Solucionario Fisica I y II Leyva

 

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IMPRESO EN EL PERÚ  PERÚ  01  - 0 1   - 2 0 1 2

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Este libro no puede reproducirse total ó parcialmente por ningún método gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo los sistemas de fotocopia, registros magnéticos o de alimentaci jü de datos, sin expreso consentimiento del autor y Editor.

RUC

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El presente solucionarlo Física 1y II de Leiva, es un aporte a los estudiantes que aún quedan con la curiosi curiosidad dad de saber sab er má máss sobre cóm cómo o interpretar las las ciencias fí físicas sicas en sus diversos problemas. Éste texto es un humilde complemento al texto Física de Leiva que tiene un buen contenido utilizado por los estudiantes de ingeniería a nivel nacional e internacional, el cuál recomendamos en un 100% como lectura obligatoria. No obstante éste solucionario en su primera edición desarrollado al 80% es un avance en lo que respecta a presentación y sistema didáctico de presentación dirigido a todos los niveles de la educación que se encuentren involucrad involucrados os en ésta rama rama.. El solucionario está desarrollado en su mayoría de aportes de profesionales que en sus pasos de enseñanza por las principales universidades, otorgan a la editorial para publicarlo bajo la supervisión y apoyo del Dr. Eduardo Espinoza Ramos, quien orienta en ciertos aspectos de la publicación. SOLVER SOL VER-ED -EDK® K® es una una marca marca registr registrada ada por Eduk Edukpe peru® ru® con todos llos os derechos reservados utilizado para la publicación de solucionarlos de textos importantes en el nivel universitario de las diversas carreras.

 

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 VECTORES  VECT ORES

SOLVER EDK «

Se pide demostrar que si el módulo de la suma y diferencia de dos vectores en el espacio son iguales, entonces los vectores en el espacio son perpendiculares. Hacer por componentes.

Piden: Si |A-B|= |A-B|=|A+ |A+B|B|-»» A y B so son n perpendiculares. Sea Sea A=(Ax A=(Ax,A ,AyA yA )B = (B x,B ,By, y,Bz Bz)) |(A x-Bx,Ay-By, Ay-By,a z-Bz ) |=|(A x+Bx,Ay+By, Ay+By,Az+ Az+Bz) Bz) |  j(A  j( A x-Bx)2 )2+( +(Ay Ay-By) 2+(Az +(Az-Bz)2 )2= = J( J(A A x+Bx +Bx)2 )2+( +(Ay Ay+ +By) By) 2+( +(Az Az+ +B;,)2

Ax+BX-2AXBx+Ay+By-2AyBy+A2+B¡-2AZBz=Ax+Bx+ Bz=Ax+Bx+2AXBx AXBx   +Ay+By+2AyBy-fAz Az+B2 +2 AzBz  Bz 

4AxBx+4AyBy+4AzBz=0 AxBx+AyBy+Az By+AzBz=0 AB=0 Si A.B=0—>Ay B son perpendiculares Demostrar que: (PxQ) (Rx S)+ S)+(Q (QxR xR). ).(Rx P)+(Q P)+(Qx x S)=0 S)=0 Usar la relación: Px(QxR) =Q(P.R)-R(P.Q)

La demostración es inmediata usando la relación brindada. La idea es formar a partir de la relación los ssumando umandoss que piden demostrar, al sumar dichas ecuacio ecuaciones nes se

I B l UCIONARIO FIS FISICA ICA LE IVA I Y II

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lÉ OK

) .............. ..................... .............. ............. ............. ............. ............ ............. ............ ............ .............. ............. .......... ....

..

.........

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encontrará con ciertos valores negativos que podrá sumar igualando a cero la expresión. Dado Da do los vectores P= P=(2 (2,-l,l ,-l,l)) y y Q=(-l,2,2)y Q= (-l,2,2)y R=(l,-2,a) Cuánto debe valer a para que los vectores sean coplanares.  jC T lr f g f il ilM M P,Q,R son coplanares si P.(Q x R)=0 i Resolviendo QxR=

j

- 1 2

k 2 

 

=(2a+4,a+2,0)

1 -2 a P.(QxR)=(2,-l,l)(2a+4,a+2,0)=0 =(2(2a+4)-(a+2)+0)=0 a=-2 Simplificaíx(Axí)+jx(Ax])+ío(Px => (PxQ. Q.[ (Q (Qx xK) x (Rx P)] =>(PxQ).¡R(Q  =>(PxQ). ¡R(Q x R) .P-P(Q x R) .R] =>(P (Px x Q ).[R P(Q P(QxR xR)-P )-P R(Q x R)] R (QxR)=0 ya que R IQ  x R =>=(PxQ)[R P(Q x R)] R)]   =[P.(QxR)][R.(PxQ)] =[P. (Qx (Q xR) R)]] [P. [P.(Q  (Q x R)]

SOLVER EDK «

=[P.(Q x R)]2 í f ¡ | De Demo most stra rar: r: (P x Q).(R x S)=(Px R).(Q x S)-(Px S).(Q x R) www.. eecluKper www cluKper u. corn

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 VECTORES  VECT ORES

» SOLV SOLVER ER EDK  EDK 

Queremos probar que: (Px Q ).(Rx (PxQ (RxS)= S)=(PxR) (PxR) (Q x S)-(Px S) (Q x R) Por propiedad A(BxC)=C.(AxB)=B.(CxA) =>(P (Px x Q ).(Rx (R x S )=R )=R.. (SxPx (Sx PxQ Q) =r .[p ( s .q )-q ( s .p )]=(r .p ) ( s .q ))-((r .q ) ( s .p ) Ordenando (PxQ).(RxS)=(P.R)(Q.S)-(P.S)(Q.R) Teniendo en cuenta las propiedades Px(QxR)=Q(P.R)-R(P.Q) P.(QxR)=R.(P.Q)=a(RxP) P.P=0 y PxQ=-QxP (Px Q ).(RxS)=S[PxQxR].. (RxS)=S[PxQ xR].... .(1) .(1) (Q.R).(Px Q)=P[Q x Q x R] .. ..(2)  ..(2)  (R.P).(Q.S)=S[R x Px Q ]... ]..... ((3) 3) De (1) S.[Q(P.R)-R(P.Q)]=(S.Q)(P. S.[ Q(P.R)-R(P.Q)]=(S.Q)(P.R) R) (S.R) (P (P.Q .Q )... )... (a) De (3) S.[-Px Q x R]=(S.Q)(P.R)+(S.R)(P.Q) R]=(S.Q)(P.R)+(S.R)(P.Q) ..  .. .(p) De (2) P[QxQxR]=0 Ya que QxQ=0

Sumand Sum ando o (a (a)) y (P (P)) Ten Tenem emos os.. (PxQ)(PxQ )- (RxS)+(QxR)(PxQ)+(Rx P) ((Q x S)=0 Demostrar que los vec vector tores es

P= (2,8,0)

,Q ,Q= = (-2,3,8) (-2,3,8) Y R=(0 R=(0,6,,6,-4) 4) Pueden ser los

lados de un tr triángulo iángulo.. H Hallar allar las longitudes de las medidas triángulo.

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 VECTORE  VECTO RE S

Para que los vectores puedan ser lados de un triángulo tienen que cumplir: RP+PQ=RQ  RP=(2 P= (2,2 ,2# #4)

PQ= ((-4, 4, -5, 8)

RP+PQ=(-2, -3,12)=RQ •••Por tan tanto to eestos stos vec vecto tore ress si son lad lados os de un triángulo. triángulo. Tenemos el siguiente triángulo: P

Hallamos las longitudes de las medianas:

RO-RQ--PQ 

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» SOLVER SOLVER EDK

J

 VECTOR  VECTO R ES

PN=^RQ-RP

Los componentes de las medianas son: PN=(-3,~,2) RO=(0,-i,8) QM=(3,4, -10) Entonces las longitudes serán: L ,=|PN |= |=5,02 5,02  l 2=¡r o

|=8,o i

L3=|QM|=11,18 Dado el paralelogramo paralelogramo PQ PQRS RS donde T Y L Son los punt puntos os medios de lo loss lados QR Y PS respectivamente. Demostrar Demostrar que PT Y PL dividen a la diagonal PQS entre en tress partes mediante los los puntos M Y N. N.

Q 

agmurgtüar Teniendo en cuenta los trián triángulos gulos PQR y PRS, tendremos que N y M so son n baricentros respectivamente. www. eci eciukp ukper eru u-com com

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY II

   

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 VECTORE  VECTO RE S

Por lo tant tanto oO ON N = ^ Ñ Q ....(l) y ■MO MO=^ =^SM SM....(2) ....(2) probado en el problema problema 42 de los problemas resueltos. Pero O divide en la mitad al vector MN, teniendo ^~=ON=MO...(3) De (1), (2), y (3) obtenemos que: m n =ñ q

=s m

Tomando MP=MA+AP pero MP=^BA+^AD Pero sabemos que: BA+AD=BD =>MP=^BD De esto tenemos queMPIIBD Ahora tomamos el vector vec tor NO tenemos NO= NC NC+ + CO

ÑO

BC+ CD

Pero BC+CD=BD Tenemos que ÑO=^BD De esto obtenemos que NBIIBD Como Com o ÑBHBD y MPIIBD Entonces NBIIMP y NB=MP SOLUCIONARIO SOLUCI ONARIO FIS FISIC ICA A LE IVA I Y II

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3

 VECTOR  VECTO R ES

Lo mismo procedemos con los otros vectores: Por lo tanto: MNHPO y.MN=OP ÑBIIMP yÑB-MP ft

Demostrar que las b bisec isectrice tricess de los ángulos ángulos de un triáng triángulo ulo se cortan en un punto y se llama llama incentro y corresponde corresponde al centro de la lass circunferenc circunferencias ias inscritas al triángulo.

Tenemos que demostrar que AM.OM=BN.ON=AP.OP=C) AM.OM=ÁM.(ÁM-ÁB) =AM.AMAM-AM. AM.A O ... (a (a)

La Proyección de AO sobre AB es AO.p=AO cosa per pero o AM=AO cosa =>AO.p-AM

En (a): Luego: ÁMlOM De igual forma se puede demostrar que: BN.ON=0 y AP.OP^O En el triángulo AMO AMO y  y APO usamos la Ley de Senos SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II

   

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 VECTORE  VECTO RE S

i - 90 - sen • °MI -|OM|=| =|AB AB||sena sena sen a -|OM| |ÁO| |ÓP| -|OP|=|AO|sena sen 90 sen a Luego |OP|=|OM|=R De igua iguall forma se demuestra que |OP|~ |OP|~|OM |OM|=R |=R

Dado los vecto vectores res P Y Q , que forman ángulo 0, demostrar: tan0= tan0=— — QsenG — P+Qcos0 -

donde 0es el ángulo entre la resultante y el vector P .

¡ y VIH Mi Mi Del triángulo formado por los vectores P,Q,R Por ley de senos tenemos _ P ___ __Q Q R se sen na sen0 ~ seno senoc(1 c(18080-Q) Q) P= Q -  , oc=Q-0 sen0 Q  =$?= -(sen -(sen0 0 cos0 cos0-sen0c -sen0cos0) os0) sen0 -

-

=>P=Qsen0-Qcos0 vw.

^ cofn cofn.. '

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» SOL SOLVER VER EEDK DK

=»tan0=

 VECTORE  VECTO RE S

Qsen0 P+Q cos0

Dado los ve vecto ctores res

P yQ ;R= ;R=mP+ mP+nQ, nQ, tal como se indica indica en la figura figura.. Si P =3, Q = 5

y R =10. Hall Hallar ar la relación: relación: m/n.

Tenemos los módulos módulos de cada vector: (P)=3 (P)= 3 (Q)=5 (Q)= 5

Para los vectores que suman R deben de ser iguales, entonces: (nQMmP)

ÍT" ¡Q|_m

m 5 n 3

Se dan los vec vecto tores res P yQ forman un ángulo aagudo gudo tal que se sen0 n0= = 3/5. Si el módulo de P=16 P= 16 y sabiendo sabiendo que P es ortogonal aa(P(P-Q) Q) : Hall Hallar ar el módulo de Q   JEffllKTO TgW Tg W

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SOLUCIONAR SOLUC IONARIO IO FISICA LEIV LEIVAI AIV V II

m  

SOLVER EDK «

VECTORES

r ~-

Según el dato Pl(P-Q)=> =90° de la parte sombreada, por ley de senos tenemos: P O sen (90-0) sen90 =>0=

©

P =20 sen53°

La Lass cara carass de un tetra tetraedro edro regular regular so son n triángulo triánguloss equiláteros equiláteros de lado a. (a) (a ) Hallar el ángul ángulo o que que hace cada lado con la cara opuesta, (b) (b ) La distancia de un vér vértice tice a la cara opuesta. Hacer Hacerlo lo por vectore vectores. s.

www. ww w. e< e OD=~MD

»

El COSO

|o d | _ | | m d | 2 / í  ^ | a c |  : | B D f | Á C r 3 V2 V2

|AC|

V3 Cos 0=0=54,73° Y la altura será: h=a sen(54,73)

h=0,81 a Sea PQRSTM los vértices de un hex hexágon ágono o re regu gula lar. r. Hallar la resu resulta ltante nte de las fuerzas

©

represe rep resenta ntados dos por lo loss vectores. vectores. P Q , P R , P S , PT, y PM .

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SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y I

 

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vectores

SOLVER EDK «

Q 

Haciendo coincidir el punto P con el origen de coordenadas y considerando el lado de longitud a.

Tenemos: PQ=acos60+a senóOj

PR=a senóOj+a senóOj PS=2acos60Í+2a senóOj MS=(a+a cos60°)í+a senóOj PM=ai Sumando Sumand o een n X y Y tenemos tenemos PQ+PR+PS+MS+PM=3 a i+6a senóO] 6a cos60i+óa sen60 sen60j= j= 3PS

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 VECTORE  VECTO RE S

» SOLV SOLVER ER EDK  EDK 

3.

%   Demostrar que el polígono que res resulta ulta de unir los medios de los lados de un un cuadrilátero cuad rilátero es un paralelogr paralelogramo. amo. Halla Hallarr un vector vec tor de longitud 1 y perpe perpendicu ndicular lar a A = (l,l,l) y B=(2 B=(2ff3, 3,-1) -1)..

Sea el vector P tal que |P|=1 PlB

PIA

Si P±B y 1P±A—>P.B=0 P,A=0 P,B= P,B =(P1 (P 1,P2,P3 ,P2,P3)( )(2 2 ,3 ,3rr l)l)= = 2 P 1+3 +3P2 P2-P3=0...(l 0...(l)) P.A=(P1,P2,P3)(1,1,1)=Pi+P2+P3-(I1) Resolviendo: _ 4 K P1=--KP2=KP3=3 Hallando K: |P|=1=JP?+PÍ + Pl 9

8

V26 V26

P=±4=H-3,1) V 26 Hallar un un vector d dee longit longitud ud 1 y perpendicular perpendicular a A= A=(l, (l, l, l,l) l)yy B=( B=(2,3,2,3,-l) l) 14

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY II

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 VECTORE  VECTO RE S

 

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SOLVER EDK «

¡||p (a (a)) Hall Hallar ar todos punt puntos os de q que ue pueden ser el cuart cuarto o vértice del paralel paralelogramo ogramo formado por los otros tres vértice vérticess A = =(1,0 (1,0,1), ,1), B = (-1,1,1 (-1,1,1)) Y C = (2,-1,2 (2,-1,2)) .(b) .(b ) también hallar el área del triángulo ABC.

mmmmm

Siendo A, B, C y D vectores de un paralelogramo se cumple que A+C=B+ A+C=B+D D En el paralelogramo se cumple A+C = B+D Tenemos: (2+P1,P2,P3+2)=(0, 1, 2) P 1=-2 , P 2= 2 ,P 3=0 P=(-2, 2, 0) Lo mismo se aplica para hallar los demás vértices, por tanto tenemos que: AC=(1, -1,1), AB=(-2,1, 0) CB=(-3, 2, -1) Sabemos que www. edukp e dukp'e 'err u •co corn rn

SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II

 

>> SOLVER EDK 

 VECTORE  VECTO RE S

) a a= q

¡ =¿ACxAB= 1 -2  

IAC xABI

j k -1 1 1 

0

1i r r a/6 =*AA *AA=-' -'Jb Jb= =—

Dos ve vect ctor ores es P = (2,(2,-3 3 ,6) y Q= (-1,2 (-1,2,-2 ,-2)) están aplic aplicad ados os a un mismo punto. Ha Halla llarr las coorde coordenadas nadas del punto R que tiene la direc dirección ción de la bisectriz del ángulo ángulo

formado for mado por los los vectores P y Q, Si R = 3a/42 .

