Solucionario Demidovich Tomo II - ByPriale

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ANALISIS MATEMATICO II S O L U C IO N A R IO D E M ID O V IC H

SOLUCIONARIOS UNIVERSITARIOS

T O M O II CO

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♦

IN T E G R A L IN D E F IN ID A

♦

IN T E G R A L D E F IN ID A

♦

IN T E G R A L IM P R O P IA

♦

A P L IC A C IO N E S

E D U A R D O E S P IN O Z A R A M O S

INDICE

C A P ÍT U L O IV

INTEGRAL INDEFINIDA

Pag.

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1.1.

Reglas Principales para la Integración.

1.2.

Integración mediante la Introducción bajo el Signo de la Diferencial.

1.3.

Métodos de Sustitución.

45

1.4.

Integración por Partes.

57

1.5.

Integrales Elementales que contienen un Trinomio Cuadrado.

79

1.6.

Integración de Funciones Racionales.

88

1.7.

Integrales de algunas Funciones Irracionales.

116

1.8.

Integrales de las Diferenciales Binómicas.

129

1.9.

Integrales de Funciones Trigonométricas.

134

1.10.

Integración de Funciones Hiperbólicas.

157

1.11.

Empleo de Sustitución Trigonométricas e Hiperbólicas para el Cálculo de Integrales de la forma

’

J

R(x, Vax1 +bx + c ) d x .

1 8

161

1.12.

Integración de diversas Funciones Trascendentes.

167

1.13.

Empleo de las Fórmulas de Reducción.

176

1.14.

Integración de distintas Funciones.

180

1

Integral Indefinida

C A P ÍT U L O

C A P ÍT U L O V

IV

L A IN T E G R A L D E F IN ID A 2.1.

La Integral Definida como Limite de una Suma.

218

2.2.

Cálculo de las Integrales Definidas por Medio de Indefinidas.

223

2.3.

Integrales Impropias.

2.4.

Cambio de Variable en la Integral Definida.

2.5.

Integración por Partes.

2.6.

Teorema del Valor Medio.

234 248 261

4.

4.1.

IN T E G R A L

IN D E F IN ID A .

R E G L A S P R IN C IP A L E S P A R A L A IN T E G R A C IO N .

0

F '(je) = / ( x) entonces j" f ( x ) d x = F(x) + c , c constante.

(2 )

J kf(x)dx = k j / ( x)dx, * es una constante.

@

J(/(jc)±g(x) k = F ( x ) + c

y

u = yW .

se tiene: ^ f ( u ) d u - F ( u )

TABLA DE INTEGRACION INMEDIATA.

310 Sea u una función de x.

325 347 357

377

©

J ^ = 1 „ | „ | +C

©

J ^ T = r r c ,8 ,7 ) + c

2

Eduardo Espinoza Ramos

= ln(w + y¡u2+a) + c , a ? í 0

J

1032

J u 2 +a

3

Integral Indefinida

(i6x2 + 8jc + 3)dx. Desarrollo

du

■= are. sen f u ' + c = -are. eos

J y[a2 - u 2 J

audu = -

^szn(u)du

-+ c

, a> 0 ln(fl)

+ c, ;a > 0

(6x2 + 8* + 3)dx = 6 J x 2dx + 8J xdx + 3J dx + c = 2x* + 4x2 + 3x + c

J (l2) 12) j"I eosu du = senu + c 10) \ e ud u = e u +c

= -cos(m) +c

1033

x(x + a)(x + b)dx Desarrollo

?

+y *

C i x a + b 3 ab 2 í x(x + a) (x + b)dx= \ ( x 3 +( a+ b) x2 +abx)dx = — + - — x +c

í< j t g u d u = —ln|cosw| + c = lnjsecMj + C!

