 100en

3 = 37,50 €. 8

Guztira = 75 + 87,50 + 37,50 = 200 €

917840 _ 0048-0081.qxd

8/2/08

12:22

Página 77

ERANTZUNAK

087 ●●●

2

Orain dudan diru kopuruari diru horren erdia, bostena eta 1 € gehituko banizkio, 324 €-ko telebista erosi ahal izango nuke. Zenbat diru daukat? 1+

1 1 17 + = 2 5 10

Diruaren

17 hau da: 10

324 − 1 = 323 € Beraz, diru kopuru hau daukat: 323 :

088 ●●●

17 323 ⋅ 10 = = 190 € 10 17

2 3 baino handiagoa eta baino txikiagoa dena. Idatziko al 5 5 zenituzke bi? Eta hiru? Arrazoitu eta adierazi bi zatiki horien arteko zenbat zatiki idatz ditzakezun. Idatzi zatiki bat,

Bi zatikien kendura hau da: 3 2 1 − = 5 5 5 1 1 1 2 1 3 Zatiki txikienari en , , , , … batzen badiogu, bi zatikien 5 2 3 3 4 4 arteko zatikiak lortuko ditugu. 2 3 baino handiagoa eta baino txikiagoa den zatiki bat hau da: 5 5 2 1 1 4+1 1 2 1 3 + ⋅ = = < < → 5 2 5 10 2 5 2 5 2 1 1 6+1 7 2 2 1 6+2 8 + ⋅ = = + ⋅ = = eta 5 3 5 15 15 5 3 5 15 15 emandako zatikien arteko bi zatiki dira. Beraz,

Beste modu batera egiteko, zatiki baliokideak erabiliko ditugu: 2 4 5 6 3 = < < = 5 10 10 10 5 2 6 7 8 9 3 = < < < = 5 15 15 15 15 5 2 8 9 10 11 12 3 = < < < < = 5 20 20 20 20 20 5 Hau da, bi zatiki jakinen artean dauden nahi adina zatiki idatz daitezke.

77

917840 _ 0048-0081.qxd

8/2/08

12:22

Página 78

Zatikiak 089 ●●●

Ordenatu zatikiak, jakinik a eta b letrak bi zenbaki arrunt direla eta a < b < a 2 betetzen dutela. 1 1 a a+b , , , a b b b Zatikiak izendatzaile beraz adieraziko ditugu: 1 b = a ab

1 a = b ab

a +b a (a + b ) = b ab

a a2 = b ab

Zenbakitzaileak alderatuko ditugu, jakinik a < b dela:

a < b < a 2 < a (a + b) →

090

1 1 a a+b < < < b a b b

Egin kenketa hauek.

●●●

1−

1 2

1 1 − 2 3

1 1 − 3 4

1 1 − 4 5

Begiratu emaitzei eta kalkulatu. 1 1 1 1 + + +…+ 2 6 12 999.000 1−

1 1 = 2 2

1 1 1 − = 2 3 6

1 1 1 − = 3 4 12

1 1 1 − = 4 5 20

1 1 1 1 + + + ... + = 2 6 12 999.000 999 1 1 1 1 1 1 1 1 = 1− + − + − + ... + − = 1− = 1.000 2 2 3 3 4 999 1.000 1.000

091 ●●●

Antzinako egiptoarrek zenbakitzailean bat zenbakia zuten zatikiak adierazteko soilik erabiltzen zituzten sinboloak. Gainerako zatiki guztiak aurrekoen batuketa gisa adierazten zituzten. 2 1 1 + Hortaz, adierazteko, idazten zuten. Idatzi zatiki hauek aipatu berri 3 2 6 3 4 2 5 , , dugun metodo horren bidez: , . 5 9 7 11 3 6 5 1 1 1 = = + = + 5 10 10 10 2 10 4 1 3 1 1 = + = + 9 9 9 9 3 2 8 1 7 1 1 = = + = + 7 28 28 28 28 4 5 45 1 44 1 4 1 1 1 = = + = + = + + 11 99 99 99 99 9 99 9 3

78

917840 _ 0048-0081.qxd

8/2/08

12:22

Página 79

ERANTZUNAK

2

EGUNEROKOAN 092 ●●●

Urtzik supermerkatu batean egiten du lan, etxeetara eramateko eskaerak prestatzen. Eskaera guztiak taula batean jartzen dira eta Urtziren zeregina da eskaera bakoitzeko produktuak paketetan biltzea.

1. ESKAERA 1/2 kg-ko 5 poto tomate. 2 kg txahal-xerra. 1 kg eta erdi arkume-txuleta. Hiru kilo-laurden haragi txikitu. Kilo-laurden urdaiazpiko ondu.

3. ESKAERA 1 kg oilasko-xerra. 1 kg eta 1/2 legatz. Hiru kilo-laurden perretxiko. 1 kg eta laurden haragi ontzutu. 5. ESKAERA 1 kg txahal-xerra. 1 kg eta erdi saltxitxa. Kilo-laurden eta erdi ganba. Hiru kilo-laurden haragi gisatzeko.

2. ESKAERA Kilo-erdi gazta. Hiru kilo-laurden sardina. 1 kg eta laurden txirla. 3 kg eta 1/2 txerri-solomo. Kilo-laurden eta erdi gibel. Hiru kilo-laurden hirugihar. 1/2 kg-ko 2 kutxa galleta.

4. ESKAERA 2 kg eta laurden tripaki. 5 kg patata. 1 kg eta 1/2 laranja.

6. ESKAERA 1 kg eta 3/4 txerri-solomo. 3 kg eta erdi udare. 1/2 kg gerezi.

Paketeak egin ondoren, eskaera bakoitzeko bat, edukiontzitan sartzen ditu, kontuan hartuta edukiontzi bakoitzean sartutako paketeek ez dutela 12 kg baino pisu handiagoa izan behar. Paketeak etxeetara eramateko, motor bat eta auto bat dituzte. Motorrak edukiontzi bakarra eraman dezake; eta autoak, toki kontuengatik, gehienez ere 4 edukiontzi. Nola antolatuko ditu Urtzik? 1. eskaera = 7 kg 2. eskaera = 8,125 kg 3. eskaera = 9,5 kg 4. eskaera = 8,75 kg 5. eskaera = 3,625 kg 6. eskaera = 5,75 kg

Antolatu edukiontziak, etxeetarako banaketa ahalik azkarrena egiteko moduan. Gogoan izan motorrak autoaren denbora erdian burutzen duela banaketa, askoz errazago aparkatzen baita.

Behar diren edukiontzien kopuru minimoa 5 da; beraz, eskaera bana daramaten 4 edukiontzi autoan sartuko ditugu, eta bi eskaera daramatzan edukiontzia, motorrean, azkarragoa baita.

79

917840 _ 0048-0081.qxd

8/2/08

12:22

Página 80

Zatikiak 093 ●●●

Ordenagailuen bidez, nahi dugun letrakera eta neurria erabiliz idatz ditzakegu testuak. Letren neurria puntuen bidez neurtzen da. 3 Milimetroaren da puntu bat. 8 Argitalpen-arauen arabera, lerroarteak (testuko bi lerroren arteko distantziak) letren neurria baino 2 puntu handiagoa izan behar du; puntu eta aparteetan izan ezik. Halakoetan, lerroen arteko tarteak zizero-erdi bat handiagoa izan behar du (zizero bat 12 puntu dira).

A4 neurriko orriak 297 milimetro luze dira. Orri horietan, 3 zentimetroko tartea utzi ohi da goian, eta 2,5ekoa, behean.

6 paragrafoko (5 puntu eta aparte) eta 56 lerroko testu bat badugu, zer letra neurri erabil dezakegu, gehienez ere, guztia orrialde bakarrean sartu ahal izateko? 297 − 30 − 25 = 242 mm ditu A4 neurriko orri batek. 56 lerrotan 55 lerroarte daudenez, lerroarte horietako 5 paragrafo-jauziei dagozkie. 56 ⋅

3 3 3 x + 50 ⋅ ⋅ (x + 2) + 5 ⋅ ⋅ (x + 6) = 8 8 8 =

3 3 ⋅ (56 x + 50 x + 100 + 5 x + 30) = ⋅ (111x + 130) < 242 mm m 8 8

3 8 ⋅ (111x + 130) = 242 → 111x = ⋅ 242 − 130 → 8 3 ⎛8 ⎞ → x = ⎜⎜ ⋅ 242 − 130⎟⎟⎟ : 111 = 4, 64 ⎜⎝ 3 ⎟⎠ Hots, 4 puntuko letra neurria erabil dezakegu, gehienez.

80

917840 _ 0048-0081.qxd

17/3/08

13:38

Página 81

ERANTZUNAK

094 ●●●

2

Hauek dira Batzar Jauregi berrirako diseinatutako beirateak. Triangelu aldeberdinaren forma dute eta beste zenbait triangelu aldeberdinetan daude banatuta.

Beirate bakoitzak 1 m2-eko azalera badu, kalkulatu kristal urdin, gorri, berde, hori, marroi eta laranjaren zer azalera behar den 22 beirate egiteko. Urdina ⎯ → beirate bakoitzaren

1 22 = 5, 5 m2 → 4 4

Gorria ⎯→ beirate bakoitzaren

1 1 1 22 11 ⋅ = = = 1, 833... m2 ⎯ → 3 4 12 12 6

Berdea ⎯ → beirate bakoitzaren

1 1 1 22 11 ⋅ = = = 0, 34375 m2 → 16 4 64 64 32

Horia ⎯⎯ → beirate bakoitzaren

4 1 1 22 11 ⋅ = = = 1, 375 m2 → 16 4 16 16 8

Marroia ⎯ → beirate bakoitzaren

3 1 1 22 11 ⋅ = = = 1, 375 m2 → 12 4 16 16 8

Laranja ⎯ → beirate bakoitzaren

1 1 1 22 11 ⋅ = = = 0, 45833... m2 → 12 4 48 48 24

81

917840 _ 0082-0109.qxd

3

8/2/08

12:24

Página 82

Zenbaki hamartarrak ZENBAKI HAMARTARRAK

HAMARTAR ZEHATZAK

HAMARTAR EZ-ZEHATZAK ETA EZ-PERIODIKOAK

HAMARTAR PERIODIKOAK

PERIODIKO SOILAK

PERIODIKO MISTOAK

ZENBAKI HAMARTARREN ERAGIKETAK

BATUKETA

82

KENKETA

BIDERKETA

ZATIKETA

917840 _ 0082-0109.qxd

8/2/08

12:24

Página 83

Haizearen norabidean Enkargua amaituta zegoen, eta ontziak haizearen laguntzaz abiadura hartu eta, noraezean, hondartzan aurrera kilometro mordoa egin ahala, bidaiarien aurpegia antzaldatzen ari zen: batzuen aurpegiko kolorea zurbiltzen hasia zen, eta erabat ikaratuta eusten zieten gurdiaren heldulekuei; beste batzuk, aitzitik, musugorritzen ari ziren eta oihu egiten zuten gurdia zeramaten zaldi ikusezinak akuilatu nahiko balituzte bezala. Maurizio Nassaukoa kondea, obraren mezenasa, oso gustura zegoen. –Stevin jauna, haizearen indarrak mugitzen duen gurdi honek, oihala puztuta daramala, sobera gainditzen du nik emaniko enkargua. Hogeita bost pertsona baino gehiago gara gurdian eta azkarrago goaz zaldiz lauhazka bizian atzetik datozkigunak baino. Simon Stevinek une bat hartu zuen zenbait kopuru idazteko: –Kalkuluetan ikus dezakezuen bezala, gurpil txikiagoak erabiliz gero, metro eta hogeita sei zentimetrokoak, handitu egin daiteke abiadura.

0 1 2

126 m Stevinek 1,26 zenbaki hamartarra idatzi zuen. Zein da zure altuera metrotan? Idatzi Simon Stevinek egingo zukeen bezala.

Esate baterako, ikasle baten garaiera 1,76 m bada, 176 zenbakia eta 1 zenbakiaren gainean barruan 0 duen zirkulua idazten da; 7aren gainean, barruan 1 zenbakia duen zirkulua, eta 6aren gainean, 2 zenbakia duena.

917840 _ 0082-0109.qxd

8/2/08

12:24

Página 84

Zenbaki hamartarrak ARIKETAK 001

Adierazi zenbaki hamartar hauek modu laburrean. a) 34,65555… b) 0,31111…

002

c) 9,763333… d) 0,6666…

 a) 34,65

 c) 9,763

 b) 0,31

 d) 0,6

Sailkatu zenbaki hamartar hauek. a) 61,454545… b) 2,5 c) 7,3333…

d) 58,37777… e) 0,55 f) 6,34444…

a) Hamartar periodiko soila; periodoa 45 da. b) Hamartar zehatza. c) Hamartar periodiko soila; periodoa 3 da. d) Hamartar periodiko mistoa; periodoa 7 da, eta aurre-periodoa, 3. e) Hamartar zehatza. f) Hamartar periodiko mistoa; periodoa 4 da, eta aurre-periodoa, 3. 003

Idatzi eta sailkatu zatiki bakoitzari dagokion zenbaki hamartarra. a)

004

45 3

b)

12 13

c)

5 12

d)

95 3

a)

45 = 15 → Osoa 3

b)

12 = 0, 923076923076... = 0,  923076 → Hamartar periodiko soila 13

c)

5  = 0, 416666... = 0,416 → Hamartar periodiko mistoa 12

d)

95  = 31, 6666... = 31,6 → Hamartar periodiko soila 3

Zein dira ez-zehatzak eta ez-periodikoak? a) 5,2233344444… b) 5,232425…

c) 5,2345345345… d) 5,223223223…

a) Ez-zehatza eta ez-periodikoa da, ez dagoelako errepikatzen den zifra talderik. b) Ez-zehatza eta ez-periodikoa da, ez dagoelako errepikatzen den zifra talderik. c) Periodiko mistoa da; periodoa 345 da, eta aurre-periodoa, 2. d) Periodiko soila da; periodoa 223 da.

84

917840 _ 0082-0109.qxd

8/2/08

12:24

Página 85

ERANTZUNAK

005

3

Ordenatu zenbaki hamartar hauek handienetik txikienera. a) 6,1; 4,22; 4,02; 6,11; 3,99; 3,9 b) 5,602; 5,611; 5,6005; 5,60102 c) 0,02; −1,05; 0,8; 0,12; −0,025; 0,07 a) 6,11 > 6,1 > 4,22 > 4,02 > 3,99 > 3,9 b) 5,611 > 5,602 > 5,60102 > 5,6005 c) 0,8 > 0,12 > 0,07 > 0,02 > −0,025 > −1,05

006

Idatzi tarte bakoitzeko bi zenbaki: a) 0,5 eta 1,2

b) 0,05 eta 0,5

c) −2,01 eta −2

a) 0,5 < 0,6 < 0,7 < 0,8 < 0,9 < 1 < 1,2 b) 0,05 < 0,1 < 0,2 < 0,3 < 0,4 < 0,45 < 0,5 c) −2,01 < −2,005 < −2,004 < −2,003 < −2,002 < −2,001 < −2 007

Idatzi −7,123456…tik gorako 3 zenbaki. −7,123456…tik gorako 3 zenbaki hauek dira, adibidez: −7,1; −2 eta 0.

008

Egin eragiketa hauek. a) 72,82 + 4,003 + 9,0195 b) (5,02 − 3,009) + (7,96 − 2,1) c) 42,78 − (13,25 − 10,9672) a) 85,8425 b) 7,871 c) 40,4972

009

Ebatzi. a) 3,2 ⋅ 0,45 a) 1,44

010

b) 14,8045

Egin eragiketa hauek. a) (5,03 − 4,95) ⋅ 1,26 a) 0,1008

011

b) 7,25 ⋅ 2,042

b) 9,82 + 6,2 ⋅ 0,02 b) 9,944

Idatzi falta den gaia. a) 7,24 +  = 9,567 a) 2,327

b)  − 65,005 = 23,675 b) 88,68

85

917840 _ 0082-0109.qxd

8/2/08

12:24

Página 86

Zenbaki hamartarrak 012

Egin zatiketa hauek. a) 459,3 : 5 b) 37,485: 14

c) 478 : 7,86 d) 1.000,59 : 0,02

a) 91,86 b) 2,6775 013

c) 60,8142 d) 50.029,5

Egin eragiketa hauek. a) 23,4 :  = 5,85

b)  : 6,24 = 3

a) 4 014

b) 18,72

126,92 € ditut, eta 25,60 € balio duen liburu bat eta ahal ditudan haur-komiki guztiak erosi nahi ditut. Haur-komiki bakoitzak 5,96 € balio badu, zenbat eros ditzaket? Liburua erosi ondoren, 126,92 − 25,60 = 101,32 € ditut. 101,32 : 5,96 = 17 haur-komiki eros ditzaket.

015

KOMIKIA

Ebatzi erro koadro hauek. a)

19

e)

37

b)

51

f)

127

c)

7

g)

625

d)

16

h)

1

a) 42 < 19 < 52 → Erro osoa 19 = 4 da, eta hondarra, 19 − 42 = 3. b) 72 < 51 < 82 → Erro osoa 51 = 7 da, eta hondarra, 51 − 72 = 2. c) 22 < 7 < 32 → Erro osoa 7 = 2 da, eta hondarra, 7 − 22 = 3. d) Erro zehatza 16 = 4 da, 16 = 42 delako. e) 62 < 37 < 72 → Erro osoa

37 = 6 da, eta hondarra, 37 − 62 = 1.

f) 112 < 127 < 122 → Erro osoa 127 = 11 da, eta hondarra, 127 − 112 = 6. g) Erro zehatza 625 = 25 da, 625 = 252 delako. h) Erro zehatza 1 = 1 da, 1 = 12 delako. 016

Lortu erro koadro bakoitzaren hurbilketa hamartarra. a)

21

b)

10

a) 4,58 < 21 < 4,59 b) 3,16 < 10 < 3,17

86

c) 6,70 <

45 < 6,71

d) 9,16 <

84 < 9,17

c)

45

d)

84

917840 _ 0082-0109.qxd

8/2/08

12:24

Página 87

ERANTZUNAK

017

3

Bi zenbaki osoren erro koadroen hurbilketa hamartarra izan al daiteke 6,23? Ez dago erro koadroaren hurbilketa 6,23 duen zenbaki osorik.

018

Lortu zenbaki bakoitzaren erro koadroa eta hondarra. Egiaztatu kalkuluak ongi egin dituzula. a) 379 b) 1.735 c) 1.043

019

d) 273 e) 2.670 f) 3.941

a)

379 = 19 da, eta hondarra, 379 − 192 = 18.

b)

1.735 = 41 da, eta hondarra, 1.735 − 412 = 54.

c)

1.043 = 32 da, eta hondarra, 1.043 − 322 = 19.

d)

273 = 16 da, eta hondarra, 273 − 162 = 17.

e)

2.670 = 51 da, eta hondarra, 2.670 − 512 = 69.

f)

3.941 = 62 da, eta hondarra, 3.941 − 622 = 97.

Zenbaki baten erro koadroa 32 da, eta hondarra, 24. Zer zenbakirena? Zenbakia hau da: 322 + 24 = 1.048.

020

Izan al daiteke zenbaki baten erro koadroa 8, eta hondarra, 60? Arrazoitu. Ezinezkoa da, zenbaki baten, x-ren, erro koadroa 8 bada: 82 < x < 92. Hondarra 16 baino txikiagoa da; izan ere, 80 − 64 = 16. Oro har, zenbaki baten erro koadroa n bada, hondarra 2n baino txikiagoa edo berdina da.

021

Lortu erro koadroa hamartar batekin. a) 379 b) 735 c) 273

d) 1.438 e) 496 f) 7.881

a)

379 = 19,4 da, eta hondarra, 379 − 19,42 = 2,64.

b)

735 = 27,1 da, eta hondarra, 735 − 27,12 = 0,59.

c)

273 = 16,5 da, eta hondarra, 273 − 16,52 = 0,75.

d)

1.438 = 37,9 da, eta hondarra, 1.438 − 37,92 = 1,59.

e)

496 = 22,2 da, eta hondarra, 496 − 22,22 = 3,16.

f)

7.881 = 88,7 da, eta hondarra, 7.881 − 88,72 = 13,31.

87

917840 _ 0082-0109.qxd

8/2/08

12:24

Página 88

Zenbaki hamartarrak 022

Lortu errokizuna baldin eta: a) Erro koadroa 18,9 bada, eta hondarra, 2,79. b) Erro koadroa 39,2 bada, eta hondarra, 3,36. a) 18,92 + 2,79 = 360

023

Kalkulatu hondarra, kasu bakoitzean. a) Errokizuna = 530 b)

Erro koadroa = 23

1.170 = 34, 2 a) 530 − 232 = 1

024

b) 1.170 − 34,22 = 0,36

Zenbaki baten erro koadro osoa 5 da, eta haren hondarra, ahal den handiena. a) Zein da hondarra?

b) Eta zenbakia?

a) Hondarra: 2 ⋅ 5 = 10.

025

b) Zenbakia: 52 + 10 = 35.

Hurbildu zenbaki hamartar hauek ehunenetara biribiltze eta etendura bidez. a) 156,2593

c) 36,243

b) 1,2064

d) 9,0503

a) b) c) d)

026

b) 39,22 + 3,36 = 1.540

Biribiltzea: 156,26 Biribiltzea: 1,21 Biribiltzea: 36,24 Biribiltzea: 9,05

Etendura: 156,25 Etendura: 1,20 Etendura: 36,24 Etendura: 9,05

Kalkulatu iritzira eragiketa honen emaitza. 1,48 + 1,9785 − 0,9467 ⋅ 3,023 Hurbilketa eginez gero, hau da emaitza: 1,5 + 2 − 1 ⋅ 3 = 0,5. Emaitza zehatza hau da: 1,48 + 1,9785 − 0,9467 ⋅ 3,023 = 0,5966.

027

Biribildu milarenetara 2,35 cm-ko aldea duen karratu baten azalera. Karratuaren azalera hau da: 2,352 = 5,5225 cm2. Azalera, milarenetara biribilduta, hau da: 5,523 cm2.

88

917840 _ 0082-0109.qxd

8/2/08

12:24

Página 89

ERANTZUNAK

3

ARIKETAK 028 ●

Adierazi kopuru hauetako bakoitza zenbakiak erabiliz. a) Lau ehunen. d) Ehun eta zortzi bateko eta lau milaren. b) Sei hamarren. e) Mila eta bat bateko eta zazpi hamar milaren. c) Hamahiru milaren. f) Hamalau bateko eta bi ehunen. a) 0,04 b) 0,6

029 ●

●

031 ●

e) 1.001,0007 f) 14,02

Idatzi nola irakurtzen diren zenbaki hauek. a) 3,24 e) 102,04 b) 49,3 f) 1.800,556 c) 0,001 g) 2,00005 d) 1,03 h) 25,5759 a) b) c) d) e) f) g) h)

030

c) 0,013 d) 108,004

Hiru bateko eta hogeita lau ehunen. Berrogeita bederatzi bateko eta hiru hamarren. Milaren bat. Bateko bat eta hiru ehunen. Ehun eta bi bateko eta lau ehunen. Mila eta zortziehun bateko eta bostehun eta berrogeita hamasei milaren. Bi bateko eta bost ehun milaren. Hogeita bost bateko eta bost mila zazpiehun eta berrogeita hemeretzi hamar milaren.

Osatu taula hau, zenbakiak osagaitan deskonposatuta.

Zenbakia 12,59 385,075 1 0,0023 0,1 105,426 2,359

E 0 3 0 0 0 1 0

H 1 8 0 0 0 0 0

B 2 5 1 0 0 5 2

h 5 0 0 0 1 4 3

e 9 7 0 0 0 2 5

m hm 0 0 5 0 0 0 2 3 0 0 6 0 9 0

Osatu. a) Bi bateko  milaren dira. b) Hamarren bat  ehunen dira. c) Hiru bateko eta bi hamarren  milaren dira. d) Hogei milaren  ehunen dira. a) b) c) d)

Bi bateko 2.000 milaren dira. Hamarren bat 10 ehunen dira. Hiru bateko eta bi hamarren 3.200 milaren dira. Hogei milaren 2 ehunen dira.

89

917840 _ 0082-0109.qxd

8/2/08

12:24

Página 90

Zenbaki hamartarrak 032 ●●

Esan adierazpen hauek zuzenak ala okerrak diren. a) 1,05 bateko ehun eta bost ehunen dira. b) Lau bateko eta hiru hamarren lau bateko eta hogeita hamar ehunen dira. c) 2,452 eta 2,453 zenbakien artean ez dago zenbaki bakar bat ere. d) 3,005 zenbakia 3,05 baino handiagoa da. e) Hiru bateko eta bi hamarren hogeita hamabi mila milaren dira. a) b) c) d) e)

033

Zuzena. Zuzena. Okerra, infinitu zenbaki daude. Okerra, 3,05 baino txikiagoa da. Okerra, 3.200 milaren dira.

Adierazi zenbaki periodiko bakoitzaren periodoa eta aurre-periodoa.

●

a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) 034 ●

Periodoa = 4 Periodoa = 5 Periodoa = 874 Periodoa = 54 Periodoa = 43 Periodoa = 5 Periodoa = 321 Periodoa = 325 Periodoa = 39 Periodoa = 2593

Zatiketarik egin gabe, adierazi zatiki hauetatik zein diren hamartar zehatzak, eta zein, ez. 3 8 7 b) 9

11 6 2 d) 25

a)

c)

a) Zehatza b) Ez-zehatza

90

Aurre-periodoa = 2 Aurre-periodoa = ez du Aurre-periodoa = ez du Aurre-periodoa = 0436 Aurre-periodoa = 625 Aurre-periodoa = 37424 Aurre-periodoa = 4 Aurre-periodoa = ez du Aurre-periodoa = 64 Aurre-periodoa = ez du

c) Ez-zehatza d) Zehatza

8 21 17 f) 40 e)

e) Ez-zehatza f) Zehatza

12 13 23 h) 18

g)

g) Ez-zehatza h) Ez-zehatza

917840 _ 0082-0109.qxd

8/2/08

12:25

Página 91

ERANTZUNAK

035 ●

Esan zer motatako zenbaki hamartarra den zatiki bakoitzaren adierazpen hamartarra. a)

39 70

c)

39 8

e)

39 125

g)

39 60

b)

78 39

d)

39 40

f)

39 180

h)

117 39

a) Periodiko mistoa b) Arrunta 036 ●

 d) 50,003

g) 0,5

b) 25,00

e) 0,005

 h) 42,02

95 2

f)

15 5

i)

100 4

d) Hamartar periodikoa e) Hamartar zehatza f) Osoa

a)

2 9

c)

26 180

e)

1 198

b)

8 11

d)

29 900

f)

100 36

2  = 0,2 9 8  = 0,72 b) 11

●●

g) Zehatza h) Arrunta

g) Hamartar zehatza h) Hamartar periodikoa i) Osoa

Egin zatiketak eta esan hamartar periodiko soilak ala hamartar periodiko mistoak diren. Ondoren, adierazi zati osoa eta periodoa.

a)

038

e) Zehatza f) Periodiko mistoa

a) 15,02

a) Hamartar zehatza b) Osoa c) Hamartar zehatza

●

c) Zehatza d) Zehatza

Adierazi zein diren osoak, eta zein, ez.

c)

037

3

26 13  = = 0,14 180 90 29  = 0,032 d) 900 c)

1  = 0,0050 198 100 25  = = 2,7 f) 36 9 e)

Idatzi zatidura hauek dituzten hiruna zatiki: a) Zenbaki osoak. b) Zenbaki hamartar zehatzak. c) Zenbaki hamartar periodikoak. 15 15 15 = 5; = 3; = 15. 3 5 1 15 15 15 = 7, 5 ; = 1, 5 ; = 0, 015. b) Zenbaki hamartar zehatzak: 2 10 1.000 15  15 =   15 = 1, 0714285 = 1,6 c) Zenbaki hamartar periodikoak: ; ; 1,36. 9 14 11 a) Zenbaki osoak:

91

917840 _ 0082-0109.qxd

8/2/08

12:25

Página 92

Zenbaki hamartarrak 039 ●●

Adierazi zenbaki hamartar hauetatik zein ez diren ez zehatzak, ez periodikoak. a) 2,3333…

e) 2,355355355…

b) 2,353355333555…

f) 2,535535535…

c) 2,35555…

g) 2,353553555…

d) 2,333

h) 2,353553555

Atal hauetako zenbakiak ez-zehatzak eta ez-periodikoak dira: b) 2,353355333555… g) 2,353553555…

040 ●●

Idatzi ezaugarri hauek dituzten zenbaki hamartarrak eta esan zer motatakoak diren. a) Zati osoa 26 da, eta periodoa, 5. b) Zati osoa 8 da, eta periodoa, 96. c) Zati osoa 5 da, eta zati hamartarra, 209. d) Zati osoa 0 da; zati hamartar ez-periodikoa, 4; eta periodoa, 387. e) Zati osoa 1 da; zati hamartar ez-periodikoa, 0; eta periodoa, 3.  a) 26,5

 d) 0,4387

 b) 8,96

 e) 1,03

c) 5,209

041

EGIN HONELA NOLA ADIERAZTEN DA ZENBAKI HAMARTAR ZEHATZ BAT ZATIKI GISA? Adierazi zatiki gisa. a) 3,87 LEHENA.

b) 0,0556

Hamartar kopurua zehaztu behar da. a) 3,87 ⎯⎯→ 2 hamartar b) 0,0556 → 4 hamartar

Zenbakia adierazteko, baldintza hauek betetzen dituen zatikia idatzi behar da: • Zenbakitzailean, zenbakia koma hamartarrik gabe. • Izendatzailean, bat zenbakia gehi zenbakiak duen zifra hamartar adina zero.

BIGARRENA.

a) 3, 87 =

387 100

b) 0, 0556 =

92

556 139 = 10.000 2.500

917840 _ 0082-0109.qxd

8/2/08

12:25

Página 93

ERANTZUNAK

042 ●●

Idatzi zenbaki hamartar zehatz hauek zatiki gisa, eta ondoren, ahal bada, sinplifikatu emaitza. a) 25,78 b) 0,257

043 ●●●

e) 25,793 f) 39,75

g) 3,697 h) 375,8

i) 97,95 j) 150,2

2.578 1.289 = 100 50

f) 39, 75 =

3.975 159 = 100 4

b) 0, 257 =

257 1.000

g) 3, 697 =

3.697 1.000

c) 27, 73 =

2.773 100

h) 375, 8 =

3.758 1.879 = 10 5

d) 1.520, 3 =

15.203 10

i) 97, 95 =

9.795 1.959 = 100 20

e) 25, 793 =

25.793 1.000

j) 150, 2 =

1.502 751 = 10 5

Zenbaki hamartar hauetako bakoitzean, zer zifra hamartar dago zifra hamartarren hamahirugarren tokian?

a) 4

●

c) 27,73 d) 1.520,3

a) 25, 78 =

 a) 4,2345

044

3

 b) 3,653

c) 5,25

b) 6

 d) 93,2456

c) 0

d) 6

Ordenatu zenbaki hamartar zehatz hauek txikienetik handienera. a) 0,75; 0,57; 0,507; 0,705 b) 0,102; 0,05; 0,105; 0,501; 0,251 a) 0,507 < 0,57 < 0,705 < 0,75 b) 0,05 < 0,102 < 0,105 < 0,251 < 0,501

045 ●

Idatzi zenbaki hamartar zehatz bana. a) 14,065 >  > 13,95 b) 14,065 >  > 14,06

c) 14,065 >  > 14,061 d) 14,065 >  > 14,0651

a) 14,065 > 14 > 13,95 b) 14,065 > 14,062 > 14,06 046 ●

c) 14,065 > 14,062 > 14,061 d) 14,065 > 14,06505 > 14,0651

Idatzi tarte bakoitzeko hiru zenbaki hamartar. a) 2,3 eta 3,6 b) 2,3 eta 2,4 a) 2,4; 2,5 eta 2,6 b) 2,35; 2,36 eta 2,37

c) 2,31 eta 2,32 d) 2,31 eta 2,311 c) 2,3101; 2,3102 eta 2,3103 d) 2,3101; 2,3102 eta 2,3103

93

917840 _ 0082-0109.qxd

8/2/08

12:25

Página 94

Zenbaki hamartarrak 047

Ordenatu zenbakiak txikienetik handienera.

●●

    0,25 ; 0,025 ; 0,25 ; 0,205; 0,205     0,025 < 0,205 < 0,205 < 0,25 < 0,25

048

EGIN HONELA NOLA LORTZEN DA BI ZENBAKI HAMARTAR PERIODIKOREN ARTEKO BESTE BAT? Lortu bi zenbaki hauen arteko zenbaki hamartar periodiko bat:   a) 5,7 eta 5,8 LEHENA.

  b) 3,45 eta 3,46

Zenbakiak hamartar kopuru beraz adierazi behar dira.  a) 5,7 ⎯ → 5,777

 ⎯ → 5,888 5,8

 b) 3,45 → 3,455  3,46 → 3,466

Bietan txikienari azken zifra hamartarra baino handiagoko hamartarrak gehitu behar zaizkio. Zifra horiek eta periodoak osatuko dute periodoa.

BIGARRENA.

      < 5,780 < 5,781 < 5,782 < 5,783 < … < 5,8 a) 5,7

     b) 3,45 < 3,456 < 3,457 < 3,458 < … < 3,46

049 ●●

Bete hutsuneak, zenbaki hamartar periodiko soil bana idatziz.   a) 4,375 <  < 4,376   b) 1,25 <  < 1,26    a) 4,375 < 4,3754 < 4,376    b) 1,25 < 1,253 < 1,26

050 ●●

  a) 2,375 <  < 2,376   b) 0,12 <  < 1,13    b) 0,12 < 0,123 < 1,13

051

   c) 5,6 < 5,67 < 5,7

   d) 0,06 < 0,061 < 0,07

Bete hutsuneak, zenbaki hamartar periodiko misto bana idatziz.

   a) 2,375 < 2,3754 < 2,376

●●●

  c) 5,6 <  < 5,7   d) 0,06 <  < 0,07

  c) 6,3283 <  < 6,3283   d) 0,061 <  < 0,062    c) 6,3283 < 6,328329 < 6,3283    d) 0,061 < 0,0613 < 0,062

Ba al da zenbaki hamartar zehatzik, periodiko soilik eta mistorik   7,4595 eta 7,4596 artean?   Zehatza ⎯⎯⎯⎯→ 7,4595 < 7,4596 < 7,4596    Periodiko soila ⎯ ⎯ ⎯ → 7,4595 < 7,4596 < 7,4596

   Periodiko mistoa → 7,4595 < 7,459664 < 7,4596

94

917840 _ 0082-0109.qxd

8/2/08

12:25

Página 95

ERANTZUNAK

052

Osatu taula hau.

●

053 ●

054 ●

055 ●

3

+ 2,4 3,5 4,9 0,75 5,25 3,84 8,23 7,44 6,50

1,7 4,1 5,2 6,6 2,45 6,95 5,54 9,93 9,14 8,2

Egin eragiketa hauek. a) 4,5 + 6,7 b) 7,05 + 8,19 c) 9,06 + 1,7 d) 152,3 + 4,938

0,5 4,25 3,15 6,65 5,55 2,9 7,75 6,65 4 9,15 8,05 5,4 4,9 5 1,25 8,4 9,5 5,75 4,34 8,09 6,99 8,73 12,48 11,38 7,94 11,69 10,59 10,75 9,75 7

e) f) g) h)

0,7 3,1 4,2 5,6 1,45 5,95 4,54 8,93 8,14 7,2

0,65 3,05 4,15 5,55 1,4 5,9 4,49 8,88 8,09 7,15

27,92 − 8,03 359,157 − 148,049 0,03 − 0,003 10,45 − 7,6923

a) 11,2

e) 19,89

b) 15,24

f) 211,108

c) 10,76

g) 0,027

d) 157,238

h) 2,7577

Osatu taula hau. × 10 100 0,2 2,2 3,6 4,25 0,3 0,25 0,75 1,1

0,2 2 20 0,04 0,44 0,72 0,85 0,06 0,05 0,15 0,22

10 100 1.000 2 22 36 42,5 3 2,5 7,5 11

3 30 300 0,6 6,6 10,8 12,75 0,9 0,75 2,25 3,3

2,5 25 250 0,5 5,5 9 10,625 0,75 0,625 1,875 2,75

0,3 3 30 0,06 0,66 1,08 1,275 0,09 0,075 0,225 0,33

1,4 14 140 0,28 3,08 5,04 5,95 0,42 0,35 1,05 1,54

100 1.000 10.000 20 220 360 425 30 25 75 110

0,1 1 10 0,02 0,22 0,36 0,425 0,03 0,025 0,075 0,11

Egin eragiketa hauek. a) 3,75 ⋅ 3 b) −15,02 ⋅ 5 c) (−3) ⋅ 0,02

d) 7 ⋅ (−6,46) e) 4,2 ⋅ 3,6 f) 7,25 ⋅ (−3,9)

g) 82,9 ⋅ (−2,7) j) −5,39 ⋅ (−31,5) h) −18,9 ⋅ 6,5 i) −110,14 ⋅ 1,03

a) 11,25

d) −12,92

g) −223,83

b) −75,1

e) 15,12

h) −122,85

c) −0,06

f) −28,275

i) −113,4442

j) 169,785

95

917840 _ 0082-0109.qxd

8/2/08

12:25

Página 96

Zenbaki hamartarrak 056 ●

057 ●

058 ●

059

Egin eragiketa hauek. a) (4,2 + 7,98) − 5,32 b) (11,95 − 6,792) − 0,04

c) (263,45 − 193,3) + 10,7629 d) 7,005 − (96,82 + 13,99)

a) 6,86

c) 80,9129

b) 5,118

d) −103,805

Kalkulatu. a) b) c) d)

(21,5 + 7,96) − (14,3 + 2,857) (52,89 − 26,14) − (3,25 − 1,0002) (62,36 + 39,485) + (15,942 − 6,7) (100,9 − 9,99) − (70,7 + 5,006) a) 12,303

c) 111,087

b) 24,5002

d) 15,204

Kalkulatu. a) 49,5 : 8 b) 148,725 : 3

c) 4.536,65 : 4 d) 57,3 : 7,2

e) 158 : 6,3 f) 9.437,02 : 3,125

a) 6,1875

c) 1.134,1625

 e) 25,0793 65

b) 49,575

 d) 7,9583

f) 3.019,8464

EGIN HONELA NOLA EBAZTEN DIRA ZENBAKI HAMARTARREN ERAGIKETA KONBINATUAK? Kalkulatu: 4,56 : 2 + 3 ⋅ (7,92 − 5,65). LEHENA.

Parentesi barruko eragiketak egin behar dira. 4,56 : 2 + 3 ⋅ (7,92 − 5,65) = 4,56 : 2 + 3 ⋅ 2,27

BIGARRENA. Biderketak eta zatiketak egin behar dira, ezkerretik eskuinera; eta azkenik, batuketak eta kenketak ordena berean.

4,56 : 2 + 3 ⋅ 2,27 = 2,28 + 6,81 = 9,09

96

060

Zenbaki hamartar hauek emanda: a = 35,49 b = 67,50 c = 15,75 kalkulatu.

●●

a) b − a b) a + c c) a − c

d) b − c e) 2 ⋅ b + 3 ⋅ c f) 4 ⋅ a − 2 ⋅ c

g) a + b h) b + c i) b − 2c

j) b : 2 k) c : 3 l) a : 7

a) 32,01

d) 51,75

g) 102,99

j) 33,75

b) 51,24

e) 182,25

h) 83,25

k) 5,25

c) 19,74

f) 110,46

i) 36

l) 5,07

917840 _ 0082-0109.qxd

8/2/08

12:25

Página 97

ERANTZUNAK

061

Egin eragiketa hauek.

●●

a) 2,4 ⋅ (3,02 + 0,456) − (9,231 + 0,4) b) 12,84 : 3,21 − (16,001 + 0,225) ⋅ 1,2 c) 102,48 : 4,27 ⋅ 1,2 − 445,98 a) −1,2886

b) −15,4712

c) −417,18

062

Egin eragiketak. Horretarako, errespetatu eragiketen hierarkia.

●●

a) 33,7 ⋅ 4,5 + 7,2 ⋅ 0,05 b) (33,7 ⋅ 4,5 + 7,2) ⋅ 0,05 c) 33,7 ⋅ (4,5 + 7,2 ⋅ 0,05) a) 152,01

063

b) 7,9425

3

c) 163,782

EGIN HONELA NOLA EGITEN DA ZENBAKI HAMARTARRA BIDER (EDO ZATI) BAT GEHI ZENBAIT ZERO? Kalkulatu. a) b) c) d)

84,26 ⋅ 10 5,2 ⋅ 1.000 84,26 : 10 5,2 : 1.000

LEHENA. Biderketa egiteko, koma eskuinera mugitu behar da, bat zenbakiak jarraian duen zero adina toki. Horretarako nahikoa zifrarik ez badago, zeroen bidez osatuko dugu emaitza.

a) 84,26 ⋅ 10 = 842,6 b) 5,2 ⋅ 1.000 = 5.200 BIGARRENA. Zatiketa egiteko, koma ezkerrera mugitu behar da, bat zenbakiak jarraian duen zero adina toki. Horretarako nahikoa zifrarik ez badago, zeroen bidez osatuko dugu emaitza.

c) 84,26 : 10 = 8,426 d) 5,2 : 1.000 = 0,0052

064 ●

Egin biderketa eta zatiketa hauek. a) 0,02 ⋅ 10 b) 1,05 ⋅ 100 c) 0,145 ⋅ 100

d) 0,02 : 10 e) 1,05 : 100 f) 0,145 : 100

a) 0,2

d) 0,002

b) 105

e) 0,0105

c) 14,5

f) 0,00145

97

917840 _ 0082-0109.qxd

8/2/08

12:25

Página 98

Zenbaki hamartarrak 065

Egin eragiketa hauek. Horretarako, errespetatu eragiketen hierarkia.

●●

a) 54,2 − 7,2 ⋅ 10 b) (513,02 − 79,7) ⋅ 1.000 c) (148,35 − 9,6 ⋅ 100) − 10,467 a) −17,8

c) −822,117

b) 433.320

066

Egin eragiketa hauek. Horretarako, errespetatu eragiketen hierarkia.

●●

a) 17,94 ⋅ 100 − 8,05 : 0,6 b) 9,8 ⋅ 10 + 41,96 : 1.000 c) 100,15 : 100 − 3,995 ⋅ 0,05

d) (8,72 − 7,85) ⋅ 0,1 − 0,2 e) 18,9654 : (1,35 + 1,05) f) 9,025 − 2,46 : (1,3 + 0,01)

a) 1.780,5833… c) 0,80175 d) −0,113

b) 98,04196

067 ●●

e) 7,90225 f) 7,14713…

Osatu segidak. + 0,25

+ 0,25

+ 0,25

− 0,75

− 0,75

− 0,75

⋅ 2,1

⋅ 2,1

⋅ 2,1

a) 15 ⎯⎯⎯→  ⎯⎯→ … ⎯⎯→ 20 b) 50 ⎯⎯⎯→  ⎯⎯→ … ⎯⎯→ 35 c) 1,5 ⎯⎯→  ⎯⎯→ … ⎯⎯→ 29,17215 : 1,8

: 1,8

: 1,8

d) 76,527504 ⎯⎯→  ⎯⎯→ … ⎯⎯→ 4,05 a) 15 15,25 15,5 15,75 16 16,25 16,5 16,75 17 17,25 17,5 17,75 18 18,25 18,5 18,75 19 19,25 19,5 19,75 20

98

b) 50 49,25 48,5 47,75 47 46,25 45,5 44,75 44 43,25 42,5 41,75 41 40,25 39,5 38,75 38 37,25 36,5 35,75 35

c) 1,5 3,15 6,615 13,8915 29,17215

d) 76,527504 42,51528 23,6196 13,122 7,29 4,05

917840 _ 0082-0109.qxd

8/2/08

12:25

Página 99

ERANTZUNAK

068 ●

Kalkulatu iritzira erro koadro bakoitzaren balio hurbildua, bi hamartarrekin. a)

37

c)

89

e)

111

b)

48

d)

72

f)

131

070 ●

a)

37 = 6, 08

b)

48 = 6, 92

c)

89 = 9, 43

e)

111 = 10, 53

d)

72 = 6, 48

f)

131 = 11, 44

Ebatzi erro koadro hauek.

069 ●

3

a)

121

e)

24.964

b)

625

f)

71.289

c)

441

g)

92.416

d)

196

h)

351.649

a)

121 = 11

e)

24.964 = 158

b)

625 = 25

f)

71.289 = 267

c)

441 = 21

g)

92.416 = 304

d)

196 = 14

h)

351.649 = 593

Adierazi, idatzizko kalkulurik egin gabe, baieztapen hauetatik zein diren okerrak. a)

23 = 4; eta hondarra, 7

e)

85 = 9; eta hondarra, 5

b)

30 = 5; eta hondarra, 10

f)

80 = 9; eta hondarra, 1

c)

45 = 7; eta hondarra, 4

g)

96 = 9; eta hondarra, 15

d)

60 = 7; eta hondarra, 11

h) 204 = 14 ; eta hondarra, 2

Atal hauetako baieztapenak okerrak dira: b), c), e), f) eta h). 071 ●●

072 ●●

Kalkulatu zenbaki bakoitzaren erro koadroa eta egiaztatu emaitza. a) 835 b) 5.793

c) 1.482 d) 4.877

a)

835 = 28 ; eta hondarra, 51

c)

1.482 = 38 ; eta hondarra, 38

b)

5.793 = 76 ; eta hondarra, 17

d)

4.877 = 69 ; eta hondarra, 116

Lortu zenbaki bakoitzaren erro koadroa, hamartar batekin, eta egiaztatu emaitza. a) 657 b) 8.271

c) 1.778 d) 3.489

a)

657 = 25, 6; eta hondarra, 1,64

c) 1.778 = 42,1; eta hondarra, 5,59

b)

8.271 = 90, 9 ; eta hondarra, 8,19

d)

3.489 = 59 ; eta hondarra, 8

99

917840 _ 0082-0109.qxd

8/2/08

12:25

Página 100

Zenbaki hamartarrak 073

Kalkulatu zenbaki hauetako bakoitzaren erro koadroa.

●●

074 ●●

075

a)

841 = 29

c)

2.704 = 52

b)

726 = 26 ; hondarra, 50

d)

6.724 = 82

e)

10.404 = 102

Lortu zenbaki oso bakoitzaren erro koadroa, bi hamartarrekin. a)

89

c)

549

e)

1.082

b)

243

d)

870

f)

3.401

a)

89 = 9, 43

c)

549 = 23, 43

e)

1.082 = 32, 89

b)

243 = 15, 58

d)

870 = 29, 49

f)

3.401 = 58, 31

EGIN HONELA NOLA KALKULATZEN DA ZENBAIT ZENBAKI HAMARTARREN ERRO KOADROA? 0, 09 .

Kalkulatu LEHENA.

Zenbaki arrazionala zatiki gisa idatziko dugu. 9 100

0, 09 = BIGARRENA.

Zatiki horren erro koadroa lortuko dugu. 9 = 100

076 ●●

100

9 100

=

3 = 0, 3 10

Egin erroketa hauek. a)

0, 64

c)

0, 81

e)

0, 25

b)

0, 49

d)

0, 36

f)

0, 0121

a)

0, 64 = 0, 8

c)

0, 81 = 0, 9

e)

0, 25 = 0, 5

b)

0, 49 = 0, 7

d)

0, 36 = 0, 6

f)

0, 0121 = 0,11

917840 _ 0082-0109.qxd

8/2/08

12:25

Página 101

ERANTZUNAK

077 ●

078 ●

079 ●

080

Eten eta biribildu 72,289 hamarrenetara. Etendura 72,2 da, eta biribiltzea, 72,3.

Eten eta biribildu 0,397 ehunenetara. Etendura 0,39 da, eta biribiltzea, 0,4.

Eten eta biribildu 125,3925 milarenetara. Etendura 125,392 da, eta biribiltzea, 125,393.

Osatu taula. Horretarako, idatzi balio bakoitzaren hurbilketak.

●

081 ●

082 ●●

3

 ; 22,45  eta 1,25667; 2,5 ; 0,547

5

Etendura Biribiltzea

Hamarrenak 1,2 1,3

Ehunenak 1,25 1,26

Milarenak 1,256 1,257

Etendura Biribiltzea

Hamarrenak 2,5 2,6

Ehunenak 2,55 2,56

Milarenak 2,555 2,556

Etendura Biribiltzea

Hamarrenak 22,4 22,5

Ehunenak 22,45 22,45

Milarenak 22,454 22,455

Etendura Biribiltzea

Hamarrenak 0,5 0,5

Ehunenak 0,54 0,55

Milarenak 0,547 0,548

Etendura Biribiltzea

Hamarrenak 2,2 2,2

Ehunenak 2,23 2,24

Milarenak 2,236 2,236

Egin 40 : 17 zatiketa eta biribildu emaitza ehunenetara. 40 : 17 = 2,35 Zer errore egiten da 2,506 + 13,007 batuketaren hurbilketa 15,5 bada? Eta 15,52 bada? 2,506 + 13,007 = 15,513 Egindako errorea hau da: 15,513 − 15,5 = 0,013. Egindako errorea hau da: 15,513 − 15,52 = −0,007 → 0,007.

101

917840 _ 0082-0109.qxd

8/2/08

12:25

Página 102

Zenbaki hamartarrak 083 ●●

Zer errore egiten da 0,8235 ⋅ 1,5 biderketaren hurbilketa 1,2353 bada? Eta 1,235 bada? 0,8235 ⋅ 1,5 = 1,23525 Egindako errorea hau da: 1,23525 − 1,2353 = −0,00005 → 0,00005. Egindako errorea hau da: 1,23525 − 1,235 = 0,00025.

084 ●●

Fruta-dendan 2,4 kg laranja erosi ditut, 1,56 kg sagar, 0,758 kg mahats, 545 g marrubi eta 255 g gerezi.

a) Zer pisu du erosketak? b) Zenbat diru gastatu dut?

Laranjak: 1,90 €/kg

Gereziak: 3,05 €/kg

Marrubiak: 2,87 €/kg

Sagarrak: 1,25 €/kg

Mahatsa: 2,36 €/kg

Erosketaren pisua: 2,4 + 1,56 + 0,758 + 0,545 + 0,255 = 5,518 kg. Beraz, gastatu dudana: 2,4 ⋅ 1,90 + 1,56 ⋅ 1,25 + 0,758 ⋅ 2,36 + 0,545 ⋅ 2,87 + 0,255 ⋅ 3,05 = 10,64 € 085 ●●

Gelako ikaslerik altuena 172 cm da altuan; eta txikiena, 148 cm. Kalkulatu bi altueren kendura eta adierazi metrotan. 1,72 − 1,48 = 0,24 Bi ikasleen altueren kendura (m-tan) 0,24 m-koa da.

086 ●●

Aita batek 15,70 € banatu nahi ditu lau seme-alaben artean, zati berdinetan. Zenbat dagokio bakoitzari?

Bakoitzari 15,70 : 4 = 3,92 € dagokio eta 2 zentimo geratu dira sobera.

102

917840 _ 0082-0109.qxd

8/2/08

12:25

Página 103

ERANTZUNAK

087 ●●

3

192,75 € ordaindu behar ditut hiru zatitan: • Lehen zatian, erdia ordaindu dut. • Bigarrenean, herena. • Eta hirugarrenean, gainerakoa. Esan zenbat ordainduko dudan zati bakoitzean. Lehen zatian: 192,75 : 2 = 96,38 €. Bigarren zatian: 192,75 : 3 = 64,25 €. Hirugarren zatian: 192,75 − 96,38 − 64,25 = 32,12 €.

088 ●●

Hazbete bat 2,54 cm badira: a) Zer luzera du 27 hazbeteko telebista batek? Eta 24 hazbeteko beste batek? b) Zenbat hazbete dira 45,725 cm? a) Telebistaren diagonalaren luzera: 27 ⋅ 2,54 = 68,58 cm. Telebistaren diagonalaren luzera: 24 ⋅ 2,54 = 60,96 cm. b) 45,725 : 2,54 = 18,002 denez, 45,725 cm 18 hazbete dira.

089 ●●

Ontza bat 28,35 g dira. a) Zenbat ontza dira 1 kg? Eta 560 g? b) Zenbat gramo dira 5,7 ontza? a) 1 kg ontza hauek dira: 1.000 : 28,35 = 35,27 ontza. 560 g ontza hauek dira: 560 : 28,35 = 19,75 ontza. b) 5,7 ontza gramo hauek dira: 5,7 ⋅ 28,35 = 161,595 g.

090 ●●

Upel amerikar batean 158,98 ¬ sartzen dira. a) Halako zenbat upel bete daitezke 317.960 ¬ petroliorekin? Eta 1.000.000 ¬-rekin? b) Zenbat litro dira 250 upel? a) 317.960 : 158,98 = 2.000 upel bete daitezke. 1.000.000 : 158,98 = 6.290,099 → 6.290,1 upel bete daitezke. b) 250 upel 250 ⋅ 158,98 = 39.745 litro dira.

091 ●●

Paper-zerrenda bat 29 cm da luzean. Zenbat paper-zerrenda behar ditugu 2,4 m luzeko papera lortzeko? 2,4 : 0,29 = 8,276 denez, 9 paper-zerrenda behar ditugu, gutxienez.

103

917840 _ 0082-0109.qxd

8/2/08

12:25

Página 104

Zenbaki hamartarrak 092 ●●

Lurreko milia bat 1,6093 km badira, zenbat metro eta kilometro dira 2,35 milia? Eta zenbat dira 0,6 milia? 2,35 milia metro hauek dira: 2,35 ⋅ 1,6093 = 3,781855 km = 3.781,855 m. 0,6 milia metro hauek dira: 0,6 ⋅ 1,6093 = 0,96558 km = 965,58 m.

093 ●●

Korapilo bat orduko itsas milia bat da; eta itsas milia bat, 1,852 km. Itsasontzi baten abiadura 60 korapilokoa bada, zenbat km egin ditu hiru orduan? 1,852 ⋅ 3 ⋅ 60 = 333,36 km egin ditu itsasontziak hiru orduan.

094 ●●

Glaziar bat 2,8 cm urtzen da urtean, desizozteak eraginda. Zenbat urtean galduko ditu 5 m?

500 : 2,8 = 178,57; beraz, 178 urte eta 7 hilabete. 095 ●●

Kalkulatu 241 libururen pisua gramotan, kontuan hartuta bakoitza 2 hg eta 653 mg dela. 241 ⋅ 200,653 = 48.357,373 g

096 ●●●

Laukizuzen baten perimetroa 5,85 m da. Alde bat beste aldearen bikoitza bada, zenbat luze da alde bakoitza? Alde txikienaren luzera: 5,85 : (1 + 2 + 1 + 2) = 0,975 m. Alde handiena 1,95 m luze da.

097 ●●●

0,75 m paper behar izan ditugu pakete txikiak biltzeko, eta 1,8 m, pakete handiak biltzeko. 25 m paper baditugu, mota bakoitzeko zenbat pakete bilduko ditugu? 25 : 0,75 = 33,33 pakete txiki 25 : 1,8 = 13,88 pakete handi

104

917840 _ 0082-0109.qxd

8/2/08

12:25

Página 105

ERANTZUNAK

098 ●●●

3

Lorategi batean putzu bat eta zuhaitz bat daude 27,5 m-ko distantziara. Haien artean, 10 loreontzi jarri ditugu elkarrekiko distantzia berera. a) Loreontzi bakoitzetik zenbatera dago putzua? b) Zer distantzia egingo dugu guztiak ureztatzeko, bi ureztatzean putzura itzultzen bagara? a) 27,5 : 11 = 2,5 denez, 2,5 m daude putzuaren eta lehen loreontziaren artean. Gainerakoak kalkulatzeko, 2,5 m batu behar da loreontzi bakoitzeko, hamargarrenera arte: 2,5; 5; 7,5; 10; 12,5; 15; 17,5; 20; 22,5, eta 25 m, hurrenez hurren. b) 2 ⋅ 5 + 2 ⋅ 10 + 2 ⋅ 15 + 2 ⋅ 20 + 25 = 125 m

099 ●●●

Lortu zenbaki hauen arteko zenbaki hamartar bana: a) 1,9 eta 2 b) 2,99 eta 3

c) 2,999 eta 3 d) 2,9999 eta 3

e) 2,999999 eta 3 f) 2,9999999999 eta 3

 = 2,9999… eta 3 zenbakien artean? Hortaz, Lor al dezakezu 2,9 zer ondoriotara iritsi zara?

a) 1,91 b) 2,991

c) 2,9991 d) 2,99991

e) 2,9999991 f) 2,99999999991

Ez dago zenbaki hamartarrik haien artean. Beraz, zenbaki bera da. 100 ●●●

Aztertu zergatik erabil daitezkeen metodo hauek zenbait eragiketa egiteko. a) b) c) d) e)

Zenbaki bat 0,25ez biderkatzea, hura 4z zatitzearen berdina da. Zenbaki bat 0,75ez biderkatzea, hura 3z biderkatu eta 4z zatitzearen berdina da. Zenbaki bat 1,5ez biderkatzea, zenbakiari haren erdia batzearen berdina da. Zenbaki bat 0,5ez zatitzea, haren bikoitza kalkulatzearen berdina da. Zenbaki bat 0,75ez zatitzea, hura 4z biderkatu eta 3z zatitzearen berdina da. 1 a) 0,25 hau da: zatikiaren adierazpen hamartarra. 4 3 b) 0,75 hau da: zatikiaren adierazpen hamartarra. 4 1 c) Zuzena da, 1,5 = 1 + delako. 2 1 d) 0,5ez zatitzea eta ez zatitzea baliokideak dira; hots, 2z biderkatzea. 2 3 e) 0,75ez zatitzea eta ez zatitzea baliokideak dira; hots, alderantzizkoaz 4 4 biderkatzea da, ez biderkatzea. 3

105

917840 _ 0082-0109.qxd

8/2/08

12:25

Página 106

Zenbaki hamartarrak 101 ●●●

Kalkulagailua erabiliz, adierazi nola egin daitezkeen kalkulu hauek koma hamartarraren tekla erabili gabe. a) 1,23 ⋅ 34,567 b) 98,765 : 432

c) 12 : 345,67 d) 9,87 : 65,432

Zatikiak kalkulatu eta eragiketak egingo ditugu: 123 34.567 4.251.741 = 4, 251741 ⋅ = 100 1.000 100.000 98.765 98.765 : 432 = = 0, 2286 b) 98, 765 : 432 = 1.000 ⋅ 432 1.000 34.567 12 ⋅ 100 = = 0, 0347 c) 12 : 345, 67 = 12 : 100 34.567 987 65.432 987 ⋅ 1.000 = 0,1508 : = d) 9, 87 : 65, 432 = 100 1.000 65.432 ⋅ 100 a) 1, 23 ⋅ 34, 567 =

102

Adierazi bietan zeinek duen arrazoia eta zergatik.

●●● Zenbaki positibo baten erro koadroa zenbakia baino txikiagoa da beti.

Hori ez da beti hala izaten…

Emakumeak arrazoi du, 1 baino txikiagoa den edozein zenbaki positiboren erro koadroa errokizuna baino handiagoa baita: 0, 25 = 0, 5 → 0,25 < 0,5. 103 ●●●

Kalkulatu zenbaki honen erro koadroa: 200.720.072.007.200.720.072 eta esan zergatik ez den zenbaki osoa. Zer zenbaki izan behar du zenbaki batek azken zifran, erro koadroa zehatza izan ez dadin? Zenbakiaren azken zifra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

106

Berbiduraren azken zifra 1 4 9 6 5 6 9 4 1 0

Ez dago berbiduraren azken zifra 2 duen zenbakirik, eta zenbaki batek erro koadro zehatzik ez izateko, azken zifrak hauetako bat izan behar du: 2, 3, 7 edo 8.

917840 _ 0082-0109.qxd

8/2/08

12:25

Página 107

ERANTZUNAK

3

EGUNEROKOAN 104 ●●●

ADSL jartzea erabaki dugu. Horregatik, zenbait konpainiaren eskaintzak ari naiz aztertzen.

teledei

+

20 €

ADSL Deiak 24 h ■ ■ ■

Alta doan Finkoetarako deiak doan 24 h Sakelako telefonoetarako deiak

Astelehenetik ostiralera 0,20 €

0,11 €

8ak

22ak

Larunbatak 0,20 € 8ak

8ak

0,11 € 14ak

8ak

Igandeak eta jaiegun nazionalak 0,11 € 8ak

8ak

Tarifa normala Tarifa murriztua

■

Deia ezartzea: 0,12 €

22 €

Deitel deiak (finko ● ADSL + h lakoak), 24 ke sa eta an ● Alta do onalak (finko zi na ● Dei ak) 24 h eta sakelako an do

hOska ✔ Alta doan ✔ Deiak fin koetara 24 h doan ✔ Deiak sake lakoetara Tarifa laua 0,28 €/min

32 € Azken hiletako telefono-ordainagiriak berrikusi ditut eta ohartu naiz ez dugula askotan dei egiten sakelako telefonoetara; anaiak soilik egiten ditu sakelakoetarako deiak kanpoan den lagunen bati hots egiteko. Dei horiek, dena den, laburrak izaten dira eta eskolatik irtendakoan egiten ditu normalean, hau da, astelehenetik ostiralera, gaueko 10ak baino lehen. Azken hilabeteetan, 40ren bat dei egin ditugu sakelako telefonoetara, eta 75 minutuko iraupena izan dute guztira. Telefonoko kontsumoari bere horretan eusten badiogu, zer eskaintza hartzea komeni zaigu? TELEDEI ⎯⎯→ 0,12 ⋅ 40 + 0,2 ⋅ 75 + 20 = 39,80 € DEITEL ⎯⎯ ⎯→ 32 € HOSKA ⎯⎯→ 22 + 0,28 ⋅ 75 = 43 € DEITEL-en eskaintza hartzea komeni zaigu.

107

917840 _ 0082-0109.qxd

8/2/08

12:25

Página 108

Zenbaki hamartarrak 105 ●●●

Auto berria erosi nahi dut, baina ez dakit gasolio-motorra ala gasolina-motorra duena erosi.

GASOLIO -M

GASOLI NA-MOTORRA

OTOR RA

Prezioa: 25.1 45 € Kontsumoa Mistoa (¬/100 km): 7,7

Prezioa: 23.295 € Kontsumoa Mistoa (¬/100 km): 9,1

Gasolina-motorra duen autoa merkeagoa bada ere, erregai gehiago kontsumitzen du. Horrez gain, litro bat gasolinaren prezioa litro bat gasoliorena baino garestiagoa da.

GASOLINA

0,9 6 7

€

GASOLIOA

0,9 1 3

€

Erregaien prezioen arteko aldea askorik handituko ez balitz datozen urteetan, zenbat kilometrotik aurrera ordainduko nuke auto batengatik beste autoagatik adina? 100 km-an, gasolina-autoak hau gastatzen du: 9,1 ⋅ 0,967 = 8,7997 € 100 km-an, gasolio-autoak hau gastatzen du: 7,7 ⋅ 0,913 = 7,0301 € 100 km-an, gasolina-autoak hau gastatzen du: 8,7997 − 7,0301 = 1,7696 € gehiago gasolio-autoak baino Bi autoen prezioen kendura hau da: (25.145 − 23.295) : 1,7696 = 1.045,44 € 1.045,44 ⋅ 100 = 104.544 denez, 104.544 km-tik aurrera gasolio-autoa errentagarriagoa da gasolina-autoa baino.

108

917840 _ 0082-0109.qxd

8/2/08

12:25

Página 109

ERANTZUNAK

106 ●●●

3

Fabrika batek 400.000 torloju ekoizten ditu egunean. Torloju bakoitzak 0,9782 g-ko pisua du eta 14.000 kg-ko zama har dezaketen edukiontzietan garraiatzen dira. Biribilduta, torloju bakoitzak 1 g-eko pisua duenez, edukiontzi bakoitzean honenbeste daude...

Torlojuaren pisu biribildua kontuan hartuz gero, zenbat ekoizpen-egun beharko lirateke edukiontzi bat torlojuz betetzeko? Eta biribildu gabeko pisua kontuan hartuz gero? Torlojuaren pisua biribilduz gero, 1 g-eko pisua duela esan daiteke; beraz, egunean 400.000 g ekoizten dira, hots, 400 kg torloju. 14.000 : 400 = 35 denez, 35 egun beharko dira edukiontzi bat torlojuz betetzeko. Biribildu gabe, torlojuaren pisua 0,9782 g-koa da; beraz, egunean 400.000 torloju ekoizten dira eta pisu hau dute: 400.000 ⋅ 0,9782 = 391.280 g; 391,28 kg torloju dira. 14.000 : 391,28 = 35,78 eragiketa egin eta hau lortu dugu: 36 egun beharko dira edukiontzi bat torlojuz betetzeko.

109

917840 _ 0110-0131.qxd

4

7/2/08

16:21

Página 110

Sistema hirurogeitarra SISTEMA HIRUROGEITARRA

ANGELUAK

DENBORA

GRADUAK

ORDUAK

MINUTUAK

MINUTUAK

SEGUNDOAK

SEGUNDOAK

MODU KONPLEXUA

MODU SINPLEA

ERAGIKETAK SISTEMA HIRUROGEITARREAN

BATUKETA

110

KENKETA

BIDERKETA

ZATIKETA

917840 _ 0110-0131.qxd

7/2/08

16:21

Página 111

Ilargiaren jabea Kolonen ontziak denbora zeraman Jamaikako uhartean kateatuta. Haren gizonek matxinadaren mehatxua egin zuten, eta egoera are gehiago estutu zen ikusita indigenek utzi egin ziotela ispilu txikien eta apaingarrien trukean janaria emateari. Egoera muturrekoa zen, eta Kolonek gizonak lasaitu nahi izan zituen, jatekoa aginduta. Horregatik, gau hartan bertan egin zien dei nagusi indigenei. –Haserrarazi egin nauzue, eta ni laguntzeari uko egin diozuenez, Ilargia odolez gorritu eta desagerrarazi egingo dut! Buruzagi indiarrek Ilargiari begiratu zioten. Kolonen mehatxua bete zela ikusita, hura berpizteko eskatu zioten izututa, eta ordainetan, hari eta haren marinelei jatekoa eramaten jarraituko zietela promes egin. Kolonek besoak mugitu zituen, inori laguntza eskatzen ariko balitz bezala, eta honela ziurtatu zien: –Ilargia gau honetan bertan agertuko da berriro, baina hitza hausten baduzue atzera, ez duzue gehiago inoiz ikusiko. Ondoren, gelara joan zen pozik, eta bere burua zoriondu zuen Regiomontanus matematikari ospetsuaren Ephemeridesa lana berekin izan zuelako; gertatu berri zen eklipsea iragartzen zuen huraxe. Regiomontanusek angeluei buruz ere idatzi zuen, eta gradu, minutu eta segundotan neurtu zituen. Zer neurri du angelu zuzen batek? Eta angelu zuzen baten laurdenak? Angelu zuzenak 90° ditu, eta haren laurdenak, 22,5°.

90° 22,5°

917840 _ 0110-0131.qxd

7/2/08

16:21

Página 112

Sistema hirurogeitarra ARIKETAK 001

002

Adierazi minututan. a) 300"

c) 150°

b) 1.380"

d) 480°

a) 300" = 300 : 60 = 5'

c) 150° = 150 ⋅ 60 = 9.000'

b) 1.380" = 1.380 : 60 = 23'

d) 480° = 480 ⋅ 60 = 28.800'

Kalkulatu. a) Zenbat gradu dira 64.800"? b) Eta zenbat segundo 10°? a) 64.800" = 64.800 : 3.600 = 18° b) 10° = 10 ⋅ 3.600 = 36.000"

003

Angelu lau batek 180° ditu. Adierazi neurria minututan, eta gero, segundotan. Egin gauza bera angelu oso batekin (360°). 180° = 10.800' = 648.000" 360° = 21.600' = 1.296.000"

004

Angelu baten neurria 59°eta 32' da. Zenbat falta zaio 60° osatzeko? Angeluari 28' falta zaizkio 60° osatzeko.

005

Adierazi denbora-neurri hauetako bakoitza segundotan. a) 100 minutu

c) 1,5 ordu

b) Ordu-erdi

d) 60 minutu

a) 100 minutu = 100 ⋅ 60 = 6.000 segundo b) 0,5 ordu = 0,5 ⋅ 3.600 = 1.800 segundo c) 1,5 ordu = 1,5 ⋅ 3.600 = 5.400 segundo d) 60 minutu = 60 ⋅ 60 = 3.600 segundo 006

Adierazi minututan. a) 2,5 ordu

c) 3.600 segundo

b) 2 egun

d) 14.400 segundo

a) 2,5 ordu = 2,5 ⋅ 60 = 150 minutu b) 2 egun = 2 ⋅ 24 ⋅ 60 = 2.880 minutu c) 3.600 segundo = 3.600 : 60 = 60 minutu d) 14.400 segundo = 14.400 : 60 = 240 minutu

112

917840 _ 0110-0131.qxd

7/2/08

16:21

Página 113

ERANTZUNAK

007

4

Adierazi ordutan. a) 90.000 segundo

c) 1 aste

b) 3.120 minutu

d) 3 egun

a) 90.000 segundo = 90.000 : 3.600 = 25 ordu b) 3.120 minutu = 3.120 : 60 = 52 ordu c) 1 aste = 7 ⋅ 24 = 168 ordu d) 3 egun = 3 ⋅ 24 = 72 ordu 008

DBHko ikasle batek 6 ordu ematen ditu egunero eskolan. Adierazi denbora hori minututan, eta gero, segundotan. 6 ordu = 6 ⋅ 60 = 360 minutu = 360 ⋅ 60 = 21.600 segundo

009

Adierazi segundotan saskibaloiko partida baten iraupena, kontuan hartuta 10 minutuko lau aldi dituela. 4 ⋅ 10 = 40 min = 40 ⋅ 60 = 2.400 s

010

Iker ikasten aritu zen larunbatean, 2 ordu eta erdiz goizean; eta hiru ordu-laurdenez, arratsaldean. Zenbat minutu gehiago eman zituen ikasten goizean arratsaldean baino? Goizez: 2,5 h = 2,5 ⋅ 60 = 150 min. 3 3 180 h= ⋅ 60 = = 45 min. 4 4 4 Ikerrek 150 − 45 = 105 min gehiago eman zituen goizean arratsaldean baino. Arratsaldean:

011

Adierazi segundotan. a) 28° 17' 39"

d) 60° 31'

b) 56° 38"

e) 2° 54' 27"

c) 2 h 16 min 20 s

f) 3 h 45 min

a) 28° 17' 39" = 28 ⋅ 3.600 + 17 ⋅ 60 + 39 = = 100.800 + 1.020 + 39 = 101.859" b) 56° 38" = 56 ⋅ 3.600 + 38 = 201.600 + 38 = 201.638" c) 2 h 16 min 20 s = 2 ⋅ 3.600 + 16 ⋅ 60 + 20 = 7.200 + 960 + 20 = = 8.180 s d) 60° 31' = 60 ⋅ 3.600 + 31 ⋅ 60 = 216.000 + 1.860 = 217.860" e) 2° 54' 27" = 2 ⋅ 3.600 + 54 ⋅ 60 + 27 = 7.200 + 3.240 + 27 = = 10.467" f) 3 h 45 min = 3 ⋅ 3.600 + 45 ⋅ 60 = 10.800 + 2.700 = 13.500 s

113

917840 _ 0110-0131.qxd

7/2/08

16:21

Página 114

Sistema hirurogeitarra 012

Adierazi 56° 40' modu sinplean. 56 ⋅ 60 + 40 = 3.400'

013

Zenbat minutu dira hiru ordu-laurden? Eta zenbat segundo? Hiru ordu-laurden 45 min = 2.700 s dira.

014

Txirrindulari batek 1 h 15 min eta 18 s behar izan ditu helmugara iristeko, eta beste batek, 23.458 segundo. Zeinek behar izan du denbora gehien? 1 h 15 min 18 s = 4.518 s < 23.458 s denez, bigarren txirrindulariak behar izan du denbora gehien.

015

Adierazi angelu-neurri hauek gradu, minutu eta segundotan. a) 28.300"

d) 65.497"

b) 28.215"

e) 43.208"

c) 872'

f) 45.001'

a) 28300" 0430 00100 00040"

60 471'

471' 051'

60 7°

470' 050'

60 7°

470' 050'

60 7°

28.300" = 7° 51' 40" b) 28215" 0421 00015"

60 470'

28.215" = 7° 50' 15" c) 872' 272 032'

60 14°

872' = 14° 32' d) 65497" 0549 00097 00037"

60 1.091'

65.497" = 18° 11' 37"

114

1.091' 0 491 00 11'

60 18°

917840 _ 0110-0131.qxd

7/2/08

16:21

Página 115

ERANTZUNAK

e) 43208" 0120 00008"

60 720'

720' 12 00'

4

60 12°

43.208" = 12° 8" f) 45001' 300 00001'

60 750°

45.001' = 750° 1' 016

Adierazi denbora-neurri hauek modu konplexuan. a) 458 min b) 34.567 s

c) 8.010 s d) 13.590 s

a) 458 min 038 min

60 7h

e) 5.681 min f) 477 s

763 min

60

576 min 36 min

60 9h

133 min 13 min

60 2h

226 min 46 min

60 3h

458 min = 7 h 38 min b) 34567 s 0456 00367 00007 s

60 576 min

34.567 s = 9 h 36 min 7 s c) 8010 s 201 0210 0030 s

60 133 min

8.010 s = 2 h 13 min 30 s d) 13590 s 0159 00390 00030 s

60 226 min

13.590 s = 3 h 46 min 30 s e) 5681 min 281 0041 min

60 94 h

226 min 46 min

60 3h

5.681 min = 94 h 41 min = 3 egun 22 h 41 min f) 477 s 57 s

60 7 min

946 min

60

477 s = 7 min 57 s

115

917840 _ 0110-0131.qxd

7/2/08

16:21

Página 116

Sistema hirurogeitarra 017

Tren batek 1 ordu eta 10 minutu behar izan ditu lehen geltokira iristeko, eta 27 minutu, bigarrenera heltzeko. Zenbat minutu behar izan ditu guztira? 1 h 10 min + 27 min = 1 h 37 min = 97 min

018

Adierazi berdintza hauek zuzenak ala okerrak diren. Arrazoitu erantzuna. a) 180.007" = 50° 7" b) 3 h 452 s = 3 h 7 min 3 s c) 183 min 122 s = 3 h 5 min 2 s a) Zuzena → 180.007" = 50° 7" (50 ⋅ 60 ⋅ 60 + 7 = 180.007) b) Okerra → 3 h 452 s = 3 h 7 min 32 s c) Zuzena → 183 min 122 s = 185 min 2 s = 3 h 5 min 2 s

019

Egin eragiketa hauek. a) 12° 15' 58" + 23° 22' 19" = 35° 37' 77" = 35° 38' 17" b) 35° 45' + 26° 10' + 26° 15' 33" = 87° 70' 33" = 88° 10' 33"

020

Lasterketa baten garailea 14 h 26 min eta 47 s-an iritsi da helmugara, eta bigarrena, handik 17 min eta 52 s-ra. Zer ordutan iritsi da bigarrena? 14 h 26 min 47 s + 17 min 52 s = 14 h 44 min 39 s

021

Lau lasterkarik denbora hauek egin dituzte: 2 min 3 s 1 min 59 s 2 min 1 min 58 s Esan zenbat denbora behar izan duten guztira. 2 min 3 s + 1 min 59 s + 2 min + 1 min 58 s = 8 min

022

Egin eragiketa hauek. a) 32° 5' 23" − 17° 22' 33" = 14° 42' 50" b) 19° 35' − 11° 34" = 8° 34' 26" c) 4 h 14 min 34 s − 2 h 30 min 58 s = 1 h 43 min 36 s d) 2 h 6 min − 37 min 52 s = 1 h 28 min 8 s

116

917840 _ 0110-0131.qxd

7/2/08

16:21

Página 117

ERANTZUNAK

023

4

Kalkulatu: 24° 36' − (24° 22" − 6° 14'). 24° 36' − (24° 22" − 6° 14') = 24° 36' − 17° 46' 22" = 6° 49' 38"

024

Erlojupeko proba batean, denbora hauek egin dituzte bi lasterkarik: 1 h 1 min eta 7 s eta 59 min eta 43 s, hurrenez hurren. Esan zenbateko aldea izan den bien artean. 1. txirrindularia: 60 min 67 s. Aldea hau da: 1 min 24 s.

025

2. txirrindularia: 59 min 43 s.

Osatu berdintza hau. a) ° ' " − 1° 22' 33" = 3° 14' 12" b)  h  min  s + 17 min 58 s = 2 h 17 min 57 s a) 4° 36' 45" − 1° 22' 33" = 3° 14' 12" b) 1 h 59 min 59 s + 17 min 58 s = 2 h 17 min 57 s

026

Egin eragiketa hauek. a) (12° 23' 4")  3 = 36° 69' 12" = 37° 9' 12" b) (41' 10")  4 = 164' 40" = 2° 44' 40" c) (2 h 19 min 14 s)  5 = 10 h 95 min 70 s = 11 h 36 min 10 s d) (1 h 33 s)  4 = 4 h 132 s = 4 h 2 min 12 s

027

Zer neurri du A$ = 44° 56' 41" angeluaren bikoitzak? 44° 56' 41" ⋅ 2 = 88° 112' 82" = 89° 53' 22"

028

Makina bat 7 h 20 min eta 40 s egoten da martxan egunero. Zenbat denbora egoten da martxan astelehenetik ostiralera? (7 h 20 min 40 s) ⋅ 5 = 35 h 100 min 200 s = = 36 h 43 min 20 s

029

45° 15' 37" angelua 4z biderkatuz gero, zenbateko errorea egingo dugu segundoak kontuan hartzen ez baditugu? Segundoak kontuan hartuta, emaitza hau da: 45° 15' 37" ⋅ 4 = 180° 60' 148" = 181° 2' 28". Segundoak kontuan hartu gabe, emaitza hau da: 45° 15' ⋅ 4 = 180° 60' = 181°; beraz, errorea 2' 28" da.

117

917840 _ 0110-0131.qxd

7/2/08

16:21

Página 118

Sistema hirurogeitarra 030

Egin zatiketa hauek. a) (305° 75' 85") : 5 = 61° 15' 17"

c) (120° 48') : 6 = 20° 8'

b) (7° 4' 16") : 3 = 2° 21' 25,3"

d) (48° 36") : 4 = 12° 9"

)

031

Kalkulatu 12 h 47 min eta 56 s-ren erdia. (12 h 47 min 56 s) : 2 = 6 h 23 min 58 s

032

Egin zatiketa hauek. a) (126° 55') : 3 = 42° 18' 20"

033

b) 124° : 5 = 24° 48'

Telefono-operadore batek guztira 22 h 49 min eta 32 s eman ditu telefonoz hizketan astelehenetik ostiralera. Egunean zenbat denbora eman du hizketan, batez beste? (22 h 49 min 32 s) : 5 = 4 h 33 min 54,4 s

ARIKETAK 034

Osatu baliokidetasunen taula hau.

●

035 ●

Graduak 125° 26° 35° 9° 3° 14°

c) 8° d) 10°

a) 180' = 10.800" b) 300' = 18.000" c) 480' = 28.800"

●

e) 1° 15' f) 10° 10' d) 600' = 36.000" e) 75' = 4.500" f) 370' = 22.200"

Adierazi modu sinplean. a) 35° 54' 65" b) 65° 53' 12" a) 129.305" b) 237.192"

118

Segundoak 450.000" 93.600" 126.000" 32.400" 10.800" 50.400"

Kalkulatu angelu-neurriak buruz eta adierazi minututan eta segundotan. a) 3° b) 5°

036

Minutuak 7.500' 1.560' 2.100' 540' 180' 840'

c) 4 h 27 min 56 s d) 7 h 33 min 49 s c) 16.076 s d) 27.229 s

917840 _ 0110-0131.qxd

7/2/08

16:21

Página 119

ERANTZUNAK

037 ●

Adierazi modu konplexuan. a) 25.123 s b) 45.125 s c) 16.459" a) b) c) d) e)

038 ●

d) 13,25 h e) 5.432 s f) 452 min

6 h 58 min 43 s 12 h 32 min 5 s 4° 34' 19" 13 h 15 min 1 h 30 min 32 s

●●

g) 27.762 s h) 90.000 s i) 40.000' f) g) h) i)

7 h 32 min 7 h 42 min 42 s 25 h = 1 egun 1 h 666° 40'

Adierazi modu sinplean. a) 13° 15' 32" b) 100° 47' c) 82° 3' a) 47.732" b) 6.047' c) 4.923'

039

4

d) 7 h 51 min 46 s e) 20 h 32 s f) 19 h 46 min d) 28.306 s e) 72.032 s f) 1.186 min

Kalkulatu eta adierazi angelu hauetako bakoitza minututan. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l)

35° = 2.100' 4° 30' = 270' 30°-ren erdia 900' da 360" = 6' 2° 45' 120" = 167' (18° − 15°) + 3° = 6° = 360' 5° = 300' 6° 25' = 385' 13° 35' 60" = 816' 17° 180" = 1.023' 35' 420" = 42' 5' + 60" + 3° = 186'

040

Adierazi angelu hauek segundotan.

●●

a) 1° 45' = 6.300" b) (17° −3°) −(10° −5°) = 32.400"

f) 4° 38" = 14.438" g) 2° 20' 30" = 8.430"

c) 3' = 180"

h) 35' 10" = 2.110"

d) (35" − 28") − 4" = 3"

i) 55' = 3.300"

e) 3° 5' 10" = 11.110"

j) 7° 25' = 26.700"

119

917840 _ 0110-0131.qxd

7/2/08

16:21

Página 120

Sistema hirurogeitarra 041 ●

Egin angeluen batuketa hauek. a) b) c) d) e) f) g) h) i)

35° 20' 15" + 10° 30' 40" = 45° 50' 55" 6° 10' 5" + 8° 40' 52" = 14° 50' 57" 15° 36' 40" + 2° 10' 13" = 17° 46' 53" 18° 13' 25" + 28° 48' 10" = 46° 61' 35" = 47° 1' 35" 6° 30' + 4° 50' 45" = 10° 80' 45" = 11° 20' 45" 5° 25' 3" + 75' 8" = 5° 100' 11" = 6° 40' 11" 4° 3' 6" + 5° 7' 28" + 25° 39' 40" = 34° 49' 74" = 34° 50' 14" 43° 25" + 5° 48' = 48° 48' 25" 2° 2" + 75° 43' = 77° 43' 2"

j) 33' 7" + 4° 45' = 4° 78' 7" = 5° 18' 7" 042 ●

Egin kenketa hauek. a) b) c) d) e)

3° 35' − 2° 10' 1° 25' − 10' 63° 47" − 25' 30" 1° 45' 3" − 75' 10" 4° 2' − 1° 40' a) b) c) d) e)

043

f) g) h) i) j)

2° 30' 10" − 3' 50" 42° 5' 3" − 38' 10" 37' 45" − 20' 78" 2° 6' 4" − 1° 10' 35° 11' 54" − 13° 12' 15"

1° 25' 1° 15' 62° 35' 17" 29' 53" 2° 22'

f) g) h) i) j)

2° 26' 20" 41° 26' 53" 16' 27" 56' 4" 21° 59' 39"

EGIN HONELA NOLA KALKULATZEN DA EMAITZA JAKINA DUEN BATUKETA BATEN BATUGAI BAT? $ angeluak, baldin eta A$ = 17° 26" angeluari batuz gero, Zer neurri du B 36° 7' 15" angelua lortzen badugu? LEHENA.

Problema eragiketa baten bidez adierazi behar da. F

$ = 36° 7' 15" → 17° 26" + B $ = 36° 7' 15" A$ + B Kenketa gisa BIGARRENA.

