Solucionario Matemática Discreta
Short Description
ktmkrm...
Description
PRÁCTICA CALIFICADA N° 3 CURSO
MATEMÁTICA DISCRETA
CODIGO
CB – 112 W
DOCENTE
PAUL TOCTO INGA
CICLO
2012 - II
FECHA
24.11.12
1. Verificar si los siguientes conjuntos: D(30), D(12) son álgebras de Boole con las operaciones de MCM y MCD. Donde
Sean x e y elementos de D(n), n es múltiplo de x e y, el MCM(x,y) es el Mínimo Común Múltiplo de x e y por lo tanto pertenece a D(n). De igual forma ocurre con el MCD(x,y) que es Máximo Común Divisor.
Para D(12):
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2. Una empresa proveedora de Internet desea crear una red de fibras ópticas para brindar servicios de Internet en una provincia, con la siguiente información de población promedio entre cada distrito:
Promedio de pobladores en miles A B C
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
111 240 594 217 859 270 579 908 697 66 376 171 857 101 105 559 863 944 765 100 899 413
2
878 510
D
486 274 858 776 669 874
E
761 824 804 454 261
F
258 764 46 876
G
340 451 831
H
646 730
I
969
J Usar dos métodos para solucionar el problema indicado cada iteración de los métodos aplicados.
Primer método: Algoritmo de Kruskal
a. Ordenaremos las aristas en forma ascendente, en función de sus pesos.
C – H
2
H – I
→
46
D – I
→
66
A – I
→
100
H – J
→
101
E – F
→
105
F – H
→
171
C – D
→
217
D – H
→
240
E – H
→
258
E – G
→
261
G – J
→
270
D – G
274
B – I
340
B – E
→
376
A – E
→
413
D – J
→
451
F – J
→
454
C – I
→
486
C – F
→
510
A – H
→
559
B – J
594
I – J
→
F – I
→
A – J
→
C – E
→
B – F
→
B – G
→
B – D
→
A – D
→
A – B
→
F – G
→
E – J
→
A – F
→
D – F
→
G – H
→
B – C
→
C – G
→
G – I
→
E – I
→
D – E C – J
→
→
B – H
→
A – G
→
646
669 697 730 761 764 765 776
804 824
831 858
→
863
→
857 859
874
876 878 899 908
944
→
969
→
b. Seleccionamos las aristas de menor peso e incluimos los vértices que formen el árbol. Obtenemos:
Segundo método: Algoritmo de Prim
a. Seleccionamos cualquier vértice y anotamos los vértices adyacentes. Escogeré el vértice G. b. En función de los pesos seleccionamos la arista de menor peso. c. El vértice adyacente seleccionado forma parte del árbol. d. Si hay más vértices ir al primer paso. Obtenemos:
3. Hallar un circuito que permita calcular el bit de paridad de un digito binario de cinco bits. Bit de p g “ 0” úm p g “1” número de unos es impar de un
dígito binario. (Utilizar Karnaugh para simplificar). a
b
c
d
e
F
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Karnaugh: de/abc 000 001 011 010 110 111 101 100 00
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4. Hallar un circuito que permita determinar si un digito binario de cinco bits es un número par. (Utilizar Karnaugh para simplificar).
Considerando que:
a
b
c
d
e
F
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Karnaugh:
de/abc 000 001 011 010 110 111 101 100 00
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0
F=e
PRÁCTICA CALIFICADA N° 3 CURSO
MATEMÁTICA DISCRETA
CODIGO
CB – 112 U, V
DOCENTE
JOSÉ BENITES, JOSUÉ ANGULO
1. Realizar las siguientes demostraciones:
a.
m1 11 1 1
b. c. d. 11 1 1
1.a. ∑
Karnaugh: cd/ab 00 01 11 10 00
0
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̅ ̅ 1.b. ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ 1.d. ()( )
cd/ab 00 01 11 10 00
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̅ ̅ ̅
CICLO
2012 - II
FECHA
20.11.12
2.a. Muestre que el número máximo de vértices de un árbol binario de altura h es -1 -1.
