Solucionario Ensayo MT - 034 2015
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SENSCESMT034-A15V1
SOLUCIONARIO ENSAYO MT- 034
1.
La alternativa correcta es A.
Unidad temática Habilidad
Números racionales Comprensión
Al interpretar numéricamente “la cuarta parte del cuarto de
2.
1 1 1 1 1 ” resulta . 4 4 4 4 64
La alternativa correcta es C.
Unidad temática Habilidad
Números racionales ASE
Si en el curso hay 36 alumnos y la mitad de ellos son hombres, entonces hay 18 hombres y 18 mujeres. Luego: I)
Verdadera, ya que la tercera parte de los hombres son bajos. Es decir,
18 = 6 3
hombres son bajos, por lo cual (18 – 6) = 12 hombres NO son bajos. II)
Verdadera, ya que la sexta parte de las mujeres son altas. Es decir,
18 = 3 mujeres 6
son altas. III)
Falsa, ya que la sexta parte de las mujeres son altas. Es decir,
18 = 3 mujeres son 6
altas, por lo cual (18 – 3) = 15 mujeres NO son altas. Por lo tanto, solo las afirmaciones I y II son verdaderas. 32 9 2 Por lo tanto, el quinto término de la secuencia es 1 9 18 . 2 1 1 2
3.
La alternativa correcta es D.
Unidad temática Habilidad
Números racionales ASE
Sabemos que en el club deportivo hay 39 hombres y 62 mujeres. En total son 101 personas. Como se desea formar 7 equipos, con igual número de integrantes, de manera que en cada uno de los equipos la cantidad de mujeres sea el doble de la cantidad de hombres, dividimos tanto el número de hombres como el número de mujeres por 7. hombres 39:7 = 5 4
mujeres 62:7 = 8 6
Como en cada uno de los equipos la cantidad de mujeres debe ser el doble de la cantidad de hombres, siendo equipos lo más numerosos posibles, en cada equipo debe haber 4 hombres y 8 mujeres. Luego: Cantidad de hombres en equipos = 4·7 = 28 Cantidad de mujeres en equipos = 8·7 = 56 Total de personas en equipos = 84 Por lo tanto, el número de personas que no forman parte de los equipos es 101 – 84 = 17
4.
La alternativa correcta es A.
Unidad temática Habilidad
Números racionales ASE
Si a y b son dos números enteros tales que a > 0 y b = – a, entonces b es un número negativo y a = – b. Luego: I)
II)
a b Verdadera, ya que al reemplazar a = – b resulta a = b = (b – 1), b b que es el antecesor de b, que siempre es menor que b.
Falsa, ya que si b = – a, entonces (a + b) = 0 y el cero siempre es mayor que cualquier número negativo.
III)
a b 5b Falsa, ya que al reemplazar a = – b resulta 2b = . Como b 2b 2 2 2 5b es un número negativo, entonces es un número positivo, que siempre es 2 mayor que cualquier número negativo.
Por lo tanto, solo la afirmación I es siempre menor que b.
5.
La alternativa correcta es E.
Unidad temática Habilidad
Potenciación Aplicación
(2) 3 2 8 2 40 2 42 2 5 5 25 25 25 25 (5)
6.
La alternativa correcta es A.
Unidad temática Habilidad
Potenciación ASE
20³ = (20 · 20 · 20) = 8.000 (20³ + 20³ + 20³ + 20³) = (4 · 8.000) = 32.000. Luego: I)
Es equivalente, ya que (4 · 20³) = (4 · 8.000) = 32.000
II)
No es equivalente, ya que 80³ = (80 · 80 · 80) = 512.000
III)
No es equivalente, ya que 2012 = (2 · 10)12 = (212 · 1012) = (4096 · 1012) = 4.096.000.000.000.000
Por lo tanto, solo I es equivalente a la expresión.
7.
La alternativa correcta es B.
Unidad temática Habilidad
Potenciación Aplicación
Al transformar p = 0,0005 a potencia de 10, se tiene 5 · 10– 4. Entonces, al reemplazar m = 4 · 10³ y p = 5 · 10– 4 en la expresión (m · p²) resulta (4 · 10³ · (5 · 10– 4)²) = (4 · 10³ · 25 · 10– 8) = (100 · 10– 5) = (10² · 10– 5) = (10– 3) = 0,001
8.
La alternativa correcta es E.
Unidad temática Habilidad
Potenciación ASE
I)
No es un número irracional, ya que
3 12 36 6
II)
No es un número irracional, ya que
5 2 5 2 5 10
III)
No es un número irracional, ya que
2 162
2 1 1 162 81 9
Por lo tanto, en ninguna de las operaciones el resultado es un número irracional.
9.
La alternativa correcta es B.
Unidad temática Habilidad
Potenciación ASE
I)
Falsa, ya que
x x 2 x
II)
Falsa, ya que
x4y x4 y x2 y
III)
Verdadera, ya que 12y : 3
12y
4y 2 y
3 Por lo tanto, solo la afirmación III es siempre verdadera.
10.
La alternativa correcta es C.
Unidad temática Habilidad
Potenciación ASE 1
2p 1
2p 3
11.
2 p
1
2 p3
2 p2 1
2 p3
2
p
1 1 2 3
2
2
1
p6
2
La alternativa correcta es B.
