Solucionario Del 15to CONAMAT 2012 Zona 3

15 CONAMAT 2012 Zona 3 1

Se ubica un punto E en la región interior de un triangulo ABC, tal que AB=AE=EC, m ∡ BAE=2(m ∡ BCE). Calcule la medida del ángulo entre AC y BE.

A 30 °

B) 45 °

C) 60 °

D) 50 °

Solución: Sea AB=AE=EC=ℓ, entonces en el triángulo isósceles AEC. Sea la m ∡ EAC = m ∡ ECA = θ. En el ΔABE: trazamos la altura AM, entonces BM=ME=a. Desde E trazamos EN

⊥ BC. Luego los triángulos AEM y CEN son congruentes

(Caso A.L.A.) Entonces EN=EM=a.

El ΔENB: Es notable de 30° y 60°. En el ΔABC: (2α+θ) + (90°-α+30°) + (α+θ) = 180° Luego; α+θ = 30° entonces x = 60°

Respuesta C.

2

En un rectángulo ABCD, en la región exterior relativa a BC y CD se ubican lo puntos M y N respectivamente, tal que sean simétricos respecto del punto C, si BM//AN y 3(AB)=2(BC), calcule la m ∡ BAN.

A 143 ° /2

B) 135 ° /2

C) 75 °

D) 153 ° /2

Solución: En el rectángulo ABCD: Sea BC=3a y AB=2a.

Si BM//AN, entonces ABMN es un trapecio y C es punto medio de MN. Si prolongamos BC hasta E entonces los triángulos ECN y BCM son congruentes (caso A.L.A.) por lo tanto CE = BC = 3a. Luego el ΔABE es notable de 37°/2 Entonces x= 143°/2

Respuesta A.

3

En un triangulo ABC, se traza la altura BH. Tal que AH=2, HC=3 y la m ∡ ABC=45°. Calcule la longitud de BH.

A 4

Resolución:

B) 5

C) 6

D) 10

α

Sea

la medida del ángulo ABH y

α

β

la medida del ángulo HBC. Entonces

β

+

=45°

Si construimos los triángulos ABE y CDB congruentes a los triángulos ABH y CBH respectivamente. La medida del ángulo EBD será 90°. Y al prolongar los segmentos EA y DC se estará formando el cuadrado EBDF. De donde AF=x-2 y CF=x-3. Aplicando el teorema de Pitágoras en el triangulo AFC. x resulta ser 6.

Respuesta C.

4

En la prolongación del diámetro AB de una semicircunferencia, se ubica el punto P, desde el cual se traza la tangente PT a dicha semicircunferencia (T punto de tangencia), desde T se traza TH perpendicular a AB (H en AB). Si PB = 2(BH) = 2ℓ, calcule AH.

A ℓ

Solución:

B) 2ℓ

C) 3ℓ

D) 4ℓ

En la semicircunferencia; la m ∡

ATM=90° y en el ΔATB: la m ∡

TAB = m

∡ HTB = α. El

∡ TAB es un ángulo inscrito, entonces la medida del arco TB es 2 α , luego la medida del ángulo semi inscrito PTB es α, por lo tanto TB es bisectriz del ángulo HTP.

Asi, TB y TA son bisectrices de los ángulos PTH y HTM, entonces del teorema de la bisectriz, BN=BH= ℓ y AH = AM=x. El triángulo rectángulo BNP es notable de 30° y 60°: m ∡

BPN = 30°.

Luego en APM: AP = 2(AM) entonces x + 3ℓ = 2x. Por lo tanto x = 3ℓ.

En el gráfico PB=2a y BH=a, del dato PB=2ℓ y BH= ℓ entonces a=ℓ

Respuesta C.

5

O es centro del cuadrado ABCD. Calcule la medida del arco DPO 1.

A 90°

B) 75°

C) 108°

D) 120°

Solución: Del gráfico DP=DO y O1P=O1O, entonces O1D es mediatriz de PO (PH=HO=ℓ).

Si prolongamos O1O hasta M entonces DM=MC, entonces la m ∡ DO1M=53°/2. Luego los triángulos OHO1 y MDO1 son notables de 53°/2, entonces O1H=2ℓ y O1D=5ℓ Así la m ∡ PO1H = 53°/2 y la m ∡ PDH=37°/2, por lo tanto la medida de los arcos PD y PO1 son 53° y 37° respectivamente y la medida del arco DPO 1 es 90°. Respuesta A.

6

En un triangulo ABC recto en B se traza la ceviana AQ, tal que la m ∡ BAQ=m ∡

ACQ. Si AQ=a, BQ=b y QC=c, halle la relación correcta entre a,

b y c. A

2

b = ( 2b+ c ) a

Solución:

B)

2

c =( 2 a+c ) b

C)

2

a = ( 2b+ c ) b

D)

2

a =bc

Sea la m ∡ BAQ=m ∡ ACQ=α, luego construimos el triángulo APB congruente al triángulo QAB, entonces PB=QB=b, AP=AQ=a y la m ∡ QAB=α, por lo tanto la m ∡

PAB=m ∡

PAC=90°.

