Solucionario Matemáticas Anaya 2 Bachillerato

1

NÚMEROS REALES

Página 27 REFLEXIONA Y RESUELVE El paso de ■

ZaQ

Di cuáles de las siguientes ecuaciones se pueden resolver en Z y para cuáles es necesario el conjunto de los números racionales, Q. a) –5x = 60

b) –7x = 22

c) 2x + 1 = 15

d) 6x – 2 = 10

e) –3x – 3 = 1

f) –x + 7 = 6

Se pueden resolver en Hay que recurrir a

El paso de ■

Z a), c), d) y f).

Q para resolver b) y e).

QaÁ

Resuelve, ahora, las siguientes ecuaciones: a) x 2 – 9 = 0

b) 5x 2 – 15 = 0

c) x 2 – 3x – 4 = 0

d) 2x 2 – 5x + 1 = 0

e) 7x 2 – 7x = 0

f) 2x 2 + 3x = 0

a) x 2 – 9 = 0 8 x = ±3 b) 5x 2 – 15 = 0 8 x 2 = 3 8 x = ± √3 c) x 2 – 3x – 4 = 0 8 x =

3 ± √9 + 16 3±5 = = 2 2

4 –1 —

—

d) 2x 2 – 5x + 1 = 0 8 x =

5 ± √17 5 ± √25 – 8 = = 4 4

5 + √17 — 4— 5 – √17 — 4

e) 7x 2 – 7x = 0 8 x 2 – x = 0 8 x = 0, x = 1 f) 2x 2 + 3x = 0 8 x (2x + 3) = 0 8 x = 0, x = –

Unidad 1. Números reales

3 2

1

Números irracionales ■

Demuestra que √2 es irracional. Para ello, supón que no lo es: √2 =

p . Eleva q

al cuadrado y llega a una contradicción. Supongamos que √2 no es irracional. Entonces, se podría poner en forma de fracción:

√2 =

p p2 8 2 = 2 8 p 2 = 2q 2 q q

En p 2, el factor 2 está un número par de veces (es decir, en la descomposición de factores primos de p 2, el exponente de 2 es par). Lo mismo ocurre con q 2. Por tanto, en 2q 2 el exponente de 2 es un número impar. De ser así, no se podría cumplir la igualdad. Suponiendo que √2 =

p llegamos a una contradicción: q

“p 2 = 2q 2, pero p 2 no puede ser igual a 2q 2”. Por tanto, √2 no puede ponerse en forma de fracción. No es racional.

■

Obtén el valor de F teniendo en cuenta que un rectángulo de dimensiones F : 1 es semejante al rectángulo que resulta de suprimirle un cuadrado. 1 F–1

F

F 1 = 8 F(F – 1) = 1 8 F2 – F – 1 = 0 1 F–1 —

F=

1 ± √1 + 4 = 2

1 + √5 — 2 — 1 – √5 — (negativo) 2

Como F ha de ser positivo, la única solución válida es F =

2

√5 + 1 2

.

Unidad 1. Números reales

UNIDAD

1

Página 28 1. Sitúa los siguientes números en el diagrama: 3

3

√3 ; 5; –2; 4,5; 7, 3; – √6 ; √64 ; √–27 ; √–8

)

Á

Q

Z

Á

N

Q

— √3

) 7,3 4,5

3 — – √6

Z

N

5 — √ 64 = 8

–2

— √ –8

— √–27 = –3

3

2. Sitúa los números del ejercicio anterior en los siguientes casilleros. Cada número puede estar en más de una casilla. NATURALES, ENTEROS,

N

Z

RACIONALES, REALES,

Q

Á

NO REALES

Añade un número más (de tu cosecha) en cada casilla. NATURALES, ENTEROS,

N

REALES,

—

Á

3

—

5; –2; √ 64; √ –27

Z

RACIONALES,

—

5; √ 64

Q

)

3

—

—

5; –2; 4,5; 7, 3; √ –27; √ 64 —

—

—

—

√ 3; 5; –2; 4,5; 7,3; –√6; √ 64; √ –27

)

3

3

—

NO REALES

Unidad 1. Números reales

√ –8

3

Página 29 3. Representa los siguientes conjuntos: b) [4, + @)

a) (–3, –1)

a) c)

–3

b)

–1 0 3

0

6

d) (– @, 0)

c) (3, 9] 0

4

d)

9

0

4. Representa los siguientes conjuntos: a) { x / –2 Ì x < 5}

b) [–2, 5) « (5, 7]

c) (– @, 0) « (3, +@)

d) (– @, 1) « (1, + @)

a)

–2

c)

0 0

b)

5

–2

d)

3

0

5

7

0 1

Página 30 1. Halla los siguientes valores absolutos: a) |–11|

b) |π|

c) |– √5|

d) |0|

e) |3 – π|

f) |3 – √2|

g) |1 – √2 |

h) |√2 – √3 |

i) |7 – √50 |

a) 11

b) π

c) √5

d) 0

e) |3 – π| = π – 3

f) |3 – √2 | = 3 – √2

g) |1 – √2 | = √2 – 1

h) | √2 – √3 | = √3 – √2

i) |7 – √50 | = √50 – 7

2. Averigua para qué valores de x se cumplen las siguientes relaciones:

4

a) |x| = 5

b) |x| Ì 5

c) |x – 4| = 2

d) |x – 4| Ì 2

e) |x – 4| > 2

f ) |x + 4| > 5

a) 5 y –5

b) – 5 Ì x Ì 5; [–5, 5]

c) 6 y 2

d) 2 Ì x Ì 6; [2, 6]

e) x < 2 o x > 6; (–@, 2) « (6, +@)

f) x < – 9 o x > 1; (–@, –9) « (1, +@)

Unidad 1. Números reales

UNIDAD

1

Página 31 1. Simplifica: 12

b) √x 8

6

e) √64

a) √x 9 d) √8 12

12

c) √y 10

5

9

f) √81

8

12

a) √ x 9 = √ x 3 4

5

6

6

8

8

d) √ 8 = √ 23 = √ 2

c) √y 10 = y2 9

3

b) √x 8 = √ x 2

9

3

3

f ) √ 81 = √ 34 = √ 3

e) √ 64 = √ 26 = √ 22 = √ 4

4

3

2. ¿Cuál es mayor, √31 o √13 ? Reducimos a índice común: 4

12

√31 = √29 791 ;

3

12

√13 = √28 561

4

Por tanto, es mayor √31 .

3. Reduce a índice común: 12

18

3

a) √a 5 y √a 7 12

b) √51

36

18

36

3

a) √a 5 = √a 15 ; √a 7 = √a 14

9

y √132 650 9

9

b) √51 = √132651 ; √132650

4. Simplifica: —

(√√√—k )8 8 a) ( √ k ) = k

5 3

—

3

b) √√x 10

a)

15

b) √x 10 = √ x 2

8

—

c) √(√x )6 3

6

c) √ x 6 = x

Página 32 5. Reduce: 3

5

3

a) √2 · √2 15

6

4

b) √9 · √3

15

8

c) √2 · √2 · √2

4

3

d) √8 · √4

15

a) √25 · √23 = √28 6

6

6

8

8

8

12

12

b) √ 34 · √ 3 = √ 35 8

c) √ 24 · √ 22 · √ 2 = √ 27 12

12

12

d) √83 · √44 = √(23)3 · (22)4 = √217 = 2 √25

Unidad 1. Números reales

5

6. Simplifica: 5

a)

√x 3 √x

a)

√

x3 = x5

c)

√

a3 = a4

6

b)

√ √ 6

6

√a · b 3 √a · b

c)

4

√a3 3 √a2

d)

√a3 · b5 · c √a · b3 · c3

b)

6

√

6 a3 b3 = √a b a2 b2

6 1 = √ a –1 a

d)

√

a3 b5 c = a2 b6 c6

√9 3 √3

c)

√16 √2

b)

6

√

6 3 36 = √ 34 = √ 32 32

d)

√

4 36 = √ 34 = 3 32

1 = √ x –2 x2

4

√ 4

a 1 = c b c5

√ 4

a bc

7. Reduce: 3

a)

√32 √3

a)

√

6 34 = √3 33

√

10 10 28 = √ 23 = √ 8 25

c)

10

b)

5

4

4

d

√729 √3

8. Suma y simplifica: a) 5 √x + 3 √x + 2 √x b) √9 · 2 + √25 · 2 – √2 c) √18 + √50 – √2 – √8 d) √27 – √50 + √12 + √8 e) √50a – √18a a) 10 √x b) 3 √2 + 5 √2 – √2 = 7 √2 c) √18 + √50 – √2 – √8 = √2 · 32 + √2 · 52 – √2 – √23 = = 3 √2 + 5 √2 – √2 – 2 √2 = 5 √2 d) √33 – √2 · 52 + √22 · 3 + √23 = 3 √3 – 5 √2 + 2 √3 + 2 √2 = 5 √3 – 3 √2 e) √2 · 52 · a – √2 · 32 · a = 5 √2a – 3 √2a = 2 √2a

6

Unidad 1. Números reales

UNIDAD

1

Página 33 9. Racionaliza denominadores y simplifica cuando puedas: a) c) e)

5

√7

√

3

√4 1

√a3 4

f)

2

i)

3

d)

√50 3

a)

7 3

3

g)

3

b)

√18 1

h)

√25 3

√40 2

j)

√36

3

3

√100

5 = 5√ 7 7 √7 3

3 3 3 √2 = 3 = 3 2 √4 √ 22

b)

c)

√

d)

1 1 √a = = 3 a2 √a a √a

e)

f)

7 √ 7 = √ 21 = 3 3 √3

3

√ 50

=

3

√ 2 · 52

=

3 3√ 2 = 10 5√ 2

4 4 4 = = = 4√ 2 = 2√ 2 2 6 3 √ 18 √2 · 3 3√ 2 3

g)

h)

2 2 2 √5 = 3 = 2 5 √ 25 √5 3

1 2 1 = 3 = 3 = 3 √ 40 √ 23 · 5 2√ 5 3

i)

3

√ 52 = √ 25 10

10

3

3 3 3 √2 · 3 3 √6 = 3 = = = 2 2 2 · 3 6 √ 36 √2 · 3 3

3

j)

3

3

3

√6 2 3

2 2 2 √ 2 · 5 2 √ 10 √ 10 = 3 = = = 3 2 2·5 10 5 √ 100 √ 2 · 52

Unidad 1. Números reales

7

10. Racionaliza denominadores y simplifica cuando puedas: a) c) e) g)

1

b)

—

√2 + 1 —

√a – 1 1

—

f)

—

2 √3 – √5

√2

+

—

—

—

√x + √y

√x + √y d) — — √x – √y

a–1

1

x+y

—

1

—

√2 – 1

+

1

√2 + 1

—

—

—

—

3 √2 – 2 √3

h)

—

—

3 √2 + 2 √3

—

1

—

√x – √y

+

—

1

—

√x + √y

—

√2 – 1 √2 – 1 a) = = √2 – 1 — — (√ 2 + 1) (√ 2 – 1) 2–1 b)

— — — — — — — — (x + y) (√ x – √ y ) (x + y) (√ x – √ y ) x √x – x √y + y √x – y √y = — — — — = x–y x–y (√ x + √ y ) (√ x – √ y )

— — (a – 1) (√ a + 1) (a – 1) (√ a + 1) c) = = √a + 1 — — (√ a – 1) (√ a + 1) (a – 1) — — — — — (√ x + √ y) (√ x + √ y) x + y + 2 √xy d) — — — — = x–y (√ x – √ y ) (√ x – √ y ) e)

— — — — — — 2 √3 + √5 2 √3 + √5 2 √3 + √5 = = — — — — 12 – 5 7 (2 √ 3 – √ 5 ) (2 √ 3 + √ 5 )

— — 2 — — (3 √ 2 + 2 √ 3 ) 18 + 12 + 12 √ 6 30 + 12 √ 6 f) = = = 5 + 2 √6 18 – 12 6 6 —

g)

2

—

h)

—

—

5 √3 √2 + √2 + 1 + √2 – 1 = √2 + 2 √2 = 1

—

—

—

√x + √y + √x – √y x–y

2

1

=

2

— 2 √x x–y

Página 36 1. Halla:

8

a) log2 16

b) log2 0,25

c) log9 1

d) log10 0,1

e) log4 64

f ) log7 49

g) ln e 4

h) ln e –1/4

i ) log5 0,04

j ) log6

( ) 1 216

Unidad 1. Números reales

UNIDAD

a) log2 16 = log2 24 = 4

b) log2 0,25 = log2 2–2 = –2

c) log9 1 = 0

d) log10 0,1 = log10 10–1 = –1

e) log4 64 = log4 43 = 3

f) log7 49 = log7 72 = 2

g) ln e4 = 4

h) ln e–1/4 = –

i) log5 0,04 = log5 5–2 = –2

j) log6

1

1 4

( )

1 = log6 6–3 = –3 216

2. Halla la parte entera de: a) log2 60

b) log5 700

c) log10 43 000

d) log10 0,084

e) log9 60

f ) ln e

a) 25 = 32 ; 26 = 64 ; 32 < 60 < 64 5 < log2 60 < 6 8

log2 60 = 5,…

b) 54 = 625 ; 55 = 3125 ; 625 < 700 < 3125 4 < log5 700 < 5 8

log5 700 = 4,…

c) 104 = 10 000 ; 105 = 100 000 ; 10 000 < 43 000 < 100 000 4 < log10 43 000 < 5 8

log10 43 000 = 4,…

d) 10–2 = 0,01 ; 10–1 = 0,1 ; 0,01 < 0,084 < 0,1 –2 < log10 0,084 < –1 8

log10 0,084 = –1,…

e) 91 = 9 ; 92 = 81 ; 9 < 60 < 81 1 < log9 60 < 2 8

log9 60 = 1,…

f) ln e = 1 3. Aplica la propiedad 8 para obtener los siguientes logaritmos con la ayuda de la calculadora: a) log2 1 500

b) log5 200

c) log100 200

d) log100 40

En cada caso, comprueba el resultado utilizando la potenciación. a)

log 1500 = 10,55; 210,55 ≈ 1500 log 2

b)

log 200 = 3,29; 53,29 ≈ 200 log 5

c)

log 200 = 1,15; 1001,15 ≈ 200 log 100

d)

log 40 = 0,80; 1000,80 ≈ 40 log 100

Unidad 1. Números reales

9

4. Sabiendo que log5 A = 1,8 y log5 B = 2,4, calcula: a) log5

√ 3

A2 25B

b) log5

5 √A3 B2

a) log5

√

b) log5

5 √ A3 3 3 = log5 5 + log5 A – 2 log5 B = 1 + · 1,8 – 2 · 2,4 = 1 + 2,7 – 4,8 = –1,1 2 2 B2

3

A2 1 1 – 0,8 = [2 log5 A – log5 25 – log5 B] = [2 · 1,8 – 2 – 2,4] = ≈ –0,27 25B 3 3 3

5. Averigua la relación que hay entre x e y, sabiendo que se verifica: ln y = 2x – ln 5 ln y = 2x – ln 5 8 ln y = ln e2x – ln 5 2x ln y = ln e 5

2x 8 y= e 5

Página 38 1. Di una cota del error absoluto y otra del error relativo en las siguientes mediciones: a) La superficie de esta casa es de 96,4 m2. b) Por la gripe se han perdido 37 millones de horas de trabajo. c) Juana gana 19 000 € al año. a) |Error absoluto| < 0,05 m2 |Error relativo| <

0,05 < 0,00052 = 0,052% 96,4

b) |Error absoluto| < 0,5 millones de horas = 500 000 horas |Error relativo| <

0,5 < 0,014 = 1,4% 37

c) — Si suponemos que los tres ceros finales se han utilizado para poder expresar la cantidad (es decir, que se trata de 19 mil €, redondeando a los “miles de euros”), entonces: |E.A.| < 0,5 miles de € = 500 €

|E.R.| <

0,5 < 0,027 = 2,7% 19

— Si suponemos que es 19 000 € exactamente: |E.A.| < 0,5 €

10

|E.R.| <

0,5 < 0,000027 = 0,0027% 19 000 Unidad 1. Números reales

UNIDAD

1

Página 39 2. Calcula en notación científica sin usar la calculadora: a) (800 000 : 0,0002) · 0,5 · 1012 b) 0,486 · 10–5 + 93 · 10–9 – 6 · 10–7 a) (800 000 : 0,0002) · 0,5 · 1012 = ((8 · 105) : (2 · 10–4)) · 5 · 1011 = = (4 · 109) · 5 · 1011 = 20 · 1020 = 2 · 1021 b) 0,486 · 10–5 + 93 · 10–9 – 6 · 10–7 = 48,6 · 10–7 + 0,93 · 10–7 – 6 · 10–7 = = 43,53 · 10–7 = 4,353 · 10–6 3. Opera con la calculadora: a) (3,87 · 1015 · 5,96 · 10 –9) : (3,941 · 10 –6) b) 8,93 · 10 –10 + 7,64 · 10 –10 – 1,42 · 10 –9 a) (3,87 · 1015 · 5,96 · 10 –9) : (3,941 · 10 –6) ≈ 5,85 · 1012 b) 8,93 · 10 –10 + 7,64 · 10 –10 – 1,42 · 10 –9 = 2,37 · 10–10

Página 41 LENGUAJE MATEMÁTICO 1. Da nombre al conjunto sombreado en cada caso: N

N M»N

M M

N M«N

M–N M

M U

M

N N–M

M

M'

N (M « N) – (M » N)

2. Expresa simbólicamente estas relaciones: a) 13 es un número natural. b) – 4 es un número entero. c) 0,43 es un número racional.

Unidad 1. Números reales

11

d) π es un número real. e) Todos los enteros son racionales. f ) El intervalo [3, 4] está formado por números reales. a) 13 é N b) –4 é Z c) 0,43 é Q d) π é Á e)

ZåQ

f) [3, 4] å

Á

3. Designa simbólicamente estos conjuntos: a) Los números enteros mayores que –5 y menores que 7 (utiliza valo abierto (–5, 7)).

Z y el inter-

b) Los números irracionales (utiliza Á y Q). c) Los números racionales mayores que 2 y menores o iguales que 3. d) Los números que son múltiplos de 2 o de 3 (el conjunto de los múltiplos de • p se designa p ). a) {x é Z / x é (–5, 7)} b)

Á–Q c) {x é Q / 2 < x Ì 3} •

•

d) {x / x = 2 o x = 3} 4. Traduce: a) {x éZ / x Ó – 4} b) {x éN / x > 5} c) {x éN / 1 < x Ì 9} d) {x éZ / –2 Ì x < 7} a) Números enteros mayores o iguales que –4. b) Números naturales mayores que 5. c) Números naturales mayores que 1 y menores o iguales que 9. d) Números enteros mayores o iguales que –2 y menores que 7. 5. ¿Cuáles son los números que forman el conjunto (Á – Q) 傽 [0, 1]? Todos los irracionales comprendidos en el intervalo (0, 1).

12

Unidad 1. Números reales

UNIDAD

1

Página 45 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR

Números racionales e irracionales 1 Expresa como fracción cada decimal y opera:

)

)

)

0,12 – 5, 6 – 0,23 + 3,1

) 23 – 2 56 – 5 ; 0,2 3 = . 9 90

)

☛ Recuerda que 5, 6 =

) 12 51 21 31 442 – – + =– = –2,6 78 99 9 90 10 165

)

)

2 Demuestra que el producto 4,0 9 · 1,3 9 es un decimal exacto. ☛ Comprueba, pasando a fracción, que los dos factores son decimales exactos. ) 409 – 40 369 4,0 9 = = = 4,1 90 90 ) ) 4,0 9 · 1,3 9 = 4,1 · 1,4 = 5,74 3 Calcula: a) √1, 7

)

a)

√

b)

√

) 16 4 = = 1, 3 3 9

) 139 – 13 126 1,3 9 = = = 1,4 90 90

)

1, 3 3 b)

√

) 4 2 = = 0,6 3 9

4 Indica cuál, de cada par de números, es mayor: 140 a) 99 y √2 ) c) 4, 89 y 2 √6 a) √2

) ) b) 0,526 y 0, 526 d) –2,098 y –2,1 ) d) –2,098 c) 4, 89

) b) 0,526

5 Observa cómo hemos representado algunos números irracionales: 1

A

C

E

B 1

D

F

G

2

0 Unidad 1. Números reales

2

H

3

13

1

En el triángulo OAB, OB = 1, AB = 1 y OA = √12 + 12 = √2. Por tanto, el punto D representa a √2. ¿Qué números representan los puntos F y H ? Justifica tu respuesta. — 2 + DC —2 = F representa √ 3 , pues OF = OC = √OD H representa √ 6 , pues OH = OG =

—

√(√2 )2 + 12 = √ 3

—

√(√5 )2 + 12 = √ 6

6 ¿Cuáles son los números racionales a, b, c, d representados en este gráfico? m

a

b

1

c

0m

d

m m m m

m es un segmento cualquiera

a=

2 7

b=

4 7

c=

5 7

d=–

m m

1 7

Potencias

–2

–1

( ) ( ) 3 4

· –

4 9

+4=

(

–2

) ( ( ) ( )

7 Halla sin calculadora:

4 3

3 3 – 2 4 2

· –

1 7 – 3 9

–1

)

+4

9 + 4 = –4 + 4 = 0 4

8 Simplifica, utilizando las propiedades de las potencias: a)

36 · 25 · 52 93 · 43 · 5

b)

34 · 16 · 9 –1 5–1 · 35

c)

152 · 8 –1 63 · 102

d)

a –3 b –4 c7 a –5 b2 c –1

☛ Mira el problema resuelto número 2 c). a) c)

14

36 · 25 · 52 5 = 2 36 · 26 · 5 32 · 52 · 2–3 1 = 1 = 768 · 33 · 22 · 52 28 · 3

23

b)

34 · 24 · 3–2 24 · 5 80 = = –1 5 27 33 5 ·3

d)

c7 a5 c a2 c8 = 3 4 2 a b b b6

Unidad 1. Números reales

UNIDAD

1

9 Expresa los siguientes radicales mediante potencias de exponente fraccionario y simplifica: 3 5

a) √a2 · √a

b)

—

√x 2 — √x

c)

1 4

—

√a3

10

a) a 2/5 · a 1/2 = a 9/10 = √ a 9 b)

6 x 2/3 = x 1/6 = √ x x 1/2 4

c) a –3/4 = √ a –3

10 Resuelve, sin utilizar la calculadora: 5

3

c) √625

3

f) √0,001

3

c) √ 54 = 5

3

f ) √ 0,13 = 0,1

a) √32

b) √343

d) √0,25

e) √84

5

a) √ 25 = 2 d)

√

4

3

4

b) √ 73 = 7

1 1 = = 0,5 2 4

3

e) √ 212 = 2 4 = 16

11 Expresa como una potencia de base 2: 1 a) b) (–32)1/5 √2 a) 2–1/2

8

c) ( √2 )4

b) (–25)1/5 = –2

c) 2 4/8 = 21/2

12 Calcula utilizando potencias de base 2, 3 y 5: a) 4 · c)

3

( )

1 3 · – 3 2

(–5)3 (–8)3 (–9)2 152 · 204

a) 22 ·

4

–1

( ) ( )

b) – d)

1 2

·

2 9

·

1 8

(–30)–1 · 152 103

2 (–3)3 1 –9 · = –3 = 3 3 2 2 2

2 32 9 b) 1 · 3 · 1 = 8 = 4 3 256 2 2 2 2

c)

(–5)3 · (–23)3 · (–32)2 53 · 29 · 34 2 · 32 18 = 2 2 8 4 = = 2 2 2 4 3 125 3 · 5 · (2 · 5) 3 ·5 ·2 ·5 5

d)

32 · 52 –3 3 =– = 3 3 2 4 400 –2 · 3 · 5 · 2 · 5 5 ·2

Unidad 1. Números reales

15

13 Expresa en forma de potencia, efectúa las operaciones y simplifica: 4

a)

—

√a3 · a–1 — a √a

b) 161/4 ·

a)

√ 3

1 1 · 6— 4 √4

1 a 3/4 · a –1 = a –7/4 = 4 7 1/2 √a a·a

b) (24)1/4 · (22)–1/3 · (22)–1/6 = 2 · 2–2/3 · 2–1/3 = 20 = 1

14 Justifica las igualdades que son verdaderas. Escribe el resultado correcto en las falsas: a)

a2 · b –2 =1 a –2 · b2

b) (3–2)

c)

8 3–2 – 5–2 = 15 3–1 – 5–1

d)

a) Falsa.

–3

–2

( ) 1 3

2

( ) 1 27

=1

– (–3)–2 =

80 9

a 2 · b –2 a4 = a –2 · b 2 b4

b) Verdadera. (3–2)–3 · c) Verdadera.

( 271 ) = 3 · ( 31 ) = 3 · 31 2

6

3

6

=

36 =1 36

2 2 3–2 – 5–2 (1/3 – 1/5) (1/3 + 1/5) = (1/3 ) – (1/5 ) = = –1 –1 (1/3 – 1/5) 1/3 – 1/5 3 –5

= d) Verdadera.

2

6

( 13 )

–2

1 1 8 + = 3 5 15

– (–3)–2 = 32 –

1 = 32 – 1 = 9 – 1 = 81 – 1 = 80 9 9 9 (–3)2 32

15 Demuestra, utilizando potencias, que: a) (0,125)1/3 = 2 –1 b) (0,25)–1/2 = 2

( 1125000 ) = ( 18 ) = ( 21 ) 25 1 =( =( ) =( 1 ) 100 ) 4 2

a) (0,125)1/3 = b) (0,25)–1/2

16

1/3

1/3

1/3

3

–1/2

–1/2

–1/2

2

=

1 = 2–1 2

= (22)1/2 = 2

Unidad 1. Números reales

UNIDAD

1

Página 46 Radicales 16 Introduce los factores dentro de cada raíz: 3

a) 2 √3 3 5

d)

√ 3

b) 4 25 9

3

√ 3

1 4

4

e) 2 √4 3

a) √3 · 23 = √24 c)

√

22 · 3x = x 2 · 23

b)

√

3 2x

d)

e) √24 · 22 = √26 = √ 23 = √ 8 4

4

f)

√ √ √

√

3x 8

c)

2 x

f)

1 3√15 5

3

3 3 3 43 = √42 = √24 = √16 4

3

33 · 52 = 53 · 32

3

3·5 = 53

√ √ √ 3

3

3 5

3 = 52

3

3 25

17 Saca de la raíz el factor que puedas: 3

b) 4 √8

a) √16 3

d) √8a5 g)

√ 3

3

a) √2 4 = 2 √2 3

3

d) √2 3 · a 5 = 2a √a 2 g)

4 a

√

√ √

f)

h) √4a2 + 4

i)

b) 4 √2 3 = 4 · 2 √ 2 = 8 √ 2

c) √ 23 · 53 = 10 √ 10

e)

1 a

√

125a2 16b

e)

16 a3

c) √1 000

√

53 · a 2 5a = 4 24 · b

√

5 b

h) √ 4 (a 2 + 1) = 2 √ a 2 + 1

f) i)

1 1 —+— 4 9

a a —+— 9 16

√ √

13 1 = √ 13 6 36

25a 5√a = 12 16 · 9

18 Simplifica: 6

8

a) √0,027

b) √0,0016

c)

√ 4

9 1+— 16

√ √ √ (103 ) = ( 103 ) = ( 103 ) = √ 103 b) √ 1016000 = √ 102 = √ (102 ) = ( 15 ) = ( 15 ) = √ 15 c) √ 2516 = √ 54 = ( 54 ) = ( 54 ) = √√ 54 = √25 a)

6

27 = 1 000

8

33 = 103

6

8

4

3

6

8

3/6

4

4/8

1/2

1/2

4

4

4

2

2/4

1/2

2

Unidad 1. Números reales

17

19 Simplifica los siguientes radicales: 3

6

a) √24

3

b) √27

12

d) √64y 3

e)

3

3

12

4

√ 4

c) √–108

81 64

8

6

3

b) √ 33 = 33/6 = 31/2 = √ 3

a) √ 23 · 3 = 2 √ 3 4

4

f) √625 : √25

4

3

c) – √ 33 · 22 = –3 √ 22

4

d) √ 26 · y 3 = √ 22 · y = √ 22 · √ y = √ 2 · √ y e)

√ 4

34 3 3 3√2 = = = 3 4 26 √2 2√2

8

4

f ) √ 54 : √ 52 = √ 5 : √ 5 = 1 20 Reduce a índice común y ordena de menor a mayor: 4

3

b) √6, √4

3

4

5

d) √72 , √9, √100

a) √4, √3, √2

4

c) √6, √10 12

12

12

6

3

4

3

6

3

a) √ 64 , √ 81 , √ 64 ; √ 4 = √ 2 < √ 3 6

b) √ 216 , √ 16 ; √ 4 < √ 6 20

4

20

5

c) √ 7 776 , √ 10 000 ; √ 6 < √ 10 12

12

3

12

6

4

d) √ 373 248 , √ 6 561 , √ 10 000 ; √ 9 < √ 100 < √ 72 21 Realiza la operación y simplifica, si es posible: a) 4 √27 · 5 √6 3

b) 2

2

√ √ 4 · 3 3

6

d) ( √12 )

27 8

c) √2 · 3

e) ( √32 )

√

1 8

3

f) √24 : √3

a) 20 √ 27 · 6 = 20 √ 33 · 2 · 3 = 20 √ 2 · 34 = 180 √ 2

√ √ √ √

b) 2 c)

4 · 27 =2 3·8

2 = 8

9 =6 2

√

1 2

1 1 = 2 4

( ) 2 = √ 24 · 32 = 2 √ 2 · 32 = 2 √ 18 3 e) ( √ 25 ) = √ 215 = √ 25 = 22 √ 2 = 4 √ 2 3

3

d) √ 22 · 3 6

3

3

3

6

3

3

3

f ) √ 23 · 3 : √ 3 = 2 √ 3 : √ 3 = 2

18

Unidad 1. Números reales

UNIDAD

1

22 Efectúa y simplifica, si es posible: 3

( ) 6

c)

—

√32 — √8

√ 3

3

a) √2 · √3

b) √a ·

3

1 · √a a

—

3

—

d) √2 √3 : √√4 3

☛ En b) y c) puedes expresar los radicales como potencias de bases a y 2, respectivamente. 6

6

c) d)

b) √ a ·

(√ ) (√ ) √ 3

25 29

6

—

3

√√ 22 · 3

1 24

6

=

3

3

6

=

—

√√ 22

:

1

3

a) √ 22 · 33 = √ 108

3

√a

· √a =√a

1 1 = 1 = 2 4 2 12 2

6

6

6

= √ 22 · 3 : √ 22 = √ 3

23 Expresa con una única raíz: 4 3

—

3

a) √√4

—

b) √2 √8 4

4

5

c) (√a3 · √a4 ) : √a

6

12

a) √ 4 = √2 12

12

12

b) √ 24 · 23 = √ 27 = √ 128 c)

√ 20

20 a 15 · a 16 20 21 = √a = a √a 10 a

24 Racionaliza los denominadores y simplifica: a) d) a) b)

2 √3

b)

√18 —

2 √3

2

√2

32

—

—

√72 + 3 √32 – √8 e) — √8

3 + √3

√2 ·

3

—

3

—

√2 – 1 c) — √2

2

=

2 √3 3 √2

=

2 √6 √6 = 3·2 3

3

√ 22 2

3

= √4

— (√ 2 – 1) √ 2 2 – √2 c) = 2 2 d)

3 (3 – √ 3 ) 9 – 3 √3 3 (3 – √ 3 ) 3 – √3 = = = 9–3 6 2·3 2 —

—

—

—

—

—

√ 23 · 32 + 3√ 25 – √ 23 3√ 8 + 6√ 8 – √ 8 8 √8 e) = = =8 — — 3 √2 √8 √8 Unidad 1. Números reales

19

25 Calcula y simplifica: a) 5 √125 + 6 √45 – 7 √20 + 3

3

3 √80 2

21 3√250 5

3

b) √16 + 2 √2 – √54 –

c) √125 + √54 – √45 – √24 d) (√2 + √3 ) (√6 – 1) a) 25 √ 5 + 18 √ 5 – 14 √ 5 + 6 √ 5 = 35 √ 5 3

3

3

3

3

b) 2 √ 2 + 2 √ 2 – 3 √ 2 – 21 √ 2 = –20 √ 2 c) 5 √ 5 + 3 √ 6 – 3 √ 5 – 2 √ 6 = 2 √ 5 + √ 6 d) √ 12 – √ 2 + √ 18 – √ 3 = 2 √ 3 – √ 2 + 3 √ 2 – √ 3 = √ 3 + 2 √ 2 26 Simplifica al máximo las siguientes expresiones: 3

3

3

3

a) 3 √16 – 2 √250 + 5 √54 – 4 √2 b)

√

2 –4 5

√

18 + 1 125 3 3

3

2 √3a4

3

3

c) 7 √81a –

3

+

√

8 45

—

√3a 5 3

3

3

3

3

2 12 – 5 5

√

3

3

a) 3 √ 24 – 2 √ 2 · 53 + 5 √ 2 · 33 – 4 √ 2 = 6 √ 2 – 10 √ 2 + 15 √ 2 – 4 √ 2 = 7 √ 2 b)

√

2 –4 5

√

3

√

2 · 32 1 + 3 53 3

c) 7 √ 34 · a – 2 √ 3a 4 +

23 = 32 · 5

√

3

2 2 + 9 5

3

√

(5

2 –53 = 45 5

√

2 5

)

3 √ 3a = 21 3 √ 3a = 106 – 2a 3 √ 3a – 2a √ 3a + √ 3a

5

5

27 Efectúa y simplifica: 2

2

a) (√3 + √2 ) – (√3 – √2 ) b) (√6 + √5 )2 √2

c) (√5 – √6 ) (√5 + √6 )

2

e) (√2 – 1) (√2 + 1) √3

d) (2 √5 – 3 √2 )

(

) (

)

a) √ 3 + √ 2 + √ 3 – √ 2 · √ 3 + √ 2 – √ 3 + √ 2 = 2 √ 3 · 2 √ 2 = 4 √ 6 b) 2 √ 12 + 2 √ 10 = 4 √ 3 + 2√ 10 c) 5 – 6 = –1 d) 20 + 18 – 12 √ 10 = 38 – 12√ 10 e) (2 – 1) √ 3 = √ 3

20

Unidad 1. Números reales

UNIDAD

1

28 Racionaliza y simplifica: —

a) d)

a)

—

—

2 √3 – √2 —

√18 3

— 2 √3 – √ 2

√ 2 · 32

= =

b)

— 2 √3 + √2

√ 22 · 3

=

—

— 2 √3 – √ 2 3 √2

c)

—

√12

1

—

f)

—

2 √5 + 3

—

3 √6 + 2 √2 —

3 √3 + 2

— — — ) √2 = 2 √6 – 2 = = (2 √ 3 – √ 2 — 3·2 3 √2 · √2

2 (√ 6 – 1) √6 – 1 = 3 3·2 — 2 √3 + √2 2 √3

—

=

— 2 √3 · √3 —

—

—

(2 √ 3 + √ 2 ) √ 3

=

6 + √6 √6 =1+ 6 6

—

—

c)

(√ 3 + √ 5 ) — — — — 2(√ 3 + √ 5 )(√ 3 + √ 5 )

d)

3 (√ 5 + 2) 3 (√ 5 + 2) = = 3 √5 + 2 = 3 √5 + 6 — 5–4 (√ 5 – 2)(√ 5 + 2)

e)

11(2√ 5 – 3) 11(2√ 5 – 3) 11(2√ 5 – 3) = = = 2 √5 – 3 — — 20 – 9 11 2(√ 5 + 3)(2√ 5 – 3)

f)

(3 √ 6 + 2 √ 2 ) (3 √ 3 – 2) — — (3 √ 3 + 2) (3 √ 3 – 2)

=

√3 + √5 2 (3 – 5)

=

√3 + √5 –4

(

—

—

2 (√3 – √5 ) —

11

e)

—

√5 – 2

—

2 √3 + √2

b)

—

—

=–

√3 + √5 4

)

— — — — — — 9 √ 2 · 32 – 4 √ 2 = 9 √ 18 – 6 √ 6 + 6 √ 6 – 4 √ 2 = = 23 27 – 4 — — 2 3 √2 27 √ 2 – 4 √ 2 = = = √2 23 23

29 Efectúa y simplifica: a)

—

3

—

—

2

b)

—

√3 + √2

—

—

—

3(√ 3 + √ 2 ) – 2(√ 3 – √ 2 ) —

—

—

—

(√3 – √2 )(√3 + √2 ) —

b)

—

√3 – √2 —

a)

–

—

—

—

=

—

(√7 – √5 )2 – (√7 + √5 )2 — — — — (√7 + √5 )(√7 – √5 )

—

—

—

—

—

3 √ 3 + 3√ 2 – 2√ 3 + 2√ 2 = √3 + 5√2 3–2 —

=

—

√7 – √5 √7 + √5 — — – — — √7 + √5 √7 – √5

—

(√7 – √5 —

—

—

—

—

—

—

+ √ 7 – √ 5 )(√ 7 – √ 5 – √ 7 – √ 5 ) = 7–5 —

2√ 7 (–2√ 5 ) = = –2√35 2

Unidad 1. Números reales

21

Página 47 Notación científica y errores 30 Efectúa y da el resultado en notación científica con tres cifras significativas. Determina también, en cada caso, una cota del error absoluto y otra del error relativo cometidos. –5 –4) 8,3 · 108 a) (3,12 · 10 + 7,03 · 10 3 4,32 · 10 7 9 · 10–5 + 185) b) (12,5 · 10 – 8 · 10 ) (3,5 9,2 · 106 3 · 10 4 + 385 · 102 c) 5,431 · 10 – 6,51 –3 8,2 · 10 – 2 · 10 –4

a) 1,41 · 102 |Error absoluto| < 0,005 · 102 = 0,5 |Error relativo| <

0,5 < 0,00355 141

b) –1,58 · 105 |Error absoluto| < 0,005 · 105 = 5 · 102 |Error relativo| <

5 · 102 < 3,16 · 10–3 1,58 · 105

c) –2,65 · 106 |Error absoluto| < 0,005 · 106 = 5 · 103 |Error relativo| <

5 · 103 < 1,89 · 10–3 2,65 · 106

31 Ordena de mayor a menor los números de cada apartado. Para ello, pasa a notación científica los que no lo estén: a) 3,27 · 1013;

85,7 · 1012;

453 · 1011

b) 1,19 · 10 –9;

0,05 · 10 –7;

2 000 · 10 –12

a) 8,57 · 1013 > 4,53 · 1013 > 3,27 · 1013 b) 5 · 10–9 > 2 · 10–9 > 1,19 · 10–9 –7 –5 32 Efectúa: 2 · 10 – 3 · 10 6 5 4 · 10 + 10

–7,268 · 10–12 33 Expresa en notación científica y calcula:

60 0003 · 0,000024 · 72 000 000 · 0,00025

1002

(6 · 104)3 · (2 · 10–5)4 = 150 104 · 7,2 · 107 · (2 · 10–4)5

22

Unidad 1. Números reales

UNIDAD

1

34 Considera los números: A = 3,2 · 107 ; B = 5,28 · 104 y C = 2,01 · 105 Calcula B + C . Expresa el resultado con tres cifras significativas y da una A cota del error absoluto y otra del error relativo cometidos. B+C = 7,93 · 10–3 A |E.A.| < 0,005 · 10–3 = 5 · 10–6 |E.R.| < 6,31 · 10–4

35 Si A = 3,24 · 106; B = 5,1 · 10–5; C = 3,8 · 1011

(

D = 6,2 · 10 –6, calcula

y

)

A + C · D. Expresa el resultado con tres cifras significativas y da una cota B

del error absoluto y otra del error relativo cometidos.

(

)

A + C · D = 2,75 · 106 B

|E.A.| 0,005 · 106 = 5 · 103 |E.R.| < 1,82 · 10–3

Intervalos y valor absoluto 36 Expresa como desigualdad y como intervalo, y represéntalos: a) x es menor que –5. b) 3 es menor o igual que x. c) x está comprendido entre –5 y 1. d) x está entre –2 y 0, ambos incluidos. a) x < –5; (– @, –5)

–5

0

b) 3 Ì x ; [3, +@) c) –5 < x < 1; (–5, 1) d) –2 Ì x Ì 0; [–2, 0]

Unidad 1. Números reales

0 –5

0 –2

3 1

0

23

37 Representa gráficamente y expresa como intervalos estas desigualdades: a) –3 Ì x Ì 2

b) 5 < x

c) x Ó –2

d) –2 Ì x < 3/2

e) 4 < x < 4,1

f ) –3 Ì x

a) [–3, 2]

–3

c) [–2, +@) e) (4; 4,1)

0 –2

4

b) (5, + @)

2

[

3 d) –2, 2

0

)

–2

f ) [–3, +@)

5

4,1

5 0

3/2

0

–3

38 Escribe la desigualdad que verifica todo número x que pertenece a estos intervalos: a) [–2, 7]

b) [13, +@)

c) (– @, 0)

d) (–3, 0]

e) [3/2, 6)

f) (0, +@)

a) –2 Ì x Ì 7

b) x Ó 13

c) x < 0

d) –3 < x Ì 0

e)

3 Ìx 0 y x < 4

c) x Ì –1 o x > 1

d) x < 3 y x Ó –2

☛ Represéntalos gráficamente, y si son dos intervalos separados, como en a), escribe: (– @, 3) 傼 [5, + @) a) (–@, 3) « [5, +@)

b) (0, 4)

c) (–@, –1] « (1, +@)

d) [–2, 3)

41 Expresa, en forma de intervalo, los números que cumplen cada una de estas expresiones:

24

a) |x| < 7

b) |x| Ó 5

c) |2x| < 8

d) |x – 1| Ì 6

e) |x + 2| > 9

f ) |x – 5| Ó 1

a) (–7, 7)

b) [–@, –5] « [5, +@]

c) (– 4, 4)

d) [–5, 7]

e) (–11, 7)

f) (–@, 4] « [6, +@)

Unidad 1. Números reales

UNIDAD

1

42 Averigua qué valores de x cumplen: b) |x – 4| Ì 7

a) |x – 2| = 5

c) |x + 3| Ó 6

a) 7 y –3 b) –3 Ì x Ì 11; [–3, 11] c) x Ì –9 y x Ó 3; (– @, – 9] « [3, +@) 43 Escribe, mediante intervalos, los valores que puede tener x para que se pueda calcular la raíz en cada caso: a) √x – 4

b) √2x + 1

c) √–x

d) √3 – 2x

e) √–x – 1

f)

√

x 1+— 2

a) x – 4 Ó 0 ò x Ó 4; [4, +@) b) 2x + 1 Ó 0 ò 2x Ó –1 ò x Ó –

[

)

1 1 ; – , +@ 2 2

c) –x Ó 0 ò x Ì 0; (– @, 0] d) 3 – 2x Ó 0 ò 3 Ó 2x ò x Ì

(

3 3 ; –@, 2 2

]

e) –x – 1 Ó 0 ò –1 Ó x; (–@, –1] f) 1 +

x Ó 0 ò 2 + x Ó 0 ò x Ó –2; [–2, +@) 2

44 Halla la distancia entre los siguientes pares de números: a) 7 y 3

b) 5 y 11

c) –3 y –9

d) –3 y 4

a) |7 – 3| = 4 b) |11 – 5| = 6 c) |–9 – (–3)| = |–9 +3| = |– 6| = 6 d) |4 – (–3)| = 7 45 Expresa como un único intervalo: a) (1, 6] 傼 [2, 5)

b) [–1, 3) 傼 (0, 3]

c) (1, 6] 傽 [2, 7)

d) [–1, 3) 傽 (0, 4)

a) (1, 6] « [2, 5) = (1, 6] b) [–1, 3) « (0, 3] = [–1, 3] c) (1, 6] » [2, 7) = [2, 6] d) [–1, 3) » (0, 4) = (0, 3)

Unidad 1. Números reales

25

Página 48 46 Escribe en forma de intervalo los siguientes entornos: a) Centro –1 y radio 2 b) Centro 2,5 y radio 2,01 c) Centro 2 y radio 1/3 a) (–1 –2, –1 + 2) = (–3, 1) b) (2,5 – 2,01; 2,5 + 2,01) = (0,49; 4,51)

(

c) 2 –

) (

1 1 5 7 ,2+ = , 3 3 3 3

)

47 Describe como entornos los siguientes intervalos: a) (–1, 2) a) C =

b) (1,3; 2,9)

d) (– 4; –2,8)

–1 + 2 1 1 3 = ;R=2– = 2 2 2 2

Entorno de centro b) C =

c) (–2,2; 0,2)

1 3 y radio . 2 2

1,3 + 2,9 = 2,1 ; R = 2,9 – 2,1 = 0,8 2

Entorno de centro 2,1 y radio 0,8 c) C =

–2,2 + 0,2 = –1 ; R = 0,2 – (–1) = 1,2 2

Entorno de centro –1 y radio 1,2. d) C =

–4 + (–2,8) = –3,4 ; R = –2,8 – (–3,4) = 0,6 2

Entorno de centro –3,4 y radio 0,6. 48 Comprueba si es verdadera o falsa cada una de las siguientes expresiones: a) |a| < b equivale a –b < a < b b) |–a| = –|a| c) |a + b| = |a| + |b| d) |a · b| = |a| · |b| a) Verdadera (siempre que b > 0). b) Falsa; pues |–a| Ó 0 y –|a| Ì 0. (Solo sería cierta para a = 0). c) Falsa. Solo es cierta cuando a y b tienen el mismo signo. En general, |a + b| Ì |a| + |b|. d) Verdadera.

26

Unidad 1. Números reales

UNIDAD

1

Logaritmos 49 Calcula: 1 64

a) log2 1 024

b) log 0,001

c) log2

e) log3 √3

f ) log2 √8

g) log1/2

a) log2 210 = 10

( √3 )2 = 2

g) log1/2

( 12 )

— √3

–1/2

2

e) log3 31/2 =

=–

1 2

√3

3

h) logπ 1

√2

b) log 10–3 = –3

d) log

d) log

c) log2 2–6 = – 6

1 2

f) log2 23/2 =

3 2

h) 0

50 Calcula, utilizando la definición de logaritmo: a) log2 64 + log2 b) log2

1 – log3 9 – log2 √2 4

1 1 + log3 – log2 1 32 27

a) 6 – 2 – 2 –

1 3 = 2 2

b) –5 – 3 – 0 = – 8

51 Calcula la base de estos logaritmos: a) logx 125 = 3

b) logx

1 = –2 9

a) x 3 = 125; x = 5

b) x –2 =

1 ; x=3 9

52 Calcula el valor de x en estas igualdades: a) log 3x = 2

b) log x 2 = –2

c) 7x = 115

a) x =

2 = 4,19 log 3

b) 2 log x = –2; x =

c) x =

log 115 = 2,438 log 7

d) x = –

Unidad 1. Números reales

d) 5–x = 3 1 10

log 3 = –0,683 log 5

27

53 Halla con la calculadora y comprueba el resultado con la potenciación. a) log √148

b) ln (2,3 · 1011)

c) ln (7,2 · 10–5)

d) log3 42,9

e) log5 1,95

f ) log2 0,034

a) 1,085 b) ln (2,3 · 1011) ≈ 26,16 8 e 26,161 ≈ 2,3 · 1011 c) ln (7,2 · 10–5) ≈ –9,54 8 e –9,54 ≈ 7,2 · 10–5 d) 3,42 8 33,42 ≈ 42,9 e) 0,41 8 50,41 ≈ 1,95 f) –4,88 8 2–4,88 ≈ 0,034 54 Calcula la base de cada caso: a) logx 1/4 = 2

b) logx 2 = 1/2

c) logx 0,04 = –2

d) logx 4 = –1/2

☛ Aplica la definición de logaritmo y las propiedades de las potencias para despejar x. En c) , x –2 = 0,04 ï

a) x 2 =

1 4 = . 100 x2

1 1 8 x= 4 2

c) x –2 = 0,04 8 x = 5

b) x 1/2 = 2 8 x = 4 d) x –1/2 = 4 8 x =

1 16

55 Halla el valor de x en estas expresiones aplicando las propiedades de los logaritmos: a) ln x = ln 17 + ln 13

b) log x = log 36 – log 9

c) ln x = 3 ln 5

d) log x = log 12 + log 25 – 2 log 6

e) ln x = 4 ln 2 –

1 ln 25 2

☛ a) Por logaritmo de un producto: ln x = ln (17 · 13) a) ln x = ln (17 · 13) ò x = 17 · 13 = 221 b) log x = log

36 36 ò x= =4 9 9

c) ln x = ln 53 ò x = 53 = 125 d) log x = log

12 · 25 25 ò x= 3 62

e) ln x = ln 24 – ln √ 25 ln x = ln 16 – ln 5 16 16 ln x = ln ò x= 5 5

28

Unidad 1. Números reales

UNIDAD

1

56 Sabiendo que log 3 = 0,477, calcula el logaritmo decimal de 30; 300; 3 000; 0,3; 0,03; 0,003. log 30 = log (3 · 10) = log 3 + log 10 = 0,477 + 1 = 1,477 log 300 = log (3 · 102) = log 3 + 2 log 10 = 2,477 log 3 000 = 0,477 + 3 = 3,477 log 0,3 = log (3 · 10–1) = 0,477 – 1 = –0,523 log 0,03 = log (3 · 10–2) = 0,477 – 2 = –1,523 log 0,003 = 0,477 – 3 = –2,523 57 Sabiendo que log k = 14,4, calcula el valor de las siguientes expresiones: a) log

k 100

b) log 0,1 k 2

c) log

√ 3

1 k

d) (log k)1/2

a) log k – log 100 = 14,4 – 2 = 12,4 b) log 0,1 + 2 log k = –1 + 2 · 14,4 = 27,8 c) 1 (log 1 – log k) = – 1 · 14,4 = –4,8 3 3 d) (14,4)1/2 = √ 14,4 = 3,79 58 Sabiendo que ln k = 0,45, calcula el valor de: a) ln

k e

a) ln

k = ln k – ln e = 0,45 – 1 = –0,55 e 3

3

b) ln √k

b) ln √k = c) ln

c) ln

e2 k

1 1 ln k = · 0,45 = 0,15 3 3

e2 = 2 ln e – ln k = 2 – 0,45 = 1,55 k

59 Calcula x para que se cumpla: a) x 2,7 = 19

b) log7 3x = 0,5

a) log x 2,7 = log 19 ò 2,7 log x = log 19 ò log x =

c) 32 + x = 172 log 19 = 0,47 2,7

x = 100,47 = 2,98 0,5 = 0,88 b) 7 0,5 = 3x ò x = 7 3

c) log 32 + x = log 172 ò (2 + x) log 3 = log 172 ò 2 + x = x=

log 172 log 3

log 172 – 2 = 2,685 log 3

Unidad 1. Números reales

29

60 Si log k = x, escribe en función de x: k b) log a) log k 2 100 a) 2 log k = 2x

b) log k – log 100 = x – 2

c) log √10k c)

1 1 log 10k = (1 + x) 2 2

1 + log √— a log — 1 a 61 Comprueba que =– (siendo a ? 1). 3 6 log a – log a + 1/2 log a –1/2 log a = =– 1 3 log a 3 log a 6 Ha de ser a ? 1 para que log a ? 0 y podamos simplificar.

Página 49 CUESTIONES TEÓRICAS 62 Explica si estas frases son verdaderas o falsas: a) Todo número entero es racional. b) Hay números irracionales que son enteros. c) Todo número irracional es real. d) Todos los números decimales son racionales. e) Entre dos números racionales hay infinitos números irracionales. f) Los números racionales llenan la recta. a) V

b) F

c) V

d) F

e) V

f) F

63 ¿Qué relación existe entre a y b en los siguientes casos?: a) log a = 1 + log b 1 b) log a + log =0 b a) log a – log b = 1 8 log

a a =1 8 = 10 8 a = 10b b b

( )

b) log a ·

30

a a 1 =1 8 a=b =0 8 = 100 8 b b b

Unidad 1. Números reales

UNIDAD

1

64 ¿Cuáles de estas igualdades son verdaderas? Explica por qué: a) log m + log n = log (m + n) b) log m – log n =

log m log n

c) log m – log n = log

m n

d) log x 2 = log x + log x e) log (a 2 – b 2) = log (a + b ) + log (a – b ) a) Falso. log m + log n = log (m · n) ≠ log (m + n) b) Falso. log m – log n = log

( mn ) ?

log m log n

c) Verdadero. Por una propiedad de los logaritmos. d) Verdadero. log x 2 = log (x · x) = log x + log x e) Verdadero. log (a 2 – b 2) = log [(a + b ) · (a – b )] = log (a + b ) + log (a – b )

PARA PROFUNDIZAR 65 Si n ≠ 0 es natural, determina para qué valores de n estos números pertenecen a Z: n 3 1 a) b) c) n – 5 d) n + e) √n 2 n 2 a) n par. b) n = 1 o n = 3. c) n cualquier natural. d) Ninguno. e) n cuadrado perfecto. 66 Di cuál es la parte entera de los siguientes logaritmos sin utilizar la calculadora: a) log 348

b) log2 58

c) log 0,03

a) 100 < 348 < 1 000 8 2 < log 348 < 3 8 log 348 = 2,… b) 25 < 58 < 26 8 5 < log2 58 < 6 8 log2 58 = 5,… c) 0,01 < 0,03 < 0,1 8 –2 < log 0,03 < –1 8 log 0,03 = –1,…

Unidad 1. Números reales

31

67 Sean m y n dos números racionales. ¿Qué puedes decir del signo de m y n en cada uno de estos casos? a) m · n > 0 y m + n < 0 b) m · n < 0 y m – n > 0 c) m · n < 0 y m – n < 0 a) m < 0, n < 0

b) m > 0, n < 0

c) m < 0, n > 0

68 Si x é N y x > 1, ordena estos números: 1 ; x ; x+1

1 1 1 ; – ; x x –x – 1

1 –1 1 1 < < < 1 8

1 , √a , si a > 1 y si 0 < a < 1. a

1 < √a < a < a 2 a

Si 0 < a < 1 8 a 2 < a < √a <

1 a

AUTOEVALUACIÓN 1. Dados los números: –

) 58 51 π 4 3 5 ; ; ; √–3 ; √–8 ; √23 ; 1,0 7 45 17 3

a) Clasifícalos indicando a cuáles de los conjuntos

N, Z, Q o Á, pertenecen.

b) Ordena de menor a mayor los reales. c) ¿Cuáles de ellos pertenecen al intervalo (–2, 11/9]? a) N:

Q: 3

51 17

Z:

51 3 ; √–8 17

) 51 3 58 ; √–8 ; – ; 1,0 7 17 45

Á:

) π 5 51 3 58 ; √–8 ; – ; 1,0 7; ; √23 3 17 45

b) √–8 < – c) –

32

) 5 58 π 51 < < 1,0 7 < √23 < 3 45 17

) 58 π ; ; 1,0 7 45 3

Unidad 1. Números reales

UNIDAD

1

2. Representa los siguientes conjuntos: a) {x / –3 Ì x < 1} b) [4, +@) c) [–1, 4) 傼 (4, 10] d) (–@, 5) 傽 (–1, +@) a)

–3

0 1

b) c) d)

0

4

–1 0

4

–1 0

10 5

3. Expresa en forma de intervalo en cada caso: a) |x| Ó 8

b) |x – 4| < 5

a) (– @, – 8] « [8, + @) b) (–1, 9)

–1

4 3

9

6

4. Multiplica y simplifica: √9a2b · √18a3b2 Reducimos a índice común: 6

6

6

6

√(9a2b)2 · √18 a3b2 = √2 · 36 · a7 · b 4 = 3a √2a b4 3

3

3

3

5. Reduce: √250 – √54 + √16 – 2 √2 3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

√250 = √53 · 2 = 5 √2 ; √54 = √33 · 2 = 3 √2 ; √16 = √24 = 2 √2 3

3

3

3

3

3

3

√250 – √54 + √16 – 2 √2 = 5 √2 – 3 √2 + 2 √2 – 2 √2 = 2 √2

6. Escribe como potencia y simplifica.

( 3 5

12

4

3 5

—

√√a12

·

√ ) 3

1 4 : (a √a –2 ) 2 a

—

= √a12 = a 15 = a 5 ; √1/a 2 = √a –2 = a

4

–2 3

√√a12

(a 5

·a

15

1

) : a2

4 – 2 – 1 3 2

= a5

Unidad 1. Números reales

3

3

=a

–2 3

4

; a √a –2 = a · a

–1 2

1

= a2

– 11 30

33

7. Efectúa, racionalizando previamente. —

4 + √6

–

—

2 √3 —

4 + √6 —

2 √3 2

—

—

(4 + √6 ) √3

=

— —

2 √3 √3 —

—

3 – √3 —

32

=

— 2

– (√ 3 )

—

4 √3 + 3 √2

=

6 + 2 √3

6

6

—

=

—

4 √3 + 3 √2 6

6 + 2 √3 6

—

–

—

—

3 – √3

—

2 (3 + √ 3 )

=

—

4 √ 3 + √18

2

6

—

=

—

2 √3 + 3 √2 – 6 6

8. Aplica la definición de logaritmo y obtén x: 1 x a) log3 x = – b) ln = –1 c) logx 125 = 3 4 3 a) x = 3 b)

–1 4

8 x = 0,76

x = e –1 8 x = 3 · e –1 = 1,10 3

c) x 3 = 125 8 x = 5

9. Aplica las propiedades de los logaritmos y halla A. log A = 2 log 3 + 0,5 log 4 – 3 log 2 log A = log

32 · 40,5 9·2 9 8 A= = 23 8 4

10. Calcula x en cada caso. a) 2,5x = 0,0087 b) e –x = 425 a) x log 2,5 = log 0,0087 8 x =

log 0,0087 = –5,18 log 2,5

b) – x ln e = ln 425 8 x = – ln 425 = – 6,05

34

Unidad 1. Números reales

2

SUCESIONES

Página 51 REFLEXIONA Y RESUELVE ¿Cuántas parejas de conejos? ¿Cuántas parejas de conejos se producirán en un año, comenzando con una pareja única, si cada mes cualquier pareja engendra otra pareja, que se reproduce a su vez desde el segundo mes? Razonando del modo que se propone, llegamos a que el número de parejas, mes a mes, es: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 Así, el número total de parejas al final del año es de 144 (la que había al principio y otras 143 nuevas).

La sucesión de Fibonacci y el número F Si dividimos cada dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci, obtenemos: 1

1

2

3

5

1 1

2 1

3 2

5 3

1

2

1,5

1,66

8 8 5

13 13 8

21 21 13

1,6 1,625 1,615

Comprueba, calculando nuevos cocientes, que el número al que se aproximan es el número áureo. 55 89 144 = 1,61764…; = 1,61818…; = 1,61797… 34 55 89 Se aproximan al número áureo f =

Unidad 2. Sucesiones

1 + √5 = 1,61803… 2

1

Una representación gráfica Observa esta composición hecha con cuadrados: 1-º 2-º 4-º

3-º

6-º 5-º

8-º

7-º

9-º

El lado de los cuadrados primero y segundo es 1. A partir del tercero, el lado de cada uno de los siguientes cuadrados que se van formando es igual a la suma de los lados de los dos que le preceden. ¿Cuál es el lado del 8-º? ¿Y el del 9-º? Observa también los rectángulos que se forman sucesivamente:

2:1

3:2

5:3

8:5 Los cocientes entre sus dimensiones forman la sucesión que estudiamos en el apartado anterior. Se aproximan, por tanto, al número F. Esto quiere decir que estos rectángulos se parecen, cada vez más, a rectángulos áureos. Compruébalo para los cuatro siguientes rectángulos: 13 : 8

21 : 13

34 : 21

55 : 34

El lado del 8.º cuadrado es 21 y el lado del 9.º cuadrado es 34. 13 21 34 55 = 1,625; = 1,615; = 1,619…; = 1,617… 8 13 21 34 Se aproximan al número áureo f =

2

1 + √5 = 1,61803… 2

Unidad 2. Sucesiones

UNIDAD

2

Página 52 1. Di el criterio por el que se forman las sucesiones siguientes y añade dos términos a cada una: a) 3, 8, 13, 18, 23, …

b) 1, 8, 27, 64, 125, …

c) 1, 10, 100, 1 000, 10 000, …

d) 8; 4; 2; 1; 0,5; …

e) 1, 3, 4, 7, 11, 18, …

f) 8, 3, 5, –2, 7, –9, …

g) 1, –2, 3, – 4, 5, – 6, …

h) 20, 13, 6, –1, – 8, …

a) Cada término, a partir del segundo, se obtiene sumándole 5 al anterior: a6 = 28, a7 = 33. b) Cada término es el cubo del lugar que ocupa: b6 = 216, b7 = 343. c) Cada término, a partir del segundo, se obtiene multiplicando por 10 el anterior: c6 = 100 000, c7 = 1 000 000.

1 d) Cada término, a partir del segundo, se obtiene multiplicando por (dividiendo entre 2) 2 el anterior: d6 = 0,25, d7 = 0,125. e) Cada término, a partir del tercero, se obtiene sumando los dos anteriores: e7 = 29, e8 = 47. f) Cada término, a partir del tercero, se obtiene restando los dos anteriores: f7 = 16, f8 = –25. g) Cada término es el número del lugar que ocupa, con signo positivo si es impar, y negativo si es par: g7 = 7, g8 = –8. h) Cada término, a partir del segundo, se obtiene restándole 7 al anterior: h6 = –15, h7 = –22.

Página 53 2. Forma una sucesión recurrente, an, con estos datos: a1 = 2, a2 = 3, an = an – 2 + an – 1 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … 3. Escribe los cuatro primeros términos de las sucesiones que tienen como término general:

() 1 2

n–1

an = 3 + 5 (n – 1)

bn = 3 ·

dn = (n – 1)(n – 2)

en = n2 + (–1)n n2

cn = (–1)n 2n

3 3 3 , b3 = , b4 = 2 4 8

a1 = 3, a2 = 8, a3 = 13, a4 = 18

b1 = 3, b2 =

c1 = –2, c2 = 4, c3 = –8, c4 = 16

d1 = 0, d2 = 0, d3 = 2, d4 = 6

e1 = 0, e2 = 8, e3 = 0, e4 = 32 Unidad 2. Sucesiones

3

4. Construye una sucesión cuya ley de recurrencia sea an = an – 1 + n. Si tomamos, por ejemplo, a1 = 1, entonces quedaría: a2 = 1 + 2 = 3, a3 = 3 + 3 = 6, a4 = 6 + 4 = 10, a5 = 10 + 5 = 15, a6 = 15 + 6 = 21, a7 = 21 + 7 = 28, … 5. Da el término general de las sucesiones siguientes que no sean recurrentes: a) 3, 8, 13, 18, 23, …

b) 1, 8, 27, 64, 125, …

c) 1, 10, 100, 1 000, 10 000, …

d) 8, 4, 2, 1, …

e) 1, 3, 4, 7, 11, 18, …

f ) 8, 3, 5, –2, 7, –9, …

g) 1, –2, 3, – 4, 5, – 6, …

h) 20, 13, 6, –1, –8, …

a) an = 3 + (n – 1) · 5

b) bn = n 3

c) cn = 10 n – 1

d) dn = 8 ·

e) Es recurrente

f) Es recurrente

g) gn = (–1) n – 1 · n

h) hn = 20 – 7 · (n – 1)

( ) 1 2

n–1

Página 54 1. ¿Cuáles de las siguientes sucesiones son progresiones aritméticas? En cada una de ellas di su diferencia y añade dos términos más: a) 3, 7, 11, 15, 19, …

b) 3, 4, 6, 9, 13, 18, …

c) 3, 6, 12, 24, 48, 96, …

d) 10, 7, 4, 1, –2, …

e) 17,4; 15,8; 14,2; 12,6; 11; …

f ) –18; –3,1; 11,8; 26,7; 41,6; …

a) Es una progresión aritmética con d = 4; a6 = 23, a7 = 27. b) No es una progresión aritmética. c) No es una progresión aritmética. d) Es una progresión aritmética con d = –3; d6 = –5, d7 = –8. e) Es una progresión aritmética con d = 1,6; e6 = 9,4; e7 = 7,8. f) Es una progresión aritmética con d = 14,9; f6 = 56,5; f7 = 71,4. 2. En la sucesión 1a), halla el término a20 y la suma de los 20 primeros términos. a20 = a1 + 19 · d = 3 + 19 · 4 = 3 + 76 = 79 S20 =

4

(a1 + a20) · 20 (3 + 79) · 20 = = 820 2 2

Unidad 2. Sucesiones

UNIDAD

2

3. En la sucesión 1d), halla el término d40 y la suma de los 40 primeros términos. d40 = d1 + 39 · (–3) = 10 – 117 = –107 S40 =

(d1 + d40) · 40 (10 – 107) · 40 = = –1 940 2 2

4. En la sucesión 1e), halla el término e100 y la suma de los 100 primeros términos. e100 = e1 + 99 · (–1,6) = 17,4 – 158,4 = –141 S100 =

(e1 + e100 ) · 100 (17,4 – 141) · 100 = = –6 180 2 2

5. En la sucesión 1f ), halla los términos f8 , f17 y la suma f8 + f9 + … + f16 + f17. f8 = f1 + 7 · 14,9 = –18 + 104,3 = 86,3 f17 = f1 + 16 · 14,9 = –18 + 238,4 = 220,4 En la suma pedida hay 10 sumandos. S=

(f1 + f17) · 10 (86,3 + 220,4) · 10 = = 1 533,5 2 2

Página 55 6. ¿Cuáles de las siguientes sucesiones son progresiones geométricas? En cada una de ellas di su razón y añade dos términos más: a) 1, 3, 9, 27, 81, …

b) 100; 50; 25; 12,5; …

c) 12, 12, 12, 12, 12, …

d) 5, –5, 5, –5, 5, –5, …

e) 90, –30, 10, –10/3, 10/9, … a) Es una progresión geométrica con r = 3; a6 = 243, a7 = 729. b) Es una progresión geométrica con r =

1 ; b5 = 6,25, b6 = 3,125. 2

c) Es una progresión geométrica con r = 1; c6 = 12, c7 = 12. d) Es una progresión geométrica con r = –1; d7 = 5, d8 = –5. e) Es una progresión geométrica con r = –

1 10 10 , e7 = . ; e6 = – 3 27 81

7. Calcula la suma de los 10 primeros términos de cada una de las progresiones geométricas del ejercicio anterior. a) a10 = a1 · r 9 = 1 · 3 9 = 19 683 S10 =

a10 · r – a1 19 683 · 3 – 1 = = 29 524 r–1 3–1

Unidad 2. Sucesiones

5

b) b10 = b1 · r 9 = 100 ·

S10

( ) 1 2

9

100 25 = 512 128

=

25 1 — — b10 · r – b1 128 · 2 – 100 = = ≈ 199,805 r–1 1 —–1 2

c) c10 = 12; S10 = 12 · 10 = 120 d) d10 = –5; S10 = 0

( )

e) e10 = e1 · r 9 = 90 · –

S10

1 3

9

=

–90 –10 = 19 683 2 187

10 — – 90 e10 · r – e1 6 561 = = ≈ 67,499 1 r–1 –—–1 3

8. ¿En cuáles de las progresiones geométricas del ejercicio anterior puedes calcular la suma de sus infinitos términos? Hállala. Podemos calcular la suma de sus infinitos términos en las progresiones geométricas con |r| < 1: b) S∞ =

b1 = 1–r

e) S∞ =

e1 = 1–r

100 = 100 = 200 1 1 1–— — 2 2 90

( )

1 1 – –— 3

= 90 = 67,5 4 — 3

Página 56 9. Calcula: 12 + 22 + … + 302 30 · (30 + 1) · (60 + 1) 30 · 31 · 61 = = 9 455 6 6 10. Calcula: 502 + 512 + … + 602 (1 2 + … + 60 2) – (1 2 + … + 49 2) =

60 · 61 · 121 49 · 50 · 99 – = 6 6

= 73 810 – 40 425 = 33 385 11. Calcula: 13 + 23 + 33 + … + 153 15 2 · 16 2 = 14 400 4 6

Unidad 2. Sucesiones

UNIDAD

2

12. Calcula: 23 + 43 + 63 + … + 203 2 3 + 4 3 + 6 3 + … + 20 3 = (2 · 1) 3 + (2 · 2) 3 + (2 · 3) 3 + … + (2 · 10) 3 = = 2 3 · 1 3 + 2 3 · 2 3 + 2 3 · 3 3 + … + 2 3 · 10 3 = = 2 3 (1 3 + 2 3 + 3 3 + … + 10 3) = =8·

10 2 · 11 2 = 8 · 3 025 = 24 200 4

Página 57 1. Representa la sucesión an =

4n + 10 y asígnale un valor a su límite. 2n – 1

14 12 a1 = 14, a2 = 6, a3 = 4,4; a4 ≈ 3,71;

10 8

a5 ≈ 3,33, …, a10 ≈ 2,63,…;

6

a100 ≈ 2,06; …; a1 000 ≈ 2,006,…

4

lím an = 2

2 5

10

15

2 2. Representa la sucesión bn = n – 2n + 3 y asigna un valor a su límite. 4

8

b1 = 1,25; b2 = 0; b3 = – 0,75;

6

b4 = –1; b5 = – 0,75; b6 = 0;

4

b7 = 1,25; b8 = 3; b9 = 5,25; b10 = 8,…, b100 = 2 303,…

2 5 10

lím bn = +@

–2

Unidad 2. Sucesiones

7

Página 59 3. Estudia el comportamiento de estas sucesiones para términos muy avanzados e indica su límite: a) an =

2n – 3 6

b) bn =

2n – 3 n+5

d) dn = 5 – 1 n3

c) cn = 3 – 2n

a) a10 ≈ 2,83; a100 ≈ 32,83; a1 000 ≈ 332,83,… lím an = +@ b) b10 ≈ 1,133; b100 ≈ 1,876; b1 000 ≈ 1,987,… lím bn = 2 c) c10 = –1 021; c100 ≈ –1,27 · 10 3,… lím cn = – @ d) d10 = 4,999; d100 = 4,999999,… lím dn = 5 4. Di, razonadamente, cuáles de las siguientes sucesiones tienen límite: n n+4

a) an = – 2 n2

b) bn = (–1)n

c) cn = (–1)n n

d) dn = (–1)n 2 n2

a) a10 = – 0,02; a100 = – 0,0002; a1 000 = –0,000002,… lím an = 0. b) b10 ≈ 0,714; b11 ≈ –0,733; b100 ≈ 0,962; b101 ≈ –0,962,… Los términos pares son positivos y tienden a 1; los términos impares son negativos y tienden a –1. La sucesión no tiene límite. c) c1 = –1, c2 = 2, c3 = –3,… c1 000 = 1 000, c1 001 = –1 001,… Los términos impares son negativos y tienden a – @; los términos pares son positivos y tienden a +@. La sucesión no tiene límite. d) d1 = –2; d2 = 0,5;…; d100 = 0,0002; d101 = –0,000196,… lím dn = 0.

Página 61 1. Obtén los ocho primeros valores de an (términos de la sucesión) y de Sn (sumas parciales) en cada una de las progresiones siguientes. Calcula en cada una el lím Sn: a) 125, 50, 20, …

b) 125, –50, 20, …

c) 17, –17, 17, …

d) 17, 17, 17, …

e) 10; 12; 14,4; …

f ) 10; –12; 14,4; …

a) a1 = 125, a2 = 50, a3 = 20, a4 = 8, a5 = a8 =

8

16 32 64 = 3,2; a6 = = 1,28; a7 = = 0,512; 5 25 125

128 = 0,2048. 625

Unidad 2. Sucesiones

UNIDAD

2

S1 = 125; S2 = 175; S3 = 195; S4 = 203; S5 = 206,2; S6 = 207,48; S7 = 207,992; S8 = 208,1968. Como r =

a1 2 = = 0,4 < 1; lím Sn = 1–r 5

125 = 625 = 208,)3 3 2 1–— 5

b) b1 = 125; b2 = –50; b3 = 20; b4 = –8; b5 = 3,2; b6 = –1,28; b7 = 0,512; b8 = –0,2048. S1 = 125; S2 = 75; S3 = 95; S4 = 87; S5 = 90,2; S6 = 88,92; S7 = 89,432; S8 = 89,2272. Como r = –

b1 2 = = –0,4 < 1; lím Sn = 1–r 5

125 = 625 ≈ 89,286 7 2 1+— 5

c) c1 = 17; c2 = –17; c3 = 17; c4 = – 17; c5 = 17; c6 = –17; c7 = 17; c8 = – 17. S1 = 17; S2 = 0; S3 = 17; S4 = 0; S5 = 17; S6 = 0; S7 = 17; S8 = 0. Sn no tiene límite. d) d1 = 17; d2 = 17; d3 = 17; d4 = 17; d5 = 17; d6 = 17; d7 = 17; d8 = 17. S1 = 17; S2 = 34; S3 = 51; S4 = 68; S5 = 85; S6 = 102; S7 = 119; S8 = 136. lím Sn = +@. e) e1 = 10; e2 = 12; e3 = 14,4; e4 = 17,28; e5 = 20,736; e6 = 24,8832; e7 = 29,85984; e8 = 35,831808. S1 = 10; S2 = 22; S3 = 36,4; S4 = 53,68; S5 = 74,416; S6 = 99,2992; S7 = 129,15904; S8 = 164,99084. Como r = 1,2 > 1; lím Sn = +@. f) f1 = 10; f2 = –12; f3 = 14,4; f4 = –17,28; f5 = 20,736; f6 = –24,8832; f7 = 29,85984; f8 = –35,831808. S1 = 10; S2 = –2; S3 = 12,4; S4 = –4,88; S5 = 15,856; S6 = –9,0272; S7 = 20,83264; S8 = –14,999168. Sn no tiene límite.

Unidad 2. Sucesiones

9

Página 64 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR

Criterio para formar sucesiones 1 Describe el criterio con el que se forman estas sucesiones y añade tres términos a cada una: a) 1,

1 1 1 1 , , , ,… 2 3 4 5

b) 1, √2, √3, 2, √5, …

c) 2, 5, 10, 17, 26, …

d) 0, 3, 8, 15, 24, …

e) 1, 3, 6, 10, 15, … a) Cada término lo obtenemos dividiendo 1 entre el lugar que ocupa el término: a6 =

1 1 1 , a7 = , a8 = 6 7 8

b) Cada término es la raíz cuadrada del lugar que ocupa: a6 = √6 , a7 = √7 , a8 = √8 c) Cada término es el cuadrado del lugar que ocupa más 1 unidad: a6 = 37, a7 = 50, a8 = 65 d) Cada término es el cuadrado del lugar que ocupa menos 1 unidad: a6 = 35, a7 = 48, a8 = 63 e) Cada término, a partir del segundo, se obtiene sumándole al lugar que ocupa el término anterior: a6 = 21, a7 = 28, a8 = 36 2 Escribe los cinco primeros términos de las sucesiones cuyos términos generales son estos: a) an = 3 + 2 10n c) cn =

n2 – 1 n

b) bn =

3n – 1 n+1

d) dn = 2 –n

e) en = 1 · 2 · 3 · … · n

f ) fn =

(–1)n n – n 2

a) a1 = 3,2; a2 = 3,02; a3 = 3,002; a4 = 3,0002; a5 = 3,00002 b) b1 = 0; b2 =

3 8 15 24 ; b3 = ; b4 = ; b5 = 2 3 4 5

c) c1 = 1; c2 =

5 11 7 ; c3 = 2; c4 = ; c5 = 3 5 3

d) d1 =

10

1 1 1 1 1 ; d2 = ; d3 = ; d4 = ; d5 = 2 4 8 16 32

Unidad 2. Sucesiones

UNIDAD

2

e) e1 = 1; e2 = 2; e3 = 6; e4 = 24; e5 = 120 f) f1 = –1; f2 = 0; f3 = –3; f4 = 0; f5 = –5 3 Escribe el término general de estas sucesiones: a)

1 2 3 4 , , , ,… 2 3 4 5

c) 0,

b) 1,

3 8 15 24 , , , ,… 5 10 17 26

a) an =

1 1 1 , , ,… 3 9 27

d) 5,1; 5,01; 5,001; 5,0001; …

n n–1

b) bn =

2 c) cn = n – 1 2 n +1

( ) 1 3

n–1

d) dn = 5 + 1 10 n

4 Construye dos sucesiones cuyas leyes de recurrencias sean las siguientes: a) a1 = 0

a2 = 2

b) a1 = 1

a2 = 2

a) 0, 2, 1,

an – 1 + an – 2 2 a ·a an = n – 1 n – 2 2 an =

3 5 11 21 43 , , , , ,… 2 4 8 16 32

b) 1, 2, 1, 1,

1 1 1 1 , , , ,… 2 4 16 128

5 Busca una ley de recurrencia para definir las siguientes sucesiones: a) 4, 7, 3, – 4, –7, …

b) 2, 3,

3 1 1 , , ,… 2 2 3

a) a1 = 4, a2 = 7, an = an – 1 – an – 2 para n > 2 b) b1 = 2, b2 = 3, bn =

bn – 1 para n > 2 bn – 2

Progresiones aritméticas 6 De las siguientes sucesiones, di cuáles son progresiones aritméticas y escribe su término general: a) 1,2; 2,4; 3,6; 4,8; 6; …

b) 5; 4,6; 4,2; 3,8; 3,4; …

c) 1, 2, 4, 7, 11, …

d) 14, 13, 11, 8, 4, …

a) Es una progresión aritmética con a1 = 1,2 y d = 1,2. an = 1,2 + (n – 1) · 1,2 = 1,2n. b) Es una progresión aritmética con b1 = 5 y d = –0,4. bn = 5 + (n – 1) · (– 0,4) = –0,4n + 5,4. c) y d) no son progresiones aritméticas. Unidad 2. Sucesiones

11

7 De las sucesiones siguientes, indica cuáles son progresiones aritméticas: a) an = 3n c) cn =

b) bn = 5n – 4

1 n

e) en = 5 +

d) dn = n 2

8 – 3n 4

f ) fn = n2 – 1

a) an – an – 1 = 3n – 3 (n – 1) = 3n – 3n + 3 = 3 Es una progresión aritmética con d = 3. b) bn – bn – 1 = 5n – 4 – [5(n – 1) – 4)] = 5n – 4 – 5n + 5 + 4 = 5 Es una progresión aritmética con d = 5. c) c1 = 1, c2 = c2 – c1 =

1 1 1 ,c = ,c = ,… 2 3 3 4 4

–1 1 ? c3 – c2 = . No es una progresión aritmética. 2 6

d) dn – dn – 1 =

8 – 3n 8 – 3 (n – 1) 8 – 3n – 8 + 3n – 3 –3 – = = 4 4 4 4

Es una progresión aritmética con d = e) en – en – 1 = 5 +

(

–3 . 4

)

n n–1 n n 1 1 =5+ –5– + = . – 5+ 2 2 2 2 2 2

Es una progresión aritmética con d =

1 . 2

f) f1 = 0, f2 = 3, f3 = 8, f4 = 15, … f2 – f1 = 3 ? f3 – f2 = 5. No es una progresión aritmética. 8 Calcula los términos a10 y a100 de las siguientes progresiones aritméticas: a) – 4, –2, 0, 2, 4, … b) 2, –3, –8, –13, –18, … c)

3 5 3 7 , 1, , , , … 4 4 2 4

a) a10 = a1 + 9d = – 4 + 9 · 2 = – 4 + 18 = 14 a100 = a1 + 99d = – 4 + 99 · 2 = – 4 + 198 = 194 b) a10 = a1 + 9d = 2 – 9 · 5 = 2 – 45 = – 43 a100 = a1 + 99d = 2 – 99 · 5 = 2 – 495 = – 493

12

Unidad 2. Sucesiones

UNIDAD

c) a10 = a1 + 9d =

2

3 1 12 +9· = =3 4 4 4

a100 = a1 + 99d =

3 1 102 51 + 99 · = = 4 4 4 2

9 Calcula la suma de los 25 primeros términos de las siguientes progresiones aritméticas: a) 3, 6, 9, 12, 15, …

b) 5; 4,9; 4,8; 4,7; 4,6; …

c) cn = 4n – 2

d) dn =

1 – 2n 2

a) a1 = 3; a25 = a1 + 24d = 3 + 24 · 3 = 75 S25 =

(a1 + a25) · 25 (3 + 75) · 25 = = 975 2 2

b) b1 = 5; b25 = b1 + 24d = 5 – 24 · 0,1 = 2,6 S25 =

(b1 + b25) · 25 (5 + 2,6) · 25 = = 95 2 2

c) c1 = 2; c25 = 98 S25 = d) d1 =

S25

(c1 + c25) · 25 (2 + 98) · 25 = = 1 250 2 2 –1 –49 ; d25 = 2 2

(

)

1 –— 49 · 25 –— (d1 + d25) · 25 2 2 –625 = = = = –312,5 2 2 2

Progresiones geométricas 10 De las siguientes sucesiones, ¿cuáles son progresiones geométricas? Escribe tres términos más en cada una y también su término general. a) 32, 16, 8, 4, 2, …

b) 1; 0,1; 0,01; 0,001; …

c) 1, 4, 9, 16, 25, …

d) √2, 2, 2 √2, 4, 4 √2, …

a) Es una progresión geométrica con a1 = 32 y r = a6 = 1, a7 =

( )

1 1 1 , a = ; a = 32 · 2 8 4 n 2

n–1

=

25 2n – 1

1 . 2 = 26 – n

b) No es una progresión geométrica; b6 = 36, b7 = 49, b8 = 64, bn = n 2.

Unidad 2. Sucesiones

13

c) Es una progresión geométrica con c1 = 1 y r = 0,1. c6 = 0,00001; c7 = 0,000001; c8 = 0,0000001; cn = 1 · 0,1 n – 1 = 0,1 n – 1 d) Es una progresión geométrica con d1 = √2 y r = √2 . n–1

d6 = 8; d7 = 8 √2 ; d8 = 16; dn = √2 · (√2 )

n

= (√2 ) .

11 Calcula la suma de los 25 primeros términos de las siguientes progresiones geométricas y halla la suma de los infinitos términos en los casos que sea posible: a) a1 = 32, r =

1 2

c) a1 = 2 –10, r = 2 S25 =

b) a1 = 10, r =

d) a1 = – 5, r = –

1 4

a25 · r – a1 a1 · r 25 – a1 a1 = , S@ = r–1 1–r r–1

()

a) S25

1 25 32 · — – 32 2 = = 63,99999809 ≈ 64 1 —–1 2

b) S25

1 25 10 · — – 10 10 100 = ≈ 11,1 ≈ 1 9 —–1 10

()

c) S25 =

1 10

S@ =

a1 = 1–r

S@ =

a1 = 1–r

32 1 1–— 2 10 1 1–— 10

= 32 = 64 1 — 2

=

100 = 11,1 9

2 –10 · 2 25 – 2 –10 = 32 767,99902 ≈ 32 768 2–1

No se puede calcular S@ porque |r| no es mayor que 1.

d) S25

( )

1 25 (–5) · – — – (–5) 4 = ≈ –4 1 –— – 1 4

S@ =

–5

( )

1 1 – –— 4

= –5 = –4 5 — 4

Página 65 Suma de potencias 12 a) Demuestra que: 22 + 42 + 62 + 82 + 102 = 4(12 + 22 + 32 + 42 + 52 ) b) Calcula la suma de los cuadrados de los 50 primeros números pares. c) Calcula la suma de los cuadrados de todos los números impares menores que 100.

14

Unidad 2. Sucesiones

UNIDAD

2

a) 22 + 42 + 62 + 82 + 102 = (2 · 1)2 + (2 · 2)2 + (2 · 3)2 + (2 · 4)2 + (2 · 5)2 = = 22(12 + 22 + 32 + 42 + 52) b) 22 + 42 + 62 + … + 982 + 1002 = 22(12 + 22 + 32 + … + 492 + 502) = 50 · 51 · 101 = 22 = 171700 6 c) 12 + 32 + 52 + … + 992 = = (12 + 22 + 32 + 42 + … + 992 + 1002) – (22 + 42 + 62 + … + 982 + 1002) = 100 · 101 · 201 = – 171 700 = 338 350 – 171 700 = 166 650 6

13 Halla la suma siguiente: 213 + 223 + 233 + … + 373 + 383 + 393 + 403 213 + … + 403 = (13 + 23 + … + 203 + 213 + … + 403) – (13 + … + 203) = =

402 · 412 202 · 212 – = 672 400 – 44 100 = 628 300 4 4

Límite de una sucesión 14 Calcula los términos a10, a100 y a1 000, en cada sucesión e indica cuál es su límite: a) an =

1 n–1

b) an =

c) an =

5 –1 n

d) an = 3 – 7n

)

)

2n + 5 n

)

a) a10 = 0,1; a100 = 0,01; a1 000 = 0, 001 lím an = 0 b) a10 = 2,5; a100 = 2,05; a1 000 = 2,005 lím an = 2 c) a10 = –0,5; a100 = – 0,95; a1 000 = – 0,995 lím an = –1 d) a10 = –6,7; a100 = – 697; a1 000 = – 6 997 lím an = – @

Unidad 2. Sucesiones

15

15 Halla algunos términos muy avanzados de las siguientes sucesiones e indica cuál es su límite: a) an = 5n – 10 c) cn =

b) bn = 100 – n

n–3 n+1

d) dn =

n 2n + 1

a) a10 = 40; a100 = 490; a1 000 = 4 990 lím an = +@ b) b10 = 90; b100 = 0; b1 000 = –900 lím bn = – @ c) c10 = 0,63; c100 ≈ 0,9603; c1 000 ≈ 0,996 lím cn = 1 d) d10 ≈ 0,476; d100 ≈ 0,498; d1 000 ≈ 0,4998 lím dn = 0,5 =

1 2

16 Estudia el comportamiento de las siguientes sucesiones para términos muy avanzados e indica cuál es el límite de cada una de ellas: a) an = 3n2 – 10

b) bn = 3n – n2

c) cn = 10 – 5n + n2

d) dn = (1 – 2n)2

e) en = (4 – n)3

f ) fn = 1 – (n + 2)2

a) a10 = 290; a100 = 29 990; a1 000 = 2 999 990 lím an = +@ b) b10 = –70; b100 = –9 700; b1 000 = –997 000 lím bn = – @ c) c10 = 60; c100 = 9 510; c1 000 = 995 010 lím cn = +@ d) d10 = 361; d100 = 39 601; d1 000 = 3 996 001 lím dn = +@ e) e10 = –216; e100 = –884 736; e1 000 = –988 047 936 lím en = – @ f) f10 = –143; f100 = –10 403; f1 000 = –1 004 003 lím fn = –@

16

Unidad 2. Sucesiones

UNIDAD

2

17 Estudia el comportamiento de las siguientes sucesiones para términos muy avanzados e indica cuál es el límite de cada una de ellas: a) an =

1 3n

b) bn =

5 3n + 2

c) cn =

3 n+1

d) dn =

3n n2 + 1

e) en =

1 n2

f ) fn = –100 n2

g) gn = (–1)n

)

h) hn =

)

(–1)n n+1

)

a) a10 = 0,03; a100 = 0,003; a1 000 = 0,0003 lím an = 0

b) b10 = 0,15625; b100 = 0,01656; b1 000 = 0,00167 lím bn = 0

)

)

)

c) c10 = 0,27; c100 = 0,0297; c1 000 = 0,002997 lím cn = 0

d) d10 = 0,297; d100 = 0,029997; d1 000 = 0,002999997 lím dn = 0 e) e10 = 0,01; e100 = 0,0001; e1 000 = 0,000001 lím en = 0 f) f10 = –1; f100 = – 0,01; f1 000 = –0,0001 lím fn = 0 g) g10 = 1; g101 = –1; g1 000 = 1; g10 001 = –1 La sucesión no tiene límite. h) h10 = 0,0909; h100 = 0,0099; h1 000 = 0,000999; h1 001 = –0,000999 lím hn = 0

PARA RESOLVER 18 Calcula el 15.° término en la siguiente progresión: 3; 2,7; 2,4; 2,1; … Es una progresión aritmética con a1 = 3 y d = –0,3. Por tanto, a15 = a1 + 14d = 3 – 0,3 · 14 = 3 – 4,2 = –1,2.

Unidad 2. Sucesiones

17

19 Halla el cuarto término de una progresión aritmética en la que d = 3 y a20 = 100. a20 = a4 + 16d 8 a4 = a20 – 16d = 100 – 16 · 3 = 52 20 Calcula la suma de todos los números impares de tres cifras. Es la suma de los términos de una progresión aritmética en la que el primer término es 101, el último es 999, y hay 450 sumandos: S=

(101 + 999) · 450 = 247 500 2

21 ¿Cuánto vale la suma de los 100 primeros múltiplos de 7? Queremos calcular la suma de los 100 primeros términos de una progresión aritmética en la que a1 = 7 y d = 7. S100 =

(a1 + a100) · 100 (7 + 700) · 100 = = 35 350 2 2

22 En una progresión aritmética sabemos que d = 3, an = 34 y Sn = 133. Calcula n y a1. an = a1 + (n – 1) · d 8 34 = a1 + (n – 1) · 3 ° § (a1 + 34) · n (a1 + an) · n ¢ Sn = ——— 8 133 = ——— § 2 2 £ 34 = a1 + 3n – 3 8 a1 = 37 – 3n 133 =

(37 – 3n + 34) · n 2

8 266 = (71 – 3n)n

266 = 71n – 3n 2 8 3n 2 – 71n + 266 = 0 n=

71 ± √ 5 041 – 3 192 71 ± √ 1 849 71 ± 43 = = = 6 6 6

n = 14/3 (no vale) n = 19

a1 = 37 – 3 · 19 = 37 – 57 = –20 8 a1 = –20 23 Los lados de un hexágono están en progresión aritmética. Calcúlalos sabiendo que el mayor mide 13 cm y que el perímetro vale 48 cm. Llamamos a los lados a1, a2, a3, a4, a5 y a6. Sabemos que a6 = 13 cm y que S6 = 48. Por tanto: ° a6 = a1 + 5d 8 13 = a1 + 5d 8 a1 = 13 – 5d § (a1 + a6) · 6 ¢ 8 48 = (13 – 5d + 13) · 3 8 48 = (26 – 5d) · 3 § S6 = ——— 2 £ 48 = 78 – 15d 8 15d = 30 8 d =

30 =2 8 d=2 15

a1 = 13 – 5 · 2 = 13 – 10 = 3 8 a1 = 3 Los lados del hexágono miden 3 cm, 5 cm, 7 cm, 9 cm, 11 cm y 13 cm.

18

Unidad 2. Sucesiones

UNIDAD

2

24 En un cine, la segunda fila de butacas está a 10 m de la pantalla y la séptima fila está a 16 m. ¿En qué fila debe sentarse una persona que le guste ver la pantalla a una distancia de 28 m? a7 = 16 8 a7 = a2 + 5d = 10 + 5d = 16 8 d = 1,2 (La distancia entre las dos filas consecutivas es de 1,2 metros). Buscamos n para que an = 28 m: an = a1 + (n – 1) · d = 8,8 + (n – 1) · 1,2 = 28

8

8,8 + 1,2n – 1,2 = 28

1,2n = 20,4 8 n = 17 La fila 17 está a 28 metros.

25 Escribe los términos intermedios de una progresión aritmética sabiendo que a1 = –3 y a10 = 18. a10 = a1 + 9d = –3 + 9d = 18 8 d = Los términos son: a1 = –3, a2 = – a8 =

21 7 = 9 3

2 5 19 26 , a = , a4 = 4, a5 = , a6 = , a7 = 11, 3 3 3 3 3

40 47 , a9 = , a10 = 18. 3 3

26 Halla los dos términos centrales de una progresión aritmética de 8 términos sabiendo que S8 = 100 y que a1 + 2a8 = 48. Tenemos que calcular a4 y a5. Sabemos que: (a1 + a 8 ) · 8 ° § S8 = ——— = (a1 + a 8 ) · 4 = 100 8 a1 + a8 = 25 2 ¢ § a + 2a = 48 £ 1 8 Restando a la 2.a ecuación la 1.a, queda: a8 = 23 8 a1 = 25 – a8 = 25 – 23 = 2 8 a1 = 2 a8 = a1 + 7d = 2 + 7d = 23 8 d = 3 Por tanto: ° a4 = a1 + 3d = 2 + 9 = 11 ° ¢ ¢ £ a5 = a4 + d = 11 + 3 = 14 £

a4 = 11 a5 = 14

27 En una progresión geométrica, a1 = 8 y a3 = 0,5. Calcula a5 y la expresión de an. a3 = a1 · r 2 = 8r 2 = 0,5 8 r 2 = 0,0625 8 r = ± 0,25 = ±

Unidad 2. Sucesiones

1 4

19

1.er caso: r = 0,25 =

1 4

a5 = a1 · r 4 = 8 ·

( ) ( ) 1 4

an = a1 · r n – 1 = 8 · 2.° caso: r = – 0,25 = – a5 = a1 · r 4 = an = 8 ·

4

=

1 4

1 = 0,03125 32

n–1

=

23 2 2n – 2

=

1 2 2n – 5

1 4

1 = 0,03125 32

( ) 1 4

n–1

28 En una progresión geométrica de razón r = 3 conocemos S6 = 1 456. Calcula a1 y a4. S6 =

a6 · r – a1 a1 · r 6 – a1 a1 · 729 – a1 728a1 = = = = r–1 2 2 r–1

= 364a1 = 1 456 8 a1 = 4 a4 = a1 · r 3 = 4 · 27 = 108 29 La maquinaria de una fábrica pierde cada año un 20% de su valor. Si costó 4 millones de euros, ¿en cuánto se valorará después de 10 años de funcionamiento? – Al cabo de 1 año valdrá 8 (4 · 10 6) · 0,8 € – Al cabo de 2 años valdrá 8 (4 · 10 6) · 0,8 2 € … – Al cabo de 10 años valdrá 8 (4 · 10 6) · 0,8 10 ≈ 429 496,73 € 30 El 1 de enero depositamos 5 000 € en una cuenta bancaria a un interés anual del 6% con pago mensual de intereses. ¿Cuál será el valor de nuestro dinero un año después? ☛ Un 6% anual corresponde a 6 = 0,5% mensual. Cada mes el dinero se multipli12

ca por 1,005.

– Al cabo de 1 mes tendremos 8 5 000 · 1,005 € – Al cabo de 2 meses tendremos 8 5 000 · 1,005 2 € … – Al cabo de 12 meses tendremos 8 5 000 · 1,005 12 ≈ 5 308,39 €

20

Unidad 2. Sucesiones

UNIDAD

2

Página 66 31 La suma de los infinitos términos de una progresión geométrica es igual a 4 y a2 = 1. Calcula a1 y la razón. ° § a = a · r = 1 8 a = 1— 1 1 r § 2 ¢ a 1/r = — 1 = 4 8 1 = 4r – 4r 2 1 §S =— § ∞ 1 – r = 1— – r r – r2 £ 4r 2 – 4r + 1 = 0 8 r =

4 ± √ 16 – 16 4 1 = = 8 8 2

8 r=

1 2

8 a1 = 2

32 Comprueba, dando a n valores grandes, que las siguientes sucesiones tienden a un número y di cuál es ese número: a) an =

5n – 3 2n + 1

b) bn =

1 – 2n2 n2 + 1

2 d) dn = 2n – 5 n3

c) cn = 1 + 1 2n

a) a10 = 2,238; a100 = 2,473; a1 000 = 2,497 lím an = 2,5 =

5 2

b) b10 = –1,970; b100 = –1,9997; b1 000 = –1,999997 lím bn = –2 c) c10 = 1,000977; c20 = 1,000000954 lím cn = 1 d) d10 = 0,195; d100 = 0,019995; d1 000 = 0,001999995 lím dn = 0

33 Calcula el límite de las siguientes sucesiones: a) an = c) cn =

(n – 1)2 n2 + 3 3n + 1

√n

3 e) en = (1 + n) 2 (n – 2)

b) bn = d) dn =

√n2 + 1 2n

√

4n – 3 n+2 —

√n f ) fn = — 1 + √n

a) a10 = 0,7864; a100 = 0,9798; a1 000 = 0,9980 lím an = 1

Unidad 2. Sucesiones

21

b) b10 = 0,5025; b100 = 0,500025; b1 000 = 0,50000025 lím bn = 0,5 =

1 2

c) c10 = 9,80; c100 = 30,1; c1 000 = 94,90 lím cn = +∞ d) d10 = 1,756; d100 = 1,973; d1 000 = 1,997 lím dn = 2 e) e10 = 20,797; e100 = 107,278; e1 000 = 1 007,027 lím en = +∞ f) f10 = 0,760; f100 = 0,909; f1 000 = 0,969 lím fn = 1 34 Comprueba si tienen límite las siguientes sucesiones: a) an = (–1)n

2n + 1 n

b) bn = 1 + (–1)n c) cn =

1 + (–1)n n

d) dn =

n + (–1)n n

a) a100 = 2,01; a101 = –2,0099; a1 000 = 2,001; a1 001 = –2,000999 Los términos pares tienden a 2 y los impares a –2. an no tiene límite. b) b1 = 0; b2 = 2; b3 = 0; b4 = 2, … Los términos impares son 0 y los pares son 2. bn no tiene límite. c) c1 = 0; c2 = 1; c3 = 0; c4 = 0,5; …; c100 = 0,02 Los términos impares son cero y los pares tienden a cero. lím cn = 0. d) d1 = 0; d2 = 1,5; d3 = 0,67; d4 = 1,25; …; d100 = 1,01; d101 = 0,99 lím dn = 1.

22

Unidad 2. Sucesiones

UNIDAD

35 Dadas las sucesiones an = n2 y bn = a) an + bn

b) an · bn

a) An = an + bn = n 2 +

n2

c)

2

1 , estudia el límite de: n2 + 1 an bn

1 +1

A10 = 100,0099; A100 = 10 000,0001 lím (an + bn) = +@ b) Bn = an · bn = n 2 ·

2 1 = n n2 + 1 n2 + 1

B10 = 0,9901; B100 = 0,9999 lím (an · bn) = 1 c) Cn =

an n2 = = n 2 (n 2 + 1) = n 4 + n 2 bn 1(n 2 + 1)

C10 = 10 100; C100 = 100 010 000 lím

( )

an = +@ bn

36 Durante 5 años depositamos en un banco 2 000 € al 4% con pago anual de intereses. a) ¿En cuánto se convierte cada depósito al final del quinto año? b) ¿Qué cantidad de dinero hemos acumulado durante esos 5 años? a) Al final del 5º año: – Los primeros 2 000 € se convierten en 2 000 · 1,04 5 € ≈ 2 433,31 € – Los segundos 2 000 € se convierten en 2 000 · 1,04 4 € ≈ 2 339,72 € – Los terceros 2 000 € se convierten en 2 000 · 1,04 3 € ≈ 2 249,73 € – Los cuartos 2 000 € se convierten en 2 000 · 1,04 2 € = 2 163,2 € – Los quintos 2 000 € se convierten en 2 000 · 1,04 € = 2 080 € b) Sumamos las cantidades anteriores: 2 000 · 1,04 5 + 2 000 · 1,04 4 + 2 000 · 1,04 3 + 2 000 · 1,04 2 + 2 000 · 1,04 = (*)

= 2 000 (1,04 5 + 1,04 4 + 1,04 3 + 1,04 2 + 1,04) = = 2 000 · (*)

1,04 6 – 1,04 = 11 265,95 € 1,04 – 1

Suma de una progresión geométrica con a1 = 1,04 y r = 1,04.

Unidad 2. Sucesiones

23

37 Recibimos un préstamo de 2 000 € al 10% de interés anual y hemos de devolverlo en 4 años, pagando cada año los intereses de la parte adeudada más la cuarta parte del capital prestado. Calcula lo que tenemos que pagar cada año. a1 = 500 + 2 000 · 0,1 = 700 € a2 = 500 + 1500 · 0,1 = 650 € a3 = 500 + 1000 · 0,1 = 600 € a4 = 500 + 500 · 0,1 = 550 € 3

4

5

38 Halla el término general de la sucesión: 2, √2, √2 , √2 , √2 , … y estudia su límite. n

an = √2 = 2 1/n 3

4

a1 = 2; a2 = √2 ≈ 1,4142; a3 = √2 ≈ 1,2599; a4 = √2 ≈ 1,1892; …; a10 ≈ 1,0718 a100 ≈ 1,00696; lím an = 1

39 Dadas las sucesiones an = n + 3 y bn = 2 – n, calcula los siguientes límites: a) lím (an + bn) b) lím (an – bn) c) lím (an · bn) an bn

d) lím

a) An = an + bn = n + 3 + 2 – n = 5 lím (an + bn) = 5 b) Bn = an – bn = n + 3 – (2 – n) = n + 3 – 2 + n = 2n + 1 B10 = 21; B100 = 201; B1 000 = 2 001 lím (an – bn) = +@ c) Cn = an · bn = (n + 3) (2 – n) = 2n – n 2 + 6 – 3n = –n 2 – n + 6 C10 = –104; C100 = –10 094; C1 000 = –1 000 994 lím (an · bn) = –@ d) Dn =

an n+3 = 2–n bn

D10 = –1,625; D100 = –1,051; D1 000 = –1,005 lím

24

an = –1 bn Unidad 2. Sucesiones

UNIDAD

2

40 La sucesión x 2 – x + 1; x 2 + 1; x 2 + x + 1, ¿es una progresión aritmética? Si lo fuese, calcula el quinto término y la suma de los cinco primeros términos. Llamamos a1 = x 2 – x + 1; a2 = x 2 + 1; a3 = x 2 + x + 1. Veamos si la diferencia entre cada dos términos consecutivos es la misma: a2 – a1 = x 2 + 1 – (x 2 – x + 1) = x2 + 1 – x 2 + x – 1 = x a3 – a2 = x 2 + x + 1 – (x 2 + 1) = x 2 + x + 1 – x2 – 1 = x Por tanto, sí es una progresión aritmética con a1 = x 2 – x + 1 y diferencia d = x. Así, tenemos que: a5 = a1 + 4 · d = x 2 – x + 1 + 4x = x 2 + 3x + 1 S5 =

(a1 + a5) · 5 (x 2 – x + 1 + x 2 + 3x + 1) · 5 (2x 2 + 2x + 2) · 5 = = 2 2 2

= (x 2 + x + 1) · 5 = 5x 2 + 5x + 5 41 Halla la siguiente suma: 113 + 133 + 153 + 173 + … + 333 Llmamos S = 113 + 133 + … + 313 + 333 13 + 23 + 33 + … + 103 + 113 + 123 + … + 323 + 333 = 23 + 43 + 63 + … + 323 = 23(13 + 23 + … + 163) = 8 ·

332 · 342 = 314 721 4 162 · 172 = 147 968 4

Por tanto: 13 + 33 + … + 93 + 113 + 133 + … + 313 + 333 = 314 721 – 147 968 = 166 753 S = 166 753 – (13 + 33 + … + 93) = 166 753 – 1 225 = 165 528

CUESTIONES TEÓRICAS 42 Sea an una progresión aritmética con d > 0. ¿Cuál es su límite? Si d > 0, la sucesión se va haciendo cada vez mayor. Por tanto, lím an = +@. 43 Si an es una progresión geométrica con r = Al ir multiplicando por

1 , ¿cuál es su límite? 3

1 sucesivamente, los términos se van aproximando a cero. 3

Es decir, lím an = 0. Unidad 2. Sucesiones

25

44 La sucesión 3, 3, 3, 3, … puede considerarse una progresión aritmética y también geométrica. ¿Cuál es la diferencia en el primer caso? ¿Y la razón en el segundo? – Es una progresión aritmética con d = 0. – También es una progresión geométrica con r = 1.

45 En una progresión geométrica cualquiera, a, ar, ar 2, ar 3, …, comprueba que: a1 · a6 = a2 · a5 = a3 · a4 ¿Se verifica también a3 · a7 = a4 · a6? Enuncia una propiedad que exprese los resultados anteriores. ° a1 · a6 = a · (a · r 5 ) = a 2 · r 5 § 4 2 5 a2 · a5 = (a · r) · (a · r ) = a · r ¢ Son iguales § a3 · a4 = (a · r 2) · (a · r 3)= a 2 · r 5 £ a3 · a7 = (a · r 2) · (a · r 6) = a 2 · r 8 ° Son iguales a4 · a6 = (a · r 3) · (a · r 5) = a 2 · r 8 ¢£ Propiedad: Si an es una progresión geométrica, se verifica que ap · aq = am · an siempre que p + q = m + n.

)

46 El número 3,9 podemos considerarlo como la suma de los infinitos términos de la sucesión: 3,

9 9 9 , , ,… 10 100 1 000

Calcula la suma y halla su límite. ¿Te parece razonable el resultado obtenido? 3+

) 9 9 9 + + + … = 3 + 0,9 + 0,99 + 0,999 + … = 3, 9 10 100 1 000

9 9 9 Si consideramos la progresión geométrica , , , … y sumamos todos 10 100 1 000 sus términos, queda: 9 9 — — a1 10 10 S∞ = = = =1 1 9 1–r — 1–— 10 10 Por tanto: 3 +

26

(

)

9 9 9 + + +… =3+1=4 10 100 1 000

Unidad 2. Sucesiones

UNIDAD

2

47 Inventa dos sucesiones cuyo límite sea infinito y que, al dividirlas, la sucesión que resulte tienda a 2. Por ejemplo: an = 2n; bn = n + 1 lím an = +@; lím bn = +@ lím

an 2n = lím =2 n+1 bn

Página 67 PARA PROFUNDIZAR 48 Dibuja un cuadrado de lado √2 cm y sobre cada lado un triángulo rectángulo isósceles; después dos, luego cuatro, como indican las figuras:

a) Forma la sucesión de los perímetros de las figuras obtenidas. ¿Cuál es su límite? b) Forma también la sucesión de las áreas. ¿Cuál es su límite? 1.er paso: 1

1 — √2

1

1/2

1 — √2

1

3.er paso:

2.º paso: 1/2

1/4 1/4

1/2 1/2

1 1

1

Perímetro = 8 cm

Perímetro = 8 cm

Área = 2 + 2 = 4 cm 2

Área = 2 + 1 = 3 cm 2

° Perímetro = 8 cm § … Paso n-ésimo: ¢ 1 § Área = 2 + 2 · — 2 £

()

Unidad 2. Sucesiones

n–1

Perímetro = 8 cm Área = 2 +

1 5 = cm 2 2 2

cm 2

27

a) 8, 8, 8, 8, …; Pn = 8; lím Pn = 8 b) 4, 3,

( )

5 1 , …; An = 2 + 2 · 2 2

n–1

; lím An = 2

(que es el área del cuadrado de lado √2 ). 49 Los términos de la sucesión 1, 3, 6, 10, 15 se llaman números triangulares porque se pueden representar así:

Calcula a10 y an. a1 = 1; a2 = 1 + 2 = 3; a3 = 1 + 2 + 3 = 6; a4 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10; a10 = 1 + 2 + 3 + … + 10 = an = 1 + 2 + 3 + … + n =

(1 + 10) · 10 11 · 10 = = 55 2 2

(1 + n) · n 2

50 Los términos de la sucesión 1, 5, 12, 22, 35 se llaman números pentagonales porque se pueden representar así:

1

5

12

22

Calcula a6, a10 y an. ☛ Esos números se pueden escribir así: 1; 1 + 4; 1 + 4 + 7; 1 + 4 + 7 + 10; 1 + 4 + 7 + 10 + 13

a1 = 1; a2 = 1 + 4 = 5; a3 = 1 + 4 + 7 = 12; a4 = 1 + 4 + 7 + 10 = 22 Observamos que vamos obteniendo las sumas de los términos de una progresión aritmética con a1 = 1 y d = 3. En el paso n-ésimo tendremos: an = 1 + 4 + 7 + … + (1 + (n – 1) · 3) = 1 + 4 + 7 + … + (3n – 2) = =

(1 + (3n – 2)) · n (1 + 3n – 2) · n (3n – 1) · n = = 2 2 2

Por tanto: a6 =

28

17 · 6 29 · 10 = 17 · 3 = 51; a10 = = 145 2 2 Unidad 2. Sucesiones

UNIDAD

2

51 Utiliza las propiedades de las progresiones para simplificar la expresión del término general y calcular el límite de las siguientes sucesiones: a) an = 1 + 2 + 3 + … + n n2 n2 n2 n2

(

b) bn = 2n 1 + 2 + 3 + … + n n3 n3 n3 n3

)

(

)

(

)

2 2 (1 + n) · n = 1 · n+n = n +n a) an = 1 (1 + 2 + 3 + … + n) = 1 2 2 2 2 2 2n 2 n n n

Hallamos el límite: a10 = 0,55; a100 = 0,505; a1 000 = 0,5005; lím an = 0,5 =

(

)

(

1 2

)

2 3 (1 + n) · n n + n2 b) bn = 2n (1 + 2 + 3 + … + n) = 2n = 2n · = 2n + 2n = 3 3 3 3 2 2 2n n n n 3 2 2 = 2n + 2n = 2n (n + 1) = n + 1 2 2n 2n 2

b10 = 11; b100 = 101; b1 000 = 1 001; lím bn = +@

AUTOEVALUACIÓN 1. Halla el término a47 de la sucesión cuyo término general es: an = a47 =

n2 – 709 n+3

472 – 709 2 209 – 709 = = 30 47 + 3 50

2. Halla el término octavo de la sucesión definida así: a1 = 4, a2 = 7, an + 2 = 2an – an + 1 a8 = 2a6 – a7 a1 = 4

a2 = 7

a3 = 2a1 – a2 = 1

a4 = 2a2 – a3 = 13

a5 = 2a3 – a4 = –11

a6 = 2a4 – a5 = 37

a7 = 2a5 – a6 = –59

a8 = 2a6 – a7 = 133

Unidad 2. Sucesiones

29

3. Halla el término general de las sucesiones: a) 3, 7, 11, 15, 19, 23, … b) 1, 2, 5, 10, 17, 26, … a) Es una progresión aritmética de diferencia d = 4 y primer término a1 = 3. an = a1 + (n – 1) d = 3 + (n – 1) · 4 = 4n – 1 b) El término general de la sucesión 0, 1, 4, 9, 16, 25, … es an = (n – 1)2. Por tanto, 1, 2, 5, 10, 17, 26, … tiene por término general an = (n – 1)2 + 1 = n2 – 2n + 2. 4. Halla la ley de recurrencia por la que se forman las siguientes sucesiones: a) 7, 8, 15, 23, 38, 61, … b) 1, 1, 1, 3, 5, 9, 17, 31, … c) 0, 1, 2, 3, 6, 11, 20, 37, ... a) Cada término, a partir del tercero, es la suma de los dos anteriores. Por tanto: a1 = 7

a2 = 8

an = an – 1 + an – 2

b) Cada término, a partir del cuarto, es la suma de los tres anteriores. Por tanto: a1 = 1

a2 = 1

a3 = 1

an = an – 1 + an – 2 + an – 3

c) Cada término, a partir del cuarto, es la suma de los tres anteriores. Por tanto: a1 = 0

a2 = 1

a3 = 2

an = an – 1 + an – 2 + an – 3

5. Halla las siguientes sumas: a) 3 + 7 + 11 + … + 43 b) 1 000 + 1 000 · 1,1 + 1 000 · 1,12 + … + 1 000 · 1,115 c) 80 + 40 + 20 + 10 + 5 + … d) 1012 + 1022 + 1032 + … + 1402 e) 33 + 43 + 53 + … + 153 a) Es la suma de los once primeros términos de una progresión aritmética de primer término a1 = 3 y diferencia d = 4. an = 4n – 1 S11 =

a1 = 3

a11 = 43

a1 + a11 3 + 43 · 11 = · 11 = 253 2 2

b) Es la suma de los quince primeros términos de una progresión geométrica de primer término a1 = 1 000 y razón r = 1,1. Sn =

30

a1 r n – a1 1 000 · 1,115 – 1 000 8 S15 = = 31 772,48 1,1 – 1 r–1

Unidad 2. Sucesiones

UNIDAD

2

c) Es la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de primer término a1 = 80 y razón r = 1/2. S@ =

a1 80 = = 160 1 – 1/2 1–r n (n + 1)(2n + 1) 6

d) 12 + 22 + 32 + … + n2 =

1012 + 1022 + 1032 + … + 1402 = (12 + 22 + 32 + … + 1402) – (12 + 22 + 32 + … + 1002) = =

140 · 141 · 281 100 · 101 · 201 5 546 940 – 2 030 100 – = = 586 140 6 6 6

e) 13 + 23 + 33 + … + n3 =

n2 (n + 1)2 4

33 + 43 + 53 + … + 153 = (13 + 23 + 33 + … + 153) – (13 + 23) =

152 · 162 – 9 = 14 391 4

6. En una progresión aritmética conocemos a15 = 43 y a86 = 85,6. a) Calcula a1 + a100 . b) Obtén el valor de a220 . a15 = a1 + 14d = 43 ° 8 85d – 14d = 42,6 8 d = 0,6 a86 = a1 + 85d = 85,6 ¢£ a1 = 43 – 14 · 0,6 = 34,6 a) a1 + a100 = a15 + a86 = 43 + 85,6 = 128,6 pues 1 + 100 = 15 + 86 (a15 y a86 “equidistan” de a1 y a100). b) a220 = a1 + 219 · d = 34,6 + 219 · 0,6 = 166

7. Halla los límites de las siguientes sucesiones: an = a) a10 = 0,5

5 n

a100 = 0,05

b) b10 = 3,18

b100 = 3,02

c) c10 = 2,02

c100 = 20,002

Unidad 2. Sucesiones

bn =

5 + 3n n+1

cn =

n2 + 1 5n

a1 000 = 0,005 8 lím

5 =0 n

b1 000 = 3,002 8 lím

5 + 3n =3 n+1

c1 000 = 200,0002 8 lím

n2 + 1 = +@ 5n

31

3

ÁLGEBRA

Página 69 REFLEXIONA Y RESUELVE Puñado de almendras Tres amigos, Antonio, Juan y Pablo, fueron con sus tres hijos, Julio, José y Luis, a un almacén de frutos secos. Ante un saco de almendras, el dueño les dijo: — Coged las que queráis. Cada uno de los seis metió la mano en el saco un número n de veces y, cada vez, se llevó n almendras (es decir, si uno de ellos metió la mano en el saco 9 veces, cada vez cogió 9 almendras, y, por tanto, se llevó 81 almendras). Además, cada padre cogió, en total, 45 almendras más que su hijo. Antonio metió la mano 7 veces más que Luis, y Julio, 15 más que Pablo. • ¿Cómo se llama el hijo de Antonio? • ¿Y el de Juan? • ¿Cuántas almendras se llevaron entre todos? • 2.° caso: 15 Ò 3 (x + y) (x – y) = 45 x + y = 15 ° Sumando: 2x = 18 8 x = 9 x – y = 3 ¢£ Restando: 2y = 12 8 y = 6 Esto significa que otro de los padres cogió 9 puñados de 9 almendras (81 almendras) y su hijo, 6 puñados de 6 almendras (36 almendras). • 3.er caso: 45 Ò 1 (x + y) (x – y) = 45 x + y = 45 ° Sumando: 2x = 46 8 x = 23 x – y = 1 ¢£ Restando: 2y = 44 8 y = 22 Uno de los padres se llevó 23 puñados de 23 almendras (529 almendras) y su hijo, 22 puñados de 22 almendras (484 almendras). Como Antonio metió la mano 7 veces más que Luis, Antonio cogió 9 puñados y Luis 2 puñados. Como Julio metió la mano 15 veces más que Pablo, Julio cogió 22 puñados y Pablo, 7 puñados. Unidad 3. Álgebra

1

Por tanto: • Antonio se lleva 9 puñados y José 6. • Juan coge 23 puñados y Julio 22. • Pablo se lleva 7 puñados y Luis 2. • El hijo de Antonio es José, el de Juan es Julio y el de Pablo es Luis. Por último, el número total de almendras que se llevaron entre todos será: 81 + 36 + 529 + 484 + 49 + 4 = 1 183 almendras

Sin necesidad del álgebra Un galgo persigue a una liebre. La liebre lleva 30 de sus saltos de ventaja al galgo. Mientras el galgo da dos saltos, la liebre da tres. Tres saltos del galgo equivalen a cinco de la liebre. ¿Cuántos saltos dará cada uno hasta el momento de la captura? Cada 2 saltos de galgo y 3 de liebre se acerca 1 u el galgo. Cada 2 · 2 saltos de galgo y 3 · 2 de liebre se acerca 2 u el galgo. Cada 2 · 3 saltos de galgo y 3 · 3 de liebre se acerca 3 u el galgo. …… Cada 2 · 90 saltos de galgo y 3 · 90 de liebre se acerca 90 u el galgo. Como la liebre lleva 30 de sus saltos al galgo (90 u de ventaja), serán: 2 · 90 = 180 saltos el galgo 3 · 90 = 270 saltos la liebre De esta forma el galgo recorre 180 · 5 u = 900 u; y la liebre 270 · 3 u = 810 u. Como tenía 90 de ventaja: 810 + 90 = 900 u Por tanto, hasta el momento de la captura el galgo da 180 saltos y la liebre 270.

Página 71 1. Descompón factorialmente los siguientes polinomios: a) x 6 – 9x 5 + 24x 4 – 20x 3 b) x 6 – 3x 5 – 3x 4 – 5x 3 + 2x 2 + 8x c) x 6 + 6x 5 + 9x 4 – x 2 – 6x – 9

2

Unidad 3. Álgebra

UNIDAD

3

a) x6 – 9x5 + 24x4 – 20x3 = x3 (x3 – 9x2 + 24x – 20) 1 2 1 2 1

–9 2 –7 2 –5

24 –14 10 –10 0

–20 20 0

x6 – 9x5 + 24x4 – 20x3 = x3 (x – 2)2 (x – 5) b) x6 – 3x5 – 3x4 – 5x3 + 2x2 + 8x = x (x5 – 3x4 – 3x3 – 5x2 + 2x + 8) 1 1 1 –1 1 4 1

–3 1 –2 –1 –3 4 1

–3 –2 –5 3 –2 4 2

–5 –5 –10 2 –8 8 0

2 –10 –8 8 0

8 –8 0 x2 + x + 2 = 0 8 x =

–1 ± √ 1 – 8 2

no tiene solución

x6 – 3x5 – 3x4 – 5x3 + 2x2 + 8x = x (x – 1) (x + 1) (x – 4) (x2 + x + 2) c)x6 + 6x5 + 9x4 – x2 – 6x – 9 1 –1 1 –3 1 –3 1 1 1

6 –1 5 –3 2 –3 –1 1 0

9 –5 4 –6 –2 3 1 0 1

0 –4 –4 6 2 –3 –1 1 0

–1 4 3 –6 –3 3 0

–6 –3 –9 9 0

–9 9 0

x2 + 1 = 0 8 x2 = –1 8 no tiene solución Así, x6 + 6x5 + 9x4 – x2 – 6x – 9 = (x + 3)2 (x + 1) (x – 1) (x2 + 1) 2. a) Intenta factorizar x 4 + 4x 3 + 8x 2 + 7x + 4. b) Hazlo ahora sabiendo que es divisible por x 2 + x + 1. a) El polinomio dado no tiene raíces enteras (de hecho, no tiene raíces reales). b) Hacemos la división: x4 + 4x3 + 8x2 + 7x + 4

x2 + x + 1

–x4 – x3 – x2

x2 + 3x + 4

3x3 + 7x2 + 7x + 4 –3x3 – 3x2 – 3x 4x2 + 4x + 4 –4x2 – 4x – 4 0 Unidad 3. Álgebra

3

Los polinomios x2 + x + 1 y x2 + 3x + 4 son irreducibles (las ecuaciones x2 + x + 1 = 0 y x2 + 3x + 4 = 0 no tienen solución). Por tanto: x4 + 4x3 + 8x2 + 7x + 4 = (x2 + x + 1) (x2 + 3x + 4) 1 1 3. Intenta factorizar 6x 4 + 7x 3 + 6x 2 – 1. Vuelve a intentarlo sabiendo que – y 2 3 son raíces suyas. El polinomio dado no tiene raíces enteras. Teniendo en cuenta el dato adicional (que – 6

7 –3 4 2 6

–1/2 6 1/3 6 Por tanto:

6 –2 4 2 6

0 –2 –2 2 0

(

6x 4 + 7x 3 + 6x 2 – 1 = x +

1 1 y son raíces), procedemos así: 2 3 6x 2 + 6x + 6 = 0 6(x 2 + x + 1) = 0 ____ –1 ±√1 – 4 no tiene solución x = __________ 2

–1 1 0

1 2

)(

x–

)

1 6(x 2 + x + 1) = (2x + 1) (3x – 1) (x 2 + x + 1) 3

Página 73 1. Reduce previamente a común denominador las fracciones algebraicas siguientes, y súmalas: x+7 x

x–2 x2 + x

–

2x + 1 x+1

° x=x § 2 x + x = x (x + 1) ¢ mín.c.m. = x (x + 1) § x+1=x+1 £ Reducimos a común denominador: x+7 (x + 7) (x + 1) = = x x (x + 1)

x2 + 8x + 7 x (x + 1)

x–2 x–2 = x2 + x x (x + 1) –

2x + 1 (2x + 1)x 2x2 + x 2x2 – x =– =– =– x+1 x (x + 1) x (x + 1) x (x + 1)

Las sumamos: x+7 x–2 2x + 1 x–2 x2 + 8x + 7 –2x2 – x + 2 – = + + = x x +x x+1 x (x + 1) x (x + 1) x (x + 1) =

4

x2 + 8x + 7 + x –2 –2x2 –x –x2 + 8x + 5 = 2 x +x x2 + x Unidad 3. Álgebra

UNIDAD

2. Efectúa:

3

2x x 1 + – x–1 x2 – 1 x + 1

1 2x x 1 2x x + – = + – = x2 – 1 x+1 x–1 (x – 1) (x + 1) x+1 x–1 =

1 2x(x –1) x (x + 1) + – = (x – 1) (x + 1) (x – 1) (x + 1) (x – 1) (x + 1)

=

1 + 2x (x –1) – x (x + 1) = (x – 1) (x + 1)

=

1 + 2x2 – 2x – x2 – x x2 – 3x + 1 = x2 – 1 x2 – 1

Página 74 3. Efectúa estas operaciones: a)

x 2 – 2x + 3 2x + 3 · x+5 x–2

a)

x 2 – 2x + 3 2x + 3 (x2 – 2x + 3) (2x +3) · = = x+5 x–2 (x – 2) (x + 5)

b)

2x3 + 3x2 – 4x2 – 6x + 6x + 9 2x3 – x2 + 9 = 2 x2 + 5x – 2x – 10 x + 3x – 10

= b)

x 2 – 2x + 3 2x + 3 : x+5 x–2

x+5 x 2 – 2x + 3 2x + 3 x2 – 2x + 3 (x2 – 2x + 3) (x + 5) : = · = = x+5 2x + 3 x–2 x–2 (x – 2) (2x + 3) x3 – 2x2 + 3x + 5x2 – 10x + 15 = 2x2 + 3x – 4x – 6

=

x3 + 3x2 – 7x + 15 2x2 – x – 6

4. Calcula:

( (

)

4 2 4 2 b) x – x · x + x 2 4 x +1 x

a)

x+2 x–1 x : · x 3 2x + 1

a)

x+2 x–1 x x+2 (x – 1)x x + 2 3(2x + 1) · = : = · = : x 3 2x + 1 x 3(2x + 1) x (x – 1)x

b)

)

=

3(2x + 1) (x + 2) 3(2x2 + 4x + x + 2) = = 2 x (x – 1) x3 – x2

=

6x2 + 15x + 6 x3 – x2

x4 – x2 x4 + x2 (x4 – x2) (x4 + x2) x8 – x4 x4(x4 – 1) · = = 6 = = 2 4 2 4 4 x +1 x (x + 1)x x +x x4(x2 + 1) =

Unidad 3. Álgebra

x4 – 1 (x2 + 1) (x2 – 1) = = x2 – 1 2 x +1 x2 + 1

5

Página 75 1. Resuelve las ecuaciones siguientes: a) x 4 – x 2 – 12 = 0

b) x 4 – 8 x 2 – 9 = 0

a) x 2 =

1 ± √ 1 + 48 1±7 = 2 2

b) x 2 =

8 ± √ 64 + 36 8 ± 10 = 2 2

4 8 x = ±2 –3 8 (no vale) 9 8 x = ±3 –1 8 (no vale)

2 y –2

3 y –3

2. Resuelve: a) x 4 + 10 x 2 + 9 = 0 a) x 2 =

b) x 4 – x 2 – 2 = 0

–10 ± √ 100 – 36 –10 ± 8 = 2 2

–1 8 (no vale) –9 8 (no vale)

No tiene solución. b) x 4 – x 2 – 2 = 0 x2 =

1 ± √1 + 8 1 ± √9 1±3 = = 2 2 2

x2 = –1 8 No vale –– x2 = 2 8 x = ± √2

Hay dos soluciones: x1 = – √2 ; x2 = √2

Página 76 3. Resuelve: a) – √2 x – 3 + 1 = x

b) √2 x – 3 – √x + 7 = 4

d) 2 – √x = x

e) √3x + 3 – 1 = √8 – 2x

c) 2 + √x = x

a) 1 – x = √ 2x – 3 1 + x 2 – 2x = 2x – 3; x 2 – 4x + 4 = 0; x = 2 (no vale) No tiene solución. b) 2x – 3 = 16 + x + 7 + 8 √ x + 7 x – 26 = 8 √ x + 7 x 2 + 676 – 52x = 64 (x + 7) x 2 + 676 – 52x = 64x + 448 x 2 – 116x + 228 = 0; x =

116 ± 112 2

114 2 8 (no vale)

x = 114

6

Unidad 3. Álgebra

UNIDAD

3

c) √ x = x – 2; x = x 2 + 4 – 4x; 0 = x 2 – 5x + 4 x=

5 ± √ 25 – 16 5±3 = 2 2

4 1 8 (no vale)

x=4 d) 2 – x = √ x ; 4 + x 2 – 4x = x ; x 2 – 5x + 4 = 0 4 8 (no vale) 1

x= x=1

e) √3x + 3 – 1 = √8 – 2x 3x + 3 = 1 + 8 – 2x + 2 √8 – 2x 5x – 6 = 2 √8 – 2x 25x2 + 36 – 60x = 4(8 – 2x) 25x2 – 52x + 4 = 0 x=

x=2 x = 0,08 8 no vale

52 ± 48 50

Así, x = 2.

