solucionario coveñas matemax 2
March 26, 2017 | Author: vladimirgds | Category: N/A
Short Description
Download solucionario coveñas matemax 2...
Description
Segundo Año de Secundaria
Solucionario Segundo año de educación secundaria
-1-
Manuel Coveñas Naquiche
-2-
Segundo Año de Secundaria
CAPÍTULO N° 1 NÚMEROS REALES EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO. Pág.(51, 52, 53, 54) NIVEL I Resolución
1
8 Vemos que: * = 1, 6 5
∴
3 * 11 = 0, 27 (Periódico puro)
Resolución
1 * 2 = 0, 5 ) 1 * 3 = 0, 3 (Periódico puro) ) 8 * 15 = 0, 53 (Periódico mixto)
B − A = 3; 8
7
Sea 4 x − 7 = 13 Por propiedad:
Si a = b à a=b
Rpta.: E
∴
2
⊂ IR
(V)
IN ⊂ Q
(V)
¤ ∪ II = ¡
(V)
VVV
4x = −13 + 7 4x = −6
3 2
Luego, tomamos el valor negativo de “x” x=−
3 2
Resolución
Rpta.: B
4 7
Hay 2 números irracionales
Rpta.: B
Rpta.: D 8 3
(verdadero)
B) −4 2 = 4 2
(verdadero)
C) x = x , si x > 0
(verdadero)
D) 6 + −6 = 0
(falso)
Porque: 6 + 6 ≠ 0
5
) 526 − 52 5, 2666.... = 5, 26 = 90 =
4 15
E) x = − x , si x < 0 (verdadero) Resolución
474 79 = 90 15
=5 Resolución
x=−
∨
3
Son irracionales: π y
Resolución
4x − 7 = −13
4x = 20
A) − 3 =
∴
a = −b
4x =13 + 7
Rpta.: C
Denso
Resolución
∨
x=5
∴ Resolución
∨
Tenemos que: 4x − 7 = 13
Resolución
Rpta.: C
9
1 1 1 14 2 : = 1 14 2 7 2 7 2
Rpta.: A
6 1
Si A = −∞; 3
=
; B = −2; 8
1× 7 2 1× 14 2
=
1 2
2
Graficamos los intervalos.
= 0,50
-3-
Rpta.: B
Rpta.: D
Manuel Coveñas Naquiche
Resolución a5·a2
I.
=
10 a10
Resolución
1
7 2
ya que: a5·a2 = a5+2 = a7 ≠ a10 3
II.
2 14
=
ya que: a
∴
27
=a
27 3
=
=a ≠a 9
3
b7·b7·b7 = b21 ........ es verdadero
14
ya que: 0, 9 =
9 = 10
F FV F
Rpta.: D
33
=
Resolución
3 ≠ 0, 3 10
11
7 2
= −2
1
3, 15 > 3, 2
es falso
II.
−5, 7268 < −5, 7271
es falso
III.
3,1416 es irracional
es falso
∴
Relación correcta: F F F
A=4
à
B=6
Rpta.: E
2
r< −
12
A = 3 16 3 64 = 3 16 · 4 = 4 à
7 2
r < −3,5 r: −4; −5; .........
à ∴
Calculamos: (A + B)2 = (4 + 6)2 = 102
Resolución
Rpta.: D
Por dato: −2r > 7
Rpta.: B
B = 6 36 = 6 · 6 = 6
7 7 7 = 7 2· 7
I.
Resolución
b g b g
(A + B)2 = 100
7 1 2 7
NIVEL II
−125 + 5 −243 = 3 −5 + −3 = 3 −8
Resolución
=
7 1 7 · × = 2 7 2 7
0, 9 = 0, 3 ........ es falso
Resolución
∴
2 7
ya que: b7·b7·b7 = b7+7+7 = b21 IV.
7 2
a 27 = a 3 ........ es falso 3
III.
15
........... es falso
Rpta.: C
rmax = −4
Resolución
Rpta.: B
3
Graficamos los intervalos dados:
13
3 12 − 3 80 + 4 45 − 2 27 3 4 · 3 − 3 16 · 5 + 4 9 · 5 − 2 9 · 3 3 4 · 3 − 3 16 · 5 + 4 9 · 5 − 2 9 · 3
Luego: A ∩ B = −2; 3 C = −∞; 3
3· 2 3 − 3· 4 5 + 4· 3 5 − 2· 3 3 6 3 − 12 5 + 12 5 − 6 3 = 0
Rpta.: E
à
b A ∩ Bg − C =
−2; 3 − − ∞; 3
={3} Resolución L=
50 + 2 = 18 − 2
L=
25 · 2 + 2 9· 2− 2
25 · 2 + 2 9· 2 − 2
Resolución
eπ +
je
10 :
13 − 10
j
(3,14 + 3,16) : (3,61 − 3,16)
2
6,30 : 0,45 = 14,00
1
L=3
4
Reemplazamos con los valores aproximados al centésimo, obtenemos:
5 2+ 2 6 2 L= = =3 3 2− 2 2 2
∴
Rpta.: D
14
Rpta.: C
-4-
Rpta.: C
Segundo Año de Secundaria
Resolución
5
Resolución
I.
π ∈IR ....................... (V)
II.
−5 ∈IN ................... (F)
F GH
2
4
8
1 − 2 −2 − 2 −3 16
I JK
−1/ 3
=
FG 1 − 1 − 1 IJ H2 2 2 K 2
−1/ 3
3
2 ya que: −5 = −25 ∉IN
III.
(¥ ∪ ¤) ∩ ¢ = ¢
∩
= . .............. (V)
−49 ∈ IR ................. (F)
IV. ∴
F 1 1 1I =G − − J H 2 4 8K
Relación correcta es: V F V F
Resolución
=
Rpta.: D
6
=8
1− 2 +
2 − 3 ........ (I)
como: 1 − 2 < 0
∧
Resolución
2 −3 0
B = 3− 5
Luego: Resolución
7
17
Racionalizamos cada sumando: 2
2+ 3 2+ 3 2+ 3 2+ 3 = = 2 2− 3 2− 3 2+ 3 22 − 3
e e
je je
j e j
j
e2 + 3 j =
∴
e
=17
19
3+2 2 +
2
7
7
Resolución
4−3
2+ 3 2+ 3 = 1 2− 3
b A + Bg = e 5 − 2 + 3 − 5 j b A + B g = 1 Rpta.: A e1− 2 j
2
1+ 2 + 2 2 + 1− 2
2
j
2
12 + 2 + 2 · 2 · 1 +
e
2 +1
2
j
2 −1
j
+ 2 −1
2 + 1+ 2 − 1 = 2 2
-7-
e
Rpta.: C
Manuel Coveñas Naquiche
Resolución
20
− 5 20
A=
Racionalizando cada sumando:
∴
1· 2 + 3 1 2+ 3 = = 2 * 2− 3 2− 3 2+ 3 22 − 3
Resolución
e
j
e
je
j
= 2+ 3
22 · 5 − 3 22 5 − 3 22 = = * 2 5+ 3 5+ 3 5− 3 52 − 3
j
22 5 − 3
j
e
e
j
e
je
j
e
=
22 5 − 3
e
22
22 = 5− 3 5+ 3 Reemplazando en:
e1+ 2 je1− 2 j 2
3
3
−1 = −1
Rpta.: E
23 −1 −1 2
e j IJ JJ 32 + 2 K
27 − 3−1 5
=
0,5
−1 ( −1) × ( −1) 2
F 3−3 =G H 2+
I JK
2
=0 Rpta.: B
Resolución
1/ 2
Rpta.: E
24
1 5 − 5 +1 4 5
5
5 −1
e
j
A=
5 5− 5 5 − + 2 5 5 − 12 4
5 +1
je
5 −1
j
−
x· x = 5
3
4 5 +5 5− 5 −5· 5
j
20
1 x2
·
1 x5
E=
3
7
x 10
60
E = x 30 ; para: x = 2 7
F E = G2 GH
5 4
5 5− 5 5 + − A= 5 4 4
e
x x x = = x x x· x
;
60 7
I JJ K
7 30
E = 22
→
Resolución
25
=
2 60 7 × 7 30 1 2
E=4
Rpta.: A
Expresamos las fracciones en decimales y comparamos con:
7 = 0, 35 20
A) 0, 48 B) 0,37 C) 0,15 D) 0,3 E) 0,2
4 5 + 25 − 5 5 − 25 − 5 = 20 20
-8-
→
5 5 − 5 +1 4
5 + 5
E=
3
x5 x x
7
à
A=
3
→
1 + 5
E=
→
A=
A=
3
Reducimos “E”
1 1 5 − + 4 5 1+ 1 5
A=
2 + 1 · 3 1− 2
Resolución
F GG GH
· 3 1− 2
3
1 − 2
j
2
54+ 4 3 12 3
21
e
j
22
+
5 + 5
2 +1
1 2
A=
A=
e
F 3 − 3 IJ = FG 0 IJ =G H 2+ 2 K H 2+ 2 K
2+ 3 + 5− 3 = 7
Resolución
6
→
1 24− 4 3 12 3
2 2 + 3 · 3 1− 2
3 2
25 − 3
=
6
→
1 2− 3
22
à
2+ 3 4−3
=
Rpta.: E
29 60
11 30
3 20
3 10
1 5
Segundo Año de Secundaria
∴
Está más cerca:
11 30
Rpta.: B
5
10 E= · 9
1
9 10 3 5 = · = 4 9 2 3 1
3
Resolución
26 ∴
f = 1,09 × 0,53 : 0,36
f=
109 − 1 53 36 × : 99 99 99
f=
108 × 53 159 = = 1, 60 99 × 36 99
E=
5 3
Resolución
3
A=
4
1
∴
Rpta.: C
Resolución
FG H
S=
∴
1 2
A=
2 3
e 2j
2
1 3
14 3
e 2j
7 3
=
2
27
IJ FG1− 1 IJ FG 1− 1 IJ FG1− 1 IJ ... FG1− 1 IJ K H 3 K H 4 K H 5 K H 25 K
∴
1 25
F H e
Rpta.: C
Resolución
A=
4
7
e
14
31
I K
7
3 · 7 × 2 5 · 14 2
j
3 · 7 5 · 14 2
2× 7
28
Rpta.: D
2
Resolución
1 2 3 4 24 · · · · ... · 2 3 4 3 25
S=
30
2
f = 1,60
S = 1−
Rpta.: A
3 · 14 5 · 14 2
7
7
j
(14 3 · 5 · 2 ) = (14 30 )
Graficamos los intervalos:
7
7
1
7 14
= 30
= 301/ 2 = 30
Del gráfico vemos que: A ∩ B = 2; 6
Resolución
Por datos: A ∩ B =
a ; 3b 2
à
a=4
6 = 3b
à
b=2
∴
a+b=4+2=6
Resolución
b g
E = 0, 9
Rpta.: D
1 2
4 −1 9 ·
FG 2 + 1 IJ H 4K
) 0,2
−1 4 9
·
2 4 5 9 10 M= · · 5 10 2 1
M=
2
F9I E=G J H 10 K
FG 2 − 1 IJ FG 5 − 1 IJ FG 10 − H 2 KH 5 KH F 2 IF 5 IF M=G 2− H 2 JK GH 5 − 5 JK GH 10 − F 2 2 − 2 I F 5 5 − 5 I F 10 M=G H 2 JK GH 5 JK GH
29
FG 2 + 1 IJ H 4K
2 9
5
2 · 5 · 9 10 9 2 × 5 × 10 = 25 25 2
M=
9 100 9 × 10 18 = = 25 5 25 5
∴
-9-
M = 3,6
Rpta.: D
32
M=
a 2
Por comparación: 2 =
2
Rpta.: C
IJ K 10 I 10 JK 1 10
10 − 10 10
I JK
Manuel Coveñas Naquiche
Resolución
33
Resolución
Hallamos: 2 − 3 x = −5 = 5 2 − 3x = 5
∨
Resolviendo, tenemos que: 2 − 3x = −5
−3 = 3x
x +1 =3 x −1
7 = 3x
x = −1
x=
∨
7 3
x + 1= 3
Luego:
∴
e
x −1
j
x + 1= 3 x − 3
7 4 Σ de soluciones = b −1g + = 3 3
) Σ de soluciones = 1, 3
34
4=2 x x =2
Rpta.: D
→
x=4
Luego: M = x + x2 M = 4 + 42 = 4 +16 ∴
M = 20
Rpta.: B
CAPÍTULO N° 2 RELACIONES Y FUNCIONES EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO. Pág.(86, 87, 88, 89, 90, 91, 92) NIVEL I Resolución
1
A = {−2 ; 3}
∧
à
A×B =
Resolución
l
M = 0; 2; 4
B = {1; 2}
mb −2; 1g; b −2; 2 g; b 3; 1g; b 3; 2 gr
q M2 = M × M
Luego: Rpta.: D
à
4
M2 = {(0; 0),(0; 2),(0; 4),(2; 0),(2; 2), (2; 4),(4; 0),(4; 2),(4; 4)} Rpta.: C
Resolución
2
II.
) ( ) ( (17; 161/ 2 ) = (50; 3 64 ) ....... (V)
III.
(3; −2) = (−2; 3) .................. (F)
I.
40; − 3 = 1; 3 − 27
3 ≠ −2 ∴
∧
3
5
G = {x∈ /−6 < x < 2} G = {−5; −4; −3; −2; −1; 0; 1}
n° elementos de G: n(G) = 7 H = {x ∈
/−5 < x < 0}
H = {−4; −3; −2; −1}
−2 ≠ 3
La relación correcta es VVF
Resolución
Resolución
.......... (V)
Rpta.: B
n° de elementos de H: n(H) = 4 à
n(G × H) = n(G) × n(H) = 7 × 4
∴
n(G × H) = 28
Rpta.: C
Se debe cumplir: à
(a + 3; 7) = (8; b)
Resolución
a+3=8 →
A = {3; 4; 5; 6} y B = {6; 7}
a=5
à 7=b Luego: a + b = 5 + 7 ∴
a + b = 12
à
6
A ∩ B = {6}
Luego: (A ∩ B)× B ={6} × {6; 7} Rpta.: A
∴
(A ∩ B)× B = {(6; 6);(6; 7)} Rpta.: E
- 10 -
Segundo Año de Secundaria
Resolución
b = 16
A = {8; 9; 10; 11; 12; 13; 14} B = {3; 4; 5; 6} R=
à
à
Luego, hallamos: a+b =
RSb x; y g ∈ A × B / Y = x UV 2W T
∴
R = {(8; 4);(10; 5);(12;6)}
RSb g T
UV W Rpta.: A
g(x) = 5 − 2x2
à
g(−3) = 5 − 2(−3)2 g(−3) = −13
11
Analizamos cada alternativa: f1 = {(−2; −1);(0; 3);(5; 4)} sí es función
B)
f2 = {(−2; 3);(5; 7)}
C)
f3 = {(0; −1);(5; 3);(−2; 3)} sí es función
D)
f4 = {(3; −2);(4; 0);(4; 5)} no es función de B en A
E)
f5 = {(−2; 7);(0; 7);(5; 7)} sí es función
Límite superior Límite inferior
Luego: f(1) = 3(1)+7 → f(1) = 10 f(8) = 3(8) + 7 → f(8)= 31
Rpta.: A
à
f(x)∈ [f(1); f(8)]
∴
Rango = [10; 31]
Resolución
Rpta.: D
15
Analizamos las altenativas y podemos observar que (2; 9) no pertenece a la gráfica:
sí es función
2 2 x 3 Reemplazamos las coordenadas en la gráfica: y=
Rpta.: D Resolución
14
x ∈ [ 1; 8 ]
10
A)
Rpta.: D
Sea f(x) = 3x + 7
Cumple: R1 = {(1; –7);(2; –7);(3; 5)}
Resolución
f(2) + g(−3)= −4
Resolución Rpta.: C
Recuerde que para que sea una función, la primera componente de cada par ordenado, debe tener una sola imagen. ∴
Si
∴
Luego: Dom R = {−3; −1; 1}
Resolución
f(x) =
f(2) = 3(2)2 − 4(2) + 5
Luego: f(2) + g(−3) = 9 +(−13)
R = {(−3; −3),(−1; 1),(1; 5)} Ran R = {−3; 1; 5}
− 4x + 5
Si à
9
R = {(x; y)∈ L × N / y = 2x + 3} à
13
3x2
f(2) = 9
R = {(10; 5),(14; 7),(18;9)}
Resolución
Rpta.: A
Rpta.: C
8
x x; y ∈ S × T / y = 2
9 + 16 = 25 = 5
a+b = 5
Resolución
Resolución R=
b−7=9
à
7
12
Y=
2 2 2 x à 9= 2 3 3
9=
8 es falso 3
bg
2
Rpta.: E
Nos dicen que: {(−5; a + 1) ; (−2;b − 7);(−2; 9);(−5; 10)}
Resolución
Es una función, entonces se debe cumplir que:
R = {(x; y)/ x + y es par }
16
* (−5; a + 1) = (−5; 10) à a + 1 = 10
à
R = {(4; 6);(6; 4);(5; 5),(5; 7);(7; 5); (7; 7);(4; 4);(6; 6)}
a=9
∴
n° de elementos de R = 8
* (−2; b − 7) = (−2; 9)
- 11 -
Rpta.: B
Manuel Coveñas Naquiche
Resolución
17
Resolución
R = {(x; y) / x > y + 1} à
R = {(6; 4);(7; 4);(8; 4);(7; 5); (8; 5);(8; 6)}
Se tiene: A = {2; 3; 4} Analizaremos cada alternativa: A) {(2; 3);(3; 2);(4; 3)(3; 4);(4; 4)}
Luego: Dom R = {6; 7; 8} Ran R = {4; 5; 6}
22
Rpta.: D
No es reflexiva ya que le falta: (2; 2) y (3; 3) B) {(2; 3);(2; 2);(3; 3);(4; 4);(4; 3)}
Resolución
Como: (2; 2)∈ R ∧ 2 ∈ A
18
(3; 3)∈ R ∧ 3 ∈ A
Analizando las altenativas, vemos que no cumple: {(2; 6);(1; 5)} ya que: 1∉ A Resolución
(4; 4)∈ R ∧ 4 ∈ A ∴Sí es refelexiva Además: C; D y E no son reflexivas
Rpta.: C
Rpta.: B
19 Resolución
Tenemos que:
23
Tenemos que: R= {(Lima; Perú);(Perú; x);(Caracas; Z); (Santiago; Y);(Chile; Santiago)} Recuerde que una relación R será simétrica cuando: (a; b)∈ R ⇒ (b; a)∈R Luego:
∴
Son refelexivas: R1 y R3
Resolución
Rpta.: D
•
(Lima; Perú) ∈R
à
(Perú; Lima) ∈R
•
(Caracas; Z) ∈R
à
(Z; Caracas)∈R
•
(Chile; Santiago)∈R
à
(Santiago; Chile) ∈R
Se tiene que:
∴
∴ Y = Chile
A = {Lima; Chile; Caracas}
Resolución
24
Recuerde: R1 será simétrica
R1 = {(3; 3);(4; 5);(5; 4);(5; 6);(6; 6)} Rpta.: E Resolución
21
Recuerde: (a; b) = (m; n)
Si ∀ (a; b) ∈ R ⇒ (b; a) ∈R Analizando cada alternativa: A) {(1; 1);(1; 2);(1; 3);(3; 1) (1; 2)∈ R ∧ (2; 1)∉ R ∴ No es simétrica. B) {(3, 2);(2; 3);(3; 1)}
⇔a=m∧b=n Luego: à
2x + 1 = 7 ∧ 5 = x=3
∴
(3; 1) ∈ R ∧ (1; 3) ∉ R
b2 x + 1; 5g = FGH 7; 3 y2− 2 IJK ∧
x + y = 3 +4 = 7
3y − 2 2
y=4
∴
No es simétrica.
C) {(1; 3);(1; 2);(1; 1)} (1; 2) ∈ R ∧ (2; 1) ∉ R ∴
No es simétrica.
D) {(1; 2);(2; 1);(3; 3)}
Rpta.: C
Z = Caracas
Luego: A= {x; y; Z} à
20
∴ x = Lima
(1; 2)∈ R ∧ (2; 1) ∈ R ∴
Sí es simétrica
E) {(3; 2);(2; 3);(1; 3)} (1; 3) ∈R ∧ (3; 1) ∉ R ∴ - 12 -
No es simétrica
Rpta.: D
Rpta.: A
Segundo Año de Secundaria
Resolución
NIVEL II
25 Resolución
Se tiene: R = {(2; 5);(3; 7);(3; 3);(5; 2)}
1
Del conjunto: A={2; 3; 4; 5; 6; 7}
Definida en: A = {2; 3; 5; 7}
* à
Cumple:
R1 ={(a; b)/a + 2 = b} R1 = {(2; 4);(3; 5);(4; 6);(5; 7)} Dom R1= {2; 3; 4; 5} → n(DomR1) = 4
* à
Rpta.: C Resolución
26
R2 = {(a; b)/a+3=b} R2={(2; 5);(3; 6);(4; 7)}
Ran R2 = {5; 6; 7} → n(Ran R2)=3 Luego: n(Dom R1) + n(Ran R2)= 4 + 3 = 7
A = {2; 3; 4} En “A” se define la siguiente relación: R= {(2; a);(2; 3); (b; 4);(3; c);(3; 2)}
Resolución
2
Hallamos los elementos de “A” A={5; 7; 9; 11}
y es reflexica à
(2; a) = (2; 2) → a = 2
à
(b; 4) = (4; 4) → b = 4
Se tiene además que: R={(a; a);(b; b);(c; a);(9; c);(d; d);(c + b − 1; 11)}
à
(3; c) = (3; 3) → c = 3
Es reflexiva y simétrica. (5; 5);(7; 7);(9; 9);(11; 11) ∈ R
Luego: a + b + c = 2 + 4 + 3
à
∴
Luego, se debe cumplir que:
a+b+c=9
Resolución
Rpta.: D
à
27
Hallamos los elementos del conjunto A A={2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} Se sabe que: R={(a; b) / a = 2b} definida en A à R = {(4; 2);(6; 3);(8; 4) Dom R = {4; 6; 8} Ran R = {2; 3; 4} Resolución
Rpta.: D
7 5 Además como: (a; a); (b; b) ; (d; d) ;(c + b − 1; 11) ∈ R 1424 3 (9; 9); (5; 5) ; (7; 7) ; à ∴
Rpta.: A
3
Se tiene: A = {2; 3; 4; 7}
R1 ={(x; y) / x es hermano de y} * Luego: (x; y) ∈ R1 ∧ (x; z) ∈ R1 à (x; z)∈ R1 (sí cumple)
como: R= {(2; 3);(2; 4);(4; 4);(a; 3);(b; a − 1);(c; c)} Es reflexiva à
∴R1 es transitiva.
R2 = {(x; y)/x es de la misma raza que y} * Luego: (x; y)∈ R2 ∧ (y; z) ∈ R2
(2; 2);(3; 3);(4; 4);(7; 7) ∈ R à c=7
Como: (a; 3) ∧ (b; a − 1) ∈ R ∧
à (x; y)∈ R2 (sí cumple)
à
b=2
∴R2 es transitiva.
∴
a + b + c = 12
R3 = {(x; y)/ x es padre de y} * Luego: (x; y)∈ R3 ∧ (y; z)∈ R3 pero: (x; z)∉ R3 (No cumple)
∴R3 no es transitiva.
Son transitivas: R1 y R2
(11; 11) ∈ R
a=9;b=5 ; c=7 a + b + c = 9 + 5 + 7 = 21
Resolución
28
Analizamos cada relación:
∴
c + b − 1= 11 c + b = 12
Rpta.: D
a=3
Luego, la relación quedaría así: R = {(2; 3);(2; 4);(4; 4);(3; 3);(2; 2);(7; 7)} como: (2; 3) ∈ R ∧ (3; 3) ∈ R à
(2; 3) ∈ R
como: (2; 4) ∈R ∧ à
- 13 -
(4; 4) ∈R
(2; 4) ∈ R
Rpta.: C
Manuel Coveñas Naquiche
∴
Es transitiva
Resolución
Tenemos que:
Rpta.: A
(2; 2);(3; 3);(4; 4);(5; 5) ∈ R
4
y {2; 3; 4; 5} ∈A
Se tiene: A ={4; 5; 8; 9}
∴
R = {(x; y)/x + y, es número par}
Además: (a; b)∧(b; c)∧(a; c) ∈R
à
R = {(4; 4);(4; 8);(8; 8);(8;4);(5; 5);
(3; 2)∧(2; 4)∧(3; 4)∈R
(5; 9);(9; 5);(9; 9)} ∴
n(R) = 8
Resolución I.
∴
Rpta.: B
Una relación R definida en el conjunto A es simétrica si(x; y) ∈ R, entonces (y; x) ∈ R ....................... (Verdadero) Toda relación de equivalencia es una relación simétrica ........... (Verdadero)
III.
n(A × B) = n(A)× n(B) ..... (Verdadero)
IV.
Toda función es una relación ...........
Resolución
Rpta.: E
9
Se tiene: M = {8; 9; 10} Además: R = {(c + 5; 2c);(a; 8);(b + 5 ; 9);(c + 3 ; b + 6)} es reflexiva. Como: (c + 5; 2c)∧(10; 10) ∈R à c + 5 = 10 à c=5 à 2c = 10
UV W
....................................... (Verdadero) Relación correcta: VVVV
R es transitiva
Resolución
5
II.
∴
R es reflexiva.
Como: (a; 8)∧(8; 8) ∈R
Rpta.: B
à
6
a=8
Como: (b + 5; 9)∧(9; 9)∈R
n° de relaciones = 2 2 × 2 = 24 = 16
à
b+5=9 → b=4
∴
a+b– c=8+4−5=7
Rpta.: C
Rpta.: E Resolución
Resolución
7
I.
Si R es una relación de equivalencia, entonces R es simétrica ... (Verdadero)
II.
Dado A={2; 3; 4} en él se pueden definir 512 relaciones diferentes ... (Verdadero)
III.
à
(2; 3) ∧ (3; b) ∈R
∴
b=2
Dado B = {a; b; c; d} se define R⊂B ×B tal que R = {(a; c);(b; d);(c; a);(a; a)} Entonces R es transitiva ........ (Falso)
à
(4; 9) ∧ (9; c + 1)∈R
cumple. Luego: ∴
R = {(2; 3);(4; 9);(3; b);(a + b; 9);(9; c + 1)} es simétrica.
ya que: # de relaciones = 23×3 = 29 = 512
Como: (a; c) ∧ (c; a) ∈R à (a; a) ∈ R
Pero
10
Como:
(c; a) ∧ (a; c)∈R
R = {(2; 3);(4; 9);(3; 2);(a + 2; 9);(9; 4)} à
(9; 9) ∧ (a + 2; 9)∈R à
(c; c) ∉ R
∴
No es transitiva Relación correcta: VVF
à c+1=4 → c=3 Luego, la relación quedaría así:
Del gráfico:
8
a=7
a + b + c = 7 + 2 + 3 = 12
Rpta.: C
Rpta.: C Resolución
Resolución
a+2=9 →
11
Como: R = {(4; 4);(a; a);(b; b);(4; 5);(5; c);(5; 6); (e; e + 2);(6; 4);(d; 5)} es de equivalencia. Como: (6; 4) ∧ (4; 5)∈R à
- 14 -
(6; 5)∈R
Segundo Año de Secundaria
Por deducción: (d; 5) = (6; 5) à
Resolución
d=6
S = {6 − 3x / 5 ≤ x < 7 ; x ∈
Como: (4; 5) ∧ (5; 6)∈R à
}
S = {6 − 3(5) ; 6 − 3(6)}
(4; 6)∈R
S = {−9 ; –12}
Por deducción: (e; e + 2) = (4; 6) à
15
S2 = {(−9; −9);(−9; −12);(−12; −9);(−12; −12)}
e=4
Como: (5; 6) ∧ (6;5)∈R à
Rpta.: B
(5; 5)∈R
Resolución
Pero hay: (a; a)=(5; 5) → a = 5 (b; b) = (6; 6)
Hallamos los elementos de cada conjunto:
b=6
Luego, la relación quedaría así: R = {(4; 4);(5; 5);(6; 6);(4; 5);(5; c);(5; 6);(4; 6);(6; 4);(6; 5)}
c=4
a + b + c + d + e = 25
Resolución
à
à
a + b + c + d + e = 5 + 6 +4 + 6 + 4 ∴
A = {3x + 4 / −6 < x ≤ 1 ; x ∈
B=
Notamos que falta: (5; c) = (5; 4) à
Rpta.: E
}
A = {−11; −8; −5; −2 ; 1; 4; 7}
RS x − 2 / −6 ≤ x < 3; x ∈ UV T 2 W −7 −5 −3 −1 B = −4; ; − 3; ; − 2; ; − 1; ; 0 2 2 2 2
Hallamos los elememtos de R:
RSb x; y g ∈ A × B / y = x + 5 UV 2 W T R F −3 IJ ; b −5; 0 gUV R = Sb −11; − 3 g; G −8; H 2K W T R=
12
Se tiene: R = {(1; 3);(2; 6);(3; 9)} Analizamos las alternativas, vemos que cumple la “B” R=
16
ob a; b g / ab = a + 4bt
Rpta.: D
13 = 1 + 4(3) = 13
Resolución
26 = 2 + 4(6) = 26 39 = 3 + 4(9) = 39 Resolución M = {x∈
à
Hallamos los elementos de “T” :
Rpta.: B
T = {2x2 −10 / −3 ≤ x < 4 ; x ∈
13
Ahora se sabe que:
M = {−2; −1; 0; 1}
R = {(x; y)∈ T × IN / y = 4 − 2x} Hallamos los elementos de la relación R:
N = {13; 16}
R = {(−2; 8);(−8; 20);(−10; 24)}
Luego: M×N = {(−2; 13);(−2; 16);(−1; 13);
∴
(−1; 16);(0; 13);(0; 16); (1; 13);(1; 16)} ∴
(−2; 5) ∉ M × N
}
T = {−10; −8; −2; 8}
/ −2 ≤ x < 2}
N = {3x − 2/ 4 < x < 7 ; x ∈ IN } à
17
Dom R = {−2; −8; −10}
Resolución
Rpta.: B
Rpta.: E
18
Hallamos los elementos de “J” : J = {10 − x2 / −6 < x ≤ 2 ; x ∈
Resolución
14
}
J = {−15; −6; 1; 6; 9; 10}
Analizamos cada alternativa:
Ahora, se sabe que:
A) {1; 3} × {2; 3; 7} → tiene 6 elementos B) {2; 4} × {2; 3; 7} → tiene 6 elementos
R = {(x; y)∈ J ×
Hallamos los elementos de la relación R.
C) {1; 2; 3; 4} × {4; 6; 8} → tiene 12 elementos
R = {(−15; 75);(−6; 48);(1; 27);(6; 12);
D) {1; 2; 3; 4} × {2; 3; 4; 6; 7; 8}
/ y = 30 − 3x}
(9; 3);(10; 0)}
→ tiene 24 elementos
∴
E) {1; 2; 3; 4} ×{2} → tiene 4 elementos
Ran R = {0; 3; 12; 27; 48; 75} Rpta.: A
Rpta.: D
- 15 -
Manuel Coveñas Naquiche
Resolución
19
Por dato: {(a; 3b);(a; a + b);(2b; 12)} , es una función à
(a; 3b) = (a; a + b) →
3b = a + b
2b = a
Luego: (a; 3b) = (2b; 3b) à
Rpta.: B
(2b; 3b) = (2b; 12) 3b = 12
Resolución
→
b=4
à
a=8
Finalmente: a − b = 8 − 4 = 4 ∴
a−b=4
Resolución
Los valores del rango están expresados por los valores que toma “y” Tenemos que: h( x ) =
Rpta.: C
y=
20
Hallamos los elementos de los conjuntos:
1 x − 4 ; x ∈ −3; 6 3
1 x−4 3
∧ −3 < x ≤ 6
Damos forma conveniente a: −3 < x ≤ 6
A = {1; 3; 5; 7}
−3 x 6 < ≤ 3 3 3
B = {0; 1; 2} Notamos que:
−1 <
{(1; 1);(5; 2);(9; 0)} no es función de A en B. Ya que: 9 ∉ A Resolución
23
Rpta.: C
x ≤ 2 (Restamos: 4) 3
−1 − 4 <
21
x −4 ≤ 2−4 323 1
−5 < y ≤ −2
Sabemos que: f(x) = 4x − 1 g(x)= 2x + 13
∴
Rango = −5; −2
Rpta.: E
Hallamos: g(−7) = 2(−7) + 13 à
f(g(−7)) = f(−1) = 4(−1)−1 = −5
Luego: ∴
Resolución
g(−7) = −1
f(g(−7)) = −5
Rpta.: E
24
La ecuación de la parábola es de la forma: (x − h)2 = 4p(y − k) ... (α) Donde: vértice = (h; k) Sea la parábola: y = 2x2 + 4x − 1
Resolución
Para hallar el vértice damos la forma de (α), completando cuadrados: y = 2x2 + 4x − 1
22
Para graficar: y = 2x + 1 Hacemos: x = 0
à
y = 2(x2 + 2x) −1
y = 2(0) + 1
y = 2[(x + 1)2 − 1] −1
y=1
y + 1= 2(x + 1)2 − 2
Obteniendo la coordenada: (0; 1)
y + 3 = 2(x + 1)2
Hacemos: y = 0 à 0 = 2x + 1
(x + 1)2 =
−1 x= 2 Obteniendo la coordenada:
FG −1; 0IJ H2 K
Ubicamos dichas coordenadas en el plano cartesiano:
à
1 (y + 3) 2
(x − (−1))2 =
1 (y − (−3)) 2
(x − h)2 = 4p(y − k) Donde: h = −1 ∧ k = −3 ∴
- 16 -
Vértice = (−1; −3)
Rpta.: A
Segundo Año de Secundaria
Resolución
25
Sea: y = 3x2 − 12x + 20 (Parábola) Como: 3 > 0 ; la gráfica se abrirá hacia arriba à
Las alternativas descartadas.
