Solucionario de Trigonometría de Granville

1

RELACIONES FUNDAMENTALES PAG:45 .....................................................................................2

2

PROBLEMAS RELATIVOS A TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Pag:112 ...........................................18

3

ÁNGULOS DE ELEVACIÓN Y DEPRESIÓN Pagina:123 ...............................................................27

4

RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS Página: 146 ....................................................38

5. LEY DE SENOS Pág: 137………………………………………………………………………………………………………….42 6

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS Paguina:276 .....................................................................47

7

ECUACIONES TRIGONOMETRICAS Página : 284........................................................................81

1

1 RELACIONES FUNDAMENTALES PAG:45 DEMOSTRAR LAS SIGUIENTES IGUALDADES

a) Cos x tan x = Sen x

b) Sen x Sec x = Tan x

c) Sen y cot y = cos y

d) (1+tan ² y) Cos ²y = 0

2

e) Sen ²A+Sen ² A . tan ²A = tan ²A

f)

Cot ²A – Cos ²A = Cot ²A Cos ²A –

g) Tan A + Cot A = Sec A Csc A

3

h) Cos A Csc A= Cot A

Cot A

i)

Cos ²A – Sen ² = 1 – 2 Sen ² A

j)

Cos ² A – Sen ²A = 2 Cos ² A – 1

k) (1+ Cot ² B) Sen ² B = 1

(

)

4

(

)

l)

( (

) )

m) Sec² A+ Csc² A = Sec² A Csc²A

n)

5

o)

p)

q)

r)

6

s) Cos B tan B + Sen B Cot B = Sen B +Cos B

–

t)

u)

v)

7

Usando las relaciones fundamentales( 13) a (20), Calcular los valores de todas las funciones a partir de los siguientes datos: 4. Cos A

⁄ ,cuando A está en el segundo cuadrante

(

)

⁄ ⁄

(

;

) ⁄ ⁄

8

;

(

)

⁄

5.

√ √

√

√

√ √ √

9

√ √

6. Csc A = -3, cuando A está en el cuarto cuadrante

⁄ ⁄

√

⁄ ( √ ⁄ )

√ √

10

√ √

√

√ √

7.

(√ ⁄ ) ⁄

4

⁄

√ ⁄

√

⁄√ √

√ √

√ √

√

8.

11

9.

⁄

√ √

⁄

√

√ √ √

Calcular Algebraicamente el valor de cada una de las siguientes expresiones a partir de los datos dados. Considerar en cada caso el ángulo como agudo Calcular 10.

12

*

(

)

(

)

(

( ) +

( ) ( )

)

11. (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( ) ⁄

12. (

√

)

√

√

√

√

√ ( )

13

13.

⁄

√( )

√

√

√

√

√

√

√

√

14.

Ordenando se tiene

14

15. (

)

2

15

16. Transformar las siguientes expresiones en otras que no contengan mas que senos y cosenos

a)

√

b)

√

c)

17. Transformar las siguientes expresiones en otras equivalentes que contengan solamente tg A a) ( (

b)

16

) )

c)

Transformar las siguientes expresiones en otras que no contengan mas que senos y cosenos 18.

19.

20.

21.

17

2 PROBLEMAS RELATIVOS A TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Pag:112

TRIGONOMETRÍA

B

c

c

a

a

35°

35° b=5m

b=?

A

A

A

C

c=10m

55° B

18

b=5m

C

a=2 millas

A

b=?

15° A b=? smastil c=10m a=30m 5°

A

C

navio

observador

√

b=?

√

√

B

c=12m a=6m A

? b=?

C

19

√

√

√

B

c=?

B c=?

c=?

a= 35°

35°

35° A

393,18m

b=1965

C

B

√

√

B

D c=? a=150m

a=150m 35° A

300m

d=150m

20

C

B

D

48

24 c

a ? A

?

√

D

c

a =35,01

b=100m

12m

A d=12m

B

35°

?

