Solucionario de B. Makarenko - Ejercicios y Problemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias - FL

SOLUCIONARIO DE B. MAKARENKO

Eduardo Espinoza Ram Graduado y Titulado en Matemát Catedrático de las principales Universidades de la Capital ■— —i

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EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

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Variable Compleja y sus Aplicaciones Solucionarlo de Análisis Matemático por Deminovich tomo I, II, III Solucionarlo de Análisis Matemático por G.Berman, tomo I, II, III Solucionarlo de Matemática Aplicada a la Administración y Economía por E.WEBER. ► Solucionado de Leithold 2da. Parte. ► Geometría Vectorial en R2 ► Geometría Vectorial en R3

www.Solucionarios.net Eduardo (Espinoza Ramos L im a - P e r ú

EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

SOLUCIONARIO

A. KI SEL ION - M. Krsnov - G. MAKARENKO

EDUARDO ESPINOZA RAMOS LIMA - PERÚ

PROLOGO IMPRESO EN EL PERU

La presente obra intitulada “ Ejercicios y Problemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Solucionario ” del libro de Makarenko y otros autores, en su

Fecha de publicación Ejemplares impresos Númáfo de edición Autor*

0 9 -0 2 -2 0 1 0 1000

3ra. Edición, se ha revisado cuidadosamente y ampliado, abarcando los conceptos

libros

3 a EDICIÓN

fundamentales, las ecuaciones diferenciales de primer orden y primer grado, así como

Eduardo*Espinoza Ramos

sus aplicaciones, las ecuaciones diferenciales lineales de orden n homogénea y no homogéneas, las ecuaciones diferenciales de Euler, las ecuaciones diferenciales lineales

Este libro no puede reproducirse total ó parcialm ente por ningún m étodo gráfico, electrónico o m ecánico, incluyendo ■ los sistemas de fotocopia, registros m agnéiicos o de alim entación de datos, sin expreso consentimiento del autor y editor.

de coeficientes variables, solución de ecuaciones diferenciales por series de potencias, sistemas de ecuaciones diferenciales, solución de ecuaciones diferenciales lineales por medio de Transformada de Laplace, sistemas de ecuaciones diferenciales resueltas por medio de Transformada de Laplace.

El objetivo fundamental de la presente obra es servir en la formación de los

DERECHOS RESERVADOS D.L. N° 8 2 2

futuros profesionales en las áreas de ciencia e ingeniería, tanto en los aspectos

Derechos copyright Edukperu © 2009 reservados

científicos, como técnicos relacionadas con la impresión.

RUC Ley de Derechos del Autor Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú con el número

N° 20520372122 N° 13714

Deseo expresar mi más profundo agradecimiento a mis colegas del área de matemática de las diversas universidades, quienes con sus sugerencias y apoyo han contribuido para mejorar éste trabajo. También mi reconocimiento especial al Doctor Pedro Contreras Chamorro, quien en todo momento está contribuyendo en mis trabajos,

N° 2007-12593

a fin que el beneficiado sea el estudiantado.

Agradezco por anticipado la acogida que ustedes brindan a cada una de mis publicaciones, las que emanan del deseo de que encuentren en ellas una ayuda para su avance y desarrollo intelectual. Eduardo Espinoza Ramos

IN D IC E Pag.

1.

Conceptos Fundamentales.

i

2.

Ejercicios de Verificación.

2

3.

Ecuación con Variable separable y ecuaciones reducibles a ellas

14

4.

Ecuaciones Homogéneas y Reducibles a ellas

48

5.

Ecuaciones lineales de primer orden y Ecuación de Bemoulli

72

6. 7.

Ecuaciones Diferenciales Exactas, factor integrante

100

Ecuaciones Diferenciales de primer orden no resueltas con respecto a la derivada.

8.

Ecuación de Lagrange y Clairout

9.

Composición de las Ecuaciones Diferenciales de las familias de curvas, problemas de Trayectorias.

130 143

154

10.

Soluciones Singulares

166

11.

Diversos Problemas

175

12 .

Ecuación Diferencial de orden superior, Reducción del orden de la ecuación.

196

13.

reducción del orden de la Ecuación

210

14.

Ecuaciones Diferenciales Lineales de orden n

245

15.

Ecuaciones Lineales Homogéneas de coeficientes constantes

260

16.

Ecuaciones Lineales no Homogéneas de coeficientes Constantes

272

17.

Ecuación de Euler

333

18.

Ecuaciones Diferenciales lineales de Coeficientes Variables

345

19.

Composición de la Ecuación Diferencial dado el Sistema Fundamental de Soluciones

394

20.

Integración de las Ecuaciones Diferenciales mediante series

396

21.

Sistemas de Ecuación Diferencial de coeficientes constantes

430

22.

Reducción de un sistemas a una Ecuación Diferencial de orden n

431

23.

Método Operacional y su aplicación para la resolución de Ecuación Diferencial

454

24.

Propiedades de Transformada De Laplace

455

25.

Ecuaciones Diferenciales de Coeficientes Constantes (con

y^n): es decir: es una ecuación de la

Si la función incógnita y = y(x) depende de una sola variable independiente x, la ecuación diferencial se llama ecuación diferencial ordinaria.

El orden de una ecuación diferencial es el de la derivada de mayor orden que figura en la ecuación.

Se llama solución de la ecuación diferencial a una función y = \|/(x), determinada en el intervalo (a, b), junto con sus derivadas sucesivas hasta el orden n inclusive tal que al hacer la sustitución y = \|/(x) en la ecuación diferencial, esta se convierte en una identidad con respecto a x en el intervalo (a, b). La gráfica de una solución de la ecuación diferencial se denomina curva integral de la ecuación.

La forma general de una ecuación de primer orden es:

Sistemas de Ecuaciones Diferenciales lineales con Transformada 489

de Laplace 27.

Una ecuación diferencial es aquella que relaciona la variable independiente x, la función incógnita y = y(x) y sus derivadas; forma.

470

Transformada de Laplace). 26.

ICONCEPTOS FUNDAMENTALES!

510

Apéndice

F(x,y;f) = 0 Si en la ecuación (1) es posible despejar y ' , resulta;

í

j nói38U33 «i 3b ksé

. .. (2) Que representa una ecuación de primer orden, resuelta con respecto a la derivada.

1

Verificar, en los ejercicios que se dan a continuación, que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas.

( l - j r 2).y'+jrv = - ( l - x 2) — ^ = r + x(2 + c V l-x 2) = - V l - x 2cc + VT- x 2cx + 2x

-x2’ V l-J

11.-

sen* y = -------, xy'+y = eos* x

(1 - j t 2)j^'+jcv = 2jc

Solución y - scn£

y'= x cos*

se.n.£ 9 reemplazando en la ecuación dada.

14.-

j = x V l - x 2",

>y’= x - 2 x 3 Solución

jc eos jc-sen * X2

sen* *y

x 2 c o s x -x se n x v2 *

sen* .y = W l - * 2 => / = V l - x 2 — í ------ = —T 2* V i- * 2 V i- * 2

senx senx = eos X ---------+ ------- -- eos X X

X

r. 5". 1 —2jc , = W l - s (■ ,----- - ) = s - 2 x 3

.*. xy'-Hy = cosx >y' = JC-2:c3

12. -

>> = ce“2jr+ — , y + 2j = e*

15.-

, =

, x /= > ;tg (ln j;) Solución

Solución j; = ^aresener ^

l=

_ c e ~2jr + £ _ => y = - 2c e _2jr + — , reemplazando en la ecuación dada.

aresenex

' Jl -(cx )2

i "\lpfii-

X c e «*mcx

X ex y'+2y = -2 c e~ lx +— + 2ce~Zr +2 — = e x 3 3 y'+2y = e x

xy -

xcy

r ■- = ^ = tg(ln_v).^ V1 ~ ( c x ) 2 -Jl-(c x )2

x} = J'tg(lny) donde: sen(lny) = cx => lny = arc.sen ex => 13.-

>>= 2 + c V l - x 2 , ( l - j c 2)y+xy = 2x tg(lny) = — v h

Solución y = 2 + c V i- * 2 =>

2

y=

-ex 16.-

f* ^ = e J0

2

^F

dt+ceX > y ' - y = e

3

19.-

Solución y

=

e*

J *

e

' 1

dt

ce*

+

= >

y '= e x

£

e

' 2

dt

+

e* .e* '

+

ce*

X = COSÍ

y = sen /

Soiución , _ / (O _

eos/

* '( 0

sen í

y ' - y = e x+j;2 *+ f * sen t y =x\ — ~ d t, Jo t

x+ yy' = 0

, reemplazando

y ’- y = e x J X e , 2 d t + e * . e * 2 - + c e * - e * j o e ' d t - c e * = e~* * .e*1

17.-

L

,

cosí ^

sen/

, eos/ = cos/ + sen /(---------) = c o s /-c o s / = 0 sen/

x y = y + xsenx

JC+ J> /= 0

Solución 20. Sen t v —x l ------ dt ^ y J0 t ex

Cx sen i sen x y' = I dt + x 7 Jo t X

r > sen t . Jo

t

x = íet

(l + xy)y'+y2 =0

y =e - Idt +senx Solución

xy’= x (

*

18..

r* sen t r*sení ------ 2 = (l + í)(-----------) + e~2' = - e “2' + e 2' = 0

x y '- y = xe

e' 0 + 0

Solución X

y_

(1 + xy)y'+y2 = 0

m ¿>X

dx + c)=> / = J — dx + c + e* \ reemplazando en la ecuación dada.

J

x = e »rctg(f)

21.-

x f €* x y'-y = x( í — dx + x + ex) - x ( | — dx + c)

J x

Í

L y + xy’= 0 ^ = e -arctg(,)r* Solución

J x

ex f ex — dx •+■xc + xc —x I ——-dx —xc —xc X

J

X

arctg(/)

jx = esrctg / = _ e - 2arct8(')

y + jcy’= É -arc,8(,) + e arct*y'=t

1

y' ln— = 4x 4 y'+ aresen y' = t + aresen r = x 23.-

jc = ln / + sen í

, x = ln v’+ s e n j'’

x = y '+ a re s e n /

y = r(l + senO + co síJ Solución x = t 2 + er , 1 1+/COS/ x = iní + sen t=>x\ = - + cos / = ----- ------

y = /(l + sení) + cosí ^ .V/ = 1+ senl + t e o s /—sen / = l + f eos/ 6

2í 3 y = — + (r-iy

y

+ey' = x

Solución

x = t 2 +e' 3

s

y = * -+ (,-l)e ‘

x\* = 2t + e' y'(t) = 2t2 +e' + ( í- l) e ' =t( 2t + e‘)

28.-

y = ln(c+ex ) ,

y ' = e x~y Solución

y - ln(c+ex )=t> y ’= --------, además

, y\ t(2 t+ e ') , , y= - —---- — - = / = > / = í x\ 2t + e ‘

c+ ex

ex

ex

c+ ex

ey

y'-.---------- -- ---- = e ' - '

y ’2+ey' = t 2 + el = x y ' 2+ey = x

29.-

=> y ’= e x~y

y = -Jx2 - e x , ( x 2 + y 2) d x - 2 x y d y - 0

Verificar que las funciones dadas son las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales indicadas. 26.-

Solución y = 4 * 2 - ex => dy = — rl : . c dx x 1-ex

y = -------, y '- t g x . y = 0 cosx Solución

y

y= ln (c + ex)=>c + e x = e y

( 2 x - c ) d x - 2 ^ J x 2 - c x d y = 0 , dedonde (2 x2 - x c ) d x - 2 x y d y = 0

-------y'' = c sec x. tg x , reemplazando en la ecuación cosx

( x 2 - x c + x 2) d x - 2 x y d y = 0 entonces

(y2

+ x 2)d x -2 x y d y = 0

Q

y '- t g x . y = c s e c x .tg x - tg x . ------ = c .s e c x .tg x -c s e c x .tg .t = 0 cosx

30.-

j = x(c-ln |j:|) , (x - y) dx + x dy = 0

y -tg x .^ = 0

27.-

=

3x + c

Solución y = x ( c —lnjxj) => dy = (c -\v \x \)d x -d x

y '= 3 y2

x d y = x ( c - \ n \ j f y d x - x d x , como y - x { c - lnjx|) entonces:

Solución

y =-

i 3x + c

3 /=

(3x + c)

x d y = y d x - x d x => ( x - y ) d x + x d y = 0 y =

(3x + c)

= 3(——— ) 2 = 3 ( - y ) 2 = 3 y 2 3x + c ••• y ' = 3 y 2

8

31)

x =ye**\

/ =

x ( ln x - ln ^ ) Solución 9

x-ye

\ n x - \ n y = cy + \

ln — = cy + \ , dedonde

=>

( omprobar si las relaciones dadas son integrales de las ecuaciones diferenciales indicadas o no lo son (c = constante). 33)

x = y e V +l => e ^ 1 = -

e~y - e x = 1, jty'+l = e y Solución

jc = l = / ^ +1+ o ^ +V 1

32)

= ^ ( 1 +00/

= ~ ( i n x - l n .y ) y

e~y

y '= -

= —( ln j c - ln y ) / entonces: ^

x (ln x - ln y )

- x e ~ yy'-(e~y - \ ) n _v , _v . „ ------------ ------------= 0 => - x e y y - e y +1 = 0 x

* = >>lncy, / ( * + >>) = .V

x y '+ l - e y = 0 => xy'+l = e y

Solución

x ey x = y hicy => — = lncy => — = c , derivando se tiene: y

y

y e h * ^ f)-¿ y ' y

------------------------- = 0 y

-1

e y - ex - 1 => ---------= c derivando x

y

_

, a\ *4)

y

3

1

c

X

Xó

2j 3f dx , xy dy + y dx = — X

Solución

xy'

simplificando - ----- — - / = 0 => y - x y '- y y '= 0 y >>3 = —+ —r- => x 3y 3 - x 2 = c , diferenciando se tiene: x x3

'(x + y )y '= y La relación 4>(x, y, c) = 0 que se obtiene en forma implícita determina la solución general que se llama integral general de la ecuación diferencial de primer orden.

