Solucionario Mat 3 Eso- EDITEX

3º

MATEMÁTICAS

ESO

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MATEMÁTICAS

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MATEMÁTICAS

José Margallo

ISBN 978-84-9771-980-3

9

mates_eso3_NC.indd 1

788497 719803

15/02/11 15:09

Índice UNIDAD REPASO .............................................................................................................................7 Actividades página 7 .....................................................................................................................7 Actividades página 9 .....................................................................................................................9 UNIDAD 1 – NÚMEROS RACIONALES ...........................................................................................9 Actividades página 12 ...................................................................................................................9 Actividades página 13 ...................................................................................................................9 Actividades página 14 .................................................................................................................10 Actividades página 15 .................................................................................................................10 Actividades página 16 .................................................................................................................11 Actividades página 17 .................................................................................................................12 Actividades página 18 .................................................................................................................13 Actividades página 19 .................................................................................................................14 Actividades página 20 .................................................................................................................15 Actividades página 21 .................................................................................................................16 DESAFÍO MATEMÁTICO............................................................................................................17 ACTIVIDADES FINALES ............................................................................................................20 OLIMPIADA MATEMÁTICA ........................................................................................................37 UNIDAD 2 – NÚMEROS DECIMALES Y POTENCIAS ..................................................................38 Actividades página 32 .................................................................................................................38 Actividades página 33 .................................................................................................................39 Actividades página 34 .................................................................................................................41 Actividades página 35 .................................................................................................................42 Actividades página 36 .................................................................................................................43 Actividades página 37 .................................................................................................................43 Actividades página 38 .................................................................................................................45 Actividades página 39 .................................................................................................................45 Actividades página 40 .................................................................................................................46 Actividades página 41 .................................................................................................................47 DESAFÍO MATEMÁTICO............................................................................................................48 ACTIVIDADES FINALES ............................................................................................................50 OLIMPIADA MATEMÁTICA ........................................................................................................70 UNIDAD 3 – PROPORCIONALIDAD ..............................................................................................72 Actividades página 52 .................................................................................................................72 Actividades página 53 .................................................................................................................72 Actividades página 54 .................................................................................................................73 Actividades página 55 .................................................................................................................74 Actividades página 56 .................................................................................................................75 Actividades página 57 .................................................................................................................77 Actividades página 58 .................................................................................................................78

2

Actividades página 59 .................................................................................................................78 DESAFÍO MATEMÁTICO ...........................................................................................................80 ACTIVIDADES FINALES ............................................................................................................82 OLIMPIADA MATEMÁTICA ......................................................................................................101 UNIDAD 4 – POLINOMIOS ...........................................................................................................102 Actividades página 70 ...............................................................................................................102 Actividades página 71 ...............................................................................................................102 Actividades página 72 ...............................................................................................................103 Actividades página 73 ...............................................................................................................104 Actividades página 74 ...............................................................................................................105 Actividades página 75 ...............................................................................................................105 Actividades página 76 ...............................................................................................................106 Actividades página 77 ...............................................................................................................107 DESAFÍO MATEMÁTICO..........................................................................................................110 ACTIVIDADES FINALES ..........................................................................................................113 OLIMPIADA MATEMÁTICA ......................................................................................................129 UNIDAD 5 – ECUACIONES ..........................................................................................................131 Actividades página 88 ...............................................................................................................131 Actividades página 89 ...............................................................................................................131 Actividades página 90 ...............................................................................................................132 Actividades página 91 ...............................................................................................................133 Actividades página 92 ...............................................................................................................134 Actividades página 93 ...............................................................................................................135 DESAFÍO MATEMÁTICO..........................................................................................................137 ACTIVIDADES FINALES ..........................................................................................................139 OLIMPIADA MATEMÁTICA ......................................................................................................160 UNIDAD 6 – SISTEMAS DE ECUACIONES .................................................................................162 Actividades página 104 .............................................................................................................162 Actividades página 105 .............................................................................................................162 Actividades página 106 .............................................................................................................163 Actividades página 107 .............................................................................................................164 Actividades página 108 .............................................................................................................166 Actividades página 109 .............................................................................................................167 Actividades página 110 .............................................................................................................168 Actividades página 111 .............................................................................................................169 DESAFÍO MATEMÁTICO..........................................................................................................170 ACTIVIDADES FINALES ..........................................................................................................173 OLIMPIADA MATEMÁTICA ......................................................................................................203 UNIDAD 7 – SUCESIONES Y PROGRESIONES .........................................................................204 Actividades página 122 .............................................................................................................204 Actividades página 123 .............................................................................................................204

3

Actividades página 124 .............................................................................................................205 Actividades página 125 .............................................................................................................206 Actividades página 126 .............................................................................................................207 Actividades página 127 .............................................................................................................207 Actividades página 128 .............................................................................................................208 Actividades página 129 .............................................................................................................209 DESAFÍO MATEMÁTICO..........................................................................................................211 ACTIVIDADES FINALES ..........................................................................................................213 OLIMPIADA MATEMÁTICA ......................................................................................................237 UNIDAD 8 – GEOMETRÍA PLANA ...............................................................................................238 Actividades página 140 .............................................................................................................238 Actividades página 141 .............................................................................................................238 Actividades página 142 .............................................................................................................239 Actividades página 143 .............................................................................................................239 Actividades página 145 .............................................................................................................239 Actividades página 146 .............................................................................................................240 Actividades página 147 .............................................................................................................240 Actividades página 148 .............................................................................................................240 Actividades página 149 .............................................................................................................241 Actividades página 150 .............................................................................................................242 Actividades página 151 .............................................................................................................242 Actividades página 152 .............................................................................................................242 DESAFÍO MATEMÁTICO..........................................................................................................244 ACTIVIDADES FINALES ..........................................................................................................247 OLIMPIADA MATEMÁTICA ......................................................................................................263 UNIDAD 9 – POLIEDROS .............................................................................................................264 Actividades página 164 .............................................................................................................264 Actividades página 165 .............................................................................................................264 Actividades página 166 .............................................................................................................264 Actividades página 167 .............................................................................................................265 Actividades página 168 .............................................................................................................265 Actividades página 169 .............................................................................................................266 DESAFÍO MATEMÁTICO..........................................................................................................267 ACTIVIDADES FINALES ..........................................................................................................271 OLIMPIADA MATEMÁTICA ......................................................................................................286 UNIDAD 10 – CUERPOS DE REVOLUCIÓN ...............................................................................288 Actividades página 180 .............................................................................................................288 Actividades página 181 .............................................................................................................288 Actividades página 182 .............................................................................................................288 Actividades página 183 .............................................................................................................289 Actividades página 184 .............................................................................................................290 Actividades página 185 .............................................................................................................290

4

Actividades página 186 .............................................................................................................290 Actividades página 187 .............................................................................................................291 DESAFÍO MATEMÁTICO..........................................................................................................292 ACTIVIDADES FINALES ..........................................................................................................295 OLIMPIADA MATEMÁTICA ......................................................................................................309 UNIDAD 11 – MOVIMIENTOS EN EL PLANO .............................................................................311 Actividades página 198 .............................................................................................................311 Actividades página 199 .............................................................................................................311 Actividades página 200 .............................................................................................................312 Actividades página 201 .............................................................................................................313 Actividades página 202 .............................................................................................................314 Actividades página 203 .............................................................................................................315 DESAFÍO MATEMÁTICO..........................................................................................................316 ACTIVIDADES FINALES .........................................................................................................317 OLIMPIADA MATEMÁTICA ......................................................................................................340 UNIDAD 12 – FUNCIONES ...........................................................................................................341 Actividades página 214 .............................................................................................................341 Actividades página 215 .............................................................................................................341 Actividades página 216 .............................................................................................................342 Actividades página 217 .............................................................................................................343 Actividades página 218 .............................................................................................................343 Actividades página 219 .............................................................................................................343 Actividades página 220 .............................................................................................................344 Actividades página 221 .............................................................................................................345 DESAFÍO MATEMÁTICO..........................................................................................................346 ACTIVIDADES FINALES ..........................................................................................................348 OLIMPIADA MATEMÁTICA ......................................................................................................361 UNIDAD 13 – ESTADÍSTICA ........................................................................................................362 Actividades página 232 .............................................................................................................362 Actividades página 233 .............................................................................................................362 Actividades página 234 .............................................................................................................363 Actividades página 235 .............................................................................................................363 Actividades página 236 .............................................................................................................364 Actividades página 237 .............................................................................................................364 Actividades página 238 .............................................................................................................365 Actividades página 239 .............................................................................................................365 DESAFÍO MATEMÁTICO..........................................................................................................367 ACTIVIDADES FINALES ..........................................................................................................370 OLIMPIADA MATEMÁTICA ......................................................................................................380 UNIDAD 14 – PROBABILIDAD ....................................................................................................382 Actividades página 248 .............................................................................................................382 Actividades página 249 .............................................................................................................382

5

Actividades página 250 .............................................................................................................383 Actividades página 251 .............................................................................................................384 Actividades página 252 .............................................................................................................384 Actividades página 253 .............................................................................................................385 Actividades página 254 .............................................................................................................385 Actividades página 255 .............................................................................................................386 DESAFÍO MATEMÁTICO..........................................................................................................387 ACTIVIDADES FINALES ..........................................................................................................389 OLIMPIADA MATEMÁTICA ......................................................................................................396

6

UNIDAD REPASO   ACTIVIDADES PAG. 7

1. 2

5

2 5 2

12 : 6

6

2

6

13 13 5 5 :5 5 1 3 2

10

2 13

6

2

2 3

2

2

3

3

5 1 3

5

2

ACTIVIDADES PAG. 7

2. MCD 20,24,32 mcm 20,24,32

2 2

4 5 3

2

5 3

480 7

ACTIVIDADES PAG. 9

3. 3 botellas cuestan 3 45

1 botella cuesta 115

5 botellas cuestan 5 75 €

4.

80 0 5

40 km

Las dos ciudades distan entre sí 40 km: 40 110

0´3636363636364 h 21 81 minutos

8

UNIDAD 1. NÚMEROS RACIONALES

ACTIVIDADES PAG. 12

1. 1 de la tarta . 5

Si nos hubiéramos comido los

5 nos hubiéramos comido la tarta entera. 5

2.

a)

1 3 ,b) 2 4

ACTIVIDADES PAG. 13

3. a ) fracción decimal , b ) número mixto , c ) fracción propia , d ) fracción impropia , e ) número entero , f ) fracción impropia , g ) número mixto. 4. Fracciones impropias expresadas como números mixtos: 65 9 7 3 =1 , =1 56 56 4 4

Números mixtos expresados como fracciones impropias: 1 10 3 11 3 = , 2 = 3 3 4 4

9

5.

1 1 El primer pintor 3 . El segundo pintor 4 . 2 4 6.

3

1 toneladas. 2

7.

1 7 1 = toneladas. Como son siete los pescadores le corresponde tonelada de pescado a 2 2 2 cada uno. 3

ACTIVIDADES PAG. 14

8.

-5

-5

-

-4

-3

-2

-1

4

7

5

3

0

1

2

5

2 3

3

4

5

6

7

8

ACTIVIDADES PAG. 15

9.

a)

5 10 ≠ porque 5 · 6 ≠ 6 · 10 6 6

10

b)

4 12 = porque 4 · 21 = 7 · 12 7 21

c)

3 15 ≠ porque 3 · 50 ≠ 15 · 25 25 50

d)

2 8 = porque 2 · 36 = 8 · 9 9 36

10.

a)

60 60 : 60 1 = = { ya que MCD ( 60 , 120 ) = 60 } 120 120 : 60 2

b)

28 28 : 7 4 = = { ya que MCD ( 28 , 49 ) = 7 } 49 49 : 7 7

c)

432 432 : 432 1 = = { ya que MCD ( 432 , 2160 ) = 432 } 2160 2160 : 432 5

d)

84 84 : 12 7 = = { ya que MCD ( 84 , 96 ) = 12 } 96 96 : 12 8

e)

30 30 : 2 15 = = { ya que MCD ( 30 , 32 ) = 2 } 32 32 : 2 16

ACTIVIDADES PAG. 16

11.

a) −

3 602 1 1 50 , b ) −5 , c ) , d) ,e) − ,f) − 8 53 223 5 5

12.

Son las siguientes: b)

10 16 ,c) 25 40

11

ACTIVIDADES PAG. 17

13. a ) Denominador común 24 2 8 7 21 5 10 = , = , = 6 24 8 24 12 24

b ) Denominador común 140 3 95 2 28 4 40 = , = , = 4 140 10 140 14 140 c ) Denominador común 24 1 3 3 12 6 = , = , 8 24 6 24 24 d ) Denominador común 12 5 6 5 10 ,− , = 12 12 6 12 e ) Denominador común 30 8 24 3 18 7 14 = , = , = 10 30 5 30 15 30 f ) Denominador común 60 2 40 12 48 7 35 = ,− =− , = 3 60 15 60 12 60 14 .

2 8 5 10 7 21 = < = < = 6 24 12 24 8 24 2 28 4 40 3 95 b) = < = < = 10 140 14 140 4 140 1 3 6 3 12 c) = < < = 8 24 24 6 24 6 5 5 10 d) − < < = 12 12 6 12

a)

12

7 14 3 18 8 24 = < = < = 15 30 5 30 10 30 12 48 7 35 2 40 f) − =− < = < = 15 60 12 60 3 60

e)

15. a ) Denominador común 12 6 18 12 24 1 13 52 = < = < 4 = = 4 12 6 12 3 3 12

b ) Denominador común 18 5 23 69 2 17 102 1 64 128 3 = = 0 ⇒ La ecuación posee dos raíces reales y distintas c) Δ = 16 − 24 = −8 ⇒ Δ < 0 ⇒ La ecuación no posee raíces reales 7. Sea x el número de chicas que viaja en el transporte escolar. Los chicos son 2x.

x + 2 x = 51 ⇒ 3x = 51 ⇒ x = 17 En el trasporte viajan 17 chicas y 34 chicos. 8. Sean x- 1 y x los números buscados. 2 x 2 − ( x − 1) = 31 ⇒ x 2 − x 2 + 2 x − 1 = 31 ⇒ 2 x = 32 ⇒ x = 16

Los números buscados son 15 y 16 9. Sea x el número de kilos de pintura que utiliza para pintar la habitación inicialmente. Precio inicial Oferta Kilos 12 + x x 120 120 € / kg 12

€ 120 120 La diferencia entre la oferta y el precio inicial es de 2’25 €/kg. Se plantea la siguiente ecuación: 120 120 120( x + 12) − 120 x − = 2 '25 ⇒ = 2 '25 ⇒ 1440 = 2 ' 25 x 2 + 27 x ⇒ x x + 12 x( x + 12) −27 ± 729 + 12960 −27 ± 13689 −27 ± 117 ⎧20 = =⎨ 4 '5 4 '5 4 '5 ⎩−32 Inicialmente se comprarían 20 kilos de pintura. Aprovechando la oferta, se podría adquirir 32 kilos de pintura. ⇒ 2 '25 x 2 + 27 x − 1440 = 0 ⇒ x =

159

10.

Si el pantalón cuesta x €, la camisa cuesta

4 x €. 9

4 La ecuación resultante es: x x = 3600 ⇒ x 2 = 8100 ⇒ x = 90 9 El pantalón cuesta 90 € y la camisa 40 €. OLIMPIADA MATEMÁTICA PAG. 101

1. Los dos niños cruzan el río, quedando uno de ellos en la orilla opuesta mientras que

el otro vuelve con la barquita. A continuación, un adulto cruza al otro lado y el niño que está en la orilla opuesta vuelve con la barquita. Repetiremos este argumento de doble ida y doble vuelta tantas veces como adultos hay. 2. Consideremos la distribución: A B C D E F G H

I

Sea S la suma: S = ABC + DEF + GHI + ADG + BEH + CFI S =100(A + D + G + A + B + C) + 10(B + E + H + D + E + F) + (C + F + I + G + H + I) S = 200A + 110B + 101C + 110D + 20E + 11F + 101G + 11H + 2I S = (9 · 22 + 2 )A + (9 · 12 + 2)B + (9 · 11 + 2)C + (9 · 12 + 2)D + + (9 · 2 + 2)E + (9 + 2)F + (9 · 11 + 2)G + (9 + 2)H + (9 · 0 + 2)

160

S = 9 + 2(A + B + C + D + E + F + G + H + I )

S = 9 + 2 ⋅ 45 = 9 + 2 ⋅ 5 ⋅ 9 S = 9 + 9 S = 9

Como 2001 no es múltiplo de 9 no existe ninguna distribución para la que la suma indicada tome el valor dado. 3.

1 1 1 3n 2 + 6n + 2 + + = n n + 1 n + 2 n ⋅ (n + 1) ⋅ (n + 2)

Para que una fracción origine un número decimal periódico mixto, una vez reducida debe tener en el denominador algún factor primo del conjunto {2, 5} y alguno que no sea ni el 2 ni el 5. La fracción anterior tiene en el denominador, al menos, un factor 2 más que el numerador. En efecto, si n es par entonces n = 2k, por tanto: 1 1 1 3n 2 + 6 n + 2 12k 2 + 12k + 2 6k 2 + 6k + 1 + + = = = n n + 1 n + 2 n ⋅ (n + 1) ⋅ (n + 2) 2k ⋅ (2k + 1) ⋅ (2k + 2) 2k ⋅ (2k + 1) ⋅ (2k + 2)

El numerador es impar y el denominador es par. Si n es impar, n = 2k + 1. 1 1 1 3n 2 + 6n + 2 12k 2 + 24k + 11 + + = = n n + 1 n + 2 n ⋅ (n + 1) ⋅ (n + 2) (2k + 1) ⋅ (2k + 2) ⋅ (2k + 3)

El numerador es impar y el denominador es par. En ambos casos el denominador tiene, al menos, un factor 2 que no está en el numerador. Además, la expresión 1 1 1 3n 2 + 6n + 2 + + = n n + 1 n + 2 n ⋅ (n + 1) ⋅ (n + 2)

muestra que el numerador no contiene el factor primo 3 (da resto 2 al dividirlo entre 3), mientras el denominador al ser producto de tres números consecutivos es múltiplo de 3. 4.

Paso 1:

Paso 2:

Paso 3:

161

UNIDAD 6. Sistemas de ecuaciones

ACTIVIDADES PAG. 104

1. a ) ( x = - 4 , y = - 2 ) , ( x = 1 , y = 0 ) , ( x = 6 , y = 2 ) , ( x = 11 , y = 4 ) , ( x= 16 , y=6) 1 ,y=-1),(x=4,y=5), (x=1 b)(x=-5,y=-7),(x=-2,y=-3),(x=2 ,y=1) 2. a ) grado 1 b ) grado 2 ACTIVIDADES PAG. 105

3. a)

b)

Tienen la misma solución, por lo tanto, son equivalentes

162

ACTIVIDADES PAG. 106

4. a) ⎧2 x + y = 7 ⇒ y = 7 − 2 x ⎨ ⎩ x + 5 y = 17

x + 5 ( 7 − 2 x ) = 17

x + 35 − 10 x = 17 − 9 x = −18 x=2 y = 7 − 2x y =7−4 y=3

b) ⎧ 2 x + 3 y = −4 ⎨ ⎩x − 2 y = 5 ⇒ x = 2 y + 5 2 ( 2 y + 5 ) + 3 y = −4 4 y + 10 + 3 y = −4 7 y = −14 y = −2 x = −4 + 5 x =1

c) ⎧ x − 5 y = 12 ⇒ x = 5 y + 12 ⎨ ⎩4 x + 3 y = 2 4 ( 5 y + 12 ) + 3 y = 2 20 y + 48 + 3 y = 2 23 y = −46 y = −2 x = −10 + 12 x=2

163

d) ⎧5 x − 3 y = 19 ⎨ ⎩2 x + y = 1 ⇒ y = 1 − 2 x 5 x − 3 (1 − 2 x ) = 19 5 x − 3 + 6 x = 19 11x = 22 x=2 y = 1− 4 y = −3 ACTIVIDADES PAG. 107

5. a)

6 − 2x ⎧ ⎪2 x + 5 y = 6 ⇒ y = 5 ⎨ ⎪⎩6 x − y = 2 ⇒ y = 6 x − 2 6 − 2x = 6x − 2 5 6 − 2 x = 30 x − 10 32 x = 16 1 2 y = 6x − 2 y = 3− 2 x=

y =1

164

b) ⎧x + 2 y = 5 ⇒ x = 5 − 2 y ⎪ ⎨ 4 y + 10 ⎪⎩3x − 4 y = 10 ⇒ x = 3 4 y + 10 = 5− 2y 3 4 y + 10 = 15 − 6 y 10 y = 5 5 10 1 y= 2 x = 5− 2y y=

x = 5 −1 y=4

c) ⎧x + 3y = 2 ⇒ x = 2 − 3y ⎨ ⎩x − 6 y = 5 ⇒ x = 5 + 6 y 5 + 6 y = 2 − 3y 9 y = −3 3 y=− 9 1 y=− 3 x = 2 − 3y x = 2 +1 x=3

d) 7y − 4 ⎧ ⎪⎪2 x − 7 y = −4 ⇒ x = 2 ⎨ ⎪3x + 2 y = 19 ⇒ x = 19 − 2 y ⎪⎩ 3 7 y − 4 19 − 2 y = 2 3 21y − 12 = 38 − 4 y 25 y = 50 y=2 7y − 4 2 x=5

x=

165

ACTIVIDADES PAG. 108

6. a)

⎧ − x + 2 y =−1 ⎨ ⎩ x + 5 y = 22

⎧x − 2 y = 1 ⇒ ⎨ ⎩ x + 5 y = 22

___________________________

7 y = 21 y=3 x = 1+ 2 y x=7 b) ⎧x + 2 y = 6 ⇒ ⎨ ⎩2 x − y = 7

⎧ x + 2 y =6 ⎨ ⎩4 x − 2 y =14

___________________________

5 x = 20 x=4 y = 2x − 7 y =1 c) ⎧x − y = 4 ⇒ ⎨ ⎩2 x − 5 y = 14

⎧ − 2 x + 2 y =−8 ⎨ ⎩ 2 x − 5 y =14

___________________________

− 3y = 6

y = −2 x = 4+ y x=2

166

d) ⎧3 x + 5 y = 2 ⇒ ⎨ ⎩4 x − 3 y = 7

⎧ 9 x + 15 y = 6 ⎨ ⎩ 20 x − 15 y = 35

___________________________

29 x = 41 x=

41 29

⎧ 12 x + 20 y =8 ⎨ ⎩ −12 x + 9 y =−21

___________________________

29 y = −13 y=−

13 29

ACTIVIDADES PAG. 109

7. a)

b)

c)

167

ACTIVIDADES PAG. 110

8. a)

⎧ x + 6y =1 ⎧2( x + 3 y ) − x = 1 ⎧2 x + 6 y − x = 1 ⎪ ⇒ ⇒ ⎨ ⎨ ⎨ − x − 5 y = −2 ⎩ x − (2 x + 5 y ) = −2 ⎩ x − 2 x − 5 y = −2 ⎪ ___________________ ⎩ y = −1 x + 6 y = 1 ⇒ x = 1− 6 y ⇒ x = 1+ 6 ⇒ x = 7 b) ⎧ x ⎧x ⎪− + y = 1 − y = − 1 ⎪⎪ 3 ⎪ 3 ⇒ ⎨ ⎨ x ⎪ x + 2 y = 11 ⎪ + 2 y = 11 ⎪⎩ 3 ⎪ 3 ⎩ ___________________ 3 y = 12 ⇒ y =

12 ⇒ y=4 3

⎧2 ⎧x 1 − y = − ⎪ 3 x − 2 y = −2 ⎪⎪ 3 ⎪ ⇒⎨ x ⎨ + 2 y = 11 ⎪ x + 2 y = 11 ⎪ 3 ⎪⎩ 3 ⎪⎩ _____________________ 3 x =9⇒ x=9 3 c) y −1 ⎧ x − =4 ⎧2 x − y + 1 = 8 ⎪⎪ ⎪⎧2 x − ( y − 1) = 8 2 ⇒⎨ ⇒⎨ ⇒ ⎨ 2 1 x y − + 3 6 2 2 24 x y − + + = 3 2 2 1 24 x y − + + = ( ) ( ) ⎩ ⎪ ⎪ + =4 ⎩ ⎪⎩ 2 3 ⎧4 x − 2 y = 14 ⎧2 x − y = 7 ⎪ ⇒⎨ ⎨ ⎩3x + 2 y = 28 ⎪3x + 2 y = 28 ⎩ __________________ 7 x = 42 ⇒ x = 6 2 x − y = 7 ⇒ 12 − y = 7 ⇒ y = 5

168

ACTIVIDADES PAG. 111

9. Sean x e y los números buscados. x + y = 57 ⎧ x + y = 57 ⎪⎧ ⇒ ⎨ ⎨ x − y = 15 ⎩ x − y = 15 ⎪⎩ _______________ 2 x = 72 ⇒ x = 36 x − y = 15 ⇒ 36 − y = 15 ⇒ y = 21

10. Sea x los euros que cuesta la caja de té jazmín e y los euros que cuesta la caja de té rojo:

2 x + 3 y = 14 ⎧⎪ ⎧2 x + 3 y = 14 ⇒ ⎨ −15 x − 3 y = −46 '5 ⎨ ⎩5 x + y = 15'5 ⎪⎩ _____________________________ − 13 x = −32 '5 ⇒ x = 2 '5 5 x + y = 15'5 ⇒ y = 15'5 − 5 x ⇒ y = 15'5 − 12 '5 ⇒ y = 3 Cada cajita de té jazmín cuesta 2’5 € y de té rojo 3 €

11. Sea x el número de monedas de 2 € e y el número de monedas de 50 céntimos de euro. ⎧−0 '5 x − 0 '5 y = −6 ⎧ x + y = 12 ⎪ ⇒⎨ ⎨ ⎩2 x + 0 '5 y = 15 ⎪ 2 x + 0 '5 y = 15 ⎩ _____________________________ 1'5 x = 9 ⇒ x = 6 x + y = 12 ⇒ y = 12 − x ⇒ y = 12 − 6 ⇒ y = 6

Entrega 6 monedas de cada clase

169

DESAFÍO MATEMÁTICO PAG. 112

1.

Velocidad: 276

: 60

46

170

Distancia Madrid-Cuenca: 4′ 6

45 min

207 km

Distancia Cuenca-Valencia: 4′ 6

44 min

184 km

Distancia Cuenca-Albacete: 4′ 6

26 min

119′ 6 km

120 km

2.

Sea el tiempo en horas que tarda en llegar el AVE, llegar el mercancías a su destino. 36 60 60 391

240 240

60 1 71 60

11 60 3 5

391

60 300

391 355 300

355

71 60

1h y 11 minutos 107 60

1

el AVE recorre

b)

47 60

1 hora y 47 minutos 240

h

284 km

km 107 h 107 km h 60 Se cruzan a 107 km de Madrid ó 284 km de Valencia.

í

a)

3 5

240

3 5

el tiempo en horas que tarda en

: 60

3.

Distancia Madrid-Albacete: 207 + 120 = 327 km ; Tiempo de llegada a Madrid del AVE procedente de Albacete:

1h 27 minutos

1h 37 minutos Tiempo de llegada a Madrid del AVE procedente de Valencia: a. El AVE que llega primero a Madrid es el procedente de Albacete. b. El AVE procedente de Albacete llega a Madrid 5 minutos antes que el procedente de Valencia. c. Cuando se produce el encuentro entre el AVE procedente de Valencia y el mercancías, el AVE lleva 1h y 11 minutos de trayecto. Todavía le queda: 1hora 37 minutos – 1hora 11 minutos = 26 minutos de trayecto.

171

En esos 26 minutos que emplea el Ave procedente de Valencia en llegar a Atocha, el 26 km mercancías recorre: 60 Cuando el AVE procedente de Albacete llega a Atocha, el mercancías se encuentra a 60 87′ 2km de Madrid. En el momento que el AVE procedente de Valencia llega a Atocha, el mercancías se encuentra a 107 26 133 km de Madrid Haciéndolo directamente, en el momento que el AVE procedente de Valencia llega a Atocha, el mercancías se encuentra a 60 1 133 km de Madrid. Como el AVE procedente de Albacete llega 5 minutos antes que el procedente de Valencia, el mercancías circula 5 minutos menos que el AVE procedente de Valencia, esto es 26 – 5 = 21 minutos más, desde el m omento que se produce el encuentro en ese tiempo el mercancías recorre 60 21 km . En el momento que el AVE procedente de Albacete llega a Atocha, el mercancías se encuentra a 107 21 128 km de Madrid Otra forma de verlo: Cuando el AVE de Albacete llega a Atocha, el mercancías lleva 2 horas y 8 minutos circulando = horas. En ese tiempo el mercancías ha recorrido 60

128 km.

4.

a. El tiempo de permanencia en la vía de ambos trenes es el mismo. Sea el espacio recorrido por el mercancías al salir de Cuenca, hasta que resulta alcanzado por el AVE. espacio recorrido por el AVE - espacio recorrido por el mercancías = Sustituyendo en la ecuación de arriba, recordando que 207 330 60 207 270 207 horas 270 b. Distancia punto alcance a Cuenca: 60

, tenemos: 46 minutos

46 km.