Bi neurrien kenketa egin behar da. 1' = 60"

36° 6' 75" 36° 7' 15" ⎯⎯⎯→ − 17° 26" − 17° 26" Ezin da segundoen kenketa egin

$ = 19° 6' 49". Hortaz, hau da angelua: B

120

19° 6' 49"

917840 _ 0110-0131.qxd

7/2/08

16:21

Página 121

ERANTZUNAK

044 ●●

045 ●●

046

4

Idatzi falta den angelua. + 25° = 50° 20' 47" → 25° 20' 47" a) b) + 27° 32" = 80° 5' 38" → 53° 5' 6" c) + 1° 40" = 5° 3' 20" → 4° 2' 40" d) 15° 10' 30"  = 20° 5' 40" → 4° 55' 10" e) + 25' 35" = 1° 30' 16" → 1° 4' 41" f) + 17° = 20° 12" → 3° 12" g) + 6° 42' = 10° 58' 35" → 4° 16' 35" h) + 9° 18' = 17° 43" → 7° 42' 43" Kalkulatu falta den angelua. − 2° 36' 45" = 13° 15' 10" → 15° 51' 55" − 15' 35" = 6° 25' 46" → 6° 40' 81" = 6° 41' 21" − 1° 50" = 3° 48' → 4° 48' 50" − 47' 58" = 2° 35' 40" → 2° 82' 98" = 3° 23' 38" − 6° 18' 40" = 15° 27' 38" → 21° 45' 78" = 21° 46' 18" − 10° 45' = 37° 53' 44" → 47° 98' 44" = 48° 38' 44" − 17° 25' 46" = 38' 43" → 17° 63' 89" = 18° 4' 29" − 65" = 1° 48' 35" → 1° 48' 100" = 1° 49' 40"

a) b) c) d) e) f) g) h)

EGIN HONELA NOLA EBAZTEN DIRA PARENTESIAK, BATUKETAK ETA KENKETA DITUZTEN ERAGIKETAK? Egin eragiketa hau: (39° + 45° 30') − (6° 38' − 2° 20'). LEHENA.

Parentesi barruko eragiketak egingo ditugu.

BIGARRENA.

39° + 45° 30'

6° 38' − 2° 20'

84° 30'

4° 18'

Batuketak eta kenketak egin behar dira, ezkerretik eskuinera. 84° 30' − 4° 18' 80° 12'

047 ●●

Egin eragiketa hauek. a) b) c) d)

(10° 20" + 15° 30') − 13° 14' 35" = 12° 15' 45" (50° 35' − 37° 45') + 6° 18" = 18° 50' 18" (5' 38" + 4° 36') + (5° 10' − 3° 2") = 6° 51' 36" (25° 35' + 2° 10') − (3° + 17° 43') = 7° 2'

121

917840 _ 0110-0131.qxd

7/2/08

16:21

Página 122

Sistema hirurogeitarra 048 ●●

049 ●

050

Kalkulatu. a) b) c) d)

(124° 34' 12" − 78° 47' 24") + 43° = 88° 46' 48" 25° 30' 6" + (7° 6" − 1° 25") = 31° 29' 47" (4° 3' 5" + 7° 6' 3") − 3° 10' 15" = 7° 58' 53" (10° 8' 2" − 4° 2') + (6° 4' 23" − 2° 5") = 10° 10' 20"

Egin biderketa hauek. a) b) c) d) e) f) g) h)

(4° 35' 46'') ⋅ 2 = 8° 70' 92" = 9° 11' 32" (1° 10' 15") ⋅ 7 = 7° 70' 105" = 8° 11' 45" (12° 25' 37") ⋅ 6 = 72° 150' 222" = 74° 33' 42" (35° 4' 20") ⋅ 4 = 140° 16' 80" = 140° 17' 20" (6° 78") ⋅ 3 = 18° 234" = 18° 3' 54" (36' 40") ⋅ 5 = 180' 200" = 3° 3' 20" (2° 17' 3") ⋅ 9 = 18° 153' 27" = 20° 33' 27" (27° 15' 26") ⋅ 8 = 216° 120' 208" = 218° 3' 28"

EGIN HONELA NOLA EBAZTEN DIRA ERAGIKETA KONBINATUAK SISTEMA HIRUROGEITARREAN? Kalkulatu: (75° 26' 16" − 58° 15' 10") ⋅ 3. LEHENA.

Parentesi barruko eragiketak egin behar dira. 75° 26' 16" − 58° 15' 10" 17° 11'

BIGARRENA.

6"

Biderketak eta zatiketak egin behar dira, ezkerretik eskuinera. 17° 11' 6" × 3 51° 33' 18"

051 ●●

122

Kalkulatu. a) b) c) d) e) f) g) h) i)

(3° 4' 6" + 5° 7' 10") ⋅ 2 = 16° 22' 32" (10° 6' 10" − 4° 3' 7") ⋅ 3 = 18° 9' 9" (5° 30' + 15' 65") ⋅ 6 = 30° 270' 390" = 34° 36' 30" (6° + 15° 10' − 3° 7') ⋅ 7 = 126° 21' (15° 35' 45" − 40' 58") ⋅ 4 = 56° 216' 188" = 59° 39' 8" (22° 5' 16" + 73° 16' 45") ⋅ 3 = 285° 66' 3" = 286° 6' 3" A$ = 3° 36' 27"-ren laukoitza hau da: 2° 144' 108" = 14° 25' 48" (1° 35' 5" + 38' 55") batuketaren bikoitza hau da: 2° 146' 120" = 4° 28' (7° + 1° 30" − 5° 56' 10") ⋅ 7 = 14° 28' 140" = 14° 30' 20"

917840 _ 0110-0131.qxd

7/2/08

16:21

Página 123

ERANTZUNAK

052 ●

053 ●●

4

Egin zatiketa hauek. a) (40° 18' 36") : 2 = 20° 9' 18"

f) (236° 17') : 5 = 47° 15' 24"

b) (39° 57' 15") : 3 = 13° 19' 5"

g) 288° : 7 = 41° 8' 34,29"

c) (120° 35' 80") : 5 = 24° 7' 16"

h) 152' : 3 = 50' 40"

d) (126° 48' 15") : 3 = 42° 16' 5"

i) (85' 4") : 4 = 21' 16"

e) (111° 54' 45") : 3 = 37° 18' 15"

j) (86° 5") : 6 = 14° 20' 0,8"

179° 36' 15" neurria duen angelu bat hiru zati berdinetan zatitu dugu. Zer neurri du zatietako bakoitzak? (179° 36' 15") : 3 = 59° 52' 5"

054 ●●

Angelu hauen neurriak emanda, A$ = 15° 25' 6"

B$ = 36° 10' 20" lortu C$-ren neurria, baldin eta C$ = 2 ⋅ (A$ + B$) bada. C$ = 2 ⋅ (A$ + B$) → C$ = 2 ⋅ (15° 25' 6" + 36° 10' 20") = 103° 10' 52"

055

EGIN HONELA NOLA KALKULATZEN DA NEURRI BATEN ZATIKIA SISTEMA HIRUROGEITARREAN? Kalkulatu: LEHENA.

5 (1° 45" + 3' 27"). 2

Parentesi barrukoa ebatzi behar da. 1° +

45" 3' 27" 72" = 1' + 12"

1° 3' 72" ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 1° 4' 12" BIGARRENA.

Emaitza bider zenbakitzailea egin behar da. 1° 4' 12" ×5 60" = 1'

5° 20' 60" ⎯⎯⎯⎯→ 5° 21' HIRUGARRENA.

Izendatzaileaz zatitu behar da. 5°

1° = 60'

21'

2

1° ⎯⎯⎯→ 60'

2° 40' 30"

81' 1' = 60"

1' ⎯⎯⎯→ 60" 60" 0

123

917840 _ 0110-0131.qxd

7/2/08

16:21

Página 124

Sistema hirurogeitarra 056 ●●

057 ●●

058 ●●

Kalkulatu. a)

2 (3° 25' 15") = 2° 16' 50" 3

b)

) 2 (44° 16' 40") = 29° 31' 6,6" 3

c)

1 (36° 29' 18") = 9° 7' 19,5" 4

d)

7 (27° 64' 30") = 32° 45' 15" 6

Egin eragiketa hauek. 4 5 4 b) 3 1 c) 5 1 d) 6 a)

(7° 52' 13" + 29° 57") = 29° 30' 32" (37" + 5° 36' − 2° 15' 10") = 4° 28' 36" (46° 27" − 2° 25') = 8° 43' 5,4" (125° 43' 58" − 1° 7' 4") = 20° 46' 9"

Angelu hauen neurriak jakinda: A$ = 36° 45' 58" B$ = 57° 27' 37" kalkulatu.

C$ = 29° 56' 45"

a) (A$ − C$) ⋅ 2 = 13° 38' 26" b) (A$ + B$ + C$) : 4 = 31° 2' 35" c) (C$ + A$) − (B$ − A$) = 46° 1' 4" d) C$ − (7° 15' 6") + A$ ⋅ 2 = 96° 13' 35" e) C$ ⋅ 3 − (B$ − A$) = 69° 8' 36" f) 2 ⋅ A$ − B$ = 16° 4' 19"

059 ●●

Beñatek 1 ordu, 35 minutu eta 50 segundoan amaitu du lan bat. 2 ordu beharko zituela uste bazuen, zenbat denbora geratu zaio sobera? 2 h − 1 h 35 min 50 s = 24 min 10 s geratu zaizkio sobera.

060 ●●

10:05etako trena 16 minutu beranduago irten zen. Zer ordutan irten zen? 10 h 5 min + 16 min = 10 h 21 min-an irten zen.

124

917840 _ 0110-0131.qxd

7/2/08

16:21

Página 125

ERANTZUNAK

061 ●●

4

Haizemaile batek 180°-ko angelua osatzen du zabalduta. Zenbait hagaxka falta dituen beste haizemaile bat, berriz, 105° 38' 45" zabaltzen da soilik. Zer angelu osatzen zuten hautsita dauden hagatxoek?

5" '4 38 ° 5 10

74° 21' 15"

180° − 105° 38' 45" = 74° 21' 15"

062 ●●

Autobus bat 9:26an irten da geltoki batetik; eta 13:14an heldu, bestera. Zenbat denborako ibilbidea egin du? 13 h 14 min − 9 h 26 min = 3 h 48 min-ko ibilbidea egin du.

063

EGIN HONELA NOLA EBAZTEN DIRA ORDU-ATZERAPENEN PROBLEMAK? Ordulari bat 1 min eta 20 s atzeratzen da egunero. Zenbat atzeratzen da astean? LEHENA.

Eragiketak zehaztu behar dira. (1 min 20 s) ⋅ 7

BIGARRENA.

Eragiketak egin behar dira. (1 min 20 s) ⋅ 7 = 7 min 140 s = 9 min 20 s

Ordularia 9 min eta 20 s atzeratzen da astean.

125

917840 _ 0110-0131.qxd

7/2/08

16:21

Página 126

Sistema hirurogeitarra 064 ●●

Ane astelehenean 8 h 40 min eta 25 s aritu zen lanean; eta asteartetik ostegunera, egunean ordu-erdi gutxiago. Zenbat lanorduko astea izan zuen? Astelehenean: 8 h 40 min 25 s Asteartetik ostegunera: (8 h 40 min 25 s − 30 min) ⋅ 3 = = (8 h 10 min 25 s) ⋅ 3 = 24 h 31 min 15 s Lan egindako orduak: 8 h 40 min 25 s + 24 h 31 min 15 s = 33 h 11 min 40 s

065 ●●

Nire etxetik lantokira bi geltoki daude; lehenengora iristeko, 32 min eta 54 s behar izaten ditut, eta bigarrenera iristeko, 44 min eta 27 s. Gaur, atzeratu egin da trena, eta lehen geltokira iristeko normalean baino 19 min eta 40 s gehiago behar izan ditu, eta bigarrenean, beste 26 min eta 32 s atzeratu da.

a) Zenbat denbora behar izan dut lantokira iristeko? b) Etxerakoan ez badut atzerapenik izan, zenbat denboran egin ditut bi ibilbideak? a) 32 min 54 s + 19 min 40 s + 44 min 27 s + 26 min 32 s = 2 h 3 min 33 s b) 2 h 3 min 33 s + 32 min 54 s + 44 min 27 s = 3 h 20 min 54 s

066 ●●

Makina bat 4 ordu 50 minutu eta 30 segundo egoten da martxan segidan; eta ondoren, 1 ordu eta 50 minutu, itzalita. Zenbat denbora beharko du makinak hiru lan-txanda eta atsedenaldi osatzeko? Lan-txanda bat eta atsedenaldi bat denbora hau da: 4 h 50 min 30 s + 1 h 50 min = 6 h 40 min 30 s Hiru txanda denbora hau da: (6 h 40 min 30 s) ⋅ 3 = 20 h 1 min 30 s.

126

917840 _ 0110-0131.qxd

7/2/08

16:21

Página 127

ERANTZUNAK

067 ●●

4

Margolari batek 3 ordu eta laurden eman ditu goizean egongela margotzen, eta 2 ordu eta erdi, arratsaldean.

a) Zenbat denbora behar izan du guztira? b) Zenbat denbora gehiago aritu da goizean? c) Orduko 19,20 € irabazten badu, zenbat dagokio? a) 3 h 15 min + 2 h 30 min = 5 h 45 min behar izan ditu guztira. b) 3 h 15 min − 2 h 30 min = 45 min gehiago aritu da goizean. c) Denbora: 5 h 45 min = 5,75 h; eta irabazitakoa: 5,75 ⋅ 19,20 = 110,40 €.

068 ●●

Julenek 8 € irabazten ditu larunbatetan lanordu bakoitzeko, eta orduko 9,50 €, igandeetan. Hilabete honetan hiru larunbatetan eta lau igandetan egin du lan: larunbatetan 5 ordu eta erdi, eta igandeetan, 3 ordu eta hiru-laurden. Zenbat kobratuko du hilaren amaieran? Larunbatetako lanorduak: 5,5 h ⋅ 3 = 16,5 h = 16 h 30 min. Larunbatetako soldata: 16,5 ⋅ 8 = 132 €. Igandeetako lanorduak: 3,75 h ⋅ 4 = 15 h. Igandeetako soldata: 15 ⋅ 9,50 = 142,50 €. Soldata guztira: 132 + 142,50 = 274,50 €.

069 ●●

Unai, Josu eta Aritz pastel bat jaten ari dira hiruren artean: – Unaik jan duen pastel zatia 35° 10'-ren adinakoa da. – Josuk 40° 30'-ko zatia jan du. – Aritzek 50° 40'-ko zatia jan du. a) Zenbatekoa da hiruren artean jan duten pastel zatia? b) Zer neurri du geratzen denak? a) 35° 10' + 40° 30'+ 50° 40' = 126° 20'-koa da hiruren artean jandako pastel zatia. b) 360° − 126° 20' = 233° 40'-koa da geratzen dena.

127

917840 _ 0110-0131.qxd

7/2/08

16:21

Página 128

Sistema hirurogeitarra 070 ●●●

Gela batera eguzki-izpiak sartzen dira goizean eta inklinazio jakin bat izaten dute horman islatutakoan. Udako egun bateko goizeko 7etan, angelua 22°eta 14'-koa zen. Ordu batetik bestera, angeluaren inklinazioa 2° 10' 20" handitzen da. a) Zer angelu izango du goizeko 8etan? b) Eta goizeko 9etan? c) Zer angelu izango du eguerdiko ordu batean? a) 22° 14' + 2° 10' 20" = 24° 24' 20" b) 24° 24' 20" + 2° 10' 20" = 26° 34' 40" c) 22° 14' + (2° 10' 20") ⋅ 6 = 22° 14' + 13° 2' = 35° 16'

071 ●●●

Udaberriko ondoz ondoko bi ekinozioren artean igarotako denborari urte tropiko deritzo, eta 365 egun, 5 ordu, 48 minutu eta 45,51 segundo irauten du. Gure egutegietan urte zibila erabiltzen dugu, eta 365 edo 366 egun izaten ditu. Hortaz, egun osoen bidez zenbatzen dugu urtea. a) Zenbat minutuko aldea dago urte tropiko baten eta 365 eguneko urte zibil baten artean? b) 4 urteren buruan, zenbateko aldea izango da bien artean, ordu, minutu eta segundotan? a) 5 h 48 min 45,51 s = 348,75 min gehiago irauten du urte tropikoak 365 eguneko urte zibilak baino. b) 4 urte tropiko: (365 egun 5 h 48 min 45,51 s) ⋅ 4 = = 1.460 egun 23 h 15 min 2,04 s 4 urte zibil: 365 ⋅ 3 + 366 = 1.461 egun. Aldea: 44 min 57,96 s gehiago irauten dute 4 urte zibilek.

072 ●●●

Juliotar egutegiak (egungoaren aurretikoak) egun bat gehitzen zion egutegiari 4 urtean behin; eta bisurtea esaten zioten. a) Zein da 4 urte tropikoren eta 4 urte zibilen arteko aldea, haietako bat bisurtea bada? b) Zenbat urte igaro behar dira aldea 10 egunekoa izan dadin? a) 4 urte tropiko: (365 egun 5 h 48 min 45,51 s) ⋅ 4 = 1.460 egun 23 h 15 min 2,04 s 4 urte zibil: 365 ⋅ 3 + 366 = 1.461 egun. Aldea: 44 min 57,96 s gehiago irauten dute 4 urte zibilek. b) 10 egun = 864.000 s; 44 min 57,96 s = 2.697,96 s 4 urteko 864.000 s : 2.697,96 s = 320,4 periodo igarotzean aldea 10 egunekoa izan dadin; hots, 320,4 ⋅ 4 = 1.281,6 urte.

128

917840 _ 0110-0131.qxd

7/2/08

16:21

Página 129

ERANTZUNAK

073 ●●●

4

Juliotar egutegiaren desfasearen eraginez, Gregorio XIII.ena aita santuak egutegia berritzeko agindua eman zuen. Gregoriotar egutegian, egungoan, urte bisurteak 4z zati daitezkeenak dira; 100ez zati daitezkeenak baina 400ez zati ezin daitezkeenak izan ezik (beraz, 2100. urtea ez da bisurtea izango). Zenbat urte igaro behar dira egun bateko desfasea izateko? Desfasea, 4 urtean: 44 min 57,96 s. Desfasea, 100 urtean: (44 min 57,96 s) ⋅ 25 − 24 h = = 18 h 44 min 9 s − 24 h = −5 h 15 min 51 s txikiagoa urte zibiletan. Desfasea, 400 urtean: (−5 h 15 min 51 s) ⋅ 4 + 24 h = 2 h 57 min 36 s. Beraz, egun bateko desfasea izateko, 400 urteko 8 periodo igaro behar dira; hots, 3.200 urte.

EGUNEROKOAN 074 ●●●

Mikel altzari-denda batean lanean hastekoa da gaur. Kontratua sinatu ondoren, arduradunak fabrika erakutsi dio, eta ondoren, lankideak aurkeztu. Fabrika honetan aulkiak eta mahaiak egiten ditugu. Hemen dituzu piezak; zure lana haiek muntatzea izango da.

Sinatu duen kontratuko baldintzek diotenez, astelehenetik ostiralera egingo du lan, egunean 8 orduz. Hilean soldata finkoa izango du eginiko lanagatik, 600 €, eta hau gehitu beharko dio:

1 ordu eta 20 minutuan muntatu dut aulkia, eta 2 ordu eta 15 minutuan, mahaia.

• Amaitutako aulki bakoitzeko, 2,75 €. • Amaitutako mahai bakoitzeko, 4,50 €. Mikelek egin duen lehen gauza aulki bat eta mahai bat egiteko zenbat denbora behar duen kronometratzea izan da.

129

917840 _ 0110-0131.qxd

7/2/08

16:21

Página 130

Sistema hirurogeitarra Arduradunak esan dio mahaiak edota aulkiak munta ditzakeela, baina ezingo duela lanaldia minutu bat bera ere luzatu; muntatzeko makinak egunean 8 ordu soilik egoten baitira martxan. a) Zenbat mahai eta aulki amaitu beharko ditu egunean, eginiko lana ahalik errentagarriena izateko? b) Zer soldata izango du hilean, aukera hori egiten badu? Aulki bat muntatzeko orduak: 1 h 20 min = 1,33 h. Mahai bat muntatzeko orduak: 2 h 15 min = 2,25 h. Aulkiak muntatzen emandako lanordu bakoitzeko: 2,75 : 1,33 = 2,0625 €. Mahaiak muntatzen emandako lanordu bakoitzeko: 4,5 : 2,25 = 2 €. Mikelek diru gehiago irabaziko du aulkiak muntatzen mahaiak muntatzen baino. a) Aulki bat amaitzeko 1 h 20 min behar dituenez, 6 aulki amaitzeko, 8 h. Beraz, egunean 6 aulki amaitzea da errentagarriena. b) 600 + 22 ⋅ 6 ⋅ 2,75 = 600 + 363 = 963 € 075 ●●●

Nire DVD gailuan, kalitate normalarekin grabatuz gero, CD batek 5 orduko grabazioa egiteko aukera ematen du. CD batean bi film grabatu ditut. Aurrenekoak, Udaberriko intxaurrak filmak, 93 minutu eta 52 segundo irauten duela jartzen du grabazioaren menuan, eta besteak, Intxaurrak erortzean filmak, 73 minutu 39 segundo. CDan libre geratu den espazioa betetzeko, nire telesailik gustukoenaren ahalik eta kapitulu gehiena grabatu nahi dut: Intxaurrak zenbatzen.

Hemengo intxaurrak

Kapitulu bakoitzak 35 minutu irauten du eta publizitatea sartzeko bi etenaldi izaten ditu. Etenaldi bakoitzean 18 iragarki ematen dira, bakoitza 20 segundokoa. Iragarkiak ere grabatu egin beharko ditudala kontuan hartuta, zenbat kapitulu sartzen dira CDan? Zenbat denbora geratzen da sobera?

130

917840 _ 0110-0131.qxd

7/2/08

16:21

Página 131

ERANTZUNAK

4

Bi filmen iraupena: 93 min 52 s + 73 min 39 s = 167 min 31 s. CDaren iraupena: 5 h = 300 min. Bi filmak grabatu ondoren sobera geratu den denbora: 300 min − 167 min 31 s = 132 min 29 s Telesailaren kapitulu baten iraupena, iragarkiak barne: 35 min + 2 ⋅ 18 ⋅ 20 s = 47 min Beraz, telesaileko bi kapitulu graba daitezke; bi kapituluen iraupena: 2 ⋅ 47 min = 94 min. CDan sobera geratu den denbora: 132 min 29 s − 94 min = 38 min 29 s. 076 ●●●

EGUNE ROK O AL

EGUNEROKO egunkariak, azken hauteskundeetan izan diren hauteskunde-emaitzak kontuan hartuta, grafiko hau argitaratu du.

E

BA

N

24

AK

19

29

ET A

Erabili garraiagailua alderdietako bakoitzari dagokion angelua neurtzeko, eta esan adierazpen grafikoa ongi eginik dagoen ala ez.

DERD I UR DIN BATA A SUN HOR IA KOAL IZIO MOR EA ELKA RTAS UN B ERD EA SERL EK UE N

8

78° 75°

24 19 76°

29

8 50°

Adierazpen grafikoa ez da zuzena, sektore handiena ez delako eserleku kopuru handienari dagokiona; bestetik, bi sektorek angelu bera dute eta bien eserleku kopurua ez da bera. Gainera, angeluak eta eserleku kopuruak ez dira proportzionalak.

131

917840 _ 0132-0153.qxd

5

7/2/08

13:52

Página 132

Adierazpen aljebraikoak ADIERAZPEN ALJEBRAIKOAK

MONOMIOAK

POLINOMIOAK

ERAGIKETAK

BATUKETA KENKETA BIDERKETA ZATIKETA

BIDERKAGAI KOMUNA

LABURBIDEZKO FORMULAK

132

917840 _ 0132-0153.qxd

18/3/08

14:13

Página 133

Apisen tenplua Leku pribilegiatu batetik, epaileak eta tenpluko apaiz nagusiak zuzendutako galdeketa entzuten ari zen Ahmes eskriba. Apaiz nagusiak idiaren janaria desagertu izana salatu zuen. Apaizak, epaileari begira, hau esan zuen: –Jainkoaren janari guztia lapurtzean, delitu barkaezina egin dute, eta Apisek eskatzen du kondena ahalik gogorrena izatea! –Legea idatzita dago, eta bertan, ekintzari dagokion kondena erabakita dago –erantzun zion epaileak, begiratu gabe. Eta jarraian, zer kantitate lapurtu zituzten galdetu zien bi atxilotuei, berriro ere. Zaharrenak hau erantzun zuen: –Bakoitzak ahal izan zuena hartu zuen: honek hiru «pilo» lapurtu zituen, eta nik, hamar «pilo». –Tenpluko erregistroaren arabera, 24 heqat zeuden, Apis jainkoa berraragiztatzeko. Ahmes, idatzi datuak eta bakoitzak lapurtutako kantitatea –esan zuen epaileak eskribari begira, hura papiroan idazten ari zela. Eskribak adierazpen hau idatzi zuen, bakoitzak lapurtutakoa izendatzeko.

Nola idatziko zenuke adierazpen hori gaur egungo hizkuntza aljebraikoan?

Demagun «piloak» berdinak direla: 3 «pilo» + 10 «pilo» = 24 heqat x = «pilo»

3 x + 10 x = 24

917840 _ 0132-0153.qxd

7/2/08

13:52

Página 134

Adierazpen aljebraikoak ARIKETAK 001

Adierazi hizkuntza aljebraikoan. a) b) c) d)

Zenbaki baten bikoitza. Zenbaki baten bikoitza gehi hiru. Zenbaki baten bikoitza ken hiru, gehi beste zenbaki bat. Zenbaki baten bikoitza ken hiru, gehi beste zenbaki bat, ken lehen zenbakiaren herena. e) Zenbaki baten bikoitza ken hiru, gehi beste zenbaki bat, ken lehen zenbakiaren herena, gehi bigarrenaren erdia. a) 2x b) 2x − 3 c) 2x − 3 + y

002

d) 2x − 3 + y −

x 3

e) 2x − 3 + y −

x y + 3 2

Igoneren adina x da. Adierazi hizkuntza aljebraikoan: a) 10 urte barru zer adin izango duen. b) Duela 4 urte zer adin zuen. a) x + 10

003

b) x − 4

Adierazi hizkuntza aljebraikoan: a) Bi zenbakiren batuketaren trukatze-propietatea. b) Pitagorasen teorema. a) x + y = y + x

004

Kalkulatu adierazpen aljebraikoen zenbakizko balioak, x = 3 bada. a) x + 1 b) x 2 + 1

005

c) 2x − 3 d) 2x 2 − 3x

a) 4

c) 3

b) 10

d) 9

Kalkulatu 2x 2 − y adierazpen aljebraikoaren zenbakizko balioa, balio hauetarako: a) x = 0, y = 1 a) −1

134

b) a 2 = b 2 + c 2

b) x = −1, y = −2 b) 4

917840 _ 0132-0153.qxd

7/2/08

13:52

Página 135

ERANTZUNAK

006

Idatzi x aldea duen karratu baten perimetroaren eta azaleraren adierazpen aljebraikoak. Kalkulatu zenbakizko balioa, aldea hau bada: a) 4 cm

b) 5 cm

P = 4x

c) 6 cm

A = x2

a) P = 16 cm b) P = 20 cm c) P = 24 cm 007

5

A = 16 cm2 A = 25 cm2 A = 36 cm2

Zenbatekoa izan behar du b aldagaiak, a = −4 bada, 0 izateko?

a −4 + b adierazpena 2

b=4 008

Adierazi monomioen koefizienteak, letrazko zatiak eta mailak. a) b) c) d)

7x 2yz −2xy 3z 2 15x 2 8xy 2

e) f) g) h)

a) Koefizientea: 7 b) Koefizientea: −2 c) Koefizientea: 15

009

Letrazko zatia: x 2yz

Maila: 4

3 2

Letrazko zatia: xy z Letrazko zatia: x

2

Maila: 6 Maila: 2

2

d) Koefizientea: 8

Letrazko zatia: xy

e) Koefizientea: 3

Letrazko zatia: abc

Maila: 3 Maila: 3

f) Koefizientea: −4

Letrazko zatia: a bc Maila: 7

g) Koefizientea: 9

Letrazko zatia: m 2

h) Koefizientea: 6

Ez du letrazko zatirik Maila: 0

2

4

Maila: 2

Idatzi aurkako monomioak. a) 4abc 2

b) −5xy 2z

a) −4abc 2 b) 5xy 2z 010

3abc −4a 2bc 4 9m 2 6

c) 3x 3y

d) −2a 2b 3c

c) −3x 3y d) 2a 2b 3c

Adierazi monomio hauen antzekoen mailak: a) −xy 2 a) b) c) d)

b) −5xy

c) x 3

d) 6x 3

Maila: 3 Maila: 2 Maila: 3 Maila: 3

135

917840 _ 0132-0153.qxd

7/2/08

13:52

Página 136

Adierazpen aljebraikoak 011

012

Egin eragiketak. a) b) c) d)

5x + 2x −3y 2 + 4y 2 2ab 2 − a 2b −4x 3 ⋅ 2x

e)

1 3 3 2 a ⋅ a 2 4 a) b) c) d)

7x y2 2ab 2 − a 2b −8x 4

e)

3 5 a 8

f) g) h) i) j) k)

−9a : 3a −10x 3y 2 : x 2y 5x 2 + 7x 4x − 5xy −3x + 4y 2 10x 3 : 2xy 2 f) g) h) i) j)

−3 −10xy 5x 2 + 7x 4x − 5xy −3x + 4y 2

k)

5x 2 y2

Egin eragiketak. a) 5x 3 − 6x + 7x − x 3 − x + 4x 3 a) 8x 3

013

b) 2x 2 ⋅ x 3 ⋅ 3x 5 : (−6x) b) −x 9

Kalkulatu. a) 8x 4 : (2x 2 + 2x 2)

b) (5y 3 − 2y 3) : (3xy 2)

a) 8x 4 : 4x 2 = 2x 2 014

P (x ) = 5x 3 − x + 7x 3 − x 2 + 8x − 2 Q (x ) = 12 + x 2 + 7x − x 4 − 8 + 3x 2 R (x ) = 9x − 4x 2 − 6 − 10x + 1 S (x ) = 4x 2 − x 3 + 4x 3 − x 5 + 8 − x 2 a) b) c) d)

P (x ) = 12x 3 − x 2 + 7x − 2 → Maila: 3 Q (x ) = −x 4 + 4x 2 + 7x + 4 → Maila: 4 R (x ) = −4x 2 − x − 5 → Maila: 2 S (x ) = −x 5 + 3x 3 + 3x 2 + 8 → Maila: 5

Kalkulatu polinomioen zenbakizko balioa, x = −3 bada. a) Q ( x ) =

1 − 3x 2

a) Q (−3) = 5

136

y x

Sinplifikatu antzeko gaiak beheko polinomioetan, ordenatu gaiak, maila handienekotik txikienekora, eta idatzi polinomio bakoitzaren maila. a) b) c) d)

015

b) 3y 3 : 3xy 2 =

b) R ( x ) = −5 + 7 x + b) R (−3) =

−61 2

3x 2

917840 _ 0132-0153.qxd

7/2/08

13:52

Página 137

ERANTZUNAK

016

5

Kalkulatu a-ren balioa, P (x ) = ax 2 − 3x + 5 polinomioan P (2) = 3 bete dadin.

P (2) = 4a − 6 + 5 = 3 → 4a = 4 → a = 1 017

Egin adierazitako eragiketak, lau polinomio hauekin:

P (x ) = x 2 − 3x + 7 Q (x ) = 5x 3 − 6x 2 + x − 3 a) Q (x ) + S (x ) b) R (x ) − P (x ) a) b) c) d)

018

S (x) = 8x − 2 R (x) = 7x 2 + 4

c) 2x 2 ⋅ Q (x ) d) P (x ) ⋅ 7x

Q (x ) + S (x ) = 5x 3 − 6x 2 + x − 3 + 8x − 2 = 5x 3 − 6x 2 + 9x − 5 R (x ) − P (x ) = 7x 2 + 4 − (x 2 − 3x + 7) = 6x 2 + 3x − 3 2x 2 ⋅ Q (x ) = 2x 2 ⋅ (5x 3 − 6x 2 + x − 3) = 10x 5 − 12x 4 + 2x 3 − 6x 2 P (x ) ⋅ 7x = (x 2 − 3x + 7) ⋅ 7x = 7x 3 − 21x 2 + 49x

Aurreko polinomioak hartuta, kalkulatu: a) (P (x ) − R (x )) ⋅ 2x

b) (R (x ) − Q (x )) ⋅ (−x 2)

a) (P (x ) − R (x )) ⋅ 2x = (x 2 − 3x + 7 − (7x 2 + 4)) ⋅ 2x = = (−6x 2 − 3x + 3) ⋅ 2x = −12x 3 − 6x 2 + 6x b) (R (x ) − Q (x )) ⋅ (−x 2) = (7x 2 + 4 − (5x 3 − 6x 2 + x − 3)) ⋅ (−x 2) = = (−5x 3 + 13x 2 − x + 7) ⋅ (−x 2) = 5x 5 − 13x 4 + x 3 − 7x 2 019

Adierazi (x 2 + x + 3) ⋅ x 2 polinomioaren maila eta gai kopurua, biderketa egin gabe. Maila: 4; gai kopurua: 3.

020

Egin eragiketak. a) b) c) d) e)

(6x 2 − 8x + 3) ⋅ (3x − 1) (−x 3 + 4x 2 − 5) ⋅ (−x − 1) (18x 5 − 10x 4 + 6x 2) : −2x (12x 4 − 24x 3 + x 2) : 3x 2 (x 2 + x + 1) ⋅ (x − 1) a) 18x 3 − 30x 2 + 17x − 3 b) x 4 − 3x 3 − 4x 2 + 5x + 5 c) −9x 4 + 5x 3 − 3x 1 d) 4x 2 − 8x + 3 e) x 3 − 1

137

917840 _ 0132-0153.qxd

7/2/08

13:52

Página 138

Adierazpen aljebraikoak 021

Egin eragiketak. [(30a 2b − 15ab 2 + 5a 2b 2) ⋅ (−a − b)] : ab (−30a 3b − 15a 2b 2 − 5a 3b 2 + 15ab 3 − 5a 2b 3) : ab = = −30a 2 − 15ab − 5a 2b + 15b 2 − 5ab 2

022

Kalkulatu a-ren balioa, hau bete dadin: (2x 2 + x − 3) ⋅ a = 2x 4 + x 3 − 3x 2.

a = x2 023

Adierazi biderkagai komuna atera daitekeen ala ez, eta ahal bada, atera. a) b) c) d)

−5x 4 + 2x 3 3x 2 + 6x 2 − 9x 3 3x 2 − 3x + 3 x6 − x3 a) b) c) d)

024

x 3 ⋅ (−5x + 2) 9x 2 ⋅ (1 − x ) 3 ⋅ (x 2 − x + 1) x 3 ⋅ (x 3 − 1)

7x 2 − 4y 2 3x 2 + 2 12x − 4y 5x 2 − 10 e) f) g) h)

Ezin da. Ezin da. 4 ⋅ (3x − y ) 5 ⋅ (x 2 − 2)

Atera biderkagai komuna adierazpen hauetan: a) 5a 3b 3 + 10a 2b 2 a) 5a 2b 2 ⋅ (ab + 2)

025

e) f) g) h)

b) a 4b 2 − a 2b 2 b) a 2b 2 ⋅ (a 2 − 1)

Kalkulatu a, yx 5 + 4y 2x 3 − 6y 3x a adierazpenaren biderkagai komuna yx 2 izan dadin.

a=2 026

Kalkulatu batuketen eta kenketen berbidurak. a) (4x + 5)2 b) (x 2 + 7x )2 c) (x 3 + 3x 2)2

e) (3a − 5b)2 f) (8 − 3x )2 g) (x 2 − x 3)2

⎛ 5x 2⎞ + ⎟⎟⎟ d) ⎜⎜⎜ ⎝ 6 7 ⎟⎠

2

⎞⎟ ⎟⎟ ⎟⎠

2

a) 16x 2 + 40x + 25

e) 9a 2 − 30ab + 25b 2

b) x 4 + 14x 3 + 49x 2

f) 64 − 48x + 9x 2

c) x 6 + 6x 5 + 9x 4

g) x 4 − 2x 5 + x 6

d)

138

⎛x 2x h) ⎜⎜⎜ − ⎝4 3

25 x 2 10 x 4 + + 36 21 49

⎛ 5 x ⎞⎟ 25 x 2 ⎟⎟ = h) ⎜⎜⎜ ⎟ ⎝ 12 ⎠ 144 2

917840 _ 0132-0153.qxd

7/2/08

13:52

Página 139

ERANTZUNAK

027

5

Zuzendu egindako akatsak. a) (7x + 2)2 = 7x 2 + 4 b) (6x 4 − 4)2 = 36x − 8x + 16 a) (7x + 2)2 = 49x 2 + 28x + 4 b) (6x 4 − 4)2 = 36x 8 − 48x 4 + 16

028

Adierazi polinomio hau batuketa baten berbidura gisa: x 2 + 4x + 4.

x 2 + 4x + 4 = (x + 2)2

029

Adierazi biderketa hauek berbiduren kenketa gisa. a) (x + 4)(x − 4) b) (x 2 − 1)(x 2 + 1) c) (3 − 2x)(3 + 2x ) ⎛x ⎞⎛ x ⎞ d) ⎜⎜⎜ + 5⎟⎟⎟⎜⎜⎜ − 5⎟⎟⎟ ⎟⎠⎝ 3 ⎟⎠ ⎝3 ⎛1 x 2 ⎞⎟⎛⎜ 1 x 2 ⎞⎟ e) ⎜⎜ − ⎟⎟⎜ + ⎟⎟ ⎜⎝ 2 3 ⎠⎜⎝ 2 3 ⎠ a) x 2 − 16 b) x 4 − 1 c) 9 − 4x 2 x2 − 25 9 1 x4 − e) 4 9 d)

030

Aztertu ea batuketa baten edo kenketa baten berbidura gisa adieraz daitezkeen polinomioak. a) x 2 + 10x + 25 b) 4 + 12x + 9x 2

031

c) x 6 − 12x 5 + 36x 4 d) 18x − 9 + 9x 2

a) (x + 5)2

c) (x 3 − 6x 2)2

b) (2 + 3x )2

d) Ezin da.

Adierazi biderketa gisa polinomio hau: x 4 − x 3 +

x2 . 4

⎛ 2 ⎞ ⎜⎜ x − x ⎟⎟ ⎟ ⎜⎝ 2 ⎟⎠

2

139

917840 _ 0132-0153.qxd

7/2/08

13:52

Página 140

Adierazpen aljebraikoak ARIKETAK 032 ●

Adierazi esaldiak hizkuntza aljebraikoan. a) Zenbaki baten bikoitza gehi 5. b) Zenbaki baten hirukoitza ken 6. c) Zenbaki bat gehi 4ren bikoitza. d) Zenbaki bat ken 8ren erdia. e) Zenbaki baten eta 7ren baturaren berbidura. f) Zenbaki baten erdiaren kuboa. g) Zenbaki baten berbiduraren erdia. h) Zenbaki bat gehi haren berbidura. i) Zenbaki baten berbiduraren laukoitza. j) Zenbaki baten erdia ken 3. a) 2x + 5

⎛x⎞ f) ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎝ 2 ⎟⎠

b) 3x − 6

g)

c) 2(x + 4)

h) x + x 2

3

d)

x −8 2

i) 4x 2

e) (x + 7)2

033

x2 2

j)

x −3 2

Idatzi adierazpen aljebraikoak esaldi gisa.

●●

x +3 4

g) 3x −

d)

b) 5 − 2x

e) (x + 2)2

h) (2x − 1)2

c) 2x 3

f) x 2 − 4

i) (2x )2 − 1

a) Zenbaki baten laukoitza ken 2. b) 5 zenbakia ken zenbaki baten bikoitza. c) Zenbaki baten kuboaren bikoitza. d) Zenbaki baten eta 3ren batuketaren laurdena. e) Zenbaki baten eta 2ren batuketaren berbidura. f) Zenbaki baten berbidura ken 4. g) Zenbaki baten hirukoitza ken zenbakiaren erdia. h) Zenbaki baten bikoitza ken 1en berbidura. i) Zenbaki baten bikoitzaren berbidura ken 1.

140

x 2

a) 4x − 2

917840 _ 0132-0153.qxd

7/2/08

13:52

Página 141

ERANTZUNAK

034

5

EGIN HONELA NOLA ADIERAZTEN DIRA ALJEBRAIKOKI ZENBAIT ERLAZIO GEOMETRIKO? Adierazi, adierazpen aljebraiko baten bidez, 5 cm-ko altuera duen triangelu isoszele baten azalera. LEHENA. Azalera kalkulatzeko behar diren elementu guztiak izendatu behar dira. Elementu ezezagunak adierazteko, letrak erabiltzen dira. BIGARRENA.

A=

035 ●●

x ⋅5 5x = 2 2

●●

x

Triangelu baten oinarria 4 cm-koa bada, idatzi azalera adierazten duen adierazpen aljebraikoa.

x : altuera → A =

036

4x = 2x 2

Adierazi aljebraikoki irudiaren azalera.

x

3x A = xy + 2 037 ●

●

a) x = 1

b) x = 0

3

c) −7

d) x =

1 2

d) −2

Kalkulatu 3x 2 − 2y + 4 adierazpenaren zenbakizko balioa, x-ren eta y -ren balio hauetarako:

b) x = −2, y =

●●

c) x = −2

b) −3

a) x = 1, y = −2

039

y

Kalkulatu adierazpen honen zenbakizko balioa: 2x − 3. Hona hemen x-ren balioak:

a) −1 038

5 cm

Dagokion formula idatzi behar da.

1 2

c) x = −1, y = −3 d) x =

1 1 ,y=− 4 4

a) 11

c) 13

b) 15

d)

75 16

Kalkulatu zer balio duen a aldagaiak 4x 3 + 3x 2 − ax − 5 adierazpenean, jakinik zenbakizko balioa 0 dela, x = −1 bada. −4 + 3 + a − 5 = 0 bada, a = 6.

141

917840 _ 0132-0153.qxd

7/2/08

13:52

Página 142

Adierazpen aljebraikoak 040 ●●

Kalkulatu zer balio duen a-k −2x 2 − 3x − a adierazpenean, jakinik zenbakizko balioa −5 dela, x = 3 bada. −18 − 9 − a = −5 bada, a = −22.

041

Osatu taula.

●

042 ●

Monomioa −8 x y z 2 3 a 2b 4 4 x 3y 2 −9 a 2 b c z6 2 2 bc 3

Koefizientea −8 3 4 −9 1 2 3

Letrazko zatia xyz2 a 2b 4 x 3y 2 a 2b c z6

Maila 4 6 5 4 6

bc2

3

Adierazi zuzenak ala okerrak diren esaldiak. Arrazoitu erantzuna. a) 12ab eta −2ab antzekoak dira. b) 7xyz eta −7xy aurkakoak dira. c) 7xy 2z eta −7x 2yz antzekoak eta aurkakoak dira. d) 12ab eta a) b) c) d)

−1 ab antzekoak eta aurkakoak dira. 12

Zuzena, letrazko zati bera dutelako. Okerra, ez dutelako letrazko zati bera. Okerra, ez dutelako letrazko zati bera. Okerra, koefizienteak ez direlako aurkakoak.

043

Idatzi, ahal bada.

●●

a) 5. mailako bi monomio, antzekoak direnak, baina ez aurkakoak. b) 5. mailako bi monomio, aurkakoak direnak, baina ez antzekoak. c) 5. mailako bi monomio, antzekoak eta aurkakoak. a) 3x 5 eta 6x 5 b) Ezinezkoa da, aurkakoak badira antzekoak izango direlako. c) 3x 2y 3 eta −3x 2y 3

044 ●

142

Egin monomioen eragiketa hauek. −x 2 + x + x 2 + x 3 + x 2x 3 − (x 3 − 3x 3) 8x 2 − x + 9x + x 2 8xy 2 − 5x 2y + x 2y − xy 2 −3x + 7y − (8y + y − 6x) 4 5 7 xy − xy + xy − xy f) 3 2 4

a) b) c) d) e)

g) 2x 2 ⋅ 4x 3 ⋅ 5x 6 7 h) −3x ⋅ (−2x) ⋅ x 4 i) 7x 3 ⋅ 5x ⋅ 9x 4 j) 15x 3 : 5x 2 k) −8x 3y 2 : 2x 2y l) 10x 4yz 2 : 5xyz

917840 _ 0132-0153.qxd

7/2/08

13:52

Página 143

ERANTZUNAK

045 ●●

046 ●●

a) b) c) d) e)

x 3 + 2x 4x 3 9x 2 + 8x 7xy 2 − 4x 2y 3x − 2y

f)

−3 xy 4

5

g) 40x 11 h)

21 3 x 2

i) j) k) l)

315x 8 3x −4xy 2x 3z

Arrazoitu berdintzak zuzenak ala okerrak diren, eta zuzendu egindako akatsak. a) b) c) d)

a + a = 2a 2a + a = 2a 2 2a − a = 2 2a − 2 = a

e) f) g) h)

2a − b = 2 ⋅ (a − b) 2a + 3a = 5a 2a + 3b = 5ab 2a 2 = 4a

a) Zuzena.

e) Okerra, 2a − 2b = 2 ⋅ (a − b).

b) Okerra, 2a + a = 3a.

f) Zuzena.

c) Okerra, 2a − a = a.

g) Okerra, 2a + 3b = 2a + 3b.

d) Okerra, 2a − 2 = 2 ⋅ (a − 1).

h) Okerra, 2a 2 = 2a 2.

Idatzi honela 12x 2y: a) Hiru monomioren batuketa edota kenketa gisa. b) Hiru monomioren biderketa gisa. c) Bi monomioren batuketa gisa. a) 3x 2y + 5x 2y + 4x 2y b) 2x ⋅ 2y ⋅ 3x c) 24x 2y 2 : 2y

047

EGIN HONELA NOLA EBAZTEN DIRA MONOMIOEN ERAGIKETA KONBINATUAK? Ebatzi 8x 2 − (5x 4 + x 4) : 2x 2 + 15x 4 : (3x ⋅ x ). Parentesi arteko eragiketak ebatzi behar dira. 8x − (5x 4 + x 4) : 2x 2 + 15x 4 : (3x ⋅ x ) = 8x 2 − 6x 4 : 2x 2 + 15x 4 : 3x 2

LEHENA.

2

Biderketak eta zatiketak ebatzi behar dira, ezkerretik eskuinera. 8x − 6x 4 : 2x 2 + 15x 4 : 3x 2 = 8x 2 − 3x 2 + 5x 2

BIGARRENA. 2

Batuketak eta kenketak ebatzi behar dira, ordena berean. 8x − 3x 2 + 5x 2 = 5x 2 + 5x 2 = 10x 2

HIRUGARRENA. 2

143

917840 _ 0132-0153.qxd

7/2/08

13:52

Página 144

Adierazpen aljebraikoak 048

Egin eragiketak eta sinplifikatu.

●●

a) b) c) d) e) f)

12x ⋅ 3x 2 : x + 14x ⋅ x 3 : 7x 2 16x ⋅ x 3 : (−4) + 9x 5 : x 4 ⋅ (−3x 3) 3x 2 ⋅ (10 ⋅ 5x 3) − 10x 4 ⋅ 6x 2 : 2x (5x 2 − 2x 2 + 7x 2) ⋅ (4x 3 − x 3 + 6x 3) (−4xy 2 + 9xy 2) : (3xy + 2xy) (x 3 − 8x 3 + 4x 3) ⋅ (y − 3y + 5y) a) 38x 2 b) −31x 4 c) 120x 5

049 ●

d) 90x 5 e) y f) −12x 3y

Adierazi zuzenak ala okerrak diren 2x + 3 adierazpenari buruzko esaldiak. a) b) c) d)

3 x-ren koefizientea da. 3 gai askea da. Hiru gai ditu. Ezezaguna x da. a) Okerra b) Zuzena

050 ●

c) Okerra d) Zuzena

Adierazi polinomioen gaiak, koefizienteak, aldagaiak eta maila. a) 2x + 3y − 2 b) 5 − 2x + 8y − 3x 2

c) 2a + 2b + 3c d) 7 + 5t − 2z 2 − 3y

a) Gaiak: 2x, 3y, −2 Koefizienteak: 2, 3, −2 Aldagaiak: x, y Maila: 1 b) Gaiak: 5, −2x, 8y, −3x 2 Koefizienteak: 5, −2, 8, −3 Aldagaiak: x, y Maila: 2 051 ●

144

c) Gaiak: 2a, 2b, 3c Koefizienteak: 2, 2, 3 Aldagaiak: a, b, c Maila: 1 d) Gaiak: 7, 5t, −2z 2, −3y Koefizienteak: 7, 5, −2, −3 Aldagaiak: t, z, y Maila: 2

Identifikatu polinomioen elementuak. a) x 3 − x 2 + 4x + 5x 4 − 6-ren gai kopurua. b) y + 3y 4 − 3y 3-ren gai askea. c) R (x, y) = 5x 3y 2 + 6y 4 − 3x 4y 3 + 8x 2-ren maila. 7 − 2x + 10 x 3 d) -ren koefizienteak. 3 a) 5

c) 7

b) 0

d)

7 −2 10 , , 3 3 3

917840 _ 0132-0153.qxd

7/2/08

13:52

Página 145

ERANTZUNAK

052 ●

5

Idatzi 7. mailako polinomio bat, aldagai batekoa, 6 gai dituena eta gai askea −2 duena.

x 7 + 3x 6 − 2x 5 + x 4 + 5x 2 − 2

053 ●

Adierazi polinomioen maila. a) 5x 2 − 2xy 2 b) 8a 3b 2 + 5a 2b 3c

c) 4x 2 + 5x 2y 2 − 10xy d) a 2bc − 2abc + 6a 2b3

a) 3 b) 6

054 ●

055 ●

c) 4 d) 5

Kalkulatu adierazpenen zenbakizko balioa, n = 1 eta n = −2 balioetarako. a) 3n 2 + 4n b) n (n + 3)

c) n 2 − 1 d) n 2(n + 2)

a) n = 1 ⎯→ Balioa: 7 n = −2 → Balioa: 4

c) n = 1 ⎯→ Balioa: 0 n = −2 → Balioa: 3

b) n = 1 ⎯→ Balioa: 4 n = −2 → Balioa: −2

d) n = 1 ⎯→ Balioa: 3 n = −2 → Balioa: 0

P (x ) = 3x 4 − 2x 3 + x 2 − 5 bada, kalkulatu: a) P (1) + P (0) − P (−2)

b) 2 ⋅ P (2) + 3 ⋅ (−P (−1))

⎛1⎞ c) P ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎝ 2 ⎟⎠

a) P (1) + P (0) − P (−2) = −3 + (−5) − 71 = −79 b) 2 ⋅ P (2) + 3 ⋅ (−P (−1)) = 2 ⋅ 23 + 3 ⋅ 1 = 49 ⎛1⎞ −77 c) P ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ = ⎝ 2 ⎟⎠ 16

056 ●●

Kalkulatu a-ren balioa, polinomio 2. mailakoa izan dadin.

P (x ) = (2a + 4)x 3 − 3x + 4x 2 − 7 Polinomio 2. mailakoa izan dadin: 2a + 4 = 0 → a = −2.

057 ●●

Kalkulatu a-ren eta b-ren balioa, polinomioa 3. mailakoa eta gai askea 15 izateko.

P (x ) = 3x 2 − (5 + a)x + x 3 − 3b Polinomioa 3. mailakoa izango da beti, 3. mailako koefizientea 1 delako. Gai askea 15 izan dadin: −3b = 15 → b = −5.

a-ren balioak ez du eraginik ez gai askean, ez graduan; beraz, edozein balio izan daiteke.

145

917840 _ 0132-0153.qxd

7/2/08

13:52

Página 146

Adierazpen aljebraikoak 058 ●●

059

Kalkulatu a-ren balioa P (1) = 2 izan dadin, P (x ) = ax 3 − 3x 2 + 4x − 7 bada.

P (1) = 3 − 5 + a + 1 = 2 bada, a = 3. Polinomio hauek hartuta, kalkulatu:

●

A (x ) = 2x 3 − 3x 2 + x − 7 B (x ) = x 3 + 7x 2 − 4x C (x ) = −2x 2 + x − 5 a) A (x ) + B (x ) + C (x ) b) B (x ) + C (x )

c) A (x ) − B (x ) d) A (x ) − B (x ) − C (x )

a) 3x 3 + 2x 2 − 2x − 12 b) x 3 + 5x 2 − 3x − 5 060 ●●

c) x 3 − 10x 2 + 5x − 7 d) x 3 − 8x 2 + 4x − 2

Idatzi bi polinomio, haien batura hau dela: 4x 3 − 6x 2 + 7x − 2.

P (x ) = 3x 3 − 2x 2 + 5 Q (x ) = x 3 − 4x 2 + 7x − 7

061

Osatu.

●●

a) 6x 2 − 4x + 7 +  = 3x + 2 b) 5x 3 + 3x 2 − 10 −  = x − x 2 + 7 c) 9x 3 + x 2 − 6x + 4 +  = 2x 2 − x 3 + x a) −6x 2 + 7x − 5 b) 5x 3 + 4x 2 − x − 17 c) −10x 3 + x 2 + 7x − 4

062 ●

Egin eragiketak. a) (3x + 4) ⋅ 2 b) (x − 2) ⋅ 4x

c) (4x 2 + x − 2) ⋅ (−5) d) (x 2 + 3x − 6) ⋅ (−3x 3)

a) 6x + 8 b) 4x 2 − 8x 063 ●

Egin eragiketak eta sinplifikatu antzeko gaiak. a) (x + 3) ⋅ (x − 2) b) (2x − 6) ⋅ (3x + 5) c) (4 − 6x + 3x 2) ⋅ (−2 − x + x 2) a) x 2 + x − 6 b) 6x 2 − 8x − 30 c) 3x 4 − 9x 3 + 4x 2 + 8x − 8

146

c) −20x 2 − 5x + 10 d) −3x 5 − 9x 4 + 18x 3

917840 _ 0132-0153.qxd

7/2/08

13:52

Página 147

ERANTZUNAK

064

5

Egin eragiketak eta sinplifikatu antzeko gaiak.

●

a) −18 + 15x b) 34x 2 + 30x 065 ●

c) −4x 4 + x 2 + 8x d) 11x 2 − 11x

Egin zatiketak. a) (25a − 15) : 5 b) (12a 2 − 18a + 69) : 6

c) (10a 4 − 20a 3 − 4a 2) : 2a d) [(16a 4 : 4a 2)] : 2a

a) 5a − 3 23 b) 2a 2 − 3a + 2 066 ●

c) 5a 3 − 10a 2 − 2a d) 2a

Egin eragiketak. a) (x 3 + 3x 3) : x 2 b) (7x 3 − 4x 2 + 5x ) : x

c) (9x 3y 3 + 3x 2y + 15xy 2) : 3xy d) (12xy − x 2y) : xy c) 3x 2y 2 + x + 5y d) 12 − x

a) 4x b) 7x 2 − 4x + 5 067 ●

Osatu. a)  : 4xy = 3y 2z 3 + 5xy 2 − 2xyz b)  : x 3y 2 = 9y + 6x − 4x 2y c)  : (−5yz 3) = 2x − 5x 2z + 7y 2z 3 a) 12xy 3z 3 + 20x 2y 3 − 8x 2y 2z b) 9x 3y 3 + 6x 4y 2 − 4x 5y 3 c) −10xyz 3 + 25x 2yz 4 − 35y 3z 6

068

Osatu.

●●

a) (10x 5 + 8x 3 − 6x 2 + 12x ) :  = 5x 4 + 4x 2 − 3x + 6 b) (12x 4z 3 − 18x 3z 4 + 24x 2z 2) :  = 4x 2z − 6xz 2 + 8 c) (4x 5yz − 7x 4yz 2 + 6x 3y 3z 2) :  = 4x 2 − 7xz + 6y 2z a) 2x

b) 3x 2z 2

c) x 3yz

147

917840 _ 0132-0153.qxd

7/2/08

13:52

Página 148

Adierazpen aljebraikoak 069 ●

Atera biderkagai komuna. a) 3x + 6x − 9x

e) 10xy − 5xy + 15xy

b) 4x − 12y

f) 14x 4 − 35x 3 − 7x 2 + 42

c) 10a − 10b + 10c

g) 25m 2n + 20m 3n 2 − 30m 4

d) 3ab + 5ab

h) x 2y − xy 3 + xy

a) 3x ⋅ (1 + 2 − 3)

e) 5xy ⋅ (2 − 1 + 3)

b) 4 ⋅ (x − 3y )

f) 7 ⋅ (2x 4 − 5x 3 − x 2 + 6)

c) 10 ⋅ (a − b + c)

g) 5m 2 ⋅ (5n + 4mn 2 − 6m 2)

d) ab ⋅ (3 + 5)

h) xy ⋅ (x − y 2 + 1)

070

Atera biderkagai komuna.

●●

a) 4x 5 + 3x 4 − 5x 2

c) 10x 2y − 15xy + 20xy 2

b) −6y + 8y + 4y

d) 3z 4 + 9z 2 − 6z 3

4

3

a) x 2 ⋅ (4x 3 + 3x 2 − 5)

c) 5xy ⋅ (2x − 3 + 4y )

b) 2y ⋅ (−3y + 4y + 2)

d) 3z 2 ⋅ (z 2 + 3 − 2z )

3

071 ●

2

Garatu laburbidezko formulak. a) (x − 5)2

c) (4 + a)2

b) (2x + 3y)2

d) (3a − 6b)2

a) x 2 − 10x + 25

c) 16 + 8a + a 2

b) 4x 2 + 12xy + 9y 2

d) 9a 2 − 36ab + 36b 2

072

Kalkulatu.

●●

a) (x 2 + y 2)2

c) (x 2 − y 2)2

b) (3x 2 − 5y 3)2

d) (1 + a 4)2

a) x 4 + 2x 2y 2 + y 4 b) 9x − 30x y + 25y 4

073 ●

148

2 3

c) x 4 − 2x 2y 2 + y 4 d) 1 + 2a 4 + a 8

6

Adierazi berbiduren kenketa gisa. a) (x + 1)(x − 1)

c) (3a − 2b)(3a + 2b)

b) (5 + ab)(5 − ab)

d) (2 + 7x 2y)(2 − 7x 2y)

a) x 2 − 1

c) 9a 2 − 4b 2

b) 25 − a 2b 2

d) 4 − 49x 4y 2

917840 _ 0132-0153.qxd

7/2/08

13:52

Página 149

ERANTZUNAK

074 ●●

5

Zuzendu akatsak. a) (x + 2)2 = x 2 + 4 b) (x − 3)2 = x 2 + 6x − 9 c) 5 + 2 ⋅ (x + 1)2 = 10 ⋅ (x + 1)2 = (10x + 10)2 a) (x + 2)2 = x 2 + 4x + 4 b) (x − 3)2 = x 2 − 6x + 9 c) 5 + 2 ⋅ (x + 1)2 = 5 + 2 ⋅ (x 2 + 2x + 1) = 2x 2 + 4x + 7

075 ●●

Osatu. a) (2x + 4)2 =  + 16x +  b) (3x 2 − 2)2 = 9 +  − 12x 2 a) (2x + 4)2 = 4x 2 + 16x + 16 b) (3x 2 − 2)2 = 9x 4 + 4 − 12x 2

076 ●●

●●

c) (x 2 + 5)2 = x 4 + 10x 2 + 25 d) (3 − 4x )2 = 9 + 16x 2 − 24x

Idatzi falta diren gaiak, polinomioak batuketa baten edo kenketa baten berbidura izan daitezen. c) 64 −  + x 2 a) x 6 + 8x 3 +  2 b) x + 16 +  d) 49 −  + 4x 2 a) x 6 + 8x 3 + 16 b) x 2 + 16 + 8x

077

c) ( + 5)2 = x 4 + 10 +  d) (3 − )2 =  + 16x 2 − 24x

c) 64 − 16x + x 2 d) 49 − 28x + 4x 2

Adierazi polinomioak batuketa baten edo kenketa baten berbidura gisa. d) x 4 + 2x 2 + 1 a) x 2 + 4x + 4 2 b) 4x − 12x + 9 e) 9x 4 + 6x 3 + x 2 1 2 c) xx − x + 1 f) 9x 4 + 6x 2y + y 2 4 a) (x + 2)2 b) (2x − 3)2

d) (x 2 + 1)2 e) (3x 2 + x )2

⎛x ⎞ c) ⎜⎜⎜ − 1⎟⎟⎟ ⎟⎠ ⎝2

f) (3x 2 + y )2

2

078

EGIN HONELA NOLA IDAZTEN DA a 2 − b 2 FORMAKO POLINOMIO BAT BATUKETA BIDER KENKETA GISA? Idatzi P (x ) = 16 − x 2 batuketa bider kenketa gisa. LEHENA.

a eta b identifikatu behar dira. a 2 = 16 → a = 4 b2 = x2 → b = x

BIGARRENA.

Berdintza aplikatu behar da. a 2 − b 2 = (a + b)(a − b) 16 − x 2 = 42 − x 2 = (4 + x)(4 − x)

149

917840 _ 0132-0153.qxd

7/2/08

13:52

Página 150

Adierazpen aljebraikoak 079 ●●

Adierazi polinomioak batuketa bider kenketa gisa. a) 100 − 64x 2 b) 49x 4 − 36x 2

c) 1 − x 2 d) 9x 6 − x 8

a) (10 − 8x )(10 + 8x ) b) (7x 2 + 6x )(7x 2 − 6x ) c) (1 − x )(1 + x ) 080 ●●

e) 16x 2 − 25 f) x 4 − 4

d) (3x 3 + x 4)(3x 3 − x 4) e) (4x + 5)(4x − 5) f) (x 2 − 2)(x 2 + 2)

Kilo bat laranjaren prezioa x da, eta kilo bat mahatsena, y. Adierazi hizkuntza aljebraikoan: a) 2 kg laranjaren eta 3 kg mahatsen prezioa. b) Mahatsak laranjaren bikoitza balio du. c) 1,5 kg laranjaren eta 2,5 kg mahatsen prezioa. a) 2x + 3y

081 ●●

b) y = 2x

c) 1,5x + 2,5y

Jonek x urte ditu, eta Peruk, 8 gehiago. Erantzun galderei, adierazpen aljebraikoak erabiliz. a) Zer adin izango du Jonek 20 urte barru? b) Zer adin zuen Jonek duela 7 urte? c) Noiz izango du Jonek orain duen adinaren bikoitza? d) Zer adin du Peruk gaur egun? e) Zer adin izango du Peruk 15 urte barru? f) Duela zenbat urte zuen Peruk Jonen gaur egungo adinaren erdia? g) Zenbat urte barru izango du Jonek Peruren gaur egungo adinaren bikoitza? a) x + 20 b) x − 7

082 ●●

c) x urte barru. d) x + 8

e) x + 8 + 15 x f) x + 8 − 2

g) 2 ⋅ (x + 8) − x

Merkatari batek zizaretxoen poltsaz betetako 10 kutxa, krispeten poltsaz betetako 7 eta artoen poltsaz betetako 8 kutxa zenbatu ditu. Banatzaileak 2 kutxa ekarri ditu salgai bakoitzetik. Astean zehar, artoen poltsen 2 kutxa, zizaretxoen poltsen 4 eta krispeten poltsen 3 saldu dira. Adierazi hizkuntza aljebraikoan zer eragiketa egin behar dituen merkatariak. Banatzaileak zizaretxoen x kutxa, krispeten y eta artoen z kutxa ekarriko ditu. Banatzailea itzultzean, salgai bakoitzaren kutxa hauek izango ditu: zizaretxoak: x + 10 + 2 − 4; krispetak: y + 7 + 2 − 3; artoak: z + 8 + 2 − 2.

150

917840 _ 0132-0153.qxd

7/2/08

13:52

Página 151

ERANTZUNAK

083 ●●●

5

Aukeratu bi zenbaki, hauetatik: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Idatzi triangeluetan, adierazpen hau: berdea

laranja

0 izan dadin, x = 1 baliorako. Triangelu berdea a da, eta laranja, b. Eragiketak eginez, hau lortuko dugu: 13 − 5a + b = 0. Balio positiboak direnez: 5a > 13 → a ≥ 3. Eta b-ren baliorik handiena 6 denez: 5a < 20 → a < 4; beraz, a = 3 eta b = 2. 084 ●●●

Kalkulatu x, y eta z-ren balioa, beheko karratua 1etik 9ra arteko zenbakiek osatutako karratu magikoa izan dadin. (Gogoratu: karratu magikoetan, zutabe, ilara eta diagonal guztietako elementuen batura bera da.) Zenbait ebazpen dauden arren, y > z bada, ebazpen bakarra dago. Zein da?

085

Karratu magikoetan, zentroan 5 zenbakia egoten da; beraz, x = 5.

8

3

4

1

5

9

Baliorik handiena 9 denez, hau dugu: y + z = 4; eta y > z denez: y = 3 eta z = 1.

6

7

2

Erreparatu taulari.

●●●

x+y+z

=

15

x + y −z

=

15

x + 2y + z

=

17

a) Zer balio du z-k, batuketa edo kenketa egitea berdin izan dadin? b) y -ren balioa kalkula al dezakezu? Eta x -rena? a) z-k 0 izan behar du. b) x + y = 15 x + 2y = (x + y ) + y = 17 → y = 2, x = 13

151

917840 _ 0132-0153.qxd

7/2/08

13:52

Página 152

Adierazpen aljebraikoak EGUNEROKOAN 086 ●●●

Etxebizitzari eta bizigarritasunari buruz asko eztabaidatu ondoren, etxebizitzaren neurri egokiei buruzko zenbait ondorio atera dira. Bi logelako etxebizitzetarako, hauek dira gomendioak: • Harrera-gelaren luzerak zabalera halako hiru izan behar du. • Sukaldearen eta logelen zabalerek harrera-gelaren zabalera halako bi izan behar dute, eta luzerek, harrera-gelaren zabalera halako hiru. • Korridorearen zabalerak sukaldearenaren erdia izan behar du, eta luzerak, harrera-gelaren zabalera halako bost. • Egongelaren zabalerak sukaldearen luzeraren berdina izan behar du, eta luzerak, harrera-gelaren zabalera halako bost. • Komunak karratua izan behar du, eta haren aldeak, sukaldearen zabaleraren berdina. Harrera-gelaren zabalerak ezin badu izan 1,5 m baino txikiagoa, zenbatekoa da ezaugarri horiek dituen etxebizitza baten gutxienezko azalera?

Harrera-gelaren zabalera: x = 1,5 m → Harrera-gelaren luzera: 3x = 4,5 m. Harrera-gelaren azalera: 1,5 ⋅ 4,5 = 6,75 m2. Sukaldearen eta logelen zabalera: 2x = 3 m. Sukaldearen eta logelen luzera: 3x = 4,5 m. Sukaldearen eta logelen azalera: 3 ⋅ 4,5 = 13,5 m2. 2x = x = 1, 5 m → Korridorearen luzera: 5x = 7,5 m. Korridorearen zabalera: 2 Korridorearen azalera: 1,5 ⋅ 7,5 = 11,25 m2. Egongelaren zabalera: 3x = 4,5 m → Egongelaren luzera: 5x = 7,5 m. Egongelaren azalera: 4,5 ⋅ 7,5 = 33,75 m2. Komunaren zabalera: 2x = 3 m → Komunaren luzera: 2x = 3 m. Komunaren azalera: 3 ⋅ 3 = 9 m2. Azalera osoa = 6,75 + 3 ⋅ 13,5 + 11,25 + 33,75 + 9 = 101,25 m2

152

917840 _ 0132-0153.qxd

7/2/08

13:52

Página 153

ERANTZUNAK

087 ●●●

5

SANTILIBURU argitaletxeak zientzia-fikziozko liburuen bilduma atera behar du. Diseinatzaile grafikoek itxura berritzailea eman nahi diote. Gainera, letra-tipoa eta liburuaren formatua aldatzea pentsatu dute: orrialdeen luzera zabalera baino 5 cm handiagoa izango da. Zuzendaritza-taldeak hiru aukera eman dizkie: a) Orrialdeen zabalera 3 cm handitzea. b) Orrialdeen luzera 3 cm handitzea. c) Zabalera eta luzera 3 cm handitzea. Orrialde bat inprimatzeko tintaren kostua 0,007 €/cm2 bada, zer alde dago lau proposamenen kostuen artean? Luzera arrunta: y. Azalera arrunta: xy. Zabalera arrunta: x. Azalera, zabalera 5 cm handituta: xy + 5y. Kostuen aldea: 0,035y €. Azalera, zabalera 3 cm handituta: xy + 3y. Kostuen aldea: 0,021y €. Azalera, luzera 3 cm handituta: xy + 3x. Kostuen aldea: 0,021x €. Azalera, zabalera 3 cm eta luzera 3 cm handituta: xy + 3x + 3y. Kostuen aldea: 0,021 ⋅ (x + y) €.

088 ●●●

TORA enpresa eraikitzaileak karratu forma duen lur-sail bat erosi eta urbanizazio-proiektu bat egin du, udalari aurkezteko. Hirigintza-arauen arabera, orubearen alde bateko 3 m-ko zabalerako lur-saila udalari eman behar dio.

a) Zenbatean txikitu da orubearen azalera? b) Zer gastu da hori, hasieran orubeari esker 422.000 €-ko etekina lortuko zutela uste bazuten? Aldea x dela suposatuko dugu. a) Azalera 3x m2 txikitu da. 422.000 da; x2 422.000 1.266.000 ⋅ 3x = beraz, gastua hau da: €. x2 x

b) Etekina metro koadroko

153

917840 _ 0154-0185.qxd

6

7/2/08

16:52

Página 154

Lehen eta bigarren mailako ekuazioak BERDINTZA ALJEBRAIKOAK

IDENTITATEAK

EKUAZIOAK

LEHEN MAILAKO EKUAZIOAK

BIGARREN MAILAKO EKUAZIOAK

PROBLEMAK EKUAZIOEN BIDEZ EBAZTEA

154

917840 _ 0154-0185.qxd

7/2/08

16:52

Página 155

Parisek merezi du Henrike III.ak, Valois dinastiako azkenak, haren lehengusu Henrike IV.a ondorengo izendatu zuenean, bazekien bai tronurako bidea ez zela batere samurra izango. Erlijio-gerrek, Frantzia banatzeaz gain, Europa osoa ere banatu zuten, eta bataioz katolikoa zen arren, Kalbin teologoaren dotrinan hezi zuten eta nahikoa sufrimendu eragin zion horrek. Artean gogoan zuen Frantzian agintzen lau urte zeramatzala, bere fedea ukatu eta berriro ere dotrina katolikoari heldu behar izan ziola, Pariseko Liga Santuak errege onar zezan. Urteak pasatu arren, Filipe II.a katolikoarekin lehian zebilen, eta idazkariak ekarritako gutuna irakurtzen ari zen bitartean, txundituta zegoen Henrike IV.a: a zer-nolako abilezia zuen François Viètek espainiarrek erabiltzen zituzten mezu zifratuak interpretatzen. Begiak itxi eta Viètek erakutsitako Aljebrako ideiaren bat gogoratzen saiatu zen. Kantitate jakinak adierazteko kontsonanteak, B, C, D…, erabiltzen zirela gogoratu zen, eta kantitate ezezagunak adierazteko, bokalak, A, E, I… Nola idatziko luke Viètek bigarren mailako ekuazio bat?

Ezezaguna A letraren bidez eta koefiziente bakoitza adierazteko balioak erabiliz, bigarren mailako ekuazio bat hau da: BA2 + CA + D = 0

917840 _ 0154-0185.qxd

7/2/08

16:52

Página 156

Lehen eta bigarren mailako ekuazioak ARIKETAK 001

Sailkatu berdintza aljebraikoak identitatetan eta ekuaziotan. a) 2x + 1 = 11 b) x + x = 2x

002

x = −8 2 d) 4x + 5 = 5 + 4x c)

e) 6x = 18

g) x − 2 = 2x

f) a7 = a 2 ⋅ a5

h) y + 1 = 1 + y

a) Ekuazioa

c) Ekuazioa

e) Ekuazioa

g) Ekuazioa

b) Identitatea

d) Identitatea

f) Identitatea

h) Identitatea

Aztertu ea betetzen diren berdintzak. a) 13 + x = 18, x = 6 bada. b) 3 ⋅ x = −12, x = −4 bada. a) 13 + 6 = 19 ⫽ 18 → Ez da betetzen. b) 3 ⋅ (−4) = −12 → Betetzen da.

003

Kalkulatu a, x 2 − 3x + a = 0 ekuazioa bete dadin, x = 2 bada.

a=2 004

Zehaztu ekuazioen atalak, gaiak eta maila. a) x + 3 = 10 b) 4x − x = x + 8 c) x (x − 2) = 3 − 4(x + 2)

d) x − x 2 + 3 = 8 + x (5 − x) e) x 2(x − 3) + 5x 2 = x (1 + x 2)

a) Atalak: x + 3, 10 Gaiak: x, 3, 10 Maila: 1 b) Atalak: 4x − x, x + 8 Gaiak: 4x, x, x, 8 Maila: 1 c) x 2 − 2x = 3 − 4x − 8 Atalak: x 2 − 2x, 3 − 4x − 8 Gaiak: x 2, 2x, 3, 4x, 8 Maila: 2 d) x − x 2 + 3 = 8 + 5x − x 2 Atalak: x − x 2 + 3, 8 + 5x − x 2 Gaiak: x, x 2, 3, 8, 5x, x 2 Maila: 1 e) x 3 − 3x 2 + 5x 2 = x + x 3 Atalak: x 3 − 3x 2 + 5x 2, x + x 3 Gaiak: x 3, 3x 2, 5x 2, x, x 3 Maila: 2

156

917840 _ 0154-0185.qxd

7/2/08

16:52

Página 157

ERANTZUNAK

005

Zein balio dira x (x + 1) = 6 ekuazioaren ebazpenak? a) x = 2

006

b) x = −2

c) x = 3

c) 3 ⋅ 4 ⫽ 6 → Ez da ebazpena.

b) (−2) ⋅ (−1) ⫽ 6 → Ez da ebazpena.

d) (−3) ⋅ (−2) = 6 → Ebazpena da.

Kalkulatu ebazpena, balioak probatuz. b) −4 + x = −12

a) x = 25

b) x = −8

Ebatzi ekuazioak, gaiak lekuz aldatuz. a) x + 4 = 12 b) 1 − x = 12

008

c) x − 3 = 8 d) −5 + x = −3

e) 2x = 16 f) 7x = 49

a) x = 8

c) x = 11

e) x = 8

b) x = −11

d) x = 2

f) x = 7

g) 5x = 25 h) 2x = 5 g) x = 5 5 h) x = 2

Kalkulatu ezezagunaren balioa. a) −10 = −x + 3 a) x = 13

009

d) x = −3

a) 2 ⋅ 3 = 6 → Ebazpena da.

a) x − 5 = 20

007

6

b)

x = −8 4

c)

x = 3 −5

b) x = −32

c) x = −15

Kalkulatu a-ren balioa, x + a = 10 ekuazioaren ebazpena 7 izan dadin.

a=3 010

Ebatzi ekuazioak. a) b) c) d)

011

2x + 4 = 16 7x + 8 = 57 x + 2 = 16 − 6x x −1 = 9 −x

e) f) g) h)

5x − 5 = 25 3x + 4 = 2(x + 4) 5(x − 1) − 6x = 3x − 9 4(x −2) + 1 + 3x = 5(x + 1)

a) 2x = 12 → x = 6

e) 5x = 30 → x = 6

b) 7x = 49 → x = 7

f) x = 4

c) 7x = 14 → x = 2

g) −4x = −4 → x = 1

d) 2x = 10 → x = 5

h) 2x = 12 → x = 6

Ebatzi. a) 3(3x + 1) − (x − 1) = 6(x + 10) b) 5(x − 2) − (3 + x) = 3(x − 4) a) 9x + 3 − x + 1 = 6x + 60 → 2x = 56 → x = 28 b) 5x − 10 − 3 − x = 3x − 12 → x = 1

157

917840 _ 0154-0185.qxd

7/2/08

16:52

Página 158

Lehen eta bigarren mailako ekuazioak 012

Bakandu x: x (a − 3) = a (8 − x) − 5(x + a).

ax − 3x = 8a − ax − 5x − 5a → 2ax + 2x = 3a → x =

013

3a 2a + 2

Ebatzi izendatzaileak dituzten ekuazio hauek: x +3 x +1 x +4 = + 4 2 5 x +6 1 x −4 − = b) 40 4 3 a)

a)

b)

c) −( x + 4 ) +

x 8x =− 3 3

x+3 x +1 x+4 → 5(x + 3) = 10(x + 1) + 4(x + 4) → = + 4 2 5 −11 → 5 x + 15 = 14 x + 26 → x = 9 x +6 1 x −4 → 3(x + 6) − 30 = 40(x − 4) → − = 40 4 3 → 3x − 12 = 40 x − 160 → 37x = 148 → x =

c) −(x + 4) +

014

148 37

x 8x =− → −3(x + 4) + x = −8 x → 3 3 → −2x − 12 = −8x → 6x = 12 → x = 2

Ebatzi ekuazioak. a)

2x − 1 = 9 5

b)

x −3 3x − 9 = 12 10

a) 2x − 1 = 45 → x = 23 b) 10(x − 3) = 12(3x − 9) → 10x − 30 = 36x − 108 → 26x = 78 → x = 3 015

Bakandu x ekuazioan. a ( x − 3) a (8 − x ) = 12 3

a(x − 3) = 4a (8 − x) → ax − 3a = 32a − 4ax → 5ax = 35a → x = 7 016

Zenbaki baten eta haren bikoitzaren batura 120 da. Zer zenbaki dira?

x + 2x = 120 → x = 40. Zenbakiak 40 eta 80 dira. 017

Laukizuzen baten perimetroa 400 m-koa da. Kalkulatu aldeen luzera, jakinik oinarria 2 m handiagoa dela altuera baino. Altuera: x, oinarria: x + 2 2x + 2(x + 2) = 400 → x = 99 → Altuera = 99 m, oinarria = 101 m

158

917840 _ 0154-0185.qxd

7/2/08

16:52

Página 159

ERANTZUNAK

018

6

Karratu baten perimetroa 60 cm-koa da. Kalkulatu alde bakoitzaren luzera. Aldea: x 4x = 60 → x = 15 cm

019

Andoniri 4 €-ko saria ematen diote astero eta 2,50 € gastatzen ditu astean. 54 €-ko sakelako telefono bat erosi nahi badu, zenbat denbora behar du diru kopuru hori aurrezteko? Aurrezteko behar duen aste kopurua: x Astero aurrezten duena: 4 − 2,50 = 1,50 € 1,50x = 54 → x = 36 aste

020

Isunetan, ordaintzean izaten den atzerapen-egun bakoitzeko 3 € handitzen da isunaren zenbatekoa. Jonek isun bat dauka bigarren ilaran aparkatzeagatik. Zenbat atzerapen-egun ditu, 156 € ordaindu badu 105 €-ren ordez? Atzerapen-egunak: x 156 = 105 + 3x → x = 17 egun

021

x oinarriko eta 5 m-ko altuerako laukizuzen batean, badakigu perimetroa 16 m luze dela. Kalkulatu oinarriaren luzera. x

5m

16 = 10 + 2x denez, x oinarria 3 m luze da. 022

Kalkulatu laukizuzen baten x oinarria, jakinik altuera 3 cm dela, eta perimetroa, 22 cm. 3 cm

x

2x + 6 = 22 → 2x = 16 → x = 8 cm 023

Zoo batean, txinpantze kopurua gorila kopurua halako bi da. Guztira 171 animalia badaude, zenbat txinpantze eta zenbat gorila daude? ⎪⎫ ⎬ → 2x + x = 171 → 3x = 171 → x = 57 ⎪⎪⎭ 57 gorila eta 114 txinpantze daude.

Gorilak: x Txinpantzeak: 2x

159

917840 _ 0154-0185.qxd

18/3/08

17:02

Página 160

Lehen eta bigarren mailako ekuazioak 024

33 ikasleko ikasgela batean, neskak mutilak halako bi dira. Zenbat mutil eta zenbat neska daude?

Mutilak: x ⎫⎪ → 3x = 33 → x = 11 Neskak: 2x ⎬⎪⎪⎭ 11 mutil eta 22 neska daude. 025

Ondoz ondoko bi zenbaki bakoitiren batura 156 da. Zer zenbaki dira? Zenbaki bakoitia: 2x + 1 ⎪⎫ ⎬ → 2x + 1 + 2x + 3 = 156 → 4x = 152 → x = 38 Ondorengoa: 2x + 3 ⎭⎪⎪ Zenbakiak hauek dira: 2x + 1 = 2 ⋅ 38 + 1 = 76 + 1 = 77 2x + 3 = 2 ⋅ 38 + 3 = 76 + 3 = 79

026

Idatzi bigarren mailako ekuazio hauen adierazpen orokorra, eta zehaztu koefizienteak. a) (x − 1)(x + 4) = 1e)

3x 2 − 5x = 0

b) x 2 − 5x + 2 = −x 2

f) −x 2 − x − 1 = 0

c) 3x − 5 = −2x + x − 4

g) (x − 2)3x = 4

2

2

d) x (4x + 2) = 0 a) x 2 + 3x − 5 = 0

Koefizienteak: a = 1

b=3

c = −5

b) 2x − 5x + 2 = 0 Koefizienteak: a = 2

b = −5

c=2

c) 5x 2 − x − 1 = 0

Koefizienteak: a = 5

b = −1

c = −1

d) 4x + 2x = 0

Koefizienteak: a = 4

b=2

c=0

e) 3x − 5x = 0

Koefizienteak: a = 3

b = −5

c=0

f) −x 2 − x − 1 = 0

Koefizienteak: a = −1

b = −1

c = −1

b = −6

c = −4

2

2 2

g) 3x − 6x − 4 = 0 Koefizienteak: a = 3 2

027

Idatzi koefiziente hauek dituzten bigarren mailako ekuazioak: a) a = 4, b = −3, c = −2

c) a = −1, b = 2, c = 0

b) a = 6, b = 0, c = −3

d) a = −1, b = 0, c = 0

a) 4x − 3x − 2 = 0

c) −x 2 + 2x = 0

b) 6x 2 − 3 = 0

d) −x 2 = 0

2

160

917840 _ 0154-0185.qxd

7/2/08

16:52

Página 161

ERANTZUNAK

028

6

Adierazi bigarren mailakoak diren ala ez ekuazio hauek. a) 3x 2 − 5x + 2 = 3x 2 + 2x b) 3x 2 − 2x 2 = 2x 2 + x a) −7x + 2 = 0 → Lehen mailako

c) (x − 2)(x + 1) = 0 d) x (x + 1) = x 2 + 2x c) x 2 − x − 2 = 0 → Bigarrenekoa

b) −x 2 − x = 0 → Bigarren mailakoa d) x = 0 → Lehen mailakoa 029

Ebatzi ekuazioak. a) x 2 − 36 = 0 b) x 2 + 16 = 0 c) 5x 2 − 320 = 0

030

d) x 2 − 2x = 0 e) 7x 2 + 21x = 0 f) x (x − 4) = 0

a) x1 = 6, x2 = −6

d) x1 = 0, x2 = 2

b) Ez du ebazpenik.

e) x1 = 0, x2 = −3

c) x1 = 8, x2 = −8

f) x1 = 0, x2 = 4

Ebatzi ekuazioak. a) 2x 2 = 72 b) 3x 2 = −27

031

c) −2x 2 = 72x d) −3x 2 = −27x

a) x1 = 6, x2 = −6

c) x1 = 0, x2 = −36

b) Ez du ebazpenik.

d) x1 = 0, x2 = 9

Idatzi ebazpen hauek dituzten ekuazioak: a) x1 = 5, x2 = −5

b) x1 = 0, x2 = −2

a) x 2 − 25 = 0 032

b) x 2 + 2x = 0

Ebatzi ekuazioak. a) x 2 − 6x + 8 = 0 b) 2x 2 − x − 1 = 0 c) 3x 2 + 4x + 1 = 0 a) x1 = 2, x2 = 4

d) x1 = 1, x2 = 3

1 b) x1 = 1, x2 = − 2

e) x1 = x2 =

c) x1 = −1, x2 = −

033

d) −x 2 + 4x − 3 = 0 e) −4x 2 + 4x − 1 = 0

1 2

1 3

Kalkulatu ekuazioen ebazpenak. a) (x − 2)(x + 1) = 0 a) x1 = 2, x2 = −1

b) x 2 + 2x = 15 b) x1 = −5, x2 = 3

161

917840 _ 0154-0185.qxd

7/2/08

16:52

Página 162

Lehen eta bigarren mailako ekuazioak 034

x 2 + 3x + c = 0 ekuazioan, kalkulatu c-ren balioa, jakinik ebazpenak −1 eta −2 direla. c = x1 ⋅ x2 = 2

ARIKETAK 035 ●

Adierazi ea betetzen diren adierazpen aljebraikoak, x = 2 bada. a) 5x 2 − 3x + 7 = 21 b) (x + 1)(x − 2) = 0 c)

036 ●

d) 3x (2x − 4) − 1 = −1 e) (7x − 3)(−2) + x = 0

4x − 3 1 = 2 2

f)

x +1 x +4 − = −2 3 2

a) Zuzena

c) Okerra

e) Okerra

b) Zuzena

d) Zuzena

f) Zuzena

x +3 x = − 1 berdintza? 2 4 b) x = 2 c) x = −10

Zein baliotarako betetzen da a) x = −1

d) x = 12

Balio honetarako betetzen da: c) x = −10. 037 ●

038 ●●

Esan zein berdintza aljebraiko diren identitateak eta zein ekuazioak. a) −3(2 − 5x) = 15x − 6

d) 2x = 10

⎛ 8 2⎞ x − x = ⎜⎜1 + ⎟⎟⎟ x b) ⎜ ⎝ 3 3 ⎟⎠

e)

c) 7x = 6x + x

f) 5(x − 2) = 5 − 2x

2x − 4 = x −2 2

a) Identitatea

c) Identitatea

e) Identitatea

b) Ekuazioa

d) Ekuazioa

f) Ekuazioa

Idatzi identitateak diren bi berdintza aljebraiko eta ekuazioak diren beste bi. Identitateak: 2x − 5 = −5 + 2x; 3x + 1 = 2x + x + 1 Ekuazioak: 2x = 6; 3x + 5 = 8

039

Idatzi balio hauetarako betetzen diren hiru berdintza aljebraiko.