Unidad temática Habilidad
Potenciación Aplicación
Dado que 4·log a 1 log a
1 4
Como se quiere saber el valor de log a se aplica la propiedad del exponente del 1
argumento, donde log a log a 2
1
· log a
2 1 1 1 1 1 resulta · log a · 4 2 2 4 8
Finalmente, reemplazando log a por
12.
La alternativa correcta es C.
Unidad temática Habilidad
Potenciación Aplicación
log x 2 3 · log 5 2 · log 3
(Aplicando la propiedad del exponente)
log x 2 log 5 log 3
(Desarrollando las potencias)
3
2
log x log 100 log 53 log 32
(Aplicando propiedades de logaritmo)
100·32 log x log 53 100·9 log x log 125 4·9 log x log 5
(Simplificando)
log x = log 7,2 x = 7,2
13.
La alternativa correcta es E.
Unidad temática Habilidad
log 4 9 log 4 7 log 2 9 log 2 4
(Igualando argumentos)
Números irracionales ASE (Aplicando cambio de base)
log 4 7
log 2 32 log 4 7 2 2 log 2 3 log 4 7 2 log 2 3 log 4 7 mq
(Logaritmo de una potencia) (Simplificando)
Por otro lado, p log 3 2 1 log 4 4 log 4 7 q Luego, p q . Por lo tanto, p q m
14.
La alternativa correcta es E.
Unidad temática Habilidad
15.
Números irracionales ASE
La alternativa correcta es B.
Unidad temática Habilidad
Números complejos Aplicación
Por lo tanto la parte real es
16.
La alternativa correcta es D.
Unidad temática Habilidad
Números complejos Aplicación
Amplificando z por el conjugado del denominador, resulta:
17.
La alternativa correcta es A.
Unidad temática Habilidad (3xq – 3yq + y – x) (y – x) + (3xq – 3yq) (y – x) – 3q(y – x) (y – x)(1 – 3q)
18.
Transformación algebraica Aplicación (Agrupando y reordenando) (Factorizando el segundo término por – 3q) (Factorizando por (y – x))
La alternativa correcta es E.
Unidad temática Habilidad
Transformación algebraica Aplicación
El sucesor de Q es (Q + 1) y el antecesor de P es (P – 1). Luego, el cuociente entre el Q 1 a 2 1 1 sucesor de Q y el antecesor de P es . P 1 a 12 1 Desarrollando esta expresión se obtiene:
a
2
1 1
a 12 1
a2 a2 a a2 2 2 a 2a 1 1 a 2a a(a 2) a 2
19.
La alternativa correcta es A.
Unidad temática Habilidad
20.
Ecuaciones y sistemas de primer grado Aplicación
La alternativa correcta es C.
Unidad temática Habilidad
Transformación algebraica Aplicación
Como p = (x6 – y6), q = (x³ + y³) y z = (x – y), entonces
(x 6 y 6 ) p = 3 qz ( x y 3 )(x y)
Al factorizar el numerador como suma por su diferencia y simplificar la fracción resulta
( x 3 y 3 )(x 3 y 3 ) ( x 3 y 3 )(x y)
(x 3 y 3 ) . ( x y)
Luego, al factorizar el numerador como diferencia de cubos y simplificar la fracción resulta
( x 3 y 3 ) ( x y)(x 2 xy y 2 ) = (x² + xy + y²). ( x y) ( x y)
21.
La alternativa correcta es A.
Unidad temática Habilidad
Transformación algebraica Aplicación
1 1 mediante la multiplicación cruzada resulta Al sumar la expresión x y x y ( x y) ( x y ) 2x . 2 ( x y)( x y) (x y 2 ) 2x 1 2y x 2 y2 1 : 2 . Luego, = 2 x 2 y2 2y x y x y x y
22.
, que al simplificar queda x . y
La alternativa correcta es C.
Unidad temática Habilidad
Ecuaciones y sistemas de primer grado Aplicación
Si llamamos x al número mayor e y al número menor, al plantear las ecuaciones del enunciado, se tiene: (1) x + y = 48 x (2) 3 y
Despejando x en (2) resulta
x 3 x = 3y y
Reemplazando x en (1) y despejando resulta: x + y = 48 3y + y = 48 4y = 48 y = 12 Reemplazando el valor de y en (1), se tiene x = 48 – 12 = 36 Por lo tanto, el número mayor es 36.
23.
La alternativa correcta es B.
Unidad temática Habilidad
Ecuación de segundo grado y función cuadrática Aplicación
Reordenado la ecuación 2x2 + 6x = 56 se tiene: 2x2 + 6x – 56 = 0 x2 + 3x – 28 = 0 (x +7)·(x – 4) = 0
(Dividiendo toda la ecuación por 2) (Factorizando)
Entonces: x + 7 = 0 x = – 7 x–4=0 x=4 Por lo tanto, las soluciones son – 7 y 4.
24.
La alternativa correcta es B.
Unidad temática Habilidad
Desigualdades, inecuaciones y función potencia Aplicación
Si el número indicado es x, entonces planteando la inecuación resulta: 3x – 4 ≤ 14 3x ≤ 14 + 4 3x ≤ 18 18 x 3 x≤6
(Ordenando) (Despejando x)
Por lo tanto, el máximo valor que puede tomar el número es 6.
25.
La alternativa correcta es D.
