Solucionario de Problemas de Metodos Numericos

UNIVERSIDAD NACIONAL

DEL

CALLAO 

 FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA  ENERGIA 

INTEGRANTE :

TRABAJO

: DIRIGIDO (RESOLUCION PROBLEMAS)

CURSO DIRIGIDO:  METODOS NUMERICOS  PROFESOR 

:

LIC. COLLANTES  GRUPO HORARIO :

02M 

1

2006

SOLUCIONARIO DE PROBLEMAS DE METODOS NUMERICOS

1. determina determinarr interval! interval! "#e $nten% $nten%an an !l#$ine !l#$ine! ! a la! !i%#iente! !i%#iente! e$#a$ine!& 'a ', '$ 'd

()*)( + 0 -(2) e( + 0 (2)2(2)-(*+ 0 (*-.001(2-.002(1.001+0

Problema 1: Nos auxiliamos de un software gráfico como el Matlab, de esta manera podemos determinar un intervalo apropiado donde buscar la solución de las ecuaciones pedidas. Para cada caso mostramos las gráficas obtenidas por el matlab. a)x!"x las gráficas #ue se obtienen para la intersección de $x e $  x!"x muestran #ue un intervalo donde %a$ una solución es: &  '(.,(.*+.

2

3

2 . 5

2

1 . 5

1

0 . 5

0

0 . 5

1 1

0 . 8

0 . 6

0 . 4

0 . 2

0

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1

b) x   -ex) las gráficas #ue se obtienen para la intersección de $x e $   -ex) muestran #ue un intervalo donde donde %a$ una solución es: &  '(./,(.*+

1 0 . 8 0 . 6 0 . 4 0 . 2

0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1

0 . 8

0 . 6

0 . 4

0 . 2

0

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1

3

c) x  -x! 0 x 2 !) las gráficas se muestran a continuación. 1 0 . 8 0 . 6 0 . 4 0 . 2

0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1

0 . 8

0 . 6

0 . 4

0 . 2

0

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1

el intervalo donde se encuentra la solución es: &  '(.,(.*+. d)x-x3! 2 .((1x3 2 1.1(1).(( las gráficas se muestran a continuación: 5

0

5

1 0

1 5

2 0 6

5 . 5

5

4 . 5

4

3 . 5

3

2 . 5

2

podemos considerar entonces el intervalo &  '"4.4, ".4+. 5entro de este intervalo podemos encontrar una ra67 real.

4

2. !ean /(' + 2( $! 2(' ()2'2

 (0 + 0

a' determine el ter$er 3linmi de Talr P*('  4!el 3ara a3r(imar / 0.-' ,' #!e la /rm#la del errr en el terema de Talr  determine $n ella #na $ta !#3erir 3ara el errr 5 / 0.-') P*0.-' 5 . $al$#le el errr real.

= f ( x0 ) +

 P3 ( x )

 f ' ( x0 ) 1!

( x − x0 ) +

f " ( x0 ) 2!

2

( x − x0 ) +

f "' ( x0 ) 3!

( x − x0 )

3

 8lrededor de  x0 = 0  f ( x )

= 2 x cos ( 2 x ) − ( x − 2 ) 2

 f ' ( x )

= 2 cos ( 2 x ) + 2 x  2 (− sen 2 x − ) 2 ( −x = 2c0s ( 2 x ) − 4 xsen 2 x − 2 ( x − 2 )

 f " ( x )

= −4sen ( 2 x ) −  4sen2 x+ 4 x ( 2cos 2x − ) = −8 sen ( 2 x ) − 8x cos 2 x − 2

 f "' ( x )

= −16 cos ( 2 x ) − 8[ cos 2 x − 2 xsen 2x] =− 24 cos ( 2 x ) + 16 xsen ( 2 x )

 f  ( 0 )

= −4

 f  ' ( 0 )

=6

 f  " ( 0 )

= −2

 f  "' ( 0 )

= −24

 f ( 0.4 )