Completamos cuadrados para hallar el vértice. y = 3x2 − 12x + 20 y = 3(x2 − 4x) + 20 y − 20 = 3[(x − 2)2 − 4] y − 20 = 3(x − 2)2 − 12 y − 8 = 3(x − 2)2 (x − 2)2 =
1 (y − 8) 3
De la gráfica, vemos que: f(0) = −9 f(–1)= −5
(x − h)2 = 4p(y − k)
f(−2) = −9
Donde: h = 2 ∧ k = 8 à
Luego:
Vértice = (2; 8)
k = f(0)+f(−1)+f(−2) = (−9)+(−5)+(−9)
Luego, la gráfica es:
∴
k = −23
Resolución Sea: f(x) =
Rpta.: C Resolución
26
f(2) = à
f(5) = 74 3(2)2
− 1 = 3(4) -1
f(2) = 11 2
e 6 j = 3e 6 j − 1 = 3(6 ) − 1 f e 6 j = 17 à f
à
f(−2) = 23
Sea: g(x) =
x2 − 3
à
42 − 3 = 16 − 3
∴
13
e 13 j
f(−2) + (g(4))2 = 36
Resolución
2
Rpta.: B
29
El rango viene a ser los valores que toma “y” Así, tenemos que:
bg
f x = y=
b g b g = 74 + 11 = 85 17 17 fe 6 j fb 5g + fb 2g =5 Rpta.: A fe 6 j f 5 +f 2
Resolución
bg gb 4 g = g4 =
f(−2) + (g(4))2 = 23 +
Reemplazamos estos valores hallados en:
∴
− 2x + 3
f(−2) = 4(−2)2 − 2(−2) + 3 = 4·4 + 4 + 3
Reemplazamos los valores hallados en:
Hallamos: f(5) = 3(5)2 − 1 = 3(25) −1 à
28
4x2
à
à
Como: f(x) = 3x2 − 1
Rpta.: C
1 x − 3 ∧ x ∈ −2; 4 2
1 x−3 ∧ 2
−2 < x < 4 −2
FG 1 IJ < 1 x < 4 FG 1 IJ H 2K 2 H 2K
−1 <
1 x 4m − 5
Grado = 9 + (a + 3)
G·A·(R) = 4m − 3
Por dato: Grado = 17
à
à
9 +(a + 3) = 17
Por dato: G·A·(R) = 25
∴
a=5
à
4m − 3 = 25
∴
m=7
Resolución
Rpta.: C 6
R ( x; y ) =
Sea:
x 6 −m y 9 +n
Resolución
x2 −m
R(x; y) = x(6−m)−(2−m) y9+n R(x; y) = x6−m−2+m y9+n
à
11
Sea: Q(x) = 3mxm + 6mxm−1 + 11mxm−2 Analizando los exponentes de cada término, vemos que: m>m−1>m−2
R(x; y) = x4 y9+n
à
G.A.(R) = 4 +(9 + n) Por dato: G·A·(R) = 21
Por dato: G.A(Q) = 6 à m=6
4+(9+n) = 21
El coeficiente de mayor valor será:
n=8
Resolución
G·A·(Q) = 6
11m = 11(6) = 66
13 + n = 21 ∴
Rpta.: C
Rpta.: D
Rpta.: C Resolución
7
Si:
Reducimos:
M=
12
a3xa+8
yb-4
N = b2 xb+5 y-a+5
P(a) = −5a(a + 2)− 6a(a − 3)+ 3a(a − 2)+ 8a2 P(a) = −5a2 − 10a − 6a2 + 18a + 3a2 − 6a + 8a2
Donde: “M” y ”N” son términos semejantes
P(a) = −5a2 − 6a2 + 3a2 + 8a2 − 10a + 18a − 6a
à
a+8=b+5
P(a) = −11a2 + 11a2 + 2a ∴
P(a) = 2a
a − b = –3 ........... (I)
Rpta.: A à
Resolución
b + a = 9 ........... (II)
E = −x−(−x−y) − (−y + x)− y
Sumando (II) + (I):
E=−x+x+y+y−x−y E=y−x
Resolución
y b−4 = y −a+5 b − 4= −a + 5
8
Reducimos:
∴
x a+8 = x b+5
b + a = 9 (+) a − b = −3
Rpta.: B 9
Sea: P(x; y; z) = 6x3y2z5 − 9x2y6z4 + 13xy7z5 à
3 + 2 + 5 = 10
b=6 Luego:
1 + 7 + 5 = 13
P(x; y) =
13
Rpta.: B
Sea:
3xa−8y6
+ 4xa−11y5 + 7xa−13y20
Analizando los exponentes de“x” tenemos que:
Luego: grado absoluto del polinomio es: G·A· (P) = 13
a×b = 3×6 = 18
Resolución
Grado del monomio: 13xy7z5 à
a=3
Reemplazando el valor de “a=3” en (I) tenemos que: 3 − b = −3
Grado del monomio: 6x3y 2 z 5 Grado del monomio: 9x2y6z4 à 2 + 6 + 4 = 12
→
2a = 6
a−8 > a − 11 > a − 13
Rpta.: C - 29 -
Manuel Coveñas Naquiche
à
G·R·(x) = a − 8 E=
Por dato: G·R·(x) = 5 à
a − 8= 5
→
2
x19
· x3
13 3
=
x
a = 13
= x38 + 3 − 39 = x2
Luego: P(x; y) = 3x13−8y6 + 4x13−11y5 + 7x13−13y20 ∴
P(x; y) = 3x5y6 + 4x2y5+7y20
x19· 2 · x3 x13· 3
Grado del monomio =2 Rpta.: B
Donde: •
Grado del monomio: 3x5y6 es:
Resolución
5 + 6= 11 •
P(x; y) =
Grado del monomio: 4x2y5 es:
G·A·(P) = 20
Resolución
m+1 y2n − 1 es: * Grado del monomio 4x (m + 1) + (2n − 1) = m + 2n
Rpta.: B
14
Como: P(x; y) es homogéneo
Sea:
Q x; y = a − 2 x 3a · y 6
b g Qb x; y g =
a−2
b g
Q x; y = x
x3a · a − 2 y6
3a a −2
à
m + n + 5 = m + 2n
∴
n=5
Rpta.: C
Resolución
17
Reemplazamos los valores de x = 3 e y = −1 en:
6 a−2
·y
x−y·(−2y)x Obteniendo: (3)-(-1)·(−2(−1))3 =
Por dato: G·A·(Q) = 9 à
=31·23 = 3·8 = 24 Rpta.: B
3a 6 + =9 a−2 a−2
Resolución
3a + 6 =9 a−2
à
a=4
2
4
Rpta.: C
2
x2 × 4 · x5 2
x8 · x5
· x3 3
· x3 3
à E=
19
Sea:
P(x) = 4x + 1
5
x5 × 3 · x4
x15 · x4
Resolución
3
3
2 4
E=
E = 121
Reduciendo:
LMe x j · x OP · x Q E= N LMe x j · x OP N Q E=
E= (4 + 16 − 9)2 = 112
Rpta.: B ∴
15
E = (aa + ca − ba)a E = (22 + 42 − (−3)2 )2
→
24 = 6a
5 3
18
Como: a = 2 ; b = −3 ; c = 4
3a + 6 = 9(a − 2) 3a + 6 = 9a − 18
Resolución
yn+3 + 4xm+1 y2n−1
m+2 y n+3 es: * Grado del monomio 6x (m + 2) + (n + 3) = m + n + 5
Grado del monomio: 7y20 es: 20
∴
Sea:
6xm+2
Donde:
2+5= 7 •
16
x15 + 4
2
x8 + 5
· x3
à
P(1) = 4(1) + 1 → P(1) = 5
à à
P(2) = 4(2) + 1 → P(2) = 9 P(3) = 4(3) + 1 → P(3) = 13
à
P(0) = 4(0) + 1 → P(0) = 1
Luego: E =
3
∴
- 30 -
E=1
bg b g bg bg
P 1 +P 2 5 + 9 14 = = P 3 +P 0 13 + 1 14
Rpta.: B
Segundo Año de Secundaria
Resolución
20
Sea:
P(x−5) = 5x + 5
c b gh = P Pb1g = Pb0g
Luego: P P P 2 Hallamos “x”
*
Si P(−1) = P(x−5)
à
−1 = x − 5 →
∴
P(−1) = 5(4) + 5
x=4
P(−1) = 25 *
Si P(0) = P(x − 5)
à
0=x−5
∴
P(0) = 5(5) + 5
→
Si
P(x+1) = P(0)
à
x+1=0 →
∴
P(0) = (1−)2
x = −1 à
P(0) = 1
Finalmente:
c b gh = P Pb1g = P 0
PPP 2
x=5
=1
NIVEL II
P(0) = 30 *
Si P(1) = P(x − 5)
à
1=x−5
∴
P(1) = 5(6) + 5
→
Resolución P(x; y) =
x=6
P(x; y) = 55 · x5(n+4) · y10 P(x; y) = 55 · x5n + 20 · y10
Si P(−2) = P(x − 5)
* à
−2 = x − 5 →
∴
P(−2) = 5(3) + 5
x=3
à ∴
b g bg bg b g
P −1 + P 0 25 + 30 55 = = P 1 + P −2 35 + 20 55
R=1
Como el grado del monomio es 40 (5n + 20) + 10 = 40 5n + 30 = 40
P(−2) = 20
∴
Sea:
(5xn+4·y2)5
P(x; y) = 55 ·(xn+4)5 ·(y2)5
P(1) = 35
Luego: R =
1
n=2
Resolución A=
Rpta.: B
Rpta.: B 2
2mxm+2
· y3m+n
B = 3nx3n−2 y4m−8 Resolución à
21
Sea: P(x) = 2x + 3
P(2) = 2(2)+3
→
bg
=P 7
PP 2
Luego:
P(2) = 7
Como A y B son términos semejantes, entonces la parte variable tienen los mismos exponentes. Así: m + 2 = 3n − 2 ........... (I) 3m + n = 4m − 8 ......... (II)
Donde: P(7) = 2(7)+ 3
bg P P b 2 g = 17
bg
P 7 = 17 = P P 2
∴
Sumando: (I) + (II) m + 2 + 3m + n = 3n − 2 + 4m − 8
Rpta.: D
4m + n + 2 = 3n + 4m − 10
Sea: P(x+1) = x2
12 = 2n
10 + 2 = 3n − n Resolución
22
m + 2 = 3(6) −2
Si P(x+1) = P(2) x + 1= 2
∴
P(2) = (1)2
→
m = 14
x=1
à
P(2) = 1
Luego: P(P(2)) = P(1)
Reemplazando “n=6” y “m = 14” en A y B: A = 2(14)x14+2 y3(14)+6 à
Hallamos “x” :
∴
x + 1= 1 P(1) =
02
A = 28x16 y48 B = 3(6)x3(6)−2 y4(14)−8
Si P(x+1) = P(1) à
n=6
Reemplazando: “n = 6” en (I):
Hallamos “x” : à
→
à
→ à
x=0 P(1) = 0
B = 18x16 y48
Luego: A − B = 28x16 y48 −18x16 y48 ∴ - 31 -
A − B = 10x16 y48
Rpta.: B
Rpta.: B
Manuel Coveñas Naquiche
Resolución
3
Resolución
Sea:
7
M(x; y) = 10x3a+b ya+3b
Por dato: G·A·(R) = 3 ........ (I)
•
Como: G·R·(x) = 11
à
Luego:
3a + b = 11 ........................ (I)
•
Como G·A·(M) = 20
à
R = 2a − 3 x3a · y6 R= x
e
(3a + b) + (a + 3b) = 20 ...... (II)
Reemplazando (I) en (II), tenemos: (11) + (a + 3b) = 20 à
R=x
·y
3a 2a − 3
1 6 2a − 3
j
·y
6 2a − 3
a + 3b = 9 ........................... (III) G·A·(R)=
Sumando (I) + (III): 3a + b = 11 a + 3b = 9 4a + 4b = 20
UV (+) W
G·A·(R) =
a+b=5
Resolución
Si 9xb + 4ax5 = 17x5
4
3a + 6 = 3(2a − 3) 3a +6 = 6a − 9 15 = 3a
b=5
a=5
También, los coeficientes deben ser iguales en ambos lados de la igualdad, por lo que:
Luego:
→
P = 3x2a·y3a−1
P = 3x2(5)· y3(5)−1
9 + 4a = 17 4a = 8
3a + 6 ........ (II) 2a − 3
3a + 6 =3 2a − 3
Rpta.: B
Analizando, vemos que para que cumpla la igualdad, el exponente de “x” debe ser 5 à
3a 6 + 2a − 3 2a − 3
De (I) y (II), tenemos que:
4(a + b) = 20 ∴
3a
P = 3x10· y14
a=2
Donde: G·A·(P) = 10 + 14 Luego:
bg
2a + b = 2 2 + 5 = 9 = 3 Rpta.: B
Resolución
5
∴
G·A·(P) = 24
Resolución
Efectuando:
P(x; y) =
8
Rpta.: C Sea:
(5a−1·xa+2
·ya)2
A = [(2p − 3) − (3p + 4q)] − [2q−(3p + q)−p]
P(x; y) = (5a−1)2 · (xa+2)2 ·(ya)2
A = [2p − 3 − 3p − 4q] − [2q − 3p − q − p]
P(x; y) = 52(a−1)· x2(a+2)·y2a
A = [−p − 4q − 3] − [q − 4p]
Donde: G·A·(P) = 2(a+2) + 2a
A = −p − 4q − 3 − q + 4p ∴
A = 3p − 5q − 3
Resolución
= 2a + 4 + 2a Rpta.: B
G·A·(P) = 4a + 4 Por dato: G·A(P) = 16
6
b
g b
R = 3x − y + 2 x − x − 3y + 2 x − x + y R = 3x − y − 2 x − x − 3y − 2x − x − y
g
à
4a = 12
a=3
− El coeficiente del monomio será: 52(a−1) = 52(3−1) = 52(2) = 54 = 625
R = 3x − y − 2x − x + 3y + 2x + x + y R = 3x + 3y
→
Reemplazando el valor de: a = 3
R = 3x − y − 2 x − x − 3y − 2x − x − y
∴
4a + 4 = 16
Rpta.: C
Rpta.: C
- 32 -
Segundo Año de Secundaria
Resolución
bg
P x =
bg
P x =
bg
P x =
bg
P x =
9
Sea:
4
x 3m · x 2m
4
2m x 3m · x 3
Resolución
Reduciendo la expresión:
3
4
x
3m+
M( x; y ) =
9m+ 2m x 3
4
11m x 3
bg
F Pb x g = G x GH
11m 3
x 3 −n · y 6 −m
M(x; y) =x3+m−3+n · y7−n−6+m M(x; y) = xm+n · ym−n+1 Sabemos que: G·R·(x) = 5 à
P x =
x 3+ m· y 7− n
M(x; y) = x(3+m)−(3-n) · y(7−n)-(6−m)
2m 3
4
11
m + n = 5 ............................... (I)
Sabemos que: G·A·(M) = 7 à
I JJ K
(m + n) + (m − n + 1) = 7 ........ (II)
Reemplazando (I) en (II), tenemos que:
1 4
5 + (m − n + 1) = 7 m − n = 1 ................................. (III) Sumando (I) + (III), tenemos que:
bg
P x =
11m x 12
UV W
m + n = 5 (+) m−n =1
à
Luego: 2m + n = 2(3) + 2
2
∴
11m = 22· 12
∴
m = 24 Rpta.: D
Resolución
n−4
Q(x; y) =
3
4n
e x j · ex j Pb x g = ex j · x n− 2
bg
4
2
6n
x 3(n− 4) · x8n x 4(n− 2) · x6n
x3n−12 · x8n P x = 4n−8 6n ·x x
bg
x 3n−12 + 8n P x = 4n−8 + 6n x P x =
x11n−12 = x(11n−12)− (10n− 8) x10n−8
P(x) =
x11n−12−10n + 8
− x4ny6 + 8(x3y2)6n
Como: G·R·(y) = 24
Como:12n > 3n ; ∀ n > 0 G·R·(y) = 12n = 24
à
→ n=2 Hallamos el grado relativo de “x” : Los exponentes de “x” en la expresión dada son: 4; 4n; 18n Reemplazando “n = 2”, obtenemos: 4; 8; 36 ∴
Como: P(x)es de cuarto grado, tenemos que: n−4=4 n=8
Sea:
15x4y3n
Sabemos que el grado relativo de “y” es el mayor exponente de “y” en la expresión.
P(x) = xn−4
∴
12
Rpta.: D
Q(x; y) = 15x4y3n − x4ny6 + 8x18n y12n
bg bg
2m + n = 8
Resolución
10
Reduciendo la expresión:
P x =
m=3
Reemplazando “m = 3” en: (I), tenemos que: 3+n=5 → n=2
11m = 22 12 1
→
2m = 6
Como el grado de P(x) es 22
Rpta.: C
- 33 -
G·R·(x) = 36
Rpta.: C
Manuel Coveñas Naquiche
Resolución
Donde: el grado de Q(x) = 6
13
bg
Luego: el grado de Q x
Reduciendo la expresión:
bg b g
∴
8 6 x 2n · x 2
bg b g A b x g = 3bn − 1g · x A b x g = 3bn − 1g · x A b x g = 3bn − 1g · x 6
2n
6
2n + 4
· x4
Resolución
17
à
P3(x)
à
grado de
= 30
Rpta.: C
Si grado de P(x) = 7 = 7 × 3 = 21
grado de Q2(x) =9 × 2 = 18
Luego: grado de H(x) = P3(x) + Q2(x) ;
Como: A(x) es de tercer grado, tenemos que:
2n + 4 =3 6 2n + 4 = 18 2n = 14 →
es el mayor grado de ambos monomios: ∴
Grado de H(x) = 21
Resolución n=7
Luego: el coeficiente será:
Rpta.: B
18
Como: F(x) = es un polinomio lineal, será de la forma:
3(n − 1) = 3(7 − 1) = 3·(6) 3(n − 1) = 18
5
bg
Grado de Q x
Si grado de Q(x) = 9
2n + 4 6
∴
= 6× 5
6
A x = 3 n − 1 · x 2n · x8 A x = 3 n−1 ·
5
F(x) = ax + b ; a y b constantes à
Rpta.: C
F(2) = a(2) + b = 5 2a + b = 5 ......... (I)
Resolución P(x) =
14
à
Sea:
3axa+5
+
5axa+6
+
2axa+8
Analizando los exponentes, vemos que:
a + b = 4 ......... (II) Restamos (I) − (II); obteniendo:
a+8>a+6>a+5 à
a + 8 = 17 a=9
Reemplazamos el valor de “a = 1” en (II); obteniendo:
Los coeficientes de P(x) son: 3a; 5a; 2a à à
Si:
10a = 10(9) = 90
Resolución
15
Rpta.: E
P(x) = 3x88(x2 − 9) + 3x2 − 4x
0
P(3) = 3(3)88(0) + 15 P(3) = 15
Resolución Q(x) =
5x6
+
Rpta.: C
16 x4
+
F(x) = ax + b = 1·x + 3 F(x) = x + 3
à
F(7) = 7 + 3
∴
F(7) = 10
Resolución
Rpta.: B
N(x) = 2x − 5
à
N(3) = 2(3) − 5 = 6 − 5 N(3) = 1
bg
Luego: R N 3 = R 1 Si:
R(x) = 4x + 3
à
R(1) = 4(1) + 3 = 4 + 3
Sea: x2
19
Si:
P(3) = 3(3)88(32 − 9) + 3(3)2 − 4(3) P(3) = 3(3)88(9 − 9) + 27 − 12
∴
b=3
Sea:
P(x) = 3x90 − 27x88 + 3x2 − 4x à
→
1+b=4
La suma de coeficientes será: 3a + 5a +2a = 10a ; pero: a = 9
UV (−) W
2a + b = 5 a+b=4 a=1
G·A(P) = a + 8
Por dato: G·A·(P) = 17
F(1) = a(1)+ b = 4
R(1) = 7
+ 3x + 6 ∴
- 34 -
bg
RN 3 =7
Rpta.: C
Segundo Año de Secundaria
Resolución
Analizamos los grados de cada monomio y vemos que:
20
10 + 2n > n + 5 > n + 4
Como: R(x) es un polinomio lineal, será de la forma:
à
Por dato del problema: G·A·(P) = 16
R(x) = ax + b ; a y b constantes à
Entonces, tenemos que:
R(−3) = a(−3) + b = 8
10 + 2n = 16
−3a + b = 8 ......... (I) à
UV W
∴
(−2a)−(−3a) = −2 −2a + 3a = −2
∴
y
b=2
F(3x − 1) = F(2)
à
3x − 1 = 2
Luego:
Rpta.: C
21
x=1
F(2) = 2(1)+ 3
F(2) = 5
c b g h = Pb 5 g
Luego: P F 2
3xm+1 yn−3
+
7xm+3 yn−4
−
xm+4 y2n
m+4>m+3>m+1 G·R·(x) = m + 4
Por dato del problema: G·R·(x) = 10
Si
P(x) = 4x − 1
à
P(5) = 4(5) − 1 → P(5) = 19
∴
PF 2
→
c b gh = 19
Resolución
Entonces, tenemos que: m + 4 = 10
→
3x = 3
R(−4) = −2(−4)+2
Analizamos los exponentes de la variable “x” y vemos que: à
Sea:
Si
à
P(x; y) =
22
Hallamos “x” para hallar F(2):
R(x) = −2x + 2
Resolución
Rpta.: A
P(x) =4x − 1
b=2
R(−4) = 10
n = 3 en:
F(3x − 1) = 2x + 3
Reemplazando “a = -2” en (I): −3(−2)+b = 8
Luego:
m =2 n
Resolución
a = –2
à
∧
m 6 = =2 n 3
Restamos (II) − (I), obteniendo: −2a + b = 6 (−) −3a + b = 8
Las constantes serán: a = −2
n=3
Reemplazamos: m = 6
−2a + b = 6 ........ (II)
→
→
2n = 6
R(2) = a(−2)+ b 6
6+b=8
G·A·(P)= 10 + 2n
Q(x) =
m=6
23 2mxm
Rpta.: B Sea: + 4mxm−1 + 6mxm−2
Analizando los exponentes de “x”, vemos que:
•
Hallamos el grado de cada monomio y el mayor grado será el grado absoluto del polinomio P(x; y)
−
Hallamos el grado del 1° monomio:
à
(m + 1) + (n − 3) = (6 + 1) + n − 3 =7+n−3
à
Grado del 1° monomio: n + 4
Q(x) = 2(5)x5 + 4(5)x5−1 + 6(5)x5−2
−
Hallamos el grado del 2° monomio
Q(x) = 10x5 + 20x4 + 30x3
à
(m + 3)+(n − 4) = (6 + 3)+(n − 4) =9+n−4
à
m>m−1>m−2 Entonces: G·A·(Q) = m (Dato) Pero: G.A(Q) = 5 à m=5 Reemplazando el valor de “m” en Q(x), tenemos que:
Término cúbico
∴
Grado del 2° monomio: n + 5
Rpta.: D
− Hallamos el grado de 3° monomio: à
(m + 4) + 2n = (6 + 4) +2n
à
Grado del 3° monomio: 10 + 2n
El coeficiente del término cúbico es 30
- 35 -
Manuel Coveñas Naquiche
Resolución
2(2) + 1= 7 − m
24
5=7−m
P(x; y) = x5m+2n+3 y2m+1 + x4m+2n+1y3m+2 + Luego:
7x3m+2n y4m+5 *
∴
Los exponentes de “y” son: 2m + 1 ; 3m +2 ; 4m + 5
=
=4
=4
Rpta.: B 27
• Factorizando: P(x; y) = (6 − n + 5)x3y + (m − 4)x2y3
2m + 1 = 7 →
2m = 6
Como: P(x; y) es idénticamente nulo:
m=3
Reemplazando el valor de “m” en los exponentes de “x”, tenemos que: 5m + 2n + 3 =5(3) + 2n + 3 = 18 + 2n
à
∴
G:R (x)
Luego: G·R·(x) + G·R·(y) = 43 (18 + 2n) + (4m + 5) = 43 18 + 2n + 4(3) + 5 = 43 18 + 2n + 12 + 5 = 43
e e
m
m
2
n−2
2
Resolución
28
P(x) = xa+b + 4xa − 7xb + 5 Si P(x) es ordenado y completo de grado 3
n=4
a+b=3 à
P(x; y) = x26 y7 + x21 y11 + 7x17 y17
∴
a2
G·A·(P) = 17 + 17 = 34
Resolución
Rpta.: D
+
b2
=
22
B = –4
Como: P(x; y) es homogéneo
à
−C = 5
à
2A + B = 8
à
2n + 6 = (2n + 3)+(n + 2) = 9 − n 2n + 6 = 3n + 5 = 9 − n
•
2n +6 = 3n + 5 → n = 1
•
3n + 5 = 9 − n → n = 1
* *
n+2=1+2=3 9−n=9−1=8
à
G·R·(y) = 8
C = −5
→
A=6
Luego: A + B + C = 6 +(−4) + (−5) ∴
Rpta.: B
→
2A = 12
A + B + C = −3
Resolución
30
Rpta.: B Si:
B(x)=x2 + x − 1
26
2 Q(x; y) = xn +1 + 6xn+2 yn−1 − 13y7−m
à
n2 + 1= (n + 2) + (n − 1) = 7 − m
B(2) = (2)2 + (2) −1 B(2) = 5
Como: Q(x; y) es homogéneo:
bg
Luego: A B 2 = A 5
n2 + 1 = 2n +1 = 7 − m 2n + 1 = 7 − m
Rpta.: C
2A + (−4) = 8
Los exponentes de “y” son:
•
b=1
(2A + B)x2 + (−C)x + B ≡ 8 x2 + 5x + (−4) à
n2 + 1 = 2n + 1
=5
à
29
Polinomio homogéneo es aquel en el que todos sus términos tienen el mismo grado.
•
+
a=2 12
2Ax2 + Bx2 − Cx + B ≡ 8x2 + 5x − 4
25
P(x; y) = 8x2n+6 − 3x2n+3 yn+2 + 5y9−n
à
2
4
à
Resolución
m=4
j = e 11− 2 j n − 2 j = 3 Rpta.: B
Reemplazando “m” y “n” en P(x; y); tenemos que:
Resolución
m−4=0
∧
Reemplazando estos valores en:
3m + 2n = 3(3) + 2n = 9 + 2n Donde: 18 + 2n > 13 + 2n > 9 + 2n
→
6−n +5=0 ∧ n = 11
4m + 2n + 1 = 4(3) + 2n + 1 = 13 + 2n
∴
→ m=2
P(x; y) = (6 − n)x3 y + mx2 y3 + 5x3y − 4x2y3
G:R (y)
menor exponente de “y”
2n = 8
mn
22
Resolución
Donde: 2m + 1 < 3m + 2 < 4m + 5
Por dato:
mn
→ n=2
- 36 -
Segundo Año de Secundaria
Si:
A x =
bg
x +1 2
à
A (5) =
5 +1 2
A(5) = 3
bg
AB 2 =3
∴
Rpta.: B
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO (ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS). Pág.(143, 144, 145, 146) NIVEL I
Resolución
5
Resolución 1 Sea: P(x; y) = 3x + y + 6
A − B = (5x2 + 6x − 2) − (−2x2 + 6x + 1)
à
x2 4 3 −3 A−B= 7 12 4
A − B = 5x2 + 6x − 2 + 2x2 − 6x − 1
3P(x; y) = 3(3x + y + 6)
2 términos
3P(x; y) = 9x + 3y + 18
∴
También: Q(x; y) = −3y + x − 9
El polinomio resultante tiene 2 términos. Rpta.: C
Luego: 3P(x; y) + Q(x; y) = 9x + 3y + 18+ (−3y + x − 9) = 9x + 3y + 18 − 3y + x − 9 ∴
3P(x; y) + Q(x; y) = 10x + 9
Resolución
2
C 44 6447 8
A 44 64 47 8 2 2 x − 4 x + 1 + −2 x − x − 3 − x + 3 x − 4 = 2
2
j e
j e
j
= 2x2 − 4x + 1 − 2x − x2 − 3 − x2 − 3x + 4 =
Si:
P(x; y) = 5x + 3y − 3 à
2P(x; y) = 2(5x + 3y − 3)
à
2P(x; y) = 10x + 6y − 6
à
5Q(x; y) = 5(2y − 2x + 5)
à
5Q(x; y) = 10y − 10x + 25
= −9x + 2
Rpta: D
Resolución
7
A 644744 8
B 644744 8
(
Si Q(x; y) = 2y − 2x + 5
Hallamos: “A − B + C”
C 644744 8 2 4x − 2x + 1 − x − 3x + 6 + x − 3x 3 + 4 = 3
) (
3
2
) (
)
= 4x3 − 2x + 1 − x3 + 3x2 − 6 + x2 − 3x3 + 4= = 4x2 − 2x − 1
Luego: 2P(x; y) + 5Q(x; y) = (10x + 6y − 6)+(10y −10x + 25)
Resolución
= 10x + 6y − 6 + 10y − 10x + 25 ∴
6
B 44 6447 8
e
Rpta.: C
Hallamos: (B + C − A)
Resolución
* à
2P(x; y) + 5Q(x; y) = 16y + 19 Rpta.: C
Rpta.: C
8
Sea “L” el lado del cuadrado Perímetro del cuadrado = 4L Como: L = 3x + 2
Resolución
3
P(x) − Q(x) =
(5x2
à − 3x +1) −
(x2
− 3)
Perímetro del cuadrado = 12x + 8
= 5x2 − 3x + 1 − x2 + 3 = 4x2 − 3x + 4 Resolución
Perímetro del cuadrado = 4(3x + 2)
* à
Rpta.: E
Sean “a” y “b” los lados del rectángulo Perímetro del rectágulo = 2(a + b) Como: a = 4x − 1 ∧ b = 5x + 2
4 à
P + Q = (4x3 + 2x2 − x + 5) + (–3x2 + 2x +3)
Perímetro del rectángulo: = 2[(4x − 1) + (5x + 2)]
P + Q = 4x3 + 2x2 − x + 5 − 3x2 + 2x + 3
=2[4x − 1 + 5x + 2]
3 2 8 − x2 + x +3 P+Q= 4 1x44 44
= 2[9x + 1]
4 términ os
Perímetro del rectángulo = 18x + 2 ∴
El polinomio resultante tiene 4 términos
Rpta.: B - 37 -
Manuel Coveñas Naquiche
Luego: Perímetro del + perímetro del cuadrado
rectángulo
= (12x + 8)+(18x + 2)
à
Perímetro del hexágono = 6a como: a = 2x + 1
à
Perímetro del rectángulo = 6(2x + 1) Perímetro del rectángulo
= 30x + 10 Rpta.. D Resolución * à
Sea “L” el lado del cuadrado
à
Perímetro del cuadrado = 4(3x − 1)
Perímetro del cuadrado = 4L Como: L = 3x − 1 Perímetro del cuadrado
Perímetro del cuadrado = 4L
= 12x − 4
Luego:
Como: L = 7x + 1 à
* à
9
Sea “L” el lado de cuadrado:
= 12x + 6
Perímetro del cuadrado = 4 (7x + 1)
Perímetro del hexágono
del = (12x + 6)− (12x − 4) − Perímetro cuadrado
= 12x + 6 − 12x + 4 = 10
Perímetro del cuadrado = 28x + 4 *
Sea el triángulo isósceles:
∴
Excede: en 10 Rpta.: E
Resolución
à
Perímetro del triángulo
= (10x − 3)+(10x−3)+(7x + 1)
Perímetro del triángulo
+
*
Si el pentágono es regular, entonces sus cinco lados son iguales. Si el lado del pentágono es “L”
à
Perímetro del pentágono = 5L como: L = 4x + 3
à
Perímetro del pentágono = 5(4x + 3) Perímetro del pentágono = 20x + 15
= 27x − 5
Luego: Perímetro del cuadrado
perímetro del triángulo
* à
Sean “a” y “b” los lados del rectángulo
à
Perímetro del = 2((7x + 4)+(3x + 1) rectángulo = 2(10x + 5)
= (28x + 4)+(27x − 5) = 55x −1 Rpta.: D
Resolución
13
Perímetro del rectángulo = 2(a + b) como: a = 7x + 4 ∧ b = 3x + 1
Perímetro del rectángulo = 20x + 10
10
Sea “M” la expresión buscada: à
(5x2 − 3x +6) + M = 8x2 + 5x − 3
Luego:
+ 5x − 3 − − 3x + 6) M= 2 2 M = 8x + 5x − 3 − 5x + 3x − 6
Perímetro del Perímetro del pentágono − cuadrado
8x2
∴
(5x2
M = 3x2 + 8x − 9
Resolución
(16x3 − 4x2 − 9) − N = 12x3 + 6x − 8 (16x3 − 4x2 − 9) − (12x3 + 6x − 8) = N 16x3 − 4x2 − 9 − 12x3 − 6x + 8 = N
∴
N = 4x3 − 4x2 − 6x − 1
Resolución *
=5 ∴
Sea “N” la expresión buscada: à
= 20x + 15 − 20x − 10
Rpta.: C
11
Rpta.: E
12
Si el hexágono es regular, entonces sus 6 lados son iguales.