Podemos relacionar de la siguiente arquitectura manera por gráfico

RxQIIPxR Ahora hallamos K tal que RxQ=K PxR.... (a) ¡RxQ|=|K Px R|

| R|| Q| sen0=K | P|| K| sen0

De (a) tenemos que

3 - K=7 Resolviendo

-2b-2c=^(-3c-6b)

a = -K

2a - c = 3/7 (-2c+ (-2c+6a) 6a)

b= 5K

2a +b + b = 3/7(2b+3a)

c=4K vvwvv.edukperu ¡

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II

 

f~_________________SOLVER EDK «

 VECTORES  VECT ORES

Su módulo del vector R=(-K, 5K, 4K) Es 3VÍ2 =>K2+2SR2+16K2=9V42

K=3 •*.R—C-3,15,12) 3   Si P+Q+R = Ó. Demos Demostrar trar que PxQ+QxR+R PxQ+QxR+RxP=3PxR xP=3PxR .

Teniendo en cuenta el problema 5) tenemos que PxQ=RxP=QxR ^PxQ+QxR+RxP^PxQ  Hallar el área del triángulo

cuyo

vértices so son n los puntos A = (2, (2,-2 -2,3 ,3). ). B (1 (1,,-2 2 )Y )YC C

= (4,2,-1)

CA=(-2, CA= (-2, -4,4) -4,4) CB=(-3, -4,1) A a =1|CA x CB CB||  A a =^ 1(20 1(20,, -14, -14, -4)| AA=Vl53 SOLUCIONAR SOLU CIONARIO IO FIS FISIC ICA A LE IVA I Y IIII

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» SOLV SOLVER ER EDK  EDK 

D

Hallar el volumen del paralelepípedo paralelepípedo cuyas ar aristas istas son y R=(2,1,-3)

 VECTORES  VECT ORES

P=(l,2,-1), Q= Q=(3, (3,4, 4,-6 -6))

V=|P.(Q x R)| i j k Q x R= 3 4 6 2 1 -3 (-6, -3, -3,-5) Se cono conoce ce los cosenos directos de dos vectores cuyos valores so son n a|,a2,a3 y b 1; b2, b3 . Dem Demostra ostrarr que ángulo ent entre re ellos ello s es 6 y se obtienes obtiene s de la

expresión cos0=atbi+a2b2+a3b3

Como tenemos los cosenos directores de los vectores, tenemos los vectores unitarios de ellos-, V=^=-=(cosa, cosp, cos0) W = 7^T=COOC', cosp', COS0'  COS0' 

lw lwjj

Entonces tenemos los valores: V=(a1,a2, a3) ggfgj ggf gj SOLUCIONARIO FISICA FISICA LE LEIVA IVA1 1Y II

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E

 

 VECTO  VECT ORE S

W=(b,,b2 W= (b,,b2,b ,b 3) Haciendo el producto escalar obtenemos el ángulo que forman: V.W=(|V||\V|cosO =cosO=(a,b,a2,b2, a3b3)

SOLVER EDK «

Dado el ve vecto ctorr A y el esca escalar lar m , hallar el valor valor de B ,ta ,tan n que A.B= m. m. —iii]HWÍ»3 Podemos dar la forma de: B=A+A Haciendo producto prod ucto vecto vectorial rial y considerand considerando o A= A=C C se tiene: AxB=CxA+AA A.B=y||A2|| A.B

o it

=y

B=CxA+ ip^r .A IKII Dos vectore vectoress Á y B tiene magnitudes iguales de 10 unidades. Están orienta orientados dos como se muestran en la figura. figura. Su suma es R=A+B R=A+B..

Hallar (a (a)) los comp componente onentess

de R. (b ) el módulo de R. (C (C)) El ángulo que forma R con el eje de los +x.

¡|p

Lo dejamos como ejercicios para el lector, aplique los conceptos aplicados en los ejercicios aplicados en los anteriores ejercicios. Dados los vec vectore toress A= (1,1,2).B= (1,3,4). C= C= (1,1,1) y P= (1,-5,1 (1,-5,1). ). Hallar Hallar los valores de m, n y r para qu quee mm-nB+ mm-nB+rC=P. rC=P.

Sean los vectores: A=(-l, 1, 2), B=(l, 3, 4)y C=(l, 1, -1) ' . - d j w u cosn

SOLUClONARiO SOLUClONAR iO FIS FISICA ICA LE IVA IVA 1Y II

 

» SOLV SOLVER ER EDK  EDK 

Por condición del problema: mA-nB-rC=(l, -5,1) Obtenemos las siguientes expresiones:

 VECTORE  VECTO RE S

-m-n+5=l m-3n+r=-5 2m-4n-r=l En este problema utilizaremos cramer: |Am| m= JA I ¡An¡ " |A| |Ar| r |A| Siendo A matrices Entonces 1 -1 -5 -3 -11 1 2

1 1

--1 4 -i1 -3 1 -4 -1 -17

m = T Lo mismo procede para n y r

-5 M

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SO SOLUC LUCION IONARI ARIO O FIS FISICA ICA LEIV LEIVAIY AIY IIII

c

 

 VECTORE  VECTO RE S

y

SOLVER EDK /2T Como P||A P||A 3 K E R tal que (P i ;P2,P3)=-K(2, -1, -4) =>P,=-2K P2=+K P3-4K |P|=KV2T=^^K=7 4 4

SOLUCIONARIO SOLUCIONARI O FISICA LEIVAI Y I

 

» SOLVE SOLVER R EDK 

.•.P=(P1;P2;P3)=(-2K;K, 4K)

 VECTORES  VECT ORES

=(0,5; 0,25; 1) ¡p

Demostra Demostrarr que un vector vector cualquiera A

el espacio se puede expresar A=

(Ai, A. J  J,, A. k)

- /

Mostramos los vectores en el siguiente gráfico: Tenemos los siguientes componentes de A: A=(|A|jí|cos8;|A||j|cosa ;¡A|¡k¡cosy ) El producto escalar se define: A.B=|A||B|cos0 =>A=(A.Í ,A.J,A.k)

Demostrar que un vec vector tor unitario cualquier cualquier Q en el espacio espacio se puede : Q= (eos a , eos p , eos y ) donde a, ¡3 y y  y  son los áng ángulos ulos que hace el vec vector tor A con lo loss eje X , Y y Z. Z.

m m m m Cuáles son los valores de m y n para para que A= (m (m,-2 ,-2n,l n,l)y )y =B= (n,-m,3) (n,-m,3) Son perpendicu perp endiculares lares y A = 3. SOLUCIONARI SOL UCIONARIO O FFISI ISICA CA LE IV IVA A IY I

 

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SOLVER SOLV ER EDK «

 VECTORE  VECTO RE S

A l B —►A . B=0 B=0 (m, 2n,l) (n,-m,3)=mn+2nb+3=0

mn=l Sabemos que

 A=3=V m2+4 m2+4n2 n2+l +l 9=m2+4n2+l , n=l/m 8m2=m4+4

m4-8m2+4=0 Resolviendo tenemos que:

m=j4±2V3

n=- 1±

Dado Da do los los vectores vectores A y B dé déla la figura: (a) Hal Halla la A.B (b ) Hallar Hallar Axb Axb..

De la figura Los vectores están en el plano XY entonces tenemos www.ectykperuxom

SOLUCIONARIO FISIC FISICA A LLEE IV IVA AIY

23 ■

 

D

» SOLVE SOLVER R EDK  EDK 

 VECTORES  VECT ORES

A(óV3 cos30, 6V3 sen30°; 0) Si el módulo de la suma suma de dos vectore vectoress A y

B es 8 y los módulos de A

5 de y B =10 Hallar el el módulo dé d é la diferencia diferencia dé délo loss vec v ectore tores. s.

|A+B|=8 y |A|=5 |B|=10 Piden IA-B A-B¡=? ¡=?

|A+BB |= J|A |A+ J| A |2 |2+|Bj +|Bj2 2+2|A||B| eos 0 = =8 8 25 + 100 + 100 cos cosO = 64 eos r0> = - — 61

100

|a -b |=J|a |2+|b |! |!-2 -2||a ||b | cos0 = 25+100-100

V 100/

|A-B|=Vl80 Si el módulo de la suma de dos vector vec tores es es V Í0 A=y V3 , B = 3 3.. Halla Hallarr el producto escalar A.B

|a +b |=VTo , ¡a |=V3,|b |=3 Piden hallar A . B |a +b |=VTo =^|a |2+Sb |2+2|a ||b | cosO 12+6V3 cos0=10 =»cos0=

-1

 3V33 '   3V

Sabemos que: SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI LEIV AI Y II

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I

 VECTORE  VECTO RE S

SOLVER EDK «

A.B=|A||B|cosO

V3V3' .••A.B=-1 Si el módulo módulo d dee u un n vec vector tor es A = =2 2 y el otro es de doble dob le magn magnitud itud B = 2A 2A,, Si el el ángulo ángu lo que forman forman dichos vecto vectores res es 120 120°.°. Halla Hallarr el módulo de la suma de lo loss vectores.

Piden hallar

|a |=2 |b |=2 |a |=4  |a +b |=?

|a +b |=J|a |2+|b |2+2|a ||b | cosO Si 0=120° V4-16-16cosO=2V3 |A+B|=2V3

Dado dos vectores vectores de un triángulo A= (1, (1,1, 1, 1 1), ), B = (l,l,- l,l,l)l) y C= (-2 (-2,1 ,1,,-1) 1).. Hallar el ángulo ángulo que hacen hacen los vectores AB yA y AC.

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SOLUCIONARIO SOLUCI ONARIO FIS FISIC ICA A LE IV IVA A I Y II

25

 

 VECTORES  VECT ORES

» SOLVE SOLVER R EOK  EOK 

A

>y

C

X

Piden el ángulo =?

t

AC=(-3, 0, -2) ÁB=(0, -2,0) AC.AB= |AC||ÁB|cos0 0=Vl3.2 cos0 cos0=O .-.0=90° Dados los vectores vectores P, Q, R y S, que cumple la cond condición ición PxQ=Rx PxQ=RxSS y Px R- Qx S . Demostrar que el vector vector P- R .

Para que P-S P-S sea paralelo a Q-R Q-R tiene que cumplir cumplir que: que: (P(P-S)x S)x (Q-R)= O Demostraremos esto: (P-S)x (Q-R)

(P-S)x Q-(P-S) x R PxQ-SxQ-P-R+S-R Por condición: PxQ=RxS y PxR=QxS

www. ed ykpe ykperu ru com

SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II

 

c

 VECTORE  VECTO RE S

SOLVER EDK «

y sabiendo que AxB=-BxA ; tenemos PxQ+QxS-RxS=0 .-.(P-S)ll(Q-R) ^

Da Dado do los los vectores A= (1 (1,l,) ,l,) , B=(-l,-a, B=(-l,-a,a) a) y C=(a,l,-a C=(a,l,-a). ). Cual Cual el valor de a par paraa que el volumen definid definido o por los tres vecto vectores res de igual igual a 7.

^ÍUHIHLU

Tenemos los vectores

A = (l, 1,1)

B=(-l, -a, a)

C=(a, -1, -a) V=7 i j k (a2 2-a, -a, a2 a2-a -a,, a2 a2- l) =>BxC= 1 -a a =(a a 1 -a A. (B x C (a (a2 2-a+ a2-a+ a2- l)l))= )= 7 3a2-2a-l=7 3a2-2a-8=0 Resolviendo tenemos que -4 a=2°-

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SOLUC SOL UCIO IONA NARI RIO O FISI FI SIC CA LE IVA I Y II

 

» SOLVER SOLVER ED EDK  K 

 VECTORE  VECTO RE S

¡ j } Dado los vectores vectores A=(l,A= (l,-2, 2, 2) y B= B=(-2, (-2, 2, -3) . Hallar llaa proy proyecció ección n escalar y vectorial de B sobre A.

Siendo los vectores A=(l, -2, 2) B=(-2, 2,4) Piden hallar Proy escalar =? y Proy vectorial =? B—Á B^A Proy escalar = B.Á_2 W

 3

Proy. Vectorial (B.Á (B .Á)Á )Á (2,(2,-4, 4, 4)

|A|2 =

^

Si P.Q=20 Y P= P=3 3 , Q=10 Q=10 Ha Halla llarr |PxQ| .  j B Tenem Ten emos os que P.Q=20 y |P|=3 ,.|Q| ,.|Q|= =10 Piden |PxQ|

ü

f 

P.Q= |P| jQ jQ|| cosO—>cosO cosO= \  —>0=48, 20° I m e d ukperu eru.cqm'

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II

 

SOLVER EDK «

 VECTORE  VECTO RE S

Piden |PxQ|=|P||Q|senO =80 sen (48 (48,, 20) |PxQ|=10V5 Si B paralelo a C y B. (A (Ax x C ) = 0 entonces demostrar C es perpendicular a (PxB).

Tenemos que BlICy B.(AxC)=0 Piden demostrar que C.(ÁxB)=0 B||C si 3 Ke KeR R tal que B=KC =>C.(AxB)=Á, (B x C)=A.(KC C)=A.(KCxC) xC) =Á,K(CxC)=KA(C x C)= C)=0 0 =>C.(ÁxB)=0 •••C±(Ax B ) (A.p, |Ax p|). p| ). Si A es un vecto vectorr en el plano y p7 un vvector ector unit unitario ario A = (A.p, WTOCT Tenemos los siguientes vectores en el plano: Los componentes en la recta del vector unitario es |X||p|cosO=A.p

y la otra será

|A||p|senO=¡Axp|

•••A •••A=(Á.p , |Ax |Axp p ¡¡)) eclóK ¡ m u , corn

SOLUCIONARIO FISI FISICA CA LE IV IVA A I Y II

 

D

» SOLVE SOLVER R EDK  EDK 

ft

 VECTORES  VECT ORES

De Demo most stra rarr us usan ando do comp compon onen ente tes: s: Px (Q x R ) = Q(P.R) Q(P.R)-R -R (P Q •

Primero calculamos QxR

i j k =(q2 (q2r3 r3-r2q3, q3, r, r,q q3-q -q1 1r3, r3, q ^ - r ^ ) QxR= di q2 °i3 u r2 r3 Ahora Px(QxR) i j k p, P2 P3 Px(QxR)= q2r3-r2q3 r,q3-q -q,,r3 q1r2-r,q -r,q2 2

=( P 2 ( q , r2-r,q2)+( p3(q, r3-r,q3)

r3-r2 2q 3) -( p 1(q 1r3 r3-rlq3 -rlq3))+ ( P 3(q 2r3-r

- (P ^ q ^ - r ^ H p2(q2r (q2r3‘r2 ‘r2Q3)) =( p2q p2q ir irrr p2n p2n q 2+ p3 p3q q ir3- p3 p3rr iq3 iq3 - p ,qir qir2+p irt rtq q2+p3 2+p3q2'r33-p3 p3i'2q3)

p ,q ir2+p ir tq2+ p3 p3q2r3 p3i2q3) i2q3) •p1 •p 1q,r3+ p ¡r,q3 ,q 3- p2q2r3* p2r2q3) r2q3) Si le sumamos y restamos el siguiente vector www. edüKpg nrc crn

SS sO LU CIO NA RIO FIS FISIC ICA A LE LEIV IVAI AI Y IIII

 

 VECTORES

(

__________________

u=(q, r, p,,q2r2p2,q3r3p3) =( P2q,r2-P2 P2n n q 2+ P3Q P3Qi r3r3- P3ri P3riq3+q q3+qll ri q l -q1ri -q1ri q l , - p ,q1 ,q 1r2+p r2+p,r ,r1 1q2+ q2+p p3q2r3-p3r2 r2q q3+q2r2p2-q2r2p2, - P lq ,r ,r3 3+ P ,r ,r,q ,q 3- P2 P2q2r3 r3- p2r2 p2r2q3+ q3+q3 q3r3 r3q3 q3-q -q3 3r3 r3q3 q3))

=( P2q,r2+ P3qir3+ q,riPi, P,iriq2+P3q2r3+q2r2q2,

p1r,q 3+ p2r2q3+ r2q3+p p1r1q3+ q3r3 3r3p p3)+ (- P2r,q2-P3riq3-q,r,p,,- p,q,r2-p3r2q3-q2r2p2, -p 1q 1r3r3-p2q2r3-q3r3p3) r3p3) = (q, (q, ,q ,q2 2Jq3 Jq3)) (p (p,, n +p +p2 2r2+p r2+p3 3r3)r3)-(r (r1 1,r2 ,r2,r3 ,r3))(p ,q ,+ ,+P2 P2q2 q2+P3 +P3q3 q3)) Sabemos que P.R=(p1r,+p2r2+p3r3)

P.^íp^^p^+p^g)

SOLVER EDK «

•••P(Q •P(QxR xR)= )=Q Q (P.R (P.R))-R(P R(P.Q .Q))

©

perpen rpendicula dicularr a Se tiene tiene un un vector P, cuy cuyaa ter tercer ceraa compone componente nte es 2, si P es pe ( 1,-2, 1) y (-1, 1,-2). Halla Hallarr el vector P .