4. Para ir de A hasta C hemos navegado a 4 km/h en línea recta hasta P, y hemos caminado a 5 km/h de P a C. Hemos tardado, en total, 99 minutos (99/60 horas).

6 km ARENA B x

P

C

3 km

¿Cuál es la distancia, x, de B a P ?

MAR A

(

√x 2 + 9 4

t=–

6–x 99 + 5 60

° § § § ¢ § § § £

t=

)

° § § § ¢ § § § £

— √x 2 + 9 = t AP 2 = x 2 + 9 ° 4 § ¢ § 6–x — 99 PC = 6 – x £ = –t 5 60

√ x 2 + 9 = – 6 – x + 99 4

5

60

√ x 2 + 9 + 6 – x = 99 4

Unidad 3. Álgebra

5

60

7

15 √ x 2 + 9 + 12 (6 – x) = 99 15 √ x 2 + 9 + 72 – 12x = 99 15 √ x 2 + 9 = 12x + 27 225 (x 2 + 9) = 144x 2 + 729 + 648x 225x 2 + 2 025 = 144x 2 + 729 + 648x 81x 2 – 648x + 1 296 = 0 x 2 – 8x + 16 = 0 x=

8 =4 2

Así, la distancia de B a P es de 4 km.

Página 77 5. Resuelve las siguientes ecuaciones: a)

1 1 3 + = x x+3 10

b)

4 2 (x + 1) + =4 x 3 (x – 2)

c)

1 1 3 + 2 = x 4 x

a) 10 (x + 3) + 10x = 3x (x + 3) 10x + 30 + 10x = 3x 2 + 9x 0 = 3x 2 – 11x – 30 x=

5,489 –1,822

11 ± 21,93 = 6

x1 = 5,489; x2 = –1,822 b) 12 (x – 2) + 2x (x + 1) = 12x (x – 2) 12x – 24 + 2x 2 + 2x = 12x 2 – 24x 0 = 10x 2 – 38x + 24 0 = 5x 2 – 19x + 12; x = x1 = 3; x2 =

19 ± 11 = 10

3 4/5

4 5

c) 4x + 4 = 3x 2; 0 = 3x 2 – 4x – 4 x=

x1 = 2; x2 =

8

2 –2/3

4±8 = 6 –2 3

Unidad 3. Álgebra

UNIDAD

3

6. Resuelve: a)

x 2x + =3 x–1 x+1

b)

5 x 3 + = x+2 x+3 2

c)

x + 3 x2 + 1 26 – 2 = x–1 35 x –1

a) x (x + 1) + 2x (x – 1) = 3 (x 2 – 1) x 2 + x + 2x 2 – 2x = 3x 2 – 3 x=3 b) 10 (x + 3) + 2x (x + 2) = 3 (x 2 + 5x + 6) 10x + 30 + 2x 2 + 4x = 3x 2 + 15x + 18 0 = x 2 + x – 12 x=

–1 ± √ 1 + 48 –1 ± 7 = = 2 2

3 –4

x1 = 3; x2 = – 4 c) 35 (x + 3) (x + 1) – 35 (x 2 + 1) = 26 (x 2 – 1) 35 (x 2 + 4x + 3) – 35 (x 2 + 1) = 26 (x 2 – 1) 35x 2 + 140x + 105 – 35x 2 – 35 = 26x 2 – 26 26x 2 – 140x – 96 = 0 x=

70 ± √ 702 – 4 · 13 · (–48) 70 ± 86 = = 26 26

x1 = 6; x2 =

6 –8/13

–8 13

Página 79 7. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 2 3 x = 0,5 3 x + 2 c)

4x – 1 = 186 2x + 2

b) 3 4 – x = 2

1 9

d) 7 x + 2 = 5 764 801

a) 23x = 2–3x – 2; 3x = –3x – 2; 6x = –2; x =

–1 3

2

b) 34 – x = 3–2; 4 – x 2 = –2; x 2 = 6; x = ± √ 6 x1 = √ 6 ; x2 = – √ 6

Unidad 3. Álgebra

9

c)

22x – 2 = 186; 22x – 2 – x – 2 = 186; 2x – 4 = 186 2x + 2 log 2x – 4 = log 186; (x – 4) log 2 = log 186 x=4+

log 186 = 11,54 log 2

d) 7x + 2 = 78; x = 6

8. Resuelve: 31 5

a) 3 x + 3 x + 2 = 30

b) 5 x + 1 + 5 x + 5 x – 1 =

c) 2 log x – log (x + 6 ) = 3log 2

d) 4 log 2 (x 2 + 1) = log 2 625

a) 3x + 3x · 9 = 30 3x (10) = 30; 3x = 3; x = 1 x 31 b) 5 · 5x + 5x + 5 = 5 5

5x · c) log

31 31 = ; x=0 5 5 x 2 = log 8 x+6

x 2 = 8x + 48; x 2 – 8x – 48 = 0; x =

8 ± 16 = 2

12 –4 (no vale)

x = 12 d) log2 (x 2 + 1)4 = log2 54; x 2 + 1 = 5; x 2 = 4; x = ±2 x1 = 2; x2 = –2

Página 81 1. Resuelve estos sistemas de ecuaciones: ° 2x – y – 1 = 0 a) ¢ 2 £x – 7 = y + 2 a)

°1 1 1 §—+—=1–— b) ¢ x y xy § xy = 6 £

° x = 2y + 1 — c) ¢ — £ √x + y – √x – y = 2

y = 2x – 1 ° y = x 2 – 9 ¢£ x 2 – 9 = 2x – 1; x 2 – 2x – 8 = 0

10

Unidad 3. Álgebra

UNIDAD

x=

2 ± √ 4 + 32 2±6 = = 2 2

3

4 –2

x1 = 4; y1 = 7 x2 = –2; y2 = –5 b) y + x = x y – 1 ° ¢ xy = 6 £ y=5–x x=2 x=3

x (5 – x) = 6; 5x – x 2 = 6; x 2 – 5x + 6 = 0 x1 = 2; y1 = 3 x2 = 3; y2 = 2 c) x = 2y + 1

√ 3y + 1 – √ y + 1 = 2; √ 3y + 1 = 2 + √ y + 1 3y + 1 = 4 + y + 1 + 4 √ y + 1 ; 2y – 4 = 4 √ y + 1 ; y – 2 = 2 √ y + 1 y 2 + 4 – 4y = 4y + 4; y 2 – 8y = 0 y = 8 8 x = 17 y = 0 (no vale) x = 17; y = 8 2. Resuelve: ° x 2 + x y + y 2 = 21 a) ¢ £x + y = 1

° x – y = 27 b) ¢ £ log x – 1 = log y

° log (x 2 + y) – log (x – 2y) = 1 c) ¢ x + 1 = 25 y + 1 £5

a) y = 1 – x; x 2 + x (1 – x) + (1 – x)2 = 21 x 2 + x – x 2 + 1 + x 2 – 2x = 21; x 2 – x – 20 = 0 x=

1 ± √ 1 + 80 1±9 = = 2 2

5 8 y = –4 –4 8 y = 5

x1 = – 4; y1 = 5 x2 = 5; y2 = – 4 b) x = 27 + y ° § ¢ x log =1 § y £ 10y = 27 + y; 9y = 27; y = 3 x = 10; x = 10y; x = 30 y x = 30; y = 3 Unidad 3. Álgebra

11

x2 + y = 1 °§ x – 2y ¢ 5x + 1 = 52y + 2 §£

c) log

x 2 + y = 10x – 20y ° ¢ x + 1 = 2y + 2 £ x = 2y + 1 4y 2 + 1 + 4y + y = 20y + 10 – 20y 4y 2 + 5y – 9 = 0 y=

–9/4 8 x = –7/2 1 8 x=3

–5 ± √ 25 + 144 –5 ± 13 = = 8 8

x1 = 3; y1 = 1 x2 =

–7 –9 ; y2 = 2 4

Página 82 1. Reconoce como escalonados y resuelve: ° x =7 § a) ¢ 2x – 3y =8 § 3x + y – z = 12 £

° 3x + 4y =0 § b) ¢ 2y = –6 § 5x + y – z = 17 £

° 3x = –3 § c) ¢ 5y = 20 § 2x + y – z = –2 £

° y =4 § d) ¢ x – z = 11 § y–z=7 £

= 7° a) x § 2x – 3y = 8¢ § 3x + y – z = 12 £

° x=7 § 2x – 8 § =2 y= ¢ 3 § z = 3x + y – 12 = 21 + 2 – 12 = 11 § £

= 0° b) 3x + 4y § 2y = –6 ¢ § 5x + y – z = 17 £

–6 y=— =–3 2 –4y x=—=4 3 z = 5x + y – 17 = 20 – 3 – 17 = 0

= –3 ° § 5y = 20 ¢ § 2x + y – z = –2 £

x = –1 ° § y=4 ¢ § z = 2x + y + 2 = –2 + 4 + 2 = 4 £

c) 3x

12

° § § ¢ § § £

x=7 y=2 z = 11

x=4 y = –3 z=0

x = –1 y=4 z=4

Unidad 3. Álgebra

UNIDAD

d)

= 4° § – z = 11 ¢ § y – z = 7£

y=4 ° § z = y – 7 = 4 – 7 = –3 ¢ § x = 11 + z = 11 – 3 = 8 £

y x

3

x=8 y=4 z = –3

2. Resuelve los siguientes sistemas escalonados: ° y = –5 § a) ¢ 2z = 8 § 3x =3 £ ° x + 2y – z = –3 § b) ¢ 3x + y = –5 § 5y = –10 £ ° x – 5y + 3z = 8 § c) ¢ 3y – z = 5 § 4z = 4 £ ° 4x + y – z = 7 § d) ¢ 2y =8 § 3x =9 £ a)

y 3x

= –5 ° § 2z = 8 ¢ § = 3£

b) x + 2y – z = –3 ° § 3x + y = –5 ¢ § 5y = –10 £

y = –5 z=4 x=1

° § ¢ § £

x=1 y = –5 z=4

y = –10 = –2 5 –5 – y x= = –1 3 z = x + 2y + 3 = –2

° § § ¢ § § £

x = –1 y = –2 z = –2

c) x – 5y + 3z = 8 ° § 3y – z = 5 ¢ § 4z = 4 £

° z=1 § 5+z § y= =2 ¢ 3 § x = 8 + 5y – 3z = 8 + 10 – 3 = 15 § £

d) 4x + y – z = 7 ° § 2y =8¢ § 3x =9£

x= 9 =3 3 8 y= =4 2 z = 4x + y – 7 = 9

Unidad 3. Álgebra

° § § ¢ § § £

x = 15 y=2 z=1

x=3 y=4 z=9

13

Página 83 3. Resuelve por el método de Gauss: ° x+y+z=2 § a) ¢ x – y + z = 6 § x – y–z=0 £ a) x + y + z = 2 ° § x – y + z =6¢ x – y – z = 0 §£

° 2x + 3y = 14 § b) ¢ x – 2y + z = –3 § 2x – y – z = 9 £ 1.a 2.a + 1.a 3.a + 1.a

° x=1 § z=4–x=3 ¢ y = 2 – x – z = 2 – 1 – 3 = –2 §£

b) 2x + 3y = 14 ° § x – 2y + z = –3 ¢ 2x – y – z = 9 §£

1.a 2.a 3.a + 2.a

x+ y + z =2° § 2x + 2z = 8 ¢ 2x = 2 §£

x + y + z =2° § x + z =4¢ x = 1 §£

x=1 y = –2 z=3 2x + 3y = 14 ° § x – 2y + z = –3 ¢ 3x – 3y = 6 §£

° x = 20 = 4 § 5 § 14 – 2x ¢ y= =2 § 3 § z = –3 – x + 2y = –3 – 4 + 4 = –3 £

1.a 2.a 3.a + 1.a

2x + 3y = 14 ° § x – 2y + z = –3 ¢ 5x = 20 §£

x=4 y=2 z = –3

4. Resuelve: ° 5x – 4y + 3z = 9 § a) ¢ 2x + y – 2z = 1 § 4x + 3y + 4z = 1 £ ° 2x – 5y + 4z = –1 § b) ¢ 4x – 5y + 4z = 3 § 5x – 3z = 13 £

a) 5x – 4y + 3z = 9 ° § 2x + y – 2z = 1 ¢ 4x + 3y + 4z = 1 §£ 24x = 24 °§ 2x + y – 2z = 1 ¢ § –x + 5z = –1 £

14

1.a + 4 · 2.a 2.a 3.a – 3 · 2.a

13x – 5z = 13 ° § 2x + y – 2z = 1 ¢ –2x + 10z = –2 §£

x=1 –1 + x z= =0 5 y = 1 – 2x + 2z = –1

° § § ¢ § § £

2 · 1.a + 3.a 2.a 3.a : 2

x=1 y = –1 z=0

Unidad 3. Álgebra

UNIDAD

b) 2x – 5y + 4z = –1 ° § 4x – 5y + 4z = 3 ¢ 5x – 3z = 13 §£

2x – 5y + 4z = –1 ° § 2x = 4¢ 5x – 3z = 13 §£

1.a 2.a – 1.a 3.a

x=2 5x – 13 z = ––––––––– = –1 3 2x + 4z + 1 1 y = ––––––––––– = — 5 5

° § § ¢ § § £

3

x=2 1 y= 5 z = –1

Página 84 5. Intenta resolver por el método de Gauss: ° x + y + z = –2 § a) ¢ x – 2y – z = 3 § 2x – y – z = 0 £

° x + y + z = –2 § b) ¢ x – 2y – z = 3 § 2x – y – z = 1 £

° x – y + 4z = 3 § c) ¢ 2x – y + 4z = 8 § x + y – z=2 £

° x – y + 4z = 3 § d) ¢ 2x – y + 4z = 8 § x + y – 4z = 1 £

a) ° x + y + z = –2 § ¢ x – 2y – z = 3 § 2x – y – z = 0 £

1.a 2.a + 1.a 3.a

° x + y + z = –2 § =1 ¢ 2x – y § 2x – y = 0 £

Las ecuaciones 2.a y 3.a dicen cosas contradictorias (si 2x – y es igual a 1, no puede ser igual a 2). Por tanto, el sistema es incompatible. b) ° x + y + z = –2 § ¢ x – 2y – z = 3 § 2x – y – z = 1 £

1.a 2.a + 1.a 3.a

° x + y + z = –2 § =1 ¢ 2x – y § 2x – y = 1 £

1.a 2.a 3.a – 2.a

° x + y + z = –2 § =1 ¢ 2x – y §0 =0 £

Solo quedan dos ecuaciones. Resolvemos el sistema obteniendo y, z en función de x: (2.a) 8 y = 2x – 1 (1.a) 8 z = –2 – y – x = –2 – (2x – 1) – x = –2 – 2x + 1 – x = –3x – 1 ° y = 2x – 1 Soluciones : ¢ £ z = –3x – 1 Para cada valor de x, se obtiene una solución del sistema. Por ejemplo: °x = 0 § Para x = 0 8 ¢ y = –1 § z = –1 £

Unidad 3. Álgebra

° x = –2 § Para x = –2 8 ¢ y = –5 §z = 5 £

15

c) ° x – y + 4z = 3 § ¢ 2x – y + 4z = 8 § x + y – z=2 £ ° x – y + 4z = 3 § + 0z = 1 ¢ 0x § x + y – z=2 £ d) ° x – y + 4z = 3 § ¢ 2x – y + 4z = 8 § x + y – 4z = 1 £ ° x+ 4z = 3 § 0z = 0 ¢ 0x + § x + y – 4z = 1 £

° x – y + 4z = 3 § + 3z = 10 ¢ 3x § x + y – z=2 £

1.a 2.a + 3.a 3.a

1.a 2.a – 3 · 1.a 3.a

La segunda ecuación es absurda. No puede ser 0 = 1. Por tanto, el sistema no tiene solución. ° x+ 4z = 3 § 3z = 9 ¢ 3x + § x + y – 4z = 1 £

1.a 2.a + 3.a 3.a

1.a 2.a – 3 · 1.a 3.a

La segunda ecuación no dice nada. No es una ecuación. Por tanto, solo quedan dos ecuaciones, la 1.a y la 3.a.

Resolvemos el sistema resultante dando los valores de x e y en función de z : z=3 8 x=3–z °x + ¢ £ x + y – z = 1 8 y = 1 – x + z = 1 – (3 – z) + z = –2 + 2z °x = 3 – z Soluciones : ¢ £ y = –2 + 2z Para cada valor que le demos a z, se obtiene una solución del sistema. Por ejemplo: Para z = 0 8 x = 3, y = –2 Para z = 4 8 x = –1, y = 6

Página 85 1. Resuelve estas inecuaciones: a) 3x – 2 Ì 10

b) x – 2 > 1

c) 2x + 5 Ó 6

d) 3x + 1 Ì 15

a) 3x – 2 Ì 10 8 3x Ì 12 8 x Ì 4

b) x – 2 > 1 8 x > 3

Soluciones : {x / x Ì 4} = (–@, 4]

Soluciones : {x / x > 3} = (3, +@)

1 2

d) 3x + 1 Ì 15 8 3x Ì 14 8 x Ì

c) 2x + 5 Ó 6 8 2x Ó 1 8 x Ó

[

)

1° 1 ° Soluciones : ¢ x / x Ó ¢ = , +@ 2 2 £ £

16

(

14 3

14 ° 14 ° Soluciones : ¢ x / x Ì ¢ = –@, 3 3 £ £

]

Unidad 3. Álgebra

UNIDAD

3

2. Resuelve estos sistemas de inecuaciones: ° 3x – 2 Ì 10 a) ¢ £x – 2 > 1

° 2x + 5 Ó 6 b) ¢ £ 3x + 1 Ì 15

Obserevamos que las inecuaciones que forman ambos sistemas se han resuelto en el ejercicio anterior. °x Ì 4 a) ¢ £x > 3

Soluciones : {x / 3 < x Ì 4} = (3, 4]

° 1 §x Ó — 2 § b) ¢ 14 §x Ì — § 3 £

[

1 14 ° 1 14 ° Soluciones : ¢ x / Ì x Ì ¢= , 2 3 £ 2 3 £

]

Página 86 3. Resuelve las siguientes inecuaciones: a) x 2 – 3x – 4 < 0

b) x 2 – 3x – 4 Ó 0

c) x 2 + 7 < 0

d) x 2 – 4 Ì 0

a)

x 2 – 3x – 4 < 0 8 intervalo (–1, 4)

Y 4 2 –2

2

X

4

–2

y = x2 – 3x – 4

b) x 2 – 3x – 4 Ó 0 8 (– @ , –1] « [4, +@) c)

x 2 + 7 < 0 8 No tiene solución

Y 12 8

y = x2 + 7

4 X –2

2

4

d) x2 – 4 Ì 0 La parábola y = x2 – 4 queda por debajo del eje X en el intervalo (–2, 2); y corta al eje X en x = –2 y en x = 2. Por tanto, las soluciones de la inecuación son los puntos del intervalo [–2, 2]. Unidad 3. Álgebra

17

4. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones: ° x 2 – 3x – 4 Ó 0 a) ¢ £ 2x – 7 > 5 ° x2 – 4 Ì 0 b) ¢ £x – 4 > 1 a)

Y

2x – 7 > 5 8 2x > 12 8 x > 6 8 (6, +@)

4

x 2 – 3x – 4 Ó 0 8 (–@, –1] « [4, +@)

2

Solución: (6, +@) 2

–2

4

X

–2

y = x2 – 3x – 4

b) x 2 – 4 Ì 0 ° ¢ x–4>1 £ • Las soluciones de la primera inecuación son lon puntos del intervalo [–2, 2]. (Ver apartado d) del ejercicio anterior). • Las soluciones de la segunda inecuación son: x – 4 > 1 8 x > 5 8 (5, +@) • Las soluciones del sistema serán los puntos en común de los dos intervalos. Por tanto, el sistema no tiene solución.

Página 87 LENGUAJE MATEMÁTICO 1. De las siguientes igualdades, ¿cuáles son identidades?

a) (x – 3) (x – 2) x = x 3 – 5x 2 + 6x b) (x – 3) (x – 2) x = x 3 c) a m · a n = a m + n d)

3 x 3 – 3x – 5 = x 2 + 2x + 1 – x–2 x–2

Comprueba, en ellas, que la igualdad es cierta para cualesquiera valores de las variables (haz la comprobación para varios números). Son identidades a), c) y d).

18

Unidad 3. Álgebra

UNIDAD

3

2. Resuelve, paso a paso, la ecuación

(x 2 – 6x + 9) x 2 = x 4 – 6x 3 + 36 y explica en cada paso por qué la ecuación que se obtiene es equivalente a la que había. Cuando el paso consista en obtener una expresión idéntica a otra, señala cuál es la expresión transformada, cuál es la obtenida y qué operación permite pasar de la una a la otra. (x 2 – 6x + 9)x 2 = x 4 – 6x 3 + 36 x 4 – 6x 3 + 9x 2 = x 4 – 6x 3 + 36 En el primer miembro se ha efectuado la multiplicación: (x 2 – 6x + 9)x 2 = x 4 – 6x 3 + 9x 2. Ha convenido ponerlo en forma polinómica para poder simplificar en el segundo miembro. 9x 2 = 36 Esta ecuación es equivalente a la anterior porque se han simplificado algunos términos de ambos miembros. x 2 = 36 : 9 = 4 Ecuación equivalente, por haber dividido los dos miembros por 9. x = ±2

Unidad 3. Álgebra

19

Página 92 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR

Factorización 1 Descompón en factores estos polinomios y di cuáles son sus raíces: a) x 3 – 2x 2 – x + 2

b) x 4 – 5x 2 + 4

c) 2x 3 – 3x 2 – 9x + 10

d) x 5 – 7x 4 + 10x 3 – x 2 + 7x – 10

e) 6x 4 – 5x 3 – 23x 2 + 20x – 4

f ) x 5 – 16x

g) 4x 2 – 25

h)4x 2 + 4x + 1

a) (x + 1) (x – 1) (x – 2) 8 Raíces: –1, 1, 2 b) (x – 1) (x + 1) (x – 2) (x + 2) 8 Raíces: 1, –1, 2, –2 c) (x – 1) (x + 2) (4x – 10) 8 Raíces: 1, –2,

10 4

d) (x – 1) (x – 2) (x – 5) (x 2 + x + 1) 8 Raíces: 1, 2, 5 e) (x + 2) (x – 2) (2x – 1) (3x – 1) 8 Raíces: –2, 2,

1 1 , 2 3

f) x (x – 2) (x + 2) (x 2 + 4) 8 Raíces: 0, 2, –2 g) (2x + 5) (2x –5) 8 Raíces: h) (2x + 1)2 8 Raíz: –

5 5 ,– 2 2

1 2

2 Halla, en cada uno de los siguientes casos, el máx.c.d. [A(x), B (x)] y el mín.c.m. [A(x), B (x)]: a) A(x) = x 2 + x – 12; B (x) = x 3 – 9x b) A(x) = x 3 + x 2 – x – 1; B (x) = x 3 – x c) A(x) = x 6 – x 2; B (x) = x 3 – x 2 + x – 1 a) A (x) = (x – 3) (x + 4); B (x) = x (x – 3) (x + 3) máx.c.d. = (x – 3) mín.c.m. = x (x – 3) (x + 3) (x + 4) b) A (x) = (x – 1) (x + 1)2; B (x) = x (x – 1) (x + 1) máx.c.d. = (x – 1) (x + 1) mín.c.m. = x (x – 1) (x + 1)2

20

Unidad 3. Álgebra

UNIDAD

3

c) A (x) = x 2 (x + 1) (x – 1) (x 2 + 1); B (x) = (x – 1) (x 2 + 1) máx.c.d. = (x – 1) (x 2 + 1) mín.c.m. = x 2 (x + 1) (x – 1) (x 2 + 1) 3 Resuelve las siguientes ecuaciones, factorizando previamente: a) x 3 – 7x – 6 = 0 b) 2x 3 – 3x 2 – 9x + 10 = 0 c) x 4 – 5x 3 + 5x 2 + 5x – 6 = 0 d) 3x 3 – 10x 2 + 9x – 2 = 0 e) x 5 – 16x = 0 f ) x 3 – 3x 2 + 2x = 0 g) x 3 – x 2 + 4x – 4 = 0 a)

0 –1

–7 1

–6 6

1

–1 –2

–6 6

0

1

–3 3

0

1

0

2

–3 2

2

–1 –10 –4 10

2

–5

0

1

–5 1

5 –4

5 1

–6 6

1

–4 –1

1 5

6 –6

0

1

–5 2

6 –6

0

1

–3 3

0

1

0

–1 –2 3

b) 1 –2

c) 1 –1 2 3

Unidad 3. Álgebra

x1 = –1; x2 = –2; x3 = 3

1

–9 10 –1 –10

x1 = 1; x2 = –2; x3 =

5 2

0

x1 = 1; x2 = –1; x3 = 2; x4 = 3

21

d) 1

3 –10 3

9 –7

–2 2

3

–7 6

2 –2

0

3

–1

0

2

x1 = 1; x2 = 2; x3 =

1 3

e) x (x 4 – 16) = 0; x (x 2 – 4) (x 2 + 4) = 0 x1 = 0; x2 = 2; x3 = –2 f) x (x 2 – 3x + 2) = 0; x (x – 1) (x – 2) = 0 x1 = 0; x2 = 1; x3 = 2 g)

1

–1 1

4 0

–4 4

1

0

4

0

1

x=1

Fracciones algebraicas 4 Simplifica las fracciones: a)

9 – x2 x 2 – 3x

a)

(3 – x) (3 + x) – (3 + x) = x (x – 3) x

b)

b)

3

–2 6

–7 8

–2 2

3

4 –3

1 –1

0

3

1

0

2 –1

3x 3 – 2x 2 – 7x – 2 x 3 – 4x

3x 2 + 4x + 1 (x – 2) (x + 1) (3x + 1) = x (x – 2) (x + 2) x 2 + 2x

5 Opera y simplifica el resultado: a)

3a + 3 (a + 1)2 : 12a – 12 a2 – 1

b)

x 2 + 2x – 3 (x – 2)2 · (x – 2)3 x2 – 1

c)

x – x – x x–2 x – 1 x 2 – 3x + 2

d)

(

(

e) 1 –

22

)(

x+1 – x x : 1+ x x+2 x+2

)

)

x+1 x+3 1 · : x+2 x+2 x+2

Unidad 3. Álgebra

UNIDAD

a)

3 (a + 1) (a + 1) (a – 1) 1 = 12 (a – 1) (a + 1)2 4

b)

(x + 3) (x – 1) (x – 2)2 x+3 = (x – 2) (x + 1) (x – 2)3 (x + 1) (x – 1)

c)

3

2 2 x (x – 1) – x (x – 2) – x = x – x – x + 2x – x = 0 (x – 2) (x – 1) (x – 2) (x – 1)

2 x+2+x 3x + 2 x+2 d) (x + 1) (x + 2) – x : = · = x+2 x (x + 2) 2x + 2 x (x + 2)

=

3x + 2 3x + 2 = x (2x + 2) 2x (x + 1)

x 2 + 4 + 4x – x 2 – 4x – 3 1 · (x + 2) = x+2 (x + 2)2

e)

6 Demuestra las siguientes identidades: a)

(

b) c)

(

1 2x + 1+x 1 – x2

a2

)(

)

1 – 1 1 = x x

a2 – 1 a 2 + 2a + 1 : =1 – 3a + 2 a2 – a – 2

)(

)

x–2 – x–3 1 – 1 : = 2x – 5 x–3 x–2 x–3 x–2

(

a) 1 – x + 2x 1 – x2

) · ( 1 –x x ) = ( (1 – 1x)+(1x + x) ) · ( 1 –x x ) = ( 1 –1 x ) · 1 –x x = x1

(a + 1) (a – 1) (a + 1) (a – 2) (a + 1)2 : = =1 (a – 2) (a – 1) (a – 2) (a + 1) (a – 2) (a + 1)

b)

(

) ( (x(x––2)3)–(x(x––2)3) ) =

2 2 c) (x – 2) – (x – 3) : (x – 3) (x – 2)

=

(x – 2 + x – 3) (x – 2 – x + 3) x–2–x+3 : = (x – 3) (x – 2) (x – 3) (x – 2)

=

(2x – 5) 1 (2x – 5) (x – 3) (x – 2) : = = 2x – 5 (x – 3) (x – 2) (x – 3) (x – 2) (x – 3) (x – 2)

Ecuaciones de primer y segundo grado 7 Entre estas ecuaciones de primer grado, hay dos que no tienen solución, dos que tienen infinitas soluciones y dos que tienen solución única. Identifica cada caso y resuelve las que sean posible: Unidad 3. Álgebra

23

a)

x+1 2x + 3 =x– 2 4

b) x + c)

3–x 2 –1= x 3 3

1+x 2+x (x + 1) 2 (x – 1) 2 – = – 2 4 16 16

d) 0,2x + 0,6 – 0,25(x – 1)2 = 1,25x – (0,5x + 2)2 e) (5x – 3)2 – 5x(4x – 5) = 5x(x – 1) f)

2x + 1 (x + 1) (x – 2) x – 2 (x – 2) 2 – = – 7 2 2 2

a) 2x + 2 = 4x – 2x – 3; 5 = 0 No tiene solución. b) 3x + 3 – x – 3 = 2x; 0 = 0 Infinitas soluciones. 2 2 8 + 8x 8 + 4x c) x + 1 + 2x – = x + 1 – 2x – 16 16 16 16

2x – 8 – 8x = –2x – 8 – 4x; 0 = 0 Infinitas soluciones. d) 0,2x + 0,6 – 0,25 (x 2 + 1 – 2x ) = 1,25x – (0,25x 2 + 4 + 2x) 0,2x + 0,6 – 0,25x 2 – 0,25 + 0,5x = 1,25x – 0,25x 2 – 4 – 2x 1,45x = – 4,35 x = –3 e) 25x 2 + 9 – 30x – 20x 2 + 25x = 5x 2 – 5x ; 9 = 0 No tiene solución. f) 4x + 2 – 7 (x 2 – x – 2) = 7x – 14 – 7 (x 2 + 4 – 4x) 4x + 2 – 7x 2 + 7x + 14 = 7x – 14 – 7x 2 – 28 + 28x 58 = 24x 29 x= 12 8 Resuelve las siguientes ecuaciones: 2 x2 + 2 a) x – 1 + (x – 2) 2 = 2 3

b) 0,5(x – 1) 2 – 0,25(x + 1) 2 = 4 – x c) (0,5x – 1) (0,5x + 1) = (x + 1) 2 – 9 d)

24

3 2

(

x –2 2

)

2

–

x+1 1 – x–1 = 8 8 4 Unidad 3. Álgebra

UNIDAD

3

x (x – 3) x (x + 2) (3x – 2) 2 + = +1 2 4 8 ) ) 2 f) 0,3x – x – 1,3 = 0 e)

☛ Expresa los decimales periódicos en forma de fracción y obtendrás soluciones enteras.

a) 2x 2 – 2 + 6 (x 2 + 4 – 4x) = 3x 2 + 6 2x 2 – 2 + 6x 2 + 24 – 24x = 3x 2 + 6 5x 2 – 24x + 16 = 0 x=

4 4/5

24 ± 16 = 10

x1 = 4; x2 =

4 5

b) 0,5 (x 2 + 1 – 2x) – 0,25 (x 2 + 1 + 2x) = 4 – x 0,5x 2 + 0,5 – x – 0,25x 2 – 0,25 – 0,5x = 4 – x 0,25x 2 – 0,5x – 3,75 = 0 x 2 – 2x – 15 = 0 x=

5 –3

2±8 = 2

x1 = –3; x2 = 5 c) 0,25x 2 – 1 = x 2 + 1 + 2x – 9 0 = 0,75x 2 + 2x – 7 x=

x1 = 2; x2 = – d)

3 2

2 –70/15 = –14/3

–2 ± 5 = 1,5

( x4

2

14 3

)

+ 4 – 2x –

x+1 1 2x – 2 = – 8 8 8

3x 2 + 48 – 24x – x – 1 = 1 – 2x + 2; 3x 2 – 23x + 44 = 0 x=

23 ± 1 = 6

x1 = 4; x2 =

4 11/3

11 3

e) 4x (x – 3) + 2x (x + 2) = 9x 2 + 4 – 12x + 8 4x 2 – 12x + 2x 2 + 4x = 9x 2 + 4 – 12x + 8 0 = 3x 2 – 4x + 12 8 No tiene solución. Unidad 3. Álgebra

25

2 3x 4 f) x – – = 0 8 x 2 – 3x – 4 = 0 3 3 3

x=

3 ± √ 9 + 16 3±5 = = 2 2

4 –1

x1 = 4, x2 = –1

Página 93 9 Resuelve estas ecuaciones incompletas de segundo grado sin aplicar la fórmula general y comprueba las soluciones: ☛ Recuerda: ax 2 + c = 0 se resuelve despejando x. ax 2 + bx = 0 se resuelve sacando factor común e igualando a cero cada factor.

a) (x + 1) 2 – (x – 2) 2 = (x + 3) 2 + x 2 – 20 b)

x 2 – 2x + 5 x 2 + 3x x 2 – 4x + 15 – = 2 4 6

c)

3x + 1 5x 2 + 3 x+2 x2 – 1 – = – 3 3 2 2

d) (x – a) 2 + x (x + b) = 8b 2 – x (2a – b) + a 2 a) x 2 + 1 + 2x – x 2 – 4 + 4x = x 2 + 9 + 6x + x 2 – 20 0 = 2x 2 – 8; x 2 = 4 x1 = –2; x2 = 2 b) 6x 2 – 12x + 30 – 3x 2 – 9x = 2x 2 – 8x + 30 x 2 – 13x = 0 x1 = 0; x2 = 13 c) 6x + 2 – 15x 2 – 9 = 3x 2 – 3 – 2x – 4 0 = 18x 2 – 8x ; 2x (9x – 4) = 0 x1 = 0; x2 =

4 9

d) x 2 + a 2 – 2ax + x 2 + bx = 8b 2 – 2ax + bx + a 2 2x 2 = 8b 2; x 2 = 4b 2; x = ±2b x1 = 2b; x2 = –2b

26

Unidad 3. Álgebra

UNIDAD

3

Ecuaciones bicuadradas 10 Resuelve estas ecuaciones bicuadradas y comprueba las soluciones: a) x 4 – 5x 2 + 4 = 0

b) x 4 + 3x 2 – 4 = 0

c) x 4 + 3x 2 + 2 = 0

d) x 4 – 9x 2 + 8 = 0

a) x 2 =

5 ± √ 25 – 16 5±3 = = 2 2

4 1

x1 = 2; x2 = –2; x3 = 1; x4 = –1 b) x 2 =

–3 ± √ 9 + 16 –3 ± 5 = = 2 2

1 –4 (no vale)

x1 = 1; x2 = –1 c) x 2 =

–3 ± √ 9 – 8 –3 ± 1 = = 2 2

–1 –2

d) x 2 =

9 ± √ 81 – 32 9±7 = = 2 2

8 1

8 No tiene solución

x1 = 1; x2 = –1; x3 = 2 √ 2 ; x4 = –2 √ 2 11 Resuelve: a) (x 2 – 2) 2 = 1 b)

(

)

1 3x 4 – 1 1 4 x2 – 5 + x – 2 – x2 = 2 2 4 4

a) (x 2 – 2)2 = 1 8 x 4 – 4x 2 + 4 = 1 x 4 – 4x 2 + 3 = 0 x2 =

4 ± √ 16 – 12 4±2 = = 2 2

3 1

x1 = √3 ; x2 = – √3 ; x3 = 1; x4 = –1 b) 3x 4 – 1 + 2x 4 – 4 – x 2 = x 4 – 5 4x 4 – x 2 = 0 x2

(4x 2

– 1) = 0

x2 = 0 4x 2 – 1 = 0

x1 = 0; x2 = 1 ; x3 = – 1 2 2

Unidad 3. Álgebra

27

Ecuaciones con radicales 12 Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba las soluciones: a) √5x + 6 = 3 + 2x

b) x + √7 – 3x = 1

c) √2 – 5x + x √3 = 0

d) √2x + 3 + √x – 5 = 0

a) 5x + 6 = 9 + 4x 2 + 12x ; 0 = 4x 2 + 7x + 3 x=

–7 ± √ 49 – 48 –7 ± 1 = = 8 8

x1 = –1; x2 = –

–1 –3/4

3 4

b) 7 – 3x = 1 + x 2 – 2x ; 0 = x 2 + x – 6 x=

–1 ± √ 1 + 24 –1 ± 5 = = 2 2

2 (no vale) –3

x = –3 c) 2 – 5x = 3x 2; 0 = 3x 2 + 5x – 2 x=

–5 ± √ 25 + 24 –5 ± 7 = = 6 6

1/3 (no vale) –2

x = –2 d) 2x + 3 = x – 5; x = –8 (no vale) No tiene solución. 13 Resuelve: a) √2x + √5x – 6 = 4

b)

√

7x + 1 5x – 7 = 6 4

c) √x – 2 + √x + 1 = 3

a) 5x – 6 = 16 + 2x – 8 √ 2x 3x – 22 = – 8 √ 2x 9x 2 + 484 – 132x = 64 · 2x ; 9x 2 – 260x + 484 = 0 260 ± 224 = 18 x=2 x=

b)

484/18 = 242/9 (no vale) 2

2 7x + 1 = 25x + 49 – 70x 4 36

63x + 9 = 25x 2 + 49 – 70x ; 0 = 25x 2 – 133x + 40 x=

133 ± 117 = 50

5 8/25 (no vale)

x=5

28

Unidad 3. Álgebra

UNIDAD

3

c) Aislamos un radical: √x – 2 = 3 – √x + 1 Elevamos al cuadrado los dos miembros: x – 2 = 9 – 6 √x + 1 + x + 1 8 6 √x + 1 = 12 8 √x + 1 = 2 Repetimos el proceso: x + 1 = 4 8 x = 3 Comprobamos la solución, √3 – 2 + √3 + 1 = 3, vemos que es válida.

Ecuaciones con la x en el denominador 14 Resuelve estas ecuaciones y comprueba la validez de las soluciones: a)

x+2 5x + 6 + 3x = x 2

c)

x–2 x2 – x–1 = x – 1 (x – 1) (x – 2) 2 – x

b)

8 12 – x + =1 x+6 x–6

e)

2x + 3 3x + 1 x +1 + =1+ x2 x3 x

☛ Ten en cuenta que 2 – x = –(x – 2). d) f)

x – 1 x x+6 = + x–6 2 6 6–x x

√2

+

√ 2 = √2 x x

a) 2x + 4 + 6x 2 = 5x 2 + 6x x 2 – 4x + 4 = 0; x = 2 b) 8 (x – 6) + (12 – x) (x + 6) = x 2 – 36 8x – 48 + 12x + 72 – x 2 – 6x = x 2 – 36 0 = 2x 2 – 14x – 60 0 = x 2 – 7x – 30 x=

7 ± 13 = 2

10 –3

x1 = 10; x2 = –3 c) (x – 2)2 = x 2 + (x – 1)2 x 2 + 4 – 4x = x 2 + x 2 + 1 – 2x 0 = x 2 + 2x – 3 x=

–2 ± √ 4 + 12 –2 ± 4 = 2 2

1 (no vale) –3

x = –3

Unidad 3. Álgebra

29

d) 6x – 3 (x – 6) = x (x – 6) – 6 (x + 6) 6x – 3x + 18 = x 2 – 6x – 6x – 36 0 = x 2 – 15x – 54 x=

15 ± 21 = 2

18 –3

x1 = –3; x2 = 18 e) 3x + 1 + x 2 (x + 1) = x 3 + 2x 2 + 3x 3x + 1 + x 3 + x 2 = x 3 + 2x 2 + 3x 0 = x2 – 1 x1 = 1; x2 = –1 f) x 2 + 2 = 2x 2; 2 = x 2 x1 = √ 2 ; x2 = – √ 2

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas 15 Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales: 3

a) 3 x = √9 3

☛ Expresa √9 como potencia de base 3. b) 2 x · 2 x + 1 = 8 ☛ Multiplica el primer miembro. c) 5 · 7 –x = 35 ☛ Divide los dos miembros por 5. d) (0,5) x = 16 ☛ 0,5 es una potencia de base 2. e) √7x =

1 49

f ) 2 1/x = 16 g)

3 3x – 2 = 81 3x + 3

h)

( ) 2 5

x

=

8 125

i ) 2x · 5x = 0,1 ☛ Recuerda que 2 x · 5 x = (2 · 5 ) x.

30

Unidad 3. Álgebra

UNIDAD

3

2 3

a) 3 x = 3 2/3 ò x =

b) 22x + 1 = 23 ò x = 1 c) 7–x = 7 ò x = –1 d) 2–x = 24 ò x = – 4 e) 7x/2 = 7–2 ò x = – 4 f) 21/x = 24 ò x =

1 4

g) 33x – 2 – x – 3 = 34 ò x = h)

( ) ( ) x

2 5

=

2 5

3

9 2

ò x=3

i) 10x = 10–1 ò x = –1

Página 94 16 Resuelve, tomando logaritmos, estas ecuaciones: a)

1 = 27 ex

b) e x – 9 = √73

c) 2 x · 3 x = 81 a) 1 = 27 8 ex

d)

2x 3x + 1

=1

1 = e x 8 ln 1 = ln e x 27 27

x = ln 1 = ln 1 – ln 27 = 0 – ln 27 8 x ≈ –3,296 27 b) e x – 9 = √73

8 ln e x – 9 = ln √73

x – 9 = 1 ln 73 8 x = 9 + ln 73 2 2

8 x ≈ 11,145

c) 6 x = 81; x log 6 = log 81 x= d)

log 81 ≈ 2,453 log 6

2x = 1; ·3

3x x=

( 23 ) = 3; x log 23 = log 3 x

log 3 ≈ –2,710 log 2 – log 3

Unidad 3. Álgebra

31

17 Resuelve las siguientes ecuaciones mediante un cambio de variable: a) 2 x + 2 1 – x = 3

b) 2 x + 1 + 2 x – 1 =

c) 8 1 + x + 2 3x – 1 =

17 16

5 2

d) 2 2x – 5 · 2 x + 4 = 0 f ) 7 1 + 2x – 50 · 7 x + 7 = 0

e) 9 x – 3 x – 6 = 0 a) 2x + 2 = 3 2x z = 2x 8 z +

2 = 3; z 2 + 2 = 3z z

z 2 – 3z + 2 = 0; z =

3 ± √9 – 8 3±1 = = 2 2

2x = 2 8 x1 = 1;

2x = 1 8 x2 = 0

2 1

x 5 b) 2 · 2 x + 2 = ; 4 · 2 x + 2 x = 5; 2 x = 1 2 2

x=0 c) 23 + 3x + 23x – 1 =

17 16

x 3 17 8 2 x = z 8 128z 3 + 8z 3 = 17 8 · (2 x )3 + (2 ) = 16 2

(128 + 8) (z )3 = 17; (z )3 =

17 1 = 8z= 136 8

√

1 — = 1 8 2x = 1 2 2 8

x = –1 d) (2 x )2 – 5 · 2 x + 4 = 0 2x =

5 ± √ 25 – 16 5±3 = = 2 2

4 1

x1 = 0; x2 = 2 e) (3 x )2 – 3x – 6 = 0; 3 x =

1 ± √ 1 + 24 1±5 = = 2 2

3 –2 (no vale)

x=1 f) 7 · (7x )2 – 50 · 7x + 7 = 0; 7x =

50 ± 48 = 14

7 1/7

x1 = –1; x2 = 1

32

Unidad 3. Álgebra

UNIDAD

3

18 Resuelve las ecuaciones: a) log (x 2 + 1) – log (x 2 – 1) = log

13 12

b) ln (x – 3) + ln (x + 1) = ln 3 + ln (x – 1) c) 2ln (x – 3) = ln x – ln 4 d) log (x + 3) – log (x – 6) = 1 a) log

x2 + 1 13 = log 2 12 x –1

12x 2 + 12 = 13x 2 – 13; 25 = x 2 x1 = –5; x2 = 5 b) ln (x 2 – 2x – 3) = ln (3x – 3) x 2 – 2x – 3 = 3x – 3; x 2 – 5x = 0 x = 5 (x = 0 no vale) c) ln (x – 3)2 = ln x 2 + 9 – 6x =

x 4

x 4

4x 2 + 36 – 24x = x ; 4x 2 – 25x + 36 = 0 x=

25 ± 7 = 8

4 9/4 (no vale)

x=4 d) log

x+3 =1 x–6

x + 3 = 10x – 60; 63 = 9x x=7 19 Resuelve las ecuaciones: a) log (x + 9) = 2 + log x

b) log √3x + 5 + log √x = 1

c) 2 (log x ) 2 + 7 log x – 9 = 0

d) log (x 2 – 7x + 110) = 2

☛ Haz log x = y. e) log (x 2 + 3x + 36) = 1 + log (x + 3) a) log

x+9 =2 x

x + 9 = 100x ; 9 = 99x ; x = x=

f ) ln x + ln 2x + ln 4x = 3

9 1 = 99 11

1 11

Unidad 3. Álgebra

33

b)

log (x (3x + 5)) = 1; 3x 2 + 5x – 100 = 0 2 x=

5 –40/6 (no vale)

–5 ± 35 = 6

x=5 c) log x =

–7 ± √ 49 + 72 –7 ± 11 = = 4 4

1; x1 = 10 –18/4 = –9/2; x2 = 10–9/2

d) x 2 – 7x + 110 = 100; x 2 – 7x + 10 = 0 x=

7 ± √ 49 – 40 7±3 = = 2 2

5 2

x1 = 2; x2 = 5 2 e) log x + 3x + 36 = 1 x+3

x 2 + 3x + 36 = 10x + 30; x 2 – 7x + 6 = 0 x=

7 ± √ 49 – 24 7±5 = = 2 2

6 1

x1 = 1; x2 = 6 f) ln x + ln 2x + ln 4x = 3 ln (x · 2x · 4x) = 3 ln(8x 3) = 3 8 8x 3 = e 3 8 x 3 =

√ 3

x=

e3 8

=

e3 8

e e = 8 x= 2 2

Sistemas de ecuaciones 20 Resuelve: ° x · y = 15 § a) ¢ x 5 =— §— £ y 3

°1 1 5 §—+—=— b) ¢ x y 6 § 2x + 3y = 2 £

2 ° 2 c) ¢ x 2 + y 2 – 5x – 5y + 10 = 0 £ x – y – 5x + 5y + 2 = 0

° (x + y ) (x – y ) = 7 d) ¢ £ 3x – 4y = 0

☛ Suma las dos ecuaciones.

34

Unidad 3. Álgebra

UNIDAD

a) x =

3

5y 3

5y 2 = 15; y 2 = 9 3

y=3 8 x=5 y = –3 8 x = –5

x1 = 5, y1 = 3; x2 = –5, y2 = –3 5x (2 – 2x) b) 6y + 6x = 5xy ° 4 – 4x + 6x = 3 § ¢ 2 – 2x y= § 6x + 12 = 10x – 10x 2 3 £ 10x 2 – 4x + 12 = 0 5x 2 – 2x + 6 = 0 No tiene solución. c) 2x 2 – 10x + 12 = 0; x 2 – 5x + 6 = 0 x=

5 ± √ 25 – 24 5±1 = = 2 2

3 2

x 2 + y 2 – 5x – 5y + 10 = 0 –x 2 + y 2 + 5x – 5y – 2 = 0 2y 2 – y2

10y + 8 = 0

– 5y + 4 = 0

y=

5 ± √ 25 – 16 5±3 = = 2 2

4 1

x1 = 3, y1 = 4; x2 = 3, y2 = 1; x3 = 2, y3 = 4; x4 = 2, y4 = 1 d) x =

4y 3

y 7y · =7 3 3 y 2 = 9; y = ±3 x1 = 4, y1 = 3; x2 = – 4, y2 = –3 21 Resuelve: ° y 2 – 2y + 1 = x a) ¢ — £ √x + y = 5 — ° b) ¢ 2 √x + 1 = y + 1 £ 2x – 3y = 1 — ° c) ¢ √ 3 (x + y) + x = 12 £ 2x – y = 6 — ° d) ¢ √x + y + 2 = x + 1 £ 2x – y = 5 Unidad 3. Álgebra

35

a) x = (5 – y )2 y 2 – 2y + 1 = 25 + y 2 – 10y 8y = 24; y = 3; x = 4 x = 4; y = 3 b) 4x + 4 = y 2 + 1 + 2y ; x = x=

y 2 + 2y – 3 4

1 + 3y 2 + 6y = 2 4

y 2 + 2y – 3 = 2 + 6y y 2 – 4y – 5 = 0 y=

4 ± √ 16 + 20 4±6 = = 2 2

5 8 x=8 –1 8 x = –1

x1 = –1, y1 = –1; x2 = 8, y2 = 5 c) y = 2x – 6

√ 3 (3x – 6) = 12 – x 9x – 18 = 144 + x 2 – 24x 0 = x 2 – 33x + 162 x=

33 ± 21 = 2

27 8 y = 48 (no vale) 6 8 y=6

x = 6; y = 6 (x = 27, y = 48 no vale) d) y = 2x – 5

√ 3x – 5 = x – 1 3x – 5 = x 2 + 1 – 2x 0 = x 2 – 5x + 6 x=

5 ± √ 25 – 24 5±1 = = 2 2

3 8 y=1 2 8 y = –1

x1 = 2, y1 = –1; x2 = 3, y2 = 1 22 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones: °y – x = 1 a) ¢ x y £ 2 + 2 = 12

° 5x · 5y = 1 b) ¢ x y £ 5 : 5 = 25

a) y – x = 1 2x + 2y = 12 y = 1 + x 8 2x + 21 + x = 12 8 2x + 2 · 2x = 12 8 8 3 · 2x = 12 8 2x = 4 8 x = 2 8 y = 1 + 2 = 3 x = 2;

36

y=3 Unidad 3. Álgebra

UNIDAD

3

b) 5x · 5y = 1 5x : 5y = 25 5x 5x

= 50 8 x + y = 0 ° – y = 52 8 x – y = 2 ¢ £

+y

2x = 2 8 x = 1 1 + y = 0 8 y = –1 23 Resuelve: ° log x + log y = 3 a) ¢ £ log x – log y = –1

° log2 x + 3log2 y = 5 § b) ¢ x2 =3 § log2 — y £

° log (x 2y) = 2 c) ¢ 2 £ log x = 6 + log y

° x 2 – y 2 = 11 d) ¢ £ log x – log y = 1

° x – y = 25 e) ¢ £ log y = log x – 1

° ln x – ln y = 2 f) ¢ £ ln x + ln y = 4

a) 2 log x = 2 x = 10; y = 100 b) log2 x + 3 log2 y = 5

log2 x + 3 log2 y = 5

2 log2 x – log2 y = 3

6 log2 x – 3 log2 y = 9 7 log2 x

= 14

x = 4; y = 2 c) 2 log x + log y = 2 log x – 2 log y = 6

4 log x + 2 log y = 4 log x – 2 log y = 6 = 10 8 log x = 2

5 log x x = 100 ° § 1 ¢ y= § 100 £ d) log

x x = 1; = 10; x = 10y y y

100y 2 – y 2 = 11; 99y 2 = 11; y 2 = x=

1 9

8 y=±

1 3

10 1 ; y= 3 3

(y = – 13 Unidad 3. Álgebra

no vale

) 37

e) x = 25 + y y log = –1 x x=

° § ¢ § £

y = 0,1x 0,9x = 25

250 25 ; y= 9 9

f) ln x – ln y = 2 ° ¢ ln x + ln y = 4 £

Sumando las dos ecuaciones, queda: 2 ln x = 6 8 ln x = 3 8 x = e 3

Restando a la 2.a ecuación la 1.a, queda: 2 ln y = 2 8 ln y = 1 8 y = e Solución: x = e 3; y = e

Método de Gauss 24 Resuelve por el método de Gauss: ° x – y – z = –10 § a) ¢ x + 2y + z = 11 § 2x – y + z = 8 £ ° x+y+z=3 § b) ¢ 2x – y + z = 2 § x–y+z=1 £

a)

x – y – z = –10 ° x + 2y + z = 11 §¢ 2x – y + z = 8 §£

1.a 2.a + 1.a 3.a + 1.a

x – y – z = –10 ° 2x + y = 1 §¢ 3x – 2y = –2 §£

x – y – z = –10 ° x = 0 ° § 2x + y = 1 §¢ y = 1 ¢ 7x = 0 §£ z = –1 + 10 = 9 §£ b) x + y + z = 3 ° 2x – y + z = 2 §¢ x – y + z = 1 §£

1.a 2.a + 1.a 3.a + 1.a

38

x=0 y=1 z=9

x + y + z = 3° 3x +2z = 5 §¢ 2x +2z = 4 §£

x=1 ° x + y + z = 3° § 5 – 3x § 3x + 2z = 5 ¢ z = ——— = 1 ¢ 2 § –x = –1 §£ y=3–x–z=1£

1.a 2.a 3.a + 2 · 2.a

1.a 2.a 3.a – 2.a

x=1 y=1 z=1

Unidad 3. Álgebra

UNIDAD

3

25 Resuelve aplicando el método de Gauss: ° x + y + z = 18 § a) ¢ x –z=6 § x – 2y + z = 0 £ a) x + y + z = 18 x – z= 6 x – 2y + z = 0 1.a 2.a 3.a + 2.a

° x+ y+ z=2 § b) ¢ 2x + 3y + 5z = 11 § x – 5y + 6z = 29 £

° 1.a § 2.a ¢ a § 3. + 2 · 1.a £

x + y + z = 18 ° x – z = 6 §¢ 3x + 3z = 36 §£

1.a 2.a 3.a : 3

x + y + z = 18 ° x – z = 6 §¢ x + z = 12 §£

x + y + z = 18 ° x = 9 ° x=9 § y=6 x – z = 6 §¢ z = x – 6 = 3 ¢ 2x = 18 §£ y = 18 – x – z = 6 §£ z = 3

b) x + y + z = 2 ° 2x + 3y + 5z = 11 §¢ x – 5y + 6z = 29 §£

x + y + z = 2° y + 3z = 7 §¢ – 6y + 5z = 27 §£

1.a 2.a – 2 · 1.a 3.a – 1.a

1.a 2.a 3.a + 6 · 2.a

69 =3 ° x=1 x + y + z = 2 ° z = ––– 23 § § y + 3z = 7 ¢ y = 7 – 3z = 7 – 9 = –2 ¢ y = –2 23z = 69 §£ § z=3 x=2–y–z=2+2–3=1£

Página 95 26 Resuelve por el método de Gauss: ° x + y – 2z = 9 § a) ¢ 2x – y + 4z = 4 § 2x – y + 6z = –1 £ ° 2x – 3y + z = 0 § b) ¢ 3x + 6y – 2z = 0 § 4x + y – z = 0 £ a)

x + y – 2z = 9 Ø 2x – y + 4z = 4 §∞ 2x – y + 6z = –1 §±

1.a 2.a + 1.a 3.a + 1.a

x + y – 2z = 9 Ø 3x + 2z = 13 §∞ 2z = –5 §±

Ø x=6 –5 § z = —— § 2 § y = –2 ∞ 13 – 2z ———— x= =6 § –5 3 § z = –––– 2 y = 9 – x + 2z = 9 – 6 – 5 = –2 §±

Unidad 3. Álgebra

x + y – 2z = 9 Ø 3x + 2z = 13 §∞ 3x + 4z = 8 §±

1.a 2.a 3.a – 2.a

39

b) 2x – 3y + z = 0 Ø 3x + 6y – 2z = 0 §∞ 4x + y – z = 0 §±

1.a 2.a + 2 · 1.a 3.a + 1.a

2x – 3y + z = 0 Ø x = 0 7x = 0 §∞ y = 0 6x – 2y = 0 §± z = 0

27 Resuelve aplicando el método de Gauss: ° x– y =1 § a) ¢ 2x + 6y – 5z = – 4 § x+ y– z=0 £

° x + 2y + z = 3 § b) ¢ x – 2y + 5z = 5 § 5x – 2y + 17z = 1 £

° x + y + 3z = 2 § c) ¢ 2x + 3y + 4z = 1 § –2x – y – 8z = –7 £

° 2x – y – z = 2 § d) ¢ 3x – 2y – 2z = 2 § –5x + 3y + 5z = –1 £

° x+ y+ z=3 § e) ¢ –x + 2y + z = 5 § x + 4y + 3z = 1 £

° –2x + y + z = 1 § f ) ¢ 3x + 2y – z = 0 § –x + 4y + z = 2 £

☛ Encontrarás sistemas compatibles (determinados e indeterminados) y sistemas incompatibles. a) x – y = 1Ø 2x + 6y – 5z = –4 §∞ x + y – z = 0 §±

1.a 2.a + 3 · 1.a 3.a

Ø § ∞ § ±

1.a 2.a + 1.a 3.a + 1.a

x + 2y + z = 3 x + 3z = 4 x + 3z = 4/6

40

x – y = 1Ø –3x + y = – 4 §∞ x + y – z = 0 §±

1 ° y=— 2 § 1 3 x–y = 1§ ¢ x=1+ 2= 2 –2y = –1 § x+y – z = 0§ z= 3+ 1 =2 £ 2 2

b) x + 2y + z = 3 x – 2y + 5z = 5 5x – 2y + 17z = 1

c)

1.a 2.a – 5 · 3.a 3.a

x + y + 3z = 2 2x + 3y + 4z = 1 –2x – y – 8z = –7

Ø § ∞ § ±

x + 2y + z = 3 2x + 6z = 8 6x + 18z = 4

3 ° x= 2 § 1 § ¢ y= 2 § § z=2 £

Ø § ∞ § ±

1.a 2.a : 2 3.a : 6

Ø Las ecuaciones 2.a y 3.a dicen cosas contradicto§ rias. ∞ § El sistema es incompatible, no tiene solución. ±

1.a 2.a – 3 · 1.a 3.a + 1.a

x + y + 3z = 2 –x – 5z = –5 –x – 5z = –5

Ø § ∞ § ± Unidad 3. Álgebra

UNIDAD

3

Hay dos ecuaciones iguales. El sistema es compatible indeterminado. Buscamos las soluciones en función de z: x + y = 2 – 3z ° 8 (5 – 5z) + y = 2 – 3z 8 y = 2z – 3 ¢ –x = –5 + 5z £ 8 x = 5 – 5z Solución : x = 5 – 5z, y = 2z – 3, z = z d) 2x – y – z = 2 Ø 3x – 2y – 2z = 2 §∞ –5x + 3y + 5z = –1 § ±

1.a 2.a – 2 · 1.a 3.a + 5 · 1.a

Solución: x = 2, y =

1 3 , z= 2 2

e)

x+ y+ z=3 –x + 2y + z = 5 x + 4y + 3z = 1

Ø § ∞ § ±

1.a 2.a + 1.a 3.a – 1.a

° 2x – y – z = 2 § –x = –2 §¢ 5x – 2y = 9§ § £

x+ y+ z=3 3y + 2z = 8 3y + 2z = –2

x=2 5x – 9 1 y = ———– = — 2 2 3 z = 2x – y – 2 = — 2

° § § ¢ § § £

Ø § ∞ § ±

Las ecuaciones 2.a y 3.a obtenidas dicen cosas contradictorias. Por tanto, el sistema es incompatible. f) –2x + y + z = 1 3x + 2y – z = 0 –x + 4y + z = 2

Ø § ∞ § ±

1.a 2.a + 1.a 3.a – 1.a

–2x + y + z = 1 x + 3y =1 x + 3y =1

Ø § ∞ § ±

Hay dos ecuaciones iguales. El sistema es compatible indeterminado. Buscamos las soluciones en función del parámetro y: –2x + z = 1 – y ° 8 –2(1 – 3y) + z = 1 – y 8 z = 3 – 7y ¢ x = 1 – 3y £ Solución : x = 1 – 3y, z = 3 – 7y

Inecuaciones 28 Resuelve estas inecuaciones: x–1 a) 5(2 + x ) > –5x b) >x –1 2 d) 9x 2 – 4 > 0

e) x 2 + 6x + 8 Ó 0

c) x 2 + 5x < 0 f ) x 2 – 2x – 15 Ì 0

a) 10 + 5x > –5x; 10x > –10; x > –1 (–1, +@) b) x – 1 > 2x – 2; 1 > x (– @, 1) Unidad 3. Álgebra

41

c) x (x + 5) < 0 (–5, 0)

(

d) –@, – e)

) (

)

2 2 « , +@ 3 3

–6 ± √ 36 – 32 –6 ± 2 = = 2 2

–2 –4

(–@, – 4] « [–2, +@) f)

2 ± √ 4 + 60 2±8 = = 2 2

5 –3

[–3, 5] 29 Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones: ° 4x – 3 < 1 a) ¢ £x + 6 > 2

° 3x – 2 > –7 b) ¢ £5 – x < 1

° 5 – x < –12 c) ¢ £ 16 – 2x < 3x – 3

° 2x – 3 > 0 d) ¢ £ 5x + 1 < 0

☛ Resuelve cada inecuación y busca las soluciones comunes. Uno de los sistemas no tiene solución. a)

5° b) x > – — § (4, +@) 3¢ x > 4 §£

x – 4 ¢£

c) x > 17 19 x>— 5

° § § ¢ No tiene solución. 1 § x — 2

° § ¢ (17, +@) § £

30 Resuelve: a) x 2 – 7x + 6 Ì 0

b) x 2 – 7x + 6 > 0

c) (x + 1) x 2 (x – 3) > 0

d) x (x 2 + 3) < 0

a)

7 ± √ 49 – 24 7±5 = = 2 2

6 1

[1, 6] b) (–@, 1) « (6, +@) c) x + 1 > 0 ° x > –1 ° (3, +@) ° § x – 3 > 0 ¢£ x > 3 ¢£ §

¢ (–@, –1) « (3, +@)

§ x + 1 < 0 ° x < –1 ° (– @, –1) § ¢ ¢ x–3 3 ° 8 Ö x + 2 < 0 ¢£ x < –2 ¢£ x–3 –2 ¢£

PARA RESOLVER 32 Un inversor, que tiene 28 000 €, coloca parte de su capital en un banco al 8% y el resto en otro banco al 6%. Si la primera parte le produce anualmente 200 € más que la segunda, ¿cuánto colocó en cada banco? x al 8%

1 año

ÄÄ8

(28 000 – x) al 6%

0,08x 1 año

ÄÄ8

0,06 (28 000 – x)

0,08x = 0,06 (28 000 – x) + 200; 0,08x = 1 680 – 0,06x + 200 8 x = 13 428,57 € Colocó 13 428,57 € al 8% y 14 571,43 € al 6%. 33 Dos grifos llenan un depósito de 1 500 litros en una hora y doce minutos. Manando por separado, el primero tardaría una hora más que el segundo. ¿Cuánto tardaría en llenar el depósito cada grifo por separado? Entre los dos 8 1 500 litros en 1,2 horas 1.° 8 t + 1 ° ¢ 2.° 8 t £

1 1 1 + = (en 1 hora) t+1 t 1,2 1,2 (t + t + 1) t (t + 1) = 1,2t (t + 1) 1,2t (t + 1)

2,4t + 1,2 = t 2 + t t 2 – 1,4t – 1,2 = 0 t=

1,4 ± 2,6 = 2

2 –0,6 ¡Imposible!

El primero tardaría 3 horas, y el segundo, 2 horas. Unidad 3. Álgebra

43

34 Un granjero espera obtener 36 € por la venta de huevos. En el camino al mercado se le rompen cuatro docenas. Para obtener el mismo beneficio, aumenta en 0,45 € el precio de la docena. ¿Cuántas docenas tenía al principio? ☛ Iguala el coste de las docenas que se rompen a lo que aumenta el coste de las que quedan. Tenía x docenas 8

36 €/docena x

Le quedan x – 4 docenas 8

( 36x + 0,45) €/docena

( 36x + 0,45) (x – 4) = 36 (36 + 0,45x) (x – 4) = 36x 36x – 144 + 0,45x 2 – 1,8x = 36x 0,45x 2 – 1,8x – 144 = 0 x = 20 (x = –16 no vale) ò Tenía 20 docenas.

35 Un tendero invierte 125 € en la compra de una partida de manzanas. Desecha 20 kg por defectuosas y vende el resto, aumentando 0,40 € cada kilo sobre el precio de compra, por 147 €. ¿Cuántos kilogramos compró? ☛ Iguala el coste de las que se desechan más las ganancias al aumento de coste de las que quedan. Compró x kg 8

125 €/kg x

Vende (x – 20) kg 8

( 125x + 0,40) €/kg

( 125x + 0,40) (x – 20) = 147 (125 + 0,40x) (x – 20) = 147x 125x – 2 500 + 0,40x 2 – 8x = 147x 0,40x 2 – 30x – 2 500 = 0 x = 125 (x = –50 no vale) Compró 125 kg.

44

Unidad 3. Álgebra

UNIDAD

3

36 Varios amigos toman un refresco en una terraza y deben pagar 6 € por el total de las consumiciones. Como dos no tienen dinero, los demás les invitan, debiendo aumentar su aportación en 0,80 € cada uno. ¿Cuántos amigos son? 6 €/consumición x

Número de amigos 8 x 8 (x – 2)

( x6 + 0,80) = 6

(x – 2) (6 + 0,80x) = 6x 6x + 0,80x 2 – 12 – 1,6x = 6x 0,80x 2 – 1,6x – 12 = 0 x = 5 (x = –3 no vale) Son 5 amigos. 37 El cuadrilátero central es un rombo de 40 m de perímetro. Calcula las dimensiones del rectángulo sabiendo que la base es el triple de la altura.

4x = 40; x = 10 m 10

b

3b – 10 3b

b2 + (3b – 10)2 = 102 8 b2 + 9b2 + 100 – 60b = 100 8 10b2 – 60b = 0 8 8 b (10b – 60) = 0 8 b = 0, b = 6 Base: 18 m; Altura: 6 m 38 El número de visitantes a cierta exposición durante el mes de febrero se incrementó en un 12% respecto al mes de enero. Sin embargo, en marzo sufrió un descenso del 12% respecto a febrero. Si el número de visitantes de enero superó en 36 personas al de marzo, ¿cuántas personas vieron la exposición en enero? +12%

Enero ÄÄ8 x

–12%

Febrero ÄÄ8 1,12x

Marzo 0,88 · 1,12x = 0,9856x

x = 0,9856x + 36 ò x = 2 500 personas Unidad 3. Álgebra

45

Página 96 39 La superficie de un triángulo equilátero es de 50 m2. Calcula el lado. h2 +

l

( 2l ) = l 2

2

2 2 √3 l h 2 = l 2 – l = 3l ; h = 2 4 4

l h

Área = l2 =

l

√ 3l 2 = 50 4

200 √ 200 = 10,75 m 8 l= — √3 √√ 3

A

2 dm

3 dm

40 Para cubrir el suelo de una habitación, un solador dispone de dos tipos de baldosas:

B

4 dm

5 dm

Eligiendo el tipo A, se necesitarían 40 baldosas menos que si se eligiera el tipo B. ¿Cuál es la superficie de la habitación? n.° baldosas A 8 x ° Superficie: 12x = 10 (x + 40) ¢ n.° baldosas B 8 x + 40 £ 12x = 10x + 400 2x = 400 x = 200 baldosas 200 · 12 = 2 400

dm2

= 24 m

41 En un número de dos cifras, las decenas son el triple de las unidades. Si se invierte el orden de las cifras, se obtiene otro número 54 unidades menor. Calcula el número inicial.

° § ¢ § £

3x x · 8 30x + x = 31x D U x 3x · 8 10x + 3x = 13x D U

31x = 13x + 54 18x = 54 x=3

El número es el 93.

46

Unidad 3. Álgebra

UNIDAD

3

42 Le pregunté a mi padre: ¿Cuánto vale el chocolate con churros en la cafetería de la esquina? —No sé, nunca me he fijado. —Pero hombre..., lo acabamos de tomar mamá, la abuela, mis dos hermanas, tú y yo. ¿Cuánto has pagado? —Algo más de 14 euros. —El domingo pasado, además de nosotros seis, invitaste a dos amigos míos. ¿Cuánto pagaste? —Era poco menos de 20 euros, pues puse un billete y dejé la vuelta. ¿Cuánto vale el chocolate con churros en la cafetería de la esquina? ) 6x > 14 8 x > 2, 3 8x < 20 8 x < 2,5 Entre 2,34 y 2,50 €.

43 Resuelve: a) 3x 4 – 75x 2 = 0

b) √4x + 5 = x + 2

c) √2x – 3 – √x – 5 = 2

d)

(

1 x 3 + = x + 2 5(x + 3) 10

)

1 e) x · (x + 1) · (x – 2) · x – =0 2 f) (x 2 – 9) (√x + 3) = 0

g) ( √x – x + 2)x = 0

a) 3x 2 (x 2 – 25) = 0 x1 = 0; x2 = 5; x3 = –5 b) 4x + 5 = x 2 + 4 + 4x ; 1 = x 2

x=1 x = –1

x1 = 1; x2 = –1 c) 2x – 3 = 4 + x – 5 + 4 √ x – 5 x – 2 = 4 √x – 5 x 2 + 4 – 4x = 16 (x – 5) x 2 + 4 – 4x = 16x – 80 x 2 – 20x + 84 = 0 x=

20 ± 8 = 2

14 6

x1 = 6; x2 = 14 Unidad 3. Álgebra

47

d)

2 10 (x + 3) + 2x (x + 2) = 3 (x + 5x + 6) 10 (x + 2) (x + 3) 10 (x + 2) (x + 3)

10x + 30 + 2x 2 + 4x = 3x 2 + 15x + 18 0 = x 2 + x – 12 x=

3

–1 ± 7 = 2

–4

x1 = 3; x2 = – 4 1 2

e) x1 = 0; x2 = –1; x3 = 2; x4 = f) x1 = 3; x2 = –3 g) x = 0

√x = x – 2 x1 = 0; x2 = 4 (x = 1 no vale) 44 Resuelve: a)

| x 2– 3 | = 4

b) |x 2 – 1| = 3

x–3 –––––– = 4 ò x – 3 = 8 ò x = 11 2 a) x–3 –––––– = –4 ò x – 3 = –8 ò x = –5 2

° § § x1 = 11 ¢ x = –5 § 2 § £

b) x 2 – 1 = 3 ò x 2 = 4 ò x = ±2 ° x1 = 2 x 2 – 1 = –3 ò x 2 = –2 (no vale) ¢£ x2 = –2 45 Resuelve estas ecuaciones de grado superior a dos en las que puedes despejar la incógnita: a)

3x 25 + =0 5 9x 2

b)

x – 2 =0 8 81x 3

d)

2 – 5x 3 =0 5x 2

e)

x+1 – x – 1 =0 x2 x + 1 x3 + x2

a)

27x 3 + 125 =0 ò x=– 45x 2

b)

81x 4 – 16 24 16 = 0 ò x4 = = 4 3 81 8 · 81x 3

√ 3

c)

x – 1 =0 2 x2

125 –5 –5 = ò x= 3 3 27 ò x1 =

2 –2 ; x2 = 3 3

3

c) x 3 – 2 = 0 ò x = √ 2

48

Unidad 3. Álgebra

UNIDAD

d) 4 – 25x 4 = 0 ò x 4 = x=±

√

x1 =

√ 10 ; x = – √ 10 2

4

4 =± 25

√

5

3

4 25

2 √ 10 =± 5 5 5

e) (x + 1) (x + 1) – x · x 2 – 1 = 0 x 2 + 2x + 1 – x 3 – 1 = 0 –x 3 + x 2 + 2x = 0 –x (x 2 – x – 2) = 0 x 1 = 0, x 2 = –1, x 3 = 2 46 Resuelve: — — — ° √x + y – √x – y = √2y a) ¢ £x + y = 8

— — ° √4y + 2x = √ 3y + x – 1 b) ¢ £ y + x = –5

° (x + 3) ( y – 5) = 0 c) ¢ £ (x – 2) ( y – 1) = 0 a) x = 8 – y

√8 – √8 – 2y = √2y 8 √8 – √2y = √8 – 2y 8 8 8 + 2y – 2√16y = 8 – 2y 8 2y – 8√y = –2y 8 8 4y = 8√y 8 16y 2 = 64y 8 16y 2 – 64y = 0 8 8 16y (y – 4) = 0

y=0 8 x=8 y=4 8 x=4

x1 = 8, y1 = 0; x2 = 4, y2 = 4 b) x = –5 – y

√ 4y – 10 – 2y = √ 3y – 5 – y – 1 √ 2y – 10 = √ 2y – 5 – 1 2y – 10 = 2y – 5 + 1 – 2 √ 2y – 5 2 √ 2y – 5 = 6

√ 2y – 5 = 3 2y – 5 = 9 x = –12; y = 7 c) x1 = –3, y1 = 1; x2 = 2, y2 = 5

Unidad 3. Álgebra

49

47 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) |x – 5| = 3x – 1 b) |x + 2| = |x – 6| c) |x 2 – 3x + 1| = 1 d) |x 2 – x| = |1 – x 2| a) x – 5 = 3x – 1 ò –2x = 4; x = –2 (no vale) 5 – x = 3x – 1 ò 6 = 4x ; x =

3 2

b) x + 2 = x – 6 ò Imposible x + 2 = 6 – x ò 2x = 4 ò x = 2 c) x 2 – 3x + 1 = 1 ò x 2 – 3x = 0 ò x (x – 3) = 0 x 2 – 3x + 1 = –1 ò x 2 – 3x + 2 = 0 x=

3 ± √9 – 8 3±1 = = 2 2

2 1

x1 = 0; x2 = 1; x3 = 2; x4 = 3 d) x 2 – x = 1 – x 2 ò 2x 2 – x – 1 = 0 x2 – x = x2 – 1 ò x = 1 x=

1 ± √1 + 8 1±3 = = 4 4

x1 =

–1 ; x2 = 1 2

1 –1/2

48 Resuelve por tanteo: a) 2 x = x 3 b) ln x = –x a) 2x = x 3; x ≈ 1,37 b) x ≈ 0,57

49 Resuelve por tanteo las siguientes ecuaciones, sabiendo que tienen una solución en el intervalo indicado: a) x 3 – x – 2 = 0 en [1, 2] b) 3x 3 + x 2 – 3 = 0 en [0, 1] a) x ≈ 1,52 b) x ≈ 0,90

50

Unidad 3. Álgebra

UNIDAD

3

50 Queremos repartir, mediante un sistema de ecuaciones, 330 euros entre tres personas de forma que la primera reciba 20 euros más que la segunda y la tercera la mitad de lo que han recibido entre las otras dos. ¿Cómo lo hacemos? Llamamos x a los euros que recibe la primera; y a los que recibe la segunda, y z a los que recibe la tercera. Así, tenemos que: x + y + z = 330 ° § x + y + z = 330 ° x = y + 20 § = 20 §¢ ¢ x – y x+y § § z = ––––––– § x + y – 2z = 0 £ 2 £ x + y + z = 330 x – y = 20 3x + 3y = 660

° § ¢ § £

1.a 2.a 3.a : 3

1.a 2.a 3.a + 2 · 1.a

x + y + z = 330 ° x – y = 20 §¢ x + y = 220 § £

1.a 2.a 3.a + 2.a

x + y + z = 330 ° x = 120 ° § x – y = 20 §¢ y = x – 20 = 100 ¢ § 2x = 240 z = 330 – x – y = 110 § £ £ Solución: x = 120 € recibe la 1.a; y = 100 € recibe la 2.a; z = 110 € recibe la 3.a. 51 La suma de las tres cifras de un número es igual a 7. La cifra de las decenas es una unidad mayor que la suma de las otras dos. Si invertimos el orden de las cifras, el número aumenta en 99 unidades. ¿Cuál es ese número? Llamamos x a la cifra de las centenas, y a la de las decenas, y z a la de las unidades. Así, el número es: x y z 8 100x + 10y + z Tenemos que: x+y+z=7 x + y + z = 7° ° § y=x+z+1 x – y + z = –1 §¢ ¢ 100z + 10y + x = 100x + 10y + z + 99 § 99x – 99z = –99 § £ £ x + y + z = 7° x – y + z = –1 §¢ x – z = –1 § £ 1.a 2.a 3.a + 2.a

1.a 2.a + 1.a 3.a

x + y + z = 7° 2x + 2z = 6 §¢ x – z = –1 § £

1.a 2.a : 2 3.a

x + y + z = 7° x + z = 3 §¢ x – z = –1 § £

x +y + z = 7° x=1 ° x=1 § y=4 x + z = 3 §¢ z = 3 – x = 2 ¢ 2x = 2§ y=7–x–z=7–1–2=4§ z=2 £ £

Solución: El número es el 142. Unidad 3. Álgebra

51

Página 97 CUESTIONES TEÓRICAS 52 ¿Qué valores ha de tomar el parámetro k para que x 2 – 6x + k = 0 no tenga soluciones reales? 36 – 4k < 0; 36 < 4k ; 9 < k ; k > 9 53 Halla m para que al dividir el polinomio 2x 4 + 9x 3 + 2x 2 – 6x + m entre x + 4, el resto sea igual a 12. 2

9 –8

2 –4

–6 8

m –8

2

1

–2

2

m–8

–4

m – 8 = 12 ò m = 20 54 Escribe un polinomio de grado 4 que solo tenga por raíces 0 y 1. Por ejemplo: P (x) = x 3 (x – 1); Q (x ) = x 2 (x – 1) 55 Justifica por qué este sistema de ecuaciones no puede tener solución: ° x+y–z=3 § ¢ 2x – y + z = 5 § x+y–z=2 £ La primera y la tercera ecuación son contradictorias. 56 Invéntate ecuaciones que tengan por soluciones los valores: a) 3, –3, √7 y – √7 c) 0,

b) 5; 0,3 y –2

1 y 0,7 2

d) 0, 1, –1 y

(

a) (x – 3) (x + 3) x – √ 7

1 3

) (x + √ 7 ) = (x 2 – 9) (x 2 – 7) = x 4 – 16x 2 + 63

b) (x – 5) (x – 0,3) (x + 2) = x 3 – 3,3x 2 – 9,1x + 3

(

c) x x –

1 2

)

(x – 0,7) = x (x – 0,5) (x – 0,7) = x 3 – 1,2x 2 + 0,35x

(

d) x (x – 1) (x + 1) x –

52

)

1 1 1 = x4 – x3 – x2 + x 3 3 3 Unidad 3. Álgebra

UNIDAD

3

PARA PROFUNDIZAR 57 Resuelve estas ecuaciones de segundo grado en las que la incógnita es x: a) abx 2 – (a + b)x + 1 = 0 ☛ Al aplicar la fórmula general, verás que el discriminante es un cuadrado perfecto: a 2 + b 2 – 2ab = (a – b) 2

b) (x – a)2 – 2x (x + a) – 4a 2 = 0 c) ax 2 + bx + b – a = 0 d) (a + b)x 2 + bx – a = 0 a) x =

a + b ± √ (a + b ) 2 – 4ab a + b ± √ a 2 + b 2 + 2ab – 4ab = = 2ab 2ab

a + b ± (a – b ) = = 2ab

x1 =

a + b + a – b 2a 1 —––––––––––––– = ––––– = –––– 2ab 2ab b a + b – a + b 2b 1 —––––––––––––– = ––––– = –––– 2ab 2ab a

1 1 ; x2 = a b

b) x 2 + a 2 – 2ax – 2x 2 – 2ax – 4a 2 = 0 x 2 + 4ax + 3a 2 = 0 x=

–4a ± √ 16a 2 – 12a 2 –4a ± √ 4a 2 –4a ± 2a = = = 2 2 2 –4a + 2a –2a —––––––– = ––––– = –a 2 2 –4a – 2a –6a —––––––– = ––––– = –3a 2 2

=

x1 = – a; x2 = –3a c) x =

–b ± √ b 2 – 4a (b – a) –b ± √ b 2 – 4ab + 4a 2 = = 2a 2a

–b ± √ (2a – b )2 = = 2a

x1 = –1; x2 =

Unidad 3. Álgebra

–b + 2a – b 2a – 2b a – b —––––––––– = ––––––– = ––––– 2a 2a a –b – 2a + b —––––––––– = –1 2a

a–b a

53

d) x =

–b ± √ b 2 + 4a (a + b) –b ± √ b 2 + 4a 2 + 4ab –b ± (2a + b) = = = 2 (a + b) 2 (a + b) 2 (a + b)

=

–b + 2a + b a —––––––––– = ––––––– 2(a + b) a +b –b – 2a – b –(2a + 2b) —––––––––– = —––––––––– = –1 2(a + b) 2(a + b)

x1 = –1; x2 =

a a+b

58 Resuelve las siguientes inecuaciones: a) x 4 – 4x 2 < 0 c)

4 – x2 >0 (x – 3)2

a) x 2 (x 2 – 4) < 0 ò x 2 – 4 < 0

b) x 3 – x 2 – 6x < 0 –2 0 ¢£

d) x ? 1; (1, + @)

59 Una vasija contiene una mezcla de alcohol y agua en una proporción de 3 a 7. En otra vasija la proporción es de 2 a 3. ¿Cuántos cazos hemos de sacar de cada vasija para obtener 12 cazos de una mezcla en la que la proporción alcohol-agua sea de 3 a 5?

x cazos

(12 – x) cazos

V1

V2

3 alcohol 7 agua 3 alcohol 10

2 alcohol 3 agua 2 alcohol 5

12 cazos

3 alcohol 5 agua 3 alcohol 8

La proporción de alcohol es: 3 2 3 x + (12 – x) · = · 12 10 5 8 3x 24 – 2x 9 + = ; 3x + 48 – 4x = 45; x = 3 10 5 2 Solución: 3 cazos de la primera y 9 de la segunda.

54

Unidad 3. Álgebra

UNIDAD

3

AUTOEVALUACIÓN 1. Resuelve factorizando previamente. 3x 5 + x 4 – 9x 3 – 9x 2 – 2x = 0 3x 5 + x 4 – 9x 3 – 9x 2 – 2x = 0 x (3x 4 + x 3 – 9x 2 – 9x – 2) = 0 3

1 –3 –2 6 4

–1 3 2 3

–9 2 –7 8 1

3x 2 + 4x + 1 = 0 8 x =

–9 7 –2 2 0

–2 2 0

–4 ± √16 – 12 –4 ± 2 = = 6 6

–1 1 –— 3

La ecuación factorizada queda así:

( )

x (x + 1)2 · x +

1 (x – 2) = 0 3

1 Las soluciones son: x1 = 0; x2 = –1; x3 = – ; x4 = 2 3

2. Opera y simplifica el resultado.

(

(

)

x2 x 3x – : –1 x+1 x–1

x2

)

x2 x 2 – x (x – 1) x 3x 3x – : = : = x2 – 1 x2 – 1 x+1 x–1 x–1 =

(x 2 – x 2 + x)(x – 1) x (x – 1) 1 : = 3x (x 2 – 1) (x + 1)(x – 1)3x 3(x + 1)

3. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x 4 – 3x 2 + 2 = 0 c)

3x x 4 = – x2 – 4 x + 2 3

e) 22x

–6·

2x

+8=0

b) √8 + 2x – x = x + 6 d) 3x – 1 =

1

√3

f) ln x + ln 4 = 2 ln (x + 1)

g) |3x + 1| = |x – 3|

Unidad 3. Álgebra

55

a) x 4 – 3x 2 + 2 = 0 Hacemos el cambio y = x 2. y 2 – 3y + 2 = 0 8 y =

3 ± √9 – 8 3±1 = = 2 2

2 1

—

y = 2 8 x = ± √y

√2 — – √2

y = 1 8 x = ±√y

1 –1

Las soluciones son: x1 = √2 ; x2 = – √2 ; x3 = 1; x4 = –1 b) √8 + 2x – x = x + 6 8 √8 + 2x = 2x + 6 Elevamos al cuadrado ambos miembros.

(√8 + 2x )2 = (2x + 6)2

8 8 + 2x = 4x 2 + 36 + 24x 8 4x 2 + 22x + 28 = 0 8 2x 2

+ 11x + 14 = 0 x=

–11 ± √121 – 112 –11 ± 3 = = 4 4

–2 7 –— 2

Comprobada sobre la ecuación inicial, el resultado –

7 resulta ser no válido. 2

Por tanto, la solución de la ecuación es x = –2. c)

3x (x – 2) – 4 (x 2 – 4) 3x x 4 9x = – 8 = 8 2 3(x 2 – 4) –4 x+2 3 3(x – 4)

x2

8 9x = 3x 2 – 6x – 4x 2 + 16 8 x 2 + 15x – 16 = 0 8 8 x=

–15 ± √225 + 64 –15 ± 17 = = 4 2

1 –16

Soluciones: x1 = 1; x2 = –16 d) 3x – 1 =

1

√3

8 3x – 1 = 3 –1/2 8 x – 1 = –

1 1 8 x= 2 2

e) 22x – 6 · 2x + 8 = 0 8 (2 x )2 – 6 · 2 x + 8 = 0 Hacemos el cambio y = 2 x, con lo que obtenemos: y 2 – 6y + 8 = 0 8 y =

6 ± √36 – 32 6±2 = = 2 2

4 2

y = 4 8 2 x = 4 8 2 x = 22 8 x = 2 y = 2 8 2 x = 2 8 2 x = 21 8 x = 1 Soluciones: x1 = 1; x2 = 2

56

Unidad 3. Álgebra

UNIDAD

3

f) ln x + ln 4 = 2 ln (x + 1) 8 ln 4x = ln (x + 1)2 8 4x = (x + 1)2 8 8 x 2 – 2x + 1 = 0 8 (x – 1)2 = 0 8 x = 1 Solución: x = 1 3x + 1 = x – 3 8 2x = – 4 8 x = –2 3x + 1 = – (x – 3) 8 4x = 2 8 x = 1/2

g) |3x + 1| = |x – 3| Soluciones: x1 = –2; x2 =

1 2

4. Resuelve estos sistemas de ecuaciones: y – 2x = 0 ° a) ¢ y x £ 3 – 6 · 3 = –9 a)

b)

x + 2y + 2z = 3 ° § x + y + 3z = 0 ¢ § £ –2x + 3y + 3z = 1

y – 2x = 0 ° y = 2x ¢ 3 – 6 · 3x = –9 £ 32x – 6 · 3x = –9 y

Hacemos el cambio 3x = z: z 2 – 6z + 9 = 0 8 z =

6 ± √36 – 36 =3 2

3x = 3 8 x = 1 x=1 8 y=2 Solución: x = 1; y = 2 b)

x + 2y + 2z = 3 ° x + 2y + 2z = 3 ° x + 2y + 2z = 3 ° § 2.ª – 1.ª § § x + y + 3z = 0 ¢ ÄÄÄÄ8 –y + z = –3 ¢ –y + z = –3 ¢ § 3.ª + 2 · 1.ª § 3.ª + 7 · 2.ª § –2x + 3y + 3z = 1 £ ÄÄÄÄ8 7y + 7z = 7 £ ÄÄÄÄ8 14z = –14 £ 14z = –14 8 z = –1 –y + z = –3 8 –y – 1 = –3 8 y = 2 x + 2y + 2z = 3 8 x + 4 – 2 = 3 8 x = 1 Solución: x = 1; y = 2; z = –1

5. Resuelve: a) x (x – 1) – 2(x + 2) < x (x + 1)

b)

x 2 + 2x + 1 Ó0 x+3

a) x (x – 1) – 2(x + 2) < x (x + 1) 8 x 2 – x – 2x – 4 < x 2 + x 8 8 –4x – 4 < 0 8 4x > – 4 8 x > –1 Solución: x é (–1, +@) Unidad 3. Álgebra

57

b)

x 2 + 2x + 1 Ó0 x+3 Para que un cociente sea positivo, el numerador y el denominador han de serlo. x 2 + 2x + 1 = (x + 1)2, (x + 1)2 Ó 0 para cualquier valor de x. Para x = –3, la ecuación no tiene solución, ya que el denominador ha de ser cero. Veamos dónde es x + 3 positivo. x + 3 > 0 8 x > –3 Solución: x é (–3, +@)

6. La suma de las tres cifras de un número es igual a 7. La cifra de las decenas es una unidad mayor que la suma de las otras dos. Si invertimos el orden de las cifras, el número aumenta en 99 unidades. ¿Cuál es ese número? Supongamos que el número es xyz. xyz = z + 10y + 100x zyx = x + 10y + 100z Con los datos que tenemos, el sistema que se plantea es: x+y+z=7 ° § y=x+z+1 ¢ § x + 10y + 100z = 99 + z + 10y + 100x £ x+y+ z=7 ° x+ y+z=7° § 1.ª + 2.ª § –x + y – z = 1 ¢ ÄÄÄÄ8 2y + z = 8 ¢ 8 § § –x + y + z = 1 £ –99x + y + 99z = 99 £ x + z = 3° ¢ 2z = 4 8 –x + z = 1 £

y=4

z=2

–x + z = 1 8 –x + 2 = 1 8

x=1

El número buscado es el 142.

58

Unidad 3. Álgebra

4

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

Página 103 REFLEXIONA Y RESUELVE Problema 1 Para calcular la altura de un árbol, podemos seguir el procedimiento que utilizó Tales de Mileto para hallar la altura de una pirámide de Egipto: comparar su sombra con la de una vara vertical cuya longitud es conocida. ■

Hazlo tú siguiendo este método y sabiendo que: — la vara mide 124 cm, — la sombra de la vara mide 37 cm, — la sombra del árbol mide 258 cm. Para solucionar este problema habrás utilizado la semejanza de dos triángulos. 124 37 = x 258 x

x=

258 · 124 = 864,65 cm 37

124 cm 37 cm 258 cm

La altura del árbol es de 864,65 cm.

Problema 2 ì

Bernardo conoce la distancia AB a la que está del árbol y los ángulos CBA y ì BAC; y quiere calcular la distancia BC a la que está de Carmen. ì

ì

Datos: AB = 63 m; CBA = 42o; BAC = 83o ■

Para resolver el problema, primero realiza un dibujo a escala 1:1 000 (1 m 8 8 1 mm). Después, mide la longitud del segmento BC y, deshaciendo la escala, obtendrás la distancia a la que Bernardo está de Carmen. BC = 42 mm

Unidad 4. Resolución de triángulos

A 63 m

B

42°

83°

C

1

Deshaciendo la escala: BC = 42 m

2

Unidad 4. Resolución de triángulos

UNIDAD

4

Problema 3 ■

Análogamente puedes resolver este otro: Bernardo ve desde su casa el castillo y la abadía. Conoce las distancias a ambos lugares, pues ha hecho el camino a pie muchas veces; y quiere averiguar la distancia del castillo a la abadía. Para ello debe, previamente, medir el ánì gulo CBA . ì — — Datos: BC = 1 200 m; BA = 700 m; CBA = 108o.

■

Utiliza ahora la escala 1:10 000 (100 m 8 1 cm). 100 m 8 1 cm 1 200 m 8 12 cm 700 m 8 7 cm — — CA = 14,7 cm ò CA = 1 470 m A

700 m 8 7 cm 108° B

C

1200 m 8 12 cm

NOTA: El triángulo está construido al 50% de su tamaño.

Problema 4 ■

Calcula, aplicando el teorema de Pitágoras: a) Los lados iguales de un triángulo rectángulo isósceles cuya hipotenusa mide 1.

1 x

x

b) La altura de un triángulo equilátero de lado 1. Haz todos los cálculos manteniendo los radicales. Debes llegar a las siguientes soluciones: x=

√2 2

Unidad 4. Resolución de triángulos

y=

1

y

√3 2

1 2

3

a) 12 = x 2 + x 2 8 1 = 2x 2 8 x 2 = b) 12 = y 2 +

( 12 )

2

8 y2 = 1 – s

Página 104

t

1 3 = 4 4

1 2

8 x=

8 y=

1

—

√2

=

√2 2

√3 2

–0,92

c

1. Calcula tg a sabiendo que sen a = 0,39. Hazlo, también, con calculadora. cos a = √1 – (sen a)2 = √1 – 0,392 = 0,92 tg a =

sen a = 0,42 cos a

Con calculadora:

s ß 0,39 = t = {≠Ÿ¢“«∞«|£‘≠‘°}

2. Calcula cos a sabiendo que tg a = 1,28. Hazlo, también, con calculadora. s2 + c2 = 1 ° ¢ Resolviendo el sistema se obtiene s = 0,79 y c = 0,62. s/c = 1,28 £ Con calculadora:

s t 1,28 = © = {≠Ÿ\‘∞\¢¢≠¢‘£|}

Página 105 1. Sabiendo que el ángulo a está en el segundo cuadrante (90° < a < 180°) y sen a = 0,62, calcula cos a y tg a. cos a = – √1 – 0,622 = –0,78 0,62

tg a =

c t

0,62 = –0,79 –0,78

2. Sabiendo que el ángulo a está en el tercer cuadrante (180° < a < 270°) y cos a = –0,83, calcula sen a y tg a. sen a = – √1 – (0,83)2 = –0,56 tg a =

4

–0,56 = 0,67 –0,83

Unidad 4. Resolución de triángulos

UNIDAD

4

t –0,83 s

Unidad 4. Resolución de triángulos

5

3. Sabiendo que el ángulo a está en el cuarto cuadrante (270° < a < 360°) y tg a = –0,92, calcula sen a y cos a. s/c = – 0,92 ° ¢ El sistema tiene dos soluciones: s2 + c2 = 1 £ s = – 0,68; c = 0,74 s = 0,68; c = – 0,74 Teniendo en cuenta dónde está el ángulo, la solución es la primera: sen a = –0,68, cos a = 0,74 4. Completa en tu cuaderno la siguiente tabla y amplíala para los ángulos 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330° y 360°. 0°

sen cos tg

30°

45°

60°

—

—

90° 120° 135° 150° 180°

1/2 √2/2 √3/2

0

1

—

√3/2

1

0

—

√3/3

0

–

Ayúdate de la representación de los ángulos en una circunferencia goniométrica. sen cos tg

0°

30°

0

1/2 √ 2/2 √ 3/2

1 0

—

60°

—

—

1

—

—

√ 3/3 225° —

√3

1

√ 3/3

—

—

1

–

—

—

√ 3/2 √ 2/2

—

√3

–1 0 –

150° 180°

1/2

—

—

–1/2 –√ 2/2 –√ 3/2 —

–√ 3

240° 270° 300°

cos –√ 3/2 –√ 2/2 –1/2 —

0

—

–1/2 –√ 2/2 –√ 3/2 —

tg

90° 120° 135°

√ 3/2 √ 2/2 1/2

210°

sen

45°

—

–1 315°

—

–√ 3/3 330°

—

–√ 3/2 –√ 2/2 –1/2 1/2 —

–√ 3

—

√ 2/2 –1

—

√ 3/2 —

–√ 3/3

0 –1 0 360°

0 1 0

Página 106 1. Halla las razones trigonométricas del ángulo 2 397°: a) Obteniendo la expresión del ángulo en el intervalo [0°, 360°). b) Obteniendo la expresión del ángulo en el intervalo (–180°, 180°]. c) Directamente con la calculadora. a) 2 397° = 6 · 360° + 237°

6

b) 2 397° = 7 · 360° – 123°

sen 2 397° = sen 237° = –0,84

sen 2 397° = sen (–123°) = –0,84

cos 2 397° = cos 237° = –0,54

cos 2 397° = cos (–123°) = –0,54

tg 2 397° = tg 237° = 1,54

tg 2 397° = tg (–123°) = 1,54

Unidad 4. Resolución de triángulos

UNIDAD

4

2. Pasa cada uno de los siguientes ángulos al intervalo [0°, 360°) y al intervalo (–180°, 180°]: a) 396°

b) 492°

c) 645°

d) 3 895°

e) 7 612°

f ) 1 980°

Se trata de expresar el ángulo de la siguiente forma: k o –k, donde k Ì 180° a) 396° = 396° – 360° = 36° b) 492° = 492° – 360° = 132 ° c) 645° = 645° – 360° = 285 ° = 285° – 360° = –75° d) 3 895° = 3 895° – 10 · 360° = 295 ° = 295° – 360° = –65 ° e) 7 612° = 7 612° – 21 · 360° = 52 ° f) 1 980° = 1 980° – 5 · 360° = 180 ° Cuando hacemos, por ejemplo, 7 612° = 7 612° – 21 · 360°, ¿por qué tomamos 21? Porque, previamente, hemos realizado la división 7 612 / 360 = {“‘…¢¢………}. Es el cociente entero.

Página 107 LENGUAJE MATEMÁTICO 1. Di el valor de las siguientes razones trigonométricas sin preguntarlo a la cal-

culadora. Después, compruébalo con su ayuda: a) sen (37 Ò 360° – 30°)

b) cos (–5 Ò 360° + 120°)

c) tg (11 Ò 360° – 135°)

d) cos (27 Ò 180° + 135°)

a) sen (37 · 360° – 30°) = sen (–30°) = –sen 30° = – b) cos (–5 · 360° + 120°) = cos (120°) = –

1 2

1 2

c) tg (11 · 360° – 135°) = tg (–135°) = –tg 135° = 1 d) cos (27 · 180° + 135°) = cos (28 · 180° – 180° + 135°) = = cos (14 · 360° – 45°) = cos (–45°) = cos 45° =

√2 2

2. Repite con la calculadora estos cálculos:

s t 1 P 10 = {°£…££££££££} s t 1 P 20 = {∫∫∫∫∫∫∫∫£≠} Explica los resultados. ¿Cómo es posible que diga que el ángulo cuya tangente vale 10 20 es 90° si 90° no tiene tangente? Es un ángulo que difiere de 90° una cantidad tan pequeña que, a pesar de las muchas cifras que la calculadora maneja, al redondearlo da 90°.

Unidad 4. Resolución de triángulos

7

Página 109 1. Calcula las razones trigonométricas de 55°, 125°, 145°, 215°, 235°, 305° y 325° a partir de las razones trigonométricas de 35°: sen 35° = 0,57; cos 35° = 0,82; tg 35° = 0,70 • 55° = 90° – 35° ò 55° y 35° son complementarios. sen 55° = cos 35° = 0,82 ° sen 55° 0,82 = = 1,43 ¢ tg 55° = cos 55° 0,57 cos 55° = sen 55° = 0,57 £ 1 = ≈ 1,43 0,70

)

(

1 También tg 55° = tg 35°

• 125° = 90° + 35° sen 125° = cos 35° = 0,82

125° 35°

cos 125° = –sen 35° = –0,57 tg 125° =

–1 –1 = = –1,43 tg 35° 0,70

• 145° = 180° – 35° ò 145° y 35° son suplementarios. sen 145° = sen 35° = 0,57

145° 35°

cos 145° = – cos 35° = –0,82 tg 145° = –tg 35° = –0,70

• 215° = 180° + 35° sen 215° = –sen 35° = –0,57

215°

cos 215° = – cos 35° = –0,82

35°

tg 215° = tg 35° = 0,70

• 235° = 270° – 35° sen 235° = – cos 35° = –0,82

235°

cos 235° = –sen 35° = –0,57 tg 235° =

8

35°

sen 235° –cos 35° 1 1 = = = = 1,43 cos 235° –sen 35° tg 35° 0,70

Unidad 4. Resolución de triángulos

UNIDAD

4

• 305° = 270° + 35° sen 305° = – cos 35° = –0,82 35°

cos 305° = sen 35° = 0,57 tg 305° =

sen 305° – cos 35° 1 = =– = – 1,43 cos 305° sen 35° tg 35°

305°

• 325° = 360° – 35° (= –35°) sen 325° = –sen 35° = –0,57 cos 325° = cos 35° = 0,82 tg 325° =

35° 325°

sen 325° –sen 35° = = –tg 35° = –0,70 cos 325° cos 35°

2. Averigua las razones trigonométricas de 358°, 156° y 342°, utilizando la calculadora solo para hallar razones trigonométricas de ángulos comprendidos entre 0° y 90°. • 358° = 360° – 2° sen 358° = –sen 2° = –0,0349 cos 358° = cos 2° = 0,9994 (*)

tg 358° = –tg 2° = –0,03492 (*)

tg 358° =

sen 358° –sen 2° = = –tg 2° cos 358° cos 2°

• 156° = 180° – 24° sen 156° = sen 24° = 0,4067 cos 156° = – cos 24° = –0,9135 –tg 24° = –0,4452 OTRA FORMA DE RESOLVERLO:

156° = 90° + 66° sen 156° = cos 66° = 0,4067 cos 156° = –sen 66° = –0,9135 tg 156° =

–1 –1 = = –0,4452 tg 66° 2,2460

• 342° = 360° – 18° sen 342° = –sen 18° = –0,3090 cos 342° = cos 18° = 0,9511 tg 342° = –tg 18° = –0,3249 Unidad 4. Resolución de triángulos

9

3. Dibuja, sobre la circunferencia goniométrica, ángulos que cumplan las siguientes condiciones y estima, en cada caso, el valor de las restantes razones trigonométricas: a) sen a = –

1, tg a > 0 2

b) cos a =

c) tg b = –1, cos b < 0

3, a > 90° 4

d) tg a = 2, cos a < 0

a) sen a = –1/2 < 0 ° 8 cos a < 0 8 a é 3.er cuadrante ¢ tg a > 0 £ sen a = –1/2 ° ¢ cos a ≈ –0,86 £ b) cos a = 3/4 ° 8 a é 4.° cuadrante ¢ a > 90º £ sen a ≈ –0,66 ° ¢ cos a = 3/4 £ c) tg b = –1 < 0 ° 8 sen b > 0 8 b é 2.° cuadrante ¢ cos b < 0 £ sen b ≈ 0,7 ° ¢ cos b ≈ –0,7 £ d) tg a = 2 > 0 ° 8 sen a < 0 8 a é 3.er cuadrante ¢ cos a < 0 £ sen a ≈ –0,9 ° ¢ cos a ≈ –0,45 £

Página 111 1. Las siguientes propuestas están referidas a triángulos rectángulos que, en todos los casos, se designan por ABC, siendo C el ángulo recto. ^

a) Datos: c = 32 cm, B = 57°. Calcula a. ^

b) Datos: c = 32 cm, B = 57°. Calcula b. ^

c) Datos: a = 250 m, b = 308 m. Calcula c y A . ^

d) Datos: a = 35 cm, A = 32°. Calcula b. ^

e) Datos: a = 35 cm, A = 32°. Calcula c. ^

a) cos B = ^

b) sen B =

10

a c

8 a = c cos B = 17,43 cm

b c

8 b = c sen B = 26,84 cm

^

^

Unidad 4. Resolución de triángulos

UNIDAD

4

c) c = √a 2 + b 2 = 396,69 m

° § § a tg A = = 0,81 8 A = 39° 3' 57'' ¢ 8 § b § £ a a 8 b= = 56,01 cm d) tg A = b tg A a a 8 c= = 66,05 cm e) sen A = c sen A ^

^

^

^

^

^

2. Para determinar la altura de un poste nos hemos alejado 7 m de su base y hemos medido el ángulo que forma la visual al punto más alto con la horizontal, obteniendo un valor de 40°. ¿Cuánto mide el poste? B

A

c

a

40° b = 7 cm

C

tg 40° =

a 8 a = 7 tg 40° = 5,87 m 7

3. Halla el área de este cuadrilátero. Sugerencia: Pártelo en dos triángulos. 146 m 48° 83 m 102°

187 m

98 m

83 m

1 A1 = 98 · 83 sen 102° = 3 978,13 m2 2 A2 =

1 187 · 146 sen 48° = 10 144,67 m2 2

El área es la suma de A1 y A2: 14 122,80 m2

Unidad 4. Resolución de triángulos

A1 102° 98 m 146 m 48° A2 187 m

11

Página 113 ^

1. En un triángulo ABC conocemos A = 68°, b = 172 m y a = 183 m. Calcula la longitud del lado c. C

AH = 172 cos 68° = 64,43 m CH = 172 sen 68° = 159,48 m — HB = √a 2 – CH 2 = 89,75 m

b = 172 m 68°

c = AH + HB = 64,43 m + 89,75 m = 154,18 m

^

a = 183 m

A

B

H

^

2. En un triángulo MNP conocemos M = 32°, N = 43° y NP = 47 m. Calcula MP . sen 43° =

PH 47

8

PH = 47 sen 43° = 32,05 m

P 47 m

PH sen 32° = MP

32,05 PH 8 MP = = = 60,49 m sen 32° sen 32°

M

43°

32° H

N

^

3. En un triángulo ABC conocemos a = 20 cm, c = 33 cm y B = 53°. Calcula la longitud del lado b. C

a = 20 cm

BH = a cos 53° = 12,04 cm CH = a sen 53° = 15,97 cm

b=?

HA = c – BH = 20,96 cm — — b = √CH 2 + HA 2 = 26,35 cm

53° B

H c = 33 cm

4. Estamos en A, medimos el ángulo bajo el que se ve el edificio (42°), nos alejamos 40 m y volvemos a medir el ángulo (35°). ¿Cuál es la altura del edificio y a qué distancia nos encontramos de él?

A

C

Observa la ilustración:

42°

35° A

12

40 m

B

Unidad 4. Resolución de triángulos

UNIDAD

tg 42° =

h d

tg 35° =

h d + 40

4

8 h = d tg 42° 8 h = (d + 40)tg 35°

8 d tg 42° = (d + 40) tg 35° 8 d =

40 tg 35° = 139,90 m tg 42° – tg 35°

h = d tg 42° = 125,97 m La altura es 125,97 m. La primera distancia es 139,90 m, y ahora, después de alejarnos 40 m, estamos a 179,90 m.

Página 114 ^

1. Repite la demostración anterior en el caso de que B sea obtuso. Ten en cuenta que: ^

C

^

sen (180° – B ) = sen B

A

B

H

C

b

h

a

^

(180° – B) A

^

sen A =

h b

B

c

H

8 h = b sen A

^

^

^

sen B = sen (180 – B ) =

h a

8 h = a sen B

^

b sen A = a sen B 8 ^

^

a b = sen A sen B ^

^

2. Demuestra detalladamente, basándote en la demostración anterior, la siguiente relación: a c = sen A sen C ^

^

^

Lo demostramos para C ángulo agudo. (Si fuese un ángulo obtuso razonaríamos como en el ejercicio anterior). Trazamos la altura h desde el vértice B. Así, los triángulos obtenidos AHB y CHB son rectángulos. Unidad 4. Resolución de triángulos

13

C

H b a

h

A

B

c

Por tanto, tenemos:

h c

^

sen A =

8 h = c sen A

^

^

sen C = ^

h 8 h = a sen C a

^

^

c sen A = a sen C a c = sen A sen C ^

^

Página 115 ^

3. Resuelve el mismo problema anterior (a = 4 cm, B = 30°) tomando para b los siguientes valores: b = 1,5 cm, b = 2 cm, b = 3 cm, b = 4 cm. Justifica gráficamente por qué se obtienen, según los casos, ninguna solución, una solución o dos soluciones. • b = 1,5 cm

A

a b = sen A sen B ^

4 1,5 = sen A sen 30°

8

^

^

) 4 · 0,5 = 1, 3 8 sen A = 1,5 ^

22 cm

b = 1,5 cm 30°

B

40°

a = 4 cm

C

B

7 cm

¡Imposible, pues sen A é [–1, 1] siempre! ^

No tiene solución. Con esta medida, b = 1,5 cm, el lado b nunca podría tocar al lado c .

14

Unidad 4. Resolución de triángulos

UNIDAD

• b = 2 cm a b = sen A sen B ^

^

8

4

A 4 · 0,5 5 cm = 1 8 A = 90° 8 sen A = 2 B 6 cm

4 2 = sen 30° sen A

^

^

8 cm C

b = 2 cm

30°

B

a = 4 cm

Se obtiene una única solución. • b = 3 cm ^

4 3 = sen A sen 30°

) 4 · 0,5 8 sen A = = 0,6 8 3 B ^

^

° A1 = 41° 48' 37,1" ¢ £ A2 = 138° 11' 22,9" ^

C 3 cm 105°

4 cm

b =A3 cm

b= B

30°

3 cm

a = 4 cm ^

^

Las dos soluciones son válidas, pues en ningún caso ocurre que A + B > 180°. • b = 4 cm ° A = 30° 8 Una solución válida. 4 4 4 · 0,5 = 0,5 8 ¢ 1 = 8 sen A = sen A sen 30° 4 £ A2 = 150° ^

^

^

^

b = 4 cm

B ^

30° a = 4 cm ^

^

La solución A2 = 150° no es válida, pues, en tal caso, sería A + B = 180°. ¡Imposible!

Unidad 4. Resolución de triángulos

15

Página 117 4. Resuelve los siguientes triángulos: ^

a) a = 12 cm; b = 16 cm; c = 10 cm

b) b = 22 cm; a = 7 cm; C = 40°

c) a = 8 m; b = 6 m; c = 5 m

d) b = 4 cm; c = 3 cm; A = 105°

^

^

^

^

e) a = 4 m; B = 45° y C = 60°

^

f) b = 5 m; A = C = 35°

^

a) • a 2 = b 2 + c 2 – 2bc cos A

B

^

122 = 162 + 102 – 2 · 16 · 10 cos A

10 cm

^

144 = 256 + 100 – 320 cos A

12 cmP

256 + 100 – 144 = 0,6625 cos A = 320

A

^

16 cm

32°

A = 48° 30' 33"

C

x

^

• b 2 = a 2 + c 2 – 2ac cos B

B

^

256 = 144 + 100 – 2 · 12 · 10 cos B

y

7 cm

144 + 100 – 256 = –0,05 cos B = 240

C 10

cm

^

^

^

^

^

^

^

C = 180° – A – B

A

^

C = 38° 37' 29,5"

17

• A + B + C = 180° 8

cm

B = 92° 51' 57,5"

z

^

b) • c 2 = a 2 + b 2 – 2ab cos C

c 2 = 72 + 222 – 2 · 7 · 22 cos 40° =

D

= 49 + 484 – 235,94 = 297,06 c = 17,24 cm •

a c = sen A sen C ^

8

^

7 17,24 = sen 40° sen A ^

^

sen A =

7 sen 40° = 0,26 17,24

^

° A = 15° 7' 44,3" A= ¢ 1 £ A2 = 164° 52' 15,7" 8 ^

No válida ^

^

(La solución A2 no es válida, pues A2 + C > 180°). ^

^

^

• B = 180° – (A + C ) = 124° 52' 15,7"

16

Unidad 4. Resolución de triángulos

UNIDAD

4

^

c) • a 2 = b 2 + c 2 – 2bc cos A

^

64 = 36 + 25 – 2 · 6 · 5 cos A ^

cos A =

36 + 25 – 64 = –0,05 60

^

A = 92° 51' 57,5" ^

• b 2 = a 2 + c 2 – 2ac cos B

^

36 = 64 + 25 – 2 · 8 · 5 cos B ^

cos B =

64 + 25 – 36 = 0,6625 80

^

B = 48° 30' 33" ^

^

^

• C = 180° – (A + B ) = 38° 37' 29,5" (NOTA: Compárese con el apartado a). Son triángulos semejantes). ^

d) • a 2 = b 2 + c 2 – 2bc cos A = = 16 + 9 – 2 · 4 · 3 cos 105° = 31,21 a = 5,59 m •

a b = sen A sen B ^

^

5,59 sen 105° 4 · sen 105° sen B = 5,59 ^

x

= 0,6912

63°

° B = 43° 43'B25,3" B= ¢ 1 20 m 16' 34,7" 8 £72°B2 = 136° ^

^

^

90°

No válida

75°

^

^

^

B2 no es válida, pues A2 + B2 > 180°). H(La solución A ^

^

^

• C = 180° – (A + B ) = 31° 16' 34,7" ^

^

^

e) • A = 180° – ( B + C ) = 75° •

a b = sen A sen B ^

^

4 sen 75° 4 · sen 45° b= sen 75° •

a c = sen A sen C ^

^

8

= 2,93 m

4 c = sen 75° sen 60° 4 · sen 60° c= sen 75°

Unidad 4. Resolución de triángulos

= 3,59

17

Página 122 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR

Relación entre razones trigonométricas 1 Calcula las demás razones trigonométricas del ángulo a (0° < a < 90°) utilizando las relaciones fundamentales:

√3

a) sen a =

b) cos a =

2 3 d) sen a = 8

c) tg a =

2

e) cos a = 0,72

a) sen 2 a + cos 2 a = 1 8

( ) √3

2

2

√3 2

f) tg a = 3

+ cos 2 a = 1 8 cos 2 a = 1 –

3 1 = 4 4

8

1 2

8 cos a = tg a =

√2

sen a √3/2 = √3 = 1/2 cos a

b) sen 2 a +

( ) √2

2

2

= 1 8 sen 2 a = 1 –

2 1 = 4 2

8 sen a =

( )

8

1

√2

=

√2 2

—

tg a =

c)

√ 2/2 =1 — √ 2/2

1 = 1 + tg 2 a 8 cos 2 a

1 √3 =1+ 2 cos 2 a

8 cos 2 a = sen 2 a = 1 –

d) cos 2 a = 1 – tg a =

3/8

√55/8

( ) () 2 √7 7

3 8

=

2

2

=

3 7

4 7

2

8 cos a =

1 7 = cos 2 a 4 2

√7

8

8 cos a =

2 √7 7

—

8 sen a =

8 cos 2 a =

55 64

√ 3 √21 — = 7 √7

8 cos a =

√55 8

3√55 55

e) sen 2 a = 1 – (0,72)2 8 sen 2 a = 0,4816 8 sen a = 0,69 tg a =

18

0,69 = 0,96 0,72

Unidad 4. Resolución de triángulos

UNIDAD

f)

1 1 = 1 + 32 8 cos 2 a = cos 2 a 10 sen 2 a = 1 –

1 9 = 10 10

8 cos a =

8 sen a =

3

√10

=

1

√10

4

√10

=

10

3√10 10

2 Sabiendo que el ángulo a es obtuso, completa la siguiente tabla: sen a

0,92

0,5

cos a

– 0,12 – 0,8

tg a

– 0,75

–4

sen a

0,92

0,6

0,99

0,6

cos a

–0,39

–0,8

–0,12

–0,8

tg a

–2,36 –0,75 –8,25 –0,75 –0,57

a)

b)

c)

d)

0,5

0,96

–0,87 –0,24 –4

e)

f)

a) sen 2 a + cos 2 a = 1 8 0,922 + cos 2 a = 1 8 cos 2 a = 1 – 0,922 cos 2 a = 0,1536 8 cos a = – 0,39 a obtuso

7

8 cos a < 0

tg a = sen a = –2,36 cos a (Se podrían calcular directamente con la calculadora a = sen –1 0,92, teniendo en cuenta que el ángulo está en el segundo cuadrante). b)

1 1 = 1 + tg 2 a 8 = 1 + 0,5625 8 cos 2 a = 0,64 8 cos a = –0,8 2 cos a cos 2 a

(–0,75) · (– 0,8) = 0,6

tg a =sen a cos a

8

sen a = tg a · cos a=

c) sen 2 a = 1 – cos 2 a = 1 – 0,0144 = 0,9856 8 sen a = 0,99 0,99 tg a = sen a = = –8,25 –0,12 cos a d) sen 2 a = 1 – cos 2 a = 1 – 0,64 = 0,36 8 sen a = 0,6 0,6 tg a = sen a = = 0,75 –0,8 cos a (NOTA: es el mismo ángulo que el del apartado b)). e) cos 2 a = 1 – sen 2 a = 1 – 0,25 = 0,75 8 cos a = – 0,87 0,5 tg a = sen a = = –0,57 –0,87 cos a Unidad 4. Resolución de triángulos

19

f)

1 = 1 + tg 2 a = 1 + 16 8 cos 2 a = 0,059 8 cos a = – 0,24 cos 2 a sen a = tg a · cos a = (–4) · (– 0,24) = 0,96

3 Halla las restantes razones trigonométricas de a: a) sen a = – 4/5

a < 270°

b) cos a = 2/3

tg a < 0

c) tg a = – 3

a < 180°

° sen a < 0 § a) sen a < 0 ° 8 a é 3.er cuadrante 8 ¢ cos a < 0 ¢ § tg a > 0 a < 270° £ £ • cos 2 a = 1 – sen 2 a = 1 –

16 9 = 25 25

8 3 cos a = – 5

–4/5 4 • tg a = sen a = = –3/5 3 cos a b) cos a > 0 ° 8 sen a < 0 8 a é 4.° cu ¢ tg a < 0 £ drante • sen 2 a = 1 – cos 2 a = 1 –

4 5 = 9 9

8 sen a = –

√5 3

√5 • tg a = sen a = – cos a 2 c) tg a < 0 ° ¢ a < 180° £ sen a > 0 cos a < 0 •

8

1 1 = tg 2 a + 1 = 9 + 1 = 10 8 cos 2 a = 2 10 cos a

a é 2.° cuadrante

8 cos a = –

√10 10

sen a • tg a = cos a cos a = (–3) – √10 = 3 √ 10 10 10

( )

4 Expresa con un ángulo del primer cuadrante: a) sen 150°

b) cos 135°

c) tg 210°

d) cos 225°

e) sen 315°

f ) tg 120°

g) tg 340°

h)cos 200°

i) sen 290°

a) 150° = 180° – 30° 8 sen 150° = sen 30° b) 135° = 180° – 45° 8 cos 135° = – cos 45° 20

Unidad 4. Resolución de triángulos

UNIDAD

c) 210° = 180° + 30° 8 tg 210° =

4

sen 210° –sen 30° = = tg 30° cos 210° –cos 30°

d) 255° = 270° – 15° 8 cos 255° = –sen 15° e) 315° = 360° – 45° 8 sen 315° = –sen 45° f ) 120° = 180° – 60° 8 tg 120° =

(También 120° = 90° + 30°

sen 120° sen 60° = = –tg 60° cos 120° –cos 60° sen 120° –cos 30° 1 = =– cos 120° sen 30° tg 30°

8 tg 120° =

g) 340° = 360° – 20° 8 tg 340° =

sen 340° cos 340°

=

)

–sen 20° = –tg 20° cos 20°

h) 200° = 180° + 20° 8 cos 200° = – cos 20° i) 290° = 270° + 20° 8 sen 290° = – cos 20° (También 290° = 360° – 70° 8 sen 290° = –sen 70°) 5 Si sen a = 0,35 y a < 90°, halla: a) sen (180° – a)

b) sen (a + 90°)

c) sen (180° + a)

d) sen (360° – a)

e) sen (90° – a)

f ) sen (360° + a)

a) sen (180° – a) = sen a = 0,35 b) sen (a + 90°) = cos a °8 ¢ sen 2 a + cos 2 a = 1 8 cos 2 a = 1 – 0,352 = 0,8775 ò cos a ≈ 0,94 £ 8 sen (a + 90°) = cos a = 0,94 c) sen (180° + a) = –sen a = – 0,35 d) sen (360° – a) = –sen a = – 0,35 e) sen (90° – a) = cos a = 0,94 (calculado en el apartado b)) f) sen (360° + a) = sen a = 0,35 6 Si tg a = 2/3 y 0 < a < 90°, halla: a) sen a

b) cos a

c) tg (90° – a)

d) sen (180° – a)

e) cos (180° + a)

f) tg (360° – a)

a) tg a = sen a cos a

8 sen a = tg a · cos a 1 cos 2 a

Unidad 4. Resolución de triángulos

=1tg 2 a + 1 8 cos 2 a

=

21

8 cos a =

2 √ 13 13

22

√

9 3 3 √ 13 = = 13 13 √ 13 sen a = tg a · cos a =

2 · 3

3 √ 13 = 13

Unidad 4. Resolución de triángulos

UNIDAD

b) Calculado en el apartado anterior: cos a =

4

3 √ 13 13

c) tg (90° – a) = sen (90° – a) = cos a = cos (90° – a) sen a 3 2 d) sen (180° – a) = sen a =

2 √ 13 13 e)

–3 √ 13 cos (180° + a) = –cos a = 13

2 f) tg (360° – a) = sen (360° – a) = – sen a = –tg a = – 3 cos (360° – a) cos a 7 Halla con la calculadora el ángulo a: a) sen a = – 0,75

a < 270°

b) cos a = – 0,37

a > 180°

c) tg a = 1,38

sen a < 0

d) cos a = 0,23

sen a < 0

a) Con la calculadora 8 a = –48° 35' 25" é 4.° cuadrante ° sen a < 0 ° Como debe ser ¢ ¢ 8 a é 3.er cuadrante £ a < 270° £ Luego a = 180° + 48° 35' 25" = 228° 35' 25"

b) Con la calculadora: 111° 42' 56,3" cos a < 0 ° ° ¢ 8 a é 3.er cuadrante ¢8 a > 180° £ a = 360° – 111° 42' 56,3" £ 8 a = 248° 17' 3,7"

c) tg a = 1,38 > 0 ° cos < 0 8 a é 3.er cuadrante ¢ sen a < 0 £ Con la calculadora: tg –1 1,38 = 54° 4' 17,39" a = 180° + 54° 4' 17,39" = 234° 4' 17,4"

Unidad 4. Resolución de triángulos

23

d) cos a = 0,23 > 0 ° 8 a é 4.° cuadrante ¢ sen a < 0 £ Con la calculadora: cos –1 0,23 = 76° 42' 10,5" a = –76° 42' 10,5" = 283° 17' 49,6"

Resolución de triángulos rectángulos ^

8 Resuelve los siguientes triángulos rectángulos (C = 90°) hallando la medida de todos los elementos desconocidos: ^

a) a = 5 cm, b = 12 cm. ^

^

b) a = 43 m, A = 37°.