●●

a) x = 5 b) x =

3 2

c) x = −4 d) x =

−4 3

Idatz al dezakezu lau balioek betetzeko moduko berdintza aljebraikorik? Nola deritzo?

162

917840 _ 0154-0185.qxd

7/2/08

16:52

Página 163

ERANTZUNAK

6

a) 2x = 10; x + 1 = 5; 3x − 2 = 13 b) 2x = 3; 4x + 2 = 8; 6x − 3 = 6 c) x + 4 = 0; 3x + 1 = −11; 5 − 2x = 13 d) 3x = −4; 9x +8 = −4; 20 − 6x = 28 ⎛ ⎛ 3⎞ 4⎞ (x − 5) ⋅ ⎜⎜ x − ⎟⎟⎟ ⋅ (x + 4) ⋅ ⎜⎜ x + ⎟⎟⎟ = 0 ekuazioak baldintza betetzen du. ⎜⎝ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 3 ⎟⎠ 040

Aurkitu akatsa eta zuzendu.

●●

a) 4x = 3 ekuazioa betetzen da x = −1 bada, 4 − 1 = 3 delako. b) 4 − x = 3 ekuazioa betetzen da x = −1 bada, 4 − 1 = 3 delako. x 1 + 1 = 2 ekuazioa betetzen da x = c) bada, 4 4 1/ 4 + 1 = 1 + 1 = 2 delako. 4 a) 4x = 3 ekuazioa betetzen da x =

3 3 = 3 delako. bada, 4 ⋅ 4 4

b)4 − x = 3 ekuazioa betetzen da x = 1 bada, 4 − 1 = 3 delako. c)

x 4 + 1 = 2 ekuazioa betetzen da x = 4 bada, + 1 = 2 delako. 4 4

041

Adierazi betetzen den ala ez x 2 = −4 berdintza, x-ren balio hauetarako:

●●

a) x = 2 b) x = −2 c) x = 1

d) x = −1 e) x = 3 f) x = −3

Egon al daiteke ekuazioa betetzen duen x-ren baliorik? Ez da kasu bakar batean ere betetzen, ez duelako ebazpenik.

042 ●

Identifikatu ekuazioen elementuak. Ekuazioa 4x − 3 = 5 4(x − 3) = 5x y +2 3 a 3a − b = 5 z 2 − 4z + 3 = 0 x (x + 1) = x 2 + 9 x (3 − x) = x − 1 8y − y =

1. atala 4x − 3 4(x − 3) 8y − y 3a − b

z 2 − 4z + 3 x (x + 1) x (3 − x)

2. atala 5 5x y +2 3 a 5 0 x2 + 9 x−1

Ezezagunak x x

Maila 1 1

y

1

a, b

1

z x x

2 2 2

163

917840 _ 0154-0185.qxd

7/2/08

16:52

Página 164

Lehen eta bigarren mailako ekuazioak 043 ●●

Idatzi enuntziatu bakoitzari dagokion ekuazioa. a) Zenbaki baten bikoitza 8 da. b) Zenbaki baten hirukoitza 12 da. c) Zenbaki baten erdia 10 da. d) Zenbaki baten herena 2 da. e) Zenbaki baten bikoitza gehi 3 hau da: 8. f) Zenbaki baten erdia ken 5 hau da: 120. g) Zenbaki baten laurdena ken 6 hau da: 7. h) Zenbaki baten bikoitza gehi 7 hau da: 18. i) Zenbaki baten laukoitza ken 10 hau da: 24. x =2 3 e) 2x + 3 = 8

a) 2x = 8 b) 3x = 12 c) 044 ●●

045 ●●

x −6 = 7 4 h) 2x + 7 = 18

d)

x = 10 2

f)

g)

x − 5 = 120 2

i) 4x − 10 = 24

Idatzi enuntziatu bakoitzari dagokion ekuazioa. a) Zenbaki baten berbidura 100 da. b) Zenbaki baten kuboa 125 da. c) Zenbaki baten berbidura gehi 2 hau da: 82. d) Zenbaki baten kuboa ken 3 hau da: 124. e) Zenbaki baten berbiduraren erdia 8 da. f) Zenbaki baten kuboaren bostena 310 da. a) x 2 = 100

c) x 2 + 2 = 82

b) x 3 = 125

d) x 3 − 3 = 124

x2 =8 2 x3 = 310 f) 5

e)

Idatzi ekuazio hauei dagozkien enuntziatuak: a) 2x + 5 = 3

c) 2(x + 1) = 10

b) 7 − x = 2

d)

x2 = 3 2

e) x 2 − 1 = 8 f) 3(x − 2) = 9

a) Zenbaki baten bikoitza gehi 5 hau da: 3. b) 7 ken zenbaki bat 2 da. c) Zenbaki baten eta 1en batuketaren bikoitza 10 da. d) Zenbaki baten berbiduraren erdia 3 da. e) Zenbaki baten berbidura ken 1 hau da: 8. f) Zenbaki baten eta 2ren kenketaren hirukoitza 9 da. g) Zenbaki baten eta 4ren kenketaren erdia 1 da. h) Zenbaki baten eta 6ren batuketaren herena 2 da.

164

x −4 =1 2 x +6 = 2 h) 3

g)

917840 _ 0154-0185.qxd

7/2/08

16:52

Página 165

ERANTZUNAK

046 ●

6

Sinplifikatu ekuazioak, antzeko gaiak sinplifikatuz, beheko adibidean ageri den moduan.

a) 5(x − 6) + 2(−3x − 7) = 2(3x + 5) b) 4x + 5 − x = 10x + 7 − x c) 7 − 10x + 3(x 2 − 9x) = x − 8 7 5 d) 8 + ( x − 3) − x 2 + x = 3 4 e) −2(2x + 4) − x (x + 3) = 5 − 3x a) b) c) d) e)

5x − 30 − 6x − 14 = 6x + 10 → −7x − 54 = 0 −6x − 2 = 0 → 6x + 2 = 0 7 − 10x + 3x 2 − 27x = x − 8 → 3x 2 − 38x + 15 = 0 96 + 28x − 84 − 12x 2 + 12x = 15 → −12x 2 + 40x − 3 = 0 −4x − 8 − x 2 − 3x = 5 − 3x → −x 2 − 4x − 13 = 0

047

Zuzendu antzeko gaiak sinplifikatzean egindako akatsak.

●●

a) 7x − (2 − x)= 3x + 1 7x − 2 − x = 3x + 1 7x − x − 3x − 2 + 1 = 0 3x − 1 = 0 b)

8(2 − x) − x 16 − 8x − x 8x − x − x + 16 6x + 16

= = = =

c) 5 − (x − 3)= x − (−7) 5 + 7 −x −3 −x = 0 −2x + 9 = 0

x x 0 0

a) 7x − (2 − x) = 3x + 1 7x − 2 + x = 3x + 1 7x + x − 3x − 2 − 1 = 0 5x − 3 = 0

c) 5 − (x − 3) = x − (−7) 5−7−x+3−x=0 −2x + 1 = 0

b) 8(2 − x) − x = x 16 − 8x − x = x −8x − x − x + 16 = 0 −10x + 16 = 0 048 ●

Adierazi zein ekuazio diren x = 4 ekuazioaren baliokideak. a) 2x = 8 b) 3x = 9

c) 4x = 12 d) −x = −4

a) Baliokidea b) Ez da baliokidea

e) −2x = 8 f) −3x = −12

c) Ez da baliokidea d) Baliokidea

e) Ez da baliokidea f) Baliokidea

165

917840 _ 0154-0185.qxd

7/2/08

16:52

Página 166

Lehen eta bigarren mailako ekuazioak 049 ●

Ebatzi ekuazioak. a) x + 2 = 7 b) x − 3 = 15

e) x + 11 = 3 f) x − 17 = 17

i) 4x = 20 j) 13x = 91

m) −7x = 21 n) −12x = 60

c) x + 13 = 21

g) x +

6 = 11 2 h) x − 9 = −16

x = 5 4 l) −x = 3

ñ) 6x = 18

d) x − 7 = 2

k)

a) x = 7 − 2 = 5

i) x = 5

b) x = 15 + 3 = 18

j) x = 7

c) x = 21 − 13 = 8

k) x = 20

d) x = 2 + 7 = 9

l) x = −3

e) x = 3 − 11 = −8

m) x = −3

f) x = 17 + 17 = 34

n) x = −5

g) x = 11 −

6 → x =8 2

ñ) x = 3

h) x = −16 + 9 = −7 050 ●

●

a)

2x = 5 20

b)

9x = 27 6

c)

4x = 82 2

a) 2x = 5 ⋅ 20 → 2x = 100 → x =

100 = 50 2

b) 9x = 27 ⋅ 6 → 9x = 162 → x =

162 = 18 9

c) 4x = 82 ⋅ 2 → 4x = 164 → x =

164 = 41 4

d)

3x = 9 6

54 = 18 3

Kalkulatu ekuazioen ebazpenak. a) b) c) d) e)

−5x = 45 6x = −36 3x = 2 8x = 48 −12x = −72

x = 8 −3 x 1 = g) 4 4 f)

166

o) x = −7

Ebatzi ekuazioak.

d) 3x = 9 ⋅ 6 → 3x = 54 → x =

051

o) −3x = 21

h)

x =1 15

x 1 = 4 2 j) x + 4 + x = 18 + 3 i)

k) x + 3x + 4x = 8 l) 5x − 2 + 2x = 6x + 8 m) 4x + 3x − 2x = 45 n) −x + 4x − 3 = 5 − 2x

917840 _ 0154-0185.qxd

7/2/08

16:52

Página 167

6

ERANTZUNAK

a) x =

45 = −9 −5

b) x =

−36 = −6 6

c) x =

2 3

48 =6 8 e) x = 6 d) x =

f) x = 8 ⋅ (−3) = −24 g) 4x = 4 → x = 1 052 ●

h) x = 15 i) 2x = 4 → x = 2 j) 2x + 4 = 21 → 2x = 17 → x =

17 2

k) 8x = 8 → x = 1 l) 7x − 2 = 6x + 8 → x = 10 m) 5 x = 45 → x = n) 5 x = 8 → x =

45 =9 5 8 5

Ebatzi lehen mailako ekuazio hauek: a) b) c) d) e) f)

2x − 10 = 0 5x + 4 = x − 8 x + 2(x − 1) = 4 2(3x − 5) − x − (2x − 3) = 1 − (2x − 5) 7(x + 2) + 4(x + 3) = 3x + 1 3(x − 3) − 4(2 − 3x) = 2(1 − 2x) a) x = 5 b) x = −3 c) x = 2

13 5 −25 e) x = 8 d) x =

f) x = 1

053

Kalkulatu lehen mailako ekuazio hauen ebazpenak:

●●

a) b) c) d) e) f)

4x + 1 + 3x − 5 = 2(x − 2) + 30 3(x + 8) = 6(x − 2) + 24 3(x + 8) − (x − 4) = 12 2(4 − x) + 3(4x + 16) = 3 6(x + 8) − 2(x − 4) = 24 6(x − 2) = 3(x + 8) − 24 a) 7x − 4 = 2x − 4 + 30 → 7x − 2x = −4 + 30 + 4 → 5x = 30 → x = 6 b) 3x + 24 = 6x − 12 + 24 → 3x − 6x = −12 + 24 − 24 → → −3x = −12 → x = 4 c) 3x + 24 − x + 4 = 12 → 2x = 12 − 24 − 4 → 2x = −16 → x = −8 d) 8 − 2x + 12x + 48 = 3 → 10x = 3 − 8 − 48 → 10x = −53 → x =

−53 10

e) 6x + 48 − 2x + 8 = 24 → 4x = 24 − 48 − 8 → 4x = −32 → x = −8 f) 6x − 12 = 3x + 24 − 24 → 6x − 3x = 24 − 24 + 12 → 3x = 12 → x = 4

167

917840 _ 0154-0185.qxd

7/2/08

16:52

Página 168

Lehen eta bigarren mailako ekuazioak 054 ●●

Ebatzi lehen mailako ekuazio hauek: a)

5−x =1 7

e)

3x + 8 = x 4

b)

x −8 = 3 6

f)

3x − 25 = x − 20 2

c)

x +5 = 4 6

g)

x +4 x −1 = −x 5 2

d)

4x − 8 = 2 −2

h)

3x 2x −9 = −7 5 6

a) x = −2

f) x = 10

b) x = 26 c) x = 19 d) x = 1 e) x = 8 055 ●●

056 ●●

2 7

h) x =

15 2

Kalkulatu ekuazioen ebazpenak. a)

2x x x + = + 13 5 10 15

c)

3x − 4 = x −3 4

b)

x x +4 −x = −1 2 5

d)

x 3x −7 = −9 3 5

a)

2x x x + = + 13 → 12x + 3x = 2x + 195 → 13x = 195 → x = 15 5 10 15

b)

x x+4 2 −x = − 1 → 5 x − 10 x = 2x + 8 − 10 → 7x = 2 → x = 2 5 7

c)

3x − 4 = x − 3 → 3x − 4 = 4 x − 12 → x = 8 4

d)

x 3x 15 −7 = − 9 → 5 x − 105 = 9x − 135 → 4 x = 30 → x = 3 5 2

Ebatzi ekuazioak. a)

x +8 x −4 = +2 2 6

b)

x −5 8−x 2x − 10 + = 3− 5 2 2

c)

x − 10 x − 20 x − 30 −5 = + 2 4 3

d) −

168

g) x =

3x − 12 2x − 10 = −1 − 4 3

917840 _ 0154-0185.qxd

7/2/08

16:52

Página 169

ERANTZUNAK

a)

x+8 x −4 = + 2 → 3x + 24 = x − 4 + 12 → x = −8 2 6

b)

x −5 8−x 2x − 10 + = 3− → 5 2 2

6

→ 2x − 10 + 40 − 5 x = 30 − 10 x + 50 → x = c)

x − 10 x − 20 x − 30 −5 = + → 2 4 3 → 6 x − 60 − 60 = 3x − 60 + 4 x − 120 → x = 60

d) −

057 ●●

50 7

3x − 12 2x − 10 = −1 − → −9x + 36 = −12 − 8 x + 40 → x = 8 4 3

Kalkulatu ekuazio hauen ebazpenak. 4x + 3 x −2 x − = 2− 5 4 13 − 2x 5x − 2 + = 1− b) 6 4 a)

a)

+3 6 x +1 12

2−x 3 x +1 = − 3 2 3 x −2 x −3 4 − 2x − = d) 3 2 5 c) x −

4x + 3 x −2 x +3 − = 2− → 5 4 6 → 48 x + 36 − 15 x + 30 = 120 − 10 x − 30 → x =

b)

13 − 2x 5x − 2 x +1 + = 1− → 6 4 12 → 26 − 4 x + 15 x − 6 = 12 − x − 1 → x =

c) x − d)

24 43

9 10

2−x 3 x +1 9 = − → 6 x − 2 + 2x = 9 − 2x − 2 → x = 10 3 2 3

x −2 x −3 4 − 2x − = → 3 2 5 → 10 x − 20 − 15 x + 45 = 24 − 12x → x =

−1 7

058

Ebatzi ekuazioak.

●●

a) y + 2 = 3y − 4

d) 6 + 5t = (7 − t)(−2)

z 4z +1 = −2 2 3 c) 3u = u + 4

v +3 v − = 4 2 3 f) 1 − (4w − 7) = (1 − w)(−1)

b)

a) y = 3 b) z =

18 5

e)

c) u = 2 d) t =

−20 7

e) v = 15 f) w =

9 5

169

917840 _ 0154-0185.qxd

7/2/08

16:52

Página 170

Lehen eta bigarren mailako ekuazioak 059

Zuzendu ekuazioa ebaztean egindako akatsak.

●●●

1 2 (x − 2) − (2x + 6) + x = −4 8 3 x −2 4 x + 12 − + x = −4 8 3 3x − 6 − 32x − 96 + 24 x −96 = 24 24 3x − 32x + 24x = −96 + 96 + 6 5x = −6 x =

060 ●

−6 5

Adierazi zein ekuazio diren bigarren mailakoak. a) x (x + 2) = 0 b) x 2 − 3(x − 5) = 3x − 4 c) 5 + x + x 2 = −30 + x 2 x2 + 8 x = (2 + x ) 3 4 e) (x + 1)2 + x 2 = 5x d)

f) (x + 2)2 − (x − 3)2 = 8

170

a) Bigarren mailakoa

d) Bigarren mailakoa

b) Bigarren mailakoa

e) Bigarren mailakoa

c) Lehen mailakoa

f) Lehen mailakoa

917840 _ 0154-0185.qxd

7/2/08

16:52

Página 171

6

ERANTZUNAK

061 ●

Adierazi bigarren mailako ekuazioak ax 2 + bx + c = 0 gisa, eta identifikatu a, b eta c gaiak. 1 x2 − 3x + = 0 2 3 b) 5(x − 3)2 = 2 a)

c) x 2 − x (2x + 4) + 7 = 6 d) 3x (2x − 6) − x (x − 5) = 9 1 2 1 1 1 x − 3x + = 0 → a = , b = −3, c = 2 3 2 3 b) 5x 2 − 30x + 43 = 0 → a = 5, b = −30, c = 43 a)

c) −x 2 − 4x + 1 = 0 → a = −1, b = −4, c = 1 d) 5x 2 − 13x − 9 = 0 → a = 5, b = −13, c = −9 062 ●

Adierazi bigarren mailako ekuazioak forma orokorrean. a) (x + 3)(x − 5) = 3 b) 2x 2 − 5x = −4x 2 − x + 8

c) −5x 2 − 3x + 9 = −x 2 − 7x + 11 d) −4x (7 − 3x) = 0

a) x 2 − 2x − 18 = 0

c) 4x 2 − 4x + 2 = 0

b) 6x − 4x − 8 = 0

d) 12x 2 − 28x = 0

2

063 ●

Idatzi koefiziente hauek dituzten bigarren mailako ekuazioak: a) a = −1 b) a = 3 c) a = 4 d) a =

064 ●

1 2

b=2 b=0 b=2 b=

c = −3 c=9 c=0

2 3

c=

−1 5

a) −x 2 + 2x − 3 = 0

c) 4x 2 + 2x = 0

b) 3x 2 + 9 = 0

d)

2x 1 x2 + − =0 2 3 5

Kalkulatu ekuazioen ebazpenak. a) 4x 2 − 16 = 0

c) 3x 2 − 75 = 0

e) 8x 2 − 8 = 0

g) 16x 2 = 9

b) 5x 2 = 45

d) 4x 2 = 64

f) 9x 2 = 900

h) x 2 =

a) x1 = 2, x2 = −2

e) x1 = 1, x2 = −1

b) x1 = 3, x2 = −3

f) x1 = 10, x2 = −10

c) x1 = 5, x2 = −5

g) x 1 =

3 3 , x2 = − 4 4

d) x1 = 4, x2 = −4

h) x 1 =

5 5 , x2 = − 2 2

25 4

171

917840 _ 0154-0185.qxd

7/2/08

16:52

Página 172

Lehen eta bigarren mailako ekuazioak 065 ●

Ebatzi ekuazioak. a) b) c) d)

x2 −x = 0 5x 2 + 10x = 0 7x − 21x 2 = 0 2x 2 = 16x

e) f) g) h)

a) x1 = 0, x2 = 1

e) x1 = 0, x2 =

1 2

b) x1 = 0, x2 = −2

f) x1 = 0, x2 =

3 5

g) x1 = 0, x2 =

9 4

c) x1 = 0, x2 =

1 3

h) x1 = 0, x2 = −

d) x1 = 0, x2 = 8 066 ●

9x = 18x 2 6x − 10x 2 = 0 4x 2 = 9x 5x 2 + 3x = 0

Ebatzi bigarren mailako ekuazio oso hauek, formula orokorra aplikatuz. a) 7x 2 + 21x − 28 = 0 b) 2x 2 − 3x − 5 = 0

c) x 2 + 4x + 3 = 0 d) x 2 + x − 20 = 0

a) x1 = −4, x2 = 1 b) x1 =

c) x1 = −3, x2 = −1

5 , x2 = −1 2

067

Ebatzi ekuazioak.

●●

a) b) c) d)

x 2 − 3x = x − 2 x 2 − 2x = −1 x 2 + 5 = 6x x − 12 = −x 2

d) x1 = −5, x2 = 4

e) f) g) h)

a) x 2 − 4x + 2 = 0 → x 1 =

2x 2 − 7x + 3 = 0 6x 2 = 5x − 1 3x 2 − 1 = −2x 5x = 3 − 2x 2

4+ 8 = 2+ 2

b) x 2 − 2x + 1 = 0 → x1 = 1, x2 = 1 c) x 2 − 6x + 5 = 0 → x1 = 5, x2 = 1 d) x 2 + x − 12 = 0 → x1 = −4, x2 = 3 e) 2x 2 − 7x + 3 = 0 → x1 = 3, x 2 =

1 2

1 1 , x2 = 2 3 − 1 g) 3x 2 + 2x − 1 = 0 → x1 = 1, x 2 = 3 −1 h) 2x 2 − 5x − 3 = 0 → x1 = 3, x 2 = 2 f) 6x 2 − 5x + 1 = 0 → x 1 =

172

3 5

2 , x2 =

4− 8 = 2− 2 2

917840 _ 0154-0185.qxd

7/2/08

16:52

Página 173

ERANTZUNAK

068

6

EGIN HONELA NOLA EBAZTEN DIRA BIDERKADURA BATEN ETA ZENBAKI BATEN BERDINTZAK DIREN EKUAZIOAK? Ebatzi ekuazioak. a) (3x − 1)(4x + 2) = 0

b) (x − 1)(x + 2) = −2

a) Zenbakia 0 bada. LEHENA.

Biderkagai bakoitza zerorekin berdindu behar da. ⎧(3x − 1) = 0 (3x − 1)(4 x + 2) = 0 → ⎪⎨ ⎪⎪⎩(4 x + 2) = 0

BIGARRENA. Lehen mailako ekuazio bakoitza ebatzi behar da. Horiek bigarren mailako ekuazioaren ebazpenak izango dira.

1 3 1 −2 4x + 2 = 0 → x = =− 4 2 3x − 1 = 0 → x =

b) Biderkadura 0 ez den zenbaki baten berdina bada. LEHENA.

Biderketa egin eta gaiak atal berean elkartu behar dira. (x − 1) ⋅ (x + 2) = −2 x 2 + 2x − x − 2 = −2 x2 + x = 0

BIGARRENA.

Lortutako bigarren mailako ekuazioa ebatzi behar da.

⎪⎧ x = 0 x 2 + x = 0 → x (x + 1) = 0 → ⎨ 1 ⎪⎪⎩ x + 1 = 0 → x 2 = −1

069

Ebatzi ekuazioak.

●●

a) x (x − 3) = 0

⎛ 1⎞ e) (5x + 3) ⎜⎜ x − ⎟⎟ + 2 = 3 ⎜⎝ 5 ⎟⎠ f) (x + 3)(x + 3) = 0 ⎛ 1 ⎞⎛ 1⎞ 1 g) ⎜⎜ x − ⎟⎟ ⎜⎜ x + ⎟⎟ = ⎜⎝ ⎟ ⎜ 2 ⎠⎝ 2 ⎟⎠ 4

b) (x − 5)(3x + 9) = 0 c) (7x + 1)(4x − 3) + 3 = 3 d) (x + 4)(x − 5) = −14 a) x1 = 0, x2 = 3 b) x1 = 5, x2 = −3 1 3 , x2 = 7 4 d) x 2 − x − 6 = 0 → x1 = 3, x2 = −2

c) x1 = −

e) 25x 2 + 10x − 8 = 0 → x 1 =

−4 2 , x2 = 5 5

f) x1 = −3, x2 = −3 g) x 2 =

1 → x1 = 2

1 1 , x2 = − 2 2

173

917840 _ 0154-0185.qxd

7/2/08

16:52

Página 174

Lehen eta bigarren mailako ekuazioak 070

EGIN HONELA NOLA EBAZTEN DIRA (ax + b)2 = n

MOTAKO EKUAZIOAK?

Ebatzi ekuazioak. a) (x − 2)2 = −9

b) (x − 2)2 = 9

a) Eskuineko gaia negatiboa bada, ekuazioak ez du ebazpenik. Izan ere, ez dago berbidura negatiboa duen zenbakirik. b) Eskuineko gaia 0 edo handiagoa bada, hau egin behar da: LEHENA. Erro koadroa kalkulatu behar da bi ataletan, emaitzaren zeinu positiboa eta negatiboa kontuan hartuta.

(x − 2)2 = 9 → BIGARRENA.

(x − 2)2 =

9 → x − 2 = ±3

Lortutako lehen mailako bi ekuazioak ebatzi behar dira.

⎪⎧ x − 2 = 3 ⎯→ x1 = 5 x − 2 = ±3 → ⎨ ⎪⎪⎩ x − 2 = −3 → x2 = −1

071

Ebatzi ekuazioak.

●●

a) (3x + 4)2 = 0

d) (5x − 8)2 = 0

⎛ 3⎞ b) ⎜⎜⎜9x + ⎟⎟⎟ = 0 ⎝ 7 ⎟⎠

e) (4x − 2)2 = 4

c) (x + 3)2 = 64

f) (3x − 2)2 = 8

2

a) x 1 = x 2 =

−4 3

b) x 1 = x 2 =

−1 21

c) x + 3 = ±8 → x1 = 5, x2 = −11 d) x 1 = x 2 =

8 5

e) 4x − 2 = ±2 → x1 = 1, x2 = 0 f) 3x − 2 = ± 8 → x 1 =

072

Idatzi ebazpen hauek dituen bigarren mailako ekuazio bana:

●●

a) 0 eta −3

b) 5 eta −5

a) x + 3x = 0 2

b) x 2 − 25 = 0 c) x 2 − 2x = 0 d) x 2 − 11x + 24 = 0

174

2+ 8 2− 8 , x2 = 3 3

c) 0 eta 2

d) 8 eta 3

917840 _ 0154-0185.qxd

7/2/08

16:52

Página 175

ERANTZUNAK

073 ●●●

6

Ebatzi ekuazioak. x 2 −1 ( x − 1)2 = 3 2 3x 2 − 33 2( x 2 − 60) − = 36 b) 5 7 a)

c)

( x + 4 )(2x − 1) = 0 7 a) 2x 2 − 2 = 3x 2 − 6x + 3 → x 2 − 6x + 5 = 0 → x1 = 1, x2 = 5 b) 21x 2 − 231 − 10x 2 + 600 = 1.260 → 11x 2 = 891→ x1 = 9, x2 = −9 1 c) (x + 4)(2x − 1) = 0 → x1 = −4, x 2 = 2

074

Kalkulatu zenbaki bat, jakinik zenbakiari 2 batuta emaitza 10 dela.

●

Zenbakiari x baderitzogu, 2 batuta, 10 izango da:

x + 2 = 10 → x = 8 075

Kalkulatu zenbaki bat, jakinik haren bikoitza gehi hirukoitza 35 dela.

●

Zenbakia x bada, bikoitza 2x da, eta hirukoitza, 3x; baturak 35 izan behar du: 2x + 3x = 35 → 5x = 35 → x = 7

076 ●

Kalkulatu zenbaki bat, jakinik haren hirukoitza gehi laukoitza 21 dela. Zenbakia x bada, hirukoitza 3x da, eta laukoitza, 4x; baturak 21 izan behar du: 3x + 4x = 21 → 7x = 21 → x = 3

077

Idatzi esaldiak hizkuntza aljebraikoan eta ebatzi.

●●

a) b) c) d) e) f)

Ondoz ondoko bi zenbakiren batura 63 da. Ondoz ondoko bi zenbaki bikoitiren batura 126 da. Zenbaki baten bikoitza gehi haren erdia 10 da. Zenbaki bat gehi 7ren bikoitza 18 da. Zenbaki baten hirukoitza gehi 8 hau da: 40. Zenbaki bat ken haren bostena 80 da. a) x + x + 1 = 63 → x = 31 Zenbakiak 31 eta 32 dira.

d) 2(x + 7) = 18 → x = 2 Zenbakia 2 da.

b) x + x + 2 = 126 → x = 62 Zenbakiak 62 eta 64 dira.

e) 3x − 8 = 40 → x = 16 Zenbakia 16 da.

x = 10 → x = 4 2 Zenbakia 4 da.

c) 2x +

x = 80 → x = 100 5 Zenbakia 100 da.

f) x −

175

917840 _ 0154-0185.qxd

7/2/08

16:52

Página 176

Lehen eta bigarren mailako ekuazioak 078 ●●

Bi zenbakiren batura 55 da eta haietako bat bestearen laurdena da. Kalkulatu zenbakiak. Lehen zenbakia: x Bigarren zenbakia:

x 4

x = 55 → x = 44 4 Zenbakiak 44 eta 11 dira. x+

079 ●●

Kalkulatu bi zenbaki, jakinik haien batura 20 dela, eta kendura, 6. Lehen zenbakia: x Bigarren zenbakia: x − 6 x + x − 6 = 20 x = 13 Zenbakiak 13 eta 7 dira.

080 ●●

Hiru zenbakiren batura 330 da. Lehena bigarrenaren bikoitza da, eta bigarrena, hirugarrenaren hirukoitza. Kalkulatu zenbakiak. Hirugarren zenbakia: x Bigarren zenbakia: 3x Lehen zenbakia: 6x x + 3x + 6x = 330 x = 33 Zenbakiak 33, 99 eta 198 dira.

081 ●●

Taxi-ibilbide batek prezio hau du: 2,50 €-ko abiasaria eta 1,50 € kilometroko. 13 € ordaindu badugu, zer distantzia egin dugu? Distantzia (km-tan): x 2,50 + 1,50x = 13 x=7 7 km egin ditugu.

082 ●●

Zooan, tigreen kopurua lehoinabarrena halako bi da, eta guztira 171 animalia dira. Kalkulatu zenbat tigre eta zenbat lehoinabar dauden. Lehoinabarrak: x Tigreak: 2x 2x + x = 171 x = 57 57 lehoinabar eta 114 tigre daude.

176

917840 _ 0154-0185.qxd

7/2/08

16:52

Página 177

ERANTZUNAK

083 ●●

6

Andonik, Jonek eta Asierrek honela banatuko dituzte 3.200 €: Andonik 200 € gutxiago Asierrek baino, eta Jonek 200 € gutxiago Andonik baino. Kalkulatu zenbat jasoko duen bakoitzak. Andoni: x − 200 Jon: (x − 200) − 200 Asier: x

x − 200 + x − 400 + x = 3.200 → 3x − 600 = 3.200 → ) → 3x = 3.800 → x = 1.266,6 Andoni: 1.066 € eta 67 zentimo Jon: 866 € eta 67 zentimo Asier: 1.266 € eta 67 zentimo 084 ●●

3 Gela batean, mutilak dira eta neskak, berriz, 16. Zenbat 7 mutil dira? Ikasleak: x

Mutilak:

3x 7

Neskak:

4x = 16 7

4x = 16 → x = 28 ikasle 7 3 Mutilen kopurua hau da: ⋅ 28 = 12 mutil. 7 085 ●●

Jonek autobusez egin du bidaia baten laurdena; motoz, seirena; bizikletaz, hiru zortziren; eta azken 40 km-ak, oinez. a) Zer distantzia egin du guztira? b) Zer distantzia egin du garraiobide mota bakoitzean?

Ibilbide osoa: x Autobusez:

x 4

Motoz:

x 6

Bizikletaz:

3x 8

Oinez: 40 km

⎛x x 3x + a) 40 = x − ⎜⎜⎜ + ⎝4 6 8

⎞⎟ ⎟⎟ → 960 = 24 x − 19x → x = 192 km ⎟⎠

b) Autobusez: 48 km Motoz: 32 km

Bizikletaz: 72 km Oinez: 40 km

177

917840 _ 0154-0185.qxd

7/2/08

16:52

Página 178

Lehen eta bigarren mailako ekuazioak 086 ●●

Koldok 1, 2 eta 5 zentimoko 92 txanpon ditu. Kalkulatu mota bakoitzeko zenbat txanpon dituen, jakinik 1 zentimoko txanponak 5 zentimokoen herena direla, eta 5 zentimokoak, 2 zentimokoen boskoitza. 5 zentimoko txanponak: x x 5 x 1 zentimoko txanponak: 3 x x x+ + = 92 → 15 x + 3x + 5 x = 1.380 → x = 60 5 3 5 zentimoko txanponak: 60 2 zentimoko txanponak:

2 zentimoko txanponak: 12 1 zentimoko txanponak: 20 087 ●●

Amaiak, entrenamenduan, egunero aurreko egunean baino 1 km gehiago egiten du. Zazpi egunean 42 km egin ditu. Zenbat kilometroko entrenamendua egin du azken egunean? 1. eguna: x 2. eguna: x + 1 3. eguna: x + 2 4. eguna: x + 3

5. eguna: x + 4 6. eguna: x + 5 7. eguna: x + 6

Guztira: 7x + 21 7x + 21 = 42 x=3 Azken eguneko kilometroak: 3 + 6 = 9 km. 088 ●●

Jaioberri batek lehen hilabetean pisuaren bosten bat irabazi du, eta bigarrenean, aurreko hilabetean hartutako pisuaren lau bosten. Bigarren hilabetearen amaieran 5.450 g-ko pisua badu, zer pisu izan zuen jaio zenean? Pisua jaiotzean: x 1. hilabetean: 2. hilabetean:

⎫ ⎪

⎪ x ⎪ ⎪ ⎪ x 4x ⎪ 5 ⎬ → x + + = 5.450 4 x ⎪⎪⎪ 5 25 de ⎪ 5 5 ⎪⎪⎭

x 4x + 25 ⋅ = 25 ⋅ 5.450 → 25x + 5x + 4x = 136.250 → 5 25 136.250 = 4.007, 4 g → 34x = 136.250 → x = 34 Jaioberriak 4.007,4 g-ko pisua izan zuen jaio zenean. 25 x + 25 ⋅

178

917840 _ 0154-0185.qxd

7/2/08

16:52

Página 179

ERANTZUNAK

089 ●●●

6

Lagun bati zer ordu den galdetu eta honela erantzun digu: «Eguna amaitzeko falta dena igaro diren orduen bostena bider 7 da». Zer ordu da? ⎫⎪ 24 − x ⎬ →x = 7⋅ ⎪⎪⎭ 5 5x = 7(24 − x) → 5x = 168 − 7x → 12x = 168 → x = 14 ordu Beraz, goizeko 10ak dira.

x : eguna amaitzeko falta dena 24 − x : igaro dena

090 ●●●

091 ●●●

Asmatu nire adina, jakinik duela 8 urte nuen adinaren hirukoitza dela. Egungo adina: x ⎪⎫ ⎬ → = 3(x − 8) Duela 8 urteko adina: 3(x − 8) ⎭⎪⎪ x = 3x −24 → 2x = 24 Gaur egun, 12 urte ditut. Ama batek 36 urte ditu eta haren hiru seme-alaben adinen batura 18 urte da. a) Zenbat urte barru izango da seme-alaben adinen batura amaren adinaren berdina? b) Eta amaren adinaren bikoitza? a) Igaro beharreko urteak: x 36 = 18 + 3x x=6 6 urte barru.

092 ●●●

b) Igaro beharreko urteak: x 72 = 18 + 3x x = 18 18 urte barru.

Loreak 50 zentimoko txanponak ditu aurreztuta eta 1 euroko txanponez aldatu ditu. Aldatu ondoren, 80 txanpon gutxiago ditu. a) Zenbat diru du Loreak? b) Hasieran baino 120 txanpon gutxiago balitu, zenbat diru aldatu beharko luke? c) Eta txanponak 20 zentimokoak balira eta aldatzean 60 txanpon gutxiago balitu? a) 50 zentimoko txanponak: x x 1 €-eko txanponak: 2 x x− = 80 2 x = 160 Loreak 80 € ditu.

c) 20 zentimoko txanponak: x x 1 €-eko txanponak: 5 x x− = 60 5 x = 75 Loreak 15 € ditu.

x = 120 2 x = 240 120 € aldatu beharko ditu.

b) x −

179

917840 _ 0154-0185.qxd

7/2/08

16:52

Página 180

Lehen eta bigarren mailako ekuazioak 093

EGIN HONELA NOLA EBAZTEN DIRA PROBLEMAK BIGARREN MAILAKO EKUAZIOEN BIDEZ? Laukizuzen formako lur-sail baten azalera 450 m2-koa da. Luzera zabaleraren bikoitza bada, zer zabalera du? LEHENA.

Ezezaguna identifikatu behar da. Dakidana

Ez dakidana

Lur-sail laukizuzena Azalera = 450 m2 Luzera zabaleraren bikoitza

Zabaleraren neurria

Ezezaguna (x) → Zabaleraren neurria Ekuazioa planteatu behar da. Zabalera ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ x Luzera = Zabaleraren bikoitza ⎯⎯⎯⎯ → 2x

BIGARRENA.

Azalera = luz. ⋅ zab.

Azalera = 450 m2 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ x ⋅ 2x = 450 HIRUGARRENA.

Ekuazioa ebatzi behar da. 450 = 225 → 2 ⎧⎪ x = + 225 = 15 1 → x = ± 225 = ⎪⎨ ⎪⎪ x 2 = − 225 = −15 ⎩

x ⋅ 2x = 450 → 2x 2 = 450 → x 2 =

LAUGARRENA.

Ebazpena egiaztatu eta interpretatu.

EGIAZTATZEA: x = 15

→ 15 ⋅ 2 ⋅ 15 = 450 → 450 = 450 x ⋅ 2x = 450 ⎯⎯⎯⎯ x = −15

→ (−15) ⋅ 2 ⋅ (−15) = 450 → 450 = 450 x ⋅ 2x = 450 ⎯⎯⎯⎯ Bi balioak ekuazioaren ebazpenak dira. INTERPRETAZIOA: −15 ebazpena baztertu egingo dugu, ez dagoelako zabalera ne-

gatiborik. Beraz, lur-sailaren zabalera 15 m-koa da.

094 ●●

Kalkulatu 30 cm2-ko azalerako laukizuzenaren neurriak, oinarria altueraren erdia dela jakinik. Oinarria: x Altuera: 2x

x ⋅ 2x = 30 → 2x 2 = 30 → x 2 = 15 → x = Oinarria: 15 cm Altuera: 2 15 cm

180

15

917840 _ 0154-0185.qxd

7/2/08

16:52

Página 181

ERANTZUNAK

095 ●●

6

Laukizuzen baten luzera zabalera baino 2 cm handiagoa da, eta azalera, 80 cm2. Lortu neurriak. Luzera: x + 2 Zabalera: x x (x + 2) = 80 → x 2 + 2x − 80 = 0 → x1 = 8, x2 = −10 Luzera-neurriek positiboak izan behar dutenez: Zabalera: 8 cm Luzera: 10 cm

096 ●●●

Kalkulatu lur-sail karratu baten aldearen luzera. Azalera gehi aldearen boskoitza ken 18 hau da: 482.

Azalera: x 2 x + 5x − 18 = 482 → x 2 + 5x − 500 = 0 → x1 = −25, x2 = 20 Neurri positiboek soilik balio dutenez, aldea 20 m-koa da.

Aldea: x

2

097

Ekuazio honen ebazpena x = 9 da:

●●●

Ikertu zer zenbaki den triangelua. 18 − 3 9−Δ 9−Δ 9−Δ − = 9−6 → 3− =3→ =0→Δ=9 10 5 10 10 098 ●●●

Ikertu zer lotura izan behar duten b eta c koefizienteek, x 2 + bx + c = 0 ekuazioaren ebazpenak berdinak izan daitezen. Ikerketak oinarri hartuta, idatzi bi ebazpenak 7 dituen bigarren mailako ekuazio bat.

b eta c zenbaki osoak badira, eta b bakoitia bada, izan al daitezke berdinak bi ebazpenak? Ebazpenak berdinak izan daitezen: b 2 − 4c = 0 → b 2 − 4c = 0 → b 2 = 4c Bi ebazpenak 7 dituen ekuazio bat hau da: x 2 − 14x + 49 = 0.

b eta c zenbaki osoak badira, eta b bakoitia bada, ez daude bi ebazpen berdin, b 2 bakoitia izango litzatekeelako eta 4c bikoitia; beraz, ebazpenak ez lirateke berdinak.

181

917840 _ 0154-0185.qxd

7/2/08

16:52

Página 182

Lehen eta bigarren mailako ekuazioak 099

Aurkitu akatsa eta gogoratu «2 eta 1 ez direla berdinak».

●●●

Berbiduren kenketa

Biderkagai komuna y

678 678 ⋅x −y 2 x = y ⎯→ x 2 = xy ⎯→ x 2 − y 2 = xy − y 2 → (x + y)(x − y) = y (x − y) → : (x − y)

x = y denez

:y

⎯⎯⎯→ x + y = y ⎯⎯⎯⎯⎯ → y + y = y → 2y = y ⎯→ 2 = 1 Gaiak (x − y) monomioaz zatitzea da akatsa; izan ere, x − y = 0 da eta ezin da 0z zatitu. 100 ●●●

Kalkulatu zenbat denbora behar duzun problema bat ebazteko, baldin eta: 1 behar baduzu; 25 1 planteatzeko, denbora osoaren behar baduzu; 4 41 ebazteko, denbora osoaren behar baduzu; eta egiaztatzeko, minutu eta erdi. 100 irakurtzeko, denbora osoaren

x x 41x − − = 1, 5 → 100 x − 4 x − 25 x − 41x = 150 → 25 4 100 → 30x = 150 → x = 5 5 minutu behar dira ebazteko. x−

EGUNEROKOAN 101 ●●●

Alkubilla familiak igerilekua egin nahi du lorategian. Neurriak hartzen aritu ondoren, bildu egin dira, igerilekuaren dimentsioei eta kokapenari buruz hitz egiteko. Zati batean 2,5 m-ko sakonera izan behar luke, buruz jauzi egin ahal izateko.

Bai, baina sakonera txikiko zati bat ere izan behar luke, metro-erdi baino gutxiagokoa… Lorategiaren neurriak kontuan hartuta, luzerak 8 m-koa izan behar du gehienez…

182

917840 _ 0154-0185.qxd

7/2/08

16:52

Página 183

ERANTZUNAK

6

Hori guztia kontuan hartuta, Albertok igerilekuaren krokisa marraztu du.

Igerilekuaren zabalera bakarrik geratu da zehaztu gabe. Lur-sailaren ezaugarriak kontuan hartuta, igerilekuak ezin du 9 m baino zabalagoa izan. Gainera, Nereak igerilekuan jartzeko lauzen eskaintza interesgarri bat aurkitu du, baina lauzen kopurua mugatua da. Izango al dituzte nahikoa lauza, igerileku osorako?

50 lauza 30 cm x 2 5 cm

ESKAINTZA 24 kutxa gehienez

Hondoak eta alboko lau hormek osatutako azaleran jarri behar dira lauzak. Hondoaren luzera:

4 + 64 =

68 = 8, 25 m.

Hondoaren azalera: 9 ⋅ 8,25 = 74,25 m2. 2, 5 + 0, 5 ⋅ 8 = 12 m2 . 2 Gune sakoneneko alboko zatiaren azalera: 2,5 ⋅ 9 = 22,5 m2. Trapezio formako alboko zatiaren azalera:

Sakonera txikieneko guneko alboko zatiaren azalera: 0,5 ⋅ 9 = 4,5 m2. Azalera osoa: 74,25 + 2 ⋅ 12 + 22,5 + 4,5 = 125,25 m2. Lauzek osatzen duten azalera: 24 ⋅ 50 ⋅ 30 ⋅ 25 = 900.000 cm2 = 90 m2. 125,25 m2 > 90 m2 denez, ez dituzte nahikoa lauza.

183

917840 _ 0154-0185.qxd

7/2/08

16:52

Página 184

Lehen eta bigarren mailako ekuazioak 102 ●●●

Higikari batek egindako espazioa, S, kalkulatzeko formula, hasierako abiadura v0 dela eta t denboran a azelerazioa daramana, hau da:

S = v0 ⋅ t + a ⋅ t 2

Zenbat denbora behar du 25 m/s-ko abiaduran dabilen moto batek 1.000 metro egiteko, azelerazioa 1,5 m/s2-koa bada? 1.000 = 25t + 1,5t 2 3t 2 + 50t − 2.000 = 0

t=

−50 ±

2.500 + 24.000 −50 ± 26.500 = = 6 6

⎪⎧⎪ −50 + ⎪⎪ x 1 = ⎪ t =⎨ ⎪⎪ ⎪⎪ x 2 = −50 − ⎪⎩

26.500

 18, 8 s

26.500

= −35, 5 s

6 6

Denbora-neurriak positiboa izan behar duenez, 18,8 s behar ditu. 103 ●●●

184

Haize oso bortitza izan da Mozoloen Muinoan eta goi-tentsioko dorre bat bota du.

917840 _ 0154-0185.qxd

7/2/08

16:52

Página 185

ERANTZUNAK

6

Dorreak 32 m-ko altuera zuen eta haustean, dorrearen goiko zatia lurra jotzen geratu da, dorrearen oinarritik 16 m-ko distantziara.

Mantentze-lanak egiten dituen enpresako teknikariek diote errefortzu batzuk jarriko dituztela dorrea hautsi den lekuaren eta oinarriaren artean. Zer altuera izan beharko dute errefortzuek?

x

32 − x

16 m

16 m-ko oinarria duen triangelu angeluzuzena osatu da. Katetoa: x Hipotenusa: 32 − x (32 − x)2 = x 2 + 162 1.024 − 64x + x 2 = x 2 + 256 64x = 768 x = 12 Errefortzuen altuera 12 m-koa izango da.

185

917840 _ 0186-0221.qxd

7

8/2/08

12:55

Página 186

Ekuazio-sistemak BI EZEZAGUNEKO EKUAZIO LINEALAK

EKUAZIO LINEAL BATEN EBAZPENAK

BI EZEZAGUNEKO EKUAZIO LINEALEN SISTEMAK

EBAZPEN-METODOAK

ORDEZKATZEA

BERDINTZEA

PROBLEMAK EBAZTEA, SISTEMAK ERABILIZ

186

LABURTZEA

917840 _ 0186-0221.qxd

8/2/08

12:55

Página 187

Gabriel & Giovanni Pixka bat lehenago, Gabriel Cramer eta Giovanni Calandrini gazteak arerioak izan ziren. Izan ere, Filosofiako katedra lortzeko lehian aritu ziren. Biek galdu eta biek irabazi zuten, aldi berean: Filosofiako katedra beste bati eman zioten arren, biek epaimahaia harrituta utzi zutenez, Matematikako katedra sortu eta biei eman zieten. Bien nortasuna oso desberdina izanik, elkarren osagarri izan ziren, eta azkenean, lagun minak bihurtu ziren. Egun hartan, Calandrinik hau esan zion Cramerri: –Gabriel, gure bizitzaren zati handi bat zer izan nahi dugun pentsatzen ematen dugu, eta dakigunean, lortutakoa aldatu nahirik ematen dugu gainerako denbora. –Erraza da –erantzun zuen Cramerrek–; dakiguna alde batean jarriko dugu, eta ez dakiguna, bestean. Erlazioak behar bezala planteatu ondoren, erantzuna modu naturalean azalduko da. Calandrinik hau erantzun zuen: –Batzuetan sutan jartzen nauzu, ez dut ulertzen zergatik aplikatu behar diozun Matematika edozeri. –Uste dudalako problema guztiek dutela ebazpena, nahiz eta ekuazio egokiak planteatzeko gai ez garen izaten, tamalez. Bi lagunen adinen batura 55 urtekoa bazen eta Giovanni urtebete zaharragoa bazen, planteatu problema eta esan zein zen bakoitzaren adina.

x = Cramerren adina x + 1 = Giovanniren adina x + x + 1 = 55 → 2 x = 54 → x = 27

Cramerrek 27 urte zituen, eta Giovannik, 28 urte.

917840 _ 0186-0221.qxd

8/2/08

12:55

Página 188

Ekuazio-sistemak ARIKETAK 001

Kalkulatu ekuazio lineal bakoitzaren hiru ebazpen. a) x − y = 10

b) 2x − 3y = 8

a) x = 10 bada → y = 0

x = 0 bada ⎯→ y = −10 x = 1 bada ⎯→ y = −9 002

b) x = 4 bada → y = 0 −8 x = 0 bada → y = 3 x = 1 bada → y = −2

Aztertu ea ekuazio hauen ebazpena den x = −1, y = 8. a) 2x + y = 6 b) 7x − y = 11

c) x − y = 7 d) x + y = 7 ?

a) 2 ⋅ (−1) + 8 = 6 → −2 + 8 = 6 → Bai. ?

b) 7 ⋅ (−1) − 8 = 11 → −7 − 8 = −15 ⫽ 11 → Ez. ?

c) (−1) − 8 = 7 → −1 − 8 = −9 ⫽ 7 → Ez. ?

d) (−1) + 8 = 7 → −1 + 8 = 7 → Bai. 003

Adierazi enuntziatuak, bi ezezaguneko ekuazio linealen bidez. a) Bi zenbakiren kendura 3 da. b) Zenbaki baten bikoitza gehi beste bat 43 da. a) x − y = 3 b) 2x + y = 43

004

Idatzi ebazpen hau duten bi ezezaguneko bi ekuazio lineal: x = 3, y = −2. 2x + 3y = 0

005

x − 2y = 7

Aztertu eta x = 1 eta y = −1 sistema honen ebazpena den: 2x − 3 y = 5⎪⎫ ⎬ 2x + 3 y = 0⎪⎪⎭ 2 ⋅ 1 − 3 ⋅ (−1) = 2 + 3 = 5 ⎫⎪ ⎬ 1 + (−1) = 1 − 1 = 0 ⎪⎪⎭ Bi ekuazioak betetzen direnez, sistemaren ebazpena da.

006

x = 0 eta y = 3 zenbakizko balioak sistemaren ebazpena al dira? 2x + 5 y = 3 ⎪⎫ ⎬ 2x + 5 y = 15⎪⎪⎭ 2 ⋅ 0 + 3 = 3 ⎪⎫ ⎬ 0 + 5 ⋅ 3 = 15⎪⎭⎪

188

Ekuazioak betetzen dira; beraz, ebazpena dira.

917840 _ 0186-0221.qxd

8/2/08

12:55

Página 189

ERANTZUNAK

007

Kalkulatu sistemen ebazpenak, taulak erabiliz. a) x + 2 y = 12⎫⎪ ⎬ x + 2 y = 10⎪⎭⎪

008

7

b) x − y = 1 ⎫⎪ ⎬ x + y = 5⎪⎭⎪

a)

x (x + y = 12) y (x + 2y = 10) y

10 2 0

11 1 −1/2

12 0 −1

13 −1 −3/2

14 −2 −2

b)

x (x − y = 1) y (x + y = 5) y

0 −1 5

1 0 4

2 1 3

3 2 2

4 3 1

Amaiak 3 € ordaindu du poto bat gel eta poltsa bat gaileta, eta Enekok 4 €, poto bat gel eta 2 poltsa gaileta. Kalkulatu salgai bakoitzaren prezioa. Gelaren prezioa: x x + 2 y = 3⎫⎪ ⎬ → x + 2 y = 4⎪⎪⎭

Gaileten prezioa: y x (x + y = 3) y

0 3

(x + 2y = 4) y

4

1 2 3 2

2 1 1

Poto bat gelek 2 € balio du, eta poltsa bat gailetak, 1 €.

009

Ebatzi, ordezkatze-metodoa erabiliz. a) x + y = 12⎪⎫ ⎬ x − y = 2 ⎭⎪⎪

b)

x + 2 y = 5 ⎫⎪ ⎬ −x + 2 y = −2⎭⎪⎪

a) x + y = 12 ⎪⎫ ⎬ x − y = 2 ⎪⎪⎭ 1. Lehen ekuazioan x bakanduko dugu: x = 12 − y. 2. Bigarren ekuazioan ordezkatuko dugu: (12 − y) − y = 2. 3. Ebatzi egingo dugu: 12 − 2y = 2 → 10 = 2y → y = 5. 4. Beste aldagaia kalkulatuko dugu: x = 12 − 5 = 7. 5. Ebazpena: x = 7, y = 5. b)

x + y = 5 ⎪⎫ ⎬ −x + 2y = −2 ⎪⎪⎭ 1. Lehen ekuazioan x bakanduko dugu: x = 5 − y. 2. Bigarren ekuazioan ordezkatuko dugu: −(5 − y) + 2y = −2. 3. Ebatzi egingo dugu: −5 + y + 2y = −2 → 3y = 3 → y = 1. 4. Beste aldagaia kalkulatuko dugu: x = 5 − 1 = 4. 5. Ebazpena: x = 4, y = 1.

189

917840 _ 0186-0221.qxd

8/2/08

12:55

Página 190

Ekuazio-sistemak 010

Ebatzi, ordezkatze-metodoa erabiliz. a) x − ( y + 1) = 3⎪⎫ ⎬ y + ( x + 2) = 4⎪⎪⎭

b) 10( x − 2) + y = 1 ⎪⎫ ⎬ x + 3( x − y ) = 5⎪⎪⎭

a) x − (y + 1) = 3 ⎪⎫ x − y = 4 ⎪⎫ ⎬ → ⎬ y + (x + 2) = 4 ⎪⎪⎭ x + y = 2 ⎪⎪⎭ 1. Bigarren ekuazioan x bakanduko dugu: x = 2 − y. 2. Lehen ekuazioan ordezkatuko dugu: (2 − y) − y = 4. 3. Ebatzi egingo dugu: 2 − y − y = 4 → −2 = 2y → y = −1. 4. Beste aldagaia kalkulatuko dugu: x = 2 − (−1) = 2 + 1 = 3. 5. Ebazpena: x = 3, y = −1. b) 10(x − 2) + y = 1 ⎪⎫ 10x + y = 21 ⎪⎫ ⎬ → ⎬ x + 3(x − y) = 5 ⎪⎪⎭ 4x − 3y = 5 ⎪⎪⎭ 1. Lehen ekuazioan y bakanduko dugu: y = 21 − 10x. 2. Bigarren ekuazioan ordezkatuko dugu: 4x − 3 ⋅ (21 − 10x) = 5. 3. Ebatzi egingo dugu: 4x − 63 + 30x = 5 → 34x = 68 → x = 2. 4. Beste aldagaia kalkulatuko dugu: y = 21 − 20 = 1. 5. Ebazpena: x = 2, y = 1. 011

Zuzendu sistema ebaztean egindako akatsak. 5x − 4 y = 1 ⎫⎪ ⎬ → x = (1 − y) ⋅ 5 2x + 4 y = −1⎭⎪⎪ x = (1 − y) ⋅ 5

2x + 4y = −1 ⎯⎯⎯⎯⎯→ 2 ⋅ (1 − y) ⋅ 5 + 4y = −1 → 2 − 2y + 4y = −1 → → 2y = −3 → y = −3 − 2 = −5 y = −5

⎯⎯⎯→ x = (1 − (−5)) ⋅ 5 → x = 30 x = (1 − y) ⋅ 5 ⎯ 1+ y 5 x − 4 y = 1 ⎪⎫ → x = ⎬ 5 2x + 4 y = −1⎪⎪⎭ x =

1+ y 5

1+ y + 4 y = −1 → 2 + 2 y + 20 y = −5 → 5 −7 → 22 y = −7 → y = 22

→ 2⋅ 2x + 4y = −1 ⎯⎯⎯⎯

y =

x =

012

190

−7 22

1+ y ⎯⎯⎯⎯→ x = 5

1−

Ebatzi, berdintze-metodoa erabiliz. a) x + y = 12⎪⎫ ⎬ x − y = 2 ⎪⎪⎭

5

7 22

→ x =

b)

3 22

x + 2 y = 5 ⎪⎫ ⎬ −x + 2 y = −2⎪⎭⎪

917840 _ 0186-0221.qxd

8/2/08

12:55

Página 191

ERANTZUNAK

7

a) x + y = 12 ⎫⎪ ⎬ x − y = 2 ⎪⎪⎭ 1. 2. 3. 4. 5.

Bi ekuazioetan x bakanduko dugu: x = 12 − y; x = 2 + y. Berdindu egingo dugu: 12 − y = 2 + y. Ebatzi egingo dugu: 12 − 2 = y + y → 10 = 2y → y = 5. Beste aldagaia kalkulatuko dugu: x = 12 − 5 = 7. Ebazpena: x = 7, y = 5.

b) +x + 2y = 5 ⎪⎫ ⎬ −x + 2y = −2 ⎪⎪⎭ 1. 2. 3. 4. 5. 013

Bi ekuazioetan x bakanduko dugu: x = 5 − y ; x = 2y + 2. Berdindu egingo dugu: 5 − y = 2y + 2. Ebatzi egingo dugu: 5 − 2 = 2y + y → 3 = 3y → y = 1. Beste aldagaia kalkulatuko dugu: x = 5 − 1 = 4. Ebazpena: x = 4, y = 1.

Ebatzi berdintze- eta ordezkatze-metodoak erabiliz, eta egiaztatu ebazpen berak lortzen direla. a) 2x − 3 y = 7 ⎪⎫ b) −4 x + 3 y = −7⎪⎫ ⎬ ⎬ 3x + 9 y = −3⎪⎪⎭ 2x + 5 y = 7 ⎪⎪⎭ a) 2x − 3y = 7 ⎫⎪ ⎬ 3x + 9y = −3⎭⎪⎪

7 + 3y −3 − 9 y = −1 − 3 y . ;x = 2 3 2. Berdindu eta ebatzi egingo dugu: 1. x bakanduko dugu: x =

7 + 3y = −1 − 3 y → 7 + 3y = −2 − 6y → 9y = −9 → y = −1 2 3. Beste aldagaia kalkulatuko dugu: x =

7 + 3 ⋅ (−1) 4 = = 2. 2 2

4. Ebazpena: x = 2, y = −1. b) −4x + 3y = −7 ⎪⎫ ⎬ +2x + 5y = 7 ⎪⎪⎭

3y + 7 7 − 5y ;x = . 4 2 2. Berdindu eta ebatzi egingo dugu: 1. x bakanduko dugu: x =

3y + 7 7 − 5y 7 = → 6y + 14 = 28 − 20y → 26y = 14 → y = 4 2 13 7 3⋅ +7 13 28 = 3. Beste aldagaia kalkulatuko dugu: x = . 4 13 28 7 ,y = 4. Ebazpena: x = . 13 13

191

917840 _ 0186-0221.qxd

8/2/08

12:55

Página 192

Ekuazio-sistemak 014

Zuzendu sistema ebaztean egindako akatsak. x + y = 7⎫⎪⎪ → x = 7 − y ⎫⎪⎪ y ⎪⎬ → y ⎪⎬ → 7 − y = 3 + 4 x − y = 3⎪⎪ → x = 3 + ⎪⎪ 4 ⎪⎭ 4 ⎪⎭ ⎛ y⎞ → 4 ⋅ (7 − y ) = 4 ⋅ ⎜⎜⎜3 + ⎟⎟⎟ → 28 − 4 y = 12 + 4 y → −8y = 40 → y = 5 ⎝ 4 ⎟⎠ y=5

x = 7 − y ⎯⎯⎯→ x = 7 − 5 = 2 x + y = 7⎫⎪⎪ → x = 7 − y ⎪ ⎬ 3+ y 4 x − y = 3⎪⎪ → x = ⎪⎭ 4

⎫⎪ ⎪⎪ 3+ y → 4 ⋅ (7 − y ) = 3 + y → ⎬ → 7− y = ⎪⎪ 4 ⎪⎭ → 28 − 4y = 3 + y → −5y = −25 → y = 5

y=5

x = 7 − y ⎯⎯⎯→ x = 2

015

Ebatzi, laburtze-metodoaren bidez. a) x + y = 12⎪⎫ ⎬ x − y = 2 ⎪⎭⎪ b)

x + 2 y = 5 ⎫⎪ ⎬ −x + 2 y = −2⎭⎪⎪ a) x + y = 12 ⎫⎪ ⎬ x − y = 2 ⎪⎪⎭ 1. y aldagaia aukeratuko dugu. 2. Ekuazioen batuketa egingo dugu: 2x = 14. 3. Ebatzi egingo dugu: x = 7. 4. Beste aldagaia kalkulatuko dugu: 7 + y = 12 → y = 5. 5. Ebazpena: x = 7, y = 5. b)

x + 2y = 5 ⎪⎫ ⎬ −x + 2y = −2 ⎪⎪⎭ 1. x aldagaia aukeratuko dugu. 2. Ekuazioen batuketa egingo dugu: 3y = 3. 3. Ebatzi egingo dugu: y = 1. 4. Beste aldagaia kalkulatuko dugu: x + 1 = 5 → x = 4. 5. Ebazpena: x = 4, y = 1.

192

917840 _ 0186-0221.qxd

8/2/08

12:55

Página 193

ERANTZUNAK

016

7

Ebatzi sistemak ordezkatze-, berdintze- eta laburtze-metodoak erabiliz, eta egiaztatu ebazpen berak lortzen direla. a)

x + 3 y = 5 ⎫⎪ ⎬ −x − 3 y = −3⎪⎭⎪

b) 2x − 3 y = −25⎪⎫ ⎬ 12x − 3 y = 75 ⎪⎭⎪ a) +x + 3y = 5 ⎪⎫ ⎬ −x − y = −3 ⎭⎪⎪ 1. x aldagaia aukeratuko dugu. 2. Ekuazioen batuketa egingo dugu: 2y = 2. 3. Ebatzi egingo dugu: y = 1. 4. Beste aldagaia kalkulatuko dugu: x + 3 = 5 → x = 2. 5. Ebazpena: x = 2, y = 1. b) 12x − 3y = −25 ⎪⎫ −2x + 3y = 25 ⎪⎫ ⎬ → ⎬ 12x − 3y = 75 ⎪⎪⎭ 12x − 3y = 75 ⎪⎪⎭ 1. y aldagaia aukeratu eta lehen ekuazioa −1ez biderkatuko dugu. 2. Ekuazioen batuketa egingo dugu: 10x = 100. 3. Ebatzi egingo dugu: x = 10. 4. Beste aldagaia kalkulatuko dugu: 20 − 3y = −25 → 45 = 3y → y = 15. 5. Ebazpena: x = 10, y = 15.

017

Zuzendu sistema ebaztean egindako akatsak. ⋅3 x + 2 y = 0 ⎫⎪ ⎯→ 3x + 3 y = 3 ⎫⎪ ⎬ ⎬ 3x + 2 y = −4 ⎪⎪⎭ 3x + 2 y = −4⎪⎪⎭

−

3x + 3y = −3 3x + 2y = −4 7 3x + 5y = −7 → y = 5 y =

7 5

→ x + x + y = 0 ⎯⎯⎯⎯

7 7 = 0 → x =− 5 5

⋅3 x + 2 y = 0 ⎪⎫ ⎯→ 3x + 3 y = 0 ⎪⎫ ⎬ ⎬ 3x + 2 y = −4⎪⎭⎪ 3x + 2 y = −4⎪⎭⎪

−

3x + 3y = −0 3x + 2y = −4 3x + 5y = −4 y=4

x + y = 0 ⎯⎯⎯→ x + 4 = 0 → x = −4

193

917840 _ 0186-0221.qxd

8/2/08

12:55

Página 194

Ekuazio-sistemak 018

Ebatzi, laburtze-metodoa erabiliz. a) 3x + 5 y = 20⎫⎪ ⎬ 7 x + 4 y = 39⎪⎭⎪ b) 2x + 3 y = 13⎪⎫ ⎬ 3x + 2 y = 12⎪⎭⎪ a) 3x + 5y = 20 ⎫⎪ 21x + 35y = 140 ⎫⎪ ⎬ → ⎬ 7x + 4y = 39 ⎭⎪⎪ −21x − 12y = 117 ⎭⎪⎪ 1. y aldagaia aukeratu, eta lehen ekuazioa 7z biderkatuko dugu, eta bigarrena, −3z. 2. Ekuazioen batuketa egingo dugu: 23y = 23. 3. Ebatzi egingo dugu: y = 1. 4. Besta aldagaia kalkulatuko dugu: 3 x + 5 = 20 → 3 x = 15 → x = 5. 5. Ebazpena: x = 5, y = 1. b) 2x + 3y = 13 ⎫⎪ +6x + 9y = 39 ⎫⎪ ⎬ → ⎬ 3x + 2y = 12 ⎭⎪⎪ −6x − 4y = −24 ⎭⎪⎪ 1. x aldagaia aukeratu, eta lehen ekuazioa 3z biderkatuko dugu, eta bigarrena, −2z. 2. Ekuazioen batuketa egingo dugu: 5y = 15. 3. Ebatzi egingo dugu: y = 3. 4. Beste aldagaia kalkulatuko dugu: 2x + 9 = 13 → 2x = 4 → x = 2. 5. Ebazpena: x = 2, y = 3.

019

Ebatzi sistema hau, laburtze-metodoa erabiliz. 1 3 ⎪⎫ x − y = 1 ⎪⎪ ⎬ 2 4 ⎪ x + 2 y = 2⎪⎪⎭ ⎪⎫ ⋅ 2 ⎪⎫ 1 3 3 x − y = 1 ⎪⎪ ⎯→ x − y = 2 ⎪⎪ ⎬ ⎬ 2 4 2 ⎪ ⎪ x + 2 y = 2⎪⎪⎭ x + 2 y = 2⎪⎪⎭ 3 y = 2 2 − −x+ 2y = 2

x−

1 y = 0 → y=0 2 y=0

x + 2y = 2 ⎯⎯⎯→ x = 2

194

917840 _ 0186-0221.qxd

8/2/08

12:55

Página 195

ERANTZUNAK

020

7

Ebatzi sistemak, kasu bakoitzean egokiena den metodoa erabiliz. a) 2x + 2 y = 7 ⎪⎫ ⎬ 5x + 2 y = 12⎪⎪⎭ b) x + y = 5⎫⎪ ⎬ 2x − y = 1 ⎭⎪⎪

c) −4 x − 5 y = −9⎪⎫ ⎬ 2x + 5 y = 9 ⎪⎭⎪ d) 3x − 2 y = 5⎫⎪ ⎬ x + 2 y = 5⎪⎪⎭ e) x + 2 y = 5 ⎪⎫ ⎬ 4 x + 2 y = 14⎪⎪⎭ f) 2x + 2 y = 8 ⎪⎫ ⎬ 3x + 2 y = 15⎪⎭⎪

a) 2x + 2y = 7 ⎫⎪ −4x − 2y = −14 ⎫⎪ ⎬ → ⎬ 5x + 2y = 12 ⎪⎪⎭ 5x + 2y = 12 ⎪⎪⎭ 1. 2. 3. 4.

y aldagaia aukeratu eta lehen ekuazioa −2z biderkatuko dugu. Ekuazioen batuketa egingo dugu: x = −2. Beste aldagaia kalkulatuko dugu: 2 ⋅ (−2) + y = 7 → y = 11. Ebazpena: x = −2, y = 11.

b) x + y = 5 ⎫⎪ ⎬ 2x − y = 1 ⎪⎪⎭ 1. 2. 3. 4. 5.

y aldagaia aukeratuko dugu. Ekuazioen batuketa egingo dugu: 3x = 6. Ebatzi egingo dugu: x = 2. Beste aldagaia kalkulatuko dugu: 2 + y = 5 → y = 3. Ebazpena: x = 2, y = 3.

c) −4x − 5y = −9 ⎫⎪ −4x − 10y = −9 ⎫⎪ ⎬ → ⎬ 2x + 5y = 9 ⎭⎪⎪ 4x + 10y = 18 ⎭⎪⎪ 1. 2. 3. 4. 5.

x aldagaia aukeratu eta bigarren ekuazioa 2z biderkatuko dugu. Ekuazioen batuketa egingo dugu: 9y = 9. Ebatzi egingo dugu: y = 1. Beste aldagaia kalkulatuko dugu: −4x − 1 = −9 → −4x = −8 → x = 2. Ebazpena: x = 2, y = 1.

d) 3x − 2y = 5 ⎪⎫ 3x − 2y = 5 ⎪⎫ ⎬ → ⎬ x + 2y = 5 ⎭⎪⎪ 2x + 2y = 10 ⎭⎪⎪ 1. 2. 3. 4. 5.

y aldagaia aukeratu eta bigarren ekuazioa 2z biderkatuko dugu. Ekuazioen batuketa egingo dugu: 5x = 15. Ebatzi egingo dugu: x = 3. Beste aldagaia kalkulatuko dugu: 3 + y = 5 → y = 2. Ebazpena: x = 3, y = 2.

195

917840 _ 0186-0221.qxd

8/2/08

12:55

Página 196

Ekuazio-sistemak e)

x + 2y = 5 ⎫⎪ −x − 2y = −5 ⎫⎪ ⎬ → ⎬ 4x + 2y = 14 ⎪⎪⎭ 4x + 2y = 14 ⎪⎪⎭ 1. 2. 3. 4. 5.

y aldagaia aukeratu eta lehen ekuazioa −1ez biderkatuko dugu. Ekuazioen batuketa egingo dugu: 3x = 9. Ebatzi egingo dugu: x = 3. Beste aldagaia kalkulatuko dugu: 3 + 2y = 5 → 2y = 2 → y = 1. Ebazpena: x = 3, y = 1.

f) 2x + 2y = 8 ⎪⎫ 6x + 6y = 24 ⎪⎫ ⎬ → ⎬ 3x + 2y = 15 ⎭⎪⎪ −6x − 4y = −30 ⎭⎪⎪ 1. x aldagaia aukeratu, eta lehen ekuazioa 3z biderkatuko dugu, eta bigarrena, −2z. 2. Ekuazioen batuketa egingo dugu: 2y = −6. 3. Ebatzi egingo dugu: y = −3. 4. Beste aldagaia kalkulatuko dugu: 2x − 6 = 8 → 2x = 14 → x = 7. 5. Ebazpena: x = 7, y = −3. 021

Kalkulatu bi zenbaki, bien batura 14 eta kendura 4 bada. Zenbaki bat: x. Beste zenbakia: y Batura: x + y Kendura: x − y x + y = 14 ⎪⎫ Sistema: ⎬ x − y = 4 ⎪⎭⎪

Ekuazioen batuketa eginda: 2x = 18 → x = 9, eta lehen ekuazioan ordezkatuz: y = 5. Zenbakiak 9 eta 5 dira. 022

Bi zenbakiren batura 21 da, eta baten bikoitza gehi bestearen hirukoitza, 56. Zein zenbaki dira? Zenbaki bat: x. Beste zenbakia: y x + 3 y = 21⎪⎫ → x = 21 − y ⎬ 2x + 3 y = 56⎪⎪⎭ x = 21 − y

2x + 3y = 56 ⎯⎯⎯⎯→ 42 − 2y + 3y = 56 → y = 14, x = 7 Zenbakiak 7 eta 14 dira. 023

Banatu 60 € bi lagunen artean, batek besteak halako bi jaso dezan. Lagun baten dirua: x. Beste lagunaren dirua: y Lagun batek besteak halako bi du: x = 2y Bi lagunen dirua: x + y = 60 x = 2y ⎪⎫ Sistema: ⎬ x + y = 60 ⎪⎭⎪

Lehen ekuazioa bigarrenean ordezkatuz: 3y = 60 → y = 20, eta lehen ekuazioan ordezkatuz: x = 40. Banaketa 40 € eta 20 € da.

196

917840 _ 0186-0221.qxd

8/2/08

12:55

Página 197

ERANTZUNAK

024

7

Baserri batean, untxiak eta oiloak daude, 100 animalia guztira. Animalia horiek, guztira, 260 hanka dituzte. Kalkulatu zenbat untxi eta zenbat oilo dauden baserri horretan. Untxiak: x. Oiloak: y

x + 2y = 100 ⎪⎫ ⎬ 4x + 2y = 260 ⎪⎪⎭

Lehen ekuazioan bakanduko dugu: y = 100 − x Bigarren ekuazioan ordezkatuko dugu: 4x + 2 ⋅ (100 − x) = 260 → 4x + 200 − 2x = 260 → 2x = 60 → x = 30 Beste aldagaia kalkulatuko dugu: y = 100 − 30 = 70 30 untxi eta 70 oilo daude. 025

Taberna batean, zerbitzaria hau idazten ari da: A mahaia: 2 kafe eta 4 zuku, 16 €; B mahaia: 3 kafe eta 2 zuku, 12 €. Kalkulatu kafearen prezioa. Kafeak: x. Zukuak: y Zerbitzariak idatzitakoa: 2x + 4y = 16 ⎫⎪ 2x + 4y = 16 ⎫⎪ ⎬ ⋅ (−2) ⎬ → −4x = −8 → x = 2 → 3x + 2y = 12 ⎭⎪⎪ ⎯⎯→ −6x − 4y = −24 ⎭⎪⎪ → 4 + 4y = 16 → 4y = 12 → y = 3 Kafeak 2 € balio du, eta zukuak, 3 €.

026

Hegazkin batean, 192 bidaiari doaz, gizonak eta emakumeak. 3 Emakumeen kopurua gizonenaren da. Zenbat gizon doaz hegazkinean? 5 Eta zenbat emakume? Gizonak: x. Emakumeak: y x + y = 192⎪⎫⎪ 3 ⎪ 3 ⎬ → x + x = 192 → 5 x + 3x = 960 → x = 120, y = 72 y = x ⎪⎪ 5 5 ⎪⎭ 120 gizon eta 72 emakume daude.

027

Aparkaleku batean, autoak eta motoak daude, 120 ibilgailu guztira. 40 auto joanez gero, autoen kopurua eta motoena berdinak lirateke. Zenbat auto daude aparkalekuan? Eta zenbat moto? Autoak: x. Motoak: y y = x − 40 x + y = 120 ⎫⎪ ⎯⎯⎯⎯→ x + x − 40 = 120 → 2x = 160 → ⎬ x − 40 = y ⎭⎪⎪ → x = 80, y = 40

Aparkalekuan 80 auto eta 40 moto daude.

197

917840 _ 0186-0221.qxd

8/2/08

12:55

Página 198

Ekuazio-sistemak 028

Aita baten adina semearen adina halako hiru da. Aitak 30 urte gutxiago eta semeak 8 urte gehiago balituzte, biek adin bera izango lukete. Zer adin dute aitak eta semeak? Aita: x. Semea: y

x = 3y ⎪⎫ ⎬ x = 3y x − 30 = y + 8 ⎪⎪⎭ ⎯⎯⎯→ 3y − 30 = y + 8 → 2y = 38 → → y = 19, x = 57 Aitak 57 urte ditu, eta semeak, 19 urte.

ARIKETAK 029 ●

Adierazi zein ekuazio diren bi ezezaguneko ekuazio linealak.

x + 2y = 4 x+y=0 x+y=x 2(x − y) = 3x x −y = 3 e) 5 a) b) c) d)

x2 = y x+y=y −x = 2y x⋅y=8 x = 8 j) y f) g) h) i)

Bi ezezaguneko ekuazio linealak: a), b), c), d), e), g) eta h). 030 ●

2x − 3y = 7 ekuazioa emanda, adierazi zein den ebazpena. a) x = 1, y = 5

b) x = 5, y = 1

a) 2 ⋅ 1 − 3 ⋅ 5 = 2 − 15 = −13 → Ez da ebazpena. b) 2 ⋅ 5 − 3 ⋅ 1 = 10 − 3 = 7 ⎯⎯→ Ebazpena da. 031 ●

Zein ekuazioren ebazpena da x = −1, y = 3? a) 3x + y = 3 b) 3x − y = 0

y = 0 3 x y − =1 d) 3 9 c) 3x −

Ez da ekuazio horietako bakar baten ebazpena x = −1, y = 3. 032 ●●

Idatzi bi ezezaguneko hiru ekuazio lineal, ebazpen hau dutenak: x = 2, y = −1.

x+y=1 2x + 3y = 1 3x − 2y = 8

198

917840 _ 0186-0221.qxd

8/2/08

12:55

Página 199

ERANTZUNAK

033 ●●

7

Egiaztatu x = 2, y = −3 ekuazio baten ebazpena bada, honela lortutako ekuazioaren ebazpena ere izango dela: a) b) c) d)

Bi Bi Bi Bi

ataletan 8 batuta. ataletan ken 10 eginda. atalak 3z biderkatuta. atalak zati 5 eginda. Zuzena da, ekuazio baten bi ataletan zenbaki bera batu, kendu, biderkatu edo zatituz gero, ekuazio baliokideak lortzen direlako.

034

Egiaztatu x = 2, y = 1 ekuazio hauen ebazpena dela:

●●

a) 3x + 2y = 8

e) 15x + 10y = 40

3 x + y = 4 b) 2 c) 9x + 6y = 24

3 1 x + y = 2 4 2 g) 6x + 4y = 16

d) 12x + 8y = 32

h) x +

f)

2 8 y = 3 3

Ba al dago loturarik ekuazioen artean? a) 3 ⋅ 2 + 2 ⋅ 1 = 8

e) 15 ⋅ 2 + 10 ⋅ 1 = 40

3 ⋅2+1= 4 2 c) 9 ⋅ 2 + 6 ⋅ 1 = 24

3 1 ⋅ 2+ ⋅1 = 2 4 2 g) 6 ⋅ 2 + 4 ⋅ 1 = 16

b)

f)

d) 12 ⋅ 2 + 8 ⋅ 1 = 32

h) 2 +

Ekuazioen arteko lotura: a) b) = c) = 3a) 2 a) e) = 5a) f) = 4 035 ●

2 8 ⋅1 = 3 3

d) = 4a)

h) =

a) 3

g) = 2a)

Ekuazio-sistema hauen ebazpena al da x = −2, y = −1? a) x + y = 3 ⎫⎪ c) x + 2 y = −3⎫⎪ ⎬ ⎬ ⎪ 2x − y = −1⎪⎭ x − 2 y = −4⎪⎪⎭ b) 3x − 2 y = −5⎪⎫ ⎬ x − 2 y = 0 ⎪⎭⎪

d)

x + 2 y = −3⎪⎫ ⎬ −x − 2 y = 4 ⎪⎭⎪

a) −2 + (−1) = −3 ⫽ 3 ⎯⎯→ Ez da ebazpena. b) 3 ⋅ (−2) − (−1) = −5⎫⎪ ⎬ ⎯⎯→ Ebazpena da. −2 − 2 ⋅ (−1) = 0 ⎪⎭⎪ c) −2 − 2 ⋅ (−1) = 0 ⫽ −4 ⎯→ Ez da ebazpena. (−2) + (−1) = −3⎪⎫ ⎯ → Ebazpena da. ⎬⎯ −(−2) − 2 ⋅ (−1) = 4 ⎭⎪⎪

d)

199

917840 _ 0186-0221.qxd

8/2/08

12:55

Página 200

Ekuazio-sistemak 036 ●●

Idatzi ebazpen hauek dituzten ekuazio linealen sistema bana: 1 a) x = 3, y = 4 d) x = , y = 8 g) x = −2, y = −2 2 e) x = −4, y = 0,5 h) x = 0, y = 0 b) x = −2, y = 5 c) x = 8, y = 10 f) x = 6, y = 0 a) 2x − 3 y = −6⎪⎫ ⎬ 2x + 2 y = 7 ⎪⎪⎭

d) 2x − y = −7⎪⎫ ⎬ 4 x + y = 10 ⎪⎪⎭

g) 2x + 3 y = −10⎪⎫ ⎬ 2x − 2 y = 0 ⎪⎪⎭

b) 2x − 3 y = −17⎪⎫ ⎬ 2x + 2 y = 1 ⎪⎪⎭

e)

x − 4 y = −6 ⎪⎫ ⎬ 3x + 2 y = −11⎪⎭⎪ f) 2x − 2 y = 12⎪⎫ ⎬ 2x + 5 y = 6 ⎪⎪⎭

h) 5 x − 3 y = 0 ⎪⎫ ⎬ 2x + 6 y = 0⎪⎪⎭

c) x − 2 y = −2⎪⎫ ⎬ x + 2 y = 28 ⎪⎭⎪ 037 ●

Ebatzi ekuazio-sistemak, ordezkatze-metodoa erabiliz. a) x + 3 y = 4 ⎪⎫ e) x − y = 5⎪⎫ ⎬ ⎬ 2x − 3 y = −1⎪⎪⎭ 2x + y = 1 ⎪⎪⎭ b) x − 2 y = 1 ⎪⎫ f) x + 4 y = 9⎪⎫ ⎬ ⎬ 2x + 2 y = 8⎪⎪⎭ 3x − 6 y = 9⎪⎪⎭ c) 2x + 3 y = 7⎫⎪ g) 5x − 3 y = 1 ⎫⎪ ⎬ ⎬ ⎪ x − 3 y = 0⎪⎭ 4 x + 3 y = 11⎪⎪⎭ d) 5x + 3 y = 16⎪⎫ h) 3x − 2 y = 5 ⎪⎫ ⎬ ⎬ 3x − 3 y = 0 ⎪⎭⎪ 4 x + 2 y = 14⎪⎭⎪ a) 3x + 3y = 4 ⎪⎫ ⎬ 2x − 3y = −1 ⎪⎭⎪ 1. 2. 3. 4. 5.

i) x + 2 y = 5⎪⎫ ⎬ x + 2 y = 6⎪⎪⎭ j) x + 3 y = 5⎪⎫ ⎬ x − 3 y = 1 ⎪⎪⎭

Lehen ekuazioan x bakanduko dugu: x = 4 − 3y. Bigarren ekuazioan ordezkatuko dugu: 2 ⋅ (4 − 3y) − 3y = −1. Ebatzi egingo dugu: 8 − 6y − 3y = −1 → 9 = 9y → y = 1. Beste aldagaia kalkulatuko dugu: x = 4 − 3 = 1. Ebazpena: x = 1, y = 1.

b) 2x − 2y = 1 ⎫⎪ ⎬ 2x + 2y = 8 ⎪⎪⎭ 1. 2. 3. 4. 5.

Lehen ekuazioan x bakanduko dugu: x = 1 + 2y. Bigarren ekuazioan ordezkatuko dugu: 2 ⋅ (1 + 2y) + 2y = 8. Ebatzi egingo dugu: 2 + 4y + 2y = 8 → 6y = 6 → y = 1. Beste aldagaia kalkulatuko dugu: x = 1 + 2 = 3. Ebazpena: x = 3, y = 1.

c) 2x + 2y = 7 ⎪⎫ ⎬ 2x − 3y = 0 ⎪⎪⎭ 1. 2. 3. 4. 5.

200

Bigarren ekuazioan x bakanduko dugu: x = 3y. Lehen ekuazioan ordezkatuko dugu: 2 ⋅ 3y + y = 7. Ebatzi egingo dugu: 6y + y = 7 → 7y = 7 → y = 1. Beste aldagaia kalkulatuko dugu: x = 3. Ebazpena: x = 3, y = 1.

917840 _ 0186-0221.qxd

8/2/08

12:55

Página 201

ERANTZUNAK

7

d) 5x + 3y = 16 ⎫⎪ ⎬ 3x − 3y = 0 ⎪⎪⎭ 1. 2. 3. 4. 5.

Bigarren ekuazioan x bakanduko dugu: x = y. Lehen ekuazioan ordezkatuko dugu: 5y + 3y = 16. Ebatzi egingo dugu: 8y = 16 → y = 2. Beste aldagaia kalkulatuko dugu: x = 2. Ebazpena: x = 2, y = 2.

e) 2x − y = 5 ⎫⎪ ⎬ 2x + y = 1 ⎪⎪⎭ 1. 2. 3. 4. 5. f)

Lehen ekuazioan x bakanduko dugu: x = 5 + y. Bigarren ekuazioan ordezkatuko dugu: 2 ⋅ (5 + y) + y = 1. Ebatzi egingo dugu: 3y = −9 → y = −3. Beste aldagaia kalkulatuko dugu: x = 2. Ebazpena: x = 2, y = −3.

x + 4y = 9 ⎫⎪ ⎬ 3x − 6y = 9 ⎭⎪⎪ 1. 2. 3. 4. 5.