Unidad temática Habilidad
Desigualdades, inecuaciones y función potencia Aplicación
La solución de un sistema de inecuaciones corresponde a la intersección de los intervalos solución de cada inecuación. Entonces, resolviendo cada inecuación: (1)
x < 2(1 – x) x < 2 – 2x 2x + x < 2 3x < 2 x<
(2)
(Distribuyendo) (Ordenando) (Despejando)
2 3
4≤x+5 4–5≤x –1≤x
(Ordenando)
Luego, la solución del sistema es la intersección de ambas soluciones:
–1
2 3
2 Por lo tanto, el intervalo solución es 1, , representada en la alternativa D. 3
26.
La alternativa correcta es E.
Unidad temática Habilidad
Función afín y función lineal Aplicación
De acuerdo al gráfico, se sabe que los puntos (– 3, 3) y (0, 0) pertenecen a la función. 30 3 1 . Luego, la pendiente entre los dos puntos es m = 30 3 Como la recta pasa por el origen, entonces el coeficiente de posición (n) es 0. Por lo tanto, la función representada en la gráfica es n(x) = – x
27.
La alternativa correcta es C.
Unidad temática Habilidad
Función afín y función lineal ASE
Expresando la ecuación principal de la recta se tiene y – x – 1 = 0 y = x + 1, donde la pendiente es positiva y el coeficiente de posición es 1. La alternativa A queda descartada, ya que su pendiente es cero y la alternativa B representa una pendiente indefinida. Por otro lado, las alternativas D y E representan rectas con pendientes negativas debido a su orientación en la gráfica. Por lo tanto, la alternativa correcta es la C, ya que su gráfico tiene pendiente positiva y su coeficiente de posición es 1. 28.
La alternativa correcta es D.
Unidad temática Habilidad
Teoría de funciones Aplicación
1 3 1 g g 1 g 2 1 1 5 g g g 3 1 3 5 5 1 2 3 3 2 1 2 5 5 2 2
29.
La alternativa correcta es E.
Unidad temática Habilidad
Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada ASE
Para obtener el dominio de h(x) =
3x 15 , se debe restringir la cantidad subradical.
Luego, 3x – 15 ≥ 0 3x ≥ 15 x ≥ 5 Por lo tanto, el dominio de h(x) es [5, + ∞[.
30.
La alternativa correcta es B.
Unidad temática Habilidad
Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada Aplicación
4 ·82x 1 163x 4 0 2
3 2 x 1
2 · (2 )
4 3x 4
(2 )
0
2 2 · (2 3 ) 2 x 1 (2 4 ) 3 x 4
2 2 (6 x 3) 212x 16 2 + 6x – 3 = 12x – 16 – 1 + 16 = 12x – 6x 15 = 6x 15 x 6
31.
(Igualando las bases) (Despejando) (Aplicando propiedades de potencias) (Igualando bases) (Despejando x)
La alternativa correcta es A.
Unidad temática Habilidad
Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada Comprensión
La función exponencial representada en el gráfico muestra una curva decreciente, por lo tanto la base de esta es positiva y menor que 1. Con esta conclusión se descartan las alternativas B y C, cuyas bases son mayores que 1. Evaluando las alternativas que quedan en x = 0 se tiene: 0
2 A) f(x) = – 2 = 1 – 2 = – 1 3 0
3 D) p(x) = = 1 4 0
2 E) m(x) = – 1 = 1 – 1 = 0 5 Luego, según el gráfico, la curva intersecta al eje y en su parte negativa. La única alternativa que cumple con esto es la A.
32.
La alternativa correcta es D.
Unidad temática Habilidad
Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada ASE
Evaluando la función en x = 50 resulta g(50) = log(50a) = 5 Aplicando definición de logaritmo, se tiene que log(50a) = 5 105 = 50a Despejando a resulta 100000 = 50a
2.000 = a. Es decir, g(x) = log (2.000x)
1 1 Luego, g = log 10 = 1 = log 2.000 200 200
33.
La alternativa correcta es A.
Unidad temática Habilidad
Ecuación de segundo grado y función cuadrática Comprensión
De acuerdo a la parábola de la figura esta pasa por el origen, por lo cual c = 0, y las únicas alternativas que cumplen con esta condición son la A y la E. Luego sus puntos de intersección con el eje x son: A) f(x) = x2 + x = x (x + 1). Intersecta al eje x en 0 y – 1. E) p(x) = x2 – x = x (x – 1). Intersecta al eje x en 0 y 1. Por lo tanto, la alternativa correcta es A, ya que intersecta al eje x en una coordenada negativa y en 0.
34.
La alternativa correcta es C.
Unidad temática Habilidad
Desigualdades, inecuaciones y función potencia Comprensión
La función potencia p(x) = (x – 1)5 tiene exponente impar, por lo tanto tendrá la forma de las figuras representadas en las alternativas A, B o D. Para obtener el valor en que la gráfica intersecta al eje y se evalúa en x = 0: p(x) = (x – 1)5 p(0) = (0 – 1)5
(Evaluando en x = 0)
p(0) = (– 1)5 p(0) = – 1 Luego, la alternativa correcta es C, ya que es su intersección en el eje y es un valor negativo.
35.
La alternativa correcta es B.
Unidad temática Habilidad
Transformaciones isométricas Comprensión
Si T(x, y) es el vector de traslación, entonces A(– 4, 3) + T(x, y) = B(2, – 2). Descomponiendo los pares ordenados para encontrar el vector de traslación ocurre que: 2=–4+x 6=x –2=3+y –5=y Por lo tanto, T(x, y) = T(6, – 5)
36.
La alternativa correcta es E.
