Solucionario Ensayo MT-024 2017

ENSCESMT024-A17V1

SOLUCIONARIO ENSAYO MT- 024

1.

La alternativa correcta es E.

Unidad temática Habilidad

Números racionales Comprensión 1 es igual a 0,333…, y 0,33 es menor a 0,333… 3

I)

Verdadera, ya que

II)

Verdadera, ya que si dos fracciones tienen igual numerador, aquella que tenga 7 mayor denominador será la de menor valor. Como 11 es menor que 12, es 11 7 mayor que . 12

III)

Verdadera, ya que 0,32 es igual a 0,3222…, mientras que 0, 32 es igual a 0,323232… Como la milésima del primer valor es menor a aquella del segundo valor, entonces se cumple que 0,3222… es menor que 0,323232…

Por lo tanto, las afirmaciones I, II y III son verdaderas.

2.

La alternativa correcta es A.

Unidad temática Habilidad

Números racionales Aplicación

2 5  2 2  53  4 1     : (0, 4  0,25)   :   18 9 6   9 4  4  15  1  :  18  9

3.



19 9  18 1



19 2

(Igualando denominador/transformando)

(Desarrollando)

(División de fracciones)

La alternativa correcta es C.

Unidad temática Habilidad

Números racionales Aplicación

Se sabe que durante el primer mes Pablo logró juntar $9.000. Si en los siguientes dos meses reunió dos tercios de lo ahorrado el mes anterior, entonces:

Mes 1: $9.000 2 2  9.000 Mes 2:  $9.000 = $ = $6.000 3 3 2  15.000 2 Mes 3:  $15.000 = $ = $10.000 3 3

Dinero acumulado: $15.000 Dinero acumulado: $25.000

Finalmente, el último mes ahorró tres quintos de lo ahorrado hasta el mes anterior, es decir: Mes 4:

3 3  25.000 = $15.000  $25.000 = $ 5 5

Dinero acumulado: $40.000

Por lo tanto, Pablo ahorró $40.000 para asistir al recital.

4.

La alternativa correcta es B .

Unidad temática Habilidad

Potenciación Aplicación

−3 7

−3 7

𝑝 2 𝑝2 𝑝2 𝑝2 ( ) ∙ [( 2 ) ] = 2 ∙ [( 2 ) ] 𝑞 𝑞 𝑞 𝑞

(Potencia de un cuociente)

3 7

𝑝2 𝑞2 = 2 ∙ [( 2 ) ] 𝑞 𝑝

(Potencia de una potencia)

7

= = = =

5.

𝑝2 𝑞 6 ∙[ ] 𝑞 2 𝑝6 𝑝2 𝑞 42 ∙ 𝑞 2 𝑝42 𝑞 40 𝑝40 𝑞 40 ( ) 𝑝

(Potencia de una potencia)

La alternativa correcta es E.

Unidad temática Habilidad

Números racionales Aplicación

 2 19  Transformando cada fracción de la expresión a decimal     0,4  6, 3  6,7333... , 5 3  el valor aproximado por defecto a la milésima es 6,733.

6.

La alternativa correcta es A.

Unidad temática Habilidad

Números racionales ASE

En el conjunto de los números enteros: I)

Falso, porque el producto de un número par con un número impar es siempre un número par.

II) Verdadero, ya que la suma de dos números impares es siempre un número par. III) Falso, porque 2 y 3 son primos, y 2 + 3 = 5 no es par. Por lo tanto, solo la afirmación II es siempre verdadera.

7.

La alternativa correcta es D.

Unidad temática Habilidad

Número racionales ASE

Como p y q son dos elementos del conjunto M = {1, 2, 3}, tales que p < q, entonces las posibles parejas de valores para p y q son: p = 1 y q = 2, p = 1 y q = 3 o p = 2 y q = 3. Luego: I)

(p – q + 2) no tiene siempre como resultado un elemento de M, ya que si p = 1 y q = 3, entonces (p – q + 2) = (1 – 3 + 2) = 0, que no pertenece a M.

II) (p + q – 2) tiene siempre como resultado un elemento de M, ya que si p = 1 y q = 2, entonces (p + q – 2) = (1 + 2 – 2) = 1 si p = 1 y q = 3, entonces (p + q – 2) = (1 + 3 – 2) = 2 si p = 2 y q = 3, entonces (p + q – 2) = (2 + 3 – 2) = 3 y los tres resultados pertenecen a M. III) (q – p) tiene siempre como resultado un elemento de M, ya que si p = 1 y q = 2, entonces (q – p) = (2 – 1) = 1 si p = 1 y q = 3, entonces (q – p) = (3 – 1) = 2 si p = 2 y q = 3, entonces (q – p) = (3 – 2) = 1 y los tres resultados pertenecen a M. Por lo tanto, solo II y III tienen siempre como resultado un elemento de M.

8.

La alternativa correcta es C.

Unidad temática Habilidad

Potenciación ASE

Al factorizar la expresión, resulta (323 – 319) = 319·(34 – 1) = 319·(81 – 1) = 319·80. Luego: A) 30 es un divisor de (323 – 319), ya que

319  80 319  8   318  8 , el cual es un número 30 3

entero. B) 45 es un divisor de (323 – 319), ya que

319  80 319  16 319  16    317  16 , el cual es 2 45 9 3

un número entero.

319  80 319  8  , el cual no es posible de 50 5 seguir simplificando, por lo que no es un número entero.

C) 50 no es un divisor de (323 – 319), ya que

D) 40 es un divisor de (323 – 319), ya que

319  80  319  2 , el cual es un número entero. 40

E) 72 es un divisor de (323 – 319), ya que

319  80 319  10 319  10    317  10 , el cual es 2 72 9 3

un número entero.

9.

La alternativa correcta es A.

Unidad temática Habilidad

Números irracionales Compresión 1 √5 + 1

1

∙

(√5 − 1)

√5 + 1 (√5 − 1)

≈

3 10

(Racionalizando)

≈

3 10

(Desarrollando el producto)

3 √5 − 1 ≈ 5−1 10 3 √5 − 1 ≈ 4 10 √5 − 1 ≈

Por lo tanto,

1 5 1



5 . 6

12 6 = 10 5

(Despejando la expresión √5 − 1) (Multiplicando por 4)

10.

La alternativa correcta es C.

Unidad temática Habilidad

Números irracionales ASE

Si las bases y los argumentos de logaritmos son mayores que 1, entonces siempre se cumple que a mayor argumento, mayor es el valor del logaritmo, y a mayor base, menor es el valor del logaritmo. Luego: -

a es mayor que c, ya que tienen igual base, pero el argumento de a es mayor que el de b. c es mayor que b, ya que tienen igual argumento, pero la base de c es menor que la de c.

Luego, b < c < a. Por lo tanto, el orden de menor a mayor es b, c y a.

11.

La alternativa correcta es C.

Unidad temática Habilidad

Potenciación ASE

En este caso, ambas raíces tienen la misma cantidad subradical pero distinto índice, por lo que se deben utilizar las propiedades de las potencias para obtener la raíz equivalente. 1 n

1

a m a  an am

a a 

(Por definición)

1 1  n m

(Por ser potencias con la misma base)

m n nm

nm

a

(Sumando fracciones en el exponente)

n m

(Trasformando a raíz)

Por lo tanto, la expresión

12.

n

a  m a es siempre equivalente a

nm

a nm .