Halla b, c, B .

^

^

c) a = 7 m, B = 58°.

Halla b, c, A .

^

^

d) c = 5,8 km, A = 71°. a) c 2 = a 2 + b 2 8 ^

tg A =

Halla a, b, B .

c 2 = 52 + 122 = 169 8

5 = 0,416 8 12

^

^

Halla c, A , B .

c = 13 cm

A

A = 22° 37' 11,5° 12 cm

^

B = 90° – A = 67° 22' 48,5"

C

c

5 cm

B

^

b) B = 90° – 37° = 53° ^

sen A =

43 c

8

43 = 71,45 m sen 37°

c=

43 tg A = b

A

^

37°

x

b

8 cm 19° y

C

8

43 b= tg 37°

= 57,06 m

c

a = 43 m B

38° ^

c) A = 90° – 58° = 32° ^

cos B =

7 c

8

c=

7 = 13,2 m cos 58° b tg B = 7 ^

24

8

b = 7 · tg 58° = 11,2 m

Unidad 4. Resolución de triángulos

UNIDAD

4

A

b

C

Unidad 4. Resolución de triángulos

c

58°

a=7m

B

25

^

d) B = 90° – 71° = 19° ^

sen A =

a 5,8

8

A c = 5,8 km b 71° B C b = 5,8 a

a = 5,8 · sen 71° = 5,48 km b 5,8

^

cos A =

8

9 Si queremos que una cinta transportadora de 25 metros eleve la carga hasta una altura de 15 metros, ¿qué ángulo se deberá inclinar la cinta? B ^

sen A =

15 = 0,6 8 A = 36° 52' 11,6" 25

25 m

^

15 m

A

C

10 Una escalera de 2 m está apoyada en una pared formando un ángulo de 50° con el suelo. Halla la altura a la que llega y la distancia que separa su base de la pared.

sen 50° = 2m

h 2

h

8 h = 1,53 m cos 50° =

d 2

8 d = 1,29 m

50° d

11 El lado de un rombo mide 8 cm y el ángulo menor es de 38°. ¿Cuánto miden las diagonales del rombo?

C

A

26

sen 19° =

b

23 m

50° 18 m

B

y 8

8 y = 8 · sen 19° = 2,6 cm 8 d = 5,2 cm cos 38° =

x 8

8 x = 8 · cos 19° = 7,6 cm 8 D = 15,2 cm

Unidad 4. Resolución de triángulos

UNIDAD

12

Calcula la proyección del segmento AB = 15 cm sobre la recta r en los siguientes casos:

A a r

4

B a

A'

B'

a) cos a =

A'B' AB

8

a) a = 72°

b) a = 50°

c) a = 15°

d) a = 90°

A'B' = 15 cos 72° = 4,64 cm

b) A'B' = 15 cos 5° = 9,64 cm c) A'B' = 15 cos 15° = 14,49 cm d) A'B' = 15 cos 90° = 0 cm 13 a) Halla la altura correspondiente al lado AB en cada uno de los siguientes triángulos: I C

A

28 cm

25 cm

17 cm C 28° B 22 cm

B

III

II C

A

43° A 12 cm C

32° 15 cm B

b área de cadaa triángulo. b) Halla el h a) I) sen 40°28° = 17 855°h = 7,98 cm A B 500 m h II) sen 32° = 8 h = 13,25 cm 25 III) sen 43° = b) I) A =

h 8 h = 8,18 cm 12

22 · 7,98 = 87,78 cm2 2

II) A = III) A =

15 · 13,25 99,38 cm2 2 28 · 8,18 = 114,52 cm2 2

14 En el triángulo ABC, AD es la altura relativa al lado BC. Con los datos de la figura, halla los ángulos del triángulo ABC.

A 3 cm B

^

탊

En ABD : sen B = ^

탊

En ADC : tg C =

2 3

2 4,2

^

^

ì

2 cm D

4,2 cm

C

^

8 B = 41° 48' 37''; BAD = 90° – B = 48° 11' 23'' ^

ì

^

^

8 C = 25° 27' 48''; DAC = 64° 32' 12''

Ángulos: A = 112° 43' 35''; B = 41° 48' 37''; C = 25° 27' 48''

Unidad 4. Resolución de triángulos

27

15 Desde un punto P exterior a una circunferencia de 10 cm de radio, se trazan las tangentes a dicha circunferencia que forman estre sí un ángulo de 40°. Calcula la distancia de P a cada uno de los puntos de tangencia. A 10 cm 40°

O

P

B 탊 10 En OAP : tg 20° = AP

8 AP = 27,47 cm

Distancia de P a cada uno de los puntos de tangencia: 27,47 cm

Página 123 Teorema de los senos ^

^

16 Calcula a y b en el triángulo ABC en el que: A = 55°, B = 40°, c = 15 m. C a

b 50°

A

^

C = 180° – (55° + 40°) = 85°

40° 15 m

B

^

^

8

a 15 = sen 55° sen 85°

8 a = 12,33 m

^

^

8

b 15 = sen 40° sen 85°

8 b = 9,68 m

a c = sen A sen C b c = sen B sen C

^

^

17 Halla el ángulo C y el lado b en el triángulo ABC en el que: A = 50°, a = 23 m, c = 18 m. a c = sen A sen C ^

^

23 18 = 8 sen 50° sen C 18 · sen 50° 8 sen C = 23

8

^

^

^

8 ^

^

8 C = 36° 50' 6 '' (Tiene que ser C < A ) ^

^

^

B = 180° – (A + C ) = 93° 9' 54'' b a 23 · sen 93° 9' 54'' = 8 b= sen 50° sen B sen A ^

28

^

8 b = 29,98 m

Unidad 4. Resolución de triángulos

UNIDAD

18 Resuelve los siguientes triángulos: ^

^

a) A = 35° ^

b) B = 105°

C

C = 42°

b = 17 m

b = 30 m

a = 18 m

b c = sen B sen C b a b) = sen B sen A b c = sen B sen C

^

^

^

^

^

a b B c 17 · sen 35° a= = 10 m sen 103°

b a = 8 AA sen B sen 17 · sen 42° 8 c= 8 c = 11,67 m sen 103°

^

a) B = 180° – (35° + 42°) = 103°;

^

4

^

8 sen A = 8 c=

^

^

18 · sen 105° 8 A = 35° 25' 9''; C = 39° 34' 51'' 30 ^

30 · sen 39° 34' 51'' sen 105°

^

8 c = 19,79 m

19 Dos amigos situados en dos puntos, ì A y B, que ì distan 500 m, ven la torre de una iglesia, C, bajo los ángulos BAC = 40° y ABC = 55°. ¿Qué distancia hay entre cada uno de ellos y la iglesia? ^

C = 180° – (40° + 55°) = 85° a 500 = sen 40° sen 85°

8 a = 322,62 m

b 500 = sen 55° sen 85°

8 b = 411,14 m

La distancia de A a la iglesia es de 411,14 m, y la de B a la iglesia, 322,62 m.

Teorema del coseno ^

20 Calcula a en el triángulo ABC, en el que: A = 48°, b = 27,2 m, c = 15,3 m. B

^

a 2 = b 2 + c 2 – 2bc cos A

15,3 m A

a 48° 27,2 m

a 2 = 27,22 + 15,32 – 2 · 27,2 · 15,3 cos 48° 8 8 a = 20,42 m

C

21 Halla los ángulos del triángulo ABC en el que a = 11 m, b = 28 m, c = 35 m. C

^

28 m

11 m

112 = 282 + 352 – 2 · 28 · 35 cos A 8 282 + 352 – 112 8 cos A = 8 A = 15° 34' 41'' 2 · 28 · 35 ^

B

A

35 m

^

^

^

282 = 112 + 352 – 2 · 11 · 35 cos B 8 cos B = ^

^

^

112 + 352 – 282 8 B = 43° 7' 28'' 2 · 11 · 35 ^

^

C = 180° – (A + B ) 8 C = 121° 17' 51'' Unidad 4. Resolución de triángulos

29

22 Resuelve los siguientes triángulos: ^

a) b = 32 cm

a = 17 cm

C = 40°

b) a = 85 cm

c = 57 cm

B = 65°

c) a = 23 cm

b = 14 cm

c = 34 cm

^

a) c 2 = 322 + 172 – 2 · 32 · 17 cos 40° 8 c = 21,9 cm ^

^

8 A = 29° 56' 8''

172 = 322 + 21,92 – 2 · 32 · 21,9 cos A ^

^

^

^

B = 180° – (A + C ) 8 B = 110° 3' 52'' b) b 2 = 852 + 572 – 2 · 85 · 57 cos 65° 8 b = 79,87 cm ^

^

8 C = 40° 18' 5''

572 = 852 + 79,872 – 2 · 85 · 79,87 cos C ^

^

^

^

A = 180° – (B + C ) 8 A = 74° 41' 55'' c) 232 = 142 + 342 – 2 · 14 · 34 cos A

^

8 A = 30° 10' 29''

^

^

8 B = 17° 48' 56''

^

142 = 232 + 342 – 2 · 23 · 34 cos B ^

^

^

^

C = 180° – (A + C ) 8 C = 133° 0' 35'' 23 Desde la puerta de mi casa, A, veo el cine, C, que está a 120 m, y el kiosì ko, K, que está a 85 m, bajo un ángulo CAK = 40°. ¿Qué distancia hay entre el cine y el kiosko? C

A

40° 85 m

a 2 = 1202 + 852 – 2 · 120 · 85 cos 40° a

a = 77,44 m es la distancia entre el cine y el kiosko.

K

° § § ¢ § § £

120 m

x 2,5 + x = 8 tg 15° tg 55° Resolución de triángulos cualesquiera 8

24 Resuelve los siguientes triángulos:

30

^

^

a) a = 100 m

B = 47°

b) b = 17 m

A = 70°

C = 35°

c) a = 70 m

b = 55 m

C = 73°

d) a = 122 m

c = 200 m

B = 120°

e) a = 25 m

b = 30 m

c = 40 m

f) a = 100 m

b = 185 m

c = 150 m

g) a = 15 m

b=9m

A = 130°

h) b = 6 m

c=8m

C = 57°

^

C = 63° ^

^

^

^

^

Unidad 4. Resolución de triángulos

UNIDAD ^

^

4

^

a) • A = 180° – ( B + C ) = 70° •

a b = sen A sen B ^

8

^

100 b 8 sen 70° sen 47°

= 8

b =

77,83 m •

100 c = sen 70° sen 63° ^

^

8 c=

100 · sen 47° = sen 70°

100 · sen 63° = 94,82 m sen 70°

^

b) • B = 180° – ( A + B ) = 75° •

17 a = sen 75° sen 70°

8 a=

17 · sen 70° = 16,54 m sen 75° •

17 · sen 35° = 10,09 m sen 75°

17 sen 75°

=

c sen 35°

8

c=

c) • c 2 = 702 + 552 – 2 · 70 · 55 · cos 73° = 5 673,74 8 c = 75,3 m ^

• 702 = 552 + 75,32 – 2 · 55 · 75,3 · cos A 8 2 2 2 8 cos A = 55 + 75,3 – 70 = 0,4582 8 A = 62° 43' 49,4" 2 · 55 · 75,3 ^

^

^

^

^

• B = 180° – ( A + C ) = 44° 16' 10,6" d) • b 2 = 1222 + 2002 – 2 · 122 · 200 · cos 120° = 79 284 8 b = 281,6 m 2 2 2 • a 2 = b 2 + c 2 – 2bc cos A 8 cos A = b + c – a 2bc ^

^

8

2 2 2 cos A = 281,6 + 200 – 122 = 2 · 281,6 · 200 0,92698 8 A = 22° 1' 54,45" ^

8

^

^

^

^

• C = 180° – ( A + B ) = 37° 58' 55,5" ^

e) • a 2 = b 2 + c 2 – 2bc cos A 8 2 2 2 2 2 2 8 cos A = b + c – a = 30 + 40 – 25 = 0,7812 8 A = 38° 37' 29,4" 2bc 2 · 30 · 40 ^

^

252

402

302

+ – 2 · 25 · 40

^

^

• cos = 0,6625 8 B = 48° 30' 33" ^

^

B =

a2 + c2 – b2 2ac

=

^

• C = 180° – ( A + B ) = 92° 51' 57,6" 2 2 2 2 2 2 f ) • cos A = b + c – a = 185 + 150 – 100 = 0,84189 8 A = 32° 39' 34,4" 2bc 2 · 185 · 150 ^

Unidad 4. Resolución de triángulos

^

31

2 2 2 2 2 2 • cos B = a + c – b = 100 + 150 – 185 = – 0,0575 8 B = 93° 17' 46,7" 2ac 2 · 100 · 150 ^

^

^

^

^

• C = 180° – ( A + B ) = 54° 2' 38,9"

32

Unidad 4. Resolución de triángulos

UNIDAD

g) •

15 9 = sen 130° sen B

^

8 sen B =

^

4

9 · sen 130° = 0,4596 8 15 ^

° B1 = 27° 21' 46,8" 8 ¢ £ B2 = 152° 38' 13,2" ^

^

^

^

La solución B2 no es válida, pues A + B2 > 180°. ^

^

^

• C = 180° – ( A + B ) = 22° 38' 13,2" •

^

15 c = sen 130° sen C

8 c=

^

h) 0,6290 8

15 · sen C = 7,54 m sen 130°

8 6 • sen 57° sen B

^

8

=

6 · sen 57° sen B = 8 ^

^

8

° B1 = 38° 58' 35,7" ¢ £ B2 = 141° 1' 24,3" ^

^

^

^

La solución B2 no es válida, pues C + B2 > 180°. ^

^

^

• A = 180° – ( B + C ) = 84° 1' 24,3" •

8 a = sen 57° sen A

^

^

8 a=

8 · sen A = 9,5 m sen 57°

PARA RESOLVER 25 Una estatua de 2,5 m de alto está colocada sobre un pedestal. Desde un punto del suelo se ve el pedestal bajo un ángulo de 15° y la estatua, bajo un ángulo de 40°. Calcula la altura del pedestal. tg 15° =

x y

8 y=

x tg 15° 2,5 + x y

tg 55° =

8 x tg 55° = 2,5 tg 15° + x tg 15° 8 x =

8 y=

2,5 + x tg 55°

2,5 · tg 15° = 0,58 m (el pedestal) tg 55° – tg 15°

2,5 m 40°

15°

x

y

Unidad 4. Resolución de triángulos

33

26 Un avión vuela entre dos ciudades, A y B, que distan 80 km. Las visuales desde el avión a A y a B forman ángulos de 29° y 43° con la horizontal, respectivamente. ¿A qué altura está el avión? V (avión)

h

A

tg 29° =

h x

8 x=

29°

43°

x

B

80 km h tg 29° tg 43° =

h 80 tg 43° – h = tg 29° tg 43°

h 80 – x

8 x=

80 tg 43° – h tg 43°

8 h tg 43° = 80 tg 43° tg 29° – h tg 29° 8 8 h=

80 tg 43° tg 29° = 27,8 km tg 43° + tg 29°

27 Halla el lado del octógono inscrito y del octógono circunscrito en una circunferencia de radio 5 cm.

360° = 45° 8 5

22° 30' 5 cm x

sen 22° 30' =

x 5

8 x = 1,91 cm

Lado del octógono inscrito: l = 3,82 cm

l

tg 22° 30' =

y 5

8 y = 2,07 cm

Lado del octógono circunscrito: 22° 30'

5 cm

5

l' = 4,14 cm

y

l'

34

Unidad 4. Resolución de triángulos

UNIDAD

4

28 Calcula los lados y los ángulos del triángulo ABC. B 7 cm 50° A

3 cm

C

D

— — — ☛ En el triángulo rectángulo ABD, halla AB y BD . En BDC, halla C y DC. Para ^

^

^

^

^

hallar B , sabes que A + B + C = 180°. 탊

• En ABD : 3 — AB

8

cos 50° =

— BD tg 50° = 3

50° = 3,6 cm

— 8 BD = 3 tg

탊

• En BDC : — BD 7

3,6 7

^

sen C = — DC cos C = 7 ^

≈ 0,51

= 8

— DC = 7 · cos C ≈ 6 c ^

• Así, ya tenemos: ^

A = 50° ^

^

^

B = 180° – (A + C ) = 99° 3' 1" ^

C = 30° 56' 59"

a = 7 cm — — b = AD + DC = 9 cm c = 4,7 cm

29 En una circunferencia de radio 6 cm trazamos una cuerda AB a 3 cm del centro. ì

A

P

B

Halla el ángulo AOB. O

☛ El triángulo AOB es isósceles. P

B

3 cm

6 cm

O — OP = 3 cm ° § — OB = 6 cm ¢ ì § OPB = 90° £

ì

8 cos POB =

Unidad 4. Resolución de triángulos

3 1 = 6 2

8

ì

POB = 60° 8

35

8

ì

ì

AOB = 2 · POB = 2 · 60° = 120°

° § § ¢ § § £ 36

8

Unidad 4. Resolución de triángulos

UNIDAD

4

30 Para localizar una emisora clandestina, dos receptores, A y B, que distan entre sí 10 km, orientan sus antenas hacia el punto donde está la emisora. Estas direcciones forman con AB ángulos de 40° y 65°. ¿A qué distancia de A y B se encuentra la emisora? E

b

^

° § § ¢ § § £

40°

A ^

a

10 km

^

E = 180° – ( A + B ) = 75° Aplicando el teorema de los senos: a 10 = sen 40° sen 75°

8

a=

65°

B

8

10 · sen 40° = 6,65 km dista de B. sen 75°

10 · sen 65° = 9,38 km dista de A. sen 75°

b 10 = sen 65° sen 75°

8

b =

31 En un entrenamiento de fútbol se coloca el balón en un punto situado a 5 m y 8 m de cada uno de los postes de la portería, cuyo ancho es de 7 m. ¿Bajo qué ángulo se ve la portería desde ese punto? A

(portería)

b=7m

C

c=5m a=8m

B (balón) Aplicando el teorema del coseno: b 2 = a 2 + c 2 – 2ac · cos B 8 ^

8

C

2 2 2 2 2 2 cos B = a + c – b = 8 + 5 – 7 = 0,5 8 B = 60° 2ac 2·8·5 ^

a

b

A

Unidad 4. Resolución de triángulos

c

B

37

Página 124 32 Calcula el área y las longitudes de los lados y de la otra diagonal: ì

B

ì

18 m

50°

☛ BAC = ACD = 50 °. Calcula los lados del triángulo ACD y su área. Para hallar la otra diagonal, considera el triángulo ABD.

C

20°

A

D

• Los dos triángulos en que la diagonal divide al paralelogramo son iguales. Luego bastará resolver uno de ellos para calcular los lados: B

a

c

20°

h

C

18 m

50°

A ^

^

^

B = 180° – ( A + C ) = 110° a 18 = sen 50° sen 110°

8 a=

18 · sen 50° = 14,7 m sen 110° c sen 20°

18 · sen 20° = 6,6 m sen 110° — Así: AB = — BC =

18 = sen 110°

8

c=

18 · c · sen 50° = 2

=

— CD = c = 6,6 m — AD = a = 14,7 m

Para calcular el área del triángulo ABC : sen 50° =

h c

18 · 6,6 · sen 50° = 45,5 m2 2

8 h = c · sen 50° 8 8

18 · h ÁreaABC = 2

El área del paralelogramo será: ÁreaABCD = 2 · ÁreaABC = 2 · 45,5 = 91 m2 • Para calcular la otra diagonal, consideremos el triángulo ABD : Aplicando el teorema del coseno: — — BD 2 = 6,62 + 14,72 – 2 · 6,6 · 14,7 · cos 70° ≈ 193,28 8 BD = 13,9 m

38

Unidad 4. Resolución de triángulos

UNIDAD

4

B ^

A = 50° + 20° = 70°

6,6 m A

Unidad 4. Resolución de triángulos

70°

14,7 m

D

39

33 Dos barcos parten de un puerto con rumbos distintos que forman un ángulo de 127°. El primero sale a las 10 h de la mañana con una velocidad de 17 nudos, y el segundo sale a las 11 h 30 min, con una velocidad de 26 nudos. Si el alcance de sus equipos de radio es de 150 km, ¿podrán ponerse en contacto a las 3 de la tarde? (Nudo = milla / hora; milla = 1 850 m).

A

127°

B

P

La distancia que recorre cada uno en ese tiempo es: — Barco A 8 PA = 17 · 1 850 m/h · 5 h = 157 250 m — Barco B 8 PB = 26 · 1 850 m/h · 3,5 h = 168 350 m — — — — Necesariamente, AB > PA y AB > PB, luego: — AB > 168 350 m Como el alcance de sus equipos de radio es 150 000 m, no podrán ponerse en contacto. — — (NOTA: Puede calcularse AB con el teorema del coseno 8 AB = 291 432,7 m). 34 En un rectángulo ABCD de lados 8 cm y 12 cm, se traza desde B una perpendicular a la diagonal AC, y desde D, otra perpendicular a la misma diagonal. Sean M y N los puntos donde esas perpendiculares cortan a la diagonal. Halla la longitud del segmento MN. A

12 cm

B

N 8 cm M D

C —

^

☛ En el triángulo ABC, halla C . En el triángulo BMC, halla MC. Ten en cuenta que: — — — M N = AC – 2 MC

— — Los triángulos AND y BMC son iguales, luego AN = MC — — — — Como MN = AC – AN – MC, entonces: — — — MN = AC – 2MC — — Por tanto, basta con calcular AC en el triángulo ABC y MC en el triángulo BMC.

40

Unidad 4. Resolución de triángulos

UNIDAD

4

탊

• En ABC : — AC 2 = 82 + 122 = 208 (por el teorema de Pitágoras) 8 ^

— AC = 14,4 cm

탊

Calculamos C (en ABC ): ^

tg C =

12 = 1,5 8 8

^

C = 56° 18' 35,8"

탊

• En BMC : — MC — 8 MC = 8 · cos (56° 18' 35,8") = 4,4 cm 8 — — — Por último: MN = AC – 2 MC = 14,4 – 2 · 4,4 = 5,6 cm ^

cos C =

35 Halla la altura del árbol QR de pie inaccesible y más bajo que el punto de observación, con los datos de la figura. Q

48° 20°

30° P' P 50 m

R

Llamemos x e y a las medidas de la altura de las dos partes en que queda dividida la torre según la figura dada; y llamemos z a la distancia de P a la torre. Q

tg 48° =

x 30°

z 48° 20°

y R

8

P

x z

8

x = z · tg 48°

tg 30° =

P'

50 m

8

x z + 50

8

x = (z + 50) tg 30°

z · tg 48° = (z + 50) tg 30° 8

z · tg 48° = z · tg 30° + 50 · tg 30° 8

z=

50 tg 30° = 54,13 m tg 48° – tg 30°

Sustituyendo en x = z · tg 48° = 54,13 · tg 48° = 60,12 m = x Para calcular y : tg 20° =

y z

8

y = z · tg 20° = 54,13 · tg 20° = 19,7 m

— Luego: QR = x + y = 79,82 m mide la altura de la torre.

Unidad 4. Resolución de triángulos

41

36 Calcula la altura de QR, cuyo pie es inaccesible y más alto que el punto donde se encuentra el observador, con los datos de la figura.

Q

22° R 18°

P 32°

P'

50 m

Llamemos x a la distancia del punto más alto a la línea horizontal del observador; y, a la distancia de la base de la torre a la misma línea; y z, a la distancia — R'P, como se indica en la figura. tg (18° + 22°) = tg 40° =

x z

8 x = z · tg 40° tg 32° =

x z + 50

8 x = (z + 50) tg 32°

° § § 50 tg 32° ¢ 8 = 145,84 8 z · tg 40° = (z + 50) tg 32° 8 z = tg 40° – tg§§ 32° £ Sustituyendo en x = z · tg 40° = 145,84 · tg 40° = 122,37 m Para calcular y : y z

tg 18° =

Q

8 y = z · tg 18° =

x

= 145,84 · tg 18° = 47,4 m

22°

y R 18° R' z

Por tanto:

P

32°

P'

50 m

— QR = x – y = 74,97 m mide la altura de la torre.

CUESTIONES TEÓRICAS 37 Explica si las siguientes igualdades referidas al triángulo ABC son verdaderas o falsas: 1) a = C 3) c =

b sen A

2) c = a cos B

b tg C

4) b = a sen C

^

^

^

^

^

^

5) tg B · tg C = 1 12 cm ^

^

7) sen B – cos C = 0 c

= A 9) 7bcm B tg B ^

42

^

6) c tg B = b 8) a =

b cos C

^

10) √1 – sen2 B = ^

c a

Unidad 4. Resolución de triángulos

UNIDAD

4

^

^

^

11) sen B · cos C = 1

Unidad 4. Resolución de triángulos

12)

sen B =1 cos C ^

43

b a

8 a=

c a

8 a · cos B = c

^

1) Verdadera, pues sen B =

^

2) Verdadera, pues cos B =

28°

c Falsa, pues tg C = b

8 c=b·

^

3)

20 cm

c 4) Falsa, 32 pues cm sen C = C a

A

^

^

B h

b sen B

8 a · sen C = c ≠ b

^

^

b Verdadera, pues tg B · tg C = c ^

5) ^

6) Verdadera, pues tg B =

b c

8 b = c · tg B

^

b b Verdadera, pues sen B – cos C = a a ^

7)

4m ^

8) Verdadera, pues cos C = h

^

b a

^

–

b sen C

8 a=

^

b Falsa, pues tg B = c

8

^

9)

40° 50° b = c · tg Bx ^

10) Verdadera, pues sen 2 B + cos 2 B = 1 8 cos B = √ 1 – sen 2 B ^

^

Como cos B =

·

c a

8

^

^

^

c √ 1 – sen 2 B = ^

a ^

Falsa, pues sen B · cos

11)

b2

b = 2 ≠ 1 (porque b ? a) a a ^

sen B Verdadera, pues cos C

12)

=

^

38 Prueba que en un triángulo cualquiera se verifica: a b c = = = 2R sen A sen B sen C ^

^

B

^

A'

O

R es el radio de la circunferencia circunscrita. C

☛ Traza el diámetro desde uno de los vértices del triángulo ABC. Aplica el teorema de los senos en los triángulos ABC y A'BC.

A

Aplicamos el teorema de los senos en los triángulos ABC y A'BC : • En ABC 8 탊

44

a b c = = sen A sen B sen C ^

^

^

Unidad 4. Resolución de triángulos

UNIDAD

• En A'BC 8 탊

4

— — BC A'C = sen A' sen A'BC ^

C b A

92°

50°

a 38°

150 m

Unidad 4. Resolución de triángulos

B

45

Sucede que: — BC = a ^

^

A' = A (ángulos inscritos en una circunferencia que abarcan el mismo arco) — A'C = 2R 탊

A'BC = 90° (medida de ángulos inscritos en una circunferencia) a a 2R La igualdad queda: = sen 90° sen A sen A • Por último, sustituyendo en la primera expresión, se obtiene el resultado: ^

2R =

8

^

a b c = = sen A sen B sen C ^

^

^

39 Prueba que solo existe un triángulo con estos datos: b = √3 m,

a = 1,5 m,

^

A = 60°

¿Existe algún triángulo con estos datos?: ^

C = 135°,

b = 3 √2 cm,

c = 3 cm

^

• a 2 = b 2 + c 2 – 2bc cos A

( )2 + c 2 – 2 √ 3

1,52 = √ 3

c cos 60° 2,25 =√33 + c 2 – 2

c 2 – √ 3 c + 0,75 = 0

B c= a = 1,5 m

— b= √3 m

60°

A

C

La ecuación de segundo grado solo tiene una raíz. Solo hay una solución. (NOTA: También se pueden estudiar las dos soluciones que salen para B con el teorema del seno y ver que una de ellas no es válida, pues quedaría A + B > 180°). ^

^

• Podemos resolverlo con el teorema del coseno, como antes, o con el teorema del seno. Resolvemos este apartado con el segundo método mencionado: b c = sen B sen C ^

^

8

8

46

3 √2 3 = sen 135° sen B ^

^

sen B =

8

3 √ 2 sen 135° = 3 Unidad 4. Resolución de triángulos

UNIDAD

4

= √ 2 sen 135° = 1 8 B = 90° ^

^

^

Pero: C + B = 135° + 90° > 180° ¡Imposible! Luego la solución no es válida y, por tanto, concluimos que no hay ningún triángulo con esos datos.

Unidad 4. Resolución de triángulos

47

^

^

^

f) • B = 180° – (A + C ) = 110° •

b a = sen B sen A ^

5 a = sen 110° sen 35°

8

^

5 · sen 35° a= sen 110° ^

^

• Como A = C

= 3,05 m

8 a = c 8 c = 3,05 m

5. Las bases de un trapecio miden 17 cm y 10 cm, y uno de sus lados, 7 cm. El ángulo que forman las rectas sobre las que se encuentran los lados no paralelos es de 32°. Calcula lo que mide el otro lado y el área del trapecio. • Los triángulos APB y DPC son semejantes, luego: x x+7 = 10 17

8 17x = 10 (x + 7) 8 x = 10

Aplicando el teorema del coseno en el triángulo APB tenemos: — AB 2 = x 2 + y 2 – 2xy cos 32° 102 = 102 + y 2 – 2 · 10y · cos 32° 0 = y 2 – 16,96y ° y = 0 8 No válido ¢ £ y = 16,96 cm

De nuevo, por semejanza de triángulos, tenemos: — — AB DC — = — AP DP

8

10 17 = 16,96 z + 16,96

8 10 (z + 16,96) = 17 · 16,96

— 10z = 118,72 8 z = 11,872 cm mide el otro lado, AD, del trapecio. — — • Como PDC es un triángulo isósceles donde DC = CP = 17 cm, entonces: D = 32° 8 sen 32° = ^

h ò h = z · sen 32° = 11,872 · sen 32° ≈ 6,291 z

Así: ÁreaABCD =

48

B+b 17 + 10 ·h= · 6,291 = 84,93 cm2 2 2

Unidad 4. Resolución de triángulos

UNIDAD

4

6. Un barco B pide socorro y se reciben sus señales en dos estaciones de radio, A y C, que distan entre sí 50 km. Desde las estaciones se miden los siguientes ánì ì gulos: BAC = 46° y BCA = 53°. ¿A qué distancia de cada estación se encuentra el barco? ^

B = 180° – 46° – 53° = 81° B

A

•

a b = sen A sen B ^

^

53°

46°

C

50 km ^

50 · sen 46° 8 a = b sen A = = 36,4 km sen 81° sen B ^

•

^

b sen C = 50 · sen 53° = 40,4 km sen 81° sen B

c sen C

^

b = sen B

^

8c

^

7.

Para hallar la altura de un globo, realizamos las mediciones indicadas en la figura. ¿Cuánto dista el globo del punto A? ¿Cuánto del punto B ? ¿A qué altura está el globo? G a x

b 90°

H

72° 75° A

63° B m 20

ì

AGB = 180° – 72° – 63° = 45° •

•

b sen 63°

20 sen 45°

a 20 = sen 72° sen 45°

Unidad 4. Resolución de triángulos

8 a=

20 · sen 63° = sen 45°

8 b=

=

to A.

20 · sen 72° = 26,9 m dista el globo del punto B. sen 45°

49

Página 125 PARA PROFUNDIZAR 40 Dos vías de tren de 1,4 m de ancho se cruzan formando un rombo. Si un ángulo de corte es de 40°, ¿cuánto valdrá el lado del rombo?

sen 40° =

1,4 l

8 l=

l 40°

1,4 = 2,18 m sen 40°

40° 1,4 m

41 Para hallar la distancia entre dos puntos inaccesibles A y B, fijamos dos puntos C y D tales — que CD = 300 m, y medimos los siguientes ángulos: ì

A

25°

ì

ADB = 25°

BDC = 40°

ì

ì

ACD = 46°

B

D

32°

40°

46°

300 m

ACB = 32°

C

— Calcula AB . — — — Si conociésemos AC y BC , podríamos hallar AB con el teorema del coseno en 탊 ABC . — — A Calculemos, pues, AC y BC : • En el triángulo ADC : ^

A = 180° – 65° – 46° = 69° 65°

Por el teorema del seno:

D

46°

300 m

C

— — AC 300 300 · sen 65° = 8 AC = = sen 69° sen 69° sen 65° 291,24 m • En el triángulo BCD : ^

B = 180° – 40° – 78° = 62° Por el teorema del seno: — BC 300 = sen 62° sen 40°

B

D

50

78°

40°

300 m

C

8

— 300 · sen 40° 8 BC = = 218,40 m sen 62°

Unidad 4. Resolución de triángulos

UNIDAD

• sen 75° =

x x = b 25,2

Unidad 4. Resolución de triángulos

4

8 x = 25,2 · sen 75° = 24,3 m es la altura del globo.

51

5

FUNCIONES Y FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS

Página 128 1. Aunque el método para resolver las siguientes preguntas se sistematiza en la página siguiente, puedes resolverlas ahora: a) ¿Cuántos radianes corresponden a los 360° de una circunferencia? b) ¿Cuántos grados mide 1 radián? c) ¿Cuántos grados mide un ángulo de π radianes? 2 d) ¿Cuántos radianes equivalen a 270°? a) 2π c)

360° π · = 90° 2π 2

b)

360° = 57° 17' 44,8" 2π

d)

270° · 2π = 3 π 360° 2

Página 129 2. Pasa a radianes los siguientes ángulos: a) 30°

b) 72°

c) 90°

d) 127°

e) 200°

f ) 300°

Expresa el resultado en función de π y luego en forma decimal. Por ejemplo: 30° = 30 · π rad = π rad ≈ 0,52 rad 180 6 a)

2π · 30° = π rad ≈ 0,52 rad 360° 6

b) 2π · 72° = 2π rad ≈ 1,26 rad 360° 5 c)

2π · 90° = π rad ≈ 1,57 rad 360° 2

d) 2π · 127° ≈ 2,22 rad 360° e) 2π · 200° = 10π rad ≈ 3,49 rad 360° 9 f)

2π · 300° = 5π rad ≈ 5,24 rad 360° 3

Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

1

3. Pasa a grados los siguientes ángulos: a) 2 rad

b) 0,83 rad

c) π rad 5

d) 5π rad 6

e) 3,5 rad

f ) π rad

a)

360° · 2 = 114° 35' 29,6" 2π

b)

360° · 0,83 = 47° 33' 19,8" 2π

c)

360° π · = 36° 2π 5

d)

360° 5π · = 150° 2π 6

e)

360° · 3,5 = 200° 32' 6,8" 2π

f)

360° · π = 180° 2π

4. Completa la siguiente tabla y añade las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) de cada uno de los ángulos. Te será útil para el próximo apartado: GRADOS

0°

30° π 4

RADIANES

GRADOS

60° 90°

210° 225°

2 π 3

270° 4 π 3

RADIANES

135° 150° π

330° 360° 5 π 3

7 π 4

La tabla completa está en el siguiente apartado (página siguiente) del libro de texto. Tan solo falta la última columna, que es igual que la primera.

Página 133 1. Demuestra la fórmula II.2 a partir de la fórmula: cos (a + b) = cos a cos b – sen a sen b cos (a – b) = cos (a + (–b)) = cos a cos (– b) – sen a sen (– b) = = cos a cos b – sen a (– sen b) = cos a cos b + sen a sen b 2. Demuestra la fórmula II.3 a partir de la fórmula: tg (a + b) = tg (a – b) = tg (a + (–b)) = (*) Como

2

tg a + tg b 1 – tg a tg b

tg a + tg (–b) (*) tg a + (–tg b) tg a – tg b = = 1 – tg a tg (–b) 1 – tg a (–tg b) 1 + tg a tg b

sen (–a) = –sen a ° ¢ 8 tg (– a) = –tg a cos (–a) = cos a £ Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

UNIDAD

5

3. Demuestra la fórmula II.3 a partir de las siguientes fórmulas: sen (a – b) = sen a cos b – cos a sen b cos (a – b) = cos a cos b + sen a sen b tg (a – b) =

sen (a – b) sen a cos b – cos a sen b (*) = = cos (a – b) cos a cos b + sen a sen b

sen a cos b cos a sen b —————— – —————— cos a cos b cos a cos b tg a – tg b = = 1 + tg a tg b cos a cos b sen a sen b —————— + —————— cos a cos b cos a cos b (*) Dividimos numerador y denominador por cos a cos b. 4. Si sen 12° = 0,2 y sen 37° = 0,6, halla cos 12°, tg 12°, cos 37° y tg 37°. Calcula, después, a partir de ellas, las razones trigonométricas de 49° y de 25°, utilizando las fórmulas (I) y (II). • sen 12° = 0,2 cos 12° = √ 1 – sen 2 12° = √ 1 – 0,04 = 0,98 0,2 tg 12° = = 0,2 0,98 • sen 37° = 0,6 cos 37° = √ 1 – sen 2 37° = √ 1 – 0,36 = 0,8 0,6 tg 37° = = 0,75 0,8 • 49° = 12° + 37°, luego: sen 49° = sen (12° + 37°) = sen 12° cos 37° + cos 12° sen 37° = = 0,2 · 0,8 + 0,98 · 0,6 = 0,748 cos 49° = cos (12° + 37°) = cos 12° cos 37° – sen 12° sen 37° = = 0,98 · 0,8 – 0,2 · 0,6 = 0,664 tg 12° + tg 37° 0,2 + 0,75 tg 49° = tg (12° + 37°) = = = 1,12 1 – tg 12° tg 37° 1 – 0,2 · 0,75 49° . (Podría calcularse tg 49° = sen cos 49° ) • 25° = 37° – 12°, luego: sen 25° = sen (37° – 12°) = sen 37° cos 12° – cos 37° sen 12° = = 0,6 · 0,98 – 0,8 · 0,2 = 0,428 cos 25° = cos (37° – 12°) = cos 37° cos 12° + sen 37° sen 12° = = 0,8 · 0,98 + 0,6 · 0,2 = 0,904 tg 37° – tg 12° 0,75 – 0,2 tg 25° = tg (37° – 12°) = = = 0,478 1 + tg 37° tg 12° 1 + 0,75 · 0,2 Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

3

5. Demuestra la siguiente igualdad: cos (a + b) + cos (a – b) 1 = sen (a + b) + sen (a – b) tg a cos (a + b) + cos (a – b) cos a cos b – sen a sen b + cos a cos b + sen a sen b = = sen (a + b) + sen (a – b) sen a cos b + cos a sen b + sen a cos b – cos a sen b =

cos a 2 cos a cos b 1 = = sen a 2 sen a cos b tg a

6. Demuestra las tres fórmulas (III.1), (III.2) y (III.3) haciendo a = b en las fórmulas (I). sen 2a = sen (a + a) = sen a cos a + cos a sen a = 2 sen a cos a cos 2a = cos (a + a) = cos a cos a – sen a sen a = cos 2 a – sen 2 a tg 2a = tg (a + a) =

tg a + tg a = 2 tg a 1 – tg a tg a 1 – tg 2 a

7. Halla las razones trigonométricas de 60° a partir de las de 30°. sen 60° = sen (2 · 30°) = 2 sen 30° cos 30° = 2 · cos 60° = cos (2 · 30°) = tg 60° = tg (2 · 30°) =

cos 2

30° –

sen 2

√3 1 √3 · = 2 2 2

( ) ()

√3 30° =

2

1 2

–

2

2

=

3 1 2 1 – = = 4 4 4 2

— — — 2 tg 30° 2 · √ 3/3 2 · √ 3/3 2 · √ 3/3 = = = = √3 — 2 1 – tg 2 30° 1 – 3/9 2/3 1 – (√ 3/3)

8. Halla las razones trigonométricas de 90° a partir de las de 45°. sen 90° = sen (2 · 45°) = 2 sen 45° cos 45° = 2 · cos 90° = cos (2 · 45°) = tg 90° = tg (2 · 45°) =

cos 2

45° –

sen 2

√2 · √2 = 1 2

2

( ) ( )

√2 45° = 2

2

√2 – 2

2

=0

2 tg 45° 2·1 = 8 No existe. 1 – tg 2 45° 1–1

9. Demuestra que: 2 sen a – sen 2a 1 – cos a = 2 sen a + sen 2a 1 + cos a 2 sen a – sen 2a = 2 sen a – 2 sen a cos a = 2 sen a (1 – cos a) = 1 – cos a 2 sen a + sen 2a 2 sen a + 2 sen a cos a 2 sen a (1 + cos a) 1 + cos a

4

Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

UNIDAD

5

Página 134 10. Siguiendo las indicaciones que se dan, demuestra detalladamente las fórmulas IV.1, IV.2 y IV.3.

(

)

• cos a = cos 2 · a = cos 2 a – sen 2 a 2 2 2 Por la igualdad fundamental: cos 2 a + sen 2 a = 1 8 1 = cos 2 a + sen 2 a 2 2 2 2 De aquí: a) Sumando ambas igualdades: 1 + cos a = 2 cos 2 a 2

8 cos 2 a = 1 + cos a 2 2

8 cos a = ± 2

√

1 + cos a 2

b) Restando las igualdades (2-ª – 1-ª): 1 – cos a = 2 sen 2 a 2

8 sen 2 a = 1 – cos a 2 2

8 sen a = ± 2

√

1 – cos a 2

• Por último: tg a = sen a/2 = 2 cos a/2

± ±

√ √

1 – cos a 2

=

1 + cos a 2

√

1 – cos a 1 + cos a

11. Sabiendo que cos 78° = 0,2, calcula sen 78° y tg 78°. Averigua las razones trigonométricas de 39° aplicando las fórmulas del ángulo mitad. • cos 78° = 0,2 sen 78° = √ 1 – cos 2 78° = √ 1 – 0,22 = 0,98 tg 78° =

0,98 = 4,9 0,2

• sen 39° = sen

78° = 2

cos 39° = cos

78° = 2

tg 39° = tg

78° = 2

√

√ √

1 – cos 78° = 2

1 + cos 78° = 2

1 – cos 78° = 1 + cos 78°

Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

√

√ √

1 – 0,2 = 0,63 2

1 + 0,2 = 0,77 2

1 – 0,2 = 0,82 1 + 0,2

5

12. Halla las razones trigonométricas de 30° a partir de cos 60° = 0,5. • cos 60° = 0,5 • sen 30° = sen

60° = 2

cos 30° = cos

60° = 2

tg 30° = tg

60° = 2

√

√ √

1 – 0,5 = 0,5 2

1 + 0,5 = 0,866 2

1 – 0,5 = 0,577 1 + 0,5

13. Halla las razones trigonométricas de 45° a partir de cos 90° = 0. • cos 90° = 0 • sen 45° = sen

90° = 2

cos 45° = cos

90° = 2

tg 45° = tg

90° = 2

√

√ √

1–0 = 2

√

1 √2 = 2 2

1+0 √2 = 2 2

1–0 = √1 = 1 1+0

14. Demuestra que 2tg a · sen2

a + sen a = tg a. 2

2 tg a · sen 2 a + sen a = 2 tg a · 1 – cos a + sen a = 2 2 = sen a (1 – cos a) + sen a = sen a cos a

(

( 1 –coscosa a + 1) =

)

1 = sen a 1 – cos a + cos a = sen a · = cos a cos a = sen a = tg a cos a

15. Demuestra que

2 sen a – sen 2a a = tg2 . 2sen a + sen 2a 2

2 sen a – sen 2a = 2 sen a – 2 sen a cos a = 2 sen a + sen 2a 2 sen a + 2 sen a cos a = 2 sen a (1 – cos a) = 1 – cos a = tg 2 a 2 sen a (1 + cos a) 1 + cos a 2

6

Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

UNIDAD

5

Página 135 16. Para demostrar las fórmulas (V.3) y (V.4), da los siguientes pasos: • Expresa en función de a y b : cos (a + b) = ..........

cos (a – b) = ..........

• Suma y resta como hemos hecho arriba y obtendrás dos expresiones. • Sustituye en las expresiones anteriores: a+b=A ° 8 a=A+B ¢ 2 a–b=B £

b=

A–B 2

cos (a + b) = cos a cos b – sen a sen b

•

cos (a – b) = cos a cos b + sen a sen b Sumando 8 cos (a + b) + cos (a – b) = 2 cos a cos b (1) Restando 8 cos (a + b) – cos (a – b) = –2 sen a sen b (2) • Llamando

a+b=A° A+B A–B , b= (al resolver el sistema) ¢8 a= 2 2 a–b=B£

• Luego, sustituyendo en (1) y (2), se obtiene: (1) 8 cos A + cos B = 2 cos

A+B A–B cos 2 2

(2) 8 cos A – cos B = –2 sen

A+B A–B sen 2 2

17. Transforma en producto y calcula: a) sen 75° – sen 15°

b) cos 75° + cos 15°

a) sen 75° – sen 15° = 2 cos

75° + 15° 75° – 15° sen = 2 2

= 2 cos 45° sen 30° = 2 · b) cos 75° + cos 15° = 2 cos

√2 · 1 = √2 2

2

2

75° + 15° 75° – 15° cos = 2 2

= 2 cos 45° cos 30° = 2 · c) cos 75° – cos 15° = –2 sen

c) cos 75° – cos 15°

√2 · √3 = √6 2

2

2

75° + 15° 75° – 15° sen = 2 2

= –2 sen 45° cos 30° = –2 ·

Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

√2 · √3 = – √6 2

2

2

7

18. Expresa en forma de producto el numerador y el denominador de esta fracción y simplifica el resultado: sen 4a + sen 2a cos 4a + cos 2a 4a + 2a 4a – 2a 2 sen ——–—— cos —–——— 2 2 sen 4a + sen 2a 2 sen 3a = = = tg 3a cos 4a + cos 2a 2 cos 3a 4a + 2a 4a – 2a 2 cos ——–—— cos —–——— 2 2

Página 137 1. Resuelve estas ecuaciones: a) 2cos 2 x + cos x – 1 = 0

b) 2sen 2 x – 1 = 0

c) tg2 x – tg x = 0

d) 2sen 2 x + 3cos x = 3

a) cos x =

1/2 8 x1 = 60°, x2 = 300° –1 8 x3 = 180°

–1 ± √ 1 + 8 –1 ± 3 = = 4 4

Las tres soluciones son válidas (se comprueba en la ecuación inicial). b) 2 sen 2 x – 1 = 0 8 sen 2 x = • Si sen x =

1 √2 1 8 sen x = ± =± 2 2 √2

√ 2 8 x = 45°, x = 135° 1 2

• Si sen x = –

2

√ 2 8 x = – 45° = 315°, x = 225° 3 4 2

Todas las soluciones son válidas. c) tg 2 x – tg x = 0 8 tg x (tg x – 1) = 0

tg x = 0 8 x1 = 0°, x2 = 180° tg x = 1 8 x3 = 45°, x4 = 225°

Todas las soluciones son válidas. (*)

d) 2 sen 2 x + 3 cos x = 3 8 2 (1 – cos 2 x ) + 3 cos x = 3 (*)

Como sen 2 x + cos 2 x = 1 8 sen 2 x = 1 – cos 2 x

2 – 2 cos 2 x + 3 cos x = 3 8 2 cos 2 x – 3 cos x + 1 = 0 cos x =

3 ± √9 – 8 3±1 = = 4 4

1 1/2

Entonces: • Si cos x = 1 8 x1 = 0° • Si cos x =

1 8 x2 = 60°, x3 = –60° = 300° 2

Las tres soluciones son válidas.

8

Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

UNIDAD

5

2. Resuelve: a) 4cos 2x + 3 cos x = 1

b) tg 2x + 2cos x = 0

c) √2 cos (x/2) – cos x = 1

d) 2sen x cos 2 x – 6sen 3 x = 0

a) 4 cos 2x + 3 cos x = 1 8 4 (cos 2 x – sen 2 x ) + 3 cos x = 1 8 8 4 (cos 2 x – (1 – cos 2 x)) + 3 cos x = 1 8 4 (2 cos 2 x – 1) + 3 cos x = 1 8 8 8 cos 2 x – 4 + 3 cos x = 1 ò 8 cos 2 x + 3 cos x – 5 = 0 8 8 cos x =

–3 ± √ 9 + 160 –3 ± 13 = = 16 16

10/16 = 5/8 = 0,625 –1

• Si cos x = 0,625 8 x1 = 51° 19' 4,13", x2 = –51° 19' 4,13" • Si cos x = –1 8 x3 = 180° Al comprobar las soluciones, las tres son válidas. b) tg 2x + 2 cos x = 0 8

2 tg x + 2 cos x = 0 8 1 – tg 2 x

8

tg x + cos x = 0 8 1 – tg 2 x

sen x/cos x + cos x = 0 8 1 – (sen 2 x/cos 2 x)

8

sen x cos x + cos x = 0 8 sen x cos x + cos x (cos 2 x – sen 2 x) = 0 8 cos 2 x – sen 2 x

8 cos x (sen x + cos 2 x – sen 2 x) = 0 8 cos x (sen x + 1 – sen 2 x – sen 2 x) 8 8 cos x (1 + sen x – 2 sen 2 x) = 0 8 °cos x = 0 8 ¢ –1 ± √ 1 + 8 = £ 1 + sen x – 2 sen 2 x = 0 8 sen x = –4

–1/2 1

• Si cos x = 0 8 x1 = 90°, x2 = 270° • Si sen x = –

1 8 x3 = 210°, x4 = 330° = –30° 2

• Si sen x = 1 8 x5 = 90° = x1 Al comprobar las soluciones, vemos que todas ellas son válidas. c) √ 2 cos

x – cos x = 1 8 √ 2 2

8 √ 1 + cos x

√

1 + cos x 2

– cos x = 1 8

– cos x = 1 8 √ 1 – cos x = 1 + cos x 8

8 1 + cos x = 1 + cos 2 x + 2 cos x 8 cos 2 x + cos x = 0 8 cos x (cos x + 1) = 0 • Si cos x = 0 8 x1 = 90°, x2 = 270° • Si cos x = –1 8 x3 = 180° Al comprobar las soluciones, podemos ver que las únicas válidas son: x1 = 90° y x3 = 180°

Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

9

d) 2 sen x cos 2 x – 6 sen 3 x = 0 8 2 sen x (cos 2 x – 3 sen 2 x) = 0 8 8 2 sen x (cos 2 x + sen 2 x – 4 sen 2 x) = 0 8 2 sen x (1 – 4 sen 2 x) = 0 • Si sen x = 0 8 x1 = 0°, x2 = 180° • Si sen 2 x =

1 1 8 sen x = ± ò x3 = 30°, x4 = 150°, x5 = 210°, x6 = 330° 4 2

Comprobamos las soluciones y observamos que son válidas todas ellas. 3. Transforma en producto sen 3x – sen x y resuelve después la ecuación sen 3x – sen x = 0. sen 3x – sen x = 0 8 2 cos

3x + x 3x – x sen = 0 8 2 cos 2x sen x = 0 8 2 2

° cos 2x = 0 8 ¢ £ sen x = 0 ° 2x § § 2x • Si cos 2x = 0 8 ¢ § 2x § 2x £

= = = =

90° 270° 90° + 360° 270° + 360°

8 8 8 8

x1 x2 x3 x4

= = = =

45° 135° 225° 315°

• Si sen x = 0 ò x5 = 0°, x6 = 180° Comprobamos que las seis soluciones son válidas. 4. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas: a) sen (π – x) = cos b) sen

( )

(

)

3π – x + cos π 2

π – x + √2 sen x = 0 4

° § § 3π – x = –sen x ¢ Entonces, la ecuación queda: cos 2 § § cos π = –1 £

a) sen (π – x) = sen x

(

)

sen x = – sen x – 1 8 2 sen x = –1 8 sen x = Si sen x =

–1 2

–1 2

8 x1 = 7π rad, x2 = 11π rad 6 6

Al comprobar vemos:

(

)

–1 x1 = 7π 8 sen (π – x) = sen π – 7π = sen –π = 2 6 6 6

(

)

(

)

1 cos 3π – x = cos 3π – 7π = cos 2π = cos π = 2 2 2 6 6 3

10

Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

UNIDAD

5

Luego la solución es válida, pues: sen (π – x) =

(

)

–1 1 + (–1) = cos 3π – x + cos π = 2 2 2

(

)

( ) 1 cos ( 3π – x) = cos ( 3π – 11π ) = cos ( –2π ) = cos ( –π ) = 2 2 2 6 6 3

1 x2 = 11π 8 sen (π – x) = sen π – 11π = sen –5π = – 2 6 6 6

Luego también es válida esta solución, pues: sen (π – x) =

(

)

–1 1 + (–1) = cos 3π – x + cos π = 2 2 2

Por tanto, las dos soluciones son válidas: x1 = 7π rad y x2 = 11π rad 6 6

(

)

√ 2 cos x – √ 2 sen x b) sen π – x = sen π cos x – cos π sen x = 2 2 4 4 4 Luego la ecuación queda:

√ 2 cos x – √ 2 sen x + √ 2 cos x + √ 2 sen x = 0 8 √ 2 sen x = 0 8 2

2

2

2

8 cos x + sen x = 0 8 cos x = – sen x 8 x1 = 3π rad, x2 = 7π rad 4 4 Comprobamos que ninguna solución vale. Luego la ecuación no tiene solución. 5. Escribe, en radianes, la expresión general de todos los ángulos que verifican: a) tg x = –√3

b) sen x = cos x

c) sen 2 x = 1

d) sen x = tg x

a) x = 120° + k · 360° o bien x = 300° + k · 360° Las dos soluciones quedan recogidas en: x = 120° + k · 180° = 2π + k π rad = x con k é Z 3 b) x = π + k π rad con k é Z 4

Si sen x = –1 8 x = 3π + 2k π rad 2

° § § ¢ § § £

c) Si sen x = 1 8 x = π + 2k π rad 2

8 x=

π + k π rad con k é Z 2

d) En ese caso debe ocurrir que: O bien cos x = 1 8 x = 2k π rad

Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

° ¢ £

O bien sen x = 0 8 x = k π rad

8 x = k π rad con k é Z

11

Página 142 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR

Grados y radianes 1 Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos dados en radianes: a)

π 6

b)

2π 3

c)

4π 3

d)

5π 4

e)

7π 6

f)

9π 2

☛ Hazlo mentalmente teniendo en cuenta que: π radianes = 180°. a) 30°

b) 120°

c) 240°

d) 225°

e) 210°

f) 810°

2 Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos dados en radianes: a) 1,5

b) 3,2

c) 5

d) 2,75

a)

360° · 1,5 = 85° 56' 37" 2π

b)

360° · 3,2 = 183° 20' 47" 2π

c)

360° · 5 = 286° 28' 44" 2π

d)

360° · 2,75 = 157° 33' 48" 2π

3 Pasa a radianes los siguientes ángulos dados en grados. Exprésalos en función de π y en forma decimal. a) 40°

b) 108°

c) 135°

d) 240°

e) 270°

f) 126°

☛ Simplifica la expresión que obtengas sin multiplicar por 3,14... a)

12

40 π 2 π ≈ 0,7 rad = 180 9

a)

2π · 40° = 2π ≈ 0,7 rad 360° 9

b)

2π · 108° = 3π ≈ 1,88 rad 360° 5

c)

2π · 135° = 3π ≈ 2,36 rad 360° 4

d)

2π · 240° = 4π ≈ 4,19 rad 360° 3

e)

2π · 270° = 3π ≈ 4,71 rad 360° 2

f)

2π · 126° = 7π ≈ 2,2 rad 360° 10

Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

UNIDAD

5

4 Halla el resultado de las siguientes operaciones sin utilizar la calculadora: a) 5 cos

π 3π – cos 0 + 2 cos π – cos + cos 2 π 2 2

b) 5 tg π + 3 cos c)

π 3π – 2 tg 0 + sen – 2 sen 2 π 2 2

π 3π π 2 5 sen – 4 sen + 3 sen π – sen 2 2 2 3 3

Comprueba el resultado obtenido utilizando la calculadora. a) 5 · 0 – 1 + 2 · (–1) – 0 + 1 = –2 b) 5 · 0 + 3 · 0 – 2 · 0 + (–1) – 2 · 0 = –1 2 5 c) · 1 – 4(–1) + 3 · 0 – · 1 = 3 3 3 5 Prueba que: a) 4 sen

π π + √2 cos + cos π = 2 6 4

b) 2 √3 sen

2π π π + 4 sen – 2 sen = 3 3 6 2

√ 2 + (–1) = 2 + 1 – 1 = 2 1 a) 4 sen π + √ 2 cos π + cos π = 4 · + √2 · 2 2 6 4 √3 + 4 · 1 – 2 · 1 = 3 + 2 – 2 = 3 b) 2 √ 3 sen 2π + 4 sen π – 2 sen π = 2 √ 3 · 2 2 3 6 2 6 Halla el valor exacto de cada una de estas expresiones sin utilizar la calculadora: a) sen

π π + sen + sen π 4 2 π 3π – cos 2 2

b) cos π – cos 0 + cos c) sen

2π 7π 4π 11π – cos + tg + tg 3 6 3 6

Comprueba los resultados con la calculadora. a)

√2 2

+1+0=

√2 + 2 2

b) –1 – 1 + 0 – 0 = –2 c)

√3 2

( )

– –

√3 2

( ) (

+ √3 + –

√3 3

= √3

Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

)

5√3 1 1 1 + +1– = 3 2 2 3

13

7 Halla el valor exacto de estas expresiones sin usar la calculadora: a) sen

5π 3π 7π + cos – sen 4 4 4

b) cos

5π 4π 7π + tg – tg 3 3 6 π π π π + sen – √2 cos – 2 √3 sen 6 6 4 3

c) √3 cos

Comprueba los resultados con la calculadora. a) – b)

√2 2

( ) ( )

+ –

√2

– –

2

√2 2

=–

√2 2

√3 1 2√3 1 + √3 – = + 3 3 2 2

c) √3 ·

√3 2

+

√2 √3 3 1 1 – √2 · – 2√3 · = + – 1 – 3 = –2 2 2 2 2 2

8 En cada caso halla, en radianes, dos valores para el ángulo a tales que: a) sen a = 0,32

b) cos a = 0,58

c) tg a = –1,5

d) sen a = – 0,63

a) a1 = 0,33; a2 = 2,82

b) a1 = 0,95; a2 = 5,33

c) a1 = – 0,98; a2 = 2,16

d) a1 = – 0,68; a2 = 3,82

9 Indica, sin pasar a grados, en qué cuadrante está cada uno de los siguientes ángulos: a) 2 rad

b) 3,5 rad

c) 5 rad

☛ Ten en cuenta que: π ≈ 1,57; 2

a) 2.° cuadrante

π ≈ 3,14;

3π ≈ 4,7; 2

b) 3.er cuadrante

2π ≈ 6,28

c) 4.° cuadrante

Fórmulas trigonométricas 10 Halla las razones trigonométricas del ángulo de 75° sabiendo que 75° = 30° + 45°. sen 75° = sen (30° + 45°) = sen 30° cos 45° + cos 30° sen 45° = — — √3 · √2 = √ 2 + √6 1 √2 = · + 2 2 2 2 4

14

Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

UNIDAD

5

cos 75° = cos (30° + 45°) = cos 30° cos 45° – sen 30° sen 45° = — — √ 3 · √ 2 – 1 · √ 2 = √ 6 – √2 = 2 2 2 2 4 — — (√ 3 + 3)/3 = √ 3/3 + 1 tg 30° + tg 45° tg 75° = tg (30° + 45°) = = = — — 1 – tg 30° tg 45° (√ 3 – 3)/3 1 – √ 3/3 — —2 — 3 + √3 3 + √3 9 + 3 + 6 √3 = = = — = 6 9–3 3 – √3 — 12 + 6 √ 3 = = 2 + √3 6

(

NOTA:

)

También podemos resolverlo como sigue: — — — —2 — √2 + √6 √2 + √6 2 + 6 + 2 √ 12 sen 75° tg 75° = = — = = = — cos 75° 4 6–2 √6 – √2 — 8 + 4 √3 = = 2 + √3 4

(

11 Sabiendo que sen x =

)

π 3 y que < x < π, calcula, sin hallar previamente el 2 5

valor de x: a) sen 2x

b) tg

( )

d) cos x –

π 3

( ) ( )

x 2

e) cos

c) sen x + x 2

f ) tg x +

π 6

π 4

☛ Calcula cos x y tg x y después aplica las fórmulas. cos x = – √ 1 – sen 2 x = – tg x =

√

9 1 – — = – 4 (Negativo, por ser del 2.° cuadrante). 5 25

sen x 3 =– cos x 4

( )

3 4 24 · – =– 5 5 25

a) sen 2x = 2 sen x cos x = 2 · b) tg

x = 2

√

1 – cos x = 1 + cos x

√

1 – (–4/5) = 1 + (–4/5)

√

9/5 =3 1/5

Signo positivo, pues si x é 2.° cuadrante, entonces

(

x é 1.er cuadrante. 2

)

c) sen x + π = sen x cos π + cos x sen π = 6 6 6 — 3 √3 – 4 3 √3 4 1 = · + – · = 2 5 5 2 10

( )

Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

15

(

)

d) cos x – π = cos x cos π + sen x sen π = 3 3 3 — 3 √3 – 4 4 1 3 √3 · + · = = – 2 5 2 5 10

( )

e) cos (*)

√

x (*) = 2

1 + cos x = 2

Signo positivo, porque

(

√

1 – 4/5 = 2

√

1/5 = 2

√

1 √ 10 = 10 10

x é 1.er cuadrante. 2

)

–3/4 + 1 1 – 3/4 1 = = f ) tg x + π = tg x + tg π/4 = 1 – (–3/4) · 1 1 + 3/4 7 4 1 – tg x tg π/4

Página 143 12 Halla las razones trigonométricas del ángulo de 15° de dos formas, considerando: a) 15° = 45° – 30°

b) 15° =

30° 2

a) sen 15° = sen (45° – 30°) = sen 45° cos 30° – cos 45° sen 30° = — — √ 2 · √ 3 – √ 2 · 1 = √ 6 – √ 2 = 0,258819 = 2 2 2 2 4 cos 15° = cos (45° – 30°) = cos 45° cos 30° + sen 45° sen 30° = — — √ 2 · √ 3 + √ 2 · 1 = √ 6 + √ 2 = 0,965926 = 2 2 2 2 4 — — — √6 – √2 6 + 2 – 2 √ 12 sen 15° tg 15° = = — = — = cos 15° 6–2 √6 + √2 — 8 – 4 √3 = = 2 – √ 3 = 0,267949 4 30° b) sen 15° = sen = 2

√

1 – cos 30° = 2

√

— 1 – √ 3/2 = 2

√

— 1 + √ 3/2 = 2

√

— 2 – √3 = 4

√

— 2 + √3 = 0,9659258 4

—

=

√ 2 – √ 3 = 0,258819

cos 15° = cos

2

30° = 2

√

1 + cos 30° = 2

—

tg 15° =

16

√ 2 – √ 3 = 0,258819 = 0,2679491 — 0,9659258 √2 + √ 3 Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

UNIDAD

5

13 Sabiendo que sen x = 2/3 y que x es un ángulo del primer cuadrante, calcula: a) sen 2x ° § § ¢ § er x é 1. cuadrante § £

sen x =

2 3

8

2/3

√ 5/3

=

√5 4 = 3 9

2 √5 5

a) sen 2x = 2 sen x cos x = 2 · x b) tg = 2 =

√ √

c) cos (30° – x)

° cos x, tg x > 0 § § ¢ ° sen x/2 > 0 § x § er é 1. cuadrante 8 ¢ cos x/2 > 0 § 2 § £ £ tg x/2 > 0

• cos x = √ 1 – sen 2 x = 1 – • tg x =

x 2

b) tg

4 √5 2 √5 · = 3 9 3

— — 1 – 2√ 5/5 5 – 2√ 5 — = — = 1 + 2 √ 5/5 5 + 2√5 — — — 25 + 4 · 5 – 20 √ 5 45 – 20 √ 5 = = √9 – 4 √ 5 25 – 4 · 5 5

1 – cos x = 1 + cos x

√

√

√

c) cos (30° – x) = cos 30° cos x + sen 30° sen x = =

2

5

2

3

√ 15 + 1 = 3 √ 15 + 5 5

15

3

14 Si tg a = – 4/3 y 90° < a < 180°, calcula: a) sen

√3 · 2 √5 + 1 · 2 =

( ) π –a 2

(

b) cos 180° –

a 2

)

° sen a > 0 90° < a < 180° 8 ¢ £ cos a < 0 Además, a é 1.er cuadrante 2 • tg a = – •

4 3

16 25 9 3 1 +1= 8 cos 2 a = 8 cos a = – = tg 2 a + 1 = 9 9 25 5 cos 2 a

• sen a = √ 1 – cos 2 a =

(

)

√

9 1–— = 25

√

16 4 = 5 25

( )

3 4 3 a) sen π – a = sen π cos a – cos π sen a = 1 · – –0· =– 5 5 5 2 2 2 Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

17

(

)

b) cos 180° – a = cos 180° cos a + sen 180° sen a = –cos a = 2 2 2 2 =– =–

√ √

1 + cos a =– 2

√

2 =– 10

15 Sabemos que cos x = –

√

1 + (–3/5) =– 2

√

5–3 = 10

1 √5 =– 5 5

3 y sen x < 0. 4

Sin hallar el valor de x, calcula: a) sen x d) tg

b) cos (π + x)

x 2

e) sen

( )

( )

π –x 2

cos x = –3/4 ° ¢ 8 x é 3.er cuadrante ò sen x < 0 £ a) sen x = – √ 1 – cos 2 x = –

c) cos 2x

√

9 1–— =– 16

f ) cos π – x é 2.° cuadrante 2

√

7 √7 =– 4 16

b) cos (π + x) = cos π cos x – sen π sen x = – cos x = c) cos 2x = cos 2 x – sen 2 x =

d) tg

√ ( )

x =– 2

1 – cos x =– 1 + cos x

x 2

3 4

9 7 2 1 – = = 16 16 16 8

√

1 + 3/4 = 1 – 3/4

√

7 = √7 1

3 e) sen π – x = sen π cos x – cos π sen x = cos x = – 4 2 2 2

(

f) cos π –

)

x x x x = cos π cos + sen π sen = –cos = 2 2 2 2

(√

=– –

1 + cos x 2

)

=

√

1 – 3/4 = 2

√

1 √8 = 8 8

16 Si cos 78° = 0,2 y sen 37° = 0,6, calcula sen 41°, cos 41° y tg 41°. 41° = 78° – 37° • sen 78° = √ 1 – cos 2 78° = √ 1 – 0,22 = 0,98 • cos 37° = √ 1 – sen 2 37° = √ 1 – 0,62 = 0,8

18

Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

UNIDAD

5

Ahora, ya podemos calcular: • sen 41° = sen (78° – 37°) = sen 78° cos 37° – cos 78° sen 37° = = 0,98 · 0,8 – 0,2 · 0,6 = 0,664 • cos 41° = cos (78° – 37°) = cos 78° cos 37° + sen 78° sen 37° = = 0,2 · 0,8 + 0,98 · 0,6 = 0,748 • tg 41° =

sen 41° 0,664 = = 0,8877 cos 41° 0,748

17 Si tg (a + b) = 4 y tg a = –2, halla tg 2b. tg (a + b) =

tg a + tg b 1 – tg a tg b

8 4 = –2 + tg b 1 + 2 tg b

8

8 4 + 8 tg b = –2 + tg b 8 7 tg b = – 6 8 8 tg b = –

6 7

Luego: tg 2b =

2 tg b = 2 · (–6/7) = –12/7 = –12 · 49 = – 84 1 – 36/49 13/49 7 · 13 13 1 – tg 2 b

Ecuaciones trigonométricas 18 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 2 cos2 x – sen2 x + 1 = 0

b) sen2 x – sen x = 0

c) 2 cos2 x – √3 cos x = 0 ☛ b) y c) son ecuaciones de 2.º grado incompletas. ° ¢ £

a) 2 cos 2 x – 14243 sen 2 x + 1 = 0 cos 2 x

8 2 cos 2 x – cos 2 x = 0

° x1 = 90° cos 2 x = 0 8 cos x = 0 8 ¢ x = 270° £ 2 Al comprobarlas en la ecuación inicial, las dos soluciones son válidas. Luego:

x2 = 270° + k · 360° = 3π + 2kπ 2

° § § ¢ § § £

x1 = 90° + k · 360° = π + 2k π 2

con k é Z

Lo que podemos expresar como: x = 90° + k · 180° = π + k π con k é Z 2 Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

19

b) sen x (sen x – 1) = 0 8 ° sen x = 0 8 x1 = 0°, x2 = 180° 8¢ £ sen x = 1 8 x3 = 90° Comprobando las posibles soluciones, vemos que las tres son válidas. Luego:

x3 = 90° + k · 360° = π + 2k π 2

con k é Z

° § ¢ § £

x2 = 180° + k · 360° = π + 2k π

° § § ¢ § § £

x1 = k · 360° = 2k π

con k é Z

O, de otra forma: x1 = k π = k · 180° x3 = π + 2k π = 90° + k · 360° 2

(x1 así incluye las soluciones x1 y x2 anteriores)

(

)

c) cos x 2 cos x – √ 3 = 0 8 £ § cos x = 0 8 x = 90°, x = 270° 1 2 ¢ 8§ √ 3 ° cos x = 8 x3 = 30°, x4 = 330° 2 Las cuatro soluciones son válidas. Luego:

x2 = 270° + k · 360° = 3π + 2k π 2 x3 = 30° + k · 360° = π + 2k π 6 x4 = 330° + k · 360° = 11π + 2k π 6 NOTA:

° § § § § § ¢ § § § § § £

x1 = 90° + k · 360° = π + 2k π 2

con k é Z

Obsérvese que las dos primeras soluciones podrían escribirse como una sola de la siguiente forma: x = 90° + k · 180° = π + k π 2

19 Resuelve: a) sen2 x – cos2 x = 1

b) cos2 x – sen2 x = 0

c) 2 cos2 x + sen x = 1

d) 3 tg2 x – √3 tg x = 0

a) (1 – cos 2 x) – cos 2 x = 1 8 1 – 2 cos 2 x = 1 8 cos 2 x = 0 8 ° x1 = 90° 8 cos x = 0 8 ¢ x = 270° £ 2

20

Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

UNIDAD

5

Las dos soluciones son válidas. Luego:

x2 = 270° + k · 360° = 3π + 2k π 2

° § § ¢ § § £

x1 = 90° + k · 360° = π + 2k π 2

con k é Z

O, lo que es lo mismo: x = 90° + k · 180° = π + k π con k é Z 2 b) (1 – sen 2 x) – sen 2 x = 0 8 1 – 2 sen 2 x = 0 8 8 sen 2 x =

√2 1 8 sen x = ± 2 2

• Si sen x =

√ 2 8 x = 45°, x = 135° 1 2 2

• Si sen x = –

√2 2

8 x3 = 225°, x4 = 315°

Comprobamos que todas las soluciones son válidas. Luego:

x2 = 135° + k · 360° = 3π + 2k π 4 x3 = 225° + k · 360° = 5π + 2k π 4 x4 = 315° + k · 360° = 7π + 2k π 4

° § § § § § ¢ § § § § § £

x1 = 45° + k · 360° = π + 2k π 4

con k é Z

O, lo que es lo mismo: x = 45° + k · 90° = π + k · π 4 2

con k é Z

c) 2 (1 – sen 2 x) + sen x = 1 8 2 – 2 sen 2 x + sen x = 1 8 8 2 sen 2 x – sen x – 1 = 0 8 8 sen x =

1 8 x1 = 90° –1/2 8 x2 = 210°, x3 = 330°

1 ± √1 + 8 1±3 = = 4 4

Las tres soluciones son válidas, es decir:

x2 = 210° + k · 360° = 7π + 2k π 6 x3 = 330° + k · 360° = 11π + 2k π 6

Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

° § § § § ¢ § § § § £

x1 = 90° + k · 360° = π + 2k π 2

con k é Z

21

(

)

d) tg x 3 tg x – √ 3 = 0 8 £ § tg x = 0 8 x1 = 0°, x2 = 180° ¢ 8§ ° tg x = √ 3 8 x = 30°, x = 210° 3 4 3 Comprobamos las posibles soluciones en la ecuación inicial y vemos que las cuatro son válidas. Entonces:

x2 = 180° + k · 360° = π + 2k π x3 = 30° + k · 360° = π + 2k π 6 x4 = 210° + k · 360° = 7π + 2k π 6

° § § § § ¢ § § § § £

x1 = k · 360° = 2k π

con k é Z

Lo que podría expresarse con solo dos soluciones que englobaran las cuatro anteriores: x1 = k · 180° = k π y x2 = 30° + k · 180° = π + k π con k é Z 6 20 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) sen

( )

( )

π π 1 – x + cos –x = 6 3 2

b) sen 2x – 2 cos2 x = 0 ☛ Desarrolla sen 2x y saca factor común. c) cos 2x – 3 sen x + 1 = 0 ☛ Desarrolla cos 2x y sustituye cos 2 x = 1 – sen 2 x. d) sen

( )

π + x – √2 sen x = 0 4

1 a) sen π cos x – cos π sen x + cos π cos x + sen π sen x = 2 6 6 3 3

√ 3 sen x + 1 cos x + √ 3 sen x = 1 1 cos x – 2 2 2 2 2 1 1 1 1 cos x + cos x = 8 cos x = 2 2 2 2

x1 = π/3 x2 = 5π/3

Comprobamos y vemos que:

( ) ( ) ( ) 1 1 = sen ( π – 5π ) + cos ( π – 5π ) = sen (– 3π ) + cos (– 4π ) = 1 – 2 2 6 3 3 3 3 3

–1 1 x1 8 sen π – π + cos π – π = sen – π + cos 0 = +1= 2 2 6 3 3 3 6 x2 8

22

Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

UNIDAD

5

Son válidas las dos soluciones. Luego:

x2 = 5π + 2k π = 300° + k · 360° 3

° § § ¢ § § £

x1 = π + 2k π = 60° + k · 360° 3

con k é Z

b) 2 sen x cos x – 2 cos 2 x = 0 8 2 cos x (sen x – cos x) = 0 8 ° cos x = 0 8 x1 = 90°, x2 = 270° 8 ¢ £ sen x = cos x 8 x3 = 45°, x4 = 225° Comprobamos las soluciones. Todas son válidas:

x2 = 270° + k · 360° = 3π + 2k π 2 x3 = 45° + k · 360° = π + 2k π 4 x4 = 225° + k · 360° = 5π + 2k π 4

° § § § § § ¢ § § § § § £

x1 = 90° + k · 360° = π + 2k π 2

con k é Z

También podríamos expresarlas como:

x2 = 45° + k · 180° = π + k π 4

° § § ¢ § § £

x1 = 90° + k · 180° = π + k π 2

con k é Z

c) cos 2 x – sen 2 x – 3 sen x + 1 = 0 8 1 – sen 2 x – sen 2 x – 3 sen x + 1 = 0 8 8 1 – 2 sen 2 x – 3 sen x + 1 = 0 8 2 sen 2 x + 3 sen x – 2 = 0 8 8 sen x =

–3 ± √ 9 + 16 –3 ± 5 = = 4 4

1/2 8 x1 = 30°, x2 = 150° –2 8 ¡Imposible¡, pues |sen x | Ì 1

Comprobamos que las dos soluciones son válidas. Luego:

x2 = 150° + k · 360° = 5 π + 2k π 6

° § § ¢ § § £

x1 = 30° + k · 360° = π + 2k π 6

con k é Z

d) sen π cos x + cos π sen x – √ 2 sen x = 0 4 4

√ 2 cos x + √ 2 sen x – √ 2 sen x = 0 2

2

Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

23

√ 2 cos x – √ 2 sen x = 0 8 cos x – sen x = 0 8 2

2

8 cos x = sen x 8 x1 = π , x2 = 5π 4 4 Al comprobar, podemos ver que ambas soluciones son válidas. Luego:

x2 = 5π + 2k π = 225° + k · 360° 4

° § § ¢ § § £

x1 = π + 2k π = 45° + k · 360° 4

con k é Z

Podemos agrupar las dos soluciones en: x = π + k π = 45° + k · 180° con k é Z 4 21 Resuelve estas ecuaciones: a) 4 sen2 x cos2 x + 2 cos2 x – 2 = 0 ☛ Al hacer sen 2 x = 1 – cos2 x, resulta una ecuación bicuadrada. Haz cos 2 x = z y comprueba si son válidas las soluciones que obtienes.

b) 4 sen2 x + sen x cos x – 3 cos2 x = 0 ☛ Divide por cos 2 x y obtendrás una ecuación con tg x. c) cos 2 d) tg 2

x 1 + cos x – = 0 2 2

x + 1 = cos x 2

e) 2 sen2

x + cos 2x = 0 2

a) 4 (1 – cos 2 x ) cos 2 x + 2 cos 2 x – 2 = 0 4 cos 2 x – 4 cos 4 x + 2 cos 2 x – 2 = 0 4 cos 4 x – 6 cos 2 x + 2 = 0 8 2 cos 4 x – 3 cos 2 x + 1 = 0 Sea cos 2 x = z 8 cos 4 x = z 2 Así: 2z 2 – 3z + 1 = 0 8 z =

3 ± √9 – 8 3±1 = 4 4

z1 = 1 8 cos x = ±1 z2 =

24

√2 1 8 cos x = ± 2 2

x1 = 0° x2 = 180° x3 = 45°, x4 = 315° x5 = 135°, x6 = 225°

Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

UNIDAD

5

Comprobando las posibles soluciones, vemos que todas son válidas. Por tanto:

x2 = 180° + k · 360° = π + 2k π x3 = 45° + k · 360° = π + 2k π 4 x4 = 315° + k · 360° = 5π + 2k π 4 x5 = 135° + k · 360° = 3π + 2k π 4 x6 = 225° + k · 360° = 7π + 2k π 4

° § § § § § § § § ¢ § § § § § § § § £

x1 = k · 360° = 2k π

con k é Z

O, agrupando las soluciones:

x2 = 45° + k · 90° = π + k π 4 2

° § ¢ § £

x1 = k · 180° = k π

con k é Z

b) Dividiendo por cos 2 x : 4 sen 2 x sen x cos x – 3 cos 2 x = 0 8 4 tg 2 x + tg x – 3 = 0 8 + cos 2 x cos 2 x cos 2 x ° § 3 8 ° x1 = 36° 52' 11,6" ¢ x = 216° 52' 11,6" § 4 £ 2 § –1 ± √ 1 + 48 –1 ± 7 8 tg x = = =¢ 8 8 § ° x = 135° § –1 8 ¢ 3 § £ x4 = 315° £ Las cuatro soluciones son válidas:

x2 = 216° 52' 11,6" + k · 360° ≈ 6π + 2k π 5 x3 = 135° + k · 360° = 3π + 2k π 5 x4 = 315° + k · 360° = 7π + 2k π 5 x1 = 36° 52' 11,6" + k · 180° ≈ π + k π 5 x2 = 135° + k · 180° = 3π + k π 4

Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

° § § ¢ § § £

O, lo que es lo mismo:

° § § § § § ¢ § § § § § £

x1 = 36° 52' 11,6" + k · 360° ≈ π + 2k π 5

con k é Z

con k é Z

25

c)

1 + cos x 1 + cos x – = 0 8 1 + cos x + 2 cos x – 1 = 0 8 2 2 8 3 cos x = 0 8 cos x = 0 8 x1 = 90°, x2 = 270° Las dos soluciones son válidas. Luego:

x2 = 270° + k · 360° = 3π + 2k π 2

° § § ¢ § § £

x1 = 90° + k · 360° = π + 2k π 2

con k é Z

Agrupando las soluciones: x = 90° + k · 180° = π + k π con k é Z 2 d)

1 – cos x + 1 = cos x 8 1 – cos x + 1 + cos x = cos x + cos 2 x 8 1 + cos x 8 2 = cos x + cos 2 x 8 cos 2 x + cos x – 2 = 0 8 8 cos x =

–1 ± √ 1 + 8 –1 ± 3 = 2 2

1 8 x = 0° –2 8 ¡Imposible!, pues |cos x | Ì 1

Luego: x = k · 360° = 2k π con k é Z e) 2 ·

1 – cos x + cos 2 x – sen 2 x = 0 8 2

8 1 – cos x + cos 2 x – (1 – cos 2 x) = 0 8 8 1 – cos x + cos 2 x – 1 + cos 2 x = 0 8 2 cos 2 x – cos x = 0 8 ° cos x = 0 8 x1 = 90°, x2 = 270° 8 cos x (2 cos x – 1) = 0 8 ¢ £ cos x = 1/2 8 x3 = 60°, x4 = 300° Se comprueba que son válidas todas. Por tanto:

x2 = 270° + k · 360° = 3π + 2k π 2 x3 = 60° + k · 360° = π + 2k π 3 x4 = 300° + k · 360° = 5π + 2k π 3

° § § § § § ¢ § § § § § £

x1 = 90° + k · 360° = π + 2k π 2

con k é Z

Agrupando las soluciones quedaría:

x2 = 60° + k · 360° = π + 2k π 3 x3 = 300° + k · 360° = 5π + 2k π 3

26

° § § § § ¢ § § § § £

x1 = 90° + k · 180° = π + k π 2

con k é Z

Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

UNIDAD

5

Identidades trigonométricas 22 Demuestra que: sen (a + b) tg a + tg b = sen (a – b) tg a – tg b ☛ Aplica las fórmulas de sen (a + b) y sen (a – b). Divide el numerador y el denominador por cos a cos b y simplifica.

sen (a + b) = sen a cos b + cos a sen b (=*) sen (a – b) sen a cos b – cos a sen b sen a cos b cos a sen b ——––––—— + —–—–––—— cos a cos b cos a cos b = = tg a + tg b tg a – tg b sen a cos b cos a sen b ——––––—— – —–—–––—— cos a cos b cos a cos b (*)

Dividimos numerador y denominador entre cos a cos b.

23 Prueba que 2 tg x cos2 ☛ Sustituye cos 2

Como cos

x =± 2

x – sen x = tg x. 2

x 1 + cos x . = 2 2

√

1 + cos x 2

8 cos 2

x 1 + cos x = 2 2

Y sustituyendo en la expresión: 2 tg x cos 2

(*)

sen x 1 + cos x x – sen x = 2 · – sen x = cos x 2 2 =

sen x (1 + cos x) – sen x cos x (*) = cos x

=

sen x sen x [1 + cos x – cos x] = = tg x cos x cos x

Sacando factor común.

24 Demuestra que:

( )

cos x +

(

)

π 2π – cos x + = cos x 3 3

☛ Desarrolla y sustituye las razones de π y 2 π . 3

Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

3

27

(

)

(

)

cos x + π – cos x + 2π = 3 3

[

] [

]

= cos x cos π – sen x sen π – cos x cos 2π – sen x sen 2π = 3 3 3 3

[

= (cos x)

=

][

]

( )

√ 3 – (cos x) – 1 – (sen x) √ 3 = 1 – (sen x) 2 2 2 2

√ 3 sen x + 1 cos x + √ 3 sen x = cos x 1 cos x – 2 2 2 2

25 Demuestra que: cos a cos (a – b) + sen a sen (a – b) = cos b ☛ Aplica las fórmulas de la diferencia de ángulos, simplifica y extrae factor común.

cos a cos (a – b) + sen a sen (a – b) = = cos a (cos a cos b + sen a sen b) + sen a (sen a cos b – cos a sen b) = = cos 2 a cos b + cos a sen a sen b + sen 2 a cos b – sen a cos a sen b = (*)

= cos 2 a cos b + sen 2 a cos b = cos b (cos 2 a + sen 2 a) = cos b · 1 = cos b (*)

Extraemos factor común.

Página 144 PARA RESOLVER 26 En una circunferencia de 16 cm de radio, un arco mide 20 cm. Halla el ángulo central en grados y en radianes. 2 0

cm a 16 cm

Como la circunferencia completa (100,53 cm) son 2π rad, entonces: 100,53 = 2π 8 a = 20 · 2π = 1,25 rad 20 a 100,53 a=

28

360° · 1,25 = 71° 37' 11" 2π Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

UNIDAD

5

27 En una determinada circunferencia, a un arco de 12 cm de longitud le corresponde un ángulo de 2,5 radianes. ¿Cuál es el radio de esa circunferencia? 12 c

m

2,5 rad

2,5 rad 12 cm = 1 rad R cm

8 R=

12 = 4,8 cm 2,5

28 Halla, en radianes, el ángulo comprendido entre 0 y 2 π tal que sus razones 11π trigonométricas coincidan con las de . 4 0 < a < 2π 11π 8π + 3π = 4 4

8

11π 3π 3π = 2π + ò a= 4 4 4

29 Demuestra: cos (a – b) 1 + tg a tg b = cos (a + b) 1 – tg a tg b cos (a – b) = cos a cos b + sen a sen b (=*) cos (a + b) cos a cos b – sen a sen b

(*)

Dividimos numerador y denominador entre: cos a cos b

cos a cos b sen a sen b ——––––—— + —–—–––—— cos a cos b cos a cos b = = 1 + tg a tg b 1 – tg a tg b cos a cos b sen a sen b ——––––—— – —–—–––—— cos a cos b cos a cos b 30 Simplifica la expresión: sen 2a 1 – cos2 a Calcula su valor para a =

π . 4

sen 2a = 2 sen a cos a = 2 cos a sen a 1 – cos 2 a sen 2 a

( ) —

√2

Por tanto, si a = π ò 4

sen 2a = 2 cos a = sen a 1 – cos 2 a

Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

2· — 2 —

√2

=2

— 2

29

31 Prueba que: 2sen a – sen 2a a = tg 2 2sen a + sen 2a 2 2 sen a – sen 2a = 2 sen a – 2 sen a cos a = 2 sen a (1 – cos a) = 2 sen a + sen 2a 2 sen a + 2 sen a cos a 2 sen a (1 + cos a) = 1 – cos a = tg 2 a 1 + cos a 2 32 Simplifica: 2cos (45° + a) cos (45° – a) cos 2a ☛ Al desarrollar el numerador, obtendrás una diferencia de cuadrados. 2 cos (45° + a) cos (45° – a) = cos 2a = 2 (cos 45° cos a – sen 45° sen a) (cos 45° cos a + sen 45° sen a) = cos 2 a – sen 2 a 2 (cos 2 45° cos 2 a – sen 2 45° sen 2 a) = cos 2 a – sen 2 a — 2 — 2 2 · √ 2/2 cos 2 a – √ 2/2 sen 2 a 2 · 1/2 cos 2 a – 2 · 1/2 sen 2 a = = = 2 2 cos a – sen a cos 2 a – sen 2 a =

[(

=

)

(

)

]

cos 2 a – sen 2 a =1 cos 2 a – sen 2 a

33 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) cos 2x + 3 sen x = 2 b) tg 2x · tg x = 1 c) cos x cos 2x + 2 cos 2 x = 0 d) 2 sen x = tg 2x e) √3 sen

x + cos x – 1 = 0 2

f ) sen 2x cos x = 6 sen3 x g) tg

( )

π – x + tg x = 1 4

a) cos 2 x – sen 2 x + 3 sen x = 2 8 1 – sen 2 x – sen 2 x + 3 sen x = 2 8 8 2 sen 2 x – 3 sen x + 1 = 0 8 8 sen x =

30

3 ± √9 – 8 3±1 = 4 4

1 8 x1 = 90° 1/2 8 x1 = 30°, x2 = 150°

Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

UNIDAD

5

Las tres soluciones son válidas: ° § § § § ¢ § § § § £

x1 = 90° + k · 360° = π + 2k π 2 x2 = 30° + k · 360° = π + 2k π 6 x3 = 150° + k · 360° = 5π + 2k π 6 b)

con k é Z

2 tg x · tg x = 1 8 2 tg 2 x = 1 – tg 2 x 8 tg 2 x = 1 8 3 1 – tg 2 x 8 tg x = ±

√ 3 8 ° x1 = 30°, x2 = 210° ¢ 3

£ x3 = 150°, x4 = 330°

Las cuatro soluciones son válidas:

x2 = 210° + k · 360° = 7π + 2k π 6 x3 = 150° + k · 360° = 5π + 2k π 6 x4 = 330° + k · 360° = 11π + 2k π 6

° § § § § § ¢ § § § § § £

x1 = 30° + k · 360° = π + 2k π 6

con k é Z

Agrupando:

x2 = 150° + k · 180° = 5π + k π 6

° § § ¢ § § £

x1 = 30° + k · 180° = π + k π 6

con k é Z

c) cos x (cos 2 x – sen 2 x) + 2 cos 2 x = 0 8 8 cos x (cos 2 x – 1 + cos 2 x) + 2 cos 2 x = 0 8 8 2 cos 3 x – cos x + 2 cos 2 x = 0 8 cos x (2 cos 2 x + 2 cos x – 1) = 0 8 8 cos x = 0 8 x1 = 90°, x2 = 270° — –2 ± √ 4 + 8 –2 ± 2 √ 3 = = 4 4 — ≈ –1,366 8 ¡Imposible!, pues |cos x | ≤ –1 –1 ± √ 3 = ≈ 0,366 8 x3 = 68° 31' 51,1", x4 = 291° 28' 8,9" 2

cos x =

Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

31

Las soluciones son todas válidas:

x4 = 291° 28' 8,9" + k · 360° ≈ 1,62π + 2k π

con k é Z

° § § ¢ § § £

x2 = 270° + k · 360° = 3π + 2k π 2 x3 = 68° 31' 51,1" + k · 360° ≈ 0,38π + 2k π

° § § § § ¢ § § § § £

x1 = 90° + k · 360° = π + 2k π 2

con k é Z

Agrupadas, serían: x1 = 90° + k · 180° = π + k π 2 x2 = 68° 31' 51,1" + k · 360° ≈ 0,38π + 2k π x3 = 291° 28' 8,9" + k · 360° ≈ 1,62π + 2k π d) 2 sen x =

2 tg x 1 – tg 2 x

8 sen x – sen x

8 2 sen x – 2 sen x tg 2 x = 2 tg x 8

sen 2 x sen x = cos x cos 2 x

8

8 sen x cos 2 x – sen x sen 2 x = sen x cos x 8 8 sen x (cos 2 x – sen 2 x – cos x) = 0 8 8 sen x (cos 2 x – 1 + cos 2 x – cos x) = 0 8 ° sen x = 0 8 x = 0°, x = 180° 1 2 § 8 ¢ § 2 cos 2 x – cos x – 1 = 0° 8 cos x = 1 ± √ 1 + 8 = £ 4 =

1 8 x3 = 0° = x1 –1/2 8 x4 = 240°, x5 = 120°

Las cuatro soluciones son válidas. Luego:

x2 = 180° + k · 360° = π + 2k π x4 = 240° + k · 360° = 4π + 2k π 3 x5 = 120° + k · 360° = 2π + 2k π 3

° § § § § ¢ § § § § £

x1 = k · 360° = 2k π

con k é Z

Que, agrupando soluciones, quedaría: x2 = 120° + k · 360° = 2π + 2k π 3 x3 = 240° + k · 360° = 4π + 2k π 3

32

° § § § ¢ § § § £

x1 = k · 180° = k π

con k é Z

Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

UNIDAD

e) √ 3

√

1 – cos x + cos x – 1 = 0 8 2

5

3 – 3 cos x = (1 – cos x)2 8 2

8 3 – 3 cos x = 2 (1 + cos 2 x – 2 cos x) 8 2 cos 2 x – cos x – 1 = 0 8 8 cos x =

1 8 x1 = 0° –1/2 8 x2 = 120°, x3 = 240°

1 ± √1 + 8 1±3 = = 4 4

Al comprobar, vemos que las tres soluciones son válidas: ° § § § ¢ § § § £

x1 = k · 360° = 2k π x2 = 120° + k · 360° = 2π + 2k π 3 x3 = 240° + k · 360° = 4π + 2k π 3

con k é Z

f) 2 sen x cos x cos x = 6 sen 3 x 8 2 sen cos 2 x = 6 sen 3 x 8 8 2 sen x (1 – sen 2 x) = 6 sen 3 x 8 2 sen x – 2 sen 3 x = 6 sen 3 x 8 8 sen x = 0 8 x1 = 0°, x2 = 180° sen 2 x =

1 1 8 sen x = ± 8 4 2

x3 = 30°, x4 = 150° x5 = 210°, x6 = 330°

Comprobamos que todas las soluciones son válidas. Damos las soluciones agrupando las dos primeras por un lado y el resto por otro:

x2 = 30° + k · 90° = π + k · π 6 2 g) tg (π/4) + tg x + tg x = 1 8 1 – tg (π/4) tg x

° § § ¢ § § £

x1 = k · 180° = k π

con k é Z

1 + tg x + tg x = 1 8 1 – tg x

8 1 + tg x + tg x – tg 2 x = 1 – tg x 8 tg 2 x – 3 tg x = 0 8 8 tg x (tg x – 3) = 0 8 ° tg x = 0 8 x1 = 0°, x2 = 180° 8 ¢ £ tg x = 3 8 x3 = 71° 33' 54,2", x4 = 251° 33' 54,2" Las cuatro soluciones son válidas:

x2 = 180° + k · 360° = π + 2k π x3 = 71° 33' 54,2" + k · 360° ≈ 2π + 2k π 5 x4 = 251° 33' 54,2" + k · 360° ≈ 7π + 2k π 5

Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

° § § § § ¢ § § § § £

x1 = k · 360° = 2k π

con k é Z

33

O, lo que es lo mismo:

x2 = 71° 33' 54,2" + k · 180° ≈ 2π + k π 5

° § § ¢ § § £

x1 = k · 180° = k π

con k é Z

34 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) sen 3x – sen x = cos 2x b)

sen 5x + sen 3x =1 cos x + cos 3x

c)

sen 3x + sen x = √3 cos 3x + cos x

d) sen 3x – cos 3x = sen x – cos x ☛ Transforma las sumas o diferencias de senos y cosenos en productos. a) 2 cos

3x + x 3x – x sen = cos 2x 2 2

2 cos 2x sen x = cos 2x 8 2 sen x = 1 8 sen x =

1 8 x1 = 30°, x2 = 150° 2

Comprobando, vemos que las dos soluciones son válidas. Luego:

x2 = 150° + k · 360° = 5π + 2k π 6 2 sen 4x cos x =1 8 2 cos 2x cos x 8 £ § § § § § ¢ 8§ § § § § °

con k é Z

sen 4x sen (2 · 2x) =1 8 =1 8 cos 2x cos 2x

2 sen 2x cos 2x 1 = 1 8 2 sen 2x = 1 8 sen 2x = 8 cos 2x 2 2x = 30° 8 x1 = 15° + k · 360° = π + 2k π 12 2x = 150° 8 x2 = 75° + k · 360° = 5π + 2k π 12 2x = 390° 8 x3 = 195° + k · 360° = 13π + 2k π 12 2x = 510° 8 x4 = 255° + k · 360° = 17π + 2k π 12

° § § § § § ¢ § § § § § £

b)

° § § ¢ § § £

x1 = 30° + k · 360° = π + 2k π 6

con k é Z

Al comprobar, vemos que todas las soluciones son válidas.

34

Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

UNIDAD

c)

5

√ 3 8 ° x1 = 150° cos x 2 sen 2x cos x 1 = =– = √ 3 8 tg x = – ¢ 3 –sen x –2 sen 2x sen x tg x £ x2 = 330° Ambas soluciones son válidas. Luego:

x2 = 330° + k · 360° = 11π + 2k π 6

° § § ¢ § § £

x1 = 150° + k · 360° = 5π + 2k π 6

con k é Z

d) sen 3x – sen x = cos 3x – cos x 8 8 2 cos 2x sen x = –2 sen 2x sen x 8 (dividimos entre 2 sen x )

£ § § § ¢ 8 § § § °

sen 2x = –1 8 tg 2x = –1 8 cos 2x

2x = 315° 8 x1 = 157,5° + k · 360° 2x = 135° 8 x2 = 67,5° + k · 360° 2x = 675° 8 x3 = 337,5° + k · 360° 2x = 495° 8 x4 = 247,5° + k · 360°

° § § § ¢ § § § £

8 cos 2x = –sen 2x 8

con k é Z

Podemos comprobar que las cuatro soluciones son válidas. Agrupándolas: x = 67,5° + k · 90° con k é Z 35 a) Demuestra que: sen 3x = 3 sen x cos2 x – sen 3 x b) Resuelve la ecuación sen 3x – 2 sen x = 0. ☛ a) Haz sen 3x = sen (2x + x) y desarrolla. b) Sustituye sen 3x por el resultado anterior.

a) sen 3x = sen (2x + x) = sen 2x cos x + cos 2x sen x = = 2 sen x cos x cos x + (cos 2 x – sen 2 x) sen x = = 2 sen x cos 2 x + sen x cos 2 x – sen 3 x = 3 sen x cos 2 x – sen 3 x b) sen 3x – 2 sen x = 0 8 por el resultado del apartado anterior: 3 sen x cos 2 x – sen 3 x – 2 sen x = 0 8 3 sen x (1 – sen 2 x) – sen 3 x – 2 sen x = 0 8 8 3 sen x – 3 sen 3 x – sen 3 x – 2 sen x = 0 8 8 4 sen 3 x – sen x = 0 8 sen x (4 sen 2 x – 1) = 0 8 ° sen x = 0 8 x1 = 0°, x2 = 150° 8 ¢ £ sen x = ±1/2 8 x3 = 30°, x4 = 150°, x5 = 210°, x6 = 330° Todas las soluciones son válidas y se pueden expresar como: x1 = k · 180° = k π ° § x2 = 30° + k · 180° = (π/6) + k π ¢ con k é Z x3 = 150° + k · 180° = (5π/6) + k 𠧣

Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

35

36 Demuestra las siguientes igualdades: a) cos (a + b) · cos (a – b) = cos 2 a – sen 2 b b) sen 2 c) cos 2

( ) ( )

( ) ( )

a+b a–b – sen 2 = sen a · sen b 2 2

a–b a+b – cos 2 = sen a · sen b 2 2

a) cos (a + b) cos (a – b) = (cos a cos b – sen a sen b) (cos a cos b + sen a sen b) = = cos 2 a cos 2 b – sen 2 a sen 2 b = = cos 2 a (1 – sen 2 b) – (1 – cos 2 a) · sen 2 b = = cos 2 a – cos 2 a sen 2 b – sen 2 b + cos 2 a sen 2 b = = cos 2 a – sen 2 b b) El primer miembro de la igualdad es una diferencia de cuadrados, luego podemos factorizarlo como una suma por una diferencia:

[ (

)

(

sen a + b + sen a – b 2 2

[

)] · [sen ( a 2+ b ) – sen ( a 2– b )] =

(*)

][

]

= 2 sen a cos b · 2 cos a sen b = 2 2 2 2 =4

√

1 – cos a · 2

√

1 + cos b · 2

√

1 + cos a · 2

√

1 – cos b = 2

= √ (1 – cos a) (1 + cos b) (1 + cos a) (1 – cos b) = = √ (1 – cos 2 a) (1 – cos 2 b) = √ sen 2 a · sen 2 b = sen a sen b (*)

Transformamos la suma y la diferencia en productos, teniendo en cuenta que: a+b + a–b =a 2 2

a+b – a–b =b 2 2

y

c) Procedemos de manera análoga al apartado anterior, pero ahora: a–b + a+b =a 2 2

(

y

a – b – a + b = –b 2 2

)

( ) = [cos ( a – b ) + cos ( a + b )] · [cos ( a – b ) – cos ( a + b )] = 2 2 2 2

cos 2 a – b – cos 2 a + b = 2 2

[

][

] [

][

]

= 2 cos a cos –b · –2 sen a sen –b = 2 cos a cos b · 2 sen a sen b = 2 2 2 2 2 2 2 2

36

Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

UNIDAD

=4

√

1 + cos a · 2

√

1 + cos b · 2

√

1 – cos a · 2

√

5

1 – cos b = 2

= √ (1 – cos 2 a) (1 – cos 2 b) = √ sen 2 a · sen 2 b = sen a sen b NOTA:

También podríamos haberlo resuelto aplicando el apartado anterior como sigue:

(

)

(

)

(

)

(

)

cos 2 a – b – cos 2 a + b = 1 – sen 2 a – b – 1 + sen 2 a + b = 2 2 2 2

(

)

(

= sen 2 a + b – sen 2 a – b 2 2 (*)

) = sen a sen b (*)

Por el apartado b).

37 Simplifica la expresión: sen a · cos 2a – cos a · sen 2a sen a (cos 2 a – sen 2 a) – cos a · 2 sen a cos a = = sen a cos 2 a – sen 3 a – 2 sen a cos 2 a = = –sen a cos 2 a – sen 3 a = –sen a (cos 2 a + sen 2 a) = –sen a 38 Resuelve los sistemas siguientes dando las soluciones correspondientes al primer cuadrante: ° x + y = 120° § 1 a) ¢ § sen x – sen y = — 2 £ ° sen 2 x + cos 2 y = 1 b) ¢ £ cos 2 x – sen 2 y = 1 ☛ Haz cos 2 y = 1 – sen 2 y y cos 2 x = 1 – sen 2 x. ° sen x + cos y = 1 c) ¢ £ x + y = 90° a) De la segunda ecuación: 2 cos

x+y x–y 1 sen = 2 2 2

Como: x + y = 120° 8 2 cos 60° sen 8 sen

x–y 1 1 x–y 1 = 8 2· sen = 8 2 2 2 2 2

x–y 1 = 8 2 2

x–y = 30° 8 x – y = 60° 2

Así: x + y = 120° x – y = 60° 2x

= 180° 8 x = 90° 8 y = 30°

Luego la solución es: (90°, 30°)

Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

37

2 2 ° b) Como cos y = 1 – sen y ¢ 2 cos x = 1 – sen 2 x £

El sistema queda: sen 2 x + 1 – sen 2 y = 1 ° 8 ¢ 1 – sen 2 x – sen 2 y = 1 £

sen 2 x – sen 2 y = 0 ° ¢ –sen 2 x – sen 2 y = 0 £

(Sumando ambas igualdades) 8

–2 sen 2 y = 0 8 sen y = 0 8 y = 0°

Sustituyendo en la segunda ecuación (por ejemplo) del sistema inicial, se obtiene: ° cos x = 1 8 x = 0° cos 2 x – 0 = 1 8 cos 2 x = 1 = ¢ £ cos x = – 1 8 x = 180° é 2.º cuadrante Luego la solución es: (0°, 0°) c) x + y = 90° 8 complementarios 8 sen x = cos y Sustituyendo en la primera ecuación del sistema: 1 8 y = 60° 8 2 8 x = 90° – y = 90° – 60° = 30°

cos y + cos y = 1 8 2 cos y = 1 8 cos y =

Luego la solución es: (30°, 60°) 39 Justifica que para cualquier ángulo a se verifica:

√2 cos

( )

π – a = sen a + cos a 4

Desarrollamos la primera parte de la igualdad:

(4 )

(

)

√ 2 · cos π – a = √ 2 cos π cos a + sen π sen a = = √2

(

= √2 ·

4

4

)

√ 2 cos a + √ 2 sen a = 2

2

√ 2 (cos a + sen a) = 2 (cos a + sen a) = 2

2

= cos a + sen a 40 Expresa sen 4a y cos 4a en función de sen a y cos a. • sen 4a = sen (2 · 2a) = 2 sen a cos 2a = 2 · 2 sen a cos a · (cos 2 a – sen 2 a) = = 4 (sen a cos 3 a – sen 3 a cos a) • cos 4a = cos (2 · 2a) = cos 2 2a – sen 2 2a = = (cos 2 a – sen 2 a)2 – (2 sen a cos a)2 = = cos 4 a + sen 4 a – 2 cos 2 a sen 2 a – 4 sen 2 a cos 2 a = = cos 4 a + sen 4 a – 6 sen 2 a cos 2 a

38

Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

UNIDAD

5

Página 145 CUESTIONES TEÓRICAS 41 ¿Qué relación existe entre las razones trigono-métricas de los ángulos que miden π/5 y 4π/5 radianes? π + 4π = 5π = π 8 son suplementarios, luego: 5 5 5

(

)

sen π = sen π – 4π = sen 4π 5 5 5 cos π = – cos 4π ; tg π = –tg 4π 5 5 5 5

42 Relaciona estas expresiones con las razones trigonométricas del ángulo a: a) sen (π – a);

cos (π – a);

tg (π – a)

b) sen (π + a);

cos (π + a);

tg (π + a)

c) sen (2π – a);

cos (2π – a);

tg (2π – a)

° sen (π – a) = sen a a) ¢ 8 tg (π – a) = –tg a £ cos (π – a) = –cos a ° sen (π + a) = –sen a b) ¢ 8 tg (π + a) = tg a £ cos (π + a) = –cos a ° sen (2π – a) = –sen a c) ¢ 8 tg (2π – a) = –tg a £ cos (2π – a) = cos a

43 Expresa A(x) en función de sen x y cos x: a) A(x) = sen (–x) – sen (π – x) b) A(x) = cos (–x) + cos (π + x) c) A(x) = sen (π + x) + cos (2π – x) a) A (x) = sen (–x) – sen (π – x) = –sen x – sen x = –2 sen x b) A (x) = cos (–x) + cos (π + x) = cos x + (–cos x) = 0 c) A (x) = sen (π + x) + cos (2 π – x) = –sen x + cos x

Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

39

44 Haz, con la calculadora, una tabla de valores de la función y = cos 2x , dando a x valores comprendidos entre 0 y 2π radianes y represéntala gráficamente. π 12

π 8

π 4

1

√3

√2

2

2

0

3π 4

7π 8

11π 12

0

√2

√3

2

2

x

0

y = cos 2x

π 3

3π 8

π 2

7π 12

–1 –

√3 – √2 – 1

5π 12

√2 – √3 –1 – 2 2 2

π

5π 4

7π 8

2π

1

–1

0

0

5π 8

2

2

2π 3 2

1

0

π — 4

π — 2

3π — 4

π

3π — 2

5π — 4

7π — 4

2π

9π — 4

–1

PARA PROFUNDIZAR 45 Representa las funciones: π a) y = cos x + 2 c) y = cos

( ) ( )

( ) ( )

b) y = sen x +

π –x 2

d) y = sen

a)

π 2

π –x 2

1

— – 7π 4

— – 3π 2

— – 5π 4

–π

— – 3π 4

π –— 2

π –— 4

0

π — 4

π — 2

3π — 4

π

5π — 4

π — 4

π — 2

3π — 4

π

5π — 4

3π — 2

7π — 4

2π

–1

b)

1

– 7π — – 3π — 4 2

– 5π — 4

–π

– 3π — 4

π –— 2

π –— 4

0

3π — 2

7π — 4

2π

–1

40

Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

UNIDAD

c)

5

1

0 — – 7π 4

— – 3π 2

— – 5π 4

–π

— – 3π 4

π –— 2

π –— 4

π — 4

π — 2

3π — 4

π

5π — 4

3π — 2

7π — 4

π — 4

π — 2

3π — 4

π

5π — 4

3π — 2

7π — 4

2π

–1

d)

1

– 7π — – 3π — 4 2

– 5π — 4

–π

– 3π — 4

π –— 2

π –— 4

0

2π

–1

46 Resuelve los sistemas siguientes dando las soluciones correspondientes al primer cuadrante: —

° sen x + sen y = √3 a) ¢ £ cos x + cos y = 1

° sen 2 x + cos 2 y = 3/4 b) ¢ £ cos 2 x – sen 2 y = 1/4

° cos (x + y) = 1/2 c) ¢ £ sen (x – y) = 1/2

a) Despejando en la segunda ecuación: cos x = 1 – cos y (*) ° ¢ entonces: 2 Como sen x = √1 – cos x £ sen x = √ 1 – (1 – cos y)2 = √ 1 – 1 – cos 2 y + 2 cos y = √ 2 cos y – co s 2 y Y, sustituyendo en la primera ecuación, se tiene: sen x + sen y = √ 3 8 √ 2 cos y – cos 2 y + sen y = √ 3 8 8 sen y = √ 3 – √ 2 cos y – cos 2 y Elevamos al cuadrado: sen 2 y = 3 + (2 cos y – cos 2 y) – 2 √ 3 (2 cos y – cos 2 y) sen 2 y + cos 2 y – 2 cos y – 3 = –2 √ 3 (2 cos y – cos 2 y) 1 – 2 cos y – 3 = –2 √ 3 (2 cos y – cos 2 y) –2 (1 + cos y) = –2 √ 3 (2 cos y – cos 2 y) Simplificamos y volvemos a elevar al cuadrado: (1 + cos y)2 = 3 (2 cos y – cos 2 y) 8 8 1 + cos 2 y + 2 cos y = 6 cos y – 3 cos 2 y 8 8 4 cos 2 y – 4 cos y + 1 = 0 8 cos y =

Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

4 ± √ 16 – 16 1 = 8 y = 60° 8 2

41

Sustituyendo en

(*),

se tiene:

cos x = 1 –

1 1 = 8 x = 60° 2 2

3 ° 4 §§ ¢ Sumando: 1 § cos 2 x – sen 2 y = 4 §£

b) sen 2 x + cos 2 y =

sen 2 x + cos 2 x + cos 2 y – sen 2 y = 1 8 1 + cos 2 y – sen 2 y = 1 8 8 2 cos 2 y = 1 8 cos 2 y =

√ 2 8 y = 45° 1 8 cos y = 2 2

(Solo consideramos las soluciones del primer cuadrante). Sustituyendo en la primera ecuación: sen 2 x + cos 2 y = 8 sen 2 x =

3 1 3 8 sen 2 x + = 8 4 2 4

3 1 1 1 – 8 sen 2 x = 8 sen x = ± 4 2 4 2

Nos quedamos con la solución positiva, por tratarse del primer cuadrante. Así: sen x =

1 8 x = 30° 2

Luego la solución es: (30°, 45°) c) Como x, y é1.er cuadrante ° § ° x + y é1.er cuadrante y además cos (x + y) > 0 ¢ 8 ¢ er § £ x – y é1. cuadrante sen (x – y) > 0 £ Teniendo esto en cuenta: cos (x + y) =

1 2

8 x + y = 60°

sen (x – y) =

1 2

8 x – y = 30° (Sumamos ambas ecuaciones) 2x = 90° 8 x = 45°

Sustituyendo en la primera ecuación y despejando: y = 60° – x = 60° – 45° = 15° La solución es, por tanto: (45°, 15°)

42

Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

UNIDAD

5

47 Demuestra que: a) sen x =

2 tg x/2 1 + tg 2 x/2

b) cos x =

1 – tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2

c) tg x =

2 tg x/2 1 – tg 2 x/2

a) Desarrollamos y operamos en el segundo miembro de la igualdad:

2 tg (x/2) = 1 + tg 2 (x/2)

2

√

1 – cos x 1+ 1 + cos x

√

2 =

=

1 – cos x 1 + cos x

2 =

1 – cos x 1 + cos x

√

1 – cos x 1 + cos x

1 + cos x + 1 – cos x 1 + cos x

= (1 + cos x)

2 1 + cos x

√

=

1 – cos x = 1 + cos x

√

1 – cos x (1 + cos x )2 — = √ (1 + cos x) (1 – cos x) = 1 + cos x

= √ 1 – cos 2 x = √ sen 2 x = sen x 1 – cos x 1 + cos x – 1 + cos x 1 – ————— —–––––––––––––———— 1 + cos x 1 + cos x 1– (x/2) 2 cos x b) = = = = cos x 2 2 1 – cos x 1 + cos x + 1 – cos x 1 + tg (x/2) —–––––––––––––———— 1 + ————— 1 + cos x 1 + cos x tg 2

2 tg (x/2) c) = 1 – tg 2 (x/2)

2

√

1–

2 =

1 – cos x 1 + cos x 1 – cos x 1 + cos x

√

1 – cos x 1 + cos x

2 cos x 1 + cos x

2 =

=

√

1 – cos x 1 + cos x

1 + cos x – 1 + cos x 1 + cos x

1 + cos x cos x

√

=

1 – cos x = 1 + cos x

√

1 – cos x (1 + cos x )2 — = 1 + cos x

=

1 · cos x

=

1 1 √ (1 + cos x) (1 – cos x) = √ 1 – cos 2 x cos x cos x

=

1 1 · √ sen 2 x = · sen x = tg x cos x cos x

Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

43

AUTOEVALUACIÓN 1. Expresa en grados:

3π 5π rad, rad, 2 rad. 4 2

3π rad = 135° 4

5π rad = 450° 2

2 rad = 114° 35' 30''

2. Expresa en radianes dando el resultado en función de π y como número decimal: a) 60° a) 60° =

b) 225°

c) 330°

π rad = 1,05 rad 3

b) 225° =

5π rad = 3,93 rad 4

c) 330° =

11π rad = 5,76 rad 6

3. En una circunferencia de 16 cm de diámetro dibujamos un ángulo de 3 rad. ¿Qué longitud tendrá el arco correspondiente?

8 cm

l = 8 · 3 = 24 cm

4. Asocia a esta gráfica una de las siguientes expresiones y di cuál es su periodo: a) y = cos x

b) y = cos 2x

c) y = 2cos x

1

π — π — π — 6 4 3

π — 2

3π — 5π 2π — — 3 4 6

π

7π — 5π — 4π — 6 4 3

–1

Completa estos puntos para que pertenezcan a la gráfica: (5π/6, ...), (4π/3, ...), (–π/4, ...). La gráfica corresponde a la b) y = cos 2x. Su periodo es π.

44

Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

UNIDAD

( ( (

) ) )

5π , … 6

8 y = cos 2 ·

5π 1 = 6 2

4π , … 3

8 y = cos 2 ·

4π 1 =– 3 2

π – ,… 4

8 y = cos 2 ·

()

5. Si cos a = –

5π 1 , 6 2

(

8

(

π =0 8 4

)

4π 1 ,– 3 2

)

)

π – ,0 4

1 y a < π, halla: 4 b) cos (π + a)

a) sen 2a cos a = –

(

8

5

c) tg

( )

1 1 a < π 8 sen 2 a = 1 – – 4 4

2

=

a 2

15 16

d) sen 8 sen a =

( ) π –a 6

√15 4

( ) (√ )

a) sen 2a = 2 sen a cos a = 2 – b) cos (π + a) = –cos a = c) tg

a = 2

d) sen

(

√

1 – cos a = 1 + cos a

)

1 4

15 √15 =– 4 8

1 4

√

1 – (–1/4) = 1 + (–1/4)

√

5 3

( )

√3 √15 π π π 1 1 – – – a = sen cos a – cos sen a = · = 2 4 6 6 6 2 4 =–

√45 –1 – 3√5 1 – = 8 8 8

6. Demuestra cada una de estas igualdades: a) tg 2a =

2 tg a 1 – tg 2 a

b) sen (a + b) · sen (a – b) = sen2 a – sen2 b

sen 2a 2sen a cos a a) tg 2a = = = cos 2a cos 2 a – sen 2 a

2sen a cos a —— cos 2 a a 1–— 2 cos a sen 2

=

2tg a 1 – tg 2 a

b) sen (a + b) · sen (a – b) = = (sen a cos b + cos a sen b) (sen a cos b – cos a sen b) = = sen 2 a cos 2 b – cos 2 a sen 2 b = sen 2 a (1 – sen 2 b) – (1 – sen 2 a) sen 2 b = = sen 2 a – sen 2 a sen 2 b – sen 2 b + sen 2 a sen 2 b = sen 2 a – sen 2 b

Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

45

7. Resuelve:

( ) ( )

a) cos 2x – cos a) cos 2x – cos

π +x =1 2

b) 2tg x cos2

x – sen x = 1 2

π +x =1 2

cos 2 x – sen 2 x – (–sen x) = 1 8 1 – sen 2 x – sen 2 x + sen x – 1 = 0 x = 0° x = 180°

sen x = 0 –2sen 2 x + sen x = 0 8 sen x (–2sen x + 1) = 0 sen x =

x = 30° x = 150°

1 2

Soluciones: x1 = 360°k; x2 = 180° + 360°k; x3 = 30° + 360°k; x4 = 150° + 360°k, con k é Z b) 2tg x cos 2

x 1 + cos x – sen x = 1 8 2tg x – sen x = 1 8 2 2 8 tg x + tg x cos x – sen x = 1 8 8 tg x +

sen x cos x – sen x = 1 8 cos x x1 = 45° + 360°k ° ¢ con k é Z x2 = 225° + 360°k £

8 tg x = 1

8. Simplifica: a)

sen 60° + sen 30° cos 60° + cos 30°

sen 60° + sen 30° a) = cos 60° + cos 30°

b)

(

(

sen2 a a 1 + tg2 1 – cos a 2

60° + 30° 60° – 30° 2sen — cos — 2 2 60° + 30° 60° – 30° 2cos — cos — 2 2

)

(

=

)

)

sen 45° = tg 45° = 1 cos 45°

a 1 – cos a sen 2 a sen 2 a sen 2 a 1 + tg 2 = 1+ = 2 1 + cos a 1 – cos a 1 – cos a 1 – cos a =

46

b)

(

)

2 = 1 + cos a

2sen 2 a 2sen 2 a = =2 1 – cos 2 a sen2 a

Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

6

NÚMEROS COMPLEJOS

Página 147 REFLEXIONA Y RESUELVE Extraer fuera de la raíz ■

Saca fuera de la raíz: a) √–16

b) √–100

a) √–16 = √–1 · 16 = 4√–1

b) √–100 = 10√–1

Potencias de √ –1 ■

Calcula las sucesivas potencias de √–1 : 3

2

3

2

4

a) (√–1 ) = (√–1 ) (√–1 ) = …

5

b) (√–1 )

c) (√–1 )

a) (√–1 ) = (√–1 ) (√–1 ) = (–1) · √–1 = – √–1 4 2 2 b) (√–1 ) = (√–1 ) (√–1 ) = (–1) · (–1) = 1 5 4 c) (√–1 ) = (√–1 ) · √–1 = 1 · √–1 = √–1

¿Cómo se maneja k · √ –1 ? ■

Simplifica. a) –2 √–1 + 11 √–1 – 8 √–1 – √–1 b) 5 √–1 + 2 √–1 – 10 √–1 + 3 √–1 c) 8 √–1 +

2 3 1 √–1 – √–1 – √–1 5 10 2

a) –2 √–1 + 11 √–1 – 8 √–1 – √–1 = 0 · √–1 = 0 b) 5 √–1 + 2 √–1 – 10 √–1 + 3 √–1 = 0 c) 8 √–1 +

(

)

2 3 1 80 4 3 5 38 √–1 – √–1 – √–1 = √–1 = √–1 + – – 5 10 2 10 10 10 10 5

Unidad 6. Números complejos

1

Expresiones del tipo a + b · √ –1 ■

Simplifica las siguientes sumas: a) (–3 + 5 √–1 ) + (2 – 4 √–1 ) – (6 √–1 ) b) (–5) (5 + √–1

) – 2 (1 – 6 √–1 )

a) (–3 + 5 √–1 ) + (2 – 4 √–1 ) – (6 √–1 ) = –1 – 5 √–1 b) (–5) (5 + √–1 ) – 2 (1 – 6 √–1 ) = –3 – √–1 ■

Efectúa las siguientes operaciones combinadas: a) 3 (2 – 4 √–1 ) – 6 (4 + 7 √–1 ) b) 8(5 – 3 √–1 ) + 4(– 3 + 2 √–1 ) a) 3 (2 – 4 √–1 ) – 6 (4 + 7 √–1 ) = 6 – 12√–1 – 24 – 42√–1 = –18 – 54√–1 b) 8(5 – 3 √–1 ) + 4(–3 + 2 √–1 ) = 40 – 24√–1 – 12 + 8√–1 = 28 – 16√–1

Multiplicaciones ■

Efectúa las siguientes multiplicaciones: a) (4 – 3 √–1 ) · √–1

b) (5 + 2 √–1 ) · 8 √–1

c) (5 + 2 √–1 )(7 – 3 √–1 )

d) (5 + 2 √–1 )(5 – 2 √–1 ) 2

a) (4 – 3 √–1 ) · √–1 = 4√–1 – 3(√–1 ) = 4√–1 – 3 (–1) = 3 + 4√–1 2

b) (5 + 2 √–1 ) · 8 √–1 = 40√–1 + 16(√–1 ) = –16 + 40√–1 2

c) (5 + 2 √–1 )(7 – 3 √–1 ) = 35 – 15√–1 + 14√–1 – 6(√–1 ) = 35 + 6 – √1 = 41 – √–1 2

d) (5 + 2 √–1 )(5 – 2 √–1 ) = 25 – 10√–1 + 10√–1 – 4(√–1 ) = 25 + 4 = 29

Ecuaciones de segundo grado ■

Resuelve: a) x 2 + 10x + 29 = 0

b) x 2 + 9 = 0 –10 ± √100 – 116 –10 ± √–16 –10 ± 4 √–1 = = = 2 2 2 — x1 = –5 + 2√–1 — = –5 ± 2√–1 x2 = –5 – 2√–1

a) x 2 + 10x + 29 = 0 8 x =

b) x 2

2

+9=0 8

x2

= –9 8 x = ±√–9 = ±3√–1

— x1 = 3√–1 — x2 = –3√–1 Unidad 6. Números complejos

UNIDAD

6

Página 149 1. Representa gráficamente los siguientes números complejos y di cuáles son reales, cuáles imaginarios y, de estos, cuáles son imaginarios puros: 5 – 3i; 1 + 5 i; –5i; 7; √3 i; 0; –1 – i; –7; 4i 2 4 • Reales: 7, 0 y –7 Imaginarios: 5 – 3i,

1 5 + i, –5i, √ 3 i, –1 – i, 4i 2 4

Imaginarios puros: –5i, √ 3 i, 4i • Representación: 4i — √ 3i i

1 +— 5 i — 2 4 1 7

–7 –1 – i 5 – 3i –5i

2. Obtén las soluciones de las siguientes ecuaciones y represéntalas: a) z 2 + 4 = 0

b) z 2 + 6z + 10 = 0

c) 3z 2 + 27 = 0

d) 3z 2 – 27 = 0

2i

± √ –16 ± 4i = = ± 2i a) z = 2 2 z1 = 2i, z2 = –2i

b) z = =

–6 ± √ 36 – 40 –6 ± √ –4 = = 2 2 –6 ± 2i = –3 ± i; z1 = –3 – i, z2 = –3 + i 2

Unidad 6. Números complejos

–2i

–3 + i

–3 – i

3

3i

c) z 2 = – 9 8 z = ± √ –9 = ±3i z1 = –3i, z2 = 3i

–3i

d) z 2 = 9 8 z = ±3 z1 = –3, z2 = 3

–3

3

3. Representa gráficamente el opuesto y el conjugado de: a) 3 – 5i

b) 5 + 2i

c) –1 – 2i

d) –2 + 3i

e) 5

f) 0

g) 2i

h) –5i

a) Opuesto: –3 + 5i –3 + 5i

Conjugado: 3 + 5i

3 + 5i

3 – 5i

b) Opuesto: –5 – 2i Conjugado: 5 – 2i

5 + 2i

–5 – 2i

4

5 – 2i

Unidad 6. Números complejos

UNIDAD

6

c) Opuesto: 1 + 2i 1 + 2i

–1 + 2i

Conjugado: –1 + 2i

–1 – 2i

d) Opuesto: 2 – 3i –2 + 3i

Conjugado: –2 – 3i

2 – 3i

–2 – 3i

e) Opuesto: –5 Conjugado: 5

–5

5

f) Opuesto: 0 Conjugado: 0

0

g) Opuesto: –2i Conjugado: –2i

2i

–2i

h) Opuesto: 5i Conjugado: 5i

5i

–5i

Unidad 6. Números complejos

5

4. Sabemos que i 2 = –1. Calcula i 3, i 4, i 5, i 6, i 20, i 21, i 22, i 23. Da un criterio para simplificar potencias de i de exponente natural. i 3 = –i

i4 = 1

i5 = i

i 6 = –1

i 20 = 1

i 21 = i

i 22 = –1

i 23 = –i

CRITERIO:

Dividimos el exponente entre 4 y lo escribimos como sigue: c

i n = i 4c + r = i 4c · i r = (i 4) · i r = 1c · i r = 1 · i r = i r Por tanto, i n = i r, donde r es el resto de dividir n entre 4.

