Solucionario guia de admision 2015 UNAN

MINISTERIO DE EDUCACION CONSEJO NACIONAL DE UNIVERSIDADES UNAN-MANAGUA UNI UNAN-LEON

Solucionario de Guía de Estudio de Matemática Agosto, 2014

UNIDAD DE ARITMÉTICA

1. La expresión 311 + 311 + 311 equivale a: Solución : Al sumar los tres términos se obtiene 311 = 312

3

2. Al número de tres dígitos 2a3 se le suma el número 326 y da el número de tres dígitos 5b9. Si sabemos que el número 5b9 es divisible entre 9, entonces a + b es: Solución : Al sumar ambos números se obtiene 2a3 + 326 = 5b9 como el número 5b9 es divisible entre 9; esto signi…ca que la suma de los valores absolutos de sus cifras es múltiplo de 9, entonces 5 + b + 9 = 18; de aqui b = 4; entonces a + 2 = b; lo cual signi…ca que a = 2 y por tanto a + b = 6: 3. A una determinada cantidad le sumo el 10% de sí misma y a la cantidad así obtenida le resto su 10%. ¿Qué porcentaje de la cantidad original me queda? Solución : Sea x = Cantidad Inicial , entonces x + 0:1x = 1:1x es la cantidad aumentada en un 10%, pero a ésta le restamo su 10% y obtenemos 1:1x

0:1 (1:1x) = 0:99x

lo cual representa un 99% de la cantidad inicial. 4. Al simpli…car [(9

4) + ( 10 + 3)]

((6) ( 5))

[( 12 + 8) (6

9) (95

90)] el resultado es:

Solución : Al efectuar las operaciones indicadas se tiene [(9

4) + ( 10 + 3)]

((6) ( 5))

[( 12 + 8) (6

9) (95

2

90)]

= [5 + ( 7)] =

( 2) ( 30)

=

60

=

1

60

( 30) 60

[( 4) ( 3) (5)]

5. ¿Cuántos divisores diferentes tiene el número 2000? Solución : La descomposición del 2000 en factores primos es 2000 = 24 53 ; sumando 1 a cada exponente y multiplicando dichas expresiones, la cantidad de divisores será (4 + 1) (3 + 1) = 20

6. Al simpli…car 4 (3)

2

6

p 3 4 + 2 [5 (7)

15

3]

4

12

9. El resultado es:

Solución : Al efectuar las operaciones indicadas y respetando el orden de prioridad de los operadores aritméticos, se tiene 2

4 (3)

1 7. Simpli…que 2 3

6

5 3 4 3

p 3 4 + 2 [5 (7)

3 4 5 6

17

15

3]

4

12

9

=

36

=

6

=

60

=

240

=

20

=

11

6

6 + 2 [35

6 + 2 [35 4

12 12

5]

15 4

3] 12

4

12

9

9

9 9

9

1

Solución:

1 2 3

5 3 4 3

3 4 5 6

17

1

1 = 2 3 = = = =

3 4 17 9 27 68 27 4 3 7 4

5 4 10 9

17

1

17

1

17

1

1

8. ¿Cuántos números válidos (números que no tienen al cero como primer dígito) de cinco cifras se pueden escribir usando solo los dígitos 0; 1; 2; 3 y 4? Solución : El número 0 no puede ser el primer dígito, entonces, los otros lugares pueden ser ocupados por cualquieras de los 5 dígitos restantes, es decir, 4

5

5

5 3

5=4

54

9. Pedro tiene 69 años y su edad excede a la de Juan en un 15%. ¿Qué edad tiene Juan? Solución : 69 ! 115%

Una de la formas de resolver este problema es

, de aqui x =

x ! 100%

69

100% = 60 115%

2 3 de los hombres están casados con los de las mujeres. Si nunca se casan con forasteros, 3 5 ¿Cuál es la proporción de solteros en dicha ciudad?

10. En una ciudad,

Solución : Sea x = Cantidad de Hombres y = Cantidad de M ujeres 3 10 2 x = y ; de aqui, y = x 3 5 9 x+

10 x 9

2 x 3

2

=

10 x+ x 9 11. El resultado de

2 125 3

+

1 16 2

+

1 2

1 343 3

es:

Solución: 2 125 3

+

7 19

1 16 2

+

1 2

1 343 3

2 53 3

=

+

1 24 2

= 52 + 22 + 7

+

1 73 3

1 2

1 2

1

= [36] 2 =6 12. Obtenga el resultado de (0:027)

1 3

+ 2560:75

3

0

1

+ (4:5)

Solución: (0:027)

1 3

0:75

+ 256

3

1

0

+ (4:5)

= = =

1 3 3 3 3 + 28 4 10 1 3 + 26 31 + 1 10 10 1 3 + 64 3 +1

= 68 5

13. ¿Cuál es el valor de a en (3a) = 248832? Solución:

5

(3a)

= 248832

5 5

= 210 35 210 35 a5 = 35 a = 22

3 a

a =4 4

1 3

+1

14. Un equipo de jugadores ganó 15 juegos y perdió 5. ¿Cuál es la razón geométrica de los juegos ganados a los jugados? Solución : Total de juegos = 20, Total de juegos ganados =15, dicha proporción es

15 3 = 20 4

15. Si x es un número par y y es un número impar. ¿Cuál.de las siguientes a…rmaciones siempre es falsa? Solución: La falsa es

y+y 2

=

2y 2

= y es par, porque aqui se produce una contradicción, y no puede ser par e impar a la

vez. 16. El mínimo común múltiplo de dos números es 105 y su máximo común divisor es 5. ¿Cuál de los siguientes números puede representar la suma de estos dos números? Solución : Como su m.c.d es 5, signi…ca que 5 es el único divisor común. Por tanto, se trata de dos números múltiplos de 105 5. Como su m.c.m. es 105, entonces = 21. Descomponemos el 21 en el producto de dos divisores, esto es 5 3 y 7. Por tanto, uno de los números es 15 = 3 5, el otro es 35 = 5 7 , por tanto, su suma es 15 + 35 = 50 17. La maestra distribuyó la misma cantidad de dulces entre cada uno de 5 niños y se quedó tres para ella misma. No se acuerda cuántos dulces tenía, pero se acuerda que era un múltiplo de 6 entre 65 y 100. ¿Cuántos dulces tenía? Solución: Como se quedó con 3 dulces, el número inicial de dulces termina en 3 o en 8, pero como es un múltiplo de 6, es par, por lo que termina en 8. La única posibilidad es 78. 2 0 13 2 1 1 C7 6 B 2 6 B C7 18. El resultado de 65 4 B C7 es 4 @ 1 A5 1 2 Solución : Al desarrollar la fracción se tiene

5

0

B B 4B @

1 2 1 2

1

2

1

1C C C = A =

5

5

4

1

3 2

19. El resultado de

2 3

4 5

6 7

es:

Solución : Al realizar operaciones básicas aritmética se tiene 4 5

2 3

7 6

=

2 3

=

14 15 4 15

20. Juan gasta el 20% de sus ingresos en el pago de impuestos y 20% del resto en el pago de la mensualidad de su casa. ¿Qué porcentaje de su ingreso gasta en el pago de su casa? Solución : El valor gastado en el pago de impuesto es 0:2x luego lo que le queda es x

0:2x = 0:8x

por tanto, el pago de la mensualidad de la casa es 0:2 (0:8x) = 0:16x lo cual corresponde a un 16% 21. ¿Cuánto gano o pierdo si vendo por los

3 7 de los del costo de un juguete que me ha costado C$40:00? 5 2

Solución : Aplicando operaciones básicas aritméticas 3 5 luego se ha ganado 84

7 2

40 = 84:0

40 = 44:00 córdobas.

22. Cuatro personas juntaron sus ahorros para abrir un negocio aportando el 15%, 20%, 25% y 40%, respectivamente, del monto total. Si la menor de las aportaciones fue de C$9; 000, la mayor de las aportaciones fue de: Solución : La menor de la aportaciones equivale 0:15x = 9000 luego el monto total es x = 60; 000 La mayor de las aportaciones equivale 0:4 (60000) = 24; 000 6

23. De acuerdo al Reglamento de Admisión de una universidad, el puntaje total alcanzado por un estudiante está formado por el 70% de la nota obtenida en el Examen de Admisión y el 30% de su promedio de los dos últimos años de bachillerato. Si un estudiante alcanza un puntaje total de 81 y su promedio de los dos últimos años de bachillerato es 95, ¿qué puntaje obtuvo en el examen de admisión? Solución : Sea x la nota obtenida en el examen de admisión, entonces 0:7x + 0:3 (95)

=

81

x =

75

24. Un grupo de amigas va de paseo y disponen de C$240:00 para la compra de sus pasajes. Si compran pasajes de C$30:00, les sobra dinero; pero si compran pasajes de C$40:00, les falta dinero. ¿Cuántas amigas van de paseo? Solución : Sea n la cantidad de amigas, entonces 30n < 240 40n > 240 y la solución de dicho sistema de ecuación se encuentra en el intervalo (6; 8), de aqui que la solución entera es n = 7: 25. En el parqueo de una cierta universidad, entre carros y motos hay 20 vehículos. Sabiendo que el número total de ruedas es 70. ¿Cuántos carros hay? Solución : Sean x la cantidad de carros y (20

x) la cantidad de motos respectivamente, entonces 4x + 2 (20

x) = 70

x = 15 por tanto, hay 15 carros y 5 motos. 26. Un estudiante de una cierta universidad proveniente del interior del país gasta la cuarta parte de su “mesada” en el alquiler de una habitación, la mitad en comida, la quinta parte en materiales educativos y el resto, C$ 100.00, en recreación. ¿Cuánto es la “mesada” de este estudiante? Solución : Sea x la cantidad de la mesada recibida, entonces x

x 4

x 2 7

x = 5 x =

100 2000

27. El hielo disminuye su volumen en un 9% cuando se derrite. Si se derriten 1000cc de hielo, ¿Cuál es el volumen del líquido que se forma? Solución : Hay que obtener el 9% de 1000, es decir 0:09

1000 = 90cc

por tanto, el volumen que se forma es de 1000cc

90cc = 910cc

28. ¿Cuál de las siguientes expresiones es impar para cualquier entero n? Solución : La expresión 2n2 es un número par y 2003 es un número impar, por tanto, su suma siempre será impar 2

6 6 29. El resultado de 65 4

0

B B 4B @

1 2 1 2

13

2

1

1 C7 C7 C7 es A5

Solución : Al desarrollar la fracción se tiene

5

30. Calcular el producto L naturales y que b

0

B B 4B @

1

2

1 2 1 2

1

1C C C = A

5

=

3 2

4

1

H sabiendo que L = a + b + c , H = d + c = f + g siendo a; b; c; d; f; g números

f = 91 ; a

d = 18 ; c

d = 16 ; b

g = 39

Solución : Como sabemos que b

f = 91 ; a

d = 18 ; c

d = 16 ; b

g = 39; podemos aplicar la teoria de máximo

común divisor y obtenemos : b = gcd (39; 91) = 13 , d = gcd (16; 18) = 2; de aqui f = 7; c = 8; a = 9; g = 3 y entonces L = a + b + c , H = d + c = f + g; y sustituyendo L = 9 + 13 + 8 = 30; H = 2 + 8 = 7 + 3 = 10; por tanto el producto es 300: qp p 31. Al desarrollar la expresión 625a8 Solución:

2

el resultado es: qp p

2

625a8

h

54 a8 h 1 i2 = 52 a =

= 5a2 8

1 8

i2

32. El resultado de

q p p a 3 a a es:

Solución:

q p q p p p 3 a3 a a = a a a2 qp p 3 = a3 a3 qp p 3 = a9 p 12 = a9 p 4 = a3

5 2 de las reses de un ganadero y luego él vendió los de las que le quedaban. Si aún 8 3 tiene 216 reses, ¿Cuántas tenía al principio, cuántas murieron y cuántas vendió?

33. Una epidemia mató los

Solución : 5 x = 216, cuya solución es x = 1728; este valor son las 8 5 reses que tiene al inicio, las que mata la epidemia son (1728) = 1080; las que le quedan son 1728 1080 = 648 8 2 y las vende son (648) = 432 3 Formamos una ecuación lineal

x

5 x 8

2 3

x

34. Una gallina pone dos huevos en tres días. ¿Cuántos días se necesitan para que cuatro gallinas pongan dos docenas de huevos? Solución : Este es un problema de proporcionalidad compuesta,

De aqui

Gallinas

Huevos

Dias

1

2

3

4

24

x

4 1

2 3 = ; x=9 24 x

2 35. El 41 % es equivalente a: 3 Solución: Usando una regla de tres simple: 100% 125 % 3 Tenemos que equivale a

5 12

9

!

1

!

x

36. Halla el número cuyo 3:6 porciento vale 3 + 4:2 0:1 1 0:3 2 0:3125 3

1

Solución : Llamamos N al número buscado y A a la expresión dada. Entonces: A =

(3:6 N ) ; de aqui N = A 100

100 3:6

;

haciendo las operaciones respectivas, se obtiene que

1 37. Al realizar la operación

4:62

10

100 36

3 + 4:2 0:1 1 0:3125 0:3 2 3 2

2:2

10

4

= 4000

se obtiene el número

Solución : Al realizar la división indicada

4:62 2:2

102 = 210

38. Un albañil y su ayudante pueden hacer una obra en 24 días. Después de 4 días de trabajo, el ayudante se retira y el albañil termina lo que falta en 30 días. El número de días que podría hacer la obra el ayudante trabajando solo es: Solución: Al plantear una regla de tres compuesta Hombres

Dias Proyectado

Dias Reales

2

24

20

1

x

30

De aqui x= 39. Al simpli…car la expresión

2

24 1

30 20

= 72

21 + 20 + 2 1 se obtiene: 2 2+2 3+2 4

Solución: Al reescribir la expresión dada 1 2 1 1 1 + + 4 8 16 2+1+

y al efectuar operaciones básicas de suma y cociente, se tiene que el valor dado es 8 10

40. Se va a tender una línea eléctrica de 35:75km de longitud con postes separados entre sí por una distancia de 125m. Si el primer poste se coloca al inicio de la línea, y el último al …nal ¿cuántos postes serán necesarios en total? Solución: Al hacer la conversión de 35:75km a metros se tiene 35:75

1000 = 35750

lo cual a dividir entre 125; se tendría la cantidad de poste utilizado, es decir 35750 = 286 125 pero como el primer poste se coloca al inicio de la línea, se tiene que el total de poste es de 287: 41. La operación

está de…nida por a b = 2ab

3b en la que a y b son números enteros. ¿Cuál es el resultado

de [4 ( 1)] ( 3)? Solución: Realizando las operaciones por partes: [4 ( 1)] [( 5) ( 3)]

= 2 (4) ( 1)

3 ( 1) =

= 2 ( 5) ( 3)

8+3

3 ( 3) = 30 + 9 = 39

42. ¿Cuál es la diferencia entre el 50% de 50 y el 20% de 20? Solución: Calculemos los porcentajes dados 0:5 (50)

=

25

0:2 (20)

=

4

por tanto, la diferencia dada es 21 43. En la sustracción a

b = c, la suma del minuendo, el sustraendo y la diferencia es 32. ¿Cuál es el valor del

minuendo? Solución: Sabemos que a + b + c = 32 pero a

b = c; entonces a+b+a 11

b

=

32

a =

16

2 4 5

44. El resultado de la operación 4

1 2

2 3 5 + 1 5 4 +

Solución: 2 4 5 4 1 2

1 3 4 3

11 2

7 20

1 5

es:

24

1 3

2 3 5 +

4 3

1 5 4 +

7 20

1 5

11 2

=

2+2 + 51

77 40

15 2

24 =

4

77 40

77 10

=1 45. El valor numérico de la expresión

42

2

(3

2)

( 6 + 1)

es:

2

Solución: Al desarrollar la expresión dada 42

2

(3

2)

16 1 25 3 5

=

2

( 6 + 1)

=

1 1 1 de un queque, B comió de lo que quedó después que A comió; C comió de lo que quedó 4 3 2 después que A y B comieron ¿Qué parte del queque quedó?

46. Si A comió

Solución : Sea x el total del queque, entonces al restar las partes que se comieron, se tiene x

1 3

1 x 4

x

1 x 4

1 2

x

1 x 4

1 3

x

1 x 4

1 x 4 2 3 del dinero que tenía, Mara compró gaseosas para festejar su cumpleaños. Con los del dinero que 7 5 le sobró compró hamburguesas. Al …nal Mara se quedó con C$100:00. ¿Cuánto gastó Mara en hamburguesas?

47. Con los

Solución : Al aplicar los datos x

2 x 7

3 5

x 12

2 x 7

=

100

x =

350

lo gastado en hamburguesa es 3 5

x

2 x 7

=

3 5

350

2 7

350

= 150

48. En una fábrica 60% de los artículos son producidos por una máquina A y el resto por otra máquina B. Si 3% de los artículos producidos por la máquina A y 8% de los producidos por la máquina B resultaron defectuosos ¿cuál es el porcentaje de artículos defectuosos producidos en toda la fábrica. Solución : Sea x el total de artículos producidos por la máquina A, entonces según los datos 0:6x + 0:4 (x

0:6x) = 100

49. La última vez que llené el tanque de gasolina, mi automóvil había recorrido 47; 286km. Ahora que acabo de llenarlo, la bomba marcó 22 litros y el cuentakilómetros marcaba 47; 506 km recorridos. Si el litro de gasolina cuesta C$20. ¿Cuánto me cuesta en promedio recorrer un kilómetro? Solución : Haciendo la diferencia 47506 el promedio en kilometraje es

47286 = 220 220 = 11 20

50. Un frasco contiene 12 onzas de una solución cuya composición es una parte de ácido por cada 2 partes de agua. Se agrega a otro frasco que contiene 8 onzas de una solución que contiene 1 parte de ácido por cada 3 partes de agua. ¿Cuál es la razón entre el ácido y el agua de la solución obtenida? Solución : La relación en el frasco de 12 onzas es y el agua es

4 2 y en el frasco de 8 onzas es ; entonces la relación total entre el ácido 8 6 6 3 = 14 7

51. Por un préstamo de 20; 000 pesos se paga al cabo de un año 22; 400 pesos. ¿Cuál es la tasa de interés cobrada?

Solución : t

La fórmula dada es F = P (1 + i)

entonces 22400

=

i = lo cual representa 12%

13

20000 (1 + i) 0:12

52. Si un número N se divide entre 4, se obtiene 9 de cociente y 1 de residuo. Si N se divide entre M , se obtiene 5 de cociente y 2 de residuo. ¿Cuál es el valor de M? Solución : De acuerdo a los datos del problema N

= cd + R = 36 + 1 = 37

N

=

5M + 2

al sustituir los datos 37

2

= M

5 M

=

7

53. Un contratista compró 4000 piedras y las vendió por 8,800 córdobas. ¿Cuánto pagó el por cada piedra si ganó, en relación a lo que pagó, un porcentaje igual a 5 veces el número de córdobas que a él le costó cada piedra? Solución : El costo real de cada piedra es 8800 4000

= x + 5x

2:2

= x+

x =

54. El valor de la expresión

x 100

x2 20

2

2

1 2

2

+ ( 2)

es:

3

( 2)

Solución : Al reescribir la expresión dada 2

1 2

2

+ ( 2)

=

3

( 2)

22 + 4 = 8

1

55. Calcular a cuánto asciende el interés simple producido por un capital de 25 000 córdobas invertido durante 4 años a una tasa del 6 % anual. Solución : La fórmula a utilizar es I=C

i

t = 25000

14

0:06

4 = 6; 000

1017 segundos y la de la pirámide de Keops, 1:5

56. En el año 1982 la edad de la tierra era de 1:3

1011 segundos.