^4)

tg u.du = ln|sen m|+ c 1034

Jsec u.du = tgu + c

(a + bx^)2dx. Desarrollo

J c s c 2 u.du = - c t g u +c

Jcsc u.du = lnjsec¿¿ + tgu\ + c

(l^ jcscu .d u = Ln \c s c u -c lg u \ + c

Jsenh(M)rf«=cosh(«) + c

@ Jcosh(M)¿K =senh(«) ) + c

(a + bx3)2dx = I (a2 +2abx3 +b2x6)dx = a 2x + Y x * + ^ - j - + c

=I<

1035

J 2 p x dx. Desarrollo

@ Jsec2h(u)du = tgh(n)) + c

j c s c 2 h(u).du = c tg h (u )+ c

\ ¡ 2 7 x d x = V 2 ^ J x U2dx = ^ 3/2 y¡2p +c =

Hallar las siguientes integrales, empleando las siguientes reglas de integración: 1036 1031

I5a2x 2dx J

du = d x , x = u - l

f y / x + lnx -dx J

X

Desarrollo \ ~ T du=

i (JC+ 1)2

1061

J u2

f ( ~—

J

u2

U

= ln | w| +—+ c = ln|* + l|+ —— + c u

x +l

C y fx + ln x , f . 1 ln * \, 0 r , ln x - ----------dx= l(-p r + ----- )dx = 2 ^ x + —— + c J X J yjx X 2

f bdy

J Vw Desarrollo

1065

Í—

J 3x2 + 5 Desarrollo

Sea

J 1062

u = 1 - y => dy = - du í —t — = í

=b ~y^ll2(iy=~bj u~ll2(lu = ~2bu1' 2 +c = - 2 b y ] l- y + c

J 3x + 5 1066

JVa-b xdx .

f

r

f X—

J (J3x)2 + ( J 5 ) 2

= —J —¡=a r c t g C ^ - ) + c = -^ = a r c tg (x í ^ ) + c S S \¡5 %/I5 V5

dx

J 7*2 +8 Desarrollo

Desarrollo Sea

dx 1x 2 - 8

u - a - bx => dx = ~ — b

dx _ , --------------------- - ; 0 < b < a (a + b ) - ( a - b ) x Desarrollo

1067 f s¡a-bxd x= fwl/2( - ^ - ) = - - \ u m du = - — u>fü+c = - — ( a - b x ) J a - b x +c J J b bj 3b 3b

1063

f

dx

j*______ dx______ - ^ * in i V7jf —2>/2 +c J (V7x)2 -(2 > /2 )2 y¡l 4V2 Jlx+ 2 ^2

dx

dx

=r

J (a + b ) - ( a ~ b ) x 2 J (Ja + b)2 - ( J a - b x ) 2

11

yfa—b dx f __________________

J (Ja + bj2 -(-J a - b x )2

Desarrollo . yja+b + sja—bx . ~ln ,----- ---- f = = - \+c 2yja-b.\¡a + b \la + b - y / a - b x 1

12

Eduardo Espinoza Ramos

13

Integral Indefinida

1

. . yfa + b + y j a - b x . In | ------ -----— | +c 2yja2 - b 2 J a + b -->J a - b x 1068

r

x 2dx

=

1072

x2+2

1 Ln 12- 2 x + 7 +8 jc2 | +c , por la fórmula 7

2v2

dx

Í yjl - 5 x 2

Desarrollo

Desarrollo dx

r

1069

I

F

1073

f x3dx

i

2

f/ J

Jt2 - 5 x + 6

vf

x

x

2

Desarrollo a

2

o.

t

(* + ~ -----= - ( — + — In | jc - a 2

x~ - a

J 3* - 2 yftdx

|) + c

2

dx

1

x2 +4

f

Cx 2 - 5 x + 6 j I —

J

1

~

7

x +4

~

J

=

f

,

.