Página 151 1. Efectúa las siguientes operaciones y simplifica el resultado: a) (6 – 5i) + (2 – i) – 2(–5 + 6i) 1 b) (2 – 3i) – (5 + 4i) + (6 – 4i) 2 c) (3 + 2i) (4 – 2i) d) (2 + 3i) (5 – 6i) e) (–i + 1) (3 – 2i) (1 + 3i) 2 + 4i 1 – 4i f) g) 4 – 2i 3+i i)

5+i –2 – i

j)

(

l) 6 – 3 5 +

2 i 5

)

m)

1 + 5i 3 + 4i

h)

4 + 4i –3 + 5i

k)

4 – 2i i

(– 3i) 2 (1 – 2i) 2 + 2i

a) (6 – 5i) + (2 – i) – 2 (–5 + 6i) = 6 – 5i + 2 – i + 10 – 12i = 18 – 18i b) (2 – 3i) – (5 + 4i) +

1 (6 – 4i) = 2 – 3i – 5 – 4i + 3 – 2i = – 9i 2

c) (3 + 2i) (4 – 2i) = 12 – 6i + 8i – 4i 2 = 12 + 2i + 4 = 16 + 2i d) (2 + 3i) (5 – 6i) = 10 – 12i + 15i – 18i 2 = 10 + 3i + 18 = 28 + 3i e) (–i + 1) (3 – 2i) (1 + 3i) = (–3i + 2i 2 + 3 – 2i ) (1 + 3i) = (3 – 2 – 5i) (1 + 3i) = = (1 – 5i) (1 + 3i) = 1 + 3i – 5i – 15i 2 = 1 + 15 – 2i = 16 – 2i f)

8 + 4i + 16i + 8i 2 2 + 4i (2 + 4i) (4 + 2i) 20i 20i = = = = =i 4 – 2i (4 – 2i) (4 + 2i) 16 + 4 20 16 – 4i 2

g)

3 – i – 12i + 4i 2 1 – 4i (1 – 4i) (3 – i) 3 – 13i – 4 –1 – 13i = = = = = 3+i (3 + i) (3 – i) 9+1 10 9 – i2 =

6

–1 13 – i 10 10 Unidad 6. Números complejos

UNIDAD

6

–12 – 20i – 12i – 20i 2 4 + 4i (4 + 4i) (–3 – 5i) –12 – 32i + 20 = = = = 2 –3 + 5i (–3 + 5i) (–3 – 5i) 9 + 25 9 – 25i

h)

=

8 – 32i 8 32 4 16 = – i= – i 34 34 34 17 17

2 5+i (5 + i) (–2 + i) –10 + 3i – 1 –11 + 3i = = –10 + 5i – 2i + i = = = –2 – i (–2 – i) (–2 + i) 5 5 4+1

i)

=

–11 3 + i 5 5

3 – 4i + 15i – 20i 2 1 + 5i (1 + 5i) (3 – 4i) 3 + 11i + 20 = = = = 3 + 4i (3 + 4i) (3 – 4i) 9 + 16 9 – 16i 2

j)

=

23 + 11i 23 11 = + i 25 25 25

2 4 – 2i (4 – 2i) (–i) = = –4i + 2i = –4i – 2 = –2 – 4i i i (–i) 1

k)

(

l) 6 – 3 5 +

)

2 6 6 i = 6 – 15 + i = – 9 + i 5 5 5

2 2 –9 (1 – 2i) –9 + 18i m) (–3i) (1 – 2i) = 9i (1 – 2i) = = = (2 + 2i) (2 + 2i) (2 + 2i) (2 + 2i)

=

–18 + 18i + 36i – 36i 2 (–9 + 18i) (2 – 2i) –18 + 54i + 36 = = = 2 (2 + 2i) (2 – 2i) 4+4 4 – 4i

=

18 + 54i 18 54 9 27 = + i= + i 8 8 8 4 4

2. Obtén polinomios cuyas raíces sean: a) 2 + √3 i

y 2 – √3 i

b) –3i y 3i

c) 1 + 2i y 3 – 4i

(Observa que solo cuando las dos raíces son conjugadas, el polinomio tiene coeficientes reales).

[

(

)] [x – (2 – √ 3 i )] = 2 = [(x – 2) – √ 3 i ] [(x – 2) + √ 3 i ] = (x – 2)2 – ( √ 3 i ) =

a) x – 2 + √ 3 i

= x 2 – 4x + 4 – 3i 2 = x 2 – 4x + 4 + 3 = x 2 – 4x + 7 b) [x – (–3i)] [x – 3i] = [x + 3i] [x – 3i] = x 2 – 9i 2 = x 2 + 9 c) [x – (1 + 2i )] [x – (3 – 4i )] = [(x – 1) – 2i ] [(x – 3) + 4i ] = = (x – 1) (x – 3) + 4 (x – 1) i – 2 (x – 3) i – 8i 2 = = x 2 – 4x + 3 + (4x – 4 – 2x + 6)i + 8 = x 2 – 4x + 11 + (2x + 2)i = = x 2 – 4x + 11 + 2ix + 2i = x 2 + (–4 + 2i )x + (11 + 2i )

Unidad 6. Números complejos

7

3. ¿Cuánto debe valer x, real, para que (25 – xi) 2 sea imaginario puro? (25 – xi)2 = 625 + x 2 i 2 – 50xi = (625 – x 2) – 50xi Para que sea imaginario puro: 625 – x 2 = 0 8 x 2 = 625 8 x = ± √ 625 = ±25 Hay dos soluciones: x1 = –25, x2 = 25 4. Representa gráficamente z 1 = 3 + 2i, z 2 = 2 + 5i, z 1 + z 2. Comprueba que z 1 + z 2 es una diagonal del paralelogramo de lados z 1 y z 2. z1 + z2 = 5 + 7i

z1 + z2

7i z2

5i

z1 i 1

2

3

4

5

Página 153 1. Escribe en forma polar los siguientes números complejos: a) 1 + √3 i

b) √3 + i

c) –1 + i

d) 5 – 12i

e) 3i

f) –5

a) 1 + √ 3 i = 260°

b) √ 3 + i = 230°

c) –1 + i = √ 2 135°

d) 5 – 12i = 13292° 37'

e) 3i = 390°

f) –5 = 5

2. Escribe en forma binómica los siguientes números complejos: a) 5 (π/6) rad

b) 2 135º

c) 2 495º

d) 3 240º

e) 5 180º

f) 4 90º

(

) (

)

√3 + i 1 = 5 √3 + 5 i a) 5(π/6) = 5 cos π + i sen π = 5 2 2 2 2 6 6

(

b) 2135° = 2 (cos 135° + i sen 135°) = 2 –

8

)

√2 + i √2 = – √2 + √2i 2

2

Unidad 6. Números complejos

UNIDAD

c) 2495° = 2135° = – √ 2 + √ 2 i

(

d) 3240° = 3 (cos 240° + i sen 240°) = 3 –

6

)

√3 = – 3 – 3 √3 i 1 –i 2 2 2 2

e) 5180° = –5 f) 490° = 4i 3. Expresa en forma polar el opuesto y el conjugado del número complejo z = ra . Opuesto: –z = r Conjugado: z– = r 180° + a

360° – a

4. Escribe en forma binómica y en forma polar el complejo: z = 8(cos 30º + i sen 30º) z = 830° = 8 (cos 30° + i sen 30°) = 8

(

)

√3 + i 1 = 8 √3 + 8 i = 4 √ 3 + 4i 2

2

2

2

5. Sean los números complejos z 1 = 4 60º y z 2 = 3 210º . a) Expresa z 1 y z 2 en forma binómica. b) Halla z 1 · z 2 y z 2 / z 1, y pasa los resultados a forma polar. c) Compara los módulos y los argumentos de z 1 · z 2 y z 2 / z 1 con los de z 1 y z 2 e intenta encontrar relaciones entre ellos. a) z1 = 460° = 4 (cos 60° + i sen 60°) = 4

(

)

√3 = 2 + 2 i 1 +i √3 2 2

(

z2 = 3210° = 3 (cos 210° + i sen 210°) = 3 –

(

)

b) z1 · z2= 2 + 2 √ 3 i

(

–

)

√3 – i 1 = – 3 √3 – 3 i 2

2

2

2

)

3 √3 3 – i = 2 2

= –3 √ 3 – 3i – 9i – 3 √ 3 i 2 = –3 √ 3 – 12i + 3 √ 3 = –12i = 12270°

(

) (

)(

— — 3√3 3 3 — 3√3 – —–— – — i – —–— – — i 2 – 2 √ 3i z2 2 2 2 2 = = = — — — z1 2 + 2 √ 3i 2 + 2 √ 3i 2 – 2 √ 3i — — — — — –3 √ 3 – 3i + 9i + 3 √ 3i 2 –3 √ 3 + 6i – 3 √ 3 –6√ 3 + 6i 3 = = = = 4 4 + 12 16 4 – 12i 2

(

)

(

)(

)

)

( )

150°

c) z1 · z2 = 460° · 3210° = (4 · 3)60° + 210° = 12270°

( )

z2 3210° 3 = = z1 460° 4

Unidad 6. Números complejos

210° – 60°

=

( 34 )

150°

9

Página 155 1. Efectúa estas operaciones y da el resultado en forma polar y en forma binómica: a) 1 150º · 5 30º

b) 6 45º : 3 15º

c) 2 10º · 1 40º · 3 70º

5

e) (1 – √3 i)

d) 5 (2π/3)rad : 1 60º

f ) (3 + 2i) + (–3 + 2i)

a) 1150° · 530° = 5180° = –5 b) 645° : 315° = 230° = 2 (cos 30° + i sen 30°) = 2

(

2

)

(

√ 3 = –3 + 3 i 1 +i √3 2 2

√3 + i 1 = √3 + i 2

c) 210° · 140° · 370° = 6120° = 6 (cos 120° + i sen 120°) = 6 –

)

d) 5(2π/3)rad : 160° = 5120° : 160° = 560° = 5 (cos 60° + i sen 60°) = =5

(

)5

(

)

√3 = 5 + 5 √3 i 1 +i 2 2 2 2

e) 1 – √ 3 i = (2300°)5 = 321 500° = 3260° = 32 (cos 60° + i sen 60°) = = 32

(

)

√ 3 = 16 + 16 i 1 +i √3 2 2

f) 4i = 490º 2. Compara los resultados en cada caso: a) (230°)3, (2150°)3, (2270°)3 b) (260°)4, (2150°)4, (2270°)4, (2330°)4 a) (230º)3 = 233 · 30º = 890º (2150º)3 = 233 · 150º = 8450º = 890º (2270º)3 = 83 · 270º = 8810º = 890º b) (260º)4 = 244 · 60º = 16240º (2150º)4 = 16600º = 16240º (2270º)4 = 161 080º = 160º (2330º)4 = 161 320º = 16240º 3. Dados los complejos z = 5 45º , w = 2 15º , t = 4i, obtén en forma polar: a) z · t, z = 545°

10

b) z w2 w = 215°

c)

z3 w · t2

d)

z · w3 t

t = 4i = 490° Unidad 6. Números complejos

UNIDAD

a) z · w = 1060°

( ) 125 =( 32 )

5 5 b) z = z = 45° = 2 4 4 4 w 30° 30º c) d)

125135° z3 = 2 215° · 16180° w·t

6

15°

=

–60°

( 125 32 )

300°

5 ·8 z · w3 = 45° 45° = 100° = 10 490° t

4. Expresa cos 3a y sen 3a en función de sen a y cos a utilizando la fórmula de Moivre. Ten en cuenta que: (a + b) 3 = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b 3 (1a)3 = 1 (cos a + i sen a)3 = = cos 3 a + i 3 cos 2 a sen a + 3i 2 cos a sen 2 a + i 3 sen 3 a = = cos 3 a + 3 cos 2 a sen a i – 3 cos a sen 2 a – i sen 3 a = = (cos 3 a – 3 cos a sen 2 a) + (3 cos 2 a sen a – sen 3 a)i Por otra parte: (1a)3 = 13a = cos 3a + i sen 3a Por tanto: cos 3a = cos 3 a – 3 cos a sen 2 a sen 3a = 3 cos 2 a sen a – sen 3 a

Página 157 1. Halla las seis raíces sextas de 1. Represéntalas y exprésalas en forma binómica. 6

6

√ 1 = √ 10° = 1(360° · k )/6 = 160° · k ; k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 Las seis raíces son:

√3 i 1 + 2 2

10° = 1

160° =

1180° = –1

1240° = –

1120° = –

√3 i 1 – 2 2

1300° =

√3 i 1 + 2 2

√3 i 1 – 2 2

Representación:

1

Unidad 6. Números complejos

11

2. Resuelve la ecuación z 3 + 27 = 0. Representa sus soluciones. 3

3

z 3 + 27 = 0 8 z = √ –27 = √ 27180° = 3(180° + 360° n )/3 = 360° + 120° n ; n = 0, 1, 2 z1 = 360° = 3 (cos 60° + i sen 60°) = 3

(

z2 = 3180° = –3

)

√3 = 3 + 3 √3 i 1 +i 2 2 2 2

(

z3 = 3240° = 3 (cos 240° + i sen 240°) = 3 –

)

√3 = – 3 – 3 √3 i 1 –i 2 2 2 2 z1

z2 –3

z3

3. Calcula:

3

—

b) √–8 + 8 √3i 4

3

a) √–i

c) √–25

d)

√

–2 + 2i — — 1 + √3i

3

a) √ –i = √ 1270° = 1(270° + 360° k)/3; k = 0, 1, 2 Las tres raíces son: 190° = i

1210° = –

√3 – 1 i 2

2

1330° =

√3 + 1 i 2

2

4 4 — b) √ –8 + 8 √ 3i = √ 16120° = 2(120° + 360° k)/4 = 230° + 90° k ; k = 0, 1, 2, 3

Las cuatro raíces son: 230° = 2

(

2

( ( (

2

) )

2120° = 2 –

√ 3 = –1 + 1 +i √3 i 2 2

2210° = 2 –

√ 3 = –1 – 1 –i √3 i 2 2

2300° = 2

12

)

√3 + i 1 = √3 + i

)

√3 – i 1 = √3 – i 2

2

Unidad 6. Números complejos

UNIDAD

6

c) √ –25 = √ 25180° = 5(180° + 360° k)/2 = 590° + 180° k ; k = 0, 1 Las dos raíces son: 590° = 5i ; d)

√ 3

–2 + 2i — = 1 + √3 i

√ 3

— √ 8135° 260° =

5270° = –5i —

√√275° 3

6

6

6

Las tres raíces son: √ 2 25°;

6

= √ 2 (75° + 360° k)/3 = √ 2 25° + 120° k ; k = 0, 1, 2 6

√ 2 145°;

√ 2 265°

4. Resuelve las ecuaciones: a) z 4 + 1 = 0 b) z 6 + 64 = 0 4

4

a) z 4 + 1 = 0 8 z = √ –1 = √ 1180° = 1(180° + 360° k)/2 = 145° + 90° k; k = 0, 1, 2, 3 Las cuatro raíces son: 145° =

√2 + √2 i ; 1 √2 + √2 i ; 1 √2 – √2 i ; 1 √2 – √2 i 135° = – 225° = – 315° = 2

2

2

6

2

2

2

2

2

6

b) z 6 + 64 = 0 8 z = √ –64 = √ 64180° = 2(180° + 360° k)/6 = 230° + 60° k ; k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 Las seis raíces son: 230° = 2

(

)

√3 + i 1 = √3 + 1

290° = 2i

(

2210° = 2 –

2

2150° = 2 –

2

)

√3 + i 1 = – √3 + i 2

2270° = –2i

2

2330° = 2

( (

)

√3 – i 1 = – √3 – i 2

2

)

√3 – i 1 = √3 – i 2

2

5. Comprueba que si z y w son dos raíces sextas de 1, entonces también lo son los resultados de las siguientes operaciones: z · w, z/w, z 2, z 3 z y w raíces sextas de 1 8 z 6 = 1, w 6 = 1 (z · w )6 = z 6 · w 6 = 1 · 1 = 1 8 z · w es raíz sexta de 1.

( wz ) = wz 6

6 6

=

z 1 =1 8 es raíz sexta de 1. w 1

z 2 = (z 2)6 = z 12 = (z 4)3 = 13 = 1 8 z 2 es raíz sexta de 1. z 3 = (z 3)6 = z 18 = z 16 · z 2 = (z 4)4 · z 2 = 14 · 12 = 1 · 1 = 1 8 z 3 es raíz sexta de 1.

Unidad 6. Números complejos

13

6. El número 4 + 3i es la raíz cuarta de un cierto número complejo, z. Halla las otras tres raíces cuartas de z. 4 + 3i = 536° 52' Las otras tres raíces cuartas de z serán: 536° 52' + 90° = 5126° 52' = –3 + 4i 536° 52' + 180° = 5216° 52' = – 4 – 3i 536° 52' + 270° = 5306° 52' = 3 – 4i 7. Calcula las siguientes raíces y representa gráficamente sus soluciones: 3

3

a) √–9 d)

√ 3

3

b) √–27

1–i 1+i

e)

√ 5

c) √2 – 2i

32 i

3

f ) √8i

a) √ –9 = √ 9180° = 3(180° + 360° k)/2 = 390° + 180° k ; k = 0, 1 Las dos raíces son: 3i

390° = 3i ; 3270° = –3i

–3i

3

3

b) √ –27 = √ 27180° = 3(180° + 360° k)/3 = 360° + 120° k ; k = 0, 1, 2 Las tres raíces son: z1 = 360° = 3 (cos 60° + i sen 60°) = 3

(

)

√3 = 3 + 3 √3 i 1 +i 2 2 2 2

z2 = 3180° = –3 z3 = 3300° = 3 (cos 300° + i sen 300°) = 3

(

)

√3 = 3 – 3 √3 i 1 –i 2 2 2 2 z1

z2 –3

z3

14

Unidad 6. Números complejos

UNIDAD

3

c) √ 2 – 2i =

—

√√ 8315° 3

= √ 2 (315° + 360° k)/3 = √ 2 105° + 120° k ; k = 0, 1, 2 z1

Las tres raíces son:

i

z1 = √ 2 105° = –0,37 + 1,37i

(

)

√ 2 – √ 2 i = –1 – i z2 = √ 2 225° = √ 2 – 2

2

d)

√

1–i = 1+i

√ 3

1 –1

z3 –i

z2

z3 = √ 2 345° = 1,37 – 0,37i

3

6

— √ 2315° 3 = √ 1270° = 1(270° + 360° k)/3 = 190° + 120° k ; k = 0, 1, 2 — √ 245°

Las tres raíces son: i

190° = i

√3 – 1 i

1210° = – 1330° =

e)

√ 5

2

2

√3 – 1 i 2

– 32 = i

√ 5

1210°

1330°

2

– 32 (–i) = √ 32i = √ 3290° = 2(90° + 360° k)/5 = 218° + 72° k ; k = 0, 1, 2, 3, 4 i (–i) 5

5

Las cinco raíces son: z1 = 218° = 1,9 + 0,6i z2 = 290° = 2i

z2 z3

z1

z3 = 2162° = –1,9 + 0,6i z4 = 2234° = –1,2 – 1,6i z5 = 2306° = 1,2 – 1,6i

3

z5

z4

3

f) √ 8i = √ 890° = 2(90º + 360º k)/3 = 230º + 120º k; k = 0, 1, 2 Las tres son: z1 = 230º

z2

z1

z2 = 2150º z3 = 2270º z3

Unidad 6. Números complejos

15

Página 158 LENGUAJE MATEMÁTICO 1. Pon la ecuación o inecuación que caracteriza los siguientes recintos o líneas: a)

b)

c)

d)

e)

Describe con palabras cada una de las familias (“son los números complejos cuya parte real vale …”) y da un representante de cada una de ellas. a) Re z = 3

b) –1 Ì Im z < 3

c) |z| = 3

d) |z| > 2

e) Arg z = 90°

c) 3 < Re z ≤ 5

d) |z|≥ 4

e) Arg z = 180°

2. Representa:

a) Re z = –3

b) Im z = 0

a)

b)

c)

d)

e)

16

Unidad 6. Números complejos

UNIDAD

6

Página 162 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR

Números complejos en forma binómica 1 Calcula: a) (3 + 2i) (2 – i) – (1 – i) (2 – 3i)

b) 3 + 2i(–1 + i) – (5 – 4i)

c) –2i – (4 – i)5i

d) (4 – 3i) (4 + 3i) – (4 – 3i) 2

a) (3 + 2i) (2 – i) – (1 – i) (2 – 3i) = 6 – 3i + 4i – 2i 2 – 2 + 3i + 2i – 3i 2 = = 6 – 3i + 4i + 2 – 2 + 3i + 2i + 3 = 9 + 6i b) 3 + 2i (–1 + i) – (5 – 4i) = 3 – 2i + 2i 2 – 5 + 4i = 3 – 2i – 2 – 5 + 4i = – 4 + 2i c) –2i – (4 – i)5i = –2i – 20i + 5i 2 = –22i – 5 = –5 – 22i d) (4 – 3i) (4 + 3i) – (4 – 3i)2 = 16 – (3i)2 – 16 – 9i 2 + 24i = = 16 + 9 – 16 + 9 + 24i = 18 + 24i 2 Calcula en forma binómica: a)

(3 + 3i) (4 – 2i) 2 – 2i

b)

–2 + 3i (4 + 2i) (–1 + i)

c)

2 + 5i (1 – i) 3 – 2i

d)

1+i –3 – 2i + 2–i 1 + 3i

a)

2 (3 + 3i ) (4 – 2i ) 18 + 6i (18 + 6i ) (2 + 2i ) = 12 – 6i + 12i – 6i = = = 2 – 2i 2 – 2i (2 – 2i ) (2 + 2i ) 2 – 2i

= b)

–2 + 3i –2 + 3i –2 + 3i (–2 + 3i ) (–6 – 2i ) = = = = (4 + 2i ) (–1 + i ) –4 + 4i – 2i – 2 –6 + 2i (–6 + 2i ) (–6 – 2i ) =

c)

36 + 36i + 12i – 12 24 + 48i = = 3 + 6i 4+4 8

12 + 4i – 18i + 6 18 – 14i 9 – 7i 9 7 = = = – i 36 + 4 40 20 20 20

2 + 5i 2 – 2i + 5i + 5 7 + 3i (7 + 3i ) (3 + 2i ) (1 – i ) = = = = 3 – 2i 3 – 2i 3 – 2i (3 – 2i ) (3 + 2i ) =

Unidad 6. Números complejos

21 + 14i + 9i – 6 15 + 23i 15 23 = = + i 9+4 13 13 13

17

d)

1+i –3 – 2i (1 + i ) (2 + i ) (–3 – 2i ) (1 – 3i ) + = + = 2–i 1 + 3i (2 – i ) (2 + i ) (1 + 3i ) (1 – 3i ) =

2 + i + 2i – 1 –3 + 9i – 2i – 6 1 + 3i –9 + 7i + = + = 4+1 1+9 5 10

=

2 + 6i – 9 + 7i –7 + 13i –7 13 = = + i 10 10 10 10

3 Dados los números complejos z = 1 – 3i, w = –3 + 2i, t = –2i, calcula: w a) zwt b) zt – w (t + z) c) t z d)

2z – 3t w

e)

3z + it w 3

z 2 – wt 2 2

f)

z = 1 – 3i; w = –3 + 2i; t = –2i a) zwt = (1 – 3i) (–3 + 2i) (–2i) = (–3 + 2i + 9i – 6i 2)(–2i) = = (3 + 11i) (–2i) = –6i – 22i 2 = 22 – 6i b) zt – w (t + z) = (1 – 3i) (–2i) – (–3 + 2i) (–2i + 1 – 3i) = = (–2i + 6i 2) – (–3 + 2i) (1 – 5i) = (–6 – 2i) – (–3 + 2i) (1 – 5i) = = (–6 – 2i) – (–3 + 15i + 2i – 10i 2) = (–6 – 2i) – (7 + 17i) = –13 – 19i c)

6i – 4i 2 (4 + 6i)(1 + 3i) –3 + 2i w t= (–2i) = = = 12 – (3i)2 z 1 – 3i 1 – 3i =

d)

4 + 12i + 6i + 18i 2 –14 + 18i 7 9 = =– + i 1+9 10 5 5

2(–3 – 2i) 2(1 – 3i) – 3(–2i) 2 – 6i + 6i 2z – 3t = = = = (–3)2 – (2i)2 w –3 + 2i –3 + 2i =

e)

–6 – 4i 6 4 =– – i 9+4 13 13

3(1 – 3i) + i (–2i) 3 – 9i + 2 3z + it w= (–3 + 2i) = (–3 + 2i) = 3 3 3 =

f)

)

5 10 37 – 3i (–3 + 2i) = –5 + i + 9i – 6i 2 = 1 + i 3 3 3

z 2 – wt 2 (1 – 3i)2 – (–3 + 2i) (–2i)2 1 – 6i + 9i 2 – (–3 + 2i)(– 4) = = = 2 2 2 =

18

(

–8 – 6i – 12 + 8i –20 2 = + i = –10 + i 2 2 2

Unidad 6. Números complejos

UNIDAD

6

4 Calcula: a) i 37

b) i 126

c) i –7

d) i 64

a) i 37 = i 1 = i

b) i 126 = i 2 = –1

c) i –7 = 1 = 1 = i i7 –i

d) i 64 = i 0 = 1

e) i –216 =

1 i 216

e) i –216

1 = 1 = =1 0 1 i

√3 1 5 Dado el número complejo z = – + i, prueba que: 2 2 a) 1 + z + z 2 = 0

(

b)

)

2

a) z 2 = – =–

√3 i = 1 + 3 i 2 – √3 i = 1 – 3 – √3 i = 1 + 2 2 2 2 4 4 4 4 √3 i = – 1 – √3 i 2 – 2 2 4 2

(

1 + z + z2 = 1 + –

b)

1 = z

=

1 = z2 z

) (

)

√3 i + – 1 + √3 i = 1 – 1 + √3 i – 1 – √3 i = 0 1 + 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 (–1 – √ 3 i ) = — = — = — = — — 1 √3 –1 + √ 3i –1 + √ 3i (–1 + √ 3i) (–1 – √ 3i) –— + —i ———–— 2 2 2 2 (–1 – √ 3 i ) 2 (–1 – √ 3 i ) –1 – √ 3 i √3 i 1 = = =– – 2 2 1+3 4 2

z2 = –

√ 3 i (lo habíamos calculado en a) 1 – 2 2

Por tanto:

1 = z2 z

Igualdad de números complejos 6 Calcula m y n para que se verifique la igualdad (2 + mi) + (n + 5i) = 7 – 2i. (2 + mi ) + (n + 5i ) = 7 – 2i 2+n=7 ° n=5 (2 + n) + (m + 5)i = 7 – 2i 8 °¢ ¢ £ m + 5 = –2 £ m = –7

Unidad 6. Números complejos

19

7 Determina k para que el cociente

k+i sea igual a 2 – i. 1+i

k+i (k + i ) (1 – i ) k – ki + i + 1 (k + 1) + (1 – k)i = = = = 1+i (1 + i ) (1 – i ) 1+1 2 ° k+1 § 2 =2 8 k=3 § k+1 1–k + i=2–i 8 ¢ = 2 2 § 1 – k = –1 8 k = 3 § 2 £ Por tanto, k = 3.

(

) (

)

8 Calcula a y b de modo que se verifique: (a + bi) 2 = 3 + 4i ☛ Desarrolla el cuadrado; iguala la parte real a 3, y la parte imaginaria a 4. (a + bi )2 = 3 + 4i a 2 + bi 2 + 2abi = 3 + 4i ° a2 – b2 = 3 a 2 – b 2 + 2abi = 3 + 4i 8 ¢ £ 2ab = 4 b=

4 2 = 2a a

a2 –

( a2 ) = 3 8 a

a2

2

2

– 4 = 3 8 a 4 – 4 = 3a 2 8 a 4 – 3a 2 – 4 = 0 a2

3 ± √ 9 + 16 3±5 = = 2 2

a 2 = 4 8 a = ±2 a 2 = –1 (no vale)

a = –2 8 b = –1 a=2 8 b=1

9 Dados los complejos 2 – ai y 3 – bi, halla a y b para que su producto sea igual a 8 + 4i. (2 – ai ) (3 – bi ) = 8 + 4i 6 – 2bi – 3ai + abi 2 = 8 + 4i 6 – 2bi – 3ai – ab = 8 + 4i (6 – ab) + (–2b – 3a)i = 8 + 4i ° 6 – ab = 8 ¢ £ –2b – 3a = 4 b=

20

4 + 3a –2 Unidad 6. Números complejos

UNIDAD

6–a

( 4 +–23a ) = 8 8 6 +

6

4a + 3a 2 = 8 2

4a + 3a 2 = 2 8 4a + 3a 2 = 4 8 3a 2 + 4a – 4 = 0 2 4 2 a= = 8 b = –3 6 3 –4 ± √ 16 + 48 –4 ± 8 a= = –12 6 6 a= = –2 8 b = 1 6 10 Calcula el valor de a y b para que se verifique: a – 3i = a – 3i =

2 + bi 5 – 3i

2 + bi 5 – 3i

(a – 3i ) (5 – 3i ) = 2 + bi 5a – 3ai – 15i – 9 = 2 + bi (5a – 9) + (–3a – 15) i = 2 + bi 5a – 9 = 2 ° a = 11/5 –3a – 15 = b ¢£ b = –108/5 11 Halla el valor de b para que el producto (3 – 6i) (4 + bi) sea un número: a) Imaginario puro.

b) Real.

(3 – 6i ) (4 + bi ) = 12 + 3bi – 24i + 6b = (12 + 6b) + (3b – 24) i a) 12 + 6b = 0 8 b = –2 b) 3b – 24 = 0 8 b = 8 12 Determina a para que (a – 2i) 2 sea un número imaginario puro. (a – 2i )2 = a 2 + 4i 2 – 4ai = (a 2 – 4) – 4ai Para que sea imaginario puro, ha de ser: a 2 – 4 = 0 8 a = ±2 8 a1 = –2, a2 = 2 13 Calcula x para que el resultado del producto (x + 2 + ix) (x – i) sea un número real. (x + 2 + ix ) (x – i ) = x 2 – xi + 2x – 2i + x 2i – xi 2 = = x 2 – xi + 2x – 2i + ix 2 + x = (x 2 + 3x) + (x 2 – x – 2)i Para que sea real, ha de ser: x2 – x – 2 = 0 8 x =

Unidad 6. Números complejos

1 ± √1 + 8 1±3 = 2 2

x1 = –1 x2 = 2

21

Números complejos en forma polar 14 Representa estos números complejos, sus opuestos y sus conjugados. Exprésalos en forma polar. a) 1 – i

b) –1 + i

c) √3 + i

e) – 4

f ) 2i

g) –

a) 1 – i = √ 2 315°

3 i 4

d) –√3 – i h)2 + 2 √3 i

–1 + i

1+i

Opuesto: –1 + i = √ 2 135° 1–i

Conjugado: 1 + i = √ 2 45° b) –1 + i = √ 2 135°

–1 + i

Opuesto: 1 – i = √ 2 315° Conjugado: –1 – i = √ 2 225°

–1 – i

1–i

c) √ 3 + i = 230°

— √3 + i

Opuesto: – √ 3 – i = 2210° Conjugado: √ 3 – i = 2330° d) – √ 3 – i = 2210°

— –√ 3 – i

— √3 – i

— –√ 3 + i

— √3 + i

Opuesto: √ 3 + i = 230° Conjugado: – √ 3 + i = 2150°

— –√ 3 – i

e) –4 = 4180° Opuesto: 4 = 40°

–4

4

Conjugado: – 4 = 4180° f) 2i = 290°

2i

Opuesto: –2i = 2270° Conjugado: –2i = 2270° –2i

22

Unidad 6. Números complejos

UNIDAD

g) –

( )

3 3 i= 4 4

3i/4

270°

( ) 3 3 Conjugado: i = ( ) 4 4 3 3 i= 4 4

Opuesto:

6

–3i/4

90°

90°

h) 2 + 2 √ 3 i = √ 14 60°

— 2 + 2 √ 3i

Opuesto: –2 – 2 √ 3 i = √ 14 240° Conjugado: 2 – 2 √ 3 i = √ 14 300°

— –2 – 2 √3i

— 2 – 2 √ 3i

15 Escribe en forma binómica los siguientes números complejos: a) 2 45º

b) 3 (π/6)

c) √2180º

d) 17 0º

e) 1 (π/2)

f) 5 270º

g) 1 150º

h)4 100º

( ) (

a) 245° = 2 (cos 45° + i sen 45°) = 2

(

)

√2 + i √2 = √2 + √2 i 2

2

)

√3 + i 1 = 3 √3 + 3 i b) 3(π/6) = 3 cos π + i sen π = 3 2 2 2 2 6 6 c) √ 2 180° = √ 2 (cos 180° + i sen 180°) = √ 2 (–1 + i · 0) = – √ 2 d) 170° = 17 e) 1(π/2) = cos π + i sen π = i 2 2 f) 5270° = –5i g) 1150° = cos 150° + i sen 150° = –

√3 + i 1 = – √3 + 1 i 2

2

2

2

h) 4100° = 4 (cos 100° + i sen 100°) = 4 (–0,17 + i · 0,98) = –0,69 + 3,94i

Unidad 6. Números complejos

23

16 Dados los números complejos: z1 = 2270°, z2 = 4120°; z3 = 3315° calcula: a) z1 · z2

b) z2 · z3

z3 z1

d)

e)

c) z1 · z3

z2 z1

f)

z1 · z3 z2

g) z12

h) z23

i) z34

a) z1 · z2 = 830º

b) z2 · z3 = 1275º

c) z1 · z3 = 6225º

z3 = 1,545º z1

d)

e)

g) z12 = 4180º

z2 = 2–150º = 2210º z1

f)

z1 · z3 = 1,5105º z2

i) z34 = 81180º

h) z23 = 640º

17 Expresa en forma polar y calcula: 4

—

b) √1 – √3 i

a) (–1 – i) 5

6

c) √64 6

3

e) (–2√3 + 2i)

d) √8i

(

f ) (3 – 4i) 3

)5

a) (–1 – i )5 = √ 2 225° = 4 √ 2 1 125° = 4 √ 2 45° = 4 √ 2 b)

—

√1 – √ 3i 4

4

4

(

)

√ 2 + √ 2 i = 4 + 4i 2

2

4

= √ 2300° = √ 2 (300° + 360° n)/4 = √ 2 75° + 90° n ; n = 0, 1, 2, 3

Las cuatro raíces son: 4

4

√ 2 75° 4

4

√ 2 165°

√ 2 255°

4

√ 2 345°

4

4

c) √ 64 = √ 640° = √ 26 (360° k)/4 = 2 √ 2 90° k ; k = 0, 1, 2, 3 Las cuatro raíces son: 2 √ 2 0° = 2 √ 2 3

2 √ 2 90° = 2 √ 2 i

2 √ 2 180° = –2 √ 2

2 √ 2 270° = –2 √ 2 i

3

d) √ 8i = √ 890° = 2(90° + 360° k)/3 = 230° + 120° k ; k = 0, 1, 2 Las tres raíces son: 230° = √ 3 + i

(

e) –2 √ 3 + 2i

2150° = – √ 3 + i

2270° = –2i

)6 = (4150°)6 = 4 096900° = 4 096180° = – 4 096

f) (3 – 4i )3 = (5306° 52')3 = 125920° 36' = 125200° 36' 24

Unidad 6. Números complejos

UNIDAD

6

18 Calcula y representa gráficamente el resultado: a)

a)

( (

1–i —

√3 + i 1–i √3 + i

) ) ( 3

3

=

√ 3

=

1+i = 2–i

√( ) 3

√ 2315°

=

=

b)

b)

— √10 — 5

230°

√ 3

1+i 2–i

) (( ) ) ( ) ( ) 3

3

√2

=

2

=

285°

√2

=

4

√2 4

855°

=

135°

√ 2 (cos 135° + i sen 135°) = 4

(

1 + —i 1 –— 4 4

)

√ 2 – √ 2 + i √ 2 = –1 + 1 i

√ 3

4

2

2

(1 + i ) (2 + i ) = (2 – i ) (2 + i )

4

√ 3

1 + 3i = 5

( ) 6

= 71° 34'

√10 3 √5

=

(71° 34' + 360° k)/3

–1

4

√

√ 6

3

1 3 — + —i = 5 5

2 ; k = 0, 1, 2 5 23° 51' + 120° k

Las tres raíces son:

√ 6

2 = 0,785 + 0,347i 5 23° 51'

6

√

2 = –0,693 + 0,56i 5 143° 51'

√

2 = –0,092 – 0,853i 5 263° 51'

6

i

1

19 Calcula y representa las soluciones: 3

—

a) √4 – 4 √3 i

——

4

b) √–16

3

c) √8i

a) √ 4 – 4 √3 i = √ 8300° = 2(300° + 360° k)/3 = 2100° + 120° k ; k = 0, 1, 2 3

3

Las tres raíces son: 2100° = –0,35 + 1,97i 2220° = –1,53 – 1,26i

2

2340° = 1,88 – 0,68i

2

Unidad 6. Números complejos

2

25

b) 4√ –16 = 4√ 16180° = 2(180° + 360° k)/4 = 245° + 90° k ; k = 0, 1, 2, 3 Las cuatro raíces son: 245° = √ 2 + √ 2 i

2135° = – √ 2 + √ 2 i

2225° = – √ 2 – √ 2 i

2315° = √ 2 – √ 2 i

3

2

2

2

2

3

c) √ 8i = √ 890° = 2(90° + 360° k)/3 = 230° + 120° k ; k = 0, 1, 2

2

2

Las tres raíces son: 230° = √ 3 + i

2150° = – √ 3 + i

2

2270° = –2i

Página 163 20 Calcula pasando a forma polar: 5

6

a) (1 + i √3 )

b) (–1 – i √3 )

8 (1 – i) 5

d)

4

6

e) √– 64

3

g) √–i

h)

√

—

c) √–2 + 2 √3 i

(√3 – i )

f ) √–1 – i

2 – 2i –3 + 3i

a) (1 + i √ 3 )5 = (260°)5 = 32300° = 32 (cos 300° + i sen 300°) = = 32

(

b) –1 – i √ 3

)6 ( √ 3

(

)

√ 3 i = 16 – 16 i 1 – √3 2 2

)

– i = (2240°)6 (2330°) = (641 440°) (2330°) =

= (640°) (2330°) = 128330° = 128 (cos 330° + i sen 330°) = = 128 c)

(

)

√ 3 + i –1 = 64 √ 3 – 64i 2

2

—

√–2 + 2 √3 i 4

4

4

4

= √ 4120° = √ 4 (120° + 360° k)/4 = √ 22 30° + 90° k = = √ 2 30° + 90° k ; k = 0, 1, 2, 3

Las cuatro raíces son:

√ 2 30° =

√6 + √2 i 2

√ 2 210° = –

26

2

√6 – √2 i 2

2

√ 2 120° = – √ 2 300° =

√2 + √6 i 2

2

√2 – √6 i 2

2

Unidad 6. Números complejos

UNIDAD

d)

( ) (

8 80° 80° 8 8 = — 0° 5 = = = — — (1 – i )5 (√ 2315°) 4√ 21 575° 4√ 21 35° 4 √2

–135°

= √ 2 225° = √ 2 (cos 225° + i sen 225°) = √ 2 – 6

=

( ) ) 2 √2

6

=

225°

√ 2 – √ 2 i = –1 – i 2

2

6

6

e) √ –64 = √ 64180° = √ 26 (180° + 360° k)/6 = 230° + 60° k ; k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 Las seis raíces son: 230° = √ 3 + i

290° = 2i

2150° = – √ 3 + i

2210° = – √ 3 – i

2270° = –2

2330° = √ 3 – i

f ) √ –1 – i =

—

√√2225°

4

4

= √ 2 (225° + 360° k)/2 = √ 2 112° 30' + 180° k ; k = 0, 1

Las dos raíces son: 4

4

√ 2 112° 30' = – 0,46 + 1,1i 3

√ 2 292° 30' = 0,46 – 1,1i

3

g) √ –i = √ 1270° = 1(270° + 360° k)/3 = 190° + 120° k ; k = 0, 1, 2 Las tres raíces son: 190° = i

h)

√

1210° = –

2 – 2i = –3 + 3i =

√

2

2

— 2 √ 2315° 2 = — 3 3 √ 2135°

=

( )

(√ ) 2 3

Las dos raíces son:

(√ ) 2 3

=

90°

√

√3 – 1 i

2 i 3

180°

1330° =

(√ ) 2 3

√3 – 1 i 2

2

=

(180° + 360° k)/2

; k = 0, 1

90° + 180° k

(√ ) 2 3

270°

=–

√

2 i 3

– en cada uno de 21 Expresa en forma polar z, su opuesto –z, y su conjugado z estos casos: a) z = 1 – √3 i

b) z = –2 – 2i

c) z = –2 √3 + 2i

a) z = 1 – √ 3 i = 2300°; –z = –1 + √ 3 i = 2120°; z– = 1 + √ 3 i = 260° b) z = –2 – 2i = 2 √ 2 225°; –z = 2 + 2i = 2 √ 2 45°; z– = –2 + 2i = 2 √ 2 135° c) z = –2 √ 3 + 2i = 4150°; –z = 2 √ 3 – 2i = 4330°; z– = –2 √ 3 – 2i = 4210°

Unidad 6. Números complejos

27

22 Representa los polígonos regulares que tienen por vértices los afijos de las siguientes raíces: 5

b) √– 1

5

—

4

c) √2 √3 + 2i

6

a) √i 5

a) √ i = √ 190° = 1(90° + 360° k)/5 = 118° + 72° k ; k = 0, 1, 2, 3, 4 Las cinco raíces son: 118°

190°

1162°

1234°

1306°

Representación del polígono (pentágono):

1

6

6

b) √ –1 = √ 1180° = 1(180° + 360° k)/6 = 130° + 60° k ; k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 Las seis raíces son: 130°

190°

1150°

1210°

1270°

1330°

Representación del polígono (hexágono):

1

c)

—

√2 √3 + 2i 4

4

4

= √ 430° = √ 22

(30° + 360° k)/4

= √ 2 7° 30' + 90° k ; k = 0, 1, 2, 3

Las cuatro raíces son:

√ 2 7° 30'

√ 2 97° 30'

√ 2 187° 30'

√ 2 277° 30'

Representación del polígono (cuadrado):

— √2

28

Unidad 6. Números complejos

UNIDAD

Ecuaciones y sistemas en

6

Ç

23 Resuelve las siguientes ecuaciones y expresa las soluciones en forma binómica: a) z 2 + 4 = 0

b) z 2 + z + 4 = 0

c) z 2 + 3z + 7 = 0

d) z 2 – z + 1 = 0

a) z 2 + 4 = 0 8 z 2 = – 4 8 z = ± √ –4 = ±2i z 1 = –2i, z 2 = 2i b) z 2 + z + 4 = 0 8 z = z1 = –

–1 ± √ 1 – 16 –1 ± √ –15 –1 ± √ 15i = = 2 2 2

√ 15 i, z = – 1 + √ 15 i 1 – 2 2 2 2 2 –3 ± √ 9 – 28 –3 ± √ –19 –3 ± √ 19i = = 2 2 2

c) z 2 + 3z + 7 = 0 8 z = z1 = –

√ 19 i, z = – 3 + √ 19 i 3 – 2 2 2 2 2

d) z 2 – z + 1 = 0 8 z = z1 =

1 ± √1 – 4 1 ± √ –3 1 ± √ 3i = = 2 2 2

√ 3 i, z = 1 + √ 3 i 1 – 2 2 2 2 2

24 Resuelve las ecuaciones: a) z 5 + 32 = 0

b) iz 3 – 27 = 0

c) z 3 + 8i = 0

d) iz 4 + 4 = 0

a) z 5 + 32 = 0 8 z 5 = –32 5

5

z = √ –32 = √ 32180° = 2(180° + 360° k)/5 = 236° + 72° k ; k = 0, 1, 2, 3, 4 Las cinco raíces son: 236°

2108°

2180°

2252°

2324°

b) iz 3 – 27 = 0 8 z 3 + 27i = 0 8 z 3 = –27i 3

3

z = √ –27i = √ 27270° = 3(270° + 360° k)/3 = 390° + 120° k ; k = 0, 1, 2 Las tres raíces son: 390° c)

z3

3

3210°

3330°

3

+ 8i = 0 8 z = √ –8i = √ 8270° = 2(270° + 360° k)/3 = 290° + 120° k ; k = 0, 1, 2

Las tres raíces son: 290° = 2i Unidad 6. Números complejos

2210° = – √ 3 – i

2330° = √ 3 – i

29

d) iz 4 + 4 = 0 8 z 4 – 4i = 0 8 z 4 = 4i 4

4

z = √ 4i = √ 490° = √ 2 (90° + 360° k)/4 = √ 2 22° 30' + 90° k ; k = 0, 1, 2, 3 Las cuatro raíces son:

√ 2 22° 30' = 1,3 + 0,5i

√ 2 112° 30' = – 0,5 + 1,3i

√ 2 202° 30' = –1,3 – 0,5i

√ 2 292° 30' = 0,5 – 1,3i

25 Resuelve las siguientes ecuaciones en Ç : a) z 2 + 4i = 0

b) z 2 – 2z + 5 = 0

c) 2z 2 + 10 = 0

d) z 4 + 13z 2 + 36 = 0

a) z 2 + 4i = 0 8 z 2 = –4i 8 z = √–4i = √4270° 8 z = 2(270° + 360° k )/2; k = 0,1 z1 = 2135°, z2 = 2315° b) z 2 – 2z + 5 = 0 8 z =

2 ± √ 4 – 20 2 ± √ –16 2 ± 4i = = = 1 ± 2i 2 2 2

z 1 = 1 – 2i, z 2 = 1 + 2i c) 2z 2 + 10 = 0 8 2z 2 = –10 8 z 2 = –5 8 z = ± √ 5 i z 1 = – √ 5 i, z 2 = √ 5 i d) z 4 + 13z 2 + 36 = 0 z2 = t t 2 + 13t + 36 = 0 t=

–13 ± 5 –13 ± √ 169 – 144 = 2 2

t = –4 t = –9

z 2 = –4 8 z = ±2i z 2 = –9 8 z = ±3i Las soluciones son: 2i = 290º; –2i = 2270º; 3i = 390º; –3i = 3270º 26 Obtén las cuatro soluciones de las siguientes ecuaciones: a) z 4 – 1 = 0

b) z 4 + 16 = 0 4

c) z 4 – 8z = 0

4

a) z 4 – 1 = 0 8 z 4 = 1 8 z = √ 1 = √ 10° = 1360° k/4 = 190° k ; k = 0, 1, 2, 3 Las cuatro raíces son: 10° = 1

190° = i 4

1180° = –1

1270° = –i

4

b) z 4 + 16 = 0 8 z 4 = –16 8 z = √ –16 = √ 16180° = 2(180° + 360° k)/4 = = 245° + 90° k ; k = 0, 1, 2, 3

30

Unidad 6. Números complejos

UNIDAD

6

Las cuatro raíces son: 245° = √ 2 + √ 2 i

2135° = – √ 2 + √ 2 i

2225° = – √ 2 – √ 2 i

2315° = √ 2 – √ 2 i

c) z 4 – 8z = 0 8 z (z 3 – 8) = 0 3

z=0 3— z = √8

3

√ 8 = √ 80° = 2(360° k)/3 = 2120° k ; k = 0, 1, 2 Las soluciones de la ecuación son: 0

20° = 2

2120° = –1 + √ 3 i

2240° = –1 – √ 3 i

27 Halla los números complejos z y w que verifican cada uno de estos sistemas de ecuaciones: ° z + w = –1 + 2i a) ¢ £ z – w = –3 + 4i a)

° z + 2w = 2 + i b) ¢ £ iz + w = 5 + 5i

z + w = –1 + 2i ° ¢ Sumando miembro a miembro: z – w = –3 + 4i £ 2z = – 4 + 6i 8 z = –2 + 3i w = (–1 + 2i) – (–2 + 3i) = 1 – i Solución : z = –2 + 3i; w = 1 – i

b)

z + 2w = 2 + i ° ¢ Multiplicamos por –2 la 2.a ecuación y sumamos: iz + w = 5 + 5i £ z + 2w = 2 + i –8 – 9i ° = 2 – 5i ¢ (1 – 2i )z = –8 – 9i 8 z = 1 – 2i –2iz – 2w = –10 – 10i £ w=

2 + i – (2 – 5i) 6i = = 3i 2 2

Solución : z = 2 – 5i; w = 3i

PARA RESOLVER 28 Calcula m para que el número complejo 3 – mi tenga el mismo módulo que 2 √5 + √5 i. |3 – mi| = √ 9 + m 2 °§ √ 9 + m 2 = 5 8 9 + m 2 = 25 8 m 2 = 16 ¢ |2 √ 5 + √ 5 i| = 5 §£ m = ±4 Hay dos posibilidades: m = –4 y m = 4 Unidad 6. Números complejos

31

29 Halla dos números complejos tales que su cociente sea 3, la suma de sus argumentos π/3, y la suma de sus módulos 8. ☛Llámalos r a y s b y escribe las ecuaciones que los relacionan: ra s b = 30º (0º es el argumento del cociente, a – b = 0º); r + s = 8

y

a+b= π. 3

r =3 s r+s=8 a+b= π 3 a – b = 0° Hallamos sus módulos: ° § r = 3s ¢ r + s = 8 §£ 3s + s = 8; 4s = 8; s = 2; r = 6 r =3 s

Hallamos sus argumentos: a + b = π °§ 3 a = b; 2b = π ; b = π ; a = π ¢ 3 6 6 a–b=0 § £ Los números serán: 6π/6 y 2π/6 30 El producto de dos números complejos es 290° y el cubo del primero dividido por el otro es (1/2)0°. Hállalos. Llamamos a los números: z = ra y w = s b r a · s b = 290°

()

1 (r a )3 = sb 2 r·s=2 1 r3 —=— s 2

0°

r ·s =2 a + b = 90° 1 r 3/s = — 2 3a – b = 90°

° § r·s=2° ¢ ¢ r · 2r 3 = 2 8 r 4 = 1 8 r = § s = 2r 3 £ £

1 8 s = 2 · 13 = 2 –1 (no vale)

a + b = 90° ° ¢ 8 4a = 90° + 360° k 8 3a – b = 0° £ 90° + 360°k , k = 0, 1, 2, 3 4 b = 90° – a 8 a=

32

Unidad 6. Números complejos

UNIDAD

6

Hay cuatro soluciones: z1 = 122° 30' 8 w1 = 2z13 = 2 · 167° 30' = 267° 30' z2 = 1112° 30' 8 w2 = 2337° 30' z3 = 1202° 30' 8 w3 = 2607° 30' = 2247° 30' z4 = 1292° 30' 8 w4 = 2877° 30' = 2157° 30' 31 El producto de dos números complejos es – 8 y el primero es igual al cuadrado del segundo. Calcúlalos. z · w = –8 ° 3 ¢ w = –8 z = w2 £ 3

3

w = √ –8 = √ 8180° = 2(180° + 360° k)/3 = 260° + 120° k ; k = 0, 1, 2 Hay tres soluciones: w1 = 260° 8 z1 = 4120° w2 = 2180° 8 z2 = 40° = 4 w3 = 2300° 8 z3 = 4600° = 4240° 32 De dos números complejos sabemos que: • Tienen el mismo módulo, igual a 2. • Sus argumentos suman 17π/6. • El primero es opuesto del segundo. ¿Cuáles son esos números? Llamamos a los números: z = ra y w = sb Tenemos que: ° § 17π + π 8 a = 23 π 8 b = 23 π – π = 11 π 17π ¢ 8 2a = a+b= 12 12 12 6 § 6 £ r=s=2

Por tanto, los números son: 123π/12 y 211π /12; o bien 111π/12 y 223π /12 33 Calcula cos 75º y sen 75º mediante el producto 1 30º · 1 45º. 130° · 145° = 175° = cos 75° + i sen 75°

(

√3 + 1 i

—

—

130° · 145° = (cos 30° + i sen 30°) (cos 45° + i sen 45°) = —

—

2

2

)(

)

√2 + √2 i = 2

2

√ 6 + √ 6 i + √ 2 i – √ 2 = √6 – √2 + √6 + √2 i = 4

4

Por tanto:

4

—

cos 75° = Unidad 6. Números complejos

4

4

—

√6 – √2 4

4

—

sen 75° =

—

√6 + √2 4

33

34 Halla las razones trigonométricas de 15º conociendo las de 45º y las de 30º mediante el cociente 1 45º : 1 30º. 145° : 130° = 115° = cos 15° + i sen 15° — — — — 145° √ 2/2 + i (√ 2/2) √2 + i √2 cos 45° + i sen 45° = = — = = — 130° cos 30° + i sen 30° √ 3/2 + i (1/2) √3 + i — — — — — — — — — — — √2 + i √2 √3 – i √ 6 – √ 2i + √6i + √ 2 √6 + √2 + √6 + √2 i = = = — — 4 4 3+1 √3 + i √3 – i

(

(

Por tanto:

)( )(

)

)

—

—

√6 + √2 cos 15° = 4

—

—

√6 – √2 sen 15° = 4

35 ¿Para qué valores de x es imaginario puro el cociente

x – 4i ? x+i

–5x x2 – 4 x – 4i (x – 4i) (x – i ) = = 2 + 2 i x +1 x+i (x + i ) (x – i ) x +1 Para que sea imaginario puro, ha de ser: x2 – 4 = 0 8 x2 – 4 = 0 x2 + 1

x=2 x = –2

1 + xi . 1 – xi Demuestra que |z| = 1 para cualquier valor de x.

36 Halla, en función de x, el módulo de z =

|z| =

| 11 +– xixi | = √√11 ++ xx

2 2

=1

O bien: z=

1 + xi (1 + xi ) + (1 + xi ) 1 – x 2 + 2xi 1 – x2 = = = + 2x i 2 1 – xi (1 – xi ) (1 + xi ) 1+x 1 + x2 1 + x2

|z| =

√(

=

√

1 – x2 — 1 + x2

) ( ) √ 2

2x 2 = + — 1 + x2

√

1 + x 4 – 2x 2 + 4x 2 = (1 + x 2)2

x 4 + 2x 2 + 1 = (1 + x 2)2

(1 + x 2)2 = √ 1 = 1 (1 + x 2)2

37 Calcula x para que el número complejo que obtenemos al dividir

x + 2i 4 – 3i

esté representado en la bisectriz del primer cuadrante. ☛ Para que a + bi esté en la bisectriz del primer cuadrante, debe ser a = b. x + 2i (x + 2i ) (4 + 3i ) 4x + 3xi + 8i – 6 4x – 6 3x + 8 = = = + i 4 – 3i (4 – 3i ) (4 + 3i ) 16 + 9 25 25

34

Unidad 6. Números complejos

UNIDAD

6

Ha de ser: 4x – 6 3x + 8 = 8 4x – 6 = 3x + 8 ò x = 14 25 25

Página 164 38 Halla dos números complejos conjugados cuya suma es 8 y la suma de sus módulos es 10. z + z– = 8 – ° – = 10 ¢ Como |z| = |z | ò |z| = 5 |z| + |z| £ Si llamamos: z = a + bi 8 z– = a – bi z + z– = a + bi + a – bi = 2a = 8 8 a = 4 |z|=|z– | = √ a 2 + b 2 = √ 16 + b 2 = 5 8 16 + b 2 = 25 8 8 b 2 = 9 8 b = ± √ 9 = ±3 Hay dos soluciones: z1 = 4 + 3i 8 z–1 = 4 – 3i z2 = 4 – 3i 8 z–2 = 4 + 3i 39 La suma de dos números complejos es 3 + i. La parte real del primero es 2, y el producto de ambos es un número real. Hállalos. Llamamos z = a + bi y w = c + di Tenemos que: °z + w = 3 + i ¢a = 2 8 c = 1 £

°a + c = 3 ¢b + d = 1 £

z · w = (2 + bi ) (1 + di ) = 2 + 2di + bi + bdi 2 = (2 – bd) + (2d + b)i Para que z · w sea un número real, ha de ser 2d + b = 0. Por tanto,

b + d = 1 ° d = –1 b + 2d = 0 ¢£ b = 2

Los números son: z = 2 + 2i ; w = 1 – i

3

40 Representa gráficamente los resultados que obtengas al hallar √–2 – 2i y calcula el lado del triángulo que se forma al unir esos tres puntos. —

√ –2 – 2i = √√ 8 225° = √ 2 (225° + 360° k)/3 = √ 2 75° + 120° k 3

3

Las tres raíces son: z1 = √ 2 75°

z2 = √ 2 195°

Unidad 6. Números complejos

z3 = √ 2 315°

35

z1

120°

l — √2

z2 z3

Para hallar la longitud del lado, aplicamos el teorema del coseno:

( )2 + ( √ 2 )2 – 2 √ 2

l 2 = √2

( 12 ) = 4 + 2 = 6

· √ 2 · cos 120° = 2 + 2 – 4 –

l = √6

41 Los afijos de las raíces cúbicas de 8i son los vértices de un triángulo equilátero. Compruébalo. 3

3

3

¿Determinan el mismo triángulo los afijos de √–8 i , √8 o √– 8 ? Representa gráficamente esos cuatro triángulos que has obtenido. 3

3

• √ 8i = √ 8 90° = 2(90° + 360° k)/3 = 230° + 120° k ; k = 0, 1, 2 Las tres raíces son: z1 = 230°

z2 = 2150°

z3 = 2270°

Al tener el mismo módulo y formar entre ellos un ángulo de 120°, el triángulo que determinan es equilátero. 3

3

• √ –8i = √ 8 270° = 2(270° + 360° k)/3 = 290° + 120° k ; k = 0, 1, 2 Las tres raíces son: z1 = 290° 3

z2 = 2210°

z3 = 2330°

3

• √ 8 = √ 80° = 2360° k/3 = 2120° k ; k = 0, 1, 2 Las tres raíces son: z1 = 20° 3

z2 = 2120°

z3 = 2240°

3

• √ –8 = √ 8 180° = 2(180° + 360° k)/3 = 260° + 120° k ; k = 0, 1, 2 Las tres raíces son: z1 = 260°

36

z2 = 2180°

z3 = 2300°

Unidad 6. Números complejos

UNIDAD

6

• Representación: z1 z2

z2

z1

z1 z1

√ 8i

z3

z3

z3 3

z2

z3

z2

3

3

√ –8i

3

√8

√ –8

42 ¿Pueden ser z 1 = 2 + i, z 2 = –2 + i, z 3 = –1 – 2i y z 4 = 1 – 2i, las raíces de un número complejo? Justifica tu respuesta. No. Si fueran las cuatro raíces cuartas de un número complejo, formarían entre cada dos de ellas un ángulo de 90°; y ni siquiera forman el mismo ángulo, como vemos en la representación gráfica:

i 1

43 Halla los números complejos que corresponden a los vértices de estos hexágonos:

2

2

• 1.er hexágono: z1 = 20° = 2

z2 = 260° = 1 + √ 3 i

z3 = 2120° = –1 + √ 3 i

z4 = 2180° = –2

z5 = 2240° = –1 – √ 3 i

z6 = 2300° = 1 – √ 3 i

z1 = 230° = √ 3 + i

z2 = 290° = 2i

z3 = 2150° = – √ 3 + i

z4 = 2210° = – √ 3 – i

z5 = 2270° = –2i

z6 = 2330° = √ 3 – i

• 2.° hexágono:

Unidad 6. Números complejos

37

44 ¿Pueden ser las raíces de un número complejo, z, los números 2 28º , 2 100º , 2 172º , 2 244º y 2 316º ? En caso afirmativo, halla z. ☛ Comprueba si el ángulo que forman cada dos de ellas es el de un pentágono regular.

28° + 72° = 100°

100° + 72° = 172°

172° + 72° = 244°

244° + 72° = 316°

Sí son las raíces quintas de un número complejo. Lo hallamos elevando a la quinta cualquiera de ellas: z = (228°)5 = 32140° 45 El número complejo 3 40º es vértice de un pentágono regular. Halla los otros vértices y el número complejo cuyas raíces quintas son esos vértices. ☛ Para obtener los otros vértices puedes multiplicar cada uno por 172º . Los otros vértices serán: 3112°

3184°

3256°

3328°

El número será: z = (340°)5 = 243 46 Una de las raíces cúbicas de un número complejo z es 1 + i. Halla z y las otras raíces cúbicas. 3

☛ Ten en cuenta que si √z = 1 + i 8 z = (1 + i) 3. 1 + i = √ 2 45° Las otras raíces cúbicas son:

√ 2 45° + 120° = √ 2 165°

√ 2 165° + 120° = √ 2 285°

Hallamos z :

(

)3

z = (1 + i )3 = √ 2 45° = √ 8 135° = √ 8 (cos 135° + i sen 135°) =

(

= √8 –

)

√ 2 + i √ 2 = –2 + 2i 2

2

47 Escribe una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones 1 + i y 1 – i. ☛ Mira el ejercicio resuelto 1 de la página 151. [x – (1 + i )] [x – (1 – i )] = x2 – (1 – i )x – (1 + i )x + (1 + i ) (1 – i ) = = x2 – (1 – i + 1 + i )x + (1 – i 2) = = x2 – 2x + 2 = 0

38

Unidad 6. Números complejos

UNIDAD

6

48 Escribe una ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean: a) 5i y –5i

b) 2 – 3i y 2 + 3i

a) (x – 5i ) (x + 5i ) = 0 x2 – 25i 2 = 0 x2 + 25 = 0 b) [x – (2 – 3i )] [x – (2 + 3i )] = [(x – 2) + 3i ] [(x – 2) – 3i ] = = (x – 2)2 – (3i 2) = x2 – 4x + 4 – 9i 2 = = x2 – 4x + 13 = 0 49 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones: ° z + w = –1 + 2i a) ¢ £ iz + (1 – i )w = 1 + 3i

° z – w = 5 – 3i b) ¢ £ (2 + i )z + iw = 3 – 3i

a) Multiplicamos por –i la primera ecuación: –iz – iw = i + 2 ° Sumamos miembro a miembro: ¢ iz + (1 – i)w = 1 + 3i £ –iw + (1 – i)w = i + 2 + 1 + 3i 8 (1 – 2i)w = 3 + 4i w=

3 + 4i (3 + 4i)(1 + 2i) –5 + 10i = = = –1 + 2i 1 – 2i 12 – 2i 2 5

z = –1 + 2i – w = –1 + 2i + 1 –2i = 0 Solución : z = 0; w = –1 + 2i b) Multiplicamos por i la primera ecuación: zi – wi = 5i + 3 ° Sumamos miembro a miembro: ¢ (2 + i)z + wi = 3 – 3i £ zi + (2 +i)z = 5i + 3 + 3 – 3i 8 (2 + 2i)z = 6 + 2i z=

6 + 2i (6 + 2i)(2 – 2i) 16 – 8i = = =2–i 2 + 2i 4 – 4i 2 8

w = z – 5 + 3i = 2 – i – 5 + 3i = –3 + 2i Solución : z = 2 – i; w = –3 + 2i

Interpretación gráfica de igualdades y desigualdades entre complejos 50 Representa. a) Re z = 2

b) Im z = 1

c) Re z Ì 0

d) –1 Ì Im z Ì 3

e) –2 < Re z < 5

f)

g) Arg z = 45°

h)0° Ì Arg z Ì 90°

Unidad 6. Números complejos

|z| Ì 3

39

a)

b) 1 2

c)

d) 3

0 –1

e)

f)

–2

3

3

5

g)

h)

45°

– = –3. 51 Representa los números complejos z tales que z + z ☛ Escribe z en forma binómica, súmale su conjugado y representa la condición que obtienes. Llamamos z = x + iy Entonces: z– = x – iy Así: 3 z + z– = x + iy + x – iy = 2x = –3 8 x = – 2

40

Unidad 6. Números complejos

UNIDAD

6

Representación:

–2

1

–1

3 x=–— 2

52 Representa los números complejos que verifican: – = –z – =3 – =4 a) z b) |z + z| c) |z – z| a) z = x + iy 8 z– = x – iy z– = –z 8 x – iy = –x – iy 8 2x = 0 8 x = 0 (es el eje imaginario) Representación:

1

–1 x=0

b) z + z– = x + iy + x – iy = 2x – = |2x| = 3 |z + z|

2x = 3 8 x = 3/2 2x = –3 8 x = –3/2

Representación:

–2

1

–1

2 3 x=— 2

3 x=–— 2

c) z – z– = x + iy – z + iy = 2yi |z – z– | = |2yi| = |2y| = 4

2y = 4 8 y = 2 2y = – 4 8 y = –2

Representación: 2

–2

Unidad 6. Números complejos

41

53 Escribe las condiciones que deben cumplir los números complejos cuya representación gráfica es la siguiente: a)

b)

c)

2

1 –3

d)

1

1 3

e)

2

–3

1

–1

1

f) 3

2 –2

☛ En a), b) y f) es una igualdad. En c) y d), una desigualdad. En e), dos desigualdades.

a) Re z = –3

b) Im z = 2

c) –1 Ì Re z ≤ 1

d) 0 Ì Im z < 2

° –3 < Re z < 2 e) ¢ £ –2 < Im z < 3

f) |z| = 3

Página 165 CUESTIONES TEÓRICAS 54 ¿Se puede decir que un número complejo es real si su argumento es 0? No, también son reales los números con argumento 180° (los negativos). 55 Si z = r a , ¿qué relación tienen con z los números r a + 180º y r 360º – a ? ra + 180° = –z (opuesto de z) r = z– (conjugado de z) 360° – a

56 Comprueba que: –—– – – a) z + w = z + w

–·w – b) z–—– ·w =z

z = a + bi = ra 8 z– = a – bi = r360° –

— – con k é Á c) kz = k z,

a

w = c + di = r'b 8 w– = c – di = r'360° – b a) z + w = (a + c) + (b + d )i 8 z— + w = (a + c) – (b + d )i z– + w– = a – bi + c – di = (a + c) – (b + d )i = z— +w

42

Unidad 6. Números complejos

UNIDAD

6

z— · w = (r · r')360° – (a + b)

b) x · w = (r · r')a + b 8 z– · w– = (r · r')

360° – a + 360° – b

= (r · r')360° – (a + b) = z— ·w

— c) kz = ka + kbi 8 kz = ka – kbi — k z– = ka – kbi = kz

57 Demuestra que: 1 | 1z | = |z|

( ) = ( 1r )

1 1 1 = 0° = z r ra

–a

360° – a

8

| z1 | = 1r = |z1|

58 El producto de dos números complejos imaginarios, ¿puede ser real? Acláralo con un ejemplo. Sí. Por ejemplo: z = i, w = i z · w = i · i = i 2 = –1 é

Á

59 Representa el número complejo z = 4 – 3i. Multiplícalo por i y comprueba que el resultado que obtienes es el mismo que si aplicas a z un giro de 90º. iz = 4i – 3i 2 = 3 + 4i 3 + 4i

90°

4 – 3i

60 ¿Qué relación existe entre el argumento de un complejo y el de su opuesto? Se diferencian en 180°. Si el argumento del número es a, el de su opuesto es: 180° + a

Unidad 6. Números complejos

43

61 ¿Qué condición debe cumplir un número complejo z = a + bi para que –= 1 ? z z ☛ Halla 1 , e iguala a a – bi. z

1 1 a – bi = = = a – bi = a – bi z a + bi (a + bi ) (a – bi ) a2 + b2 a a = a °§ = a 2 + b 2 8 a 2 + b 2 = 1 (módulo 1) a a2 + b2 § ¢ –b = –b §§ Ha de tener módulo 1. a2 + b2 £

PARA PROFUNDIZAR 62 Un pentágono regular con centro en el origen de coordenadas tiene uno de sus vértices en el punto (√2, √2 ). Halla los otros vértices y la longitud de su lado.

(

)

El punto √2 , √2 corresponde al afijo del número complejo z = √2 + √2 i = 245°. Para hallar los otros vértices, multiplicamos z por 172°: z2 = 2117° = –0,91 + 1,78i

z3 = 2189° = –1,97 – 0,31i

z4 = 2261° = –0,31 – 1,97i

z5 = 2333° = 1,78 – 0,91i

Los otros tres vértices serán: (–0,91; 1,78)

(–1,97; –0,31)

(– 0,31; –1,97)

(1,78; –0,91)

Hallamos la longitud del lado aplicando el teorema del coseno:

l 2 72°

2

l 2 = 22 + 22 – 2 · 2 · cos 72° l 2 = 4 + 4 – 4 · 0,31 l 2 = 8 – 1,24 l 2 = 6,76 l = 2,6 unidades

44

Unidad 6. Números complejos

UNIDAD

6

63 Si el producto de dos números complejos es – 8 y dividiendo el cubo de uno de ellos entre el otro obtenemos de resultado 2, ¿cuánto valen el módulo y el argumento de cada uno? z = ra ° § w = r'b ° r · r' = 8 § –8 = 8180° ¢§ ra · r'b = (r · r')a + b = 8180° 8 ¢£ a + b = 180° § 2 = 20° £ £ § 3 § r = 20° 8 ¢§ r' = 2 3a – b § ° 3a – b = 0°

( )

3 (ra)3 r 33a = = r r'b r'b r'

8 r · r' = 8 ° r' = r 3 r 3 = 2r' ¢£ r' = r 2

° § § ¢ § § £

Así:

3 °r = 2 8 = r 8 16 = r 4 8¢ r 2 £ r' = 4

a + b = 180° ° a + 3a = 180° 8 4a = 180° 8 ° a = 45° ¢ ¢ £ b = 135° 3a = b £ Por tanto: z = 245°, w = 4135° 64 Calcula el inverso de los números complejos siguientes y representa gráficamente el resultado que obtengas: a) 3 π/3

b) 2i

c) –1 + i

¿Qué relación existe entre el módulo y el argumento de un número complejo y de su inverso? a)

1 3π/3

=

( )

10° 1 = 3 3π/3

=

–π/3

( 13 )

5π/3

3π/3

π/3 (1/3–π/3)

b)

–π/3

( )

1 –i –1 1 = = i= 2i 2 2 2

270°

2i

–1/2i

Unidad 6. Números complejos

45

c) –1 + i = √ 2 135°

( )

10° 1 1 = = –1 + i √ 2135° √2

=

–135°

–1 + i

( ) 1

√2

=–

225°

1 1 – i 2 2 1 ——— –1 + i

Si z = ra, entonces

( )

1 1 = z r

360° – a

65 Representa gráficamente las igualdades siguientes. ¿Qué figura se determina en cada caso? a) |z – (1 + i)| = 5

b) |z – (5 + 2i)| = 3

a) Circunferencia con centro en (1, 1) y radio 5.

5

(1, 1)

1 1

b) Circunferencia de centro en (5, 2) y radio 3.

3 2

(5, 2)

5

66 Escribe la condición que verifican todos los números complejos cuyos afijos estén en la circunferencia de centro (1, 1) y radio 3. |z – (1 + i )| = 3

46

Unidad 6. Números complejos

UNIDAD

6

AUTOEVALUACIÓN 1. Efectúa. (3 – 2i )2 – (1 + i ) (2 – i ) –3 + i (3 – 2i )2 – (1 + i )(2 – i ) 9 + 4i 2 – 12i – (2 – i + 2i – i 2) 5 – 12i – 3 – i = = = –3 + i –3 + i –3 + i =

(2 – 13i )(–3 – i ) –6 + 13i 2 – 2i + 39i = = 9 – i2 (–3 + i )(–3 – i )

=

–19 + 37i 19 37 i =– + 10 10 10

2. Calcula z y expresa los resultados en forma binómica. —

4

√z =

z=

(

—

– √3 + i —

√2 i

)

– √3 + i —

√2 i

4

Pasamos numerador y denominador a forma polar: r=

– √3 + i

—

√(–√ 3 )2 + 12 = 2 — –√3

√2 i 8 √2 90° z=

1

1 tg a = – — — 8 a = 150° √3

( ) ( ( ) 2150°

√290°

z=4 –

4

= √2 60°)4 = 4240° 8 z = 4 (cos 240° + i sen 240°)

√3 1 –i = –2 – 2 √3 i 2 2

3. Halla a y b para que se verifique la igualdad: 5(a – 2i ) = (3 + i ) (b – i ) 5a – 10i = 3b – i 2 – 3i + bi 8 5a – 10i = 3b + 1 + (–3 + b)i ° 5a = 3b + 1 ° Igualando las componentes ¢ ¢ 8 b = –7, a = – 4 £ –10 = –3 + b £

Unidad 6. Números complejos

47

4. Resuelve la ecuación: z 2 – 10z + 29 = 0 z=

10 ± √–16 10 ± 4i = 2 2

z1 = 5 + 2i z2 = 5 – 2i

Soluciones: z1 = 5 + 2i, z2 = 5 – 2i

5. Calcula el valor que debe tomar x para que el módulo de

x + 2i sea igual a 2. 1–i

x + 2i 2 + xi + 2i x + 2i (x + 2i)(1 + i) x – 2 + (x + 2)i x–2 x+2 i = = = = + 2 1–i 1–i (1 – i)(1 + i) 1+1 2 2 Módulo =

√( ) ( ) x–2 — 2

2

x+2 + — 2

2

=2 8

√

x1 = 2 x2 = –2

8 x2 + 4 = 8 8 x2 = 4

x2 + 4 x2 + 4 =2 8 =4 8 2 2 Hay dos soluciones: x1 = 2, x2 = –2

6. Halla el lado del triángulo cuyos vértices son los afijos de las raíces cúbicas de 4 √3 – 4i. z=

3

—

√4√3 – 4i

Expresamos 4 √3 – 4i en forma polar: —

° § ¢ 4 √3 – 4i = 8330° 1 tg a = – — — 8 a = 330° § √3 £ r=

3

√(4√ 3 )2 + (–4)2 = 8

z1 = 2110° z2 = 2230° z3 = 2350°

3

z = √8330° = √8 330° + 360°k 3

A = z1

O B = z3 C = z2

En el triángulo AOB conocemos dos lados, OA = OB = 2, y el ángulo comprendido, 120°. Aplicando el teorema del coseno, obtenemos el lado del triángulo, AB : AB 2 = 22 + 22 – 2 · 2 · 2 · cos 120° = 12 8 AB = √12 = 2√3 u

48

Unidad 6. Números complejos

UNIDAD

6

7. Representa gráficamente. a) 1 Ì Im z Ì 5 a)

b) |z| = 3

–

c) z + z = – 4

5

1

b)

3

3

c) a + bi + a – bi = – 4 8 2a = – 4 8 a = –2

–2

1

8. Halla dos números complejos tales que su cociente sea 2150° y su producto 1890° . ra r = 2150° 8 = 2; a – b = 150° s sb ra · sb = 1890° 8 r · s = 18; a + b = 90° Resolvemos los sistemas: ° a – b = 150° ¢ £ a + b = 90°

° r/s = 2 ¢ £ r · s = 18 Obtenemos: °r = 6 ¢ £s = 3

° a = 120° ¢ £ b = –30° = 330°

Los números son 6120° y 3330°. Otra posible solución es: 6300° y 3150°. Unidad 6. Números complejos

49

–

9. Demuestra que |z · z | = |z|2. z = a + bi ° – ¢ z · z = (a + bi )(a – bi ) = a2 – b 2i 2 = a2 + b 2 z– = a – bi £ |z| = √a2 + b 2

|z · z–| = √(a2 + b 2)2 = a2 + b 2 ° – ¢ |z · z | = |z|2 8 |z|2 = (√a2 + b2 )2 = a2 + b 2 £

10. Calcula cos 120° y sen 120° a partir del producto 190° · 130° . 190° · 130° = 1(cos 90° + i sen 90°) · 1(cos 30° + i sen 30°) = =i·

(

√3 2

+i

)

1 1 √3 =– + i 2 2 2

190° · 130° = 1120° = 1(cos 120° + i sen 120°) = – 8 cos 120° = –

1 √3 + i 8 2 2

√3 1 ; sen 120° = 2 2

11. Halla el número complejo z que se obtiene al transformar el complejo 2 + 3i mediante un giro de 30º con centro en el origen. 2 + 3i

Multipicamos por 130° = 1(cos 30° + i sen 30°). z = (2 + 3i ) · 130° = (2 + 3i ) z = √3 + z=

50

(

√3 2

+i

1 2

)

3√3 3 2 i i +i+ 2 2

2 √3 – 3 2 + 3 √3 + i 2 2

Unidad 6. Números complejos

7

VECTORES

Página 171 REFLEXIONA Y RESUELVE Multiplica vectores por números ■

Copia en un papel cuadriculado los cuatro vectores siguientes:

8

a

8

c

8

d

8

b

Representa: 8

8

a) 2 a

b) 5 b

c)

1 8 c 3

8

8

8

8

Expresa el vector d como producto de uno de los vectores a , b o c por un número. Designa los vectores anteriores mediante pares de números. Por ejemplo: 8 a (2, 3) Repite con pares de números las operaciones que has efectuado anteriormente. 8

8

• d = –2,5 b = 8

8

–5 8 b 2

• a (2, 3)

1/3 c

8

b(–2, –2)

8

8

2a

c (3, 0)

8

8

5b

d (5, 5) 8

8

d = –5/2 b

8

• 2 a = 2 (2, 3) = (4, 6) 8

5 b = 5 (–2, –2) = (–10, –10) 1 8 1 c = (3, 0) = (1, 0) 3 3

Unidad 7. Vectores

1

Suma vectores ■

Efectúa gráficamente: 8

8

8

a) a + c

8

8

b) b + c 8

8

8

8

c) b + a

8

8

d) a + b + c

8

siendo a , b y c los del ejercicio anterior. Realiza las mismas sumas con pares de números. 8

8

Por ejemplo: a + c = (2, 3) + (3, 0) = (5, 3) 8

8

8

8

8

8

8

8

a) a + c = (2, 3) + (3, 0) = (5, 3) b) b + c = (–2, –2) + (3, 0) = (1, –2) c) b + a = (–2, –2) + (2, 3) = (0, 1) 8

d) a + b + c = (2, 3) + (–2, –2) + (3, 0) = (3, 1) 8

c

a)

b)

8

a

8

8

8

b

8

b+c

c)

8

d)

8

8

b+a

8

a

b

8

8

8

a

8

8

8

a+c

b

c

8

c

8

a+b+c

Combina operaciones

8

u

8

v

8

w

■

8

8

8

Con los vectores u, v y w efectúa las siguientes operaciones gráficamente y mediante pares de números: 8

8

8

a) 2 u + 3v

8

b) –v + 5w

8

8

8

c) 2 u + 3 v – 4 w

¿Cómo designarías al vector resultante de esta última operación? 8

8

8

8

8

8

a) 2 u + 3 v = 2 (3, 1) + 3 (2, –2) = (6, 2) + (6, –6) = (12, –4) b) – v + 5 w = –(2, –2) + 5 (3, –1) = (–2, 2) + (15, –5) = (13, –3) 8

c) 2 u + 3 v – 4 w = 2 (3, 1) + 3 (2, –2) – 4 (3, –1) = (6, 2) + (6, –6) + (–12, 4) = (0, 0) 8

Vector nulo: 0

2

Unidad 7. Vectores

UNIDAD

a)

7

b)

8

2u

8

–v

8

3v

8

5w 8

8

c)

8

–v + 5w

8

2u + 3v

8

2u

8

3v 8

–4w

Página 175 8

8

1. Si u(–2, 5) y v (1, –4) son las coordenadas de dos vectores respecto de una base, halla las coordenadas respecto de la misma base de: 8 8 8 8 8 8 1 8 1 8 a) 2 u + v b) u – v c) 3 u + d) – u – 2 v v 3 2 8

8

a) 2 u + v = 2 (–2, 5) + (1, –4) = (– 4, 10) + (1, – 4) = (–3, 6) 8

8

b) u – v = (–2, 5) – (1, – 4) = (–2, 5) + (–1, 4) = (–3, 9)

(

) ( ) 1 1 –5 11 d) – u – 2 v = – (–2, 5) – 2 (1, – 4) = (1, + (–2, 8) = (–1, 2 2 2 ) 2 ) 1 8 1 1 –4 –17 41 v = 3 (–2, 5) + (1, – 4) = (– 6, 15) + , = , 3 3 3 3 3 3

8

c) 3 u +

8

8

Página 176 8

8

8

8

1. Dos vectores u y v cumplen que: |u| = 4, |v| = 8

8

a) u · v 8

8

8

8

8

8

8

b) v · u 8

d) (3u) · (–5v ) 8

8

ì 3 8 8 , ( u, v ) = 30°. Calcula: 2

8

e) u · u ì 8 8

8

a) u · v = |u| |v| cos ( u, v ) = 4 · 8

8

8

c) (–u) · v 8

8

f) v · (–v )

√3 3 · cos 30° = 6 · = 3√3 2 2

8

b) v · u = u · v = 3√3 8

8

8

8

c) (–u) · v = – ( u · v ) = –3√3 8

8

8

8

d) (3u) · (–5v ) = 3(–5) ( u · v ) = –15 · 3√3 = –45√3 8

8

8

e) u · u = |u| 2 cos 0° = 16 8

8

8

8

8

f) v · (–v ) = –v · v = –|v|2 = –

Unidad 7. Vectores

9 4

3

8

8

8

8

8 8

2. Si |u| = 3, |v| = 5 y u · v = –2, averigua el ángulo ( u, v ). (Usa la calculadora). 8

ì

8

8

ì u·v –2 2 8 8 =– 8 ( u, v ) = 97° 39' 44'' 8 8 = 15 |u||v| 3 · 5

8 8

cos ( u, v ) =

8

8

8

8

8

8

8

ì 8 8

3. Halla u · ( v + u) y v · ( v – u) sabiendo que |u| = 3, |v| = 5, ( u, v ) = 120°. 8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

u · ( v + u) = u · v + u · u = |u| |v| cos 120° + |u| |u| cos 0° =

( )

=3·5· – 8

8

8

8

8

8

1 15 3 +3·3=– +9= 2 2 2

( )

8

v · ( v – u) = v · v – v · u = 25 – –

15 65 = 2 2

Página 178 8

8

4. Dados los vectores u y v mediante sus coordenadas respecto a una base or8 8 tonormal, u (3, – 4), v (–1, 3), halla: 8

8

8

8

a) u · v y v · u 8

8

ì 8 8

b) |u|, |v| y ( u, v ) 8

c) El valor de k para que (4, k) sea perpendicular a v . 8

d) Un vector unitario perpendicular a u. 8

8

8

8

a) u · v = (3, –4) · (–1, 3) = 3 · (–1) + (–4) · 3 = –15 v · u = (–1, 3) · (3, – 4) = (–1) · 3 + 3 · (– 4) = –15 8

b) |u| = √32 + (–4)2 = 5 8

|v| = √(–1)2 + 32 = √10 ì

8

8

ì –15 u·v 8 8 — = –0,9486832981 8 ( u, v ) = 161° 33' 54'' 8 8 = |u||v| 5√ 10 4 c) (4, k ) 2 (–1, 3) 8 (4, k ) · (–1, 3) = 0 8 –4 + 3k = 0 8 k = 3 8 8

cos ( u, v ) =

8

Para que (4, k ) sea perpendicular a v , ha de ser k =

4 . 3

8

d) Un vector perpendicular a u (3, –4) es, por ejemplo, (4, 3). Un vector unitario paralelo a (4, 3) es

Hay dos vectores unitarios perpendiculares a (3, – 4). Son

4

( ) ( ) ( )

1 1 4 3 · (4, 3) = (4, 3) = , |(4, 3)| 5 5 5

4 3 4 3 , y – ,– . 5 5 5 5

Unidad 7. Vectores

UNIDAD

7

Página 182 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR

Los vectores y sus operaciones 1 La figura ABCDEF es un hexágono.

C

P

D

N

Q

B

E

O M

R A

S

F

Compara el módulo, la dirección y el sentido de los siguientes pares de vectores: 8

8

8

a) AB y BC 8

8

b) FE y BC

8

8

8

c) BM y DE

8

d) OS y OE

8

a) |AB | = |BC |. Tienen distinta dirección. b) Los dos vectores tienen la misma dirección, el mismo sentido y el mismo mó8 8 dulo, luego: FE = BC . 8

c) |BM | =

1 8 DE . Tienen la misma dirección y el mismo sentido. 2 8

Luego: BM = 8

1 8 DE . 2

8

8

8

d) | OS | < | OE |. Sus direcciones son perpendiculares: OS 2 OE .

8

2 Busca en la figura del ejercicio 1 tres vectores iguales a NC y otros tres igua8 les a AS . 8

8

8

8

8

8

8

8

NC = BN = FR = RE

AS = SF = CP = PD

Unidad 7. Vectores

5

3 Sustituye los puntos suspensivos por un número, de forma que estas igualdades sean verdaderas para el hexágono del ejercicio 1: 8

8

8

8

8

8

8

a) CD = 2 CP

8

8

b) MN = … AC

8

8

c) OP = …OS 8

a) CD = 2 CP

b) MN = 8

c) OP = – OS

8

d) NB = … BC

1 8 AC 2

d) NB = –

1 8 BC 2

4 Completa las igualdades siguientes con las letras que faltan para que, en el hexágono del ejercicio 1, sean verdaderas: 8

8

8

8

8

a) AF + B… = AE c) O… + SO = FD 8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

b) AS + …C = SF d) AM + A… = AB

a) AF + BC = AE

8

b) AS + CC = SF 8

c) OP + SO = FD

8

8

d) AM + AM = AB

5 Observa el rombo de la figura y calcula: 8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

a) AB + BC

B

b) OB + OC c) OA + OD A

d) AB + CD

O

C

e) AB + AD D

f ) DB – CA Expresa los resultados utilizando los vértices del rombo. 8

8

a) AC 8

8

8

b) AB = DC 8

8

d) AA = 0

8

c) BA – CD 8

e) AC

f) 2 DC

8

6 Considera el vector w: 8

w 8

8

Dibuja en cada uno de estos casos un vector v que sumado con u dé co8 mo resultado w: a)

b) 8

8

u

c)

6

8

u

u

d)

8

u

Unidad 7. Vectores

UNIDAD

a)

8

w

b) 8

8

c)

v

w

8

u

8

u

8

u

7

8

v

8

v

8

w

d)

8

8

w

u

8

v

8

8

8

8

7 Los vectores a , b y c los hemos obtenido operando con los vectores x, 8 8 y , z . ¿Qué operaciones hemos hecho en cada caso? 8

–z

8

y

8

–x

8

y

8

8

z

x

8

a

8

8

8

8

a=y–z–x

8

b 8

c

8

8

8

8

8

b=x+y– z

8

8

8

c =x–y+ z

Bases y coordenadas 8 A la vista de la figura, dibuja los vectores: 8

8

8

8

8

8

8

8

– u + v, u – v, u + v, 8

8

8

8

8

8

u

– u – v, – u + 2v, u – 2v

8

v

8

Si tomamos como base (u, v ), ¿cuáles son las coordenadas de los vectores que has dibujado? 8

8

–u + v 8

u

v

8

–u

v

8

–u

8

8

8

– u – v = (–1, –1)

Unidad 7. Vectores

8

8

u

8

2v

8 8

–u

8

u – v = (1, –1) 8

8

–u + 2v

8

u – 2v

8

8

8

u+v

8 8

–v 8

8

u

–2v

–u – v

– u + v = (–1, 1)

v

8

8

u–v

8

8

u

–v

8

8

8

8

8

8

– u + 2v = (–1, 2)

8

8

u + v = (1, 1)

8

8

u – 2 v = (1, –2)

7

8 8

8

8

8

9 Escribe los vectores u, v , w como combinación lineal de x e y .

8

y

8

w

8

x

8

u

8

v

8

8

¿Cuáles serán las coordenadas de esos vectores respecto a la base B (x, y )? 8

u=–

(

8 18 18 1 1 x + y , luego u = – , 2 2 2 2

) respecto de B (x, y). 8

8

( ) 3 3 w = x + y , luego w = ( , 1) respecto de B ( x , y ). 2 2

8

v= 8

8 8 8 38 8 3 x + y , luego v = , 1 respecto de B ( x , y ). 4 4 8

8

8

8

8

Página 183 8

8

8

8

10 Escribe las coordenadas de los vectores a , b, c , d, con respecto a la base 8 8 B (x, y ). 8

a

8

8

x

b

8

c

8

8

8

8

y

8

d

8

a = (2, 2); b = (0, –3); c = (–1, 0); d = (–1, 3)

8

11 En una base ortonormal las coordenadas de un vector son v (2, –5). Halla 8 las coordenadas de v en la base B = {(1, –1), (0, –1)}. 8

x (1, –1) ° 8 8 8 § v = ax + by 8 y(0, –1) ¢ 8 § (2, –5) = a(1, –1) + b (0, –1) = (a, –a) + (0, –b ) = (a, –a – b ) v(2, –5) £ 2=a ° a=2 ¢ –5 = –a – b £ b = +3 8

Las coordenadas de v en la nueva base son (2, 3).

8

Unidad 7. Vectores

UNIDAD 8

7

8

12 Si las coordenadas de los vectores u y v son (3, –5) y (–2, 1), obtén las coordenadas de: 8

a) –2 u +

18 v 2

8 38 b) – u – v 5

a) –2 (3, –5) +

b) – (3, –5) –

c)

c)

(

) (

)

) (

)

1 1 21 (–2, 1) = (– 6, 10) + –1, = –7, 2 2 2

(

3 6 –3 –9 72 (–2, 1) = (–3, 15) + , = , 5 5 5 5 5

[

]

[

1 8 8 – 2 8 8 (u + v ) (u – v ) 2 3

]

1 2 1 2 (3, –5) + (–2, 1) – (3, –5) – (–2, 1) = (1, –4) – (5, –6) = 2 3 2 3 =

( 12 , –2) + ( –103 , 4) = ( –176 , 2)

8 8 8 8 8 18 13 Halla el vector b tal que c = 3 a – b , siendo a (–1, 3) y c (7, –2). 2

(7, –2) = 3 (–1, 3) –

° 7 = –3 – (1/2)b1 8 b1 = –20 ° 1 (b , b ) 8 ¢ ¢ 2 1 2 £ –2 = 9 – (1/2)b2 8 b2 = 22 £

8

b (–20, 22) 8

8

8

14 Dados los vectores a (3, –2), b(–1, 2) y c (0, –5), calcula m y n de modo que: 8 8 8 c = m a + n b. ° 0 = 3m – n (0, –5) = m (3, –2) + n (–1, 2) 8 ¢ £ –5 = –2m + 2n Resolvemos el sistema: Despejando en la primera ecuación, n = 3m, y sustituyendo en la segunda: –5 = –2m + 6m 8 –5 = 4m 8 m =

–5 –15 8 n= 4 4 8

8

15 Expresa el vector a (– 1, – 8) como combinación lineal de b (3, –2) y 8

(

c 4, –

)

1 . 2 8

8

8

☛ Calcula m y n tales que a = m b + n c .

(

1 (–1, –8) = m (3, –2) + n 4, – 2

)

° –1 = 3m + 4n § 1 8 ¢ § –8 = –2m – —n 2 £

Resolvemos el sistema por reducción (por ejemplo).

Unidad 7. Vectores

9

Para ello, multiplicamos la segunda ecuación por 8 (en los dos miembros) y sumamos miembro a miembro las dos: –1 =

3m + 4n

–64 = –16m – 4n –65 = –13m 8 m =

–65 =5 –13

Sustituyendo en una de las dos ecuaciones y despejando n : –1 = 3m + 4n 8 –1 = 3 · (5) + 4n 8 –16 = 4n 8 n = – 4 8

8

8

Así, podemos decir: a = 5 b – 4 c

16 ¿Cuáles de los siguientes pares de vectores forman una base? 8 8 8 8 2 ,2 a) u(3, –1), v (1, 3) b) u(2, 6), v 3

( )

8

8

a) Sí, tienen distinta dirección ( u ? k v para cualquier k). Basta con representarlos gráficamente para comprobarlo. 8

8

b) No, pues tienen la misma dirección ( u = 3 v ).

Producto escalar. Módulo y ángulo 17 En una circunferencia de centro O y de radio 2 cm, se inscribe un hexágono regular de vértices A, B, C, D, E, F. Calcula los productos: 8

8

8

8

8

a) OA · OB

8

b) OA · OC 8

c) AB · ED

8

d) BC · EF

8 8 8 8 8 8 1 =2 a) OA · OB = |OA| · |OB | cos (OA, OB ) = 2 · 2 · cos 60° = 2 · 2 · 2

( 12 ) = –2

8

8

8

8 (*)

A

b) OA · OC = 2 · 2 · cos 120° = 2 · 2 · – (*)

c) AB · ED = 2 · 2 · cos 0° = 2 · 2 · 1 = 4 (*)

B

60°

F O

OAB es un triángulo equilátero, luego: 8

C

8

|AB | = |OA| = 2 8

Razonamos igual para |ED |. 8

E

D

8

d) BC = – EF (mismo módulo, misma dirección y sentido opuesto) 8

8

Luego: BC · EF = 2 · 2 · cos 180° = 2 · 2 · (–1) = –4

10

Unidad 7. Vectores

UNIDAD 8

8

7

8

18 Dados los vectores x(5, –2), y (0, 3), z (–1, 4), calcula: 8

8

8

8

8

8

8

8

8

a) x · y

8

8

b) x · z

8

c) y · z

a) x · y = (5, –2) · (0, 3) = –6 b) x · z = (5, –2) · (–1, 4) = –5 – 8 = –13 c) y · z = (0, 3) · (–1, 4) = 12

8

8

19 Calcula k para que el producto u · v sea igual a 0 en los siguientes casos: 8

8

a) u(6, k), v (–1, 3) 8

8

8

8

8

8

8

b) u

(

)

8 1 , –2 , v (k, 3) 5

8

8

c) u(–3, –2), v (5, k)

a) u · v = (6, k ) · (–1, 3) = 0 8 –6 + 3k = 0 8 k = 2 b) u · v =

( )

1 k , –2 · (k, 3) = 0 8 – 6 = 0 8 k = 30 5 5

c) u · v = (–3, –2) · (5, k ) = 0 8 –15 – 2k = 0 8 k = –

8

8

15 2

8

20 Dados u(2, 3), v (–3, 1) y w(5, 2), calcula: 8

8

8

a) (3 u + 2 v ) w 8

8

8

8

b) u · w – v · w 8

8

8

c) ( u · v ) w 8 8

8

d) u( v · v ) 8

8

☛ a) Halla primero las coordenadas de 3 u + 2 v . 8

8

8

c) Efectúa u · v . Multiplica el resultado (un número) por el vector w . Obtendrás un vector. 8

8

a) 3 u + 2 v = 3 (2, 3) + 2 (–3, 1) = (6, 9) + (–6, 2) = (0, 11) 8

8

8

(3 u + 2 v ) · w = (0, 11) · (5, 2) = 0 · 5 + 11 · 2 = 0 + 22 = 22 8

8

b) u · w = (2, 3) · (5, 2) = 10 + 6 = 16 ° ¢ 8 8 8 v · w = (–3, 1) · (5, 2) = –15 + 2 = –13 £ 8

8

8

8

8 u · w – v · w = 16 – (–13) = 16 + 13 = 29 8

8

c) u · v = (2, 3) · (–3, 1) = –6 + 3 = –3 8

8

8

( u · v ) w = –3 (5, 2) = (–15, – 6) 8

8

d) v · v = (–3, 1) · (–3, 1) = 9 + 1 = 10 8

8

8

u ( v · v ) = (2, 3) · 10 = (20, 30)

Unidad 7. Vectores

11

21 Halla el módulo de cada uno de los siguientes vectores: 8

8

u(3, 2) 8

z

(

√2 √2 2

,

2

)

8

v (–2, 3)

w(–8, –6)

8

8

t (5, 0)

8

r (1, 1)

8

| u | = √32 + 22 = √13 8

|w| = √(–8)2 + (–6)2 = 10 8

| v | = √(–2)2 + 32 — √2 2 8 — + |z| = 2

√( ) ( )

8

| t | = √52 + 02 = 5

| r | = √12 + 12 = √2 8

22 Halla el valor de m para que el módulo del vector u

8

|u| =

√( )

2

3 — 5

= √13 — √2 2 — =1 2

9 16 + m2 = 1 8 + m2 = 1 8 m2 = 25 25

8

(

)

3 , m sea igual a 1. 5 4 m1 = — 5 4 m2 = – — 5 8

23 Calcula x, de modo que el producto escalar8de a (3, –5) y b(x, 2) sea igual 8 a 7. ¿Qué ángulo forman los vectores a y b? (3, –5) · (x, 2) = 7 8 3x – 10 = 7 8 x = 8

8

cos a =

17 3

7 a·b 8 a = 78° 28' 34,6'' 8 = —— —— 8 |a||b| (√ 32 + (–5)2 ) (√ (17/3)2 + 22 )

24 Halla el ángulo que forman los siguientes pares de vectores: 8

8

a) u(3, 2), v (1, –5) 8

8

b) m (4, 6), n (3, –2)

(

8 8 1 c) a (1, 6), b – , –3 2

) 8

8

a) Utilizamos las dos expresiones para calcular u · v: 8

8

8

8

u · v = 3 · 1 + 2 (–5) = –7 8

8

ì

ì

8 8

8 8

u · v = |u| · | v|· cos ( u, v ) = √ 13 · √ 26 · cos ( u, v ) Igualando las dos expresiones, se tiene: ì 8 8

ì 8 8

–7 = √ 13 · √ 26 · cos ( u, v ) 8 cos ( u, v ) = ì

–7 — — = –0,38 √13 · √ 26

8 8

Luego: ( u, v ) = 112° 22' 48"

12

Unidad 7. Vectores

UNIDAD

7

b) Despejando directamente en la definición: 8

8

8

ì

8

8

8

m · n = |m| · | n | · cos ( m, n ) 8 8

ì

8

m·n 4 · 3 + 6 · (–2) 0 = — — =0 8 cos ( m, n ) = 8 8 = — — |m||n| √52 · √13 √52 · √13 8

8

ì

8

8

8

8

de donde: ( m, n ) = 90° (basta con ver que m · n = 0) ì

8

8

8 8

c) cos ( a, b ) =

a·b –37/2 –1/2 – 18 –1 √2 = =– 8 = — — — = 8 2 |a||b| 37 √ 2 /2 √37 · √37/2 √2

(

)

ì 8 8

Luego: ( a, b ) = 135° 8

25 Dado el vector u(–5, k) calcula k de modo que: 8

8

a) u sea ortogonal a v (4, –2). 8

b) El módulo de u sea igual a √34 . 8

8

8

8

a) u 2 v ò u · v = 0 8 (–5, k) · (4, –2) = 0 8 –20 – 2k = 0 8 k = –10 8

b) | u | = √ (–5)2 + k 2 = √ 25 + k 2 = √ 34 8 25 + k 2 = 34 8 k 2 = 9 8 k = ±3 Hay, pues, dos soluciones. 8

26 Dado el vector u(6, – 8), determina: 8

a) Los vectores unitarios (módulo 1) de la misma dirección que u. 8

8

b) Los vectores ortogonales a u que tengan el mismo módulo que u. 8

c) Los vectores unitarios y ortogonales a u. ☛ Mira el problema resuelto número 4. 8

a) Calculamos: | u | = √62 + (–8)2 = 10 8

Los vectores de la misma dirección que u y de módulo 1 son: 1 3 4 8 v1 = (6, –8) = , – 10 5 5 8

v2 =

( (

1 3 4 (–6, 8) = – , 10 5 5

) )

8

b) Se obtienen permutando las coordenadas de u y cambiando el signo de una de ellas. 8

v 1 = (8, 6)

8

v 2 = (–8, –6)

También se pueden hallar expresando analíticamente las dos condiciones y resolviendo el sistema que obtenemos:

Unidad 7. Vectores

13

8

8

v 2 u 8 (x, y) · (6, –8) = 0 8 6x – 8y = 0 8 x = 8

8y 4 = y 6 3

8

| v | = | u | 8 √ x 2 + y 2 = 10 8 x 2 + y 2 = 100

( 43 y) + y 2

2

16 2 25 2 y + y 2 = 100 8 y = 100 8 y 2 = 36 8 y = ±6 9 9

= 100 8

8 4 6 = 8 8 v 1 (8, 6) 3

• Si y1 = 6 8 x1 =

8

• Si y2 = – 6 8 x2 = – 8 8 v 2 (– 8, – 6) c) Teniendo en cuenta a) y b), haremos:

( ) ( )

8

1 4 3 (8, 6) = , 10 5 5

8

1 4 3 (–8, –6) = – , – 10 5 5

v1 = v2 =

O bien, resolviendo el sistema:

8

8

u 2 v 8 6x – 8y = 0 8 x =

8

( 4y3 ) + y 2

2

=1 8

8y 4y = 6 3

3 4 3 4 8 x1 = · = 5 3 5 5

• Si y2 =

–3 4 –3 –4 8 x2 = · = 5 3 5 5

8

( 45 , 35 ),

8

v2

8

16 2 25 2 25 3 y + y2 = 1 8 y = 1 8 y2 = 8 y=± 9 9 9 5

• Si y1 =

Así, v 1 =

° § ¢ § £

8

|v| = 1 8 √x 2 + y 2 = 1 8 x 2 + y 2 = 1

( ) ( –45 , –35 )

Página 184 PARA RESOLVER 8

8

27 Halla las coordenadas de un vector v(x, y), ortogonal a u(3, 4) y que mida 8 el doble que u. ° § ¢ 8 8 2 2 | v | = 2| u | 8 √ x 2 + y 2 = 2 √ 9 + 16 = 2 √ 25 = 10 8 x + y = 100 § £ Resolvemos el sistema: 8

8

8

8

u 2 v 8 u · v = 0 8 3x + 4y = 0

Despejamos x en la primera ecuación y sustituimos en la segunda:

14

Unidad 7. Vectores

UNIDAD

x=

–4 y 8 3

( –43 y) + y

Si y1 = 6 8 x1 =

2

= 100 8

2

7

16 2 25 2 y + y 2 = 100 8 y = 100 8 y = ±6 9 9

8 –4 · 6 = – 8 8 v 1 (–8, 6) 3

8 v1 8

u

8 –4 Si y2 = – 6 8 x2 = · (–6) = 8 8 v 2 (8, – 6) 3

El problema tiene dos posibles soluciones, tales que: 8

8

v1 = –v2

8

8 v2

8

8

8

8

8

8

28 Dados a(2, 1) y b(6, 2), halla un vector v tal que v · a = 1 y v 2 b. (x, y) · (2, 1) = 1 8 2x + 2y = 1 ° ¢ Resolvemos el sistema: (x, y) · (6, 2) = 0 8 6x + 2y = 0 £ Multiplicamos los dos miembros de la primera ecuación por (–1) y sumamos miembro a miembro: –2x – 2y = –1 6x + 2y = 0 = –1 8 x =

4x

–1 4

Sustituimos en una ecuación, por ejemplo en la segunda, y despejamos la otra incógnita: –1 6 3 3 6x + 2y = 0 8 6 · + 2y = 0 8 2y = = 8 y= 4 4 2 4

( )

8

Así, nuestro vector será: v

8

( –14 , 34 )

8

8

8

29 Siendo u(5, –b) y v(a, 2), halla a y b, sabiendo que u y v son ortogo8 nales y que |v| = √13 . 8

8

8

8

Si u 2 v , entonces u · v = 0 8 (5, –b) · (a, 2) = 0 8 5a – 2b = 0 8

Si | v | = √ 13 , entonces √ a 2 + 22 = √ 13 8 a 2 + 4 = 13 Resolvemos el sistema: a 2 + 4 = 13 8 a = ±3 Entonces: Si a = 3 8 b =

5a 15 = 2 2

Si a = –3 8 b =

Unidad 7. Vectores

5a –15 = 2 2

15

8

(

)

–15 8 , v (3, 2) 2

Luego hay dos posibles soluciones: u 5, 8

(

O bien: u 5,

)

15 8 , v (–3, 2) 2

8

8

8

8

8

8

8

8

30 Dados los vectores a = 2 u –8v y b = –3 u + k v, siendo u = (2, 3) y v = (–3, 0), 8 8 8 halla k de modo que ( a + b) sea ortogonal a ( a – b). 8

8

8

8

☛ Escribe las coordenadas de (a + b ) y (a – b). 8

8

8

8

8

8

8

8

Si ( a + b ) 2 ( a – b ), entonces ( a + b ) · ( a – b ) = 0. Obtendrás una ecuación cuya incógnita es k. 8

8

8

a = 2 (2, 3) – (–3, 0) = (7, 6) ° ° a + b = (1 – 3k, –3) 8 ¢ 8 ¢8 8 b = –3 (2, 3) + k (–3, 0) = (– 6 – 3k, – 9) £ £ a – b = (13 + 3k, 15) Ahora, como el producto escalar de ambos vectores debe ser 0, por ser ortogonales: (1 – 3k, –3) · (13 + 3k, 15) = 0 8 (1 – 3k) (13 + 3k) + (–3) · 15 = 0 13 + 3k – 39k – 9k 2 – 45 = 0 8 9k 2 + 36k + 32 = 0 k= =

–36 ± √ 1 296 – 1 152 –36 ± √ 144 = = 18 18 –36 ± 12 = 18

–24/18 = –4/3 = k1 –48/18 = – 8/3 = k2

8

8

8

8

8

8

31 Halla el valor que debe tener k para que los8 vectores x = k a + b e y = k a – b 8 sean perpendiculares, siendo a(3/2, 4) y b(5, 0).

( ) ( )

( (

) )

° § § § 3 3k 8 ¢ Entonces: y = k , 4 – (5, 0) = – 5, 4k § 2 2 § 8 8 8 8 § Como queremos x 2 y ò x · y = 0 £ 8

x=k

(

)(

)

(

)(

)

3k 3k 3k 3k + 5, 4k · – 5, 4k = 0 8 +5 – 5 + (4k )(4k ) = 0 8 2 2 2 2

8

16

3 3k , 4 + (5, 0) = + 5, 4k 2 2

10 9k 2 73 2 – 25 + 16k 2 = 0 8 k = 25 8 k = ± (dos soluciones) 4 4 √73

Unidad 7. Vectores

UNIDAD 8

8

7

8

32 Dados los vectores u(k, –6) y v(3, h), calcula k y h de modo que |u| = 10 8 8 y u 2 v. 8

| u | = √k 2 + (–6)2 = 10 8 k 2 + 36 = 100 8 k 2 = 64 8 8 k = ±8 (dos soluciones) 8

8

8

• Si k = 8 8 u (8, –6); u 2 v 8 (8, –6) · (3, h ) = 0 8 24 – 6h = 0 8 h = 4 8

8

8

• Si k = –8 8 u (–8, –6); u 2 v 8 (–8, –6) · (3, h ) = 0 8 –24 – 6h = 0 8 8 h = –4 8

8

8

8

33 Calcula las coordenadas de un vector u tal que |u| = 1 y u · v = 1 siendo 8 v(2, 1). 8

8

u (a, b ) 8 | u | = 1 8 √a2 + b 2 = 1

° Resolvemos el sistema: 8 u · v = 1 8 (a, b ) · (2, 1) = 1 8 2a + b = 1 ¢ £ b = 1 – 2a 8 a2 + (1 – 2a)2 = 1 8 a2 + 1 + 4a2 – 4a = 1 8 5a2 – 4a = 0 8

a=0 8 b=1 4 3 a= 8 b=– 5 5 8

8

Soluciones : u 1(0, 1) y u 2 8

(

4 3 ,– 5 5

8

)

8

34 Expresa los vectores a, b y c como 8 8 combinación lineal de x e y.

8

b 8 8

a

y

8

x

8

c

8

a=–

18 8 x + 2y 2

8

b=

8

8

18 8 x + 2y 2

8

c=

18 8 x–y 2

8

8

35 De los vectores a y b sabemos que |a| = 3 y |b| = 5 y que forman un án8 8 gulo de 120°. Calcula |a – b|. ☛ Mira el problema resuelto número 8. 8

8

8

8

8

8

2 2 Como: v · v = |v| |v| cos 0° = |v| · 1 = |v|

entonces podemos decir que: 8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

|a – b|2 = (a – b) · (a – b) = a · a – 2a · b + b · b = 8

8

8

ì 8 8

8

2 2 = |a| – 2 |a| |b| cos ( a, b ) + |b| =

( 12 ) + 25 = 49

= 32 – 2 · 3 · 5 · cos 120° + 52 = 9 – 30 · – 8

8

Luego: |a – b| = 7 Unidad 7. Vectores

17

8

8

8

8

8

8

8

8

36 Si |u|= 3 y (u + v ) · (u – v ) = –11, halla |v|. 8

8

8

8

8

8

☛ ( u + v ) · ( u – v ) = u · u – v · v = –11. 8

8

8

8

Como u · u = |u|2 = 9, calcula |v|. 8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

2 2 (u + v) · (u – v) = u · u – v · v = |u| – |v| = –11 8

Como |u| = 3, se tiene que: 8

8

8

2 2 32 – |v| = –11 8 |v| = 20 8 |v| = √ 20

8

8

8

8

8

8

8

8

37 Sabiendo que |u| = 3, |v| = 5 y u 2 v, halla |u + v| y |u – v|. 8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

|u + v|2 = (u + v) · (u + v) = u · u + 2u · v + v · v = (*)

8

8

8

8

2 2 = |u| + |v| = 32 + 52 = 34 8 |u + v| = √ 34

(*)

8

8

8

8

u2v 8 u·v=0

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

|u – v|2 = (u – v ) · (u – v) = u · u – 2u · v + v · v = 8

8

8

8

2 2 = |u| + |v| = 32 + 52 = 34 8 |u – v| = √ 34

8 8

8

8

8

8

38 Sea B( x, y) una base ortonormal. Calcula |x + y| y |x – y|. ☛ Mira el problema resuelto número 7. 8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

|x + y|2 = (x + y) · (x + y) = x · x + 2x · y + y · y = |x| + 0 + |y| = 2 8 |x + y| = √2 |x – y|2 = (x – y) · (x – y) = x · x – 2x · y + y · y = |x| – 0 + |y| = 2 8 |x – y| = √2

8

8

8

8

8

8

39 Si |u| = 4, |v| = 3 y |u + v| = 5, ¿qué ángulo forman u y v ? Razonando como en el problema resuelto número 7, llegamos a: 8

8

8

8

8

ì 8 8

8

|u + v|2 = |u|2 + 2 |u| |v| cos ( u, v ) + |v|2 Sustituyendo los valores conocidos: ì 8 8

52 = 42 + 2 · 4 · 3 · cos ( u, v ) + 32 ì 8 8

25 = 16 + 24 cos ( u, v ) + 9 ì 8 8

cos ( u, v ) =

18

ì 25 – 25 8 8 = 0 8 ( u, v ) = 90° 24

Unidad 7. Vectores

UNIDAD

7

8

8

40 Calcula x para que los vectores a(7, 1) y b(1, x) formen un ángulo de 45°. 8

8

8

8

a · b = 7 + x = |a| | b| cos 45° 8 8 7 + x = √ 50 · √ 1 + x 2 ·

√2 8 2

14 + 2x = √1 + x 2 8 10

8 14 + 2x = √ 100 (1 + x 2) 8

2 7+x = √ 1 + x 2 8 49 + x + 14x = 1 + x 2 8 5 25

8

8 49 + x 2 + 14x = 25 + 25x 2 8 24x 2 – 14x – 24 = 0 8 8 12x 2 – 7x – 12 = 0 8 x =

7 ± √ 49 + 576 24

x1 = 4/3 x2 = –3/4

8

8

41 Calcula x para que a(3, x) y b(5, 2) formen un ángulo de 60°. 8

8

8

8

a · b = |a| | b| cos 60° 15 + 2x = √ 9 + x 2 · √ 29 ·

1 8 30 + 4x = √ 29 (9 + x 2) 8 2

8 900 + 16x 2 + 240x = 29 (9 + x 2) 8 13x 2 + 240x – 639 = 0 x= =

–240 ± √ 57 600 + 33 228 –240 ± √ 90 828 = = 26 26 x1 = –2,36 x2 = 20,82

–240 ± 301,4 26

8

42 Halla las coordenadas de cierto vector x, sabiendo que forma un ángulo de 8 60° con a(2, 4) y que los módulos de ambos son iguales. — 8 8 |a| = √20 = |x| ° 8 8 8 8 8 ¢ 8 a · x = |a| |x| cos 60° 8 Sea x(m, n ) £ — — 1 ° § 2m + 4n = √20 · √20 · — 8 2m + 4n = 10 2 8 ¢ — § —— 2 + n 2 = √20 8 m 2 + n 2 = 20 m √ £

Resolvemos el sistema: m=

10 – 4n = 5 – 2n 2

Sustituyendo en la segunda ecuación: (5 – 2n )2 + n 2 = 20 8 25 + 4n 2 – 20n + n 2 = 20 8 n 2 – 4n + 1 = 0 n=

4 ± √ 16 – 4 4 ± 2√3 = 2 2

n1 = 0,27 n2 = 3,73 8

• Si n1 = 0,27 8 m1 = 5 – 2 · 0,27 = 4,46 8 x1 = (4,46; 0,27) 8

• Si n2 = 3,73 8 m2 = 5 – 2 · 3,73 = –2,46 8 x2 = (–2,46; 3,73) Unidad 7. Vectores

19

8

8

43 Determina un vector a que forme con b(–1, –2) un ángulo de 30° y tal que 8

8

|a| = √3|b|. 8 ° –x – 2y = |a8||b | cos 30° 8 8 Sea a (x, y) 8 §¢ § √x 2 + y 2 = √3 · √5 £

( )

° √3 § –x – 2y = √ 3 · √ 5 · √ 5 · 2 8 ¢ § 2 2 £ x + y = 15

(

)

° 15 § –x – 2y = 2 8 ¢ § 2 2 £ x + y = 15

Resolvemos el sistema: x = –2y –

15 2

Sustituyendo en la segunda ecuación:

(4y

2

+

)

225 165 + 30y + y 2 = 15 8 5y 2 + 30y + =0 4 4

20y 2 + 120y + 165 = 0 8 4y 2 + 24y + 33 = 0 –24 ± √ 576 – 528 –24 ± 4 √ 3 √3 = = –3 ± 8 8 2

y=

8

Así: a

(

√3 –3 – √ 3 , –3 + 2 2

)

8

o a=

8

(

√3 –3 + √ 3 , –3 – 2 2

)

8

8

8

44 Dados los vectores u(1, 3) y v(6, 4), halla la proyección de v sobre u. 8

8

8

8

☛ Sabes que u · v = |u| · proyu8 ( v). 8

8

8

8

8

u · v = |u| · (proy. de v sobre u) 8

8

u·v 6 + 12 18 18 √ 10 9 √ 10 (proy. de v sobre u) = 8 = = = = 10 5 |u| √ 10 √ 10 8

8

8

8

8

8

45 Dados8los vectores a(5, 2) y b(4, –3), calcula la proyección de a sobre b y 8 la de b sobre a. 8

8

8 8 8 a · b = |a| · (proy. de b sobre a ) °§ ¢ 8 8 8 8 8 a · b = |b| · (proy. de a sobre b) §£ 8

8

proy. de b sobre a =

8

8

8

8

a·b 20 – 6 14 14 √ 29 = = = 8 29 |a| √ 29 √ 29

a·b 20 – 6 14 = proy. de a sobre b = 8 = 5 |b| √ 25 8

20

8

Unidad 7. Vectores

UNIDAD 8 8

8

8

8

7

8

46 De una base B = {u, v } se sabe que |u| = 2, |v| = 1 y u · v = –1. En esa base 8 8 8 8 las coordenadas de dos vectores son x(1, 2) e y(–1, 1). Calcula x · y. ☛ Mira el problema resuelto número 8. 8

8

8

8

8

x = 1u + 2v = u + 2v 8

8

8

8

8

y = –1u + 1v = –u + v 8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

x · y = (u + 2v) · (–u + v) = –u · u + u · v – 2u · v + 2v · v = 8

8

8

8

= –|u| – u · v + 2|v| = –2 – (–1) + 2 · 1 = 1 8

8

8

47 Dados a(1, 2) y b(5, 5), expresa el vector b como suma de dos vectores: 8 8 uno de la misma dirección que a y otro ortogonal a a. ☛ Mira el problema resuelto número 6. 8

8

8

b = x + y, donde: 8

8

8

8

• x tiene la misma dirección de a 8 x = k a = k (1, 2) = (k, 2k ) 8

8

8

• y 2 a 8 y = h (–2, 1) = (–2h, h ) Entonces: 8

8

(5, 5) = x + y = (k, 2k ) + (–2h, h ) = (k – 2h, 2k + h ) 5 = k – 2h ° k = 3 ¢ 5 = 2k + h £ h = –1 8

8

Los vectores pedidos son x(3, 6) e y(2, –1). 8

8

8

8

8

8

8

8

48 Se sabe que c = a + 2 b y d = 5 a – 4 b son perpendiculares y que a y b 8 8 son unitarios. ¿Cuál es el ángulo que forman a y b? 8

8

8

8

8

8

☛ Si c · d = 0 8 ( a + 2 b ) · (5 a – 4 b ) = 0. 8

8

8

8

8

8

8

8

Si c 2 d 8 c · d = 0 8 (a + 2 b) · (5 a – 4b) = 0 8

8

8

8

8

8

8

8

5a · a – 4a · b + 10b · a – 8b · b = 0 8

8

8

8

Como a y b son unitarios 8 |a| = 1 = |b| 8

8

8

8

8

8

2 2 5 |a| + 6a · b – 8 |b| = 5 + 6a · b – 8 = 0 8

8

a·b=

ì

ì

ì

8 8 8 8 8 8 8 8 –3 –1 –1 = 8 |a| |b| cos ( a, b ) = cos ( a, b ) = 8 ( a, b ) = 120° 6 2 2

8

8

8

8

8

8

8

49 Demuestra que el vector ( b · c ) a – ( a · c ) b es perpendicular al vector c. 8

8

8

8

8

8

8

☛ Debes probar que [( b · c ) a – ( a · c ) b ] · c = 0. Hay que probar que el producto escalar de ambos vectores es igual a 0.

Unidad 7. Vectores

21

• Veamos primero cuáles son las coordenadas del primer vector: 8

8 8

8 8

8

(b · c) a – (a · c) b = (b1c1 + b2c2) (a1, a2) – (a1c1 + a2c2) (b1, b2) =

(

) (

)

= (b1c1 + b2c2) a1, (b1c1 + b2c2) a2 – (a1c1 + a2c2) b1, (a1c1 + a2c2) b2 = = (a1b1c1 + a1b2c2, a2b1c1 + a2b2c2) – (a1b1c1 + a2b1c2, a1b2c1 + a2b2c2) = = (a1b1c1 + a1b2c2 – a1b1c1 – a2b1c2, a2b1c1 + a2b2c2 – a1b2c1 – a2b2c2) = = (a1b2c2 – a2b1c2, a2b1c1 – a1b2c1) • Calculamos ahora:

[(8b · c) a – (a · c ) 8b] · c = 8 8

8

8

8

= (a1b2c2 – a2b1c2, a2b1c1 – a1b2c1) · (c1, c2) = = (a1b2c2 – a2b1c2) c1 + (a2b1c1 – a1b2c1) c2 = = a1b2c2c1 – a2b1c2c1 + a2b1c1c2 – a1b2c1c2 = 0

Página 185 CUESTIONES TEÓRICAS 50 Indica si el resultado de las siguientes operaciones es un número o un vector: 8

8

8

b) ( a · b) c 8

8

8

8

a) 2 a · b 8

8

8

8

8

c) (3 a – 2 b) · c

d) ( a + b) · ( a – b)

a) Número

b) Vector

c) Número

d) Número

8

8

51 Si B ( a, b) es una base de los vectores del plano, señala cuáles de los siguientes pares de vectores pueden ser otra base: 8

8

8

a) ( 3 a, –2 b) 8

8

8

8

8

8

b) ( –a – b, a + b) 8

8

8

c) ( a – b, a + b)

8

8

d) ( a – b, b – a ) 8

8

8

a) Sí, pues no tienen la misma dirección, ya que 3a tiene la dirección de a y –2 b 8 8 8 tiene la dirección de b (que, por ser B (a, b) base, no es la misma). 8

8

8

8

b) No, pues –a – b = –1 (a + b), luego los dos vectores tienen la misma dirección (y sentidos opuestos). c) Sí, pues tienen distinta dirección. 8

a

8

8

8

8

a+b

a–b

8

b 8

8

8

8

d) No, pues tienen la misma dirección al ser a – b = –1 ( b – a).