Distancia punto alcance a Madrid: 207 46 253 km (Directamente: espacio = velocidad · tiempo 330 253 km) Distancia punto alcance a Valencia: 184 46 138 km

172

ACTIVIDADES FINALES PAG. 114

12. a)

⎧x − 2 y = 2 ⇒ x = 2 y + 2 ⎨ ⎩3x − 7 y = 4 3x − 7 y = 4 ⇒ 3 ( 2 y + 2 ) − 7 y = 4 ⇒ 6 y + 6 − 7 y = 4 ⇒ y = 2 x = 2 y + 2 ⇒ x = 2·2 + 2 ⇒ x = 6

173

b) ⎧ x − y = −6 ⇒ x = y − 6 ⎨ ⎩5 x − y = 6 5 x − y = 6 ⇒ y = 5 x − 6 ⇒ y = 5 ( y − 6 ) − 6 ⇒ y = 5 y − 36 ⇒ 4 y = 36 ⇒ y = 9 x = y−6⇒ x = 9−6⇒ x = 3 c) ⎧5 x − 2 y = 4 ⎨ ⎩2 x + y = 7 ⇒ y = 7 − 2 x 5 x − 2 y = 4 ⇒ 5 x − 2 ( 7 − 2 x ) = 4 ⇒ 5 x − 14 + 4 x = 4 ⇒ 9 x = 18 ⇒ x = 2 y = 7 − 2 x ⇒ y = 7 − 2·2 ⇒ y = 3

d) 8−7y ⎧ ⎪2 x + 7 y = 8 ⇒ x = 2 ⎨ ⎪⎩6 x − 2 y = 1 8−7y − 2 y = 1 ⇒ 24 − 21y − 2 y = 1 ⇒ 23 y = 23 ⇒ y = 1 2 8−7y 8−7 1 x= ⇒x= ⇒ x= 2 2 2

6 x − 2 y = 1 ⇒ 6·

13. a) ⎧2 x − y = 9 ⇒ y = 2 x − 9 ⎨ ⎩3 x − 2 y = 11 3 x − 2 y = 11 ⇒ 3 x − 2 ( 2 x − 9 ) = 11 ⇒ 3 x − 4 x + 18 = 11 ⇒ x = 7 y = 2 x − 9 ⇒ y = 14 − 9 ⇒ y = 5

b) 17 − 6 y ⎧ ⎪5 x + 6 y = 17 ⇒ x = 5 ⎨ ⎪⎩15 x − 4 y = −4 17 − 6 y 5 15 x − 4 y = −4 ⇒ 15· − 4 y = −4 ⇒ 51 − 18 y − 4 y = −4 ⇒ 22 y = 55 ⇒ y = 5 2 x=

17 − 6 y 17 − 15 2 ⇒x= ⇒ x= 5 5 5

174

c) ⎧10 x + 6 y = 20 ⎨ ⎩5 x − y = −2 ⇒ y = 5 x + 2 10 x + 6 y = 20 ⇒ 5 x + 3 y = 10 ⇒ 5 x + 3 ( 5 x + 2 ) = 10 ⇒ 5 x + 15 x + 6 = 10 ⇒ 20 x = 4 ⇒ x =

1 5

1 y = 5 x + 2 ⇒ y = 5· + 2 ⇒ y = 3 5

d) ⎧3 x − y = 14 ⇒ y = 3 x − 14 ⎨ ⎩ x + y = 42 x + y = 42 ⇒ x + ( 3 x − 14 ) = 42 ⇒ 4 x = 56 ⇒ x = 14 y = 3 x − 14 ⇒ y = 3·14 − 14 ⇒ y = 28

14. a) ⎧4 x − y = 7 ⇒ y = 4 x − 7 ⎪ ⎨ 13 − x ⎪⎩ x + 2 y = 13 ⇒ y = 2 13 − x = 4 x − 7 ⇒ 13 − x = 8 x − 14 ⇒ 9 x = 27 ⇒ x = 3 2 y = 4 x − 7 ⇒ y = 4·3 − 7 ⇒ y = 5

b) ⎧2 x + y = 33 ⇒ y = 33 − 2 x ⎪ ⎨ 44 − x ⎪⎩ x + 3 y = 44 ⇒ y = 3 44 − x ⇒ 99 − 6 x = 44 − x ⇒ 5 x = 55 ⇒ x = 11 3 y = 33 − 2 x ⇒ y = 33 − 2·11 ⇒ y = 11

33 − 2 x =

c) ⎧x − 7 y = 4 ⇒ x = 4 + 7 y ⎪ ⎨ 3 + 19 y ⎪⎩2 x − 19 y = 3 ⇒ x = 2 3 + 19 y ⇒ 8 + 14 y = 3 + 19 y ⇒ 5 = 5 y ⇒ y = 1 2 x = 4 + 7 y ⇒ x = 4 + 7·1 ⇒ x = 11

4+ 7y =

175

d) ⎧14 x + y = 51 ⇒ y = 51 − 14 x ⎨ ⎩7 x + y = 50 ⇒ y = 50 − 7 x 50 − 7 x = 51 − 14 x ⇒ 7 x = 1 ⇒ x =

1 7

1 y = 50 − 7 x ⇒ y = 50 − 7· ⇒ y = 49 7

15. a) ⎧2 x − y = 11 ⇒ y = 2 x − 11 ⎪ ⎨ 3 x − 12 ⎪⎩3 x − 2 y = 12 ⇒ y = 2 3 x − 12 = 2 x − 11 ⇒ 3 x − 12 = 4 x − 22 ⇒ − x = −10 ⇒ x = 10 2 y = 2 x − 11 ⇒ y = 2·10 − 11 ⇒ y = 9

b) ⎧2 x + y = 1 ⇒ y = 1 − 2 x ⎪ ⎨ −5 x − 2 ⎪⎩5 x + 2 y = −2 ⇒ y = 2 −5 x − 2 = 1 − 2 x ⇒ −5 x − 2 = 2 − 4 x ⇒ − x = 4 ⇒ x = −4 2 y = 1 − 2 x ⇒ y = 1 − 2·( −4 ) ⇒ y = 9

c) ⎧ x + 13 y = 14 ⇒ x = 14 − 13 y ⎪ ⎨ 29 − 39 y ⎪⎩2 x + 39 y = 29 ⇒ x = 2 29 − 39 y 1 = 14 − 13 y ⇒ 29 − 39 y = 28 − 26 y ⇒ −13 y = −1 ⇒ y = 2 13 1 x = 14 − 13 y ⇒ x = 14 − 13· ⇒ x = 13 13

176

d) ⎧x − 2 y = 4 ⇒ x = 4 + 2 y ⎪ ⎨ 7− y ⎪⎩ −2 x + y = 7 ⇒ x = −2 7− y = 4 + 2 y ⇒ 7 − y = −8 − 4 y ⇒ 3 y = −15 ⇒ y = −5 −2 x = 4 + 2 y ⇒ x = 4 + 2·( −5 ) ⇒ x = −6

16. a)

⎧ x − y =−2 ⎨ ⎩x+ y =4

⎧ x − y = −2 ⇒ ⎨ ⎩x + y = 4

⎧− x + y = 2 ⎨ ⎩ x + y =4

___________________________

___________________________

2x = 2

2y = 6

x =1

y=3

b)

⎧ x + 2 y =10 ⎨ ⎩6 x − 2 y = 4

⎧ x + 2 y = 10 ⇒ ⎨ ⎩3x − y = 2

⎧ − 3x − 6 y =−30 ⎨ ⎩ 3x − y = 2

___________________________

___________________________

7 x = 14

− 7 y = −28

x=2

c)

2

3

3 12 ____________ 15

y=4

2 2

3

3 2 24 __________________ 3

21

7

d) ⎧5 x + 2 y = −5 ⇒ ⎨ ⎩ x + 4 y = 17

⎧ −10 x − 4 y =10 ⎨ ⎩ x + 4 y =17

___________________________

− 9 x = 27 x = −3

⎧ 5 x + 2 y =− 5 ⎨ ⎩ − 5x − 20 y =−85

___________________________

− 18 y = −90 y=5

177

17. a)

⎧3x + 4 y = 3 ⇒ ⎨ ⎩4 x + 3 y = 18

⎧ − 9 x − 12 y =−9 ⎨ ⎩ 16 x + 12 y = 72

___________________________

7 x = 63 x=9

⎧ 12 x +16 y =12 ⎨ ⎩ − 12 x − 9 y =−54

___________________________

7 y = −42 y = −6

b)

⎧ 2 x + 6 y =14 ⎨ ⎩ 3x − 6 y = 6

⎧x + 3y = 7 ⇒ ⎨ ⎩x − 2 y = 2

___________________________

⎧ − x − 3 y =−7 ⎨ ⎩ x −2 y = 2

___________________________

5 x = 20

− 5 y = −5

x=4

y =1

c)

⎧12 x + y = 13 ⇒ ⎨ ⎩30 x − y = 1

⎧ 12 x + y =13 ⎨ ⎩ 30 x − y =1

___________________________

42 x = 14 x=

1 3

⎧− 360 x −30 y =−390 ⎨ ⎩ 360 x −12 y =1 2 ___________________________

− 42 y = −378 y=9

d) ⎧x − 5y = 1 ⇒ ⎨ ⎩ x + 4 y = 19

⎧ 4 x − 20 y = 4 ⎨ ⎩ 5 x + 20 y =95

___________________________

9 x = 99 x = 11

⎧ − x + 5 y =−1 ⎨ ⎩ x + 4 y =19

___________________________

9 y = 18 y=2

178

18.

a) ⎧−10 x − 2 y = −2 ⎧5 x + y = 1 ⎪ ⇒⎨ ⎨ ⎩7 x + 2 y = 5 ⎪ 7 x + 2 y = 5 ⎩ _____________________ − 3 x = 3 ⇒ x = −1 5 x + y = 1 ⇒ y = 1 − 5 x ⇒ y = 1 − 5·( −1) y = 6 b) ⎧3 x + 5 y = −4 ⇒ ⎨ ⎩5 x + 3 y = 4

⎧ ⎨ ⎩

− 9 x − 15 y =12 25 x + 15 y = 20

___________________________

16 x = 32 x=2

⎧ − 15 x − 25 y = 20 ⎨ ⎩ 15 x + 9 y = 12

___________________________

− 16 y = 32 y = −2

c) ⎧3 x − 5 y = 1 ⇒ ⎨ ⎩2 x − 5 y = 4

⎧ 3x − 5 y = 1 ⎨ ⎩ − 2 x + 5 y =−4

___________________________

x = −3

⎧ − 6 x +10 y =−2 ⎨ ⎩ 6 x − 15 y = 12

___________________________

− 5 y = 10 y = −2

d) ⎧25 x + y = 51 ⇒ ⎨ ⎩ 5 x + y = 11

⎧ ⎨ ⎩

25 x + y = 51 − 5x − y =−11

___________________________

20 x = 40 x=2

⎧ 25x + y = 51 ⎨ ⎩ − 25 x −5 y =−55

___________________________

− 4 y = −4 y =1

179

19.

a) ⎧x + 7 y = 7 ⇒ ⎨ ⎩ 2 x + 5 y = −4

⎧ − 2 x −14 y =−14 ⎨ ⎩ 2x + 5 y = −4

___________________________

− 9 y = −18 y=2 x + 7 y = 7 ⇒ x = 7 − 7 y ⇒ x = 7 − 7·2 ⇒ x = −7

b) ⎧x − 4 y = 1 ⇒ x = 1+ 4 y ⎨ ⎩5 x − 19 y = 3 5 x − 19 y = 3 ⇒ 5 (1 + 4 y ) − 19 y = 3 ⇒ 5 + 20 y − 19 y = 3 ⇒ y = −2 x = 1 + 4 y ⇒ x = 1 + 4·( −2 ) ⇒ x = −7

c) ⎧ 25 x + y = 51 ⇒ ⎨ ⎩50 x + y = 52

⎧ − 25 x − y = − 51 ⎨ ⎩ 50x + y = 52

___________________________

25 x = 1 x=

1 25

⎧ − 50 x − 2 y = −102 ⎨ ⎩ − 50 x + y = 52 ___________________________

− y = −50 y = 50

d) ⎧3 x + 2 y = 5 ⇒ ⎨ ⎩9 x + 4 y = 12

⎧ − 9 x − 6 y = −15 ⎨ ⎩ 9 x + 4 y = 12

___________________________

− 2 y = −3 y=

3 2

⎧ −6 x − 4 y = −10 ⎨ ⎩ 9 x + 4 y = 12

___________________________

3x = 2 x=

2 3

180

20.

a)

⎧ 5x + 2 y =3 ⎨ ⎩ −4 x − 2 y = 2

⎧5 x + 2 y = 3 ⇒ ⎨ ⎩ 2 x + y = −1

___________________________

x=5 2 x + y = −1 ⇒ y = −1 − 2 x ⇒ y = −1 − 2·5 ⇒ y = −11

b) ⎧3x + 5 y = 8 ⇒ ⎨ ⎩ 2 x + 5 y = −3

⎧ 3x + 5 y =8 ⎨ ⎩ −2 x − 5 y = 3

___________________________

x = 11 2 x + 5 y = −3 ⇒ 2·11 + 5 y = −3 ⇒ 5 y = −25 ⇒ y = −5

c) ⎧2 x + y = 2 ⇒ ⎨ ⎩5 x + 2 y = 1

⎧ −4 x − 2 y =−4 ⎨ ⎩ 5 x + 2 y =1

___________________________

x = −3 2 x + y = 2 ⇒ y = 2 − 2 x ⇒ y = 2 − 2·( −3) ⇒ y = 8

d) ⎧ x + 15 y = 19 ⇒ x = 19 − 15 y ⎨ ⎩ x + 25 y = −1 ⇒ x = −1 − 25 y 19 − 15 y = −1 − 25 y ⇒ 10 y = −20 ⇒ y = −2 x = −1 − 25 y ⇒ x = −1 + 50 ⇒ x = 49

181

21. a)

⎧9 x − 2 y = 5 ⇒ ⎨ ⎩ 2 x − 5 y = 33

⎧ 45x − 10 y = 25 ⎨ ⎩ −4 x + 10 y =− 66

⎧ − 18x + 4 y =− 10 ⎨ ⎩ 18 x − 45 y = 297

___________________________

___________________________

− 41y = 287

41x = −41

y = −7

x = −1

b) 3 ⎧ ⎪⎪5 x + 8 y = 4 ⎧ 40 x + 3 y = 32 ⇒ ⎨ ⇒ ⎨ 1 ⎪2 x + y = 3 ⎩ 4x + y =6 ⎪⎩ 2 ___________________________

⎧ 40 x + 3 y = 32 ⎨ ⎩ −12 x − 3 y =−18

___________________________

⎧ ⎨ ⎩

−40 x − 3 y =−32 40 x +10 y = 60

___________________________

28 x = 14 x=

7 y = 28

1 2

y=4

c)

1 ⎧ ⎪4 x + y = −1 ⎧ 28 x + y = −7 ⇒⎨ ⇒ 7 ⎨ ⎩ 6x + y = 4 ⎪⎩6 x + y = 4

⎧ 28x + y =−7 ⎨ ⎩ −6x − y =−4

___________________________

22 x = −11 x=−

1 2

⎧ ⎨ ⎩

−168 x − 6 y = 42 168 x + 28 y =112

___________________________

22 y = 154 y=7

182

d) ⎧x + 3y = 4 ⎧ x + 3y = 4 ⎪ ⇒⎨ ⇒ ⎨x ⎪⎩ 9 + 2 y = 1 ⎩ x + 18 y = 9

⎧ −18x − 54 y =−72 ⎨ ⎩ 3x + 54 y = 27

⎧ − x − 3 y =−4 ⎨ ⎩ x +18 y = 9

___________________________

___________________________

15 y = 5 y=

− 15 x = −45

1 3

x=3

e) y ⎧ ⎪⎪ x + 5 = −2 ⎧5 x + y = −10 ⇒⎨ ⇒ ⎨ ⎪ x + y = 2 ⎩ 3 x + 5 y = 60 ⎪⎩10 6

⎧ − 15x − 3 y = 30 ⎨ ⎩ 15 x + 25 y =300

⎧⎪25 x + 5 y = −50 ⎨ ⎪⎩−3x − 5 y = −60

___________________________

___________________________

22 y = 330

22 x = −110

y = 15

x = −5

f) 10 2

7

7 10

7 70 10 35 ________________ 17 105

70 35 70 10 700 70 7 245 _______________________ 17 455

183

184

22. a) ⎧x+ y ⎪⎪ 5 + y = 7 ⎪⎧ x + y + 5 y = 35 ⎧ x + 6 y = 35 ⇒⎨ ⇒⎨ ⎨ ⎩⎪5 x − ( x + y ) = 15 ⎩ 4 x − y = 15 ⎪x − x + y = 3 ⎪⎩ 5 ⎧⎪ x + 6 y = 35 ⎨ ⎪⎩ 24 x − 6 y = 90

___________________________

25 x = 125

⎧⎪ −4 x − 24 y = −140 ⎨ ⎪⎩ 4 x − y = 15

________________________________

− 25 y = −125

x=5

y=5

b) ⎧ x + 2y ⎪⎪ 2 − 4 = 1 ⎧ x + 2y −8 = 2 ⎧ x + 2 y = 10 ⇒ x = 10 − 2 y ⇒⎨ ⇒⎨ ⎨ ⎪ x + 2 y + 3 = 5 ⎩3x + 2(2 y + 3) = 30 ⎩3x + 4 y = 24 ⎪⎩ 2 3 3x + 4 y = 24 ⇒ 3 (10 − 2 y ) + 4 y = 24 ⇒ 30 − 6 y + 4 y = 24 ⇒ 30 − 2 y = 24 ⇒ 2 y = 6 ⇒ y = 3 x = 10 − 2 y ⇒ x = 10 − 6 ⇒ x = 4

23. a)

⎧ y=4 ⎧⎪( x + y ) − 4 = x ⎪ ⇒⎨ ⎨ 4 − 3y ⇒ x = −4 ⎪⎩2 ( 2 x + 3 y ) + 5 = 13 ⎪4 x + 6 y = 8 ⇒ 2 x + 3 y = 4 ⇒ x = 2 ⎩ b) ⎧⎪ x − ( y + 1) = −3 ⎧ x − y = −2 ⇒ x = y − 2 ⇒⎨ ⎨ ⎪⎩ 2 x + 5 y = 31 ⎩2 x + 5 y = 31 2 x + 5 y = 31 ⇒ 2·( y − 2 ) + 5 y = 31 ⇒ 7 y = 35 ⇒ y = 5 x = y−2⇒ x =3

185

24. a) ⎧ 1 ⎪ 10 y = 1 ⇒ y = 10 ⎧5( x + y ) − 5( x − y ) = 1 ⎧ 5x + 5 y − 5x + 5 y = 1 ⎪ ⇒⎨ ⇒⎨ ⎨ ⎩5( x + y ) + 5( x − y ) = 2 ⎩5 x + 5 y + 5 x − 5 y = 2 ⎪10 x = 2 ⇒ x = 1 ⎪ 5 ⎩

b) ⎧x+ y − ( x − y) = 1 ⎪⎪ 3 ⎪⎧ x + y − 3 ( x − y ) = 3 ⎧ x + y − 3 x + 3 y = 3 ⎧−2 x + 4 y = 3 ⇒⎨ ⇒⎨ ⇒⎨ ⎨ − 3 x y − + = 6 9 3 2 x x y ( ) 1 − − = 6 3(3 ) 2 x x y ⎪ ⎩ ⎩−3 x + 3 y = 2 ⎩ ⎪x − = ⎪⎩ 2 3 ⎧⎪−6 x + 12 y = 9 ⎨ ⎪⎩12 x − 12 y = −8

___________________________

6x = 1 x=

1 6

⎧⎪ −6 x + 12 y = 9 ⎨ ⎪⎩ 6 x − 6 y = −4

________________________________

6y = 5 y=

5 6

c) ⎧ 3x + y 2 x + =1 ⎧ 9 x + 3 y + 16 x = 24 ⎧ 25 x + 3 y = 24 ⎪⎪ 8 3 ⇒⎨ ⇒⎨ ⇒ ⎨ − + − − − = − = x y x y x y x y x y 1 2 2 2 3 2 ⎩ ⎩ ⎪ − = ⎪⎩ 3 6 3 ⎧⎪25 x + 3 y = 24 ⎨ ⎪⎩ x − 3 y = 2

___________________________

26 x = 26 x =1

⎧⎪ 25 x + 3 y = 24 ⎨ ⎪⎩ −25 x + 75 y = −50

________________________________

78 y = −26 y=−

1 3

186

25.

a) ⎧55 x + 22 y = 121 ⎧ 5 x + 2 y = 11 ⎪ ⇒⎨ ⇒ ⎨x ⎩x + 4 y = 4 ⎪⎩ 4 + y = 1 ⎧⎪10 x + 4 y = 22 ⎨ ⎪⎩ − x − 4 y = − 4

___________________________

⎧⎪ 5 x + 2 y = 11 ⎨ ⎪⎩ −5 x − 20 y = −20

________________________________

9 x = 18

− 18 y = −9

x=2

y=

1 2

b) ⎧x+ y ⎪⎪ 3 + 2 y = 6 ⎧ x + y + 6 y = 18 ⎧ x + 7 y = 18 ⇒⎨ ⇒⎨ ⇒ ⎨ ⎩2 x − x + y = 3 ⎩ x+ y =3 ⎪x − x − y = 3 ⎪⎩ 2 2 ⎧⎪ x + 7 y = 18 ⎨ ⎪⎩ −7 x − 7 y = −21

___________________________

⎧⎪ x + 7 y = 18 ⎨ ⎪⎩ − x − y = −3

________________________________

− 6 x = −3

6 y = 15

1 2

y=

x=

5 2

c)

⎧x + 7 y = 8 ⎧x + 7 y = 8 ⎧ − x − 7 y = −8 ⎪ ⇒⎨ ⇒ ⎨ ⎨x ⎩ x + 343 y = 56 ⎪⎩ 7 + 49 y = 8 ⎩ x + 343 y = 56 ___________________________ 336 y = 48 y=

1 7

x + 7 y = 8 ⇒ x +1 = 8 ⇒ x = 7

187

d) 1 ⎧ 1 ⎧ ⎧⎪−9 x − 16 y = −15 ⎪⎪ 3x + 3 y ⎪ 3 x + y + 5 y = 5 ⎧ 9 x + 16 y = 15 y 1 + = ⇒⎨ ⇒⎨ ⇒⎨ 3 ⎨ 5 ⎩ 6x + 4 y = 5 ⎪⎩ 24 x + 16 y = 20 ⎪ ⎪⎩6 x + 4 y = 5 6 4 5 x y + = ___________________________ ⎩⎪ 15 x = 5

x= 6x + 4 y = 5 ⇒ 2 + 4 y = 5 ⇒ 4 y = 3 ⇒ y =

26. a)

1 3

3 4

⎧⎪10 ( x + y ) − 15 ( x − 2 y ) = −17 ⎧ 10 x + 10 y − 15 x + 30 y = −17 ⎧−5 x + 40 y = −17 ⇒⎨ ⇒⎨ ⎨ ⎩6 x + 3 y − 4 x + 2 y = 11 ⎩ 2 x + 5 y = 11 ⎪⎩3 ( 2 x + y ) − 2 ( 2 x − y ) = 11 ⎧− 5 x + 40 y = −17 ⎪ ⇒⎨ −16 x − 40 y = − 88 ⎪ _______________________ ⎩ − 21x = −105 x=5 2 x + 5 y = 11 ⇒ 10 + 5 y = 11 ⇒ 5 y = 1 ⇒ y =

1 5

b) x + y 11 ⎧ ⎧⎪18 x + 6 y = 11 ⎪⎪ x + 2 = 12 ⎧12 x + 6 x + 6 y = 11 ⎧ 18 x + 6 y = 11 ⇒⎨ ⇒⎨ ⇒ ⎨ ⎨ ⎩12 x − 6 x + 6 y = 5 ⎩ 6x + 6 y = 5 ⎪⎩ −6 x − 6 y = −5 ⎪x − x − y = 5 ___________________________ ⎪⎩ 2 12 12 x = 6 x= 6x + 6 y = 5 ⇒ 3 + 6 y = 5 ⇒ 6 y = 2 ⇒ y =

1 2

1 3

188

c)

161 75

10 2

2

3 2

5

13

1072 77 450 23 8 130 1072

77

8576

1771

23

450

8 1072

10010

130

75 322 2 5 13 13

23 77

3600

23 2 130 8

8

27. a)

750 10

450 130

130 23

130 8

6805

450

13610

2

22

⎧5 ( x + y ) − 10 ( 2 x − y ) = −3 ⎧5 x + 5 y − 20 x + 10 y = −3 ⎪ ⇒ ⎨ 3x − y 3 ( 4 x − 3 y ) 5 ⇒ ⎨ + = ⎩6 x − 2 y + 12 x − 9 y = 5 ⎪ ⎩ 2 4 4 5x − 1 1 ⎧ ⇒ y = x− ⎧−15 x + 15 y = −3 ⎪−5 x + 5 y = −1 ⇒ y = ⇒⎨ ⇒⎨ 5 5 ⎩ 18 x − 11y = 5 ⎪⎩ 18 x − 11 y = 5 1⎞ 14 2 ⎛ 18 x − 11 y = 5 ⇒ 18 x − 11⎜ x − ⎟ = 5 ⇒ 7 x = ⇒ x = 5⎠ 5 5 ⎝ 1 1 y = x− ⇒ y = 5 5

b)

⎧8 x + 8 y − 4 x + 4 y = 5 ⎪⎧8 ( x + y ) − 4 ( x − y ) = 5 ⇒⎨ ⇒ ⎨ ⎪⎩4 ( 2 x + y ) − 5 ( x − 2 y ) = 5 ⎩8 x + 4 y − 5 x + 10 y = 5 ⎧4 x + 12 y = 5 ⎪ ⇒⎨ 5 − 14 y ⎪⎩3 x + 14 y = 5 ⇒ 3 x = 5 − 14 y ⇒ x = 3 4 x + 12 y = 5 ⇒ 4

5 − 14 y + 12 y = 5 ⇒ 20 − 56 y + 36 y = 15 3

−20 y = −5 ⇒ y = 5 − 14 y ⇒x= x= 3

1 4 7 2 ⇒ x=1 3 2

5−

189

c) ⎧ 1⎞ ⎛ ⎪ x + 2y x − 2⎜ y + 2 ⎟ ⎝ ⎠ = 4 ⎧3 x + 6 y + 2 x − 4 y − 2 = 24 ⎧5 x + 2 y = 26 ⎪ + ⇒⎨ ⇒⎨ ⎨ 2 3 ⎩7 x + 70 y + 60 x − 40 y = 350 ⎩67 x + 30 y = 350 ⎪ x + 10 y 6 x − 4 y ⎪ + =5 7 ⎩ 10 ⎧ 75 x + 30 y = 390 ⎪ ⇒⎨ −67 x − 30 y = −350 ⎪ ____________________________ ⎩ 8 x = 40 ⇒ x = 5 5 x + 2 y = 26 ⇒ 25 + 2 y = 26 ⇒ 2 y = 1 ⇒ y =

1 2

28. a) ⎧x ⎪ 3 + 3 ( x + 2 y ) = 32 ⎧ x + 9 x + 18 y = 96 ⎧5 x + 9 y = 48 ⎪ ⎪ ⇒⎨ ⇒⎨ ⎨ 2 x + 24 y ⎛x ⎞ = 11 ⎩15 x + 24 y = 143 ⎪ 6⎜ 3 + 4y ⎟ ⎪⎩ x + 13 ⎝ ⎠ ⎪x + = 11 13 ⎩ ⎧ 15 x + 27 y = 144 ⎪ ⇒⎨ − 15 x − 24 y = −143 ⎪⎩ ____________________________ 3y = 1 ⇒ y =

1 3

5 x + 9 y = 48 ⇒ 5 x + 3 = 48 ⇒ 5 x = 45 ⇒ x = 9

b) ⎧ x + 5y ⎪ 13 + y = 1 ⎧ x + 5 y + 13 y = 13 ⎧ x + 18 y = 13 ⎧ x + 18 y = 13 ⎪ ⎪ ⇒ ⇒⎨ ⇒⎨ ⎨ ⎨ 3x + y y x+ y − =1 ⎩3 x + y − 5 y = 10 ⎩3 x − 4 y = 10 ⎪x+ 2 ⎪ y 2 − = 1 ⎩ 10 ⎪ 5 2 ⎩ ⎧ 3 x + 54 y = 39 ⎪ ⇒⎨ − 3 x + 4 y = −10 ⎪⎩ ____________________________ 58 y = 29 ⇒ y =

1 2

3x − 4 y = 10 ⇒ 3 x − 2 = 10 ⇒ 3 x = 12 ⇒ x = 4

190

c) ⎧ 6( x + 2y) = 3 ⎧93x + 6 x + 12 y = 93 ⎧99 x + 12 y = 93 ⎧33 x + 4 y = 31 ⎪3 x + ⇒⎨ ⇒⎨ ⇒⎨ 31 ⎨ ⎩9 x + y = 8 ⎩9 x + y = 8 ⎩9 x + y = 8 ⎪9 x + y = 8 ⎩ ⎧ − 33x − 4 y = −31 ⎪ ⇒⎨ 36 x + 4 y = 32 ⎪ ____________________________ ⎩ 3x = 1 ⇒ x =

1 3

9x + y = 8 ⇒ 3 + y = 8 ⇒ y = 5

29. a) 22 ⎧ 22 ⎧ ⎪5 ( x + y ) − 15 ( x − y ) = 3 ⎪5 x + 5 y − 15 x + 15 y = 3 22 ⎧ −10 x + 20 y = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 x+ y 3x + y ⇒⎨ ⇒⎨ ⇒ ⎨ x+ 15 x + 5 y 2 = −1 ⎪x + ⎪ x + 2 = −1 ⎪x + = −1 3 3 ⎪ ⎪ 6 ⎩⎪ ⎪⎩ ⎪⎩ 5 5 ⎧ 15 x − 30 y = −11 ⎧−30 x + 60 y = 22 ⎧−15 x + 30 y = 11 ⎪ ⇒⎨ ⇒⎨ ⎨ ⎩6 x + 15 x + 5 y = −6 ⎩ 21x + 5 y = −6 ⎪ 126 x + 30 y = −36 ⎩ ____________________________ 141x = −47 ⇒ x = − −15 x + 30 y = 11 ⇒ 5 + 30 y = 11 ⇒ 30 y = 6 ⇒ y =

1 3

1 5

b) ⎧ x − 16 y = −8 ⎧ x − 16 y = −8 ⎧ x − 16 y = −8 ⎪ ⇒⎨ ⇒⎨ ⇒ ⎨x 8 ⎪⎩ 2 + 9 ( 3 x + 12 y ) = −10 ⎩9 x + 48 x + 192 y = −180 ⎩57 x + 192 y = −180 ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

12 x − 192 y = −96 57 x + 192 y = −180 ____________________________

69 x = −276 ⇒ x = −4 x − 16 y = −8 ⇒ −16 y = −4 ⇒ y =

1 4

191

c) x + 21 y ⎧ = 9 ⎧4 x + x + 21y = 36 ⎧5 x + 21y = 36 ⎪x + ⇒⎨ ⇒⎨ ⇒ 4 ⎨ 3 42 23 3 42 23 x y x y + = + = ⎩ ⎩ ⎪⎩3 x + 42 y = 23 ⎧− 15 x − 63 y = −108 ⎪ ⎨ 15 x + 210 y = 115 ⇒ ⎪⎩ _________________________ 147 y = 7 ⇒ y =

1 21

5 x + 21 y = 36 ⇒ 5 x + 1 = 36 ⇒ 5 x = 35 ⇒ x = 7

192

30. a) ⎧ x −1 =1 x ⎧ ⎧x ⎪ x − y =1 x −1 = y + ⎪ + y ⎪ ⎪ ⎪⎪ 2 2 2 ⇒⎨ ⇒⎨ ⇒ ⎨ x 5 ⎪x ⎪ ⎪ x + 8 y + 2 x = 18 x + 8 y = 18 ⎛ ⎞ ⎪⎩ 2 ⎪ + 8 ⎜ y + ⎟ = 18 ⎪⎩ 2 2 4 ⎝ ⎠ ⎩ ⎧ 4 x − 8y = 8 ⎪⎪ ⎨ 5 x + 8 y = 18 ⇒ ⎪ 2 ⎪⎩ _________________________ 13 x = 26 ⇒ x = 4 2 x − y =1⇒ 2 − y =1 y =1 2

b) 7⎞ ⎧ ⎛ ⎧ x + 18 y + 21 = 21 ⎧ x + 18 y = 0 ⎪ x + 18 ⎜ y + 6 ⎟ = 21 ⎪ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ ⇒⎨ ⇒ ⎨ 26 ⇒ 8 ⎨ ⎪6 x + 6 y + 12 ⎛ 2 x + 7 y ⎞ = 11 ⎪⎩6 x + 6 y + 3 x + 84 y = 11 ⎪⎩ 3 x + 90 y = 11 ⎜ ⎟ ⎪⎩ ⎝ 9 ⎠ ⎧ 26 x − 156 y = 0 ⎪− ⎧ x + 18 y = 0 ⎪ 3 ⇒ ⇒⎨ ⎨ ⎩26 x + 270 y = 33 ⎪ 26 x + 90 y = 11 ⎪ 3 ⎩ _________________________ − 66 y = 11 ⇒ y = −