A

b=24cm

√

a=35,01m C

A

C

b=50m

c= 24m 45°

45°

b=6,3m 12,60

21

a=

C

B R

X r

A

D b=

l=24cm

22

C

23

(

)

l=21,78cm

𝛽 /2

24

B

R

r

b l=24cm

25

(

26

)

3 ÁNGULOS DE ELEVACIÓN Y DEPRESIÓN Pagina:123 B

l=250m

a=?

40°

C

B

A

a=?

60°

C

B

A

b=200m

a=10m B ?

C

60

b=8,391

a=24m

B

b=? 27°43´

a=120m

C

60°

C

c=?

27°43´

b=?

A

27

A

B

a=1m

C

A

b=40m

A 50°12´ b=350m B

21°16´

B

C a=?

a=?

21°16´

C

b=300m

√

l

√ √

l

√

√ √

√

(√ )

√

l

l

A B X

R

28

A

r

b l=12cm

√

x

145°37´ 48 R 41,36m 41,36m B

b=

B x

R

R

x

b b= c=1027m

N

N=10millas/h

E

45

29

√

√

N N 37 a 37

α 10h37

12h

18°13´ a=10,32millas 18°13´ α 7h30´

7h

Φ a=10,32millas

7h

Φ α

10h

30

√ c=12m

√

√

√

c=12m

a=10m

a=6

30

60

b

b α

a1

a2 60 b

√

30

√ b

B 70°

x

31

a

b

27°15´ 46°18´

27°15´

46°18´ b2 b1

32

A α 25 a2 B

25

35 a1

35

a 45°

45°

b 1 milla

y 10° 200

15° x 33

l 𝛽 l

x

l 𝛽 l-x

x

34

√

√

l=6m

√ √

a 60

(√

45

√ √

x 30

45 c

35 a

)

√

√

̂

̂

(

) ̂

36

̂

A F R1 R2

Ѳ

α

E

B

d=36dm

D C

̅̅̅̅ ̅̅̅̅

̅̅̅̅

̅̅̅̅

̅̅̅̅ ̅̅̅̅

37

̅̅̅̅

̅̅̅̅

̅̅̅̅

̅̅̅̅

̅̅̅̅ ̅̅̅̅

̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅

̅̅̅̅

̅̅̅̅̅

̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅

(

B

50

̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅

(

)

(

)

) ̅̅̅̅

(

)

E

D

50

1

50

Q W

P

150

C 50

S

T W

2 30

F 50

3

R

A 50

M

M 4

RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS 𝐶

C

8

𝑎

𝑏 𝑐 𝑎𝑏

𝑐 a=4

b=7

𝑐𝑜𝑠𝑐

A

B C=10

𝑐 𝑐𝑜𝑠 38 𝑐

(

) ⬚`

C

9

50° b=11

a=10

A

B C=?

A

1 0

b=9

C=8

h

B

C a=3

1 1

49° 18´θ₁

X=5

θ₂ X=5

A

a B

49° 18´ θ₁

X=5

θ₂=130°42´b X=5 A b= 426 m

1 2

b C

̅̅̅̅ 𝐴 𝑎

68°42´

´𝑐

a=322,4m

𝑐

C

B

𝑐 𝑐

𝑓 𝑎

𝑏

𝑎𝑏

𝑐

𝑐𝑜𝑠

√ 39

1

C

b= 5 m a=4,60m A C=2m

B A

1 4

?

c=5 m

b=8 m

B

C a=7 m 1 5

C 59°30´

b=11,5Km

a=9,4 Km

B

C c=?

B

40

1 6

𝑎 𝑆𝑒𝑛𝐴 SenA

𝑐

𝑎 𝑆𝑒𝑛 𝐶 𝐶

B

𝑐 𝑐

´

SenA

𝐵

a= SenA=0,40766

𝑑

b=

𝛽

c=?

𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠

𝑏

18°20´

𝑐

𝛽

𝑥

𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠

𝑣 𝑡

𝑎

C

´

´

62°15´

A=24°3´

´

𝑎

𝑥

𝑏

𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑎𝑏

´𝑐

𝑐

𝛽 +A =18°20´+24°3´ ´

𝑁

º

𝑐

A

´𝐸

41

𝑐

𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 √

𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠

𝑐

𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠

𝑛

È

5. LEY DE SENOS Pág: 137

Datos AC=283m ∡𝐶𝐴𝐵

𝐴 8

38°

𝐶

𝐵

A

∡ACB=66°18´

𝐵

𝐴

𝐶

𝐵 38°

AB=?

c=?

º

𝐵

º

𝑏 𝑠𝑒𝑛𝐵

b=283 m B 66°18´

𝑐

´

´

𝐶 𝑠𝑒𝑛 𝑐

𝑏𝑠𝑒𝑛𝐶 𝐶 𝑠𝑒𝑛𝐵

𝑚 𝑠𝑒𝑛 º 𝑠𝑒𝑛 º

´𝑐

C

𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝐴

9 B

𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐵

𝑠𝑒𝑛

𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑏

c =? a=25,2m

b=14,55m

C

1 0

A

BC=270m ∡BCA=55°

𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝐶 𝑠𝑒𝑛 𝐴

𝐴

𝐵

∡CBA=65°

c = ?

𝑐

c=?

65° a=270 m

C 42

´

º

´

º

´ 𝐶

º

𝐴

º

𝑐

º

´

𝐴

º

𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝐶 𝑚

55°

º

𝐵 𝐶

𝐶 𝐵

𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝐴

𝑠𝑒𝑛 𝐵

𝑐 𝑠𝑒𝑚 𝐶

𝑐

𝐴

´ 𝐵

𝐴

𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝐴

A

B

𝑠𝑒𝑛

𝐶

∡BAC=21°30´

º 𝑚

AC=14,55m BC=25,2m

𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝑎

𝑠𝑒𝑛 𝐵

𝐶

𝐴 𝐶

º 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝐴

º 𝐶

𝑚𝑠𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑛 º

º

´

1 1

𝐵𝐶

𝑚

A

∡𝐴𝐵𝐶

𝐴

∡𝐵𝐶𝐴 AB=?

c = ?

b

a=1006 m

𝑐 𝑠𝑒𝑛𝐶

𝐶

𝐴

𝑎 𝑠𝑒𝑛𝐶 𝑠𝑒𝑛 𝐴

º

º

º

𝐴

º

𝑠𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑛 º

𝑟

𝑐 C

𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝐴 C

𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐵

𝑆𝑒𝑛 𝐵

𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐴

𝑠𝑒𝑛 𝐵

𝑠𝑒𝑛𝐵 𝑏

b=170,6 m 40°

B

º 𝐵

𝑎 𝑠𝑒𝑛𝐴

70°

B

a=140,5 m

𝐶

𝐴

44°

1 2

𝐵

𝑠𝑒𝑛

𝐵 A

𝐶

𝐴

𝐵

𝐶

º

𝐶 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝐴

𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝐶

𝑐 𝑙 𝑙

𝑐

𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑐

𝑚 𝑎

𝑏

𝑐

𝑚

𝑙

𝑚 𝑚

43

𝑚

𝑚𝑠𝑒𝑛

𝑏 𝑠𝑒𝑛𝐵

1 3

𝑐 𝑠𝑒𝑛𝑐

𝑏𝑠𝑒𝑛𝐶 𝑐

𝑠𝑒𝑛𝐵

𝑚𝑠𝑒𝑛

𝑠𝑒𝑛 𝐵

𝑠𝑒𝑛𝐵

C

27°18´

𝐵

𝑆𝑒𝑛

𝑏

º

𝐴

b=74,1m

´ 𝐵

𝐴

𝐶

𝐴

º

𝑎

𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑐

´

º

´

º

´

𝑎 𝑠𝑒𝑛𝐴

𝐶 𝑠𝑒𝑛𝑐

𝑎 A

º

𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑛

´

𝑚

B c=64,2 m

1 4

𝑎 𝑠𝑒𝑛𝐴

𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑎

𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝑎

𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝐶

𝑅

𝑏 𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝐶

𝑅

𝑠𝑒𝑛 𝐴

𝑏 𝑐 𝑅 𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑠𝑒𝑛𝐶

𝑠𝑒𝑛 𝐴

𝑠 𝑠𝑒𝑛 𝐵

𝑅 𝑆𝑒𝑛 𝐴

𝑠𝑒𝑛 𝐵

𝑠𝑒𝑛𝐶

Aplicando propiedades de las proporciones se tiene: La razón de cualquiera de los lados de un triángulo al seno de ángulo opuesto es numéricamente igual al diámetro del círculo circunscrito.

