solucionario coveñas matemax 1
March 26, 2017 | Author: killashpampa | Category: N/A
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Primer año de secundaria
Solucionario Primer año de educación secundaria
-1-
Manuel Coveñas Naquiche
-2-
Primer año de secundaria
CAPÍTULO N°1 EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO SOBRE TEORÍA DE CONJUNTOS (Pág. 22, 23, 24) NIVEL I Resolución
1
• A = {x/ 5 < x < 7 ; “x” es un número natural} à
Resolución
Veamos:
5 < x < 7 → x = 6 → A = {6}
*
• B = {x/ 3x - 1 = 8 ; “x” es un número natural} à
3x − 1 = 8 → x = 3 → B = {3}
∴ A y B son conjuntos Unitarios Rpta.: C Resolución •
2
Veamos:
A = {x/ “x” es un número natural mayor que 5} à A = {6; 7; 8; 9; ... }
•
Tenemos:
Es verdadero (E)
Resolución
5
Rpta.: E
Veamos:
B = {x/ ”x” es una fiera} à B = {tigre, ... }
•
← Conjunto
∴
4
A = {{a}; b; {c}; {d; e}} Luego: A) {c} ⊂ A ← (F) B) a ⊂ A ← (F) C) b ⊂ A ← (F) D) {d; e} ⊂ A ← (F) E) {{d; e}} ⊂4 A ← (V) ; {d; e} ∈ A 14 4 24 3 14243
← Conjunto
C = {x/ “x” es un mamífero} à C = {vaca; carnero; .... } ← Conjunto
∴
Tenemos: VVV Rpta.: C
Resolución
*
3
Tenemos:
*
Luego: • M = {1; 3; 4; 5; 6} • N = {4; 5; 7} • P = {2; 3; 4}
*
Ahora: A) M = {1; 3; 4; 5; 6; 7} B) N = {4; 5; 6; 7} C) P = {2; 3; 4; 6} D) N = {4; 5; 7} E) Ninguna
Ahora:
Resolución
• A = {1; 3; 8; 9; 4}
•
Luego: I. 8 ∈ A II. 4 ∈ C III. 3 ∉ B IV. 1 ∈ B V. 5 ∉ A VI. 9 ∉ C
• ← ← ← ← ← ←
(V) (V) (V) (F) (V) (V)
∴ Tenemos: VVVFVV Rpta.: D
Tenemos:
38 n 11
∴
*
Cant. (n) = 16 − 6 = 10 Cant.(n) = 10
Resolución
Rpta.: D
28
A B
7
1
5
31
Sea:
Luego:
RSn = 8k Tn = 6( k + 5 ) 0 = 2k − 30
à k = 15
En:
Veamos:
A B
Rpta.: A
RSn = Cant. de estudiantes Tk = Cant. de bancas
Cant.(n) = C·D·(27·51) − {1; 2; 4; 5; 8; 10} 144244 3 Cant.(n) = (7 + 1)(1 + 1) − 6
à
k = 13
Resolución
n·q = 27 × 51 ∴
k = 3(0 + 5)3 : 5·5 − (9 − 3)·4:12
• n = 8k à n = 8(15) = 120 à n = 120 *
6
Me piden: Cant. estudiantes = n = 120
(6−1)
1424 3
*
1424 3
Resolución
División por exceso
División por defecto
*
à Σ Residuos = Divisor *
Ahora: à A = 5(8) + 7 à A = 47
∴
Me piden:
à
A + B = 47 + 8 = 55 Resolución
29
Rpta.: A
m * n = 3m + 2n - 2 6mn Me piden: k=(12*2) * (2*3)
à
k = 3 × 12 + 2 × 2 − 2 6 × 12 × 2
FH
FH 3 × 2 + 2 × 3 − 2
6× 2× 3
IK
IK *
Resolución
Rpta.: D
30
(
à
e
∴
):
3
Veamos:
9
Al final
1 Subida de 7 pasos Sube 7 pasos y baja 3 pasos
15(7) + 15(3) + 1(7) = 157 123
. pasosI FH Cant retroceso K = 15(3) = 45
Rpta.: C
Me piden: 625
33
Rpta.: C
Cant. pasos de retroceso
3
k = 3 23 0 +
x à x = 28 gatos 2
RS T
k = 16 * 0 = 3 ×16 + 2 × 0 − 2 6 × 16 × 0 ∴ k = 48
14 =
• 15(7 + 3) + 1(7) = 157 123
k = (36 + 4 − 24) * (6 + 6 − 12) k = 48 + 0 − 0
R| 3 S| T⇒ queda = 14 botellas x R Queda = 14 botellas S x gatos ⇒ botellas 2 T
Resolución
Tenemos:
*
(−)
Ahora:
12 • Tengo = 18 botellas 12 gatitos ⇒ botellas
B= 8
• A = 5B + 7
*
Tenemos:
• 1 botella → 3 gatitos o 2 gatos
Propiedad: 7+1=8 à
32
Rpta.: E
125 · 5
j
− 32 − 5 243 · 4 : 144
- 33 -
Manuel Coveñas Naquiche
CAPÍTULO N° 3 PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO SOBRE SISTEMA DE NUMERACIÓN (Pág.144, 145, 146) NIVEL I Resolución
1
Tenemos:
Resolución
|RS |T
a =1 • abc × 4 = 492 à abc = 123 à b = 2 c=3
RSmn==31 T
• mn × 5 = 65 à mn = 13 à Me piden:
*
k = (a + b +
c)m+n
= (1 + 2 +
à k = (6)4 = 1296 Resolución
2
10ab(6) = 307(9) .... (I) *
à
à 250 = 1054(6)
Rpta.: B 1054(6) = 307(9)
Veamos: *
Resolución
m=9
3
Rpta.: C
Veamos:
∴ a=5 ∧ b=4 *
Resolución
4
ab × 9 a 0b à ab × 9 = a 0b (10a + b)·9 = 100a + b 90a + 9b = 100a + b 8b = 10a à
*
a 4 = à b 5
RSab == 54kk T
a − b = 5 − 4 = 1 Rpta.: D
6
Veamos: 1 a 5 6 +
à
b a 8 d19 4
Unidades: * • 6 + b = ... 4 = 14 à b = 8 à llevo 1 Decenas: * • 1 + 5 + a = ... 9 = 9 à a = 3 Centenas: * • a + b = d1 à 3 + 8 = d1 11 = d1 à d = 1
*
Me piden: à a·b + d = 25
Para:
Resolución
RS T
Me piden: a + b = 9
d194
Comparamos
a·b + d = 3·8 + 1 = 25
k = 1 à a = 4(1) = 4 à a + b = 9 b = 5(1) = 5 *
a 56 + bab
Rpta.: B
Veamos:
Me piden:
Resolución
220012(3) = 2(243) + 2(81) + 3 + 2 à 220012(3) = 653
En (I): 10ab(6) = 307(9)
• 220012(3) = 2·35 + 2·34 + 0·33 +0·32 + 1·3 + 2 à
307(9) = 250
•
m3 + 0·m2 + 0·m + 0 = 729 à m3 = 729 Me piden:
Ahora: • 307(9) = 3·92 + 0·9 + 7 = 250
à m=9 *
Tenemos:
3)1+3
1000(m) = 729 à
5
7
Rpta.: B Veamos:
• # mayor = 642(8) = 6×82 + 4×8 + 2 = 418 à # mayor = 418
Rpta.: C *
Ahora:
•
∴ 642(8) = 418 = 1534(6)
- 34 -
Rpta.: E
Primer año de secundaria
Resolución
8
Veamos:
Resolución
•
13
3(5) + 33(5) + 333(5) = aba(5) 1 3(5) 1 3 3(5)
à
3443 = 2650 (11)
∴
Ultima cifra = 0
Resolución
9
Rpta.: A Tenemos:
*
Resolución
10
Rpta.: B
abc − cba = xy 5
(100a + 10b + c) − (100c + 10b + a) = xy5
à
3 = 10 − n Me piden:
a−c=5
∴
Reemplazando: * 99(5) = xy5 à 495 = xy5 à xy = 49
11
Rpta.. B
Tenemos: a + b = 17
S = ab + ba S = (10a + b) + (10b + a) S = 11(a b)= 11(17) = 187 +!
15
Rpta.: A
Tenemos:
∴ S = 187
à
abc × mn 5576 3485 40426
Rpta.: B
Rpta.: A
12
abc × mn abc xn abc xm
Entonces el valor de abc × mn = 40426
0
Resolución
16
Tenemos:
mn3 − 3nm = a95
Tenemos:
ab − ba = xy
que m > 3 à
à (10a + b) − (10b + a) = xy 9(a − b) = xy
72 à x +y = 7 + 2 = 9 Rpta.: E
...
27 à x + y = 2 + 7 = 9 ...
3
...
18 à x + y = 1 + 8 = 9
...
2
∴ x+y=9
= 92 + 72 = 81 + 49 = 130
el valor de m2 + n2 =130
Me piden:
Me piden:
8
+
à n=7 n2
abc × m = 3485 y abc × n = 5576
xy + yx = 49 + 94 = 143
Resolución
m2
Resolución
Me piden:
Resolución
Entonces: c + 10 − a = n à a − c= 10 − n ... (1) b − 1 + 10 − b = m à m = 9 a − 1 − c = 2 à a − c = 3 ... (2) a − c = 10 − n
° 5
° à (a − c) = 5
*
• • •
Reemplazamos (2) en (1):
99(a − c) = xy5
*
Tenemos:
abc − cba à concluimos que: c < a 2mn
Veamos:
;
14
Rpta.: C
abc − cba = 2mn
Unidades Me piden: Unidades = 3
RSab == 24 T
Me piden: a·b = 4×2 = 8
∴ 243(8) = 163
Resolución
+
3 3 3(5) 4 2 4(5) = aba( 5) à
N = 243(8) = 2×82 + 4×8 + 3 = 128 + 32 + 3 = 163
*
Veamos:
à
3 + 10 − m = 5 à m = 8 Como “n” le presto 10 a 3: n − 1 + 10 − n = 9 à 9 = 9 Como “m” le presto 10 a n:
à
m−1−3=a à m−4=a
Como: m = 8 à 8 − 4 = a àa = 4 Me piden: aa + mm à 44 + 88 = 132 ∴ - 35 -
El valor de aa + mm = 132
Rpta.: C
Manuel Coveñas Naquiche
Resolución
17
Tenemos:
1mnp(3) = mnp( 6) 1(3)3 + m(3)2 + n(3) + p = m(6)2 + 6n + p 27 + 9m + 3n = 36m + 6n 27 = 27m + 3n 9 = 9m + n 0 9 1 0 Pero como: 0 < m < 3 à m = 1; 2 à
•
Igualamos: 9−a=b à a+b=9
•
7=a−1 à a=8 Reemplazamos “a”: 8+b=9 à b=1
Me piden: 2a + 3b = 2(8) +3(1) = 19 ∴
Resolución
el valor de m = 1 y n = 0
21
Tenemos: ( 9)
2 aba1((5) 5 ) = 6( 9 ) + 6( 9 ) + 6
Me piden: m +n + p = 1 + 0 + 2 = 3
aba1((5) 5 ) = 546
El valor de m + n + p = 3
aba1(5) (5) = 4141(5)
Resolución
18
(
C.A. 5416(8)
Rpta.: A
Igualamos:
Me piden:
à a=4yb=1 à a+b=5
)
à
( 7 − 5 )(7 − 4 )( 7 − 1)( 8 − 6 ) à 2362(8)
∴
El C.A. 5416(8) = 2362(8)
(
Resolución
∴ El valor de a + b = 5 Resolución
)
19
C.A(256) + C.A(4820) = C.A a 0bc
= 104 − a 0bc
Los valores de “a” se encuentran en: 4 4
j
b 9 − 2gb 9 − 5gb10 − 6g + b 9 − 4 gb 9 − 8gb10 − 2g 0
Resolución
22
Rpta.: C
2411(a) = 1bac(6)
Tenemos:
e
Rpta.: D
aba1((5) 5 ) = 666
Como: m ≠ n ≠ p y p < 3 : p = 0; 1; 2 y como m = 1 y n = 0 à p = 2 ∴
El valor de 2a + 3b = 19
Rpta.: B
250 + 100 + 6 = 216 + 36b + 30 + c 110 = 36b + c à
Los valores: b = 3 y c = 2 Me piden: a + b + c = 5 + 3 + 2 = 10
∴
El valor de a + b + c = 10
Resolución
23
Rpta.: D
Tenemos:
35 b( a) = ba 0(7 )
Como: a > 5 y a < 7 Los valores de “a” se encuentran en: 5b Pero tambien: b 2,5
Tenemos: abcd × m = 1416 ∧ abcd × n = 2848
Me piden:
14
à m=3
Deducimos: 2,5 < m < 4
Reemplazamos “m” en (α):
abcd × moon 2848 0000 0000 1416 1418848
3 = 6(3)2 − 16(3) − n 3 = 54 − 48 – n à n = 3
→ n × (abcd)
Me piden: m·n = 3×3 = 9
→ m × ( abcd)
∴
El valor de m×n = 9
Rpta.: D
Suma de cifras: 1 + 4 + 1 + 8 + 8 + 4 + 8 = 34 ∴
La suma de cifras de abcd × m00n = 34
Resolución
Veamos: abc − cba = xy ( x − 1) ; a > c
Rpta.: A Resolución
15
* “b” le presta a “c” y se resta con “a”: c + 10 − a = (x − 1) à a − c = 11 − x .... (α)
Tenemos:
888 ... 8 × 9 ; pasamos a posición vertical: 1 424 3
* “a” le presta a (b − 1) y se resta con “b”: b − 1 + 10 − b = y à y = 9
88 cifras
à
∴
888 ... 8 × 9 79 .... 992 → (88 + 1) cifras 89 cifras Suma de cifras: 7 + 9(87) + 2 = 792
* (a − 1) se resta con “c”: a − 1 − c = x à a − c = x + 1 ... (β) Igualamos(α) y (β): 11 − x = x + 1 10= 2x à x = 5
La suma de cifras del producto: 792 Rpta.: E
Resolución
16
Tenemos:
5(6) + 55(6) + 555(6) + ... + 555 1 42... 4 35(6)
18
Reemplazo “x” en (β): a − c = 5 + 1 à a − c = 6 Me piden: (x + y)(a − c) = (9 + 5)(6) = 84 ∴
El valor de (x + y)(a − c) = 84 Rpta.: D
55 cifras
Lo ubicamos en forma vertical 5(6) 55(6) 555(6) M 55 ... 555(6)
U| |V 55 sumandos || → 55 cifras W
.............ab(6)
•
Para b: 5(55) = 275 ; lo llevamos a base 6
à
b = 5 ; llevamos 45
•
Para a: 5(54) + 45 = 315 ; lo llevamos a base 6
à
Resolución
+
a=3
à
La suma de a + b = 5 + 3 à a + b = 8
∴
El valor de a + b = 8 17
I
•
b + 10 − a = 2
→
a− b=8
• a − 1 − b = x à (a − b) − 1= x ; Reemplazando: à 8−1=x à x=7 Caso II: • d + 10 − c = y à (c − d) − 10 = −y • c−1−d=3 à c−d=4 Reemplazamos (c − d): 4 − 10 = −y à y = 6 Me piden: xx + yy + xy 77 + 66 + 76 = 219 ∴ El valor de xx + yy + xy = 219 Rpta.: D
Rpta.: A
1(2m)2
20
Tenemos:
xyy(9) = ( y + 1)( y + 1)x(7)
Tenemos:
+ 2(4) + n =
II
Caso I:
m2n(4) = 1m5(2m)
m(4)2
Tenemos:
− dc = 3 y ab −4ba = x32 ∧ cd 14 244 14 4244 3
Resolución Resolución
19
x(9)2 + y(9) + y = (y + 1)(7)2 + (y + 1)(7) + x 81x + 10y = 49y + 49 + 7y + 7 + x 80x − 46y = 56 40x − 23y = 28 à 40x = 23y + 28
+ m(2m) + 5
16m + 8 + n = 4m2 + 2m2 + 5 3 = 6m2 − 16m − n .... (α)
Deduciendo los valores de “x” e “y”: x=3 ∧ y=4 - 40 -
Primer año de secundaria
Me piden: ∴
b 3g + b 4 g 2
2
El valor de x 2 + y 2 = 5
Resolución
21
11100 − 32 − 223a = 9284 11068 − 223a = 9284 223a = 1784 a=8
= 9 + 16 = 25 = 5
Rpta.: D
e j
Tenemos:
Me piden: C.A aa
545(b) ; 7 a 3(8 ) ; 6 b 5( a)
à C.A (88) à 100 − 88 = 12
e j
Analizamos: Con “a”: a < 8 ∧ a > 5 à 5 < a < 8 * Valores de “a”: 6 y 7 Con “b”: b > 5 ∧ b < a à 5 < b < a * • Si “a” valiera 6 à b no existe • Si “a” vale 7 à b=6
∴ El valor de C.A aa = 12 Rpta.: C Resolución
Factorizamos 2430: 2430 1215 405 135 45 15 5 1
* 773(8) à base 10 = 507 à a base 6 = 2203(6) * 665(7) à a base 10= 341 à a base 6 = 1325(6) El menor numeral en base 6 es 545(6) Rpta.: B Resolución
22
Tenemos:
abc(9) × 888(9) = ....825(9) En posición vertical:
a b c( 9 ) × 888
e j C. A e ab 54 j = pq 45 + 1
...... 825 .....825 ( 9) (9)
(9 − a)(9 − b)46 = pq45 + 1
abc(9) × 8(9) = 565(9)
(9 − a)(9 − b)46 − pq45 = 1
Pero:
( 9 − a )(9 − b ) 46 − p q 45 0 0 01
à 8(9) = 8
• 8(9) = 8
• 565(9) = 5×92 + 6×9 + 5 à 565(9) = 464
Analizando:
Reemplazando en (I): à abc (9) × 8 = 464 à abc(9 ) = 58 = 64(9) à {a = 0 ; b = 6 ; c = 4} à a + b + c = 10 Rpta.: D
Resolución
e j
3×3×5 = 45
C. A abcd = pqrs + 1
(9 )
*
2×3×3×3 = 54
à Los valores de c y d son: c=5 y d=4 ∧ r=4 y s=5 Reemplazamos:
5 6 5(9 ) 565 ( 9) 565
*
2 3 3 3 3 3 5
à cd × rs = 2430 54 ×45 = 2430 y cumple: 5 + 4 = 4 + 5 ( 9)
Multiplicamos:
Tenemos:
cd × rs = 2430 ∧ c + r = d + s
Por lo tanto: a = 7 ∧ b = 6 Reemplazamos: 545(6) ; 773(8) ; 665(7) * 545(6)
∴
24
23
e j
Tenemos:
*
9 −b=q
à 9=b+q
*
9−a=p
à 9=a+p
Me piden: a + b + p + q = a + p + b + q a+b+p+q=9+9 a + b + p + q = 18 ∴ El valor de a + b + p + q = 18
e j = 9284
C. A 1a + C. A 2 a1 + C. A 2 a1a
C.A(10 + a) + C.A [2(10a + 1)] + C.A [2(102a + 10 + a)] = 9284 102 − 10 − a + 103 − 20a − 2 +104 − 200a − 20 − 2a = 9284
- 41 -
Rpta.: D
Manuel Coveñas Naquiche
Resolución
25
Tenemos:
Resolución
C. A abc − cba = a 04
27
Veamos:
abab(n) = 335(8) abab(n) = 3 × 82 + 3 × 8 + 5
Resolvemos: C. A abc − cba = a 04
ab(n) ·n2 + ab(n) = 221
C.A [100a + 10b + c − 100c − 10b − a] = a04
ab(n) ·(n2 + 1) = 13 × (42 + 1)
C. A 99( a − c ) = a 04
ab(n) ·(n2 + 1) = 31(4) ·(42 + 1)
10 3 − 99 ( a − c ) = a 04
1000 − a04 = 99(a − c)
* Comparando: à a=3;b=1;n=4 • ab(n) = 31(4)
( 9 − a )96 = 99( a − c )
Analizando: a − c = 4 ... (β) * (9 − a)96 = 99(4)
• * •
( 9 − a )96 = 396
Entonces: 9 − a = 3 à a = 6 Reemplazamos “a” en (β): 6−c=4 à c=2 Me piden: a + c = 6 + 2 à a + c = 8 ∴ El valor de a + c = 8 Rpta.: A
n2 + 1 = 42 + 1 à n = 4 ∴ a = 3 ; b = 1; n = 4 Me piden: (a + b)n = (3 + 1)4 = 44 = 256 à
Resolución
(a + b)n = 256
28
Rpta.: C
Tenemos:
m00m(7) = abc 0
73×(m)+m = abc × 10 Resolución
26
(73 + 1)m = abc × 10 (344)m = abc × 10
Número de 3 cifras: abc
Planteamos: abc(7) = cba( 9) 72×a + 7×b + c = 92×c + 9×b + a
34,4 × m = abc Para que sea entero abc se le debe multiplicar 34,4 por 5 à m=5 34,4 × 5 = abc
49a + 7b + c = 81c + 9b + a 48a = 2b + 80c
172 = abc Los valores de: a=1; b=7 ;c=2 ym=5 Me piden: a + b + c + m = 1 + 7 + 2 + 5 = 15 ∴ El valor de a + b + c + m = 15
48(5) = 2(0)+ 80(3)
à
Los valores que toman a; b y c son: a=5 ; b=0 y c=3 à El numeral es: abc(7) = 503(7) = 5(7)2 + 0(7) + 3 503(7) = 248 Lo pasamos a base 5:
Rpta.: E
abc (7) = 248=1443(5)
∴
El valor de abc7 en base 5 = 1443(5) Rpta.: B
- 42 -
Primer año de secundaria
Resolución
29
Tenemos:
Resolución
abb3 + 20 × abb = 7 ⋅ 1abb − 120
{
Me dan:
342(6) × 555 .... 555 (6) 14243
}
30 cifras
abb(10) + 3 + 20abb = 7 110 ( )3 + abb − 120