La diferencia de edad entre la tierra y la pirámide en notación cientí…ca es: Solución : Sea d la diferencia de edad, entonces

57. La luz recorre aproximadamente 3

1017

d

=

1:3

d

=

1011 1:3 11

d

=

10

d

=

1:2999985

1011

1:5 106

1:5

(1299998:5) 1017 seg

105 km por segundo. ¿Cuántos metros recorrerá en 365 días? El resultado

en notación cientí…ca es: Solución: En un día hay 24 (60) (60) = 86; 400seg, en 365 días hay 365 (86; 400) = 31; 536; 000seg. Como la luz recorre 3

105

103 m, en esos segundos la luz recorrerá: 31; 536; 000

3

58. La velocidad de la luz es aproximadamente de 3

108 m =

94; 608

1011 m

=

9:4608

1015 m

105 km=seg: La estrella más cercana a la tierra está a 4300

años luz de distancia. La distancia en km y escrita en notación cientí…ca es: Solución: En un día hay 24 (60) (60) = 86; 400seg, en 365 días hay 365 (86; 400) = 31; 536; 000seg. Como la luz recorre 3

105

103 m, en esos segundos la luz recorrerá 31; 536; 000 31; 536; 000

3

3

108 m = 94; 608

108 m =

94; 608

1011 m

=

9:4608

1012 m=seg

1011 m, entonces:

La estrella más cercana está a 4300 AL, entonces 4300

9:4608

1012

=

40681:44

1012

=

4:068144

104

=

4:068144

1016 km

1012

59. ¿Qué altura tendría una pila de 1; 000; 000 de hojas de cuaderno si se necesitan 10 hojas para tener 1mm? Solución: Utilizando una regla de tres simple:

15

1; 000; 000 10 Entonces, la altura x de la pila es 1; 000; 000

!

!

x 1mm

10 = 100; 000mm = 105 mm.

60. ¿Cuántos rieles de 15m se necesitan para enlazar a una fábrica con la estación que dista 765m? Solución: Se necesitan 765m

15m = 51 rieles.

61. ¿Cuántos al…leres de 3:5cm de largo pueden fabricarse con un alambre de latón de 152:07m, sabiendo que hay una pérdida de 2mm de alambre por al…ler? Solución: En total hay 152:07m = 152:07

100 = 15; 207cm de alambre y se pierde 2mm = 2

10 = 0:2cm de alambre

por cada al…ler. Entonces, si x representa la cantidad de al…leres que pueden fabricarse: 15207 = (3:5 + 0:2) x 15207 = x 3:7 4110 = x

Se pueden fabricar 4,110 al…leres. 62. Para ir a clase, Pedro tiene que andar por término medio 1; 520 pasos de 62 cm. ¿Cuántos km habrá recorrido durante un año escolar de 210 días si va al colegio y vuelve a su casa? Solución: De su casa a la escuela (y viceversa) recorre 1; 520 2

0:62 = 942:40m, al día recorre

942:40m = 1884:8m = 1884:8

Durante el año habrá recorrido 210

1000 = 1:8848km:

1:8848 = 395:8km.

63. Se ha necesitado 54; 000 losetas para pavimentar los 2; 430 m2 que miden las aceras de una calle. ¿Cuál es en mm2 la super…cie de una loseta? Solución: La super…cie de cada loseta es de 2; 430 m2 0:045

54; 000 = 0:045m2 . Como 1m2 = 1; 000; 000mm2 . Entonces: 1; 000; 000mm2 = 45; 000mm2 16

64. Si el m2 de un terreno vale 2 dolar, ¿Cuántos dólares vale comprar un campo de 7 Ha? Solución: Como 7Ha = 7

10; 000m2 = 70; 000m2 , entonces comprar el campo cuesta 70; 000

$2 = $140; 000.

65. La isla mayor de la Tierra es Groenlandia y mide 2; 180; 000 km2 y una de las más pequeñas es Cabrera, con 2000 Ha. ¿Cuántas veces cabe Cabrera en Groenlandia? Solución: Como 2; 180; 000 km2 = 2; 180; 000

100 = 218; 000; 000Ha. Entonces la isla Cabrera cabe 218; 000; 000Ha

2000 Ha = 109; 000 veces en Groelandia. 66. Una tinaja que contiene 0; 4 m3 de aceite ha costado 800 euros ¿a cuántos euros resulta el litro? Solución: Como 0; 4m3 = 0; 4

1000 = 400l, el precio del aceite por litro es 800

400 = 2 euros.

67. Un caramelo tiene un volumen de 1; 3 cm3 . ¿Cuántos caramelos caben en una caja de 0; 4498 dm3 ? Solución: Como 0; 4498 dm3 = 0; 4498

1000cm3 = 449; 8cm3 . En la caja caben 449; 8

1; 3 = 346 caramelos.

68. Los trozos cúbicos de jabón de 5 cm de arista se envían en cajas cúbicas de 60 cm de arista. ¿Cuántos trozos puede contener la caja? Solución: 3

3

El volumen de los trozos de jabón es (5cm) = 125cm3 y el volumen de cada caja es (60cm) = 216; 000cm3 . Entonces cada caja puede contener 216; 000

125 = 1728 trozos de jabón.

69. ¿Cuántas botellas de 750 cm3 se necesitan para envasar 300 litros de refresco. Solución: Como 750 cm3 = 750

1000 = 0:75 litros, entonces se necesitan 300

0:75 = 400 botellas para envasar 300

litros de refresco. 70. La capacidad de un depósito de gasolina es 1500 litros. ¿Cuál es su volumen en cm3 ? Solución: El volumen del depósito es de 1500

1000 = 150; 000cm3 . 17

71. Un camión transporta 50 cajas con botellas llenas de agua. Cada caja contiene 20 botellas de litro y medio. Una caja vacía pesa 1500 g, y una botella vacía, 50 g. ¿Cuál es el peso total de la carga? Solución: Cajas vacías:

50

1500g = 75; 000g

Botellas vacías:

50

20

50g = 50; 000g

: 50

20

1:5l = 1500l = 1500

Cajas llenas

1000g = 1; 500; 000g

El peso total de la carga es de 75; 000g + 50; 000g + 1; 500; 000g = 1; 625; 000g = 1; 625; 000

1000 = 1; 625kg:

72. Si para construir un muro necesito 2 toneladas de cemento, ¿cuántos sacos de 25 kilos de cemento tendré que comprar? Solución: Como 2 toneladas = 2

1000 = 2; 000kg, se tienen que comprar 2; 000

25 = 80 sacos.

73. Un barco transporta 2800 toneladas de mercancía. ¿Cuántos vagones harán falta para transportar esa mercancía si cada vagón carga 1400 kg? Solución: Como 2800 toneladas = 2800

1000 = 2; 800; 000kg, hacen falta 2; 800; 000

1; 400 = 2000 vagones.

74. La temperatura del cuerpo humano es 37 C. ¿A cuántos grados Fahrenheit equivalen? Solución: Para convertir grados celsius a Fahrenheit se utiliza la siguiente fórmula: o

En este caso: o

F =

o

F =

9 5

37

C

9 5

+ 32

+ 32 = 66:6 + 32 = 98:6o F

75. Para asar un pollo se necesita que el horno de la cocina alcance una temperatura de 374 F . ¿A qué temperatura debo …jar el graduador para asar el pollo, si la graduación está en grados centígrados ( C)? Solución: Para convertir grados Celsius a Fahrenheit se utiliza la siguiente fórmula: o

C = (o F

En este caso: o

C = (374

32)

5 = 342 9

32) 18

5 9 5 = 190o C 9

UNIDAD DE ÁLGEBRA

1. Dado el polinomio lineal f (x) = x

1 1 2 3 ; la suma f (x) + f (x + ) + f (x + ) + f (x + ) es igual a: 2 4 4 4

Solución: 1 ; se obtiene que 2

Al evaluar el polinomio f (x) = x

f (x) 1 4 2 x+ 4 3 x+ 4

f

x+

f f

1 2 1 = x+ 4 2 = x+ 4 3 = x+ 4

1 1 =x 2 4 1 =x 2 1 1 =x+ 2 4

3 4

1 +x 2

= x

de donde f (x) + f

x+

1 4

+f

x+

2 4

+f

x+

=x

1 1 + x + x + = 4x 4 4

1 2

2. Si x + y = 1 y xy = 1 , ¿cuál será el valor de x3 + y 3 ? Solución: Elevando al cubo la expresión (x + y) = 1, y aplicando las condiciones dadas en el ejercicio, se obtiene 3

= x3 + 3x2 y + 3xy 2 + y 3 = 1

(x + y)

x3 + 3xy (x + y) + y 3

=

1

x3 + 3 (1) (1) + y 3

=

1

3

x +y 3. Si a =

1; b = 3; c = 5, entonces

3

=

2

a + b ja bj es igual a: jaj + jbj + jcj

Solución: Haciendo las debidas sustituciones resulta 2 4 1 + 3 j 1 3j = = j 1j + j3j + j5j 9 4. El valor numérico de la expresión

a2 a + b2 a3 b3 a2 (a2 + b2 ) (2a 3b2 )

b

2 : 9

para a = 1 y b =

Solución : Al sustituir los valores respectivos se obtiene 2

(1)

2

1 + ( 2) 2

3

(1) 2

(1) + ( 2)

3

( 2) 2 (1) 19

2

(1)

2

3 ( 2)

( 2) =

27 10

2 es:

5. Las raíces de la ecuación ax2 + bx + c = 0 serán recíprocas si: Solución : Las raíces de la ecuación seran recíprocas si al multiplicarla el resultado es 1, de la fórmula general se puede ver que b+

p

b2 2a

4ac

!

p

b2 2a

b b2

4ac

!

b2 4ac 4a2

=

1

=

1

de aquí, c = a 6. El resultado de (bn

5y m ) (5y m + bn ) es:

Solución : El producto indicado es un producto notable y su resultado es 2

2

(bn )

(5y m ) = b2n

7. La descomposición en factores de la expresión 3x2

2x

25y 2m

8 es:

Solución : Al factorizar dicha expresión se tiene 3x2

2x

8 = (3x + 4) (x

8. La descomposición en factores de la expresión x3

2)

64y 3 es

Solución : Al factorizar se tiene x3 9. La simpli…cación de

a2 4b2 ab + 2b2

64y 3 = (x

3a2

4y) 4xy + x2 + 16y 2

5ab 2b2 es + ab

3a2

Solución : Al factorizar los diferentes términos de las fracciones, se tiene a2 4b2 ab + 2b2

3a2

5ab 2b2 + ab

3a2

= = = 20

(a + 2b) (a 2b) b (a + 2b) (a + 2b) (a 2b) b (a + 2b) a b

(a

2b) (3a + b) a (3a + b) a (3a + b) (a 2b) (3a + b)

1 1 p a a se obtiene 10. Al simpli…car la expresión 1 1 p + a a Solución : Al determinar el mínimo común de ambos denominadores p a a p p a a a a p =p a+ a a+a p a a al racionalizar el denominador, obtenemos p a a p a+a

p a p a

a a

p 2 ( a a) a a2

=

a1=2 1 a1=2 a (1 a) p 2 (1 a) 1 a

= =

11. El resultado de la siguiente operación

1 x

1

+

12x2 4x 4x2 11x 3

2

3x2 + 8x 3 x2 9

Solución : Al desarrollar las operaciones indicadas y factorizando, se tiene 1

4x (3x 1) x 1 (4x + 1) (x 3) 1 4x (3x 1) + x 1 (4x + 1) (x 3) 4x 1 + x 1 4x + 1 4x2 + 1 2 4x 3x 1 4x2 + 1 (4x + 1) (x 1) 12. Al desarrollar

x y

y x

+

(x + 3) (3x 1) (x 3) (x + 3) (x 3) (x + 3) (x + 3) (3x 1)

2

se obtiene

Solución : Desarrollando el cuadrado x y

y x

2

=

x2

y2 xy

21

2

=

x4

2x2 y 2 + y 4 x2 y 2

es

13. Al racionalizar el denominador de la fracción

3+

x 2 p se obtiene 2x + 5

Solución : Al multiplicar por su conjugado x 2 p 3 + 2x + 5 14. El conjunto solución de la ecuación

3x x

5

p 2x + 5 p 2x + 5

3 3 15

=1+

x

5

=

p

2x + 5 2

3

es

Solución : Al multiplicar por el mínimo común denominador (x

5)

3x x

=

(x

5) 1 +

5 3x = x 2x =

10

x =

5

15 x

5

5 + 15

15. El valor de k que proporciona sólo una solución real de la ecuación x2 + kx + k =

2

3x es:

Solución : Una ecuación de segundo orden tiene una solución si el discriminante b2

4ac = 0; entonces, al reescribir dicha

2

ecuación en la forma x + (k + 3) x + (k + 2) = 0 y al analizar su discriminante, se tiene 2

(k + 3)

4 (1) (k + 2) = 0

y al resolver dicha ecuación, se tiene que k = 1 8 2 4 > < + =3 3x + y 3x y 16. Al resolver el sistema de ecuaciones , se obtiene que el valor de la variable y es: 2 4 > : =1 3x + y 3x y Solución :

Al sumar ambas ecuaciones, 4 3x + y 3x + y y

=

4

=

1

=

1

3x

sustituyendo este valor en la primera ecuación, obtenemos 4 2 + 3x + 1 3x 3x 1 + 3x 4 6x 1

y al sustituir en y = 1

3x; obtenemos y =

3 2

22

=

3

=

1

x =

6 6

17. Al efectuar

x2 (x

4 2

2)

2

+

(x + 2) se obtiene : x2 4

Solución : La expresión dada se puede reescribir por (x + 2) (x

2) 2

(x 2) x+2 x+2 + x 2 x 2 2 (x + 2) x 2 18. Al resolver la ecuación raíces es :

2

+

(x + 2) (x + 2) (x 2)

x+1 2x 1 + = 4 se obtiene que la diferencia entre la mayor y la menor de las x 1 x+1

Solución : La expresión dada se puede reescribir por 2

(x + 1) + (2x 1) (x 1) = 4 x2 1 3x2 x + 2 = 4x2 x2 + x

6

=

4

0

al resolver dicha ecuación, se tiene que las soluciones reales son x1 =

3 ; x2 = 2; por tanto, la diferencia

entre las raíces es 5 19. Al resolver el sistema de ecuaciones y es:

(

p

2x +

p

3y

2x

2

p = 5 + 2 6xy

3y = 1

, se obtiene que el valor de la variable

Solución : Podemos ver que 2x = 1 + 3y al sustituir en la ecuación dada, se tiene que p p 1 + 3y + 3y p p 1 + 3y + 3y

2

= 2

=

p 5 + 2 (1 + 3y) 3y

p 5 + 2 3y (1 + 3y)

desarrollando el cuadrado p 1 + 3y + 2 3y (1 + 3y) + 3y

=

4 + 6y

=

y

=

23

p 5 + 2 3y (1 + 3y) 0 2 3

20. El conjunto solución de la desigualdad x3 + x2

2x > 0 es :

Solución : Al factorizar dicha expresión se tiene x (x + 2) (x

1) > 0

entonces los números críticos son x = 0; x =

2; x = 1

entonces Expresión x<

x

x+2

x

1

Signo

2

2

4 o 2x <

x >

2 o x<

2 1

por tanto, el conjunto solución es ( 1; 1) [ (2; 1) ; es decir x 2 = [ 1; 2] ; lo cual es el valor x =

26

1

28. Si

x+

1 x

2

= 3 entonces x3 +

1 es igual a: x3

Solución : Multiplicando por

x+

1 x

a la expresión

x+

1 x

1 x

2

x+

1 x

3

x+

x3 + 29. El conjunto solución de 3x + jxj =

2

x+

1 x

=

3 x+

= 3 se obtiene que :

1 x

= x3 + 3x2 1 x3

=

1 3 1 1 + 3x 2 + 3 = 3x + x x x x

0

8 es

Solución : Aplicando la de…nición de valor absoluto, para x

0

3x + x =

8

x =

2

x =

8

x =

4

para x < 0 3x

podemos notar que para x = 30. Al factorizar la expresión

2 se tiene una solución extraña y por tanto, la única solución es x =

12x3 + 36x2

27x uno de los factores es:

Solución : Factorizando la expresión dada 12x3 + 36x2 31. El resultado simpli…cado de

27x =

3x (2x

2

3)

3y p 1 p 4 4 8x3 y 7 8x2 y 3 , es: 2 3x

Solución : Al efectuar las operaciones indicadas, se tiene p p y p y p p 4 82 x5 y 10 = 8x 4 xy 2 4 y 2 = y 3 4 4xy 2 2x 2x 27

4

1 1 1 7 = 4 ; y + = 1 ; z + = entonces el valor de xyz es: y z x 3

32. Si x; y; z, son números positivos que satisfacen x + Solución : Reescribiendo las expresiones dadas xy + 1

=

4y

xyz + z

=

4yz

xyz

=

4yz

xz + 1

=

xyz + y

=

4yz

z

1 (4y y

=

1 (13y 3y

1 (13y 3y

4)

= xyz

1 (13y 3y

4)

1 y

4

1) (z 0

1 (4y y

=

1 entonces x

1 y

= z 4 =

7 x 3 7 xy 3

7 1 ;z= y 3

Igualando las expresiones y sabiendo que x = 4

z

1)