3x2y 3dx + 3x3y 2d y - 2 x d x = 0 => x y 2dx + x 2y d y = 3y

La relación que se obtiene en la integral general al atribuir a la constante c un valor determinado, se llama integral particular de la ecuación diferencial. El problema de resolución o de integración de una ecuación diferencial consiste en hallar la solución general o la integral de la ecuación diferencial considerada, si además, se ha dado alguna condición inicial, se pide también hallar la solución particular o la integral particular que satisface a la condición inicial considerada. Como geométricamente las coordenadas x e y son equipotentes, además de la ecuación — = f ( x , y ) se considera también la ecuación — = -

dx

10

dy

Luego no es integral de la ecuación.

35)

x 3 - 4 x 2y + 2 x y 2 - y 3 = 0 ,

(3x2 - 8 x y + 2 y 2) d x - ( 4 x 2 - 4 x y + 3 y 2)dy = 0 Solución

x 3 —4 x 2y + 2xy2 —y 3 = 0 , diferenciando se tiene:

*

f(x ,y )

3x2dx - Sxydx - 4x 2d y + 2 y 2dx+ 4xydy - 3 y 2dy - 0 11

(3x2 - i x y + 2 y 2) d x - ^ x 2 - 4 x y + 3y2)dy = O 38)

x = yj^ se n t2d t , ^ = Ay'+y2 senjc2

Si es integral de la ecuación diferencial. Solución 36)

y 2 + 2cx - c 2 y yy'2 +2xy'=x +1 x = y ¡ se n í2dt => f sent 2dt = — , de donde

Solución

»0

y 2 + 2cx = c 2 => c = x ± tJ x 2 + y 2 derivando se tiene:

0

= 1 ± —^ M = J x 2+ y2

x=yj0sen12^ l = 2xy'+yy'2

No es integral de la ecuación diferencial.

*=y'JQsenr2dt +y sen x 2, reemplazando se tiene:

= / y + . y s e n x 2 => y = xy'+y2 s e n x 2

Si es integral de la ecuación diferencial.

39)

Cx sen t

—-—d í - y \ n y , xy'+xiny = x senx + y l n y

arctg—- \n (c J x 2 + y 2 ) = 0 , (x + y ) d x ~ ( x - y ) d y = 0 x

a rc tg ~ - ln c J x 2 + y 2 = 0 , diferenciando se tiene: x

^| y2 x2

c.(xdx + ydy)

Solución f*senr x \ —— dt = y \ n y t

Solución

xdy - ydx x2

y

=> y \ n y + x sen x = x (\n y + l)y'

J x 2 + y 2 .c .J x 2 +y No es integral de la ecuación diferencial.

xdy - ydx

xdx + ydy

x2+y2

x 2+y2

= 0 de donde x d y - y d x - x d x - y d y = 0

(x - y)dy - (x + y)dx = 0

entonces

(x + ^ ) á r - ( x - x(l + y 2) = c

( y 2 + x y2) y ’+x2 - y x 2 = 0

donde a, b, c son constantes, se reduce a una ecuación con variable separable haciendo la sustitución z = ax + by + c.

Solución ( y 2 + x y 2)y'+x2 - y x 2 = 0 , agrupando

Integrar las ecuaciones: 81)

l n x 2(l + y 2)=¿

(\ + y 2)dx + {\ + x 2)dy = 0

y 1 (\ + x ) - ~ + x 2( l - y ) = 0. Separando la variable. Solución

(1 + y 2)dx + (1 + x 2)dy = 0 , separando la variable dx dy „ . , ------ r- + ------ —= 0 integrando 1 +x 1+ y 2 14

1

y

^ - + — ~ = 0 , integrando: f ¿ ± + í ^ í , c . De donde se tiene: - y 1+ x j 1- y i 1+ X

l +x ( x + y ) ( x - y - 2) + 21n=c 1- y 15

84)

(1 + y 2)dx = xdy

v r ^ +v n = *

=> * = i

Solución V i- * 2 + V i- .v 2 = i (1 + y 2 )dx = x d y separando las variables 87)

< r '( l + / ) = l

dx dy — = ------ y , integrando ln xk = arctg y

x

1+ y

Solución y = tg(ln(fcc))

85)

e - * ( i + / ) = i => i + y = ^

x j l + 'y2 + yy'yfl + x 2 = 0

— = dx

=> y = ^ - i

- 1, separando las variables, - — -- = d: , integrando se tiene: e y -1

Solución x^l +y 2 + y^l +x 2 ^

t dy c i ~ l = i d x+c

= 0 . Separando las variables.

c e ydy

=> J T 7 7 7 ^ +A:

l n ( l - e ^ ) = x+A: => l - e -* » ^ * - e V

xdx

ydy r + -jrr-r = 0 , integrando Vl + * 2 +y 2

/.

r _ x d x _ + ( _ y ^ y _ = c dedonde

+

-c

88)

=¡ e * = - L ( l - e - y ) e

e x = £ (1 - 0

>>ln.y 2

•= c

ln(x ln(>>)) = k => x ln y = c de donde

para dé donde, 16

-\fl-x 2 + ^ l - y 2 = k , para x = 0, y = 1

c dx r dy I ----- v I ------- = k * x J yin y ln y = -

x = 1, y = 1 => l = e c => c = O x ln y = O =>

lny = O => y = 1

=> ln x + ln(lny) = k =>

=> y = e x

89)

92)

y ' = a x+y(a > O, a * \ )

(1 + y 2 )(e2xdx - ey dy) - (1 + y)dy = 0 Solución

Solución

(1 + >>2 )(e2xdx - e ydy) - (1 + y)dy = 0 , separando

dy + — = a x y = a x .a y separando las variables dx a~yd y - a xdx

=> a xd x - a ydy = 0 integrando

e 2xdx -

J a xd x - J a~y dy = k

a x +a~y =c 90)

l +>>2

dy = 0 , integrando

j e2xdx-jeyd y - j Y ^ T dy = c

e y (\ + x 2) d y - 2 x ( \ + e y )dx = 0

e 2x ^ - e y - a r c tg y - l n ^ l + y 2 = c

Solución e y (1 + x 2)dy - 2x(l + e y )dx - 0 . Separando las variables.

93)

(xv2 - y 2 + x - l) d x + (x 2y - 2xy + x 2 + 2y - 2x + 2)dy = 0 Solución

91)

e ydy 2xd x f e ydy r 2xdx ----------------- —= 0 , integrando ------7 - ------7 = k , de donde: l + e y 1+ x 2 J l + e y J 1+ x 2

(xry2 - y 2 + x - l ) ¿ * + (x 2j y - 2;*7 + x 2 + 2y - 2x + 2)¿/y = 0 , agrupando

ln(l + e y ) - l n ( l + x 2) = k

[ y 1 ( * - ] ) +(x -V ¡\dx+ [y(x2 - 2x + 2) + (x 2 - 2 x + 2)]dy = 0 , factorizando

. l +ey , l +e y ln ------ T = k => ------ t~—c 1 +x 1+ x l + e y =c(l + x 2)

(y 2 + l)(x - l)dr + (y + l)(x 2 - 2x + 2).dy = 0 , separando la variable

( x - 1 )dx

(l + e x )y y '= e y , y\x=0 = 0

f ( x - 1 )dx f 7+1 I — I -------------------------------------------- + ~~í----dy = k de donde J x - 2x + 2 J y +1 1 9 1 ? ~-ln(x + 2x + 2) + —ln(j/ + 1) + arctg y = k

Solución dy (1 + e x )y — = e y , separando las variables dx dx r _v , c dx ye ydy = ------ - integrando f ye ydy = í l +ex J J 1 de donde (1 + y)e~y = ln( * 18

y+1 ,

-------------- + -------- dy - o , integrando x 2 ~ 2x + 2 y 2 + l

)+ 1- x

- + c

ln(x2 - 2 x + 2){y2 + l) = - 2 arctgy + k=>(x2 - 2 x + 2)(y2 +1 ) = e -2tICX*y+k entonces:

( x 2 - 2 x + 2 )(y2 + l)e2arct8y = c 19

94)

y = s e n (x -j> )

(x + y ) 2y' = a 2

96) Solución

_ dz ( , Sea z = x - y => — = 1- y dx

entonces

Solución

. . dz y = 1----dx

Seaz = x + y

dz — = 1+ y' entonces: dx

=>

Como y = s e n ( jc -y ) reemplazando se tiene: dz "y / = — - 1, reemplazando en ( x + y ) y ' = a \ - — = senz => 1 - senz = — , separando las variables: dx dx

entonces

2 dz 2 z (— - 1) = a separando las variables: dx

dz dz — = 1- sen z => ---------- = d x , integrando dx 1- sen z

z Z — —dz = dx integrando z - a. arctg(—) = x + k a +z a

í — —— = [dx + c=> f(sec2 z + tgz.secz)¿/z = x + c entonces J 1- s e n z J J simplificando

y

x + y = a . tg(—+ c)

tgz + secz = x + c => tg (jc-y ) + sec(jc-y) = x + c 2

95)

y' = ax + by + c , a,b,c constantes

97)

( l - y ) ey y '+ ^ — = 0 x\n x

Solución

Solución

Sea z = ax + by + c => — = a + by’ dx y - i . - a) reemplazando en y'= ax + by + c entonces b dx

(1 - y ) e y — + — — = 0 separando las variables dx x l n x (l-y)ey

dx

------ ----- d y + ---------- ( — - a ) = z => — - a =bz => — = a+ bz b dx dx dx

y L

separando la variable

r (l-y)ey

------ ----- dy+

a + Z>z

= dx integrando

í ---- ---= f dx + k ,de donde J 0 + ¿?z J

j

y ¿

r

~ln(a+Z>z) = * + /: => ln(a + bz) = bx + bk => a+ bz = cebx b + c) + a = 20

- J

ey

d

0

.

, integrando

xlnx r

dx

r(y-l)ey

—— = c=> -

J xlnx

------ ----- dx + ln(lnx ) - c

J

(— ) + ln(ln x ) = c, de donde:

y 2

ey

- — + ln(ln x) = c

ey ln(lnx) = — + c y 21

98)

( l - y 2)dx = ( y - - J \ + y 2)(l + x 2)'/ i dy

Z3

Q2X2

~ 3 3 > %2 2 i

— = -------- + c=> 2x y 3 2 '

=3a x +k

Solución (1 - y 2 )dx = (y - J l + y 2 )(1 + x 2)% dy separando las variables

100)

( x 2y 2 +l)dx + 2 x 2dy = 0 Solución

dx y-yi+ y2 ------- = ---------------- ñ---- dy

l+ y2

(1 + X 2) A

f

dx ------- —rr =

J (1 + *2)X

J

integrando

0 Sea

, ----------^— dy + c entonces

(x 2y 2 +1 )dx + 2 x 2dy = 0 , reemplazando

l+y 2

Irf(7v i+x = r )= I{r1+^h - ~ V1+^ r =^

(z 2 +l)dx + 2 x 2( * -Z y ^ ) = 0 => (z 2 + \)dx + 2xdz —2z¿/z = 0 x

)dy+ c

( z 2 - 2 z + V)dx + 2xdz = 0 => — + — - Z—- = 0 , integrando 2x (Z- l )2

'l + y 2

+c * -ln J\ +x 2 _y + -\jU y 2 _

ioo)

1 =c —m x --------2 xy- 1

jty2 ( V + > O = 0 2 Solución

Sea z = xy

dz x ----- z => y = — => y ' = — — 2"

Como x y 2 (xy' + y) = a 2, reemplazando se tiene z X

dz dx

z x

X ------- ZH-----

= a , simplificando

z 2dz = a 2x d x , integrando se tiene: 22

z , xdz - zdx z = xy => y = — => dy = ------ -----x x2

101)

(1 + x y )y + ( x y - l ) xy'=0 Solución dz x ----- z Sea z = xy => / = —— — , reemplazando x dz x ---- z (1 + z 2) —+ (z - 1)2x(— — ) = 0 , simplificando * x2 (1 + z 2)z + (z - 1)2 x — - (z - 1)2 z = 0 dx

entonces 23

103) ( z - l ) 2xdz + 2 z 2dx = O =>

—— + x

( x 6 - 2 x 5 + 2 x 4 - y 3 + 4 x 2y)dx+ (xy2 - 4 x 3)dy = 0

dz = O integrando

Solución

z¿ Sea y = tx =>

dy = td x + x d t

entonces reemplazando se tiene:

2 \ n x + z - 2 \ n z ~ — = k => - 21n y = — - x v + k => Z

JCJ>

(x 6 - 2 x 5 + 2 x 4 - f V

102)

+ 4txi )dx + (x i í 2 - 4jc3){tdx + xdt)

ln c y 2 = * y - — => c y 1 ^ e gr xl. 3ty *y

x 3(jc3 - 2 x 2 + 2x - t * + 4t)dx+ x3( t2 -4){tdx+xdt) = 0

( * y + y + j t - 2)dx + (jt3>'2 +;c)rfv = 0

(jc3 - 2 x 2 + 2 x - t i + 4 t + í i - 4 í)d x+ (/2 - 4 )xdt = 0, simplificando (x 3 - 2x + 2)dx+ (t2 - 4)dt = 0 , integrando

Solución

Sea z = xy

=>

dz x ------z / =— —

X3 2f3 ------x +2x-\------- 4t = c 3 3

entonces

2 3 3 2 * y + j>+ jc- 2 + (jc y + jc)— = 0 , dx

*3 y3 4y ------ x + 2 x + — ,------— = c 3 3x x reemplazando se tiene: 104)

Z

y + i=

dz

3

Z

1

por lo tanto:

JC-------- Z dx

(x + ^ (x +.>>)'’ + (* + > ')'’

— + —+ x - 2 + (xz +*)(- — ) = 0 , simplificando X X x2 Sea

dz

3

z=x+y

=>

y =

Z --------Z

— + —+ x - 2 + (z 2 + 1)(——----- ) = 0 X

Solución

X

_ i . Reemplazando en la ecuación diferencial

entonces

X

( z 2 + l ) - + x - 2 = 0 dedonde dx

dx

(c

dz zn (— - 1) +1 = ---------z"+ z*

simplificando

z n + zp ------------d z - d x , integrando zm

( x - 2 ) d x + ( z 2 +l)dz = 0 rzn+z'

r

J ------— dz = j d x + c , de donde integrando

- - + z+

- -2 x =c

3 x 2 - l 2 + 2 x 3y 3 +6xy = c

24

n - m + 1 / 7-/W + 1

= x+c , n

m * - 1, p - m ^ -1 25

105)

/ r xd t-td x_ ^ (x + -----------------------+ —)¿¿t + (2/ + 1)(------ ) = 0 x x x

(ln x + y 3) d x - 3 x y 2dy = 0

tí

Solución ( x 2 + 2 t2 + t)dx + (2t+ l)(xdt-tdx) = 0 => x 2dx + (2t+ l)xdt = Q i

Sea z = ln x + y

dz

=> — = —+ 3y y dx x

1

^ 2 . xá* + (2/ + l)rfí = 0 integrando

3x y 2y % =

x2

, + 1 + 1 = Cj entonces:

- 1 reemplazando en la ecuación diferencial: dx

2 x 2 + 4/ 2 + 4í + l = c

ln x + y 3 - 3 x y 2 — = 0 => z - ( x ^ - l ) = 0

áx

=> /.