555 ... 555(6) × 342(6)
30abb + 3 = 7000 + 7 abb − 120 23abb = 6877
1555 ... 5554 3555 ... 555 2 2555 ... 5553 3415 ... 555214
abb = 299
à
30
Los valores de a = 2 y b = 9
e j
Me piden: C.A bab
à à à à
31 cifras 31 cifras 31 cifras 33 cifras
C.A(929) = 1000 − 929 = 71
Sumamos las cifras: 3 + 4 + 1 + 27(5) + 2 + 1 + 4 Suma de las cifras: 150
à
C.A bab = 71
∴
∴
El valor de C.A bab = 71
e j
e j
La suma de las cifras: 150 Rpta.: D
Rpta.: A
CAPÍTULO N° 4 EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO SOBRE DIVISIBILIDAD (Pág. 169, 170, 171) NIVEL I Resolución
Resolución
4
N = 30 = 2×3×5 = 2· [31 × 51] 1 424 3
1
° cant. divisores 2
o
*
*
Sea: n = 7 à n = 7k ; k ∈
Luego: 1 ≤ n ≤ 60 à 1 ≤ 7k ≤ 60
∴
à k = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} ∴
Cant.(n) = cant.(k) = 8
Rpta.: B
Resolución 2 Sea: ° n = 4 à n = 4k ; k ∈
*
Veamos:
o° à cant. Div. (N) ← 2 = (1 + 1)(1 +1) = 4 o° cant. Div. (N) ← 2 = 4 Rpta.: C
Resolución
5
Veamos:
2·32] 32 = 2·[2 N = 72 = 2132·3 12 3
cant. div. pares =(2+1)(2+1)
Luego: 1 ≤ n ≤ 80 à 1 ≤ 4k ≤ 80 à k = {1; 2; 3; ...; 20} à cant.(k) = 20
à cant. div. pares = 9 Cant.Div.(N) = (3 + 1)(2 + 1) = 12
∴
cant.(n) = cant(k) à cant.(n) = 20
à
*
Me piden:
Me piden: * Cant. Div. impares = Cant. Div.(N) − Cant. Div. pares
#s Cant. °o = 80 − cant.(n) = 80 − 20 = 60 4 no 4 #s Cant. °o = 60 no 44
∴
Cant. Div. impares = 3
Resolución
Luego: 30 ≤ n ≤ 100 à 30 ≤ 6k ≤ 100 à k = {5; 6; 7; ... ; 16} à cant.(k) = 12
*
Cant. Div. impares = 12 − 9 Rpta.: B
Rpta.: C
Resolución 3 Sea: o° n = 6 à n = 6k ; k∈
*
Cant. Div.(N) = 12
Veamos:
à
N = a ( 2 a ) = 10 a + 2 a = 12 a ° ° ° ° ° N = 3×22 ×a à N = 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12
∴
N no es divisible por 5
Me piden: cant.(n)= cant.(k) = 12
6
Rpta.: A - 43 -
Rpta.: C
Manuel Coveñas Naquiche
Resolución
7
° à Σ cifras 3a 4 a = 9
e
Veamos:
° •a1a = 3
à
° 3+a+4+a= 9 ° ° 2a + 7 − 9 = 9 − 9 = 9 ° 2(a − 1) = 9 ° a−1= 9 ° ∴ A= 9 +1
° Σ cifras a1a = 3
e j °
a+1+a= 3
° ° 2a + 1 − 3 = 3 − 3 = 3 °
2(a − 1) = 3 °
a−1= 3
*
∴
à
°
a= 3 +1 * ∴
a = 3 × 0 + 1 = 1 a = 3 ×1+ 1= 4 a ← cifra à a = 3 × 2 + 1 = 7
Resolución
Cant. valores (a) = 3
à
Resolución 8 Tenemos: ° ° ° n = 2 ∧ 3 à n = 6 à n = 6k ; k ∈ *
*
Veamos:
∴
° Cant. Div.(36) ← 3 = (2 + 1)(1 + 1) = 6 ° Cant. Div.(36) ← 3 = 6 Rpta.: C
45 =
32
13 ×
Veamos:
51
à Cant. Div.(45) = (2 + 1)(1 + 1) = 6
Rpta.: C
Veamos:
Me piden: * Cant. Div.(45) > 5 = cant. div.(45) − {1; 3; 5} ∴
Me piden:
Resolución
Cant. div(N) = 6
6−3
Cant. Div.(45) > 5 =
N = 63 = 32 × 71 à Cant. Div.(N) = (2 + 1)(1 + 1) = 6 ∴
12
à Cant. Div.(45) = 6
Me piden: Cant.(n) = cant.(k) = 7 9
Rpta.: A
Resolución
Luego: 36 < n < 84 à 36 < 6k < 84 à k = {7; 8; 9; ... ; 13}
Resolución
a=1
2 31] 36 = 22 · 32 = 3·[2 12 4 ×4 3
à Cant. (k) = 7 *
Como: a ← cifra à a = 9×0 + 1 = 1
Como:
Rpta.: C
j
Cant. Div.(45) > 5 = 3
Rpta.: B
° Veamos: a 5 a 1 = 11 –+–+ ° à −a + 5 − a + 1 = 11
Rpta.: C
14
°
−2a + 6 = 11 Resolución
10
Veamos:
°
−2(a − 3) = 11
• 60 = 22 × 31 × 51
°
a − 3 = 11
à Cant. Div.(60) = (2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 12 à Cant. Div.(60) = 12
°
à a = 11 + 3
* Como: a ← cifra à a = 11×0 + 3 = à a = 3 Rpta.: D
• 80 = 24 × 51 à Cant. Div(80) = (4 + 1)(1 + 1) = 10
Resolución
15
Veamos gráficamente:
à Cant. Div(80) = 10 *
Me piden: ∆ = Cant. Div(60) Div(80) 14 42 44 3 − Cant. 14 42 44 3 ∆= 12 − 10 = 2 à ∆=2
Resolución
11 ° 3a 4a = 9
o ° à A∩B ← ( 3 × 4 ) = 12
Rpta.: B
*
Luego, dato: 1 ≤ n ≤ 40
*
Para números 3 :
Veamos:
- 44 -
o
Primer año de secundaria
à n = 3k ; k∈ ¢ 1 ≤ n ≤ 40
NIVEL II Resolución
1 ≤ 3k ≤ 40 à k = {1; 2; 3; ... ; 13} ∴ *
o
Cant. #s ← 3 = 13 ° Para los números 4 :
*
à n = 4k ; k ∈
*
1 ≤ n ≤ 40
Me piden: cant.(n) = cant.(k) = 25
*
Para los números 12 :
∴
à n = 12k ; k ∈
Cant.(n) = cant.(k) à cant.(n) = 57 °
* Me piden: cant.#s no 7 = cant.#s – cant.(n)
1 ≤ n ≤ 40
°
1 ≤ 12x ≤ 40
cant. #s no 7 = 400 – 57 = 343
à k = {1; 2; 3}
∴
o Cant. #s ← 12 = 3
*
Me piden:
∴
o
o
o
Cant. #s ( 3 ∨ 4 )= cant. #s ← 3 + cant. #s ← 4
o
o
Cant. #s ( 3 ∨ 4 ) = 20
Rpta.: C
°
Cant. #s no 7 = 343
*
Luego: 80 < n < 200 à 80 < 9k < 200 k = {9; 10; ... ; 22} à Cant.(k) = 14
*
Me piden: Cant.(n) = cant.(k) = 14
Resolución
Resolución
16
Veamos:
*
• Quitando “6”: à N = 315
o 3+1+5=9= 9 ( ) • Quitando “3”: à N = 615 o 6 + 1 + 5 = 12 ≠ 9 ( X ) • Quitando “1” : à N = 635
o 6 + 3 + 5 = 14 ≠ 9 ( X )
• Quitando “5”: à N = 631 ∴
o 6 + 3 + 1 = 10 ≠ 9 ( X ) Quitamos la cifra “6” Rpta.: D
Rpta.: C
Resolución 3 Sea: ° n = 9 à n = 9k ; k ∈ ¢
o − cant. #s ← 12
à
Sea:
n = 7k ; k ∈ ¢ * Ahora: 1 ≤ n ≤ 400 à cant. #s = 400 1 ≤ 7k ≤ 400 à k = {1; 2; 3; ...; 57} à cant(k) =57
o
o
2
Rpta.: B
° n= 7 à
à k = {1; 2; 3; ... ; 10} ∴
Sea:
Luego: 1 ≤ n ≤ 200 à 1 ≤ 8k ≤ 200 à k = {1; 2; 3; ...; 25} à cant.(k) = 25
Resolución
1 ≤ 4k ≤ 40 o Cant. #s ← 4 = 10
1
° n = 8 à n = 8k ; k∈ ¢
4
Sea el número: ab
Luego; dato: ∆ = ab − ba ∆ = (10a + b) − (10b + a) °
∆ = 9(a − b) = 9 ∴
∆ siempre es múltiplo de 9
Resolución 120 =
23
5
Rpta.: D
Veamos:
2×31×51] ×3×5 = 2× [21 4243
à Cant.Div.(120) pares = (2+1)(1+1)(1+1) = 12 ∴
Cant. Div.(120)pares = 12
Resolución
Rpta.: C
6
Veamos: 64748 180 = 22×32×51 = 2×[21×32×51]
à Cant. Div.(180) = (2 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 18 *
Además: Cant. Div.(180) pares = (1 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 12
*
Me piden:
Cant. Div.(180)impares = Cant. Div.(180) − Cant. Div.(180) pares à Cant. Div.(180) impares = 18 − 12 = 6 ∴
- 45 -
Cant. Div.(180) impares = 6
Rpta.: C
Rpta.: D
Manuel Coveñas Naquiche
Resolución 12 Sea: ° n = 11 à n = 11k ; k ∈ Ahora; dato: *
Resolución 7 Veamos: 160. = 25×51 à
Cant. Div.(160) = (5 + 1)(1 + 1) = 12
*
Me piden:
n ← 2 cifras à 10≤ n ≤99
Cant. Div.(160) > 16 = Cant. Div(160)
10 ≤ 11k ≤ 99
− {1; 2; 4; 5; 8; 10; 16} à
Cant. Div.(160) = 12 − 7 = 5
∴
Cant. Div.(160) > 16 = 5
Resolución
8
à k = {1; 2; ... ; 9} à cant.(k) = 9 ∴
Rpta.: C
Cant.(n) = cant.(k) = 9
Resolución
13
° ° n←4 ∧5
Veamos:
72 = 23 ×32 à
Div(72) < 9 = {1; 2; 3; 4; 6; 8}
∴
Cant. Div.(72) < 9 = 6 Rpta.: B
Resolución
9
à
*
*
Me piden:
cant.(k) = 9
Cant.(n) = cant.(k) = 9 Rpta.: B
N es múltiplo de 3 y 7
• b = 5 à a = {1; 2; ...; 9} à cant. ab = 9 cant. total ab = 18
*
Resolución
à Σ cifras
(2 a 5 6 ) =3o o
° 2+a+5+6= 3 o° a + 12 + 1 = 3
0
° a+1= 3 à
Como: a ← cifra à
*
Me piden:
Divisores mayores
∆ Div. mayores = 144 − 72 = 72 ∆ Div. mayores = 72
Resolución
° a= 3 −1
16
Rpta.: A
Veamos gráficamente:
° ° A∩B ← 3 ∧ 5 ° à A∩B ← 15
R| a = 3 × 1 − 1 = 2 S| a = 3 × 2 − 1 = 5 |T a = 3 × 3 − 1 = 8
Luego: Cant. valores (a) = 3
Veamos:
à Div.(144) = {1; 2; 3; 6; ... ;72; 144}
∴
3
15
114 = 24 × 32
Rpta.: B
° Veamos: 2a 56 = 3
11
14
Como: a ← cifra à a = 11×1 − 4 = 7 ∴ a=7 Rpta.: C
Resolución
Me piden: Cant. total ab = 18
°
Veamos: a 1 a 5 3 = 11 +–+–+ ° à a − 1 + a − 5 + 3 = 11 ° ° 2a − 3 + 11 = 11 11 12 4+ 4 3 = 11 ° 2(a + 4) = 11 ° ° a + 4 = 11 à a = 11 − 4
Resolución
Rpta.: D
Si: * • b = 0 à a = {1; 2; ... ; 9} à cant. ab = 9
*
200 < 20k 400
N = 3×7×a
10 Veamos: ° ab ← 5 (número de 2 cifras)
*
° n = 20
Luego: 200 < n < 400 à
Resolución
*
à
10 < k < 20 à
° 7 (múltiplo de 7) ° 3 (múltiplo de 3)
∴
Sea:
à n = 20k ; k∈
Veamos:
N = ( 2 a )a = 10(2a) + a = 21a
Rpta.: C
Rpta.: C
- 46 -
Primer año de secundaria
* *
Dato: 1 ≤ n ≤ 500
Resolución
° Para los números 3 :
Luego:
*
• n3 − n = n(n2 − 1)
à n = 3k ; k ∈
n3 − n = n(n − 1)(n + 1)
1 ≤ n ≤ 500
n3 − n = (n − 1)(n)(n + 1) 1442443
1 ≤ 3k ≤ 500 à k = {1; 2; 3; ... ; 166}
#s consecutivos
o ∴ Cant.#s ← 3 = 166
*
° Por propiedad: (n − 1)(n)(n + 1) = 6 ° à n3 − n = 6 Rpta.: B
*
° Para los números 5 : à n = 5k ; k ∈ ¢ 1 ≤ n ≤ 500
Resolución
1 ≤ 5k ≤ 500
*
° Cant. Div.(320) ← 4 = (4 + 1)(1 + 1) = 10
∴
° Cant. Div.(320) ← 4 = 10
Resolución
1≤ 15k ≤ 500
Me piden: o o o ° ° Cant. #s ( 3 ∨ 5 ) = cant. #s ← 3 + cant. #s ← 5 − cant. #s ← 15
17
Veamos gráficamente:
° à A∩B ← 15
o
o
3(a + 5) = 7 123
Dato: 120 < n < 800 ° Para los números 15 :
a+5= 7
*
Como:
o
à a= 7 −5
a ← cifra à
RSa = 7 × 1− 5 = 2 Ta = 7 × 2 − 5 = 9
Resolución
21
Rpta.: D
° Veamos: 8a 6bb = 33 ° à 8 a 6 bb = 3 .... (I)
R| S| °o T 8a6bb = 11 11 ... (II)
120 < n < 800 120 < 15k < 800
o
à
à n = 15k ; k ∈ *
à k = {9; 10; 11; ... ; 53} ° ∴ Cant. #s ← 15 = 45 *
o
−3 −6 + 2a + 24 + a = 7 3a + 15 = 7
Rpta.: C
° ° A∩B ← 3 ∧ 5
*
o 7
o o Cant. #s ( 3 ∨ 5 )= 166 + 100 − 33 = 233
Resolución
*
à
Rpta.: D
° Veamos: 16a 8a = 7
20
à
*
∴
Veamos:
à
à k = {1; 2; 3; ... ; 33} ° ∴ Cant. #s ← 15 = 33
o o Cant. #s ( 3 ∨ 5 ) = 233
19
320 = 26×51 = 4×[24×51] 123
à k = {1; 2; 3; ...; 100} ° ∴ Cant. #s ← 5 = 100 ° Para los números 15 : à n = 15k ; k ∈ ¢ 1≤ n ≤ 500
à
Sea: n ← número
18
° En (II): 8 a 6 b b = 11 + − + − + o
à 8 − a + 6 − b + b = 11
0
0o
−a + 11 + 3 = 11
Me piden: ° ° ° Cant. #s ( 3 ∧ 5 ) = cant. #s ← 15 = 45 ° ° ∴ Cant. #s ( 3 ∧ 5 ) = 45 Rpta.: B
o
à (a − 3) = 11 o
o
a − 3 = 11 à a = 11 + 3 *
- 47 -
Como: a ← cifra à a = 11×0 + 3 à a = 3
Manuel Coveñas Naquiche
*
° En (I): 8 a 6 b b = 3
° 2(b +3 1) = 3 12
° à Σ cifras 8 a 6 bb = 3
° ° à b+1= 3 à b= 3 −1
e
j
° →8+a+6+b+b= 3 o
8 + 3 +6 + 2b = 3 ° 2b + 18 − 1 = 3
0
b = 3 × 1 − 1 = 2
*
Como: b ← cifra à b = 3 × 2 − 1 = 5
*
Si a = 3 ∧ b = 2 à a + b = 5 (menor)
° à 2b − 1 = 3 ° ° 2b − 1 + 3 = 312 +3 3= 3
b = 3 × 3 − 1 = 8
a=3∧b=5 à a+b=8 a = 3 ∧ b = 8 à a + b = 11 ∴ Menor (a + b) = 5
Rpta.: B
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO (Pág. 181, 182) NIVEL I Resolución
1
Veamos: 40 = 23 × 51
Resolución
6
Veamos:
à Cant. Div.(40) = (3 + 1)(1 + 1) = 8 ∴ Cant. Div.(40) = 8 Resolución
2
Rpta.: C
Veamos: 30 = 2 × 3 × 5
*
Me piden Σ #s primos = 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 + 23 + 29
à
Σ #s primos = 129
à Div.(30)primos = {2; 3; 5} ∴
Cant. Div.(30) primos = 3
Resolución
3
Rpta.: B
Veamos:
Resolución
7
Rpta.: D
Veamos:
• 56 = 23 × 71 à Cant. Div.(56) = (3 + 1)(1 + 1) = 8 ∴ Cant. Div.(56) = 8
à
#s primos = {17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43}
∴
Cant. #s primos = 8
Resolución
4
• 80= 24 × 51
Rpta.: D
à Cant. Div.(80) = (4 + 1)(1 + 1) = 10 ∴ Cant. Div.(80) = 10
Veamos: *
Me piden: ∆ = Cant. Div.(80) − cant. Div.(56) ∆ = 10 − 8 = 2
∴
Mayor número primo = 59
Resolución
5 24
Veamos: 31
Resolución A=
52
1200 = × × à Cant. Div.(1200) = (4 + 1)(1 + 1)(2 + 1) = 30 ∴
à ∆=2
Rpta.: D
Cant. Div.(1200) = 30
à
21
Rpta.: A 8
×
32
Veamos: ×
51
Cant. Div.(A) = (1 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 12 ∴ Cant. Div.(A) = 12
Rpta.: D
- 48 -
Primer año de secundaria
• B = 3 1 × 52 × 72
Resolución
à
Cant. Div.(B) = (1 + 1)(2 + 1)(2 + 1) = 18 ∴ Cant. Div.(B) = 18
*
Me piden: ∆ = Cant. Div.(B) − Cant. Div.(A) ∆ = 18 − 12 = 6 à ∆=6
Resolución
9
Σ Div.(35) =
Veamos: 35 = 51 × 71
# s que dividenI F Cant. a 56 J = (2+1)(1+1)= 6 GH exactamente y pares K
Rpta.: D
10
Resolución
FG 24 IJ · FG 48 IJ H4K H6K
∴
Cant. Div.(2520) = 48
Resolución
2
• 360 =
23
×
× 51
∴ Cant. Div.(360) = 24 • 270 = 21 × 33 × 51 à Cant. Div.(270) = (1+1)(3+1)(1+1) = 16 ∴ Cant. Div.(270) = 16
• 52(5) = 5 × 5 + 2 = 27 (no es primo)
• 180 = 22 × 32 × 51
No es primo 52(5)
à Cant. Div.(180) = (2+1)(2+1)(1+1)= 18
11
Rpta.: E
∴ Cant. Div.(180) = 18
Veamos:
° Cant. Div.(130) ← 5 = 4
*
12
12n
à Cant. Div.(520)=(3+1)(1+1)(1+1)= 16 ∴ Cant. Div.(520) = 16
Rpta.: C
×8= × M = 22n + 3 × 3n
M=
3)n
×
23
Cant. Div.(M) = 2(n + 2)(n + 1) Dato: Cant. Div.(M) = 60 2(n + 2)(n + 1) = 60 (n + 2)(n + 1)= 60 (n + 2)(n +1) = (4 + 2)(4 + 1)
Resolución
13
à
Cant. Div.(520) = Cant. Div.(270) Rpta.: B
Cant. Div.(M) = [(2n + 3) + 1][n + 1] Cant. Div.(M) = (2n + 4)(n + 1)
Comparando: n = 4
Finalmente: Cant. Div.(270) = Cant. Div.(520) = 16
Veamos: (22
Ahora: • 520 = 23 × 51 × 131
*
Rpta.: B
Resolución 84 =
3 22
·
Veamos: 31·
71
à Div.(84) = {1; 2; 3; 4; 6; 7; 12; 14; 21; 28; 42; 84} *
Luego: Div.(84) de 2 cifras={12; 14; 21; 28; 42; 84}
à
Veamos:
72 = 23 × 32 = 2 × [21 × 31]2 12 4 4 3
à
Veamos: 32
• 32(5) =3 × 5 + 2 = 17 (# primo)
Resolución
à
Rpta.: C
à Cant. Div.(360) = (3+1)(2+1)(1+1) = 24
Veamos:
° à Cant. Div.(130) ← 5 = (1 + 1)(1 + 1) = 4
*
× 51 × 71
Cant. Div = (2520)=(3+1)(2+1)(1+1)(1+1)
Rpta.: C
1 × 131] 130 = 21 × 51 × 131 = 5× [2 1 42 4 3
* à
×
32
• 43(5) = 4 × 5 + 3 = 23 (# primo)
Resolución
à
Veamos:
23
à
• 12(5) = 5 + 2 = 7 (# primo) • 21(5) = 2 × 5 + 1 = 11 (# primo)
∴
1
2 520 =
1+1
Σ Div(35) = 6 × 8 = 48
∴
2 71 ] × 7 = 2 ×[2 12 4×4 3
NIVEL II
F 5 − 1I F 7 − 1I Σ Div.(35) = G 5 − 1 J · G 7 − 1 J H KH K
Resolución
Veamos:
Rpta.. C
1+1
à
56 =
14
23
Cant. Div(72) . FH cuadrados I perfectosK = (1+1)(1+1) = 4 Cant. Div(72) . FH cuadrados I Rpta.: C perfectosK = 4
- 49 -
Cant. Div.(84) de 2 cifras = 6
Rpta.: C
Manuel Coveñas Naquiche
Resolución
4
150 = à
Veamos: 2·3·52
=
5·[21·31·51]
1 424 3
° Cant.Div.(150) ← 5 = (1+1)(1+1)(1+1) = 8 ° ∴ Cant. Div.(150) ← 5 = 8 Rpta.: C
Resolución
Para: n = 1 à 3n − 2 = 3×1− 2=1 n = 2 à 3n − 2 = 3 × 2 − 2 = 4 n = 3 à 3n − 2 = 3 × 3 − 2 = 7 (1°)
*
Luego: 1er n° primo = 7
à
n(n + 1) = (8)(8 + 1)
*
Comparando: n = 8 9
Rpta.: E
Veamos:
720 = 24×32×51 = 6×[23×31×51] ° à Cant. Div.(720) ← 6 =(3+1)(1+1)(1+1) ° ∴ Cant. Div.(720) ← 6 = 16 Rpta.: D
.