Lehen ekuazioan x bakanduko dugu: x = 9 − 4y. Bigarren ekuazioan ordezkatuko dugu: 3 ⋅ (9 − 4y) − 6y = 9. Ebatzi egingo dugu: 27 − 12y − 6y = 9 → 18 = 18y → y = 1. Beste aldagaia kalkulatuko dugu: x = 9 − 4 = 5. Ebazpena: x = 5, y = 1.

g) 5x − 3y = 1 ⎪⎫ ⎬ 4x + 3y = 11 ⎭⎪⎪ 1. 2. 3. 4. 5.

Bigarren ekuazioan y bakanduko dugu: y = 11 − 4x. Lehen ekuazioan ordezkatuko dugu: 5x − 3 ⋅ (11 − 4x) = 1. Ebatzi egingo dugu: 5x − 33 + 12x = 1 → 17x = 34 → x = 2. Beste aldagaia kalkulatuko dugu: y = 11 − 8 = 3. Ebazpena: x = 2, y = 3.

h) 3x − 2y = 5 ⎪⎫ ⎬ 4x + 2y = 14 ⎪⎪⎭ 1. 2. 3. 4. 5.

Bigarren ekuazioan y bakanduko dugu: y = 14 − 4x. Lehen ekuazioan ordezkatuko dugu: 3x − 2 ⋅ (14 − 4x) = 5. Ebatzi egingo dugu: 3x − 28 + 8x = 5 → 11x = 33 → x = 3. Beste aldagaia kalkulatuko dugu: y = 14 − 12 = 2. Ebazpena: x = 3, y = 2.

i) x + 2y = 5 ⎪⎫ ⎬ x + 2y = 6 ⎪⎪⎭ 1. 2. 3. 4. 5.

Bigarren ekuazioan x bakanduko dugu: x = 6 − 2y. Lehen ekuazioan ordezkatuko dugu: (6 − 2y) + y = 5. Ebatzi egingo dugu: 6 − 2y + y = 5 → y = 1. Beste aldagaia kalkulatuko dugu: x = 6 − 2 = 4. Ebazpena: x = 4, y = 1.

201

917840 _ 0186-0221.qxd

8/2/08

12:55

Página 202

Ekuazio-sistemak j) x + 3y = 5 ⎫⎪ ⎬ x − 3y = 1 ⎪⎪⎭ 1. 2. 3. 4. 5. 038 ●

Bigarren ekuazioan y bakanduko dugu: y = x − 1. Lehen ekuazioan ordezkatuko dugu: x + 3 ⋅ (x − 1) = 5. Ebatzi egingo dugu: x + 3x − 3 = 5 → 4x = 8 → x = 2. Beste aldagaia kalkulatuko dugu: y = 2 − 1 = 1. Ebazpena: x = 2, y = 1.

Ebatzi, ordezkatze-metodoa erabiliz. x = 3 y + 2⎪⎫ ⎬ ⎪⎪⎭ 2x − 5 y = 5 x = 1 − y ⎪⎫ b) ⎬ 3x + 2 y = −1 ⎪⎪⎭ a)

c) 2x + 5 y = 11 ⎫⎪ ⎬ 5x − 3 y = −19⎪⎪⎭

e) −2x − 3 y = −7⎪⎫ ⎬ 5x + 3 y = −2⎪⎭⎪ f) 4 x + 2 y = 18⎪⎫ ⎬ 2x + 3 y = 11⎪⎪⎭

d) 4 x + y = 6⎪⎫ ⎬ −x − y = 0⎪⎪⎭

a)

x = 3 y + 2⎪⎫ ⎬ x = 3y + 2 ⎪⎪⎭ ⎯⎯⎯⎯⎯→ 2 ⋅ (3y + 2) − 5y = 5 → 2x − 5 y = 5 → y = 1, x = 5

b)

x = 1 − y ⎫⎪ ⎬ x=1−y 3x + 2 y = −1 ⎪⎪⎭ ⎯⎯⎯⎯⎯→ 3 ⋅ (1 − y) + 2y = −1 → → y = 4, x = −3

11 − 5 y c) 2x + 5 y = 11 ⎫⎪ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → x = ⎬ 2 5 x − 3 y = −19⎪⎪⎭ x =

11 − 5 y 2

⎛ 11 − 5 y ⎞⎟ ⎟⎟ − 3 y = −19 → 5x − 3y = −19 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 5 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎠ ⎝⎜ 2 → 55 − 25y − 6y = −38 → → y = 3, x = −2 d) 4 x + y = 6⎪⎫ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ y = 6 − 4x ⎬ −x − y = 0⎪⎭⎪ y = 6 − 4x

−x − y = 0 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ −x − (6 − 4x) = 0 → → x = 2, y = −2 e) −2x − 3 y = −7⎫⎪ ⎬ 5 x + 3 y = −2⎭⎪⎪ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → y = −2 − 5x y = −2 − 5x

−2x − 3y = −7 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ −2x − 3 ⋅ (−2 − 5x) = −7 → → x =−

13 , y = −1 13

f) 4 x + 2 y = 18⎪⎫ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ y = 9 − 2x ⎬ 2x + 3 y = 11⎪⎪⎭ y = 9 − 2x

2x + 3y = 11 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 2x + 3 ⋅ (9 − 2x) = 11 → → x = 4, y = 1

202

917840 _ 0186-0221.qxd

8/2/08

12:55

Página 203

ERANTZUNAK

039

7

Ebatzi ekuazio-sistemak, berdintze-metodoa erabiliz.

●

a) 3x + 3y = 4 ⎪⎫ ⎬ 2x − 3y = −1 ⎪⎪⎭ 3y − 1 . 2 3y − 1 Berdindu egingo dugu: 4 − 3 y = . 2 Ebatzi egingo dugu: 8 − 6y = 3y −1 → 9 = 9y → y = 1. Beste aldagaia kalkulatuko dugu: x = 4 − 3 = 1. Ebazpena: x = 1, y = 1.

1. x bakanduko dugu: x = 4 − 3y ; x = 2. 3. 4. 5.

b) 2x − 2y = 1 ⎫⎪ ⎬ 2x + 2y = 8 ⎪⎪⎭ 8 − 2y . 2 8 − 2y Berdindu egingo dugu: 1 + 2 y = . 2 Ebatzi egingo dugu: 2 + 4y = 8 − 2y → 6y = 6 → y = 1. Beste aldagaia kalkulatuko dugu: x = 1 + 2 = 3. Ebazpena: x = 3, y = 1.

1. x bakanduko dugu: x = 1 + 2y ; x = 2. 3. 4. 5.

c) 2x + 2y = 7 ⎪⎫ ⎬ 2x − 3y = 0 ⎪⎪⎭ 7− y ; x = 3y. 2 7− y = 3y . Berdindu egingo dugu: 2 Ebatzi egingo dugu: 7 − y = 6y → 7 = 7y → y = 1. Beste aldagaia kalkulatuko dugu: x = 3. Ebazpena: x = 3, y = 1.

1. x bakanduko dugu: x = 2. 3. 4. 5.

203

917840 _ 0186-0221.qxd

8/2/08

12:55

Página 204

Ekuazio-sistemak d) 5x + 3y = 16 ⎫⎪ ⎬ 3x − 3y = 0 ⎪⎪⎭ 16 − 3 y ; x = y. 5 16 − 3 y = y. 2. Berdindu egingo dugu: 5 3. Ebatzi egingo dugu: 16 − 3y = 5y → 16 = 8y → y = 2. 1. x bakanduko dugu: x =

4. Beste aldagaia kalkulatuko dugu: x = 2. 5. Ebazpena: x = 2, y = 2. e) 2x − y = 5 ⎪⎫ ⎬ 2x + y = 1 ⎭⎪⎪ 1. 2. 3. 4. 5.

y bakanduko dugu: y = x − 5; y = 1 − 2x. Berdindu egingo dugu: x − 5 = 1 − 2x. Ebatzi egingo dugu: 3x = 6 → x = 2. Beste aldagaia kalkulatuko dugu: y = −3. Ebazpena: x = 2, y = −3.

f) 3x + 4y = 9 ⎪⎫ ⎬ 3x − 6y = 9 ⎪⎪⎭ 9 + 6y . 3 9 + 6y Berdindu egingo dugu: 9 − 4 y = . 3 Ebatzi egingo dugu: 27 − 12y = 9 + 6y → 18 = 18y → y = 1. Beste aldagaia kalkulatuko dugu: x = 9 − 4 = 5. Ebazpena: x = 5, y = 1.

1. x bakanduko dugu: x = 9 − 4y; x = 2. 3. 4. 5.

040 ●

Ebatzi, berdintze-metodoa erabiliz. a) 3x + 2 y = 7 ⎫⎪ ⎬ 4 x − 3 y = 15⎪⎭⎪ b) 2x − 3 y = 13⎪⎫ ⎬ 3x − 6 y = 12⎪⎪⎭

c) 2x + 4 y = 6⎫⎪ ⎬ 3x + 7 y = 5⎪⎭⎪ d) x + 5 y = 13 ⎪⎫ ⎬ 2x − 5 y = −23⎪⎭⎪

e) 2 y − 7 x = 3 ⎫⎪ ⎬ 3x + 7y = 43⎪⎭⎪ f) 3x + 5 y = 11 ⎪⎫ ⎬ 2x + 5 y = 29⎪⎪⎭

⎪⎫ 7 − 2 y ⎪⎫⎪ a) 3x + 2 y = 7 ⎪⎪ → x = ⎪⎪ ⎪⎪ 3 ⎪⎬ → 7 − 2 y = 15 + 3 y → ⎬ ⎪⎪ 15 + 3 y ⎪⎪ 3 4 4 x − 3 y = 15⎪⎪ → x = ⎪⎪ 4 ⎪⎭ ⎪⎭ → 28 − 8y = 45 + 9y → y = −1, x = 3 ⎪⎫ 13 − 3 y b) 2x − 3 y = 13⎪⎪ → x = ⎬ 2 ⎪ 3x − 6 y = 12⎪⎪⎭ → x = 4 − 2 y

⎪⎫⎪ ⎪ → 13 − 3 y = 4 − 2 y → ⎬ ⎪⎪ 2 ⎪⎭ → 13 − 3y = 8 − 4y → y = −5, x = 14

204

917840 _ 0186-0221.qxd

8/2/08

12:55

Página 205

ERANTZUNAK

c) 2x + 4 y = 6⎪⎫⎪ → x = 3 − 2 y ⎪ ⎬ 5 − 7y 3x + 7 y = 5⎪⎪ → x = ⎪⎭ 3

7

⎫ ⎪⎪⎪ 5 − 7y → ⎬ → 3 − 2y = ⎪⎪ 3 ⎪⎭ → 9 − 6 y = 5 − 7 y → y = −4, x = 11

d) x + 5 y = 13 ⎫⎪⎪ → x = 13 − y ⎫⎪⎪ 5 y − 23 ⎪ ⎪ → ⎬ 5 y − 23 ⎬⎪ → 13 − y = 2x − 5 y = −23⎪⎪ → x = 2 ⎪⎪ ⎪⎭ 2 ⎭ → 26 − 2y = 5y − 23 → y = 7, x = 6 e) 2 y − 7x = 3 ⎫⎪⎪ → x = 2 y − 3 ⎪ ⎬ 43 − 7 y 3x + 7 y = 43⎪⎪ → x = ⎪⎭ 3

⎪⎪⎫ ⎪ → 2 y − 3 = 43 − 7 y → ⎬ ⎪⎪ 3 ⎪⎭ → 6y − 9 = 43 − 7y → y = 4, x = 5

f) 3x + y = 11 ⎫⎪⎪ → y = 11 − 3x ⎪ ⎬ 29 − 2x 2x + 5 y = 29⎪⎪ → y = ⎪⎭ 5

041 ●●

⎫⎪ ⎪⎪ 29 − 2x → ⎬ → 11 − 3x = ⎪⎪ 5 ⎪⎭ → 55 − 15x = 29 − 2x → x = 2, y = 5

Ebatzi, laburtze-metodoa erabiliz. a) x + 3 y = 4 ⎪⎫ d) 5x + 3 y = 16⎪⎫ ⎬ ⎬ 2x − 3 y = −1⎪⎭⎪ 3x − 3 y = 0 ⎭⎪⎪ x − 2 y = 1 ⎪⎫ ⎬ 2x + 2 y = 8⎪⎭⎪ c) 2x + 3 y = 7⎪⎫ ⎬ x − 3 y = 0⎪⎭⎪ b)

e) x + 4 y = 9⎪⎫ ⎬ 3x − 6 y = 9⎪⎭⎪

g) 3x − 2 y = 5 ⎪⎫ ⎬ 4 x + 2 y = 14⎭⎪⎪ h) x + 2 y = 5⎪⎫ ⎬ x + 2 y = 6⎪⎭⎪

f) 5x − 3 y = 1 ⎪⎫ ⎬ 4 x + 3 y = 11⎪⎭⎪

a) 3x + 3y = 4 ⎪⎫ ⎬ 2x − 3y = −1 ⎪⎪⎭ 1. y aldagaia aukeratuko dugu. 2. Ekuazioen batuketa egingo dugu: 3x = 3. 3. Ebatzi egingo dugu: x = 1. 4. Beste aldagaia kalkulatuko dugu: 1 + 3y = 4 → 3y = 3 → y = 1. 5. Ebazpena: x = 1, y = 1. b) 2x − 2y = 1 ⎪⎫ ⎬ 2x + 2y = 8 ⎪⎪⎭ 1. y aldagaia aukeratuko dugu. 2. Ekuazioen batuketa egingo dugu: 3x = 9. 3. Ebatzi egingo dugu: x = 3. 4. Beste aldagaia kalkulatuko dugu: 3 − 2y = 1 → 2 = 2y → y = 1. 5. Ebazpena: x = 3, y = 1.

205

917840 _ 0186-0221.qxd

8/2/08

12:55

Página 206

Ekuazio-sistemak c) 2x + 3y = 7 ⎫⎪ 6x + 3y = 21 ⎫⎪ ⎬ → ⎬ 3x − 3y = 0 ⎪⎪⎭ 3x − 3y = 0 ⎪⎪⎭ 1. 2. 3. 4. 5.

y aldagaia aukeratu eta lehen ekuazioa 3z biderkatuko dugu. Ekuazioen batuketa egingo dugu: 7x = 21. Ebatzi egingo dugu: x = 3. Beste aldagaia kalkulatuko dugu: 6 + y = 7 → y = 1. Ebazpena: x = 3, y = 1.

d) 5x + 3y = 16 ⎪⎫ ⎬ 3x − 3y = 0 ⎪⎪⎭ 1. 2. 3. 4. 5.

y aldagaia aukeratuko dugu. Ekuazioen batuketa egingo dugu: 8x = 16. Ebatzi egingo dugu: x = 2. Beste aldagaia kalkulatuko dugu: 10 + 3y = 16 → 3y = 6 → y = 2. Ebazpena: x = 2, y = 2.

e) 3x + 4y = 9 ⎪⎫ −3x − 12y = −27 ⎪⎫ ⎬ → ⎬ 3x − 6y = 9 ⎭⎪⎪ −3x − 36y = 9 ⎭⎪⎪ 1. 2. 3. 4. 5.

x aldagaia aukeratu eta lehen ekuazioa −3z biderkatuko dugu. Ekuazioen batuketa egingo dugu: −18y = −18. Ebatzi egingo dugu: y = 1. Beste aldagaia kalkulatuko dugu: x + 4 = 9 → x = 5. Ebazpena: x = 5, y = 1.

f) 5x − 3y = 1 ⎫⎪ 35x − 3y = 1 ⎫⎪ ⎬ → ⎬ ⎪ 4x + 3y = 11 ⎪⎭ 12x + 3y = 33 ⎪⎪⎭ 1. 2. 3. 4. 5.

y aldagaia aukeratu eta bigarren ekuazioa 3z biderkatuko dugu. Ekuazioen batuketa egingo dugu: 17x = 34. Ebatzi egingo dugu: x = 2. Beste aldagaia kalkulatuko dugu: 10 − 3y = 1 → −3y = −9 → y = 3. Ebazpena: x = 2, y = 3.

g) 3x − 2y = 5 ⎪⎫ 3x − 2y = 5 ⎪⎫ ⎬ → ⎬ 4x + 3y = 14 ⎪⎪⎭ 8x + 2y = 28 ⎪⎪⎭ 1. 2. 3. 4. 5.

y aldagaia aukeratu eta bigarren ekuazioa 2z biderkatuko dugu. Ekuazioen batuketa egingo dugu: 11x = 33. Ebatzi egingo dugu: x = 3. Beste aldagaia kalkulatuko dugu: 9 − 2y = 5 → 4 = 2y → y = 2. Ebazpena: x = 3, y = 2.

h) x + 3y = 5 ⎪⎫ −x − 3y = −5 ⎪⎫ ⎬ → ⎬ x + 2y = 6 ⎪⎪⎭ −x + 2y = 6 ⎪⎪⎭ 1. 2. 3. 4.

206

x aldagaia aukeratu eta lehen ekuazioa −1ez biderkatuko dugu. Ekuazioen batuketa egingo dugu: y = 1. Beste aldagaia kalkulatuko dugu: x + 1 = 5 → x = 4. Ebazpena: x = 4, y = 1.

917840 _ 0186-0221.qxd

8/2/08

12:55

Página 207

ERANTZUNAK

042 ●

7

Ebatzi, laburtze-metodoa erabiliz. a) x + y = 0 ⎫⎪ ⎬ x − y = −10⎪⎪⎭

d) 4 x − 2 y = −2⎫⎪ ⎬ 5x + 3 y = 6 ⎪⎭⎪

b) 2x − 5 y = 1 ⎫⎪ ⎬ −x + 4 y = 4⎪⎭⎪

e) −3x + 7 y = −44⎫⎪ ⎬ 2x − 9 y = 38 ⎪⎭⎪ f) x − 5 y = 6 ⎫⎪ ⎬ x + 4 y = 15⎪⎪⎭

c) 3x + 4 y = −2⎫⎪ ⎬ 2x + 3 y = 0 ⎪⎭⎪ a) x + y = 0 ⎫⎪ ⎬ x − y = −10⎪⎪⎭ −

x + y = −00 x − y = −10 2y = −10 → y = 5, x = −5

2x − 5 y = 1 ⎫⎪ b) 2x − 5 y = 1 ⎫⎪ ⎬ ⋅ (−2) ⎬ −x + 4 y = 4⎪⎪⎭ ⎯⎯→ 2x − 8 y = −8⎪⎪⎭ 2x − 5y = −1 − 2x − 8y = −8 3y = −9 → y = 3, x = 8 ⋅2

c) 3x + 4 y = −2⎪⎫ ⎯⎯→ 6 x + 8 y = −4⎪⎫ ⎬ ⋅3 ⎬ 2x + 3 y = 0 ⎭⎪⎪ ⎯⎯→ 6 x + 9 y = 0 ⎭⎪⎪ −

6x + 8y = −4 6x + 9y = −0 − y = −4 → y = 4, x = −6

⋅5 d) 4 x − 2 y = −2⎪⎫ ⎯⎯→ 20 x − 10 y = −10⎪⎫ ⎬ ⋅4 ⎬ 5 x + 3 y = 6 ⎪⎭⎪ ⎯⎯→ 20 x + 12 y = 24 ⎪⎪⎭ 20x − 10y = −10 − 20x + 12y = −24 17 3 , x = − 22y = −34 → y = 11 11 ⋅2 e) −3x + 7 y = −44⎪⎫ ⎯⎯→ −6 x + 14 y = −88 ⎪⎫ ⎬ ⋅ (−3) ⎬ 2x − 9 y = 38 ⎪⎭⎪ ⎯⎯→ −6 x + 27 y = −114⎪⎪⎭ −6x + 14y = 8−88 − −6x + 27y = −114 − 13y = −026 → y = −2, x = 10

f) x − 5 y = 6 ⎫⎪ ⎬ x + 4 y = 15⎪⎭⎪ x − 5y = 86 − x + 4y = 15 − 9y = −9 → y = 1, x = 11

207

917840 _ 0186-0221.qxd

8/2/08

12:55

Página 208

Ekuazio-sistemak 043 ●●

Ebatzi, metodo egokiena erabiliz. a) x + y = 2⎪⎫ d) 2x + 3 y = 8⎪⎫ ⎬ ⎬ x − y = 6 ⎪⎪⎭ x + 2 y = 3⎪⎪⎭ x + 3 y = 9 ⎫⎪ b) 2x + 3 y = 4 ⎫⎪ e) ⎬ ⎬ ⎪ 2x − 3 y = 4 ⎪⎭ 20 x − 3 y = −4⎪⎪⎭ c) x + 2 y = 5 ⎪⎫ f) 2x − 3 y = −25⎪⎫ ⎬ ⎬ 2x + 5 y = 11 ⎪⎪⎭ 12x − 3 y = 75 ⎪⎪⎭

x + 2 y = 5⎪⎫ ⎬ 2x + 2 y = 7⎪⎪⎭ h) 5x − 5 y = 23⎫⎪ ⎬ −9x + 5 y = 13 ⎪⎪⎭ g)

a) x + y = 2 ⎪⎫ ⎬ Laburtze-metodoa erabiliz, batuz: 2x = 8 → x = 4. x − y = 6 ⎪⎪⎭ Lehen ekuazioan ordezkatuz: 4 + y = 2 → y = −2. Ebazpena: x = 4, y = −2. b) 2x + 3y = 4 ⎫⎪ ⎬ Laburtze-metodoa erabiliz, batuz: 4x = 8 → x = 2. 2x − 3y = 4 ⎭⎪⎪ Lehen ekuazioan ordezkatuz: 4 + 3y = 4 → 3y = 0 → y = 0. Ebazpena: x = 2, y = 0. c) 2x + 2y = 5 ⎪⎫ Ordezkatze-metodoa: x = 5 − 2y → 2 ⋅ (5 − 2y) + 5y = 11 ⎬ 2x + 5y = 11 ⎪⎪⎭ → 10 − 4y + 5y = 11 → y = 1 → x = 5 − 2 = 3. Ebazpena: x = 3, y = 1.

d) 2x + 3y = 8 ⎪⎫ ⎬ 2x + 2y = 3 ⎭⎪⎪ Ordezkatze-metodoa erabiliz, bigarren ekuazioa −2z biderkatu eta bi ekuazioen batuketa eginez: 2x + 3y = 8 ⎫⎪ ⎬ → −y = 2 → y = −2 → x − 4 = 3 → x = 7 2x − 4y = −6 ⎪⎭⎪ Ebazpena: x = 7, y = −2. e) 20x + 0y = 9 ⎪⎫ ⎬ Lehen ekuazioa 3z biderkatuz: 20x − 3y = −4 ⎪⎪⎭ 33x + 3y = 27 ⎪⎫ ⎬ , eta batuz: 23x = 23 → x = 1 → 1 + y = 9 → y = 8. 20x − 3y = −4 ⎭⎪⎪ Ebazpena: x = 1, y = 8. f) 12x − 3y = −25 ⎫⎪ Laburtze-metodoa erabiliz, lehen ekuazioa −1ez ⎬ 12x − 3y = 75 ⎪⎪⎭ biderkatuz: −2x + 3y = 25 ⎫⎪ , eta batuz: 10x = 100 → x = 10 → ⎬ 12x − 3y = 75 ⎪⎪⎭ → 20 − 3y = −25 → 45 = 3y → y = 15. Ebazpena: x = 10, y = 15. g) 2x + 2y = 5 ⎪⎫ ⎬ Lehen ekuazioan x aldagaia bakanduz: x = 5 − 2y, 2x + 2y = 7 ⎭⎪⎪ eta bigarrenean ordezkatuz: 2 ⋅ (5 − 2y) + y = 7 → 10 − 4y + y = 7 → → 3 = 3y → y = 1 → x = 3. Ebazpena: x = 3, y = 1.

208

917840 _ 0186-0221.qxd

8/2/08

12:55

Página 209

ERANTZUNAK

7

h) −5x − 5y = 23 ⎫⎪ ⎬ Lehen ekuazioa 5ez biderkatuz: −9x + 5y = 13 ⎪⎪⎭ 25x − 5y = 115 ⎪⎫ ⎬ , eta bi ekuazioak batuz: 16x = 128 → x = 8 → −9x + 5y = 130 ⎭⎪⎪ → 40 − y = 23 → → y = 17. Ebazpena: x = 8, y = 17. 044 ●●

Ebatzi, metodo egokiena erabiliz. a) x − 3 y = 4⎫⎪ c) 4 x − 5 y ⎬ 2x − 5 y = 8⎪⎪⎭ 2x + 7 y b) 3x + y = 3⎪⎫ d) x − 3 y ⎬ 6 x − y = 0⎭⎪⎪ 5x − 2 y a)

= 10 ⎫⎪ ⎬ = −4⎪⎪⎭ = 13⎪⎫ ⎬ = 26⎪⎭⎪

e) 8 x + 14 y = −6⎫⎪ ⎬ x + 14 y = 0 ⎪⎭⎪ 4 ⎪⎫ f) 3x − y = 13 ⎪⎪ ⎪ 5 ⎬ ⎪ 8 x − y = −4 ⎪⎪ 3 ⎪⎪⎭

x − 3 y = 4⎪⎫ → x = 4 + 3y ⎬ 2x − 5 y = 8⎪⎪⎭ x = 4 + 3y 2x − 5y = 8 ⎯⎯⎯⎯⎯ → 2 ⋅ (4 + 3y) − 5y = 8 → y = 0, x = 4

b) 3x + y = 3⎪⎫ ⎬ 6 x − y = 0⎪⎭⎪ 3x + y = 3 + 6x − y = 0 1 9x − y = 3 → x = , y = 2 3 4 x − 15 y = 10 ⎪⎫ c) 4 x − 5 y = 10 ⎪⎫ ⎬ ⎬ ⋅2 2x + 7 y = −4⎪⎭⎪ ⎯⎯→ 4 x + 14 y = −8⎪⎪⎭ 4x − 15y = 10 − 4x + 14y = −8 −18 25 ,x = − 19y = 18 → y = 19 19 d) x − 3 y = 13 ⎪⎫ → x = 13 + 3y ⎬ 5 x − 2 y = 26⎪⎭⎪ x = 13 + 3y 5x − 2y = 26 ⎯⎯⎯⎯⎯ → 5 ⋅ (13 + 3y) − 2y = 26 → y = −3, x = 4 e) 8 x + 14 y = −6⎪⎫ ⎬ x + 14 y = 0 ⎭⎪⎪ → x = −y x = −y

8x + 14y = −6 ⎯⎯⎯⎯⎯ → −8y + 14y = −6 → y = −1, x = 1 ⎪⎫ 4 y = 13 ⎪⎪ ⎪⎪ 5 ⎬ ⎪ 8 8 x − y = −4⎪⎪⎪ → y = x + 4 3 3 ⎪⎭

f) 3x −

y =

8

x+4

⎛8 ⎞ ⋅ ⎜⎜ x + 4⎟⎟⎟ = 13 → ⎜⎝ 3 ⎟⎠ 243 376 → 45 x − 32x − 48 = 195 → x = ,y = 13 13

4 4 3 3x − y = 13 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 3x − 5 5

209

917840 _ 0186-0221.qxd

8/2/08

12:55

Página 210

Ekuazio-sistemak 045

EGIN HONELA NOLA EBAZTEN DIRA PARENTESIAK ETA ZATIKIAK DITUZTEN SISTEMAK?

Ebatzi:

2( x − 2) − 3( y + 1) + 6 = 17 ⎪⎫⎪ ⎪⎬ x y 4( x − y ) − + = 25⎪⎪ ⎪⎭ 3 2

LEHENA. Parentesiak eta izendatzaileak kendu, eta antzeko gaiak sinplifikatu behar dira, bi ekuazioetan.

2(x − 2) − 3( y + 1) + 6 = 17 ⎫⎪⎪ 2x − 4 − 3 y − 3 + 6 = 17 ⎫⎪⎪ ⎪⎬ → ⎪⎬ → x y x y 4(x − y ) − + = 25⎪⎪ 4x − 4 y − + = 25⎪⎪ ⎪⎭ ⎪⎭ 3 2 3 2 2x − 3 y − 1 = 17 ⎪⎫⎪ ⎪⎬ → 2x − 3y = 18 ⎫⎪⎬ → 24 x − 24 y − 2x + 3 y = 25⎪⎪ 22x − 21y = 150⎪⎪⎭ ⎪⎭ 6 Hiru metodoetako bat erabiliz ebatzi behar da. Kasu honetan, laburtzemetodoa erabiliz.

BIGARRENA.

⋅ (−11)

2x − 3y = 18 ⎫⎪ ⎯⎯→ −22x + 33y = −198 ⎪⎫ ⎬ ⎬ + ⎪ 22x − 21y = 150 ⎪⎪⎭ 22x − 21y = 150 ⎪⎭ 12y = − 48 → y = −4 y = −4

→ 2x − 3 ⋅ (−4) = 18 → x = 3 2x − 3y = 18 ⎯⎯⎯

046 ●●●

Ebatzi ekuazio-sistema hauek: a)

2x + 3 y = 5 + x + 2 y ⎪⎫ ⎬ ⎪⎪⎭ x − 2y − 3 = 3 − 4 y

b) 2 y − x − 1 = 4 − y − 2x ⎫⎪ ⎬ ⎪⎪⎭ 2x − y = 1 + x c)

3 y − 2 = x − 2 ⋅ ( x + y )⎪⎫ ⎬ ⎪⎭⎪ ( x + 4 ) + 2 ⋅ ( y − 2) = 18 − x − y

d) 3x − 2 ⋅ ( y − 1) = y − x + 1 ⎪⎫ ⎬ 2x − y = x + y − 9⎪⎪⎭ e)

f)

210

11 ⎫⎪⎪ x y − = ⎪ 2 5 5 ⎪⎪ ⎬ ⎪ 4 x − 5y = 2 ⎪⎪⎪ 2 ⎪⎭ x + 4y x −y 2 ⎫⎪ + = ⎪⎪ 3 5 3 ⎬⎪ −x + 5 y = 13⎪⎪⎭

917840 _ 0186-0221.qxd

8/2/08

12:55

Página 211

ERANTZUNAK

7

a) 2x + 3y − 3 = 5 + x + 2y ⎫⎪ x + 2y = 5 ⎫⎪ −x − 2y = −5 ⎫⎪ ⎬ → ⎬ → ⎬ → 2x − 2y − 3 = 3 + x − 4y ⎪⎪⎭ x + 2y = 6 ⎪⎪⎭ −x + 2y = 6 ⎪⎪⎭ → y = 1, x = 4

Ebazpena: x = 4, y = 1. b) 2y − x − 1 = 4 − y − 2x ⎪⎫ x + 3y = 5 ⎪⎫ −x − 3y = −5 ⎪⎫ ⎬ → ⎬ → ⎬ → ⎪⎪⎭ 2x − y = 1 + x x − 2y = 1 ⎪⎪⎭ −x − 2y = 1 ⎪⎪⎭ → −4y = −4 → y = 1, x = 2 Ebazpena: x = 2, y = 1. c)

3y − 2 = x − 2 ⋅ (x + y) ⎫⎪ ⎬ → ⎪⎪⎭ (x + 4) + 2 ⋅ (y − 2) = 18 − x − y

3y − 2 = x − 2x − 2y ⎪⎫ 2x + 5y = 2 ⎪⎫ ⎬ → ⎬ → x + 4 + 2y − 4 = 18 − x − y ⎪⎪⎭ 2x + 3y = 18 ⎪⎪⎭ −2x − 10y = −4 ⎪⎫ → ⎬ → −7y = 14 → y = −2, x = 12 −2x + 13y = 18 ⎪⎭⎪ →

Ebazpena: x = 12, y = −2. d) 3x − 2 ⋅ (y − 1) = y − x + 1 ⎫⎪ 3x − 2y + 2 = y − x + 1 ⎫⎪ ⎬ → ⎬ → ⎪ 2x − y = x + y − 9 ⎪⎭ 2x − y = x + y − 9 ⎪⎪⎭ 4x − 3y = −1 ⎪⎫ −4x − 3y = −1 ⎪⎫ → ⎬ → ⎬ → 5y = 35 → y = 7, x = 5 x − 2y = −9 ⎪⎪⎭ −4x + 8y = 36 ⎪⎪⎭ Ebazpena: x = 5, y = 7. e)

11 ⎫⎪⎪ ⋅ 10 x y ⎪⎫ − = ⎪ ⎯⎯→ 5 x − 2 y = 22⎪⎪ ⎪⎪ 2 5 5 ⎪⎪ ⎬ ⎬ ⎪⎪ ⋅ 2 ⎪ 4x − 5 y 5y = 2 ⎪⎪ ⎯⎯→ 4 x − 5 y = 4 ⎪⎪ → x = 1 + ⎪⎪⎭ 2 ⎪⎭ 4 x = 1+

5y 4

⎛ 5 y ⎞⎟ ⎟⎟ − 2 y = 22 → 5x − 2y = 22 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → 5 ⋅ ⎜⎜⎜1 + ⎝ 4 ⎟⎠ → 20 + 25y − 8y = 88 → y = 4, x = 6 f)

⎫⎪ x + 4y x−y 2 ⎫⎪ ⋅ 15 + = ⎪⎪ ⎯⎯→ 5 ⋅ (x + 4 y ) + 3 ⋅ (x − y ) = 2 ⋅ 5⎪⎪ ⎬ → 3 5 3 ⎬⎪ ⎪ −x + 5 y = 13⎪⎪⎭ −x + 5 y = 13 ⎪⎪⎭ ⎪⎫ 8 x + 17 y = 10⎪⎪ ⎬ → ⎪ −x + 15 y = 13⎪⎪⎭ → x = 5 y − 13 x = 5y − 13

8x + 17y = 10 ⎯⎯⎯⎯⎯→ 8 ⋅ (5y − 13) + 17y = 10 → → 40y − 104 + 17y = 10 → y = 2, x = −3

211

917840 _ 0186-0221.qxd

8/2/08

12:55

Página 212

Ekuazio-sistemak 047

EGIN HONELA NOLA ADIERAZTEN DIRA ZENBAIT ENUNTZIATU BI EZEZAGUNEKO EKUAZIOEN BIDEZ? Adierazi enuntziatu hauek bi ezezaguneko ekuazioen bidez. a) Bi zenbakiren batura 33 da. b) Lau aulkik eta mahai batek 260 € balio dute. c) Jonen pisua txakurrarena gehi 22 kg da. d) Laukizuzen baten zabalera altuera halako bi da. LEHENA. Datu ezezagun bakoitzari ezezagun bat esleitu behar zaio.

Jakinak ez diren datuak Bi zenbaki

Datu ezagunak eta Aulki baten eta mahai datu ezezagunak berdintza baten prezioa baten bidez lotu behar dira. Jonen eta txakurraren pisua a) Bi zenbakiren batura Laukizuzen baten 33 da ⎯⎯→ x + y = 33 zabalera eta altuera b) 4 aulkik eta 1 mahaik 260 € balio dute ⎯→ 4x + y = 260 c) Jonen pisua txakurrarena gehi 22 kg → x + 22 = y d) Zabalera altuera halako bi da ⎯→ x = 2y BIGARRENA.

048 ●●

Ezezagunak x, zenbaki bat y, beste zenbakia x, aulki baten prezioa y, mahai baten prezioa x, Jonen pisua y, txakurraren pisua x, zabalera y, altuera

Idatzi enuntziatu bakoitza bi ezezaguneko ekuazio lineal baten bidez eta azaldu zer adierazten duten ezezagunek. a) Bi zenbakiren batura 15 da. b) Zenbaki baten erdia gehi beste zenbaki baten bikoitza 52 da. c) Aita baten eta seme baten adinen kendura 28 urte da. d) Zuk baino 20 km gehiago egin ditut. e) 16,50 € ditut 1 € eta 50 zentimoko txanponetan. f) 2 kg laranjak eta 3 kg sagarrek 5,80 € balio dute. g) Bi ogitartekok eta hiru edarik 14 € balio dute. h) Laukizuzen baten perimetroa 32 m-koa da. Zenbat ebazpen ditu ekuazio bakoitzak? Eman bakoitzaren ebazpen bat. a) Zenbaki bat: x. Beste bat: y. Ekuazioa: x + y = 15. Ebazpena: x = 7, y = 8. x + 2 y = 52 . b) Zenbaki bat: x. Beste bat: y. Ekuazioa: 2 Ebazpena: x = 4, y = 25. c) Aitaren adina: x. Semearen adina: y. Ekuazioa: x − y = 28. Ebazpena: x = 50, y = 12. d) Batek egindako kilometroak: x. Besteak egindako kilometroak: y. Ekuazioa: x − y = 20. Ebazpena: x = 35, y = 15. e) 1 €-eko txanponak: x. 50 zentimoko txanponak: y. Ekuazioa: x + y ⋅ 0,50 = 16,50. Ebazpena: x = 10, y = 17. f) 1 kg laranjaren prezioa: x. 1 kg sagarren prezioa: y. Ekuazioa: 2x + 3y = 5,80. Ebazpena: x = 2, y = 0,60.

212

917840 _ 0186-0221.qxd

8/2/08

12:55

Página 213

ERANTZUNAK

7

g) Ogitarteko baten prezioa: x. Edari baten prezioa: y. Ekuazioa: 2x + 3y = 14. Ebazpena: x = 4, y = 2. h) Altuera: x. Zabalera: y. Ekuazioa: 2x + 2y = 32. Ebazpena: x = 11, y = 5. Ekuazio guztiek infinitu ebazpen dituzte. 049 ●●

Elkartu aurreko ariketako ekuazio bakoitza eta ariketa honetako atal bakoitzean lortutako ekuazioa. Kalkulatu bi ekuazioek osatutako sistemaren ebazpena. a) Bi zenbakien kendura 1 da. b) Lehen zenbakiaren laurdena gehi bigarren zenbakiaren herena 16 da. c) Aitaren adina semearena halako bost da. d) Zuk egindako distantzia halako bi egin dut. e) Txanponen kopurua 23 da. f) Kilo bat laranjak 40 zentimo gehiago balio du kilo bat sagarrek baino. g) Ogitartekoen prezioa freskagarrienaren bikoitza da. h) Altuera oinarriaren hiru bosten da. a) Zenbaki bat: x. Beste bat: y x + y = 15⎪⎫ ⎬ → x = 8, y = 7 x − y = 1 ⎪⎪⎭ b) Zenbaki bat: x. Beste bat: y ⎪⎫ x + 2 y = 52⎪⎪ ⎪⎪ x + 4 y = 104⎪⎫ 2 ⎬→ ⎬ → x = 44, y = 15 ⎪⎪ 3x + 4 y = 192⎪⎪⎭ x y + = 16 ⎪⎪ 4 3 ⎪⎭ c) Aitaren adina: x. Semearen adina: y x − y = 28 ⎫⎪ ⎬ → x = 35, y = 7 x = 5 y ⎪⎪⎭ d) Batek egindako kilometroak: x. Besteak egindako kilometroak: y x − y = 20 ⎫⎪ ⎬ → x = 40, y = 20 x = 2 y ⎪⎪⎭ e) 1 €-eko txanponak: x. 50 zentimoko txanponak: y x + 0, 50 y = 16, 50⎪⎫ ⎬ → x = 10, y = 13 x + y = 23 ⎪⎪⎭ f) 1 kg laranjaren prezioa: x. 1 kg sagarren prezioa: y 2x + 3 y = 5, 80 ⎪⎫ ⎬ → x = 1, 40; y = 1 x = y + 0, 40⎪⎪⎭ g) Ogitarteko baten prezioa: x. Freskagarri baten prezioa: y 2x + 3 y = 14 ⎪⎫ ⎬ → x = 4, y = 2 x = 2 y ⎪⎪⎭ h) Altuera: x. Zabalera: y 2x + 2 y = 32 ⎪⎫⎪ 3 ⎪⎬ → x = 6, y = 10 x = y ⎪⎪ 5 ⎪⎭

213

917840 _ 0186-0221.qxd

8/2/08

12:55

Página 214

Ekuazio-sistemak 050 ●●

Anek 5 kromo gehiago ditu Jonek baino eta bien artean 59 kromo dituzte. Zenbat kromo ditu bakoitzak?

Aneren kromoak: x. Jonen kromoak: y Batura: x + y Kendura: x − y x + y = 59 ⎪⎫ Sistema: ⎬, eta bi ekuazioak batuz: 2x = 64 → x − y = 5 ⎪⎪⎭ → x = 32, y = 27. Anek 32 kromo ditu, eta Jonek, 27 kromo. 051 ●●

Amaiaren gelan 21 ikasle dira. Mutilak neskak baino 7 gehiago dira. Zenbat mutil eta zenbat neska daude? Mutilak: x. Neskak: y Batura: x + y Kendura: x − y x + y = 21 ⎪⎫ Sistema: ⎬, eta bi ekuazioak batuz: 2x = 28 → x − y = 7 ⎪⎪⎭ → x = 14, y = 7. 14 mutil eta 7 neska daude.

052 ●●

Jonek zenbait bolaluma eta errotuladore ditu, guztira 13. Errotuladoreak 3 gehiago dira bolalumak baino. Zenbat bolaluma eta zenbat errotuladore ditu? Errotuladoreak: x. Bolalumak: y Batura: x + y Kendura: x − y x + y = 13 ⎫⎪ Sistema: ⎬ , eta bi ekuazioak batuz: 2x = 16 → x − y = 3 ⎪⎪⎭ → x = 8, y = 5. Jonek 8 errotuladore eta 5 bolaluma ditu.

053 ●●

Araitzek 20 eta 5 zentimoko zenbait txanpon ditu. Guztira 12 txanpon baditu eta haien batura 1,50 € bada, kalkulatu zenbat dituen bakoitzetik. 20 zentimoko txanponak: x 5 zentimoko txanponak: y Sistema:

⎫ 0,20x + 0,05y = 12 ⎪ −0,05x − 0,05y = −0,6 ⎪⎫ ⎬ → ⎬ ⎪ 0,20x + 0,05y = 1,5 ⎭ −00,2x + 0,05y = 1,5 ⎭⎪⎪ ⎪ eta bi ekuazioak batuz: 0,1 ⋅ 5x = 0,9 → x = 6, y = 6.

Araitzek mota bakoitzeko 6 txanpon ditu.

214

917840 _ 0186-0221.qxd

8/2/08

12:55

Página 215

ERANTZUNAK

054 ●●

7

Tailer batean, autoen kopurua motoen kopuruaren bikoitza gehi 2 da. Kalkulatu zenbat auto eta zenbat moto dauden, guztira 48 gurpil badituzte.

MOTO-CAR

Autoak: x. Motoak: y x = 2 y + 2⎪⎫ ⎬ ⎪⎪⎭ 4 x + 2 y = 48 x = 2y + 2

4x + 2y = 48 ⎯⎯⎯⎯⎯ → 8y + 8 + 2y = 48 → y = 4, x = 10 10 auto eta 4 moto daude. 055 ●●

Gameluz eta dromedarioz osatutako karabana bat basamortu bat zeharkatzen ari da. Guztira 440 hanka eta 160 konkor dira. Zenbat gamelu eta zenbat dromedario dira?

Dromedarioak: x. Gameluak: y Hankak guztira: 4x + 4y = 440 Konkorrak guztira: x + 2y = 160 4x + 4y = 440 ⎫⎪ −4x + 4y = 440 ⎫⎪ Sistema: ⎬ → ⎬ → 2x = 120 → x + 2y = 160 ⎭⎪⎪ −2x − 4y = −320 ⎭⎪⎪ → x = 60 → 60 + 2y = 160 → y = 50 60 dromedario eta 50 gamelu daude. 056 ●●

Aneri ahizpari ematen dioten aste-sariaren bikoitza ematen diote, eta bi aste-sarien batura 30 €-koa da. Zer aste-sari du bakoitzak? Aneren aste-saria: x. Ahizparen aste-saria: y x = 2 y ⎫⎪ ⎬ x + y = 30 ⎪⎪⎭ x = 2y

x + y = 30 ⎯⎯⎯ → 3y = 30 → y = 10, x = 20 Anek 20 €-ko aste-saria du, eta ahizpak, 10 €-koa.

215

917840 _ 0186-0221.qxd

8/2/08

12:55

Página 216

Ekuazio-sistemak 057 ●●

Freskagarri-enpresa batek 5.000 ¬ ontziratu ditu 1,5 ¬-ko eta 2 ¬-ko 3.000 botilatan. Mota bakoitzeko zenbat botila erabili dituzte? 1,5 ¬-ko botilak: x. 2 ¬-ko botilak: y

1, 5 x + 2 y = 5.000⎪⎫ ⎬ x + 2 y = 3.000⎪⎪⎭ → y = 3.000 − x y = 3.000 − x

1,5x − 2y = 5.000 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → 1,5x + 6.000 − 2x = 5.000 → → x = 2.000, y = 1.000 1,5 ¬-ko 2.000 botila eta 2 ¬-ko 1.000 botila erabili dituzte.

058

EGIN HONELA NOLA PLANTEATZEN DIRA ADINEN PROBLEMAK EKUAZIO-SISTEMEN BIDEZ? Planteatu problema hau: «Kalkulatu ama baten eta alaba baten adina, jakinik duela lau urte amaren adina alabaren adinaren hirukoitza zela, eta zortzi urte barru, bikoitza izango dela». Ezezagunak identifikatu behar dira. Alabaren adina ⎯⎯ →x Amaren adina ⎯→ y

LEHENA.

BIGARRENA.

Datuak adierazi behar dira.

Alaba Ama

Duela 4 urte x−4 y−4

Gaur egun

x y

8 urte barru x+8 y+8

Ekuazioak idatzi behar dira. Duela lau urte amaren adina alabaren → y − 4 = 3 ⋅ (x − 4) adinaren hirukoitza zen Zortzi urte barru, bikoitza izango da ⎯⎯→ y + 8 = 2 ⋅ (x + 8)

HIRUGARRENA.

059 ●●●

Kalkulatu bi lagunen adinak, jakinik duela 10 urte lehenak bigarrenaren adinaren laukoitza zuela, eta 20 urte barru, lehenaren adina bigarrenaren bikoitza izango dela. Adinak: x, y Kendura: x − y Lehen ekuazioaren hirukoitza ken bigarrenaren laukoitza: 3x − 4y 3x − 3y = 3 ⎪⎫ Sistema: ⎬ , eta lehen ekuazioan x bakanduz eta bigarren 3x − 4y = 2 ⎪⎪⎭ ekuazioan ordezkatuz: 3 ⋅ (3 + y) − 4y = 2 → 9 + 3y − 4y = 2 → → y = 7, x = 10

Lagun batek 10 urte ditu, eta besteak, 7 urte.

216

917840 _ 0186-0221.qxd

8/2/08

12:55

Página 217

ERANTZUNAK

060 ●●

7

Ikerrek 8 urte ditu, eta arrebak, 2 urte. Zenbat urte barru izango du Ikerrek arrebaren adinaren bikoitza? Igaro beharreko denbora: x Ikerren adina arrebaren adinaren bikoitza da: 8 + x = 2 ⋅ (2 + x) → 8 + x = 4 + 2x → x = 4 4 urte barru izango da.

061 ●●

Imanolek 5 urte gehiago ditu Anek baino. 10 urte barru, Imanolen adina 4 Anerenaren izango da. Zer adin du Imanolek? 3 Imanolen adina: x. Aneren adina: y ⎪⎫⎪ x = y +5 ⎪ 4 ⋅ ( y + 10) ⎬⎪ x + 10 = ⎪ 3 ⎪⎭ 4 ⋅ ( y + 10) x = y + 5 4 ⋅ ( y + 10) x + 10 = → ⎯⎯⎯⎯→ y + 5 + 10 = 3 3 → 3y + 45 = 4y + 40 → y = 5, x = 10 Imanolek 10 urte ditu, eta Anek, 5 urte.

062 ●●

Zentimo bateko zenbait txanpon 5 zentimoko txanponez ordezkatu ondoren, 60 txanpon gutxiago ditugu. Mota bakoitzeko zenbat txanpon ditugu? 1 zentimoko txanponak: x. 5 zentimoko txanponak: y ⎫⎪ x = 5y ⎬ x = y + 60⎪⎪⎭ 5y = y + 60 → y = 15, x = 75 1 zentimoko 75 txanpon edo 5 zentimoko 15 txanpon dira.

063

Kalkulatu baldintza hauek betetzen dituen hiru zifrako zenbaki bat:

●●●

• 9ren multiploa. • Hamarrekoen zifra 5 duena. • Batekoen zifra eta ehunekoena trukatuz gero, 198 txikiagoa dena. Zenbakia x 5y formakoa izango da; hau da, 100x + 50 + y. 9ren multiploa denez, x + 5 + y batura 9ren multiploa da. Eta hirugarren baldintzaren arabera: 100x + 50 + y = 100y + 50 + x + 198 → 99x − 99y = 198 → x − y = 2 → → x=2+y Beraz, x + 5 + y = 2 + y + 5 + y = 2y + 5 adierazpena 9ren multiploa da, eta 1 eta 9 artekoa izan behar duenez, eta zenbaki osoa denez, y = 1. Zenbakia 351 da.

217

917840 _ 0186-0221.qxd

8/2/08

12:55

Página 218

Ekuazio-sistemak 064

Egin kalkuluak eta erantzun.

●●● 1. Pentsatu bi zifrako zenbaki bat. 2. Biderkatu 5ez. 3. Batu 25 emaitzari. 4. Zatitu 5ez. 5. Kendu hasieran pentsatutako zenbakia.

Egin proba beste zenbaki batzuekin. Beti emaitza bera lortzen al duzu? Ba al dakizu egindakoa aljebraikoki adierazten? 1. Pentsatu zenbaki bat: x. 2. Biderkatu 5ez: 5x. 3. Batu 25: 5x + 25. 4. Zatitu 5ez: (5x + 25) : 5 = x + 5. 5. Kendu zenbakia: x + 5 − x = 5. Beraz, emaitza 5 da beti. 065 ●●●

Hil bat zifra bakar baten bidez adieraz daiteke (esate baterako, ekaina, 6. hila) edo bi zifraren bidez (urria, azaroa eta abendua). Dena dela, hil bat honela adieraz daiteke: 10 ⋅ a + b. Esate baterako, martxoa honela idatz daiteke: 10 ⋅ a + b. a = 0 eta b = 3 dira. Abendua, berriz: 10 ⋅ a + b. a = 1 eta b = 2 dira. Hori kontuan hartuta, azaldu zergatik kalkula daitekeen edozeinen adina eta jaiotze-hila, urrats horiei jarraituz. 1. Biderkatu 2z zure jaiotze-hila. 2. Batu 5. 3. Biderkatu 50ez. 4. Batu zure adina. 5. Kendu 250 emaitzari, eta zure jaiotze-hila eta adina lortuko dituzu.

1. Biderkatu 2z zure jaiotze-hila: 20a + 2b. 2. Batu 5: 20a + 2b + 5. 3. Biderkatu 50ez: 50 ⋅ (20a + 2b + 5) = 1.000a + 100b + 250. 4. Batu zure adina (10x + y): 1.000a + 100b + 250 + 10x + y. 5. Kendu 250: 1.000a + 100b + 250 + 10x + y − 250 = 1.000a + 100b + 10x + y Emaitza abxy da. Lehen bi zifrak hila dira, eta beste biak, adina.

218

917840 _ 0186-0221.qxd

8/2/08

12:55

Página 219

ERANTZUNAK

7

EGUNEROKOAN 066 ●●●

Andoniren senide batzuk Australian bizi dira. Andoni eta haren arreba bidaia prestatzen ari dira, lehengusu-lehengusinak ezagutzeko. Bidaia-agentziara joan dira hegazkin-txartelak erostera. Madrildik Sidneyra joango dira, eta han, lehengusulehengusinak zain izango dituzte. Joaneko txartelak dioenez, Madriletik maiatzaren 2an 10:00etan (Espainiako ordua) atera eta Sidneyra 11:00etan (Australiako ordua) iritsiko dira, baina maiatzaren 3an.

Maiatzak 2 10:00 h

Maiatzak 3 11:00 h

Eta itzulerako txartelak dioenez, Sidneytik maiatzaren 22an 11:00etan (Australiako ordua) atera eta 16:00etan (Espainiako ordua) iritsiko dira, egun berean. Andoni zur eta lur geratu da: joatean biharamunean helduko dira Sidneyra, eta itzuleran, berriz, irten eta 5 ordura. Joateko eta itzultzeko hegazkina bera da; hortaz, hegaldiak iraupen bera izan behar du joatean eta itzultzean. Zenbat orduko hegaldia da Madril eta Sidney artekoa, eta zenbatekoa da bi hirien arteko ordu-diferentzia? Hegaldiaren iraupena: x. Ordu-diferentzia: y x + y = 25⎫⎪ ⎬ → x = 15, y = 10 x − y = 5 ⎪⎭⎪ Hegaldia 15 ordukoa da, eta ordu-diferentzia, 10 ordukoa.

219

917840 _ 0186-0221.qxd

8/2/08

12:55

Página 220

Ekuazio-sistemak 067 ●●●

Ainarak etxetik lagunei sakelako telefonoz dei egiten dien bakoitzean, eztabaida bera sortzen da. Askotan esan dizut etxean zaudenean telefono finkoa erabiltzeko, sakelakoa baino merkeagoa da-eta.

Ez, ama, merkeagoa da sakelako telefonoz dei egitea.

Amari esandakoa egia dela frogatzeko, azken bi telefono-fakturen laburpena erakutsi dio Ainarak.

Urria

Finkoko

minutuak

960

Sakela

utuak koko min

520

0€ ) 141,6 Total (€

Abendua

950 610 157,30 €

Zuzena al da Ainarak esandakoa? Minutuko prezioa, finkoan: x Minutuko prezioa, sakelakoan: y 960 x + 520 y = 141, 60 ⎫⎪ 96 x + 52 y = 14,16⎫⎪ ⎬→ ⎬ 950 x + 610 y = 157, 30⎭⎪⎪ 95 x + 61y = 15, 73⎭⎪⎪ Ekuazio bat ken bestea eginez: x = 9y − 1,57. x = 9y − 1,57

→ 950 ⋅ (9y − 1,57) + 610y = 157,30 → 950x + 610y = 157,30 ⎯⎯⎯⎯⎯ → 8.550y − 1.491,50 + 610y = 157,30 → → 9.120y = 1.648,80 → y = 0,18 y = 0,18

→ x = 0,06 x = 9y − 1,57 ⎯⎯⎯⎯ Minutuko prezioa 0,06 zentimokoa da telefono finkoan, eta 0,18 zentimokoa, sakelakokoan; beraz, Ainarak esandakoa ez da zuzena.

220

917840 _ 0186-0221.qxd

8/2/08

12:55

Página 221

ERANTZUNAK

068 ●●●

7

Ikastetxeko kafetegiko prezioak igo egin dituzte. Urte-hasieran, igoera finkoa egiten diote prezio bakoitzari, urteko prezioen igoera orokorrari dagokiona, alegia (KPI). Aurten, igoerak % 4koa izan behar zuen, baina ikasleen ustez, igoera handiagoa izan da.

7,70 €

Aurreko astean, prezioak igo baino lehenago, arrautzopil-ogitartekoak freskagarriak baino 1 € gehiago balio zuen. Aste horretan, bi freskagarri eta ogitarteko bat 4 € ordaindu genituen. Aste honetan, berriz, prezioak igo dituztenez, hiru freskagarri eta bi ogitarteko 7,70 € ordaindu ditugu. Zer ehuneko igo dituzte prezioak? Ogitartekoaren hasierako prezioa: x Freskagarriaren hasierako prezioa: y x = y + 1⎪⎫ ⎬ ⎪⎪⎭ → y + 1 + 2y = 4 → y = 1 x + 2y = 4 x=1+1=2 Ogitartekoak 2 € balio zuen, eta freskagarriak, 1 €. Hasierako prezioekin, 3 freskagarrik eta 2 ogitartekok hau balio zuten: 3 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 = 7 €. 7,70 = 1,10 → % 10 igo dituzte prezioak. 7

221

917840 _ 0222-0251.qxd

8

8/2/08

12:53

Página 222

Zenbakizko proportzionaltasuna PROPORTZIONALTASUNA

MAGNITUDE ZUZENKI PROPORTZIONALAK

MAGNITUDE ALDERANTZIZ PROPORTZIONALAK

HIRUKO ERREGELA BATEKORA MURRIZTEA

EHUNEKOAK

EHUNEKOA KALKULATZEA

KOPURU OSOA KALKULATZEA

EHUNEKO HAINBESTE HANDITU ETA TXIKITZEA

222

ZATIA KALKULATZEA

917840 _ 0222-0251.qxd

8/2/08

12:53

Página 223

Berdea gorri John Dalton 26 urteko gaztea kontsolatzen ari zen Jonathan, anaia zaharrena, Ingalaterrako Kendal hirian paseatzen ari zirela. –John, ez ezazu hain estu hartu. Seguruenik amak ez zintuen mindu nahi. John ez zegoen oso seguru eta amari oparitutako jantziari begiratzen zion sinesgaitz. Izan ere, amak oso haserre itzuli zion jantzia. –Ez dut ulertzen zergatik ez duen gustuko, oihala kalitate handikoa dela esan dit dendariak. –Badakizu ama oso jainkozalea dela eta kolore gorria... –erantzun zion anaia Jonathanek. –Zu ere ez zinen ohartu –kexatu zen John. Jantzi eskarlata ibaira jaurti eta pentsatzen hasi zen: Zergatik ez zituzten koloreak bereizi anaiak eta biek? Bi urte geroago, 1793an, John Daltonek lan bat argitaratu zuen, hark berak jasaten zuen gaixotasun mota deskribatzen zuena. Harrezkero, daltonismo izena hartu zuen. Dalton ospetsua egin zen eta haren teoria atomikoa zientziaren historian sartu zen; teoria horretan, zenbakizko proportzionaltasunak funtsezko papera du. Esate baterako, molekula bat urek bi hidrogeno atomo eta oxigeno atomo bat du. Teoriak dioenez, ur kantitatea edozein izanik, hidrogeno eta oxigeno atomoen arteko proportzioa bera da beti. Ur kantitate jakin batean 1 bilioi oxigeno atomo badaude, zenbat hidrogeno atomo daude?

2 H atomo → 1 O atomo x H atomo → 1 bilioi O atomo x = 2 bilioi

2 bilioi hidrogeno atomo daude.

917840 _ 0222-0251.qxd

8/2/08

12:53

Página 224

Zenbakizko proportzionaltasuna ARIKETAK 001

Idatzi beheko egoerei dagozkien arrazoiak. a) b) c) d)

002

350 orrialdeko liburu baten 95 orrialde irakurri ditut. 260 km egin ditugu, 600 km dituen ibilbide batean. Saioak bildumako 72 kromoetatik 28 ditu. Izaten ditugun 32 hortzetatik 4 atera zaizkio haurrari. a)

95 350

c)

28 72

b)

260 600

d)

4 32

5 eta 6 zenbakiak aparte utzita, idatzi arrazoia

5 duten beste bi zenbaki. 6

5x, 6x motako pareak baliozkoak dira, x-k edozein balio izanik ere; esate baterako, 10 eta 12.

003

Kalkulatu x zenbakia, jakinik: a) x da 4rekiko 20 2rekiko bezala. b) 3 da 4rekiko x 8rekiko bezala. c) 9 da x-rekiko x 4rekiko bezala. x 20 → x = 40 = 4 2 3 x ⎯ →x =6 = b) 4 8 9 x ⎯ → x 2 = 36 → x = ±6 = c) x 4 a)

004

Kalkulatu proportzio bakoitzean falta den gaia. 8 12 = 5 x 8 x = b) 12 6 a)

224

4 32 = x 16 x 18 = d) 15 5

x 4 = 25 5 4 x = f) 8 16

c)

e)

a)

8 12 60 15 = → x = = 5 x 8 2

d)

x 18 → x = 54 = 15 5

b)

8 x = → x =4 12 6

e)

x 4 ⎯ → x = 20 = 25 5

c)

4 32 = → x =2 x 16

f)

4 x ⎯ →x =8 = 8 16

917840 _ 0222-0251.qxd

8/2/08

12:53

Página 225

ERANTZUNAK

005

8

4 x = bada, zer balio du x -k? x 100 x 4 = → x 2 = 400 → x = ±20 x 100

006

Kalkulatu a-ren eta c-ren balioa, jakinik

a c = eta a + c = 30 direla. 2 3

a c 3a = → 3a = 2c → c = 2 3 2 3a ⎫⎪⎪ 3a ⎪ = 30 → a = 12, c = 18 2 ⎬⎪ → a + 2 a + c = 30⎪⎪⎭ c =

007

«Kromoen zorro batek 1,50 € balio du.» Adierazi zer magnitude ageri diren enuntziatu horretan. Magnitudeak hauek dira: Kromoen zorroak eta Prezioa.

008

Aldizkari batek 4,20 € balio du. Zuzenki proportzionalak al dira Aldizkari kopurua – Prezioa magnitudeak? Bai, magnitude zuzenki proportzionalak dira.

009

Osatu taula, bi magnitude zuzenki proportzionalen balioak adieraz ditzan. Zenbatekoa da proportzionaltasun-konstantea? 1 10

010

2 20

3 30

4 40

5 50

6 60

7 70

Proportzionaltasunkonstantea 10 da.

Makina batek 800 torloju egiten ditu 5 orduan. Zenbat denbora beharko du makinak 1.000 torloju egiteko? Torlojuak

Orduak

800 5 1.800 ⎯⎯→ 5 ⎪⎫ → 800 ⋅ x = 5 ⋅ 1.000 → = ⎬→ 1.000 ⎯⎯→ x ⎪⎪⎭ 1.000 x 5.000 →x = = 6,25 ordu 800 011

Liburu bat itzultzean, 6 € kobratzen dut orrialdeko. 2.532 € ordaindu badidate, zenbat orrialde itzuli ditut? Orrialdeak

Euroak

⎫⎪ 1 6 2.532 1 ⎯⎯→ 6 = → x = = 422 orrialde ⎬→ ⎯⎯→ x 2.532 ⎭⎪⎪ x 2.532 6

225

917840 _ 0222-0251.qxd

8/2/08

12:53

Página 226

Zenbakizko proportzionaltasuna 012

Familia batek 2,5 litro esne hartzen ditu egunean. Zenbat litro hartzen ditu astean? Esnea

Egunak

2, 5 1 2,5 ⎯⎯→ 1⎪⎫ → 2,5 ⋅ 7 = 1 ⋅ x → x = 17,5 litro = ⎬→ x ⎯⎯→ 7⎪⎪⎭ x 7

013

15 ogi eramateko 3 saski behar baditut, saski batean… ogi eraman ditzaket. Saskiak

Ogiak

3 15 15 3 ⎯⎯→ 15 ⎫⎪ = → x = = 5 ogi ⎬→ 1 ⎯⎯→ x ⎪⎪⎭ 1 x 3

014

Osatu balio alderantziz proportzionalen taula hau: A magnitudea B magnitudea

015

2 12

3 8

4 6

4 6

6 4

Hamazortzi langilek lan bat egin dute 30 egunetan. Osatu taulako balioak. Langileak Egunak

016

1 24

3 180

9 60

18 30

36 15

72 7,5

Alderantziz proportzionalak al dira? a) Abiadura eta erabilitako denbora. b) Pertsona baten adina eta altuera. c) Elektrizitate-kontsumoa eta eguzki-orduak. a) Bai, alderantziz proportzionalak dira. b) Ez dira alderantziz proportzionalak. c) Ez dira alderantziz proportzionalak, kontsumoa ez baita soilik eguzki-orduen araberakoa.

017

Abeltzain batek 20 behiri 60 egunez jaten emateko adina lasto du. Beste 10 behi erosi baditu, zenbat egunerako izango dute jatekoa behiek? Behiak

Egunak

20 x 20 ⎯⎯→ 60⎪⎫ → = ⎬ → Alderantzizko proportzionaltasuna → 30 ⎯⎯→ x ⎪⎪⎭ 30 60 → 20 ⋅ 60 = 30 ⋅ x → x =

226

1.200 = 40 egun 30

917840 _ 0222-0251.qxd

8/2/08

12:53

Página 227

ERANTZUNAK

018

8

18 ¬ /min-ko emaria duen iturri batek 28 ordu behar ditu andel bat betetzeko. Emaria 42 ¬ /min-koa bada, kalkulatu zenbat denbora behar duen. Ebatzi hiruko erregelaren bidez eta batekora murrizteko metodoaren bidez. Hiruko erregelaren bidez: Emaria

Denbora

18 ⎯⎯⎯→ 28 ⎫⎪ 18 x → = ⎬ → Alderantzizko proportzionaltasuna → 42 ⎯⎯⎯→ x ⎪⎪⎭ 42 28 → 18 ⋅ 28 = 42 ⋅ x → x =

504 = 12 ordu 42

Batekora murrizteko metodoaren bidez: Emaria Denbora

18 28

1 x

18 ⋅ 28 = 1 ⋅ x → x = 504 1 ¬ /min-ko emaria badu, 504 minutu behar ditu; emaria 42 ¬ /min-koa bada: 504 : 42 = 12 ordu. 019

Auto batek 8 h-an egiten du ibilbide bat 90 km/h-ko abiaduran. Zenbat denbora behar du 60 km/h-koan? Abiadura

Denbora

90 x 90 ⎯⎯⎯→ 8 ⎫⎪ → = ⎬ → Alderantzizko proportzionaltasuna → 60 ⎯⎯⎯→ x ⎪⎪⎭ 60 8 → 90 ⋅ 8 = 60 ⋅ x → x = 020

70 km/h-an 4 h behar ditut, 12 min-an… egingo dut. Distantzia = 70 km/h ⋅

021

720 = 12 ordu 60

1 h = 14 km egingo ditut 12 min-an. 5

Kalkulatu. a) 420ren % 7 b) 4.000ren % 15 7 ⋅ 420 = 100 15 ⋅ 4.000 b) x = 100 90 ⋅ 1.900 c) x = 100 65 ⋅ 40 = d) x = 100 a) x =

c) 1.900en % 90 d) 40ren % 65 29, 4 = 600 = 1.710 26

227

917840 _ 0222-0251.qxd

8/2/08

12:53

Página 228

Zenbakizko proportzionaltasuna 022

Kalkulatu x, jakinik: a) x-ren % 30 20 dela b) x-ren % 4,5 152 dela c) x-ren % 25 289 dela d) x-ren % 67 725 dela

023

a)

30 ⋅ x 20 ⋅ 100 = 20 ⎯→ x = = 66, 67 100 30

b)

4, 5 ⋅ x 152 ⋅ 100 = 152 → x = = 3.377, 78 100 4, 5

c)

25 ⋅ x 289 ⋅ 100 →x = = 289 ⎯ = 1.156 100 25

d)

67 ⋅ x 725 ⋅ 100 →x = = 725 ⎯ = 1.082, 09 100 67

Talde batek denboraldian jokatutako 32 partiden % 25 galdu ditu. Zenbat partida irabazi ditu? Partiden % 75 irabazi ditu:

024

75 ⋅ 32 = 24 partida. 100

Erantzun galderei. a) Zer ehuneko da 15etik 7? b) Zer ehuneko da 18tik 3? c) Eta zer ehuneko da 125etik 90?

025

a)

x ⋅ 15 7 ⋅ 100 = 7 ⎯→ x = = 46, 67 → % 46,67 da. 100 15

b)

x ⋅ 18 3 ⋅ 100 = 3 ⎯→ x = = 16, 67 ⎯ → % 16,67 da. 100 18

c)

x ⋅ 125 90 ⋅ 100 = 90 → x = = 72 ⎯→ % 72 da. 100 125

Aitorrek soldataren % 22 zergatan gastatzen du. Aurten 25.500 €-ko diru-sarrerak izan baditu, zenbat ordaindu behar du zergatan? Zer kopuru garbi kobratu du? Eragiketak eginez, hau lortuko dugu:

22 ⋅ 25.500 = 5.610 €. 100

Aitorrek 5.610 € ordaindu behar du zergatan. Beraz, hau kobratu du: 25.500 − 5.610 = 19.890 € garbi.

228

917840 _ 0222-0251.qxd

8/2/08

12:53

Página 229

ERANTZUNAK

026

8

Jatetxe baten kartan, % 7ko BEZa ez dago prezioan sartuta. Bezero batek entsalada (3,16 €), mihi-arraina (6,25 €) eta postrea (4,78 €) jan ditu. Zenbat ordaindu beharko du guztira? Prezioa BEZik gabe: 3,16 + 6,25 + 4,78 = 14,19 €. Eragiketak eginez, hau lortuko dugu:

7 ⋅ 14,19 = 0, 99 €. 100

Prezioa: 14,19 + 0,99 = 15,18 €. 027

Karmelek soldataren % 26 janaritan gastatzen du, eta % 35, alokairua ordaintzen. Hilean 1.500 € irabazten baditu, zenbat gastatzen du bakoitzean? Zer ehuneko geratzen zaio sobera? 26 ⋅ 1.500 = 390 € gastatzen du janaritan. 100 35 ⋅ 1.500 = 525 € gastatzen du alokairua ordaintzen. 1.500 €-ren % 35: 100 Beste gastuetarako soldataren 100 − (26 + 35) = % 39 geratzen zaio. 1.500 €-ren % 26:

028

135.000 biztanleko hiri batek biztanleriaren % 8 galdu du azken urteotan. Kalkulatu zenbat biztanle dituen gaur egun. 135.000ren % 8:

8 ⋅ 135.000 = 10.800 biztanle galdu ditu. 100

Gaur egun 135.000 − 10.800 = 124.200 biztanle ditu. 029

Zer prezio du ordenagailu batek, % 18ko beherapena badu eta 900 € ordaindu badut? 90.000 % 100 ⎯⎯⎯→ x ⎪⎫ = 1.097, 56 € ⎬→x = % 82 ⎯⎯⎯→ 900 €⎪⎪⎭ 82

030

Zenbat da x, x-ren % 22 44 bada? 4.400 % 100 ⎯⎯⎯→ x ⎪⎫ = 200 ⎬→x = % 22 ⎯⎯⎯→ 44 ⎪⎪⎭ 22

031

Anek enpresa batean egiten du lan duela 10 urtetik. 235 € kobratu du antzinatasunagatik, soldataren % 15. Zenbatekoa da Jonen soldata, Anek baino % 5 gutxiago irabazten badu? Aneren soldata: 23.500 % 100 ⎯⎯⎯→ x ⎪⎫ = 1.566, 67 € ⎬→x = % 15 ⎯⎯⎯→ 235 € ⎪⎪⎭ 15 Jonen soldata: 1.566, 67 ⋅ 95 % 100 ⎯⎯⎯→ 1.566,67 €⎫⎪ = 148.833,33 € ⎬→x = x % 95 ⎯⎯⎯→ 100 ⎭⎪⎪

229

917840 _ 0222-0251.qxd

8/2/08

12:53

Página 230

Zenbakizko proportzionaltasuna 032

Sararen hileko saria 50 €-koa da. Gurasoek % 10 handitu badiote, zenbat ematen diote orain? Lehen

Orain

% 100 ⎯⎯→ % 110⎪⎫ ⎬ → 100 ⋅ x = 50 ⋅ 110 → x = 55 € 150 ⎯⎯→ x ⎭⎪⎪ 033

Andoniri 90 €-ko isuna jarri diote, azkarregi gidatzeagatik. Borondatez ordaintzeko epea amaitzean, % 20 handitu diote isuna. Zenbat ordaindu beharko du?

Lehen

Orain

% 100 ⎯⎯→ % 120 ⎫⎪ ⎬ → 100 ⋅ x = 90 ⋅ 120 → x = 108 € ⎪⎪⎭ 190 ⎯⎯→ x 034

Zapatagile batek zapatak egiteak dakarkion kostuaren % 120an saltzen ditu zapatak. Zapata batzuk egitea 14 € kostatu bazaio, zenbatean salduko ditu?

% 100 ⎯⎯→ 14 € ⎪⎫ 120 ⋅ 14 = 16,80 € ⎬→x = % 120 ⎯⎯→ x ⎪⎪⎭ 100 035

Gizarte Segurantzak zenbait sendagairen % 60 ordaintzen du. Gizarte Segurantzaren laguntza duen sendagai bat erosi badut, publikoarentzako salmenta-prezioa 19 €-koa duena, zenbat ordaindu behar izan dut? % 100 ⎯⎯→ 19 € ⎪⎫ 40 ⋅ 19 = 7,60 € ⎬→x = % 40 ⎯⎯→ x 100 ⎭⎪⎪

230

917840 _ 0222-0251.qxd

8/2/08

12:53

Página 231

ERANTZUNAK

8

ARIKETAK 036 ●

4 ¬ ardo dituen ontzi bati 0,4 ¬ ur gehitu zaizkio. Kalkulatu ardoaren eta uraren arteko arrazoia. Arrazoia hau da:

4 ¬ ardo = 10. 0,4 ¬ ur

Arrazoia 10 bada, 10 ¬ ardoko 1 ¬ ur dago. 037 ●

Batez beste 8 ordu egiten dugu lo egunean. Zenbatekoa da lotan pasatzen dugun denboraren eta denbora osoaren arteko arrazoia? Zenbat denbora pasatu duzu lotan, batez beste, gaur arte?

Arrazoia hau da:

8 1 = . 24 3

Batez besteko denbora adina (egunetan) bider 8 da. 038 ●

039 ●

Adierazi aurreko arrazoia kasu hauetarako: a) Esna pasatutako denbora eta denbora osoa. b) Lotan pasatutako denbora eta esna pasatutakoa. c) Denbora osoa eta lotan pasatutako denbora. 2 1 3 a) b) c) 3 2 1 Herri batean, 500 biztanletik 300 emakumeak dira. Kalkulatu gizonen eta emakumeen arteko arrazoia. Herrian 500 − 300 = 200 gizon daude. Gizonen eta emakumeen arteko arrazoia hau da:

040 ●

2 . 3

Aztertu zuzenak diren ala ez arrazoiak. 10 16 5 8 = = a) b) 4 6,4 2 3,2 Muturren biderkadura eta erdien biderkadura berdinak diren ala ez aztertu behar da. a) 10 ⋅ 6,4 = 64; 4 ⋅ 16 = 64 → Zuzena da. b) 5 ⋅ 3,2 = 16; 2 ⋅ 8 = 16 ⎯⎯→ Zuzena da.

231

917840 _ 0222-0251.qxd

8/2/08

12:53

Página 232

Zenbakizko proportzionaltasuna 041 ●

Osatu proportzioak, berdintzetatik abiatuta. a) 5 ⋅ 8 = 20 ⋅ 2 b) 7 ⋅ 4 = 14 ⋅ 2 5 20 7 b) 7 ⋅ 4 = 14 ⋅ 2 → 14 5 c) 5 ⋅ 8 = 10 ⋅ 4 → 10 6 d) 6 ⋅ 5 = 15 ⋅ 2 → 15 a) 5 ⋅ 8 = 20 ⋅ 2 →

042

c) 5 ⋅ 8 = 10 ⋅ 4 d) 6 ⋅ 5 = 15 ⋅ 2 2 ; 8 2 = ; 4 4 = ; 8 2 = ; 5 =

8 20 4 14 8 10 5 15

2 5 2 = 7 4 = 5 2 = 6 =

Egiaztatu 422 = 12 ⋅ 147 dela eta ondorioztatu proportzio bat.

●●

12 ⋅ 147 = 1.764 → 422 = 12 ⋅ 147

422 = 1.764 Proportzio bat hau da:

42 147 = ; muturrak 42 eta 42 dira, eta 12 42

erdiak, 12 eta 147. 043 ●●●

A eta B taldeen artean, irabazteko probabilitateen arteko arrazoia 5 da. Zer adierazten du arrazoi 3 horrek? Kalkula al dezakezu, ehunekotan, A -k irabazteko aukera? Eta B -k irabaztekoa? Arrazoi horrek esan nahi du, 8 partidatik, A-k 5 irabazten dituela, eta B-k, 3. Partida A-k irabazteko aukera % 62,5ekoa da, eta B-k irabaztekoa, % 37,5 ekoa.

044 ●

Kalkulatu x beheko proportzioetan. x 3 4 5 = = a) b) 4 1 x 3 a) x =

045

4⋅3 = 12 1

b) x =

c) 4⋅3 = 2,4 5

2,4 8 = 1,5 x c) x =

Kalkulatu zer balio duten a-k, b-k eta c-k proportzio hauetan:

●●

1, 5 ⋅ 8 =5 2, 4

3 18 b c = = = . 5 a 25 12

Arrazoi bat jakinik, proportzioak osatuko ditugu: 5 ⋅ 18 3 18 = = 30 →a= 3 5 a 3 ⋅ 25 3 b = = 15 →b= 5 5 25

232

3 ⋅ 12 3 c →c= = 7,2 = 5 5 12

917840 _ 0222-0251.qxd

8/2/08

12:53

Página 233

ERANTZUNAK

046 ●

8

Kalkulatu falta den gaia, zenbakien multzo bakoitza proportzio bat izateko. a) 24, 51 eta 104

b) 5, 6 eta 40

c) 3, 5 eta 12

24 104 51 ⋅ 104 = →x= = 221 51 x 24 5 40 6 ⋅ 40 = = 48 b) ⎯→ x = 6 x 5 3 12 5 ⋅ 12 = ⎯→ x = = 20 c) 5 x 3 a)

047

EGIN HONELA NOLA KALKULATZEN DIRA PROPORTZIO BATEN ERDIAK EDO MUTURRAK, BERDINAK BADIRA? 16 x = Kalkulatu x proportzio honetan: . x 4 LEHENA.

Oinarrizko propietatea aplikatu behar da. x 16 = → 16 ⋅ 4 = x ⋅ x → x 2 = 64 x 4

BIGARRENA.

Lortutako ekuazioa ebatzi behar da. x 2 = 64 → x =

Beraz, proportzioa hau da:

048

64 = 8

16 8 = . 8 4

Kalkulatu bina zenbaki berdin, zenbaki pare hauekin proportzioa osatzen dutenak:

●●

a) 4 eta 49

b) 1 eta 0,64

c)

3 27 eta 5 20

x 49 = ⎯→ x 2 = 4 ⋅ 49 = 196 → x = 14 4 x x 0, 64 = b) → x 2 = 1 ⋅ 0,64 = 0,64 → x = 0,8 1 x 27 x 3 27 81 9 20 c) = → x2 = ⋅ = → x = x 5 20 100 10 3 a)

5 049 ●●

Kalkulatu x-ren balioa proportzio honetan:

3+ x 15 = . 5 + 20 70

3+x 15 → (3 + x) ⋅ 70 = 25 ⋅ 15 → 210 + 70x = 375 → = 5 + 20 70 → 70x = 375 − 210 → 70x = 165 → x =

165 = 2,36 70

233

917840 _ 0222-0251.qxd

8/2/08

12:53

Página 234

Zenbakizko proportzionaltasuna 050 ●●

a 16 8 = Kalkulatu a eta b, kontuan hartuta dela, eta , 45 b 9 proportzionaltasun-konstantea. a 16 8 = = → a = 40, b = 18 45 b 9

051

Kalkulatu a eta b, jakinik a + b = 15 dela eta

●●

052

7 28 = . a b

a + b = 15⎪⎫⎪ a + b = 15⎪⎫⎪ ⎪ ⎬ → a + 4a = 15 → a = 3, b = 12 7 28 ⎬⎪ → = b = 4a ⎪⎪⎭ ⎪⎪ a b ⎭ Bi zenbakiren arteko arrazoia 2,25 da, eta batura, 65. Kalkulatu zer zenbaki diren.

●●●

a + b = 65⎫⎪⎪ ⎪ → a + b = 65⎪⎫⎪ → 2, 25b + b = 65 → b = 20, a = 45 ⎬ ⎬ a = 2, 25 ⎪⎪ a = 2, 25b ⎪⎪⎭ ⎪ b ⎭ Zenbakiak 45 eta 20 dira.

053 ●●

Adierazi zuzenki proportzionalak diren ala ez magnitude pare hauek: a) b) c) d) e) f) g) h)

Botila bat betetzeko behar den denbora eta barruko ur kantitatea. Txango bateko lagun kopurua eta ordaindu beharreko dirua. Lan egindako orduak eta kobratutako dirua. Pertsona baten adina eta pisua. Karratu baten aldea eta azalera. Karratu baten aldea eta perimetroa. Langile kopurua eta lanaren iraupena. Abiadura eta denbora, abiadura konstantea duen mugimendu batean. Hauek dira zuzenki proportzionalak: c) eta f).

054 ●●

Aztertu ea magnitude proportzionalei dagozkien taulak diren ala ez. a)

3 5

9 15

6 10

30 50

c)

2 4

5 10

3 6

10 20

b)

1 3

2 3

4 6

5 9

d)

3 4

9 16

15 20

6 8

a)

3 9 6 30 = = = 5 15 10 50

c)

2 5 3 10 = = = 4 10 6 20

b)

1 2 ⫽ 3 3

d)

3 9 ⫽ 4 16

Hauek dira zuzenki proportzionalak: a) eta c). Ez direnak: b) eta d).

234

917840 _ 0222-0251.qxd

8/2/08

12:53

Página 235

ERANTZUNAK

055

8

Osatu taula eta kalkulatu, kasu bakoitzean, proportzionaltasun zuzeneko konstantea.

●

a) Denbora Irakurritako orriak

5 min 2

10 min 4

15 min 6

20 min 8

Proportzionaltasun-konstantea 2,5 da. b) Fabrikazio-denbora

18 min 4

Egindako objektuak

36 min 8

54 min 12

72 min 16

Proportzionaltasun-konstantea 4,5 da.

056 ●●

057 ●●

Osatu beheko taulak, kontuan hartuta A-k eta B-k magnitude zuzenki proportzionalak adierazten dituztela. Kalkulatu, kasu bakoitzean, proportzionaltasun zuzeneko konstantea. a)

A B

2 7

5 17,5

9 31,5

17 59,5

Konstantea hau da:

2 = 0, 29. 7

b)

A B

5 2,22

7 3,11

9 4

16 7,11

Konstantea hau da:

9 = 2, 25. 4

c)

A B

2 0,91

3 1,36

6 2,73

11 5

Konstantea hau da:

11 = 2, 2. 5

d)

A B

3 6,75

4 9

Konstantea hau da:

4 = 0, 44. 9

10 13 22,5 29,25

Aztertu ea proportzionaltasun-erlaziorik badagoen magnitude pareen artean, eta baldin badago, ea zuzena ala alderantzizkoa den. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)

Abiadura eta denbora, abiadura konstantea duen mugimendu batean. Espazioa eta denbora, abiadura konstantea duen mugimendu batean. Tarta bat zenbat lagunen artean banatu den eta bakoitzari egokitutako zatia. Ikasle batek telebista ikusten ematen dituen orduak eta ikasten ematen dituenak. Familia batek aurrezten duen diru kopurua eta gastuetarako erabiltzen duena. Irakasgai bat gainditu dutenen kopurua eta gainditu ez dutenena. Igeltsero kopurua eta horma bat egiteko behar duten denbora. Jaten ari den lagun kopurua eta janari kopurua. Opari bat erosteko dirua jarri duen lagun kopurua eta bakoitzak jarritako dirua. Jornalari kopurua eta olibak biltzeko behar duten denbora. Proportzionaltasun zuzena: b) eta h). Alderantzizko proportzionaltasuna: a), c), g), i) eta j). Proportzionaltasunik ez dutenak: d), e) eta f).

235

917840 _ 0222-0251.qxd

8/2/08

12:53

Página 236

Zenbakizko proportzionaltasuna 058 ●

Osatu beheko taulak, kontuan hartuta A-k eta B-k magnitude alderantziz proportzionalak adierazten dituztela. Kalkulatu, kasu bakoitzean, proportzionaltasun-konstantea. a)

A B

6 90

5 108

30 18

10 54

Proportzionaltasun-konstantea 540 da. b)

A B

2 150

6 50

15 20

4 75

Proportzionaltasun-konstantea 300 da. 059 ●●

Egin balio-taula bana, proportzionaltasun-konstante hauek dituzten bina magnitude alderantziz proportzional lotzeko: a) 36

060 ●●

061 ●

b) 48

c) 60

a)

A B

2 18

3 12

4 9

6 6

b)

A B

2 24

6 8

8 6

12 4

c)

A B

3 20

4 15

5 12

6 10

d)

A B

2 70

5 28

7 20

10 14

d) 140

Zuzendu taulak, jakinik A eta B magnitude alderantziz proportzionalak direla. a)

A B

2 8

4 4

8 2

16 1

1,6 10

6,4 2,5

b)

A B

10 5

15 3,33

20 2,5

25 2

30 1,67

35 1,43

Auto-fabrika batean 380 auto egiten dituzte 5 orduan. Zenbat auto egingo dituzte 12 orduan, erritmo berari eutsiz gero? Orduak

Autoak

5 380 4.560 5 ⎯⎯⎯→ 380 ⎪⎫ = → x = = 912 auto ⎬→ 12 ⎯⎯⎯→ x ⎪⎪⎭ 12 x 5 062 ●

Pintore batek 425 € kobratzen du 5 eguneko lana. Zenbat kobratuko du 7 egunekoa? Egunak

Prezioa

5 425 2.975 5 ⎯⎯⎯→ 425 ⎪⎫ = → x = = 595 € ⎬→ 7 ⎯⎯⎯→ x ⎭⎪⎪ 7 x 5

236

917840 _ 0222-0251.qxd

8/2/08

12:53

Página 237

ERANTZUNAK

063 ●

8

Lau traktorek 6 orduan erein dute lur-sail bat. Kalkulatu zenbat denbora beharko duten 6 traktorek. Traktoreak

Orduak

4 ⎯⎯⎯→ 6 ⎪⎫ ⎬ → 4 ⋅ 6 = 6 ⋅ x → x = 4 ordu 6 ⎯⎯⎯→ x ⎪⎭⎪ 064 ●

Zortzi lagunek baratze bateko fruituak bildu dituzte 9 orduan. Zenbat denbora beharko dute 6 lagunek?