B7 1) B @3

1

C 1C A

1 4

1 y

4)

pero

=

y

4

1 y

2 5

=

0

B7 yB @3

entonces x =

4

z

7 3

=

1 3 = y 2 1 5 = x 3

de aqui xyz = 1

28

1 4

1

C C 1A y

33. Si n > 1, entonces

q p p 3 n 3 n 3 n es igual a:

Solución : Aplicando la de…nición de radicales r q q p q p p p p 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1=3 n n n = n nn = n n4=3 = nn4=9 = n13=9 = n13=27 34. La expresión

p

n2

a:a33 :a53 ::::a(2n

1)3 es

igual a:

Solución : Al utilizar la igualdad 13 + 33 + ::: + (2n

3

1) = n2 2n2

1 ; y observando que la cantidad subradical es

un producto de potencia de la misma base y que dicha suma coincide con la dada en la sugerencia, podemos sustituir y obtener

p an2 (2n2

n2

2

35. Si (x + y) = 2 x2 + y 2 el valor de E =

1)

= a2n

2

1

3x + y 6y 3x3 y 3 + + será: 2 x y 5x 2x + y

Solución: Al efectuar la suma tenemos que 3x3 y 3 3x + y 6y + + 2 x y 5x 2x + y

30x4 + 21x3 y + 35x2 y 2 9xy 3 5 (2xy y 2 ) y (2x + y) 4 30x + 21x3 y + 35x2 y 2 9xy 3 20x2 y 2 5y 4

= =

2

Por otro lado, como (x + y) = 2 x2 + y 2 , resulta que x2 = 2xy 3x3 y 3 3x + y 6y + + x2 y 5x 2x + y

= = = = = =

y2

2

5y 4

+ 21 2xy y 2 xy + 35 2xy 20 (2xy y 2 ) y 2 5y 4 162x2 y 2 80xy 3 10y 4 20 (2xy y 2 ) y 2 5y 4 162 2xy y 2 y 2 80xy 3 10y 4 20 (2xy y 2 ) y 2 5y 4 4y 3 (43y 61x) 5y 3 (5y 8x) 172y 244x 25y 40x

29

5y 4

y 2 , así al sustituir obtenemos

30x4 + 21x3 y + 35x2 y 2 9xy 3 20x2 y 2 5y 4 30 2xy

5y 4

y2 y2

9xy 3

5y 4

36. Si el polinomio P (x) = x4 + ax3

bx2 + cx

1 es divisible por (x

1) (x + 1) (x

2

1) ; el valor de (a + b + c)

es: Solución El polinomio (x (a

1) (x + 1) (x

b + 2) x2 +(a + c) x+( a

1) es igual a x3 x2 x+1. Al dividir P (x) entre x3 x2 x+1, el residuo es 2) y el cociente x+(a + 1). Pero P (x) es divisible entre (x

así que el residuo debe ser cero, es decir, (a a + c = 0,

a

2

b + 2) x +(a + c) x+( a

2 = 0. De esto resulta que a =

1)

2), y para que esto ocurra a b+2 = 0,

2; c = 2 y b = 0. Por lo tanto, 2

(a + b + c)

37. Sabiendo que x +

1) (x + 1) (x

=

( 2 + 0 + 2)

=

02

=

0

2

1 1 1 = 3;al determinar el valor de E = x3 + x2 + 3 + 2 obtenemos: x x x

Solución Se tiene que x+ por lo cual al sustituir x +

1 = 33 x3

38. Si el cociente notable

x30 xn

2

= x2 +

1 +2 x2

1 1 = 3, resulta que x2 + 2 = 32 x x x+

se obtiene que x3 +

1 x

1 x

3

2 = 7: Similarmente, como

1 1 +3 x+ x3 x 1 = x3 + 3 + 9 x = x3 +

9 = 18. Por tanto, E = 7 + 18 = 25

ym tiene 10 términos, entonces el valor de (m + n) es: y2

Solución En un cociente notable, para hallar el número de términos que va a tener la solución de la división, por ejemplo de:

xp xr

yq ys

se calcula como la división de los exponentes de la misma variable: n= Así pues en este caso 10 =

p q = r s 30 m = n 2

de lo cual se deduce que n = 3 y m = 20; luego m + n = 23 30

39. Si 264 = aa

p

y

3

54

b

= (3b) ; al determinar el valor de 3a + b se obtiene:

Solución 16

p

54

= 33

9

Como el inverso multiplicativo de (2a + b) es 15 , signi…ca que (2a + b) = 5, resultando que b2 + 4ab + 4a2

c

Tenemos que aa = 264 = 24 (3

16

b

= (16) , así que a = 16. Por otro lado, (3b) =

3

27

= (3)

=

9

9) ; lo cual indica que b = 9. Luego, 3a + b = 48 + 9 = 57

40. Si (2a + b)

c

=

1 ; entonces el valor de b2 + 4ab + 4a2 5

c

es:

Solución Se tiene que c

b2 + 4ab + 4a2

h

= =

2

(2a + b)

c 2

[(2a + b) ] c

c

c 2

ic

2

[(2a + b) ] = 5 = 25 41. Sabiendo que a + b + c = 0; ab + ac + bc =

7 y

abc =

6 entonces el valor de

1 1 1 + 2 + 2 es: a2 b c

Solución Tenemos que 1 1 1 + + a b c

2

bc + ac + ab abc

2

1 1 1 + 2+ 2 a2 b c

=

2 2 2 1 1 1 + + + + 2+ 2 ab ac bc a2 b c

=

1 1 1 2 (c + b + a) + 2+ 2+ 2 abc a b c bc + ac + ab abc

=

2

2 (c + b + a) abc

Ahora haciendo las debidas sustituciones, resulta 1 1 1 + 2+ 2 a2 b c

= 42. Al simpli…car la expresión A =

(x

x2 y) (x

z)

7 6

=

(y

2

2 (0) 6

49 36

y2 z) (y

x)

+

(z

z2 x) (z

y)

el resultado es:

Solución Efectuando las operaciones indicadas se obtiene (x

x2 y) (x

z)

(y

y2 z) (y

x)

+

(z

z2 x) (z

y)

= = =

31

x2 (y

z) y 2 (z x) + z 2 (x (x y) (x z) (y z) (x z) xy xz + yz + y 2 (x y) (x z) (y z) xy xz + yz + y 2 (x y) (y z)

y)

=

43. El conjunto solución de la ecuación

x2 6x + 10 = x2 + 8x + 17

2

x 3 x+4

, es:

Solución Desarrollando el cuadrado en el miembro derecho de la igualdad, tenemos x2 6x + 10 x2 6x + 9 = 2 2 x + 8x + 17 x + 8x + 16 de lo cual se obtiene x2

6x + 10

x4 + 2x3

x2 + 8x + 16

22x2

=

x2

6x + 9

16x + 160

= x4 + 2x3

16x + 160

=

16x + 30x =

x2 + 8x + 17

22x2

30x + 153

30x + 153 153

14x = x = x =

160

7 7 14 1 2

44. Un barril contiene 120 litros de alcohol y 180 litros de agua;un segundo barril contiene 90 litros de alcohol y 30 litros de agua¿ Cuántos litros debe tomarse de cada uno de los barriles para formar una mezcla homogénea que contenga 70 litros de agua y 70 litros de alcohol. Solución El primer barril contiene una mezcla 300 litros, en la cual el

(120) (100) = 40 porciento es alcohol y el 300

(180) (100) = 60 porciento es agua. En el segundo barril hay una mezcla de 90 litros de alcohol y 30 litros de 300 (90) (100) (30) (100) agua, es decir el = 75 porciento es alcohol y el = 25 porciento es agua. Esto signi…ca que 120 120 cualquier cantidad que se tome del primer barril contiene un 60% de agua y un 40% de alcohol, así mismo al tomar cualquier cantidad del segundo barril contiene un 25% de agua y un 75% de alcohol.

Sea x la cantidad de litros que se tomará del primer barril y y la cantidad que será tomada del segundo barril. Como la mezcla debe contener 70 litros de agua y 70 litros de alcohol, entonces planteamos el siguiente sistema de ecuaciónes

(

0:4x + 0:75y = 70

Ec (1)

0:6x + 0:25y = 70

Ec (2)

Luego, si multiplicamos la primera ecuación por 0:25 y la segunda por 0:75, obtenemos ( 0:1x 0:1875y = 17:5 Ec (3) 0:45x + 0:1875y = 52:5

Ahora sumando miembro a miembro las ecuaciones 3 y 4 resulta 0:35x = 35: 32

Ec (4)

Despejando x se llega x = 100. Sustituyendo en la ecuación 1 o en la ecuación 2 se obtiene que el valor de y es 40. Por lo tanto, para formar una mezcla homogénea que contenga 70 litros de agua y 70 litros de alcohol hay que tomar 100 litros del primer barril y 40 del segundo. 45. La hierba crece en todo el prado de la hacienda "el Meymo" con igual rapidez y espesura. Se sabe que 70 vacas se la comerían en 24 días y 30 en 60 días ¿ Cuántas vacas se comerían toda la hierba en 96 días? Solución Sea p el prado y v la rapidez de crecimiento por día del pasto. Sabemos que # vacas

Cantidad de pasto consumida

# de días

70

p + 24v

24

30

p + 60v

60

Luego tendríamos que 30 70

p + 24v = p + 60v 30 60 = 70 24 15 = 14 15 (p + 24v) = 15p + 360v 15p

24 60 p + 60v p + 24v p + 60v p + 24v 14 (p + 60v)

=

14p + 840v

14p

=

840v

p

=

480v:

360v

Ahora # vacas

Cantidad de pasto consumida

# de días

70

p + 24v = 480v + 24v = 504v

24

x

p + 96v = 480v + 96v = 576v

96

por lo cual x 70

504v 576v x 7 70 8

= =

x = x =

24 96 24 96 24 96 20

8 7

70

46. En un gallinero había cierto número de gallinas, se duplicó el número y se vendio 27 quedando menos de 54. después se triplicó el número de gallinas que habia al principio y se vendió 78, quedando más de 39,¿Cuántas gallinas habia al principio? Solución Sea x el número de gallinas que había al principio. La expresión: "se duplicó el número y se vendió 27 quedando menos de 54" se representa en el lenguaje algebraico de la siguiente manera 2x 27 < 54, y el conjunto solución 33

de dicha desigualdad es ( 1; 40:5) : La otra expresión "Después se triplicó el número de gallinas que habia al

principio y se vendió 78, quedando más de 39" la representamos mediante la desigualdad 3x

78 > 39, cuyo

conjunto solución es (39; 1). Luego, como la intersección de los conjuntos soluciones de las dos desigualdades

es 40, resulta que inicialmente habían 40 gallinas.

47. Un grupo de abejas cuyo número era igual a la raíz cuadrada de la mitad de todo su enjambre se posó sobre 8 un jazmin, habiendo dejado muy atrás a de su enjambre, sólo una abeja del mismo enjambre revoloteaba en 9 torno a una ‡or de sacuanjoche, atraida por el zumbido de una de sus amigas que cayó imprudentemente en la trampa de dulce fragancia.¿cuántas abejas formaban el enjambre? Solución Sea x el número de abejas del enjambre. La información del problema nos proporciona la siguiente ecuación: r x x = 2 2 9 x x2 4x x2 17 = + 4: Luego, x + 4 = 0: 2 81 9 81 18 9 9 no Utilizando la fórmula general para resolver esta ecuación, se obtienen las soluciones 72 y ; pero como 2 2 es entero, nos quedamos 72, es decir que en el enjambre habían 72 abejas. Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad, tenemos

48. Si x4

y 4 = z 3 y x2 + y 2 = 8, entonces

z3 es igual a: 8

Solución : Sustituyendo x4

y 4 = z 3 y x2 + y 2 = 8 en

z3 obtenemos 8 z3 x4 y 4 = 2 ; 8 x + y2

factorizando la diferencia de cuadrados x2 + y 2 x2 z3 = 8 x2 + y 2

y2

y simpli…cando z3 = x2 8 factorizando una vez más obtenemos

49. Al simpli…car

x x

2=3

y 4=3 z 4 1=3 y 2=3 z 7=3

y2

z3 = (x + y) (x 8

y)

3

resulta

Solución : Al aplicar propiedades de exponentes x x

2=3

y 4=3 z 4 1=3 y 2=3 z 7=3 34

3

=

x2 y 4 z 12 xy 2 z 7

= xy 6 z 5

50. Si 2x3 + x2 + px + 2p2 es divisible entre x + 1, siendo p un número real, entonces el valor de p es: Solución : Como el polinomio dado es divisible por x + 1; entonces P ( 1) = 0

2p2 (p + 1) p

P (x)

=

p

=

0

=

0

3 3 2

2

1

p + 2p2

luego el polinomio es divisible por (p + 1) 51. El conjunto solución de la desigualdad

3 1 < es 2x + 3 x 2

Solución : Al reescribir la desigualdad dada 3 2x + 3

1 x 2 x 9 2x2 x 6 x 9 (2x + 3) (x 2) de aqui, podemos observar que los puntos criticos son x = Expresión 3 x< 2 3 57, tenemos que a = 2; entonces b = 5. Entonces dicha suma debe ser 7

35

53. Si x + y = 1 y xy = 1 , ¿cuál será el valor de x3 + y 3 ? Solución : Elevando al cubo la expresión (x + y) = 1, y aplicando las condiciones dadas en el ejercicio, se obtiene 3

(x + y)

x3 + 3xy (x + y) + y 3

=

1

x3 + 3 (1) (1) + y 3

=

1

3

x +y 54. El polinomio p(x) = x3

= x3 + 3x2 y + 3xy 2 + y 3 = 1

x2 + x

3

=

2

1 se anula en 1, luego p(x) es divisible por:

Solución : Decir que P (x) se anula en 1 signi…ca que P (1) = 13 entonces (x

12 + 1

1=0

1) es un divisor de este polinomio.

55. La suma de dos números es 666 y si se divide el mayor entre el menor el cociente es 5 y el residuo 78. Dichos números son: Solución : Sean x el número mayor, y el número menor, entonces x + y = 666 x = 5y + 78 cuya solución es fx = 568; y = 98g 56. Si suponemos que el cociente intelectual de Einstein era 170 y si éste se calcula al dividir la edad mental por la edad cronológica multiplicado por 100, la edad mental de Einstein cuando publicó en 1905 su teoría sobre el efecto fotoeléctrico era: Solución : El coe…ciente intelectual (CI), se de…ne por CI =

EM EC

100

donde EM es la Edad Mental y EC es la Edad Cronologica, de aqui 170 = cuya solución es 44:2

EM 26

36

100

57. Mi hijo es ahora tres veces más joven que yo, pero hace cinco años era cuatro veces más joven. ¿Cuántos años tiene el hijo? Solución : Sea P la edad actual del padre y H la edad actual del hijo, entonces 3H = P 4 (H

5) = P

5

cuya solución es H = 15; P = 45 58. Un grupo de amigos fue a tomar unos refrescos y unas empanadas, y lo pusieron todo en una cuenta que ascendió a 36 córdobas. Todos iban a pagar por igual, pero tres de ellos se habían ido, por lo que a cada uno le tocó pagar 1 córdobas más. ¿Cuántas personas conformaban el grupo original? Solución : Llamemos x al número de amigo al principio e y al costo si hubieran estado todos, entonces xy = 36 (x

3) (y + 1) = 36

cuya solución es x = 12; y = 3 59. Un hombre entró en la cárcel para cumplir una condena. Para que su castigo fuera más duro no le dijeron cuanto tiempo tendría que estar allí dentro. Pero el carcelero era un tipo muy decente y el preso le había caído bien. Preso: ¡Vamos!. ¿puedes darme una pequeña pista sobre el tiempo que tendré que estar en este lugar? Carcelero: ¿Cuántos años tienes? Preso: Veinticinco. Carcelero: Yo tengo cincuenta y cuatro. Dime, ¿qué día naciste? Preso: Hoy es mi cumpleaños. Carcelero: Increíble. ¡También es el mío!. Bueno, por si te sirve de ayuda te diré (no es que deba, pero lo haré) que el día que yo sea exactamente el doble de viejo que tú, ese día saldrás. ¿Cuánto tiempo dura la condena del preso? Solución : Sea x tiempo de condena del preso, entonces 2

25 + x = x =

37

54 4

60. El producto de tres enteros positivos consecutivos es 3360 y su suma es 45. ¿Cuál es el mayor de esos tres números? Solución : Este problema se puede resolver utilizando la segunda condición x + (x + 1) + (x + 2)

= 45

x =

14

como los números son consecutivos, entonces el mayor es x + 2 = 16 61. Un autobús comienza su trayecto con un cierto número de pasajeros. En la primera parada descienden 1=3 de los pasajeros y suben 8. En la segunda parada descienden 1=2 de los pasajeros que quedan y suben 2 nuevos. En este momento, el autobús lleva la mitad del número de pasajeros de los que llevaba al principio del trayecto. ¿Cuántos pasajeros había al principio? Solución : 1 Llamamos x al número de pasajeros que había al comienzo del viaje. En la primera parada desciende de los 3 2 2 pasajeros. Luego se quedan x. Suben 8. Por tanto, después de la primera parada en el autobús hay x + 8 3 3 2 x+8 1 3 pasajeros. En la segunda pasada descienden de los pasajeros, luego se queda . Suben otros 2. Por 2 2 2 x+8 3 tanto, después de la segunda parada en el autobús hay + 2: En ese momento el número de pasajeros 2 x es la mitad de los que había al principio, es decir, : Igualamos y obtenemos 2 2 x+8 3 2

+2=

x 2

cuya solución es x = 36 62. Hallar tres números sabiendo que el segundo es mayor que el primero en la misma cantidad que el tercero es mayor que el segundo, que el producto de los dos menores es 85 y que el producto de los dos mayores es 115. Solución : Sean x; y; z los tres números buscados, además x < y < z; entonces 8 > > < y x=z y cuya solución es z =

17 23 ; y = 10; x = 2 2

> > :

xy = 85

yz = 115

38

63. Daniel y Arturo, dos viejos amigos, vuelven a encontrarse en la calle al cabo de algunos años. Después de saludarse, Daniel : ¿Cuántos hijos tienes? Arturo : Tres hijos. Daniel : ¿Qué edades tienen? Arturo : Tú mismo lo vas a averiguar. El producto de sus edades es 36. Daniel, después de pensar durante algún tiempo, le dice a Arturo que necesita más datos. Arturo : En efecto, la suma de sus edades es igual al número de la casa que tenemos enfrente. Daniel mira el número de la casa que le indica Arturo y quedándose pensativo durante un par de minutos. - ¡No es posible! responde, con lo que me has dicho no puedo conocer las edades de tus hijos. Me falta un dato más. Arturo : Perdona Daniel, olvidé decirte que mi hija la mayor toca el piano. Daniel: En ese caso, ya sé sus edades. ¿Qué edades tienen los hijos de Arturo? Solución : El problema se reduce a encontrar tres números naturales cuyos producto sea 36, sean x; y; z dichos números, entonces xyz = 36 entonces se forman las siguientes posibilidades, cada una con sus respectivas sumas 1