1 6

x + 18 y = 0 ⇒ x − 3 = 0 ⇒ x = 3

31. a) 3 ⎧ 6x + y 9x + 2 y =− ⎪⎪ 2 + ⎧18 x + 3 y + 18 x + 4 y = −9 ⎧36 x + 7 y = −9 3 2 ⇒⎨ ⇒⎨ ⇒ ⎨ ⎪12 x + y + 18 x + 5 y = − 11 ⎩36 x + 3 y + 72 x + 20 y = −33 ⎩108 x + 23 y = −33 ⎪⎩ 4 3 4 ⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩

− 108 x − 21 y = 27 108 x + 23 y = − 33

⇒

_________________________

2 y = −6 ⇒ y = − 3 36 x + 7 y = −9 ⇒ 36 x − 21 = −9 ⇒ 36 x = 12 ⇒ x =

1 3

193

b)

⎧ x + 14 y 7 ( x − 4 y ) − = −6 ⎪ ⎧5 x + 70 y − 21x + 84 y = −90 5 ⎧−16 x + 154 y = −90 ⎪ 3 ⎪ ⇒ ⇒⎨ ⎨ ⎨ 3 x + 7 y 6 x + 21y x + 21y x + 7y == −2 x+ ⎩45 x + 105 y − 132 x − 462 y = −660 ⎪x+ ⎪ 22 − 15 ⎩ 5 2 − = −2 ⎪ 11 3 ⎩ ⎧ −232 x + 2233 y = −1305 ⎧−8 x + 77 y = −45 ⎧ 8 x − 77 y = 45 ⎪ ⇒ ⇒ ⎨ 232 x + 952 y = 1760 ⇒ ⎨ ⎨ 87 357 660 29 119 220 x y x y − − = − − − = − ⎩ ⎩ ⎪⎩ _________________________________ 3185 y = 455 ⇒ y =

1 7

8 x − 77 y = 45 ⇒ 8 x − 11 = 45 ⇒ 8 x = 56 ⇒ x = 7

32. Sean x e y los números buscados. El sistema es el siguiente: ⎧ x + y = 29 ⎧ x + y = 29 ⎪ ⇒ ⎨ ⎨ − x + y = −1 ⇒ ⎩x − y = 1 ⎪⎩ _________________________ 2 y = 28 ⇒ y = 14 x − y = 1 ⇒ x − 14 = 1 ⇒ x = 15

Solución: Los números buscado son 14 y 15 33. Sean x e y los números buscados. El sistema es el siguiente: ⎧x + 4 = y ⎨ ⎩ y + 2 = 4x ⇒ y = 4x − 2 x + 4 = y ⇒ x + 4 = 4 x − 2 ⇒ 3x = 6 ⇒ x = 2 y = 4x − 2 ⇒ y = 6

Solución: Los números buscado son 2 y 6. 34. Sean x e y los números buscados. El sistema es el siguiente: ⎧ x y + = 40 ⎪ ⎧ x + y = 160 4 4 ⎪ ⎪ ⇒ ⇒ ⎨x y ⎨ x y + = 45 ⎪⎩ 4 3 ⎪ − − = −45 4 3 ⎪ ⎩ _________________________ −1 y = −5 ⇒ y = 60 12 x + y = 160 ⇒ x = 160 − 60 ⇒ x = 100

Solución: Los números buscado son 100 y 60. 194

35. Sean x e y los números buscados, x < y. El sistema es el siguiente: ⎧⎪ y = x + 1 ⎨ ⎪⎩ x + 4 y = 39 ⇒ x + 4 ( x + 1) = 39 ⇒ 5 x = 35 ⇒ x = 7 y = x +1 ⇒ y = 8

Solución: Los números buscado son 7 y 8 36. Sea x el número de monedas de 50 cts e y el número de monedas de 1 €. El sistema es el siguiente: ⎧ x y − − = −7 ⎪ x + y = 14 ⎧ 2 2 ⎪ ⎪ ⇒ ⎨1 ⎨ x ⎪⎩ 2 x + y = 13 ⎪ + y = 13 2 ⎪ ⎩ _________________________ 1 y = 6 ⇒ y = 12 2 x + y = 14 ⇒ x = 2

Solución: 2 monedas de 50 cts y 12 monedas de 1 € 37. Sea x el número de coches e y el número de camiones ⎧⎪ x + y = 7 ⇒ ( 2 y + 1) + y = 7 ⇒ 3 y = 6 ⇒ y = 2 ⎨ ⎪⎩ x = 2 y + 1 x = 2 y +1 ⇒ x = 5

Solución: 5 coches y 2 camiones 38. Sea x el número de pollos e y el número de gansos: ⎧ x y − − = −45 ⎧ x + y = 135 ⎪ 3 3 ⎪ ⎪ ⇒⎨ ⎨x y x y ⎪⎩ 2 + 3 = 55 ⎪ + = 55 ⎪ 2 3 ⎩ _________________________ 1 x = 10 ⇒ x = 60 6 x + y = 135 ⇒ y = 75

Solución: 60 pollos y 75 gansos 195

39. Sea E la edad del chico y P la edad del padre.

2

E + P = 55

14 + P = 55

55

1

55 3 1 _______________ 4 E = 56 E = 14

P = 41

Solución: La edad del chico es de 14 años y la del padre 41 años Otra forma de hacerlo: E = xy ⇒ E = y + 10 x P = yx ⇒ P = x + 10 y 10 10

10

10 55 11 11 2 20 1 29 7 7 7 35 29 7 1 _________________________ 36 36 1

55 1

5 29

7

1

4

Solución: La edad del chico es de 14 años y la del padre 41 años 40. Sea x el número de cromos que tiene Félix e y el número de cromos que tiene Paco: ⎧⎪ x − 1 = y + 1 ⎧x − y = 2 ⇒ x = y + 2 ⇒⎨ ⎨ ⎩⎪ x + 2 = 4 ( y − 2 ) ⎩ x − 4 y = −10 x − 4 y = −10 ⇒ y + 2 − 4 y = −10 ⇒ −3 y = −12 ⇒ y = 4 x = y+2⇒ x =6

Solución: Félix tiene 6 cromos y Paco 4 cromos. 41. Sea x la edad del padre e y la edad del hijo Edad del padre Edad del hijo y x x + 10 y + 10

Hoy Dentro de 10 años 3 10

2

10

10

3 2

10 Solución: El padre tiene 30 años y el hijo 10 años

20

3

10

2

20

30

196

42. Vino de 1ª clase

Vino de 2ª clase

8 € / litro x litros

5 € / litro y litros

Mezcla

6 € / litro 120 litros

Sea x la cantidad de vino de 1ª clase ( 8 €/litro ) e y la cantidad de vino de 2ª clase ( a 5€/ litro ). ⎧−5 x − 5 y = −600 ⎧ x + y = 120 ⎪ ⇒⎨ ⎨ ⎩8 x + 5 y = 6·120 ⎪ 8 x + 5 y = 720 ⎩ ___________________ 3 x = 120 ⇒ x = 40 x + y = 120 ⇒ y = 80

Solución: 40 litros de vino de 1ª clase ( 8 €/litro ) y 80 litros de vino de 2ª clase ( a 5 el litro ) 43. Sea x el número de chicos e y el número de chicas. ⎪⎧ x + y = 31 ⇒ x + ( x + 5 ) = 31 ⇒ 2 x = 26 ⇒ x = 13 ⎨ ⎪⎩ y = x + 5 y = x + 5 ⇒ y = 18

Solución: 13 chicos y 18 chicas 44. Sea x el número de coches e y el número de motos.

⎧⎪−2 x − 2 y = −140 ⎧ x + y = 70 ⇒ ⎨ ⎨ 4 x + 2 y = 200 ⎩ 4 x + 2 y = 200 ⎩⎪ ________________________ 2 x = 60 ⇒ x = 30 x + y = 70 ⇒ y = 40 Solución: 30 coches y 40 motos.

197

45. Sea x el número de fondistas e y el número de velocistas: ⎧⎪ x + y = 60 ⇒ x + 2 x = 60 ⇒ 3x = 60 ⇒ x = 20 ⎨ ⎪⎩ y = 2 x

y = 2 x ⇒ y = 40 Solución: 20 corredores de fondo y 40 velocistas. 46.

Sea x los kilos de filetes de ternera e y los kilos de chuletillas de cordero: ⎧− 7 x − 7 y = −35 ⎧x + y = 5 ⎪ ⇒ ⎨ ⎨ 7 x + 12 y = 50 ⎩7 x + 12 y = 50 ⎪ ______________________ ⎩ 5 y = 15 ⇒ y = 3 x+ y =5⇒ x = 2 Solución: 2 kilos de filetes de ternera y 3 kilos de chuletillas de cordero: 47. Sean x e y los números buscados x < y: 2 5 ⎧ ⎪⎪ x + y = 20 ⇒ 3 y + y = 20 ⇒ 3 y = 20 ⇒ y = 12 ⇒ ⎨ ⎪x = 2 y ⎪⎩ 3 2 x= y⇒ x=8 3 Solución: los números son 12 y 8. 198

48. Sean x las horas que tarda el jefe en hacer el trabajo e y las horas que tarda su aprendiz. ⎧ 3 ⎪ x + y = 3 ⇒ x + 3x = 3 ⇒ 4 x = 3 ⇒ x = 4 ⇒ ⎨ ⎪ y = 3x ⎩ y = 3x ⇒ y =

9 4

Solución: el jefe tarda 45 minutos y el aprendiz dos horas y quince minutos. 49. Sea N = xy el número buscado

N = y + 10 x

⎧ x + y = 11 ⎧ x + y = 11 ⎧ x + y = 11 ⇒⎨ ⇒⎨ ⇒ ⎨ ⎩ yx = xy + 9 ⎩ x + 10 y = y + 10 x + 9 ⎩−9 x + 9 y = 9 ⎧ x + y = 11 ⎪ ⎨ − x + y =1 ⎪⎩ ___________________ 2 y = 12 ⇒ y = 6 x + y = 11 ⇒ x = 5

Solución: el número buscado es N = 56 50. Sea x el precio en euros de cada camisa e y el precio en euros de cada pantalón. ⎧14 x + 9 y = 595 ⎧14 x + 9 y = 595 ⇒⎨ ⇒ ⎨ ⎩ y = x + 15 ⎩− x + y = 15 ⎧ 14 x + 9 y = 595 ⎪ ⇒⎨ − 14 x + 14 y = 210 ⎪⎩ ________________________ 23 y = 805 ⇒ y = 35 y = x + 15 ⇒ 35 = x + 15 ⇒ x = 20

Solución: 20 € cada camisa y 35 € cada pantalón. 51. Sean x el número de rosales e y el número de cipreses: ⎧3 x = 2 y + 2 ⎪⎧3 x = 2 y + 2 ⇒ 3 x = 2 ( x + 1) + 2 ⇒ 3 x = 2 x + 4 ⇒ x = 4 ⇒⎨ ⎨ ⎩2 y = 2 x + 2 ⎪⎩ y = x + 1 y = x +1 ⇒ y = 5

Solución: 4 rosales y 5 cipreses

199

52.

Sea x el número de horas que tardan en encontrarse. Durante ese tiempo el coche que sale de la ciudad A ha recorrido 100x km y el vehículo que sale de la ciudad B ha recorrido 120x km. De aquí sale la siguiente ecuación: 100x + 120x = 770 ⇒ 220 x = 770 ⇒ x = 3’5 horas Tendrán que circular 3 horas y 30 minutos para que se produzca el encuentro. El primer coche habrá recorrido 100 · 3’5 = 350 km y el segundo coche habrá recorrido 120 · 3’5 = 420 km El encuentro se produce a 350 km de la ciudad A AUTOEVALUACIÓN PAG. 117

1.

⎧x = 2 − 2 y ⎧2 x + 4 y = 4 ⎧ x + 2 y = 2 ⎪ ⇒⎨ ⇒⎨ 2 + 2y ⇒ ⎨ ⎩3 x − 2 y = 2 ⎩3 x − 2 y = 2 ⎪ x = 3 ⎩ 2 − 2y =

2 + 2y 1 ⇒ 6 − 6y = 2 + 2y ⇒ 4 = 8y ⇒ y = 3 2

x = 2 − 2 y ⇒ x = 2 −1 ⇒ x = 1

200

2.

⎧3x − y = 3 ⇒ ⎨ ⎩ x + 2 y = 15 ⇒ x = 15 − 2 y 3x − y = 3 ⇒ 3·(15 − 2 y ) − y = 3 ⇒ 45 − 6 y − y = 3 ⇒ −7 y = −42 ⇒ y = 6 x = 15 − 2 y ⇒ x = 15 − 2·6 ⇒ x = 3

3.

⎧3x + 5 y = 18 ⇒ ⎨ ⎩ 2 x − y = −1

⎧ ⎨ ⎩

3 x + 5 y =18 10 x − 5 y =−5

___________________________

13 x = 13

⎧ − 6 x −10 y =−36 ⎨ ⎩ 6 x −3 y =− 3

___________________________

− 13 y = −39

x =1

y=3

4.

⎧⎪3 ( x − 2 y ) + 6 ( 2 x − y ) = −12 ⎧3 x − 6 y + 12 x − 6 y = −12 ⎧15 x − 12 y = −12 ⇒⎨ ⇒⎨ ⇒ ⎨ 11 7 2 x − y = 2 5 2 2 x − y + x − y = ( ) ⎩ ⎩⎪ ⎩ x − 2 y +10 x −5 y = 2 ___________________________

4y − 4 ⎧ ⎪⎪5 x − 4 y = −4 ⇒ x = 5 ⇒⎨ ⇒ ⎪11x − 7 y = 2 ⇒ x = 2 + 7 y ⎪⎩ 11 4y − 4 2 + 7y = ⇒ 44 y − 44 = 10 + 35 y ⇒ 9 y = 54 ⇒ y = 6 5 11 4y − 4 ⇒ x=4 x= 5

5. ⎧ x + 3y 4x + y − = −1 ⎧4 x + 12 y − 20 x − 5 y = −20 ⎧−16 x + 7 y = −20 ⎪⎪ 5 4 ⇒⎨ ⇒⎨ ⎨ + + + + + = x y 2 x y 2 x 2 y 14 x 7 y 84 ⎩ ⎩ 16 x + 9 y = 84 ⎪ + =6 ⎪⎩ 7 2 ⎧ − 16 x + 7 y = −20 ⎪ ⎨ 16 x + 9 y = 84 ⎪⎩ ____________________ 16 y = 64 ⇒ y = 4 16 x + 9 y = 84 ⇒ 16 x + 36 = 84 ⇒ 16 x = 48 ⇒ x = 3

201

6. Sean x e y los números buscados:

⎧ ⎧ x + y = 15 ⎧2 x + 2 y = 30 ⎪ 2 x + 2 y = 30 ⇒⎨ ⇒⎨ ⎨ −2 x + y = − 6 ⎩2 x − y = 6 ⎩2 x − y = 6 ⎪⎩ ____________________ 3 y = 24 ⇒ y = 8 2 x − y = 6 ⇒ 2 x − 8 = 6 ⇒ 2 x = 14 ⇒ x = 7 Solución: los números buscados son 7 y 8 7.

Hoy Dentro de 15 años

Edad del padre Edad del hijo y x x + 15 y + 15

⎧⎪ x = 4 y + 3 ⎧x = 4 y + 3 ⇒⎨ ⎨ ⎪⎩ x + 15 = 2 ( y + 15 ) ⎩ x + 15 = 2 y + 30 ⇒ ⇒ ( 4 y + 3) + 15 = 2 y + 30 ⇒ 4 y + 18 = 2 y + 30 ⇒ 2 y = 12 ⇒ y = 6 x = 4 y + 3 ⇒ x = 27

Solución: el padre tiene actualmente 27 años y el hijo 6 años.

8. Sea x el tiempo en minutos que está el primer corredor en carrera.

El primer corredor lleva una velocidad de: 36 36 km/h = km/minuto = 0’6 km/minuto 60 El segundo corredor lleva una velocidad de: 42 km/minuto = 0‘7 km/minuto 42 km/h = 60 La distancia recorrida por el primer corredor es 0’6 x kilómetros. La distancia recorrida por el líder es de 0’7·(x-2) kilómetros. (Observar que está en carrera 2 minutos menos). Como la distancia recorrida por ambos corredores es la misma, podemos plantear la siguiente ecuación:

0 '6 x = 0 '7 ( x − 2 ) ⇒ 0 '6 x = 0 '7 x − 1'4 ⇒ 0 '1x = 1' 4 ⇒ x = 14 Solución: El líder tarda en dar alcance al primer corredor x - 2 minutos. Con lo que el líder tarda en alcanza al primer corredor 12 minutos. Le da alcance en el kilómetro: 12·0’7=8’4 km ,es decir , recorridos 8 km y 400 metros.

202

9. x cm

x cm

y cm

⎧⎪2 x + y = 16 ⇒ 2 x + ( x + 1) = 16 ⇒ 3 x = 15 ⇒ x = 5 ⎨ ⎪⎩ y = x + 1 y = x +1 ⇒ y = 6

Solución: 5 cm

5 cm

6 cm

10. Sea x el precio en euros del kilo de uvas e y el precio en euros del kilo de plátanos.

⎧⎪ x = y + 0 '8 ⎨ ⎪⎩4 x + 3'5 y = 12 ' 2 ⇒ 4·( y + 0 '8 ) + 3'5 y = 12 '2 ⇒ 7 '5 y = 9 ⇒ y = 1'2 x = y + 0 '8 ⇒ x = 2 Solución: 2 €/kg las uvas y 1’2 €/kg los plátanos. OLIMPIADA MATEMÁTICA PAG. 119

1. Al suprimir una región, la suma de los días soleados o lluviosos de las restantes

regiones ha de ser múltiplo de 4. Esta suma para las 6 regiones es 1994, que dividido entre 4 da 2 de resto. El único dato de esta columna que al dividirlo entre 4 nos da 2 de resto es 330, que es justamente el correspondiente a la región F. Suprimiendo esta región quedan entre las 5 restantes 416 días lluviosos y 3 · 416 = 1248 días soleados. 203

UNIDAD 7. Sucesiones y progresiones

ACTIVIDADES PAG. 122

1. a)4,5,6,7,8,9 b ) 0 , 3 , 8 , 15 , 24 , 35 c ) 6, 10, 14, 18, 22, 26 d ) 8, 15, 22, 29, 36, 43 2. a ) 4 , 8 , 12 , 16 b)-5, - 5, –5, -5 3. a) 3n+1 b) 4n–1 1 c) n ACTIVIDADES PAG. 123

4. a) d = 2 , an = −3 + 2 ( n − 1) = 2n − 5 ⇒ an = 2n − 5

a12 = 2·12 − 5 = 24 − 5 ⇒ a12 = 19 a40 = 2·40 − 5 = 80 − 5 ⇒ a40 = 75

5.

n = 50 , an = 188 , d = 4

an = a1 + ( n − 1)·d ⇒ a1 = an − ( n − 1)·d ⇒ a1 = 188 − 49·4 ⇒ a1 = 188 − 196 ⇒ a1 = −8 204

6.

d = -3 , a1 = 120 , an = −3

−3 = 120 + ( n − 1)·( −3) ⇒ −3 = 120 − 3n + 3 ⇒ 3n = 126 ⇒ n = 42

Solución: el término a42 7.

d = 5, a1 = 7 , an = 6682

6682 = 7 + ( n − 1)·5 ⇒ 6675 = 5·( n − 1) ⇒ 1335 = n − 1 ⇒ n = 1336

Solución: 1336 términos ACTIVIDADES PAG. 124

8. Construimos la siguiente progresión: −10 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , 26 n = 7 , a1 = −10 , a7 = 26

26 − ( −10 ) an − a1 36 ⇒d = ⇒d = ⇒ d =6 7 −1 6 n −1 Solución: Los números buscados son: - 4 , 2 , 8 , 14 , 20 an = a1 + ( n − 1)·d ⇒ d =

9. Construimos la siguiente progresión: −50 , a2 , a3 , a4 , a5 , − 70 n = 6, a1 = −50 , a7 = −70

−70 − ( −50 ) an − a1 −20 ⇒d = ⇒d = ⇒ d = −4 6 −1 5 n −1 Solución: Los números buscados son: -54 , -58 , -62 , -66 an = a1 + ( n − 1)·d ⇒ d =

10. Construimos la siguiente progresión:

n = 5, a1 =

1 3 , a5 = 2 2

1 3 , a2 , a3 , a4 , 2 2

3 1 − a −a 1 1 an = a1 + ( n − 1)·d ⇒ d = n 1 ⇒ d = 2 2 ⇒ d = ⇒ d = 5 −1 4 4 n −1 3 5 ,1, Solución: Los números buscados son: 4 4

205

11. Construimos la siguiente progresión:

3 , a2 , a3 , a4 , a5 , 21 3

n = 6 , a1 = 3 , a6 = 21 3 an = a1 + ( n − 1)·d ⇒ d =

an − a1 21 3 − 3 20 3 ⇒d = = =4 3⇒ d =4 3 6 −1 5 n −1

Solución: Los números buscados son: 5 3 , 9 3 , 13 3 , 17 3 12.

2 2 , a2 , a3 , a4 , a5 , 4 2 3

Construimos la siguiente progresión: n = 6 , a1 =

2 2 , a6 = 4 2 3

a −a an = a1 + ( n − 1)·d ⇒ d = n 1 ⇒ d = n −1 Solución: Los números buscados son:

2 10 2 2 2 2 3 3 2⇒ d= 2 = = 6 −1 5 3 3

4 2−

4 8 10 2 , 2 2 , 2, 2 3 3 3

ACTIVIDADES PAG. 125

13.

a1 = 4 , a20 = 118 , n = 20 Sn =

( a1 + an )·n ⇒ S 2

n

a20 = a1 + 19·d ⇒ d =

=

( 4 + 118)·20 ⇒ 2

S n = 1220

a20 − a1 118 − 4 ⇒d = =6⇒ d =6 19 19

14.

a1 = 3 , a25 = 123 , n = 25 , d = 5

an = a1 + ( n − 1)·d ⇒ an = 3 + ( n − 1)·5 ⇒ an = 5n − 2

( a1 + an )·n ⇒ S

( 3 + 123)·25 ⇒

S n = 1575 2 2 an = 68 ⇒ 5n − 2 = 68 ⇒ 5n = 70 ⇒ n = 14 . Sn =

n

=

El término a14 de la progresión es el número 68

206

15. Como la suma de los seis hermanos es 57 tenemos: 57

57

19

Como la edad del mayor es 8 veces la del menor más uno tenemos: 8

Como

1 5

8 17

2

1 5

19 15

9 5

18

2

17

3

Solución: Las edades de los hermanos son: 2, 5, 8, 11, 14 y 17 años. ACTIVIDADES PAG. 126

16. a ) 4·5n−1 b) 9·4 n−1 17. r=

a6 15552 ⇒r= ⇒ r=6 a5 2592

an = a1 ·r n −1 ⇒ a5 = a1 ·64 ⇒ a1 =

a5 2592 ⇒ a1 = ⇒ a1 = 2 4 6 1296

18. a7 = a1 ·r 6 ⇒ 1 = a1 ·r 6 a3 = a1 ·r 2 ⇒ 16 = a1 ·r 2

Dividiendo la primera expresión entre la segunda tenemos: a1 ·r 2 16 1 1 1 = ⇒ 4 = 16 ⇒ = r4 ⇒ r = 6 a1 ·r 1 r 16 2 ACTIVIDADES PAG. 127

207

19.

8 ⇒ r=4 2 a1 ·( r 7 − 1) 2·( 47 − 1) ⇒ S7 = ⇒ S7 = 10922 S7 = r −1 4 −1

n = 7, r =

20. r=

1 , a1 = 32 2

⎛ ⎛ 1 ⎞6 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 32·⎜ ⎜ ⎟ − 1⎟ 32·⎜ − 1⎟ ⎜⎝ 2 ⎠ ⎟ a1 ·( r 6 − 1) ⎠ ⇒ S = ⎝ 64 ⎠ ⇒ S = −64·⎛ 1 − 1⎞ S6 = ⇒ S6 = ⎝ 6 6 ⎜ ⎟ 1 1 r −1 ⎝ 64 ⎠ −1 − 2 2 ⇒ S6 = −1 + 64 ⇒ S6 = 63 21. 1024

2

1024

2

= 2046 ACTIVIDADES PAG. 128

22.

a) a1 = 4 , r =

1 2

a1 4 ⇒ S∞ = ⇒ S∞ = 8 1 1− r 1− 2 1 b ) a1 = 81 , r = 3 a 81 243 ⇒ S∞ = S∞ = 1 ⇒ S∞ = 1 1− r 2 1− 3 S∞ =

208

ACTIVIDADES PAG. 129

23.

a)

2 2 2 + + +… 10 100 1000 Se trata de la suma de los miembros de una progresión geométrica de infinitos términos 2 1 con a1 = , r = 10 10 2 2 a1 2 2 N= = 10 = 10 = ⇒ N = 9 9 1− r 1− 1 9 10 10 N = 0 ' 222… = 0 ' 2 + 0 '02 + 0 '002 + … =

b)

12 12 + +… 100 10000 Se trata de la suma de los miembros de una progresión geométrica de infinitos términos 12 1 , r= con a1 = 100 100 12 12 a1 12 4 4 N= = 100 = 100 = = ⇒ N= 99 99 33 1− r 1− 1 33 100 100 c) 60 60 N = 3'606060… = 3 + 0 '60 + 0 '0060 + … = 3 + + +… 100 10000 Se trata de la suma de 3 y de los miembros de una progresión geométrica de infinitos 60 1 , r= términos con a1 = 100 100 60 60 a1 60 20 S∞ = = 100 = 100 = = 99 99 33 1− r 1− 1 100 100 20 99 + 20 119 N = 3+ = ⇒ N= 33 33 33 N = 0 '1212… = 0 '12 + 0 '0012 + … =

209

24. a)

12 12 + +… 1000 100000 Se trata de la suma de 0’5 y de los miembros de una progresión geométrica de infinitos 12 1 , r= términos con a1 = 1000 100 12 12 a1 12 2 S∞ = = 1000 = 1000 = = 99 1− r 1− 1 990 165 100 100 2 1 2 165 + 4 169 N = 0 '5 + = + = ⇒ N= 165 2 165 330 330 b) 3 3 N = 4 ' 2333… = 4 '2 + 0 '03 + 0 '003 + … = 4 ' 2 + + +… 100 1000 Se trata de la suma de 4’2 y de los miembros de una progresión geométrica de infinitos 3 1 , r= términos con a1 = 100 10 3 3 a 3 1 S∞ = 1 = 100 = 100 = = 9 1− r 1− 1 90 30 10 10 1 42 1 126 + 1 127 N = 4'2 + = + = ⇒ N= 30 10 30 30 30 c) N = 0 '5121212… = 0 '5 + 0 '012 + 0 '00012 + … = 0 '5 +

72 5666 …

72 5

0 06

0 006

72 5

6 100

6 1000

…

Se trata de la suma de 72’5 y de los miembros de una progresión geométrica de 6 1 infinitos términos con a1 = , r= 100 10 6 6 a1 6 1 S∞ = = 100 = 100 = = 9 1− r 1− 1 90 15 10 10 1 725 1 2175 + 2 2177 N = 72 '5 + = + = ⇒ N= 15 10 15 30 30

210

DESAFÍO MATEMÁTICO PAG. 130

211

1.

Se trata de aplicar la fórmula

1

En nuestro caso, han trascurrido 4 años, luego 4, 6000 , El capital que se encontrará en el depósito el 1 de enero de 2015 será: 6000 1 0 ´0625 7646´57

0 0625

2. Si realizamos el razonamiento en cuatrimestres, siendo r el tanto por uno anual y el tanto por uno cuatrimestral, al cabo de una año hemos obtenido : 1 , que tiene que coincidir con la inversión al r anual. . 1

1 1

1

1

1

1

1

• Si realizamos el razonamiento en trimestres, siendo r el tanto por uno anual y el tanto por uno trimestral, al cabo de una año hemos obtenido : , que tiene que coincidir con la inversión al r anual.

1 . 1

1 1

1

1

1

1

1

• Si realizamos el razonamiento mensual, siendo r el tanto por uno anual y tanto por uno mensual, al cabo de una año hemos obtenido:

el

, que tiene que coincidir con la inversión al r anual. 1 1 1 1

1 . 1

1 1

1

• Si realizamos el razonamiento diario, siendo r el tanto por uno anual y el tanto por uno diario, al cabo de una año hemos obtenido: 1 , que tiene que coincidir con la inversión al r anual. 1

1

a)

20%

b)

1

c)

1

1

1 1

1 3.

1

0´ 20 1 1

1

0´2

6000

1

1 0 ´2

0´0954

9 54 %

10368

212

ACTIVIDADES FINALES PAG. 132

25.

