Solucionário - Eletromagnetismo - Alaor e Chaves

Fundamentos de/Introdução de/Introdução a Eletromagnetismo é um curso que é reconhecido reconhecido por sua dificuldade, por isso me dispus a ajudar outros estudantes nessa matéria resolvendo o l ivro que é mais usado na UFMG na matéria. Em Física Básica, Eletromagnetismo, Eletromagnetismo, do professor Alaor, há problemas de diversos diversos níveis e aqui você encontrará a solução de diversos deles – pelo menos por hora – mas futuramente fu turamente encontrará todos os problemas resolvidos. Antes que sujam questionamentos digo que os Exercícios, por serem mais elementares, não disporão de resolução nesse arquivo (mais uma vez, pelo menos por hora). Observação: Geralmente, procuro deixar as respostas finais na mesma forma em que apresenta o livro do prof. Alaor, isso para evitar confusão. Mesmo assim, sua resposta porde não coincidir exatamente exatamente com as apresentadas, então confira os algarismos significativos ou se não é a mesma coisa, porém apresentada apresentada de outra maneira. Já, no caso de nossas respostas serem totalmente diferentes e você não se convencer da resolução aqui apresentada, você ou eu poderemos estar errados, então me contate por e-mail. Digo mais, quaisquer q uaisquer problemas, problemas, como, por exemplo, erros erros de conta, digitação e até mesmo conceito, entrem em contato. Espero estar aju dando a muitos. Bons estudos! Atenciosamente, Danilo.

Segue aqui um quadro com o número das questões já resolvidas. Prob.\ Cap. 1 2 1 X 2 X 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 X 19 20 “X” = resolvido

3 X

X

-

4 X X X X X X X X X X X X X -

5

6

7

8

9

10

11

12

-

-

-

X

-

-

-

“ - “ = não há exercício com esse número

-

-

Sumário .................................................................................................................................................................. ..................................................................... 3 Capítulo 1 ............................................................................................. P.1.1) P.1.1) ...................................................................................... ...................................................................................................................................................................... ................................................................................ 3 P.1.2) P.1.2) ...................................................................................... ...................................................................................................................................................................... ................................................................................ 3 .................................................................................................................................................................. ..................................................................... 6 Capítulo 2 ............................................................................................. P.2.18) P.2.18) .................................................................................... .................................................................................................................................................................... ................................................................................ 6

Capítulo 3 ............................................................................................. .................................................................................................................................................................. ..................................................................... 8 P.3.1) P.3.1) ...................................................................................... ...................................................................................................................................................................... ................................................................................ 8 P.3.14) P.3.14) .................................................................................... .................................................................................................................................................................. .............................................................................. 10 ................................................................................................................................................................ ................................................................... 12 Capítulo 4 ............................................................................................. P.4.1) P.4.1) ...................................................................................... .................................................................................................................................................................... .............................................................................. 12 P.4.2) P.4.2) ...................................................................................... .................................................................................................................................................................... .............................................................................. 12 P.4.3) P.4.3) ...................................................................................... .................................................................................................................................................................... .............................................................................. 13 P.4.4) P.4.4) ...................................................................................... .................................................................................................................................................................... .............................................................................. 13 P.4.5) P.4.5) ...................................................................................... .................................................................................................................................................................... .............................................................................. 13 P.4.6) P.4.6) ...................................................................................... .................................................................................................................................................................... .............................................................................. 13 P.4.7) P.4.7) ...................................................................................... .................................................................................................................................................................... .............................................................................. 14 P.4.8) P.4.8) ...................................................................................... .................................................................................................................................................................... .............................................................................. 14 P.4.9) P.4.9) ...................................................................................... .................................................................................................................................................................... .............................................................................. 15 P.4.10) P.4.10) .................................................................................... .................................................................................................................................................................. .............................................................................. 16 P.4.11) P.4.11) .................................................................................... .................................................................................................................................................................. .............................................................................. 16 P.4.12) P.4.12) .................................................................................... .................................................................................................................................................................. .............................................................................. 17 P.4.13) P.4.13) .................................................................................... .................................................................................................................................................................. .............................................................................. 18 P.4.14) P.4.14) .................................................................................... .................................................................................................................................................................. .............................................................................. 18 Capítulo Capítulo 5 ................................................................................... ................................................................................................................................................................. .............................................................................. 20 ................................................................................................................................................................ ................................................................... 21 Capítulo 6 ............................................................................................. ................................................................................................................................................................ ................................................................... 22 Capítulo 7 .............................................................................................

Capítulo 8 ............................................................................................. ................................................................................................................................................................ ................................................................... 23 ................................................................................................................................................................ ................................................................... 24 Capítulo 9 ............................................................................................. .............................................................................................................................................................. .............................................................................. 25 Capítulo 10 ................................................................................ .............................................................................................................................................................. .............................................................................. 26 Capítulo 11 ................................................................................