Unidad temática Habilidad
Transformaciones isométricas Aplicación
Si a un punto se le aplica una rotación negativa de 270º, es equivalente a una rotación de 90º en sentido positivo. Al rotar un punto (x, y) en 90º en sentido positivo se obtiene (– y, x), por lo tanto el punto (2, – 3) rotado en 90º es (3, 2).
37.
La alternativa correcta es E.
Unidad temática Habilidad
Transformaciones isométricas Aplicación
Al realizarle al triángulo PQR una simetría axial con respecto al lado RQ se imita el reflejo de un espejo.
Luego, al triángulo resultante RQS se le aplica una simetría central con respecto a P, lo cual equivale a una rotación de 180º.
38.
La alternativa correcta es B.
Unidad temática Habilidad
Transformaciones isométricas ASE
Sea la recta L: y = mx + n, con m y n distintos de cero, tal que (x1, y1) y (x2, y2) sean puntos distintos que pertenecen a la recta. La pendiente será m
y 2 y1 y el coeficiente x 2 x1
de posición será n. Luego: I)
Verdadera, ya que la traslación solo moverá a la recta en el plano cartesiano sin alterar su inclinación. De hecho, al trasladar la recta según el vector (0, 2), los nuevos puntos serán (x1, y1 + 2) y (x2, y2 + 2). Entonces, la pendiente será m
y 2 2 y1 2 y 2 y1 y el coeficiente de posición será (0, n + 2). Como la x 2 x1 x 2 x1
pendiente es igual y el coeficiente de posición es distinto, las rectas son paralelas. II)
Verdadera, ya que al rotar los puntos en 180º con respecto al origen, los nuevos puntos serán (– x1, – y1) y (– x2, – y2). Entonces, la pendiente será m
y 2 y 1 y 2 y 1 y 2 y 1 y el coeficiente de posición será (0, – n). Como x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1
la pendiente es igual y el coeficiente de posición es distinto, las rectas son paralelas.
III)
Falsa, ya que al realizar una simetría con respecto al eje X, los nuevos puntos serán (x1, – y1) y (x2, – y2). Entonces, la pendiente será m
y 2 y 1 y 2 y 1 y 2 y 1 . Como las pendientes son distintas, las rectas no x 2 x1 x 2 x1 x 2 x1
son paralelas. Por lo tanto, solo en las afirmaciones I y II se obtiene siempre una recta paralela a L.
39.
La alternativa correcta es E.
Unidad temática Habilidad
Transformaciones isométricas Aplicación
57 26 2 El punto medio del trazo AB es , , 2 2 2
40.
4 1, 2 2
La alternativa correcta es D.
Unidad temática Habilidad
Geometría de proporción Comprensión
En el triángulo ABC se sabe que AD DB y DE // BC , por lo cual, es posible determinar que DE es mediana del triángulo, y con ello el triángulo ADE es semejante con el triángulo ABC. La razón de semejanza es k
1 y la razón entre las áreas es el cuadrado de esta, es decir 2 2
1 1 Razón entre las áreas: k 2 . 4 2 41.
La alternativa correcta es B.
Unidad temática Habilidad
Geometría de proporción Aplicación
Como AB // CD , y considerando que los triángulos de la figura tienen un ángulo recto en E, se deduce que el triángulo ABE es semejante con el triángulo DCE. Por otro lado, se puede obtener la medida del segmento CD aplicando el trío pitagórico 3k, 4k y 5k, con k = 4. Luego, el segmento CD es 20.
Aplicando el teorema de Thales:
AB CD 10 20 10 12 AE = =6 AE ED AE 12 20
Por lo tanto, el valor del trazo AE es 6.
42.
La alternativa correcta es C.
Unidad temática Habilidad
Geometría de proporción Aplicación
Se sabe que AB mide 36 cm y la medida de BP = x, entonces AP = 36 + x. Planteando la AP 36 x 7 proporción, queda . Multiplicando cruzado resulta: BP x 3 3·(36 + x) = 7x 108 + 3x = 7x 108 = 7x – 3x 108 = 4x 108 x 4 27 = x
(Despejando)
Luego, BP = 27 y AP = 36 + 27 = 63 Por lo tanto, las medidas de AP y BP son 63 cm y 27 cm, respectivamente.
43.
La alternativa correcta es B.
Unidad temática Habilidad
Geometría de proporción Aplicación
Para obtener la medida del lado CB aplicamos el teorema de Pitágoras: 82 + CB2 = 172 64 + CB2 = 289 CB2 = 289 – 64 CB2 = 225 CB = 15
(Despejando) (Aplicando raíz cuadrada)
Luego, para obtener el perímetro del triángulo ACB se suman sus tres lados 8 + 17 + 15 = 40 cm.
44.
La alternativa correcta es C.
Unidad temática Habilidad
Geometría de proporción ASE
Los tres triángulos rectángulos que aparecen en la figura tienen su altura trazada desde el ángulo recto, por lo cual es posible utilizar el teorema de Euclides. Luego: I)
Se cumple, ya que un cateto es m, su proyección sobre la hipotenusa es r y la hipotenusa es n. Entonces m2 = n · r.
II)
Se cumple, ya que la altura bajada sobre la hipotenusa es m y las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa son n y r. Entonces, m2 = n · r.
III)
No se cumple, ya que por el teorema de Pitágoras la relación correcta entre los segmentos es r2 + n2 = m2.
Por lo tanto, la igualad solo se cumple en las afirmaciones I y II.