3

( 1 —

f

5x-2 r

~

; ) d x =

x +4

2

I * 1 —

J

5x 2—

5

. . y ¡ 3 x- y ¡ 2 ,

* +4

~ i —

x +4

In | *2 + 4 1+arc.tg(—) + c

2

2>/3.V2

\¡3x + yj2

oHonr,a»q =—In - 2l-2^ lnl ^ +V2 1,

2 +

) d x

1074

I,

2

T I

^

i„ | ' f i x

+c

3 - 2x ,

Í 5x

dx

+7 Desarrollo

dx

J yJl + Zx2

f

J 5jc2+7

Desarrollo

r

,

= - l n 3jc2 - 2 ----- r - r ' n H r ----- /x l +c Desarrollo

1071

'¡5dx------- =-^=arcsen(^í) + c

x3dx

~2 a -x

Desarrollo

1070

_ 1 |*

_ j*______dx

dx

j yll + Sx2

f j yjl + (2y¡2x)2

-

1 f 2\¡2

=2 f

SJ .X

f 5

ÜÜL =

5Jí! +7_ 5V7 5

2yfldx

J y¡7 + (2^/2x)2

3 a r c tg (^ x ) - ^ In 15x2 + 7 | +c >/35

- i l n 15 ^ + 71 +c

^7 5

14

Eduardo Espinoza Ramos

Integral Indefinida

3.x:+ 1

J \ls x 2 +1 dx

1075

) a 2x 2 +b2

J

) a"x +b"

a 2x 2 +b 2

Desarrollo ( - * 2 L dx. 3 [ ' tb+ ( * =1 f J y j 5 x 2 +l J s]5x2+l J yj5x2 +l 10 J y¡5x2 +1

i f

1 , 9 o »? i 1 = — l n | a 'j r + ¿ r |+ —arc.tg(— ) + c 2a a b

Vm.

S J ^(y¡5x)2 +1 1080

jcdx

J4 7 ^7

- j \ l 5 x 2 +1 + ~ L n \yÍ5x+y¡5x2 + 1 1+c 5 \5

Desarrollo (*

x +3

Is ¡ J ^ 4 -dx

1076

f

xdx

_ 1 f

2 xdx

2

_ J_ = -^arc. sen(— ) + c úT

J Va4-*4_2j^4_;c4"2 Desarrollo 1081 J i« 6

i r?' dx + 3 í ------- = V-*2 - 4 + 31n | x + yjx2 - 4 |+ c , por la fórmula j \x -4 Jyjx2- 4

Desarrollo „2 ,

f iL * L = f A du

\¡ \ —X2

\ll + x 2

2 2 u 2du = —u 2 +c = —(arcsen x)2 + c 3 3 í

1084

17

Integral Indefinida

2du = 2\fü + c = 2\j\n(x + yfl + x2 ) + c

1087

f arctg(~) --------é~dx 4 +x2

J ae~mxdx Desarrollo

Desarrollo

f arctg(^)

j f 2arctg(^)

j f

du Sea u = -mx => dx = ----m x

2dx

arctg2(

fe“(-—) = - m- J\ e udu = - -me u +c = -m- e~mx+c m

” t C

1085

\ a e - mxdx = a J J 42~3xdx

1088 \

l + 4x2

Desarrollo

Desarrollo f Jr-7 a rc tg 2 Jr d,j = 1 f j £ * J 1+ 4x2 8 J 1+ 4*

du J 42 3^ + c Sea « = £ * - 1

1094

I

\_ +c = -e 1+c

Tx

2 o y

=> du = -2x dx => xd x = ~ — 2

X

dx I5^ —

x

f a -1 f, a 1, f.y -§ w 2a _ _ r f * = ( - = — -j=)dx= \ ( a 2 - a i ) d x = - . ~ — + ------- + c In a In a j ¿Y J y fc 77 J 3 lr

J e ~ ^ +l)xdx = J e \ ~ )

X

J e— dx = j e u(-du) = - J eudu = — 1096

3x

Sea u = -( a '2 +1)