4 3 8 5 , , , 3 2 5 3 4 14 19 b) ,3, , ,8 3 3 3 c ) 34, 38, 42, 46, 50 1 1 1 1 1 , , , , d) 2 3 4 5 6

a)1,

213

26. Se trata de una progresión aritmética donde a1 = 6 , d = 5

an = a1 + ( n − 1)·d ⇒ a50 = a1 + 49·d ⇒ a50 = 6 + 49·5 ⇒ a50 = 6 + 245 ⇒ a50 = 251

27. Sólo la a) 28. a ) d = 2 , an = −5 + 2n

b ) d = 1 , an = 6 + n c ) d = 4 , an = 1 + 4n d ) d = 3 , an = −1 + 3n 29. a ) an = 5 + 3n

b ) an = n 2 − 1 c ) an = −2 + 4n d ) an = −1 + 6n 30. a ) Creciente, d = 3 b ) Decreciente, d = - 5 31.

a ) Creciente , d =

1 2

b ) Decreciente , d = −

1 3

32.

a1 = 4 , d = 6

an = a1 + ( n − 1)·d ⇒ a20 = a1 + 19·d ⇒ a20 = 4 + 19·6 ⇒ a20 = 118

33.

a1 = 8 , n = 11 , a11 = 13 an = a1 + ( n − 1)·d ⇒ a11 = a1 + 10·d ⇒ 13 = 8 + 10·d ⇒ d =

1 2

1 a9 = a1 + 8d ⇒ a9 = 8 + 8· ⇒ a9 = 12 2

34. Construimos la siguiente progresión: 8 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 , a8 , a9 , a10 , 28

n = 11 , a1 = 8 , a11 = 28

214

an − a1 28 − 8 20 ⇒d = ⇒d = ⇒ d =2 n −1 11 − 1 10 Solución: Los números buscados son: an = a1 + ( n − 1)·d ⇒ d =

10 , 12 , 14 , 16 , 18 , 20 , 22 , 24 , 26 35. Construimos la siguiente progresión: 1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , 5

n = 7 , a1 = 1 , a7 = 5 an − a1 5 −1 4 2 ⇒d= ⇒d= ⇒ d= 7 −1 6 3 n −1 Solución. Los números buscados son: an = a1 + ( n − 1)·d ⇒ d =

5 7 9 11 13 , , =3 , , 3 3 3 3 3 36. Construimos la siguiente progresión: 6 , a2 , a3 , a4 , a5 , 26

n = 6 , a1 = 6 , a6 = 26

an − a1 26 − 6 20 ⇒d = ⇒d = ⇒ d =4 n −1 6 −1 5 Solución: Los números buscados son: 10, 14, 18, 22 an = a1 + ( n − 1)·d ⇒ d =

37.

d = 6 , a1 = 6 Se trata de una progresión aritmética. (a + a ) ( 6 + 60 ) ·10 ⇒ S = 330 S10 = 1 10 ·10 ⇒ S10 = 10 2 2 38. Construimos la siguiente progresión: 2 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , 11 n = 7 , a1 = 2 , a7 = 11 an − a1 11 − 2 9 3 ⇒d = ⇒d = ⇒ d = 7 −1 6 2 n −1 7 10 13 16 19 , =5 , , =8 , Solución: Los números buscados son: 2 2 2 2 2 39. Construimos la siguiente progresión: 3 , a2 , a3 , a4 , 6 an = a1 + ( n − 1)·d ⇒ d =

n = 5 , a1 = 3 , a5 = 6 an − a1 6−3 3 ⇒d = ⇒ d= 5 −1 4 n −1 15 18 21 , , Solución: Los números buscados son: 4 4 4 an = a1 + ( n − 1)·d ⇒ d =

215

40. a1 =

1 7 , a3 = 2 6

a3 = a1 + 2d ⇒

7 1 1 = + 2d ⇒ d = , 6 2 3

1 1 7 + 9· ⇒ a10 = 2 3 2 1 7 + a1 + a10 2 2 ·10 ⇒ S = 20 S10 = ·10 ⇒ S10 = 10 2 2

a10 = a1 + 9d ⇒ a10 =

41. Por ser los términos de una progresión aritmética 2n − 1 + d = 3n ⇒ d = n + 1

⎫ 2 2 ⎬ ⇒ n + 1 = n − 3n + 1 ⇒ n − 3n + 1 − n − 1 = 0 ⇒ 3n + d = n + 1 ⇒ d = n − 3n + 1⎭ 2

2

⎧⎪ n = 0 ⇒ n 2 − 4n = 0 ⇒ ⎨ ⎪⎩ n = 4 Solución: Si n = 0 , la progresión es -1 , 0 , 1 Si n = 4, la progresión es 7, 12, 17

42. Por ser los términos de una progresión aritmética 2 1 1 2 1 4 1 4 2

4

2

6

Solución: Si n = 0 , la progresión es -1 , -1 , -1 Si n = 3 , la progresión es 5 , 8 , 11

0

0 3

43.

Para que constituyan una progresión aritmética se ha de verificar que la diferencia d entre los términos de la progresión sea la misma n 2 − 4n + 1 + d = n 2 − 2n + 2 ⇒ d = 2n + 1 ⎫⎪ ⎬ n 2 − 2n + 2 + d = n 2 + 3 ⇒ d = 2 n + 1 ⎪⎭ Por lo tanto, constituyen una progresión aritmética a8 = a1 + ( n − 1)·d ⇒ a8 = n 2 − 4n + 1 + ( n − 1)·( 2n + 1) ⇒ ⇒ a8 = n 2 − 4n + 1 + 2n 2 + n − 2n − 1 ⇒ a8 = 3n 2 − 5n

216

44.

d = a8 − a7 ⇒ d = 52 − 45 ⇒ d = 7 S50 =

( a1 + a50 ) ·50

2 Necesitamos conocer a1 y a50 a7 = 45 ⇒ a1 + 6d = 45 ⇒ a1 = 45 − 6d ⇒ a1 = 45 − 42 ⇒ a1 = 3 a50 = a1 + 49d ⇒ a50 = 3 + 49·7 ⇒ a50 = 3 + 343 ⇒ a50 = 346

S50 =

( a1 + a50 )·50 ⇒ S 2

50

=

( 3 + 346 ) ·50 ⇒ 2

S50 = 8725

45. Se trata de una progresión aritmética en la que: a1 = 7·15 = 105 ; a14 = 7·28 = 196 S14 =

( a1 + a14 )·14 ⇒ S

14

2

=

(105 + 196 )·14 ⇒ 2

S14 = 2107

46.

( a1 + a10 )·10 = 65 ⇒ a

1 + a10 = 13 ⇒ a1 + ( a1 + 9 d ) = 13 ⇒ 2 a1 + 9d = 13 2 (a + a ) S 20 = 230 ⇒ 1 20 ·20 = 230 ⇒ a1 + a20 = 23 ⇒ a1 + ( a1 + 19d ) = 23 ⇒ 2a1 + 19d = 23 2 ⎧− 2a1 − 9d = −13 ⎪ ⎨ 2a + 19d = 23 1 ⎪ ______________________ ⎩

S10 = 65 ⇒

10d = 10 ⇒ d = 1 2a1 + 9d = 13 ⇒ 2a1 = 13 − 9d ⇒ 2a1 = 13 − 9 ⇒ 2a1 = 4 ⇒ a1 = 2 a5 = a1 + 4d ⇒ a5 = 2 + 4 ⇒ a5 = 6

47. Se trata de una progresión aritmética en la que d = 1, a1 = 1

El último término es a500 = 500 1

500

2

500 2

500

125250

48. Se trata de una progresión aritmética en la que d = 2 , a1 = 1

El último término es a200 = a1 + 199·d ⇒ a200 = 1 + 199·2 ⇒ a200 = 399 S 200 =

( a1 + a200 ) ·200 ⇒ S 2

200

=

(1 + 399 )·200 ⇒ 2

S500 = 40000

217

49.

73 ⎧ 73 73 ⎧ ⎧ ⎪⎪a2 + a7 = 2 ⎪⎪a1 + d + a1 + 6d = 2 ⎪⎪2a1 + 7d = 2 ⇒⎨ ⇒⎨ ⇒ ⎨ ⎪a + a = 65 ⎪a + 2d + a + 4d = 65 ⎪2a + 6d = 65 3 5 1 1 1 ⎩⎪ 2 ⎩⎪ 2 ⎩⎪ 2 73 ⎧ 2 a + d = 7 1 ⎪ 2 ⎪ ⇒⎨ 65 ⎪− 2a1 − 6d = − 2 ⎪⎩ ________________________ d =4 73 73 17 ⇒ 2a1 = − 28 ⇒ a1 = 2 2 4 33 49 65 81 97 113 , a3 = , a4 = , a5 = , a6 = , a7 = a2 = 4 4 4 4 4 4

2a1 + 7d =

50. ⎧ a1 + a7 = 9 ⎧ a1 + a1 + 6d = 9 ⎧ 2a1 + 6d = 9 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ 11 ⇒ ⎨ 11 ⇒ ⎨ 11 ⇒ ⎪⎩ a5 = 2 ⎪⎩ a1 + 4d = 2 ⎪⎩ a1 + 4d = 2 ⎧ 2a1 + 6d = 9 ⎪ ⇒⎨ − 2a1 − 8d = −11 ⎪ ________________________ ⎩ − 2 d = −2 ⇒ d = 1 a1 + 4d =

11 11 3 ⇒ a1 = − 4 ⇒ a1 = 2 2 2

a6 = a1 + 5d ⇒ a6 =

3 13 + 5 ⇒ a6 = 2 2

218

219

51. ⎧ −a/ − d = −7 ⎧a 2 = 7 ⇒ a1 + d = 7 ⎪ 1 ⇒ ⎨ a/ + 7d = 47 ⎨ 1 ⎩a8 = 47 ⇒ a1 + 7d = 47 ⎪ ____________________ ⎩ 6d = 40 ⇒ d = 20 1 ⇒ a1 = 3 3 1 400 401 a 21 = a1 + 20d ⇒ a 21 = + ⇒ a 21 = 3 3 3

20 3

a1 = 7 − d ⇒ a1 = 7 −

52.

3 ⎛ 3⎞ 3 a1 = −3 , d = 0 − ⎜ − ⎟ = ⇒ d = 2 ⎝ 2⎠ 2 3 9 3 an = a1 + ( n − 1)·d ⇒ an = −3 + ( n − 1) ⇒ an = − + n 2 2 2 9 3 −3 − + n a1 + an 2 2 ·n ⇒ n 2 − 5n − 84 = 0 ⇒ ⎧n = 12 Sn = ·n ⇒ 63 = ⎨ 2 2 ⎩n = −7 La respuesta n = - 7 no tiene sentido. 3 a9 = a1 + 8d ⇒ a9 = −3 + 8· ⇒ a9 = 9 2 Solución: estamos hablando de 9 términos, a9 = 9 53. Sean a1 , a1 + d , a1 + 2d los números buscados.

Como su suma es 48 ⇒ a1 + a1 + d + a1 + 2d = 48 ⇒ 3a1 + 3d = 48 ⇒ a1 + d = 16 El tercero menos el primero es dos veces el segundo ⇒ ( a1 + 2d ) − a1 = 2 ( a1 + d ) ⇒ 2d = 2a1 + 2d ⇒ a1 = 0 , d = 16 Solución : Los números son : 0 , 16 , 32 54.

a1 = 105 , a1 = 7·15 , 994 = 7 · 142 ⇒ la progresión tiene 142 – 14 = 128 términos ⇒ n = 128 El último término de la sucesión es a128 = 994

2

128

105

994 2

128

70336

55.

a1 = 1 , d = 2

an = a1 + ( n − 1) d ⇒ an = 1 + ( n − 1)·2 ⇒ an = 2n − 1

Sn =

a1 + an 1 + 2n − 1 ·n ⇒ S n = ·n ⇒ S n = n 2 2 2 220

56. a1 + a30 283 283 ·30 ⇒ 1415 = (a1 + a30 )·15 ⇒ a1 + a30 = ⇒ a1 + a1 + 29d = ⇒ 2 3 3 283 2a1 + 29d = 3 56 56 112 a6 = ⇒ a1 + 5d = ⇒ −2a1 − 10d = − 3 3 3 283 ⎧ + 29 d = 2 a 1 ⎪ 3 ⎪ ⎨ 112 ⎪ − 2a1 − 10d = − 3 ⎪⎩ _____________________________ 171 19d = ⇒ 19d = 57 ⇒ d = 3 3 S30 =

a1 + 5d =

56 56 11 ⇒ a1 = − 15 ⇒ a1 = 3 3 3

57.

a1 = 3 , d = 4 a50 = a1 + 49d ⇒ a50 = 3 + 49·4 ⇒ a50 = 199

S50 =

a1 + a50 3 + 199 ·50 ⇒ S50 = ·50 ⇒ S50 = 5050 2 2

58.

Tenemos que S n =

413 472 + ⇒ S n = 295 3 3

Sea ac el término central ⇒ 59 118 = a1 + an ⇒ a1 + an = 3 3 118 a +a S n = 1 n ·n ⇒ 295 = 3 ·n ⇒ n = 15 2 2 ac + ac = a1 + an ⇒ 2·

Solución: La sucesión tiene 15 términos y el término central es 59.

a1 = 0 '2 , an = 4'4 a +a S n = 34 '5 ⇒ 1 n ·n = 34 '5 ⇒ ( a1 + an )·n = 69 ⇒ 4 '6·n = 69 ⇒ n = 15 2 4 '2 a15 = 4 ' 4 ⇒ a1 + 14d = 4 '4 ⇒ 14d = 4 '4 − a1 ⇒ d = ⇒ d = 0 '3 14 a7 = a1 + 6d ⇒ a7 = 0 ' 2 + 6·0 '3 ⇒ a7 = 2

221

60.

⎧a3 + a4 = 4 ⇒ a1 + 2d + a1 + 3d = 4 ⇒ 2a1 + 5d = 4 ⎪ ⎨ 2 ⎪a11 = a8 + 2 ⇒ a1 + 10d − ( a1 + 7d ) = 2 ⇒ 3d = 2 ⇒ d = 3 ⎩ 2a1 + 5d = 4 ⇒ 2a1 +

10 2 1 = 4 ⇒ 2a1 = ⇒ a1 = 3 3 3

1 22 23 a12 = a1 + 11d ⇒ a12 = + ⇒ a12 = 3 3 3 1 23 + a1 + a12 ·12 ⇒ S12 = 3 3 ·12 ⇒ S12 = 48 S12 = 2 2 61. Sean los números buscados: a1 − d , a1 , a1 + d

∑= 2 ⇒ a

1

− d + a1 + a1 + d = 2 ⇒ 3a1 = 2 ⇒ a1 =

2 3

8 8 4 83 16 4 P = − ⇒ ( a1 − d )·a1 ·( a1 + d ) = − ⇒ − d 2 = − · ⇒ d 2 = ⇒ d = ± 9 9 9 92 9 3 2 2 Solución: En cualquiera de los dos casos los números buscados son: − , , 2 3 3

62.

a1 + a8 21 21 ⎫ ·8 = 21 ⇒ a1 + a1 + 7d = ⇒ 2a1 + 7d = ⇒ 8a1 = 21 − 28d ⎪ 2 4 4 ⎬⇒ ⎪ a7 = 5a4 ⇒ a1 + 6d = 5·( a1 + 3d ) ⇒ 4a1 + 9d = 0 ⇒ 8a1 = −18d ⎭ S8 = 21 ⇒

21 − 28d = −18d ⇒ 21 = 10d ⇒ d =

21 10

9 21 189 a1 = − · ⇒ a1 = − 4 10 40 21 21 63 147 231 63 399 a2 = − , a3 = − , a4 = , a5 = , a6 = , a7 = , a8 = 8 40 40 40 40 8 40 63.

∑= 9 ⇒ a

1

− d + a1 + a1 + d = 9 ⇒ 3a1 = 9 ⇒ a1 = 3

P = −48 ⇒ ( a1 − d )·a1 ·( a1 + d ) = −48 ⇒ 9 − d 2 = −16 ⇒ d 2 = 25 ⇒ d = ±5

Solución: En cualquiera de los dos casos los números buscados son : - 2 , 3 , 8 64. Tenemos que calcular la suma de los 20 primeros números impares S 20 , menos los

múltiplos de 5 comprendidos entre ellos. Si llamamos 5 = {5,15, 25,35} a dichos

222

números y

∑

5 a su suma, tenemos que calcular S 20 -

∑

5

Para calcular S 20 nos damos cuenta que d = 2 , a1 = 1 , a20 = a1 + 19d ⇒ a20 = 1 + 19·2 ⇒ a20 = 39

S20 =

∑

a1 + a20 ·20 ⇒ S20 = 400 2

5 = 5 + 15 + 25 + 35 ⇒

∑

S 20 -

∑

5 = 80

5 = 400 – 80 ⇒ S20 -∑ 5 = 320

65. a ) Sí es una progresión geométrica de razón r = 10 b ) Si es una progresión geométrica de razón r = 2a c ) No es una progresión geométrica d ) No es una progresión geométrica 66. a)r=3 3 b)r= 4 c)r= 2 2 2 d)r= x 67. a ) a10 = a1 ·r 9 ⇒ a10 = 2·39 ⇒ a10 = 39366 9

2 ⎛3⎞ 38 b ) a10 = a1 ·r 9 ⇒ a10 = ·⎜ ⎟ ⇒ a10 = 17 3 ⎝4⎠ 2

(

c ) a10 = a1 ·r 9 ⇒ a10 = 2· 2 2

)

9

⇒ a10 = 214

9

⎛ 2⎞ 16 2 d ) a10 = a1 ·r ⇒ a10 = x·⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ a10 = 8 x ⎝ x ⎠ 68. a ) r = 3 , a10 = a1 ·r 9 ⇒ a10 = 4·39 9

b ) r = 5 , a10 = a1 ·r 9 ⇒ a10 = 3·59 c)r=

1 ⎛1⎞ , a10 = a1 ·r 9 ⇒ a10 = 7·⎜ ⎟ 2 ⎝2⎠

9

69. Creciente: 2, 6, 18, 54,... 1 1 Decreciente : 9, 3, 1, , , . . . 3 9

223

70.

a2 = 3 , a4 =

27 , 4

a4 = a1 ·r 3 = ( a1 ·r )·r 2 ⇒ a4 = a2 ·r 2 ⇒ a1 =

27 9 3 = 3·r 2 ⇒ r 2 = ⇒ r = 4 4 2

a2 3 ⇒ a1 = ⇒ a1 = 2 3 r 2 5

35 ⎛3⎞ a6 = a1 ·r ⇒ a6 = 2·⎜ ⎟ ⇒ a6 = 4 2 ⎝2⎠ 5

2,

Si

35 24

6

71. Se trata de la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica, cuyo primer 1 término es el área del triángulo inicial y la razón es r = . Sea x la longitud del lado del 4 triángulo. 3 x· x base.altura x2 3 A1 = ⇒ A1 = 2 ⇒ A1 = 2 2 4

La sucesión de las áreas es la siguiente: √

√

√

En nuestro caso: 72.

√

x2 3 x2 3 x2 3 , , ,… 4 16 64

√

9

r = 25 , a5 = 12500 a5 = a1 ·r 4 ⇒ a1 =

a5 12500 4 ⇒ a1 = ⇒ a1 = 4 4 r 25 125

73.

a3 = 12 , a7 = 192 ⎧⎪a7 = 192 ⇒ a1 ·r 6 = 192 a1 ·r 6 192 ⇒ = ⇒ r 4 = 16 ⇒ r = 2 ⎨ 2 2 a1 ·r 12 ⎪⎩a3 = 12 ⇒ a1 ·r = 12 12 12 ⇒ a1 = 2 ⇒ a1 = 3 2 r 2 a10 = a1 ·r 9 ⇒ a10 = 3·29 = 1536

a1 ·r 2 = 12 ⇒ a1 =

224

74.

an ·r − a1 243·3 − 3 243·3 − 3 ⇒ S5 = ⇒ S5 = ⇒ S5 = 363 r −1 3 −1 3 −1 1 64·4 − a ·r − a1 a ·r − a1 4 ⇒ S = 341 ⇒ S5 = 5 ⇒ S5 = b ) r = 4 , Sn = n 5 4 −1 4 r −1 r −1

a ) r = 3 , Sn =

225

an ·r − a1 a ·r − a1 31' 25·5 − 0 ' 25 ⇒ S5 = 5 ⇒ S5 = ⇒ S5 = 39 r −1 r −1 5 −1 (16 x − 48 y )·2 − ( x − 3 y ) ⇒ S = 31x − 93 y a ·r − a1 ⇒ S5 = d ) r = 2 , S5 = 5 5 r −1 2 −1

c ) r = 5 , Sn =

75.

r=2

a9 = 1280 ⇒ a1 ·r 8 = 1280 ⇒ a1 =

1280 1280 ⇒ a1 = 8 ⇒ a1 = 5 8 r 2

a5 = a1 ·r 4 ⇒ a5 = 5·24 ⇒ a5 = 80

Sn =

an ·r − a1 a ·r − a1 80·2 − 5 ⇒ S5 = 5 ⇒ S5 = ⇒ S5 = 155 r −1 r −1 2 −1

76.

Sean

a1 , a1 , a1 ·r los números buscados r P = 3375 ⇒ a13 = 3375 ⇒ a1 = 15

a1 + a1 + a1 ·r = 65 ⇒ a1 + a1 ·r + a1 ·r 2 = 65r ⇒ 15 + 15r + 15r 2 − 65r = 0 ⇒ r 1 ⎧ ⎪r = 2 2 ⇒ 15r − 50r + 15 = 0 ⇒ 3r − 10r + 3 = 0 ⇒ ⎨ 3 ⎪⎩ r = 3 Solución: Los números buscados son: 5 , 15 , 45 S = 65 ⇒

77.

a3 + a4 = 180 ⇒ a1 ·r 2 + a1 ·r 3 = 180 ⇒ a1r 2 (1 + r ) = 180 ⎫⎪ ⎬⇒ a5 + a6 = 45 ⇒ a1 ·r 4 + a1 ·r 5 = 45 ⇒ a1r 4 (1 + r ) = 45 ⎪⎭ a1 r 2 (1 + r ) a1 r (1 + r ) 4

=

180 1 1 1 ⇒ 2 = 4 ⇒ r2 = ⇒ r = 45 r 4 2

Sustituyendo en cualquiera de las dos ecuaciones obtenemos a1 = 480 480 ⇒ a6 = 15 25 1 − 480 15· a6 ·r − a1 2 S6 = ⇒ S6 = ⇒ S6 = 945 1 r −1 −1 2 78. r=3 567 567 a5 = 567 ⇒ a1 ·r 4 = 567 ⇒ a1 = 4 ⇒ a1 = ⇒ a1 = 7 r 81 Solución : a2 = a1 ·r ⇒ a2 = 21 a6 = a1 ·r 5 ⇒ a6 =

226

79. a2 = 2r ⇒ a1 ·r = 2r ⇒ a1 = 2

3

3

3

a6 = a1 ·r 5 ⇒ a6 = 2·35 ⇒ a6 = 486

S6 =

a6 ·r − a1 486·3 − 2 ⇒ S6 = ⇒ S6 = 728 r −1 3 −1

80. a) 2 2 2 + + +… 10 100 1000 Se trata de la suma de los miembros de una progresión geométrica de infinitos términos 2 1 con a1 = , r = 10 10 2 2 a 2 2 N = 1 = 10 = 10 = ⇒ N = 1 9 1− r 1− 9 9 10 10 b) 18 18 N = 0 '1818… = 0 '18 + 0 '0018 + … = + +… 100 10000 Se trata de la suma de los miembros de una progresión geométrica de infinitos términos 18 1 con a1 = , r= 100 100 18 18 a1 18 2 N= = 100 = 100 = ⇒ N= 99 99 1− r 1− 1 11 100 100 c) N = 0 ' 222… = 0 ' 2 + 0 '02 + 0 '002 + … =

27 27 + +… 100 10000 Se trata de la suma de los miembros de una progresión geométrica de infinitos términos 27 1 con a1 = , r= 100 100 27 27 a 27 3 N = 1 = 100 = 100 = ⇒ N= 99 99 1− r 1− 1 11 100 100 N = 0 ' 2727 … = 0 ' 27 + 0 '0027 + … =

227

d)

36 36 + +… 100 10000 Se trata de la suma de los miembros de una progresión geométrica de infinitos términos 36 1 con a1 = , r= 100 100 36 36 a1 36 4 N= = 100 = 100 = ⇒ N= 99 99 1− r 1− 1 11 100 100 N = 0 '3636… = 0 '36 + 0 '0036 + … =

81.

a ) a1 = 27 , r =

1 3

27 81 a1 ⇒ S∞ = ⇒ S∞ = 1 1− r 2 1− 3 7 1 , r= a1 = 100 10 7 a1 7 = ⇒ S∞ = 100 ⇒ S∞ = 1 1− r 99 1− 100 3 2 a1 = , r= 2 3 3 3 a1 = ⇒ S∞ = 2 ⇒ S∞ = 2 ⇒ S∞ = 2 1− r 3−2 2 1− 3 3 1 a1 = 2'15 , r = 2 2 '15 2 '15 a1 = ⇒ S∞ = ⇒ S∞ = ⇒ S∞ = 4 '3 1 1− r 0 '5 1− 2

S∞ =

b)

S∞

c)

S∞

d) S∞

82. r=

(

3 3−2

)

2 125 , a1 = 5 2

125 125 a1 625 S∞ = ⇒ S∞ = 2 ⇒⇒ S∞ = 2 ⇒ S∞ = 2 3 1− r 6 1− 5 5

83.

a ) N = 0 ' 2666… = 0 ' 2 + 0 '06 + 0 '006 + … = 0 ' 2 +

6 6 + +… 100 1000

228

Se trata de la suma de 0’2 y de los miembros de una progresión geométrica de infinitos 6 1 términos con a1 = , r= 100 10 6 6 a 1 1 S∞ = 1 = 100 = 100 = ⇒ S∞ = 9 1− r 1− 1 15 15 10 10 1 1 1 3 +1 4 N = 0'2 + = + = ⇒ N= 15 5 15 15 15 6 6 + +… 100 1000 Se trata de la suma de 1’1 y de los miembros de una progresión geométrica de infinitos 6 1 términos con a1 = , r= 100 10 6 6 a1 1 1 S∞ = = 100 = 100 = ⇒ S∞ = 9 1− r 1− 1 15 15 10 10 7 1 11 1 33 2 35 7 11 6 15 10 15 30 30 6 b ) N = 1'1666… = 1'1 + 0 '06 + 0 '006 + … = 1'1 +

6 6 + +… 1000 10000 Se trata de la suma de 0’41 y de los miembros de una progresión geométrica de infinitos 6 1 términos con a1 = , r= 1000 10 6 6 a 1 1 S∞ = 1 = 1000 = 1000 = ⇒ S∞ = 9 1− r 1− 1 150 150 10 10 1 41 1 125 5 N = 0 ' 41 + = + = ⇒ N= 150 100 150 300 12 72 72 + + … Se d ) N = 0 ' 227272… = 0 ' 22 + 0 '0072 + 0 '000072 + … = 0 ' 22 + 10000 1000000 trata de la suma de 0’22 y de los miembros de una progresión geométrica de infinitos 72 1 términos con a1 = , r= 10000 100 72 72 a 2 2 S∞ = 1 = 10000 = 10000 = ⇒ S∞ = 99 1− r 1− 1 275 275 100 100 2 22 2 5 N = 0 '22 + = + ⇒ N= 275 100 275 22 c ) N = 0 '41666… = 0 '41 + 0 '006 + 0 '0006 + … = 0 '41 +

229

84. a)

6 '2 = 6 '222… = 6 + 0 '222…

2 2 2 + + +… 10 100 1000 Se trata de la suma de los miembros de una progresión geométrica de infinitos términos 2 1 con a1 = , r = 10 10 2 2 a 2 2 N = 1 = 10 = 10 = ⇒ N = 9 9 1− r 1− 1 9 10 10 2 56 6'2 = 6 + ⇒ 6'2 = 9 9 b) 2 '54 = 2 '5444… = 2 '5 + 0 '0444… 4 4 N = 0 '0444… = 0 '04 + 0 '004 + … = + +… 100 1000 Se trata de la suma de los miembros de una progresión geométrica de infinitos términos 4 1 con a1 = , r= 100 10 4 4 a1 2 2 N= = 100 = 100 = ⇒ N= 9 1− r 1− 1 45 45 10 10 2 25 2 229 2 '54 = 2 '5 + = + ⇒ 2 '54 = 45 10 45 90 N = 0 ' 222… = 0 ' 2 + 0 '02 + 0 '002 + … =

85. 5 212121 … .

5

0 21

0 0021

21 21 + +… 100 10000 Se trata de la suma de los miembros de una progresión geométrica de infinitos términos 21 1 con a1 = , r= 100 100 21 21 a 21 7 N = 1 = 100 = 100 = ⇒ N= 99 99 1− r 1− 1 33 100 100 7 172 5 212121 … . 5 0 21 0 0021 5 33 33 N = 0 ' 2121… = 0 ' 21 + 0 '0021 + … =

230

86.

64 r 64 1 a = 256 (1 − r ) ⇒ 256r 2 − 256r + 64 = 0 ⇒ r = S∞ = 256 ⇒ 1 = 256 ⇒ 1− r 2 r 64 ⇒ a1 = 128 a1 = r 128 a8 = a1 ·r 7 ⇒ a8 = 7 ⇒ a8 = 1 2 a2 = 64 ⇒ a1 ·r = 64 ⇒ a1 =

87.

Construimos la siguiente progresión: n = 4 , a1 =

2 9 , a4 = x3 3 4

2 9 , a2 , a3 , x 3 3 4

a an = a1 ·r n −1 ⇒ a4 = a1 ·r 3 ⇒ r = 3 4 ⇒ r = a1

Solución: los números buscados son: x ,

3 2 x 2

88. Se trata de una progresión geométrica en la que 3 3

3

9 3 x 3 4 ⇒ r = 3 27 x ⇒ r = 3 x 2 8 2 3

3,

3

243 363

89.

a1 ·a1 ·a1r = 13824 ⇒ a13 = 13824 ⇒ a1 = 24 r ⎧r = 2 a1 ⎪ 2 S = 84 ⇒ + a1 + a1r = 84 ⇒ 2r − 5r + 2 = 0 ⇒ ⎨ 1 r ⎪⎩r = 2 Solución: los números buscados son: 12, 24, 48 P = 13824 ⇒

90. Sean a1 , a2 , a3 los números buscados.

⎧a2 = 14 + a1 ⇒ a2 ·r = 14·r + a1 ·r ⇒ 14r + a1r = 42 + a1r ⇒ 14r = 42 ⇒ r = 3 ⎨ ⎩a3 = 42 + a2 ⇒ a2 ·r = 42 + a2 a2 = 14 + a1 ⎫ ⎬ ⇒ 14 + a1 = 3a1 ⇒ a1 = 7 a2 = a1 ·r ⇒ a2 = 3a1 ⎭ Solución: los números buscados son: 7 , 21 , 63

231

91. Se trata de una progresión geométrica de n términos en la que : a1 = 1 = 30 , r = 3

La progresión es: 1, 3,32 ,33... La suma de los términos de la progresión es 1093. an ·r − a1 a ·3 − 1 = 1093 ⇒ n = 1093 r −1 3 −1 ⇒ an = 729 ⇒ a1 ·r n = 729 ⇒ 3n = 36 ⇒ n = 6

Sn = 1093 ⇒

La progresión consta de los términos: 1,3,32 ,33 ,34 ,35 ,36 Solución: Al cabo de 5 ·6 = 30 minutos saben la historia los 1093 alumnos del instituto.

92. Se trata de una progresión geométrica en la que a1 = 1 , r = 2, 2048

2048

2

2048

2

2

11

En la duplicación número 11, se obtienen las 2048 células. Como cada duplicación tarda 5 minutos, el tiempo empleado es 5·11= 55 minutos 93. Se trata de la suma de las áreas de los infinitos cuadrados que se forman de la manera indicada.

232

Sea el lado del cuadrado inicial y el área correspondiente; el área correspondiente, y así sucesivamente. cuadrado y La progresión de las áreas es la siguiente:

el lado del segundo

1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 4 2 1 1 1 2 2 2 8 2 ……………………………………………………. 1 2 , Las áreas forman una progresión geométrica en la que

2

Su suma es:

( 2)

En nuestro caso, S∞ = 2·

2

⇒ S∞ = 4 cm 2

94. Sean a − d , a , a + d las longitudes de los lados del triángulo rectángulo Por el Teorema de Pitágoras sabemos que: a 2 2 ( a + d ) = ( a − d ) + a2 ⇒ d = 4 S = 48 ⇒ 3a = 48 ⇒ a = 16

4

Solución: las medidas de los dos catetos son 12 cm y 16 cm y , la hipotenusa mide 20 cm 95. Leyendo cuidadosamente el enunciado tenemos: “En un campamento de verano hay 7 niños. Al año siguiente acuden al mismo campamento 10 niños más y cada año acuden 10 niños nuevos.