à
n(n + 1) + 1 = 37 à n(n+1) = 72 2
Resolución
Tenemos: 3n − 2
5
à
...
Resolución
Resolución
6
* à * à *
90 =
32×(2×5)a
2a×32×5a
= = w= Cant. Div.(w) = (a+1)(2+1)(a+1) Cant. Div.(w) = 3(a+1)2 Dato:
*
Me piden: Cant. Div.(90)primos = 3
Resolución
Me piden: Cant. cifras(w) = 3
(x)
• 24(7) = 2×7+4 = 18
(x)
• 52(7) = 5×7+2 = 37
(primo)
• 64(7) = 6×7+4 = 46
(x)
• 36(7) = 3×7+6 = 27
(x)
Resolución Veamos:
12
Rpta.: C
Tenemos:
k = 4a + 4a+3 k = 4a(1+43) = (22)a · (5×13)
w = 200 ...4 000 14 42 4 3
k = 22a · 51 · 131
“n” ceros à w = 2×10n =2×(2×5)n w = 2n+1·5n à Cant. Div.(w) = [(n+1)+1][n+1] ∴ Cant. Div.(w) = (n+1)(n+2)
à
Cant. Div.(k) = (2a+1)(1+1)(1+1)
∴
Cant. Div.(k) = 4(2a + 1)
* à
Dato: Cant. Div.(k) = 28 4(2a + 1) = 28 2a + 1= 7 à a = 3
Dato: Cant. Div.(w) = 56 à (n+1)(n+2) = (6+1)(6+2)
*
Veamos:
∴ Es un #primo: 52(7)
Rpta.: D
*
11
• 35(7) = 3×7+5 = 26
w = 9×102 = 900 à w = 900
7
Veamos:
Rpta.: B
Cant. Div.(w) = 27 à 27 = 3(a+ 1)2 9 = (a + 1) 3=a+1 à a=2 Reemplazando: a = 2 en w:
Resolución
10
2·32·5
à Div.(90)primos = {2; 3; 5}
Tenemos:
9·10a
à
Rpta.: A
Resolución
Comparando: n = 6
13
Rpta.: B
Veamos:
30n
∴ Cant. ceros = n = 6
•N= = (2×3×5)n = 2n×3n×5n à Cant. Div.(N) = (n+1)(n+1)(n+1)
Rpta.: C
∴ Cant. Div.(N) = (n+1)3 Resolución
8
Tenemos:
• M = 15·18n = (3×5)(32×2)n
w = 10·102·103 ... 10n à w * à
n(n+1) = 10 2
M = 2n·32n+1·51
n(n +1) 5 2
à Cant. Div.(M)=(n+1)(2n+1+1)(1+1)
= 144×2443
∴ Cant. Div.(M) = 4(n+1)2
Dato: Cant. Div.(w) = 1369
LM n(n + 1) + 1OP LM n(n + 1) + 1OP = 1369 N 2 QN 2 Q LM n(n + 1) + 1OP = 37 N 2 Q 2
à
n(n +1) 2 2
* Dato: Cant. Div.(N) = 2×Cant. Div.(M) à
(n+1)3 = 2·[4(n+1)2] (n+1)3 = 8(n+1)2
2
(n+1) = 8 - 50 -
à
n=7
Rpta.: C
Primer año de secundaria
Resolución
14 Veamos: N = 52p + 52p+1 + 52p+2 + 52p+3
à à
N = 52p·(1 + 51+ 52 + 53) = 52p·156 N = 2 2×3 1×52p×131
à
Cant. Div.(N) = (2+1)(1+1)(2p+1)(1+1)
∴
Cant. Div.(N) = 12(2p + 1)
* à
Dato: Cant. Div.(N) = 156 12(2p + 1) = 156 2p + 1= 13 à p=6
Resolución
15
Resolución 16 Tenemos: • N = 32 · 5a à Cant.Div.(N) = (2 + 1)(a + 1) Cant.Div.(N) = 3(a + 1) Luego: * • N’ = 32·5a·8 N’ = 32·5a·23 à Cant.Div.(N’) = (2 + 1)(a + 1)(3 +1 ) Cant.Div.(N’) = 12(a + 1) Según dato: * • Cant.Div.(N’) – Cant.Div.(N) = 45 à 12(a + 1) – 3(a + 1) = 45 9(a + 1) = 45 a+1=5 à a=4 Me piden: a = 4 Rpta.: C *
Rpta.: C
Tenemos:
Cant. Div.(9×122n) − Cant. Div.(13×12n) = 33 Cant.Div.(24n·32n+2)−Cant. Div.(22n·3n·13)=33 à (4n+1)(2n+3)-(2n+1)(n+1)(1+1) = 33 8n2 + 14n + 3 − 4n2 − 6n − 2 = 33 4n2 + 8n + 1 = 33 4n2 + 8n − 32 = 0 n2 + 2n − 8 = 0 n + 4 à n = −4(x) n −2 à n=2 ( ) Como: n >0 à n=2 *
Resoluci.ón 17
Veamos:
240 = 24×3×5 = 20×[22×31] °
à
Cant. Div.(240) ← 20 = (2+1)(1+1) = 6
∴
Cant. Div.(240) ← 20 = 6
°
Rpta.: C
Rpta.: B EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO SOBRE MÁXIMO COMÚN DIVISOR (Pág. 185, 188) Resolución a) b)
c) d)
j)
1
10 − 25 5 2 5 à 6 − 18 2 3 9 3 1 3 8 − 15 1 8 − 15
M.C.D.(10; 25) = 5 k)
à M.C.D.(6; 18) = 2×3 = 6
l)
à
m)
M.C.D.(8; 15) = 1
24 − 36 2 12 18 2 6 9 3 2 3 à M.C.D.(24; 36) = 22×3 = 12
e)
40 − 100 2 20 50 2 10 25 5 2 5 à M.C.D.(40; 100) = 22×5=20
f)
8 − 27 1 8 27 à
M.C.D(8; 27) = 1
8 − 18 2 4 9 à
M.C.D(8; 18) = 2
g) h) i)
n)
p) M.C.D.(15; 25) = 5
6–8 3 4
M.C.D.(6; 8) = 2
r)
2 à
M.C.D.(12; 16) = 22 = 4
11 − 12 1 11 12 à
M.C.D.(1; 12) = 1
14 − 35 7 2 5 à
M.C.D.(14; 35) = 7
100 − 60 2 50 30 2 25 15 5 5 3 à
q)
15 − 25 5 3 5 à
12 − 16 2 6 8 2 3 4 à
- 51 -
M.C.D.(100; 60) = 25×5 = 20
75 − 125 5 15 25 5 3 5 à M.C.D(75; 125) = 52 = 25 48 − 72 2 24 36 2 12 18 2 6 9 3 2 3 à M.C.D.(48; 72) = 23×3 = 24 85 − 68 17 5 4 à
M.C.D.(85; 68) = 17
90 − 120 2 45 60 3 15 20 5 3 4 à M.C.D.(90; 120) = 2×3×5 = 30
Manuel Coveñas Naquiche
s)
150 – 270 2 75 135 3 25 45 5 5 9 à M.C.D.(150; 270) = 2×3×5 =30
t)
450 − 360 225 180 75 60 25 20 5 4 à
22 3 3 5
k)
M.C.D.(450; 360) = 2×32×5 = 90
Resolución 2 a) 18 − 16 2 9 8 à
M.C.D.(18; 16) = 2
28 − 35 7 4 5 à
M.C.D.(28; 35) = 7
b) c)
d)
à
80 − 40 20 10 5
256 128 64 32 16
à
22 2 2 2 à M.C.D.(8; 256) = 24=16
240 − 360 − 480 2 120 180 240 2 60 90 120 2 30 45 60 3 10 15 20 5 2 3 4 M.C.D.= 23×3×5 = 120
e)
135 − 245 5 27 49 à M.C.D. = 5
f)
272 − 288 136 144 68 72 34 36 17 18
2 2 2 2 à M.C.D. = 24 = 16
144 − 504 72 252 36 126 18 63 6 21 2 7
2 2 2 3 3 à M.C.D. = 23×32 = 72
g)
j)
h)
950 − 425 − 800 5 190 85 160 5 38 17 32 à M.C.D. = 52 = 25
i)
560 − 320 22 280 160 2 140 80 2 70 40 2 35 20 5 7 4 à M.C.D. = 24 ×5 = 80
120 − 72 − 96 60 36 48 30 18 24 15 9 12 5 3 4
2 2 2 3 à M.C.D. = 23×3 = 24
1200 − 1800 − 2200 600 900 1100 300 450 550 150 225 275 30 45 55 6 9 11 M.C.D. = 23×52
2 2 2 5 5
M.C.D. = 200 l)
294 − 98 − 392 − 147 49 196 21 7 28 3 1 4
à
M.C.D = 2×72 = 98
Resolución
3
1176 588 84 12
2 7 7
Me piden:
n = M.C.D.(162; 2040; 8976) *
Veamos: 612 − 2040 − 8976 2 306 1020 4488 2 153 510 2244 3 51 170 748 17 3 10 44
à
M.C.D. = 22×3×17
∴
n = 22×3×17 = 204
Resolución
4
90 − 75 18 15 6 5
Rpta
Veamos: 5 3 cant. chocolates para c/u cant caramelos para c/u
∴
Corresponde: 6 caramelos y 5 chocolates Rpta
- 52 -
Primer año de secundaria
Resolución
5
Resolución
Veamos:
Veamos:
60 − 80 2 30 40 2 15 20 5 3 4 à M.C.D = 22×5 = 20
a)
à
7
M.C.D.(9405; 6720) = 15
Cant. trozos de c/cordel
b) Luego:
*
• Long. de cada trozo = 20m
à
• c/cordel se divide en 3 y 4 partes
M.C.D.(9009; 8613) = 99
Rpta.
c) Resolución
à
Veamos:
120 − 144 − 200 2 60 72 100 2 30 36 50 2 15 18 25 à M.C.D. = 23 = 8
M.C.D.(50050; 12012) = 2002
d) à
8
M.C.D.(75; 25) = 25
Cant. bloques que caben en c/caja.
à M.C.D.(80; 25) = 5
Luego:
*
• Peso de c/bloque = 8 kg. • Ubicación: 1ra caja = 15 bloques
e)
2da caja = 18 bloques
à M.C.D.(144;124) = 4
3ra caja = 25 bloques Rpta. Resolución
à
M.C.D. (200;124)= 4
*
à
174 = nq1 + 6 ∧ 168 = nq1
à M.C.D.(300; 225) = 75
Resolución
6
*
Veamos: 120 – 180 – 240 60 90 120 30 45 601 10 15 201 2 3 4
∴
10
Sea:
n = número *
2 2 3 5 à M.C.D. = 22 × 3 × 5 M.C.D. = 60
Mayor long. = n = 60 cm.
730 = nq2 + 10 720 = nq2
Como:
n = M.C.D.(120; 180; 240) *
∧
n q2
n ← máximo à n = M.C.D.(168; 720) = 24 à n = 24 niños Rpta.
Resolución
Me piden:
Sea:
n = cant. niños Luego: 174 n 730 6 q1 10
f) à M.C.D.(250; 225) = 25
9
Rpta.
Luego: 83 3
à
*
n q1
127 n 7 q2 83 = nq1 + 3 ∧ 127 = nq2 + 7 80 = nq1 ∧ 120 = nq2 Como:
• n ← máximo à n = M.C.D.(80; 120) = 40 à n = 40 Rpta.
- 53 -
Manuel Coveñas Naquiche
Resolución
11
Veamos:
120 − 480 − 720 60 240 360 30 120 180 15 60 90 5 20 30 1 4 6
2 2 2 3 5 à
Resolución
à M.C.D.(2A; 2B) = 2×5 = 10 ∴ M.C.D.(2A; 2B) = 10 M.C.D.=23 ×3×5 M.C.D. = 120
Resolución *
*
• Mayor cant. = S/.120 Rpta. Tenemos:
*
*
à k = 7 à N = 8(7) = 56 ∴
N = 56
De (I):
RS T
Remplazando en (II):
1p = 5 · q
Reemplazando en (I): 50 < 8k < 60
Luego:
à 12p = 5(12q)
• 50 < N < 60 ... (I) • M.C.D.(N; 16) = 8 à N = 8k *
Sean los números: m; n
M.C.D.(m; n) = 12 à m = 12 p n = 12 q P.E.S.I
• Cant. ancianos = 1 + 4 + 6 = 11
12
14
Rpta.
• M.C.D.(m; n) = 12 ... (I) • m = 5n ... (II)
Luego:
Resolución
Tenemos:
M.C.D.(A; B) = 5
Cant. ancianos beneficiados *
13
Rpta.
à
RS T
p=5 q=1
Reemplazando en:
RSm = 12p = 12 × 5 = 60 T n = 12 q = 12 × 1 = 12
∴ m = 60 ∧ n = 12 Rpta.