7dx Desarrollo

[ alX ~ XA J- J T *

Je + ^ x d x

I

1

J

Desarrollo

1093

1 7 Í7 “ — = - Í 7 " d « = - — - + c = ---------2 ln(7) 21n(7) 2 2J 21n('

J

l

¿Y i-)x j fl b - b _ +^ — - 2 x +c = ± r - ( £ ) x + ( - ) x) - 2 x + c ln(—) ln(—) 'n a ~ hlb b a b a 1092

19

Integral Indefinida

=> du = e xdx

*.7* — - = f — = In | m| +c = In | e* - 1 1+c

Desarrollo

J ex - l

J «

+c

Eduardo Espinoza Ramos

20

f axdx 1 f du 1 1 , ------— = -— ----- ? = -— arctgM + c = -— arctg(a ) + c J l+a m a j\+ u lna lna

bexdx

1098

21

Integral Indefinida

Desarrollo Sea u = a - b e

,

. r. X. dU => du = -b e dx => e dx —----b

[ ( a - b e x )^e xd x - [u ^ J J X

1099

I

1

b

bJ

1102

e~fa¿jc

f-

I+ e~2hx J 1Desarrollo

Sea u = e hx => d u = -b e ~ hxdx => e~bxdx = - —

[u^du = ——u^ +c = - ^ - - J ( a - b e x)3 +c 3b 3b

X

f du = e a — a

1103

Desarrollo Sea w = e' => du = e ‘dt f e!í/í C du 1, , 1+ u . 1, . 1+ e‘ . I — = I ----- í- = - l n ----- +c = —l n -------1+c J l —e J l-u 2 2 1-M 2' l - e' '

dx

J 2X+3

f-

-e2' J 1-«

=> adu = ea dx

* * f - — f f 3a 3a — I (ea + l)3e adx = I u 3adu = a \ u 3du = -^ -u i +c = — (ea -1 ) 3 + c

1100

dt

Desarrollo

1104

J sen(a + bx)dx Desarrollo

f— J 2* +3

— f ( l — - ) d x = - ( x — — ln 12X + 3 1)+ c 3J 2* + 3 3 ln2 Sea u = a + bx => du = b dx => d x - — b

110.

l-a ™ J \+a

Desarrollo

f r du 1 f J sen(a + bx)dx = J sen(w)— = — I sen(u)du

= - —cos(«) + c = -icos(« 6 fe

+ kO+ c

Eduardo Espinoza Ramos

22

1105

J

Jt

J senflog x ) ——= J sen(«).ln(10).dM = ln(10)J* sen(u)du

COS( ~7 =)dx

Sea

23

Integral Indefinida

v5 Desarrollo

= - ln(10) eos (u) + c = - ln(10) eos (log x) + c

u - -—= => \¡5

1109

J"cos(-JL)í£t'= J*cos(m)\^5í/m = V5j"cos(w)ài/ =

i sen2xdx

Desarrollo

5 sen(«) + c = . 5 sen( * ) + c

., ,

?

1 - cos2jc

Usar la identidad: sen x = ----------1106

J (cos(oa) + sen(ax))2dx

- cos(2jc) , x sen(2x) Jsen2.xí¿t = j i ­------------ d x - --------------- + c

Desarrollo

J"(cos(a.v) + sen(ax))2 sen( — = ln(10)í/w

2

du Sea u = ax + b => dx = — a

sen(log x).— x

Sea u = lo g x => d u - — —— ln(10)x

í

2

1112

j c t g 2(ax)dx

24

Eduardo Espinoza Ramos Desarrollo

1114 Usar la identidad:

25

Integral Indefinida

1+ c tg 2 x = ese2 x

dx K 3 c o s(5 x -—) 4 Desarrollo

je tg2(ax).dx = 1113

J (csc2(ax) -1 )dx =

_*+c

dx 1 i 5x JT. i " ------ = — ln |tg [— + - ] | + c o /« **15 2 8 3cos(5x---- ) 4

dx

f

sen(-) Desarrollo

1115

dx sen(ax + b) Desarrollo

_ x _ , x „ ,x , Se conoce que sen—= 2sen(— ).cos(— ) a 2a 2a

dx i—

' sen (-)