𝑅

𝑠𝑒𝑛 𝐶

𝑆

44

1

A

Demostrar a) 𝑎 𝑏 𝑐 𝑐 Demostración 𝐴𝐵𝐷 𝐶𝑜𝑠𝐵

𝑚 𝑐

𝑚

𝑐 𝑐𝑜𝑠𝐵

𝑛 𝑏

𝑛

𝑏

∆𝐴𝐷𝐶 𝐶𝑜𝑠𝐶 𝑏𝑎

𝐵

𝑚𝐶 𝑛𝑐

𝑚

𝑛

𝑏

𝑐

𝐴

m

B

𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒

𝑛 𝑎

𝑎

𝑏

𝑚

𝑐

𝑎

𝑐 B

𝑎

𝐶 a

c

𝑏𝑐𝑜𝑠 𝐴 m

𝐵 𝑚

D n

A

𝐶𝑜𝑠 𝐴

𝐷𝐵𝐶𝐷 𝑚𝑒

C

𝐴

Demostración ∆𝐴𝐶𝐷

n

𝑦

Remplazando 1 y 2 en 3 𝑐

D a

𝑚 𝑅

∆𝐴𝐵𝐷 𝐶𝑜𝑠𝐴

𝑏

𝐶

𝐵

Demostración 𝑎 𝑐 𝑐𝑜𝑠𝑏 𝑏 𝑐𝑜𝑠𝐶

∆𝑏𝑑𝑐 𝑐𝑜𝑠𝐶

b

c

𝑚 𝑏 𝑛 𝑎

𝑚

C b

𝑏 𝑐𝑜𝑠𝐴

C 𝑛

𝑎

𝐵 a

𝑛

b

𝑐

𝑏 √𝑏𝑐𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑠𝑒𝑛𝐶

𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐶 𝑏

𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑐

m

√

B c

𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 √

D

A

𝑘 𝑏 𝑐 𝑏 𝑐

45

A

𝑏 𝑐 𝑏 𝑐

√

b 𝑠𝑒𝑛 𝐵

𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝐵

𝑐

𝑠𝑒𝑛 𝑐

c h

𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐶

𝑏

B

C a

Remplazando 4 y 5 en 3

√𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝑐

𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝑏 𝑐 𝑏 𝑐

𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐶 𝑏

√𝑏𝑠 𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝐶 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐵

𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑐

√𝑏𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝐶 √𝑏𝑐 𝑠𝑒𝑛𝐵 𝑠𝑒𝑛𝐶 𝑐

𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝑎

𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑏

𝑏𝑐 𝑒𝑛 𝑐 𝑐

𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝐶

𝑏

𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝑐

𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐶 𝑏

𝑠𝑒𝑛𝐵 𝑐𝑆𝑒𝑛𝐶 𝑠𝑒𝑛 𝐶 𝑏 𝑐 𝑐

𝐶 𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑐

𝑠𝑒𝑛 𝐶 𝑠𝑒𝑛 𝐶

Demostración 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝐴

𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝐵

𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝐴

𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑐

𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐵

𝑎 𝑆𝑒𝑛𝐴

𝑏 𝑆𝑒𝑛𝐵

𝑐 𝑆𝑒𝑛 𝐶

𝑆𝑒𝑛𝐴 𝑎

𝑆𝑒𝑛 𝐵 𝑏

𝑠𝑒𝑛𝑐 𝑐 DEMOSTRACION

𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝑎

𝑚𝑆𝑒𝑛 𝐵 𝑚𝑏

𝑠𝑒𝑛 𝐶 𝑅

𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝐴

𝑚𝑏 𝑚𝑠𝑒𝑛 𝐵

𝑐 𝑠𝑒𝑛𝑐

𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝑎

𝑚𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑚𝑏

𝑠𝑒𝑛 𝐶 𝑐

𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝐴

𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐵

𝑎 𝑆𝑒𝑛 𝐴

𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐵

𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝐴

𝑚𝑏 𝑚𝑠𝑒𝑛 𝐵

46

𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑐 𝑐 𝑠𝑒𝑛𝑐 𝑐 𝑠𝑒𝑛𝑐

6. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Paguina:276

Demostrar las siguientes identidades: 1)