1

36

=

38

2

2

9

=

13

1

4

9

=

14

1

6

6

=

13

18

=

21

1

2

Observemos que el dato del número de la casa es la clave, ya que el número 13 se repite dos veces ( el cual constituye el número de la casa ), por tanto, de las posibilidades 2

2

9 = 13 y 1

6

6 = 13; la correcta

es la primera, ya que para el segundo caso, no existe una única hija mayor. 64. Un ciclista calcula que si avanza a 10 km=hora llegará a su destino a la 1p:m., y si avanza a 15 km=hora llegará a su destino a las 11a:m. ¿a qué velocidad, en km=hora, tiene que avanzar para llegar a las 12m.? Solución : Sabemos que d = vt aplicando las condiciones del problema d

=

10t

d

=

15 (t

2)

30

igualando 10t

=

15t

t

= 39

6

ahora 10t

= v (t

60

=

5v

v

=

12

1)

65. Un camino puede recorrerse en “t”horas con una cierta velocidad en km=hr. El mismo camino se puede hacer en una hora menos aumentando en un kilómetro por hora la velocidad. Hallar la longitud del camino en km. Solución : Sabemos que d = vt además la velocidad se aumenta en 1; disminuyendo el tiempo en 1; es decir d

=

(v + 1) (t

d

= vt

1)

v+t

1

entonces vt = vt v

v+t

= t

1

1

por tanto d

=

(t

d

= t2

1) t t

66. De un depósito de 100 litros de capacidad, lleno de alcohol puro, se saca una cierta cantidad de alcohol y se le reemplaza por agua. Se saca después la misma cantidad de mezcla y se reemplaza por agua, quedando ésta última mezcla con un 49% de alcohol. Determinar la cantidad de líquido que se ha sacado cada vez. Solución : La cantidad que se saca y se reemplaza es la misma, entonces la proporción de lo que se extrae es en la primera extracción, se tiene Seleccion

Alcohol

Agua

Inicio

100

0

1 2

100 (100

por tanto (100

x)

x)

x x (100 100

x (100 100

x ; entonces 100

x x)

x

x 100

x) = 49

y vemos que al resolver para x se obtiene el valor de x = 30: Note que este problema tiene una raíz rara, extraña o falsa y ocurre para x = 170 40

67. La suma de tres números es 21. El cociente de dos de ellos es 2:5 y la suma de estos dividida entre el tercero da como cociente 2. ¿Cuál es el menor de los tres números? Solución : Sean x; y; z los tres números, planteando el sistema de ecuaciones 8 > x + y + z = 21 > > < x = 2:5 y > > x+y > : =2 z 8 > > < x + y + z = 21 x 2:5y = 0 > > : x + y 2z = 0 al resolver dicho sistema, se tiene que

x = 10:0; y = 4:0; z = 7:0 entonces el número menor corresponde a y = 4 68. Un padre actualmente tiene el triple de la edad de su hijo; si hace 6 años la edad del padre era el quíntuple de la edad de su hijo. Señale la suma de cifras de edad del padre. Solución : Sean x; y las edades respectivas del padre e hijo respectivamente, entonces ( x = 3y x

6 = 5 (y

6)

al resolver dicho sistema de ecuación, se tiene x = 36; y = 12; entonces la suma de las cifras de la edad del padre es 9 69. Dos tuberías abiertas simultáneamente llenan un depósito en 1 hora 12 minutos. Si una de ellas tarda 1 hora más que la otra, en llenar el mismo depósito ¿en qué tiempo lo llenará la tubería de mayor caudal? Solución : Sean x : tiempo de la tubería de menor caudal y : tiempo de la tubería de mayor caudal planteando el sistema de ecuaciones lineales en formato de minutos 8 < 1+1 = 1 x y 72 : x = y + 60

resolviendo para y; se tiene que y = 120 min, lo cual equivale a y = 2 horas 41

70. Un albañil y su ayudante pueden hacer una obra en 24 días. Después de 4 días de trabajo, el ayudante se retira y el albañil termina lo que falta del trabajo en 30 días. ¿En cuántos días podría hacer el trabajo el ayudante trabajando solo? Solución : Al plantear una regla de tres compuesta Hombres

Dias Proyectado

Dias Reales

2

24

20

1

x

30

se obtiene x=

2

24 1

30 20

= 72

71. En Navidad, en cierta empresa todos los empleados se ofrecen regalos. En esta ocasión las mujeres se han dado mutuamente un regalo, pero los hombres lo han repartido: la mitad han dado un regalo a sus compañeros y la otra mitad lo han ofrecido a cada una de sus compañeras. Sabemos que el doble del número de mujeres excede en 6 al número de hombres. Si en total se han dado 318 regalos, ¿cuántos empleados tiene la empresa? Solución : Sean x número de hombres, y número de mujeres, sabemos que x = 2y 6, y (y 1) cantidad de regalos de x x las mujeres, porque cada mujer da un regalo a otra mujer, también (x 1) + y porque la mitad de los 2 2 hombres da un regalo a otro hombre y la otra mitad a las mujeres, de aqui, obtenemos que x (x 2

x = 2y 6 x 1) + y + y (y 2

1) = 318

cuya solución es y = 11; x = 16

72. Determinar un entero positivo con los datos siguientes: si se añade un 5 a la derecha el número resultante es divisible exactamente por un número que sobrepasa en 3 el buscado, siendo el cociente igual al divisor menos 16. Solución : Llamemos N al número buscado. El número divisible será (10N + 5), el divisor será (N + 3) y el cociente será (N + 3)

16 = (N

13). Entonces

N cuya solución es N =

2

(10N + 5)

= (N + 3)(N

20N

=

44

13)

0

2; N = 22; por tanto, la solución positiva es el resultado.

42

73. Hallar un número de dos cifras sabiendo que el número de unidades excede en dos el número de decenas y que el producto del número deseado por la suma de sus dígitos es 144. Solución : El número deseado N , cumplirá N = 10d + u; u = d + 2; entonces (10d + u)(d + u)

=

144

(10d + d + 2) (d + d + 2)

=

144

22d2 + 26d

=

0

= m2

n

140

cuya solución es d = 2; de donde u = 4 y N = 24 74. Si n es un entero positivo, la igualdad m4

n

km2 n + n2

2n

se cumple si k toma el valor:

Solución : Si k = 2, entonces La expresión m4

km2 n + n2

n

m4 2m2 n + n2 h i 2 n = m2 n =

también m2 75. Un factor de 5t

n

2n

=

12 + 2t2 es t + 4 y el otro es:

h

m2

n

n

i 2 n

Solución : Al factorizar el polinomio dado 5t el otro factor es 2t

12 + 2t2 = (t + 4) (2t

3)

3

76. Si el producto de los monomios x2n y n y xm y es igual a x

2 3

y , entonces los valores de m y n son respectivamente:

Solución : Como x2n y n (xm y) = x

2 3

y

entonces 2n + m = n+1

=

de donde se obtiene de forma inmediata que n = 2; m =

43

2 3 6

77. Supongamos que x1 y x2 son las raíces de la ecuación ax2 + bx + c = 0; (a 6= 0) la expresión

1 1 + 2 2 x1 x2

expresada en función de las raíces, es igual a: Solución : La solución de una ecuación cuadrática tiene la forma 1 1 + 2 x21 x2

x22 + x21 x21 x22

=

b =

" b2

=

p

b2 2a

b

!2 b2 4ac + 2a ! p b + b2 4ac 2a

4ac

p

b+

b

entonces se pretende calcular

p

b2 2a

p

b2 2a

4ac

4ac

!2

!#2

2ac c2

78. La raíz quinta de la raíz cuarta de la raíz cuadrada de la raíz cuadrada de (a2 + b2 ) es igual a: Solución : Simbolizando las raices respectivas y multiplicando cada uno de sus indices, obtenemos que sr 5

4

qp

(a2 + b2 ) =

79. El sistema

(

p (a2 + b2 ) = a2 + b2

80

1=80

kx + y = 1 x + ky = 2

tiene solución única si: Solución : Un sistema de ecuación tiene solución unica si y solo si el determinante del sistema es distinto de cero, para este ejercicio tenemos

de aqui que, k 6= 1; k 6=

k

1

1

k

= k2

1 44

1 6= 0

80. La suma de las cuatro raíces de las ecuaciones ax2 + bx + c = 0 y ax2 es igual a:

bx + c = 0; con a 6= 0 y b2

4ac > 0

Solución : Las raices de las ecuaciones ax2 + bx + c = 0 y ax2 sumarse se obtiene

bx + c = 0 son respectivamente

b b + =0 2a 2a

45

b b y las que al 2a 2a

UNIDAD DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA

1. En la …gura, el ]COB = 120o y el ]COD mide la mitad del ángulo BOA. Entonces, la medida del ]BOA es:

Solución: Sea m\BOA = x, luego m\COD = x2 . Se tiene x + 120o + x = 180o 2 3x = 60o 2 x = 40o 2. Si dos planos diferentes se intersecan, su intersección es: Solución: Por uno de los axiomas de la Geometría Euclidiana si dos planos diferentes se intersecan, su intersección es una única recta. !?m !, m !?m !¿cuál de las siguientes expresiones es siempre verdadera? 3. . En la …gura, m 1 4 2 3

Solución: Con la información dada las parejas de rectas perpendiculares están “libres”, luego pueden ser giradas y

46

seguirían satisfaciendo los datos dados. Por tanto no puede a…rmarse ni A, ni B, ni C, ni D. ↔

m1 ↔

m2 ↔

↔

m4

m3

4. R; S y T son tres puntos colineales como se muestran en la …gura. Si ST = 4x + 4 y RS es la mitad de ST , entonces la longitud de RT es:

Solución: Dado que los puntos son colineales, se tiene RT

= RS + ST 1 = ST + ST 2 3 = ST 2 3 = (4x + 4) 2 = 6x + 6

5. A partir de la información indicada en la …gura, el valor de Y es:

Solución: Sean A, B y C los puntos indicados en la …gura, y sean m\BAC = , m\ACB = . Se tiene opuesto por el vértice con el ángulo que mide 50o y

= 180o

= 50o , por ser

130o = 50o . El ángulo que mide y o es un ángulo

exterior con respecto al 4ABC, luego su medida equivale a la suma de los ángulos internos no adyacentes, es decir y =

+

= 50o + 50o = 100o

47

6. En la …gura, si AB k CD, el valor de X es:

Solución: Dado que las rectas son paralelas, xo = m\F CE, por ser ángulos correspondientes. A su vez este ángulo por ser externo al 4ECD, es la suma de las medidas de los ángulos CED y EDC.Se tiene m\CED = 90o y m\EDC = 180o

140o = 40o , luego x = 90o + 40o = 130o :

7. A partir de la información brindada en la …gura, el valor de Z resulta:

Solución: Las marcas en el ángulo A, indican que AD es bisectriz de dicho ángulo, luego x = 40o y m\A = 80o . Al considerar el 4ABC, se tiene z = 180o

80o

70o = 30o .

8. En la …gura, AD ? AC; EB k DC,entonces el valor de Y es:

Solución: Dado que EBkDC, se tiene x = 180o 130o = 50o por ser ángulos internos al mismo lado, entre paralelas y como AD?AC el 4ADC es triangulo rectángulo y por tanto “y”es el complemento de “x”, luego y = 90o 50o = 40o . 48

9. En la …gura el valor de X es

Solución: Se tiene m\ABC = 180o

140o = 40o , x = 115o

40o = 75o ya que el \ACD es externo al 4ABC.

10. En la …gura el valor de X es:

Solución: Se tiene m\EDB = 180o semejanza AA, 4ABC 11. A

B

C

150o = 30o , \ABC = \DBE por ser opuestos por el vértice y por el teorema de 4DBE, luego m\BAC = xo = m\EDB = 30o .

D; E y F son puntos medios de AB y CD respectivamente; Si AC = 10 y BD = 12, entonces

EF =?

Solución: Sean AE = EB = x, CF = F D = y (E y F son puntos medios de AB y CD respectivamente).Se tiene: BC = AC

AB = 10

2x

(1)

y también BC = BD

CD = 12 49

2y

(2)

Igualando (1) y (2): 10

2x = 12

2y: Al simpli…car se obtiene: y

x=1

(3)

Por otro lado se tiene EF = EB + BC + CF = x + (10

2x) + y = 10

x + y = 10 + (y

x)

Al introducir (3) resulta EF = 10 + 1 = 11 12. En la …gura

o

+

o

= 255o , entonces ¿m\A =?

Solución: En el 4ABC, tenemos que m\A = 180o

m\ABC

Se tiene que m\ABC = 180o +

m\ACB = 180o

y m\ACB = 180o

= 255, resulta m\ABC + m\ACB = 360

Sustituyendo en (1) obtenemos m\A = 180o

o

(m\ABC

m\ACB) (1)

, luego m\ABC + m\ACB = 360o o

( + ); Como

o

255 = 105 ;

105o = 75o

13. ¿Para qué valor de x, los segmentos ABy CD son paralelos?

Solución: Como el ángulo a la izquierda de C es congruente con el ángulo a la derecha, también mide 25o . Luego m\ACD = 180o

2 (25o ) = 130o .

Como el 4AP C, es recto en P , m\P AC = 90o

25o = 65o . 50

Para que AB y CD sean paralelos, el ángulo CAB debe ser el suplemento del ángulo ACD ya que serían ángulos internos al mismo lado entre paralelas o sea m\CAB = 180o

130o = 50o .

Se tiene entonces x + 50 + 65

=

180

x =

180

x =

65

50

65

14. Si AB k CD, ¿cuál es el valor de X?

Solución: Trazamos EF , paralela a las rectasAB y CD, luego m\AEF = 180o

120o = 60o y m\F EC = 180o

Además se tiene m\AEF + m\F EC = m\AEC = 90o , luego 60o + (180o

xo .

xo ) = 90o . Al despejar x, resulta

xo = 150o . 15. Si la medida de un] es tres veces la medida de su suplemento, ¿cuál es la medida de dicho ]? Solución: Sean

la medida del ángulo buscado y

El ejercicio indica que

la medida de su suplemento, luego

+

= 180o )

= 180o

.

= 3 , luego

4

=

3(180o

=

540o

=

o

540

=

135o

) 3

16. . Dos veces la medida de un ] es 30 menos que cinco veces la medida de su complemento, ¿cuál es la medida de dicho ángulo? Solución: Sean

la medida del ángulo buscado y

la medida de su complemento, luego +

=

90o

= 51

90o

Al interpretar la información del ejercicio se tiene 30o

2

=

5

2

=

5 (90o

2

=

450o

7

=

420o

=

60o

) 5

30o 30o

!ym ! son paralelas. Entonces el valor de x es: 17. En la …gura las rectas m 1 2

Solución: !ym ! , se forman ángulos Sean A, B, C y D los puntos indicados en la …gura. Al trazar por B una paralela a m 1 2 alternos –internos entre paralelas, y por tanto congruentes con los ángulos indicados inicialmente, luego x + 60

=

110

x =

110

x =

50

60

Otra Forma:

!. Se tiene m\ADB = xo , por ser alterno –interno Al prolongar CB, sea D el punto donde corta a la recta m 1 con el ángulo que se forma en C. El ángulo ABC es externo al 4ABD, luego 60 + x = 110 ) x = 50. !ym ! son paralelas. Entonces el valor de x es: 18. En la …gura las rectas m 1 2

52

Solución: Como las rectas son paralelas se tiene: (3x + 10) + (x

6)

=

84

4x + 4

=

84

4x =

80

x =

20

19. Si m\P = 90o ; \1 = \2; \3 = \4, entonces m\R es

Solución: Sean

y

las medidas de los ángulos indicados en la …gura. Se tiene

+

= 90o . Como \SQR = \2 y

\1 = \2, se tiene 2 m\SQR = 180o

(1)

2 m\QSR = 180o

(2)

Similarmente se obtiene que

Al sumar (1) y (2) resulta 2 m\SQR + 2 m\QSR

= =

Como

+

(180o

) + (180o

o

360

)

( + )

= 90o ,

Luego m\R = 180o

2(m\SQR + m\QSR)

=

360o

2(m\SQR + m\QSR)

=

270o

m\SQR + m\QSR

=

135o

(m\SQR + m\QSR) = 180o

90o

135o = 45o

20. En una recta se toman los puntos A; B y C, de manera que B es punto medio de . Se toma otro punto O, tal AO OC que B O C. Encuentre el valor numérico de: OB Solución: 53

Se tiene AB = BC = x, por ser B punto medio de AC. Sea OB = y, luego OC = x sustituir estos valores en la expresión dada se tiene: AO

OC = (x

y)

y, AO = x + y. Al

(x + y) = 2y, luego

AO OC 2y = =2 OB y Nota: en ejercicios de este tipo no se admite asignar valores arbitrarios, ya que se estaría resolviendo para valores especí…cos. El planteamiento es general. Cuando se a…rma que B

O

C, está indicando que O es un

punto cualquiera que se encuentra entre B y C, y el valor numérico encontrado es valido para cualquier punto O que esté entre B y C. 21. Un poste cercano a un árbol mide 2m y su sombra en un momento dado mide 1:8m, entonces si la sombra del árbol en ese momento mide 11m, la altura del árbol es: Solución: Dado que los rayos del sol prácticamente caen paralelos y que el poste y el tronco del árbol son perpendiculares al piso, el árbol y su sombra y la línea que une sus extremos forman un triángulo semejante al formado por el poste su sombra y la línea que une sus extremos, tenemos h 11

=

h

=

h

=

2 1:8 11:2 1:8 12:22

22. Una varilla clavada en el piso y cercana a un árbol mide 3m y su sombra mide 1:5m, entonces si el árbol mide 36m, su sombra mide. Solución: El problema es similar al anterior, en este caso se tiene x 36

=

x = x =

1:5 3 36 1:5 3 18

23. El perímetro de un triángulo rectángulo isósceles con hipotenusa igual a 10 redondeado a dos decimales es Solución: En un triángulo rectángulo isósceles, la hipotenusa mide p