- \

J 2sen(— ).cos(— > 2a 2a

Se conoce

se c (^ ) 2a dx 2 ¡ sen(— ) 2a

f ■

-

J sen(ox + b)

2, X see (— ) 2a

du = see (— ).— 2a 2a

ax + b ax + b — ).cos( ^ )

dx ,ax + b s ax + b J 2 sen(— - —).cos(— - )

f

, . sec(—- — )

j f sec2( ^ ) - d x = -1 ‘f 2a dx - l i sen(— ).sec(— ) 2j 2a 2a Sea u = tg(— ) 2a

sen(ax + b) = 2 sen(

r s e c = (-í ^ >> , , [>sec

=1f- - - 2— dx= - i - - - 2 J sn ,(£ £ ± * )

1116

.g (H ± í,

xdx

J cos2(x2)~) Desarrollo

? JC De donde se tiene: see (— )dx = 2a dx 2a

h r dx

,

,ax+b..

“

2

= - lnltg(— )!+c

26

1117

Eduardo Espinoza Ramos

J * se n (l-jr)í£ c

1121 Desarrollo

1‘W^rb )dx Desarrollo

Sea u = l - x 2 => du = -2x dx => x d x - ~ —

J*.í sen(l - x~ )dx = J sen(l - x2)xdx = J sen

27

Integral Indefinida

Sea u = — a -b

=* dx = ( a - b )d u

J c tg(—^-j-)dx = Je tg a.(a - b)du = ( a - ¿?)J cigu du

f»

1 Jf $enudj u = — 1 cosu+c = —cos(l1 X 2) + c

1118

X = ( a - b ) In Isenu | +c = ( a - b )ln | sen(------ ) | +c a -b

r - \ ) 2dx I sen(;t sen(xv2)

1122 Desarrollo

I

dx ,x. W j) Desarrollo

J (¡en x v ^ ~ 1)2 ^ dX = J (CSC^

~ 1)2 ^ dX = J (CS° 2^(Xs^ ) " 2 csc(;cV2) + IWjc

= J ( l + c s c « ( ^ ) - _ ^ I A „ _ ^ ctg(^ ) _ _ | l n |,g(^

1119

r , r f c o s (|) I — — = I ctg(—)dx = I -------- dx = 51n | sen(—) | +c J t tgCj) g íí) J 5 J senA 5

)|+ c

1123

/ tg xd x

J tg(\fx). dX VI Desarrollo

Desarrollo Sea

f * * * = f — dx = -ln eos * +c J J eos Jf 1120

i— i dx dx ~ , z = \ x => dz - — => —¡ = - 2 d z 2yjx yjx

J tg(VÍ).-^ = Jtg z.2dz = 2j tg zdz = -21n | eos z | +c = -21n | eos Vz | +c

tg xdx Desarrollo 1124 \cig xd x = J J senjr

= ln | sen jc| +c

JxCtg(A'2 v" +1 )dx Desarrollo

28

Eduardo Espinoza Ramos

Sea u = x 2 + 1

29

Integral Indefinida

=> x dx ——2—

p o s ta d

J sen (ax)

J xc tg(x2 + 1)dx = Jr tg(x2 + l)xdx = j c l g u . ~2du

L a * « ,) ) - * .* * « ) * .