La alternativa correcta es D.

Unidad temática Habilidad

6  10 2  ( 5  3)

 

Potenciación Aplicación

2  ( 3  5) 2  ( 5  3) 3 5 5 3

(Factorizando por (Simplificando por

2) 2)



( 3  5 )( 5  3 ) ( 5  3 )( 5  3 )

( 3  5)2 53 3  2 15  5  2 8  2 15  2 2(4  15 )  2  4  15



13.

(Racionalizando) (Suma por su diferencia) (Cuadrado de binomio) (Sumando) (Factorizando por 2) (Simplificando)

La alternativa correcta es E.

Unidad temática Habilidad

Números irracionales ASE

I)

3 1 3 1    , el cual es un log 5 3  log 2 3  log 5  log 2 log 5  log 2

Falsa, ya que

número irracional. II)

3 3  27  log 5 2 81  2  log 5  27  log 25    18 , el log 5 log 5 log 5 cual es un número racional. 1 1 3  log 5 3 log 5 1 2 Verdadera, ya que , el cual es un    2  log 5 75 log 5  25  3 5 10 Verdadera, ya que

III)

número racional. Por lo tanto, solo las afirmaciones II y III son verdaderas.

14.

La alternativa correcta es B.

Unidad temática Habilidad

Números irracionales ASE





Aplicando propiedades de logaritmo a la expresión log n 4  3 m 2 :





log n 4  3 m 2  log n 4  log 3 m 2 2  4  log n   log m 3

(Logaritmo de un producto) (Logaritmo de una potencia/raíz)

12  log n  2  log m 3 2  (6  log n  log m)  3 2   (log n 6  log m) 3 2   log n 6 m 3 2  b 3 2b  3 

15.

(Suma de fracciones) (Factorizando) (Logaritmo de una potencia) (Logaritmo de un producto) (Reemplazando por aproximación) (Calculando)

La alternativa correcta es A.

Unidad temática Habilidad

Potenciación ASE

(1) p = 4q. Con esta información, sí es posible determinar el valor numérico para 4p , ya que al reemplazar en la raíz se obtiene 9q

4  4q 16 4   . 9q 9 3

(2) q = 6. Con esta información, no es posible determinar el valor numérico para 4p , ya que no se conoce una relación numérica entre p y q. 9q

Por lo tanto, la respuesta correcta es: (1) por sí sola.

16.

La alternativa correcta es E.

Unidad temática Habilidad

Números complejos Aplicación

Transformando los denominadores a número entero, resulta: 1 1 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 1 i i i y    2         i 2 i i i i 1 1 i 1 i 1 i 1 i 1  ( 1) 1  1 2 Por lo tanto,

1 1 1 i 1  i  2i 1  i .    (i)   1 i i 2 2 2

17.

La alternativa correcta es A.

Unidad temática Habilidad

Números complejos ASE

(1) La suma de z con su conjugado es igual a 2. Con esta información, sí es posible determinar el valor de m, ya que la suma entre un complejo y su conjugado es siempre igual al doble de su parte real, es decir, 2 ∙ 𝑚 = 2. Luego, el valor de m sería igual a 1. (2) z se encuentra en el primer cuadrante del plano complejo. Con esta información, no es posible determinar el valor de m, ya que solo podemos afirmar que el valor de m es positivo, pero no es posible determinar el valor numérico exacto de m. Por lo tanto, la respuesta es: (1) por sí sola.

18.

La alternativa correcta es E.

Unidad temática Habilidad

Transformaciones algebraicas Aplicación

La expresión (9a2b – 16b3) se puede factorizar por b, resultando b ∙ (9a2 – 16b2). Por otra parte, (9a2 – 16b2) se puede factorizar como una suma por su diferencia, resultando (3a + 4b) ∙ (3a – 4b). Luego, la expresión (9a2b – 16b3) resulta b ∙ (3a + 4b) ∙ (3a – 4b). Analizando cada una de las expresiones, se tiene que A) Corresponde a un factor de (9a2b – 16b3), ya que esta es factorizable por b. B) Corresponde a un factor de (9a2b – 16b3), ya que (9a2b – 16b3) = b ∙ (9a2 – 16b2). C) Corresponde a un factor de (9a2b – 16b3), ya que (9a2b – 16b3) = b ∙ (3a + 4b) ∙ (3a – 4b). D) Corresponde a un factor de (9a2b – 16b3), ya que (9a2b – 16b3) = b ∙ (3a + 4b) ∙ (3a – 4b). E) NO corresponde a un factor de (9a2b – 16b3), ya que no se puede obtener como el producto entre los factores de la expresión.

19.

La alternativa correcta es C.

Unidad temática Habilidad

Ecuación y sistemas de primer grado Aplicación

Despejando el valor de a en términos de b 4a  2 6b  8 3b  4  2b  4a  8  6b  4a  6b  8  a   3 4 2

Evaluando cada una de las alternativas:

4 3  4 4 44 0 A) Resulta un racional entero, ya que si b = , se tiene que a  3    0. 3 2 2 2 3 2  4 6  4 2    1. B) Resulta un racional entero, ya que si b = 2, se tiene que a  2 2 2 1 3  4 1 1 4  3 C) Resulta un racional NO entero, ya que si b = , se tiene que a  3   3 2 2 2 2 D) Resulta un racional entero, ya que si b = , se tiene que 3 2 3  4 24 2 a 3    1 . 2 2 2 3  4  4 12  4 8    4. E) Resulta un racional entero, ya que si b = 4, se tiene que a  2 2 2

20.

La alternativa correcta es B.

Unidad temática Habilidad

Ecuación y sistemas de primer grado ASE

Elevando al cuadrado la ecuación x + y = a, se obtiene x2 + 2xy + y2 = a2. Luego: x2 + 2xy + y2 = a2 x2 + y2 = a2 – 2xy x2 + y2 = a2 – b

(Según la segunda ecuación, 2xy = b)

Por lo tanto, el valor de la expresión (x2 + y2), en términos de a y b, es (a2 – b).

21.

La alternativa correcta es C.

Unidad temática Habilidad

Transformación algebraica ASE

2

(1) 𝑥 = 𝑦 . Con esta información, no es posible determinar el valor numérico de 𝒂, ya 𝑥−𝑦

𝑥−𝑦

−4𝑥𝑦

−8

que si 𝑥 ∙ 𝑦 = 2, entonces 𝑎 = (𝑥+𝑦 − 𝑥+𝑦) = 𝑥 2 −𝑦 2 = 𝑥 2 −𝑦 2. (2) 𝑥 2 − 𝑦 2 = 4 . Con esta información, no es posible determinar el valor numérico de 𝒂, ya que solo podemos obtener el valor numérico del denominador de 𝒂. Es decir, 𝑥−𝑦 𝑥−𝑦 −4𝑥𝑦 −4𝑥𝑦 𝑎 = (𝑥+𝑦 − 𝑥+𝑦) = 𝑥 2 −𝑦 2 = 4 = −𝑥𝑦.

Con ambas juntas, sí es posible determinar el valor numérico de 𝒂, ya que conoceríamos 𝑥−𝑦 𝑥−𝑦 −4𝑥𝑦 tanto el numerador como el denominador de 𝒂. Luego, 𝑎 = (𝑥+𝑦 − 𝑥+𝑦) = 𝑥 2 −𝑦 2 = −4∙2 4

= −2.