2x =

p

2x, siendo x la longitud de sus catetos, luego

10 10 x = p 2 p x = 5 2 54

Su perímetro será P

=

p 10 + 2 5 2 p 10 + 10 2

=

24:14

=

24. En el triángulo rectángulo de la …gura, los valores de x y y, respectivamente son

Solución: Por el teorema de la altura se tiene 82 = 64

4x = x =

16

y la hipotenusa mide 4 + x = 20. Por el teorema de los catetos se tiene y2 y y

=

4 20 = 80 p = 80 p = 4 5

y

8:94

25. Un método para encontrar la altura de un edi…cio es colocar un espejo en el suelo y después situarse de manera que la parte más alta del edi…cio pueda verse en el espejo ¿qué altura tiene un edi…cio si una persona cuyos ojos están a 1:5m del piso observa la parte superior del edi…cio cuando el espejo está a 120 m del edi…cio y la persona está a6m del espejo? Solución: Dado que las leyes de la óptica indican que en un espejo plano, el ángulo de incidencia es igual al ángulo de re‡exión, se forman dos triángulos rectángulos semejantes, luego h 120 h

= =

1:5 6 30 m

26. La altura respecto a la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 10m y los segmentos que determina sobre la hipotenusa son entre sí como 7 es a 14. Entonces la longitud del cateto menor es

55

Solución:

Sean m y n los segmentos determinados por la altura sobre la hipotenusa, con m < n, luego m n n

= =

7 14 2m

Por el teorema de la altura =

102

m 2m =

100

m n

m2

=

50 p m = 5 2 p n = 10 2

p La hipotenusa mide c = m + n = 15 2 Por el teorema de los catetos a2 a2

= m (m + n) p p = 5 2 15 2

a2

=

150 p p a = 150 = 5 6 a

12:25

27. El perímetro de un rectángulo es 85m y su diagonal mide M . Por lo tanto los lados del rectángulo miden: Solución: Sean a y b los lados del rectángulo. Se tiene P

=

2 (a + b) = 85

a+b

=

42:5

(1)

Además a2 + b2 = 32:52 = 1056:25

(2)

Despejando b de (1), e introduciendo en (2) 2

=

1056:25

85a + 750

=

0

a2 + (42:5 2

2a

a)

a = 56

12:5 _ a = 30

Al sustituir en (1) se obtiene b = 30 _ b = 12:5 28. El perímetro de un triángulo mide50 y sus lados son proporcionales a 4; 6 y 8. Entonces su lado mayor mide. Solución: Sean a, b y c las longitudes de los lados, con a < b < c, luego P = a + b + c = 50 y

a b c = = 4 6 8

Por las propiedades de las proporciones a 4

=

c = 29. En un triángulo rectángulo, un lado mide 2

b c a+b+c 50 = = = 6 8 4+6+8 18 8 50 200 = 18 9 p

p 106, otro 5 15. Si el lado desconocido es el menor, ¿cuánto

mide? Solución: p p p Como 2 106 > 5 15, la hipotenusa de este triángulo es 2 106, luego el cateto menor es r 2 2 p p p p 5 15 = 424 375 = 49 = 7 a= 2 106 30. El área del triángulo de la …gura, redondeada al entero más cercano, mide:

Solución: p Aplicamos la fórmula de Herón: A = s (s a) (s b) (s c), donde s es el semiperímetro. Se tiene s = 6+7+9 = 11, luego 2 p p p A = 11 (11 6) (11 7) (11 9) = 11 5 4 2 = 440 20:97 31. ¿Cuál es el área del triángulo de la …gura?

Solución:

57

Dado que es un triángulo rectángulo su área es la mitad del producto de sus catetos. El cateto desconocido mide b= Por tanto A =

1 2

(6) (8) = 24

p

102

62 =

p

100

36 =

p

64 = 8

32. Si un rectángulo de 3mde ancho y 10mde largo tiene la misma área que un triángulo rectángulo isósceles, entonces la longitud de cada cateto del triángulo es Solución:

El área de un triángulo rectángulo isósceles está dada por A = 21 x2 , donde x es la longitud de sus catetos, luego tenemos que el área del rectángulo es 30, por tanto 1 2 x = 30 2 p x = 60 p x = 2 15 33. El área de un trapecio isósceles de bases 22m y 10m y cuyos lados congruentes miden 10 es Solución:

Por ser un trapecio isósceles, al proyectar la base menor sobre la base mayor, la base mayor queda dividida en tres segmentos de 6, 10 y 6 metros. Aplicando el teorema de Pitágoras, se tiene p p h = 102 62 = 64 = 8 Aplicando la fórmula para el área de un trapecio: A = A=

(B+b) h 2

resulta

(22 + 10) 8 = 128 m2 2

34. La siguiente …gura consta de siete cuadrados congruentes. El área total de esta …gura es 63cm2 . Entonces el perímetro de la …gura es:

58

Solución: Observamos que el perímetro está formado por 16 veces el lado de cada cuadrado. Como hay siete cuadrados congruentes, cada uno tiene un área de x2

=

x =

63 =9 7 3

Por tanto el perímetro de la …gura es P = 16 3 = 48cm. 35. Si

ACEG es un cuadrado y el área del cuadrilátero BDF H mide 162 ¿cuánto mide AC? (las marcas iguales

representan partes congruentes).

Solución: La …gura indica que B, D, F y H son puntos medios de los lados del cuadrado ACEG, luego su área es el p doble del área del cuadrado BDF H, es decir [ACEG] = 2 162 = 324 luego AC = 324 = 18 36. Se tiene un trapecio ABCD donde es la base menor. BC = 10cm y CD = 20cm. Las medidas de los ángulos A; B y C son 30 ; 150 y 120 respectivamente, entonces AD =? Solución:

Sean B0 y C0 las proyecciones de B y C sobre la base mayor y sean AB0 = x, C0D = y. Por ser BC paralela a AD, m\D = 180

m\C = 180o

120o = 60o

p El 4CC0D es un triángulo 30 – 60, luego h = CC0 = 10 3 y y = C0D = 10. También el 4AB0B resulta ser p p p un triángulo 30 –60, con su cateto menor BB0 = h = 10 3, luego AB0 = 10 3 3 = 30. Tenemos entonces que la base mayor mide AD = x + 10 + y = 30 + 10 + 10 = 50

59

37. Si las medianas en un triángulo rectángulo, trazadas a partir de los vértices de los ángulos agudos miden 5cm p y 40cm, entonces la medida de la hipotenusa del triángulo rectángulo es. Solución:

Sean M y N los puntos medios de BC y AB respectivamente. Sean AM = 5 y CN = c a luego BM = y N B = . 2 2

p

40, BC = a, AB = c,

Sea la hipotenusa AC = b: Aplicando el teorema de Pitágoras en los 4ABM y 4BCN AM 2 CN 2

a2 = 25 4 c2 = 40 = N B 2 + BC 2 = a2 + 4

= AB 2 + BM 2 = c2 +

(1) (2)

Al sumar (1) y (2) resulta 5c2 5a2 + 4 4

=

a2 + c2

=

b

65

4 (65) = 52 = b2 5 p p = 52 = 2 13

38. En la …gura, los cuadrados ABCD y EF GH son congruentes. AB = 10cm y G es el centro del cuadrado ABCD. Entonces el área total cubierta por el polígono AHEF BCDA es.

Solución: Dado que los cuadrados son congruentes sus áreas son iguales y como el lado AB mide 10, cada uno tiene un área de 100cm2 , pero ellos comparten el 4ABG de manera que para el área total del polígono a la suma de las áreas de los cuadrados debemos restarle el área de este triángulo para que sea considerada solo una vez.

Dado que G es el centro del cuadrado ABCD, el área del triángulo es la cuarta parte del área del cuadrado o sea 25cm2 . Luego el área buscada es A = [ABCD] + [EF GH]

[ABG] = 100 + 100 60

25 = 175cm2

39. ABCD es un cuadrado, el 4ABE es isósceles, CF = F B. Entonces, la medida del ángulo EF B es igual a.

Solución: Como el 4ABE es isósceles, AE = BE y por ser ABCD un cuadrado, E es el punto medio de DC y por

tanto EC = CF , ya que por ser CF = F B, F es punto medio de BC. Luego el 4ECF resulta ser triangulo

rectángulo isósceles y como consecuencia m\CF E = 45o . El ángulo buscado es el suplemento del \CF E, luego m\EF B = 180o 40. En la …gura,

m\CF E = 180o

45o = 135o

ABCF es un paralelogramo. B; C y D son colineales. Si AB = 18; AD = 30 y F E = 12.

¿Cuánto mide AE?

Solución: Se tiene que CF = AB = 18, ya que ABCF es un paralelogramo. CE = CF

F E = 18

12 = 6.

Por otro lado BD y AF son paralelas, luego \F AE = \CDE, ya que son alternos internos entre paralelas y \F EA = \CED, ya que son opuestos por el vértice. Como consecuencia se tiene 4F EA Sea AE = x, luego ED = AD

AE = 30

4CED.

x. Por la semejanza anterior, CE = FE 6 = 12 6x =

ED EA 30 x x 360 12x

18x =

360

x =

20

41. En un trapecio isósceles, la diferencia de las bases es de 10m. La altura mide 12m. y el perímetro 76m. Entonces su área es:

61

Solución:

Como B

b = 10, al proyectar la base menor sobre la base mayor se forman tres segmentos de longitudes 5, b

y 5 como se muestra en la …gura. Luego como la altura es 12, en los extremos del trapecio se forman triángulos rectángulos de catetos 5 y 12. Aplicando el teorema de Pitágoras hallamos que la hipotenusa mide 13 lo cual corresponde a la longitud de los lados no paralelos del trapecio. Considerando que el perímetro mide 76 m. se tiene: 2b + 2(13) + 2(5) b Al considerar que B

= 76 =

20

b = 10, resulta B = 30. Aplicando la fórmula para el área de un trapecio, el área buscada

resulta (B + b) h 2 (20 + 30) 12 = 2 = 300 m2

A =

42. En la …gura ABCD es un cuadrado de lado 1cm y CE = 2cm, entonces el área del triángulo ADF en cm2 es igual a

Solución: Dado que ABCD es un cuadrado AD y CE son paralelas, resultando que 4ADF

4ECF por el teorema de

semejanza AA, ya que \DAF = \CEF por ser alternos internos entre paralelas y \DF A = \CF E por ser

opuestos por el vértice. De la semejanza resulta que AD CE 1 2 CF

= = =

DF CF DF CF 2DF

(1)

Como CD = CF + F D = 1, resulta DF = 31 . Por tanto el área buscada resulta [ADF ] =

1 1 1 1 AD DF = 1 = 2 2 3 6 62

43. Sea ABC un triángulo isósceles con AB = BC = 10 y AC = 16. Sea BD la mediana trazada sobre el lado AC y sea G el baricentro. Entonces el área del triángulo ADG es Solución:

Por ser BD mediana, D es punto medio de AC, o sea AD = DC = 8. Ya que 4ABC es isósceles, BD además de mediana también es altura, luego m\ADB = 90o . Aplicando el teorema de Pitágoras hallamos que BD =

p 102

82 = 6

Como G es el baricentro, BG = 2 GD y como BD = BG + GD = 6, resulta GD = 2. Por tanto el 4ADG resulta ser un triángulo rectángulo con catetos de longitudes 8 y 2, por tanto su área es [ADG] =

1 1 AD DG = 8 2=8 2 2

44. Sea ABC un triángulo isósceles con AB = AC = 17cm y P un punto cualquiera del lado BC, diferente de los puntos extremos. Por P se trazan una paralela a AC que corta a AB en Q y una paralela a AB que corta a AC en R. El perímetro del cuadrilátero AQP R es.

Solución: Dado que QP kAC y RP kAB, AQP R es un paralelogramo y de ahí AQ = RP y AR = QP . Del paralelismo de los segmentos señalados anteriormente también resulta que los 4QBP y 4RP C son semejantes con el 4ABC

y por tanto también son isósceles y de ahí QB = QP y RP = RC. Por tanto el perímetro del cuadrilátero

AQPR, resulta P

= AQ + QP + AR + RP =

(AQ + QB) + (AR + RC)

= AB + AC =

17 + 17

=

34

63

45. De acuerdo a la información que se proporciona en la …gura, el segmento de mayor longitud es.

Solución: Dado que la suma de los ángulos internos de un triángulo suman 180o , en el 4ABD, resulta que el ángulo

ABD mide 180o

70o

60o = 50o y en el 4BDC, m\BDC = 180o

55o

60o = 65o .

Una de las propiedades de los triángulos indica que el lado mayor se opone al ángulo mayor y viceversa. Al comparar las medidas de los ángulos del 4ABD, resulta que el mayor mide 70o y su lado opuesto es BD, luego BD es mayor que AB y AD. Pero al considerar el 4BDC, su ángulo mayor es 65o y el lado que se le opone es BC y por tanto BC > BD. Luego el lado mayor de la …gura resulta BC.

46. En la …gura ABCD es un cuadrado de lado 1; 4CM N es equilátero. El área de 4CM N es igual a.

Solución: El área de un triángulo equilátero está dada por

p

3 2 4 x ,

donde x es la longitud de su lado, luego debemos

encontrar primero cuanto mide cada lado del triángulo equilátero CM N . Como ABCD es un cuadrado y CM = CN = x, se tiene que 4CDM = 4CBN y de ahí M D = N B y como AD = AB, resulta AM = AN y por tanto el 4M AN es rectángulo isósceles, luego MN

= x p x = 2AN x AN = p 2

Como AB = 1, resulta N B = 1

AN = 1

x p 2

=

p 2 x p . 2

el teorema de Pitágoras resulta 2

2

2

El 4CBN es un triángulo rectángulo luego al aplicar

CN = CB + N B = 1 + 64

p

2 x p 2

!2

= x2

Al desarrollar, simpli…car y resolver la ecuación resultante se obtiene x = es [CM N ] =

p

3 p 6 4

p

p

6

p

2. Por tanto el área buscada

2

2

0:4641

47. La siguiente …gura muestra dos cuadrados de lado 1cm, donde AEF G se ha obtenido de ABCD al girar este cuadrado 45 sobre el vértice A. Entonces el área sombreada es.

Solución: Al girar 45o , la recta diagonal AC se convierte en la recta AB la cual equivale a la recta diagonal AF , por tanto A, B, F son colineales. Además se tiene m\BF H = 45o y por tanto F BH es un triángulo rectángulo isósceles con F B = BH. Luego [AGHB] = [AGF ] p AB = 1, BF = BH = 2

[F BH]. Por ser AEF G un cuadrado de lado 1, su diagonal mide

p

2 y como

1. Como [AGF ] tiene como área la mitad de la área del cuadrado, que tiene lado

de longitud 1, resulta [AGHB] =

1 2

1 p 2 2

2

1

=

1 2

1 2 2

p p 2 2+1 = 2

1

48. Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, que también es isósceles, miden Solución: Por ser triángulo rectángulo isósceles tiene un ángulo de 90o y los otros dos ángulos congruentes, y dado que la suma de los ángulos internos de un triángulo suman 180o , cada uno de ellos mide 45o . 49. En la …gura ABCD es un cuadrilátero con AD kBC . La diagonal AC es perpendicular al lado CD .m\BAC = p 30 ; AC = 4 3 y AB = BC. Entonces el área de ABCD es igual a.

65

Solución:

p Como AB = BC, el 4ABC es isósceles con m\ABC = 120o y m\BCA = 30o y su base AC = 4 3. Al trazar

una perpendicular desde B a AC, sea E el pie de la perpendicular.

Por ser isósceles, BE también es mediana es decir E es punto medio de AC, luego se forman dos triángulos 30 p –60 con las hipotenusas AB = BC y catetos mayor AE = EC = AC 2 = 2 3: Luego como el cateto mayor en un triángulo 30 –60, es veces el cateto menor, en este caso se tiene BE = 2. Como ADkBC el \BAD es el suplemento del \ABC, resulta m\BAD = 180o 120o = 60o y como m\BAC = p 30o , se tiene m\CAD = 30o y de ahí también el 4ADC es un triángulo 30 –60 con cateto mayor AC = 4 3. p Como en todo triangulo 30 –60, el cateto mayor es 3 el cateto menor, se tiene CD = 4. Finalmente tenemos [ABCD]

= [ABC] + [ACD] 1 1 = AC BE + AC CD 2 2 1 p 1 p = 4 3 2+ 4 3 4 2p 2 = 12 3

50. Se tiene un trapecio ABCD donde BC es la base menor. BC = 10cm y CD = 20cm. Las medidas de los ángulos A; B y C son 30 ; 150 y 120 respectivamente, entonces el área del trapecio mide. Solución:

Sean B0 y C0 las proyecciones de B y C sobre la base mayor y sean AB0 = x, C0D = y. Por ser BC paralela a AD, m\D = 180

m\C = 180o

120o = 60o .

p El 4CC0D es un triángulo 30 – 60, luego h = CC0 = 10 3 y y = C0D = 10. También el 4AB0B resulta ser p p p un triángulo 30 –60, con su cateto menor BB0 = h = 10 3, luego AB0 = 10 3 3 = 30. Tenemos entonces que la base mayor mide AD = x + 10 + y = 30 + 10 + 10 = 50 66

Luego el área del trapecio resulta p p (50 + 10) 10 3 [ABCD] = = 300 3 2 51. En la …gura, m\BAC = ; m\BP C = m y \BQC = 90 : Entonces la medida de \BHC es.

Solución: Como m\BP C = m\BQC = 90 , también m\AP H = m\AQH = 90 . APHQ es un cuadrilátero convexo y en todo cuadrilátero convexo la suma de sus ángulos internos es 360o , luego m\BHC + y de ahí m\BHC = 180

o

+ 90o + 90o = 360o

.