J

J

, +c = — J-+C = --------!¡ u a a sen (ax)

du

donde u = sen (ax) => cos(ax)dx - — a

= i ln | sen u | +c = ^ ln | sen(jr2 +1) | +c

1129

sen(3x)djc

I 3 + cos(3jc) Desarrollo

dx

1125

a

sen x. eos x

í

dz

Desarrollo

Sea u = 3 + eos (3x) => dz = - 3 sen (3x) dx => sen(3x)dx = ——

f dx f secx , f see x , , , , I ------------- = I ------- dx = I -------- dx = ln tg x \+c J sen x co s.r J senx J tg jc

f i E 2 f ^ L = - l f ^ = _ I l n l z l + c = - i l n | 3 + COS(3x) |+ c

J 3 + cos(3jc) 1126

íco s(—).sen(—) -)dx

J

a

a

1130 Desarrollo

sen*, eos jc

3J z

3

3

.

rdx

I Veos2 Jt-sen2 x

Desarrollo fcos(—).sen(—)dx = —sen2(— J

1127

I

a

a

2

a

Se conoce que: sen x.cos x = — ^—

sen3(6x).cos(6x)í¿v

f

sen xcosx

J Veos2 Jt.sen2 x

Desarrollo

= ¿ f sen(2*) ^ = 1 f ( c o s { 2 x ) ) ~ 2 sen(2x)dx ~

Sea u = sen 6x => du = 6 eos 6x dx

J*sen3(6x).cos(6A)¿x - Ju i du6

u4

— = —

1128

>/cos(2x)

2J

yJcos(2x)

2~

sen4(6jc)

+ c - --------- — - + C

24

24

1+ 3 eos2 x sen(2*)dx

1131 V

cos(ax) ,

J sen5(ax)

y eos x —sen x —cos(2.r)

Desarrollo

dx

Desarrollo

Sea u = l + 3cos2 x

=> du = - 6 eos x . sen x dx

30

Eduardo Espinoza Ramos

Integral Indefinida

du = - 3 sen (2x)dx ; — y = sen(2x)dx

J*(l + 3cos2 x ) 2 ,sen(2x)dx = —i j u 2du = ~ u 2 + c = - ^ y j ( l + 3cos2 jc)3 +<

1136

f l + sen(3.t) ¿jr_

f(sec2(3jt)+tg(3.x).sec(3jr))dx =

J cos2(3x)

J

tg(3x) | sec(3x) | c

(cos(üx) + sen(ax))2 sen(ax)

í

Desarrollo 1132

,sec2(—)dx

r(cos(ojc)+sen(ax))

3

Desarrollo

J

Sea u ~ tg(~) => 3du = scc2(^)dx

4 3 a .X. J tg 3(-Í).sec2(^)í¿c = j u 33du = ^u + c = - t g ( - ) + c 4 3

fl + 2sen(ax).cos(flx) ^ J

sen(ox)

J (csc(ax) + 2 cos(ax))dx = —(ln | csc(ax) - c tg(ax) | +2 sen(ax) + c

1137

f

csc3(3x) _ ^

J b - a c tg(3x) Desarrollo

eos2Xx Desarrollo

f ^ ^ J eos" x

Sea u = b - a ctg (3x) => du = 3 acsc“ (3x)í/x

í sen

J

3

V1

f _ £ ! £ ! 2 í L . ^ = _L f = ._ Lln | u | +c = J -ln | b-- aC tg(3x) | +c J /?-actg(3x) 3a J u 3a 3a

(x)

1138

J (2 senh(5x) - 3cosh(5x))t/x

Desarrollo

Desarrollo f

c c t s 3 (x) r ~ ^ ~ I r---- |c t g 3(x).csc (x)dx = — ctg 3(x) + c J sen (x) J 5

J1

dU 2 ~ ^ ¡ ~ csc

= f(tgx)2.sec2 x d x = —tg2(x) + c

2

1135

_

dx

1133

1134

sen(cijc)

+ sen(3x) ,

dx

1139

cos2(3.y)