45.
La alternativa correcta es B.
Unidad temática Habilidad I)
Circunferencia ASE
Verdadera, ya que al ser OC y OB radios, el triángulo OCB es isósceles de base
BC , por lo cual OBC = BCO = 20°. Luego, por suma de ángulos interiores se tiene que COB = 180º – (20º + 20º) = 180º – 40º = 140º. II)
Verdadera, ya que el arco CB mide 140° (igual al ángulo de centro COB) y el arco EB mide 240° (el doble del ángulo inscrito EAB). Entonces, arco EC = arco EB – arco CB = 240º – 140º = 100º
III)
Falsa, ya que arco BE = 360° – arco EB = 360° – 240° = 120°
Por lo tanto, solo la afirmación III es falsa.
46.
La alternativa correcta es B.
Unidad temática Habilidad
Geometría de proporción Aplicación
Como PC es 5 cm mayor que AP , entonces si AP = x, entonces PC = x + 5. Luego, aplicando el teorema de las cuerdas:
AP PC BP PD x·(x+5) = 7 ∙ 18 x2 + 5x = 126 x2 + 5x – 126 = 0 (x – 9)·(x + 14) = 0
(Reemplazando) (Multiplicando) (Despejando) (Factorizando)
Luego, las soluciones para x son 9 y – 14, pero como se trata de medida la solución válida es 9. Entonces, AP = 9 cm y PC = 14 cm. Por lo tanto, AC = AP + PC = 9 + 14 = 23 cm.
47.
La alternativa correcta es B.
Unidad temática Habilidad
Geometría analítica ASE
Expresando la ecuación principal de la recta se tiene x – y + 2 = 0 y = x + 2. Luego: I)
Falsa, ya que la pendiente corresponde al valor que acompaña a x. En este caso es 1, un valor positivo.
II)
Falsa, ya que el punto de intersección con el eje X se obtiene evaluando y = 0 en la ecuación de la recta 0 = x + 2 – 2 = x. Entonces, la recta corta al eje X en el punto (– 2, 0).
III)
Verdadera, ya que el punto de intersección con el eje Y está dado por el coeficiente de posición (2). Entonces, la recta corta al eje Y en el punto (0, 2).
Por lo tanto, solo la afirmación III es verdadera.
48.
La alternativa correcta es A.
Unidad temática Habilidad
Geometría analítica Aplicación
La solución del sistema se puede determinar por el método de reducción: x + y = 1 (1) x – y = 3 (2) 2x = 4
(Sumando las ecuaciones)
x=2
Reemplazando x en (1) resulta 2 + y = 1 y = 1 – 2 = – 1 Luego, el punto de intersección de las rectas corresponde al par (2, – 1), que es un punto ubicado en el cuarto cuadrante. Entonces solo pueden ser posibles las alternativas A o B. Analizando las ecuaciones principales de las rectas, resulta y = – x + 1 (que corresponde a una recta decreciente) e y = x – 3 (que corresponde a una recta creciente). De las dos opciones que quedan, solo la alternativa A ofrece esta posibilidad, ya que en la alternativa B ambas rectas son crecientes. Por lo tanto, es la alternativa A la que mejor representa la solución gráfica del sistema.
49.
La alternativa correcta es C.
Unidad temática Habilidad
Geometría analítica Aplicación
Como la homotecia de centro O transforma a un cuadrado de lado 3 cm en otro de lado 5 5 cm, entonces la razón de homotecia es , por lo tanto: 3 OQ 5 (Sustituyendo) OP 3 40 5 (Despejando) OP 3 40 3 (Calculando) OP 5 OP 24 cm Luego, si OQ = 40 cm y OP = 24 cm, entonces PQ = 40 cm – 24 cm = 16 cm.
50.
La alternativa correcta es A.
Unidad temática Habilidad
Geometría analítica Comprensión
En un rombo, las diagonales se dimidian, lo que significa que se intersectan en el punto medio de cada una. Es decir, el punto medio de PR es igual al punto medio de SQ . Como cada coordenada del punto medio de un segmento es igual al promedio de las coordenadas respectivas de los extremos, considerando R(a, b, c), se puede plantear: Punto medio de PR = Punto medio de SQ
(Reemplazando)
1 a 0 b 0 c 0 0 0 1 1 0 , , , , = 2 2 2 2 2 2 1 a b c 1 1 , , = 0, , 2 2 2 2 2
Igualando componentes, resulta: 1 a =0 1+a=0 a=–1 2
b 1 b=1 2 2
c 1 c=1 2 2
Por lo tanto, las coordenadas del vértice R son (– 1, 1, 1).
51.
La alternativa correcta es D.
