Solucionario Demidovich Analisis Matematico 1 - ByPriale

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«¡HgBMBaaB—i i 11

ANALISIS MATEMATICO I SOLUCIONARIO DEMIDOVICH TOMO I OO

y ! |

i n— 1

n

|♦

INTRODUCCIÓN AL ANALISIS

\

\♦

DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES

j

|

I

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APLICACIÓN DE LA DERIVADA

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i

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i *

EDUARDO ESPINOZA RAMOS 1

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IMPRESO EN EL PERÚ 15-02-2004

4ta EDICIÓN

DERECHOS RESERVADOS

Este libro no p u e d e reproducirse to ta l ó p a rc ia lm e n te p or ningún m é to d o gráfico, e le c tró n ic o o m e cá n ico , in clu yen d o los sistemas d e fo to c o p ia , registros m a g n é tico s o d e a lim e n ta ció n d e datos, sin expreso consentim iento del a u to r y Editor.

RUC

N ° 10070440607

Ley d e Derechos del Autor

N ° 13714

Registro co m ercia l

N ° 10716

Escritura Publica

N °4484

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PROLOGO

Se sabe que la humanidad ha avanzado lentamente hacia la conquista de los conocimientos y la mayor de estas es la escritura, con ella la humanidad alcanzó el más alto sitial en la creación; pero tan antiguo como ella, es el concepto de cantidad. Esto nace aún antes de la escritura por eso la ciencia de los números están importante como la vida misma.

El avance tecnológico funda sus bases en los conceptos primarios, lo que estudiados, desarrollados y perfeccionados han llevado al hombre hacia grandes conquistas.

La aventura del pensamiento nos ha llevado de la mano con la tecnología a descubrir grandes realidades. Por ello mi deseo es plasmar en las paginas de este primer tomo, en su cuarta edición del solucionado del libro problemas y ejercicios de análisis matemático por B. Demidovich, el planteo fácil a los diversos ejercicios que se presentan, además se incluye una colección de gráficos los que ayudarán eficazmente a la captación de los diferentes problemas.

Mi agradecimiento al lector por la preferencia que brindan a cada una de mis publicaciones, las que emanan del deseo de que encuentren en ellos una ayuda para su avance y desarrollo intelectual.

E D U A R D O E S P IN O Z A R A M O S

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INDICE

CAPITULO I INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS Concepto de Función

1

Representación G ráfica de las Funciones Elementales

31

Limites

88

Infinitésimos e Infinitos

143

Continuidad de las Funciones

155

CAPITULO II DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES Cálculo Directo de Derivadas

173

Derivación por M edio de Tablas

187

Derivadas de Funciones que no están dadas explícitamente

259

Aplicaciones Geométricas Mecánicas de la Derivada

276

Derivadas de Orden Superior

306

Diferenciales de Primer Orden y de Orden Superior

333

Teorema del Valor Medio

349

Fórmula de Taylor

354

Regla de L ’Hospital - Benoulli para el Cálculo de Limites indeterminados

361

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CAPITULO III EXTREMOS DE LAS FUNCIONES Y APLICACIONES _______ GEOMÉTRICAS DE LASD E R IV A D A S _____ 3.1.

Extremos de las Funciones de un Argumento

374

3.2.

Dirección de la Concavidad - Puntos de Inflexión

423

3.3.

Asíntotas

435

3.4.

Construcción de las Gráficas de las Funciones por sus puntos Característicos

445

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Introducción a l Análisis

C A P IT U L O I

INTRODUCCION AL ANALISIS 1.1.

CONCEPTO DE FUNCIÓN.Demostrar que si a y b son numero reales. I ¡ a | - | b | | < | a - b | < | a | + |b| D esarrollo Escribiremos: a = (a - b) + b, tomando valor absoluto | a | = | ( a - b ) + b | < | a - b | + | b | , por la desigualdad triangular: Luego: | a | < | a - b | + | b |

=>

|a|-|b |< |a-b |

... (1)

Además: | a - b | = | b - a | > | b | - 1a |, es decir: | a - b | > | b | - 1a | ... (2) Por tanto de (1) y (2) se tiene: por otro lado:

||a|-|b ||< |a-b |

... (3)

| a - b | = | a + (-b) | < | a | + | - b | = | a | + | b |

de donde: | a - b | < | a | + | b | Luego de (3) y (4) se tiene:

... (4) | | a | - | b | | < | a - b | < | a | + |b|

Demostrar las siguientes igualdades:

b) | a | 2= a 2

a)

| a.b | = | a 11 b |

c)

l?l= b T?T’ | b | b *° www.FreeLibros.me

d)

2

Eduardo Espinoza Ramos D esarrollo a)

1er Caso: Sí a y b > 0 => | a ¡ = a,| b | = b por definición del valor absoluto de donde | a 11 b | = ab Como a >0, b > 0 => a.b > 0 => | ab | = a.b Por definición del valor absoluto j •%f ¿4.,? ¡L«,J > ! : wr ’ I Luego | a 11 b |

= ab = | ab |

2do. Caso: Sí a > 0

a

-■, •

ab |

b 0

| a 11b | = |

X%*. />'f

=> -b > 0 =>| a b | = | -(ab) | = | a(-b) |

=> por la parte Ira se tiene:

I ab | = | a(-b) | = | a 11 -b | = | a 11 b | => | a b | = | a | | b | 3er. Caso:

Si a < 0

a

b > 0 es en forma análoga al 2do caso y se tiene

| ab | = | a U b | 4to, Caso:

Sí a < 0

a

b < 0 => - a > 0

a

-b>0

entonces (-a)(-b) = ab aplicando el 1ro y el 2do caso se tiene: | ab | = | (-a)(-b) | = | -a 11-b | = | a 11 b | b)

por lo tanto | ab | = | a 11 b |

|f l |2= 0

=> | a | = a =>

SíacO

=$ | a | = -a => | a |2= ( - a ) 2 = a 2

Por tanto | a | 2= a 2

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Introducción a l Análisis

C)

3

|£ |= i £ l V 1*1

¡7

1 = 1

b

a.(j-)

b

1=1

a || -í- 1 por la parte (a)

b

además | - | = | * l 1 por la parte (b)

b

LueSo:

Como | Í H « | | l N „ | ¡i ¡ = j£j,porlot»nu, \ Í \ M

d) J a 2 = | a \ Sí a > 0 =>

-Ja2 = a a )2 = —a

Sí a < 0 => - a > 0 =>

=>

a 2 = —a

Luego por lo tanto sja2 = \ a | Resolver las inecuaciones. a) | x —1 | < 3

b) | x + 1 | > 2

c) | 2x + 1 | < 1

d) | x - 1 | < | x + 1 | D esarrollo

a)

Sí | x - 1 | < 3 =>-3 < x de donde - 2 < x < 4

1 2 => x + l > 2

v

x+l x > l ó x < - 3 I -3 La solución es x e c)

< -o o t- 3>

-1

U

| 2x + 1 ) < 1 -1 < 2x + 1< 1 -2 < 2x < 0 o

-1 < x < 0

La solución es x e

d)

| x —1 | < | x + 1 |

=$

| jc—112< |x + l | 2 x 2 - 2x + l < x 2 + 2x +1

=>

4x > 0 => x > 0

Luego la solución es x e Hallar f(-l), f(0), f(l), f(2), f(3) y f(4) sí:

f ( x ) = x 3 - 6x 2 + 1 \ x - 6

D esarrollo Como

f ( x ) = x -6jc~ + l l x - 6 / ( - 1 ) = ( - 1 ) 3 - 6 ( - l ) 2 + 11(-1) - 6 - -2 4 /(O ) = (O)3 - 6(0)2 +11(0) - 6 = - 6 /( 1 ) = ( l) 3 ~ 6(1)2 +11(1) - 6 = 0

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Introducción a l Análisis

5

/ ( 2 ) = (2 )3 - 6 ( 2 ) 2 + 11(2) - 6 = 0

/(3 ) = (3)3 - 6(3)2 +11(3) - 6 = 0 /( 4 ) = (4)3 - 6(4)2 +11(4) - 6 = 6

5

Hallar f(0), / ( - | ) , f ( - x ) , / ( - ) , - I - S í f ( x ) = y ¡ ü ^ 4 x f(x) D esarrollo Como

f ( x ) = >/l + .v2 entonces

/(O ) = V 1+ 02 = 1 ¡25 = 5

4

V

4

V

16

V 16

4

f ( - x ) = y¡\ + ( - x f =

/ ( >) = c i 7 =4 ± ? x 1 /(•* )

6

\

x

|x |

1_ y¡] + X 2

Sea f(x) = arc.cos(log x). Hallar / ( ~ ) < f (l) y f(10) D esarrollo Como f(x) = arc.cos (log x) entonces / (— ) = arccos(log — ) = arccos(- log 10) = arccos(-l) = n

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Eduardo Espinoza Ramos

6

/(1 ) = arccos(logl) = arccos(O) =

n

f(10) = árceos (log 10) = árceos (1) = 0 La función f(x) es lineal. Hallar dicha función sí: f(-l) = 2 y f(2) = -3. D esarrollo , »\ ■ .\ 1,\ Como f(x) es lineal => f(x) = ax + b, donde a, b e R

Luego

2 = - a +b I [ - 3 = 2a + b

[/(-!) = 2 1/ ( 2 ) = -3

Resolviendo el sistema se tiene los valores de: i . ---------- ------r,

>

f(x) =

5x

3

, Ai*f

1

+3

5 a= 3

1 — , 3

b- —

o¡

Hallar la función entero y racional de segundo grado f(x) sí f(0) = 1, f( 1) = 0 y f(3) - 5. D esarrollo Si

f(x)

es

función

entero

y

racional

de

segundo

grado

f ( x ) = a x 2 + bx + c , donde a, b y c son constantes por determinarse. /(0 ) = 1

1= c

/(D = 0

0 = a+h +c

/ (3) = 5

5 = 9a + 3b + c

\a + b = -1 Como

i 9fl + 3fc = 4

7 13 Resolviendo el sistema se tiene a = —, b = -----

6

Luego como / ( x ) = ax~ + bx + c , se tiene

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6

6

o

entonces

Introducción a l Análisis

7

Se sabe que: f(4) = -2 y f(5) = 6. Hallar el valor aproximado de f(4.3), considerando la función f(x), en el segmento 4 < x < 5, es lineal, (interpolación lineal de funciones). Desarrollo f(x) es lineal =* f(x) = ax + b Í4a + b = - 2 => < resolviendo el sistema se tiene a = 8, b=-34 [/(5 ) = 6 [5a+b = t

[ / ( 4) = - 2 Como

Como f(x) = ax + b =>

f(x) = 8x - 34

Luego f(4.3) = 8(4.3) - 34 = 0.4

10

Escribir una sola fórmula que exprese la función:

í0 si x < 0 /(* ) = • r si x > 0

empleando del signo del valor absoluto. Desarrollo 0 si x < 0 Como / ( x) = x si x > 0 Si x < 0 => para f(x) = 0 se tiene

Si x > 0 => para f(x) = x se tiene

Luego:

11

x+\x\

2 x+\x\

2

I 4-Y _. . ¡1xY I+x f ( x ) = — ----

2

Determinar el campo de existencia de las siguientes funciones: a)

y=ú +l

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8

Eduardo Espinoza Ramos D esarrollo El campo de existencia de una función también se conoce con el nombre de dominio de la función. Luego como y = sfx +1

para que esté bien determinado debe cumplirse

que x + l > 0 de donde x > -1

=> x e [-l,+°°>

El campo de existencia de la función es -1 < x < °° b)

y = s /x + í D esarrollo Como

y = yfx + l

=>

x + 1 puede ser positivo, negativo o cero, luego

el campo de existencia es:

12

y=

- 0

x2 > 2

x >\¡2 v x < -y¡2

Luego el campo de existencia es:

< - ° ° , —j2]U[>l2,+°o >

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Introducción al Análisis

b)

9

>■= x \ ]x 2 - 2 Desarrollo Para que y = xy¡x2 - 2 esté definida: 4.

A:2 —2 > 0

=>

X>yÍ2 v x < - y ¡ 2

‘

también para x = 0, y = X ' lx 2 - 2 está definida x = 0, | x \ > y¡2

Luego el campo de existencia es: 14

y = y¡2 + x - x 2 Desarrollo Para que

y = yfe + x - x 2

2 + x - x 1 > 0 , es decir:

esté

bien

x2 - x - 2

0,

de donde:

x<

0

a

x > -2

1

-2

cumplirse que

0

Luego el campo de existencia es [-2,0]

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10

16

Eduardo Espinoza Ramos

y = yjx —x 3 D esarrollo Para que esté bien definida debe cumplirse que: x - x 3 > 0 => x(x - l)(x + 1) < 0 de donde:

-1

0

luego el campo de existencia es: 17

1

0 2- x 2- x

de donde (2 + x)(2 - x) > 0, pero x * 2 => (x + 2)(x - 2) < 0, de donde se tiene:

-2

2

Luego el campo de existencia es

18

i

,x 2 - 2 >x + 2

y = log(

jc + 1

) D esarrollo 2

^

^^

Para que y = log(---------------) esté bien definida debe cumplirse que: JC+1

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Introducción a l Análisis

A-2 - 3a + 2 A+ l

li

> 0 de donde ( a - 3 a + 2 )( a + 1 ) > 0 para x * - l

(x - 2)(x - l)(x + 1) > 0, entonces:

-1

1

2

Luego el campo de existencia es: U 19

>’ = a rc c o s ( - ^ - ) 1+ A

D esarrollo y = arccos(

2a

)

=>

eos y

1+ A

2a 1+ A

pero se conoce que: -1 < eos y < 1 , de donde -1 <

2x



a

<

—1, 1J

JC y = arcsen(\og — )

20

10

D esarrollo

v = arcsenflog— )

como - l < s e n y < l

y

Luego

seny = log—

=>

1 x —< — e 10

=>

JC

JC

—l < l o g — 0

10

10 — < jc < 1 0 e e

=>

x>0

10

10 jc e [ — ,10e] e

y = ^¡sen 2x

21

D esarrollo Para que y = yjsen 2x esté bien determinado debe cumplirse que: 1 > sen 2x>0 Como 0 < sen ?x < 1 => arcsen 0 < 2x < arcsen 1 7T

0 < 2x < — de donde se tiene: 2 *■ kit < x < k n + — , donde k = 0, ±1, ±2. ± 3 ,...

2

22

,

Sea f ( x ) = 2 x 4 - 3x3 - 5 x 2 + 6x - 10. Hallar:

Desarrollo

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Introducción al Análisis

13

/( .v ) = 2 .y4 - 3 a 3 - 5 a 2 + 6 A"- 1 0

Como

. Luego: / ( - a ) = 2 a 4 + 3 a3 - 5 a 2 - 6 a - 1 0



y/(x) = - 3 x 3 + 6x

campo

simétrico -1 < x < 1, se

denomina par sí f(-x) = f(x) e impar sí ff-x) = -f(x). Determinar cuales de las siguientes funciones son pares y cuales impares: a)

f ( x ) = ^ { a x +a~x$ Desarrollo 1. , Como / ( a ) = —(ax +a x) Luego f(x) = f(-x) =>

b)

/(a ) =

Vi +

a + a 2

1 f ( - x ) = —( a * + a x )

=>

1

f ( x ) = —( ax + a x ) es par

- y ] 1 -A + A2 Desarrollo

/ ( a ) = s/l + a + a 2 - - y / l - A + A2

/( - A ) = V l- A + A2 —s I l + X

+ X2

= -(> / 1 -A + A2 - -\/l + A+ X2 ) = - / ( A )

como: f(-x) = -f(x ) => f(x) es impar

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14

C)

f ( x ) = l ] ( x + l)2 + l j ( x - l )2

D esarrollo Como / ( a ) = yj(x + 1)2 + y¡(x - 1)2 , entonces:

f ( - x ) = í ¡ ( - x + 1)2 + V ( - J f - D2

+ l j ( x + l )2 = / ( x )

Luego f(-x) = f(x) entones la función f(x) es par. d)

/ ( jc) = log(-|——) 1-JC Desarrollo

Como / ( x ) = lo g (Ü ^-) 1—A

/( - A ) = l o g ( ~ - ) = - l o g ( |Í ^ - ) = - / ( x ) 1+X 1-X

Como f(-x) = -f(x) => la función es impar 24

Demostrar que cualquier función f(x), determinado en el intervalo -1 < x < 1, puede representarse como la suma de una función par y otra impar. Desarrollo A la función f(x) escribiremos así: / ( x) = / ( a ) + —/ ( - a ) ——/ ( -a )

/ W = ^ /(•*) + ^ / ( - * ) + ^ / ( * ) " / ( - ■ * )

/(* ) = | ( / W

+ / (-* ))+ r ( / w - / ( - * »

definiremos la función:

/ ^ a ) = ~ ( / ( x ) + / ( - a ) ) que es par, es decir:

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Introducción a l Análisis

15

f \ (- * ) = - ( / ( * ) + / ( - a ) ) = - ( / ( a ) + / ( - a ) ) = / ,( a )

=> / , ( * ) espar

f 2(~x ) = - ( / ( - * ) - / ( - ( - * ) ) = ~ - ( / U ) ~ / ( - * ) ) = ~ f 2(x)

=>

/ 2(a)

es

impar por lo tanto / (a) = / , (a) + / 2(a) es la suma de una función par y otra impar. 25

Demostrar que el producto de dos funciones pares o de dos impares es una función par, mientras que el producto de una función par por otra impar es una función impar. Desarrollo Sea

/ ( a ) = / j ( a ) . / 2( a ) donde / | ( a ) y / 2( a ) son funciones pares por

demostrar que / ( a ) = / i ( a ) . / 2( a ) es par como / , ( a ) y / 2( a ) son pares. í/i(-J c ) = / i W

[y*2(“ -^)= y*2(-^) /( - • * ) = ( / i - f 2 ) ( - x ) = f \ ( - x ) - f 2 (“ *) = f \ (x )- f i (*) = / ( * ) entonces / W = / i ( 4 / 2W

es par.

Si g(x) = ^ i(a ).^ 2(a) donde ^ ,(a ) y g 2(x) son funciones impares por demostrar que g(x) = g l (x).g2(a) es par g,(-A ) = -^ ,(A ) Como £ ((a ) y g 2(x) son impares => g 2( - x ) = - g 2(x) g ( - x ) = (g\ g 2) ( -X ) = £1 ( x )'g? ( a) = [-# ,(a )1 [~ £ 2(a)]

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16 g ( - x ) = g i ( x ) . g 2(x) = g( x) 26

=>

g ( x ) ^ g l ( x) .g2( x) es par

La función f(x) se llama periódica, si existe un número positivo T (periodo de la función) tal que f(x + T) = f(x) para todos los valores de x pertenecientes al campo de existencia de la función f(x). Determinar cuales de las funciones que se enumeran a continuación son periódicas y hallar el periodo mínimo T de las mismas. a)

f(x)=10sen3x D esarrollo Como f(x) = 10 sen 3x => f(x + T) = 10 sen (3x + 3T)

Como sen x = sen (x + 2n) => 3T = 2n =$

2n T =— 3

Luego f(x) = 1 0 sen 3x es periódica y T =

b)

f(x) = a sen(A,x) + b cos(3,x) D esarrollo Sea f(x) = a sen (3.x) + b eos (3.x) entonces: F(x + T) = a sen (3.x + 3.T) + b eos (3.x + 3.T) Como sen x = sen(x + 2ti) y eos x = cos(x + 2n) de donde 3.T = 2jt =>

2n T =— A

por lo tanto f(x)=a sen(3.x)+ b cos(3,x)

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es periódica, donde el periodo

Introducción al Análisis

C)

17

/ ( * ) = yJtgX Desarrollo f ( x ) = yftgx =>

f ( X + T) = y]tg(X+T)

Como tg x = tg(x + Jt) => T = it Para que f(x) = f(x + T), luego:

d)

f ( x ) = y[tgx es periódica con T = Jt

f ( x ) = sen2x Desarrollo Se conoce que sen (x + 7t) = sen x. eos Jt + eos x. sen Jt = - sen x De donde s en2 (jc + n ) = sen2x de donde:

f(x) = f(x + 7t) entonces la función/ (x) = s en2x es periódica con periodo T = Jt. e)

f { x ) = sen(-Jx) Desarrollo Se conoce que

J x * yfx + \¡T para T * 0

Luego f (x) = sen(yfx) =>

f ( x + T) - sen(y/x + T)

Por tanto f(x) ^ f(x + T) la función:

27

f (x) = sen( x ) no es periódica

Expresar la longitud del segmento y = MN y el área S de la figura AMN como función de x = AM construir las gráficas de estas funciones.

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18 D

Desarrollo En el A ADE, “x” varia desde A hasta E, es decir: 0 < x < c, por semejanza de triángulos tenemos: bx y - — para 0 < x < c, ahora —= — c b c veremos para los “x” que varia desde E hasta B, c < x < a se tiene y == b,

A AMN - A ADE, de donde:

b -x para 0 < x < c luego:

y = b

para c < x < a

ahora veremos para el área S de la región sí 0 < x < c b xy Pero y = —x , reemplazando se tiene: 5 = — c 2 Sic

S=

síO 0 => 2.10v > 0 => 10v >0

-oo < y < +00 entonces: x - 2 . 10' para r°° < y < e)

+00

y = arctg 3x, en forma análoga a los casos anteriores.

