Solucionario Matemática Parte I - Admision UNI 2011-2 - Cesar Vallejo

 

 O M at  á t i c  a  I  R em  A  N  O  I I  C U L  0 1 1 I

 SO

 -

 N I  2

 U  U  n  ó   ó  s i   i s

 m

 A d  e  d  d  n  e E x a m

Matemática Mate mática Tema P

PREGUNTA N.º 1

III. (V)

Indique la alternativa correcta después de determinar si cada proposición es verdadera (V) o falsa (F) según el orden dado: I. Existen 8 números de 3 cifras tales que al ser divididos entre 37 dan un residuo igual a la cuarta parte del cociente. II. Sean a,b  ∈  N; si (a+ x )( )(b – x )= )=ab, entonces se tiene que x =0. =0. III. Si D=dc+r  con  con 0 ≤ r  <  < c y c >1, entonces el conjunto { x  ∈ Z / D+ x =(   =(d+ x )c+r }

 

 

es unitario.

Entonces el conjunto

   

A) VVV D) FVF

B) VVF

C) FFV E) FFF

 D=dc+r  con  con

0 ≤ r  <  < c  y c > 1

{ x ∈ Z / D+ x =( =(d+ x )c+r }  

 D+ x =dc+ xc+r }  D+ x =dc+r+ xc}  D

   · c →   x = x  · Como c > 1, entonces x =0 =0

{ x ∈ Z / D+ x =( =(d+ x )c+r }={0} }={0} es unitario.  R󰁥󰁳󰁰󰁵󰁥󰁳󰁴󰁡 FFV

 R󰁥󰁳󰁯󰁬󰁵󰁣󰁩󰃳󰁮   R󰁥󰁳󰁯󰁬󰁵󰁣󰁩󰃳 󰁮 

Tema: Lógica proposicional

ALTERNATIVA 

C

 Análisis  Anál isis y procedimiento I.

(F)

 

abc

 

k 

PREGUNTA N.º 2 37   →  abc=37(4k )+ )+k 

¿Qué cantidad de desinfectante (en litros)

4k 

al 80% se debe mezclar con 80 litros del

abc=149k  1; 2; 3; 4; 5; 6 6 valores

mismo desinfectante al 50% para obtener un desinfectante al 60%?

II. (F)

Indique además el porcentaje de desinfectante al

 

50% en la solución final.

     

   

(a+ x )( )(b – x )= )=ab; a; b ∈ N ab

−

ax

+

bx bx

−

x

2

=

ab

2 (b – a) x   x = x 

 x ( x   x  – (b – a))=0

→   x =0 =0 ∨  x=b – a  x  no  no

necesariamente es 0.

 

A) 40 y 33,33%

     

B) 40 y 66,67% C) 60 y 33,33% D) 60 y 66,67%

 

E) 66,67 66,6 7 y 60%

1  

M atem á t i c  a  R󰁥󰁳󰁯󰁬󰁵󰁣󰁩󰃳󰁮   R󰁥󰁳󰁯󰁬󰁵󰁣󰁩󰃳 󰁮 

 x %

 

Tema: Regla de mezcla

 

= 

80  

 × 100%  40 + 80 

 x %=66,67% %=66,67%

 Análisis  Anál isis y procedimiento Por lo tanto, el tanto por ciento del desinfectante

Del enunciado, tenemos que

al 50% en la solución final es 66,67%.  Volumen  Vol umen del desinfectante al 80%

 R󰁥󰁳󰁰󰁵󰁥󰁳󰁴󰁡 40 y 66,67% 80

n

ALTERNATIVA  80%

50%

pierde 20%

gana 10% +80

n

60%

Se sabe que  

PREGUNTA N.º 3 Un empresario firma una letra por S/.48 000 a ser pagada en 8 meses al 7% de descuento anual. Luego de transcurridos 3 meses decide cancelar la letra, pues debe viajar para radicar en Australia. Calcule la diferencia entre la cantidad que recibió y canceló el empresario en nuevos soles, sabiendo que el acreedor cede un bono del 0,2% sobre el  valor nominal, si se cancela. cancela.

