solucionario calculo moises lazaro

July 23, 2018 | Author: R Rymmer Rxlc Apax | Category: N/A
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⏟ ⏟1t  )



f  ( ( t )=( 2 t , −3 t , ⏟

1.





❑❑

−f 1=2 t → poli polino nomi mio o  D ( f 1 ) =t ∈ IR

−f 2=−3 t → poli polino nomi mio o  D ( f 2 ) =t ∈ IR

−f 3=

1 t 

 D ( f 3 ) =t ≠ 0  Dom f ( t ) = Dom ( f 1 ) ∩ Dom ( f 2) ∩Dom ( f 3 )  D om f t = t ∈ IR ∩ t ∈ IR ∩ t ∩ IR − ( 0 )  Dom f f = t < 0 ∪ t > 0

2.

hT =( L∩  L ∩ t  , t ) ⏟



h1

h2

Solución:

−h1= L∩  L ∩ t   Dom ( h1 )= t > 0

−h2=t  h ( ¿ ¿ 2 )=t ∈ I − IR  Dom ¿

( )

⇒ Dom hT = Dom h1 ∩Dom ( h 2)

 Dom hT =t > 0 ∩ t ∈ IR

 Dom hT =t > 0

3.







f 1

f 2

f 3

f T =( SenT  ,CosT ,tgT )

−f 1= Sent   Dom ( f 1 ) =T ∈ IR

−f 2= cosT   Dom ( f 2 ) =T ∈ IR

−f 3=tg T  t ∈ IR −

{

}

π   ( 2 k + 1 ) ; k =0 ±1 … 2 3 t ¿

 Dom (¿)=t  ∈ IR −

{

π   ( 2 k + 1) 2

( )

}

( )

⇒ Dom f ( t ) = Dom f 1 ∩Dom f 2 ∩Dom ( f 3 )

 Dom f ( t ) =t ∈ IR ∩ t ∈ IR ∩t ∈ IR −{}  Dom f t =t ∈ IR − k =0 ; ± 1 ; ± 2 ; …

{

π   ( 2 k + 1 ) 2

}

15.- Demostrar que la curvatura y la torsión de la curva : √ 2 −t  t   x =e , y =e ,  = √ 2 t se! : k =−" = t  − t  2 (e +e )

Solución: La ecuación de la curvatura: f (t) right rdline right none} over {{left ldline f'(t) right rdline} ^ {3}} #  f  ( t ) x ¿

¿ k =¿

f (t)*f'''(t) right rdline right none} over {{left ldline {f} ^ {'} left (t right ) x {f} ^ {''} (t) right rdli  #  f  ( t ) x ¿

¿ = "  ¿

f  ( t )=( e , e , √ 2 t ) −t 



f # ( t )=( e , −e , √ 2 ) −t 



f # # ( t )=( e , e , 0 ) −t 



f # # #  ( t ) =( e , − e , 0 ) − t 



f  ( t ) xf  (t)= left [matrix {i #  # ! ## {e} ^ {t} # {"e} ^ {"t} # $rt {2} ## {e} ^ {t} # {e} ^ {"t} # 0 # 

 j, 0 − t  − t  t  t  ‖ ‖ 2∗(e − e ) 2∗(e − e ) √  √  √ 2 = = k = −t  2 3 3 t  −t  − t  t  t  ( +− ) e e ‖√ e +− e + √ 2‖ ‖√ e +−e + √ 2‖

❑ ( e , −e− , √ 2 ) x ( e , e− ,0 )∗( e , −e− , 0 ) ‖ −‖1&1&0‖ = " = − − ‖( e +−e− + 2 )‖ ‖( e , −e , √ 2 ) x ( e , −e , 0 )‖ t 





" =

−√ 2 ( e +−e−t )2 t 















2





2

16.-

f  ( t )=( !cosht , !senht ,$t )  tiene curvatura y

Demuestre que la curva

Torsión iguales en dos puntos , si y solo si

! =$

f  ( t )=( !cosht ,!senht ,$t )

• 

Tenemos en cuenta. −t  −t  t  t  e −e e +e Senht =   ;Cosht = 2 2

(( ) ( (( ) ( (( ) ( (( ) ( −t 



e +e f  ( t )= ! 2



−t 



e −e f # ( t )= ! 2

,!

e

−t 



e +e f # # ( t )= ! 2

,!

e −e f # # #  ( t )= ! 2



,!