- 54 -
Primer año de secundaria
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO SOBRE MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M.) (Pág. 195, 196) NIVEL I Para resolver los siguientes ejercicios, no se considerará al cero como múltiplo de un número. Resolucion
7;14;21;28;35;42;49; g) Múltiplos de 7 = 56;63;70; 77 ;84;... Múltiplos de 11= = {11;22;33; 44;55;66; 77 ; 88;...}
1
a) Múltiplos de 3 hasta 48 =
3; 6; 9; 12 ; 15; 18; 21; 24 ; 27; 30; 33; 36 ;39; 42; 45; 48
•
h) Múltiplos de 8 = {8;16;24;32; 40; 48;...}
b) Mútiplos de 4 hasta 48 =
4; 8; 12 ; 16; 20; 24 ; 28; 32; 36 ; 40; 44; 48 c) Los mútiplos comunes de 3 y 4 hasta el 48 son: 12; 24; 36; 48
Múltiplos de 13= {13;26;39;52;65;78;...} •
i)
d) El M.C.M. de 3 y 4 =12 Resolución
Mútiplos de 4 =
j)
• El M.C.M. de 2 y 4 es 4
Múltiplos de 6 = {6; 12 ;18; 24;30;36;...} El M.C.M. de 4 y 6 es 12
Múltiplos de 3 = {3;6;9; 12 ;15;18;...}
Múltiplos de 5 = {5;10;15;20;25;30;...} Múltiplos de 8 = {8;16;24;32; 40; 48;...}
{ 4 ;8;12;16;20;24;...}
b) Múltiplos de 4 = {4;8; 12 ;16; 20;24;...}
8 y 13 son primos entre sí, entonces: El M.C.M. de 8 y 13 es: 8 × 13 = 104
Múltiplos de 12 = { 12 ;24;36; 48;60;...} El M.C.M. de 3 y 12 es 12
2
a) Múltiplos de 2 = {2; 4 ;6;8;10;12;...}
7 y 11 son primos entre sí, entonces: El M.C.M. de 7 y 11 es: 7 × 11 = 77
5 y 8 son primos entre sí, entonces: El M.C.M. de 5 y 8 es: 5 × 8 = 40
Resolución
3
a) Múltiplos de 3 3;6;9;12; 15 ;18;21; menores que 37 = 24;27; 30 ;33;36
c) Múltiplos de 3= {3;6;9;12;15;18; 21 ;...}
b) Múltiplos de 5 menores que 37 ={5;10; 15 ;20;25; 30 ;35}
Múltiplos de 7= {7;14; 21 ; 28; 35; 42;...}
c) Múltiplos comunes de 3 y 5 = {15;30} menores que 37
El M.C.M. de 3 y 7 es 21
d) El m.c.m. de 3 y 5 es 15
d) Múltiplos de 6= {6;12; 18 ;24;30;36;...} Múltiplos de 9= {9; 18 ;27;36;45;54;...}
Resolución
a) Los múltiplos de 7 son:
{7 ;
El m.c.m. de 6 y 9 es 18 e) Múltiplos de 4 = {4;8;12;16; 20 ;24;...} Múltiplos de 5 = {5;10;15; 20 ;25;30;...} El M.C.M. de 4 y 5 es 20 f)
4
1 4 ; 2 1; 28 2 8;...}
1 4 e s tam bién un m últip lo d e 2
Luego, el M.C.M. de (2 y 7) es 14 b) Los múltiplos de 12 son:
Múltiplos de 3 = {3;6; 9 ;12;15;18;...}
{
Múltipos de 9 = { 9 ;18; 27;36; 45;54;...} El M.C.M. de 3 y 9 es 9
1 2 ; 2 4; 3 6; ...}
1 2 e s tam bién un m últip lo d e 6
Luego, el M.C.M. de (6 y 12) es 12
- 55 -
Manuel Coveñas Naquiche
k) Los múltiplos de 60 son:
c) Los múltiplos de 8 son:
{ 8;1 6;
2 4 ; 3 2;...}
{ 6 0;
2 4 e s tam bién un m últip lo d e 3
1 2 0 ;1 8 0 }
1 20 es tam b ié n un m ú ltiplo d e 40
Luego, el M.C.M. de (3 y 8) es 24 Luego, el M.C.M. de (40 y 60) es 120.
d) Los múltiplos de 6 son:
{ 6;1 2;1 8; 2 4;
l)
3 0 ;...}
3 0 e s tam bién un m últip lo d e 5
Los múltiplos de 150 son:
{1 5 0; 3 0 0; 4 5 0;
6 0 0 ;...}
Luego, el M.C.M. de (5 y 6) es 30. 6 00 es ta m bié n un m últip lo d e 1 2 0
e) Los múltiplos de 10 son:
{1 0;
Luego, el M.C.M. de (120 y 150) es 600.
2 0 ; 3 0;...}
Resolución
2 0 e s tam bién un m últip lo d e 4
Luego, el M.C.M. de (4 y 10) es 20. f)
Los múltiplos de 9 son:
{ 9;
1 8 ; 2 7;...}
a) M.C.M. de (3 y 2): 3 − 2 2 3 −1 3 1−1
1 8 e s tam bién un m últip lo d e 6
M.C.M. (3 y 2) = 2 × 3 = 6
Luego, el M.C.M. de (6 y 9) es 18.
∴
g) Los múltiplos de 10 son:
{1 0 ; 2 0; 3 0; 40; 5 0; 6 0;
7 0 e s tam bién un m últip lo d e 7
M.C.M. (2 y 5) = 2 × 5 = 10
Luego, el M.C.M. de (7 y 10) es 70. ∴
h) Los múltiplos de 11 son: ;...}
11 0 e s tam b ié n u n m ú ltip lo d e 1 0
Luego, el M.C.M. de (10 y 11) es 110. i)
M.C.M. (5 y 3) = 3 × 5 = 15 ∴
6 0 ; 7 5;...}
6 0 e s también un m últip lo d e 1 2
4−5 2−5 1− 5 1− 1
Los múltiplos de 24 son:
{ 2 4;
El denominador común de la suma sería 15.
d) M.C.M. de (8 y 10): 8 − 10 2
Luego, el M.C.M. de (12 y 15) es 60. j)
El denominador común de la suma sería 10.
c) M.C.M. de (5 y 3): 3 − 5 3 1− 5 5 1− 1
Los múltiplos de 15 son:
{1 5; 3 0; 4 5;
El denominador común de la suma sería 6.
b) M.C.M. de (2 y 5): 2 − 5 2 1− 5 5 1− 1
7 0 ;...}
{1 1; 2 2; 3 3; 4 4; 5 5; 6 6; 7 7; 8 8; 9 9; 1 1 0
5
4 8 ; 7 2;...}
4 8 e s tam bién un m últip lo d e 16
∴ Luego el, M.C.M. de (16 y 24) es 48.
M.C.M. de (8 y 10)=2×2×2×5=40 El denominador común de la suma sería 40.
e) M.C.M. de (2 y 4): 2 − 4 2 1− 2 2 1− 1
- 56 -
2 2 5
Primer año de secundaria
M.C.M. de (2 y 4)= 2×2 = 4 ∴
f)
M.C.M. (8; 15 y 24) = 2×2×2×3×5=120
El denominador común de la suma sería 4.
b) 16 − 42 − 56 2 8 − 21 − 28 2 4 − 21 − 14 2 2 − 21 − 7 2 1 − 21 − 7 3
M.C.M. de (16 y 8): 16 − 8 2
8−4 2 4−2 2 2−1 2 1− 1
1 − 1 −
7 − 1 −
7 7 1
M.C.M. de (16 y 8) =2×2×2×2=16 ∴
M.C.M.(16; 42 y 56)=2×2×2×2×3×7= 336
El denominador común de la suma sería 16.
c)
21 − 63 − 35 3
g) M.C.M. de (16 y 12): 16 − 12 2 8−6 2 4−3 2 2− 3
2
1− 3
3
1− 1
d)
7 7
1 −
1
40 − 70 − 84 2
21 3
2
5 − 35 −
7 5
2
1 −
7 7
3
7 −
1 − 1 − 1 M.C.M.(40; 70 y 84)= 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 7 = 840
5
e)
60 −
81 − 90 2
30 −
81 − 45 2
15 −
81 − 45 3
5 − 27 − 15 3
6
b) 3 es el único número primo que es múltiplo de 3, ya que sólo es divisible por la unidad y por sí mismo. c) No hay número primo que sea múltiplo de 6; ya que 6 es un número compuesto y sus mútiplos también lo son.
a)
7 −
1 −
21 2
a) 2 es el único número primo múltiplo de 2, ya que sólo es divisible por la unidad y por sí mismo.
Resolución
7 − 35 5
7 −
5 − 35 −
El denominador común de la suma sería 60
Resolución
7 −
10 − 35 −
M.C.M. de (15 y 20)=2×2×3×5=60 ∴
21 − 35 3
20 − 35 − 42 2
El denominador común de la suma sería 48.
h) M.C.M. de (15 y 20): 15 − 20 15 − 10 15 − 5 5−5 1− 1
7 −
M.C.M. (42; 63 y 70)=2×3×3×5×7= 630
M.C.M. (16 y 12)= 2×2×2×2×3 =48 ∴
42 − 63 − 70 2
7
8 − 15 − 24 2 12 2
2 − 15 −
6 2
1 − 15 −
3 3
1 −
5 −
1 5
1 −
1 −
1
9 −
5 3
5 −
3 −
5 3
5 −
1 −
5 5
1 −
1 −
1
M.C.M.(60; 81 y 90)= 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 5 = 1620 f)
4 − 15 −
5 −
70 − 130 − 190 2 35 − 65 − 95 5 7 − 13 − 19 7 1 − 13 − 19 13 1 − 1 − 19 19 1 − 1 − 1 M.C.M. (70; 130 y 190) = 2 × 5 × 7 × 13 × 19 = 17 290
- 57 -
Manuel Coveñas Naquiche
Resolución g)
504 252 126 63 21 7 7 7 1
− 756 − 378 − 189 − 189 − 63 − 21 − 7 7 − − 1
− 1260 − 630 − 315 − 315 − 105 − 35 − 35 7 − − 1
2 2 2 3 3 3 5 7
a) 160 80 40 20
b)
3168 1584 792 396 198 99 33 11 11 11 1 1
− 4896 − 6048 2 − 2448 − 3024 2 − 1224 − 1512 2 − 612 − 756 2 − 306 − 378 2 − 153 − 189 3 − 51 − 63 3 − 17 − 21 3 − 17 − 7 7 − 17 − 1 11 − 17 − 1 17 − 1 − 1
− 120 2 −
60 2
−
30 2
10 −
15 2
5 −
15 3
5 −
5 5
1 −
1
400 200 100 50 25 25 25 25 5 1
− − − − − − − − − −
540 270 135 135 135 45 15 5 1 1
2 2 2 2 3 3 3 5 5
M.C.M. (400 y 540) = 2 × 2 × 2 ×2 × 3 × 3 ×5 × 5 = 10800
− 1200 2 − 600 2 − 300 2 − 150 2 75 2 − − 75 3 − 25 5 5 5 − 1 − 1
84 − 616 − 539 − 1125 42 − 308 − 539 − 1125
2 2
21 − 154 − 539 − 1125 21 − 77 − 539 − 1125
2 3
800 400 200 100 50 25 25 5
M.C.M. (800 y 1200) = 2 × 2 × 2 ×2 × 2 × 3 ×5 × 5 = 2400
c) M.C.M. (3168; 4896 y 6048)= 2×2×2×2×2×3×3×3×7×11×17=1130976
i)
− 240 2
M.C.M. (160 y 240)= 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 480
M.C.M. (504; 756 y 1260) = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 5 × 7 = 7 560
h)
8
7 − 7 − 7 −
77 − 539 − 77 − 539 − 77 − 539 −
375 125 25
3 5 5
7 − 7 −
77 − 539 − 77 − 539 −
5 1
5 7
1 − 1 − 1 −
11 − 11 − 1 −
1 7 1 11 1
77 − 11 − 1 −
M.C.M. (84; 616; 539 y 1125) = 2×2×2×3×3×5×5×5×7×7×11 = 4 851000
- 58 -
Primer año de secundaria
Resolución d)
720 −
960 2
360 −
480 2
180 −
240 2
90 −
120 2
45 −
60 2
45 −
30 2
45 −
15 3
15 −
5 3
5 −
5 5
1 −
1
El menor número divisible a la vez por 6; 8 y 10 será el M.C.M. de 6;8 y 10.
6 3 3 3 1 1
∴
540 270 135 135 45 15 5 1 1
11
2 − 3 − 4 2
920 − 1840
2
460 −
920
2
230 −
460
2
115 −
230
2
115 −
115
5
1 3
1 −
1
1 −
∴ Múltiplos de 12 menores que 70 = {12; 24; 36; 48; 60} Resolución
12
Los números que son divibles por 36 y 84 simultáneamente, son los múltiplos del M.C.M. de 36 y 84. Hallamos el M.C.M. de 36 y 84.
36 − 84 2 18 − 42 2 9 − 21 3 3 − 7 3 1 − 7 7 1 − 1
23 23 1
9
El menor número, diferente de cero, divisible a la vez entre 3; 5 y 7 será el M.C.M. de 3; 5 y 7. Como: 3; 5 y 7 son primos entre sí, entonces: M.C.M. (3; 5 y 7) = 3 × 5 × 7 = 105 ∴
2 2
1 − 3 −
Entonces: Los mútiplos de 12 serán divisibles por 2; 3 y 4.
M.C.M (1840 y 3680) = 2×2×2×2×2×5×23 = 3680 Resolución
1 − 3 −
M.C.M. (2;3 y 4) = 2×2×3 = 12
2
1 −
2 2 2 3 5
Los números que son divisibles a la vez por 2; 3 y 4 serán los múltiplos del M.C.M. de 2; 3 y 4. Hallamos el M.C.M. de 2; 3 y 4.
1840 − 3680
23 −
− 10 − 5 − 5 − 5 − 5 − 1
El menor número, diferente de cero, divisible a la vez por 6; 8 y 10 es 120
Resolución
− 600 2 − 300 2 − 150 2 − 75 3 − 25 3 − 25 3 − 25 5 5 5 − − 1
M.C.M. (540 y 600) = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5 = 5400 f)
− 8 − 4 − 2 − 1 − 1 − 1
M.C.M. (6; 8 y 10)=23 × 3 × 5 = 120
M.C.M. (720 y 960) = 2×2×2×2×2×2×3×3×5 = 2880 e)
10
El menor número divisible a la vez entre 3; 5 y 7 es: 105.
- 59 -
M.C.M.(36 y 84)=2 × 2 ×3× 3 ×7 = 252 Entonces: Múltiplos de 252:
{252;
504 ; 756 ;1008;...}
Luego: Los números naturales entre 500 y 1000, divisibles por 36 y 84 simultáneamente son: 504 y 756.
Manuel Coveñas Naquiche
Resolución
M.C.M. (48 y 64) = 26 × 3 = 192
13
Entonces:
Para saber cada cuántos días los buques de las 3 compañías se hallarán en el puerto, hallamos el M.C.M. de (8; 18; 21)
Pasarán ambos por la partida al cabo de 192 segundos. Luego:
8 − 18 − 21 2 4 − 9 − 21 2 2 − 9 − 21 2 1 − 9 − 21 3 1 − 3 − 7 3 1 − 1 − 7 7 1 − 1 − 1
•
1 er ciclista = •
Luego, diremos que cada 504 días se hallan los buques de las 3 compañías en el puerto.
5 − 6 − 9 − 13
14
− 12 2 − 6 2 − 3 3 − 1 5 − 1
2
5 − 3 − 9 − 13
3
5 −
1 − 3 − 13
3
5 −
1 −
1 − 13
5
1 −
1 −
1 − 13 13
1 −
1 −
1 −
1
M.C.M. (5; 6; 9 y 13) = 2 × 3 × 3 × 5 × 13 = 1170 La cantidad que se desea repartir será múltiplo de 1170 más 4; ya que en cada caso sobran 4 nuevos soles. Entonces, se repartirán: 1170k + 4; (k ∈ ¥ ) Como se pide la menor cantidad de soles para repartir; entonces: k = 1
Hallamos los múltiplos de 60. Múltiplos de 60
∴ Se repartirán: 1170 + 4 = 1174 nuevos soles.
= {60;120;180; 240;300; 360 ; 420;...} Sabemos que la cantidad de huevos está comprendida entre 300 y 400; entonces:
Resolución
En la canasta hay 360 huevos.
Resolución
16
Hallamos el M.C.M. de 5; 6; 9 y 13.
M.C.M. (10 y 12) = 2 × 2 × 3 × 5 = 60 Vemos que la cantidad de huevos que hay en la canasta es 60k (‘‘k’’ es un número natural)
∴
números de vueltas que dio el 192 = 3 vueltas. 2do ciclista = 64
Resolución
Para saber el número exacto de docenas y decenas que hay en la canasta, hallamos el M.C.M. de 10(decena) y de 12(docena).
10 5 5 5 1
192 = 4 vueltas. 48
∴ Pasan juntos al cabo de 192 segundos y cada uno da 4 y 3 vueltas respectivamente.
M.C.M. (8; 18 y 21)=2×2×2×3×3×7=504
Resolución
número de vueltas que dio el
Para saber cuál es la menor distancia que se puede medir exactamente con las 3 reglas; hallamos el M.C.M. de 30; 40 y 50.
15
Para saber dentro de cuánto tiempo pasarán ambos por la partida, hallamos el M.C.M. de 48 y 64.
30 − 40 − 50 2 15 − 20 − 25 2 15 − 10 − 25 2 15 − 5 − 25 3 5 − 5 − 25 5 1 − 1 − 5 5 1 − 1 − 1
48 − 64 2 24 − 32 2 12 − 16 2 6 −
8 2
3 −
4 2
3 −
2 2
3 −
1 3
1 −
1
17
M.C.M. (30; 40 y 50)= 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5 = 600 ∴
- 60 -
Se puede medir con las 3 reglas, exactamente, una distancia de 600 cm.
Primer año de secundaria
Resolución
18
Resolución
Hallamos el M.C.M. de 30; 45; 50. 30 −
45 − 50 2
15 −
45 − 25 3
5 −
15 − 25 3
5 −
5 − 25 5
1 −
1 −
5 5
1 −
1 −
1
Para saber dentro de cuánto tiempo volverán a abrirse simultáneamente, hallamos el M.C.M. de 20; 12 y 30.
20 10 5 5 1
La cantidad de dinero que necesito será múltiplo de 450, más 5, (5 es lo que debe sobrar para los pasajes)
− 30 − 15 − 15 − 5 − 1
2 2 3 5
∴ Si se abren simultáneamente a las 12 del día, volverán a abrirse a las 12 del día con 1 minuto.
Entonces: Necesito: 450 k + 5 ; (" k '' ∈ ¥ ) Como se pide la menor cantidad, entonces: k=1 ∴ Necesito 450(1)+ 5 = 455 nuevos soles
19
Para saber dentro de cuánto tiempo coincidirán, hallamos el M.C.M. de 5 y 3. Como 5 y 3 son primos entre sí.(no tienen múltiplos en común, sólo la unidad); el M.C.M. será: M.C.M. (5 y 3) = 5 × 3 = 15 Luego: coincidirán dentro de 15 horas. Si salen a las 9 de la mañana, volverán a coincidir a las: 9 + 15 = 24 horas ∴
− 12 − 6 − 3 − 1 − 1
M.C.M. (20; 12 y 30)= 2 × 2 × 3× 5 = 60 Volverán a abrirse simultáneamente, dentro de 60 segundos = 1 minuto
M.C.M. (30;45 y 50) = 2 × 32 × 52 = 450
Resolución
20
Volverán a coincidir a las 12 de la noche.
- 61 -
Manuel Coveñas Naquiche
EJERCICIOS DE REFORZAMINETO SOBRE NÚMERO PRIMO, DIVISIBILIDAD, M.C.D. y M.C.M. (Pág. 196, 197, 198) 3 y 12 no son primos entre sí, ya que tienen un múltiplo en común, el 3.
NIVEL I Resolución
1
•
B={6; 7; 19}
Si “n” es un número impar, I.
n es impar(impar×impar =impar)
6 y 19 son primos entre sí.
2 n + n es par (impar + impar = par)
7 y 19 son primos entre sí.
2 n + n + 1 es impar (par+1= impar)
II.
III.
•
C={15; 28; 31} 15 y 28 son primos entre sí.
n2 + n + 1 es impar 2n es par (par × impar = par) 2n + 1 es impar (par + 1 = impar) 2n + 1 es impar.
15 y 31 son primos entre sí. 28 y 31 son primos entre sí. ∴
Los conjuntos que contienen números que son primos entre sí son B y C.
3n es impar (impar × impar = impar) 3n + 1 es par (impar +1 = par) 3n + 1 es par. ∴ Son impares I y II Rpta: A
Resolución
2
Si “n” es un número par, I.
6 y 7 son primos entre sí.
2
n3 = n×n×n es par(par×par×par=par)
Rpta: B Resolución 4 Vemos cuáles son los números, del 1 al 50 inclusive, que sí son primos. números primos del 1 al 50
n3 + n es par (par+par=par) n3 + n + 2 es par (par+par=par) 3 n + n + 2 es par
II.
n2 = n × n es par (par × par = par) 2n
2
es par (par × par = par)
2n + 1 es impar (par+impar=impar) 2
III.