(ganancia aparente)=(pér aparente)=(pérdida dida aparente)

Por lo tanto, el volumen de desinfectante al 80%

       

A) B) C) D)

es 40 litros.

 

E) 748

 Además, debemos calcular el tanto tanto por ciento de

 R󰁥󰁳󰁯󰁬󰁵󰁣󰁩󰃳󰁮 

 

10% · 80=20%n

 

n=40

desinfectante al 50% en la solución final. Para ello, debemos realizar lo siguiente.    volumendel volumendel desin desinfect fectant ante e al 50%   x % =  × 100%  volumen del desinfectante al 60% 

Reemplazando Reemplaza ndo los valores, tenemos

740 742 744 746

Tema: Regla de descuento Para el cálculo del valor actual (V a) en el descuento comercial, debemos tener en cuenta lo siguiente.  Dc V a

 

V n

t   x %

 

B

= 

80  

 × 100%  n + 80 

 Dc=V n · r % t 

 

V a=V n – Dc

2  

M atem á t i c  a  Análisis  Anál isis y procedimiento

 R󰁥󰁳󰁯󰁬󰁵󰁣󰁩󰃳󰁮 

Realizamos un diagrama de tiempo.

Tema: Numeración •

 D1

Recordemos que en un numeral las cifras son

menores que la base.

 D2

• V a1

Para expresar un número de una base distinta

V n=S/.48 000

V a2

3 meses

de 10 a base 10 se emplea la descomposición polinómica.

5 meses

Ejemplo cantidad que recibió

cantidad que debía cancelar sin bono

2357=2×72+3×71+5=124

 

∴  2357=124

•

V a

=48 000 – 48 000×

1

7% 12

×

V a

•

Bono=0,2%(48 000)=S/.96

=48 000 – 48 000×

12

=

 S/.45 76 760

 Análisis  Anál isis y procedimiento Se tienen los numerales

7%

•

2

8

×

5 =  S/.46 600

 

 A=1a14;  B=1101a; C=1a24a5

Se observa que  

La cantidad que se canceló con el bono es  

1 < a < 4

→  a=2 ∨ a=3

S/.46 600 – S/.96=S/.46 504

Finalmente, la diferencia entre la cantidad que recibió y canceló el empresario es S/.4 .45 5 760

 

−

S/. /.46 46 504

  

   

lo que canceló

lo que recibió

=

 A=1a14   B=1101a   C=1a24a5

S/.7 .74 44

 R󰁥󰁳󰁰󰁵󰁥󰁳󰁴󰁡

a=2

1214=25 11012=13

a=3

1314=29 11013=37 132435=1073

Como

744

ALTERNATIVA 

C

   

C =  A × B

↓

↓

Sean A=1a14, B=1101a  y C=1a24a5.

 

947=25×13

 

1073=29×37

Entonces la suma de cifras de C es 11.

Determine la suma en cifras de C en base decimal,

 R󰁥󰁳󰁰󰁵󰁥󰁳󰁴󰁡

si C= A× B.

11

A) 7

 

D) 13

B) 9

↓

∴  C=1073

PREGUNTA N.º 4

 

122425=947

C) 11 E) 15

ALTERNATIVA 

C

3  

M atem á t i c  a PREGUNTA N.º 5

PREGUNTA N.º 6

El número  N =3 =3 b  · 5a  (con a  ≥  1) tiene tres

Determine la cantidad de fracciones propias e irreductibles que están comprendidas entre 9/33 y 45/47 tales que la suma de sus términos sea 90.

divisores más que M =2 =2a · 53. Determine la suma de las inversas de los divisores de M .  