−t 

, $t 

−t 

e 2



e

−t 



) ) + )) − )) + ))

e −e ,! 2

e

,$

− t 

e 2



,0

− t 

e 2

,0

‖f  ( t ) x f (t) right rdline right none} over {{left ldline f'(t) right rdline} ^ {3}} k = ‖f  (t ) x f  (t )‖ # 



## 

 = {left ldline {

2

f  ( t ) xf  (t)= left [matrix {i #  # ! ## a( {{e} ^ {t} " {e} ^ {"t}} over {2} ) # a ( {{e} ^ {t}  {e} ^ {"t}} # 

f  ( t ) xf (t)=(0"a ( {{e} ^ {t} " {e} ^ {"t}} over {2} ))i & "(0"a ( {{e} ^ {t}  {e} ^ {"t}} over {2} )) & # 

f  ( t ) xf  (t)=(("a ( {{e} ^ {t} " {e} ^ {"t}} over {2} ))i &(a ( {{e} ^ {t}  {e} ^ {"t}} over {2} )) & ( {( a # 

f  ( t ) xf  (t)=(("a ( {{e} ^ {t} " {e} ^ {"t}} over {2} )) &(a ( {{e} ^ {t}  {e} ^ {"t}} over {2} )) & 0) # 





t  t  − −t  + −t  −!$ ( e e ) , ! $ ( e e ) , 0

k =

2

2

‖( ) ( ) ‖ t 

!

−t 

e −e 2



,!

3

−t 

e +e 2

,$

!$ 2 t  −2 t  √ e + e −2 t  2 t  2 e +e √  √  = = 3 3 −2 t  2t  ! −2 t  2 t  + + e e 1 √ e + e +1 √  2 √ 



" =

(

−t 





)(

− t 



−t 





−t  2







− t 

−t 



,0

2

−t  2

− + −! $ ( e e ) , !2 $ ( e e ) , 0 ‖ 2 2 2

)‖



−t 



− t 



e +e ,! 2

e −e e +e −!$ ( ), ! $( ),0 2 2



" =

−t 



− + − −!$ ( e e ), ! $ ( e e ) ,0 ¿ !  e e 2 2 2



e −e e +e −!$ ( ), ! $( ) ,0 2 2

2

− √  e +e = √ e + e− + 1 2 t 

2 t 

2t 

2t 

3

17.- Hallar la curvatura camino f  ( t )=( e sen 2t , e +o 2t ,2 e ) en t =0 t 





f (t) right rdline right none} over {{left ldline f'(t) right rdline} ^ {3}} #  f  ( t ) x ¿

¿ k =¿

f  ( t )=( e sen 2t , e +o 2t ,2 e t 



)



f  ( t )=( f ( 1 ) , f ( 2) , f  ( 3 ))

Derivamos por partes: #  t  t  f  ( 1 ) =2 ( e +o2 t ) + e sen 2 t  f  ( 1 ) = f  ( t =0 ) =2 # 



−+o#2 t  t  t  e (¿)+ 2 ( e +o#2 t ) + 2 e +o#2 t + e sen 2 t  # #  f  ( 1 )= , ¿ t 



−+o2t  t  t  e (¿)+ 2 ( e +o2 t ) + 2 e +o2 t + e sen 2t  # #  f  ( 1 )= , ¿ t 



f  (1 ) =e sen 2 t  # # 





f  (1 ) =f  ( t =0 )= 0 # # 

# # 

e

¿

−sen 2 t   ) 2¿ ¿ #  f  ( 2 ) =¿ f  ( 2 )= f  ( t =0 ) =1 # 



e

¿

−sen 2 t  e

¿

2¿ ,¿

¿ f  ( 2 )=¿  # # 

e

¿ −sen 2 t  e

¿

2¿ ,¿

¿ f  ( 2 )=¿  # # 

f  (2 )=e +o2 t  # # 



f  ( 2 )=f  ( t = 0 )= 1 # # 

# # 

f  ( 3 ) =2 e # 



f  ( 3 ) = f  ( t = 0 ) =2 # 



f  # ( 3 ) =2 e # 



f #  ( 3 ) = f  ( t =0 ) =2 # 

# # 

Remplazamos en la ecuación #  ⇒ f  ( t = 0 ) =(2 , 1 ,2 ) ⇒ f  ( t =0 )=( 0 , 1 ,2 ) ## 

f  ( t ) xf (t)= left [matrix {i #  # ! ## 2 # 1 # 2 ## 0 # 1 # 2} right % =(0 & , & 2) # 

k ( t ) =

k ( t ) =

2 √ .