22

Unidad 7. Vectores

UNIDAD

7

8

8

52 Sean a y b dos vectores no nulos. Indica qué ángulo forman en los siguientes casos: 8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

a) a · b = |a| |b| b) a · b = 0 8

8

c) a · b = –|a| |b| 8

8

d) a · b = 0,5 |a| |b| ì 8

ì 8

8

8

a) cos ( a, b ) = 1 8 ( a, b ) = 0° ì 8

8

8

8

b) a 2 b 8 ( a, b ) = 90° ì 8

ì 8

8

8

c) cos ( a, b ) = –1 8 ( a, b ) = 180° ì 8

ì 8

8

8

d) cos ( a, b ) = 0,5 8 ( a, b ) = 60°

PARA PROFUNDIZAR 8

8

53 Dados los vectores a(2, 6) y b(5, 1), calcula: 8

a) Las coordenadas de un vector unitario de la misma dirección que b. 8

b) Un vector de la misma dirección que b y cuyo módulo sea igual a la pro8 8 8 8 yección de a sobre b. (Vector proyección de a sobre b). 8

8

a) Habrá dos soluciones (v y –v) 8

8

• Si v es vector unitario 8 |v| = 1 8

8

8

8

• Si v es de la misma dirección que b 8 v = k b = (k 5, k ) 1 √ 26 =± √ 25k 2 + k 2 = 1 8 k = ± 26 √ 26 Luego las soluciones son: 8

v=

(

5 √ 26 √ 26 , 26 26 8

)

8

y –v =

(

–5 √ 26 √ 26 ,– 26 26

)

8

a·b 10 + 6 16 16 √ 26 8 √ 26 b) proy. de a sobre b = 8 = = = = 26 13 |b| √ 26 √ 26 8

8 8 √ 26 Luego, |v| = 13 8

8

y v = k b = (5k, k ) 8

Así: v

Unidad 7. Vectores

° § § ¢ § § £

8

8 √ 26k 2 =

8 √ 26 8 8 k=± 13 13

–8 , ( 4013 , 138 ), –v ( –40 13 13 ) 8

23

8

8

54 Sean a y b los vectores que definen los lados de un rombo, partiendo de uno de sus vértices (cada vector determina un par de lados paralelos): 8

8

a) Expresa las diagonales del rombo en función de a y b. b) Demuestra vectorialmente que las diagonales del rombo son perpendiculares. B

8 8 a) AC = 8 a+ b

8

8

8 8 8 8 8 BD = b – a = – a + b A

8 8 b) Hay que probar que AC · BD = 0. Veámoslo:

C 8

8

8 8 8 8 8 8 8 2 8 8 8 8 8 2 AC · BD = ( a + b) · ( b – a) = b · b – a · a = |b| – | a| 8

b

a

a

b D

8

Como |b| = | a| por ser la medida de los lados, se cumple que: 8 8 AC · BD = 0 8

8

8

8

55 8 Busca algunos ejemplos con los que se vea que a · b = a · c no implica que 8 b = c. 8 8

8

c

8

Considera los vectores a, b y c del dibujo de la derecha: 8

8

8

8

8

8

8

8

8

a · b = | a| · proy. de b sobre a 8

a · c = | a| · proy. de c sobre a

8

b 8

8

8

8

a

8

Como ambas proyecciones coinciden: a · b = a · c 8

8

Y, sin embargo: b ? c 8

8

8

8

8

8

8

56 Prueba, que si a 2 b y a 2 c, entonces: a 2 (m b + n c ), m, n é Á. 8

8

8

Hay que probar que a · (m b + n c ) = 0. Veamos: 8

8

(*)

8

8

8

a · (m b + n c ) = m ( a · b) + n ( a · c)

(*)

Propiedades 6 y 7 del producto escalar. 8

8

8

8

8

8

8

8

Como: a 2 b 8 a · b = 0 a2c 8 a· c=0 8

8

8

8

8

° § § § ¢ § § § £

8

8

8

8

8

8 a · (m b + n c ) = m · 0 + n · 0

8

8

57 Prueba que si a 2 b y a 2 ( b + c ) entonces se verifica que a 2 c . 8

8

8

8

Si a 2 b 8 a · b = 0 ° 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 ¢ 8 a ·c = 0 8 a2c Si a 2 ( b + c ) 8 a · ( b + c ) = a · b + a · c = 0 £

24

Unidad 7. Vectores

UNIDAD

7

Página 185 AUTOEVALUACIÓN 8

8

1. Se consideran los vectores u(–2, 6) y v(1, –2). 8

8

Calcula u + 2 v y

18 8 u – 3v gráficamente y utilizando coordenadas. 2

8

2v

8

8

u + 2 v = (– 2, 6) + 2(1, –2) =

8

u

8

= (–2, 6) + (2, – 4) = (0, 2)

8

u + 2v

18 1 8 u – 3v = (–2, 6) – 3(1, – 2) = 2 2

8

–3v 8

= (–1, 3) – (3, –6) = (– 4, 9)

8

(1/2)u – 3v

8

(1/2)u

8

8

2. Sean u y v dos vectores unitarios que forman un ángulo de 60°. Calcula: 8

8

8

8

8

a) u · v

8

8

a) u · v = |u||v| cos 60° = 1 · 1 · 8

8

8

b) (3u ) · (–2 v )

8

8

8

c) proy u8 (u + v )

1 1 = 2 2

8

b) 3 u · (–2 v ) = –6( u · v ) = –3 8 8

8

c) proy 8u ( u + v ) =

8

8

8

8

8

8

u · ( u + v) u· u+u· v 1 3 8 8 8 = = |u|2 + u · v = 1 + = 8 2 2 |u| 1 8

3. Expresa el vector a(–1, –9) como combinación lineal de la base B = { (–2, 3), (–1, 5)}. (– 1, –9) = k (– 2, 3) + s (– 1, 5) = (– 2k – s, 3k + 5s ) –1 = –2k – s ° s = 1 – 2k ¢ –9 = 3k + 5s £ –9 = 3k + 5(1 – 2k ) 8 –9 = –7k + 5 8 k = 2 s = 1 – 4 = –3 Por tanto: (–1, – 9) = 2(–2, 3) – 3(–1, 5) 8

8

8

a = 2u – 3 v

Unidad 7. Vectores

25

8

8

4. Consideramos los vectores u (0, 2) y v (1, √3 ). Calcula: a) Su producto escalar. b) El módulo de ambos vectores. c) El ángulo que forman. 8

8

a) u · v = (0, 2) · (1, √3 ) = 0 · 1 + 2 · √3 = 2√3 8

b) | u | = √02 + 22 = 2 8

|v | =

—

√12 + √3 2

=2

8

ì

8

u·v 2 √3 √3 = = 8 8 2 |u| ·| v| 2 · 2

8 8

c) cos ( u, v ) =

( )

ì

√3

8 8

( u, v ) = arc cos

2

= 30°

8

5. Sea u(–3, k), calcula k de forma que: 8

8

a) u sea ortogonal a v(4, – 6). 8

b) El módulo de u sea igual a 5. a) El producto escalar de dos vectores ortogonales es igual a 0. 8

8

8

8

u2v ï u·v =0

8

8

u · v = (–3, k ) · (4, – 6) = – 12 – 6k = 0 8 k = – 2 8

b) | u | = √9 + k 2 = 5 8 9 + k 2 = 25 8 k = ±4 8

8

6. Determina las coordenadas de un vector a (x, y) que forme con el vector v (–1, 0) un ángulo de 60° y cuyo módulo sea 2. 8

ì 8 8

cos ( a, v ) = cos 60° =

8

a·v 1 –x = 8 8 = 8 x = –1 2 2·1 |a| ·| v|

8

| a | = √x 2 + y 2 = √1 + y 2 = 2 8 1 + y 2 = 4 8 y 2 = 3 8 y = ± √3 —

8

° a (–1, √ 3 ) — Hay dos soluciones para el vector a : ¢ 8 £ a (–1, –√ 3 ) 8

8

8

7. Obtén un vector u(x, y) ortogonal a v(8, 6) y cuyo módulo sea la mitad del 8 de v. 8

8

8

8

u2v ï u·v =0 8

| u | = √x 2 + y 2

26

8

| v | = √64 + 36 = 10

Unidad 7. Vectores

UNIDAD

7

(x, y) · (8, 6) = 8x + 6y = 0 1 8 | v | 8 √x 2 + y 2 = 5 8 x 2 + y 2 = 25 2

8

|u | =

Resolvemos el sistema: 3 –— 8x + 6y = 0 ° x = 4 y ¢ 25 x 2 + y 2 = 25 £ 9 2 — y + y 2 = 25 8 — y 2 = 25 8 y 2 = 16 8 y = ±4 16 16 y = 4 8 x = –3 y = –4 8 x = 3 8

8

8

Hay dos soluciones para u : u (–3, 4); u (3, – 4) 8

8

8

8

8. Calcula la proyección de v sobre u, siendo u(2, 0) y v(–3, –1). 8

8

8

u·v –6 + 0 = = –3 8 2 |u|

8

8

proy 8u v =

9. Sean a y b dos vectores unitarios que forman un ángulo de 120°. 8

8

8

8

Calcula |a + b| y |a – b|. 8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

| a + b |2 = ( a + b ) · ( a + b ) = a · a + 2 a · b + b · b = 8

ì

( )

8

8 8

= | a |2 + 2| a || b | cos ( a, b ) + | b |2 = 1 + 2 · –

1 +1= 2

8

8

= 1 – 1 + 1 = 1 8 | a + b| = 1 8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

| a – b |2 = ( a – b ) · ( a – b ) = a · a – 2 a · b + b · b = 8

ì 8 8

8

( )

= | a |2 – 2| a || b | cos ( a, b ) + | b |2 = 1 – 2 · – 8

1 +1= 2

8

= 1 + 1 + 1 = 3 8 | a – b | = √3

Unidad 7. Vectores

27

GEOMETRÍA ANALÍTICA. PROBLEMAS AFINES Y MÉTRICOS

8 Página 187

REFLEXIONA Y RESUELVE Punto medio de un segmento Toma los puntos P (2, 5), Q (10, 3) y represéntalos en el plano: P (2, 5) Q (10, 3)

■

Localiza gráficamente el punto medio, M, del segmento PQ y da sus coordenadas. ¿Encuentras alguna relación entre las coordenadas de M y las de P y Q? M (6, 4) Q' P (2, 5)

Q" M

M" P"

■

M'

Q (10, 3)

P'

Haz lo mismo con los segmentos de extremos: a) P' (5, 1), Q' (9, 7) b) P'' (0, 1), Q'' (10, 5) a) M' (7, 4) b) M'' (5, 3)

Basándote en los resultados anteriores, intenta dar un criterio para obtener las coordenadas del punto medio de un segmento a partir de las de sus extremos. Observamos que las coordenadas del punto medio de cada segmento son la semisuma de las coordenadas de sus extremos. Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

1

Ecuaciones de la recta ■

Comprueba que las ecuaciones: ° x = 2 + 3t ¢ £y = 4 – t corresponden también a una recta, hallando varios de sus puntos. (Dale a t los valores –2, –1, 0, 1, 2, 3, y representa los puntos correspondientes; comprobarás que todos están sobre la misma recta). Elimina el parámetro procediendo del siguiente modo: — Despeja t en la primera ecuación. — Sustituye su valor en la segunda. — Reordena los términos de la ecuación resultante. Obtendrás, así, la ecuación de esa recta, en la forma habitual. –2

t

–1

(x, y ) (–4, 6) (–1, 5)

0

1

2

3

(2, 4)

(5, 3)

(8, 2)

(11, 1)

Y (–4, 6) (–1, 5) (2, 4) (5, 3) (8, 2) (11, 1) r X

x–2 t=— 3 t=4–y

° § x–2 –x + 14 = 4 – y 8 x – 2 = 12 – 3y 8 y = 8 ¢ 8 3 3 § £ 8 y=

2

–1 14 x+ 3 3

Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

UNIDAD

8

Distancias en el plano s Q (5, 7)

P (2, 3) r

s Q(5, 7) P' Q'' P (2, 3)

r

P'' Q'

■

Halla la distancia de los puntos P y Q a las rectas r y s. d (P, r ) = 1; d (P, s ) = 8; d (Q, r ) = 5; d (Q, s ) = 5

■

Halla la distancia entre los puntos P y Q (ayúdate del teorema de Pitágoras). d (P, Q ) = √32 + 42 = 5, pues P y Q son dos vértices de un triángulo rectángulo de catetos 3 y 4.

■

Halla, también, la distancia entre: a) P' (0, 5), Q' (12, 0) b) P'' (3, 1), Q'' (7, 4)

Basándote en los resultados anteriores, intenta dar un criterio para hallar la distancia entre dos puntos a partir de sus coordenadas. a) d (P', Q' ) = √52 + 122 = √169 = 13 b) d (P", Q" ) = √42 + 32 = √25 = 5 d (A, B ) = √ (b1 – a1)2 + (b2 – a2)2 , donde A (a1, a2) y B (b1, b2). 8

d (A, B ) = |AB |

Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

3

Página 189 8

8

1. Halla las coordenadas de MN y NM, siendo M (7, –5) y N (–2, –11). 8

MN = (–2, –11) – (7, –5) = (–9, –6) 8

NM = (7, –5) – (–2, –11) = (9, 6) 2. Averigua si están alineados los puntos P (7, 11), Q (4, –3) y R (10, 25). 8

PQ = (–3, –14) ° –3 –14 = 8 A, B y C están alineados. ¢ 8 8 6 28 QR = (6, 28) £ 3. Calcula el valor de k para que los puntos de coordenadas A (1, 7)

B (–3, 4)

C (k, 5)

estén alineados. 8

AB = (–4, –3) ° –4 –3 –5 = 8 –4 = –3k – 9 8 3k = –5 8 k = ¢ 8 8 k + 3 1 3 BC = (k + 3, 1) £

Página 190 4. Dados los puntos P (3, 9) y Q (8, –1): a) Halla el punto medio de PQ. b) Halla el simétrico de P respecto de Q. c) Halla el simétrico de Q respecto de P. 8

8

8

8

d) Obtén un punto A de PQ tal que PA /AQ = 2/3. e) Obtén un punto B de PQ tal que PB / PQ = 1/5. a) M

( 3 +2 8 , 9 + 2( –1) ) = ( 112 , 4)

b) 3 + x —––––– = 8 8 x = 13 2 9+y —––––– = –1 8 y = –11 2

° § § ¢ 8 P' (13, –11) § § £

P (3, 9) Q (8, 1) P' (x, y)

c) Llamamos Q' (x', y') al simétrico de Q respecto de P. Así: x' + 8 —––––– = 3 8 x' = –2 2 y' + (–1) —–––––––– = 9 8 y' = 19 2

4

° § § ¢ Q' (–2, 19) § § £

Q' P Q

Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

UNIDAD

8

d) Llamamos A(x, y) al punto que buscamos. Debe cumplirse que: 8

PA =

2 8 2 AQ 8 (x – 3, y – 9) = (8 – x, –1 – y) 3 3

2 x – 3 = — (8 – x) 8 x = 5 3 2 y – 9 = — (–1 – y) 8 y = 5 3

° § § ¢ § § £

A (5, 5)

e) Llamamos B(x, y) al punto que buscamos. 8

PB =

1 8 1 PQ 8 (x – 3, y – 9) = (5, –10) = (1, –2) 5 5

x–3=1 8 x=4 ° ¢ B (4, 7) y – 9 = –2 8 y = 7 £

Página 193 1. Halla las ecuaciones paramétricas, continua, implícita y explícita de la recta que pasa por A y B, siendo: a) A(–1, –1), B (3, 3)

b) A(0, 4), B (6, 0)

c) A(3, 5), B (–1, 5)

d) A(3, 5), B (3, 2) 8

a) A (–1, –1); B (3, 3) 8 AB = (4, 4) ° x = 3 + 4l Paramétricas: ¢ £ y = 3 + 4l Implícita: x – y = 0

Continua:

x–3 y–3 = 4 4

Explícita: y = x

8

b) A (0, 4); B (6, 0) 8 AB = (6, –4) ° x = 6l Paramétricas: ¢ £ y = 4 – 4l

Continua:

Implícita: – 4x – 6y + 24 = 0

Explícita: y =

8

x y–4 = 6 –4 –4 x+4 6

c) A (3, 5); B (–1, 5) 8 AB = (–4, 0) ° x = 3 – 4l Paramétricas: ¢ £y = 5 Implícita: y – 5 = 0

Continua:

x–3 y–5 = –4 0

Explícita: y = 5

8

d) A (3, 5); B (3, 2) 8 AB = (0, –3) °x = 3 Paramétricas: ¢ £ y = 5 – 3l Implícita: x – 3 = 0

Continua:

x–3 y–5 = 0 –3

Explícita: No existe, pues se trata de una recta vertical de ecuación x = 3.

Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

5

2. Obtén las ecuaciones implícita, paramétricas y continua de la recta y = 2x + 3. y = 2x + 3 • Buscamos dos puntos de la recta y su vector dirección: 8 Si x = 0 8 y = 2 · 0 + 3 = 3 8 A (0, 3) ° ¢ 8 AB = (1, 2) Si x = 1 8 y = 2 · 1 + 3 = 5 8 B (1, 5) £

• Implícita: 2x – y + 3 = 0 °x = l • Paramétricas: ¢ £ y = 3 + 2l • Continua:

x–0 y–3 = 1 2

3. a) Encuentra dos puntos, P y Q, pertenecientes a la recta r : 2x – 3y + 6 = 0. 8

b) Comprueba que PQ es perpendicular a (2, –3). c) Escribe las ecuaciones paramétricas de r. d) Escribe su ecuación explícita y comprueba que el vector (1, m) es paralelo 8 a PQ (m es la pendiente de r). a) r : 2x – 3y + 6 = 0 — Si x = 0 8 2 · 0 – 3y + 6 = 0 8 y = 2 8 P (0, 2) — Si x = –3 8 2 · (–3) – 3y + 6 = 0 8 y = 0 8 Q (–3, 0) 8

b) PQ = (–3, –2) 8

8

PQ 2 (2, –3) ï PQ · (2, –3) = 0 (–3, –2) · (2, –3) = (–3) · 2 + (–2) · (–3) = – 6 + 6 = 0 ° x = –3l c) r : ¢ £ y = 2 – 2l d) Despejamos y en la ecuación de r : 2x – 3y + 6 = 0 8 2x + 6 = 3y 8 Explícita: y = m=

2 x+2=y 3

2 x+2 3

( )

2 2 8 (1, m ) = 1, 3 3

( ) ( )

El vector 1,

8 2 es paralelo a PQ si sus coordenadas son proporcionales: 3

(–3, –2) = l 1,

2 3

8 l = –3

Los vectores son proporcionales y, por tanto, paralelos.

6

Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

UNIDAD

8

Página 194 1. Halla la recta del haz de centro P (–3, 5) que pasa por (8, 4). Hemos de hallar la recta que pasa por P (–3, 5) y Q (8, 4). 8

PQ = (11, –1) r:

x+3 y–5 = 11 –1

2. Los haces de rectas cuyos centros son P (4, 0) y Q(– 6, 4) tienen una recta en común. ¿Cuál es? Es la recta que pasa por P (4, 0) y Q (–6, 4). 8

PQ = (–10, 4) r:

x–4 y–0 = –10 4

3. Las rectas r : 3x – 5y – 7 = 0 y s: x + y + 4 = 0 forman parte de un mismo haz. ¿Cuál de las rectas de ese haz tiene pendiente 4? • El centro del haz es el punto de corte de r y s. Lo hallamos: 3x – 5y – 7 = 0 ° ¢ x + y + 4 = 0 £ 8 x = –y – 4 3(–y – 4) – 5y – 7 = 0 8 –8y – 19 = 0 8 y = – x = –y – 4 =

19 8

19 13 –4=– 8 8

(

El centro del haz es el punto P –

)

13 19 ,– . 8 8

• Ecuación de la recta que pasa por P y tiene pendiente igual a 4: y=

(

19 13 +4 x+ 8 8

)

8 32x – 8y + 7 = 0

Página 197 1. Escribe las ecuaciones paramétricas de dos rectas que pasen por P (4, –3) y sean paralela y perpendicular, respectivamente, a r. ° x = 2 – 5t r: ¢ £ y = 4 + 2t ° x = 2 – 5t 8 r: ¢ 8 Vector dirección de r : vr = (–5, 2) y = 4 + 2t £

Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

7

• Recta paralela a r que pasa por P. 8

8

P (4, –3) vs = vr = (–5, 2) ° x = 4 – 5t s: ¢ £ y = –3 + 2t • Recta perpendicular a r que pasa por P. 8

P (4, –3) vl = (2, 5) ° x = 4 + 2t l: ¢ £ y = –3 + 5t 2. La pendiente de r es 3/5. Halla: a) Las coordenadas de un vector paralelo a la recta r. b) La pendiente de una recta perpendicular a la recta r. c) Las coordenadas de un vector perpendicular a la recta r. a) mr = b) –

3 8 8 v = (5, 3) es paralelo a r. 5

1 5 = mr 8 m = – m 3

c) m = –

5 8 8 w = (–3, 5) es perpendicular a r. 3

°x = 5 – t 3. s: ¢ . Halla: £ y = 3t a) Ecuación continua de una recta, r1, perpendicular a s que pase por P1(5, –3). b) Ecuación implícita de r2 paralela a s que pase por P2(0, 4). c) Ecuación explícita de r3 perpendicular a s que pase por P3(–3, 0). °x = 5 – t 8 s: ¢ 8 P (5, 0) é s ; vs = (–1, 3) £ y = 3t 8

a) El vector dirección de r1 es vr = (3, 1). P1 (5, –3) é r1. 1

x–5 y+3 = r1: 3 1 8

b) El vector dirección de r2 es el mismo que el de s : vr = (–1, 3). 2

P2 (0, 4) é r2. r2:

8

x–0 y–4 = 8 3x = –y + 4 8 3x + y – 4 = 0 –1 3 Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

UNIDAD

8

8

c) El vector dirección de r3 es el mismo que el de r1: vr = (3, 1). 3

P3(–3, 0) é r3. r3:

x+3 y–0 1 = 8 y= x+1 3 1 3

4. Determina las ecuaciones implícitas de dos rectas que pasen por P (–3, 4) y sean paralela y perpendicular, respectivamente, a r. r : 5x – 2y + 3 = 0 5 3 x+ 2 2

r : 5x – 2y + 3 = 0 8 5x + 3 = 2y 8 y = La pendiente de r es mr =

5 . 2

• Recta s paralela a r que pasa por P (–3, 4). ms = mr =

5 2

s: y – 4 =

5 (x + 3) 8 s : 5x – 2y + 23 = 0 2

• Recta l perpendicular a r que pasa por P (–3, 4). ml = –

2 l =– 5 mr

l: y – 4 = –

2 (x + 3) 8 l : 2x + 5y – 14 = 0 5

Página 199 1. Averigua la posición relativa de estos pares de rectas: a) r : 3x + 5y – 8 = 0

b) r : 2x + y – 6 = 0

s: 6x + 10y + 4 = 0

s: x – y = 0

° x = 7 + 5t °x = 2 + t c) r : ¢ , s: ¢ y = –2 – 3t £ £ y = 1 – 2t ° x = 2 + 5t d) r : 3x – 5y = 0, s: ¢ £ y = 1 + 3t 8

a) r : 3x + 5y – 8 = 0 8 n r = (3, 5) 8

s : 6x + 10y + 4 = 0 8 n s = (6, 10) 3 5 –8 = ? 8 Las dos rectas son paralelas. 6 10 4

Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

9

8

b) r : 2x + y – 6 = 0 8 n r = (2, 1) 8

s : x – y = 0 8 n s = (1, –1) 2 1 ? 8 Las dos rectas se cortan. 1 –1 ° x = 7 + 5t 8 c) r : ¢ 8 v r = (5, –3) £ y = –2 – 3t °x = 2 + t 8 s: ¢ 8 v s = (1, –2) y = 1 – 2t £ 5 –3 ? 8 Las dos rectas se cortan. 1 –2 8

8

d) r : 3x – 5y = 0 8 n r = (3, –5) 8 v r = (5, 3) ° x = 2 + 5t 8 s: ¢ 8 v s = (5, 3), Ps = (2, 1) y = 1 + 3t £ 8

8

Como v r = v s y Ps è r, las rectas son paralelas.

Página 200 1. Halla el ángulo que forman los siguientes pares de rectas: ° x = 3 – 2t ° x = 1 – 4t a) r1: ¢ , r2: ¢ y = 7 + t £ £ y = 4 + 3t ° x = 3 – 2t , r2: 3x – 5y + 4 = 0 b) r1: ¢ £y = 7 + t c) r1: y = 5x – 1, r2: y = 4x + 3 8

8

a) v r = (–2, 1); v r = (–4, 3) 1

2

11 |(–2, 1) · (–4, 3)| cos a = = — ≈ 0,9838699101 8 a = 10° 18' 17,45'' |(–2, 1)||(– 4, 3)| (√ 5 ) · (5) 8

8

b) v r = (–2, 1); v r = (5, 3) 1

2

7 |(–2, 1) · (5, 3)| cos a = = — — ≈ 0,5368754922 8 a = 57° 31' 43,71'' |(–2, 1)||(5, 3)| (√5 ) · (√ 34) c) mr = 5; mr = 4 1

|

2

|

4–5 1 tg a = = ≈ 0,0476190 8 a = 2° 43' 34,72'' 1+5·4 21

10

Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

UNIDAD

8

Página 201 1. P (– 6, –3), Q (9, 5) r : 3x – 4y + 9 = 0, s: 5x + 15 = 0 Halla la distancia entre los dos puntos. Halla también las distancias de cada uno de los puntos a cada recta. P (–6, –3), Q (9, 5) r : 3x – 4y + 9 = 0 s : 5x + 15 = 0 8

dist (P, Q ) = | PQ | = |(15, 8)| = √152 + 82 = √289 = 17 dist (P, r ) = dist (P, s ) =

|3 · (–6) – 4(–3) + 9|

√32 + (–4)2 |5(–6) + 15|

√52

+

02

=

=

3 5

15 =3 5

dist (Q, r ) =

|3 · 9 – 4 · 5 + 9| 16 = 5 5

dist (Q, s ) =

|5 · 9 + 15| 60 = = 12 5 5

2. a) Halla el área del triángulo de vértices A(–3, 8), B(–3, 2), C (5, 2) con la fórmula de Herón. b) Hállala, también, mediante la fórmula habitual S = b · hb /2, siendo b el lado AC . ¿Hay otra forma más sencilla? a) A (–3, 8), B (–3, 2), C (5, 2) Fórmula de Herón: S = √p (p – a)(p – b )(p – c ) 8

° a = |BC| = |(8, 0)| = 8 § 8 8 + 10 + 6 2 2 = 12 b = |AC| = |(8, –6)| = √ 8 + (–6) = 10 ¢ p = 2 8 § c = |AB| = |(0, –6)| = 6 £ S = √12(12 – 8) (12 – 10) (12 – 6) = √12 · 4 · 2 · 6 = √576 = 24 u2 b) S =

b · hb 2 8

• b = | AC | = 10 (del apartado anterior) • Hallamos la ecuación de la recta que pasa por A (–3, 8) y C (5, 2): Pendiente: m =

–6 3 3 =– 8 y = 2 – (x – 5) 8 r : 3x + 4y – 23 = 0 8 4 4

Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

11

• hb = dist [B, r ] = S=

|3 · (–3) + 4(2) – 23|

√32

+

42

=

24 5

10 · (24/5) = 24 u2 2

Habría sido más sencillo si hubiéramos dibujado el triángulo. Observa: A

8

Es claro que AB = 6 y BC = 8. Como el triángulo es rectángulo: — — AB · BC 6·8 S= = = 24 u2 2 2 B –3

12

C

2 5

Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

UNIDAD

8

Página 206 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR

Coordenadas de puntos 1 Determina en los siguientes casos si los puntos A, B y C están alineados a) A(5, –2), B(3, –2), C (–5, –2) b) A(–1, –2), B(2, 7), C (1, 2) c) A(0, 3), B(2, 2), C (4, 1) 8

a) AB = (3, –2) – (5, –2) = (–2, 0) 8

BC = (–5, –2) – (3, –2) = (–8, 0) 8

8

Las coordenadas de AB y BC son proporcionales, por tanto, A, B y C están alineados. 8

b) AB = (2, 7) – (–1, –2) = (3, 9) 8

BC = (1, 2) – (2, 7) = (–1, –5) 8

8

Las coordenadas de AB y BC no son proporcionales, por tanto, A, B y C no están alineados. 8

c) AB = (2, 2) – (0, 3) = (2, –1) 8

BC = (4, 1) – (2, 2) = (2, –1) 8

8

Las coordenadas de AB y BC coinciden, por tanto, los puntos están alineados. 2 Determina k para que los puntos A (–3, 5), B (2, 1) y C (6, k) estén alineados. 8

8

Debe ocurrir que AB y BC sean proporcionales. 8

AB = (5, –4) ° 5 –4 –11 = 8 5k – 5 = –16 8 k = ¢ 8 8 4 k–1 5 BC = (4, k – 1) £ 3 El punto P (5, –2) es el punto medio del segmento AB, del que conocemos el extremo A (2, 3). Halla B. ☛ Si B = (x, y),

(

)

x+2 y+3 , = (5, –2 ). 2 2

Si B = (x, y) ° 8 Como P es punto medio de AB ¢£

( x +2 2 , y +2 3 ) = (5, –2) 8

° x + 2 = 10 8 x = 8 ° 8 ¢ ¢ 8 B = (8, –7) £ y + 3 = – 4 8 y = –7 £ Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

13

4 Halla el punto simétrico de P (1, –2) respecto del punto H (3, 0). ☛ H es el punto medio entre P y su simétrico. Si P' (x, y) es simétrico de P (1, –2) respecto de H (3, 0) 8 8 H es el punto medio de PP' 8

( x +2 1 , y –2 2 ) = (3, 0) 8

8

°x + 1 = 6 8 x = 5 ° ¢ y – 2 = 0 8 y = 2 ¢ 8 P' (5, 2) £ £

5 Da las coordenadas del punto P que divide al segmento de extremos A(3, 4) 8 8 y B (0, –2) en dos partes tales que BP = 2PA. Sea P (x, y). Sustituimos en la condición que nos imponen: 8

8

BP = 2PA 8 (x – 0, y – (–2)) = 2 (3 – x, 4 – y) 8 ° x = 2 (3 – x) ° x = 6 – 2x ° 3x = 6 8 ¢ 8 ¢ 8 ¢ y + 2 = 2 (4 – y) y + 2 = 8 – 2y £ £ £ 3y = 6

8

°x = 2 8 ¢ 8 P (2, 2) £y = 2 6 Halla las coordenadas del vértice D del paralelogramo ABCD, sabiendo que A(1, 2), B(5, –1) y C(6, 3). D (x, y)

Sea D (x, y). 8

8

Debe cumplirse: AB = DC (5 – 1, –1 – 2) = (6 – x, 3 – y) 8 ° 4=6–x °x = 2 8 ¢ 8 ¢ 8 D (2, 6) £ –3 = 3 – y £y = 6

A (1, 2)

C (6, 3)

B (5, –1)

Ecuaciones de rectas 7 Escribe las ecuaciones vectorial y paramétricas de la recta que pasa por A 8 y tiene una dirección paralela al vector d. 8

a) A(–3, 7), d(4, –1)

8

b) A(–1, 0), d(0, 2)

Obtén 5 puntos en cada caso. a) Ecuación vectorial: (x, y) = (–3, 7) + k (4, –1) ° x = –3 + 4k Ecuaciones paramétricas: ¢ £y= 7– k Dando valores al parámetro k, obtenemos puntos: (1, 6); (5, 5); (9, 4); (13, 3); (17, 2). 14

Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

UNIDAD

8

b) Ecuación vectorial: (x, y) = (–1, 0) + k (0, 2) ° x = –1 + 0 · k Ecuaciones paramétricas: ¢ £ y = 2k Puntos: (–1, 2); (–1, 4); (–1, 6); (–1, 8); (–1, 10). 8 Escribe la ecuación de la recta que pasa por P y Q de todas las formas posibles. a) P (6, –2) y Q (0, 5) b) P (3, 2) y Q (3, 6) c) P (0, 0) y Q (8, 0) Halla, en todos los casos, un vector de dirección unitario. 8

a) PQ = (–6, 7) Ec. vectorial: (x, y) = (6, –2) + t (–6, 7) ° x = 6 – 6t Ec. paramétricas: ¢ £ y = –2 + 7t Ec. continua:

x–6 y+2 = –6 7

Ec. implícita: 7x + 6y – 30 = 0 7 Ec. explícita: y = – x + 5 6 8

b) PQ = (0, 4) Ec. vectorial: (x, y) = (3, 2) + t (0, 4) °x = 3 Ec. paramétricas: ¢ £ y = 2 + 4t Ec. continua:

x–3 y–2 = 0 4

Ec. implícita: x – 3 = 0 8

c) PQ = (8, 0) Ec. vectorial: (x, y) = (0, 0) + t (8, 0) ° x = 8t Ec. paramétricas: ¢ £y = 0 Ec. continua:

x–0 y–0 = 8 0

Ec. implícita y explícita: y = 0

Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

15

9 Halla las ecuaciones paramétricas de cada una de las siguientes rectas: a) 2x – y = 0

b) x – 7 = 0 1 d) y = – x 3 1+x f) =1–y 2

c) 3y – 6 = 0 e)

x–1 y+1 = 3 2

x=t a) Si x = t 8 2t – y = 0 8 y = 2t 8 r : °¢ y £ = 2t x=7 b) °¢ £y = t x=t c) °¢ £ y = 6/3 = 2 1 d) y = – x 3 8

Obtenemos un punto y un vector de esta ecuación, P (0, 0), v (–3, 1), y a partir de ellos, las ecuaciones paramétricas: ° x = –3t ¢y = t £ e)

x–1 y+1 = 3 2 8

8

8

8

Obtenemos un punto, P, y un vector dirección, v : P (1, –1); v (3, 2). Las ecuaciones paramétricas son: ° x = 1 + 3t ¢ y = –1 + 2t £ f)

1+x x+1 y–1 =1–y 8 = 2 2 –1 Obtenemos un punto, P, y un vector dirección, v : P (–1, 1); v (2, –1). Las ecuaciones paramétricas son: ° x = –1 + 2t ¢y = 1 – t £

10 Halla la ecuación continua de cada una de las siguientes rectas: x = 2t – 1 a) r1: °¢ y £ = –3t

x=2 b) r2: °¢ £ y = 3t

c) r3: 3x + y – 1 = 0

d) r4: y + 1 =

x+1 t=— 2 x = 2t – 1 ° a) ¢ y y = –3t £ t=— –3

16

1 (x – 2) 2

° § x+1 y § = ¢ 8 2 –3 § § £ Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

UNIDAD

x–2= x=2 ° y b) y = 3t ¢£ t = — 3

0° § x–2 y = ¢ 8 0 3 § £

c) 3x + y – 1 = 0 8 3x = –y – 1 8 x = d) y + 1 =

8

–y – 1 x y+1 8 = 3 1 –3

1 x–2 y+1 (x – 2) 8 = 2 2 1

11 Determina la ecuación implícita de cada una de las siguientes rectas: a) r1:

x+1 =y–1 –2

x = –t + 1 b) r2: °¢ y £ = 5t – 2

x = 3t – 1 c) r3: °¢ £y = 2

d) r4: y =

–3 2 x+ 2 5

Obtén, en cada caso, un vector normal a la recta. a)

x+1 = y – 1 8 x + 1 = –2y + 2 8 x + 2y – 1 = 0 –2 8

Vector normal: n(1, 2) b)

x–1 y+2 x = –t + 1 ° 8 = 8 5x – 5 = –y – 2 8 5x + y – 3 = 0 ¢ –1 5 y = 5t – 2 £ 8

Vector normal: n(5, 1) c)

x = 3t – 1 ° ¢ 8 y–2=0 y=2 £ 8

Vector normal: n(0, 1) d) y =

–3 2 x+ 8 10y = –15x + 4 8 15x + 10y – 4 = 0 2 5 8

Vector normal: n(15, 10) 12 Escribe las ecuaciones paramétricas e implícitas de los ejes de coordenadas. ☛ Ambos ejes pasan por el origen de coordenadas y sus vectores directores son los vectores de la base. ° O (0, 0) é eje X Eje X : ¢ 8 £ dX = (1, 0)

°x = t 8 y = 0 8 Eje X : ¢ £y = 0

° O (0, 0) é eje Y °x = 0 8 x = 0 Eje Y : ¢ 8 8 Eje Y : ¢ £y = t £ dY = (0, 1)

Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

17

13 Obtén, para cada una de las siguientes rectas, un vector de dirección, un vector normal y su pendiente: x+3 1–y x = 2t – 1 b) r2: = a) r1: °¢ 2 4 £ y = 5t c) r3: x + 3 = 0

d) r4: y = 8

a) Vector dirección: v = (2, 5)

8

b) Vector dirección: v = (2, 4)

8

8

Vector normal: n = (–5, 2) 5 Pendiente: m = 2 8

c) Vector dirección: v = (0, 1)

1 2 x+ 3 3

Vector normal: n = (–4, 2) 4 Pendiente: m = = 2 2 8

d) Vector dirección: v = (3, 1)

8

8

Vector normal: n = (1, 0)

Vector normal: n = (–1, 3) 1 Pendiente: m = 3

Pendiente: No tiene, es una recta vertical.

14 Comprueba si el punto P (13, –18) pertenece a alguna de las siguientes rectas: r1: 2x – y + 5 = 0

x = 12 + t r2: °¢ y £ = –5 + 13t

r3: 3y + 54 = 0

x = 13 r4: °¢ £ y = 10 – t

r1: 2x – y + 5 = 0 8 2 · 13 + 18 + 5 ? 0

P è r1

x = 12 + t r2: °¢ y £ = –5 + 13t

P è r2

8 13 = 12 + t 8 t = 1 –18 = –5 + 13t 8 t = –1

r3: 3y + 54 = 0 8 3(–18) + 54 = 0

P é r3

x = 13 r4: °¢ £ y = 10 – t

P é r4

8

13 = 13 –18 = 10 – t 8 t = 28

15 Halla, en cada caso, el valor de k para que la recta x + ky – 7 = 0 contenga al punto dado: a) (5, –2) b) (7, 3) c) (–3, 4) a) (5, –2) 8 5 + k (–2) – 7 = 0 8 –2k = 2 8 k = –1 b) (7, 3) 8 7 + k · 3 – 7 = 0 8 3k = 0 8 k = 0 c) (–3, 4) 8 –3 + 4k – 7 = 0 8 4k = 10 8 k =

18

5 2

Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

UNIDAD

8

Página 207 x = 1 – 5t 16 Dada la recta r : °¢ , escribe las ecuaciones (en forma explícita) y £ =2+t de las siguientes rectas: a) Paralela a r que pasa por A (– 1, –3). b) Perpendicular a r que pasa por B (– 2, 5). x = 1 – 5t r : °¢ £y = 2 + t

8

8 vr = (–5, 1)

8

a) vs = (–5, 1), A (–1, –3) 8 s : y = –

1 1 16 (x + 1) – 3 8 s : y = – x – 5 5 5

8

b) vs = (1, 5), B (–2, 5) 8 s : y = 5(x + 2) + 5 8 s : y = 5x + 15 17 Halla, en cada caso, la ecuación de la recta que pasa por el punto P (1, –3) y es: a) Paralela a la recta 2x – 3y + 5 = 0. En forma paramétrica. b) Perpendicular a la recta x + y – 3 = 0. En forma continua. c) Paralela a la recta 2y – 3 = 0. d) Perpendicular a la recta x + 5 = 0. °x = 3 + t 8 a) vr = (3, 2), P (1, –3) 8 r : ¢ £ y = 2 – 3t 8

b) vr = (1, 1), P (1, –3) 8 r :

x–1 y+3 = 1 1

° x = 1 + 2t 8 c) vr = (2, 0), P (1, –3) 8 r : ¢ 8 r : y = –3 £ y = –3 °x = 1 + t 8 d) vr = (1, 0), P (1, –3) 8 r : ¢ 8 r : y = –3 £ y = –3 18 Halla la ecuación de la paralela a 2x – 3y = 0 cuya ordenada en el origen es –2. ☛ La recta pasa por el punto (0, –2 ). r : 2x – 3y = 0 s // r 8 la pendiente de s ha de ser igual a la de r ° ¢ P (0, –2) é s £ ° m = mr = 2/3 8 ¢ s £ P (0, –2) é s

8

y=

2 x–2 3

ECUACIÓN EXPLÍCITA

Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

8

2x – 3y – 6 = 0 ECUACIÓN IMPLÍCITA

19

19 Dada la recta 4x + 3y – 6 = 0, escribe la ecuación de la recta perpendicular a ella en el punto de corte con el eje de ordenadas. ☛ El eje de ordenadas es el vertical: x = 0. • Veamos primero cuál es el punto de corte, P (x, y), de la recta con el eje de ordenadas. ° 4x + 3y – 6 = 0 r: ¢ £ Eje Y : x = 0

8 4 – 0 + 3y – 6 = 0 8 3y = 6 8 y = 2

Luego P (0, 2) ér y también debe ser P (0, 2) és, donde s 2 r. • Como s 2 r 8 sus pendientes deben cumplir: ms · mr = –1 8 ms = • Como P (0, 2) és y ms =

–1 3 –1 = = –4/3 4 mr

3 3 8 y = x + 2 8 3x – 4y + 8 = 0 4 4

20 Escribe las ecuaciones paramétricas de las siguientes rectas: 8

a) Su vector de posición es a (–3, 1) y su vector de dirección es perpendi8 cular a v (0, –2). x=1–t b) Pasa por A (5, –2) y es paralela a: °¢ y £ = 2t c) Pasa por A (1, 3) y es perpendicular a la recta de ecuación 2x – 3y + 6 = 0. d) Es perpendicular al segmento PQ en su punto medio, siendo P (0, 4) y Q (–6, 0). a) La ecuación vectorial será: 8 8 8 x = – 3 + 2t OX = a + t v 8 (x, y) = (–3, 1) + t (2, 0) 8 °¢ y £ =1 b) El vector dirección de la recta buscada debe ser el mismo (o proporcional) al x=1–t de la recta °¢ (pues debe ser paralela a ella). y £ = 2t 8

Luego: d (–1, 2) x=5–t Como debe pasar por A(5, –2) 8 °¢ £ y = –2 + 2t c) La pendiente de la recta r : 2x – 3y + 6 = 0 es: mr =

2 –3 8 ms = (pues mr · ms = –1 por ser r 2 s) 3 2 8

Un vector dirección puede ser s = (2, –3). Además, A (1, 3) é s. x = 1 + 2t Por tanto, s : °¢ £ y = 3 – 3t 20

Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

UNIDAD

d) El punto medio de PQ es m 8

8

( –62 , 42 ) = (–3, 2)

PQ = (–6, –4) m (–3, 2) é s 8 °¢ 8 8 8 £ d (4, – 6) es un vector dirección de s, pues d 2 PQ x = – 3 + 4t Luego, s : °¢ £ y = 2 – 6t 2 21 De una cierta recta r conocemos su pendiente m = . Halla la recta s en 3 cada caso: a) s es paralela a la recta r y pasa por el origen de coordenadas. b) s es perpendicular a la recta r y contiene al punto (1, 2). a) Al ser paralela, tiene la misma pendiente. Además, pasa por (0, 0): s: y =

2 x 3

b) Al ser perpendicular, su pendiente es – y=

1 –3 = : m 2

–3 –3 7 (x – 1) + 2 8 y = x+ 2 2 2

Haz de rectas 22 Consideramos el haz de rectas de centro (3, –2). a) Escribe la ecuación de este haz de rectas. b) Halla la ecuación de la recta de este haz que pasa por el punto (–1, 5). c) ¿Cuál de las rectas del haz es paralela a 2x + y = 0? d) Halla la recta del haz cuya distancia al origen es igual a 3. a) a (x – 3) + b (y + 2) = 0; o bien y = –2 + m (x – 3) b) Si pasa por (–1, 5), entonces, sustituyendo en y = –2 + m (x – 3), obtenemos: 5 = –2 + m (–1 – 3) 8 7 = – 4m 8 m = – y = –2 –

7 ; es decir: 4

7 (x – 3) 8 4y = –8 – 7x + 21 8 7x + 4y – 13 = 0 4

c) Si es paralela a 2x + y = 0 tendrá pendiente –2. Por tanto, será: y = –2 – 2 (x – 3) 8 y = –2 – 2x + 6 8 2x + y – 4 = 0

Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

21

d) Una recta del haz tiene por ecuación: y = –2 + m (x – 3) 8 y = –2 + mx – 3m 8 mx – y – 3m – 2 = 0 Su distancia al origen ha de ser igual a 3: |–3m – 2| = 3; es decir: √ m2 + 1 |–3m – 2| = 3 √m2 + 1 . Elevamos al cuadrado y operamos: 9m2 + 12m + 4 = 9 (m2 + 1) 9m2 + 12m + 4 = 9m2 + 9 12m = 5 8 m =

5 12

Por tanto, será: 5 15 x–y– – 2 = 0 8 5x – 12y – 39 = 0 12 12 23 Determina el centro del haz de rectas de ecuación: 3kx + 2y – 3k + 4 = 0 Llamamos (x0, y0) al centro del haz. Vamos a escribir la ecuación que nos dan de la forma: a (x – x0) + b (y – y0) = 0 3kx + 2y – 3k + 4 = 0 8 3k (x – x0) + 2 (y – y0) = 0 3kx – 3kx0 + 2y – 2y0 = 0 3kx + 2y – 3kx0 – 2y0 = 0 Han de ser iguales las dos ecuaciones. Por tanto: –3kx0 = –3k 8 x0 = 1 –2y0 = 4 8 y0 = –2 El centro del haz es el punto (1, –2). 24 Las rectas r : y = 3 y s: y = 2x – 1 forman parte del mismo haz de rectas. Halla la ecuación de la recta de dicho haz de pendiente –2. Si r : y = 3 y s : y = 2x – 1 están en el mismo haz de rectas, el centro de dicho haz es el punto de corte de estas rectas: P (2, 3). Buscamos la recta que pasa por P (2, 3) y tiene pendiente m = –2: y = –2(x – 2) + 3 8 y = –2x + 7

22

Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

UNIDAD

8

Posición relativa de dos rectas 25 Halla el punto de corte de las rectas r y s en cada caso: a) r : 2x – y + 5 = 0;

s: x + y + 4 = 0

b) r : x – 2y – 4 = 0;

x=1+t s : °¢ y £ = 2 – 3t

x=2 c) r : °¢ ; £ y = 1 + 3t a)

x = 3 + 2t s : °¢ y £ =t

r : 2x – y + 5 = 0 ° ¢ Resolviendo el sistema: P (–3, –1) s: x + y + 4 = 0 £

x=1+t b) s : °¢ £ y = 2 – 3t

8 x–1=

y–2 8 –3x + 3 = y – 2 8 3x + y – 5 = 0 –3

r : x – 2y – 4 = 0 ° ¢ Resolviendo el sistema: P (2, –1) s : 3x + y – 5 = 0 £ c) Por las ecuaciones de r : x = 2(*) x = 3 + 2t s : °¢ y £ =t

(

(*)

8 x = 3 + 2y Ä8 2 = 3 + 2y 8 y = –

Por tanto, P 2, –

1 2

)

1 . 2

26 Calcula el valor de los parámetros k y t para que las siguientes rectas se corten en el punto A(1, 2): r : kx – ty – 4 = 0 s: 2tx + ky – 2 = 0 A é r 8 k · 1 – t · 2 – 4 = 0 ° k – 2t – 4 = 0 ° Resolviendo el sistema: ¢ ¢ A é s 8 2t · 1 + k · 2 – 2 = 0 £ 2k + 2t – 2 = 0 £ k = 2; t = –1

27 Determina el valor de k para que las rectas r y s sean paralelas. r: s:

x–2 y = 3 –2

x+5 y–1 = –6 k

Para que sean paralelas, sus vectores dirección han de ser proporcionales; es decir: 3 –2 = 8 k=4 –6 k

Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

23

28 Halla el valor de k para que las siguientes rectas sean coincidentes: x = – 6t + k s: °¢ y £ = 4t + 2

r : 2x + 3y + 5 = 0 Expresamos ambas rectas en forma implícita: r : 2x + 3y + 5 = 0 s : 4x + 6y – 12 – 4k = 0

Para que r = s, estas ecuaciones tienen que ser proporcionales, y por tanto: –12 – 4k = 10 8 k =

22 –11 = –4 2

Página 208 29 Estudia la posición relativa de los siguientes pares de rectas: a) r : 5x + y + 7 = 0

b) r : 3x + 5y + 10 = 0

x = 2t + 1 s: °¢ y £ = –10t – 3 x = 3t – 1 c) r : °¢ y £ =t+3

s: –3x + 5y + 10 = 0 x=t s : °¢ y £ = 2t

a) Buscamos un vector dirección de cada recta: 8

8

r : 5x + y + 7 = 0 8 n r = (5, 1) 8 v r = (–1, 5) x = 2t + 1 s : °¢ y £ = –10t – 3

8

8 v s = (2, –10) 8

8

Como los vectores dirección son proporcionales ( v s = –2 v r ), las rectas o son paralelas o son coincidentes. Como P (1, –3) é s y P è r, las rectas son paralelas. b) Buscamos un vector dirección de cada recta: 8

8

r : 3x + 5y + 10 = 0 8 n r = (3, 5) 8 v r = (–5, 3) 8

8

s : –3x + 5y + 10 = 0 8 n s = (–3, 5) 8 v s = (5, 3) Como los vectores dirección no son proporcionales, las rectas son secantes. c) Buscamos un vector dirección de cada recta: 8 x = 3t – 1 r : °¢ 8 v r = (3, 1) £y = t + 3 8 x=t s : °¢ 8 v s = (1, 2) y = 2t £

Como los vectores dirección no son proporcionales, las rectas son secantes.

24

Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

UNIDAD

8

Ángulos 30 Halla el ángulo que forman los siguientes pares de rectas: y = 2x + 5 a) °¢ £ y = –3x + 1

3x – 5y + 7 = 0 b) °¢ £ 10x + 6y – 3 = 0 2x – y = 0 d) °¢ £ 2y + 3 = 0

c)

x = 3 – t ° x = –1 – 3t ° y = 2t ¢£ y = 4 + t ¢£

a)

r : y = 2x + 5 ° ° mr = 2 ¢ 8 sus pendientes son: ¢ m = –3 s : y = –3x + 1 £ £ s tg a =

5 = = 1 8 a = 45° | 1m+ m– mm | = | 12+–2(–3) (–3) | | –5 | r

s

r

s

8

ì b) v = (3, –5) 2 r1 °§ ì 8 8 ¢ 8 a ~ r1 r2 = v , w 8 8 w = (10, 6) 2 r2 §

£

8

8 cos a =

8

|v · w| |30 – 30| = 8 8 = 0 8 a = 90° 8 8 |v||w| |v||w|

c) Los vectores dirección de esas rectas son: 8

8

d1 = (–1, 2) y d2 = (–3, 1) Entonces: cos a =

8

8

8

8

| d1 · d2 | | d1| | d2 |

=

|3 + 2| 5 1 √ 2 8 a = 45° = = — — = 2 √ 5 · √10 5 √2 √2

8

8

8

|a1 · a2| ì d) a1 = (2, –1) 2 r1 °§ ì 8 8 = ¢ 8 a ~ r1 r2 = a1, a2 8 cos a = 8 8 8 a2 = (0, 2) 2 r2 § | a1| | a2| £ =

|0 – 2| 2 1 √ 5 ≈ 0,4472 8 a = 63° 26' 5,82" = = — — = 5 √5 · 2 √5 √5 · √4

31 ¿Qué ángulo forma la recta 3x – 2y + 6 = 0 con el eje de abscisas? ☛ No es necesario que apliques ninguna fórmula. Sabes que la pendiente de r es la tangente del ángulo que forma r con el eje de Y abscisas. Halla el ángulo con la pendiente de r. La pendiente de r es mr =

r

3 . 2

La pendiente de r es, además, tg a: 3 8 a = 56° 18' 35,8" mr = tg a 8 tg a = 2

Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

a

X

25

32 ¿Qué ángulo forma la recta 2x – y + 5 = 0 con el eje de ordenadas? ☛ El ángulo pedido es el complementario del ángulo que la recta forma con el eje de abscisas.

El ángulo pedido, a, es complementario de b 8 tg b =

1 tg a

Por otro lado, tg b = mr = 2: tg a =

1 1 = 8 a = 26° 33' 54,2" tg b 2 Y

r

a X

b

33 Calcula n de modo que la recta 3x + ny – 2 = 0 forme un ángulo de 60° con el OX. tg 60° = √ 3 ° § ¢ Como tg 60° = mr , se tiene que: 3 mr = – § n £

Y r

60°

X

–3 –3 √ 3 3 8 n= = = – √3 √3 = – 3 n √3

34 Calcula m y n en las rectas de ecuaciones: r : mx – 2y + 5 = 0 s : nx + 6y – 8 = 0 sabiendo que r pasa por el punto P (1, 4) y que r y s forman un ángulo de 45°. ☛ Las coordenadas de P deben verificar la ecuación de r. Así calculas m. Expresa tg 45° en función de las pendientes de r y s para obtener n.

☛ O bien mira el problema resuelto número 3. Pér 8 m·1–2·4+5=0 8 m=3 r : 3x – 2y + 5 = 0 8 y =

3 5 3 x+ 8 mr = 2 2 2

n 8 n s : nx + 6y – 8 = 0 8 y = – x + 8 ms = – 6 6 6

26

Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

UNIDAD

tg 45° =

|

ms – mr 1 + msmr

| | =

–(n/6) – (3/2) 1 – (n/6)(3/2)

| | =

–2n – 18 12 – 3n

|

8

=1

Hay dos posibilidades: •

–2n – 18 = 1 8 –2n – 18 = 12 – 3n 8 n = 30 12 – 3n

•

–2n – 18 6 = –1 8 –2n – 18 = –12 + 3n 8 n = – 12 – 3n 5

Distancias y áreas 35 Halla la distancia entre los puntos P y Q en cada caso: a) P (1, 3), Q (5, 7)

b) P (–2, 4), Q (3, –1)

c) P (– 4, –5), Q (0, 7)

8

a) | PQ | = √(5 – 1)2 + (7 – 3)2 = √16 + 16 = 4√2 8

b) | PQ | = √(3 + 2)2 + (–1 – 4)2 = √25 + 25 = 5√2 8

c) | PQ | = √(0 + 4)2 + (7 + 5)2 = √16 + 144 = √160 = 4√10 36 Calcula k de modo que la distancia entre los puntos A (5, k) y B (3, –2) sea igual a 2. 8

A (5, k ), B (3, –2), AB = (–2, –2 – k ) 8

dist (A, B ) = | AB | = √(–2)2 + (–2 – k )2 = 2 8 4 + 4 + 4k + k 2 = 4 8 8 k 2 + 4k + 4 = 0 8 k = –2 37 Halla el valor que debe tener a para que la distancia entre A(a, 2) y B(–3, 5) sea igual a √13 . 8

| AB | = √13 8 √(–3 – a)2 + (5 – 2)2 = √13 8 (–3 – a)2 + 9 = 13 8 8 (–3 – a)2 = 4

–3 – a = 2 8 a = –5 –3 – a = –2 8 a = –1

38 Halla la longitud del segmento que determina la recta x – 2y + 5 = 0 al cortar a los ejes de coordenadas. Hay que calcular la distancia entre los puntos de corte de la recta con los ejes de coordenadas. Calculamos primero dichos puntos: ° x – 2y + 5 = 0 5 •¢ 8 –2y + 5 = 0 8 y = 8 x = 0 2 £

( 52 ) es el punto de corte con el eje Y.

8 A 0,

Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

27

° x – 2y + 5 = 0 •¢ 8 x+5=0 8 x=5 8 £y = 0 8 B (5, 0) es el punto de corte con el eje X. — • Luego AB = dist (A, B ) =

( ) √

√

5 (5 – 0)2 + 0 – — 2

2

=

25 25 + — = 4

√

5 125 = √5 2 4

39 Halla la distancia del punto P (2, –3) a las siguientes rectas: x = 2t a) °¢ £ y = –t

b) y =

9 4

c) 2x + 5 = 0

a) Veamos primero la ecuación implícita de la recta: ° t = x/2 x = – y 8 x + 2y = 0 ¢ t = –y 8 2 £ Entonces: dist (P, r ) = b) y =

|1 · 2 + 2 (–3)| |2 – 6| 4 4 √5 = = = 5 √ 12 + 22 √5 √5

9 9 8 y– =0 4 4

Por tanto: dist (P, r ) = c) dist (P, r ) =

|1(–3) – 9/4| |–3 – 9/4| 21 = = 4 √ 02 + 12 √1

|2 · 2 + 5| 9 = 2 2 √2 + 0

40 Calcula la distancia del origen de coordenadas a las siguientes rectas: a) 3x – 4y + 12 = 0

b) 2y – 9 = 0

c) x = 3

d) 3x – 2y = 0

a) dist (0, r ) =

|3 · 0 – 4 · 0 + 12| 12 = 5 √ 32 + (– 4)2

b) dist (0, r ) =

|2 · 0 – 9| 9 = 2 2 2 √0 + 2

c) dist (0, r ) =

|0 – 3| 3 = =3 2 2 1 √1 + 0

d) dist (0, r ) =

|3 · 0 – 2 · 0| 0 = =0 √ 32 + 22 √ 13

(es decir, la recta 3x – 2y = 0 pasa por el origen).

28

Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

UNIDAD

8

41 Determina c para que la distancia de la recta x – 3y + c = 0 al punto (6, 2) sea de √10 unidades. (Hay dos soluciones). dist (P, r ) =

|1 · 6 – 3 · 2 + c| |6 – 6 + c| |c| = = = √ 10 √1 + 9 √ 10 √ 10

° |c| § = √ 10 8 c1 = 10 § √ 10 Hay dos soluciones: §¢ § |c| = – √ 10 8 c2 = –10 § § √ 10 £

0=0 y+1 3 – x P

Las dos rectas solución serán dos rectas paralelas:

0=0 y–1 3 – x

42 Halla la distancia entre las rectas r : x – 2y + 8 = 0 y r' : –2x + 4y – 7 = 0. ☛ Comprueba que son paralelas; toma un punto cualquiera de r y halla su distancia a r '. Sus pendientes son mr =

1 = mr ' 8 Son paralelas. 2

Entonces, la distancia entre r y r ' será: dist (P, r ' ) donde P é r Sea x = 0. Sustituyendo en r 8 y =

–8 = 4 8 P (0, 4) é r –2

Así: dist (r, r ' ) = dist (P, r ' ) =

|–2 · 0 + 4 · 4 – 7| |16 – 7| 9 9 √5 = = = 2 2 10 √ (–2) + 4 √ 20 2 √5

43 En el triángulo cuyos vértices son O(0, 0), A (4, 2) y B (6, –2), calcula: — a) La longitud del lado OB. b) La distancia de A al lado OB. c) El área del triángulo. 8

a) | OB | = √62 + (–2)2 = 2√10 b) Ecuación de OB: –2 1 1 m= = – ; y = – x 8 x + 3y = 0 6 3 3 Distancia de A a OB:

A(4, 2)

O B(6, –2)

10 |4 + 3 · 2| d= = (es la altura del triángulo). 2 2 √10 √1 + 3 c) Área =

10 1 · 2√10 · = 10 u2 2 √10

Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

29

44 Comprueba que el triángulo de vértices A (–3, 1), B (0, 5) y C (4, 2) es rectángulo y halla su área. Veamos si se cumple el teorema de Pitágoras: 8

|AB| = √(0 + 3)2 + (5 – 1)2 = 5 ° —§ 8 |AC| = √(4 + 3)2 + (2 – 1)2 = √ 50 ¢ 52 + 52 = (√50 8 § |BC| = √42 + (2 – 5)2 = 5 £ Área =

)2

8 Por tanto, el triángulo es rectángulo.

8 8 1 1 · | AB | · | BC | = · 25 = 12,5 u2 2 2

45 Halla el área del triángulo cuyos vértices son P (–1, 2), Q (4, 7), R (7, 0). 8

|PR | = √(7 + 1)2 + (0 – 2)2 = √68 = 2√17 (Base del triángulo) Ecuación de PR :

Q(4, 7)

0–2 1 1 =– 8 y = 0 – (x – 7) 8 7+1 4 4

m=

8 4y = –x + 7 8 x + 4y – 7 = 0 Altura: d (Q, PR ) =

|4 + 4 · 7 – 7|

=

√12 + 42

25

√17

25 1 Área = · 2√17 · = 25 u2 2 √17

P (–1, 2) O

R(7, 0)

Página 209 PARA RESOLVER Y 30°

46 Halla las ecuaciones de las rectas r, s, t y p.

s

t

X r

Y

p s 30°

p

t

30°

a

180° – b b

X

r

30

Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

UNIDAD

8

• p : Pasa por los puntos (–3, –3) y (1, 4). Así, su pendiente es: m=

4 – (–3) 7 = 1 – (–3) 4

Por tanto: 7 (x – 4) 8 7x – 4y + 9 = 0 4

p: y = 1 +

(

• r : Su pendiente es 0 y pasa por el punto 0,

)

–3 . 2

Por tanto: r: y = –

3 2

• s : Su vector dirección es (0, 1) y pasa por (2, 0). Por tanto: x=2 s : °¢ £y = t • t : Pasa por los puntos (1, 0) y (–3, 2). Así, su pendiente es: m=

2–0 2 1 = =– –3 – 1 –4 2

Por tanto: t: y = –

1 (x – 1) 8 x + 2y – 1 = 0 2

47 Dada la recta: x = –1 + 3t r : °¢ £ y = 2 + kt halla un valor para k de modo que r sea paralela a la bisectriz del segundo cuadrante. x = –t • La bisectriz del segundo cuadrante es x = – y 8 °¢ £y = t 8 Su vector dirección es d = (–1, 1).

(en paramétricas).

8

• El vector dirección de r es r = (3, k ). • Como queremos que r // bisectriz del segundo cuadrante, entonces sus vectores dirección deben ser proporcionales: –1 1 = 8 k = –3 3 k

Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

31

48 En el triángulo de vértices A (–2, 3), B (5, 1), C (3, – 4), halla las ecuaciones de: a) La altura que parte de B. b) La mediana que parte de B. c) La mediatriz del lado CA. a) La altura que parte de B, hB, es una recta perpendicular a AC que pasa por el punto B: 8 hB 2 AC (5, –7) 8 el vector dirección de hB es hB (7, 5) ° ¢ 8 B (5, 1) é hB £ ° x–5 §t=— ° x = 5 + 7t 7 § x–5 y–1 8 hB : ¢ 8 ¢ 8 = 8 hB : 5x – 7y – 18 = 0 y – 1 7 5 §t=— £ y = 1 + 5t § 5 £ b) mB (mediana que parte de B ) pasa por B y por el punto medio, m, de AC : m

( –2 2+ 3 , 3 –2 4 ) = ( 12 , – 12 ) é m

B

B (5, 1) é mB 8

(

8 mB 5 –

) (

1 1 9 3 ,1+ = , 2 2 2 2

° § 8 ¢ § £

) es vector dirección de m . B

Luego: ° ° 9 2x – 10 ° 2x = 10 + 9t § x = 5 + —t §t=— § 2 9 § § 8 ¢ 8 ¢ 8 mB : ¢ 2y · 2 3 2y –2 §t = — § y = 1 + —t §t=— 3 £ § § 2 3 £ £ 8

2y – 2 2x – 10 = 8 mB : 6x – 18y – 12 = 0 3 9

c) La mediatriz de CA, z, es perpendicular a CA por el punto medio del lado, m'. Así: 8

8

CA = (–5, 7) 2 z 8 vector dirección de z : z (7, 5) ° § ¢ 8 3 – 2 –4 + 3 1 1 , = ,– éz m' § 2 2 2 2 £

(

) (

)

° ° 2x – 1 1 § x = — + 7t §t=— 2 14 § § 2x – 1 2y + 1 8 z: ¢ 8 ¢ 8 = 8 1 2y + 1 14 10 § y = – — + 5t §t=— § § 2 10 £ £ 8 z : 20x – 28y – 24 = 0 8 z : 5x – 7y – 6 = 0

32

Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

UNIDAD

8

49 La recta 2x + 3y – 6 = 0 determina, al cortar a los ejes de coordenadas, el segmento AB. Halla la ecuación de la mediatriz de AB. ☛ Después de hallar los puntos A y B, halla la pendiente de la mediatriz, inversa y opuesta a la de AB. Con el punto medio y la pendiente, puedes escribir la ecuación. Y

A

B

X

° 2x + 3y – 6 = 0 • A = r » eje Y : ¢ 8 3y – 6 = 0 8 y = 2 8 A (0, 2) £x = 0 ° 2x + 3y – 6 = 0 • B = r » eje X : ¢ 8 2x – 6 = 0 8 x = 3 8 B (3, 0) £y = 0 8

8

• AB = (3, –2) 2 mAB (mediatriz de AB ) 8 mAB = (2, 3) ° § ¢ 8 3 2 3 MAB , = , 1 (punto medio de AB ) é mediatriz § 2 2 2 £

(

) ( ) 3 3 3 5 x– ) 8 y= x– 8 y–1= 2 ( 2 2 4

8 mAB : 6x – 4y – 5 = 0

50 Determina los puntos que dividen al segmento AB, A (–2, 1), B (5, 4), en tres partes iguales. 8

☛ Si P y Q son esos puntos, AP =

1 8 AB . 3

8

8

Escribe las coordenadas de AP y de AB , y obtén P. Q es el punto medio de PB. B Q P A 8

• AP =

1 8 1 AB 8 (x + 2, y – 1) = (7, 3) 8 3 3

° 7 7 1 §x+2=— 8 x=—–2=— 3 3 3 § 1 8 ¢ 8 P ,2 3 3 §y–1=— 8 y = 1 + 2 = 2 § 3 £

( )

• Q es el punto medio de PB 8 Q

( 1/32+ 5 , 2 +2 4 ) 8 Q ( 83 , 3)

Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

33

8

8

51 ¿Qué coordenadas debe tener P para que se verifique que 3PQ – 2 QR = 0, siendo Q (3, 2) y R (–1, 5)? 8

8

3 PQ = 2 QR 8 3 (3 – x, 2 – y ) = 2 (–4, 3) 8 17 ° §x = — ° 9 – 3x = – 8 3 8 P 17 , 0 8 ¢ 8 ¢ 3 § £ 6 – 3y = 6 £y = 0

(

)

52 Los puntos medios de los lados de cualquier cuadrilátero forman un paralelogramo. Compruébalo con el cuadrilátero de vértices: A (3, 8)

B (5, 2)

C (1, 0)

B

P P

D (–1, 6)

( 5 +2 3 , 8 +2 2 ) = (4, 5)

Q (3, 1); R (0, 3); S (1, 7) A

8

8 PQ = (3 – 4, 1 – 5) = (–1, – 4) ° 8 ¢ PQ = SR 8 SR = (0 – 1, 3 – 7) = (–1, – 4) £

Q S

8

8 SP = (4 – 1, 5 – 7) = (3, –2) ° 8 ¢ SP = RQ 8 RQ = (3 – 0, 1 – 3) = (3, –2) £

D R

C

53 Halla el pie de la perpendicular trazada desde P (1, –2) a la recta: r : x – 2y + 4 = 0 ☛ Escribe la perpendicular a r desde P y halla el punto de corte con r. P (1, –2)

r : x – 2y + 4 = 0

P' (x, y)

s 8

Sea s la recta perpendicular a r desde P y r = (2, 1) vector director de r. 8

8

8

8 8

8

Así, PP ' 2 r ò el vector dirección de s, s , también es perpendicular a r ( s 2 r ), 8 luego podemos tomar s (1, –2). Como P (1, –2) é s : °x = 1 + t 8 t = x – 1 y+2 § y+2 8 x–1= s: ¢ 8 –2x + 2 = y + 2 8 –2 — y = –2 – 2t 8 t = § –2 £ 8 s : 2x + y = 0

34

Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

UNIDAD

8

El punto P' (x, y) es tal que: ° s : 2x + y = 0 8 y = –2x P' = s » r ¢ £ r : x – 2y + 4 = 0 Sustituyendo en la segunda ecuación: x – 2 (–2x) + 4 = 0 8 x + 4x + 4 = 0 8

( )

–4 –4 8 = 8 y = –2 5 5 5

8 x= Luego: P'

( –45 , 85 )

54 Halla el área del cuadrilátero de vértices: A (– 4, 3)

B (0, 5)

C (4, –2)

D (–3, –2)

☛ Traza una diagonal para descomponerlo en dos triángulos de la misma base. B (0, 5) A (–4, 3)

D (–3, –2)

C (4, –2)

• La diagonal AC divide el cuadrilátero en dos triángulos con la misma base, cuya medida es: 8

| AC | = |(8, –5)| = √ 89 • Sean hB y hD las alturas desde B y D, respectivamente, a la base: hB = dist (B, r ) y hD = dist (D, r ) 8

donde r es la recta que contiene el segmento AC . 8

Tomando como vector dirección de r el vector AC , la ecuación de dicha recta es: 5x + 8y + k = 0 ° –20 + 24 + k = 0 ò k = – 4 ò r : 5x + 8y – 4 = 0 Como (–4, 3) é r ¢£ Luego: hB = dist (B, r ) =

|5 · 0 + 8 · 5 – 4| 36 = √ 89 √ 89

hD = dist (D, r ) =

|5 (–3) + 8 (–2) – 4| 35 = √ 89 √ 89

Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

35

• Así: AABCD = AABC + AADC = =

(

√ 89 2

b · hB b · hD b + = (h + hD ) = 2 B 2 2

)

36 35 71 + = 2 √ 89 √ 89

55 Calcula el área del triángulo cuyos lados están sobre las rectas: r: x = 3

s : 2x + 3y – 6 = 0 r

t: x – y – 7 = 0

s A

C B

t

°x = 3 •A = r » s ¢ 8 6 + 3y – 6 = 0 8 y = 0 £ 2x + 3y – 6 = 0 Luego: A (3, 0) °x = 3 •B = r » t ¢ 8 3 – y – 7 = 0 8 y = –4 £x – y – 7 = 0 Luego: B (3, – 4) ° 2x + 3y – 6 = 0 •C = s » t ¢ 8 £x – y – 7 = 0 8 x = y + 7 8 2 (y + 7) + 3y – 6 = 0 8 2y + 14 + 3y – 6 = 0 8 5y + 8 = 0 8 8 y=

–8 –8 27 8 x= +7= 5 5 5

Luego: C

( 275 , –85 )

• Consideramos el segmento AB como base: 8

|AB| = |(0, – 4)| = √ 16 = 4 • La altura desde C es hC = dist (C, r ) = • Así:

8

Área =

36

|(– 8/5) – 3| 23 = 2 2 5 √1 + 0

|AB| · hC 2

=

4 · 23/5 46 = 2 5

Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

UNIDAD

8

56 En el triángulo de vértices A (–1, –1), B (2, 4) y C (4, 1), halla las longitudes de la mediana y de la altura que parten de B. • Mediana. Es el segmento BM donde M es el punto medio de AC. M

( 32 , 0) 8

8

BM =

( 32 – 2, 0 – 4) = (– 12 , –4) 8

La longitud de la mediana es: | BM | = √ 1/4 + 16 =

√ 65 2

• Altura. Es el segmento BP donde P es el pie de la perpendicular a AC desde B. 8

AC = (5, 2) 8 la recta que contiene ese segmento es: ° x = –1 + 5t x+1 y+1 r: ¢ 8 = 8 2x – 5y – 3 = 0 5 2 £ y = –1 + 2t 8

8

v = (–2, 5) 2 AC 8 la recta s 2 r que pasa por B:

° x = 2 – 2t x–2 y–4 s: ¢ 8 = 8 5x + 2y – 18 = 0 –2 5 £ y = 4 + 5t ° r : 2x – 5y – 3 = 0 P=r»s 8 ¢ £ s : 5x + 2y – 18 = 0 Multiplicamos la primera por 2 y la segunda por 5, y sumamos: 4x – 10y – 6 = 0 25x + 10y – 90 = 0 29x – 96 = 0 8 x = 8 5y =

96 8 29

2·

96 – 5y – 3 = 0 8 29

192 105 105 21 –3= 8 y= :5= 29 29 29 29

( 9629 , 2129 ) 10 469 √ 10 469 ≈ 3,528 38 95 = |BP| = |( ,– = = 29 29 29 )| √ 29

Luego: P Así: hB

8

2

57 Halla el punto de la recta 3x – 4y + 8 = 0 que equidista de A (–6, 0) y B (0, –6). P

r A (–6, 0) B (0, –6)

Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

37

P (x, y ) debe verificar dos condiciones: 1. P (x, y ) é r ò 3x – 4y + 8 = 0 2. dist (A, P ) = dist (B, P ) ò √ (x + 6)2 + y 2 = √ x 2 + (y + 6)2 ° 3x – 4y + 8 = 0 ° 3x – 4y + 8 = 0 8 ¢ x 2 + 12x + 36 + y 2 = x 2 + y 2 + 12y + 36 8 ¢ x = y £ £ 8 3x – 4x + 8 = 0 8 x = 8 = y 8 P (8, 8) 58 Determina un punto en la recta y = 2x que diste 3 unidades de la recta 3x – y + 8 = 0. ° P (x, y ) é r : y = 2x 8 ¢ £ dist (P, r ' ) = 3, donde r ' : 3x – y + 8 = 0 ° y = 2x § |3x – 2x + 8| |x + 8| 8 ¢ |3x – y + 8| 8 =3 8 =3 8 =3 — § —— √ 10 √ 10 √10 £ — — ° x + 8 = 3√10 8 x1 = 3√10 – 8 8 8 dos posibilidades: ¢ — — £ x + 8 = –3√10 8 x2 = –3√10 – 8 8 — — — ° 8 y1 = 6√10 – 16 8 ° P1 (3√10 – 8, 6√10 – 16) — — — ¢ ¢ £ 8 y2 = – 6√10 – 16 8 £ P2 (–3√10 – 8, –6√10 – 16) r'

P1 P2

r

59 Halla los puntos de la recta y = –x + 2 que equidistan de las rectas x + 2y – 5 = 0 y 4x – 2y + 1 = 0. Sean r1, r2 y r3 las tres rectas del ejercicio, respectivamente. Buscamos los puntos P (x, y ) que cumplan: ° P é r1 ò y = –x + 2 ¢ dist (P, r ) = dist (P, r ) 8 2 3 £ 8

38

|x + 2y – 5| |4x – 2y + 1| 8 = √5 √ 20

|x + 2 (–x + 2) – 5| |4x – 2 (–x + 2) + 1| = 8 √5 2 √5

Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

UNIDAD

8

° 6x – 3 § –x – 1 = —, o bien 2 § |6x – 3| 8 |–x – 1| = 8 ¢ 8 –6x +3 2 § –x – 1 = — § 2 £ ° –2x – 2 = 6x – 3, o bien ° 8x = 1 ° x1 = 1/8 8 ¢ 8 ¢ 8 ¢ x = 5/4 8 £ –2x – 2 = –6x + 3 £ 4x = 5 £ 2 ° ° 1 15 § y1 = – — + 2 = — § P1 8 8 § § 8 ¢ 8 ¢ 5 3 §y = –— + 2 = — §P § 2 § 2 4 4 £ £

( (

1 —, 8 5 —, 4

)

15 — 8 3 — 4

)

60 Calcula c para que la distancia entre las rectas 4x + 3y – 6 = 0 y 4x + 3y + c = 0 sea igual a 3. Sea P é r1 donde x0 = 0 8 y0 = 2 8 P (0, 2) é r1 Así, dist (r1, r2) = dist (P, r2) = 8

|4 · 0 + 3 · 2 + c| =3 8 √ 16 + 9

° 6 + c = 15 8 c1 = 9 |6 + c| =3 8 ¢ 5 £ 6 + c = –15 8 c2 = –21

61 El lado desigual del triángulo isósceles ABC, tiene por extremos A (1, –2) y B (4, 3). El vértice C está en la recta 3x – y + 8 = 0. Halla las coordenadas de C y el área del triángulo. 8

• La recta del lado desigual (base) tiene como vector dirección AB = (3, 5): ° x = 1 + 3t x–1 y+2 r: ¢ 8 = 8 r : 5x – 3y – 11 = 0 3 5 y = –2 + 5t £

8

8

• La recta que contiene la altura tiene por vector dirección a = (–5, 3) 2 AB y pasa por el punto medio del lado desigual AB, es decir, por M

( 52 , 12 ):

° x = 5/2 – 5t 2x – 5 2y – 1 8 = 8 hc : ¢ y = 1/2 + 3t –10 6 £ 8 hc : 12x + 20y – 40 = 0 8 hc : 6x + 10y – 20 = 0 • C = s » hc donde s : 3x – y + 8 = 0 y+ 8=0 ° 3x – ° –6x + 2y – 16 = 0 ¢ 6x + 10y – 20 = 0 8 ¢ 6x + 10y – 20 = 0 £ £ 12y – 36 = 0 8 y = 8 3x – 3 + 8 = 0 8 3x + 5 = 0 8 x =

Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

36 =3 8 12

–5 3

39

Luego: C

( –53 , 3)

8 8 — — |AB||CM| (*) √ 34 · (√ 850/6) base Ò altura • Área = = = ≈ 14,17 2 2 2 8 8 — ° AB = (3, 5) 8 |AB| = √34 § — (*) ¢ 8 –25 –5 8 √850 § CM —, — 8 |CM| = — 6 2 6 £

(

)

62 Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas r y s y forma un ángulo de 45° con la recta: x + 5y – 6 = 0. r : 3x – y – 9 = 0

s: x – 3 = 0

° 3x – y – 9 = 0 P = r » s: ¢ 8 9–y–9=0 8 y=0 –3=0 £ x Luego: P (3, 0) Como la recta pedida y x + 5y – 6 = 0 forman un ángulo de 45°, entonces si sus pendientes son, respectivamente, m1 y m2, se verifica: tg 45° =

–m 8 |1 m+ m– m· m | 8 1 = | 1 (–1/5) + (–1/5) · m | –1 – 5 · m 8 1=| |8 5–m 2

1

2

1

1

1

1

1

° 5 – m1 = –1 – 5m1, o bien 8 ¢ – (5 – m ) = –1 – 5m 8 1 1 £ ° 4m1 = – 6 8 m1 = – 6/4 8 ¢ £ 6m1 = 4 8 m1 = 4/6 Hay dos posibles soluciones: t1 : y – 0 =

–6 –3 9 (x – 3) 8 t1 : y = x+ 4 2 2

t2 : y – 0 =

4 2 6 (x – 3) 8 t2 : y = x– 6 3 3

63 Dadas r : 2x – y – 17 = 0 y s: 3x – ky – 8 = 0, calcula el valor de k para que r y s se corten formando un ángulo de 60°. ☛ Halla la pendiente de r. La pendiente de s es 3/k. Obtendrás dos soluciones. Las pendientes de r y s son, respectivamente: mr = 2 y ms =

40

3 k

Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

UNIDAD

8

Entonces: tg 60° =

8 | 1 2+ –2 3/k · 3/k |

| k+6 | 8

2k – 3 √3 =

dos casos:

—

° 6√3 + 3 = 24 + 15√— 3 — § k1 = — — 2 – √3 § √3(k + 6) = 2k – 3 ° 8 — — ¢ 8 ¢ — § 6√3 + 3 –√3(k + 6) = 2k – 3 £ — = 9√ 3 – 12 § k2 = — 2 + √3 £ 64 Las rectas r : 3x – 2y + 6 = 0, s: 2x + y – 6 = 0 y t: 2x – 5y – 4 = 0 son los lados de un triángulo. Represéntalo y halla sus ángulos. Y

X t

mr =

s

r

3 2 ; ms = –2; mt = 2 5

ì

tg ( r, s ) =

– (–2) 7/2 7 = = | 1 3/2 + 3/2 · (–2) | 2 4

ì

Luego: ( r, s ) = 60° 15' 18,4" ì

tg ( r, t ) =

– 2/5 15 – 4 11 = = | 1 3/2 + 3/2 · 2/5 | | 10 + 6 | 16

ì

Luego: ( r, t ) = 34° 30' 30,7" ì

ì

ì

Por último: ( s, t ) = 180° – ( r, s ) – ( r, t ) = 85° 14' 11"

65 Halla los ángulos del triángulo cuyos vértices son A (–3, 2), B (8, –1) y C (3, – 4). ☛ Representa el triángulo y observa si tiene algún ángulo obtuso. 8

AB = (11, –3); 8

AC = (6, –6); 8

BC = (–5, –3);

8

BA (–11, 3) 8

CA (– 6, 6) 8

CB (5, 3)

Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

41

8

cos A =

8

AB · AC

^

8

8

|AB||AC|

Y

66 + 18 — — ≈ 0,868 √ 130 √ 72

=

A (–3, 2)

^

Luego: A = 29° 44' 41,6" 8

BA · BC

^

cos B =

8

8

8

|BA||BC|

X B (8, –1)

55 – 9 — — ≈ 0,692 √ 130 √ 34

=

C (3, –4)

^

Luego: B = 46° 13' 7,9" ^

^

^

Así, C = 180° – ( A + B) = 104° 2' 10,5"

Página 210 66 Halla la ecuación de la recta que pasa por (0, 2) y forma un ángulo de 30° con x = 3. ☛ La recta que buscamos forma un ángulo de 60° o de 120° con el eje OX. Y r2

30°

x=3

(0, 2) 120°

X

60°

r1

La recta r forma un ángulo de 60° o de 120° con el eje OX. Su pendiente es: ° m = tg 60° = √ 3 , o bien § 1 ¢ § m2 = tg 120° = – √ 3 £ Teniendo en cuenta que debe pasar por P (0, 2), las posibles soluciones son: r1 : y = √ 3 x + 2 r2 : y = – √ 3 x + 2

42

Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

UNIDAD

(

8

)

1 67 La recta 2x + y = 0 es la bisectriz de un ángulo recto cuyo vértice es – , 1 . 2 Halla las ecuaciones de los lados del ángulo. Las pendientes de las tres rectas son: mb = –2, mr , mr ' r

b: 2x + y = 0

(

)

45°

1 1 V – —, 2

45°

r'

tg 45° =

| 1m+ m– mm | 8 1 = | 1–2––2mm | 8 b

r

b

r

r

r

° 1 – 2mr = –2 – mr 8 mr = 3 8 ¢ £ –1 + 2mr ' = –2 – mr ' 8 mr ' = –1/3

(

8

)

° r : y – 1 = 3 x + 1 8 y = 3x + 5 § 2 2 § 8 ¢ § –1 1 –1 5 x+ 8 y= x+ § r': y – 1 = 3 2 3 6 £

(

)

68 Encuentra un punto en la recta x – 2y – 6 = 0 que equidiste de los ejes de coordenadas. Eje X : y = 0 Eje Y : x = 0 P (x, y ) é r

° § 8 ° dist (P, eje X ) = dist (P, eje Y ) 8 ¢ ¢ £ x – 2y – 6 = 0 § £

8

|y| |x| °x=y = 8 dos casos: ¢ 2 2 2 2 £ x = –y √0 + 1 √0 + 1

8

x – 2y – 6 = 0 ° y – 2y – 6 = 0 8 y1 = – 6 8 x1 = – 6 8 ¢ 8 £ –y – 2y – 6 = 0 8 y2 = – 2 8 x2 = 2

Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

° P1 (– 6, – 6) ¢ P (2, –2) £ 2

43

Y r X P2

P1

69 Halla las ecuaciones de las rectas que pasan por A (–2, 2) y forman un ángulo de 60° con x = y. b : x = y 8 su pendiente es mb = 1 tg 60° =

| 1 1+ –1 m· m | 8

|1+m | 8

1–m √3 =

° √3 + √3 m = 1 – m 8 m = 1 – √3 § 1 § √3 + 1 8 ¢ § § – √ 3 – √ 3 m = 1 – m 8 m2 = 1 + √ 3 £ –√ 3 + 1 Teniendo en cuenta que pasan por A (–2, 2): r1 : y – 2 = r2 : y – 2 =

1 – √3

√3 + 1 1 + √3 –√ 3 + 1

(x + 2) ECUACIONES PUNTO-PENDIENTE

(x + 2)

70 Escribe la ecuación de la recta r que pasa por A (2, 3) y B (5, 6) y halla la ecuación de una recta paralela a r, cuya distancia a r sea igual a la distancia entre A y B. 8

° vector dirección AB = (3, 3) ° x = 2 + 3t • r: ¢ 8 r: ¢ £ pasa por A (2, 3) £ y = 3 + 3t 8

8

y–3 x–2 = 8 3x – 3y + 3 = 0 8 r : x – y + 1 = 0 3 3

• s // r 8 ms = mr = 1 8 y = x + c 8 s : x – y + c = 0 dist (r, s) = dist (A, s) = dist (A, B) 8 8

8 |2 – 3 + c| = |AB | 8 2 2 √ 1 + (–1)

8

|1 + c| ° –1 + c = 6 ò c1 = 6 + 1 = 7 = √ 18 8 ¢ £ –1 + c = – 6 ò c2 = – 6 + 1 = –5 √2

8 s1 : x – y + 7 = 0 s2 : x – 5 = 0

44

Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

UNIDAD

8

71 Halla el punto simétrico de P (1, 1) repecto a la recta x – 2y – 4 = 0. 8

8

8

• PP ' 2 v donde P' es el simétrico de P respecto a esa recta y v es el vector dirección de la misma. 8

8

PP ' · v = 0 8 (x – 1, y – 1) · (2, 1) = 0 8 8 2 (x – 1) + (y – 1) = 0 8 2x + y – 3 = 0 • Además, el punto medio de PP', M, debe pertenecer a la recta. Luego:

( x +2 1 , y +2 1 ) é r

M

8

y+1 x+1 –2 –4=0 8 2 2

8 x + 1 – 2y – 2 – 8 = 0 8 8 x – 2y – 9 = 0 • Así, teniendo en cuenta las dos condiciones: ° 2x + y – 3 = 0 ° ¢ x – 2y – 9 = 0 8 x = 9 + 2y ¢ 8 £ £ 8 2 (9 + 2y) + y – 3 = 0 8 18 + 4y + y – 3 = 0 8 y =

–15 = –3 5

8 x = 9 + 2 (–3) = 9 – 6 = 3 Luego: P' = (3, –3) 72 Un rombo ABCD tiene un vértice en el eje de las ordenadas; otros dos vértices opuestos son B (–1, –1) y D (–5, 3). Halla las coordenadas de los vértices A y C y el área del rombo. Sea A é eje Y 8 A = (0, y1) y sea el punto C = (x2, y2). Como estamos trabajando con un rombo, sus diagonales AC y BD se cortan en su punto medio, M. Además, AC 2 BD.

A D(–5, 3)

B(–1, –1) C

•M

( –12– 5 , –1 2+ 3 ) = (–3, 1) es el punto medio de BD (y de AC ).

Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

45

• Sea d la recta perpendicular a BD por M (será, por tanto, la que contiene a AC): 8

8

BD = (–4, 4) 8 d = (4, 4) es vector dirección de d ° ¢ 8 M (–3, 1) é d £ 4 ° § La pendiente de d es md = — = 1 4 8 ¢ 8 § M (–3, 1) é d £ 8 d : y – 1 = (x + 3) 8 y = x + 4 • Así: °y=x+4° A = d » eje Y: ¢ ¢ 8 y = 4 8 A (0, 4) £x=0 £ • M es punto medio de AC 8 (–3, 1) =

8

| AC | = |(–6, –6)| = √ 72 = 6 √ 2 8

0 + x2 4 + y2 , 2 2

)

8

° § § ¢ 8 C (–6, –2) § § £

| BD| = |(–4, 4)| = √ 32 = 4 √ 2

° § ¢ § £

x2 ° § –3 = — 8 x2 = –6 2 § 8 ¢ 4 + y2 §1 = — 8 y2 = –2 § 2 £ 8 8 | AC ||BD| • Área = 2

(

— — 8 Área = 6√ 2 · 4 √ 2 = 24 u2 2

73 En el triángulo de vértices A (–3, 2), B (1, 3) y C (4, 1), halla el ortocentro y el circuncentro. ☛ El ortocentro es el punto de intersección de las alturas. El circuncentro es el punto de intersección de las mediatrices. R = hA » hB » hC donde hA, hB y hC son las tres alturas (desde A, B y C, respectivamente).

ORTOCENTRO:

8 8 8 ° a 2 BC = (3, –2) 8 a = (2, 3) • hA ¢ £ A é hA 8

° x = –3 + 2t 8 hA : ¢ 8 £ y = 2 + 3t

x+3 y–2 = 8 hA : 3x – 2y + 13 = 0 2 3

8 8 8 ° b 2 AC = (7, –1) 8 b = (1, 7) °x=1+t 8 hB : ¢ 8 • hB ¢ £ B é hB £ y = 3 + 7t

8 x–1=

46

y–3 8 hB : 7x – y – 4 = 0 7 Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

UNIDAD 8 8 8 ° c 2 AB = (4, 1) 8 c = (1, – 4) • hC ¢ £ C é hC 8 x–4=

8

°x=4+t 8 hC : ¢ 8 £ y = 1 – 4t

y–1 8 hC : 4x + y – 17 = 0 –4

Bastaría con haber calculado dos de las tres alturas y ver el punto de intersección: Sumando:

– 21 = 0 8 x =

11x

21 11

21 147 – 44 103 y = 7x – 4 = 7 · –4= = 11 11 11 NOTA:

° § § ¢ § § £

° 7x – y – 4 = 0 hB » hC : ¢ £ 4x + y – 17 = 0

R

( 2111 , 103 11 )

Puede comprobarse que el ortocentro, R, está también en hA. Basta con sustituir en su ecuación.

CIRCUNCENTRO: S = mA » mB » mC, donde mA, mB y mC son las tres mediatrices (desde A, B y C, respectivamente).

£ §8 8 § a 2 BC 8 a8 = (2, 3) ¢ 8 • mA § § Punto medio de BC : M 5 , 2 é m ° A

(2 )

8 y–2=

(

3 5 x– 2 2

) 8 y = 32 x – 74

£ §8 8 8 § c 2 AB = (4, 1) 8 c = (1, –4) ¢ • mC § § Punto medio de AB: M' –1, 5 é m C ° 2

(

8 y–

)

8

5 3 = –4 (x + 1) 8 y = – 4x – 2 2

Así:

° 3 7 § y = —x – — 2 4 § 3 7 3 8 x– = –4x – 8 S = mA » mC : ¢ 3 2 4 2 § y = – 4x – — § 2 £ 1 8 6x – 7 = –16x – 6 8 22x = 1 8 x = 8 22 8 y = –4 · Así, S NOTA:

1 3 –4 – 33 –37 – = = 22 2 22 22

. ( 221 , –37 22 )

Se podría calcular mB y comprobar que S é mB.

Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

47

74 La recta 2x + y – 4 = 0 es la mediatriz de un segmento que tiene un extremo en el punto (0, 0). Halla las coordenadas del otro extremo. r: 2x + y – 4 = 0

O (0, 0)

A (x, y)

8

Un vector dirección de la recta es el v = (1, –2). • Debe verificarse que:

8

8

8

8

v 2 OA = v · OA = 0

(1, –2) · (x, y) = 0 8 x – 2y = 0 8 x = 2y • Además, el punto medio de OA, M, pertenece a la recta: M

( x2 , y2 ) é r 8 2 · x2 + y2 – 4 = 0 8

8 2·

y 2y + – 4 = 0 8 4y + y – 8 = 0 8 2 2 8 y=

Luego: A

8 8 16 8 x=2· = 5 5 5

( 165 , 85 )

75 Los puntos P (–2, 4) y Q (6, 0) son vértices consecutivos de un paralelogramo que tiene el centro en el origen de coordenadas. Halla: a) Los otros dos vértices. b) Los ángulos del paralelogramo. Y P (–2, 4)

X S

O

Q (6, 0)

R

48

Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

UNIDAD

8

a) Como las dos diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio, que es el centro, se tienen fácilmente los otros dos vértices: R (2, –4), S (–6, 0) 8

8

8

8

8

b) PQ = SR = (8, –4) 8 PS = QR = (–4, –4) 8 8 8

^

cos P = ^

S=

PS · PQ 8

8

|PS ||PQ| ^

8

QP = RS = (– 8, 4) 8

8

SP = RQ = (4, 4)

^ ^ –32 + 16 — — = –0,31623 8 P = 108° 26' 5,8" = R √ 32 · √ 80

=

^

^ 360° – (P + R ) = 71° 33' 54" = Q 2

NOTA: ^

^

Podríamos haber calculado S con los vectores:

cos S =

8 8

SP · SR 8

8

|SP||SR|

=

^ 32 – 16 — — = 0,31623 8 S = 71° 33' 54"

√ 32 · √ 80

76 Dos de los lados de un paralelogramo están sobre las rectas x + y – 2 = 0 y x – 2y + 4 = 0 y uno de sus vértices es el punto (6, 0). Halla los otros vértices. • Como las rectas no son paralelas, el punto donde se corten será un vértice: r1 : ° x + y – 2 = 0 ° x+ y–2=0 8¢ ¢ r2 : £ x – 2y + 4 = 0 £ –x + 2y – 4 = 0 3y – 6 = 0 8 y = 2 8 8 x+2–2=0 8 x=0 Luego un vértice es A (0, 2). • El vértice que nos dan, C (6, 0), no pertenece a ninguna de las rectas anteriores (pues no verifica sus ecuaciones, como podemos comprobar fácilmente sustituyendo los valores de x e y por las coordenadas de C ). Así pues, el vértice C no es consecutivo de A. Sean s1 //r1 una recta que pasa por C y s2 //r2 una recta que pasa por C. Se trata de las rectas sobre las que están los otros lados.

s2 A

Así, los otros vértices, B y D, serán los puntos de corte de:

B r2

r1 » s2 = B r2 » s1 = D

r1

D

Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

C

s1

49

°x+y+a=0 s1 : ¢ 8 s1 : x + y – 6 = 0 £ C é s1 8 6 + 0 + a = 0 8 a = – 6 ° x – 2y + b = 0 s2 : ¢ 8 s2 : x – 2y – 6 = 0 £ C é s2 8 6 – 0 + b = 0 8 b = – 6 °x+ y–2=0 • B = r1 » s2 : ¢ £ x – 2y – 6 = 0 Resolviendo el sistema: De la primera ecuación 8 x = 2 – y 8 en la segunda 8 2 – y – 2y – 6 = 0 8 8 y=

(

–4 10 10 –4 8 x= 8 B , 3 3 3 3

)

° x + 2y + 4 = 0 ° • D = r2 » s1 : ¢ ¢ 8 6 – y – 2y + 4 = 0 8 x + y – 6 = 0 8 x = 6 – y £ £ 8 y=

(

10 8 8 10 , 8 x= 8 D 3 3 3 3

)

77 Halla un punto del eje de abscisas que equidiste de las rectas 4x + 3y + 6 = 0 y 3x + 4y – 9 = 0. P (x, 0) debe verificar dist (P, r ) = dist (P, s ): |4x + 3 · 0 + 6| |3x + 4 · 0 – 9| = 8 √ 25 √ 25

( )

8 x1 = –15 ° 4x + 6 = 3x – 9 3 8 ¢ 8 P1 (–15, 0), P2 , 0 4x + 6 = – (3x – 9) 8 x = 3/7 7 2 £

78 Halla el punto de la recta 2x – 4y – 1 = 0 que con el origen de coordenadas y el punto P(–4, 0) determina un triángulo de área 6. 8

☛ Si tomamos como base |PQ|= 4, la altura del triángulo mide 3. El punto que buscamos está a 3 unidades de PO y en la recta dada. Hay dos soluciones.

Los vértices son O (0, 0), P (– 4, 0), Q (x, y). Si tomamos como base OP, entonces: Área =

8 |OP|· h 2

8 6=

4·h 8 h=3 2

El punto Q (x, y) é r 8 2x – 4y – 1 = 0 y debe verificar que dist (Q, OP) = 3. 8

La recta sobre la que se encuentra OP tiene por vector dirección OP (–4, 0) y pasa por (0, 0). Luego es el eje X : y = 0.

50

Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

UNIDAD

8

Así: ° ° 2x – 4y – 1 = 0 13 § 2x – 4 · 3 – 1 = 0 8 x1 = — § y = 3 |y| 2 ° 1 § ¢— 8 ¢ =3 8 ¢ § — y = –3 2 2 § 2x – 4 (–3) – 1 = 0 8 x = –11 £ 2 £ √0 + 1 — 2 § 2 £ Luego hay dos triángulos, OPQ1 y OPQ2, donde: Q1

( 132 , 3)

y Q2

( –112 , –3)

79 Sean A, B, C, D los puntos de corte de las rectas x – 2y + 2 = 0 y 2x – y – 2 = 0 con los ejes de coordenadas. Prueba que el cuadrilátero ABCD es un trapecio isósceles y halla su área. Y B A

C

–1

X

–1

A (–2, 0) B (0, 1) C (1, 0) D (0, –2)

D

☛ Mira el problema resuelto número 1. ° x – 2y + 2 = 0 Sean: A = r » eje OX : ¢ 8 x = –2 ò A (–2, 0) £y=0 ° x – 2y + 2 = 0 B = r » eje OY : ¢ 8 y = 1 ò B (0, 1) £x=0 ° 2x – y – 2 = 0 C = s » eje OX : ¢ 8 x = 1 ò C (1, 0) £y=0 ° 2x – y – 2 = 0 D = s » eje OY : ¢ 8 y = –2 ò D (0, –2) £x=0 Calculamos los vectores dirección de los lados: 8

° 8 8 8 8 § ° DA = –2 BC 8 BC // DA BC = (1, –1)] § § ¢8¢ 8 8 8 § |AB | = √ 5 = |CD | CD = (–1, –2) § £ § 8 DA = (–2, 2) £ AB = (2, 1) 8

Luego, efectivamente, ABCD es un trapecio isósceles de bases BC y DA. Para calcular el área necesitamos la altura: Como

8 AD (2, –2) ° 8 y = –x – 2 8 AD : x + y + 2 = 0 ¢ D (0, –2) £

Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

51

h = dist (B, AD) = Así: Área =

|0 + 1 + 2| 3 3 √2 = = 2 √2 √2

8 8 — — |BC|+|DA| 3 √2 √ 2 + 2 √ 2 · 3 √2 = 9 · 2 = 9 · = 2 2 4 2 2 2

80 La recta x + y – 2 = 0 y una recta paralela a ella que pasa por el punto (0, 5) determinan, junto con los ejes de coordenadas, un trapecio isósceles. Halla su área. s//r : x + y – 2 = 0 ò x + y + k = 0 ° 8 0 + 5 + k = 0 8 k = –5 ¢ P (0, 5) é s £ Luego s : x + y – 5 = 0 °x+y–2=0 • Sean: A = r » eje X : ¢ 8 x = 2 ò A (2, 0) £y=0 °x+y–2=0 B = r » eje Y : ¢ 8 y = 2 ò B (0, 2) £x=0 °x+y–5=0 C = s » eje X : ¢ 8 x = 5 ò C (5, 0) £y=0 °x+y–5=0 D = s » eje Y : ¢ 8 y = 5 ò D (0, 5) £x=0 8

8

• AB = (–2, 2); CD = (–5, 5) 8 8 8 8 |AB|+|CD| |AB|+|CD| Área = ·h= · dist (A, s ) = 2 2 — — — — √ 8 + √ 50 · |2 + 0 – 5| = 2 √ 2 + 5 √ 2 · 3 = 7 √ 2 · 3 = 21 = 2 2 2 2 √ 12 + 12 √2 √2 81 Un punto P, que es equidistante de los puntos A (3, 4) y B (–5, 6), dista el doble del eje de abscisas que del eje de ordenadas. ¿Cuáles son las coordenadas de P ? ° y = 2x • d (P, OX ) = 2d (P, OY ) 8 |y| = 2|x| 8 ¢ £ y = –2x 8

8

• |AP | = | PB | 8 √ (x – 3)2 + (y – 4)2 = √ (–5 – x)2 + (6 – y)2 8 8 x 2 + 9 – 6x + y 2 + 16 – 8y = x 2 + 25 + 10x + y 2 + 36 – 12y 8 8 –6x – 8y + 25 = 10x – 12y + 61 8 16x – 4y + 36 = 0 8 8 4x – y + 9 = 0

52

Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

UNIDAD

8

• Como deben cumplirse las dos condiciones, habrá dos soluciones: ° y = 2x –9 8 4x – 2x + 9 = 0 8 x = 8 y = –9 P1 : ¢ 2 4x – y + 9 = 0 £ Luego: P1

( –92 , –9)

° y = –2x –9 –3 P2 : ¢ 8 4x + 2x + 9 = 0 8 x = = 8 y=3 6 2 4x – y + 9 = 0 £ Luego: P2

( –32 , 3)

82 De todas las rectas que pasan por el punto A(1, 2), halla la pendiente de aquella cuya distancia al origen es 1. ☛ La ecuación y = 2 + m (x – 1) representa a todas esas rectas. Pásala a forma general y aplica la condición d (O, r ) = 1. • Esas rectas tienen por ecuación: y = 2 + m (x – 1) 8 mx – y + (2 – m ) = 0 —

• d (0, r ) = 1 8

° 2 – m = √m 2 + 1 |2 – m| =1 8 ¢ — 8 √m 2 + 1 £ 2 – m = –√ m 2 + 1

8 (2 – m )2 = m 2 + 1 8 4 + m 2 – 4m = m 2 + 1 8 3 8 4 – 4m = 1 8 m = 4 83 Dado el triángulo de vértices A(– 4, –2), B(–1, 5) y C (5, 1), halla las ecuaciones de las rectas r y s que parten de B y cortan a AC, dividiendo al triángulo en tres triángulos de igual área. Y

B

1

C

1

X r

A

s

• La altura de los tres triángulos es igual a la distancia de B al lado AC. Por tanto, tendrán la misma área si tienen la misma base. Así, se trata de hallar los puntos, P y Q, que dividen el lado AC en tres partes iguales: 8

8

OP =

8

(

)

8

8

( )

8 2OA + OC OC + 2OC 2 8 = – , –1 ; OQ = = ,0 3 3 3 3

• La recta r es la que pasa por B y por P: m=

–1 – 5 –6 = = –18 (–2/3) – (–1) (1/3)

y = 5 – 18 (x + 1) 8 r: 18x + y + 13 = 0 Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

53

• La recta s es la que pasa por B y por Q: m=

5–0 –5 15 = =– (–1) – (8/3) (–11/3) 11

y=5–

15 (x + 1) 8 11y = 55 – 15x – 15 8 s: 15x + 11y – 40 = 0 11

84 Dada la recta r: 2x – 3y + 5 = 0, halla la ecuación de la recta simétrica de r respecto al eje de abscisas. • Hallamos dos puntos de la recta dada. Por ejemplo: A (2, 3) y B (5, 5). • Los dos puntos simétricos respecto al eje OX de A y B son A' (2, –3) y B' (5, –5). • La recta, r', simétrica de r respecto al eje OX será la que pasa por A' y B': m=

–5 – (–3) –5 + 3 –2 = = 5–2 3 3

La recta r' es: y = –3 –

2 (x – 2) 8 3y = –9 – 2x + 4 8 2x + 3y + 5 = 0 3

• De otra forma: Si (x, y) es un punto de la recta r, entonces (x, –y) es un simétrico respecto al eje OX. Por tanto, la ecuación de la recta r', simétrica de r respecto al eje OX, será: 2x – 3(–y) + 5 = 0 8 2x + 3y + 5 = 0

Página 211 CUESTIONES TEÓRICAS 85 Prueba que si las rectas ax + by + c = 0 y a'x + b'y + c' = 0 son perpendiculares, se verifica que aa' + bb' = 0. • El vector (a, b) es perpendicular a la recta ax + by + c = 0. • El vector (a', b' ) es perpendicular a la recta a' x + b' y + c' = 0. • Si las dos rectas son perpendiculares, entonces: (a, b) · (a', b' ) = 0; es decir, aa' + bb' = 0. 8

86 Dada la recta ax + by + c = 0, prueba que el vector v = (a, b) es ortogonal a cualquier vector determinado por dos puntos de la recta. 8

8

☛ Llama A(x1, y1 ) y B(x2 , y2 ) y haz v · AB . Ten en cuenta que los puntos A y B verifican la ecuación de la recta.

• Si A (x1, y1) pertenece a la recta, entonces

ax1

+

by1

+c=0

• Si B (x2, y2) pertenece a la recta, entonces

ax2

+

by2

+c=0

• Restando las dos igualdades:

54

a (x1 – x2) + b (y1 – y2)

=0

Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

UNIDAD

8

Esta última igualdad significa que: (a, b) · (x1 – x2, y1 – y2) = 0; es decir, que el vector (a, b) es perpendicular al 8

vector AB , siendo A y B dos puntos cualesquiera de la recta. 87 a) ¿Qué se puede decir de una recta si en su ecuación general falta el término independiente? b) ¿Y si falta el término en x ? c) ¿Y si falta el término en y ? a) La recta pasa por (0, 0). b) Es una recta horizontal (paralela al eje OX). c) Es una recta vertical (paralela al eje OY). 88 Prueba que la ecuación de la recta que pasa por dos puntos P (x1, y1) y Q (x2, y2) puede escribirse de la forma: Un vector dirección de la recta es es P (x1, y1).

y – y1 y – y1 = 2 . x – x1 x2 – x1

8

PQ = (x2 – x1, y2 – y1) y un punto de la recta

Entonces, las ecuaciones paramétricas de la recta serán: x – x1 x2 – x1

y – y1 y = y1 + (y2 – y1) t 8 t = y2 – y1 8

x – x1 y – y1 = x2 – x1 y2 – y1

8

° § § § ¢ § § § £

x = x1 + (x2 – x1) t 8 t =

8

y2 – y1 y – y1 = x2 – x1 x – x1

o, lo que es lo mismo: y – y1 y – y1 = 2 x – x1 x2 – x1

PARA PROFUNDIZAR 89 Un cuadrado tiene una diagonal sobre la recta x + 5y – 6 = 0 y uno de sus vértices es A (–2, –1). Halla los otros vértices y la longitud de la diagonal. • Se comprueba que A è s. • Luego la otra diagonal en la que está A será r tal que r 2 s : 5x – y + G = 0 ° 8 –10 + 1 + G = 0 8 G = 9 8 r : 5x – y + 9 = 0 Como A é r ¢£

Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

55

r

Y

C s: x + 5y – 6 = 0 M

D

B X A(–2, –1)

t2

t1

• M = r » s será el punto medio de las dos diagonales: ° 5x – y + 9 = 0 ° ¢ x + 5y – 6 = 0 8 x = 6 – 5y ¢ 8 5 (6 – 5y) – y + 9 = 0 8 £ £ 8 30 – 25y – y + 9 = 0 8 y = Luego: M

( –32 , 32 )

• M es el punto medio de AC 8

39 3 3 –3 = 8 x=6–5· = 26 2 2 2

(

) (

–2 + C1 –1 + C2 –3 3 , = , 2 2 2 2

)

8

° –3 = –2 + C1 8 C1 = –1 ° 8 ¢ ¢ 8 C (–1, 4) £ 3 = –1 + C2 8 C2 = 4 £ • B y D están en las rectas que equidistan de AC. Dichas rectas son todos los puntos P (x, y) tales que: — — BD AC dist (P, r) = = 2 2 pues, al ser un cuadrado, sus diagonales son iguales. Es decir: — AC √ 26 8 |(1, 5)| dist (P, r) = = = 2 2 2 8

|5x – y + 9| √ 26 = 2 √ 26

° 5x – y + 9 = 26/2 8 ¢ £ 5x – y + 9 = –26/2

° t : 5x – y – 4 = 0 8 ¢ 1 £ t2 : 5x – y + 22 = 0

Así: ° 5x – y – 4 = 0 ° B = t1 » s : ¢ ¢ 8 x + 5y – 6 = 0 8 x = 6 – 5y £ £ 8 30 – 25y – y – 4 = 0 8 y = 1 8 x = 1 ò B (1, 1) ° 5x – y + 22 = 0 ° D = t2 » s : ¢ ¢ 8 £ x + 5y – 6 = 0 8 x = 6 – 5y £ 8 30 – 25y – y + 22 = 0 8 y = 2 8 x = – 4 ò D (–4, 2) • La longitud de la diagonal será: 8

8

|AC | = |BD | = √ 26

56

Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

UNIDAD

8

90 De un cuadrado conocemos dos vértices contiguos A (3, 1) y B (4, 5). Calcula los otros vértices. ¿Cuántas soluciones hay? D2

A

D1

C2

B

C1

r

s

t

C y D son puntos de las rectas s y r perpendiculares a AB, y cuyas distan8 cias a B y A, respectivamente, son | AB |: 8 ° • AB = (1, 4) 8 s : x + 4y + k = 0 ¢ 8 4 + 20 + k = 0 8 k = –24 8 £ Como B é s 8 s : x + 4y – 24 = 0 8 ° • AB = (1, 4) 8 r : x + 4y + k' = 0 ¢ 8 3 + 4 + k' = 0 8 k' = – 7 8 £ Como A é r 8 r : x + 4y – 7 = 0 8 ° • AB = (1, 4) 8 t : 4x – y + k" = 0 ¢ 8 12 – 1 + k" = 0 8 k" = –11 8 £ Como A é t 8 t : 4x – y – 11 = 0 8

• C y D son puntos que están en las rectas cuya distancia a AB es | AB | = √ 17 . Sean P (x, y) tales que: dist (P, t) =

|4x – y – 11|

√ 17

= √ 17

° 4x – y – 11 = 17 8 ° t1 : 4x – y – 28 = 0 ¢ ¢ £ 4x – y – 11 = –17 8 £ t2 : 4x – y + 6 = 0 Son dos rectas paralelas. Hay dos soluciones. Así: ° 4x – y – 28 = 0 C1 = t1 » s ¢ £ x + 4y – 24 = 0 8 x = 24 – 4y

8

8 96 – 16y – y – 28 = 0 8 y = 4 8 x = 8 8 C1 (8, 4) ° 4x – y + 6 = 0 C2 = t2 » s ¢ £ x + 4y – 24 = 0 8 x = 24 – 4y

8

8 96 – 16y – y + 6 = 0 8 y = 6 8 x = 0 8 C2 (0, 6) ° 4x – y – 28 = 0 D1 = t1 » r ¢ £ x + 4y – 7 = 0 8 x = 7 – 4y

8

8 28 – 16y – y – 28 = 0 8 y = 0 8 x = 7 8 D1 (7, 0)

Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

57

° 4x – y + 6 = 0 D2 = t2 » r ¢ £ x + 4y – 7 = 0 8 x = 7 – 4y

8

8 28 – 16y – y + 6 = 0 8 y = 2 8 x = –1 8 D2 (–1, 2) Y C2

B C1

D2

A X

D1

91 La diagonal menor de un rombo mide lo mismo que su lado y tiene por extremos los puntos A (–3, –2) y C (1, 2). Halla los vértices B y D y el perímetro del rombo. Y B C(1, 2) X A(–3, –2) D 8

8

• AC = (4, 4) 8 | AC | = √ 32 = 4 √ 2 Como esta diagonal mide lo mismo que el lado, entonces el perímetro será: 8

Perímetro = 4 | AC | = 16 √ 2 8

• Los otros dos vértices están en la perpendicular a AC M (–1, 0).

por su punto medio

La recta AC tiene por vector director (1, 1) 8 x – y + k = 0 ° ¢ 8 Como, además, A (–3, –2) é recta AC £ 8 –3 + 2 + k = 0 8 k = 1 8 AC : x – y + 1 = 0 La recta s perpendicular a AC será: ° s : x + y + k' = 0 ¢ 8 –1 + k' = 0 8 k' = 1 8 s : x + y + 1 = 0 Como M (–1, 0) é s £ Los puntos B y C serán los (x, y) que estén en s y cuya distancia al vértice A sea igual a la diagonal, es decir, igual a 4 √ 2 . (x, y) é s 8 x + y + 1 = 0 8 x = –1 – y

58

Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

UNIDAD

8

√ (x + 3)2 + (y + 2)2 = 4 √ 2 8 (x + 3)2 + (y + 2)2 = 32 8 (2 – y)2 + (y + 2)2 = 32 8 4 + y 2 – 4y + y 2 + 4 + 4y = 32 8 2y 2 = 24 8

8

y2

° y1 = 2 √ 3 8 x1 = –1 – 2 √ 3 § = 12 8 ¢ § y2 = –2 √ 3 8 x2 = –1 + 2 √ 3 £

Luego, los vértices B y C son: (–1 – 2 √ 3 , 2 √ 3 ) y (–1 + 2 √ 3 , –2 √ 3 ) 92 Determina la ecuación de una recta de pendiente –2 que forma con los ejes un triángulo de área igual a 81. ¿Cuántas soluciones hay? • Las rectas de pendiente –2 tienen por ecuación: y = –2x + k • Los puntos de corte con los ejes, A y B, son: Si x = 0 8 y = k 8 A (0, k) Si y = 0 8 x =

( )

A

k k ,0 8 B 2 2

B

• Así: Área =

k/2 · k ° k = 18 = 81 8 k 2 = 324 8 ¢ 1 2 £ k2 = –18

r1

r2

Dos soluciones: r1 : y = –2x + 18 y r2 : y = –2x – 18 93 Conocemos dos vértices de un trapecio rectángulo A (1, 1) y B (5, 1) y sabemos que uno de sus lados está sobre la recta y = x + 1. Calcula los otros dos vértices. (Hay dos soluciones). Podemos comprobar que A, B è r. Como un lado está sobre r, los otros dos vértices están en r y, por tanto, A y B son vértices consecutivos. 8

8

Además, un vector dirección de r es r = (1, 1), que no es proporcional a AB = (4, 0). 8

8

Por tanto, r // AB 8 los lados AB y CD no son paralelos, luego no son las bases del trapecio. Podemos construir dos trapecios: a) ABC1D1, donde AB es la altura del trapecio: C1 y D1 serán los puntos de corte de r con las rectas perpendiculares a AB que pasan por B y A, respectivamente.

Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

59

8 • t 2 AB 8 4x + k = 0 ° ¢ 8 4 + k = 0 8 k = –4 8 t: 4x – 4 = 0 8 t: x = 1 Como A (1, 1) é t £ °x=1 Así: D1 = t » r ¢ 8 y = 2 8 D1 (1, 2) £y=x+1 8 • s 2 AB 8 4x + k = 0 ° ¢8 Como B (5, 1) é s £

Y

r

s t

8 4 · 5 + k = 0 8 k = –20 8

C1

8 s : 4x – 20 = 0 8 s : x = 5 °x=5 Así: C1 = s » r : ¢ 8 £y=x+1

D1

B

A

X

8 y = 6 8 C1 (5, 6) b) ABC2 D2, donde C2 D2 es la altura del trapecio: C2 y D2 serán los puntos de corte de r con las rectas perpendiculares a r que pasan por B y C, respectivamente (es decir, C2 y D2 son los pies de dichas perpendiculares). • t 2 r 8 y = –x + k ° ¢ 8 1 = –1 + k 8 k = 2 8 t : y = –x + 2 Como A é t £ ° y = –x + 2 Así: D2 = t » r : ¢ 8 –x + 2 = x + 1 8 1 = 2x 8 £y=x+1 8 x=

(

1 3 1 3 8 y= 8 D2 , 2 2 2 2

)

• s 2 r 8 y = –x + k ° ¢ 8 1 = –5 + k 8 k = 6 8 s : y = –x + 6 Como B é s £ ° y = –x + 6 Así: C2 = s » r : ¢ £y=x+1

8 –x + 6 = x + 1 8 5 = 2x 8

(

5 7 5 7 8 y= 8 C2 , 2 2 2 2

8 x=

)

Y

r C2

D2

B

A t

60

X s

Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

UNIDAD

8

Página 211 AUTOEVALUACIÓN 1. Se consideran los puntos A(0, 1), B (4, 9) y C(– 4, k). a) Calcula las coordenadas de un punto P que divida al segmento AB en dos 8 18 partes tales que AP = PB. 3 b) Determina k para que el punto C sea el simétrico de B respecto de A. a) A(0, 1), B(4, 9), C(– 4, k) Sea P (x, y): 8

AP =

1 8 1 ° 3x = 4 – x 8 x = 1 ° PB 8 (x, y – 1) = (4 – x, 9 – y) 8 ¢ ¢ P(1, 3) 3 3 £ 3y – 3 = 9 – y 8 y = 3 £

b) A debe ser el punto medio de CB. (0, 1) =

(

4–4 9+k , 2 2

)

8 9 + k = 2 8 k = –7

2. Calcula la ecuación de estas rectas: a) Pasa por A(3, 2) y B (–2, 1), en forma paramétrica e implícita. b) Pasa por el origen de coordenadas y tiene pendiente m =

–1 , en forma 3

continua y explícita. 8

8

8

a) Vector dirección d = BA = (5, 1). Vector de posición: p (3, 2) ° x = 3 + 5t Ecuaciones paramétricas ¢ £y = 2 + t t = y – 2; x = 3 + 5(y – 2) = 3 + 5y – 10 8 x – 5y + 7 = 0 Ecuación implícita: x – 5y + 7 = 0 b) m = –

8 1 8 vector dirección: d (3, –1) 3

Ecuación continua: 3y = –x 8 y = –

x y = 3 –1

x 3

Ecuación explícita: y = –

x 3

Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

61

3. Halla las ecuaciones de las siguientes rectas: a) Pasa por P (2, –3) y es perpendicular a y =

–2 x + 1. 5

b) Es paralela a 2x + 3y + 1 = 0 y su ordenada en el origen es 2. 5 a) Una recta perpendicular a la dada tiene pendiente m = . Como ha de pasar por 2 P (2, –3), su ecuación es: 5 y + 3 = (x – 2) 8 2y + 6 = 5x – 10 8 5x – 2y – 16 = 0 2 b) Una recta paralela a 2x + 3y + 1 = 0 es 2x + 3y + k = 0. Como ha de pasar por (0, 2), debe ser k = – 6. La recta buscada es 2x + 3y – 6 = 0. 4. Escribe la ecuación del haz de rectas que pasa por (5, 1) y halla la recta de dicho haz que pasa por (0, 1). El haz de rectas que pasa por el punto (5, 1) es a (x – 5) + b (y – 1) = 0 La recta del haz que pasa por (0, 1) es la recta que pasa por (5, 1) y por (0, 1). Por tanto, su ecuación es: x y–1 = 8 y=1 5 0 5. Estudia la posición relativa de las rectas r y s y de las rectas r y t, donde: r : 3x + 5y – 34 = 0

s: y =

5 x 3

x=k t: °¢ y £ =2

• Posición relativa de r y s : 8

Vector dirección de r, dr (–5, 3) ° 8 r y s son perpendiculares. Vector dirección de s, ds (3, 5) ¢£ • Posición relativa de r y t : 8

Vector dirección de t, dt (1, 0)

° 8 r y t son secantes. Vector dirección de r, dr (–5, 3) ¢£

6. Calcula k para que las rectas r y s formen un ángulo de 60°, siendo r : y = 3; s: y = kx + 1. La recta r : y = 3 es paralela al eje de abscisas. Así, la tangente del ángulo que forman r y s coincide con la pendiente de s, que es igual a k. Es decir: — tg a = k ° — ¢ k = √3 tg 60° = √ 3 £

62

Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

UNIDAD

8

7. Considera los puntos A(0, k) y B (8, 5) y la recta r : 3x + 4y + 1 = 0. Determina el valor de k para que: a) La distancia entre A y B sea igual a 10. b) La distancia entre A y r sea 1. a) dist (A, B ) = √82 + (5 – k )2 = √64 + 25 + k 2 – 10k = 10 8 8 k 2 – 10k – 11 = 0

b) dist (A, r ) =

k = 11 k = –1

|3 · 0 + 4 · k + 1|

√32 + 42

=

|4k + 1| =1 5

Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

4k + 1 = 5 8 k = 1 4k + 1 = – 5 8 k = –3/2

63

9

LUGARES GEOMÉTRICOS. CÓNICAS

Página 213 REFLEXIONA Y RESUELVE Cónicas abiertas: parábolas e hipérbolas ■

Completa la siguiente tabla, en la que a es el ángulo que forman las generatrices con el eje, e, de la cónica y b el ángulo del plano π con e. b = 90°

b>a

b=a

ba

b=a

b 5 8 r1 es exterior a C. =

20 = 4 < 5 8 r2 y C se cortan en dos puntos. 5

25 = 5 8 r3 y C son tangentes. 5

2 = 2 < 5 8 r4 y C se cortan en dos puntos. 1

Página 219 1. Halla la potencia de P (–3, 8) a las circunferencias: C1: x 2 + y 2 – 14x + 20 = 0 C2: O (4, –3), r = 20 Di si P es interior o exterior a C1 y a C2. C1: x 2 + y 2 – 14x + 20 = 0 8 O1 = (7, 0), r1 = √49 – 20 = √29 C2: O (4, –3), r = 20 P (–3, 8) P (P a C1) = (7 + 3)2 + (0 – 8)2 – (√29 )2 = 100 + 64 – 29 = 135 > 0 8 8 P es exterior a C1. P (P a C2) = (4 + 3)2 + (–3 – 8)2 – (20)2 = 49 + 121 – 400 = –230 < 0 8 8 P es interior a C2. Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

5

2. Halla el eje radical de estas circunferencias: C1: x 2 + y 2 – 4x + 12y – 11 = 0 C2: x 2 + y 2 – 6y = 0 Comprueba que es una recta perpendicular a la línea de sus centros. Calculamos las potencias de un punto genérico P (x, y) a C1 y a C2: P (P a C1) = x 2 + y 2 – 4x + 12y – 11 = 0 ° ¢ Igualamos ambas expresiones: P (P a C2) = x 2 + y 2 – 6y = 0 £ x 2 + y 2 – 4x + 12y – 11 = x 2 + y 2 – 6y 8 –4x + 18y – 11 = 0 Ecuación del eje radical: 4x – 18y + 11 = 0 8 m =

4 2 = 18 9

Centro de C1 8 O1 = (2, –6) ° Ä8 O O = (–2, 9) 8 Centro de C2 8 O2 = (0, 3) ¢£ 1 2 8 La pendiente de la recta que une O1 y O2 es m' = – Como m ·m' =

9 . 2

()( )

2 9 · – = –1, el eje radical y la recta que une O1 y O2 son per9 2

pendiculares.