A) 1,564

 

B) 1,852

 

C) 2,184

 

D) 1,248

 

E) 1,384

 

A) 3

 

D) 6

B) 4

C) 5 E) 7

 R󰁥󰁳󰁯󰁬󰁵󰁣󰁩󰃳󰁮 

Tema: Fracciones Sabemos que

 R󰁥󰁳󰁯󰁬󰁵󰁣󰁩󰃳󰁮   R󰁥󰁳󰁯󰁬󰁵󰁣󰁩󰃳 󰁮 

 N 

•

Tema: Estudio de los divisores di visores

 N 

•

 Análisis  Anál isis y procedimiento b

 

 fracción irreductible →   N  y  y D son PESI

Si N  y  y D son PESI →   N  y  y N + D son PESI

a

×5   →  CD( N   N )=( )=(b+1)(a+1) a

 D

•

N =3 =3

 M =2 =2

 fracción propia →   N  <   q pues  A >  B)

( p=7 ∧  q=5) ∨  ( p=35 ∧ q=1)

5  

M atem á t i c  a  Además, se sabe que el mayor m ayor de los números es 3017 ( A=3017 →   p ≠ 35).

 Análisis  Anál isis y procedimiento Dados

Entonces    

 

 A=d · 7=3017 →  d=431

 

 B=d · 5=2155

 

↓

 

431

 A = x ∈ R

{

x − x ≤ M 

{ x ∈R

x + x ≤ M 

 B =

}

}

Tenemos que •

 

Por lo tanto, la suma de cifras del menor número ( B) es 13.

•

 

M  ≥ 0:  x =0 =0 ∈  A A ∩  B B ∀  M  B ≠ φ →   A ∩  B M  <  < 0:  A=φ  ∧   B=φ ∀  M  B=φ →   A ∩  B

Luego  R󰁥󰁳󰁰󰁵󰁥󰁳󰁴󰁡

 

13

  ALTERNATIVA 

B

 A ∩  B B ≠ φ  ↔  M  M  ≥ 0 M  ∈ [0; ↔  M 

∞〉

 R󰁥󰁳󰁰󰁵󰁥󰁳󰁴󰁡  M  ∈ [0; ∞〉 ALTERNATIVA 

D

PREGUNTA N.º 9 Sean los conjuntos

{

x − x ≤ M 

{

x + x ≤ M 

 A = x ∈ R  B = x ∈ R

}

}

Entonces los valores de  M  tales  tales que  A ∩ B  B ≠ φ son:

PREGUNTA N.º 10 Dadas las siguientes proposiciones: I.

“Si existe n ∈ N  tal que n2 < 0, entonces existe n ∈ N tal que n – 3=0”.

II. “Si para todo x  ∈ R se tiene x 2 ≥ 0, entonces    

existe  x  ∈ 〈–1; 1〉 tal que e x  < 0”.

A)  M  ∈ {0}  1 1 B)  M  ∈  ∈  − ;   2 2

 

C)  M  ∈ [–1; 1]

 

D)  M  ∈ [0; ∞〉

 

E)  M  ∉ 〈– ∞; ∞〉

III. “Si existe n ∈ N  tal que n2 < 0, entonces existe  x  ∈ R tal que e x  < 0”. Indique la secuencia correcta después de determinar si es verdadera (V) o falsa (F).

 R󰁥󰁳󰁯󰁬󰁵󰁣󰁩󰃳󰁮   R󰁥󰁳󰁯󰁬󰁵󰁣󰁩󰃳 󰁮 

 

A) VVV

 

D) VVF

B) VFV

C) FVV E) FFF

Tema: Inecuaciones con valor absoluto  R󰁥󰁳󰁯󰁬󰁵󰁣󰁩󰃳󰁮   R󰁥󰁳󰁯󰁬󰁵󰁣󰁩󰃳 󰁮 

Sabemos que •

Si b ≥ 0: |a| ≤ b  →  a ∈ [– b; b].

Tema: Lógica proposicional

•

Si b < 0: |a| ≤ b  →  a no toma ningún valor

La tabla de verdad del operador condicional es la siguiente.

en R.

6  

M atem á t i c  a  p

q

PREGUNTA N.º 11

p → q

 V  V

 V

 V

F

F

F

 V

 V

F

F

 V

Halle el conjunto solución del sistema de inecuaciones:

 Análisis  Anál isis y procedimiento I.