–

2)

3) (

)

(

)

47

4)

5) √ √(

) (

)

√(

) (

)

√ √

6)

48

7) (

) (

8) (

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

9)

10) (

)

49

)

11)

12)

13)

14)

50

15)

16)

17)

18)

19) [

] [

51

]

20) {

[

]}

[

(

[ [

(

)] )]

] ]

[

21)

22)

⁄

23) [

] [

] ⁄ ⁄

⁄

24) [

] [

]

52

⁄ ⁄

25)

(

53

)

(

) (

54

)

55

56

(

)

57

58

√

√

√

√(

59

)

60

[

]

[(

√

)

( )

[

] [

[

61

]

]

]

(

)

[ ( )]

62

( ) ( )

( [

]

)

[

]

(

)

(

)

(

)

63

(

)

[

]

[

]

64

65

(

)

( )

(√

(

66

)

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

( ) ( )

67

(√

)

(√

)

68

(

)

(√

)

(

69

)

(

)

(

)

(

)

(

)

70

[

(

)

]

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

[ (

)]

(

)

71

[ (

)

( (

)

(

)

[ (

] )

(

)

)]

(

) (

( )

72

(

) )

º

(√

(

(

)

)

)

(

(

)

)

(

)

( )

y 0

1

1 – Sen 0 = 1 – 0 = 1

73

º

30

0.5

1 – Sen 30 = 1 – 0.5 = 0.5

45

0.293

1 – Sen 45 = 1 – 0.707 = 0.293

60

0.234

1 – Sen 60 = 1 – 0.866 = 0.234

90

0

1 – Sen 90 = 1 – 1 = 0

(

)

y = 2 Csc 2 0

∞

10

5.84

20

3.11

30

2.31

45

2

60

2.30

80

5.84

90 ∞

74

∞

(

)

(

)

(

)

(

)

75

(

)

[

]

[

]

76

[

]

[

] [

{

]

[

] (

[ )

77

]} (

)

(

)

[– (

)]

( [

)

(

)

78

(

)]

[

]

[(√

) ]

(√

79

)

[

]

[(√

) ]

(√

80

)

7. ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS Resolver las siguientes ecuaciones para valores de x comprendidos entre0 y 360° ⁄

1. √

⁄ ⁄ ⁄

a)

y

y

⁄

30

,

X

30

X

150

⁄

b)

(

⁄ ) y

, {

210°

y

X

30

330° 30

X

2.

y

√ √ √ √

a)

45

y

X

45 135

X

√

, y √

b)

225

,

y

X

315

X

45

45 {

81

3. √

√ √ √

a)

y

√ , b)

y

60

240°

X

X

60

√ √ ,

y

Solución total

y

60 120

300

X

X

60 {

4. y

y

60 √

300

X

X

60

√

a) ⁄ , b)

⁄

y

(

y

⁄ ) 60 120

X

240° 60

{

82

X

5.

y

{

y

45

}

225

X

X

Solución ⁄ ⁄ ⁄ {

6.

⁄

√ √ √ ⁄ ( √ ⁄ ) y

y

{ 30

150

{

83

X

210 30

X

7. √

√

a) , , b) , , { 8.

√

√ y

⁄

a)

y

300 {

b)

{

⁄

X

60

(

X

60

⁄ ) {

{

y

y

X

60 120

} 84

240° 60

X

9.

y

√

y

√

30

210 30

X

√ √

a)

√

,

√

√ ( √ )

√

b)

X

,

y

y

,

30

,

150

X

330

X

30 30

10.