2)

2

2

24

2

6

≈ P 3 ( 0.4 ) = −4 + 6 ( 0.4 − 0 ) − ( 0.4 − 0 ) 2 −

( 0.4 − 0 )

3

9uego :  P 3 ( 0.4 ) = −4 + 2.4 − 0.16 − 0.256  P 3 ( 0.4 )

= 2.016 5

 f  3 ( 0.4 )

= 2( 0.4 ) cos ( 0.8) − ( 0.4 − 2) 2

  f  3 (0.4)

−

 P 3 (0.4)

=

0.013365367

*. U!e la aritmti$a de rednde de tre! $i/ra! !i%ni/i$ativa! 3ara l! !i%#iente! $7l$#l!. Cal$#le el errr a,!l#t  errr relativ $n el valr e(a$t determinad a 3r l men! 8 $i/ra!. a' ,' $' d' e' /' %'

1** 0.921 1** ) 0.-99 121  0.*2:'  119 121)119'  0.*2:  1*;1- ) 6;: ' ; 2 e )8.-' )10  6 e )*;62   ) 22;:' ; 1;1:'

 8 ! cifras significativas a) 133 + 0.921 = 133.9210 ≈ 134 b) 133 + 0.499 = 132.5010 ≈ 133

c)

( 121 − 0.327 ) − 119 = ( 121) − 119 = 2 1 44 2 4 4 3 120.6730

d)

13 14

= 0.929 6

= 0.857 7 2e = 5.44 9uego :

0.929 − 0.857 5.44 − 5.40

=

0.07 0.04

= 1.75

f) −10π  = −31.4 6e = 16.3

−

3 62

= −0.05

6

9uego : −10π  + 6e −

3

= −15.15

62

%) π  = 3.14 22 7 1 17

 − 22

=

3.14

=

0.06

π 

7

1

=0

17

-. determine la ra3ide< de $nver%en$ia de la! !i%#iente! !#$e!ine! a' lim

!en

1

 + 0

n

n →∞

,' Lim

!en

1 n

2

 + 0

n → ∞

$' lim

!en

1 n

'2 + 0

n → ∞

d' lim  Ln n1'  Ln n ' + 0 n → ∞

a)

 1  lim  sen    n→∞  n   Pn

=0

1 = sen       n 

lim Pn

= P  = 0

Para determinar la rapide7 de convergencia, determinaremos el l6mite par  algun lim

 P n

 1 −

+

 P n

−

 P 

 P 

α 

7

n  1  1   n + 1 sen ( )   n + 1    n + 1 = lim n + 1      1  1   n sen   n sen  n    n    

n sen  lim

n→∞

       sen  1        1   n 1 +       1   1     1 +     n   ( n + 1)     = 1 = lim n→∞   sen  1     n         1     n      ∴  converge linealmente b)

 1   = 0    n2 

lim  sen 

n→∞

1 = sen  2     n    P 0 = 0  Pn

 1     Sen  2    Pn +1 − P   ( n + 1)   =  P − P   1    sen  2   n  

 1     Sen  2 2   ( n + 1)  ( n + 1)   1 n 2sen  2   n  

n 2 ( n + 1)

⇒ lim

n→∞

2

  1    sen    2     ( n + 1)     1  2  2       1     ( n + 1)   = lim  =1 1   n→∞    1 +    sen  1      2  n    n     1    n2     

8

∴ converge linealmente e

1 c) lim  sen     = 0 n→∞  n 

  1    Pn =  sen       n  

e

e

 sen  1      n + 1     Pn+1 − P       = 1 lim = lim e  Pn − P   1   sen     n  ∴  converge linealmente lim  Ln ( n+ 1)− Ln ( n )=

d)

n→∞

 Pn

0

= Ln ( n + 1) − Ln ( n )

 Pn+1 = Ln ( n + 2 )

− Ln ( n + 1)

8. A3li"#e el mtd de la ,i!e$$i=n 3ara en$ntrar !l#$ine! e(a$ta! dentr de 10)8 3ara l! !i%#iente! 3r,lema! a' (  e( + 0 ,' e( ) (2*()2 + 0

3ara 3ara

≤ x ≤1 0 ≤ x ≤1

0

;eguimos los siguientes pasos: &ntervalo inicial [ a , b] a1 = a b1 = b

eamos el primer caso: a)

 x − e − x

?