Unidad temática Habilidad
Geometría analítica ASE
Si un punto (x, y, z) pertenece a la recta v(t) = (– 1, 3, 2) + t · (1, – 2, – 3), entonces existe un valor real para t tal que (x, y, z) = (– 1, 3, 2) + t · (1, – 2, – 3). Es decir, se debe cumplir que (x, y, z) = (– 1 + t, 3 – 2t , 2 – 3t) A) No pertenece, ya que si (– 2, 1, 5) = (– 1 + t, 3 – 2t , 2 – 3t), entonces: –2=–1+t , 1 = 3 – 2t y 5 = 2 – 3t Luego, al despejar t en cada ecuación notamos que su valor es distinto en cada ecuación. B) No pertenece, ya que si (2, – 3, 7) = (– 1 + t, 3 – 2t , 2 – 3t), entonces: 2=–1+t , – 3 = 3 – 2t y 7 = 2 – 3t Luego, al despejar t en cada ecuación notamos que su valor es distinto en cada ecuación. C) No pertenece, ya que si (1, – 2, – 4) = (– 1 + t, 3 – 2t , 2 – 3t), entonces:
1=–1+t , – 2 = 3 – 2t y – 4 = 2 – 3t Luego, al despejar t en cada ecuación notamos que su valor es distinto en cada ecuación. D) Si pertenece, ya que si (– 3, 7, 8) = (– 1 + t, 3 – 2t , 2 – 3t), entonces: –3=–1+t , 7 = 3 – 2t y 8 = 2 – 3t Luego, al despejar t en cada ecuación notamos que su valor es – 2 en cada ecuación, es decir, si t es – 2, entonces verificamos que el punto (– 3, 7, 8) pertenece a la recta. E) No pertenece, ya que si (0, 1, – 2) = (– 1 + t, 3 – 2t , 2 – 3t), entonces: 0=–1+t , 1 = 3 – 2t y – 2 = 2 – 3t Luego, al despejar t en cada ecuación notamos que su valor es distinto en cada ecuación.
52.
La alternativa correcta es C.
Unidad temática Habilidad
Cuerpos geométricos Aplicación
Según el enunciado, como la hipotenusa mide AB = 9 y uno de los catetos mide BC = 6, se puede calcular el cateto AC mediante el teorema de Pitágoras: 2
2
2
AC BC AB AC2 + 62 = 92 AC2 + 36 = 81 AC2 = 81 – 36 AC2 = 45
(Reemplazando) (Desarrollando) (Despejando) (Aplicando raíz cuadrada)
AC = 3 5 Luego, al rotar el triángulo rectángulo en torno a AC se genera un cono, donde AC es altura (h), BC es radio (r) y AB es generatriz (g).
Por lo tanto, el volumen del cono es Vcono
· r 2 · h · 6 2 ·3 5 36 5 . 3 3
53.
La alternativa correcta es B.
Unidad temática Habilidad
Cuerpos geométricos Aplicación
El volumen de un prisma se calcula como el área de la base por la altura. En este caso, el área de la base interior corresponde a un cuadrado de lado 6 cm, ya que al tamaño de la base exterior (10 cm) se le quita 2 cm por lado de espesor. Luego, el área de la base interna es 36 cm². Por otra parte, la altura interior corresponde a la altura exterior (10 cm) menos 2 cm de espesor de la base. O sea, la altura interna es 8 cm. Entonces, el volumen interior es (368) = 288 cm³. Por lo tanto, la capacidad interior máxima del recipiente es 288 cm³.
54.
La alternativa correcta es C.
Unidad temática Habilidad
Datos Aplicación
I) Verdadera, ya que la moda es el dato con mayor frecuencia. Luego, la moda es 3. II) Falsa, ya que la mediana es 4. Para obtener la mediana de una muestra estadística tabulada, es conveniente determinar la frecuencia acumulada de los datos. Así la mediana será el primer dato cuya frecuencia acumulada sea mayor o igual a la(s) posición(es) de la mediana. Luego: Dato Frecuencia Frecuencia acumulada 3
8
8
4
6
14
5
4
18
6
2
20
Como la muestra tiene 20 datos, entonces la posición central corresponde al décimo y decimoprimer dato, siendo la frecuencia acumulada de la segunda fila (14) la primera que es mayor o igual que las posiciones de la mediana (10 y 11). III) Verdadera, ya que el promedio de los datos de la muestra es 3·8 4·6 5·4 6·2 24 24 20 12 80 x 4 8642 20 20
Por lo tanto, solo las afirmaciones I y III son verdaderas.
55.
La alternativa correcta es D.
Unidad temática Habilidad
Datos ASE
I)
Falsa, ya que la moda es el dato y no la frecuencia de él, por ello la moda es 30.
II)
Verdadera, ya que la media de los puntajes se calcula de la siguiente manera: 5 ·10 10 · 20 15 · 30 10 · 40 50 200 450 400 1100 x 27,5 40 40 40 Verdadera, ya que la cantidad de alumnos que obtuvo 40 puntos es 10 y esto corresponde al 25% de 40, que es el total de alumnos.
III)
Por lo tanto, solo las afirmaciones II y III son verdaderas.
56.
La alternativa correcta es B.
Unidad temática Habilidad
Datos ASE
I)
Verdadera, ya que al sumar la cantidad de datos se tiene 20 + 25 + 15 + 20 = 80
II)
Verdadera, ya que para obtener la media aritmética se debe sumar todos los datos y dividirse por la cantidad de datos. Entonces, 2 · 20 4 · 25 6 ·15 8 · 20 40 100 90 160 390 x 4,875 ≈ 5 80 80 80
III)
Falsa, ya que la moda es el dato y no la frecuencia del dato, por ello la moda es 4.
Por lo tanto, solo las afirmaciones I y II son verdaderas.
57.
La alternativa correcta es D.
Unidad temática Habilidad
Datos Aplicación
El decil 7 es equivalente al percentil 70, es decir, el dato bajo el cual se encuentra el 70% de la muestra. Para conocer este dato, es conveniente realizar una tabla de frecuencia acumulada. Como la muestra tiene 80 datos, entonces el dato número 80 es aquel bajo el cual se encuentra el 100% de la muestra. Por lo tanto: 80 100 80 70 x 56 x 70 100 Es decir, bajo el dato número 56 se encuentra el 70% de la muestra. Luego, observando la frecuencia acumulada, notamos que este dato se encuentra en el intervalo 41 – 50.