√

√

y

y

√

45

√

a)

X

315

X

45

√ , b)

,

y

√

45

y

135

( √ ) ,

, ,

85

X

225 45

X

(√

11. a)

) y

y

{

45 135

⁄

315

X

⁄

b) √ √

y

√

√ √

√

y

60

240

X

X

60

√ ⁄ {

X

30 45

⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ {

⁄

12. a) y

y

⁄ ( {

⁄ )

60 120

240

X

60

⁄ ⁄

86

X

b)

⁄ ⁄

{

⁄ 13. a) √

a1)

√

y

√

30

⁄

{

y

X

300

⁄ √

a2) {

X

30

(

√

)

⁄ y

⁄

30 150

y

210

X

X

30 b)

y

( {

⁄ )

⁄

210 30

⁄ {

⁄ ⁄ ⁄ ⁄

87

y

X

330

X

30

14. y

a)

y

210

330

X

30

30

⁄

X

b)

(

)

⁄ ⁄

{

⁄ ⁄ ⁄

{

(

15. (

√ )

√

√ )

y

√ √

a)

y

60

X

60

√ {

240

X

⁄ ⁄

b) y

{

⁄ ⁄

y

45

225

X

45

⁄ ⁄ { ⁄ ⁄

88

X

(

√ )

(

√

16.

√ √

) √

(

)

a)

⁄

y

y

√

b)

60

√

X

60

120

X

, {

⁄ ⁄

⁄ { ⁄ ⁄ Resolver las siguientes ecuaciones para valores de ángulos comprendidos entre 0 y 360° 17.

y

a) 60

⁄ (

120

240

X

60

)

b)

,

18.

y

⁄ ⁄ ⁄

89

X

√

√

y

y

√ 30

√ ⁄

a)

300

X

X

30

√ ⁄

y

y

, 30

150

210

X

30

√ ⁄

b)

X

√ ⁄ ,

19. √ √ √

√ √

√ √ √

( a)

√

)(

√

)

√ √

y

b)

y

√

60

√ √

90

X

60

120

X

20.

y

y

a) 60

300

X

⁄

X

60

b)

( ) } 21.

√

√ √

y

√

a)

y

30

210

X

√ ⁄

X

60

, (

b)

√

(

y

) √

)

30

150

y

X

300

X

30

, }

91

y

22.

y

60

225

X

X

45

} 23. y

}

45

135

y

X

315

X

45

24.

a) , b)

}

92

25.

a) 𝑺𝒆𝒄𝒙

𝟐

𝟏

𝟐

𝑪𝒐𝒔𝒙

a)

𝑪𝒐𝒔𝒙 𝒙

𝑪𝒐𝒔

𝒙

𝟐

𝟏 𝑪𝒐𝒔𝑿

𝑪𝒐𝒔𝒙

(

)

𝟏 𝟐 𝟏(

𝟏 ) 𝟐

𝟏𝟐𝟎 𝟐𝟒𝟎

b) 𝟐𝑺𝒆𝒏𝒙

b)

𝟎

𝟏

𝟎

𝟏 𝟐

𝑭𝒂𝒍𝒔𝒐

y

y

} 60

120

240

X

60

26.

a) b)

93

X

27.

a) y

y

30

X

30

150

X

, b)

{

28.

y

√

y

45

225

X

X

45 a) , b)

y

,

45

135

y

X

315

X

45 {

94

√

29.

√ √ √ √

√

√

√

√ √ √

(

√

√

)(

a)

)

y

√

y

60

300

X

X

60

√ √

b)

√ √

( )

30.

y

y

210

330

X

30 ( {

X

30

) { 1. 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝒙 𝟏 𝟐𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝟏 𝑪𝒐𝒔𝒙 𝟏 𝟐𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝒙 𝟎 𝑪𝒐𝒔𝒙 𝟐𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝟏 𝟎

31.