¿x

107)

2x2 + (2/ + 1) 2 = c

por lo tanto:

2x 2 + (2x ln y + 1)2 - c

y - x y ' = a(\ + x 2y') Solución

ln|z + l j - l n x = ln c =>

z+l=xc

de donde

l n ^ - ^ = lnc

=>

y - x y ' = a + ax2y'

=> y - a = (x + ax2)-^- separando las variables dx

y 3 - e x - ln x -1 — Y ~— = — ^— integrando ax + x y - a

106)

(x y + 2x y ln 2 y + y ln y )d r + (2x 2 \ n y + x)dy = 0

xc

ax + \

Solución

I0K)

Sea x ln y = t => lnj> = — => y = etlx x

=y - a

f ( - -----— t )dx= — ln c entonces J x ax + l J y-a

. y = a + ex por 1lo .tanto

ax + l

(a2 + y 2)dx + 2x^Jax-x2dy = 0, }\x=a = 0 Solución Separando las variables de la ecuación diferencial se tiene: dx

Reemplazando en la ecuación diferencial dada: ,

tlx

2e‘lxt 2

íet/x w

^ #

. tl

(xe 1x + ---------- + ------- )dx + (2xí + x)e

x

26

x

2

xd í-íd x (-r— ) = 0

x

simplificando

f

dx

dy + —------ - = 0 integrando x ^ a x - x 2 a 2+y r

dy

27

Sea x = - => dx = —

f

*

.-f.

2x ^o x --x ^ -2

110)

, reemplazando en la integral

dt

*-1

'J a t-l

J ly fa t-l

-

a

Solución

( 2)

El coeficiente angular de la tangente en cualquier punto = — ,,y de acuerdo a dx las condiciones del problema se tiene: dy dy 's = 3y => — = 3dx integrando ln y = 3x + c entonces y = ke como dx

reemplazando (2 ) en ( 1 )

-y- 1

i. — —+ —arctg — = c, x = a , y = 0 a a

y

entonces a

pasa por (0,-2) => -2 = k por lo tanto II I)

a

109)

y% + sen(“ “

Hallar la curva para la cual el área Q, limitada por la curva, el eje OX y las dos ordenadas x = 0, x = x, sea una función dada de Y.

a

a

Q = a 2 ln — a

--1

* -1 a

y = -2e 3 x

—----- + —arctg(—) = 0

0 + 0 = c => c = 0, Luego -

a

Hallar una curva que pase por el punto (0,-2) de modo que el coeficiente angular de la tangente en cualquiera de sus puntos sea igual a la ordenada del mismo punto, aumentada tres veces.

Solución

=> y = a. tg

y = f(x)

) = sen(^ y^) Solución

— + sen(—) cos(—) + s e n A c o s ¿ ) = sen(^) c o s Ä - sen(^) c o s ¿ ) dx 2 2 2 2 2 2 2 1

2

^

y sen —

2

28

sen(^) cos(™)

= - 2 cos(—)dx 2

separando las variables

integrando ln | tg(—) | = 4

Q=

= a 2 ln(—) , derivando se tiene:

a dy y - — •— , entonces ay dx -2

sen(—)+ c 2

de donde : y = c-x

J a1 d x ---- - dy = 0 y

integrando se tiene:

a1 x+— =c y

(hipérbola) 29

112)

Un punto material de masa igual a lgr. se mueve en línea recta debido a la ecuación de una fiierza que es directamente proporcional al tiempo, calculado desde el instante t = 0, e inversamente proporcional a la velocitiad del punto. En el instante t = 10 seg. la velocidad era igual a 50 cm/seg. y la fuerza igual a 4 dinas. ¿Que velocidad tendrá el punto al cabo de un minuto del comienzo del movimiento?. Solución Como

t F = ma = k — donde v

Q = 4 cm /seg

2

X

t = 10 seg. v = 50 cm/seg.

1. 4

= Ar— => k = 20 y 50

m ^- =20dt v

Como y = bx

b , l =, x x Separando las variables se tiene:

=>

y dx + x dx = 0, integrando se tiene:

dy

x2+y 2 - k

v 2 = 2012 + c , para t = 10 seg. , v = 50 cm/seg. 114) 502 =20(10) 2 +c

=>

c = 500 entonces

v2

= 2 0 í2

+500

x _,

para t = 60 seg. v = ? de donde: v = -^20(60)^+500 = a/725ÓÓ cm / seg k \

113)

'' t

-Vv>

\

\

*v v

' ^

,

*

^

Demostrar que la curva que posee la propiedad de que todas sus normales pasan por un punto constante es una circunferencia. Solución Sea

L n : y = b x , de donde

mLN =b

Además mL, = — , y como LNI X , , entonces: dx 1 —d* - , es A decir que £h>= - — mLN = ---------= N mL, dy dy 30

‘

Una bala se introduce en una tabla de h = 10 cm. de espesor con la velocidad VQ = 200 m /seg traspasándole con la velocidad Vx = 80 m / seg. suponiendo que la resistencia de la tabla al movimiento de la bala es proporcional al cuadrado de la velocidad, hallar el tiempo del movimiento de la bala por la tabla. Solución F = ma = m

dv dt

condición del problema: m dv ----- T = dt k v

d^ . 2 m — = kv dt

integrando:

k vj

-r*

m rvi dv _ r' Jo k Jvf2 V

* V,

v0 31

... (1) k

v0v.

d 2x dv además m — = m dt dt2

2 dv dv dx kv = m — = m —r •" dt dx dt

entonces:

Demostrar que la curva para la cual la pendiente de la tangente en cualquier punto es proporcional a la abscisa del punto de contacto, es una parábola.

m dv dx = — .— k v

r dv dx dv kv2 = m — = mvdx dx dt

Solución Se conoce que:

... (2) *

1» A > v0

mLt = k x . Luego ~ =

^ ln(— ) v0

Según la ley de Newton, la velocidad de enfriamiento de un cuerpo en el aire es proporcional a la diferencia entre la temperatura T del cuerpo y la temperatura T0 del aire. Si la temperatura del aire es de 20°C y el cuerpo se enfría en 20 minutos desde 100°C hasta 60°C. Dentro de cuanto tiempo su temperatura descenderá hasta 30°C. Solución

(Zl__^2.) f reemplazando el valor de t es. V0V1

í= 115)

40 ln(2.5)

seg.

Un barco se retrasa su movimiento por la acción de la r e s is te n c ia del a g ^ que es proporcional a la velocidad del barco. La velocidad inicial del barco es, 10 m/seg. después de cuanto tiempo la velocidad se hara 1 m. seg. Solución

La descripción m ,Km id c , c. f tiene: V = Ae

entonces: dy = kx dx integrando y = ~ x 2 + c ,

que es una parábola.

reemplazando (2) en (1) j_

mLt = - j - , y además por la condición del problema se tiene

-* > '

Sean

T = temperatura del cuerpo. Tm = temperatura del aire = 20°C. T0 = temperatura inicial.

La descripción matemática es: * dt'”d' al resolver '*

“

dT — = ~k(T - T m ), de donde la solución es:

-kt

para t = 20’, r = r 0 =60°C entonces: Para t = 0, v = 10m/seg., se tiene t=5

s e g .,

-5k

10 =>V 10e para 1 8 k = — ln(— ) entonces: 5 10

60 = 20 + (100-20)éT2°*

10 - Ae° => A

v = 8 m/seg. se tiene 8 = 10e

F = 10eí/5,n(8/10) = 10. ( ^ y /5

32

T = Tm + ( r 0 - T m )e~kt

40 = 80e 20A => k = ^-^-

por lo tanto:

r = 20 + 8 0 .2 '//2°

T = 20 + 80e~(ln2/20)í

Sean

para t = ? , T = 30°C

s = el camino recorrido t = el tiempo en seg.

30 = 2 0 + 80.2”' 720 entonces 118)

I = 2~'/20 => t = 60’

v = ~ = velocidad del cuerpo

8

ds la descripción matemática es: — = k s , de donde la solución general es: dt

Hallar la curva para la cual la pendiente de la tangente en cualquier punto es n veces mayor que la pendiente de la recta que une este punto con el origen de coordenadas.

s = A eh , para t = 10 seg. , s= 1 0 0 m . =>

100 = Á ei0k

Solución de donde

=

. . . ( 1) e

para t = 15 seg. , s = 200 m. => de donde se tiene : A =

200 = ,4e15* ... (2)

e 15A

a n comparando (/ 1) y (2) se tiene:

100

^

200 =— ¡^7- => ki = -l n 2

e reemplazando en (1) se tiene: A = 25 por lo tanto el camino recorrido será: dx

s = 25.2r,s

te 0 = n tg a entonces:

— = n(—) => dy = n(—)d x , de donde dx x x

— = —dx

ln y = n ln x + ln c =>

y

integrando;

In y —ln x nc , por lo tanto:

x

120)

El fondo de un deposito de 300 litros de capacidad, esta cubierto de sal. Suponiendo que la velocidad con que se disuelve la sal es proporcional a la diferencia entre la concentración en el instante dado y la concentración de la disolución saturada (1 kg. de sal para 3 litros de agua) y que la cantidad de agua pura dada se disuelve 1/3 de kg. de sal por minuto hallar la cantidad de sal que contendrá la disolución al cabo de una hora.

y-ex Solución 119)

Determinar el camino s recorrido por un cuerpo durante el tiempo t, si su velocidad es proporcional al trayecto, sabiendo que en 10 seg. el cuerpo P recorre lOOm. y en 15 seg., 200m. Solución

34

Sea x = cantidad de sal que concentre la disolución, la concentración en el instante dado es: 1/3 kg. Por litro de agua. x La concentración de la disolución saturada = -----; 300 35

— = velocidad con que se disuelve la sal, la descripción matemática es: dt

122)

Hallar la curva que tiene la propiedad de que el segmento de la tangente a la curva comprendido entre los ejes coordenados se divide por la mitad en el punto de contacto.

— - - k l - — — ) k factor de proporcionalidad resolviendo la ecuación dt 3 300 diferencial se tiene: jc = 100( - A e k,' m ),

encontraremos

la

Solución

Como

constante A p a ra t = 0, x = 0 =>

2

y

x

x

mLt = ------- = ----- , entre los puntos P y A ----- X

A =100, luego x = 100-100e*'/30° , para determinar la constante k, para 1 1 299 t= l m in ., x = - k g . se tiene - = 100-100« * '300 => fc = 3001n(——) 3 3 3UU

2

Además ~~ = mL, => — = - ^ dx dx

de donde — + — = 0 xy x

x = 100 - 100e 'ln(299/300) = 100 - 100( 299)'

para t = 60 min, x = ?, x = 100(1- ( ^ J 60) «18.1542 ¿g.

porlotanto:

x = 18.1542 kg. 121)

Cierta cantidad de una substancia indisoluble contiene en sus poros 10 kg. de sal, actuando con 90 litros de agua se observo que durante 1 hora, se disolvió la mitad de la sal contenida. ¿Cuánta sal se disolvería durante el mismo tiempo si se duplicase la cantidad de agua? La velocidad de disolución es proporcional a la cantidad de sal no disuelta y a la diferencia entre la concentración en el instante dado y la concentración de la disolución saturada (1 kg. para 3 litros). Solución Sea x = cantidad de sal que concentra la disolución — = velocidad con que se disuelve la sal; de acuerdo a las condiciones del dt dx 1 0 -x 1 problema la descripción matematica es: — =

Integrando se tiene: ln y + ln x = ln c 123)

=>

xy = c

Cierta cantidad de substancia, que contenía 3 kg. de humedad, se colocó en una habitación de 100 m i de volumen donde el aire tenia al principio el 25% de humedad. El aire saturado, a esta temperatura, contiene 0.12 kg. de humedad por l « 3. Si durante el primer día la substancia perdió la mitad de su humedad, ¿qué cantidad de humedad quedara al finalizar el segundo día? Solución Sea s = cantidad de humedad que contiene la substancia

De donde resolviendo la ecuación diferencial y reemplazando los datos dados se tiene que: x = 5.2 kg. 36

(3 —s + 3) = cantidad de humedad que contiene el aire. 37

Para determinar t, se tiene que buscar el 99% de 5 es decir s = 1.98 kg.,

12 = humedad del aire saturado para 100 m 3

entonces: La descripción matemática es:

para t = 0, s = 3 => A =

t = 1 M ? ’99) mirL

2

1

ln — 2

125) de donde resolviendo se tiene:

1.98 = 2( - ) ' /5 => 0.99 = ( - ) v/5 luego: 2

ds — = - k s (-s + 6 -1 2 ) = ks(s + 6)

— = A e6kt s+6

Una pared de ladrillos tiene 30 cm. de espesor. Hallar la dependencia de la temperatura de la distancia del punto hasta el borde exterior de la pared, si la temperatura en la superficie interior de la misma es igual a 20° y en el exterior a 0o. Hallar también la cantidad de calor expedida por la pared (por 1m 2 ) al exterior durante un día.

para t —1, s —1.5 entonces:

Solución k = - ln(— ) = -0.0851, para t = 2 entonces s = 0.82kg. 6 7.5

Según la ley de Newton, la velocidad Q de propagadón del calor a través de una superficie A, perpendicular al eje OX, es:

Cierta cantidad de una substancia indisoluble que contiene en sus poros 2 kg. de sal se somete a la acción de 30 litros deagua,después de 5 minutos se disuelve 1 kg., de sal. Dentro de cuanto tiempo se disolverá el 99% de la cantidad inicial de sal.

de donde k es el coeficiente de conductibilidad térmico, T la temperatura; t el tiempo y s el área de la superficie A, (k = 0.0015).