2 2n + 1 es impar. 6n es par (par × par = par) 6n + 3 es impar (par+impar = impar) 6n + 3 es impar. ∴ Son impares II y III Rpta: C
Resolución
3
Luego: Los que no son primos serán:50-15 = 35 ∴ 35 números no son primos Rpta: C Resolución
5
Por dato:
• 547
∗3
es múltiplo de 9,
∗ eso una cifra
∗ + 3 = o9 ∗ + 19 = 9 ⇒ ∗ = 8 • 32 ∗ 21 es múltiplo de 9, ∗ es una cifra o entonces 3 + 2 + ∗ + 2 + 1 = 9 o ∗ +8= 9 ⇒ ∗ =1 entonces 5 + 4 + 7 +
Piden:
* *
547 3 32 21
Analizamos cada conjunto. •
2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; = 41; 43;47 23;29;31;37; 14444244443 Hay 15 números primos
A={3; 5; 12; 13} 3 y 5 son primos entre sí. ∴
5 y 12 son primos entre sí. 12 y 13 son primos entre sí. 5 y 13 son primos entre sí. 5 y 12 son primos entre sí. 3 y 13 son primos entre sí.
- 62 -
547
∗3
Þ
− 32
∗ 21
54783 32121 22662 es 22 662
Rpta.: C
Primer año de secundaria
Resolución
Aplicamos la divisibilidad por 3. 3 + 3 + 6 + 0 = 12 = 3°
6
El múltiplo de 8 será 8k (k ∈ ¥ )
3 360 es divisible por 3
Como 8k antecede a 315; entonces tenemos que:
8k < 315 315 k< 8
Luego: 3360 es divisible por 6. •
k < 39, 375 k∈¥
Aplicamos la divisibilidad por 7. 2 × 6 = 12
336
k = 39
33 −
∴ El múltiplo de 8 que antecede a 315 es: 8k = 8(39) = 312
12 21
Rpta: C 21 es múltiplo de 7, porque 21÷7= 3 Resolución
7
3 360 es divisible por 7.
Si “a-b” es múltiplo de 5, podemos afirmar que “b-a” es también múltiplo de 5. Tienen igual valor, sólo que de signo contrario.
∴
Rpta: E Resolución
° a − b = 5k = 5 ° − b + a = 5k = 5 − (b − a ) = 5k = 5°
“b-a” es también múltiplo de 5.
9 3 2 3 3 3
Rpta: D
Resolución
8
300 {
⋅ 5 = 1500
500 {
⋅ 3 = 1500
1500 {
⋅ 1 = 1500
Luego: 100 ≤ 25 ⋅ k < 1000 100 25 ⋅ k 1000 ≤ < 25 25 25 4 ≤ k < 40 Entonces k = 4; 5; 6; 7; 8; ...; 39
Factor múltiplo de 100
N=
Factor múltiplo de 100
N=
Factor múltiplo de 100
∴
Hay cuatro factores que son múltiplos de 100
Resolución
11
25 ⋅ k , k = 1; 2; 3; 4; ... Los números de 3 cifras están entre 100 y 999 inclusive.
Factor múltiplo de 100
N=
Rpta: E
Los múltiplos de 25 son:
2 3 N = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 1500 N= 100 { ⋅ 15 = 1500
II.
3 2 72 = 2 × 3
1
Resolución
I.
10
72 2 3 36 2 2 18 2
b − a = −5k = 5°
∴
Son verdaderas: I; II y III
Rpta: D
∴
Hay: 39-3=36 múltiplos de 25 de 3 cifras
Rpta: B
9 Resolución
Aplicamos la regla de divisibilidad por 9. o 2 + 8 + 5 + 3 = 18 = 9 2 853 es divisible por 9. Aplicamos la regla de divisibilidad por 8. Tomamos las 3 últimas cifras del número. 488 es divisible por 8.
12
Los múltiplos de 7 son de la forma:
7 ⋅ k (k ∈ ¥ ) . Luego: 48 < 7 ⋅ k < 172 48 7 ⋅ k 172 < < 7 7 7 6, 85 < k < 24, 57
2 488 es divisible por 8. III.
3 360 es divisible por 5, ya que termina en cero.
•
Para que 3 360 sea divisible por 6 debe ser divisible por 2 y 3.
Entonces: k = {7; 8; 9; ...; 24} ∴
3 360 es divisible por 2; ya que termina en cero - 63 -
Hay: 24-6 = 18 múltiplos de 7
Rpta: C
Manuel Coveñas Naquiche
Resolución
280 − 1120 − 1600 2 140 − 560 − 800 2 70 − 280 − 400 2 35 − 140 − 200 5 7 − 28 − 40 M.C.D.(280; 1120; 1600)=2 × 2 × 2 × 5 = 40 ∴ La mayor longitud de la medi– da será 40 m.
13
Los múltiplos de 5 son de la forma: 5⋅k
(k ∈ ¥ ) luego: 30 ≤ 5 ⋅ k ≤ 80 30 5 ⋅ k 80 ≤ ≤ 5 5 5 6 ≤ k ≤ 16
k = {6; 7; 8; ...; 16} Hay: 16 - 5 = 11 múltiplos de 5 Rpta: C Resolución 14
Resolución
∴
N = ab
∴
N = a ( 2a )
NIVEL II
Resolución 15 Descomponemos en sus factores primos
Resolución
el número 120. 120 = 23 × 31 × 51 Números de divisores de 120 = (3 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 16 ∴ 120 tiene 16 divisores. Rpta: E
1
Sean: abc y cba los números Descomponemos polinómicamente ambos números: abc = 100 a + 10b + c cba = 100 c + 10 b + a
Resolución 16 Para saber la menor distancia que se puede medir utilizando tres cintas métricas, hallamos el M.C.M. de 4, 10 y 16. 4 − 10 − 16 2 2 − 5 − 8 2 1 − 5 − 4 2 1 − 5 − 2 2 1 − 5 − 1 5 1 − 1 − 1
∴
(a y b ∈ ¥ )
Donde: “2a” puede ser desde 0 hasta 9 o sea: 0 ≤ 2a ≤ 9 0 2a 9 ≤ ≤ 2 2 2 0 ≤ a ≤ 4,5 Pero “a” no puede ser cero, ya que es la primera cifra de N. a = 1; 2; 3 y 4 Luego: N={12; 24; 36; 48} ∴ “N” es siempre múltiplo de 12. Rpta: B
M.C.M. (9; 12 y 15) =2×2×3×3×5 = 180 Rpta: D Hay 180 alumnos.
M.C.M. (4; 10 y 16) = 24 × 5 = 80 La menor distancia que se puede medir es 80 m.
18
Si b = 2a
Para saber el menor número de alumnos que pueden ser agrupados, hallamos el M.C.M. de 9, 12 y 15 9 − 12 − 15 2 9 − 6 − 15 2 9 − 3 − 15 3 3 − 1 − 5 3 1 − 1 − 5 5 1 − 1 − 1
Rpta: C
Hallamos la diferencia de estos números: Diferencia = abc − cba = (100a + 10b + c ) − (100 c + 10b + a ) = 100a + 10b + c − 100c − 10b − a = 99 a − 99c = 99 (a − c )
= 11× 9 (a − c ) 14 4244 3 Múltiplo de 11
∴
La diferencia siempre es múltiplo de 11
Resolución
Rpta.: D
Rpta: D
2
4 7 A = 2 ×3 ×5
Resolución 17 Para saber la mayor medida que se usará para medir exactamente las tres dimensiones, hallamos el M.C.D. de 280; 1120 y 1600.
6 2 2 B = 2 ×3 ×7 Los factores comunes de A y B, con su menor exponente
son: 2 4 y 3 2 . 4 2 M.C.D.(A y B) = 2 × 3 = 14 4
∴ - 64 -
La última cifra del M.C.D. es 4
Rpta: B
Primer año de secundaria
Resolución
3
Resolución
Sea N el número. Sabemos que:
5
Descomponemos cada número en sus factores primos.
(
)
2
•
2 2 144 = 12 = 3 × 2
•
N = 3° + 1
° ° N= 3 +3−2 = 3 −2 N = 5° + 5 − 2 = 5° − 2
•
•
N = 5° + 3
2 4 256 = 16 = 2
N = 9° + 9 − 2 = 9° − 2
•
2 2 2 225 = 15 = (3 × 5 ) = 3 × 5
•
N = 9° + 7
•
° + 10 N = 12
° ° + 12 − 2 = 12 −2 N = 12
∴
− 12 − 6 − 3 − 1 − 1 − 1
2
La suma de cifras es: 5 + 7 + 6 + 0 + 0 = 18
Resolución
Hallamos el M.C.M. (3; 5; 9 y 12):
− 9 − 9 − 9 − 3 − 1 − 1
= 28
8 2 2 M.C.M. (144; 256 y 225)= 2 × 3 × 5 = 57600
° N = m.c.m. (3;5;9 y12 ) − 2 − 5 − 5 − 5 − 5 − 5 − 1
2
Hallamos el M.C.M. de (144; 256 y 225):
Por propiedad:
3 3 3 1 1 1
( )
= 32 × 24
Rpta: A
6
Hallamos el M.C.D. de 1 825; 2 625 y 3 650
2 2 3 3 5
1825 − 2625 − 3650 5 365 − 525 − 730 5 73 − 105 − 146 M.C.D. (1 825; 2 625 y 3 650) = 5 × 5 = 25 Rpta: E ∴ La mayor cifra del M.C.D. es 5
M.C.M.(3; 5; 9 y 12)= 22 ⋅ 3 2 ⋅ 5 = 180
° − 2 = 180 k − 2 Entonces: N = 180 ∴
El menor número será 180(1)-2=178
Resolución
Rpta: A
4
Los números de dos cifras están entre 10 y 99. Entonces:
o
10 ≤ 17 ≤ 99 10 ≤ 17k ≤ 99 10 17k 99 ≤ ≤ 17 17 17 0,6 ≤ k ≤ 5,8
7
Descomponemos 180 en sus factores primos. 180 2 90 2 45 3 2 2 180 = 2 × 3 × 5 15 3 5 5 1 Luego: número de divisores de 180 = = ( 2 + 1) ⋅ ( 2 + 1) ⋅ (1 + 1) = 18
k= 1; 2; 3; 4 y 5 Los múltiplos de 17 de dos cifras serán:
∴
180 posee 18 divisores. Rpta: D
17 ⋅ 1 = 17 17 ⋅ 2 = 34 17 ⋅ 3 = 51 17 ⋅ 4 = 68 17 ⋅ 5 = 85 ∴ Hay 5 múltiplos de 17 con dos cifras
Resolución
Resolución
Rpta: C
8
Números primos menores que 24 ={2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23} La suma de estos números será: Suma= 2+3+5+ 7+11+ 13+17+ 19 +23= 100 ∴ La suma es 100 Rpta: E Resolución
9
9 ° 2 = 512 = 2 k = 2 ∴ 29 sí es múltiplo de 2. Rpta: C
- 65 -
Manuel Coveñas Naquiche
Resolución
10
• 7×11=77
C.A.(77) = 100 - 77 = 23
Si 2a53b es múltiplo de 56, entonces será múltiplo de 7× 8, es decir múltiplo de 7 y 8.
• 7×12=84
C.A.(84) = 100 - 84 = 16
Como: 2a53b es múltiplo de 8, será divisible por 8.
• 7×13=91
9 C.A.(91) = 100 - 98 = {
•
Aplicando la divisibilidad por 8, tenemos que: 53b es divisible por 8.
Múltiplo de 3
• 7×14=98 ∴
b = 6 ya que 536 es divisible por 8. •
Como 2a53b es múltiplo de 7, será divisible por 7. Aplicando la divisibilidad por 7, tenemos que:
C.A.(98) = 100 - 98 = 2
Hay 4 múltiplos de 7 cuyo C.A. es múltiplo de 3.
Resolución
12
Para saber el lado de dichas parcelas en que se divide el terreno, hallamos el M.C.D. de 120 y 168.
120 − 168 60 − 84 30 − 42 15 − 21 − 7 5
⇒ 2 ×6 =12
2a { 53 6 ⇓
2a 5 3 − 12 ⇒ 2 ×1 = 2
2a { 41 ⇓
Rpta: C
⇒ 2 ×2 = 4
Resolución
° 2a { −4 = 7
13
Descomponemos en sus factores primos el número 510 510.
⇓
(2 0 + a )− 4 = 7°
510 510 255 255 85 085 17 017 2 431 221 17 1
1 6 + a = 7° ⇒ a = 5
Luego: a + b = 5 + 6 = 11
Rpta: C
11
Hallamos los múltiplos de 7, de 2 cifras. • 7×2=14
C.A.(14) = 100 - 14 = 86
• 7×3=21
C.A.(21) = 100 - 21 = 79
• 7×4=28
C.A.(21) = 100 - 28 = 72 { Múltiplo de 3
• 7×5=35
C.A.(35) = 100 - 35 = 65
• 7×6=42
C.A.(42) = 100 - 42 = 58
• 7×7=49
C.A.(49) = 100 - 49 = 51 {
∴
2 3 5 7 Factores primos 11 13 17
Contiene 7 factores primos
Resolución
14
8 − 12 − 18 2 4 − 6
− 9
2
2 − 3
− 9
2
1
− 3
− 9
3
C.A.(56) = 100 - 56 = 44
1
− 1
− 3
3
• 7×9=63
C.A.(63) = 100 - 63 = 37
1
− 1
− 1
• 7×10=70
C.A.(63) = 100 - 63 = 30 { Múltiplo de 3
Rpta: C
Para saber la cantidad de dinero con que podré hacer las compras, hallamos el M.C.M. de 8; 12 y 18.
Múltiplo de 3
• 7×8=56
3
∴ El lado de las parcelas medirá 24 m.
⇓
Resolución
2 2 2
M.C.D. (120 y 168) = 2 × 2 × 2 × 3 = 24
2a 4 − 2 2a {2
Rpta: B
M.C.M. (8; 12 y 18) = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 72 ∴
- 66 -
Podre comprar las manzanas con 72 nuevos soles.
Rpta: A
Primer año de secundaria
Resolución
Resolución
15
° + 5) − 7 − 1 + (7° + 3 ) = 7° + r { (7° + 5) − (7° + 6 ) + (7° + 3 ) = 7° + r
(7°
o
+
7
o
o
=
2
7
+
•
o
5 + 4 terminará en 0+4=4 ó en 5+4=9 Por lo tanto: b=4 ó b=9
r
o
Luego: •
r=2
Resolución
Rpta: B
A =8 +8
o
k +2
(
A = 8 1+ 8 A =8
k
9
•
3 k
)
o
9
∴
3k ⋅ 51 ⋅ 131 A= 2 14243
Factores primos
•
88 = 4 (3k + 1)
k+2
∴
Hallamos todos los múltiplos de 3 que hay del 1 al 630.
1 ≤ 3° ≤ 630 1 ≤ 3k ≤ 630
( )
9
= 227
Número de divisores de 227 = 27 + 1 = 28
(k ∈ ¥ )
1 3k 630 ≤ ≤ 3 3 3 0,3 ≤ k ≤ 210 Hay 210 múltiplos de 3 del 1 al 630.
Rpta: B
•
1300 − 1600 − 2000 2 650 − 800 − 1000 2 325 − 400 − 500 5 − 80 − 100 65 5 − 16 − 20 13
1 ≤ 42k ≤ 630 1 42k 630 ≤ ≤ 42 42 42 0,02 ≤ k ≤ 15
k = 1; 2; 209 y 210 Hay 15 múltiplos de 3 y 14 del 1 al 630. ∴
Los múltiplos de 3 que no son múltiplos de 14 serán: 210 - 15 = 195 Rpta: B
M.C.D. (1 300; 1 600; 2 000) = 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 5 = 100 Cada paso será de 100 cm.
Hallamos todos los múltiplos de 3 y de 14 que hay del 1 al 630. Múltiplos de 3 y 14=(3 × 14)k = 42k
17
Para saber la mayor longitud posible de cada paso que camina, hallamos el M.C.D. de 1 300; 1 600 y 2 000.