Por lo tanto, la respuesta es: Ambas juntas, (1) y (2).

22.

La alternativa correcta es D.

Unidad temática Habilidad

Ecuación de segundo grado y función cuadrática Aplicación

𝑥(𝑥 − 7) = 60

(Desarrollando)

𝑥 2 − 7𝑥 − 6 = 0

(Factorizando)

(𝑥 − 12)(𝑥 + 5) = 0 De la última igualdad se deduce que los valores de x que son soluciones de la ecuación de segundo grado son 12 y − 5.

23.

La alternativa correcta es B.

Unidad temática Habilidad

Ecuación de segundo grado y función cuadrática Aplicación

Si una de las soluciones de una ecuación cuadrática es un número complejo con parte imaginaria no nula, entonces la otra será el conjugado de este número. En este caso, una solución es 2 + 5i, por lo que la otra es 2 – 5i. En una ecuación cuadrática de la forma ax2 + bx + c = 0, se tiene que la suma de las b c soluciones es igual a , mientras que el producto entre ellas es igual a . a a Homologando términos para la ecuación del enunciado, se tiene que a = 1, b = m y c = n. Luego (2 + 5i) + (2 – 5i) = – m 4=–m m= –4

(2 + 5i) ∙ (2 – 5i) = n 22 + 52 = n 29 = n

Por lo tanto, los valores de m y n son, respectivamente, – 4 y 29.

24.

La alternativa correcta es C.

Unidad temática Habilidad

Ecuación de segundo grado y función cuadrática Aplicación

Si una de las soluciones de la ecuación x(4x – p) = p es (i – 1), entonces al reemplazar la solución en la ecuación se cumple la igualdad. Luego, se puede plantear y resolver: (i – 1)·(4·(i – 1) – p) = p (i – 1)·(4i – 4 – p) – p = 0 4i² – 4i – pi – 4i + 4 + p – p = 0 – 4 – 8i – pi + 4 = 0 – 8i – pi = 0 – i·(8 + p) = 0 Por lo tanto, dicha igualdad se cumple solo para p = – 8.

25.

La alternativa correcta es D.

Unidad temática Habilidad

Inecuaciones y función potencia Comprensión

Para resolver un sistema lineal de inecuaciones con una incógnita, se debe encontrar el conjunto solución de cada inecuación por separado y luego realizar la intersección de los intervalos obtenidos. En este caso, al desarrollar cada inecuación con a y b positivos, resulta: b a ax > b  x > y bx > a  x > b a Para graficar e intersectar los intervalos solución, es necesario considerar que si 0 < a < b, b a entonces < . Luego, el gráfico de los intervalos solución queda: b a

a

b

b

a

+

Por lo tanto, como la intersección se produce para todos los valores mayores que b  entonces la solución del sistema de inecuaciones es  ,    . a 

b , a

26.

La alternativa correcta es D.

Unidad temática Habilidad

Inecuaciones y función potencia Aplicación

Resolviendo la inecuación: (2 x  9)( x  4)  x 2  x  2 x 2  8x  9 x  36  x 2  x  x 2  x  36  x  x 2  36  0  x 2  36

(Producto de binomios) (Restando x2) (Restando x) (Sumando 36)

Como las soluciones de la ecuación x 2  36 son 6 y – 6, entonces todos los valores mayores o iguales que – 6 y menores o iguales que 6 satisfacen la inecuación x 2  36 . Es decir, x pertenece al intervalo [– 6, 6].

27.

La alternativa correcta es A.

Unidad temática Habilidad

Inecuaciones y función potencia ASE

Si el número es x, entonces el enunciado se puede traducir a la expresión x – 5 < 2x. Despejando x: x – 5 < 2x ⟹ – 5 < x ⟹ x ∈ ]– 5, +∞[ I)

Verdadera, ya que si x < 8, entonces – 5 < x < 8. Es decir, x ∈ ]– 5, 8[.

II)

Falsa, ya que si x > 2, entonces – 5 < 2 < x. Es decir, x ∈ ]2, +∞[.

III)

Falsa, ya que si x < 0, entonces – 5 < x < 0. Es decir, x ∈ ]– 5, 0[.

Por lo tanto, solo la afirmación I es verdadera.

28.

La alternativa correcta es B.

Unidad temática Habilidad

Función afín, función lineal y función constante Comprensión

Según los datos presentados en el enunciado, se puede inferir que la función que modela el costo del gas sigue un comportamiento lineal de la forma c(x) = ax + b. En este caso, el cargo fijo es equivalente al valor de b, es decir, 700. Como se sabe que un cliente que consume x = 15 metros cúbicos de gas tiene que pagar c(x) = 14.950 pesos, se tiene que: c(x) = ax + b 14.950 = 15a + 700

a

14.950  700 14.250   950 15 15

Entonces, la función que modela el comportamiento del enunciado es g(x) = 950x + 700.

29.

La alternativa correcta es A.

Unidad temática Habilidad

Teoría de funciones ASE

(1) 𝑎 = 3. Con esta información, sí se puede determinar el valor numérico de 𝑓(𝑔(𝑏 − 𝑎)), ya que 𝑓(𝑔(𝑏 − 𝑎)) = 𝑓(2𝑎 − 𝑏) = 2𝑎 = 2 ∙ 3 = 6. (2) 𝑏 = 2. Con esta información, no se puede determinar el valor numérico de 𝑓(𝑔(𝑏 − 𝑎)), ya que este depende, en última instancia, solo del valor de a. Por lo tanto, la respuesta es: (1) por sí sola. 30.

La alternativa correcta es C.

Unidad temática Habilidad

Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada Comprensión

Si la masa era inicialmente de M0 gramos y pierde un 1% de su masa en cada segundo, es decir, 0,01·M0, entonces: Después del segundo 1, la masa que queda es de 0,99·M0 gramos. Después del segundo 2, la masa que queda es de 0,99·0,99·M0 = (0,99)²·M0 gramos. Después del segundo 3, la masa que queda es de 0,99·0,99·0,99·M0 = (0,99)³·M0 gramos. Después del segundo x, la masa que queda es de 0,99·…·0,99·0,99·0,99·M0 = (0,99)x·M0 gramos. x veces Por lo tanto, la expresión que representa la masa M(x), en gramos, del metal a los x segundos de ser sumergido es M0·(0,99)x.

31.

La alternativa correcta es D.

Unidad temática Habilidad

Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada Aplicación

Según la figura, el punto (2, 3) pertenece a la gráfica de la función, lo que significa que se cumple que f(2) = 3. Reemplazando en la expresión, resulta f(2) = loga 2 = 3. Por lo tanto, aplicando la definición de logaritmo, resulta loga 2 = 3  a³ = 2  a =

3

2.

32.

La alternativa correcta es E.

Unidad temática Habilidad

Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada ASE

Sea la función 𝑓(𝑥) = √𝑥 2 + 1, es correcto afirmar que: I) Verdadera, ya que el dominio de la función corresponde a todos los reales. II) Falso, ya que el recorrido de la función es el intervalo [1, +∞[. III) Verdadera, ya que el punto (0, 1) pertenece a la gráfica de la función 𝑓(𝑥) = √𝑥 2 + 1 , dado que 𝑓(0) = 1. Por lo tanto, solo las afirmaciones I y III son verdaderas.

