Solucionario Guía Anual Área y volumen de cuerpos geométricos 2011 OK

SOLUCIONARIO

SOLCANMTGEA03014V1

Área y volumen de cuerpos geométricos

Estimado alumno: Aquí encontrarás las claves de corrección, las habilidades y los procedimientos de resolución asociados a cada pregunta, no obstante, para reforzar tu aprendizaje es fundamental que asistas a la corrección mediada por tu profesor, ya que sólo en esta instancia podrás resolver cualquier duda subyacente. CLAVES DE CORRECCIÓN Guía Área y volumen de cuerpos geométricos Nivel PREGUNTA ALTERNATIVA 1

D

Aplicación

2

A

Comprensión

3

E

Aplicación

4

B

Análisis

5

D

Análisis

6

C

Aplicación

7

D

Aplicación

8

B

Aplicación

9

E

Aplicación

10

D

Aplicación

11

A

Análisis

12

D

Aplicación

13

B

Aplicación

14

C

Análisis

15

E

Aplicación

16

D

Aplicación

17

B

Análisis

18

E

Análisis

19

C

Evaluación

20

D

Evaluación

1. La alternativa correcta es D. Sub-unidad temática Habilidad

Volúmenes y superficies Aplicación

Si el arista de un cubo mide 4 cm, entonces reemplazando en la fórmula del área tenemos:

Área del cubo  6  a 2 Área del cubo  6  4 2 Área del cubo  6  16 Área del cubo  96 Luego, el área del cubo es 96 cm2

2. La alternativa correcta es A. Sub-unidad temática Habilidad

Volúmenes y superficies Comprensión

Si el arista de un cubo mide 2 cm, entonces reemplazando en la fórmula del volumen tenemos:

Volumen del cubo  a 3 Volumen del cubo  2 3 Volumen del cubo  8 Luego, el doble del volumen es 16 cm3

3. La alternativa correcta es E. Sub-unidad temática Habilidad

Volúmenes y superficies Aplicación

Al referirnos a capacidad estamos hablando del volumen del cubo, luego el volumen medido en centímetros cúbicos nos queda:

Volumen del cubo  8.000 cm 3 a 3  8.000 cm 3 a  3 8.000 cm 3 a  20 cm Luego, cada arista mide 20 cm, y en total son 12 aristas, entonces, la suma de las medidas de todas las aristas es 240 cm.

4. La alternativa correcta es B. Sub-unidad temática Habilidad

Volúmenes y superficies Análisis

Aplicando la fórmula de las áreas, tenemos:

Área del cubo 1 6  a 2 9   2 área del cubo 2 6  b 16 Donde a = arista del cubo 1, y b = arista del cubo 2. Simplificando por 6, y aplicando raíz cuadrada tenemos:

a2 9  2 16 b a 3  b 4 Ahora, elevamos la razón a 3, para calcular el volumen de cada cubo, y tenemos:

Volumen de l cubo 1 a 3 27  3  Volumen de l cubo 2 64 b Luego, la razón entre los volúmenes es 27: 64.

5. La alternativa correcta es D. Sub-unidad temática Habilidad

Volúmenes y superficies Análisis

Si el volumen es 729 cm3, entonces la arista mide 9 cm, luego: I) Verdadera, ya que la diagonal del cuadrado mide 9 2 cm. II) Falsa, ya que el área del cubo es 6 veces el área de una cara, es decir, 384 cm2. III) Verdadera, ya que la diagonal del cubo mide 9 3 cm.

6. La alternativa correcta es C. Sub-unidad temática Habilidad

Volúmenes y superficies Aplicación

El área del paralelepípedo se calcula por: Área del paralelepípedo = 2(largo • ancho + ancho • alto + alto • largo) Luego, reemplazando los valores, tenemos: Área del paralelepípedo = 2(48 + 18 + 24) Área del paralelepípedo = 2(90) Área del paralelepípedo = 180 cm2

7. La alternativa correcta es D. Sub-unidad temática Habilidad

Volúmenes y superficies Aplicación

El volumen de la caja se calcula: Volumen del paralelepípedo = largo • ancho • alto Luego, reemplazando los valores, tenemos: Volumen del paralelepípedo = 10 • 2 • 4 Volumen del paralelepípedo = 80 cm3 El triple del volumen es 240 cm3.