Desarrollo

2 3 (2 sen(5x) - 3 cosh(5x))dx = - cosh(5x) - - senh(5x) + c

1

senh2 xd x

Desarrollo

Eduardo Espinoza Ramos

32

33

Integral Indefinida

cosh(2*)N,x senh(2x) Jsenh2 x d x = J (—i H-------------)dx —----- 1--------------1-c 2 2 4

í c tgh(x)dx = f C° Sh(A)^ = ln | senh(jc) | +c J J senh(x) Hallar las siguientes integrales indefinidas:

1140

í senh(jc) 1145

Desarrollo

í ' ^

■x2dx Desarrollo

d'X = ln | tghí^) | + du - a scnx cos x. In a dx

=>

In a

,

i

1-cos(2jc)

—eos x . x sen* dx = --------------- hc J sen2(-^)ífa = J - --------2 2 1162

J* x 2dx

,

Por la identidad sen' x ---------------- se tiene:

= a senx eos xdx

f sen* f du 1 a senx la cos xd x = I ----- = ------u + c - ------- + c J J \na lna lna

1158

37

Integral Indefinida

J

see2 xdx \¡ 4 - tg 2x

JW T \

Desarrollo Desarrollo f see*2 xdx

„ 3 , Sea u = x +1

f X dx

=>

dU

■y

= aresen(-----) + c

— = x~dx 3

f 3 -r 2 . f du 1 I —...-.....- I (x +1) 3x~dx= I u 3 — = —u J 3 2

J

1163

f

dx

^ eos(—) Desarrollo

1159 x4 Desarrollo

38

1164

Eduardo Espinoza Ramos y¡\ + In x

sen x -e o s x , --------------- dx sen x + eos x

1168

---------- dx

1

39

Integral Indefinida

1

Desarrollo

Desarrollo

Sea u = sen x + eos x => du = (eos x - sen x) dx => -du = (sen x - eos x)dx

Sea u = 1 + ln x => du = l~ x

3 -

l

3

f sen x - eos x , f du , , . , --------------- dx = I ------ = -ln w + c = - l n |s e n x + co sx |+ c J senx + cosx J u

-

J Vi + ln x — - J*“ 3d u - —u 3’ + c = —(1 + ln x )3 + c 4 4 (1 - sen (-~ ))2 1165

x -1 ).-

1169

yJfxx-- l

J

í

--------s e „ < - |)

Desarrollo Sea z - y j x - l

dx „ , => dz= J í— => 2 dz = -

dx

2 y jx ~l

yjx-l

Desarrollo ,( l- s e n ( ™ ) ) 2 f -----------— — = í ( ---- -------- 2 + sen{-^=))dx

sen(-^=)

J*tg(V*-T).-^==== = 2J*tgzdz = -21n(cosz) + c = —2 ln | eos V x-1 | +c

1166

i

sen(x2))

2

Desarrollo

1170

f

xdx 1 , , , r %l 1 ,, I -------j - = -In Itg(— ) | +c = - ln(csc(x ) - c tg(x2)) + c

1167

J

2

2

e ^ '+ x ln ü + x V l 1+ x 2

x dx

I x2 - 2 Desarrollo

2

dx - 1(1 + —^— )dx = x + -^= ln j —— | +c x —2 V2 x+ V 2

dx Desarrollo

1171

+ x ^ + l ^. = ,f . e aMgv x ln(l + x2) 1 w dx = | (------ - + --------- - + --------)d x 1+x2 X ~ J 1+ X 1+ x~ 1+ X

Ce ^ + x W

J

"72

= V2 ln | f g ( ~ = ) | -2 x - yjl eos ( -j =) + c

xdx

J sen(x sen (x )

sen(^=)

=e

arctot

ln (1 +

X~)