33.

La alternativa correcta es E.

Unidad temática Habilidad

Ecuación de segundo grado y función cuadrática Compresión

Dadas las funciones 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3 y 𝑔(𝑥) = (𝑥 + 1)2, entonces la expresión de la función compuesta 𝑔(𝑓(𝑥)) es: 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(2𝑥 + 3) = (2𝑥 + 3 + 1)2 = 4𝑥 2 + 16𝑥 + 16 Luego, los valores de a, b y c son 𝑎 = 4, 𝑏 = 16 𝑦 𝑐 = 16. −𝑏 −16 Entonces, el eje de simetría asociado a esta función cuadrática es 𝑥 = 2𝑎 = 2∙4 = −2. Por lo tanto, el eje de simetría corresponde a la recta 𝑥 = −2.

34.

La alternativa correcta es A.

Unidad temática Habilidad

Ecuación de segundo grado y función cuadrática ASE

A partir del gráfico se pueden identificar dos puntos que pertenecen a la función (−1, 0) y (1, 2). Entonces, la función solicitada debe contener a estos puntos, es decir, que al reemplazarlos deben satisfacer la igualdad en la función. En este caso la función que buscamos es 𝑓(𝑥) = puntos ocurre que 𝑓(−1) =

−(−1)2 +2(−1)+3 2

=

−𝑥 2 +2𝑥+3

2 −1−2+3

pertenece a la función 𝑓. Por otro lado, 𝑓(1) = punto (1, 2) pertenece a la función 𝑓.

, ya que si se reemplazan los

= 0, es decir, el punto (−1,0)

2 −(1)2 +2(1)+3 2

=

−1+2+3 2

= 2, es decir, el

Por lo tanto, la función 𝑓(𝑥) = gráfico.

35.

−𝑥 2 +2𝑥+3 2

es la que está mejor representada en el

La alternativa correcta es D.

Unidad temática Habilidad

Teoría de funciones Aplicación

Despejando x: f ( x)  3x  5  f ( x)  5  3x f ( x)  5  x 3

(Sumando 5) (Dividiendo por 3)

Por último, intercambiando las variables: f ( x)  5 x5  x  g ( x)  f 1 ( x)  3 3

36.

La alternativa correcta es D.

Unidad temática Habilidad

Inecuaciones y función potencia ASE

En primer lugar, la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 es una curva (tipo parábola) cóncava hacia arriba, decreciente en el intervalo ]−∞, 0[ y creciente en el intervalo ]0, +∞[ , siendo igual a cero solo si 𝑥 = 0. Por otro lado, la función 𝑔(𝑥) = 2𝑥 3 es una función potencia con exponente impar, creciente en todo ℝ, siendo igual a cero solos si 𝑥 = 0. Entonces: A) Falso, ya que 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) solo para 𝒙 en el intervalo [0,2]. B) Falso, ya que 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) para cualquier 𝒙 en [−∞, 0] ∪ [2, +∞]. C) Falso, ya que 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) solo para 𝑥 = 0 y 𝑥 = 2. D) Verdadero, ya que 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) solo para 𝑥 = 0 y 𝑥 = 2. Además, dentro del intervalo la función 𝑓(𝑥) tiene un crecimiento mayor que 𝑔(𝑥). E) Falso, ya que 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) para x en el intervalo [−2,0]. Por lo tanto, la afirmación verdadera es que f(x) ≤ g(x) solo para x en el intervalo [0, 2]

37.

La alternativa correcta es B.

Unidad temática Habilidad

Transformaciones isométricas Aplicación

Aplicar una rotación en 90°, con centro en el origen, a un triángulo en el plano implica aplicar una rotación a cada uno de sus vértices. Los vértices del triángulo son (1, 2), (4, 3) y (3, 5), los que luego de aplicárseles una rotación de 90°, con centro en el origen, resultan ser (−2, 1), (−3, 4) y (−5, 3), obteniendo así el triangulo del gráfico B.

38.

La alternativa correcta es B.

Unidad temática Habilidad

Transformaciones isométricas Aplicación

Del gráfico se observa que 𝑢 ⃗ = (5,2) 𝑦 𝑣 = (2, −2). Entonces: I) Falso, ya que 8 ∙ 𝑢 ⃗ = 8 ∙ (5,2) = (40,16). II) Verdadero, ya que 𝑢 ⃗ + 𝑣 = (5,2) + (2, −2) = (7,0). III) Falso, ya que −𝑣 = −(2, −2) = (−2,2). Por lo tanto, solo la afirmación II es verdadera.

39.

La alternativa correcta es E.

Unidad temática Habilidad

Transformaciones isométricas Aplicación

Al aplicar una simetría al punto (3, – 5) respecto al eje X se obtiene el par (3, 5). Por lo tanto, al aplicarle una rotación de 180° al punto resultante se obtiene el par (– 3, – 5).

40.

La alternativa correcta es B.

Unidad temática Habilidad Si el punto implica que

Transformaciones isométricas Aplicación medio entre

los

puntos

2 + 2𝑏 + 3𝑎 = −5 2 Ordenando estas ecuaciones, tenemos que

y

(2 + 2𝑏, 2 + 𝑎) y (3𝑎, 𝑏 − 7) es (−5, 3), 2+𝑎+𝑏−7 =3 2

2𝑏 + 3𝑎 = −12

y

𝑎 + 𝑏 = 11

Formando así un sistema de ecuaciones con 2 incógnitas (1) (2)

3𝑎 + 2𝑏 = −12 𝑎 + 𝑏 = 11

Luego, si amplificamos por (−2) la ecuación (2), obtenemos −2𝑎 − 2𝑏 = −22. Y ahora, si esta nueva ecuación la sumamos con (1), obtenemos −2𝑎 − 2𝑏 = −22 3𝑎 + 2𝑏 = −12 𝑎 = −34

+

Luego, reemplazando este valor en la ecuación (2), se tiene −34 + 𝑏 = 11 𝑏 = 45 Por lo tanto, 𝑏 − 𝑎 = 45 − (−34) = 45 + 34 = 79.

41.

La alternativa correcta es B.

Unidad temática Habilidad

Geometría de proporción ASE

I)

Verdadera, ya que la altura de un triángulo equilátero está relacionada con la medida de sus lados. Como ambos triángulos tienen igual altura, entonces la medida de los lados de ambos triángulos será congruente.

II)

Verdadera, ya que al trazar ambas diagonales, estas son perpendiculares y se dimidian entre sí.

III)

Falsa, ya que las bases de un trapecio tienen distintas medidas, por lo que los triángulos dibujados no son congruentes.

Por lo tanto, solo las afirmaciones I y II son verdaderas.

42.

La alternativa correcta es E.

Unidad temática Habilidad

Transformaciones isométricas ASE

Si la ordenada del punto (8, – 2) disminuye una unidad, implica que el punto se transforma en (8, – 3).

Si la abscisa del punto (8, – 3) aumenta en dos unidades, implica que el punto se transforma en (10, – 3). Si al punto (10, – 3) se le aplica una simetría central respecto al origen, que es equivalente a aplicar una rotación en 180° respecto al origen, basta con cambiar el signo de las coordenadas del punto, por lo que este queda ubicado en la posición (– 10, 3).

43.

La alternativa correcta es B.