Lagunak

Orduak

8 ⎯⎯⎯→ 9 ⎫⎪ ⎬ → 8 ⋅ 9 = 6 ⋅ x → x = 12 ordu 6 ⎯⎯⎯→ x ⎪⎪⎭ 065 ●

Iturburu batean, 4 minutuan 200 litro ur jaso ditugu. Zenbat litro ur jasoko ditugu 7 minutuan? Litroak

Minutuak

200 4 200 ⋅ 7 200 ⎯⎯⎯→ 4⎪⎫ = →x= = 350 litro ⎬→ x ⎯⎯⎯→ 7⎭⎪⎪ x 7 4 066 ●

Hiru zaldik belar-zama bat jaten dute 10 egunean. Zenbat denbora iraungo die zama berak 5 zaldiri? Zaldiak

Egunak

3 ⎯⎯⎯→ 10 ⎫⎪ ⎬ → 3 ⋅ 10 = 5 ⋅ x → x = 6 egun 5 ⎯⎯⎯→ x ⎪⎪⎭ 067 ●

Lau hondeagailuk kale bateko espaloiak egin dituzte 14 egunean. 7 egunean egiteko, zenbat hondeagailu behar dira? Hondeagailuak

Egunak

4 ⎯⎯⎯→ 14 ⎪⎫ ⎬ → 4 ⋅ 14 = 7 ⋅ x → x = 8 hondeagailu x ⎯⎯⎯→ 7 ⎭⎪⎪

237

917840 _ 0222-0251.qxd

8/2/08

12:53

Página 238

Zenbakizko proportzionaltasuna 068 ●●

Bi alkandora egiteko 4,5 m oihal behar dira. a) Zenbat oihal behar da 3 egiteko? b) Eta 7 alkandora egiteko? c) Zenbat alkandora egin daitezke 15 m oihalekin? Oihala a) Alkandorak ⎯⎯⎯→ 2 4, 5 13, 5 2 4,5 ⎫⎪ = → x = = 6,75 m ⎬→ 3 ⎯⎯⎯→ x ⎪⎪⎭ 3 x 2 Oihala b) Alkandorak ⎯⎯⎯→ 2 4, 5 31, 5 2 4,5 ⎫⎪ = → x = = 15,75 m ⎬→ 7 ⎯⎯⎯→ x ⎪⎪⎭ 7 x 2 Oihala c) Alkandorak 2 4, 5 30 2 ⎯⎯⎯→ 4,5 ⎫⎪ = → x = = 6,67 ≈ 6 alkandora ⎬→ x ⎯⎯⎯→ 15 ⎪⎪⎭ x 15 4, 5

069 ●●

20 korapiloko abiaduran, itsasontzi batek 8 orduan egiten du ibilbide bat. Kalkulatu ibilbide bera 6 ordu eta erdian egiten duen beste itsasontzi baten abiadura. Korapiloak

Orduak

20 ⎯⎯⎯→ 8 ⎫⎪ ⎬ → 20 ⋅ 8 = x ⋅ 6,5 → x = 24,62 korapilo x ⎯⎯⎯→ 6,5 ⎪⎪⎭ 070 ●●

Paella bat egiteko, 2 edalontzi ur behar dira arroz edalontzi bakoitzeko. 4 edalontzi eta erdi ur erabili baditugu, zenbat edalontzi arroz erantsi behar ditugu?

errezeta

Ura

Arroza

2 1 4, 5 2 ⎯⎯⎯→ 1 ⎫⎪ = → x = = 2,25 edalontzi arroz ⎬→ 4,5 ⎯⎯⎯→ x ⎪⎪⎭ 4, 5 x 2 071 ●●

Nire ilea 1 cm hazten da 3 astean. Adierazi arrazoi gisa. Idatzi nire ileak 7 astean izango duen hazkundearen proportzioa. Arrazoia

238

1 x 1⋅ 7 1  cm. = → x = = 2,3 da, eta proportzioa, 3 7 3 3

917840 _ 0222-0251.qxd

8/2/08

12:53

Página 239

ERANTZUNAK

072 ●●

8

Ane eta Andoni propaganda banatzen ari dira. Aneren 5 paketeek 6 kiloko pisua dute. Zer pisu dute Andoniren 7 paketeek? Magnitude zuzenki proportzionalak dira: 6 x 6⋅7 = → x = = 8, 4 kilo 5 7 5

073 ●●

Ostatu bateko jabeak 18 apopilori 12 egunez jaten emateko adina janari du. Beste 6 apopilo iritsi badira, zenbat egunerako janaria izango du? Apopiloak

Egunak

18 ⎯⎯⎯→ 12 ⎫⎪ ⎬ → 18 ⋅ 12 = 24 ⋅ x → x = 9 egun 24 ⎯⎯⎯→ x ⎪⎪⎭ 074 ●●

Anek bi orrialde eta erdi idazten ditu ordu-erdian. a) Zenbat orrialde idatziko ditu 3 orduan? b) Zenbat denbora behar du 84 orrialde idazteko? Orrialdeak

Orduak

2 0, 5 6 2 ⎯⎯⎯→ 0,5 ⎪⎫ = → x = = 12 orrialde ⎬→ x ⎯⎯⎯→ 3 ⎭⎪⎪ x 3 0, 5 Orrialdeak

Orduak

2 0, 5 42 2 ⎯⎯⎯→ 0,5 ⎪⎫ = → x = = 21 ordu ⎬→ 84 ⎯⎯⎯→ x ⎭⎪⎪ 84 x 2

075

EGIN HONELA NOLA EBAZTEN DIRA ENGRANAJEEN PROBLEMAK? Antzinako erloju batean, engranaje batek bi gurpil ditu, 18 eta 12 hortzakoak, hurrenez hurren. Gurpil handiak 6 bira ematen baditu, kalkulatu zenbat ematen dituen txikiak. LEHENA. Magnitudeen artean zer-nolako proportzionaltasuna dagoen aztertu behar da.

→ 6 bira 18 hortzakoak ⎯⎯

36 hortzakoak ⎯⎯→ 3 bira

Alderantziz proportzionalak dira. BIGARRENA.

Hortzak

Hiruko erregela planteatu behar da. Birak

18 ⎯⎯⎯ →6 12 ⎯⎯⎯ →x

⎪⎫ alderantzizko ar. 18 ⋅ 6 =9 ⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯→ x = ⎪⎪⎭ 12

12 hortzako gurpilak 9 bira emango ditu.

239

917840 _ 0222-0251.qxd

8/2/08

12:53

Página 240

Zenbakizko proportzionaltasuna 076 ●●

Bi gurpil horzdunek engranaje bat osatzen dute. Lehenak 20 hortza ditu, eta bigarrenak, 50. Lehen gurpilak 5.000 bira eman baditu, zenbat bira eman ditu bigarrenak? Hortzak

Birak

20 ⋅ 5.000 20 ⎯⎯⎯→ 5.000 ⎫⎪ = 2.000 bira ⎬→x= x ⎪⎪⎭ 50 ⎯⎯⎯→ 50 077 ●●

Auto baten atzeko eta aurreko gurpilek 1,3 m-ko eta 1 m-eko diametroa dute, hurrenez hurren. Atzekoek 260 bira eman badituzte, zenbat bira eman dituzte aurrekoek? Metroak

Birak

1, 3 ⋅ 260 1,3 ⎯⎯⎯→ 260 ⎪⎫ = 338 bira ⎬→x= ,01 ⎯⎯⎯→ x ⎪⎪⎭ 1 078 ●●

Igerilekuko udako abonamendua 60 € ordaindu dut, baina 45 egunetan soilik joan naiteke. Egun bateko sarrera arruntak 1,25 € balio badu, dirurik aurreztuko al dut? Abonamendurik gabe: 1,25 ⋅ 45 = 56,25 €. Beraz, ez dut dirurik aurreztuko.

079 ●●

Beheko taulan, erostetxe handi batean esnea erostean egiten duten eskaintza bat ageri da. Zuzenki proportzionalak al dira erositako litroak eta oparitutakoak? Erositako litroak Oparitutako litroak

40 1

55 2

75 3

100 5

40 55 → Ez dira zuzenki proportzionalak. ⫽ 1 2 080 ●●

Beheko taulan, fruta-denda batean patatak erostean egiten duten eskaintza bat ageri da. Zuzenki proportzionalak al dira erositako kiloak eta oparitutakoak? Erositako kiloak Oparitutako kiloak

20 1,5

40 3

60 4,5

80 6

Zenbat kilo patata erosi behar dira 10,5 kg opari diezazkiguten? 20 40 60 80 = = = → Zuzenki proportzionalak dira. 1, 5 3 4, 5 6 Erositakoak

Oparitutakoak

20 1, 5 20 ⎯⎯⎯⎯→ 1,5 ⎫⎪ = → x = 140 kg ⎬ → x ⎯⎯⎯⎯→ 10,5 ⎪⎭⎪ x 10, 5

240

917840 _ 0222-0251.qxd

8/2/08

12:53

Página 241

ERANTZUNAK

081 ●●

8

Lasterketa-auto batek zirkuitu bati 5 bira eman dizkio 8 minutu eta 30 segundoan. Abiadura berari eusten badio, zenbat denbora beharko du hurrengo 3 birak emateko?

Birak

Minutuak

5 ⎯⎯⎯→ 8,5 ⎫⎪ 5 8, 5 → x = 5,1 minutu = ⎬ → 3 ⎯⎯⎯→ x ⎪⎪⎭ 3 x

082

EGIN HONELA NOLA EBAZTEN DIRA HIGIKARIEN PROBLEMAK? Oinezko bat eta txirrindulari bat bide beretik doaz. Oinezkoa 4 km/h-ko abiaduran doa, eta txirrindularia, 20 km/h-koan. a) Elkarrengandik 12 km-ra dauden bi puntutatik atera badira aurkako noranzkoan, zenbat denbora behar dute topo egiteko? 4 km/h

20 km/h F

G

12 km

b) Puntu beretik atera badira eta ibiltariak 4 km-ko abantaila badu, zenbat denbora behar du txirrindulariak hura harrapatzeko? 20 km/h

4 km/h F

F

4 km

LEHENA. Abiaduren batuketa ala kenketa egin behar da, aurkako noranzkoan edo berean doazen. a) TOPO EGITEKO ABIADURA = 20 + 4 = 24 km/h b) HARRAPATZEKO ABIADURA = 20 − 4 = 16 km/h BIGARRENA. Bien arteko distantziaren eta elkarrengana hurbiltzen diren abiaduraren arteko arrazoia denbora, t, da.

a) t =

distantzia 12 = = 0,5 h topo egiteko. abiadura 24

b) t =

distantzia 4 = = 0,25 h harrapatzeko. abiadura 16

241

917840 _ 0222-0251.qxd

8/2/08

12:53

Página 242

Zenbakizko proportzionaltasuna 083 ●●

Mendigainetik goizeko 12etan atera da autobusa Mendiperantz. Ordubete eta hamar minutu geroago, auto bat atera da Mendigainetik Mendiperantz. Autobusa 80 km/h-an badabil eta autoa 95 km/h-an:

a) Zenbat denbora behar du autoak autobusa harrapatzeko? b) Bi hirien arteko distantzia 146 km-koa bada, harrapatuko al du autoak autobusa Mendipera iritsi baino lehen? Autoa Mendigainetik atera denean, autobusak distantzia hau du egina: 1 h 10 min ⋅ 80 km/h = 93,33 km. Harrapatzeko abiadura hau da: 95 − 80 = 15 km/h. a) t =

93, 33 = 6, 22 ordu behar ditu harrapatzeko. 15

b) Autobusak denbora hau behar du Mendipera iristeko: 146 t = = 1, 825 ordu; beraz, autoak harrapatu baino lehenago iritsiko 80 da autobusa.

084 ●●

Iturri batek 25 ¬ /min-ko emaria du eta ur-andel bat 1 ordu eta 20 minutuan bete du. Zenbat denbora beharko du 20 ¬ /min-ko emaria duen beste iturri batek ur-andela betetzeko? Emaria

Denbora

25 ⎯⎯⎯→ 80 ⎫⎪ ⎬ → 25 ⋅ 80 = 20 ⋅ x → x = 100 minutu 20 ⎯⎯⎯→ x ⎪⎪⎭

085 ●●

Bainuontzi batean, ura 12 cm-ko altuerara iristen da 12 minutuan, emaria 180 ml/s-koa izanda. Emaria 90 ml/s-koa balitz, zer altuerara iritsiko litzateke denbora berean? Emaria

Altuera

180 90 180 ⎯⎯⎯→ 12 ⎪⎫ = → x = 6 cm ⎬→ 90 ⎯⎯⎯→ x ⎭⎪⎪ 12 x

242

917840 _ 0222-0251.qxd

8/2/08

12:53

Página 243

ERANTZUNAK

086

8

EGIN HONELA NOLA EBAZTEN DIRA BETETZE- ETA HUSTE-PROBLEMAK? A iturriak 36 orduan betetzen du igerileku bat, eta B iturriak, 24 orduan. Bi iturriak batera zabaldu baditugu, zenbat denboran beteko da igerilekua? LEHENA.

Iturri bakoitza batekora murriztu behar da.

⎪⎫ 1 zati⎪⎪ ⎪ 36 ⎬ ⎪ 1 zati⎪⎪ B iturriak, ordubetean: ⎪⎪⎭ 24 A iturriak, ordubetean:

A eta B iturriek ordubetean igerilekuaren: 1 1 5 + = betetzen dute 36 24 72 BIGARRENA.

Bi iturriak batekora murriztu behar dira.

5 1 1 orduan → igerileku zati ordubetean → igerileku zati 72 72 5 72 1 → igerileku zati 72 ⋅ = 14 h 24 min -an 72 5 Bi iturriek 14 h 24 min-an beteko dute igerilekua.

087 ●●●

Igerileku batek bi hustubide ditu. Lehenengoak 8 orduan husten du igerilekua. Bigarrenak, berriz, 6 orduan husten du. Zenbat denboran hustuko da igerilekua bi hustubideak irekiz gero?

1 husten du ordubetean. 8 1 B hustubideak igerilekuaren husten du ordubetean. 6 1 1 7 + = Bi hustubideek igerilekuaren husten dute ordubetean. 6 8 24 7 = 3 h 25 min 43 s. Husteko denbora: 1 : 24 A hustubideak igerilekuaren

243

917840 _ 0222-0251.qxd

8/2/08

12:53

Página 244

Zenbakizko proportzionaltasuna 088 ●●●

Bi hustubide berdini esker, 4 ordu eta laurdenean husten da putzu bat. Zenbat denboran hustuko da hiru hustubide irekiz gero? Denbora minututan adieraziko dugu: 4 ordu eta erdi = 4 ⋅ 60 + 15 = 255 minutu Hustubideak Minutuak

2 ⋅ 255 2 ⎯⎯⎯→ 255 ⎪⎫ = 170 minutu ⎬→x= 3 ⎯⎯⎯→ x ⎪⎪⎭ 3

089 ●●●

Iturri batek 8 orduan betetzen du putzu bat. Matxura baten ondorioz, iturriak emariaren 2/3 soilik isurtzen du. Putzua betetzeko oraindik putzuaren 3/4 falta dira. Zenbat denboran beteko du iturriak putzua? Orduak

Emaria

3 3 ⎫⎪ 8⋅ ⎪⎪ 3 3 ⎪⎬ → x = = 12 ordu 2 ⎪⎪ 2 ⎪⎪ x ⎯⎯⎯→ 3 ⎪⎭ 3 8 ⎯⎯⎯→

Orduak

Putzua

12 ⎯⎯⎯→ 1 ⎪⎫ ⎪ 3 = 9 ordu 3 ⎪⎬ → x = 12 ⋅ ⎪ 4 ⎯⎯⎯→ x ⎪ 4 ⎪⎭ 090 ●●●

Arkitekto batek eraikin bat urte eta erdian amaituko duela aurreikusi du, 36 langileren laguntzaz. Urte-erdiko luzapena eman badiote, zenbat langile bazter ditzake?

Langileak

Urteak

36 ⋅ 15 36 ⎯⎯⎯→ 1,5 ⎫⎪ = 27 langile ⎬→x= x ⎯⎯⎯→ 2 ⎪⎪⎭ 2 Beraz, 36 − 27 = 9 langile bazter ditzake.

244

917840 _ 0222-0251.qxd

8/2/08

12:53

Página 245

ERANTZUNAK

091 ●

8

Afrikako herrixka batek 2.350 biztanle ditu. % 68 haurrak badira, kalkulatu zenbat haur bizi diren herrixkan. 2.350en % 68 = 1.598 haur bizi dira herrixkan.

092 ●

30 ikasleko ikasgela batean, 6 ez dira etorri. Zenbatekoa da etorri ez direnen ehunekoa? 30en % 20 6 badira, ikasleen % 20 ez dira etorri.

093 ●

475 pertsonatik, 76ri futbola gustatzen zaie. Pertsonen zer ehunekori ez zaio gustatzen futbola?

399 pertsonari ez zaie gustatzen futbola; hots, % 84ri.

094 ●

Urazen uztaren % 18 10.800 kg dira. Zenbat kilo dira uzta osoa? Uzta osoa:

095

Traje batek 280 € balio du. Prezioa % 12 igo badute, zenbat balioko du?

●

Prezioa:

096 ●

18 ⋅ 10.800 = 1.944 kg. 100

280 ⋅ 112 = 313, 60 €. 100

Autonomia-erkidego bateko ur-erreserbak 350 hm3-koak ziren. % 12 handitu badira, zenbatekoak dira gaur egungo ur-erreserbak? Gaur egungo ur-erreserbak:

350 ⋅ 112 = 392 hm3 . 100

245

917840 _ 0222-0251.qxd

8/2/08

12:53

Página 246

Zenbakizko proportzionaltasuna 097 ●●

Ikastetxe bateko 1.200 ikasleetatik, % 25ek atletismoa egiten du; % 15ek, saskibaloia; eta % 40k, futbola. Kalkulatu zenbat ikaslek egiten duen kirol bakoitza eta kirolik egiten ez dutenen ehunekoa. 25 ⋅ 1.200 = 300 ikasle 100 15 Saskibaloia: ⋅ 1.200 = 180 ikasle 100 40 Futbola: ⋅ 1.200 = 480 ikasle 100 Atletismoa:

Kirolik egiten ez dutenak: 1.200 − (300 + 180 + 480) = 1.200 − 960 = 240 ikasle x 24.000 = % 20 ⋅ 1.200 = 240 → 1.200x = 24.000 → x = 100 1.200

098 ●●

Hiru mendizalek janaria eraman dute, mendiko egonaldirako. Aterpera iristean, % 15 janari gehiago dutela konturatu dira. 402,5 kg janari badituzte, kalkulatu zenbat janari zuten hasieran. 115 402, 5 ⋅ 100 = 350 kg ⋅ x = 402,5 → x = 100 115

099 ●●

Denda batean, 5 €/kg-an saltzen zuten kafea. Orain 4,75 €/kg-an saltzen badute, kalkulatu zer beherapen egin duten, ehunekotan. ⎛ 100 − x ⎜⎜ ⎜⎝ 100

100 ●●

⎞⎟ ⎟⎟ ⋅ 5 = 4,75 → 500 − 5x = 475 → 500 − 475 = 5x → ⎟⎠ → 25 = 5x → x = % 5eko beherapena

Lamina baten fotokopia egin nahi dugu, altuera 12,5 cm-tik 6 cm-ra murriztuta. Zer txikitze-ehuneko aplikatuko diogu?

12,5 cm

⎛ 100 − x ⎜⎜ ⎜⎝ 100

⎟⎞⎟ ⋅ 12,5 = 6 → ⎟⎟⎠

→ 1.250 − 12,5x = 600 → → 1.250 − 600 = 12,5x → → 650 = 12,5x → x = % 52

% 52ko txikitzea aplikatuko diogu.

246

917840 _ 0222-0251.qxd

8/2/08

12:53

Página 247

ERANTZUNAK

101

8

EGIN HONELA NOLA KALKULATZEN DA INBERTSIO BATEN AMAIERAKO KOPURUA? Bankuan 3.000 € sartu ditugu, urteko % 5eko korrituarekin. Zenbat diru izango dugu 10 urte barru? LEHENA.

Urteko irabazia kalkulatu behar da. 5 = 150 € Urteko irabazia = 3.000 ⋅ 100

BIGARRENA.

Urteko irabazia inbertsioaren urte kopuruaz biderkatu

behar da. Irabazia = 150 ⋅ 10 = 1.500 € HIRUGARRENA.

Irabaziak hasierako kopuruari batu behar zaizkio.

Amaierako kopurua = 3.000 + 1.500 = 4.500 € 10 urte barru 4.500 € izango ditugu.

102 ●●●

Kalkulatu amaierako kapitala 6 urteren buruan, kopuru hauek inbertituz gero: a) 10.000 €, urteko % 3,5ean. b) 5.000 €, urteko % 4an. a) Urteko irabazia = 10.000 ⋅

3, 5 = 350 € 100

Irabazia = 350 ⋅ 6 = 2.100 € Amaierako kapitala = 10.000 + 2.100 = 12.100 € b) Urteko irabazia = 5.000 ⋅

4 = 200 € 100

Irabazia = 200 ⋅ 6 = 1.200 € Amaierako kapitala = 5.000 + 1.200 = 6.200 €

103 ●●●

Zer korriturekin inbertitu dira 12.000 € 3 urterako, 900 €-ko irabazia lortu bada? 3 urteko irabazia 900 €-koa da. Bestalde, honela ere kalkula daiteke: 12.000 ⋅

x ⋅ 3 = 360 x 100

360x = 900 → x = 2,5 Dirua % 2,5ean inbertitu da.

247

917840 _ 0222-0251.qxd

8/2/08

12:53

Página 248

Zenbakizko proportzionaltasuna 104 ●●●

Zenbat urterako inbertitu ditugu 15.000 € % 2,8an, 17.100 € lortu baditugu? 2, 8 = 420 € Urteko irabazia = 15.000 ⋅ 100 Irabazia = 350x Amaierako kapitala = 15.000 + 350x = 17.100 € x =

17.100 − 15.000 = 6 urte 350

6 urterako inbertitu dugu dirua. 105 ●●●

Andoni telebista bat erostera joan zenean, irudian ageri dena gertatu zen. Zure ustez, dendaria eta Andoni prezio beraz ari al dira? Prezioari % 12ko BEZa gehitu behar zaio.

Orduan, 1.600 € gehi % 22 ordaindu behar dut.

ESKAINTZA

1.600 € gehi % 10eko ZERGAK

122 = 1.952 € 100 110 112 ⋅ = 1.971, 20 € Saltzailearen prezioa: 1.600 ⋅ 100 100 Andoniren prezioa: 1.600 ⋅

Beraz, prezioak ez dira berdinak. 106 ●●●

Fotokopiagailu batek m fotokopia ateratzen ditu ordubetean. Beste batek ordu eta erdi behar du kopia kopuru bera egiteko. Zenbat minutu beharko dira bi fotokopiagailuen artean m fotokopia egiteko? 1 egiten ditu ordubetean. 1 1 2 = B fotokopiagailuak: fotokopien egiten ditu ordubetean. 1, 5 3 2 5 = Bi fotokopiagailuek batera: fotokopien 1 + egiten dituzte ordubetean. 3 3 3 Bi fotokopiagailuen artean denbora hau behar dute: ordu = 36 minutu 5 fotokopiak egiteko. A fotokopiagailuak: fotokopien

248

917840 _ 0222-0251.qxd

8/2/08

12:53

Página 249

ERANTZUNAK

107 ●●●

8

VIII. mendean, Beda Beneragarria izeneko monje beneditar ingeles batek problema bitxi hau planteatu zuen.

Hilzorian dagoen testamentugile batek hau utzi du jaraunspenean: «Emaztea erditzear dagoenez, jaraunspena haurraren sexuaren arabera banatuko dut: mutila bada, 2/3 haurrarentzat eta 1/3 amarentzat; eta neska bada, 1/3 haurrarentzat eta 2/3 amarentzat». Testamentugilea hil eta egun batzuk geroago, alargunak bikiak izan zituen: mutila eta neska. Nola banatu behar da jaraunspena? Amaren eta mutilaren kopuruen arrazoia hau da: 2 3

=2

1 3 Amaren eta neskaren kopuruen arrazoia hau da: 1 3

=

2 3

1 2

x Amak jasotako kopurua x bada, semearena 2x da, eta alabarena, ; 2 guztira 3,5x da. Beraz, banaketa honela egingo da: Amari dagokiona: Jaraunspenaren

x 2 = 3, 5 x 7

Semeari dagokiona: Jaraunspenaren

2x 4 = 3, 5 x 7

Alabari dagokiona: Jaraunspenaren

0, 5 x 1 = 3, 5 x 7

249

917840 _ 0222-0251.qxd

8/2/08

12:53

Página 250

Zenbakizko proportzionaltasuna EGUNEROKOAN 108 ●●●

Felisa Garcia biologoa anfibioetan aditua da. Igelen talde batean, gaixotasunak nola zabaltzen diren ikertzen ari da. Horretarako, ikusi hutsez igel asko dauden urmael bat bilatu du. Lehenengo lana urmaelean zenbat igel dauden zenbatzea da. Hauxe egingo dut… Urmaelean sare bat jarri eta harrapatutako igelak zenbatuko ditut. Tindagaia erabiliz marka bana egin eta atzera urmaelean utziko ditut. Berriro ere sarea jarri, harrapatutako igelak zenbatu eta tindagaiaren marka zenbatek duten idatziko dut.

Prozesu hori hiru aldiz egin ondoren, emaitza hauek lortu ditu:

A IMENTU 1. ESPER atzea er at . 2 a 1. ateratze 195 igel el 182 ig uta 8 3 markat TUA 2. ESPERIMEN ateratzea 2. a ze at 1. ater 80 igel 96 igel 9 markatuta

3. ESPER IMENTU A 1. ateratz ea 236 igel 2. ateratze a 204 igel 51 marka tuta

Zenbat igel daude urmaelean, gutxi gorabehera? Guztira

Markatuta

⎧⎪ x ⎯⎯⎯→ 182 ⎫⎪ x 182 1. ESPERIMENTUA ⎨ → ⎯ → x ≈ 933 igel = ⎪⎪⎩195 ⎯⎯⎯→ 38 ⎬⎪⎪⎭ 195 38 ⎪⎧ x ⎯⎯⎯⎯→ 96 ⎪⎫ x 96 ⎯⎯ → x ≈ 853 igel = ⎬ ⎯→ ⎩⎪⎪80 ⎯⎯⎯⎯→ 9 ⎪⎪⎭ 80 9

2. ESPERIMENTUA ⎨

⎧⎪ x ⎯⎯⎯→ 236 ⎫⎪ x 236 → → x = 944 igel = ⎪⎪⎩204 ⎯⎯⎯→ 51 ⎬⎭⎪⎪ 204 51

3. ESPERIMENTUA ⎨

Hiru esperimentuen batez bestekoa hau da:

250

933 + 853 + 944 = 910 igel. 3

917840 _ 0222-0251.qxd

8/2/08

12:53

Página 251

ERANTZUNAK

109 ●●●

Ikastetxearen ondoko parkeko zelaigunean futbolean aritzen gara. Zelaigunearen ondoko lur-sail batean loreak daude landatuta. Haiek babesteko, hesi bat eraiki behar dute, egurrezko 800 listoi erabiliz. Listoien artean 15 cm-ko tartea utziko dute.

Listoiak

8

Arazoa da 600 listoi baino ez ditugula… Zer distantzia utzi behar dugu listoien artean, loreen eremua babesteko?

Tartea

800 ⋅ 15 12.000 800 ⎯⎯⎯→ 15 ⎫⎪ = = 20 cm ⎬→x= 600 ⎯⎯⎯→ x ⎪⎪⎭ 600 600 110 ●●●

Aitzolek atletismoa egiten du eta lehiaketako zenbait lasterketatan parte hartu duen arren, iaz egin zuen lehenengo maratoia.

Entrenamendu-plan honi zorrotz jarraituz gero, urtearen amaieran zure abiadura % 25 handituko da.

Aitzoli izugarri gustatu zitzaion eta profesionalki entrenatzea erabaki du. Horretarako, entrenatzaile bat bilatu du. Zer ehunekotan gutxituko du iaz maratoia egiteko behar izan zuen denbora? Entrenatu aurreko denbora: t Entrenatu ondorengo denbora: r Entrenatu aurreko abiadura: v Entrenatu ondorengo abiadura: 1,25v Aurrez

Ondoren

⎫⎪ tv t t ⎯⎯⎯→ r = = 0, 8t ⎬ → t ⋅ v = r ⋅ 1, 25v → r = v ⎯⎯⎯→ 1,25v ⎭⎪⎪ 1, 25v 1, 25 Beraz, denbora % 20an gutxituko du.

251

917840 _ 0252-0283.qxd

9

8/2/08

12:38

Página 252

Proportzionaltasun geometrikoa PROPORTZIONALTASUN GEOMETRIKOA

ZUZENKI PROPORTZIONALAK

TALESEN TEOREMA

TRIANGELUEN ANTZEKOTASUNA

ANTZEKO POLIGONOAK

ESKALAK

252

917840 _ 0252-0283.qxd

8/2/08

12:38

Página 253

Hiri Debekatuko giltza Matteo Ricci misiolari jesuitak Hiri Debekatuko atea zeharkatu zuen, Wan-Li txinatar enperadorearengana joateko. Bidalitako opariek izan zuten bai eragina eta enperadoreak ezagutu egin nahi zuen. Enperadorea oparietako bati begira zegoen, munduko mapa bati begira. Burua altxatu eta kopia bat egiteko agindu zion. Elkarrizketaren ondoren, aita Ricci itzuli zen eta misiolari batek, harrituta, hau esan zion: –Oraindik ez dut ulertzen zergatik egiten zaien hain deigarria mapa. –Logikoa da –erantzun zuen Riccik–. Milaka urtean, mundua Txina baino ez dela uste izan dute, eta hortik kanpo, txinatar kulturari inolako ekarpenik egiteko gaitasunik gabeko barbaroak bizi direla; eta bat-batean, barbaroak ez garela frogatu diegu, eta gainera, zenbait zientziatan aurreratuago gaudela: Matematikan, Astronomian, Geografian… –Horrek eraman ninduen Txinako enperadorearen aurrera –jarraitu zuen aita Riccik–. Mapak atentzioa eman zien, eta paperean adierazteko, neurriak hartu eta eskalak erabiltzen zirela esan nienean, gugandik gauza asko ikas zitzaketela ohartu ziren. 20 km-ko distantziara dauden bi mendi mapan marraztean, tartea 2 cm-koa da. Bi punturen artean 40 km-ko distantzia badago, zer distantzia egongo da mapan bi puntu horien artean?

20

=

40

2 x 20 x = 2 ⋅ 40

20 x = 80 x=

80

20 x=4

Mapako bi puntu horien artean 4 cm daude.

917840 _ 0252-0283.qxd

8/2/08

12:38

Página 254

Proportzionaltasun geometrikoa ARIKETAK 001

Kalkulatu zuzenkien luzera. a) b) a) 4 cm

002

b) 5,5 cm

Marraztu AB eta CD zuzenkiak, 18 eta 24 mm luze direnak, hurrenez hurren. Kalkulatu arrazoia. A

B

C

D

Bi zuzenkien arteko arrazoia haien luzeren zatidura da:

) CD 24 = = 1,3 AB 18 003

Marraztu FG = 3 cm eta MN = 9 cm zuzenkiak. Zenbatekoa da arrazoia? Azaldu emaitzaren esanahia. Bi zuzenkien arteko arrazoia haien luzeren zatidura da: MN 9 = =3 FG 3

MN zuzenkia FG zuzenkia halako 3 da. 004

AB eta CD zuzenkien arteko arrazoia 0,5 da. AB 2 cm luze bada, kalkulatu CD. Marraztu zuzenkiak. AB 2 = = 0,5 → CD = 4 cm CD CD CD zuzenkia AB halako bi da.

005

FG eta MN zuzenkien arteko arrazoia 0,3 da. MN 50 mm luze bada, kalkulatu FG-ren luzera (cm-tan). Marraztu zuzenkiak. FG FG = = 0,3 → FG = 15 mm = 1,5 cm MN 50 FG zuzenkia MN halako hiru da.

006

AB-ren eta CD-ren arteko arrazoia 2 bada, zenbatekoa da CD-ren eta AB -ren artekoa? AB CD =2→ = 0,5 CD AB

CD-ren eta AB-ren arteko arrazoia 0,5 da.

254

917840 _ 0252-0283.qxd

8/2/08

12:38

Página 255

ERANTZUNAK

007

9

Esan proportzionalak diren ala ez zuzenki hauek: a) AB = 18 cm, CD = 30 mm, EF = 30 mm eta GH = 5 mm b) AB = 2,5 cm, CD = 5 cm, EF = 4,5 cm eta GH = 8 cm

008

180 30 = ; beraz, proportzionalak dira. 30 5

b) Arrazoiak alderatuko ditugu:

2,5 4,5 ; beraz, ez dira proportzionalak. ⫽ 5 8

Kalkulatu zuzenki ezezagunaren luzera, proportzio hauetan: a)

009

a) Arrazoiak alderatuko ditugu:

AB 8 = 3 12

b)

5 12 = AB 60

a)

AB 8 = → AB = 2 3 12

b)

5 12 = → AB = 25 AB 60

c)

c)

1 15 = 3 AB

1 15 = → AB = 45 3 AB

AB = 3 cm eta CD = 9 cm zuzenkiak ditugu: a) Kalkulatu AB-ren eta CD-ren arteko arrazoia. b) Idatzi haiekiko proportzionalak diren bi zuzenki. a)

010

) 3 1 = = 0,3 9 3

b) EF = 6 cm, GH = 18 cm

AB eta CD zuzenkien arteko arrazoia a bada, eta EF eta GH zuzenkien artekoa b, zer baldintza bete behar da AB eta CD zuzenkiak EF eta GH -rekiko proportzionalak izateko? Arrazoiek berdinak izan behar dute. Beraz, a = b.

011

Kalkulatu OA' eta BC zuzenkien luzera. C B A O A'

B'

C'

OA = 3 cm AB = 2,25 cm A'B' = 1,5 cm B'C' = 5 cm

OA AB 3 2,25 = → = → OA' = 2 cm OA' A'B' OA' 1,5 OA BC 3 BC = → = → BC = 7,5 cm OA' B'C' 2 5

255

917840 _ 0252-0283.qxd

8/2/08

12:38

Página 256

Proportzionaltasun geometrikoa 012

Kalkulatu OC zuzenkiaren luzera, aurreko ariketako irudian.

OC' = 2 + 1,5 + 5 = 8,5 cm OA OC 3 OC = → = → OC = 12,75 cm OA' OC' 2 8, 5 Osatzen duten hiru zuzenkiak batuta ere kalkula daiteke. 013

Irudi honetan, badakigu OA = 4,7 cm dela, AB = 5 cm eta arrazoia

OA = 1,6. OA'

B A

5 cm

m 4,7 c

O

A'

B'

Kalkulatu A'B', OB eta OB'. OA AB 5 = → 1,6 = → A'B' = 3,125 cm OA' A'B' A'B'

OB = OA + AB = 9,7 cm OA OB 9,7 = → 1,6 = → OB' = 6,0625 cm OA' OB' OB' 014

Banatu 7 cm-ko zuzenki bat grafikoki: a) 5 zati berdinetan.

b) 2 zatitan, bata bestearen erdia dela.

a)

7 cm

b) m 4c m 2c

7 cm

015

Banatu 10 cm-ko luzera duen zuzenki bat 2 cm eta 3 cm-ko bi zuzenkirekiko zati proportzionaletan. Zer luzera dute lortutako zuzenkiek? m 3c m 2c 10 cm

Zuzenkiak 4 cm eta 6 cm luze dira.

256

917840 _ 0252-0283.qxd

8/2/08

12:38

Página 257

ERANTZUNAK

016

9

Erreparatu irudiari. 4

3

cm

cm

1 cm

A

P

Q

B

G

F

10 cm

Zer luzera dute AP, PQ eta QB zuzenkiek? Talesen teorema aplikatuz: AP = 017

5 = 1,25 cm 4

10 AP PQ QB = = = . 8 1 3 4 15 PQ = = 3,75 cm 4

QB = 5 cm

Marraztu Talesen kokapenean dauden hiru triangelu pare. Azaldu nola egin duzun. Triangelu bat marraztu eta alde baten zuzen paraleloa egingo dugu, beste bi aldeak ebakiko dituena. B

B

B B'

A

C A

018

B'

C'

A'

C'

Marraztu Talesen kokapenean ez dauden antzeko triangeluen hiru pare. Azaldu nola egin duzun. B'

B

B

A'

A A

C

A'

C

C' B'

019

C

A

C

A'

C'

B C

C'

A

A'

B'

Talesen kokapenean al daude irudiko bi triangeluak? Kalkulatu EC eta CB baldin: A Triangeluak Talesen AB = 8 cm kokapenean daude; E D izan ere, angelu komun bat ED = 5 cm dute, A$, eta DE eta BC aldeak AC = 6 cm paraleloak dira. B DB = 4 cm C AB AC 8 6 24 = → = → EC = = 3 cm BD EC 4 EC 8 AD AB 4 8 40 = → = → BC = = 10 cm DE BC 5 BC 4

257

917840 _ 0252-0283.qxd

8/2/08

12:38

Página 258

Proportzionaltasun geometrikoa 020

Triangelu baten aldeak 5, 4 eta 8 cm-koak dira, eta beste batenak, 5, 6 eta 8 cm-koak. Aztertu ea antzekoak diren. 4 5 8 Aldeak ez dira proportzionalak: ⫽ ⫽ ; beraz, triangeluak 5 6 8 ez dira antzekoak.

021

Aztertu ea antzekoak diren 8 eta 6 cm-ko katetoak dituen triangelu angeluzuzena eta 4 eta 3 cm-ko katetoak dituen beste bat. Lehen triangeluaren hipotenusa 10 cm-koa da, eta bigarrenarena, 5 cm-koa. Aldeak ez dira proportzionalak:

Aztertu ea antzekoak diren irudiko triangelu isoszeleak eta adierazi aplikatutako irizpidea. a)

F

022

10 8 6 = = ; beraz, triangeluak ez dira antzekoak. 5 4 3

b)

20°

3 cm 5 cm

4,5 cm

80° 7,5 cm

a) Lehen triangeluaren angeluak: 20°, 80° eta 80°. Bigarren triangeluaren angeluak: 80°, 50° eta 50°. Beraz, ez dira antzekoak, aldeak ez direlako berdinak. b) Lehen triangeluaren aldeak: 5 cm, 5 cm eta 3 cm. Bigarren triangeluaren aldeak: 7,5 cm, 7,5 cm eta 4,5 cm. 5 5 3 = = denez, triangeluak antzekoak dira, haien aldeak 7,5 7,5 4,5 proportzionalak direlako.

Eguneko ordu jakin batean, autobusaren itzala 8 m-koa da. Ordu berean, 1,4 m-ko altuera duen auto baten itzala 3,5 m-koa da. Zer altuera du autobusak?

F

023

G

1,4 m

8m

3,5 m

Antzeko bi triangelu osatu dira, angeluak berdinak direlako: x 1,4 = → x = 3,2 m 8 3,5

258

917840 _ 0252-0283.qxd

8/2/08

12:38

Página 259

ERANTZUNAK

Zer altuera du zutoinak?

15 m

F

024

9

G

15 x = → x = 8,33 m 18 10 G

8m

F

G

025

F

18 m

Kalkulatu x-ren balioa. x

h 2 cm

y

3 cm

h 2 = → h = 4 cm 6 3 y = 10 − 6 = 4 cm x =

6 cm

42 + 42 =

32 = 5,66 cm

10 cm

026

Laukizuzen hauek emanda, ebatzi.

16 cm

20 cm 30 cm

24 cm

a) Antzekoak al dira? b) Zenbatekoa da antzekotasun-arrazoia? c) Zehaztu irudiko laukizuzenen antzekoa den beste laukizuzen baten neurriak. 30 20 = → Antzekoak dira. 24 16 b) Antzekotasun-arrazoia 1,25 da. a)

c) Esate baterako, 10 cm eta 8 cm. 027

Kalkulatu aurreko ariketako laukizuzenen perimetroa. Zenbatekoa da perimetroen arteko arrazoia? Zer lotura du antzekotasun-arrazoiarekin?

PL. handia = 30 ⋅ 2 + 20 ⋅ 2 = 60 + 40 = 100 cm PL. txikia = 24 ⋅ 2 + 16 ⋅ 2 = 48 + 32 = 80 cm 100 = 1,25. 80 Perimetroen arteko arrazoia eta antzekotasun-arrazoia berdinak dira.

Arrazoia hau da:

028

Zenbatekoa da aurreko ariketako azaleren arteko arrazoia? Zer lotura du antzekotasun-arrazoiarekin?

AL. handia = 30 ⋅ 20 = 600 cm2 AL. txikia = 24 ⋅ 16 = 384 cm2 600 = 1,5625 = 1,252. 384 Azaleren arteko arrazoia antzekotasun-arrazoiaren berbidura da. Arrazoia hau da:

259

917840 _ 0252-0283.qxd

8/2/08

12:38

Página 260

Proportzionaltasun geometrikoa 029

Erreparatu irudiko ABCDE pentagonoari. Egin antzeko pentagono bat, antzekotasun-arrazoia 2 dela. E'

E

A'

D'

A D C B C'

B'

030

Egin aurreko ariketako pentagonoaren antzekoa, antzekotasun-arrazoia 0,5 dela. E A

E' A'

D' B'

031

D

C'

C

B

Egin antzeko poligono bat, antzekotasun-arrazoia 1,5 dela. Erabili poligonoaren barruko puntu bat. Q' Q

P'

P P

Q

O M

N

M M'

032

N N'

Poligono baten antzeko poligono bat egitean antzekotasun-arrazoia 1 bada, zer irudi lortuko da? Jatorrizko poligonoaren identikoa lortuko da.

033

Azaldu zer adierazten duen eskala bakoitzak. a) 1 : 300

b) 1 : 60.000

c) 1 : 12

a) 1 : 300 eskalak adierazten du jatorrizko distantzia grafikoko distantzia halako 300 dela. Esate baterako, grafikoko 1 cm eta jatorrizko distantziako 3 m baliokideak dira. b) 1 : 60.000 eskalak adierazten du jatorrizko distantzia grafikoko distantzia halako 60.000 dela. Esate baterako, grafikoko 1 cm eta jatorrizko distantziako 600 m baliokideak dira. c) 1 : 12 eskalak adierazten du jatorrizko distantzia grafikoko distantzia halako 12 dela. Esate baterako, grafikoko 1 cm eta jatorrizko distantziako 12 cm baliokideak dira.

260

917840 _ 0252-0283.qxd

8/2/08

12:38

Página 261

ERANTZUNAK

034

9

Zer eskala erabili da objektu bat marrazteko, marrazkiko 3 cm errealitateko 3 dm badira? 3 cm 3 cm 1 = = . Eskala 1 : 10 da. 3 dm 30 cm 10

035

Etxe baten planoa egin nahi dugu 1 : 75 eskalan. a) Zer antzekotasun-arrazoi aplikatuko dugu? b) Zenbatekoa da errealitatean planoko 5 cm-ko luzera? c) Zenbatekoa da planoan errealitateko 4,5 cm-ko luzera? a) Antzekotasun-arrazoia

1 da. 75

c) Planoko luzera:

4,5 = 0,06 cm. 75

b) 5 ⋅ 75 = 375 cm

ARIKETAK 036 ●

Kalkulatu zuzenkien arteko arrazoiak. a) AB = 6 cm b) AB = 64 cm

CD = 8 cm CD = 1 m

a) 0,75 037 ●

038 ●

b) 0,64

c) AB = 15 dm d) AB = 20 m

CD = 9 m CD = 4 m

c) 0,167

d) 5

AB 1 = arrazoia kontuan hartuta, kalkulatu: CD 4 a) AB, CD = 76 cm bada

b) CD, AB = 3 cm bada

a) AB = 19 cm

b) CD = 12 cm

AB = 1,6 arrazoia kontuan hartuta, kalkulatu: CD a) AB, CD = 9 dm bada a) AB = 14,4 dm

b) CD, AB = 13,6 cm bada b) CD = 8,5 cm

039

Beheko segidetan, proportzionalak al dira AB, CD, EF eta GH zuzenkiak?

●●

a) b) c) d)

AB = 2 cm AB = 2 dm AB = 6 cm AB = 3 m

CD = 5 cm CD = 1 m CD = 8 cm CD = 4 m

EF = 6 cm EF = 5 cm EF = 4 m EF = 12 dm

GH = 16 cm GH = 25 cm GH = 3 m GH = 16 dm

a)

2 6 6 4 → Ez dira proportzionalak. c) → Ez dira proportzionalak. ⫽ ⫽ 5 16 8 3

b)

20 5 3 12 → Proportzionalak dira. d) → Proportzionalak dira. = = 100 25 4 16

261

917840 _ 0252-0283.qxd

8/2/08

12:38

Página 262

Proportzionaltasun geometrikoa 040

EGIN HONELA NOLA KALKULATZEN DA HIRU ZUZENKIREKIKO PROPORTZIONALA DEN ZUZENKI BAT? Hiru zuzenki ditugu: AB = 4 cm, CD = 3 cm eta EF = 2 cm. Kalkulatu laugarren zuzenkia, GH, beste hirurekiko proportzionala. Kalkulatu nahi dugun zuzenkiari laugarren zuzenki proportzionala deritzo. LEHENA.

Zuzenki proportzionalen definizioa aplikatu behar da. AB EF 4 2 = → = CD GH 3 GH

BIGARRENA.

Ekuazioa ebatzi behar da. 4 2 6 = → 4 ⋅ GH = 3 ⋅ 2 → GH = = 1,5 cm 3 GH 4

HIRUGARRENA.

Emaitza egiaztatu behar da. AB EF 4 2 = → = → 4 ⋅ 1,5 = 3 ⋅ 2 → 6 = 6 CD GH 3 1,5

041 ●

Kalkulatu zer luzera izan behar duen AB, CD eta EF zuzenkien laugarren zuzenki proportzionalak. a) AB = 3 cm

CD = 6 cm

EF = 9 cm

b) AB = 2 m

CD = 7 m

EF = 8,2 m

c) AB = 3 dm

CD = 5 dm

EF = 21 dm

d) AB = 10 cm CD = 15 cm EF = 25 cm

042 ●●

a)

3 9 = → GH = 18 cm 6 GH

c)

3 21 = → GH = 35 dm 5 GH

b)

2 8,2 = → GH = 28,7 m 7 GH

d)

10 25 = → GH = 37,5 cm 15 GH

3 da, eta luzeren batura, 8 cm. 5 Kalkulatu zuzenki bakoitzaren luzera. Bi zuzenkiren arteko arrazoia

3 5 Lehen ekuazioan a bakanduz: a = 8 − b. Proportzionaltasun-arrazoia hau da:

a+b=8

r =

a 3 8−b 3 = = → → 5 ⋅ (8 − b) = 3 ⋅ b → b 5 b 5 → 40 − 5 ⋅ b = 3 ⋅ b → 40 = 8b → b = 5 cm

b = 5 cm → a = 8 − 5 = 3 cm

262

917840 _ 0252-0283.qxd

8/2/08

12:38

Página 263

ERANTZUNAK

043 ●●

9

Bi zuzenkiren arteko arrazoia 4 da, eta haien luzeren kendura, 7 cm. Kalkulatu zuzenki bakoitzaren luzera. ⎫⎪ a = 4⎪⎪ → a = 4b ⎬ b ⎪ a − b = 7⎪⎪⎭ 4b − b = 7 → b =

Kalkulatu luzera ezezagunak. a)

d) 2 cm

x

4 cm

x

3 cm

z y

F

2,5 cm

0,8 cm

F

●●

F

044

7 28 = 2,33 cm → a = = 9,33 cm 3 3

1 cm 5,2 cm 8 cm

x 2,5 = → x = 3,75 cm 3 2

4 0,8 = ⎯→ x = 5 cm x 1 y 0,8 = → y = 4,16 cm 5, 2 1 z 0,8 = ⎯→ z = 6,4 cm 8 1

b)

e)

2 cm F

x

10 cm

5c m

m 4c

8c m

x

3 cm

x 3 = → x = 1,5 cm 2 4 c)

x 10 = → x = 6,25 cm 5 8 f)

8

cm 4,8

cm 4

x

cm

6 cm

x 6 = → x = 12 cm 8 4

m 2c

x

3 cm

x 3 = → x = 1,25 cm 2 4,8

263

917840 _ 0252-0283.qxd

8/2/08

12:38

Página 264

Proportzionaltasun geometrikoa g)

h) m 7c

1,5 cm 5 cm

y

m 2c

x

045

6

3 cm

cm

F

x

y

1 8,

2 cm

cm

5 cm

x 5 = → x = 1,43 cm 2 7

x 2 = ⎯→ x = 8 cm 6 1,5

3 5 = → y = 4,2 cm y 7

5 2 = ⎯→ y = 3,75 cm y 1,5 z 2 = → z = 10,8 cm 8,1 1,5

Irudi hau daukagu.

●

C' B' A' O A

a) Baldin

B

C

OA = 2 cm

OB = 5 cm

OA' = 2,6 cm

OC' = 11,7 cm

kalkulatu: A'B', B'C', OB' eta BC. b) Baldin

OA' = 4 cm

OB = 9 cm

OB' = 12 cm

OC' = 18 cm

kalkulatu: OA, AB, A'B', B'C', OC eta BC. c) Baldin

OA = 5 cm

OC = 22,5 cm

OC' = 36 cm

OB' = 24 cm

kalkulatu: OA', OB, AB, BC, A'B' eta B'C'. a) AB = 3 cm OA AB 2 3 = → = → A'B' = 3,9 cm OA' A'B' 2,6 A'B' OA OB 2 5 = → = → OB' = 6,5 cm OA' OB' 2,6 OB'

B'C' = OC' − OB' = 11,7 − 6,5 = 5,2 cm OA BC 2 BC = → = → BC = 4 cm OA' B'C' 2,6 5,2

264

z

917840 _ 0252-0283.qxd

8/2/08

12:38

Página 265

ERANTZUNAK

9

b) A'B' = OB' − OA' = 12 − 4 = 8 cm

B'C' = OC' − OB' = 18 − 12 = 6 cm OA OB OA 9 = → = → OA = 3 cm OA' OB' 4 12 AB OB AB 9 = → = → AB = 6 cm A'B' OB' 8 12 OC OB OC 9 = → = → OC = 13,5 cm OC' OB' 18 12

BC = OC − OB = 13,5 − 9 = 4,5 cm c)

OA OC 5 22,5 = → = → OA' = 8 cm OA' OC' OA' 36 OA OB 5 OB = → = → OB = 15 cm OA' OB' 8 24

AB = OB − OA = 15 − 5 = 10 cm BC = OC − OB = 22,5 − 10 = 12,5 cm OA AB 5 10 = → = → A'B' = 16 cm OA' A'B' 8 A'B' OA BC 5 12,5 = → = → B'C' = 20 cm OA' B'C' 8 B'C'

046

Beheko irudian, badakigu:

●●

OB = 0,8. OB' C' B'

cm 4,5

A' 2,8 cm

O

2,3 cm

A

B

C

Kalkulatu OA', AB eta BC. OB OA 2,3 = ⎯ → 0,8 = → OA' = 2,875 cm OB' OA' OA' OB AB AB = → 0,8 = ⎯ → AB = 2,24 cm OB' A'B' 2,8 OB BC BC = → 0,8 = ⎯ → BC = 3,6 cm OB' B'C' 4,5

265

917840 _ 0252-0283.qxd

8/2/08

12:38

Página 266

Proportzionaltasun geometrikoa 047

Kalkulatu luzera ezezagunak.

●● t 4 cm

2 cm F

z 3 cm

x

5 cm

y 8 cm

5 3 = → z = 4,8 cm 8 z 3 x = → x = 6 cm 2 4 5 6 = → y = 9,6 cm 8 y

048 ●

Badakigu AB = 10 cm dela. Banatu grafikoki AB: a) 4 zati berdinetan. b) 6 zati berdinetan. a)

A

10 cm

B

A

10 cm

B

b)

049 ●●

Badakigu AB = 18 cm dela. Banatu grafikoki AB zuzenkia neurri hauek dituzten hiru zuzenkirekiko zati proportzionaletan: a) 3 cm, 5 cm eta 6 cm b) 2 cm, 4 cm eta 6 cm c) 3 cm, 4 cm eta 5 cm d) 2 cm, 6 cm eta 9 cm Kalkulatu zuzenkien luzerak eta alderatu emaitza grafikoki lortutako emaitzarekin.

266

917840 _ 0252-0283.qxd

8/2/08

12:38

Página 267

ERANTZUNAK

a)

9

⎧⎪ x = 3,86 cm ⎪ 18 x y z = = = → ⎪⎨ y = 6,43 cm ⎪⎪ 3+5+6 3 5 6 m ⎪⎩z = 7,71 cm

A

18 cm

B

⎧⎪ x = 3 cm ⎪⎪ 18 x y z = = = → b) ⎨ y = 6 cm ⎪⎪ 2+4+6 2 4 6 ⎩⎪z = 9 cm

A

18 cm

B

⎧⎪ x = 4,5 cm ⎪⎪ x y z 18 → = = = c) ⎨ y = 6 cm ⎪⎪ 3+4+5 3 4 5 ⎪⎩z = 7,5 cm

A

18 cm

B

⎧⎪ x = 2,11 cm ⎪⎪ 18 x y z = = = → d) ⎨ y = 6,35 cm ⎪⎪ 2+6+9 2 6 9 m ⎪⎩z = 9,53 cm

A

18 cm

B

267

917840 _ 0252-0283.qxd

8/2/08

12:38

Página 268

Proportzionaltasun geometrikoa 050 ●●

Erreparatu beheko irudiari: AB zuzenkia, 12 cm-ko luzera duena, a, b eta c zuzenkiekiko zati proportzionaletan banatuta dago. Kalkulatu AP, PQ eta QB, kontuan hartuta: c b

a

A

P

Q

B

12 cm

a) a = 6 cm, b = 8 cm eta c = 4 cm

c) a = 8 cm, b = 10 cm eta c = 4 cm

b) a = 5 cm, b = 10 cm eta c = 3 cm

d) a = 2 cm, b = 5 cm eta c = 1 cm

a)

12 AP PQ QB = = = 6+8+4 6 8 4

AP = 3,6 cm b)

051

PQ = 6,67 cm

QB = 2 cm

12 AP PQ QB = = = 8 + 10 + 4 8 10 4

AP = 4,36 cm d)

QB = 2,4 cm

12 AP PQ QB = = = 5 + 10 + 3 5 10 3

AP = 3,33 cm c)

PQ = 4,8 cm

PQ = 5,45 cm

12 AP PQ QB = = = 2+ 5+1 2 5 1 AP = 3 cm PQ = 7,5 cm

QB = 2,18 cm

QB = 1,5 cm

Banatu 14 cm-ko zuzenki bat hiru zatitan, bakoitza aurrekoaren hirukoitza dela.

●●

14 cm

052

Banatu 20 cm-ko zuzenki bat hiru zatitan, bakoitza aurrekoaren erdia dela.

●●

20 cm

268

917840 _ 0252-0283.qxd

8/2/08

12:38

Página 269

ERANTZUNAK

053 ●

9

Kalkulatu alde ezezagunen luzera, antzeko triangeluen pare hauetan: a) 5 cm

3 cm

4 cm

12 cm

b)

8 cm

10 cm

6 cm

7 cm

c) 6 cm

3 cm

5 cm 4 cm

d)

5 cm

5 cm

3,2 cm

a)

b)

c)

d)

2 cm

3 5 y = = 4 x 12 x = 6,66 cm y = 9 cm Aldeak 9 cm eta 6,66 cm luze dira. 8 10 7 = = 6 x y x = 7,5 cm y = 5,25 cm Aldeak 5,25 cm eta 7,5 cm luze dira. 6 x y = = 3 5 4 x = 10 cm y = 8 cm Aldeak 8 cm eta 10 cm luze dira. 5 5 3,2 = = x y 2 x = 3,125 cm y = 3,125 cm Bi aldeak 3,125 cm luze dira.

269

917840 _ 0252-0283.qxd

8/2/08

12:38

Página 270

Proportzionaltasun geometrikoa 054

Bi triangelu, ABC eta A'B'C', antzekoak dira. ABC triangeluaren aldeen luzerak:

●

AB = 4 cm

BC = 5 cm

CA = 6 cm

Kalkulatu A'B'C' triangeluaren aldeak eta antzekotasun-arrazoia, A'B' = 7,2 cm bada. ) AB 4 = = 0,5. Antzekotasun-arrazoia hau da: A'B' 7,2 BC CA B'C' = ) = 9 cm C'A' = ) = 10,8 cm 0,5 0,5 055 ●

Bi triangeluren, ABC -ren eta A'B'C'-ren, antzekotasun-arrazoia r =

1 da. 4

Kalkulatu bi triangeluen alde ezezagunak, hau jakinik: a) AB = 5 cm, BC = 8 cm eta CA = 10 cm b) A'B' = 20 cm, B'C' = 24 cm eta C'A' = 26 cm c) AB = 4 cm, BC = 5 cm eta C'A' = 16 cm

056

a) A'B' = 4 ⋅ 5 = 20 cm

B'C' = 4 ⋅ 8 = 32 cm

C'A' = 4 ⋅ 10 = 40 cm

1 ⋅ 20 = 5 cm b) AB = 4

1 BC = ⋅ 24 = 6 cm 4

CA =

1 ⋅ 26 = 6,5 cm 4

c) A'B' = 4 ⋅ 4 = 16 cm

B'C' = 4 ⋅ 5 = 20 cm

CA =

1 ⋅ 16 = 4 cm 4

EGIN HONELA

B

NOLA BEREIZTEN DIRA TALESEN KOKAPENEAN DAUDEN TRIANGELUAK?

F

D E

Adierazi irudiko zer triangelu dauden Talesen kokapenean. A LEHENA.

G

C

Ahalik eta triangelu gehien identifikatu behar dira.

ABC

ABE

ABG

ADE

AEG

EBF

GBC

DBE

DBF

Angelu komun bat duten triangeluak hartu behar dira. $ angelu komuna dute. ABC eta DBF B $ angelu komuna dute. ABE , ABG eta DBE B

BIGARRENA.

EBF eta GBC

$ angelu komuna dute. B

HIRUGARRENA. Angelu komun bat duten triangeluen talde bakoitzetik angelu horren aurkako aldeak paraleloak dituztenak hartu behar dira.

ABC eta DBF

AC eta DF paraleloak.

ABG eta DBE

AG eta DE paraleloak.

EBF eta GBC

EF eta GC paraleloak.

Beraz, triangelu pare horiek Talesen kokapenean daude.

270

917840 _ 0252-0283.qxd

8/2/08

12:38

Página 271

9

ERANTZUNAK

057 ●●

Identifikatu irudietan, Talesen kokapenean dauden triangeluak. a)

F

E

H

b)

D G

J

B

H

C

C

I A

D

G

F

E

L

F E

F

d)

G BI

A A

G

c)

J B

K

H E

C

D

A

B

C

D

a) Talesen kokapenean dauden triangeluak hauek dira:

AGC eta DFG, ABG eta DEG, BCG eta EFG, AFG eta CDG. b) Talesen kokapenean dauden triangeluak hauek dira:

ABJ, BCI eta BEG; HDF eta GEF; HDF eta HGI; HDF eta CED. c) Talesen kokapenean dauden triangeluak hauek dira:

ADG eta ACH, ADG eta HFG, ADG eta IEG, ADG eta BDF, HFL eta BCL, HFL eta LJK, LJK eta LBC. d) Talesen kokapenean dauden triangeluak hauek dira:

ADF eta AGC, ADF eta BED, ADF eta GEF, BCH eta GEH. 058 ●

ABC triangeluaren aldeen luzerak hauek dira:AB = 12 mm, BC = 15 mm eta CA = 21 mm. A'B'C' triangeluarenak: A'B' = 35 mm, B'C' = 25 mm eta C'A' = 20 mm. Antzekoak al dira bi triangeluak? Aldeak proportzionalak dira:

059 ●●

21 15 12 = = ; beraz, antzekoak dira. 35 25 20

Adierazi antzekoak diren ala ez triangelu pare hauek, eta azaldu zer irizpide aplikatu duzun, kasu bakoitzean. 4 5 4 a) a) denez, aldeak ez dira ⫽ 5 6 5 80° proportzionalak; beraz, ez dira 5 80° antzekoak. 6

b)

b) 11

9 65°

65°

7

9,1

c)

c) 7

5

8

12,8

7

9 7 denez, aldeak ez dira ⫽ 9,1 11 proportzionalak; beraz, ez dira antzekoak. 5 7 7 = denez, aldeak ⫽ 8 11,2 12,8 ez dira proportzionalak; beraz, ez dira antzekoak.

11,2

271

917840 _ 0252-0283.qxd

8/2/08

12:38

Página 272

Proportzionaltasun geometrikoa 3

d)

d) Triangelu txikienaren hipotenusa 34 da, eta triangelu handienaren katetoa, 69 .

13 5

5 3 denez, aldeak ez dira ⫽ 10 69 proportzionalak. Ez dira antzekoak.

10

e) Antzekoak dira, angeluak berdinak direlako (90°, 50° eta 40°).

e) 50° 40°

f)

f) Antzekoak dira, angeluak berdinak direlako (70°, 50° eta 60°).

50° 50° 60°

70°

060

ABC triangeluaren aldeen luzerak hauek dira: AB = 4 cm, BC = 5 cm eta CA = 6 cm.

●●

Kalkulatu antzeko triangelu baten, A'B'C'-ren, aldeen luzera, jakinik: a) Antzekotasun-arrazoia r = 2,5 dela. b) A'B'C'-ren perimetroa 30 cm-koa dela. 1 ⋅ 4 = 1,6 cm 2,5

a) A'B' = B'C' = b)

061 ●

C'A' =

1 ⋅ 5 = 2 cm 2,5

4+5+6 4 5 6 = = = 20 A'B' B'C' C'A' 3 3 3 A'B' = ⋅ 4 = 3 cm B'C' = ⋅ 5 = 3,75 cm C'A' = ⋅ 6 = 4,5 cm 4 4 4

Marraztu antzekotasun-arrazoi hauek dituzten antzeko bi karratu: b) r =

a) r = 2 a)

1 2

D' D

C

A

B

b)

D

A

d) r =

c) r = 2,5 C'

A'

c)

B'

C D'

C'

A'

B'

d)

D

C

A

B

D

1 3 D'

C'

A'

B' C

B A

272

1 ⋅ 6 = 2,4 cm 2,5

B

D'

C'

A'

B'

917840 _ 0252-0283.qxd

8/2/08

12:38

Página 273

ERANTZUNAK

062 ●

063 ●

9

Marraztu irudiko triangeluaren antzekoak, antzekotasun-arrazoi hauek dituztela: 1 a) r = c) r = 3 2 6 cm 8 cm 1 5 b) r = d) r = 12 cm 4 4 a)

c)

b)

d)

Marraztu beheko irudien antzekoak, r = 2 eta r = 0,5 antzekotasun-arrazoiak erabilita. a)

b)

a)

b)

064

Bi triangelu, ABC eta A'B'C', antzekoak dira eta haien antzekotasun-arrazoia

●●

ABC triangeluaren aldeen luzerak: AB = 8 cm, BC = 10 cm eta AC = 14 cm. Kalkulatu beste triangeluaren aldeen luzerak. A'B' =

1 ⋅ 8 = 2 cm 4

B'C' =

1 ⋅ 10 = 2,5 cm 4

C'A' =

1 da. 4

1 ⋅ 14 = 3,5 cm 4

065

Bi triangelu, ABC eta A'B'C', antzekoak dira eta haien antzekotasun-arrazoia 3 da.

●●

ABC triangeluaren aldeen luzerak: AB = 6 cm, BC = 7 cm eta AC = 3,5 cm. Kalkulatu beste triangeluaren aldeen luzerak. A'B' = 3 ⋅ 6 = 18 cm

B'C' = 3 ⋅ 7 = 21 cm

C'A' = 3 ⋅ 3,5 = 10,5 cm

273

917840 _ 0252-0283.qxd

8/2/08

12:38

Página 274

Proportzionaltasun geometrikoa 066 ●●

Arrazoitu zuzenak diren ala ez esaldi hauek: a) Karratu guztiak antzekoak dira. b) Laukizuzen guztiak antzekoak dira. c) Pentagono guztiak antzekoak dira. d) Pentagono erregular guztiak antzekoak dira. e) Triangelu angeluzuzen guztiak antzekoak dira. a) Zuzena

067 ●●●

b) Okerra

c) Okerra

e) Okerra

d) Zuzena

Kalkulatu 8 cm eta 5 cm-ko aldeak dituen laukizuzenaren antzekoaren perimetroa, antzekotasun-arrazoi hauetarako: 3 5 d) r = 4 2 Zer lotura dago jatorrizko laukizuzenen perimetroen eta antzeko triangeluen perimetroen artean? a) r = 2

b) r = 0,5

c) r =

a) Aldeak 16 cm eta 10 cm luze dira. Beraz, perimetroa: 52 cm. b) Aldeak 4 cm eta 2,5 cm luze dira. Beraz, perimetroa: 18 cm. c) Aldeak 6 cm eta 3,75 cm luze dira. Beraz, perimetroa: 19,5 cm. d) Aldeak 20 cm eta 12,5 cm luze dira. Beraz, perimetroa: 65 cm. Laukizuzenen perimetroen arrazoia antzeko triangeluenen bera da.

068

EGIN HONELA ZER LOTURA DAGO ANTZEKO

4 cm

BI IRUDIREN PERIMETROAREN ETA AZALERAREN ARTEAN?

2 cm 6 cm

Kalkulatu antzeko bi trapezio hauen perimetroa eta azalera.

3 cm

3,6 cm 4 cm

8 cm

Bi poligono antzekoak badira, hau betetzen da: • Perimetroak proportzionalak dira; arrazoia r da. • Azalerak proportzionalak dira; arrazoia r 2 da. LEHENA. Lehen poligonoaren antzekotasun-arrazoia kalkulatu behar da, bigarrenarekiko.

6 8 4 = = = 2 ← Antzekotasun-arrazoia 3 4 2 Bigarren poligonoaren perimetroa eta azalera kalkulatu behar dira. P = 3 + 4 + 2 + 3,6 = 12,6 cm (B + b ) ⋅ h (4 + 2) ⋅ 3 A= = = 9 cm2 2 2

BIGARRENA.

Emaitzak arrazoiaz eta arrazoiaren berbiduraz biderkatuz, poligonoaren perimetroa eta azalera lortu behar dira, hurrenez hurren. P = 12,6 ⋅ r = 12,6 ⋅ 2 = 25,2 cm A = 9 ⋅ r 2 = 9 ⋅ 22 = 36 cm2

HIRUGARRENA.

274

917840 _ 0252-0283.qxd

8/2/08

12:38

Página 275

ERANTZUNAK

9

069

Kalkulatu antzeko poligono hauen perimetroak eta azalerak.

●●

a) 3 cm, 4 cm eta 5 cm-ko aldeak dituen triangelu angeluzuzenaren antzeko triangelua. Arrazoia 3. b) 3 cm-ko aldea duten karratuaren antzekoa. Arrazoia 4. c) 4 cm eta 6 cm-ko aldeak dituen laukizuzenaren antzekoa. Arrazoia 2.

b) P = 12 ⋅ 4 = 48 cm

3⋅4 ⋅ 32 = 54 cm2 2 A = 3 ⋅ 3 ⋅ 42 = 144 cm2

c) P = 20 ⋅ 2 = 40 cm

A = 4 ⋅ 6 ⋅ 22 = 96 cm2

a) P = 12 ⋅ 3 = 36 cm

070 ●

A=

Adierazi, zenbakizko eskala erabiliz: a) Planoko 25 cm errealitateko 25 km dira. b) Planoko 0,8 dm errealitateko 160 km dira. a) 1 : 100.000

071 ●

b) 1 : 2.000.000

Adierazi, zenbakizko eskala eta eskala grafikoa erabiliz: a) Planoko 1 cm errealitateko 2 km dira. b) Planoko 1 cm errealitateko 50 km dira. 2

4

6

8

10 km

G

F

G

1 cm

072 ●

50

100

150

200

250 km

b)

a)

F

1 cm

Kalkulatu objektuen benetako altuera. Objektua

Eskala

1 : 20

Armairua 2 cm altu da grafikoan, eta errealitatean: 2 ⋅ 20 = 40 cm.

1 : 10

Furgoneta 1,5 cm altu da grafikoan, eta errealitatean: 1,5 ⋅ 10 = 15 cm.

1 : 25

Etxea 2,3 cm altu da grafikoan, eta errealitatean: 2,3 ⋅ 25 = 57,5 cm.

275

917840 _ 0252-0283.qxd

8/2/08

12:38

Página 276

Proportzionaltasun geometrikoa 073 ●

Kalkulatu mapan 4 cm-ko distantziara dauden bi herriren 0 arteko distantzia, eskala hau bada: 40 km = 4.000.000 cm

40

80

120

kilometroak

Eskala grafikoa 1 : 4.000.000 da; beraz, planoko 4 cm hau da errealitatean: 4 ⋅ 4.000.000 = 16.000.000 cm = 160 km. 074 ●

Bi hiriren arteko distantzia 450 km-koa da. Kalkulatu zer distantzia egongo den bien artean, 1 : 1.500.000 eskalan egindako mapa batean. 1 : 1.500.000 eskalak adierazten du errealitateko 1.500.000 cm eta planoko 1 cm baliokideak direla. 1.500.000 cm = 15 km denez: 415 km ⎯⎯→ 1 cm 450 km ⎯⎯→ x

075 ●●

⎫⎪ 450 = 30 cm ⎬ → x= ⎪⎪⎭ 15

Bi herri lotzen dituen errepidea 1 : 500.000 eskalako mapa batean adierazi dugu eta 6 cm-ko luzera du. Zenbatekoa litzateke errepidearen luzera 1 : 60.000 eskalako mapa batean adieraziko bagenu? 1 : 500.000 eskalan, mapako 6 cm hauek dira benetan: 6 ⋅ 500.000 = 3.000.000 cm = 30 km 1 : 60.000 eskalan, errealitateako 30 km hauek dira planoan: 3.000.000 : 60.000 = 50 cm

076

Etxebizitza baten planoa 1 : 60 eskalan dago eginda.

●●

a) Zer neurri ditu sukaldeak errealitatean, 4 cm zabal eta 7 cm luze bada planoan? b) Korridoreak 7,5 m-ko luzera du errealitatean. Zer luzera du planoan? a) Zabalera: 4 ⋅ 60 = 240 cm = 2,4 m. Largo: 7 ⋅ 60 = 420 cm = 4,2 m. b) Luzera:

077

Zuhaitz batek 5 m-ko altuera du eta eguneko ordu jakin batean 6 m-ko itzala egiten du. Zer altuera du irudiko eraikinak, ordu berean 10 m-ko itzala egiten badu?

6 5 = → x = 8, 33 m 10 x

5m

●●

750 = 12,5 cm. 60

6m 10 m

Eraikinak 8,33 m-ko altuera du.

276

917840 _ 0252-0283.qxd

8/2/08

12:38

Página 277

ERANTZUNAK

078 ●●

9

Makila batek 1 m-eko altuera du eta eguneko ordu jakin batean 1,5 m-ko itzala egiten du. Zer altuera du eguneko ordu berean 6 m-ko itzala egiten duen eraikin batek? G

h

G

1m 1,5 m G

F

6m

Antzeko bi triangelu angeluzuzen direnez: h 6 = →h =4m 1 1,5

●●

1,9 m-ko altuera duen saskibaloilari batek baloia saskirantz jaurti du 6,25 m-ko distantziatik. Kalkulatu zer altueratan dagoen baloia, ibilbidearen erdian.

3,05 m

x

1,9 m

079

6,25 m

Bi triangeluak antzekoak dira; eta z 6,25 m-ren erdia denez, y 1,15 m-ren erdia da: y = 0,575 m. Baloiaren altuera hau da: x = 1,9 + 0,575 = 2,475 m. 080 ●●

y z

z 6,25 m

1,8 m-ko altuera duen aita batek 2,1 m-ko itzala egiten du, arratsaldeko hiruretan. Zer altuera du aita horren semeak, ordu berean 1,5 m-ko itzala egiten badu? 1,8 x = → x = 1,29 m 2,1 1,5

081 ●●

Julek 1,34 m-ko altuera du eta eguerdiko ordu batean 1,2 m-ko itzala egiten du. Zer altuera du Juleren amak, une horretan 1,4 m-ko itzala egiten badu? 1,34 x = → x = 1,56 m 1,2 1,4

277

917840 _ 0252-0283.qxd

8/2/08

12:38

Página 278

Proportzionaltasun geometrikoa 082 ●●

Semaforoaren alboan, Jonen itzala 1,5 m-koa da, eta semaforoarena, Jonen itzala baino 60 cm luzeagoa. Zer altuera du semaforoak, Jonek 1,75 m-ko altuera badu? 1, 75 x = → x = 2,45 m 1, 5 2,1

083

EGIN HONELA NOLA KALKULATZEN DA ALTUERA, KRISTAL BATEKO ISLA ERABILIZ? Eskura ez dagoen zerbaiten altuera zehazteko, lurrean ispilu bat jarri eta behar den distantzia egingo dugu atzerantz, objektuaren puntu altuenari behatzeko. Zer altuera du eraikinak? B'

B A

C'

1,75 m

C 8m

2m

LEHENA. Bi triangeluak, ABC eta AB'C', antzekoak direla egiaztatu behar da. Kasu honetan, antzekoak dira, angeluzuzenak direlako eta errefrakzio-angeluak berdinak direlako. BIGARRENA.

Aldeen arteko proportzionaltasuna aplikatu behar da. B'C' AC' B'C' 8 = → = → B'C' = 1,75 ⋅ 4 = 7 m BC AC 1,75 2

Eraikinaren altuera 7 m-koa da.

084 ●●●

Ane ibaiertz batetik 5 m-ra dago eta mendi baten isla ikusten du uretan. Aneren altuera 1,70 m-koa bada eta ibaia menditik 3 km-ra badago, zer altuera du mendiak? x 1,7 = → x = 1.020 m 3.000 5

085

Eraikin baten itzala neurtu dugu, egun bateko bi une jakinetan.

●●●

60°

30°

6,67 m 20 m

Kalkulatu eraikinaren altuera.

278

917840 _ 0252-0283.qxd

8/2/08

12:38

Página 279

ERANTZUNAK

9

C

ABC eta ACD triangeluak antzekoak dira: 6,67 AC = → AC = 133,4 = 11, 65 m AC 20 Eraikinaren altuera 11,65 m-koa da. A

086 ●●●

D

B

Peru amildegi batetik 2 m-ra dago; amildegiaren ertza eta herri bat lerrokatuta ikusten ditu. Zer distantzia dago amildegitik herrira? 1,6 m

1,6 2 = → x = 562,5 m 450 x Amildegitik herrirako distantzia 562,5 m-koa da.

450 m

2m

x

Maider, 1,5 m altu dena, rock-kontzertu batera joan da. 80 cm aurrerago Koldo dago, 1,65 m altu dena. Kalkulatu agertokiaren altuera, Maiderrek agertokiaren gaina zehazki Koldoren gainean ikusten badu eta Koldo agertokitik 20 m-ra badago.

1,65 m

087 ●●●

1,5 m

0,8 m

20 m

0,8 1,65 − 1,5 = → x = 3,9 m-koa da Maiderren gaineko altuera. 0,8 + 20 x Agertokiaren altuera: 1,5 + 3,9 = 5,4 m. 088 ●●●

Arrazoitu. a) Antzekoak al dira angelu guztiak berdinak dituzten bi poligono? Zer poligono motatan betetzen da baieztapen hori? b) Antzekoak al dira alde guztiak proportzionalak dituzten bi poligono? Zer poligono motatan betetzen da baieztapen hori? a) Oro har, ez da zuzena; izan ere, angeluak berdinak izateak ez du esan nahi aldeak proportzionalak direnik. Esate baterako, laukizuzenetan. Zenbait triangelutan soilik betetzen da. b) Oro har, ez da zuzena; izan ere, aldeak proportzionalak izateak ez du esan nahi angeluak berdinak direnik. Esate baterako, karratu bat eta erronbo bat. Triangeluetan soilik betetzen da.

279

917840 _ 0252-0283.qxd

18/3/08

14:37

Página 280

Proportzionaltasun geometrikoa 089 ll

D

Kalkulatu margotutako zatiaren azalera, jakinik: • • •

Karratuaren aldea 2 cm-koa dela. E puntua DC aldearen erdiko puntua dela. F angelua zorrotza dela.

22 + 12 =

C

G F

ABG eta AED berdinak direnez, kalkulatu beharreko azalera karratuaren azalera ken bi triangeluen azalera gehi bien ebakiduraren azalera da (AFG triangelua, ADF triangeluaren antzekoa). AE =

E

A

B

5 cm

AG FG AF = = → AE DE AD

⎧⎪ ⎪⎪FG = 1 = 0,45 cm ⎪ FG AF 5 = = → ⎪⎨ ⎪⎪ 2 1 2 5 = 0,89 cm ⎪⎪AF = ⎪⎩ 5

1

0, 45 ⋅ 0, 89 = 0,2 cm2 2 Azalera = 4 − 1 − 1 + 0,2 = 2,2 cm2

AFG-ren azalera =

090 ll

C

ABC triangelu isoszelea da eta 8 cm2-ko azalera du. D eta E alde berdinen erdiko puntuak badira, kalkulatu ABDE trapezioaren azalera. Trapezioaren azalera hau da: ABC-ren azalera ken DEC-ren azalera.

D

A

1 ABC eta DEC triangeluak antzekoak dira; arrazoia da, eta azaleren 2 2 ⎛ 1 ⎞⎟ 1 arrazoia, ⎜⎜⎜ ⎟⎟ = . Beraz, DEC-ren azalera hau da: 8 : 4 = 2 cm2. ⎝ 2 ⎟⎠ 4 Trapezioaren azalera hau da: 8 − 2 = 6 cm2. 091

Kalkulatu falta diren datuak.

ll 3 cm

3 cm

d 2 cm 2 cm

a

c

2 cm 4 cm

b

Triangeluak Talesen kokapenean daudenez:

280

2 d = → d = 4 cm 2 4

2 3 = ⎯⎯→ b = 3 cm 2 b

2 2 = → a = 4 cm 2 a

2 2+3 6 = = 1,2 cm → c = c 3 5

E

B

917840 _ 0252-0283.qxd

8/2/08

12:38

Página 281

ERANTZUNAK

092 ●●●

9

Frogatu triangelu angeluzuzen baten hipotenusaren gaineko altuerak antzeko beste bi triangelu sortzen dituela.

ABC triangelu angeluzuzena denez: B$ = 90° − C$. DCA triangelu angeluzuzena denez: A$ = 90° − C$. Beraz, ABC eta DCA triangeluen hiru angeluak berdinak direnez, antzekoak dira. Berdin arrazoitu daiteke DAB-ren kasuan.

A

B

D

C

EGUNEROKOAN 093

Andoni etxe berri batera doa bizitzera. Planoaren arabera, hau da bere logela:

●●●

Planoa eskalan dago eginda eta Andonik dakien bakarra da logelaren benetako luzera 4,56 m-koa dela. Gela horretan jarri behar ditu behean ageri diren altzariak. Nola jarri nahi dituen jakiteko, altzariak neurtu ditu.

G

F

F

1,5 m G

0, 3

m

G

2m

0,9 m

F

G

F

m 0,6 G

G

m 0,8

F

F

Ondoren, eskalan marraztu eta moztu egingo ditu. Moztutako marrazkiak gelan jarri, eta zenbait proba egin ondoren, altzariak nola jarriko dituen erabakiko du. Kopiatu planoa koadernoan eta zehaztu nola jar daitezkeen altzariak. Jar al dezake Andonik logela berrian bere tren elektrikoaren maketa osoa, 2,5 ×1,5 m-koa bada?

281

917840 _ 0252-0283.qxd

8/2/08

12:38

Página 282

Proportzionaltasun geometrikoa Gela 4,56 m luze da eta 7,6 cm-ko luzera du planoan. 456 = 60 denez, planoaren eskala 1 : 60 da. 7,6 Gelaren zabalera hau da: 4,6 ⋅ 60 = 276 cm = 2,76 m. Altzarien neurriak planoan hauek dira: Ohea:

Luzera =

200 = 3,33 cm 60

Zabalera =

90 = 1, 5 cm 60

Idazmahaia:

Luzera =

150 = 2,5 cm 60

Zabalera =

60 = 1 cm 60

Tiradera-altzaria:

Luzera =

80 = 1,33 cm 60

Zabalera =

30 = 0,5 cm 60

Tren elektrikoaren maketaren neurriak eskalan hauek dira: Luzera =

250 = 4,17 cm 60

Zabalera =

150 = 2,5 cm 60

Maketa ez da gelan sartzen, atea zabaltzeko behar den espazioa kontuan hartuta.

094

Tren-bagoiak elkarri lotzeko, irudian ageri den pieza egin behar da.

●●●

2 cm cm 13

5 cm

6,25 cm

Piezak egingo dituen makina programatzeko, pieza bera eskala txikiagoan egin behar da. Pieza eskaner batean jarri eta eskala adieraziz gero, nahi dugun pieza kopurua egingo du makinak. 6,5 cm luze den hagatxo bat badaukagu eta ahalik pieza handiena egin nahi badugu, zer eskala erabiliko dugu? E

F

2 cm cm 13

6,25 cm

5 cm

A

282

B

C

D

917840 _ 0252-0283.qxd

8/2/08

12:38

Página 283

ERANTZUNAK

9

Pitagorasen teorema aplikatuz: AB =

169 − 25 = 12 cm

CD =

39,0625 − 25 = 3,75 cm

Piezaren luzera hau da: 13 + 2 + 6,25 + 3,75 + 2 + 12 = 39 cm. ⎛ 39 ⎞ = 6⎟⎟⎟. Beraz, eskala hau da: 1 : 6 ⎜⎜⎜ ⎝ 6,5 ⎠⎟ Aitorren etxearen izkinan oso kale-argi altua jarri dute. Aitorren ustez, kale-argiaren altuerak ez du betetzen argi-kutsadurari buruzko araudia eta zehazki zer altuera duen jakin nahi du.

110 cm G

F

1,5 m

Hasieran itzala neurtzea pentsatu zuen, baina kale-argia landarez inguraturik dagoenez, ezin izan zuen itzala behar bezala neurtu. Beraz, kale-argiaren ondoko bi zirkulazio-seinaleen neurriak erabiltzea erabaki du.

1,5 m

095 ●●●

90 cm

Horretarako, kale-argiarekin lerrokatuta dauden bi seinaleen itzalak, altuera eta haien arteko tartea neurtu ditu. Zer altuera du kale-argiak? 120 cm

D

Kale-argiaren altuerari h esango diogu, eta kale-argitik lehen seinalerako distantziari, x. Hau daukagu:

h G

H

E

B F

x A

C

Triangelu pare hauek antzekoak dira: ABD eta EBG; eta ACD eta FCH. Beraz, bi ezezaguneko bi ekuazioren sistema bat daukagu. x + 90 h ⎫⎪⎪ = ⎪ x + 90 x + 110 + 120 90 150 ⎪⎪ = → ⎬ → x + 110 + 120 h ⎪⎪ 90 120 = ⎪⎪ 120 150 ⎪⎭ → 4 ⋅ (x + 90) = 3 ⋅ (x + 230) → x = 330 cm x = 330 x + 90 h 420 h = = → h = 700 cm = 7 m ⎯⎯⎯⎯→ 90 150 90 150 Kale-argiaren altuera 7 m-koa da.