= (20x + 15)−(20x + 10)
Excede en 5
Resolución
Rpta.: D
14
R = −3x2−{5y +[−3x2 + {y − (6 + x2)} − (−x2 + y)]} R = −3x2 −{5y +[−3x2+{y − 6 − x2} +x2 − y]} R = −3x2 −{5y +[−3x2 + y − 6 − x2 + x2 − y]} R = −3x2 −{5y − 3x2 − 6} R = −3x2 − 5y + 3x2 + 6 ∴
Si el lado del hexágono es “a”
- 38 -
R = 6 − 5y
Rpta.: B
Segundo Año de Secundaria
Resolución
15
NIVEL II
b
g
E = x − 3x + 2 − x + 1 + 2
Resolución
E = x − 3x − 2x + 2 + 2 E = x − 3x + 2x − 2 − 2 ∴
E = −4
P(x; y) = à
Rpta.: E
Resolución
1
16
2 P(x; y) = 2 (2x2 − 2x + 3y2 − 3)
Además: Q(x; y) = 4x − 4x2 − 3y2 + 6
{
}
l
q
P = x + −2 x + y + x − y + z + x − z
Luego: 2 P(x; y) + Q(x; y) = (4x2 − 4x + 6y2 − 6) + (4x − 4x2 − 3y2 + 6)
P=x+z−z P=x
(Ax2
2 P(x; y) + Q(x; y) = 4x2 − 4x + 6y2 − 6 + 4x −
Rpta.: C
Resolución + 5x +
4x2 − 3y2 + 6
17 8)+(3x2 +
Bx −
6)=5x2
∴
(A +
+ (5 + B)x + 2 = 5
Luego:
A+3=5
5+B=7 →
x2
→
Resolución
+7x+2 A=2
B=2
Sea:
B(x; y) = 4xy2 + 2x2y +xy + 5
à
2B(x; y) = 2(4xy2 + 2x2y + xy + 5) 2B(x; y) = 8xy2 + 4x2y + 2xy + 10
Luego: 18
(Mx3 + 5x2 +2x + 4) − (6x3 +Nx2 + 5x + 3) 2x3
Mx3
+
+3x2 5x2
− 3x + 1
+2x + 4 −
6x3
−
Nx2
− 5x − 3
= 2x3 + 3x2 − 3x + 1 (M – 6)x3 + (5 − N)x2 − 3x + 1 = 2 x3 + 3 x2 − 3x + 1 Luego:
M−6=2 → M=8
Entonces: M − N = 8 − 2 M−N=6
Resolución
A(x; y) − 2B(x; y) = (8xy2 + 6x2y − 3xy + 8) −(8xy2 + 4x2y + 2xy + 10) A(x; y) − 2B(x; y) = 8xy2 + 6x2y − 3xy + 8 −8xy2 −4x2y − 2xy − 10 ∴
A(x; y)− 2B(x; y) = 2x2y − 5xy − 2
Resolución
Rpta.: B
3
P(x) − Q(x) = (4x3 + 2x2 + x + 3) − (5x2 − 4x − 4)
5−N=3 → N=2 ∴
2
Si:
A + B = 4Rpta.: D
Resolución =
Rpta.: C
A(x; y) = 8xy2 + 6x2y − 3xy + 8
Entonces: A + B = 2 + 2 ∴
2 P(x; y) + Q(x; y) = 3y2
+ 7x + 2
Ax2 + 5x + 8 + 3x2 + Bx − 6 = 5x2 + 7x + 2 3)x2
− 2x + 3y2 − 3
2 P(x; y) = 4x2 − 4x + 6y2 − 6
P = x + ( −2x + y ) − −x + y − z + x − z
∴
Si:
2x2
P(x) − Q(x) = 4x3 + 2x2 + x + 3 − 5x2 + 4x + 4
Rpta.: B
∴
P(x) − Q(x) = 4x3 − 3x2 + 5x + 7
19
Rpta.: B
P + Q − R = (x2 + x − 3)+(2x2 − 2x + 1)−(3x2 − 4x + 5) P + Q − R = x2 + x − 3 + 2x2 − 2x + 1 − 3x2 + 4x − 5
Resolución
∴
P + Q = (3x3 + 4x2 + 2) + (21x2 + 4x + 1)
P + Q − R = 3x − 7
Resolución
Rpta.: B
P + Q = 3x3 + 25x2 + 4x + 3
20
(A − C)−B = ((5x2 − x + 4) − (2x2 + 5x + 3)) −(3x2 − 4x + 1) (A − C) −B = (5x2 − x + 4 − 2x2 − 5x − 3) −3x2 + 4x − 1
Término de mayor grado
(A − C) − B = − 2x
Término de menor grado
Luego: delI delI F Coeficiente F Coeficiente términ o de términ o de J − GH menor J =3−3 GH mayor grado K grado K
=0
(A − C)− B = 3x2 − 6x + 1 − 3x2 + 4x − 1 ∴
4
Rpta.: C
Rpta.: B - 39 -
Manuel Coveñas Naquiche
Resolución
5
A − B = (5x4 − 3x3 + 5x + 1) − (7x4 + 2x2 − 6) A − B = 5x4 − 3x3 + 5x + 1 − 7x4 − 2x2 + 6 A − B = −2x4 − 3x3 − 2x2 + 5x + 7 Término de mayor grado
Término de menor grado
Vemos que:
Luego:
DC = AB = 4x + 1
delI F Coeficiente F Coeficiente delI términ o de GH mayor J + G términ o de J = (−2) + 7 grado K H menor grado K
QN = PM = 3x + 2 BC = AP + MN + QD = 6x + 4
=5
Luego: Rpta.: C
Resolución P+Q=
6
(5x3
+
2x2
AB + AP + PM + MN + QN + QD + DC + BC − x + 6) +
(–2x2
= AB + DC + AP +4 MN + QD 14 244 3 + PM + QN + BC
+ x + 3)
P + Q = 5x3 + 2x2 − x + 6 – 2x2 + x + 3 P+Q= ∴
5x3
+9
= AB + AB + = 2AB
Polinomio de 2 términos
Rpta.: C 7
− (5x3 + x + 2x2 + 8)
+ PM + PM + BC + 2PM
= 2 (13x + 7) = 26x + 14 Perímetro = 26x + 14 Rpta.: C
Resolución
10
Sea la figura:
A − B = 6x4 + 5x3 + 2x2 + x − 8 − 5x3 − x − 2x2 − 8 ∴
BC 2BC
= 2((4x + 1)+ (6x + 4) + (3x + 2)) ∴
A − B = (6x4 + 5x3 + 2x2 + x − 8)
A − B = 6x4 − 16
+
=2(AB + BC + PM)
El polinomio resultante tiene 2 términos
Resolución
El perímetro de la figura será:
Polinomio de 2 términos
El polinomio resultante tiene 2 términos Rpta.: C
Resolución
8
Diferencia = (4x3 + 3x − 6) − (5x3 − 2x2 + 4x − 4) Diferencia = 4x3 + 3x − 6 − 5x3 + 2x2 − 4x + 4 Diferencia = − x3 + 2x2 − x − 2
BC = BF + m → BF = BC − m
Sea “M” la expresión pedida: à
CD = ED + n → ED = CD − n
M + diferencia = 2x2 + x - 2
También: AB = CD
M=
(2x2
+ x − 2) − diferencia
M=
(2x2
+ x − 2) −
M=
2x2
M=
x3
+x−2+
(−x3
x3
−
+
2x2
2x2 +
BC = AD − x − 2)
FG = n GE = m
x+2
Luego, perímetro del rectángulo ABCD es:
+ 2x
M = x(x2 + 2)
Vemos que:
AB + BC + CD + AD = 32 x
Rpta.: B
CD + BC + CD + BC = 32x Resolución
9
2BC + 2CD = 32x 2(BC + CD) = 32x
De la figura:
BC + CD = 16x à
- 40 -
AD + AB = 16x
Segundo Año de Secundaria
Luego:
Resolución
El perímetro de la región coloreada es:
Tenemos que:
14
AD +24 AB 144 4 3+ BF + FG + GE + ED =
[(6x2 + 11x − 35) + (3x2 − 6x)]
=
16x + (BC − m) + n + m + (CD − n) =
−(9x2 + 3x − 29) = mx + n
=
16x + BC − m + n + m + CD − n =
[6x2 + 11x − 35 + 3x2 − 6x] − 9x2 − 3x + 29 = mx + n
=
16x + BC +4 CD 142 3
=
16x + 16x
9x2 + 5x − 35 − 9x2 − 3x + 29 = mx + n 2x−6=mx+n
=
32x
Rpta.: B
Entonces: m = 2
11
Luego: m + n = 2+ (−6)
Resolución
R = −[−(−x)]−[+(−x)] + {−(−y+z) − [+(−z)]} R = −[x] − [−x] + {y − z − [−z]} R = −x + x + {y − z + z } ∴
R=y
Resolución
∴
∧
m+n=−4
Resolución
n = −6
Rpta.: B
15
Sea la figura:
Rpta.: D 12
Q = −[−3x + (−x − {2y−3})] +{−(2x + y) + (−x −3)+2−(x + y)} Q = −[−3x + (− x − 2y + 3)] +{−2x − y − x − 3 + 2 −x − y} Q = −[−3x − x − 2y + 3] + {−4x − 2y − 1} Q = 3x + x + 2y − 3 − 4x − 2y − 1
Vemos que:
Q = 4x + 2y − 3 − 4x − 2y − 1
El perímetro del cuadrado ABCD es:
∴
4(4a) = 16x
Q = − 4 Rpta.. D
Resolución (Ax2
−xy +
13 y2)
Tenemos que:
a=x El perímetro de la región coloreada es: Perímetro de =2(a + 4a) región coloreada
+ (2x2 + Bxy − 3y2)
− (3x2 − xy − Cy2)
=2(5a) = 10a
= 3x2 + 2xy + y2
como: a = x
Ax2 −xy + y2 + 2x2 + Bxy − 3y2 − 3x2 + xy + Cy2 = 3x2 + 2xy + y2
∴
Perímetro de = 10x región coloreada
Rpta.: C
Ax2 − x2 + Bxy − 2y2 + Cy2 = 3x2 + 2xy + y2 (A − 1)x2 + Bxy + (C − 2)y2 = 3x2 + 2xy + y2
Resolución
16
De la figura, podemos observar que: Luego:
A−1=3 →
A=4
B=2 C−2
→
CD = HG + GF + FN Como: HG = GF = FN à
C=3
3x = 3HG
Entonces: A+B+C=4+2+3=9
CD = 3HG →
HG = x FN = x
Rpta.: C Luego:
AD = BC = 4x + 3
Si: BC = BH + HC Como: BH = HC = FE
- 41 -
Manuel Coveñas Naquiche
à
BC = 2BH
b
g
E = −5 x − 5 y − 2 x − y + 2 2 y − 2 x − 2 + 2 x
4x + 3 = 2BH
à
BH =
4x + 3 2
FE =
4x + 3 2
E = −5 x − 5 y − 2 x − y + 4 y − 4 x − 4 + 2 x
E = −5x − 5y − 2x + y − 4y + 4x + 4 + 2x ∴
Perímetro de la = Perímetro del + Perímetro del región coloreada rectángulo MBHG rectángulo NFED
Si:
F F 4 x + 3 IJ IJ = 2G x + GH H 2 KK F 2x + b 4 x + 3g I = 2G H 2 JK
Perímetro del rectángulo MBHG
à
Perímetro del rectángulo MBHG
= 6x + 3
à
Perímetro del rectángulo NFED
= 6x + 3
Luego:
Perímetro de la región coloreada
Perímetro de la región coloreada
Resolución à
20
Si: A + B = C
(ax2 + bx + c) + (6x2 − 3x + 5) = 9x2 + 2x + 7
(a + 6)x2 + (b − 3)x + (c + 5)= 9x2 + 2x + 7 Entonces:
∴
a+6=9
→
b−3=2 c+5=7
→ b=5 → c=2
a + b + c = 10
Resolución
= (6x + 3)+(6x + 3)
A=
x3 y 3
a=3
−
−2x3y3
Rpta.: C
21
x2 y 2
+
Hallamos: A + B + C 3x3
+ y3
B= + + x 3 − y3 C = x3y3 − x2y2 + 4x3
= 6(2x + 1) Rpta.: D
∴
17
2x2y2
A + B + C = 8x3
Resolución Resolución
Rpta.: A
Luego: a + b + c = 3 + 5 + 2
Perímetro de la región coloreada = 12x + 6
∴
E = −x − 8y + 4
U| V| W
(+)
Rpta.: D
22
Sea la diferencia igual a “D” à D = (4x3 − 11x + 2) − (2x3 − x − 9)
(A + B)−2C = ((3x2 + 6x3 +2x − 5) + (x2 − 4x3 + 5x − 7)) −2(x3 − x2 + 3x − 6)
D = 4x3 − 11x + 2 − 2x3 + x + 9
(A + B)−2C= (3x2 + 6x3 +2x − 5 + x2 − 4x3 + 5x − 7)
D = 2x3 − 10x + 11 Sea “S” la cantidad que se debe sumar:
−2x3 + 2x2 − 6x + 12 (A + B)−2C = 2x3 + 4x2 + 7x − 12 − 2x3 + 2x2 − 6x + 12 ∴
(A + B)−2C = 6x2 + x
Resolución
∴
(2P − R)+ Q = (2x 4 + 6x2 + 10x − 2x4 − x2 − x3 + 3x − 2) + x3 − 13x + 2 (2P − R)+Q = −x3 + 5x2 + 13x − 2 + x3 − 13x + 2
b
Rpta.: C
= −4x3y2 − 7x2y3 + 2x2y2 + 2x2y3 − 5y2x3 − 6x2y2 +5x2y2 + 5x2y3 + 9x3y2 = A + B − C = x2y2
Luego:
e
j
b
g
Hallamos “A + B − C” : −(−5x2y2 − 5x2y3 − 9x3y2) =
à
19
23
Rpta.: B
(−4x3y2 − 7x2y3 + 2x2y2) + (2x2y3 − 5y2x3 − 6x2y2)
E = −5 x + y − 2 x − y + 2 − x + y − 3 − x − y − 1 + 2 x
g
S = 11x − 16
Resolución
−(2x4 + x2 + x3 − 3x + 2)) + (x3 − 13x + 2)
Resolución
S = 2x3 + x − 5 − (2x3 − 10x + 11) S = 2x3 + x − 5 − 2x3 + 10x − 11
18
(2P − R)+ Q = 5x2
D + S = 2x3 + x − 5 (2x3 − 10x + 11) + S = 2x3 + x − 5
Rpta.: D
(2P − R)+Q = (2(x4 + 3x2 +5x)
∴
à
E = −5 x − 5 y − 2 x − y + 2 − x + y − 3 − x + y + 1 + 2 x
- 42 -
A + B − C = x2y2 = xy Rpta.: D
Segundo Año de Secundaria
Resolución
24
Resolución
+ P+Q+R= 9
x2
+ 6
y2
−
y2 +
B = −4x2y + 2xy2 + 16xy
xy)
C = x2y − 5xy2 + 4xy
+ 10 xy
Luego: ∴
U| V| (+) W
A + B + C = 3 x2y + 8 xy
Coeficientes Suma de coeficientes
Hallamos: A + B + C
A = 6x2y + 3xy2 − 12xy
P + Q + R = (3x2 + 5y2 + 8xy) + (2y2 + 5x2 + xy) (x2
25
Coeficientes
Luego: Suma de =3+8 coeficientes
= 9 + 6 + 10
Suma de coeficientes = 25 Rpta.. B
∴
Suma de coeficientes = 11 Rpta.: B
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO (MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS Y PRODUCTOS NOTABLES). Pág.(168, 169, 170, 171) NIVEL I Resolución
1
Resolución
4
Sea:
=2(6x2 + 4x + 9x + 6)−(12x2 + 9x + 16x + 12)
M = (x + y + xy)(x − y)−x2y + y2(x + 1) M = ((x + y)+ xy)(x−y)−x2y + xy2 + y2
= 12x2 + 8x + 18x + 12 − 12x2 − 9x − 16x − 12 = 26x − 25x
M = (x + y)(x − y)+ xy(x − y)−x2y + xy2 + y2
2(3x + 2)(2x + 3)−(3x + 4)(4x + 3)=
=x
Rpta.: D
Resolución
Aplicamos:
2 A =(x2 + x + 1)(x2 − x + 1) A = ((x2 + 1)+ x)((x2 + 1)− x) (a + b)(a − b) = a2 − b2
Aplicamos:
Obteniendo: A = (x2 + 1)2 - x2 A = ((x2)2 + 2(x2)(1)+ 12)− x2 A = (x4 + 2x2 + 1) − x2 ∴
A = x4 + x2 + 1
Resolución
3
B = x2 − (3x + 1)(3x + 2)+2(2x + 1)2 Aplicamos:
b)2
=
a2
+ 2a·b +
b2
B = x2− ((3x)2 + (1 + 2)3x + 1·2)
Resolución
((2x)2
5
* Hallamos “A” :
A = (2x)(3x) + (2x)(2) + (−1)(3x) + (−1)(2) A = 6x2 + x − 2 * Hallamos “B” : B = (4x + 3)(x − 2) B = (4x)(x) + (4x)(−2) + (3)(x) + (3)(−2)
Luego: (A + B)· A = ((6x2 + x − 2)+(4x2 − 5x − 6))(6x2 + x − 2)
+ 2(2x)(1) +
(A + B)·A = (10x2)(6x2) + (10x2)(x) + (10x2)(−2) +(–4x)(6x2) + (−4x)(x) + (−4x)(−2) +(−8)(6x2) + (−8)(x) + (−8)(−2)
12)
B = x2 − 9x2 − 9x − 2 + 8x2 + 8x + 2 B = −x
Rpta.: C
A = (2x − 1)(3x + 2)
B = x2 − (9x2 + 9x + 2) + 2(4x2 + 4x + 1) ∴
M = x2
(A + B)·A = (10x2 − 4x − 8)(6x2 + x − 2)
Obteniendo: +2
∴
B = 4x2 − 5x − 6
(x + a)(x + b)=x2+(a + b)x + a·b (a +
Obteniendo: M = x2 − y2 + x2y − xy2 − x2y + xy2 + y2
Rpta.: C
Sea:
(a + b)(a − b)= a2 − b2
(A + B)·A = 60x4 + 10x3 − 20x2 − 24x3 −4x2 + 8x − 48x2 − 8x + 16
Rpta.: B
∴
- 43 -
(A + B)·A = 60x4 − 14x3 − 72x2 + 16
Rpta.: C
Manuel Coveñas Naquiche
Resolución
6
Luego:
* Hallamos: “P” :
FH Mayor I F Menor I coeficienteK − H coeficienteK
P = ( x + 6)(2x − 3) P = (x)(2x) + (x)(−3) + (6)(2x) + (6)(−3)
= 15 − (−13) = 15 + 13 = 28
P = 2x2 + 9x − 18
Rpta.: D
Hallamos “Q” : * Q = (3x − 1)(x + 4)
Resolución
Q = (3x)(x) + (3x)(4) + (−1)(x) + (−1)(4)
((2x + 7)(3x − 5)+ 3x(x − 2)) − (9x2 + 3x − 29) = mx + n
Q = 3x2 + 11x − 4
− 9x2 − 3x + 29 = mx + n (6x2 + 11x − 35 + 3x2 − 6x)−9x2 − 3x + 29
R = x2 + (−2 + 8)x + (−2)(8)
= mx + n
R = x2 + 6x − 16
9x2 + 5x − 35 − 9x2 − 3x + 29 = mx + n
Luego:
2x + (−6) = mx + n
P + (Q − R) = (2x2 + 9x − 18) + ((3x2 + 11x − 4)
Comparando términos, tenemos que:
− (x2 + 6x − 16))
• •
P + (Q − R) = 2x2 + 9x − 18 + (3x2 + 11x − 4 − x2 − 6x + 16)
∴
P+(Q − R) = 4x2 + 14x − 6 Rpta.: B
N=5
x4
+
+ 14
4x3
+
+ 11
x2
+
x3
8x2
3x2
+
+ 6x
−
P= P=
(6x4)(x2)
8
3x3
+
+
+(8x2 + 25x − 16) = ax2 + bx [(3x2 − 10x − 8) − (2x2 + 8x − 24)] + 8x2 + 25x − 16 = ax2 + bx
x2 − 18x + 16 + 8x2 + 25x − 16 = ax2 + bx 9x2 + 7x = ax2 + bx
Sea: 2x2
− 12x + 2x − 8) − (2x2 + 12x − 4x − 24)]
[x2 − 18x + 16] + 8x2 + 25x − 16 = ax2 + bx
Suma de coeficientes = 36 Rpta.: C
(6x4
10
[3x2 − 10x − 8 − 2x2 − 8x + 24] + 8x2 + 25x − 16 =ax2 + bx
+6x
Coeficientes
Resolución
Rpta.: B
= ax2 +bx
Suma de coeficientes = 5 + 14 + 11 + 6 ∴
Resolución
[(3x2
N = (5x3)(x) + (5x3)(2) + (4x2)(x) + (4x2)(2)+ (3x)(x) + (3x)(2) N=
m + n = 2 + (−6)
m + n =−4
[(3x + 2)(x − 4) − (2x − 4)(x + 6)]+(8x2 + 25x − 16)
N = 5x3·(x + 2) + 4x2·(x + 2) + 3x·(x + 2)
10x3
m=2
Del enunciado, tenemos que:
7
N = (5x3 + 4x2 + 3x)(x + 2)
5x4
2x = mx → n = −6
Luego:
P +(Q − R) = 2x2 + 9x − 18 + 2x2 + 5x + 12
Resolución
Del enunciado:
((2x)(3x) + (2x)(−5) + (7)(3x) + (7)(−5) + 3x2 − 6x)
* Hallamos “R” : R = (x − 2)(x + 8)
∴
9
Por comparación de términos, tenemos que:
5x)(x2
+ 3x − 1)
•
9x2 = ax2
→
a=9
+(−3x3)(x2) + (−3x3)(3x)+(−3x3)(−1)
• 7x = bx → b=7 Luego: a + b = 9 + 7
+(2x2)(x2) + (2x2)(3x) + (2x2)(−1) + (5x)(x2)
∴
+
(6x4)(3x)
+
(6x4)(−1)
a + b = 16
Rpta.: C
+ (5x)(3x) + (5x)(−1) P = 6x6 + 18x5 − 6x4 − 3x5 − 9x4 + 3x3 + 2x4 + 6x3 − 2x2 + 5x3 + 15x2 − 5x
Resolución
Menor coeficiente Mayor coeficiente
Sabemos que:
Área del cuadrado = (Lado)2
P = 6x6 + 15x5 − 13x4 + 14x3 + 13x2 − 5x P = 6x6 + 15 x5 + (−13) x4 + 14x3 + 13x2 − 5x
11
Área del rectángulo = (Lado mayor) × (Lado menor) De la figura: •
Área del cuadrado = (3x + 2)2 Área del cuadrado = ((3x)2 + 2(3x)(2) + (2)2)
- 44 -
Segundo Año de Secundaria
Área del cuadrado = 9x2 + 12x + 4 •
Área del rectángulo = (3x + 6)(3x − 2)
Resolución P = (x +
1)2
13 − (x + 2)2 − (x + 3)2 + (x + 4)2
Área del rectángulo = ((3x)2 + (6 − 2)(3x) + (6)(−2))
P = (x2 + 2x + 1) − (x2 + 4x + 4) − (x2 + 6x + 9) + (x2 + 8x + 16)
Área del rectángulo = 9x2 + 12x − 12
P = x2 + 2x + 1 − x2 − 4x − 4 − x2 − 6x − 9 + x2 + 8x + 16
Luego:
P = 10x − 10x + 4
FG Área del IJ − FG Área del IJ = (9x2 + 12x + 4) H cuadradoK H rectánguloK −(9x2 + 12x − 12) = 9x2 + 12x + 4 −9x2 − 12x + 12 = 16 Resolución
12
Rpta.: E
∴
P=4
Resolución
FH Lado IK FH Lado IK
Área del rectángulo = mayor × menor
b
g b
Áreadel triángulo = cateto × cateto rectángulo 2
•
ea
2
+ b2
2
j − b2abg
2
m2 – n2 = (m + n)(m − n) (m + n)2 = m2 + n2 + 2mn (m − n)2 = m2 + n2 − 2mn
Q = 2b2 + 2 ab +
ea + b + 2ab je a ba + b g2 ba − b g2 ba + b gba − b g 2
De las figuras, tenemos que:
Q = 2b 2 + 2 ab +
Área del rectángulo (x + 2)(8x + 10)
Q = 2b 2 + 2 ab +
Q = 2b 2 + 2 ab +
2
2
+ b2 − 2 ab
j
2
a2 − b2
2
Q = 2b2 + 2ab + (a2 − b2)
Área del 2 rectángulo = 8x + 26x + 20
b
Sea:
Obteniendo:
g
Área del 2 rectángulo = 8x + 10x + 16x + 20
•
14
Q = 2b 2 + 2 ab +
Aplicamos:
Sabemos que:
Rpta.: B
Q = 2b2 + 2ab + a2 − b2 Q = a2 + 2ab + b2
gb
Área del triángulo = 4 x + 3 2 x + 5 rectángulo 2
g
∴
Resolución
2 Área del triángulo = 8 x + 26 x + 15 rectángulo 2
Rpta.: B
15
E = (x + 1)(x − 1)(x2 + 1) + 1
2
Área del triángulo = 8x + 20x + 6x + 15 rectángulo 2
Q = (a + b)2
Aplicamos:
(a + b)(a − b) = a2 − b2
Obteniendo: E = (x2 − 12)(x2 + 1) + 1 E = (x2 − 1)(x2 + 1) + 1
Luego:
I FG Áreadel IJ −2FG Áreadel triángulo J =(8x2 + 26x + 20) JK H rectánguloK GH rectángulo −2
F 8x GH
2
+ 26 x + 15 2
I JK
= 8x2 + 26x + 20 −8x2 = 5
E = ((x2)2 − (1)2) + 1 E = (x4 − 1) + 1= x4 − 1 + 1 ∴
E = x4
Resolución
Rpta.: D 16
Aplicamos:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3b2a + b3 à
A = (z + 1)3 A = z3 + 3·z2·(1) + 3·z·(1)2 + (1)3 A = z3 + 3z2 + 3z + 1
− 26x − 15 Rpta.: C
Aplicamos: (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 à B = (z − 1)3
- 45 -
Manuel Coveñas Naquiche
B = z3 − 3(z)2·(1) + 3(z)·(1)2 − (1)3 B=
−
z3
3z2
→
E=4 6
+ 3z − 1
Luego: B − A =(z3 − 3z2 + 3z − 1)− (z3 + 3z2 + 3z + 1)
∴
B − A = z3 − 3z2 + 3z − 1− z3 − 3z2 − 3z − 1
Resolución
∴
B−A=
−6z2
Resolución
−2
17
Aplicamos:
(a − b)3 = a3 − b3 − 3a·b(a − b) Obteniendo:
e
E2 = 96
(a +
Rpta.: D
E2 = 4 6
b)2
2
Rpta.: E 21 =
a2
Sabemos que: + 2a·b + b2
Si
a·b = 4
∧
à
(3)2
+ 2(4) + b2
=
j
a2
a+b=3
9 = a2 + 8 + b2
(x − 1)3 − x3 + 1 =(x3 − 13 − 3(x)(1)(x − 1) − x3 + 1) =x3 − 1 − 3x(x − 1) − x3 + 1
∴
a 2 + b2 = 1
Resolución
= −3x(x − 1)
Rpta.: B
22
Aplicamos:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
=−3x[−(1−x)] = 3x(1 − x) Resolución a2
−
18
b2
2
Rpta.: D
à
Aplicamos:
2
∴
a2
+ ab
Resolución
19
E=
à
2
2
Pero: x−1 + y−1 = a
2
b g b g b gb g
a a+b · a−b a +b a −b
2
2
= (a + b)(a − b)
Simplificando, obtenemos: E=
FG 1 + 1 IJ = FG 1 IJ + 2FG 1 IJ FG 1 IJ + FG 1 IJ H x yK H xK H xKH yK H yK FG 1 + 1 IJ = 1 + 2 + 1 ......... (I) H x y K x xy y
E = a(a + b)
à
Rpta.: E
1 1 + =a x y
También: x·y = b Sea:
Reemplazando estos valores en (I), tenemos:
3
3
A = 3− x + 3
je 3 − x j 3 − x je x + 3 j A = 3 − −ex − 3 j ex + 3 j A = 3 + e x − 3 je x + 3 j e A = 3−e
3
e a j = x1 + b2 + y1 2
2
3
3
a2 −
3
3
a 2b − 2 y 2 + x 2 = 2 b x· y
F I A = 3 + G ex j − e 3 j J H K 3 2
à
2
b g
Rpta.: E
a 2b − 2 y 2 + x 2 = 2 b b
20
a 2b − 2 =
A = 3 + (x6 − 3) ∴
A = x6
Resolución
bg
Aplicamos:
a2 − b2 = (a + b)(a − b) E=
à E= E=
e
e
2 1 1 = + b x2 y 2
a 2b − 2 y 2 + x 2 = 2 2 b x ·y
3
(a + b)(a − b) = a2 − b2
Aplicamos:
2
3+ 2
3+ 2 +
je
2
j −e
3− 2
3+ 2+ 3− 2
je
x2 + y2 b
x2 + y2 = b(a2b − 2)
3− 2
2
∴
j
3+ 2 −
je
3− 2
j
x2 + y2 = a2b2 − 2b
Resolución
3+ 2− 3+ 2
M=
E= 2 3 2 2
- 46 -
23
F 3 − 13 I GH 2 JK
Rpta.: B
Sea: 2
−3
LM 3 − 13 OP − 1 MN 2 PQ
Segundo Año de Secundaria
(3 − M=
e3 −
M=
M=
)
2
−
4 2
j
13
(
3 3 − 13 2
Resolución
) −1
e3 −
j
2
j
2
13
2
j
F a + b · a − b IF a −bI +b H KH K F I Q = G e a + b je a − b j J F a − b I + b K H KH I F Q = G a −e bj JF a −bI +b K KH H Q = F a −bIF a −bI +b H KH K Q = F a −bI +b H K Q=
− 18 + 6 13 − 4
2
13 − 22
4
Resolución
13 + 13 + 6 13 − 22
j
∴
Rpta.: B 27
Sabemos que:
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) Si a + b = 3
∧
à
(3)(a2
a3
+
b3
=
ab = 3 − 3 + b2 )
a3 + b3 = 3(a2 + b2 − 3) ..... (I)
Aplicamos:
a2 + b2
Hallamos:
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2 à
Q = a2
Resolución
Rpta.: A 24
2
Q = a2 − b + b
4
M=0
2
2
22 − 6 13 + 6 13 − 22 M= 4
∴
2
2
(a − b)2 = a2 − 2a·b + b2
b ge 13 j + e 13 j IJK + 6
2
2
+ 6 13 − 22
−2 3
2
2
4
e9 − 6
A·B
Sea:
4
Aplicamos:
FG 3 H àM=
13
Sabemos que:
Luego, aplicamos: (a + b)(a − b) = a2 − b2
− 6 3 − 13 − 4
e
26
A· B=
4
e3 − M=
M=
13
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Sabemos que:
P = (m − 3n)2 − 4n(2n − m) + 8 P = (m2 − 2(m)(3n)+(3n)2)−8n2 +4mn + 8 P = m2 − 6mn + 9n2 − 8n2 + 4mn + 8
Si
a + b= 3
à
(3)2
=
∧
a2
a·b = 3
+ 2(3) + b2
2 + n2 − 2mn + 8 P =1 m44 2443
9 = a2 + b2 + 6
P = (m − n)2 + 8
a2 + b2 = 3 ..... (II)
Pero: m − n = 8 à
P = (8)2 + 8 = 64 + 8
∴
P = 72
Resolución
Reemplazamos (II) en (I), obteniendo: a3 + b3 = 3(3 − 3) = 3(0) ∴
Rpta.. C
a 3 + b3 = 0
Resolución
25
28
Rpta.: A Aplicamos:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
A) (a + b)2 = (a + b)(a + b) ........ (Verdadero) B) a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2) ...(Verdadero)
à
C) a2 + b2 = (a + b)(a + b)
FG n + 1 IJ H nK
2
=3
b gFGH n1 IJK + FGH n1 IJK
= (a + b)2 ................. (Falso)
n2 + 2 n
D) a2 − b2 = (a + b)(a − b) ......... (Verdadero)
n2 + 2 +
E) a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) ...(Verdadero) Rpta.: C
- 47 -
n2 +
1 =3 n2
1 = 1 ..... (I) n2
2
=3
Manuel Coveñas Naquiche
FG H
1 n
Además: n + à
n+
2
n3 +
a3
+
b3
= (a +
3
1 n3
2
FG H
= n+
1 n
IJ FG n KH
2
b)(a2 −n·
1
+
n2
− ab +
FG H
1 1 + n n
b2 )
∴
1 = n3
à
IJ IJ KK 2
IJ K
e 3 jb1− 1g = 3 b 0g
2
M=
M= M=
−1
Reemplazamos (I) y (II):
n3 +
∴
E=
Resolución
à
29
Aplicamos:
−2
2
2 x2 + 12 − 2
e
j
x
2
2 x + 2 − 2 2 x2 = 2 x2 x 2
Rpta.: E 33
bx + 1g − b x − 1g = x + 1− x + 1 b x − 1gb x + 1g b x − 1gb x + 1g 2
b x − 1gb x + 1g
(a + b)(a2 − ab + b2) = a3 + b3
Aplicamos: (a + b)(a − b)= a2 − b2
(a − b)(a2 + ab + b2) = a3 − b3
à
E=
à
E=
∴
E=
P = (x + 1)(x2 − x + 1)−(x − 1)(x2 + x + 1)
P = (x + 1)(x2 − x·1 + 12) − (x − 1)(x2 + x·1 + 12) 144424443 144424443 −
P = (x3 + 13 )
P=2
Rpta.: B
Resolución
30
Aplicamos:
(a + b)2 − (a − b)2 = 4ab Identidad de Legendre 2
R=
bn + 3 g − bn − 3 g
2 2
1 2
−1
=
2 2 = 5−1 4
Rpta.: D
Resolución
34
Aplicamos:
(a + b)2 − (a − b)2 = 4a·b à
A = ((x + y)+1)2 − ((x + y)− 1)2 A = 4(x + y)(1)
2
6n
2 ; pero: x = 5 x2 − 12
e 5j
(x3 − 13)
P = x3 + 1 − x3 + 1 ∴
x
Resolución
Rpta.: B
2
b x + 1g + b x − 1g
M=2
E=
1 n + 3 =0 n 3
Aplicamos:
(a + b)2 + (a − b)2 = 2(a2 + b2) Identidad de Legendre
FG 1IJ = FG n + 1 IJ FG n H nK H n K H
n3 +
32
Resolución
=3
1 = 3 ...... (II) n
Aplicamos: à
IJ K
∴
A = 4(x + y)
Rpta.: A
b gb g
4n 3 12n R= = 6n 6n
Resolución
∴
R = (x2
R=2
Rpta.: B
35
− 7x + 11)2 − (x − 2)(x − 5)(x − 3)(x − 4)
R = (x2 − 7x + 11)2 − (x2 − 7x + 10)(x2 − 7x + 12) Resolución
31
Aplicamos:
(a + b)(a − b) = a2 − b2 à
b x + 2gb X − 2g + 9 P= X2 + 5
P= P=
∴
e
Hacemos: a = x2 − 7x + 11 à
a − 1 = x2 − 7x + 10
à
a + 1= x2 − 7x + 12
Reemplazamos estos valores en “R”
j
Diferencia de cuadrados
x +5 2
x2 − 4 + 9
P=1
x2 + 5
=
R = a2 − (a2 − 12) R = a2 − a2 + 1
x2 + 5 x2 + 5
Rpta.: C
2
+ 1g b g − b1a4−412gb a44 3
R= a
x 2 − 22 + 9
∴
- 48 -
R=1
Rpta.: C
Segundo Año de Secundaria
(9x2 + 12x + 4) + M = 9x2 + 36x + 35
NIVEL II Resolución
M = 9x2 + 36x + 35 − (9x2 + 12x + 4)
1
M = 9x2 + 36x + 35 − 9x2 − 12x − 4
Reemplazando los valores en:
∴
M = 24x + 31
Rpta.: A
S = P(Q + R) S = (x2 − x + 2)((3x2 − x − 1)+(2x2 + 2x − 3))
Resolucíon 5 Sea “N” la expresión que se debe restar, según el enunciado tenemos que:
S = (x2 − x + 2)(5x2 + x − 4)
(6x + 5)2 − N = (9x + 5)(4x − 3)
S = (x2)(5x2)+(x2)(x)+(x2)(−4)+(−x)(5x2)
Aplicamos:
+(−x)(x) + (−x)(−4) + (2)(5x2) + (2)(x) +(2)(−4)
((6x)2 + 2(6x)(5) + (5)2)− N = 36x2 − 7x − 15 (36x2 + 60x + 25) − N = 36x2 − 7x − 15
S = 5x4 + x3 − 4x2 − 5x3 − x2 + 4x
(36x2 + 60x + 25) − (36x2 − 7x − 15) = N
+ 10x2 + 2x − 8 ∴
S=
5x4
−
4x3
+
5x2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
36x2 + 60x + 25 − 36x2 + 7x + 15 = N
+ 6x − 8
∴
N = 67x + 40
Rpta.: B
Rpta.: B Resolución Resolución
2 *
A = (x2 + x + 1)(x2 − x + 1) A = ((x2 + 1) + x)((x2 + 1)−x) (a + b)(a − b) = a2 − b2
Aplicamos: à
A = (x2 + 1)2 − x2 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Aplicamos: à
A=
((x2)2
+
2(x2)(1)
+
12)
−x2
6
(x + 2)(3x − 3) = (x + 2)[3(x − 1)] = 3(x + 2)(x − 1)
*
(x + 2)(3x − 3) = (2 + x)(3x − 3)
*
(x + 2)(3x − 3) = (2 + x)[−(3 − 3x)] = −(2 + x)(3 − 3x)
*
(x + 2)(3x − 3) ≠ (2 + x)(3 − 3x)
*
(x + 2)(3x − 3) = 3x2 + 3x − 6
A = x4 + 2x2 + 1 − x2 ∴
A=
x4
+
x2
Rpta.: D
+ 1 Rpta.: C
Resolución
7
Efectuando:
(a + b)x + (b + c)y−[(a − b)x-(b − c)y]−2b(x + y) Resolución
3
=(a + b)x + (b + c)y −(a − b)x+(b − c)y −2b(x + y)
Reemplazando los valores en:
=x((a + b)−(a − b)) +y ((b + c) + (b − c))−2b(x + y)
[2A − 3B]2 = [2(8x3y2 + 6x2y2 + 3x2y3) −3(4y2x2 + 5x3y2 + [2A −
3B]2
=
[16x3y2
+
2x2y3)]
12x2y2
+
=x(a + b − a + b) + y(b + c + b − c)−2b(x + y) =2bx + 2by − 2bx − 2by = 0
6x2y3
Rpta.: C
−12x2y2 − 15x3y2 − 6x2y3] Resolución
[2A − 3B]2 = 16x3y2 − 15x3y2 ∴
[2A − 3B]2 = x3y2
Resolución
8
De la figura, podemos ver que:
Rpta.: A
4
Sea “M” la expresión a agregar. Luego, según el enunciado: (3x + 2)2 + M = (3x + 5)(3x + 7) Aplicamos: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (x + a)(x + b) = x2 +(a + b)x + a·b ((3x)2 + 2(3x)(2) + (2)2) + M = (3x)2 + (5 +7)(3x) + 5·7
Sabemos que: *
Área del =(Lado)2 cuadrado
*
Área del rectángulo =(Lado mayor)×(Lado menor)
Luego:
F Áreadel GG H
I JJ K
Área del
Área = rectángulo − cuadrado QRCP coloreada ABCD
- 49 -
Manuel Coveñas Naquiche
•
{x(x + y − x − y)}·[5y2 − x2]+M = 2x3y + 3xy3
Áreadel cuadrado = ((4x + 3) − (3x + 1))2 QRCP
{2xy}[5y2 − x2]+M = 2x3y +3xy3
=(x + 2)2 =x2 + 4x + 4 •
(10xy3 − 2x3y)+M = 2x3y + 3xy3 M = (2x3y + 3xy3) − (10xy3 − 2x3y)
Áreadel rectángulo = (7x + 2)(4x + 3) ABCD
M = 2x3y + 3xy3 − 10xy3 + 2x3y
= 28x2 + 29x + 6 Área coloreada
∴
=(28x2+29x+6)−(x2+4x+4)
= 28x2 + 29x + 6 − x2 − 4x − 4 ∴
Resolución
Área = 27x2 + 25x + 2 coloreada
A= Rpta.: A
Resolución
M = 4x3y − 7xy3 Rpta.: A
(2x2
11
− 3)(3x2 − 2x + 5)