Unidad temática Habilidad

Geometría de proporción Comprensión

Por teorema de las cuerdas en una circunferencia se tiene que AP · PC = BP · PD. Reemplazando: (2𝑥 + 1) ∙ (12) = (2𝑥 − 4) ∙ (15) (2𝑥 + 1) ∙ (4) = (2𝑥 − 4) ∙ (5) 8𝑥 + 4 = 10𝑥 − 20 𝑥 = 12

(Simplificando) (Distribuyendo) (Despejando la x)

Por lo tanto, BD = BP + PD = 2 · 12 – 4 + 15 = 35.

44.

La alternativa correcta es D.

Unidad temática Habilidad

Geometría de proporción Comprensión

Al llevar a un gráfico la descripción del enunciado resulta la figura adjunta. Es importante tener en cuenta que cualquier relación que incluya al punto D difícilmente podrá ser cierta, ya que este se encuentra en una posición arbitraria. De las cinco opciones, si se analizan las dos que no incluyen al punto D:

C

A

A) AC² = AE·EB  No se cumple, ya que es una interpretación errónea del teorema de Euclides.

E D

D) CB² = AB·EB  Se cumple, ya que corresponde al postulado del teorema de Euclides: “En un triángulo rectángulo, el cuadrado de un cateto es igual al producto de su proyección por la hipotenusa”.

45.

La alternativa correcta es B.

Unidad temática Habilidad

Geometría de proporción Aplicación

Según la figura tenemos que 𝑅𝑄 = 𝑃𝑄 − 𝑃𝑅 = (5𝑥 + 4) − (2𝑥 + 1) = 3𝑥 + 3.

B

Además, se tiene que 𝑅𝑄 ∶ 𝑃𝑄 = 2 ∶ 3 Entonces, se cumple que: 3𝑥 + 3 2 = 5𝑥 + 4 3 9𝑥 + 9 = 10𝑥 + 8 𝑥=1

(Desarrollando la proporción) (Despejando la 𝒙)

Por lo tanto, la medida del segmento 𝑃𝑄 = 5 ∙ 1 + 4 = 9

46.

La alternativa correcta es C.

Unidad temática Habilidad

Circunferencia Aplicación

A partir del enunciado podemos completar los datos en la circunferencia de la figura adjunta. ̅̅̅̅ , entonces el arco BC y el arco CA miden 128°. Como el arco AB = 104° y ̅̅̅̅ 𝐴𝐶 ≅ 𝐵𝐶 128°

128°

104° Entonces, si el ángulo ∠𝐶𝑂𝐴 mide 128°, la mitad del ángulo ∠𝐶𝑂𝐴 es 64°.

47.

La alternativa correcta es A.

Unidad temática Habilidad

Circunferencia ASE

Según la figura adjunta, ∠𝐴𝑃𝐸 es un ángulo exterior y se obtiene de la semidiferencia entre los arcos AE y DC, es decir: ∠𝐴𝑃𝐸 = 40° =

̂ − 𝐷𝐶 ̂ 𝐴𝐸 2

̂ 150° − 𝐷𝐶 2

̂ = 70° 𝐷𝐶 Luego,

̂ = 70° 𝐸𝐷 70° ̅̅̅̅ es Además, el arco 𝐵𝐴 = 30°, ya que 𝐵𝐸 diámetro de la circunferencia. 70° 30° 150° Por lo tanto, el arco CB mide 40°.

48.

La alternativa correcta es D.

Unidad temática Habilidad

Geometría de proporción ASE

A partir de cada figura, calculamos el valor de x usando la respectiva proporción. = 15 ⇒ 𝑥 = 10

15∙16

12

⇒ 𝑥=

16∙30

III) 36 = 21 ⇒ 𝑥 =

36∙14

I) II)

16

16 𝑥

𝑥

=

30 𝑥 14

10 12 21

= 24 = 40 = 24

Por lo tanto, solo en I y III el valor de x es 24.

49.

La alternativa correcta es D.

Unidad temática Habilidad

Geometría de proporción ASE

En la figura se cumple que  RQP   SQT, por ser opuestos por el vértice. Además, RQ:QS = k. Luego: (1)  PRS   TSR. Con esta información, sí se puede afirmar que el triángulo PQR es semejante con el triángulo TQS, ya que se cumple el criterio de tener dos ángulos respectivamente congruentes. (2) PQ : QT = k. Con esta información, sí se puede afirmar que el triángulo PQR es semejante con el triángulo TQS, ya que se cumple los criterios de tener dos lados respectivamente proporcionales y el ángulo congruente entre ellos. Por lo tanto, la respuesta es: Cada una por sí sola, (1) ó (2).

50.

La alternativa correcta es E.

Unidad temática Habilidad

Geometría analítica Comprensión

Supongamos que el dibujo de la figura mencionada en el enunciado corresponde a la figura adjunta. Como OA = 3 cm y AD = 5 cm, entonces OD = 8 cm. Luego, la razón de OD 8 homotecia será  . Es decir, 8 : 3. OA 3

51.

F C

E B

O

A

D

La alternativa correcta es D.

Unidad temática Habilidad

Geometría analítica Aplicación

Si la recta tiene coeficiente de posición 1, entonces su ecuación será y = mx + 1, con m la pendiente de esta recta. Como esta recta pasa por el punto (2, 9), entonces se cumple que 9 = 2m + 1. Despejando: 9 = 2m + 1 ⟹ 8 = 2m ⟹ 4 = m

52.

La alternativa correcta es B.

Unidad temática Habilidad

Geometría analítica Aplicación

Se sabe que la forma principal de la ecuación de una recta es del tipo 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛, donde m es la pendiente y n el coeficiente de posición asociado al punto de intersección con el eje y. A partir del gráfico se observa que 𝑛 = 3, y con los puntos que pertenecen a la recta podemos determinar el valor de la pendiente m: 𝑚=

3−0 =3 0 − (−1)

Por lo tanto, la ecuación de la recta representada en el gráfico es 𝑦 = 3𝑥 + 3.

53.

La alternativa correcta es D.

Unidad temática Habilidad

Geometría analítica ASE

Respecto de la recta L del gráfico adjunto: I) Verdadera, ya que todas las rectas horizontales (paralelas al eje X) tienen pendiente igual a 0. II) Verdadera, ya que en la recta L se encuentran todos los puntos de la forma (𝑥, 8), en particular (– 9, 8). III) Falso, ya que la ecuación que representa la recta es 𝑦 = 8. Por lo tanto, solo las afirmaciones I y II son verdaderas.

54.

La alternativa correcta es C.

Unidad temática Habilidad

Geometría analítica ASE

Para que dos rectas sean paralelas no coincidentes, ambas deben tener igual pendiente pero distinto coeficiente de posición. Luego: (1) a es el triple de b. Con esta información, no es posible determinar que son paralelas no coincidentes, ya que si bien se cumple que ambas pendientes son iguales (ya que en la primera recta se cumple también que el coeficiente de x es el triple del coeficiente de y), no se sabe nada respecto al valor de c, es decir, no se puede afirmar que los coeficientes de posición son distintos. (2) c es distinto de cero. Con esta información, no es posible determinar que son paralelas no coincidentes, ya que solo nos permite concluir que las rectas tienen distinto coeficiente de posición, ya el coeficiente de la primera recta es cero. Con ambas juntas, sí es posible determinar que son paralelas no coincidentes, ya que la primera información permite concluir que ambas rectas tienen igual pendiente, mientras que la segunda permite deducir que tienen distinto coeficiente de posición, condiciones necesarias para que cumplan con el enunciado. Por lo tanto, la respuesta correcta es: Ambas juntas, (1) y (2).