En este caso tenemos una progresión aritmética de 9 términos, en la que a1 = 7 , d = 10, n=9 Tenemos que calcular el término a9 . a9 = a1 + 8d ⇒ a9 = 7 + 8·10 ⇒ a9 = 87

La progresión es la siguiente : 7 , 17 , 27 , 37 , ... , 87 En el campamento de al lado sólo hay 2 niños, pero al cabo de un año llegan 4 nuevos niños. Al año siguiente se matriculan en el campamento los mismos niños que había el año anterior a los que además se incorporan el doble de los que se incorporaron nuevos el año anterior, y así sucesivamente. Calcula cuántos niños hay en cada campamento al cabo de 9 años.”

233

En el primer año son a1 = 2 niños En el segundo año son a2 = a1 + 22 = 2 + 22 niños En el tercer año son 2 a3 = 2 + 2 2 + 23 niños ..................................................................... En el noveno año son a9 = 2 + 2 2 + 23 + … + 29 niños 2 + 2 2 + 23 + … + 29 =

29 ·2 − 2 = 1022 ⇒ a9 = 1022 2 −1

Solución: Al cabo de nueve años en el primer campamento hay 87 niños y en el segundo campamento 1022 niños. 96. Apuesta Primera Segunda Tercera Cuarta Quinta

Gana 100 € 200 € 400 € 800 € 0€

Pierde 0 0 0 0 800 + 400 + 200 + 100 = 1500 €

AUTOEVALUACIÓN PAG. 135

1.

a5 = 2 ⇒ a1 + 4d = 2 ⎫ ⎬ ⇒ 3d = 6 ⇒ d = 2 ⇒ a1 = −6 a8 = 8 ⇒ a1 + 7d = 8 ⎭ a51 = a1 + 50d ⇒ a51 = −6 + 50·2 ⇒ a51 = 94

234

2. Construimos la siguiente progresión: 3 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , 27

n = 7 , a1 = 3 , a7 = 27

27 3 1 7 1 Solución: Los números buscados son: 7 , 11 , 15 , 19 , 23 1

4

3. Se trata de una progresión aritmética: 360, 390, 420 ..., 930 en la que a1 = 360 , d = 30 .Tenemos que calcular el número n de términos. an = 930 ⇒ a1 + ( n − 1)·d = 930 ⇒ 360 + ( n − 1)·30 = 930 ⇒ n = 20

Solución: Tardó 20 meses en pagar el coche. 4. Para llenar de agua las cinco primeras conchas, todos los trayectos que hace son de ida y vuelta. Sean a1 el trayecto de ida desde la orilla a la 1ª concha y a5 el trayecto desde la orilla a la 5ª concha. a1 = 15 m y 15 2 4 23 m Como el trayecto es de ida y vuelta: ( a + a )·5 S5 = 2· 1 5 ⇒ S5 = ( a1 + a5 )·5 ⇒ S5 = ⎡⎣15 + (15 + 2·4 )⎤⎦·5 ⇒ S5 = 190 2 Para llenar la sexta concha sólo hace el camino de ida (desde la orilla hasta la 6ª concha)

a6 = 15 + 2·5 = 25 m Solución: Recorre 190 + 25 =215 m 5. Se trata de calcular la suma de los n primeros números pares: Sn = 2 + 4 + 6 + …

Tenemos una progresión aritmética en la que a1 = 2 , d = 2 ,

an = a1 + ( n − 1)·d ⇒ an = 2 + ( n − 1)·2 ⇒ an = 2n Sn =

2·(1 + n ) a1 + an 2 + 2n ·n ⇒ S n = ·n ⇒ S n = ·n ⇒ S n = n·( n + 1) 2 2 2

6.

a1 ·r = 39

⎫ 2 ⎬ ⇒ r = 169 ⇒ r = 13 3 a1 ·r = 6591⎭ Si r = 13 ⇒ a1 = 3 ⇒ a3 = a1 ·r 2 ⇒ a3 = 3·132 ⇒ a3 = 507 S4 =

a1 + a4 3 + 6591 ·4 ⇒ S4 = ·4 ⇒ S 4 = 13188 2 2 235

7.

Construimos la siguiente progresión: n = 5 , a1 =

2 , a5 = 10 5

2 , a2 , a3 , a4 , 10 5

√25

Solución: los números buscados son:

√5

2 5 , 2 , 2√5 5

8.

Sean

a , a, ar las medidas de las aristas del prisma. r a V = 1728 ⇒ ·a·ar = 1728 ⇒ a 3 = 1728 ⇒ a = 12 r a S = 63 ⇒ + a + ar = 63 ⇒ a + ar + ar 2 = 63r ⇒ 12r 2 − 51r + 12 = 0 ⇒ r 17 ± 289 − 64 ⇒r=4 4r 2 − 17 r + 4 = 0 ⇒ r = 8

Solución: Las medidas son 3 m , 12 m y 48 m Si consideramos la solución

la solución sería la misma.

9.

46 46 + +… 100 10000 Se trata de la suma de 3 y de los miembros de una progresión geométrica de infinitos 46 1 términos con a1 = , r= 100 100 46 46 a1 46 S∞ = = 100 = 100 ⇒ S∞ = 99 1− r 1− 1 99 100 100 46 343 3 99 99 N = 3' 4646… = 3 + 0 ' 46 + 0 '0046 + … = 3 +

10. Se trata de la suma de los miembros de la siguiente progresión geométrica: 1,3,32 ,… ,3 9

Los datos son: a1 = 1 , a10 = 3 9 , r = 3 a10 ·r − a1 39 ·3 − 1 ⇒ S10 = ⇒ S10 = 29524 S10 = r −1 3 −1

236

OLIMPIADA MATEMÁTICA PAG. 137

1.Bastará probar que a partir de un cuadrado perfecto podemos construir otro. Sea la progresión : a2 , a2 + d, a2 + 2d, ..., a2 + kd...

Como (a + d )2 = a2 + 2ad + d 2 = a2 + d ⋅ (2a + d ) , bastará tomar k = 2a + d para obtener otro cuadrado en la progresión.

237

UNIDAD 8. Geometría plana

ACTIVIDADES PAG. 140

1. a ) Acutángulo , escaleno b ) Obtusángulo , escaleno c ) Rectángulo , isósceles d ) Acutángulo, equilátero 2. a ) 40 º b ) Este triángulo no existe c ) 65º d ) 69’6º ACTIVIDADES PAG. 141

3. Triángulo isósceles

Triángulo equilátero

I C

OI BC

B O

Como puedes observar, en el triángulo isósceles todos los puntos notables se encuentran en la misma altura y la recta de Euler coincide con dicha altura. En el triángulo equilátero, todos los puntos notables coinciden.

238

ACTIVIDADES PAG. 142

4.

2 12 6 12 4 12 = ⇒ x=3 , = ⇒ y =6 , = ⇒ z =9 x 18 z 18 y 18

ACTIVIDADES PAG. 143

5. No son semejantes porque los lados no son proporcionales. 6. Los ángulos medirán lo mismo: 45º, 60º y 75 º ACTIVIDADES PAG. 145

7. Sea x la longitud de la altura. 2 8

4

8. Sea x la altura del poste. 8 8

8

239

9. Aplicación del Teorema de la altura: altura2 = 20 · 50 ⇒ altura = 10 10 ≅ 31.62 m ACTIVIDADES PAG. 146

10. Aplicamos el teorema del cateto:

9

10 125

8 ACTIVIDADES PAG. 147

11. Sea x la medida del cateto en centímetros ⇒ 17 2 = 82 + x 2 ⇒ x = 15 Solución: El otro cateto medirá 15 cm 12. Sea x la medida de la hipotenusa en centímetros ⇒ x 2 = 6 2 + 82 ⇒ x = 10 Solución: La hipotenusa mide 10 cm 13. 10

24

100

576

26

ACTIVIDADES PAG. 148

14. a ) Rombo , b ) Trapezoide , c ) Trapecio isósceles , d ) Rectángulo

240

ACTIVIDADES PAG. 149

15. 7 13

x 5 17 132 = x 2 + 52 ⇒ x = 12 A=

( B + b )·altura = (17 + 7 )·12 ⇒ 2

2

16. Aplicando la fórmula : A =

A = 144cm 2

( B + b )·altura = ( 7 + 3)·3 ⇒ 2

2

Suma ( área del cuadrado + área triángulo ) = 3 · 3 +

A = 15cm 2

4·3 ⇒ 2

A = 15 cm2

17.

10

Ap 5

10 2 = 52 + Ap 2 ⇒ Ap = 5 3

Perímetro· Apotema 10·6·5 3 ⇒ Área = ⇒ Área = 150 3 cm 2 ⇒ 2 2 2 Área= 259’81 cm

Área =

241

ACTIVIDADES PAG. 150

18. L=

2·π ·r ·n 2·π ·5·30 5 ⇒L= ⇒ L = π m ⇒ L ≅ 2 '62 m 360 360 6

19. A=

π ·r 2 ·n 360

⇒ A=

π ·12 2 ·60 360

⇒ A = 24π m 2 ⇒ A ≅ 75 ' 4 m 2

ACTIVIDADES PAG. 151

20. A = π (122 − 42 ) ⇒ A ≅ 128π m 2 ⇒ A = 402 '12 m 2

ACTIVIDADES PAG. 152

242

21.

22.

23.

243

DESAFÍO MATEMÁTICO PAG. 154

244

1.

En la figura aparecen los datos en cm. Resolviendo el problema en centímetros, y aplicando el teorema de Pitágoras tenemos: √

En el caso que

√

√ √

10

En el caso del D.N.I.,

53 38

10

16 18 √

5338

√

. 8637

2. La figura está realizada con Geogebra, así como el cálculo aproximado de las longitudes parciales de la espiral.

 

245

Sea

la longitud del lado menor del rectángulo inicial. √

Fijándonos en la figura, vemos que √5 1 2

a

√5 1 √5 1 2 2

3

√5 1 3 √5 2 2 √5 1 √5 2 2

√5 1 2 √5 1 2 La longitud del primer arco es

√5

2

7

3√5 2

º √

La longitud del segundo arco es La longitud del tercer arco es

√

La longitud del cuarto arco es

√5

La longitud del quinto arco es

√

2 √

La suma pedida es En nuestro caso,

√5 2

6

la suma pedida es

6

√

22 45 cm

3. En cada arco, la superficie a acristalar es, en su parte rectangular de 1 74 m . En la parte superior, tenemos media circunferencia, cuya superficie viene dada por la expresión

, en nuestro caso la superficie es

Como son 23 arcos, la superficie a acristalar es de: 23

05 1 74

m . 23

49 m

El precio total del cristal necesario, para acristalar el claustro de Santa María de Alquézar en las condiciones dadas, es de 18 49=882 €

246

ACTIVIDADES FINALES PAG. 156

24. h 2 = 52 + 12 2 ⇒ h = 13 cm 25.

5

x

3

52 = x 2 + 32 ⇒ x = 4 cm

247

26.

13

a 12

132 = 12 2 + a 2 ⇒ a = 5

27.

L a

L/2 2

3 3 ⎛L⎞ L = a + ⎜ ⎟ ⇒ a 2 = L2 ⇒ a = L 4 2 ⎝2⎠ 2

2

28.

a=

3 3 L⇒a= · 3 3 ⇒ a = 4 '5 m 2 2

( )

29.

D

x cm

D 2 = x 2 + x 2 ⇒ D 2 = 2 x 2 ⇒ D = x 2 cm 30. Si el lado del cuadrado mide x cm ⇒ x 2 = 12 + 12 ⇒ x = 2 cm Aplicando el ejercicio anterior: √2 cm

248

31.

12

5 P1

P2

hipotenusa 2 = 52 + 122 ⇒ h = 13 25 ⇒ p1 ≅ 1'92 cm 13 144 Cateto22 = hipotenusa· p 2 ⇒ 122 = 13· p 2 ⇒ p 2 = ⇒ p 2 ≅ 11'08 cm 13

Cateto12 = hipotenusa· p1 ⇒ 52 = 13· p1 ⇒ p1 =

Área = 30 cm 2

cm

4 6 cm

32.

x a P1=5

x

p2

Por el teorema de Pitágoras: x 2 + x 2 = ( 5 + P2 ) ⇒ 2 x 2 = 25 + 10 P2 + P2 2 2

Por el teorema del cateto: x 2 = ( P2 + 5 )·5 ⇒ x 2 = 5 P2 + 25

10 P2 + 50 = 25 + 10P2 + P2 2 ⇒ P2 2 = 25 ⇒ P2 = 5 Por el teorema de la altura: a 2 = 5·P2 ⇒ a = 5 Aplicando el teorema de Pitágoras ( en el triángulo amarillo ) :

x 2 = 25 + a 2 ⇒ x = 5 2 Área triángulo = 25 m2 33. Aplicando el teorema de la altura: 16 81

4 9

36 m

249

34. El triángulo es rectángulo, aplicando el teorema del cateto: xm 40 m 90 m

90 40

3600

60 m

35.

21

20

a m

n

Por el teorema de Pitágoras: h = 202 + 212 ⇒ h = 29 20 2 ⇒ m ≅ 13'79 29 212 Por el teorema del cateto: 212 = 29·n ⇒ n = ⇒ n ≅ 15 ' 21 29 Por el teorema de la altura:

Por el teorema del cateto: 20 2 = 29·m ⇒ m =

a 2 = m·n ⇒ a 2 =

20 2 212 20·21 · ⇒a= ⇒ a ≅ 14 ' 48 29 29 29

Solución: altura = 14 ' 48 cm

36.

El ortocentro queda sobre el vértice del ángulo recto.

250

Como se aprecia en la figura, en un triángulo rectángulo su hipotenusa coincide con el diámetro de la circunferencia circunscrita. 37.

C

En un triángulo rectángulo, las tres mediatrices coinciden en el punto medio de la hipotenusa. 38. Ortocentro A

C

B Circuncentro

Triángulo obtusángulo

Observa que en el triángulo acutángulo el ortocentro y el circuncentro quedan dentro del triángulo , mientras que en el triángulo obtusángulo quedan fuera. En el triángulo rectángulo el ortocentro queda sobre el vértice del triángulo rectángulo y el circuncentro queda en el punto medio de la hipotenusa.

251

39.

40.

El ortocentro del triángulo menor coincide con el circuncentro del triángulo mayor. 41.

10 6 = ⇒ x=3 5 x

Solución: el cuarto segmento proporcional mide 3 cm 42.

Sí son semejantes porque tienen los tres ángulos iguales. 43. No podemos afirmar que sean semejantes porque, si bien tienen dos lados proporcionales y un ángulo igual, éste no es el ángulo comprendido entre los lados.

252

44. C' C 12

A

18

6

B

A'

9

B'

Sí son semejantes. Tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido es igual . 253

45. Sí son semejantes por tener los tres ángulos iguales ( iguales, 90º y forzosamente ) Además tienen los lados paralelos.

opuestos por el vértice son

46. En ambos casos basta con uno. En el triángulo rectángulo ya tienen igual el ángulo rectángulo, si tienen uno igual el tercero forzosamente tiene que coincidir. En el triángulo isósceles los ángulos en la base son iguales. 47.

Siendo A’ y B’ los puntos medios de los lados AB y BC, al unirlos obtenemos el segmento A’B’. Consideremos ahora los triángulos ABC (verde) y A’BC’ (azul). Observamos la semejanza de ambos triángulos (tienen un ángulo en común y sus lados BA' BB' 1 son proporcionales), siendo la razón de proporcionalidad la siguiente: = = BA BC 2 por ser A’ y B’ los puntos medios de sus respectivos lados. Al ser los dos triángulos semejantes y tener el ángulo ABC y A’BC’ común se sigue inmediatamente que los segmentos AC y A’B’ son paralelos y los tres lados son BA' BB' A' B' 1 AC = = = ⇒ A’B’ = proporcionales ⇒ , como queríamos demostrar. BA BC AC 2 2 48. Sea L la longitud del lado.

1 2 ⇒ L= 2 2 1 Perímetro = 2 2 ≅ 2’83 cm; Área = =0’5 cm2 2 49. A = L2 ⇒ 25 = L2 ⇒ L = 5 L2 + L2 = 1 ⇒ L =

D = L 2 ⇒ D = 5 2 cm Solución: Diagonal = 5 2 ≅ 7’07 cm 50. Área= 30 cm2 Perímetro = 22 cm Diagonal = 7’81 cm 254

51. Perímetro = 4 · 2’5 ⇒ Perímetro = 10 cm 18 ⇒ Lado = 4 '5 cm 4 5·2 5 53. Área = ⇒ Área = 5 m 2 2 54.

52. Lado =

x

4

3

7

5 3

Sea la medida del lado, y sea la medida de la altura del trapecio 5 Perímetro = 30 ⇒ 20 + 2 = 30 ⇒ 3 4 Aplicando el teorema de Pitágoras: 5 ( B + b )·altura ⇒ A = (13 + 7 )·4 ⇒ A = 40 cm 2 A= 2 2 55. A =

D·d D·30 ⇒ 225 = ⇒ D = 15 m 2 2

56.

D

b

a P = 30 ⇒ 2 a + 2 b = 30 ⇒ a + b = 15 2 a 2 + b 2 = D 2 ⇒ a 2 + b 2 = 125 ⇒ a 2 + (15 − a ) = 125 Solución: Área = 50 cm 2 57.

D

L

Sea R el radio de la circunferencia y D el diámetro de la circunferencia (que coincide con la diagonal del cuadrado). 255

Longitud circunferencia = 2πR ⇒ 20 π = 2πR ⇒ 20 = 2 R ⇒ R = 10 ⇒ D = 2R ⇒ D = 20 D , Como L = 2 Área cuadrado = L2 ⇒ Área cuadrado =

D2 ⇒ Área cuadrado = 200 cm 2 2

58. Sea L la longitud del lado del cuadrado, D la diagonal del cuadrado, que coincide con el diámetro de la circunferencia asociada y R el radio de dicha circunferencia. D Recordemos que L = 2 D2 Área cuadrado = 100 ⇒ L2 = 100 ⇒ = 100 ⇒ D 2 = 200 ⇒ 2 2 D = 10 2 ⇒ R = 5 2 ⇒ R = 50

Área círculo = π R2 ⇒ Área círculo = 50π m 2 59. 20 25

20 x

252 = 20 2 + x 2 ⇒ x = 15 ( 35 + 20 )·20 ⇒ Área = 550 dm 2 Área = 2

60.

L

ap L/2 2

3 ⎛L⎞ L = ap + ⎜ ⎟ ⇒ ap = L 2 ⎝2⎠ Perímetro·apotema ( 6 L )·ap Área hexágono = = = 3L·ap ⇒ Área hexágono = 3 3 L2 2 2 2 61. 2

2

256

3 3 2 L 2 2 4 2 3 3 2 L= · 27 ⇒ L2 = 27 ⇒ Área hexágono = · 27 = 81 2 3 3 3

Área hexágono =

Área hexágono = 9 m2 62.

R

ap 2

Área círculo = 20 π ⇒ π R2 = 20 π ⇒ R2 = 20 R2 = ap2 + 4 ⇒ ap2 = 20 – 4 ⇒ ap = 4 Perímetro·apotema 32·ap = = 16·ap ⇒ Área hexágono = 2 2 63. Área = 49 π - 16 π ⇒ 64. Á

225

65.

A=

66.

A=

67.

A=

π ·r 2 ·n 360

π ·r 2 ·n 360

360

Área = 33 π ≅ 103’67 m2 144

⇒ A=

⇒ A=

π ·25 2 ·90

Área = 64 m2

−

81

π ·6 2 ·10 360

⇒

π ·12 2 ·60 360

π ·20 2 ·90 360

⇒

A = π cm2

⇒ A = 24 π ⇒

A=

A = 75’4 m2

225π ≅ 176’71 cm2 4

257

68. Área círculo asociado de radio R = 4 · Área círculo radio r. Longitud circunferencia asociada al círculo de radio r = 24 π ⇒ 2 π r = 24 π ⇒ r = 12 Área círculo asociado de radio R = 4 · Área círculo radio r = 4 π 122 π R2 = 4 π 122 ⇒ R2 = 4·122 ⇒ R = 2 · 12 ⇒ R = 24 Longitud circunferencia de radio R = 2·π· 24

Longitud circunferencia de radio R = 48 π cm ≅ 150’8 cm

258

69.

A=

A=

π ·10 2 4

−

10·10 2

A= 25π -50 cm2 ≅ 28’54 cm2

⇒

70. -3

Área =

2

⎛3⎞ Área = 9 – 3 · π · ⎜ ⎟ ⇒ ⎝4⎠

71.

Área = 9 −

27·π ≅ 3’7 cm2 16

R = 2·r = 2 · 2 = 4 m

=

Área zona verde

-

Área zona verde = π R 2 − π r 2 = 16 π - 4 π = 12 π ≅ 37’7 cm 2 Área = 12π ≅ 37’7 cm 2 72. Área = área trapecio – área circunferencia (R = 4) – 2 área circunferencia (r = 2) 18 + 8 ·8 − 16π − 2·4π ⇒ Área = 104 − 24π ≅ 28'6 m 2 Área = 2 73.

Área =

1 π R 2 ⇒ Área = 32π ≅ 100 '53 m 2 2

74.

12 m 3m xm

2'4 a

Llamemos a la altura buscada x. Vemos que los triángulos son semejantes.

259

12 9 '6 = ⇒ a = 3'75 a 3

2'4

x

0'75 2 ' 42 = x 2 + 0 '752 ⇒ x ≅ 2 ' 28 m

75.

Nuevamente tenemos dos triángulos semejantes.

1'9 x 2'4

3

76.

1'9 x = ⇒ x = 1'52 m 3 2 '4 x 3 = ⇒ x = 5' 25 m 14 8

77. 25

260

78. Aplicación del teorema de Pitágoras: 49 = 9 + a2 ⇒ altura ≅ 6 '32 m 79.

12 x = ⇒ x=9 m 4 3

80. 1 revolución de la rueda = 2· π · 0’4 = 0’8 π m 1 circuito completo = 200 revoluciones de la rueda = 200 · 0’8π =160 π m La carrera = 10 circuitos completos = 1600 π ≅ 5026'55 metros AUTOEVALUACIÓN PAG. 159

1. h 2 = 50 2 + 482 ⇒ h = 4804 ⇒ h = 2 1201 ⇒ h ≅ 69 '31 cm 2.

12 m

9 16

h

a

b

9 25 a 2 = 92 + 122 ⇒ a = 15 m b 2 = 122 + 16 2 ⇒ b = 20 m

261

3.

x

x

h

x/2 2

x2 3 3 ⎛ x⎞ x2 = ⎜ ⎟ + h2 ⇒ h2 = x 2 − ⇒ h2 = x 2 ⇒ h = x cm 4 4 2 ⎝2⎠

4. No son semejantes, ya que si bien dos lados son proporcionales, el tercero no. 5. 6.

x 4 = ⇒ x=8m 2 '5 5 a 12 = ⇒ a = 36 m 117 39 b 117 = ⇒ b = 39 m 13 39 c 117 = ⇒ c = 42 m 14 39

7. Aplicamos el resultado del problema 3 ⇒ h =

3 14 3 · ⇒ h = 7 cm x⇒ h= 2 3 2

8. 2

9

2

h

Raíz (29)

9m

9.

29 = h 2 + 4 ⇒ h = 5 ( B + b )·h ⇒ A = (13 + 9 )·5 ⇒ A = 55 m 2 Área = 2 2 2 2 π ·r ·n π ·4 ·30 4π 2 Área = ⇒ A= ⇒ A= m 360 360 3

262

10.

=

-

Área figura dada = 4 - π 12 ⇒ A = 4 − π cm 2 ⇒ A ≅ 0 '86 cm 2 OLIMPIADA MATEMÁTICA PAG. 161

1. El área utilizada por las cuatro es un círculo de 50 m de radio, es decir,

Área = 502 π m2

La que queda sola ha de pastar sobre un cuadrante de círculo cuya superficie sea la misma: πx 2 = π ⋅ 502 ⇒ x = 100 m 4

Justamente la longitud del campo. 2. Es la cuarta parte del área del cuadrado. El área es de 4 unidades de superficie.

263

UNIDAD 9. Poliedros ACTIVIDADES PAG. 164

1. 12 2. 6 3. 7 ACTIVIDADES PAG. 165

4. 4 + 4 = 6 + 2, (C = V = 4, A = 2) 5. 8 + 6 = 12 + 2, (C = 8, V = 6, A = 12) ACTIVIDADES PAG. 166

6. AT = 2·5·6 + 2·6·7 + 2·5·7 = 214 cm 2 AL = 2·6·7 + 2·5·7 = 154 cm 2

7. AL = 6·3·5 = 90 cm 2

3 3 2 L , siendo L la longitud de la arista básica. En nuestro caso L = 3 ⇒ 2 27 3 AB = ≅ 23'38 cm 2 2 AB =

AT = AL + 2 AB ⇒ AT = 90 + 27 3 ⇒ AT ≅ 136 '77 cm 2

264

ACTIVIDADES PAG. 167

8. AT = 2·4·7 + 2·4·9 + 2·7·9 ⇒ AT = 254 cm 2 9. AT = 6·3·3 ⇒ AT = 54 m 2 10. AB =

3 3 2 L , siendo L la longitud de la arista básica. En nuestro caso L = 6 ⇒ 2

AB = 54 3 ⇒ AB ≅ 93 '53 m 2 V = AB ·h ⇒ V ≅ 93'53·8 ⇒ V ≅ 748 ' 24 m 3

11. V = 103 ⇒ V = 1000 m 3 12. d = 32 + 52 + 12 2 ⇒ d ≅ 13'34 m ACTIVIDADES PAG. 168

13.

14. 6,00 cm

4,00 cm

265

ACTIVIDADES PAG. 169

15. AB = 100 cm 2

h

12 5

12

10 cm

10 cm AL = 4

10·12 ⇒ AL = 240 cm 2 2

AT = AL + AB ⇒ AT = 340 m 2

16. AL = 5·

8·11 ⇒ AL = 220 cm 2 2

3 3 2 2 13 3 2 L ·h = ⇒ V = 100 cm3 10 · 17. V = Ab ·h = · 3 2 3· 2 3 18. AB = 7 2 = 49 cm 2 7·14 AL = 4· = 196 cm 2 2 AT = 196 + 49 ⇒ AT = 245 cm 2

V=

1 1 Ab ·h = ·49·12 ⇒ V = 196 cm3 3 3

266

DESAFÍO MATEMÁTICO PAG. 170

267

La tuerca 1.

Pirámide de Keops:

1466

1135 á 2

á

Á

á

185 4 m á 227 1854 21042 9 m 2 4 21042 9 841716 m

Pirámide de Kefrén:

1435

1075 á 2

á

Á

á

é

179´3 m á 215 1793 1927475 m 2 4 19274 75 77099 m

268

Pirámide de Micerino:

1 2

73 73

52´3 51´1 á

1 2

89´8 m 89´1 m

á 1 2

á

4588´78

2 2

á

4659´93 m Á

á

2 4588´78

102´2 898 2 104´6 891 2

2 4659´93

18497´42 m

2. Volumen de las pirámides. VPirámide de Keops Á V Pirámide de Kefrén Á V Pirámide de Micerino =Á

227 1466 75541514 m 215 1435 66332875 m 1046 1022 73 78037876m

1357006 m 3. Área total Pirámide Keops 84171.6 227 Área total Pirámide Micerino 77099 104 ´6 102 ´2 8778912 m Área total Pirámide Keops Área total Pirámide Micerino Volumen Pirámide Keops Volumen Pirámide Micerino

1357006 8778912 75541514 78037876

15

968

269

La construcción de la piscina cubierta

Observando la figura, el volumen total V es la suma de los volúmenes parciales: 4 4 1 20 192 m 4 5 1 20 24 m 1 1 2 2

1 4 03 1 20 2 19 2

24

72 m

0 72

43´92 m

La tuerca

Á

6

í 2

á

120 2

36

Aplicando el teorema de Pitágoras: 120

2 Á

á

36 Á

4√3 1 385 cm 5 4√3 72√3 36 4′ 988 cm 5 25 72√3 ′ 36√3 05 2′ 49 cm á 25 25 05 1 05 1 57 cm 2 2 49 1 57 92 cm

270

ACTIVIDADES FINALES PAG. 172

19. a) No, b) Sí 20. a) Sí, b) No 21. 6 + 8 = 12 + 2 (C = 6, V = 8 , A = 12 ) 22. 12 + 20 = 30 + 2 (C = 12, V = 20, A = 30)

271

23. 5·ap = 10·ap 2 La apotema del tetraedro coincide con la altura de una cara. A = 4·

5

ap

2'5 25 = ap 2 + 6 ' 25 ⇒ ap 2 = 18 '75 ⇒ ap = 4 '33 cm Área = 43'3 cm 2

24. La altura de un triángulo equilátero de x cm de lado es

3 x 2

3 12· ·12 2 AL = 8· ⇒ AL ≅ 498'83 cm 2 2 25. AT = 2·12·3 + 2·12·7 + 2·3·7 ⇒ AT = 282 cm 2 26. V = 12·3·7 ⇒ V = 252 cm 3 27. V = 2ab + 2 ac + 2 bc cm3 28. V = 6 a2 29. V = abc 30.

√3

√3

9√3

15 588

31. D = 12 2 + 6 2 + 4 2 ⇒ D = 14 m 32. D = a 2 + a 2 + a 2 = 3a 2 ⇒ D = a 3 33. Cubo y octaedro Dodecaedro e icosaedro El tetraedro es conjugado consigo mismo

272

34.

9

x 8 AL = 3·9·8 ⇒ AL = 216 cm 2 . Sea x la altura del triángulo básico.

Por Pitágoras: 64 = 16 + x 2 ⇒ x = 4 3 AB =

8·4 3 = 16 3 ⇒ AL = 27 '71 cm 2 2

AT = AL + 2 AB ⇒ AT ≅ 271' 42 cm 2

35.

V = AB ·h ⇒ V = 16 3·9 ⇒ V ≅ 249 ' 42 cm 3

36. 1'5

10

1

AL = 5·10·1'5 ⇒ AL = 75 cm 2 P·ap 5·1'5 7 '5 AB = ⇒ AB = = 2 2 2 AT = AL + 2· AB ⇒ AT = 75 + 7 '5 ⇒ AT = 82 '5 cm 2

37.

V = AB ·h ⇒ V = 3'75·10 ⇒ V = 37 '5 cm 3

273

38.

V = 2 ' 2·0 '3·0 '5 ⇒ V = 0 '33 m 3 ⇒ V = 330 dm 3

39. 2 4

42 = 22 + x2 ⇒ x = 12 x

4· 12 ⇒ AB = 2 12 2 V = AB ·h ⇒ 17 '3 = 2 12·h ⇒ h ≅ 2 '5 cm AB =

274

40. AL = 2·9·4 + 2·4·6 ⇒ AL = 120 m 2 AT = 2·9·4 + 2·4·6 + 2·6·9 ⇒ AT = 228 m 2 V = 4·6·9 ⇒ V = 216 m 3 D = 4 2 + 6 2 + 9 2 ⇒ D ≅ 11'53 m

Sea a la arista del cubo ⇒ a3 = 216 ⇒ a = 6 m 41.

