Solucionario-de-algebra-lineal-Kolman-octava-edicion_español.pdf

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LIBROS UNIVERISTARIOS Y SOLUCIONARIOS DE MUCHOS DE ESTOS LIBROS

LOS SOLUCIONARIOS CONTIENEN TODOS LOS EJERCICIOS DEL LIBRO Resueltos Y EXPLICADOS DE FORMA CLARA

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SOLUCIONES DE TEÓRICO EJERCICIOS

seleccionado de

INTRODUCTORIA ÁLGEBRA LINEAL CON APLICACIONES B. KOLMAN, Dr. Hill Octava edición, Prentice Hall, 2005.

Dr. Grigore C

˘ ˘ ALUG AREANU

Departamento de Matemáticas y Ciencias de la Computación El Grupo de Álgebra

Universidad de Kuwait 2006 https://translate.googleusercontent.com/translate_f

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Contenidos

Prefacio Lista de símbolos

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1 Matrices

11

3 Determinantes

29

4 n­vectores

37

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5 líneas y planos 6 Espacios vectoriales

41 45

8 Diagonalización

55

Referencias

59

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CONTENIDOS

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Prefacio

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Ya en 1997, alguien le preguntó en el Departamento de Matemáticas: "¿Por qué son los resultados en 111 de golf (álgebra lineal), tan mal? "La solución era para cancelar algunas secciones de los 6 capítulos seleccionados para este un semestre curso. Las soluciones de algunos de los llamados ejercicios teóricos debían se tratarán en las conferencias. Pero esto lleva tiempo y menos tiempo queda para que cubre el material de largo en estos 6 capítulos. Nuestra colección de soluciones está destinado a ayudar a los estudiantes en 111 por supuesto, y proporciona a los profesores un tiempo adicional preciosa con el fin de cubrir cuidadosamente toda la gran número de las nociones, los resultados, los ejemplos y procedimientos que se enseñan en las clases teóricas. Por otra parte, esta colección da todas las soluciones de las pruebas de capítulo y Como beneficio adicional, algunos ejercicios especiales para ser resueltos por los estudiantes en su Tarea. Debido a que a menudo estos ejercicios son necesarios exámenes parciales y examen final, los estudiantes se les anima calurosamente para preparar cuidadosamente estas soluciones, y si algunos de ellos no se entienden, de utilizar las horas de oficina de su profesores de explicaciones complementarias. El autor

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PRÓLOGO

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Lista de símbolos

Símbolo N Z Q R

Descripción el conjunto de todos los números enteros positivos el conjunto de todos los números enteros el conjunto de todos los números racionales el conjunto de todos los números reales

para R cualquiera de los conjuntos numéricos anteriores

R* Rn M (R) m × n M n(R) Sn P (M) R [X]

el conjunto R, la eliminación de cero el conjunto de todas las n­vectores con entradas en R el conjunto de todos m × n matrices con entradas en R el conjunto de todos (cuadrado) n × n matrices el conjunto de todas las permutaciones de n elementos el conjunto de todos los subconjuntos de M el conjunto de todos los polinomios de indeterminada X con coeficientes en R

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LISTA DE LOS SÍMBOLOS

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Segunda edición (actualizado a la octava edición)

Todos los derechos reservados al Departamento de Matemáticas y Computación Ciencias, Facultad de Ciencias, Universidad de Kuwait

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Capitulo 1

Matrices

Página 20. ] Se llama triangular superior si una T.5. Una matriz cuadrada A = [a ij para i> j. Se llama triangular inferior si un ij = 0 para i  j tenemos s = A ij ij + B ij = 0 + 0 = 0 respectivamente, d ij = A ij ­ B ij = 0 ­ 0 = 0. Por lo tanto la suma y diferencia de dos matrices triangulares superiores es triangular superior. 1 2 3 3 2 1 4 4 4 0 1 2 +  0 3 2 =  0 4 4 , Cantidad de dos Ejemplo.  0 0 1 0 0 3 0 0 4 https://translate.googleusercontent.com/translate_f