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» SOLV SOLVER ER EDK  EDK 

    I

D

 VECTORE  VECTO RE S

JgiWIHliMr

P l ( íí,, -2 , 1 ) y (-1 , 1 , -2 )

P=(a, b, 2)

=>P.(l,-2,l)=0 P.(-l,l,-2)=0 a-2b-2=0 -a+b-4=0 Resolviendo que a=-6 b=-2 •••P=(-6, -2 2,2) PY R = =8. 8. ‘¡¡¡¡¡Ufy Ufy   Si el vector vector R paralelo al al vector vec tor Q xP y pro pro yQ —>P=1 sabiendo Q  2, P=6 PY Hallar Q.(PxR)

Piden hall hallar ar

Q.(PxR) Por condiciones del problema:

R||QxP=> el ángulo que forma o es 0o o 180° QP Pi Pi'o 'oyQ yQ__ p=757=1

|P|

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI V II

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SOLVER EDK «

 VEC TORE S ____ _________

Q.P=|P| De lo anterior hallamos que ángulo forman los vectores Qy B Q.P=|Q||P| cosa=|P|

|P| 1 co cosa sa= = ._ . _ T- r =|Q||P| 2

Por propiedad

=»oc=60° Q. (P ( Px R ) = =-R. (Q x P) -R.(Q x P)=-|r ||Q x P| cos(180)

|r ||Q x p | Tenemos que Qx(PxR)= Qx(P xR)=|R| |R| |Q| |Q| |P| |P|sena sena

= 8.2.6 sen60 .-.Q.(PxR)-48V3

^

  Se da dan n los los vectores en el espacio A = (l (l,l ,l,l ,l), ), B = (l (l,,- l, l,l) l) y C=-2 C=-2,l ,l,,-2 2). Hallar: Hallar: (a) AB.BC (b) ÁC x( AB-BC) (C) El vector unitario perpendicular al plano que pasa por los puntos puntos A, B Y C. (d (d)) El El ángul ángulo o que hace el vec vector tor unitario de la pregunta, pregunta, (c ) con

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33

 

D

» SOLV SOLVER ER EDK  EDK 

 VECTORE  VECTO RE S

el ve vecto ctorr D=(0,1,1). 48. Si Á es un vector constante y r  es el vector que va del origen al punto punto (x,y (x,y,z) ,z) demuestre demuestre que (r-A (r-A). ). A=0 es la ecu ecuació ación n de u un n plan plano. o.

Sean los vectores A = (0,1 (0 ,1,, 0)

B= (l, -1,1) y C=(-2,1,-2) C=(-2,1,-2)

a) Piden Piden ÁB Á B .B .BC C = (l, -2 -2, ll)) (-3 (-3, +2 +2, -3) . AB.BC=-3-4-3=-l 0 Piden ACx(AB-BC)=(-2, 0, -2)x(4, -4,4) i j k ACx(AB-BC)= -2  0  -2 =(-8, 0, -8) 4 4 4 i j k N= -2  0  -2 =(4, 0,4) 1  -2 -2  

El vec vector tor unitario unitario de N es N 1 P=T=77=“7 = 0 / +1) N V2

D-P=

cos0

1

COS0=

D.p

|D|IPI

De esto hallaremos 0: 9=c o s - , J 4   í  _ )

V|d ||p |/

1

/+1/V2\  +1/V2\  v i.V 2  y

0 = C O S ' ' = (---( ---- -= -=rr

0=60° www. edukp edukpeí eí u .c .com om

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY

 

SOLVER EDK EDK «

 VECTORE  VECTO RE S

Si A es un vector constante y r es el vector que va del origen al punto (x,y,z); demuestre que (í-A).A=0 es la ecuación de un plano. M m m m Sea r=(rl;r2,r ,r3 3) yA= (x,y,z) Se tiene que (A-r)r=(x-r1; y-r2; z-r3).(r1; r2; r3) xr!+yr2+ zr3-(rf+r|+r|)=0 Tenemos que como Á es un vector constante y teniendo que rf+rf+r3=C Se tiene xr!+yr2 xr!+yr2+ + zr3 zr3= =C Que es la ecuación cartesiana del plano. 1^3 Considerando Considerando lo loss mism mismos os vectores del ejercicio ejercicioss anterior anterior d demuestre emuestre que (r-A).r=0;es la ecuación de la esfera.

Del anterior problema obtenemos:

ri+r2+r3“ xn+yr2+zr3=0 Restando y sumando factores para conseguir ecuaciones cuadráticas tenemos que

Y siendo

x

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3

 VECTO  VECT ORE S

r3-r z

y C constante Se tiene xf+y2+zf=C Que es la ecuación de una esfera 3

Si A+B+C= A+B+C=0 0 y A =3, B=5, B=5, C =7. Hallar Hallar el ángulo que forman A Y B.

Por ley de cosenos tenemos que A+“B=-“C rr/~E\   = ITC2I |rr/~E\ A+ B| B|=

=>C==WA +B +2AB c o s O 2 2

Reemplazando: 49-34=30 cosO

cosO= cosO= - =>0= =>0=60° 60°

Si B,C y D determinan un plano, la distancia distancia de A a este plano: |(A-B).(C-B)x (D-B)[ |(C-B>(D-B)|

 JgtílTO  Jgtí lTOrti rtilM lMT T Cosenos B, C y D definen un plano se tiene www. eduk edukper peru. u. ccom om

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY II

 

B SOLVER EDK «

 VECTORE  VECTO RE S

La distancia de A al plano será d(X plano)=ProyRBA

d(A, Plano)=

|(A-B).N| |1N,

Del gráfico N=(C-B)x(D-B)

d

 j ^ l

A, Plano)

|(A-B).(C-B)x(D-B)l  j(  j(C-B)x(D-B C-B)x(D-B)| )|

De Demo mosstr trar ar la míni mínim ma di dist stanc ancia ia de un pu punto nto Pi(Xi,y1;Zi)

al plano cuya ecuación ecuación cartesian cartesianaa en,AX+BY+ CZ+ CZ+D D =0

am aw m P.CXpYpZ,) r—

-k N

Tenemos que la cartesiana es: Ax+By+Cz+D=0 De la cartesiana obtenemos N, siendo SOLUCIONARIO FISIC FISICA A LE IV IVA A I Y II

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_____________ _____________

 

...............................................................

N=A,B,C La mínima distancia se halla: d(P|, Plano) =ProyRPP,

a (p, (p,,, Pla lan no)“

^min—

|(PrP).N| j- j

|(Xrr X, Yr Y,Zt-Z) |(X Y,Zt-Z)-( -(A, A, B, C) C)|| V a 2+b 2+c 2 A (Xi (Xi-X+B -X+B((Yr Y)+C( Y)+C(Zr Zr Z)

dmin—

 J a 2+b2 +b2+c 2

 VECTO  VECT ORES

Demostrar Demostr ar vectorialm vectorialmen ente te que la suma suma de los cuadros de los diagonales de un un  paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de sus cuatro lados. JRTiW'WIil»

Piden demostrar |A+B|2=A2+B2+2AB  |A+B|2=A2+B2+2AB  |A-B|2=A2+B2-2AB   |A-B|2=A2+B2-2AB De la galáxica |D|MA|2 D|MA|2y|B|M C |2 =>|A+B|2+|A-B|2=A2+B2+C2+D2 Si los números a, b, c y d son diferentes de cero y aOA+bOB+cOC+dOD=0 aOA+bOB+ cOC+dOD=0 y a +b +b+c +c+d +d=0 =0.. los puntos A, B, B C Y D Se encuen encuentra tra en en  un plano. ( sugerencia usar: a +b = - ( c + d) y el prob. 39)  Jc ïïlIÎT ïïlIÎT iM W 38

S OLUCIONA LUCIONARIO RIO FISICA L E IVAIY II

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SOLVER EDK «

 VECTORE  VECTO RE S

Demostraremos que A, B, C y D están en un mismo plano: Entonces; por condición aÓA+ b¡ÓB+cOC+dOD=0...(l) Si tenemos a BA= OA-ÓB En (1) reemplazamos:

aBA+ aOB+bOB+cOC+dOD=() aBA+ (a+b)OB+cOC+dOD=C) Pero a+b=-(c+d)

aBA- (c+d)OB+cOC+dOD=0 aBA+ c(OC-OB)+d(OD-OB)=0 aBA+ c(BC)+d(BO)=0 Si los vectores B A , BCy BD suman cero entonces definen un plano. Demostrar que la dist distancia ancia mínima del punto

P (X i^ ) a la recta recta A x + B Y + D = 0 en en el pl plano ano XY es es::

lAX^BYt+Dl  lAX^BYt+Dl  d= 7= — Va W ---

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» SOLV SOLVER ER EDK  EDK 

 VECTORE  VECTO RE S

Ojo la demostración viene de determinarla distancia a un punto cualquiera de la recta, la distancia mínima es cuando la proyección sobre la recta es cero, o sea haciendo sen0=O. Completa la operación. La distancia a la recta sería

, IAXt+BYt+DI

d=

---

=====—

Va^b5 Si A B C D es un cuad cuadrilátero rilátero cualquiera P y Q son los puntos medios de sus diagonales AC y BD, y M es el punto medio de PQ. Demostrar (a (a)) (ÁB) +AD+CB+CD=4 PQ 

(b) 0A+0B+0C+0D=40M ,dondee O es un punto arbitrario. ,dond arbitrario. iU

M

Í

 

PQ=AQ-^AC

PQ=AD-^BD-^AC

40

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SOIVER EDK «

 VECTORES  VECT ORES

— » — » AB C CBB CD CB CB PQ=AD-— PQ =AD-— + — — + —

— . -— . AB — . CD PQ=ADPQ= AD-— — +CB- — Pero: CD=A CD =ADD- ^ AB+ AB+ i CB

AB=BC+^AD-^CD Entonces: — , — . CB AD CD — .AD 1 — CB PQ=AD—-— PQ=AD—— — +— +C +CBB -T -T- +—+ABB-— —— 2 4 4 2 4 4 — AD CB CD AB PQ- ~4 T~ +~T~ ~7~ 4 +~~ 47~+~7 4~ •••4 PQ=A PQ=AD+ D+CB CB+C +CD D+AB +AB Trazando el vector AM, se tiene lo siguiente: OM=AM+OA.... a Pero ÁM=^ÁC+^PQ 

2

2

Hallando PQ por el resultado en a: o PQ AD+CB+CD+AB ~2~  8 Pero www.eduK.peru.com   www.eduK.peru.com

» SO SOLV LVER ER ED EDK  K 

 

SOLUCIONARIO SOLUCIONARI O FISICA LEIVAI Y II

V  VECTORE  VECTO RE S

3 AD=OD-OA ,CB=OB-OC CD=CD-OC ,AB=OB-OA OD OA OB OC OC >~2~=~4   4  + 4 4 >~2~=~4 PQ

AC OC OA ~2~=~2~ ~2~~ ~  2 Reemplazando en (oc) ___, OC OA OD OA OB OC — *   2~+_4 +_ 4 4~+_ +_4 4 4~ om=_2 ___, OA OC OD OB OM= — +— +— +—

.-.40M=0A+0C+0D+0B

Demostrar vectorialmente, que el baricent baricentro, ro, circuncentro y ortocentro de un

triángul trián gulo o son co colin linea eale les. s. (sugerencia usar usar en concepto de vectores paralelos).

 

i  VECTORE  VECTO RE S

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SOLVER EDK EDK «

Sean los triángu triángulos los AOG y GOM. GOM. Por propiedad del baricentro obtenemos que AG=2GM y por el teorema Simpson se demuestra que AO=2CM Por semejanza de triángulos tenemos que OG=2GC Por definición un vector es paralelo a otro si v=kw OG es paralelo con GC y coolineale coolinealess a la vez. Dado el paralelepíp paralelepípedo edo de base rectangular situado en el plano ZY, su altura a lo largo largo del eje X .Hallar el volumen del mismo.(sugeren mismo.(sugerencia cia hallar AxB.C). AxB.C).

Se dan dan llos os vec vectore toress del origen a los puntos A,B,C A,B,C,D ,D son A=í+J+ A= í+J+K,B= K,B=2Í+3 2Í+3j;C= j;C=3Í+ 3Í+5 5 J-2K y D=K D=K-J. -J. Demostr Demostrar ar que AB||CD AB||CD

Tenemos los vectores

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SOLVER EDK 

 VECTORES  VECT ORES

1 A=(l, 1,1)

B=(2, 3, 0) C=(3, 5, -2) D=(0, -1,1) Piden demostrar AB  || CD  Entonces si ABIICD si 3 K 6R tal que AB = KTD De aquí tenemos que ÁB=(1,2, -1)

CD=(-3, -6, 3) Por lo tanto K=-3 Entonces 3 KeR / *AB=:-3CD *AB=:-3CD 3

Dem Demostr ostrar ar (AxB)xA.A=0 para para todo todo A y B en tres dime dimension nsiones. es.  jcrmnrrgmTW  jcr mnrrgmTW Seaa Se Ay B

H

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 VECTORE  VECTO RE S

 

c

SOLVER EDK «

vectores en tres dimensiones, piden demostrar (A (AxB xB)x )x A.A=0 Por propiedad AxBxC=B(A.C)-C(A.B) Y A.B=B.A =»Á.(A (AxB)x xB)xA= A=A[B(A A[B(A.A)-A .A)-A(A.B)] (A.B)] =(á .b ) ( a .a )-(á  a ) ( a .b )=o Dado un vector vec tor B=( 1,,-2 2,2). ,2). Halla Hallarr el vec vector tor A tal que sean paralelo a B y de módulo 9.

AIIB si 3 KeR/A= KeR/A=K KB ^Á=(K, -2K, 2K) Y su módulo |A¡=9

=>V91?=9   =>V91?=9 =>K=3

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..-.Á .Á=( =(3, 3, -6, 6)

SOLUCIONARIO SOLUCION ARIO FISICA LEIVAI Y II

 

» SO SOLV LVER ER EDK  EDK 

CINEMÁTICA 

Un móvil recorre recorre la mitad del camino del camino con la veloc velocid idad ad

La parte

restante la ase a una una velo velocid cidad ad v2 la mitad mitad del tiempo, y la la velo velocid cidav av3 3d el trayecto final.. Hallar llaa velocid final velocidad ad media del móvil durante durante el recorrido.

Tenemos que d]+d2=Para el primer tramo tenemos:

Luego

V3t2=d2 Entonces despejando: L

ti~2v; t -L Æ Y ? ) 2V] V!+V3 Luego también tenemos / m  media edia - 3

... 0 )

-(t,+t2) Pero

46

 

SOLUCIONARIO SOLUCIONAR IO FIS FISICA ICA LLEE IVA IVA I Y II

vv vvw ww. aad d ukpe uk pe ru, ru ,coni con i

SOLVER EDK «

CINEMÁTICA 

4V1.(V2+V3) 3(2V, 3(2 V, +V3 +V3)) Un móvil se mueve según V = t2 - 9, V (m/s) y t (se (seg).H g).Hallar allar la acele aceleració ración n para V = 27 rrvS. m m m m Te Tene nemo moss que: V=t2V=t2-9 per pero o

■••a= ••a=2t. 2t...(l) ..(l) pero pero pid piden en cuan cuando do V=2 V=27 7 =>Veamos 27+9=t2=>t=ó seg •••a=12 m/s2

Un móvil se mueve con una ace acelera leració ción n a = 2t,a 2t,a lo largo del eje x. Hallar Hallar (a) (a ) llaa velocidad velocid ad para para t =lseg =ls eg.(b) .(b).El .El cambio de posición deO a lseg.Para t = 0, v=2m/s,

x= 0.

Tenemos que a= a=2t pero

V(t (t))-V V0= /J 2tdt pero V0=2m/s ••■V(t)=t2+2 a) Piden para t=l seg seg b) análogamente tenemos que

V ( l) = ^

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/oxd xdx x =/0tV(t)dt

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» SOLV SOLVER ER EDK  EDK 

CINEMÁTICA 

X = - +2t =>X(1)= Un móvil se desplaza a lo lar largo go del eje x y su acelerac aceleración ión el tiempo como se indica en la figura. Para t = 0, x=0,

v1xxVs.  Hallar (a) (a ) distancia

total recorrida desdi

a 2seg.(b) 2s eg.(b) La veloc velocidad idad para 2se 2seg. g.