Un árbol binario es un árbol con raíz en el que cada nodo tiene como máximo dos hijos. Entonces para saber el número máximo de vértices en un árbol binario todos los vértices tendrán dos hijos.
En: h=2
→
2 vértices
h= 3
→
h= 4
→
4 vértices 8 vértices
Altura h:
2.b. En un mapa de Karnaugh de 5 variables: (A, B, C, D, E), el término m 27, con qué términos podría combinarse, escribir dichos términos en función de las variables.
a
b
c
d
e
F
0
0
0
0
0
m0
0
0
0
0
1
m1
0
0
0
1
0
m2
0
0
0
1
1
m3
0
0
1
0
0
m4
0
0
1
0
1
m5
0
0
1
1
0
m6
0
0
1
1
1
m7
0
1
0
0
0
m8
0
1
0
0
1
m9
0
1
0
1
0
m10
0
1
0
1
1
m11
0
1
1
0
0
m12
0
1
1
0
1
m13
0
1
1
1
0
m14
0
1
1
1
1
m15
1
0
0
0
0
m16
1
0
0
0
1
m17
1
0
0
1
0
m18
1
0
0
1
1
m19
1
0
1
0
0
m20
1
0
1
0
1
m21
1
0
1
1
0
m22
1
0
1
1
1
m23
1
1
0
0
0
m24
1
1
0
0
1
m25
1
1
0
1
0
m26
1
1
0
1
1
m27
1
1
1
0
0
m28
1
1
1
0
1
m29
1
1
1
1
0
m30
1
1
1
1
1
m31
000 001 011 010 110 111 101 100 00 m0
m4 m12 m8 m24 m28 m20 m16
01 m1
m5 m13 m9 m25 m29 m21 m17
11 m3
m7 m15 m11 m27 m31 m23 m19
10 m2
m6 m14 m10 m26 m30 m22 m18
Por lo tanto m27 puede combinarse con m 25, m11, m31 y m26.
3. El gráfico de la figura representa las carreteras y las longitudes de las carreteras entre cada pareja de ciudades están representadas por los pesos de las aristas. Utilizando los algoritmos de Prim y Kruskal encuentre un camino que llegue a todas las ciudades de modo que el número de kilómetros terminados sea mínimo.
Primer método: Algoritmo de Kruskal
a. Ordenamos las aristas en forma ascendente en una tabla, en función de sus pesos.
H – F G – I
15
D – E
15
I – J
20
H – I
20
E – B
→
20
A – B
→
20
E – J
→
25
B – J
→
25
C – A
→
→
C – D
→
D – G
→
E – G
→
A – E
→
F – G
→
F – D
→
F – C
→
28
30
→
30
→
35
→
50 65
80 80 85
→
Seleccionamos las aristas de menor peso e incluimos los vértices que formen el árbol. Obtenemos:
Segundo método: Algoritmo de Prim
a. Seleccionamos cualquier vértice y anotamos los vértices adyacentes. Seleccionaré el vértice H. b. En función de los pesos seleccionamos la arista de menor peso. c. El vértice adyacente seleccionado forma parte del árbol. d. Si hay más vértices ir al primer paso. Obtenemos:
3.b. El consejo de administración de una empresa esta compuesta por cuatro personas: A, B, C, D cuyos votos valen respectivamente 1, 4, 6 y 9 puntos votan sobre distintos proyectos. Ninguna de las cuatro personas se abstiene, ni votan en blanco o nulo. Los votantes eligen 1 cuando votan a favor de proyecto y eligen o cuando votan en contra del mismo. Construya una función booleana f(a, b, c, d) que tome el valor 1 cuando el proyecto es aceptado por una mayoría absoluta de puntos (al menos III puntos o cero en caso contrario). Simplifique la expresión en forma de suma de productos, Construya el circuito lógico mínimo.
Considerando que:
a
b
c
d
F
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
Karnaugh:
cd/ab 00 01 11 10 00
0
0
0
0
01
0
1
1
0
11
1
1
1
1
10
0
0
1
0
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