Solución Luego la descripción matemática es:

Sea s = cantidad de sal por disolverse. La descripción matemática es:

ds — = As, donde k es el factor de la

Resolviendo

dT O — = - — , donde Q constante dx kA

la ecuación diferencial y usando los datos dados se tiene:

2

T = —x ; 864000 cal/día. 3

proporcionalidad, la solución de la ecuación diferencial es: s = A ekt, determinaremos A, para t = 0, s = 2 kg. => A = 2 126) Luego s = 2ekt, determinaremos k. Para t = 5 m in ., s = l k g .

=>

Demostrar que la ecuación

— con la condición inicial vi _n = 0 tiene dx x 1•r_u ’ infinitas soluciones de la forma y = ex. Esta misma ecuación con la condición inicial jyj x=0 —y 0 ^ 0 no tiene solución alguna. Trazar las curvas integrales.

k = -ln — Solución

Por lo tanto:

s = 2e (í/5)lnl/ 2 => s = 2(~ )r/5

dy y dy dx . J t — —~ => — - — integrando ln y = ln ex => y = ex dx x y x 39

para y = O, x = O se tendrá infinitas soluciones; para cualquier valor de c, se satisface la ecuación así si c = 6, y = 6x satisface _yj = ® Y Para }\ x=o =

* 0 =>

=0>

128)

dx

Hallar la solución de la ecuación — = y \ \ n y \ a , (a>0) que satisface a la condición inicial >'j x=0 = 0 , para qué valores de a tiene solución única.

cua^ contradice por lo tanto:

Solución

cuando x = 0, y = y 0 * 0 no tiene solución alguna. ~~ ~ y I ln y |° dx

=>

— —— = dx integrando | ln |a

| ln v |1_a i — --------= x + c => y = 0 , x = 0 => ------- 1ln v | “ = 0 + c 1- a I-« ln y —>oo, así - a + l > 0 => a < l entonces y

,

0

El primer miembro se haría cero, así c = 0, lo que significa una solución única. 129)

Demostrar que el problema

~~ = y a ,

y\ x=o —0, tiene al menos dos

Demostrar que las tangentes a todas las curvas integrales de la ecuación diferencial y ’+ y tg x = x tg + 1 , en los puntos de sus intersecciones con el eje O Y son paralelas entre si. Determinar el ángulo bajo el cual se cortan las curvas integrales con el eje OY.

soluciones para 0 < ct < 1 y una para a = 1 trazar las curvas integrales para

Solución -St gxdx r

y =e

Solución

i-«

.

— =

dx

ya

=> y~ady = dx integrando ------ = x + c

si x = 0, y = 0 3

y = e ln

ftgjratr

[Je

(x tg x +1 )dx + c ] , por ser ecuación lineal.

(tg x sec x+ sec x^d x + ^ efectuancj0 ia integral,

1 -a

gl-a ------ = c solo si 1 - a > 0 1- a

ósea si a < 1 luego al tomar a valores entre 0 y 1 hay infinitas soluciones. Si a = 1 => — = dx => ln y = x + c

y

De donde y = kex para x = 0, y = 0, se tiene y = 0 es la única solución.

y = eos x[x sec x + c] = x + c eos x entonces: y = x + c. eos x , interceptandocon el eje Y, para mL, = — ' dx

= (1 - e s e n x)\p = 1

L, : y - c = l( x - 0 )

de donde

=>

x = 0 , y = c => P(0,c)

mL, = 1

L, : x - y + c = 0 41

Integrar las siguientes ecuaciones diferenciales. 130)

133)

ln/=x Solución

co sy f= 0 ln y '= x

Solución

K

=> y '= e x

dy = e xdx =>

Como y eos y ' = 0 => / = arccosO = — (2n + l) 134)

j dy = J e xdx

tg / =0

— = —(2« + l) => dy = — (2n + l)dx, integrando. dx 2 2

Solución tg / =0

y = ^ (2 n + l)x + c, n e Z. 131)

=> y = ex +c

=> y ’= arctgO = nn

dy — = nn=> dy = nn dx integrando y = nrc + c

ey = l Solución

e y =1 => y'= 0

=>

dy = 0 => y = c dx

Solución

donde c es constante. 132)

=jc

135)

e

~x

^

j d y = J ln x d x

s e n /= x

y = \nx

de

dy = l n x d x ,

donde

ahora

integrando

=> y = x l n x - x + c

Solución s e n / = J t => /= a r c s e n jt + fl7r entonces:

136)

tg y '= x Solución

— = arcsenjt +w;r de donde ¿y = (arcsenx + w7r)¿/x dx integrando

Jdy = J(aresen x + n n)dx + c

y = jta rc s e n x -V l- * 2 + m x+ c donde n = 0, ± l , ± 2,.

tg y ' = x => y'= aictgx+ nn , n = 0, ± 1, ±2,... dy = (aiclgx+nn)dx integrando se tiene

y = ^ { ttc tg x + njz)dx+c entonces:

y = x 2 x c t g x - ^ \ n ( \ + x 2) + njtx + c 43

En los siguientes ejercicios hay que hallar las soluciones de las ecuaciones diferenciales con las condiciones indicadas para x ->+oo. 137)

139)

jr3 y - s e n y = 1,

Solución

, 16 x y ' eos>>+ 1 = 0 , y - > — n => x-»+°o

x 3y ~ sen v = 1 => x 3 - ^ = 1 + sen y , separando la variable dx

Solución

dy

1 +sen.y

x

r

* l+senj>

dy

-— ----- =

para y -+ 5 n , x -H-oo => c =

dx 1 eos ydy H— r- = 0 , integrando sen>>— + c x x

por lo tanto 16 n parax -> + oo => c = sen — 16» . 1 cuando y - * — — luego sen . y - — -s e n l6n ^

r dx

— +c

Jx

1

y = 2 arctg(l — i—)

2x 140)

x 2 /+ c o s 2 ^ = l ,

dx

x

--------- = —r integrando

x 2 v’c o s y + l = 0 => cos>'.>'’+ - 1r- = 0 , separando la variable

138)

y - * 5 i t => x-H-oo

(l + x2) y - |c o s 22y = 0 , y ~ ^ ~ ti , x->-oo

10

y-+ — n => x->+*>

Solución

Solución

(l + x2) y - - c o s 2 2^ = 0 , separando la variable se tiene:

x 2/ + c o s 2y = 1 => x 2y = l - e o s 2>', separando la variable

dy ___= — => — — = —j l - c o s 2 >' x 2 2 sen y x

eos 2y

integrando

dx 2 (1 +

x )

=k

= 0 integrando 2

y tg 2 y - arc.tg x = c cuando y -» —n , x ->-oc¡ => c = — 2 2

f ——— = l —^r~ c de donde c t g y = —+ c J sen 2 y x x

tg 2y - arctg x = — => tg 2y = —- + arctg x 10

2

2

1

¿

=>

y = —arctg(— + arctg x)

2

2

cuando y - * — n , x —H-ao => c - — j~ 141) 2

1

Luego c t g y = —+ —j^ => y - arct^¡T+ ^J'* 44

2

1

e y = e 4yy'+1, y es acotada para x —>+oo Solución

45

e y = e 4yy ' + l ; e 4yy'= e y -1

e Aydv entonces --------= dx ey -1

y'= 2x(n +y) => - — y +n

r e 4y f integrando J —---- dy = J dx + c entonces:

Í y +n = J

y + n =ke

í ^ y + e 2y + e y + — -— )dy = x + c y calculando la integral J e y -1

jr2

= 2xdx integrando

ent°nces ln (y+n) = x 2 +c entonces:

, y es acotado para x —>00 entonces k = 0

Luego y + n = 0 => y = -n

e3y

e2

-----+ — + e y + ln(l + e y) = x + c , 3 2

144)

2 x y'+ sen 2y = 1,

como y es acotado y x ->oo entonces y = 0. (x + \)y' = y - \ , y es acotada para x —>+oo

11 4

y - * — rc => x-M-oo

Solución 2 • 5 x / + sen 2 ^ = 1 => x dy = l-sen2ydx separando la variable

Solución

dy

dx

dy _ dx integrando se tiene: y-\ Jt + 1

f dy (• dx 2 y sec2 v 1 J l ^ 2 i 72 y = JJ x^2 ' C => t g 2- - - — —X + c 2

ln(y —1) - ln(x + 1) + ln c

iln ------= lni c => -------= y -i c y +1 x +1

- sen 2y

=> integrando se tiene: x2

(x + 1) / = y - 1 ; (x + \)dy = ( y - 1)dx separando la variable

1

cuando y —> — ;r , x —>+oc se tiene que:

y = arctg(—x)

cuando x —>oo entonces —— — >0 por lo tanto c = 0 JC+ 1 t í . o *+1 y'

=» y . 1

—2x(n + y ) , y es acotada para x-H-oo Solución

47

[ECUACIONES HOMOGENEAS Y REDUCIBLES A ELLAS|

El método indicado no es aplicable cuando las rectas a 2x + b2y + c 2 = 0

p son paralelas, en este caso

a¡x + b{y + cx = 0

y

— = ^ - = A a la ecuación (2) se a x bx

puede escribir en la forma: A la función f(x,y) llamaremos función homogénea de grado n si se cumple la identidad.

dy _ a xx + bxy + cx x ^ f x — ~ ------- r -------) = F (a xx + bxy) dx Á(axx + bxy) + c 2

... (3)

que ha sido estudiado en las ecuaciones redjucibles a variable separable. ión diferencial de la forma — = f ( x , y ) , se denomina homogénea si f(x,y) Una ecuación dx H es una función homogénea de grado cero. La ecuación diferencial homogénea siempre se puede representar en la forma:

P(x,y)dx + Q(x.,y)dy = 0 Será homogénea, si P(x,y) y Q(x,y) son funciones homogéneas del mismo grado.

... (1) dx

Si la ecuación diferencial viene expresada en la forma:

x

A veces, la ecuación se puede reducir a homogénea mediante la sustitución de la variable y = z a , esto ocurre cuando todo los términos de la ecuación son de un mismo grado, atribuyendo el grado 1 a la variable x, el grado a a la variable y; y el grado a - 1

Introduciendo una nueva variable incógnita

u = ~ , la ecuación (1) se reduce a la

a la derivada — . dx

ecuación con variable separable: du , x x - — = \¡/(u)-u dx

Integrar las Ecuaciones: 145)

Observación.-

Al resolver las ecuaciones homogéneas no es indispensable reducirlas a la forma (1). Se puede hacer inmediatamente la sustitución y = ux.

Las ecuaciones diferenciales de la forma: dy _ ^ a xx-\-bxy + c l ^ dx

4* - 3y + y' (2y - 3x) = 0 Solución Observamos que la ecuación es homogénea, entonces:

... (2)

Sea y = ux => dy = u dx + x du, a la ecuación diferencial escribiremos así:

a 2x + b2y + c 2 (4x - 3y)dx + (2y - 3x)dy=0, ahora reemplazando se tiene:

se reduce a homogénea trasladando el origen de coordenadas al punto (x0,y 0) de

(4x - 3ux) dx + (2ux - 3x)(udx + xdu) = 0, simplificando

intersección de las rectas: a xx + bxy + c, = 0 y a 2x + b2y + c 2 = 0 ; y esto se consigi| haciendo la sustitución de las variables x = z. + x 0 , y = w + y 48

(4 - 3u) dx + (2u - 3)(u dx + x du) = 0, agrupando 49

(2u 2 - 6 u+4)dx + x(2u - 3)du = O , separando la variable dx 2u -3 , , 2 -----1-— -----------du= 0 , integrando x u -3u +2

simplificando

.\

separando

las

variables

dx 4u 2 —u + 1 .cdx c 4 u 2 —u + \ 4 — 4*------------- du = 0 , integrando: 4 — 4- - — -------- d u = c entonces: X u3+ 1 J X J u 3 +1

„ f dx f , 2 « - 3 NJ 2 ----- 1-1 (—=---------- )du = c J x J u -3u + 2

entonces: 21n x + ln(w2 -3 w 4 2) = c => \ n x 2(u 2 - 3 u + 2) = c , levantando el logaritmo se tiene:

(4u 3 + 4)dx 4 x(4u 2 - u 4 \)du = 0 ,

41nx4- í (—— + —~ 1 )du = c J u+l u - u + \

y 2 - 3 xy + 2 x 2 =k ln x 4 4-21n(w 4l)4ln| u 2 - u + l\= c => ln x 4 (w4 l) 2 (u2 - u 4 l) = c

146)

xy' = y + -yjy 2 - x 2 Solución A la ecuación escribiremos así:

x*(u + l)(u3 + \ ) = k donde w= — por lo tanto:

xdy = (y + ^

2 - x " ) d x , es homogénea.

148)

4x2 + x y - 3 y 2 + y '( - 5 x 2 +2xy + y 2) = 0

Sea y = ux entonces dy = u dx + x du => x(udx + xdu) = (ux + J u 2x 2 - x 2 ) d x , simplificando

xdu = J u 2 - \ d x

separando

las variables

du ------V« 2 -1

(x 4 y )(x 3 + y 3) = k

Solución

dx 9

X

integrando se tiene: ln | u + Vu2 - 11= lnx + ln c entonces:

(4x + x y —3 y 2)dx + {—5x2 +2xy + y 2)dy = 0, es homogénea entonces: y = ux => dy = u dx 4 x du, reemplazando en la ecuación (4x2 4 x 2w —3 x2u 2)d x4 (—5x2 + 2 x 2w 4xV )(w rf*4xrfw ) = 0, simplificando:

ln ÍÜ Í— -----12 = ln c , levantando el logaritmo x

(u3 - u 2 - 4u 4 4)dx 4 (w2 +2u —5)xdu = 0 , separando las variables se tiene: u + ^Ju2 -1 - e x => y + ^ y 2 - x 2 - e x 2 de donde

/. 2cy = c 2x 2 +1 dx

147)

u2+ 2 u -5 J ^ . + —^----- 1-----------du = 0 , integrando * W -W -4W4-4

4 x 2 - x y + y 2 + / ( x 2 - x y + 4 y 2) = 0

c dx f u 2 + 2 u - 5 "+ ----- 5----------- d u = c , integrando por fracciones parciales se tiene; J x J u - u - 4^ 4-4

Solución La

ecuación

diferencial

(4x2 - xy + y 2 )dx + ( x 2 - x y + 4 y 2 )dy = 0 ,

homogénea sea y = x => dy = u dx + x du,

es •••

( y - x ) * ( y - 2 x f = c(y + 2x)5

reemplazando en la ecuación.