.

•

n

1

y = arctg3x => x = -ta g y ; para - —

n

y < --

{ x si x < 0 x~ si jc>0 Desarrollo Sí x < 0

=> y = x

Si x > 0

=* y = x 2 => x = yfy para í y

=> x = y para

si -

00



10y = 1 0 - 1 0 JC =>

y = lo g (1 0 -1 0 JÍ) ,

-o o < x < l

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES.-________________________ _____________ La construcción de las gráficas se hace mediante una tabulación y enseguida uniendo dichos puntos. Si partimos de la gráfica y = f(x) con ayuda de construcciones geométricas elementales obtendremos las gráficas de las funciones: 1

y] = - f ( x ) , que es la representación simétrica de la gráfica respecto al eje OX.

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32 2

y 2 = / ( - * ) . que es la representación simétrica de la gráfica respecto al eje OX.

3

y i = f ( x - a ) , que es la misma gráfica desplazada a lo largo del eje OX en la magnitud a.

4

y 4 = / ( * ) + b , que es la misma gráfica desplazada a lo largo del eje OY en la magnitud b.

Haremos una representación de todo esto.

Construir las gráficas de las funciones lineales (L. Recta) 44

y = kx sí

k

=0,l, 2 ,-, 2 Desarrollo

Como y = kx Para k = 0 =s y = 0 k= 1

X

II

k = 2 =>

y=x

X

2

V~ 2

k = -1

y = -x

k = -2 => y = -2x

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Introducción a l Análisis 45

33

y = x + b, sí b = O, 1, 2, -1, -2 Desarrollo Para

b = 0 => y = x b = 1 => y = x + 1 b = 2 => y = x + 2 b = -l => y = x - 1 b = -2 => y = x - 2

46

y = 1.5x + 2 Desarrollo

X

y

0

2

1

3.5

2

5

Construir las gráficas de las siguientes funciones racionales enteras de 2do grado (parábola).

47

y = a x 2 , sí a = 1, 2, —, —1,—2,0

2

Desarrollo Para a = 1 => y = x 2

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34

48

X

y

0

0

± 1

i

±2

4

y = x2 +c

sí c = 0 ,l,2 ,-l Desarrollo

49

v = (Jr —-x0) 2 , sí *0

I- 2.-1 Desarrollo

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Introducción al Análisis

50

35

y = y 0 + ( * - l ) 2 , si y 0 = 0 , 1, 2,-1 Desarrollo

51

y = a x 2 + bx + c sí:

1 2

a= 1

b = -2

c=3

a = -2

b=6

c=0

Desarrollo 1

Para

a = 1,

b = -2,

c = 3

se tiene

y = x 2 - 2 x + 3 de donde

y = U - l ) 2 +2

2

Para a = -2, b = 6, c = 0 se tiene y = - 2 x 2 + 6x y = - 2 ( x 2 - 3 j c + —) + — => 4 2

y =- 2 ( x - - f + 2 2

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36

52

Eduardo Espinoza Ramos

y = 2 + x - x 2 . Hallar los puntos de intersección de ésta parábola con el eje OX. Desarrollo Para encontrar los puntos de intersección con el eje X debe ocurrir y = 0 es decir 2 + x - x 2 = 0 de donde x 2 = - x - 2 - 0 los puntos de intersección con el eje X es:

=> (x - 2)(x + 1) = 0 luego

x = -1, 2

CONSTRUIR LAS G RÁFICAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES RACIONALES ENTERAS DE GRADO SUPERIOR AL SEGUNDO 53

y = x 3 (parábola cúbica) Desarrollo

X

y

0

0

1

i

-1

-i

2

8

-1

-8

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Introducción al Análisis

54

37

y = 2+ U -l)3 Desarrollo

55

X

y

0

i

1

2

-1

-6

y = xi -3 x + 2

56

X

y

0

2

1

0

2

4

-1

4

-2

0

-3

-15

3

20

X T

Desarrollo

y=x Desarrollo

X

y

0

0

± 1

i

±2

16

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Eduardo Espinoza Ramos

38

57

y = 2x2 - x 4 Desarrollo y - 2 x 2 - j r 4 => y = - ( x 4 - 2 x 2 +1) + 1 => y = 1 - (* 2 - 1)2

HOM OGRAFICAS SIGUIENTES (Hipérbolas) 58

1 3 '= “ x Desarrollo

59

y=

X

y

-1

-i

1

i

l-x Desarrollo X 0

y i

1

2

2

3

-1

1 2

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Introducción a l Análisis

60

y =

jc- 2

x+ 2 Desarrollo

>’ =

x -2

=>

x+2

, 4 y = l-

x +2

m

61

X -X q

Desarrollo

62

2x-3 3jc -+- 2

2x-3 3x + 2

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Eduardo Espinoza Ramos

40

CONSTRUIR LAS GRÁFICAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES RACIONALES FRACCIONARIAS. 63

1 y = jch— x Desarrollo y = x + —, su dominio es R - (0) y una asíntota vertical es en x = 0 no tiene x asíntota horizontal.

X

i

-1

y

2

-2

64

-3

3

1

1

2

2

5

5

10

10

2

2

3

3

x+l Desarrollo

y = x - l + —— , una asíntota vertical es en x = -1, no tiene x+l

y=x +\

asíntota horizontal.

X

1

0

1

2

0

1

1

9

2

2

2

3

2 y

1 2

65

-2

2

3 2

-4

9 2

y=Desarrollo

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Introducción al Análisis En x = O, se tiene asíntota vertical, en y = 0, se tiene asíntota horizontal.

66

X

± i

y

i

i +— 2 4

±2

+ 3

1

1

4

9

y=-

Desarrollo En

x = 0

se tiene una asíntota vertical, en

horizontal.

10

67

^

± 1 ± 1

±2

±1 8

±3

H-

y

+1 2 ±8

iá h

X

(curva de Agnesi)

x2 +l Desarrollo

68

X

0

± i

±2

y

10

5

2

y =— (Serpentina de Newton) x +1

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y = 0,

se1tiene una así

Eduardo Espinozu Ramos

42 Desarrollo 0

± i

y

0

± i

±2

±3

-H

X

5

69

1 y = x + ~r

x

Desarrollo En x = 0 se tiene asíntota vertical

70

X

i

-1

2

-2

y

2

0

9

7

9

2

2

2

+1 2

2 1 y —x H— (Tridente de Newton) x Desarrollo

En x = 0 se tiene asíntota vertical X

i

-i

2

-2

3

-3

y

2

0

9

7

28

2

2

3

±12

1

1

1

2

3

2

26

9

7

28

28

3

4

4

9

3

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Introducción a l Análisis CONSTRUIR LAS GRAFICAS IRRACIONALES SIGUIENTES: 71

y = y[x Desarrollo y = 4x

72

está determinado para x > 0

X

0

i

4

9

',6

y .

0

i

2

3

4

y = lfx Desarrollo

73

X

0

± i

±8

±27

y

0

± i

±2

±3

y =t[7

(parábola de Neil) Desarrollo

74

X

0

± i

±8

y

0

i

2

y,= ±xy[x (parábola semi-cúbica) Desarrollo

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DE

LAS

FUNCIO

Eduardo Espinoza Ramos

44

75

X

0

1

y

0

± 1

y¡9 ±2

±3

y = ± —V 2 5 - * 2 (elipse) Desarrollo

76

j = ±-Jx2 - l

(hipérbola) Desarrollo

±2

y

0

/= 1

±3 1+

± 1

+1

77

X

a-2 -

$n

’ = ± \lx 2 - 1

y =

Desarrollo

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Introducción a l Análisis

78

y =± x

14 —x

(Cisoide de Diócles)

Desarrollo X

y 79

0 0

i

■N|

2

3

±2

y = ±xsl 25 - x 2 (para el estudiante) CONSTRUIR LAS GRAFICAS DF. LAS SIGUIENTES FUNCIO TRIGONOM ÉTRICAS

80

y = sen x Desarrollo

81

y = eos x Desarrollo

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Eduardo Espinoza Ramos

46 82

83

y = ctg x Desarrollo

±n

0

X

+— 2

2 oo

y

84

oo

0

0

y = sec x

X 0

y

i

+£ 2 oo

± n

± 2rc

-1

1

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Introducción a l Análisis 85

y = esc x Desarrollo

86

y = A s e n x , sí ¿4 = 1, 10, —, - 2 2 Desarrollo Si A = 1 => y = sen x, su gráfico es: 0

y

0

+ 2 ± 1

± Jt 0

-H

X

± 1

± 2 ji 0

Si A = 10 => y = 1 0 sen x, su gráfica es:

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48 X

y

87

0 0

± 7t 0

n

+— 2 ± 1

3Jt

±— 2 ± 1

y = sen (nx), sí n = 1, 2, 3, ^ Desarrollo Si n = 1 => y = sen x es similar al ejercicio 86, Si n = 2 => y = sen 2x su gráfica es: X

0

fe; 1 +i

y

0

± 1

+— 2 0

± 71 2

± 1

0

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Introducción a l Análisis

En forma similar para n = 3, —

88

y = sen(x-

y =

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Eduardo Espinoza Ramos

56 X

y

1

0

10

i

1

-i

10

103

y = sen hx, donde senhx = —(ex - e x ) 2 Desarrollo X

y

0

0

1

e-e1 2 7

-1

1 2

104

y = c o sh x ; donde co sh x = —(ex +e x ) 2

Desarrollo X

y

0

i

1

e - e -1

2 -1

e + e~x 2

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Introducción a l Análisis

105

senhx

,

y = tg hx, donde tghx - —-----coshx Desarrollo

106

i y = 10x Desarrollo

y

X 1

10

-1

i 10 100

1 2 1

1

2

100

2

107

y =e

(curva de probabilidades) Desarrollo

01y ii ±2 1 4 X

±

e

e

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Eduardo Espinoza Ramos

58

108

y = 2 *' D esarrollo —T 1 y = 2 x = —— =>

1

y = —— , cuando x —» 0 , y —» 0 2/

2? X

y

0 0

± i i

2

109

±2 i

±3 i

*2

y ¡2

±4 i ]y ¡ 2

y = lo g x 2 D esarrollo x2 >0

=)

X E

U

X

± i

+2

±3

±4

y

0

Log 4

Log 9

Log 16

+1 2

+1 3

+i 4

- log 4

- log 9

- log 16

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Introducción al Análisis

110

y = log2 * D esarrollo y = (lo g * )2 está definida para x > 0

111

X

i

2

y

0

(log 2 ) 2

3

1 2

3

(log 3)2

(log 2 ) 2

(log 3)2

1

.

y = log (log x) D esarrollo y = log (log x) está definido para log x > 0 => x > 1

log* D esarrollo v = —-— está definida para x > 0, x

log*

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1

Eduardo Espinoza Ramos

60 x

y

113

0.2 -0.625

1

0.5 -3.325

-O O

2 3.32

3 2.09

4 1.66

y —lo g (-) * D esarrollo

y - log(—) está definido sí — > 0 => x > 0 x x

114

X

i

2

y

0

-0.3

3 -0.47

4 5 0.5 -0.60 -0.69 0.3

y = log (-x) D esarrollo y = log (-x) está definido sí -x > 0 => x < 0

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0.4 0.9

Introducción a l Análisis X

1

y

-0.3

0

-1

-2

-3

-oo

0

0.3

0.48

2

115

y = log2(l + x) Desarrollo log2(l + ;t) = log2 10. log10(1 + x) -i

y

-oo

0 0

1 0.9

2

3

4

1.5

1.9

2.3

5 2.5

x í

X

116

y = log (eos x) Desarrollo

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Eduardo Espinoza Ramos

62

y = log (eos x) está definido sí eos x > 0. entonces . 2 n+ l rr 2 n + l „ x e < 2n n , n > U < — — n , 2n n > n n

w,

2>n 5n

r,

x e < — , — > U < — , — >U...

2 2

11)

2

2

y —2 * sen x Desarrollo X

0

y

0

K

7t

2

0 .3 3

0

+ 37r 2 -0 .0 3 8

2n

n

-Ti

-2 ,9 7

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-2 n

2

2 0

37T

0

0 .0 3 8

0

Introducción al Análisis CONSTRUIR LAS GRÁFICAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIC TRIGONOM ETRICAS INVERSAS 118

y = arcsen x Desarrollo El dominio de y = arcsen x es [-1,1]

El rango de y = arcsen x es [—

Z K, ]

x

1

2 2

y

119

-i

0 n 2

2 n 4

0

ñ .2 n 4

7T 2

y = árceos x Desarrollo El dominio de y = árceos x es [-1,1] El rango de y = árceos x es [o,7t] X -1 0

V Jt n

1

2 0

En forma análoga para las demás funciones el cual damos su gráfico. 120

y = arctg x Desarrollo

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64

1 2 1

Eduardo Espinoza Ram os

y = arctg x

X 0

y

n 2

CX>

0

OO

K

1

n 4

122

y = arcsen — x D esarrollo

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Introducción al Análisis

1

123

y - arcsen-

sen y ■

-1 < sen y < 1

- 1 < —< 1

x

=> x e

U [l,+°°>

y = árceos— * Desarrollo 1

y = árceos-

124

eos v = — como -1 < eos y < 1 *

y = x + arctg x Desarrollo

X

y

0 0

X —» +oo

X —> -oo

y —» +oo

X —> + 0 0

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Eduardo Espinoza Ramos

66

CONSTRUIR LA GRÁFICA DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES 125

y= |x| Desarrollo

Se conoce que:

126

X

y

0

0

± 1

i

+ 2

2

±3

3

. . í x , x >0 | x |= < I —jc , x < 0

y = |( x + M ) Desarrollo Si x > 0

=> | x | = x, Luego y = -^(jc+ |jc|) = ^(jc + x) = jí

Six y = x

| x | = -x, Luego y = -^(jc+ | x |) = ^ ( x - x ) = 0 => y = 0

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Introducción a l Análisis 127

a)

y=x |x| Desarrollo Si x > 0 =* | x | = x, pero y = .v |x |= x ( x ) = x 2 => y = x 2 para x > 0 y =x \x \-x (-x ) =- x 2

b)

=> y = - x 2 p a r a x < 0

y = lo g ^ | x | Desarrollo y y = l o g ^ | * | x = (y¡2 )y => | x |= 2 2 y para x > 0 = » | x | = x =¡> x - 2 1 y_

x < 0 => | x | = -x => - x - 2 2 X

±

:....

í 1

fv

0

± 2

2

±3

0 ln3 ln 2 -2

+ 1 2 ± 1

1

-4

4 128

a)

y = sen x + | sen x | D esarrollo Se conoce que y = sen x tiene por gráfico:

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\

o

Eduardo Espinoza Ramos

68

Si x e [0,7t] => | sen x | = sen x Como y = sen x + | sen x | = 2 sen x para x e [0,7t] Sí x € [7t,27t] => | sen x | = - sen x => y = O Generalizando para n 6 Z consideramos el intervalo [n7t,(n +l)rt] Si n es par | sen x | = sen x Si n es impar | sen x | = - sen x

{

2senx para n par cuando r e [nn,(n + l)7r] 0

b)

para n impar- cuando x e < n n ,(n + 1)7T]

y = sen x - 1sen x | en forma similar el ejemplo (a).

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Introducción a l Análisis

7>-x2 para ¡ x | < l 129

y =

2

para | x | > l

M D esarrollo Si | x | < 1 => -1 < x < 1 | X | > 1 => x > l v x < - l además x > l => I x | = x a

3 -x Luego y =

2 x

2

130

a)

x

< - 1

=> | x I = -x

para - 1 < j c < 1 para

x>1

para jc < —1

y = [x],

b)

y = x - [x]

donde [x] es la parte entera del número x, es decir, el mayor numero ei menor o igual a x. D esarrollo a)

y = [x] = [n] =» n < x < n + 1, n e Z

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Eduardo Espinoza Ramos

70 Sí 0 < x < 1 => 1

y = -3

y = x - [x], [x] = n => n < x < n + l , n e Z Sí 0 < x < 1 => y = x l (x~ - 2x + 1) + y = 1

2 = 1 circunferencia de C(1,0) y radio 1

r=sencp Desarrollo sencp = — r

Se conoce que y = r sen cp =>

n 1 Como r = ------sencp

1 r => r = — =$ r = — y y

Como r * 0 => y = 1 137

i cp r - sec — (parabola) Desarrollo 2 0) (Cardioide) D esarrollo

0

o

15°

R

2

a

1.97a

O O m

9

45°

60°

75°

1.87a

1.71a

1.5a

1.26a

9

90°

105°

r

a

0.74a 0.5a

0.29a

0

195°

210°

225°

240°

0.3a

0

CX O 0

139

9 r

0

9

285°

300°

r

1.26a 1.5a

12 0

°

.1 a 315°

135°

150°

165°

.1 a

0.03a

0.29a 0.5a 330°

1.71a 1.87a

255°

270°

0.74a a

345°

360°

1.97a

2

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a

76

Eduardo Espinoza Ramos

r 2 = a 2 eos 2(p ( a > 0 ) (Lemniscata)

140

r

a

a y¡3

a

42

42

45° 0

a

75° a

O Cn

15°

o

0o

O O sO

O o m

eos t = ----100

y = sen t

=>

s e n 2t = y 2

eos2 1 + sen21 - ^ — + y 2 100

de donde

+ y2 100

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'

= 1

(elipse)

Eduardo Espinoza Ramos

78

143

x - lO cos 3 Z, y = 10senY (astroide) D esarrollo

eos 2 / =

(—

10

)3

2

sen2t =

2

sen2/ + eos2 1 =

(—

)3

10 2 1

144

=

(—

)3

)3

10

)3

2

+ (—

de donde

)3

10

2

+ (—

(—

2

=>

2

x 3 + y3 =

x = a(cos t + t sen t), y = a(sen t -

1

eos t) (desarrollo del circulo)

D esarrollo

x = íj(cosf + tsent) y = a(sent - t eos t)

i _ + i _ = l +t2 a a

=>

x" a2

eos2 1 + 2 r eos/ sent + í 2 sen21

y2 jf

sen2t —2t co sí sent + t 2 eos 2 1

x 2 + y 2 = o 2(l + r 2 )

íx = a(cos r + íiení) envolvente (desarrollo de la circunferencia ( [ y = a(sent —t eos í)

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Introducción a l Análisis

at

14 5

+ r3 ’

1

D esarrollo at

1

Ü 73

y=-

a t2

1

a

t

x

+r

at

at

«A

iT ? 1

14 6

jc :

sl\ + t 2

a at Luego: — = — x y

=>

t

\7 ?

Como: jc =

+ r1

+

y= Desarrollo

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ax2y *(.c 3 +;y3)

Eduardo Espinoz.a Ramos

80 at

x=

y =

VTTT3' t

0

±1

X

a

a

0

x =

2

+ a

' +

',

2

Vio

s

+ 3a Vio

+ 2a

V5 . 147

a

a

&

y

± 3

± 2

s/5

y - 2 ' - 2 '

(ra m a d e u n a h ip é rb o la )

Desarrollo

t

0

X

2

1

5

-1

2

5

2

y

148

0

- 2

17

17

4

4

3

3

15

15

2

2

4

4

x = 2 eos 2 t ; y = 2se n 21 (segmento de recta) Desarrollo

|* =

2

x i — = eos t 2

cos t

y = s e n2t —

[y = 2 sen^t

1 2

x y 9 9 —+ — = sen~t+ cos t

2

2

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=>

jc

y

2

2

—+ — =

1

=>

x+y=

2

Introducción a l Análisis

149

2

y -t

x=/- r ,

2

-t

3

D esarrollo

150

t

0

1

-1

2

-2

3

-3

X

0

0

-2

-2

-6

-6

-1 2

y

0

0

2

-4

12

-18

27

x = a ( 2 co sí - co s“ 2 r ) , y = a ( 2 sen t - sen 2 t) D esarrollo

t

0

X

a

y

0

n 4 a\J2 a \!2

- ..... ♦ K 2 a 2

a

C O N ST R U IR LA G R A FIC A DE LAS FU N C IO N ES DADAS EN FO IM P L ÍC IT A 151

x 2 + y 2 = 2 5 (circunferencia) Desarrollo

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Eduardo Espinoza Ramos

82

152

xy = 12 (hipérbola) D esarrollo X

±

153

y 1

± 12

± 2

± 6

±3 ±4

+4 ±3

± 6

± 2

0

OO

y 2 = 2x (parábola) D esarrollo X

>

0

0

1

2 2 9 2 8

154

± i

±2 ±3 ±4

—— h — = 1 (elipse) 100 64 Desarrollo

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Introducción al Análisis

155

y 2 = jc2 (100 —jc2 ) D esarrollo Sea w = y 2 , z = x 2 y 2 = IOOjc2 - x 4

iv = 1 0 0 z - z 2 => w = - ( z 2 -1 0 0 z )

completando cuadrado se tiene: vv - 2500 = —(z + 25) 2

2

156

2

2

jr 3 + y 3 = a 3 (astroide)

•a

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V(-25,250(

Eduardo Espinoza Ramos

84 157

x + y = 10 log y Desarrollo Para y > 0, log y está definida: x=

10

x

-i

log y - y, aquí damos valores arbitrarios para y donde y > 0 .