1 +  x + 2

 

existe n ∈ N existe n ∈N   Si  , entonces  tal que   2   tal que n < 0  n − 3 = 0 

x

 

A) [0, +∞〉 

 

D) [0, 1]

x  ≥ 0

≥ 1−

B) 〈0, +∞〉 

C) 〈0, 1〉 E) [1, +∞〉

 R󰁥󰁳󰁯󰁬󰁵󰁣󰁩󰃳󰁮   R󰁥󰁳󰁯󰁬󰁵󰁣󰁩󰃳 󰁮 

Tema: Inecuación irracional 1.º Hallaremos el conjunto de valores admisibles

  F

→ 

(CVA).

V

2.º Efectuaremos operaciones para eliminar

 

radicales.

 V

 para todo  existe       II. Si , entonces  x ∈R  x ∈ − 1;1     se tiene  x 2 ≥ 0     tal que e < 0  x 

 Análisis  Anál isis y procedimiento Piden resolver 1 +  x + 2

   V

→ 

F

 

x

x  ≥ 0

≥ 1−

•

Hallando Halland o el CVA:  x  ≥ 0 →  CVA=R+ 0

•

La inecuación se puede escribir de la siguiente

manera.

F

1 +  x + 2

 

 existe n ∈N   existe  x ∈R  III. Si  , entonces    2 e tal que n < 0 tal que < 0

x

x

≥ 1−

∧

1−

x  ≥ 0

Completando cuadrados

 x 

 

12 +

 

 x 2

(1 +

F

→ 

  1 +  x

F

 

   

 V

→  → 

 x )

≥1−

2

x ⋅1 ≥ 1 −

+2 2

  ≥ 1−

x

 x ≥ 0  x  ≥ 0

→ intersectando

Por lo tanto, la secuencia correcta es VFV.

∧

x

x

∧

∧

1≥

1≥

x 

x 

x  ≤ 1

x  ≤ 1 ∧   x  ≤ 1 ∧

0

1

 R󰁥󰁳󰁰󰁵󰁥󰁳󰁴󰁡

 R󰁥󰁳󰁰󰁵󰁥󰁳󰁴󰁡

[0, 1]

 VFV ALTERNATIVA 

B

ALTERNATIVA 

D

7  

M atem á t i c  a →  D  D(( f   f  o g )= )= { x  / x  ∈ R+  ∧   x 3 ∈ {8; –8}} ∨ 

PREGUNTA N.º 12 Sean las funciones    

 f( x )

  =

4

x

−

8

  −

64

−

{ x  / x  ∈ R– 

 

x 2

{–2} { x  / x   =0 =0 ∧  0 ∈ {8; –8}}

3

 g ( x   x  )sgn( x   x ), ),  x )=( x 

{2} ∧  – x 3 ∈ {8; –8}} ∨

 

donde sgn es la función signo. Luego, el número de elementos de {( x   x , f ( g   g ( x   x )))} )))} es:  

A) 0

 

D) 3

B) 1

C) 2 E) 4

 R󰁥󰁳󰁯󰁬󰁵󰁣󰁩󰃳󰁮   R󰁥󰁳󰁯󰁬󰁵󰁣󰁩󰃳 󰁮 

Tema: Composición de funciones • Dominio y rango de una función • Funciones notables

 

→   D  D(( f   f  o g   o g )={2; )={2; – 2}

 φ

2.º Hallamos  

( f   f  o g   o g )( x   g ( x   x  ∈ D(  D( f   f  o g   o g )  x )= f ( g   x )); ∀ x 

 

 x =2: =2: ( f   f  o g   o g )(2)= f ( g   g (2))= f (8)=0

 

 x =2: =2: ( f   f  o g   o g )(– 2)= f ( g   g (– 2))= f (8)=0

 

∴ ( f   f  o g   o g )={(2; )={(2; 0); (– 2; 0)}

 R󰁥󰁳󰁰󰁵󰁥󰁳󰁴󰁡 2

ALTERNATIVA 

• Composición de funciones

C

 Análisis  Anál isis y procedimiento Nos piden el número de elementos de { x ; f ( g   g ( x   x ))}. ))}.