Del gráfico tenemos tenemo s a=t a=tg60° g60°.t .t= = V3t , también tenemos X=0, t=0 , V= — s pe pero ro ^ =a /v^ d v = / 0t adt=>V-V0 adt=>V-V0=:^ =:^ L ^>V ^>V=1+ =1+yy t2• t2•■ ■••(*) También

~ ~v

Í   qq  d*

—Í   qq v  vddt ==>>X = f l + ^-- t 2 dt 

X  = t + ^ t 3.. ...( .(*) *) Piden a ) X ( 2  s  se9 e9 ) = 4,31 m. b) de (* ) tene tenemos mos que V2 =  4,46 m/s Una partíc partícula ula a lo largo del eje x, su g grafica rafica de veloc ve locida idad d en fun función ción del tiemi se da en la figura para que valo valores res de dell tiem tiempo po x = 0. Si para t = 0,x =2 =2m. m.

 j  jH H n f lr a t ii iiaa r Piden para que tiemp tiempo o X=0 Veamos además t=-0=»X=-2m Encontremos la ecuación de V en función de t =>tenemos que V(t>

| 2 (2-t), (2- t), 0^t2 0^t22 2 t-(t-4)-2, 22 => dx= I ( 2-t)dt  J 2

X0

2 ^4 . .. ( 2) Gomo desea deseamos mos que X=0 X=0 =» (1) = 0 y ( 2) = 0 =* en (1) (1) 2=-t 2=-t(t(t-4) -4) =>t=(2-V2)seg En (2) -2=-^-=>t=4seg 4

Una partícula se mueve en el pl plano ano X y Y sus graficas en función del so son: n: Hallar la la aceleración aceleraci ón y la velo velocida cidad d de la partícula para t = 3 segundos. segundos. Si para t =V3 ,x = 3

De acuerdo al gráfico, veamos que X=tg60°tt X=tg60°

y Y(t)=b Y(t)=btt2  y por dato Y(V3)=3=b(3)=»b=l X=V3t Y(t) = t2

Ahora de las oraciones del movimiento, tenemos: r=V3~t í+ t2] y SOLUCIOÑARIO SOLUCI OÑARIO FIS FISICA ICA LE IVA I Y II

 

D

» SOLV SOLVER ER EDK  EDK 

CINEMÁTICA 

_ dr

v= s a)

=>V=V3 í+ 2tj

.-.V .-.V(3 (3)= )=(V3 (V3j+ j+6j)m 6j)m/s /s

b ) Tam Ta mbién bién a= ^ = => >a=2j m/ m/s2 s2 Se el el gráfico de llaa acelerac aceleración ión en función del cuadrado de la veloc velocidad idad,, como se indicaa en el gráfico. Hallar la relación de la veloc indic ve locida idad d en función de la posición posición.. Si pa para ra t = 0,x = 0, 0,vv = 3m/s. 3m/s.

Del gráfico tenemos que: a=-tg(37 a=-tg (3 7 °) V 2=> =>a= a=-0 -0,7 ,75V 5V2 2 dv dv Ahora Ah ora ten tenem emos os que a=— = — .v =>a=— .v ...( .. (* ) ^ dt dx

dv dx

En (* ) tene tenem mos que -0,7 -0,75v2 5v2=~ .v =>/* -0,75 -0,75dx dx = J 3V~ =>>-0,75 0,75x= x=Ln Ln Q Qjj) =>V=3eV=3 =>V=3eV=3c-' c-'

Dado el vector vect or pos posición ición de un móvil r(t)=(2 r(t)=(2-t2 -t2)T )T+ + (t3 (t3-t)j+(2t3 -t)j+(2t3-t2-l)k -l)k.. H Hallar allar (a) el vecto ve ctorr unitario y tangente a la traye trayector ctoria ia dada, cuand cuando o t = 2s 2seg eg.. (b ) eell mód módulo ulo de la ac acele elerac ración ión cua cuando ndo t ==2se 2seg. g.

W

.

Tenem Ten emos os que r(t)= r(t)=(2(2-t2 t2)í+ )í+t3 t3-t)J+(2t3 -t)J+(2t3-t2-l)k l) k a) Veam Veamos os sea: V=^= V=^=>-2-t >-2-tí+(3t í+(3t2 2- l)J+ l)J + (6t‘ (6 t‘2-2t)k Sea V(2)=-4Í+lJ+20k

•••Ot=^=(-4,ii,2oW537 b) a=^=2Í+(6t)]+(12t-2)k dt

=»a(2)=-2Í+12Í+22k

■

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CINEMÁTICA 

=>a=Vó32m/s2 Una partícula se mueve en el plano x y,de y,de acuerdo acuerd o a las relaciones relaciones 2X ——2seg3t,  ——2seg3t,  2V= 2V = cos3t. cos3t.   Cuando Cuando t - 0,x 0,x=0 =0 y = 2 v x = =   4 m / s y v y = l m / s .  Hallar la ecuación de la trayectori trayectoria, a, (b (b)) la velo velocid cidad ad para t = nJ6  seg.

Tenemo Ten emoss que: ax= ax=-2se -2sen n 3t , ay=co ay=cos3 s3t, t, Ademá Ade máss Vx=4 , V Vy=l y=l m/s cua cuant nto o t = 0 , X = 0  , Y —2 — 2  Piden f=? Veamos por por la ecuación ecuación del movimiento á= á=-2s -2sen3 en3ti+ ti+cos cos3tj 3tj dv c   - r _ |a= — => dv= I aad dt dt J(4,l)  Jo .

.

2

~ sen 3 t.

=>y-(4i-lj= - ( eos eos 3t-l)i+

/2 eos eos 3t-l

— j

10\* /sen3t

Ahora Aho ra V = ^ / (r02) dr =/otvdt tv dt a) r-2j= (2 sen3 sen3t+ t+ y ) í+

t+i ) j

/2 10t\„ /-co /-cos3t s3t 19 19\. \. ,r= ('-sen 3 t+ T ) i + +(( — t+- j j b) De (* (*)) tenemos que , 1C. 4. 10 v= — i+ -j=>V=Vll6/3 Z1 -

Desde un plano inclinado un ángulo a  es lanzada una piedr piedraa con una ve veloc locid idad ad v0 y perpendicular al plano. A qué distancia del punto de lanzamiento caeésta piedra.

* * w edu eduKperu om

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CINEMATICA 

Como no existe resistencia del viento=>; este cuerpo desarrolla MPCL. Si nos regimos a la ecuación vectorial de este movimiento tendríamos d=V0t+-gt2. Haciendo la representación vectorial, tendríamos

gsenoc ...(*) También tenemos: -gt2sena=d 2Vna /sena\ ^ d = —£ — £ - .[ .[— - ) 2  vcos2a/

© ángulo debe debe ser lanzado un cuerpo cuerpo cuy cuyo o peso es a), ), para  para que la altura máxima que se eleva sea igual al alcanc alcancee del lanzamiento. También existe una fuerza f horizontal del viento que actúa sobre el cuerpo.

Ahora analizando en el eje “Y” como en eje se desarrolla un MPCL: =^Vty=V0y-gt www. ww w. ed ukp u kp e ru. ru .corrí  corrí 

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CINEMATICA 

=*Vosen0=gt =>t=

=>H=

V osen0

V„sen0

V osen0 V osen0 ,t= ,t=-2— -2—— — .— — V „2sen20 H=2g

Ahora en el eje “X”. Como dicha fuerza F, ejerce una aceleración en opuesta al movimiento a=-gF w Ahora dx^VoCosOtT-ati 1gFF 1g dx=Vocos0t i --— t? 2 w De (1) ten tenemos emos que que t ^ Vo2sen0 sen0cos0 cos0 1gF VoSen2 VoSen20 0 2g 8 w g2 Vn2sen0) /cos0 /co coss0  Fsen0\ hsentn dx=

dx=

De (* (*)) y (***) (*** ) H=dx H=dx

 j

Vo2sen20 Vo2sen sen20  í  í cos cos0  Fsen20\ 2g g V 2  8w

4w+f  =>cot0=■ 4w Dos personas están en un edificio ed ificio,, cuya ventana está a 250 pies. El primero primero suelta unaa piedra por la ventana dos segundos después la otra persona arroja otra piedra un wvv vvw w. e duKpe ru, coro

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CINEMÁTICA 

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hacia abajo por la ventana. Ambas piedras llegan al suelo al mism mismo o instante. instante. Cual Cual sería la ve veloc locida idad d inicial de la segunda segunda piedra. G = p/seg p/seg .

Sea H lo rec recorr orrido ido por B y A. =>A =>H=VoAt+ ig t2 H=Ígt2 H=16gt2 ...(* ... (*)) Pero H=25 H=250 0 =>t=J^= =>t=J^=4se 4seg g

Para la esfera B. H=V(t-2)+¿g(t-2)2 H=V(t-2)+1 (t-2)+16(t-2)2 6(t-2)2 250=V(2)-16(4) V=106 P/seg --- ------------------„„ , rr-,,.. ,,.. , -7Ñ SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II

 

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-------   -

 

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CINEMATICA 

| Jn cuerpo es lan lanzado zado en el plano plano X Z, desde el punt punto o A (4,0, (4,0,0), 0), con u una na veloc velocidad idad inicial 10  m/s, bajo un un ángulo de 60° 60 ° con el eje X. la part partícula ícula es some sometida tida además a una acelera aceleración ción de un m/s m/s2  en la dire direcció cción n+ +zz, Hallar posición del cuerpo a lo largo del eje x. Use g = 10 m/ m/seg seg2 2.

De las ecuaciones del movimiento parabólico vectorialmente tenemos d=Vot+^at2

- a t2 2

También tenemos que aresul=10-4=6m/s(-k) 1 Votsen60=-at2

=>------2vosen60=t ...(*) Luego d=votcos60 www1 . eckrkperu, com

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» s OL O L vvgg ¡ vvSS § g n 6 0 c o s 6 0

---- d=

a

—

 )

cinemática

•••d=14.43 •••x=18.43 m Hallar Ha llar con que ve velo locid cidad ad v Qy 0= 60° es lanzada lanzada un pro proyec yectil til tal que een n el el instante instante 2seg, la ve velo loci cida dad d forma forma un un ángulo de 45° con la horizontal. horizontal. Use g = 10 10m/ m/s2 s2..

v 0sen60

V0cos60

Asumie Asu miendo ndo que aaún ún sube: com como o el eje x se mantiene constante: =>Vx=Vocos60° Vx= Vx = ^ ■•••(*) (*) Vy=Vx= Vy= Vx= y

•••(*) (*)

Ahora analizando en el eje y, también para t=2

Vty=Voy-gt Vo — =Vosen60° =Vosen60°-(1 -(10)( 0)(2) 2) Vo=54,641 Un auto se mueve en línea recta, sobre una carre carretera tera a velo velocid cidad ad de 40 p/s. En cierto instante, instante, el conduc con ductor tor ve un tren que empieza am amov overs ersee hacia la carretera

wwvv vv,, ed uk pe rú . corrí 

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c

CINEMÁTICA

SOLVER SOLV ER EDK «

desde la la estación. El conductor conductor cree puede adelantar ai tren sin cambiar su su velo cidad. velocid ad. Si Si la vía y llaa carret carretera era forman forman entre si un ángulo recto, y el tren tiene tiene una una aceleración 10 p/seg2. Sobre vivirá el conductor conductor para contar la historia. historia. El auto esta’ inicialm inicialment entee a 200 pies del cruce, cruce, mientras que la estación estación est estáá a 13 130 pies.

v 0 = 40 40 p / s 130pies a = 10p /s2

=0 Calculemos el tiempo que les tocará a cada uno: Veamos para el auto V= 200 200 =>t.=— =5 seg v

Ahora para el tren =>d=V0tc+^at2 130= 1~ at2 t2=5,099 seg

Si sobrevive el conductor (pero por poco) O

Suponga Supongan n que el alcance horizont horizontal al máx máxim imo o cierto cañón cañón con una una velocidad velocid ad inicial inicial fija es es de R0. (a) demuestren demuestren que la velocid velo cidad ad inicial inicial de vQasociada a este canon es de Jg de  Jg R Q-(b) (b ) supongan supongan que este canon canon se encuentra al pie de una una colina con un ángulo de elevación a y se dispara en un ángulo a con respeto a la colina. Demuestren que la trayectoria del proyectil se puede expresar el siguiente sistema de coordenadas en la forma:

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CINEMÁTICA 

)

a) De D e llaa ecuación, ve vectorial ctorial del m ovimiento ovimiento parabó p arabó li lico co se ti tiene: ■R, Vot= se sen n0 V o= — . (* ) senGt También Tam bién ttenem enemos: os:

1 0

Votsen 0= - gt2

2 Vosen 0 =»t=g (**)

(**) en (*) °

R0s 2 se sen n 0c o s 0

Adem Ad em ás para qu quee Ro sen max= max=>0= >0=45° 45° .*• V o = j R o g   b ) Ahora Aho ra anali analizando zando en el eje “y ”, tenemos V=Voyt-^gt 2 =>Y = V Qse sen n (0+ (0 + a )t \ gt2  . . . ( * ) Luego en el eje “x” X= t.VQeos t.VQeos ( 0+ a) =>T=  Vo c o s (0 +a ) Reempla Ree mplazan zando do (* * ) en (*) vvww;ed eduk ukpe peru ru,,co com m

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CINEMÁTICA

SOLVER EDK «

=>y= >y=xt xt 3(e 3( e+a) - 2RoC0s 0s22t e+aj

Se lanza lanza un proyectil proyectil con una velocida velo cidad d inicial v0 v0,, bajo un un ángulo 6. La altura máxim má ximaa que alcanza alcanza es H y el alcance horizontal es R Halla Hallarr la velocid velo cidad ad inicial y el ángulo de tiro en función de H Y R. R. f 

m

Como el cuerpo desarrolla un movimiento parabólico en el eje “Y”, en la parte más alta V,y=Voy-gt v oy=gt

VosenG -=t ...(a) =>H=

Vosen20 lg V 0sen Vosen2 sen28 2  g2 g VoSen20 /  1

=>H= g VoSen20

04)

.(*) Ahora para el eje “X” R=V R= V0X.t, pero t,=2t R=V0X(2t) de (a ) Tenemos Vosen0 R=Vnv.2. nv.2. — 2——

••• Vox=V =Voco ocos0 s0

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 J

CINEMÁTICA

2VoCos0sen0

RS V2 V2= vn= ° 2co coss0se sen n0 ....(**) De * y (* (***) tenem tenemos os 1 /4H\

9=ts (t ) g(R¿+16H¿) 8H ©

i/2

Sobre un plano plano inclina inclinado, do, cuy ángu ángulo lo es 6 se halla un un cuerpo B en reposo. Con q que ue

aceleración horizontal aceleración horizontal se debe desplazar eell plano inclinado, para el cuerpo B teng tengaa caída libre hacia abajo.

Como B desarrolla desarrolla un MCL, veamos t seg, seg, luego de ssu u movimiento

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*

 

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CINEMATICA

Del triángulo tenemos que:

xtg xtg6=y

...(*)

También Y=VABt+ ^gt2 Y=^gt2  ...(**) En (*) reemplazando tenemos X=-cot0gt2 .... (a )

Ahora como la cuña inicia su movimiento d=VABt+-t2 X= 1t2 1t2=^co cot0 t0gt gt2 

=»a=cot0g

a>cot0g Dos partícula se mueve con velocidad constantes vt  vt  y v2 por dos llíneas íneas rectas y normales, hasta que se intersec intersecten ten en 0. En el momento t = 0, las part partículas ículas se encontraban encon traban a las las distan distancias cias l x y 12 del punto 0, (a (a)) Al cabo cabo de que tiempo la distancia entre entre la lass partículas será mínima?, (b ) cual será esta distancia míni mínima. ma.

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CINEMÁTICA

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O^ ►

d. —m

\ 4 .- Ív

Si tenemos la velocidad relativa de la esfera (2) con respecto a (1) De acuerdo acue rdo con la gr gráfica áfica la míni mínima ma distancia será cuando d=(l1 d=(l 1.m)c o s 0 + ¿ ...(*) Dondee “d Dond “d”” es la distancia rreco ecorrida rrida por llaa esfer esferaa (2) Pe Pero ro

tg tg0= 0= ^

vi

t= — v2/l

m= v2ig v2

V|1,+V2I.