10

-

10 1

i

y

og2 - i

log

2

-

2

2

1 2

158

x 2 = cos y Desarrollo

x 2 = eos y

[~Z

159

yjx + y

y

=> y = árceos x 2

a r c tg -

-e

x (espiral logarítmico) Desarrollo

x - rc o s d

(— ) 2

= eos 2 0

(— ) 2

= sen20

y = rsenO r

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Introducción a l Análisis

tgd = — => 9 = arctg — x x f l

Como \¡x + y

T

—e

arctg-

x

r = e 0 en coordenadas polares 160

jc 3

+

y 3 - 3xy

=

0 (folio de Descartes) D esarrollo

Pasando a coordenadas polares se tiene:

x = r eos 0 , y = r sen 0

r 3 eos 3 9 + r 3s e n 39 - 3 r 2sen9 eo s9 = 0

r 3 eo s 3 9 + r 3 se n 29 = 3 r2s e n 9 c o s9

r=

161

3sen9 eos 9 í---------eos 9 + sen 9

Hallar la formula de transición de al escala de celsio (C) a la de Fahrenheii si se conoce que 0°C corresponde a 32°F y 100°C a 212°F- Construir la gr de la función obtenida. D esarrollo Para 0°C => 32°F 100°C => 212°F => (0,32), (100,212) Sea F = me + k

=>

32 = m(0) + k => k = 32

212 = lOOm + 32 => lOOm = 212 - 32 =* lOOm = 180 =» m = 1 . 8

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Eduardo Espinoza Ramos f = 1 .8 c+ 32

En un triángulo, cuya base es b = 10 y su altura h =

6

, esta inscrito un

rectángulo. Expresar la superficie de dicho rectángulo y como función de x. Construir la gráfica de esta función y hallar su valor máximo.

D esarrollo La figura dada en el problema ubicaremos de la forma siguiente: Area del rectángulo Y es:

Y = Bx

También en el área del rectángulo “y” se puede expresar:

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... (1)

Introducción a l Análisis

y=

bh

1

2

2

(xh - 2Bx + Bb) como b = 10, h =

6

se tiene:

y = 3 0 - - ( 6 x - 2 f í x + 10fi)

...(

de (1) se tiene B - —, reemplazando (2) se tiene: x

y - 3 0 - —( 6 x - 2 y + - í ^ - ) , de donde y = 0.6(10 - x) 2 x como y = 0.6x(10 - x) =>

y = -0 .6 x

+ 6x

La gráfica de la función es:

El valor máximo es cuando x = 5, max y = 13 164

Resolver la ecuación:

2a2 -5 x + 2 = 0 D esarrollo

2x 2 - 5x +

2

=

0

x 2 ——jc+ 2

1

=

0

completando cuadrados se tiene:

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=»

y - 1 3 = - 0 .6 ( x - 5 ) '

Eduardo Espinoza Ramos

88 165

Resolver el sistema de ecuación:

xy = 10, x + y = 7

D esarrollo Como x + y = 7 => y = 7 - x, además:

xy = 10 => x ( 7 - x ) = 1 0

7 x - x 2 - 1 0 = 0 => x 2 - 7 x + 10 = 0

(x - 2)(x - 5) = 0,

de donde se tiene:

x, = 2 , x 2 = 5

1.3.

LIMITES.-

Io

L IM IT E S D E UNA SU C ESIÓ N .-

E1 número “a” recibe el nombre de limite de la sucesión x j , x 2 ,...,x n ,..., es decir:

• 2o

lim x„ = a n— >°o

o

V s >0, 3 N > 0 / | x „ - a | < e V n > N

L IM IT E DE UNA FU N C IÓ N .lim / ( x ) = A V e > 0, 3 8 > 0

tal que: |f(x) - A| < e para 0 < |x - a| <

8

x ->a

3o

L IM IT E S L A T E R A L E S.Si x < a y x —» a, escribiremos convencionalmente x —> a - 0, de la misma manera si /(a -

0

x > a

y

x —> a, escribiremos x

=> a +

0

y a los números

) = lim / (x) y f ( a + 0 ) = lim / ( x ) se llaman limites laterales por X—>¿7— 0 X— >í7+0

la izquierda y por la derecha en el punto “a” respectivamente. Para que exista lim / ( x ) es necesario y suficiente que se cumple la igualdad f(a - 0 ) = f(a+ 0 )

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Introducción al Análisis P R O PIE D A D E S DE L IM IT E S Si existen los lim / , ( x ) x->a

y lim f 2 ( x ) . Entonces se tiene: x—

1

lim ( / , (x) ± f 2 (x )) = lim / , (x ) ± lim f 2 (x) x— x—>a x—*a

2

lim / , (x ) . / 2 (x) = lim / , (x). lim f 2 (x) x~>a x—

3

fíxl lim / | W lim — — = -------- donde lim (x)¿0 x^>a f 2(x) lim / 2 (x) '■ x -* a

N O T A : Los limites siguientes se usa continuamente. . i lim SenX = 1 y lim ( 1 + —)* = lim ( 1 + a ) a = e jt- > 0 X jt-*~ x o-»o

166

Demostrar que, si n -» °o, el limite de la sucesión 1, — 4 9

... es i

V

cero. ¿Para qué valores de n se cumple la desigualdad - - < e (siendc n~ número positivo arbitrario)?. Efectuar el cálculo numérico para: a)

e=

0.1

b)

e=

0.01

D esarrollo Probaremos que

lim - y = 2 , es decir:

dado un e > 0, E N = ? / | — - 0 | < £ V n > N n

| - T - 0 |= | J - | = - t < £ => n 2 > —, 77> J Í = A n2 n2 n2 £ Ve

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c)

e=

0.001

Eduardo Espinoza Ramos

90

lim -^- = 0 n

4

3 N

V e > 0 ,

|-V-0| .!— V£

se tiene n > ,. — = V 10 => n > 4 VÍO V o.i

a)

Para e =

b)

Para e = 0.01 se tiene n >

c)

Para e =

0.1

0.001

se tiene n > J \

Demostrar que el limite de la n |xn -

í— = 10 (0 . 0 1

= VlOOO => n > 3 2 0.001

sucesión: x = — , ( n = l,2 ,...) , cuando n+1

es igual a 1. ¿Para qué valores de m > N se cumple la desigualdad 1 1

< e (siendo e un número positivo)?.

Hallar N para

a)

e = 0.1

b)

e = 0.01

c)

e = 0.001

D esarrollo lim x n = lim —— = n— n— H+ 1

1

es por demostrar.

Dado e > 0 , 3 N = ? / | j c „ - l | < £ , V n > N

U n - M = | ——r - 1 l = l ----- n r l := - ^ T < e

n+1

n+l / i +1

=*

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n+ l> -

£

=>

n > - - —1 = N

£

Introducción a l Análisis

Luego:

lim ■n =1 V e > 0 . 3i V = —- 1 »-»«> n + 1 e

V n

|— n+1

168

> — —1

e

a)

Para e = 0.1, N = - - 1 = 9 E

b)

Para e = 0.01, N = — - 1 = 99 £

c)

Para e = 0.001, N = - - 1 = 999 £

Demostrar que lim x 2 = 4 . ¿Gomo elegir para el número positivo dado i .t — » 2

número positivo

8

de modo que de la desigualdad |x —2 | <

6

se deduzc

desigualdad | x 2 - 4 1< £ . Calcular 5, para: a)

e=

b)

0.1

e=

c)

0.01

e=

0.001

D esarrollo limjr=4

V e > 0 , 3 8 > 0 / | j t 2 - 4 | < e

x-* 2

Siempre que 0 < |x - 2| < \ x 2 - 4 | -1 < x -2 < 3 => l < x < 3 => 3 < x+2 < 5 => |x + 2| <

L u e g o :|x 2 - 4 | = | x

+

2||x-2|■»

D esarrollo i

Y /y

=

log x

/ lim lo g x

= -<

x- » 0

j.

0 170

X'

1

Hallar los limites de las sucesiones:

a)

i,

~ ,t - Í 2 3 4

c)

>/2 , V ^ , V

( - i r 1- - - n 2

V 2 V 2 ,...

b)

d) Desarrollo

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2 4

6

1 3 5

2;i 2« + l

0.2, 023, 0.233, 0.2333,

Introducción a l Análisis

a)

( - 1)""1 Sea xn = -----------, entonceá:

1

Si n es par lim x n = lim — = 0

n

n

—>°°

n

—>=»

fl

Si n es impar lim xn = lim —= 0 n— >°° fi

Luego lim x„ = lim ( - l) /J—>00

b)

„ Sea x„ =

2n 2

c)

„ -i

1

=0

W_ >00

w+ l

2n .. litn — = lim n->~ 2 n + l

, entonces:

2 +

2 , —= ------- = 1 2 +0 n

i_ a, = V 2 = 2 2 j_ ji

1 ^

a 2, = J 2J 2 = 2 2 .2

4

/— p—^=— a 3 = V2 V 2 V 2 =

t1 i1 *1 . . *=

1

fl.n =

1

1

=

2 2+4

2 2 2 4 2

t

11 1 1 1 2 2+4+8

1

-+-T+-T+-+-21 2 2”

2 2

L.1 +-+—+...+—p) 1 1 1 . -( Luego an = 2 2 2 2 2

entonces

1

1 1 1 .. , . + —+ — + ... + —^ - es una progresión geométrica r =

’-é " es igual a:

... (1

------— = 1 _ I

2 (1

, --------) 2 "

...

2 Reemplazando (2) en (1) tenemos:

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1

an = 2 2

2

=2

2

(2

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94

Como para hallar la suma de una sucesión es suficiente calcular el limite del término n-esimo cuando n —» es decir:

lim an = lim

n—

d)

0 2

—) r =

2 1 0

=

2

n—

0.2, 0.23, 0.233, 0.2333, 0.2333...3,

...

el término n-esimo es

X- =0.23333...3 x„ = 0.2 + 0.03 + 0.003 + 0.0003 + ...0.000...3 „„ , 3 3 3 3 x —0 .2 + (------ 1--------- 1----------- K..H--------- -) 100

x —0 . 2 H 100

1000

10000

7 0.2

+ ----- . 100

= lim [0 .2 + — (1 — — )] = 30 10n

0.2

H A L L A R LO S L IM IT E S : 1 2 3 h -1 171--------- l i m(— + — + — + ...H--- —)

n

n

n

“ '

( 1 -t-------1— — + ...4-------r) 10 lo 2 1 0 "”'

i - í - 1-)" xn = 0.2 + -— - ( ...... .1 0 — ) = 100 j _ 1 10

lim

100"

n

Desarrollo

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10

(1 — i - ) 9

=

0.2

+— =— =— 30 30 30

+ — (1 —-----) 30 10"

Introducción a l Análisis 1 2 3 n- 1 l + 2 + 3 + ... + ( n - l ) l mi ( — + — + — + ... + ——) = lim ------------- — n n n n n~ i-i i „ « (« -!) , -n n 1-0 1 = lim 5— = l i m -0 = lim — — = ------= — tt-»oo ^ n-A°° 2.n~ /t— >oo 2 2 2 ,72

l i m ( ü ± ' X « + ' 2 X » + 3)

D esarrollo lim n->»

(n + l)(n + 2)(n + 3)

n+1 n + 2 n + 3 = lim (------ )(-------)(-------) n-»«. n n n

= lim ( 1 + -XI + -XI + - ) = (1 + 0 ) ( 1 + 0X1 + 0 ) = n n n _ 173

lim (

l + 3 + 5 + 7 + ... + ( 2 n - l ) n+1

2n + l ----- — ) 2

D esarrollo Se conoce que l + 3 + 5 + ... + ( 2 n - l ) = n 2 l + 3 + 5 + 7 + ... + (2n —1) 2n + l n2 2n + l lim (---------------------------------------------) = lim-(----------------- ) «-»«• n+1 2 n-»~ n + 1 2

' 2n 2 - 2n 2 - 3n —1 3n + l 3 + ñ 3+ 0 = lim — = - lim -------- = - lim ------ —= --------n->~ 2 (n + 1 ) n-»~ 2 n + 2 2 +— 2 + 0

174

lim-

n -(-l)” Desarrollo

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96

_1

Si n es par se tiene:

■• ------« + 1 = ,•lim ------n = -------= 1 +0 1, lim

_. Si n es impar se tiene:

i- i n- 1 n 1 - 0 lim ------- = lim ----- —= ------ = 1 n->“ n + 1 j 1 + 0

Luego:

2

175

lim «-*»

n—>°° tí —1

n—

^

1

1 —0

lim /l + ^ ^ = 1 n->~n _(_})"

',+i + 3 n+l 2

" +3 Desarrollo

2 n+I + 3 " + 1 2.2" +3.3" . . . . . . f lir a --------------- = lim -----------------, dividiendo entre 3 w->oo 2 ” + 3 " 2 ” + 3”

o+ i

176

' ,•lim (— A i- — 1 1 x + -1 + ... + — ) 2

4

8

2" Desarrollo

U sando la suma de una progresión geométrica: primer término y r la razón.

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S = —— 1 -r

, donde a es el

Introducción a l Análisis

lini 4 + 4 + ^ + . . . + 4 r ) = lim ( 1 - ( i ) " ) = n—>°° 2 4 8 2 />->« 2

1 - 0

=

1

r, 1 1 ( - 1 )"-1 , 177-------- ,h• m [l —1 + --------+ ... + ------;—] 3 9 27 3

D esarrollo De acuerdo al ejercicio anterior 5 e tiene:

. ----i , 1----------' i K..H--------;— . . ( - i » - ' —--------------—-------------‘ - ‘- l ’” 3 - 3 (4 r 3 9 27 3 1 + i 4 3

1

i i lim [l — + 3 9

178

i 27

3 " -1

3 -3 (-V 3 -3 (0 ) _ 3 ] = lim -----------¿— = 4 4 ~ 4

I 2 + 2 2 + 3 2 + ... + n 2 lim -----n3 D esarrollo l 2 + 2 2 + 3 2 + ...+ n 2 = - ( / i + l)(2« + l)

I 2 + 2 2 + 3 2 + ... + /1 2 n(n + l)(2n + l) lim ------------------------ t— = lim -------------------«-*“ n *-*« 6 n 1 n +l 2n + [ 1 = lim - (------)(-------- ) = - lim ( 1 «->6 n n 6 n-»~

179

lim (>/« +1 ~ sfñ )

n—>oo

Desarrollo

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1 + - ) ( 2

n

1

+-) = i(l + 0)(2 +0 ) = | n o 3

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98

r

, f— 7

V

( a / « + 1 - > /« ) ( V w + 1 + \ f ñ )

lim(V« + l —>Jn) = lim ------------T==---- r ---------n->~ n— y]n + \ + \ / n rt + l - n 1 1 lim p = lim —= = — j= = — = O "-»“ >/n + l + v n yjn + \ + \jn °°

180

n->~ n

+ 1

D esarrollo

V n € Z + , -1 < sen (n!) < 1, como —^ — > 0 n~ + 1 n nsen(n!) n — -— < — -------- < n2 + 1 n2 + 1 n2 + 1

Entonces:

lim — n-»« n 2

0

n + 1

nsen(nl) n < lim — < lim n2 + 1 "- >~ n : + l

< lim n~+l

< o de donde Iim í í 2 í í 2 ñ-»~ n + 1

= 0

Para hallar limite de la razón de dos polinomios enteros respecto a x, cuando x -+ oo, se divide los dos términos de la razón por x " , donde n es la mayor potencia de estos polinomios. También en muchos casos se emplea este procedimiento cuando se trata de fracciones que contienen expresiones irracionales.

181

,. (x + l f lim Desarrollo

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Introducción al Análisis

( x + 1 )" x2 + 2 x + l lim — = hm dividimos entre x +1 »-»“ x + 1

2 ,• = lim n~i°°

182

x

x2

i + __ x2

1 +0 + 0 - — = 1 + 0

1

lOOOx lim — ----x -1 Desarrollo lOOOx lim — =

n —>oo

|

1000

. x lint ——— , dividiendo entre

n—>oo

_ j

i =

183

1000

lim — í — = »->«, 1 x2

1000

(—

)=

0

1 - 0

lim ^ i± i n-*~ 3x + 7 Desarrollo Dividiendo entre x 2 tenemos: 5 J_ x 2 - 5x +1 x + x2 1 -0 + 0 1 lim = lim — ---- = ----------------- = — , n-»~ 3x + 7 n~n*> 0+0 0 *

184

X2

2x 2 - x + 3 l i m —------------n~*°° x - 8 x + 5 Desarrollo Dividiendo entre x 1 se tiene:

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100

lim2£ l z í ± 3 = H m Í 4 n->°° x

n~¥o°

— 8jc + 5

^ ¿ =± ± ^ = 0=0

i ____r _ . _

2

185

1 -0 + 0

1

3

X

X

lim i * + 3) (^'v 2)' n->oo JC5 + 5 D esarrollo (2x + 3)3 (3 jc -2 ) 2 72jc5 - 2 0 4 x 4 -562.v3 -261jc2 -174jc + 9 lim ----------—— ---- = lim -------------------------- ----------------------------«-»“ a: + 5 jc + 5

üm «— >03

204 x

562 a- 2 j

261 x3 5

174 9 a4 V

72-0-0-0-0 +0 1 + 0

7

186

lim

2x2 - 3 x - 4

=====— yjx 4 + 1 D esarrollo

Dividiendo entre x 2 el num erador y denominador se tiene:

lim ^ f^ n_>“ v x 4

10_ 187

lim

+ 1

.4 = 1 i m - .7 ¿ n^°° j, + 1

=^

°

=

v1+

0

2

2x + 3 D esarrollo

Dividiendo el num erador y denominador entre x se tiene:

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_

? 2

Introducción al Análisis

2+

2x + 3 lim - = = lim n->°°x + yjx »-*»

1+ 3

-

*

2 + 0 „ = ------- = 2 1 1 + 0

'

* 2

188

lim 10 +

Xy/x

Desarrollo Dividiendo el numerador y denoi tinador entre x 2 se tiene: x2 lim =r = lim n- » ~ 1 0 + x \fx « - > “

1

1' lim

^

íl

10

*2 + IKO 189

1

= —= oo 0

£

+ 1

X+ 1

n->°°

Desarrollo Dividiendo el num erador y denominador entre x se tiene: 1

lim n-»“

190

^

2 + 1

X+ l

1

* + jc3 _ ^ Ó + 0 =

= lim ^ n->~ j + J

1 + 0

0 = 0 1

lim

tt—»oo

y x + \¡X+ \fx Desarrollo

Dividiendo entre Vx al denominador y num erador se tiene:

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102

Eduardo Espinoza Ramos Cuando P(x) y Q(x) son polinomios enteros y además P(a) * 0 o Q ( x ) * 0 , él limite cuando x —> a

de

P(x) P (x ) ------Q(x)

es

A . decir

P(x) lim lim------------x^>a Q(x)

se

encuentra

P(x) directamente. Cuando P(a) = Q(a) = 0, se simplifica la fracción ^ ^ por el binomio (x - a), una o varias veces.

191

lim

x3

x -> -\ x

+ 1

+ 1

D esarrollo x3 + l ( - 1)3 + 1 - 1 + 1 0 „ lim .....= ------ -— = ------- = - = 0 *-»-i*2 + l ( - 1 ) 2 + 1 1 + 1

192

lim *-*5

x 2 - 5 x + 10 ---------x -2 5 D esarrollo

hm x~*s

193

x 2 - 5 x + 10 5 2 -5 ( 5 ) + 1 0 0 + 10 10 ■ ....... = -------------------= ----------= — = °° x -2 5 (5) - 2 5 0 0

x2 - l lim x-»-i x 2 + 3 x + 2 D esarrollo

lim —

X2

-1

+ 3 jc + 2

194

,. (x -l)(x + l) ,. x —1 - 1 - 1 „ = l i m ------------------ = l i m ------- = ----------= - 2

*-*-i(x+l)(x+2)

x -> -\

x 2 —2 x lim *-»2 x - 4x + 4 Desarrollo

I

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x-2

-1 + 2

Introducción a l Análisis

x - 2x lim — x -4 a + 4

*->2

a

195

lim *-»t

a (a -2 )

,

.