PREGUNTA N.º 13

Para eso, eso, analizaremos cada una de las funciones

Sea  p  p(( x   x ) un polinomio con coeficientes reales

 f  y g   y g .

cuya gráfica se muestra a continuación:

 Veamos  V eamos •

 f( x )

Y    =

4

x

−

8

  −

64

−

x 2

Determinamos su dominio: Dom f =CVA  =CVA  2

|x | – 8 ≥ 0 ∧  64 – x   ≥ 0     x  ↔  |x | ≥  8 ∧  64 ≥ x    x   x 2

 X 

↔  ( x   x  ≥ 8 ∨  x  ≤ – 8) ∧  (– 8 ≤ x   x  ≤ 8) ↔   x =8; =8; – 8 Entonces la función f  función f ={(8; ={(8; 0); (– 8; 0)} 3

•  g ( x   x )  x )= x   · sgn( x 

   

ficar la veracidad o falsedad de las siguientes

Entonces

proposiciones:

3

 > 0  x    ; x  >   0 ;  x =0 =0  g ( x   x )= 3 – x    ;  x  <  < 0

 

I.

 

II.  p raí ces complejas.  p(( x   x ) tiene solo 2 raíces

 

III. Existe c ∈ R  tal que  p  p(( x   x +c) no tiene

 

={ x  / x  ∈ Dg   Dg   ∧   g ( x   x ) ∈ {8; – 8}}

 p(( x   p  x ) tiene grado 3.

raíces complejas.

 Ahora veamos la composición  f   (f  o g   o g ). ). 1.º  D  o g )={ )={ x  / x  ∈ Dg   Dg   ∧   g ( x   Df }  D(( f   f  o g   x ) ∈ Df 

Indique la sucesión correcta después de veri-

 

A) VVV

 

D) FFV

B) VVF

C) VFF E) FFF

8  

M atem á t i c  a  R󰁥󰁳󰁯󰁬󰁵󰁣󰁩󰃳󰁮   R󰁥󰁳󰁯󰁬󰁵󰁣󰁩󰃳 󰁮 

PREGUNTA N.º 14

Tema: Fu Funciones nciones polinomiales

 Al dividir un polinomio polinomio p entre x 4 – 1 se obtuvo  p(( x   x ) entre x 

1.  Gráfica de una función polinomial

como residuo: 3 x 3+nx 2+mx  –   – 2; si además se

2.a Propiedades de traslado de gráfica

sabe que el resto de dividir p dividir  p(( x   x ) entre ( x   x 2 – 1) es

a

5 x  – 4, entonces el valor de mn es:

 Análisis  Anál isis y procedimiento Consideremos la siguiente función polinomial.  

5

4

3

A) – 4

 

D)

B) – 2

C)

2

 p( x  +2  x )= x   – x  +2 x  + x   – x +2

Si procedemos a factorizar en los reales, tenemos  

 

 p( x   x 3+1)( x   x 2 – x +2) +2)  x )=( x 

 Al graficarlo se obtiene

1

 

4

1 2

E) 4

 R󰁥󰁳󰁯󰁬󰁵󰁣󰁩󰃳󰁮 

Tema: División polinomial 4

Dada la división

 D( x )

 siendo siendo  D(x ); d( x   x ) polinomios

d( x )

3  x )〉 ≥  o[d( x   x )〉 se tiene que no nulos, tal que o[ D  D( x 

2

 D( x   x )=d( x   x ) · q( x   x )+ R( x   x ) identidad fundamental

1

donde: q( x   y R  R( x   x ) y  x ) son polinomios. 0

– 1

1

 Análisis  Anál isis y procedimiento

– 1

Por dato Por lo que podemos concluir que •  x 3+1 tiene raíz real negativa x  negativa x =–1 =–1 y 2 raíces complejas imaginarias. •  x 2 – x +2 +2 tiene 2 raíces complejas imaginarias. Luego Podemos afirmar que las proposiciones I y II

3 2 •  P ( x   x 4 – 1) 1)q q( x  +6mx  mx  – 2 (I)  x )=( x   x )+3 x  +nx  +6

•  P ( x   x 2 – 1) 1)Q Q( x   x )=( x   x )+5 x  – 4

(II)

De (II) tenemos P  tenemos P (1)=1 ∧  P (– 1)=– 9. Reemplazando en (I)

→  n+m=0

son falsas.