55.

La alternativa correcta es C.

Unidad temática Habilidad

Cuerpos geométricos Comprensión

1    r 2  h , donde r es la longitud del radio de la 3 base y h es la longitud de la altura del cono. Entonces: Sea el volumen V de un cono igual a

I)

Verdadera, ya que si el radio de la base se duplica, se tiene que 1 1 1 2    2r   h     4r 2  h  4     r 2  h  4  V 3 3 3 Por lo que el volumen del cono resultante es cuatro veces su volumen original.

II) Falsa, ya que si la altura del cono se duplica, se tiene que 1 1    r 2  2h   2     r 2  h  2  V 3 3 Por lo que el volumen del cono resultante es dos veces su volumen original. III) Verdadera, ya que si la altura se cuadruplica y el radio de la base disminuye a la mitad, se tiene que 2

1 1 r 1 r       4h       4h     r 2  h  V 3 3 4 3 2 Por lo que el volumen del cono resultante es igual a su volumen original. 2

Por lo tanto, solo las afirmaciones I y III son verdaderas.

56.

La alternativa correcta es C.

Unidad temática Habilidad

Geometría analítica Comprensión

El origen del espacio tiene coordenadas (0, 0, 0), por lo cual si un punto de la recta L se encuentra ubicado en el origen, entonces se cumple que (0, 0, 0) = (1, 1, 1) + t⋅(p, p, p). Por lo tanto, planteando la igualdad para cualquiera de las coordenadas, resulta 1 0 = 1 + t·p  t·p = – 1  t = . p

57.

La alternativa correcta es E.

Unidad temática Habilidad

Geometría analítica Aplicación

El punto Q se encuentra 1 cm delante, 1 cm arriba y 3 cm a la derecha del punto P. Por lo tanto, la distancia entre P y Q es 12  12  32  1  1  9  11 cm.

58.

La alternativa correcta es A.

Unidad temática Habilidad

Cuerpos geométricos Aplicación

El volumen del cuerpo de la figura se calcula como la diferencia entre el sólido exterior completo y el espacio interior. El sólido sin el espacio es un paralelepípedo recto, cuya altura mide 4a cm y con una base cuadrada de lado 3a cm. Luego, su volumen es 4a·(3a)² = 4a·9a² = 36a³ cm³. Por otro lado, el espacio es un paralelepípedo recto, cuya altura mide 4a cm y con una base cuadrada de lado 2a cm. Luego, su volumen es 4a·(2a)² = 4a·4a² = 16a³ cm³. Por lo tanto, el volumen del cuerpo de la figura es (36a³ – 16a³) = 20a³ cm³.

59.

La alternativa correcta es D.

Unidad temática Habilidad

Análisis de variable estadística Comprensión

El conjunto A está compuesto por 9 elementos y las muestras se extraen por combinación de elementos. Luego: 9 9! I) Verdadera, ya que la cantidad de muestras de tamaño 3 es     84 , mientras  3  3! 6! 9 9!  84 . que la cantidad de muestras de tamaño 6 es     6  6! 3! II) Falsa, ya que al ser una cantidad impar de elementos, la mayor cantidad de muestras n 1 n 1 que se pueden obtener corresponden a los tamaños y , con n la cantidad 2 2 total de elementos. Por ello, la mayor cantidad de muestras se obtendrá de los tamaños de muestra 4 y 5. III) Verdadera, ya que de los 9 elementos se consideran solo 8 de ellos y se realiza la combinación de 4 elementos. Por lo tanto, solo las afirmaciones I y III son verdaderas.

60.

La alternativa correcta es E.

Unidad temática Habilidad

Manejo de datos Aplicación

Completando la tabla con las frecuencias acumuladas, se tiene Días [0, 5[ [5, 10[ [10, 15[ [15, 20[ [20, 25[ [25, 30[

Frecuencia 10 25 30 15 13 7

Frecuencia acumulada 10 35 65 80 93 100

El percentil 60 corresponde al dato bajo el cual se encuentra el 60% de todos los datos. Como en este caso son 100 datos, entonces el percentil 60 se encuentra en la posición 60, ya que el 60% de 100 datos es 60. Buscando la posición 60 en la columna de la frecuencia acumulada, identificamos que esta se encuentra en el tercer intervalo. Por lo tanto, el percentil 60 de la muestra se encuentra en el intervalo [10, 15[ .

61.

La alternativa correcta es B.

Unidad temática Habilidad

Manejo de datos Aplicación

Traspasando los datos del gráfico a una tabla y agregando la columna de frecuencia acumulada, se tiene Duración (horas) [18, 20[ [20, 22[ [22, 24[ [24, 26[ [26, 28[

Frecuencia 7 15 12 9 4

Frecuencia acumulada 7 22 34 43 47

El primer cuartil corresponde al valor bajo el cual se encuentra el 25% de los datos. Como en este caso son 47 datos, entonces el primer cuartil se ubicará en la posición 11.75, ya que el 25% de 47 es 11.75. Luego, buscando esta posición en la frecuencia acumulada, podemos inferir que el primer cuartil se encuentra en el intervalo [20, 22[ . Por otro lado, el séptimo decil corresponde al valor bajo el cual se encuentra el 70% de los datos. Como en este caso son 47 datos, entonces el séptimo decil se ubicará en la posición 32.9, ya que el 70% de 47 es 32.9. Luego, buscando esta posición en la

frecuencia acumulada, podemos inferir que el séptimo decil se encuentra en el intervalo [22, 24[ . Por lo tanto, según la información entregada en el gráfico, el primer cuartil y el séptimo decil se encuentran, respectivamente, en los intervalos [20, 22[ y [22, 24[ .

62.

La alternativa correcta es E.

Unidad temática Habilidad Rendimiento Muy bajo Bajo Aceptable Alto

Manejo de datos ASE Abdominales 1 – 15 16 – 30 31 – 45 46 – 60

Hombres 3 7 10 5

Mujeres 5 14 9 2

Basado en la tabla, se tiene que 25 de los asistentes son hombres y que 30 de los asistentes son mujeres, con un total de 55 personas. Luego, analizando cada una de las alternativas: A) Verdadera, ya que hay 8 personas con un rendimiento muy bajo de un total de 55, siendo aproximadamente un 14,55% de los asistentes. B) Verdadera, ya que los hombres con rendimiento aceptable o alto son 15 de un total de 25, es decir, el 60% de los hombres. C) Verdadera, ya que el intervalo modal para los hombres es 31 – 45, mientras que para las mujeres es 16 – 30. D) Verdadera, ya que hay 30 mujeres, mientras que los hombres son 25. E) Falsa, ya que al tratarse de intervalos no es posible conocer el valor exacto de los abdominales que hizo cada asistente a la clase de gimnasia.

63.

La alternativa correcta es B.