= l i m ------------------= lim * - * - 2 ( a - 2 ) ( a —2)

2

1

=—

* -> 2 a-2

O

^ — 3 jc + 2

x4 -

4a

+3 Desarrollo

196

a3 - 3 a + 2 lim-—----------- = l i m—

( a: + 2 ) ( jc —l ) 2

-»->1a

+2x + 3)(x-l)

lim -

- 4 a + 3

= li m— x- * \ x 2

x +2

3

1

6

2

= —= —

+2x+ 3

x 2 ~ ( a + l)x + a Desarrollo

lim

x~ ~{a + X)x + a x - a x - x +a j c ( j c — 1) — a ( j c — 1) -= l i m ------------- ^----- ------ = lim — — ------ --------

x->a

x

- a

x - ,a

x

- a

* -* «

x

- a

(x-a )(x-l) x-l a- 1 =l i m — = lim —------------ = — — *-*a ( x - a ) ( x + a x + a~) x + ax + a 3a

,9 7

A-»o

h Desarrollo

(x + h)3 - x 3 x 3 + 3 x 2h + 3xh2 + h 3 - x 3 l i m------------------= l i m-----------------------------------/i-»0

h

h-tO

h

3a h + 3xh +h~ 2 -.i .2x = hm— — = lim(3A +3xh + h ) = h~*0 h h-*0

198

lim(— *-* 1 - x

1

^ -r) —A ’ Desarrollo

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-7 2

3a"

104

Eduardo Espinoza Ramos

x 2 —x + 1 - 3 x 2 + x —2 - ) = lim ----------= lim 1 — jc3 *-»« 1 -x 3 jc-»! 1 -x 3

1 lim(-—

3'

* - » i 'l - x

= lim < ^ ? X J - 1 V = - l i m ^ t ¿ ^ = - ¿ = - l * -» (l-x )(l + x + x ) *-»>l + x + x 3

199

lim -^*

1

•*-»! X — 1

Desarrollo Sea x = y 2

=> Vx = y , además cuando x —> 1 , y —> 1 , luego tenemos:

a/ x - 1 y —1 . y-1 . 1 lim ---------= lim —-— = lim = hmx—>1 x —1 y —>1 y1- -‘l y—>1 (y —IXy + l) y— »ly + l

200

lim ^ 8 J - » 64 y¡X - 4 Desarrollo Vx = y 2

Seax = y 6

Vx = y 2

a

Cuando x —> 64, y —> 2, luego tenemos: Um £ z í = 1¡m ¿ = » = _ | im Q - 2 X y ^ 2 y + 4 ) x —>64 %Jx —4

y-*2y~-4

y->2

( y - 2 ) ( y + 2)

y* + 2 y + 4 4 + 4 + 4 = lim — - ----- = =3 y—*2 y+2 .4

20 1

Vx-1 lim* -* iV * -i Desarrollo S e a x = y 1 2 =>

Vx = y 4

a

'->•

x - l

y

= lim

-1

v ^ l ( V _ l ) ( y 2 + y + l)

= iim í z ± i K z l ± l > = = í y-*>

-»»•>

202

y2 + y + l

3

3

>•m u---------------f á - Z l f x -+ l lim *->i (a —1 ) D esarrollo

lim * -> '

Sea

V a 2 ’-

2

^ /I + 1 { V x -1)2 —— - -- lim —

( a — 1)

a = _v3

* -*

=>

^Jx- = y

( a — 1)

cuando x - + l , y

—> ! ,

s /? - 2^I +l ( 3 / I - 1 ) 2 ,, ( y - 1)2 lim ------------= lim ---------- — = lim -^ ------ x-> i

(a - 1 ) "

* -> '

( x - 1)

y - n ( y - l ) 2

lim —= lim 1 T =y - + ¡ ( y - l ) ( y + y + l)~ y-*t(y + y + 1) 9

203 X-*1

x 2 -4 g

D esarrollo

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luego tenemos:

Eduardo Espinoza Ramos

106

204 *-** v x ~

2

Desarrollo Sea x = y 3 => ifx - y

l i m - ^ - = l i m (-V 2

205

lim ^ Jt- * 1 tfx

>-*2

2

cuando x -»

8

, y •-> 2, luego tenemos:

) ( r + 2 ^ i ) = l i m( y 2 + 2y + 4) = 4 + 4 + 4 = 12 y- 2 y- * 2

^ - 1

Desarrollo Sea jc= y 6 => 7 x = y 3

\fx = y 7

a

Cuando x -+ 1, y -+ 1. luego tenemos: 7 1 -1 y 3 -1 ( y - l ) ( y 2 + y + l) y2 + y + l 3 hm —f=— = lim d—— = hm = lim — =— x - ^ y x —1 ,v->i y - 1 y-*i ( y - l ) ( y + l) y->i y + 1 2

206

.. 3 —yj5 + X hm '- 4 1 - 7 5 3 ^ Desarrollo

hm

3 -\¡5 +x , (3 —7 5 + x)(3 + 7 s + x)(\ + 'J5 —x) 7 = = ----, , 7----- = h m

*-*>1-75-* = lim

'-*4 ( 1 - 7 5

+ x )(1 + 7 5 + x)(3+75 + x)

( 9 - 5 - x) ( 1 + 7 5 - x )

t¡_ ( 4 - * X l + 7 5 ^ )

(1 - 5 + jc)(3 + >J5 + x )

-v~*4

. 1

- = l i m ----------------- r —

(jc - 4 )(3+ v 5 + x )

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i:_ 1 + 7 5 ^ 1

= —l i m

r—

X~+A 3 + v 5 + a:

Introducción a l Análisis

207

1¡

x

x -> 0

Desarrollo Vi + X —Vi —X (Vi + X —VT—X)(-Jl + X + -Jl —x) lim ---------------------= lim ----------------=====-----= = ---------- -

X

*-*0

x—*0

x(y]l + X+y¡l-x)

l+x-l+x 2 2 = lim - = = ---- = = = lim —¡ = -----===• = ------ = V l + x + v /l - X

208

*->0 V i + X + sil - X

1

1+ 1

lim J x + h - J l h->0 h Desarrollo yjx + h - y j x (yjx + h - y[x)(yjx + h + yfx) lim ----------------- = lim -------------= ---------h-*0 h o h(y¡X + h + y /x ) (x + h ) - x = lim = = = - = lim h~*° h(yjx + h + yfx) * - >0 VX + h + \[x

io n 209

y/x + 0 + \[x

yfx + h - s í x lim ■ h->o h Desarrollo yjx + h - y f x (y jx+ h - \ f x ) { y l ( x + h ) 2 + %lx(x + h) + yfx2 ) lim ------------------ = lim -------------- . = ---------h~*° h h~*° h ^ l ( x + h )2 + }jx(x + h )+ V ? )

= lim A->0

x + h —x 1 ,---------= = - = lim h(%j(x+h)2 + $jx(x + h) + V ? ) h^ ° \l(x + h )2 + l]x(x + h) + yj 1

yJ(x + 0)2 + ljx(x + 0) + yfx2

1

sfx 2 + V ? + yfx2

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1

3yfx2

Eduardo Espinoza Ramos

108

210

Vx2 - 2 x 4 - 6 - Vx2 4 - 2 x - 6 l i m-----*-»3 x 2 - 4x + 3 Desarrollo Vx 2 - 2 x 4 - 6 - Vx 2 4 - 2x —6 (Vx2 - 2 x 4 - 6 - Vx2 + 2 x - 6)(Vx2 —2x + 6 + yjx2 + 2 x - 6 ) \Jx2 - 2 x + 6 + \[x2 + 2x - 6 ( x 2 - 2 x + 6) - ( x 2 + 2 x - 6 )

-4at + 12

Vx2 - 2 x 4 - 6 + \ l x 2 4-2.V-6

Vx2 - 2x4-6 4- yjx2 4- 2x - 6

Vx2 - 2 x 4 - 6 - Vx2 4 - 2 x - 6 =

, ~ ~4 ^ - 3) s/x2 - 2 x 4 - 5 4-s/x2 4- 2 x - 6

-v/x2 - 2 x 4 - 6 —Vx2 4 - 2 x-"ó lim —— *->3 X2 - 4 x 4 -3 .. nm A' ~*3

- 4 ( x —3) (x - 3)(x - 1)( Vx 2 - 2x 4- 6 4- Vx 2 + 2x -

6

)

-4

= lim

JC~>3 (x - 1)(Vx2 - 2 x 4 -6 4- V x 2 4- 2x —6)

-4 " ( 3 - 1 X V 9 - 6 4 - 6 4 -V 9 4 -6 -6 ) 211

2(34-3)

lim (-Jx + a - Vx)

* —>+oc.

Desarrollo . /-----r\ .. (V x T á - V x ) ( V x + a 4-Vx) lim (yjx + a - v x ) = lim ------------ . p ---------■Jx + a 4-Vx

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12

3

Introducción a l Análisis

- lim

x+a~x _ a _ °_q yfx + a + yfx yjx + a + yfx °°

lim (ylx(x + a ) - j x ) X—>+°o

2 1 2

Desarrollo

lim

r - —

(yjx(x + a )- x )(y ¡x (x + a )+ x )

■

x(x + a) - x) = lim —

7 ----------------

^Jx(x + a ) + x x{x + a ) - x 2 = lim jr_>+~ yjx(x + a ) + x

ax a = lim — 'y.... ....... = lim x-J>+~‘y¡ x ( x + a ) + x *-»+~ I a

V 213

lim ( V ? - 5 a + 6 -

a ------2

a

a)

X —> + o o

Desarrollo r / / 2 7 T 7 ,• ( v a 2 - 5 a + 6 - x)(\Jx2 - 5 a + 6 + a ) - ■ ■ ■ -----------------lim (v a - 5a + 6, - a ) = lim .

'

'

X- M**

V a2 - 5a +

a

6+

a

2 - 5 a + 6 - a2

- 5 a+ 6

= lim - = = = = = ------= lim V a 2 —5 a + 6 + a

--------

6 A-

= lim

-1

,

214

lim

a (-\/ a

5 6 , í +7

-5 + 0

-

Vl -

2 +1 - a)

D esarrollo n —

lim a (V a x ._>4-oo

í

+ 1 - a)=

lim .t—>+■>=

( V a 2 + 1 - A X V ^ + 1 + A) + 1 + JC

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....

m +" v a 2 - 5 a + 6 + a

0

+0 +1

5 2

Eduardo Espinoza Ramos

110

x(x2 + 1 - x2 )

= hm —

■

yjx2 + l + x ,

.

1

11IT1

*-*+-

1

215

* - * W x 2 + l+ -r

= —¡ =

■■■■--------

l

X

......... = lim

1 , + —T + 1

1

1 ------= —

Vl + o + l

2

lim ( x + >J 1— jc3 )

X—*+oo

D esarrollo i/;

( x + y j l - x 2 ) ( a : 2 - x y j l - x 2, + ^ / ( l - . v 3 ) 2 )

j\

lim ( jc+ Vi —jc ) = lim --------------------=====--------------------------- X \ ] l - X 2 +y]( 1 -A '3)2

= lim

r’+ l-r3 ,.2 _ x ^ 7 7 + 3//(1_ Jf3)2

= lim ---------- , 1 -----i ¡ — - =—= t-**" X 2 - x l l l - x 2 + y j ( l — X 3 ) 2 °°

0

senx

,

En muchos casos en él calculo de limites se emplea la formula lim = i.y x—>0 JC además se supone que: lim serve = seria y lim eos x - eos a x —>a

216

^

a)

i

hm Jt->2

senx X

D esarrollo hm x-*2

b)

s enx

s en2

= ------

x senx

h m -----x

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x —*a

Introducción al Análisis D esarrollo 1

SCtlX

X

X

Se conoce que -1 < sen x < 1 además: — <

de donde:

l i m - — < lim senx < |im — x -> “> x

x -» ~

X

x -> °° X

senx

lim — — =

217

0

sen3x l i m-------x —>0

X

D esarrollo sen3x 3sen3x . lim ---------= lim — —— = 3(1) = 3 x~>o x *->o 3x

218

sen 5x lim -------*->o s e n lx D esarrollo 5sen5x senSx

lim = lim „ x— >o sen2x x-*u 2sen2x 2 x ” 2 1

»

5(1) 2

(1 )

5 =_ 2

lim ■ x->o sen{3nx) D esarrollo t sennxs sen(Kx) *( 1 ) 1 lim ------------- = lim --------- — — = -----------1 = x-Msen(3nx) x->o ^ senQ n x ) 3^(1) 3 3;rx

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==>

0

1

0 n

lim (usen - ) = lim — «-»■>» n x—>o x

2 2 1

lim ,->0

1

=1

-c o sx — X2 D esarrollo

lim x -* o

1 -c o sx (1 -c o s x ) ( l + cosx) 1- eos 2 X — = lim = lim x2 x 2(l + cosx) - * - » 0 x 2(l + cos.v) s e n 2x

s e n 2x

= lim — -----—

= lim — -— . *->0

• t-^ O x O + C O Sx)

222

x"

1

1+

C O SX

,,

1 .

1

1+ 1

2

=-1 (----- ) = —

se n x -se n a

lim ---------------x -* a

x -a

D esarrollo se n x -se n a =

2

cos(

,x - a x

x+aN 2

).s e n (

2

,x + a s

)

,x - a s

,x + a.

.x - a .

cos( ).sen( ) cos(— — ).sen(-------) se n x -se n a 2 2 a

X —a

x-*a

.x + a lim cos( ). lim x-*a

I •

2

x —ü

x->a

,x - a sen ( )

2 a + a nx — — = eos — :— ( 1 ) = eos a

x ~ a

2

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x —a

Introducción al Análisis

223

co sx -c o sa lim -—— — x-a

x-* 0 x —a ,x + a fx - a -s e n (— - ) .s e n (—- —) = lim ---------- 2 ------------- 2 _

x -a ) x+a 2 = - hm xen( ). lim -------- —— x -* a 2 x~*a X —a

= -se n (—

224

2

).(1) = -s e n a

hm ^H +2

x -t-2 X

D esarrollo lim ——— = lim 2 jt+2->0

Jf—*—2 X +

*-> -2 X +

2

X+

2

* + 2 -i0 X +

.

2

Sea y = x + 2, cuando x —y -2, y —>0

V—>0

t g n y + tg 2 n

t g n y + tg 2 n

lün i ± i * £ Z Z « 2 l „ |¡m < H 0 + y- » 0 y~ » 0

2

) |¡m l + » W y —»0

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g

2

» = ]¡m w >->0

y

114

Eduardo Espinoza Ramos senizy n se n jty . 1 ...... = lim — = lim - .( ) = tt(1)(1) = n y-»o y e os n y y-*o n y cosny

225

lim /i—>0

sen(x+ h ) - senx h Desarrollo

, 2x + h^ ,x + h - x . sen(x + h ) - senx = 2 cos(-— ■— ).sen(------------)

2

,

lim A— »0

2

, 2 x + /i,

,

s e n ( x + h) —senx

h

.x + h -x .

c o s (------- ).sen(------------) 2 2 = lim -----h-*0 h 2

+ 2

).

2x + h senf y ---- - = lim cos(-— — ). lim ---------n *->o 2 s->o •s I rs

= lim cos( a— »o

2* + 0

= cos(— - — )(1) = eos X ... 226

senx - eos x lim ---------------1 -tg x 4

Desarrollo senx —eos x senx —c o s j c lim -----------------= lim ----------------* 11 —tex K 1, ______________ senx t- > — ‘ o -1 *- > — 4 4 * eos* eos x ( s e n x - eos*) .. - e o s x(senx —eos x) lm i-------------------------- = lim ---------------------------eos x —senx senx - eos * 4

rlim - e o s * = eo s— * -= —1 n 4 V2 x —>— 4

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4

Introducción a l Análisis

227

lim xsen —

a)

X

x —>0

D esarrollo Sea z = —, cuando x —>0, x —» x lim xsen — = lim —senz = lim

senz

1 senz 1 Pero - 1 < sen z < 1, además — < ------- < —, de donde z z z 1

1

lim — = lim —= Z~ >°°

?

0

senz , por lo tanto lim —— = ’ —>oo

Z—*°° Z

0

£

1 .. senz n lim xsen — = lim =0

x-»0

x

z

lim xsen — x->~ x

b)

D esarrollo Sea y = — , cuando x —> x lim xsen(—) = lim - = x y->o y

228

y —> 0

1

>• /i x n x lim(l - x)tg — x->i 2

D esarrollo

„

.

KX

x->i

2

„

KX

lim(l - x)tg —— = - lim (x - l)fg — = - lim ( x x -* i

2

x - i- » o

Sea y = x - 1, cuando x —» 1, y —> 0

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1

KX

)tg — 2

116

Eduardo Espinoza Ramos

- lim(l - A ) í g ^ - = - lim ( x - \ ) t g ^ .r->l

2

*-l-»0

n =- l i m ytg — (y + l) = - l i m 2

2

tn y n , ysen(— + —) 9 9 — e o s (^ + *) 2

2

, ny n n n. y (se n —^ eos —+ eos —sew—) lim --—. ... - ................— — 2 _ y—»o ny n ny n eos — .e o s----- sen — .sen — 2

C0S

lim y— >o

2

.ny.

sen(

1 2

229

2

=

2

2

ffy. , 7ry y ( 0 + e o s— ) y eos(— ) jim -------------- 2 — _ jim — _ — 2 v-*o „ ny v-»o ,nj 0 -se n — sen(—

2

2

2

cos( 0 ) 1 2 — =—=— ^ ^ n —( 1 ) —

2

2

ny 2

'

lim c /g 2 x r/g (—- a ) *->0

2

D esarrollo ^ Ctg(— - x) = -/gA => 2

. c/g "Jt-1 Ctg(2x) = — -----------------2 cígx

= lim ctg 2x.ctg( *-»o 2

a)

c te ‘r - 1 . = lim ------------ .( - / g A ) *->o 2cfg*

= - i lim (c/g2jc - l)íg 2.v =

2

230

I

»o

- 2

1 - s e n (-) lim ----------

jt->*

lim (l - f g 2 x) = - ^ ( 1 -

2 *->o

n —x

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2

0

)=

2

Introducción a l Análisis D esarrollo

1

lim jc-WT

-se n (-) 1 - s e n (-) — = lim — jt - X jc-jt-K) n —x x = y + 7t, además cuando x —>n, y —» 0

Sea y = x - jt

lim x—*it

l-se n (-) 1- sen(-^ 1- s'en(—+—-) — = lim — = lim --------------- — n —x x-it-t o n - x y~»o n —y ,

y

n

1

2

\ - s e n — .e o s

= - lim v—>0

n

y

2

1 -co s —

= -lim v->0

y

(1

- eos —)( 1 + eos —) 2

= - lim y- » 0

2

y(l + eos —) 2

sen

1

lim y—>0

-c o s2

y(l + cos

■

sen 1

2. „

y

e o s — .s e n —

2 _ > = _ I ( 1 X -^ -) = - I ( 0 ) = 0 2 1 + 1 2 -f eos y

|¡m ! r 2 “ í í ” -3 n

i- i3

D esarrollo l - 2 cosx l - 2 cosx lim --------------= lim ------------x-+* x - l * ~>o ti - 3 x 3

Sea y = x

3

3

=>

x = y + — . Cuando x —> — => y -y 0 3 3

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2. y

118

Eduardo Espinoza Ramos

i -> 1 o ll - 2 cos;t l - 2 cos* lim — ----- = lim = lim

2

n cos(y + —) 3

-

l - 2 cos(y + —) , l - 2 (cos v. eo s----- seny.sen —) ■lim -........... •*- = — l im ------------------ —---------------- — y-»o 3y 3 y-»o y

l

2

J

(cos

— lim 3 y-» 0

seny) l - eos y \fise n y ---------= — lim (--------- - + - ------ - ) 3 y—>0 y y

— y

l , l —eos 2 y pr seny^ = — lim (— — — — + v 3 — - ) 3 y-*o y(l + c o sy ) y

1

seny

seny

1

p- seny

r-

1

— lim[(— - ) ( - ------— ) + V3 — - ) ] = ——(1(0) + V3) = — T 3y-»o y 1 + co sy y 3 V3 ... 232

lim

c o s tn x -c o s n x ---------

x ~*°

a;2

D esarrollo eos m x - co&nx = -

lim x —>0

2

m+n m —n )x sen(-------)x.sen( 2 2

c o sm x -c o sn x 2

X

,m + n . ,m —n. sen(— — )ac sen(------- ).r 2 2 lim . -----X

j;->0

=

- 2

lim j< - > 0

m +n 2

X

,m + n s , m —n. sen( ) , sen( )x o m +n 2 ....... --— .-------- .---------------m +n 2 m~n x

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Introducción a l Análisis

o /m + Wx/,x , m ~ n ^ ,m = - 2 ( — —)(l).(—- —) = - ( 2 2 2 ,,, 233

X K 2 2 x ) = -(« ~m ) 2

tgx —senx lim —— ----x -> 0

x

Desarrollo senx - senx tg x - s e n x eos x ,• senxil - c o s x ) - = lim ------------ í—-------- lim —— r------= lim x-->0

*"*0

x

= lim

ím x (l-

■*->0

jc-*0

x

X

x

e o s x ) ( l + cosx) .v e « x ( l - e o s 2 x ) -----------------------= lim — ----------------(1 + COS x ) •*->0 X" (1 + eos x )

senx.sen x ,senx 3 1 3 1 „ 1 = lim - Y '- -- -'-- l i m ( ^ ^ - ) J (-— ) = ( 1 )J (-J—) = T x->0x (1 + cosx) *-*0 X 1+ co sx 1+ 1 2