A = (2x2)(3x2) + (2x2)(−2x)+ (2x2)(5) + (−3)(3x2) + (−3)(−2x) + (−3)(5) A = 6x4 − 4x3 + 10x2 − 9x2 + 6x − 15
9
A = 6x4 − 4x3 + x2 + 6x − 15
De la figura podemos ver que:
à
El triángulo BAM es rectángulo e isósceles, es decir: AB = AM = 2x + 4
B = (3x2 − 2)(2x2 + 3x − 5)
•
à
b gb g
B = (3x2)(2x2) + (3x2)(3x) + (3x2)(−5)
Área del = AB · AM triángulo 2
+ (−2)(2x2) + (−2)(3x) + (−2)(−5)
=
b2 x + 4 gb2 x + 4g = b2 x + 4g
=
4 x + 4x + 4 4 x 2 + 16 x + 16 = 2 2
B = 6x4 + 9x3 − 15x2 − 4x2 − 6x + 10
2
2
à
2
e
2
j
B = 6x4 + 9x3 − 19x2 − 6x + 10
C = 13x3 − 20x2 − 11x + 25 S=A−B+C
Luego: à
Áreadel 2 triángulo = 2(x + 4x + 4)
S = (6x4 − 4x3 + x2 + 6x − 15) − (6x4 + 9x3 − 19x2 − 6x +10) +(13x3 – 20x2 – 11x + 25)
•
Áreadel rectángulo =(AD)(CD) =(3x + 5)(2x + 4)
S=
IJ FG K H
− 11x + 25 ∴
IJ K
Rpta.: A 12
E = A(B + 1)+B(1 − A) −C E = AB + A + B − BA − C à
=6x2 + 22x + 20 − 2x2 − 8x − 8 Área = 4x2 + 14x + 12 coloreada
S=x
Resolución
= 6x2 + 22x + 20−(2(x2 + 4x + 4)) =6x2 + 22x + 20 − (2x2 + 8x + 8)
∴
+ 6x − 10 + 13x3 − 20x2 − 11x + 25
S = −13x3 + 20x2 + 12x − 25 + 13x3 − 20x2
Áreadel 2 rectángulo =6x + 22x + 20 Luego:
FG H
− 4x3 + x2 + 6x − 15 − 6x4 − 9x3 +
19x2
à
Área del Área del Área = rectángulo − triángulo coloreada
6x4
E=A+B−C
Reemplazando los valores dados:
Rpta.: C
E = (3x2 + 5xy − 2y2) + (3y2 − 4xy + 5x2) − (xy + 5y2 + 8x2)
Resolución
10
E =3x2 + 5xy − 2y2 + 3y2 − 4xy + 5x2 − xy
Sea “M” la expresión que hay que sumar, según el enunciado tenemos que: {x(x + y) − x(x − y)}·[2(x2 + y2)−3(x2 − y2)]+M = 2x3y + 3xy3
− 5y2 − 8x2 E = 8x2 + xy + y2 − xy − 5y2 − 8x2 ∴
{x((x + y)−(x − y))}·[2x2 + 2y2 − 3x2 +3y2]+M =2x3y+ 3xy3
- 50 -
E = −4y2
Rpta.: D
Segundo Año de Secundaria
Resolución
13
Resolución
E = (mx + n)(x2 + x + 1) E = (mx)(x2) + (mx)(x) + (mx)(1) + (n)(x2) + (n)(x) + (n)(1)
16
Aplicamos:
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2 à
(x − y)2 = x2 − 2xy + y2 (x − y)2 = (x2 + y2) − 2(xy)
E = mx3 + mx2 + mx + nx2 + nx + n E = mx3 + (m + n)x2 + (m + n)x + n
Pero: x2 + y2 = 26
Según el enunciado:
à
(x −
y)2
;
x·y = 5
= (26) − 2(5)
mx3 + (m + n)x2 + (m + n)x + n = 4x3 + Ax2 + Bx + 5
(x − y)2 = 26 − 10 = 16
Por comparación de términos, tenemos que:
x−y=4
à
m=4
;
n=5
m+n=A
;
m+n=B
A=4+5
;
à B=4+5
A=9
;
Luego:
Resolución
B=9
A + B + m + n = 27
Rpta.: B
17
Rpta.: E
Aplicamos:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Luego: A + B + m + n = 9 + 9 + 4 + 5 ∴
x−y 4 = =2 2 2
à
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2 (x + y)2 = (x2 + y2)+ 2xy
Resolución
14
Si: à
R = (ax + b)(x2 − x + 1)
25 − 11 = 2xy
R = (ax)(x2) + (ax)(−x) + (ax)(1) + (b)(x2)
14 = 2xy
+ (b)(−x) + (b)(1) R=
ax3
−
ax2
+ ax +
x + y = 5 ∧ x2 + y2 = 11 (5)2 = (11) + 2xy
bx2
xy = 7
− bx + b
R = ax3 − (a − b)x2 + (a − b)x + b
Aplicamos: a3 + b3 =(a + b)(a2 − ab + b2)
Según el enunciado:
à
x3 + y3 = (x + y)((x2 + y2) − xy)
ax3 −(a − b)x2+ (a − b)x + b =7x3 − mx2 + nx + 4 Si: ∧
à
∧
m=3
à
x·y = 7 x3 + y3 = (5)((11) − 7)
∴
x3 + y3 = 20
b=4
m=a−b → n=a−b →
También:
m=7−4 n=7−4
n=3
x+y=5 x2 + y2 =11
Por comparación de términos, tenemos que: a=7
x3 + y3 = (x + y)(x2 − xy + y2)
Luego: a + b + m + n = 7 + 4 + 3 + 3 ∴ a + b + m + n = 17 Rpta.. C
Resolución
Resolución
à
T=
e
3 +1
je
Aplicamos: à
15 4
3 +1
je
j
jFGH e 3 j − 1 IJK T = e 3 + 1je 3 − 1j T = e 3j −1 = 3 − 1 e
T=
3 +1
T=2
4
2
2
Rpta.: C
18
Aplicamos:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
3 −1
(a + b)(a − b) = a2 − b2
2
∴
4
Rpta.: D
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2 (x + y)2 = x2 + y2 + 2(x·y)
Pero: x + y = 2 à
∧
x·y = 3
(2)2 = x2 + y2 + 2(3) 4 = x2 + y2 + 6
2
x2 + y2 = −2 Aplicamos: a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) à
x3 + y3 = (x + y)(x2 − x·y + y2) x3 + y3 =(x + y)((x2 + y2)− xy)
Si:
x+y=2 x·y = 3 x2 + y2 = −2
- 51 -
Manuel Coveñas Naquiche
à
x3 + y3 = (2)((−2)−3) x3 + y3 = −10 R=
∴
Rpta.: D
R=5
Resolución
(x − y)2 = x2 − 2xy + y2 (x − y)2 = (x2 + y2) − 2(xy)
x 3 + y 3 −10 = −2 x2 + y2
Luego:
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
Aplicamos:
Reemplazando las ecuaciones (1) ; (2) y (3); tenemos que: (x − y)2 = 16 − 2(4) (x − y)2 = 8 ∴
19
(x + a)(x − 2) = + bx + 6 x2 + (a + (−2))x + (a)(−2) = x2 + bx + 6
x−y =
8
Rpta.: E
22
Aplicamos:
x2
x2
+ (a − 2)x + (−2a) =
x2
+ bx + 6
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a − 2)x + (−2a) = b x + 6 Por comparación de términos, tenemos que: −2a = 5 a−2=b
→
Resolución
à
a = −3
à
(−3) − 2 = b
→
Si:
b = −5
Luego: a − b =(−3)−(−5) ∴
a−b=2
Resolución
Rpta.: C 20
FG x + 1 IJ H xK FG x + 1 IJ H xK
Lado del cuadrado 1: x + y
à
Área del cuadrado 1 = (x + y)2
•
Lado de cuadrado 2: x − y
à
Área del cuadrado 2 = (x − y)2
FG H
IJ FG K H
Áreadel Áreadel Suma de = cuadrado 1 + cuadrado 2 áreas
à
IJ K
Aplicamos: (a + b)2 + (a − b)2 = 2(a2 + b2) Identidad de Legendre
9 − 2 = x2 +
1 x2
à
Resolución
21
Aplicamos:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 à
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2 (x +
y)2
=
x2
+
y2
+ 2(x·y)
Reemplazando las ecuaciones (1) y (2), tenemos que:
e2 6 j 24 =
2
x2
+8
2
2
b gFGH x1 IJK + FGH x1 IJK
= x2 − 2 x = x2 +
2
1 −2 x2
2
= 7−2 = 5
FG IJ H K
1 1 = x2 − x x2
2
Luego:
x2 −
Aplicamos:
a2 − b2 =(a + b)(a − b)
à
x2 −
2
FG 1 IJ = FG x + 1 IJ FG x − 1 IJ H xK H xKH xK
Pero: x +
bg
+
1 +2 x2
1 = 5 x
= x2 + y2 + 2 4
y2
= x2 +
1 =7 x2
FG x − 1 IJ H xK
Rpta.: E
2
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
FG x − 1 IJ H xK FG x − 1 IJ H xK
x−
b 3g
1 =7 x2
2 Pero: x +
à
2
1 +2 x2
= x2 +
Aplicamos:
Suma de áreas = (x + y)2 + (x − y)2
Suma de = 2(x2 + y2) áreas
2
à
Sabemos que: •
b gFGH x1 IJK + FGH x1 IJK
= x2 + 2 x
1 =3 x
x+
x2 +
Área del cuadrado = (Lado)2
2
à
x2 −
∴
x2 −
1 =3 x
x−
∧
1 = 5 x
2
FG 1 IJ = b3g · e 5 j H xK
x2 + y2 = 16 ........ (3)
- 52 -
1 x2
=3 5
Rpta.: A
Segundo Año de Secundaria
Resolución
23
Aplicamos:
Resolución
(a + b)2 + (a − b)2 = 2(a2 + b2) (a + b)2 − (a − b)2 = 4a·b Identidades de Legendre
P=
2
2
b x + yg − b x − yg b x + yg + bx − y g
à
R=
Si
x2 + y2 = 3xy
2
2
=
4x · y 2 x2 + y2
e
P=
j
P=
2
à
R=
4 xy 4 xy = 2 3 xy 6 xy
b g
R = 2/3 24
T=
e ex 1
T=
2
+x
+ x2 + y3
j e j − ex
2 x4 + y6
e
2 4· x · 2
b)2
−2
−x
2
j=x
4
1 x2
2
j j
−2 2
P=
FG e j + e y j IJ H K
2 x2 =
2
3 2
4 x2 · x−2
T=
)
2 − 1 + 41
) (
) (
)
2 − 1 + 41
j
OP Q
2
2 − 17 − 12 2 + 12 2 + 41
P = 2 · 29 2 − 17 − 24 + 41 P=
2 · 29 2 2
+ y6 2
2
2 − 1 + 41
je
P = 29 2 = 29 · 2 = 58
Resolución
27
Rpta.: C
Aplicamos:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Pero: x4 + y6 = 4 à
) (
e 2 · LM17 N
2
2
P = 2 · 17 − 12 2
(a + − (a − = 4ab Identidades de Legendre 2
2
(
(a + b)2 + (a − b)2 = 2(a2 + b2)
x2 − y3
2 2
P = 2 32 − 2 (3) 2 2 + 2 2
Aplicamos:
b)2
4
(
Rpta.: D
Resolución
LMe 2 − 1j · e 2 − 1j + 41OP Q N LF O I 2 · M G e 2 − 1j J · e 2 − 1j + 41P HMN K PQ L O 2 · M F 2 − 2 · 2 · 1+ 1 I · e 2 − 1j + 41P HNM K QP 2
2 P = 2· 3 − 2 2 ·
3
∴
26
La expresión se puede escribir de la manera siguiente:
à
x4 + y6 4 = =2 2 2
Rpta.: B
e x + x j = FH −1 2
2+2 2
I K
2
x2 + 2x ·x−1 + (x−1)2 = 2 + 2 2 x2 + 2 + x−2 = 2 + 2 2
Resolución
à
25
x2 + x−2 = 2 2 + x −2
2
2
R = (x − 3)(x + 2)(x − 4)(x + 3)
ex
R = (x2 +(−3 + 2)x + (−3)(2))(x2 + (−4 + 3)x +(−4)(3))
(x2)2 + 2(x2)(x−2) + (x−2)2 = 8
R = (x2 − x − 6)(x2 − x − 12) R = ((x2 − x)-6)((x2 − x)− 12)
2 De la condición: x + = 1 x
x2 + 2 = x → x2 − x = −2 Reemplazamos el valor hallado en “R”, obteniendo: R = ((−2)−6)((−2)−12) R = (−8)(−14) ∴
R = 112
Rpta.: C
j = e2 2 j
x4 + 2 + x−4 = 8 ∴
x4 + x−4 = 6
Resolución
2
x +2 =1 x
2
28
Rpta.: C Aplicamos:
a2 − b2 = (a + b)(a − b) M = (x + 5)(x + 4)(x2 − 32)(x − 2)(x − 1) M = (x + 5)(x + 4)(x + 3)(x − 3)(x − 2)(x − 1) M = (x + 5)(x − 3)(x + 4)(x − 2)(x + 3)(x − 1) 14 4244 3 14 4244 3 14 4244 3 M = (x2 + 2x − 15)(x2 + 2x − 8)(x2 + 2x − 3) Pero: x2 + 2x = 9 M = (9 − 15)(9 − 8)(9 − 3) M = (−6)(1)(6) ∴ - 53 -
M = −36
Rpta.: C
Manuel Coveñas Naquiche
Resolución
29
La expresión dada se puede escribir de la siguiente manera: E=
ee
2+ 3 + 5
j
E=
FG e H
E=
F H
2+ 3 2
2 +2
j − e 5 j IJK − 2 2
2
e 2 je 3 j +
6
I K
2
3 −5 −2 6
à
Q=
x2 + x2 2 x2 = 2 x· x x
∴
Q=2
* à
à
b ge
Área del cuadrado =
M=
4
M=
4
(Lado)2
Área del cuadrado = (x + y)2
gb
base · altura Área del triángulo = 2
g
Área del x · y triángulo = 2
b x + y g = 8 FGH x 2· y IJK 2
(x + y)2 = 4xy 644744 8 x2 + 2xy + y2 = 4xy
3
3
3
6
6
(a + b)(a − b) = a2 − b2
FG ea j − b1g IJ ea + 1j + 1 H K
M=
4
e a − 1jea + 1j + 1
M=
4
3 2
2
6
6
6
FG ea j − b1g IJ + 1 H K 6 2
2
−42xy +8 y2 = 0 x24 6 744
∴
(x - y)2 = 0
Resolución
x−y=0 → x=y
La expresión dada se puede escribir de la siguiente manera:
4
M = a3
E=
4
b x + yg − b x − yg e2x + y j − e2x − y j 2 2
2
2 2
b x + yg e2x
2
+y
2
2 2
2
E=
2 2
2 2
(a + (a +
b)2
2
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
2+ 3
I K
2
−2
F H
2+ 3
IF KH
I F K H
2− 3 +
2− 3
= 4ab
+ (a −
b)2
= 2(a2 + b2)
Aplicamos: (a + b)(a − b) = a2 − b2
2
3
2
2
F b2g − 3 I e j JK GH E = e4 − 2 4 − 3 j E = 4−2
2
2
3
3
E = (4 − 2)3 ∴ - 54 -
E=8
Rpta.: C
2 3
I IJ KK
−(a −
2
8 x 2y 2
FF GH H
2 3
I IJ KK
b)2
2
2
2+ 3 − 2− 3
FG e2 + 3 je2 − 3 j + 2 − 3 IJK H F I E = G 4 − 2 e 2 + 3 je 2 − 3 j J H K
b x + yg + b x − y g b x + yg − b x − y g Q= 4 e 2 x je y j 2 e x + y j 4 xy Q= 2
32
E= 2+ 3 −2
a2 − b2 = (a + b)(a − b) b)2
FF GH H
Rpta.: B
Aplicamos:
b g j − e2x − y j − x−y
2 2
Aplicamos:
à
3
M=4
Luego:
Q=
3
M = 4 a12 − 1 + 1 = 4 a12
x2 + 2xy + y2 − 4xy = 0
Q=
je je j ea − 1 jea + 1jea + 1j + 1 ea − 1jea + 1jea + 1j + 1
Aplicamos:
Según el enunciado, tenemos que:
à
Aplicamos:
M = 4 a − 1 a2 + a + 1 a3 + 1 a6 + 1 + 1
30
b
*
31
(a − b)(a2 + ab + b2) = a3 − b3
Rpta.: B
Resolución
Rpta.: B
Resolución
E = 5+2 6 −5−2 6 E=0
2
x2 + y2 ; pero: x = y xy
j
(a + b)(a − b)= a2 − b2
Aplicamos: à
j
e j 8 b xy g
Q=
2 + 3 − 5 −2 6
jee
8 xy x2 + y2
Q=
3
Segundo Año de Secundaria
Resolución
33
Sabemos que:
Resolución
Perímetro del cuadrado = 4×(Lado)
Hacemos:
Perímetro del cuadrado ABCD = 8(2x +1) = 4(Lado)
b
g b
8 2x + 1 = Lado 4
à
34
M = (x + y + z)3 à
g
Sea:
− (x + y)3 − 3(x + y + z)(x + y)z
a=x+y
M = (a + z)3 − a3 − 3(a + z)(a)z M = (a + z)3 − a3 − 3az(a + z)
Aplicamos:
Lado del cuadrado ABCD = 2(2x + 1)
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 M = (a3 + 3a2z + 3az2 + z3) − a3 − 3az(a + z) M = a3 + 3a2z + 3az2 + z3 − a3 − 3a2z − 3az2
De la figura, podemos ver que:
FH FH
IK IK
Lado del Lado del cuadrado ABCD = 2 cuadrado EFGD 14442444 3 Lado del 2(2x +1) = 2 cuadrado EFGD
b
g
2 2x + 1 2 à
∴
M = z3
Rpta.: C
Resolución
35
Sabemos que: 2 = 5 − 3 Luego:
Lado del = cuadrado EFGD
La expresión dada se puede escribir de la siguiente manera:
Lado del cuadrado EFGD = 2x + 1
b
gb
ge
M = 4 5 − 3 5 + 3 52 + 32 54 + 34 + 38
Luego:
F Áreadel I F Áreadel I Área = GG cuadradoJJ + GG cuadradoJJ coloreada H ABCD K H EFGD K F Lado del I F Lado del I Área = G cuadradoJ + G cuadradoJ coloreada H ABCD K H EFDG K 2
M = 4 52 − 32 52 + 32 54 + 34 + 38 2
M=
4
e je je j FG e5 j − e 3 j IJ e 5 + 3 j + 3 H K e 5 − 3 je5 + 3 j + 3 FG e5 j − e 3 j IJ + 3 H K 2 2
2 2
M=4
Área = 4(2x + 1)2 +(2x +1)2 coloreada
M=
4
Área = 5(2x + 1)2 coloreada
M=
4
58 − 38 + 38
Área = 5((2x)2 + 2(2x)(1) + 12) coloreada
M=
4
58 = 5 2
∴
M = 25
∴
gh b
j
(a + b)(a − b) = a2 − b2
Aplicamos:
2 Área = 2 2x + 1 + 2x + 1 2 coloreada
cb
je
g
Área = 5(4x2 + 4x + 1) coloreada
4
4
4 2
4
4
4
4
4 2
8
8
8
Rpta.: E
Rpta.: C
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO (DIVISIÓN DE POLINOMIOS Y COCIENTES NOTABLES) Pág.(193, 194, 195, 196)
NIVEL I Resolución
Según los datos : d = (x2 + 1)
1
Sabemos que:
q = (x + 2)
D = d × q + R .... (I)
R = (x − 3)
- 55 -
Manuel Coveñas Naquiche
Reemplazando en (I) tenemos que:
∴
Resolución
5
Por el teorema del →
x = −3
D = (x2 + 1)(x + 2) + (x − 3)
Resto: x + 3 = 0
D = x3 + 2x2 + x + 2 + x - 3
Dividendo = x4 − 2x2 − 6
D = x3 + 2x2 + 2x − 1
Residuo(R) = (−3)4 − 2(−3)2 − 6 = 81 − 2(9) − 6
Reemplazamos el valor x = -3, en el dividendo
Rpta.: B
∴ Resolución
R = 57
Rpta.: D
2
Dividimos entre 4 al dividendo y al divisor
6
Aplicando el método de Horner, obtenemos:
64 x 4 − 36 x 2 + 8 x 4 x − 1 : 4 4
16 x4 − 9 x2 + 2 x : x −
Resolución
1 4
Aplicamos el método de Ruffini:
∴
Cociente = x2 − 3x − 11 Residuo = −34x2 + 2x + 12
∴
cociente: 16x3 + 4x2 − 8x
Resolución
Resolución Rpta.: C
7
Rpta.: C
Por el teorema del
Resto: x − 1= 0
→
x=1
Reemplazamos el valor x = 1 en el dividendo:
3
Aplicando el método de Horner, obtenemos:
Dividendo = 6x3 − 5x2 − 4x + 4 Residuo(R) = 6(1)3 − 5(1)2 − 4(1) + 4 =6−5−4+4 ∴
R=1
Rpta.: A
Resolución a2
Cociente: x − 4
e4x M=
Residuo: 8x − 4 Luego: Suma de coeficientes = 8 +(−4)= 4 del residuo
Rpta.: D
M=
M=
∴ Resolución
− 2
b2
8
Aplicamos:
= (a + b)(a − b) 2
+ 6 x + 1 − x2
j
4 x2 + 7 x + 1
ee4x
2
+ 6x + 1 + x
j jee 4 x
2
+ 6x + 1 − x
j j
4x + 7x + 1 2
e4x
2
+ 7 x + 1 4 x2 + 5 x + 1
je
j
4x + 7x + 1 2
M = 4x2 + 5x + 1
Rpta.: E
4
Aplicando el método de Horner, obtenemos:
Resolución
9
Aplicando el método de Horner, obtenemos:
∴
Cociente = x + 1
Rpta.: A
∴
- 56 -
Residuo = −5x + 14
Rpta.: E
Segundo Año de Secundaria
Resolución
10
La expresión dada se puede escribir de la siguiente manera: E=
E=
E=
e
Por el dato: residuo = 19x − 7
à
19x − (1 + 3k) = 19x − 7 −(1 + 3k) = − 7
x−y
1 + 3k = 7
b
g
x2 x − y + 4 y x2 − y2
e
∴
j
b
g
b x − y ge x
b
2
Rpta.: D 14
Por el método de Horner, obtenemos:
gb
x x − y + 4y x + y x − y x−y 2
k=2
Resolución
x−y
b
+ 4y x + y
g
gj
x−y
E = (x + 2y)2
Resolución
Como: 5x3 − 2x2 + ax − b es divisible por x2 + 1 Entonces, la división es exacta. O sea que:
Rpta.: B
11
Por el teorema del Resto: x − 2= 0
→
x=2
Reemplazamos el valor x = 2 en el dividendo: Residuo(R) = (2)4 − 2(2)3 + 4(2)2 − (2) + 1
−b + 2 = 0 →
→ a=5 b=2
Rpta.: A
O sea, el residuo es igual a cero.
Rpta.: C
Resolución
a−5=0
Entonces, la división debe ser exacta.
= 16 − 2(8) + 4(4) − 2 + 1 R = 15
i) ii)
Resolución 15 Como: 3 x − ax − x + b es divisible por x2 + x− a
Dividendo= x4 − 2x3 + 4x2 − x + 1
∴
•
j
E = x2 + 4xy + 4y2 E = x2 + 2(x)(2y) + (2y)2 ∴
Residuo = 19x − (1 + 3k)
x 3 + 4 x 2y − x 2 y − 4 y 3
x3 − x2y + 4 x2 y − 4 y3 E= x−y E=
à
•
Dividendo = x3 − (a + 1)x + b
Aplicando el método de Horner, obtenemos:
12
Por el teorema del Resto: x−2=0
→
x=2
Reemplazamos el valor x = 2 en el dividendo: Dividendo = 4x5 − 2x3 + kx − 2 Como el dividendo es divisible por (x - 2), el residuo debe ser cero Residuo(R) = 4(2)5 − 2(2)3 + k(2)−2 = 0 =4(32) − 2(8) + 2k − 2 = 0
Como: residuo = 0 à
b−a=0
∴
a=b
Rpta.: B
110 + 2k = 0 −110 = 2k ∴
k = −55
Resolución
Resolución
Aplicando el método de Horner, obtenemos:
Sea el cociente notable:
x20 − yn xn + y5
Rpta.: E 13
16
Número de 20 = n = términos n 5
20 × 5 = n2 100 = n2 → n = 10 ∴
- 57 -
20 Número de =2 = términos 10
Rpta.: A
Manuel Coveñas Naquiche
Resolución
Resolución
17
Hallamos el número de términos (n):
31 n= 1
→
2
Aplicando el método de Horner, obtenemos:
n = 31
FH
IK
Como "K" es par, el Por dato: k = 14 términoserá negativo T = ± xn−k · yk −1
Luego: à ∴
k
T14 = −x31-14 · y14−1 T14 = −x17 · y13
Resolución
Rpta.: E
18
∴
Cociente = x2 + 2x + 3
Resolución
Por el teorema del Resto:
Rpta.:C
3
Aplicando el método de Horner, obtenemos:
x − 2= 0 → x = 2 Reemplazamos el valor x = 2 en el dividendo: Dividendo = 2x4 − 8x2 + 7x − 11 Residuo(R) = 2(2)4 − 8(2)2 + 7(2) − 11 = 2(16) − 8(4) + 14 − 11 ∴
R=3
Resolución
–
19
Cociente = x3 + x2 + 2x + 2
Por el teorema del Resto: x − 4= 0 → x = 4 Reemplazamos el valor x = 4 en el dividendo: Dividendo = (x − 3)8 + 16 Residuo(R) = (4 − ∴
R = 17
–4
Rpta.: A
3)8
Suma de coeficientes =1+1+2+2 del cociente
∴
+ 16 =
18
Suma de coeficientes =6 del cociente
Rpta.. A
+ 16
Resolución
Rpta.: A
4
Aplicando el método de Horner, obtenemos: Resolución
20
Por el teorema del Resto: x + 1 = 0 → x = –1 Reemplazamos el valor x = −1 en el dividendo: Dividendo = 4x6 + 2x + a Residuo(R) = 4(−1)6 + 2(−1) + a = 4 − 2 + a à
R=2+a
Por dato: R = 7 ∴
a=5
∴
à
Rpta.: C
Resolución
NIVEL II Resolución
Residuo = 4x + 2
Rpta.: B
2+a=7 5
Aplicando el método de Horner, obtenemos:
1
Aplicando el método de Horner, obtenemos:
∴ ∴
Cociente = x2 + 3x + 2
Rpta.. A
- 58 -
Residuo: 7x + 15
Rpta.: A
Segundo Año de Secundaria
Resolución 6 Aplicando el método de Horner, obtenemos:
à
Resto= (A − 4)x + (B + 12)
Por dato: à
Resto = 3x + 14
(A − 4)x + (B + 12) = 3x + 14
Por comparación de términos, tenemos que: i)
A−4=3
→
A=7
ii)
B + 12= 14
→
B=2
Luego: A + B = 7 + 2 à
Residuo= (M + 17)x + (N − 11)
Por dato: à
Residuo = 2x+ 3
(M + 17)x + (N − 11) = 2x + 3
∴
M + 17 = 2 → M = −15
ii)
N − 11 = 3 → N = 14
Rpta.: D
Resolución 9 Como la división es exacta, entonces
Por comparación de términos, tenemos: i)
A+B=9
Residuo = 0 Aplicando el método de Horner, obtenemos:
Luego: M + N = (−15)+ 14 ∴
M + N = −1
Resolución
Rpta.: B
7
Aplicando el método de Horner, obtenemos: Como residuo = 0 i) ii)
a + 9 = 0 → a = -9 b + 9 = 0 → b = -9
∴
a −9 =1 = b −9
Resolución à
Cociente = x3 + x2 + 2x + 3
Rpta.: A
10
Aplicando el método de Horner, obtenemos:
Luego: Suma de coeficientes =1+1+2+3 del cociente
∴
Suma de coeficientes =7 del cociente
Resolución
Rpta.: B
8
Como la división es exacta, residuo = 0 à
Aplicando el método de Horner, obtenemos: ∴
i) m + 8= 0
→
m= −8
ii) n + 3 = 0
→
n = −3
mn = (−8)(−3) = 24
Resolución
11
x + 2= 0
→
Rpta.. C
Por el teorema del Resto: x = −2
Reemplazamos el valor x = −2 en el dividendo: Dividendo = x4 + 3x3 + 2x2 + 5x + 4 Residuo(R) = (−2)4 + 3(−2)3 + 2(−2)2 + 5(−2)+4 = 16 + 3(−8)+2(4)−10+4 ∴ - 59 -
R = −6
Rpta.. D
Manuel Coveñas Naquiche
Resolución
12
Resolución
Aplicando el método de Horner, obtenemos:
16
Por el teorema del Resto, tenemos que: x−1=0
→
x=1
Reemplazamos el valor x = 1 en el dividendo: Dividendo = x9 + x8 + x2 + x + 1 Residuo(R) = (1)9 + (1)8 + (1)2 + (1) + 1 =1+1+1+1+1
à
Residuo = 6x + 7
Término indenpendiente
∴
Término Independiente = 7
Rpta.. D
Resolución
13
Por el teorema del Resto, tenemos que: x − 2= 0
∴
R=5
Rpta.: D
Resolución 17 Aplicando el método de Ruffini: Igualamos el divisor a cero: x−3=0 → x=3
→ x=2
Reemplazamos el valor x = 2 en el dividendo: Dividendo = 2x7 − 4x6 + 2x + 3 Residuo(R)= 2(2)7 − 4(2)6 + 2(2) + 3 =2(128) − 4(64) + 4 + 3 ∴
R=7
Rpta.: C
Resolución
3x2 + 7x + 6 − (3x2) = 7x + 6 Rpta.: C
14
Por el teorema del Resto, tenemos que: 2x + n = 0
→
x=−
Reemplazando el valor x = −
n 2
n en el dividendo: 2
Dividendo = 2x3 + nx2 − 4x + n 3
2
F nI F nI F nI Residuo(R) = 2GH − JK + nGH − JK − 4GH − JK + n 2 2 2 F n I Fn I = 2 G − J + nG J + 2n + n H 8K H 4K 3
2
n3 n3 =− + + 3n 4 4
à
R = 3n
Por dato: R = −15 à
3n = −15
∴
n = −5
Resolución
à Cociente = 3x2 + 7x + 6 Luego: “el cociente disminuido en (3x2)”
Resolución
18
Aplicando el teorema del Resto, tenemos que: x − 2= 0
→
x=2
Reemplazando el valor x = 2 en el dividendo: Dividendo = 3x4 − 2x3 + ax2 − x − 2 Residuo(R) = 3(2)4 − 2(2)3 + a(2)2 − 2 − 2 = 3(16)−2(8) + 4a − 4 à R = 28 + 4a Como la división es exacta, entonces:
à
R=0 28 + 4a = 0
∴
a = −7
Resolución
Rpta.: B 19
Aplicamos el método de Horner, obtenemos:
Rpta.: A 15
Por el teorema del Resto, tenemos que: x2 + 1 = 0
→
x2 = −1
Reemplazamos el valor x2 = −1 en el dividendo Dividendo = (x2)2 + 2(x2) + 5 Residuo(R) = (−1)2 + 2(−1) + 5 = 1 − 2 + 5 ∴
R=4
Rpta.: A
à
Residuo= (a − a3)x + (1 − a2)
Como el residuo es un polinomio idénticamente nulo, tenemos que:
- 60 -
Segundo Año de Secundaria
i)
a − a3 = 0 →
a(1 − a2) = 0
Resolución
23
a=0 ó 1 − a2 = 0 → a = ±1
a2
1= ii)
1 − a2 = 0 → 1 = a2
∴
a = −1
xn+1 − y3n − 4 es un cociente notable, se debe cumplir: x − y2
Si
n + 1 3n − 4 = 1 2
→ a = ±1
Rpta.: C
Resolución
2(n + 1) = 3n − 4 2n +2 = 3n − 4
20
Por el teorema del Resto, tenemos que: x−a=0
→
x=a
∴
n=6
Rpta.: A
Reemplazamos el valor x = a en el dividendo:
Resolución
Dividendo = (b −
Número de = 3n + 8 = 2 n − 1 términos 1 2
2a2)x3
+
2a2x
+
x5
+
ax4
+(a − ab)x2 + 5 − 3a3
24
3n + 8 = 2(2n − 1)
Residuo(R) = (b − 2a2)a3 + 2a2·a + a5 + a·a4
3n + 8 = 4n − 2
+(a − ab)a2 + 5 − 3a3 à
= a3b − 2a5 + 2a3 + a5 + a5 + = ∴
R=5
Resolución
a3
−
−2a5
a3b +
+5−
3a3
+
2a5
+5−
10 = n
b g
3a3 3a3
Rpta.: D
2n − 1 2 10 − 1 = Luego: Número de = términos 1 1 Número de = 19 términos
∴
Rpta.: D
21
Por el torema del Resto, tenemos que: xn + 1 = 0 → xn = −1 Reemplazamos el valor xn = −1 en el dividendo.
Resolución
25
Número de = 4n − 5 = 2n términos 3 2
4n − 5 = 3n
Dividendo = x3n + 3xn + 2x4n + 12
à
= (xn)3 + 3(xn) + 2 (xn)4 + 12
n=5
bg
Residuo(R) = (−1)3 + 3(−1) + 2(−1)4 + 12 = −1 − 3 + 2(1) + 12
4n − 5 4 5 − 5 = Luego: Número de = términos 3 3
∴
∴
R = 10
Resolución
Rpta.: D 22
Aplicando el método de Horner, obtenemos:
Número de = 5 términos
Rpta.: B
Resolución 26 La expresión dada se puede escribir de la manera siguiente:
( x4 ) + ( y3 ) = 5
x20 + y15 x 4 + y3
5
x4 + y3
Aplicamos: xn + yn = xn−1 − xn − 2 · y + xn− 3 · y2 − ... + yn−1 x+y
à
Residuo = m − 1
4 5
à
Como el resto es nulo, entonces: Residuo = 0 à
m−1=0
∴
m=1
Rpta.: D
3 5
ex j + ey j x4 + y3
=(x4)4−(x4)3(y3) + (x4)2(y3)2
− (x4)(y3)3 + (y3)4 ∴
x20 + y15 = x16 − x12·y3 + x8·y6 − x4·y9 x4 + y3
+ y12 Rpta.: B
- 61 -
Manuel Coveñas Naquiche
Resolución
à
27
Cociente = 2x3 −4 x2 + 4x + 1 Menor coeficiente
Hallamos el número de términos(n): n=
31 1
→
n = 31
∴
Según el enunciado: K = 14 " K" es par el términoI FH Como será negativo K
Luego: Tk
=
Menor = −4 coeficiente
Resolución
Rpta.: B
31
Aplicando el método de Horner, obtenemos:
± xn−k · yk −1
T14 = −x31−14·y14−1 ∴
T14 = −x17·y13 Rpta.: E
Resolución 28 Aplicando el método de Horner, obtenemos:
à 0
0
Término indenpendiente
0
∴ ∴
Residuo = −6x2 − 10x + 7
Resolución
Cociente = 2x2 + 4x −3
Término indenpendiente = −3
Rpta.: E
Resolución
29
Como: P(x) es divisible por q(x)
32
Aplicando el método de Horner, obtenemos:
Entonces: Residuo = 0 Aplicando el método de Horner, obtenemos:
–
∴
Residuo = 1
Rpta.: C
Como: Residuo = 0 i)
−n + 3 = 0
→
n=3
ii)
m+2=0
→
m = –2
Luego: ∴
33
m + n = (−2) + 3
m+n=1
Resolución
Resolución
Rpta.. E
30
Aplicando el método de Horner, obtenemos: ∴
Residuo = 2x2 + 2x + 1 Rpta.: A
- 62 -
Rpta.: E
Segundo Año de Secundaria
CAPÍTULO N° 5 FACTORIZACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO (FACTORIZACIÓN). Pág.(232, 233, 234) NIVEL I Resolución
M=
1
2
e1b544ng24− 413jc 2bn + a gh 2
Diferencia de cuadrados
Aplicando el método del Aspa, tenemos que:
M = (5n + 1)(5n − 1)·2·(n + a)
I.
M = 2(n + a)(5n + 1)(5n − 1) ∴
Uno de los factores será: 5n + 1 Rpta.: B
à
x2 + 5x − 14 = (x + 7)(x − 2)
Resolución
II.
Q = (x +
4
Sea:
3)2
− (x + 1)2
a2 − b2 = (a + b)(a − b)
Aplicamos: Obteniendo: à
Q = ((x+ 3)+(x + 1))((x + 3)−(x − 1)) Q = (x + 3 + x + 1)(x + 3 − x − 1) Q = (2x + 4)(2) Q = (2(x + 2))·2
x2 − x − 2 = (x − 2)(x + 1)
III. ∴
Q = 4(x + 2)
Resolución à ∴
x2 + 3x − 10 = (x + 5)(x − 2) Factor común = x − 2
Resolución
2
Sea:
P = (x − 2y)(n − m)
Resolución M=
3
50n3
Rpta.: A
Sea:
*
x4 = x2
*
4 y4 = 2 y 2
U| Doble producto de las raíV| ces halladas sería: W 2(x )(2y ) = 4x y 2
2
2 2
x4 + 4y4 = x 4 + 4 x 2y 2 + 4 y 4 - 4x2y2 144 42444 3
à
( T.C.P)
(144442444 ) − (2xy43)2
x4 + 4y4 = x2 + 2y2
2
Diferencia de cuadrados
x4
+
4y4
=
((x2
+ 2y2)+2xy)((x2 + 2y2 − 2xy)
x4 + 4y4 = (x2 + 2xy + 2y2)(x2 − 2xy + 2y2) ∴
x4 + 4y4 = (x2 − 2xy + 2y2)(x2 + 2xy + 2y2)
Resolución
− 2a + 50an2 − 2n
Ordenamos la expresión adecuadamente y factorizamos.