58.
Puntaje
Frecuencia
F. Acumulada
1 – 10 11 – 20 21 – 30 31 – 40 41 – 50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 – 100
4 10 14 16 13 2 3 7 5 6
4 14 28 44 57 59 62 69 74 80
La alternativa correcta es B.
Unidad temática Habilidad
Datos ASE
Si n, n + 1, n + 2, n + 3 y n + 4 son los cinco números enteros positivos consecutivos, entonces: I) Si se mantiene, ya que el rango de una muestra es la diferencia entre el dato de mayor valor y el de menor valor. Al eliminar el término del medio, los extremos se mantienen, por lo que el rango no se altera. II)
Si se mantiene, ya que el promedio de la muestra inicial es n (n 1) (n 2) (n 3) (n 4) 5n 10 n2 5 5 Como el promedio es igual al término central, entonces si se elimina este dato, el promedio no varía. III)
No se mantiene, ya que la desviación estándar de la muestra inicial es
(2) 2 (1) 2 0 2 12 2 2 4 1 0 1 4 10 2 5 5 5 Y al eliminar el término central, la desviación estándar sería
(2) 2 (1) 2 12 22 4 11 4 10 5 4 4 4 2
Por lo tanto, solo I y II se mantienen.
59.
La alternativa correcta es C.
Unidad temática Habilidad
Datos ASE
I) Si tiene igual varianza, ya que el rango y la diferencia entre los términos son iguales respecto al conjunto {2, 4, 7}. II) No tiene igual varianza, ya que el rango y la diferencia entre los términos son el doble respecto al conjunto {2, 4, 7}, por lo que su varianza es el cuádruple en relación al conjunto inicial. III) Si tiene igual varianza, ya que el rango y la diferencia entre los términos son iguales respecto al conjunto {2, 4, 7}. Por lo tanto, solo I y III tienen igual varianza que el conjunto {2, 4, 7}.
60.
La alternativa correcta es D.
Unidad temática Habilidad
Datos ASE
Para determinar P (μ – 3σ ≤ X ≤ μ + 3σ), se escribe el intervalo en función de z: μ – 3σ ≤ X ≤ μ + 3σ – 3σ ≤ X – μ ≤ 3σ 3σ X μ 3σ σ σ σ –3≤ z ≤3
(Restando μ en cada término) (Dividiendo por σ) Xμ (Reemplazando z ) σ
Luego, se cumple que P (μ – 3σ ≤ X ≤ μ + 3σ) = P (–3 ≤ z ≤ 3) = P (z ≤ 3) – P (z ≤ – 3) Como en la distribución normal P (z ≤ – 3) = 1 – P (z ≤ 3), entonces P (z ≤ 3) – P (z ≤ – 3) = P (z ≤ 3) – (1 – P (z ≤ 3)) P (z ≤ 3) – P (z ≤ – 3) = P (z ≤ 3) – 1 + P (z ≤ 3) P (z ≤ 3) – P (z ≤ – 3) = 2 · [P (z ≤ 3)] – 1 Por lo tanto, P (μ – 3σ ≤ X ≤ μ + 3σ) = 2 · [P (z ≤ 3)] – 1
61.
La alternativa correcta es C.
Unidad temática Habilidad
Azar Comprensión
Los elementos que serán ordenados en la repisa superior son 7, por lo tanto en la primera posición puede ir cualquiera de los 7 peluches, sin embargo, luego de escoger uno para que sea el primero, para ocupar la segunda posición solo se tienen 6 opciones y para la tercera posición 5 opciones y así sucesivamente. Luego, se tienen 7·6·5·4·3·2·1 = 7! opciones. Según lo anterior, la repisa inferior tiene 5 opciones, por lo tanto habrá 5! opciones. Por lo tanto, habrá 7! · 5! formas distintas de ordenar a los osos y a los conejos.
62.
La alternativa correcta es D.
Unidad temática Habilidad
Azar Aplicación
Se debe calcular la probabilidad de obtener un divisor de 4 los cuales son (1, 2, 4). Por lo tanto, los casos favorables serán sacar 2 (6 tarjetas) o un 4 (8 tarjetas) de un total de 16 tarjetas. Por lo tanto, P(sacar 2 o 4) =
casos favorables casos posibles
63.
=
14 7 . 16 8
La alternativa correcta es D.
Unidad temática Habilidad
Azar Aplicación
Si en total hay (n + 2) bolitas y (n – 3) de ellas son rojas, entonces las bolitas azules son (n + 2) – (n – 3) = n + 2 – n + 3 = 5. Luego, la probabilidad de obtener una bolita azul es P(azul) =
casos favorables casos posibles
=
5 . n2
64.
La alternativa correcta es A.
Unidad temática Habilidad
Azar Aplicación
I)
Verdadera, ya que la probabilidad de obtener una bolita que NO sea roja, significa 12 4 que sea verde o azul, las cuales suman 12. Luego, P(no roja) = . 15 5
II)
Falsa, ya que la probabilidad de obtener una bolita verde o roja es 35 8 P(verde o roja) = . 15 15 7 Falsa, ya que la probabilidad de obtener una bolita azul es P(azul) = 15
III)
Por lo tanto, solo la afirmación I es verdadera.