𝑪𝒐𝒔𝒙 𝟎 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝟎 𝒙 𝟗𝟎 𝟐𝟕𝟎 b) 𝟐𝑪𝒐𝒔𝒙 𝟏 𝟎 a)

a) ⁄

𝑪𝒐𝒔𝒙

⁄

𝒙

,

𝒙

95

𝑪𝒐𝒔

𝟏 𝟐

𝟏 𝟐

𝟏𝟐𝟎 𝟐𝟒𝟎

b) y

60

y

120

240

X

X

60

32.

a)

b)

33.

a)

,

y

y

b) 60

120

240

X

60 (

⁄ )

,

34.

a) ,

96

X

b)

}

35.

a)

, b)

,

97

√

36. (

)

*

*

+ +

√

√

√

(

300

240

√

( )

y

y

√

X

60

)

X

60

}

√ ⁄

37.

√ ⁄ √

√

(

√

(

√

)

√

√ ⁄ √ ⁄

√ ⁄

)

y

y

⁄ 210

⁄

330

X

30

30

,

X

38.

( (

)

(

)

)

( (

) )

y

y

30

210

X

30

√ √

30 98

X

√

a)

√

( ) ,

y

y

√

b)

330

( √ ⁄ )

X

30

, } 39. √ √

*

[

+

]

[

]

a)

,

b) { }

99

30

150

X

39. 𝑆𝑒𝑛𝑥 𝑆𝑒𝑛 𝑆𝑒𝑛𝑥 𝑆𝑒𝑛

𝑥

𝐶𝑜𝑠𝑥

𝑥

*𝑆𝑒𝑛𝑥 √

𝐶𝑜𝑠𝑥

𝐶𝑜𝑠𝑥

[

+

𝐶𝑜𝑠𝑥]

𝐶𝑜𝑠𝑥

𝑆𝑒𝑛 𝑥

𝐶𝑜𝑠𝑥

𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝑥

𝐶𝑜𝑠𝑥 𝐶𝑜𝑠𝑥

𝐶𝑜𝑠 𝑥 𝐶𝑜𝑠𝑥

𝐶𝑜𝑠𝑥 𝐶𝑜𝑠𝑥 a) 𝐶𝑜𝑠𝑥 𝐶𝑜𝑠𝑥 𝐶𝑜𝑠𝑥 𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝑥

,

b) 𝑪𝒐𝒔𝒙 𝟎 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝟏 𝟎 𝒙 𝟗𝟎 𝑵𝒐 𝒆𝒔 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊 𝒏 𝒂𝒍 𝒓𝒆𝒎𝒑𝒍𝒂𝒛𝒂𝒓 𝒆𝒏 𝟏 𝒏𝒐 𝒔𝒆 𝒄𝒖𝒎𝒑𝒍𝒆 𝒍𝒂 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍𝒅𝒂𝒅 { 𝟐𝟕𝟎 𝑵𝒐 𝒆𝒔 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊 𝒏 𝒂𝒍 𝒓𝒆𝒎𝒑𝒍𝒂𝒛𝒂𝒓 𝒆𝒏 𝟏 𝒏𝒐 𝒔𝒆 𝒄𝒖𝒎𝒑𝒍𝒆 𝒍𝒂 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍𝒅𝒂𝒅 𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊 𝒏 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒙 𝟎 𝟑𝟔𝟎 }

100

40. √ (√

)

a)

,

b)

y

y

318,59° 41,41°

( )

X

41,41°

, }

√

41. √

(√

)

a)

101

X

b) ⁄

y

y

( ⁄ )

300° 60

,

X

X

60

42. (

)

a) √

√ √

a1)

y

y

√

300°

√

60

X

X

60

,

(

√

y

y

√

a2)

)

60

120

240

X

60

,

30

b)

102

X

√

√

43.

√

√ y

√

a)

y

71,56°

71,56° 108,44°

X

X

{ b) y

y

{

254,56

} ´}

´

285,44° 74,56

X

74,56

44.

√

y

√ √

68,53 111,47

y

X

248,53 68,53

a)

b)

103

X

X

} 45.

a) } b) √ } 46.

a)

y

b)

199,47°

⁄ (

19,47°

⁄ ) }

47.

104

y

X

340,53° 19,47°

X

a)

y

y

b) 70,53

⁄ ( ⁄ ) }

105

X

70,53 109,47

X