∴
19
k = 1; 2; ...; 209 y 210
= 87 + 2 = 89 = 23
Resolución
El mayor valor de ab será 84 Rpta: C
Resolución
Luego: número divisores de A =(3k+1) ⋅ (1+1)(1+1)
8
a=3
ab sería 39
⋅ (5 × 13 )
88 = 3k + 1 4 22 = 3k + 1 21 = 3k k=7 Luego:
Si b = 9 y ba = 9° + 3
9a = 9° + 3 93 = 90 {+3
(65 )
( )
A= 2
2
a=8
ab sería 84
De la propiedad: Na +b = Na ⋅ Nb Entonces: k k 2 A = 8 + 8 ⋅8 k
Si b = 4 y ba = 9° + 3
° 4a = 9 + 3 48 = 45 {+3
16
k
° ab = 5 + 4
Los múltiplos de 5 terminan en cero ó 5 entonces
7 + 2 = 7+ r ∴
18
Rpta: D
- 67 -
Manuel Coveñas Naquiche
Resolución
20
Resolución
Sean a y b los números Por dato: a + b = 96 ... 1 M.C.M. (a;b) = 180 ... 2 Afirmaremos que “a” y “b” tienen un factor en común, sino sería cierto llegaremos a una contradicción. Entonces: a = d ⋅ p donde: b = d ⋅ q d = M.C.D. de a y b. p ; q son primos entre sí. Remplazamos en 1 y 2 d ⋅ p + d ⋅ q = 96 ⇒ d(p + q) = 96 d ⋅ p ⋅ q = 180 3
•
•
78 9
M.C.M. ( A;B ) = 2
n
n 2 2 300 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5
•
16 ⋅ 90n = 24 ⋅ 2 ⋅ 32 ⋅ 5 = 24 =2
4+n
n
2
⋅3
∴
Rpta: E
)
n
)
n
Luego: número de divisores de 300n =
(2n + 1) ⋅ (n + 1) ⋅ (2n + 1) número de divisores de 16 ⋅ 90n =
(4 + n + 1) ⋅ (2n + 1) ⋅ (n + 1) Según el enunciado; tenemos que:
(2n + 1)(n + 1)(2n + 1) = ( 4 + n + 1)( 2n + 1)(n + 1) 2n + 1 = n + 5
∴
n=4
2n
⋅ 3 2n +1 ⋅ 5n +1
⋅ 32n+ 1 ⋅ 5n+1 = 12 ⋅ 22 ⋅ 3n+ 2 ⋅ 5n+1 2
= 22n ⋅ 3n ⋅ 52n
⋅5
2n
22n ⋅ 32n+ 1 = 22 ⋅ 3 ⋅ 22 ⋅ 3n+ 2
⋅ 32n ⋅ 5n 2n
)
M.C.M. ( A;B ) = 12 ⋅ M.C.D. ( A;B )
•
( ⋅ (2
n
Sabemos que:
Los números se pueden escribir de la siguiente forma:
)
) (
M.C.D. ( A;B ) = 22 ⋅ 3n + 2 ⋅ 5n +1
21
(
(
n 2 2 B = 45 ⋅ 60 = 3 ⋅ 5 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5
Luego:
d = 12
La diferencia de los números es: b – a = 60 – 36 = 24
Resolución
n
= 22 ⋅ 32n+1 ⋅ 5n+1
Entonces 12 ⋅ p ⋅ q = 180 p ⋅ q = 15 ↓ ↓ 3 5 a = d ⋅ p = 12 ⋅ 3 = 36 b = d ⋅ q = 12 ⋅ 5 = 60 ∴
)
= 32n ⋅ 5n ⋅ 22 ⋅ 3 ⋅ 5
En 3 se observa que “d” también es el M.C.D. de 96 y 180. Luego: 96 − 180 2
2 3
)(
= 22n ⋅ 3n + 2 ⋅ 5n +1
78 9
90 45 15
(
n 2 2 A = 45 ⋅ 60 = 3 ⋅ 5 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5
= 32 ⋅ 5 ⋅ 22n ⋅ 3n ⋅ 5n
78 9
48 − 24 − 8 −
22
Rpta: C
- 68 -
2n
⋅ 32n+ 1 = 24 ⋅ 3n+ 3
n=2
Rpta: B
Primer año de secundaria
CAPÍTULO N° 5 EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO SOBRE NÚMEROS ENTEROS (Pág. 253, 254, 255, 256)
Resolución
NIVEL I Resolución
1
A = {x/x ∈ *
∧ −3 < x < 7}
k = −27: 3 + 100 : 20 · 5 123 1 424 3 k = −9 + 5·5 = −9 + 25 = 16
Como: −3 < x < 7 à x = {−2; −1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}
Me piden: n(A) = 9
Resolución
2
∴
∴
k=0
Rpta.: A
Rpta.: E
3
Veamos:
E=
• a + (−a) = 0 14 4244 3 aditivo. Rpta.: E 4
k
(−)
∴
(Verdadero)
3
9
Veamos:
−27 − 4 81
3)2
j
2
+ 2· 4· 8
+8
k = (−6)2 + 8
(Falso)
k = 36 + 8 = 44 ∴
(Verdadero)
( − ) (−) (−) à (−)
k = 44
Resolución
B) a + (-a) = 0 (Prop. Inverso Aditivo)
10
Veamos:
−4 + 4 − 8 + − 2 5 +6 −8 −4
à
E=
4+ 4+2 4+6 = = 10 1 −1
∴
E = 10
Rpta.: D Veamos: (Prop. Conmutativa)
Rpta.: C
E=
∴ Son verdaderas (I) y (III)
Resolución 5 A) a·b = b·a
e
Rpta.: C
k = (− 3 −
( − ) = (+) v (−)
(III). m · n · k = p
E = −42
k=
(−) à (−)
(II). m − n = k
Veamos:
−27 · 42 − 144 : 22 + 32
Resolución
Veamos:
(I). n + m =
3
8
E = (−3)·16 − 12 : 4 + 9 E = −48 − 3 + 9 = -42
Propiedad del inverso
(−)
Veamos:
k = 6{8 − 8} = 6 × 0 = 0
Resolución
Resolución
7
k = 6{4[10 − 8]− 8}
3 + 5 + 7 + 1 = 16
Resolución
Rpta.: E
k = 6{4[2(3 + 2)-8]- 8}
Me piden:
à S = 16
k = 16
Resolución
Rpta.: D
S = −3 + −5 + 7 + −1
S=
Veamos:
k = (−15 + 12)3 : 3 + (2·5)2 : 20·5 k = (−3)3 : 3 + (10)2 : 20 · 5
Veamos:
∴ A = {−2; −1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} *
6
Rpta.: A
C) b · b-1 = 1 Resolución
D) a + (b+c) = (a+b)+c (Prop. Asociativa) ∴
11
E) a(b+x) = ab + ax (Prop. Distributiva)
K = 6 − {4[6 + 5 − (3 + 2)−4]−3}
a(b+x) = ab + ax ← Prop. Distributiva
K = 6 − {4[6 + 5 − 5 − 4]−3} K = 6 – {4[2] − 3}
Rpta.: E
K = 6 − {8 − 3} = 6 − 5 = 1 ∴
- 69 -
k=1
Rpta.: E
Manuel Coveñas Naquiche
Resolución
12
Veamos:
Resolución
• A = (−3) − (−5) − (1)
E = 10 + (−10)(4) − (−125) + (−8)(−1) − (64)
• B = −5 − [−3 + 2 + (−8)]
E = 10 – 40 + 125 + 8 – 64
B = −5 − [−3 + 2 − 8]
E = 39
B = −5 − [−9] = –5 + 9 = 4 à B = 4 A + B 1+ 4 5 = = = 1, 25 Me piden: A·B 1· 4 4
∴
A +B = 1, 25 A·B
Resolución
13
∴ E = 39
Resolución
Veamos:
Rpta.: E
(−3)3
•P= • Q=
− 45 = +43 − 42
=(9)(−27) à P = –243
à
∴
Q = 64
*
Ordenando de mayor a menor:
x + 11+(40 − 11) = 117 à x = 77
• R = (−1)-100 ·(−1)99 = (1)(−1) à R = −1 *
18
Rpta.: E
Veamos:
(−3)2
·
Veamos:
E = 10 + (−10)(2)2 − (−5)3 + (−8)(−1)5 − (−2)6
A=−3+5−1 à A=1
*
17
Me piden: Nivel Colina = x + 11 = 77 + 11 = 88m
à 64 > −1 > − 243
Rpta.: B
∴ Q>R>P à Tenemos: QRP Resolución
14
Resolución
Rpta.. B
19
Veamos:
Veamos:
K = 2{1+[4(2+1)2 + 1]2} K = 2{1+[36 + 1]2} K = 2{1 + 372}
*
K = 2{1 + 1369} = 2·(1370) ∴
K = 2740
Resolución
15
Luego: T2 = T1 + 3·∆T T2 = −16 + 3(3) = −7 T2 = −7° C
à
Rpta.: C
Resolución
Veamos:
• M = (−2) · (+3) à M = −6
20
Rpta.: A
Veamos:
a
• N = (+6) : (−1) à N = −6 • P = (−2)3 + (−2)-(-5) à P = −5 n° mayor *
Luego: # mayor = −5 à
# mayor = sólo “P”
Resolución
16
Rpta.: C
* ∴
Luego: 75 + x = 135 à x = 60 Tiempo Destrucción = x = 60 d.c Rpta.: B
Veamos:
(−5)+(−4)(−3) − (−1)(2) − x = (−1)3 −5 + 12 + 2 − x = −1 14 − 5 + 1 = x
Resolución
21
Veamos:
10 = x ∴
x = 10
Rpta.: A
- 70 -
à
x + 90 = 36 + 58
à
x = 4m
Rpta.: A
Primer año de secundaria
Resolución
22
Veamos:
Resolución
29
Veamos:
à x + 8 = 19 à x = 11
à T = −8+(4)(5) = 12 ∴ T = 12° C Resolución
Rpta.: B
Rpta.: C
23
Resolución
Tenemos:
a.C.
d.C.
Me piden:
T. Baja ∆T = +5°C − 8°C − 1°C + 2°C − 4°C T. Sube ∴
∆T = −6°
Rpta.: C NIVEL II
à
Tiempo total = 29 + 476 = 505
à
Tiempo total = 505 años
Resolución
Resolución
24
Tenemos:
to = −8°C ∆t = 46°C
Resolución
25
Rpta.: C
Veamos:
B = −6
à
Descendió Nivel = +230m −110m + 35m
Veamos:
à A=3 • B = [2 − (−1)3 + (1 − 32) − (−5)2] : [1 + (−2)2] B = [2 − (−1) + (1 − 9) − (25)] : [1+ 4] B = [2 + 1 − 8 − 25] : 5 B = −30 : 5
Luego: tf = to + ∆t tf = −8 + 46 = 38°C
1
• A = 4 − [2 − (3 – (−1 + 4)) − (1 − 5) − 5] A = 4 − [ 2 − (3 − 3) − (–4) −5] A = 4 − [2 − 0 + 4 − 5] A=4−1
Rpta.: B
*
30
* Me piden: A2 + B2 = 32+(−6)2 = 9 + 36 à
A2+ B2 = 45
Rpta.: D
Se eleva à Nivel = 155m Resolución
26
Rpta.: A
Resolución
• C = 122 : 12 − (24 : 12) · 32 C = 144 : 12 − 2 · 32 C = 12 − 18 à C = −6
Congelador T. Inicial
Resolución 27 5+x=3
Veamos:
à x = −2
* à
Me piden: K = 2A − 4B + 5C K = 2(32)−4(2) + 5(−6) K = 64 − 8 − 30 = 26
∴
x=3−5
K = 26
28
Sea:
Ahora: Ho + 560 − 900 = 1200
Me piden:
P = 9 – 4(–9) + 1 + 1 P = 9 + 36 + 1+ 1 = 47
Ho − 340 = 1200 à Ho = 1540 m
3
0 P = 63 : 7 − 4 · (−315 : 313) + (39)− (−1)9 2 P = 9 − 4 ·(−3 ) + 1 – (−1)
Ho = altura inicial
*
Rpta.: E
Rpta.: B Resolución
Resolución
A = 32
• B = −(2)2 : 2 + 2 − 18 : (−9) B = –4 : 2 + 2 − (−2) B = −2 + 2 + 2 à B=2
Calor
Rpta.: C
Veamos:
A = 2 · 42 = 2 · 16 à
Veamos:
T° = −6°C − 20°C + 18°C
∴ T° = −8°C
2
Rpta.: A
∴
- 71 -
P = 47
Rpta.: A
Manuel Coveñas Naquiche
Resolución
4
à A = {−7; −6; −5; ...; 8}
Veamos:
∴ n(A) = 16
• A = −34 + 43 + 24 A = −81 + 64 +16
à A = −1
Como: −9 < x ≤ 8 à x = {−8; −7; ... ; 8}
3 4 4 • B= 4 −3 +2
à B = {−8; −7; −6; ...; 8}
B = 64 − 81 + 16
B = 17 + 16
∧ −9 < x ≤ 8}
• B = {x/x∈
à
∴ n(B) = 17
B = 33 *
4 3 4 • C= 2 − 4 −3
Me piden: n(A) + n(B) = 16 + 17 = 33 à n(A) + n(B) = 33
Rpta.: C
C = 16 − 64 − 81
à
C = 16 − 17
*
Resolución
C=1
Nivel = +45m − 93m + 36m − 40m + 12m Baja
à A < > < > 5 15 60 120
4
I)
4 8 4 8 y ; simplificando: = 5 10 5 10 5
à
II)
3 −3 y 4 4
4 8 = 5 10
∴
Resolución
III)
0 0 y 3 2
3 −3 > 4 4
pero:
0 = 0 3 0 = 0 2
à
−3
5
∴
−6 −3 = 10 5
b =
5 50 = 8 80
c =
7 56 = 10 80
60 56 50 > > 80 80 80
a>c>b Resolución
Rpta.: C 5
homogeneizamos los denominadores de las fracciones dadas, obteniendo:
representan al mismo punto: I ; III y IV
3 60 = 4 80
Ordenando en forma decreciente:
−3 −6 −3 y ; simplificando: 10 = 5 10 5
à
4
a =
Donde:
0 0 = 3 2 −6
IV)
Rpta.: E
homogeneizamos los denominadores de las fracciones, obteniendo:
Negativo Positivo
à
−80 es equivalente a las demás fracciones 150
Rpta.: D
a =
2 24 = 3 36
b =
7 21 = 12 36
c =
5 20 = 9 36
Donde:
20 21 24 < < 36 36 36
Ordenando en forma creciente: c 3x 6>x
x 2
∴ C.S= {0; 1; 2; 3; 4; 5}
20 + x x–2< 2
2x – 4 < 20 + x x < 24 ∴ C.S = {0; 1; 2; 3; ..... ; 23}
3x + 6 > 6x – 12
Rpta - 122 -
Primer año de secundaria
g)
2(x+1)+3 > 5(x – 2) + 7 2x + 2 + 3 > 5x – 10 + 7 2x + 5 > 5x – 3
f)
à 3x – 9 < 4x + 20 à –29 < x
8 > 3x x<
h)
∴ S= {x ∈ ¢ / x > −29}
8 ) ó x < 2,6 3
∴ C.S = {0; 1; 2}
g)
h)
∴ C.S ={0; 1; 2}
∴ S = {x ∈ ¢ / x ≥ 56}
9x + 21 < 2x + 77 i)
x 11 à 12x + 14x − 15x > 11 7 3 14 42
∴ S = {x ∈ ¢ / x > 42}
3x – 8 < 5(2x – 3) à 3x – 8< 10x –15 ∴ S = {x ∈ ¢ / x < 1}
{x ∈ ¢ / x ≥ 30}
à 11x > 11· 42 à x > 42
à 7 20}
∴ S= {x ∈ ¢ / x < −4} ∴ S= {x ∈ ¢ / x > −8} c)
x 1 x +7< + à x + 42 < 2 + 3x 6 3 2
à 40 < 2x à 20 < x
∴ C.S= {0; 1; 2; ... ; 7} Resolución
x x + 3 ≥ + 4 à 8(x + 21) ≥ 7(x + 32) 7 8
8x +168 ≥ 7x +224 à x ≥ 56
9 2 x + 3 < x + 11 7 7
7x < 56
à x < –2
∴ S = {x ∈ ¢ / x < −56}
3x – 6 ≤ 4 – 2x
i)
3x − 2 3x − 4 < − 2 à 5(3x – 2) < 2 (3x – 14) 2 5
à 15x – 10 < 6x – 28
3 x − 3 ≤ 2− x 2
5x ≤ 10 à x ≤ 2
x − 3 x −1 < + 2 à 3(x – 3) < 4(x + 5) 4 3
l)
x−3 x+7 −57}
- 123 -
Manuel Coveñas Naquiche
Resolución a)
d)
3
12 veces un número, no excede de 36.
c)
El quíntuplo de un número es mayor o igual que dicho número aumentado en 40.
d)
El triple del número, aumentado en uno, es menor que 16.
e)
La mitad de un número, disminuido en 3 no excede de 5.
f)
La suma de tres números consecutivos es menor que 26.
Resolución a)
Resolución a)
5 + 7x < 40 7x < 35
∴
b)
x = 6; 7; 8; ...
∴ El menor par de números son 6 y 7 c)
7 ( 4x − 5 ) > 23x − 5 28x − 35 > 23x − 5 28x − 23x > 35 − 5
20 son: 3
5x > 30
6; 5; 4; 3; 2; 1 y 0
7; 8; 9; 10; ... Pero x debe ser el menor ∴ Menor número natural = 7
x6
Los valores que toma x son:
(enunciado abierto)
−5x > 45 − 8 −5x > 37
2x − 7
80
x>5
Nos piden el menor par de números con– secutivos
Los números naturales menores que
c)
x=4
x x +1 + >2 5 6 6x + 5 ( x + 1)
Luego:
20 C.S. = x ∈ ¥ / x < 3
5x < −37
x 45
5
>2 30 6x + 5x + 5 > 60 11x > 55
3x < 30 − 10 3x < 20
b)
x 15
C.S. = {x ∈ ¢ / x 15}
4
10 + 3x < 30
(enunciado abierto)
x 20 − 5
Pedro tiene 3 años más que Juan y la suma de sus edades es menor que 27
b)
5 + x 20
7x + 882 < 6x + 924 Los valores que toma “x” son: 41; 40; 39; 38; ... Pero “x” debe ser el mayor ∴ - 124 -
Mayor natural = 41
x < 42
Primer año de secundaria
f)
x 4+ 3 4 8 4 ( 2x − 1) − 3 32 + 2x − 10 > 12 8 8 ( 8x − 4 − 3 ) > 12 (32 + 2x − 10 )
¢
h)
9
Si x = 3y ... (1) 3 x + 4y ≤ 780 3 (3y ) + 4y ≤ 780 13y ≤ 780
k)
Menor entero = 9
x = 180
N° de platos de S/. 9 = x N° de platos de S/. 7 = 2x Luego: 9x + 7 ( 2x ) ≥ 414 23x ≥ 414 ∴
26x < 26 ⋅ 30 26 ⋅ 30 x< 26 x < 30 ¢ 29 30 31
i)
y ≤ 60 ∴
Luego: x = 3(60)
11x 5x x − − < 26 5 6 2 66x − 25x − 15x < 26 30
∴
N° de lapiceros de S/. 3 = x N° de lapiceros de S/. 4 = y Se plantea que:
64x − 56 > 264 + 24x 40x > 320 x>8
∴
El mayor entero = 55
-6
Mayor entero = -7
8
x < 56
El mayor entero = 29 3x x 7 + − x x 3 2
3x – 2y = 3· 11 – 2· 5
Resolución
Rpta.: B
24
∴ x>–1
19
3x – 2y = 23
1 14
4[5 – 2(1 – x)] + 2(x – 1) > 0 20 – 8 + 8x + 2x – 2 > 0 à 10x > –10
Rpta.: D
y>4 à y=5 ∴
23
1 − 4x 8x − 1 2 + 3 2 > x 2
Sea “x” la edad de Sara
∴
Rpta.: C
1 1 2 − 2x + 3 4x − > x 2 2
Rpta.: B Resolución
22
3 + 4x 5 − 4x 3 − 2x ≥ 4 20
16x + 84 > 14x + 56 2x > –28
Resolución
Rpta.: B
3 1 x 3 − − 2x ≥ + x 4 4 5
7
8 (8x + 42) > 28 [2x − 4 + 12]
∴
x=5
16
Rpta.: D
2(4 + 2x) – 3(x – 4) > 6x 8 + 4x – 3x + 12 > 6x
20
20 > 5x
3x x 5x + − >2 4 3 6
4>x
- 127 -
Rpta.: D
Manuel Coveñas Naquiche
CAPÍTULO N° 12 PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO SOBRE RECTAS Y ÁNGULOS (Pág. 513, 514, 515, 516) NIVEL I Resolución
1
Resolución
7
Veamos:
Veamos:
à
x + 40 = 70
à
*
Luego: 12 + x = 25 à
x = 30°
x = 13
Rpta.: D
Rpta.: D Resolución
2
Veamos: Resolución
* Luego: x + 2x + 18 3x = 18 à x = 6 Resolución
3
8
Veamos:
Rpta.: B
Veamos: à
3x + 40 + x = 180° 4x = 140
Como:
* • M← punto medio de AB à AM = MB = 3
Resolución
9
à
x = 35° Rpta.: E
Veamos:
• N← punto medio de CD à CN = ND = 4 Me piden: x = MB + BC + CN * x = 3 + 5 + 4 à x = 12 Rpta.: C Resolución
* à
4
Veamos:
Como: C ← punto medio de AD: AC = CD 4 + x = 14 x = 10
Resolución
5
à
2θ = 72 *
Veamos:
Dato: AC + BD = 20 (m + 5) + (5 +n) = 20 m + n + 10 = 20 à m + n = 10
*
Me piden: AD = m + n + 5 = 10 + 5 = 15
θ + 24 + θ + 24 = 120 2θ + 48 = 120
Rpta.: A
* à
à
θ = 36°
Me piden: m ∠) COD = θ = 36° Rpta.: C
Resolución
10
Veamos:
Rpta.: C
Resolución * à
* Como: B ← bisectriz ∠) DOA à m∠) DOC = θ à m ∠) AOB = θ + 24 Además m ∠) AOD = 120° *
6
Sea el ángulo: θ
Luego: θ = S(θ) θ = 180 − θ 2θ = 180° à θ = 90° Rpta.: B
à
3φ + 40 + 2φ = 90° 5φ = 50°
à φ = 10° Rpta.: A
- 128 -
Primer año de secundaria
Resolución
11
Veamos:
*
Como: L // L1 à (3x +10) + (2x+30) = 180° 5x + 40 = 180° 5x = 140° x = 28° Rpta.: D
* En el gráfico: ° = 180 ° 45βθ ++ 130 6 110° = 180°
*
θ = 50°
à β = 70°
Resolución
15
Veamos:
Me piden: x = θ + β (Por propiedad) à
x = 50 + 70 x = 120°
Resolución
12
Rpta.: C
Veamos: *
Como: • L 2 // L 3 à θ = x • L // L1 à θ + y = 180° à x + y = 180°
*
Como:
Rpta.: B
L1 // L à φ + 4φ = 180° NIVEL II