(4x2 - u x 2 + u 2x 2)dx + ( x 2 - u x 2 + 4u 2x 2)(udx + xdu) = 0 50

51

Solución

Ixydx - (3jc

9

- y

2'

151)

x y '= jy 2 - x 2

)dy = 0 , es homogénea entonces:

Solución

y = ux => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación

xdy = ^ y 2 - x 2 d x , es homogénea y = ux => dy = u dx + x du

2 x 2u d x -(3 x 2 - x 2u 2)(udx + xdu) = 0 => (u3 -u)dx + (u2 -3)xdu = 0

ux(udx + xdu) = *Jü2x 2 - x 2dx , simplificando

separando las variables

udx+xdu = ¡u 2 -1 dx , separando la variable

— + —— - du = 0 , integrando í — + í — - du x u3-u J x J u 3 ~u

¿/w f — + f (—---- ---------— )du = c, efectuando la integral se tiene: c(y2 - x 2) J u u - 1 w+ 1



J^

J w2- i

( y - x y ' ) 2 = x 2 + y 2 => y - x y ' = ^ j x 2 + y 2 , es homogénea y = ux entonces dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación

lnz = ln(w2 - l ) + c (mx- -y/x2 + w2x 2 )dx- x(udx + xdu) = 0 entonces:

para w = — , z = y 2 por lo tanto: z

154) 54

y 3dx + 2(x2 - x y 2)dy = 0

x 2 = y 4 +c:y6 (u - ^ | l - - u 2 )dx- u d x -x d u = 0 , simplificando r T , dx du ___ : = 0 , integrando - V l + w dx - xdu = 0 => — + —- ■ -Y Vl + t/ 2 55

í — + í —=.ÍU = c => lnx + ln|w + Vl + w2 |-c

J*

x(u + 4\~+u2 ) = k , para w = — se tiene:

x

156)

dy = du - dx => (2u - 1)dx + (u - 2)(du - dx) = 0 entonces

J y + J x 2 + v2 = &

v

(u + 1)dx + (u - 2)du = 0 => dx + — du = 0 integrando u -1 u 2 2x+y Jdx + J - — - d u - c => x + y + l = ce 3

3* + >,- 2 + j>,( j t - l ) = O Soiución

(3y - 7x + 7)dx - (3x - 7y - 3)dy = 0 Sean

Z1 :3x + ^ - 2 = 0l ^ L2 : x - \ J

L X^ L 2 entonces existe un punto

Sean

3 x + y - 2 = Oj

3 P(xü, y a) & L x a ! 2 de donde:

x 0 =1 y 0 = - l ’ Lueg°

> => L2 : 3 x - l y - 3 = 0 ¡

= P(1’~ l)

Sean x = z + 1 , y = w - 1 => (3x + y -2 ) d x + (x - l)dy = 0 (3z + w)dz + z dw = 0, es homogénea sea w = uz => dw = u d z + z d u

entonces 1

2

3 v -7 jc + 7 = 0l Xq —\ ' . n => n 3 x -7 > '-3 = 0 J J>0 = 0

x = z + l, y = w entonces reemplazando en: (3x—7y+7)dx —(3x—7y—3)dy (3w —7z)dz - (3z - 7w)dw = 0, es una ecuación homogénea,

(3z + uz)dz + z(u dz + z du) = 0, simplificando

w = uz => dw = u dz + z du, reemplazando en la ecuación

(2u + 3)dz + z du = 0, separando la variable:

(3uz - 7z)dz - (3z - 7uz)(u dz + z du) = 0, simplificando:

dz du „ . — + --------= 0 , integrando z 2u + 3

(7w2 - l ) d z + (lu - 3)zdu = 0 , separando la variable:

entonces:

r dz r du —+ =c J z J 2u + 3

(x - l)(3x + 2y - 1) = k

_ dz l u - 3 . . , 7 — + ——— du = 0 , integrando Z U2 - i dedonde:

2x + 2 y - l + / ( j t + y - 2 ) = 0 Solución (2x + 2y —l)dx + (x + y —2)dy = 0 ==> sea u = x + y entonces:

56

Lx : 3 y - l x + l = 0l

/>(*o>J o ) G A n ¿2 Y Para encontrar el P (x0, y {)) se resuelve el sistema:

x _ 1= 0 j -

157)

Solución

.\

_ f dz c l u - 3 . 7 — + I —----du = c J Z J u 2+1

(x + y - \ ) 6( x - y - l ) 2 - c

(y + y ^ 2y 4 + l)dx + 2xdy = 0 Solución

c z , xdz - zdx aea xy - z => y = — => dy = ------ ----- , reemplazando en la ecuación x x2

Sea y = z a => dy = ctza d z , reemplazando en la ecuación 4xz2adx + (3x2z a - \ ) a z a~ldz = 0 , agrupando

(—+ —J —T- + l)dx + 2x(— Z ZC^X) = 0 9 simplificando X x \jx 2 *2 ,Z

Z

[~~4

(—+ —y ^ z X

X2

4jcz2of¿£c + (3jc 2z 2a_1 - z a~l )a d z = 0 para que sea homogénea debe cumplir: 2a + 1 = 2a + 1 = a —1 => a = -2, reemplazando en la ecuación

2x ^ (xdz - zdx) + x )dx + 2 -------------- = 0 entonces: X

4xz~4dx + (3x2z~5 - z~3)(-2rfz ) = 0, simplificando z(Vz4 + x 2 -x)d x-\-2x2dz = 0 sea x = u 2 => dx = 2u d u 2 jcz dtc - (3jc 2 - z 2 )tfz = 0 , es homogénea

z(y]z4 + u 4 - u 2 )2udu + 2u4dz = 0 , simplificando

sea x = uz => dz = u dz + z du, reemplazando en la ecuación

z(*J~z^ +u 2 -u ) d u + u}dz = 0 , es homogénea

2uz2(udz + z d u )-( 3 u 2z 2 - z 2)dz = 0, simplificando

sea u = zw => du = z dw + w dz, reemplazando en la ecuación

(-u 2 +1 )dz + 2wz¿fw = 0 => — ---- du = 0 y integrando z u -1

z(>/z4 + z 4w 2 - z 2w 2 )(zchi’+ wdz) + z 3w 3dz = 0 ■dz C 2u í — - í du = c => ln z - ln (u 2 - 1) = c

wyjl + w 4 dz -i- z(s/l + vv4 - w2

J Z

= 0 , separando la variable

Jlf 1 de donde para w= —, z = - p r se tiene:

dz 4 l + w 4 - w 2 r dz f 1 w ---- h ---- ... — dw = 0 integrando — + I (---------=====?)dw = c Z W l + VV4 ZW^/1+w 4

ln z + ln w — l n \ w 2 + ^ l + w 4 \=c 2

=> l n z w - — \ n \ w 2 + ^ l + w 4 |=< 2

J w2 -1

161)

.\

^

y ( x ^ y - l)

2

=£

(jc + y 3)¿£t+ (3.y5 - 3 y 2x)dy = 0 Solución

para w = ^ , u = v x ,z = xy,

se tiene:

.\ ^ x 2^ 4

=cy2x 2 - \ y = za

4xy2dx + (3jc2jk -l)dy = 0

dy = a z a~ld z , , reemplazando en la ecuación

(x + z 3a )¿£c + (3z5° -3z21)oza_1¿/z = 0 , agrupando Solución (x + z 3a )dx+(3z6a~1 - 3 z 3a~1x)a dz = 0 para que sea homogénea debe cu nplir: 59

1 - 3 a - 6a —l = 3 a

=> a = \ ' reemPlazan dz = u dz + z du (uz + z)(u dz + z du) + (z - uz)dz = 0, simplificando Sean (u + l)(u dz + z du) + (1 - u)dz = 0, agrupando (u 2 + 1)dz + z(u + \)du = 0 , separando las variables dz z

u+1

~ Y ~ ~ du = 0 , integrando U2 + 1

1

2

lnz + —ln(w

2

1

x

2

?

L x4 f L 2 =>3 P (xQ, y 0) e L x n L 2de donde

2x - 4y = 0 |

* o = 2sea x = z + 2 ,

x + ^ - 3 = 0j

Jo =1

y = w + 1, reemplazando

en

:

(2x-4y)¿fy + (x + y-3 )rfy = 0

(2x - 4w)dz + (z + w)dw = 0, es homogénea

x

sea w = uz => dw = u dz + z du, reemplazando en la ecuación

z

y3

=>

— du = c

J u2 +1

+ 1) + arctgu = c , para u = — ,

se tiene:

162)

f— + í

J z

Lx : 2 x - 4 y = 0 1 > L 2 : x + y - 3 = 0J

z =y3 (2z + 4uz)dz + (z + uz)(u dz + z du) = 0, simplificando se tiene:

¿

(w 2 - 3« + 2)dz + (m + 1)zdu = 0, separando la variable

arctg-— = —ln(x + y ) + k

— 4- . “ + *---- du = c => ( j ; - 2 x + 3)3 = c ( y - x + l ) 2 z t/ - 3w + 2

2(x2y + ^ \ + x 4y 2 )dx +x 3dy = 0 Solución 164)

(x —2y —l)dx + (3x - 6y + 2)dy = 0

Sea z = x 2y => x 2dy=dz—2xrydx. Reemplazando en la ecuación diferencial: Solución

2(z +Vl + z 2 )dx + x(dz - 2zdx) 2 { z + 4 ü -z 2 )dx

0, simplificando

+ xí/z - 2z¿/x = 0

de donde 2^1 + z 2dx +xdz = 0, separando las variables

dx

dz

*

Vi +z2

_

2 — + —= ■■■■■■, = 0, integrando

Sea z = x —2y

=> dx = dz + 2dy, reemplazando en la ecuación

(x - 2y —l)dx + (3x —6y + 2)dy = 0, se tiene: (z - l)(dz + 2dy) + (3z + 2)dy = 0, agrupando (z —l)dz + 5z dy = 0 , separando las variables (1 - —)dz + 5dy = 0 ; integrando z

J 2— + f — = lnc => x 2(x2y + ^ l + x 4y 2 ) = c x Vl + z 2 60

z - l n z + 5 y - c , como z = x - 2 y

entonces:

x + 3 y - l n |x - 2y| = c 61

165)

z dx + (z —l)(dz —dx) = 0, separando la variable

( x - y + 3)dx + (3x + y + l)dy = 0 Solución Lj : x - y + 3= 0 1 L2 - 3x+y+l = 0\ ^

^

dx + (z —l)dz = 0 , integrando J dx + J ( z - \)d z = c entonces

2

Ll entonces 3 ^ o J o ) g £ i n ¿ 2 de donde

x -y +3= 0 ] x0 = - l -» 1 * r =* ^ » sea 3x + y + l= 0 J .Vo = 2

x = z —1 ,

y= w+ 2

x + - - ~ - - = c porlotanto: 167)

2x + (x + y - l ) 2 =k

y cosx dx + (2y —sen x)dy = 0 Solución

(x —y + 3)dx + (3x + y + l)dy = 0 Sea z = sen x => dz = eos x dx, reemplazando en la ecuación (z —w)dz + (3z + w)dw = 0 , es homogénea y eos x dx + (2y - sen x)dy = 0, se tiene: w = uz => dw = u dz + z du, reemplazando en la ecuación y dz + (2y - z)dy = 0, es homogénea (z - uz)dz + (3z + uz)(u dz - z du) = 0, simplificando sea y = uz

dy u dz + z du, reemplazando en la ecuación

(1 —u)dz + (3 + u)(u dz + z du) = 0, agrupando uz dz + (2uz —z)(u dz —z du) = 0, simplificando (w2 + 2w + Y)dz + (u + 3)zdu = 0 separando las variables dz u —3 — + ~ 2— ------du= 0 , integrando z w + 2w+ l

2

ln z + ln(w + 1) ------- = c «+1

w

y- 2

w = — = -----z x+1

entonces

setiene

u dz + (2u - 1)(u dz + z du)= 0, agrupando

r dz r u —1 — + —----------- ¿w = c J z J u 2 + 2w+ l

2

ln z(u +1) ------ — = c «+1

dz 2u - \ J , r dz c 2u - 1 , , , ---- h---- -—du = 0 , integrando —+ —du■= c de donde z

2u2

J 2u

2y ln y + sen x = 2cy

donde

2x+2 -----y = 1- x + ce r+>’

J z

168)

y )¿/x + xcos — y dy = 0 ((x -y )c o s — x x Solución

166)

(x + y)dx + (x + y - l)dy = 0 Solución Sea z = x + y

62

dy = dz —dx, reemplazando en la ecuación

y Sea u = — => y = ux x

=> dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación

(x —ux eos u)dx + x eos u(u dx + x du) = 0 63

(1 —u eos u)dx + u eos u dx + x eos u du = 0, simplificando udx + (2Vux2 - x)(udx + xdw) =*0 , simplificando dx + x eos u du = 0, separando las variables 2u^füdx + x(2Vw - l)rfw = 0 , separando las variables — + eos udu = 0 , integrando

f — + f eos udu = c

x

J x

J

V

2dx 2a/w -1 , . . , -----h------- j=—du = 0 , integrando X u^lu

V

u = — => ln x + sen — = c x x

In x + sen u = c, como

2 [x 21n x + 21ni/H—j=r = c de donde ln y - c - — Vw vy

x = ke~SQnylx

por lo tanto

c dx c du f du I — + ------— — = c J x J u J u3 2

y =

entonces

y

e

=

entonces

k

y 3dy + 3 y 2xdx + 2x3dx = 0 Solución y = ux

171)

dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación

Hallar la curva que teíiga la propiedad de que la magnitud de la perpendicular bajada del origen de coordenadas a la tangente sea igual a la abscisa del punto de contacto. Solución

w3x 3 (udx + xdu) + (3x 3m2 + 2 x 3 )dx = 0, simplificando

u 3(udx + xdu) + (3u2 + 2)dx = 0, agrupando (u 4 + 3u2 + 2)dx + u 3xdu = 0, separando las variables

dx

u3

x

u 4 +3u2 +2

---- 1_—__—— ----- du -

J x

,

0

, integrando

—U — ----- du = c J u 4 +3u + 2

de donde

cJx2+ y 2 = y2+

ydx + (2 ^Jxy - x)dy = 0

Por dato del problema d = x0 Solución

y = ux => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación

Además mLt | = y' (x0) y la ecuación de la tangente es: Lt : y - y o = mLt ( x - x 0) 65