=0

0

≤  x ≤ 1

i = 1  f ( x )

a1 = 0 f ( a1 )

= x − e− x

⇒

a=0 b =1

i = 2  ? como  f ( b1 ) f ( c1 )

= −1 b1 = 1 f ( b1 ) = 0.632121 c1 = 0.5 f ( c1 ) = −0.106531 "#e -*8 000 de ell! inmi%ran a!ta la $m#nidad el 3rimer aF  "#e 1 86- 000 Se en$#entran en ella la /inal del aF 1. Si "#erem! determinar la natalidad de e!ta 3,la$i=n de,em! determinar 1 86->000 + 1 000>000 e  

435,000 λ 

 e  )1 '

5efiniendo  f ( x )

= 1000000e x +

435000  x

( e x −1) −1564000

Isando el mDtodo de Newton con punto inicial  x0 = 2 $ aplicando -K) resulta #ue: λ 

= 0.0000001 x10 6 = ( 0.1 x10 −6 ) x10 6 = 0.1009

@ reempla7ando en :  N ( t )

= N 0e λt +

V 

e t  − 1) ( λ  λ 

Para los valores: t  = 2

= 0.1009 V  = 425000  N 0 = 1000000 λ 

;e obtiene:  N ( t ) = 2165406  al final del do aLo Problem 10 lc#los reli%os

i   0 1   2

i 106 (i)106 0.00000200000000 7.21467580044807 0.00000113090498 2.34162681259594 0.00000047618624 0.60309228052234

27

  3 4   5   6

0.00000016051940 0.00000010263928 0.00000010099920 0.00000010099793

0.08197903100495 0.00219945011100 0.00000170006609 0.00000000000102

11. a' Dem#e!tre "#e 3ara $#al"#ier enter 3!itiv  la !#$e!in de/inida 3r Pn+

1 n

k 

 $nver%e linealmente en P + 0

,' Para $ada 3ar de enter !   m> determine #n n#mer N 3ara la $#al 1  N 

a)  P n =  P 0

k 

J 10)m

1 n k 

=0 1

 Pn +1 − P   Pn − P 

n ( =

k 

+ 1)

k 

−0

1 n k 

   k   1÷ n = =  1÷ k  + n 1 ( ) 1+ ÷  n 

k 

k 

     P − P  1 ÷ ⇒ lim n+1 = lim  ÷ =1 1 n→∞  Pn +1 − P  n→∞ 1+ ÷  n  ∴ P n  converge linealmente  b)

;ean k , m > 0   entonces ⇒ 10m ∈ N  1) = (&))2/((&>2) = 2(&>1) > (&)) o&%e los (&) rerese&$& los eleme&$os %e l s#cesi& orii&l @ los P(&) los ob$e&i%os or el m$o%o %e :i$e& %%os e& l rimer @ se#&% col#m& resec$i-me&$e r c% cso ) (&) P(&)          

0.20042624309996 0.27274906509837 0.25360715658413 0.25855037626494 0.25726563633509

0.25761321071575 0.25753583232667 0.25753066000103 0.25753031065960 0.25753028713916

33

 b)          

(&) 0.84003968489841 0.87872234966328 0.89588343485123 0.90360367538226 0.90709843499833

c)          

0.90956750686718 0.90991689374599 0.90998883848610 0.91000369764865 0.91000677062656

(&)

P(&)

0.57735026918963 0.53031500464853 0.55843861277518 0.54144839213746 0.55164979836866

%)          

P(&)

0.54791507369074 0.54784704206864 0.54782256546363 0.54781366575393 0.54781044996893