'2 + V ¡

tmiii— "

Vf+Vl

Del mismo modo m odo se demuestra qu que: e: Voll ,-V ,-V,, 121 X = (l1.m)sen0= .m)sen0= IVo

m ñ   Un torped torpedo o es lanzado desd desdee el punto

p en el inst instante ante que el barco ba rco enemigo se encu entra en el punto Q y navega con la veloc encuentra ve locida idad d 60 Km/ m/h h dirigida forman formando do el ángulo de 60 ° con la línea PQ. La ve veloc locida idad d de dell torpe torpedo do es 12 120 0 Km/ m/h. h. con que ángulo 6  hay que lanzarlo par paraa que de een n el blanco.

mmm\ Para que llegue alcanzarlo alcanzarlo se tiene que cum c um plir que u una na de las compo componentes, nentes, la vertical en el mismo tiempo hagan la misma distancia. Entoncess ten Entonce tendre dremos: mos:

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CINEMÁTICA

60km km   km 120  km — -— sen6 sen60 0. t = — = — ;— -.sen6. t  t  h h Despejando tenemos senO senO =  = V3/4 Luego 6 =  =  25.6° Un cuerp cuerpo o p comienza a moverse con una ve velocid locidad ad inicial v1 y con la aceleración constante a1 a1.. Otro cuerpo Q comienza a moverse en el mi mismo smo instante que p con una velocidad inicial v2 v2yy con la aceleración aceleración negativa a 2. Cuanto Cuanto tiempo transcurrirá desde el momento en que ambos cuerpos comienzan a moverse hasta que sus velocidades se igualan?

Para la primera tenemos

V Vj+ajt Ahora para la segunda Vf=V2-a2t De (1) y (2)

t_ V2-Vi 3| +a2 Un cuerpo cuerp o es lanzado con una velo velocid cidad ad de 10 m/seg /seg.. Con un un ángulo de 45° con la horizontal. Después de transcurrir 0 0.. 75V 75V2seg 2seg.. Hallar Hallar la aceleración aceleración tangencial y normal. Use g = 10 m/ m/seg seg2 2.

Ahora tenemos que dv Pero V(t)=V0cos45°Í+ (vo (v osen0-gt)j =>V=5V^+(5V2-10t)j SOLUCIONARIO FISICA LEiVAI Y ¡I

«¡UKO-.U co;t

 

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CINEMÁTICA

V=10(t2-V2t+l)

1/2

...(*)

dv_ 5(2t-V2) ••• at at(0, (0,75 75V2) V2)=4 =4,46 ,46 m m/seg /seg2 Ahora de v2 dt =— j an=V.—  j  =radio de corvatura del caso anterior, se tiene V, sólo necesitamos j X2

Tambié Tam bién n Y=xY=x-— — , cuando cuando X=7,5

r

'♦|a|=3t a u oraa at=— dv 9 tt33 Ah Ahor L A idt-=Vat4+52

d) a, a,n n- J a2-a?~3t J j * 52

^

Una Una bola bola se lanz lanzaa co con n vel velocidad ocidad ini inicia ciall v0 v0yy ángulo ángulo 6 hacia arriba, desde un edificio de 2H 2H de altu altura. ra. Si el proyec proyectil til choca contra el suelo a una distancia H del edificio. edificio. Hallar H.

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■

CINEMÁTICA

)

Analizando de la ecuación vectorial del movimiento parabólico tenemos: d=V^t+^gt2 Ahoraa en Ahor en e l

....

ABM AB M tenemos tenem os que BM=Ht BM=Htg0 g0

También para HC=2H BC=¿gt2=2H+Htg0 ....(a) Ahor Ah oraa d e l

....

  ABM= ABM=V0t V0t se sen0 n0=H =H H

* Vosen0 ...OS) Ahora .... (a )y (P )

yp

2V2 ~e 0 H=— ^ - ; -(2+tg0)

Sea una partícula partícula que se mueve sobre una una elipse, elipse, cuyo ecuación es es.. r = mcosüítl   + nsencot). mcosüítl nsencot). Hallar  Hallar los módulos de at y an.

Tenemos: r=mcoswti+nsenwtj

piden at , an

Veamos V= — =-mwsenwtí+nwcoswtj dt

dv c a=— =-mw2cos coswtiwti-nw nw2 2senw senwtj tj dt =-mw V=Vm2-(m -(m2-n2)cos2wt.w dv *

(m 2-n2)sen(2wt)w 2

dt 2Vm 2-(m -(m2-n2)co )c os2wt

a2=a2+a2 =>an=J n= J a 2-a? -a?  

••••(*)

a=V (m 2-n -n2 2) .c .cos os2wt+n2w 2 www.ed  u kpe ro, coi www.ed

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CINEMÁTICA

an= an =

c

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w 2m.m ...... -=:== yj (n2-m2)cos2wt+m2

Hallar cuantas veces vece s mayor mayor será será la aceleración normal normal de un punto que se se encuentra encuentra en la la llanta de de una rueda rueda que jira, cuando cuando el vec vector tor aceleración aceleración total de este punto punto

formaa un ángulo form ángulo de 60 con su su vector vector velocidad velocidad lineal.  JKSTTOgf>lM  JKSTTO gf>lM Tenemos a la rueda, y ubicamos, por simplicidad, la parte superior de la llanta a

artg60°=an artg60°=an => atV3=an /. an=l,73at Una rueda de radio de 10 10 cm gira gira de forma que la relación relación la velocid velocidad ad linea lineall de lo loss puntos que se encuentran en su su llanta y el tiempo que dura el movimiento vien vienee dada por la ecuació ecuación n v=2t v=2t +t2. +t2. Hallar  Hallar el ángulo que forma el vector aceleración total con el radio de la rueda en los momentos en que el tiempo, tomado desde el momento en que la rueda comienza a girar t =lseg.y t =5ség.

Tenemos que V=2t+t2 =>a,= ^= ^= 2t2t

y an= y= (2t+ t+tt2).| 0|

,, ,,ss e = i = > o = t s - '('( i) an van/ > ■

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D

CINEMÁTICA

a) Cua Cuand ndo o t= t=ll =s> 0 =tg_1  b) Cuan Cuando do t=s ±0= tg tg"! "!

=2,54°

=0,098° =0,098°

Un ponto A se mueve mueve a veloc velocid idad ad constante v, a lo larg largo o de la circu circunferen nferencia cia de

radio a, tal tal como se indi indica ca en eell gráfico. H Hall allar ar las componentes radial y transv transversal ersal de la aceleración.

Descomponiendo Descompon iendo V , een n sentido radial y transversa transversal,l, tenemos tenemos que: que: Vr=Vsen0  , Vr=Vcos0 Ahora: ar=dvr dvr d0 d0  dt de a.=Vcos0. =Vcos0. — dt _dvr dr d dtt dv, d0 ^ at=d0 * de af=-Vsen6.—

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CINEMATICA

Ahora se puede verificar que: de_v dt a

ar=

V2cos0 9

ar=-V2sen0

©

Hallar la relación eentr ntree llas as velocidades velocidad es angula angulares res en función función de sus radio radios, s, pa para ra los discos de fricción que se indican en la fig.  js  jsff ffln ln n rC T W

Ahora, en el punto A, la velocidad, es: VA=V Luego para la I oesfera 2 W 1.R1=W2.R2 Wi = R ’ \V2  R,

IjjTp Un cilin cilindro dro de radio 10 cm gira alrede alrededo dorr de un un eje con la frecue frecuenci nciaa 1 10 0 RPM. A lo largo de la generatriz del cilindro se mueve un cuerpo con la velocidad constante 2ocm/seg respecto a la superficie del cilindro. Hallar la (a) velocidad total (b) la aceleración.

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r

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J

 

Ahora con la V respecto al cilindro cilindro,, ttenemos enemos que

CINEMAT CINEM AT,CA  ,CA 

V,f(.=0,2m/s A lo largo de eje: Vt=W.R Vtal=|o(0,l)=0,llm/s Vtal =Vrg+ =Vrg+V2 V2ra V,otai=0>22 V,otai=0> 22 m/seg m/seg

a=0,ll m/seg Un punto p describe una semicircunferencia el movimiento proyectado sobre el diámetro es uniforme de velocidad v0 v0.. Hallar al velocidad y la aceleración de p en la función de ángulo y hallar la dirección de su aceleración total.

T

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CINEMÁTICA

c

SOLVER EDK «

Ahora del gráfico vemos en el eje X, tenemos Vsen0=Vo =>V=Vo/sen0 Ahora ay=-Vy x

dt

x

_d V x d0_ ax_"dT'dtAhora ay d x; d (v (vo oco cott0  d0 3y=d tVy= dé ‘ dt V0 av=-Vocsc20. — - ..rr y sen0 Vo 3y sen30r a Una rueda de radio 10cm? 10cm?gira gira aceleradam aceleradamente ente de man manera era que el número de revoluciones aumenta V2 vuelta por segundo. Transcurridos Transcurridos dos segund segundos. os. Hallar (a (a) la aceleración total y (b) el ángulo que hace la aceleración tangencial.

Tenemos que a=n rad/seg Por ecuación de mcuv tenemos: SOLUCIONAR SOLUC IONARIO IO FFISIC ISICA A LE IVA I Y II

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D

CINEMÁTICA

wt= w0t +^t 2

Piden cuando t = 2 seg W t=2rc t=2rc

Ahora an4 = ( ^ ) 2 =W2.R an=3,95 m/seg2  ....(*) Y

at at=a =a.R= .R=(n)( (n)(0,l)= 0,l)=0,31 0,314 4 m/s /seg eg2 ••• a = Ja 2+af 

a=3;962 m/seg También tg0=— aT

0=85.5° w   Un aeroplano aeroplano vuela entre dos puntos, puntos, cuya dis distancia tancia es d dee 50 500 0km en la dirección dirección •este. Cu Cuanto anto dura durara ra el vuelo vuelo si (a) (a ) sin viento viento (b (b)) si el viento sopla de sur a norte y (c ) el viento sopla de oeste a eeste. ste. La veloc velocida idad d del viento es de 40m/ se seg, g, la del aeroplano con respeto al aire es de 500km/h (a) t =60min (b) t = 62min (c) t = 46.2min.

A ) Ahora no tenemos tenemos acción acción del viento

2

SOLUCIONARIO SOLUCIONAR IO FISI FISICA CA LEI VA I Y II

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c

CINEMÁTICA

SOLVER EDK «

- O

500 km t=— r:— —=1  hora 500 km/h

Vaero= aero=500 500 km/h

t=60min B) Como el viento sopla de sur a norte con Vviento=144 km/s la velocidad del aero plano en ese eje es: VNS=144 km/s

500Kn¡>/

C) Como Como el viento viento ssop opla la de de OE OE => Vtotai=50 i=500+ 0+14 144 4 :=> V tot tota,=644 a,=644 km/h 500 => t=~—  =  =46,58 46,58 min min 644 l y p Un móvil móvil nave navega ga por rio rio a una una veloc velocidad idad que eess 2 vece vecess menor que la corriente de este. ¿Qué ángulo respecto a la corriente debe mantener el bote para que esta lo arrastre lo menos posible?

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SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II

 

Ì 

»SOLVER EDK 

CINEMÁTICA

Ahora analizando al móvil en la posición mostrada =>V >Vy= y=Vosen Vosen0 0 => -=Vosen -= Vosen t =Vosen0 — . . . ( *) 0 0  => t= t Luego sea d= distancia arrastrada =>d=(2V0-Vx)t d=(2V d= (2Vo o-Vocos0 cos0)t )t

de (*) (* )

Como deseamos que (1) sea mínimo => d =0 l-2cos0 => d =Sen20 n =>°=3 0-!=180-60° 01= 12 120 0°

Los barcos P y Q poseen poseen velocida velocidades des lOcm/s lOcm/seg eg y 8m /seg /seg la dis distan tancia cia PQ  es  es de 500 50 0m. La velocida velocidad d lom/ seg, seg, forma forma con con PQ un ángulo ángulo de de45 45°.°. Cuál debe ser el ángulo 0que forma 8m/seg con PQpara que ambos barcos se encuentren.

Sea t el tiempo nece necesario sario para encontrarse: da= da =8t dp= dp =10t SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II

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c

CINEMÁTICA

SOLVER EDK «

,0^ Geométricamente tenemos:

Por ley ley de sen0 8  _ lO lOtt sen45° sen0

tesen'(?'f) 0=62°,61 qyp En un rio cuya corriente tiene la velocid velo cidad ad lm/esg se debe cru cruzar zar -perpendicularmente con una canoa que puede ir a 5m/s 5m/seg eg (a (a)) con qué dirección dirección debe remarse en la canoa (b (b)) con que veloc velocida idad d se cruza. cruza.

Como deseamos deseamos que la canoa de debe be ser perpen perpendicula dicularr a la corriente corriente del río 5sen0=l

wwvv. wwv v. eciük perú, per ú, corn

SOLUCIONARI SOLUCI ONARIO O FISICA LE IV IVA A I Y IIII C 9 T

 

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 J

CINEM INEMÁ ÁTICA ICA

=» sen0=5 8=sen 5 0=11,54°

Como piden complementario => a= a=78 78,4 ,4ó° ó° a=75°,27‘ V=5 cos0 V=4,89 m/seg Una varia de longitud 2m se mueve, tal que el punto p tiene velocidad constante de3m de 3m/se /seg. g. Cuál es la ve velo locid cidad ad del punto Q cu cundo ndo 6 =  =  30°.

Veamos: tenemos del ......y=2 y=2sen0 sen0 ... (1) (1 ) 76

x=2 x=2cos0 cos0 ... (2) (2) www.eciukperu.com

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II

 

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CINEMATICA 

=> x2+y2=4 dx dy =* 2 d t'(x) t'(x)+2y d t =0 Luego: ^(x)+ ^(x )+y^ y^= =0 (3)(V3)+(l)Vy=0 ==s>-Vy >-Vy=3V3m/s Vy=5,19 m/s Se tiene dos móviles se mueven en líneas recta, cuyos gráficos de velocidad - tiempo se indican en la figura adjunta. Si ambos partes de una misma posición inicial. Al cabo de cuánto tiempo se encontraran los móviles.

Del gráfico mostrado tenemos: V .3 .«

VB=r~~-(t-t2)+V0 V m Sea t , al cual se se encuentra => también ambos recorren la misma misma distancia,

SOLUCION SOLUCIO N ARIO FISICA LE IV IVA A I Y IIII j C f S

wvwÁedu wvwÁ edu Kperu. corn

 

)

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CINEMÁTICA

=* dA dA-d B => t=t2+ t=t2+ t2(t2— t j) Dos móv móviles iles parten de la la misma posic posición ión inic inicial ial en forma simultánea, sus gráficos gráficos de velocidad -tiempo se indican en la fig. Adjunta. Una de ellas es una recta y el otro un cuarto de circunferencia circunferencia.. Hallar Hallar (a) (a ) la aceleració aceleración n del seg segundo undo movimiento de función del tiempo (b)aceleración del primer movimiento, sabiendo que el primer punto alcanza al al segundo en en el instante en que este queda en reposo ((cc ) 1 tiempo que transcurre hasta que que ambos puntos ttengan engan igual igual velocid velocidaa . ,

Realizando su ecuación de cada, de velocidad, según la gráfica: a) Por la ecuación del movimiento tenemos: dv2 a2= a2 =—

=> a2=

-t

V 0=t2 b) Calculan Calculando do el tiempo tiempo en que V2=0 => t=V t=V0 Ambos recorren lo mismo

Pero d)=d2 SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II

www. ww w. ed y kpe rú. rú .c o i t i

 

SOLVER EDK «

CINEMÁTICA 

7tV0

3l _ 2t2

c) Para(l) k   V0 Vi Vi=-. =-. — .t 2 t2

=> t=

2to \[k 2+4

De una una torre torre se arroja dos ccuerpo uerposs con la mism mismaa veloc velocida idad d v0 v0ee inclinaciones 0V 02. Ambas cuerpos caen en mismo punto del suelo. Hallar la altura H de la torre H=falta im n m m Para la primera piedra, tenemos que (por ecuaciones vect), podemos observar que:

X=V X= V0 t2 COS0!

( 1)

También H=^g t2-Vosen01  ....(2)

Análogamente para la piedra (2) tenemos X=V0 t2 cos02  .... (1 (1)’ )’ Vosen02t2  ....( 2)’ Resolviendo H:

2V0 c  cos os0, cos02 eos ( 0|+02) g sen^+G^

vvww. vvw w.ed u Kp Kp««?ru.ccom om

SOLUCIONARIO FISIC FISICA A LE IV IVA A IY I

 

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3

CINEMÁTICA 

Un grupo se mueve a lo largo de una recta, su posición con respecto al origen de coordenadas es: x(t)=t3-2t2+3t+ t+2 2. Hallar (a) (a ) la veloc velocid idad ad media para para eell interval intervalo o [[2,3] 2,3] Seg. (b) Seg. (b ) La velocid velocidad ad instantá instantánea nea t = 3s 3seg eg (a) (a ) La aceler aceleración ación me media dia en el intervalo [2,1] seg. seg. (d (d)) La acelera aceleració ción n instantán instantánea ea en 3seg 3seg.. © Para qué valores valores del tiempo su velocida velo cidad d es cero.