234

.. aresenx lim — x~>o x Desarrollo Sea z = arcsen x => x = sen z ; cuando x —» 0. entonces z -+ 0 .. aresenx z 1 1 , lim ----------- = lim ------- = lim ------- = - = 1 x- » 0 x z-*0 senz z-+) senz 1

235

lf a ,2 S S M x— »o sen(3x) Desarrollo arctg( 2 x)

||m « i M x— »o sen( 3 x)

= ljm

x

x->o sen(3x) x

arctg 2x

_ s e iü x lim x— »o x

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120

Eduardo Espinoza Ramos _ ' , , sen3x Calculando lim — =3 t ->0 x arete 2x _ _ lim ------------= 2 , donde z = arctg 2 x => j— >o x

lim

1

x = —tgz 2

a r c tg lx z ... z — = lim ----- = 2 lim — - = 2

x-->0

X

z- >0 í g Z

z—>0 t gZ

T Luego, lim *- >0

sen3x JC

„ a r c tg lx . = 3 ; lim — =2 Jr—>0

... ...(2 )

JC

arctg( 2 jc) arctg (2x) Reemplazando (2) en (1) se tiene: lim — :----------= lim *->o ,ce«(3jc) j-»o seit(3x) JC

236

lim jc—* 1

1 -

jc2

í e n ( 7 T .r )

D esarrollo I - a-2

( l - x ) ( l + jr )

lim ----------- = lim ----------------*-»i s e n ( n x ) x - i-* o s e n ( t r x ) Sea z = x - 1 =>

x = z + 1 ; Cuando x —> 1 => z -> 0, luego:

1 - x 2 ( l - x ) ( l + x) ( l - z - l ) ( l + z + l) lim ----------- = lim ------------------ = lim -------------------------

x-*\ s e n ( n x )

jc—i—*o

s e n (ttx )

z->o

s e n t z ( z + 1)

= - l i m ------------ 2 ( 2 t i ) -----------z-*o s e n t í z eos n + s e n n . eos n z .. z ( 2 + z) 2 + z 2 +0 2 = - lim ----------- = lim -------- -— - = — =—

z-»o —s e n t í z

>o t i s e n ( t c z ) ttz

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n (X )

tt

Introducción a l Análisis

237

l i m - * - " * 2*»

*-»o x + sen(3x)

D esarrollo sen(2x) x — = lim * ->o [ f sen(3x)

-

x - s e n ( 2x) hm — - = hm

jr->0 x + íen(3x)

238

sen(2x) 2x 1 _ 2 1 — = ------- = — x-*o } + ^ sen(3x) 1+ 3 4 3x ,■

nx cos(— ) hm -*L•*-*» 1 —v x D esarrollo cos(— ) (l + 7 x ) c o s ( ^ ) (l + >/x)cos(— ) hm t =~~ 7=---- F=~ = l»ni ------------------ — *->' 1 -V x X-1 -K) (1 —v x )(l + v x ) *-l- » 0 1 -X Sea z = x —1 =>

x = z+l

; Cuando x -> 1, entonces z —> 0

c o s (-~ ) (1 + a/ x )C 0 S ( — lim t =~~ ^ JC—*1 l —yjx JC-l-tO 1 —x

)

(1 + 7 z + l ) C 0 S ?r- ( ¿ + l )

=-lim --------------------- ---------z—>0 —z

I ' 7. . T t 7 t (l + v z + l)(co s Js e n — 2 = - hm z- > 0 xz

(1

-lim z->o

7T

.s e n —)

21

-sen ( — + V z+ T ) ( 0 - sen — ) — = - lim ( l + 7 z + l)(-

se n (-) 0 7C I------' K K 2 - . - = a + 7 o T T )(i) (-) = 2 (—) = * lim (l + Vz + 1 ) z—>0 n . . 2 2 2

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)

Eduardo Espinoza Ramos

lim *->0

1 - V cosa

x

----D esarrollo

lim * -» o

1 - Veos A'

= lim

x2

( 1 - Vcosa)(1 + Veos a ) ,-----= lim -

*->0

1 —eos X

x~>° a 2 (1 +V eos a )

a 2 (1 + V c o s a )

( 1 - c o s a ) ( 1 + COS a )

1—e o s 2 A

__ = limA 2 (1 + Veos A )(1 + eos A ) A 2 (1 + V COS A )(1 +

lim —

sen2x ,senx i = lim —------- 7 = ---- ■--------- = lim (------- -) . a -^ O jc

ü )(

( l + V c O S A ) ( l + C O SA )

a ->0

1

1

1

(1 + VT)(1 + 1)

(2)(2)

4

COS a )

-------

1

(1 + V c o s a )(1 + c o s a )

a

Vi + senx - Vi - senx lim ----------------------------x—>0 X D esarrollo Vi + senx —Vi - senx (Vi + senx —Vi —senx)(\¡\ + senx + Vi - senx) lim-----------=-lim ------ -— - p :—7^7=-— ■_ .......----------------*-*0 x *->0 a ( Vi + senx + v i - senx)

= lim

1 + senx —(1 - senx) ,---------r--------- = lim (V i + senx + V1—senx ) *->o a ( V i

2senx +

senx

+

Vi — senx)

= 2 ( l ) ( - _ = J - _ ) = 2 (1 ) = 1

'J\ + 0 +yj\ —0 Para hallar los limites de la forma:

2

limla

Si existen los limites finitos: c

lim i¡f(x) = B , entoi x-Aa

=a b

2

lim tp(x) = A * 1 y lim i/r(x) = ±°° , en este caso él limite de (a x-Aa x—>a halla directamente.

3

Sí lim (p(x) = 1 ; lim t//(x) = °o, se supone que (p(x) = 1 + oc(x), de X~Aü X-ACl a(x ) —> 0 , cuando x —> a y por consiguiente:

Si

i n t r\ n ír im ír í

C = lim [(l) + a ( x ) ( *] ( )9( x-Aa

lim a(jr).w(jc)

Siendo e = 2.718... él número de NEPER. 241

lim (^ V 3 -x

*->0

D esarrollo ,. 2 + x hm tp(x) = —* x->o 3 2 + X .v

,.

1

.2 + X .lim x

2 x0

,

Luego lim (-— —) = lim ( y - 0 = (—) = 1 x->o 3 — x *- > 0 3 — x 3

242

l i m ( 4 - i ) * +1 x2 - l D esarrollo lim ( - ^ — ) JC+1 = lim( — ----- ) * + 1 = lim (— )x+l X—>1 —1 ( x -l)(X + l) H lx + l

:( h m

1

lim (jc+l)

-)x—>\ x +1

1 ?

1

= (-)= 2 4

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Hm[0

x —>0

l i meos a—l

b)

a—>0

- i ..i m 1-cosa

=e

-I

*

senx senx - lM im U I--------- .. --------------------------------(!)(-)

x J+cos-v —£

2 =e =

lim (co sx )v A—> 0

D esarrollo Análogo al caso anterior se tiene: I

lim (c o s x )* .*-►0

I

= lim [ l + ( c o s x —1)]' x -»0

= e'~° *'

253

I

= lim ([1 + ( c o s a —l) ] 00**- 1 ) -r-»0

= e '~*x d+co*4T) _ e

lim [ln( 2 x + 1 ) - ln(x + 2 )] X— >oo D esarrollo

lim[ln(2A + l) -ln (A + 2)] = lim l n ( + S X— >oo A—>°° X + 2

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2

—___ Je

C U S -T -I

*

Introducción a l Análisis

254

l i m l o S ( 1 + 1° J) x - >0

X

Desarrollo

logUjflOx) _ iim j0 g(j + jQx)x = [lo g lim (l + 1 0 x )jr] x-»0

X

x->0

x-»0 1

= log[ lim ((1 +1 Ox)>0* ]>° = log o

Desarrollo

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Eduardo Espinoza Ramos

130

ex - 1 l-e ~ A ex - l elim = hm = lim — — x->o senx -f— >oexsenx x~>0ex senx ey- l de acuerdo al ejercicio 258 se tiene:

,,, 263

. a)

lim -—-— - lim — = —^— = 1 x->0 senx a >o , senx

.. senhx lim A >0 x D esarrollo

Se conoce que senhx = —

lim

a-ao

senhx x

1

= —h m

ex —e

a-->o

2

1

x

—

e x —l

I

= —lim ---------2

x-*o xex

de acuerdo al ejercicio 259 se tiene:

lin t a ^0

b)

senhx

1 ,. (e )x —1 . 1 , 1 , 2 , 1 . 1 , . = —lim — --------(— ) =■—lne (— ) = —( 2 lne) = 1

x

2

lim

coshA - 1 -----

x -* 0

x‘

a —> 0

x

2

ex

e°

2

D esarrollo e +e Se conoce que cosh x = —— —

hm

jt-*o

cosh .r-1 x

-1

hm

a >0

x

,• e + e ~ 2 ------- = hm — ----------a -)0

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2x

Introducción al Análisis

1 . ex +e~x - 2 1 ,. e2x - 2ex + = —lim --------= —lim --------2 >o x 2 -«-*0 x~e't

1

1

1 ,. (e * -l)2 1= — lim — -----2 *-»o xex

,ex ~ U) 2.—1

= -lim ( 2 ■*—>0

a:

g-*

de acuerdo al ejercicio 258 se tiene:

= —(1)‘ — = 2

2

e°

H A LLA R LO S SIG U IE N T E S L IM IT E S L A T ER A LE S. 264

a)

lim iJ x 2 +

1

D esarrollo

lim

.

x

_v . - = lim —¡—:— = lim + 1 X^~ °°yjx2 + 1 - a:

b)

- 1

,

- 1

, = -= = = i +JL ^ 1 + 0 V a: 2

- 1

lim D esarrollo

lim = lim — = lim , ^ ■ ■■■ = ■ X~”~ 4 x 2 + 1 ^ +°° 7 x 2 + 1 x_>+~ í1 + j l a y x~ 265

a)

lim fg/ur Desarrollo

t§hx —

ex - e ~ x

e2x- \

ex +e~x

e2x + 1

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=

1

Eduardo Espinoza Ramos

132

' e 2x- l 0 -1 lim tg h x - lim —------= ------- = -1 x-+ ~ e2x + i 0 + 1 b)

lim tglix X— >+°° Desarrollo 2 1 e2x -1 lim tghx = lim — = lim jr-»+~ *-»+«• g2x + 1 x— J ^

266

a)

lim

— 2x

1

1 -0 — = ---- = 1 1 + 0

^ l +ex Desarrollo 1

lim -----

.r— >-oo

1+ e b)

1

1 1 1 , = ---------- = ------ — = ------ = 1 l+« 1 + . 1 1 + 0

lim ----\+ e x Desarrollo lim X —» + © o

1

1 1 - = ---------=— =A 0 _

] -f- g + ° °

OO

\ +ex 267

, a)

ln(l + e*) lim -----------Desarrollo lim !^ÍLL£_2- |jm in(l + e t )-t = ln[ lim (l + e*)*] 1

= ln( lim

[(1

ex

.. ex lim —

+ e x )e' ] x ) = ln(e‘” x ) = lne° = ln l =

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0

Introducción a l Análisis

b)

x

x-»+~

Desarrollo Análogo al ejercicio (a) es decir:

, „ xx ln(l + e )

lim

ln ex(l + - - ) ln ex = lim------------- -— = lim

jd n £ + ln(l + — ) px = lim ------------------ — = lim X

X->+oo

268

v

a)

.•

\senx\

lim ------- -

x —>0“

Desarrollo \senx\

senx

lim ------- = lim ----------= X

x -» 0 “

..

b)

..

\senx\

-

lim ¡

x-»0*

- 1

x-tC T

x

Desarrollo I to lf ü d .lb n iS í.i x-»0*

269

a)

X

x-»0*

X

lim ——— x -» r | x - 1 1

Desarrollo

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Eduardo Espinoza Ramos

134

b)

lim

jc -

1

D esarrollo

lim

—í- = lim — - = lim

x -* v \x —1

270

a)

jc —1

1

=

1

Ar-»r

b)

lim -t—>2" JC —2

c lim — _ 2 x-> 2 x ■

D esarrollo

a)

lim ——

x —>2 X — 2

X b)

lim *->2

JC-

2

C O N S T R U IR LA G R A FIC A D E LAS FU N C IO N ES 271

y = lim (eos2" jc) n —> 00

D esarrollo y - lim (eos2" jc) = lim (eos 2

Sí x * n, k = 0,±1 ,±2

Sí x = k ji,

c o s ' jc

jc)"

eos 2 x < 1 entonces y = lim (eos 2 .c)" /Í-»oo

= 1 entonces

y = lim (eos 2 ,c)n = 1 => y =

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O

y=O

Introducción al Análisis

272 Desarrollo Sí 0 < x <

1

=>

lim x n = 0 Luego: I,— »*»

Cuando x = 1 =>

y = lim

+1

« -* -1

Cuando x > 1 =>

1

Resumiendo

y=

2

y n-i o = lim — = -----+ x" n->“ _L + ] 0 + 1 xn

0 Desarrollo

y = lim \lx 2 + a 2 - y¡x2 + «->0

0

= |x |

=> y = x

y=—

x

y = lim

x si

=»

y = lim --------= —— 11— »=o1 + x" 1 + 0

y=|

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y=o

Eduardo Espinazo Ramos

136 274

lim a rctg(nx)

n—

Desarrollo Sí x < 0

lim a rctg (n x) - a rctg (-o °) = ---/i— »» 2

Sí x = 0 =>

lim a rctg (n x) = 0

Sí x > 0

lim a rc tg (n x ) - a r c t g (°°) = — n— 2

=>

;r

=> y = 0 t; |

y = lim yj\ + x n , (x > 0 ) Desarrollo Sí 0 < x < 1 =>

lim

fj—yao

1

< lim yjl + x" < lim n —>00

n —>«>

y = lim yjl + x"

Resumiendo:

2'

1 < 1 + x" < 2

0 < .v" < 1 =>

= 1

y=

2

"

=> y =

1 si 0 <

jc

1

<

1

x si X > 1

Convertir en ordinaria la siguiente función periódica mixta: Desarrollo

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a = 0.13555..

Introducción a l AAálisis

277

¿Qué ocurrirá con las raíces de la ecuación cuadrada a x 2 + bx + c = 0 . ■ coeficiente “a” tiende a cero y los coeficientes “b” y “c” son constantes, sie b*

0

? D esarrollo

2 , „ ~ h ± y]b2 - 4 a c ax + bx + c = 0 => x = --------------------2a

- b + yjb2 - 4 ac Para x. = --------------------2 a

=>

.. .. - b + 'Jb2 - 4 ac hm x. = lim ---------------------a->o a—to 2 a

( - b + y]b2 - 4ac )(b+ \fb 2 - 4a c ) b2-A a c -b 2 lim x, = lim --------------------- , = lim a_>0 «-*0 2a(b + yjb2 - 4 a c ) a^ ° 2a(b + \¡b2 - 4 a c ) 2 ac - lim a~,0 a(b. + 'Jb2 - 4 a c )

c b

Luego cuando a —> 0, jc, —> —— b

- b —^Jb2 - 4 ac Para x , = --------------------2a

=>

.. - b - y j b 2 - 4 ac hm x-, = hm o-> o o 2 a

(b + \ b 2 - 4 a c ) ( b - \ b 2 - 4 a c ) h m x , = - h m -----------------------------O_*o a-*> 2 a ( b - \lb 2 - 4 a c )

4ac c = hm = = = = = a-*) 2a(b+yjb2 -4 a c ) 0

Luego cuando a —» 0, x 2 —» 278

Hallar él limite del ángulo interno de un polígono regular de n lados sí n —>< Desarrollo

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138

Eduardo Espinoza Ramos La suma de los ángulos internos de un polígono regular de n lados es: S¡ = n (n - 2) S Como nos piden él limite de un ángulo interno cuando n —» °° es decir: i = — n . r t( n - 2 ) O sea: i = n

279

. 7 r(« -2 ) lim i = lim ------------= n ;»—>«» //— >°° n

Hallar él limite de los perímetros de los polinomios regulares de n lados inscritos en una circunferencia de radio R y de los circunscritos a su alrededor, sí n —> D esarrollo Para el caso de los polinomios inscritos se tiene:

IR n sen — .

4

Luego

n

lim IR n se n — para calcular este limite haremos n - — n— >“> n x

Luego cuando n —> , x —» 0 tenemos: _ . „ n 2R .. seim x Entonces: lint IR n se n — = lim -— sen n x = 2R n lin t = 2R n oo fl n-> ©o X— >«» 7TJC

Para el caso de los polinomios circunscritos se tiene: 2Rntg — n

Luego lim 2Rn tg — «-»•» «

haciendo n = —. n —» x

x —>0

lim 2/fn tg — = 2R lim —rg 7rx = 2 R n lim ,^ n x - iR n »->“ n x->°° X x -* 0 7 r x

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Introducción a l Análisis 280

Hallar él limite de la suma de las longitudes de las ordenadas de la c y = e~x e o s ® trazadas en los puntos x = 0 , 1 ,2 ,....n, sí n —> D esarrollo Para x = 0,l,2 ,...,n los valores de 1_ J b

’

e e

1_ 2 ’

e

3

J e

y - e

x e o s tdc son:

1_ 4 ’

e

5

Sea S„ = l - I + - L - i - + -L— L + ... + ( - 1) " - L + ... e e~ e e e e es la suma de una progresión geométrica.

Además Sn = — —— 1 - r _ Luego:

donde “a” es el primer termino y r es la razón.

fl(l - r" ) 1 S„ = ------------ donde r = — 1 - r e

S „ = — ---------- — r"-reemplazando se tiene: S - —i - -----í— l ~ r 1~ r 1 + 1 1 + 1 e

S = lim S n = - ! t — 0 = — n-> °° Desarrollo

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, ,3,...,n, con la condición

1 2

140

Eduardo Espinosa Ramos

El área de cada uno de los cuadrados son: 12— o2 3 — 4 — 5 — -4 2

_ 2 3 4 --- r iS„ —1 "i 1--- H 2

2

2

- n 2 " +

1

n -------2 " - 1

_ _ , 1 2 3 4 n, 5 —2 (— i— —H——4— - + . . . — ) 2 2 2 2 4 2 "

„ = 2

1. w(—) 2

J. lim 5„ = lim 2 « ( i ) n = 2(— 2— ) = 4 /!—»«> «— 2 1 ^2

_2 282

Hallar él limite, cuando n —> M q,

M

del perímetro de la línea quebrada

n inscrita en la espiral logarítmica r = e~(p si los vértices de esta

n quebrada tienen, respectivamente, los ángulos polares.

- e ~ ) = ~~e +- - ( l - 0 ) E

e2

EL - 1

n e2 - l

I,

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e2

- 1

Introducción a l Análisis

1

1 4.

INFINITÉSIMOS E INFINITOS.-

m)

IN F IN IT É S IM O S .- Si 0

lim a(jc) = 0 X—

es decir:

Si| oo O B SE R V A C IO N .-

La suma y el producto de

un número limitado

infinitésimo, cuando x —> a, es también un infinitésin cuando x —» a. Si a (x ) y p(x) son infinitésimos, cuando x —> a y lim

ct(jc)

= c donde c es

p (x ) núm ero distinto a cero las funciones a (x ) y (3(x) reciben el nombre infinitésimos de un mismo orden, si c =

0

, se dice que la función a (x ) es i

infinitésima de orden superior respecto a f)(x). La función a (x ) se denom GC(x) infinitésima de orden n respecto a la función B(x), sí: lim ----------- = c , dor [P(x)]n cx(x} 0 < | c | < +o°; Si lim —— = 1 las funciones a (x ) y P(x) se lian *->a p {x ) equivalentes cuando x

a: a (x ) ~ (3(x).

Él limite de la razón de dos infinitésimos no se altera, si los términos de misma se sustituyen por otros, cuyos valores respectivos sean equivalentes, acuerdo con este teorema, al hallar él limite de la fracción: lim — — , dor *->a P (x) a(x ) —> 0

y P(x) —> 0

cuando x —> a, el numerador y denominador de

fracción pueden restársele (o sumársele) infinitésimos de orden super elegidos de tal forma, que las cantidades resultantes sean equivalentes a anteriores.

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144 b)

Eduardo Espinoza Ram os\ IN FIN IT O S.-

Si para un número cualquiera N, tan grande como se desee existe tal

8

(N) se verifica la desigualdad | f(x) | > N.

La función f(x) recibe el nombre de infinito, cuando x —> a, análogamente f(x)| se determina como infinito cuando x

288

senx Demostrar que la función / O ) = -----x x

en infinitamente pequeña, cuandd

oo. ¿Para qué valores de x se cumple la desigualdad | f(x) | < £?