65.
La alternativa correcta es C.
Unidad temática Habilidad
Azar Aplicación
Según la tabla, el total de ampolletas es (75 + 55 + 80 + 40) = 250, de las cuales 75 son de bajo consumo y de luz blanca. Entonces P(bajo consumo y luz blanca) =
casos favorables casos posibles
66.
=
75 3 . 250 10
La alternativa correcta es E.
Unidad temática Habilidad
Azar Aplicación
La variable X toma el valor obtenido en el dado. Entonces, puede tomar cualquier valor del conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}. La variable Y toma el valor 1 si en la moneda sale cara y 2 si en la moneda sale sello. Entonces, puede tomar cualquier valor del conjunto {1, 2}. Luego: A) Que X e Y tengan el mismo valor es un suceso posible, ya que por ejemplo, tanto X como Y pueden valer 1. B) Que (Y – X) sea un número natural es un suceso posible, ya que si X = 1 e Y = 2, entonces (Y – X) = (2 – 1) = 1, que es un número natural.
C) Que (X·Y) sea un número primo es un suceso posible, ya que por ejemplo, si X = 1 e Y = 2, entonces (X·Y) = (1 · 2) = 2, que es un número primo. D) Que (X + Y) sea un cuadrado perfecto es un suceso posible, ya que por ejemplo, si X = 2 e Y = 2, entonces (X + Y) = (2 + 2) = 4, que es un cuadrado perfecto. E) Que
X
sea un número irracional es un suceso imposible, ya que tanto X como Y solo Y pueden tomar valores enteros, por lo cual la fracción que se obtiene siempre corresponde a un número racional.
67.
La alternativa correcta es D.
Unidad temática Habilidad
Azar Comprensión
La Ley de los grandes números indica que si realizamos un experimento aleatorio una gran cantidad de veces, la frecuencia relativa de un suceso se acercará al valor de su probabilidad teórica de ocurrencia. Por lo tanto, para que los valores f (frecuencia relativa) y p (probabilidad teórica) sean lo más cercanos posible, la principal medida que se debe adoptar es hacer el valor de N (número de veces que se realiza el experimento) lo más grande posible.
68.
La alternativa correcta es A.
Unidad temática Habilidad
Azar ASE
I)
Verdadera, ya que los múltiplos de 7 del 1 al 20 son {7, 14}. 2 1 Entonces, P(múltiplo 7) = 20 10
II)
Falsa, ya que los números primos del 1 al 20 son {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}. 8 2 Entonces, P(primo) = . 20 5
III)
Falsa, ya que los múltiplos de 3 del 1 al 20 son {3, 6, 9, 12, 15, 18}, y los múltiplos de 5 del 1 al 20 son {5, 10, 15, 20}. Como 15 es múltiplo de 3 y de 5, se debe restar de la probabilidad. 6 4 1 9 Entonces, P(múltiplo de 3 o de 5) = 20 20 20 20
Por lo tanto, solo la afirmación I es verdadera.
69.
La alternativa correcta es A.
Unidad temática Habilidad
Azar ASE
Al extraer dos fichas sin reposición es importante considerar que después de la primera extracción disminuye en una unidad el total de fichas de ese color y esa figura, y también disminuye en una unidad el total de fichas de la bolsa. Luego: I)
Verdadera, ya que la probabilidad de que ambas fichas sean negras numeradas se 5 4 obtiene P (1º ficha negra numerada) · P (2º ficha negra numerada) = 20 19
II)
Falsa, ya que la probabilidad de que salga una ficha blanca y luego una ficha 10 10 negra se obtiene P (1º ficha blanca) · P (2º ficha negra) = 20 19
III)
Falsa, ya que la probabilidad de que sea una ficha negra con una R y una ficha blanca con una T se obtiene 1 1 P (1º ficha negra con R) · P (2º ficha blanca con T) = 20 19
Por lo tanto, solo la afirmación I es verdadera.
70.
La alternativa correcta es E.
Unidad temática Habilidad
Azar Aplicación
Si se sacan dos tarjetas al azar, sin reposición, entonces la probabilidad de que solo una de ellas sea verde es igual a la probabilidad de que la primera sea verde y la segunda azul, o la primera sea azul y la segunda verde. Es decir, 3 7 7 10 9 30 7 3 7 Caso 2: Probabilidad de primera bolita azul y segunda verde = 10 9 30 Por lo tanto, la probabilidad de que la primera bolita sea verde y la segunda azul, o que la 7 7 14 7 primera bolita sea azul y segunda verde es igual a 30 30 30 15
Caso 1: Probabilidad de primera bolita verde y segunda azul =
71.
La alternativa correcta es C.
Unidad temática Habilidad
Azar ASE
Como lanzan cuatro veces una moneda, entonces la única forma de empatar es cuando se obtiene 2 caras y 2 sellos. Utilizando el triángulo de Pascal: 1 1 1 2 1 1 3 3 1 4 4 caras 1 6 sello1 1 4 3 4 2 caras y1 sello
caras y2 sello s
cara y3 sello s
s
Luego, en 6 casos de un total de 16 se obtienen 2 caras y 2 sellos. Es decir, la 6 3 probabilidad de que empaten es . 16 8
72.
La alternativa correcta es E.
Unidad temática Habilidad
Azar Aplicación
Dados los valores de F(x) podemos obtener los valores de f(x). x x
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