Página 221 1. Halla la ecuación de la elipse de focos F1(4, 0), F2(– 4, 0) y cuya constante es 10. Una vez puesta la ecuación inicial, pasa una raíz al segundo miembro, eleva al cuadrado (¡atención con el doble producto!), simplifica, aísla la raíz, vuelve a elevar al cuadrado y simplifica hasta llegar a la ecuación 9x 2 + 25y 2 = 225. Si P (x, y) es un punto de la elipse, entonces: dist (P , F1) + dist (P , F2) = 10 √(x – 4)2 + y 2 + √(x + 4)2 + y 2 = 10 √(x – 4)2 + y 2 = 10 – √(x + 4)2 + y 2 Elevamos al cuadrado: (x – 4)2 + y 2 = 100 + (x + 4)2 + y 2 – 20 √(x + 4)2 + y 2 Operamos: x 2 – 8x + 16 + y 2 = 100 + x 2 + 8x + 16 + y 2 – 20 √(x + 4)2 + y 2 20 √(x + 4)2 + y 2 = 16x + 100 5 √(x + 4)2 + y 2 = 4x + 25 Elevamos al cuadrado: 25 (x 2 + 8x + 16 + y 2) = 16x2 + 200x + 625 Simplificamos: 25x 2 + 200x + 400 + 25y 2 = 16x 2 + 200x + 625 8 9x 2 + 25y 2 = 225

6

Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

UNIDAD

9

2. Halla la ecuación de la hipérbola de focos F1(5, 0), F2(–5, 0) y cuya constante es 6. Simplifica como en el ejercicio anterior hasta llegar a la expresión 16x 2 – 9y 2 = 144. Si P (x, y) es un punto de la hipérbola, entonces: |dist (P , F1) – dist (P , F2)| = 6 dist (P , F1) – dist (P , F2) = ±6 √(x – 5)2 + y 2 – √(x + 5)2 + y 2 = ±6 √(x + 5)2 + y 2 = ±6 + √(x + 5)2 + y 2 Elevamos al cuadrado: x 2 – 10x + 25 + y 2 = 36 + x 2 + 10x + 25 + y 2 ± 12 √(x + 5)2 + y 2 ±12 √(x + 5)2 + y 2 = 20x + 36 ±3 √(x + 5)2 + y 2 = 5x + 9 Elevamos al cuadrado: 9 (x 2 + 10x + 25 + y 2) = 25x 2 + 90x + 81 9 x 2 + 90x + 225 + 9y 2 = 25x 2 + 90x + 81 16x 2 – 9y 2 = 144 3. Halla la ecuación de la parábola de foco F (–1, 0) y directriz r: x = 1. Simplifica hasta llegar a la expresión y 2 = – 4x. Si P (x, y) es un punto de la parábola, entonces: dist (P , F) = dist (P , r) √(x + 1)2 + y 2 = |x – 1| Elevamos al cuadrado: x 2 + 2x + 1 + y 2 = x 2 – 2x + 1 Simplificamos: y 2 = –4x

Página 223 1. Una elipse tiene sus focos en los puntos F (5, 0) y F' (–5, 0) y su constante es k = 26. Halla sus elementos característicos y su ecuación reducida. Represéntala. • Semieje mayor: k = 26 8 2a = 26 8 a = 13 — • Semidistancia focal: FF' = 10 8 2c = 10 8 c = 5 • Semieje menor: b 2 = a 2 – c 2 = √169 – 25 =

12

= √144 = 12 8 b = 12 • Excentricidad:

c 5 = ≈ 0,38 8 a 13

–13

F'

F

13

8 exc ≈ 0,38 • Ecuación reducida:

x2 y2 + =1 169 144

Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

–12

7

Página 224 2. Representa y di su excentricidad: (x + 5)2 ( y – 2)2 + =1 16 4 c = √16 – 4 = √12 2

exc =

√ 12 ≈ 0,87 4

–5

3. Representa y di su excentricidad: (x – 3)2 ( y – 7)2 + =1 16 64

c = √64 – 16 = √48 exc =

√ 48 ≈ 0,87

7

8

3

Página 226 1. Una hipérbola tiene sus focos en los puntos F1 (5, 0) y F2 (–5, 0) y su constante es k = 6. Halla sus elementos característicos y su ecuación reducida. Represéntala. • Semieje: k = 2a = 6 8 a = 3 — • Semidistancia focal: F1F2 = 10 8 c = 5

4

• Cálculo de b: b 2 = c 2 – a 2 8 8 b = √25 – 9 = √16 = 4 8 b = 4 • Excentricidad: exc = • Asíntotas: y =

F1

–3

3

F2

4 4 x; y = – x 3 3

• Ecuación reducida:

8

c 5 = ≈ 1,67 a 3

x2 y2 – =1 9 16

–4

Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

UNIDAD

9

Página 227 2. Representa:

(x + 5)2 ( y – 2)2 – =1 16 4

2

–5

3. Representa:

( y – 7)2 (x – 3)2 – =1 64 16

7

3

Página 228 1. Halla la ecuación reducida de la parábola de foco x = –1,5.

F (1,5; 0)

y directriz

Si P (x, y) es un punto de la parábola: dist (P, F) = dist (P, d), donde d es la directriz y F el foco. √(x – 1,5) 2 + y 2 = |x + 1,5| x 2 – 3x + 2,25 + y 2 = x 2 + 3x + 2,25 8 y 2 = 6x • De otra forma: Distancia del foco a la directriz: p = 3 Ecuación reducida: y 2 = 6x Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

9

2. Halla la ecuación reducida de la parábola de foco F (0, 2) y directriz y = –2. Si P (x, y) es un punto de la parábola: dist (P, F) = dist (P, d), donde d es la directriz y F el foco. √x 2 + (y – 2) 2 = |y + 2| x 2 + y 2 – 4y + 4 = y 2 + 4y + 4 8 x 2 = 8y • De otra forma: Distancia del foco a la directriz: p = 4 Ecuación reducida: x 2 = 8y

10

Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

UNIDAD

9

Página 235 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR

Lugares geométricos 1 Halla, en cada caso, el lugar geométrico de los puntos que equidistan de A y B. a) A (5, –3) B (2, 0) b) A (3, 5) B (– 4, 5) c) A (2, 7) B (2, –1) a) √(x – 5)2 + (y + 3)2 = √(x – 2)2 + y 2

8

8 x 2 – 10x + 25 + y 2 + 6y + 9 = x 2 – 4x + 4 + y 2 8 8 –6x + 6y + 30 = 0 8 –x + y + 5 = 0. Es la mediatriz de AB. b) √(x – 3)2 + (y – 5)2 = √(x + 4)2 + (y – 5)2 8 8 x 2 – 6x + 9 = x 2 + 8x + 16 8 –14x – 7 = 0 8 2x + 1 = 0 c) √(x – 2)2 + (y – 7)2 = √(x – 2)2 + (y + 1)2 8 8 y 2 – 14y + 49 = y 2 + 2y + 1 8 –16y + 48 = 0 8 y – 3 = 0 2 Halla el lugar geométrico de los puntos P (x, y) cuya diferencia de cuadrados de distancias a los puntos A (0, 0) y B (6, 3) es 15. ¿Qué figura obtienes? [dist (P, A )] 2 – [dist (P, B )] 2 = 15 x 2 + y 2 – [(x – 6)2 + (y – 3)2] = 15 Desarrollamos y simplificamos: x 2 + y 2 – x 2 – 36 + 12x – y 2 – 9 + 6y = 15 8 8 12x + 6y – 60 = 0 8 r : 2x + y – 10 = 0 Veamos que la recta obtenida es perpendicular al segmento AB: 8

AB = (6, 3) 8 pendiente: mAB =

3 1 = 6 2

La pendiente de r es mr = –2. mAB · mr =

8 1 (–2) = –1 8 AB 2 r 2

Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

11

3 Halla el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a la recta 4x – 3y + 11 = 0 es 6. ☛ El valor absoluto dará lugar a dos rectas. P (x, y ) cumple que dist (P, r ) = 6 8

|4x – 3y + 11|

√ 16 + 9

=6 8

° 4x – 3y + 11 = 30 ° r : 4x – 3y – 19 = 0 8 |4x – 3y + 11| = 30 8 ¢ 8 ¢ 1 4x – 3y + 11 = –30 £ £ r2 : 4x – 3y + 41 = 0 Son dos rectas paralelas entre sí y paralelas, a su vez, a la recta dada. 4 Halla el lugar geométrico de los puntos que equidistan de las rectas: r : 3x – 5y + 11 = 0

s: 3x – 5y + 3 = 0

Interpreta las líneas obtenidas. P (x, y ) donde d (P, r ) = d (P, s ) 8

|3x – 5y + 11| |3x – 5y + 3| = 8 √ 34 √ 34

° 8 ¢ 3x – 5y + 11 = 3x – 5y + 3 8 11 = 3 ¡¡Imposible!! £ 3x – 5y + 11 = –3x + 5y – 3 8 6x – 10y + 14 = 0 8 r : 3x – 5y + 7 = 0 Es una recta paralela a las dos rectas dadas que, a su vez, son paralelas entre sí, como puede verse por sus coeficientes, pues: B C A 11 = =1? = B' C' A' 3 5 Halla las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos que forman las rectas r y s: r : 4x – 3y + 8 = 0

s : 12x + 5y – 7 = 0

Son todos los puntos P (x, y ) tales que d (P, r ) = d (P, s ): |4x – 3y + 8|

√ 25

=

|12x + 5y – 7|

√ 169

8

|4x – 3y + 8| 5

=

|12x + 5y – 7| 13

8

° 13 (4x – 3y + 8) = 5 (12x + 5y – 7) 8 ¢ 8 £ 13 (4x – 3y + 8) = –5 (12x + 5y – 7) ° 52x – 39y + 104 = 60x + 25y – 35 8 ¢ 8 £ 52x – 39y + 104 = –60x – 25y + 35 Luego hay dos soluciones, bisectrices de los ángulos cóncavo y convexo que forman las rectas r y s. Ambas bisectrices se cortan en el punto de corte de las rectas r y s, y son perpendiculares.

12

° 8x + 64y – 139 = 0 ¢ £ 112x – 14y + 69 = 0

r

s

Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

UNIDAD

9

Circunferencia 6 ¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos que distan 5 unidades del punto P (–3, 2)? Represéntalo gráficamente y halla su ecuación. Es una circunferencia de centro P (–3, 2) y radio 5. Ecuación:(x + 3) 2 + (y – 2) 2 = 25 x 2 + y 2 + 6x – 4y – 12 = 0

(–3, 2)

7 Escribe las ecuaciones de las circunferencias de centro C y radio r. a) C = (0, 0), r = √5 b) C = (2, 0), r = 5/2 c) C = (–2, –3/2), r = 1/2

( )2

a) (x – 0)2 + (y – 0)2 = √5

() ) ()

b) (x – 2)2 + (y – 0)2 =

(

c) (x + 2)2 + y +

3 2

2

=

5 2

1 2

2

2

8 x2 + y2 = 5 8 4x 2 + 4y 2 – 16x – 9 = 0 8 x 2 + y 2 + 4x + 3y + 6 = 0

8 Averigua cuáles de las siguientes expresiones corresponden a circunferencias y, en ellas, halla su centro y su radio: a) x 2 + y 2 – 8x + 2y + 10 = 0 b) x 2 – y 2 + 2x + 3y – 5 = 0 c) x 2 + y 2 + xy – x + 4y – 8 = 0 d) 2x 2 + 2y 2 – 16x + 24 = 0 e) x 2 + y 2 + 6x + 10y = –30 a) Los coeficientes de x 2 e y 2 son 1. No hay término en xy.

( A2 ) + ( B2 ) 2

2

– C = 16 + 1 – 10 = 7 > 0

Es una circunferencia de centro (4, –1) y radio √7 . b) Los coeficientes de x 2 e y 2 no son iguales. No es una circunferencia. c) Hay un término xy. No es una circunferencia. Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

13

d) Los coeficientes de x 2 e y 2 son iguales y no tiene término en xy. Dividimos entre 2 la igualdad: x 2 + y 2 – 8x + 12 = 0.

( A2 ) + ( B2 ) 2

2

– C = 16 + 0 – 12 = 4 > 0

Es una circunferencia de centro (4, 0) y radio √4 = 2. e) Los coeficientes de x 2 e y 2 son 1. No hay término en xy.

( A2 ) + ( B2 ) 2

2

– C = 9 + 25 – 30 = 4 > 0

Es una circunferencia de centro (–3, –5) y radio 2. 9 Escribe las ecuaciones de las siguientes circunferencias: a) Centro en C (–2, 1) y pasa por el punto P (0, – 4). — b) Uno de sus diámetros es el segmento AB donde A (1, 2) y B (3, 6). c) Centro en C (–1, –5) y es tangente a la recta x – 4 = 0. d) Centro en C (3, 5) y es tangente a la recta 4x + 3y – 2 = 0. 8

a) Radio = |CP | = √(0 + 2)2 + (–4 – 1)2 = √29 Ecuación: (x + 2)2 + (y – 1)2 = 29 b) Centro: Punto medio de AB 8 Radio =

(

)

1+3 2+6 , = (2, 4) 2 2

8 √(3 – 1)2 + (6 – 2)2 √20 |AB| = = = √5 2 2 2

Ecuación: (x – 2)2 + (y – 4)2 = 5 c) Radio: Distancia de C (–1, –5) a la recta x – 4 = 0. R=

|–1 – 4|

√1

=5

Ecuación: (x + 1)2 + (y + 5)2 = 25 d) Radio: dist (C, r ) =

|4 · 3 + 3 · 5 – 2|

√42 + 32

=

25 =5 5

Ecuación: (x – 3)2 + (y – 5)2 = 25

Posiciones relativas de rectas y de circunferencias 10 Estudia la posición de la recta x + y = 0 con relación a la circunferencia: x 2 + y 2 + 6x + 2y + 6 = 0 El centro de la circunferencia es C (–3, –1) y su radio es r = √9 + 1 – 6 = √4 = 2.

14

Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

UNIDAD

9

Hallamos la distancia de C a la recta s: x + y = 0: d = dist (C, s) =

|–3 – 1| 4 4√2 = = = 2 √2 ≈ 2,83 > 2 = r 2 √2 √2

La recta es exterior a la circunferencia. 11 Estudia la posición relativa de la circunferencia x 2 + y 2 – 6x – 4y + 9 = 0 respecto de cada una de las siguientes rectas: r1: 2x – y – 2 = 0 r2: x + y – 1 = 0 r3: 3x – 4y + 9 = 0 • Hallamos el centro y el radio de la circunferencia: x 2 – 6x + 9 + y 2 – 4y + 4 = –9 + 9 + 4 8 (x – 3)2 + (y – 2)2 = 4 C (3, 2), R = 2 • Calculamos la distancia del centro a cada una de las rectas y la comparamos con el radio: dist (C, r1) =

|2 · 3 – 2 – 2| 2 = < 2 8 r1 es secante. √4 + 1 √5

dist (C, r2) =

|3 + 2 – 1| 4 = = 2√2 > 2 8 r2 es exterior. 2 2 √1 + 1 √2

dist (C, r3) =

10 |3 · 3 – 4 · 2 + 9| = = 2 8 r3 es tangente. 2 2 5 √ 3 + (–4)

12 ¿Para qué valor de b la recta y = x + b es tangente a la circunferencia x 2 + y 2 = 1? El centro de la circunferencia es C (0, 0) y su radio es r = 1. Hallamos la distancia de C a la recta s: x – y + b = 0: d = dist (C, s) =

|b| √2

Para que la recta sea tangente a la circunferencia, ha de ser d = r, es decir: |b| = 1 8 |b| = √2 √2

b = √2 b = –√ 2

13 Calcula la distancia del centro de la circunferencia x 2 + y 2 – 2y – 1 = 0 a la recta r: 2x – y + 3 = 0. ¿Cuál es la posición de r respecto a la circunferencia? El centro de la circunferencia es C (0, 1) y su radio es R = √2 . La distancia de C a r es: dist (C, r) =

|–1 + 3| 2 = ≈ 0,89 < √2 ≈ 1,41 √5 √5

Luego la circunferencia y la recta son secantes. Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

15

Potencia de un punto a una circunferencia 14 Calcula la potencia de los puntos P (5, 2), Q (2, 1) y R (–1, 0) a la circunferencia: C: x 2 + y 2 – 6x – 4y + 9 = 0. Utilízalo para estudiar la posición relativa de P, Q y R respecto de C. C: x 2 + y 2 – 6x – 4y + 9 = 0 8 O (3, 2), r = 2 P (5, 2) 8 P = (5 – 3)2 + (2 – 2)2 – 4 = 0 = 0; por tanto, P pertenece a C. Q(2, 1) 8 P = (2 – 3)2 + (1 – 2)2 – 4 = –2 < 0; por tanto, P es un punto interior a C. R (–1, 0) 8 P = (–1 – 3)2 + (0 – 2)2 – 4 = 16 > 0; por tanto, P es un punto exterior a C.

Página 236 15 Halla el eje radical de los siguientes pares de circunferencias: a) C1: (x + 4)2 + (y – 1)2 = 4 C2: (x + 4)2 + (y + 2)2 = 1 b) C3: (x – 2)2 + (y – 3)2 = 9 C4: (x – 6)2 + (y – 3)2 = 4 c) C5: (x + 4)2 + (y + 3)2 = 1 C6: (x – 6)2 + (y + 1)2 = 1 Represéntalo. a) C1: (x + 4)2 + (y – 1)2 – 4 = 0 ° ¢ Igualamos: C2: (x + 4)2 + (y + 2)2 – 1 = 0 £

C1

(x + 4)2 + (y – 1)2 – 4 = (x + 4)2 + (y + 2)2 – 1 8

(–4, 1)

8 y 2 – 2y + 1 – 4 = y 2 + 4y + 4 – 1 8 8 –6y – 6 = 0 8 y = –1. Eje radical.

y = –1

(–4, –2) C2

b) C3: (x – 2)2 + (y – 3)2 – 9 = 0 ° ¢ Igualamos: C4: (x – 6)2 + (y – 3)2 – 4 = 0 £ (x – 2)2 + (y – 3)2 – 9 = (x – 6)2 + (y – 3)2 – 4 8 x 2 + 4 – 4x – 9 = x 2 + 36 – 12x – 4 8 37 8 8x – 37 = 0 8 x = . Eje radical. 8

C3 C4 (2, 3)

(6, 3)

37 x=— 8

16

Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

UNIDAD

9

c) C5: (x + 4)2 + (y + 3)2 – 1 = 0 ° ¢ Igualamos: C6: (x – 6)2 + (y + 1)2 – 1 = 0 £ (x + 4)2 + (y + 3)2 – 1 = (x – 6)2 + (y + 1)2 – 1 8 8 x 2 + 8x + 16 + y 2 + 6y + 9 – 1 = x 2 – 12x + 36 + y 2 + 2y + 1 – 1 8 8 20x + 4y – 12 = 0 8 5x + y – 3 = 0. Eje radical.

C6

C5

(6, –1)

(–4, –3)

5x + y – 3 = 0

Elipse 16 Halla los vértices, los focos, las excentricidades, y representa las elipses dadas por sus ecuaciones: a)

x2 y2 + =1 100 36

b)

c) 9x 2 + 25y 2 = 25

x2 y2 + =1 64 100

d) 9x 2 + 4y 2 = 1

a) Vértices: (10, 0); (–10, 0); (0, 6) y (0, –6) 6

Focos: c = √100 – 36 = 8 F (8, 0) y F ' (–8, 0)

–10

F'

F

8 Excentricidad: exc = = 0,8 10

10

–6

10

b) Vértices: (8, 0); (–8, 0); (0, 10) y (0, –10) Focos: c = √100 – 64 = √36 = 6

F

F (0, 6) y F ' (0, –6) Excentricidad: exc =

6 = 0,6 10

–8

8 F' –10

Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

17

c) 9x 2 + 25y 2 = 25 8 Vértices:

x2 y2 + =1 25/9 1

( )(

)

1

5 5 , 0 ; – , 0 ; (0, 1) y (0, –1) 3 3

√

Focos: c =

25 –1 = 9

( )

√

(

16 4 = 3 9

F 4 , 0 y F' – 4 , 0 3 3

–5 — F' 3

F

5 — 3

–1

)

Excentricidad: exc = 4/3 = 4 = 0,8 5/3 5 d) 9x 2 + 4y 2 = 1 8 Vértices:

x2 y2 + =1 1/9 1/4

1 — 2

( )( ) ( ) ( ) 1 2

0,

Focos: c =

F

1 1 ,0; – ,0; 3 3

√

y 0, –

√ ) (

1 1 —–—= 4 9

(

F 0,

√5 6

–1 — 3

1 2

F'

5 √5 = 6 36

y F ' 0, –

√5 6

1 — 3

–1 — 2

)

17 Halla las ecuaciones de las elipses determinadas de los modos siguientes: a) Focos (–2, 0), (2, 0). Longitud del eje mayor, 10. b) F (–3, 0) y F' (3, 0) y cuya excentricidad es igual a 0,5. c) Eje mayor sobre el eje X, igual a 10. Pasa por el punto (3, 3). d) Eje mayor sobre el eje Y e igual a 2. Excentricidad, 1/2. a) c = 2; 2a = 10 8 a = 5; b = √a 2 – c 2 = √25 – 4 = √21 Ecuación:

x2 y2 + =1 25 21

b) c = 3; exc =

c c 3 = 0,5 8 a = = =6 a 0,5 0,5

b 2 = a 2 – c 2 = 36 – 9 = 27 Ecuación:

18

x2 y2 + =1 36 27 Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

UNIDAD

c) 2a = 10 8 a = 5;

2 x2 + y =1 2 25 b

Como pasa por (3, 3) 8

9 + 9 = 1 8 9b 2 + 225 = 25b 2 8 25 b2

8 16b 2 = 225 8 b 2 = Ecuación:

d) exc =

225 16

x2 y2 x2 16y 2 + = 1, o bien, + =1 25 225/16 25 225

c 1 = 1 2

8 c=

b2 = a2 – c2 = 1 – Ecuación:

9

1 (a = 1, pues 2a = 2) 2

1 3 = 4 4

x2 y2 4x 2 + = 1, o bien, + y2 = 1 3/4 1 3

18 Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a P (– 4, 0) y Q (4, 0) es 10. Es una elipse de focos P (–4, 0) y Q (4, 0), y constante k = 10, es decir, 2a = 10 y c = 4. Así: a = 5; b 2 = a 2 – c 2 = 25 – 16 = 9 La ecuación será:

x2 y2 + =1 25 9

19 Escribe la ecuación de la elipse que tiene por focos los puntos F (0, 1) y F ' (0, –1), y cuya constante es igual a 4. Si P (x, y) es un punto de la elipse, entonces: dist (P, F ) + dist (P, F' ) = 2a, es decir:

√x 2 + (y – 1)2 + √x 2 + (y + 1)2 = 4 8 8 x 2 + (y – 1)2 = 16 + x 2 + (y + 1)2 – 8√x 2 + (y + 1)2 8 8 x 2 + y 2 – 2y + 1 = 16 + x 2 + y 2 + 2y + 1 – 8√x 2 + (y + 1)2 8 8 –4y – 16 = –8√x 2 + (y + 1)2 8 (4y + 16)2 = 64 [x 2 + (y + 1)2] 8 8 16y 2 + 256 + 128y = 64x 2 + 64y 2 + 64 + 128y 8 8 192 = 64x 2 + 48y 2 8

Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

x2 y2 + =1 3 4

19

• De otra forma: El centro de la elipse es el punto medio del segmento que une F con F', es decir: (0, 0) Por otra parte: 8

2c = dist (F, F') = | F'F | = |(0, 2)| = 2 8 c = 1 2a = 4 8 a = 2 8 a 2 = 4 b2 = a2 – c2 = 4 – 1 = 3 Por tanto, la ecuación es:

x2 y2 + =1 3 4

20 Halla la ecuación de la elipse que pasa por el punto (3, 1) y tiene sus focos en (4, 0) y (– 4, 0). 2 2 La ecuación es: x + y = 1 a2 b2

• Como pasa por (3, 1) 8

9 + 1 =1 a2 b2

• Como a 2 = b 2 + c 2 y sabemos que c = 4 8 a 2 = b 2 + 16 Teniendo en cuenta las dos condiciones anteriores: 9 + 1 = 1 8 9b 2 + b 2 + 16 = b 4 + 16b 2 8 b 4 + 6b 2 – 16 = 0 b2 + 16 b 2 b2 =

–6 ± √ 36 + 64 –6 ± √ 100 –6 ± 10 = = 2 2 2

b2 = 2 b 2 = –8 (No vale)

Así: a 2 = 2 + 16 = 18 Por tanto, la ecuación de la elipse será:

x2 y 2 + =1 18 2

Hipérbola 21 Halla los vértices, los focos, las excentricidades y las asíntotas, y dibuja las hipérbolas dadas por las ecuaciones: a)

x2 y2 – =1 100 36

c) x 2 – 4y 2 = 1 e)

y2 x 2 – =1 4 36

g) 9x 2 – 4y 2 = 36

20

b)

9x 2 – y2 = 1 16

d) x 2 – 4y 2 = 4 f ) y 2 – 16x 2 = 16 h)4x 2 – y 2 + 16 = 0

Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

UNIDAD

a) a = 10, b = 6, c = √a 2 + b 2 = √136 = 2 √34 , exc =

9

2 √ 34 ≈ 1,17 10

Vértices: (10, 0) y (–10, 0) Focos: F (2 √34 , 0) y F' (–2 √34 , 0) Asíntotas: y =

3 3 x; y = – x 5 5

6

F' –10

10 F –6

b)

9x 2 – y2 = 1 8 16 a=

x2 y2 – =1 16/9 1

√ ( ) ( ) ( ) ( )

16 + 1 = 5 , exc = 5/3 = 5 = 1,25 9 3 4/3 4

4 , b = 1, c = 3

Vértices: Focos: F

4 4 ,0 y – ,0 3 3

5 5 , 0 y F' – , 0 3 3

Asíntotas: y =

3 3 x; y = – x 4 4

1

F'

–4 — 3

4 — 3

F

–1

c) x 2 – 4y 2 = 1 8 a = 1, b =

1 , c= 2

x2 y2 – =1 1 1/4

√

Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

1+

1 4

=

√ 5 , exc = √ 5/2 = √ 5 ≈ 1,12 2

1

2

21

Vértices: (1, 0) y (–1, 0). Focos: F Asíntotas: y =

(√ )

(

)

5 √5 , 0 , 0 y F' – 2 2

1 1 x; y = – x 2 2

1 — 2 F' –1

1 F –1 — 2

d) x 2 – 4y 2 = 4 8

x2 y2 – =1 4 1

a = 2, b = 1, c = √4 + 1 = √5 , exc =

√ 5 ≈ 1,12 2

Vértices: (2, 0) y (–2, 0) Focos: F ( √5 , 0) y F' (– √5 , 0) Asíntotas: y =

1 1 x; y = – x 2 2

1

F' –2

2 F –1

e) Vértices: (0, 2) y (0, –2) Focos: F (0, √40 ) y F' (0, – √40 ) exc =

√ 40 ≈ 3,16. Asíntotas: y = 1 x; y = – 1 x 2

3

3

F 2 –6

6 –2 F'

22

Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

UNIDAD

f) y 2 – 16x 2 = 16 8

y2 x2 – =1 16 1

9

F

Vértices: (0, 4) y (0, – 4)

4

Focos: F (0, √17 ) y F' (0, – √17 ) exc =

√ 17 ≈ 1,03

–1

1

4

Asíntotas: y = 4x; y = – 4x

–4 F'

g) 9x 2 – 4y 2 = 36 8

x2 y2 – =1 4 9

Vértices: (2, 0) y (–2, 0)

3

Focos: F ( √13 , 0) y F' (– √13 , 0) exc =

F' – 2

√ 13 ≈ 1,80

2

F

2

Asíntotas: y =

–3

3 3 x; y = – x 2 2

y2 x2 – =1 16 4

h) 4x 2 – y 2 + 16 = 0 8 y 2 – 4x 2 = 16 8 Vértices: (0, 4) y (0, – 4) Focos: F ( √20 , 0) y F' (– √20 , 0) exc =

√ 20 ≈ 1,12 4

Asíntotas: y = 2x; y = – 2x

F 4

–2

2

–4 F'

Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

23

22 Halla las ecuaciones de las hipérbolas determinadas de los modos siguientes: a) Focos (–4, 0), (4, 0). Distancia entre vértices, 4. b) Asíntotas, y = ±

1 x. Vértice, (2, 0). 5

c) Asíntotas, y = ± 3x. Pasa por el punto (2, 1). d) Focos (–3, 0), (3, 0). Excentricidad, 3. a) c = 4; 2a = 4 8 a = 2; b = √c 2 – a2 = √16 – 4 = √12 La ecuación es:

b) a = 2;

b 1 = a 5

Ecuación:

c)

x2 y2 – =1 4 12 8

b 1 = 2 5

x2 – y 2 = 1 a2 9a2 4 – 1 = 1 8 36 – 1 = 9a 2 a 2 9a 2

Como pasa por (2, 1) 8 35 = 9a 2 8 a 2 =

d) c = 3,

2 5

x2 y2 x 2 25y 2 – = 1, o bien, – =1 4 4/25 4 4

b = 3 8 b = 3a 8 a

Ecuación:

8 b=

35 9

8 b 2 = 9a 2 = 35

x2 y2 9x 2 y2 – = 1, o bien, – =1 35/9 35 35 35

c 3 = =3 8 a=1 a a

b2 = c2 – a2 = 9 – 1 = 8 Ecuación:

x2 y2 – =1 1 8

23 Halla el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a F' (– 4, 0) y F (4, 0) es 6. Es una hipérbola de focos F y F' y constante 2a = 6. Por tanto, a = 3, c = 4, b 2 = c 2 – a 2 = 16 – 9 = 7. La ecuación es:

24

x2 y2 – =1 9 7

Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

UNIDAD

9

24 Halla la ecuación de la hipérbola que tiene por focos los puntos F (–3, 0) y F' (3, 0) y que pasa por el punto P (8, 5 √3 ). • Hallamos la constante de la hipérbola: |dist (P, F ) – dist (P, F' )| = 2a 8

8

|| FP | – | F'P || = 2a 8 ||(11, 5 √3 )| – |(5, 5 √3 )|| = 2a √121 + 75 – √25 + 75 = 2a 8 14 – 10 = 2a 8 4 = 2a 8 a = 2 • Como a = 2 y c = 3, entonces b 2 = c 2 – a 2 = 9 – 4 = 5. • La ecuación es:

x2 y2 – =1 4 5

Parábola 25 Halla los vértices, los focos y las directrices de las siguientes parábolas, y represéntalas: a) y 2 = 6x

b) y 2 = – 6x

c) y = x 2

d) y =

e) y 2 = 4 (x – 1)

f ) ( y – 2)2 = 8x

g) x 2 = 4 (y + 1)

h)(x – 2)2 = – 6y

a)

y 2 = 2px ° 2p = 6 8 p = 3 8 y 2 = 6x ¢£

x2 4

p 3 = 2 2

Vértice: (0, 0) Foco:

( ) 3 ,0 2

1

Directriz: x = –

1F

3 2

b) Vértice: (0, 0)

(

Foco: –

3 ,0 2

)

Directriz: x =

1

3 2

Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

F

1

25

c) Vértice: (0, 0)

( )

Foco: 0,

1 4

Directriz: y = –

1

1 4

F 1

d) Vértice: (0, 0) Foco: (0, 1) Directriz: y = –1

F 1 1

e) Vértice: (1, 0) Foco: (2, 0)

1 1

Directriz: x = 0

F

f) Vértice: (0, 2) Foco: (2, 2) 2

F

Directriz: x = –2 2

g) Vértice: (0, –1) F

Foco: (0, 0) Directriz: y = –2

26

–1

Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

UNIDAD

h) Vértice: (2, 0)

(

Foco: 2, –

3 2

3 — 2

)

Directriz: y =

9

2

3 2

–3 — 2

F

26 Halla las ecuaciones de las parábolas determinadas de los siguientes modos: a) Directriz, x = –5. Foco, (5, 0). b) Directriz, y = 3. Vértice, (0, 0). c) Vértice (0, 0) y pasa por (2, 3). (2 soluciones). a)

p = 5 8 p = 10 8 2p = 20. Ecuación: y 2 = 20x 2

b) El foco será F (0, –3). Si P (x, y) es un punto de la parábola y d: y – 3 = 0 es la directriz, entonces: dist (P, F ) = dist (P, d) 8

√x 2 + (y + 3) 2 = |y – 3| 8

8 x 2 + y 2 + 6y + 9 = y 2 – 6y + 9 8 x 2 = –12y c) Hay dos posibilidades: I) Eje horizontal: y 2 = 2px. Como pasa por (2, 3), entonces: 9 = 4p 8 p =

9 4

8 y2 =

9 x 2

II) Eje vertical: x 2 = 2py. Como pasa por (2, 3), entonces: 4 = 6p 8 p =

4 2 = 6 3

8 x2 =

4 y 3

27 Halla el lugar geométrico de los puntos que equidistan del punto (3, 0) y de la recta y = –3. Es una parábola cuyo foco es F (3, 0) y cuya directriz es d: y + 3 = 0. Si P (x, y) es un punto de la parábola, entonces: √(x – 3) 2 + y 2 = |y + 3| 8

dist (P, F ) = dist (P, d) 8

8 x 2 – 6x + 9 + y 2 = y 2 + 6y + 9 8 y =

(

O bien: (x – 3) 2 = 6 y +

Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

3 2

)

x2 –x 6

27

28 Escribe la ecuación de la parábola de foco F (2, 1) y directriz y + 3 = 0. Si P (x, y) es un punto de la parábola, F (2, 1) el foco, y d: y + 3 = 0 la directriz, entonces: dist (P, F ) = dist (P, d) 8

√(x – 2) 2 + (y – 1) 2 = |y + 3| 8

8 (x – 2) 2 + (y – 1) 2 = (y + 3) 2 8 8 (x – 2) 2 + y 2 – 2y + 1 = y 2 + 6y + 9 8 8 (x – 2) 2 = 8y + 8 8 (x – 2) 2 = 8(y + 1)

Página 237 PARA RESOLVER 29 Identifica las siguientes cónicas, calcula sus elementos característicos y dibújalas: a) 4x 2 + 9y 2 = 36

b) 16x 2 – 9y 2 = 144

c) 9x 2 + 9y 2 = 25

d) x 2 – 4y 2 = 16

e) y 2 = 14x

f ) 25x 2 + 144y 2 = 900

a) 4x 2 + 9y 2 = 36 8

2

x2 y2 + =1 9 4

Es una elipse 8 a = 3, b = 2, c = √5 –3

√ 5 ≈ 0,75 exc =

F'

F

3

3

–2

b) 16x 2 – 9y 2 = 144 8

x2 y2 – =1 9 16

5 ° a = 3, b = 4, c = 5; exc = — ≈ 1,67 § 3 Es una hipérbola 8 ¢ 4 4 § Asíntotas: y = — x ; y = –— x 3 3 £

4

F'

–3

3

F

–4

28

Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

UNIDAD

c) 9x 2 + 9y 2 = 25 8 x 2 + y 2 =

25 9

9

5/3

Es una circunferencia de centro (0, 0) 5 y radio . 3

– 5/3

5/3

– 5/3

d) x 2 – 4y 2 = 16 8

x2 y2 – =1 16 4 —

—

— ° 2√ 5 —— √5 = ≈ 1,12 § a = 4, b = 2, c = 2 √ 5 ; exc = —— 4 2 Es una hipérbola 8 ¢ 1 x 1 § Asíntotas: y = — ; y=–—x £ 2 2

2

F' – 4

4 F –2

e) Es una parábola. Vértice: (0, 0) Foco:

( ) 7 ,0 2

Directriz: x = –

7 2

1 1

Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

F

29

f) 25x 2 + 144y 2 = 900 8

x2 y2 – =1 36 25/4

Es una elipse 8 a = 6, b = exc =

√ 119 5 , c= 12 2

√ 119 ≈ 0,91 12

5/2

– 6 F'

F

6

– 5/2

30 Escribe la ecuación de una elipse con centro en el origen de coordenadas y focos en el eje de abscisas, sabiendo que pasa por el punto P (8, –3) y que su eje mayor es igual al doble del menor. El eje mayor es igual al doble del menor, es decir: a = 2b. Además, pasa por el punto P (8, –3). Luego: x2 + y 2 = 1 8 a2 b2

64 + 9 = 1 8 4b 2 b 2

16 + 9 = 1 8 b2 b2

25 = 1 8 b2

8 25 = b 2; a 2 = 4b 2 = 100 La ecuación es:

x2 y2 + =1 100 25

31 Halla la ecuación de la hipérbola que tiene el centro en el origen de coordenadas y los focos en el eje de abscisas, sabiendo que pasa por el punto P (√5/2 , 1) y que una de sus asíntotas es la recta y = 2x. La pendiente de la asíntota es

b = 2 8 b = 2a a

2 2 Luego x – y = 1 es la ecuación. 2 a 4a2

Como pasa por el punto P ( √5/2 , 1), entonces: 5/2 – 1 = 1 8 10 – 1 = 4a 2 8 9 = 4a 2 8 a 2 = 9 4 a2 4a 2 La ecuación será:

30

8 b 2 = 4a 2 = 9

x2 y2 4x 2 y2 – = 1, es decir: – =1 9/4 9 9 9 Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

UNIDAD

9

32 Se llama hipérbola equilátera a aquella en que a = b. Halla la ecuación de la hipérbola equilátera cuyos focos son (5, 0) y (–5, 0). 2 2 La ecuación será: x – y = 1 2 2 a a

Como c 2 = a 2 + b 2, y sabemos que c = 5 y que a 2 = b 2, entonces: 25 2

25 = 2a 2 8 a 2 = Por tanto, la ecuación es:

25 x2 y2 – = 1, o bien, x 2 – y 2 = 2 25/2 25/2

3 33 Halla la ecuación de la hipérbola cuyas asíntotas son las rectas y = ± x y 5 los focos (2, 0) y (–2, 0). • Si los focos son (2, 0) y (–2, 0), entonces c = 2. • Si las asíntotas son y = ±

3 b 3 x, entonces: = 5 a 5

• Como c 2 = a 2 + b 2, tenemos que a 2 + b 2 = 4. • Teniendo en cuenta los dos últimos resultados: 3 b=—a 5 a2 + b2 = 4

34a 2

9

° a 2 + — a 2 = 4 8 —— = 4 8 25 25 § ¢ 100 50 § a 2 = —— = — 8 b 2 = 4 – a 2 = £ 34 17

• Por tanto, la ecuación será:

34a 2 = 100 18 — 17

x2 y2 17x 2 17y 2 – = 1, o bien, – =1 50/17 18/17 50 18

34 Halla las ecuaciones de las siguientes parábolas: a) Foco (0, 0); directriz y = –2. b) Foco (2, 0); directriz x = –1.

( )

c) Foco (1, 1); vértice 1,

1 . 2

a) Si P (x, y) es un punto de la parábola, debe cumplir: dist (P, F ) = dist (P, d); donde F es el foco y d la directriz. √x 2 + y 2 = |y + 2| 8 x 2 + y 2 = y 2 + 4y + 4 8 x 2 = 4(y + 1) b) Si P (x, y) es un punto de la parábola: dist (P, F ) = dist (P, d); siendo F el foco y d la directriz. √(x – 2)2 + y 2 = |x + 1| 8 x 2 – 4x + 4 + y 2 = x 2 + 2x + 1

(

y 2 = 6x – 3 8 y 2 = 6 x –

Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

1 2

) 31

( )

1 , la directriz tiene que ser la recta 2 d: y = 0, ya que la distancia del vértice al foco ha de ser igual a la distancia del vértice a la directriz. Así, si P (x, y) es un punto de la parábola:

c) Si el foco es F (1, 1) y el vértice es 1,

dist (P, F ) = dist (P, d) √(x – 1)2 + (y – 1) 2 = |y| 8 (x – 1) 2 + y 2 – 2y + 1 = y 2

(

(x – 1) 2 = 2y – 1 8 (x – 1) 2 = 2 y –

1 2

)

35 Aplica dos métodos diferentes que permitan decidir si la recta r : 4x + 3y – – 8 = 0 es exterior, tangente o secante a la circunferencia: (x – 6)2 + ( y – 3)2 = 25 • MÉTODO

I

Calculamos la distancia del centro de la circunferencia, O (6, 3), a la recta r : dist (O, r ) =

|4 · 6 + 3 · 3 – 8|

√42

32

=

25 =5 5

+ Como coincide con el radio de la circunferencia, son tangentes.

• MÉTODO

II

Resolvemos el sistema formado por las dos ecuaciones: 8 – 3y ° § x=— 4x + 3y – 8 = 0 4 ¢ x 2 – 12x + 36 + y 2 – 6y + 9 – 25 = 0 § 2 2 £ x – 12x + y – 6y + 20 = 0 8 – 3y 2 8 – 3y – 12 · + y 2 – 6y + 20 = 0 4 4

(

)

64 – 48y + 9y 2 36y – 96 + + y 2 – 6y + 20 = 0 16 4 64 – 48y + 9y 2 + 144y – 384 + 16y 2 – 96y + 320 = 0 25y 2 = 0 8 y = 0 x=

8 – 3y =2 4

Por tanto, hay un único punto de corte entre la circunferencia y la recta, P (2, 0); es decir, son tangentes. 36 Halla los puntos de intersección de cada pareja de circunferencias y di cuál es su posición relativa: ° x 2 + y 2 – 6x – 16 = 0 a) ¢ 2 £ x + y2 = 4

32

° x 2 + y 2 – 6x – 4y + 9 = 0 b) ¢ 2 £ x + y 2 – 6x + 2y + 9 = 0

Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

UNIDAD

a)

9

x 2 + y 2 – 6x – 16 = 0 ° 4 – 6x – 16 = 0 8 –6x = 12 8 x = –2 x2 + y 2 = 4 ¢£ 4 + y 2 = 4 8 y 2 = 0 8 y = 0 Las circunferencias se cortan en el punto (–2, 0). La primera circunferencia tiene centro en (3, 0) y radio 5; la segunda tiene centro en (0, 0) y radio 2. La distancia entre sus centros es d = 3. Como la diferencia entre sus radios es 5 – 2 = 3 = d, las circunferencias son tangentes interiores.

2 2 a a ° b) x + y – 6x – 4y + 9 = 0 ¢ Restando a la 2. ecuación la 1. : 2 2 x + y – 6x + 2y + 9 = 0 £ 6y = 0 8 y = 0

x 2 – 6x + 9 = 0 8 (x – 3) 2 = 0 8 x = 3 Las circunferencias se cortan en el punto (3, 0). La primera circunferencia tiene su centro en (3, 2) y radio 2; la segunda tiene su centro en (3, –1) y radio 1. La distancia entre sus centros es d = 3, igual que la suma de sus radios. Por tanto, las circunferencias son tangentes exteriores. 37 Describe las siguientes cónicas. Obtén sus elementos y dibújalas. a)

(x – 3)2 ( y + 2)2 + =1 25 9

b)

(x – 3)2 ( y + 2)2 + =1 9 25

c)

(x – 3)2 ( y + 2)2 – =1 16 4

d)

( y + 2)2 (x – 3)2 – =1 4 16

a) Es una elipse de centro P (3, –2). a = 5, b = 3 c = √a 2 – b 2 = √25 – 9 = √16 = 4 Los focos son F (7, –2) y F ' (–1, –2). La excentricidad es: exc =

–1

1

3

F'

5

P

F

4 = 0,8 5

b) Es una elipse de centro P (3, –2).

F

a = 5, b = 3, c = 4

1

Los focos son F (3, 2) y F ' (3, –6). La excentricidad es: exc =

Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

4 = 0,8 5

–2

3 P

F'

33

c) Es una hipérbola de centro P (3, –2). a = 4, b = 2, c = √16 + 4 = √20 = 2 √5 Los focos son:

3

F (3 + 2 √5 , –2) y F ' (3 – 2 √5 , –2) 2√5 √ 5 ≈ 1,12 La excentricidad es: exc = = 4 2 Las asíntotas son: 1 1 y + 2 = (x – 3); y + 2 = – (x – 3) 2 2

F'

–2

F

d) Es una hipérbola de centro P (3, –2). F

b = 2, a = 4, c = √20 = 2 √5 Los focos son: 3

F (3, –2 + 2 √5 ) y F ' (3, –2 – 2 √5 )

–2

2√5 La excentricidad es: exc = = √5 2 Las asíntotas son: y+2=

1 1 (x – 3); y + 2 = – (x – 3) 2 2

F'

38 a) Halla la ecuación de la circunferencia cuyo centro es C (–1, 1) y es tangente a la recta 3x – 4y – 3 = 0. b) De todas las rectas paralelas a la bisectriz del primer cuadrante, encuentra las que sean tangentes a la circunferencia hallada en el apartado anterior. a) El radio, r, de la circunferencia es la distancia del centro C (–1, 1) a la recta s: 3x – 4y – 3 = 0; es decir: r = dist (C, s) =

|–3 – 4 – 3| 10 = =2 5 √ 9 + 16

La ecuación será: (x + 1) 2 + (y – 1) 2 = 4, o bien, x 2 + y 2 + 2x – 2y – 2 = 0 b) Las rectas paralelas a la bisectriz del primer cuadrante son de la forma y = x + k, es decir, t: x – y + k = 0. La recta t es tangente a la circunferencia cuando la distancia del centro de la circunferencia, C (–1, 1), a la recta es igual al radio, 2. Es decir: dist (C, t) =

|–1 – 1 + k| =2 8 √2

8 |k – 2| = 2 √2

|k – 2| =2 8 √2

k – 2 = 2√ 2 8 k = 2 + 2√ 2 k – 2 = –2√ 2 8 k = 2 – 2√ 2

° y = x + 2 + 2√ 2 Hay dos rectas: ¢ £ y = x + 2 – 2√ 2

34

Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

UNIDAD

9

39 Halla la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C (3, 2) y una de cuyas rectas tangentes tiene por ecuación 4x – 3y – 5 = 0. Determina si el punto X (3, 3) es interior, es exterior o está en la circunferencia. • El radio, r, de la circunferencia es igual a la distancia del centro, C (3, 2), a la recta s: 4x – 3y – 5 = 0; es decir: r = dist (C, s) =

|12 – 6 – 5| 1 = 5 √ 16 + 9

La ecuación es: (x – 3) 2 + (y – 2) 2 =

1 324 , o bien, x 2 + y 2 – 6x – 4y – =0 8 25 25

8 25x 2 + 25y 2 – 150x – 100y – 324 = 0 • Veamos si X (3, 3) es interior, exterior o está en la circunferencia: 8

dist (C, X) = |CX | = |(0, 1)| = 1 > radio =

1 5

Luego el punto es exterior a la circunferencia. 40 a) Considera el lugar geométrico de los puntos del plano que son centro de las circunferencias que pasan por los puntos P (4, 0) y Q (0, 2). Halla su ecuación. b) El origen de coordenadas pertenece a una circunferencia de longitud 6π. Calcula el centro de esta circunferencia si imponemos que debe ser un punto del lugar definido en a). a) Si C (x, y) es el centro de la circunferencia, la distancia de C a P y a Q ha de ser la misma, es decir: 8

8

y

dist (C, P ) = dist (C, Q) 8 | PC | = | QC | √(x – 4)2 + y 2 = √x 2 + (y – 2) 2

1

x 2 – 8x + 16 + y 2 = x 2 + y 2 – 4y + 4 8

Q 1 P

8 2x – y – 3 = 0

x

Obtenemos una recta, que es la mediatriz del segmento PQ. b) Longitud = 2πr = 6π 8 radio = r = 3 Su centro está en un punto de la recta 2x – y – 3 = 0 y pasa por el punto P(0, 0). El centro es de la forma C (x, 2x – 3): 8

r = dist (P, C) = | PC | = √x 2 + (2x – 3)2 = 3 x 2 + 4x 2 – 12x + 9 = 9 8 5x 2 – 12x = 0 Hay dos soluciones: C1(0, –3) y C2

Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

(

12 9 , 5 5

x=0 x = 12/5

) 35

41 Halla las ecuaciones de las siguientes circunferencias: a) Pasa por los puntos A (–2, 0), B (0, 4) y C (– 4, 1). ☛ Mira el problema resuelto 1. b) Pasa por el origen de coordenadas y por los puntos A (4, 0) y B (0, 3). c) Tiene su centro en la recta x – 3y = 0 y pasa por los puntos (–1, 4) y (3, 6). d) Pasa por los puntos (1, 3) y (3, 5) y tiene el centro en la recta x + 2y = 3. a) El centro pertenece a la mediatriz de AB. Ecuación de la mediatriz de AB :

√(x + 2)2 + y 2 = √x 2 + (y – 4)2 8 x + 2y – 3 = 0 También pertenece a la mediatriz de AC : Ecuación: √(x + 2)2 + y 2 = √(x + 4)2 + (y – 1)2 8 –4x + 2y – 13 = 0 Resolviendo el sistema: x + 2y – 3 = 0 ° x = –2 ¢ –4x + 2y – 13 = 0 £ y = 5/2

( )

Centro: –2,

8 5 5 . Radio: | AC | = 2 2

(

Ecuación: (x + 2)2 + y –

5 2

)

2

=

25 8 x 2 + y 2 + 4x – 5y + 4 = 0 4

b) El centro pertenece a la mediatriz del segmento que une O (0, 0) y A (4, 0), es decir, pertenece a la recta x = 2. También pertenece a la mediatriz del segmento que une O (0, 0) y B (0, 3), es 3 decir, pertenece a la recta y = . 2

( )

Por tanto, el centro de la circunferencia es C 2,

3 . 2

El radio es la distancia del centro a cualquiera de los tres puntos: 8

r = dist (C, O) = |OC | =

√ √ ( ) 4+

La ecuación es: (x – 2) 2 + y –

3 2

9 = 4 2

=

25 5 = 4 2

25 , o bien, x 2 + y 2 – 4x – 3y = 0 4

c) Si el centro está sobre la recta x – 3y = 0, es de la forma C (3y, y). El centro está a igual distancia de A (–1, 4) que de B (3, 6). Además, esta distancia es el radio, r, de la circunferencia: 8

8

r = dist (A, C ) = dist (B, C ) 8 | AC | = | BC | 8 8

36

√(3y + 1) 2 + (y – 4) 2 = √(3y – 3) 2 + (y – 6) 2

Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

UNIDAD

9

9y 2 + 1 + 6y + y 2 + 16 – 8y = 9y 2 + 9 – 18y + y 2 + 36 – 12y 28y = 28 8 y = 1 8 x = 3y = 3 Por tanto, el centro de la circunferencia está en C (3, 1), y su radio es: 8

r = | AC | = √16 + 9 = √25 = 5 La ecuación es: (x – 3) 2 + (y – 1) 2 = 25, o bien, x 2 + y 2 – 6x – 2y – 15 = 0 d) Si el centro está en la recta x + 2y = 3, es de la forma C (3 – 2y, y). El centro está a igual distancia de A (1, 3) y de B (3, 5). Además, esta distancia es el radio, r, de la circunferencia: 8

8

r = dist (A, C ) = dist (B, C ) 8 | AC | = | BC | 8 8 √(2 – 2y)2 + (y – 3)2 = √(–2y)2 + (y – 5)2 8 8 4 + 4y 2 – 8y + y 2 + 9 – 6y = 4y 2 + y 2 + 25 – 10y 8 8 4 + 9 – 25 = –10y + 8y + 6y 8 –12 = 4y 8 y = –3 8 x = 3 – 2y = 9 Por tanto, el centro de la circunferencia está en C (9, 3), y su radio es: 8

r = | AC | = √82 + 02 = 8 La ecuación es: (x – 9)2 + (y – 3)2 = 64

Página 238 42 Calcula la ecuación de la elipse cuyos focos son los puntos F (–1, 2) y F' (3, 2) y cuya excentricidad es igual a 1/3. • El centro de la elipse es el punto medio entre los focos:

(

)

–1 + 3 2 + 2 , = (1, 2) 2 2

• La semidistancia focal es c = 2. • La excentricidad es exc =

c 2 1 = = a a 3

8 a=6

• Obtenemos b 2 8 b 2 = a 2 – c 2 = 36 – 4 = 32 • La ecuación es:

(x – 1) 2 (y – 2) 2 + =1 36 32 F

–1

Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

F'

2

1

3

37

43 La parábola y 2 – 4y – 6x – 5 = 0 tiene por foco el punto (0, 2). Encuentra su directriz. y 2 – 4y = 6x + 5 8 y 2 – 4y + 4 = 6x + 9 8

(

8 (y – 2) 2 = 6 x +

(

El vértice de la parábola es V –

3 2

V

)

–3

)

3 ,2. 2

2 F

–3 — 2

Como el foco es F (0, 2), entonces la directriz es x = –3.

44 Halla la ecuación del lugar geométrico de todos los puntos del plano tales que su distancia al punto (4, 0) es el doble de su distancia a la recta x = 1. Comprueba que dicho lugar geométrico es una cónica y halla sus focos. Sea P (x, y) uno de los puntos del lugar geométrico. La distancia de P al punto Q (4, 0) ha de ser el doble que la distancia de P a la recta s: x – 1 = 0; es decir: dist(P, Q) = 2dist(P, s) 8

√(x – 4) 2 + y 2 = 2|x – 1|

(x – 4) 2 + y 2 = 4(x – 1) 2 8 x 2 – 8x + 16 + y 2 = 4(x 2 – 2x + 1) x 2 – 8x + 16 + y 2 = 4x 2 – 8x + 4 8 3x 2 – y 2 = 12 8

x2 y2 – =1 4 12

Es una hipérbola, centrada en (0, 0). a 2 = 4; b 2 = 12 8 c 2 = a 2 + b 2 = 16 8 c = 4 Por tanto, los focos son F (4, 0) y F (–4, 0).

45 Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya distancia al punto (4, 0) es igual a la mitad de la distancia a la recta x – 16 = 0. Representa la curva que obtienes. Sea P (x, y) uno de los puntos del lugar geométrico. La distancia de P a (4, 0) ha de ser igual a la mitad de la distancia de P a la recta x – 16 = 0; es decir: √(x – 4) 2 + y 2 = 1 |x – 16| 2 (x – 4) 2 + y 2 =

1 (x – 16) 2 4

x 2 – 8x + 16 + y 2 =

1 2 (x – 32x + 256) 4

4x 2 – 32x + 64 + 4y 2 = x 2 – 32x + 256 3x 2 + 4y 2 = 192 8

x2 y 2 + =1 64 48

Es una elipse, en la que a = 8 y b = √48 ≈ 6,93.

38

Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

UNIDAD

9

La representamos: Los focos están en F (4, 0) y F '(–4, 0). La excentricidad es: exc =

c 4 1 = = = 0,5 a 8 2 — √48

–8

F'

8

F

— –√48

46 Halla el lugar geométrico de los puntos P (x, y) tales que el producto de las pendientes de las rectas trazadas desde P a los puntos: A (–2, 1) y B (2, –1) sea igual a 1. ¿Qué figura obtienes? Represéntala. • La pendiente de la recta que une P con A es:

y–1 x+2

• La pendiente de la recta que une P con B es:

y+1 x–2

• El producto de las pendientes ha de ser igual a 1, es decir:

( )( )

y–1 y+1 · =1 8 x+2 x–2

x2 – y 2 = 3 8

y 2 – 1 = 1 8 y 2 – 1 = x2 – 4 x2 – 4

x2 – y 2 = 1 3 3

Es una hipérbola, en la que a = b = √3 y c = √6 . Los focos son F ( √6 , 0) y F (– √6 , 0). Las asíntotas son: y = x e y = – x La excentricidad es: exc =

√ 6 = √2 ≈ 1,41 c = a √3 — √3

F'

— –√3

— √3

F

— –√3

Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

39

47 a) Halla el lugar geométrico de todos los puntos P(x, y) del plano cuya suma de cuadrados de distancias a los puntos A(–3, 0) y B(3, 0) es 68. Puedes comprobar fácilmente que se trata de una circunferencia de centro O (0, 0). ¿Cuál es su radio? b) Generaliza: Halla el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de cuadrados de distancias a A (–a, 0) y B (a, 0) es k (constante), y comprueba que se trata de una circunferencia de centro O (0, 0). Di el valor de su radio en función de a y de k. ¿Qué relación deben cumplir los parámetros a y k para que realmente sea una circunferencia? a) [dist (A, P)] 2 + [dist (B, P)] 2 = 68 8 (x + 3)2 + y 2 + (x – 3)2 + y 2 = 68 8 8 x 2 + 6x + 9 + y 2 + x 2 – 6x + 9 + y 2 = 68 8 8 2x 2 + 2y 2 = 68 – 18 8 2x 2 + 2y 2 = 50 8 8 x 2 + y 2 = 25, que es la ecuación de una circunferencia de centro P (0, 0) y radio r = 5. Comprobemos que, efectivamente, se trata de esa circunferencia. Despejamos y 8 y = √ 25 – x 2 8 P (x, y) = (x, √ 25 – x 2 ) Debe verificarse que: dist (O, P) = r Es decir, que:

√ x 2 + y 2 = 5 8 √ x 2 + (25 – x 2) = 5 8 √ 25 = 5 Por tanto, como se cumple la condición, podemos asegurar que se trata de esa circunferencia. b) [dist (A, P)] 2 + [dist (B, P)] 2 = k 8 (x + a)2 + y 2 + (x – a)2 + y 2 = k 8 8 x 2 + 2ax + a 2 + y 2 + x 2 – 2ax + a 2 + y 2 = k 8 8 2x 2 + 2y 2 = k – 2a 2 8 x 2 + y 2 =

k – a2 2

que es la ecuación de una circunferencia de centro (0, 0) y radio: r=

√

k — – a2 2

Para que realmente sea una circunferencia, debe ocurrir que r > 0. Por tanto, debe verificarse: k – a 2 > 0 8 k > 2a 2

40

Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

UNIDAD

9

48 Asocia cada una de las siguientes ecuaciones a una de las gráficas que se muestran a continuación: x2 y2 y2 x2 y2 =1 c) + =1 a) + =1 b) x 2 + 4 9 4 4 4 d)

x +y=1 4

g) y 2 – j)

x2 =1 4

x2 –y=0 4

e)

x2 +y=1 4

f)

x2 y2 – =1 4 9

h)

x2 + y2 = 0 4

i)

x2 – y2 = 0 4

k) x 2 – y 2 = 1 II

I

l ) xy = 1

DOS RECTAS x y=— 2

a)

VI

b)

V

c)

IV

d)

I

e)

VIII

f)

XI

g)

XII

h)

III

UNA RECTA x y = –— 2

IV

III

V

VI

(0, 0) UN PUNTO

VII

VIII

IX

XI

X

XII

i)

II

j)

VII

k) l)

Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

IX

X

41

Página 239 REFLEXIONA SOBRE LA TEORÍA 49 Un segmento PQ de 3 cm de longitud se mueve apoyándose tangencialmente sobre la circunferencia x 2 + y 2 – 4x + 6y + 9 = 0. Si el extremo P es el punto de tangencia, ¿cuál es el lugar geométrico que describe el otro extremo Q ? La circunferencia dada tiene su centro en (2, –3) y su radio es √4 + 9 – 9 = 2. Como la tangente es perpendicular al radio, la distancia de Q al centro será siempre la misma: x = √9 + 4 = √13 Por tanto, Q describe una circunferencia con el mismo centro que la dada y radio √13 . P 2

3

Q

x

Su ecuación será: (x – 2) 2 + (y + 3) 2 = 13; o bien x 2 + y 2 – 4x + 6y = 0 50 Pon la ecuación del lugar geométrico de los puntos P (x, y) que equidistan del punto F (6, –1) y de la recta r: 3x – 4y – 2 = 0. (Encontrarás una ecuación complicada. No te molestes en simplificarla). ¿De qué figura se trata? Para responder a esta pregunta, fíjate en cómo se ha definido y no en cuál es su ecuación. Representa r y F. ¿Cómo habrá que situar unos nuevos ejes coordenados para que la ecuación de esa curva sea y 2 = kx ? ¿Cuánto vale k ? Ecuación: √(x – 6) 2 + (y + 1) 2 =

|3x – 4y – 2| 5

El lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto (foco) y de una recta (directriz) es una parábola. La ecuación de la parábola respecto a los nuevos ejes es y 2 = 2px, donde p es la distancia del foco a la directriz: dist (F, r) =

|18 + 4 – 2| 20 = =4 5 √ 9 + 16

Si p = 4, entonces k = 8.

42

Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

UNIDAD

9

La ecuación es y 2 = 8x respecto a los nuevos ejes. r

F

–1 NUEVO EJE Y

NUEVO EJE X

51 Dos circunferencias se cortan en los puntos (0, 0) y (0, 8). ¿Cuál es su eje radical? Justifica tu respuesta. Su eje radical será la recta que pasa por los puntos (0, 0) y (0, 8); es decir: x = 0.

PARA PROFUNDIZAR 52 Halla la ecuación de la circunferencia inscrita en el triángulo de lados: y=0

3x – 4y = 0

4x + 3y – 50 = 0 3x – 4y = 0 6 r1

(8, 6)

P(x, y) y = 0 6 r3 (0, 0)

(12,5; 0)

4x + 3y – 50 = 0 6 r2

Si P (x, y) es el centro de la circunferencia, entonces: • dist (P, r1 ) = dist (P, r3 ) 8

|3x – 4y| = |y| 8 5|y| = |3x – 4y| 5

5y = 3x – 4y 8 9y = 3x 8 x = 3y 5y = –3x + 4y 8 y = –3x 6 No vale; la bisectriz que buscamos es la otra. • dist (P, r2 ) = dist (P, r3 ) 8

|4x + 3y – 50| = |y| 8 5|y| = |4x + 3y – 50| 5

5y = 4x + 3y – 50 8 y = 2x – 25 6 No vale; es la otra bisectriz. 5y = –4x – 3y + 50 8 2x + 4y = 25 Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

43

El punto de corte de las dos bisectrices es el incentro, es decir, el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo. ° 25 5 § 6y + 4y = 25 8 10y = 25 8 y = —— = — 10 2 x = 3y § 15 2x + 4y = 25 ¢§ § x = 3y = — 2 £

El centro es P

(

)

15 5 , . 2 2

El radio es dist (P, r3) = y = La ecuación es:

(

x–

15 2

x 2 – 15x +

5 = radio 2

) ( 2

+ y–

5 2

)

2

=

25 ; o bien: 4

225 25 25 + y 2 – 5y + = 4 4 4

x 2 + y 2 – 15x – 5y +

225 = 0 8 4x 2 + 4y 2 – 60x – 20y + 225 = 0 4

53 Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por (–3, 2) y (4, 1) y es tangente al eje OX. Si P (x, y) es el centro de la circunferencia, y llamamos a los puntos A (–3, 2) y B (4, 1); la distancia de P a los dos puntos y al eje OX ha de ser la misma. Además, esta distancia es igual al radio de la circunferencia. dist [P, eje OX] = |y|

° § + (y – dist (P, A) = √(x + ¢ han de ser iguales. § dist (P, B) = √(x – 4) 2 + (y – 1) 2 £ 3) 2

2) 2

√(x + 3) 2 + (y – 2) 2 = √(x – 4) 2 + (y – 1) 2 x 2 + 6x + 9 + y 2 – 4y + 4 = x 2 – 8x + 16 + y 2 – 2y + 1 14x – 2y – 4 = 0 8 7x – y – 2 = 0 8 y = 7x – 2 √(x + 3) 2 + (y – 2) 2 = |y| x 2 + 6x + 9 + y 2 – 4y + 4 = y 2 x 2 + 6x – 4(7x – 2) + 13 = 0 x 2 + 6x – 28x + 8 + 13 = 0 8 x 2 – 22x + 21 = 0 x=

22 ± √484 – 84 22 ± √ 400 22 ± 20 = = 2 2 2

x = 21 8 y = 145 x=1 8 y=5

Hay dos soluciones: 1.a) Centro (21, 145) y radio 145: (x – 21) 2 + (y – 145) 2 = 21 025; o bien: x 2 + y 2 – 42x – 290y + 441 = 0

44

Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

UNIDAD

9

2.a) Centro (1, 5) y radio 5: (x – 1) 2 + (y – 5) 2 = 25; o bien: x 2 + y 2 – 2x – 10y + 1 = 0 54 Determina la ecuación de la circunferencia de radio 10 que, en el punto (7, 2), es tangente a la recta 3x – 4y – 13 = 0. El centro pertenece a la recta perpendicular a la dada que pasa por (7, 2). — Una recta perpendicular a 3x – 4y – 13 = 0 es de la forma 4x + 3y + k = 0. Como (7, 2) pertenece a la recta: 28 + 6 + k = 0 8 k = –34. El centro pertenece a la recta: 4x + 3y – 34 = 0 8 y =

(

— El centro es C x,

–4x + 34 3

)

–4x + 34 . 3

La distancia de C al punto (7, 2) es igual al radio, que es 10, es decir:

(

√

–4x + 34 (x – 7) 2 + — – 2 3

(x – 7) 2 +

(

–4x + 34 3

x 2 – 14x + 49 +

)

2

)

2

= 10

= 100

16x 2 – 224x + 784 = 100 9

9x 2 – 126x + 441 + 16x 2 – 224x + 784 = 900 25x 2 – 350x + 325 = 0 8 x 2 – 14x + 13 = 0 x=

14 ± √ 196 – 52 14 ± √ 144 14 ± 12 = = 2 2 2

x = 13 8 y = –6 x = 1 8 y = 10

Hay dos soluciones: 1.a) Centro (13, –6) y radio 10: (x – 13) 2 + (y + 6) 2 = 100 8 x 2 + y 2 – 26x + 12y + 105 = 0 2.a) Centro (1, 10) y radio 10: (x – 1) 2 + (y – 10) 2 = 100 8 x 2 + y 2 – 2x – 20y + 1 = 0 55 Halla la ecuación de la parábola de vértice en el punto (2, 3) y que pasa por el punto (4, 5). Hay dos posibilidades: 1) (y – 3) 2 = 2p (x – 2) Como pasa por (4, 5) 8 4 = 4p 8 p = 1 (y – 3) 2 = 2(x – 2)

Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

45

2) (x – 2) 2 = 2p' (y – 3) Como pasa por (4, 5) 8 4 = 4p' 8 p' = 1 (x – 2) 2 = 2(y – 3) 2 5

1

4 3 2 1 1

2

3

4

5

56 Halla los vértices, los focos y la excentricidad de las cónicas siguientes: a) 9x 2 + 16y 2 – 36x + 96y + 36 = 0 b) x 2 – 4y 2 – 2x – 3 = 0 c) x 2 + 9y 2 + 36y + 27 = 0 a) 9x 2 + 16y 2 – 36x + 96y + 36 = 0 9x 2 – 36x + 36 + 16y 2 + 96y + 144 – 36 – 144 + 36 = 0 (3x – 6) 2 + (4y + 12) 2 – 144 = 0 [3(x – 2)] 2 + [4(y + 3)] 2 = 144 9(x – 2) 2 + 16(y + 3) 2 = 144 (x – 2) 2 (y + 3) 2 + =1 16 9 Es una elipse de centro (2, –3). a = 4, b = 3, c = √a 2 – b 2 = √7 Vértices: (6, –3); (–2, –3); (2, 0) y (2, –6) Focos: (2 + √7 , –3) y

(2 – √7 , –3)

Excentricidad: exc =

√ 7 ≈ 0,66 c = 4 a

b) x 2 – 4y 2 – 2x – 3 = 0 x 2 – 2x + 1 – 4y 2 – 1 – 3 = 0 (x – 1) 2 – 4y 2 = 4 (x – 1) 2 – y2 = 1 4

46

Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

UNIDAD

9

Es una hipérbola de centro (1, 0). a = 2, b = 1, c = √4 + 1 = √5 Vértices: (3, 0) y (–1, 0) Focos: ( √5 + 1, 0) y

(– √5 + 1, 0)

Excentricidad: exc =

√ 5 ≈ 1,12 2

c) x 2 + 9y 2 + 36x + 27 = 0 x 2 + 9 (y 2 + 4y) + 27 = 0 x 2 + 9 (y + 2)2 – 36 + 27 = 0 x 2 + 9 (y + 2)2 = 9 x2 (y + 2) 2 + =1 9 1 Es una elipse con a = 3, b = 1, c = √8 . Vértices: (–3, 0), (3, 0), (0, –1), (0, 1) Focos: (– √10 , 0), ( √10 , 0) Excentricidad: exc =

Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

√ 8 ≈ 0,94 c = 3 a

47

Página 239 AUTOEVALUACIÓN 1. Halla la ecuación de la bisectriz de los ángulos formados por las siguientes rectas: r1: x = 3 r2: 3x – 4y + 1 = 0 Los puntos X (x, y ) deben cumplir: dist (X, r1) = dist (X, r2) ° dist (X, r1) = |x – 3| |3x – 4y + 1| § |3x – 4y + 1| ¢ |x – 3| = 5 —— dist (X, r2) = — § √32 + 42 £ Eliminando los valores absolutos obtenemos dos ecuaciones, las que corresponden a las dos bisectrices, perpendiculares entre sí: 5(x – 3) = 3x – 4y + 1 8 2x + 4y – 16 = 0 8 x + 2y – 8 = 0 –5(x – 3) = 3x – 4y + 1 8 8x – 4y – 14 = 0 8 4x – 2y – 7 = 0

2. Escribe la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C (1, –3) y pasa por el punto A(5, 0). La ecuación de la circunferencia es de la forma (x – 1)2 + (y + 3)2 = r 2. Para determinar r 2, sustituimos A (5, 0) en la ecuación: (5 – 1)2 + 32 = r 2 8 r 2 = 25 La ecuación de la circunferencia es, por tanto, (x – 1)2 + (y + 3)2 = 25. O, en su forma simplificada, x 2 + y 2 – 2x + 6y – 15 = 0.

3. Consideramos la circunferencia x 2 + y 2 – 2x = 0 y la recta r : 3x – 4y + k = 0. Calcula los valores que debe tomar k para que r sea interior, tangente o exterior a la circunferencia. Hallamos primero el centro, OC , y el radio, R, de la circunferencia: x 2 + y 2 – 2x = 0 8 (x – 1)2 + y 2 = 1 8 OC = (1, 0) y R = 1 Calculamos la distancia del centro de la circunferencia, OC , a la recta r : 3x – 4y + + k = 0: d = dist (OC , r) =

48

|3 · 1 – 4 · 0 + k|

√32

+

42

=

|3 + k| 5

Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

UNIDAD

9

• Para que r sea interior a la circunferencia, ha de ser d < R = 1. °3+k R = 1. °3+k >1 8 k>2 §— |3 + k| 5 >1 8 ¢ 5 3+k 3+k §–— > 1 8 — < –1 8 k < –8 5 5 £

° § ¢ Es decir, § £

k é (–@, –8) « (2, +@). 4. Dados los puntos F (3, 2) y F' (1, –2) y la recta r : x + y – 1 = 0, obtén las ecuaciones de: a) La elipse de focos F y F' cuya constante es 6. b) La hipérbola de focos F y F' cuya constante es 2. c) La parábola de foco F y directriz r. ☛ No es necesario que simplifiques la expresión de la ecuación. a) Elipse de focos F (3, 2) y F ' (1, –2) y constante k = 6. • Semieje mayor, a: k = 6 = 2a 8 a = 3 • Semidistancia focal, c =

|FF'| √(–2)2 + (–4)2 √20 = = = √5 2 2 2

• Semieje menor, b : b 2 = a2 – c 2 = 9 – 5 = 4 8 b = 2 Por tanto, la ecuación de la elipse es

x2 y2 + = 1. 9 4

b) Hipérbola de focos F (3, 2) y F ' (1, –2) y constante k = 2. • Semieje a: k = 2 = 2a 8 a = 1 • Semidistancia focal, c =

|FF'| = √5 2

• c 2 = a2 + b 2 8 b 2 = c 2 – a2 = 5 – 1 = 4 8 b = 2 Por tanto, la ecuación de la hipérbola es

Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

x2 y2 – = 1. 1 4 49

c) Parábola de foco F (3, 2) y recta directriz r : x + y – 1 = 0. En una parábola de ecuación y 2 = 2p x, p = dist (F, r ): p=

|3 + 2 – 1|

√12

+

12

=

4

√2

=

4√2 = 2 √2 2

Por tanto, la ecuación de la parábola es y = 4 √2 x. 5. Describe las siguientes cónicas. Obtén sus elementos y dibújalas: a)

x2 y2 – =1 9 16

b)

(x – 5)2 ( y + 1)2 – =1 9 16

a)

x2 y2 – =1 9 16

Y

Es una hipérbola en la que: • a = 3, b = 4 • Asíntotas: y =

4 4 x, y = – x 3 3

O

F'

F

X

• Semidistancia focal: c = √a2 + b 2 = 5 • Focos: F (5, 0) y F ' (–5, 0) • Vértices: V (3, 0) y V ' (–3, 0) b)

(x – 5)2 (y + 1)2 – =1 9 16 Y

Es una hipérbola igual a la del apartado anterior pero centrada en el punto (5, – 1). • a = 3, b = 4, c = 5

O

4 23 4 17 • Asíntotas: y = x – ; y = – x + 3 3 3 3

F'

X F

• Focos: F (10, –1), F ' (0, – 1) • Vértices: V (8, –1), V ' (2, – 1) 6. Obtén la ecuación de la elipse de focos F (– 4, 0) y F' (4, 0) y excentricidad 0,8. F (– 4, 0) F ' (4, 0) exc = 0,8 c=

50

|FF'| =4 2

Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

UNIDAD

exc =

9

c 4 = = 0,8 8 a = 5 a a

b 2 = a2 – c 2 = 25 – 16 = 9 8 b = 3 x2 y2 + = 1. 25 9

La ecuación de la elipse es

7. Halla los focos, la excentricidad y las asíntotas de la hipérbola 9x 2 – 16y 2 = 144. Dibújala. 9x 2 – 16y 2 = 144 8

x2 y2 – =1 16 9

a2 = 16 8 a = 4

Y

b2 = 9 8 b = 3 c = √a2 + b 2 = √25 = 5 F'

Los focos son F (5, 0) y F ' (– 5, 0). Excentricidad: exc = Asíntotas: y =

O

F X

c 5 = a 4

3 3 x e y=– x 4 4

8. Escribe la ecuación de la parábola que tiene por directriz la recta x = 3, y como vértice, el origen de coordenadas. d: x = 3 En una parábola y 2 = 2p x, la recta directriz es x = – Por tanto, 3 = –

p . 2

p 8 p = –6 2

La ecuación de la parábola es y 2 = – 12x. 9. Halla el eje radical a las circunferencias: C1: x 2 + y 2 – 4x – 2y + 1 = 0 C2: x 2 + y 2 – 4x – 18y + 21 = 0 Representa las circunferencias y su eje radical. Sea P (x, y ) un punto del eje radical de ambas circunferencias. Como las potencias de P a C1 y de P a C2 deben coincidir: 5 x 2 + y 2 – 4x – 2y + 1 = x 2 + y 2 – 4x – 18y + 21 8 16y = 20 8 y = 4 5 El eje radical de las circunferencias es y = . 4 Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

51

Para hacer la representación, calculamos el centro y el radio de cada circunferencia: ° A = –4 § C1 ¢ B = – 2 § £C = 1 ° A = –4 § C2 ¢ B = – 18 § £ C = 21

OC = (2, 1) 1

r = √4 + 1 – 1 = 2 OC = (2, 9) 2

r' = √4 + 81 – 21 = 8

Y C2

y = 5/4

C1

X

52

Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

10

FUNCIONES ELEMENTALES

Página 245 REFLEXIONA Y RESUELVE Asocia a cada una de las siguientes gráficas una ecuación de las de abajo:

■

D 80 Y

A

B

Y

C

Y

Y (4, 16π)

50

1

E

1

1 X

1

1 F Y

Y

10

G

X

X

1

X

1 H

Y

40

5

Y (5, 32)

1

X

50

2

(4, 16)

10 1 10 I

J

Y

50 X K

Y

1

X X

1

L

Y

5

1 Y

1 1

X

1

X

1

1 1

X

LINEALES

L1: y = L2: y = –

3 x 2

1

CUADRÁTICAS

C1: y = x 2 – 8x + 15

2 (x – 1) + 5 C2: y = (x + 3)(x + 5) 3

L3: 3x + 2y = 0

C3: y = x 2, x > 0

3 x+1 4

C4: y = πx 2, x > 0

L4: y =

RADICALES EXPONENCIALES

X

DE PROPORCIONALIDAD INVERSA

P.I.1: y = P.I.2: y =

2 2–x

P.I.3: y = P.I.4: y =

1 x

2 x

6 , x>0 x

R1: y = √2x + 4

R2: y = √x + 4

R3: y = 2√4 – x

E1: y = 2x

E2: y = 0,5x

E3: y = 20 + 80 · 0,95x

Unidad 10. Funciones elementales

1

■

A 8 L4

B 8 R3

C 8 L2

D 8 C4

E 8 P.I.2

F 8 E3

G 8 C1

H 8 E1

I 8 L1

J 8 P.I.4

K 8 P.I.3

L 8 R2

Cada uno de los siguientes enunciados corresponde a una gráfica de las de arriba. Identifícala. 1. Superficie (cm2 ) de un círculo. Radio en centímetros. 2. Aumento de una lupa. Distancia al objeto, en centímetros. 3. Temperatura de un cazo de agua que se deja enfriar desde 100 °C. Tiempo en minutos. 4. Número de amebas que se duplican cada hora. Se empieza con una. 5. Longitud de un muelle (dm). Mide 1 dm y se alarga 75 mm por cada kilo que se le cuelga. 6. Dimensiones (largo y ancho, en centímetros) de rectángulos cuya superficie es 6 cm2. 1. D

2. E

3. F

4. H

5. A

6. J

Página 248 1. Halla el dominio de definición de las siguientes funciones: a) y = √x 2 + 1

b) y = √ x – 1

c) y = √ 1 – x

d) y = √ 4 – x 2

e) y = √ x 2 – 4

f) y =

g) y = x 3 – 2x + 3

h)y =

j) y =

1 x2 – 4

1 x

1

√x 2

–1

i) y = 1 x2

k) El área de un cuadrado de lado variable, l, es A = l 2.

a) Á

b) [1, +@)

c) (– @. 1]

d) [–2, 2]

e) (–@, –2] « [2, +@)

f) (–@, –1) « (1, +@)

g) Á

h) Á – {0}

i)

j)

k) l > 0

Á – {–2, 2}

Á – {0}

Página 249 ° x + 1, x é [–3, 0) § 2 1. Representa esta función: f (x) = ¢ x – 2x + 1, x é [0, 3] § 4, x é (3, 7) £

2

Unidad 10. Funciones elementales

UNIDAD 10

Y 2 X –4

–2

2

4

6

–2 –4

2. Haz la representación gráfica de la siguiente función: ° 2x + 1, x < 1 g (x) = ¢ 2 £ x – 1, x Ó 1

Y 2 X –6

–4

–2

2

4

–2 –4

Página 250 1. Representa las siguientes funciones relacionadas con la función parte entera: a) y = Ent (x) + 2 c) y = Ent

b) y = Ent (x + 0,5)

() x 4

d) y = Ent (3x)

a) y = Ent (x) + 2 4

b) y = Ent (x + 0,5)

Y

4

2 –4

2

–2

–4 2

c) y = Ent

4

–2

X

2

–2

–2

–4

–4

() x 4

X

4

d) y = Ent (3x) 8

Y

Y 4

4 –8

Y

2

–4 4

8

–4 –8

Unidad 10. Funciones elementales

X –2

–1

1

2

X

–2 –4

3

2. Representa: a) y = Mant (x) – 0,5

b) y = |Mant (x) – 0,5|

c) y = 0,5 – |Mant (x) – 0,5|

Comprueba que esta última significa la distancia de cada número al entero más próximo. Su gráfica tiene forma de sierra. a) y = Mant (x) – 0,5 1

b) y = |Mant (x) – 0,5| Y

1

Y

X –3

–2

–1

1

–3

2

3

2

3X

–2

–1

1

2

3X

–1

c) y = 0,5 – |Mant (x) – 0,5| 1 –3

–2

–1

Y

1

Página 251 1. Representa: y = |–x 2 + 4x + 5| Y 8 6 4 2 X –2

2. Representa gráficamente: y =

2

x

ß2

–3

2

4

4

6

ß

Y 6 4 2 X

4

6

8

10

Unidad 10. Funciones elementales

UNIDAD 10

Página 252 1. Representa y = a) y =

1 2 x +5 4

b) y =

1 2 x –2 4

1 2 x . A partir de ella, representa: 4

Y

1 x2 y=— 4

4 2 X –4

a)

–2

2

4

b)

Y

Y

10

6

8

4

6

2 X

4

–4

–2

4

–2

2 X –4

2

–2

2

–4

4

2. Teniendo en cuenta el ejercicio anterior, representa: 1 a) y = – x 2 4 b) y = –

1 2 x +2 4

a)

b)

Y

Y

2 X –4

–2

2

2

4

–2

X –4

–2

2

–4

–2

–6

–4

–8

–6

Unidad 10. Funciones elementales

4

5

Página 253 3. Representa y = x 2. A partir de ella, representa: a) y =

x2 3

b) y = –

x2 3

c) y = – a)

Y

Y

8

8

6

6 y = x2

4

4

2

b)

–4

–2

–4

–2

x2 +8 3

2

Y

2

4

2

4

X

–4

–2

c)

2

4

2

4

X

Y 8

X –2

6

–4

4

–6

2 X

–8

–4

–2

4. Representa y = 1/x. A partir de ella, representa: a) y =

2 x

b) y = –

c) y = – a)

Y 1 y=— x

1 1

b)

2 x

2 –3 x

Y

1 X

c)

Y

1

X

1

X

Y 1

1 1

6

X

Unidad 10. Funciones elementales

UNIDAD 10

Página 254 5. Representa y = – a) y =

x2 . A partir de esta gráfica, representa estas otras: 2

– (x – 8)2 2

–4

b) y =

Y

–2

2

a)

4

– (x + 4)2 2 Y

2

4

6

8 X

X –2

–2 x2 y = –— 2

–4 –6

–4 –6

–8

b)

–6

–8

–4

–8

Y

–2

X –2 –4 –6 –8

6. Representa y = –3 √x . A partir de esta gráfica, representa estas otras: a) y = –3 √x + 5

b) y = –3 √x – 4

c) y = –3 √–x

d) y = –3 √– (x – 2)

Y

4

1

Y

1

4 5

8

–4

–1

4 X

–9

c)

13

Y

Y

–6

X

–7

–1 –3

— y = –3√x

–3 –6 –9

d)

–5 –4

X

–3 –6 –9

b)

a)

9

–9

–5 –4

–1

Y X –3 –6 –9

1 2 X

–3 –6 –9

Unidad 10. Funciones elementales

7

Página 255 7. Si y = f (x) pasa por (3, 8), di un punto de: y = f (x) – 6, y = f (x + 4), y =

1 f (x), y = 2f (x), 2

y = –f (x), y = f (–x), y = –2f (–x) + 3 1 f (x) 8 (3, 4) 2

y = f (x) – 6 8 (3, 2)

y = f (x + 4) 8 (–1, 8)

y=

y = 2f (x) 8 (3, 16)

y = –f (x) 8 (3, –8)

y = f (–x) 8 (–3, 8)

y = –2f (–x) + 3 8 (–3, –13) 8. Representa: a) y = –

4 –3 x+8

b) y = 3 √–x + 10 a) y = –

4 –3 x+8

Representamos y =

4 4 4 4 8 y= 8 y=– 8 y=– –3 x x+8 x+8 x+8 Y

Y 4

–4

2 1

–2

–1 –2

4 y=— x+8

4 y=— x

1 2

4

–12 –10 –9

X

–7 –6

–4

–4

4 2 1 –1 –2 –4

Y

Y

4

–9 –12 –10

–6 –7

–4

–12 –10 –7 –9 –6

2 1 –1 –2

4 y = –— x + 8 –4

8

X

X

1 –4

–1 –2

X

–4 –5 4 y = –— – 3 x+8

–7

Unidad 10. Funciones elementales

UNIDAD 10

b) y = 3 √–x + 10 Representamos y = 3√x 8 y = 3√–x 8 y = 3√–(x – 10) Y

Y

9

9 — y = 3√x

6

6

— y = 3√–x

3

3

1

4

X

9

–9

–4

–1

X

Y 9 — y = 3√ –x + 10

6 3

1

6

9 10 X

Página 256 1. Si f (x) = x 2 – 5x + 3 y g (x) = x 2, obtén las expresiones de f [ g (x)] y g [ f (x)]. Halla f [ g (4)] y g [ f (4)]. f [g (x)] = f [x 2] = x 4 – 5x 2 + 3 g [ f (x)] = g [x 2 – 5x + 3] = (x 2 – 5x + 3)2 f [g (4)] = 179; g [ f (4)] = 1 2. Si f (x) = sen x, g (x) = x 2 + 5, halla f ° g, g ° f, f ° f y g ° g. Halla el valor de estas funciones en x = 0 y x = 2. f ° g (x) = sen (x 2 + 5); f ° g (0) = –0,96;

f ° g (2) = 0,41

g ° f (x) = sen 2 x + 5; g ° f (0) = 5; g ° f (2) = 5,83 f ° f (x) = sen (sen x); f ° f (0) = 0; f ° f (2) = 0,79 g ° g (x) = (x 2 + 5)2 + 5; g ° g (0) = 30; g ° g (2) = 86

Unidad 10. Funciones elementales

9

Página 257 1. Representa y = 2x, y = x/2 y comprueba que son inversas. Y

y = 2x y=x

y = x/2 X

2. Comprueba que hay que descomponer y = x 2 – 1 en dos ramas para hallar sus inversas respecto de la recta y = x . Averigua cuáles son. a) y = x 2 – 1 si x ≥ 0

b) y = x 2 – 1 si x < 0

y –1 = √ x + 1

y –1 = – √ x + 1 Y

Y y = x2 – 1

y=x

y = x2 – 1 y=x

y = √x + 1 X X

y = –√x + 1

3. Si f (x) = x + 1 y g(x) = x – 1, comprueba que f [g (x)] = x. ¿Son f (x) y g (x) funciones inversas? Comprueba que el punto (a, a + 1) está en la gráfica de f y que el punto (a + 1, a) está en la gráfica de g. Representa las dos funciones y observa su simetría respecto de la recta y = x. f [g (x)] = f (x – 1) = (x – 1) + 1 = x Son funciones inversas. Y

y=x–1 X y=x+1

10

Unidad 10. Funciones elementales

UNIDAD 10

Página 259 1. La masa de madera de un bosque aumenta en un 40% cada 100 años. Si tomamos como unidad de masa vegetal (biomasa) la que había en el año 1800, que consideramos instante inicial, y como unidad de tiempo 100 años, la función M = 1,4t nos da la cantidad de masa vegetal, M, en un instante cualquiera, t expresado en siglos a partir de 1800 (razona por qué). a) Averigua cuándo habrá una masa de madera triple que en 1800 (1,4t = 3) y cuándo había la tercera parte. Observa que los dos periodos de tiempo son iguales. b) Calcula la cantidad de madera que habrá, o había, en 1900, 1990, 2000, 1600 y 1550. M = 1,4t a) • Buscamos el valor de t para el cual 1,4t = 3: 1,4t = 3 8 ln (1,4)t = ln (3) 8 t ln (1,4) = ln (3) 8 t =

ln 3 ≈ 3,27 ln 1,4

Cuando pasen 3,27 · 100 = 327 años, se habrá triplicado la masa de madera. Esto es, en el año 1800 + 327 = 2127. • Buscamos el valor de t para el cual 1,4t =

1 = 3–1: 3

1,4t = 3–1 8 ln (1,4)t = ln (3)–1 8 t ln (1,4) = –ln (3) 8 t = –

ln 3 ≈ –3,27 ln 1,4

Hace 3,27 · 100 = 327 años, había la tercera parte de masa de madera. Esto es, en el año 1800 – 327 = 1473. b) 1900 8 t = 1 8 M = 1,41 = 1,4 1990 8 t =

1990 – 1800 = 1,9 8 M = 1,41,9 ≈ 1,90 100

2000 8 t =

2000 – 1800 = 2 8 M = 1,42 = 1,96 100

1600 8 t =

1600 – 1800 = –2 8 M = 1,4–2 ≈ 0,51 100

1550 8 t =

1550 – 1800 = –2,5 8 M = 1,4–2,5 ≈ 0,43 100

Unidad 10. Funciones elementales

11

2. Comprueba que, en el ejemplo anterior referente a la desintegración de una cierta sustancia radiactiva, M = m · 0,76t (t expresado en miles de años), el periodo de semidesintegración (tiempo que tarda en reducirse a la mitad la sustancia radiactiva) es de, aproximadamente, 2 500 años. Para ello, comprueba que una cantidad inicial cualquiera se reduce a la mitad (aproximadamente) al cabo de 2 500 años (t = 2,5). M = m · 0,76t Si t = 0 8 M = m · 0,760 = m Si t = 0,25 8 M = m · 0,762,5

° § m ¢ ≈ m · 0,5 = — § 2 £

La cantidad inicial se ha reducido (aproximadamente) a la mitad en 2 500 años.

12

Unidad 10. Funciones elementales

UNIDAD 10

Página 267 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR

Dominio de definición 1 Halla el dominio de definición de estas funciones: x–1 3 x a) y = 2 b) y = c) y = 2 2x +1 x +x (x – 2) d) y =

1 x 2 + 2x + 3

a) Á – {–1, 0} d)

Á

e) y =

2 5x – x 2

f) y =

b)

Á – {2} e) Á – {0, 5}

1 x2 – 2

c)

Á – {–1/2} f ) Á – {– √ 2 , √ 2 }

2 Halla el dominio de definición de estas funciones: a) y = √ 3 – x b) y = √ 2x – 1 c) y = √ –x – 2 d) y = √ –3x a) (– @, 3] b) [1/2, +@) c) (–@, –2] d) (–@, 0] 3 Halla el dominio de definición de estas funciones: a) y = √ x 2 – 9

b) y = √ x 2 + 3x + 4

c) y = √ 12x – 2x 2

d) y = √ x 2 – 4x – 5

e) y =

1 √4 – x

f) y =

1 – 3x

√x 2

a) x 2 – 9 Ó 0 8 (x + 3) (x – 3) Ó 0 8 Dominio = (+@, –3] « [3, +@) b) x 2 + 3x + 4 Ó 0 8 Dominio =

Á

c) 12x – 2x 2 Ó 0 8 2x (6 – x) Ó 0 8 Dominio = [0, 6] d) x 2 – 4x – 5 Ó 0 8 (x + 1) (x – 5) Ó 0 8 Dominio = (–@, –1] « [5, +@) e) 4 – x > 0 8 4 > x 8 Dominio = (–@, 4) f ) x 2 – 3x > 0 8 x (x – 3) > 0 8 Dominio = (–@, 0) « (3, +@) Unidad 10. Funciones elementales

13

4 Observando la gráfica de estas funciones, indica cuál es su dominio de definición y su recorrido: –2

2

2

–1

2

Los dominios son, por orden: [–2, 2]; (– @, 2) « (2, +@) y [–1, +@). Los recorridos son, por orden: [0, 2], (0, +@) y [0, +@). 5 De un cuadrado de 4 cm de lado, se cortan en las esquinas triángulos rectángulos isósceles cuyos lados iguales miden x. a) Escribe el área del octógono que resulta en función de x.

4

b) ¿Cuál es el dominio de esa función? ¿Y su recorrido?

x x

a) A (x) = 16 – 2x 2 b) Dominio: (0, 2). Recorrido: (8, 16) 6 Una empresa fabrica envases con forma de prisma de dimensiones x, x/2 y 2x cm. a) Escribe la función que da el volumen del envase en función de x. b) Halla su dominio sabiendo que el envase más grande tiene 1 l de volumen. ¿Cuál es su recorrido? a) V (x) = x 3 b) Dominio: (0, 10). Recorrido: (0, 1 000)

Gráfica y expresión analítica 7 Asocia a cada una de las gráficas su expresión analítica. a) y = 1,5x

I

b) y = x 2 – 2 c) y =

– 0,25x 2

d) y =

1 x–4

II

–2

2 –2 2 1

–4 –2

–6

2

a) III III

IV

b) II

6

4

c) I

4

2

d) IV

2 –4 –2

2 –2

14

2 4

4

6

–2 –4

Unidad 10. Funciones elementales

UNIDAD 10

8 Asocia a cada gráfica la expresión analítica que le corresponda entre las siguientes: I

II

a) y = √x + 2

4

4

b) y = 0,75 x

2

2

c) y = log2 x

–6 –4 –2

d) y = – √–x

–2 –2

–2

–4

–4

2

4

6

2

4

6

a) II III

b) III

IV

c) IV d) I

6

4

4

2

2

–2

–4 –2

2

4

–2

–2 –4

Página 268 Representación de funciones elementales 9 Representa las siguientes parábolas hallando el vértice, los puntos de corte con los ejes de coordenadas y algún punto próximo al vértice: a) y = x 2 + 2x + 1

b) y =

x2 + 3x + 1 2

c) y = –x 2 + 3x – 5

d) y =

x2 + 3x + 6 3

a)

Y 4

Vértice: (–1, 0)

2 X –4

–2

2

b)

Y 2 X –6

–4

–2

2 –2

Cortes con los ejes: (–1, 0), (0, 1)

4

(

Vértice: –3, –

3 2

)

Cortes con los ejes: (0, 1); (–3 – √7 ; 0); (–3 +√7 ; 0)

–4

Unidad 10. Funciones elementales

15

c)

Y X –4

–2

2

Vértice:

4

–2

(

)

3 –11 , . 2 4

Cortes con los ejes: (–5, 0)

–4 –6

d)

Y

(

6

2 –8

–6

–4

)

9 –3 . Vértice: – , 2 4

4

Cortes con los ejes: (0, 6); (–6, 0); (–3, 0) X

–2

10 Representa las siguientes funciones en el intervalo indicado: a) y = 2x 2 – 4, [0, 2]

2 b) y = – 3x , x Ó –1 2

a) y = 2x 2 – 4, [0, 2]

b) y = – 3x , x Ó –1 2

4

2

Y

Y

2

–1

X

2

X

2 –2 –4

11 Representa gráficamente las siguientes funciones: ° –2 si x < 0 § a) y = ¢ x – 2 si 0 Ì x < 4 § 2 si x Ó 4 £ a)

b)

Y 2 X –4

16

2

–2

si x < 1 ° –2x – 1 b) y = ¢ £ (3x – 15)/2 si x Ó 1

4

Y –4

–2

2

4

X

–2

–2

–4

–4

–6

Unidad 10. Funciones elementales

UNIDAD 10

12 Representa: ° (x/2) + 2 si x Ì 2 a) y = ¢ £ x – (3/2) si x > 2 a)

° (2x + 2)/3 si x < 2 b) y = ¢ si x Ó 2 £ –2x + 6 b)

Y

Y X

2 –4

–4 2

–2

4

–2

2

4

–2

X

–4

–2

13 Representa las siguientes funciones: a) y =

1 x+1

a)

b) y =

1 x–1

c) y =

–1 x

d) y =

b)

4

4

2 –4

2 2

–2

c)

4

–4

–2

2

–2

–2

–4

–4

d)

4

4

4

2 –4

–1 x–3

2

–2

2

–4

4

–2

2

–2

–2

–4

–4

14 Representa las siguientes funciones: a) y = √ x – 1

b) y = – √ x + 3

c) y = 2 + √ x

d) y = 1 – √ x

a)

b) 6

–2

2

4

–2

2

–4 2

4

6

Unidad 10. Funciones elementales

8

4

6

–6

17

c)

d) 6

–2

2

4

–2

2

–4 2

4

6

6

4

–6

8

15 Haz una tabla de valores de la función y = 3x. A partir de ella, representa su función inversa y = log3 x. x

–2

–1

0

1

2

x

1/9

1/3

1

3

9

3x

1/9

1/3

1

3

9

log3 x

–2

–1

0

1

2

Y 8 y = 3x

6 4

y = log3 x

(0, 1) 2 –4

–2

X

4

2 (1, 0)

–2

16 Representa gráficamente las siguientes funciones: a) y = 0,6x b) y = 1,2x a)

x

–3

–2

–1

0

1

2

3

y

4,63

2,78

1,67

1

0,6

0,36

0,22

y = 0,6x

Y 4 3 2 1

–4

18

–3 –2

–1

1

2

3

4

X

Unidad 10. Funciones elementales

UNIDAD 10

b)

Y 3 f(x) = 1,2x 2 1

–3

–2

1

–1

X 3

2

Composición y función inversa 17 Considera las funciones f y g definidas por las expresiones f (x) = x 2 + 1 1 y g (x) = . Calcula: x a) ( f ° g) (2)

b) ( g ° f ) (–3)

c) ( g ° g) (x)

d) ( f ° g) (x)

a)

5 4

1 10

b)

c) g (g (x)) = x

d) f (g (x)) =

1 + x2 x2

18 Dadas las funciones f (x) = cos x y g (x) = √ x , halla: a) ( f ° g) (x) b) ( g ° f ) (x) c) ( g ° g) (x) a) f [g (x)] = cos √ x b) g [ f (x)] = √ cos x 4

c) g [g (x)] = √ x 19 Halla la función inversa de estas funciones: a) y = 3x b) y = x + 7 c) y = 3x – 2 a) x = 3y 8 y =

x x 8 f –1 (x) = 3 3

b) x = y + 7 8 y = x – 7 8 f –1 (x) = x – 7 c) x = 3y – 2 8 y =

Unidad 10. Funciones elementales

x+2 x+2 8 f –1 (x) = 3 3

19

20 Representa la gráfica de y = log1/3 x a partir de la gráfica de y =

() 1 3

x

.

Y 4

3

( )

1 x y= — 3

2

1

–2

2

1

–1

3

4

5

X

y = log1/3 x

–1

21 Comprueba que las gráficas de y = 3x e y =

() 1 3

x

son simétricas respecto al eje OY.

Y

( )

1 y= — 3

x

8 y = 3x 6

4

2

–4

(0, 1)

2

–2

X

4

Transformaciones en una función 22 Representa f (x) = 4 – x 2 y, a partir de ella, representa: a) g (x) = f (x) – 3

b) h (x) = f (x + 2) f (x) = 4 – x2 4 2 –4

–2

2

4

–2 –4

20

Unidad 10. Funciones elementales

UNIDAD 10

a)

b)

Y

Y

4 4 2 2 –4

–2

2

X –4

–2

2

–2

X

–2 –4 –4 –6

23 Esta es la gráfica de la función y = f (x): Y 2 2

X

Representa, a partir de ella, las funciones: a) y = f (x – 1) a)

b) y = f (x) + 2 b)

Y

Y

4

4

2

2 X

–4

–2

2

X

4

–4

–2

2

24 A partir de la gráfica de f (x) = 1/x, representa: a) g (x) = f (x) – 2

b) h (x) = f (x – 3)

c) i (x) = – f (x)

d) j (x) = |f (x)| a)

Y

Y

1 f (x) = — x

g (x) = f (x) – 2 –1

2

X

–1 2

4X

–2

–1

Unidad 10. Funciones elementales

21

b)

c)

Y

Y

h(x) = f (x – 3)

2

2

i (x) = –f (x)

1 2

4

–1

X

–1

1

X

–1

d) j(x) = |f (x)|

–3

–2

–1

1

2

3

4X

25 Representa la función f (x) = √ x y dibuja a partir de ella: a) g(x) = f (x + 1)

b) h(x) = f (x) – 3 a)

Y

— f (x) = √x

2

2

— g (x) = √ x + 1

1

1

X

b)

–1

1

2

3

4

1

2

3

4

X –1

1

2

3

Y X

— h (x) = √x – 3

–2

–3

22

Unidad 10. Funciones elementales

UNIDAD 10

Página 269 26 Representa las funciones: a) y = 2x + 1 b) y = 2x – 3 ☛ Utiliza la gráfica de y = 2 x. a)

y = 2x + 1

Y

b)

10

Y

10

y = 2x

8 8 6

y = 2x

y = 2x – 3

6 4 4 2 2

y=1

X –4

X –4

2

–2

4

2

–2

6

4

6

–2

–2

y = –3

27 Representa las siguientes funciones: a) y = 2x – 1 b) y =

() 1 2

x+3

c) y = 1 – 2x d) y = 2 –x a)

b)

Y 16 14 12 10 8 6 4 2

(0, —12 ) –4

–2

Unidad 10. Funciones elementales

Y 4 3 2

(0, —18 )

1

X

X 2

4

–4

–2

2

4

6

23

c)

Y 1 –4

–2

Y

d) y=1 2

–1 –2 –3 –4 –5 –6

14 12 10 8 6 4 2

X

4

–4

–2

(0, 1) X 2

4

28 Representa estas funciones a partir de la gráfica de y = log2 x : a) y = 1 + log2 x b) y = log2 (x – 1) c) y = – log2 x d) y = log2 (–x) a) y = 1 + log2 x Y 3 2 1 1 2 3 4

y = 1 + log2 x

( ) 1 0 —, 2

y = log2 x X

1

2

3

4

5

6

b) y = log2 (x – 1) Y

x=1

y = log2 x

2

X 1

2

3

4

5

6

–2 –4

24

y = log2 (x – 1)

Unidad 10. Funciones elementales

UNIDAD 10

c) y = –log2 x Y 3 2 1

y = log2 x X 1

1 2 3 4

3

2

4

5

6

y = – log2 x

d) y = log2 (–x) Y y = log2 (–x)

x=1 y = log2 x

2

X –6

–5

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

5

6

–2 –4

29 La expresión analítica de esta función es del tipo y =

1 + b. x–a

Observa la gráfica y di el valor de a y b. 4

a=2 b=1

Y

2 2

4

X

–2

Valor absoluto de una función 30 Representa la función y = |x – 5| y comprueba que su expresión analítica en intervalos es: ° –x + 5 si x < 5 y= ¢ £ x – 5 si x Ó 5 6 4 2 2

Unidad 10. Funciones elementales

4

6

8

10

12

25

31 Representa las siguientes funciones y defínelas por intervalos: a) y = |4 – x|

b) y = |x – 3|

° 4–x a) y = ¢ £ –4 + x

si x < 4 si x Ó 4

6 4 2

° –x + 3 b) y = ¢ £ x–3

si x < 3 si x Ó 3

2

4

6

8

10

12

2

4

6

8

10

12

6 4 2

32 Representa y define como funciones “a trozos”: a) y = c) y =

a)

| |

b) y = |3x + 6|

2x – 1 3

d) y = |–x – 1|

si x < 3

° –3x – 6 b) y = ¢ £ 3x + 6

si x < –2 si x Ó –2

si x Ó 3

6

6

4

4

2

2 2

–2

4

6

1 ° –2x + 1 si x < § 3 2 § y =¢ 1 § 2x – 1 si x Ó § 3 2 £

–4

26

| |

° x–3 §– 2 y = §¢ § x–3 § 2 £

–4

c)

x–3 2

–2

–6

–4

2

–2

° –x – 1 si x < –1 d) y = ¢ £ x + 1 si x Ó –1

6

6

4

4

2

2 2

4

–6

–4

–2

2

Unidad 10. Funciones elementales

UNIDAD 10

33 Representa la función: ° 2x – 4 si x < 2 y= ¢ £ –2x + 4 si x Ó 2 ¿Puedes definirla como valor absoluto? 2

4

6

8

10

12

–2 –4

Sí. y = –|2x – 4| 34 Representa estas funciones: a) y = |x 2 – 1| b) y = |x 2 – 4x| c) y = |x 2 + 2x – 3| d) y = |x 2 – 2x + 1| ☛ Mira el ejercicio resuelto número 5. a)

b)

Y

–3

–2

Y

4

4

3

3

2

2

1

1 1

–1

c)

2

X 3

X –1

d)

Y

–3

–2

–1

Unidad 10. Funciones elementales

2

3

4

5

1

2

3

4

5

Y

4

4

3

3

2

2

1 –4

1

1 1

X 2

X –1

27

PARA RESOLVER 35 Dibuja la gráfica de las siguientes funciones: ° x 2 – 2x si x Ì 2 a) y = ¢ si x > 2 £ 3

° –x 2 – 4x – 2 si x < –1 b) y = ¢ x2 si x Ó –1 £

° –x – 1 si x Ì –1 § c) y = ¢ 2x 2 – 2 si –1 < x < 1 § x – 1 si x Ó 1 £ a)

b)

Y

Y

4 2 2

X X

–4

–2

2

–4

–2

4

2

4

–2

–2 –4

c)

Y 2 X –4

2

–2

4

–2

36 Utilizando la relación función y =

dividendo resto = cociente + podemos escribir la divisor divisor

2x + 3 1 de esta forma: y = 2 + . x+1 x+1

Comprueba que su gráfica coincide con la de y = 1/x trasladada 1 unidad hacia la izquierda y 2 hacia arriba. y=

1 x

y=2+

1 x+1 Y

Y 4 2 3 1 2 –4

–3

–2

–1

1

2

3

X

1

–1 –2

X –5

–4

–3

–2

1

–1

2

–1 –3

28

Unidad 10. Funciones elementales

UNIDAD 10

37 Representa las siguientes funciones utilizando el procedimiento del problema anterior. a) y =

3x x–1

b) y =

x–2 x–4

c) y =

3x + 2 x+1

d) y =

x+1 x–1

a) y =

3x 3 =3+ x–1 x–1

b) y =

x–2 2 =1+ x–4 x–4

Y

Y 8 6 4

3

2 X

1

–4

–2

2

4

6

8

10 X

4

6

X

–2 –4 –6

c) y =

3x + 2 –1 =3+ x+1 x+1

d) y =

Y

Y

8

6

6

4

4

2

2 –6

–4

–6

–2

Unidad 10. Funciones elementales

x+1 2 =1+ x–1 x–1

2

4

6

X

–4

–2

2 –2

–2

–4

–4

–6

29

38 Con las funciones: f (x) = x – 5

g (x) = √ x

h (x) =

1 x+2

hemos obtenido, por composición, estas otras: p (x) = √ x – 5 ; q (x) = √ x – 5; r (x) =

1

√x + 2

Explica cómo, a partir de f, g y h, se pueden obtener p, q y r. p=g°f

q=f°g

r=h°g

39 La gráfica de una función exponencial del tipo y = k a x pasa por los puntos (0; 0,5) y (1; 1,7). a) Calcula k y a. b) Representa la función. 0 ° 0,5 = k a) 0,5 = k · a ¢ 8 1,7 = k · a 1 £ 1,7 = k · a

k = 0,5 a = 3,4

La función es y = 0,5 · (3,4)x b) 4

2

–4

–2

2

4

40 Halla la función inversa de las siguientes funciones: a) y = 3 · 2x – 1 b) y = 1 + 3x a) x = 3 · 2 y – 1; y = 1 + log2

x x = 2 y – 1; log2 =y–1 3 3 x x 8 f –1 (x) = 1 + log2 3 3

b) x = 1 + 3 y; x – 1 = 3 y; log3 (x – 1) = y 8 f –1 (x) = log3 (x – 1)

30

Unidad 10. Funciones elementales

UNIDAD 10

Página 270 41 Busca la expresión analítica de estas funciones: a)

b) 6 4

6

2

4

–4 –2 –2

2

4

2

6

–4 –2 –2

–4

° a) f (x) = ¢ –x – 1 £2

2

4

6

° 2 b) f (x) = ¢ x si x Ì 2 £ 4 si x > 2

si x Ì 3 si x > 3

42 Utiliza la calculadora en radianes para obtener el valor de y en cada una de estas expresiones: a) y = arc sen 0,8

b) y = arc sen (– 0,9)

c) y = arc cos 0,36

d) y = arc cos (– 0,75)

e) y = arc tg 3,5

f ) y = arc tg (–7)

a) 0,93 rad 8 53° 7' 48"

b) – 1,12 rad 8 –64° 9' 29"

c) 1,20 rad 8 68° 53' 59"

d) 2,42 rad 8 138° 35' 25"

e) 1,29 rad 8 74° 3' 17"

f ) –1,43 rad 8 –81° 52' 11"

43 Obtén el valor de estas expresiones en grados, sin usar la calculadora: a) y = arc sen

√3 2

b) y = arc cos

1 2

c) y = arc tg 1

( ) 1 2

f ) y = arc tg √ 3

d) y = arc sen (–1)

e) y = arc cos –

a) 60°

b) 60°

c) 45°

d) – 90°

e) 120°

f ) 60°

44 La factura del gas de una familia, en septiembre, ha sido de 24,82 euros por 12 m3, y en octubre, de 43,81 por 42 m3. a) Escribe la función que da el importe de la factura según los m3 consumidos y represéntala. b) ¿Cuánto pagarán si consumen 28 m3? a) y = 24,82 + 0,633 (x – 12) y (28) = 34,94 euros

Unidad 10. Funciones elementales

31

IMPORTE

(euros) 50 40 30 20 10 10

20

30

40

50

CONSUMO

(m3)

b) y = 24,82 + 0,633 (x – 12) = 0,633x + 17,22 45 Midiendo la temperatura a diferentes alturas, se ha observado que por cada 180 m de ascenso el termómetro baja 1°C. Si en la base de una montaña de 800 m estamos a 10 °C, ¿cuál será la temperatura en la cima? Representa gráficamente la función altura-temperatura y busca su expresión analítica. TEMPERATURA

(°C) 10

T (h) = 10 –

8

h ; T (800) = 5,56 °C 180

6 4 2 200 400 600 800 1000

ALTURA

(m)

46 Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba desde lo alto de un edificio. La altura que alcanza viene dada por la fórmula h = 80 + 64t – 16t 2 (t en segundos y h en metros). a) Dibuja la gráfica en el intervalo [0, 5]. b) Halla la altura del edificio. c) ¿En qué instante alcanza su máxima altura? a)

ALTURA

(m)

b) 80 metros.

140

c) 2 segundos.

120 100 80 60 40 20 1

32

2

3

4

5

TIEMPO

(s)

Unidad 10. Funciones elementales

UNIDAD 10

47 La dosis de un medicamento es 0,25 g por cada kilo de peso del paciente, hasta un máximo de 15 g. Representa la función peso del paciente-cantidad de medicamento y halla su expresión analítica. y = 0,25x hasta un máximo de 15 g: 0,25x = 15 8 x = 60 kg DOSIS

(g)

15

° 0,25x 0 < x < 60 y= ¢ x Ó 60 £ 15

10 5 20

40

60

80 100

PESO

(kg)

48 El coste de producción de x unidades de un producto es igual a (1/4)x 2 + + 35x + 25 euros y el precio de venta de una unidad es 50 – (x/4) euros. a) Escribe la función que nos da el beneficio total si se venden las x unidades producidas, y represéntala. b) Halla el número de unidades que deben venderse para que el beneficio sea máximo. ☛ Los ingresos por la venta de x unidades son x (50 – (x /4 )) euros.

(

)

2 2 1 2 a) B (x) = 50x – x – x + 35x + 25 = – x + 15x – 25 4 4 2

b) El máximo se alcanza en el vértice de la parábola: x =

–15 = 15 –1

Deben venderse 15 unidades. 49 Un fabricante vende mensualmente 100 electrodomésticos a 400 euros cada uno y sabe que por cada 10 euros de subida venderá 2 electrodomésticos menos. a) ¿Cuáles serán los ingresos si sube los precios 50 euros? b) Escribe la función que relaciona la subida de precio con los ingresos mensuales. c) ¿Cuál debe ser la subida para que los ingresos sean máximos? a) En este caso vendería 90 electrodomésticos a 450 euros cada uno; luego los ingresos serían de 450 · 90 = 40 500 euros. b) I (x) = (400 + 10x) (100 – 2x) = –20x 2 + 200x + 40 000 (x = decenas de euros) c) El máximo se alcanza en el vértice de la parábola: x=

Unidad 10. Funciones elementales

–b –200 = = 5 8 50 euros 2a – 40

33

50 Elena va a visitar a su amiga Ana y tarda 20 minutos en llegar a su casa, que está a 1 km de distancia. Está allí media hora y en el camino de vuelta emplea el mismo tiempo que en el de ida. a) Representa la función tiempo-distancia. b) Busca su expresión analítica. a)

DISTANCIA A SU CASA

(km)

1

20

50

° (1/20) x b) f (x) = §¢ 1 § –1/20 (x – 70) £

70

TIEMPO

(min)

si 0 Ì x Ì 20 si 20 < x Ì 50 si 50 < x Ì 70

51 Un cultivo de bacterias comienza con 100 células. Media hora después hay 435. Si ese cultivo sigue un crecimiento exponencial del tipo (t en minutos), calcula k y a y representa la función.

y = ka t

¿Cuánto tardará en llegar a 5 000 bacterias? y = kat t = 0, y = 100 8 100 = k · a0 8 k = 100 t = 30, y = 435 8 435 = 100 · a30 8 a30 = 4,35 8 a = 4,351/30 8 a ≈ 1,05 La función es y = 100 · 1,05x. N.º BACTERIAS

1 000 900

Si y = 5 000 8 5 000 = 100 · 1,05x

800 700

50 = 1,05x 8 x =

600 500

log 50 ≈ 80 min log 1,05

Tardará 80 minutos, aproximadamente.

400 300 200 100

TIEMPO (min) 10 20 30 40 50

34

Unidad 10. Funciones elementales

UNIDAD 10

52 Un negocio en el que invertimos 10 000 €, pierde un 4% mensual. Escribe la función que nos da el capital que tendremos según los meses transcurridos, y represéntala. ¿Cuánto tiempo tardará el capital inicial en reducirse a la mitad? y = 10 000 · 0,96x CAPITAL (€) 10 000

6 000

2 000 TIEMPO (meses) 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Si y = 5 000 8 5 000 = 10 000 · 0,96x 0,96x = 0,5 8 x =

log 0,5 ≈ 16,98 meses log 0,96

Tardará 17 meses, aproximadamente.

Página 271 CUESTIONES TEÓRICAS 53 Si f (x) = 2x y g (x) = log2 x, ¿cuál es la función ( f ° g) (x)? ¿Y ( g ° f ) (x)? ( f ° g) (x) = (g ° f ) (x) = x 54 Dada la función f (x) = 1 + √ x , halla f –1 (x). Representa las dos funciones y comprueba su simetría respecto de la bisectriz del 1.er cuadrante. f –1 (x) = (x – 1)2, x Ó 1 Y

y = (x – 1)2, x ≥ 1

8

y=x

6 4 y = 1 + √x

2

X 2

Unidad 10. Funciones elementales

4

6

8

35

55 Dada la función y = a x, contesta: a) ¿Puede ser negativa la y ? ¿Y la x ? b) ¿Para qué valores de a es creciente? c) ¿Cuál es el punto por el que pasan todas las funciones del tipo y = a x ? d) ¿Para qué valores de x se verifica 0 < a x < 1 siendo a > 1? a) La y no puede ser negativa, la x sí. b) a > 1 c) (0, 1) d) Para x < 0. 56 Calcula x en las siguientes expresiones: a) arc sen x = 45°

b) arc cos x = 30°

c) arc tg x = –72° π e) arc cos x = rad 3

d) arc sen x = 75°

a)

√2

f ) arc tg x = 1,5 rad b)

2

d) 0,966

e)

√3

c) –3,078

2 1 2

f ) 14,101

PARA PROFUNDIZAR 57 Una parábola corta al eje de abscisas en x = 1 y en x = 3. La ordenada del vértice es y = – 4. ¿Cuál es la ecuación de esa parábola? y = k (x – 1) (x – 3) = k (x 2 – 4x + 3) Vértice 8 x =

4 = 2 8 y (2) = –k = – 4 8 k = 4 2

La ecuación es: y = 4 (x 2 – 4x + 3) = 4x 2 – 16x + 12 58 Halla el dominio de definición de estas funciones: a) y =

a)

36

√

x+3 x–2

x+3 Ó0 x–2

b) y =

√

x–9 x

°x+3Ó0 ° ¢ ¢ x>2 £x–2>0 £ °x+3Ì0 ° ¢ ¢ x Ì –3 £x–20 £

x–9 Ó0 x

Dominio = (– @, 0) « [9, +@)

°x–9Ì0 ° ¢ ¢ x 0 0

2

Dom = (–@, 0] « [2, +@) b) Los valores de x que anulan el denominador no pertenecen al dominio de la función. x 3 – x 2 = 0 8 x 2 (x – 1) = 0 Dom =

x=0 x=1

Á – {0, 1}

2. Representa gráficamente las siguientes funciones: ° – x2 + 4 si x < 1 b) y = ¢ si x Ó 1 £4 – x

a) y = |2x + 3|

3 3 . Para valores menores que – , 2 2 cambiamos el signo de la ordenada. Por ejemplo: (–2, –1) 8 (–2, 1).

a) La recta y = 2x + 3 corta al eje X en x = –

y = 2x + 3 Y

y = 2x + 3 Y

1 X

1 X

b) Para valores menores que 1, la gráfica es una parábola de vértice (0, 4). Para valores mayores que 1, es una recta.

Y

X 1

38

Unidad 10. Funciones elementales

UNIDAD 10

3. Representa y = –2x + 5

1 –2x + 5 . A partir de ella, dibuja la gráfica de y = . x x–2

x–2

2x – 4

8

–2

–2x + 5 1 = –2 + x–2 x–2

1 Y

Y

1 y=— x

1 y = –2 + — x–2

(*) 1

X

1

X

–2x + 5 1 es como la de y = trasladada 2 unidades a la derex–2 x cha y 2 unidades hacia abajo. (*)

La gráfica de y =

4. Ponemos al fuego un cazo con agua a 10 °C. En 5 minutos alcanza 100 °C y se mantiene así durante media hora, hasta que el agua se evapora totalmente. a) Representa la función que describe este fenómeno y halla su expresión analítica. b) Di cuál es su dominio y su recorrido. a)

TEMPERATURA (°C)

100

• La gráfica pasa por los puntos (0, 10) y (5, 100).

75

• Hallamos la ecuación de esta recta:

50

Pendiente:

25 10

20

30

40

• Para valores de x

100 – 10 = 18 8 y = 18(x – 0) + 10 5–0

TIEMPO (min)

mayores que 5, la temperatura se mantiene constante 8

8 y = 100 ° 18x + 10 Expresión analítica: f (x) = ¢ £ 100

si 0 Ì x < 5 si 5 Ì x Ì 35

b) Dominio: f (x) está definida para valores de x entre 0 y 35, ambos incluidos. Por tanto, Dom f = [0, 35]. Recorrido de f = [10, 100]

Unidad 10. Funciones elementales

39

5. El precio de venta de un artículo viene dado por la expresión p = 12 – 0,01x (x = número de artículos fabricados; p = precio, en cientos de euros). a) Si se fabrican y se venden 500 artículos, ¿cuáles serán los ingresos obtenidos? b) Representa la función n°- de artículos-ingresos. c) ¿Cuántos artículos se deben fabricar para que los ingresos sean máximos? a) Si se venden 500 artículos, su precio será: p (500) = 12 – 0,01 · 500 = 7 cientos de euros 8 Ingresos = 500 · 700 = 350 000 € I(x) = p · x = 12x – 0,01x2

b) INGRESOS

4 000 3 000 2 000 1 000 100

600

1200

N.º DE ARTÍCULOS

c) Hallamos el vértice de la parábola: 12 ° § x = — = 600 artículos –0,02 ¢ § y = 12 · 600 – 0,01 · 6002 = 3 600 cientos de euros £ Deben fabricar 600 artículos para obtener unos ingresos máximos (360 000 euros). 6. Depositamos en un banco 5 000 € al 6% anual. a) Escribe la función que nos dice cómo evoluciona el capital a lo largo del tiempo. ¿Qué tipo de función es? b) ¿En cuánto tiempo se duplicará el capital?

(

a) C = 5 000 1 +

6 100

)

t

8 C = 5 000 (1,06)t.

Es una función exponencial creciente, por ser a > 1. b) 10 000 = 5 000 · 1,06t 8 2 = 1,06t 8 log 2 = t log 1,06 8 t =

log 2 = 11,9 log 1,06

Tardará 12 años en duplicarse.

40

Unidad 10. Funciones elementales

UNIDAD 10

7. Dadas f (x) = √x + 1 y g (x) =

1 , halla: x–3

a) f [ g (2)] b) g [ f (15)] c) f ° g d) g ° f a) f [g (2)] = f

( )

1 = f (–1) = √–1 + 1 = 0 2–3

b) g [f (15)] = g (√15 + 1 ) = g (4) =

1 =1 4–3

( ) √

1 c) f ° g (x) = f [g (x)] = f = x–3

d) g ° f (x) = g [ f (x)] = g (√x + 1 ) =

Unidad 10. Funciones elementales

1 —+1 = x–3

√

x–2 x–3

1

√x + 1 – 3

41

11

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS

Página 273 REFLEXIONA Y RESUELVE Aproximaciones sucesivas ■

Comprueba que: f (4) = 6,5; f (4,9) = 6,95; f (4,99) = 6,995

■

Calcula f (4,999); f (4,9999); f (4,99999); …

■

A la vista de los resultados anteriores, ¿te parece razonable afirmar que, cuando x se aproxima a 5, el valor de f (x) se aproxima a 7? Lo expresamos así: lím f (x) = 7 x85

Si f (x) =

x 2 + 4x – 45 , entonces: 2x – 10

f (4,999) = 6,9995; f (4,9999) = 6,99995; f (4,99999) = 6,999995 lím f (x) = 7

x85

■

x 2 + 6x – 27 Calcula, análogamente, lím . 2x – 6 x83 f (2) = 5,5; f (2,9) = 5,95; f (2,99) = 5,995; f (2,999) = 5,9995; f (2,9999) = 5,99995 lím f (x) = 6

x83

Página 275 1. Cada una de las siguientes funciones tiene uno o más puntos donde no es continua. Indica cuáles son esos puntos y qué tipo de discontinuidad presenta: a) y =

x+2 x–3

2 b) y = x – 3x x

2 c) y = x – 3 x

° 3 si x ? 4 d) y = ¢ £ 1 si x = 4

a) Rama infinita en x = 3 (asíntota vertical). b) Discontinuidad evitable en x = 0 (le falta ese punto). c) Rama infinita en x = 0 (asíntota vertical). d) Salto en x = 4. Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

1

2. Explica por qué son continuas las siguientes funciones y determina el intervalo en el que están definidas: a) y = x 2 – 5

b) y = √ 5 – x

° 3x – 4, x < 3 c) y = ¢ £ x + 2, x Ó 3

° x, 0 Ì x < 2 d) y = ¢ £ 2, 2 Ì x < 5

a) Está definida y es continua en todo

Á.

b) Está definida y es continua en (–@, 5]. Las funciones dadas mediante una expresión analítica sencilla (las que conocemos) son continuas donde están definidas. c) Está definida en todo Á. Es continua, también, en todo Á. El único punto en que se duda es el 3: las dos ramas toman el mismo valor para x = 3: 3·3–4=9–4=5

3+2=5

Por tanto, las dos ramas empalman en el punto (3, 5). La función es también continua en x = 3. d) También las dos ramas empalman en el punto (2, 2). Por tanto, la función es continua en el intervalo en el que está definida: [0, 5).