52. Si las medianas en un triángulo rectángulo, trazadas a partir de los vértices de los ángulos agudos miden 5cm p y 20cm, entonces la medida en cm de la hipotenusa del triángulo rectángulo es. Solución:

Sean M y N los puntos medios de BC y AB respectivamente. Sean AM = a c luego BM = y N B = . 2 2

p

20 y CN = 5, BC = a, AB = c,

Sea la hipotenusa AC = b. Aplicando el teorema de Pitágoras en los 4ABM y BCN AM 2 CN 2

a2 = 20 4 c2 = N B 2 + BC 2 = a2 + = 25 4

= AB 2 + BM 2 = c2 +

Al sumar (1) y (2) resulta 5c2 5a2 + 4 4

=

a2 + c2

=

b

= 67

45 4 (45) = 36 = b2 5 6

(1) (2)

53. En la …gura, los dos cuadrados tienen el mismo centro. La razón entre el lado del cuadrado menor y el lado del 2 cuadrado mayor es . Entonces la razón entre el área sombreada y el área del cuadrado mayor es. 5

Solución: Sean “b”la longitud del lado del cuadrado menor y “a”la longitud del lado del cuadrado mayor, luego

b 2 = . a 5

Por la simetría de la …gura se deduce que el área sombreada, es decir el trapecio ABF E, representa la cuarta parte de la diferencia entre los dos cuadrados, luego [ABF E] [ABCD] y de ahí [ABF E] =

1 2 a 4

b2 . La razón buscada será [ABF E] = [ABCD]

Como

1 ([ABCD] [EF GH]) 4 2 = a y [EF GH] = b2 =

b 2 = , resulta a 5

1 4

a2 b2 1 = a2 4

1 [ABF E] = [ABCD] 4

1

a2

b2 a2

4 25

=

=

1 4

1

b2 a2

21 100

54. En la …gura, AB = AC = 4, BD = DC = 3 y m\BAC = 60 , entonces la longitud del segmento AD es

Solución: Al unir B con C, obtenemos un triángulo equilátero, ya que AB = AC y m\BAC = 60 . Se tiene que 4ABD = 4ACE, ya que sus tres pares de lados son congruentes, de ahí resulta m\BAD = m\CAD y por tanto AD es bisectriz del \BAC.

68

Al prolongar AD, sea E el punto donde corta a BC. Luego como el 4ABC es equilátero, AE además de

bisectriz es mediatriz y por tanto AE ? BC y BE = EC = 2. Resulta entonces que el 4BED es rectángulo, p p con hipotenusa BD = 3 y un cateto, BE = 2. Por el Teorema de Pitágoras, DE = 32 22 = 5:

p Por otro lado AE es una altura en un triángulo equilátero de lado 4 y por tanto AE = 2 3. Finalmente p p obtenemos que AD = AE DE = 2 3 5: 55. En la …gura el cuadrilátero ACDE es un trapecio tal que ED = 15cm , AC = 24 cm y la altura es 12cm. Sabiendo que B es el punto medio del lado AC, el área del cuadrilátero OBCD es.

Solución: Como EDkAC, resulta que 4ABO

4DEO, con razón de semejanza

AB DE

=

12 4 = . 15 5

Sean a y b las alturas de los triángulos ABO y DEO respectivamente, indicadas en la …gura. Dado que los a 4 elementos homólogos en triángulos semejantes están en la misma razón de semejanza, se tiene = . b 5 16 20 ,b= . Al analizar la 3 3 [DEO]. Tenemos que el área del trapecio ACDE resulta

Como a + b = 12 (la altura del trapecio), al considerar la razón anterior resulta a = …gura vemos que [OBCD] = [ACDE]

[ABE]

24 + 15 2

[ACDE] =

12 = 234

El 4ABE, tiene base 12 y altura 12, luego su área es

Para el 4DEO, resulta ) [OBCD] = 234

72

[ABE] =

1 12 12 = 72 2

[DEO] =

1 20 15 = 50 2 3

50 = 112

56. En la …gura, ABCD es un cuadrado de lado 6cm y CE = DE = 5cm, entonces la longitud de es.

69

Solución: Sean F y G los puntos medios de CD y BA respectivamente. Luego CF = F D = BG = GA = 3 y F G = 6: Como CE = DE, el 4CED es isósceles y por tanto E, F , G son colineales y EF ? CD y EG ? AB. El 4CF E p es rectángulo en F , luego por el Teorema de Pitágoras, EF = 52 32 = 4. EG = EF + F G = 4 + 6 = 10. El 4F GA también es rectángulo con EG = 10 y GA = 4, luego EA =

p

102 + 32 =

p

109:

57. En la …gura, a partir de la información dada, ¿cuál es el valor de x?

Solución: Se tiene \A = \E , por dato, y \ACB = \ECD, por ser opuestos por el vértice, luego 4ABC

por el teorema de semejanza AA. Entonces:

CD = CE x = 10 x =

4EDC,

BC AC 66 132 5

58. ABCD es un paralelogramo. P es un punto de la diagonal AC. Trazamos por P paralelas a los lados del paralelogramo. Estas paralelas intersecan a los lados del paralelogramo en los puntos indicados en la …gura. Sabiendo que el área de ABCD es 40cm2 , entonces el área del cuadrilátero RQM N es igual a.

Solución: Dado que RM kADkBC y N QkABkDC, resulta que los cuadriláteros AN P R, P QBR, DM P N y M CQP son

paralelogramos y los segmentos N R, RQ, QM y M N son diagonales de esos paralelogramos. Es sabido que una diagonal divide a un paralelogramo en dos triángulos congruentes, con áreas igual a la mitad del área del paralelogramo. Por tanto [RQM N ] = [ABCD] = 20: 70

59. En el triángulo rectángulo ABC¿cuál es la longitud del segmentoBC?

Solución: Basta aplicar el teorema del cateto: 3x =

62

x =

12

60. Sea ABCD un cuadrado. Por el vértice A se traza un segmento que corta a la prolongación del ladoBC en E, al lado DC en F y a la diagonal BD en G. Si AG = 3 y GF = 1 ¿cuál es la longitud de F E?

Solución: Sea x la longitud de cada lado del cuadrado. Desde G tracemos una perpendicular a AD y sea H el pie de esta perpendicular. Luego 4AGH

4AF D. Como AG = 3 y GF = 1, resulta AF = 4:

De la semejanza se tiene AG AF 3 4 AH

= = =

AH AD AH x 3 x 4

3 1 x = x: 4 4 Como G está sobre la diagonal, HG = HD = 14 x. De la misma semejanza se tiene y HD = AD

AH = x

AG AF 3 4

= =

DF = 71

HG DF x 4

DF 1 x 3

Luego F C = DC

DF = x

resulta que 4ADF

1 3x

= 23 x. Como ABCD es un cuadrado, ADkBC y por tanto ADkCE. De ahí

4ECF . De esta semejanza se tiene FE FA FE 4 FE

FC FD 2 3x 1 3x 8

= = =

61. En la …gura de abajo si la medida de los arcos AD y BC son 140o y 80 respectivamente, entonces el valor de es.

Solución: Tenemos que

=

d + mCD d mAC . Dado que 2

d + mBC d + mCD d + mAD d mAB

d + mCD d = 140o , luego Entonces mAC

=

d + mAD d mBC

d + mCD d mAC = 2

=

360o

=

80o + 140o = 220o

140o 2

y

= 70o

62. El triángulo ABC está inscrito en un semicírculo de diámetro AB. Si AC = 8 y CD = 6, el área de la región sombreada tiene un valor de. Solución:

El área sombreada es la diferencia entre el área del semicírculo y el área del triángulo. El 4ABC es rectángulo

en C, por estar inscrito en un semicírculo.

Luego por el Teorema de Pitágoras, AB =

p

82 + 62 = 10, entonces r = 5. Por tanto el área del semicírculo es

1 2 1 r = 2 2 El área del triángulo está dada por

52 =

25 2

1 1 AC BC = 8 6 = 24 2 2

El área buscada es A=

25 2 72

24

15:27

63. El triángulo ABC está inscrito en un semicírculo de diámetro AB. Si AC = 8 y CD = 4:8, el área de la región sombreada tiene un valor de Solución:

Por el Teorema de Pitágoras, AD =

p

82

4:82 = 6:4. Como el 4ABC es rectángulo en C, se tiene por el

teorema del cateto . Y de nuevo por el Teorema de Pitágoras resulta BC = 6. Dado que estos valores coinciden con los datos del ejercicio anterior, el área resulta la misma. 64. La circunferencia de la …gura tiene radio 2 y el arco XY Z tiene longitud . ¿Cuánto mide la cuerda XZ?

Solución:

Sea

la medida del ángulo central XOZ. La longitud de un arco está dada por s = r

en radianes. Tenemos s =

y r = 2, luego

=

s r

=

2,

, con el ángulo medido

o

es decir 90 .

p Luego XOZ es un triángulo rectángulo isósceles con XZ como hipotenusa y por tanto XZ = 2 2 65. En la …gura el área del círculo mayor es 1 m2 . El círculo menor es tangente internamente al círculo mayor y también es tangente a los lados del ángulo inscrito que mide 60 . Entonces el área del círculo menor es

73

Solución:

Desde el vértice del ángulo inscrito, trazamos un diámetro. Sean O y O0 los centros de los círculos, mayor y menor respectivamente. Sea B el otro extremo del diámetro trazado, C el punto donde uno de los lados (el arriba) del ángulo corta a la circunferencia. Y sea D el punto de tangencia de este lado del ángulo con el círculo menor. Sean R y r los radios de los círculos, mayor y menor respectivamente.Tenemos que AO0 biseca al ángulo inscrito, luego m\O0AD = m\BAC = 30o . Como AB es un diámetro del circulo mayor, m\ACB = 90o resultando que m\ABC = 60o , y el 4ABC es

30 –60.

Dado que AB = 2R, se obtiene que BC = R, ya que BC es el cateto menor y AB la hipotenusa del 4ABC. Como AC es tangente al círculo menor en D, AD?DO0, es decir m\ADO0 = 90o y de ahí m\AO0D = 60o .

Luego también el 4AO0D es un triángulo 30 –60 y su cateto menor O0D = r, mide la mitad de su hipotenusa,

AO0. Se tiene O0B = r, por ser radio del circulo menor y de ahí AO0 = AB AO0 = 2R

r

=

r

=

O0B = 2R

r. Luego

2 O0D 2r 2 R 3

Como el área del círculo mayor es R2 = 1 el área del círculo menor es r2

2R 3

= = =

4 9 4 9

2

R2

66. En la …gura C es el centro de la circunferencia de radio r y T P es un segmento tangente en T , de longitud 2r, entonces P C mide

Solución:

74

Como T P es tangente a la circunferencia en T , m\P T C = 90o . Luego aplicando el teorema de Pitágoras resulta PC =

q p p 2 (2r) + r2 = 5r2 = r 5

67. Los extremos de la …gura son semicírculos, ¿Cuál es el área de la región sombreada?

Solución: Como el área sombreada únicamente son los extremos y estos son semicírculos, al unirlos se forma un circulo de diámetro 8, es decir de radio 4, luego A = r2 =

42 = 16

68. En la …gura AC es un diámetro. Si m\AB = 50 , entonces m\BAC =?

Solución: d = 50 , se tiene m\BCA = 1 mAB d = 25 , por ser ángulo inscrito que subtiende dicho arco; Dado que mAB 2

m\ABC = 90o , por estar inscrito en una semicircunferencia ( es diámetro). Luego la medida del ángulo buscado es:

m\BAC

=

180

=

180o

=

65o

m\BCA 25o

m\ABC

90o

69. En la …gura, los círculos son tangentes y tienen radio igual a 10. Si se unen los centros de los círculos se forma un cuadrado. ¿Cuál es el área de la región sombreada?

75

Solución: El área de la región sombreada es la diferencia entre el área del cuadrado formado y las áreas de los cuatro sectores circulares que se forman. Dado que la distancia entre los centros de dos círculos tangentes exteriormente, es la suma de las longitudes de los radios, resulta que el cuadrado formado tiene lado de longitud 20 y por tanto el área del cuadrado es 400. Cada sector formado tiene un ángulo central de 90o , luego entre los cuatro forman un circulo de radio 10, cuyas áreas suman entonces r2 =

102 = 100 : Por tanto el área buscada es: A = 400

100

70. En la …gura, la medida del arco AB es 30 , y la medida del \BP A es 35 . Las medidas del arco CD y el ángulo DAC (en grados) son respectivamente.

Solución: Dado que \BP A es un ángulo exterior, formado por dos secantes, su medida es la semidiferencia de los las medidas de los arcos que intercepta. Es decir m\BP A = d resultando De esta expresión despejamos mAB, d mCD

= = =

d mCD

2

d mAB

d 2 m\BP A + mAB 2 35o + 30o 100o

Por otro lado se tiene que el \DAC es un ángulo inscrito que subtiende el arco DC, luego m\DAC =

1 1 d mCD = 100o = 50o 2 2

71. La expresión (p + q)p = (r + s)r, se cumple en la situación representada por

76

Solución: Al recordar las relaciones métricas en una circunferencia, vemos que los productos de esta forma surgen cuando se tienen dos secantes que se cortan (también aparecen cuando hay semejanzas de triángulos) o una secante y una tangente que se cortan. A partir de estas relaciones tenemos: En la …gura a), la relación es r2 = s (s + p) : En la …gura b), la relación es r(r + s) = p(p + q), la cual es la misma expresión dada. La respuesta es ésta. Para estar más seguros vemos que resulta en las otras. En la …gura c), la relación es r s = p q y en la …gura d), r2 = (p + q), que son diferentes a la dada. Solo b) satisface y por tanto es la respuesta. 72. En la …gura se dan tres semicircunferencias mutuamente tangentes.CD y DA son diámetros de las circunferencias menores. El punto B está en la semicircunferencia mayor. BD ? BC . Si BD = 2; entonces el área sombreada es igual a.

Solución: El área de la región sombreada es la diferencia entre el área del semicírculo exterior menos las áreas de los semicírculos interiores. Sean r1 , r2 , R los radios del semicírculo menor, del semicírculo mediano y del semicírculo exterior respectivamente. Luego CD = 2r1 , DA = 2r2 y CA = 2R. Como CA = CD + DA, se tiene 2R

=

R

2r1 + 2r2

= r 1 + r2

(1)

Al unir B con A y con C, se forma un triángulo rectángulo, con CA como hipotenusa y BD como altura relativa a la hipotenusa. Por el teorema de la altura, BD2

= CD DA

2

=

2r1 2r2

r1 r 2

=

1

2

Como el área de un semicírculo está dada por

1 2

A=

(2)

r2 , el área buscada es 1 2

R2 77

r12

r22

Al considerar (1) A = = = =

1 h 2 (r1 + r2 ) r12 2 1 r12 + 2r1 r2 + r22 2 1 2r1 r2 2 r1 r 2

r22

i

r12

r22

Al considerar (2) A = r1 r 2 = 1 73. Las medidas de los arcos AB y AC se indican en la …gura. La medida del \BAC es.

Solución: El \BAC es un ángulo inscrito en una circunferencia, por tanto su medida es la mitad de la medida del arco que subtiende, en este caso el arco BC. Tenemos que d = 360o mBC

d = 60o Luego m\BAC = 12 mBC

d mAB

d = 360o mAC

110o

130o = 120o

74. En la …gura, BC une los centros de los círculos tangentes. AB ? BC; BC = 8 y AC = 10, entonces la longitud de la circunferencia pequeña es igual a

Solución: Sean R y r los radios de las circunferencias grande y pequeña respectivamente. Como las circunferencias son tangentes exteriormente, R + r = BC = 8. Dado que el 4ABC es rectángulo en B, tenemos R = AB = p 102 82 = 6 y r = 2. Luego la longitud de la circunferencia pequeña resulta C = 2 r = 4 . 78

75. La …gura representa un hexágono regular, ¿cuál es el valor de x?

Solución: Todo hexágono regular puede dividirse en seis triángulos equiláteros congruentes. En la …gura se indica que x p equivale al doble de la altura de cada triangulo: x = 2h. Como el lado de cada triangulo mide 6 3, las alturas p p miden h = 23 6 3 = 9 ) x = 2h = 18 76. La …gura representa un círculo inscrito en un cuadrado que a su vez está inscrito en otro cuadrado. B es punto medio de AC ¿Cuál es el área de la región sombreada?

Solución: Si llamamos A1 al área del cuadrado mayor,A2 al área del cuadrado menor y A3 al área del círculo, el área de la región sombreada resulta A = A1

A2 + A3 : El lado del cuadrado mayor mide 0:4, luego su área es

A1 = 0:16. Como B es punto medio AB = 0:2. Los triángulos que se forman en cada esquina del cuadrado mayor, son rectángulos isósceles, y sus hipotenusas forman los lados del cuadrado menor, por tanto, el lado del p p 2 cuadrado menor resulta 0:2 2 y su área es A2 = 0:2 2 = 0:08. Como el circulo está inscrito en el cuadrado menor, su diámetro es el lado de dicho cuadrado, y su radio es la p p 2 mitad o sea r = 0:1 2, su área A3 = r2 = 0:1 2 = 0:0628. Luego A = 0:16

0:08 + 0:0628 = 0:1428

77. Los segmentos AC y BD se cortan en P y son tangentes a las circunferencias en los puntos A, C, B y D.

79

Solución: Dado que P B y P C son segmentos tangentes a la circunferencia de la izquierda, desde un mismo punto, son congruentes, luego P C = P B = 19. Como AC = AP + P C, AP = AC

P C = 31

19 = 12

78. Seis triángulos equiláteros de 1cm. de lado se unen para formar un hexágono como se muestra en la …gura. Se circunscribe un círculo alrededor del hexágono ¿cuál es el área de la región sombreada?

Solución: Tenemos que el área de la región sombreada es el área del circulo menos el área del hexágono. El radio del circulo es la longitud del lado de los triángulos, es decir r = 1, luego su área es r2 = . El área de cada triángulo equilátero es a

p

3 4 .

p

3 2 4 x ,

donde x es el lado del triángulo, y como el lado mide 1, se reduce

Como hay seis triángulos, el área del hexágono es 6

p

3 4

. Por tanto el área de la región sombreada es

p ! 3 cm2 2

A=

79. Un triángulo ABC está inscrito en una circunferencia como se muestra en la …gura. Se tiene m\A = 50o y 0

0

0

m\C = 60o . Se trazan tangentes por A; B y Cde manera que se forma el triángulo circunscrito A ; B ; C . 0

Entonces la medida del ángulo A es:

Solución: 80

Como BA0 y CA0 son tangentes a la circunferencia, los \A0BC y \A0CB son ángulos semiinscritos que subtienden el arco BC y el ángulo A es un ángulo inscrito que subtiende el mismo arco. Por tanto estos ángulos son congruentes, es decir m\A0BC = m\A0CB = m\A = 50o

Luego al considerar el 4A0BC, se tiene m\A0

=

180

m\A0BC

=

180o

=

80o

50o

m\A0CB

50o

80. El triángulo ABC es equilátero y sus lados AC y BC son tangentes a la circunferencia con centro en O y radio p 3. El área del cuadrilátero AOBC es

Solución: Se tiene OC?AB, ya que los triángulos OAB y ABC son isósceles. También 4OAC = 4OBC, ya que sus tres

lados son congruentes. Como además el 4ABC es equilátero, m\ACO = 30o , luego el 4OAC es un triángulo p 30 –60 y de ahí resulta que OC = 2 3 y AC = 3. Tenemos entonces [AOBC] = 2 [OAC] = 2

p 1 p 3 3=3 3 2

81. Si un ángulo central de 30 en una circunferencia intercepta un arco de 6m de longitud, entonces el radio de la circunferencia mide. Solución: Se tiene s = r , donde s es la longitud del arco, r el radio de la circunferencia y correspondiente, medido en radianes. Como

o

= 30 equivale a =6 radianes, tenemos 6 r

= r =

81

36

6

es el ángulo central

82. En la …gura se tiene una circunferencia de radio 1 y un hexágono regular de lado 1. Si O es el centro de la circunferencia, entonces el área de la región sombreada es.