(&)

P(&)

0.87758256189037 0.63901249416526 0.80268510068233 0.69477802678801 0.76819583128202

0.73608669171302 0.73765287139640 0.73846922087626 0.73879806517359 0.73895771094142

18. $n!idere la /#n$i=n /('+ e6(  * Ln2'2 e2( Ln' e-(  Ln2'* a3li"#e el metd de Netn $n P 0 + 0 3ara a3r(imar #na rai< de / %enere termin! a!ta "#e 5Pn1)Pn5 J 0.0002. $n!tr#a la !#$e!i=n. Pn  me?r la $nver%en$ia Sl

 f ( x )

= e6 x + 3 ( Ln 2 ) 2 e2 x − ( Ln8) e4 x − ( Ln 2 ) 3

 f ' ( x )

= 6e6 x + 6 ( Ln 2 ) 2 e2 x − 4 ( Ln8 ) e4 x

l mDtodo de Newton con  x0 = 0  nos da:  xi +1 = xi

−

 f ( xi )  f ' ( xi )

⇒ x1 = x0 −  x2

 f ( x0 )  f ' ( x0 )

= x1 −

 f ( x1 )  f ' ( x1 )

∀i ≥ 0

=0−

0.289 0.5650

= −0.0511 −

= −0.0511 0.0092 0.5650

= −0.0898 34

 x3

 x17

= x2 −

 f ( x2 )

= −0.0898 −

 f ' ( x2 )

= x16 −

 f ( x16 )

0.0029 0.2380

= −0.1827 −

 f ' ( x16 )

= −0.1182

0.000000004 0.000005

= −0.1828

 8l aplicar el mDtodo de 8it Nen se obtiene: n  x

(  xn+1 − xn )

=x − n

2

(  xn+ 2 − 2 xn+1 + xn )

9uego :

= x0 −

 x0

1  x

=x −

15  x

1

(  x1 − x0 )

2

 

 x3

=x − 15

= −0.21022

(  x2 − 2 x1 + x0 ) (  x2 − x1 )

(

2

− 2x + x ) 2

1

(  x16 − x15 )  

= −0.19657

2

(  x17 − 2 x16 + x15 )

= −0.1828

Problem 15 Aos res#l$%os ob$e&i%os emle&%o el m$o%o %e BeC$o& i&ici&%o e& 02) = 2(&>1) > (&))

16. la! !#$e!ine! $nver%en a 0. #!e el mtd Pn  a!ta "#e 5Pn5  8(10)2 ) P n +  b)  P n +

1

2

 de Aiten %enerar

n ≥1

n 1 n

2

n ≥1

Sl

a)  Pn = 1/ n

∀n ≥ 1

 P 1 = 1  P 2

=

1 2

36

 P 3

=

1

 P 4

=

1

 P 9

= 0.1111

3 4

 @ los tDrminos #ue se obtienen por el mDtodo de 8tinen son:   P n

= P  − n

 P1 = P 1 −

(  Pn+1 − P n )

(  Pn+ 2 − 2Pn+1 + P n ) (  P2 − P 1 )

(  P3 − P 2 )

= P  −

  P  3

= 0.1250

2

= P 9 −

b)  Pn =  P 1 =  P 2

=

 P 3

=

 P 4

=

2

(  P10 − P 9 ) (  P11 − 2 P10

= 0.1666

2

+ P 9 )

= 0.05 ≤ 0.05

∀n ≥1

n2 1

= 0.2500

(  P4 − 2P3 + P 2 )

1

1

2

(  P3 − 2 P2 + P 1 )

  P 2

 P9

2

=1

1 22 1 32 1 42

1

= = 0.25 4

1

= = 0.1111 9

=

1 16

= 0.1625

 Por el mDtodo de 8it nen se obtiene:  Pn

= P n −

(  Pn+1 − P n )

2

(  Pn + 2 − 2 Pn+1 + P n )

37