Unidad temática Habilidad

Manejo de datos ASE

I) Verdadera, ya que 2p > p para todo valor positivo de p, por lo cual el intervalo que tiene la mayor frecuencia es [1, 3]. II) Verdadera, ya que se realizaron un total de 3p lanzamientos, por lo cual la mediana 3p 1 corresponde al dato que se encuentra en la posición (si p es impar), o bien es 2

3p 3p y +1 (si p es 2 2 par). En ambos casos, dicho resultado se encontraría en el intervalo [1, 3].

el promedio entre los datos que se encuentran en las posiciones

III) Falsa, ya que las marcas de clase de los intervalos son 2 y 5, respectivamente. Luego, 2 2p  5 p 9p el promedio obtenido a partir de la marca de clase es   3. 3p 3p Por lo tanto, solo las afirmaciones I y II son verdaderas.

64.

La alternativa correcta es A.

Unidad temática Habilidad

Análisis de variable estadística ASE

Como el promedio del conjunto es 4, entonces se puede plantear que

abc  4 , lo 3

cual implica que (a + b + c) = 12. Luego: (1) El mayor promedio obtenido de las muestras es 5. Con esta información, sí se puede conocer el valor numérico de a, ya que como 0 < a < b < c, entonces los dos valores mayores son b y c. Dado que el promedio entre ellos es 5, entonces se puede plantear bc que  5 , lo cual implica que (b + c) = 10. Luego, 2 (a + b + c) – (b + c) = 12 – 10  a = 2. (2) El menor promedio obtenido de las muestras es 2,5. Con esta información, no se puede conocer el valor numérico de a, ya que como 0 < a < b < c, entonces los dos valores menores son a y b. Dado que el promedio entre ellos es 2,5, entonces se ab puede plantear que  2,5 , lo cual implica que a + b = 5, desconociéndose el 2 valor de b. Por lo tanto, la respuesta es: (1) por sí sola.

65. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad

Manejo de datos Comprensión

Con respecto a los grupos de datos P, Q y R de la tabla: P Q R

1 2 3

2 4 4

3 6 7

4 8 10

5 10 11

𝑥̅ = 3 𝑥̅ = 6 𝑥̅ = 7

I) Verdadera, ya que el rango corresponde a la diferencia entre el dato mayor y el menor de la muestra. Entonces, el rango de Q = 10 − 2 = 8 y el de R = 11 − 3 = 8.

(1−3)2 +(2−3)2 +(3−3)2 +(4−3)2 +(5−3)2

II) Falso, ya que 𝜎𝑃 = √

5

(3−7)2 +(4−7)2 +(7−7)2 +(10−7)2 +(11−7)2

y 𝜎𝑅 = √

5

4+1+0+1+4

=√

16+9+0+9+16

=√

5

5

10

= √ 5 = √2

50

= √ 5 = √10.

III) Verdadero, ya que si los datos del grupo Q corresponden al doble de los datos del grupo P, entonces su promedio también es el doble del promedio del grupo P. Por lo tanto, solo las afirmaciones I y III son verdaderas.

66. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad

Manejo de datos Comprensión

I)

Verdadera, ya que el rango del conjunto A es 7 – 1 = 6, mientras que el rango del conjunto B es 8 – 2 = 6.

II)

Falsa, ya que el promedio del conjunto A es

III)

Verdadera, ya que todos los elementos del conjunto A tiene la misma diferencia entre los elementos, al igual que todos los elementos del conjunto B. Como la diferencia es constante, las desviaciones estándar son iguales.

1  3  5  7 16   4 , mientras 4 4 2  4  6  8 20 que el promedio del conjunto B es   5. 4 4

Por lo tanto, solo I y III son verdaderas.

67. La alternativa correcta es A. Unidad temática Habilidad

Manejo de datos Aplicación

Calculando el promedio del conjunto: x 

1  6  2  7 16   4 . Luego, calculando la 4 4

desviación estándar: 

( x  x1 ) 2  ( x  x2 ) 2  ( x  x3 ) 2  ( x  x4 ) 2 4



(4  1) 2  (4  6) 2  (4  2) 2  (4  7) 2 4

(Reemplazando)



3 2  (2) 2  2 2  (3) 2 4

(Calculando)

9449 4 26  4 26  2 

68. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad

Análisis de variable estadística ASE

Según la tabla, se conocen las medias de 5 de las 6 muestras que se pueden extraer de esta población de tamaño 2, donde la media muestral que se desconoce es la de la muestra {m, n}. Como el promedio entre todas las medias muestrales que se pueden extraer de una población es igual a la media poblacional, si x es la media desconocida: 2,5  3,5  4,5  4  5,5  x  4  20  x  24  x  4 6 mn  4  m  n  8. 2

Como la media de la muestra {m, n} es 4, entonces

69. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad

Análisis de variable estadística ASE

Sabiendo que el intervalo de confianza para la media de las estaturas de las personas mayores de 18 años de una ciudad que se modela según una distribución normal tiene la forma [𝑥̅ − 𝐸 , 𝑥̅ + 𝐸], donde 𝑥̅ es el promedio de la muestra y E es el error asociado. Entonces, si buscamos el tamaño (n) de la muestra de tal manera que el intervalo de confianza tenga un rango de 6 cm, significa que (𝑥̅ + 𝐸) − (𝑥̅ − 𝐸) = 6, por lo cual se infiere que 2 ∙ 𝐸 = 6, es decir, el tamaño del error es de 3. Además, sabemos que el error se calcula 𝐸 = 𝑍∝ ∙ 2

𝜎 √𝑛

. Por otro lado, según el problema,

la desviación estándar (σ) es de 15 cm; también, a partir de la tabla, el coeficiente (𝑍∝ ) 2

asociado al nivel de confianza (80%) es igual a 1,28. Reemplazando los datos en la expresión que permite calcular el error, se tiene 3 = 1,28 ∙

15

√𝑛 1,28 ∙ 15 √𝑛 = 3

(Despejando √𝑛) (Calculando)

√𝑛 = 6,4

(Elevando al cuadrado)

𝑛 = 40,96 Por lo tanto, el tamaño de la muestra, de manera que el intervalo de confianza para la media de las estaturas tenga un rango de 6 cm con un nivel de confianza del 80%, debe ser aproximadamente de 41.

70. La alternativa correcta es E. Unidad temática Habilidad

Cálculo de probabilidades Aplicación

Según la regla de Laplace, la probabilidad de que un suceso ocurra se calcula como 𝑃(𝐴) =

N° de casos favorables de 𝐴 N° de casos totales

Entonces, al escoger una persona del pueblo al azar, la probabilidad de que sea un anciano se expresa como 𝑃(Anciano) = (Reemplazando)

N° de ancianos del pueblo Total de habitantes del pueblo

2 N° de ancianos del pueblo = 5 250.000

(Despejando) N° de ancianos del pueblo = 100.000 Por lo tanto, en el pueblo hay 100.000 ancianos.

71. La alternativa correcta es A. Unidad temática Habilidad

Cálculo de probabilidades Aplicación

Marco coloca 50 pelotas en la piscina, de las cuales 7 son de color verde, mientras que Gonzalo coloca 20 pelotas en la piscina, de las cuales 14 son de color verde. Entonces, en la piscina hay un total de 70 pelotas, siendo 21 de ellas de color verde. Luego, la Cantidad de pelotas verdes 21 3   . probabilidad de extraer una pelota verde al azar es Cantidad total de pelotas 70 10

72. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad

Análisis de variable aleatoria Comprensión

Si el valor de la variable aleatoria X corresponde a la cantidad de veces que se obtuvo un 1 o un 3 antes del sexto lanzamiento, por lo cual se puede afirmar que antes del sexto lanzamiento pudo haber salido ninguna vez, una vez, dos veces, tres veces, cuatro veces o 5 veces un 1 o un 3. Por lo tanto, los valores que puede tomar X son 0, 1, 2, 3, 4 y 5.