Solución: En vista que el hexágono tiene lado 1 y la circunferencia tiene radio 1, el centro del hexágono es un punto de la circunferencia. La región sombreada puede descomponerse en dos triángulos que tienen la misma base y la misma altura que los triángulos que forman el hexágono. Luego el área buscada es p p 3 2 3 A=2 1 = 0:866 4 2 83. Los arcosAB y BC son semicírculos cuyos centros están sobre un diámetro del círculo que se muestra en la …gura.Si BC = 2AB, entonces la razón entre el área de la región sombreada y el área de la región no sombreada es:

Solución: Sean r1 el radio del semicírculo mayor,r2 el radio del semicírculo mediano y r3 el radio del semicírculo menor. Se tiene r3 =

AB 2

BC = 2AB

AC = AB + BC

2r2 = 2AB

2r1 = 3AB

r2 = AB

r1 = 23 AB

Luego las áreas de estos semicírculos son: Semicírculo mayor:

1 2

Semicírculo mediano: Semicírculo menor:

1 2

r12 = 1 2

r22 =

r32 =

2 3 2 AB

1 2

1 2

1 2

=

9 8

AB 2

AB 2 AB 2 2

=

1 8

AB 2 82

El área sombreada está dada por: área del semicírculo mayor menos el área del semicírculo mediano más el área del semicírculo menor o sea Área sombreada =

9 8

AB 2

La razón buscada resulta

1 2

AB 2 +

1 8

AB 2 =

3 4

AB 2

3 AB 2 1 Área sombreada 4 = = 3 2 Área no sombreada AB 2 2

84. Una moneda circular de radio 1, está sobre una mesa. Si ponemos cuatro monedas más grandes de igual tamaño alrededor de ella, ¿cuál es el radio de las monedas grandes que permite que cada una sea tangente a las dos adyacentes y a la de radio 1? Solución:

Sea R el radio de las monedas grandes. Como estas monedas son tangentes a las monedas adyacentes y a la vez son tangentes a la moneda pequeña, al unir los centros de las monedas grandes se forma un cuadrado de lado 2R. Al trazar una diagonal, esta debe pasar por el centro de la moneda pequeña, la cual tiene diámetro 2, luego la longitud de la diagonal resulta 2R + 2. Por tanto, dado que en todo cuadrado de lado x, su diagonal mide p 2 2

Al racionalizar el denominador obtenemos R =

2R + 2

=

p

2 R

=

2

R

=

p

p

p

2x, se cumple en este caso que

2 (2R)

1 2 1

2+1

85. En la siguiente …gura ABC y AEB son semicírculos, F es el punto medio del diámetro AC; B es punto medio del arco AC y AF = 1. ¿Cuál es el área de la región sombreada?

83

Solución: El área de la región sombreada resulta de la diferencia entre el semicírculo AEB y el segmento circular determinado por la cuerda AB en el semicírculo ABC. Como F es el punto medio del diámetro AC, B es punto medio del arco AC, resulta BF ?AC, luego el 4ABF p es un triángulo rectángulo isósceles de cateto 1 y por tanto AB = 2. AB es diámetro del semicírculo AEB, luego su radio es

p

2 2

y el área de este semicírculo resulta p !2 2 = 2 4

1 A1 = 2

El área del segmento circular, está dada por la diferencia entre el área del sector circular que lo contiene y el área del triángulo determinado por la cuerda y los radios extremos. En este caso el sector circular correspondiente tiene ángulo central de 90o y radio 1, por tanto su área es la cuarta parte del área de un círculo de radio 1 o sea

1 4

y el triángulo correspondiente tiene base 1 y altura 1, 1 1 luego su área es El área del segmento circular resulta A2 = 4 2 Finalmente el área buscada es 1 1 = A = A1 A2 = 4 4 2 2 1 2.

86. Si el radio de un círculo aumenta en

unidades, ¿cuánto aumenta su perímetro?

Solución:

Sean L y L0 los perímetros del círculo original y el círculo con el radio aumentado, respectivamente. Luego L = 2 r y L0 = 2 (r + ) = 2 r + 2

2

. El aumento es la diferencia

4 = L0

L= 2 r+2

2

2 r=2

2

87. Dos semicírculos de radio 3 están inscritos en un semicírculo de radio 6 como se muestra en la …gura. Un círculo de radio r es tangente a los tres semicírculos. ¿Cuánto vale r ?

Solución:

84

Cuando se tienen círculos tangentes exteriormente, la distancia entre los centros es la suma de los radios, y cuando son tangentes interiormente, la distancia entre los centros es la diferencia entre los radios. Además en ambos casos los centros y el punto de tangencia están alineados.

Sean A, B, C y D los centros de los semicírculos y del círculo interior como se muestra en la …gura. Se tiene AB = AD = 3 + r, CA = 6

r, BC = CD = 3. Como 4ABD es isósceles y C es punto medio de BD,

AC?BC, luego el 4ABC es rectángulo en C y por tanto sus lados cumplen con el teorema de Pitágoras. Luego 2

=

(6

r) + 32

9 + 6r + r2

=

36

12r + r2 + 9

18r

=

36

r

=

2

(3 + r)

2

88. En la …gura los círculos adyacentes son tangentes y tienen radio 1. ¿Cuánto vale el área de la región sombreada?

Solución:

Al considerar el círculo central y dos círculos externos contiguos, vemos que encierran la sexta parte del área buscada. Vemos también que esta fracción corresponde al área de un triángulo equilátero de lado 2 menos tres sectores circulares de radio 1 y de 60o cada uno, que juntos forman un semicírculo de radio 1. 85

Luego A=6

"p

3 2 2 4

1 2

12

#

p = (6 3

3 )u2

89. En la …gura, m\BCA = 90o ; BA = 5y AC = 3: ¿Cuál es el área del círculo con centro en O?

Solución: Como el 4ABCes rectángulo en C, aplicamos el Teorema de Pitágoras para hallar BC BC =

p AB 2

AC 2 =

p 52

32 = 4

Como BC es diámetro del círculo, se tiene r = 2 y su área resulta A = r2 = 4 90. El lado mayor del rectángulo de la …gura mide 20. La curva trazada en su interior está formada por cinco semicircunferencias ¿cuál es la longitud de la curva?

Solución: Se observa que la curva está formada por 5 semicircunferencias, cuyos diámetros suman 20, luego cada diámetro mide 20

5 = 4 y los respectivos radios la mitad o sea 2 unidades. Luego L=5

1 2 r=5 r=5 2

2 = 10

91. La …gura muestra dos segmentos perpendiculares tangentes a ambas circunferencias, las cuales son tangentes entre sí. Si el radio de la circunferencia pequeña mide 1, entonces el radio de la circunferencia más grande mide

Solución:

86

Sea r el radio de la circunferencia buscado. Sean A y C los centros de las circunferencias, pequeño y grande respectivamente. Desde A y C trazamos perpendiculares a los segmentos perpendiculares iniciales, formando el cuadrado rotulado en la …gura como ABCD. Sean E, F , G y H los puntos donde estas perpendiculares cortan a los segmentos perpendiculares, como se indica en la …gura.

Tenemos que AE = AG = DH = BF = 1, el radio de la circunferencia pequeña. Como CH = BG = CF = r, tenemos que CD = CB = BA = DA = r

1, luego por esto y la perpendicularidad anterior ABCD es un

cuadrado. Como las circunferencias son tangentes exteriormente, la distancia entre sus centros es la suma de sus radios, es decir AC = r + 1. Luego el 4ABC es un triángulo isósceles, rectángulo en B, con AB = BC = r p p p AC = r + 1. Luego AC = 2AB, es decir r + 1 = 2(r 1). Al despejar r, se obtiene r = 3 + 2 2

1y

92. Tres círculos de radio 1, con sus centros colineales son tangentes como se muestra en la …gura. ¿Cuál es el área de la región sombreada?

Solución: Rotulemos los puntos extremos de la región sombreada, como se muestra en la …gura, vemos que se forma un rectángulo. En los extremos de la región se tienen dos semicírculos, que juntos forman un circulo. Luego la región sombreada es la diferencia entre las áreas del rectángulo y los dos círculos que se forman. Dado que el radio de los círculos es 1, AD = 2 y AB = 4 Luego A=2 4

2

87

12 = 8

2

93. La …gura muestra un hexágono regular inscrito en un círculo. Si el área del círculo es 1; ¿cuánto mide el área del triángulo ABC?

Solución: Se observa que los triángulos ABC y ABO tienen la misma área, ya que tienen la misma base y la misma altura. Por ser un hexágono regular el 4ABO es un triángulo equilátero de lado igual al radio del círculo. Como el área del circulo es 1, se tiene r2

=

1

r

=

1 p

Luego el área del triángulo es [ABC] =

p

1 p

3 4

2

=

p

3

4

94. ¿Qué polígono regular tiene la misma cantidad de diagonales que de lados? Solución: Como el número de diagonales en un polígono está dado por D =

n(n 3) , 2

donde n es el número de lados del

polígono. Luego n (n 3) 2 n2 3n

= n =

2n

n2

5n

=

0

n (n

5)

=

0

n

=

0_n=5

Se descarta n = 0, por carecer de sentido. Por tanto el polígono buscado es un pentágono. 95. Sean O el centro de una circunferencia de radio r y ED = r. Si m\DEC = k (m\BOA), entonces el valor de k es:

88

Solución: Trazamos el radio OD y vemos que el 4ODE es isósceles ya que OD = ED = r, luego \DEC = \DOC. Como el \DEC es un ángulo exterior con sus lados secantes a la circunferencia, su medida está dada por m\DEC =

d mAB

2

d mCD

(1)

d y m\DOC = mCD d = Como los ángulos BOA y DOC, sus medidas están dadas por m\BOA = mAB

m\DEC. Se tiene

Sustituyendo en (1):

d = DC d m\DEC = k(m\BOA) = k mAB d k mAB

=

d 2k mAB

d mAB

d = mAB

3k

=

k

=

1 1 3

d k mAB 2 d k mAB

96. Si se aumenta el radio de un círculo en un 100%, ¿en qué porcentaje aumenta su área? Solución: Si el radio original es r, el circulo con el radio aumentado, tiene radio 2r. Se tiene A1 = r2 y A2 =

2

(2r) =

4 r2 . El aumento está dado por 4A = A2

A1 = 4 r2

r2 = 3 r2

Porcentaje de aumento: 4A 3 r2 100% = 300% 100% = A1 r2 97. Se tienen tres círculos concéntricos de radios 1; 2 y 3 respectivamente. ¿Cuál es la razón entre el área de la región cuadriculada y el área de la región oscura?

Solución: El circulo pequeño tiene área , ya que su radio es 1 El círculo mediano tiene área 4 , ya que su radio es 2 89

El círculo grande tiene área 9 , ya que su radio es 3 Área de la región oscura = área del circulo grande –área del circulo mediano = 9

4 =5

Área de la región cuadriculada = área del circulo mediano –área del circulo pequeño = 4 Área de la región cuadriculada 3 = 5 Área de la región oscura

=

=3

3 5

98. El segmento AB es diámetro de una circunferencia de radio 1 y lado del triángulo equilátero ABC. Si la circunferencia corta a AC y BC en los puntos D y E respectivamente, entonces la longitud AE es: Solución:

Como m\AEB = 90o , AE es una altura del triángulo equilátero ABC. Como p p el radio es 1, AB = 2, luego p 3 3 AE = 2 = 3: (En todo triángulo equilátero de lado x, la altura mide x) 2 2 99. En una circunferencia se tienen dos cuerdas paralelas de longitudes 10 y 14 que distan 6 entre sí. Entonces la longitud de la cuerda paralela a ambas y que equidista de ellas mide: Solución: Sean CD = 10 y AB = 14, las cuerdas dadas. Como la distancia entre ellas es 6, la cuerda paralela equidistante de ellas está a 3 unidades de cada una. Sea EF la cuerda buscada. Inicialmente no sabemos la posición de las cuerdas con respecto a un diámetro paralelo a ellas. Comencemos asumiendo que están al mismo lado del diámetro paralelo, como se muestra en la …gura

Al trazar desde el centro una perpendicular a las cuerdas, esta pasa por el punto medio de cada cuerda. Sean P , Q, R los puntos medios de las cuerdas, como se muestra en la …gura. 90

Se tiene P B = 7, RD = 5. Sea QF = y, la longitud de la cuerda buscada es EF = 2y. Supongamos que la cuerda AB está a x unidades del centro. Se forman tres triángulos rectángulos, todos ellos con hipotenusa igual al radio de la circunferencia.

Al aplicar el teorema de Pitágoras en cada uno ellos se forma el siguiente sistema de ecuaciones r2 = x2 + 12x + 36 + 25

r2 = x2 + 6x + 9 + y 2

r2 = x2 + 49

r2 = x2 + 12x + 61 Restando la tercera ecuación de la primera 12x = x =

12 1

El valor negativo de x, nos indica que las cuerdas están en lados opuestos del diámetro paralelo a las cuerdas. Sustituyendo el valor de x en la tercera ecuación, obtenemos r2 = 50. Sustituyendo el valor de x y r2 en la segunda ecuación obtenemos 50 = 1 )

6 + 9 + y2 y=

p

p p 46yEF = 2y = 2 46 = 184

100. Un triángulo equilátero y un hexágono regular están inscritos en el mismo círculo. Si se divide el área del hexágono entre el área del triángulo se obtiene: Solución: Al observar el gra…co fácilmente se deduce que el área del hexágono es el doble del área del triángulo. Esto puede veri…carse considerando que el lado de un triángulo equilátero inscrito en un círculo de radio r, está dada p por 3r y por tanto su área es p p 2 3 p 3 3 2 A1 = 3r = r 4 4 También se tiene que el lado de un hexágono inscrito es igual al radio de la circunferencia, luego su área es p 6 3 2 A2 = r 4 Luego

p 6 3 2 r A2 4 = p =2 A1 3 3 2 r 4

91

101. En el prisma recto de la …gura, las bases son triángulos equiláteros, con perímetros de 30cm. Si la altura del prisma es 10cm. ¿Cuál es el área total de la super…cie del prisma?

Solución: Como las bases son triángulos equiláteros de perímetro 30 cm, sus lados miden 10 cm y por tanto tienen una área de

p

p 3 102 = 25 3 4 Su área lateral es AL = P h = 30 10 = 300. El área total está dada por Ab =

p p AT = 2 Ab + AL = 2 25 3 + 300 = 50 3 + 300 102. Tres vértices de un cubo, de los cuales no hay dos que estén en la misma arista, se unen para formar un triángulo. Si la arista del cubo tiene longitud 1. ¿Cuál es el área del triángulo formado? Solución:

En la …gura se muestra un triángulo que satisface el enunciado. Vemos que sus lados son diagonales de las caras p y como las aristas de los cubos tienen longitud 1, estas diagonales miden 2. Como el área de un triángulo equilátero de lado x está dada por

p

3 2 4 x ,

en este caso tenemos p

3 p A= 2 4

2

=

p

3 2

103. La …gura representa un cubo. La intersección del plano ABG y el plano BCE es la recta

Solución:

92

Al bosquejar los planos indicados vemos que comparten los puntos B y F , y dado que la intersección de dos ! planos diferentes es una única recta, la intersección es la recta BF .

104. De un cubo de 5” de arista se forma un cilindro circular recto de 3” de diámetro, entonces el volumen de la parte sobrante del cubo, en pulgadas cúbicas, es aproximadamente

Solución: El volumen de la parte sobrante es la diferencia entre el volumen del cubo y el volumen del cilindro, luego V = 53

3 2

2

(5) = 125

45 4

125

35:34

89:67

90

105. La altura de un prisma rectangular es un tercio de su longitud y el ancho es la mitad de su longitud. Si la diagonal del prisma mide 30cm, su volumen es Solución:

Sean z la altura, y la longitud y x el ancho del prisma. Se tiene z = y3 , x = y2 . La diagonal está dada por p d = x2 + y 2 + z 2 = 30 x2 + y 2 + z 2

=

900

Al expresar en términos de “y” esta ecuación, se obtiene y2 y2 + y2 + 4 9 1 1 +1+ y2 4 9 49 2 y 36 93

y

=

900

=

900

=

900

=

180 7

El volumen está dado por V

= xyz y y = y 2 3 y3 = 6 1 180 = 6 7

2

2833:8 cm3 106. Al introducir un trozo de metal en un tanque rectangular con agua, de dimensiones 50cm

37cm, el nivel del

agua subió 1cm. ¿Cuál es el volumen del trozo de metal? Solución:

El volumen del trozo de metal es equivalente al volumen que incrementó el tanque, lo cual equivale al volumen de un paralelepípedo de dimensiones 1

50

37, es decir 1850 cc:

107. ¿Cuál es el número máximo de diagonales que pueden trazarse sobre las caras de un cubo de manera que no hayan dos diagonales que tengan un punto en común? Solución:

Trazamos inicialmente sobre una de las caras una diagonal, digamos AD, ninguna otra puede involucrar estos puntos para satisfacer la condición. Con los puntos restantes trazamos otra diagonal, digamos BE. Nos quedan cuatro vértices en este caso los vértices C, F , G y H, con los cuales solo podemos trazar dos diagonales más. En total cuatro diagonales. Cualquier otra variante conduce a la misma cantidad.