283

917840 _ 0284-0315.qxd

7/2/08

16:25

Página 284

Irudi lauak. Azalerak

10

AZALERAK

POLIGONOEN AZALERAK

IRUDI ZIRKULARREN AZALERAK

ZIRKULUA

PARALELOGRAMOAK – – – –

– SEKTORE ZIRKULARRA – KOROA ZIRKULARRA

KARRATUA LAUKIZUZENA ERRONBOA ERRONBOIDEA

TRIANGELUAK TRAPEZIOAK POLIGONO ERREGULARRAK

PERIMETROAK

ZIRKUNFERENTZIA BATEN LUZERA

284

ZIRKUNFERENTZIAARKU BATEN LUZERA

917840 _ 0284-0315.qxd

7/2/08

16:25

Página 285

Oparia Bide malkartsuan arropetan eta sandalietan pilatutako hautsa astintzen ari zela, Apolonio Pergakoa Artemisaren tenpluari begira zegoen, munduko Zazpi Mirarietako bati begira, hain zuzen ere. Itxura pixka bat txukundu ondoren, zuhaitzak zeuden aldera begiratu eta Eudemo ikusi zuen atseden hartzen. Harekin elkartzekoa zen. –Igoera gogorra da baina merezi du, munduko tenpluen artean Jainkoen Olinpoen antzik handienekoa da –esan zuen Apoloniok, haren ondoan eserita. –Seguru baietz, Apolonio –erantzun zuen Eudemok–. Dena den, eskaintzak Atenearen ohoretan egin behar zenituzke, jakintzaren jainkosa baita, eta ez Artemisaren ohoretan, ehizaren jainkosa baita. –Lagun bat ikustera noanean, beti eramaten dut opariren bat, eta jainkosa baten etxera zergatik ez dut eramango? –arrazoitu zuen Apoloniok. Eudemok galdetu zion: –Orduan, zer opari ekarri didazu niri? Apoloniok sorbalda altxatu eta erantzun zion: –Ez al da nahikoa lagun baten besarkada! Gainera, gustuko dituzunez, asmakizun geometriko bat ekarri dizut: Nola aurki daiteke hiru zirkunferentzia jakinen zirkunferentzia ukitzaile bat? Bi zirkunferentzia ukitzailek puntu batean ebakitzen badute elkar, zenbat puntutan ebaki dezakete elkar bi zirkunferentziak?

Zirkunferentziek elkar ebaki dezakete: • Puntu bakar batean ere ez. • Puntu batean, ukitzaileak badira. • Bi puntutan, ebakitzaileak badira.

917840 _ 0284-0315.qxd

7/2/08

16:25

Página 286

Irudi lauak. Azalerak ARIKETAK 001

Kalkulatu triangelu angeluzuzen baten hipotenusa, katetoen luzerak hauek badira: a) 15 cm eta 8 cm

b) 12 cm eta 35 cm

a) h = 17 cm 002

b) h = 37 cm

Triangelu angeluzuzen batean, katetoak 5 cm eta 12 cm luze dira. Zer luzera du hipotenusak?

h = 13 cm 003

Kalkulatu 16 m luze eta 12 m zabal den laukizuzenaren diagonala. d =

004

256 + 144 = 20 m

Betetzen al da Pitagorasen teorema angeluzuzena ez den triangelu batean? Ez, soilik triangelu angeluzuzenetan betetzen da.

005

Esan angeluzuzenak, zorrotzak ala kamutsak diren neurri hauek dituzten triangeluak: a) 10 cm, 11 cm eta 20 cm b) 4 cm, 5 cm eta 6 cm c) 48 cm, 55 cm eta 73 cm a) 202 > 102 + 112 → Kamutsa b) 62 < 42 + 55 → Zorrotza c) 732 = 552 + 482 → Angeluzuzena

006

16 m luze eta 12 m zabal den lur-sail laukizuzen batean, diagonala marraztu dugu. Kalkulatu diagonalaren luzera. d =

007

Laukizuzen baten zabalera 3 cm-koa da, eta diagonala, 22 cm-koa. Kalkulatu luzera. l =

008

488 − 9 = 21,79 cm

Kalkulatu erronbo baten aldea, diagonalak 12 eta 18 cm luze badira, hurrenez hurren. l=

009

256 + 144 = 20 m

62 + 92 = 10,82 cm

Kalkulatu karratu baten aldea, diagonala 18 cm-koa bada. 182 = a 2 + a 2 → a = 12,73 cm

286

917840 _ 0284-0315.qxd

7/2/08

16:25

Página 287

ERANTZUNAK

010

10

Kalkulatu 7 cm-ko aldea duen triangelu aldeberdinaren altuera. ⎛7⎞ 72 − ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = 6,06 cm ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 2

h=

011

Kalkulatu apotema. a)

b) 17,5 cm

4 cm

12 cm

a) a = 012

b) a =

17, 52 − 62 = 16,44 cm

Kalkulatu 8 cm-ko alde berdinak eta 6 cm-ko oinarria dituen triangelu isoszelearen altuera. h=

013

42 − 22 = 3,46 cm

82 − 32 = 7,42 cm

Kalkulatu 12 cm-ko altuera duen triangelu aldeberdinaren aldearen luzera. ⎛l⎞ 3l 2 → l = 13,86 cm h 2 = l 2 − ⎜⎜ ⎟⎟⎟ → 144 = ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 4 2

014

Kalkulatu 10 cm-ko apotema duen hexagono erregularraren aldearen luzera. ⎛l⎞ 3l 2 → l = 11,55 cm a 2 = l 2 − ⎜⎜ ⎟⎟⎟ → 100 = ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 4 2

015

Kalkulatu poligono hauen azalerak: a) b) c) d)

5,4 cm altu eta 9 cm zabal den laukizuzena. 6 dm-ko aldea duen karratua. Diagonal handiena 5 dm-koa eta txikiena 3 cm-koa dituen erronboa. Erronboidea. Oinarria: 150 mm; altuera: 65 mm. a) A = 5,4 ⋅ 9 = 48,6 cm2 b) A = 6 ⋅ 6 = 36 dm2 50 ⋅ 3 = 75 cm2 2 d) A = 150 ⋅ 65 = 9.750 mm2 c) A =

016

Kalkulatu 0,06 m-ko diagonala duen karratuaren azalera.

d 2 = l2 + l2 = 2l2 → l2 = 18 cm2

A = l2 = 18 cm2

287

917840 _ 0284-0315.qxd

7/2/08

16:25

Página 288

Irudi lauak. Azalerak 017

Kalkulatu 9 cm-ko aldea eta 5 cm-ko diagonal txikia dituen erronboaren azalera. 2 ⎛ D ⎞⎟ ⎛ ⎞ ⎜⎜ ⎟ = l 2 − ⎜⎜ d ⎟⎟ → D = 92 − 2, 52 → D = 17,29 cm ⎜⎝ 2 ⎟⎟⎠ ⎜⎝ 2 ⎟⎟⎠ 4 2

A=

018

2

D ⋅d 17, 29 ⋅ 5 = = 43, 23 cm2 2 2

Kalkulatu poligonoen azalera. 16 cm

b) 12 cm

10 cm

a)

c) 12 cm

22 cm

21 cm

a) A =

21 ⋅ 12 = 126 cm2 2

b) A =

16 + 22 ⋅ 10 = 190 cm2 2

c) c = 019

144 − 49 = 9,75 cm → A =

7 ⋅ 9, 75 = 34,11 cm2 2

Kalkulatu 14 cm-ko alde berdinak eta 22 cm-ko oinarria dituen triangelu isoszelearen azalera. h=

020

7 cm

142 − 112 = 8,66 cm → A =

22 ⋅ 8,66 = 95,26 cm2 2

Kalkulatu trapezioaren azalera. 9 cm 6 cm 12 cm

⎛ 12 − 9 ⎞⎟ 9 + 12 ⎟ = 5,81 cm → A = 62 − ⎜⎜ ⋅ 5,81 = 61 cm2 ⎜⎝ 2 ⎟⎟⎠ 2 2

h=

021

Kalkulatu irudiaren azalera.

5m

20 m

5m

15 m

10 m

Azalera azalera hauen batura da: 5 m-ko aldea duen karratuarena, 30 m-ko oinarriko eta 5 m-ko altuerako laukizuzenarena, eta 15 m-ko oinarriko eta 15 m-ko altuerako triangeluarena.

30 m

A = 52 + 5 ⋅ 30 +

288

15 ⋅ 15 = 25 + 150 + 112,5 = 287,5 m2 2

917840 _ 0284-0315.qxd

7/2/08

16:25

Página 289

ERANTZUNAK

022

10

Kalkulatu irudiaren azalera.

9m

18 m

15 m

14 m 7m

18 m

Azalera irudi hauen azaleren batura da: 4 m-ko oinarriko eta 9 m-ko altuerako triangeluarena, eta bi trapeziorena. Trapezio batek 9 m eta 18 m-ko oinarriak eta 11 m-ko altuera ditu; besteak, 18 m eta 14 m-ko oinarriak, eta 7 m-ko altuera. A=

023

9⋅4 9 + 18 18 + 14 + ⋅ 11 + ⋅ 7 = 18 + 148,5 + 112 = 278,5 m2 2 2 2

8 puntako izar hau egiteko, 10 cm-ko aldea duen oktogono erregular bati 8 triangelu aldeberdin gehitu zaizkio, triangeluaren aldea eta oktogonoaren aldea berdinak direla. Oktogonoaren apotema 12,07 cm-koa dela jakinda, kalkulatu izarraren azalera. Azalera oktogonoaren azaleraren eta 8 triangeluen azaleren batura da: h=

10 ⋅ 8 ⋅ 12,07 8,66 ⋅ 10 +8⋅ = 2 2 = 482,8 + 346,4 = 829,2 cm2

A=

10 cm

024

100 − 25 = 8,66 cm

Kalkulatu zirkunferentzia hauen luzera. a) Erradioa: 2,3 cm.

b) Diametroa: 16 cm.

a) L = 2π ⋅ 2,3 = 14,44 cm b) L = π ⋅ 16 = 50,24 cm 025

Zirkunferentziaren luzera 49 cm-koa da. Kalkulatu erradioa. r =

026

49 = 7,8 cm 2π

Zer arku-luzera du 50°-ko angelu batek 7,8 cm-ko erradioa duen zirkunferentzian?

L = 2π ⋅ 7,8 = 49 cm 50 x = → x = 6,8 cm 360 49 Arku-luzera 6,8 cm-koa da.

289

917840 _ 0284-0315.qxd

7/2/08

16:25

Página 290

Irudi lauak. Azalerak 027

Zirkunferentzia batean, 30°-ko angeluari 2 cm-ko arkua dagokio. Kalkulatu zirkunferentziaren erradioa eta luzera. 30 2 = → L = 24 cm 360 L r =

028

24 = 3,82 cm 2π

Kalkulatu 18 cm-ko erradioko zirkuluaren azalera.

A = π ⋅ 182 = 1.017,36 cm2 029

Kalkulatu 25 cm-ko diametroko zirkuluaren azalera.

A = π ⋅ 12,52 = 490,625 cm2 030

Kalkulatu 100 mm-ko eta 7 cm-ko erradioa duten bi zirkunferentziaren arteko koroa zirkularraren azalera.

A = π ⋅ (102 − 72) = 160,14 cm2 031

14 cm-ko erradioa duen tarta bat 4 zati berdinetan banatu da. Kalkulatu zati bakoitzaren azalera. A=

π ⋅ 142 = 153,86 cm2 4

032

Kalkulatu karratu batean inskribatutako zirkuluaren azalera; karratuaren diagonala: 50 cm. Zirkuluaren diametroa karratuaren aldearen berdina da; Pitagorasen 50 = 5 cm . teorema aplikatuz: l = 2 Beraz, azalera hau da: A = π ⋅ 2,52 = 19,63 cm2.

033

Kalkulatu triangelu aldeberdin baten, karratu baten eta pentagono erregular baten barruko angeluen batura. Triangelu aldeberdin baten barruko angeluen batura 180° da. Karratu baten barruko angeluen batura 360° da. Pentagono erregular baten barruko angeluen batura 540° da.

034

Kalkulatu eneagono erregular baten barruko angeluen batura, barruko angelu baten neurria eta erdiko angeluarena. Barruko angeluen batura 1.260° da. Barruko angelu baten neurria 140° da. Erdiko angeluaren neurria 40° da.

290

917840 _ 0284-0315.qxd

7/2/08

16:25

Página 291

ERANTZUNAK

035

10

Kalkulatu dodekagono erregular baten erdiko angelua eta barruko angelua. Erdiko angeluaren neurria 30° da. Barruko angelu baten neurria 150° da.

036

Zergatik ezin da aplikatu erdiko angelua kalkulatzeko formula poligono irregularretan? Normalean, poligono irregularrek ez dute zentrorik izaten.

037

Kalkulatu zirkunferentzia batean inskribatutako angelu hauen arkua: a) 40°

b) 104°

a) 20° 038

b) 54°

d) 148°

c) 41°

d) 148°

Kalkulatu adierazitako bi arkuak hartzen dituen zirkunferentzia baten barruko angelua: a) 90° eta 30°

b) 48° eta 72°

a) 60° 039

c) 82°

b) 60°

c) 60° eta 120° c) 90°

d) 110° eta 30° d) 70°

Marraztu 3 cm-ko erradioa duen zirkunferentzia eta markatu AB diametroa. Adierazi zirkunferentziako P puntu bat eta kalkulatu APB . P

A

040

180°-ko arkua hartzen duen angelu inskribatua osatzen da; beraz, osatutako angelua 90°-koa da.

B

Marraztu 3 cm-ko erradioa duen zirkunferentzia eta kanpoko bi angelu. Kalkulatu angeluen neurriak, garraiagailuaren laguntzaz. G

30° G

45°

Kalkulatu adierazitako angeluak. B$ C$ G

A$

D$ G

041

180 − 90 270 − 90 = 135° C$ = = 90° A$ = 180 − 2 2 $ = 225 − 135 = 45° $ = 90 = 45° B D 2 2

291

917840 _ 0284-0315.qxd

7/2/08

16:25

Página 292

Irudi lauak. Azalerak ARIKETAK 042 ●

Kalkulatu kasu bakoitzean adierazitako katetoak dituzten triangelu angeluzuzenen hipotenusa. a) 10 cm eta 8 cm c) 4 cm eta 9 cm b) 7,2 cm eta 11,6 cm

043

d)

5 cm eta

8 cm

a) h = 12,81 cm

c) h = 9,85 cm

b) h = 13,65 cm

d) h = 13 = 3,61 cm

Kalkulatu BC, BD eta BE zuzenkien luzerak.

●

1 cm D 1 cm

E

BC =

C 1 cm A

2 cm

5 cm

BD =

6 cm

BE =

7 cm

B

044

Erantzun galderei. Erantzuna baiezkoa bada, eman adibide bana.

●●

a) Ba al dago triangelu angeluzuzen aldeberdinik? b) Eta triangelu angeluzuzen isoszelerik? a) Ez, triangelu angeluzuzenen angelu guztiak 60°-koak direlako. b) Bai, badago; esate baterako, 1 cm-eko katetoak eta 2 cm-ko hipotenusa dituen triangelua.

045

EGIN HONELA NOLA KALKULATZEN DIRA KATETOEN LUZERAK, TRIANGELU ANGELUZUZEN ISOSZELEETAN?

x

Kalkulatu triangelu angeluzuzen isoszele baten katetoen neurriak, jakinik hipotenusa 8 cm-koa dela.

8 cm

x

LEHENA. Pitagorasen teorema aplikatu behar da, kontuan hartuta bi katetoen neurria bera dela: x. 82 = x 2 + x 2 → 82 = 2x 2

x-ren balioa kalkulatu behar da. 82 82 = 2x 2 → x 2 = = 32 → x = 2 Katetoak 5,66 cm-koak dira.

BIGARRENA.

046 ●

Kalkulatu triangelu angeluzuzen isoszele baten katetoen neurriak, jakinik hipotenusa 9 cm-koa dela. 81 = c 2 + c 2 → c =

292

32 = 5, 66 cm

81 = 6,36 cm 2

917840 _ 0284-0315.qxd

7/2/08

16:25

Página 293

ERANTZUNAK

047 ●●

ABC triangelu angeluzuzenaren aldeak AB = 8 cm eta AC = 13 cm dira. Kalkulatu BC: a) Angelu zorrotza A erpinean badago. b) Angelu zorrotza B erpinean badago. c) Angelu zorrotza C erpinean badago. a) BC hipotenusa da, BC =

048 ●

10

169 + 64 = 15,26 cm .

b) BC kateto bat da, BC =

169 − 64 = 10,25 cm.

c) BC kateto bat da, BC =

169 − 64 = 10,25 cm.

Adierazi angeluzuzenak diren ala ez triangeluak. Angeluzuzenak direnetan, adierazi hipotenusaren eta katetoen neurriak. a) 5, 12 eta 13 cm-ko aldeak dituen triangelua. b) 6, 8 eta 12 cm-ko aldeak dituen triangelua. c) 5, 6 eta 61 cm-ko aldeak dituen triangelua. d) 7, 24 eta 25 cm-ko aldeak dituen triangelua. a) 132 = 122 + 52 → Triangelu angeluzuzena da. Hipotenusa 13 cm-koa da, eta katetoak, 5 cm eta 12 cm-koak. b) 122 ⫽ 82 + 62 → Ez da triangelu angeluzuzena. c) 61 = 52 + 62 → Triangelu angeluzuzena da. Hipotenusa 61 cm-koa da, eta katetoak, 5 cm eta 6 cm-koak. d) 252 = 242 + 72 → Triangelu angeluzuzena da. Hipotenusa 25 cm-koa da, eta katetoak, 24 cm eta 7 cm-koak.

049

Sailkatu alde hauek dituzten triangeluak zorrotzetan eta kamutsetan:

●

BC 8 8 10 10

CA 6 7 8 9

BC 2 = AB 2 < CA 2 64 > 16 + 36 64 > 9 + 49 100 > 25 + 64 100 < 25 + 81

Mota Kamutsa Kamutsa Kamutsa Zorrotza

Kalkulatu x-ren luzera, irudietan. a) c) x

x

4 cm

5 cm

8 cm

b)

d) cm

●

10

050

AB 4 3 5 5

cm 117 9 cm

x

x

a) x =

2 ⋅ 16 = 5,66 cm

c) x =

25 + 64 = 9,43 cm

b) x =

100 = 7,07 cm 2

d) x =

117 − 81 = 6 cm

293

917840 _ 0284-0315.qxd

7/2/08

16:25

Página 294

Irudi lauak. Azalerak Kalkulatu x-ren luzera, beheko triangeluetan.

b) x =

052

x

x

x

10 cm

a) x =

12 cm

x

cm 12

cm 10

x

d)

c)

x

6 cm

7 cm

100 − 25 = 8,66 cm 4 ⋅ 48 = 8 cm 3

x

72 cm

b)

a) 10 cm

●●

48 cm

051

c) x =

144 − 12,25 = 11,48 cm

d) x =

72 + 9 = 9 cm

Kalkulatu 48 cm-ko perimetroa duen triangelu aldeberdinaren altuera.

●●

Triangeluaren aldea 16 cm-koa da. Altuera hau da: h =

3 ⋅ 256 = 13,86 cm. 4

053

Kalkulatu irudien perimetroak.

●●

a)

b)

25 cm

12 cm 14 cm

28 cm

18 cm

x x

a) x =

z

28 cm 7 cm

16 cm

(28 − 18)2 + 252 =

y 5 cm

725 = 26,93 cm

P = 25 + 28 + 18 + 26,93 = 97,93 cm b) x =

256 + 49 = 17,46 cm

y =

25 + 49 = 8,6 cm

z =

144 + 196 = 18,44 cm

P = 16 + 28 + 5 + 8,6 + 18,44 + 12 + 28 + 14 + 17,46 = 147,5 cm 054 ●

294

Kalkulatu alde hau duten hexagono erregularren apotema: a) 10 cm

b) 16 cm

c) 7 cm

a) a =

100 − 25 = 8,66 cm

b) a =

256 − 64 = 13,86 cm

c) a =

49 − 12,25 = 6,06 cm

917840 _ 0284-0315.qxd

7/2/08

16:25

Página 295

ERANTZUNAK

055

10

EGIN HONELA NOLA KALKULATZEN DA EDOZEIN TRIANGELUREN ALTUERA, ALDEEN NEURRIAK JAKINIK? Kalkulatu 5 cm, 8 cm eta 10 cm-ko aldeak dituen triangeluaren altuera.

C 5 cm

8 cm

h

Triangelua marraztu eta elementu guztiak izendatu behar dira.

LEHENA.

Altuerak bi zatitan banatzen du triangeluaren oinarria: AH; luzera x izango da. HB; luzera 10 − x izango da. BIGARRENA.

10 − x

x A

H

G

B F

10 cm

Lortutako bi triangelu angeluzuzenetan Pitagorasen teorema aplikatu

behar da.

AHC triangeluan: 52 = x 2 + h 2 → h 2 = 52 − x 2 HBC triangeluan: 82 = (10 − x)2 + h 2 → h 2 = 82 − (10 − x)2 Bi adierazpenak berdindu behar dira. ⎫⎪⎪ h = 52 − x 2 → 52 − x 2 = 82 − (10 − x )2 2 2 2⎬ h = 8 − (10 − x ) ⎭⎪⎪

HIRUGARRENA. 2

25 − x 2 = 64 − (100 + x 2 − 20x) 25 − x 2 = 64 − 100 − x 2 + 20x 20x = 61 → x = 3,05 cm LAUGARRENA.

h-ren balioa kalkulatu behar da.

h = 52 − x 2 → h = 2

52 − 3, 052 = 3, 96 cm

056

Zehaztu triangeluaren altuera, alde hauetarako:

●●

a) AB = 4 cm, BC = 7 cm eta CA = 9 cm b) AB = 6 cm, BC = 10 cm eta CA = 14 cm c) AB = 5 cm, BC = 11 cm eta CA = 15 cm Alde handiena oinarri gisa hartuko dugu: ⎪⎫⎪ → 42 − x 2 = 72 − (9 − x 2) → a) h 2 = 42 − x 2 2 2 2⎬ h = 7 − (9 − x ) ⎪⎪⎭ → 16 − 49 + 81 = 18x → x = 2,67 x = 2,67

h 2 = 42 − x 2 ⎯⎯⎯⎯→ h 2 = 16 − 7,11 → h = 2,98 cm ⎫⎪⎪ → 62 − x 2 = 102 − (14 − x 2) → b) h 2 = 62 − x 2 2 2 2⎬ h = 10 − (14 − x ) ⎭⎪⎪ → 36 − 100 + 196 = 28x → x = 4,71 x = 4,71

h 2 = 62 − x 2 ⎯⎯⎯⎯→ h 2 = 36 − 22,18 → h = 3,71 cm ⎫⎪⎪ → 52 − x 2 = 112 − (15 − x 2) → c) h 2 = 52 − x 2 2 2 2⎬ h = 11 − (15 − x ) ⎪⎪⎭ → 25 − 121 + 225 = 30x → x = 4,3 x = 4,3

h 2 = 52 − x 2 ⎯⎯⎯⎯→ h 2 = 25 − 18,49 → h = 2,55 cm

295

917840 _ 0284-0315.qxd

7/2/08

16:25

Página 296

Irudi lauak. Azalerak Kalkulatu P eta A puntuen arteko distantzia, CP = DP bete dadin. a)

b)

C

D

P A

7 cm

a) CP CP b) CP CP 058 ●

059

2 2

A

B

⎫⎪ = 16 + AP ⎪ ⎬ = 9 + (7 − AP )2 ⎪⎪⎭ 2 ⎪⎫⎪ = 4 + AP ⎬ 2⎪ = 9 + (6 − AP ) ⎪⎭ 2

6 cm

B

→ 16 + AP 2 = 9 + (7 − AP )2 → → 14AP = 42 → AP = 3 cm → 4 + AP 2 = 9 + (6 − AP )2 → → 12AP = 41 → AP = 3,42 cm

Kalkulatu 7 cm-ko oinarria eta 24 cm-ko perimetroa dituen laukizuzenaren azalera. Altuera hau da: h =

24 − 14 = 5 cm. Azalera hau da: A = 7 ⋅ 5 = 35 cm2. 2

Kalkulatu 22,4 cm-ko perimetroa duen karratuaren azalera.

●

061

2

P

Kalkulatu laukizuzen baten azalera, oinarria 10 cm-koa bada, eta diagonala, 116 cm-koa. Laukizuzenaren altuera hau da: h = 116 − 100 = 4 cm. Azalera hau da: A = 10 ⋅ 4 = 40 cm2.

●

060

2

C

2 cm

3 cm

4 cm

D

3 cm

057 ●●●

Karratuaren aldea hau da: l =

22,4 = 5,6 cm . Azalera 31,36 cm2-koa da. 4

Kalkulatu margotutako zatiaren azalera.

●●

4 cm 8 cm 11 cm 6 cm

A = 6 ⋅ 8 + 9 ⋅ 4 + 11 ⋅ 8 + 9 ⋅ 4 = = 48 + 36 + 88 + 36 = 208 cm2

4 cm 9 cm

062 ●●

063

Kalkulatu karratu baten aldea, jakinik azalera 84,64 cm2-koa dela. l=

84,64 = 9,2 cm

Kalkulatu 3 cm-ko erradioko zirkunferentzian inskribatutako karratuaren azalera.

●●

Karratuaren diagonala diametroaren berdina da; beraz, 6 cm-koa da. 3 cm

Aldea hau da: l =

36 = 4,24 cm . 2

Azalera 18 cm2-koa da.

296

917840 _ 0284-0315.qxd

7/2/08

16:25

Página 297

ERANTZUNAK

064 ●●

Adierazi zuzenak ala okerrak diren esaldiak, jakinik a karratu baten aldea dela. Arrazoitu erantzunak. a) Diagonalaren neurria b) Perimetroa 4a 2 da.

2 a 2 da.

a) Okerra, diagonala d =

c) Azalera a 4 da. d) Diagonalaren berbidura 2a 2 da.

2a 2 da.

b) Okerra, perimetroa P = 4a da. 065

066

c) Okerra, azalera A = a 2 da. d) Zuzena.

Kalkulatu 12,25 cm2-ko azalera duen karratuaren diagonalaren neurria.

●●

●●●

10

A = 12,25 cm2 → a = 3,5 cm → d =

2 ⋅ 12,25 = 4,95 cm

Aurkitu 4 cm-ko aldea duen karratuaren azalera bereko laukizuzen bat. Arrazoitu zenbat laukizuzenek betetzen duten baldintza hori. Laukizuzen hauek betetzen dute baldintza: aldeen biderkadura 16 dutenek; hau da, a ⋅ b = 16. Beraz, infinitu ebazpen daude. Esate baterako, a = 2 cm, b = 8 cm.

067 ●

Kalkulatu erronbo baten azalera, diagonalak hauek direla jakinik: a) 4 cm eta 12 cm a) A =

068 ●●

b) 3 cm eta 9 cm

4 ⋅ 12 = 24 cm2 2

b) A =

3⋅9 = 13,5 cm2 2

Kalkulatu 30,1 cm2-ko azalera duen erronboaren diagonal baten neurriak, jakinik beste diagonala 7 cm luze dela. A=

D ⋅d 2⋅A 60,2 →D = →D = = 8,6 cm 2 d 7

Kalkulatu erronboen perimetroak eta azalerak.

●●

a)

5 cm

b)

cm 5,6

069

8 cm 6 cm

a) l =

42 + 32 = 5 cm

b) D = 10 cm A=

10 ⋅ 5,04 = 25,2 cm2 2

A=

8⋅6 = 24 cm2 2

P = 5 ⋅ 4 = 20 cm

d = 2 ⋅ 5,62 − 52 = 5,04 cm

P = 5,6 ⋅ 4 = 22,4 cm

297

917840 _ 0284-0315.qxd

7/2/08

16:25

Página 298

Irudi lauak. Azalerak 070

Kalkulatu irudien perimetroak eta azalerak.

●●

a)

6 cm

7 cm

5

b)

cm

4 cm

3 cm 12 cm

a) l = 72 + 42 = 8,06 cm A = 7 ⋅ 6 = 42 cm2 P = 2 ⋅ 6 + 2 ⋅ 8,06 = 28,12 cm b) h = 52 − 32 = 4 cm A = 12 ⋅ 4 = 48 cm2 P = 2 ⋅ 5 + 2 ⋅ 12 = 70 cm

●

Kalkulatu triangeluen azalerak. a)

b) 6c m

071

4 cm

3,6 cm

4,2 cm

6 cm

a) A = b) h = A=

072 ●

298

6⋅4 = 12 cm2 2 62 − 3, 62 = 4,8 cm 4,8 ⋅ (3,6 + 4,2) = 18,72 cm2 2

Kalkulatu triangelu aldeberdin batzuen azalerak, jakinik perimetro hauek dituztela: a) 36 cm

b) 6 dm

c) 0,153 m

a) l = 12 cm

h=

3 2 l = 10,39 cm 4

A=

12 ⋅ 10,39 = 62,34 cm2 2

b) l = 2 dm

h=

3 2 l = 1,73 dm 4

A=

2 ⋅ 1,73 = 1,73 dm2 2

c) l = 51 cm

h=

3 2 l = 44,17 cm 4

A=

51 ⋅ 44,17 = 1.126,33 cm2 2

917840 _ 0284-0315.qxd

7/2/08

16:25

Página 299

ERANTZUNAK

073 ●

10

Kalkulatu triangelu isoszele baten azalera. Alde berdinak 7 cm-koak dira, eta desberdina, 9 cm-koa. ⎛9⎞ 72 − ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = 5,36 cm ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 2

h= A=

074 ●●

9 ⋅ 5,36 = 24,12 cm2 2

Kalkulatu triangelu isoszele baten azalera. Alde berdinek 10 cm dituzte, eta desberdinak, alde berdin batek baino 4 bateko gehiago. ⎛ 14 ⎞ 102 − ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = 7,14 cm ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 2

h= A=

14 ⋅ 7,14 = 50 cm2 2

075

Kalkulatu azalera hauek dituzten triangelu angeluzuzen isoszeleen altuera eta oinarria:

●●

a) 200 cm2 b) 120,125 m2

c) 450 dm2 d) 317,52 mm2

Kateto bat oinarri gisa hartuko dugu, eta bestea, altuera gisa: a) 200 =

c ⋅c → c = 20 cm 2

Hipotenusa = Altuera = b) 120,125 =

400 − 200 =

c) 450 =

800 = 28,28 cm

200 = 14,14 cm

c ⋅c → c = 15,5 m 2

Hipotenusa = Altuera =

400 + 400 =

240,25 + 240,25 =

240,25 − 120,125 =

480,5 = 21,92 m

120,125 = 10,96 m

c ⋅c → c = 30 dm 2

Hipotenusa = Altuera = d) 317,52 =

900 − 450 =

1.800 = 42,42 dm

450 = 21,21 dm

c ⋅c → c = 25,2 mm 2

Hipotenusa = Altuera =

900 + 900 =

635,04 + 635,04 =

635,04 − 317,52 =

1.270,08 = 35,64 mm

317,52 = 17,82 mm

299

917840 _ 0284-0315.qxd

7/2/08

16:25

Página 300

Irudi lauak. Azalerak 076

Kalkulatu trapezioen azalerak.

●●

a)

d)

12 m

17 m

8m

5m 20 m

b)

4m

e)

20 m

14 m

202 m

7m 10 m

25 m

c) 12 m

9m

f)

15 m

6m

12 ,93 m

7m

20 + 12 ⋅ 8 = 128 m2 a) A = 2 20 + 10 ⋅ 7 = 105 m2 b) A = 2 c) b =

12 + 25,94 A= ⋅ 9 = 170,73 m2 2

4m

17 + 4 ⋅ 5 = 52,5 m2 d) A = 2 e) h = A=

152 − 92 = 12 m

B = 6 + 12 + 122 − 92 = 25,94 m

202 − 121 = 9 m 14 + 25 ⋅ 9 = 175,5 m2 2

f) h =

12, 932 − 122 = 4,81 m 23 + 12 ⋅ 4,81 = 84,17 m2 2

A=

EGIN HONELA

5 cm cm 2,5

NOLA KALKULATZEN DA TRAPEZIO ISOSZELE BATEN AZALERA, ALTUERA JAKIN GABE?

2,5 cm

077

12 m

Kalkulatu trapezio isoszelearen azalera. Altuera zehazten duen triangelu angeluzuzenaren oinarria kalkulatu behar da. Trapezioa isoszelea denez, altuerek bi triangelu angeluzuzen berdin zehazten dituzte; haietako bakoitzaren oinarria triangeluen oinarrien kenduraren erdia da.

8 cm

LEHENA.

h

1,5 A E

C

5 cm

h

cm 2,5

2,5 cm

D

1,5 F B

AB − CD 8−5 = = 1,5 cm 2 2 BIGARRENA. Altuera zehazten duen triangelu angeluzuzenari Pitagorasen teorema aplikatu behar zaio. D 1,52 + h 2 = 2,52 h 2 = 2,52 − 1,52 = 6,25 − 2,25 = 4 h 2,5 cm

AE = FB =

h=

4 = 2 cm

Trapezioaren azalera kalkulatu behar da. (B + b ) ⋅ h (8 + 5) ⋅ 2 A= = = 13 cm2 2 2

HIRUGARRENA.

300

1,5

A

E

917840 _ 0284-0315.qxd

7/2/08

16:25

Página 301

ERANTZUNAK

078

Kalkulatu trapezio isoszeleen azalerak.

●●

a)

b)

6m 3

m

m

3

5

5

m

10

m

4m 14 m

10 m

a) h = A=

32 − 22 = 2, 24 m 10 + 6 ⋅ 2,24 = 17,89 m2 2

b) d = 14 − 4 − 4 = 6 m h= A=

25 − 16 = 3 m 14 + 6 ⋅ 3 = 30 m2 2

079

Kalkulatu irudien azalerak.

●●

a)

c) 10 cm 7 cm 5 cm

7 cm

6 cm

12 cm

13 ,61 m

8m

b)

d)

4m 9m

18 cm

16 m 14 m

14 m

5⋅7 7 ⋅ 10 18 + 12 + + ⋅6 = 2 2 2 = 17,5 + 35 + 84 = 126,5 cm2

a) A = A1 + A 2 + A 3 =

3 ⋅ 142 = 12,12 cm 4 12,12 ⋅ 84 Ah = = 509,04 cm2 2 12,12 ⋅ 12 At = = 84,84 cm2 2 A = Ah + 6 ⋅ At = 509,04 + 509,04 = 1.018,08 cm2

b) Apotema =

c) Apotema =

13,612 − 82 = 11,01 cm

11,01 ⋅ 80 = 440,4 cm2 2 Ar = 16 ⋅ 8 = 128 cm2 A = Ap + 5 ⋅ Ar = 440,4 + 640 = 1.080,4 cm2

Ap =

d) A =

(14 + 4) ⋅ 9 = 81 cm2 2

301

917840 _ 0284-0315.qxd

7/2/08

16:25

Página 302

Irudi lauak. Azalerak 080

Idatzi falta diren datuak beheko taulan.

●

081 ●

Erradioa

Diametroa

2 cm 3,5 cm 4,7 cm 5 cm 6,3 cm 7,8 cm

4 cm 7 cm 9,4 cm 10 cm 12,6 cm 15,6 cm

Zirkunferentziaren luzera 12,57 cm 21,99 cm 29,516 cm 31,41 cm 39,58 cm 48,984 cm

Kalkulatu gorriz adierazitako arkuen luzerak. B

a)

B

A

c)

b)

100°

d)

225° 3 cm

130°

A 4,5 m

3, 8

A

B

082 ●●

083 ●●

●●

●●

302

A

2π ⋅ 3 ⋅ 100 = 5,23 cm 360

c) L =

2π ⋅ 3,8 ⋅ 130 = 8,62 cm 360

b) L =

2π ⋅ 4,5 ⋅ 225 = 17,66 cm 360

d) L =

2π ⋅ 5,6 ⋅ 75 = 7,33 cm 360

Zer diametro du 50,24 cm-ko luzera duen zirkunferentziak? d =

50,24 = 16 cm π

Kalkulatu zirkunferentzia baten diametroa, jakinik 50o-ko arkuaren luzera 5,23 cm-koa dela. d ⋅ π ⋅ 50 → d = 12 cm 360

Zer luzera du zirkunferentzia batek, 110o-ko arkua 57,57 cm-koa bada? L=

085

75°

B

a) L =

5,23 =

084

5,6 m

m

57,57 ⋅ 360 = 188,41 cm 110

Osatu taula. 60°-ko arkuaren luzera 9,42 cm 12,13 cm 4,18 cm

85°-ko arkuaren luzera 13,34 cm 17,79 cm 5,93 cm

190°-ko arkuaren luzera 29,83 cm 38,42 cm 13,26 cm

Zirkunferentziaren luzera 56,52 cm 72,8 cm 25,12 cm

917840 _ 0284-0315.qxd

7/2/08

16:25

Página 303

ERANTZUNAK

086

Kalkulatu bi irudien perimetroak.

●●

a)

10

b) 4m 8m

2m

a) r = 8 m b) R =

087 ●

R = 8 ⋅ 5 = 40 m

5m

L = 40π + 5 ⋅ 8π = 251,2 m

4 + 8 + 10 = 11 m 2

L = 11π + 2π + 4π + 5π = 69,08 m

Kalkulatu zirkulu baten azalera, baldin: a) 6 cm-ko erradioa badu.b) 6 cm-ko diametroa badu. c) 7,2 cm-ko erradioa badu. a) A = 36π = 113,04 cm2 b) A = 9π = 28,26 cm2 c) A = 51,84π = 162,78 cm2

088

Kalkulatu 321,4 cm-ko zirkunferentzia batek mugatutako zirkuluaren azalera.

●

r =

089

321,4 = 51,18 cm 2π

A = π ⋅ 51,182 = 8.224,35 cm2

Kalkulatu arku-luzera hauek dituzten zirkuluen azalerak:

●●

3,6 cm

a)

B

A

45°

39,25 cm

42,39 cm

b)

c)

B

150°

135°

A

86,52 cm

A

d)

B 50°

B

2πr ⋅ 45 → r = 4,58 cm 360 A = π ⋅ 21 = 65,94 cm2

A

a) 3,6 =

2πr ⋅ 135 → r = 18 cm 360 A = π ⋅ 324 = 1.017,36 cm2

b) 42,39 =

2πr ⋅ 150 → r = 15 cm 360 A = π ⋅ 225 = 706,5 cm2

c) 39,25 =

2πr ⋅ 310 → r = 16 cm 360 A = π ⋅ 256 = 803,84 cm2

d) 86,52 =

303

917840 _ 0284-0315.qxd

7/2/08

16:25

Página 304

Irudi lauak. Azalerak 090 ●

Kalkulatu sektore zirkular hauen azalerak: a)

b) 85°

120°

13 cm

a) A =

091

m 6,8

π ⋅ 132 ⋅ 85 = 125,29 cm2 360

b) A =

π ⋅ 6,82 ⋅ 240 = 96,8 m2 360

Kalkulatu margotutako sektoreen azalerak.

●●

a)

8m 6,2 B 45°

A

B

b)

115°

4m

A

2πr ⋅ 45 →r =8m 360 π ⋅ 64 ⋅ 45 A= = 25,12 m2 360

2πr ⋅ 115 →r =2m 360 π ⋅ 4 ⋅ 130 A= = 4,54 m2 360

a) 6,28 =

092 ●●

b) 4 =

Kalkulatu margotutako zatiaren azalera, baldin: a) b) c) d)

R = 10 m eta r = 6 m R = 12,6 cm eta r = 5 cm R = 3r eta r = 2,4 cm R + r = 31 m eta R − r = 5 m

R

r

a) A = π ⋅ (100 − 36) = 200,96 m2 b) A = π ⋅ (158,76 − 25) = 420 cm2 c) A = π ⋅ (51,84 − 5,76) = 164,69 cm2 d) R + r = 31 m⎪⎫ → R = 18 m → r = 13 m ⎬ R − r = 5 m ⎪⎪⎭

A = π ⋅ (324 − 169) = 486,7 m2

093

Kalkulatu margotutako zatien azalerak.

●●

a) 15 m 78° F

8m

304

G

AKoroa = π ⋅ (225 − 64) = 504,54 m2 A Sektorea =

505,54 ⋅ 78 = 109,53 m2 360

917840 _ 0284-0315.qxd

7/2/08

16:25

Página 305

ERANTZUNAK

b) 20 m G F

90°

16 m

Margotutako zatiaren azalera hau da: kanpoko koroaren erdia gehi barruko zirkuluaren erdia. Beraz, zirkulu handienaren erdia da guztira. A=

π ⋅ 362 = 2.034,72 m2 2

Kalkulatu margotutako zatien azalerak. a)

c)

4m

b)

d) 10 m

5m

2m

094 ●●●

10

1m 3 m

a) a =

42 − 22 = 3,46 m

24 ⋅ 3,46 = 41,52 m2 2 AZirkulua = π ⋅ 3,462 = 37,59 m2

AHexagonoa =

A = AHexagonoa − AZirkulua = 41,52 − 37,59 = 3,93 m2 b) A = ALaukizuzena − 2 ⋅ AZirkulua = 20 ⋅ 10 − 2π ⋅ 52 = 400 − 157 = 243 m2 c) A = AKarratua − 4 ⋅

A Zirkulua = 102 − π ⋅ 52 = 100 − 78,5 = 21,5 m2 4

d) A = A3 − A2 + A1 = π ⋅ 9 − π ⋅ 4 + π ⋅ 1 = 18,84 m2

095 ●

Osatu taula, kontuan hartuta poligonoak erregularrak direla. Alde kopurua Angeluen batura

3 180°

4 360°

5 540°

6 720°

7 900°

…

…

Barruko angelua

60°

360° = 90° 4

118°

120°

128,6°

…

a) Zein da angelu txikiena duen poligonoa? b) Eta angelu handiena duena? a) Angelu txikiena duen poligonoa triangelua da. b) Angelu handiena duen poligonoa alde gehien dituena da, eta alde kopurua infinitua bada, zirkunferentzia da.

305

917840 _ 0284-0315.qxd

7/2/08

16:25

Página 306

Irudi lauak. Azalerak 096 ●●

Kalkulatu angeluen batura, 3, 4, 5 eta 6 alde dituzten poligonoetan. a) Zer alde dago poligono bakoitzaren baturaren eta alde bat gutxiagokoaren baturaren artean? b) 15 aldeko poligono bateko angeluen batura 2.340°-koa bada, zenbatekoa da 16 aldeko baten angeluen batura? a) Aldea 180°-koa da beti. b) Batura hau da: 2.340° + 180° = 2.520°.

097 ●

Kalkulatu markatutako angeluen balioa. a)

c)

A

e)

A

A

O O

O B

b) B

O

A

B B

O

A

d)

f)

O B

B A

a) Inskribatua: 180° : 2 = 90°. b) Erdiinskribatua: 300° : 2 = 150°. c) Barrukoa: (180° + 90°) : 2 = 135°. d) Zirkunskribatua: (270° − 90°) : 2 = 90°. e) Kanpokoa: (135° − 45°) : 2 = 45°. f) Erdiinskribatua: 120° : 2 = 60°.

098

 = 15° 20' bada, kalkulatu arku hauen balioak: BC , CD , AD  eta BE . AB

●●

E

C

 = 90° − 15° 20' = 74° 40' BC  = AB  = 15° 20' CD

 = 90° + 15° 20' = 105° 20' AD  = 180° + 15° 20' = 195° 20' BE

306

B A

O

D

917840 _ 0284-0315.qxd

7/2/08

16:25

Página 307

ERANTZUNAK

099

Kalkulatu X$ angeluaren balioa.

●●

a)

X$

10

b)

18° 120°

X$

40°

82°

a) Kanpokoa: (82° − 18°) : 2 = 32°. b) Barrukoa: (120° + 40°) : 2 = 80°.

100 ●●

Une jakin batean, hagatxo bertikalaren itzala eta luzera berdinak dira. Zer triangelu osatzen dute hagatxoak eta haren itzalak? Zenbatekoa da eguzki-izpien inklinazioa?

x

x

Hagatxoak eta haren itzalak triangelu angeluzuzen isoszele bat osatzen dute. Eguzki-izpien inklinazioa 45°-koa da.

101

Kalkulatu kometaren lokarriaren luzera.

●●

7m

24 m

l =

102 ●●

242 + 72 = 25 m

Igerileku bat 17 m luze eta 10 m zabal bada, zenbatekoa da Jonek igeri egin dezakeen gehieneko luzera, zuzen joan behar badu? Gehieneko luzera diagonala da: d =

172 + 102 = 19,72 m .

307

917840 _ 0284-0315.qxd

7/2/08

16:25

Página 308

Irudi lauak. Azalerak 103

16 m-ko altuerako horma bertikal batean, 20 m luze den eskailera bat dago jarrita, inklinatuta. Hormatik zer distantziara dago eskaileraren oinarria?

20

16 m

m

●●

104 ●●

●●

202 − 162 = 12 m

2,5 m luze den eskailera bat hormaren kontra jartzean, oinarria hormatik 0,7 m-ra geratzen da. Hormaren zer altuerara iristen da eskailera? h=

105

d =

2,52 − 0,72 = 2,4 m

Antena bat bi kableren bidez dago lurrari lotuta. Kableak 2,7 m eta 3,6 m luze dira, eta angelu zuzena osatzen dute. Zer distantzia dago kableak lurrari lotuta dauden puntuen artean?

7 2,

m

3,6 m

Kableek osatzen duten triangeluaren hipotenusa da distantzia: d = 106 ●●

2,72 + 3,62 = 4,5 m

Anek lorategi laukizuzena du: 500 m-ko luzerakoa eta 300 m-ko zabalerakoa. Igerileku zirkular bat egin nahi du, 100 m-ko erradiokoa. Zer azalera geratuko zaio soropila landatzeko? Soropila landatzeko azalera lur-sailaren azalera ken igerilekuaren azalera da:

A = 500 ⋅ 300 − π ⋅ 1002 = 150.000 − 31.400 = 118.600 m2 107 ●●

Kamioi baten gurpilak 90 cm-ko erradioa du. Gurpilak 1.000 bira eman dituenean, zenbat egin du aurrera kamioiak? Eta zenbat bira emango ditu 2 km egiteko? Gurpilaren luzera hau da: L = 2π ⋅ 90 = 565,2 cm. 1.000 bira ematean, aurrera egindako distantzia: 1.000 ⋅ 565,2 = 565.200 m. 2.000 m egiteko, gurpilak bira hauek emango ditu:

308

2.000 = 5,53 bira. 565,2

917840 _ 0284-0315.qxd

7/2/08

16:25

Página 309

ERANTZUNAK

108

Bi auto aldi berean eta norabide elkarzutetan atera dira hiri batetik. Lehena 60 km/h-ko abiaduran doa, eta bigarrena, 89 km/h-koan. Zer distantzia egongo da haien artean, ordu eta laurden pasatutakoan? F

●●●

10

60 km/h

x

89 km/h

F

Errepideek osatzen duten triangeluaren hipotenusa da distantzia. Lehen autoak egindako distantzia 75 km-koa da, eta bigarrenak egindakoa, 111,25 km-koa. Bien arteko distantzia hau da: x = 109 ●●●

752 + 111,252 = 134,17 km.

Bi hegazkin aldi berean eta norabide elkarzutetan atera dira aireportu batetik. Lehena 600 km/h-ko abiaduran doa, eta bigarrena, 800 km/h-koan. a) Zer distantzia dago bien artean 2 ordu geroago? b) Irrati-seinalea 500 km-ra iristen bada, izango al dute harremanetan jartzeko aukerarik ordu-erdia pasatutakoan? a) 2 ordu geroago, lehen hegazkinak 1.200 km ditu, eta bigarrenak, 1.600 km. Beraz, bien arteko distantzia hau da: d =

1.2002 + 1.6002 = 2.000 km

b) Ordu-erdia pasatutakoan, lehen hegazkinak 300 km egin ditu, eta bigarrenak, 400 km. Beraz, bien arteko distantzia hau da: d = 110 ●●●

900 + 1.600 = 500 km eta irrati-seinalearen mugan daude.

Burdin sare bateko metalezko apaingarri batek irudiaren forma du. Kalkulatu apaingarriaren luzera, kontuan hartuta karratuaren azalera 256 cm2-koa dela.

256 cm2

Karratuaren aldea hau da: l =

256 = 16 cm.

2π ⋅ 16 = 25,12 cm. Burdin sarearen lehen zatiaren luzera hau da: L 1 = 4 2π ⋅ 8 = 25,12 cm. Bigarren zatiaren luzera hau da: L 2 = 2 Burdin sarearen luzera hau da: 2 ⋅ 25,12 = 50,24 cm.

309

917840 _ 0284-0315.qxd

7/2/08

16:25

Página 310

Irudi lauak. Azalerak 111 ●●●

Irudiko beiratea egiteko 400 cm2 kristal berde erabili badituzte, zenbat cm2 kristal urdin erabili dituzte? Zirkulu handienaren azalera: π ⋅ r2 2 ⎛r ⎞ π ⋅r2 Zirkulu txikienen azalera: π ⋅ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ = ⎟ ⎝2⎠ 4 Petaloen azalera:

Urdina

G

Berdea

r 2

⎛r ⎞ π ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 2 ⎟⎠

2

r r ⋅ (π − 1) ⋅ r 2 π ⋅r2 r2 2 2 = APetaloa = 2 ⋅ − = − 8 8 4 2 8 ABerdea = AZirkulua − 4 ⋅ ATxikienak + 4 ⋅ APetaloa π ⋅r2 (π − 1) ⋅ r 2 (π − 1) ⋅ r 2 +4⋅ = → 4 8 2 800 →r = = 19,33 cm π −1 AUrdina = π ⋅ r 2 − 400 = 773,83 cm2

400 = π ⋅ r 2 − 4 ⋅

112 ●●●

113 ●●●

Bi poligonok azalera bera badute, izan al ditzakete perimetro desberdinak? Izan ditzakete azalera desberdinak, ez baitago loturarik perimetroaren eta azaleraren artean, antzeko poligonoak ez badira. Perimetroa ⋅ Apotema . 2 Egiaztatu formula hori triangelu aldeberdinari eta karratuari aplikatuz gero, b ⋅h triangeluen azalera kalkulatzeko formula lortuko dugula, A = , 2 bai eta karratuarena ere: A = l 2. Poligono erregularren azalera kalkulatzeko formula hau da: A =

Karratua: l 2 Perimetroa = 4l

a= a

4l ⋅ A=

310

2

l 2

= l2

917840 _ 0284-0315.qxd

7/2/08

16:25

Página 311

ERANTZUNAK

10

Triangelu aldeberdina: Triangelu aldeberdina denez, apotema erradioaren erdia da: a= a

r 2

Altuera = r + a = 3⋅b ⋅ A=

114 ●●●

2

r 2

3r 2 l⋅

=

3r b ⋅ altuera 2 = 2 2

Jakinik a, b eta c triangelu angeluzuzen baten aldeak direla, aztertu ea angeluzuzenak diren alde hauek dituzten triangeluak: a) 2a, 2b eta 2c b) a + 5, b + 5 eta c + 5 a b c , eta c) 3 3 3 d) 2a, 3b eta 4c Ondoriozta al dezakezu arau orokor bat?

a, b eta c aldeak dituen triangelu angeluzuzena emanda, nola lor ditzakezu beste triangelu angeluzuzen batzuk? a 2 = b 2 + c 2 dela hartuko dugu aintzat: a) (2b)2 + (2c)2 = 4 ⋅ (b 2 + c 2) = 4 ⋅ a 2 = (2a)2 → Angeluzuzena da. b) (b + 5)2 + (c + 5)2 = b 2 + 10b + 25 + c 2 + 10c + 25 = b 2 + c 2 + + 10b + 10c + 50 = a 2 + 10a + 50 ⫽ (a + 5)2 → Ez da aldeberdina. ⎛1 ⎛b ⎞ ⎛c ⎞ ⎞ 1 1 ⋅ a 2 = ⎜⎜ ⋅ a ⎟⎟⎟ → Angeluzuzena da. ⋅ (b 2 + c 2 ) = c) ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ + ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ = ⎝⎜ 3 ⎝ 3 ⎟⎠ ⎝ 3 ⎟⎠ ⎠⎟ 9 9 2

2

2

d) (3b)2 + (4c)2 = 9 ⋅ (b 2 + c 2) + 7c 2 = 9 ⋅ a 2 + 7c 2 = (3a)2 + 7c 2 ⫽ (2a)2 → → Ez da aldeberdina.

115 ●●●

Edozein laukitan, seinalatu aldeen erdiko puntuak eta elkartu binaka. Zer irudi osatzen da? Ikertu ea beti betetzen den. G

Laukia eta diagonalak aintzat hartuko ditugu: C

D

F H

B A

E

EFG eta BFC triangeluak Talesen kokapenean daude; beraz, CB eta EG paraleloak dira. HEG eta HAD triangeluak Talesen kokapenean daude; beraz, AD eta EG paraleloak dira. AD eta CB paraleloak dira, bai eta AB eta CD ere. Beraz, beti osatzen da paralelogramoa.

311

917840 _ 0284-0315.qxd

7/2/08

16:25

Página 312

Irudi lauak. Azalerak 116

DE zuzena BC aldearen paraleloa da.

●●●

C

x 12 cm

b D

E A

B

10 cm

a) Kalkulatu BE eta DE zuzenkien luzera, b-ren eta x-ren mende. b) Kalkulatu b eta x, DE = BE + CD eta

CD 5 = izateko. AC 11

a) ABC eta AED triangeluak antzekoak dira. BE 10 10 x = → BE = x b b 12 b 12 ⋅ (b − x ) = → DE = DE b−x b b) Lehen berdintzak hau adierazten du: DE = BE + CD →

12 ⋅ (b − x ) 10 x = +x b b

eta bigarrenak: CD 5 x 5 = → = AC 11 b 11 Lortutako ekuazio-sistema ebatziko dugu: ⎫⎪ 12 ⋅ (b − x ) 10 x = + x ⎪⎪ ⎪⎪ b b ⎬ 5 ⎪⎪ 5b x = ⎪→ x = 11 ⎪⎪⎭ 11 b ⎛ 6b ⎞⎟ ⎟ 12 ⋅ ⎜⎜ ⎜⎝ 11 ⎟⎟⎠

50b 11 12 ⋅ (b − x ) 10 x 5b = + x ⎯⎯⎯⎯→ → = + b b b b 11 72 50 5b 22 → = + → 22 = 5b → b = = 4,4 cm 11 11 11 5 x =

b=

22

5 5b x = ⎯⎯⎯⎯→ x = 2 11

Hots, b = 4,4 cm eta x = 2 cm.

312

5b 11

917840 _ 0284-0315.qxd

7/2/08

16:25

Página 313

ERANTZUNAK

10

EGUNEROKOAN 117 ●●●

Etxeberde eta Etxezuri elkartzen dituen errepidearen ibilbidean aldaketak egin behar dituzte. Ibilbide berria olibondoetatik pasatuko da eta horrek familia askori eragingo dio. Lorearen familiak eta herriko beste askok dagoeneko jaso dute jakinarazpena. tea 1456. espedien

OPHM

a: Andre agurgarri eberde tzen gara, Etx Zuregana zuzen dituen zen art elk ak rri eta Etxezuri he n beegi n ria ber lbide errepidearen ibi zio a ru zk o inf or ma bu ei lan ko ha rre oz. asm emateko -sailaela-eta zure lur Lan horiek dir zko desjabetzea ae hit na ten ba ren zati itako -azal honi erants egingo da, gutun . Horregaan du mo n de planoan ageri jasoko o kalte-ordaina tik, 6.000 €-k duzu. Adeitasunez

90 m

15 m

195 m

Eskrituren arabera, lur-saila 6 hektareakoa da eta kontsultatu duten abokatuak esan dienez, erreklamazio bat eginez gero, desjabetutako metro koadro bakoitzeko 20 € jasotzeko aukera dute. Zenbat ordaindu nahi diete desjabetutako metro koadro bakoitza? Zenbat kobratu dezakete, erreklamazioa eginez gero? Lur-sialaren azalera hau da: 6 ha = 60.000 m2 = (90 + 15 + 195) ⋅ zabalera. 60.000 = 300 ⋅ zabalera → Zabalera = 200 m Errepidearen azalera hau da: 15 ⋅ 200 = 3.000 m2. 6.000 = 2 €. 3.000 Erreklamazioa eginez gero kobratu dezaketena: 20 ⋅ 3.000 = 60.000 €. Desjabetutako metro koadro bakoitzeko ordainduko dietena:

313

917840 _ 0284-0315.qxd

7/2/08

16:25

Página 314

Irudi lauak. Azalerak 1m

Andoni beirateak egiten espezializatutako artisaua da. Andoniren lana oso zaila da; izan ere, beirateek forma geometrikoak izaten dituzte eta neurketa zehatzak egin behar dira, piezak elkartzean akatsik ez egoteko.

h

d

h

1m

l

118 ●●●

Jasotako azken enkarguan, irudian ageri den forma duten 25 beirateren aurrekontua egiteko eskatu diote. Koloretako kristalak 5,25 €/m2 balio badu, eta zuriak, 3,20 €/m2, zenbat euro gastatuko du materialetan? Lehendabizi, itzaldutako irudien azalera kalkulatuko dugu. Ondoren, marrazkian marratuta ageri den zatiaren antzeko segmentu zirkularren azalera kalkulatuko dugu.

Karratuaren azalera: ⎫⎪ 2h + d = 1 ⎪⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ h = 1 − 3 = 2 − 3 = 0,14 m 2 ⎪ ⎬ ⎛ 1 ⎞⎟ ⎬⎪ 2 2 3 ⎪⎪ d + h = 1 − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎪d + h = ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎪⎪ ⎪ d h = 1 − 2 = 1 − 2 ⋅ 0,14 = 0, 72 m 2 ⎪⎭ ⎭ d 2 = l 2 + l 2 → 2l 2 = 0,722 → 2l 2 = 0,52 → l 2 = 0,26 → l = 0,51 m Karratuaren azalera = 0,51 ⋅ 0,51 = 0,26 m2 2h + d = 1

Triangeluen azalera: 2 ⎛l⎞ l 2 = ⎜⎜ ⎟⎟⎟ + h t2 → 0, 512 = 0, 262 + h t2 → h t = 0,5 512 − 0, 262 = 0, 44 m ⎝⎜ 2 ⎠⎟ 0, 51 ⋅ 0, 44 = 0,11 m2 2 Triangeluen azalera = 4 ⋅ 0,11 = 0,44 m2 At =

Segmentu zirkularraren azalera: ⎛l⎞ h T2 Sektorea= 12 − ⎜⎜ ⎟⎟⎟ → h T Sektorea= 1 − 0,17 = 0, 91 m ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 0, 51 ⋅ 0, 91 = 0, 23 m2 Triangelu sektorearen azalera = 2 30 π − 0, 23 = 0, 26 − 0, 23 = 0, 03 m2 Segmentuaren azalera = ASektorea − AT Sektorea = 360 2

Ondorioa: Itzaldutakoaren azalera = Karratuarena + 4 triangeluena + 4 segmentuena = = 0,26 + 0,44 + 0,12 = 0,82 m2 Zurizko azalera = 1 − 0,82 = 0,18 m2 Aurrekontua: Beirate baten prezioa = 0,82 ⋅ 5,25 + 0,18 ⋅ 3,20 = 4,3 + 0,58 = 4,88 € 25 beirateren prezioa = 25 ⋅ 4,88 = 122 €

314

917840 _ 0284-0315.qxd

7/2/08

16:25

Página 315

ERANTZUNAK

Udalak urbanizagarri deklaratu du Gorok zerealak landatu dituen lur-sail bat. Berria jaso aurretik, eraikuntza-enpresa baten eskaintza jaso zuen. Errepidearen ondoan duzun lur-saila interesatzen zaigu… 325.000 € ordaintzeko prest gaude… Hau da, ia 100 €/m2 ordainduko dizugu.

65 m

121 m

54 m

72 m

93 m

Goro lur-sailaren planoen bila hasi da, esan diotena egia den ala ez aztertzeko. Egia al da eraikitzaileak dioena? 100 €/m2 ordainduko al liokete?

m

Diagonalari esker osatzen diren bi triangeluak aintzat hartuko ditugu:

65

h

93 m

x

⎪⎫⎪ h 2 = 652 − x 2 ⎬ h 2 = 932 − (121 − x )2 ⎪⎪⎭

121 m

65 − x = 932 − (121 − x)2 → 4.225 − 8.649 + 14.641 = 242x → → x = 42,22 m 2

2

x = 42,22

h 2 = 652 − x 2 ⎯⎯⎯⎯⎯→ h 2 = 4.225 − 1.782,53 → h = 49,42 m 121 ⋅ 49,42 = 2.989,91 m2 2

m

A1 =

h

54

119 ●●●

10

72 m

x

⎫⎪⎪ h 2 = 542 − x 2 2 2 2⎬ h = 72 − (121 − x ) ⎭⎪⎪

121 m

54 − x = 722 − (121 − x)2 → 2.916 − 5.184 + 14.641 = 242x → → x = 51,13 m 2

2

x = 51,13

h 2 = 542 − x 2 ⎯⎯⎯⎯→ h 2 = 2.916 − 2.614,28 → h = 17,37 m 121 ⋅ 17,37 = 1.050,88 m2 2 Azalera osoa hau da: 2.989,91 + 1.050,88 = 4.040,79 m2.

A2 =

Beraz, hau ordainduko diote:

325.000 = 80,43 €/m2. 4.040,79

315

917840 _ 0316-0347.qxd

11

8/2/08

12:30

Página 316

Gorputz geometrikoak POLIEDROAK

POLIEDRO ERREGULARRAK

PRISMAK

PIRAMIDEAK

AZALERA OSOA

AZALERA OSOA

A = PO ⋅ h + 2AO

A =

PO ⋅ a P ⋅ a' + O 2 2

BIRAKETA-GORPUTZAK

ZILINDROA

316

KONOA

ESFERA

AZALERA OSOA

AZALERA OSOA

AZALERA OSOA

A = 2πrh + 2πr

A = πrg + πr

A = 4πr 2

2

2

917840 _ 0316-0347.qxd

8/2/08

12:30

Página 317

Unibertsoaren zentroa Lehenago batzuei eta geroago beste askori gertatu zitzaien moduan, Aristarko Samoskoa izugarri erakartzen zuen Alexandriak: hiri lasaia zen, jakintsuen adopzio-aberria eta ezagueraren babeslea. Hiriko liburutegi bikainaren ateak zabaldu zitzaizkion eta beste garai batzuetako jakintsuen ezaguerak bereganatu zituen Aristarkok. Geroago, isilean urte asko ikasten eman ondoren, bere teoriak argitaratzea erabaki zuen, eta honela ekin zion, entzule zituen jakintsuen aurrean: –Lagunok, sakon aztertu ondoren, Lurra geldirik ez dagoela baieztatzen dut: zirkulu batean mugitzen da Eguzkiaren inguruan eta urtero zirkulu bat osatzen du; gainera, egunean bira bat egiten du bere baitan. Aretoan, entzuleak protesta egiten eta marmarrean hasi ziren: –Lurra biribila dela kontuan hartuta, Aristotelesek frogatu zuen moduan, egunean bira bat egingo balu bere baitan, gainazaleko abiadura oso handia izango litzatekeenez, ezingo genuke inoiz Ekialderantz joan, Lurrak aurrea hartuko ligukeelako. Beraiek ere abiadura berean biraka ari zirela azaltzen hasi zen Aristarko alfer-alferrik. Entzuleak konbentzitu ezinik, teoria azaltzen zuten idatziak jaso eta aretoa utzi zuen. Alde egitean, hau esan zuen: –Batzuetan, ez da gizon jakintsu bat baino ergelagorik. Adierazi biraketa-ardatza eta esferaren erradioa.

Ardatza

a Erradio

917840 _ 0316-0347.qxd

8/2/08

12:30

Página 318

Gorputz geometrikoak ARIKETAK 001

Adierazi beheko poliedroen izenak. Zenbat aurpegi dituzte? Eta zenbat ertz? a)

b)

a) Lau angeluko piramidea: 5 aurpegi eta 8 ertz. b) Prisma triangeluarra: 5 aurpegi eta 9 ertz. 002

Egin aurreko ariketako poliedroen garapen laua eta adierazi zer pausori jarraitu diezun.

003

Adierazi zuzenak ala okerrak diren esaldiak. a) Poliedro batean, aurpegi guztiak berdinak dira. b) Poliedro batek gutxienez 4 aurpegi ditu. c) Poliedroaren erpin bakoitzean ertz kopuru bera elkartzen da beti. a) Okerra, aurpegiak desberdinak izan daitezkeelako. Poliedro erregularretan soilik dira berdinak. b) Zuzena, ertz gutxien dituen poligonoak 3 ertz dituelako eta ertz bakoitza beste aurpegi batekiko ebakidura denez, 4 aurpegi dira. c) Okerra. Esate baterako, piramideen oinarrien erpinetan 3 ertz elkartzen dira, eta goiko erpinean, oinarriak dituen alde adina ertz.

004

Egiaztatu poliedro erregular guztiek Eulerren formula betetzen dutela. Tetraedroa ⎯⎯→ Kuboa ⎯⎯⎯→ Oktaedroa ⎯⎯→ Dodekaedroa → Ikosaedroa ⎯→

318

Aurpegiak: 4, erpinak: 4, ertzak: 6 ⎯ ⎯→ Aurpegiak: 6, erpinak: 8, ertzak: 12 ⎯ → Aurpegiak: 8, erpinak: 6, ertzak: 12 ⎯ → Aurpegiak: 12, erpinak: 20, ertzak: 30 → Aurpegiak: 20, erpinak: 12, ertzak: 30 →

4+4=6+2 6 + 8 = 12 + 2 8 + 6 = 12 + 2 12 + 20 = 30 + 2 20 + 12 = 30 + 2

917840 _ 0316-0347.qxd

18/3/08

17:11

Página 319

ERANTZUNAK

005

Zehaztu zenbat aurpegi elkartzen diren poliedro erregular bakoitzaren erpinetan. Tetraedroa: 3 aurpegi. Kuboa: 3 aurpegi. Oktaedroa: 4 aurpegi.

006

11

Dodekaedroa: 3 aurpegi. Ikosaedroa: 5 aurpegi.

Marraztu 7 erpin dituen poliedro bat. Betetzen al du Eulerren formula? Aurpegiak: 7. Ertzak: 12. Erpinak: 7. A + Ep = Er + 2 7 + 7 = 12 + 2

007

Ba al dago 3 aurpegiko poliedro erregularrik? Ez. Izan ere, ertz gutxien dituen poligonoak 3 ertz ditu eta ertz bakoitza beste aurpegi batekiko ebakidura denez, gutxienez 4 aurpegi izango ditu.

008

Marraztu oinarri triangeluarreko prisma zuzen bat eta oinarri pentagonaleko beste bat. a) Kalkulatu zenbat aurpegi, ertz eta erpin dituzten. b) Betetzen al dute Eulerren formula? c) Marraztu garapen lauak. a) Prisma triangeluarra ⎯→ Aurpegiak: 5, ertzak: 9, erpinak: 6 Prisma pentagonala ⎯ ⎯ → Aurpegiak: 7, ertzak: 15, erpinak: 10 b) Prisma triangeluarra ⎯→ 5 + 6 = 9 + 2 Prisma pentagonala ⎯ ⎯ → 7 + 10 = 15 + 2 c)

F

F

319

917840 _ 0316-0347.qxd

8/2/08

12:30

Página 320

Gorputz geometrikoak 009

Marraztu lau angeluko oinarria duen prisma zeihar baten garapen laua.

010

Zer poligonok osatzen du 18 ertz dituen prisma baten oinarria? Prismaren oinarria hexagono bat da.

011

Kalkulatu 2 cm-ko ertza duen kubo baten azalera.

A = 6 ⋅ AO = 6 ⋅ 22 = 24 cm2 012

Kalkulatu prisma hauen azalera: a) Pentagonal erregularra; altuera, 10 cm; oinarriaren aldea, 4 cm; eta apotema, 2,75 cm. b) Triangeluar erregularra; altuera, 8 cm; oinarriko aldea, 4 cm; eta oinarriko altuera, 3,46 cm.

013

a) A = P ⋅ h + 2 ⋅

P ⋅a = 20 ⋅ 10 + 20 ⋅ 2,75 = 455 cm2 2

b) A = P ⋅ h + 2 ⋅

P ⋅a = 12 ⋅ 8 + 12 ⋅ 3,46 = 140,98 cm2 2

Lau angeluko prisma zuzen batek 3 cm-ko oinarriko ertza du, eta azalera osoa, 78 cm2-koa. Kalkulatu altuera. A = 2 ⋅ AO + P ⋅ h → 78 = 2 ⋅ 32 + 3 ⋅ 4 ⋅ h → h =

014

Kalkulatu kubo baten ertzaren luzera, 6 cm-ko zabalera, 3 cm-ko altuera eta 2 cm-ko sakonera dituen ortoedroaren azalera bera izan dezan.

A Ortoedroa = 2 ⋅ 6 ⋅ 3 + 2 ⋅ 6 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 ⋅ 2 = 72 cm2 A Kuboa = 6l2 → 6l2 = 72 → l = 12 = 3,46 cm Ertza 3,46 cm luze da.

320

60 = 5 cm 12

917840 _ 0316-0347.qxd

18/3/08

17:11

Página 321

ERANTZUNAK

015

11

Marraztu oinarri triangeluarreko piramide zuzen bat eta oinarri pentagonaleko beste bat. a) Kalkulatu zenbat aurpegi, ertz eta erpin dituzten. b) Egiaztatu bi poliedroek Eulerren formula betetzen dutela. c) Marraztu garapen lauak.

a) Piramide triangeluarra ⎯→ Aurpegiak: 4, ertzak: 6, erpinak: 4 Piramide pentagonala ⎯ ⎯ → Aurpegiak: 6, ertzak: 10, erpinak: 6 b) Piramide triangeluarra ⎯→ 4 + 4 = 6 + 2 Piramide pentagonala ⎯ ⎯ → 6 + 6 = 10 + 2 c)

016

Marraztu lau angeluko oinarria duen piramide zeiharraren garapen laua.

017

Zer poligono osatzen du 18 ertz dituen piramide baten oinarriak? Eta 9 erpin dituen piramide batenak? 18 ertz dituen piramide baten oinarria eneagono bat da. 9 erpin dituen piramide baten oinarria oktogono bat da.

321

917840 _ 0316-0347.qxd

8/2/08

12:30

Página 322

Gorputz geometrikoak 018

Kalkulatu lau angeluko oinarria duen piramide erregularraren azalera, oinarriko ertza 7 cm-koa bada, eta alboko aurpegien altuera, 4 cm-koa. b⋅a 7⋅4 = 4⋅ = 56 cm2 2 2 AO = l2 = 72 = 49 cm2 A = AA + AO = 56 + 49 = 105 cm2

AA = 4 ⋅

019

Kalkulatu lau angeluko piramide baten azalera osoa, altuera eta oinarriko ertza 4 cm-koak badira.

Alboko triangeluen altuera hau da:

a = 16 + 4 = 4,47 cm A = AO + 4 ⋅ A t = 4 ⋅ 4 + 4 ⋅

020

4 ⋅ 4,47 = 51,76 cm2 2

Kalkulatu piramide erregularraren azalera osoa. Hexagonoaren apotema hau da:

4 cm

a=

021

a2 + h2 =

A = AO +

22,75 = 4,77 cm

P ⋅ a' 18 ⋅ 2,6 18 ⋅ 4,77 = + = 66,33 cm2 2 2 2

Marraztu 3 cm-ko erradioa eta 7 cm-ko altuera dituen zilindroaren garapen laua.

9,42 cm

7 cm

m 3c

322

27 = 2,6 cm 4

Alboko triangeluen altuera hau da: a' =

3 cm

3 2 l = 4

917840 _ 0316-0347.qxd

8/2/08

12:30

Página 323

ERANTZUNAK

022

11

Marraztu zilindro baten garapen laua, oinarriko zirkunferentziaren luzera 12 cm-koa bada eta 6 cm-ko altuera badu.

12 cm

6 cm

cm 1,91

023

Zehaztu zer biraketa-gorputz sortzen diren irudi lau hauek biraraztean.

024

Kalkulatu 10 cm-ko altuera eta 7 cm-ko oinarriko erradioa dituen zilindroaren azalera osoa.

AA = 2πrh = 2π ⋅ 7 ⋅ 10 = 439,6 cm2 AO = πr 2 = π ⋅ 72 = 153,86 cm2 A = AA + 2 ⋅ AO = 747,32 cm2 025

Jonek eta Anek 12 m-ko altuera eta 2 m-ko diametroa dituen hodi zilindriko bat forratu behar dute. Paperak 12 €/m2 balio badu, zenbat balio du hodiaren alboko gainazala forratzeak?

AA = 2πrh = 2π ⋅ 1 ⋅ 12 = 75,36 m2 Hau balio du: 75,36 ⋅ 12 = 904,32 €. 026

Kalkulatu enbor zilindriko zuzen baten azalera osoa, altuera 3 m-koa eta oinarriko erradioa 30 cm-koa baditu.

AA = 2πrh = 2π ⋅ 0,15 ⋅ 3 = 2,83 m2 AO = πr 2 = π ⋅ 0,152 = 0,07 m2 A = AA + 2 ⋅ AO = 2,97 m2

323

917840 _ 0316-0347.qxd

8/2/08

12:30

Página 324

Gorputz geometrikoak 027

Zilindro formako botoi baten altuera 1 mm-ekoa da. Azalera osoa 188,4 mm2-koa bada, sartzen al da 8 mm luze den botoi-zulotik?

Botoiaren diametroa kalkulatuko dugu:

A = 2πr 2 + 2πrh → 188,4 = 2π ⋅ (r 2 + r) → 30 = r 2 + r → → r 2 + r − 30 = 0 1 ± 1 + 120 → 2 1 + 11 = = 6 mm 2 1 − 11 = = −5 (ebazpen honek ez du u balio) 2

r 2 + r − 30 = 0 → r = ⎪⎧⎪ ⎪⎪r → ⎪⎨ ⎪⎪ ⎪⎪r ⎪⎩

Beraz, diametroa 12 mm-koa da eta ez da sartzen 8 mm luze den botoi-zulotik. Marraztu kono baten garapen laua, oinarriko erradioa 4 cm-koa eta sortzailea 8 cm-koa bada.

F

4 cm

F

8 cm

028

Kalkulatu irudiko konoaren sortzailea.

4 cm

029

5 cm

g =

324

52 + 42 = 6,4 cm

917840 _ 0316-0347.qxd

8/2/08

12:30

Página 325

ERANTZUNAK

030

11

Kalkulatu irudiko konoaren altuera.

h

13 cm 9 cm G

132 = h 2 + 92 h 2 = 132 − 92 h= 031

132 − 92 = 9,38 cm

Triangelu aldeberdin bat edozein alderen inguruan biraraztean kono bat sortzen al da? Eta triangelu kamuts bat biraraztean? Triangelu angeluzuzenek soilik sortzen dituzte konoak, kateto baten inguruan biraraztean.

032

Kono baten sortzailea 12 cm-koa da, eta oinarriko diametroa, 8 cm-koa. Kalkulatu azalera.

AA = πrg = π ⋅ 4 ⋅ 12 = 150,72 cm2 AO = πr 2 = π ⋅ 42 = 50,24 cm2 A = AA + AO = 150,72 + 50,24 = 200,96 cm2 033

Zer azalera du esfera honek?

5 cm G

034

A = 4π ⋅ 52 = 314 cm2

15 m-ko altuera eta 8 m-ko diametroa dituen kono formako dorre bat oihalez estali nahi dugu. Zenbat oihal behar dugu?

15 m

Sortzailea kalkulatuko dugu: g

g =

152 + 42 =

225 + 16 =

241 = 15,5 m

AA = πrg = π ⋅ 4 ⋅ 15,5 = 194,98 m2 4m

035

Arrazoitu ea zirkulu batek esfera bat sor dezakeen. Zenbat biraketa-ardatz izan ditzake? Zirkulu batek esfera bat sortzen du, diametroren baten inguruan biraraziz. Beraz infinitu biraketa-ardatz ditu.

325

917840 _ 0316-0347.qxd

8/2/08

12:30

Página 326

Gorputz geometrikoak ARIKETAK 036

EGIN HONELA NOLA KALKULATZEN DIRA ORTOEDRO BATEN DIAGONALAK, ERTZEN LUZERAK JAKINDA? 2 cm

2

Kalkulatu ortoedro honen diagonalen luzerak.

cm

4 cm

Poliedroaren diagonalak zer motatakoak diren identifikatu behar da. Ortoedroetan hiru diagonal mota egoten dira: alboko aurpegietakoak, oinarrietakoak eta aurkako aurpegien erpinen artekoak.

LEHENA.

Aurpegietako diagonalak zehaztu behar dira; diagonal horiek katetotzat aurpegien aldeak dituzten triangelu angeluzuzenen hipotenusak dira. Pitagorasen teorema aplikatu behar da.

2 cm

BIGARRENA.

d 2 = 22 + 42

d

d =

2 cm

4 cm

22 + 42 = 4, 47 cm

d 2 = 22 + 22

d

d =

2 cm

22 + 22 = 2, 83 cm

HIRUGARRENA. Aurkako aurpegien erpinen arteko diagonalak zehaztu behar dira. Katetotzat alboko aurpegien diagonalak eta oinarriko ertzak dituzten triangelu angeluzuzenen hipotenusak dira diagonal horiek. Pitagorasen teorema aplikatu behar da.

4,47 cm 2 cm

d

037 ●●

d 2 = 22 + 4,472 d =

22 + 4,472 = 4,9 cm

Kubo baten ertza 5 cm luze da. Kalkulatu aurpegi baten diagonala eta kuboaren diagonala. D d

5 cm

Aurpegiaren diagonala: d

d 2 = 52 + 52 → d 2 = 50 → d = 7,07 cm 5 cm

326

Pitagorasen teorema aplikatuko dugu:

917840 _ 0316-0347.qxd

8/2/08

12:30

Página 327

ERANTZUNAK

11

Kuboaren diagonala: Triangelu angeluzuzena ageri da berriro ere: D

5 cm

D

7,07 cm

D 2 = 52 + 7,072 → D 2 = 74,98 → D = 8,66 cm 038 ●●

Ortoedro baten ertzak 5 cm, 7 cm eta 9 cm luze dira, hurrenez hurren. Kalkulatu aurpegietako diagonalak eta ortoedroaren diagonala.

5 cm

Aurpegi angeluzuzen handienaren diagonala: Pitagorasen teorema aplikatuko dugu:

d

d 2 = 52 + 92 → d 2 = 106 → d = 10,3 cm 9 cm

5 cm

Aurpegi angeluzuzen txikienaren diagonala: Pitagorasen teorema aplikatuko dugu:

d'

d' 2 = 72 + 52 → d' 2 = 74 → d' = 8,6 cm 7 cm 7 cm

Ortoedroaren diagonala: Triangelu angeluzuzena ageri da berriro ere:

D 7 cm

D

9

cm

10,3 cm

5 cm

D = 7 + 10,3 → D = 155,09 → D = 12,45 cm 2

039 ●●

2

2

2

Kubo baten aurpegi bateko diagonala 4 cm-koa da. Kalkulatu ertzaren luzera eta kuboaren diagonalarena.

d 2 = l2 + l2 = 2l2 → d = l 2 → l = D 2 = l2 + d 2 → D = 040 ●

42 + (2 2 )2 =

d 2

=

4 2

= 2 2 cm

16 + 8 =

24 → D = 4,9 cm

Osatu taula, kontuan hartuta datuak Eulerren formula betetzen duten poliedroei buruzkoak direla. Aurpegi kopurua 9 6 11 12 10

Erpin kopurua 14 8 18 20 16

Ertz kopurua 21 12 27 30 24

327

917840 _ 0316-0347.qxd

8/2/08

12:30

Página 328

Gorputz geometrikoak 041 ●●

Sailkatu poliedroak ahurretan eta ganbiletan. Aztertu ea betetzen duten Eulerren formula. a)

c)

e)

g)

b)

d)

f)

h)

a) Ganbila. Aurpegiak: 24, erpinak: 14, ertzak: 36 → 24 + 14 = 36 + 2 Betetzen du Eulerren formula. b) Ahurra. Betetzen du, ahurra delako. c) Ahurra. Betetzen du, ahurra delako. d) Ganbila. Aurpegiak: 10, erpinak: 16, ertzak: 24 → 10 + 16 = 24 + 2 Betetzen du Eulerren formula. e) Ahurra. Betetzen du, ahurra delako. f) Ahurra. Betetzen du, ahurra delako. g) Ganbila. Aurpegiak: 10, erpinak: 16, ertzak: 24 → 10 + 16 = 24 + 2 Betetzen du Eulerren formula. h) Ganbila. Aurpegiak: 9, erpinak: 13, ertzak: 21 → 9 + 13 ⫽ 21 + 2 Ez du betetzen Eulerren formula.

042 ●

043 ●●

Egiaztatu Eulerren formula betetzen dela. Poliedroa Aurpegi kopurua Erpin kopurua Tetraedroa 4 4 Kuboa 6 8 Oktaedroa 8 6 Dodekaedroa 12 20 Ikosaedroa 20 12

Ertz kopurua 6 12 12 30 30

Zer poliedro erregular lor daitezke aurpegi gisa triangelu aldeberdinak erabiliz gero? Eta pentagono erregularrak erabiliz gero? Eta hexagono erregularrak? Triangelu aldeberdinak: tetraedroa, oktaedroa eta ikosaedroa. Pentagono erregularrak: dodekaedroa. Hexagono erregularrak: ezin da poliedro erregularrik lortu.

328

A + Ep Er + 2 8 8 14 14 14 14 32 32 32 32

917840 _ 0316-0347.qxd

8/2/08

12:30

Página 329

ERANTZUNAK

044 ●

11

Marraztu prisma hauek eta adierazi elementu guztiak. Ondoren, marraztu prisma bakoitzaren garapen laua. a) Prisma triangeluarra b) Lau angeluko prisma c) Prisma pentagonala d) Prisma hexagonala a)

F

b)

F

c)

F

d)

F

045

Marraztu prisma erregular eta irregular bana.

●

Erregularra

Irregularra

329

917840 _ 0316-0347.qxd

8/2/08

12:30

Página 330

Gorputz geometrikoak 046

Marraztu oinarri bera duten prisma zuzen bat eta prisma zeihar bat.

●

Zuzena

047 ●

Zeiharra

Marraztu prisma pentagonal erregular bat eta haren garapen laua. Margotu urdinez alboko azalera, eta gorriz, oinarrietakoa. Nola kalkulatzen da azalera osoa?

F

A = AA + 2 ⋅ AO

048 ●●

Adierazi zein esaldi diren zuzenak eta zuzendu okerrak. Arrazoitu zure erabakiak. a) Kuboa ortoedroa da. b) Prisma zeiharraren altuera alboko ertza da. c) Prisma zeiharrak erregular eta irregular gisa sailkatzen dira. a) Zuzena. b) Okerra.

h

c) Okerra, prisma zeihar guztiak irregularrak direlako.

330

917840 _ 0316-0347.qxd

8/2/08

12:30

Página 331

ERANTZUNAK

Kalkulatu prismen azalera osoak. g)

G

j)

4,25 cm

5c m

5c m

5c m

c)

6 cm

6 cm

9 cm

6 cm

5c m

7,24 cm

h) 11 cm

e) 8 cm

b)

8 cm

4,25 cm

5 cm

15 cm

12 cm

m 2c

7 cm

i) 12 cm

d)

4 cm

a)

f)

8 cm

●●

G

049

11

G

8c m

3 cm

5 cm

5,2 cm G

6 cm

7 cm

a) A = 2 ⋅ 2 ⋅ 7 + 2 ⋅ 2 ⋅ 4 + 2 ⋅ 4 ⋅ 7 = 100 cm2 b) h =

52 − 2,52 = 4,33 cm

A = 2⋅

5 ⋅ 4,33 + 3 ⋅ 5 ⋅ 9 = 156,65 cm2 2

c) A = 2 ⋅ 6 ⋅ d) A = 2 ⋅ e) h =

6 ⋅ 5, 2 + 6 ⋅ 6 ⋅ 8 = 475,2 cm2 2

5 ⋅ 5 ⋅ 3,44 + 5 ⋅ 5 ⋅ 12 = 386 cm2 2

52 − 32 = 4 cm

A = 2⋅

6⋅4 + 8 ⋅ 5 ⋅ 3 = 144 cm2 2

f) A = 6 ⋅ 72 = 294 cm2 g) a =

82 − 42 = 6,93 cm

A = 6⋅ h) h =

8 ⋅ 6,93 + 6 ⋅ 8 ⋅ 12 = 742,32 cm2 2

4,252 − 2,52 = 3,44 cm

A = 2⋅5⋅ i) A = 2 ⋅ 8 ⋅ j) h Triangelua =

5 ⋅ 3,44 + 5 ⋅ 5 ⋅ 11 = 361 cm2 2 6 ⋅ 7,24 + 48 ⋅ 15 = 1.067,52 cm2 2 82 − 42 = 6,93 cm

h Alboko Aurpegia = A = 2⋅

62 − 32 = 5,2 cm

8 ⋅ 6,93 + 3 ⋅ 8 ⋅ 5,2 = 180,24 cm2 2

331

917840 _ 0316-0347.qxd

8/2/08

12:30

Página 332

Gorputz geometrikoak 050

EGIN HONELA NOLA KALKULATZEN DA KUBO BATEN ERTZA, AZALERA JAKINIK? Kalkulatu kubo honen ertza, jakinik azalera 54 cm2-koa dela. LEHENA.

l

Azalera osoaren formula aplikatu behar da.

l

A = 6 ⋅ AKarratua = 6 ⋅ l ⋅ l = 6l2

BIGARRENA.