Lt : xy' (x0) - y + y0 - yx0y ' (*o) = O por distancia de punto a recta o /(* o )|

d (0 ,L ,)J^=

VO’(

o))2 + l

por condición del problema se tiene:

\yxo/(xoÍ F"" ■

¿/(O, Lt ) = x 0

J

= xo generalizando en cualquier punto se tiene:

- M * o))2+i

y 2 - 2xKy'+x2/ 2 = x 2 + jc2/ \

simplificando La ecuación de la recta tangente es: Lt \ y - y0 = m (x - x0 ), de donde

>’2 ~ * 2 —2xv;v' = 0 de donde

( y 2 —x 2 ) dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación

Lt : y = y '( x 0) x - y ' ( x 0Kx0) + y 0 parax = 0, se tiene d 1 = y Q- y ' ( x 0)(x0)

( u 2x~ —x ‘’)dx —2 x 2u(udx + xdu) = 0> simplificando además (u -1 )dx —2u(udx + xdu) = 0 , agrupando

r r

7 Vn ~ y'(^o)(x n) = V*o “ .Vo » lueg° :-- 1— =*==— = 4 xo + y ¡

generalizando se tiene:

rr~ r

—(u ~ + l)¿¿r —2uxdu = 0 , separando las variables.

v -y 'x , j =C => y - x y =c^Jx + y i * 2 +jV2

^ = 0a, integrando •* ^ — + 2w ---- du * u 2 +l

(c-jx1 + y 2 - y)dx + xdy = 0 , es homogénea

— + i x

f ------- ¿ fa= , ln c J u2 + 1

lnx+ln£/2 -+1) = lnc => x(u2 + 1) =c* de donde u = — por lo tanto: x2 + y 2 =cjc x

sea y = ux

Hallar la curva para la cual la razón del segmento interceptado por la tangente en el eje O Y, el radio vector es una cantidad constante.

(c\Jx2 + x 2u - yx)dx + x(udx + xdu) = 0 , simplificando ,

Solución

dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación

(c^l + u 2 -u ) d x + udx + xdu = 0 , agrupando 67

c^l + u 2dx + xdu = O, separando las variables

174)

Hallar la curva para la cual la longitud del segmento interceptado en el eje de ordenadas por la normal cualquiera de sus puntos, es igual a la distancia desde este punto al origen de coordenadas.

dx - ^du^ c--4= 0 , integrando c ln x + ln(w + •\/l+M2 ) = ln& * é +u 2

Solución

x c (u +*K+u2 ) =k dedonde y +^Jx2 +y 2 - k x l c x 2 + y 2 = k 2x 2^~c>i -2kyxl~c + y 2 , dedonde ... 173)

1 k/ 1v—(T ----x 1 1+C y =— 2 *

k

Empleando coordenadas rectangulares, hallar la forma del espejo si los rayos que parten de un punto dado, al reflejarse, son paralelas a una dirección dada. Dato del problema d x = d 2 , la ecuación de la tangente es:

Solución

L, : y - y 0 = ^óí^oX^-^o)

dy , Á t a O -* ) + 4 7 2 + (i- * ) 2 — = tg ^ = c t g 0 = ----------- 2----------------dx y

ecuación de la normal:

L N : y - y 0 = ------ — (x - x 0) y \ x o)

J J y = ----------X + ---------*0 de donde 1-y 0 / ( * 0) / ( * » )

parax = 0, dx =—^ - — + y 0 además y ' ( x 0)

d 2 =Jxo +y l

como dx = d2 => ——— + y 0 =J xo +.Vo »generalizando y \ * 0) '

+ y = -j x2 + dy

xdx + ( y- -Jx 2 + y 2 )dy = 0 , es homogénea y dy -( l- x) dx

_ .

r ~5 “

„

7

--p— ■ . ... = dx integrando ^ y + ( l - j t ) ~ = j t + c , parax = y = 0, 1 = < 4 y 2 +( l - x ) 2 y 68

= 4 cjc

y = ux => dy = u dx + x du , simplificando (1 + w2 - u ^ l +u 2 )dx + x ( u - ^ \ +u 2 )du = 0 69

dx x

U -V l + M2 1 + u 2 -u V l

du= O, integrando y reemplazando

+ W^

u = y— se tiene: x

175)

y =1—/(cx2 —K) 2 c

Hallar la curva para la cual el producto de la abscisa de cualquiera de sus puntos por la magnitud de sus puntos por la magnitud del segmento interceptado en el eje OY por la normal, es igual al duplo del cuadrado de la distancia desde este punto al origen de coordenadas.

x 0d 1 = 2d \

=> x n( -X° + y (i) = 2(Jx¿ + y l ) 2 , generalizando v (jc0 )

2 dx „ , 2 2\ x — +xy = 2(x + y ) dy x 2dx + ( x y - 2 x 2 - 2 y 2)dy = 0, es homogénea sea y = ux => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación

x 2dx + (x2u - 2 x 2 - 2 x 2u 2)(udx +xdu) = 0 , simplificando Solución dx + ( u - 2 - u 2)(udx +xdu) = 0 , agrupando (u 2 - 2u - u3 + \)dx + x(u - 2 - u2)du = 0 , separando la variable dx u-2-u2 * u 2 - 2 u - u3+\

„ .

A

t

,

y x

— + —---------- ----- du = 0 , integrando y reemplazando para u = — se tiene:

Condición del problema

x {)d\ = 2 d \ , la ecuación de la recta tangente es:

Ly - y - y o = y \ x 0) ( x - x 0) ecuación de la normal es:

x

ln

'■y = — 77— y (Xfí)

LN : y - y 0 = —

7 7 — ( x - x 0) /(* o )

*o y (*0)

para x = 0 => d, = ——— i- y 0, d2 =-Jx¡j + Jo y'(x0)

70

P°r 1° tanto:

71

ECUACIONES ECUACIONES

LINEALES DE PRIMER DE BERNOULLI

ORDEN:

Resolver las Ecuaciones Diferenciales siguientes: 176)

y ’+2y = x 2 +2x Solución

La ecuación diferencial de la forma: La solución es: ^ - + P(x)y = Q(x) dx

donde P(x) y Q(x) son funciones continuas de x, se llama ecuación diferencial lineal de primer orden.

y = e ^p{x]d\ ^ e ^ pix)dxQ(x)dx + c]

. . . ( 1)

donde P(x) = 2 y Q(x) = x 2 +2x

... (2)

luego reemplazando (2) en ( 1) se tiene: Si Q(x) = 0, la ecuación (1) se llama ecuación diferencial lineal homogénea, y es de variable separable y su solución es dada por:

- í 2dx

y =e J

r

' f 2 dx

[ \ eJ

2

(x +2x)dx + c] , efectuando la integral

- f p(x)dx

y = ce J

y = e~2x[ j e 2x( x 2 + 2x)dx + c]

y = e~2x[——

—- e 2x +—1-c] por lo tanto: 4 -

si Q(x) * 0, la ecuación (1) se llama ecuación diferencial lineal no homogénea, y su solución es dada por la expresión.

2

2 x 2 + 2x — + ce -2 v V= 4

Ecuación de Bernoulli.

La ecuación diferencial de Bernoulli es de la forma:

^ + p (x )y = Q (x)yn dx

72

{ x 2 + 2 x - \ ) y '- { x + \)y = x - \ Solución

..(2)

donde n ^ 0,1, para resolver esta ecuación se transforma en una ecuación diferencial lineal, mediante la sustitución.

i-«

177)

/ 2 n , / ( x ¿ + 2 x -l)y '-(x + l)y = x - \

-\ p( x) dx r

y =e J

(p(x)dx

[\eJ

, x+l JC—1 => y '— ---------- = —---------- - la solución es: x + 2x-l x + 2x- 1

Q(x)dx + c]

73

donde P(x) = ----

+ *— y O(x) = - - 1— , reemplazando se tiene: + 2x-l x 2 + 2x - \

x

- \ - — ^ ± — dx , y = e } x +2x-l r \ e ' x +2x-l

x -\ f _ J ----rfX + C]

J

y = e2

y = lnx[fí/(-^ --) + c] => y = lnx(-^— + c) J lnx lnx

x + 2 x-l

iln(*2+2j-l) (• -iln(A:2+2.t~l)

x ~l

,

y = e mnx)[ j e -‘n(ln *> jr2(31nx U dx + c]

por lo tanto:

..

y = x 3 -f-clnx

“i------- ¿fo+ c]

[\e

x + 2x -1

y = V *2 + 2 * - l [ f

(a2 - x 2)y'+xy - a 2 Solución

. y +*—------ y =

a2_x2

y = *Jx2 + 2x - l [ | ¿ ( X ; = ) + c ], integrando j ^ x 2 + 2x - l como la solución es: .

y = a/ t 2 -4- ? r -1 (— * —- + —--------z = 7= , ecuación lineal 4 ¿x 8x 8x v x + 1 dx 2x 2xVx + l -

x3 3xy'-2 y = — y•2

,2 x2 => y '----- y = — r- ecuación de Bernoulli 3x

3v

f^

¿/v 2x 2 _2 w. r , , 2 —--------y = — y multiplicidad por y dx 3 x ' 3

cuya solución es:

—lmr

2

sea z = v 3 '

=>

1 dz 2 x L _ JL ^ = í 3 dx 3x 3 80

z-e1

__3 = * 2 dx 3 x ’ 3 — = 3v2 , dx dx

reemplazando se tiene:

dz 2 _ i => — - -- z = x 2, ecuación lineal . dx x

/•

[-\e 2 J

z =e

^ 2* ----- ........+ c] 2x vx + l

ln.r

----- - + c] 2xV x+l

z = V x [ - f — j J ^ j = + c]

J 2V*W* + 1

’= V^(—7=~ + c) =

Vx

f ¿r

2* [ - 1 e J

entonces

=> Z = -Vx[frf(^ ^ ) + c]

J

V*

por lo tanto:v4=4x +\+c^fx 81

189)

y = e x[ j 2 x e x dx+c] entonces y = e x (ex +c)

(Jty + x 2y 3)y '= l Solución

y = e x x + ce

por lo tanto: (xy + x 2y 3)y '= l

=>

(xy + x 2y 3) ~ = \ 191)

xy' = y + x 2 senx

dy 1 dx 23 — = --------—— entonces — = xy + x y dx xy + x y dv

Solución

2

dy x

dy 1 ., => —----- y = x sen x , ecuación lineal dx x

xy = y + x sen x

-------- x y = x 2y 3 multiplicidad por x ->

la solución es: y = e

-2 dx -1 3 -1 v-2 dx ----- yjc = y , sea z = x => — = - x — dy dy dy

r dx

y-e

r dx

x [fe

x xsenxdx +c]

— - vz = v3 => — +yz = - y 3, la solución es:

dy

^y

y = e lnx[ j e~lnxx sen x dx + c] = x(- eos x + c)

r

f

, zi

^ = e- í ^ [ - J e ^ V ^ + c] = e ' 2 [ - J e V ^ + c l

_zl

¿

=>

¿

por lo tanto: 192)

y = -x eos x + ex

x 2y'+2x3y = y 2(l + 2x2)

z = c 2 [ - y 2e 2 + 2 e 2 + c] por lo tanto:

Solución

1 = 2- y 2+ ce"T2 — x 2y'+2x3y = y 2(1+2jc2) entonces y'+2xy = y 2 190)

/ - y = 2*e*+x2

multiplicando por y~2 se tiene:

x

- , ecuación de Bemoulli

y~ 2y'+2xy~x

x2

Solución sea z = y 1 => — = -y 2y' reemplazando

dx

Como y = e ^/(r)í/r[ | e ^ (v)í/X^(jc)dx + c] donde p(x) = -1 y #(x) = 2xe*

Reemplazando se tiene: 82

y =e ^

[Je^

2xev+v dx + c]

dx

+2xz=— -— = > -----2xz=-------— , ecuación lineal donde la solución es:

x2

dxx2

83

- f - 2 xdx r

[\-2xdx - 2 xdx (l + + 22x~) x 2)

fr

, ------ -4-------d x + c]

[I— -U I pJ j

Z —e J

J

_

z = - y 2 + a 2 +cy

porlotanto:

x 2 + y 2 - a 2 =cy

X

= ^ [-j

194)

dx + c] = e "2[J r f ( ^ - ) + c]

2 senx.y'+y eosx = y 3 ( x eosx - sen jc) Solución

1 + —+ ce — y *

por lo tanto:

2

x -y

2

-a

1

*2 2

sen x ./+ y eos x = y 3(jc eos x - sen x) de donde

dy c t g x 3, x e o s * - s e n * .., — + —-— y = y (----------------- ), ecuación de Bernoulli dx 2 2 sen*

2

Solución multiplicando por y 3 se tiene: y

2xy —-------- ------x2- y 1- a 1

dx x 2 - v 2 - a 2 ^ ^ ¿ dx1__ y 2 +a2, — = ---------------- de d o n d e --------- x = ----- ----- x dy 2xv dy 2y 2y

. . multiplicando por x se tiene: y

sea z - x

0

sea z = >,-2 =* — = -2y~3 — reemplazando - 1 ^ +£ÍM ÍZ=£ £ £ ? Í Z ^ dx dx 2 dx 2 2 senx

dx \ 2 v 2 + ¿z2 x —— — x = ------ ----dy 2y 2y

dz dx . \ dz \ y 2+#2 , A A => — = 2x — , reemplazando ——— ——z = ----- ----- de donde dy dy 2 dy 2y 2y

dz —— c tg x.z = -(x c tg x - 1) ecuación lineal cuya solución es: dx -\-cX%xdx

z-e 1 cuya solución es: dy y

y

1 p ( y ) = ---- y

q(y) =

J « y' * « , ) d y + c ] J

2+ a2 -----a

reemplazando se tiene:

r J v y +a [ - l e y - -------- dy + c] J

2

2

2

-

: = e ln;l'[-1 ——- dv + c] = y ( - y + — + c) J y2 ' ' y 84

entonces

f

f-rtgjr

dx

f J e

(x ctg x —X)dx+ c]

donde _

z-e

y

y

v

y 3 — + c ^ x y 2 —j [cosx_senx dx 2 2 sen x

_2

—2

lnsenjc«-

f

[- \ e

-ln s e n j r /

.