Página 278 1. Calcula el valor de los siguientes límites: 3 a) lím b) lím (cos x – 1) x –2 x80 x80 a) –

3 2

b) 0

2. Calcula estos límites: a) lím √ x 2 – 3x + 5

b) lím log10 x x 8 0,1

x82

a) √ 3

b) –1

Página 279 3. Calcula k para que la función y = f (x) sea continua en Á: ° x 3 – 2x + k, x ? 3 f (x) = ¢ x=3 £ 7, lím (x 3 – 2x + k) = 21 + k °§ ¢ § £ f (3) = 7 x83

2

21 + k = 7 8 k = –14

Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

UNIDAD 11

Página 281 4. Calcula los límites de las funciones siguientes en los puntos que se indican. Donde convenga, especifica el valor del límite a la izquierda y a la derecha del punto. Representa gráficamente los resultados: a) f (x) =

x3 en –2, 0 y 2 x2 – 4

b) f (x) = 4x – 12 en 2, 0 y 3 (x – 2)2

c) f (x) =

x 2 – 2x + 1 en 1 y –3 x 2 + 2x – 3

d) f (x) =

a) f (x) =

x3 (x + 2) (x – 2)

+

x 8 –2

f (x) = +@

No existe

° § ¢ § £

lím

f (x) = –@

° § ¢ § £

lím

x 8 –2–

No existe lím f (x).

lím

x 8 –2

x3

x4 en 0 y –3 + 3x 2

f (x). –2

2

3

2

3

lím f (x) = 0

x80

lím

x 8 2–

f (x) = –@

lím + f (x) = +@

x82

x82

b) f (x) = 4 (x – 3) (x – 2)2 lím f (x) = –@

x82

lím f (x) = –3

x80

lím f (x) = 0

x83

c) f (x) =

–3

(x – 1)2 (x – 1) (x + 3)

lím f (x) = 0

x81

lím

x8

–3+

f (x) = +@ f (x) = –@

° § ¢ § £

lím

x 8 –3–

No existe

lím

x 8 –3

f (x).

Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

–3

1

3

x4 x 2 (x + 3)

d) f (x) =

lím f (x) = 0

x80

–

x 8 –3

lím

x 8 –3+

f (x) = –@ f (x) = +@

–3

° § ¢ § £

lím

No existe

lím

x 8 –3

f (x).

Página 282 1. Di el límite cuando x 8 + @ de las siguientes funciones dadas por sus gráficas:

y = f2(x) y = f1(x)

y = f4(x)

y = f3(x)

lím

f1 (x) = –@

lím

f3 (x) = +@

x 8 +@ x 8 +@

lím

f2 (x) = –3

lím

f4 (x) no existe.

x 8 +@ x 8 +@

Página 283 1. Di el valor del límite cuando x 8 + @ de las siguientes funciones: a) f (x) = –x 2 + 3x + 5

b) f (x) = 5x 3 + 7x

c) f (x) = x – 3x 4

d) f (x) =

1 3x

f ) f (x) =

x3 – 1 –5

e) f (x) = –

4

1 x2

a) –@

b) +@

c) – @

d) 0

e) 0

f ) –@

Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

UNIDAD 11

lím (x 3 – 200x 2) = + @,

2. Como

x 8 +@

halla un valor de

x

para el cual sea

x 3 – 200x 2 > 1 000 000. Por ejemplo, para x = 1 000, f (x) = 800 000 000.

3. Como

lím

x 8 +@

1 = 0, halla un valor de x para el cual sea: x 2 – 10x 1 < 0,0001 x 2 – 10x

)

Por ejemplo, para x = 1 000, f (x) = 0,000001.

Página 284 4. Calcula a) f (x) =

lím f (x) y representa sus ramas:

x 8 +@

1 3x

b) f (x) =

3 x

c) f (x) = –

1 x2

a) 0

b) 0

c) 0

d) +∞

5. Calcula a) f (x) =

d) f (x) = 3x – 5

lím f (x) y representa sus ramas:

x 8 +@

x3 – 1 –5

b) f (x) =

x2 – 3 x3

c) f (x) =

a) –@

b) 0

c) +@

d ) –1

x3 –3

x2

d) f (x) =

1 – x3 1 + x3

–1

Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

5

Página 285 1. Halla las asíntotas verticales y sitúa la curva respecto a ellas:

b) y =

x 2 + 3x x+1

a)

lím

f (x) = –@

lím

f (x) = +@

lím

f (x) = +@

lím

f (x) = –@

x 8 –1– x 8 –1+

b)

x 8 –1– x 8 –1+

x = –1 es asíntota vertical.

° § ¢ § £

x 2 + 3x + 11 x+1

° § ¢ § £

a) y =

x = –1 es asíntota vertical.

–1

–1

2. Halla las asíntotas verticales y sitúa la curva respecto a ellas:

lím f (x) = +@

x 8 0–

lím f (x) = –@

x 8 0+

lím f (x) = –@

x 8 2–

lím f (x) = +@

x 8 2+

b) lím – f (x) = +@ x81

lím f (x) = +@

x8

6

1+

x = 0 es asíntota vertical.

x = 2 es asíntota vertical.

° § ¢ § £

a)

x2 + 2 – 2x + 1

x2

° § ¢ § £

b) y =

x2 + 2 x 2 – 2x

° § ¢ § £

a) y =

x = 1 es asíntota vertical.

2

1

Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

UNIDAD 11

Página 287 3. Halla las ramas infinitas, x 8 + @, de estas funciones. Sitúa la curva respecto a su asíntota: a) y =

a)

x 1 + x2

lím

x 8 +@

b) y = x +

b) y =

x3 1 + x2

f (x) = 0 8 y = 0 es asíntota horizontal.

–x 8 y = x es asíntota oblicua. 1 + x2

1 1

4. Halla las ramas infinitas, x 8 +@, de estas funciones. Sitúa la curva respecto a sus asíntotas, si las hay: a) y = a)

x2 + 2 x 2 – 2x

lím

x 8 +@

3 2 b) y = 2x – 3x + 7 x

f (x) = 1 8 y = 1 es asíntota horizontal.

1

b) grado de P – grado de Q Ó 2 lím

x 8 +@

f (x) = +@ 8 rama parabólica hacia arriba.

Página 288 1. Halla

lím

x 8 –@

f (x) y representa la rama correspondiente: f (x) = –2x 3 + 7x 4 – 3

lím

x 8 –@

f (x) =

lím

x 8 –@

7x 4 = +@

Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

7

2. Halla

lím

x 8 –@

f (x) y traza las ramas correspondientes:

a) f (x) = (x 2 + 3)/(–x 3) b) f (x) = –x 3/(x 2 + 3) a)

b)

lím

f (x) =

lím

f (x) =

x 8 –@

x 8 –@

lím

x2 = –x 3

x 8 –@

lím

1 =0 –x

lím

–x 3 = x2

x 8 –@

lím

–x = +@

x 8 –@

x 8 –@

Página 289 3. Halla las ramas infinitas, x 8 – @, de estas funciones, y sitúa la curva respecto a las asíntotas: a) y = c) y =

a)

b)

1 +1

b) y =

x 1 + x2

x2 1 + x2

d) y =

x3 1 + x2

x2

lím

f (x) = 0 8 y = 0 es asíntota horizontal.

lím

f (x) = 0 8 y = 0 es asíntota horizontal.

x 8 –@

x 8 –@

1

c)

lím

x 8 –@

f (x) = 1 8 y = 1 es asíntota horizontal.

1

d) y = x + –x 8 y = x es asíntota oblicua. 1 + x2

8

1

Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

UNIDAD 11 4. Halla las ramas infinitas, cuando x 8 – @, y si tienen asíntotas, sitúa la curva respecto a ellas: a) y =

x4 +1

b) y =

x2

2 c) y = x + 3x x+1

x2 + 2 x 2 – 2x

3 2 d) y = 2x – 3x x

a) grado P – grado Q Ó 2 lím

f (x) = +@ 8 rama parabólica.

lím

f (x) = 1 8 y = 1 es asíntota horizontal.

x 8 –@

b)

x 8 –@

c) y = x + 2 +

1

–2 8 y = x + 2 es asíntota oblicua. x+1

2 –2

d)

lím

x 8 –@

f (x) =

lím

x 8 –@

(2x 2 – 3x) = +@

Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

9

Página 295 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR

Discontinuidades y continuidad 1 a) ¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a una función continua? b) Señala, en cada una de las otras cinco, la razón de su discontinuidad. a)

b)

–2

–2

2

2

–2

2

–2

–2

d)

–2

c) 2

2

e)

f)

4

4

4

2

2

2

2

4

–2

–2

2

2

4

a) Solo la a). b) b) Rama infinita en x = 1 (asíntota vertical). c) Rama infinita en x = 0 (asíntota vertical). d) Salto en x = 2. e) Punto desplazado en x = 1; f (1) = 4; lím f (x) = 2. x81

f ) No está definida en x = 2. 2 Halla los puntos de discontinuidad, si los hay, de las siguientes funciones: x a) y = x 2 + x – 6 b) y = (x – 2)2 c) y =

x–1 2x + 1

d) y =

e) y =

2 5x – x 2

f) y =

a) Continua. 1 2 e) 0 y 5 c) –

10

1 x 2 + 2x + 3 1 +2

x2

b) 2 d) Continua. f ) Continua. Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

UNIDAD 11

3 Comprueba si las siguientes funciones son continuas en x = 0 y en x = –2: a) y =

1 √x

b) y =

c) y = √ x 2 – 4

x x2 – 4

d) y = √ 7 – 2x

a) No es continua ni en x = 0 ni en x = –2. b) Sí es continua en x = 0, no en x = –2. c) No es continua en x = 0, sí en x = –2. d) Continua en x = 0 y en x = –2. 4 Indica para qué valores de Á son continuas las siguientes funciones: a) y = 5 –

x 2

b) y = √ x – 3

1 x

d) y = √ – 3x

e) y = √ 5 – 2x

f) y = x 2 – x

c) y =

a)

Á

d) (–@, 0]

b) [3, +@)

(

e) –@,

5 2

]

c)

Á – {0}

f)

Á

5 Comprueba que las gráficas de estas funciones corresponden a la expresión analítica dada y di si son continuas o discontinuas en x = 1. ° 1 – x 2 si x ≤ 1 a) f (x) = ¢ £ x – 1 si x > 1

2 –2

° x + 2 si x < 1 b) f (x) = ¢ si x > 1 £3

2

2 2

–2

° x 2 si x ≠ 1 c) f (x) = ¢ £ –1 si x = 1

2 –2

2

a) Continua. b) Discontinua. c) Discontinua. Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

11

° x 2 – 1 si x < 0 6 Comprueba si la función f (x) = ¢ es continua en x = 0. £ x – 1 si x Ó 0 ☛ Recuerda que para que f sea continua en x = 0, debe verificarse que: lím f (x) = f (0)

x80

lím f (x) = lím f (x) = lím f (x) = –1 = f (0)

x 8 0–

x 8 0+

x80

Es continua en x = 0. 7 Comprueba si las siguientes funciones son continuas en los puntos que se indican: ° (3 – x)/2 si x < –1 a) f (x) = ¢ en x = –1 si x > –1 £ 2x + 4 si x < 2 ° 2 – x2 b) f (x) = ¢ (x/2) – 3 si xÓ2 £

en x = 2

si x Ì 1 ° 3x c) f (x) = ¢ en x = 1 x + 3 si x > 1 £ a) No, pues no existe f (–1). b) lím – f (x) = lím + f (x) = f (2) = –2. Sí es continua en x = 2. x82

x82

c) lím – f (x) = 3 ? lím + f (x) = 4. No es continua en x = 1. x81

x81

Página 296 Visión gráfica del límite 8

f1(x)

f2(x) –2

–2

Estas son, respectivamente, las gráficas de las funciones: f1 (x) =

1 (x + 2)2

y

f2 (x) =

–1 x+2

¿Cuál es el límite de cada una de estas funciones cuando x 8 –2? ☛ Observa la función cuando x 8 –2 por la izquierda y por la derecha.

12

Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

UNIDAD 11

lím

x8

–2+

lím

–

x 8 –2

lím

x 8 –2+

f1 (x) = +@ f1 (x) = +@ f2 (x) = +@ f2 (x) = –@

° § ¢ § £

–

° § ¢ § £

lím

x 8 –2

lím

x 8 –2

f1 (x) = +@

No existe

lím

x 8 –2

f2 (x).

9 Sobre la gráfica de la función f (x), halla: a) lím f (x)

b) lím f (x)

c) lím f (x)

d) lím f (x)

e) lím f (x)

f ) lím f (x)

g) lím f (x)

h) lím f (x)

x 8 –3–

x 8 –3+

x 8 2–

x80

x 8 2+

x 8 +@

–3

x 8 –@ x 8 –2

2

a) +@

b) –@

c) 2

d) 0

e) 0

f) 3

g) +@

h) 0

Límite en un punto 10 Calcula los siguientes límites:

(

a) lím 5 – x80

c) lím

x83

e)

lím

x 2

)

b)

1–x x–2

x 8 –2

d)

√ 10 + x – x 2

lím (x 3 – x)

x 8 –1

lím 2 x

x 8 0,5

f ) lím log2 x x84

h) lím e x

g) lím cos x x80

x82

a) 5

b) 0

c) –2

d) √ 2

e) 2

f) 2

g) 1

h) e 2

Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

13

° x 2 + 1 si x < 0 11 Dada la función f (x) = ¢ , halla: £ x + 1 si x Ó 0 a) lím f (x)

b) lím f (x)

x 8 –2

c) lím f (x) x80

x83

☛ Para que exista límite en el punto de ruptura, tienen que ser iguales los límites laterales.

a) 5 b) 4 c) lím – f (x) = x80

lím f (x) = lím f (x) = 1

x 8 0+

x80

12 Calcula los siguientes límites: a) lím

x80

2 b) lím 2x + 3x x x80

4x 2 x – 2x

3 2 c) lím 3h – 2h h h80

2 d) lím h – 7h 4h h80

☛ Saca factor común y simplifica cada fracción. a) lím

4x = –2 x (x – 2)

b) lím

x (2x + 3) =3 x

c) lím

h2 (3h – 2) = 0 h

d) lím

h (h – 7) 7 =– 4h 4

x80

h80

x80

h80

13 Resuelve los siguientes límites: 2 a) lím x – 1 x81 x–1

x 8 –1

x3 + 1 x2 + x

c) lím

x+2 x2 – 4

2 d) lím x – x – 2 x–2 x82

e) lím

x+3 2 x + 4x + 3

f ) lím

a) lím

(x + 1) (x – 1) =2 (x – 1)

x 8 –2

x 8 –3

x81

b) lím

x 8 –1

x81

x4 – 1 x2 – 1

2 x3 + 1 3 = lím (x + 1) (x – x + 1) = = –3 2 –1 x (x + 1) x + x x 8 –1

c) lím

(x + 2) 1 =– (x + 2) (x – 2) 4

d) lím

(x + 1) (x – 2) =3 (x – 2)

e) lím

(x + 3) 1 =– (x + 3) (x + 1) 2

f ) lím

(x 2 + 1)(x 2 – 1) = 2 x2 – 1

x 8 –2

x 8 –3

14

b) lím

x82

x81

Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

UNIDAD 11

14 Calcula el límite de la función f (x) =

lím f (x) =

x83

lím

x 8 –1–

3 4

x2 x2 + x

en x = 3, x = 0 y x = –1.

lím f (x) = 0

x80

f (x) = +@

lím

x 8 –1+

f (x) = –@

Límite cuando x 8 +@ o x 8 – @ 15 Calcula los siguientes límites y representa la información que obtengas: a) lím (7 + x – x 3) x 8 +@

b) lím

x 2 – 10x – 32 5

c) lím

(

x 8 +@

x 8 +@

4 x –x + – 17 2 3

)

d) lím (7 – x)2 x 8 +@

☛ Dale a x “valores grandes” y saca conclusiones. 16 Calcula el límite de las funciones del ejercicio anterior cuando x 8 – @ y representa la información que obtengas. Resolución de los ejercicios 15 y 16: a)

b)

c)

d)

lím

x 8 +@

lím

x 8 ±@

(7 + x – x 3) = –@;

( –x3

lím

(7 – x)2 = +@

x 8 ±@

(7 + x – x 3) = +@

x 2 – 10x – 32 = +@ 5

lím

x 8 ±@

lím

x 8 –@

4

+

)

x – 17 = – @ 2

Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

15

17 Comprueba, dando valores grandes a x, que las siguientes funciones tienden a 0 cuando x 8 +@. a) f (x) =

1 x 2 – 10

b) f (x) = 100 3x 2

c) f (x) =

–7 √x

d) f (x) =

a)

f (x) = 0

b) lím

f (x) = 0

d) lím

f (x) = 0

lím

x 8 +@

c) lím

x 8 +@

f (x) = 0

x 8 +@

x 8 +@

2 10x 2

– x3

18 Calcula el límite cuando x 8 + @ y cuando x 8 – @ de cada una de las siguientes funciones. Representa los resultados que obtengas. a) f (x) = x 3 – 10x b) f (x) = √ x 2 – 4 c) f (x) =

3–x 2

2 d) f (x) = x – 2x –3

Cuando x 8 +@: a) lím

f (x) = +@

b) lím

c) lím

f (x) = –@

d) lím f (x) = –@

x 8 +@

x 8 +@

x 8 +@

f (x) = +@

x 8 +@

Cuando x 8 –@: a) lím

f (x) = –@

b) lím

f (x) = +@

c) lím

f (x) = +@

d) lím

f (x) = –@

x 8 –@

x 8 –@

16

x 8 –@

x 8 –@

Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

UNIDAD 11

Página 297 19 Calcula los siguientes límites y representa las ramas que obtengas: a) lím

3 (x – 1)2

b) lím

–2x 2 3–x

c) lím

–1 –1

d) lím

1 (2 – x)3

e) lím

2x – 1 x+2

f ) lím

x2 + 5 1–x

g) lím

2 – 3x x+3

h) lím

3 – 2x 5 – 2x

x 8 +@

x 8 +@

x 8 +@ x2

x 8 +@

x 8 +@

x 8 +@

x 8 +@

x 8 +@

20 Calcula el límite de todas las funciones del ejercicio anterior cuando x 8 – @. Resolución de los ejercicios 19 y 20: a)

lím

x 8 +@

3 = 0; (x – 1)2

3 =0 (x – 1)2

lím

x 8 –@

Y 4 2 –4 –2 –2

2

4

2

4

2

4

X

–4

b)

c)

lím

–2x 2 = +@; 3–x

lím

–1 = 0; x2 – 1

x 8 +@

x 8 +@

lím

x 8 –@

lím

x 8 –@

–2x 2 = –@ 3–x

–1 = 0 x2 – 1

Y 4 2 –4 –2 –2

X

–4

d)

e)

lím

x 8 +@

lím

x 8 +@

1 = 0; (2 – x)3

2x – 1 = 2; x+2

lím

x 8 –@

lím

x 8 –@

1 =0 (2 – x)3

2x – 1 =2 x+2

Y 4 2 –4 –2 –2

X

–4

Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

17

f)

x 2 + 5 = – @; 1–x

lím

x 8 +@

lím

x 8 –@

x 2 + 5 = +@ 1–x

Y 4

g)

lím

x 8 +@

2 – 3x = –3; x+3

lím

x 8 –@

2

2 – 3x = –3 x+3

–4 –2 –2

2

4

2

4

X

–4 Y 4

h)

lím

x 8 +@

3 – 2x = 1; 5 – 2x

lím

x 8 –@

2

3 – 2x =1 5 – 2x

–4 –2 –2

X

–4

21 Resuelve los siguientes límites: a) lím

3x 2 (x – 1)2

b) lím 1 – (x – 2)2

c) lím

1–x (2x + 1)2

d) lím

x 8 +@

x 8 +@

a) 3

x 8 –@

x 8 –@

b) –@

c) 0

x3 + 1 5x d) +@

22 Calcula el límite cuando x 8 + @ y cuando x 8 – @ de las siguientes funciones y representa las ramas que obtengas: a) f (x) = –1 x2 c) f (x) =

x2 x–1

a)

f (x) = 0;

lím

x 8 +@

b) lím

f (x) = –@;

c) lím

f (x) = +@;

d) lím

f (x) = – 4;

x 8 +@

x 8 +@

x 8 +@

18

b) f (x) = 10x – x 3 d) f (x) =

lím

x 8 –@

1 – 12x 2 3x 2

f (x) = 0

lím

f (x) = +@

lím

f (x) = –@

lím

f (x) = – 4

x 8 –@

x 8 –@

x 8 –@

–4

Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

UNIDAD 11

Asíntotas 23 Halla las asíntotas de las siguientes funciones y sitúa la curva respecto a cada una de ellas: a) y =

2x x–3

b) y =

x–1 x+3

c) y =

2x + 3 4–x

d) y =

2 1–x

a) Asíntotas:

b) Asíntotas:

x = 3; y = 2

x = –3; y = 1

Y

Y

2 1 3

–3

X

c) Asíntotas:

X

d) Asíntotas:

x = 4; y = –2

x = 1; y = 0

Y

Y

4

X

X 1

–2

24 Halla las asíntotas de las siguientes funciones y sitúa la curva respecto a ellas: 2 3 a) y = x b) y = 2 x2 + 4 x +1 x4 x–1

2 c) y = 2x – 1 x2

d) y =

a) Asíntota: y = 1

b) Asíntota: y = 0

Y

Y 1 X

Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

X

19

c) Asíntotas: x = 0; y = 2

d) Asíntota: x = 1

Y

Y 2 1

X

X

25 Halla las asíntotas de las siguientes funciones y sitúa la curva respecto a ellas: a) f (x) =

4x + 1 2x – 3

b) f (x) =

3x 2x – 5

c) f (x) =

1 2–x

d) f (x) =

1 x2 + 9

e) f (x) =

3x x2 – 1

f ) f (x) =

–1 (x + 2)2

a) Asíntota vertical: x =

3 2

2

Asíntota horizontal: y = 2

b) Asíntota vertical: x =

5 2 3 2

3

Asíntota horizontal: y = 0

2

Asíntota horizontal: y =

c) Asíntota vertical: x = 2

d) Asíntota vertical: y = 0 No tiene más asíntotas.

20

Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

UNIDAD 11

e) Asíntota vertical: x = 1, x = –1 Asíntota horizontal: y = 0

–1

1

f ) Asíntota vertical: x = –2 –2

Asíntota horizontal: y = 0

26 Cada una de las siguientes funciones tiene una asíntota oblicua. Hállala y estudia la posición de la curva respecto a ella: 2 a) f (x) = 3x x+1

2 b) f (x) = 3 + x – x x

2 d) f (x) = x + x – 2 x–3

e) f (x) =

a)

2x 3 – 3 x2 – 2

2 c) f (x) = 4x – 3 2x 2 f ) f (x) = –2x + 3 2x – 2

3 3x 2 = 3x – 3 + x+1 x+1 Asíntota oblicua: y = 3x – 3

1 –3

2 3 b) 3 + x – x = –x + 1 + x x

1

Asíntota oblicua: y = –x + 1

1

2 3 c) 4x – 3 = 2x – 2x 2x

1

Asíntota oblicua: y = 2x

1

2 10 d) x + x – 2 = x + 4 + x–3 x–3

4

Asíntota oblicua: y = x + 4 –4

Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

21

e)

2x 3 – 3 = 2x + 4x – 3 2 x –2 x2 – 2 Asíntota oblicua: y = 2x

1 1

2 1 f ) –2x + 3 = –x – 1 + 2x – 2 2x – 2

Asíntota oblicua: y = –x – 1

–1 –1

PARA RESOLVER 27 Calcula los límites de las siguientes funciones en los puntos que anulan su denominador: a) f (x) =

3x 2x + 4

b) f (x) =

x–1 x 2 – 2x

c) f (x) =

x 2 – 2x x2 – 4

d) f (t) =

t 3 – 2t 2 t2

a)

f (x) = +@;

lím

x 8 –2–

f (x) = –@

x–1 x (x – 2)

b) f (x) =

lím f (x) = –@;

x 8 0–

lím f (x) = +@;

x 8 0+

lím f (x) = –@;

x 8 2–

lím f (x) = +@

x 8 2+

x (x – 2) (x – 2) (x + 2)

c) f (x) =

lím f (x) =

x82

d) f (t) =

lím

x 8 –2+

2 1 = ; 4 2

lím

x 8 –2–

f (x) = +@;

lím

x 8 –2+

f (x) = –@

t 2 (t – 2) ; lím f (t ) = –2 t2 t80

28 Halla las asíntotas de las siguientes funciones y sitúa la curva respecto a cada una de ellas: 2 a) y = (3 – x ) 2x + 1

d) y =

22

x2

x2 +x+1

b) y = e) y =

5x – 2 2x – 7 x3 –4

x2

c) y = x + 2 x2 – 1 2 f ) y = 3x x+2

Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

UNIDAD 11

a) y =

1 13 49/4 x– + 2 4 2x + 1

1 1 13 Asíntotas: x = – ; y = x– 2 2 4

Y 2 –2

–2

2

4

X

6

8

2

4

6

2

4

6

2

4

6

2

4

6

1

2

3

–4

Y 4

b) Asíntotas: y =

5 7 ; x= 2 2

2 –6 –4 –2

–2

X

–4

Y 4 2

c) Asíntotas: y = 0; x = ±1 –6 –4 –2

–2

X

–4

Y 4 2

d) Asíntotas: y = 1 –6 –4 –2

–2

X

–4

Y 4

4x e) y = x + (x + 2) (x – 2) Asíntotas: y = x; x = –2, x = 2

2 –6 –4 –2

–2

X

–4

Y 2 1

f ) Asíntotas: x = –2; y = 3x – 6

–3 –2 –1

–1

X

–2 –3

Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

23

29 Halla las ramas infinitas de estas funciones. Cuando tengan asíntotas, sitúa la curva: a) y =

x4 – 1 x2

b) y =

d) y =

x2 – 1 2x 2 + 1

2 e) y = 2x x+3

a)

lím

x 8 +@

f (x) = +@;

lím

x 8 –@

(x + 3)2 (x + 1)2

c) y =

1 9 – x2

f) y =

x3 2x – 5

f (x) = +@

Asíntota vertical: x = 0

b) Asíntota vertical: x = –1 1

Asíntota horizontal: y = 1 –1

c) Asíntotas verticales: x = 3, x = –3 Asíntota horizontal: y = 0

d) Asíntota horizontal: y =

–3

3

1

1 2

e) Asíntota vertical: x = –3 Asíntota oblicua: y = 2x – 6

–4

4 –6

f)

lím

x 8 +@

f (x) = +@;

Asíntota vertical: x =

24

lím

x 8 –@

5 2

f (x) = +@ 1 2 3

Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

UNIDAD 11

Página 298 30 Prueba que la función f (x) =

x2 – 4 solo tiene una asíntota vertical x 2 – 2x

y otra horizontal. ☛ Al hallar

lím f (x) verás que no es @.

x82

lím f (x) = 2;

x82

lím f (x) = –@;

x 8 0–

lím f (x) = +@;

x 8 0+

lím

x 8 ±@

f (x) = 1

Asíntota vertical: x = 0 Asíntota horizontal: y = 1 31 Calcula los siguientes límites y representa los resultados que obtengas: a) lím

x2 – x – 6 x 2 – 3x

a) lím

x2 – x – 6 (x – 3) (x + 2) 5 = lím = 2 x (x – 3) 3 x – 3x x83

x83

x83

b) lím

x81

x 2 – 3x + 2 x 2 – 2x + 1

3 2 1 1 2 3

(x – 2) (x – 1) x 2 – 3x + 2 x–2 = lím = lím 2 (x – 1)2 x – 2x + 1 x81 x–1 x81

b) lím

x81

1

Calculamos los límites laterales: lím

x8

1–

x–2 = +@; x–1

No existe lím

x81

lím

x8

1–

x–2 = –@ x–1

x 2 – 3x + 2 x 2 – 2x + 1

32 Calcula los siguientes límites y representa los resultados que obtengas: a) lím

x80

b) lím

x 2 – 2x x3 + x2 x3 + x2 + 2x + 1

x 8 –1 x 2

c) lím

x4 – 1 x–1

d) lím

2x 2 – 8 x 2 – 4x + 4

x81

x82

Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

25

x (x – 2) x 2 – 2x x–2 = lím 2 (x + 1) = lím x (x + 1) 3 2 x x +x x80 x80

a) lím

x80

Calculamos los límites laterales: x–2 = +@; x (x + 1)

lím

x 8 0–

x–2 = –@ x (x + 1)

lím

x 8 0+

x3 + x2 x 2 (x + 1) x2 = lím = lím 2 x +1 + 2x + 1 x 8 –1 x 8 –1 (x + 1)

b) lím

x2

x 8 –1

–1

Calculamos los límites laterales: x2 = – @; x+1

lím

x 8 –1–

x2 = +@ x+1

lím

x 8 –1+

4

c) lím

x81

x4 – 1 (x – 1) (x 3 + x 2 + x + 1) = lím =4 x–1 x81 x–1

d) lím

x82

1

2 (x – 2) (x + 2) 2x 2 – 8 2 (x + 2) = lím = lím x–2 (x – 2)2 – 4x + 4 x82 x82

x2

2

Calculamos los límites laterales: 2 (x + 2) = – @; x–2

lím –

x82

lím

x8

2+

2 (x + 2) = +@ x–2

33 Halla las asíntotas de estas funciones: a) y = c) y =

x3 –1

b) y = x 2 +

2x 2 + 5 – 4x + 5

d) y =

x2 x2

e) y = x +

4 x–5

a) y = x +

x (x – 1) (x + 1)

1 x

x2 + 1 (x 2 – 1)2

f) y = x + 1 +

5 x

b) Asíntota vertical: x = 0

Asíntotas verticales: x = –1, x = 1 Asíntota oblicua: y = x c) Asíntota horizontal: y = 2

d) Asíntota horizontal: y = 0 Asíntotas verticales: x = ±1

e) x = 5, y = x

f ) Asíntota vertical: x = 0 Asíntota oblicua: y = x + 1

26

Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

UNIDAD 11

34 Representa las siguientes funciones y explica si son discontinuas en alguno de sus puntos: ° 2x – 1 si x < 3 a) f (x) = ¢ £ 5 – x si x Ó 3 si x Ì 0 °1 b) f (x) = ¢ 2 x + 1 si x > 0 £ ° x 2 – 2 si x < 2 c) f (x) = ¢ si x > 2 £x a) Discontinua en x = 3.

Y 4 2 X –2

1

b) Función continua.

2

3 4

5

6

Y 8 6 4 2 X –4 –2

c) Discontinua en x = 2.

2

4

6

8

2

3

4

5

Y 4 2 –1

1

X

–2

35 a) Calcula el límite de las funciones del ejercicio anterior en x = –3 y x = 5. b) Halla, en cada una de ellas, el límite cuando x 8 + @ y cuando x 8 – @. a) lím

f (x) = –7;

b) lím

f (x) = 1;

c) lím

f (x) = 7;

x 8 –3 x 8 –3

x 8 –3

lím f (x) = 0;

x85

lím f (x) = 26;

x85

lím f (x) = 5;

x85

lím

f (x) = –@;

lím

f (x) = +@;

x 8 +@ x 8 +@

lím

x 8 +@

Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

f (x) = +@;

lím

f (x) = –@

lím

f (x) = 1

x 8 –@ x 8 –@

lím

x 8 –@

f (x) = +@

27

36 Calcula los límites cuando x 8 + @ y cuando x 8 – @ de las siguientes funciones: a) f (x) = 2x – 1

b) f (x) = 0,75x

c) f (x) = 1 + e x

d) f (x) = 1/e x

a) lím

f (x) = +@;

b) lím

f (x) = 0;

c) lím

f (x) = +@;

d) lím

f (x) = 0;

x 8 +@ x 8 +@

x 8 +@ x 8 +@

lím

x 8 –@

lím

x 8 –@

f (x) = +@

lím

x 8 –@

lím

x 8 –@

f (x) = 0

f (x) = 1

f (x) = +@

37 Halla las ramas infinitas de las siguientes funciones exponenciales: a) y = 2 x + 3

b) y = 1,5 x – 1

c) y = 2 + e x

d) y = e –x

a) lím

x 8 +@

f (x) = +@;

lím

x 8 –@

f (x) = 0

Asíntota horizontal cuando x 8 –@: y = 0 b) lím

x 8 +@

f (x) = +@;

lím

x 8 –@

f (x) = –1

Asíntota horizontal cuando x 8 –@: y = –1 c) lím

x 8 +@

f (x) = +@;

lím

x 8 –@

f (x) = 2

Asíntota horizontal cuando x 8 –@: y = 2 d) lím

x 8 +@

f (x) = 0;

lím

x 8 –@

f (x) = +@

Asíntota horizontal cuando x 8 –@: y = 0 38 Calcula, en cada caso, el valor de k para que la función f (x) sea continua en todo Á. ° x 2 – 4 si x Ì 3 a) f (x) = ¢ £ x + k si x > 3

° 6 – (x/2) si x < 2 b) f (x) = ¢ 2 £ x + kx si x Ó 2

° (x 2 + x)/x si x ? 0 c) f (x) = ¢ si x = 0 £k

x83

lím + f (x) = 3 + k

x83

28

° § ¢ § £

a) lím – f (x) = 5 = f (3)

5=3+k 8 k=2

Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

UNIDAD 11

x82

lím + f (x) = 4 + 2k = f (2)

x82

5 = 4 + 2k 8 k = 1/2

x (x + 1) =1 8 k=1 x

c) lím f (x) = lím x80

° § ¢ § £

b) lím – f (x) = 5

x80

39 Estudia la continuidad de estas funciones: ° 2 – x si x < 1 a) f (x) = ¢ si x Ó 1 £ 1/x si –1 Ó x si –1 < x < 1 si xÓ1

° –x – 1 § b) f (x) = ¢ 1 – x 2 § £x–1

° 1 – x 2 si x Ì 0 c) f (x) = ¢ x + 1 si x > 0 £2 a) lím – f (x) = lím f (x) = f (1) = 1 8 Continua en x = 1 x81

x 8 1+

x ? 1 8 Continua Es continua en b) lím

x 8 –1–

Á.

f (x) = lím

x 8 –1+

f (x) = f (–1) = 0 8 Continua en x = 1

lím f (x) = lím f (x) = f (1) = 0 8 Continua en x = 1

x 8 1–

x 8 1+

x ? 1 y x ? –1 8 Continua Es continua en

Á.

c) lím – f (x) = 1 ? lím f (x) = 2 8 Discontinua en x = 0 x80

x 8 0+

Si x ? 0, es continua. 40 Calcula a para que las siguientes funciones sean continuas en x = 1: si x Ì 1 °x + 1 a) f (x) = ¢ 2 £ 4 – ax si x > 1

lím f (x) = 4 – a

x 8 1+

b) lím f (x) = lím x81

f (1) = a

x81

2=4–a 8 a=2

(x – 1) (x + 1) =2 (x – 1)

° § ¢ § £

x81

° § ¢ § £

a) lím – f (x) = 2 = f (1)

° (x 2 – 1)/(x – 1) si x ? 1 b) f (x) = ¢ si x = 1 £a

Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

a=2

29

41 En una empresa se hacen montajes en cadena. El número de montajes realizados por un trabajador sin experiencia depende de los días de entrena30t miento según la función M (t) = (t en días). t+4 a) ¿Cuántos montajes realiza el primer día? ¿Y el décimo? b) Representa la función sabiendo que el periodo de entrenamiento es de un mes. c) ¿Qué ocurriría con el número de montajes si el entrenamiento fuera mucho más largo? a) M (1) = 6 montajes el primer día. M (10) = 21,43 8 21 montajes el décimo día. b)

25 20 15 10 5 5

10

15

20

(

25

c) Se aproxima a 30 pues

30

lím

t 8 +@

)

30t = 30 . t+4

Página 299 CUESTIONES TEÓRICAS 42 ¿Se puede calcular el límite de una función en un punto en el que la función no esté definida? ¿Puede ser la función continua en ese punto? Sí se puede calcular, pero no puede ser continua. 43 ¿Puede tener una función más de dos asíntotas verticales? ¿Y más de dos asíntotas horizontales? Pon ejemplos. Sí. Por ejemplo, f (x) =

1 tiene x = 0, x = 1 y x = 2 como asínx (x – 1)(x – 2)

totas verticales. No puede tener más de dos asíntotas horizontales, una hacia + @ y otra hacia – @, por ejemplo:

30

Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

UNIDAD 11

44 El denominador de una función f (x) se anula en x = a. ¿Podemos asegurar que tiene una asíntota vertical en x = a ? Pon ejemplos. 2 No. Por ejemplo, f (x) = 3x + x x

en x = 0; puesto que: x (3x + 1) =1 x

lím f (x) = lím

x80

x80

45 Si lím f (x) = 5, ¿podemos afirmar que f es continua en x = 2? x82

No. Para que fuera continua debería ser, además, f (2) = 5. 46 Representa una función que verifique estas condiciones. ¿Es discontinua en algún punto? lím f (x) = 2

x 8 –@

lím f (x) = + @

lím f (x) = 0

x 8 +@

lím f (x) = – @

x 8 1–

x 8 1+

Y 4

Es discontinua en x = 1. 2

–4

–2

2

4

X

–2

–4

PARA PROFUNDIZAR 47 Calcula los siguientes límites: a) lím

x 8 +@

c) lím

√

x+3 x–2

b) lím

x 8 +@

√x 2 + 1

d) lím

x

x 8 –@

x 8 +@

a) lím

√

b) lím

√x + 1 = lím

x 8 +@

x 8 +@

x+3 = lím x–2 x 8 +@

x

x 8 +@

√

x 3x – 1 √x 2 + 4

x = lím √ 1 = √ 1 = 1 x x 8 +@

√x = lím x

√x + 1

x 8 +@

1

√x

Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

=0

31

c) lím

√x 2 + 1 = lím

d) lím

3x – 1 3x 3x = lím = lím =3 2 2 | x| x 8 +@ x 8 +@ √x + 4 √x

x 8 –@

x 8 +@

x

x 8 –@

√x 2 = lím x

x 8 –@

48 Halla un valor de x para el cual f (x) =

|x | = –1 x

1 sea menor que 0,001. 3x – 5

Por ejemplo, para x = 1 000, f (x) = 0,00033. 49 Halla los siguientes límites: a) lím ( √ x – x) x 8 +@

c) lím

x 8 +@

x ex

a) – @

b) lím (2 x – x 3) x 8 +@

d) lím (0,75 x – x) x 8 –@

b) +@

c) 0

d) +@

50 ¿Cuál es la asíntota vertical de estas funciones logarítmicas? Halla su límite cuando x 8 + @: a) y = log2 (x – 3)

b) y = ln (x + 2)

a) Asíntota vertical: x = 3 lím

x 8 +@

f (x) = +@

b) Asíntota vertical: x = –2 lím

x 8 +@

32

f (x) = +@

Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

UNIDAD 11

Página 299 AUTOEVALUACIÓN xÌ3 ° 2x – 5, en los puntos de abscisas 0, 3 y 5. 1. Calcula el límite de f (x) = ¢ 2 £ x – x – 7, x > 3 Di si la función es continua en esos puntos. xÌ3 ° 2x – 5, f (x) = ¢ 2 £ x – x – 7, x > 3 lím f (x) = 2 · 0 – 5 = –5

x80

° § ¢ No tiene límite en x = 3. 2 lím f (x) = 3 – 3 – 7 = –1 § + x83 £ lím f (x) = 2 · 3 – 5 = 1

lím f (x)

x83

x 8 3–

lím f (x) = 52 – 5 – 7 = 13

x85

Es continua en x = 0 y en x = 5. No es continua en x = 3, porque no tiene límite en ese punto.

2. Halla los siguientes límites: a) lím 2x – 1

b) lím

x 8 5 √x

x80

a) lím 2x – 1 = 2–1 = x80

1

x (x – 4)2 x84

c) lím

+4

1 2

b) lím

x 8 5 √x

1 +4

=

1

√9

=

1 3

x + – 2 = + @ (Si x 8 4 o si x 8 4 , los valores de la función son posix 8 4 (x – 4) tivos).

c) lím

3. a)

Y

b)

Y

X

X

Sobre la gráfica de estas dos funciones, halla, en cada caso, los siguientes límites lím f (x);

x83

lím f (x);

x82

lím f (x);

x 8 +@

Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

lím f (x)

x 8 –@

33

lím f (x) = +@ ° § ¢ No tiene límite en x = 3. lím f (x) = –@ § + x83 £ x 8 3–

a) lím f (x) x83

lím f (x) = 1

x82

lím f (x) = 0

x 8 +@

lím f (x) = +@

x 8 –@

b) lím f (x) = 0 x83

lím f (x) = 3 ° § ¢ No tiene límite en x = 2. lím f (x) = 1 § + x82 £ x 8 2–

lím f (x)

x82

lím f (x) = – @

x 8 +@

lím f (x) = 3

x 8 –@

4. Halla las asíntotas de la función f (x) =

4x 2 y estudia la posición de la – 2x

x2

curva respecto a ellas. Simplificamos:

4x 2 4x 4x = 8 y= 2 x – 2x x–2 x–2

• Asíntota vertical: x = 2 4x ° § lím – ——— = – @ x –2 §x82 Posición ¢ 4x § § lím + ——— = +@ £x82 x – 2 • Asíntota horizontal: ° x 8 +@, Posición ¢ £ x 8 –@,

lím

x 8 ±@

4x = 4; y = 4 x–2

y>4 y 1 ° ax – 2 si x Ì 1 f (x) = ¢ £ 4x – 2a si x > 1 La función es continua para valores de x menores que 1 y mayores que 1, porque ambos tramos son rectas. Para que sea continua en x = 1, debe cumplirse:

lím f (x) = f (1)

x81

f (1) = a – 2 lím f (x) = a – 2 ° § ¢ lím f (x) = 4 – 2a § + x81 £ x 8 1–

lím f (x)

x81

Para que exista el límite, debe ser: a – 2 = 4 – 2a 8 3a = 6 8 a = 2

x 3 – 3x 2 cuando x 8 3; x 8 2; x 8 +@; x 8 –@ x 2 – 5x + 6 y representa la información que obtengas.

6. Halla el límite de f (x) =

• lím

x83

x 3 – 3x 2 0 = – 5x + 6 0

x2

Simplificamos:

lím

x83

x 2 (x – 3) x2 = (x – 2)(x – 3) x–2

x 3 – 3x 2 x2 lím = =9 x 2 – 5x + 6 x 8 3 x – 2

x 3 – 3x 2 x2 lím • lím = 2 x 8 2 x – 5x + 6 x82 x – 2 • lím

x 8 +@

• lím

x 8 –@

lím f (x) = –@

x 8 2–

lím f (x) = +@

x 8 2+

x 3 – 3x 2 x2 lím = = +@ x 2 – 5x + 6 x 8 +@ x – 2

Y 9

x 3 – 3x 2 x2 = lím = –@ – 5x + 6 x 8 –@ x – 2

x2

3

Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

X

35

7. Representa una función que cumpla las siguientes condiciones: lím f (x) = – @

x 8 –2 –

lím f (x) = +@

lím f (x) = 0

x 8 –2+

x 8 +@

lím f (x) = 2

x 8 –@

Y

2 –2

X

2x 3 8. Estudia las ramas infinitas de f (x) = 2 y sitúa la curva respecto a su asínx +4 tota. No tiene asíntotas verticales porque x 2 + 4 ? 0 para cualquier valor de x. No tiene asíntotas horizontales porque

lím

x 8 +@

2x 3 = +@ y +4

x2

lím

x 8 –@

2x 3 = –@. +4

x2

Tiene una asíntota oblicua, porque el grado del numerador es una unidad mayor que el del denominador. 2x 3

x2 + 4

–2x 3 – 8x

2x

– 8x y=

2x 3 8x = 2x – 2 2 x +4 x +4

Asíntota oblicua: y = 2x Posición

x 8 +@ x 8 –@

curva < asíntota curva > asíntota Y

2 1

36

X

Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

12

INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES

Página 301 REFLEXIONA Y RESUELVE Tomar un autobús en marcha En la gráfica siguiente, la línea roja representa el movimiento de un autobús que arranca de la parada y va, poco a poco, ganando velocidad.

① y ② corresponden a pasajeros que llegan tarde y corren para tomar el autobús en marcha.

50 m

2 1

5s

10 s

15 s

20 s

a) Al viajero ② lo acercan en bicicleta. Describe su movimiento y halla la velocidad a la que corre. b) ¿Cuál es la velocidad aproximada del autobús en el momento que lo alcanza el pasajero ②? ¿Entra este pasajero suavemente en el autobús? a) El pasajero 2 llega a la parada 10 s después de que saliera el autobús, y lo alcanza 5 s después, 40 m más allá. Corrió, por tanto, a

40 = 8 m/s. Es decir: 8 · 3,6 = 28,8 km/h 5

b) En el instante 14 s está a 35 m de la parada. En el instante 16 s está a 50 m de la parada. Velocidad media =

15 m = 7,5 m/s = 27 km/h 2s

Las velocidades del pasajero 2 y del autobús son, aproximadamente, iguales en el momento en el que el pasajero accede al autobús; por tanto, accederá suavemente.

Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

1

¿Es preferible esperar o correr tras el autobús? Los viajeros ③ y ④, en el momento de la salida del autobús, estaban a 100 m de la parada. El ③ decide esperarlo y entrar en él cuando pase por allí. El ④ tiene un extraño comportamiento. ¿Extraño? 100 m

3

4

50 m

5s

10 s

15 s

20 s

a) Describe el movimiento del pasajero ④. b) Explica por qué el comportamiento del pasajero ④ es mucho más sensato que el del ③, quien tendrá muy difícil la entrada en el autobús. a) Intenta alcanzar aproximadamente la velocidad que lleva el autobús para acceder a él suavemente. b) El pasajero 4 accede suavemente al autobús (con la misma velocidad, aproximadamente); sin embargo, el 3 no.

Carrera de relevos La siguiente gráfica refleja el comportamiento de dos atletas, del mismo equipo, durante una carrera de relevos: a) ¿Por qué en las carreras de relevos 4 Ò 100 m cada relevista empieza a correr antes de que llegue su compañero? b) ¿Qué pasaría si esperara quieto la llegada del otro?

2.º relevista

c) ¿Es razonable que las gráficas de sus movimientos sean tangentes? ¿Cómo son sus velocidades en el momento de la entrega del “testigo”?

1.er relevista

a) Para que el “testigo” pase sin brusquedades del que llega al que se va. b) El intercambio sería muy brusco y se perdería tiempo. c) Sí, así llevarán los dos la misma velocidad, aproximadamente.

2

Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

UNIDAD 12

Página 303 1. Halla la T.V.M. de la función y = x 2 – 8x + 12 en los siguientes intervalos: [1, 2], [1, 3], [1, 4], [1, 5], [1, 6], [1, 7], [1, 8] T.V.M. [1, 2] =

f (2) – f (1) 0–5 = = –5 1 2–1

T.V.M. [1, 3] =

f (3) – f (1) –3 – 5 = = –4 2 3–1

T.V.M. [1, 4] =

f (4) – f (1) –4 – 5 = = –3 3 4–1

T.V.M. [1, 5] =

f (5) – f (1) –3 – 5 = = –2 4 5–1

T.V.M. [1, 6] =

f (6) – f (1) 0–5 = = –1 5 6–1

T.V.M. [1, 7] =

f (7) – f (1) 5–5 = =0 6 7–1

T.V.M. [1, 8] =

f (8) – f (1) 12 – 5 = =1 7 8–1

2. Halla la T.V.M. de y = x 2 – 8x + 12 en el intervalo variable [1, 1 + h]. Comprueba, dando a h los valores adecuados, que se obtienen los resultados del ejercicio anterior. 2 f (1 + h) – f (1) T.V.M. [1, 1 + h] = = (1 + h) – 8 (1 + h) + 12 – 5 = h h 2 h (h – 6) = h – 6h = =h–6 h h

Dando a h los valores 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 se obtienen los resultados del ejercicio anterior.

Página 305 1. Halla la derivada de y = 5x – x 2 en los puntos de abscisas 4 y 5. f ' (4) = lím

h80

2 f (4 + h) – f (4) = lím 5 (4 + h) – (4 + h) – 4 = h h h80

2 2 h (–h – 3) = lím 20 + 5h – 16 – h – 8h – 4 = lím –h – 3h = lím = h h h h80 h80 h80

= lím (–h – 3) = –3 h80

f ' (5) = lím

h80

= lím

h80

2 f (5 + h) – f (5) = lím 5 (5 + h) – (5 + h) – 0 = h h h80

(5 + h) (5 – 5 – h) = lím (–5 – h) = –5 h h80

Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

3

2. Halla la derivada de y =

f (1 + h) – f (1) [3/(1 + h – 2)] – (–3) = lím = h h h80

f ' (1) = lím

h80

[3/(h – 1)] + 3 3 + 3h – 3 3 = lím = lím = –3 h h 8 0 (h – 1) h h80 h–1

= lím

h80

f ' (–1) = lím

h80

= lím

h80

f (–1 + h) – f (–1) [3/(–1 + h – 2)] – (–1) = lím = h h h80 3+h–3 [3/(h – 3)] + 1 1 1 = lím = lím =– 3 h h 8 0 h (h – 3) h80 h–3 f (5 + h) – f (5) [3/(5 + h – 2)] – 1 = lím = h h h80

f ' (5) = lím

h80

[3/(h + 3)] – 1 3–h–3 –1 1 = lím = lím =– 3 h h 8 0 h (h + 3) h80 h+3

= lím

h80

3. Halla la derivada de y =

f ' (–2) = lím

h80

= lím

h80

f ' (–1) = lím

h80

= lím

h80

f ' (1) = lím

h80

= lím

h80

f ' (2) = lím

h80

= lím

h80

4

3 en los puntos de abscisas 1, –1 y 5. x–2

1 en los puntos de abscisas –2, –1, 1 y 2. x

f (–2 + h) – f (–2) [1/(–2 + h)] – (–1/2) = lím = h h h80 h/(–4 – 2h) 1 –1 = lím = h 2h – 4 4 h80 f (–1 + h) – f (–1) [1/(–1 + h)] – (–1) = lím = h h h80 h/(h – 1) 1 = lím = –1 h h80 h–1

f (1 + h) – f (1) [1/(1 + h)] – 1 = lím = h h h80 (1 – 1 – h) –1 = lím = –1 h(1 + h) h80 1+h f (2 + h) – f (2) [1/(2 + h)] – (1/2) = lím = h h h80 (2 – 2 – h)/2·(2 + h) h –1 –1 = lím = lím = h 4 h 8 0 h·(4 + 2h) h 8 0 4 + 2h

Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

UNIDAD 12

4. Halla la derivada de y = x 2 – 2x en los puntos de abscisas –2, –1, 0, 1, 2, 3 y 4. f ' (–2) = lím

h80

2 f (–2 + h) – f (–2) = lím (–2 + h) – 2 (–2 + h) – 8 = h h h80

2 2 h (h – 6) = lím 4 + h – 4h + 4 – 2h – 8 = lím h – 6h = lím = –6 h h h h80 h80 h80

f ' (–1) = lím

h80

2 f (–1 + h) – f (–1) = lím (–1 + h) – 2 (–1 + h) – 3 = h h h80

2 2 h (h – 4) = lím 1 + h – 2h + 2 – 2h – 3 = lím h – 4h = lím = –4 h h h h80 h80 h80

f ' (0) = lím

2 f (0 + h) – f (0) h (h – 2) = lím h – 2h – 0 = lím = –2 h h h h80 h80

f ' (1) = lím

2 f (1 + h) – f (1) = lím (1 + h) – 2 (1 + h) – (–1) = h h h80

h80

h80

2 2 = lím 1 + h + 2h – 2 – 2h + 1 = lím h = 0 h h h80 h80

f ' (2) = lím

h80

2 f (2 + h) – f (2) = lím (2 + h) – 2 (2 + h) – 0 = h h h80

2 2 h (h + 2) = lím 4 + h + 4h – 4 – 2h = lím h + 2h = lím =2 h h h h80 h80 h80

f ' (3) = lím

h80

2 f (3 + h) – f (3) = lím (3 + h) – 2 (3 + h) – 3 = h h h80

2 2 h (h + 4) = lím 9 + h + 6h – 6 – 2h – 3 = lím h + 4h = lím =4 h h h h80 h80 h80

f ' (4) = lím

h80

2 f (4 + h) – f (4) = lím (4 + h) – 2 (4 + h) – 8 = h h h80

2 2 h (h + 6) = lím 16 + h + 8h – 8 – 2h – 8 = lím h + 6h = lím =6 h h h h80 h80 h80

Página 306 1. Halla la derivada de la función f (x) = 5x – x2 y comprueba que, a partir de ella, se pueden obtener los valores concretos hallados en el ejercicio resuelto 1 y en el ejercicio propuesto 1 de la página anterior. f ' (x) = lím

h80

2 2 f (x + h) – f (x) = lím 5 (x + h) – (x + h) – (5x – x ) = h h h80

Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

5

2 2 2 2 = lím 5x + 5h – x – h – 2xh – 5x + x = lím –h – 2xh + 5h = h h h80 h80

= lím

h80

h (–h – 2x + 5) = lím (–h – 2x + 5) = –2x + 5 h h80

Sustituyendo x por los valores indicados, obtenemos: f ' (1) = 3

f ' (0) = 5

f ' (3) = –1

f ' (4) = –3

f ' (5) = –5

2. Halla la derivada de f (x ) = x 3. f ' (x) = lím

h80

3 3 f (x + h) – f (x) = lím (x + h) – x = h h h80

3 2 2 3 3 3 2 2 = lím x + 3x h + 3x h + h – x = lím h + 3x h + 3x h = h h h80 h80 2 2 = lím h (h + 3xh + 3x ) = 3x 2 h h80

3 y comprueba que, a partir de ella, se pueden x–2 obtener los valores concretos calculados en el ejercicio resuelto 2 y en el ejercicio propuesto 2 de la página anterior.

3. Halla la derivada de f (x ) =

f ' (x) = lím

h80

f (x + h) – f (x) 3/(x + h – 2) – 3/(x – 2) = lím = h h h80

= lím

3 (x – 2) – 3 (x + h – 2) 3x – 6 – 3x – 3h + 6 = lím = h (x – 2) (x + h – 2) h 8 0 h (x – 2) (x + h – 2)

= lím

–3 –3h –3 = lím = h (x – 2) (x + h – 2) h 8 0 (x – 2) (x + h – 2) (x – 2)2

h80

h80

Sustituyendo x por los valores indicados, obtenemos: f ' (4) = –

3 4

f ' (1) = –3

f ' (–1) = –

1 3

f ' (5) = –

1 3

4. Halla la función derivada de y = x 3 + x 2. f ' (x) = lím

h80

3 2 3 2 f (x + h) – f (x) = lím (x + h) + (x + h) – (x + x ) = h h h80

3 2 2 3 2 2 3 2 = lím x + 3x h + 3xh + h + x + 2xh + h – x – x = h h80 2 2 = lím h(3x + 3xh + h + 2x + h) = lím (3x 2 + 3xh + h2 + 2x + h) = 3x 2 + 2x h h80 h80

6

Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

UNIDAD 12

Página 308 Halla la función derivada de las siguientes funciones: 1. f (x) = 3x 2 – 6x + 5 f ' (x) = 6x – 6 3

2. f (x) = √ x + √ x 1 1 + 3 2 √x 3 √x 2

f ' (x) =

3

3. f (x) = √ 2x + √ 5x 1

f ' (x) =

4. f (x) =

√ 2x

+

5 3 3 √ 5x

1 x √x

f (x) = x –3/2 8 f '(x) = –

–3 –3 3 –5/2 x = = 5 2 2 √x 2x 2 √ x

5. f (x) = sen x cos x f ' (x) = cos 2 x – sen 2 x 6. f (x) = tg x f ' (x) = 1 + tg 2 x =

1 cos 2 x

7. f (x) = x e x f ' (x) = e x + x e x = e x (1 + x) 8. f (x) = x · 2x f ' (x) = 2x + x · 2x · ln 2 = 2x (1 + x ln 2) 9. f (x) = (x 2 + 1) · log2 x f ' (x) = 2x log2 x + (x 2 + 1) · 10. f (x) = f ' (x) =

2 1 1 · = 2x log2 x + (x + 1) x ln 2 x ln 2

x2 + 1 x2 – 1 –4x 2x (x 2 – 1) – (x 2 + 1) 2x 2x 3 – 2x – 2x 3 – 2x = = (x 2 – 1)2 (x 2 – 1)2 (x 2 – 1)2

Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

7

3 2 11. f (x) = x + 3x – 5x + 3 x

f ' (x) =

12. f (x) =

(3x 2 + 6x – 5) x – (x 3 + 3x 2 – 5x + 3) 2x 3 + 3x 2 – 3 = = 2x + 3 – 3 2 x x2 x2 log x x

f ' (x) = [1/(ln 10)] – log x = 1 – ln 10 log x x2 x 2 ln 10

Página 309 Halla la función derivada de las siguientes funciones: 13. f (x) = sen (x 2 – 5x + 7) f ' (x) = (2x – 5) cos (x 2 – 5x + 7) 3

14. f (x) = √ (5x + 3)2 = (5x + 3)2/3 f ' (x) =

10 2 (5x + 3)–1/3 · 5 = 3 3 3 √ 5x + 3

15. f (x) = sen (3x + 1) · cos (3x + 1) f ' (x) = 3 [cos 2 (3x + 1) – sen 2 (3x + 1)] 2 16. f (x) = log x x

f (x) =

2 log x x

8 f ' (x) = 2 (1 – ln 10 log x) x 2 ln 10

17. f (x) = cos (3x – π) f ' (x) = –3 sen (3x – @) 18. f (x) = √ 1 + 2x f ' (x) =

1 √ 1 + 2x

19. f (x) = x e 2x + 1 f ' (x) = e 2x + 1 + x e 2x + 1 · 2 = e 2x + 1 (1 + 2x)

8

Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

UNIDAD 12

sen (x 2 + 1) √1 – x 2 — — 2x √ 1 – x 2 cos (x 2 + 1) + [x sen (x 2 + 1)] / √ 1 – x 2 f ' (x) = = 1 – x2

20. f (x) =

=

2x (1 – x 2) cos (x 2 + 1) + x sen (x 2 + 1) √ (1 – x 2)3

Página 310 1. Calcula la función derivada de f (x) = x 3 – 4x 2 + 1 y halla: a) Las pendientes de las rectas tangentes en las abscisas –1, 1 y 3. b) Las ecuaciones de dichas rectas tangentes. c) Las abscisas de los posibles máximos y mínimos relativos. d) ¿Es f (x) creciente o decreciente en x = 2? f ' (x) = 3x 2 – 8x a) f ' (–1) = 11, f ' (1) = –5, f ' (3) = 3 b) y = 11 (x + 1) – 4; y = –5 (x – 1) – 2; y = 3 (x – 3) – 8 c) f ' (x) = 0 8 3x 2 – 8x = 0 8 x = 0, x = 8/3 d) f ' (2) = –4 < 0 8 decreciente

Página 311 LENGUAJE MATEMÁTICO 1. En la fórmula que sirve para hallar la ecuación de la recta tangente a una cur-

va en un punto y = f (a) + f ' (a) (x – a) di el papel que desempeña cada una de las letras que intervienen. La x es la variable independiente, ¿de qué función? f es el nombre de la función; a es la abscisa, el punto de la curva en el cual se traza la tangente; f (a) es la ordenada de ese punto, y f '(a) es la pendiente de la recta tangente, pues f ' es el nombre de la función derivada. Las variables x e y son la abscisa y la ordenada de un punto genérico (un punto cualquiera) de la recta tangente. x es, pues, la variable independiente de la función lineal descrita por la recta tangente a f en el punto de abscisa a. Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

9

Página 313 1. Representa estas funciones: a) y = 2x 3 – 3x 2 – 12x + 8

b) y = –3x 4 + 4x 3 + 36x 2 – 90

c) y = x 4 + 4x 3

a) f ' (x) = 6x 2 – 6x – 12 = 0 8 x1 = –1, x2 = 2

20

Máximo en (–1, 15).

10

Mínimo en (2, –12). –4

–2

2

4

2

4

2

4

–10 –20

b) f ' (x) = –12x 3 + 12x 2 + 72x = –12x (x 2 – x – 6) = 0

200

x=0 1 ± √ 1 + 24 1±5 x= = = 2 2

100

x=3 x = –2 –4

Máximo en (–2, –26) y en (3, 99).

–2 –100

Mínimo en (0, –90). –200

x=0 x = –3

c) f ' (x) = 4x 3 + 12x 2 = 4x 2 (x + 3) = 0

40

Mínimo en (–3, –27).

20

Punto de inflexión en (0, 0). f (x) = 0 8

x 3 (x

+ 4) = 0

x=0 x = –4

–4

–2 –20 –40

Puntos de corte con los ejes: (0, 0) y (– 4, 0)

Página 315 1. Representa las siguientes funciones racionales, siguiendo los pasos de la página anterior: 2 a) y = x + 3x + 11 x+1

d) y =

10

1 x2 + 1

2 b) y = x + 3x x+1

c) y =

x2 +1

2 e) y = x2 + 2 x – 2x

2 f ) y = x –2 1 x

x2

Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

UNIDAD 12

a) f ' (x) =

(2x + 3) (x + 1) – (x 2 + 3x + 11) = (x + 1)2

=

2x 2 + 2x + 3x + 3 – x 2 – 3x – 11 = (x + 1)2

=

x 2 + 2x – 8 = 0 8 x1 = 2, x2 = – 4 (x + 1)2 20

Máximo en (– 4, –5).

10

Mínimo en (2, 7). Asíntota vertical: x = –1

–8

–4

4

8

4

8

2

4

2

4

–10

Asíntota oblicua: y = x + 2

–20

b) f ' (x) =

(2x + 3) (x + 1) – (x 2 + 3x) = (x + 1)2

=

2x 2 + 2x + 3x + 3 – x 2 – 3x = (x + 1)2

=

x 2 + 2x + 3 ≠0 (x + 1)2

20 10

Puntos de corte con los ejes: (0, 0) y (–3, 0) Asíntota vertical: x = –1

–8

–4 –10

Asíntota oblicua: y = x + 2

–20

c) f ' (x) = =

2x (x 2 + 1) – x 2 · 2x 2x 3 + 2x – 2x 3 = = 2 2 (x + 1) (x 2 + 1)2 2x 8 x=0 + 1)2

(x 2

2 1 –4

–2

Mínimo en (0, 0).

–1

Asíntota horizontal: y = 1

–2

d) f ' (x) =

–2x 8 x=0 (x 2 + 1)2

2 1

Máximo en (0, 1). Asíntota horizontal: y = 0

–4

–2 –1 –2

Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

11

e) f ' (x) = =

2x (x 2 – 2x) – (x 2 + 2) (2x – 2) 2x 3 – 4x 2 – 2x 3 + 2x 2 – 4x + 4 = = (x 2 – 2x)2 (x 2 – 2x)2 –2 ± √ 12 –2x 2 – 4x + 4 =0 8 x= = 2 (x 2 – 2x)2

x1 = 0,73 x2 = –2,73

Máximo en (0,73; –2,73).

4

Mínimo en (–2,73; 0,73).

2

Asíntotas verticales: x = 0, x = 2

–4

–2

2

4

–2

Asíntota horizontal: y = 1

–4

f) • Dominio =

Á – {0}

• Asíntota vertical: x 2 – 1 = –@ ° lím — § – x2 x80 § x = 0 es asíntota vertical ¢ 2 x –1 § lím — = –@ § x2 x 8 0+ £ • Asíntota horizontal: 2 y = x – 1 = 1 – 1 ; y = 1 es asíntota horizontal x2 x2

Cuando x 8 –@, y < 1; y cuando x 8 +@, y < 1. Por tanto, la curva está por debajo de la asíntota. • Puntos singulares: 2 2 3 3 f ' (x) = 2x · x – (x – 1) · 2x = 2x – 2x + 2x = 2x = 2 x4 x4 x4 x3 f ' (x) ? 0 8 f (x) no tiene puntos singulares

Observamos que f ' (x) < 0 si x < 0; y que f ' (x) > 0 si x > 0. Luego la función es decreciente en (–@, 0) y es creciente en (0, +@). • Corta al eje x en (–1, 0) y (1, 0). • Gráfica: 2 –4

–2

y=1 2

4

–2 –4 –6

12

Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

UNIDAD 12

Página 320 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR

Tasa de variación media 1 Calcula la tasa de variación media de esta función en los intervalos: a) [–2, 0]

b) [0, 2]

c) [2, 5] –2 0

2

5

f (0) – f (–2) 3–1 = =1 0+2 2

a) T.V.M. [–2, 0] =

b) T.V.M. [0, 2] =

f (2) – f (0) 0–3 3 = =– 2–0 2 2

c) T.V.M. [2, 5] =

f (5) – f (2) 1–0 1 = = 5–2 3 3

2 Halla la tasa de variación media de estas funciones en el intervalo [1, 3] e indica si dichas funciones crecen o decrecen en ese intervalo: a) f (x) = 1/x b) f (x) = (2 – x)3 c) f (x) = x 2 – x + 1 d) f (x) = 2 x ☛ Si la T.V.M. es positiva, la función crece. T.V.M. [1, 3] =

f (3) – f (1) f (3) – f (1) = 3–1 2

a) T.V.M. [1, 3] =

1/3 – 1 1 =– 8 Decrece 2 3

b) T.V.M. [1, 3] =

–1 – 1 = –1 8 Decrece 2

c) T.V.M. [1, 3] =

7–1 = 3 8 Crece 2

d) T.V.M. [1, 3] =

8–2 = 3 8 Crece 2

Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

13

3 Dada la función f (x) = x 2 – 1, halla la tasa de variación media en el intervalo [2, 2 + h]. T.V.M. [2, 2 + h] =

2 f (2 + h) – f (2) = 4 + h + 4h – 1 – 3 = h + 4 h h

4 Comprueba que la T.V.M. de la función f (x) = –x 2 + 5x – 3 en el intervalo [1, 1 + h] es igual a –h + 3. Calcula la T.V.M. de esa función en los intervalos [1, 2], [1; 1,5], utilizando la expresión anterior. T.V.M. [1, 1 + h] =

2 f (1 + h) – f (1) = – (1 + h + 2h) + 5 + 5h – 3 – 1 = h h

= 3 – h = –h + 3 T.V.M. [1, 2] = 2 T.V.M. [1; 1,5] = 2,5 5 Compara la T.V.M. de las funciones f (x) = x 3 y g (x) = 3x en los intervalos [2, 3] y [3, 4], y di cuál de las dos crece más en cada intervalo. Para f (x): T.V.M. [2, 3] = 19 T.V.M. [3, 4] = 37 Para g (x): T.V.M. [2, 3] = 18 T.V.M. [3, 4] = 54 En [2, 3] crece más f (x). En [3, 4] crece más g (x).

Definición de derivada en un punto 6 Aplicando la definición de derivada, calcula f ' (–2) y f ' (3), siendo: f (x) =

2x – 3 5

2 (–2 + h) – 3 7 ——————– + — 5 5 f (–2 + h) – f (–2) –4 + 2h – 3 + 7 f ' (–2) = lím = = lím = h 5h h h80 h80 = lím

h80

f ' (3) = lím

h80

= lím

h80

14

2 2 = 5 5 2 (3 + h) – 3 3 —————— – — 5 5 f (3 + h) – f (3) 6 + 2h – 3 – 3 = = lím = h 5h h h80

2 2 = 5 5

Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

UNIDAD 12

7 Halla la derivada de las siguientes funciones en x = 1, utilizando la definición de derivada: a) f (x) = 3x 2 – 1 b) f (x) = (2x + 1)2 c) f (x) = 3/x d) f (x) = 1/(x + 2) a) f ' (1) = lím

h80

2 f (1 + h) – f (1) = lím 3 (1 + h) – 1 – 2 = h h h80

2 2 = lím 3 (1 + h + 2h) – 3 = lím 3 + 3h + 6h – 3 = h h h80 h80

= lím

h80

b) f ' (1) = lím

h80

h (3h + 6) =6 h 2 f (1 + h) – f (1) = lím (2 (1 + h) + 1) – 9 = h h h80

2 2 h (4h + 12) = lím (2h + 3) – 9 = lím 4h + 9 + 12h – 9 = lím = 12 h h h h80 h80 h80

c) f ' (1) = lím

h80

d) f ' (1) = lím

h80

= lím

h80

f (1 + h) – f (1) 3/(1 + h) – 3 3 – 3 – 3h = lím = lím = –3 h h h80 h 8 0 h (1 + h)

f (1 + h) – f (1) = lím h h80

1 1 ————— – — 1+h+2 3 = h

3–h–3 1 =– 3 (h + 3) h 9

8 Halla el valor del crecimiento de f (x) = (x – 3)2 en los puntos x = 1 y x = 3, aplicando la definición de derivada. f ' (1) = lím

(1 + h – 3)2 – 4 f (1 + h) – f (1) = lím = lím (h – 4) = –4 h h h80 h80

f ' (3) = lím

(3 + h – 3)2 – 0 f (3 + h) – f (3) = lím = lím h = 0 h h h80 h80

h80

h80

9 Halla la pendiente de la tangente a la curva y = x 2 – 5x + 1 en el punto de abscisa x = –2, utilizando la definición de derivada. f ' (–2) = lím

h80

(–2 + h)2 – 5(–2 + h) + 1 – 15 f (–2 + h) – f (–2) = lím = h h h80

= lím (h – 9) = –9 h80

Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

15

10 Halla la pendiente de la tangente a la curva y = 4x – x 2 en el punto de abscisa x = 2, aplicando la definición de derivada. f ' (2) = lím

h80

4(2 + h) – (2 + h)2 – 4 f (2 + h) – f (2) = lím = lím (–h) = 0 h h h80 h80

11 Comprueba, utilizando la definición de derivada en cada caso: a) f (x) = 5x 8 f ' (x) = 5 b) f (x) = 7x 2 8 f ' (x) = 14x c) f (x) = x 2 + x 8 f ' (x) = 2x + 1 d) f (x) =

3 8 f ' (x) = –3 x x2

a) f ' (x) = lím

h80

= lím

h80

b) f ' (x) = lím

h80

f (x + h) – f (x) 5 (x + h) – 5x 5x + 5h – 5x = lím = lím = h h h h80 h80 5h =5 h 2 2 f (x + h) – f (x) = lím 7 (x + h) – 7x = h h h80

= lím

7 (x 2 + h2 + 2x h) – 7x 2 = 7h2 + 14x h = lím h h h80

= lím

h (7h + 14x) = 14x h

h80

h80

c) f ' (x) = lím

h80

2 2 f (x + h) – f (x) = lím (x + h) + (x + h) – (x + x) = h h h80

= lím

x 2 + h2 + 2x h + x + h – x 2 – x = h2 + 2x h + h = lím h h h80

= lím

h (h + 2x + 1) = 2x + 1 h

h80

h80

d) f ' (x) = lím

h80

3 3 ——— – — x+h x f (x + h) – f (x) = lím = h h h80

3x – 3 (x + h) 3x – 3x – 3h –3h ——————— —————— ————— x (x + h) x (x + h) x (x + h) = lím = lím = lím = h h h h80 h80 h80 = lím

h80

16

–3h –3 –3 = lím = 2 hx (x + h) x (x + h) x h80

Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

UNIDAD 12

12 Halla f ' en los puntos de abscisas –3, 0 y 4.

f

☛ Halla las pendientes de las rectas tangentes trazadas en

6

esos puntos.

4 2 –2

f ' (–3) = –3, f ' (0) =

2

4

3 , f ' (4) = –2 2

13 Indica, en la gráfica del ejercicio anterior, los puntos en los que la derivada es cero. En x = 1, ¿la derivada es positiva o negativa? ¿Y en x = 3? f ' (x) = 0 en (–2, 2) y en (2, 7). En x = 1 la derivada es positiva. En x = 3 es negativa. 14 ¿Existe algún punto en esta función en el que la derivada sea negativa?

4

Ordena de menor a mayor los valores de f ' (–2), f ' (2) y f ' (0).

2 –2

2

No, pues es creciente. f ' (–2) < f ' (0) < f ' (2)

Reglas de derivación Halla la función derivada de estas funciones y calcula su valor en los puntos que se indican: 15 f (x) = 2x 3 + 3x 2 – 6; x = 1 f ' (x) = 6x 2 + 6x ; f ' (1) = 12 16 f (x) = cos (2x + π); x = 0 f ' (x) = –2 sen (2x + π); f ' (0) = 0 17 f (x) = f ' (x) = 18 f (x) = f ' (x) =

x √2 17 + ; x=– 3 3

( )

1 17 1 ; f' – = 3 3 3 1 ; x=0 7x + 1 –7 ; f ' (0) = –7 (7x + 1)2

Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

17

19 f (x) = sen

(

)

1 x x 1 cos – sen ; f ' (π) = – 2 2 2 2

f ' (x) =

20 f (x) =

x x + cos ; x = π 2 2

2 ; x = –1 (x + 3)3

f ' (x) = 2 (x + 3)–3 8 f ' (x) = – 6 (x + 3)–4 =

–6 (x + 3)4

–6 –3 = 16 8

f ' (–1) =

3 3 x 21 f (x) = x + x 2 – ; x = 2 2 2 2

f ' (x) =

3 2 1 23 x + 3x – ; f ' (2) = 2 2 2

Página 321 22 f (x) = f ' (x) =

1 ; x=8 √x – 4 –1 1 ; f ' (8) = – 16 2 √ (x – 4)3

23 f (x) = x sen (π – x); x = π 2 f ' (x) = sen (π – x) + x cos (π – x) · (–1) = sen (π – x) – x cos (π – x)

( )

f' π = 1 2 24 f (x) = (5x – 2)3; x = f ' (x) = 15 (5x – 2)2; f '

25 f (x) = f ' (x) =

18

1 5

( 15 ) = 15

x+5 ; x=3 x–5 –10 ; f ' (3) = – 5 2 (x – 5)2

Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

UNIDAD 12

Halla la función derivada de estas funciones: x –x 26 a) f (x) = e + e 2

b) f (x) = (x 2 – 3)3

x –x a) f ' (x) = e + e 2

27 a) f (x) =

b) f ' (x) = 6x (x 2 – 3)2

x3 – x2 x2

b) f (x) = √ x 2 + 1

a) f ' (x) = 1 (si x ? 0)

b) f ' (x) =

b) f (x) = √ sen x

3

28 a) f (x) = √ (x + 6)2 2 3 √ (x + 6)

b) f ' (x) =

–3 √1 – x 2

b) f (x) = 7 x + 1 · e –x

a) f ' (x) =

29 a) f (x) =

x

√x 2 + 1

3

a) f ' (x) = –3 (1 – x 2)–1/2; f ' (x) =

cos x 2 √ sen x

–3x 3 (1 – x 2)–3/2 · (–2x) = 2 √ (1 – x 2)3

b) f ' (x) = 7x + 1 · ln 7 · e –x + 7x + 1 · e –x · (–1) = 7x + 1 · e –x (ln 7 – 1) 30 a) f (x) =

—

1 x + 3x 3

b) f (x) = ln 3x + e √x

—

— e√x 1 3 1 b) f ' (x) = + e√x = + 3x x 2 √x 2 √x

1 a) f ' (x) = –1 + 2 3 3x 31 a) f (x) =

(

x 1 + x2

a) f ' (x) = 2

)

2

b) f (x) = e 2x · tg x

( 1 +x x ) · 1 +(1x +–xx)· 2x 2

2

=

2 2

2 2 2x · 1–x = 2x (1 – x ) 2 2 2 2 3 (1 + x ) (1 + x ) (1 + x )

b) f ' (x) = 2e 2x tg x + e 2x (1 + tg 2 x) = e 2x (2 tg x + 1 + tg 2 x) = e 2x (1 + tg x)2 32 a) f (x) = a) f ' (x) = =

x3 (x – 1)2

b) f (x) = cos 2 x + e sen x

3x 2 (x – 1)2 – x 3 · 2 (x – 1) 3x 2 (x – 1) – 2x 3 3x 3 – 3x 2 – 2x 3 = = = 4 3 (x – 1) (x – 1) (x – 1)3 x 3 – 3x 2 (x – 1)3

b) f ' (x) = 2 cos x (– sen x) + e sen x · cos x = cos x (–2 sen x + e sen x)

Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

19

33 a) f (x) = a) f (x) = =

√ ( ) ( )

=

x3 –4

x3 2 x –4

1/2

1 2

8 f ' (x) =

1/2

x2 – 4 x3

1 2

·

(

x3 2 x –4

( )

)

x 2

–1/2

·

3

· e1 – x

3x 2 (x 2 – 4) – x 3 · 2x = (x 2 – 4)2

1 3x 4 – 12x 2 – 2x 4 x 4 – 12x 2 1 = · · = 2 √x 3 (x 2 – 4)2 √ (x 2 – 4)3

x 4 – 12x 2 2 √ x 3 (x 2 – 4)

b) f ' (x) = 3 =

b) f (x) =

x2

( )

2

x 2

( ) ·e 3

1 x · e1 – x + 2 2

1–x

· (–1) =

3 2 1–x 1 3 1–x x e – x e = 8 8

x2 1 – x x 2 (3 – x) e 1 – x (3 – x) = e 8 8

34 a) f (x) = sen 3π 2

b) f (x) = log

x2 3–x

a) f ' (x) = 0 b) f (x) = log x 2 – log (3 – x) = 2 log x – log (3 – x) f ' (x) =

2 1 + x ln 10 (3 – x) ln 10 b) f (x) = √ ln x

35 a) f (x) = tg3 x 2

a) f ' (x) = 3 tg 2 x 2 (1 + tg 2 x 2) · 2x = 6x tg 2 x 2 (1 + tg 2 x 2) b) f ' (x) =

1 2x √ ln x

2 36 a) f (x) = arc sen x 3

a) f ' (x) = b) f ' (x) =

1

√ 1 – (x 2/3)2

b) f ' (x) =

20

·

2x/3 2x 2x = = 3 √ 1 – x 4/9 √9 – x 4

1 2x · 2x = 1 + (x 2 + 1)2 1 + (x 2 + 1)2

37 a) f (x) = arc cos a) f ' (x) =

b) f (x) = arc tg (x 2 + 1)

1 x

b) f (x) = arc tg

√x 2

–1 1 1/x 2 · –1 = = 2 x √ 1 – (1/x)2 x √x 2 – 1 √ 1 – 1/x 2

(

1

1 + √ x /2

)

2

·

1 4 √x

=

1 1 = 4 √ x (1 + (x/4)) √ x (4 + x) Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

UNIDAD 12

38 a) f (x) = √ arc tg x

b) f (x) = arc cos e –x

a) f ' (x) =

1 1 1 · = 2) 2 (1 + x 2 √ arc tg x 2 (1 + x ) √ arc tg x

b) f ' (x) =

–1 e –x · e –x · (–1) = √ 1 – e –2x √ 1 – e –2x

— 39 a) f (x) = √ x + √ x

a) f ' (x) =

=

b) f ' (x) =

b) f (x) = arc tg

(

1 1 — · 1+ 2 √x + √ x 2 √x

)

=

(

1–x 1+x

(

)

)

1 2 √x + 1 = — · 2 √x + √ x 2 √x

2 √x + 1 2 √x + 1 2 √x + 1 — — = — = — 4 √x · √ x + √ x 4 √ x (x + √x ) 4 √ x 2 + x √x 1 · –1 (1 + x) – (1 – x) = 1 + [(1 – x)/(1 + x)]2 (1 + x)2

=

1 · –1 – x – 1 + x = 1 + [(1 – x)2/(1 + x)2] (1 + x)2

=

(1 + x)2 –2 –2 · = = 2 2 2 2 (1 + x) + (1 – x) (1 + x) (1 + x) + (1 – x)2

=

–2 –2 –2 –1 = = = 1 + x 2 + 2x + 1 + x 2 – 2x 2x 2 + 2 2 (x 2 + 1) x2 + 1

Puntos en los que la derivada vale k 40 Halla los puntos en los que la derivada es igual a 0 en las siguientes funciones: a) y = 3x 2 – 2x + 1 b) y = x 3 – 3x a) f ' (x) = 6x – 2 = 0 8 x =

(

1 1 2 . Punto , 3 3 3

)

b) f ' (x) = 3x 2 – 3 = 0 8 x = –1, x = 1. Puntos (–1, 2) y (1, –2) 41 Obtén los puntos donde f '(x) = 1 en los siguientes casos: a) f (x) = x 2 – 3x + 2

b) f (x) =

x+1 x+5

a) f ' (x) = 2x – 3; 2x – 3 = 1 8 x = 2; f (2) = 0 8 P (2, 0)

Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

21

b) f ' (x) =

4 4 ; =1 8 (x + 5)2 (x + 5)2 x = –3; f (–3) = –1 8 P (–3, –1) x = –7; f (–7) = 3 8 Q (–7, 3)

8 (x + 5)2 = 4

42 Halla los puntos en los que la derivada de cada una de las siguientes funciones es igual a 2: x x+2

a) y = x 2 – 2x

b) y =

c) y = 4 √ x + 3

d) y = ln (4x – 1)

a) f ' (x) = 2x – 2 8 2x – 2 = 2 8 x = 2; f (2) = 0 8 P (2, 0) b) f ' (x) =

2 2 8 =2 8 (x + 2)2 (x + 2)2 x = –1; f (–1) = –1 8 P (–1, –1) x = –3; f (–3) = 3 8 Q (–3, 3)

8 (x + 2)2 = 1 c) f ' (x) =

2

√x + 3

8

2

√x + 3

= 2 8 √x + 3 = 1 8 x = –2;

f (–2) = 4 8 P (–2, 4) d) f ' (x) =

()

(

)

4 4 3 3 3 8 =2 8 x= ; f = ln 2 8 P , ln 2 4x – 1 4x – 1 4 4 4

43 Halla los puntos en los que la derivada vale 0 en cada uno de los siguientes casos: a) y = 2x 2 – 8x + 5 b) y = –x 2 + 5x c) y = x 4 – 4x 2 d) y =

1 x2 + 1

a) f ' (x) = 4x – 8 8 4x – 8 = 0 8 x = 2; f (2) = –3 8 P (2, –3) b) f ' (x) = –2x + 5 8 –2x + 5 = 0 8 x =

22

– 8x 8

4x 3

()

(

5 5 25 5 25 ; f = 8 P , 2 2 4 2 4

)

x = 0; f (0) = 0 8 P (0, 0) — — — x = √2; f (√2) = – 4 8 Q (√2, – 4) — — — x = –√2; f (–√2) = – 4 8 R (–√2, – 4)

c) f ' (x) =

4x 3

d) f ' (x) =

–2x –2x 8 = 0 8 –2x = 0 8 x = 0; f (0) = 1 8 P (0, 1) (x 2 + 1)2 (x 2 + 1)2

– 8x = 0

Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

UNIDAD 12

Recta tangente 44 Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y = x 2 – 5x + 6 en el punto de abscisa x = 2. f ' (x) = 2x – 5; m = f ' (2) = –1, f (2) = 0 La recta es y = – (x – 2) = 2 – x. 45 Escribe la ecuación de la recta tangente a y = –x 2 + 2x + 5 en el punto de abscisa x = –1. f ' (x) = –2x + 2; m = f ' (–1) = 4, f (–1) = 2 La recta es y = 4 (x + 1) + 2 = 4x + 6. 46 Escribe la ecuación de la recta tangente a y = x 2 + 4x + 1 cuya pendiente sea igual a 2. f ' (x) = 2x + 4 = 2 8 x = –1; f (–1) = –2 La recta es y = 2 (x + 1) – 2 = 2x. 47 Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y = √ x + 1 en x = 0. f ' (x) =

1 1 ; m = f ' (0) = , f (0) = 1 2 2 √x + 1

La recta es y =

1 x + 1. 2

Puntos singulares 48 Obtén los puntos singulares de las siguientes funciones: a) y = 3x 2 – 2x + 5

b) y = 2x 3 – 3x 2 + 1

c) y = x 4 – 4x 3

d) y = x 3 – 12x

a) f ' (x) = 6x – 2 8 6x – 2 = 0 8 x = b) f ' (x) = 6x 2 – 6x 8 6x 2 – 6x = 0 c) f ' (x) = 4x 3 – 12x 2 8 4x 3 – 12x 2 = 0 d) f ' (x) = 3x 2 – 12 8 3x 2 – 12 = 0

Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

()

(

1 14 1 14 1 ; f = 8 P , 3 3 3 3 3

)

x =0; f (0) = 1 8 P (0, 1) x = 1; f (1) = 0 8 Q (1, 0) x =0; f (0) = 0 8 P (0, 0) x = 3; f (3) = –27 8 Q (3, –27) x = 2; f (2) = –16 8 P (2, –16) x = –2; f (–2) = 16 8 Q (–2, 16)

23

49 Halla los puntos singulares de las siguientes funciones: a) y =

x2 + 1 x

a) f ' (x) =

b) y =

x2 + 1 x2 x = 1; f (1) = 2 8 P (1, 2) x = –1; f (–1) = –2 8 Q (–1, –2)

x2 + 1 = 0 8 x2 – 1 = 0 x2 b) f ' (x) =

2x 2 x2 + 1

4x 4x 8 = 0 8 4x = 0 8 x = 0; f (0) = 0 8 P (0, 0) (x 2 + 1)2 (x 2 + 1)2

Página 322 50 Comprueba que las siguientes funciones no tienen puntos singulares: a) y = x 3 + 3x

b) y =

1 x

c) y = √x

d) y = ln x

a) f ' (x) = 3x 2 + 3 8 3x 2 + 3 = 0 no tiene solución. b) f ' (x) = c) f ' (x) = d) f ' (x) =

–1 x2 1

—

2√ x

8 8

–1 = 0 no tiene solución. x2 1

—

2√ x

= 0 no tiene solución.

1 1 8 = 0 no tiene solución. x x

Crecimiento y decrecimiento 51 Observa los resultados obtenidos en los ejercicios 15 al 25 y di si cada una de las funciones dadas es creciente o decreciente en el punto que se indica. 15) Creciente.

16) Ni crece ni decrece.

17) Creciente.

18) Decreciente.

19) Decreciente.

20) Decreciente.

21) Creciente.

22) Decreciente.

23) Creciente.

24) Creciente.

25) Decreciente.

52 Obtén los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de cada una de las siguientes funciones: a) y =

3x + 1 2

d) y = 2x – x 2

24

b) y = 5 – 2x

c) y = x 2 – 3x + 2

e) y = x 3

f) y = x 3 – 3x

Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

UNIDAD 12

a) f ' (x) =

3 8 Creciente en (–@, +@). 2

b) f ' (x) = –2 8 Decreciente en (–@, +@) c) f ' (x) = 2x – 3 8 Crece en

(

)

(

)

3 3 , +@ . Decrece en –@, . 2 2

d) f ' (x) = 2 – 2x 8 Crece en (–@, 1). Decrece en (1, +@). e) f ' (x) = 3x 2 8 Creciente en (–@, +@). f) f ' (x) = 3x 2 – 3 8 Crece en (–@, –1) « (1, +@). Decrece en (–1, 1). 53 Indica en cada una de estas funciones los valores de x en los que f ' es positiva y en los que f ' es negativa. –2

2

2 –2

2 –2

–2

2

2

☛ Observa su crecimiento y decrecimiento. La primera crece si x < –1. a) f ' > 0 si x < –1 f ' < 0 si x > –1 b) f ' > 0 si x < 0 f ' < 0 si x > 0 c) f ' > 0 si x é(–@, –1) « (1, +@) f ' < 0 si x é(–1, 1) 54 Dada la función f (x) = x 3 – 6x 2 + 9x + 4, obtén su función derivada y estudia su signo. ¿Cuáles son los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f ? ¿Tiene f máximo o mínimo? x=1 x=3

f ' (x) = 3x 2 – 12x + 9 8 3x 2 – 12x + 9 = 0

f' > 0

f' < 0 1

f' > 0 3

Crece en (–@, 1) « (3, +@). Decrece en (1, 3). Máximo en x = 1. Mínimo en x = 3.

Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

25

Gráficas de funciones polinómicas y racionales 55 Representa una función y = f (x) de la que sabemos: • Es continua. • lím f (x) = + @; x 8 –@

lím f (x) = – @

x 8 +@

• Tiene tangente horizontal en (–3, 2) y en (1, 5). Indica si los puntos de tangente horizontal son máximos o mínimos.

(–3, 2) es un mínimo. (1, 5) es un máximo.

56 De una función polinómica sabemos que: • lím f (x) = + @; x 8 –@

lím f (x) = + @

x 8 +@

• Su derivada es igual a 0 en (–2, 2) y en (2, –1). • Corta a los ejes en (0, 0) y en (4, 0). Represéntala gráficamente.

26

Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

UNIDAD 12

57 Representa la función continua y = f (x) de la que sabemos: • En los puntos (–1, –2) y (1, 2) la tangente es horizontal. • Sus ramas infinitas son así:

2 1

–3

–2

–1

1

2

3

–1 –2

58 Comprueba que la función y = (x – 1)3 pasa por los puntos (0, –1), (1, 0) y (2, 1). Su derivada se anula en el punto (1, 0). ¿Puede ser un máximo o un mínimo ese punto? f ' (x) = 3 (x – 1)2: f (0) = –1 8 pasa por (0, –1) f (1) = 0 8 pasa por (1, 0) f (2) = 1 8 pasa por (2, 1) f ' (1) = 0 El punto (1, 0) no es ni máximo ni mínimo. x2 + 1 tiene dos puntos de x tangente horizontal, (–1, –2) y (1, 2); sus asíntotas son x = 0 e y = x y la posición de la curva respecto de las asíntotas es la que se indica en la ilustración de la derecha. Represéntala.

59 Comprueba que la función y =

f (x) = x +

1 x

x2 – 1 f'(x) = 1 – 1 = = 0 8 x = –1, x = 1 2 x2 x Puntos (–1, –2) y (1, 2). lím f (x) = +@;

x 8 0+

lím f (x) = –@

x 8 0–

Asíntota vertical en x = 0. Asíntota oblicua en y = x

Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

27

60 Comprueba que la función y =

2x 2 : x2 + 1

• Tiene derivada nula en (0, 0). • La recta y = 2 es una asíntota horizontal. • Posición de la curva respecto a la asíntota: Si x 8 – @, y < 2 Si x 8 + @, y < 2 Represéntala. 4x (x 2 + 1) – 2x (2x 2) 4x = 2 2 2 (x + 1) (x + 1)2 f ' (0) = 0; f (0) = 0

• f ' (x) =

•

lím

x 8 ±@

2x 2 =2 x2 + 1

61 Completa la gráfica de una función de la que sabemos que tiene tres puntos singulares:

(

–3, –

)

( )

1

5 5 , (0, 0) y 3, 2 2

–2

2

y que sus ramas infinitas son las representadas.

28

Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

UNIDAD 12

Página 323 PARA RESOLVER 62

VALOR

(en miles de euros)

20

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 TIEMPO (en años)

Los coches, una vez que se compran, empiezan a perder valor: un 20% cada año, aproximadamente. Esta gráfica muestra el valor de un coche desde que se compró hasta 12 años más tarde. Calcula lo que se deprecia el coche en los dos primeros años, entre los años 4 y 6, y entre los años 8 y 10. ¿Es constante la depreciación? Depreciación: [0, 2] 8 9 000 € [4, 6] 8 3 500 € [8, 10] 8 1 500 € La depreciación no es constante. 63 Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y = x 3 – 3x que sean paralelas a la recta 6x – y + 10 = 0. ☛ La pendiente de la recta es el coeficiente de x cuando la y está despejada.

(

)

f ' (x) = 3x 2 – 3 = 6 8 x = – √ 3 , x = √ 3 . Puntos: – √ 3 , 0 y

(

)

(

Rectas: y = 6 x + √ 3 , y = 6 x – √ 3

( √ 3 , 0)

)

64 Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la función y = 4 – x 2 en los puntos de corte con el eje de abscisas. Puntos de corte con el eje de abscisas: 4 – x 2 = 0 8 x = 2, x = –2 Puntos: (2, 0) y (–2, 0) f ' (x)= –2x, f ' (2) = –4, f ' (–2) = 4 Las rectas son:

• En x = –2, y = 4x + 8 • En x = 2, y = – 4x + 8

Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

29

65 a) ¿Cuál es la derivada de y = 2x + 8 en cualquier punto? b) ¿Cuánto ha de valer x para que la derivada de y = x 2 – 6x + 5 sea igual a 2? c) ¿En qué punto la recta tangente a la gráfica de la función y = x 2 – 6x + 5 es paralela a la recta y = 2x + 8? a) f ' (x) = 2 b) f ' (x) = 2x – 6 = 2 8 x = 4 c) En el punto (4, –3). 66 ¿En qué puntos la recta tangente a y = x 3 – 4x tiene la pendiente igual a 8? f ' (x) = 3x 2 – 4 = 8 8 x = –2, x = 2 Puntos (–2, 0) y (2, 0). 67 Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y =

2x que son x–1

paralelas a la recta 2x + y = 0. –2 f ' (x) = 2 (x – 1) – 2x = = –2 8 (x – 1)2 = 1 8 x = 0, x = 2 (x – 1)2 (x – 1)2 En (0, 0), y = –2x En (2, 4), y = –2 (x – 2) + 4 = –2x + 8 68 Halla los puntos de tangente horizontal de la función y = x 3 – 3x 2 – 9x – 1. f ' (x) = 3x 2 – 6x – 9 = 0 8 x = –1, x = 3. Puntos (–1, 4) y (3, –28). 69 ¿En qué puntos de y = 1/x la recta tangente es paralela a la bisectriz del segundo cuadrante? ¿Existe algún punto de tangente horizontal en esa función? f ' (x) = – 1 = –1 8 x = –1, x = 1. Puntos (–1, –1) y (1, 1). x2 No existe ningún punto de tangente horizontal, pues f ' (x) = 1 = 0 no tiene solux2 ción. 70 La ecuación de la recta tangente a una función f (x) en el punto de abscisa x = 2 es 4x – 3y + 1 = 0. ¿Cuál es el valor de f ' (2)? ¿Y el de f (2)? ☛ Halla la pendiente de esa recta y ten en cuenta su relación con la derivada. La recta tangente es y =

4x + 1 4 ; su pendiente es = f ' (2) 3 3

f (2) = 3

30

Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

UNIDAD 12

71 Aplica las propiedades de los logaritmos para derivar las siguientes funciones: x x2 + 1 a) f (x) = ln 2 b) f (x) = ln c) f (x) = ln x e –x 2+1 x x –1

√

3 d) f (x) = log (3x – 5) x

e) f (x) = log (tg x)2

f ) f (x) = ln x x

a) f (x) = ln (x 2 + 1) – ln (x 2 – 1) f ' (x) =

b) f (x) = f ' (x) =

2x 3 – 2x – 2x 3 – 2x 2x 2x – = = –4x 2 x4 – 1 +1 x –1 x4 – 1

x2

1 [ln x – ln (x 2 + 1)] 2 1 2

[ x1 –

2x +1

x2

] = 12 [ x

2

+ 1 – 2x 2 x3 + x

] = 2x1 –+x2x 2

3

c) f (x) = ln x + ln e –x = ln x – x f ' (x) =

1 1–x –1= x x

d) f (x) = 3 log (3x – 5) – log x f ' (x) = 3 · =

3 1 1 1 1 · – · = 3x – 5 ln 10 x ln 10 ln 10

[ 3x9– 5 – x1 ] =

1 6x + 5 · 9x – 3x + 5 = ln 10 (3x 2 – 5x) ln 10 (3x 2 – 5x)

e) f (x) = 2 log (tg x) f ' (x) = 2 ·

1 + tg 2 x 2 (1 + tg 2 x) 1 · = ln 10 tg x tg x · ln 10

f) f (x) = x ln x f ' (x) = ln x + x ·

1 = ln x + 1 x

72 En cada una de las siguientes funciones, halla los puntos singulares y, con ayuda de las ramas infinitas, decide si son máximos o mínimos. Represéntalas: a) y = x 3 – 3x 2

b) y = x 3 – 3x + 2

c) y = x 4 + 4x 3

d) y = x 3 – 9x 2 + 24x – 20

e) y = 12x – x 3

f ) y = –x 4 + x 2

g) y = x 5 – 6x 3 – 8x – 1

h) y = x 4 – 8x 2 + 2

Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

31

a) f ' (x) = 3x 2 – 6x 6

f ' (x) = 0 ï 3x 2 – 6x = 0

4

° x = 0 8 f (0) = 0 8 (0, 0) ¢ £ x = 2 8 f (2) = –4 8 (2, – 4) lím

(x 3 – 3x 2) = –@

lím

(x 3 – 3x 2) = +@

x 8 –@ x 8 +@

2 –6

–4

–2

2

4

6

–2 –4 y = x3 – 3x2

–6 –8 –10

b) f ' (x) = 3x 2 – 3 f ' (x) = 0 ï x = ±1 6

° f (1) = 0 8 (1, 0) ¢ £ f (–1) = 4 8 (–1, 4) lím

x 8 –@

lím

x 8 +@

(x 3

y = x3 – 3x + 2

2

– 3x + 2) = – @

–6

–4

(x 3 – 3x + 2) = +@

6

–4

10

(x 4 + 4x 3) =

x 8 +@

y = x4 + 4x3

5

° ï ¢ x = 0 8 f (0) = 0 8 (0, 0) £ x = –3 8 f (–3) = –27 8 (–3, –27)

= lím

4

–2

f ' (x) = 0 ï

lím

2

–2

c) f ' (x) = 4x 3 + 12x 2

x 8 –@

4

–6

–4

–2

2

4

6

–5 –10 –15

(x 4 + 4x 3) = +@

–20 –25

32

Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

UNIDAD 12

d) f ' (x) = 3x 2 – 18x + 24; f ' (x) = 0 ï ï x=

6 ± √ 36 – 32 6±2 = = 2 2

y = x3 – 9x2 + 24x – 20

4 2

5

° f (4) = –4 8 (4, – 4) ¢ £ f (2) = 0 8 (2, 0)

–4

(x 3 – 9x + 24x – 20) = –@

lím

(x 3 – 9x 2 + 24x – 20) = +@

x 8 +@

2

15

lím

x 8 +@

y = 12x – x3

10

° f (2) = 16 8 (2, 16) ¢ £ f (–2) = –16 8 (–2, –16) lím

6

–20

e) f ' (x) = 12 – 3x 2; f ' (x) = 0 ï x = ±2

x 8 –@

4

–5

lím

x 8 –@

–2

5

(12x – x 3) = +@

–4

–2

2

4

–5

(12x – x 3) = –@

–10 –15

f) f ' (x) = – 4x 3 + 2x ; f ' (x) = 0 ï

° x = 0 8 f (0) = 0 8 § § § x = √2 8 f √2 = 2 2 ï¢ § § √2 √2 § x=– 2 8 f – 2 £

( ) ( )

lím

x 8 –@

(–x 4 + x 2) = –@;

1

(0, 0) 1 8 4 =

1 4

lím

x 8 +@

(√ ) (√ ) 2 1 , 2 4

8

–

2 1 , 2 4

y = –x4 + x2 –1

1

–1

(–x 4 + x 2) = –@

g) f ' (x) = 5x 4 – 18x 2 – 8; f ' (x) = 0 ï

y = x5 – 6x3 – 8x – 1 40 30

° ï ¢ x = 2 8 f (2) = –33 8 (2, –33) £ x = –2 8 f (–2) = 31 8 (–2, 31) lím

(x 5

lím

(x 5 – 6x 3 – 8x – 1) = +@

x 8 –@ x 8 +@

–

6x 3

20

– 8x – 1) = –@

10 –15 –10 –5 –10

5

10

15

–20 –30 –40

Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

33

h) f ' (x) = 4x 3 – 16x ; f ' (x) = 0 ï ° x = 0 8 f (0) = 2 8 (0, 2) § ï ¢ x = 2 8 f (2) = –14 8 (2, –14) § x = –2 8 f (–2) = –14 8 (–2, –14) £ lím

(x 4 – 8x 2 + 2) = +@

lím

(x 4 – 8x 2 + 2) = – @

x 8 +@ x 8 –@

y = x4 – 8x2 + 2 6 4 2 2 4 6

73 Representa las siguientes funciones hallando los puntos singulares y estudiando sus ramas infinitas: a) y = x 3 – 2x 2 + x

b) y = –x 4 + 2x 2 1 x 2 – 3x + 2

c) y =

x x 2 + 5x + 4

d) y =

e) y =

x (x + 5)2

2 f ) y = 2x x+2

a) f ' (x) = 3x 2 – 4x + 1 = 0 8 x =

1 , x=1 3

y = x3 – 2x2 + x

Puntos de tangente horizontal:

( 13 , 274 ), (1, 0) lím

(x 3

lím

(x 3

x 8 +@ x 8 –@

–

2x 2

–

2x 2

1

–1

1

+ x) = +@ –1

+ x) = –@

b) f ' (x) = – 4x 3 + 4x = – 4x (x 2 – 1) = 0 8 x = 0, x = 1, x = –1 Puntos de tangente horizontal: (–1, 1), (0, 0) y (1, 1) lím

x 8 +@

lím

x 8 –@

(–x 4 + 2x 2) = –@

y = –x4 + 2x2 –2

1

–1

1

2

–1

(–x 4 + 2x 2) = –@

–2 –3

34

Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

UNIDAD 12

c) f ' (x) =

x 2 + 5x + 4 – x (2x + 5) –x 2 + 4 = = 0 8 x = 2, x = –2 (x 2 + 5x + 4)2 (x 2 + 5x + 4)2

( 19 )

Puntos de tangente horizontal: (–2, 1), 2, lím

x =0 x 2 + 5x + 4

lím

x =0 x 2 + 5x + 4

x 8 +@ x 8 –@

x y = ————— x2 + 5x + 4 1 –4

d) f ' (x) =

–3

–2 –1

1

2

3

3 – (2x – 3) =0 8 x= 2 (x 2 – 3x + 2)2

Puntos de tangente horizontal:

( 32 , – 4) lím

x 8 +@

lím

x 8 –@

2 1

1 =0 2 x – 3x + 2 1 =0 x 2 – 3x + 2

–3

–2

–1

1

3

2

–1 1 y = ————— x2 – 3x + 2

–2

(—,32 – 4)

–3 –4 –5

e) f ' (x) =

5–x (x + 5)2 – x · 2 (x + 5) = =0 8 x=5 (x + 5)3 (x + 5)4

Puntos de tangente horizontal:

(5, 201 )

lím

x =0 (x + 5)2

lím

x =0 (x + 5)2

x 8 +@ x 8 –@

Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

2 –6

–4

–2

2

4

6

–2 –4

x y = ———— (x + 5)2

–6

35

f) f ' (x) =

2x (x + 4) 4x (x + 2) – 2x 2 2x 2 + 8x = = = 0 8 x = 0, x = – 4 2 2 (x + 2)2 (x + 2) (x + 2)

Puntos de tangente horizontal:

15

(–4, –16), (0, 0) lím

x 8 ±@

= 2x – 4

10

2x2 y = ——— x+2

5

(asíntota oblicua) –6

–2

–4

2

4

6

–5 –10 –15 –20

Página 324 74 Comprueba que estas funciones no tienen puntos de tangente horizontal. Represéntalas estudiando sus ramas infinitas y los puntos de corte con los ejes: a) y =

x–3 x+2

a) f ' (x) =

2 b) y = x – 1 x

3 c) y = x + 4x 3

d) y =

1 (x – 2)2

5 ?0 (x + 2)2

Los puntos de corte son:

(0, – 32 ), (3, 0) 6

x–3 y = ——— x+2

4 2

–10 –8

–6

–4

–2 –2

2

4

6

8

–4

36

Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

UNIDAD 12

b) f ' (x) =

x2 + 1 ?0 x2

6

x2 – 1 y = ——— x

Los puntos de corte son:

4 2

(1, 0), (–1, 0) –6

–4

–2

2

4

6

2

4

6

–2 –4 –6

c) f ' (x) = x 2 + 4 ? 0

x3 y = — + 4x 3

El punto de corte es: (0, 0)

–6

–4

5

–2 –5

d) f ' (x) =

–2 ?0 (x – 2)3

4

1 y = ———— (x – 2)2

2

( 14 )

El punto de corte es: 0,

–4

–2

2

4

6

75 Estudia y representa las siguientes funciones: a) y =

c) y =

x x 2 – 16

x2

x+2 – 6x + 5

2 e) y = x – 1 x+2

g) y =

i) y =

x2

x2 – 4x + 3

x2 – x + 1 x2 + x + 1

b) y =

x 1 – x2

2 d) y = (x – 1) x+2

f) y =

x2 1 – x2

h) y =

x2 (x – 2)2

2 j) y = x – 5 2x – 4

Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

37

a) f ' (x) =

–x 2 – 16 (x 2 – 16)2

Y x y = ———— x2 – 16

Asíntotas verticales: x = – 4, x = 4

6

Asíntotas horizontales: y = 0

4

No hay asíntotas oblicuas ni puntos de tangente horizontal.

2 –6

–4

2

–2

4

6

X

–2 –4 –6

Y

b) f ' (x) =

x2

+1 (1 – x 2)2

x y = ——— 1 – x2

3

Asíntotas verticales: x = 1, x = –1

2

Asíntotas horizontales: y = 0

1 X

No hay asíntotas oblicuas ni puntos de tangente horizontal.

–3

–2

1

–1

2

3

–1 –2 –3

c) f ' (x) =

–x 2 – 4x + 17 (x 2 – 6x + 5)2

Asíntotas verticales: x = 5, x = 1 Asíntotas horizontales: y = 0 No hay asíntotas oblicuas. Sus puntos de tangente horizontal son, aproximadamente: Y

(–6,58; –0,052), (2,58; –1,197) x+2 y = ————— x2 – 6x + 5

1,5 1 0,5

–6

–4

–2

2

4

6

X

–0,5 –1 –1,5

38

Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

UNIDAD 12

d) f ' (x) =

x 2 + 4x – 5 (x + 2)2

Y 15

Asíntotas verticales: x = –2 Asíntotas oblicuas: y = x – 4

(x – 1)2 y = ———— x+ 2

10

No hay asíntotas horizontales.

5

Sus puntos de tangente horizontal son: (1, 0), (–5, 12)

X –6

–4

–2

2

4

6

–5 y=x–4 –10 –15 –20

e) f ' (x) =

x 2 + 4x + 1 (x + 2)2

Asíntotas verticales: x = –2 Asíntotas oblicuas: y = x – 2

Y

6

x2 – 1 y = ——— x+ 2

4 2

No hay asíntotas horizontales.

X

Sus puntos de tangente horizontal son, aproximadamente:

–6

–4

–2

2

4

6

–2

(–0,26; –0,54), (–3,73; –7,46)

–4 –6 y=x–2

f) y' =

2x (1 – x 2)2

Y 4

Asíntotas horizontales: y = –1

X –6

–4

–2

2

No hay asíntotas oblicuas.

–2

Sus puntos de tangente horizontal son:

–4

(0, 0)

Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

x2 y = ——— 1–x

2

Asíntotas verticales: x = 1, x = –1

4

6

–6

39

g) f ' (x) =

–4x 2 + 6x (x 2 – 4x + 3)2

Y 6

Asíntotas verticales: x = 3, x = 1

x2 y = ————— x2 – 4x + 3

4 2

Asíntotas horizontales: y = 1 No hay asíntotas oblicuas.

–6

–4

–2

Sus puntos de tangente horizontal son: 3 (0, 0), , –3 2

(

h) f ' (x) = –

4

4

6

X

6

–4

)

–6

4x (x – 2)3

Y

Asíntotas verticales: x = 2

x2 y = ———— (x – 2)2 6

Asíntotas horizontales: y = 1

4

No hay asíntotas oblicuas.

2

Sus puntos de tangente horizontal son: (0, 0)

i) f ' (x) =

2 –2

–6

–4

–2

2

2x 2 – 2 (x 2 + x + 1)2

X

Y

Asíntotas horizontales: y = 1 No hay asíntotas verticales ni oblicuas.

x2 – x + 1 6 y = ————— x2 + x + 1 4 2

Sus puntos de tangente horizontal son:

(1, 13 ), (–1, 3)

–6

–4

–2

2

4

6

X

–2 –4 –6

j) f ' (x) =

2x 2 – 8x + 10 (2x – 4)2

Y

Asíntotas verticales: x = 2 Asíntotas oblicuas: y =

6

x +1 2

No hay asíntotas horizontales ni puntos de tangente horizontal.

x2 – 5 y = ——— 2x – 4

4 2 X –4

–2

2

4

6

–2 –4

40

Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

UNIDAD 12

76 Halla una función de segundo grado sabiendo que pasa por (0, 1) y que la pendiente de la recta tangente en el punto (2, –1) vale 0. ☛ Llama a la función f (x) = ax 2 + bx + c y ten en cuenta que f (0) = 1, f (2) = –1 y f ' (2) = 0.

f (x) = ax 2 + bx + c f ' (x) = 2ax + b f (0) = 1 8 1 = c ° a = 1/2 f (2) = –1 8 –1 = 4a + 2b + c §¢ b = –2 § c=1 f ' (2) = 0 8 0 = 4a + b £ La función es f (x) =

1 2 x – 2x + 1. 2

77 Halla el vértice de la parábola y = x 2 + 6x + 11 teniendo en cuenta que en ese punto la tangente es horizontal. f ' (x) = 2x + 6 = 0 8 x = –3 Punto (–3, 2). 78 Determina la parábola y = ax 2 + bx + c que es tangente a la recta y = 2x – 3 en el punto A (2, 1) y que pasa por el punto B (5, –2). f (x) = ax 2 + bx + c f ' (x) = 2ax + b f (2) = 1 8 4a + 2b + c = 1 f ' (2) = 2 8 4a + b = 2 f (5) = –2 8 25a + 5b + c = –2

° a = –1 § ¢ b=6 § c = –7 £

La función es f (x) = –x 2 + 6x – 7. 79 Halla el valor de x para el que las tangentes a las curvas y = 3x 2 – 2x + 5 e y = x 2 + 6x sean paralelas y escribe las ecuaciones de esas tangentes. f (x) = 3x 2 – 2x + 5 8 f ' (x) = 6x – 2 ° 6x – 2 = 2x + 6 8 x = 2 ¢ g (x) = x 2 + 6x 8 g' (x) = 2x + 6 £ Para f (x) = 3x 2 – 2x + 5 la tangente en x = 2 es: y = 10 (x – 2) + 13 8 y = 10x – 7 Para g (x) = x 2 + 6x la tangente en x = 2 es: y = 10 (x – 2) + 16 8 y = 10x – 4 80 Halla a, b y c en f (x) = x 3 + ax 2 + bx + c de modo que la gráfica de f tenga tangente horizontal en x = – 4 y en x = 0 y que pase por (1, 1). f (x) = x 3 + ax 2 + bx + c f ' (x) = 3x 2 + 2ax + b

Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

41

f ' (–4) = 0 8 48 – 8a + b = 0 ° a = 6 § f ' (0) = 0 8 b = 0 ¢ b=0 f (1) = 1 8 1 + a + b + c = 1 § c = – 6 £ La función es f (x) = x 3 + 6x 2 – 6. 81 Halla el valor de k para que la tangente a la gráfica de la función: y = x 2 – 5x + k en x = 1 pase por el origen de ordenadas. • Pendiente de la recta tangente: f ' (x) = 2x – 5 8 f ' (1) = –3 • Punto de tangencia: x = 1; y = 1 – 5 + k 8 (1, –4 + k ) • Ecuación de la recta tangente: y = – 4 + k – 3(x – 1) • Para que pase por (0, 0), debe verificarse: 0 = –4 + k + 3 8 k = 1

CUESTIONES TEÓRICAS 82 Calcula la T.V.M. de f (x) = 3x – 2 en los intervalos [–1, 2], [1, 3] y [–3, 4]. Justifica por qué obtienes el mismo resultado. T.V.M. [–1, 2] = T.V.M. [1, 3] = T.V.M. [–3, 4] =

4+5 =3 3 7–1 =3 2 10 + 11 =3 7

T.V.M. = 3 para todos. La función es una recta de pendiente 3. 83 Dibuja una función que tenga derivada nula en x = 1 y en x = –1, derivada negativa en el intervalo [–1, 1] y positiva para cualquier otro valor de x.

2

1 –1 –1

42

Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

UNIDAD 12

84 Pon ejemplos de funciones f cuya derivada sea f ' (x) = 2x. ¿Cuántas existen? Existen infinitas. f (x) = x 2 + k, donde x es cualquier número. 85 Esta es la gráfica de la función y = x 3. ¿Por qué podemos asegurar que el eje de abscisas es la tangente de esa curva en (0, 0)?

2 1 1 2

Ecuación de la tangente en (0, 0): f ' (x) = 3x 2 8 f ' (0) = 0 8 y = 0 + 0(x – 9) 8 y = 0 es el eje de abscisas. 86

Y

¿Qué relación existe entre f y g ?

f

¿Y entre f ' y g' ? g

X

0

f=g+1° ¢ Son rectas paralelas (de igual pendiente). f ' = g' £ 87 ¿Existe algún punto de la función y = 4x – x 2 en que la tangente sea paralela a la recta que pasa por los puntos (0, 0) y (3, 3)? En caso afirmativo, hállalo. 4 2 2

4

f ' (x) = 4 – 2x ° 3 4 – 2x = 1 8 x = Pendiente de la recta = 1 ¢£ 2 Punto

( 32 , 154 )

88 Demuestra, utilizando la derivada, que la abscisa del vértice de la parábola y = ax 2 + bx + c es x =

–b . 2a

f ' (x) = 2ax + b = 0 8 x =

–b 2a

Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

43

89 Si f ' (2) = 0, ¿cuál de estas afirmaciones es correcta? a) La función f tiene máximo o mínimo en x = 2. b) La recta tangente en x = 2 es horizontal. c) La función pasa por el punto (2, 0). La correcta es la b). 90

Esta es la gráfica de f ', la función derivada de f.

Y

a) ¿Tiene f algún punto de tangente horizontal?

f' X

b) ¿Es f creciente o decreciente?

a) Sí, en x = 2, puesto que f ' (2) = 0 b) Si x < 2 es creciente, pues f' > 0; y si x > 2 es decreciente, pues f ' > 0.

Página 325 PARA PROFUNDIZAR 91 Halla la derivada de f (x) = √ x en el punto de abscisa 2 aplicando la definición. f ' (2) = lím

h80

— √2 + h – √ 2 = f (2 + h) – f (2) = lím h h h80

= lím

— — — (√— 2 + h – √ 2 ) (√ 2 + h + √ 2 ) — — h (√ 2 + h + √ 2 )

= lím

1 1 1 — — = lím — — = — h 8 0 √2 + √2 2 √2 √2 + h + √2

h80

h80

= lím

h80

h — — h √2 + h + √2

(

)

=

92 Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y = ln x que es paralela a la recta y = 3x – 2. f ' (x) =

( )

1 1 1 1 = ln = –ln 3 =3 8 x= ; f x 3 3 3

(

La recta es y = 3 x –

44

)

1 – ln 3 = 3x – 1 – ln 3 3

Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

UNIDAD 12

93 ¿Cuáles son los puntos singulares de las funciones y = sen x e y = cos x en el intervalo [0, 2π]? f (x) = sen x 8 f ' (x) = cos x = 0 8 x = π , x = 3π 2 2 Máximo en

( π2 , 1) y mínimo en ( 3π2 , –1). g(x) = cos x 8 g' (x) = –sen x = 0 8 x = 0, x = π

Máximo en (0, 1) y mínimo en (π, –1). 94 ¿Tiene algún punto de tangente horizontal la función y = tg x ? No, puesto que f ' (x) =

1 ? 0 para todo x. cos 2 x

95 Estudia y representa las siguientes funciones: 2 a) y = 4 – 2x x

c) y =

4 + 2x 2 – x 3 x2

a) f ' (x) =

b) y =

x3 3 (x + 1)

d) y =

x 4 – 2x 2 x2 – 1

–4x 2 – 4 + 2x 2 –2x 2 – 4 = ?0 2 x x2

4

No hay puntos de tangente horizontal.

(

)(

Puntos de corte con los ejes: √ 2 , 0 , – √ 2 , 0 Dominio =

2

)

Á – {0}

X –4

–2

4

–4

Asíntota oblicua: y = –2x

=

2 –2

Asíntota vertical: x = 0

b) f'(x) =

Y

3x 2 · 3 (x + 1) – x 3 · 3 9x 3 + 9x 2 – 3x 3 6x 3 + 9x 2 2x 3 + 3x 2 = = = = 2 2 2 9 (x + 1) 9 (x + 1) 9 (x + 1) 3 (x + 1)2 x 2 (2x + 3) 3 = 0 8 x = 0, x = – = –1,5 2 3 (x + 1)2

Mínimo en (–1,5; 2,25).

4

Punto de inflexión en (0, 0).

2

Y

Puntos de corte con los ejes: (0, 0). Dominio =

Á – {–1}

Asíntota vertical: x = –1

X –4

–2

2

4

–2 –4

Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

45

(4x – 3x 2) x 2 – (4 + 2x 2 – x 3) 2x (4x – 3x 2) x – (4 + 2x 2 – x 3) 2 = = x4 x3

c) f'(x) =

4x 2 – 3x 3 – 8 – 4x 2 + 2x 3 –x 3 – 8 = = 0 8 x = –2 3 x x3

=

Y

Mínimo en (–2, 5). Dominio =

8

Á – {0} 6

Asíntota vertical: x = 0

4

Asíntota oblicua: y = 2 – x

X –4

–2

2

4

–4

(4x 3 – 4x) (x 2 – 1) – (x 4 – 2x 2) 2x 4x (x 2 – 1)2 – 2x (x 4 – 2x 2) = = 2 2 (x – 1) (x 2 – 1)2

d) f'(x) =

2x [2x 4 + 2 – 4x 2 – x 4 + 2x 2] 2x (x 4 – 2x 2 + 2) = =0 8 x=0 2 2 (x – 1) (x 2 – 1)2

=

Mínimo en (0, 0).

Y 4

Puntos de corte con los ejes:

(

)(

)

(0, 0), √ 2 , 0 , – √ 2 , 0 Dominio =

2

Á – {–1, 1}

X

Asíntotas verticales: x = –1, x = 1

–4

–2

2

4

–2 –4

96 El coste total (en dólares) de fabricación de q unidades de cierto artículo es C (q) C (q) = 3q 2 + 5q + 75. El coste medio por unidad es: M (q) = . q a) ¿Cuántas unidades se deben fabricar para que el coste medio por unidad sea mínimo? b) Calcula C (q) y M (q) para el valor de q que has hallado en el apartado a). 3q 2 + 5q + 75 a) M (q) = q M' (q) = =

(6q + 5)q – (3q 2 + 5q + 75) 6q 2 + 5q – 3q 2 – 5q – 75 = = 2 q q2 3q 2 – 75 = 0 8 q 2 = 25 8 q = 5 unidades q2

Se deben fabricar 5 unidades. b) C (5) = 175; M (5) = 35

46

Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

UNIDAD 12

60x indica los beneficios obtenidos por una empresa x2 + 9 desde que comenzó a funcionar ( f (x) en miles de euros, x en años).

97 La función f (x) =

a) Represéntala gráficamente. b) ¿Al cabo de cuánto tiempo obtiene la empresa el beneficio máximo? ¿Cuál es ese beneficio? c) ¿Perderá dinero la empresa en algún momento? a) f ' (x) =

60 (x 2 + 9) – 60x · 2x 60x 2 + 540 – 120x 2 –60x 2 + 540 = = =0 8 (x 2 + 9)2 (x 2 + 9)2 (x 2 + 9)2

8 x = 3 (x = –3 no está en el dominio) Máximo en (3, 10). lím

x 8 +@

f (x) = 0 8 asíntota horizontal: y = 0

La gráfica sería: 10 8 6 4 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18

b) Beneficio máximo en x = 3 8 A los 3 años. El beneficio sería f (3) = 10 miles de euros. c) No perderá dinero ni llegará un momento en que no obtenga beneficios ni pérdidas, pues f (x) = 0 y f (x) > 0 para todo x > 0.

Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

47

Página 325 AUTOEVALUACIÓN 1. Observa la gráfica de la función y = f (x) y responde. Y

1 –4

–2 –1

1 2 3

X

a) ¿Cuál es la T.V.M. en los intervalos [0, 3] y [– 4, –2]? b) ¿Tiene algún punto de tangente horizontal? c) ¿Para qué valores de x es f ' (x) > 0? d) Sabemos que la tangente en el punto de abscisa x = 0 es paralela a la bisectriz del segundo cuadrante. ¿Cuánto vale f ' (0) ? a) T.V.M. [0, 3] =

f (3) – f (0) 1/2 – 2 1 = =– 3 2 3–0

T.V.M. [– 4, –2] =

f (–2) – f (–4) 4–0 = =2 –2 + 4 –2 – (– 4)

b) Sí, P (–2, 4). c) Si x < –2, f ' (x) > 0. d) La recta y = –x (bisectriz del 2.º cuadrante) tiene pendiente igual a –1. Por tanto, f ' (0) = –1. 2. Dada f (x) = x 2 – 3x, prueba que f ' (–2) = –7 aplicando la definición de derivada. f ' (–2) = lím

h80

f (– 2 + h) – f (–2) h

f (–2) = (–2)2 – 3(–2) = 4 + 6 = 10 f (–2 + h) = (–2 + h)2 – 3(–2 + h) = 4 – 4h + h2 + 6 – 3h = h2 – 7h + 10 f (–2 + h) – f (–2) = h2 – 7h f (– 2 + h) – f (–2) h2 – 7h = =h–7 h h lím h – 7 = – 7

h80

Por tanto, f ' (–2) = –7.

48

Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

UNIDAD 12

3. Halla la derivada de las siguientes funciones: a) y = √x +

a) f ' (x) = b) f ' (x) =

2 x 1

—

2 √x

b) y =

–

x · e –x 3

c) y = cos2 π x

d) y =

(

x2 x–2

)

3

2 x2

(

1 –x x 1–x e + (–1)e –x = e –x 3 3 3

)

c) f ' (x) = 2π cos π x (–sen πx ) = – 2π cos πx · sen πx d) f ' (x) = 3

( ) ( ) x2 x–2

2

D

x2 x4 2x (x – 2) – x 2 3x 4 (x 2 – 4x) =3 · = 2 2 x–2 (x – 2) (x – 2) (x – 2)4

4. Escribe la ecuación de la tangente a la curva y = ln x 2 en el punto de abscisa x = 1. Punto de tangencia: x = 1, y = ln 12 = 0 8 P (1, 0) Pendiente de la recta tangente: f ' (x) =

2x 2 = 8 f ' (1) = 2 x2 x

Ecuación: y = 0 + 2 (x – 1) 8 y = 2x – 2 5. Halla los puntos singulares de la función y = 2 + (1 – x)3. ¿Tiene máximo o mínimo relativo esa función? f (x) = 2 + (1 – x)3 8 f ' (x) = 3 (1 – x)2 (–1) = –3 (1 – x)2 f ' (x) = 0 8 –3(1 – x)2 = 0 8 1 – x = 0 8 x = 1 f (1) = 2 + (1 – 1)3 = 2 Punto singular: (1, 2) Como f ' (x) = –3(1 – x)2 es menor que 0 para cualquier valor de x ? 1, f es decreciente en todo su dominio y, por tanto, el punto singular no es máximo ni mínimo. x 2 – 2x + 4 de la cual conocemos sus 2–x asíntotas y la posición de la curva con respecto a ellas. Represéntala.

6. Determina los puntos singulares de y =

Y

–2

Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

2

X

49

f (x) =

x 2 – 2x + 4 2–x

f ' (x) =

(2x – 2)(2 – x) – (x 2 – 2x + 4) (–1) (4x – 2x 2 – 4 + 2x) + (x 2 – 2x – 4) = = (2 – x)2 (2 – x)2

=

–x 2 + 4x (2 – x)2

f ' (x) = 0 8 f (0) =

–x 2 + 4x = 0 8 –x 2 + 4x = 0 (2 – x)2

x=0 x=4

42 – 2 · 4 + 4 0–0+4 = 2; f (4) = = –6 2–4 2–0

Los puntos singulares son (0, 2) y (4, – 6). El primero es un mínimo y el segundo, un máximo. Y

2

–2

X

7. Representa la función y = x 3 – 12x + 16. y = x 3 – 12x + 16 es una función polinómica, por ello es continua en

Á.