A) Sea X=t3.2t2+3t+2 Piden w

X(3)-X(2) 3-2 =12 m/seg

B) dx v= * V=3t2-4t-3 ...(1 ) C) Ahora piden V(3)- V(2) Pero V(3)=18 V(3)=18m/s m/s

^med-

^2

V(2)= 7 m/s amed=llm/s2 D) dv 3=dt

de ( 1) Tenemos a=6t-4 a= 14 m/s2 de (*)

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY II

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CINEMÁTICA

SOLVER EDK EDK «

3t2-4tr3=0 3t ©

Se lanza lanza un ccuerpo uerpo con un unaa velo velocidad cidad de 3 30 00 m/seg /seg y con un un áng ángulo ulo de tiro de 6 60°. 0°. (a) (a)H Hallar alla r la velocid velo cidad ad horizontal y vertical a los 1 10 0 seg después del disparo. (b ( b )E )Ell ángulo que forma la velo velocid cidad ad con la horizontal en el instante de 1 10 0 seg. (c) (c ) La aceleración tangencial y normal a los 10 seg del disparo use g = 10m/seg2 .

Como el movimiento es un MPCL => Vx=30 300 0 eos 6 60° 0° => Vfx fx=Vx= =Vx=30 300 0 cos cos60°=1 60°=150 50 m/ m/seg seg Ahora trabajando en el eje “Y” vectorialmente => Vfy Vfy=V0y+ +gt gt =s> V^=300 sen sen 60° 60°-( -(10) 10) (10) (10) V^=159,81 m/seg a) =>V >Vx= x=150 150 m/seg =>Vy=159.81 m/s m/seg eg b) tg0= tg0=^ ^ =l,O7 l,O7 X

=>0o=46,9° =46,9° O aT= £ ....(* )

Encontremos V en función de t

 V=1  V=150 50Í+(3 Í+(300 00 se sen n 60 60° -10t)J V=10 V= 10 Ct2 t2-30 -30\/ \/3t+900) 3t+900) 1/2 10 (t-15V3)

 Vt2-30V 30V3t+9 3t+900 00 => ar=7,3 m/s2 a2+af=a2=g2 SOLUCIONARIO FISICALEIVAI Y II

 

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D

CINEMÁTICA 

=> aN=V s 2-a -a?? aN=6,8 m/s2 ©

Desde la azote azoteaa de un edificio se la lanza nza verticalment mente, e, haci haciaa arriba u un n cuerpo cuerpo.. Transcurridos Transc urridos 5 seg pasa por el punto situado a 20m 20m por deba debajo jo de la azot azotea. ea. Si g=  /seg eg2. 2. Hallar lOm /s   Hallar (a) velocidad inicial (b) la altura que se elevo por encima de la azotea (c ) la velo velocida cidad d a la pasa por u un n punto situado a 3 30 0 m por debajo de la azotea.

A ) Como el ccue uerpo rpo d desarro esarrolla lla un MCL, =» trabajan trabajando do cot

=> h=Vo h=Vott - | t 2=2 =22, 2,05 05 m C) Por las ecuaciones vectoriales, tenemos que

3

  ecuaciones vectorial vectoriales es

H V0t V0t+ iig g t2 -300=Vo -300= Vot-5 t-5t2 t2=>-300=21 tt-5t2 5t2 . . . ( * ) Un avión tiene una veloc ve locida idad d de 30 300 0 km/ km/h con resp respecto ecto al aire. El avión viaja ida y vuelta entre dos puntos PQ que distan 1200 1200km km.. (a ) cuanto tiempo tarda de ir de P a Q en u un n día en que el viento sopla a lOO lOOkm/h km/h de Q a P.( P.(b b ) cuan cuanto to tiempo em plea si existe un un viento cruzado de lOO lOOkm/ m/h h. (c ) cuanto tiemp tiempo o em emplea plea si no hay viento.

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SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y I!

 

SOLVEREDK «

CINEMATICA 

a)

o

= 400

Q 

V = 200Kn 200Kn)) /

O

 _ 1200

Q 

1200 _ 9h

tt tto ota tall “ 400 + 200 ~

b) V 300

100

=>

^

100

C O S & =  —

—

300

=> # = 70,5°  => v y = 300 300sen sen70.5 70.5°°

o ,u 2400 = 8.5h t = ---V C) Q

30° K7 K7 h

»

=>t = 2100 =8h 300

SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II

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]

CINEMÁTICA 

El vector posición de una partícula es:r=tí+(t-2)~í-6t2 k, s i : m, t ::se seg. g. Hallar (a (a)) En que instante inst ante la velocidad es mí míni nima ma (b (b)) el valor de la velocida velocidad d mín mínima ima (c ) El radio d dee curvatura en función del tiem tiempo po (d ) LLaa aceleración acelera ción tangencial y normal cund cundo o la velocidad es mínima.

Se muestra a ) r=t í+ (t-2 ) 2 j j-6 t2  k _ dr ~ => V= — = i+ 2(t-2)j-12t k dt 148t2 148 t2-16t -16t-1 -17 7 ... .( * ) Para que dv _ =

2

0

  =* =* t= - s e g

b ) En (* ) d del el result resultado ado obtenido, ten tenemos: emos:  Vmin  Vm in=4,07 =4,07 m/s2

c ) Para calcular S haremos uso de 5= ^

(* (*Y Y 5 |vxá| .... C ;

Calculando Calculan do á= ^dt => á = l j - 12k =» Vx á = (48-12 t)T t)T+ + 12j+k

|Vx a|= V 14 144 4 t2 t2-l -l 1 152t-2 52t-2449 449 (148t2- 16t-17)3/g “ V 144Í2 44 Í2-115 1152t> 2t>24 2449 49 d) Piden Piden ár ár= = ^ ,

para para t= t=^ ^ se seg g

/ 144 24\ ar= ( l , - ^ , - 3 7 ) ( 0 , 1 , -12)=0,96 m/seg2 aN =

84

1 2

 m/seg

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SOLUCIONARIO SOLUCI ONARIO FIS FISICA ICA LEI VA I Y II

 

SOLVER EDK C

CINEMÁTICA 

Con que velocid velo cidad ad deb debee desplazarse una bolita por una mesa horizontal, si después de abandonar abandonar la m mesa esa a una una altura de lm lm,, recorra la mism mismaa distancia horizontal y vertic vertical al con relación al punto de partida. partida.

mmrnm Luego de abandonar la bolita describe un movimiento parabólico: Analizando en el eje "X”; sea VX=V0 Ahora d=V0t=>l=V0t ....(*) Ahora en el eje “Y” v ot =0 =>dy=V =>dy=Vo oy+^gt2 ^gt 2 1=^t 2 => t =f

En (*) tenemos: V0=V5=2,24 m/seg ©

Cu Cuál ál debe ser el áng ángulo ulo de tiro tiro del proyectil llanza anzado do del pun punto to A, con con una una velocid velocidad ad de 200 200m/seg, si un segundo proyectil se lanza con una velocidad de 150/mseg en

direcció dire cción n vertical del punto B para que colisionen.

Para que ambas colisiones =>la altura altura de ambas debe deb e ser la misma: misma: para la esfera B (tra (trabajand bajando o vec vectoria torialme lmente) nte) H=V H= V0Bt+|gt2  => H=150t-5t2 .. ...( .(** ) Para la esfera A, en el eje “Y” H=V H= V0Ayt+lgt2 H=2OOcos0t-5t2  ....(*)(*) Asumiendo que la colisión fue en el ascenso de ambas de (**) y (*) => V 0Ay= 150 => COS0= -

4

0= 41,4°

-..corrí

SOLUCIONARIO FISI FISICA CA LLEE IV IVA AI Y I

 

3

» SOLV SOLVER ER EDK  EDK 

CINEMÁTICA

Una persona se Halla en un edificio a una altura de lOOm y suelta una canica. Tres segundos después despué s lanza una segunda can canica ica idé idéntic nticaa a la pri primera. mera. Cual debe ser la velocidad veloc idad de lanzamiento de la segunda canica, para que ambos lle lleguen guen aall mis mismo mo

 /seg eg22). instante al suelo (g = lOm /s  j  jR R a w r a t ii iiM M Para la primera bolita, tenemos de las ecuaciones de MPCL =* H=V 0 lt+|t 2 H= | t 2=* t=2V5seg Para la segunda tenemos: H= V 0 (t-3)+|(t-3 ) 2 100-Vo ( 2  V5-3)+5(2 5 -3)+5(2VS-3) 2   => V o= o=60, 60,6 6 m/s m/seg eg  jp Se la lanz nzaa hacia hacia aabaj bajo o un unaa bolit bolitaa con u una na velocidad de 5m 5m//seg seg de desde sde u un na aalt ltura ura d dee 200m 20 0m.. Después de 2seg se llanza anza una bolita idéntic idé nticaa con una veloc ve locida idad d desconocida. desco nocida. Cuál deb debee ser el valo valorr de llaa velocid velo cidad ad de llaa segunda bolita, pa para ra que

las dos lleguen al mismo instante al suelo (g = lOm!seg2). Análogo al anterior problema para ambas bolitas la distancia recorrida son las mismas: para la primera

H=V01t+Igt2 200=5t+ igt2 t=5,84 seg Para la segunda: como el tiempo el cual recorre t1=t-2=3,84 seg

H=V02ti+^gt? 200=VO 200 =VO2 (3,84)+ 5(3 5(3,84)2 ,84)2 V q 2=32,89 m/seg

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SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II

 

SOLVER EOK «

CINEMÁTICA 

Un avión vuela desde P a Q ; separado separadoss una dista distancia ncia de 2 216 160m 0mkm km.. En dire direcció cción n este. est e. Hallar el tiempo de vuelo ( des desprec preciar iar el tiempo de bajada y de subida del avión (a) cuando no ase ase viento ((b b ) si el viento va de sur a norte (c (c)E )E l viento va de oeste a este. La velocidad del viento es 50m/seg y la del avión con respecto al aire es de 720km/h.

a) J   V=-t => t=3h t=3h b) Como en viento va de norte a sur => Vy=180km/m 720 sen0= Vy 720 sen0=18O km/m

=> 0=14 0=14.5° .5° Vx= x=720 720 cos0 cos0=697. =697.1 1 km/m t=-=3,lh d vx

c) En Ento tonc nces es,, com como o Vvie ien nto= to=18 180 0 km km/h /h .*. .*.Vra Vraro=900 ro=900 km/h d t=~=2,4 h v S p La grafica se velocida velo cidad d de un móvil en en función del del tiempo tiempo ssee indica en en la gráfica. gráfica. Hallar la aceleración media para los interv intervalos alos (a) (a ) [0,l]s [0 ,l]seg eg (b (b)) [[l,5] l,5]se seg g (c) (c ) [0 [0.5,4 .5,4]. ].

Por definición,; a,m«ea^ tftf^-t02 a) Pa rat ratee [0 [0,1 ,1]] =* Vo= o=0 0 , V i=2 =20 0 www. cduKp c duKperu, eru,co m

SOLUC SO LUCIO IONA NARI RIO O FFISI ISICA CA LEIV LEIVA A i Y II K

l

 

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» SOLV SOLVER ER EDK  EDK 

=> amed=Y =20 m/seg2 b) Pa Para ra t e [1,5] Vo=30m/seg Vo=30m /seg , V | =20 m/s /seg eg 30-20 amed” ed” ^ j —2,5 m/seg m/seg2 C) t e [0,5, 4] Para este caso: se relaciona V4=27,5 Vo,5=10 a med=

27,5- 10 27,53  5  =5 m/se m/seg g

CINEMÁTICA 

Un cuerpo cuerpo que cae, recorr recorree la mitad de su recorr recorrido ido total en llos os dos últi últimos mos segundos a partir del reposo. Hallar la altura desde la cual cae.

Sea h , el recorrido total: total: de acuerdo al problema 5 =V0lt+Igt2

, para t=2  s  seg eg Donde Voí  velocidad  velocidad inicial antes de que caiga ai suelo: 5=Volt(2)+20 ...(*) Ahora sea tt , el tiempo empleado para que el cuerpo caiga =* h=V0t+5t2 h= 5tf 5tf ... ....( .(** * ) para V0l =V0 =V0+ + g(t g(t,-2 ,-2)) Voll=g(tr Vo =g(tr 2) ....(** ....(***) *) De (*), (**) y (** (***) *) => ¿= 20(t,-2)+ 20  ....(a) SOLUCIONARIO FISICA FISI CA LEIVAI Y II

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SOLVER SOLV ER EDK «

CINEMÁTICA 

h=5tf 

=> t1=6,81 =6,81 seg seg h=231,0 m Un móvil realiz realizaa u un n movimiento movimiento re rectilín ctilíneo eo y su acelera aceleració ción n está dada por a=-4 a=-4x, x, donde x se mide en m y t en seg. Hallar la relación de la velocidad en función de x, sabiendo que t0=0,X0=2m, m,vv0=4m/seg.

Tenemos que por definición tenemos que a= -4x

dv a= — .v => J 2xad xadx x =/ = /4vvdv vd v => J*-4x J*-4xdx dx =/4vvdv vv dv -2 (x (x2 2-4) 4)= =  j  j-8  => V= [32-4 [32-4x x2] U2 Dos móviles parten del mis mismo mo punt punto, o, con acelera aceleraciones ciones de bm/seg2 bm/seg2separado separado en un tiempo de 3seg. 3seg. A que distancia del punto de partida se encontrara encontraran. n.

 ¿Míe Ejercicio para el lector Una partícula partícula se mueve a lo largo de un unaa curva, su po posició sición n inicia iniciall esta dado la longitud long itud del arco V]dond V]dondee su rapidez es v ty en su tiempo después t2 la longitud del arco es s2 y se rapidez v2 v2. Si en este trayecto trayecto la acelera aceleración ción tangencial tangencial es 3m 3m/s /seg eg2 2. Hallarla rapidez v2?

www edükper edük per u, cor corn n

SOLUCIONARIO SOLUCI ONARIO FIS FISIC ICA A LE IVA I Y IIII

 

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CINEMÁTICA

Como la part partícul ícula, a, se mueve mueve a lo largo de la trayec trayectori toriaa dv dv = > a t = T = > a t = T ds *v * a1 '=7d  

atds=vdv /s2 ards =Jv 2 vd vdvv , en esta tr tray ayec ecto tori riaa at=cte=3 at=cte=3 m/se /seg g2 vl - vf

=» 3 (V S ,) ,)= = ^ - i  V2=V?+ 6 (S_2-S_1 )1/2

57. Un hombre hombre sostiene sostiene una bola fuera de una ventana a 1 12 2m del suelo. El lanza lanza la b bola ola hacia arriba con una vel veloci ocidad dad de de5m 5m/se /seg. g. Que tiempo le le lleva lleva llegar hasta hasta el suelo y con qué rapidez llaga al suelo.  JR  J R H I W f i l W Por las ecuaciones de un movimiento caída libre (vectorialmente) d=V0t+ ig t 2 -12=5t-5t2 => t=2,13seg t=2,13seg Vf=V0+gt Vf=5-10 (2,13) Vf=-1 f= -16,3 6,3 m/seg Vf=16,3 m/seg 58. Por un un plano plano inclinado de ángulo ángulo 45°, 45°, se lanza lanza un unaa bola con la velo velocid cidad ad v0 v0yy formando también un ángulo de 45° con la horizontal, horizontal, que que distancia por la la horizontal recorrerá la bola antes antes de deslizarse de plano?. No consi considere dere la fric fricción. ción.

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II

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CINEMATICA

SOLVER EDK «

Del problema , descomponiendo V0 , a lo largo del piano y paralelo. Veamos

En lo horizontal: V 0cos45 => tvuelo •v 0  cos4 cos45° 5°=L =L

tvuelo

...( .. .(** )

Ahora paralela al plano, en la posición más alta: => Vf= => V0 s e n45° - a^ t

^vuelo-

2V0sen45° a

/-in

—

vU

Descomponiendo Descom poniendo g a lo la largo rgo de plano tenemos qu que: e: a=g sen0  ... ( 2) En ( 1 ) tvuelo=2 ^

..•(** •(**))

En (*)L= —V2 S ©

De un unaa mangue manguera ra brota brotan n chorros chorros de agua agua bajo los ángulos ángulos 9 y /? respecto al horizonte con la misma velocidad inicial v0. A   A que que distancia con respecto a la horizontal horizon tal los chorros se intersecan?.