Si e es un número arbitrario? Hacer los cálculos para a)

£=

b)

0.1

£=

c)

0.01

£=

0.001

D esarrollo Por definición se tiene: Si

lim a ( x ) = 0 o x —>a

lim a (x ) = 0 a (x ) se 11;amj

x —>°°

infinitésimo. Es decir que debemos dem ostrar que lim —— = 0 , pero se conoce que: x

-1

< sen x <

1

senx ■ :=> — < < — y además sabemos que: X X X

lim - —< lim - ---- < lim — => x

lim

senx JC

x —>°°

>°°

x

= 0 ==>

/(

jc)

=

0

< lim SenX < 0

X

senx

x —>°°

de donde:

x

, es infinitamente pequeña. Veremos los valon

JC

de x para que | f(x) | < e com o /

( jc) =

senx ----------- =»

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JC

|

senx 1

X

1 i < | —1 < £ de dom

X

Introducción a l Análisis

289

=$

a)

para e =

0.1

b)

para e =

0.01

c)

para e =

0.001

|x |>

10

=> | x | >

100

=> | x | >

1000

Dem ostrar que la función f ( x ) - \ - x 2 , es infinitamente pequeña cuai x —> 1, ¿Para qué valores de x se cumple la desigualdad | f(x) | < e. Si e es un número positivo arbitrario?. Hacer los cálculos numéricos para: a)

e=

b)

0.1

e=

c)

0.01

6

=

0.001

D esarrollo Para que f(x) sea infinitamente pequeña cuando x —> 1 se debe de demosl lim f ( x ) = lim (l - x 2 ) =

que: es decir

X —>1

=> f(x) es infinitamente peque

0

X —>1

determinaremos los valores de x para que se cumpla |f(x)| < e |/ ( x ) | = | l - x 2 | = | l - x | | l + x |< e |x— 1 1 |x + l| < e pero | jc —1 1 <

290

£ |x + l |

de donde | x

- 1 1

£ < —, puesto que x 2

a)

para e = 0.1

=> | x —1 | < 0.05

b)

para e = 0.01 => | x —1 | < 0.005

Demostrar que la función / ( * ) = — — es infinitamente grande cuando x —» x -2 ¿En qué entorno |x - 2| <

8

se verifica la desigualdad |f(x)| > N.

Si N es un número positivo arbitrar; >? Hallar 8 , sí

a)

N = 10

b)

N =100

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c)

N =100i

Eduardo Espinoza Ran

146 Desarrollo Se procede en forma similar a los casos anteriores.

Luego: |/ ( x ) |> ./ V

a)

Sí N = 10

=>

=*

|— | > ./V => | x - 2 | < -[- =

c)

Sí N = 1000 =*

5 = — = 0.01 100

8 = - i - = 0.001 1000

D eterminar el orden infinitesimal: a)

De la superficie de una esfera.

b)

Del volumen de la misma, si su radio r es un infinitésimo de la Ira o r d í ¿Cuál es el orden infinitesimal del radio y del volumen, respecto al áre aj esta esfera? Desarrollo

Se conoce que: si y es infinitesimal de orden “n” se escribe y = knx" + (¡>(x^ y

de donde — = k n . Luego “n” es el orden infinitesimal. xn a)

Superficie de la esfera y = 4 n r2 , x = r 4 n r_2

2

-4 n

=> — =

1

=> r 2 = r n

Luego n = 2, la superficie es de segundo orden respecto al radio.

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Introducción a l Análisis

b)

47rr

4 r — = —K => — = 3r" 3 rn

Volumen de la esfera:

1

=>

3

r =>

de donde n = 3, el volumen de la esfera es de tercer orden respe radio. Además tenemos que: 0

a"

2

2

>0 de donde

a a a sen — = —

2

b)

n=

a =a

2

an

En la figura se observa que: CD = R( 1- J 1- sen2 y ) de donde

R(\-

V

1

1 1 - sen —) t ----------------9 1 4 n" = K(— + 4 .. a a" L ■>a 1- s e n — 2

11

- sen

2a 2 _ 1 +

a

sen

a"

1

1

4

a”

, -se n 2 — a . . 2_ = ¿ _ J _ an 4 an

1

[ Ta jl-s e n -

2a

a"

2 =— 1 pero s e n a —> 0n — 4 2a « » .y

=>

se n a 2

,a 2 _

|

Por lo tanto: a c)

1

2

a"

4a”

Área del AABC = AB.CD = 2/?2sen — 2

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4

n

> 0

A

A í a ^ a de Adonde sen(—) =— . 2 2

Introducción a l Análisis

«■

.2

( l - J l - s e n —) Entonces:

2R 2sen — ( l ~ .

2

V

2R ¿

a

a , 11 sen —( 2

8(1 +

i + sen 2 —) «> . 2 _1 cr

293

2

_

1 8

2

,

3

8a

2

a"

a a seni— ) = —

además a —» 0

sen3 — —a"

Sen

- 1

'1

=>

a 3= a"

=> n = 3

8

Determinar el orden infinitesimal respecto a x„ cuando x -+0, de las funcic siguientes:

a)

d)

2

x

l+ x 1

- eos x

b)

J x + \fx

e)

tg x. sen x

c)

yfx2 —yfx'

D esarrollo 2 x i |

a)

Sea f ( x ) = — — de donde se tiene que: 1 + jc

cuando x

—» 0

=* x +

1

2x —> 1 entonces — =

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= — -------= 2 (l + x )x n

xn

2

=>

xn =x

=> n -

150

Eduardo Espinoza Ramos

b)

Sea

/ (jc ) =

de donde se tiene que:

yjx+ yfx

\jy](x + yfx)2 yjx(x + l + 2yfx) —------------------ = —— ———--------= 1 cuando Xxn 4r iíx , n i1 1 entonces — = 1 => x = x 4 => n - — xn • 4 c)

r~

x + \ + 2y/x

/ (x) = yfx2 -y fx * de donde se tiene que: 2

3

2

X3 - X 2 _J

cuando x

d)

x —» 0 ,

5

JC3 ( l - J C 6 ) _ j

0

,

1

- x 6 -»

1

X3 — =

entonces

2

n =—

=>

1

-S-en- - = 1

f(x) = 1 - eos x de donde se tiene: -—C° SA = -—^

r — yjl —s e n x ~

, ademas

\-s e n

2

x

l ~ l + se«2x

=>

=

1

x 2 cuando x —> 0 se tiene se n 2x —* x 2 => — = e)

f(x) = tg x - sen x de donde se tiene: t g x - s e n x _ se n x ^1 -

yfí

- s e n 2x

^

eos x cuando x —» 0

=>

y ¡ l - s e n 2x ~ 1- s e n 'x

1 g x ( \ - \ + s e n 2x ) _ t g x ( s e n 2x ) _ jc "

jc "

sen * x jc "

eos x

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_

1

=> n =

2

—> 1

Introducción a l Análisis

cuando x —»0, sen x —» x, eos x —> 1

294

x3 — =1

n=3

Dem ostrar que la longitud de un arco infinitesimal de una circunferenc radio constante, es equivalente a la longitud de la cuerda que tensa. D esarrollo

Se debe de considerar a (x ) = lrngitud del arco infinitesimal y (3(x) = Ion de la cuerda tensa; para que a (x ) y P(x) sean equivalentes se debe proba a (x) , . ,, lim = 1 y esto es inmediato. j;-*a P (x) 295

Son

equivalentes

un

segmento

infinitésimo

y

la

semi circunfei

infinitésima construida sobre el como diámetro? D esarrollo _ oc(x) • nd k n Se conoce que lim = 1 entonces lim = lim — = — x—>a P(x') J-+0 2d d— *o 2 2 Como | ¿ 1 => no son equivalente.

... 296

sen3x.sen5x lim — jr~ > 0 ( x - X 3)2 D esarrollo sen3x.se/i5x senx.sen5x 3sen3x 5sen5x lim ----------——- = lim = lim . = 3(1) .5(1) = 15 *->o ( x - x 3)2 x 2) ^->o 3.v 5x

arcsen(,—f J L = ) 297

limx-*o

il-x 2 ln(l - x)

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Eduardo Espinoza Ramos

152 D esarrollo arcsen(—¡=?==) lim ------£ 3 *-»0 ll'l(l - x)

298

lim

. = un, JE-*0 - X

Como ln x = x

y

= ijm ------ = iim _x^ _ x2

= _j .t->0

_ ^2

1 - x = -x

Jt—> 11 - X

D esarrollo hm

Inx

•*->11 — X

299

x = lim — =

- 1

Jt—>i —x

c o sx -c o s2 x lim -----------------X~*0 1 - c o s x D esarrollo c o s x - c o s 2 x ,, eos x - e o s 2 x + s e n 2x lim — — — — = lim *-»o 1 - c o s x *->o 1 -c o sx

-

,.¡imeos x(l - ---------------------------------------------------------------------eos x) + ( 1 - eos x)(l + eos x)

x—>0

1

- eos x

= lim (cos x +1 + eos x) = 3 . *- >0

300

Demostrar que cuando x —>0, las magnitudes — y -v /í+ x -1 son equivalentes, entre sí, empleando este resultado, mostrar que, cuando | x | es pequeño, se verifica la igualdad aproximada >/l + x = 1+ — (1). Aplicando la formula (1) hallar aproximadamente: a)

VTOÓ

b)

V 097

c)

D esarrollo

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VÍ 0

d)

VÍ 2 0

Introducción a l Análisis

Para que a ( x ) = ^

que:

lim —— = *->o ¡3(x)

y j3(x) = Vl + x

- 1

sean equivalentes se debe de prc

es decir: lim — — = —.lim * - * 0 Vl + x - l 2 *->o J \ + x

1

- 1

Luego a (x ) y (i(x) son equivalente es decir: a (x ) - P(x) de donde:

2

301

~ \¡\ + x - l

y —+ 1 ~ \IT + x

es decir

2

= 1 + 0.03

Vl + x ~ 1 + —

2

a)

V l 06 = >/l + 0 .6 =1 + — 2

b)

V o97 = V i-0 .0 3 = 1 +

c)

VÍO = V Í+ 9 = ^9(1 + i ) = 3^1 + i = 3(1 + 0.556) = 3.167

=

>

=>

Vl 06 = Vi + 0.6 = 1.03

Vo!97 =1.0296

Demostrar que, cuando x —» 0, se verifican las igualdades aproxima siguiente, con precisión hasta los términos de orden x 2 . 1

Va + x

= a + — , (a > 0 ) 2a

a)

------» 1 —x 1 + x

c)

(1

d)

log (1 + x) ~ Mx, donde M = log e = 0.4342944 partiendo de e:

b)

+ x ) ” » 1 + nx (n, es un # natural)

fórmulas calcular aproximadamente. )

— 1— 1 - 0 .2

-2 ) . 1

5)

1.04 3

6

1

3)

0.97

)

0.93

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— 105

7)

lo g (l.l)

4)

Vlí

Eduardo Espinoza Ramos

154 D esarrollo

1

se debe probar que : lim i ü = .t-»o 1- x

Para demostrar que — - ==1 - x 1+ x

0

1

Luego:

1 1 y

1

hm ------ = lim *->o 1 - x *->o i _ x

=1

En forma similar con los demás ejercicios. 302 .

Demostrar

que,

cuando

la

p (x ) = a 0x n + a lx n^ + a 2x n ' 2 + ... + a n

función

(a 0 *

0

)

racional

es

una

entera magnitud

infinitésimo, equivalente al término superior a 0x n . D esarrollo Para que sea equivalente se debe probar que:

lim

= 1 , es decir: a0x n

a nx " + a , x n~[ + a -}x " ~ 2 + ... + a n

lim -9 -------- !---------- 1--------------- -2.= *->°° a0x n = lim(l+-^-+— O o*

+

a 0x -

) = 1 + 0 + 0 + ... + 0 = 1

a 0x n

Luego P(x) y a 0x" son equivalentes. 303

Supongamos que x —x °° tomando a x como magnitud infinito de 1er o rd en j determinar el orden de crecimiento de las funciones: a)

* 2

-

1 0 0 * - 1 0 0 0

b)

c) x+ 2

d)

\jx-2x2 Desarrollo

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yfx + 7

x

Introducción al Análisis De acuerdo al ejercicio 293 se tiene que: a)

el orden de crecimiento 2 .

b)

el orden de crecim iento< ■

c)

el orden de crecimiento — 2

d)

el orden de crecimiento

1.5.

CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES.-

le ra .

D E F IN IC IÓ N D E C O N TIN U ID A D .-

La función f(x) es contim x - x 0 (o en el punto jc0 ) sí:

1

Dicha función está determinada en el punto x 0 es decir que existe /

2

Existe y es finito él limite lim f ( x ) x-yxn

3

Este limite es igual al valor de la función en el punto l i m / ( x ) = / ( x 0)

jc0 ,

es

... ( 1 ) haciendo la sustitución ;t = ;to + A x 0 d

A.v0 —> 0 , se puede escribir la condición (1) de la siguiente forma: lim A f( x ) = lim [ / ( x 0 + A x 0 ) - / ( x 0 )] = 0 Aa'q—>0 —>0 Si la función es continua en cada uno de los puntos de un campo determii se dice que es continua en este campo. 2do.

PU N TO S D E D ISC O N TIN U ID A D DE UNA FU N C IÓ N .Si dice que una función f(x) es discontinua en punto x 0 , que pertenei campo de existencia de la función f(x) tiene finitos: lim f ( x ) = f ( x 0 x—>.xr0— 0

0

) y

lim / ( * ) = f ( x 0 + 0 ) •jc— >jco-e0

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156

Eduardo Espinoza Ramos Pero los tres puntos f ( x 0 ) , / ( ; t 0 - 0 ) y / ( x0 + 0) son iguales entre sí, entonces x ü recibe el nombre de discontinuidad de Ira. Especie. En particular, si / ( x 0 -

0

) = f ( x 0 + 0 ) , x 0 se llama punto discontinuidad evitable para que

la función f(x) sea continua en el punto x 0 , es necesario y suficiente que: f ( x 0) = f ( x o 304

Demostrar que la función

0

)= f(x0 + 0)

y =x2

es continua para cualquier valor del

argumento x. Desarrollo y = f(x) =x 2

i)

f(x) está definida para todo x e R

ii)

3 lim f ( x ) = x?¡ x->.x0

iii)

lim f ( x ) = f ( x 0) = Xq luego / ( x ) = x 2 es continua en todo valor del argumento x.

305

Demostrar que la función racional entera p( x ) = a 0x" + a 1 x"~I + ... + a n es continua para cualquier valor de x. Desarrollo

i)

P(x) está definida V x e R

ii)

3 lim p ( jc)= lim a 0x" + a lx n~l + ... + an x—*x0 X-*X0

iii)

lim p ( x ) = p ( x 0 ) = a 0XQ + a ,.rS _ 1 + ... + «„

Luego p ( x ) = a 0x n + a lx n~l + ... + «„ es continua para cualquier valor de x.

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Introducción al Análisis '06

Demostrar que la función racional fraccionaria. afíx " + a .x n '+ ... + a„ R( x) = ------------!---------------- —. l .i, 1 . b0x +bxx + - +. blm

Es continua para todos los valores dt

excepción de aquellos que anulan el denominador. Desarrollo i)

R(x) está definida para todo x e R, a excepción de aquellos valore anulan a b0 x m + btx m~l + ... + bn = 0

¡i)

¡ii)

anx n + a ,x n l +... + a„ a,y\n + a ,xñ 1 +... + a„ = - O ------ O ----------------¡ l 3 lim R(x) = lim-- 2 ---------- !-----*-*>V " +bix m l +... + bm b0x £ +b¡X™ x+... + bm n- 1 ■+ Q|—- ■ + V o + ¿ l* 0 + -" + fem

lim R(x) = ^

luego R(x) es continua a excepción de aquellos valores de x que anuí denominador. 307

Demostrar que la función y = yfx es continua para x > 0. Desarrollo i)

y = / ( x ) = Vjc está definida para x >

ii)

3 lim / ( jc) = J x f ■X-Mfe

iii)

308

lim

/ (jc ) =

/ ( j^ ) =

donde

jc0 6

0

[0 ,+°° >

yfxff =* y =

/ (jc )

= yfx es continua V x e [0,+c

Demostrar que la función f(x) es continua y no negativo en el intervalo (a,l función / ( jc) = y j f ( x ) también es continua en este intervalo. Desarrollo

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Eduardo Espinoza Ramos

158

•)

/(-*) = \ J f ( x ) está definida que: f(x)

ii)

lim f ( x ) = I lim f ( x ) = y j f ( x 0)

¡ii)

309

> 0

V x e (a,b)

lint f ( x ) = / ( ^ ) = J f ( x 0) => f ( x ) = y j f ( x ) es continua V x e (a,b)

Demostrar que la función y = eos x es continua para cualquier valor de x. Desarrollo a) f(x) = eos x está definida para:

b)

| eos x | < 1, - oo < x < °°

lim f ( x ) = f ( x 0) = J f ( x 0 ) = lim x—

= lim A i-> 0

sen(X + 2

2

Ax sen — j + Av — .sen(— )A x = (-1) sen x (0) = 0 x 2 2

Luego y = eos x es continua en 310

- 2

Ax —>0

0

tg x es continua en x * h ± —

b)

co s(x

senAx _q + Ax) eos X

donde h = 0 , ± 1 , ± 2 ,...

ctg x es discontinua en donde ctg x = °° como ctgx =

eos x senx

= oo

sen x =

0

pero sen x = 0 . x = hrc, h e Z lim A.ctgx = lim (ctg(x + A x ) - ctgx) = 0 A*—>0

Ax—>0

entonces ctg x es continua en donde x * hit, h e Z 311

Demostrar que la función y = | x | es continua, construir la gráfica de función. D esarrollo y = |* | =

x si jc > -x

si x

0

< 0

Para que sea continua debe cumplirse: i)

y = | x | está definida en x =

ii)

3 lim | x | para esto se tiene lim | x | = lim | x | = 0

0

x -tO

x —>0

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=> lim 3 1 x \ x —>0

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160 iii)

lim | x | = /(O ) jc—>0

=>

0=0

Por lo tanto es continua V x e R 312

Demostrar que la magnitud absoluta de una función continua es también una función continua. D esarrollo Sea f(x) = | f(x) | está definida para todo f(x) y por ser f(x) continua, está también definida para todo x. Af(x) = | f(x) + Af(x) | - | f(x) | Af ( x ) = J ( f ( x ) + A /( x ))2 - y j f ( x )2

lim Af ( x ) = Af(x)—*0

yJ(f (x) + A f ( x ))2 - y ¡ f ( x )2

lim 0

lim 4 f ( * ) [ 2 /( * ) + A /(x)l &f(x)-*o 2f ( x ) + A f ( x ) x~ - 4 313

Una función está dada por la formula / (x) =

, cuando x # 2 x -2 A , cuando x = 2

¿Cómo debe elegirse el valor de al función A = f(2), para que la función f(x), completado de está form a sea continua cuando x = 2? Construir la gráfica de la función y = f(x). D esarrollo A = f ( 2) = lim

x 2- 4

x->2 X — 2

= lim (x + 2 ) = 4 x -» 2

Luego A = f(2) = 4 es com o debe de elegirse para que sea continua.

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Introducción a l Análisis

Luego / U ) =

-— x-2 4

x

f* + 2 , x de donde f ( x ) = \

# 2

, X= 2

* 2

* “ ' X= 2

Su gráfico es:

314

El segundo de la igualdad

/ ( x ) = l - x s e n — carece de sentido cuando x x

¿Cómo elegir el valor de f(0) para que la función f(x) sea continua en punto?. D esarrollo Para esto tomamos él limite de f(x) cuando x / ( 0 ) = lim (l - xsen —) j: - » 0 x

—1

—0 =

0

1

Luego elegiremos a f(0) de la siguiente manera: f(0) = 1. Es decir:

1

/(* ) =

315

- x s e n — para x * x 1 para x =

La función / (x) = arctg

0

0

x -2

carece de sentido cuando

x = 2, ¿Pu

elegirse el valor de f( 2 ) de tal forma que la función completada sea contir cuando x = 2 ?

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Eduardo Espinoza Ramos

162 Desarrollo ( 2 ) = lim a r c t g — í— *-»2 jc - 2 continua. /

316

3

; luego no se puede elegir f( 2 ) de tal manera que sea

La función f(x) es indeterminada en el punto x = 0. Determinar f(0) de tal forma que f(x) sea continua en este punto, sí:

a)

(n es un # natural).

/ (jc ) =

Desarrollo

/ ( 0 ) = lim ^ + x->0

r/nV

— I

JC

a + JC)"-l

sea

1

+ x = a , x = a - 1 , cuando x —> 1 ; a —> 1

a"-l

/(O ) = lim ---------------= lim ---------= x-» 0 jc a->i a —1

n

= lim ( a n '"1 + a " 2 + ... + 1 ) = 1 + 1 + ... + 1 = rt a-> 1

Luego /(O ) = lim /( jc ) = lim x~*0

b)

CCn — 1

=n

a -» ! a - 1

1 —eos X f(x) =x2

Desarrollo / ( 0 ) = lim

/ (jc )

= lim

1 -C O S J C

— = lim

1 - c o s 2 jc

sen x 1 1 1 = lim — — .(------------) = (1).(— ) = *->0 jc 1 + eos jc 1 + 1 2

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Introducción al Análisis En forma similar para: i-

r,

v

,•

l n ( l + j c ) — l n ( l — j c)

„

c)

/ ( 0 ) = l i m / ( jc) = I n r i ----------------------------------- = 2 A — >0 A ~ » (l JC

d)

/(O ) = lim / ( x) = lim ------x —>0'

e)

/(O ) = lim *-»0

a —>0

/(jc )

■=

2

JC

= lim A^íen —= O >0 A'

/(O ) = lim x ctgx = 1

f)

*-♦0

A V E R IG U A R SI SON C O N TIN U A S LAS SIG U IE N T E S FUNCIONE!