5
Aplicamos: factorización por suma y resta
Rpta.: E
P = nx − 2ny − mx + 2my Ordenando adecuadamente, tenemos: P = nx − mx − 2ny + 2my P = nx − mx −(2yn − 2ym) P = x(n − m) − (2y(n − m)) P = x(n − m)− 2y(n − m) P = (n − m)(x − 2y) ∴
•
Rpta.: E
P=
3x2
6 −
Rpta.: C
Sea:
3x4
+ y2 − x2y2
Ordenamos la expresión convenientemente y factorizamos P = 3x2 − 3x2·x2 + y2 − x2y2
M = 50n3 − 2n + 50an2 − 2a M = 2n·25n2 − 2n + 2a·25n2 − 2a
P = 3x2(1− x2) + y2(1 − x2)
M = 2n(25n2 − 1) + 2a(25n2 − 1)
P=
M = (25n2 − 1)(2n + 2a)
1− x j e 3 x e12 4 4 3 2
Diferencia de cuadrados
- 63 -
2
− y2 +
j
Manuel Coveñas Naquiche
p = (1 + x)(1 − x)(3x2 + y2) ∴
P = (3x2 + y2)(1 + x)(1 − x)
Resolución
Resolución Rpta.: E
La expresión dada se puede escribir así: E = (a4 + a3) − (a + a2)
E = (a +
P(x; y) = x2(1 + x2y2) −y4( + x2y2) P(x; y) = (1 + x2y2) x 2 − y 4
e14243j
Factorizamos: E=
P(x; y) = x2 + x4y2 − y4 − x2y6 P(x; y) = (x2 + x4y2) − (y4 + x2y6)
7
a3(a
+ 1) − a(1 + a) 1)(a3
Diferencia de cuadrados
− a)
E = (a + 1)(a(a2 − 1))
P(x; y) = (1 + x2y2) (x + y2) (x − y2) G.A = 4
Diferencia de cuadrados
E = (a + 1)(a(a + 1)(a − 1)) E = a(a + 1)2· (a − 1) ∴
12
8
Q(X) =
8x2
Factor primo de 2 2 mayor grado es: 1 + x y
Resolución
Un factor será: a − 1
Resolución
∴
Rpta.: D
G.A = 3 G.A = 3
Rpta.: E
13
Factorizamos por el método del Aspa
− 6ax − 12bx + 9ab
Q(x) = 2x(4x − 3a) − 3b(4x − 3a) Q(x) = (4x − 3a)(2x − 3b) ∴
Un factor será: 4x − 3a
Resolución
9
Rpta.: C à
Sea:
b
gb
g
6x2 − 7x − 3 = 3x +1 2 x − 3 1442443 Factores primos
M = 3am + 3bm + 3an + 3bn M = 3(am + bm + an + bn)
Suma de factores primos: (3x + 1)+(2x − 3) = 5x − 2
M = 3(m(a + b) + n(a + b)) M = 3((a + b)(m + n))
∴
Suma de factores primos = 5x − 2
Rpta.: A
M = 3(a + b)(m + n) ∴
Un factor será: m + n
Rpta.: C
Resolución E = 12 4 −4 3 (a2
Resolución
E = a(c + d − cd) − b(c + d − cd) E = (c + d − cd)(a − b) ∴
Un factor será: a − b
Resolución
E = (a + b)(a − b)(a − c) + (a + c)(a − c)(a − b) E = (a − b)(a − c)((a + b) + (a + c)) ∴
Factor primo trinomio = 2a + b + c
11 2
Rpta.: C 3 2
Resolución
Diferencia de cuadrados
T.C.P
e14243je14243j
A = (a − b)2 − c(a − b)
Suma de Diferencia cubos de cubos
A = (a − b)·(a − b) − (a − b)·c
x6 − y6 = [(x + y)(x2 − xy + y2)][(x − y)(x2 + xy + y2)] x6 − y6 = (x + y)(x2 − xy + y2)(x − y)(x2 + xy + y2)
15
2 −4 22 + b32 − ac + bc A=a ab44 14
3 3 3 3 x6 − y6 = x + y x − y
∴
Diferencia de cuadrados
E = (a − b)(a − c)(2a + b + c) Rpta.: C
y j e14j42− e44 3
x6 − y6 = x 3
2 c2)(a − b) − c) + (a 12 4 −4 3
Diferencia de cuadrados
10
E = ac + ad − acd − bc − bd + bcd
14
b2)(a
A = (a − b)((a − b)−c) ∴
Un factor será: x2 + xy +y2 Rpta.: D
- 64 -
A = (a − b)(a − b − c)
Rpta.: D
Segundo Año de Secundaria
Resolución
Resolución
16
Q(x) = ab(x2 + y2) + xy(a2 + b2)
B = a2b2c2 + ab2c + abc2 + bc B=
a2b2c2
+
abc2
+
ab2c
Q(x) = abx2 + aby2 + xya2 + xyb2
+ bc
B = abc2(ab + 1)+bc(ab + 1)
Q(x) = abx2 + xya2 + aby2 + xyb2
B = (ab + 1)(abc2 + bc)
Q(x) = ax(bx + ay)+ by(ay + bx)
B = (ab + 1)(bc(ac + 1))
Q(x) = (bx + ay)(ax + by) ∴
B = bc(ac + 1)(ab + 1) ∴
Un factor primo binomio será: ac + 1
Un factor primo es: ax + by
Resolución
17 4a4b3
2a2b5
Trinomio cuadrado perfecto 2a2b(a2 − b2)2
Diferencia de cuadrados
P = 2a2b((a + b)(a − b))2
Resolución
18
P = (2ab)2 − (a2 + b2 − c2)2 P = ((2ab) + (a2 + b2 − c2))(2ab − (a2 + b2 − c2)) P = (2ab + a2 + b2 − c2 )(2ab − a2 − b2 + c2) 2 + 2ab + b2 − c2)(c2 − (a2 − (a2 − 2ab + b2)) P = (a1 4243 14243 T.C.P
P = 2a2b(a + b)2(a − b)2 Un factor primo es: a − b
Aplicamos:
P = 4a2b2 − (a2 + b2 − c2)2
P = 2a2b((a2)2 − 2(a2)(b2) + (b2)2) 14444244443 P=
1
A2 − B2 = (A + B)(A − B)
− + P= P = 2a2b(a4 − 2a2b2 + b4) 2a6b
Rpta.: E
NIVEL II
Rpta.: D Resolución
∴
20
Rpta.: C
Empleando aspa doble:
T.C.P
P = ((a + b)2 − c2)(c2 − (a − b)2) 14243 14243 Diferencia de cuadrados
Diferencia de cuadrados
P = ((a + b)+c)((a + b)−c)(c + (a − b))(c − (a − b)) P = (a + b + c)(a + b − c)(c + a − b)(c − a + b) ∴
Un factor será: a + b + c
Resolución F=
(x4
+
x3
Rpta.: B
2 + x2 + x + 1)2 − x4 2
2
F = x4 + x3 + x2 + x + 1 − x2 1444442444443
e
Diferencia de cuadrados
Luego: x2 + 2xy + y2 − 2x − 2y − 63=(x + y + 7)(x + y − 9) ∴
j e j
Un factor será: x + y + 7
F = [(x4 + x3 + x2 + x + 1)+x2] [(x4 + x3 + x2 + x + 1)−x2]
Rpta.: C
F = [x4 + x3 + x2 + x + 1 + x2] Resolución
[x4 + x3 + x2 + x + 1 − x2]
19
F = [x4 + x3 + 2x2 + x + 1][x4 + x3 + x + 1]
P(x) = x3 + 3x2 − x − 3
F = [x4 + x3 + 2x2 + x + 1][x4 + x + x3 + 1]
P(x) = x3 − x + 3x2 - 3
F = [x4 + x3 + 2x2 + x + 1][x(x3 + 1) + (x3 + 1)]
P(x) = x(x2 − 1) + 3(x2 − 1) P(x) =
3 + 1)(x + 1)] F = [x4 + x3 + 2x2 + x + 1][(x1 23
( x 2 − 1) (x +3) 12 4 4 3
Suma de cubos
Diferencia de cuadrados
∴
P(x) = (x + 1)(x − 1)(x + 3)
F = [x4 + x3 + 2x2 + x + 1] [(x + 1)(x2 − x + 1)(x + 1)]
Rpta.: D
F = (x4 + x3 + 2x2 + x + 1)(x + 1)2(x2 − x + 1) Suma de coeficientes = 1 + 1 + 2 + 1 + 1
∴ - 65 -
Suma de coeficientes de uno de los factores es: 6 Rpta.: A
Manuel Coveñas Naquiche
Resolución
2 − z2) M = (a + y)(x2 + z2)(x123
3
Diferencia de cuadrados
P = abx2 − (a2 + b2)x + ab P = abx2 − a2x − b2x + ab abx2
P=
−
b2x
−(a2x
M = (a + y)(x2 + z2)(x + z)(x − z)
− ab)
∴
P = bx(ax − b) − a(ax − b) P = (ax − b)(bx − a) ∴
Resolución
Un factor será: ax − b
Resolución
Rpta.: B
N = x2(x + y2) + z(x + y2) N = (x + y2)(x2 + z) ∴
Q = (x3 + y3)(x4 − y4)
2 − y2) Q = (x + y)(x2 − xy + y2)(x2 + y2)(x123
8
P = [(4x + 1)(3x + 1)]·[(12x + 1)(2x + 1)] − 36
Diferencia de cuadrados
P = [12x2 + 7x + 1][24x2 + 14x + 1] − 36
Q = (x + y)(x2 − xy + y2)(x2 + y2)(x + y)(x − y) 2
Rpta.: C
Agrupamos la expresión convenientemente y resolvemos:
Suma de Diferencia de cuadrados cubos
ge
Un factor es: x + y2
Resolución
3 2)2 − (y2)2) y3)((x Q = (x 14 243 12 4 +4 3
jb
je
P = [(12x2 + 7x) + 1][2(12x2 + 7x) + 1] − 36 12x2 + 7x = a
Reemplazamos:
g
Q = x + y x 2 − xy + y 2 x 2 + y 2 x − y 14444444244444443
P = [a + 1][2a + 1] − 36
Factores primos
P = 2a2 + 3a + 1 − 36
Número de factores primos = 4
Resolución
7
N = x3 + x2y2 + xz + y2z
4
Q = x4(x3 + y3) − y4(x3 + y3)
∴
Rpta.: C
Agrupamos convenientemente:
Q = x7 + y3x4 − y4x3 − y7
b
Un factor primo es: a + y
Rpta.: C
P = 2a2 + 3a − 35 Aplicamos el “método del Aspa”:
5
R = a2b − ab2 + b2c − bc2 − a2c + ac2 Agrupamos convenientemente: R = (a2b + b2c) − (bc2 + a2c) − (ab2 − ac2) R = b(a2 + bc) − c(bc + a2) − a(b2 − c2) Diferencia de cuadrados
R = (a2 + bc)(b − c) − a(b + c)(b − c) R=
((a2
+ bc) − a(b + c))(b − c)
R = (a2 + bc − ab − ac)(b − c) R = (bc − ac − ab + a2)(b − c) R = (c(b − a) − a(b − a))(b − c)
P = (2a − 7)(a + 5) Pero: a = 12x2 + 7x P = (2(12x2 + 7x)−7)(12x2 + 7x + 5) P = (24x2 + 14x − 7)(12x2 + 7x + 5)
R = ((b − a)(c − a)(b − c) ∴
Coeficientes = 12; 7; 5
Un factor es: b − a
Resolución M=
x4a
Rpta.: E
6 +
x4y
−
z4a
−
z4y
Luego: Producto de coeficientes = 12× 7× 5 ∴
M = x4a + x4y − (z4a + z4y) M = x4(a + y) − z4(a + y) M = (a + y)(x4 − z4) M = (a + y)((x2)2 − (z2)2) 14243 Diferencia de cuadrados
- 66 -
Producto de = 420 coeficientes
Rpta.: B
Segundo Año de Secundaria
Resolución
9
e
Aplicamos la factorización por suma y resta. *
a =a
*
4 =2
4
2
U| V| W
2
j b g
2
= 3 x2 + 2 y2 − 2 xy 1444424444 3 Diferencia de cuadrados
El doble producto de las raíces halladas será:
= ((3x2 + 2y2) + (2xy))(3x2 + 2y2) − 2xy)) = (3x2 + 2xy + 2y2)(3x2 − 2xy + 2y2)
2(a2)(2) = 4a2
Producto de
Luego:
coeficientes : 3 × 2 × 2
+442a44 +3 4 − 4a a +4 = a 14 4
4
2
2
2
2
j b g
a 4 + 4 = a2 + 2 − 2 a 144 42444 3
e
Pr oducto de coeficientes = 12
∴
T.C.P
Resolución
P = (x − 1)(x − 4)(x − 2)(x − 3) − 15 14 4244 3 14 4244 3 P = (x2 − 5x + 4)(x2 − 5x + 6) − 15
a4 + 4 = ((a2 + 2)+(2a))((a2 + 2) − (2a)) a4 + 4 = (a2 + 2a + 2)(a2 − 2a + 2)
Hacemos:
Suma de
Resolución
a = x2 − 5x
P = (a + 4)(a + 6) − 15 14 4244 3
à
coeficientes : 1 + 2 + 2
Suma de coeficientes de un factor primo =5
12
P = (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4) − 15
Diferencia de cuadrados
∴
Rpta.: D
P = (a2 + 10a + 24) − 15
Rpta.: D
P = a2 + 10a + 9 Por el método del Aspa:
10
A = (x2 − 1)(x + 2)(x + 3) + (x2 - 1)(x + 4) + 1 − x2 A = (x2 − 1)(x + 2)(x + 3) + (x2 − 1)(x + 4) + [(−(x2 − 1)] A = (x2 − 1)(x + 2)(x + 3) + (x2 − 1)(x + 4) − (x2 − 1) A = (x2 − 1)[(x + 2)(x + 3) + (x + 4) − 1] A = (x2 − 1)[(x + 2)(x + 3) + x + 4 − 1] A=
à
P = (a + 9)(a + 1)
Si : a = x2 − 5x
x − 1j b x + 2 gb x + 3 g + b x + 3 g e12 4 4 3 2
Diferencia de cuadrados
à
P = (x2 − 5x + 9)(x2 − 5x + 1)
∴
Un factor es: x2 − 5x + 1
Rpta.: A
A = (x + 1)(x − 1)[(x + 3)((x + 2)+ 1)] A = (x + 1)(x − 1)[(x + 3)(x + 3)]
Resolución
A = (x +1)(x − 1)(x + 3)2
Aplicando: método de los divisores binomios.
∴
Factor primo que se repite es: x+3
Resolución
13
Sea: x3 + 5x2 − 33x + 27 Los posibles valores que anulan el polinomio serán:
Rpta.: E
•
27 à divisores de 27: ±1; ± 3; ± 9; ± 27
• 1
11
à divisores de 1: ±1
Los posibles valores serán: ±1; ± 3; ± 9; ± 27
Aplicamos la factorización por suma y resta.
− Probando con x = 1
9 x4 = 3 x2
x3 + 5x2 − 33x + 27 = (1)3 + 5(1)2 − 33(1) + 27
4 y 4 = 2 y2
= 1 + 5 − 33 + 27 = 0
El doble del producto de las raíces halladas será: 2(3x2)(2y2) = 12x2y2
∴
Luego:
Dividimos:
9x4 + 8x2y2 + 4y4 + 12x2y2 − 12x2y2 =
Aplicando Ruffini:
= 9 x 4 + 12 x 2 y 2 + 4 y 4 − 4 x 2 y 2 144424443 T.C.P
- 67 -
(x − 1) sí es factor del polinomio. (x3 + 5x2 − 33x + 27):(x − 1)
Manuel Coveñas Naquiche
E = ((x + 3) +y)((x + 3) − y) E = (x + y + 3)(x − y + 3) ∴
Un factor primo es: (x − y + 3) Rpta.: A
Resolución Sabemos que: dividendo = divisor × cociente à x3 + 5x2 − 33x + 27 = (x2 + 6x − 27)(x − 1) à
à
x
+9
x
−3
x3 + 5x2 − 33x + 27 = (x + 9)(x − 3)(x − 1) Suma de factores primos = (x +9)+(x − 3)+(x − 1) ∴
Suma de = 3x + 5 factores primos
Resolución Q(x) =
x4
+
Rpta.: A
17
Aplicamos: “Diferencia de cubos” E = (x − 2)3 −53 E = [(x − 2)−5][(x − 2)2 + (x − 2)(5) + 52] E = [x − 7][(x2 − 4x + 4) + 5x − 10 + 25] E = (x − 7)(x2 + x + 19) Luego: Suma de factores = (x − 7)+(x2 + x + 19) primos ∴
Suma de factores = x2 + 2x + 12 primos
Rpta.: A
14 4x3
Resolución
− 7x2 − 34x − 24
Q(x) = x4 + 4x3 − (7x2 + 34x + 24)
18
Aplicamos: Aspa doble Completamos el polinomio: M = 2x2 − 3xy + y2 + x − y + 0
Q(x) = x4 + 4x3 − (7x + 6)(x + 4) Comprobación
Q(x) = x3(x +4) − (7x + 6)(x + 4) Q(x) = (x + 4)(x3 − (7x + 6)) Q(x) = (x + 4)(x3 − 7x − 6) ∴
El factor primo binomio es: x + 4 Rpta.: D
Resolución
Luego:
15
P(x; y) = (x − y)2 + (x − y) + (x2 − y2) Diferencia de cuadraP(x; y) = (x − y)2 + (x − y) +dos (x + y)(x − y)
M = (2x − y + 1)(x − y) ∴
Resolución
P(x; y) = (x − y)[(x − y) + 1 + (x + y)] P(x; y) = (x − y)[2x + 1] ∴
19
Aplicamos:
= (a + b)(a2 − ab + b2)
T = (2a + 3b)((a2 + 2ab + b2) − (a2 + 3ab + 2b2) + (a2 + 4ab + 4b2))
Agrupamos convenientemente: E = x + 6x + 9 − y 14 4244 3
e
+
b3
− (a + b)(a + 2b) + (a + 2b)2)
Rpta.: B
16
2
a3
Rpta.: B
T = ((a + b)+(a + 2b)((a + b)2
Un factor es: (2x + 1)
Resolución
Un factor es: (2x − y + 1)
j
T = (2a + 3b)(a2 + 2ab + b2 − a2 − 3ab − 2b2
2
T.C.P
E = (x + 3)2 − y2
+ a2 + 4ab + 4b2) T = (2a+ 3b)(a2 + 3ab + 3b2) ∴
Diferencia de cuadrados
- 68 -
Un factor es: (a2 + 3b2 + 3ab)
Rpta.: A
Segundo Año de Secundaria
Resolución
20
Q = (x + y)(yz(2y − z))
Factorizando:
Q = 2xy2z − xyz2 + 2y3z − y2z2 Q = 2y2z(x + y) − yz2(x + y)
Q = yz(x + y)(2y − z) Suma de factores será: (x + y)+y + z + (2y − z) =
Q = (x+ y)(2y2z − yz2)
= x + y + y + z + 2y − z = x + 4y
Rpta.: D
CAPÍTULO N° 6 ECUACIONES Y SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO (EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO). Pág.(268, 269, 270, 271, 272)
NIVEL I Resolución
I)
III)
1
− 5g = x b1x 4+452gb x44 3
2
+ 10 x
Diferencia de cuadrados
IV) (x + 3)(x − 3) = x2 − 9 x2 − 9 ≡ x2 − 9 Es una identidad, pues se verifica para cualquier valor de x.
Esta igualdad NO es una identidad; pues no se verifica para cualquier valor de x.
III)
x(x + 6) = x2 + 6x x2 + 6x ≡ x2 + 6x
∴
Es una identidad, pues se verifica para cualquier valor de x
Resolución
3x − 5 = 2x + 8 Esta igualdad NO es una identidad, pues no se verifica para cualquier valor de x
IV) (a + 1)2 = a2 + 2a + 1 a2 + 2a + 1 ≡ a2 + 2a + 1 Es una identidad,pues se verifica para cualquier valor de x ∴
Son identidades II y IV
Resolución I)
x2
+ 6x ≡
Rpta.: C
2 x2
+ 6x
Es una identidad, pues se verifica para cualquier valor de x. II)
x = −5
Es una ecuación, pues solo se verifica para x = −5
x2 − 25 = x2 + 10x
II)
Desarrollando: 2x − 6 = 4x + 4 −6 − 4 = 4x − 2x −10 = 2x →
Desarrollando: (x + 3)(x +5) = x2 + 8x +15 x2 + 8x + 15 ≡ x2 + 8x +15 Es una identidad, pues se verifica para cualquier valor de x.
Es una ecuación: sólo III
Rpta. C
3
A) Efectuando y trasponiendo términos: 2x + 6 = x − 7 2x − x = − 7 − 6 x = −13 à Raíz de la ecuación es: −13 B) Efectuando y trasponiendo términos: 3x − 15 = 4x − 40 −15 + 40 = 4x − 3x 25 = x à Raíz de la ecuación es: 25 C ) Efectuando y trasponiendo términos: 5x + 20 = 2x + 17 5x − 2x = 17 − 20 3x = −3 x = −1 à Raíz de la ecuación es: −1 D) Efectuando y trasponiendo términos: 5x − 15 = 4x − 7 5x − 4x = −7 + 15 x=8 à Raíz de la ecuación es: 8
- 69 -
Manuel Coveñas Naquiche
E) Efectuando y trasponiendo términos: 4x + 28 = 2x − 10 4x − 2x = −10 − 28 2x = −38 x = −19 à
IX) 6x(7 − x) = 36 − 2x(3x − 15) 42x − 6x2 = 36 − 6x2 + 30x 42x = 36 + 30x 42x − 30x = 36 12x = 36
Raíz de la ecuaciónes: −19
x=
Rpta.: D Resolución
X)
4
•
Trasponiendo términos:
I)
3x − 12 = 0 3x = 12 X=
12 3
x=4
Rpta.
→
x=0
Rpta.
4x = 5x 0 = 5x − 4x
III)
2(x − 1) = 3x + 8 2x − 2 = 3x + 8 − 2 − 8 = 3x − 2x −10 = x
b
g
8=x II)
Rpta
3 x x−2 x− = 4 3 2
b
m.c.m = 12
9x − 4 x 6 x − 2 = 12 12 x=
7 3
g
5x = 6x − 12 12 = 6x − 5x
Rpta.
12 = x
VI) 4 − 8x = 7 − 6x 4 − 7 = − 6x + 8x x=−
→
3 2
Rpta.
III)
VII) (x − 3)(x + 5) = x(x + 3) x2 + 2x − 15 = x2 + 3x 2x − 15 = 3x −15 = 3x − 2x −15 = x
5 x = 2 x +1 3
m.c.m = 3
3
3 8x = 6x + 6 8x − 6x = 6 2x = 6
Rpta.
VIII) (2x + 3)2 = x(2x - 1)+2x(x + 3) 4x2 + 12x + 9 = 2x2 − x + 2x2 + 6x
IV)
4x2 + 12x + 9 = 4x2 + 5x
6 2
→ x=3
9+ x 8 − x x +1 − = +x−2 2 3 2
b
g b
Rpta. m.c.m = 6
g b g
3 9+x −2 8−x 3 x + 1 + 6 x − 12 = 6 6
12x + 9 = 5x 12x − 5x = −9
27 + 3x − 16 + 2x 11 + 5x 11 + 9 20
7x = −9 9 7
Rpta
b g 3 x + 5 x 6 b x + 1g =
x+
x=
x=−
m.c.m = 4
2x + x = 4(x − 2) 3x = 4x − 8 8 = 4x − 3x
9x − 8 = 3(x + 2) 9x − 8 = 3x + 6 9x − 3x = 6 + 8 6x = 14
−3 = 2x
Rpta.
5
x x + = x−2 2 4
Rpta.
→
→ x = −5
2x + x 4 x − 2 = 4 4
Rpta.
14 6
10 =x 2
Resolución I)
x = 15
X=
Rpta.
4x(x − 7) = 2x(2x − 13) + 10
−
IV) 4(x − 3) − 2 = 1 + 3x 4x − 12 − 2 = 1 + 3x 4x − 14 = 1 + 3x 4x − 3x = 1 + 14 V)
→ x=3
4x2 − 28x = 4x2 − 26x + 10 −28x = −26x + 10 −10 = −26x + 28x −10 = 2x
→
II)
36 12
Rpta.
= = = =
3x + 3 + 6x − 12 9x − 9 9x − 5x 4x
20 = x → x = 5 Rpta. 4 - 70 -
Segundo Año de Secundaria
V)
3 1 5 x+9 + x − 11 = x+2 5 10 3
b
g
b
g b
g
IV)
x2 −3 = x+3 x−3
m.c.m = 30
b
g b
g
b
x2 = x+3+3 x−3
g
18 x + 9 + 3 x − 11 50 x + 2 = 30 30 18x + 162 + 3x − 33 = 50x + 100 21x + 129 = 50x + 100 129 − 100 = 50x − 21x 29 = 29x
x2 = x+6 x−3 x2 = (x + 6)(x − 3) x2 = x2 + 3x − 18 0 = 3x − 18 18 = 3x
29 =x 29 x=1 Resolución i)
Rpta.
18 =x 3
6
1 2 5 + = x − 1 x x2 − x
V)
→
x=6
1 1 3x − 1 m.c.m. = 2x(2x2 + 1) + = x 2 x 2 x2 + 1
2 2 x2 + 1 + 2 x2 + 1
e
Factorizamos y luego hallamos m.c.m.
Rpta.
j
2 x 2 x2 + 1
e
1 2 5 + = x −1 x x x −1
b g
j
=
b e
g j
2 x 3x − 1
2 x 2 x2 + 1
4x2 + 2 + 2x2 + 1 = 6x2 − 2x 6x2 + 3 = 6x2 − 2x
m.c.m. = x(x − 1)
b g b g b g
x + 2 x −1 5 = x x −1 x x −1
3 = −2x
→ x=−
Rpta.
x + 2x − 2 = 5 3x = 5 + 2 →
3x = 7
ii)
1 2 = x −1 x + 3
x=
7 3
Rpta.
m.c.m. = (x − 1)(x + 3)
Resolución i)
7
a(x + 1) − b(x − 1) = a + b + 1 ax + a − bx + b
b g g b gb g
2 x −1 x+3 = x −1 x + 3 x −1 x + 3
b gb
= 1
x(a − b)
= 1
iii)
1 x= a−b
Rpta.
ii)
mx − n =
m − n2x n
1− x 5 8 − x + = x x x+3
mx + n2x =
1− x + 5 8 − x = x x+3
x m + n2 =
e
6−x 8−x = x x+3 (6 − x)(x + 3) = (8 − x)x 6x + 18 − x2 − 3x = 8x − x2 3x + 18 = 8x 18 = 8x − 3x 18 = 5x 18 =x 5
j
m +n n m + n2 n
m + n2 n x= m + n2 x=
Rpta.
- 71 -
= a+b+1
ax − bx
x + 3 = 2x − 2 3 + 2 = 2x − x 5=x
3 2
1 n
Rpta.
Manuel Coveñas Naquiche
iii)
Reemplazamos (I) en (II), obteniendo:
a ax − b −x= b b
100x + 50(24 − x) = 1950 100x +1200 − 50x = 1950 50x = 1950 − 1200 50x = 750
a − bx ax − b = b b a − bx = ax − b a + b = ax + bx a + b = x(a + b)
x=
a+b =x a+b
∴
1=x iv)
Rpta
b g
a + bx + x a − 1 a − x +1 = a −1 a −1 a + bx + ax − x = a − x + 1 bx + ax − x + x = a + 1 − a x(a + b) = 1 1 a+b
x= v)
b
g
ax b x − b − =a b a
b
y(Menor) à
x + y = 240 ......... (I)
• Recuerde que: Dividendo = divisor × cociente + resto. Según el enunciado del problema: à
x = 3y + 8 ........ (II)
Reemplazando (II) en (I), obtenemos: (3y + 8) + y = 240 4y + 8 = 240
g
4y = 240 − 8 4y = 232
a2x − b2x + b3 = a2b x(a2 − b2) = a2b − b3 x(a2 − b2) = b(a2 − b2) b a −b
e ea
x=b Resolución
2
2
j −b j
Rpta
*
Sea:
−
Cantidad de billetes de S/. 100 = x
−
Cantidad de billetes de S/. 50 = y
à
x + y = 24 y = 24 − x .......... (I)
* − à
Tengo: S/.100x
* −
Si tengo:
à
Tengo: S/. 50 y
y=
“x” billetes deS/. 100
232 4
→
y = 58
Reemplazamos el valor y = 58 en (I) à
x + 58 = 240 x = 240 − 58
2
8
Si tengo:
9
Sean los números: x(Mayor) , e
a2x − b2 x − b a 2b = ab ab
x=
Rpta.: C
x = y·3 + 8 Rpta
m.c.m = ab
2
→ x = 15
Billetes de S/. 100 = 15
Resolución
a + bx a − x + 1 m.c.m. = a − 1 +x = a −1 a −1
750 50
x = 182 ∴
El número mayor es: 182
Resolución •
10
Rpta.: A
Si:
Parte mayor = x Según el enunciado del problema:
•
Parte intermedia =
•
Parte menor = x+
Luego: x+
“y” billetes de S/. 50
FG H
1 9 x 9 20
9 1 x+ x = 90 20 20
30 x = 90 20
S/. 100x + S/. 50y = S/. 1950 100x + 50y = 1950 ......... (II) - 72 -
FG H
IJ K IJ K
9 1 9 x+ x = 90 20 9 20
20 x + 9 x + x = 90 20
Según el enunciado del problema:
9 x 20
Segundo Año de Secundaria
Reemplazamos (II) en (I), obteniendo:
3
90 · 20 x= 30
→
(18 + y) + y = 40 18 + 2y = 40 2y = 40 - 18 2y = 22
x = 60
1
Parte intermedia =
1
∴
FG IJ H K
9 9 3 x= 60 20 20
Parte intermedia = 27
y=
Rpta.: B ∴
Resolución
11
Si:
Rpta.: C
13
x + y = 54
Sean x(mayor) e y(menor), las dos partes en que se divide 32.
x = 54 − y ......... (I)
à
− La quinta parte del mayor =
x + y = 32 ..................................... (I)
Sabemos que:
1 x 5
Dividendo = Divisor × Cociente + residuo Según el enunciado del problema tenemos:
1 − La cuarta parte del menor = y 4
x = 5y + 2 ...................................... (II) Reemplazando (II) en (I) , obtenemos: (5y + 2) + y = 32
Según el enunciado el problema:
6y + 2 = 32
1 1 x= y 5 4
6y = 32 − 2 6y = 30
4x = 5y ......................................... (II)
y=
Reemplazando (I) en (II) obtenemos: 4(54 − y) = 5y 216 − 4y = 5y 216 = 5y + 4y 216 = 9y 216 =y 9 ∴
→ y = 11
El número menor es 11
Resolución
Sean los números: x(mayor) e y(menor) à
22 2
→
→
y=5
Reemplazamos el valor: y = 5 en (II) x = 5(5) + 2 x = 25 + 2 → x = 27 ∴
y = 24
El triple del menor = 3y = 3(24) = 72
30 6
Rpta.: B
Una de las partes será 27
Resolución
14
Rpta.: D
Si:
x = n° de manzanas de José Resolución
12
y = n° de manzanas de Antonio
Sean los números: x(mayor) e y(menor)
à
Según el enunciado del problema:
Donde: x = 45 − y ........ (I)
*
4 x + y = 32 5
b
g
8
x+y =
32 · 5 4 1
Luego: −
Si Antonio da a José 5 manzanas:
•
José tendrá: x + 5
•
Antonio tendrá: y - 5
Según el enunciado del problema: x + 5 = 2(y − 5) ....... (II)
x + y = 40 ...................................... (I) *
10 x − y = 20 9
b
g
2
x−y =
20· 9 10 1
x − y = 18
x + y = 45
Reemplazando (I) en (II), obtenemos: (45 − y) + 5 = 2(y − 5) 50 − y = 2y − 10 50 + 10 = 2y + y 60 = 3y → y = 20 ∴
x = 18 + y ......... (II)
- 73 -
Antonio tiene 20 manzanas Rpta.: B
Manuel Coveñas Naquiche
Resolución
15
Resolución
Sean: x e y los números. à
17
Sean: x(mayor) e y(menor) los números:
x + y = 10 x = 10 − y ....................................... (I)
Luego: la mitad de un número =
1 x 2
Según el enunciado del problema: x = 13 y
→
x − y = 180
También :
Según el enunciado del problema:
(13y) − y = 180
x y = 2 3
12y = 180
3x = 2y .......................................... (II) Reemplazando (I) en (II), obtenemos: 3(10 − y) = 2y 30 = 2y + 3y →
30 = 5y
y = 15 Como: x = 13y → x = 13(15) x = 195 ∴
30 − 3y = 2y y=6
Reemplazamos el valor y = 6 en (I) à
x = 10 − 6
∴
Dichos números son: 4 y 6 Rpta.: A
→
x=4
Resolución
Rpta.: C
18
Sean los números: x(mayor)e y(menor) à
x − y = 35 x = 35 + y ............................... (I)
16
à
y La mitad del segundo = 2
à
x El tercero del primero = 3
y 2
Según el enunciado del problema, tenemos:
Sean x e y los números:
x−
y = 65 2
2x − y = 65 2 2x − y = 130 ...................................... (ΙΙ)
Según el enunciado del problema:
Reemplazando (I) en (II), obtenemos:
y + x = 10 2
2(35 + y) − y = 130 70 + 2y − y = 130
y + 2x = 10 2
•
El número mayor es 195
Luego: la mitad del número menor =
Resolución
•
x = 13y
à
1 La tercera parte del otro = y 3
x >1 y
à
como: x > y
70 + y = 130
y + 2x = 20 ....... (I)
y = 130 − 70
x + y = 10 3
y = 60 Reemplazamos el valor y = 60 en (I)
x + 3y = 10 3
x = 35 + 60 ∴
→
x = 95
Los números son: 60 y 95
Rpta.: C
x + 3y = 30 x = 30 − 3y .................................... (II) Reemplazando (II) en (I), obtenemos: y + 2(30 − 3y) = 20 y + 60 − 6y = 20 60 − 20 = 6y − y 40 = 5y
Resolución
Sean los números: x(mayor) e y(menor) como: x > y
à
x >1 y
Según el enunciado del problema:
y=8 ∴
19
x = 12 y
Uno de los números es 8 Rpta.: B
- 74 -
→
x = 12y
Segundo Año de Secundaria
También:
x + y = 169
→
3y = 60
à
Como: x = 2y à
(12y) + y = 169
∴
y = 13 El número menor es 13
Los números son: 40 y 20
20
Sean:
y: menor parte
1° hijo recibe : x
•
2° hijo recibe: y
à
x + y = 1200 ................................... (I)
à
Del enunciado, se plantea la ecuación:
x + y = 260 x = 260 − y ......................................(I)
Luego:
2x − y = 300
•
2x − 300 = y .................................. (II)
•
Doble de la mayor parte = 2x Triple de la menor parte = 3x Sabemos que:
Reemplazando (II) en (I), obtenemos:
Dividendo = divisor × cociente + resto
x + (2x − 300) = 1200
Según el enunciado del problema, tenemos:
3x − 300 = 1200
2x = (3y)·(2) + 40
3x = 1200 + 300
2x = 6y + 40 ...................................(II)
3x = 1500
Reemplazando (I) en (II), obtenemos:
x = 500
2(260 − y) = 6y + 40
Reemplazamos el valor x = 500 en (II)
520 − 2y = 6y + 40
2(500) − 300 = y
520 − 40 = 6y + 2y
1000 − 300 = y
480 = 8y
y = 700 Cada uno recibe: S/. 500 y S/. 700
y = 60 Reemplazando el valor y = 60 en (I) :
Rpta.: A Resolución
22
x: mayor parte
Según el problema:
•
∴
Rpta.: C
Rpta.: B Resolución
Resolución
x = 2(20) x = 40
13y = 169 ∴
y = 20
x = 260 − 60 ∴
21
→
x = 200
Una de las partes es 200
Rpta.: C
Sean: x e y los números: Resolución
2
x 10 = y 5
Donde:
Edad de Sergio = y →
x = 2y
Según el problema se plantea la ecuación 1
x − 20 5 = y + 20 10
Según el enunciado del problema, se plantean las siguientes ecuaciones: •
2x − y = 14 ..................................... (I)
•
y = x − 13 5 y = 5(x − 13)
2
x − 20 1 = y + 20 2
y = 5x − 65 ................................... (II) Reemplazamos, (II) en (I), obteniendo: 2x − (5x − 65) = 14
2(x − 20) = y + 20
−3x + 65 = 14
2x − 40 = y + 20
65 − 14 = 3x
2x − y = 20 + 40 2(2y)−y = 60 4y − y = 60
Si:
Edad de Ángela = x
1
x =2 y
23
51 = 3x ∴
→ x = 17
La edad de Ángela es 17 años Rpta.: D
- 75 -
Manuel Coveñas Naquiche
Resolución
ΙV) −3(x − 2) + 2(x –1) = 4(x + 6)
24
−3x + 6 + 2x − 2 = 4x + 24
Sean los números: x(mayor) y(menor)
6 − 2 − 24 = 4x + 3x − 2x −20 = 5x
Según el enunciado del problema se plantean las siguientes ecuaciones: •
x − 2y = 1 x = 1 + 2y ...................................... (I)
•
2x − y = 23 .................................... (II)
Reemplazando (I) en (II) obtenemos: 2(1 + 2y) − y = 23 2 + 4y − y = 23 2 + 3y = 23 3y = 23 − 2 3y = 21 → y=7 Reemplazamos el valor y = 7 en(I): x = 1 + 2(7) x = 1 + 14 → x = 15 ∴
x + y = 15 + 7 = 22
−4 = x
x=3
Rpta
VΙ) x 2 + 2 = 4 − x x 2 +x = 4−2
Rpta.: C
2 +1 = 2
e
j
2 2 +1
x=
1
Racionalizando:
Efectuando:
= (49x2 − 112x + 64)
2
x=
(25x2 + 30x + 9) + (24x2 − 83x − 240) 49x2 − 53x − 231 = 49x2 − 112x + 64 −53x − 231 = –112x + 64
j
2 +1
e
=
2
e
2 −1
j
2
2 −1
2
2 −1
−53x + 112x = 64 + 231
x=2
59x = 295 Rpta
16x2 − 40 + ((7)2 − (4x)2) = 6x − 15 16x2 − 40 + 49 − 16x2 = 6x − 15 9 = 6x − 15 9 + 15 = 6x 24 = 6x
e
2 −1
j
2
VΙΙ) x 2 − 1 +
e
2
Rpta 2 +x
j e
e2x
+4 4x)(7 −3 4x) = 6x − 15 ΙΙ) 8(2x2 − 5) + (7 14 244
2
j =e
3x − 2
j e
= 3 x − 4 3x + 4 2 x − 2 2 x + 1+ 2 + 2 2 x + x2 2
= 3 x2 − 4 3 x + 4 3 x 2 + 3 = 3 x2 − 4 3 x + 4 3 = –4 3 x + 4 4 3x=4−3
ΙΙΙ) (14x + 15)(14x − 15) = (14x − 5)2 + 30
4 3x=1
(14x)2 − (15)2 = ((14x)2 − 140x + 25) +30 (14x)2 − 225 = (14x)2 − 140x + 55
x=
−225 = −140x + 55
1 4 3
Racionalizando:
140x = 280
x=
1 · 4 3
x=
3 12
Rpta
- 76 -
2
j
− 2 2 x + 1 + 2 + 2 2 x + x2 2
x = 4 Rpta
140x = 55 + 225
2 −1
e
je 2 − 1j 2 e 2 − 1j x=
=49x2 − 112x + 64
295 x= → x=5 59
2 −1 2 −1
2 · 2 +1
x=
(25x2 + 30x + 9) + (24x2 − 128x + 45x − 240)
x=2
15 5
x=
x
Ι)
Rpta
V) 3(x − 3) + 2(3x − 1) − 4(x + 1) = 0 3x − 9 + 6x − 2 − 4x − 4 = 0 5x − 15 = 0 5x = 15
NIVEL II Resolución
20 =x 5
−
3 3 = 3 4· 3
Rpta
j
Segundo Año de Secundaria
VΙΙΙ) 0,25x − 0,2x = 1
Resolución
0,05x = 1 Multiplicamos por 100 a ambos miembros de la igualdad.
Ι)
100×(0,05x) = 1·100
b g b
x = 20
Rpta à
32 x − 18 x = 2
ΙΙ)
2x = 2
2 · 2
à
2 2
ΙΙΙ)
2
e 5j
j
3 − 2 =1
j
ΙV)
x=
3+ 2 3+ 2
à
j
=
3+ 2 2
3 − 2
3+ 2 3−2 x= 3+ 2
g b
g
Rpta
x + 2 x −1 − +1= 0 9 3
; m.c.m = 9
b g
3+ 2
je
; m.c.m = 36
x + 2 − 3 x −1 + 9 =0 9
Racionalizando:
e
x x+2 x+3 + − =3 3 4 9
x=6
1 3− 2
3+ 2
Rpta
12x + 9x + 18 − 4x − 12 = 108 17x + 6 = 108 17x = 108 − 6 17x = 102
3x − 2x = 5
3− 2
30
b
5 3x − 5 2x = 5
1 × 3− 2
30
12 x + 9 x + 2 − 4 x + 3 108 = 36 36
25 · 3 x − 25 · 2 x = 5
x=
x−3 3
m.c.m. = 30 b g 15b x − 5 g −48 + 10b x − 3 g =
x = −3/5 Rpta.