En el eje “X”, tenemos: X= tTV 0 Cos p X= t2 V 0 Cos 0

SOLUCIONARiO SOLUCION ARiO FISICA FIS ICA LE IV IVA A I Y II

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CINEMÁTICA

tiCOs(3

t2= i ^ r Ahora en el eje “Y” Y=V Y= V0 senptr | b ? Y=V Y= V0 se  sen n01 2- | t| De (*) tenemos que

ll

2V0sen (0-P) g ( co coss2p- cos20)

Ahora: _ 2 Vp Cosp sen (0 (0-p -p)) g (COS2P-COS°0)

i i ^ l Se la lanza nza un unaa part partícul ículaa con velo velocida cidad d v0 v0,, formando un ángulo 9 con la horizontal. Qué tiem tiempo po transcurrirá para que que la ve veloc locida idad d forme un un ángulo //?? con la horizonta horizontal? l?

Veamos que en el eje “X” Vx=Vocos0 Luego Lue go de t sseg: eg: Vtx= V ocos0 En el eje “Y” “Y” Vfy Vfy= = Vyo- gt Del resultado final Vfy=Vfx-tgp Vfy= VQcos0 tgp Entonces: V 0 cos0 tgP=V0 sen0-gt V => t= — (sen (sen00-co cos9 s9 tgP) g www ed uk perú. perú . corrí  corrí 

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II

DINÁMICA 

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SOLVER EDK «

 

0

De un cuerpo de masa m1 m1se se cuelga con una cuerda de de una masa m2, otro cuerpo de masa masa m3. Al cu cuerp erpo o de masa m1 m1se se apli aplica ca u una na fuer za f dirigida hacia arriba.

Halla (a (a)) la fuerza de la tensión een n el extremo supe superior rior de la cuerda y en en el centro de ella.

m1

J cl

m21ri r s I ►Te

\m3 Hallamos la aceleración del sistema IF=mta F-m1g-m2g-m3g=(m1-m2-m3)a F a=g-------mr m2-m3

Ahora en el punto “s”, hallamos la tensión que se ejerce en la cuerda IF=mta F m3g+m2g-Ts=( g - ) (m2+m3) V m mi+m9+nriq/ 1+m2+m3/

-G\m1+m2+m3/ Lo mismo hacemos con la tensión en el punto C: m2 F m3S+— S-Tc= Tc=Svvww. vvw w. ed u kpe kperu ru,,com

» SO SOLV LVER ER EDK  EDK 

SOLUCIONARIO SOLUCIONAR IO FISI FISICA CA LE IV IVA A IY I

1 .................

.

...........

DINÁMICA  .

 

V f- ^ S L .)F Vm1+m2+m3/ Se tiene tiene el sistema que m muestra uestra een n la figura, si m1=3kg,m2ym3=5km . Si no se consid considera era el peso de la cuerda no ay rozamiento een n la polea fija. Hallar Hallar (a (a))

la ace acelera leració ción n del sistema (b ) la tensión de llaa cuerda que u une ne a las las m mas asas asnr nrit it y m2

Piden la aceleración del sistema

a) IF=ma a=F/m mig+m2g-m3g a=m1+m2+m3 (mT+ms-ms) a=-------------------c m1+m2+m3  v

(3+4-5)

SOLUCIONARIO SOLUCION ARIO FISI FISICA CA LEIVAI Y I

 

a=b i(9’8)

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L

DINÁMICA 

a=l,63 m/seg2

SOLVER EDK «

b ) Del sistema sistema S ’ , tenemos:

i i fmiS

ZF '=ma m1 g-T= g-T=ml ml a T=mn(g-a)

T   = 3(9,8 - 1,63) T=24,51 N

En el sist sistema ema que se da, hallar la velocid ve locid ad y la ace aceleració leración n del bloque 3, sabien que las las poleas sson on de radio iguales iguales y no presentan rozamiento. Se con oce Xt =4m/seg ,

=-2m/seg2   ’x 2 =-5m/seg, x2 =8 m/seg2.

r

m

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SOLUCIONARIO SOLUCIONARI O FIS FISICA ICA LLEE IV IVA A I Y II

» SOLV SOLVER ER EDK  EDK 

La distancia de la cuerda desde el peso 1hasta la polea B es:

DINÁMICA 

r 

 A

m V, =4-r k    J

\  

f  i 

X1

 

Xo

a, = 2 ^

X2

X3

a - f ii™ ™* m -

5m

X t +t iR+Xo^ . - . O ) Derivando: X 1+0+X0=0 ; Xi=-X0... (2) Derivando (2): X 1+Xo=Q  X i =-Xq... (3) La distancia del peso (3) al peso (2) es: X3_Xo+X2_X()+tcR=C2 ••* (4) Derivando:

www.edukperu,corrí 

  SOLU SOLUCION CIONARIO ARIO FISI FISICA CA LE IVA IVA I Y II!!

 

DINÁMICA 

£

SOLVER EDK «

X 3 O^-X2 -X()+0—0  )  X 3 —2Xo2Xo-X2 X2..-- (5 ) Derivando (5): X 3-2Xo +X2=0 X 3 =2Xo-X2 Paraa halla Par hallarr la veloc velocidad idad de (5 (5)) y (2) V 3=2(-X t ) -X2=2 -X2=2(-4) -(-5)= (-5 )=-3m -3m/seg /seg2 Paraa la aceleraci Par aceleración ón de (2), (3 ) y ( 6 ): a3 =X =X3 3=2(-Xt (-Xt )-X )- X2=-2((-2) 2) -8=-4m/seg  2

Dado el sistema de dos poleas fijas y una móvil en la

cuü!

es h a y tres masas

m1 ;m2y m3 Hallar la la acele aceleración ración de d e cada masa masa,, ssii se des desprecia precia el peso d dee las las poleas, as asú ú como la fricc fricción ión en las poleas.

R

Hallando la relación relación de aceleraciones:

X-|-Xo+7cR +X3-X0+7tR-l1

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DINÁMICA 

] Derivando: X 1+2X0+X3=0... (1) Derivando X 1+2X0+X3=0... 2) Para la otra cuerda: X 2-Xo-7tR=l2 X2-X¿=0 DerivandoX2 Derivando X2 = X c ... (3) Las ecuaciones de dinámica para cada mesa es: rr^g-T^nM! m2g-T2=m2a2 ...(5) donde T!=T3 m3g-T3=m3a3T2=Ti+T3 T2 = 27\ ... ...(7 (7 ) 4m]] m3-3m2m3+m1 m2 4m 4m1m3+m2m3+ml m2 ' m3+m2m3 a2~ \4m1m3+m2m3+m1m2

4m! m3-3m1 m2+m2m3\ 4m! m3+m2m3+m1 m2 ) ^ a

Un Unaa persona persona se desliz deslizaa sobre sobre un trineo trineo por una una mo mont ntañ añaa de pendiente pendiente 6.  El co coefic eficien iente te de rozamiento entre la superficie superficie y el trineo es /¿. Como de moverse el hombre de masa M con respecto al trineo de masa para que este último se deslice por la pendiente con movimiento uniforme. 98

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SOLVER EDK EDK «

DINAMICA 

Del Sistema total I F=Ma M: masa del hombre (M+m)gsen0-jj(M+m)gcos0=Ma (M+m) a= — 77— g. g.(s (sen en0-pcos0) M

Dado el sistema que se muestra een n la ffigura. igura. La masa masa de la polea, de las cuerdas cuerdas y la fricción se desprecia desprecia Hallar la acelera aceleración ción de las m mas asas. as. rn m m im r Considerando que m2>m! tenemos el siguiente diagrama, de donde obtenemos que a1~a2 Como la fuerza de gravedad es la que actúa sobre el sistema a1=a2=g

Dado el sistema que se muestra en la figu figura. ra. De la po polea lea fija cuelga una masa m; m; qué fuerza F es necesario aplicar a la cuerda para que la masa m se mueva hacia arriba con aceleración a.

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SOLUCIONARIO SOLUCIONAR IO FIS FISICA ICA LLEE IV IVA A I Y II

99

 

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DINÁMICA 

Dejamos éste ejercicio al lector. ©

Hal Halla larr la aceler aceleraci ación ón masa m2(iTi2>mi) para el sistema dado. Se desprecia la masa de la polea, cuerdas y no hay rozamiento.

 JR t1 ílffiW 7 ÍÍ 

Por dinámica para cada masa tenemos: 2 1 -iT^g sen0=m1a1

lm2g-lT=m2a2 De (1) y (2) obtenemos: 2m2g-m g-m1 1g sen sene=m e=mll a1+2m2a2

Se muestra que ax = - a2 íTl! =»2 m2g-m1g sen0=— a2+2 m2a2 4m2g-2m1g sen0=m1a2+4m2a2 2g(2 m2-m1  se sen n0 =>a2=4m2+m!

En sistema que se muestra muestra la barra m es mayor que la bola m (M > M M)) . La bola tie tiene ne un orificio por donde se desliza el hilo con razonamiento. En el momento inicial la H U SOLUCIONAR SOLUCIONARIO IO FISICA LEIVA I Y IIII

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SOLVER EDK «

DINÁMICA 

bola se encuentra frente al al extremo inferior inferio r de la barra. barra. Después de que el sistema quede libre. Am Ambos bos cuerpos se mueven con aceleración aceleració n constante. Hallar la fuerza de razonamiento entre el el hilo y la bola, si si al cab cabo o de t segundos de haber comenzado el movimiento. La bola se colocó en la parte superior de la barra, que tiene una longitud L.

La baria recorre X, mientras que la esfera recorre L+X. Por cinemática tenemos que: X+L=^t2 ...(1)

■■( )

X=

2

D e ( l) y (2) ten enem emos os::

Por dinámica: Mg-fr=M.aM... (4) mg-fr=m.am... (5) De (4) y (5) en (3) obtenemos: fr=

2LmM 9 (M-m)t2

-----

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SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II

:

 

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DINÁMICA 

Dado el sistema que se inicia en la figura, la superficie es lisa, se desprecia el peso de las poleas y de las cuerdas. Hallar la aceleración de la masa mi. Mmtrmrn/

Por dinámica a la masa “m0” 2T  = m0 m0aa ... (1) Se demuestra que ar a2 a=Por dinámica a las masas m1 m1yy m2 mig-T=miaj -m2g   4- T = m2a2 ... (3) -m2g De (1) en (3) y reemplazando a  = Tenemos: ar a2 a=m0(ar a2)

-m2g=m2a2

m a -4m2g =>a9=- 40m12+m0 ...(4)

Sumando Suma ndo (2) y (3) y reemplaz reemplazando ando a2 se tiene www. ww w. ed u kps ru. com

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£

DINÁMICA 

SOLVER EDK «

/m0ar 4m2g\ Despejando ax: ai =

4m2+rn1 +m0  (nriT (nriT-hm2) 2)'' 4m1m2+m0 (m 1+m2)

ED

Sobres Sob res las ma masas sas m mii y m2 actúan las fuerzas F1 = bt y F2 =2bt; =2bt; que están unidos unidos p por or un hilo que puede soportar la tensión T, donde b es una constante. Hallar en que instante el hilo se romperá.

mm m wm Fc>

m2

mi

7 7 7 7

Para cuando el hilo se rompa de la a =é 0 Por dinámica se tiene que IF=mta F2-F1=(m =(m1+m2)a 2bt-bt=(m1+m2)a

bt=(mr bt=( mr m2)a Teniendo en cuenta la dinámica de cada masa: *

m9 1 - 4

7 77 7 7 7

^T

mi

7 7777/

F2-T=m2a ...( 2) T-F^nr^a

...(3) De (2) y (3) obtenemos la aceleración: www.edu kkper peru. u. com

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]

DINÁMICA 

T a= 2m1+m2 Reemplazando en (1) obtenemos el tiempo en el cual el hilo se romperá: T (m 1+m2) b ‘ ( 2m,+m2) O

Que fuerza fuerza actúa en 1sección de una una barra barra homogénea homogénea de longitud longitud L a la distanci distanciaa x del extremo al que se aplica una fuerza R; dirigida a lo largo de la barra.

L Por dinámica tenemos que R  = ma  ma  ... (1) Definamos m

m P = L~= Y mx  m =— ...( 2) .

Por dinámic dinámicaa para el trozo de la barra.

x rrí 

R-F=m'a Utilizando Util izando (1 (1)) y (2) se tien tiene: e: X\

R

  Se tiene un prisma de masa masa M y áángulo ngulo 6, se le comunica aceleración “a” hacia la

0

izquierda. Una masa m se halla sobre el prisma. Cuál es el valor máximo de esta aceleración, para que la masa m permanezca inmóvil con respecto al prima, sabiendo •que el coe coefi fici cien ente te de rozamiento rozamiento entr entree las m masas asas es //¿( ¿(//¿ < cotg 6) SOLUCIONARIO FISICA FISI CA LEIVA I Y II

..ei_,¡-Der.

.

 

£

DINÁMICA 

SOLVER EDK «

En el eje X para eell b loque se tiene: tiene:

-A

yu O=ZFx=macos0+macos0-fr

(1 ) En el eje Y se tiene:  XFy = N 2 —mg —mgco coss O  — masenO  = 0 fr=macos0-macos0...

N2=mgcos0+masen0... (2) Sabemos que fr=pN2... (3) De (1), (2) y (3) encontramos que: 9(1+ jj  cotO) max” (cot0(co t0-p) p) Dado el sistema formado por el prisma de masa M y sobre él la masa m. despreciando el precio de la polea, de la cuerda y el rozamiento. Halla la aceleración del prisma M.

r

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II

 

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DINAMICA 

Haciendo DCL para cada masa: Por dinámica tenemos para la masa m: mg SenO - T  T  = mam ... (1) Y para la masa M: T+N Sen0=(m+M)am Se demuestra que: am=am am =am COS0 COS0  

De (1) y (2) y reemplazando reemplazando am tenemos: mg Sen0+NSen0=(m+M)am+ Cos0 mg Cos0(l+Cos0) Cos0(l+Cos0) 9m M Cos0+m( Cos0+m(_+C _+Cos0 os0))   La máquina de At Atwo wood od,, está colgada de u una na balanza de reso resorte, rte, tal tal como se indica en que la figura figura.. Hallar Hallar la acelera aceleración ción de los cuerpos, la indicac indicación ión de la balanza balanza y la tensión en la cuerda que une a las masas.

RT=TB 2T

m\$ Por dinámica para cada masa: gmrr T=am gm T=am1 T-gm2=am2

D e (l)y (2 ) se tiene: g(m1-m2)=a(m1 +m2) (mr m2)g

- (m,+m2) ...(3) Ahora hallamos, de (2) y (3):

T^ 2 m1m2g m!+m2 Y la tensión de la balanza será 2T 4m1m2g 1 b  b= ='”m!+m "T z r' 2

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SOLUCION SOLU CIONARIO ARIO FISI FISICA CA LLEE IVA IVA I Y II 2

 

DINÁMICA

.(

SOLVER EDK «

Se tiene el sistema que se indica en la figura, hallar (a) la aceleración de cada peso. Supóngase que las cuerdas y poleas son de peso despreciable, estas últimas son lisas y las las cuerdas son flexibles e inextensibles.

«gnnmnnr

Como las cuerdas son inextensibles entonces estas permanecerán constantes: 1

! =Xt -Xo+7tR+Xo-Xo+7tR +Xq

Derivando 2 veces, siendo X  X00  =

cte , se tiene: )C| +2X¿=0

l2=X¿-Xo , derivando 2  veces, tenemos: *¿¡=*¿...(2 ) 13  =X2  _Xq Xq ■+•7iR "+X3 -Xq Derivando 2 veces veces,, se tiene:

X 2-2X¿+X3=0 •.. (3 )

De (1), (2) y (3) se tiene:

X2+X^+X3=0

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)

DINÁMICA 

...(4) Por dinámica para cada masa, se obtiene: m^-T^m^! ...(5) m2S-T2=m2a2 ... ( 6) se demuestra que m3S-T3=m3a3 ...(7)

T=Ti =T2=T3 ...( 8) De (4), (5), ( 6), (7) y ( 8) se tiene: /m! m2+m! m3-2m2m3\

ai Vrr rr^ ^m3+m2m3+m1 m3 78 /m2m3+m1 m2-2m} m3\ a2=(S \ rr^ m3+m2m3+m1 m2 / /m1 m3+m2m3-2m1 m2\ a3= Vnr^m3+m2m3+m1 m2 /)S' Reemplazando m! =2kgm2=4kgm3=3kg tenemos: 31=^3

32=7 -4g

93=-

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SOLUCION SOLU CIONARiO ARiO FISI FISICA CA LLEE IVA IVA I Y II

■  

SOLVER EDK «

DINAMICA 

©

c 

Un cuerpo está está colgado colgado de dos hilos hilos que que fo form rman an ángul ángulos os 61 y 02 02con con la vertical, como se indica en la figura. Demostrar que si se corta el segundo hilo, la tensión en el primero varia instantáneamente en la aceleración.sen aceleración.sen 02/seg{01+ 02/seg{01 + 02)cos 61.