AB = 36 cm2 6·15 AL = 4 ⇒ AL = 180 cm3 2 AT = AB + AL ⇒ AT = 36 + 180 ⇒ AT = 216 cm 2

42. Sea L la longitud de la arista básica. 3 3 2 AB = L ⇒ AB = 96 3 ⇒ AB ≅ 166 '28 cm2 2 1 1 V = AB ·h ⇒ V = 166 '28·20 ⇒ V ≅ 1108'5 cm3 3 3 43.

5

x

6

5 3

AB = 36 . Sea x el valor en cm de la apotema de la pirámide.

25 = 32 + x2 ⇒ x = 4 6·4 AL = 4· ⇒ AL = 48 cm2 2 AT = 36 + 48 ⇒ AT = 84 cm 2

275

44.

a x a/2

a2 3 + x2 ⇒ x = a 4 2 3 a· a AL = 4· 2 ⇒ AL = a 2 3 cm 2 2 2 AB = a a2 =

AT = a 2 + a 2 3 cm 2

1 1 45. V = · AB ·h = ·162 ·15 ⇒ V = 1280 cm3 3 3 46.

6

x 3

AB =

Perímetro·x 36· x = = 18 x 2 2

Por el teorema de Pitágoras: 36 = 9 + x2 5 2 ⇒ AB = 93'6 cm 2 √27 AL = 6·

6·10 ⇒ AL = 180 cm 2 2 ,

AT = 273'6 cm 2

47.

Sea a la longitud de la arista básica. 1 1 2 V = Ab ·h = a 2 ·2a ⇒ V = a 3 3 3 3

48.

Sea a la longitud de la arista y ap la apotema de la misma. a 2 = ap 2 +

3 a2 a ⇒ ap = 2 4

276

49.

1 AB ·altura 3 3 a· a 3 2 AB = 2 ⇒ AB = a 2 4 V=

1 3 3 a3 V = · a2 · a ⇒ V = 3 4 2 8 50.

v = 1 cm3

51.

10

16 a/2 x

a/2

162 = 102 + x2 ⇒ x2 = 156 . 2

2

⎛a⎞ ⎛a⎞ 156 = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⇒ a 2 = 312 ⎝2⎠ ⎝2⎠ 1 V = ·a 2 ·10 ⇒ V = 1040 cm3 3

52.

h L

L

a

x

a

a/2

a

a a/2

2

3 ⎛a⎞ a2 = x2 + ⎜ ⎟ ⇒ x = a 2 ⎝2⎠ 3 6a· a 2 ⇒ A = 3 3 a2 AB = B 2 2 2

5 ⎛a⎞ L2 = a 2 + ⎜ ⎟ ⇒ L2 = a 2 4 ⎝2⎠

277

L2 = h 2 + a 2 ⇒ h 2 = L2 − a 2 ⇒ h 2 =

V= 53.

a2 a ⇒h= ⇒ 4 2

1 1 3 3·a 2 a 3 3 AB ·h ⇒ V = · · ⇒ V= a 3 3 2 2 4

Aplicamos el ejercicio anterior siendo a = 8 ⇒ h = 4 cm V = 128 V = 128 3 ⇒ V ≅ 221'7 cm 3

54.

Sea h la altura de la pirámide. Aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos: 17 2 = 82 + h 2 ⇒ h = 15 1 V = 162 ·15 ⇒ V = 1280 cm3 3

55.

Calculamos primeramente la altura de la base: 8√3

4√3 √

12 2

48√3 cm

48√3 10√3

1440 cm3

56.

h

a a

x

Sea x la mitad de la longitud del lado ⇒ x =

32 2

a 2 = h2 + x2 ⇒ a 2 = 16 ⇒ a = 4 4

√

8√32

32√2

45 25

57.

5 a

5'83 ap

3 1'5

3

a) a2 = 32 + 52 ⇒ a =

34 cm

b) 34 = 1'52 + ap 2 ⇒ ap= 5’63 cm

278

3·5'63 ⇒ AL = 50 '63 cm 2 2 Perímetro · apotemabase c) Área base = 2 3 3 3 3 2 Apotema base = ·lado 2 = ·3 ≅ 23'38 2 2 6·3·23'38 ≅ 210 ' 42 cm 2 Área base = 2 AL = 6·

d) AT = AL + AB ⇒ AT = 50 '63 + 210 ' 42 ⇒ AT = 261'05 m 2 e) V = AB ·h ⇒ AT = 210 ' 42·5 ⇒ V = 1052 '1 m 3

279

58. a

x a/2

Sea

la arista del tetraedro y sea x la altura del triángulo de la base: a2 3 3 a2 = + x2 ⇒ x2 = a2 ⇒ x = a. 4 4 2 6 En nuestro caso, como a = 2 ⇒ x = 2 3 a· a 3·a 2 AB = 2 ⇒ AB = cm2 2 4

a

h 2/3 a a

Observamos que el pie de la altura está sobre el baricentro del triángulo básico y, aplicando el teorema de Pitágoras tenemos: 2

5 ⎛2 ⎞ a = h +⎜ a⎟ ⇒ h = a 3 ⎝3 ⎠ 1 1 3 a2 5 a 15 a 3 V = AB ·h ⇒ V = · · ⇒V = 3 3 4 3 36 30 En nuestro caso, como a = 2 ⇒ V = ⇒ V ≅ 0 '3 cm 3 18 2

2

59.

x

a x

1/2 1

Sea x la longitud en cm de la apotema de la pirámide. Aplicando el teorema de Pitágoras tenemos:

280

x2 = a2 + AL = 4

1 1 ⇒x= 4a 2 + 1 4 2

1· x ⇒ AL = 2 x ⇒ AL = 4a 2 + 1 cm 2 2

AB = 1 cm 2

1

4

1

60. A

I O a

3 a a , OI = 2 2 3 1 1 a AI 2 = OI 2 + OA2 ⇒ OA2 = AI 2 − OI 2 ⇒ OA2 = a 2 − a 2 ⇒ OA2 = a 2 ⇒ OA = 2 4 4 2 2

Ya vimos en el ejercicio 58 que AI =

1 2 2 a 2 a3 V = 2· AB ·altura = AB ·OA ⇒ V = a 2 · ⇒V= 2 cm3 3 3 3 2 3

8 Si a = 8 ⇒ V = 3

3

2 ⇒V =

32 3 cm ⇒ V ≅ 10 '6 cm3 3

61.

h

12 5 6

10

10·12 a) ASPiramidal = 4· ⇒ ASPiramidal = 240 m3 2

281

b) AS Pr imática = AB Pr ismática + AL Pr isma = 100 + 4·10·6 ⇒ AS Pr imática = 340 m 3 c ) VPirámide =

1 1 AB ·altura = 100h 3 3

Aplicando el teorema de Pitágoras resulta:

122 = 52 + h 2 ⇒ h = 119 ⇒ h ≅ 10 '9 100 10 9

á

á

363 3

d) VPr isma = 10·10·6 ⇒ VPisma = 600 m 3 e) ATObelisco = 240 + 340 ⇒ ATObelisco = 580 m 3 f)

363 3

600 963 3

62. 3c

3b 3a

Sean a , b y c las medidas en metros de la piscina infantil. Superficie de la piscina infantil = 2 ab + 2ac + 2 bc Superficie piscina adultos = 2·3· a·3·b + 2·3a·3·c+ 2 ·3b·3·c Superficie piscina adultos = 9·(2 ab + 2ac + 2 bc) Superficie piscina adultos = 9 superficie piscina infantil 1 5 1 Para pintar piscina adultos necesitamos 9·1 = 9· = 11 kilos de pintura 4 4 4 El volumen de la piscina de adultos es V = 3a·3b·3c = 27abc Volumen piscina adultos = 27 veces el volumen de la piscina infantil Volumen piscina adultos = 27 ·24 = 648 m3 63. En total tenemos 2 · 4 · 2’5 + 2 · 6 · 2’5 = 50 m2 que pintar.

Necesitaremos 20 kg de pintura, es decir, 2 botes. Pintar la sala costará 2 · 28 = 56 € 64. Son necesarios 10 ·12 ·20 = 2400 cm3

282

65.

1'6 h 0'8 1'6·1'39 ⇒ ATriángulo = 1'11 m2 2 La puerta y su opuesta suman una superficie de 1’11 + 1’11 = 2’22 m2 Las dos paredes y el suelo de la tienda ocupan una superficie de 3·4·1’6 = 19’2 m3 En total necesitamos 19’2 + 2’22 = 21’42 m2 de tela. 1'6·1'39 ·4 ≅ 4 ' 45 m3 de aire. En el interior de la tienda queda 2

1'62 = 0'82 + h2 ⇒ h ≅ 1'39 ⇒ ATriángulo =

66. a

a a

5a 2 = 80 ⇒ a = 4 V = a 3 ⇒ V = 43 ⇒ V = 64 m 3

283

67. V = 23 · 5 · 7 = 805 m3 68.

Volumen del muro = 24 · 3’25 · 0’5 = 39 m3 Volumen del contenedor = 4 · 1’5 · 1 = 6 m3 39 1 = 6 contenedores Necesitaremos 6 2

69. Se trata del área total de la nevera = 2 · ( 0’75·2 + 1·0’75 + 2·1 ) = 8’5 m2 70. El volumen de cada cubo es de 216 cm3 ⇒ Si la caja tiene 2376 cm3, tiene 2376 = 11 cubos. Le sobran 5 cubos. capacidad para 216 71. El volumen de cada piedra es de 0’5 · 0’4 · 0’3 = 0’06 m3 Si le encargan 20 piedras, en total talla 20 · 0’06 = 1’2 m3 Cobrará 500 · 1’2 = 600 € 72. ( 2·40·12 + 2·15·12 + 2·40·15) =2520 cm2 73.

1’8 m3

15·3·0’04 ⇒ 20 10 4

Necesitaremos

800

= 2250 ladrillos

AUTOEVALUACIÓN PAG. 175

1.

C = 20 , V = 12 , A = 30 20 + 12 = 30 + 2 ⇒ C + V = A + 2

284

2.

ap

4 2

16 = 4 + ap 2 ⇒ ap = 2 3 ⇒ ap ≅ 3' 46

AB =

Perímetro·apotema 24·2 3 = = 24 3 ⇒ AB ≅ 41'57 cm 2 2 2

AL = 6·4·8 ⇒ AL = 192 cm 2 AT = AL + 2 AB ⇒ AL = 192 + 83'14 ⇒ AT ≅ 275 '14 cm 2 V = AB ·h ⇒ V = 24 3·8 ⇒ V = 192 3 ⇒ V ≅ 332 '55 cm 3

3.

a ap a/2 2

a 3 ⇒ ap = a 4 2 1 3 3 2 AB = a· a ⇒ AB = a AL = 3a 2 2 2 4 , a 2 = ap 2 +

AT = AL + 2 AB ⇒ AT = 3a 2 + 2·

4. V = AB ·h ⇒ V =

3 2 3 2 a ⇒ AT = 3a 2 + a 4 2

3 2 3 3 a ·a ⇒ V = a 4 4

5.

6 ap 3 ap = 3 3 . Área de una cara =

6·3 3 ⇒ Área de una cara = 9 3 2

AT = 8·9 3 ⇒ AT = 72 3 ⇒ AT ≅ 124 '7 cm 2

285

6. Aplicando el resultado del ejercicio 60 tenemos V =

a3 3

2 cm 3 , siendo a la arista del

octaedro. En nuestro caso, a = 6 63 V= 2 = 72 2 ⇒ V ≅ 101'82 cm 3 3 7. d = 10 2 + 112 + 12 2 ⇒ d = 365 ⇒ d ≅ 19 '1 cm 8. V = 10·11·12 ⇒ V = 1320 cm 3 9. V =

1 1 AB ·h ⇒ V = 36·10 ⇒ V = 120 cm3 3 3

10.

6 ap 3 ap = 3 3

6·3 3 ⇒ Área de una cara = 9 3 2 36√3 62 35

Área de una cara = 4 9√3 36

62 35

98 35

OLIMPIADA MATEMÁTICA PAG. 177

1. Profundidad de la laguna = 360 cm; longitud del junco = 390 cm 2. x 2 +

1 =7 x2

286

2

1⎞ 1 1 ⎛ 2 ⎜x + ⎟ = x + 2 + 2 = 7+ 2 = 9⇒ x + = 3 x⎠ x x ⎝ 2

3

1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ 1 1 1 1 1⎞ ⎛ ⎛ 3 ⋅ 9 = ⎜ x + ⎟ ⋅ ⎜ x + ⎟ = ⎜ x + ⎟ = x3 + 3 + 3 ⋅ x2 ⋅ + 3 ⋅ x ⋅ 2 = x3 + 3 + 3 ⎜ x + ⎟ x⎠ ⎝ x⎠ ⎝ x⎠ x x x x x⎠ ⎝ ⎝ 3 ⋅ 9 = x3 +

1 1 + 3 ⋅ 3 ⇒ x 3 + 3 = 18 3 x x

1 ⎞ ⎛ 1 ⎛ 7 ⋅ 18 = ⎜ x 2 + 2 ⎟ ⋅ ⎜ x 3 + 3 x ⎠ ⎝ x ⎝ 126 = x 5 +

1 1 1 ⎞ 5 5 ⎟= x + +x+ 5 = x + 5 +3 x x x ⎠

1 1 + 3 ⇒ x 5 + 5 = 123 x5 x

287

UNIDAD 10. Cuerpos de revolución

ACTIVIDADES PAG. 180

1. AL = 2π ·2·4 ⇒ AL = 16π ⇒ AL ≅ 50 ' 26 m 2 2. AL = 2·π ·0 ' 4·1 ⇒ AL = 0 '8π ⇒ AL ≅ 2 '51 m 2 AB = π ·0 ' 42 ⇒ AB = 0 '16π

AT = AL + 2 AB ⇒ AT = 0 '8π + 0 '32π ⇒ AT = 1'12π ⇒ AT ≅ 3'52 cm 2

3. Se trata de calcular el área lateral de un cilindro: AL = 2π ·0 '5·2000 ⇒ AL = 2000π ⇒ AL ≅ 6283'19 m 2 ACTIVIDADES PAG. 181

4. AL = π ·10·12 ⇒ AL = 120π ⇒ AL ≅ 377 cm 2 AB = π ·102 ⇒ AB = 100π ⇒ AB ≅ 314 '16 cm 2 AT = 120π + 100π ⇒ AT = 220π ⇒ AT ≅ 691'15 cm 2

5. g 2 = 122 + 52 ⇒ g = 13 cm 6. 252 = 152 + h 2 ⇒ h = 20 cm ACTIVIDADES PAG. 182

288

7. ATronco cono = π ·( 9 + 3)·6 + π ·92 + π ·32 ⇒ ATronco cono = 162π ⇒ ATronco cono ≅ 508'9 m2 8. ALateral Tronco cono = π ·( 4 + 12 )·g = 16π g

g

6 4

8

g 2 = 62 + 82 ⇒ g = 10 ⇒ ALateral Tronco cono = 16π ·10 ⇒ ALateral Tronco cono = 160π ⇒ 502 '66 cm 2 ACTIVIDADES PAG. 183

1 9. V = π ·32 ·6 ⇒ V = 18π ⇒ V ≅ 56 '55 cm3 3

10.

2 x 4 3

6 2 = ⇒ x =1 3 x VTC = VCono mayor − VCono menor = VTC =

π

( R ·H − r ·h ) ⇒ V 3

52π ⇒ VTC ≅ 54 '45 m 2 3

2

2

TC

=

π 3

(3 ·6 − 1 ·2 ) ⇒ 2

2

289

ACTIVIDADES PAG. 184

11. a ) Eje de giro , meridianos , ecuador , paralelos. b ) Polos , círculo máximo , zona esférica. ACTIVIDADES PAG. 185

12. Madrid : Latitud 40º 25’ N , Longitud 3º 41’ W La Habana : Latitud 23º 07’ N , Longitud 82º 30’ W Manila: Latitud 6º 21’ N , Longitud 162º 24’ E Buenos Aires : Latitud 34º 36’ S , Longitud 58º 29’ W 13. Anochece. ACTIVIDADES PAG. 186

14.

4 4000π a ) V = π ·103 ⇒ V = ≅ 4188.79 cm3 3 3 4 500 π b ) V = π ·53 ⇒ V = ≅ 523.6 mm3 3 3 4 3 c ) V = π ·3 ⇒ V = 36 π ≅ 113.1 km 3 3 4 4000000π d ) V = π ·1003 ⇒ V = ≅ 418879’02 hm3 3 3 290

15.

4 500π a ) V = π ·53 ⇒ V = ≅ 523.6 m3 3 3 14 2 b ) V = · π ·93 ⇒ V = π ·93 ⇒ V = 486π ≅ 1526’8 m3 23 3 ACTIVIDADES PAG. 187

16.

a ) A = 4π ·r 2 = 4π ·22 ⇒ A = 16π ⇒ A ≅ 50 '26 cm 2 b ) A = 4π ·r 2 = 4π ·322 ⇒ A = 4096π ⇒ A ≅ 12867 '96 hm 2 c ) A = 4π ·r 2 = 4π ·92 ⇒ A = 324π ⇒ A ≅ 1017.88 dam 2 d ) A = 4π ·r 2 = 4π ·102 ⇒ A = 400π ⇒ A ≅ 1256'64 m 2 17.

a ) A = 4π ·r 2 = 4π ·52 ⇒ A = 100π ⇒ A ≅ 314 '16 m 2 1 b ) A = ·4π ·r 2 + π ·r 2 = 2π ·92 + π ·92 ⇒ A = 162π + 81π = 243π ⇒ A ≅ 763' 4 m 2 2

291

DESAFÍO MATEMÁTICO PAG. 188

292

1.

Para calcular el volumen del silo, tenemos que sumar el volumen del cilindro y el del cono. •

Altura del cilindro 

•

Longitud circunferencia 

•

Volumen cilindro 

33

•

Volumen cono 

1 64

•

Volumen del silo 

2. Capacidad almacenaje

4 94 m

9 36

1 64 m

5 97

1 55

10 91 25

3. Se pueden almacenar 272 75 734

2

3 3 m  5 97

 

9 36 m   1 55 m  

10 91 m  

272 75 m 200198 5 kg

2001985 toneladas métricas .

4. Se han producido 3540 kg por hectárea dedicando al cultivo de trigo 1200 hectáreas, con lo que la cooperativa tiene que almacenar . 3540 1200 4248000 kg de trigo. Restamos la capacidad de almacenaje de la cooperativa del volumen de trigo cosechado, 200198 5 4248000 4047801.5 Observamos que la capacidad de almacenaje es menor que la cosecha, quedándose 4047801’5 kg sin almacenar. 5. Dividiendo la cantidad de kilos que quedan por almacenar, entre los 734 kg que pesa un metro cúbico, obtenemos los metros cúbicos de silo que hay que adquirir. 5514 72 metros cúbicos hay que adquirir.

Cada silo tiene una capacidad de 10’91 metros cúbicos. Dividiendo los metros cúbicos que hay que adquirir entre los metros cúbicos que almacena cada silo obtenemos el número de silos. 50548

necesitan comprar 506 nuevos silos.

6. La inversión necesaria es de 1086 506

549516 € 293

7. Suponiendo que la producción por hectárea en 2011 fuera la misma que en 2010, el que cultivó 33 hectáreas obtuvo 33 3540 116820 kg 11682 toneladas métricas. El campesino que cultivó 33 ha, obtuvo unos ingresos de 243 116 82 28387 26 8. Los hórreos se construyeron para aislar el cereal de la humedad y proteger la cosecha de los roedores. El volumen es 4 2 3 1 5 13 8 m 9. 13 8 780 10764 kg 10764 toneladas métricas de maíz se pueden guardar en el hórreo anterior. El valor del maíz almacenado en el hórreo es de 235 10 764 2529 54

294

ACTIVIDADES FINALES PAG. 190

18. 2·π ·4 2 + 2·π ·4· g = 376 '99 ⇒ g = 11 cm 19. V = π ·32 ·6 ⇒ V = 54π ⇒ V ≅ 169 '65 m3 20. A = 2π ·52 + 2·π ·5·20 ⇒ A = 250π ⇒ A ≅ 785'4 cm 2 V = π ·52 ·20 ⇒ V = 500π ⇒ V ≅ 1570 '8 cm3

295

21. V = π ·22 ·10 ⇒ V = 40π ⇒ V ≅ 125'67 m3 22.

AT = AL + 2 AB = 2πrg + 2π r 2 = 2π r ( g + r ) Área del rectángulo = 2π r ( g + r )

23.

Observamos que el centro de la circunferencia coincide con el baricentro del triángulo. 2 Radio base = AB 3 2 3 3 x x 2 = + AB ⇒ AB = x ⇒ Radio base = x 4 2 3 x2 A base = π R2 = π 3 π V prisma = A base · g = x 2 g 3 2

π ⎛a⎞ 24. V = π ·⎜ ⎟ ·a ⇒ V = a 3 4 ⎝2⎠ 25.

AL = 0 '2512 ⇒ 2·3'14·r·1'1 = 0 '2512 ⇒ r = 0 '036 V = π ·0 '0362 ·1'1 ⇒ V ≅ 0 '0044 cm3

26.

Aplicando ejercicio 23: V = Si repetimos el proceso :

π 2 π x g = (4 3 )2 5 =80π ≈ 251’3 cm3 3 3

3 3 x = ·4 3 = 4 cm 3 3 V = Abase · 5 =16π · 5 = 80 π cm3 ≅ 251’33 cm3

Radio de la base =

27. La de un cilindro de revolución, siendo el segmento AB su generatriz. 296

28.

2π r = 31'416 ⇒ r = 5 AL = π ·r · g ⇒ AL = π ·5·13 ⇒ AL = 65π ⇒ AL ≅ 204 ' 2 cm 2

29.

13

h 5

132 = h 2 + 52 ⇒ h = 12

1 1 V = π ·r 2 ·h ⇒ V = π ·52 ·12 ⇒ V = 100π ⇒ V = 314 '16 cm 3 3 3

30.

x

h x/2

x2 3 ⇒h= x 4 2 Como x = 2 3 ⇒ h = 3 cm x2 = h2 +

r=

x ⇒ r = 3 ⇒ r = 1'7 cm 2

AL = π rg = π · 3·2 3 ⇒ AL = 6π ⇒ AL ≅ 18'85 cm 2 AT = AL + π ·r 2 ⇒ AT = 6π + 3π ⇒ AT = 9π ⇒ AT ≅ 28' 27 cm 2

31.

A cono = A base + πrg = πr2 + πrg = πr ( r + g ) A cilindro= 2 A base + 2πrg = 2πr2 + 2πrg = 2 · πr ( r + g ) = 2 A cono

297

32. A cono = πr ( r + g )

A trapecio =

( B + b )·altura = ( g + r )·2πr = πr· g + r ( ) 2

2

33. 1 1 1 V = π r 2 ·h ⇒ V = π r 2 ·r ⇒ V = π ·r 3 3 3 3

34.

x raiz(8) r r

Sea x el valor de la generatriz. x2 x = r + r ⇒ x = 2r ⇒ r = 2 2 Como x = 8 ⇒ r = 4 ⇒ r = 2 π ·r 3 8·π V= = ⇒ V ≅ 8'37 cm3 3 3 2

2

2

2

2

2

35. V = 800π ⇒

π r2

·24 = 800π ⇒ r 2 = 100 ⇒ r = 10

3 g = 24 + r ⇒ g 2 = 576 + 100 ⇒ g = 26 2

2

2

AT = π ·10·26 + π ·100 ⇒ AT = 360π ⇒ AT ≅ 1130 '97 cm 2

298

299

36.

AL = π ·r ·g ⇒ 423'9 = 3'14·r·15 ⇒ r = 9 g 2 = h2 + r 2 ⇒ h2 = g 2 − r 2 ⇒ h 2 = 225 − 81 ⇒ h = 12 1 1 V = π r 2 ·h ⇒ V = π ·92 ·12 ⇒ V = 324π ⇒ V ≅ 1017 '87 cm3 3 3

37.

AT =

π ·r 2 ·n 360

+ π ·r 2 =

π ·42 ·72 360

+ π ·42 ≅ 60 '31 cm 2

38.

x

10

h 6

6 12 10 2 = 6 2 + h 2 ⇒ h = 8 8+ x x = ⇒ x =8 12 6

VTronco de cono = Vcono mayor − Vcono menor =

π

2016π 12 ·16 − 6 ·8 ) = ( 3 3 2

2

VTronco de cono ≅ 2111'15 cm3

39. V =

π ·r 2 3

·h =

π ·52 3

·9 ⇒ V = 75π ⇒ V ≅ 235'62 cm3

40. La de un cono de revolución, siendo el segmento AB su generatriz. 41. La de un tronco de cono de revolución, siendo el segmento AB su generatriz. 42. A = 4π r 2 = 4π ·102 = 400π ⇒ A ≅ 1256 '63 cm 2

V= 43.

4π·r 3 4π·103 4000π = = ≅ 4188'8 cm 3 3 3 3

1 2 1 2 πR ·altura = πR 2 ·( 2 R ) = πR 3 3 3 3 4 3 2 3 Vesfera = πR =2· πR =2·Vcono 3 3

V cono =

300

4 44. V = 288π ⇒ π ·r 3 = 288π ⇒ r = 6 3 4 4 45. V = π ·r 3 = π ·33 = 36π ⇒ V ≅ 113'1 m3 3 3

46. A = 4π ·r 2 = 4π ·32 = 36π ⇒ A ≅ 113'1 m 2 47. 12 del mediodía 48. Las 5:00 de la mañana 49. 9:00 de la mañana 50. 5416’6 km 51. A = 4π ·r 2 = 4π ·64002 = 163840000π ⇒ A ≅ 514.718.540 km 2 52. Se trata de calcular el área total del cilindro. AB = π ·r 2 = π ·12 ⇒ AB = π m 2 AL = 2π ·r · g = 2π ·1·3 ⇒ AL = 6π m 2 AT = AL + 2 AB = 6π + 2π ⇒ AT = 8π m 2 ⇒ AT ≅ 25'13 m 2

53. V = π ·r 2 ·h = π ·12 ·3 = 3π ⇒ V ≅ 9 ' 42477 m 3 ⇒ V ≅ 9424 '77 litros 54. Se trata de calcular el área lateral de un cilindro de 1’5 cm de radio y 2500 cm de largo. AL = 2·π ·r · g = 2·π ·1'5·2500 = 7500π ⇒ AL ≅ 23561'94 cm 2

55. V = π ·r 2 ·h = π ·2 '972 2 ·12 ⇒ V ≅ 332 '9881 cm 3 ⇒ V ≅ 333 cm 3 ⇒ V ≅ 33 cl 56. V = π ·r 2 ·h = π ·22 ·15 = 60π ⇒ V ≅ 188'5 m3 57. 2π r = 10 '99 ⇒ r =

5' 495

π Si tomamos π = 3'14 ⇒ r = 1'75 V = π ·r 2 ·h = π ·

5' 495

π

2

2

·10 ≅ 96 '11 ⇒ V ≅ 96 '11 m3

301

302

58.

2π r = 9 ' 42 ⇒ r ≅ 1'5 m

g

2 1'5

g 2 = 22 + 1'52 ⇒ g = 2 '5 ATejado = π ·r· g = π ·1'5·2 '5 = 3'75π ⇒ ATejado ≅ 11'78 m 2 59.

2 1'5 3

AL = 2π rg = 2π ·1'5·3 = 9π ⇒ AL ≅ 28' 27 m 2 AT ≅ 11'78 + 28' 27 ⇒ AT ≅ 40 '05 m 2 1 60. V = π ·1'52 ·2 + π ·1'52 ·3 = 8' 25π ⇒ V = 25'91 m 3 3

61.

2π r = 7 '86 ⇒ r ≅ 1'25 g 2 = 32 + 1'252 ⇒ g = 3' 25 AL = π rg = π ·1' 25·3' 25 = 4 '0625π ⇒ AL ≅ 12 '76 m 2 AB = π ·r 2 = π ·1' 252 = 1'5625π ⇒ AB ≅ 4 '9 m 2

AT ≅ 12 '76 + 4 '9 ⇒ AT ≅ 17 '66 m 2

62.

2π r = 27 '02 ⇒ r ≅ 4 '3 cm

A = 4π r 2 ⇒ A = 4π ·4 '32 ⇒ A = 73'96π ⇒ A ≅ 232 '35 cm 2

303

63. El cofre es un paralelepípedo y la tapa es medio cilindro.

Acofre = 2·8·6 + 2·4·6 + 8·4 ⇒ Acofre = 176 cm 2 ATapa = π r 2 + π rg = π ·22 + π ·2·8 = 20π ⇒ ATapa ≅ 62 '83 cm 2 AT = 176 + 62 '83 ⇒ AT = 238'83 cm 2

Vcofre = 8·4·6 ⇒ 192 cm3 1 1 VTapa = π r 2 ·h = π ·22 ·8 = 16π ⇒ VTapa ≅ 50 ' 26 cm3 2 2 VTotal = 192 + 50 ' 26 ⇒ VTotal = 242 ' 26 cm3

64.

π r 2 = 25π ⇒ r = 5 2 2 219 9 m

í í

5 7

70

Para calcular la generatriz de la superficie cónica aplicamos el teorema de Pitágoras: g 2 = 52 + 32 ⇒ g = 5'8 5 58

ó

91 1

ó

219 9

29

91 1

311 m

65.

Asup erficie cilíndrica = 2π rg = 2π ·8·12 = 192π ⇒ Asup erficie cilíndrica ≅ 603'18 cm 2 Asup erficie esférica = 2π r 2 = 2π ·82 = 128π ⇒ Asup erficie esférica ≅ 402'12 cm 2 AT = 192π + 128π = 320π ⇒ AT ≅ 1005'3 cm 2 2 2 Vc u erpo esférico = π ·r 3 = π ·83 ⇒ Vcuerpo esférico ≅ 1072 '33 cm3 3 3 2 Vcuerpo cilíndrico = π ·r ·h = π ·82 ·12 = 768π ⇒ Vcuerpo cilíndrico ≅ 2412 '74 cm3 VT ≅ 3485'07 cm3

66.

2π r = 60 ⇒ r ≅ 9'5 A = 2π r 2 = 2π ·9 '52 ⇒ A ≅ 567 cm 2

304

67.

2π r = 40π ⇒ r = 20 30

40 20 x

40 + x x = ⇒ x = 80 30 20 VTronco de cono = Vcono mayor − Vcono menor =

π

(30 ·120 − 20 ·80 ) 3 2

2

VTronco de cono ≅ 79587 cm 3 El cubo tiene aproximadamente una capacidad de 79’6 litros

68. A = 10·20 + π ·5·20 = 200 + 100π ⇒ A ≅ 514 '16 cm 2

El tejado debe quedar cubierto por la parte cilíndrica de la teja, quedando la parte plana debajo, por lo que para construir el tejado son necesarias: 7500 tejas 69. Se trata del volumen de un cilindro de r = 25 cm y altura =20 cm 20

r=25

V = π ·r 2 ·h = π ·252 ·20 = 12500π ⇒ V ≅ 39267 cm3

305

70.