25 · 3 x − 25 · 2 x = 5
x=
g
15x − 75 = − 48 + 10x − 30 15x − 10x = − 78 + 75 5x = − 3
2 2 2
75 x − 50 x =
x=
b
0, 5 x − 5 = −1, 6 +
Rpta
5 16 x − 3 x−5 = − + 10 10 3
2 2
x= 2
e xe
3(x + 1)−5(x − 3) = 0
La ecuación se puede escribir de la siguiente manera:
Racionalizando: x =
5
g
18 = 2x → x = 9
4 2 x − 3 2x = 2
X)
m.c.m. = 30
−2x + 18 = 0
16 · 2 x − 9 · 2 x = 2
x=
;
3x + 3 − 5x + 15 = 0
16 · 2 x − 9 · 2 x = 2
x=
x +1 x − 3 − =0 10 6
3 x +1 − 5 x − 3 =0 30
5x = 100
ΙX)
2
2
x + 2 − 3x + 3 + 9 = 0 −2x + 14 = 0 14 = 2x x=7
V)
Rpta
x x −1 x +1 + − =1 2 3 4
; m.c.m. = 12
b g b g
6x + 4 x − 1 − 3 x + 1 =1 12
Rpta
6x + 4x − 4 −3x − 3 = 12 7x − 7 = 12 7x = 12 + 7 7x = 19 x = 19/7
- 77 -
Rpta
Manuel Coveñas Naquiche
VΙ)
1 1 ( x − 5 ) − ( x − 2) = 3 ( x − 1) ; m.c.m = 6 2 3
b
g b
g
3 x−5 −2 x−2 = 3x − 3 6
Resolución Ι)
3x − 15 − 2x + 4 = 6(3x − 3) x − 11 = 18x − 18 −11 + 18 = 18x − x 7 = 17x x=
VΙΙ)
7 17
8x +5x + 5 = 20 + 6x + 6 13x + 5 = 26 + 6x 13x − 6x = 26 − 5 7x = 21
Rpta
x=3 ΙΙ)
Rpta
2x 6 + 1= x+3 x+3
6x − 8 = 9x + 1 − 8 −1 = 9x – 6x −9 = 3x
1=
6 2x − x+3 x+3
x = −3
1=
6 − 2x x+3
2
−x−4 =
b
3x + 6 4
x + 3 = 6 − 2x x + 2x = 6 − 3
m.c.m. = 4
g
2 3 x + 10 − 4 x − 16 3 x + 6 = 4 4
3x = 3
6x + 20 − 4x − 16 = 3x + 6 2x + 4 = 3x + 6 4 − 6 = 3x − 2x −2=x
ΙΙΙ)
g
b
13x − 12x = 6 + 1 x=7
10x + 2 = 11x + 5 2 − 5 = 11x − 10x
ΙV)
Rpta
b
5 1 11x − 1 − = 3x − 1 5x − 7 15x2 − 26x + 7
(3x − 1)(5x − 7 )
25x − 35 − 3x + 1
g
15x2 − 26x + 7
=
=
11x − 1 15x − 26x + 7 2
11x − 1 15x2 − 26x + 7
22x − 34 = 11x − 1 22x − 11x = − 1 + 34 11x = 33
15x + 35 +30x − 70 = 4x + 6 45x − 35 = 4x + 6 45x − 4x = 6 + 35 41x = 41 x=1
Rpta
5 (5x − 7 ) − (3x − 1)
3x + 7 2 x + 3 m.c.m. = 10 + 3x − 7 = 2 5
g
5 4 12 x + 6 + = 2 x + 1 x − 1 2 x2 − x − 1
13x − 1 = 12x + 6
g
5 3 x + 7 + 30 x − 70 2 2 x + 3 = 10 10
Rpta
5x − 5 + 8x + 4 12 x + 6 = 2 x2 − x − 1 2 x2 − x − 1
10x + 14 − 12 = 11x + 5
b
x=1
b g b g b gb g
2 5 x + 7 − 12 3x + 5 + 8 x = 4 4
x = −3
→
5 x − 1 + 4 2x + 1 12 x + 6 = 2x + 1 x + 1 2 x2 − x − 1
Rpta
m.c.m. = 4 5x + 7 3x + 5 −3= + 2x 2 4
b
m.c.m. = 8(x + 1)
c b gh b g
b g b g
x 2 3x 1 − = + m.c.m. = 12 2 3 4 12
VΙΙΙ) 3 x + 10
X)
x 5 5 3 + = + x + 1 8 2 ( x + 1) 4
20 + 3 2 x + 1 8x + 5 x + 1 = 8 x +1 8 x +1
6x − 8 9x + 1 = 12 12
ΙX)
3
x=3
Rpta
- 78 -
Rpta
Segundo Año de Secundaria
V)
4 3 8 − = x − 2 x +1 x +1 x − 2
1
2
1 =4 x −1
1 = 4(x − 1)
4x + 4 − 3x + 6 = 8
1 = 4x − 4
x + 10 = 8 x = 8 − 10 x=−2 VΙ)
4
= b x − 1g b x − 1g
b gb g 4 b x + 1g − 3b x − 2 g 8 b x − 2gb x + 1g = b x + 1gb x − 2g
1 + 4 = 4x
Rpta 5 = 4x → x =
3x − 1 3x − 7 = x−2 x+4 (3x − 1)(x + 4) = (3x − 7)(x − 2)
b
3x2 + 12x − x − 4 = 3x2 − 6x − 7x + 14 11x − 4 = −13x + 14
x−2
2x + 3
Rpta
x 2 + 78 2 x2 − x − 6
b 2 x + 4 gb 2 x + 3g − 3b x − 2gb x − 2g = x + 78 b x − 2gb2 x + 3g 2x − x − 6 4 x + 6 x + 8 x + 12 − 3b x − 2 g x + 78 = 2
11x + 13x = 14 + 4
2
24x = 18 x=
g
3 x−2 ΙX) 2 x + 4 − =
5 4
2
2
18 24
x = 3/4
Rpta
4 x2 + 14 x + 12 − 3 x2 − 4 x + 4
e
2x − x − 6 2
VΙΙ) 5 x − 27 x − x = 1 − 6 5x + 3 x 2
26x = 78 x=3 X)
b
g b
x 5 x2 − 27 x − x2 5 x + 3 − 5 x + 3
b
x 5x + 3
g
g = −6
2 x2 − 2 x − 1 3 x2 − x = 2x 3x − 1
b
g
2 x2 − 2 x − 1 x 3 x − 1 = 2x 3x − 1
2 x2 − 2 x − 1 =x 2x
−30x2 − 5x − 3 = −6(5x2 + 3x)
2x2 − 2x − 1 = 2x2
− 5x − 3 =
-30x2
−2x − 1 = 0
− 18x
−1 = 2x
−5x + 18x = 3 13x = 3 3 x= 13 1
b x − 1g
2
1
4 4 − = 2x − 2 2x − 2
2
=
4 4 + 2x − 2 2x − 2
2
=
8 2x − 2
2
=
8 2 x −1
b x − 1g 1
b x − 1g 1
b x − 1g
1 =x 2
−
Rpta
Rpta Resolución
VΙΙΙ)
Rpta
5 x3 − 27 x 2 − 5 x 3 − 3 x 2 − 5 x − 3 = −6 5 x2 + 3 x −30x2
x2 + 78 2 x2 − x − 6
x2 + 26x = x2 + 78
m.c.m. = x(5x + 3)
j
j=
4x2 + 14x + 12 − 3x2 + 12x − 12 = x2 + 78
5 x2 − 27 x 1 − x − = −6 5x + 3 x
e
2
2 x2 − x − 6
2 x2 + 3 x − 4 x − 6
Ι)
4
6(x − 6) = 1 + (x − m)m 6x – 36 = 1 + mx − m2 6x − mx = 1 − m2 + 36 x(6 − m) = 37 − m2 x=
b g - 79 -
37 − m2 6−m
Rpta
Manuel Coveñas Naquiche
ΙΙ)
a(x + b) = a2 + b2 + b(x − a)
b 4a − a = 2 x
ax + ab = a2 + b2 + bx - ab ax − bx = a2 + b2 − ab − ab x(a − b) =
b 3a = 2 x
− 2ab + 144244 3 x(a − b) = (a − b)2 a2
b2
x=a−b
b
3
Rpta 3
g b
g
ΙΙΙ) x + a + x − a = 2x3 + 12a3 14442444 3
VΙΙ)
Suma de cubos
+ (x − a)2) = 2x3 + 12a3
x 1− x 1 − 2 = 2a 2a a
x − 1 1− x = 2 2a a
→
a2(x − 1) = (1 − x)2a
(x + a + x − a)((x + a)2 + (x − a)2 − (x + a)(x − a)) 1442443 14243 I. Legendre
Rpta
x 1 1− x − = 2 2a 2a a
((x + a)+(x − a))((x + a)2 − (x +a)(x − a)
2x3
6a b
x=
a2x − a2 = 2a − 2ax
Diferencia de cuadrados
a2x + 2ax = 2a + a2
12a3
= + (2x)(2(x2 + a2) − (x2 − a2)) = 2x3 + 12a3
x(a2 + 2a) = 2a + a2
2x(2x2 + 2a2 − x2 + a2) = 2x3 + 12a3
x=
2 a + a2 a 2 + 2a
2x(x2 + 3a2) = 2x3 + 12a3 2x3 + 6a2x = 2x3 + 12a3
VΙΙΙ)
6a2 x = 12a3 x=
4x 3 = 3− 2a + b 2
4x 6−3 = 2a + b 2
Rpta
ΙV) 4a + x + 4x2 = (2x − a)2 + a(15x − a)
FG 4 IJ x = 3 H 2a + b K 2
4a + x +4x2 = (4x2 − 4ax + a2) +15ax - a2 4a + x + 4x2 = 4x2 − 4ax + a2 +15ax − a2 4a + x +
4x2 +
11ax
4a + x = 11ax 4a = 11ax − x 4a = x(11a − 1) ΙX)
4a =x 11a − 1
Rpta
2 2 x + a ) − ( x − a ) = ( a2 + b ) (144 42444 3
− a4 − b2
4xa = (a4 + 2a2b + b2) − a4 − b2 4ax =
+
2a2b
4ax = 2a2b
+
b2
−
a4
VΙ)
ab 2
FG H
IJ K
x=
6 a + 3b 8
Rpta
x =b a
−
x=
b2 X)
2 a 2b x= 4a x=
3 2a + b · 2 4
FG 1 IJ = b H aK F a − 1IJ = b xG H a K
Identidad de Legendre
a4
x−
x=
x 1− 2
V)
Rpta
4x 3 + =3 2a + b 2
12 a 3 6a 2
x = 2a
4x2 =
→ x=1
ab a −1
Rpta
x − a x + 3b 3 a − 13b m.cm. = 6ab − = 2b 3a 6b
b
g
b
g
3 a x − a − 2b x + 3b 3a − 13b = 6 ab 6b 3 ax − 3a 2 − 2bx − 6b2 3 a − 13b = 6 ab 6b
Rpta
a b 4a + = x 2 x
3 ax − 2 bx − 3a 2 − 6b 2 =
x(3a − 2b) − b 4a a = − 2 x x
3a2
−
b 3a − 13b g6ab
6b2
6b
= (3a − 13b)a
x(3a − 2b) − 3a2 − 6b2 = 3a2 − 13ab
- 80 -
Segundo Año de Secundaria
x(3a − 2b) = 3a2 − 13ab + 3a2 + 6b2
2 x − 200 = x 3
b
300 +
x(3a − 2b) = 6a2 − 13ab + 6b2
g
b g b
g
3 300 + 2 x − 200 =x 3 900 + 2x − 400 = 3x 900 − 400 = 3x − 2x
x(3a − 2b) = (3a − 2b)(2a − 3b) x = 2a − 3b
Resolución
500 = x
Rpta
∴
Resolución
5
− Lo que tiene Jorge =
FG IJ H K
3 2 x 5 3
•
y − 2x = 1......... (I)
•
x−4 1 = y 3
3(x − 4) = 1·y
Según el enunciado del problema:
3x − 12 = y ...................................... (II)
FG IJ H K
x+
2 3 2 x+ x = 24 800 3 5 3
x+
2 2 x + x = 24 800 m.c.m. = 15 3 5
Reemplazando (II) en (I) obtenemos: (3x − 12) − 2x = 1 x − 12 = 1 x = 1 + 12 → x = 13 Reemplazando el valor x = 13 en (II) 3(13) − 12 = y
15 x + 10 x + 6 x = 24 800 15
39 − 12 = y 27 = y
31x = 24 800 15
∴
800
15 x = 24 800· 31
Luego: Jorge tiene
FG H
2 2 4000 12 000 x= 3 3 1
Jorge tiene: 8000
8
n° de hombres = x
IJ K
n° de mujeres = 2x n° de niños = 3(x + 2x) Luego:
Rpta.: B
#de hombres + #de mujeres + #de niños = #de personas x + 2x + 3(x + 2x) = 156 3x + 3(3x) = 156 3x + 9x = 156 12x = 156 x = 13
6
Javier tiene: x Si gastó: 200 Entonces le queda: x − 200 Si prestó:
Rpta.: D
Según el enunciado del problema:
x = 12 000
Resolución
x 13 La fracción es: y = 27
Resolución
1
∴
7
Según el problema, se plantean las siguientes ecuaciones:
2 x 3
− Lo que tiene Mónica =
Rpta.: A
Sea la fracción: x → Numerador y → Denominador
De los datos del problema: − Lo que tiene Alicia = x
à
Al principio tuvo S/. 500
2 x − 200 3
b
g
∴
Son 13 hombres
Rpta.: D
Ahora tiene: 100 Luego:
Resolución
Lo que gastó + lo que prestó + lo que tiene = x 14 4244 3 14 4244 3 14243 200
2 x − 200 + + 3
b
g
100
=x
9
Sean los números: x(mayor) e y(menor) à
- 81 -
x + y = 51........................................ (I)
Manuel Coveñas Naquiche
Según el enunciado del problema, se plantea:
Reemplazamos (I) en (II), obtenemos: 4(2000 − x) − x = 90
x = 2y + 3 ...................................... (II)
8000 − 4x − x = 90
Reemplazamos (II) en (I), obteniendo:
8000 − 90 = x + 4x
(2y + 3) + y = 51 3y + 3 = 51
7910 = 5x
3y = 51 − 3 →
3y = 48
7910 =x 5
y = 16
Reemplazamos el valor y = 16 en (II):
∴
→
x = 1582
A uno le toco 1 582 dólares Rpta.: C
x = 2(16) + 3 →
x = 32 + 3 ∴
x = 35
La parte mayor es 35
Resolución
Rpta.: C
10
Resolución
Sea:
ab el número de 2 cifras. Según el enunciado, se plantea la ecuación: ba = ab − 36
Si se compran “x” patos e “y” gallinas à
12
Descomponemos polinómicamente los números ab y ba :
x + y = 22
Donde: y = 22 - x ................................... (I)
à
(10b +a) = (10a + b) −36
•
Si se compran “x” patos a 8 dólares cada uno
36 = (10a + b) − (10b + a)
à
Se gasta: 8x dólares
36 = 10a + b − 10b − a
•
Si se compran “y” gallinas a 7 dólares cada uno
à
Se gasta: 7 y dólares
36 = 9a − 9b 36 = 9(a − b)
Si en total se gasta 166 dólares
36 = a−b 9
à
a − b = 4 ...................................... (I)
8x + 7y = 166 ............................... (II)
Reemplazamos (I) en (II), obteniendo: 8x + 7(22 − x) = 166 8x + 154 − 7x = 166 8x − 7x = 166 − 154 x = 12
∴
12 son patos
•
Como dichas cifras suman 12;
à
a + b = 12 ................................... (II)
Sumamos: (I) + (II): a−b=4 a + b = 12
Rpta.: D
UV (+) W →
2a = 16 Resolución
11
a=8
Reemplazamos el valor a = 8 en (II) :
Sean las partes: x (Parte mayor)
8 + b = 12
→ b=4
y(Parte menor) à
x + y = 2000 y = 2000 − x .................................. (I)
∴
El número ab es 84
Resolución
Luego:
13
Rpta.: D
Si:
Edad del hijo: x años
*
Cuádruplo de la parte menor = 4y
à
*
Parte mayor aumentado en 30 = x + 30
Según el enunciado del problema:
Según el enunciado del problema, se plantea:
Edad del hijo padre 1442 44 3 + Edad 144del 244 3 = 91 años x + 6x = 91 7x
4y − (x + 30) = 60
4y − x = 90 .................................... (II)
=
91
x = 13
4y − x − 30 = 60 4y − x = 60 + 30
Edad del padre = 6x años
Edad del padre: 6x = 6(13) = 78 ∴
- 82 -
El padre tiene 78 años
Rpta.: B
Segundo Año de Secundaria
Resolución
Resolución
14
Sea la fracción: x → Numerador y → Denominador Según el problema se plantean las ecuaciones: •
x−5 =1 y+8 x−5=y+8
Si:
“x” es la cantidad con la que empiezan a jugar ambos jugadores. * à
El primero pierde 400 nuevos soles
* à
El segundo pierde 220 nuevos soles
Le queda: x − 400 Le queda: x − 220
Según el enunciado del problema, se tiene que:
x−y=8+5
•
16
x − y = 13 ........................................ (I)
b x − 400g = 21 b x − 220g
x =3 y−7
2(x − 400) = x − 220 2x − 800 = x − 220 2x − x = −220 + 800
x = 3(y − 7) x = 3y − 21 .................................... (II) Reemplazamos (II) en (I), obteniendo:
x = 580 ∴
Empiezan a jugar con 580 soles
(3y − 21) − y = 13
Rpta.: C
2y − 21 = 13
Resolución
2y = 13 + 21 →
2y = 34
y = 17
Reemplazamos el valor y = 17 en (II) x = 3(17) − 21 x = 51 − 21
→
x = 30
17
−
Si se depositó:
•
“x” billetes de 10 nuevos soles
à
Se depositó: 10x nuevos soles
•
“y” billetes de 50 nuevos soles
à
Se depositó: 50y nuevos soles
Si se depositó en total: S/. 1480 ∴
La fracción será:
Resolución
15
30 17
Rpta.: C
à
Sea:
Reemplazando (II) en (I), obtenemos: 10(60 − y) + 50y = 1480 600 − 10y + 50y = 1480 600 + 40y = 1480 40y = 1480 − 600 40y = 880
a + b = 12 ...................................... (I)
Según el enunciado del problema: b = a + 2 ....................................... (II) Reemplazamos (II) en (I), obteniendo: a + (a + 2) = 12 2a + 2 = 12 2a = 12 − 2 2a = 10 → a=5 Reemplazamos el valor a = 5 en (II):
∴
y = 22 ∴
Se depositó 22 billetes de mayor denominación Rpta.: C
Resolución
→ b=7
El número ab es 57
x + y = 60 x = 60 − y ...................................... (II)
Unidades Decenas
b=5+2
10x + 50y = 1480 ........................... (I)
Si en total fueron 60 billetes
ab el número de 2 dígitos
à
à
18
Sea:
ab el número. Unidades Decenas
Rpta.: C à
a + b = 10 ...................................... (I)
Según el problema, se plantea: b = 2a + 1 ...................................... (II)
- 83 -
Manuel Coveñas Naquiche
Reemplazamos (II) en (I), obteniendo:
Resolución
a + (2a + 1) = 10 3a + 1 = 10 3a = 10 − 1
n° de patos = y n° de conejos + n° de patos = n° de animales
→
3a = 9
a=3
x + y = 28 ....................................... (I)
Reemplazamos el valor a = 3 en (II)
Según el enunciado del problema, se plantea:
b = 2(3) + 1 b=6+1 → b=7 ∴
x = y + 8 ........................................ (II)
El número es: 37
Resolución
Reemplazando(II) en (I), obtenemos:
Rpta.: D
(y + 8) + y = 28 2y + 8 = 28 2y = 28 − 8 2y = 20 →
19
•
La bicicleta tiene 2 llantas
à
Si hay “x” bicicletas, habrá: 2x llantas
•
El triciclo tiene 3 llantas
à
Si hay “y” triciclos, habrá: 3y llantas
∴
y = 10
Juan tiene 10 patos
Resolución
Si en total hay 60 llantas à
21
n° de conejos = x
Rpta.: D
22
Sea S/.a el precio por metro.
2x + 3y = 60 ................................... (I)
Si hay 5 bicicletas más que triciclos
•
Si se vendió “x” metros, todo por 90 nuevos soles
à
à
ax = 90 ....................................... (I)
x = y + 5 ........................................ (II)
Reemplazando (II) en (I), obtenemos: 2(y + 5)+ 3y = 60 2y + 10 + 3y = 60 2y + 3y = 60 − 10 5y = 50
∴
ay = 72 .......................................... (II)
•
Si de 36m sobran 9m, entonces se vendió: 36m − 9m = 27m x + y = 27 ..................................... (III)
Sumando las ecuaciones(I) y (II) obtenemos:
Reemplazamos el valor y = 10 en (II) →
Si se vendió “y” metros, todo por 72 nuevos soles.
à
à
y = 10 x = 10 + 5
•
Hay 15 bicicletas
UV (+) W
ax = 90 ay = 72
x = 15
ax + ay = 162
Rpta.: B
a(x + y) = 162 ............................... (IV) Resolución
20
Reemplazamos (III) en (IV) obtenemos:
−
Si se obtienen 2 puntos por respuestas correctas y el número de respuestas correctas es x
a(27) = 162
à
Puntaje a favor = 2x puntos
a=
−
Si se pierde 1 punto por respuesta incorrecta y el número de respuestas incorrectas es y.
à
Puntaje en contra = y puntos
−
Si se contestó 50 preguntas
à
x + y = 50 ...................................... (I)
∴
Además se obtuvo 64 puntos à
2x − y = 64 2x − 64 = y .................................... (II)
Reemplazamos (II) en (I), obtenemos: x + (2x − 64) = 50 3x − 64 = 50 3x = 50 + 64 3x = 114 x= 38 ∴
Respondió correctamente 38 preguntas Rpta.: D
- 84 -
162 27
→
a=6
El precio por metro es S/. 6 Rpta.: C
Segundo Año de Secundaria
CAPÍTULO N° 7 ECUACIONES E INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO. Pág.(299, 300) Resolución 1.
x2 + 2x − 3 = 12
1
x2 + 2x − 3 − 12 = 0
x(x + 2) = 15
x2 + 2x − 15 = 0
x2 + 2x = 15 •
x2 + 2x − 15 = 0 •
Factorizando por el método del Aspa
Factorizamos por el método del Aspa:
(x + 5)(x − 3) = 0 (x + 5)(x − 3) = 0 •
Igualamos cada factor a cero:
i)
x+5=0
ii)
x − 3= 0
→
∴
C.S. ={−5; 3}
Rpta
2.
x2 +14 = 9x
x1 = −5
→
i)
x+5=0→
x1 = −5
ii)
x−3=0→
x2 = 3
∴
C.S = {−5; 3}
5.
(x + 3)2 + (x − 2)2 = 25 (x2 + 6x + 9) + (x2 − 4x + 4) = 25 2x2 + 2x + 13 = 25 2x2 + 2x + 13 − 25 =0 2x2 + 2x − 12 = 0 2(x2 + x − 6) = 0
x2 = 3
x2 + 14 − 9x = 0 x2 − 9x + 14 = 0 •
Rpta
à
Factorizamos por el método del Aspa:
(x + 3)(x − 2) = 0
(x − 7)(x − 2) = 0
i)
x+3=0→
x1 = −3
ii)
x−2=0→
x2 = 2
∴
C.S = {−3; 2}
6.
(x −
Rpta
•
Igualamos cada factor a cero:
i)
x−7=0→
x1 = 7
(x2 − 4x + 4) + (x2 − 2x − 3) = 4x + 1
ii)
x−2=0→
x2 = 2
2x2 − 6x + 1 = 4x + 1
∴
C.S = {2; 7}
3.
x2 − 8(x − 2) = 0
2)2
+ (x + 1)(x − 3) = 4x + 1
2x2 − 6x + 1 − 4x − 1 = 0
Rpta
2x2 − 10x = 0 2x(x − 5) = 0
x124 − +4 16 48 2x4 3=0 T.C.P
i)
2x = 0
→
x1 = 0
(x − 4)2 = 0
ii)
x−5=0→
x2 = 5
∴
C.S. = {0; 5}
à
x−4=0→
x=4
∴
C.S. = {4}
Rpta
4.
(x − 1)(x + 3) = 12 x2 + (−1 + 3)x + (−1)(3) = 12
- 85 -
Rpta
Manuel Coveñas Naquiche
7.
10. 16x = x2 + 60
2 x + 4 + x2 = 3 3
b
g
0=
Donde: m.c.m. = 3 à
b
g
2 x + 4 + 3 x2 =3 3 2 x + 8 + 3 x2 =3 3
3x2 + 2x + 8 = 9 3x2 + 2x + 8 − 9 = 0 3x2 + 2x − 1 = 0
à
0 = (x − 10)(x − 6)
i)
x − 10 = 0
→ x1 = 10
ii)
x−6=0
→
∴
C.S. = {6; 10}
Resolución 1.
x2 = 6
Rpta
2
Le damos la forma de: ax2 + bx + c = 0 2x2 + 6 = 3x
à
(3x − 1)(x + 1) = 0
i)
3x − 1 = 0
2x2 − 3x + 6 = 0 Donde: a = 2
→
b = −3
3x = 1 1 x = 1 3
→
ii)
x+1=0
∴
C.S. = {−1; 1/3}
8.
x + 35 =x 12
x2 = −1
Suma de raíces: x1 + x 2 = −
Rpta
2
x2
c=6
+ 35 = 12x –
b a
b −3g
à
x +x = −
∴
x +x =
2.
Le damos la forma de: ax2 + bx + c = 0
1
1
2
2
2
3 2
x2 + x =
Rpta
−7 4
7 =0 4 Donde: a = 1 b=1 x2 + x +
(x − 7)(x − 5) = 0 i)
x−7=0 →
x1 = 7
ii)
x−5=0 →
x2 = 5
∴
C.S. = {5; 7}
Rpta
9.
2(3x + 8) = x2
c=
7 4
Suma de raíces: x1 + x 2 = −
6x + 16 = x2 0=
à
0 = (x − 8)(x + 2)
i)
x−8=0→
x1 = 8
ii)
x+2=0→
x2 = −2
∴
C.S. = {−2; 8}
1 1
à
x +x = −
∴
x1 + x2 = −1
3.
6x(x − 1) = 5(x2 − 1)
1
2
b a
Rpta
Le damos la forma de: ax2 + bx + c = 0 6x2 − 6x = 5x2 − 5 6x2 − 6x − 5x2 + 5 = 0 x2 − 6x + 5 = 0 Donde: a = 1 b = −6 c=5
Rpta
- 86 -
Segundo Año de Secundaria
Suma de raíces: x1 + x 2 = − à ∴
x1 + x2 = 6
4.
2x2 = 8x − 5
2
b Suma de raíces: x1 + x 2 = − a
Producto de raíces: x1 · x2 = x ·x =
∴
x1·x2 = −6
3.
x2 +
1 1 x= 2 2
x +x = −
x2 +
1 1 x− = 0 2 2
∴
x1 + x2 = 4
5.
2 x + 3 − x2 + 5 = x 3
Rpta
Producto de raíces: x1 · x2 =
m.c.m. = 3
g
bg
2 x + 3 − 3 x2 + 3 5 =x 3 2 x + 6 − 3 x 2 + 15 =x 3 2x + 6 − 3x2 + 15 = 3x 0 = 3x2 − 2x − 6 − 15 + 3x
∴
x ·x =−
4.
2x2 − 5x = 8
Resolución 1.
2x2
2
1 2
Rpta
Es de la forma: ax2 + bx + c = 0
b a
Donde: a = 2 b = −5 c = −8 Producto de raíces: x1 · x2 = −
Rpta
3
− 3x + 5 = 0
Es de la forma: ax2 + bx + c = 0
−8 2
à
x ·x =−
∴
x1·x2 = −4
5.
(x − 3)2 = 2x + 15
1
2
Rpta
b = −3
x2 − 6x + 9 = 2x + 15
c=5
x2 − 6x + 9 − 2x − 15 = 0
Producto de raíces: x1 · x2 = 5 x ·x = 1 2 2
c a
Le damos la forma de: ax2 + bx + c = 0
Donde: a = 2
à
1
2
2x2 − 5x − 8 = 0
+ x − 21 0= Donde: a = 3 b=1 c = −21 Suma de raíces: x1 + x 2 = −
1 2 1
x ·x = 1
c a
−
à
3x2
1 x +x = − 1 2 3
Rpta
Donde: a = 1 b = 1/2 c = −1/2
Le damos la forma: ax2 + bx + c = 0
à
2
Es de la forma: ax2 + bx + c = 0
g
b
1
c a
−6 1
à
−8 2
à
b
Le damos la forma: ax2 + bx + c = 0 x2 − 3x − 6 = 0 Donde: a = 1 b = −3 c = −6
2x2 − 8x + 5 = 0 Donde: a = 2 b = −8 c=5
2
x2 = 3(x + 2) x2 = 3x + 6
Le damos la forma de: ax2 + bx + c = 0
1
2.
−6 1
x +x = − 1
b a
x2 − 8x − 6 = 0
c a
Donde: a = 1 b = −8 c = −6
Rpta
- 87 -
Manuel Coveñas Naquiche
Producto de raíces: x1 · x2 = − −6 1
à
x ·x =
∴
x1·x2 = −6
1
2
Resolución 1. •
x1 = 2
c a
x = 8 + 63
•
Suma de raíces: S = x1 + x2
2
e
Rpta •
P = 8 + 63 8 − 63
e je P = b 8 g − e 63 j 2
Suma de raíces : S = x1 + x2 S=2+3
j
2
P = 64 − 63 P=1
Producto de raíces: P = x1·x2
La ecuación será:
P = 2·3 P=6 La ecuación será:
j
Producto de raíces: P = x1·x2
x2 = 3
x2
j e
S = 16
S=5 •
x = 8 − 63
∧
1
S = 8 + 63 + 8 − 63
4 ∧
4.
− S·x + P = 0
à
x2 − (5)x + 6 = 0
∴
La ecuación es: x2 − 5x + 6 = 0
− S·x + P = 0
x2
à
x2 − (16)x + (1) = 0
∴
La ecuación es: x2 − 16x + 1 = 0 Rpta 5+ 3 2
5.
x =
•
Suma de raíces : S = x1 + x2
1
x =
∧
2
5− 3 2
Rpta ∧
x2 = −1
2.
x1 = 7
•
Suma de raíces: S = x1 + x2 S = 7 + (−1) S=6 Producto de raíces: P = x1·x2
S=
5+ 3 5− 3 + 2 2
S=
5+ 3 +5− 3 2
S=5
P = (7)·(−1) P = −7
•
La ecuación será: x2 − S·x + P = 0 x2 − (6)x + (−7) = 0
∴
La ecuación es: x2 − 6x − 7 = 0
3.
x = 3+ 7
•
Suma de raíces: S = x1 + x2
Rpta
2
e
4
j e
4
4
11 2
La ecuación será: x2 − S·x + P = 0
Producto de raíces: P = x1·x2 P = 3+ 7 3− 7
P = 32
P=
j
S=6
e
2
2
x = 3− 7
∧
S = 3+ 7 + 3− 7
•
F 5+ 3 I ·F5− 3 I GH 2 JK GH 2 JK F5 − 3 I H K = 25 − 3 = 22 P= P=
à
1
Producto de raíces : P = x1·x2
je −e 7j
j
2
b g FGH 112IJK = 0
à
x2 − 5 x +
∴
La ecuación es: x 2 − 5 x + 2x2 − 10x + 11 = 0
P=9−7 P=2 La ecuación será: x2 − S·x + P = 0 à
x2 − (6)x + (2) = 0
∴
La ecuación es: x2 − 6x + 2 = 0 Rpta
7+ 2 4
6.
x =
•
Suma de raíces : S = x1 + x2
- 88 -
1
∧
x = 2
11 =0 2
Rpta 7− 2 4
ó
Segundo Año de Secundaria
S=
7+ 2 7− 2 + 4 4
8.
x = 6+ 2
S=
7 + 2 7 − 2 14 + = 4 4 4
•
Suma de raíces : S = x1 + x2
S=
7 2
S=
•
•
à
x
2
P=
72 − 2 16
P=
47 16
2
=
j e
− S·x + P = 0
e 6 + 2j· e 6 − 2j P = e 6j −e 2j 2
P=6−2 P=4
j bg
à
x2 − 2 6 x + 4 = 0
∴
La ecuación es: x 2 − 2 6 x + 4 = 0
e
9.
x = 3
•
Suma de raíces: S = x1 + x2
1
x =− 3
∧
2
S=
Rpta 7. •
Suma de raíces: S = x1 + x2
∧
2
S=
•
Producto de raíces: P = x1·x2 P=
La ecuación será:
1 3
F 1I F 2 I P = G J · G− J H 3K H 3K
x2
− (0)x + (−3) = 0
à ∴
La ecuación es: x2 − 3 = 0
10. x1 = •
2 9
1+ 5 2
∧
S=
2
S=
1 2 x− = 0 3 9
S=1
* Multiplicamos por 9: ∴ La ecuación es: 9x2 + 3x − 2 = 0
1− 5 2
F 1+ 5 I + F 1− 5 I GH 2 JK GH 2 JK
FG 1 IJ x + FG − 2 IJ = 0 H 3K H 9K
x2 − − x2 +
x =
Rpta
Suma de raíces : S = x1 + x2
La ecuación será: x2 − S·x + P = 0 à
− S·x + P = 0
x2
Producto de raíces: P = x1·x2
P=−
e 3 je − 3 j
P = −3
FG IJ H K
1 2 + − 3 3
S=− •
e 3 j + e− 3 j
S=0
2 3
x = 1
2
Rpta
La ecuación es: 16x2 − 56x + 47 = 0
x =−
j
La ecuación será: x2 − S·x + P = 0
F 7 I F 47 IJ = 0 −G Jx+G H 2 K H 16 K
1 3
6− 2
P=
49 − 2 16
* Multiplicamos por 16: ∴
6+ 2 +
e
Producto de raíces : P = x1·x2
F7+ 2I·F7− 2I P=G H 4 JK GH 4 JK
La ecuación será:
2
S=2 6
Pr oducto de raíces : P = x1·x2
x2
x = 6− 2
∧
1
e1+ 5 j + e1− 5 j 2
Producto de raíces : P = x1·x2
Rpta P=
- 89 -
F 1+ 5 I · F 1− 5 I GH 2 JK GH 2 JK
Manuel Coveñas Naquiche
à
e1+ 5 je1− 5 j P=
1 del depósito ............................ (III) x
4
P=
12 −
e 5j
2
=
4
1− 5 4
De (I) ; (II) y (III) se deduce que: 1 1 1 = + ; m.c.m. = 180 x 36 45
P = −1 La ecuación será: x2 − S·x + P = 0 à
x2 − (1)x + (−1) = 0
∴
La ecuación es: x2 − x − 1 = 0
Resolución
5
1 5+4 = x 180 1 9 = x 180
Rpta
(Problemas)
1.
Sea “x” el número
−
El cuadrado del número: x2
−
El número aumentado en 30: x + 30
En 1 minuto(A y B) llenarán:
∴
→
x = 20
A y B pueden llenar un depósito en 20 minutos. Rpta
4.
Sean los números enteros consecutivos: x ;x+1
Se plantea la ecuación, según el enunciado:
Número
x2 = x + 30
mayor
Según el enunciado del problema se plantea la ecuación: x2 + (x + 1)2 = 3(x + 1) + 13 x2 + (x2 + 2x + 1) = 3x + 3 + 13 2x2 + 2x + 1 = 3x + 16 à
(x + 5)(x − 6) = 0
i)
x+5=0 →
ii)
x−6=0 → x=6
x = −5
Según el problema, “x” es natural ∴
x=6
2.
Sean los números consecutivos Número
Rpta
x;x+1
menor
à
(2x + 5)(x − 3) = 0
i)
2x + 5 = 0
Número
x=−
mayor
Se plantea la ecuación, según el enunciado del problema:
ii)
x−3=0
→
Como “x” es entero:
x 2 + x = x2 + 9
à
x=3
∴
Suma de los : 3 + 4 = 7 números
Número mayor: x + 1 = 9 + 1 ∴
Número mayor = 10
3.
−“A” llena un depósito en 36 minutos:
Resolución
à
En 1 minuto “A” solo llenará:
1.
5 2
x=3
x·(x + 1) = x2 + 9 x=9
; x+1=4 Rpta
Rpta
1 del depósito............................. (I) 36
6
Efectuamos las operaciones y hacemos trasposición de términos: 3x − 5 > 2(x + 7) 3x − 5 > 2x + 14
− “B” llena un depósito en 45 minutos à
→ 2x = −5
3x − 2x > 14 + 5
En 1 minuto “B” solo llena:
x > 19
1 del depósito ........................... (II) 45
∴
Supongamos que “A” y ”B” llenan el depósito en “x” minutos
- 90 -
C.S = 19; ∞
Rpta
Segundo Año de Secundaria
2.
Efectuando las operaciones y hacemos trasposición de términos
Resolución 1.
4x + 8 < 3 (x - 9)
(x − 3)(x − 2) > 0
4x − 3x < − 27 − 8 x < − 35
i)
x−3=0
ii)x − 2 = 0
x=3
∴
C.S = −∞; − 35 Rpta
3.
Efectuamos las operaciones y hacemos trasposición de términos.
(Punto crítico)
(x + 3)2 − 2x ≥ x2 (x2 + 6x + 9) − 2x ≥ x2 x2 + 4x + 9 ≥ x2
x=2 (Punto crítico)
∴
C.S. = −∞; 2 ∪ 3, ∞
2.
Factorizamos el primer miembro:
x≥−
9 4
∴
C. S = −9 / 4; ∞
4.
Efectuando las operaciones y hacemos trasposición de términos.
(x − 7)(x + 1) ≤ 0 i)
(Punto crítico)
∴
x2 − 3x - 10 ≤ x2 − 7 −3x ≤ −7 + 10
5.
Efectuamos las operaciones y hacemos trasposición de términos
C.S = [−1; 7] Rpta
à
x2 + 9x + 20 ≥ 0 (x + 5)(x + 4) ≥ 0
x ≥ −1 C. S = −1; ∞
x = −1 (Punto crítico)
Resolviendo: 2x(x + 9) + 40 ≥ 0 2x2 + 18x + 40 ≥ 0 2(x2 + 9x + 20) ≥ 0
−3x ≤ 3 ∴
ii) x + 1 = 0
3.
−3x ≤ 3 Si multiplicamos o dividimos por una cantidad negativa a ambos miembros, el sentido de la desigualdad cambia. Entonces tenemos que:
x−7=0 x=7
Rpta
(x − 5)(x + 2) ≤ x2 − 7
i) x + 5 = 0 x = −5
ii) x + 4 = 0 x = −4
(Punto crítico)
(Punto crítico)
Rpta
2(x − 7)(x + 1) > (2x + 1)(x + 3) 2(x2 − 6x − 7) > 2x2 + 7x + 3
∴ 4.
C.S. = −∞; − 5] ∪ −4; ∞
2(x2 + 11) < 13x + 1
−12x − 7x > 3 + 14
2x2 + 22 < 13x + 1
−19x > 17
2x2 + 22 − 13x − 1 < 0 2x2 − 13x + 21 < 0
Al pasar a dividir o multiplicar por un número negativo, la desigualdad cambia de sentido.
(2x − 7)(x − 3) < 0 i)
17 19
à ∴
C. S. = −∞; −
2x − 7 = 0 7 x= 2
17 19
Rpta
Resolviendo:
2x2 − 12x − 14 > 2x2 + 7x + 3
x 0
4x + 8 < 3x − 27
4x ≥ −9
7
(Punto crítico)
ii) x − 3= 0 x=3 (Punto crítico)
Rpta
∴
- 91 -
C. S = 3; 7 2
Rpta
Manuel Coveñas Naquiche
5.