n

(x c tg x -l)a x + c]

r fx c o sx -se n x , = sen x[ - 1 --------- -------- dx + c] entonces: J sen x XX

= sen x[¿/(--------------------------------------) + c] = sen x(------hc) sen x sen x

por lo tanto:

l — = x + c sen x

85

1 •*+ —

/t

y“V + ^ — —

JC + *+1

Solución

-

3

dz dx

—x = - +—x 2, ecuación de Bernoulli 3

multiplicando por x

2

. se tiene:

dz dx

2 x 2 = - ^ f " 2^ + J v v 4 2

(2j c - 1)

^+ --ñ^=---r x’ ecuaci°nünealcuyasolución es:

dz 4— 2 z = _2(i------ ), ecuación a vlineal i cuya solucion i - ^es: — dy y . y

1 / x X , JC— 1 / 2 x ~—l )dx w + c] xjc-T 1 r[ fj e Tx x(— J x-l

y = - ^ — [ \ ( 2 x - l ) d x + c] => X - l

J

por lo tanto:

/ =

•*W)

y ' - y tg x = sec;c,

y|^=o= 0

2 y ln y + y- j c Solución

¿/;t _ 2x ln y + y - x dy

90

= - ^ — ( x 2 - x + c) xx -- ll

, CX y = x.22 +x-l

por lo tanto:

201)

y

x

— + L x = 2 \n y + l , ecuación lineal cuya solución es:¡ dy y

Solución y =e

- f - t g xdx f

f -tg jxdx

\\e J

sec x d x + c]

91

y = e Ulc:>s;c[Je lnsec* secxd x + c] entonces:

/ + 2 sen —^os —+ 2x co s2 — = 0

Csec x y = L . x x ( ------ dx + c) = secx(x + c ) , parax = 0 setienec = 0

2 y y sec “ — y1’+2 tg —+ 2x = 0 2 2

2

l sec x

por lo tanto: 204)

y = sec x (x + 0) =>

sea

X

y =eos X

2

2

entonces:

z = 2 tg — => — = sec2 —.y', reemplazando en la ecuación: 2 dx 2

dz — + z = - 2x , ecuación lineal cuya solución es: dx

y' eos y + sen y = x + 1 Solución

z-e Sea

z = sen y =>

[ - 2 ^ e^‘lXx d x + c] => z = e~x[-2(xex - e x ) + c]

— = eos y.y' , reemplazando en la ecuación: dx 2 tg 2' =

^+

* entonces

ig~- = ke x - x + l

+ z = x + 1, ecuación lineal cuya solución es: dx z - e ^ [ je ^

(x + l)dx + c] => z - e * [Je* (x + l)dx + c]

206)

/ - - ^ = é>*(l + x)'1 x+l Solución

-x

por lo tanto:

sen y = x + ce'

- f — — — •lf(z)dz + X Jo x

f y/(z)da= n xyf'(x) Jo

(1- « ) ¥ { x ) L - - = n ¥ {x)

209)

y'-2 x y = eos x - 2x sen x , y es una función acotada cuando x Solución

,/ x

-f-2xdx f f-2xdt

n y /(x )

v =e J

[I e J

X2

, entonces:

y - e x [Jd(d~ x senx) + c] => y = e x (e x senx + c)

y /'(x )_ \-n —

.

210)

i-n

y'+xsen2y = xe

entonces: y/(x) = c.x

- x 2

x2

x —>qo => c = 0 ,

ln(y/tx)) = ln x. (-— ) + In c n

ln y/(x) = ln c.x "

( e o s x -2 x s e n x )d x + c]

y = e A [Je~x (eosx - 2 x senx)dx+c] entonces:

entonces — ^(nxy/(x)) + ^ - ^ - ny/'(x)

y = 3 sen x + ce integrando

->oo

como sen x varia entre -1 y 1 además y es acotada cuando por lo tanto:

y = sen x

i j x y ' - y = - sen V* - eos V* , y es acotada cuando x ->oo

n

Solución

2

,

eos y

1

senV *+ cosV *

.,

..

y ----- t= y = ------------- 7=-------- , ecuación lineal cuya solución es: 2v *

Solución 2

y'+xsen 2y = xe~x' eos2 y => sec2 y.y’+2xtg y = xe~x

2V*

y =_ee ~^TJ7{

f , l^ ~ Vsen^x+cos^x £±cow « 1

sea z = tg v

=>

i4 x

— = sec1 x y .y \ reemplazando se tiene J - + 2xz = dy “X

J z = e ~i2xáx\ j J 2xdxXe~x~dx + c\ entonces

2Vjc

tg y = e~x [J x d x + c]

y = e^[J y por lo tanto:

xe~x tg y = —- — + ce

eos~Jx+c)

-x1

y = eos a/x + c e ^

como eos x varia entre -1 y 1, además y es acotada cuando

x -H -a o = > c = 0

por lo tanto

>■= eos Vx 95

211)

ln 2 = 2sen x (eos x -1 ) ln 2 , y es acotada cuando x -*+oo

por lo tanto:

y = -~n *

Solución y = e - \ - la2< lx[j J - ln2dx2 senx( c o s x - l ) l n 2 dx+c]

, sen 2 x y sen x - y eosx -------- -— , y —> 0 cuando x -> oo x Solución

y = e xln2 [ j e - xla22 seBX(eos x -1 ) ln 2 dx + 1]

y = e xla2[ j d (e ~x]n2 2 ieax ) + c]

. * sen x y c tg x.y - ------— , ecuación lineal cuya solución es: x

y = e xln2(e~xln22 senx + c) => y = 2 senx +ce xln2

y =e J

-j-ctgxdx

como sen x varia entre -1 y 1, además y es acotada cuando x ->+oo => c = 0

.. _

ln(senx)r

y - e por lo tanto: 212)

L“ J e J

>' = 2sen'

2 x 2y '-x y = 2x cosx - 3 sen x , y -> 0, cuando x->+oo Solución

f j-ctgxdx [\e} J

se n x v , (-r~)dx + c] x¿

f lnsenjr^COSX

(— Y~) * + x

entonces:

senx y„ = senx[-J —f dx c] i => y = — — + csenx

como sen x varia entre -1 y 1 además y -» 0, cuando x

1 2 x c o s x -3 se n x y ------y = ------------ --------2x 2x

por lo tanto:

- f f f t 2 x c o s x -3 se n x , y = e J 2jt[j e * -------- ------------- dx + c]

(1 -f x 2) ln(l + x 2 ) y '- 2 xy = ln(l + x 2) - 2x aretgx , y - ^ - ~

lnjr

—

v = e 2 [\e J

y =

senx

/— r sen x y =Jx []d (-jjY )+ c]

/—^sen x sen x r~ => y = 'Jx(—^jY + c)= - +cV*

dy 2x //v ,1 . 2x, * 27^ dx (l+xz)ln(l+x2) f

1 2xarctfíc — 2“ ~ ---------r » ecuación lineal, la solución es: 1+x2 (1+x )ln(l+x ) f

-2 xd x

-2 a ¿v

v = í? MMbO+j:2) r f J(l+*2)ln(l+jr2W como sen x varia entre -1 y 1 además y —» 0 cuando x ->+oo => c = 0 96

cuando x->-oo

Solución

lnx

r —t - 2 x e o s x -3 s e n x 2 (--------------5--------)dx + c] 2x

r=> c = 0

J

1

2x.arctgx

1+ x 2

(l + x 2)ln(l + x 2)

= e ln(ln(l+Jc2))r f ( --------------- 1--------1—------------ 2 x . a r c t g

j (l + x 2)ln(l + x - )

215)

216)

y ' - y l n x = - ( l + 21nx)x *, y - * 0 cuando x-»+qo

y x + c,j

(1 + x )ln(l + x )

Solución - f - ln .v

f

í - l nj r ár

y = ln(l + x 2)[ f d( arctg^ _) + c] •> ln(l + x )

y =e J

n, r arctgx , y = ln(l + x )[------^ + ^1 ln(l + x )

y = e xlDX- x[ - ¡ e x~xln* (1 + 2 In x)x Xdx+ c]

y = arctgx+ cln(l + x 2) , para y - > - | , cuando x ->*> => c

y = x xe~x [ - J e x (1 + 2 ln x)x~ 2xd x +c]

por lo tanto:

y - X xe~x[ j d ( e x jc~2x )+c] => y = x*e~*(e*jc~2x +c)

y = arctg x

y' - e xy = - y s e n —-e * eos—, y —>2, cuando x —>-oo x * x

= ^ f e dx[J e ^

(l + 21nx)x

dx + c]

y - x ~ x +cxxe~x para y-> 0 , cuando x->oo => c = 0 por lo tanto:

Solución

[-1 e J

y - x~x

sen —-e * eos —)dx + c]

y = e € [[e~e (-^-sen —-e * eos —)dx + c]

x2

*

x

y = k e\ J d ( e ~ eX cos^-) + c] => y = e e [ e e c o s ^ + e]

y = eos —+ ce 6 cuando y ->2, x -> -oo x 1 ^ - eos — c

_ _________ £

=>

c

= 2 - 1 =>

y=e

98

C=

1 , por lo tanto:

1 -heos — x

99

ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS, FACTOR

Primer Caso.-

Si u es una función solo de x.

in t e g r a n t e ! r: f Entonces: La ecuación diferencial de la forma: ... (1)

M(x,y)dx -f N(x,y)dy = 0

Se denomina ecuación diferencial exacta si su primer miembro es la diferencial total de una función u(x,y)

^u dM dN du — = 0 => u(------------ ) = N — dy dy dx dx

du i M — - —( dx N y

1 dM dN J

x

u

N

dy

) de donde — = — (—----- —

dx

=> u = e ¡ f {x)dx

Segundo Caso.- Si u es una función solo de y entonces:

la condición necesaria y suficiente para que la ecuación (1) sea una ecuación diferencial exacta es que se cumpla la condición. dM dy

du

\ ln u = J f ( x ) d x

du du Mdx + Ndy = du = — dx + — dy ox oy

N

dN dx

... (2)

dU . — =0 ox du _

. ,d M dN ^ t r du luego m(—-------— ) = - M — dy dx dv u

dM

dN

du dedonde

v

1 dM = _¥

dN ^

,

J

(1 7 “ &"Mv = g (v )^ ’ mtegrand0

La integral general de la ecuación (1) tiene la forma u(x,y) = c, o bien. ln u = \ g ( y ) d y í M (*, y)dx + P N(x, y)dy = c Jx0 Jy0

=» u = J sWdy

... (3)

Integrar las ecuaciones. En algunos casos, por cierto muy excepcionales, cuando (1) no representa una ecuación diferencial exacta, se consigue hallar una función u(x,y) tal que al multiplicar el primer miembro de (1) por ella, resulta una diferencial total:

217)

x ( 2 x 2 + y 2) + y ( x 2 + 2 y 2 )y'= 0

Solución

... (4)

du = u Mdx + u Ndy

Tal función u(x,y) se llama factor integrante, según la definición de factor integrante se tiene:

dM ¡M = x (2x 2 + y 2) [N = y ( x 2 + 2 y 2)

duM d ------ = — uN dy dx

Ar A . . K1duA du.dM de donde N - — M — = (—------- —)u ox oy oy ox

consideremos los siguiente casos: 100

dN.

dy dN dx

Luego

dM _ dN dy

dx

= 2 xy = 2 xy

la ecuación es exacta 101

»

3 f(x ,y )

tal que

d f(x ,y ) v. • = M y Sx

f ( x , y ) —-V3 +3x 2y 2 + g(y) derivando respecto a y

d f(x ,y ) 5v

df(x,y) á 2 , ,r — ---- = 6x y + g (y) = N

dy d /fo -jj. = x(2x2 + y2 ) integrando respecto a x. cfcc

6x y + g '(y) = 6x 2y + 4 y 3 entonces g '(y ) = 4j>3 entonces g(>') = y 4 + c 4

2

f ( x , y ) = j x ( 2 x 2 + y 2 )dx + g(y) = ^ + ~

- x 2y + g ' (y) = N entonces

2

- + g (v ) , derivando

x 2>y + g'(v ) —y( x +

)

5v

g ’(^) = 2 ^ 3 => g(y) =

f ( x , y ) —x 3 + 3x2_y2 + y 4 + c por lo tanto:

2I9)

< - ì = - r + i + i ) * + < - T ^ - T + J - - 4 ) « ' - (' V* + / x y 4* + y y y ' Solución

+ c , reemplazando en la función M = ■ .—

f ( x , y ) = — + ^—^ 2 2

+ — + c porlotanto: 2

/. x * + 3 x 2y 2 + y 4 =k

x* + x ~ y 2 + y

x

1 1 = + —+ — ^

dM dy

y _____ i_i __ X ■yfx2 T y 2 y y 1

xv ( x 2 + y 2)3/2

y2

xy

(3 x 2 + 6x y 2 )d x +( 6x 2y + 4;y3 )dy = 0

218)

T dM Luego

Solución d

M _ \ m = 3 x 2 + 6xy 2

dy

Entonces 3/(x,_y)

= 12xy

[N = 6x 2y + 4 y ì

à f ( x ,y ) _ x 3x Vx2 + y 2

8N 10 — = 12xy . dx Luego = la ecuación es exacta d f(x ,v ) , , Entonces dy3 / ( x dx , v) tal que — ^ - — = M y

dN 1 —— = —- la ecuación es exacta

J7+

1 X r + -----7 y y

¥ (x ,y ) 32 3y,, „ — ------ = x sec y + - y - + g ( y ) = JV oy x 3

g(y) = ln y + c', reemplazando en la función:

Ar

3

2

2

x 3 sec2 y + - ^ - + g ’(y) = X 3 sec2 y + 4 y 3 + -=y

f ( x , y ) = J x ^ + y ^ + l n x + — + l n y + c por lo tanto

g ’(y) = 4 y 3 entonces

entonces

g(y) = y 4 + c , reemplazando en la función:

/ ( x , y ) = x 3 tg y + - y + y 4 + c por lo tanto: x

J x 2 + y 2 +ln x y + — = k v ' y

4

3

V

3

,

x tg y + y + ~ = k . x

220)

(3x2 tg y - ^ Y - ) d x + (x 2 sec2 y + 4 y 3 + ~ - ) d v = 0 221)

(2x + ^ 4 ¿ ) d x = ^ l ^ x 2y xy2

Solución Solución dM ~2 2 6y -----= 3x sec y ------ rdy x

2/ — M = 3x 2 tg y ----x N = x 3 sec2 y + 4 y 3 h

1 3

dN ,2 2 6.v2 ---- = 3x sec y ------ y dx x

M = 2x +

N =-

x 2 + v2

rW

x 2y

dy

y

x-

d N ____I_

x2+ y 2

ax "

A^2 Lueg0

1 1 ■—+ —r

/

+ x2

la ecuación es exacta, entonces: dy

dx

Luego

dM dN t -----= ----- la ecuación es exacta, entonces: dy dx

3 / 0 , y)

Qf (*> y ) _ 3x2 tg y a* x3

integrando con respecto a x.

f ( x , y ) = \ ( 3x 2t g v - ~ - ) d x + g(y ) = x 3 t g y + ^ y + g (y ), derivando

tal que—- = M y — ■ ox

=

A/- de donde

d /(x ,y ) x2+ y2 . —------— = 2x + — -integrando respecto a x se tiene: S* x y /•

f(x,y)=

^

|

y ^

y

(2x+ ---- —— )dx+g(y) = x 2 + ----- —+ g (y ), derivando y“ x x y 105

dy X

y

eos 2x

x

1

sen 2 x

— — + g W = y -------— 2y 2 y2 X

1

•—r--------------------------------------------------------------------------------- f- g ' (y) = ---- ---------- entonces g' (^) = 0 => g(jy) = c reemplazando: ,, . sen2 * eos2 x sen2 x v2 * j '2 * g (y) = y -------- ^-------------- 5 - + — y2 2y2 2y2 f ( x , y ) = x 2 + —- —+ c por lo tanto: .V x

8 '(.v) = y ------ r 2 v

2 * V x + ------- --= k y x

/ ( x , v )= -

sen 2x sen2 x x , . (—------ + x)dx + (y — —x— )dy = 0

222)

y

sen 2x M = -------- + x sen2 x

dM dy

sen 2x

dN _ dx

2 sen x. eos x

y

tal que

dx

y

2

106

^ dy

^

2y+

y

=M y

x 2 + y2 1 i---- 1----- = fc 2 2y

sen2 x x 2 + y 2 . , --------+ ------ =---= k

(■•-— + 2 x y - —)dx + (-Jl + x 2 + x 2 - \ n x ) d y = 0 Vl + * 2 Solución

dv

^ - = N de donde

cos2x x . + x)ífr + g(.y) = - ---- — + _ + g^y} ^ derivando 2y 2

+ g - + t;-= --COS X+ Sen~ JC+ f _ ± Z l + _ L = ^ 2_y 2 2>> 2 2y 2 2y

por lo tanto:

1

223) Luego

2

y

Solución

N = v-

=> g(y ) =

SM M = - A = + 2 xy - y Vi + x + x 2 + x 2 -ln x

Luego

3 /(x ,

x

+ 2x^/l + x 2 x , i

^ av —

^

= - 7=

+ 2 x —

“vi + x 2

x

dM dN , ——= —— la ecuación es exacta, entonces : dy ñr

tal que — ■*»^ = Af y ese

dy

= TV de donde 107

ñ —— X_V----1- 2 x y —— integrando respecto a x se tiene ' *

M = sen y + y sen x + — x

Qf(x ' y ) =-y/l + x 2 + x 2 - l n x + g '(y ) = N

Luego

dy

-Jl+~x* + x 2 - l n x + g '( y ) = Vl + * 2 + x 2 - l n x g '(y ) = 0

dx

= cosy + senx

dM dN , —— = —— la ecuación es exacta, entonces : dy

3 / ( x , y)

¿k

tal que d^ x ' y) = m dx

y S ÍJ^Il =N dv

de donde

=> g(y) = c reemplazando en la función: d f( x ,y ) OX

/ ( x , y) = yV1+ x 2 + x 2y - y ln x + c , por lo tanto:

f ( x>y) -

y j l + x 2 + x 2v - y \ n x = k xdx+ydy + xdy - vdx _ ■p - + y 2 +

dN_

N = x eos y - eos x + — 7

f ( x , y ) = y-jl + x 2 + x 2y - y ln x + g ( y ) , derivando

eos y + sen x

dy

d f( x ,y ) dy

*2

1 . = sen y + y sen x + — integrando respecto a x. X

J(seny+ y s enx+

+

g(y) = x seny —y cosx+ lnx+ g(y) derivando

= x c o s y - c o s x + g ’(y) = N

Solución x c o s y - c o s x + g '(y ) = x c o s y - c o s x + — y

agnlpando +.V2

* g' ( y) = —

d ( J x 2 + y 2 ) + rf(—) = 0 integrando término a término v ' x |d ( ^ / x 2 + y 2") + Jrf(—) = ¿* entonces:

Solución

g(y) = l n y + c reemplazando en la función:

f ( x , y ) = x sen y - y eos x + ln x + ln y + c , por lo tanto: x s e n y - y c o s x + ln(xy) = £

-sjx 2 + y 2 + ~ = c

(sen v + y se n x + —)dx + (xcos y - c o s x + —)dy = 0 r x y

=>

226 )

y + senxcos xv . , x ------------ -ax + (------------- ----- + seny)dy = 0 eos2 xy eos xy Solución

109

M =

y + sen x. eos xy

-----= sec2 xy + 2 xy sec2 xy. tg xy dy

eos xy N =

SN 2 o 2 t — = sec xv + 2xy sec xy. tg xy dx

+ sen v

2

eos xy

. Luego

dM dN , ., . como -----= ----- la ecuación diferencial es exacta dy dx entonces 3 f ( x , y )

tal que

d f (x, y)

y + sen x. eos xy

dx

eos2 xy

dx

y ■

dy

- N de donde

derivando

¥ { x , y ) = x sec xy + g '(y) = N dy

9

d f(x,y) dy

y + sen x eos 2 xy . integrando respecto a x se tiene: eos xy

f ( x ,y ) = J ( j s e c 2 xv + senx)¿/x + g(y) = tgxy -c o s x + g(y) entonces:

integrando

/ ( x ,y ) = J(y se c2 xy + senx)dx + g(y) = tg x y -c o s x + g ( y )

d f (X y) dx

dM dN ——= —- la ecuación diferencial es exacta, entonces: dy dx

= xsec xy + g '(y )= N

X

x sec xy + g' (y) = ---- -— + sen y eos“ xy g ,( j ) = sen>; => g(y) = - c o s y + c reemplazando en la función

x sec2 xy + g ’(>>) = ----- :— + sen y eos2 xy g ’(y ) = sen >> => g(.y) = - eos y + c reemplazando en la función:

f ( x , y) = tg x y -c o s x -c o s .y + c , por lo tanto: tg xy - eos x - eos y = k

f (je, y) = tg xy - eos x - eos y + c , por lo tanto: [n eos(nx + m y ) - m sen(wx + ny)]dx + [m eos(nx + my) - n sen(wx + ny)]dy = O tg*y - c o s x - c o s y = k Solución 228) > X

^ d x + 2-— y\ y

dy = 0 ,

M = n cos(«x+ my) - m sen(rax+ ny)

[dM dy

N = m cos(hx+ my) - n sen(wx+ ny)

dN

_Ht=1=1

Solución

dx 110

■nmsQn^ix+my)-nmcos$nx+ny) =-wwsenfax+my)-nmcos^nxA- ny)

como dy

= — - la ecuación es exacta, entonces: dx

3 f(x,y) tal que dí ^ x ,y ) = M y cbc

d(arcsem/x2 + y 2 ) + d(aresen—) + e ' vd (—) = 0 , integrando término a término y y

- = JV de donde

d(arcsen J x 2 + y 2 )+ fd(arcsen —) + í e x/yd(—) = c J

— n cos(nx + my) - w sen(mx+ny)

y

J

y

integrando respecto a x se i ene

dx

aresen J x 2 + y 2 + aresen —+ e Jf'/ g(y) = c reemplazando en la función x

3 f(x,y) tal que

y2 1 .f(x, y ) = x - ~ --------+ c , por lo tanto: x x

d f ( x ,y )

1

dx

x2

dx

-

m

y

= N de donde

dv

■y , integrando respecto a x se tiene:

y 2 - x 2 +1 = kx 234)

f ( x , y) = - ~ - xy + g ( y ), derivando x

( \ - x 2y)dx+x ( y - x ) d y - 0 , n = d x - — dy = 0 entonces

como= —— la ecuación es exacta, entonces: dy dx U 3 f(x,y) tal que

d /(* ..y )

dx

dy 120

. y

x2

*

= M y d^ X' V-- = N de donde dy

dx

— = - - + g '( y ) = N entonces: x

como

x

+ g'O 0 = - — => áf'OO = 0 => g(y) x

x2

_2Z

f ( x , y ) = x - — + g ( y ) , derivando

x

d M _ _ 2 y_ dy x2 dN _ 2 y dx -2 x 2

U¿

dM dN , —— = —— la ecuación es exacta, entonces: dy dx

3 f(x,y) tal que

dx

=M y

dy

= N de donde

121

df(x,y) dx

1 y = —+ x x

integrando respecto a x se tiene: j í — (2y ( x 2 +1) + 5)dx + - X(X2 + 1*dy = 0 x* +1 x '+ l

f i y2 v2 f ( x , y ) = ( - + -^r)dx + g ( y ) = In x - — + g(y) denvando J x x1 x

dy

(2y-\— -— )dx+ 2 xdy = 0 entonces: x 2 +1 dM

x M = 2y+ x2+l

y f ( x , y ) = l n x - - — + c , por lo tanto:

239)

x ln x -y

i

dN dx

N = 2x

— +g'(y)=~— => g'(y) = 0, entonces g(y) = c reemplazando en la función x x

=

dy =

2 2

dM dN , como -----= ----- la ecuación es exacta, entonces: dy dx

=kx

(2x2y + 2y+5)dx + (2x 3 +2x)dy = 0 , n = cp(x) ctr

ay

Solución

\M = 2 x 2y + 2 y + 5 \ n = 2x 3 +2x

/ ( x , y ) = 2 yx + 5 arctg x + g(y )

¥ (x ,y )

dM dN -----* — no es exacta; entonces dy dx

corno

-4 x¿ ri \ ^ .dM dN 1 2 oz-2 sea / ( x ) = — (—------ — ) = — T-------(2x + 2 - 6 x - 2 ) = N dy dx 2 x 2 +2x 2x3 +2x -

u = e ^ ()

dy

= 2x + g '(y) = N entonces: 2x + g '(y ) = 2x=»

= 0 => g(y) = c

/ ( x , y ) = 2 x y + 5 a rc tg x + c , por lo tanto:

- 2x x

derivando

2 +1

2xy + 5 arctg x - k

r -2xdx

= e *2+1 = e' [n(Jr +1>, de donde w = — x 2+l

(2 x y + 2 y + 5)dx + (2x3 + 2 x)dy = 0 entonces 122

d f( x,y) 5 . ---------- = 2_v + —----- integrando con respecto a x se tiene: dx x 2 +1

dM = 2x +2 dy dN_ = 6x 2 + 2 dx

240)

(x 4 ln x - 2 x y 3)

=>

P

\

+

por lo tanto:

y = — — - - arctg p + c

p ¿

1 x = ---l+p 2

eV p (\ + 2 p ) dx = - j - ^ - dp P

x(l + / 2 )3' 2 =a dy

=-j

e 1/ p ( l - 2 p ) , ------ —— dp

. t . por lo tanto: y = e V p (\ + - ) + c P

e llp

X = ---- r -

138

Solución x(\ + y u )i l ¿ =a

dy — =p dx

=>

=>

dy dx = — p

x-

(1+/ 2 )3/2

entonces:

x = -------1. (1 + P 2)V2

=>

A = dx

£' y = ----- ^pdp P a V ) s,!

, _ ----- 3p dp J « V ) !' !

y 4 - y 4t 4 - y 3t 2 = 0, simplificando

Sea y '= y t reemplazando se tiene:

~ 3PdP (1+ P 2)5' 2

y - y t 4 - t 2 =0

=>

integrando: => dy =

>>= 1-t*

y = -3 f — ^ ~ - + c haciendo p = tg 0, dp = sec2 QdO J ( \ + p 2)512

como

y ( l - ; 4) = / 2

2 i 5 + 2t

dt

...(1 )

(1 ~ t A)2

y '-p

=> y = -

y efectuando operaciones se tiene: y + c = -fl sen3 r

|

x = a c o s3 r ... (2)

>>2/5 + y 2/5 =Jfl2/s

Sean

t 2 r +2í dt = ----- r dx de donde a - i 4) 2 '" i - í 4

de (1) y (2) se tiene:

Solución y = acos5 t y / = f l s e n 5 í = p

dx = -

2 (t +l)dt

. , integrando

0 4 -l)í2

dy - 5 a c o s 4 í.sení , c . 4 , j, dx = ^ - = ------------ -------- dt = -5c tg rdr /? asen* f

^C ,A B C D El F , x = —2 1 (— i------------- h--------- + + — +— )di J t t t+1 t- 1 t 1 -

263)

¿fy = ----- T*dx i-í4

2 . t +1 x = - —+ ln | — - 1-2arctg t + c

.2 dx = - 5c t g A t dt

=> * = - 5 - ^ ^ - 5 c t g / + 5í + c

y = .

porlotanto:

(p = yt)

i+r ¿65)

x = y+ sen y

- _

^ -i. - 5c tg t + 5í + c 3 y = fleos 5 í. 264)

y * - y ' 4-y y '2

dy — =p dx

=0 Solución

140

Solución =>

x = p + sen p

dy dx = -±p => dx = dp + eos p dp 141

dy

= (1 + eos p)dp

=>

dy = p (1 + cos p)dp , integrando:

ECUACIONES DE LAGRANGE Y CLAIROüll a)

1= J p( 1+ eos p)dp =

La ecuación de Lagrange es de la form a:

+ p sen p + cos p + c , por lo tanto: }>= ■*/(/) +