En el triángulo rectángulo PAC: (PA) 2=(PC)(PB) entonces

a2= ( 2b+ c ) b

Respuesta C.

7

A)

En la figura: ABCD es un cuadrado de lado “a” calcule CF, si : AN = 3(CM)

a 3

B)

a 2

C)

2a 3

D)

3a 2

Solución: En el gráfico la m ∡

CFB = m ∡ DBA = 45° y por la propiedad del ángulo

interior de una circunferencia, la m ∡

CMB = m ∡

BNA=θ.

Trazamos CP=CM=ℓ (P en BM), entonces la m ∡

CPM = m ∡

CMP = θ.

Como AN=3(CM)=3 ℓ Los triángulos ABN y CFP: luego CF/AB= CP/AN=1/3 Entonces CF= a/3 Respuesta A. 8

Sean AB=26, BC=25 y AC=17, las longitudes de los lados de un triangulo ABC, calcule la mayor altura.

A 21 Solución:

B)22

C)23

D)24

Como el área de una región triangular se calcula como ½ de la longitud de un lado por la altura relativa a dicho lado. Entonces cuando el lado tiene menor longitud la altura relativa tiene mayor longitud y viceversa. Ahora calculamos la altura relativa al lado AC cuya longitud es 17; para ello calculamos 2p=26+25+17=68 entonces p=34 hb = 2/17 (

√ ( 34 ) ( 34−25 ) (34−17 ) (34−26)

) = 2/17 (

√ ( 34 ) ( 9 ) ( 17 ) (8)

) = 24

Respuesta D. 9

En el grafico BL=NL, BM=MC, AN=NM y NC=12, calcule PL.

A 1

B) 2

C)3

D)4

Solución: En el triángulo NBC: BL=LN y BM=MC, entonces del teorema de los puntos medios, ML//CN y CN=2(ML)=12

Si prolongamos CN hasta Q y prolongamos ML hasta P, entonces en el triángulo QBC: BP=PQ, luego en el triángulo QBN: QN=2(PL)=2x

En el triángulo APM: NQ//MP y AQ=QP. Entonces 6+x =2(2x) por lo tanto x=2 Respuesta B

10 En un rombo ABCD se ubica el punto P en AD tal que AP=1 y PD=3. Si m ∡

BCP=3(m ∡ PCD), calcule

A 7/3

B)7/2

C)5/3

(CP)2 . D)5/3

Solución:

Al trazar la diagonal CA esta biseca el ángulo BCD, por lo tanto CP es bisectriz del ángulo ACD, además CD=AD=4. Luego en el triángulo ACD, aplicamos el teorema de la bisectriz para calcular AC=a. a/4 =1/3

→

a = 4/3

ahora aplicamos el teorema del cálculo de la bisectriz: x 2 = (4)(4/3) – (3)(1) =7/3 que es lo que nos piden.

Respuesta A.

11 Del grafico AB=26, BG=25, AG=17, ED=13, DF=15 y EF=14, calcule x y la relación de alturas trazadas desde B y D hacia AF.

A 16 ° ; 3

B)18 ° ; 2

C)19 ° ; 3/4

D)21 ° ; 2

Solución: Al conocer los tres lados de ambos triángulos podemos conocer sus alturas aplicando el teorema de herón:

Luego en el triángulo ABG: 2p1 = 26+25+17 = 68

→

Luego la altura BM = 2/17 (

p1 = 34

√ ( 34 ) ( 9 ) ( 17 ) (8)

En el triángulo MBG: la m ∡ BGA= 74°.

) =24

Análogamente para el triángulo EDF: 2P2 = 13 +15+14= 42 →

p2 = 21

Luego la altura BM = 2/14 (

√ ( 21 )( 6 )( 7 ) ( 6)

En el triángulo EDF: la m ∡

DFE= 53°.

) =12

Entonces x = 74° - 53° = 21° y la razón de alturas es 24/12 = 2. Respuesta D. 12 Del gráfico T y Q son puntos de tangencia, si AQ=QB, calcule x.

A 30 °

B) 45 °

C) 53 °

D) 60 °

Solución: Si unimos A con B, el triángulo AQB es isósceles de 30°,120°,30°

Como el arco ATQ mide 120° y el

∡ QAB mide 30°, AB debe contener al centro

O de la circunferencia mostrada. Además el radio está en función de AQ. Si AQ = 2a

√3

También QF=a

entonces r = 2a.

√3

y aplicando el teorema de la tangente, FT=3a.

Ahora calculamos TQ y QH cuya razón de longitudes resulta ser de 4 a 3, entonces en el triángulo TQH: x = 53°. Respuesta C.