317

y=

x -2 D esarrollo

La función y = ------ es continua en todo R, menos en x = 2, es decir que x -2 x=

318

es discontinua de 2 da especie.

2

1

y=-

+A

1+ A

Desarrollo

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Eduardo Espinoza Ramos

164

y=-

+x

1 1

+ x)(l - x + x )

(1

\+ x

+x

y =1-

jc

, de donde para x

^ - 1

+ x 2 , luego la función tiene una discontinuidad en x =

-1

evitable.

Su gráfica es:

319

yJ l + X - 3 y= JC2

-4 D esarrollo

v 7 + x —3

(-n/V + x —3)(>/7 + x + 3)

l + x —9

x2 - 4

( x2 - 4 )(y ¡ l + jc + 3)

U 2 -4 )(V 7 + x + 3 )

y= -

x -2

1

(x - 2)(x + 2 )(\ll + x + 3)

(x + 2)(V7 + x + 3)

para x *

± 2

Luego en x = -2 es un punto de discontinuidad segúri especie y en x = 2, es un punto de discontinuidad evitable. 320

y=

M Desarrollo

wt t

Sí x > 0 x<

0

|x |= x

y=

| x | = -x => y =

1

-1

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Introducción a l Análisis Luego la función en el punto

x = 0

tiene una discontinuidad de pri

especie. 321

y = sen — x Desarrollo La función

y = sen — cárece de sentido cuando x n lim sen — 3 x-+0 x

discontinuidad de 2da especie, puesto que

322

x = 0, pero es

y=- X sen x D esarrollo La función en x -- 0 carece de sentido, pero es una discontinuidad evit puesto que:

X

1

y( 0 ) = lim --------= lim ------- = *-»o sen x j(-í0 senx x

1

Además en x = krr (k = ±1, ±2,...) son puntos discontinuidad infinita. 323

y = ln(cos x) Desarrollo Para que la función y = in(cos x) esté definida debe cumplirse que eos x Luego quitaremos los puntos donde eos x = 0, y además eos x < 0, es dei x = 2 k n ± — (k = 0, ±1, ±2,...). Luego los puntos de discontinuidad son:

2

x = 2k n ± -

2

324

(k = 0 , ± 1 , ± 2 ,...)

y = ln(/g Desarrollo

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Eduardo Espinoza Ramos

166 En forma similar el

ejercicio

323

se

obtiene

que

los

puntos de

discontinuidades x = kn (k = 0 , ± 1 ,...) (infinita). 325

1 y = arctg — x

Desarrollo La función y = arctg— carece de sentido cuando x - 0, luego la función es x discontinua en x = 0 , de la especie. 326

y = (1 + x).arctg (------- ) l-x Desarrollo La función tiene en x = -1 un punto de discontinuidad evitable y en x = 1 es un punto de discontinuidad de segunda especie.

327

i y = ex+1 Desarrollo La función en x = -1 carece de sentido, luego en x = -1 es un punto de discontinuidad de segunda especie. i

328

y =e Desarrollo La función en x = 0 carece de sentido, luego la función en el punto x = 0 tiene una discontinuidad evitable.

329

1

i l + e ]~x Desarrollo

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Introducción al Análisis La función en el punto x = 1 carece de sentido, en este caso es un punt discontinuidad de primera especie, es decir que / (jr0 -

0

) y f ( x 0 + 0 ),

diferentes.

330

X

y =

. Construir la gráfica de esta función

2 jc+ 1 , * > 3

D esarrollo

4

X

Sí x < 3 => y ~ x 1 x>3 331

=> y = 2 x + l

Demostrar que

la

irracional e igual a

función 1

de

Dirichlet X(x), que es igual a cero >

cuando x es racional, es discontinua para cada uno de

valores de x. D esarrollo

Í0, x e I X (x) = ( . Supongamos que es continua; luego [1, x e Q V e > 0,

8

> 0 tal que 0 < | x —a | < 5 = > | f(x) - L | < e

tomamos x, e / (Irracional), x, e < 0 - 5 , a + 5 > =>

| f(x )- L | < e

=> 10 —L | < e => | L | < e

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=> L = 0

Eduardo Espinoza Ramos

168 además como x 2 e Q y x 2 e < a - S, a + 8 > =>

| f(x) - L | < e

=> 11 - L | < e => 1 - L = 0 es discontinua.

Luego L = 1. Llegamos a una contradicción.

A V E R IG U A R SI SON CO N TIN U A S Y C O N ST R U IR LA G R A FIC A DE LAS SIG U IE N T E S FU N C IO N E S

332

y = lim (x > 0) n-*~ ] + x " D esarrollo

Luego lim

=0 1

333

+ xn

y = lim (xarctg nx) D esarrollo y

-

lim (xarctg nx) = x a r c l g ( ° ° ) =

n—

nx 2

Como y = — la función es continua en todo x.

2

334

a)

y = sig(x)

b)

y = x Sig(x)

c)

y = Sig(sen x) 1

donde la función Sig.x se determina por la formula:

s ig (x )-

0

, x>

- 1, Desarrollo

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0

, x =0 * < 0

Introducción al Análisis

Y 1

<

0

X >-1

La función en x = O es un punto de discontinuidad de la primera espt

335

a)

y = x - E(x)

b)

y = x E(x), donde E(x) es la parte entera del número x. D esarrollo

Sí x e [0, l>

=> E(x) = 0

=> y = x

xe[l,2>

=> E(x) = 1

=> y = x - l

x e [2,3>

=> H(x) =

=> y = x -

x e [-1,0>

=> E(x) = -1 => y = x + 1

2

2

x e [-2,-2> => E(x) = 2 => y = x + 2 E(x) = k, k e Z, son puntos de discontinuidad de la primera especie.

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170

Eduardo Espinoza Ramos

336

Dar un ejemplo que demuestre que la suma de dos funciones discontinuas puede ser una función continua. D esarrollo

Consideremos las funciones / ( a ) =

a2 - 9

, .

a —3

a2 -4 a + 3

que están án

a-3

definidas en x = 3. x2-9 x -4 a + 3 Pero si sumamos: / ( a ) + g (x ) = ---------+ a —3 a-3

t,

, ,

,

,

f ( x ) + g( x) =

( a - 3 ) ( a + 3)

— (a - 3 )

+

( a —1 )( a —3 )

a- 3

,

= ( a —3)(

x + 3 + a - 1

a- 3

) = 2a + 2

f(x)+g(x)=2x+ 2 está definida V x, por lo tanto (f+g)(x) es continua V xeftl 237

Sea a una fracción propia positiva que tiende a cero (0 < a < 1) ¿se puede i

poner en Ja igualdad E(1 + a ) = E(1 - a ) + 1, que se verifica para todos los valores de a , él limite de la cantidad a ? D esarrollo E(1 + a ) = E(1 - a ) + 1 donde E(1 + a ) = E(x) donde x = 1, lim a = 0 a -* 0 entonces reemplazando: lim a , por el valor de a . a->o

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Introducción a l Análisis lim £ ( 1 + a ) = lim E ( 1 - a ) + 1 = a->0 a~>0

£ ( 1

-

0

)+

= £ (1) +

1

1

=

1 + 1

=

2

Luego £(1) * lim £(1) entonces E(x) es discontinua en x = 1 en el inter a-*0 [ 1 ,2 > entonces no se puede reemplazar a por lim a a-» 0 338

Demostrar que la ecuación a 3 - 3 a + 1= 0 tienen una raíz real en el inter (1,2). Calcular aproximadamente esta raíz. D esarrollo Por fórmula de Cardano se tiene:

4-'4

w

además x 3 + px +

Luego: 339

a

X = A + B, donde

+(!> 2 y 1=0

de donde

a3

-

3a +

1 = 0 , reemplazando se tiene

e (1,2)

=

Demostrar que cualquier polinomio p(x) de grado impar tiene por lo menos i raíz real. D esarrollo Si n = 1 => p (x ) =

a 0x

+

a,

= 0 , aa ¿ 0

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=>

a

a. =— «o

e sra íz d e P (x )

Eduardo Espinoza Ramos

172

Si n > 3 rx = a + i(3 , ( 3 ^ 0 es una raíz de p(x) =>

r2 - iP también es raíz

de p(x). Luego por el teorema del factor se tiene. p ( x ) = ( x - r,)(jc —r2) ,

R(x) = ( x 2 - 2 a x + P 1 + a 2 )

R(x) donde

grado

de R(x) = n - 2 > 1 siendo n - 2 impar. Por ser n impar. si razonamos por inducir opinamos de que R(x) tiene una raíz real y que también es raíz de P(x). 340

Demostrar que la ecuación tag x = x tiene una infinidad de raíces reales. D esarrollo Si: x e [0,1 > x e [ l,2 >

E(x) = 0 => y = x => E(x) = 1 => y = x - l

x e [2,3> => E(x) = 2 x e [ - l,0 > = >

E(x) = -1

y=x- 2 => y = x + l

x e [-2,-l> => E(x) = -2- => y = x + 2

E(x) = k, k e Z, son puntos de discontinuidad de primera especie.

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Diferenciación de Funciones

CAPITULO II

DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES 1 , 2.1.

CÁLCULO DIRECTO D E DERIVADAS.a)

IN C R E M E N T O D EL A R G U M E N T O E IN C R E M E N T O DE FU N C IÓ N .Si x, y x 2 son valores de x, mientras que

los correspondientes valores de la función

y

llama

el

Ay =

incremento y2 - y

llama

i

O

del sea

incremento

argumento

e y2

y, = / ( a , )

x en

=

f ( x 2)

= f(x), Ax = x 2 - x segmento

[ x ,, x 2

Ax = / ( x 2 ) - / ( x , ) = / ( x , + A v ) - / ( x , ) de

la función

y

= f(x) en el mismo segn

Ay [x ,, x 2 ]. (En la figura donde Ax = MA y Ay = AN) la razón — = representa el coeficiente angular de la secante MN de la gráfica c función

y = f(x)

y se llama velocidad media de la función y. e

segmento [ x ,, x, + A x ].

X

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Eduardo Espinoza Ramos

174

b)

D ERIV A D A .-

dy Derivada y ' - — de la función y = f(x) con respecto dx Av al argumento x se llama él limite de la razón ——, Ax Av . . . . y ' = lim — si dicho limite existe. v->o Ax

cuando Ax tiende a cero, es decir:

La derivada y' = f ' ( x ) representa la velocidad de variación de la función en el punto x. c)

DERIV A D A S L A T E R A L E S.,lm / < * + * » ) - / ( * > A*-»-0 Ax

Las expresiones fU x ).

y

lim Aí-^+0

Av

Se llama derivadas a la izquierda y derecha respectivamente de la función f(x) en el punto x. Para que exista f ' ( x ) es necesario y suficiente que /_/ (x) = f l ( x ) . d)

D ERIV A D A IN FIN IT A .-

jr Si en un punto deteiminado tenemos que / ( x + Ax) - f ( x ) lim ---------------------- = Ar—>-*-0 AV

se dice que

la función continua f(x) tiene derivada infinita en el punto x. 341

Hallar el incremento de la función

y - x 2 , correspondiente al paso del]

argumento. a)

de x =

c)

dex = l a x | = l + h

1

a x, = 2

b)

D esarrollo a)

Ay = f(x + Ax) - f(x) donde y = / ( x ) = x 2

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de x,

= 1

a x2 =

1-1

Diferenciación de Funciones además Ax = X( - x = 2 - 1 = 1 => Ax = 1

f ( x | + Ax) = /( x , + 1) = (jc, +1)2 / ( x + Ax) = (x + Ax) , reemplazando se tiene: /(I + l) - /( 2 ) = 22 = 4 y f(l)= l Ay = f(l + 1) - f ( l) = f(2) - f( l) = 4 - 1 = 3 . b)

Luego Ay = 3

Ay = / (x, + Ax) - / ( x , ) donde Ax = 1.1 - 1 = 0.1 Ay = f(l + 0.1) - f ( l) = f ( l .l ) - f(l) Ay = ( l . l ) 2 —1 = 1.21 —1 -0 .2 1

.'42

Hallar Ay para la función y = $[x sí: a)

x = 0. Ax = 0.001

c)

x = a, Ax = h

b)

x = 8 , Ax = -9

D esarrollo a)

Ay = f(x + Ax) - f(x) Ay = / ( 0 + 0 .0 0 1 )- / ( 0 ) = f (0.001) = 3/0.001 = 0.1. Luego Ay = 0.1

b) Ay = f( 8 - 9) - f( 8 ) = f(-l) - f( 8 ). Luego Ay = - 1 - 2 = -3 343

¿Por qué para la función y = 2x + 3, se puede determinar el incremento , conociendo solamente que el incremento correspondiente es Ax = 5, mient que para la función y = x 2 no puede hacerse lo mismo? D esarrollo

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176

Eduardo Espinoza Ramos Ay = f(x + 5) - f(x) donde f(x) = 2x + 3 f(x + 5) = 2(x + 5) + 3 = 2x + 13 por lo tanto f(x) = 2x + 3, luego: Ay = f(x + 5) - f(x) = (2x + 13) - (2x + 3) = 10 y mientras que para la función y = x 2 se tiene: Ay = f ( x + 5 ) - f ( x ) = (x + 5) 2 - x 2

Ay = f(x + Ax) - f(x) => de donde se tiene:

Ay = -10x + 25

Av Hallar el incremento Ay y la razón — para las funciones: Ax

a)

b)

c)

y = —— — —, cuando x = 1 y Ax = 0.4 (x —2 ) y = y f x , cuando x

=

0 y Ax = 0.0001

y = log x, cuando x = 100,000 y Ax = -90,000 D esarrollo

a)

Ay = f(x + Ax) - f(x) =>

f(x ) =

Ay = f(l +0.4) - f(l) = f( 1.4) - f(l)

=> / a .4) =

= / ( 1-4) = t(l -4) 2 —2 ] 2

/(!) =

(-0 .4 ) 2

= 1 , reemplazando y efectuando tenemos: ( 1-

2)2

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0.16

Diferenciación de Funciones 21

21

Av 25 _ Ax 0.4

345

^5 21 ■= ------- , en forma similar para b) y c). 2 10

Av Hallar Ay, — , correspondiente a la variación del argumento desde x 1 Aa x + Ax, para las siguientes funciones:

a)

y = ax + b

b)

3

-

y =xi

1

y

c)

x d)

y -y fx

e)

y = 2*

f)

y = ln

D esarrollo a)

Ay = f(x + Ax) - f(x) Como f(x) = ax + b => f(x + Ax) = a(x + Ax) + b; Ay = f(x + Ax) - f(x) = ax + aAx + b - a x - b

=>

Av de donde se tiene: — = a Ax

Ay = a Ax, Ay — =a Ax

en forma similar para las demás funciones. 346

Hallar el coeficiente angular de la secante a la parábola

y =2 x -x

. Si

abscisas de los puntos de intersección son: a)

x¡ = 1 , x 2 = 2

b)

x¡ = 1 , x 2 - 0 . 9

c)

x, = 1, x 2 = 1 ■+

Hacia que el limite tiende el coeficiente angular de la secante en el ultimo c si h —» 0 ? Desarrollo

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Eduardo Espinoza Ram os

178 Ay Coeficiente angular de la secante = — Ax Ay = / ( ; c, + A x ) - f ( x {) donde Ax = x 2 ~ x \

Ay = f(l + 1) - f(l) donde Ax = 1 entonces: Ay = f(2) —f( 1) Como / ( * ) = 2 x - x 2 => f(2) = 4 - 4 = 0

yf( l) = 2 - 1 = 1

Luego Ay = f(2) —f(l) = 0 - 1 = -1 Ay 1 Coeficiente angular de la secante = — = — = -1 Ax 1

Ay — = -1 Ax

en forma similar para los demás. 347

¿Cual es la velocidad media de variación de la función y = x 3

en el

segmento 1 < x < 4? D esarrollo Ay La velocidad media de variación es = — Ax Ay = f(x + Ax) - f(x), donde Ax = 4 - 1 = 3 como / ( x ) = x 3 => f(l + 3 ) = f(4) = 64 y f ( l ) = l Ay = f(4) - f(l) = 64 - 1 = 63 reemplazando se tiene:

348

— = — = 21 Ax 3

La ley del movimiento de un punto es S - 2 t 2 + 3t + 5 donde la distancia se daj en centímetros y el tiempo t en segundos. ¿A que será igual la velocidad medial de este punto durante el intervalo de tiempo comprendido entre t = 1 y t = 5? i Desarrollo

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Diferenciación de Funciones AS La velocidad media = — At AS = S(t + At) - S(t) y At = t 2 - t ¡ es decir At = 5 - 1 = 4 => At = 4 AS = S(1 + 4) - S (l) = S(5) - S ( l ) = 70 - 10 = 60 . Luego:

349

A5 60 , cm — = — = 15— Al 4 seg

Hallar la pendiente de la curva y = 2 X en el segmento 1 < x < 5 D esarrollo Pendiente media de la curva = — Ax Ay = f(x + Ax) - f(x), donde Ax = 5 - 1 = 4 Ay = / ( I + 4 ) - / ( 1 ) = / ( 5 ) - / ( 1 ) = 2 5 - 2 = 2 ( 2

4

-

1

)

2(2 4 - l ) 24 - 1 15 pendiente media de la curva = ------------= = — = 7.5 4 2 2 350

Hallar la pendiente media de la curva y = f(x) en el segmento fx, x + Ax] Desarrollo Ay Pendiente media de la curva = — donde Ay = f(x + Ax) - f(x) Ax i i.• . , / ( x + A x )-/(x ) Luego pendiente media de la curva = ----Ax

351

¿Qué se entiende por pendiente de la curva y = f(x) en un punto dado x? Desarrollo

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Eduardo Espinoza Ramos

180

Se entiende por pendiente de la curva y = f(x) en un punto dado x ai limite de la pendiente media de la curva Ax —> 0, el cual denotaremos por /'( jc ) , es j ■ decir:

352

Definir:

ív , ,f(x + A x ) - f ( x ) f (x) = l i m ------------— — Av-»o Ax a)

La velocidad media de rotación.

b)

La velocidad instantánea de rotación. D esarrollo

Sea (p(t) la magnitud del ángulo de rotación en el instante t.

a)

La velocidad media de rotación

b)

La velocidad instantánea de rotación = l i m

At

a /-> o

353

A(p(t) Ai

3 o

At

=—

dt

Diferenciación de Funciones 354

¿Qué debe entenderse por velocidad de reacción de una sustancia en reacción química? D esarrollo Sea 1 Ay = 2 + Ax

1

Ay = f(2 + Ax) - f(2) donde f ( x ) ~ ■ x

1

-A x

2

2(2 + Ax)

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182 —Ax , a)

Ay 2(2 + Ax) 1 , , A , , , — = —-1 = ----------------- donde A x = l reemplazando tenemos: Ax Ax 2(2 + Ax)

— = Ax

b)

= -0.166 6

— = --------?------donde Ax = 0.1. — = - — = -0.238 Ax 2(2 + Ax) Ax 21 , Ay J 1 1 ademas y = lim — = lim----------------- — Ax— >o Ax Ax—>0 2(2 + Ax) 4

357

Hallar la derivada de la función y = tg x D esarrollo

y ' = lim — , donde Ay = f(x + Ax ) - f(x) A i - » o Ax Ay = tg(x + Ax) - tg x Ay tg (x + A x ) - t g x senAx y — lim — = lim - 2 - 1 2 - = lim Ax— >o Ax Ax->o Ax Ax— >o Ax eos x. cos(x + Ax) Ay senAx 1 1 . 1 2 y — lim — = l i m .------------------------=-1 (-------------- )-= ------~— = sec x Ax— >0Ax Ax-xO Ax cosx.cos(x +Ax) eos x. eos x eos X

358

Hallar y '= lim — para las funciones: Ax->0 Ax a)

y' = x 3

b)

y =\ x* Desarrollo

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c)

y -sfx

d)

c tg x

diferenciación de Funciones Ay = f(x + Ax) - f(x) Ay = f ( x + A x )3, - x 3 = 3 x 2 (Av) + 3x(Ax ) 2 + (Ax ) 3 Ay 3x“Ax + 3xAx2 + AxJ y ' = lim — = lim -----------:----------- — , en forma similar para los dem¡ a a - » o Ax a *->0 Ax 359

Calcular / ' ( 8 ) sí f ( x ) - ^ í x Desarrollo

/•(8),

im ,

lim Ax

A t ->0

A í-» 0

Ax

( W + Ax - 2)(V(8 + Ax) 2 + 2^/8 + Ax + 4) = l i m --------------p====k__---------------------------A x(y ( 8 + Ax) 2 + 2^/8+ Ax + 4) Ax 1 = lim ; ' . = lim A*r ~ >0 Ax( ^ / ( 8 + Av) 2 + 2 W + A x + 4) Ajr~ >0 ^ / ( 8 + Ax) 2 + 2^/8 + Ax + 4

\^64 + 2\/8 + 4 360

4+4+4

12

Calcular / '( O ) , / ' ( l ) , / '( 2 ) sí / ( x ) = x ( x - l ) 2 ( x - 2

)3

Desarrollo /X 0 ) = hm Ax—>0

Av

lim /JAjOz/CO) Ax

A *-*0

A x (A x -l)" (A x -2 ) - 0 = l i m ---------------------------------- = lim (Ax - l)"(A x - 2) = A»—>0 Ax Ax >0 361

-8

En que puntos la derivada de la función / ( x ) = x 3 coincide numéricamc con el valor de la propia función es decir:

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f ( x ) = / ' (x)

Eduardo Espinoza Ramos

184 D esarrollo ^ y / ( x + A x )-/(x ) (x + Ax) 3 - x 3 / (x) = l i m ----------------------- = l i m -------------------A.V—>o Ax a.t-> o Ax

= lim

a*3 + 3 x 2A x + 3 x A x 2 + A * 3 - a 3

Ax—>0

_ o

como / ( x ) = / '( x ) entonces

.