Azalera ezagunarekin berdindu behar da.

6l 2 = 54 → l 2 =

051 ●●

54 =9→l= 6

9 = 3 cm

Kubo baten azalera osoa 24 cm2-koa da. Kalkulatu kuboaren ertza, aurpegi bateko diagonala eta kuboaren diagonala.

A = 6l2 → 24 = 6l2 → l = 2 cm d 2 = l2 + l2 → d = l 2 = 2 2 cm D 2 = 3l2 → D = l 3 = 2 3 cm 052 ●●

Kalkulatu 150 m2-ko azalera osoa duen kuboaren diagonala.

A = 6l2 → 150 = 6l2 → l = 5 m D d

5m

Aurpegiaren diagonala: d

Pitagorasen teorema aplikatuko dugu:

d 2 = 52 + 52 → d 2 = 50 → d = 7,07 m 5m

Kuboaren diagonala: Triangelu angeluzuzena ageri da berriro ere: D

5m

D

7,07 m

D = 5 + 7,07 → D 2 = 74,98 → D = 8,66 m 2

332

2

2

917840 _ 0316-0347.qxd

8/2/08

12:30

Página 333

ERANTZUNAK

Kalkulatu margotutako triangeluen azalerak. c) 5 cm

14 cm

a)

12 cm

b)

m 8c

d) 4 cm

20 cm

053 ●●●

11

10 cm

m 6c

a) Aurpegi bakoitzaren diagonala hau da: d = 142 + 142 = 19,8 cm. Triangelu aldeberdin bat osatzen da, 19,8 cm-ko aldea duena. h= A=

392 − 98 = 17,15 cm 19,8 ⋅ 17,15 = 169, 78 cm2 2

b) Aurpegi bakoitzaren diagonala hau da: d = 202 + 202 = 28,28 cm. Triangelu angeluzuzen bat osatzen da; katetoak: 28,28 cm eta 20 cm. A=

20 ⋅ 28,28 = 282,8 cm2 2

c) Aurpegien diagonalak hauek dira: d1 =

122 + 82 = 14,42 cm

d2 =

122 + 52 = 13 cm

d3 =

82 + 52 = 9,43 cm

Triangelu bat osatzen da; aldeak: 14,42 cm, 13 cm eta 9,43 cm. ⎫⎪⎪ h 2 = 132 − x 2 → 132 − x 2 = 9,432 − (14,42 − x )2 → 2 2 2⎬ h = 9,43 − (14,42 − x ) ⎭⎪⎪ → 169 − 89 + 208 = 28,84x → x = 9,67 cm x = 9,67

h 2 = 132 − x 2 ⎯⎯⎯⎯→ h 2 = 169 − 93,58 → h = 8,68 cm A=

14,42 ⋅ 8,68 = 62,58 cm2 2

d) Alboko diagonala hau da: d = 16 + 36 = 7,21 cm . Triangelu angeluzuzena osatzen da; katetoak: 7,21 cm eta 10 cm. A=

10 ⋅ 7,21 = 36,05 cm2 2

333

917840 _ 0316-0347.qxd

8/2/08

12:30

Página 334

Gorputz geometrikoak 054 ●

Marraztu piramide hauek eta bakoitzaren garapen laua, eta adierazi elementu guztiak. a) Piramide triangeluarra c) Piramide pentagonala b) Lau angeluko piramidea d) Piramide hexagonala a) F

b) F

c) F

d) F

055

Marraztu piramide erregular eta irregular bana.

●

Erregularra

334

Irregularra

917840 _ 0316-0347.qxd

8/2/08

12:30

Página 335

ERANTZUNAK

056

11

Marraztu oinarri bera duten piramide zuzen bat eta piramide zeihar bat.

●

Zuzena

057 ●

Zeiharra

Piramide triangeluar erregular baten alboko ertza 6 cm-koa da, eta oinarria, 4 cm-ko aldea duen triangelu aldeberdina. Marraztu garapen laua.

6 cm

4c m

F

058 ●

Esan zertan diren berdinak eta desberdinak piramide triangeluar erregular bat eta tetraedro bat. Tetraedroa piramide erregularra da. Ezaugarri hau du: alboko ertzak eta oinarriko ertzak luzera berekoak dira. Beraz, piramide triangeluar erregularra da.

059 ●●

Adierazi zein esaldi diren zuzenak eta zuzendu okerrak. Arrazoitu zure erabakiak. a) Piramide erregular batean, alboko aurpegiak triangelu aldeberdinak dira. b) Piramide bat prisma triangeluar bat da. c) Edozein piramideren altuera bere edozein alboko ertz da. d) Piramide erregular bat tetraedro bat da. a) Okerra, triangelu isoszeleak direlako. b) Okerra, piramidearen alboko aurpegiak triangeluak direlako, eta prismak, paralelogramoak. c) Okerra, altuera goiko erpinetik igarotzen den zuzen zuta delako. d) Okerra, tetraedroa piramide erregularra delako, eta haren alboko ertzak eta oinarriko ertzak berdinak direlako.

335

917840 _ 0316-0347.qxd

8/2/08

12:30

Página 336

Gorputz geometrikoak 060

EGIN HONELA NOLA KALKULATZEN DA PIRAMIDE BATEN AZALERA, ERTZAK JAKINIK?

25 cm

Kalkulatu piramide honen azalera osoa. LEHENA.

a 10 cm

Piramidearen apotema kalkulatu behar da.

Pitagorasen teorema aplikatu behar zaio hauek osatutako triangelu angeluzuzenari: piramidearen apotemak, oinarriko aldearen erdiak eta alboko ertzak.

25 cm

a

252 = a 2 + 52 → a =

5 cm

252 − 52 = 24, 49 cm

Oinarriko apotema kalkulatu behar da. Pitagorasen teorema aplikatu behar zaio hauek osatutako triangelu angeluzuzenari: oinarriko apotemak, oinarriko aldearen erdiak eta oinarriko erradioak. BIGARRENA.

r 10 cm

F

r

102 = (a')2 + 52 → a' = HIRUGARRENA.

A =

061

r = 10 cm a' 5 cm

102 − 52 = 8,66 cm

Azalera kalkulatu behar da.

PO ⋅ a P ⋅ a' (6 ⋅ 10) ⋅ 24, 49 (6 ⋅ 10) ⋅ 8, 66 + O = + = 99 94,5 cm2 2 2 2 2

Kalkulatu piramide hauen azalera osoak.

●● 34 m

9m

5,1 m 25 m

F

6m

Lau angeluko piramidea: a=

342 − 12, 52 = 31,62 m

A = AO + AA = 252 + 100 ⋅ 31,62 = 3.787 m2 Piramide pentagonala: a=

92 − 32 = 8,49 m

a' =

5,12 − 32 = 4,12 m

A = AO + A A =

336

30 ⋅ 4,12 30 ⋅ 8,49 + = 189,15 m2 2 2

917840 _ 0316-0347.qxd

8/2/08

12:30

Página 337

11

ERANTZUNAK

062

Kalkulatu ertz hau duten tetraedroen azalera:

●●

a) 3 cm

b) 5 cm

c) 9 cm

d) 6,2 cm

a) a =

32 − 1,52 = 2,6 cm

A = 4 ⋅ AO = 4 ⋅

3 ⋅ 2,6 = 15,6 cm2 2

b) a =

52 − 2,52 = 4,33 cm

A = 4 ⋅ AO = 4 ⋅

5 ⋅ 4,33 = 34,3 cm2 2

c) a =

92 − 4,52 = 7,79 cm

A = 4 ⋅ AO = 4 ⋅

9 ⋅ 7,79 = 140,22 cm2 2

d) a =

6,22 − 3,12 = 5,37 cm

A = 4 ⋅ AO = 4 ⋅

6,2 ⋅ 5,37 = 66,59 cm2 2

063

Kalkulatu piramideen azalera osoak.

●●

a)

8m

10 m

b)

8m

6m

a) a =

102 + 42 = 10,77 m

A = AO + AA = 64 + b) a =

62 − 32 = 5,2 m

A = AO + A A =

064 ●●

32 ⋅ 10,77 = 236,32 m2 2 a' =

82 + 27 = 9,54 m

36 ⋅ 5,2 32 ⋅ 9,54 + = 265,52 m2 2 2

Kalkulatu piramide hexagonal erregular baten azalera osoa, oinarriko azalera 100 cm2-koa bada, eta altuera, 20 cm-koa. l⋅ Oinarria hexagono bat denez: AO = 6 ⋅

3 l 3 3 2 2 = l. 2 2

3 3 2 100 ⋅ 2 l = 100 → l 2 = = 38,5 → 2 3 3 3 l = 5,36 cm 2 Piramidearen apotema kalkulatuko dugu: →l=

a=

38,5 = 6,2 cm →

5,362 + 202 = 20,7 cm

6,2 ⋅ 20,7 = 385,02 cm2. Alboko azalera hau da: A A = 6 ⋅ 2 A = 100 + 385,02 = 485,2 cm2

l G

l 2

3 l 2

337

917840 _ 0316-0347.qxd

8/2/08

12:30

Página 338

Gorputz geometrikoak 065 ●●●

Lau angeluko piramide erregular baten azalera 4 cm2-koa da, eta altuera, 6 cm-koa. Kalkulatu piramidearen azalera bera duen kuboaren ertzaren luzera.

A = 6 ⋅ AO → 4 = 6l2 → l = 0,81 cm 066 ●●●

Kalkulatu tetraedro baten ertza, honen azalera bera izan dezan: oinarriko ertza 3 cm-koa eta alboko aurpegietako apotema 10 cm-koa dituen piramide hexagonal erregularrarena. Piramide hexagonala: a=

32 − 1,52 = 2,6 cm

A = AO + A A =

18 ⋅ 2,6 18 ⋅ 10 + = 113,4 cm2 2 2

Tetraedroa: ⎛l⎞ l 2 − ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 2

a=

3 l 2 l⋅

A = 4 ⋅ AO → 113,4 = 4 ⋅

3 l 2 → 113,4 = 2

3 l 2 → l = 8,1 cm

Tetraedroaren ertza 8,1 cm-koa da.

●

Marraztu altuera 9 cm-koa eta oinarriaren diametroa 6 cm-koa dituen zilindroaren garapen laua.

2πr

9 cm

067

3c m

068

Kalkulatu zilindro hauen azalera osoak. a)

b)

7m

a) A = 2π ⋅ 72 + 2π ⋅ 7 ⋅ 10 = 747,32 m2 b) A = 2π ⋅ 122 + 2π ⋅ 12 ⋅ 5 = 1.281,12 m2

338

5m

10 m

●

12 m

917840 _ 0316-0347.qxd

8/2/08

12:30

Página 339

ERANTZUNAK

069 ●●

Kalkulatu 756,6 cm2-ko azalera eta 10 cm-ko oinarriko ertza dituen zilindroaren altuera.

AA = 2πrg → 756,6 = 2π ⋅ 10 ⋅ g → g =

070 ●●

11

756,6 = 12 cm 62,8

Zilindro baten azalera osoa 471 cm2-koa da, eta altuera, erradioaren bikoitza. Kalkulatu altuera eta erradioa. 471 = 2πr 2 + 2πr h ⎪⎫ ⎬ → 471 = 2πr 2 + 2πr ⋅ 2r → ⎪⎪⎭ h = 2r → 471 = 6πr 2 → r = 5 cm r = 5 cm

h = 2r ⎯⎯⎯⎯→ h = 10 cm

071

Marraztu kono baten garapen laua, eta kalkulatu dagokion sektorearen arkuaren luzera, konoaren oinarriko erradioa 4 cm-koa bada, eta sortzailea, 15 cm-koa.

4 cm

15 cm

●

Arkuaren luzera oinarriko zirkunferentziaren luzeraren berdina da: L = 2π ⋅ 4 = 25,12 cm.

072 ●

Kono baten sortzailea 12 cm-koa da eta oinarriko diametroa 8 cm-koa. Kalkulatu azalera.

A = 2π ⋅ 42 + 2π ⋅ 4 ⋅ 12 = 401,92 cm2

073 ●●

Kalkulatu kono baten altuera, sortzailea 13 cm-koa bada, eta oinarriko erradioa, 5 cm-koa. h=

074 ●●

132 − 55 = 12 cm

Kalkulatu esfera baten erradioa, jakinik haren gainazalaren azalera 803,84 cm2-koa dela.

A = 4πr 2 → 803,84 = 4πr 2 → r = 8 cm

339

917840 _ 0316-0347.qxd

8/2/08

12:30

Página 340

Gorputz geometrikoak 075

Kalkulatu irudien azalera osoak.

●●

a)

b) 10 cm

5 cm

G

10 cm

10 cm

10 cm

m 5c

a) A = 2πrg + πr 2 + πrg' → A = 2π ⋅ 5 ⋅ 10 + π ⋅ 52 + π ⋅ 5 ⋅ 10 → → A = 314 + 78,5 + 157 = 549,5 cm2 b) A = 10 ⋅ 5 + (10 + 10 + 5 + 5) ⋅ 5 + = 50 + 150 + 157 = 357 cm2 076

2π ⋅ 52 + 2π ⋅ 5 ⋅ 5 = 2

Kalkulatu konoaren sortzailea, bi irudiek hau izan dezaten:

●●●

10 cm

a) Alboko azalera bera. b) Azalera oso bera. 10 cm

10 cm

a) AA = 2π ⋅ 10 ⋅ 1.000 = 62.800 cm2 62.800 = π ⋅ 10 ⋅ g → g = 2.000 cm b) A = 2π ⋅ 10 ⋅ 10 + 2π ⋅ 10 ⋅ 1.000 = 63.428 cm2 63.428 = π ⋅ 10 ⋅ 10 + π ⋅ 10 ⋅ g → g = 2.010 cm 077 ●●

Gela jakin bateko hormen eta sabaiaren azalera 94 m2-koa da. Zorua 7 m luze eta 4 m zabal den laukizuzena bada, zer altuera du gela horrek?

ASabaia = AZorua = 7 ⋅ 4 = 28 m2 Lau hormek azalera hau hartzen dute: 94 − 28 = 66 m2. Bi hormak 7 m-ko luzera eta h altuera dute; eta beste bik, 4 m-ko luzera eta h altuera: 2 ⋅ 7 ⋅ h + 2 ⋅ 4 ⋅ h = 66 → 14h + 8h = 66 → 22h = 66 → h = 3 m 078 ●●

Eraikin batek prisma zuzenaren forma du. Altuera 30 m-koa da, eta oinarria, 5 m-ko aldea duen triangelu aldeberdin bat. Zenbatekoak dira eraikinaren alboko azalera eta azalera osoa? a=

52 − 2,52 = 4,33 m

AA = 15 ⋅ 30 = 450 m2 A = 2⋅

340

5 ⋅ 4,33 + 540 = 561,65 m2 2

917840 _ 0316-0347.qxd

8/2/08

12:30

Página 341

ERANTZUNAK

079 ●●

11

Kalkulatu piramide hexagonalaren forma duen monolito baten alboko azalera eta azalera osoa, hexagonoaren aldea 10 cm-koa bada, eta alboko triangeluen aldeak, 25 cm-koak. a= a' =

102 − 52 = 8,66 cm 252 − 52 = 24,49 cm

AA = 60 ⋅ 24,49 = 1.469,4 cm2 A=

080

Kalkulatu zenbat balio duen irudiko eraikina egiteak, jakinik adreiluen metro koadroak 4,35 € balio duela, eta teilen metro koadroak, 9,65 €. 10 m F

G

F

●●

60 ⋅ 8,66 + 1.469,4 = 1.729,2 cm2 2

5m

G

30 m

G

15 m

30 m

10 m

m 15

Dorrearen teilatua: a=

102 + 52 = 11,18 m

A=

40 ⋅ 11,18 = 223,6 m2 2

Elizaren teilatua: l=

152 + 52 = 15,81 m

A = 2 ⋅ 15,81 ⋅ 30 = 948,6 m2 Alboetako fatxadak: 2 ⋅ (30 ⋅ 15 + 10 ⋅ 30) = 1.500 m2 Aurreko eta atzeko fatxadak: 15 ⋅ 30 + 15 ⋅ 15 + 15 ⋅ 15 = 900 m2 Teilen prezioa: (223,6 + 948,6) ⋅ 9,65 = 11.311,73 € Adreiluen prezioa: (1.500 + 900) ⋅ 4,35 = 10.440 € Prezio osoa: 11.311,73 + 10.440 = 21.751,73 € 081 ●●

Kono formako kanpin-denda baten altuera 2 m-koa da, eta diametroa, 1 m-ekoa. Zenbat metro koadro behar dira kanpin-denda forratzeko, oinarria barne? Dendaren azalera osoa forratu behar den azalera da:

A = π ⋅ 0,52 + 2π ⋅ 0,5 ⋅ 2 = 7,065 m2

341

917840 _ 0316-0347.qxd

8/2/08

12:30

Página 342

Gorputz geometrikoak 082 ●●

Zilindro formako paperezko bobina batek 1,75 m-ko altuera du, eta oinarri zirkularrak, 80 cm-ko diametroa. Kalkulatu azalera osoa.

A = 2π ⋅ 402 + 2π ⋅ 40 ⋅ 175 = 54.008 cm2 083 ●

084

Kalkulatu 30 cm-ko diametroa duen baloi baten gainazal esferikoaren azalera.

A = 4π ⋅ 152 = 2.826 cm2 Kalkulatu irudien azalera osoak.

●●

7

cm

cm

3,5 m

5m

3

2m

2,5 m

10 m

3m

Etxearen azalera: g Teilatua =

22 + 3,52 = 4,03 m

A = π ⋅ 32 + 2π ⋅ 3 ⋅ 2,5 +

2π ⋅ 3,5 ⋅ 4,03 = 119,65 m2 2

Izozkiaren azalera: A=

4π ⋅ 3 2π ⋅ 3 ⋅ 7 + = 94,2 cm2 2 2

Kupularen azalera: A=

085 ●●●

4π ⋅ 5 2 + π ⋅ 52 = 235,5 m2 2

A = 11, Ep = 11 eta Er = 20 hartuz gero, Eulerren formula betetzen da. Ba al dago aurpegi, erpin eta ertz kopuru hori duen poliedrorik? Baldin badago, marraztu ezazu. Bai. Esate baterako, gainean piramide bat duen prisma.

342

917840 _ 0316-0347.qxd

8/2/08

12:30

Página 343

ERANTZUNAK

086 ●●●

11

1.000 kubotxo erabiliz, ertz bakoitzean 10 kubotxo dituen kuboa egin dugu. Ondoren, kuboaren 6 aurpegiak margotu ditugu. Zenbat kubotxok dituzte 3 aurpegi margotuta? Zenbatek dituzte 2 aurpegi margotuta? Eta zenbatek dute aurpegi bat margotuta? Zenbat kubotxok ez dute aurpegirik margotuta? Izkinak osatzen dituzten kubotxoek dituzte 3 aurpegi margotuta: 8 kubotxok. Ertzak osatzen dituzten kubotxoek ken izkinetakoek dituzte 2 aurpegi margotuta: 12 ⋅ 8 = 96 kubotxok. Kanpoko aurpegiak osatzen dituzten kubotxoek ken ertzek dute aurpegi bat margotuta: 81 ⋅ 6 = 486 kubotxok. Aupegirik margotuta ez dutenak: 1.000 − 486 − 96 − 8 = 810 kubotxo.

087 ●●●

Anek zurezko 36 kubo ditu, eraikuntzak egiten jolasteko. Zenbat prisma desberdin egin ditzake, kubotxo guztiak erabiliz? Kokapen desberdina izan arren, neurri berak dituzten prismak berdintzat hartuta, neurri hauek dituzten prisma hauek ditugu: 1 ⋅ 1 ⋅ 36

1⋅6⋅6

1 ⋅ 2 ⋅ 18

2⋅2⋅9

1 ⋅ 3 ⋅ 12

2⋅3⋅6

1⋅4⋅9

3⋅3⋅4

Guztira, 8 prisma desberdin egin ditzake.

088 ●●●

Inurri bat X puntutik Y puntura joan da, zilindro baten gainazalean.

Y

Zer distantzia egin du, gutxienez, inurriak? Gutxienez egindako distantzia bira bat baino txikiagoa da. Alboko azalera garatuz gero, distantzia laukizuzen baten diagonala da. Laukizuzenaren azalera zirkunferentziaren erdia da, eta altuera, zilindroaren altuera.

h

X

L

π⋅r

L=

h 2 + (π ⋅ r )2

343

917840 _ 0316-0347.qxd

8/2/08

12:30

Página 344

Gorputz geometrikoak EGUNEROKOAN 089 ●●●

FATXADA GARBIAK enpresak eraikinen fatxadak zaintzen eta garbitzen ditu. Jaso berri duten azken lanean, eraikin bateko leihoak eta ateak garbitzea, eta fatxadako marmola leuntzea agindu diete.

2m

Aurrekontua egiteko, teknikari bat eraikina ikustera joan da, behar dituzten neurriak hartzeko.

1m

1m

3m

1m

2m

5m 17 m

9m

Neurriak Fakturazioen eta Aurrekontuen departamentuan entregatu ditu, garbiketaren kostuak kalkula ditzaten.

344

917840 _ 0316-0347.qxd

8/2/08

12:30

Página 345

ERANTZUNAK

11

GARBIKETA-KOSTUAK Beheko solairuan

Goiko solairuan

Kristala

8,50 €/m

14,30 €/m2

Marmola

19,80 €/m2

2

26,10 €/m2

Zenbatekoa da eraikin osoaren garbiketaren kostua? Eraikinak etxe-uharte osoa hartzen duela suposatuko dugu, eta leihoak eraikinean zehar modu berdintsuan banatuta daudela. Leiho kopurua: 2 ⋅ 9 ⋅ 4 + 2 ⋅ 2 ⋅ 9 = 108 leiho. Eta leihoek azalera hau dute: 108 ⋅ 1 ⋅ 2 = 216 m2, goiko solairuetako kristalaren azalera, hain zuzen. Leiho bakoitzaren kanpoko marmolaren azalera hau da: 3 ⋅ 4 − 1 ⋅ 2 = 10 m2; eta beheko solairuetako marmolaren azalera: 1.080 m2. Beheko solairuko ateko 8 kristaletako bakoitzak azalera hau du: 2 ⋅ 3 = 6 m2; guztira 48 m2 kristal daude beheko solairuan. Beheko solairuko marmolaren azalera zokaloaren azalera ken atearen espazioaren azalera da: (17 ⋅ 2 + 9 ⋅ 2) ⋅ 5 − 4 ⋅ 3 = 248 m2. Eraikinaren garbiketaren kostua hau da: 48 ⋅ 8,50 + 216 ⋅ 14,30 + 248 ⋅ 19,80 + 1.080 ⋅ 26,10 = 36.595,20 €

090

Miren Zizel eskultoreari lan bat eman dio Beraneko udalak.

●●● Gizakiaren eta naturaren arteko harremana adieraziko duen eskultura bat nahi dugu…, gure jendearen eta inguruan dutenaren arteko sinbiosia.

345

917840 _ 0316-0347.qxd

8/2/08

12:30

Página 346

Gorputz geometrikoak Eskultoreak granitozko eskultura bat egiteko asmoa du, hori baita inguruan gehien ageri den harria. Eskulturaren egitura irudikoaren antzekoa izango da. Harrobi batera joan da, granitoa lortzeko asmoz eta pieza hauek dituztela esan diote:

eta 2,4 m-ko altuerako konoa. ko 1,4 m-ko diametro eta 0,4 m-ko erradioko ndroa. zili o rak ue alt ko 0,6 mduen 0,5 m-ko erradioa esfera.

Egitura hori lortzeko, ebaketa bana egin beharko dio konoari eta esferari. Zer altueratan egin behar ditu?

2,4 m

0,8 m

F G

h

1,4 m

Antzeko triangeluak direnez:

1,4 0,8 = → h = 1,37 m 2,4 h

Konoari oinarritik 1,37 m-ra egin beharko dio ebaketa.

0, 5 m h

0,8 m

h=

0,52 − 0,42 = 0,3 m

Esferari zentrotik 30 cm-ra egin beharko dio ebaketa, edo, beste era batera esanda, gainazaletik 20 cm-ra.

346

917840 _ 0316-0347.qxd

8/2/08

12:30

Página 347

ERANTZUNAK

091

11

Irudiko forma duen kortxo zati bat daukagu.

●●●

4 cm

5

cm

Botilaren ahoa 314 mm2-ko azalera duen zirkulua bada, zer puntutatik aurrera ebaki daiteke kortxoa, botila ixteko balio dezan? 314 mm2

Botilaren ahoaren erradioa hau da:

A = πr 2 → 314 = πr 2 → r = 10 mm = 1 cm Diametroa 2 cm-koa da.

5c m

H 2 cm

h

4 cm

Konoaren altuera hau da: H = Kono-enborraren altuera hau da:

52 − 22 = 4,58 cm. 4 4,58 = → h = 2,29 cm. 2 h

Kortxoa, oinarritik neurtzen hasita, 2,29 cm-tik aurrera ebaki behar da.

347

917840 _ 0348-0371.qxd

12

8/2/08

12:51

Página 348

Gorputz geometrikoen bolumenak BOLUMEN-UNITATEAK

BOLUMEN-, MASA- ETA EDUKIERA-UNITATEEN ARTEKO LOTURA

DENTSITATEA

GORPUTZ GEOMETRIKOEN BOLUMENA

ORTOEDROA KUBOA PRISMA PIRAMIDEA ZILINDROA KONOA ESFERA

348

917840 _ 0348-0371.qxd

8/2/08

12:52

Página 349

Sirakusa arpilatu zutenekoa Marcelo kontsularen armada tinko ari zen Sirakusan sartzen. Kontsula urrundik begira zegoen: harresian zulo bat egin eta armadaren zati handiena handik sartzen ari zen; beste legionario batzuk, berriz, harresia zenbait lekutatik eskalatzen ari ziren. Bataila erabakita zegoen. Dendara itzultzean, hau esan zion ordezkariari: –Bizirik harrapatu nahi dut! Ez diezaiotela buruko ile bakar bat ere ukitu. Manukoak eskua bularraren parean jarrita agurtu zuen eta korrika abiatu zen, aginduak ematera. Ordu luze batzuk pasatu ondoren, hiriaren agoniaren amaiera iritsi zen; borrokak bukatu egin ziren, bai eta arpilatzeak ere. Dena den, jenioa ez zuten aurkitu. Kontsula urduri zegoen eta hiri osoa miatzeko agindu zion legionarioen eskuadroi bati. Bi ordu geroago, patruilaren arduraduna itzuli zen, berri txarrekin: –Arkimedes jakintsua aurkitu dugu ezpata batek gurutzatuta. Gorpuaren azpian irudi hauek ageri dira.

2

1

2 2 2

4

Zer bolumen dute marraztutako poliedroek?

Kuboaren bolumena = 2 3 = 8 u 3 Ortoedroaren bolumena = 4 · 2 · 1 = 8 u 3 Bi poliedroek bolumen bera dute.

917840 _ 0348-0371.qxd

8/2/08

12:52

Página 350

Gorputz geometrikoen bolumenak ARIKETAK 001

Adierazi 5,7 m3 cm3-tan. 5.700.000 cm3

002

Zenbat m3 dira 4.895 dm3? 4,895 m3

003

Adierazi dm3-tan. a) 525 cm3 b) 0,5 dam3 a) 0,523 dm3 b) 500.000 dm3

004

c) 3 m3 d) 0,256 hm3 c) 3.000 dm3 d) 256.000.000 dm3

Ordenatu, handienetik txikienera. 27,67 m3 2.007,24 cm3

0,7 hm3 3.009.341 mm3

0,7 hm3 > 27,67 m3 > 3.009.341 cm3 > 2.007,24 mm3 005

Itsasoko ura edateko ur bihurtzen duen instalazio batek 25.000 m3 ur gezatzen ditu egunero. Zenbat hm3, dam3 eta m3 gezatuko ditu urtebetean? 25.000 ⋅ 365 = 9.125.000 m3 = 9.125 dam3 = 9,125 hm3

006

Kalkulatu. a) b) c) d)

4,02 hm3 + 1.430,27 dm3 0,0875 km3 − 1.435,48 dam3 1 km3 + 100 hm3 + 1 m3 1 hm3 − 2 dam3 − 5 m3 a) 4.020.001.430,27 dm3 b) 88.935,48 dam3

007

Adierazi modu konplexuan. a) 3.425.123 m3 b) 4.090,67 dm3 a) b) c) d)

350

c) 1.100.000.001 m3 d) 997.995 m3

c) 789.452.142 cm3 d) 45.860,0019 dam3

3 hm3 425 dam3 123 m3 4 m3 90 dm3 670 cm3 789 m3 452 dm3 142 cm3 45 hm3 860 dam3 1 m3 900 dm3

917840 _ 0348-0371.qxd

8/2/08

12:52

Página 351

ERANTZUNAK

008

Adierazi modu sinplean. a) 3 dam3 40 dm3 b) 4.000 mm3 5 cm3 a) 3.000.040 dm3 b) 9 cm3

009

12

c) 76 cm3 0,46 dm3 d) 90 cm3 450 mm3 c) 536 cm3 d) 90.450 mm3

Kalkulatu 5 cm-ko ertza duen kuboaren bolumena. Idatzi emaitza m3-tan.

V = 53 = 125 cm3 = 0,000125 m3 010

Zenbat aldiz handiagoa da kubo handiaren bolumena txikiarena baino?

4 cm

2 cm

Kubo handiaren bolumena txikiarena halako 8 da.

011

Adierazi dezimetro kubotan. a) 3,42 ¬ b) 4.090 cl a) 3,42 dm3 b) 10,9 dm3

012

c) 9,8 dm3 d) 0,9 dm3

Adierazi kilotan ur destilatuaren neurri hauek: a) 240 cm3 b) 8,6 cl a) 0,24 kg b) 0,086 kg

013

c) 0,98 dal d) 0,009 hl

c) 7 dal d) 2.400 mm3 c) 70 kg d) 0,0024 kg

3 dl-ko edukiera duten zenbat edalontzi bete daitezke 1,5 ¬-ko pitxer bat erabiliz? 15 : 3 = 5 edalontzi bete daitezke.

014

Zenbat litro esne sartzen dira 16 cm-ko ertza duen kubo formako pakete batean? 163 = 4.096 cm3 = 4,096 litro esne sartzen dira.

015

Zenbatekoa izan behar du kubo baten ertzak, 8 ¬ olio barruan har ditzan?

V = l3 → 8 = l3 → l = 2 dm. 2 dm-ko ertza izan behar du.

351

917840 _ 0348-0371.qxd

8/2/08

12:52

Página 352

Gorputz geometrikoen bolumenak 016

1 dm3-eko zilarrezko haga batek 10,47 kg-ko pisua du. Zer dentsitate du zilarrak? Bolumena dm3-tan adierazten denez, masa kg-tan adieraziko da. m 10, 47 → d= → d = 10,47 kg/dm3. V 1

Formulan ordezkatuz: d =

017

400 cm3-ko bolumena duen metal zati batek 16,18 g/cm3-ko dentsitatea du. Zer pisu du? Bolumena cm3-tan adierazten denez, masa g-tan adieraziko da. m V

Formulan ordezkatuz: d =

018

m → 400 → m = 16,18 ⋅ 400 → m = 6.472 g

→ 16,18 =

Burdin barra batek 50 kg-ko pisua du. Burdinaren dentsitatea 7,21 kg/ ¬ -koa bada, zer bolumen du? Masa kg-tan adierazten denez, bolumena dm3-tan adieraziko da. m V

Formulan ordezkatuz: d =

019

1 cm3-eko urrezko eraztun batek 19,26 g-ko pisua du. Zer dentsitate du urreak? Formulan ordezkatuz: d =

020

m 19, 26 → d= → d = 19,26 g/cm3. V 1

Kubotxo bakoitza 1 cm-ekoa bada, kalkulatu irudien bolumenak. a)

b)

a) 21 kubotxo → 21 cm3 021

50 → 7,21 ⋅ V = 50 → V 50 → V= → V = 6,93 dm3 7, 21

→ 7,21 =

c)

b) 14 kubotxo → 14 cm3 c) 72 kubotxo → 72 cm3

Kalkulatu 12 m luze, 9 m zabal eta 2 m sakon den igerilekuaren bolumena. Adierazi emaitza m3-tan eta l-tan.

V = 12 ⋅ 9 ⋅ 2 = 216 m3 denez, edukiera hau du: 216 m3 = 216 kl = 216.000 l. 022

Ortoedro baten neurriak hauek dira: a = 25 cm, b = 8 cm eta c = 5 cm. Zer luzera du ortoedroaren bolumen bera duen kuboaren ertzak? Ortoedroaren bolumena hau da: 25 ⋅ 8 ⋅ 5 = 1.000 cm3. Kuboaren ertza 10 cm luze da.

352

917840 _ 0348-0371.qxd

8/2/08

12:52

Página 353

ERANTZUNAK

023

Kalkulatu prismaren bolumena.

5,2 cm

F

Oinarriaren (hexagono erregularra) azalera kalkulatuko dugu:

P ⋅a (6 ⋅ 6) ⋅ 5, 2 = = 93,6 cm2 2 2 V = AOinarria ⋅ h = 93,6 ⋅ 9 = 842,4 cm3 AHexagonoa =

a 6 cm

024

12 9 cm

m 6c

Kalkulatu 45 cm2-ko azalera eta 7 cm-ko altuera dituen zilindroaren bolumena.

V = AOinarria ⋅ h = 45 ⋅ 7 = 315 cm3 025

Zapata-kutxa baten ertzak 40 cm, 40 cm eta 60 cm luze dira. Kalkulatu kutxaren bolumena.

V = 40 ⋅ 40 ⋅ 60 = 96.000 cm3 026

Zer azalera du zilindro baten oinarriak, altuera 8 cm-koa bada eta 6 cm-ko ertza duen kuboaren bolumen bera badu? Kuboaren bolumena: V = 63 = 216 cm3. Zilindroaren bolumena: V = AOinarria ⋅ 8 = 216 → AOinarria = 27 cm2.

027

Kalkulatu lau angeluko piramide baten bolumena, oinarriko ertza 7 cm-koa eta altuera 13 cm-koa bada. Oinarriaren (karratua) azalera kalkulatuko dugu: A = l2 → A = 72 = 49 cm2. Bolumena hau da: V =

028

 1 1 AOinarria ⋅ h = ⋅ 49 ⋅ 13 = 212,3 cm3. 3 3

Zer oinarriko erradio du 12 cm-ko altuera eta 168 cm3-ko bolumena dituen konoak?

V = A Oinarria ⋅ h → 168 = A Oinarria ⋅ 12 → A Oinarria = 14 cm2 A Oinarria = πr 2 → 14 = πr 2 → r = 2,11 cm 029

Zilindro baten oinarriaren diametroa 8 cm-koa da, eta altuera, 12 cm-koa. Kalkulatu altuera bera eta oinarri zirkular baliokidea dituen konoaren bolumena.

AOinarria = πr 2 = π ⋅ 42 = 50,24 cm2 1 1 V = AOinarria ⋅ h = ⋅ 50,24 ⋅ 12 = 200,96 cm3 3 3

353

917840 _ 0348-0371.qxd

8/2/08

12:52

Página 354

Gorputz geometrikoen bolumenak 030

18 cm

Kalkulatu esferaren bolumena.

F

4 4 V = πr 3 → V = π ⋅ 93 → V = 3.052 cm3 3 3 031

Esfera baten bolumena 34 cm3-koa bada, zer luzera du erradioak? V =

032

4 3 4 πr → 34 = πr 3 → r 3 = 8,12 → r = 2,01 cm 3 3

Kalkulatu gorputzen eta haietan inskribatutako esferen arteko bolumena. a)

b) 6 cm 6 cm

a) Kuboaren bolumena: V = l3 → V = 63 = 216 cm3. 4 4 Esferaren bolumena: V = πr 3 → V = π ⋅ 33 → V = 113,04 cm3. 3 3 Bien arteko bolumena hau da: 216 − 113,04 = 102,96 cm3. b) Zilindroaren bolumena: V = πr 2h → V = π ⋅ 32 ⋅ 6 = 169,56 cm3. 4 4 Esferaren bolumena: V = πr 3 → V = π ⋅ 33 → V = 113,04 cm3. 3 3 Bien arteko bolumena hau da: 169,56 − 113,04 = 56,52 cm3.

ARIKETAK 033 ●

Adierazi dezimetro kubotan. a) 8,56 m3 b) 124.090 cm3

c) 0,085 m3 d) 0,006 dam3

a) 8.560 dm3 b) 124,09 dm3 034 ●

c) 85 dm3 d) 6.000 dm3

Adierazi dekametro kubotan. a) 93,42 m3 b) 64.090 cm3

c) 0,86 hm3 d) 0,0059 dm3

a) 0,09342 dam3 b) 0,00006409 dam3

354

c) 860 dam3 d) 0,0000000059 dam3

917840 _ 0348-0371.qxd

8/2/08

12:52

Página 355

ERANTZUNAK

035 ●

Adierazi metro kubotan. a) 1,4 km3 23 hm3 18 dam3 b) 0,625 dm3 850 cm3 589 mm3 a) 1.423.018.000 m3

036 ●

b) 0,001475589 m3

Adierazi hektometro kubotan. a) 30 dam3 41 m3 b) 4.450 m3 500 cm3

c) 760 m3 480 dm3 d) 98 m3 4.800 dm3

a) 0,030041 hm3 b) 0,0000044505 hm3

037 ●

●

c) 0,000760480 hm3 d) 0,0001028 hm3

Adierazi modu konplexuan. a) 57.784.325 dam3 b) 782.760,432 cm3 a) b) c) d)

038

c) 85.245,9847 m3 d) 6.667.229.503 dm3

57 km3 784 hm3 325 dam3 782 dm3 760 cm3 432 mm3 85 dam3 245 m3 984 dm3 700 cm3 6 hm3 667 dam3 229 m3 503 dm3

Adierazi mililitrotan. a) 53,41 ¬ b) 5.246 cl

c) 9,08 dal d) 0,0019 hl

a) 53.410 ml b) 52.460 ml

039 ●

c) 90.800 ml d) 190 ml

Adierazi dekalitrotan. a) 8.050 dl 900 cl b) 850 ml 50 cl

c) 7.590,41 dl d) 80 dl 4.750 ml

a) 81,4 dal b) 0,09 dal

040 ●

12

c) 75,9041 dal d) 1,275 dal

Kalkulatu ur destilatuaren pisua. a) 3 dal b) 12 dl a) 30 kg b) 1,2 kg

c) 65 cm3 d) 423 m3 c) 65 g d) 423.000 kg

355

917840 _ 0348-0371.qxd

8/2/08

12:52

Página 356

Gorputz geometrikoen bolumenak 041 ●●

Burdin barra batek 40 kg-ko pisua du. Dentsitatea 7,8 kg/dm3 bada, zer bolumen du? V =

042

2 dm3-ko zilar-lingote batek 20,94 kg-ko pisua du. Zer dentsitate du zilarrak?

●●

d =

043 ●●

044 ●●

●●

Esan nahi du 1 cm3 urrek 19,258 g-ko pisua duela. Aluminiozko bloke batek 75 kg-ko pisua du eta dentsitatea 2,7 g/cm3 da. Zer bolumen du?

●

75.000 = 27.777, 777 cm3 = 27,777 dm3 2, 7

Metal zati batek 3.149,6 g-ko pisua du eta dentsitatea 12,4 kg/dm3 da. Zer bolumen du cm3-tan? V =

046

20, 94 = 10,47 kg/dm3 2

Urrearen dentsitatea 19,258 g/cm3 da. Azaldu zer esan nahi duen.

V =

045

40 = 5,128 dm3 7, 8

3,1496 = 0,254 dm3 = 254 cm3 12, 4

Kalkulatu 8 cm-ko ertza duen kuboaren bolumena. Adierazi emaitza m3-tan.

V = 83 = 512 cm3 = 0,000512 m3 047 ●

048 ●

049 ●●

Kubo baten oinarriaren perimetroa 84 cm-koa da. Kalkulatu bolumena.

P = 4 l → 84 = 4 l → l = 21 cm V = 213 = 9.261 cm3 Kubo baten bolumena 98 cm3-koa bada, kalkulatu ertzaren luzera. 98 = l3 → l = 4,61 cm Kubo baten bolumena 125 cm3-koa da. Kalkulatu diagonala. 125 = l3 → l = 5 cm Aldearen diagonala: d = Kuboaren diagonala: d =

356

52 + 52 = 7,07 cm. 50 + 52 = 8,66 cm.

917840 _ 0348-0371.qxd

8/2/08

12:52

Página 357

ERANTZUNAK

050 ●●

12

Adierazi zein irudik duten bolumen bera, Cavalieriren printzipioa aplikatuz. a)

c) 4 cm 4 cm

4 cm

m 4c

b)

8 cm

d)

m 2c

8 cm

3 cm m 4c

4

4 cm

cm

3 cm

a) eta c) ataletako irudiek bolumen bera dute, bi irudien sekzioek 16 cm2-ko azalera eta altuera bera dutelako: 4 cm. b) eta d) ataletako irudiek bolumen bera dute, bi irudien sekzioek 16 cm2-ko azalera eta altuera bera dutelako: 3 cm.

051 ●

Kalkulatu prisma baten bolumena, oinarria 8 cm-ko aldea duen karratua bada eta 15 cm-ko altuera badu.

V = 82 ⋅ 15 = 960 cm3

●

Kalkulatu oinarri hexagonal erregularra duen prismaren bolumena. 36 ⋅ 5, 2 A Oinarria = = 93,6 cm2 2

V = A Oinarria ⋅ h = 93,6 ⋅ 4 = 374,4 cm3 053 ●●

4 cm 5,2 cm

052

6 cm

Kalkulatu prisma hexagonal baten bolumena, oinarriko ertza 10 cm-koa eta altuera 16 cm-koa bada.

a=

100 − 25 = 8,66 cm

A Oinarria =

60 ⋅ 8, 66 = 259,8 cm2 2

V = A Oinarria ⋅ h = 259,8 ⋅ 16 = 4.156,8 cm3 054 ●●

Oinarri karratuko prisma batek 12 cm-ko altuera eta 146 cm3-ko bolumena ditu. Kalkulatu oinarriko aldearen luzera.

V = A Oinarria ⋅ h → 146 = A Oinarria ⋅ 12 → A Oinarria = 12,17 cm2 A Oinarria = l2 → 12,17 = l2 → l = 3,49 cm

357

917840 _ 0348-0371.qxd

8/2/08

12:52

Página 358

Gorputz geometrikoen bolumenak 055 ●

Kalkulatu altuera 15 cm-koa eta oinarriko diametroa 16 cm-koa dituen zilindroaren bolumena.

V = A Oinarria ⋅ h = πr 2h = π ⋅ 82 ⋅ 15 = 3.014,4 cm3 056 ●

Kalkulatu 8 cm-ko altuera eta 122 cm3-ko bolumena dituen zilindroaren erradioa.

V = A Oinarria ⋅ h = πr 2h → 122 = π ⋅ r 2 ⋅ 8 → r = 2,2 cm 057 ●●

Kalkulatu zilindro baten bolumena; oinarriko erradioa 12 cm eta altuera erradioa halako hiru da.

h = 3 ⋅ 12 = 36 cm V = A Oinarria ⋅ h = πr 2h = π ⋅ 122 ⋅ 36 = 16.277,76 cm3 058

Kalkulatu gelaren bolumena.

●●

0,5 m

0,5 m

F

F

5m

8m 3m F

4m

2m 0,5 m

A Oinarria = A Laukizuzena − A Sartuneak = 9 ⋅ 6 − 2 ⋅ 0,5 − 2 ⋅ 0,5 − 4 ⋅ 0,5 = 50 m2 V = A Oinarria ⋅ h = 50 ⋅ 3 = 150 m3 059 ●●

Kalkulatu irudiaren bolumena.

6 cm

Bolumen osoa kanpoko kuboaren bolumena ken 8 kubotxoen bolumena da:

V = 63 − 8 ⋅ 23 = 216 − 64 = 152 cm3 060 ●●

Kalkulatu 8 cm-ko ertza duen kuboaren eta kuboan inskribatutako zilindroaren arteko bolumena.

8 cm

Zilindroaren bolumena: V = πr 2h = π ⋅ 42 ⋅ 8 = 401,92 cm3. Esferaren bolumena: V =

4 3 4 πr → V = π ⋅ 43 = 268,08 cm3. 3 3

Bien arteko bolumena hau da: 401,92 − 268,08 = 133,84 cm3.

358

917840 _ 0348-0371.qxd

8/2/08

12:52

Página 359

ERANTZUNAK

061

12

EGIN HONELA NOLA KALKULATZEN DA KUBO BATEN BOLUMENA, DIAGONALA SOILIK JAKINIK? Kalkulatu kuboaren bolumena.

12

LEHENA.

cm

Triangelu angeluzuzen hauei Pitagorasen teorema aplikatu behar zaie: • Hipotenusa D, eta katetoak, d eta a.

D 2 = a 2 + d 2 → 122 = a 2 + d 2

a

D

• Hipotenusa d; katetoak, a eta a.

d

a

d2 = a2 + a2

a BIGARRENA.

Bi ekuazioekin sistema bat planteatu behar da. 122 = a 2 + d 2 ⎪⎫⎪⎪ → d 2 = 122 − a 2 ⎬ ⎪

d 2 = a 2 + a 2 ⎪⎪⎭ → 122 − a 2 = a 2 + a 2 → a 2 = → a= HIRUGARRENA.

122 = 48 → 3

48 = 6,93 cm

Bolumena kalkulatu behar da.

V = 6,933 = 332,81 cm3

062 ●●

Kalkulatu kubo baten bolumena, jakinik diagonalaren luzera hau dela: a) 27 cm

b) 32 cm

c) 9 cm

a) 272 = a 2 + d 2 ⎪⎫⎪ 2 2 2 2 ⎬ → 27 = a + a + a → a = d 2 = a 2 + a 2 ⎪⎪⎭

243 = 15,59 cm

V = a 3 = 15, 593 = 3.789,12 cm3 b) 322 = a 2 + d 2 ⎫⎪⎪ 2 2 2 2 ⎬ → 32 = a + a + a → a = d 2 = a 2 + a 2 ⎪⎭⎪

1.024 = 18,48 cm 3

V = a 3 = 18, 48 3 = 6.311,11 cm3 c) 92 = a 2 + d 2 ⎪⎫⎪ 2 2 2 2 ⎬→ 9 =a +a +a →a= d 2 = a 2 + a 2 ⎪⎪⎭

27 = 5,2 2 cm

V = a 3 = 5, 23 = 140,61 cm3

359

917840 _ 0348-0371.qxd

8/2/08

12:52

Página 360

Gorputz geometrikoen bolumenak 063

Kalkulatu irudien bolumena.

●●

a)

11 cm

b) 15 cm

F

3 cm F

8 cm

a) a = V =

064 ●●

b) V =

82 − 42 = 6,93 cm

1 π ⋅ 32 ⋅ 11 = 103,62 cm3 3

1 48 ⋅ 6, 93 ⋅ ⋅ 15 = 831,6 cm3 3 2

16 cm-ko ertza duen kuboaren zentroa eta kuboaren 8 erpinak lotuz, 6 piramide osatzen dira. Zer bolumen du piramide bakoitzak? Piramide bakoitzaren bolumena kuboaren bolumenaren seirena da: V =

065 ●●

16 6

3

16 cm

= 682,67 cm3

Kalkulatu irudiaren bolumena, kontuan hartuta prisma batek eta kono baten erdiak osatzen dutela, eta prismaren oinarriko triangelua aldeberdina dela.

3 cm

F

8 cm

hOinarria =

6 cm

36 − 9 = 5,2 cm

6 cm

6 cm

1 π ⋅ 32 ⋅ 6 6 ⋅ 5, 2 VKonoa 3 V = VPrisma + = + = 15, 6 + 28, 26 = 43,86 cm3 2 2 2

066 ●●

Altzairu-fabrika batean, irudiaren formako altzairuzko (d = 8 g/cm3) 3.000 pieza egiten dituzte egunean. Kalkulatu altzairuaren masa eta bolumena. 10 cm F

4 cm

6 cm

Pieza baten bolumena: V = VZilindroa + VKonoa = π ⋅ 42 ⋅ 10 +

1 π ⋅ 42 ⋅ 6 = 602,88 cm3 3

Piezen bolumen osoa: V = 602,88 ⋅ 3.000 = 1.808.640 cm3. Masa: m = 1.808.640 ⋅ 8 = 14.469.120 g.

360

917840 _ 0348-0371.qxd

8/2/08

12:52

Página 361

ERANTZUNAK

067 ●●

Kalkulatu kono baten bolumena, altuera 36 cm bada eta oinarriko diametroa 2 altueraren . 3 Altuera: 36 cm. V =

068 ●●

Diametroa: 24 cm.

1 π ⋅ 122 ⋅ 36 = 5.425,92 cm3 3

Zilindro baten oinarriko diametroa 6 cm-koa da, eta altuera, 10 cm-koa. Kalkulatu altuera bera eta oinarri zirkular baliokidea dituen kono baten bolumena. V =

069

12

1 π ⋅ 32 ⋅ 10 = 90,2 cm3 3

Kalkulatu irudien bolumenak.

●●●

8 cm

3 cm

F F

c)

3 cm

d)

m 4c

F

8 cm

3 cm F

G

b)

G

a)

8 cm

6 cm

a) V = VZilindroa − VKonoa = π ⋅ 82 ⋅ 16 − b)

1 π ⋅ 82 ⋅ 8 = 2.679,47 cm3 3

Zirkunferentzia = π ⋅ r → π ⋅ r = 3 → r = 0, 96 cm 2 1 π ⋅ 0, 962 ⋅ 3 VZilindroa VKonoa π ⋅ 0, 962 ⋅ 3 3 V = − = + = 5,79 cm3 2 2 2 2

c) Konoaren bolumena kuboaren bolumenaren seirena da: V = 63 −

63 = 180 cm3 6

d) Irudiaren bolumena hau da: kuboaren bolumena ken piramide triangeluarraren bolumena. Piramide triangeluar zeiharraren bolumena kalkulatuko dugu; oinarria 4 cm-ko aldea eta 4 cm-ko altuera dituen triangelu angeluzuzena da: V = VKuboa − VPiramidea = 82 −

070

1 4⋅4 ⋅ ⋅ 4 = 64 − 10, 67 = 53,33 cm3 3 2

Kalkulatu 15 cm-ko erradioa duen esferaren bolumena.

●

V =

4 π ⋅ 15 3 = 14.130 cm3 3

361

917840 _ 0348-0371.qxd

8/2/08

12:52

Página 362

Gorputz geometrikoen bolumenak 071 ●●

Zilindro baten altuera eta oinarriko diametroa 16 cm-koak dira. Kalkulatu zilindroaren eta bertan inskribatutako esferaren arteko bolumena. Zilindroaren bolumena: V = πr 2h → V = π ⋅ 82 ⋅ 16 = 3.215,36 cm3. Esferaren bolumena: V =

4 3 4 πr = π ⋅ 8 3 = 2.143,57 cm3 . 3 3

Bien arteko bolumena hau da: 3.215,36 − 2.143,57 = 1.071,79 cm3.

072

Kalkulatu eta erantzun.

●●

a) Zer bolumen du 14 cm-ko diametroa duen esfera batek? b) Zenbat zentilitro ur sartzen dira esfera horretan? c) Zenbat zentigramoko pisua du esferan sartzen den urak? a) V =

4 3 4 πr = π ⋅ 73 = 1.436,03 cm3 3 3

b) Esferan sartzen den ura: 1.436,03 : 10 = 143,603 cl. c) Esferako uraren pisua hau da: 1.436,03 ⋅ 100 = 143.603 cg.

073

EGIN HONELA NOLA KALKULATZEN DA ESFERA-SEKTORE BATEN BOLUMENA? Esferaren diametro bera duten bi zirkuluerdiren arteko esfera zatiari esfera-sektorea deritzo.

18 cm

40°

Zer bolumen du esfera-sektore honek?

Esferaren bolumena kalkulatu behar da. 4 4 V = πr 3 = π ⋅ 18 3 = 24.416, 64 cm3 3 3

LEHENA.

BIGARRENA. Hiruko erregela planteatu behar da, esfera-sektorearen graduak kontuan hartuta. dagokio

→ 24.416,64 cm3 360°-ri ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dagokio

→ 40°-ri ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ x =

362

x

40 ⋅ 24.416,64 = 2.712, 96 cm3 360

cm3

917840 _ 0348-0371.qxd

8/2/08

12:52

Página 363

ERANTZUNAK

074

12

Kalkulatu esfera-sektore hauen bolumenak:

●●

α

r

a) r = 8 cm

α = 36o

b) r = 5 m

α = 120o

c) r = 10 dam

α = 90o

d) r = 12 cm

α = 150o

4 π ⋅ 8 3 = 2.143,57 cm3 3 V ⋅ 36 V Sektorea = Esfera = 214,357 cm3 360 4 b) VEsfera = π ⋅ 5 3 = 523,33 m3 3 V ⋅ 120 VSektorea = Esfera = 174,44 m3 360 4 c) VEsfera = π ⋅ 10 3 = 4.186,66 dam3 3 V ⋅ 90 VSektorea = Esfera = 1.046,66 dam3 360 4 d) VEsfera = π ⋅ 123 = 7.234,56 cm3 3 V ⋅ 150 VSektorea = Esfera = 3.014,4 cm3 360 a) V Esfera =

075 ●●●

10 cm-ko diametroko laranja batek 8 laranja-atal berdin ditu. Kalkulatu bakoitzaren bolumena. VEsfera =

076 ●●

4 π ⋅ 5 3 = 523,33 cm3 3

VLaranja-atala =

VEsfera = 65,42 cm3 8

Etxe batean, 140 m3 256 dm3 ur kontsumitu dute urtebetean. Metro kuboak 0,90 € balio badu, zenbat ordaindu behar dute? Urteko kontsumoa hau da: 140 m3 256 dm3 = 140,25 6 m3. Beraz, urteko gastua: 140,256 ⋅ 0,90 = 126,23 €.

077 ●●

Poto bat ur destilatuk 380 g-ko pisua du, eta hutsik, 20 g-koa. Zer edukiera du dezilitrotan eta zentilitrotan? Potoko uraren pisua hau da: 380 − 20 = 360 g, eta beraz, edukiera 360 ml = 36 cl = 3,6 dl da.

078 ●●

Iturri batek orduko 80 litro isurtzen ditu eta ordubete eta 36 minutuan upel bat betetzen du. Zer bolumen du upelak? Upelean sartzen diren litroak: 80 ⋅ 1,6 = 128 litro; upelaren bolumena hau da: 128 dm3.

363

917840 _ 0348-0371.qxd

8/2/08

12:52

Página 364

Gorputz geometrikoen bolumenak 079 ●●

30 dm3/min ur ateratzen duen ur-ponpa batek 2 ordu eta erdi behar ditu andel bat husteko. Zenbat litro sartzen dira andelean? Ateratako ur litroak: 30 ⋅ 150 = 4.500 litro; hori da andelaren edukiera, hain zuzen ere.

080

EGIN HONELA NOLA EBAZTEN DIRA ZENBAIT UNITATEKO BETETZE- ETA HUSTE-PROBLEMAK? Iturri batek 140 ¬ /mm-ko emaria du. Zenbat denboran beteko du 9 m3 800 dm3-ko andela? LEHENA.

Kantitate guztiak unitate berean adierazi behar dira.

3

dm -tan adieraziko ditugu: Iturria ⎯⎯→ 140 ¬ /min = 140 dm3/min Andela ⎯→ 9 m3 + 800 dm3 = (9 ⋅ 1.000) dm3 + 800 dm3 = 9.800 dm3 BIGARRENA.

Hiruko erregela ebatzi behar da.

⎯⎯⎯ → 1 min 140 dm3 ⎯⎯⎯⎯⎯ → x min 9.800 dm3 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ x =

081 ●●

1 ⋅ 9.800 = 70 min 140

Iturri batek 24,1 ¬ /min-ko emaria du. Zenbat denboran beteko du 24,75 m3 160 dm3-ko andela? Andelaren edukiera 24.910 litrokoa da. Betetzeko behar duen denbora: 24.910 : 24,1 = 1.033,61 minutu.

082 ●●

180 dm3-ko putzu baten hustubideak 35 ¬ /min husten du. Zenbat denboran hustuko da?

Denbora hau beharko du: 180 : 35 = 5,14 minutu.

364

917840 _ 0348-0371.qxd

8/2/08

12:52

Página 365

ERANTZUNAK

083 ●●

12

Urtegi batean, 3.542 milioi m3 ur daude. Udan, 875.000 ¬ ur galtzen ditu egunean.

a) Zenbat m3 galduko ditu 60 egunetan? b) Zenbat m3 geratuko dira 20 egun pasatutakoan? a) 875.000 litro = 875 m3 60 egunetan galduko duena: 875 ⋅ 60 = 52.500 m3. b) 20 egun pasatutakoan: 3.542.000.000 − 875 ⋅ 20 = 3.541.982.500 m3 084 ●●

Andel batean, 2.700 ¬ ur sartzen dira. Iturri batek 45 minutuan betetzen badu, zenbat metro kubo ur isurtzen ditu minutuan? Kontuan hartuko dugu 2.700 litro 2,7 m3 direla. Minutu batean isurtzen duena: 2,7 : 45 = 0,06 m3/min.

085 ●●

Igerileku bat 25 m luze, 12 m zabal eta 1,6 m sakon da. Zenbat denboran beteko du 100 ¬ /min isurtzen duen iturri batek? Igerilekuaren bolumena hau da: 25 ⋅ 12 ⋅ 1,6 = 480 m3 = 480.000 dm3. Betetzeko denbora: 480.000 : 100 = 4.800 minutu = 80 ordu.

086 ●●

1 m luze, 8 dm zabal eta 6 dm altu diren zenbat kutxa pilatu daitezke, 4 × 3,2 m-ko oinplanoko eta 2,4 m-ko altuerako gela batean? Kutxa bakoitzaren bolumena: VKutxa = 1 ⋅ 0,8 ⋅ 0,6 = 0,48 m3. Gelaren bolumena: VGela = 4 ⋅ 3,2 ⋅ 2,4 = 30,72 m3. Pilatu daitezkeen kutxak: 30,72 : 0,48 = 64 kutxa.

087 ●●

Egun batean, 60 ¬ /m2 euri egin du. Zer altueratara iritsi da ura 2 dm-ko ertza duen ontzi kubiko batean? Ontzian jasotako ura: 60 ¬ ⎯→ 1.000 dm2 x ¬ ⎯→ 4 dm2

⎫⎪ ⎬ → x = 0,24 ¬ ⎪⎪⎭

Altuera: V = AOinarria ⋅ h → 0,24 = 4 ⋅ h → h = 0,06 dm = 6 mm.

365

917840 _ 0348-0371.qxd

8/2/08

12:52

Página 366

Gorputz geometrikoen bolumenak 088 ●●

Kalkulatu Aste Santuko kofradiakide baten txanoaren bolumena, jakinik 9 cm-ko erradioa eta 60 cm-ko altuera dituela. V =

089 ●●

090 ●●

1 π ⋅ 92 ⋅ 60 = 5.086,8 cm3 3

12 cm-ko erradioa duten 200 baloi puzteko, zer aire bolumen behar da? 4 π ⋅ 123 = 7.234,56 cm3 . 3 200 baloiren bolumena: V = 7.234,56 ⋅ 200 = 1.446.912 cm3. Baloi baten bolumena: V =

Kalkulatu zer material bolumen behar den 15 cm-ko erradioa eta 1 cm-eko lodiera dituen baloi bat egiteko. Behar den material bolumena kanpoko esferaren bolumena ken barruko esferaren bolumena da. V = VKanpokoa − VBarrukoa =

091 ●●●

4 4 π ⋅ (15 3 − 14 3 ) = π ⋅ 631 = 2.641,79 cm3 3 3

Lurraren erradioa 6.370 km-koa da, eta Marterena, 3.400 km-koa. a) Zenbat aldiz handiagoa da Lurraren erradioa Marterena baino? b) Zenbat aldiz handiagoa da Lurraren bolumena Marterena baino? a) Lurraren erradioa:

6.370 = 1, 87 aldiz handiagoa Marterena baino. 3.400

4 π ⋅ 6.370 3 = 1.082.148.051.226,67 km3 . 3 4 Marteren bolumena: V = π ⋅ 3.400 3 = 164.552.746.666,67 km3. 3 1.082.148.051.226,67 = 6, 58 → Lurraren bolumena 6,58 aldiz 164.552.746.666,67 handiagoa da Marterena baino.

b) Lurraren bolumena: V =

092

Kristalezko bolak egiten dituen enpresa batek irudian ageri den moduan ontziratzen ditu.

25 cm

●●●

366

a) Kalkulatu kuboan inskribatutako bolaren eta kuboaren artean hutsik dagoen bolumena. b) Bolaren eta kuboaren arteko tartea betetzeko, 4,50 €/m3 balio duen material bat erabiliz gero, zenbat balio du 200 ontzi betetzeak? c) Erantzun galderei, kontuan hartuta ontzia, kuboa izan ordez, 13 cm-ko erradioa eta 25 cm-ko altuera dituen zilindroa dela. d) Zein aukera da merkeena?

917840 _ 0348-0371.qxd

8/2/08

12:52

Página 367

ERANTZUNAK

a) V = VKuboa −VEsfera = 25 3 −

12

4 π ⋅ 12, 5 3 = 7.447,92 cm3 = 0,00744792 m3 3

b) Balioa hau da: 200 ⋅ 4,50 ⋅ 0,00744792 = 6,70 €. 4 π ⋅ 12, 5 3 = 3 = 5.089,42 cm3 = 0,00508942 m3

c) V = VZilindroa − VEsfera = π ⋅ 132 ⋅ 25 −

Balioa hau da: 200 ⋅ 4,50 ⋅ 0,00508942 = 4,58 €. d) Zilindroaren aukera da merkeena. 093 ●●●

3 m-ko altuerako kono batek eta 3 m-ko erradioko esfera batek bolumen bera dute. Zer erradio du konoaren oinarriak? 1 2 ⎪⎫ πr ⋅ 3⎪⎪ 1 2 4 ⎪ 3 3 2 ⎬ → πr ⋅ 3 = π ⋅ 3 → r = 12 → r = 12 = 3,46 cm ⎪ 4 3 3 VEsfera = π ⋅ 33 ⎪⎪⎪ ⎪⎭ 3

VKonoa =

094 ●●●

Kono batek eta zilindro batek oinarri eta bolumen bera dituzte. Zer lotura dago altueren artean? 1 2 ⎪⎫⎪ 1 2 πr h ⎪ 2 ⎬ → πr h = πr H → h = 3H 3 ⎪⎪ 3 2 = πr H ⎪⎭

VKonoa = VZilindroa

Konoaren altuera zilindroaren altuera halako hiru da. 095 ●●●

Kono batek eta zilindro batek altuera eta bolumen bera dituzte. Zer lotura dago oinarriko diametroen artean? 1 2 ⎪⎫⎪ 1 2 πr h ⎪ 2 2 2 ⎬ → πr h = πR h → r = 3R → r = 3 ⎪ 3 2 ⎪ = πR h ⎪⎭

VKonoa = VZilindroa

Konoaren diametroa zilindroaren diametroa bider 096 ●●●

Irudiko konoaren erradioa eta altuera berdinak dira, eta bi zuzenkiak eta esferaren erradioa berdinak dira. Zenbat kono ur behar dira esfera betetzeko?

3R

3 da.

2r

r

4 3 1 2 ⎪⎫ πr πr r ⎪⎪ VEsfera ⎪ 3 3 = =4 → ⎬ 4 3 ⎪⎪ VKonoa 1 3 = πr ⎪ πr ⎪⎪⎭ 3 3

VKonoa = VEsfera

4 kono ur behar dira esfera betetzeko.

367

917840 _ 0348-0371.qxd

8/2/08

12:52

Página 368

Gorputz geometrikoen bolumenak 097 ●●●

Zenbat aldiz handituko da prisma hexagonal baten bolumena, altuera bikoiztuz gero? Eta oinarriko dimentsioak bikoiztuz gero? Eta hiru dimentsioak bikoiztuz gero? Jatorrizko prismaren bolumena: P ⋅a V = A Oinarria1 ⋅ h = ⋅h 2 Altuera bikoitza duen prismaren bolumena: P ⋅a ⋅2⋅h = P ⋅a ⋅h 2 Altuera bikoitza duen prismaren bolumena jatorrizkoaren bikoitza da.

V 1 = A Oinarria1 ⋅ 2 ⋅ h =

Oinarri bikoitza duen prismaren bolumena: (2 ⋅ P ) ⋅ (2 ⋅ a) ⋅h = 2⋅P ⋅ a ⋅h 2 Oinarri bikoitza duen prismaren bolumena jatorrizkoaren laukoitza da.

V2 = A Oinarria2 ⋅ h =

Hiru dimentsioak bikoiztuta dituen prismaren bolumena: (2 ⋅ P ) ⋅ (2 ⋅ a) ⋅ 2⋅h = 4⋅P ⋅ a ⋅h 2 Hiru dimentsioak bikoiztuta dituen prismaren bolumena jatorrizkoarena halako 8 da.

V2 = A Oinarria2 ⋅ 2 ⋅ h =

098 ●●●

Esfera batean, kubo bat dago inskribatuta, eta kuboaren barruan, esfera bat. Zer lotura dago kanpoko eta barruko esferen bolumenen artean? Kanpoko esferaren erradioa: r. Kuboaren aldea: l. Kuboaren aldearen diagonala: l 2 + l 2 = Kuboaren diagonala: 2l 2 + l 2 =

2 l.

3 l.

Zirkunferentziaren diametroa eta kuboaren diagonala berdinak dira: 2r =

3l → l=

2 3

l

Zirkunferentzia txikienaren erradioa: r ' =

l = 2

4 3 πr . 3 ⎛ 1 4 Esfera txikienaren bolumena: V2 = π ⋅ ⎜⎜⎜ ⎝ 3 3

1 3

r.

Esfera handienaren bolumena: V 1 =

4 3 πr 3 Bolumenen arteko lotura: ⎛ 1 4 π ⋅ ⎜⎜ ⎜⎝ 3 3

368

⎞ r ⎟⎟⎟ ⎠⎟

3

=

⎞ r ⎟⎟⎟ . ⎟⎠ 3

33 = 3 3 .

917840 _ 0348-0371.qxd

8/2/08

12:52

Página 369

12

ERANTZUNAK

EGUNEROKOAN BOMBAY BONBOIAK enpresan asko zaintzen dute egiten dituzten bonboien diseinua. Horregatik, bonboiak egiteko erabiltzen dituzten lehengaien kalitatea funtsezkoa da: kakaoarena, banillarena, mentarena… Baina bonboien formari ere garrantzi handia ematen diote. G

2 cm

5 2,

cm

cm 10

F

2,5 cm

3,6 cm

G

G

F

6 0,

2,5 cm

5 2,

cm

cm

3,6 cm 2,6 cm F F

2,6 cm

2 cm cm

5 1,

1,5 cm F

2,5 cm

cm

G

G

F

G

2 cm

cm 2,5

2, 5

099 ●●●

2,5 cm

Bonboiak trinkoak dira, zenbait txokolatez eginak; gainera, usain ugari eransten zaizkie. Bonboiek eta bonboi-kutxak osatzen duten konposizioa oso atsegina da. Horren ondorioz, salgai jartzen den produktua benetako artelantzat hartzen da.

Zenbat txokolate behar da irudikoaren moduko kutxa bat egiteko? Lau angeluko prismaren bolumena: V1 = 2,52 ⋅ 2 = 12,5 cm3. 1 ⋅ 2, 52 ⋅ 3, 6 = 7,5 cm3. 3 4 Esferaren bolumena: V3 = π ⋅ 1, 33 = 9,2 cm3. 3 Konoaren bolumena: V2 =

Zilindroaren bolumena: V4 = π ⋅ 0,33 ⋅ 10 = 2,83 cm3.

369

917840 _ 0348-0371.qxd

8/2/08

12:52

Página 370

Gorputz geometrikoen bolumenak Prisma triangeluarraren bolumena: a=

2, 52 − 12 = 2,29 cm → V5 =

Konoaren bolumena: V6 =

2 ⋅ 2, 29 ⋅ 2, 5 = 5,15 cm3 2

1 π ⋅ 1, 252 ⋅ 3, 5 = 5,72 cm3. 3

Piramide-enborraren bolumena piramidearen bolumen osoa ken falta zaion piramide zatiaren bolumena da. 0,75 cm

h

2 cm

F

1,25 cm

⎫ 1,25 ⎯→ h + 2 ⎪⎬ → 1, 25 = 0, 75 → 1,25h = 0,75h + 1, 5 → h = 3 cm ⎭⎪⎪ 0,75 ⎯→ h h+2 h V7 =

1 1 ⋅ 2, 52 ⋅ 5 − ⋅ 1, 52 ⋅ 3 = 8,17 cm3 3 3

Bonboi-kutxak irudi hauek ditu: lau angeluko 2 prisma, 2 piramide, 3 esfera, 3 zilindro, 2 prisma triangeluar, 1 kono eta 2 piramide-enbor.

V = 2 ⋅ 12,5 + 2 ⋅ 7,5 + 3 ⋅ 9,2 + 3 ⋅ 2,83 + 2 ⋅ 5,15 + 5,72 + 2 ⋅ 8,17 = = 108,45 cm3 txokolate 100

Jatetxeen kate ospetsu batean, behean ageri dena eskaintzen dute.

●●●

J a n n y b u rg u e r 1 litro freskagarri

0,80 €

G

Txarteleko edalontziaren itxurakoak erabiltzen dituzte, oinarriaren paraleloa den plano batek ebakitako kono baten modukoak. 10 cm G F Edalontzietan, 3 cm-ko aldea duten kubo formako 8 izotz-kozkor jartzen dituzte. Gero, freskagarria isurtzen dute ertzetik 2 cm-ra arte. 16 cm

370

F

1 -ek freskagarritan Izotz-kozkorren bolumenaren 10 flotatzen badu, edalontzitik kanpo geratzen direla, zer bolumen du edalontzi bateko freskagarriak?

G

F

8 cm

917840 _ 0348-0371.qxd

8/2/08

12:52

Página 371

ERANTZUNAK

12

h 4 cm 16 cm

G

x F

2 cm 5 cm

⎫ 5 4 5 ⎯→ h + 16 ⎪⎬ → = → 5h = 4h + 64 → h = 64 cm ⎪⎪⎭ 4 ⎯→ h h + 16 h ⎫ 64 + 16 − 4 ⎯→ 64 ⎪⎬ → 4 = 64 → x = 4,875 cm ⎪ 64 + 16 − 2 ⎯→ x ⎭⎪ x 78 Edalontziaren bol.: V =

1 1 π ⋅ 4, 8752 ⋅ 78 − π ⋅ 42 ⋅ 64 = 868,44 cm3 . 3 3

Izotz-kozkorren bolumena: 8 ⋅ 33 = 216 cm3. Freskagarritan sartutako izotz-kozkorren bolumena: 216ren % 90 = 194,4 cm3. Freskagarriaren bolumena: 868,44 − 194,4 = 674,04 cm3 = 0,67404 litro. 101 ●●●

25 m-ko tutueria egiteko agindua jaso dugu. Haietan zehar 240 ¬ ur ibiliko dira eta 2 mm-ko lodiera izan behar dute. 48,56 kg-ko berunezko zenbat xafla behar ditugu, dentsitatea 11,4 g/cm3 bada? R

h

r

Tutueriaren barrualdeko bolumena: V = π ⋅ r 2 ⋅ 25.

V = π ⋅ r 2 ⋅ 250 → 40 = π ⋅ r 2 ⋅ 250 → → r = 0,30 dm = 3 cm Tutueriaren materialaren bolumena:

V = π ⋅ 2.500 ⋅ (R 2 − r 2) = = π ⋅ 2.500 ⋅ (52 − 32) = 125.600 cm3 Tutueriaren berunaren pisua: 125.600 ⋅ 11,4 = 1.431.840 g = 1.431,84 kg Beraz, hauek behar ditugu:

1.431, 84 = 29, 49 berunezko xafla. 48, 56

371

917840 _ 0372-0403.qxd

13

8/2/08

12:28

Página 372

Funtzioak FUNTZIOAK

FUNTZIO BATEN EZAUGARRIAK

JARRAITUTASUNA ETENUNEAK GORAKORTASUNA BEHERAKORTASUNA MAXIMOAK MINIMOAK SIMETRIAK PERIODIKOTASUNA

PROPORTZIONALTASUN ZUZENEKO FUNTZIOAK

PROPORTZIONALTASUN-FUNTZIOA FUNTZIO AFINA FUNTZIO KONSTANTEA

372

ALDERANTZIZKO PROPORTZIONALTASUNEKO FUNTZIOAK

917840 _ 0372-0403.qxd

8/2/08

12:28

Página 373

Buru-argitasuna eta ezpata René, 1618an 22 urte zituen soldadu gaztea, pasieran zebilen Breda hirian, noraezean. Bidaiatzeko asmoa zuen, mundua ezagutzeko, eta halabeharrez soldadu egin zen arren, ez zuen batere damurik. Ezpata eta buru-argitasuna aloka zitzakeen; ez zuen inork ezpataz galdetzen, baina, buru-argitasunaren froga eskatzen zuten. Plazara iristean, atentzioa eman zion fatxada baten aurrean bildutako jende multzo batek; horman atxikitako txartel bat irakurri nahian zebiltzan. Jakin-minak jota, hizkuntzaren berri ez zuenez, frantsesera edo latinera itzultzeko eskatu zuen. Matematika-problema bat zen eta hura ebazteagatik saria eskaintzen zuen Beeckman izeneko batek, herrialdean oso ospetsua zen zientifikoak. Biharamunean, haren etxean agertu zen, problema ebatzita. Beeckman harrituta geratu zen soldadua ikustean; hala ere, ebazpena irakurtzean, gazteari begiratu eta ez zuen ezpata ikusi, haren talentu izugarria baizik. Gaztea René Descartes zen eta haren buru-argitasunak egin zuen ospetsu. Hari zor dizkiogu diagrama kartesiarrak: planoko puntu bakoitza zenbaki pare batek adierazten du. Adierazi P eta Q puntuak ardatz kartesiarretan, jakinik koordenatuak P(2, 3) eta Q(–1, 2) direla.

Y 4

P Q 2 1

3

X

917840 _ 0372-0403.qxd

18/3/08

14:56

Página 374

Funtzioak ARIKETAK 001

Adierazi puntuak koordenatu kartesiarren sistema batean. Zenbat puntu daude koadrante bakoitzean?

A (−6, 0) B (−3, −3) C (0, −2)

Lehen koadrantea: E. Bigarren koadrantea: D. Hirugarren koadrantea: B. Laugarren koadrantea: F.

002

Y

D (−5, 3) E (1, 7) F (3, −5)

E 4

D 2

A

−3

1 −2 C

3

B

−4

F

X

P (x, y) puntuan, x > 0 da eta y < 0. Zein koadrantetan adierazi behar da? Eman adibide bat. Horrelako puntuak laugarren koadrantean adierazi behar dira; adibidez (4, −3).

003

Adierazi puntuak koordenatu-sistema batean. A (1, 1) B (6, 1) C (6, 6) D (1, 6) Elkartu A, B, C eta D puntuak. Zer irudi lortu duzu? Karratu bat lortzen da.

Y D

C

A

B

4 2 −3

−2

1

X

3

−4

004

Adierazi ordenatua 2 duten puntu guztiak. Zer ikusten duzu? Y

Zuzen horizontal bat da.

4 2 −3

1 −2 −4

374

3

X

917840 _ 0372-0403.qxd

8/2/08

12:28

Página 375

ERANTZUNAK

005

13

Aztertu ea funtzio baten balioak diren. Orduak (h) 12 Altuera (m) 3

13 6

14 6

15 9

16 8

17 7

Altuera (m)

Y 9 6

3

13

12

14 Orduak (h)

15

16

17

X

Funtzioa izan daiteke, x-ren balio bakoitzari y-ren balio bakar bat dagokiolako.

006

Grafiko honek funtzio bat adierazten al du? Y Espazioa (km)

150 120 90 60 30

X 1 2 3 4 Denbora (h)

5

Bai, x-ren balio bakoitzari y-ren balio bakar bat dagokiolako.

007

Kilo bat frutak 2,50 € balio du. Pisu bakoitzari prezio bat egokitzen dion funtzioan, kalkulatu 2, 4, 6, 8 eta 10 kiloren irudiak. Pisua (kg) Prezioa (€)

008

2 5

4 10

6 15

8 20

10 25

Beheko esaldien artean, adierazi zein diren funtzioak eta zein ez. a) Liburu baten izenburua eta orrialde kopurua. b) Abiadura eta denbora, ibilbide bat egitean. c) Eguneko ordua eta itzalaren luzera. a) Ez da funtzioa. b) Funtzioa da. c) Funtzioa da.

375

917840 _ 0372-0403.qxd

8/2/08

12:28

Página 376

Funtzioak 009

Balio-taulan, 2 cm-ko altuerako laukizuzenaren oinarria eta altuera lotzen dira. Oinarria (cm) Azalera (cm2)

1 2

2 4

3 6

4 8

5 10

6 12

Azalera (cm)

Adierazi balioak grafiko bidez. Y 12 10 8 6 4 2 1

010

2

3 4 Oinarria (cm)

5

X

6

Osatu taula eta adierazi magnitudeak lotzen dituen funtzioa. Esnea (¬) 1 Prezioa (€) 0,65

3 1,95

5 3,25

9 5,85

10 6,50

Prezioa (€)

Y 6 4 2 1

5 7 Esnea ( ¬ )

Y 200 100

1

Orduak Pertsona kopurua

012

11 X

9

Erakusketa bat zabaldu denetik igarotako orduen eta bertaratutako pertsona kopuruaren arteko lotura ageri da grafikoan. Osatu dagokion balio-taula. Pertsona kopurua

011

3

1 100

3

2 150

5

3 50

X (orduak)

7

4 150

5 250

6 100

7 200

8 50

Eman balio-taula baten bidez adierazitako funtzio baten adibide bat, kontuan hartuta grafikoan puntuek elkartuta egon behar dutela. Esate baterako, karratu baten azalera eta aldea lotzen dituen funtzioa. Aldea 1 Azalera 1

376

2 4

3 9

4 16

5 25

6 36

7 49

8 64

917840 _ 0372-0403.qxd

8/2/08

12:28

Página 377

ERANTZUNAK

013

13

Zenbaki oso bakoitzari laurdena gehi 5 egokitzen dion funtzioa emanda: a) Idatzi funtzioaren adierazpen aljebraikoa. b)Kalkulatu f (2) eta f (0). x +5 4 2 1 11 b) f (2) = + 5 = + 5 = 4 2 2 a) y =

014

f (0) =

0 +5=5 4

Zenbaki bakoitzari hirukoitza ken 7 egokitzen dion funtzioa emanda: a) Idatzi funtzioaren adierazpen aljebraikoa. b) Kalkulatu f (3) eta f (5). a) y = 3x − 7 b) f (3) = 3 ⋅ 3 − 7 = 9 − 7 = 2

015

f (5) = 3 ⋅ 5 − 7 = 15 − 7 = 8

Adierazi karratu baten aldearen eta azaleraren arteko lotura, adierazpen aljebraiko baten bidez. Aldea x eta azalera y badira, hau da lotura: y = x 2.

016

Une bakoitza (denbora) eta uneari dagokion tenperatura lotzen dituen funtzioak ez du adierazpen aljebraikorik. Arrazoitu. Eman al dezakezu antzeko funtzio baten adibide bat? Ez du adierazpen aljebraikorik, ezin delako tenperatura aurresan denboraren mende. Beste adibide bat: pertsona baten adina eta pisua lotzen dituen funtzioa.

017

Zehaztu jarraitua den ala ez pertsona baten pisua eta adina lotzen dituen funtzioa. Balio pare batzuk beheko taulan ageri dira. Adina (urteak) 0,5 Pisua (kg) 5

1 6

2 9

5 15

8 21

11 34

Funtzio jarraitua da, bi aldagaiak jarraituak direlako. Saltoki batean, litro bat ardok 2,70 € balio du. Adierazi funtzio gisa, egin grafikoa eta zehaztu jarraitua den ala ez. Y 8

Funtzioa hau da: f (x) = 2,70x. Funtzio jarraitua da.

Prezioa (€)

018

6 4 2

1

3

X

Ardoa ( ¬ )

377

917840 _ 0372-0403.qxd

8/2/08

12:28

Página 378

Funtzioak 019

Eman funtzio jarraitu baten adibide bat eta funtzio eten baten beste bat. Funtzio jarraitu baten adibidea: okelaren prezioa haren pisuaren mende. Funtzio eten baten adibidea: telefono-dei baten prezioa iraupenaren mende (prezioa minutuka bada). Y

020

Kalkulatu funtzioaren ebakidura-puntuak ardatzekiko. 3

X ardatzarekiko ebakidura-puntuak: (−1, 0) eta (4, 0). Y ardatzarekiko ebakidura-puntua: (0, 1).

1 1

X

3

−2

021

Adierazi y = −2x + 2 funtzioa eta kalkulatu ardatzekiko ebakidura-puntuak.

Y

4

Ardatzekiko ebakidura-puntuak: Abzisa-ardatzarekiko: y = 0 → 0 = −2x + 2 → x = 1 (1, 0) puntuan ebakitzen du X ardatza.

2 −3

Adierazi y = −x funtzioa. Kalkulatu ardatzekiko ebakidura-puntuak.

4 2 −3

3

5

X

−2 −4

Ordenatu-ardatzarekiko: x=0→y=0 (0, 0) puntuan ebakitzen du Y ardatza. Marraztu funtzio jarraitu baten grafikoa, X ardatza bi aldiz eta Y ardatza behin ebakitzen duena.

Y

2

−3

378

X

Y

Ardatzekiko ebakidura-puntuak: Abzisa-ardatzarekiko: y = 0 → 0 = −x → x = 0 (0, 0) puntuan ebakitzen du X ardatza.

023

3

−4

Ordenatu-ardatzarekiko: x = 0 → y = −2 ⋅ 0 + 2 → y = 2 (0, 2) puntuan ebakitzen du Y ardatza. 022

1 −2

1

3

X

917840 _ 0372-0403.qxd

8/2/08

12:28

Página 379

ERANTZUNAK

024

13

X ardatzarekiko zenbat ebakidura-puntu ditu y = x + a motako funtzio batek? Eta Y ardatzarekiko? Funtzioak behin ebakiko du X ardatza eta beste behin Y ardatza.

025

Marraztu ardatzekiko ebakidura-punturik ez duen grafiko bat. Y 10 8 6 4 2 1

5

7

9

X

Adierazi katilu bat kaferen tenperaturaren bilakaera denboran zehar. Denbora (min) Tenperatura (°C)

0 40

3 33

6 26

9 22

12 15

Adierazi tarte gorakorrak eta beherakorrak.

Tenperatura (°C)

026

3

40 30 20 10 1

Funtzioa beherakorra da beti.

027

3

5 7 9 Denbora (min)

11

Globo aerostatiko batek airearen tenperatura jasotzen du altueraren mende. Altuera (km) Tenperatura (°C)

0 16

1 6

3 −1

2 2

4 −4

5 −6

Aztertu gorakorra ala beherakorra den. Funtzioa beherakorra da beti.