Capítulo 1 P.1.1) A força resultante é dada por:

 ⃗  ⃗ =

Então,

⃗  

 →   −  ∴      −      −     −  √   √    √    √   √ √  −√ 

=

.

=0

.

. .

(

)

(

)

=

=(

+ 2.

2

). 2

= 1+ 2 .

=

.

. 2. .

=

1

=

.

2

1+ 2

= . 2

=2

2

P.1.2) Como as esferas possuem raios idênticos possuem capacitâncias idênticas. Logo, após contato, pelo fio, as cargas se distribuirão identicamente entres as esferas. Então, as esferas ficarão com carga igual à media aritmética das cargas iniciais.

  −  −   →  =

se,

+(

)

2

=

=

2

,

=0

caso contrário, como as cargas ficarão com c argas idênticas elas, necessariamente, se repelirão. Inicialmente, tem-se:

   −           −  ∴    −  =

. | |. |

|

.

=

.

Para a configuração desejada é necessário que: =

.

.

.

=

2

.

=

(

)

4

  −    −             −   −  − √  −  − √        − √  − √  4.

.

=

6.

Resolvendo essa ultima equação para uma equação de 2º grau em função de : =

6.

±

(6.

)

=

.

.

+

+

=0

, ou seja, considerando

4.

2

2.

=

6 ± 36

3± 8=

4

2

3±2 2

.

=

a variável e resolvendo como

3± 8 .

P.1.3) P.1.4) P.1.5) P.1.6) P.1.7) P.1.8) P.1.9) P.1.10) P.1.11) P.1.12)

Capítulo 2 P.2.1) P.2.2) P.2.3) P.2.4) P.2.5) P.2.6) P.2.7) P.2.8) P.2.9) P.2.10) P.2.11) P.2.12) P.2.13) P.2.14) P.2.15) P.2.16) P.2.17)

P.2.18) O fio infinito cria um campo elétrico em um ponto de intensidade igual a

   =

2.

. .

Em que “r” é a distância entre o fio e o ponto. A densidade do fio “ab” pode ser dada por:

  →     =

=

.

( )

             ⎯     

Ainda, sabe-se que cada elemento de carda do fio “ab” sofre um elemento de força, devido o campo elétrico . Para encontrar a força total – resultante – devemos somar todos esses elementos de força, ou seja, integrar a seguinte equação: =

.

=

2.

. .

.

( )

=

.

2.

. .

.

=

.

2.

. .

.

                          −     .

=

=

2.

.

2.

.

.

. .

(ln )| =

=

.

2.

.

.

=

2.

.

2.

. ln

.

1

.

(ln

ln )

Capítulo 3 P.3.1) Chamemos os vértices do quadrado de 1, 2, 3 e 4. Então a energia potencial eletrostática do sistema será dada por:



=

                                                   −  −   −   −    −   −     √     √      √     √        √ − 

1 2

.

=

=



=

1

4.

.

+

.

4.

+

. .

. 2

+

+

+

+

.

4.

+

. .

+

.

4.

+

. .

=

. 2

=

+

1

. .

8

4.

.

4.

. .

1

. .

+

4+

.

4. 2

2

. .

=

+

.

4.

. .

1

. .

2. 2

1

P.3.2) P.3.3) P.3.4) P.3.5) P.3.6) P.3.7) P.3.8) P.3.9) P.3.10) P.3.11) P.3.12) P.3.13)

P.3.14) A) O desenho deve ser algo parecido com o seguinte. O importante é desenhar linhas de campo mais densas na ponta da agulha.

 



B) Como aproximação, devemos considerar a ponta da agulha como uma esfera de raio = 0,01 = 1. 1 0 e que essa possui um potencial igual a 10 volts. Assim:

  ≅  ∴  ≅   ≅     ≅   .

10

= 10

1.10

10

P.3.15) P.3.16) P.3.17) P.3.18)

Capítulo 4 P.4.1) A) Para um capacitor de placas esféricas concêntricas a capacitância é:

     −   −    ̅ ̅  Φ  ⃗ ∙⃗        ̅       ̅              .

= 4. .

0,1.0,05 = 1,112. 10 0,1 0,05

= 4. .

= 11

B) Num ponto médio teremos o raio ( ) médio que será:

=

. Então, tracemos uma

superfície Gaussiana com esse raio médio, concêntrica às esferas. Teremos: =

=

Como o campo elétrico é constante na superfície: = .

=

. 4. .

=

= .

. 4. .

1,0.10

=

+ 2

= . 4. .