.

a 2

*>2

= lim 3a + 3 a.Aa + Aa = 3a

Aa

Ax—>0

x3 =3x2

=> x 2 ( x - 3 ) = 0 => x = 0, x = 3

Luego la función coincide numéricamente en los puntos x = 0.3, x = 3 362

La ley de movimiento de un punto es S = 5 t2 , donde la distancia S viene dado en metros y el tiempo t, en segundos. Hallar la velocidad del movimiento en el instante t = 3. D esarrollo dS y S(/ + A 0 - S ( / ) S (t)V ( t) = — = l im -------------------di A(— >o At

5(1 + A t)2 - 5(t)2 5 t2 +\0t.At + A t2 - 5 t 2 V{t) = li m ------------------------ = lim A/ - > 0 At A/—>o At V(t) = lim 10/ + At = 10/

=>

V(3) = 30 m/seg

Aí->0

363

Hallar el coeficiente angular de la tangente a la curva y = 0 .1 x 3 , trazada en el punto cuya abscisa es 2 . D esarrollo

Coeficiente angular de la tangente es = lim — = y ' | a*->o Ax

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2

Diferenciación de Funciones

y ' = ,im a * -» o

/ ( 2

+ A x ) - / ( 2 ) = ]im 0 . 1 ( 2 + Ax) —( 0 . 1 ) 8 Ax aa-->o Ax

= lim 1.2 + 0.6Ax + A x 2 =1.2 A i—>o

364

Hallar el coeficiente angular de la tangente a la curva y = sen x en los pu (tt.O). D esarrollo , sen{x+ Ax) —senx senx.eos Ax + eos x.senísx- senx y = l i m -------------------------- = lim A t-> 0 Ax A r-» 0 AX senx(co$ Ax - 1 ) = lim [A x -» 0 Ax y' = senx(0) + e o sx

365

=>

eos x.senAx, Ax y '= c o s x

por lo tanto y'l^ ^ co sT T =

- 1

Hallar el valor de la derivada de la función: / ( x ) = — en el punto x = x ( x 0 y- 0 ). D esarrollo 1

l

1- ——--------------------f ( X0 + A x ^ ~ f ( . Xo ) Xn + A x “I /f V(x0)1 = lim = vlim-— ------------Xn2 - = ,• l i m ---------------A v -»0 Ax A x -»0 Ax A i - > 0 x 0 ( x 0 + Ax)

A-0(.X()+0) 366

X¿

A que son iguales los coeficientes angulares de las tangentes a las c u r

1

2

y - — y y = x , en el punto de intersección?. Hallar entre estas tangentes, x Desarrollo

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Eduardo Espinoza Ramos

186

1

7

1

Como y = — e y = x , entonces el punto de intersección es: —= x x x

1

y ’U

x= 1

- 1

Ay — = - 1 = k\

= a Alim .v— >0-

7

y y' L i = aAlim0 ¡c->o

Ay — ~ = 2 = k*

tg e = h z h . = ± ± = 3

l + *,lt2 367

1 -2

i 1 Demostrar que las siguientes funciones no tienen derivadas finitas en los, puntos que se indican:

a)

y = \[x* en el punto x = 0

b)

y = \ / x - 1 en el punto x = 1

c)

2k + \ | eos x | en los puntos x = — - — n

(k = 0 ,± l,...)

D esarrollo S

,■

% 0 + A.x)2 - 0

f e ?

= lim /Vx— >0 Ax

1

= lim —= = 0 ijAx

a)

/ ( 0 ) = hm — A*—>0

_ b)

5/(l + A x ) - l - 0 5 / S .. 1 / ( 1 ) = lim — = lim = lim - 7 = = °° Ax— >0 At Ax-*0 Ax Ax-»0 2 /^ -4

c)

, 2* + 1 | cos( / J ( --------n ) ~ lim 2 Ax—>0

At

1

,

+1

-

. .

7t + Av) |

Ax

IsenAxI -se n A x , = lim J 1 = lim = 1 Ax—>0 Ax Ax—>0 Ax

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Diferenciación de Funciones i ,2*+1 |co s(—— 7t + A í)|

.o t + i

f j ( —— jt) = lim 2

Ax

Ar->0

I senAx I senAx , = lim ---------- - - h m =1 Ax-»0 Ai Ax—>0 A i ,2 * + l , „| 2k + \ Como /_'(■— - — Jt) * f f (—- — Jt)

=>

y = | eos x | no tiene deriva

2k + 1 en los puntos x = ---------, k = O, ± 1 ,

2.2.

DERIVACION POR MEDIO DE TABLAS.a)

REG LA S P R IN C IP A L E S PARA H A LLA R LA DERIV A D A : Sea k una constante, entonces:

u = f(x) y v = g(x) dos funciones derivab

(k)' = 0

2

3)

( « ± v ) ' = m' ± v'

4)

(hu)' = ku'

5)

(«»') = uv

)

(—) = ■

1

)

+ vm

6

) (x )’= l

V

7)

b)

k s, ( - ) '= v

kv' y

7

, v*

TABLA DE LAS PR IN C IP A L E S.1

)

3)

v2

0

D ERIV A D A S

DE

LAS

Cx n )' = n x n

2

(senx)' = eos x

4)

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)

FU N CIO N

(V Í)' = _ J _ (eos x )'= -sen x

Eduardo Espinoza RamoS

188

(tgx)' =

5)

7 = se c " x

1

6

1 2 (ctgx) = -------- — - - e o s ec x sen x

)

eos x

(aresenx)' ■

7)

x <

1

x

< 1

VTV 8

(a rc q sx )' = -

)

Vi - JC2 1 10

)

(arcctg x ) ' = — -----• x +1

( a x ) '= a x \na

1 2

)

(ex )' = e x

13)

(ln x ) 1 = — , x > 0 x

14)

(logfl x ) ' —

15)

(senhx)' - cosh x

16)

(cosh x)' - - se n h x

17)

(tghx)' = cosh" x

18)

(ctg hx)'■

19)

(aresenhx)' =

(arctg x ) ' - ■

9)

1

1 1

)

+X"

1

)

1

senh~x

í \ +x

2 0

x ln a

(are cosh x )' = -



1

IX I> 1

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l°g a e x

Diferenciación de Funciones c)

R E G L A PA RA C A L C U L A R LAS FU N C IO N E S C O M PU ESTA S. Sea y = f(u) donde u = g(x), Es decir: y = f(g(x)) donde “y” y “u” derivables, entonces y'x = y'u ,u'x en otras notaciones: dy _ dy du dx

du dx

esta regla puede aplicarse a cadenas de cualquier numero finito funciones. 1

368

FU N C IO N E S A LG EB R A IC A S.

)

y-- x 5 - 4 x

3

+ 2x- 3 D esarrollo

dy dx 369

- y ' = 5x 4 - 1 2 x 2 + 2

y = — ~ — + x 2 - 0 .5 x 4

4

3

D esarrollo y = -

dx

370

= - - + 2x - 2x } 3

y = a x 2 + bx + c

D esarrollo dy y '= — = dx 371

2

ax + b

5x y= -

a Desarrollo dy__ dx

15x a

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Eduardo Espinoza Ramos

190

372

y = at'" + b tm+" Desarrollo y ' = ^ l = amt'"~x + {m + n)btm+"~l dt

373

ax6 +b y=f a 2 +b2 Desarrollo ,_ d y _

ax

J a 2 +b2

* 374

6

y = — + ln 2 * Desarrollo

v’_ dy _

71

2

375

5

y = 3xi - 2 x 2 + x ^ Desarrollo / — y ’ = — = 2x 3 - 5 . * 2 - 4 j T 5 í/jc

376

y = x 2 yfx2 Desarrollo 8



dy 4 y = — = ---------- 7 dx (se n lx )

Diferenciación de Funciones .... 384

senx - eos x y - senx - eos x Desarrollo , _ dy _ (senx - eos x)(senx + eos x) dx

(senx + eos x)(senx - eos x) ’

( s e n x - eos x)

2

, _ d y _ (senx - eos x)(cos x - senx) - (senx + eos x)(cos x + senx) dx

y =

(senx - eos x)

dy

- (s e n x - eos x ) 2 —(senx + eos x)*

dx

(senx - eos x ) 2

v ' _ d y _ - s e n x + 2s e n x . c o s x - c o s ~ x - s e n ~ x —2senx.cosx —c os''x dx

(se n x -e o s x ) 2

_ dy _ - 2( s e n 'x + cos x) dx

385

( s e n x - c o sx ) 2

-2 ( s e n x - c o sx ) 2

y = 2tsent - ( t 2 - 2) eos t Desarrollo y' = — = 2sent + 2t c o s t - 2tc o s t + (t~ - 2)sent dt

y ' = — = 2sent2 + t s e n t - 2sent = t 2sent dt 386

y = arctg x + arcctg x Desarrollo

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— = t 2s dx

Eduardo Espinoza Ramos

194 387

y = x ctg x Desarrollo , dy y = — = c tg x dx

388

x

— sen x

y = x arcsen x Desarrollo , d\ e jt M A + i v = ——— = w# arcsenx *

x

...... —

_ (\ + x 2) a r c t g x - x y

2 Desarrollo

, d\ 1 1 y - — - xarctg x + --------= xarctg x dx 2 2 3) 390

=>

, dv y = — - xarctg x ■ í¿v

FU N C IO N E S E X PO N E N C IA L E S Y L O G A R IT M IC A S.-

y=*V Desarrollo y ' = — = 7 x 6ex +X1e x —e xx b( l + x) í/x

391

=>

y = ( x - l)e x Desarrollo y ' = — = ex + ( x - l ) e x — xe dx

392

y = 6 x2 Desarrollo

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y ' = — = x V ( x + 7) rf.v

Diferenciación de Funciones

dy _ x 2(ex ) ' - e x( x 2)' _ x 2e x - 2xe x V ~~dx~ 393

7

dy _ ex ( x - 2)

7

^

} ~~ dx~

I2

y =— Desarrollo , _ dy_ _ ex (x5) ' - x 5{ex y _ 5 x V l - x ' e x dx

394

q2x

, _ dy _ x 4 ( 5 - x)

e2x

V

dx

ex

f ( x ) = e x cosx Desarrollo / '( x ) = e* (co sx )' + (e x )'c o sx = e x co sx - e x senx , de donde se tiene: f ' ( x ) = e x (eos x - senx)

395

_v = ( x 2 - 2x + 2)ex Desarrollo

y' = — = ( 2 x - 2 )c* + ( x 2 ¿v 396

2

x + 2 )c r

=>

v' = — = x2ex

i dy . 2 1 y = — = 3a ln.v ' dx

1 „, ln a y = — i- 2 ln A*------r x x

D esarrollo ,

dy

1

x(lnjc)'-(ln.v).v'

2

y ~ T x ~ ~ ^ + ~x ,_d y _ dx 400

^

1

2

1

ln x

x1

x

x1

x2

, _ dy _ 2 dx

’V

x

2

ln x

x2

x2

y = ln.v. l o g x - l n a .l o g a x D esarrollo , _ d y _ log a¿/.x 4)

401

x

ln jc

ln«

dy _

(lnlO)A'

.vino

d.v

ln.v

1

a

FU N C IO N E S H IP E R B Ó L IC A S E H IP E R B Ó L IC A S INV ERSA S.-

y = x senh (x) D esarrollo y 1 = — = senhx + cosh a dx

402

2

xlnlO

y=

* cosh A D esarrollo

, _ dy _ 2 a cosh a —x~senhx dx

cosh 2

a

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Diferenciación de Funciones 403

y = tgh x - x Desarrollo , dy 1 y = -j- = dx c o s h 'x

,

l - c o s h 2 .v — cosh x

=

1

=>

, dy senh2x y = - f - = --------- z— = -tgh~> dx cosh x

y J j!É E

404 In x

Desarrollo n, / 1 s Ictghx 31nx.(-------- r - ) ------ — >■' = — = ??nh.x ------- í — t dc Jonde se tiene: dx (lnx )2 , _ d y _ -3(.vln x + senhx. cosh .v) dx 405

x ln 2 x.senil2x

y = arctg x - arctgh x Desarrollo

y 406

dy

1

dx

l + x2

( l - x 2) - ( l + x 2)

1 1

-x

2

(l + x 2 ) ( l - x 2)

^

,

dy

- 2x 2

V

dx

1

-x

4

y = (aresen x)(arcsenh x) Desarrollo dy y = — = (aresenx)'arcsenlvc + arcsenx.(arcsenhx)', de donde se tiene: dx ,

dy

arcsenlix

aresenx

dx

sjl-x 2

V I+ x 2

y ' = -X - = —

407

árceos hx y = -----------Desarrollo

www.FreeLibros.me

Eduardo Espinoza Ram os

198

- ■:=■==■ —- árceos ¿uttu» hx r—--X , _ d y _ y A-2 - l _ x - \¡x - 1 . árceos hx dx , y

408

x2

dy _ x - six2 -

1

xl 4 x2- \ . árceos hx

X2>Jx2- 1

dx

y = arct*hx l-x D esarrollo 1

dy y

' - j

dx

E)

409

- x2

- — —

- ( - 2x)(arcctghx) (1

t ~ 2 --------1 —

—x )

1

=> -v ' = - f

FU N C IO N E S C O M PU ESTA S.-

y - ( 1 + 3 a - 5 a: 2 ) 30

D esarrollo

y ' = —

dx

y 1= —

= 3 0 ( 1 + 3 a — 5 a 2 ) 29 (1 + 3 a - 5 a 2 ) ’

= 3 0 ( 1 + 3 a — 5 a 2 ) 29 ( 3 - 1 0 a )

dx

y = (—

410

f

C

Desarrollo

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dx

+ 2xarcclgh x (I-A 2

)2

Diferenciación de Funciones

411

f ( y ) = (2a + 3by) 2 D esarrollo f ' ( y ) = 2(2a + 3b y)(2a+ 3by)'

412

f ' ( y ) = 6b(2a + 3by)

=>

y = (3 + 2 x 2 ) 4 D esarrollo

y ' = — = 4(3 + 2x2)3(3 + 2x2) ' dx 413

3

=>

>’’ = — = I6x(3 + 2x 2 ) 3 dx

1________________ 1

5 6 ( 2 x - l) 7

24(2x —l ) 6

4 0 (2 * - l ) 5 D esarrollo

y = ¿ ( 2* - i r 7 - ¿ ( 2* 56

24

y '=y - =

3 eos x + 2senx 5

1 3 c o sx + 2senxs 1 :--------- )5 ¡3 sen x-2 cosx

y = .---------

dx

2

y, _ d y _ dx

425

3 eo sx + 2senx 2 \¡ l 5 s e n x - l0 c o s x

y = si sen2x + eos x Desarrollo 2

y = sen ^ x + eos - 3 x , derivando se tiene:

, dy 2 — _4 y = — = —sen i x .(se n x )- 3 c o s x(cosx) dx 3

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•=>

dy 2 co sx y =— =— dx 3

3xei ----eos2

Eduardo Espinoza Ramos

204

246

-

y = V í + aresenx Desarrollo

, dv ( 1 + aresenx)' , , y = — = — = = = = = , de donde se tiene: dx 2 v l + aresenx 1

v.

_ d*

427

sjl-x 2 2

________ j________

VT+ aresenx 2s l \ - x 2 s¡\

+ aresenx

y = y¡are tgx —(aresenx)' Desarrollo , dy (arctgx)' ,2 . y = — = — r ....-2___ —3(aresenx) (aresenx) dx 2yjarctgx 1

y ' - — = —^ *- 3(

eos

2 a

—

X

+ [})

D esarrollo f \ x ) = - s e n ( a x + P ).(a x + P )'

434

f(x) =

s e n t. s e n

=>

f'(x) = -asen(ax+ (5)

(t + (p) D esarrollo

/ ' (í) = (sent)' sen(r + (p) + sent.[sen(t + (p)]' / ’(í) = e o s t.s e n (t +

(p) +

se n t. e o s (t +

s e n ( 2 t + (p) s e n ( 2 l + tp) f \ t ) = ------ 1 r J + 2 y

435

(p)

=>

f ' ( t ) = s e n ( 2 t + cp)

1- eos 2 x

y = ------------

1+ eos 2 a

D esarrollo ,

dy

_ (1 - e o s 2 x ) ( l + e o s 2 a )

dx

’

(1 + e o s 2 a ) ( 1 - e o s 2 a ) '

( 1 - eos 2 a )2

, _ d y _ - 2 s e n 2 x ( l - e o s 2 a ) - (1 + e o s 2 x ) 2 s e n 2 x

dx

(1

—c o s 2 x ) 2

dy -4sen2x -4 se n 2 x , , , y = — = --------------------- —— = ------- -— , de donde se tiene: dx (1 -c o s x + sen x) 4 sen x

y

, = dy = ----------------- 2senx.cos x ax

sen x

=

- 2

eos x ^

sen x

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|

Diferenciación de Funciones

436

f ( x ) = a.ctg(~) a Desarrollo f \ x ) = a.(

437

y

í )(-)' = — 1 2/ x \ a 2/ x \ sen (—) sen (—)

= — —cos(5x2) - —c o s a :2 20 4 Desarrollo

y ' = — = — sen(5x2 )(5 x 2)'+ —senx2(x 2) dx 20 4 , dy 1 0 * .. 2x 2 y ~— = sen(5x ) + — xe«x dx 20 4 438

=*

, dy x 2 * 2 y = — = —sen5x 4 —senx 2 dx 2

y = arcsen 2x Desarrollo y , _ dy_ __ ( 2 * )' ^

439

_

\J\-4 x2

2

'J1- 4 x 2

y = arcsen - ~ JC~

Desarrollo 1

,

2

, rfy (p } y = —— — ■■■■• ------ =

r x.4 JC

440

2 * 2

-• -— = ------,____

v*4-i

*3v* i

,2

/ ( x ) = arccos(Vx) Desarrollo

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=*

-2 , dy y =— =■ :>/x 4 —1

Eduardo Espinoza Ramos

208

. (^ j _ ’

/ '( * ) =

=_ t¿ L

441

=>

f X x) = -----------

Jl-x

a/i-íTI)2

2yfxJ\^X

2\[x^.

y = arctg — x D esarrollo 1 , 1 (-) 2 x y =— r =— f— => 1 . J _ X 1 +1 X x2 r~ 2~~

... 442

y = arctg(

dy dx

,

y

x1 +1

l + -^s ) \-x D esarrollo l +x

(1

—-t ) —(i+-y)(—l)

y '- dydx

O - ^ 2) i+( i^ ) 2

i + íl± £ )l (1 — jc )2

l ~ x

, dy y =— = dx , y ~

443

1

1

+*

( 1 —JC)2 + ( 1 +

dy dx

- x+

jc) 2

2 , , = ------------------------------ . de donde se nene:

1 — 2 jc -4- JC -4- 1 + 2

1

~

1

+ x2

v = 5e~*2 Desarrollo

y ' = — = 5é~* { - x 2)' = - 1 Oxe- * dx

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jc - i- jc

Diferenciación de Funciones

444

y =- 1 5 D esarrollo , dy (5X ) ' 2 *5*'ln 5 y - — =---------- ----------T— dx (5*' f 52x'

445

, dy 2*ln 5 „ y =— = — = 2x.5 dx 5X~

=>

e ln 5

y = x 2102x D esarrollo

y ' = ^ = ( x 2) ' 102x + x 2(102x)' dx

y ’= —

=>

y' = — = dx

2 x . l 0 2* + * 2 1 0 2jt2 1 n l 0

= 2 A .1 0 2 l (l + A l n l 0 )

dx 446

f{t)-tse n 2 ' D esarrollo

f ' ( t ) = sen2 ' + t s e n 2 ' ( 2 ' y 447

=>

/ '( O = sen2 ' + 2 ' t ln 2.sen 2 '

y = are sene* D esarrollo y '= ± =-. dx

448

É’ •e2*

y = ln (2x + 7) D esarrollo y , _ d y _ _ { 2x + 7Y _ dx

449

2* + 7

2 2x+7

y = log (sen x) Desarrollo

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Eduardo Espinoza Ramos

210 , dy (senx)', cosx, v =— = -log