94

108. En la …gura se muestra un paralelepípedo rectangular. Si a = 2b y b = c?

c , ¿Cuál es el volumen en términos de 2

Solución: Como a = 2b y b = 2c , entonces a = c. Por ser un paralelepípedo rectangular, V = abc = c

c3 c c= 2 2

109. El área de la base de una pirámide es 45 y el área de una sección transversal es 20. Si la altura de la pirámide es 6 ¿a qué distancia de la sección transversal está el vértice? Solución:

Sea A0 = 20, el área de la sección transversal y A = 45, el área de la base de la pirámide. Sea h la distancia desde la sección transversal al vértice. Se tiene A0 A h 6 h

h 6

=

2

=

4 20 = 45 9

2 3 4

= =

110. El área de la base de una pirámide es 45 y el área de una sección transversal es 20. Si la altura de la pirámide es 6 ¿cuál es la razón entre los volúmenes de la pirámide mayor y la menor? Solución: Los datos forman parte del ejercicio anterior, de manera que ya sabemos que la distancia desde la sección transversal al vértice es h = 4. Luego, si V es el volumen de la pirámide mayor y V 0 el de la pirámide menor, se tiene

V = V0

6 4

3

=

95

3 2

3

=

27 8

111. La base de una pirámide es un triángulo equilátero cuyo perímetro es 12. Si la altura es 10; el volumen de la pirámide es Solución: Como la base de la pirámide es un triángulo equilátero cuyo perímetro es 12, su lado mide 4, luego p p 3 2 Ab = 4 =4 3 4 y como h = 10, el volumen de la pirámide es p 1 1 p 40 3 V = Ab h = 4 3 10 = 3 3 3 112. La …gura muestra dos esferas tangentes que descansan sobre una mesa plana. Si los radios de las esferas son 8cm. y 16cm respectivamente, entonces la distancia en cm. entre los puntos de contacto de las esferas con la mesa es:

Solución: Al considerar los centros de las esferas y los puntos de tangencia con la mesa, se forma un trapecio, como el que se muestra en la …gura, en el cual OO0 = 24 ya que las esferas son tangentes. OA = 16 y O0B = 8

Si trazamos una paralela a la mes desde O0, sea D el punto donde corta al radio OA. Tenemos que AB = P O0, P A = O0B = 8, luego OP = OA de Pitágoras se tiene

P A = 8. Como OA?AB, también se tiene OP ?P O0. Luego por el teorema P O0 = AB =

p 242

p 82 = 16 2

113. En una pirámide cuadrada, en la que el lado de la base mide 8cm y la altura mide 20cm, se traza una sección paralela a la base a 14cm de ésta. Entonces el área de dicha sección es

96

Solución:

Sea x la longitud de la arista de la sección, se tiene entonces x 8

=

x = x =

6 20 48 20 2:4

2

Como es un cuadrado, su área es A = x2 = (2:4) = 5:76 114. Los diámetros de dos cilindros circulares rectos concéntricos son 12 y 6 pulgadas respectivamente y la generatriz común es de 20 pulgadas, entonces el volumen del espacio que queda entre ambos cilindros es. Solución:

El volumen buscado es la diferencia entre los volúmenes de los cilindros. Como los diámetros son 12 y 6, los radios son 6 y 3, luego, V =

R2

r2

h=

62

32

20 = 540

115. El volumen de una cisterna cilíndrica es 1200m3 y su altura es igual al diámetro, por lo tanto su área total es Solución: Como el diámetro es igual a la altura se tiene r = h2 . Luego V

=

V

=

1200

=

h

=

h

r2 h 2 h h 2 h3 r4 3 4800

11:5176

97

El área total está dada por AT = 2 AB + AL :

El área de la base es AB =

h 2

El area lateral es AL = 2 rh = 2

h2

h2 =

Al sustituir el valor de h obtenemos AT =

h2 4

=

h=

h2 + 4

Luego AT = 2 AB + AL = 2

2

h 2

r2 =

3 2 h 2

3 2 h 2

625:13

116. Un cono de revolución tiene 13cm. de generatriz y el radio de la base es de 5 cm. Se corta por un plano paralelo a la base que corta a la generatriz en un punto distante 5:2cm. del vértice. Entonces el volumen del tronco de cono formado es Solución: Sea r el radio de la base menor del cono truncado. Sea y la altura del cono menor y H la altura del cono truncado. Al considerar la altura del cono, los radios de las bases y la generatriz obtenemos los triángulos rectángulos que se muestran en la …gura.

La altura del cono original es h = se tiene

p g2

Como H + h = 12, se tiene H = 12 V =

3

r2 =

p

132

y 12

=

y

=

52 = 12: Como los triángulos formados son semejantes

r 5:2 = 5 13 24 , r=2 5

24 36 = : El volumen buscado es 5 5

H R2 + r2 + Rr =

3

36 (25 + 4 + 10) 5

294:05

117. Dado un cono circular recto con radio 3m y generatriz 5m, entonces su área lateral es Solución: El área lateral está dada por AL = rg =

3 5 = 15 . 98

118. El área lateral de un tronco de cono que se forma cuando se corta un cono recto de 6cm. de radio y 8cm de altura, por medio de un plano paralelo a la base del cono y que lo corta a una altura de 4:5cm es Solución:

Se tiene AL = g (R + r), donde g es la generatriz del tronco de cono. La generatriz del cono está dada por g0 =

p p h2 + r2 = 82 + 62 = 10

Como los triángulos que se forman con la altura, la generatriz y los radios son semejantes, se tiene r 6 r

= =

3:5 8 2:625

Por el teorema de Thales, g 4:5 g Luego AL = g (R + r) =

5:625 (6 + 2:625)

= =

10 8 5:625

152:42

119. Dos esferas de metal de radios 2a y 3a se funden juntos para hacer una esfera mayor. El radio de la nueva esfera es Solución: El volumen de la nueva esfera es la suma de los volúmenes de las esferas dadas. La esfera de radio 2 a tiene un volumen V1 =

4 3 4 32 3 3 r = (2a) = a 3 3 3

La esfera de radio 3 a tiene un volumen V2 =

4 3 4 108 3 3 r = (3a) = a 3 3 3

El volumen de la nueva esfera es V 140 3 a 3 r

= V 1 + V2 = 4 3 r 3p 3 = a 35

=

99

32 3 108 3 140 3 a + a = a 3 3 3

120. Un cono tiene una altura igual al doble de su radio. Una esfera tiene un radio igual al radio de la base del cono. La razón entre el volumen del cono y el volumen de la esfera es Solución:

Volumen del cono Vc =

1 2 1 2 2 3 r h= r 2r = r 3 3 3

Volumen de la esfera VE =

4 3 r 3

Luego 2 3 r Vc 1 = 3 = 4 3 VE 2 r 3 121. Un cono tiene una altura igual al triple de su radio. Una esfera tiene un radio igual al radio de la base del cono. La razón entre el volumen del cono y el volumen de la esfera es Solución:

Volumen del cono Vc =

1 2 1 2 r h= r 3r = r3 3 3

Volumen de la esfera VE =

4 3 r 3

Luego Vc r3 3 = = 4 3 VE 4 r 3 122. La altura de un cono es 5cm. Un plano a 2cm del vértice es paralelo a la base del cono. Si el volumen del cono más pequeño es 24cm3, el volumen del cono más grande es Solución:

100

Se tiene que los volúmenes de cono semejantes son proporcionales al cubo de su razón de semejanza 5 3 2

Luego el volumen del cono más grande es V =

V1 V2

=

h 3 H

:

24 = 375

123. Un cubo está inscrito en una esfera. Si el área de la super…cie total del cubo es

40

m2 , entonces el área de la

super…cie de la esfera es Solución:

Tenemos que la diagonal del cubo es el diámetro de la esfera. Si x es la longitud de la arista del cubo, su área total es

En un cubo la diagonal es d =

p

6x2

=

x2

=

40 20 3

3x, luego el radio de la esfera es r =

p

3 2 x.

El área de la super…cie de la esfera es S = 4 r2 , al sustituir los valores encontrados resulta S = 4 r2 = 4

3 2 x =3 4

20 = 20 3

124. La base de una pirámide hexagonal tiene un área de 26m2 . Si el volumen de dicha pirámide es 78m3 , entonces su altura mide Solución:

Tenemos que el volumen de una pirámide está dado por

Al sustituir los datos se obtiene h =

V

=

h

=

3V 3:78 = =9 AB 26 101

1 AB h 3 3V AB

125. Si el cono de la …gura tiene un volumen de ,C es el vértice, un diámetro y m\ACB = 120 ; entonces el diámetro de la base, en centímetros, es.

Solución: Al considerar el triángulo formado por el diámetro AB y el vértice, tenemos que m\CAB = m\CBA = 30o . Luego la altura del cono es h =

pr . 3

El volumen es V =

1 2 r 1 2 r3 r h= r p = p 3 3 3 3 3

Se tiene entonces r3 p 3 3 r3 r

=

p 1000 3 9

=

1000

=

10

y por tanto el diámetro es d = 20. 126. El área de la super…cie total de un cubo es 12m2 . Entonces la longitud de su diagonal es Solución: El área de la super…cie total de un cubo de lado x, está dada por AT = 6x2 y su diagonal por d = 6x2

p

3x. Luego

12 p x = 2

Yd=

p

=

p p p 3x = 3 2= 6

127. Si la generatriz de un cono mide 25my el diámetro de su base es 8m; su volumen mide Solución: El volumen está dado por V = 13 r2 h y la altura es h = p p p luego h = 252 42 = 609, por tanto V = 13 42 609

102

p g2

r2 . Tenemos que g = 25 y d = 8 o sea r = 4,

413:48.

128. En una esfera de radio 2, se tiene inscrito un cilindro de manera que el diámetro del cilindro es igual al radio de la esfera. Entonces el área lateral del cilindro es Solución:

Sean A, B y C los puntos marcados en la …gura. Tenemos que AB es diámetro del cilindro y BC diámetro de la esfera, luego AB = 2 y BC = 4. La altura del cilindro es AC, el cual al aplicar el Teorema de Pitágoras resulta AC =

p BC 2

AB 2 =

p 42

22 =

p

p 12 = 2 3

El área lateral de un cilindro está dada por AL = 2 rh. Como el diámetro del cilindro mide 2, su radio mide p p 1. Luego AL = 2 1 2 3 = 4 3 .

103

UNIDAD DE FUNCIONES

1. Los intersectos de la función lineal f (x) = 2x

6 con el eje x y con el eje y, respectivamente, son los puntos:

Solución : Los intersectos con el eje Y y X se obtienen haciendo x = 0; y y = 0 respectivamente, por tanto y

=

6

x =

3

entonces los puntos de intersección son (0; 6) y (3; 0) 2. La preimagen de y =

3 bajo la función f (x) = 7

3x es :

Solución : Sustituyendo el valor de y =

3 en la función, se obtiene 3

=

7 3x 10 3

x =

3. La regla de asignación de la función que pasa por los puntos ( 1; 3) y (2; 8) es Solución : La función lineal tiene la forma f (x) = ax + b entonces

al resolver el sistema de ecuación se obtiene a =

3

=

a+b

8

=

2a + b

11 2 ; b = ; por tanto, la función lineal es 3 3

f (x) =

11 2 x+ 3 3

4. En cálculo de interés simple, la cantidad devengada S es una función lineal de tiempo medido en años S = P (1 + rt). Si el capital es P = C$1000 y la tasa anual de interés es r = 4%, entonces la cantidad devengada S pasado 15 años es : Solución : Sustituyendo en la expresión dada S

= P (1 + rt) =

1000 [1 + 0:04 (15)]

=

1600 104

5. Sea h una función lineal tal que h( 2) = 5 y h(6) = 3, la función h(x), donde x es cualquier número real está de…nida por : Solución : La función lineal tiene la forma h (x) = ax + b entonces

al resolver dicho sistema, se obtiene a =

5

=

2+b

3

=

6a + b

1 9 ; b = ; por tanto, la función es 4 2 h (x) =

1 9 x+ 4 2

6. Para niños entre 6 y 10 años de edad, la estatura y (en pulgadas) es frecuentemente una función lineal de la edad t (en años). Si la estatura de cierto infante es de 48 pulgadas a los 6 años de edad y 50:5 pulgadas a los 7, entonces al expresar y como función de t, se obtiene: Solución : La función lineal tiene la forma f (x) = ax + b; al sustituir los valores respectivos 48

=

6a + b

50:5

=

7a + b

al resolver dicho sistema, se obtiene que a = 2:5; b = 33; entonces la función lineal tiene la forma f (x) = 2:5t + 33 7. Sabiendo que f (0) = 1 y f (1) = 0; determine la función lineal f (x) y el área acotada por dicha función y los ejes X; Y . Solución : Al sustituir los valores en la función lineal, se tiene 1

= b

0

= a+b

entonces la función es de la forma f (x)

= ax + b =

105

x+1

Al aplicar las condiciones del problema y gra…car 2

y

1

-2

-1

1

2

x

-1 -2

se observa que forma un triángulo isósceles, cuya área es 0:5u

8. Al evaluar la función cuadrática f (x) =

2 2 1 x + en x = 3 2

3 se obtiene que su imagen vale : 4

Solución : Al sustituir el valor de x en la función dada, se tiene f

3 4

2 3

=

9. Los intersectos de la función cuadrática g(x) =

=

1 8

x2

6x

2

3 4

+

1 2

5 con el eje x y con el eje y, respectivamente, son

los puntos : Solución : Los intersectos con el eje Y y X se obtienen haciendo x = 0; y y = 0 respectivamente, por tanto g (0)

Al resolver esta ecuación cuadrática

x2

=

5

x2

6x

6x

5 = 0 se obtiene x =

5

=

0

intersección con el eje Y es (0; 5) y con el eje X, ( 5; 0) y ( 1; 0) Gra…camente se puede observar que

y

10 5

-10

-5

5 -5 -10

106

10

x

1 ;x =

5; por tanto, los puntos de

2x2 + 6 son, respectivamente :

10. El domino y el rango de la función cuadrática f (x) = Solución : Dom (f )

= R

Rang (f )

=

( 1; 6]

b 2a

11. Dada la función f (x) = ax2 + bx + c, el valor de f

es :

Solución : Al sustituir el valor de x =

b en la expresión funcional 2a f

b 2a

b 2a

= a

3x + 1 ;

b 2a

+b

+c

b2 4a

= c 12. Dadas las parábolas x2

2

x2 + 2x + 7: La distancia entre el punto mínimo y máximo de dichas curvas

es: Solución : Los puntos máximos y mínimos de estas parábolas se encuentran en sus vértices, por tanto, para la primera 3 5 parábola su vértice es el punto mínimo ; y para la segunda, el máximo es (1; 8) ; aplicando la fórmula 2 4 de la distancia se tiene d (M; m) = 9:2635 13. Las funciones lineales de…nidas por f1 (1) = 0; f1 (0) = 1 y f2 ( 1) = 0; f2 (0) = 1; forman un triángulo isósceles con el eje X. El área de dicho triángulo es: Solución : Al aplicar las condiciones dadas, se tiene para la primera función

de aqui f1 (x) =

0

= a+b

1

= b

x + 1: Para la segunda función 0

=

1

= b

a+b

se obtiene f2 (x) = x + 1: Grá…camente

y -2

-1

2 1

-1 -2

107

1

2

x

por tanto, su área es 1 (b 2 1 u2

A = =

h)

14. El vértice y el rango de la función cuadrática que pasa por los puntos ( 2; 53), (0; 5) y (2; 29) es : Solución : Primeramente determinaremos la expresión funcional de la función cuadrática, aplicando las condiciones 53 5 29 al resolver dicho sistema, se tiene a = 9; b =

=

4a

2b + c

= c =

4a + 2b + c

6; c = 5; entonces la forma funcional es f (x) = 9x2

Ahora, el vértice está dado por

b ; c 2a

b2 4a

V

=

V

=

6x + 5

; al sustituir los valores respectivos, se tiene 6 ; 5 18

2

( 6) 36

!

1 ; 4 3

El rango está de…nido por [4; +1) 15. Al expresar la función cuadrática f (x) = 3x2 + 24x + 50 en la forma f (x) = a(x

h)2 + k, resulta :

Solución : Expresemos la función dada en la forma f (x)

=

3x2 + 24x + 50

=

3 x2 + 8x + 50

=

3 x2 + 8x + 16 + 50

48

2

=

3 (x + 4) + 2

16. Sabiendo que f (x) es una función cuadrática y f (2) = 5; f ( 2) = 5; y f (0) = 1: Determine dicha función : Solución : Sustituyendo las condiciones iniciales dadas en la forma funcional f (x) = ax2 + bx + c 5

=

4a + 2b + c

5

=

4a

1

= c 108

2b + c

Al resolver dicho sistema de ecuación, se tiene que a = 1; b = 0; c = 1; entonces f (x) = x2 + 1 17. Dadas las parábolas f (x) = x2

1 ; f (x) =

x2 + 1: Determine los valores de x que pertenecen a la región

limitada por la intersección de dichas grá…cas. Solución : Los puntos de intersección de ambas parábolas, se obtiene igualando dichas ecuaciones x2 al resolver dicha ecuación x2

1=

x2 + 1

1=

x2 + 1, se obtiene que x =

1; x = 1; entonces la región limitada está

dada por el intervalo f 1 18. Al evaluar la función valor absoluto f (x) = jx

x

1g

3j en x =

7 se obtiene que su imagen vale :

Solución : Al sustituir el valor de x en la función dada, se tiene f ( 7)

= j 7 =

3j

10

19. Las preimágenes de y = 2 bajo la función f (x) = j3x

11j

5 son:

Solución : Sustituyendo el valor de y = 2 en la función, se obtiene 2

= j3x

11j

7

= j3x

11j

5

al resolver dicha ecuación, se tienen que las preimágenes son x =

20. El domino y el rango de la función valor absoluto f (x) = jxj

jx + 3j son respectivamente :

Solución : Dom (f )

= R

Rang (f )

=

109

4 ; x=6 3

[ 3; 3]

21. El vértice y el rango de la función valor absoluto f (x) =

jx + 1j + 3 es :

Solución :

y

4 2

-4

-2

2

4

x

-2

Para deteminar el vértice se hace iguala el argumento de la función valor absoluto a cero, es decir x+1 = x =

0 1

por tanto y=3 de donde el vértice es el punto ( 1; 3) : Ademas, como el signo de la función valor es negativo, la gra…ca se abre hacia abajo y el rango es ( 1; 3] 22. Si expresamos la función f (x) = jjxj

2j sin el símbolo de valor absoluto, entonces resulta:

Solución : La expresión jxj

2 es equivalente a jxj

2=

(

x

2

x

si x

0

2 si x < 0

ahora al aplicar módulo sobre cada una de las ramas dadas, se tiene ( x 2 si x 2 0 jx 2j = 2 x si x 2 < 0 ( x 2 si x 2 jx 2j = 2 x si x < 2 de forma similar j x j x

2j =

2j =

(

(

x

2 si

x+2 x

110

2

x

2

2 2

0

8 > x 2 > > > < x+2 f (x) = > 2 x > > > : x 2

23. Al expresar la función f (x) = jxj + jx

si

x

si

2