 

 P (1)=3+ =3+n n+m – 2=1

 Ahora recordemos que  p  p(( x   x +c) es un desplaza-

 

 P (– 1)=– 3+n 3+n – m – 2=– 9

miento de la gráfica en el eje X  eje X , por lo que no se

∴ 

Entonces la proposición III es falsa.

n – m=– 4

→ n= – 2 ∧ m=2

 

altera el número de raíces reales.

→

n

m

=

2

−

2 

1 =

4

 R󰁥󰁳󰁰󰁵󰁥󰁳󰁴󰁡

 R󰁥󰁳󰁰󰁵󰁥󰁳󰁴󰁡

1 4

FFF

ALTERNATIVA 

E

ALTERNATIVA 

D

9  

M atem á t i c  a PREGUNTA N.º 15

PREGUNTA N.º 16

Halle el valor de x en la siguiente ecuación:

Halle el valor de

 

log x log x  – log x  –  – 6=0

 M  =

Dé como respuesta la suma de las soluciones.

1 1 1 1 + + + −1   3 (10e) 1 + Ln   (30) 1+ lo  g (3e) log 3 (e) 1 + log

donde “e” es la base de logaritmo neperiano neperiano..  

A) 10,01 B) 99,99 C) 100,01

 

 

D) Ln(3)

B)

10

Ln ( 3)

 

C)

3

E) 1

 R󰁥󰁳󰁯󰁬󰁵󰁣󰁩󰃳󰁮 

Tema: Logaritmos

 R󰁥󰁳󰁯󰁬󰁵󰁣󰁩󰃳󰁮   R󰁥󰁳󰁯󰁬󰁵󰁣󰁩󰃳 󰁮 

1. log e x =Ln =Ln x ;  x > 0

Tema: Logaritmos

 

1 log b a

log a b ; a, b > 0; b ≠ 1; a ≠ 1

Regla del sombrero

2.

Siendo a; b positivos, se tiene logabn=n · logab con a ≠ 1; n ∈ R

3. 1=log b; b > 0

=

  b ≠ 1

∧

b

 Análisis  Anál isis y procedimiento

 Análisis  Anál isis y procedimiento

 M  =

1 1  + + log 3 3 + lo g 3 (10e ) log e e + log e 30

log x log x  – log x  –  – 6=0 +

→  (log x ) · (log x ) – log x  –  – 6=0 (log x )2 – log x  –  – 6=0 log x  –3   log x  +2

 

→  (log x  –  – 3) · (log x +2)=0 +2)=0

 M  =

→  log x =3 =3 →

Ln ( 3)

D) 999,99 E) 1 000,01

 

 

log ( 3) A)   10

 x

=

10 3

−

1

La suma de logaritmos en la misma base es logaritmo del producto producto.. 1 1

  log x=  x=– –2

∨

∨

1 1  + log 10 + lo  g ( 3e ) log 3 e

 M

x = 1 0 −2

e

+

+

e

1 e

+

1 e

−

1

log 3 30 log e 30 log 30 log 3 = log 30 e 3 + log 30 e e + log 30 e 10 + log e 3 − 1       

    

estos valores garantizan la existencia del loga aritmo aritmo

 M

=

log 30 e  30e + Ln3 − 1    

3

Por lo tanto, la suma de soluciones=10 +10  

–2

=1000,01

 M   = 1

+ Ln 3 −1 =

 R󰁥󰁳󰁰󰁵󰁥󰁳󰁴󰁡

 R󰁥󰁳󰁰󰁵󰁥󰁳󰁴󰁡

1000,01

Ln(3)

ALTERNATIVA 

E

Ln3

ALTERNATIVA 

D

10  

M atem á t i c  a PREGUNTA N.º 17

PREGUNTA N.º 18

1 Considere la matriz  A = 1  1

4

k 

k 

4

k

  z − 3i = 2  Al resolver resolver el sistema   donde z= x +iy  2 − = 1 y  x  

  k  

Determine el conjunto de valores de k para que  A sea invertible.    