0,1 + 0,05 . 4. . 2

= 1,598.10

= 1,6.10

P.4.2) A) Para capacitores esféricos tem-se que a capacitância é dada por:

     = 4. .

.

Porém, só há a espera interior. Para resolver esse caso devemos considerar que o raio da espera maior tende ao infinito.

→  lim

Assim,

          →  −  →  −      →                    .

= lim 4. .

= 4. .

= 4. .

. = 4. .

. . lim

. 0,1 = 1,1121.10

= 11

B) Simplesmente faça a substituição na fórmula: =

.

2

=

. (100)

11.10

2

= 5,5. 10

= 4. .

= 5,5. 10

= 55.

.

P.4.3) A questão é apenas aplicação de fórmulas. A)

   →                              = .

=

.

=

= 1,5. 10

.

= 1,5.10

B) placas.

=

, em que u é a densidade de energia, U é a energia do capacitor e V o volume entre as

=

= 2.

=

=

2. .

(3.10

2.200.10

)

.100.10

= 2,25. 10

 

= 2,25.10

= 2,25

P.4.4) Devemos desconsiderar o efeito de borda. O módulo do campo elétrico gerado por uma das placas é:

           =

=

( )

.

⃗

Cada elemento de carga sofrerá um elemento de força devido o campo elétrico ( ). Assim: = . =

.

Fazendo a devida substituição da equação (I) na integral à direita:



=

                .

.

=

=

1 .

2.

.

.

=

2.

  .

.

P.4.5)

P.4.6) Sabe-se que para uma esfera metálica podemos usar a seguinte equação:

    →      =

4. .

.

= 4. .

.

.

              á .

= 4. .

.

.

á .

= 4. .

á .

= 8. 1 0





. 0,005 .3.10 = 8,34. 10 =8

P.4.7) A) Da equação para a intensidade de um campo elétrico em um capacitor de placas paralelas e da equação do capacitor em função de sua geometria temos:

    →                                       →                                 =

=

=

á .

.

.

=

. .

á .

( )

( )

Substituindo (I) e (II) na equação da energia: =

á .

2.

=

( . .

á .)

.

2.

á .

.

=

. .

=

á ..

2

á .

2

=

.

á .

2

.

.

B) substituindo os valores dados na equação encontrada:

á .

=

.

á .

2

.

=

á .

2

(3.10 ) .200.10

= 8,0. 10

= 79,65.10

= 8,0

P.4.8) No caso de um capacitor cilíndrico, haverá capacitância apenas onde houver o cilindro interno. Isso pode ser provado pela lei de Gauss. Tracemos uma superfície internamente ao cili ndro maior, onde não haja o menor, veremos que não há fluxo de campo elétrico, ou seja, a carga nessa região é nula. Concluímos que a capacitância também é nula nessa região. Onde o cilindro estiver presente haverá capacitância. Essa será dada por uma função de y, parcela do cilindro interno no externo.

                 →        

=

2. .

.

ln

Substituindo essa fórmula na de energia teremos função da posição y.

=

2.

=

2.

2. . ln

.

( ), ou seja, a função energia potencial em

( )=

. ln

4. .

.

Como já se sabia, em uma dimensão:

 −  −           →       =

        −  . ln

4. .

.

1

. ln

=

=

. ln

.

4. .

=

.

4. .

. ln

1

=

.

4. .

1

Como foi pedido para que a força eletrostática compense a gravitacional, teremos a seguinte igualdade:

                             =

á

. ln

.

4. .

Explicitando o y:

1

=

. ln

=

4. .

.

. ln

=

P.4.9)

4. .

.





Chamemos de a capacitância da parte superior e , da inferior. Se dissermos, sem perda de generalidade, que as placas superiores distam de x, teremos:

      −  −          − −           →    →    ⎯⎯⎯⎯     −  −     − −   −  −     − −              −  −     − −−−    −− −   − .

=

.

=

Pela figura fica evidente que esse caso: 1

=

1

1

.

( . )

.

=

( . ).

=

e

1

+

1

.

+

1

.

=

.

.

( ),( )

.

+

=

.

1

1

1

( )

estão em série. Calculemos a capacitância equivalente para

.

1

( )

=

. .

(

.

+

1

). +

.(

.

.

=

)

. .

(

).

.(

=

)

.

  −  .

.

=

Como se vê, claramente, a capacitância equivalente não depende da posição do bloco, depende unicamente da geometria dos elementos.