El área lateral del cono es π ·r · g = π ·0 '5·2 = π ⇒ AL = π m 2 El área del círculo sobre el cual gira la piedra es π ·R 2 = π ·22 = 4π cm 2 4π = 4 vueltas Ha de dar

π

71. A = Alateral cono + Asemiesfera 2π r = 7 '85 ⇒ r = 1' 25 dm

g

3

1'25 1'25

Sea h la altura del cono: h = 4’25 - 1’25 = 3 dm g 2 = 32 + 1'252 ⇒ g = 3' 25 dm A = π rg + 2π r 2 = π ·1' 25·3' 25 + 2π ·1' 252 ⇒ A = 7 '1875π ⇒ A ≅ 22 '58 dm 2

72.

1 14 1 1 1 V = Vesfera + Vcono = · π ·r 3 + π ·r 2 ·h = π r 2 ( 2r + h ) = π ·1'252 ·( 2·1'25 + 3) 2 23 3 3 3 V ≅ 9 dm3

306

AUTOEVALUACIÓN PAG. 193

35

1.

9

110 25

346 36 cm

2. La superficie de cristal necesaria para fabricar el vaso es la de un cilindro al que le falta la base de arriba. 2

A

35

2

35 9

12 25

63

75 25

cm

236’4 cm

3.

4 2

AT = 2π ·22 + 2π ·2·4 = 8π + 16π = 24π ⇒ AT ≅ 75' 4 cm 2

307

4 2

AT = 2π ·42 + 2π ·4·2 = 32π + 16π = 48π ⇒ AT ≅ 150 '8 cm 2

4.

4 4 Vesfera = π ·r 3 = π ·1'53 = 4 '5π m3 3 3

0 25 2

2 9

8

m 73 8

8

28 667 m

5. 2 4

2

8

15

2

0 25 2

19

59.69 m

6.

10 8 3

1 Vcilindro − Vcono = π ·r 2 ·altura cilindro − π ·r 2 ·altura cono ⇒ 3 1 VTotal = π ·32 ·10 − π ·32 ·8 = 90π − 24π = 66π ⇒ V ≅ 207 '34 cm3 3

7.

Sólo nos interesa calcular el área lateral del cono. g 2 = r 2 + h 2 ⇒ r 2 = g 2 − h2 ⇒ r 2 = 2 '122 − 1'82 ⇒ r = 1'2544 AL = π ·r · g = π ·1' 2544·2 '12 ⇒ AL ≅ 8'35 m 2

Necesitamos 8’35 m2 de tela. 4 2 8. V = Vcilindro − Vesfera = π ·r 2 ·2r − π ·r 3 = π ·r 3 = Vmedia esfera 3 3

308

9.

75 °

8504.17 km 10.

2π ·r = 31'4 ⇒ r = 5 5 104 72

4

de arena

OLIMPIADA MATEMÁTICA PAG. 195

1. Primera solución:

Por el teorema de Tales: x x + r x + 2r x x + r x + 2r 2 x + 2r = = ⇒ = = = CA r DB CA r DB CA + DB 2( x + r ) CA + DB = ⋅ r ⇒ CA + DB = 2r (x + r )

309

Segunda solución, solución geométrica:

Dibujando los simétricos respecto del origen tenemos: AC' = DB, AC = BD' AC + AC' = AC + DB = 2r 2.

A=

1 1 1 r r xr + yr + zr = (x + y + z ) = ⋅ P ⇒ 2 A = r ⋅ P 2 2 2 2 2

310

UNIDAD 11. Movimientos en el plano

ACTIVIDADES PAG. 198

JJJG JJJG 1. AB = ( 7 − 2, 6 − 4 ) = (5, 2) , AB = 52 + 22 = 29

2. B

A

1 1

G G 3. u + v = ( −2, 0 ) + (1, 4 ) = ( −1, 4 ) ⎧x = 8 4. Sea B = ( x, y ) ⇒ ( x − 3, y − 1) = ( 5,8 ) ⇒ ⎨ ⇒ B = ( 8,9 ) ⎩y = 9 ACTIVIDADES PAG. 199

5.

A ' = ( 0 − 2, 0 + 4 ) = ( −2, 4 ) B ' = ( 4 − 2, −1 + 4 ) = ( 2,3) C ' = ( 2 − 2, 2 + 4 ) = ( 0, 6 )

311

6.

A ' = ( 0 − 3, 0 + 2 ) = ( −3, 2 ) B ' = (1 − 3, 0 + 2 ) = ( −2, 2 ) C ' = (1 − 3,1 + 2 ) = ( −2,3) D ' = ( 0 − 3,1 + 2 ) = ( −3,3)

ACTIVIDADES PAG. 200

7. A ' = ( 3,1) , B ' = ( 2, −3) , C ' = ( 6, −4 ) , D ' = ( 4, −5 )

312

ACTIVIDADES PAG. 201

A ' = ( −3, −1) , B ' = ( −2,3) , C ' = ( −6, 4 ) , D ' = ( −4,5)

8.

D(4,5)

D' C'

C(6,4) B'

B(2,3)

1 1

A'

A(3,-1)

313

9. A ' = ( 2,1) , B ' = ( −3, −2 ) , C ' = ( −2, −4 ) , D ' = ( −1, −2 )

10. A ' = ( 2, −3) , B ' = ( −1, −4 ) , C ' = ( −3, −1)

ACTIVIDADES PAG. 202

314

11.

12.

13.

ACTIVIDADES PAG. 203

14. Cuadrado. Traslación.

315

DESAFÍO MATEMÁTICO PAG. 204

Basta con seguir los pasos indicados en el enunciado.

316

ACTIVIDADES FINALES PAG. 206

JJJG 15. AB = ( 3 − 6, −2 − 1) = ( −3, −3) 317

7,1 ,

16.

3, 1 ,

4, 2

B 1

AB

A

1 AC

C

BC

1 1

17. a)

2,2 ,

3,2

JJJG JJJG JJJG b ) Son equipolentes los vectores AB, EF , CD

18. JJJG AB = ( 3 − 4,5 − 4 ) = ( −1,1) JJJG BA = ( 4 − 3, 4 − 5 ) = (1, −1) 19. Sean ( x, y ) las coordenadas del punto B JJJG AB = ( x − 3, y − 5 ) ⎫⎪ ⎧ x − 3 = −1 ⇒ x = 2 JJJG ⎬⇒ ⎨ AB = ( −1, 7 ) ⎪⎭ ⎩ y − 5 = 7 ⇒ y = 12 Así que las coordenadas de B son (2, 12). 20. Sean ( x, y ) las coordenadas del punto C. JJJG CD = ( −2 − x,1 − y ) ⎫⎪ ⎧−2 − x = 3 ⇒ x = −5 JJJG ⎬⇒ ⎨ CD = ( 3, −4 ) ⎪⎭ ⎩1 − y = −4 ⇒ y = 5 Así que las coordenadas de B son (-5, 5).

318

21. A

C

B

A

1

B

C

1

1

1

B

C

1 1

22.

23.

JJJG JJJG CD y EF son equipolentes. 24. Sean ( x, y ) las coordenadas del punto B JJJG AB = ( x + 1, y − 5 ) ⎫⎪ ⎧ x + 1 = 3 ⇒ x = 2 JJJG ⎬⇒ ⎨ AB = ( 3, 7 ) ⎪⎭ ⎩ y − 5 = 7 ⇒ y = 12 Las coordenadas de B son (2, 12)

319

25. Sean ( x, y ) las coordenadas del punto B: JJJG AB = ( 3 − x,5 − y ) ⎫⎪ ⎧3 − x = −3 ⇒ x = 6 JJJG ⎬⇒ ⎨ AB = ( −3, 6 ) ⎪⎭ ⎩5 − y = 6 ⇒ y = −1

Las coordenadas de B son (6, -1).

G G G G G G G 26. u + v = ( −2,13) , u + w = (1, 4) , u + v + w = (−4,10)

G G G G G G 27. u + v = (1,12) , u + w = (8,8) , v + w = (3, 6)

28. A ' = ( 4 + 3,1 + 2 ) = ( 7,3)

G G 29. u = ( 2 + x, −2 + y ) = ( 6, 4 ) ⇒ u = ( x, y ) = ( 4, 6 ) G 30. Sea u = ( x, y )

G

( −3 + x, 4 + y ) = ( 4, 2 ) ⇒ u = ( x, y ) = ( 7, −2 )

320

31.

C'

A ' = ( −5 + 5, −3 + 3) = ( 0, 0 ) B ' = ( 0 + 5, −4 + 3) = ( 5, −1) C ' = ( −1 + 5,1 + 3) = ( 4, 4 )

C

1 1 A' B'

A B

32.

33.

34.

321

35.

A ' = ( −2 + 1,3 − 2 ) = ( −1,1) A '' = ( −1 − 2,1 + 5 ) = ( −3, 6 ) JJJJG AA '' = (−3 + 2, 6 − 3) = ( −1,3)

322

36.

37.

a) A ' = ( −4,1) b ) A’’= (4,-1) c ) A’’’= (- 4,-1) a ) A’( - 3 , 1 ) , B’( 1, - 3 ), C’( - 2 , - 4 ) b ) A’ ( 3 , - 1 ) , B’( - 1 , 3 ) , C’( 2 ,4 ) c ) A’( 3 , 1 ), B’( - 1 , - 3 ) , C’( 2 , - 4 )

38.

323

39.

40.

41.

324

42.

43.

44.

325

45.

46.

326

47.

48.

327

49.

50.

51.

328

329

52.

53.

54.

330

55.

56.

57.

58.

331

59.

60.

61.

332

62. C'(2,4)

C(-2,4) D(-1,3)

D'(1,3)

1 B'(1,0) 1 B(-1,0)

A(-2,-4)

A'(-2,4)

63.

64.

333

65.

66. Hexágono 67.

334

AUTOEVALUACIÓN PAG. 209

1.

JJJG AB = ( 4 − 3, 2 − 0 ) = (1, 2 ) JJJG AB = 12 + 22 = 5

2.

G G u + v = ( −4 + 2,3 − 1) = ( −2, 2 )

u u+v

1 1 v

335

G G G 3. u + ( v + w ) = ( 0, 2 ) + ( 4 − 1, 2 + 4 ) = ( 0, 2 ) + ( 3, 6 ) = ( 3,8)

u+(v+w)

v+w w u v

1 1

G G

G

( u + v ) + w = ( 0 + 4, 2 + 2 ) + ( −1, 4 ) = ( 4, 4 ) + ( −1, 4 ) = ( 3,8)

u+(v+w)

u+v

w u v

1 1

336

4.

D(3,4)

B(-2,3)

1

C(2,1) D'(8,0) '

1 A(1,0) B'(3,-1) C(2,1) u

C'(7,-3) A'(6,-4)

5.

E(0,4)

D(3,4)

F(1,2)

C(2,2)

1 1 A(0,0)

F'(1,-2)

E'(0,-4)

B(3,0)

C'(2,-2)

D'(3,-4)

337

6.

E(0,4)=E'

D'(-3,4)

D(3,4)

C'(-2,2)

F(1,2) C(2,2)

F'(-1,2) 1 1 A(0,0)=A'

B'(-3,0)

B(3,0)

7.

C(1,5)

B(3,5)

1 A'(-1,0)

B'(-3,-5)

1 A(1,0)

C'(-1,-5)

338

8.

A(0,2)

C(4,2) 1

B'(-2,0)

1 B(2,0)

A'(0,-2)

C'(-4,-2) 9.

C(3,3)

1

O(4,1) 1

C'(2,0) B'(6,-1) B(2,-1)

A(-1,-3) A'(8,-4) 10. Sea la figura básica:

A continuación construimos el siguiente friso:

339

OLIMPIADA MATEMÁTICA PAG. 211

1. S = −

P=

b = − b ⇒ D + 1 − D = − p ⇒ p = −1 1

c = c ⇒ D(1 − D ) = q ⇒ q = D − D 2 a

Ahora bien, D = p2 − 4q = 1 − 4q = 1 − 4(D − D 2 )

1 4 2 D = 1 ⇒ q = 1 – 1 = 0 ⇒ (p, q) = (–1, 0) 4D 2 − 5D + 1 = 0 ⇒ D = 1, D =

2

D= D=

1 1 ⎛ 1⎞ 3 3 ⎞ ⎛ ⇒q = −⎜ ⎟ = ⇒ ( p, q ) = ⎜ −1, ⎟ 4 4 ⎝4⎠ 16 16 ⎠ ⎝ 2

1⎞ 1 1⎞ ⎛ ⎛ 2. ⎜ x + ⎟ = x 2 + 2 + 2 = 7 + 2 = 9 ⇒ ⎜ x + ⎟ = 3 x⎠ x x⎠ ⎝ ⎝ 3

1⎞ 1 1 1 1 3 ⎛ 3 ⋅ 9 = 27 = 33 = ⎜ x + ⎟ = x 3 + 3 + 3 x 2 ⋅ + 3 x ⋅ 2 = x 3 + 3 + 3 x + = x x x x x x ⎝ ⎠

= x3 +

1 1⎞ 1 1 1 ⎛ + 3 ⎜ x + ⎟ = x 3 + 3 + 3 ⋅ 3 ⇒ x 3 + 3 = 27 − 9 ⇒ x 3 + 3 = 18 3 x x⎠ x x x ⎝

1 ⎞⎛ 1⎞ 1 1 1 1 ⎛ 7 ⋅ 18 = ⎜ x 2 + 2 ⎟·⎜ x 3 + 3 ⎟ = x 5 + 5 + x + = 3 + x 5 + 5 ⇒ x 5 + 5 = 123 x ⎠⎝ x ⎠ x x x x ⎝

340

UNIDAD 12. Funciones

ACTIVIDADES PAG. 214

 

  1.  f(x) = 2x + 5;   f(3) = 2·3 + 5 = 11;   f(x) = 2x + 5 = 7 ⇒  2x + 5 = 7 ⇒ x = 1  2. Im(f) =  \  0 ACTIVIDADES PAG. 215

3. a) Si b) No c) Si d) No e) Si f) Si g) No h) No i) No j) No 4. a) Dom(f) = {x ∈ ℜ x ≥ 3}

b) Dom(g) = {x ∈ ℜ 2x − 4 ≠ 0} =  \  2 c) Dom(h) =   d) Dom(l) =

341

ACTIVIDADES PAG. 216

5. x -2 -1 - 1/2 - 1/3 1/3 1/2 1 2

f(x) 1/(-2)2= 0’25 1/(-1)2 = 1 1/(-1/2)2 = 4 1/(-1/3)2 = 9 1/(1/3)2 = 9 1/(1/2)2 = 4 1/12 = 1 1/22 = ¼

6. Gráfica de la función f(x) = 3x + 1

342

7.

0 0

3

2

6

6

2

3

2,0

0, 3

8. La función es discontinua en el punto x = 1 ACTIVIDADES PAG. 217

9. La función es creciente en: (- ∞ , -5) ∪ (-3 , 1); es decreciente en: (-5 , -3) ∪ (4’5 , ∞ ). Tiene un máximo relativo en el punto (-5 , 2) y un mínimo relativo en el punto (-3 , -1) ACTIVIDADES PAG. 218

10. a) f(-x) = 1/(-x) = - 1/x = - f(x) ⇒ Impar b) g(-x) = (-x)2 + 1 = x2 + 1 = g(x) ⇒ Par c) h(-x) = 2 = h(x) ⇒ Par ACTIVIDADES PAG. 219

11. a) m = 3 b) m = 2 c) m = 0’1

343

12. Tres kilos cuestan 3 · 1’2 = 3’6 € . La expresión analítica será: f(x) = 1’2x

ACTIVIDADES PAG. 220

13. Las rectas que son paralelas son las del apartado a) y b) ya que su pendiente es la misma. 14. a) f(x) = 3x - 1

b) g(x) = 3x - 2

344

c) h(x) = x + 2

ACTIVIDADES PAG. 221

15.

1− 0 = 1; y = 1 + 1·(x – 3) ⇒ y = x – 2 ⇒ Ecuación punto-pendiente 3−2 x - y = 2 ⇒ Ecuación en forma general

a) m =

b)

m=

3 3 0 − 12 − 12 3 = = − ; y = 0 - (x – 6) ⇒ y = - x + 9 ⇒ Ecuación punto2 2 6 − (− 2 ) 8 2

pendiente 3 x + y = 9 ⇒ Ecuación en forma general 2 − 2 − ( −2 ) = 0 ; y = -2 + 0·(x- 59) ⇒ y = -2 ⇒ Ecuación punto-pendiente = 59 − ( −102 ) Ecuación en forma general.

c)

m=

345

DESAFÍO MATEMÁTICO PAG. 222

346

Movimiento rectilíneo

1. 2000 2000 20 2000 Tardará 1 minuto y 40 segundos en recorrer 2 km 2.

25   m⁄s m 2   s

100 segundos

500  m

3.

500

25

1 2  2

1 2

1 2 25 

25

2 13 11

500

0 51 22 

13 11  s m s

Crecimiento bacteriano 2 ,

1. 5,

20 minutos ,

1 día

24 horas 1440  minutos 1440 72 20 2 5 2 23611832414348226068480 bacterias generadas al cabo de un día 2. 23611832414348226068480

2 ´3611832414348226068480 10   bacterias

347

ACTIVIDADES FINALES PAG. 224

16. a) No es función ya que no existe la imagen del elemento z. b) Si es función. 348

17. a) Función; b) y c) son correspondencia. 18. a) Función b) No es función

c) Función

d) No es función

e) Función

19. f(x) = 3x – 5; f(1) = 3·1 – 5 = -2; 3x – 5 = - 4 ⇒ x = 1/3 20. 1 1 0 2 3 21.

1 1 2 3

2 3

1 2 3

1

1 1

1

1

1

1

1

0

8 4 2 1 15 27 9 3 1 40

f(x) = x2 - 1; f(1) = 12 - 1 = 0 f(3) = 32 - 1 = 8 x2 - 1 = 8 ⇒ x2 = 8 + 1 = 9 ⇒ x = ± 9 = ±3

22. Los intervalos a los que pertenece el número 2 son: a), d), f) y g). 23. Los intervalos a los que pertenece el número π son: a), c) y d). 24. Pertenecen los números de los apartados: d) y g). 25. Dom(f) = (- ∞ ,-3] ∪ [3,+∞) , ya que debe verificar: x2 - 9 ≥ 0 ; Im(f) = [- 9 , + ∞) 26. a) Dom(f) = b) Dom(g) = c) Dom(h) = d) Dom(i) = 27. a) Dom(f) = b) Dom(g) =

1 0 = \ 1, 1 1 0 para todo x en

ya que : :

0 4

0, ∞ 0

\

2,2

28. a) Dom(f) = \ 1 b) Dom(g) = \ 3,3 29. a) Dom(f) = , por ser una función polinómica. b) Dom(g) = [4 , + ∞ ) Im(g) = [0 , + ∞ ) c) Dom(h) = Im(h) = d) Dom(i) = Im(i) = [0 , + ∞ )

Im(f) = [-3 , + ∞ )

30. a) Dom(f) = [9 , + ∞ ) b) Dom(g) = 349

31. Im(f) = [-2, 2]

32. Dom(f) =

\ {0}

Im(f) = [0 , + ∞ ) 350

33. f(x) = 2x - 4

Dom(f) =

Im(f) =

La pendiente es 2 34. Los puntos de discontinuidad son: x = -3; x = 1; x = 3 Dom(f) = ; Im(f) = [-2 , + ∞ ) 35. a) La temperatura máxima se alcanza a las 14 horas y es de 9ºC, la temperatura mínima se alcanza a las 6 de la madrugada y es de -3ºC. b) Si, su gráfica se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel. c) La función es creciente en el intervalo: (6, 14) d) La temperatura ha disminuido en los intervalos: (0, 2) ∪ (4, 6) ∪ (14, 24) 36. Es una función periódica, siendo su periodo T = 6 37. f(3) = 3 + 1 = 4 ⎫ ⎬ ⇒ f(3) < f(5) ⇒ la función es creciente. f(5) = 5 · 1 = 6 ⎭

Es una función continua por ser una función polinómica.

38. La función es creciente en: (-6,-4) ∪ (2,4) La función es decreciente en: (-4,2) La función alcanza su valor máximo en el punto:(-4, 4) y su valor mínimo en el punto: (2,-1) 39.

Máximos: ( - 3 , 2 ) , ( 1 , - 1 ) , ( 4 , 1 ) Mínimos: ( - 1 , - 3 ) , ( 2 , -2 ) , ( 5 , 0 )

40. ) ⇒ f es un función par. 41. impar

⇒

es una función

351

352

42. a)

b)

43. a)

b)

353

44. a) f (0) = 0 b) f (−5'232) = 25 c) f (9'21) = 81 d) f (π ) = 9 e) f ([ 0,1)) = 0 f) f ([1, 2 )) = 1 g) f ([ 2,3)) = 4 h) f ([3, 4 )) = 9 i) f ([ 4,5)) = 16 j) f (a ' 234) = a 2

La función f ( x ) = ( Ent ( x ) ) es una función par. 2

45. Son funciones los apartados a) y b). 46. a)

b)

354

c)

47. f(x) = 5x

En un hogar con 5 miembros se deberían consumir f(5) = 5 · 5 = 25 piezas de fruta por día. 48. a) Función lineal

b) Función afín.

c)

Función afín.

355

49. a) m = 3 b) m = 1 1 c) m = 7 d) m = 2 e) m = - 1 f) m = 0 50. g(x) y h(x) son paralelas ya que tienen la misma pendiente. 51. f(x) y j(x) 52. a) y + 7 = 3( x + 1) b) y + 7 = −0'5( x + 1) 53.

−5 − 5 ⇒ m = 5 ⇒ y − 5 = 5 ( x − 1) ⇒ 5 x − y = 0 −1 − 1 10 − 0 b) m = ⇒ m = 5 ⇒ y − 0 = 5 ( x − 0 ) ⇒ 5x − y = 0 2−0 −1 − 1 −2 1 1 c) m = = ⇒ m = ⇒ y −1 = ( x − 2) ⇒ x − 2 y = 0 −2 − 2 −4 2 2 4−4 d) m = = 0⇒ m = 0⇒ y −4 = 0 −11 − 3 54. 2x 1 a) y = − − 5 5 b) y = - 2 x - 2

a) m =

55. Al cabo de un año la vivienda cuesta 1’15 · 90000 = 103500 € Al término del segundo año su valor es de 1’15 ·103500 = 119025 € En el año tercero la vivienda tiene un valor de 1’15 · 119025 = 136878’75 € El año cuarto la vivienda vale 1’15 · 136878’75 = 157410’ 5625 € El quinto año el valor de la vivienda es 1’15 · 157410’ 5625 =181022’1468 € euros 181022 157410 136878 119025 103500 1 90000 Años

1 2

3

4

5

356

56. Al cabo de 5 horas hemos recorrido 80 · 5 = 400 km

57.

f ( x) = 30 x años 1 2 3 4

centímetros 30 60 90 120

No tiene sentido calcular su valor para x = - 1, ya que x mide el tiempo.

357

58.

f ( x) = 7 x x f(x) 1 7 2 14 3 21 4 28 5 35

59. 30 segundos; 10 segundos

60. Sea x el tiempo medido en meses de permanencia en el gimnasio. La función es: f ( x) = 20 + 35x Si Lorena se matricula en marzo, a final de año habrá abonado 10 mensualidades, es decir, habrá pagado f (10) = 20 + 35·10 = 370 € euros 375

195

90 55 20 1 1

2

5

10

meses

358

AUTOEVALUACIÓN PAG. 227

1. a) Función b) Correspondencia c) correspondencia d) Función 2.

f ( x) = 3x − 2 f (2) = 3·2 − 2 ⇒ f (2) = 4   

3. a) b) c) d)

       

7

:

  \

4 :

:

9

0 4 0

7

:3

2

7

3

\4 0

\ :

2,2

9

9, ∞

4. Se trata de una función lineal. Su pendiente es m = 7

359

5. a) −3 ∉ ( 0, 7] b) −π ∉ ( 0, 7] c) 0 ∉ ( 0,7 ] 2 ∈ ( 0, 7 ]

d) e)

3

8 ∈ ( 0, 7 ]

f) 2π ∈ ( 0, 7 ] g) 6 ∈ ( 0, 7 ] h) 7 ∈ ( 0, 7 ] i) 17 ∉ ( 0, 7 ] j) 0'001∈ ( 0,7] 6. f ( x) = x 2 , siendo x la longitud de la base 7. Puntos de discontinuidad: - 4, - 3, 1, 3 Dominio: [ −6, −4] ∪ [ −3,1] ∪ [3, 6] Recorrido: [ −2,3] 8. Son paralelas entre sí las rectas f ( x) = 3x − 4 , h( x) = 3x + 1

9. Se trata de una función periódica, siendo T = 3 10. f ( − x ) = ( − x ) + 3

2 2 2⎞ ⎛ = − x3 − = − ⎜ x 3 + ⎟ = − f ( x ) x x⎠ (−x) ⎝

Como f ( − x ) = − f ( x ) ⇒ f presenta una simetría impar

f es simétrica respecto del

origen de coordenadas.

360

OLIMPIADA MATEMÁTICA PAG. 229

1.

a2b2 = 1 ⇒ a 4 − b 2a 2 − 2b 4 = 1 4 a − 2b 4

2 b 2 ± b 4 + 8b 4 ⎧⎪a1 = 2b a = =⎨ 2 ⎪⎩a2 = −b 2 2

a 2 = −b 2 ⇒ a = b = 0, ya que el enunciado indica que a y b son no nulos a 2 = 2b 2 ⇒

a 2 − b 2 2b 2 − b 2 1 = = a 2 + b 2 2b 2 + b 2 3

2. Observemos que el numerador es menor o igual que el denominador, por tanto:

a2 − b2 ≤ a2 + b2 ⇔ −1 ≤

a2 − b2 ≤1 a2 + b2

a2 − b2 ≤1 a2 + b2

Además, la expresión toma los valores 1 (para a = 0) y –1 (para b = 0). Por tanto, dado que, salvo en el punto (0, 0), la expresión es una función continua, tomará todos los valores del intervalo [– 1, 1].

361

UNIDAD 13. Estadística

ACTIVIDADES PAG. 232

1.

• • • •

Población: todos los alumnos del instituto. Muestra 1: todos los alumnos de todos los cursos cuyo primer apellido comience por cualquiera de las 10 primeras letras del abecedario. Muestra 2: los cinco últimos alumnos de la lista de cada clase. Muestra 3: elegimos aleatoriamente 3 alumnos de cada clase.

ACTIVIDADES PAG. 233

2. Número de goles: cuantitativa Color de ojos: cualitativa 3. a) b) c) d)

Altura de mis compañeros: cuantitativa. Última película vista en el cine: cualitativa. Peso de los chicos de la clase de al lado: cuantitativa. Color del pelo: cualitativa.

362

ACTIVIDADES PAG. 234

4. Variable estadística xi 0 1 2 3 4 5 Suma

Frecuencia absoluta fi 7 6 5 3 2 1 24

Frecuencia relativa hi 7/24 = 0‘29 6 / 24 = 0‘25 5 / 24 = 0‘21 3 / 24 = 0‘13 2 / 24 = 0‘08 1 / 24 = 0‘04 1

Porcentajes % 29 % 25 % 21 % 13 % 8% 4% 100 %

5. Intervalo de clase

Marca de clase X i 155 165 175 185 195

[ 150 , 160 ) [ 160 , 170 ) [ 170 , 180 ) [ 180 , 190 ) [ 190 , 200 )

Frecuencia absoluta fi 3 8 7 5 2 25

Frecuencia relativa hi 3/25 = 0’12 8/25 = 0’32 7/25 = 0’28 5/25 = 0’2 2/25 = 0’08 1

Porcentajes % 12 % 32 % 28 % 20 % 8% 100 %

ACTIVIDADES PAG. 235

Número de alumnos

6. 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

363

ACTIVIDADES PAG. 236

7. Tabla de frecuencias: Intervalo de clase

Marca de clase Xi

[ 50 , 60 ) [ 60 , 70 ) [ 70 , 80 ) [ 80 , 90 )

55 65 75 85

Histograma y polígono de frecuencias:

Frecuencia Absoluta fi 5 5 5 3 18

Frecuencia relativa hi 5/18 = 0’28 5/18 = 0’28 5/18 = 0’28 3/18 = 0’16 1

Porcentajes % 28 28 28 16 100 %

Número de alumnos

Peso en kg

6 5 4 3 2 1 0 [50 , 60)

[ 60 ,70)

[ 70 , 80)

[ 80 , 90)

kg

ACTIVIDADES PAG. 237

8.

0 ⋅1 + 1⋅ 2 + 2 ⋅ 4 + 3 ⋅1 + 4 ⋅ 7 + 5 ⋅1 + 6 ⋅1 + 7 ⋅1 + 8 ⋅1 + 9 ⋅ 3 = 4'27 22 Mo = 4 Me = 4 primer cuartil = 2 , segundo cuartil = 4 , tercer cuartil = 5’75 x=

364

ACTIVIDADES PAG. 238

9. xi 1 2 3 4 5 6 7

fi 3 5 5 5 5 1 1

1·3 + 2·5 + 3·5 + 4·5 + 5·5 + 6·1 + 7·1 = 3'44 , 25 1 − 3'44 ·3 + 2 − 3'44 ·5 + 3 − 3'44 ·5 + 4 − 3'44 ·5 + 5 − 3'44 ·5 + 6 − 3'44 ·1 + 7 − 3'44 ·1 DM = =1’3376 , 25 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 − 3'44) ·3 + (2 − 3'44) ·5 + (3 − 3'44) ·5 + (4 − 3'44) ·5 + (5 − 3'44) ·5 + (6 − 3'44) ·1 + (7 − 3'44) ·1 σ = = 2’48, 25 σ = 2'48 =1’57 Mo = 2, 3, 4 y 5 x=

ACTIVIDADES PAG. 239

365

10.

0·2 + 1·4 + 2·1 + 3·1 + 4·1 + 5·1 = 1’8 10 Moda = 1 Mediana = 1 El jugador no es muy regular x=

DM =

0 − 1'8 ·2 + 1 − 1'8 ·4 + 2 − 1'8 ·1 + 3 − 1'8 ·1 + 4 − 1'8 ·1 + 5 − 1'8 ·1

=1’22 10 (0 − 1'8)2 ·2 + (1 − 1'8)2 ·4 + (2 − 1'8)2 ·1 + (3 − 1'8)2 ·1 + (4 − 1'8)2 ·1 + (5 − 1'8)2 ·1 =2’56 σ 2= 10 σ = 2'56 = 1’6 11.