A) k ∈ R \{0} B) k ∈ R

     

C) k ∈ R \{4} D) k=– 4 E) k=0

es un número complejo; la suma de las ordenadas de los puntos solución es:  

A) 9

 

D) 6

B) 8

C) 7 E) 5

 R󰁥󰁳󰁯󰁬󰁵󰁣󰁩󰃳󰁮   R󰁥󰁳󰁯󰁬󰁵󰁣󰁩󰃳 󰁮 

Tema: Sistema de ecuaciones en C  R󰁥󰁳󰁯󰁬󰁵󰁣󰁩󰃳󰁮   R󰁥󰁳󰁯󰁬󰁵󰁣󰁩󰃳 󰁮 

Para dar respuesta a este problema, debemos

Tema: Matrices - determinantes

recordar el módulo de un complejo y relacionarlo

1.º Para que una matriz cuadrada A sea inverti-

con la ecuación de una circunferencia, finalmente

ble, | A| ≠ 0. 2.º Aplicamos operaciones operaciones con filas.

resolveremos una ecuación cuadrática.

 Análisis  Anál isis y procedimiento  Análisis  Anál isis y procedimiento

Dado el sistema

Piden el conjunto de valores para que la matriz

1

 A

= 1 1

4

k 

k 

4

k

  sea invertible.  k  

 

 A

=

1

k 

4

1

k

k 

1

 

 A

=

k 

4

0

k

0

−

4

0

4

Como z= x +yi  ( x   x ;y), la ecuación equivalente

 F2

−

F 1

 F3

−

F 2

k 

 

| A|=(k – 4)2 ≠ 0

 

∴ 

−

−

(II)

centro en (0; 3) y radio r =2. =2. a I es x 2+(y – 3)2=22 

(III)

De (II) obtenemos x 2=y – 1, reemplazamos en (III) y obtenemos y – 1+(y – 3)2=4.

k 

4

(I )

La ecuación (I) representa una circunferencia con

Entonces | A| ≠ 0.  Aplicando propiedades 1

 z − 3i = 2  2 y − x  =1

k 

4

→ 

k ≠ 4

k ∈ R – {4}

 

→ 

y2 – 5y+4=0

 

→ 

y1=1

 

∴ 

y1+y2=5

 R󰁥󰁳󰁰󰁵󰁥󰁳󰁴󰁡

 R󰁥󰁳󰁰󰁵󰁥󰁳󰁴󰁡

k ∈ R \{4}

5 ALTERNATIVA 

C

∨ 

→ 

(y – 1)(y – 4)=0

y2=4

ALTERNATIVA 

E

11  

M atem á t i c  a PREGUNTA N.º 19

 Veamos  V eamos un contraejemplo. contraejemplo.

Sea

Y  máx = x +y  f ( x ; y) (0; 3) (2; 2)

S={( x ,y)/ a1 x +b1y ≤ C1; a2 x +b2y ≤ C2,  x  ≥ 0,

 

y ≥ 0}

S

La región admisible de un problema de programación lineal.

 

Indique la secuencia correcta después de determi-

 

(3; 0)  X 

La solución es (2; 2)

nar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F). I.

Si se modifica S, obteniéndose

 

S1={( x   x ,y)/a1 x +b1y ≤ C1; a2 x +b2y ≤ C2;

 

Y  máx = x +y  f ( x ; y) (0; 2)

a3 x +b3y ≤ C3, x  ≥ 0, y ≥ 0}, la solución

 A S1

 B (2; 0)

no cambia, en un problema de maximización. II. Si  f ( x   x ;y) es la función objetivo, y ( x 0, y0) es la solución en S1 entonces, en un problema de minimización se tendrá f ( x   f ( x   x 0;y0) ≤ f   x 1,y1). III. En general S1, la nueva región admisible, puede o no variar en relación a S.  

A) FFV

 

B) FVV

 

C) FFF

 

D) VVF

 

E) VFV

 

 X 

 

La solución es cualquier punto de la recta AB.