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matrices triangulares superiores, que también es triangular superior; 1 0 0 1 0 0 0 0 0 2 1 0 ­ 1 1 0 1 0 0 =  , Diferencia dos gulación menor 3 2 1 1 1 1 2 1 0 matrices gular, que también es triangular inferior. (b) similares. (c) Si una matriz es superior e inferior triangular, entonces las entradas por encima de la diagonal principal y las entradas por debajo de la diagonal principal son cero. Por lo tanto todo las entradas fuera de la diagonal principal son cero y la matriz es diagonal. T.6. (a) Demostrar que si A es una matriz triangular superior, entonces A T es bajo triangular. T es superior (b) Demostrar que si A es una matriz triangular inferior, entonces A triangular. T = [A T ], Y A es Solución. (a) Por la definición de la transpuesta si A ij una matriz triangular superior, una ij = 0 para cada i> j y por lo que una T = A ij = 0. ji

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13 T es triangular inferior. Por lo tanto A (b) similares. Página 37­38. T.4. Demostrar que el producto de dos matrices diagonales es una diagonal matriz. Solución. Sólo verificar que la11 0 ... 0 una ... https://translate.googleusercontent.com/translate_f

0 0

b11 0 b

0 ... ...

0 0 15/67

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... 0

22 ... ... ... 0 ... una nn

... ... ...22 0 0 ... b

la11b11 0 ... 0 0 una22b22 ... 0 ... ... ... ... 0 0 ... una nn bnn

=

... nn

.

T.5. Demostrar que el producto de dos matrices escalares es una matriz escalar. Solución. Sólo verificar que un 0 ... 0 0 a 0 ... ... ... ... ... 0 0 ... un

b 0 ... 0 0 b ... 0 ... ... ... ... 0 0 b ...

=

una B 0 ... 0 ab ... ... ... ... ... 0 0 ... ab

0 0

.

Solución a corto. Observe que cualquier matriz escalar tiene la forma aI n = un 0 ... 0 0 a 0 ... . Entonces, obviamente (AI n) (BI n ) = (Ab) .I n muestra que ducto ... ... ... ... 0 0 ... un ductos de matrices escalares son matrices escalares. T.6. (a) Demostrar que el producto de dos matrices triangulares superiores es un matriz triangular superior.

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14

CAPÍTULO 1. MATRICES

(b) Demostrar que el producto de dos matrices triangulares inferiores es un menor matriz triangular. Solución bosquejado. (a) Un cálculo directo muestra que el producto de https://translate.googleusercontent.com/translate_f

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dos matrices triangulares superiores la11 la12 ... la 0 una22 ... la ... ... ... 0 0 ... una

1n 2n ... nn

b11 b12 ... B 0 b 22 ... B ... ... ... 0 0 ... b

1n 2n ... nn

es triangular superior también. De hecho, esto es la b la b + Una b ... la b + Unab + ... + A b 11 11 11 11 12 22 11 1n 12 2n 1n nn 0 la22b22 ... la 22b2n + Una 23b3n + ... + A 2nbnn ... ... ... ... 0 0 ... lann bnn

,

una matriz triangular superior. Solución completa. Sea P = [p ij ] = AB ser el producto de dos superiores n i­1 matrices triangulares. Si i> j entonces p ij = Σ k = 1laikbkj = Σ k = 1laikbkj + Σ n la b = (A b1j + ... + A ). Dado que tanto i1 i, i­1bi­1, j ) + (Una iibij + ... + A enbNueva Jersey k = i ik kj matrices A y B son triangular superior, en la primera suma los a son cero y en la segunda suma los b 's son cero. Por lo tanto p ij = 0 y P es triangular superior también. (b) De forma análoga. T9. (a) Demostrar que la columna j­ésima de la matriz producto AB es igual a la Acol producto de matriz j (B). (b) Demostrar que la fila i de la matriz producto AB es igual a la fila matriz producto (UNA B. yo Solución. (a) Con las notaciones habituales, considere A = [a ij ] Una matriz m × n, B = [b ij ] Una matriz n × p y C = AB = [c ij ] La matriz correspondiente producto, una matriz m × p.

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15 Como ya se ha visto en las conferencias, una arbitraria (i, j) ­entrada c producto está dada por la fila producto escalar

[lai1lai2...laen] • C) es la siguiente:

b1j b2j .. .