5φ = 180° à φ = 36° *
Además: x + φ = 180° à
Resolución
1
Veamos:
x + 36° = 180° à x = 144° Rpta.: E
Resolución
13
Veamos: * Luego; en el gráfico:
45mn++44==97 6
*
45mn==53 6
à
Me piden:
AD = m + n + 4 = 3 + 5 + 4 = 12 *
Rpta.: C
Como: • L 2 // L 3 à θ = 30° • L // L1
Resolución
2
Veamos:
à x = θ à x = 30° Rpta.: C
Resolución
14
Veamos: * En el gráfico:
45xx ++ nm==78 6
*
Dato: à
à
45nm==78−−xx 6
AD = 4BC m + n + x = 4x (8 − x) + (7 − x)+ x = 4x 15 = 5x
à
x=3 Rpta.: B
- 129 -
Manuel Coveñas Naquiche
Resolución
à
3
Veamos:
Resolución
2a + 3a + 7a = 24 12a = 24 à a = 2
*
Me piden: AB = 2a = 2(2) = 4
4
Dato: ) AOC + m ∠) BOD = 265° m∠
à
(θ + x) + (β + x) = 265° (θ + x + β) + x = 265 ... (I)
* à
Veamos:
* à
Como: AOD ← ángulo llano θ + x + β = 180° ... (II) Reemplazando (II) en (I): 180 + x = 265 à
*
Sea: CD = n ∧ BC = x
*
Como: B ← punto medio de AD à AB = BD = n + x
*
Dato: AD = 2·CD + 10
Veamos:
*
Rpta.: B Resolución
7
x = 85°
Resolución
8
Rpta.: B
veamos:
à 2(n + x) = 2(n) + 10 2n + 2x − 2n = 10
à
x=5 Rpta.: C à
Resolución
5
6x + 3x + 5x + 4x = 360° 18x = 360° à
Veamos:
x = 20° Rpta.: A
Resolución *
9
Veamos:
Como: M ← punto medio de BC à BM = MC = n
*
Dato: AB + AC = 12 à
m + (m + 2n) = 12 2(m + n) = 12
*
à m+n=6
Me piden: AM = m + n à AM= 6
Resolución
6
Rpta.: D
Veamos:
*
Como: OC ← bisectriz BOD à
*
) BOD = 90° Ahora: • m ∠
à *
à *
120° + β = 180° à β = 60°
Me piden: x = θ + β à
• ON bisectriz de COD ∧ COD = 30° à θ = 15°
x = 45° + 60° à x = 105° Rpta.: D
Me piden: ) MON = γ + 50 + θ = 10 + 50 + 15 = 75 m∠
θ + θ = 90° à θ = 45° • m∠ ) AOD = 180°
Como: • OM bisectriz de AOB ∧ AOB = 20° à γ = 10°
*
) BOC = m ∠ ) COD = θ m∠
Rpta.: E - 130 -
Primer año de secundaria
Resolución
*
10
Veamos:
Resolución
En el gráfico:
*
) COE = 90 ° • m∠ à θ + 2x = 90°
à θ = 90° − 2x
Resolución
*
11
En el gráfico: • 130° + θ = 180° à θ = 50° à
50° + x = 90° x = 40°
x1 4+24x 4 3+ θ = 180° 5x + (90° − 2x) = 180° x = 30°
Veamos:
• θ + x = 90° (Por propiedad)
) AOD = 180° • m∠
3x = 90° à
13
Resolución
14
Rpta.: D
Veamos:
Rpta.: A
Veamos:
Como: • L1 // L 2 à φ + 140° = 180° à φ = 40° • L // L 2 à x + 2φ = 180°
*
En el gráfico:
*
Como: L // L1 à x = 65° + θ
• θ + 105° = 180° à
θ = 75°
x = 65° + 75° = 140°
x + 2(40°) = 180°
Rpta.: E
x = 100° Rpta.: C Resolución Resolución
12
* *
En el gráfico:
*
Dato:
*
• θ + φ = 180° • φ – θ = 36° En: θ + φ = 180° à
15
Veamos:
Veamos:
θ + 108° = 180°
Como: L // L1 à (6 + φ)·x = (φ + x)·6
θ + φ = 180° φ − θ = 36° 2φ = 216° à φ = 108°
à
6x + φx = 6φ + 6x φx = φ·6
θ = 72°
Resolución Rpta.: C
- 131 -
à
x=6
16
Veamos:
Rpta.: C
Manuel Coveñas Naquiche
*
) AOD = 102° Dato: m ∠ à
Resolución
20
Veamos:
(x − φ) + x + ( x + φ) = 102° 3x = 102° à x = 34° Rpta.: B
Resolución
17
Veamos:
à
x + 90° + 55° + 90° = 360° x + 235° = 360°
à
à
x + 90° + 75° + 90° = 360°
x = 125°
Rpta.: A
x + 255° = 360° x = 105° Resolución
18
Resolución
Rpta.: E
21
Veamos:
Veamos:
*
Dato:
) AOC + m ∠ ) BOD = 105° • m∠ à (θ + x) + (x + α) =105°
* En el gráfico: ) AOC = 180° • m∠ à
à
150° + θ = 180° à θ = 30°
*
) BOD = 90° • m∠
à θ + x + α = 6x à α + θ = 5x ... (II)
à x = 60° Rpta.: C
Resolución
19
En el gráfico:
) AOD = 6x • m∠
à θ + x = 90° 30° + x = 90°
α + θ = 105° − 2x ... (I)
*
Reemplazando (II) en (I): à
Veamos:
5x = 105° − 2x 7x = 105° à x = 15°
Resolución
*
22
Rpta.: B
Veamos:
En el gráfico: ) AOC = 180° • m∠ à φ + 3φ = 180° à φ = 45°
) BOD = 180° • m∠ à
*
φ + x = 180°
En el gráfico: • γ = 3φ
) BOC = 90° • m∠
45° + x = 180° à x = 135° Rpta.: B
· − COD · = 90° BOD
à 8φ − γ = 90° {
8φ − 3φ = 90° à φ = 18°
- 132 -
Primer año de secundaria
*
Además:
Resolución
26
Veamos:
) COE = 180° • m∠ à γ + x = 180° 3φ + x = 180° 3(18°) +x = 180° à x = 126° Rpta.: C Resolución
23
*
Veamos:
En el gráfico: • 2φ + 30° = φ + 50° à φ = 20°
*
Como: L // L1
à x = 2φ + 30° x = 2(20°) + 30 = 70° Rpta.: C
Resolución *
Veamos:
Como: • L // L1 θ + 120° = 180° à θ = 60°
à *
27
Ahora: • ∆ABC: 130° = x + θ à
130° = x + 60° à x = 70°
*
) BOD = 90° • m∠
Rpta.: E Resolución
24
En el gráfico: à
Veamos:
2α = 90°
à α = 45°
) AOE = 180° m∠ à
x + α + 20° = 180° x + 45° + 20° = 180° à x = 115° Rpta.: A
Resolución *
Veamos:
En el gráfico: • θ = 54° • α + 138° = 180°
*
28
Como : L // L1
à α = 42°
à x=α+θ
x = 42° + 54° = 96° Rpta.: D Resolución
25
à
90° + x + 2x + 3x + 3x = 360° 90° + 9x = 360°
Veamos:
9x = 270° x = 30° Rpta.: C
à
*
Como: L // L1
*
∆ABC: x = 40° + θ à
θ = 100°
x = 40° + 100° = 140° Rpta.: E
- 133 -
Manuel Coveñas Naquiche
CAPÍTULO N° 13 PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO SOBRE ÁREAS Y PERÍMETROS (Pág. 552, 553, 554) NIVEL I Resolución
*
1
Resolución
Dato:
*
• S = 16 3
Luego: Lado ∆ = l = 8cm
Me piden:
2 = 2 ·
àS
2
2 3 +2 4
3+4
=
Veamos:
Resolución
*
EBCD
Rpta.: D S
Resolución
Veamos:
• S = S∆ABE + S
2 3 = 16 3 à l2 = 64 à l = 8 à l · 4
*
4
Tenemos:
5
Rpta.: D
Veamos:
Me piden: • S S
= S ABCD – S = (10)(8) –
AMND
*
1 (6+10)(4) 2
Me piden: S
= S ABCD – S BAM – S CDM π ( 2) π ( 2) − 4 4 2
S = 80 – 32 = 48cm2
à S = (2)(4)–
Rpta.: A
S = 8 – π – π = 2(4 – π) Resolución
3
Veamos: * Dato:
Resolución
• Perímetro = 24 à 4l = 24 l=6 * Me piden: •
S = l2 = 62
à S = 36cm2 Rpta.: B
- 134 -
6
Veamos:
2
Rpta.: A
Primer año de secundaria
*
Me piden:
Resolución
10
Veamos:
» + long. NP » • Perímetro(S ) = long. MN
¼ » + long MQ +long PQ Perímetro(S ) =
π π π π ( 4 ) + (4 ) + (4 ) + ( 4 ) 2 2 2 2
à Perímetro(S ) = 8π Resolución
7
Rpta.: C
Veamos: *
Dato: • S∆ABC = 27 1 (h)(h + 3) = 27 2
à
h(h + 3) = 54 h·(h + 3) = 6 ·(6 + 3)
*
Me piden: • S = S ABDE – S∆ABM – S∆DEN S = (3)(10) –
1 1 (3 )( 4 ) − ( 3)(6 ) 2 2
*
Comparando : h = 6
Resolución
11
Tenemos:
S = 30 – 6 – 9 = 15 ∴
S = 15
Resolución
8
Rpta.: C
Rpta.: D Veamos:
*
Dato:
•
BD = 12
•
AC =
BD 2
à AC = 6
*
Dato:
*
Me piden:
•
S ABCD =
1 (AC)(BD) 2
• Perímetro ABCD = Perímetro∆MNP à S ABCD =
à 9(4) = 3(l) à l = 12 *
Me piden: • Lado ∆MNP = l = 12cm
Resolución
9
Rpta.: D
Resolución
ABCD ← Paralelogramo π mSBAD = mSBCD = 60° = rad 3 AB = CD = 6
à
Me piden:
àS
ABCD
Veamos:
Como: •
•S
Rpta.: B
Veamos:
*
*
12
1 (6)(12) = 36 2
= 4(4+2) = 24
ABCD
= 24 cm2
Rpta.: C
*
- 135 -
Me piden: S
=
π 62 · = 6π 3 2
Rpta.: B
Manuel Coveñas Naquiche
Resolución
13
*
Veamos:
Me piden: • S
= S AOB – S
π ( 4) 2 − π ( 2) 2 2
S =
S = 8π – 4π = 4π
*
Resolución
Me piden:
2
Rpta.: A
Veamos:
• S = S AOB – S MON π (6 ) π (2 ) − 4 4 2
S =
2
S = 9π – π = 8π Resolución
14
Rpta.: A Veamos:
*
En el gráfico: ∆ABH ← Notable 60° Como: AB = 6 à BH = 3 3
*
AH = 3
Dato:
• HD = BC à HD = 3
AB = CD = a
• BC = 2AB à BC = AD = 2a
*
S
• Perímetro ABCD = 60 à 2(a + 2a) = 60 à a = 10 *
Me piden: = SABCD – S BAD 3+6
Me piden: • Lado menor = a = 10 Rpta.: C
S = Resolución
15
)
π
Tenemos:
27 3 − 6π 2
Resolución
*
(
(6 )
2
S = · 3 3 − 3 · 2 2
3
Rpta.: E Veamos:
Me piden: K=
Perím. ∆ABC 3l 3 = = Perím. MNPQ 4l 4
Rpta.: D
NIVEL II Resolución
1
Veamos:
*
Me piden: • Perímetro(S ) = 2(15 + 13) = 56 à Perímetro(S ) = 56
- 136 -
Rpta.: D
Primer año de secundaria
Resolución
4
Resolución
Veamos:
* *
En el gráfico: • AM = MB = a à AB = 2a • BN = NC = b à BC = 2b AP = PD = c à AC = 2(c + d) • DQ = QC = d
*
Dato: • AB = 5 à 2a = 5 • BC = 6 à 2b = 6 à • AC = 7 à 2(c + d) = 7
*
a = 5/ 2 b=3 c +d = 7/2
En el gráfico:
*
Me piden:
» + AM » + MN » + NP » + PQ » + QB » •Perímetro(S ) = AB
Perímetro (S ) = π·R+π·a+π·b+π·c+π·d+π·e Perímetro (S ) = π·R+π·(a+b+c+d+e) Perímetro(S ) =π·(10) + π·(10) = 20π ∴ Perímetro(S ) = 20π Resolución
» + BC » + CD » + DA » • Perimetro(S )= AB
• AM = AB = 6
Perímtro(S ) = π· a + π·b + π·d + π·c
• AM = 12
Perímetro(S ) = π·(a + b + c + d) {
• AC = 12
5
7
à Perímetro(S ) = 9π Resolución
5
7
Rpta.: B
Veamos:
à AM + MC = 12 6 + MC = 12 MC = 6
Rpta.: B
Veamos:
Veamos:
• AM = 2a • MN = 2b • NP = 2c AB = 2(a + b + c + d + e) = 2R = 20 • PQ = 2d à R = (a + b + c + d + e) = 10 • QB = 2e
Me piden:
Perímetro(S ) = π· 2 + 3 + 2 = 9π
6
*
Me piden: • S = S MAB + S MC S
π · (3 ) π (6 ) · + 3 2 2
S
= 6π +
2
Resolución *
Me piden: • S = S∆PBR + S∆PAR S
=
S =
1 1 (PR)(BM) + (PR)(AM) 2 2
1 1 (6)(3) + (6)(3) = 18 2 2
∴ S = 18
Rpta.: E
- 137 -
8
2
9π = 10,5π 2
Rpta.: A
Veamos:
Manuel Coveñas Naquiche
*
Como:
*
• AB = 6 à AM = MB = 3 Luego:
Resolución
11
Veamos:
• Radios = 3 *
Me piden:
» + BC » + CD » + DE » + EF » + FA » •Perímetro(S ) = AB
Perímetro(S ) = 3π + 3π + 3π + 3π + 3π + 3π ∴ Perímetro(S ) = 18π Resolución
9
Rpta.: C
Veamos: *
Como • AM = MN = NC à S∆ABM = S∆MBN = S∆NBC = S
*
Dato: • S∆ABC = 42 à 3S = 42 à S = 14
* * *
Dato: S∆ABC = 40 Por propiedad: •
Me piden: S
Resolución
12
= S = 14
Rpta.: B
Veamos:
S∆ABD S∆ABC = AD AC
à
S 40 = à S = 24 3K 5K
Resolución
10
Rpta.: B
Veamos:
*
Dato: •
*
BE BE = n·k =k à EC EC = n
Luego: • AD = BC à AD = nk + n
*
En el gráfico:
*
Me piden:
• S∆AMQ = S∆MRQ = S∆QPR = S∆QDP = S∆NRP = S∆NCP = S
(nk ) + (nk + n ) · (h ) 2 Área ABED = 1 Área DEC · (n )(h ) 2
• S∆MBNR = 25 *
Dato: • Lado ABCD = 4 à S ABCD = 16 à 8S = 16 à S = 2
*
à
Área ABED n ( 2k + 1) (h) = 2k + 1 = Área DEC n (h)
∴
Área ABED = 2k + 1 Área DEC
Me piden: • S
= 3S = 3(2) = 6
Rpta.: D
- 138 -
Rpta.: C
Primer año de secundaria
Resolución
13
Veamos:
*
Dato: • Lado ABCD = a à área ABCD = a2 32S = a2 à S = a2/32
*
Me piden: • S = 16S = 16(a2/32) = a2/2 ∴ S = a2/2
Resolución
*
Rpta.: B
16
*
Trasladando áreas , tenemos:
*
Me piden:
En el gráfico: • S = S AOB – S OMB S=
1 2 1 2 · π ( 4 ) − π ·(2) 4 2
à S = 2π *
Me piden: •S
= 4S = 4(2π) = 8π
à S = 8π Resolución
14
Rpta.: D
•S
Veamos:
∴ S
= (2×2)×(4) = 16
Resolución
*
= 16cm2
17
Rpta.: D
Veamos:
Completando las áreas con “S”; luego: • S ABCD = 8×14 à 16S = 112 à S = 7
*
• S = 8S = 8(7) = 56 Resolución *
*
Me piden:
Me piden: • S = 6S∆ + 2S
Rpta.: B
42 · 3 2 + 2 ·4 4
à S = 6 ·
15
Trasladando áreas ; tenemos: S = 24 3 + 32
- 139 -
Rpta.: B
Manuel Coveñas Naquiche
CAPÍTULO N° 15 PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO SOBRE SÓLIDOS GEOMÉTRICOS (Pág. 592, 593, 594) *
NIVEL I Resolución
1
Como: • Prisma ← Triangular regular
Tenemos:
à AB = BC = AC = x *
Además: • Volumen = 90 3 à (S∆ABC) · (AD) = 90 3 x2 ·
3 · 10 = 90 3 4
x2 = 36 à x = 6
*
Como: • Caras(Prisma) ← Cuadrados
*
Me piden: Arista Básica = x = 6cm Rpta.: B
à AB = BC = AC = 3 (dato) *
Luego todos los aristas son 3. Me piden: • S lateral = S ADEB + S BEFC + S ADFC
Resolución
4
Veamos:
S lateral =(3)(3) + (3)(3) + (3)(3) S lateral = 9 + 9 + 9 = 27 ∴ S lateral = 27cm2 Resolución *
Rpta.: C
2
En una prisma se cumple: *
• STotal = Slateral + 2·SBase
Piramide ← regular
à Stotal – Slateral = 2·SBase 1442443 à
24cm2
à Apotemas son = S
= 2·SBase
*
à SBase = 12cm2 *
Me piden: SBase = 12cm2
Resolución
3
Como:
Dato: Slateral = 240
Rpta.: E
à S∆ABC + S∆CBD + S∆EBD + S∆ABE = 240 1 1 1 1 (12)( x ) + (12)( x ) + (12)( x ) + (12)( x ) = 240 2 2 2 2
Veamos:
24x = 240 à x = 10 *
Me piden: Apotema = x = 10cm Rpta.: C
Resolución
*
Dato: • Altura(Prisma) = 10 à AD = BF = CE = 10
- 140 -
5
Tenemos:
Primer año de secundaria
à Volumen = (5m)(1m)(2m)
*
à Volumen = 10m3 *
2 3 Vsemiesfera 3 π · R = =2 π 3 Vcono ·R 3
Dato: 1m3
S/.3
à Volumen
Me piden:
x
→ x = 3 Volumen = 3(10)
Resolución
8
Tenemos:
à x = S/.30 *
* En el gráfico:
Luego: Debe pagar = x = S/.30
• AB = O1O2 = CD = 6cm Rpta.: C
Resolución
Rpta.: B
6
*
Me piden: • ∆ = Vcilindro – Vcono
Veamos:
1 3
∆ = π·(2)2 · (6) – (π · 22)(6) ∆ = 24π – 8π
* En el gráfico: • ∆BOC (Teorema de Pitágoras) BC2 = 52 + 122 à BC = 13 * Desarrollamos
à ∆ = 16π cm3 Resolución
9
Rpta.: D
Veamos:
La superficie lateral: * Como: Tetraedro ← Regular à AB = BC = AC = OA = OB = OC = a * Dato: L = 2π(5) = 10π 2 Stotal = 25 3 cm
a2 3 = 25 3 cm2 4
à 4 · *
Me piden: Slateral = S = à Slateral =
a2 3 = 25 3 cm2 à a = 5cm
L ·R 2
7
Me piden: Lon. arista = a = 5cm
Resolución
2
à Slateral = 65π cm2 Resolución
*
(10π )(13) = 65π
10
Rpta.: C
Veamos: * En el gráfico:
Rpta.: A
• ∆AEH : AH = 22 + 22
Veamos:
à AH = 2 2
*
En el gráfico:
*
Luego:
• ∆ABC : AC = 22 + 22 à AC = 2 2
• AO = OB = OC = R
Vcono =
• ∆CGH: CH = 22 + 22 à CH = 2 2
1 (S )(altura) 3 Base
*
Como: • AH = AC = CH à ∆ACH ← Equilátero
à Vcono =
1 π 3 (π ·R2)(R) à Vcono = R 3 3
*
1 4 3 • Vsemiesfera = 2 3 π · R
à Vsemiesfera =
Me piden:
(2 2 )
2
S∆ACH =
4
· 3
=2 3
2 ∴ S∆ACH = 2 3 cm
2 π · R3 3
- 141 -
Rpta.: A
Manuel Coveñas Naquiche
Resolución
11
Tenemos: *
Resolución
15
Veamos: * Dato:
Sabemos: 4πR2
• Ssuperficie = à Ssuperficie = 4π·(3)2 = 36π cm2
• Diagonal(cara) = 2 2 à BC = 2 2
Rpta.: D Resolución
12
* Además: • AB = AC = a
Veamos: *
Dato:
* Ahora: • ∆BAC (Teorena de Pitágoras)
• Vcono = 48π
à BC2 = AB2 + AC2
1 à πR2h = 48π 3
à
*
(2 2 )
2
+
*
42 + R2
Resolución
à
g2 =
42 + 62
Long. arista = a = 2cm Rpta.: B
NIVEL II 1
Veamos:
• ∆BOC (Teorema de Pitágoras): g2 =
* Me piden:
a2
8 = 2a2 à a = 2
1 πR2(4) = 48π à R = 6 3
En el gráfico:
=
a2
*
Como:
à g = 2 13
Me piden: Generatriz = g = 2 13 cm
à EH = HG = a
Rpta.: D *
Resolución *
13
Ahora:
(
Veamos:
Dato:
∆EHG : 8 2
)
2
= a2 + a2
128 = 2a2 à a = 8
⎧ OD = R • CD = 2(OD) ! ⎨ ⎩ CD = 2R
*
• Slateral = 64π cm2 ! (2π·R)h = 64π
Me piden: Slateral = 4·S
EADH
= 4.[4a]
Slateral = 4(4)(8) = 128
(2π·R)(2R) = 64π
à Slateral = 128
4πR2 = 64π ! R = 4 ⎛ Radio ⎞
Resolución
Me piden: ⎜ Base ⎟ = R = 4cm ⎝ ⎠
*
EFGH ← cuadrado
•
2
Rpta.: C
Veamos:
Rpta.: E Resolución * Dato:
14
*
Tenemos:
0 ← centro EFGH
• VEsfera = 36π !