• Ramas infinitas: lím

(x 3 – 12x + 16) = +@

lím

(x 3 – 12x + 16) = –@

x 8 +@ x 8 –@

• Puntos singulares: f ' (x) = 3x 2 – 12 f ' (x) = 0 8 3x 2 – 12 = 0

x=2 x = –2

f (2) = 23 – 12 · 2 + 16 = 0 8 (2, 0) f (–2) = (– 2)3 – 12 (–2) + 16 = 32 8 (–2, 32) Los puntos singulares son (2, 0) y (– 2, 32).

50

Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

UNIDAD 12

Esta es su gráfica: Y 32

4 –2

8. Estudia y representa y =

X

1

x2 – 1 . x2

x2 – 1 x2

f (x) =

Dominio de definición:

Á – {0} x 8 0 –, f (x) 8 –@ x 8 0+, f (x) 8 –@

Asíntota vertical: x = 0. Posición Asíntota horizontal: lím

x8@

x 8 +@, f (x) < 1 x 8 –@, f (x) < 1

x2 – 1 = 1; y = 1. Posición x2

Puntos singulares: f ' (x) =

2x x 2 – (x 2 – 1) 2x 2x 2 = 4 = 3 2 2 (x ) x x

f ' (x) = 0 8

2 = 0. No tiene solución. x3

No tiene puntos singulares. Esta es su gráfica: Y 1 –1

Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

1

X

51

9. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de: f (x) =

f (x) =

x3 – x 2 – 3x 3

x3 – x 2 – 3x 8 f ' (x) = x 2 – 2x – 3 3

Buscamos los valores de x para los que f ' (x) > 0 8 x 2 – 2x – 3 > 0 f '(x) > 0

f ' (x) < 0 –1

f '(x) > 0 3

Intervalos de crecimiento de f : (–@, –1) « (3, +@) Intervalo de decrecimiento de f : (–1, 3) La función tiene un máximo en x = –1 y un mínimo en x = 3.

52

Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

13

DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES

Página 331 REFLEXIONA Y RESUELVE Relación funcional y relación estadística En cada uno de los siguientes casos debes decir si, entre las dos variables que se citan, hay relación funcional o relación estadística (correlación) y, en este último caso, indicar si es positiva o negativa: • En un conjunto de familias: estatura media de los padres – estatura media de los hijos. Correlación positiva. • Temperatura a la que calentamos una barra de hierro – longitud alcanzada. Funcional. • Entre los países del mundo respecto a España: volumen de exportación – volumen de importación. Correlación negativa. • Entre los países del mundo: índice de mortalidad infantil – número de médicos por cada 1 000 habitantes. Correlación negativa. • En las viviendas de una ciudad: kWh consumidos durante enero – coste del recibo de la luz. Funcional. • Número de personas que viven en cada casa – coste del recibo de la luz. Correlación positiva. • Equipos de fútbol: lugar que ocupan al finalizar la liga – número de partidos perdidos. Correlación positiva. • Equipos de fútbol: lugar que ocupan al finalizar la liga – número de partidos ganados. Correlación negativa.

Unidad 13. Distribuciones bidimensionales

1

Ejemplo de relación funcional Distintas personas lanzan hacia arriba una misma piedra de 2 kg de masa, que alcanza más o menos altura según la fuerza con que ha sido impulsada. (La fuerza actúa en un tramo de 1 m). ALTURA

(m) 6 5 4 3 2 1 10 20

100

50

FUERZA

(N)

a) ¿Qué altura, por encima de la mano, alcanzará la piedra si se impulsa con una fuerza de 110 newton? b) ¿Podríamos escribir una fórmula que dé directamente la altura que alcanza la piedra, desde el momento en que se la suelta, en función de la fuerza con que es impulsada hacia arriba? a) 4,5 m F – 1 para F ≥ 20 20

b) Altura =

Obtención física de la fórmula: La fórmula en la que se basa todo el desarrollo posterior es: v = √ 2ad donde v : Aumento de la velocidad en el tramo d. a : Aceleración constante con la que se mueve el móvil. d : Espacio que recorre con la aceleración a. Así, la velocidad con que sale de la mano es: vs = √ 2a 1 = √ 2a Además: F = m (a + g) 8 a =

F F –g= – 10 m 2

Luego: vs =

2

√(

F 2 — – 10 2

)

= √ F – 20

Unidad 13. Distribuciones bidimensionales

UNIDAD 13

Por otra parte, si se deja caer una piedra desde una altura h, adquiere una velocidad: vs = √ 2gh O bien, si se empuja una piedra hacia arriba de modo que salga con una velocidad vs, alcanza una altura h. En este caso: vs = √ 2 · 10 · h = √ 20h Igualando:

√ F – 20 = √ 20h 8 h = F – 1 20

Para que h Ó 0, debe ser F Ó 20.

Ejemplo de relación estadística En la siguiente gráfica, cada punto corresponde a un chico. La abscisa es la estatura de su padre, y la ordenada, su propia altura. ESTATURA HIJOS

190

180

170

160

ESTATURA PADRES

160

170

180

190

a) Identifica a Guille y Gabriel, hermanos de buena estatura, cuyo padre es bajito. b) Identifica a Sergio, de estatura normalita, cuyo padre es un gigantón. c) ¿Podemos decir que hay una cierta relación entre las estaturas de estos 15 chicos y las de sus padres? a) Guille y Gabriel están representados por los puntos (160, 175) y (160; 177,5) b) Sergio está representado por el punto (192,5; 172,5). c) En general, sí.

Unidad 13. Distribuciones bidimensionales

3

Página 333 1. La tabla de la derecha muestra cómo se ordenan entre sí diez países, A, B, C…, según dos variables, R.P.C. (renta per cápita) e I.N. (índice de natalidad). Representa los resultados en una nube de puntos, traza la recta de regresión y di cómo te parece la correlación. PAÍSES

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

R.P.C.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

10

6

9

5

7

4

1

3

8

2

4

6

I.N.

I.N. 10 8

La correlación es negativa y moderadamente alta (– 0,62).

6 4 2 2

8

10

12

R.P.C.

Página 335 1. Obtén mediante cálculos manuales los coeficientes de correlación de las distribuciones de la página 332: Matemáticas – Filosofía

Distancia – Número de encestes

Hazlo también con una calculadora con MODO LR. Matemáticas-Filosofía:

4

xi

yi

xi2

yi2

2

2

4

4

4

3

5

9

25

15

4

2

16

4

8

4

7

16

49

28

5

5

25

25

25

6

4

36

16

24

6

6

36

36

36

7

6

49

36

42

7

7

49

49

49

xi yi

8

5

64

25

40

10

5

100

25

50

10

9

100

81

90

72

63

504

375

411

72 x– = =6 12 63 y– = = 5,25 12 qx = qy = qxy =

√ √

504 – 62 = 2,45 12 375 – 5,252 = 1,92 12

411 – 6 · 5,25 = 2,75 12

Por tanto: r =

2,75 = 0,58 2,45 · 1,92

Unidad 13. Distribuciones bidimensionales

UNIDAD 13

Distancia-Número de encestes: yi

xi2

1

9

1

81

9

2

10

4

100

20

3

6

9

36

18

4

4

16

16

16

5

2

25

4

10

6

0

36

0

0

7

1

49

1

7

8

0

64

0

0

36

32

204

238

80

xi

yi2

xi yi

Unidad 13. Distribuciones bidimensionales

36 x– = = 4,5 8 qx = qy =

√ √

32 y– = =4 8

204 – 4,52 = 2,29 8 238 – 42 = 3,71 8

80 – 4,5 · 4 = –8 8 –8 Por tanto: r = = –0,94 2,29 · 3,71

qxy =

5

Página 344 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR

Sin fórmulas 1 Para cada uno de los siguientes casos indica: • Cuáles son las variables que se relacionan. • Si se trata de una relación funcional o de una relación estadística y, en estos casos, el signo de la correlación. a) Renta mensual de una familia-gasto en electricidad. b) Radio de una esfera-volumen de esta. c) Litros de lluvia recogidos en una ciudad-tiempo dedicado a ver la televisión por sus habitantes. d) Longitud del trayecto recorrido en una línea de cercanías-precio del billete. e) Peso de los alumnos de 1-º de Bachillerato-número de calzado que usan. f ) Toneladas de tomate recogidas en una cosecha-precio del kilo de tomate en el mercado. a) Renta (€), gasto (€). Correlación positiva. b) Relación funcional. c) Relación estadística. Seguramente muy débil. Positiva (¿cabe pensar que cuanto más llueva más tiempo pasarán en casa y, por tanto, más verán la televisión?). d) Aunque lo parezca a priori, seguramente la relación no es funcional. Es una correlación positiva fuerte. e) Correlación positiva. f) Correlación negativa (cuanto mayor sea la cosecha, más baratos están los tomates). 2 a) Traza, a ojo, la recta de regresión en cada una de estas distribuciones bidimensionales: A

D

10

10

10

10

5

5

5

5

5

6

C

B

10

5

10

5

10

5

10

Unidad 13. Distribuciones bidimensionales

UNIDAD 13

b) ¿Cuáles de ellas tienen correlación positiva y cuáles tienen correlación negativa? c) Una de ellas presenta relación funcional. ¿Cuál es? ¿Cuál es la expresión analítica de la función que relaciona las dos variables? d) Ordena de menor a mayor las correlaciones. a) A

10

B 10

5

5

5 C

10

10

D 10

5

5

5

10

5

10

5

10

b) B y C tienen correlación positiva; A y D, negativa. c) La A es relación funcional: y = 12 – 2x. d) C, D, B, A (prescindiendo del signo).

3 Los coeficientes de correlación de las distribuciones bidimensionales que aparecen a continuación son, en valor absoluto, los siguientes: 0,55

0,75

0,87

0,96

Asigna a cada uno el suyo, cambiando el signo cuando proceda: a)

Unidad 13. Distribuciones bidimensionales

b)

7

a)

a) r = 0,96

b)

b) r = –0,75

c) r = 0,55

d) r = –0,87

4 Representa la nube de puntos correspondiente a esta distribución y di cuánto vale el coeficiente de correlación. x

1

2

3

4

5

6

y

10

8

6

4

2

0

Y 10

El coeficiente de correlación vale –1.

6

X

5 Representa la nube de puntos de esta distribución y estima cuál de estos tres puede ser el coeficiente de correlación: a) r = 0,98 b) r = –0,87 c) r = 0,5 x

0

1

2

3

3

4

5

6

7

8

9

y

1

4

6

2

4

8

6

5

3

6

9

c) r = 0,5 Y 9 7 5 3 1 2

8

4

6

8 9 X

Unidad 13. Distribuciones bidimensionales

UNIDAD 13

6 Las estaturas de 10 chicas y las de sus respectivas madres son: xi

158 162 164 165 168 169 172 172 174 178

yi

163 155 160 161 164 158 175 169 166 172

Representa los valores, sobre papel cuadriculado, mediante una nube de puntos. Traza a ojo la recta de regresión y di si la correlación es positiva o negativa y si es más o menos fuerte de lo que esperabas. La correlación es positiva y fuerte. Y 180 170 160 150

150

160

170

180

X

Página 345 Con fórmulas 7 Esta es la distribución bidimensional dada en el ejercicio 2B) mediante una nube de puntos: x

0

1

2

3

4

4

5

6

7

8

9 10

y

0

2

2

4

3

6

4

5

7

7

9 10

Halla: –

–

a) x , y , qx , qy , qx y . b) El coeficiente de correlación, r. Interprétalo. c) Las dos rectas de regresión. n = 12,

Sx = 59 Sx 2

a) x– = 4,92 qx = 3,04

Sy = 59

= 401 Sy 2 = 389 y– = 4,92 qy = 2,87

Unidad 13. Distribuciones bidimensionales

Sxy = 390

qxy = 8,33

9

b) r =

qxy

= 0,95. Se trata de una correlación fuerte y positiva.

qx qy

c) Recta de regresión de Y sobre X : qxy = 0,90 8 y = 4,92 + 0,9(x – 4,92) qx2 Recta de regresión de X sobre Y : qxy 1 = 1,01 8 y = 4,92 + (x – 4,92) 8 y = 4,92 + 0,99(x – 4,92) qy2 1,01 8 Observa la distribución D del ejercicio 2. a) Descríbela mediante una tabla de valores. b) Realiza los cálculos para obtener su coeficiente de correlación. c) Representa los puntos en tu cuaderno. Halla la ecuación de la recta de regresión de Y sobre X y represéntala. a)

x

1

2

3

4

4

5

6

7

8

9

y

5

8

7

6

9

4

5

2

3

1

b) n = 10

Sx = 49

49 x– = = 4,9 10

Sy = 50

50 y– = =5 10

Sx 2 = 301

qx =

Sy 2 = 310

qy =

Sxy = 199

qxy =

r=

√ √

301 — – 4,92 = 2,47 10

301 — – 52 = 2,45 10

199 – 4,9 · 5 = –4,6 10

4,6 = –0,76 2,47 · 2,45

Y 10

c) Recta de regresión de Y sobre X : y=5–

4,6 (x – 4,9) 8 y = 8,675 – 0,75x 6,1 5

5

10

10 X

Unidad 13. Distribuciones bidimensionales

UNIDAD 13

9 a) Representa la siguiente distribución bidimensional: x

0

1

2

3

3

4

5

6

7

8

9

y

1

4

6

2

4

8

6

5

3

6

9

b) Comprueba con la calculadora que sus parámetros son: –

–

x = 4,4

y = 4,9qx y = 3,67

qx = 2,77

qy = 2,31

r = 0,57

c) Halla las ecuaciones de las dos rectas de regresión, X sobre Y e Y sobre X, y represéntalas junto con la nube de puntos. a) Representada en el ejercicio 5. b) Se comprueba. c) • Recta de regresión de Y sobre X : myx =

qxy qx2

=

3,67 = 0,48 8 y = 4,9 + 0,48(x – 4,4) 8 y = 0,48x + 2,79 2,772

• Recta de regresión de X sobre Y : mxy =

qxy qy2

=

3,67 1 = 0,69 8 = 1,45 8 y = 4,9 + 1,45(x – 4,4) 8 2,312 mxy 8 y = 1,45x – 1,48 Y 9

X sobre Y Y sobre X

5

5

9 X

10 Una distribución bidimensional en la que los valores de x son 12, 15, 17, 21, 22 y 25, tiene una correlación r = 0,99 y su recta de regresión es y = 10,5 + 3,2x. ^

^

^

^

Calcula y (13), y (20), y (30), y (100). ¿Cuáles de las estimaciones anteriores son fiables, cuál poco fiable y cuál no se debe hacer? ^

Expresa los resultados en términos adecuados. (Por ejemplo: y (13) = 52,1. Para x = 13 es muy probable que el valor correspondiente de y sea próximo a 52). Unidad 13. Distribuciones bidimensionales

11

^

y (13) = 52,1; ^

^

^

y (20) = 74,5;

^

y (30) = 106,5;

y (100) = 330,5

^

Son fiables y (13) e y (20), porque 13 y 20 están en el intervalo de valores utilizados para obtener la recta de regresión. ^

y (30) es menos fiable, pues 30 está fuera del intervalo, aunque cerca de él. ^

y(100) es una estimación nada fiable, pues 100 está muy lejos del intervalo [12, 25].

PARA RESOLVER 11 La siguiente tabla muestra el número de gérmenes patógenos por centímetro cúbico de un determinado cultivo según el tiempo transcurrido: N.° DE HORAS N.° DE GÉRMENES

0

1

2

3

4

5

20

26

33

41

47

53

a) Calcula la recta de regresión para predecir el número de gérmenes por centímetro cúbico en función del tiempo. b) ¿Qué cantidad de gérmenes por centímetro cúbico cabe esperar que haya a las 6 horas? ¿Es buena esta estimación? a) y = 19,81 + 6,74x, donde: x 8 número horas, y 8 número de gérmenes ^

b) y (6) = 60,25 ≈ 60 gérmenes. Es una buena predicción, puesto que r = 0,999 (y 6 está cercano al intervalo de valores considerado). 12 La media de los pesos de los individuos de una población es de 65 kg, y la de sus estaturas, 170 cm. Sus desviaciones típicas son 5 kg y 10 cm. La covarianza es 40 kg · cm. Halla: a) Coeficiente de correlación. b) La recta de regresión de los pesos respecto de las estaturas. c) Estima el peso de un individuo de 180 cm de estatura perteneciente a ese colectivo. a) r = 0,8 ° x : estaturas en cm b) y = 65 + 0,4 (x – 170) = 0,4x – 3 8 ¢ £ y : pesos en kg ^ c) y (180) = 69 kg 13 En una zona residencial se ha tomado una muestra para relacionar el número de habitaciones que tiene cada piso (h) con el número de personas que viven en él ( p). Estos son los resultados:

12

Unidad 13. Distribuciones bidimensionales

UNIDAD 13

h

2

2

3

3

4

4

4

5

5

5

p

1

2

2

3

3

4

5

4

5

6

Represéntalos mediante una nube de puntos. Calcula el coeficiente de correlación e interprétalo. N-º DE PERSONAS

6 5 4 3 2 1 N-º DE HABITACIONES

1

2

3

4

5

6

h: número de habitaciones p: número de personas n = 10

Sh = 37

– 37 h= = 3,7 10

Sp = 35

35 p– = = 3,5 10

Sh 2 = 149

qh =

Sp 2 = 145

qp =

Shp = 144

qhp =

r=

√ √

149 — – 3,72 = 1,1 10

145 — – 3,52 = 1,5 10

144 – 3,7 · 3,5 = 1,45 10

1,45 = 0,88 1,1 · 1,5

Es una correlación positiva y fuerte (a más habitaciones, más personas en el piso). 14 La tabla adjunta relaciona el número atómico de varios metales con su densidad: Elemento

K

Ca

Ti

V

Mn

Fe

Co

Ni

N-º atómico

19

20

22

23

25

26

27

28

Densidad

0,86 1,54 4,50 5,60 7,11 7,88 8,70 8,80

a) Representa los puntos y halla el coeficiente de correlación. Unidad 13. Distribuciones bidimensionales

13

b) Mediante una recta de regresión, estima la densidad del cromo si su número atómico es 24: Cr (24). c) Estima la densidad del escandio: Sc (21). a) DENSIDAD

9 8 7 6 5 4 3 2 1

r = 0,98

N-º ATÓMICO

19 ^

21

23

25

27

^

b) y c) y = –16,5 + 0,93x

^

y (24) = 5,86

y (21) = 3,06

Las densidades del Cr y del Sc son, aproximadamente, 5,86 y 3,01. (Los valores reales de estas densidades son 7,1 y 2,9.)

Página 346 15 En una cofradía de pescadores, las capturas registradas de cierta variedad de pescados, en kilogramos, y el precio de subasta en lonja, en euros/kg, fueron los siguientes: x (kg)

2 000

2 400

2 500

3 000

2 900

2 800

3 160

y (euros/kg)

1,80

1,68

1,65

1,32

1,44

1,50

1,20

a) ¿Cuál es el precio medio registrado? b) Halla el coeficiente de correlación lineal e interprétalo. c) Estima el precio que alcanzaría en lonja el kilo de esa especie si se pescasen 2 600 kg. a) y– = 1,51 euros b) r = –0,97. La relación entre las variables es fuerte y negativa. A mayor cantidad de pescado, menor es el precio por kilo. c) La recta de regresión es y = 2,89 – 0,0005x. ^

y (2 600) = 1,59 euros.

14

Unidad 13. Distribuciones bidimensionales

UNIDAD 13

16

Durante 10 días, hemos realizado mediciones sobre el consumo de un coche (litros consumidos y kilómetros recorridos). Los datos obtenidos han sido los siguientes: x (km)

100

80

50

100

10

100

70

120

150

220

y (l )

6,5

6

3

6

1

7

5,5

7,5

10

15

a) Halla el coeficiente de correlación y la recta de regresión de Y sobre X. b) Si queremos hacer un viaje de 190 km, ¿qué cantidad de combustible debemos poner? a) r = 0,99; y = 0,157 + 0,066x ^

b) y (190) = 12,697 litros. Debemos poner, como mínimo, unos 13 litros. 17 La evolución del IPC (índice de precios al consumo) y de la tasa de inflación en 1987 fue: ENERO

FEBRERO

MARZO

ABRIL

MAYO

JUNIO

0,7

1,1

1,7

2

1,9

1,9

6

6

6,3

6,2

5,8

4,9

IPC TASA DE INFLACIÓN

a) Representa la nube de puntos. b) Calcula el coeficiente de correlación entre el IPC y la tasa de inflación. c) ¿Se puede estimar la tasa de inflación a partir del IPC? TASA DE INFLACIÓN

6,5 6 5,5 5 4,5 I.P.C.

0,5

1

1,5

2

2,5

r = –0,24. La nube de puntos es muy dispersa. No se puede estimar de forma fiable la tasa de inflación a partir del IPC (pues |r | es muy bajo).

CUESTIONES TEÓRICAS 18 El coeficiente de correlación de una distribución bidimensional es 0,87. Si los valores de las variables se multiplican por 10, ¿cuál será el coeficiente de correlación de esta nueva distribución? El mismo, puesto que r no depende de las unidades; es adimensional. Unidad 13. Distribuciones bidimensionales

15

19 Hemos calculado la covarianza de una cierta distribución y ha resultado negativa. Justifica por qué podemos afirmar que tanto el coeficiente de correlación como las pendientes de las dos rectas de regresión son números negativos. qxy qxy qxy Hay que tener en cuenta que r = ; myx = ; mxy = 2 y que qx Ó 0, 2 qx qy qx qy qy Ó 0 siempre. Luego r, myx , mxy tienen el mismo signo que qxy . (Además, suponemos qx ? 0 y qy ? 0.) 20 ¿Qué punto tienen en común las dos rectas de regresión? – y– ). El centro de gravedad de la distribución, ( x, 21 ¿Qué condición debe cumplir r para que las estimaciones hechas con la recta de regresión sean fiables? |r | debe estar próximo a 1. 22 Prueba que el producto de los coeficientes de regresión myx y mxy es igual al cuadrado del coeficiente de correlación. myx · mxy =

qxy qx2

·

qxy qy2

=

(

qxy qx qy

)

2

= r2

23 De una distribución bidimensional (x, y) conocemos los siguientes resultados: • Recta de regresión de Y sobre X : y = 8,7 – 0,76x • Recta de regresión de X sobre Y : y = 11,36 – 1,3x a) Calcula el centro de gravedad de la distribución. b) Halla el coeficiente de correlación. – y– ), es el punto de corte entre las dos rectas: a) El centro de gravedad, ( x, y = 8,7 – 0,76x ° ¢ y = 11,36 – 1,3x £ 8,7 – 0,76x = 11,36 – 1,3x 0,54x = 2,66 x = 4,93 y = 4,95 – y– ) = (4,93; 4,95). El centro de gravedad es ( x, 16

Unidad 13. Distribuciones bidimensionales

UNIDAD 13

b) Para hallar r tenemos en cuenta el ejercicio anterior: r 2 = myx · mxy = –0,76 ·

1 = 0,58 8 r = 0,76 –1,3

24 La estatura media de 100 escolares de cierto curso de ESO es de 155 cm con una desviación típica de 15,5 cm. La recta de regresión de la estatura respecto al peso es: y = 80 + 1,5x (x: peso; y: estatura) a) ¿Cuál es el peso medio de esos escolares? b) ¿Cuál es el signo del coeficiente de correlación entre peso y estatura? a) La recta de regresión es: y = y– + m (x – x– ) = 155 + 1,5 (x – x– ) = 155 + 1,5x – 1,5 x– = (155 – 1,5 x– ) + 1,5x = = 80 + 1,5x 8 155 – 1,5 x– = 80 8 x– = 50 kg b) Positivo (igual que el signo de la pendiente de la recta de regresión).

Página 347 PARA PROFUNDIZAR 25 En una muestra de 64 familias se han estudiado el número de miembros en edad laboral, x, y el número de ellos que están en activo, y. Los resultados son los de la tabla. Calcula el coeficiente de correlación lineal entre ambas variables e interprétalo.

y

1

2

3

1

6

0

0

2

10

2

0

3

12

5

1

4

16

8

4

x

r = 0,31. La relación entre las variables es débil.

26 Una compañía discográfica ha recopilado la siguiente información sobre el número de conciertos dados, durante el verano, por 15 grupos musicales y las ventas de discos de estos grupos (expresados en miles de CD): CONCIERTOS

(y )

10 - 30

30 - 40

40 - 80

1-5

3

0

0

5 - 10

1

4

1

10 - 20

0

1

5

CD (X )

Unidad 13. Distribuciones bidimensionales

17

a) Calcula el número medio de CD vendidos. b) ¿Cuál es el coeficiente de correlación? c) Obtén la recta de regresión de Y sobre X. d) Si un grupo musical vende 18 000 CD, ¿qué número de conciertos se prevé que dé? x 8 CD; y 8 Conciertos a) x– = 9,6 ≈ 10 b) r = 0,814 c) y = 13,51 + 2,86x ^

d) y (18) = 64,99 ≈ 65 conciertos

Página 347 AUTOEVALUACIÓN 1. Observa estas distribuciones bidimensionales: a)

b)

c)

d)

Asigna razonadamente uno de los siguientes coeficientes de correlación a cada gráfica: 0,2; – 0,9; – 0,7; 0,6. La correlación de a) es positiva, y las de b) y c), negativas. En d) no se aprecia correlación. La correlación de c) es más fuerte que la de b). Por tanto: a) 8 0,6 b) 8 –0,7 c) 8 –0,9 d) 8 0,2

18

Unidad 13. Distribuciones bidimensionales

UNIDAD 13

2. Representa esta distribución bidimensional: x

1

2

2

3

4

6

7

8

8

9

y

2

4

3

4

6

5

8

9

10

9

–

–

a) Calcula los parámetros x , y , qx , qy , qx y . b) Halla el coeficiente de correlación. c) Halla la recta de regresión de Y sobre X. d) Estima el valor de y para x = 5 y para x = 10. ¿Son “buenas” estas estimaciones? a) x– = 5, y– = 6

10

qx = 2,8; qy = 2,7; qxy = 7,1 b) r = 0,95

5

c) y = 0,91x + 1,45 ^

^

d) y (5) = 6, y (10) = 10,55 5

10

Las estimaciones son muy fiables porque r = 0,95 es un valor muy alto. Si se tratase de “notas” (de 0 a 10), la segunda estimación habría que “hacerla real” y darle el valor 10. 3. La recta de regresión de Y sobre X de una cierta distribución bidimensional – es y = 1,6x – 3. Sabemos que x = 10 y r = 0,8. –

a) Calcula y . b) Estima el valor de y para x = 12 y para x = 50. ¿Qué estimación te parece más fiable? c) Halla la recta de regresión de X sobre Y. a) Puesto que la recta pasa por (x–, y–): y– = 1,6x– – 3 = 1,6 · 10 – 3 = 13 ^

b) y (12) = 1,6 · 12 – 3 = 16,2 ^

y (50) = 1,6 · 50 – 3 = 77 La primera estimación es aceptable por ser 12 próximo a x– = 10 (carecemos de información sobre los valores que toma x ). La segunda estimación es muy poco significativa, pues 50 se separa demasiado de x–. c) Conociendo r = 0,8 y el coeficiente de regresión de Y sobre X (pendiente de la recta), 1,6: (Coef. Y sobre X ) · (Coef. X sobre Y ) = r 2

Unidad 13. Distribuciones bidimensionales

19

Coef. X sobre Y =

0,82 = 0,4 1,6

Por tanto, la pendiente de la recta de regresión de X sobre Y es mxy =

1 = 2,5. 0,4

Ecuación de la recta de regresión de X sobre Y : y = 6 + 2,5(x – 5) 4. El consumo de energía per cápita y en miles de kWh y la renta per cápita x en miles de euros de seis países son: A

B

C

D

E

F

x

11,1

8,5

11,3

4,5

9,9

6,5

y

5,7

5,0

5,1

2,7

4,6

3,1

a) Calcula la recta de regresión de Y sobre X. b) Halla el coeficiente de correlación entre el consumo y la renta. c) ¿Qué predicción podemos hacer sobre el consumo de energía per cápita de un país cuya renta per cápita es de 4,4 miles de euros? x– = 8,63, y– = 4,37 qx = 2,46, qy = 1,09, qxy = 2,51 a) Recta de regresión de Y sobre X: y = 4,37 +

2,51 (x – 8,63) 8 y = 0,79 + 0,41x 2,462

b) Coeficiente de correlación: r=

2,51 = 0,93 1,09 · 2,46

c) Para x = 4,4, estimamos el valor de y: ^

y (4,4) = 0,79 + 0,41 · 4,4 = 2,59 Se le estima un consumo de energía de 2,59 miles de Kw/h por habitante.

20

Unidad 13. Distribuciones bidimensionales

14

CÁLCULO DE PROBABILIDADES

Página 349 REFLEXIONA Y RESUELVE Cálculo matemático de la probabilidad ■

Calcula matemáticamente cuál es la probabilidad de que un botón de 1 cm de diámetro “no toque raya” en la cuadrícula de 3 cm Ò 3 cm.

■

¿De qué tamaño debe ser un disco para que la probabilidad de que “no toque raya” en una cuadrícula de 4 cm Ò 4 cm sea de 0,2?

■

En una cuadrícula de 4 cm Ò 4 cm dejamos caer 5 000 veces una moneda y contabilizamos que “no toca raya” en 1 341. Estima cuál es el diámetro de la moneda.

■

Sobre un suelo de losetas hexagonales regulares de 12 cm de lado se deja caer un disco de 10 cm de diámetro.

¿Cuál es la probabilidad de que “no toque raya”? ■

Área del cuadrado grande = 32 = 9 cm2 Área del cuadrado pequeño = (3 – 1)2 = 4 cm2 P=

■

4 ≈ 0,44 9

Área del cuadrado grande = 42 = 16 cm2 Área del cuadrado pequeño = (4 – d )2 2 P = (4 – d ) = 0,2 8 (4 – d )2 = 3,2 8 4 – d = ±1,8 16

4 – d = 1,8 8 d = 2,2 cm 4 – d = –1,8 8 d = 5,8 cm 8 No vale Ha de tener un diámetro de 2,2 cm.

Unidad 14. Cálculo de probabilidades

1

■

Área del cuadrado grande = 42 = 16 cm2 Área del cuadrado pequeño = (4 – d )2 2 1 341 = 0,2682 = (4 – d ) 5 000 16 2 (4 – d ) = 4,2912 8 d = 1,93 cm

P=

■

Área del hexágono grande =

72 · 10,4 = 374,4 cm2 2

Perímetro = 72 cm a = √ 122 – 62 = 10,4 cm a 12 cm

12

Área del hexágono pequeño =

37,44 · 5,4 = 101,088 cm2 2

a' = a – r = 10,4 – 5 = 5,4 cm a'

l

l l/2

2 2 l 2 – l = (a' )2; 3l = 29,16 8 l = 6,24 cm 8 Perímetro = 37,44 cm 4 4 101,088 P= = 0,27 374,4

Página 350 1. Numeramos con 1, 2, 3, y 4 las cuatro caras alargadas de una regleta. Dejamos caer la regleta y anotamos el número de la cara superior. a) ¿Cuál es el espacio muestral? b) Escribe un suceso elemental y tres que sean no elementales.

1 2

c) ¿Cuántos sucesos tiene esta experiencia? a) E = {1, 2, 3, 4} b) Elementales 8 {1}, {2}, {3}, {4} No elementales 8 {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}, {Ø} c) 24 = 16 sucesos

Página 351 2. Consideramos la experiencia “lanzar un dado”. A partir de los conjuntos A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 3, 5}, C = {2, 4} a) Obtén los conjuntos A « B, A » B, A', B'.

2

Unidad 14. Cálculo de probabilidades

UNIDAD 14 b) Obtén los conjuntos (A « B)', (A » B)', A' « B', A' » B', y comprueba que se cumplen las leyes de Morgan. c) Calcula B « C y B » C, y razona los resultados. a) A « B = {1, 2, 3, 4, 5}, A » B = {1, 3}, A' = {5, 6}, B' = {2, 4, 6} b) (A « B)' = {6}, (A » B)' = {2, 4, 5, 6}, A' « B' = {2, 4, 5, 6}, A' » B' = {6} (A « B)' = A' » B' (A » B)' = A' « B' c) B « C = {1, 2, 3, 4, 5} B»C=Ö Al ser B y C conjuntos disjuntos, la intersección es vacía.

Página 353 1. Conocemos las siguientes probabilidades: P [A] = 0,4

P [B] = 0,7

P [A' « B' ] = 0,8

Calcula P [(A » B)'], P [A » B], P [A « B]. P [(A » B)'] = P [A' « B' ] = 0,8 8 P [A » B] = 0,2 P [A « B] = P [A] + P [B ] – P [A » B] = 0,4 + 0,7 – 0,2 = 0,9 2. Sabemos que: P [ M « N ] = 0,6

P [ M » N ] = 0,1

P [ M' ] = 0,7

Calcula P [ M ], P [ N ]. P [M ] = 1 – P [M' ] = 1 – 0,7 = 3 P [M « N ] = P [M ] + P [N ] – P [M » N ] 8 P [N ] = P [ M « N ] + P [M » N ] – P [M ] = = 0,6 + 0,1 – 0,3 = 0,4

Página 355 1. Lanzamos un dado “chapucero” mil veces. Obtenemos f (1) = 117, f (2) = 302, f (3) = 38, f (4) = 234, f (5) = 196, f (6) = 113. Estima las probabilidades de las distintas caras. ¿Cuáles son las probabilidades de los sucesos PAR, MENOR QUE 6, {1, 2} ? P [1] =

117 = 0,117 1 000

P [4] = 0,234

P [2] = 0,302

P [3] = 0,038

P [5] = 0,196

P [6] = 0,113

P [PAR] = 0,302 + 0,234 + 0,113 = 0,649 Unidad 14. Cálculo de probabilidades

3

P [MENOR

QUE

6] = 1 – P [6] = 1 – 0,113 = 0,887

P [{1, 2}] = 0,117 + 0,302 = 0,419 2. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 12 al multiplicar los resultados de dos dados correctos? 1

2

3

4

5

6

1

1

2

3

4

5

6

2

2

4

6

8

10

12

3

3

6

9

12

15

18

4

4

8

12

16

20

24

5

5

10

15

20

25

30

6

6

12

18

24

30

36

P [12] =

4 1 = 36 9

3. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos dados correctos la diferencia de sus puntuaciones sea 2? 1

2

3

4

5

6

1

0

1

2

3

4

5

2

1

0

1

2

3

4

3

2

1

0

1

2

3

4

3

2

1

0

1

2

5

4

3

2

1

0

1

6

5

4

3

2

1

0

P [2] =

8 2 = 36 9

Página 357 1. Observa las bolas que hay en la urna. 2 1 1 1 1 1 2 2 2 1 a) Completa el cuadro de doble entrada en el que se reparten las bolas según el color (V, R, N) y el número (1, 2). b) Calcula la probabilidad de ROJO, NEGRO, VERDE, 1 y 2, sin más que observar la composición de la urna.

4

V

R

1

2

2

3

TOT

5

N

TOT

Unidad 14. Cálculo de probabilidades

UNIDAD 14

c) Comprueba que las probabilidades obtenidas en b) se pueden obtener sumando filas o columnas del cuadro formado en a). d) Calcula las probabilidades condicionadas: P [ 1/ROJO ], P [ 1/VERDE ], P [ 1/NEGRO ], P [ 2/ROJO ], P [2/VERDE ], P [2/NEGRO ], P [ ROJO/1], P [ VERDE/1]. e) Di si alguno de los caracteres ROJO, NEGRO, VERDE es independiente de 1 o de 2. a)

V

R

N

TOT

1

2

2

2

6

2

0

3

1

4

TOT

2

5

3

10

b) y c) P [R] =

5 1 = = 0,5 10 2

P [N] =

3 = 0,3 10

P [V] =

2 1 = = 0,2 10 5

P [1] =

6 3 = = 0,6 10 5

P [2] =

4 2 = = 0,4 10 5

d) P [1/R] =

2 2 ; P [1/V] = 1; P [1/N] = 5 3

P [2/R] =

3 1 ; P [2/V] = 0; P [2/N] = 5 3

P [R/1] =

2 1 2 1 = ; P [V/1] = = 6 3 6 3

e) No son independientes.

Página 358 1. Calcula la probabilidad de obtener TRES CUATROS al lanzar tres dados. P=

( ) = 2161 ≈ 0,0046

1 1 1 1 · · = 6 6 6 6

3

2. Calcula la probabilidad de SEIS). P=

NINGÚN SEIS

al lanzar cuatro dados (cuatro veces

NO

( ) = 0,48

5 5 5 5 5 · · · = 6 6 6 6 6

4

3. Calcula la probabilidad de obtener ALGÚN SEIS al lanzar cuatro dados. (ALGÚN SEIS es el suceso contrario de NINGÚN SEIS). 1 – P [NINGÚN 6] = 1 – 0,48 = 0,52

Unidad 14. Cálculo de probabilidades

5

4. Calcula la probabilidad de obtener P [NINGÚN 6] =

( ) 5 6

6

ALGÚN SEIS

al lanzar seis dados.

= 0,335

P [ALGÚN 6] = 1 – P [NINGÚN 6] = 1 – 0,335 = 0,665

Página 359 5. Tenemos un dado y las dos urnas descritas abajo.

2 6 4 6

(1, 2)

(3, 4, 5, 6)

Lanzamos el dado. Si sale 1 ó 2, vamos a la urna I. Si sale 3, 4, 5 ó 6, acudimos a la urna II. Extraemos una bola de la urna correspondiente. a) Completa las probabilidades en el diagrama en árbol. b) Halla: P [{3, 4, 5, 6} y

], P [

/1], P [

/5] y P [2 y

].

a) 2 6

4 6

(1, 2)

6/10 8/10 1/10

(3, 4, 5, 6)

2/10 6/10 2/10

b) P [{3, 4, 5, 6} y P[

/1] =

6 3 = 10 5

P[

/5] =

6 3 = 10 5

P [2 y

6

]=

]=

4 6 24 2 · = = 6 10 60 5

1 6 1 · = 6 10 60

Unidad 14. Cálculo de probabilidades

UNIDAD 14

Página 361 1. Tenemos dos urnas:

I

II

La experiencia consiste en extraer una bola de I, introducirla en II, remover y extraer, finalmente, una bola de II. Calcula la probabilidad de que la segunda bola extraída sea: a) roja b) verde c) negra P[

y

3 ] = —16 · —35 = — 30

P[

y

1 ] = —16 · —15 = — 30

P[

y

1 1 1 ·—=— ]=— 6 5 30

P[

y

4 ] = —26 · —25 = — 30

P[

y

4 ] = —26 · —25 = — 30

P[

y

2 1 2 ·—=— ]=— 6 5 30

P[

y

6 ] = —36 · —25 = — 30

P[

y

3 1 3 ·—=— ]=— 6 5 30

P[

y

3 2 6 ·—=— ]=— 6 5 30

3/5 1/5

II

1/5

1/6 2/5

2/6

2/5

II

1/5

3/6

2/5 1/5

II

2/5

a) P [2.a

]=

1 4 3 8 4 + + = = 30 30 30 30 15

b) P [2.a

]=

1 2 6 9 3 + + = = 30 30 30 30 10

c) P [2.a

]=

3 4 6 13 + + = 30 30 30 30

Unidad 14. Cálculo de probabilidades

7

Página 363 1. En el ejercicio propuesto del apartado anterior, calcula: a) Sabiendo que la segunda bola ha sido negra, ¿cuál es la probabilidad de que la primera también lo fuera? P [ 1.ª /2.ª ] b) Sabiendo que la segunda bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de que la primera haya sido negra? P [ 1.ª /2.ª ] c) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera fuera verde siendo verde la segunda? P [1.ª /2.ª ]

8

a) P [1.ª

/2.ª

] =

P[ y ] 3/30 3 = = P [2.a ] 13/30 13

b) P [1.ª

/2.ª

]=

P[ y ] 1/30 1 = = P [2.a ] 8/30 8

c) P [1.ª

/2.ª

]=

P[ y ] 6/30 6 2 = = = P [2.a ] 9/30 9 3

Unidad 14. Cálculo de probabilidades

UNIDAD 14

Página 367 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR

Espacio muestral. Operaciones con sucesos 1 Di cuál es el espacio muestral correspondiente a las siguientes experiencias aleatorias. Si es finito y tiene pocos elementos, dilos todos, y si tiene muchos, descríbelo y di el número total. a) Extraemos una carta de una baraja española y anotamos el número. b) Extraemos una carta de una baraja española y anotamos el palo. c) Extraemos dos cartas de una baraja española y anotamos el palo de cada una. d) Lanzamos seis monedas distintas y anotamos el resultado. e) Lanzamos seis monedas distintas y anotamos el número de caras. a) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12} b) E = {OROS,

COPAS, ESPADAS, BASTOS}

c) Llamamos: O =

OROS;

C=

COPAS;

E=

ESPADAS;

B=

BASTOS.

Entonces: E = {(O, O), (O, C ), (O, E ), (O, B), (C, O), (C, C ), (C, E ), (C, B), (E, O), (E, C ), (E, E ), (E, B), (B, O), (B, C ), (B, E ), (B, B)} d) E tiene 26 = 64 sucesos elementales. Cada suceso elemental está compuesto por seis resultados que pueden ser cara o cruz: (x1, x2, x3, x4, x5, x6) xi puede ser cara o cruz. Por ejemplo: (C, +, C, C, +, C) es uno de los 64 elementos de E. e) E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} 2 Lanzamos un dado y una moneda. Los posibles resultados son (1, C), (1, +), (2, C)… a) Describe el espacio muestral con los doce elementos de los que consta. Sean los sucesos: A = “Sacar uno o dos en el dado” B = “Sacar + en la moneda” D = {(1, C), (2, +), (3, C), (3, +), (6, +)} Unidad 14. Cálculo de probabilidades

9

b) Describe los sucesos A y B mediante todos los elementos. c) Halla A 傼B, A 傽B, A 傼D '. a) E = {(1, C), (1, +), (2, C), (2, +), (3, C), (3, +), (4, C), (4, +), (5, C), (5, +), (6, C), (6, +)} b) A = a{(1, C), (1, +), (2, C), (2, +)} B = {(1, +), (2, +), (3, +), (4, +), (5, +), (6, +)} c) A « B = {(1, C), (1, +), (2, C), (2, +), (3, +), (4, +), (5, +), (6, +)} A » B = {(1, +), (2, +)} D' = {(1, +), (2, C), (4, C), (4, +), (5, C), (5, +), (6, C)} A « D' = {(1, C), (1, +), (2, C), (2, +), (4, C), (4, +), (5, C), (5, +), (6, C)} 3 En familias de tres hijos, se estudia la distribución de sus sexos. Por ejemplo (V, M, M) significa que el mayor es varón y los otros dos mujeres. ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral E ? Describe los siguientes sucesos: A = “La menor es mujer”, B = “El mayor es varón”. ¿En qué consiste A 傼B ? E tiene 23 = 8 elementos. A = {(V, V, M), (V, M, M,), (M, V, M), (M, M, M)} B = {(V, V, V), (V, V, M), (V, M, V), (V, M, M)} A « B = “O bien la menor es mujer, o bien el mayor es varón” = = {(V, V, M), (V, M, M,), (M, V, M), (M, M, M), (V, V, V), (V, M, V)} 4 A, B, y C son tres sucesos de un mismo espacio muestral. Expresa en función de ellos los sucesos: a) Se realiza alguno de los tres. b) No se realiza ninguno de los tres. c) Se realizan los tres. d) Se realizan dos de los tres. e) Se realizan, al menos, dos de los tres. a) A « B « C b) A' » B' » C' c) A » B » C d) (A » B » C' ) « (A » B' » C ) « (A' » B » C ) e) (A » B » C' ) « (A » B' » C ) « (A' » B » C ) « (A » B » C )

10

Unidad 14. Cálculo de probabilidades

UNIDAD 14 5 a) Expresa (A » B)' como unión de dos sucesos. b) Expresa (A « B)' como intersección de dos sucesos. a) (A » B)' = A' « B' b) (A « B)' = A' » B' 6 E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A « B = {2, 3, 4, 5} ¿Qué elementos formarán el suceso A' » B' ? A' » B' = (A « B)' = {1, 6} 7

A

B

a) Expresa A « B como unión de tres sucesos disjuntos. Puedes utilizar algunos de los siguientes: A', B', A – B, B – A, A » B b) A – B es igual a algunos de los siguientes sucesos. Di a cuáles: A » B, A » B', A' » B, A – (A » B) a) A « B = (A – B) « (A » B) « (B – A) b) A – B = A » B' A – B = A – (A » B)

Propiedades de la probabilidad 8 Sea U = {a1, a2, a3} el espacio de sucesos elementales de un experimento aleatorio. ¿Cuáles de estas funciones definen una función de probabilidad? Justifica la respuesta. a) P [a1] = 1/2

b) P [a1] = 3/4

P [a2] = 1/3

P [a2] = 1/4

P [a3] = 1/6

P [a3] = 1/4

c) P [a1] = 1/2

d) P [a1] = 2/3

P [a2] = 0

P [a2] = 1/3

P [a3] = 1/2

P [a3] = 1/3

a) P [a1] + P [a2] + P [a3] =

1 1 1 + + =1 2 3 6

Sí define una probabilidad, pues P [a1], P [a2] y P [a3] son números mayores o iguales que cero, y su suma es 1.

Unidad 14. Cálculo de probabilidades

11

b) P [a1] + P [a2] + P [a3] =

3 1 1 5 + + = >1 4 4 4 4

No define una probabilidad, pues la suma de los sucesos elementales no puede ser mayor que 1. c) P [a1] + P [a2] + P [a3] =

1 1 +0+ =1 2 2

Sí define una probabilidad, pues P [a1], P [a2] y P [a3] son números mayores o iguales que cero, y su suma es 1. d) P [a1] + P [a2] + P [a3] =

2 1 1 4 + + = >1 3 3 3 3

No define una probabilidad, pues la suma de los sucesos elementales no puede ser mayor que 1.

9 De dos sucesos A y B conocemos: P [A « B] = 0,83; P [A » B] = 0,35; P [B' ] = 0,6 Calcula P [B] y P [A]. P [B ] = 1 – P [B' ] = 1 – 0,6 = 0,4 P [A] = P [A « B] + P [A » B] – P [B ] = 0,83 + 0,35 – 0,4 = 0,78

10 Para ganar una mano de cartas debemos conseguir o bien ¿Qué probabilidad tenemos de ganar? P [AS « OROS] = P [AS] + P [OROS] – P [AS » OROS] =

AS

o bien

OROS.

4 10 1 13 + – = 40 40 40 40

11 Determina si son compatibles o incompatibles los sucesos A y B: P [A] = 1/4, P [B] = 1/2, P [A 傼B] = 2/3 Dos sucesos A y B son incompatibles cuando P [A » B ] = 0. Como: P [A « B ] = P [A] + P [B ] – P [A » B ] 2 1 1 1 = + – P [A » B ] 8 P [A » B ] = ?0 3 4 2 12 los sucesos A y B son compatibles.

12

Unidad 14. Cálculo de probabilidades

UNIDAD 14

Página 368 Probabilidades en experiencias compuestas 12 Extraemos dos cartas de una baraja española. Halla la probabilidad de que ambas sean copas. P [dos

COPAS]

= P [COPA y =

COPA]

= P [COPA la 1.a] · P [COPA la 2.a/COPA la 1.a] =

10 9 3 · = 40 39 52

(Son dos experiencias dependientes). 13 Tenemos dos barajas españolas y extraemos un naipe de cada una. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos copas? Las dos experiencias son independientes. P [dos

COPAS]

= P [COPA] · P [COPA] =

10 10 1 · = 40 40 16

14 Extraemos tres cartas de una baraja española. Halla la probabilidad de que las tres sean figuras (S, C, R). Si se consideran P [tres

FIGURAS]

FIGURAS

a

SOTA, CABALLO

y

REY,

en la baraja hay 12

FIGURAS.

= P [F en 1.a] · P [F en 2.a/F en 1.a] · P [F en 3.a/F en 1.a y 2.a] = =

12 11 10 11 · · = 40 39 38 494

15 Lanzamos cuatro monedas. Calcula la probabilidad de obtener: a) Ninguna cara. b) Alguna cara. a) P [ninguna

CARA]

= P [cuatro =

b) P [alguna

CARA]

CRUCES]

= P [+] · P [+] · P [+] · P [+] =

1 1 1 1 1 · · · = 2 2 2 2 16

= 1 – P [ninguna

CARA]

=1–

1 15 = 16 16

16 Extraemos dos cartas de una baraja española. ¿Cuál es la probabilidad de que alguna de ellas sea AS ? ¿Cuál es la probabilidad de que solo una de las dos sea AS ? P [algún

AS]

= 1 – P [ningún =1–

AS]

= 1 – P [no

AS

en 1.a] · P [no

AS

en 2.a/no

AS

en 1.a] =

36 35 21 5 · =1– = 40 39 26 26

Unidad 14. Cálculo de probabilidades

13

P [un

AS]

= P [AS en 1.a y no

AS

en 2.a] + P [no

AS

en 1.a y

AS

en 2.a] =

= P [AS en 1.a] · P [no AS en 2.a/AS en 1.a] + P [no AS en 1.a] · P [AS en 2.a/no AS en 1.a] = =

4 36 36 4 12 · + · = 40 39 40 39 65

17 Lanzamos dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de que se obtenga algún 5? ¿Cuál es la probabilidad de que solo uno de los dos sea 5? P [algún 5] = 1 – P [ningún 5] = 1 – P [no 5 y no 5] = 1 – P [no 5]2 = 1 – P [un 5] = P [5] · P [no 5] + P [no 5] · P [5] = 2 ·

(

() 5 6

2

=

11 36

)

1 5 5 · = 6 6 18

18 Tenemos dos bolsas con bolas y un dado: I

II

Lanzamos el dado. Si se obtiene 1 ó 2, extraemos una bola de I. Si sale 3, 4, 5 ó 6, extraemos una bola de II. Halla las siguientes probabilidades: a) P [3 en el dado y

]

b) P [extraer bola de II y que sea c) P [extraer bola de I y que sea d) P [extraer bola

]

e) P [extraer bola

]

f) P [extraer bola

]

] ]

1 — 3

2 — 3

{3, 4, 5, 6}

a) P [3 y R] = P [3] · P [R/3] =

1 2 1 · = 6 5 15

b) P [II y R] = P [II] · P [R/II] =

2 2 4 · = 3 5 15

c) P [I y R] = P [I] · P [R/I] =

14

{1, 2}

1 3 3 1 · = = 3 7 21 7

Unidad 14. Cálculo de probabilidades

UNIDAD 14

d) P [R] = P [I y R] + P [II y R] =

1 4 43 + = 7 15 105

e) P [V] = P [I y V] + P [II y V] = P [I] · P [V/I] + P [II] · P [V/II] = =

1 2 2 3 2 6 52 · + · = + = 3 7 3 5 21 15 105

f) P [N] = P [I y N] + P [II y N] = P [I] · P [N/I] + P [II] · P [N/II] =

1 2 2 2 · + ·0= 3 7 3 21

Se puede comprobar que P [R] + P [V] + P [N] = 1. 19 Tomamos dos cajas: I

II

. Sacamos una bola de alguna de ellas.

a) Calcula la probabilidad de que la bola sea roja. b) Sacamos la bola y vemos que es roja. Calcula la probabilidad de haberla sacado de I. 1

1 — 2

I

1 — 2

1/2 II

P [I y P [II y

] = P[I] · P [ /I] =

1 1 ·1= 2 2

] = P [II] · P [ /II] =

a) P [ ] = P [I y b) P [I/ ] =

] + P [II y

1 1 1 · = 2 2 4 ]=

1 1 3 + = 2 4 4

P [I y ] 1/2 2 = = P[ ] 3/4 3

PARA RESOLVER 20 En una caja hay seis bolas numeradas, tres de ellas con números positivos y las otras tres con números negativos. Se extrae una bola y después otra, sin reemplazamiento. a) Calcula la probabilidad de que el producto de los números obtenidos sea positivo. b) Calcula la probabilidad de que el producto de los números obtenidos sea negativo. Hacemos un diagrama en árbol:

Unidad 14. Cálculo de probabilidades

15

⊕

2/5

⊕

1 2 2 P [⊕ ⊕] = — · — = — 2 5 10

3/5

−

1 3 3 P [⊕ − ] = — · — = — 2 5 10

3/5

⊕

1 3 3 P [ − ⊕] = — · — = — 2 5 10

−

1 2 2 P [− −] = — · — = — 2 5 10

1/2

1/2

− 2/5

2 2 4 a) P [ + + ] + P [ – – ] = + = = 0,4 10 10 10 3 3 6 b) P [ + – ] + P [ – + ] = + = = 0,6 10 10 10 21 Se lanza un dado dos veces. Calcula la probabilidad de que en la segunda tirada se obtenga un valor mayor que en la primera. En total hay 36 posibles resultados. De estos, en 6 casos los dos números son iguales; y, en los otros 30, bien el primero es mayor que el segundo, o bien el segundo es mayor que el primero (con la misma probabilidad). Luego, hay 15 casos en los que el resultado de la segunda tirada es mayor que el de la primera. Por tanto, la probabilidad pedida es: P=

15 5 = 36 12

22 Se elige al azar un número entre el 1 000 y el 5 000, ambos incluidos. Calcula la probabilidad de que sea capicúa (se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda). Razona la respuesta. — Entre 1 000 y 5 000 hay 4 · 10 = 40 números capicúas (pues la primera cifra puede ser 1, 2, 3 ó 4; la segunda, cualquier número del 0 al 9; la tercera es igual que la segunda; y la cuarta, igual que la primera). — Entre 1 000 y 5 000 hay 4 001 números en total. Por tanto, la probabilidad pedida es: 40 P= ≈ 0,009997 4 001 23 De los sucesos A y B se sabe que: P [A] =

2, 1 1 P [B] = y P [A' 傽B' ] = . 5 3 3

Halla P [A « B] y P [A » B]. • P [A' » B' ] = P [(A « B)'] = 1 – P [A « B ] 1 2 = 1 – P [A « B ] 8 P [A « B ] = 3 3

16

Unidad 14. Cálculo de probabilidades

UNIDAD 14 • P [A « B ] = P [A] + P [B ] – P [A » B ] 2 2 1 = + – P [A » B ] 3 5 3 P [A » B ] =

1 15

24 Sean A y B dos sucesos tales que: 3 2 P [ A 傼B] = P [ B '] = 4 3

1 4

P [ A 傽B] =

Halla P [ B ], P [ A ], P [ A' » B ]. P [B] = 1 – P [B' ] = 1 –

2 1 = 3 3

P [A « B ] = P [A] + P [B ] – P [A » B ] 3 1 1 2 = P [A] + – 8 P [A] = 4 3 4 3 P [A' » B ] = P [B ] – P [A » B ] =

1 1 1 – = 3 4 12

25 Sean A y B dos sucesos de un espacio de probabilidad, de manera que P [A] = 0,4, P [B] = 0,3 y P [A 傽B ] = 0,1. Calcula razonadamente: 1) P [A 傼B ]

2) P [A' 傼B']

3) P [A/B ]

4) P [A' 傽B' ]

1) P [A 傼 B ] = P [A] + P [B ] – P [A 傽 B ] = 0,4 + 0,3 – 0,1 = 0,6 2) P [A' 傼 B' ] = P [(A 傽 B)' ] = 1 – P [A 傽 B ] = 1 – 0,1 = 0,9 3) P [A/B ] =

P [A 傽 B ] 0,1 1 = = P [B ] 0,3 3

4) P [A' 傽 B' ] = P [(A 傼 B )' ] = 1 – P [A 傼 B ] = 1 – 0,6 = 0,4 26 Un estudiante hace dos pruebas en un mismo día. La probabilidad de que pase la primera prueba es 0,6. La probabilidad de que pase la segunda es 0,8 y la de que pase ambas es 0,5. Se pide: a) Probabilidad de que pase al menos una prueba. b) Probabilidad de que no pase ninguna prueba. c) ¿Son las pruebas sucesos independientes? d) Probabilidad de que pase la segunda prueba en caso de no haber superado la primera. Tenemos que: P [pase 1.a] = 0,6; P [pase 2.a] = 0,8; P [pase 1.a » pase 2.a] = 0,5

Unidad 14. Cálculo de probabilidades

17

a) P [pase 1.a « pase 2.a] = P [pase 1.a] + P [pase 2.a] – P [pase 1.a » pase 2.a] = = 0,6 + 0,8 – 0,5 = 0,9 b) 1 – P [pase al menos una] = 1 – 0,9 = 0,1 c) P [pase 1.a] · P [pase 2.a] = 0,6 · 0,8 = 0,48 P [pase 1.a » pase 2.a] = 0,5 ≠ 0,48 No son independientes. P [pase 2.a » no pase 1.a] = P [no pase 1.a]

d) P [pase 2.a/no pase 1.a] = =

P [pase 2.a] – P [pase 1.a » pase 2.a] = P [no pase 1.a]

=

0,8 – 0,5 0,3 3 = = = 0,75 1 – 0,6 0,4 4

Página 369 27 En una cierta ciudad, el 40% de la población tiene cabellos castaños, el 25% tiene los ojos castaños y el 15% tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al azar: a) Si tiene cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que también tenga ojos castaños? b) Si tiene ojos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que tenga cabellos castaños? c) ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños? ☛ Usa una tabla como la siguiente: OJOS CAST. CAB. CAST.

OJOS NO CAST.

15

40

25

100

CAB. NO CAST.

Hacemos la tabla:

a)

18

OJOS CAST.

OJOS NO CAST.

CAB. CAST.

15

25

40

CAB. NO CAST.

10

50

60

25

75

100

15 3 = = 0,375 40 8

b)

15 3 = = 0,6 25 5

c)

50 1 = = 0,5 100 2

Unidad 14. Cálculo de probabilidades

UNIDAD 14

28 En una comarca hay dos periódicos: El Progresista y El Liberal. Se sabe que el 55% de las personas de esa comarca lee El Progresista (Pr), el 40% lee El Liberal (L) y el 25% no lee ninguno de ellos. Expresa en función de Pr y L estos sucesos: a) Leer los dos periódicos.

b Leer solo El Liberal.

c) Leer solo El Progresista.

d) Leer alguno de los dos periódicos.

e) No leer ninguno de los dos.

f) Leer solo uno de los dos.

g) Calcula las probabilidades de: Pr, L, Pr 傽L, Pr 傼L, Pr – L, L – Pr, (L 傼Pr )', (L 傽Pr )'. h) Sabemos que una persona lee El Progresista. ¿Qué probabilidad hay de que, además, lea El Liberal ? ¿Y de que no lo lea? Tenemos que: P [Pr ] = 0,55; P [L ] = 0,4; P [Pr' » L' ] = 0,25 a) P [Pr' » L' ] = P [(Pr « L )' ] = 1 – P [Pr « L ] 0,25 = 1 – P [Pr « L ] 8 P [Pr « L ] = 1 – 0,25 = 0,75 P [Pr « L ] = P [Pr] + P [L ] – P [Pr » L ] 0,75 = 0,55 + 0,4 – P [Pr » L ] 8 P [Pr » L ] = 0,2 P [leer los dos] = P [Pr » L ] = 0,2 b) P [L ] – P [Pr » L ] = 0,4 – 0,2 = 0,2 c) P [Pr] – P [Pr » L ] = 0,55 – 0,2 = 0,35 d) P [Pr « L ] = 0,75 e) P [Pr' » L' ] = 0,25 f) P [Pr » L' ] + P [Pr' » L ] = 0,35 + 0,2 = 0,55 g) P [Pr] =0,55; P [L ] = 0,4; P [Pr » L ] = 0,2; P [Pr « L ] = 0,75 P [Pr – L ] = P [Pr] – P [Pr » L ] = 0,35 P [L – Pr] = P [L ] – P [Pr » L ] = 0,2 P [(L « P r)' ] = P [L ' » P r' ] = 0,25 P [(L » P r)' ] = 1 – P [L » P r] = 1 – 0,2 = 0,8 h) P [L/P r] =

P [L » P r] 0,2 20 4 = = = ≈ 0,36 P [P r] 0,55 55 11

P [L'/P r] =

P [L ' » P r] 0,35 35 7 = = = ≈ 0,64 P [P r] 0,55 55 11

(o bien: P [L'/P r] = 1 – P [L/P r] = 1 – 114 = 117 ) Unidad 14. Cálculo de probabilidades

19

29 Tenemos dos urnas con estas composiciones:

Extraemos una bola de cada urna. ¿Cuál es la probabilidad de que sean del mismo color? ¿Y la probabilidad de que sean de distinto color? P [mismo color] = =

6 5 4 6 2 7 · + · + · = 12 18 12 18 12 18 30 24 14 68 17 + + = = 216 216 216 216 54

P [distinto color] = 1 – P [mismo color] = 1 –

17 37 = 54 54

30 Una clase se compone de veinte alumnos y diez alumnas. La mitad de las alumnas y la mitad de los alumnos aprueban las matemáticas. Calcula la probabilidad de que, al elegir una persona al azar, resulte ser: a) Alumna o que aprueba las matemáticas. b) Alumno que suspenda las matemáticas. c) Sabiendo que es alumno, ¿cuál es la probabilidad de que apruebe las matemáticas? d) ¿Son independientes los sucesos

y

ALUMNO

APRUEBA MATEMÁTICAS?

☛ Haz una tabla de contingencia. Hacemos la tabla de contingencia: ALUMNOS

ALUMNAS

TOTAL

APRUEBAN MAT.

10

5

15

SUSPENDEN MAT.

10

5

15

TOTAL

10

10

20

a) P [alumna « aprueba mat.] = P [alumna] + P [aprueba mat.] – – P [alumna » aprueba mat.] = = b) P [alumno » suspende mat.] = c) P [aprueba mat./alumno] =

20

10 15 5 20 2 + – = = 30 30 30 30 3 10 1 = 30 3

10 1 = 20 2

Unidad 14. Cálculo de probabilidades

UNIDAD 14

d) Hay que ver si: P [alumno » aprueba mat.] = P [alumno] · P [aprueba mat.] Calculamos cada una: P [alumno » aprueba mat.] = 20 2 = 30 3

P [aprueba mat.] =

15 1 = 30 2

° § § ¢ § § £

P [alumno] =

10 1 = 30 3

P [alumno] · P [aprueba mat.] =

2 1 1 · = 3 2 3

Por tanto, sí son independientes. 31 Un avión tiene cinco bombas. Se desea destruir un puente. La probabilidad de destruirlo de un bombazo es 1/5. ¿Cuál es la probabilidad de que se destruya el puente si se lanzan las cinco bombas? P [no dé ninguna de las 5 bombas] =

( 45 ) = 0,8 = 0,32768 5

5

P [dé alguna de las 5] = 1 – 0,85 = 0,67232 32 Se sacan dos cartas de una baraja española y se tira un dado. ¿Cuál es la probabilidad de que las cartas sean sotas y el número del dado sea par? P [1.a

SOTA

y 2.a

SOTA

y

PAR

en el dado] =

4 3 1 12 1 · · = = 40 39 2 3 120 260

33 Un producto está formado de dos partes: A y B, que se fabrican independientemente. La probabilidad de un defecto en A es 0,06 y la probabilidad de un defecto en B es 0,07. ¿Cuál es la probabilidad de que el producto no sea defectuoso? P [ningún defecto] = P [no defecto en A] · P [no defecto en B] = = (1 – 0,06) · (1 – 0,07) = 0,94 · 0,93 = 0,8742 34 Una urna A contiene 6 bolas blancas y 4 negras. Otra urna B tiene 5 blancas y 9 negras. Elegimos, a cara o cruz, una urna y extraemos dos bolas, que resultan ser blancas. Halla la probabilidad de que la urna elegida haya sido la A. Hacemos un diagrama en árbol:

1/2 1/2

A 6b 4n

B 5b 9n

6 ·— 5 — 10 9 5 ·— 4 — 14 13

P [2b] =

Unidad 14. Cálculo de probabilidades

2b

1 ·— 6 ·— 5 =— 1 P [A y 2b] = — 2 10 9 6

2b

1 ·— 5 ·— 4 =— 5 P [B y 2b] = — 2 14 13 91

1 5 121 + = 6 91 546

21

La probabilidad pedida será: P [A/2b] =

P [A y 2b] 1/6 91 = = = 0,752 P [2b] 121/546 121

35 Una caja A contiene dos bolas blancas y dos rojas, y otra caja B contiene tres blancas y dos rojas. Se pasa una bola de A a B y después se extrae una bola de B, que resulta blanca. Determina la probabilidad de que la bola trasladada haya sido blanca. 2/4

b

B

4b 2r

4/6

2 4 1 b; P [1.ª b y 2.ª b] = — · — = — 4 6 3

2/4

r

B

3b 3r

3/6

2 3 1 b; P [1.ª r y 2.ª b] = — · — = — 4 6 4

A 2b 2r

P [2.a b] =

1 1 7 + = 3 4 12

Por tanto, la probabilidad pedida será: P [1.a b/2.a b] =

P [1.a b y 2.a b] 1/3 4 = = P [2.a b] 7/12 7

36 Una urna A contiene 5 bolas blancas y 3 negras. Otra urna B, 6 blancas y 4 negras. Elegimos una urna al azar y extraemos dos bolas, que resultan ser negras. Halla la probabilidad de que la urna elegida haya sido la B.

1/2 1/2

3 2 —·— 8 7

A 5b 3n

4 3 —·— 10 9

B 6b 4n

2n

1 3 2 3 P [A y 2n] = — · — · — = — 2 8 7 56

2n

1 4 3 1 P [B y 2n] = — · — · — = — 2 10 9 15

P [2n] =

3 1 101 + = 56 15 840

Por tanto, la probabilidad pedida será: P [B y 2n] 1/15 56 P [B/2n] = = = P [2n] 101/840 101

Página 370 37

A

B

Lanzamos las dos monedas. Si salen 2 caras, extraemos una bola de la caja A, y si no, la extraemos de B. Calcula:

22

Unidad 14. Cálculo de probabilidades

UNIDAD 14

a) P [ BLANCA /A]

b) P [ BLANCA /B]

c) P [ A y BLANCA ]

d) P [ B y BLANCA ]

e) P [ BLANCA ]

f ) P [ NEGRA]

g) Sabiendo que la bola obtenida ha sido blanca, ¿cuál es la probabilidad de haber escogido la urna B?

a) P [BLANCA/A] =

3 = 0,3 10

c) P [ A y

=

BLANCA ]

1 — 4

c, c A

3 — 4

no cc B

1 3 3 · = 4 10 40

e) P [ BLANCA ] = P [ A y

BLANCA ]

+ P[B y

f) P [ NEGRA] = 1 – P [ BLANCA ] = 1 – O bien: P [ NEGRA] = g) P [ B y

BLANCA ]

=

b) P [ BLANCA /B] =

9 = 0,9 10

d) P [ B y

BLANCA ]

=

BLANCA ]

3 27 30 3 + = = 40 40 40 4

=

3 9 27 · = 4 10 40

3 1 = 4 4

1 7 3 1 7 3 10 1 · + · = + = = 4 10 4 10 40 40 40 4

P [B y BLANCA] 27/40 27 9 = = = = 0,9 P [BLANCA] 30/40 30 10

38 Tenemos las mismas urnas del ejercicio anterior. Sacamos una bola de A y la echamos en B y, a continuación, sacamos una bola de B. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bola sea negra? b) Sabiendo que la segunda bola ha sido negra, ¿cuál es la probabilidad de que también la primera fuese negra? a) P [2.a

NEGRA]

= P [1.a =

b) P [1.a

BLANCA

y 2.a

NEGRA]

+ P [1.a

NEGRA

y 2.a

NEGRA]

=

3 1 7 2 3 14 17 · + · = + = 10 11 10 11 110 110 110

NEGRA/2.a NEGRA]

= =

P [1.a

NEGRA y 2.a NEGRA] P [2.a NEGRA]

=

7/10 · 2/11 = 17/110

14/110 14 = 17/110 17

39 En cierto país donde la enfermedad X es endémica, se sabe que un 12% de la población padece dicha enfermedad. Se dispone de una prueba para detectar la enfermedad, pero no es totalmente fiable, ya que:

Unidad 14. Cálculo de probabilidades

23

• da positiva en el 90% de los casos de personas realmente enfermas; • da positiva en el 5% de personas sanas. ¿Cuál es la probabilidad de que esté sana una persona a la que la prueba le ha dado positiva? 0,9

0,12

ENFERMO

0,88

NO ENFERMO

0,05

POSITIVO

P [ENF. y POSITIVO] = 0,12 · 0,9 = 0,108

POSITIVO

P [NO ENF. y POSITIVO] = 0,88 · 0,05 = 0,044

P [POSITIVO] = 0,108 + 0,044 = 0,152 La probabilidad pedida será: P [NO

ENF./POSITIVO]

=

P [NO ENF. Y POSITIVO] 0,044 = = 0,289 P [POSITIVO] 0,152

40 En tres máquinas, A, B y C, se fabrican piezas de la misma naturaleza. El porcentaje de piezas que resultan defectuosas en cada máquina es, respectivamente, 1%, 2% y 3%. Se mezclan 300 piezas, 100 de cada máquina, y se elige una pieza al azar, que resulta ser defectuosa. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido fabricada en la máquina A? A

1/100

DEFECTUOSA

P [A y

DEF.]

1 1 1 =—·—=— 3 100 300

DEFECTUOSA

P [B y

DEF.]

1 2 2 =—·—=— 3 100 300

DEFECTUOSA

P [C y

DEF.]

1 3 3 =—·—=— 3 100 300

1/3 1/3

B

2/100

1/3

C

3/100

P [DEF.] =

1 2 3 6 + + = 300 300 300 300

La probabilidad pedida será: P [A/DEF.] =

41

P [A y DEF.] 1/300 1 = = P [DEF.] 6/300 6

Extraemos sucesivamente tres bolas sin reemplazamiento. Las dos últimas son blancas. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera fuera blanca? 3 — 5

P[

y

2 1 1 ]=—·—=— 4 3 6

2 — 5

P[

y

3 2 1 ]=—·—=— 4 3 2

P [las dos últimas blancas] = P [1.a blanca] · P [2 últimas blancas/1.a blanca/] + 3 1 2 1 3 + P [1.a negra] · P [2 últimas blancas/1.a negra] = · + · = 5 6 5 2 10

24

Unidad 14. Cálculo de probabilidades

UNIDAD 14

P [1.a

/2.a y 3.a

P [1.a /2.a y 3.a P [2.a y 3.a ]

]=

]

;=

(3/5) · (1/6) 1 = 3/10 3

OTRA RESOLUCIÓN

P[ P[

P [1.a

y y

y y

3 2 1 1 ° · · = 5 4 3 10 §§ P [– y 2 3 2 1 ¢§ ]= · · = 5 4 3 5 §£ ]=

/2.a y 3.a

]=

P[ y P [– y

y y

] ]

y

=

]=

1 1 3 + = 10 5 10

1/10 1 = 3/10 3

CUESTIONES TEÓRICAS 42 Sean A y B dos sucesos tales que P [A] = 0,40; P [B/A] = 0,25 y P [B] = b. Halla: a) P [A 傽B] b) P [A 傼B] si b = 0,5. c) El menor valor posible de b. d) El mayor valor posible de b. a) P [A » B ] = P [A] · P [B/A] = 0,40 · 0,25 = 0,1 b) P [A « B ] = P [A] + P [B ] – P [A » B ] = 0,40 + 0,5 – 0,1 = 0,8 c) El menor valor posible de b es P [B ] = P [A » B ], es decir, 0,1. d) El mayor valor posible de b es: 1 – (P [A] – P [A » B ]) = 1 – (0,4 – 0,1) = 0,7 43 Si la probabilidad de que ocurran dos sucesos a la vez es p, ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno de los dos no ocurra? Razónalo. Si P [A » B ] = p, entonces: P [A' « B' ] = P [(A » B )' ] = 1 – P [A » B ] = 1 – p 44 Razona la siguiente afirmación: Si la probabilidad de que ocurran dos sucesos a la vez es me-nor que 1/2, la suma de las probabilidades de ambos (por separado), no puede exceder de 3/2. P [A] + P [B ] = P [A « B ] + P [A » B ] < 1 + pues P [A « B ] ≤ 1 y P [A » B ] <

Unidad 14. Cálculo de probabilidades

1 3 = 2 2

1 . 2

25

45 Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatorio. ¿Es posible que p sea una probabilidad si: P [A] =

2 1 3 , P [B] = y P [A' 傽B'] = ? 5 5 10

P [A' » B' ] = P [(A « B )' ] = 1 – P [A « B ) =

3 7 8 P [A « B ] = 10 10

Por otra parte: P [A « B ] = P [A] + P [B ] – P [A » B ] 7 2 1 –1 = + – P [A » B ] 8 P [A » B ] = 10 5 5 10 Es imposible, pues una probabilidad no puede ser negativa.

46 Sea A un suceso con 0 Ì P [A] Ì 1. a) ¿Puede ser A independiente de su contrario A'? b) Sea B otro suceso tal que B å A. ¿Serán A y B independientes? c) Sea C un suceso independiente de A. ¿Serán A y C' independientes? Justifica las respuestas. a) P [A] = p ? 0; P [A' ] = 1 – p ? 0 P [A] · P [A' ] = p (1 – p) ? 0 P [A » A' ] = P [Ö] = 0 No son independientes, porque P [A » A' ] ? P [A] · P [A' ]. b) P [A » B ] = P [B] ¿P [A] · P [B ] = P [B ]? Esto solo sería cierto si: • P [A] = 1, lo cual no ocurre, pues P [A] < 1. • P [B ] = 0. Por tanto, solo son independientes si P [B ] = 0. c) A independiente de C 8 P [A » C ] = P [A] · P [C ] P [A » C' ] = P [A – (A » C )] = P [A] – P [A » C ] = = P [A] – P [A] · P [C ] = P [A] (1 – P [C ]) = P [A] · P [C' ] Por tanto, A y C' son independientes.

26

Unidad 14. Cálculo de probabilidades

UNIDAD 14

47 Al tirar tres dados, podemos obtener suma 9 de seis formas distintas: 126, 135, 144, 225, 234, 333 y otras seis de obtener suma 10: 136, 145, 226, 235, 244, 334 Sin embargo, la experiencia nos dice que es más fácil obtener suma 10 que suma 9. ¿Por qué? 1, 2, 6; 1, 3, 5; 2, 3, 4 8 cada uno da lugar a 3! formas distintas. Es decir: 3 · 3! = 3 · 6 = 18 1, 4, 4; 2, 2, 5 8 cada uno da lugar a 3 formas distintas. Es decir: 2 · 3 = 6 18 + 6 + 1 = 25 formas distintas de obtener suma 9. 25 P [suma 9] = 25 = 3 216 6 1, 3, 6; 1, 4, 5; 2, 3, 5 8 6 · 3 = 18 formas 2, 2, 6; 2, 4, 4; 3, 3, 4 8 3 · 3 = 9 formas 18 + 9 = 27 formas distintas de obtener suma 10. P [suma 10] =

27 216

Está claro, así, que P [suma 10] > P [suma 9]. 48 Demuestra la propiedad P [ A « B] = P [ A] + P [ B] – P [ A » B] descomponiendo el suceso A « B en tres sucesos disjuntos. A A – (A » B)

B B – (A » B)

P [A « B] = P [A – (A » B )] + P [A » B] + P [B – (A » B )] = = P [A] – P [A » B] + P [A » B] + P [B ] – P [A » B] = = P [A] + P [B] – P [A » B]

Página 371 PARA PROFUNDIZAR 49 Un hombre tiene tiempo para jugar a la ruleta 5 veces, a lo sumo. Cada apuesta es de 1 euro. El hombre empieza con 1 euro y dejará de jugar cuando pierda el euro o gane 3 euros. Unidad 14. Cálculo de probabilidades

27

a) Halla el espacio muestral de los resultados posibles. b) Si la probabilidad de ganar o perder es la misma en cada apuesta, ¿cuál es la probabilidad de que gane 3 euros? a) Hacemos un esquema: 1(3) FIN

GGG

1(2)

1(2)

1(3) FIN → GGPGG –1(1) FIN → GGPGP

–1(1) –1(0) 1 1(2)

1(1) FIN → GGPPG –1(–1) FIN → GGPPP 1(3) FIN → GPGGG –1(1) FIN → GPGGP

1(1) –1(0)

–1(0)

1(1) FIN → GPGPG –1(–1) FIN → GPGPP

–1(–1) FIN

GPP

–1(–1) FIN

P

El espacio muestral sería: E = {GGG, GGPGG, GGPGP, GGPPG, GGPPP, GPGGG, GPGGP, GPGPG, GPGPP, GPP, P} donde G significa que gana esa partida y P que la pierde. b) Por el esquema anterior, vemos que gana 3 euros con: GGG 8 probabilidad =

1 1 1 1 · · = 2 2 2 8

( 12 ) = 321 1 1 GPGGG 8 probabilidad = ( ) = 2 32

GGPGG 8 probabilidad =

5

5

Por tanto: P [gane 3 euros] =

1 1 1 3 + + = = 0,1875 8 32 32 16

50 En una baraja de 40 cartas, se toman tres cartas distintas. Calcula la probabilidad de que las tres sean números distintos. P [3 números distintos] = 1 · P [2.a dist. de la 1.a] · P [3.a dist. de la 1.a y de la 2.a] = =1·

28

36 32 192 · = 39 38 247 Unidad 14. Cálculo de probabilidades

UNIDAD 14

51 Escogidas cinco personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que al menos dos de ellas hayan nacido en el mismo día de la semana (es decir, en lunes, martes, etc.)? P [ninguna coincidencia] = 1 · P [2.a en distinto día que la 1.a] · … … · P [5.a en distinto día que 1.a, 2.a, 3.a y 4.a] = =1·

6 5 4 3 360 · · · = = 0,15 7 7 7 7 2 401

P [alguna coincidencia] = 1 – P [ninguna coincidencia] = 1 – 0,15 = 0,85 52 Una moneda se arroja repetidamente hasta que sale dos veces consecutivas el mismo lado. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos: a) El experimento consta exactamente de 4 lanzamientos. b) El experimento consta exactamente de n lanzamientos, con 2 Ì n é N. c) El experimento consta, como máximo, de 10 lanzamientos. a) Consta de cuatro lanzamientos si ocurre: C + C C o bien + C + + Por tanto: P [cuatro lanzamientos] = b) P [n lanzamientos] =

( 12 ) + ( 12 ) = 2 · ( 12 ) = ( 12 ) = 18 4

4

4

3

( 12 )

n–1

c) P [10 o menos lanzamientos] = P [2 lanzamientos] + P [3 lanzamientos] + + P [4 lanzamientos] + … + P [10 lanzamientos] =

( 12 ) + ( 12 ) + ( 12 ) + … + ( 12 ) 2

3

9

Nos queda la suma de 9 términos de una progresión geométrica con: a1 =

1 2

y r=

1 2

Por tanto:

( 12 ) + ( 12 ) + ( 12 ) + … + ( 12 ) = 1 1 511 = 1/2 – (1/2) · 1/2 = 1/2 [1 – (1/2) ] = 1 – ( ) = 1 – = = 0,998 2 512 512 1 – 1/2 1/2 2

P [10 o menos lanzamientos] = 9

3

9

9

9

53 Tenemos dos urnas: A

B

A cara o cruz se elige una. Se extrae una bola, se mira y se devuelve. Se extrae otra bola. Ambas extracciones son la bola blanca. ¿Cuál es la probabilidad de, en la siguiente extracción, volver a sacar bola blanca? Unidad 14. Cálculo de probabilidades

29

Han salido dos bolas blancas. Empecemos por calcular la probabilidad de que la urna sea A y la probabilidad de que sea B: A

1 — 2

P[

y

]=1

P [A y

1 1 ]=—·1=— 2 2

y

P[ 1 — 2

P[

B

1 1 1 ]=—·—=— 2 2 4

y

P [B y

1 1 1 ]=—·—=— 2 4 8

y

y

1 1 5 ]=—+—=— 2 8 8

Ha salido dos veces bola blanca. ¿Qué probabilidad hay de que estemos en A? ¿Y en B?: P [A y y ] 1/2 4 P [A/2 blancas] = = = P[ y ] 5/8 5 P [B/2 blancas] =

P [B y y ] 1/8 1 = = P[ y ] 5/8 5

Ha salido bola blanca dos veces: La urna es A

4 — 5

P [otra vez

]=1

4 4 ]=—·1=— 5 5

P [A y

P[ 1 — 5

P [otra vez

La urna es B

1 ]=— 2

1 1 1 ]=—·—=— 5 2 10

P [B y

4 1 9 ]=—+—=— 5 10 10

Página 317 AUTOEVALUACIÓN 1. Después de una partida de cartas quedan varias de ellas sobre la mesa. Hacemos con estas un montoncito en el cual se cumple que: P [COPAS] = 0,3; P [AS] = 0,2; P [ni COPAS ni AS] = 0,6 a) ¿Está entre estas cartas el AS de COPAS? En caso afirmativo, ¿cuál es su probabilidad? b) ¿Cuántas cartas hay en ese montoncito? El

AS

de

P [AS »

COPAS

COPAS]

es

COPAS

P [AS «

COPAS

COPAS]

30

AS

Por tanto:

AS

de

COPAS

COPAS]

=

AS

»

COPAS

= 0,2 + 0,3 + P [AS «

COPAS]

COPAS]:

ni

AS]

= P [COPAS' »

AS']

= P [(COPAS «

AS)']

= 1 – P [COPAS «

AS]

= 1 – 0,6 = 0,4

Por tanto, P [AS » Sí está el

AS.

= P [AS] + P [COPAS] – P [AS «

Calculemos P [AS « a) 0,6 = P [ni

y

de

COPAS]

COPAS

= 0,2 + 0,3 – 0,4 = 0,1 > 0

y su probabilidad es 0,1. Unidad 14. Cálculo de probabilidades

UNIDAD 14

b) Si la probabilidad de que salga el dan solo 10 cartas.

AS

de

COPAS

es 0,1 =

1 , entonces es que que10

2. 1 1 2 1 1 2 2 2 1 1

TOTAL

1

Pasa a una tabla como la de la derecha el contenido de la urna de la izquierda. Di el valor de las siguientes probabilidades y explica su significado donde se pida:

2 TOTAL

a) P [ ], P [ ], P [ ], P [1], P [2] b) P [

» 1], P [

c) P [

/ 1], P [

/ 1], P [1 /

]. Significado.

/ 1]

d) El suceso “1” es independiente con por qué.

,

o

. ¿Con cuál de ellos? Explica

TOTAL

1

3

1

2

6

2

2

1

1

4

TOTAL

5

2

3

10

a) P [ ] = P [1] = b) • P [ • P[

5 1 2 1 3 = , P[ ] = = , P[ ] = 10 2 10 5 10

6 3 4 2 = , P [2] = = 10 5 10 5 » 1] = /1] =

3 . Significa P [bola roja con el número 1]. 10

3 1 = . 6 2

Sabemos que la bola tiene un 1. ¿Cuál es la probabilidad de que sea roja? 3 • P [1/ ] = . 5 Sabemos que la bola es roja. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga un 1? c) P [

/1] =

1 , P[ 6

/1] =

2 1 = 6 3

d) El suceso 1 es independiente respecto a

porque P [

No es independiente respecto a porque P [ respecto a porque P [ /1] ? P [ ]. Unidad 14. Cálculo de probabilidades

/1] = P [ ] =

1 . 2

/1] ? P [ ], ni es independiente

31

3. P [ R] = 0,27; P [ S'] = 0,82; P [ R « S] = 0,4. Halla P [ S], P [ R » S], P [ (R « S)'] y P [ R' « S']. P [S] = 1 – P [S'] = 1 – 0,82 = 0,18 P [R » S] = P [R] + P [S] – P [R « S] = 0,27 + 0,18 – 0,4 = 0,05 P [(R « S)'] = 1 – P [R « S] = 1 – 0,4 = 0,6 P [R' « S'] = P [(R » S)'] = 1 – P [R » S] = 1 – 0,05 = 0,95 4. ¿Podemos asegurar que P [ {1, 2}] < P [ {1, 2, 7}] ? Razona la respuesta. Podemos asegurar que P [{1, 2}] Ì P [ {1, 2, 7}] . Pero podría ser que P [7] = 0, en cuyo caso P [ {1, 2}] = P [ {1, 2, 7}] . Por tanto, no podemos asegurar que P [ {1, 2}] < P [ {1, 2, 7}] . 5.

A

B

Sacamos una bola de A y la metemos en B. Removemos. Sacamos una bola de B. Halla: a) P [ 1.ª

y 2.ª

], P [ 2.ª

/ 1.ª

]

b) P [ 1.ª

y 2.ª

], P [ 2.ª

/ 1.ª

], P [ 2.ª

c) P [ 2.ª

], P [ 1.ª

/ 2.ª

]

2 — 4 2 — 3

A

B

P [2.ª

32

y 2.ª

/1.ª

2 — 4 1 — 4

1 — 3

B

a) P [1.ª

]=

]=

]

3 — 4

P [1.ª

y 2.ª

] =

2 2 4 · = 3 4 12

P [1.ª

y 2.ª

]=

2 2 4 · = 3 4 12

P [1.ª

y 2.ª

] =

1 1 1 · = 3 4 12

P [1.ª

y 2.ª

]=

1 3 3 · = 3 4 12

2 2 4 1 · = = 3 4 12 3

2 1 = 4 2

Unidad 14. Cálculo de probabilidades

UNIDAD 14

b) P [1.ª

y 2.ª

1 1 1 · = 3 4 12

]=

/1.ª

P [2.ª

] = P [1.ª

y 2.ª

] + P [1.ª

y 2.ª

]=

4 1 5 + = 12 12 12

c) P [2.ª

] = P [1.ª

y 2.ª

] + P [1.ª

y 2.ª

]=

4 3 7 + = 12 12 12

P [1.ª

/2.ª

]=

1 4

P [2.ª

]=

P [1.a y 2.a P [2.a ]

]

=

1/12 1 = 5/12 5

6. Berta ha ido al cine, al teatro o al concierto con probabilidades 0,5; 0,2; 0,3, respectivamente. El 60% de las veces que va al cine se encuentra con amigos y se va de marcha con ellos. Lo mismo le ocurre el 10% de las veces que va al teatro y el 90% de las que va al concierto. a) ¿Qué probabilidad hay de que se quede de marcha con amigos? b) Después del espectáculo ha vuelto a casa. ¿Qué probabilidad hay de que haya ido al teatro? 0,6

AMIGOS

P [CINE y

0,4

NO AMIGOS

P [CINE y no

CINE

0,5 0,2

AM]

= 0,5 · 0,6 = 0,30 AM]

AM]

= 0,5 · 0,4 = 0,20

0,1

AMIGOS

P [TEATRO y

= 0,2 · 0,1 = 0,02

0,9

NO AMIGOS

P [TEATRO y no

AM]

= 0,2 · 0,9 = 0,18

0,9

AMIGOS

P [CONCIERTO y

AM]

= 0,3 · 0,9 = 0,27

0,1

NO AMIGOS

P [CONCIERTO y no

TEATRO

0,3 CONCIERTO

AM]

= 0,3 · 0,1 = 0,03

a) P [AM] = P [CINE y AM] + P [TEATRO y AM] + P [CONCIERTO y AM] = 0,30 + 0,02 + 0,27 = 0,59 P [TEATRO y no P [no AM]

b) P [TEATRO/no

AM]

=

P [TEATRO/no

AM]

= 0,18

P [no

AM]

AM]

. Calculemos:

= 1 – P [AM] = 1 – 0,59 = 0,41

(También se podría haber calculado sumando P [CINE y no AM] + P [TEATRO y no AM] + P [CONCIERTO y no AM].) P [TEATRO/no

AM]

=

0,18 ≈ 0,44 0,41

Esto significa, dicho de forma ingenua, que de cada 100 veces que vuelva a casa pronto, en 44 de ellas ha ido al TEATRO.

Unidad 14. Cálculo de probabilidades

33

15

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Página 373 REFLEXIONA Y RESUELVE Lanzamiento de monedas Al lanzar cuatro monedas pueden darse 16 posibilidades: C C C C, C C C +, C C + C, C C + +, C + C C, … ■

Complétalas y justifica los resultados de esta tabla:

N.º DE CARAS, FRECUENCIA,

fi

xi

0

1

2

3

4

1

4

6

4

1

0

1

2

3

4

■

Haz la tabla correspondiente al “NÚMERO DE CARAS” que puede obtenerse al lanzar cinco monedas. Represéntala gráficamente.

■

CCCC, CCC+, CC+C, C+CC, +CCC, CC++, C+C+, C++C, +CC+, +C+C, ++CC, C+++, +C++, ++C+, +++C, ++++ Estas son las 16 posibilidades. En ellas, si contamos el número de caras, obtenemos la tabla:

■

N.º DE CARAS

0

1

2

3

4

FRECUENCIA

1

4

6

4

1

Para el caso de tener cinco monedas, si contamos el número de caras en todas las posibilidades, obtendríamos la tabla: N.º DE CARAS

0

1

2

3

4

5

FRECUENCIA

1

5

10

10

5

1

La representación sería:

0

Unidad 15. Distribuciones de probabilidad

1

2

3

4

5

1

Tiempos de espera Problema 1 ■

Procediendo de la misma forma, es decir, contando cuadraditos, halla las siguientes probabilidades e interpreta lo que significan: a) P [x Ì 2] a) P [x ≤ 2] =

b) P [5 Ì x Ì 10]

c) P [x Ì 10]

d) P [5 Ì x Ì 6]

10 = 0,10 100

La probabilidad de tener que esperar menos de 2 minutos es 0,10 (del 10%). b) P [5 ≤ x ≤ 10] =

25 = 0,25 100

La probabilidad de tener que esperar entre 5 y 10 minutos es del 25%. c) P [x ≤ 10] =

50 = 0,50 100

La probabilidad de tener que esperar menos de 10 minutos es del 50%. d) P [5 ≤ x ≤ 6] =

5 = 0,05 100

La probabilidad de tener que esperar entre 5 y 6 minutos es del 5%.

Problema 2 ■

Halla las probabilidades siguientes e interpreta lo que significan: a) P [x Ì 2]

b) P [5 Ì x Ì 10]

c) P [x Ì 10]

d) P [5 Ì x Ì 6]

En total hay 100 cuadritos (el área total es 100). Así: a) P [x Ì 2] =

(10 + 9)/2 · 2 = 0,19 100

La probabilidad de que tengamos que esperar menos de 2 minutos es del 19%. b) P [5 Ì x Ì 10] =

(7,5 + 5)/2 · 5 = 0,3125 100

La probabilidad de que tengamos que esperar entre 5 y 10 minutos es del 31,25%. c) P [x Ì 10] =

(10 + 5)/2 · 10 = 0,75 100

La probabilidad de que tengamos que esperar menos de 10 minutos es del 75%. d) P [5 Ì x Ì 6] =

(7,5 + 7)/2 · 1 = 0,0725 100

La probabilidad de que tengamos que esperar entre 5 y 6 minutos es del 7,25%.

2

Unidad 15. Distribuciones de probabilidad

UNIDAD 15

Página 375 – y q en esta distribución: tiempo que emplean en ir de su casa al 1. Calcula x colegio un grupo de alumnos. (Recuerda: al intervalo (0, 5] le corresponde el valor 2,5; …). TIEMPO

(min)

N-o DE ALUMNOS

(0, 5] (5, 10] (10, 15] (15, 20] (20, 25] (25, 30] 2

11

13

6

3

1

Hallamos la marca de clase, xi, de cada intervalo y hacemos la tabla: xi

fi

fi · xi

fi · xi 2

2,5

2

5

12,5

7,5

11

82,5

618,75

12,5

13

162,5

2 031,25

17,5

6

105

1 837,5

22,5

3

67,5

1 518,75

27,5

1

27,5

756,25

36

450

6 775

x– =

q=

S fi xi n

√

=

450 = 12,5 36

fi xi2 – S — –x n

=

√

6 775 – 12,52 = √ 31,94 = 5,65 36

Página 377 1. Calcula la media y la desviación típica de la distribución de probabilidad correspondiente a la puntuación obtenida en el lanzamiento de un dado. xi

pi

pi · xi

pi · xi 2

1

1/6

1/6

1/6

2

1/6

2/6

4/6

3

1/6

3/6

9/6

4

1/6

4/6

16/6

5

1/6

5/6

25/6

6

1/6

6/6

36/6

1

21/6

91/6

µ=

21 = 3,5 6

q=

√

91 – 3,52 = √ 2,92 = 1,71 6

2. Si se tiran dos monedas, podemos obtener 0, 1 ó 2 caras. Calcula la media y la desviación típica de la distribución de probabilidad correspondiente. xi

pi

pi · xi

pi · xi 2

0

1/4

0

0

1

2/4

2/4

2/4

2

1/4

2/4

2

1

1

6/4

Unidad 15. Distribuciones de probabilidad

µ=1

q=

√

6 – 12 = 4

√

3 –1 = 2

√

1 = 0,71 2

3

3. En una bolsa tenemos un cierto número de bolas numeradas: 9 bolas con un uno, 5 con un dos y 6 con un tres. Sacamos una bola al azar y vemos qué número tiene. a) ¿Cuál es la distribución de probabilidad? b) Calcula la media y la desviación típica. a)

xi

pi

1

9/20

2

5/20

3

6/20 1

b)

xi

pi

pi · xi

pi · xi 2

1

9/20

9/20

9/20

2

5/20

10/20

20/20

3

6/20

18/20

54/20

1

37/20

83/20

µ=

37 = 1,85 20

q=

√

83 – 1,852 = √ 0,73 = 0,85 20

Página 379 1. En una distribución binomial B (10; 0,4), halla P [x = 0], P [x = 3], P [x = 5], P [x = 10] y el valor de los parámetros µ y q. P [x = 0] = 0,610 = 0,006047

( 103 ) · 0,4 · 0,6 = 120 · 0,4 · 0,6 = 0,215 10 P [x = 5] = ( ) · 0,4 · 0,6 = 252 · 0,4 · 0,6 = 0,201 5

P [x = 3] =

3

7

3

7

5

5

5

5

P [x = 10] = 0,410 = 0,000105 µ = 10 · 0,4 = 4 q = √ n p q = √ 10 · 0,4 · 0,6 = √ 2,4 = 1,55 2. Lanzamos 7 monedas. Calcula las probabilidades de 3 caras, 5 caras y 6 caras. Halla los valores de los parámetros µ y q. Se trata de una distribución binomial con n = 7 y p = 0,5 8 B (7; 0,5)

( 73 ) · (0,5) · (0,5) = 35 · 0,125 · 0,0625 ≈ 0,273 7 P [x = 5] = ( ) · (0,5) · (0,5) = 21 · 0,03125 · 0,25 ≈ 0,164 5

P [x = 3] =

4

3

4

5

2

Unidad 15. Distribuciones de probabilidad

UNIDAD 15

P [x = 6] =

( 76 ) · (0,5) · (0,5) = 7 · 0,015625 · 0,5 ≈ 0,0547 6

µ = n p = 7 · 0,5 = 3,5 q = √ n p q = √ 7 · 0,5 · 0,5 ≈ 1,323

Página 381 ° k, x é [3, 8] 1. Calcula k para que f (x) = ¢ £ 0, x è [3, 8]

sea una función de densidad.

Halla las probabilidades: b) P [2 < x Ì 5]

a) P [4 < x < 6]

d) P [5 < x Ì 10]

c) P [x = 6]

Como el área bajo la curva ha de ser igual a 1, tenemos que: P [–@ < x < +@] = P [3 Ì x Ì 8] = 5k = 1 8 k = a) P [4 < x < 6] = (6 – 4) ·

1 5

1 2 = 5 5

b) P [2 < x Ì 5] = P [3 Ì x Ì 5] = (5 – 3) ·

1 2 = 5 5

c) P [x = 6] = 0 d) P [5 < x Ì 10] = P [5 Ì x Ì 8] = (8 – 5) ·

1 3 = 5 5

° mx, x é [3, 7] 2. Calcula m para que f (x) = ¢ sea una función de densidad. £ 0, x è [3, 7] Halla las probabilidades: a) P [3 < x < 5]

b) P [5 Ì x < 7]

c) P [4 Ì x Ì 6]

d) P [6 Ì x < 11]

El área bajo la curva (área del trapecio señalado) ha de ser igual a 1: P [–@ < x < +@] = P [3 Ì x Ì 7] =

7m

= 3m

(7m + 3m) · 4 = 20m = 1 2

Área = 1

8 m= 3

7

Unidad 15. Distribuciones de probabilidad

8

1 20

5

a) P [3 < x < 5] =

(5/20 + 3/20) · 2 8 2 = = 2 20 5

b) P [5 Ì x < 7] =

(7/20 + 5/20) · 2 12 3 = = 2 20 5

c) P [4 Ì x Ì 6] =

(6/20 + 4/20) · 2 10 1 = = 2 20 2

d) P [6 Ì x < 11] = P [6 Ì x Ì 7] =

(7/20 + 6/20) · 1 13 = 2 40

Página 383 1. Halla las siguientes probabilidades: a) P [z Ì 0,84]

b) P [z < 1,5]

c) P [z < 2]

d) P [z < 1,87]

e) P [z < 2,35]

f ) P [z Ì 0]

g) P [z < 4]

h) P [z = 1]

Mirando directamente la tabla, obtenemos: a) 0,7996

b) 0,9332

c) 0,9772

d) 0,9693

e) 0,9906

f) 0,5000

g) 1

h) 0

2. Di el valor de k en cada caso: a) P [z Ì k] = 0,7019

b) P [z < k] = 0,8997

c) P [z Ì k] = 0,5040

d) P [z < k] = 0,7054

a) k = 0,53

b) k = 1,28

c) k = 0,01

d) k = 0,54

3. Di el valor aproximado de k en cada caso: a) P [z < k] = 0,9533

b) P [z Ì k] = 0,62

a) k ≈ 1,68

b) k ≈ 0,305

Página 384 4. Halla:

6

a) P [z > 1,3]

b) P [z < –1,3]

c) P [z > –1,3]

d) P [1,3 < z < 1,96]

e) P [–1,96 < z < –1,3]

f) P [–1,3 < z < 1,96]

g) P [–1,96 < z < 1,96] Unidad 15. Distribuciones de probabilidad

UNIDAD 15

a) P [z > 1,3] = 1 – P [z < 1,3] = 1 – 0,9032 = 0,0968 b) P [z < –1,3] = 0,0968

–1,3

0

1,3

c) P [z > –1,3] = 1 – 0,0968 = 0,9032 d) P [1,3 < z < 1,96] = 0,9750 – 0,9032 = 0,0718 e) P [–1,96 < z < –1,3] = 0,0718 f ) P [–1,3 < z < 1,96] = 0,9750 – (1 – 0,9032) = 0,8782 g) P [–1,96 < z < 1,96] = 0,95 5. Halla, a partir de la tabla, las siguientes probabilidades: a) P [–1 Ì z Ì 1]

b) P [–2 Ì z Ì 2]

c) P [–3 Ì z Ì 3]

d) P [– 4 Ì z Ì 4]

a) P [–1 Ì z Ì 1] = 2 (P [z Ì 1] – 0,5) = 0,6826

–1

0

1

b) P [–2 Ì z Ì 2] = 2 (P [z Ì 2] – 0,5) = 0,9544 c) P [–3 Ì z Ì 3] = 0,9974 d) P [–4 Ì z Ì 4] = 1

Página 385 6. En una distribución N (173, 6), halla las siguientes probabilidades: a) P [x Ì 173]

b) P [x Ó 180,5]

c) P [174 Ì x Ì 180,5]

d) P [161 Ì x Ì 180,5]

e) P [161 Ì x Ì 170]

f ) P [x = 174]

g) P [x > 191]

h) P [x < 155]

a) P [x Ì 173] = 0,5

[

b) P [x Ó 180,5] = P z Ó

]

180,5 – 173 = P [z Ó 1,25] = 1 – 0,8944 = 0,1056 6

c) P [174 Ì x Ì 180,5] = P [0,17 Ì z Ì 1,25] = 0,3269

Unidad 15. Distribuciones de probabilidad

7

d) P [161 Ì x Ì 180,5] = P [–2 Ì z Ì 1,25] = 0,8716 e) P [161 Ì x Ì 170] = P [–2 Ì z Ì –0,5] = 0,2857 f) P [x = 174] = P [z = 0,1667] = 0 g) P [x > 191] = P [z > 3] = 1 – f(3) = 1 – 0,9987 = 0,0013 h) P [x < 155] = P [z < – 3] = 1 – f(3) = 0,0013

Página 387 1. Calcula las probabilidades de las siguientes distribuciones binomiales mediante aproximación a la normal correspondiente (en todas ellas, ten en cuenta el ajuste de media unidad que hay que hacer al pasar de una variable discreta a una continua): a) x es B (100; 0,1). Calcula P [x = 10], P [x < 2] y P [5 < x < 15]. b) x es B (1 000; 0,02). Calcula P [x > 30] y P [x < 80]. c) x es B (50; 0,9). Calcula P [x > 45] y P [x Ì 30]. a) x es B (100; 0,1) ≈ x' es N (10; 3) P [x = 10] = P [9,5 < x' < 10,5] = P [–0,17 < z < 0,17] = 0,135 P [x < 2] = P [x' Ì 1,5] = P [z Ì –2,83] = 0,0023 P [5 < x < 15] = P [5,5 Ì x' Ì 14,5] = P [–1,5 Ì z Ì 1,5] = 0,8664 b) x es B (1 000; 0,02) ≈ x' es N (20; 4,427) P [x > 30] = P [x' Ó 30,5] = P [z Ó 2,37] = 0,0089 P [x < 80] = P [x' Ì 79,5] = P [z Ì 13,44] = 1 c) x es B (50; 0,9) = x' es N (45; 2,12) P [x > 45] = P [x' Ó 45,5] = P [z Ó 0,24] = 0,4052 P [x Ì 30] = P [x' Ì 30,5] = P [z Ì –6,83] = 0

8

Unidad 15. Distribuciones de probabilidad

UNIDAD 15

Página 392 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR

Distribuciones de probabilidad 1 Completa la siguiente tabla de probabilidades y calcula sus parámetros: xi

0

1

2

3

pi

0,1

0,3

…

0,1

0,1 + 0,3 + P [2] + 0,1 = 1 8 P [2] = 0,5 xi

pi

pi · xi

pi · xi 2

0

0,1

0

0

1

0,3

0,3

0,3

2

0,5

1

2

3

0,1

0,3

0,9

S xi pi = 1,6

S pi xi2 = 3,2

µ=

S xi pi = 1,6

q = √ 3,2 – 1,62 = √ 0,64 = 0,8

2 Sacamos dos cartas de una baraja española y anotamos el número de ases (0, 1 ó 2). a) ¿Cuál es la distribución de probabilidad? b) Calcula la media y la desviación típica. a)

xi

0

1

2

pi

36 35 —·— 40 39

4 36 2·—·— 40 39

4 3 —·— 40 39

b) µ = 0,2; q = 0,42 3 Se lanzan tres monedas y se cuenta el número de caras obtenidas. Haz una tabla con las probabilidades, represéntala gráficamente y calcula la media y la desviación típica. pi

xi

0

1

2

3

3/8

pi

1 — 8

3 — 8

3 — 8

1 — 8

2/8

µ = 1,5; q = 0,87 Unidad 15. Distribuciones de probabilidad

1/8 0

1

2

3

xi

9

4 Recuerda cuáles son las puntuaciones de las 28 fichas de un dominó. Si en cada una de ellas sumamos los puntos de sus dos mitades, obtenemos las posibles sumas 0, 1, 2, …, 10, 11 y 12 con probabilidades distintas. Haz la tabla con la distribución de probabilidades y calcula µ y q. xi

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

pi

1 — 28

1 — 28

2 — 28

2 — 28

3 — 28

3 — 28

4 — 28

3 — 28

3 — 28

2 — 28

2 — 28

1 — 28

1 — 28

µ = 6; q = 3 5 Un alumno ha estudiado 12 temas de los 30 que entran en el examen. Se eligen 2 temas al azar. El alumno puede haber estudiado los dos, uno o ninguno. Haz la tabla con la distribución de probabilidad y represéntala gráficamente. xi

0

1

2

pi

0,35

0,50

0,15

pi 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 0

1

2

xi

6 Una urna contiene 5 bolas blancas, 3 rojas y 2 verdes. Se hacen dos extracciones sin reemplazamiento y se anota el número de bolas rojas extraídas. a) Haz la tabla de la distribución de probabilidad. b) Haz otra tabla suponiendo que hay reemplazamiento. a)

b)

xi

0

1

2

pi

7 6 —·— 10 9

3 7 2·—·— 10 9

3 2 —·— 10 9

xi

0

1

2

pi

( )

3 7 2·—·— 10 10

( )

7 2 — 10

3 2 — 10

7 En una urna A hay 5 bolas numeradas del 1 al 5, y en otra urna B, hay 4 bolas numeradas del 6 al 9. Se lanza una moneda: si sale cara, se saca una bola de A, y si sale cruz, se saca de B. Se observa el número que tiene la bola.

10

Unidad 15. Distribuciones de probabilidad

UNIDAD 15

a) Haz la tabla de la distribución de probabilidad. b) Represéntala gráficamente. c) Calcula µ y q. a)

b)

xi

1

2

3

4

5

pi

1 1 — · — = 0,1 2 5

1 1 — · — = 0,1 2 5

1 1 — · — = 0,1 2 5

1 1 — · — = 0,1 2 5

1 1 — · — = 0,1 2 5

xi

6

7

8

9

pi

1 1 — · — = 0,125 2 4

0,125

0,125

0,125

1

5

pi 0,2 0,1 2

3

4

6

7

8

9

xi

c) µ = 5,25; q = 2,59

Distribución binomial 8 Reconoce en cada uno de los siguientes ejercicios una distribución binomial y di los valores de n, p, µ y q. • Un examen tipo test consta de 50 preguntas, cada una con tres respuestas, de las que solo una es correcta. Se responde al azar. ¿Cuál es el número probable de preguntas acertadas? • En el examen descrito en el apartado anterior, un alumno conoce las respuestas de 20 preguntas y responde las restantes al azar. Nos preguntamos cuántas de ellas acertará. • Una moneda se lanza 400 veces. Número de caras. • El 1% de ciertas soldaduras son defectuosas y revisamos mil de ellas. Número de soldaduras defectuosas que habrá.

( 13 ); µ = 503 = 16,67; q = 3,33 1 b) B (30; ); µ = 10; q = 2,58 relativo a las que contesta al azar 3 1 c) B (400; ); µ = 200; q = 10 2

a) B 50;

d) B (1 000; 0,01); µ = 10; q = 3,15

Unidad 15. Distribuciones de probabilidad

11

9 En una distribución binomial B (9; 0,2) calcula: a) P [x < 3]

b) P [x Ó 7]

c) P [x ? 0]

d) P [x Ì 9]

a) P [x = 0] + P [x = 1] + P [x = 2] = 0,738 b) P [x = 7] + P [x = 8] + P [x = 9] = 0,000314 c) 1 – P [x = 0] = 1 – 0,134 = 0,866 d) 1 10 Un examen tipo test consta de 10 preguntas, cada una con cuatro respuestas, de las cuales solo una es correcta. Si un alumno contesta al azar: a) ¿Cuál es la probabilidad de que conteste correctamente 4 preguntas? b) ¿Y la de que conteste bien más de 2 preguntas? c) Calcula la probabilidad de que conteste mal a todas las preguntas.

(

)

x es B 10;

1 4

a) P [x = 4] =

( 104 ) · 0,25 · 0,75 = 0,146 4

6

b) P [x > 2] = 1 – P [x Ì 2] = 1 – (P [x = 0] + P [x = 1] + P [x = 2]) = = 1 – (0,056 + 0,188 + 0,282) = 1 – 0,526 = 0,474 c) P [x = 0] = 0,7510 = 0,056 11 Una urna contiene 3 bolas rojas y 7 verdes. Se saca una al azar, se anota su color y se devuelve a la urna. Si esta experiencia se repite 5 veces, calcula la probabilidad de obtener: a) Tres bolas rojas. b) Menos de tres rojas. c) Más de tres rojas. d) Alguna roja. Si consideramos éxito = “sacar roja”, x es B (5; 0,3).

( )

a) P [x = 3] = 5 · 0,33 · 0,72 = 0,1323 3 b) P [x < 3] = P [x = 0] + P [x = 1] + P [x = 2] = = 0,16807 + 0,36015 + 0,3087 = 0,83692 ≈ 0,8369 c) P [x > 3] = 1 – P [x Ì 3] = 1 – (0,1323 + 0,8369) = 0,0308 d) P [x ? 0] = 1 – P [x = 0] = 1 – 0,75 = 0,8319

12

Unidad 15. Distribuciones de probabilidad

UNIDAD 15

12 La probabilidad de que un aparato de televisión, antes de revisarlo, sea defectuoso, es 0,2. Si se revisan cinco aparatos, calcula: a) P [ninguno defectuoso]. b) P [alguno defectuoso]. x es B (5; 0,2) a) P [x = 0] = 0,85 = 0,328 b) P [x ? 0] = 1 – P [x = 0] = 1 – 0,328 = 0,672

Página 393 Función de densidad 13 Justifica si pueden ser funciones de densidad las siguientes funciones: a) f (x) = 0,5 + 0,5x, x é [0, 2] b) f (x) = 0,5 – x, x é [0, 2] c) f (x) = 1 – 0,5x, x é [0, 2] Veamos, en cada caso, si el área encerrada bajo la curva es 1: a) 1,5

Área =

1

1,5

0,5 1

(1,5 + 0,5) · 2 =2 2

No puede ser función de densidad.

2

b) f (2) = –1,5 < 0 8 No puede ser función de densidad, pues tendría que ser f (x) Ó 0 c) 1,5

° 1·2 Área = —— = 1 § Sí puede ser función 2 ¢ 8 de densidad. § f (x) Ó 0 £

1 0,5 1

2

Manejo de la tabla N (0, 1) 14 En una distribución N (0, 1), calcula las siguientes probabilidades: a) P [z = 2]

b) P [z Ì 2]

c) P [z Ó 2]

d) P [z Ì –2]

e) P [z Ó –2]

f ) P [–2 Ì z Ì 2]

Unidad 15. Distribuciones de probabilidad

13

a) P [z = 2] = 0 b) P [z Ì 2] = 0,9772 c) P [z Ó 2] = 1 – 0,9792 = 0,0228 d) P [z Ì –2] = 1 – 0,9772 = 0,0228 e) P [z Ó –2] = 1 – 0,0228 = 0,9772 f ) P [–2 Ì z Ì 2] = 2 (P [z Ì 2] – 0,5) = 0,9544 15 En una distribución N (0, 1), calcula: a) P [z Ì 1,83]

b) P [z Ó 0,27]

c) P [z Ì – 0,78]

d) P [z Ó 2,5]

a) P [z Ì 1,83] = 0,9664

b) P [z Ó 0,27] = 0,3935

c) P [z Ì –0,78] = 0,2177

d) P [z Ó 2,5] = 0,0062

16 En una distribución N (0, 1), calcula las siguientes probabilidades: a) P [z = 1,6]

b) P [–2,71 Ì z Ì –1,83]

c) P [1,5 Ì z Ì 2,5]

d) P [–1,87 Ì z Ì 1,25]

a) P [z = 1,6] = 0 b) P [–2,71 Ì z Ì –1,83] = P [1,83 Ì z Ì 2,71] = P [z Ì 2,71] – P [z Ì 1,83] = 0,0302 c) P [1,5 Ì z Ì 2,5] = P [z Ì 2,5] – P [z Ì 1,5] = 0,0606 d) P [–1,87 Ì z Ì 1,25] = P [z Ì 1,25] – P [z Ì –1,87] = P [z Ì 1,25] – P [z Ó 1,87] = = P [z Ì 1,25] – (1 – P [z < 1,87]) = 0,8637

–1,87

0

1,25

17 Calcula k en cada uno de los siguientes casos: a) P [z < k] = 0,8365 b) P [z > k] = 0,8365 c) P [z < k] = 0,1894 d) P [–k < z < k] = 0,95 a) k = 0,98 b) k = – 0,98 c) k = – 0,88 d) k = 1,96

14

Unidad 15. Distribuciones de probabilidad

UNIDAD 15

Tipificación 18 En un examen tipo test, la media fue 28 puntos, y la desviación típica, 10 puntos. Calcula la puntuación tipificada de los alumnos que obtuvieron: a) 38 puntos.

b) 14 puntos.

c) 45 puntos.

d) 10 puntos.

µ = 28; q = 10 a)

38 – 28 =1 10

b)

14 – 28 = –1,4 10

c)

45 – 28 = 1,7 10

d)

10 – 28 = –1,8 10

19 Si en el mismo examen del problema anterior la puntuación tipificada de un alumno fue 0,8 ¿cuántos puntos obtuvo? ¿Cuántos puntos corresponden a un valor tipificado de – 0,2? 0,8 8 0,8 · 10 + 28 = 36 –0,2 8 –0,2 · 10 + 28 = 26 20 Las puntuaciones tipificadas de dos estudiantes fueron 0,8 y – 0,4 y sus notas reales fueron 88 y 64 puntos. ¿Cuál es la media y la desviación típica de las puntuaciones del examen? 88 – µ = 0,8 ° 88 – µ = 0,88q ° § § q § § 88 – 0,8q = 64 + 0,4q 8 q = 20; µ = 72 ¢ ¢ 64 – µ = – 0,4 § 64 – µ = – 0,4q § § § q £ £ La media es 72 y la desviación típica 20.

Cálculo de probabilidades en N (µ, q) 21 En una distribución N (43, 10), calcula las siguientes probabilidades: a) P [x Ó 43]

b) P [x Ì 30]

c) P [40 Ì x Ì 55]

d) P [30 Ì x Ì 40]

a) P [x Ó 43] = 0,5

[

] = P [z Ì –1,3] = 1 – 0,9032 = 0,0968 40 – 43 55 – 43 ÌzÌ = P [–0,3 Ì z Ì 1,2] = 0,5028 c) P [40 Ì x Ì 55] = P [ 10 10 ] b) P [x Ì 30] = P z Ì

30 – 43 10

d) P [30 Ì x Ì 40] = P [–1,3 Ì z Ì –0,3] = P [0,3 Ì z Ì 1,3] = P [z Ì 1,3] – P [z Ì 0,3] = = 0,9032 – 0,6179 = 0,2853 Unidad 15. Distribuciones de probabilidad

15

22 En una distribución N (151, 15), calcula: a) P [x Ì 136]

b) P [120 Ì x Ì 155]

c) P [x Ó 185]

d) P [140 Ì x Ì 160]

[

a) P [x Ì 136] = P z Ì

]

136 – 151 = P [z Ì –1] = P [z Ó 1] = 1 – P [z < 1] = 0,1587 15

b) P [120 Ì x Ì 155] = P [2,07 Ì z Ì 0,27] = 0,5873 c) P [x Ó 185] = P [z Ó 2,27] = 0,0116 d) P [140 Ì x Ì 160] = P [–0,73 Ì z Ì 0,6] = 0,5149 23 La talla media de los 200 alumnos de un centro escolar es de 165 cm, y la desviación típica, 10 cm. Si las tallas se distribuyen normalmente, calcula la probabilidad de que un alumno elegido al azar mida más de 180 cm. ¿Cuántos alumnos puede esperarse que midan más de 180 cm? x es N (165, 10); n = 200 alumnos

[

P [x > 180] = P z >

]

180 – 165 = P [z > 1,5] = 1 – 0,9332 = 0,0668 10

200 · 0,0668 = 13,36 ≈ 13 alumnos 24 Los pesos de 2 000 soldados presentan una distribución normal de media 65 kg y desviación típica 8 kg. Calcula la probabilidad de que un soldado elegido al azar pese: a) Más de 61 kg.

b) Entre 63 y 69 kg.

c) Menos de 70 kg.

d) Más de 75 kg.

x es N (65, 8)

[

a) P [x > 61] = P z >

61 – 65 8

] = P [z > – 0,5] = P [z < 0,5] = 0,6915

b) P [63 < x < 69] = P [–0,25 < z < 0,5] = 0,2902 c) P [x < 70] = P [z < 0,625] = 0,7357 d) P [x > 75] = P [z > 1,25] = 1 – P [z Ì 1,25] = 0,1056

Binomial 8 Normal 25 Si lanzamos un dado mil veces, ¿cuál es la probabilidad de que el número de cincos obtenidos sea menor que 100? x es B (1 000; 0,1667) 8 x' es N (166,67; 11,79) P [x < 100] = P [x' Ì 99,5] = P [z Ì –5,70] = 0

16

Unidad 15. Distribuciones de probabilidad

UNIDAD 15

26 Una moneda se lanza 400 veces. Calcula la probabilidad de que el número de caras: a) Sea mayor que 200. b) Esté entre 180 y 220. x es B (400; 0,5) 8 x' es N (200, 10) a) P [x > 200] = P [x' Ó 200,5] = P [z Ó 0,05] = 0,4801 b) P [180 < x < 220] = P [180,5 Ì x' Ì 219,5] = P [–1,95 Ì z Ì 1,95] = 0,9488 27 En un bombo de lotería tenemos 10 bolas idénticas numeradas del 0 al 9, y cada vez que hacemos la extracción de una bola la devolvemos al bombo. a) Si sacamos tres bolas, calcula la probabilidad de que el 0 salga una sola vez. b) Si hacemos 100 extracciones, calcula la probabilidad de que el 0 salga más de 12 veces. a) x es B (3; 0,1) P [x = 1] = 3 · 0,1 · 0,92 = 0,243 b) x es B (100; 0,1) 8 x' es N (10, 3) P [x > 12] = P [x' Ó 12,5] = P [z Ó 0,83] = 0,2033

Página 394 PARA RESOLVER 28 Tenemos una moneda defectuosa para la cual la probabilidad de obtener cruz en un lanzamiento es 0,4. La lanzamos cinco veces y anotamos el número de cruces. Haz una tabla con la distribución de probabilidad, represéntala gráficamente y calcula su media y su desviación típica. x es B (5; 0,4)

xi

0

1

2

3

4

5

pi

0,078

0,259

0,346

0,230

0,077

0,010

3

4

µ = 5 · 0,42 = 2; q = √5 · 0,4 · 0,6 = 1,1

0

Unidad 15. Distribuciones de probabilidad

1

2

5

17

29 En un proceso de fabricación de tornillos se sabe que el 2% son defectuosos. Los empaquetamos en cajas de 50 tornillos. Calcula la probabilidad de que en una caja haya este número de tornillos defectuosos: a) Ninguno. b) Uno c) Más de dos. ¿Cuántos tornillos defectuosos habrá, por término medio, en cada caja? x es B (50; 0,02) a) P [x = 0] = 0,9850 = 0,364 b) P [x = 1] = 50 · 0,02 · 0,9849 = 0,372 c) P [x > 2] = 1 – P [x Ì 2] = 1 – (P [x = 0] + P [x = 1] + P [x = 2]) = = 1 – (0,364 + 0,372 + 0,186) = 1 – 0,922 = 0,078 Por término medio, habrá µ = 50 · 0,02 = 1 tornillo defectuoso en cada caja.

30 La probabilidad de que un torpedo lanzado por un submarino dé en el blanco es 0,4. Si se lanzan 6 torpedos, halla la probabilidad de que: a) Solo uno dé en el blanco. b) Al menos uno dé en el blanco. x es B (6; 0,4)

( )

a) P [x = 1] = 6 · 0,4 · 0,65 = 0,1866 1 b) P [x Ó 1] = 1 – P [x = 0] = 1 – 0,66 = 0,9533

31 En un estadio deportivo se quieren instalar focos para iluminar el campo de juego. El suministrador asegura que el tiempo de vida de los focos es, aproximadamente, normal con media de 1 500 horas y desviación típica de 200 horas. Supongamos que es cierto. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un foco elegido al azar luzca por lo menos 1 000 horas? b) Se compran 1 500 focos. ¿Cuántos puede esperarse que luzcan al menos 1 000 horas? x es N (1 500, 200) a) P [x Ó 1 000] = P [z Ó –2,5] = P [z Ì 2,5] = 0,9938

18

Unidad 15. Distribuciones de probabilidad

UNIDAD 15

32 El número de visitantes que diariamente acuden a una exposición se distribuye según una normal N (2 000, 250). a) Halla la probabilidad de que un día determinado el número de visitantes no supere los 2 100. b) Calcula la probabilidad de que un día cualquiera los visitantes sean más de 1 500. c) En un mes de treinta días, ¿en cuántos días cabe esperar que el número de visitantes supere los 2 210? x ~ N (2 000, 250) 8 z ~ N (0, 1) a) P [x Ì 2 100] = P [z Ì 0,4] = 0,6554 b) P [x Ó 1 500] = P [z Ó –2] = P [z Ì 2] = 0,9772 c) P [x Ó 2 210] = P [z Ó 0,84] = 0,2004 30 · 0,2004 = 6,012 8 6 días 33 El 20% de los alumnos con mejor nota de una escuela pueden acceder a estudios superiores. Sabemos que las notas medias finales en esa escuela se distribuyen normalmente con media 5,8 y desviación típica 2. ¿Cuál es la nota media mínima que debe obtener un alumno si quiere hacer estudios superiores? Si llamamos X a las notas medias finales, tenemos que X es N (5,8; 2). Buscamos el valor de x para el cual P [X > x] = 0,2. Para una N (0, 1), P [z > k] = 1 – P [z Ì k] = 0,2 8 P [z Ì k] = 0,8 8 k = 0,84 Por tanto: x – 5,8 = 0,84 8 x = 7,84 2 Debe obtener una media de 7,84 puntos o superior. ° 0, § k, 34 a) Calcula el valor de k para que la función f (x) = ¢ § 3k, £ 0, una función de densidad.

x 10] = P [x Ó 11] = P [x' Ó 10,5] = P z Ó 1 – 0,9842 = 0,0158

]

10,5 – 5,6 = P [z Ó 2,15] = 1 – f (2,15) = 2,28

x – 1, 2 Ì x Ì 4 es una función de densidad. 2 Represéntala y calcula:

7. Comprueba que y =

a) P [x = 3]

b) P [x < 3]

c) P [x > 3,5]

1 2

4

Es función de densidad por ser no negativa y contener un área igual a 1. a) P [x = 3] = 0 pues en las distribuciones de variable continua las probabilidades puntuales son cero. b) P [x < 3] =

( )

3–2 3 – 1 = 0,25 · 2 2

c) P [x > 3,5] = 1 – P [x Ì 3,5] = 1 –

24

[

(

)]

3,5 – 2 3,5 – 1 = 0,4375 · 2 2

Unidad 15. Distribuciones de probabilidad