Resolviendo:
i)
17 x 2 2(2x2 + 9) > 17x 2 x2 + 9 >
4x − 9 = 0 x=
ii) x − 2= 0
9 4
x=2
(Punto crítico)
(Punto crítico)
4x2 + 18 > 17x 4x2 − 17x + 18 > 0 (4x − 9)(x − 2) > 0 ∴
C. S. = −∞; 2 ∪ 9 4 ; ∞
Rpta
CAPÍTULO N° 8 MAGNITUDES PROPORCIONALES EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO. Pág.(325, 326, 327, 328) NIVEL I Resolución
1
#de mujeres = 240 #de hombres = x
UV 400 personas W
Luego: #de hombres + #de mujeres = #de personas x + 240 = 400 x = 160 à
x
∴
10 = y
Resolución
Rpta.: B 4
# de niños = 20
Hallamos la relación:
# de niñas = 32 2
# de hom bres 160 2 = = # de mujeres 240 3
5
Rpta.: B
3
2
Sean:
x(menor) e y(mayor) los números. Del enunciado: x
3
→ 4x = 3y ...................... (I)
* x + y = 56
→ x = 56 − y .................(II)
Reemplazando (II) en (I) obtenemos: 4(56 − y) = 3y 224 − 4y = 3y 224 = 7y y = 32
à
# de niños 20 5 = = # de niñas 32 8
Rpta.: A
8
Resolución à
5
Sea “x” el número:
x 9 = 8 12 6
* y=4
∴
.................. (II)
Reemplazando (I) en (II), obtenemos: 2(5 + y) = 3y 10 + 2y = 3y
#de hombres = 160
Resolución
3
Del enunciado: y = 2 2x = 3y
x=
9 · 8 72 = 12 12 1
∴
x=6
Resolución
Rpta.: C 6
Si:
# de hombres = x
Rpta.: E
# de mujeres = 2x Luego:
Resolución
3
Sean:
# de mujeres 2 x 2 = = # de hom bres x 1
x(mayor) e y(menor) los números: Del enunciado: x − y = 5 x = 5 + y ....................(I)
- 92 -
Rpta.: E
Segundo Año de Secundaria
Resolución
7
x=
UV W
Caramelos de fresa = x x y 80 caramelos + = Caramelos de limón = y
Luego: por 1 caramelo de fresa, hay 3 caramelos de limón. à
Caramelos de fresa 1 = Caramelos de limón 3
∴
Rpta.: B 11
Según el enunciado del problema: # de patos 3 = # de conejos 2
3x = y
à
Reemplazando el valor: y = 3x en: x + y = 80
# de conejos 1 ∧ # de gallinas = 2
Si hay 12 patos: à
x + (3x) = 80 4x = 80
12 3 = # de conejos 2 12 · 2 24 = 3 3 # de conejos = 8 # de conejos =
= 20 Hay 20 caramelos de fresa Rpta.: B
Resolución
x = 12
Resolución
x 1 = y 3
∴
24 · 1 2
Si:
8
Arturo tiene: 32 años
# de conejos 1 = # de gallinas 2 8 1 = # de gallinas 2
Jorge tiene: x años Según el enunciado del problema:
# de gallinas =
Edad de Arturo 8 = Edad de Jorge 9 à
∴
32 8 = x 9
12
Edad de Ana 5 = Edad de Betty 4
Jorge tiene 36 años
Resolución
Rpta.: B
Según el enunciado del problema:
32.9 = 36 8 1
∴
Hay 16 gallinas
Resolución
4
x=
8· 2 = 16 1
Rpta.: D
En A hay 20 litros En B hay 40 litros
Edad de Betty 2 = 16 1
Edad de Betty =
Si de A se pasan 5l a B
16 · 2 = 32 1
•
En A quedan 15l
Como: edad de Betty = 32
•
En B ahora hay 45l
à
Según el enunciado del problema:
Edad de Ana 5 = 32 4
1
8
15 1 = 45 3
Rpta.: A
3
Resolución
2
Si Cecilia tiene 16 años: à
9
Edad de Betty
∧ Edad de Cecilia = 1
32.5 Edad de Ana = 4 = 40 1
10
∴
Ana tiene 40 años
Rpta.: C
# de plátanos = 2(12) = 24 # de manzanas = x Según el enunciado del problema:
Resolución
13
Según el enunciado del problema, tenemos:
# de plátanos 2 = # de manzanas 1
# de libros de Matemática 3 = # de libros de Física 4
24 2 = x 1
# de libros de Bio log ía 3 = # de libros de Física 2
- 93 -
; y
Manuel Coveñas Naquiche
•
Si hay 18 libros de Matemática: Resolución
18 3 = # de libros de Física 4
a b c = = =k 2 5 3
b = 5k
6
1
c = 3k Del dato: a2 + b2 + c2 = 152 (2k)2 + (5k)2 + (3k)2 = 152
# de libros de Bio log ía 3 = 24 2
4k2 + 25k2 + 9k2 = 152 38k2 = 152
3 12 # de libros de Biología = · 24 = 36 2 1
∴
Si
entonces: a = 2k
4 · 18 # de libros de Física = = 24 3 à
16
Hay 36 libros de Biología Rpta.: D
→ k=2
k2 = 4 Hallamos: a + b + c à
a + b + c = (2k) + (5k) + (3k) = 10k
Resolución a b = 2 3
14
Si:
→
= 10(2)
3a = 2b .................. (I)
Además: a + b = 35 → a = 35 − b .... (II) Reemplazando (II) en (I), obtenemos: 3(35 − b) = 2b 105 − 3b = 2b →
105 = 5b
Luego: ∴
à
17
a b c = = =k 1 2 3
Entonces:
b − a = 21 − 14
c = 3k
15
Si:
∧
y =z 2
x = 3z
∧
y = 2z
1 2 3 = = a b c
; k = constante
Del dato: a + b + c = 48 k + 2k + 3k = 48
x y = =z 3 2
x =z 3
Si:
a=k b = 2k
Rpta.: C
Rpta.: A
La expresión dada se puede escribir también de la siguiente manera:
a = 14
b−a=7
Resolución
→
a + b + c = 20
Resolución
b = 21
Reemplazando el valor: b = 21 en (II) a = 35 − (21)
∴
6k = 48 k=8 Luego: a2 + b2 + c2 = (k)2 + (2k)2 + (3k)2 a2 + b2 + c2 = k2 + 4k2 + 9k2
Reemplazando “x” e “y” en: x·y·z = 64
a2 + b2 + c2 = 14k2 Si:
(3z)·(2z)·z = 64
→
k=8
a2 + b2 + c2 = 14(8)2 a2 + b2 + c2 = 14·64
6z3 = 64
∴
64 z = 6
a2 + b2 + c2 = 896
Rpta.: C
3
à
z3 = 6 3
Resolución
z=6
Lado del cuadrado mayor = x
Luego: x + y + z = (3z) + (2z) + z = 6z x + y + z = 36
Sea:
Lado del cuadrado menor = y Según el enunciado del problema: x 3 = y 4
=6(6) ∴
18
Rpta.: A
Entonces: y = 3k x = 4k
- 94 -
Segundo Año de Secundaria
Recuerde que:
90
y=
Área del = (lado)2 cuadrado
1
y = 450
Luego:
F GG H
I JJ K
F GG H
Área del Área del Área = cuadrado − cuadrado coloreada mayor menor
Área coloreada =
−
x2
I JJ K
x = 270 Una de las partes es 270
Resolución
2
=
b 4 k g − b 3K g b 4K g
=
16 k − 9k 16k 2
*
Área total = Área de
à
Área total = 4ab
*
Área coloreada = ∆ AMN + ∆ CMO
*
3
1 13 = 4 4
*
3
1 21 = 4 4
Rpta.: C
a· ( 2b )
=
Hallamos la razón:
Área coloreada =
3 ab 2
3
ab área coloreada Razón = área total = 2 4 ab
Rpta.: B ∴
20
x + y = 720
Según el enunciado del problema: 3
x 6 = 0, 6 = y 10
Razón =
à
Resolución
3 8
Rpta.: B
x+y 3+5 = y 5
a b = b c
720 3 + 5 = y 5 720 8 = y 5
→
ac = b2
Del dato: a · b · b · c = 1296 a · b2 · c = 1296 a · c · b2 = 1296
Pero: x + y = 720 à
22
Sea la proporción continua:
x 3 = y 5
5
Por propiedad:
a· b 2
2 ab + ab 2
Sean “x” e “y” las partes: à
+
Luego:
13 4 = 13 · 4 = 13 21 4 · 21 21 4
Resolución
2
19
à
Área del
Áreadel
Área coloreada = Resolución
ABCD
= (2a)·(2b)
2
7k 2 = 16 k 2
7 16
21
2
2
2
Rpta.: B
De la figura:
Área 2 2 coloreada = x − y Área cuadrado x2 mayor
Razón:
Reemplazando el valor y = 450 en (I): x + 450 = 720 ∴
y2
Hallamos la razón:
∴
720 · 5 8
Reemplazando: a·c = b2 Tenemos: b2·b2 = 1296 b4 = 1296 b=6
- 95 -
Manuel Coveñas Naquiche
Si: à
Resolución
a = 4 (Según el enunciado) a·c =
b2
25
Por traslado de áreas se obtiene:
4·c = 62 →
4c = 36 ∴
La proporción es:
Resolución à
c=9
a b = 5 3
23
4 6 = 6 9
Si
Rpta.: D
a b c = = 5 3 6
a c = 5 6
∧
Por propiedad: a c = 5 6
a+c a = 5+6 5
→
De la figura
Por dato: a + c = 66 à
*
66 a = 5+6 5 66 a = 11 5
Área total = área del
à
Área total =
*
área coloreada =
FG a IJ · a H 3K
à
área coloreada =
a2 3
6
66 · 5 =a 11
→
a = 30
1
ABCD
a2
Luego:
Reemplazamos el valor: a = 30 en:
a2 Área coloreada Razón = = 32 Área total a
a b = 5 3 30 b = 5 3
∴
Razón =
6
1 3
Rpta.: D
30· 3 =b 5
NIVEL II
1
∴
b = 18
Resolución
Rpta.: C
1
Según el enunciado del problema:
Resolución
24
Por propiedad:
a +1 b + 2 Si = 2 3
ba + 1g + bb + 2g = a + 1 2+3
# de damas 10 = # de caballeros 9 Entonces:
2
# de damas = 10k # de caballeros = 9k
Si se retiran 8 damas y 3 caballeros, tenemos que: a + b + 3 a +1 = 5 2
10k − 8 4 = 9k − 3 5 5(10k − 8) = 4(9k − 3) 50k − 40 = 36k − 12 50k − 36k = −12 + 40 14k = 28
Por dato: a + b + 3 = 20 à
20 a + 1 = 5 2 a+1=8
∴
a=7
k=2
Rpta.: B
Luego: ∴
- 96 -
# de damas = 10k = 10(2)
# de damas = 20
Rpta.: C
Segundo Año de Secundaria
Resolución
2
Resolución
Según el enunciado del problema, tenemos que:
Ancho del rectángulo = b
# de pollos 1 También: # de pavos = 4 n° de pollos = k n° de pavos = 4k
Entonces:
perímetro = 2(a + b)
Por dato:
perímetro = 70
à
Si
n° de patos = 3(n° de pollos)
à
n° de patos = 3·k
2(a + b) = 70 a + b = 35 ....................................... (I)
Según el enunciado, tenemos: a 5 = b 2
Del enunciado: # patos pavos 1de 42 43 + #1de 42 43 = 28 3k + 4k = 28 7k
=
Por propiedad:
28
Hay 4 pollos
Resolución
35 5 + 2 = b 2
Rpta.: A
b=
35 · 2 7 1
El duplo del número: 2x
*
Dicho número, aumentado en 2: x + 2
Reemplazando el valor: b = 10 en (I): a + 10 = 35
Según el enunciado, tenemos que:
a = 25
2x 4 = x+2 7
Luego:
(2x)· 7 = 4(x + 2) 14x = 4x + 8 10x = 8
∴
8 x= = 0, 8 10 El número buscado es 0,8
Si:
4
Área del rectángulo = a·b =(25)(10) = 250
Área del 2 rectángulo = 250 cm
Resolución
Rpta.: C
6
Rpta.: B
Si:
# de muchachos 5 = # de chicas 3
Según el problema:
edad de Manuel = x Entonces:
edad de Sara = x + 14 La razón de las edades es:
n° de muchachos = 5k n° de chicas = 3k
Donde:
x = 0, 75 x + 14
n°de estudiantes = n° de muchachos + n° de chicas n° de estudiantes = 5k + 3k
x 3 = x + 14 4 4x = 3(x + 14) 4x = 3x + 42 4x − 3x = 42
à
n° de estudiantes = 8k
Luego: El número de estudiantes es múltiplo de 8. Analizando las alternativas, vemos que 36 no es múltiplo de 8
x = 42 ∴
35 7 = b 2
b = 10
*
Resolución
à
5
3
Sea “x” el número
∴
a+b 5+2 = b 2
Reemplazando (I) en la propiedad tenemos que:
k=4 ∴
Si:
Largo del rectángulo = a
# de patos = 3(# de pollos)
Entonces:
5
Rpta.: B
La edad de Manuel es 42 años Rpta.: B
- 97 -
Manuel Coveñas Naquiche
Resolución
Reemplazando el dato en la propiedad, tenemos que:
7
30 =k 5 + 10 + 15 + 20
Sean “a” y ”b” los números a 2 = b 3 Entonces: a = 2k b = 3k
30 =k 50
Donde:
à
Según el enunciado del problema, tenemos que: 2k + 15 = 3k + 10 15 − 10 = 3k − 2k 5=k Luego: El número mayor es: 3k =3(5) ∴
El número mayor es 15
Resolución
8
Rpta.: A
∴
Cantidad de dinero de B = b a 7 = b 5
a = 7k b = 5k
Según el enunciado se tiene que: 7 k − 60 5 = 5k + 60 7
7(7k − 60) = 5(5k + 60) 49k − 420 = 25k + 300 49k − 25k = 300 + 420 24k = 720
9
k = 30
C
A
D
M
Por traslado de áreas se obtiene: De la figura: *
Área coloreada: 3a
*
Área total: 8a
Luego: Al principio “A” tenía:a = 7k a = 7(30) a = 210 ∴
“A” tenía al principio S/. 210 Rpta.: B
Resolución
Luego: Razón = Razón = 3/8 10
Área coloreada 3a = Área total 8a
→
p = 20k
Si:
17 19 21 = = , A B C
A B C = = =k 17 19 21
Rpta.: E Si:
12
la expresión se puede escribir de la siguiente manera:
Donde:
x y z p = = = =k 5 10 15 20
Por propiedad:
→ →
B tendrá: 5k + 60
N
p =k 20
11
Según el enunciado, tenemos que:
Hay que pasar 10 fósforos Rpta.: B
B
à
Rpta.: D
Si “A” le da a “B” 60 soles, entonces: A tendrá: 7k − 60
3(25 + x) = 7(25 − x) 75 + 3x = 175 − 7x 3x + 7x = 175 − 75 10x = 100 x = 10
Resolución
FG 3 IJ H 5K
Cantidad de dinero de A = a
25 + x 7 = 25 − x 3
∴
P = 12
Resolución
Según el enunciado del problema se tiene que:
Resolución
3 5
Luego: p = 20k = 20
Sea:
“x” la cantidad que se pasa de una caja a la otra.
∴
k=
B =K 19 B = 19K ......................................(I)
Por propiedad:
A +B+C =k 17 + 19 + 21 A +B+C =K 57
x+y+z+p =k 5 + 10 + 15 + 20
A + B + C = 57K
Del dato: x + y + z + p = 30
- 98 -
..........(II)
Segundo Año de Secundaria
Del dato: A + 2B + C = 152 Por propiedad:
(A + B + C) + B = 152 ........(III)
a+b =k 2+5
Como: a + b = 28
Reemplazando (I) y (II) en (III), obtenemos: 57k + 19k = 152 76k = 152
à
28 =k 2+5
28 =k 7
k=2 Reemplazando el valor: k = 2 en (II)
(dato)
Luego:
→
k=4
a = 2k =2(4) = 8
Rpta.: B
A + B + C = 57(2) ∴
A + B + C = 114 Rpta.: B
Resolución
13
5
Resolución
Si:
15
Si
1, 5 15 5 = = 2, 4 24 8 8
# de mujeres 3 = # de hom bres 4
à
5 15 b = = 8 a c 3
Entonces: # de mujeres = 3k
5 15 Luego: = 8 a
# de hombres = 4k •
Si se retiran 6 mujeres
à
# de mujeres sería : 3k - 6
•
Si se retiran “x” hombres
à
# de hombres sería: 4k − x
→
a=
15 · 8 5 1
a = 24 Como: a + b + c = 37 à
24 + b + c = 37 b + c = 37 − 24
Según el enunciado, tenemos que: 3k − 6 3 = 4k − x 5
∴
5(3k − 6) = 3(4k − x) 15k − 30 = 12k − 3x 15k − 12k = −3x + 30 3k = 30 − 3x 3k = 3(10 − x) k = 10 − x
b + c = 13
Resolución
Rpta.: C
16
Por traslado de áreas se obtiene:
x = 10 − k .......................... (I) Si hay 56 personas: #de hombres + #de mujeres = # de personas 4k + 3k = 56 7k = 56 k = 8 ............................... (II)
Donde: área del octágono = área coloreada
Reemplazando (II) en (I) obtenemos: x = 10 − (8) ∴
→
x=2
Deben irse 2 hombres
Resolución
14
Si
De la figura:
Rpta.: A
*
Área coloreada = 7s
à
Área del octágono = 7s
* Área del rectángulo = 9s
a 2 b2 = 4 25
Luego:
Extaemos la raíz cuadrada a ambos miembros de la igualdad, obteniendo: a b = =k 2 5
Área del octágono 7s 7 = = Área del rectángulo 9 s 9 Rpta.: A
Entonces: a = 2k b = 5k
- 99 -
Manuel Coveñas Naquiche
Resolución
17
Resolución
Si:
Según el enunciado del problema:
a b c d e = = = = =k 3 15 0, 6 12 1, 4 a+b+c+d+e =k 3 + 15 + 0, 6 + 12 + 1, 4
Por propiedad:
a+b+c+d+e =k 32
A B C = = =K 2 5 7
a = k → a = 3k = 3(2) → 3
a=6
b = k → b = 15k = 15(2) → b = 30 15 d = k → d = 12k = 12(2) → 12
∴
d = 24
a + b − d = 6 + 30 − 24
Luego:
a + b − d = 12
Resolución
Rpta.: C
18
2k − 4 1 = 5k − 4 3
3(2k − 4) = 1(5k − 4) 6k − 12 = 5k − 4 6k − 5k = −4 + 12
32k = 64 k=2
Si:
La edad de A era: 2k − 4 La edad de B era: 5k − 4
Entonces:
Por dato: a + b + c + d + e = 64
R|A = 2k (Edad de A ) S|B = 5k (Edad de B) TC = 7k (Edad de C)
→
Hace 4 años: •
a + b + c + d + e = 32k à
19
k=8 Luego: edad de C = 7k = 7(8) = 56 ∴
La edad de C es 56 años
Resolución
Rpta.: A
20
− Litros de vino: 27 litros − Litros de agua: 36 litros Si se agregan “x” litros de vino, tenemos que: 27 + x 5 = 36 6
Sea la figura:
6(27 + x) = 5·36 162 + 6x = 180 6x = 18 x=3 ∴
Se debe agregar 3 litros de vino
De la figura:
Rpta.: A
Área coloreada = área =
− área
1 2 π (2R) − πR2 2
Resolución
21
Si llegan “x” parejas
Entonces:
llegan “x” caballeros ; y llegan “x” damas
Según el enunciado del problema: 1 = π 4R2 − πR2 2
42 + x 10 = 48 + X 11
e j
= 2π R2 − πR2 à
Área coloreada =
11(42 + X) = 10(48 + X) 462 + 11X = 480 + 10X 11X − 10X = 480 − 462 x = 18
πR2
Área total = área = à
1 π 2R 2
b g
Área total = 2πR2
Luego: Razón =
∴
∴
2
Razón =
1 2
πR2 Área sombreada = Área total 2πR2
Rpta.: C
Deben llegar 18 parejas
Resolución
22
# de caballos 5 → = # de vacas 9 # de vacas 3 = # de burros 2
- 100 -
Rpta.: B
→
RS# de caballos = 5k T# de vacas = 9k RS# de vacas = 3M T# de burros = 2M
Segundo Año de Secundaria
(k y M son constantes de proporcionalidad)
De la figura:
Vemos que: 9k = 3M
•
Área total = 3s
•
Área coloreada = s
9 k=M → 3
M = 3k
Si:
# de burros = 2M = 2(3k)
à
# de burros = 6k
Área coloreada s 1 = = Área total 3s 3
∴
Según el enunciado: “si 4 burros fueran caballos, habría tantos burros como caballos” 6k − 4 = 5k + 4 6k − 5k = 4 + 4
Rpta.: B Resolución
25
De la figura:
k=8 ∴
# de vacas = 9k = 9(8) = 72 Rpta.: D
Resolución
23
# de niños 8 = # de niñas 5
→
niños = 8k RS## de T de niñas = 5k
Si vienen 4 niños y se van 5 niñas, tenemos que: •
# de niños será: 8k + 4
•
# de niñas será: 5k − 5
•
Área total = área
8k + 4 2 = 5k − 5 1
1·(8k + 4) = 2·(5k − 5) 8k + 4 = 10k − 10 4 + 10 = 10k − 8k 14 = 2k
à
Área total = 4bh
•
Área coloreada = Área
à
Área coloreada = 2bh
Luego:
= (2b)·h
Área coloreada 2bh 1 = = Área total 4 bh 2 2
Luego:
∴
Al final hay: (8 k + 4)niños (8(7) + 4) niños (56 + 4) niños 60 niños
Resolución
8b · h 2
1
k=7
Al final hay 60 niños
2 =
Según el enunciado, se tiene que:
∴
b 6b + 2 b g · h
=
La relación es 1:2
Resolución
26
Edad de Manuel 7 = Edad de Sara 5
Rpta.: B
Rpta.: A
à
de Manuel = 7k RSEdad TEdad de Sara = 5k
Del enunciado: “Manuel es 10 años mayor que Sara”, tenemos: 7k = 5k + 10 7k − 5k = 10
24
Por traslado de áreas se obtiene:
2k = 10
→
k= 5
Luego: hace 15 años: Edad de Manuel = 7k − 15 = 7(5) − 15 = 35 − 15 = 20 ∴ Como la base y la altura de los tres triángulos (∆AMB; ∆MBN, ∆NBC) son iguales, entonces las áreas de los triángulos son iguales.
- 101 -
Hace 15 años Manuel tenía 20 años Rpta.: E
Manuel Coveñas Naquiche
Resolución
5(a − 6) = 3(b − 6) 5a − 30 = 3b − 18 5a − 3b = −18 + 30
27
Sean “a” y “b” los números. à
a 7 = b 3
a2 + b2 a 2 − b2
Luego:
∴
→
Razón:
Resolución
RSba == 37kk T b 7 k g + b 3k g = b 7 k g − b 3k g 2
2
2
2
=
49k 2 + 9k 2 49k 2 − 9k 2
=
58k 2 29 = 40k 2 20
29 20
5a − 3b = 12 .................................. (I) •
a+9 7 = b + 9 10 10(a + 9) = 7(b + 9) 10a + 90 = 7b + 63 10a − 7b = 63 − 90 10a − 7b = −27 ..............................(II) De (I) y (II), resolvemos el sistema, obteniendo: ∧
a = 33
Rpta.: D
b = 51
Luego, suma de edades es: a + b 33 + 51
28
Sean a y b las edades de las personas actualmente. •
Dentro de 9 años:
∴
Suma de edades = 84 años
Hace 6 años:
Rpta.: D
a−6 3 = b−6 5 EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO. Pág.(390, 391, 392, 393, 394) NIVEL I Resolución à
1
24 3 = x 12
Si Q es D.P a Z
Valor de Q = constante Valor de Z
2=3x ∴
à 18
Cuando: Q = 18 ; Z = 6
Cuando: Q = x ; Z = 14 à
x
6
A = 2 ; B = 16 à 22
16
Si
A = x ; B = 12 à x2
12
A2 es D.P a B
18 · 14 6 1
∴
x = 42
à
à
Rpta.: C
Resolución
3
Si
3
x=
Rpta.: D
Resolución
14
18 x = 6 14
Entonces:
x=8
2
Si
3
Valor de A 2 = constante Valor de B2 22 x 2 = 16 12
A es I.P a B
e Valor de A j · b Valor de Bg = constante 3
3
x2 =
1
12 · 22 12 · 4 = =3 16 16 4 1
à
3
64
6
Cuando: A = x ; B = 12 à
3
x
12
Cuando: A = 64 ; B = 6
∴
j b g e x j · b12g
e
3
64 · 6 =
4·6=
3
x · 12
Entonces:
x2 = 3
3
- 102 -
x= 3
Rpta.: A
Segundo Año de Secundaria
Resolución
4
Resolución
Si R = 14 ; A = 2 à (14 − 4) Si R = x ; A = 8
(8 + 7)
Si repartimos 78 en partes inversamente proporcionales a: 2; 3 y 4 ; obtenemos:
(R − 4) es I.P a (A + 7) à (Valor de R − 4)·(Valor de A + 7) = constante
x y z = = =k 1 1 1 2 3 4
(14 − 4)·(2 + 7) = (x − 4)(8 + 7) 10
∴
·
9
Donde: x =
k 2
6=x−4
y=
k 3
z=
k 4
Rpta.: B
Resolución
5
Si
A es D.P. B
à
y 24 30 = = 8 x 20
Donde:
Luego:
= (x − 4)·15
90 = x−4 15 x = 10
Del gráfico:
x + y + z = 78 k k k + + = 78 2 3 4
13k = 78 12
→ y = 12
24 30 20 · 24 = → x= x 20 30
→ x = 16
k = 72 Luego: Timotea recibe: z = k = 72 = 18 4
∴
x + y = 16 + 12 = 28 Rpta.: A 6
U| || V| || W
6k + 4 k + 3k = 78 12
30 · 8 y 30 = → y= 20 8 20
Resolución
Tenemos que:
Carlos → 2 vocales ; recibe x nuevos soles Mario → 3 vocales ; recibe y nuevos soles Timotea → 4 vocales ; recibe z nuevos soles
(2 + 7)
à (x − 4)
8
Timotea recibe S/. 18 Rpta.: B
Resolución
9
Sea N la herencia a repartir (x; y; z las partes)
Si:
Carga = 2T; recorrido = 40km à 2T Si carga = 5T ; recorrido = x à 5T
40km à
x
x y z = = =k → 4 7 9
Como: la carga es I.P al recorrido à
Según el problema: 4k = 28
(2T)(40km) = (5T)(x)
Luego: N=x+y+z N = 4k + 7k + 9k N = 20k
8
2 T · 40 km 5T
x = 16km
Resolución
∴
7
La herencia es deS/. 140
Resolución
Entonces:
k=5
Donde: x =
El mayor recibe: 5k = 5(5) = 25 Rpta.: C
- 103 -
Rpta.: D
10
Se reparte: 110 en partes D.P. a
Las partes serán: 3k y 5k
Donde: 3k + 5k = 40 8k = 40 ∴
k=7
N = 20(7) = 140
Rpta.: A
Se divide 40 nuevos soles en dos partes directamente proporcionales a 3 y 5 à
→
Reemplazando el valor: k = 7, tenemos:
1
∴
R|xy == 74kk S|z = 9k T
(carga)·(recorrido) = constante
x=
4
x y z = = =k 1 2 5 3 3 6 k 3
y=
2k 3
z=
5k 6
1 2 5 ; ; 3 3 6
Manuel Coveñas Naquiche
Resolución
k 2 k 5k + + = 110 3 3 6
Luego:
13
Si pienso trabajar “x” horas diarias, pero trabajo 2 horas menos Entonces: Trabajaré : (x − 2) horas
2k + 4k + 5k = 110 6
11 k = 110 6
k = 60 Las partes serán: k 60 x= = 3 3
∴
Aplicando la regla práctica: →
b g
y=
2 k 2 60 = 3 3
z=
5k 5 60 = 6 6
b g
→
y = 40
→
z = 50
La menor parte es 20
Resolución
18·x = (18 + 6)·(x − 2) 18x = 24(x − 2) 18x = 24x − 48 48 = 24x − 18x 48 = 6x
x = 20
x=8 Luego: Se trabajó: (x − 2)horas diarias (8 − 2)horas diarias
Rpta.: C
11
∴
Se trabajó 6 horas diarias
Rpta.: D
Dividimos: 1350 en partes I.P. a los números Resolución
1 1 1 1 ; ; y 6 7 4 8
14
Si 160 zapatos < > 80 pares de zapatos
x y z w Entonces: = = = = k 6 7 4 8
Donde: x = 6k y = 7k z = 4k w = 8k Si:
x + y + z + w = 1350 6k + 7k + 4k + 8k = 1350 25k = 1350
20
120
18
x
80
24
k = 54 Luego: la mayor parte es 8k = 8(54) = 432 ∴
La mayor parte es S/.432
Resolución
x=
Rpta.: C
20 · 80 · 18 120 · 24
x = 10
12
Como son magnitudes directamente proporcionales, tenemos que:
∴
# de personas = 10
Resolución
Rpta.: B
15
I.P.
Entonces:
30 50 = x 750
x=
50 · 750 30
20
160
48
8
40
200
x
4
x = 1250 ∴
Recorrerá 1250 segundos
Rpta.: A
Entonces:
x=
48 ⋅ 200 ⋅ 20 ⋅ 8 40 ⋅ 160 ⋅ 4
x = 60 ∴
- 104 -
Tardarán 60 días
Rpta.: A
Segundo Año de Secundaria
Resolución
16
Resolución
20
Según el enunciado tenemos que: 20% de M = 60% de E 1
3
20 60 ×M = ×E 100 100 6
50
10
–9
10
x
15
6
Entonces: x =
Tanto por ciento =
50 · 10 · 18 · 6 6 · 10 · 9
Consumirán 83,3 toneladas de carbón Rpta.: A
Resolución
17
Tanto por ciento =
∴
Tanto por ciento = 100%
Resolución à
16
10 2 40 60 000 × 80 × × × 6000 = 100 5 100 10 000 × 5 1
= 96
à
Rpta.: E
B=
130% · 10 = 13 100%
El nuevo lado será: x = 13
15 × 900 → 100
à
A = 135
La nueva área será: x2 = 132 = 169
Donde:
10 × 300 → 100
B = 30
b
=
20 × 165 = 33 100
g
•
El área 100 representa el 100% del área inicial
•
El área 169 representa el 169% del área inicial
Luego: 169% − 100% = 69% ∴
Su área aumenta en 69%
Resolución 20% de (A + B) = 33
Resolución
Rpta.: C
Luego:
1 x Porcentaje = 5 × 100% 2x =
10 1 × 100 % = 10% 10 1
Porcentaje = 10%
Rpta.: D
22
1° descuento: à
19
R|• El doble es: 2 x Sea “x” el número: S•La quinta : 1 x |T parte es 5
∴
Área del cuadrado = L2 = 102 = 100
x=
20 × 135 + 30 Luego: 20% de (A + B) = 100
∴
21
Entonces: 10 → 100% x → 130%
18
B = 10% de 300 à
Rpta.: D
Si aumenta en un 30%
1
A = 15% de 900 A=
3E × 100% 3E
à
Suponiendo que el lado L = 10 6
Resolución
3E × 100% M
Pero: M = 3E
x = 83,3 ∴
M = 3E
100% − 40% de 100% = 100% −
40 · 100% = 60% 100
2° descuento: à
60% − 50% de 60% = 60% −
50 ·60% = 30% 100
Luego: Descuento único = 100% − 30% ∴
Rpta.: C
- 105 -
Descuento único = 70%
Rpta.: A
Manuel Coveñas Naquiche
Resolución
23
Obteniendo: C =
Si gana el 30% significa que: Supuesto: Pc = S/. 100
b
100 S /. 200 4·1
g
C = S/. 5000
(+)
∴
g = S/. 30
La cantidad de dinero es de S/. 5000 Rpta.: A
Pv = S/. 130 Planteamos la regla de tres directa.
Resolución
Si
Según datos: C + I = S/. 1350
S/. 100Pc corresponde a S/. 130Pv
à
S/. S/. 840 Pc corresponde a x
entonces:
S/. 900 + I = S/. 1350 I = S/. 450
S /. 130 Pv · S /. 840 Pc S /. 100 Pc
x=
Pero: I = C · % · t ; para “t” en meses 1200
x = S/. 1092 Pv ∴
El precio de venta es S/. 1092 Rpta.: B
Resolución
24
Aplicando la fórmula: I =
Resolución
∴
Tasa trimestral =
bS /. 2000gb50gb1/ 2g
Resolución
100
28
Como los triángulos (∆BCN; ∆MBN; ∆MND; ∆MAD) son iguales, entonces: Rpta.: C
25
Aplicando la fórmula:
Obtenemos: C =
C=
De la figura: − −
100 · I %· t
Área de rectángulo ABCD = 4S Área coloreada = 2S
Luego:
b g bgb g
100 · S /.12 4 · 5/6
Porcentaje =
C = S/. 360 El capital producto es de S/. 360
Resolución
60% = 15% 4
Rpta.: B
Datos: C = ? %=4 t = 10 meses = 5/6 año I = S/. 12
∴
1200
Para convertirlo a tasa trimestral, dividimos por 4.
C· %· t 100
El interés es de S/. 500
bS/. 900g · %b10g
% = 60% anual
I = S/. 500 ∴
Reemplazando: C = S/. 900 → t = 10 meses I = S/. 450 Obtenemos: S/. 450 =
Datos: % = 50 C = S/. 2000 t = 6 meses = 1/2 año I=?
Obtenemos: I =
27
=
Rpta.: B ∴
26
Datos: I = S/. 200 %=4 t = 12 meses = 1 año C=? Aplicando la fórmula:
C=
100 · I %· t
- 106 -
Área coloreada × 100% Área del rectángulo
2S × 100% 4S
Porcentaje = 50%
Rpta.: D
Segundo Año de Secundaria
Resolución
40 I × VJ gFGH 100 K F 100V − 40V IJ P. V. = bP + 2 gG H 100 K F 60 V I P. V. = bP + 2 g G GH 100 JJK F3 I P. V. = bP + 2 g G V J H5 K
29
b
P. V. = P + 2 V −
Por traslado de áreas se tiene:
3
5
De la figura: − −
Área del cuadrado ABCD = 8S Área sombreada = 4S
P. V. =
Luego:
3 6 P. V + V 5 5
3P. V + 6 V 5
P. V. =
Porcentaje =
Área coloreada × 100% Área del cuadrado
5P.V = 3PV + 6V 2P.V = 6V
4S = × 100% 8S ∴
P=
Porcentaje = 50%
Resolución
Rpta.: C
∴
6V =3 2V
El gas está sometido a una presión de 3 atm.
30
Rpta.: B Resolución
2
Si la deformación(d) es D.P. a la fuerza (F) entonces:
Donde:“x” es la nueva longitud del resorte al aplicarle la fuerza de 4 newton De la figura: −
Área coloreada = 3a
− Área del triángulo ABC = 8a Luego: Porcentaje =
d = constante F
à
36 − 30 x − 30 = 3 4 6 x − 30 = 3 4
Área coloreada × 100% Área del triángulo
3a × 100% = 8a
∴
Si:
Porcentaje = 37,5%
8 = x − 30 x = 38
Rpta.: D
∴
La longitud será de 38cm
Resolución NIVEL II Resolución
1
P.V. = constante
*
Si P aumenta, entonces V disminuye
Si P disminuye, entonces V aumenta * Según el enunciado del problema, tenemos: P.V. = (P + 2)(V − 40% de V)
3
Sea: S = sueldo del empleado x = años que transcurren hasta que se cuadruplica el sueldo S
Como: la presión(P) es I.P. al volumen(V) à
Rpta.: C
(Edad)2
Sueldo (18)2
S 4S
(18 + x)2
Como: sueldo es D.P. a (Edad)2 à
- 107 -
Sueldo
bEdadg
2
= constante
Manuel Coveñas Naquiche
S 4S = 182 18 + x
b
Resolución 2
g
Sean: x; y; z las partes repartidas
(18 + x)2 = 4·182
Según el enunciado, tenemos que:
(18 + x)2 = 22· 182
x y z = = =k 2 1 5 3 5 6
(18 +x)2 = (2·18)2 18 + x =2·18 18 + x = 36 x = 18 ∴
6
•
x+y+z =k 2 1 5 + + 3 5 6
Por propiedad:
Cuadriplicará su sueldo dentro de 18 años Rpta.: C
Resolución
x+y+z =k 20 + 6 + 25 30
à
4
Del gráfico: A es I.P. a B à
x+y+z =k 51 30
A·B = constante
1
(x − 1)·45 = x·36 = (x + 1)·y 2
De 1 :
x+y+z =
45(x − 1) = 36x 45x − 45 = 36x 45x − 36x = 45 9x = 45
Si:
x + y + z = 12 240 51k = 12 240 30
Tenemos que:
x=5 De 2 :
k = 7 200
36x = (x + 1)·y à
à
x 2 2 =k→x= k= 7200 2 3 3 3 x = 4800
b
Donde:
36(5) = (5 + 1)·y 180 = 6y y = 30 Luego: 2x + 3y = 2(5) + 3(30) = 10 + 90 ∴
2x + 3y = 100
Resolución
51k 30
y 1 1 =k→y= k= 7200 1 5 5 5
b
Rpta.: A
5
g
g
Menor parte
y = 1440
A es D.P. a B z 5 5 =k→z= k= 7200 5 6 6 6 z = 6000
b
A es I.P. a C Entonces:
A· C = constante B
Luego: Reemplazando los valores dados en el enunciado, obtenemos:
∴
x = 8
Sea:
y = 18
z 50
x y z = = 2 2 3 2 5 2
30 · 5 · 24 A= 8· 6
x+y+z x y z = = = 10 2 2 2 3 2 5 2
A = 75 Suma de cifra de A = 7 + 5 = 12
7
x + y + z = 200
A · 6 30 · 5 = 24 8
∴
La menor parte es 1440
Resolución
A · 36 30 25 = 24 8
g
200 x = 10 2 2 2
Rpta.: C
- 108 -
→ x = 40
Rpta.: B
Segundo Año de Secundaria
∴
200 y = 10 2 3 2
→ y = 60
200 z = 10 2 3 2
→ z = 100
La mayor parte es 100
Resolución
Sabemos que: x + y + z = 6510 930 + 930A + 930A2 = 6510 930(1 + A + A2) = 6510 A2 + A + 1 =
Rpta.: C
A2 + A + 1 = 7 A2 + A − 6 = 0 (A + 3)(A − 2) = 0
8
Sean: a; b; c las partes à
2
2
2
a b c = = 125 245 80
a c = ⇒ b d
De la propiedad:
2
Tenemos que:
6510 930
5 5
=
a = n b
2
a = 125 a
n
b = 245 b
7 5
=
c 4 5
n n
c d
A+3=0 ∧
A−2=0
A = −3
A=2
∧
Si:
A=2
à
AK = 2k = 930 K = 465
Si el mayor es: Z = A3K
2
c =k 80
Z = (2)3(465) Z = 3720
=k
∴
El mayor recibió S/. 3720
Rpta.: A
a+b+c =k Por propiedad: 5 5 +7 5 +4 5
Resolución
a+b+c =k 16 5
à
Si a + b + c = 2560 k=
* 2560 =k 16 5
10
Si se ha hecho la mitad de la obra, queda por hacer la otra mitad.