à EO = OG = n
4 π·R3 = 36π 3
R3 = 27 ! R = 3 *
Como:
*
•
Me piden:
⎛ Radio ⎞ ⎜ ⎟ = R = 3cm ⎝Esfera⎠
Ahora: EHG: (2n)2 = 62 + 82 4n2 = 100 à n = 5 •
Rpta.: C
AEO : x2 = 122 + n2 x2 = 122 + 52 x2 = 169 à x = 13
*
- 142 -
Me piden: AO = x = 13
Rpta.: A
Primer año de secundaria
Resolución
*
3
Veamos:
Resolución
Como:
*
Pirámide ← Regular
*
à 4a = 24 à a = 6 Además:
Me piden: VTotal = V1 + V2 VTotal = (4)(3)(3) + (5)(3)(2) VTotal = 36 + 30 = 66cm3
• Caras(Pirámide) ← ∆sEquiláteros *
En el gráfico: AB + 5 = 8 à AB = 3
Dato: • Perímetro ABCD = 24
*
Luego:
Resolución
7
a2 3 SLateral = 4 ·( S∆DOC ) = 4 4 2
SLateral = a
Resolución
4
Rpta.:D
Veamos:
* Dato: Vcilindro = 40p n3
2
3 =6 · 3
à SLateral = 36 3
Veamos:
• AB + CD = EG
à AB = BC = CD = AD = a *
6
à p·R2 (10) = 40p
Rpta.: A
10pR2 = 40p à R = 2
Veamos: *
Me piden:
*
Volumen total = 4 · Vcubo
Radio = R = 2m Me piden: Base
Volumen total = 4 ·(1)3 = 4 cm3 Rpta.: D Resolución *
5
Veamos:
Rpta.: B Resolución
8
Veamos:
*
Al girar el cuadrado, hemos generado un cilindro de radio = 2m
*
Luego:
Me piden:
VTubo =
VCilindro − VCilindro Mayor
Menor
Vcilindro = π·(2)2 · (2) = 8π
à VTubo = π·(5)2·(40) – π·(4)2·(40)
à Vcilindro = 8π cm3
VTubo = 40π·(52–42) = 40π(9) à Vtubo = 360πcm3
Rpta.: E
- 143 -
Rpta.: A
Manuel Coveñas Naquiche
Resolución
9
Veamos
• VCono =
1 π·R2·h 3
• VCilindro = π·R2h *
Me piden: 1 π ·R2 ·h Vcono 1 3 K= = = Vcilindro 3 π· R2·h
à
*
K = 1/3
Resolución
Dato:
Rpta.: C
12
Tenemos:
* Me piden:
h = PerímetroABCD h = 4(2cm) à h = 8cm *
Me piden: VPrisma = (2)(2)(h) = (2)(2)(8) = 32 à VPrisma = 32cm3
Resolución
10
Rpta.: E
Tenemos:
SLateral = 4 ·S∆DOC 1
SLateral = 4 · (2)(2) 2 à SLateral = 8cm2 Resolución
*
13
Rpta.: B
Veamos:
Dato: SSemiesfera = 18π à
1 (4πR2) = 18π 2
2πR2 = 18π à R = 3 *
Me piden:
*
1 4 3 2 3 VSemiesfera = 2 3 π ·R = 3 π ·R
VSemiesfera =
2 π·(3)3 = 18π 3
Dato: SSección = 16 Máxima
à π ·R2 = 16
Rpta.: C *
Me piden: SEsfera = 4πR2 = 4(16) = 64
Resolución *
Luego:
11
à SEsfera = 64
Tenemos:
Resolución
- 144 -
14
Rpta.: B Tenemos:
Primer año de secundaria
*
Dato:
Resolución
17
Tenemos:
VParalelepipedo = 120 à n(n+1)(n+2) = 4(4+1)(4+2) *
Comparando:
*
Me piden:
n=4 *
Long. Mayor = n + 2 = 4 + 2 = 6 à Long. mayor = 6cm Resolución
15
Dato: Stotal = 136cm2
Rpta.: E
à 2·(S1 + S2 + S3) = 136 2·(2n×n + 2n×3 + n×3) = 136
Tenemos:
2n2 + 6n + 3n = 68 2n2 + 9n – 68 = 0 17 à n = –17/2 (x)
2n +
4 à n=4
n– *
Dato: = 152 cm2
• STotal
*
Como: n ∈ IN à n = 4
*
Me piden:
Pr isma
à 2(S1 + S2 + S3) = 152
( )
Lado Menor = n = 4cm base
Resolución
18
Rpta.: D
Tenemos:
2(3a·a + 8·3a + 8·a) = 152 2(3a2 + 24a + 8a) = 152 3a2 + 32a – 76 = 0 3a +
38 à a = –38/3 (x)
1a –
2 à a=2
( )
*
Como: a ∈ IN à a = 2
*
Me piden: Lado menor = a = 2
*
Rpta.: B Resolución
16
Dato: VPrisma = 135 3 cm3
Tenemos:
à 10·S = 135 3 3 10 · a 2 3 = 135 3 2
135 3 ·a2 = 135 3 à a = 3 * *
Me piden: STotal Prisma
à
Prisma
STotal Prisma
à
Resolución
= (S1 + S2 + S3)
STotal
Prisma
19
Rpta.: C
Tenemos:
VPr isma1 1 = VPr isma 2 4
= 2·(4×4+4×20+4×20) altura 1
= 2(16 + 80 + 80) = 352
STotal
Arista
Me piden: Básica = a = 3cm
= 352cm2
à
S Base · 2 S Base · x
=
1 à x=8 4
altura 2
Rpta.: A *
- 145 -
Me piden: altura2 = x = 8m
Rpta.: E
Manuel Coveñas Naquiche
Resolución
20
Tenemos:
Resolución
23
Tenemos:
* Me piden: SLateral = 4 ·S∆DOC 1
*
SLateral = 4 · (6 )(10 ) 2 SLateral = 120 cm2 Resolución
21
Me piden: SLateral = 8·S∆GOF 1
à SLateral = 320cm2
Tenemos:
Resolución
*
SLateral = 8 · 2 ·( 4)(20 ) = 320
Rpta.: B
24
Rpta.: C
Tenemos:
Me piden: STotal = 4·S∆BOC 42 · 3 = 16 3 4
STotal = 4 ·
à STotal = 16 3 cm2 Resolución
22
Rpta.: D
*
Dato: VPirámide = 270cm3 à
Tenemos:
1 ·S ·h = 270 3 Base
1 (9×9)·h = 270 à h = 10 3
*
Me piden: Altura = h = 10cm
Resolución
*
Me piden: VPiramide =
1 S∆ABC·h 3 1 62 · 3 ·(12) = 36 3 4
à VPiramide = 3
à VPiramide = 36 3 cm3 Rpta.: A
- 146 -
25
Tenemos:
Rpta.: D
Primer año de secundaria
*
En el gráfico:
Resolución
28
Tenemos:
1 • OM = AD à OM = 3cm 2
• ∆O1OM (Teorema de Pitágoras): à h2 + 32 = 52 h2 = 16 à h = 4 *
à VCilindro = π·(2)2·(12)
1 Me piden: VPirámide = · SBase·h 3 1 à VPirámide = (6×6) ·(4) = 48 3
à VPirámide = Resolución
48cm3
26
à VCilindro = 48π *
Dato: 1m 3
S/.10 x
VCilindro
Rpta.: A
x=
Veamos:
10 ·Vcilindro = 10 ·Vcilindro 1
à x = 10·48π = 480π x = 480·(3,14) = 1507,2 x = S/.1507,2 *
Luego: Debo pagar = x = S/. 1507,20 Rpta.: E
Resolución
*
29
Tenemos:
Me piden: • R = 10cm
SLateral = (2π·R)(h) = 2π·(2)(6) = 24π à SLateral = 24π cm2 Resolución
27
• π = 3,14
Rpta.: B
Tenemos: *
Dato: SLateral = 125,60 1 (2π·R)(g) = 125,60 2
π·R·g = 125,60 (3,14)(10)·g = 125,60 à *
Me piden: Generatriz = g = 4cm
Long = 3,1416 (dato)
Rpta.: D
à 2πR = 3,1416 2(3,1416)·R = (3,1416)
Resolución
à R = 1/2 *
Me piden: VCilindro = π·R2 ·h VCilindro = π(1/2)2·(2) = 0,5π à VCilindro = 0,5π cm3
g=4
Rpta.: C
- 147 -
30
Tenemos:
Manuel Coveñas Naquiche
*
Dato:
Resolución
32
Tenemos:
VCono = 471 à
1 π·R2·18 = 471 3
6π·R2 = 471 6·(3,14)·R2 = 471 18,84 · R2 = 471 R2 = 25 à R = 5 *
Me piden: Diámetro = 2R = 2(5) = 10 à Diámetro = 10cm
Rpta.. C *
Resolución
31
Veamos:
Dato: R1 1 R1 = K • R =3 à 2 R2 = 3K
• SEsfera1 = 628 à 4π(R1)2 = 628 4π·(K)2 = 628 à π·K2 = 157 *
Me piden: • SEsfera 2 = 4π(R2)2 SEsfera 2 = 4π(3K)2
*
Dato:
SEsfera 2 = 36(π·K2)
S = 0,785
SEsfera 2 = 36(157) = 5652 à SEsfera 2 = 5652 cm2
à π·R2 = 0,785 (3,14)·R2
= 0,785
R2 = 0,25 à R = 0,5 *
Me piden: SEsfera = 4p·R2 SEsfera = 4(3,14)(0,5)2 SEsfera = 3,14 cm2
Rpta.: B
- 148 -
Rpta.: D
Primer año de secundaria
CAPÍTULO N° 17 PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO SOBRE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES (Pág. 641, 642, 643)
Resolución *
1
Veamos:
*
Me piden:
En la tabla aplicamos: % Alimentación = fi
144° · 100% 360°
à % Alimentación = 40%
=6 =2 =3 =4 =6 =7
Resolución
3
Rpta.: C
Tenemos:
n = 28 fi • hi = n
à
hi =
fi 28
• fi = conteo *
* Me piden:
Ahora:
# Grados(Voleibol) =
1.1 * Me piden: Frecuencia(Mayor tem) = f6 à Frecuencia(Mayor tem) = 7 Rpta.: B
Frecuencia (voleibol) · 360° n
à # Grados(Voleibol) =
25 · 360° = 90° 100
à #Grados(Voleibol) = 90°
1.2 * Me piden: Frecuencia(Menor tem) = f1 à Frecuencia(Menor tem) = 6 Rpta.: C
Resolución
4
Rpta.: D
Tenemos:
1.3 * Me piden: f2 + f3 + f4 = 2 + 3 + 4 à f2 + f3 + f4 = 9
Rpta.: D
1.4 * Me piden: Frec. Relativa(x4) = h4 à Frec. Relativa(x4) = 4/28 = 1/7 Rpta.: C 1.5 * Me piden: Porcentaje =
f6 · 100% n
Porcentaje =
7 · 100% = 25% 28
Resolución
2
*
Rpta.: A
Me piden Flujo(4 primeros días) = f1+f2+f3+f4 Flujo(4 primeros días) = 600 + 7500 + 4000 + 5000 à Flujo(4 primeros días) = 22 500
Tenemos:
Rpta.: C Resolución
- 149 -
5
Tenemos:
Manuel Coveñas Naquiche
*
Me piden:
Resolución
8
Tenemos:
1,64 + 1,66 + 1,68 + 1,66 + 1,70 x= 9 +1,72 + 1,80 + 1,78 + 1,80
à
à x=
Resolución
15,44 ≈ 1,72m 9
6
Rpta.: B
Tenemos:
* *
Luego: A) → Falso B) → Falso (De 1996 a 1997 disminuye) C) → Falso (De menor producción fué 1993) D) → Verdadero
Niños
*
→ Falso (“D” es verdadero)
∴ La alimentación correcta es (D)
Niños
Ahora: Niños Niños Niños [11; 15] = [11; 13] + [13; 15] Niños [11; 15] = 7 1+ 5 Niños [11; 15] = 12 ≠ Total niños 2
à (III) Falso
Rpta.: D 7
Niños
Total niños = 27
)
Resolución
Niños
II. Total =[7; 9] + [9; 11] + [11; 13] + [13; 15] Total = 6 + 9 + 7 + 5 Total = 27 à (II) Verdadero III. Tenemos:
900200 + 1300400 x = 2 x = 1100300
E)
Ahora: I. [9; 11] ← 9 niños à (I) Verdadero
∴ Son verdaderas I y II
Rpta.: D
Tenemos: Resolución
*
9
Tenemos:
Ahora
9.1 * Me piden: P(1R) = Cant. Rojas = 4 *
Luego: I. Temp. mínima ← (L ; M ; J) = 15° à Falso (I) II. Temp. máxima ³ (S) = 25° à Verdadero (II) 15 + 20 + 15 + 15 + 20 + 25 + 20 7 x = 18,57°
III. x =
à Verdadero (III) ∴ Son verdaderos II y III
Total
15
à P(1R) = 4/15
Rpta.: C
9.2 * Me piden: P(1B) =
Cant. Bojas 6 = Total 15
à P(1B) = 2/5
Rpta.: A
9.3 * Me piden: P(1A) =
Cant. Azules 5 = Total 15
à P(1A) = 1/3
Rpta.: B 9.4
* Me piden: P(no 1B) = 1 – P(1B) P(no 1B) = 1 −
- 150 -
Rpta.: B
Cant. Blancas Total
Primer año de secundaria
6 9 = 5 15 à P(no1B) = 3/5 Rpta.: D
P(no 1B) = 1 −
9.5 * Me piden: P(no 1R) = 1 – P(1R) P(no 1R) = 1 − Cant. Rojas Total 4 11 = P(no 1R) = 1 − Rpta.: E 15 15
à n( Ω ) = 52 * Me piden: P(A) =
Resolución
10
13
Rpta.: D
Sea:
° A = {Apunta a un número 4 } Ω ={Total de casos} *
Resolución
n(A) 8 2 = = n(Ω) 52 13
Luego; tenemos:
Sea:
A = {Obtener un número menor que 5} Ω = {total de casos}
*
Luego: • Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6} à n( Ω )= 6 • A = {1; 2; 3; 4} à
*
n(A) = 4
Me piden:
A = {4; 8; 16; 12} à n(A) = 4 • Ω = {2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16}à n( Ω ) = 8
n(A) 4 2 = = P(A) = n(Ω) 6 3
Rpta.: B
*
Me piden: P(A) =
Resolución
11
Sea:
A = {Obtener una carta espada} *
Resolución
14
Rpta.: A
Sea:
Ω = {Total de casos}
A = {La tarjeta es número 15}
Luego:
Ω = {Total de casos}
• A= {1; 2; 3; 4; ... ;4 13} à n(A) = 13 144 4244 3
*
Trebol Corazón Diamante
Espada
à n( Ω ) = 52 Me piden: n(A) 13 P(A) = = = 1/ 4 n(Ω) 52
Resolución
12
• Ω = {1; 2; 3; ...; 20} à n( Ω ) = 20 *
Rpta.: C
*
Luego; dato: • n(A) = 4 • n( Ω )= 4800
*
Me piden: n(A)
4
• P(A) = n(Ω) = 4800
Diamante
à n(A) = 8
à P(A) = 1/1200
• Ω = {1;2;...13; 1;2;...13; 1;2;...13; 1;2;...;13} 1424 3 1424 3 1424 3 1424 3 Trebol
Sea:
A = {boletos a favor de Juan}
1Rey; 1Reyna; 1Reyna 144 4244 4 3 1Rey; 144 4244 4 3}
Espada
15
Rpta.: E
Ω = {casos totales}
* Luego: • A = {1Rey; 1Reyna; Rey;4244 1Reyna 4 3 144 4244 4 3 1 144 Trebol
n(A) 1 = n(Ω) 20
Resolución
Sea:
• Ω = {Total de casos}
Corazón
Me piden: P(A) =
•A = {Obtener una reyna o un rey}
Espada
Luego: • A = {15} à n(A) = 1
Espadas
;4 2;24 ... 13; 2;24 ... 3 13; 1; 2;24 ...13; 1;4 2..; 13] • Ω ={11 3 1;14 14 3 1 24 3
*
n(A) 4 1 = = n(Ω) 8 2
Corázon Diamante
- 151 -
Rpta.: C
Manuel Coveñas Naquiche
Resolución
16
Sea:
A = {Se obtiene cara y cara} Ω = {Total de casos} *
*
Cant. Fresas 12 = Total 41
• P(1F) =
à P(1F) = 12/41
Luego:
Cant. Mentas 8 = Total 41
• A = {CC} à n(A) = 1
• P(1E) =
• Ω = {CC; CS; SC; SS} à n( Ω ) = 4
à P(1E) = 8/41
Me piden: P(A) =
• P(1M) =
n(A) 1 = n(Ω) 4
à P(1M) = 15/41 ← Mayor
Rpta.: A *
Resolución
17
Cant. Manzanas 15 = Total 41
Sea:
Como el mayor es P(1M) à Es más probable que sea manzana
• x = cant. bolas blancas (B)
Rpta.: D
• y = cant. bolas verdes (V) • z = cant. bolas negras (V) *
Resolución
Luego; dato: 2 5
*
x
2
x
*
• Ω = {40 candidatos} à n( Ω ) = 40
1 10
z
* 1
z
20
*
x = 20 ; y = 25 ; z = 5
Luego: • A = {10;20;30;40;50;60;70;80;90}
à 20 blancas ; 25 verdes y 5 negras
à n(A) = 9 Rpta.: B
•
Ω = {10; 11; 12; ... 99}
à n( Ω ) = 90
Tenemos: *
Me piden:
P(A) =
n(A) 9 = = 1/10 n(Ω) 90
à P(A) = 1/10 *
Ahora: • P(1L) =
Sea:
A = {Número que términa en cero} Ω = {Total de casos}
Ahora; tenemos:
18
n(A) 5 = = 1/ 8 Rpta.: C n(Ω) 40
Resolución
à 20 + y + 5 = 50 à y = 25
Resolución
Me piden:
P(A) =
1
= à x + y + z = 10 à àz=5 50 10 En (I) :
x + y + z = 50
*
Luego: • A = {Martín; 4 amigos} à n(A) = 5
2
= à x+ y+z = 5 à à x = 20 50 5
• P(1N) =
Sea:
A = {Gana Martín o un amigo} Ω = {Total de casos}
• x + y + z = 50 ... (I) P(1B) =
19
Cant. Limones 6 = Total 41
à P(1L) = 6/41
- 152 -
Rpta.: D
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