° + ------------- + arctg * + c

f (1 + A-)2

-dx

J x(l + x¿) x2

Desarrollo

40

1172

Eduardo Espinoza Ramos

Integral Indefinida

j"esen* s e n l x d x 1176

Desarrollo

£ í , e — - dx s¡e2x- 2 Desarrollo

Sea u = sen2 x => du = 2 sen x . eos x dx = sen 2x dx f e 'd x J 4elx - 2 1173

5 f - .5 3A dx J JV4i"-3^ -3 r 2

1177 Desarrollo

f 5 -3 * f I ~~r ' ti* = 5 I J V4 - 3 * 2 1174

f - 7=¿ £ = J J ( e A)2 - 2

=

m |^ + V ¡ 2^ 2 | + c

dx ¡ sen(fl.v). cosía*) Desarrollo

f xdx 5 V3* I------- 7 -3 I = -= arcsen (——) + V 4 -3 * +c J V 4 -3 7 V3 2

d* .....

-

f dx = f sec(^2 du = — — 2

Desarrollo

du=-

/l_ ( |) 2

V^X2

¡

-arccos(-) f «2 1 I —-j— 2 dx = - \ udu = - — + c - — (arccos(—))2 + c J V4 V 4 -r 2

J

2

í

aresen x + x , dx •x2

2

2

1185

^

x

+

x

dx= ^

l

f _

^

+c

f secx.tgx , J

i

2.......

J vsec x + 1

1181 í

Desarrollo

e~lg 1see2 xdx

, If secx.tgx —

d)

Desarrollo

f xdx i---- r I , t = J x +\ J Vx + 1 Desarrollo

1

x —-

t

-1

=> dx = — — ademas t = — r x Ad t

A

t = yj x+1 => dt = ---- 7 -dt xyjx2 - 2

J 2r2

J V l- 2 r 2

1

f dx

J ex +1

t = y ¡ X + 1 =>

X =

f 2 -1

arccos(v2 ?) + c (V2í)-

V2

1 V2 /- 7=arccos(— ) + c , x> \J2 V2 x b)

= = i

2y¡X + \

dt

eos xdx / ’ 1 = sen x J VI + sen a Desarrollo f

e)

x = - ln t Desarrollo

t = sen x => dt = eos x dx f eos xdx

J Vi + sen2 x

f

dt

J \¡\+t~

_ = In I?+ Vl + r I+c = ln | sen x +

+ sen2 x | +c

48

Eduardo Espinoza Ramos

i------Sea t = yj 2.V + 1

Hallar las integrales siguientes, empleando para ello las sustituciones mas adecuadas. 1192

I

49

Integral Indefinida

x(2x + 5)w dx

f

J

dX

=>

x \j2 x + 1

2 1195

2

2

i

= 2 a + 1

2 . t —1 ; x = ------ => dx = td t yj2x + 1 + 1 . +c [ +c = ln | i * + 1

- f - y —— = 2 f -y— - In 1

Desarrollo t = 2x + 5 => — = dx , x = -- ^

r

-i

J

r

-1

V2 a

í-1

+1 - 1

dx

í •je* -1 Desarrollo

f x(2x + 5)}0d x= f — J 2

J

2

= - f ( / n - 5 t w )dt = - [ - ----- — í “ ] + c 4j 4 12 11

; i í a * ± s F _ ± (2x+ 4 12 11 1193

1+ X

I l + yfx

Sea t = \Je' -1

t ~ —e x —1

e x —t +1

2tdt e cdx = 2id / => dx = t2 + 1

n

2tdt dx

f Desarrollo

Sea t - y í x

=$ t 2 = x

=> dx = 2t dt

—I— = f ? ± 1 = 2 f f '

J V ^ -l 1196

J

f

= 2 arctg t + c = 2arctg(V ?7 ■l) + c

Jr+l

fln(2x) dx

J ln(4x) a Desarrollo

J 1+ yJX

' J 1+ t

J

í+ 1

ln(2x) = ln x + ln 2 ; ln(4x) = ln x + ln 4 = ln x + 2 ln 2

T 2 /3 t2 2J ( r - t + 2 - — )df = 2 [ - — + 2 /- 2 1 n |f + l|] +