028

Marraztu funtzio bat baldintza hauetako bakoitzerako. a) x = 2-tik x = 7-ra arte handitzen da eta x = 7-tik x = 10-era arte txikitzen da. b) x = 0-tik x = 5-era arte txikitzen da eta x = 5-etik x = 12-ra arte handitzen da. a)

b)

Y

Y

10

10

8

8

6

6

4

4

2

2 1

3

5

7

9

11

X

1

3

5

7

9

11

X

379

917840 _ 0372-0403.qxd

8/2/08

12:28

Página 380

Funtzioak 029

Adierazi hau betetzen duen funtzioaren grafikoa: a) Beti gorakorra izatea. b) Beti beherakorra izatea. Y

a)

Y

b)

4 4 2 2 −3

1

X

3

−3

−2

030

1

Y

Adierazi grafikoaren maximoak eta minimoak. Maximoak: (2, 2) eta (5, 4). Minimoak: (3, 1) eta (5, 1).

1

X

1

031

X

3

−2

Taulan, motor-gidari baten abiadura ageri da igarotako denboraren mende. Denbora (min) Abiadura (km/h)

0 0

5 45

10 90

15 45

20 60

25 30

Kalkulatu maximoak eta minimoak. Maximoak: (10, 90) eta (20, 60). Minimoa: (15, 45).

032

Adierazi grafiko bidez taulako datuak eta kalkulatu muturrak. Altuera (km) Tenperatura (°C)

0 −20

10 −40

20 −30

30 −10

Minimo erlatiboak: (10, −40) eta (40, −18).

0 −10

10

20

30

−20 −30 −40

380

50 5

Y 10 Tenperatura (ºC)

Maximo erlatiboa: (30, −10).

40 −18

Altuera (km)

40

50 X

917840 _ 0372-0403.qxd

8/2/08

12:28

Página 381

ERANTZUNAK

033

13

Egin maximo eta minimo hauek dituen funtzio banaren adierazpen grafikoa: a) Maximo bat eta bi minimo. c) Maximorik eta minimorik ez. b) Maximo bat eta minimorik ez. a)

Y

c)

4

Y

2

2

1

3

5

1

X

7

3

X

Y

b)

2 −2

1

3

X

−2

034

Litro bat freskagarrik 1,25 € balio du. a) Egin taula bat, prezioa eta litro kopurua lotzeko. b) Idatzi funtzioaren adierazpen aljebraikoa. c) Adierazi funtzioa grafiko bidez. a) Litroak

1 1,25

Prezioa (€)

b) c)

2 2,50

3 3,75

4 5

5 6,25

6 7,50

x 4 5 = → y = x y 5 4 Y 4 2 1 3 5 −3 −2

X

−4

035

Linea elektriko bat jarri nahi dugu eta metro bat kablek 3 kg-ko pisua du. Idatzi funtzioaren adierazpen aljebraikoa. Luzera (m) Pisua (kg)

1 3

2 6

3 9

4 12

5 15

6 18

x 1 = → y = 3x y 3

381

917840 _ 0372-0403.qxd

8/2/08

12:28

Página 382

Funtzioak 036

Adierazi y = 2x eta y = −2x funtzioak. Aztertu eta alderatu bien gorakortasuna eta beherakortasuna. Y

a)

Y

b)

4

4

2

2

−3

1

3

−3

X

−2

1

X

3

−2

y = 2x funtzioa gorakorra da, eta y = −2x, beherakorra. Bi funtzioak proportzionaltasun zuzenekoak dira. 037

Adierazi funtzioak. a) y =

2 x

a)

b) y = Y

b)

4 2

Y

3 x Y

c)

−5 −3 −2

X

1 3

X

−5 −3 −2 −4 −6

2 km/h-ko abiaduran, 1,5 h-an egin dut ibilbide bat. Zenbat denboran egingo dut 15 km/h-koan? Abiadura

039

c) y = −

4 2 1 3

038

20 x

Denbora

2 ⎯ → 1, 5⎪⎫⎪ n ⎬ → x ⋅ 15 = 2 ⋅ 1, 5 → x = 0,2 h = 12 min 15 ⎯ → x ⎪⎪⎭ 1 1 1 2 3 4 Funtzio hauek emanda: y = y = y = x x x a) Adierazi hiru funtzioak ardatz-sistema batean. b) Zein grafiko dago besteen gainetik? a)

Y

1 y = 2 x

0,5 1 1,5

X

1 y = 3 x 1 y = 4 x

382

b) Hau da besteen gainetik dagoen grafikoa: 1 2 y = . x

X

917840 _ 0372-0403.qxd

8/2/08

12:28

Página 383

ERANTZUNAK

13

ARIKETAK 040 ●

Y

Marraztu ardatz kartesiarrak paper laukidun batean eta adierazi puntuak.

C 4

D (4, −7)

A (5, 2)

2

F

⎛ 5 ⎞ B ⎜⎜⎜− , −4⎟⎟⎟ ⎟⎠ ⎝ 2

E (0, −5)

C (2, 5)

⎛ 3⎞ F ⎜⎜−3, ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 2 ⎟⎠

−5 −3

A 1

3

X

5

−2 −4

B

E

−6

D

041 ●

Adierazi puntuak koordenatu kartesiarren ardatzetan.

A (2, 2)

E (−3, 6)

B(−5, −2)

⎛ 3 5 ⎞⎟ ⎟ F ⎜⎜⎜ , ⎝ 4 2 ⎟⎟⎠

C (1, 2)

G (8, −6)

⎛3 D ⎜⎜⎜ , ⎝2

⎛2 ⎞ H ⎜⎜⎜ , 0⎟⎟⎟⎟ ⎝5 ⎠

⎞ 5⎟⎟⎟ ⎟⎠

Y 6

E

D 4 2

−5 −3

F C H

A 3

5

X

−2

B

−4

G

●

Grafikoak telefono-dei baten denbora eta prezioa lotzen ditu. Adierazi A, B eta C deien prezioa eta denbora. Y C Prezioa (€)

042

0,80 0,60

B

0,40

A

0,20 1

2

3

4

5

6

7

8

9

X

Denbora (min)

a) Zer unitate erabili dugu ardatz bakoitzean? b) Egin bi magnitudeak lotzen dituen balio-taula. a) Abzisa-ardatzean, unitatea minutua da. Eta ordenatu-ardatzean, unitatea 0,20 € da. b) Denbora (min) Prezioa (€)

2 4 0,20 0,50

8 1

383

917840 _ 0372-0403.qxd

8/2/08

12:28

Página 384

Funtzioak ●

Y

Grafikoa oinarri hartuta, adierazi zuzenak diren ala ez esaldiak.

40

a) B-ren pisua C-rena baino handiagoa da. b) C altuena eta pisu handienekoa da. c) B baxuena eta pisu txikienekoa da.

Pisua (kg)

043

C

30

A

20

B 10 20

40

60

Altuera (cm)

b) ataleko esaldia soilik da zuzena.

044 ●

Adierazi ardatz kartesiarretan puntu hauek: A(2, 3), B (0, 1) eta C (2, −1). Kalkulatu beste puntu baten koordenatuak, lau puntuak karratu baten erpinak izan daitezen. Y

4

Puntu berriak koordenatu hauek ditu: P (4, 1).

2 −3

−2

A P

B 1

3

C

X

−4

045 ●

Adierazi ea funtzioak diren lotura hauek: a) Zenbaki arrunt bakoitzari bere zatitzaileak egokitzea. b) Zenbaki arrunt bakoitzari bikoitza gehi 3 egokitzea. a) Ez da, zenbaki arrunt batek zatitzaile bat baino gehiago izan dezakeelako. b) Funtzioa da.

046 ●

Kilogramo bat gerezik 2,75 € balio du. a) b) c) d)

Egin balio-taula bat, pisua eta prezioa lotzeko. Definitu aldagai askea eta mendeko aldagaia. Idatzi adierazpen aljebraikoa. Aztertu funtzioa den ala ez. a) Pisua (kg)

1 2 Prezioa (€) 2,75 5,50

4 6 11 16,50

b) Aldagai askea pisua da, eta mendekoa, prezioa. c) Adierazpen aljebraikoa hau da: y = 2,75x. d) Funtzioa da, pisuaren balio bakoitzari prezio bakar bat dagokiolako.

384

X

917840 _ 0372-0403.qxd

8/2/08

12:28

Página 385

ERANTZUNAK

●●

Y

Grafikoan, bidaia batean andel batek duen gasolina kantitatea ageri da.

40 Litroak

047

13

30 20 10

100

200

300

400

X

Kilometroak

a) Zenbat litro daude andelean, irteteko unean? Eta iristean? b) Zenbatgarren kilometroan hartu da gasolina? c) Zenbat litro hartu ditu bidaian zehar? d) Identifikatu mendeko aldagaia eta aldagai askea. a) b) c) d)

048 ●

Irteteko unean 25 litro daude, eta iristean, 35 litro. 250. eta 450. kilometroetan hartu du. 55 litro hartu ditu guztira: 25 litro lehen aldian eta 30 litro bigarrenean. Aldagai askea: egindako kilometroak; eta mendeko aldagai: gasolina litroak.

Adierazi funtzio bati dagokion ala ez grafiko bakoitza. Y a) Y b)

X

X

a) Ez da funtzioa. Badira abzisa bera eta ordenatu desberdinak dituzten puntuak. b) Funtzioa da. Puntu bakoitzak ordenatu bakar bat du abzisaren balio bakoitzerako. 049 ●●

Kafetegi batean, 6 kafe 15 € ordaindu baditugu: a) Egin kafe kopurua eta prezioa ageri diren balio-taula. b) Adierazi zein den aldagai bakoitza. a) Kafe kopurua Prezioa (€)

1 2,50

2 5

4 10

6 15

b) Aldagai askea kafe kopurua da, eta mendeko aldagaia, prezioa.

385

917840 _ 0372-0403.qxd

8/2/08

12:28

Página 386

Funtzioak 050 ●

051

Adierazi erlazioak, gutxienez 5 balio dituen balio-taula bana erabiliz. a) b) c) d)

Zenbaki bat eta haren erdia. Karratu baten aldea eta azalera. Zenbaki bat eta haren alderantzizkoa. Zenbaki bat eta haren hirukoitza. a)

x y

2 1

4 2

6 3

8 4

b)

x y

1 1

2 4

3 9

4 5 16 25

c)

x y

1 1

2 1/2

d)

x y

1 3

2 6

3 1/3 3 9

10 5

4 1/4

5 1/5

4 5 6 12 15 18

EGIN HONELA NOLA ADIERAZTEN DIRA ALJEBRAIKOKI ZENBAKIZKO ERLAZIO BATZUK? Zer adierazpen aljebraikok lotzen ditu zenbaki oso bat eta haren berbidura? LEHENA.

Balio-taula aztertu behar da. Zenbakia Berbidura

BIGARRENA.

1 1

2 4

3 9

4 16

5 25

6 36

7 49

… …

Emaitza aljebraikoki idatzi behar da. x → y = x2

Aldagai askeari (x-ri) balio bat emanda, balio horren berbidura lortzen da, mendeko aldagaiaren (y-ren) balioa.

052 ●●

Zenbaki bakoitzari haren erdia gehi 2 egokitzen dion funtzioa emanda: a) Egin balio-taula bat. b) Idatzi adierazpen aljebraikoa. c) Kalkulatu f (−5) eta f (4). a)

x y

−2

−1

1

1,5

0 2

1 2,5

2 3

b) Funtzioaren adierazpen aljebraikoa hau da: y = c) f (−5) =

386

−5 + 2 = −0,5 2

f (4) =

x + 2. 2

4 +2=4 2

917840 _ 0372-0403.qxd

8/2/08

12:28

Página 387

ERANTZUNAK

053

Zenbaki bakoitzari haren aurkakoa gehi 5 egokitzen dion funtzioa emanda:

●●

a) Idatzi adierazpen aljebraikoa. b) Kalkulatu f (2) eta f (−2).

13

c) Adierazi funtzioa. Y

a) f (x) = −x + 5

c) 4

b) f (2) = −(2) + 5 = −2 + 5 = 3 f (−2) = −(−2) + 5 = 2 + 5 = 7

2 −3 −2

1 3 5

X

−4

054

Idatzi adierazpen aljebraikoa.

●●

a) Zenbaki bakoitzari haren bostena egokitzea. b) Zenbaki bakoitzari haren bikoitzaren kuboa egokitzea. c) Zenbaki bakoitzari haren herenaren berbidura egokitzea. a) y =

055 ●●

⎛x⎞ c) y = ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 3 ⎟⎠

2

x 5

b) y = (2x)3

Atal bakoitzean, bi magnituderen arteko lotura ageri da. Adierazi lotura adierazpen aljebraiko baten bidez. Aurrez, definitu x eta y aldagaiak. a) b) c) d)

Kilo bat kafek 12,40 € balio du. Denda bateko salgaien prezioek % 30eko beherapena dute. Auto baten balioa % 10 txikitzen da urtero. 20 km/h-ko abiaduran doan txirrindulari batek egindako distantzia. a) x = kafe kiloak eta y = prezioa → y = 12,40x 70 x 100 c) x = autoaren antzinatasuna eta y = txikitutakoa → y = 10x d) x = egindako distantzia eta y = denbora → y = 20x b) x = jatorrizko prezioa eta y = prezio beheratua → y =

●●

Y

Pertsona batek ordubetean egindako espazioaren eta denboraren arteko lotura ageri da grafikoan (espazioa kilometrotan eta denbora minututan). a) b) c) d)

9 Distantzia (km)

056

Adierazi balio-taula baten bidez. Zenbat kilometro egin ditu? Zenbat denbora egon da geldirik? Eta zenbat denbora oinez? a) Denbora (min) Distantzia (km)

0 0

20 3

6 3

10

25 3

50 6

60 0

20 30 40 50 Denbora (min)

60 X

c) 5 minutu. d) 55 minutu.

b) 12 km egin ditu.

387

917840 _ 0372-0403.qxd

8/2/08

12:28

Página 388

Funtzioak 057 ●●

Aztertu funtzio hauen grafikoen gorakortasuna eta beherakortasuna: a)

c)

Y

Y

1 3

1

X

1 1

b)

3

5

X

Y

Y

d)

39 1 38

X

1

37 10

12

14

16

X

a) Gorakorra da x = 0-tik x = 2-ra arte, x = 4-tik x = 5,5-era arte eta x = 8-tik x = 9-ra arte. Beherakorra da x = 2-tik x = 4-ra arte eta x = 5,5-etik x = 8-ra arte. b) Gorakorra da x = −1-etik x = 2-ra arte. Ez du tarte beherakorrik. c) Gorakorra da x = −1-etik x = 0-ra arte eta x = 1-etik x = 3-ra arte. Beherakorra da x = 0-tik x = 1-era arte. d) Gorakorra da x = 10-etik x = 11-ra arte eta x = 13,5-etik x =16-ra arte. Beherakorra da x = 11-tik x = 13,5-era arte.

058

Adierazi maximoak eta minimoak.

● Y

3 2 1

1

2

3

4

5

6

Hauek dira maximoak: (1, 3), (5; 2,5) eta (7, 3). Hauek dira minimoak: (3, 1) eta (6; 1,75).

388

7

X

917840 _ 0372-0403.qxd

8/2/08

12:28

Página 389

ERANTZUNAK

059 ●●

13

Grafikoan, kontratu jakin baten araberako telefono-deien prezioak ageri dira. Y

Prezioa (€)

0,80 0,60 0,40 0,20

3

6

9

X

12

Denbora (min)

a) b) c) d)

Identifikatu aldagaiak. Funtzioa al da? Adierazi funtzio gorakorra ala beherakorra den. Ba al du maximorik eta minimorik? Zenbat balio du 8 minutuko dei batek? Eta 7 minutuko batek? Eta 2 minutuko batek? e) 1 € soilik gastatu nahi badut, zenbat denbora izango dut? f) Funtzio jarraitua al da? a) Mendeko aldagaia denbora da, eta aldagai askea, prezioa. Funtzioa da. b) Funtzio konstantea da tarteka (mailakatua) eta gorakorra jauzi-puntuetan. c) Ez du ez maximorik ez minimorik. d) 8 minutuko dei batek 0,60 € balio du; 7 minutuko batek, 0,60 €; eta 2 minutuko batek, 0,20 €. e) 1 € soilik gastatuz, 15 minutu izango ditut. f) Ez da funtzio jarraitua.

●●

Motor-gidari baten abiadura grafikoak adierazten duen moduan aldatzen da. Y

a) Adierazi funtzioaren tarte gorakorrak. b) Adierazi funtzioaren tarte beherakorrak. c) Kalkulatu maximo absolutuak eta erlatiboak. d) Zein dira minimo absolutuak edo erlatiboak? e) Funtzio jarraitua al da?

Abiadura (km/h)

060

60

30

5

10

15

20

X

Denbora (min)

389

917840 _ 0372-0403.qxd

8/2/08

12:28

Página 390

Funtzioak a) Gorakorra da x = 0-tik x = 10-era arte eta x = 15-etik x = 20-ra arte. b) Beherakorra da x = 10-etik x = 15-era arte eta x = 20-tik x = 25-era arte. c) Maximo erlatiboak hauek dira: (10, 90) eta (20, 60); eta maximo absolutua hau da: (10, 90). d) Minimo erlatibo bat (15, 45) da, eta minimo absolutu bat, (0, 0). e) Funtzio jarraitua da. 061 ●●

Hiri batean, 24 orduan izandako tenperatura ageri da grafikoan. Y

Tenperatura (°C)

25 20 15 10 5 3

6

9

12

15

18

21

X

24

Denbora (orduak)

Aztertu gorakortasuna, beherakortasuna, maximoak eta minimoak. Tenperatura txikitu egin da 00:00etatik 04:00ak arte eta 16:00etatik 24:00ak arte. Tenperatura igo egin da 04:00etatik 16:00ak arte. Tenperatura minimoa 04:00etan izan da, 4 °C, eta maximoa 16:00etan, 27 °C. 062 ●●

Taulan, egun batean herri batean izandako tenperaturak ageri dira. 2 6 8 Orduak Tenperatura (°C) −9 −6 −3

a) b) c) d) e) f) g) h)

10 3

12 8

14 9

16 7

18 4

Identifikatu aldagaiak. Adierazi grafikoa. Kalkulatu maximo erlatiboak. Kalkulatu minimo erlatiboak. Funtzio jarraitua al da? Zenbat ordutan izan da tenperatura 0 °C-tik beherakoa? Zer ordutan izan da tenperatura minimoa? Eta maximoa? Zer ordutan izan da tenperatura 0 °C-koa? a) Aldagai askea ordua da, eta mendeko aldagaia, tenperatura.

390

20

22

24

−3 −3 −5

917840 _ 0372-0403.qxd

8/2/08

12:28

Página 391

ERANTZUNAK

b)

13

Tenperatura (°C)

Y 9 6 3

−3

2

6

10

14

18

22

X

−6 −9 Orduak

c) Maximo erlatibo bat: (14, 9). d) Minimo erlatibo bat: (20, 22). e) Funtzio jarraitua da. f) Tenperatura 0 °C-tik beherakoa izan da 02:00etatik 09:00etara arte, eta 19:00etatik 23:00etara arte; guztira, 11 ordu. g) Tenperatura minimoa 02:00etan izan da, eta maximoa, 14:00etan. h) 09:00etan, 19:00etan eta 23:00etan.

●●

Museo batek 9 egunetan izan dituen bisitariak erakusten ditu grafikoak. Esan zein esaldi diren zuzenak. Y 400

Bisitariak

063

300 200 100

1 2 3 4 5 6 7 8 9

X

Egunak

a) Maximo bat dago x = 4 puntuan, laugarren egunean izan baita bisitari gehien. b) Bisitari kopurua desberdina izan da egunero. c) Bi egunetan 250 bisitari izan dira. d) Azken bost egunetan, guztira bisitari gehiago izan dira lehenengo lau egunetan baino. a) Zuzena. b) Okerra, zenbait egunetan bisitari kopurua bera izan zen. c) Zuzena. d) Okerra, lehen lau egunetan 1.250 bisitari izan ziren, eta azken bost egunetan, 1.200 bisitari.

391

917840 _ 0372-0403.qxd

8/2/08

12:28

Página 392

Funtzioak 064 ●●

Elene lasterketa bateko 0. km-tik atera da, 3 km/h-ko abiaduran. a) Osatu taula eta marraztu grafikoa. b) Idatzi funtzioaren adierazpen aljebraikoa. c) 11. kilometrotik igarotzeko unean, zenbat denbora pasatu da atera denetik? a) Denbora (h) Distantzia 0. km-tik

0 0

1 3

2 6

3 9

4 12

Distantzia (km)

Y 5

3

1 1

2 3 4 5 Denbora (h)

6 X

b) y = 3x c) y = 3x → 11 = 3x → x = 065 ●●

11 = 3 h 40 min 3

Taulako datuak distantziak eta haiek egiteko denborak dira. a) Osatu taula. b) Adierazi datuak grafiko bidez. c) Idatzi funtzioaren adierazpen aljebraikoa. a) Proportzionaltasun zuzeneko funtzioa da. Espazioa (m) 120 30 Denbora (s) 9 2,25

80 6

60 4,5

Y 12

b)

Denbora (s)

10 8 6 4 2

X 30 60 90 120 150 180 Espazioa (m)

c) y =

392

9 3 x → y = x 120 40

5 15

917840 _ 0372-0403.qxd

18/3/08

14:56

Página 393

ERANTZUNAK

066

1

EGIN HONELA NOLA ZEHAZTEN DA PROPORTZIONALTASUN ZUZENEKO FUNTZIO BATEN EKUAZIOA, FUNTZIOKO PUNTU BAT JAKINIK? Zehaztu (2, −2) puntutik igarotzen den proportzionaltasun zuzeneko funtzioaren ekuazioa.

y = mx ekuazioan, x-ren ordez lehen koordenatua idatzi behar da, eta y-ren ordez, bigarrena.

LEHENA.

x = 2, y = −2

y = mx ⎯⎯⎯⎯⎯→ −2 = m ⋅ 2 BIGARRENA.

m kalkulatu behar da.

−2 = 2m → m =

−2 = −1 2

Beraz, funtzioaren ekuazioa y = −x da.

067 l

Zehaztu ekuazioa eta adierazi bi baldintzak betetzen dituen funtzioa. a) Proportzionaltasun zuzeneko funtzioa da. b) f (3) = 1 x 3

y =

068 l

Zehaztu puntu hauetatik igarotzen diren funtzioen ekuazioak: a) (1, −1) b) (3, −4) c) (−2, −1) Igarotzen al da horietako funtzioren bat (7, 2) puntutik? Eta (0, −2) puntutik? 4x c) y = 2x 3 Funtzio bakar bat ere ez da igarotzen (7, 2) eta (0, −2) puntuetatik. a) y = −x

069 l

b) y = −

Adierazi funtzioak koordenatu-ardatzen sistema batean. Azaldu funtzioen arteko desberdintasunak. a) y = −x b) y = −

1 x 2

Y

c) y = −3x d) y = −

1 x 3

4 y = −

1

x

3 −3

3

Desberdintasuna maldan dago.

X y = −

−2

1

x

2

y = −3x

y = −x

393

917840 _ 0372-0403.qxd

8/2/08

12:28

Página 394

Funtzioak 070 ●●

Adierazi funtzioak koordenatu-ardatzen sistema batean. Azaldu funtzioen arteko desberdintasunak. a) y = x b) y =

Y

c) y = 2x

y = 5x

1 x 2

d) y = 5x

y =

2

1

x

2

−3

1

X

3

y = 2x

Desberdintasuna maldan dago. 071

y=x

4

EGIN HONELA NOLA ZEHAZTEN DA PROPORTZIONALTASUN ZUZENEKO FUNTZIO BATEN EKUAZIOA, GRAFIKOA JAKINIK?

Y

Zehaztu funtzio honen ekuazioa.

2

1

X

LEHENA. Funtzioa zuzen bat bada eta koordenatu-jatorritik igarotzen bada, proportzionaltasun zuzeneko funtzioa da; beraz, ekuazioa y = mx motakoa da. BIGARRENA. Funtzioko puntu bat zehaztu behar da. Grafikoa (1, 2) puntutik igarotzen da. HIRUGARRENA. m

kalkulatu behar da. x = 1, y = 2

y = mx ⎯⎯⎯⎯⎯→ 2 = m ⋅ 1 → m = 2 Beraz, funtzioaren ekuazioa y = 2x da.

072 ●●

Zehaztu funtzioen ekuazioak. a)

a) y = −x b) y = −

394

Y b)

3 x 2

c) y =

4 x 3

d) y =

1 x 4

c) 4

2

d)

2

4

X

917840 _ 0372-0403.qxd

8/2/08

12:28

Página 395

ERANTZUNAK

073 ●●

13

Taula alderantzizko proportzionaltasuneko funtzio batena da. a) Osatu taula. b) Idatzi funtzioaren adierazpen aljebraikoa. c) Adierazi funtzioa. a)

x y

1 2 3 4 5 … 2 1/2 1/3 1/4 1/5 …

Y

c)

4 2

1 b) y = x

074

−3

1

3

X

Taulan, bi zenbaki positiboren arteko erlazio bat ageri da.

●●

x y

0,02 300

0,1 60

0,2 30

0,5 12

1 6

2 3

… …

a) Zer adierazpen aljebraiko du erlazio horrek? b) Adierazi grafiko bidez. c) Eman zeroren hurbileko balioak x-ri. Zer gertatu zaie y -ren balioei? a) y =

6 x

c) y-ren balioak asko handitzen dira, x-k zeroren hurbileko balioak hartzen baditu.

Y

b) 4 2 −3

5

X

6 cm

3 cm

4 cm

●●

3

Triangelu baten azalera 18 cm2-koa da. Eman zenbait balio oinarriari eta altuerari, taula bat egiteko, eta adierazi altuera oinarriaren mende ematen duen funtzioa.

6 cm

075

1 −2

9 cm

12 cm

Zehaztu balio horiek lotzen dituen adierazpen aljebraikoa eta adierazi grafiko bidez.

395

917840 _ 0372-0403.qxd

8/2/08

12:28

Página 396

Funtzioak Oinarria 1 Altuera 36

2 18

3 12

4 9

6 6

9 4

12 3

36 1

18 2

Y

36 Adierazpen aljebraikoa y = da. x Altuera (cm)

33 27 21 15 9 3 3

076 ●●

6 6 eta y = − . x x

Funtzio hauek emanda: y =

6 9 12 15 18 Oinarria (cm)

X

a) Adierazi grafiko bidez. b) Idatzi bi funtzioak bereizten dituzten ezaugarriak. Y

a) y =−

6

y =

4

x

b) Grafikoak bi ardatzekiko simetrikoak dira; bata positiboa da, eta bestea, negatiboa.

6 x

2 −5 −3

1

3

5

X

−2 −4

077 ●●

5 funtzioa emanda: x a) Zer baliotarako da beherakorra? b) Ba al du maximorik edo minimorik? c) Eman −1 eta 0 arteko eta 1 eta 0 arteko balioak x-ri, balio-taula bat egiteko. Hartu 0tik gero eta hurbilagokoak diren balioak. Zer baliotara hurbiltzen da funtzioa? y =−

a) Funtzioak ez du tarte gorakorrik, x = 0 puntua izan ezik. b) Ez du ez maximorik ez minimorik. c)

x y

−1 5

−0,5 10

−0,1 50

−0,01 −0,001 0,001 0,01 0,1 0,5 1 500 5.000 −5.000 −500 −50 −10 −5

Funtzioa ezkerretik hurbiltzen bada zerora, −⬁ baliora hurbiltzen da, eta eskuinetik hurbiltzen bada, ⬁ baliora. 078 ●●

Beheko taula espezieak babestearen alde jarduten duen GKE batek argitaratu zuen; Indiako Bengalako tigreen populazioa adierazten du, 1999. eta 2007. urteen artean. Urtea 99 Tigreak 900

396

00 870

01 800

02 810

03 805

04 750

05 700

06 720

07 750

917840 _ 0372-0403.qxd

8/2/08

12:28

Página 397

ERANTZUNAK

13

a) Adierazi balio pareak grafiko bidez. b) Interpretatu lortutako emaitzak. Y 900

a)

b) Tigreen kopurua aldi hauetan txikitu da: 1999-2001 eta 2002-2006; aldi hauetan handitu da: 2001-2002 eta 2005-2007.

Tigreak

700 500 300 100

X

079 ●●

01 03 Urteak

60 km-ra dagoen parke batera joan gara bizikletaz. Bidean, zenbait igoera eta jaitsiera daude. Iritsi garenean, atseden hartu eta bueltan etorri gara.

05

07

Y 60

Parkea

50 Distantzia (km)

99

40 30 20 10

X 8

10

12

14

16

18

Denbora (h)

a) Zer esanahi dute abzisa-ardatzean ageri diren zenbakiek? Eta ordenatu-ardatzekoek? b) Zer ordutan atera gara? c) Zenbat kilometro daude lehen igoeraren hasieratik gailurreraino? d) Zenbat denbora behar izan dugu igotzeko? Eta jaisteko? e) Zenbat denbora eman dugu parkean? f) Nolakoa da itzulerako bidea? g) Zer tartetan handitzen da funtzioa? Eta zer tartetan txikitzen da? h) Funtzio jarraitua al da? a) Abzisa-ardatzeko zenbakiak igarotako orduak dira, eta ordenatu-ardatzekoak, egindako kilometroak. b) 08.00etan atera gara. c) 60 km daude. d) 4 ordu behar izan ditugu igotzeko eta 3 ordu jaisteko. e) 3 ordu. f) Lehen tartean, 30 km-koa, malda nahikoa mesedegarria da; bigarren tartean, 10 km-koa, malda ez da mesedegarria; eta azken 20 km-etan malda mesedegarria da. g) 08:00ak eta 12:00ak artean handitu, eta 15:00ak eta 18:00ak artean txikitu. h) Jarraitua da.

397

917840 _ 0372-0403.qxd

8/2/08

12:28

Página 398

Funtzioak 080 ●●

Hiri batean azterketa bat egin da, urtero Interneten zenbat familia konektatzen diren jakiteko. Urteak Konexio kopurua

03 100

04 500

05 06 07 1.500 3.000 7.000

a) Adierazi balio pareak grafiko bidez. b) Interpretatu emaitzak. Y 7.000

a) Konexio kopurua

6.000 5.000 4.000 3.000 2.000 1.000 01 02 03 04 05 06 Urteak

X

b) Urtero familia gehiago konektatzen da Interneten; izan ere, urtero bikoiztu egiten da kopurua. 081 ●●

Grafikoan, 1.500 m-ko lasterketa batean, atleta baten abiadura nola aldatzen den ageri da. Y 8 Abiadura (m/s)

7 6 5 4 3 2 1

X 100

500

1.000 Distantzia (m)

a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)

398

Zein da aldagai askea? Zergatik? Zein da mendeko aldagaia? Zergatik? Zer unetan hartu du atletak 6 m/s-ko abiadura? Noiz handitu da abiadura? Eta noiz txikitu? Zer unetan izan da konstantea abiadura? Funtzio jarraitua al da? Zenbatekoa da abiadura maximoa? Ba al du minimo erlatiborik funtzioak? Zer abiadura darama 300 m-ko distantzian?

1.500

917840 _ 0372-0403.qxd

8/2/08

12:28

Página 399

ERANTZUNAK

13

a) Aldagai askea egindako distantzia da. Abzisa-ardatzean dago. b) Mendeko aldagaia abiadura da. Egindako distantziaren mendekoa da eta ordenatu-ardatzean dago. c) 6 m/s-ko abiadura hartu du 600 m-an eta 1.100 m-an. d) 0 eta 200 m artean, 500 eta 900 m artean, eta 1.300 eta 1.500 m artean. e) 1.000 eta 1.300 m artean txikitzen da. f) Konstantea da 200 eta 500 m artean, abiadura 5 m/s dela; eta 900 eta 1.000 m artean, abiadura 8 m/s dela. g) Bai, jarraitua da. h) Abiadura maximoa 8 m/s da. i) Bai, minimo bat du x = 1.300 puntuan → m1 = (1.300, 2). j) 5 m/s Atletak abiadura azkar handitu du eta 4 m/s-ra iritsi da; ondoren, polikiago handitu du abiadura eta 5 m/s-ra iritsi da. 300 m-an abiadura horri konstante eutsi ondoren, pixkanaka abiadura handitzen hasi da. Hala, 8 m/s-ko abiadura lortu du irteeratik 900 m-ra. Abiadura horri eutsi dio 100 m-an, eta ondoren, abiadura 2 m/s-raino txikitu da, hurrengo 300 m-etan. Amaitzeko, azken 200 m-etan abiadura handitu eta 4 m/s-ra iritsi da lasterketaren amaieran.

a) Luzera (m)

0,1 Zabalera (m) 2,5

b) y =

0,5 0,5

2m

VV = = 550 00 ¬

G

a) Egin balio-taula bat, izan ditzakeen balioak adierazteko. b) Idatzi dagokion funtzioa eta adierazi.

F

Neurri hauek dituen andel prismatiko bat egin nahi dugu.

1 2 5 0,25 0,125 0,05

0, 250 x

Y Zabalera (m)

082 ●●●

2

1

1

2 3 Luzera (m)

4

X

399

917840 _ 0372-0403.qxd

8/2/08

12:28

Página 400

Funtzioak 083 ●●●

DBHko 2. mailako ikasleek ikasketa-bidaia egin nahi dute. Dirua ateratzeko, polboroiak saltzea erabaki dute. 360 kutxa erosi dituzte, bidaia egin behar duten guztien artean saltzeko.

a) Egin balio-taula bat, eta adierazi bidaia egin behar duten ikasleen kopurua eta bakoitzak saldu beharreko kutxak. b) Idatzi adierazpen aljebraikoa eta adierazi funtzioa. c) Egiaztatu ikasle kopuruaren eta kutxa kopuruaren biderkadura konstantea dela. Zer esan nahi du? a) Ikasle kopurua

10 36

Kutxak ikasleko

30 12

40 9

60 6

50

70

90

X

90 4

Y

360 x Kutxak

b) y =

20 18

40 20

10

30

Ikasleak

c) Bi aldagaien artean proportzionaltasun zuzena dagoela esan nahi du. 084 ●●●

Triangelu baten erpinak puntu hauek dira: A(0, 0), B (8, 2) eta C (−1, 2). Kalkulatu triangeluaren azalera.

BC aldea oinarritzat hartuta, altuera ordenatu-ardatza izango da. Beraz, oinarriak 9 u ditu, eta altuerak, 2 u. Azalera hau da: A =

9⋅2 = 9 u2 . 2 Y C

4

B

2

A −2

400

1

3

5

7

X

917840 _ 0372-0403.qxd

8/2/08

12:28

Página 401

ERANTZUNAK

085 ●●●

13

AB eta CD alde paraleloak dituen trapezioaren erpinak puntu hauek dira: A (0, 0), B (6, 0), C (6, 2) eta D. Kalkulatu AD aldea zehazten duen funtzioaren ekuazioa, trapezioaren azalera 8 u2 izan dadin. AB aldea oinarrietako bat da eta luzera hau du: 6 u. BC altuera da eta balio hau du: 2 u. A=

B +b 6+b ⋅h → 8 = ⋅ 2 → b = 2 → D (4, 2) 2 2

Beraz, (0, 0) eta (4, 2) puntuetatik igarotzen den zuzena y = 2x da. Y 6 4

D

C

2

B

A

1

3

5

7

9

X

−2

086 ●●●

Funtzio bat bikoitia da, f (x) = f (−x) betetzen bada x-ren edozein baliotarako, eta bakoitia da, −f (x) = f (−x) bada x-ren edozein baliotarako. Adierazi nolakoak diren funtzio hauek: bikoitiak, bakoitiak ala ez bikoitiak eta ez bakoitiak. a)

c)

Y

−3

Y

4

4

2

2 1

3

−3

X

−2

1

3

X

1

3

X

−4

Y

b)

−3

4

Y 4

2

2

d)

1

3

−2

X

−3

−2

−4

a) Bakoitia da. b) Bikoitia da. c) Ez da ez bikoitia ez bakoitia. d) Bikoitia da.

401

917840 _ 0372-0403.qxd

8/2/08

12:28

Página 402

Funtzioak EGUNEROKOAN 087 ●●●

Telebisten tamaina hazbetetan adierazten da. Hazbetea sistema anglosaxoiko neurri-unitate bat da. Hona hemen baliokidetasuna: 1 hazbete = 2,54 cm.

24 hazbeteko telebista • Diagonala: d = 24 · 2,54 = 60,96 cm. 7, 62 · p 7, 62 · 24 • Oinarria: o = = = 36,58 cm. 5 5

Optikarien Elkarte Nazionalaren gomendioen arabera, telebistaren eta gure artean egon behar duen distantzia telebistaren tamainaren araberakoa izango da. Gelaren forma kontuan hartuta, besaulkia telebistatik 1,40 m-ra eta 1,80 m-ra jar daiteke.

Gomendatutako distantzia minimoa kalkulatzeko arau erraz bat hau da: telebistaren hazbeteak 5ez biderkatzea. Emaitza gu eseri beharreko distantzia da (zentimetrotan).

Zenbat hazbete izan beharko ditu telebistak? Zenbatekoa izan behar du gutxienez telebistaren azpiko mahaiaren luzerak? Pantailaren tamaina eta gomendatutako distantzia lotzen dituen funtzioa y = 5x da. Distantziak 1,80 m-koa izan behar du gehienez. 1,80 m = 180 cm = 70,87 p y = 5x → 70,87 = 5x → x = 14,17 p Telebistaren tamainak 14,17 hazbetekoa izan behar du gehienez. Distantziak 1,40 m-koa izan behar du gutxienez. 1,40 m = 140 cm = 55,12 p y = 5x → 55,12 = 5x → x = 11,02 p Telebistak 11,02 hazbetekoa izan behar du gutxienez; eta tamaina horretako telebistari oinarri hau dagokio: b = gutxieneko luzera hori izango da.

402

7, 62 ⋅ 11, 02 = 16,8 cm ; mahaiaren 5

917840 _ 0372-0403.qxd

8/2/08

12:28

Página 403

ERANTZUNAK

088

13

Hona hemen Espainiako Txirrindularitza Itzuliaren 17. etaparen profila.

●●● 17.a Sabiñanigo

166 km

Cotefablo mendatea (1.410 m) 1 Broto Biescas (900 m) (850 m) Ainsa (550 m)

0

20

40

60

80

Foradada mendatea (1.020 m) 2

100

120

Cerler Ampriu gaina E (1.930 m) Cerler (1.520 m)

140

160

Julian Ferreirasek, CLIP taldeko entrenatzaileak, taldeko txirrindulariak bildu ditu, etapa prestatzeko.

Abiadura

Arbelean ardatzak marraztu ditu eta taldeko buruari esan dio dagokion grafikoa adierazteko ardatzetan, etapan eraman beharreko abiadura kontuan hartuta. Asmatuko al zenuke marrazten?

Distantzia

Abiadura maldarekin lotuta dago; zenbat eta malda handiagoa orduan eta abiadura txikiagoa, eta alderantziz.

Une honetan, komunikabideetako albiste nagusia hau da: atmosferara isuritako gas kutsakorren kantitateak gora egin du azken 4 urteotan. Gehien saltzen diren hiru egunkariek grafiko bana erabili dute, gorakada kezkagarri hori adierazteko.

300 200 100 1 2 3 4 Urteak

400

Milioi m3-tan

Milioi m3-tan

400 Milioi m3-tan

089 ●●●

300 200 100 1

2 3 Urteak

4

400 300 200 100 1

2 3 Urteak

4

a) Ondo eginda al daude grafikoak? b) Zer desberdintasun dituzte? Grafikoak ondo eginda daude, balio berak adierazten baitituzte; haien arteko aldea kasu bakoitzean hartutako eskala da.

403

917840 _ 0404-0432.qxd

14

8/2/08

12:40

Página 404

Estatistika ESTATISTIKA

MAIZTASUN-TAULAK

GRAFIKO ESTATISTIKOAK

BARRA-DIAGRAMA

MAIZTASUNPOLIGONOA

SEKTOREGRAFIKOA

ZENTRALIZAZIONEURRIAK

BATEZ BESTEKOA

404

MEDIANA

MODA

917840 _ 0404-0432.qxd

8/2/08

12:40

Página 405

Pax Augusta Eguna argia zen. Bazirudien azken batailako garaipena ospatzen lagundu nahi zuela. Baziren hamar urte gerra zibilak amaitu zirela eta dagoeneko ahaztuta zeuden. Izan ere, oparotasunak ez zuen amaierarik izango, itxuraz. Zesar Augustok berak Senatuaren aurrean hitz egin behar zuen. Senatariak zain zeuden, talde txikitan berriketan, hark zer esan behar zuen. Azkenean iritsi zen Augusto eta senatariak agurtu ondoren, hitzaldiari ekin zion: –Erromako senatariak, badira hamar urte bakean bizi garela... Guztiok nahi dugu egoerak berdin jarraitzea, eta horretarako, beharrezkoa da justiziaz aritzea. Etenaldi baten ondoren, hau esan zuen Augustok: –Inperioko biztanleen eta ondasun guztien errolda berri bat behar dugu. Izan ere, hori jakinda, zerga eta ordain justuak ezartzeko aukera izango dugu; hala, berriro ere gerrara eraman gaitzaketen iruzurrak eta gehiegikeriak alde batera utziko ditugu. Enperadoreak mantua beso gainean jaso eta atseginez ikusi zuen senatariek ontzat hartu zutela esandakoa. Populazio osoa aztertu ordez haren zati bat baino ez bada aztertzen, lagina dela esaten da. Eman populazioaren adibide bat eta adierazi haren lagin bat.

Demagun ikastetxeko DBHko 2. mailako ikasle guztien hatz txikiaren tamainari buruzko azterketa egin behar dugula. Populazioa: DBH 2ko ikasle guztiak. Lagina: DBH 2ko gela bakoitzeko 5 ikasle.

917840 _ 0404-0432.qxd

8/2/08

12:40

Página 406

Estatistika ARIKETAK 001

Esneko hortzak zer adinetan erortzen diren aztertzeko, gure komunitateko 50 haur aukeratu ditugu. Zehaztu: a) Populazioa. b) Lagina eta laginaren neurria. a) b) c) d)

002

c) Banakoak. d) Aldagai estatistikoa.

Populazioa komunitateko haur guztiak dira. Lagina aukeratutako 50 haurrak dira, eta neurria, 50. Banakoa komunitateko haur bakoitza da. Aldagai estatistikoa: hortzak zer adinetan erortzen diren.

Adierazi nola egingo zenukeen DBHko ikasleek atsegin duten musikari buruzko azterketa. Zehaztu populazioa, lagina eta aldagai estatistikoak har ditzakeen zenbait balio. Populazioa DBHko ikasleak dira. Lagin bat ikastetxe bateko DBHko ikasleak dira; eta neurria, esate baterako, 120 ikasle. Har ditzakeen zenbait balio: rocka, popa, teknoa…

003

Adierazi zer den komenigarriena kasu bakoitzean: populazioa ala lagina aztertzea. Arrazoitu erantzuna. a) Egun batean etengabe jardunda, makina batek egiten dituen torlojuen luzera. b) Urtero Espainia bisitatzen duten atzerriko turisten garaiera. c) Bost laguneko multzo baten pisua. d) Bonbilla baten iraupena, erre artean. e) Enpresa bateko langileen soldata. Zer aldagai aztertzen da kasu bakoitzean? a) b) c) d) e)

004

Lagina, populazioa oso handia delako. Lagina, populazioa oso handia delako. Populazioa, banako gutxi direlako. Lagina, populazioa oso handia delako. Enpresaren tamainaren arabera; oso handia ez bada populazioa, eta bestela, lagina.

Sailkatu aldagai estatistiko hauek: a) Sakelakoaren marka. b) Begietako kolorea. a) Kualitatiboa. b) Kualitatiboa. c) Kualitatiboa.

406

c) Kirol gustukoena. d) Altuera.

e) Adina. f) Izena.

d) Kuantitatibo jarraitua. e) Kuantitatibo diskretua. f) Kualitatiboa.

917840 _ 0404-0432.qxd

8/2/08

12:40

Página 407

ERANTZUNAK

005

14

Idatzi hiru aldagai kualitatibo, hiru aldagai kuantitatibo jarraitu eta beste hiru kuantitatibo diskretu. Kualitatiboak: futbol-talde gustukoena, jaiotze-herrialdea eta hizkuntza. Kuantitatibo jarraituak: eskualde bateko plubiositatea, auto baten abiadura eta 100 metro egiteko behar duen denbora. Kuantitatibo diskretuak: familia bateko seme-alaba kopurua, maratoi bateko korrikalariak eta egun batean muga zeharkatzen duten ibilgailuak.

006

Abandonatutako txakurrak sailkatzeko, txakurtegiko langileek fitxa bat betetzen dute, datu hauek kontuan hartuta: a) b) c) d)

Arraza. Adina. Garaiera (cm). Pisua (kg).

e) f) g) h)

Sexua. Ilearen kolorea. Trebakuntza maila. Arriskugarritasun maila.

Sailkatu aldagaiak. Ba al dago aldi berean kualitatiboa eta kuantitatiboa den aldagairik? a) Kualitatiboa. b) Kuantitatiboa. c) Kuantitatiboa. d) Kuantitatiboa. e) Kualitatiboa. f) Kualitatiboa. g) Kuantitatiboa edo kualitatiboa. h) Kuantitatiboa edo kualitatiboa. 007

Egin noten zenbaketa. 3 2 7 1 9 7 4 5 7 3 Notak Agerraldiak

008

1 1

5 3 4 5 6 6 8 9 7 5

2 1

3 3

4 3

5 5

6 3

7 8 4 5 6

7 5

8 2

9 2

Txanpon bat 20 aldiz jaurtitzean, hauek izan dira emaitzak (A = aurpegia, G = gurutzea): A A

A G G A

A A

G G

G G G G A A A G A G

Egin zenbaketa eta antolatu datuak. Aur. Gur.

10 10

407

917840 _ 0404-0432.qxd

8/2/08

12:40

Página 408

Estatistika 009

Jaurti dado bat 20 aldiz eta idatzi emaitzak. Ondoren, egin zenbaketa eta antolatu lortutako datuak. Zein aldagai ari zara aztertzen? Esate baterako: Aurpegia Agerraldiak

1 3

2 5

3 2

4 4

5 2

6 4

Dadoa jaurtitzean ateratako zenbakia da aztertutako aldagaia.

010

Egin berriro ere aurreko esperimentua, eta sailkatu emaitzak zenbaki bikoititan eta bakoititan. Zer motatako aldagaia da? Esate baterako: Bikoitiak Bakoitiak

011

13 7

Aldagaia kualitatiboa da.

DBHko 2. mailako 24 ikasleko gela batean, Matematikako azken azterketan lortutako notak hauek izan dira: 4 6 7 3 6 8 5 9 7 5 8 7 5 4 7 8 4 6 5 8 7 3 10 7 Adierazi datuen zenbaketa taula batean eta kalkulatu aldagaiak hartzen dituen balioen maiztasunak.

012

xi

Maiztasun absolutua, fi

Maiztasun erlatiboa, hi

3 4 5 6 7 8 9 10

2 3 4 3 6 4 1 1

0,08 0,12 0,17 0,12 0,25 0,17 0,4 0,4

Idatzi zure ikaskideen ilearen kolorea eta egin maiztasun-taula. xi Beltzar. Gaztain. Ilehoria Ilegorria

408

Maiztasun absolutua, fi

Maiztasun erlatiboa, hi

3 10 5 2 20

0,15 0,50 0,25 0,1 1

917840 _ 0404-0432.qxd

8/2/08

12:40

Página 409

ERANTZUNAK

013

Osatu taula, kontuan hartuta gutxiegien kopurua 4 dela. Nota Maiztasuna fi

014

015

14

N 4

O 8

O. O. 6

Bik. 4

Guztira ∑ fi = 22

Antolatu datuak maiztasun-taula batean. 164

168

xi 164 168 170 172 174

fi 1 3 4 1 1

170 Fi 1 4 8 9 10

170

hi 0,1 0,3 0,4 0,1 0,1

168

170

174

170

168

172

Hi 0,1 0,4 0,8 0,9 1

Egin elkarte bateko kideen adinari dagokion maiztasun-taula. 19 20

21 22

24 29

24 23

24 28

25 27

24 22

21 23

26 24

19 19

Zer ehunekok du 20 urte baino gutxiago? xi 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

fi 3 1 2 2 2 5 1 1 1 1 1

Fi 53 54 56 58 10 15 16 17 18 19 20

hi 0,15 0,05 0,15 0,15 0,15 0,25 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05

Hi 0,15 0,25 0,35 0,45 0,55 0,75 0,85 0,85 0,95 0,95 1

20 urtetik beherako bazkideak 19 urtekoak dira; hau da, kide guztien % 15.

016

Osatu behean ageri den maiztasun-taula. Ondoren, egin maiztasun metatuen taula bat. Datuak 1 2 3 4 5

fi 3 4 2 6 5

Fi 53 57 59 15 20

hi 0,15 0,20 0,10 0,30 0,25

Hi 0,15 0,35 0,45 0,75 1

409

917840 _ 0404-0432.qxd

8/2/08

12:40

Página 410

Estatistika 017

Adierazi, barra-diagrama batean, hiri bateko 100 etxebizitzatako loreontzi kopurua.

Etxebizitzak

Loreontzi kopurua Etxebizitza kopurua

0 10

1 14

2 18

3 25

4 33

30 20 10

0

1

2

3

4

Loreontziak

018

Hona hemen 30 lagunen ilearen kolorea: B = beltzarana I = ilehoria B I G B B B B G I I

G = ilegorria

B B I I G I G B B B

G B B B B B I B B B

Antolatu datuak barra-diagrama batean.

Lagunak

20 16 12 8 4 Beltzarana

Ilehoria

Ilegorria

Ilearen kolorea

019

5 galderako azterketa bateko maiztasun absolutuak ageri dira grafikoan. fi 7 5 3 1 1

2

3 Asmatzeak

4

5

a) Zer aldagai mota da? b) Egin dagokion taula, grafikoa abiapuntu hartuta. a) Aldagai kuantitatibo diskretua. b)

410

Asmatze kopurua 1 Ikasle kopurua 1

2 3

3 8

4 6

5 2

917840 _ 0404-0432.qxd

8/2/08

12:40

Página 411

ERANTZUNAK

020

14

Egin datuen sektore-diagrama. Kolorea Auto kopurua

Gorria 150

Berdea 84

Zuria 126

Gorria 126

150

Berdea Zuria

84

Datuak kontuan hartuta, marraztu barra- eta sektore-diagrama bana. Bi horietatik zein adierazpen da egokiena? Zergatik? Musika CD kopurua

Klasikoa

52 125 78

Klasikoa 125

Popa 78

CDak

021

Popa

Rocka 52

120 80 40

Rocka Klasikoa

Popa Rocka Musika

Sektore-diagrama da egokiena musika mota bakoitzeko zenbat CD dauden adierazteko.

022

Sektore-diagramak pertsona talde batek zer koloretako autoak nahiago dituen adierazten du. a) Zer kolore dute gustukoen gehienek? b) 720 pertsonari galdetu badiegu, zenbatek du gustuko kolore bakoitza?

210°

60° 30° 60°

a) Kolore gustukoena zuria da. b) Zuria: 420. Beltza: 120. Urdina: 120. Gorria: 60.

023

Ebaluazioko nota hiruhilekoko bost azterketen batez bestekoa da. Hona hemen notak: 4, 5, 8, 7 eta 7 Zenbatekoa da ebaluazioko batez besteko nota? Batez besteko nota 6,2 da.

411

917840 _ 0404-0432.qxd

8/2/08

12:40

Página 412

Estatistika 024

Taulan, enpresa bateko langileek zenbat ordenagailu dituzten ageri da. Osatu taula eta kalkulatu batez bestekoa. xi 0 1 2 3

x =

025

fi 52 25 65 58 N =100

fi ⋅ xi 550 525 130 524 179

0 ⋅ 2 + 1 ⋅ 25 + 2 ⋅ 65 + 3 ⋅ 8 = 1, 79 ordenagailu 100

Erreparatu barra-diagramari eta kalkulatu datuen batez besteko aritmetikoa. fi 8 6 4 2 0

1

2

3

4

5

Egin maiztasun-taula eta osatu, batez besteko aritmetikoa kalkulatzeko. xi 0 1 2 3 4 5

fi 54 56 58 52 52 10 N = 32

x =

026

fi ⋅ xi 550 556 516 556 558 550 179

86 = 2,6875 32

Hona hemen 8 lagunen adinak: 16, 15, 17, 15, 17, 14, 15 eta 16 urte, hurrenez hurren. Kalkulatu batez besteko adina eta mediana. 14, 15, 15, 15, 16, 16, 17, 17 x =

14 + 15 + 15 + 15 + 16 + 16 + 17 + 17 = 15, 625 urte 8

Me =

412

15 + 16 = 15, 5 urte 2

917840 _ 0404-0432.qxd

8/2/08

12:40

Página 413

ERANTZUNAK

027

14

Hiri batean iraileko egun guztietan izandako tenperaturak (°C-tan) hauek izan dira: 18, 19, 22, 16, 21, 20, 19, 18, 17, 22, 21, 23, 25, 19, 20, 19, 22, 21, 20, 24, 23, 21, 19, 14, 23, 19, 18, 19, 20, 21 Alderatu iraileko batez besteko tenperatura eta mediana.  14, 16, 17, 18, 18, 18, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 20, 20, 20, 20, 21, 21, 21, 21, 21, 22, 22, 22, 23, 23, 23, 24, 25

x =

603 = 20,1 °C 30

Me =

20 + 20 = 20 °C 2

Batez bestekoa pixka bat handiagoa da mediana baino. 028

fi

Barra-diagraman, lagun batzuek azken urtean irakurritako liburuak ageri dira.

5 4

Zenbatekoa da mediana? Eta batez bestekoa?

3 2 1 0

1

2

3

4

4 4

5 2

5

6

7

8

9 10

0, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4,  4, 4, 4, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9 x =

029

89 = 4, 68 liburu 19

Me = 4 liburu

Kalkulatu maiztasun-taulan adierazitako datuen moda.

xi fi

1 2

2 1

3 5

6 1

7 2

8 2

9 1

10 1

Mo = 3; 5 aldiz ageri da. Partxiseko dado bat 18 aldiz jaurti eta emaitza hauek lortu dira: 1 4 5 5 6 2 3 5 2 3 4 4 5 6 Adierazi datuak grafiko bidez eta kalkulatu moda. xi 1 2 3 4 5 6

fi 2 2 3 4 5 2

1

5

4

4 2

1

Mo = 5

3

6 Agerraldiak

030

2

3 4 Aurpegiak

5

6

413

917840 _ 0404-0432.qxd

8/2/08

12:40

Página 414

Estatistika 031

Sektore-diagraman, auzo bateko 100 etxebizitzetako bakoitzean zenbat telebista dauden adierazi da.

fi 52 25 65 58 N = 100

x =

%8 0 telebista %25 1 telebista 2 telebista

Kalkulatu zentralizazio-neurriak. xi 0 1 2 3

%2

% 65

fi ⋅ xi 550 525 130 524 179

3 telebista

Fi 552 527 592 100

0 ⋅ 2 + 1 ⋅ 25 + 2 ⋅ 65 + 3 ⋅ 8 = 1, 79 telebista 100

Me = 4 telebista

Mo = 2 telebista

ARIKETAK 032 ●

Ikastetxe bateko DBHko 2. mailako ikasleen garaierari buruzko azterketa estatistiko bat egin nahi dugu, eta horretarako, 2. A ikasgelako ikasleen garaiera neurtu dugu. Adierazi: a) Populazioa. c) Banakoak. b) Lagina. d) Aldagai estatistikoa. Zer motatakoa da aztertu beharreko aldagaia? a) DBH 2ko ikasleak. b) 2. A ikasgelako ikasleak. c) 2. A ikasgelako ikasle bakoitza. d) DBH 2ko ikasleen altuera. Aldagai kuantitatibo jarraitua da.

033 ●

Azaldu nola egingo zenukeen auzokoen begien kolorearen azterketa. Adierazi populazioa, lagina, laginaren neurria eta aztertutako aldagaiak har ditzakeen zenbait balio. Populazioa auzoko guztiek osatzen dute; beraz, lagina populazio osoa da, eta neurria, 45 auzoko. Har ditzakeen zenbait balio: begi urdinak, marroiak, beltzak eta berdeak.

414

917840 _ 0404-0432.qxd

8/2/08

12:40

Página 415

ERANTZUNAK

034 ●

Adierazi zer aldagai mota den: kualitatiboa ala kuantitatiboa. a) Neba-arreba kopurua. b) Sexua. c) Nazionalitatea.

d) Oinetakoen zenbakia. e) Adina.

a) Kuantitatiboa. b) Kualitatiboa. c) Kualitatiboa. 035 ●

d) Kuantitatiboa. e) Kuantitatiboa.

Sailkatu aldagaiak diskretuetan eta jarraituetan. a) Neba-arreba kopurua. b) Oinetakoen zenbakia. c) Adina.

d) Fruta-denda bateko eguneko diru-sarrerak. e) Ikasle talde baten pisua.

a) Diskretua. b) Diskretua. c) Diskretua. 036 ●

●

d) Diskretua. e) Jarraitua.

Aldagai estatistiko batek balio hauek har ditzake: 3, 5, 4, 2, 6, 1, 2, 3 a) Egin zenbaketa. b) Kalkulatu maiztasun absolutuak. c) Kalkulatu maiztasun erlatiboak. d) Antolatu datuak maiztasun-taula batean. xi 1 2 3 4 5 6

037

14

fi 1 2 2 1 1 1

Fi 1 3 5 6 7 8

hi 0,125 0,255 0,255 0,125 0,125 0,125

Hi 0,125 0,375 0,625 0,750 0,875 1

Azterketa batean ateratako notak, 0 eta 5 artekoak, hauek dira: 0, 1, 0, 5, 4 5, 4, 2, 5, 3 a) Egin zenbaketa. b) Kalkulatu ahalik eta maiztasun gehien. c) Antolatu datuak maiztasun-taula batean. xi 0 1 2 3 4 5

fi 2 1 1 1 2 3

Fi 52 53 54 55 57 10

hi 0,2 0,1 0,1 0,1 0,2 0,3

Hi 0,2 0,3 0,4 0,5 0,7 1

415

917840 _ 0404-0432.qxd

8/2/08

12:40

Página 416

Estatistika 038 ●

Abuztuko azken hamabost egunetan jaso diren tenperatura maximoak (°C-tan) hauek dira: 40 39 41 39 40 38 37 40 40 41 42 39 40 39 39 a) Egin tenperaturen zenbaketa. b) Kalkulatu maiztasun guztiak. c) Antolatu datuak maiztasun-taula batean. xi 37 38 39 40 41 42

039 ●

Zenbaketa I I IIII| IIIII II |

fi 1 1 5 5 2 1

hi 0,07 0,07 0,33 0,33 0,14 0,07

% 7 7 33 33 14 7

Aurpegiak 1etik 4ra zenbakituta dituen dado bat 10 aldiz jaurti eta emaitzak idatzi ditugu. 1, 4, 3, 1, 2 4, 1, 3, 2, 4

a) Zenbat aldiz errepikatu dira emaitzak? Egin zenbaketa. b) Kalkulatu maiztasun metatuak. c) Antolatu datuak maiztasun-taula batean. xi 1 2 3 4

040 ●

Fi 53 55 57 10

hi 0,3 0,2 0,2 0,3

Hi 0,3 0,5 0,7 1

Hona hemen DBHko 2. mailako gela bateko 10 ikasleren izenak: Aitor Joar Eneko Joseba Jule Lorea Nerea Amaia Peru Isabel Ikaslearen sexua aldagaia (mutila/neska) kontuan hartuta, egin maiztasun-taula. xi Mutila Neska

416

fi 3 2 2 3

fi 4 6

hi 0,4 0,6

917840 _ 0404-0432.qxd

8/2/08

12:40

Página 417

ERANTZUNAK

041 ●

Hona hemen 20 ikasleren neba-arreba kopurua: 2 1 2 1 1 0 2 1 3 1 2 1 1 2 1 0 3 1 0 4. Egin zenbaketa, eta lortu ahalik eta maiztasun gehien. Antolatu lortutako emaitzak taula batean. xi 0 1 2 3 4

042 ●

fi 3 9 5 2 1

●

Fi 53 12 17 19 20

hi 0,15 0,45 0,25 0,15 0,05

Hi 0,15 0,65 0,85 0,95 1

Futbol-talde bateko 30 jokalariek egunean telebistan pasatzen dituzten orduak hauek dira: 0 1 2 2 3 1 2 3 4 2 3 1 1 0 2 1 1 0 2 1 1 3 0 1 4 2 1 3 0 0 Egin datuen zenbaketa, eta kalkulatu maiztasun absolutuak eta erlatiboak. Idatzi maiztasun metatuak ere. xi 0 1 2 3 4

043

14

fi 56 10 57 55 52

Fi 56 16 23 28 30

hi 0,25 0,33 0,23 0,17 0,07

Hi 0,25 0,53 0,76 0,93 1

Kate bateko dendetan zenbat langile dauden erakusten dute datuek. 4 7 5 2 4 5 6 4 7 3 7 4 3 4 4 3 4 3 2 4 4 1 1 2 5 3 2 2 5 3 3 8 2 3 2 2 5 4 1 5 8 6 6 1 3 a) Idatzi zein den aldagaia eta zer motatakoa den. b) Egin datuen zenbaketa eta maiztasun-taula bat. a) Aldagaia langile kopurua da, kuantitatiboa eta diskretua. b)

xi 1 2 3 4 5 6 7 8

fi 54 58 59 10 56 53 53 52

Fi 54 12 21 31 37 40 43 45

hi 0,09 0,18 0,20 0,22 0,13 0,07 0,07 0,04

Hi 0,09 0,27 0,47 0,69 0,82 0,89 0,96 1

417

917840 _ 0404-0432.qxd

8/2/08

12:41

Página 418

Estatistika 044

Dado bat 48 aldiz jaurti eta emaitza hauek lortu dira:

●

3 4 1 4 6 3

4 2 4 4 2 2

5 6 5 3 3 4

1 5 3 2 1 6

6 1 2 1 5 6

2 4 1 6 4 2

2 2 4 2 1 1

3 3 6 5 6 2

Egin datuen zenbaketa eta idatzi maiztasun guztiak dituen taula. xi 1 2 3 4 5 6

045 ●●

fi 58 11 57 59 55 58

Fi 58 19 26 35 40 48

hi 0,17 0,23 0,15 0,19 0,10 0,17

Hi 0,17 0,40 0,54 0,73 0,83 1

Kirol gustukoena zein duten galdetu zaie 50 ikasleri: 16k futbola aukeratu dute; 12k, saskibaloia; 6k, eskubaloia; 10ek, ekitazioa; eta 6k, txirrindularitza. Hori kontuan hartuta: a) Kalkulatu maiztasun absolutuak. b) Zer maiztasun absolutuk adierazten du % 20? c) Kalkulatu maiztasun erlatiboak. d) Zer maiztasun erlatibok adierazten du % 32?

a) eta c)

xi Futbola Saskibaloia Eskubaloia Ekitazioa Txirrindularitza

fi 16 12 56 10 56

hi 0,32 0,24 0,12 0,25 0,12

b) Ekitazioak % 20 adierazten du; ekitazioaren maiztasun absolutua 10 da. d) Futboak % 32 adierazten du; futbolaren maiztasun erlatiboa 0,32 da.

418

917840 _ 0404-0432.qxd

8/2/08

12:41

Página 419

ERANTZUNAK

046

Osatu beheko maiztasun-taulako datuak.

●●

Maiztasun absoluta 4 3 5 2 6

Datuak 52 54 56 58 10

047

14

Maiztasun erlatiboa 0,25 0,15 0,25 0,15 0,3

Osatu taula, jakinik gutxiegien kopurua oso ongiena halako bi dela.

●● Maiztasun absolutua 20 15 10 5

Notak Gutxiegi Nahiko Oso ongi Bikain

Maiztasun erlatiboa 0,4 0,3 0,2 0,1

x4 5 → 0,1 = → N = 50 N N x2 = 0, 3 → x 2 = 15 Nahikoen kopurua: 50

h4 =

x1 = 2x3

x1 + x2 + x3 + x4 = N ⎯⎯ ⎯⎯ → 3x3 + 15 + 5 = 50 → x3 = 10 → x1 = 20 048

Hona hemen klub bateko bazkideen adinak:

●●

19 21 24 24 24 20 22 29 23 28

25 24 21 26 19 27 22 23 24 19

a) Egin maiztasun-taula eta adierazi ehunekoak ere. b) Bazkideen zer ehunekok du 25 urte baino gehiago? a)

xi 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

fi 3 1 2 2 2 5 1 1 1 1 1

Fi 53 54 56 58 10 15 16 17 18 19 20

hi 0,15 0,05 0,10 0,10 0,10 0,25 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05

Hi 0,15 0,25 0,35 0,45 0,55 0,75 0,85 0,85 0,95 0,95 1

b) 25 urte dituzte 26 eta 29 urte arteko bazkideek, eta guztizkoaren % 20 dira.

419

917840 _ 0404-0432.qxd

8/2/08

12:41

Página 420

Estatistika 049 ●●

Berandu oheratzeak errendimendu akademikoari nola eragiten dion aztertzeko, unibertsitate bateko ikasleei galdetu zaie astean zenbat aldiz ateratzen diren gauez. Hona hemen emaitzak: 0 2 3 2 1 1 1 4 0 1 1 2 2 1 3 1 3 0 1 2 Egin datuen zenbaketa eta lortu maiztasun-taula. xi 0 1 2 3 4

050 ●

fi 3 8 5 3 1

Fi 53 11 16 19 20

hi 0,15 0,45 0,25 0,15 0,05

Hi 0,15 0,55 0,85 0,95 1

DBHko 2. mailako gela batean, edari gustukoena zein duten galdetu zaie ikasleei. Adierazi datuak barra-diagrama batean. 12

Ikasle kopurua 10 4 6 3

Ikasleak

Edaria Kola Laranja Limoia Anana

8 4

Kola

Laranja Limoia Anana Edariak

051 ●

052 ●

Txanpon bat 25 aldiz jaurtitzean, 11 aurpegi eta 14 gurutze lortu dira. Adierazi sektore-grafiko baten bidez.

Gurutzea

Inkesta baten arabera, DBHko 2. mailako ikasleen musika mota gustukoenak hauek dira: Adierazi datuak barra-diagrama baten bidez.

14

Musika Rocka Popa Bakalaoa Klasikoa Dancea

fi 30 24 18 12 6 R

420

P

B

K

D

11

Aurpegia

Ikasle kopurua 18 12 24 10 6

917840 _ 0404-0432.qxd

8/2/08

12:41

Página 421

ERANTZUNAK

053 ●

14

24 etxebizitzako eraikin batean, hau da bakoitzean bizi den pertsona kopurua: 3 4 2 5 6 8 4 3

6 4 2 0 5 4 6 2

1 2 3 4 8 4 1 3

a) Osatu maiztasun absolutuen eta erlatiboen taula bat. b) Adierazi datuak barra-diagrama baten eta sektore-diagrama baten bidez. xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8

fi 1 2 4 4 6 2 3 0 2

Fi 51 53 57 11 17 19 22 22 24

hi 0,04 0,08 0,17 0,17 0,25 0,08 0,13 0 0,08

Hi 0,04 0,12 0,29 0,46 0,71 0,79 0,92 0,92 1 %8

Etxebizitzak

8

F 6 % 13

6

5 %8

4

% 25

2

%4 1 %8

0 F

b)

F

a)

% 17

2

% 17 3

4 0

054 ●●

1

2

3

4 5 Pertsonak

6

7

8

Familia batek 1.800 € gastatzen ditu hilean. Atal bakoitzean zenbat gastatzen duen erakusten du grafikoak. % 10 % 30

Gastu orokorrak % 60

Hipoteka Bestelakoak

Zenbat diru gastatzen du atal bakoitzean? Gastu orokorrak: 1.800en % 60 = 1.080 € Hipoteka: 1.800en % 30 = 540 € Bestelakoak: 1.800en % 10 = 180 €

421

917840 _ 0404-0432.qxd

8/2/08

12:41

Página 422

Estatistika 055 ●●

Kirol gustukoena zein duten galdetu zaie gela bateko ikasleei. Hona hemen erantzunak: Futbola: 32 Saskibaloia: 16 Tenisa: 9

Atletismoa: 5 Beste batzuk: 17 Bat ere ez: 3

Adierazi emaitzak sektore-grafiko batean eta idatzi sektore bakoitzari dagokion ehunekoa. Bat ere ez % 3,7

Futbola →

Beste batzuk % 20,7 Futbola % 39

Atletismoa % 6 ,1 Tenisa % 11 Saskibaloia % 19,5

056 ●●

32 ⋅ 360 = 140° 82

Saskibaloia → 70° Tenisa → 40° Atletismoa → 22° Beste batzuk → 75° Bat ere ez → 3°

2.500 laguni inkesta bat egin zaie hiribusen funtzionamenduari buruz. Hona hemen lortu diren datuak: Oso ongi Ongi Erdipurdi

% 30,7 % 48 % 10,9

Gaizki %1 Oso gaizki % 0,4 ED/EE %9

a) Osatu maiztasun-taula. b) Zenbatek erantzun dute Ongi ala Oso ongi? c) Adierazi datuak sektore-grafiko batean. a)

xi Oso ongi Ongi Erdipurdi Gaizki Oso gaizki ED/EE

fi 5 767 1.200 5 273 55 25 55 10 5 225

Fi 5 767 1.967 2.240 2.265 2.275 2.500

hi 0,307 0,480 0,109 0,010 0,004 0,090

Hi 0,307 0,787 0,896 0,906 0,910 1

b) 769 + 1.200 = 1.967 pertsonak erantzun dute Ongi ala Oso ongi. c)

Oso gaizki % 0,4 ED/EE Gaizki %1 Erdipurdi % 10,9

Ongi % 48

422

%9 Oso ongi % 30,7

917840 _ 0404-0432.qxd

8/2/08

12:41

Página 423

ERANTZUNAK

057

14

Erreparatu barra-diagramari.

●●

fi 200 150 100 50

Deskribatu egoera bat, adierazitako datuak kontuan hartuta. Jarri izenburu bana ardatz horizontalari eta bertikalari. Esate baterako, jatetxe batean zer postre eskatzen dituzten gehien aztertu eta datu hauek lortu ditugu. Flana: 75 Fruta: 25 Natillak: 100 Txokolate-tarta: 100 Izozkia: 175 Gatzatua: 150 Ardatz horizontalaren izenburua: jatetxeko postreak. Ardatz bertikalarena: postre bakoitza aukeratzen duen bezero kopurua. 058 ●●

Fruta-saltzaile batek tipulak saltzen ditu, 2 kg, 5 kg eta 10 kg-ko zakuetan. Egun batean 2 kg-ko 10 zaku, 5 kg-ko 5 eta 10 kg-ko 2 zaku saldu ditu.

a) b) c) d) e) f)

Antolatu datuak maiztasun-taula batean. Adierazi maiztasun absolutuak barra-diagrama batean. Egin barra-diagrama bat, maiztasun erlatiboak adierazteko. Zenbat kilokoa da, batez beste, saldutako zakua? Zer zaku mota saldu da gehien? Nola deritze azken bi zenbaki horiei Estatistikan? a)

xi 2 5 10

Zenbaketa ||||| ||||| ||||| ||

fi 10 5 2

hi 0,59 0,29 0,12

% 59 29 12

423

917840 _ 0404-0432.qxd

8/2/08

12:41

Página 424

Estatistika b)

fi 10 8 6 4 2

c)

2

4

5

6

8

10

2

4

5

6

8

10

hi

0,60 0,48 0,36 0,24 0,12

d) x =

65 datu guztien batura 2 ⋅ 10 + 5 ⋅ 5 + 10 ⋅ 2 = = 3,82 kg = 17 7 datu kopurua

e) 2 kg-ko zakua. f) e) ataleko zenbakia batez besteko aritmetikoa da, eta f) atalekoa, moda. 059 ●●

Hona hemen jolas-parke bateko lehen 10 bisitarien adinak (urtetan): 12 10

10 11

14 12

12 12

14 12

a) Egin maiztasun absolutuen barra-diagrama bat eta maiztasun erlatiboen beste bat. b) Kalkulatu lehen 10 bisitarien batez besteko adina. c) Zein adinek du maiztasunik handiena?

424

917840 _ 0404-0432.qxd

8/2/08

12:41

Página 425

ERANTZUNAK

xi 10 11 12 13 14

a)

fi 2 1 5 0 2

14

hi 0,2 0,1 0,5 50 0,2

fi 6 5 4 3 2 1 10

11

12

13

14

10

11

12

13

14

fi 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

b) x =

12 + 10 + 14 + 12 + 14 + 10 + 11 + 12 + 12 + 12 = 11,9 urte 10

c) Maiztasun handieneko adina 12 urte da.

060

EGIN HONELA NOLA KALKULA ETA INTERPRETA DAITEKE MODA? Kalkulatu bederatzi ikaslek Hizkuntzan ateratako noten moda. 7 Notak 3 4 5 6 7 8 9

fi 1 2 1 1 2 1 1

LEHENA.

8

4

3

4

5

7

9

6

Datuak maiztasun-taula batean antolatu behar dira.

BIGARRENA. Lortutako maiztasunen zutabea aztertu eta zenbaki handiena edo handienak aukeratu behar dira.

Kasu honetan, 2 da. Bi moda daude, 4 eta 7 notak, hain zuzen. HIRUGARRENA.

Emaitzak interpretatu behar dira.

Ikasle talde horretan, 4 eta 7 atera duten ikasleak dira maiztasun handienekoak.

425

917840 _ 0404-0432.qxd

8/2/08

12:41

Página 426

Estatistika 061 ●●

Ospitale bateko larrialdietako zerbitzuan adin askotako 26 gaixo daude.

KAIDLAIRRAL

87 14 52 65 74 43 28 9 12 17 25 93 42 31 18 10 21 28 49 53 64 75 34 41 18 3 a) Zenbatekoa da gaixoen batez besteko adina? b) Zenbatekoa da mediana? Eta moda?  3, 9, 10, 12, 14, 17, 18, 18, 21, 25, 28, 28, 31, 34, 41, 42, 43, 49, 52, 53, 64, 65, 74, 75, 87, 93

1.006 = 38,7 urte 26 31 + 34 = 32,5 urte b) Me = 2 a) x =

Bi moda daude: 18 eta 28; bi aldiz ageri dira. 062 ●●●

Hiri bateko familien seme-alaba kopuruari buruzko azterketaren laburpena ageri da taulan. Seme-alabak 0 1 2 3 4

Ehunekoa % 12,5 % 30 % 30 % 15 % 12,5

Galdetutako familia kopurua 620 eta 650 artekoa dela jakinik, ondoriozta al dezakezu zenbat familiari galdetu zitzaien? Ehuneko guztiei dagozkien erantzunek zenbaki osoak izan behar dute. Guztizkoaren % 12,5 zenbaki osoa bada, 0,125ez biderkatuz gero, emaitzak zenbaki osoa izan behar du edo 8ren multiploa; beraz, hauetako bat izan behar du: 624, 632, 640 edo 648. Eta guztizkoaren % 30 zenbaki osoa bada, 0,3z biderkatuz gero, emaitzak zenbaki osoa izan behar du; beraz, 10en multiploa izan behar du. Hortaz, erantzun bakarra 640 familia da.

426

917840 _ 0404-0432.qxd

8/2/08

12:41

Página 427

ERANTZUNAK

063 ●●●

14

6 lagunen batez besteko pisua 62 kg da. Haietako 5en pisuak 58, 65, 59, 65 eta 72 kg badira, zer pisu du seigarren lagunak? Batez besteko pisua 62 kg bada, pisuen batura hau da: 62 ⋅ 6 = 372 kg; beraz, seigarren lagunaren pisua hau da: 310 − (58 + 65 + 59 + 65 + 72) = 372 − 319 = 53 kg

064 ●●●

Taula bateko maiztasun erlatiboak jakinik, jakingo al zenuke maiztasun absolutuak kalkulatzen? Maiztasun absolutuak kalkulatzeko, maiztasun erlatiboez gain, laginaren neurria jakin behar da edo zenbait maiztasun absolutu.

065 ●●●

Egon al daiteke batez bestekorik ez duen datu segidarik? Eta medianarik ez duenik? Eta modarik ez duenik? Arrazoitu erantzuna. Datuak aldagai kualitatibo batenak badira, ez dute ez batez bestekorik ez medianarik izango, aldagaiaren balioak ez direlako zenbakizkoak. Moda beti duten arren, badaiteke bakarra ez izatea.

066 ●●●

Azterketa estatistiko batean lortutako datu guztiak hartuta: a) Kopuru jakin bat batzen badiegu. b) Zenbaki beraz biderkatzen baditugu. Zer gertatuko zaio segida berriko batez bestekoari? Iradokizuna: aukeratu datu gutxiko adibide bat eta kalkulatu batez bestekoa. Egin eragiketak eta kalkulatu batez bestekoa berriro ere. Ondoren, alderatu lortutako bi batez bestekoak eta orokortu emaitza. a) Batez bestekoa jatorrizko batez bestekoa gehi batutako kopurua da. x + x 2 + ... + x N x1 = 1 N (x 1 + a) + (x 2 + a) + ... + (x N + a) x2 = = N x + x 2 + ... + x N x + x 2 + ... + x N + a ⋅ N = 1 = 1 + a = x1 + a N N b) Batez bestekoa jatorrizko batez bestekoa bider kopurua da. x + x 2 + ... + x N x1 = 1 N (x 1 ⋅ a) + (x 2 ⋅ a) + ... + (x N ⋅ a) = N x + x 2 + ... + x N (x + x 2 + ... + x N ) ⋅ a = 1 ⋅ a = x1 ⋅ a = 1 N N

x2 =

427

917840 _ 0404-0432.qxd

8/2/08

12:41

Página 428

Estatistika 067 ●●●

Asmatu sei datuko egoera bat, hau betetzen duena: x=6 Me = 4 Mo = 5

Me = 4 denez eta datu kopurua bikoitia denez, erdiko bi datuen batura 8 da. Zenbaki bat 5 dela kontuan hartuta, bi datuak 3 eta 5 dira, eta horiek baino bi zenbaki handiago eta bi zenbaki txikiago egongo dira. 6 datuen batura 36 da, eta beraz, batez bestekoa 6 da. Gainera, 5 zenbakia 3 aldiz ageri denez, hiru zenbaki handienak dira; horren ondorioz, batez bestekoa ez da 6. Mo = 5 denez, 5 da gehien ageri den datua. 5 datua 2 aldiz ageri bada, 3 datu ezezagunen batura 23 da, 3 baino txikiagoak 1 eta 2 dira (ezin direlako errepikatu, moda 5 delako), eta zenbaki handiena 20 izango da. Ebazpena: 1, 2, 3, 5, 5, 20.

EGUNEROKOAN 068

Hona hemen elektrizitatearen azken fakturako zenbait datu.

●●●

KONTSUMOAREN HISTORIALA

GASTUAREN ZENBATESPENA, EKIPAMENDUKO

300

Hozkailua % 14 % 13

Argia

250 % 20

% 17

kWh

Garbigailua Telebista

200 %9

Sukaldea

% 27

150

Besteak

Fakturako bi atal finkoak dira:

100 50 0

MENDE ELEKTRIZITATEA U O M A M E U A I U A A

a) Abenduan 72 € ordaindu badira, zenbat balio du kWh batek? b) Zenbatekoa da elektrizitatearen batez besteko kontsumoa?

FAKTURA aren Potentzia eta ekipo ........ 8 € alokairua ............ Kontsumoaren ........ 0,11 € zerga (kWh-ko) ....

c) Eta argiaren urteko batez besteko gastua? a) Abenduko fakturaren kostua hau da: 72 = 8 + 0,11 ⋅ 300 + x ⋅ 300 → x =

31 = 0,103 €/kW 300

2.850 = 237,5 kW b) x = 12 c) Batez besteko gastua: 8 + 237,5 ⋅ (0,11 + 0,103) = 58,67 €.

428

917840 _ 0404-0432.qxd

8/2/08

12:41

Página 429

14

ERANTZUNAK

069 ●●●

Azken nota gutxienez 7 izatea nahi nuke…

Matematikan, ebaluazioan zehar, bi lan, azterketa partzial bat eta azken azterketa egin ditugu. Froga bakoitzaren nota 1 eta 10 artekoa da. Azken notan, bi lanek balio bera dute, azterketa partzialak lan bakoitzak halako bi balio du, eta azken azterketak, lan bakoitzak halako lau. Horri batez besteko ponderatua deritzo irakasleak.

IBONEN NOTAK 1. lana................ 6,5 2. lana................ 5,5 Partziala ............. 5,5 Azken azterketa... ?

IRENEREN NOTAK 1. lana .............. 8,5 2. lana .............. 6,5 Partziala ........... 8 Azken azterketa . 8,2 5

Zer nota lortuko du Irenek? Zer nota atera behar du Ibonek azken azterketan? Batez besteko ponderatua =

1. lana + 2. lana + 2 ⋅ partziala + 4 ⋅ azken azterketa 8

8, 5 + 6, 5 + 2 ⋅ 8 + 4 ⋅ 8, 25 64 = =8 8 8 Ireneren azken nota 8 izango da. x =

6,5 + 5,5 + 2 ⋅ 5,5 + 4 x = 56 = 23 + 4 x → 4x = 33 → x = 8,25 8 Batez bestekoa 7 izateko, Ibonek, gutxienez, 8,25 atera behar du azken azterketan.

7=

070 ●●●

Hona hemen saskibaloiko bi jokalarik azken sei partidetan lortu dituzten puntuak.

10

12

11

Zenbatekoa da bakoitzaren batez bestekoa?

13

11

9

Partida baten azken minutuetan, bi jokalariak ordezkoen aulkian daude. Taldea puntu dezenteko aldeaz ari bada galtzen, bietatik zein aterako zenuke, entrenatzailea bazina? 1. jokalariaren batez bestekoa: x =

10 + 12 + 11 + 13 + 11 + 9 66 = = 11 puntu 6 6

2. jokalariaren batez bestekoa: x =

2 + 14 + 7 + 22 + 4 + 17 66 = = 11 puntu 6 6

Bigarren jokalaria ateratzea komeni da, batez besteko bera duten arren, bigarrenaren emaitzak muturrekoagoak direlako; hori pizgarria izan baitaiteke.

2

14

7

22

4

17

429

917840 _ 0404-0432.qxd

8/2/08

12:41

Página 430

917840 _ 0404-0432.qxd

18/3/08

16:59

Página 431

Arte-zuzendaritza: José Crespo Proiektu grafikoa: Azala: CARRIÓ/SÁNCHEZ/LACASTA Barrualdea: Manuel García Irudiak: Lincel, Enrique Cordero, Ignacio Galilea, José María Valera Proiektu-burua: Rosa Marín Irudien koordinazioa: Carlos Aguilera Proiektu-garapeneko burua: Javier Tejeda Garapen grafikoa: José Luis García, Raúl de Andrés Zuzendaritza teknikoa: Ángel García Encinar Koordinazio teknikoa: Maitane Barrena, Félix Rotella Konposaketa eta muntaketa: Miren Pellejero, Fernando Calonge, Luis González, Lourdes Román Hizkuntza-egokitzapena: Josu Garate Argazkien aukeraketa eta dokumentazioa: Nieves Marinas Argazkiak: A. Toril; D. López; GARCÍA-PELAYO/Juancho/CSIC/FILOLOGIAREN INSTITUTUA; GOYENECHEA; J. Jaime; J. L. G. Grande; Krauel; S. Enríquez; A. G. E. FOTOSTOCK; COMSTOCK; DIGITALVISION; HIGHRES PRESS STOCK/AbleStock.com; I. Preysler; PHOTODISC; STOCK PHOTOS; MATTON-BILD; SERIDEC PHOTOIMAGENES CD; SANTILLANAREN ARTXIBOA

© 2008 by Zubia Editoriala, S. L. / Santillana Educación, S. L. Legizamon poligonoa Gipuzkoa kalea, 31 48450 Etxebarri (Bizkaia) Inprimatzailea:

ISBN: 978-84-8147-918-8 EK: 917840 Lege-gordailua:

Debekaturik dago, legeak ezarritako salbuespenak salbu, lan hau inola bikoiztea, banatzea, jendaurrean jakinaraztea zein eraldatzea, beraren jabetza intelektuala dutenen baimenik gabe. Aipatutako eskubideen urratzea jabetza intelektualaren aurkako delitua izan daiteke (Kode Penaleko 270. artikulua eta hurrengoak).

Hezkuntza, Unibertsitate eta Ikerketa Sailak onetsia: 2008-03-12

917840 _ 0404-0432.qxd

8/2/08

12:41

Página 432