P.4.10)



 

 

Foi dado que = 0. Para que isso ocorra, as quedas de potencial nos capacitores e devem ser iguais. Analisando o sistema, obrigatoriamente, as quedas em e , também, são idênticas. Disso, pode-se escrever:



             

                   ∴          =

=

( )

=

=

( )

Das informações dadas conclui-se, ainda, que . Disso pode-se inferir que:

e

=

estão em série, assim como o estão



e

=

Substituindo essas ultimas igualdades em (I) e (II): =

(

)

=

(

)

Dividindo a equação (IV) por (III):

=

=

=

P.4.11)

     

Inicialmente, como a chave está em “a”, é:

  



.

e

= .

estão na mesma ddp. Então a carga inicial em



( )

Ao desligar a conexão a carga em permanecerá a mesma. Finalmente, liga-se a chave em “b”, ao fazê-lo a carga se distribui por essa parte do circuito f echado, até que a diferença de potencial entre os capacitores e sejam idênticas. Com a lei da conservação das cargas elétricas:

  ′ ′   ′ ′    ′   ′   → ′ ′ → ′ ′    ′ ′  ′   ′    ⎯           +

Consideremos que o capacitor

=

inicie descarregado: =

Como as ddp’s entre

e

=

.

+

+

( )

são as mesmas.

;

=

.

=

=

+

=

.

(

)

Substituindo (III) em (II):

=

.

=

. 1+

( )

=

.

=

1+

=

1+

.

(

)

+

P.4.12) Inicialmente, pode-se inferir que:

              =

.

=

2.

=

( )

2

.

( )

Ao fechar o circuito a carga “q” se distribuirá pelos dois capacitores até que a ddp entre os condensadores sejam iguais. Também, como a carga se conserva, a soma das cargas distribuídas entre os capacitores deve ser igual à inicial.

       ∴       ⎯⎯                                              ⎯⎯⎯ ⎯                   =

( )

+

.

=

.

.

=

+

.

(

+

.

=

+

)

Da equação (III):

=

(

).

+

(

(

)

=

2

=

(

+

)

+

. +

).

=

2

.

=

(

+

)

.

.

2(

+

)

=

(

+

)

.

.

2

( )

P.4.13) A) Esse caso é imediato:

      .

=





B) Para solucionar o problema deve-se separar o condensador em dois elementos em paralelo, já que cada metade está na mesma ddp. é o capacitor com a barra, o sem a barra. Com todas essas informações e as dadas temos:

               . .

=

2 = 1. 2

=



.

=

2

( )

2

Para encontrar recorreremos ao Problema 4.9, caso análogo a essa parte do prroblema. Vemos nele que a capacitância equivalente será:

  −  =

.

     −    =

. .

2 = 1. 2 2

=

.

=

2

( )

Inicialmente dividimos o condensador em duas metades, calculamos a capacitância em cada uma e agora retomemos ao capacitor como um todo, ou seja, calcularemos a capacitância equivalente. Como os condensadores estão em paralelo:

       ⎯⎯⎯⎯⎯      −  −    =

( )

+

=

( )

3 2

=

=

=

+

2

.

C) Repito, como visto no P.4.9:

.

 

. .

2

= 2.

 .

= 2.

P.4.14)



Para evitar confusão entre o “d” da derivada e o “d” de distância, chamaremos a distância de y. No final, retomaremos = para a resposta ficar idêntica ao gabarito não causado confusão. Primeiramente, deve-se expressar a energia (U) em função de da posição da barra (x).

Pode-se separar o capacitor em duas partes, uma com o bloco metálico ( Esses estão em paralelo entre si, pois estão à mesma ddp. Assim, tem-se:





), outra sem (

               −                  ⎯                               −  −  −     −   −                  =

+

pode ser encontrado a partir do P.4.9. = 2.

.

.

+

=

=

( )

=

. .( + )

( )=

2.

2.

+ .(

. 2. .

)

( )

. .( + )

=

.

. .( + )

2.

Foi dado que:

=

( )

=

2.

=

.

2.

.

. . .( + )

1

.

( + )

=

2.

=

=

2.

. . .( + )

1 ( + )

.

2.

. .

. . .( + )



).

Capítulo 5

Capítulo 6

P.6.10)

 



                                        ∴     

Fomos informados que = 0. Para que isso ocorra, as quedas de potencial nas resistências e devem ser idênticas. Logo, as diferenças de potenciais em e são idênticas. Disso, pode-se inferir que: .

=

.

.

=

Ainda, pode-se afirmar que, que

e

=

.

=

.

.

( )

( )

estão em série, bem como

=

e

. Disso:

=

Substituindo essas ultimas igualdades em (I) e (II): .

=

.

(

)

Dividindo a equação (III) pela (I): . .

=

.

=

.

=

.

Essa ponte de resistência é chamada de Ponte de Wheatstone. A título de ficar mais prático, ai invés de decorar os índices das resistências, é só pensar como uma multiplicação cruzada das resistências, quando não houver ddp entre a e b.

Capítulo 7

Capítulo 8

Capítulo 9

Capítulo 10

Capítulo 11