8. La alternativa correcta es B. Sub-unidad temática Habilidad

Volúmenes y superficies Aplicación

Si la caja tiene base cuadrada, y el ancho y el alto están en la razón 2:3, entonces: Volumen del paralelepípedo = largo • ancho • alto 96 = 2k • 2k • 3k 96 = 12k3 8 = k3 2=k Entonces, el largo y el ancho miden 6 cm y 4 cm.

3k

2k

2k

Luego, calculando el área tenemos: Área de la caja = 2(4 • 4 + 4 • 6 + 6 • 4) Área de la caja = 2(16 + 24 + 24) Área de la caja = 2(64) Área de la caja = 128 cm2

9. La alternativa correcta es E. Sub-unidad temática Habilidad

Volúmenes y superficies Aplicación

El área de un cilindro es: Área cilindro = 2πr2 + 2πrh Área cilindro = 2π • 42 + 2π • 4 • 6 Área cilindro = 32π + 48π Área cilindro = 80π cm2

10. La alternativa correcta es D. Sub-unidad temática Habilidad

Volúmenes y superficies Aplicación

El volumen de un cilindro es

Volumen cilindro = πr2 • h Volumen cilindro = 32 π • 5 Volumen cilindro = 45π cm3

11. La alternativa correcta es A. Sub-unidad temática Habilidad

Volúmenes y superficies Análisis

Al rotar indefinidamente el rectángulo ABCD de la figura en torno al lado AD , se genera un cilindro de radio 11 cm, y altura 7 cm. Luego, calculemos el volumen de ese cilindro. Volumen cilindro = πr2 • h Volumen cilindro = 121π • 7 Volumen cilindro = 847π cm3

12. La alternativa correcta es D. Sub-unidad temática Habilidad

Volúmenes y superficies Aplicación

Aplicando tríos pitagóricos, tenemos que la generatriz es 5, luego apliquemos la fórmula del área del cono. Área cono = πr2 + πrg Área cono = π • 32 + π • 3 • 5 Área cilindro = 9π + 15π Área cilindro = 24π

5

4

3

13. La alternativa correcta es B. Sub-unidad temática Habilidad

Volúmenes y superficies Aplicación

Aplicando teorema de Pitágoras, tenemos h2 + 32 = 62 h2 + 9 = 36 h2 = 27 h=3 3 Luego, el volumen del cono es

r 2  h 3 9  3 3 Volumen cono = 3 Volumen cono = 9 3 Volumen cono =

6 3 3 3

14. La alternativa correcta es C. Sub-unidad temática Habilidad

Volúmenes y superficies Análisis

Aplicando tríos pitagóricos, AC = 5 cm. Al rotar indefinidamente el triángulo ABC en torno al lado AB , se genera un cono de radio de 5 cm y altura 12 cm, luego aplicando la fórmula del volumen, tenemos: C 2 r  h Volumen cono = 3 13 cm 25  12 Volumen cono = 5 cm 3 3 Volumen cono = 100 cm A

12 cm

5

13 12

15. La alternativa correcta es E. Sub-unidad temática Habilidad

Volúmenes y superficies Aplicación

El área de una esfera es: Área esfera = 4πr2 Área esfera = 4π • 92 Área esfera = 324π Luego, el área mide 324π cm2.

B

16. La alternativa correcta es D. Sub-unidad temática Habilidad

Volúmenes y superficies Aplicación

El volumen de una esfera de diámetro 6 cm, y radio 3 cm, es:

4r 3 3 4  33 Volumen esfera = 3 4  27 Volumen esfera = 3 Volumen esfera = 36 Volumen esfera =

Luego, el volumen de la esfera es 36π cm3

17. La alternativa correcta es B. Sub-unidad temática Habilidad

Volúmenes y superficies Análisis

Para calcular el volumen NO cubierto debemos restar los volúmenes del cilindro y del cono. Aplicando teorema de Pitágoras, la altura del cono y del cilindro mide 8 cm. Luego, calculemos el volumen del cono y del cilindro Volumen cilindro – Volumen cono = Volumen NO cubierto r 2  h r2π • h – = Volumen NO cubierto 3 42   8 42π • 8 – = Volumen NO cubierto 3 128 128π – = Volumen NO cubierto 3 256 cm3 = Volumen NO cubierto 3 .