 

Por lo tanto, la proposición I es falsa.

 x 0, y0) ≤ f   x ; y) ∀( x   x ; y) ∈ S II. Como S1 ⊆ S y f ( x   f ( x  porque estamos minimizando, entonces un

caso particular es ( x   x ; y)=( x   x 1; y1) ∈ S1 ⊆ S.    

→ 

( x 0 ; y0 )

≤

( x1 ; y1)

Por lo tanto, la proposición II es verdadera.

III. S1 en relación a S sí puede variar como el ejemplo de la proposición I.  

Por lo tanto, la proposición III es verdadera.

 R󰁥󰁳󰁰󰁵󰁥󰁳󰁴󰁡  R󰁥󰁳󰁯󰁬󰁵󰁣󰁩󰃳󰁮   R󰁥󰁳󰁯󰁬󰁵󰁣󰁩󰃳 󰁮 

FVV

Tema: Programación lineal

ALTERNATIVA 

B

Condición de mínimo en un problema de programación lineal  f ( x   x 0, y0) es el mínimo

 

↔ 

∀( x   x ;

 f ( x   f ( x   x 0; y0) ≤ f   x ; y)

y) ∈ S

∀( x   x ;

y) ∈ S

PREGUNTA N.º 20 Sea una sucesión de rectángulos  R1,  R2, ...,  Rk, donde el k-ésimo rectángulo tiene lado

 Análisis  Anál isis y procedimiento I.

Al aumentar una condición más 3

por lo tanto, los vértices (puntos

extremos) pueden ser otros y cambiar la solución.

k

y

1 k + 3

; 

entonces, la suma de las áreas de todos los rectángulos es igual a:

(a  x +b y ≤ C ) se obtendrá un subconjunto 3 3 S1  de S;

1

11

 

A) 1

 

D)

1 3

B)  

18

 

C) E)

6 1 6

12  

M atem á t i c  a  R󰁥󰁳󰁯󰁬󰁵󰁣󰁩󰃳󰁮   R󰁥󰁳󰁯󰁬󰁵󰁣󰁩󰃳 󰁮 

∞

 1 − 1   + 1   −   1   + 1   − 1      ∑ 3 =  k k + 1 k + 1 k + 2 k + 2 k + 3  

1

k 1

Tema: Series Para resolver este problema haremos uso de algunas propiedades de sumatorias, en particular

 ∞  1   1   ∞   1   1   =  ∑   −  + ∑     −  +  +  +         3 k k + 1 k + 1 k + 2 k =1   k =1 1

∞

   1   1   + k∑  k + 2  − k + 3     =1  

de la propiedad telescópica.  

n

∑ ( f(k ) −   f(k +1) ) =

f(1) −   f (n+1)

 n  1   1   n   1   1   = l ím  ∑   −  + ∑     −  +  +  +         3 n→+ ∞  k k 1 k 1 k 2   + + + k =1 k =1 1

k =1

Finalmente, aplicaremos límites cuando n tiende al infinito y obtendremos el resultado requerido. requerido.

n

  + ∑    

 

  − 

1

=  k+2

k  1

    k  + 3    1

 Análisis  Anál isis y procedimiento

Usamos la propiedad telescópica y obtenemos

Sea { Rk} la sucesión de rectángulos, tal que el

   1 0 1 ∑  Ak  = 3 l ím 1 − n + 1  +  2 − k =1

k-ésimo rectángulo tiene de lados

1

k

y

1

k+3

.

1

∞

∞

∑

Luego,, debemos calcular Luego

 Ak ,

así 

∑=  A = ∑=   k (k 1 + 3)     k 

 

k  1

∞

1   1   = ∑     −   3 k =1 k k + 3   1

1

+ 1

−

n+3

0

  

k 

k  1

∴ 

k =1

∞

n+ 2

3

11 ∑=  A   = 13   1 +  12  + 13     = = 18

0

1

+ ∞

representa el área de este k-ésimo rectángulo rectángulo..

k 1

1

 

Luego,  Ak   = k (k  + 3)  

∞

 

∞

  11 2  Ak  = u 18 k =1

∑

 R󰁥󰁳󰁰󰁵󰁥󰁳󰁴󰁡 11 18

ALTERNATIVA 

B