Entonces, tenemos que:
160 5
FG 160 IJ → a = 800 H 5K F 160 IJ → b = 1120 5G H 5K F 160 IJ → c = 640 5G H 5K
Donde: a = 5 5 k = 5 5 b=7 5 k=7
c=4 5k=4
∴
2
Luego: x =
La menor parte será 640
∴
1 · 15 2 = 30 1 10· 1 2
20·
Tardarán 30 días
Rpta.: D
Rpta.. C Resolución
Resolución
9
11
Sean: x; y; z las partes repartidas. Si el reparto es en forma inversamente proporcional, tenemos que: x·A−1 = y·A−2 = z·A−3 = k x y z = = =k A A2 A3
Donde:
x = AK y = A2K z = A3K Si el menor: x = AK = 930 También: y = A·AK → y = 930A z = A2·AK → z = 930A2
Luego: x = ∴
720 · 25 · 8 = 960 5 · 30
Se necesitaron 960kg de carne Rpta.: A
- 109 -
Manuel Coveñas Naquiche
Resolución
12
x=
Sea: “x” el número de personas que había inicialmente ∴
280 · 13k = 728 5k
Habrá realizado 728m
Resolución
Rpta.: D
15
Según el enunciado, tenemos que: Rendimiento de un ayudante = Hallamos el # de personas:x + 3 = 5(x + 3) = 6x 5x + 15 = 6x 15 = 6x − 5x à
→
x·6 5
Y= ∴
Se tiene la relación: Rend. de un ayudante 1 = Rend. de un 3 albañil
x = 15
n° de personas = 15
Luego:
Rendimiento de un albañil 3
Donde: Rendimiento de un ayudante = K Rendimiento de un albañil = 3k Luego:
15 · 6 1
→
y = 90
22 · 6k + 3k 9k + 2k
x=
22· 9k = 18 11k
Una sola persona cavará en 90 días
g
2
Rpta.: E Resolución
b
x=
13
1
∴
La obra la harán en 18 días Rpta.: D
Resolución 16 Sea “x” el número de obreros a contratar. Si la habilidad de los 15 obreros es 100% La habilidad de los “x” obreros será 200% x=
∴
41 · 2250 70 = 45 2050 · 1
70 ·
Las provisiones durarán 45 días Rpta.: B
Resolución
14
Según el enunciado, tenemos que: Habilidad de A 5 = Habilidad de B 13
Entonces: Habilidad de A = 5k Habilidad de B = 13k
Luego:
F 100 I FG 100 · 15IJ + FG 200 · xIJ = H 100 · 15K · 60 · 15 H 100 K GH 100 JK 12 · 25 2
1
15 · 60 · 15 12 · 25 15 + 2x = 45 15 + 2 x =
x = 15 ∴
- 110 -
Deberán contratar 15 obreros más
Rpta.: C
Segundo Año de Secundaria
Resolución
Reemplazando el valor de “A”, obtenemos:
17
Si se emplean “x” obreros más, tenemos:
•
A +B =
FG 3 BIJ + B H2 K
à
A +B =
5 B 2
•
2 A + 7B = 2
à
2A + 7B = 10B
D.P.
FG 3 BIJ + 7B H2 K
=3B + 7B 2
15 · 30 · 10 · 22 30 Entonces: 15 + x = 10 · 11· 1
Porcentaje =
Luego:
1
→
15 + x = 30 ∴
Se emplean 15 obreros más
Resolución
18
El doble del 60% de N = 2(60% de N) = 2· =
Rpta.: E
20
S = 150% de T S=
S=
6 ·N 5
150 ·T 100
3 T 2
→
S 3 = T 2
Donde: S = 3k T = 2k
El 30% del 20% de los
2 de N 5
Luego:
30 20 2 3 × × N= N 100 100 5 125
Resolución
∴
T
5K × 100% 2K
Porcentaje = 250%
Resolución
21
Rpta.: A
Sea “N” el número:
Según el enunciado del problema, tenemos que:
1 × 100% 50
Porcentaje = 2%
bS + T g × 100%
2k
Porcentaje =
3 N 125 Porcentaje = × 100% 6 N 5 =
Porcentaje =
b3k + 2k g × 100% Porcentaje =
Hallamos el porcentaje:
∴
Porcentaje = 25%
Según el enunciado del problema, tenemos que:
60 ·N 100
Luego:
=
∴
Resolución
Sea “N” el número: à
5 B Porcentaje = 2 × 100% 10B
x = 15
Rpta.: D
A +B × 100% 2 A + 7B
30% del 20% de los Rpta.: D
2 de N 5
= 24% del 0,01% de 1000 30 20 2 24 0, 01 · · N= · · 1000 100 100 5 100 100
19
Según el enunciado, tenemos que:
3 3 N= 125 125
40% del 50% de A = 30% de B 40 50 30 × ×A= ×B 100 100 100 2A = 3B
A=
N=1 ∴
3 B 2
- 111 -
El número es 1
Rpta.: A
Manuel Coveñas Naquiche
Resolución
22
Me queda lo que no gasté, o sea 700 nuevos soles.
−
Si el n° de hombres aumenta en 10%
à
El nuevo n° de hombres será:
Gasté el 40% de 700 à
gasté:
1050 +
40 · 700 100
Luego: El nuevo # de alumnos será: 630 + 1155
Gasté: 280 nuevos soles
à
Luego:
Aumento de alumnos = 285
Hallamos, qué porcentaje es 285 de 1500 Porcentaje =
= 280 nuevos soles + 700 nuevos soles Inicialmente tenía 980 soles Rpta.: C Resolución
23
Porcentaje = 19% ∴
El total de alumnos aumentó en 19% Rpta.: D
Resolución
Según el enunciado, tenemos que: 60% × 25% × 80% × 50% ×
10 N = N − x% de N 3
FG H
1 x N = N 1− 5 100
25
Área del Sabemos: rectángulo = Base × Altura
60 25 80 50 10 x · · · · N = N− N 100 100 100 100 3 100
Suponiendo: Base = 20 Altura = 5
IJ K
1 x = 1− 5 100
F GH
à
Re presenta el Área = 20×5 = 100 100% del área inicial
*
Si la base aumenta en 30%:
x 1 = 1− 100 5 x 4 = 100 5
Base = 20 + →
Altura = 5 − Rpta.: C
30 ·20 = 20 + 6 = 26 100
20 ·5 = 5 − 1 = 4 100
Donde: Área = 26 × 4 = 104
24
presenta elI F Re104 del J GH área%inicial K
Luego:
Total de alumnos = 1500 70 · 1500 100
•
n° de hombres: 70% de 1500 =
à
n° de hombres = 1050
•
n° de mujeres: 30% de 1500 =
à
n° de mujeres = 450
−
Si el n° de mujeres aumenta en 40%
à
El nuevo n° de mujeres será: 450 +
I JK
Si la altura disminuye en 20% :
*
x = 80
Habrá que disminuir en 80%
Resolución
285 × 100% 1500
Sea
“N” el número y “x” el porcentaje que disminuye.
∴
Nuevo n° de alumnos = 1785
El aumento de alumnos es: 1785 − 1500 à
Inicialmente = lo que gasté + lo que me tenía queda
∴
10 · 1050 = 1050 + 105 = 1155 100
30 · 1500 100
40 ·450 = 450 + 180 = 630 100
Variación del área = 104% − 100% = 4% ∴
Aumenta en 4%
Resolución
Rpta.: D
26
Sea: b = base h = altura x = porcentaje que se debe aumentar la altura. Área inicial = b·h/2 *
Si la base disminuye en 50%
à
Nueva = b base 2
- 112 -
Segundo Año de Secundaria
*
Si la altura aumenta en x%
à
Nueva = h 1+ x altura 100
FG H
Resolución
IJ K
29
Por traslado de áreas se obtiene:
Área = b × h 1 + x final 4 100 Como el área no varía Área inicial = Área final De la figura: b ⋅h b x = ⋅ h 1+ 2 4 100 x 2 = 1+ → 100 ∴
•
=
x = 100
La altura debe aumentar en 100% Rpta.: B
Resolución
Área coloreada = área del rectángulo MFGN
F a 2 I · ea 2 j GH 2 JK
à
Área coloreada = a2
•
Área del cuadrado ABCD = (2a)2
à
Área del cuadrado ABCD = 4a2
Luego:
27
Supuesto: Pc = S/. 100
Porcentaje =
(+)
Área coloreada × 100% Área del cuadradoABCD
g = S/. 20 Porcentaje =
Pv = S/.120 Luego: planteamos la regla de tres directa.
∴
S/. 120 Pv corresponde a S/. 100 Pc S/. 720 Pv corresponde a x Donde: x =
a2 × 100% 4 a2
Porcentaje = 25%
Resolución
Rpta.: C
30
Por traslado de áreas se obtiene:
S /. 720 Pv · S /.100 Pc S /.120 Pv
x = S/. 600Pc ∴
La grabadora le costó S/. 600 Rpta.: D
Resolución
28
Del enunciado: M = 5C Sabemos que: M = C + I
Del gráfico:
Entonces, tenemos que:
*
5C = C + I I = 4C Aplicando la fórmula:
Área coloreada = bh I=
C· %· t 100
Además: 20% trimestral = 20% × 4 = 80% anual Luego: 4C = ∴
C · 80 · t 100
t = 5 años
Área coloreada = Área del rectángulo BEGF = b·h
*
Área total = Área del trapecio ABCD =
à
b 2b + 6b g · h 2
Área total = 4bh
Luego: Rpta.: B
Porcentaje = = ∴
- 113 -
Área coloreada × 100% Área total bh × 100% 4 bh
Porcentaje = 25%
Rpta.: C
Manuel Coveñas Naquiche
CAPÍTULO N° 9 GEOMETRÍA EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO SOBRE SEGMENTOS. Pág.(405, 406, 407) Resolución
1
1
Según el enunciado, graficamos:
=
2x + y − y 2 x = 6x 6x 3
∴ Del gráfico:
x = 10
Rpta.: C
(3x)
3x + x + 4(3x) = 160 4x + 12x = 160 16x = 160 ∴
AC − CD 1 = 6 · BC 3
Resolución
4
Según el enunciado, graficamos:
Rpta.: C
Resolución
2
Luego: AE = x + x + 2y + y
Según el enunciado, graficamos:
à
AE = 2x + 3y
También: AB = x Como: AB + AE = 24 Del gráfico: AB = y à 3AB = 3y CD = 3BC = 3x AD = y + x + 3x à Luego:
AD = y + 4x 3AB + AD 2 = 28 ; 3y+ + (y + 4x) = 28
Si:
4y + 4x = 28 4(y + x) = 28 y+x=7 AC = y + x
∴
AC = 7
x+(2x + 3y) = 24 à
3x + 3y = 24 3(x + y) = 24
à
x+y=8
Del gráfico:
AD = x + x + 2y AD = 2x + 2y
à
AD = 2(x12 +3 y) AD = 2(8)
∴
Rpta.: A
AD = 16
Resolución
Rpta.: E
5
Según el enunciado, graficamos: Resolución
3
Según el enunciado, graficamos Del gráfico:
AC = 2 + x BD = x + 5
Del gráfico:
AC = (x + y) + x
à
AC = 2x + y
AD = 2 + x + 5 à
AD = x + 7
Luego:
Como: AC + BD + AD = 56 (2 + x) + (x + 5) + (x + 7) = 56 3x + 14 = 56 3x = 42
Reemplazamos estos valores en:
à
x = 14
Si:
AD = x + 7 AD = 14 + 7
∴
AD = 21
CD = y BC = x
b
g
2x + y − y AC − CD = 6 · BC 6· x
- 114 -
Rpta.: C
Segundo Año de Secundaria
Resolución
Si:
6
AD = 7·BC 24 − x = 7x 24 = 8x →
Según el enunciado, graficamos: ∴ Resolución
BC = 3
x=3 Rpta.: C
9
Con los datos, graficamos: Sea:
M punto medio de AB N punto medio de CD
Del gráfico: à
BC = 28 - 2x BC = 30 − 2y 28 − 2x = 30 − 2y 2(14 − x) = 2(15 − y) 14 − x = 15 − y y − x = 1 .......................... (I) MN = x + (28 − 2x) + y
Luego:
Sean: M punto medio de AB N punto medio de CD Luego:
MN = x + (24 − 2x) + y MN = x + 24 − 2x + y MN = 24 + y − x
Del gráfico:
• BC = 24 − 2x • BC = 30 − 2y 24 − 2x = 30 − 2y 2(12 − x) = 2(15 − y) 12 − x = 15 − y y−x=3
MN = x + 28 − 2x + y MN = 28 + (y − x) .......... (II) Reemplazando (I) en (II), obtenemos:
à
MN 28 + (1) ∴
MN = 29
Resolución
Rpta.: B
7
Según el enunciado, graficamos:
AC = x + x + y
à
AC = 2x + y
También:
BC = y
Luego:
à
AC + BC = 40 (2x + y) + y = 40 2x + 2y = 40 2(x + y) = 40 x + y = 20
Del gráfico:
MC = x + y MC = 20
MN = 24 + (y − x) MN = 24 + (3)
∴
MN = 27
Resolución
Del gráfico:
∴
à
Si:
Rpta.: D
10
Rpta.: B
Si:
AB =
BC 2
→ BC = 2AB
AB =
CD 3
→
CD = 3AB
Según los datos, graficamos:
Del gráfico:
•
AC = x + 2x AC = 3x
Resolución
•
8
BD = 2x + 3x BD = 5x
Con los datos, graficamos: •
BC = 2x
Reemplazamos estos valores en:
Del gráfico:
AD = (10 − x) + x + (14 − x) AD = 10 − x + x + 14 − x
M=
AC2 + BD2 BC2
M=
b3xg + b5 xg b2 xg
M=
9 x 2 + 25 x 2 34 x 2 = 4 x2 4 x2
2
AD = 24 − x También:
BC = x ∴ - 115 -
2
2
M = 8,5
Rpta.: A
Manuel Coveñas Naquiche
Resolución
Resolución
11
Según el enunciado graficamos:
Del gráfico: à
AD = y + x + y AD = x + 2y
También:
BC = x
Si:
AD = 2·BC x + 2y = 2x 2y = 2x − x à
Como: C es punto medio de AD à AC = CD Del gráfico: à
2y = x
CD y y 1 Del gráfico: BC = x = 2 y = 2 CD = 0, 5 BC
∴ Resolución
14
Según los datos del enunciado graficamos:
∴
Rpta.: C
• •
4 + x = 10 − x 2x = 6 x=3
BC = 3
Resolución
Rpta.: C 15
Según los datos del enunciado graficamos:
12
Según el enunciado, graficamos:
Del gráfico:
•
Si: Luego:
•
à •
AB = (x + y) + x
BC = y
∴
Del gráfico:
Resolución
FB = 14
AC = x + 10 BD = 10 + y AC + BD = 32 (x + 10) + (10 + y) = 32 20 + x + y = 32 x + y = 12
AB = 2x + y AB − BC = 28 (2x + y) − y = 28 2x + y − y = 28 2x = 28 →
Si:
AC = 4 + x CD = 10 − x
•
AD = x + 10 + y AD = 10 + x + ! y AD = 10 + 12
∴
AD = 22
Rpta.: C
x = 14
Rpta.: E
NIVEL II Resolución
1
Con los datos del enunciado, graficamos:
13
Según los datos del enunciado graficamos:
Como: C es punto medio de AD à Del gráfico:
AC = CD •
à
Luego:
∴
Del gráfico, vemos que:
• AD = y + 2x • BC = x − y
BD = y + (x + y) BD = x + 2y
•
BA = x
•
BC = y
b
Si:
AD + BC = 12 (y + 2x) + (x − y) = 12 y + 2x + x − y = 12 3x = 12 ∴
g
x + 2y − x BD − BA = 3 · BC 3· y =
x + 2y − x 3y
=
2y 3y
BD − BA 2 = 3 · BC 3
Resolución
x = 4 Rpta.: D
2
Según el dato, graficamos:
Rpta.: B
- 116 -
Segundo Año de Secundaria
Del gráfico: à
• •
à
2
Si:
AC
AC = x + x + z AC = 2x + z
2
+
à
BD
= 34 = = = =
34 34 34 34
x + z + y = 17
Del gráfico : EF = x + z + y EF = 17
Por dato:
AB · BC = 28 2 · x = 28 x = 14
Del gráfico: à
AC = 2 + x AC = 2 + 14
∴
Rpta.: B
Resolución Resolución
5
Según los datos graficamos:
BD = z + y + y BD = z + 2y
(2x + z) + (z + 2y) 2x + z+ z + 2y 2x + 2z + 2y 2(x + z + y)
∴
Resolución
3
AC = 16
Rpta.: D
6
Según los datos graficamos:
Según los datos graficamos:
Del gráfico:
•
BM = x
• MD = x + 6 BM · MD = 7
Como:
x · (x + 6) = 7 x2 + 6x = 7 x2 + 6x − 7 = 0 x2 + 6x − 7 = 0 Factorizando, tenemos: (x + 7)(x − 1) = 0 x = −7
∧
x=1
Como: x ∈ IN Luego:
→
x=1
à
Del gráfico: à ∴ Resolución
Reemplazando estos valores, tenemos: AC + BD + CE + DF = 46 (x + BC) + (BC + CD) + (CD + DE) + (DE + y) = 46 x + 2BC + 2CD + 2DE + y = 46 x + y + 2(BC + CD + DE) = 46 Por dato:
BE = 24
Pero:
BE = BC + CD + DE à
AM = 3 + x AM = 3 + 1 AM = 4
Del gráfico vemos que: AC = AB + BC → AC = x + BC BD = BC + CD CE = CD + DE DF = DE + EF → DF = DE + y
Rpta.: C
4
AB BC CD = = =k 2 3 7 à AB = 2k à BC = 3k à CD = 7k Con estos datos graficamos: Como:
BC + CD + DE = 24
Reemplazando, tenemos que: x + y + 2(BC + CD + DE) x + y + 2(24) x + y + 48 x+y Luego:
AD = 2k + 3k + 7k AD = 12k
Por dato: à
AD = 48 12k = 48 k=4
Luego: ∴
AB = 2k = 2(4) AB = 8
Rpta.: B
∴ Resolución
AF = 22 7
Si:
AE = 28 = AB + BE 28 = AB + 16 AB = 12
Si:
AC = 15 = AB + BC 15 = 12 + 3x 3 = 3x x=1
à - 117 -
46 46 46 −2
AF = x + 24 + y AF = 24 + (x + y) AF = 24 + (−2)
Según los datos graficamos:
Del gráfico:
= = = =
Rpta.: D
Manuel Coveñas Naquiche
Si:
BE = 16 = BC + CD + DE 16 = 3x + CD + x 16 = 4x + CD 16 − 4x = CD
Resolución
10
Según los datos graficamos:
Como: x = 1, tenemos: CD = 16 − 4(1) ∴
CD = 12
Resolución
Del gráfico:
•
BD = y +(x + y) BD = x + 2y
Rpta.: A
• AB = x
8
BD − AB = 4
Si:
Según los datos graficamos:
(x + 2y) − x = 4 x + 2y − x = 4 →
2y = 4 Según datos: 2(AC + BC) 2(b + b − a) à c=
= 3CD = 3c
4b − 2a 3
∴
AD =
Resolución
BC = 2
Rpta.: D
11
Según los datos, graficamos:
4b − 2a 3
7b − 2a 3
BC = y
∴ Resolución
De acuerdo al gráfico: AD = b +
Del gráfico:
y=2
Rpta.: C Del gráfico: à
9
Según los datos se grafica:
Del gráfico, vemos que: n − m = x + y ............................. (I) Por dato: AB· CD = BC·AD à m·y = x·n xn ...................... (II) m Reemplazamos (II) en (I), obteniendo:
MN = 15 + 3 MN = 18
También:
NB = 3
Luego:
MN 18 = =6 3 NB
Resolución
Rpta.: A
12
Según los datos, graficamos:
Despejamos “y” : y =
xn m
n −m = x+
FG n IJ H mK F m + n IJ n − m = x GH m K mb n − m g =x
AD = 6x
Luego:
AD = AB + BC + CD AD = BC + AB + CD 6x = x + AB + CD 5x = AB + CD
Por dato: à
AB + CD = 40 5x = 40 x=8
Como:
AD = 6x = 6(8)
n − m = x 1+
m+n
Del gráfico:
∧
Del gráfico:
∴
AC = m + x
AD = 48
BC = x
Rpta.: D
Reemplazando el valor de “x”, obtenemos: AC = m + AC =
b
m n−m m+n
g
AC =
13
Según los datos graficamos:
bm + ng + mbn − mg m+n
m2 + mn + mn − m2 AC = m+n
∴
Resolución
2m · n m+n
Del gráfico:
Rpta.: C - 118 -
• • •
AC = x + y AB = x BC = y
Segundo Año de Secundaria
Si:
3(AC + AB)= 4BC 3((x+ y) + x) = 4y 3(2x + y) = 4y 6x + 3y = 4y
Del gráfico:
∴
6x = y AB x x = = BC y 6 x
Luego: ∴
AB 1 = BC 6
Resolución
Resolución
AD = 2x + BC + x AD = 2x + (10 − 3x) + x AD = 3x + 10 − 3x AD = 10
Rpta.: B
15
Según los datos graficamos:
Rpta.: C
14
Según los datos graficamos:
Del gráfico: à
AD = 4 + 2 + x AD = 6 + x
También:
CD = x
Como:
AB·CD = AD·BC 2
Si:
1
AC = AB + BC
4· x = (6 + x ) · 2 2x = 6 + x
AC = 2x + BC
x=6
Luego:
3AC − BC = 20 3(2x + BC) − BC = 20 6x + 3BC − BC = 20 6x + 2BC = 20 2(3x + BC) = 2·10 3x + BC = 10 BC = 10 − 3x
Si:
AD = 6 + x = 6 + 6
∴
AD = 12
Rpta.: B
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO SOBRE ÁNGULOS. Pág.(422, 423, 424) NIVEL I Resolución
Resolución
1
Como los ángulos son complementarios, hallamos el complemento de 38° 24´ 52´´ *
Complemento de 38°24´52´´ = 90° − 38°24’52’’
*
Complemento de 38°24’52’’ = 51°35’8’’
∴
El otro es 51°35’8’’
Resolución à
2
105° 15’ 25’’ 75° 42’ 37’’
Tenemos: −
no se puede La expresión se puede escribir de la siguiente manera: 104° 74´ 85´´ 75° 42´ 37´´
Rpta.: A
29° 32´ 48´´ Rpta.: B
Sea el ángulo: x°
Complemento de x° = 90° − x°
Suplemento del complemento de (90° − x°) =180° − (90° − x°)
Resolución à
Según los datos, tenemos que: 180° − (90° − x°) = 124°34’20’’ 90° + x° = 124°34’20’’ Rpta.: B
Sea el ángulo: x°
x° = 80° Luego: Suplemento de 80° = 180° − 80°
x° = 124°34’20’’ – 90° x° = 34°34’20’’
4
Complemento de x = 90° – x°, tenemos que: x° = 8·(90° − x°) x° = 720° − 8x° 9x° = 720°
180° - 90° + x° = 124°34’20’’
∴
3
∴
Suplemento de 80° = 100° Rpta.: D
- 119 -
Manuel Coveñas Naquiche
Resolución
m 5 AOC + m 5 BOD = 200° (α + β) + (β + φ) = 200°
Del dato:
5 De la figura: α + α + β + β = 130° 2α + 2β = 130° 2(α + β) = 130°
2β + α + φ = 200° ............(I) m∠) BOC =
Del dato:
3 α+β+φ 7 7β = 3(α + β + φ) 7β = 3α + 3β + 3φ 4β = 3α + 3φ 4β= 3(α + φ)
α + β = 65° Sea:
β=
OM bisectriz del ángulo AOB ON bisectriz del ángulo BOC
Luego: Nos piden: ∴ Resolución
m 5 MON = α + b m 5 MON = 65°
g
Reemplazando (II) en (I), obtenemos:
6
4 2β + β = 200° 3 6β + 4β = 200° 3 10β = 600°
* OM es bisectriz del ángulo BOC
β = 60°
De la figura: m 5 AOM = m 5 AOB + m 5 BOM m 5 AOM = 150° + 15° Rpta.: A m 5 AOM = 165°
Resolución
b
4 β = α + φ .................... (II) 3
Rpta.: C
* m 5 AOC = 180° (ángulo llano)
∴
3 · m∠) AOD 7
Reemplazando el valor β = 60° en (II): 4 60° = α + φ 3
b g
80° = α + φ
7
Luego: m ∠) AOD = m∠) AOB + m∠) BOC + m∠) COD m ∠) AOD = α + β + φ m ∠) AOD = β + (α + φ) m ∠) AOD = 60° + 80° ∴
Si:
Del dato:
∴
m ∠) AOD = 140°
Rpta.: E
ON es bisectriz del ángulo AOC M 5 AOB - m 5 BOC = 34° (α + β) − (α − β) = 34° α + β − α + β = 34° 2β = 34° β = 17°
m 5 NOB = 17°
Resolución
8
Resolución
9
De la figura: α + β + θ = 150° ............... (I)
Rpta.: D Del dato:
m ∠) AOC + m ∠) BOD = 200° (α + β) + (β + θ) = 200° α + β + θ+ β = 200° (α + β + θ) + β = 200° ..... (II)
Reemplazando (I) en (II) obtenemos: 150° + β = 200° β = 50° ∴
- 120 -
m ∠) BOC = 50°
Rpta.: C
Segundo Año de Secundaria
Resolución
10
Resolución
13
En la figura, ubicamos el punto “O” y trazamos una recta L2, paralela a L y L1 y que pase por “O” Luego, trasladamos todas las rectas, de tal forma que todas pasen por “O”.
De la figura: • M es bisectriz del ángulo AOB • N es bisectriz del ángulo COD
De la figura: x + 2x + 3x + 4x = 180° 10x = 180°
Como: m ∠) MON = 90° à α + β + φ = 90°
∴
x = 18°
Rpta.: C
De la figura: Resolución
m∠) AOC + m∠) BOD = (α + α + β)+ (β + θ+ θ) = 2α + β + β + 2θ = 2α + 2β + 2φ =2(α + β + θ) =2(90°) ∴
m ∠) AOC + m ∠) BOD = 180°
Resolución
14
Rpta.: E Trazamos la rectas L2 y L3 , paralelas a las rectas L1 y L. à α + β = y ..................................... (I) à φ + θ = x ..................................... (II) J J • Usando ángulos alternos internos entre L y L
11
Trazamos la recta L2 paralela a las rectas L1 y L
2
α = 25°
J J • Usando ángulos alternos internos entre L y L 2
β = 30° De la figura:
3 φ + φ = 90° 2
Reemplazando en (I), obtenemos: 25° + 30° = y
3φ + 2φ = 90° 2 5φ = 90°·2 5φ = 180° → φ = 36°
à •
120 + φ = 180° φ = 60°
à
x + 36° = 180°
Resolución
x = 144°
•
Rpta.: C
nos
Usando ángulos conjugados interJ J entre L y L : 3
12
Usando ángulos conjugados internos entre L1 y L2 , tenemos que: 140° + φ = 180°
Reemplazando en (II), obtenemos: 60° + 50° = x à
Usando ángulos conjugados internos entre L y L2, tenemos que: Reemplazando el valor: φ = 40° x + 2(40°) = 180° x + 80° = 180° x = 100°
∴
Rpta.: B - 121 -
x = 110° x 110° = y 55°
Luego:
x + 2φ = 180°
1
φ + 130° = 180° φ = 50°
φ = 40°
∴
y = 55°
Usando ángulos conjugados internos J J entre L y L 3 :
De la figura: x + φ = 180° ∴
1
x =2 y
Rpta.: B
Manuel Coveñas Naquiche
Resolución
15
Resolución
3
Si:
α
J Trazamos la recta L paralela a las rectas L y L1 2
•
Usando ángulos correspondientes J J entre L y L : 2
α = x .............................. (I) •
Usando ángulos conjugados internos H H entre L y L : 2
1
β + 4x = 180° β = 180° − 4x ................ (II)
→
Si: • OM es bisectriz del ángulo AOB →
• ON es bisectriz del ángulo COD De la figura: m ∠) BOD = 90° m ∠) BOD = x + 2θ à
x + 2θ = 90° ................................ (I)
De la figura: m ∠) AOC = 90° m ∠) AOC = 2α + x
De la figura: α + β = 150° ................. (III)
à
Reemplazando (I) y (II) en (III), obtenemos:
Sumando (I) + (II), obtenemos:
x + (180° − 4x) = 150° 180° − 3x = 150° 180° − 150° = 3x 30° = 3x ∴
x = 10°
x + 2θ = 90° 2α + x = 90°
De la figura: m∠) MON = α + x + θ ∴
1
A = 180° −[86°35’25’’ − 25°59’45’’] : 5 A = 180° − [85°94’85’’ − 25°59’45’’] : 5 A = 180° − [60°35’40’’] : 5
UV (+) W
x + 2θ + 2α+ x = 180° 2x + 2θ + 2α = 180° 2(x + θ + α) = 180° x + θ + α = 90°
Rpta.: D
NIVEL II Resolución
2α+ x = 90° ................................ (II)
Resolución
m ∠) MON = 90°
Rpta.: D
4
A = 180° − [60°35’40’’] : 5 A = 180° − 12°7’8’’ A = 179°59’60’’ − 12°7’8’’ ∴
A = 167°52’52’’
Resolución
Rpta.: A
2
De acuerdo a la figura: *
De la figura:
) AOC m∠ ") AOD "! = m∠ " "! + m∠) COD 180° = 152° + m ∠) COD m ∠) COD = 180° − 152° m ∠) COD = 28°
*
m∠ m" ∠) COD ") BOD "! = m∠) BOC + "! 48° = m ∠) BOC + 28°
∴
m∠) BOC = 20°
∠) BOD ∠) COD m ∠) BOC = m " "! − m " "!
m ∠) BOC = ∴
m ∠) BOC = 150°
Resolución
Rpta.: C
- 122 -
170°
5
−
20°
Rpta.: D
Segundo Año de Secundaria
Según el enunciado del problema, tenemos: Suplemento de 2x = 180 − 2x à x + 30° = 180° − 2x x + 2x = 180° − 30° 3x = 150°
OC es bisectriz del ángulo BOD De la figura: m ∠) AOD = 20° + α + α m ∠) AOD = 20° + 2α ........ (I) m ∠) AOD = 80° ............... (II)
Del dato:
∴
De (I) y (II) obtenemos: 20° + 2α = 80° 2α = 60°
→
α = 30°
x = 50°
Resolución
Rpta.: A
9
De la figura: m ∠) AOC = 20° + α m ∠) AOC = 20° + 30° ∴
m ∠) AOC = 50°
Resolución
Rpta.: D
6 →
OM es bisectriz del ángulo AOB
→
ON es bisectriz del ángulo COD De la figura: m ∠) MON = x + z + y Del dato: m ∠) MON = φ à x+z+y=φ De la figura: m ∠) AOC = 2x + z Del dato:
m ∠) BOD = z + 2y
m ∠) AOB · m ∠) BOD = m∠) AOC · m ∠) COD
Del dato m ∠) AOC − m ∠) BOD = θ Reemplazando los valores de la figura, tenemos: (2x + z) − (z + 2y) = θ 2x + z − z − 2y = θ 2x − 2y = θ 2(x − y) = θ
Reemplazando los datos de la figura, obtenemos: x·(α + 28°) = (x + α)28° x·α + 28°x = 28°x + 28°α x·α = 28°α ∴
x = 28°
Rpta.: B
à Resolución
7
Sea “x” el ángulo.
Luego:
Complemento de x = 90° - x Suplemento de x = 180° - x
Si:
Le sumamos “x” a ambos lados de la igualdad:
Según el enunciado del problema, se plantea lo siguiente:
b
g
x − 90 ° − x =
1 · 180 ° − x 4
b
g
à
2x + z = φ +
180° − x 4
4(2x − 90°) = 180° − x 8x − 360° = 180° − x 9x = 540° ∴ Resolución
x = 60°
x+x+z=φ−y+x 2x + z = φ + (x − y) ...................... (II)
Reemplazando (I) en (II), obtenemos:
180 ° − x x − 90 ° + x = 4
2 x − 90° =
θ ................................... (I) 2 x+z+y=φ x+z=φ−y x−y =
Rpta.: D
θ 2
De la figura: m ∠) AOC = x + x + z m ∠) AOC = 2x + z ∴ Resolución
8
- 123 -
m ∠) AOC = φ + 10
θ 2
Rpta.: A
Manuel Coveñas Naquiche
→
De la figura: como hay dos ángulos conjugados internos que valen 90°, entonces las rectas L1 y L2 son pararlelas.
OM es bisectriz del ángulo AOB
→
ON es bisectriz del ángulo COD
De la figura: m ∠) AOC = 2α + β m∠) BOD = β + 2θ Del dato:
También:
m ∠) AOC = m ∠) BOD 2α + β = β + 2θ 2α = 2θ α=θ
à
à
Usando ángulos correspondientes entre L1 y L2, vemos que: α=θ De la figura: φ + 90° + α + 90° = 360° φ + α + 180° = 360° φ + α = 180° φ + θ = 180° ................................ (I)
m ∠) AOC = 70° " "! 2α + β = 70° .................... (I)
φ = 3x + 5°
U| V θ = 6x + 10° |W
Por dato:
De la figura: m ∠) MON = α + β + θ Pero: α = θ à m ∠) MON = α + β + α m ∠) MON = 2α + β
Reemplazando (II) en (I), obtenemos: (3x + 5°) + (6x + 10°) = 180° 9x + 15° = 180° 9x = 165°
De (I) tenemos que: m ∠) MON = 2α + β = 70° ∴
m∠) MON = 70°
(II)
à Si:
Rpta.: C
3x = 55° φ = 3x + 5° φ = 55° + 5°
Resolución
11
∴
φ = 60°
Resolución
L2 y L3 son paralelas, ya que “α” es un ángulo correspondiente Como: L2 y L3 son paralelas,ubicamos “x” en la figura.(Por ángulos correspondientes) Como: L y L1 son paralelas, ubicamos “φ” en la figura. (Por ángulos correspondientes) De la figura, se tiene:
Donde: ∴
x + θ + 180° − φ = 180° x = 180 + φ − 180 − θ x=φ−θ Rpta.: D
12
13
Usando ángulos conjugados internos entre L y L1, tenemos que: à
110° + φ = 180° φ = 70°
De la figura, sumamos los ángulos internos del cuadrilátero formado: 2φ + 110° + φ + x = 360° 3φ + 110 + x = 360° 3φ + x = 250° , pero: φ = 70° à
3(70°)+ x = 250° 210° + x = 250° ∴
Resolución Resolución
Rpta.: D
x = 40°
Rpta.: B
14
Usando ángulos conjugados internos, tenemos que: (4φ + 20°) + (3φ − 15°) = 180° 7φ + 5° = 180° 7φ = 175° φ = 25° De la figura: x + (4φ+ 20°) = 180° x + 4φ + 20° = 180° x + 4φ = 160°
- 124 -
Segundo Año de Secundaria
φ = 25° x + 4(25°) = 160° x + 100° = 160°
∴
x = 60°
Resolución
θ +70° + x = 180°
También:
à
à
Pero:
60° + 70° + x = 180° x = 180° − 70° − 60°
Rpta.: C
∴
x = 50°
Rpta.: A
15
Usando ángulos conjugados internos tenemos que: 60° + 2θ = 180° 2θ = 120° θ = 60°
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO SOBRE TRIÁNGULOS. Pág.(433, 434, 435) NIVEL I Resolución
1
Por propiedad: m∠) A + m ∠) B + m ∠) C = 180° α + 90° + α = 180° 2α = 90° ∴ α = 45° Rpta.: D Resolución
4
Por dato: el tercer lado deberá ser 6 ó 8 Aplicando la propiedad:
Por propiedad: m∠) A + m ∠) B + m ∠) C = 180°
Un lado es menor que la suma y mayor que la diferencia de los otros dos lados.
82°24’54’’ + 34°56’18’’ + x = 180° 116°80’72’’ + x = 180° 117°21’12’’ + x = 180° ∴
x = 62°38’48’’
Resolución
Rpta.: C
à
4−3
View more...
Comments