20·1 + 24·1 + 30·2 + 40·1 + 50·2 + 68·1 + 120·1 + 200·1 = 63’2 10 Mo = 30 y 50 Mediana = 45 x=

DM =

20 − 63'2 ·1 + 24 − 63'2 ·1 + 30 − 63'2 ·2 + 40 − 63'2 ·1 + 50 − 63'2 ·2 + 68 − 63'2 ·1 + 120 − 63'2 ·1 + 200 − 63'2 ·1 10

DM = 39’68 σ

2

2 2 2 2 2 2 2 2 ( 20 − 63'2) ·1 + (24 − 63'2) ·1 + (30 − 63'2) ·2 + (40 − 63'2) ·1 + (50 − 63'2) ·2 + (68 − 63'2) ·1 + (120 − 63'2) ·1 (200 − 63'2) ·1 = + 10

= 2845’76 σ =

10

2845'76 = 53’34

12. Variable aleatoria xi 0 1 2 3 5 9

Frecuencia absoluta fi 10 9 5 4 1 1 30

Frecuencia relativa hi 10/30 = 0’33 9/30 = 0’3 5/30 = 0’17 4/30 = 0’14 1/30 = 0’03 1/30 = 0’03 1

Porcentaje % 33 % 30 % 17 % 14 % 3% 3% 100 %

0·10 + 1·9 + 2·5 + 3·4 + 5·1 + 9·1 = 1’5 30 Mo = 0 Mediana = 1 0 − 1'5 ·10 + 1 − 1'5 ·9 + 2 − 1'5 ·5 + 3 − 1'5 ·4 + 5 − 1'5 ·1 + 9 − 1'5 ·1 Desviación media = = 1’3 30 x=

σ=

(0 − 1'5)2 ·10 + (1 − 1'5)2 ·9 + (2 − 1'5)2 ·5 + (3 − 1'5)·4 + (5 − 1'5)2 ·1 + (9 − 1'5)2 ·1 =1’86 30

366

DESAFÍO MATEMÁTICO PAG. 240

367

La bolsa BANCO A 6´9 7´57 DATOS 8´92 9´05 9´02 9´04 2´220 RANGO 8´612 MEDIA 0´755 DESVIACIÓN TÍPICA 0´088 COFICIENTE DE VARIACIÓN

BANCO B 8´94 DATOS 9´8 8´1 9´12 7 6´56 8´95 6 5´25 5´400 RANGO 6´670 MEDIA 1´525 DESVIACIÓN TÍPICA 0´229 COFICIENTE DE VARIACIÓN

7´25 5´67 4´4

El Banco B presenta mayor dispersión en la cotización de sus acciones en el día (su coeficiente de variación es mayor). Servicio de urgencias

Centro de salud A

B 130 110

98

50

47 31

LUNES

34

MARTES

48

45

28

42

52

46

25

MIÉRCOLES

JUEVES

VIERNES

CENTRO SALUD MEDIA DESVIACIÓN TÍPICA COEFICIENTE DE VARIACIÓN VARIANZA

SÁBADO

DOMINGO

A

B

65´14

47´14

42´13

3´04

0´65

0´06

1774´98

9´27

En el centro de salud B la afluencia de enfermos es más regular (su coeficiente de variación es menor).

368

Las naranjas

MEDIA DESVIACIÓN TÍPICA COEFICIENTE DE VARIACIÓN

NAVELINA MANDARINA 8´017 4´992 2´00

0´16

0´250

0´031

Interesa comercializar el nuevo injerto de mandarina, siendo la homogeneidad del tamaño el criterio de elección, dado que su coeficiente de variación es menor.

369

ACTIVIDADES FINALES PAG. 242

370

13. a) Peso de los niños que nacen: continua. b) Número de niños que nacen: discreta. c) Talla de los niños: continua. d) Número de madres que dan a luz: discreta. 14. Población: todos los alumnos del instituto. Muestra: los cinco primeros alumnos de cada clase. Tamaño de la muestra: 75 alumnos. Variable: número de panes que consumen por hogar. Tipo de variable: discreta. 15. a) Población: los habitantes del barrio. Tamaño de la muestra: 500 b) Variable aleatoria xi Infantil Acción Románticas

Frecuencia absoluta fi 120 230 150 500

Frecuencia relativa hi 120/500 = 0’24 230/500 = 0’46 150/500 = 0’3 1

Porcentaje % 24 % 46 % 30 % 100 %

250

personas

200 150 100 50 0 Infantil

Acción

Románticas

16. a) Discreta b) Variable aleatoria xi Si No Indiferentes

Frecuencia absoluta fi 75 10 15 100

Frecuencia relativa hi 75/100 = 0’75 10/100 = 0’1 15/100 = 0’15 1

Porcentaje % 75 % 10 % 15 % 100 %

número de vecinos

80 60 40 20 0 Sí

No calefacción

Indiferentes

371

17.

0·7 + 1·4 + 2·6 + 3·5 + 4·3 + 5·1 + 6·2 = 2’14 28 Mo = 0 Mediana = 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 0 − 2 '14 ) ·7 + (1 − 2 '14 ) ·4 + ( 2 − 2 '14 ) ·6 + ( 3 − 2 '14 ) ·5 + ( 4 − 2 '14 ) ·3 + (5 − 2 '14 ) ·1 + ( 6 − 2 '14 ) ·2 2 σ = = 3’19 28 x=

σ = 3'19 = 1’78 Primer cuartil = 0 18. Intervalo [ 0 , 1’5 ) [1’5 , 3 ) [3 , 4’5 ) [4’5 , 6 ) [ 6 , 7’5 )

Marca de clase xi 0’75 2’25 3’75 5’25 6’75

Frecuencia absoluta fi 5 7 10 4 4 30

[0,1'5)

[3,4'5) euros

Frecuencia relativa hi 5/30 = 0’17 7/30 =0’23 10/30 = 0’34 4/30 = 0’13 4/30 = 0’13 1

19. 12 alumnos

10 8 6 4 2 0 [1'5,3)

[4'5,6)

[6,7'5)

20. a) xi Grados centígrados

25º 26º 27º 28º 29º 30º 31º 32º 33º 34º 35º

fi Número de días

2 1 5 5 5 2 2 2 3 3 1 31

hi Frecuencia relativa

Porcentaje

%

2/31=0’06 1/31=0’04 5/31=0’16 5/31=0’16 5/31=0’16 2/31=0’06 2/31=0’06 2/31=0’06 3/31=0’1 3/31=0’1 1/31=0’04 1

6 4 16 16 16 6 6 6 10 10 4 100 372

b) Temperatura Cádiz mes agosto 6 Número de días

5 4 3 2 1 0 25º 26º 27º 28º 29º 30º 31º 32º 33º 34º 35º

21. Baloncesto: 30% de 30 = 9; Ciclismo: 20% de 30 = 6; Fútbol: 50% de 30 = 15

Alumnos

Deportes practicados por alumnos de mi clase

20 15 10 5 0 Baloncesto

Ciclismo 

Fútbol 

22. a) Número de personas por hogar xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Número de hogares con tantos miembros fi 4 4 7 4 3 5 1 1 1 1 0 1 32

Frecuencia relativa hi

Porcentajes %

4/32=0’125 4/32=0’125 7/32=0’219 4/32=0’125 3/32=0’094 5/32=0’157 1/32=0’031 1/32=0’031 1/32=0’031 1/32=0’031 0 1/32=0’031 1

12’5 12’5 21’9 12’5 9’4 15’7 3’1 3’1 3’1 3’1 0 3’1 100

373

Número de hogares

Densidad de población por hogar

b)

8 7 6 5 4 3 2 1 0

1·4 + 2·4 + 3·7 + 4·4 + 5·3 + 6·5 + 7·1 + 8·1 + 9·1 + 10·1 + 12·1 = 4'375 32 Mediana= 4 Mo = 3 x=

c)

σ=

(1 − 4'375)2 ·4 + (2 − 4'375)2 ·4 + (3 − 4'375)2 ·7 + (4 − 4'375)·4 + (5 − 4'375)2 ·3 + (6 − 4'375)2 ·5 + 32

(7 − 4'375)2 ·1 + (8 − 4'375)2 ·1 + (9 − 4'375)2 ·1 + (10 − 4'375)2 ·1 + (12 − 4'375)2 ·1 = 2'666341126 32

23.

Bollería industrial: 40% de 30 = 12 Bocadillo: 25% de 30 = 7’5 Chucherías: 15% de 30 = 4’5 Nada: 20% de 30 = 6

Amplitud del sector: 360º · 12/30 = 144º Amplitud del sector: 360º · 7’5/30 = 90º Amplitud del sector: 360º · 4’5/30 = 54º Amplitud del sector: 360º · 6/30 = 72º

nada 20%

Bollería  industrial 40%

chucherías 15% Bocadillo 25%

24.

x=

σ=

1·1 + 2·2 + 3·3 + 4·4 + 5·5 + 6·4 + 7·3 + 8·2 + 9·1 =5 25

(1 − 5)2 ·1 + (2 − 5)2 ·2 + (3 − 5)2 ·3 + (4 − 5)·4 + (5 − 5)2 ·5 + (6 − 5)2 ·4 + (7 − 5)2 ·3 + (8 − 5)2 ·2 + (9 − 5)2 ·1 = 2 25

374

25.

 1·1 + 2·3 + 3·2 + 4·5 + 5·7 + 6·5 + 7·4 = 4'6 27 Mediana = 5 x=

Moda = 5 DM=

1 − 4'63·1 + 2 − 4'63·3 + 3 − 4'63·2 + 4 − 4'63·5 + 5 − 4'63·7 + 6 − 4'63·5 + 7 − 4'63·4 27

=1’36

σ2=

(1 − 4'63)2 ·1 + (2 − 4'63)2 ·3 + (3 − 4'63)2 ·2 + (4 − 4'63)2 ·5 + (5 − 4'63)2 ·7 + (6 − 4'63)2 ·5 + (7 − 4'63)2 ·4 =2’74

σ=

2'74 = 1’65

27

Hogares

Consumo de leche 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 litro

2 litros  3 litros

4 litros

5 litros

6 litros

7 litros

375

Consumo de leche /  hogar 2 litros  7 litros 1 litro 11% 4% 15% 3 litros 6 litros 7% 19% 4 litros 18% 5 litros 26%

26. Rango = 7 No tiene moda Mediana = 5’5 2+3+ 4+5+ 6+ 7 +8+9 x= = 5'5 8 2 − 5'5 ·1 + 3 − 5'5 ·1 + 4 − 5'5 ·1 + 5 − 5'5 ·1 + 6 − 5'5 ·1 + 7 − 5'5 ·1 + 8 − 5'5 ·1 + 9 − 5'5 ·1 DM = =2 8

σ2 =

(2 − 5'5)2 + (3 − 5'5)2 + (4 − 5'5)2 + (5 − 5'5)2 + (6 − 5'5)2 + (7 − 5'5)2 + (8 − 5'5)2 + (9 − 5'5)2 8

= 5'25

σ = 5'25 = 2’29 27.

2'8 =

1·4 + 2·5 + 3·a + 4·8 17 + a

2’8·(17 + a) = 46 + 3a

47’6 + 2’8a = 46 + 3a

1’6 = 0’2 a

a=8

28. 45 Suma de las notas de los cuatro controles = 18 Sea x la nota del quinto control 18 + x =5⇒ x =7 5 29. Sueldo de los mecánicos = 1800 · 15 = 27000 Sea x el sueldo del médico y del director. 27000 + x = 2000 ⇒ x = 7000 17 Luego el sueldo medio del médico y del director será: 3500 € Sea y el sueldo del médico. Como el director cobra 600 € más que el médico: 2 y + 600 = 7000 y = 3200 Por tanto el médico cobra 3200 € y el director cobra 3800 €.

376

30. Datos del jugador A:

0·4 + 1·2 + 2·2 + 4·1 + 5·1 = 1'5 10 Mediana = 1 Moda = 0 Rango = 5 0 − 1'5 ·4 + 1 − 1'5 ·2 + 2 − 1'5 ·2 + 4 − 1'5 ·1 + 5 − 1'5 ·1 = 1'4 DM = 10 2 2 2 2 2 ( 0 − 1'5) ·4 + (1 − 1'5) ·2 + (2 − 1'5) ·2 + (4 − 1'5) ·1 + (5 − 1'5) ·1 2 σ = = 2'85 10 σ = 2'85 = 1’68 x=

Datos del jugador B:

1·6 + 2·3 + 3·1 = 1'5 10 Mediana = 1 Moda = 1 Rango = 2 , 1 − 1'5 ·6 + 2 − 1'5 ·3 + 3 − 1'5 ·1 DM = = 0'6 10 2 2 2 ( 1 − 1'5) ·6 + (2 − 1'5) ·3 + (3 − 1'5) ·1 2 σ = = 0'45 10 σ = 0'45 = 0'67 x=

Contratará al jugador B Jugador A 5 4 Partidos

4 3 2

2

2 1

1

4 goles

5 goles

1 0 0 0 goles

1 gol

2 goles

3 goles

377

Partidos

Jugador B 7 6 5 4 3 2 1 0

6

3 1 0 0 goles

1 gol

2 goles

3 goles

0

0

4 goles

5 goles

AUTOEVALUACIÓN PAG. 243

1. Cuantitativas: a, b, d, e, g, j Cualitativas: c, f, h, i 2. Discretas: a, d, e, g, j Continua: b 3. Variable aleatoria xi 0 1 2 3 4

Frecuencia absoluta fi 8 8 8 3 1 28

Frecuencia relativa hi 8/28=0’29 8/28=0’29 8/28=0’29 3/28=0’1 1/28=0’03 1

Porcentaje % 29 29 29 10 3 100 378

4. 9 8 7 6 5

nº

4 3 2 1 0 0

5.

1

2

3

4

Moo = { 0, 1, 2 } Meediana: 1

6.

0 − 1'32 ·8 + 1 − 1'32 ·8 + 2 − 1'322 ·8 + 3 − 1'32 2 ·3 + 4 − 1'32 3 ·1

= 0'94 28 2 2 2 2 (0 − 1'32)2 ·8 + (1 − 1'32 3 ) ·8 + (2 − 1'32) ·8 + (3 − 1'32) ·3 + (4 − 1'32) ·1 σ2 = = 1'224 28 σ = 1'224 = 1'106

DM M=

7. El depoorte de modda es el fútbol Fúútbol Balooncesto Juudo Cicllismo

% 45 30 15 10

hi 0’45 0’30 0’15 0’10

Ampplitud 162º 108º 5 54º 3 36º

Depo ortes 10% 15%

45% 30%

Fútbol

Baloncesto

Judo

Ciclismo

379

8. Polígono de frecuencias: Nº de Personas 60 50 40 30

Nº de Personas

20 10 0 [15, 21)

[21, 27)

[27, 33)

[33, 39)

[39, 45)

9. La clase modal es: 18, 24, 30, 36, 42 Mo = 24 10. Rango: 30 18·15 + 24·56 + 30·46 + 36·25 + 42·22 x= = 29'38 164 (18 − 29'38)2 ·15 + (24 − 29'38)2 ·56 + (30 − 29'38)2 ·46 + (36 − 29'38)2 ·25 + (42 − 29'38)2 ·22 = 49'88 σ2 = 164 σ = 49'88 = 7'06

OLIMPIADA MATEMÁTICA PAG. 245

380

ˆ =5 ˆ 1. Por ser isósceles 4 ˆ +3 ˆ +4 ˆ = 90 (inscrito en semicircunferencia) 2 ˆ = 180 ˆ +6 ⎧2·4 ˆ = 180 ⇒ ⎪⎨ ˆ4 + 5 ˆ +6 ˆ +7 ˆ = 180 ⎪⎩6 ˆ =5 ˆ, 4 ˆ =5 ˆ 2

ˆ + (2 ˆ +3 ˆ + 4) ˆ +5 ˆ +5 ˆ = 180 ⇒ 1 ˆ = 90 1 ˆ =4 ˆ = 140, 7 ˆ = 50, 8 ˆ =9 ˆ = 90 ˆ =2 ˆ = 20, 6 ˆ = 40, 3 5 2

2

2

2

2

2. Área = πR – πr = πR – π(R – 1) = π m

381

UNIDAD 14. Probabilidad

ACTIVIDADES PAG. 248

1. a) b) c) d)

Determinista Aleatorio Aleatorio Determinista

2. E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} a) A = {2, 4, 6, 8}; A = {1, 3, 5, 7, 9} b) C = {1, 2, 3, 5, 7}; C = {4, 6, 8, 9} ACTIVIDADES PAG. 249

3. Llamamos: o = oros; c = copas; e = espadas; b = bastos: A = { 3o, 6o, 12o, 3c, 6c, 12c, 3e, 6e, 12e, 3b, 6b, 12b} B = {4o, 12o, 4c, 12c, 4e, 12e, 4b, 12b} C = {5o, 10o, 5c, 10c, 5e, 10e, 5b, 10b} a) A U B = { 3o, 4o, 6o, 12o, 3c, 4c, 6c, 12c, 3e, 4e, 6e, 12e, 3b, 4b, 6b, 12b } b) A ∩ B = {12o, 12c, 12e, 12b} c) A = { 1o, 2o, 4o, 5o, 7o, 10o, 11o, 1c, 2c, 4c, 5c, 7c, 10c, 12c, 1e, 2e, 4e, 5e, 7e, 10e, 12e, 1b, 2b, 4b, 5b, 7b, 10b, 11b}

382

d) B = {1o, 2o, 3o, 5o, 6o, 7o, 10o, 11o, 1c, 2c, 3c, 5c, 6c, 7c, 10c, 11c, 1e, 2e, 3e, 5e, 6e, 7e, 10e, 11e, 1b, 2b, 3b, 5b, 6b, 7b, 10b, 11b} e) C = { 1o, 2o, 3o, 4o, 6o, 7o, 11o, 12o, 1c, 2c, 3c, 4c, 6c, 7c, 11c, 12c, 1e, 2e, 3e, 4e, 6e, 7e, 11e, 12e, 1b, 2b, 3b, 4b, 6b, 7b, 11b, 12b} f)

E

g) E \ {12o, 12c, 12e, 12b} h) A U C = { 3o, 5o, 6o, 10o, 12o, 3c, 5c, 6c, 10c, 12c, 3e, 5e, 6e, 10e, 12e, 3b, 5b, 6b, 10b, 12b } i)

A ∩ B = {4o, 4c, 4e, 4b}

j) A U C = C k) A ∩ C = A l) A ∩ B = B m) A ∩ B = {3o, 6o, 3c, 6c, 3e, 6e, 3b, 6b} n) B ∩ C = φ ñ) B U C = { 4o, 5o, 10o, 12o, 4c, 5c, 10c, 12c, 4e, 5e, 10e, 12e, 4b, 5b, 10b, 12b }

ACTIVIDADES PAG. 250

383

4. Variable Cara Cruz 5. f (A) = 5

Frecuencia absoluta 54 46 100

Frecuencia relativa 54/100 = 0’54 46/100 = 0’46 1

h(A) = 5/12

6. f ( ) = 0 7. Sea A = {sacar la bola roja} f (A) = 450/1000 = 0’45 ACTIVIDADES PAG. 251

8. h(1) = 21/134 = 0’16 h(4) = 19/134 = 0’14

h(2) = 23/134 = 0’17 h(5) = 22/134 = 0’16

h(3) = 24/134 = 0’18 h(6) = 25/134 = 0’19

9. Si 10. h(A) = 27/42 = 0’64 ; h(B) = 15/42 . Se ajustan a la ley de los grandes números. ACTIVIDADES PAG. 252

384

11. Sea A = {sale una espada} 10 P(A) = = 0'25 40 12. Sean A = {la bola sale negra}; B ={ la bola sale amarilla}; C = {la bola sale azul} 3 a) P(A) = = 0'2 15 5 b) P(B) = = 0'3 15 7 c) P(C) = = 0'46 15 ACTIVIDADES PAG. 253

13. Sea A = {sale una espada} 30 P( A ) = = 0'75 40 14. Sea A = {sale 3} 5 P( A ) = = 0'83 6 ACTIVIDADES PAG. 254

15. Sea A = {da en el blanco}, P(A) = 0’9 Si dispara dos veces: a) P(dar en el blanco las dos veces) = 0’9·0’9 = 0’81 b) P(da en el blanco una sola vez) = 0’9·0’1 + 0’1·0’9 = 0’18 c) P(no dar en el blanco ninguna vez) = 0’1·0’1 = 0’01 d) P(dar en el blanco al menos una vez) = 0’81 + 0’18 = 0’99 385

16. a) P(los tres son de fresa) =

1 1 1 1 ⋅ ⋅ = = 0'0156 4 4 4 64

b) P(ninguno es de fresa) =

3 3 3 27 ⋅ ⋅ = = 0'4218 4 4 4 64

ACTIVIDADES PAG. 255

17. Sea A = la bola sale roja y B = la bola sale negra 7 3 21 P(A ∩ B) = ⋅ = = 0'23 10 9 90 P(A ∩ B) =

7 3 21 ⋅ = = 0'21 10 10 100

386

DESAFÍO MATEMÁTICO PAG. 256

387

1. La probabilidad de que te toque el gordo es

0 ´000011764705882353.

2. La probabilidad de conseguir el segundo premio es la misma que para conseguir el primero

0 ´000011764705882353.

3. La probabilidad de conseguir el tercer premio es la misma que para conseguir e el primero o el segundo

0 ´000011764705882353.

4. Cuartos premios hay dos. La probabilidad de que te toque uno de los dos cuartos premios es de: 0 ´000023529411764706. 5. La probabilidad de que te toque uno de los ocho quintos premios es de 0´000094117647058824. 6. La probabilidad de conseguir la pedrea es

0,0208705882353.

7. En total hay 13334 premios. La probabilidad de recibir alguno es de 0´1568705882353 . 8. 3000000

1000000

500000

200000

8 1774 2 2 1000 20000 12500 85000 85000 85000 85000 495 2547 8499 1000 1000 200 140 85000 85000 85000 50000

9600

2 85000

Por lo tanto, 140 € es la suma de los productos de los premios de la lotería por la probabilidad de obtenerlos, para un billete. El precio del billete es 200 La esperanza matemática de ganancia al comprar un billete de lotería de Navidad es: é

140

200

60

Al comprar un décimo que cuesta 20 (la décima parte) la esperanza matemática de ganancia será la décima parte, esto es, 6 En definitiva, la lotería de Navidad es favorable para la Hacienda Pública.

388

ACTIVIDADES FINALES PAG. 258

389

18. a) Determinista b) Aleatorio c) Determinista d) Aleatorio e) Aleatorio 19. E = {Blanca, Negra, Verde} 20. E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} 21. A = {2, 4, 6, 8}

B = {3, 6}

a) b) c) d) e) f) g)

A U B = {2, 3, 4, 6, 8} A ∩ B = {6} A U C = {2, 4, 6, 8} A ∩ C = {4, 8} A ∩ B = {3} A U C = {1, 3, 4, 5, 7, 8} A ∩C = {φ}

h) i) j) k) l) m) n) ñ)

A ∩ C = {2, 6} C UB= C A U B = {1, 3, 5, 6, 7} A U C= E C ∩ B = {3, 6} B ∩ A = {1, 5, 7} B ∩ C = {1, 2, 5, 7} B ∩ A = {2, 4, 8}

C = {4, 8}

22.

5 = 0'42 12 7 b) P(la bola no es blanca) = = 0'58 12 3 c) P(la bola es verde) = = 0'25 12 8 d) P(la bola no es roja) = = 0'66 12

a) P(la bola es blanca) =

23.

12 = 0'4 30 11 b) P(desayuna golosinas) = = 0'36 30 7 c) P(no desayune) = = 0'23 30

a) P(desayuna bocadillo) =

390

24.

10 = 0'25 40 4 b) P(obtener una sota) = = 0'1 40 1 c) P(la sota de bastos) = = 0'025 40

a) P(obtener bastos) =

25. A U B = {As de espadas, 2 de espadas, 3 de espadas, 4 de espadas, 5 de espadas, 6 de espadas, 7 de espadas, Sota de espadas, Caballo de espadas, Rey de espadas, Sota de oros, Sota de copas, Sota de bastos} 13 P(A U B) = = 0'325 40 26.

N = negra; R = roja; B = blanca

E = {NN, NR, NB, RN, RR, RB, BN, BR, BB}; P(NN) =1/15 ; P(NR) = 1/6 ; P(NB) = 1/15 ; P(RN)= 1/6 ; P(RR) = 2/9 ; P(RB) = 1/9 ; P(BN) = 1/15 ; P(BR) = 1/9 ; P(BB) = 2/90 Negra Roja

Negra

Blanca Negra Roja

Roja Blanca Negra

Blanca

Roja Blanca

27.

32 = 0'57 56 24 b) P(sale amarilla) = = 0'43 56

a) P(sale roja) =

28. P(sale un número primo) =

3 = 0'5 6

391

29. P(la lavadora es defectuosa) =

3 = 0'03 100

30.

4 4 ⋅ = 0'01 40 40 4 3 b) Extracción sin reemplazamiento; P(obtener dos sotas) = ⋅ = 0'00769 40 39

a) Extracción con reemplazamiento; P(obtener dos sotas) =

31. Lanzamos una moneda tres veces: P (obtener al menos una cara) = 1 – P(no obtener cara) = 1 -

1 = 0'875 8

32. P (acertar dos veces en el blanco) = 0’7 · 0’7 = 0’49 26 = 0'72 36 5 4 3 2 1 34. P (preguntan las 5 preguntas que sabe) = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 0'00033 15 14 13 12 11

33. P (la suma de los resultados obtenidos es menor que 9) =

35. P(los amigos se entienden en su idioma materno) = P(los dos son franceses) + P(los dos son españoles) + P(los dos son rusos) + + P(los dos son argentinos) + P (uno es español y el otro es argentino) = 8 7 7 6 5 4 6 5 7 6 ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + = 0'29 · 26 25 26 25 26 25 26 25 26 25

392

36. P (el producto de los resultados obtenidos es veinte) =

2 = 0'055 36

37. Sea A = salir múltiplo de tres y B = salir cruz 2 1 1 P(A ∩ B) = P(A) · P(B) = ⋅ = = 0'125 8 2 8 38. P(el producto de los números obtenidos es menor que 10) =

17 = 0'472 36

39. Sea A = la pintura elegida es verde y B = la pintura elegida es roja P(A U B) = P(A) + P(B) = 0’5 + 0’2 = 0’7 40. Lanzamos 4 veces un dado. P (obtener al menos un 6) = 1 – P(no obtener 6) = 1 – (5/6)4 = 0’52 41. Sea E = {MMM, MMH, MHM, MHH, HMM, HMH, HHM, HHH} donde M = macho y H = hembra 1 a) P(MMM) = = 0'125 8 1 b) P(HHH) = = 0'125 8 3 c) P(MMH) = = 0'375 8 2 d) P(la segunda cría es hembra, si la 1ª es macho) = P(MHM) + P(MHH) = = 0'25 8

393

42. Sea A = El estudiante juega al fútbol 540 a) P(A U B) = = 0'98 550 150 b) P( A ) = = 0'27 550 300 c) P( B) = = 0'54 550

B = El estudiante juega al baloncesto

AUTOEVALUACIÓN PAG. 259

1. a) b) c) d)

Determinista Determinista Aleatorio Aleatorio

2. E = {C, +, 1, 2, 3, 4, 5, 6} siendo C= cara, + = cruz 3. A = {+} B = {2, 3, 4, 5, 6} C = {1, 5}

394

4. A = {0, 2, 6, 8} a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m)

B = {3, 4, 5, 9}

C = {0, 1, 2, 4, 7, 8}

A U B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} = E A ∩ B = {1, 7} A U C = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 9} A ∩ C = {3, 5, 9} A ∩ B = {0, 2, 6, 8} A U C = {0, 2, 3, 5, 6, 8, 9} A ∩ C = {6} A ∩ C = {1, 4, 7} C U B = {0, 1, 2, 4, 6, 7, 8} A U B = {0, 1, 2, 6, 7, 8} A U C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9} C ∩ B = {0, 1, 2, 7, 8} B ∩ A = {φ }

n) B ∩ C = {4} ñ) B ∩ A = {3, 4, 5, 9}= B o) B ∩ B = { φ } 5. P(obtener al menos una cruz) = 1 – P(no obtener cruz) = 1 6. a) P(consonante) = b) P(vocal) =

5 7

c) P(la letra a) =

0 875

2 7

1 7

7.

10 30 30 10 6 3 ⋅ + ⋅ = = 40 40 40 40 16 8 10 30 30 10 60 5 b) P(obtener una espada) = ⋅ + ⋅ = = 40 39 40 39 156 13

a) P(obtener una espada) =

8.

5 = 0'25 20 15 b) P(no sacar una bola blanca) = = 0'75 20

a) P(sacar una bola blanca) =

395

9. P(al menos una fotografía es correcta) = 1 – P( todas salen mal) = 1 – 0’13 = 0’999 Correcta Correcta Correcta Fallida

Fallida Correcta Fallida Correcta

Correcta Fallida Fallida Correcta Fallida Fallida 10. Sea E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20} Recuerda que el 1 no es un número primo. a) P( número primo) = 04 3 b) P(múltiplo de 6) = = 0'15 20 c) P(múltiplo de 9) = d) P(múltiplo de 6 ó de 9) = e) P(múltiplo de 6 y de 9) = f) P(cero) = 0

02 1 = 0'05 20

OLIMPIADA MATEMÁTICA PAG. 261

396

1. Supongamos que r − s 2 ,s − u 2 ,u − v 2 ,v − r 2 > r − s2 + s − u2 + u − v 2 + v − r 2 >

1 . Por tanto: 4

1 1 1 1 + + + 4 4 4 4

⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ 2 2 2 2 ⎜ + r − r ⎟ + ⎜ + s − s⎟ + ⎜ +v −v ⎟ + ⎜ + u −u⎟ < 0 ⎝4 ⎠ ⎝4 ⎠ ⎝4 ⎠ ⎝4 ⎠ 2

2

2

2

⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎜ − r ⎟ + ⎜ − s ⎟ + ⎜ − v ⎟ + ⎜ − u ⎟ < 0 , lo cual es una contradicción. ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠

2. Sea la progresión a, a + d, a + 2d,... , a + 99d. Entonces tenemos que hallar:

S = a2 + (a + d)2 + (a + 2d)2 +...+ (a + 99d)2 =100a2 + 2ad (1 + 2 +...+ 99) +d2 (12 + 22 +...+ 992) Suma de los pares = +1 ⇒ (a + d) + (a + 3d) + ... + (a + 99d) = –1 ⇒ 50a + 2500d = +1 Suma de los 100 primeros números = –1 ⇒ a + a + d + a + 2d +...+ a + 99d = –1 100a + 4950d = –1 ⎧⎪50a + 2500d = +1

Resolviendo el sistema ⎨

⎩⎪100a + 4950d = −1

obtenemos: a = –2' 98; d = 0' 06.

El resto es fácil de calcular. Los paréntesis son progresiones: 1 + 2 +...+ 99 = 4950; 12 + 22 +...+ 992 = 328350 S = 100 · (–2' 98) 2 + 23 (–2' 98) · 0' 06 · 4950 + 0' 06 2 · 328350 S = 299' 98

397