(A) • Col j (B) = yo

ij en el n Σ la b o ik kj k = 1

. Por lo tanto la columna de la j­ésima del producto (la matriz

bNueva Jersey c1j c2j .. .

=

fila fila

1(A) • Col 2(A) • Col

j (B) j (B)

.. .

= Acol j (B)

c Nueva Jersey fila n(A) • Col j (B) utilizar el producto (acaba de hacer el cálculo!) del m inicial × n matriz A b1j b2j y el n × 1 matriz de col (B) = .. . j . (b) De forma análoga.

bNueva Jersey

Página 51. T.9. Encuentra un 2 × 2 matriz B = O 1 2 donde A = [ . 0 1]

2 y B = I

2 tal que AB = BA,

Solución. Obviamente B = A satisface las condiciones requeridas (de hecho, AA = AA, A = O 2 y A = I 2). Solución para una declaración "mejor": encontrar todas las matrices B con este Propie­ erty. una B Buscamos B como una matriz desconocida [ . cd]

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CAPÍTULO 1. MATRICES

1 2 una B De este modo [ 0 1] [ cd] de la igualdad de la matriz,

= [

una B cd] [

1 2 0 1]

a + 2c = b + 2d = 2a + b c = d = 2c + d

y así, utilizando la definición la c

.

Estas igualdades son equivalentes a c = 0 y a = d. Por eso todo una B matriz B de la forma [ con arbitrarias (reales) los números a, b verifica 0 a] 0 1 AB = BA. Ejemplo: [ . 0 0] T.13. Demuestre que (­1) A = ­A. Solución. En la demostración del Teorema 1.1 (Propiedades de la suma de matrices) tomamos D = (­1) A (la multiplicación escalar) y hemos verificado que A + D = D + A = O, que es ­A = (­1) A. T.23. Sean A y B sea matrices simétricas. (a) Demostrar que A + B es simétrica. (b) Demostrar que AB es simétrica si y sólo si AB = BA. T Th.1.4 (b) T + B T = Solución. (a) Esto sigue inmediatamente de (A + B) = LA A + B, siendo A y B simétrica (por encima de algunos de los igualdades, su la justificación se da). T Th.1.4 (c) T = BA sostiene para arbitraria (b) En primer lugar observamos que (AB) = B TLA simétrica matrices A, B. T = AB y por lo tanto (utilizando la anterior Ahora, si AB es simétrica, (AB) igualdad) AB = BA. Por el contrario, si AB = BA entonces (AB) T = BA = AB, es decir, AB es simétrica. T.26. Si A es una matriz n × n, demostrar que AA T y un TA son simétricas. T) T Th.1.4 (c) T Th.1.4 (a) = (LAT) TLA = AA T, así que eso Solución. Por ejemplo (AA TA es simétrica. AA T es simétrica. Del mismo modo A

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17 Recordamos aquí una definición dada en el Ejercicio T24: una matriz A = [a T = ­A. se llama hemi­simétrica si A

ij ]

T.27. Si A es una matriz n × n, (a) Demostrar que A + AT es simétrica. (b) Demostrar que A ­ A T es antisimétrica. Solución. (a) Sólo tenemos que observar que (A + A T + A Th.1.1 (a) (LAT) T Th.1.4 (a) = LA = A + A T.

T) T Th.1.4 (b) T+ = LA

T ­ (A T) T Th.1.4 (a) (b) De forma análoga, (A ­ AT) T Th.1.4 (b) = LA = ­ (A ­ A T). = A T ­ Un Th.1.1 (a) = T.28. Demostrar que si A es una matriz n × n, entonces A se puede escribir de forma única como A = S + K, donde S es simétrica y K es antisimétrica. T = S T + K T = Solución. Supongamos que existe una descomposición tales. Entonces un T = 2S y A ­ A T = 2K. S ­ K de manera que A + A 1(A­A T). Una verifica A = S + K, Ahora toma S = 1(A + A T) Y K = 2 2 T = ­K De manera similar a la del ejercicio anterior 26. S = S T y K T.32. Demostrar que si Ax = b es un sistema lineal que tiene más de una solución, entonces tiene un número infinito de soluciones. Solución. Supongamos que u 1 = U 2 son dos soluciones diferentes de lo dado sistema lineal. Para un número real arbitrario r, tal que 0