73. La alternativa correcta es A. Unidad temática Habilidad

Cálculo de probabilidades Aplicación

Como solo se conocen las razones en la que están las bolitas de los distintos colores, entonces cada razón se ampliará de manera de poder hacer una comparación entre todos los colores: - azules : verdes = 3 : 2 = 6 : 4 = 9 : 6 = 12 : 8 = 15 : 10 = 18 : 12 = 21 : 14 = 24 : 16 - amarillas : azules = 1 : 2 = 2 : 4 = 3 : 6 = 4 : 8 = 5 : 10 = 6 : 12 = 7 : 14 = 8 : 16 = 9 : 18 - verdes : rojas = 6 : 5 = 12 : 10 = 18 : 15 = 24 : 20 = 30 : 25 = 36 : 30 Al amplificar las razones, se tiene que por cada 10 bolitas rojas, hay 12 bolitas verdes; por cada 12 bolitas verdes, hay 18 bolitas azules; y por cada 18 bolitas azules, hay 9 bolitas amarillas. Es decir, rojas : verde : azules : amarillas = 10 : 12 : 18 : 9. Por lo tanto, la probabilidad de escoger una bolita azul o una roja: 18 10 28 4 P(azules o rojas )  P(azules)  P(rojas )     49 49 49 7

74. La alternativa correcta es B. Unidad temática Habilidad

Análisis de variable aleatoria Comprensión

Traspasando los datos del gráfico a una tabla X 1 2 3 4

f (x) m n 0,2 0,5

I)

Falsa, ya que el conjunto {n; 0,2; m; 0,5} corresponde al recorrido de la variable aleatoria.

II) Verdadera, ya que se extrae a partir del gráfico. III) Falsa, ya que la suma de todas las imágenes de f debe ser 1, luego, si f(1) = m = 0,25, entonces n = 0,05. Por lo tanto, solo la afirmación II es verdadera.

75. La alternativa correcta es A. Unidad temática Habilidad

Análisis de variable aleatoria Comprensión

I) Verdadera, ya que la función de distribución (probabilidad acumulada) y la función de probabilidad siempre tienen la misma imagen para el primer elemento del recorrido. II) Falsa, ya que c3 corresponde a la frecuencia acumulada del valor mayor que toma la variable, por lo tanto c3 es igual a 1. Por otra parte, 1 – b3 siempre es igual a c 2 . III) Falsa, ya que siempre se cumple que F(xn) = P(x1) + … + P(xn). Luego, c2 = b1 + b2, lo que no permite concluir que c2 = b2 – b1. Por lo tanto, solo la afirmación I es verdadera.

76. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad

Cálculo de probabilidades Aplicación

Utilizando un diagrama de árbol para representar la situación, tenemos que Total 60 No vieron película

Vieron película 35 60 Tuvieron pesadilla

4 5

1 5 No tuvieron pesadilla

25 60 4 25

21 No tuvieron pesadilla 25

Tuvieron pesadilla

Sean los sucesos A: No tuvo pesadilla y B: Vio la película. Entonces, la probabilidad condicionada P(B/A) se expresa de la forma:

𝑃(Vio la película/No tuvo pesadilla) =

𝑃(No tuvo pesadilla y vio la película) 𝑃(No tuvo pesadilla)

1 35 ∙ 5 60 𝑃(Vio la película/No tuvo pesadilla) = 1 35 21 25 ∙ + ∙ 5 60 25 60 7 60 𝑃(Vio la película/No tuvo pesadilla) = 7 21 60 + 60 7 60 𝑃(Vio la película/No tuvo pesadilla) = 28 60 7 1 𝑃(Vio la película/No tuvo pesadilla) = = 28 4 Por lo tanto, si de los participantes del experimento se escogió al azar una persona, y esta 1 no tuvo pesadillas, entonces la probabilidad de que haya visto la película es de 4 . 77. La alternativa correcta es B. Unidad temática Habilidad

Análisis de variable aleatoria ASE

(1) El valor de n. Con esta información, no es posible determinar la probabilidad de obtener el número n exactamente m veces, ya que para determinar la probabilidad en este caso se debe usar la distribución binomial, esto es, 8 1 𝑚 5 8−𝑚 𝑃(𝑥 = 𝑚) = ( ) ∙ ( ) ∙ ( ) 𝑚 6 6 Expresión que depende solo del parámetro m en este caso y no del número del dado. (2) El valor de m. Con esta información, sí es posible determinar la probabilidad de obtener el número n exactamente m veces, ya que para determinar la probabilidad en este caso se debe usar la distribución binomial, esto es, 8 1 𝑚 5 8−𝑚 𝑃(𝑥 = 𝑚) = ( ) ∙ ( ) ∙ ( ) 𝑚 6 6 Expresión que depende solo del parámetro m en este caso y no del número del dado. Por lo tanto, la respuesta es: (2) por sí sola.

78. La alternativa correcta es E. Unidad temática Habilidad

Análisis de variable aleatoria Aplicación

Del enunciado del problema tenemos que 𝑌 ~ 𝑁(32, 5) y 𝑋 ~ 𝑁(0,1) son variables aleatorias con distribución normal. Luego, si buscamos una equivalencia de 𝑃(𝑌 ≤ 30) para X, debemos ajustarnos a la variable tipificada 𝑋 ~ 𝑁(0,1) para 𝑌 = 30, es decir, 𝑋=

𝑌 − 𝜇 30 − 32 = = −0,4 𝜎 5

Por lo tanto, la probabilidad de que 𝑌 sea menor o igual que 30 es equivalente a la probabilidad de que 𝑋 sea menor o igual a −0,4 .

79. La alternativa correcta es A. Unidad temática Habilidad

Análisis de variable aleatoria Aplicación

Según el problema, se tiene que P(x ≤ 243,6) = 0,1. Según la tabla de distribución de probabilidad normal tipificada, se tiene que el valor de z asociado a un 90% de probabilidad es 1,28. Se puede establecer que, por simetría de la distribución normal, el valor de 1 – P(z ≤ 1,28), que equivale al 10%, es igual al valor de P(z ≤ – 1,28). La variable x (en este caso, el volumen de gas en litros) puede ser tipificada en una 243,6   variable z, cuya transformación viene dada por z  , con µ la media



poblacional de la muestra y σ la desviación estándar de la muestra. Entonces, sustituyendo estos valores:

243,6    1,28  243,6    6,4    243,6  6,4    250 5 Por lo tanto, el valor de µ es 250 litros.

80. La alternativa correcta es E. Unidad temática Habilidad

Análisis de variable aleatoria ASE

Toda función de probabilidad continua cumple con que el área bajo la curva es igual a 1, ya que incluye el 100% de los datos. En este caso, la gráfica de la función forma un 4m triángulo de base 4 y altura m, por lo cual el área bajo él es igual a  2m . 2 1 Por lo tanto, planteando el área bajo la curva y despejando m, resulta 2m = 1  m = . 2