8

4 5

4

Obs: En general, si un cilindro y un cono tienen el mismo radio y la misma altura, el 1 volumen del cono es del volumen del cilindro, y el volumen NO cubierto por el cono 3 2 es del volumen del cilindro. 3

18. La alternativa correcta es E. Sub-unidad temática Habilidad

Volúmenes y superficies Análisis

Analicemos las afirmaciones: I) Verdadera, si el radio aumenta al doble, entonces el volumen se cuadriplica. r 2  h Volumen cono 1 = / Aumentando el radio al doble 3 ( 2r) 2   h 4r 2   h Volumen cono 2 = = 3 3 II) Verdadera, si la arista se triplica, entonces el área aumenta 9 veces. Área cubo 1 = 6a2 / Aumentando el radio al triple 2 2 Área cubo 2 = 6(3a) =54a III) Verdadera, si el radio disminuye a la mitad, entonces el volumen corresponde a un octavo del antiguo volumen. 4r 3 Volumen esfera 1 = / Disminuyendo el radio a la mitad 3 r 4( )3  1 4 r 3 Volumen esfera 2 = 2 =  3 8 3

19. La alternativa correcta es C. Sub-unidad temática Habilidad

Volúmenes y superficies Evaluación

(1) El perímetro de la base mide 12  cm. Con esta información, no es posible determinar el volumen de un cono, ya que se puede conocer el radio pero no la altura. (2) La altura del cono mide 9 cm. Con esta información, no es posible determinar el volumen de un cono, pues no se conoce el radio. Con ambas informaciones, sí es posible determinar el volumen del cono, ya que podemos determinar el radio y la altura es conocida.

Por lo tanto, la respuesta es: Ambas juntas.

20. La alternativa correcta es D. Sub-unidad temática Habilidad

Volúmenes y superficies Evaluación

(1) La diagonal del cubo mide 6 3 cm. Con esta información, sí es posible determinar el área del cubo, ya que se puede determinar la arista del cubo. (2) El volumen del cubo mide 216 cm3. Con esta información, sí es posible determinar el área del cubo, ya que podemos determinar la arista del cubo.

Por lo tanto, la respuesta es: Cada una por sí sola.

CLAVES DE CORRECCIÓN ANEXO Área y volumen de cuerpos geométricos Nivel PREGUNTA ALTERNATIVA 1

E

Conocimiento

2

A

Conocimiento

3

B

Comprensión

4

C

Aplicación

5

D

Aplicación

1. La alternativa correcta es E. Sub-unidad temática Habilidad

Volúmenes y superficies Conocimiento

La cantidad de caras de un icosaedro es 20.

2. La alternativa correcta es A. Sub-unidad temática Habilidad

Volúmenes y superficies Conocimiento

La pirámide de la figura, está compuesta de 12 aristas, 7 caras y 7 vértices.

3. La alternativa correcta es B. Sub-unidad temática Habilidad

Volúmenes y superficies Comprensión

Volumen prisma = Área de la base • Altura = 14 • 12 = 168 cm3

(Reemplazando)

4. La alternativa correcta es C. Sub-unidad temática Habilidad

Volúmenes y superficies Aplicación

Volumen prisma = Área de la base • Altura  lado 2  = 6 •   3  • 5  4 

(Reemplazando) (Reemplazando lado)

 22  =6•   3 • 5  4    2   = 6 •   3 • 5 4  3 = 3 15 cm

5. La alternativa correcta es D. Sub-unidad temática Habilidad

Volúmenes y superficies Aplicación

1 (Área de la base • Altura) 3 1 = • 152 • 22 3 1 = • 225 • 22 3 4.950 = 3 = 1.650 cm3

Volumen pirámide =

(Reemplazando)