En el equilibrio, tenemos lo siguiente:

T1cos01 +T2cos02=mg... (1) T1sen01=T2sen02... (2) De (1) y (2) obtenemos: >r>   mgsenGo 1 se sen n ((0 01 +02) _

Por dinámica

mv¿¿ mv mgcos01-To=IT Pero como V  =   al inicio inicio 0

To-mgcosO^O To-mgcosO!... (4)

De (3) y (4) TV sen02 To~c To ~co os0r s0 r se sen(0 n(01 1+eo)

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 j

Se tiene una esferilia de masa rn que se mueve alrededor de un alambre de radio R;: que se halia en un un plano ver vertica tical.l. La esferil esferilia ia tiene una una velocid velocidad ad uniforme vO a lo largo dé! alambre. Hallar (a) la aceleración centrípeta, (b) la componente radial y tangencia! de la fuerza que se ejerce sobre la esferilia, debido ai alambre en el instante en que el radio con ía esferilia forma un ángulo 0 *con ia horizontal.

 j a s a s »

Se tiene que la aceleración centrípeta es igual a:

Para hallar las fuerzas tangencial y radical se tiene del gráfico que;

Por dinámica en el eje radical se tiene: Fr  + mg senO —mac f r  = ™

~ gsend gsend j  j

Se tiene un sistema formado por dos poleas fijas y un peso de 10 kg.. Hallar (a) la fuerza mínima para que el sistema se encuentre en reposo, (b) si ia fuerza F tiene un valor de 198N, hallar la aceleración del bloque, (c) cual debe ser eí váior de la fuerza

~SíDLLJC! CNARIO F'IS F'ISIC ICAL ALEI EIV VA i Y l¡

~

~~~ “

—

 

DINÁMICA 

£

SOLVER EDK «

F para que el peso peso suba con una acele acelerac ración ión de 1.2 m/seg /seg 2? (a (a)) F= 98N; 98N; (b ) a =1 = 10 m/seg2; m/seg 2; (c ) = 110N. 110N.

10 kS

Tm g a) Para que se encuentre en equilibrio, la tensión de la cuerda debe ser igual a la fuerza F F=t=mg F=(10kg F=(1 0kg)) (9,8 ~ ) =98N 98N b) Por dinámica se tiene £F=ma F-mg 198-98 m a=- = 10m 10 segz c) De (1) se tiene: F=98n=(10KG)(l,2-^yi V seg v F=1ION

. j j   Se tiene un cuer cuerpo po de mas masaa m y está sujeto por dos resortes ig iguales uales de constante de elasticidad k, alargados ambos a una distancio AL. Hallar la magnitud de la aceleración del bloque en el instante de soltar el bloque. No hay rozamiento. www.edukpsru.com

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY II ¡ g T

 

» SOLV SOLVER ER EDK  EDK 

D.

DINAMICA 

m

FkSenO

^J^Ksene

t

FkCosO

Por dinámica en el eje X: IF IF=maa IF= maa= =— m 2Fk senG 2K AL a_ ------ = —sen0 m m ---

Sobr So bree los blo bloques ques de masa m mii = 30kg 30kg.. M2 =15 kg kg,, existe una fuerza de roza rozamien miento to de 2 kg. Qué tiempo empleara partiendo del reposo para que el bloque m2 recorra una distancia 10m?si

0=60°. güWIBTO*

SOLUCIONARIO SOLUCION ARIO FISICA LEIVA I Y II

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DINÁMICA 

Considerando todo el sistema por dinámica obtenemos: ^ 0^

rr^g sen0-2fr=(m1+m2)a

Por cinemática tenemos que: X=Xo+V0t+-at2 20 Para cuando recorra 10m; se tiene una aceleración de a -  — ... (2)

Ahora (2) en (1) obtenemos el tiempo en el que recorre 10 m.: t=2,04 seg Se lanza una partícula con una velocidad inicial vO, hacia abajo por un plano inclinado inclina do de ángulo 9 y longitud L. Cuál será el coeficiente de fricción cinética, si la partícula partícu la alcanza el el extremo inferior del Plano justo cuando cuando llega al reposo.

Fr Por dinámica en el eje X: SOLUCIONARIO SOLUCIONAR IO FISI FISICA CA LE IV IVA A i Y II

w w w .edu kpe ry ry.com .com

 

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1

DINÁMICA 

mg sen0-pkmg cos0=ma gsen0-pkg cos0=a... ( 1 ) Por cinemática obtenemos: a=^

=Vot=Vo

(2

t

t

a

K '

L=V0t-±at2... (3) Reemplazando (2) en (3), obtenemos la “a”

Reemplazando (4) en (1), obtenemos pK=tan02Lgcos0

©

Por una porción de un canal canal circular de de radio radio R, se desplaz desplazaa u una na masa asa m7sin fricción. Que altura H alcanza la masa, si el canal gira con una velocidad angular cú unifrome.

Del diagrama obtenemos que Ncos0=mg... (1) NsenO = mw2r...  mw2r...  (2) Y r = RsenO RsenO ...  ... (3) De (1), (2) y (3) (3 ) tene tenemos mos:: Pero

mw2Rcos0=mg ... (4)

m SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y I

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DINAMICA 

R-H

cos9= —— R Reemplazando en (4) obtenemos

Un plano inclinado de ángulo 9, gira alrededor de un eje vertical con una velocidad angular a). Un cuerpo cuerpo de masa m se ha halla lla en en el extremo inferior del plano inclinado y está a una distancia R del eje de giro. Hallar el coeficiente de rozamiento mínimo que permita que la masa m se mantenga sobre el plano inclinado.

4^

Por dinámica y la fuerza antribeta en “X” tenemos:

/

U -N sen0+fr cos0=mac=mw2R... (1) En “Y” por equilibrio se tiene: mg=Ncos0+frsen0... (2) Siendo f r   = /uKN, /uKN, reemplazando  reemplazando en ( 1 ) y (2) Nsen0+jJKN cos0=w2Rm... (3) Nc o s 0+ jj  j j kN sen0=mg... (4) (4 ) www.edu kpe www.edu  kperu. ru.com

SOLUCION SOLU CIONARIO ARIO FISICA LEIVAI Y II j 'j j f l

 

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De (3) y (4) encontramos N:

DINAMICA 

w2Rm

N= pK cosG-senG* (5) mg

N=-cos0-pKsen0 Igualan Igu alando do (5) (5 ) y ( 6); y despejando nK nK   tenemos: w 2Rcos0+gsen0 g cos0-W sen0 ©

Un Unaa barra barra sin sin peso peso,, doblado como se indica en la fig figur ura, a, gira gira con un unaa velocid velocidad ad angular w, respecto al eje BC. En el punto A de fa barra hav un cu cuerp erpo o de man manaa m m.. Hallarr LLaa fue Halla fuerza rza que ejerce ejerce la barra sobre la ma masa sa m. m m m íM L>

Hacemos DCL a la esfera:

Por la fuerza antrípeta en “X” se tiene: F sen0-mac Fsen# = mW2R mW2R ...  ... (1) Por equilibrio en el eje “Y” 12 2

 

S OLUCIONAR OLUCIONARIO IO FIS FI S ICA LE IV IVA A I Y IIII

*,

::-du durr _ _

SOLVER EDK EDK

DINÁMICA 

F cosO cosO   = mg mg ...  ... (2) Elevando al cuadrado (1) y (2) y luego sumamos obtenemos: F2(sen20+cos20)=(mg)2+(mw2R)2 F2=(mg)2+(mw2R) 2 Pero R=L sen0 -.1/ 1/2 2

F= |(mg)2+(m +(mw2 w2LL se sen0 n0)2 )2]]

Desde lo alto de una una semí esfera de radio R, se desliza un cuer cuerpo po pequeño, pequeño, sin rozamiento. A qué altura H se desp desprenderá renderá dic dicho ho cuer cuerpo po de la cúpula. É tm m m

Por dinámica tenemos que: mg sen0-N=mac

mg cos0-N=m

(1)

Por la conservación de la energía: (mgH (m gH-m -mgR gR)+ )+ ^ mV2-0^ =0

De (2) en (1): 2mg mg sen0-N= sen0-N= —R — (R(R-H) H) www .edukpe .edukpe ru. com

 

SOLUCIONARIO SOLUCIONARI O FFISIC ISICA A LEI VA I Y I

» SOLV SOLVER ER EDK  EDK 

]

DINÁMICA 

Cuando el cuerpo se desprenda N  = 0 mgsen6=^-(R-H)...(3) Pero sen0=H/R Reemplazando en (3) y despejando H se obtiene: 2 H=-R

©

Hallar el radio R de un un puente en arco, con la con condició dición n de que la presión de un auto que se mueva con un unaa velo velocid cidad ad v se haga haga tres vec veces es menor en el punto más alto del puente. M3nrnraiiT i

w

Hallamos la fuerza centrípeta en el punto A y B: En el punto más alto

En el punto más bajo

3 - T - * Sumando las expresiones (1) y (2) 4P 2mv2 ~3 =  R

rt  SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y IIII

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SOLVER EDK «

DINÁMICA 

P=mg R=

3v2 29

Un atleta pesa 70 kg. Se colo coloca ca sob sobre re una una balanza de resorte en un un ascensor. Cuanto marcara la lectura de la escala de la balanza, si si eell ascensor, (a (a ) sube con unaa velocid un velo cidad ad constante de 5 5m m/seg /seg . (b (b)) tiene u una na acele aceleración ración hacia aarriba rriba de 5m/seg2 (c (c)) tiene una una acelera aceleración ción hacia abajo 3.4 m/seg2 (d) cae libremente debido a que el cable se rompe.

a) Como la la velo velocida cidad d es constante no no hay acele aceleración, ración, po porr tanto el peso que marca marca la balanza es 70 kg. b) Entonc Entonces es la ma masa sa que marcará será: será: ma+mg L=  =105,7 kg S ----   -

ma

mg

c) Entonces Entonces la balanz balanzaa marcar marcaráá mg-ma L=— ---=4 -- -=45 5,7 kg g www.edukperu.com   www.edukperu.com

SOLUCIO SOLU CIONARI NARIO O FISICA LEIV LEIVAIY AIY I

 

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DINÁMICA 

d) La ac aceler eleració ación n en el exterior será la la acelera aceleració ción n de llaa gravedad ya que está en caída libre, entonces la balanza marcará: L=m L= m g ^ g =o S iü

9   Un cuerp cuerpo o de masa masa mte mtesta sta situado sobre una una mes mesaa giratoria horizontal que distan unaa distancia R del eje de rotación, si el coeficie un coeficiente nte de rozamien rozamiento to estático límite entre el cue cuerpo rpo y la masa masa es fi fiss . Una cuerda une la masam1 masam1con con la masa m2, por medio de una una polea sin fricció fricción n que se encuentran en llaa m mas asaa giratoria, ta tall como se muestra mue stra en figura. Entre Entre que límites de co deb  debee de girar la mesa mesa para que la m masa asa m2 no se mueva mueva Hacia arriba ni ni hacia abajo?

iMüiar

La velocidad angular superior es cuando la esfera tiende a salir del disco y es cuando la esfera tiende su movimiento hacia el centro:

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w v j  

 

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DINÁMICA 

SOLVER EDK «

fr'icuando tiende a salir del disco Para el límite superior: IF=m 2g+f[1=m1w 2R m2S+^ m2S+ ^f1n1g=m =m1 1w|UpR

P

í(m2 + limy)g J miR

i i) Para el límite inferior: IF=m 2g-fr=m,wfnfR m2g-]jm g-]jmll g=m1wfnfR Winf=

nr^R

Una masa masa de Ikg, Ikg, se mueve a la largo de una una recta de forma que el camino recorrido x(m) en en función función del tiempo t (seg) ees. s. x  = A - 2t - 3 -  31 12 + t3 t 3. Hallar la magnitud mag nitud de llaa fuerz fuerzaa que actúa sobre el cuerpo cuerpo al al finalizar el tercer tercer segundo de su movimiento. íytUHM m=1kg 77 7 777 77

-

El camino recorrido se expresa por la ecuación dada X = A - 2t - 3t2+ t3 ... (1)

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DINÁMICA 

F(t) = ma ma =  = mx mx ...  ... ( 2) Derivando (1)2 veces, tenemos: x=-6+6t Reemplazando en (2) para t  = 3se 3seg g F(0=m(6t-6) F(3)=1 2 N #

Un cuerpo cuerpo se desp despla laza za por pl plano ano inc inclilinad nado o án ángu gulo lo 9 = 60°. La relación entre la distancia x (m) (m ) recorrido por el cuerpo y el ttiempo iempo t( t(sseg ) está dada por llaa ecuación x = t i 2. Hallar el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el plano.

Por dinámica se tien tiene: e: mgsen0-fr=ma... ( 1 ) Tenemos que x  = 3t2  derivando derivando 2 veces veces tenemos la la aceleración: x ~ a  = 6m/seg2 ... (2) De (2) en (1) mgsen0-nkmgcos0=6m  jjk=  jjk =0,50

©

La longitud longitud de las las varillas de un regulador centrífugo es ig igua uall a 12,5 cm cm.. Que numeró de revolucio revoluciones nes po porr segundo dará dará el regulador, ssii al girar los contrapesos contrapesos se

desvían por la vertical un ángulo de 30o?

SOLUCIONARIO FISICA LE IVA 1Y II

 

S OLVER EDK «

DINÁMICA

Por la fuerza centrípeta, se tiene Tsen0=mac Tsen0=mw2 R... (1) En el equilibrio en el eje “Y”, se tiene Tcos0=mg... (2) De ( 1 ) y ( 2 ) se tiene: tiene: mgtan9=mw2 R... (3) Siendo

R   = L senO y w=2tcv

Reemplazando en (3), tenemos:

-^=m(27Cv)2L COS0

Lcos0

=1,51 RPS

Un peso de Ion , se encuentra fijo a un cordón de goma de longi longitud tud

l0 gira

circularmente en un plano horizontal con u una na frecuenc frecuencia ia de 3RPM. 3RPM. El cordó cordón n se

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DINÁMICA 

desvía con respecto a la vertical un ángul ángulo o 30 30°,°, Cuando el co cordón rdón se esti estira ra Ic Icm m . Se deb e ap debe aplica licarr una fuerz fuerzaa de 5n. 5n. Hallar Halla r la longitud L0  del cordón sin estirar estirar..

///////////////

Por dinámica de la fuerza centrípeta, se tiene: T Sen30=mRw2 Sen30=mRw2... ... (1) (1 ) Tenemos que cuando T=5Al=10mm De (1): T Sen30=m(lo+Al)w2... (2) Reemplazando valores: lo=24,81 m.

t

40.. Sob 40 Sobre re u un n peque pequeño ño cue cuerpo rpo de m masa asa m, que se encuen encuentra tra een nu un n plano horizontal lizo, en el instante t =0 , empieza a actuar una una fuerza que dep depend endee del tiem tiempo po por llaa ley f=b t, don donde de b es una cons constante tante.. La fuerza hace en tod todo o instante un ángulo 0  con llaa

horizontal. H horizontal. Halla allar® r®a) a) La veloc velocidad idad del cuerpo en el mome momento nto de llaa separación del plano (b ) El camino, recorrido por eell cuerpo este moment momento. o.

w ww ww , e du k pe r u .c o m

U SOLU SOLUCION CIONARIO ARIO FISICA LEIVAI Y IIII

 

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DINÁMICA 

«nnaiiTM

t^y»•|  J|

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r  

FcosG 1

fN Tenemos en el eje X; por dinámica: Fcos0=ma a) Por cinemática se tiene que dv d t= Fcos0=m dv dt bcosO dv=-----t dt m Integramos bcosO

2m

En el eje “Y” se tiene que XF=0 N+Fsen0-mg=O Cuando se separe del plano; N   = 0 Fsen0=mg

t=bsenG r^ r •••( 2) De ( 1 ) y ( 2 ) tenemos:

mgz

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‘ 2 bsen2 0 b) Para hallar la distancia se tiene que dx : dt dt

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DINAMICA 

bcosGt2 dx=vdt= — ---- dt 2m -

Integrando: bcos0t3 x=6m ...(3) De (2) (2) y (3) tenemo tenemos: s:

©

m2g3cos0 x=6b2sen sen0 Una lanch lanchaa de masa masa m es mueve en un unaa lagun lagunaa a la velo velocida cidad d v0. v0. En el instante t =0 desconect desc onectan an el motor si la fuerza de resistencia del ag aguc* j! movimien movimiento to de la la lancha proporcional proporcio nal a su velocida velocidad d f  f    = -rv. -rv. Hallar  Hallar (a) (a) el tiempo del movimiento de llaa lancha con el motor desconectado, (b) la velocidad de la lancha en dependencia del camino recorrido con el motor desconectado, a su como el camino total hasta la parada.

i . F=rv Por dinámica tenemos que: que: -rv-ma