‖( 2 ,1 , 2 ) x ( 0 ,1 , 2 )‖ ‖( 0 , , ,2 ) ∥ 2 √ = =¿ 3

‖( 2 ,1 , 2 )‖

3

‖( 2 ,1 , 2 )‖

.

(

)

 t   t  = f  t  2+oh , 2 senh , 2t  en t =0   ( ) 18.- Hallar la curvatura camino 2 2

solución

(

f  ( t )= 2+oh

)

 t   t  , 2 senh , 2t  en t =0 2 2

Recordemos: −t 



e −e 2

 t 

senh = 2

(

; +o#h = 2

−t 

t  2

e +e ⇒ f  ( t ) =2 2

(

⇒ f  ( t ) = e

⇒ f # ( t )=

(

t  2

e +e 2

 t 

2

−t 



2

2

)

−t 

t  2

2

 e − e 2 , ,t  2

2

− t 

)

−t 

t  2

+ e , e − e 2 , 2 t  2

t  2

−t  2

t  2

−t 

e e  e e 2  − ,  + ,2 2 2 2 2

)

⇒ f # ( t = 0 )=( 0 , 1 ,2 )

(

t  2

−t 

t  2

−t 

e e e e2 = + − ( ) ⇒ f # #  t  , ,0 ,

2

,

,

,

)

⇒ f # # ( t = 0 ) =( 0/- , 0 , 0 )

f  ( t ) xf  (t)= left [matrix {i #  # ! ## 0 # 1 # 2 ## 0/- # 0 # 0} right % =(0 & 1 & 0) # 

Remplzando en la ecuación: f (t) right rdline right none} over {{left ldline {f} ^ {'} left (t right ) right rdline} ^ {3}} = {left ldline lef

k =

1 1

1.- Hallar la curvatura y la torsión del camino f  ( ts )=

(

,

s

!olución:

3 +o# ( s ) , 1− sen ( s ) ,−  +o# ( s )

s

)

en s = π sien%o # l!longit&% %e !'co(

‖f  ( t ) x f (t) right rdline right none} over {{left ldline f'(t) right rdline} ^ {3}} k = ‖f  ( t ) x f  ( t )‖ # 



Remplazando : f  ( s ) =

(

, 3 +o ( s ) , 1− sen ( s ) ,− +o ( s ) s s

f  ( s ) = ( , s +o ( s ) , 1− sen ( s ) ,−3 s −1

−1

f  ( s ) = ( f  ( s 1 ) , f  ( s 2 ) , f  ( s 3 ) )

Derivamos por parte: −1 f  ( s 1 ) = , s +o ( s )

(s) −sen ¿− , ¿ −1 #  f  ( s 1 )= , s ¿ ( π ) −sen ¿−, ¿ − #  f  ( s = π ) = , π  ¿ 1

f  ( s 1 )= f  ( s = π )=¿ # 



(s ) −+o ¿− , s (−sen ( s ))− , ¿ −1 ##  f  ( s 1 )= , s ¿ −2

(s) −+o ¿+ s−2 ( sen ( s )) ¿ −1  ##  f  ( s 1 ) =, s ¿

( π ) −+o ¿+ s−2 ( sen ( π )) ¿ −1 ##  f  ( s= π )=, s ¿ f  ( s 1 ) = f  ( s =π )=¿ ## 

## 

f  ( s 2 ) =1− sen ( s )

)

+o ( s ) )

 # # 

2

= {left ldline {f} ^

f  ( s 2 )=−+o ( s ) # 

f  ( s = π ) =−+o ( π ) # 

f  ( s 2 )= f  ( s = π ) =¿ # 

 # 

f  # ( s 2 )= sen ( s ) # 

f  # ( s = π ) =sen ( π ) # 

f  # ( s 2 )= f  # ( s= π ) =¿ # 



−1

f  ( s 3 ) =−3 s

+o ( s )

( s) −sen ¿−3 ¿ −1 #  f  ( s 3 )= 3 s ¿ ( π ) −sen ¿−3 ¿ − #  f  ( s = π ) = 3 π  ¿ 1

f  ( s 3 )= f  ( s= π )=¿ # 



(s ) −+o ¿+ s−2 ( sen ( s )) ¿ −1 ##  f  ( s 3 )=3 s ¿

( π ) −+o ¿+ π −2 ( sen ( π ) ) ¿ −1  ##  f  ( s = π )=3 π  ¿

( π ) −+o ¿+ π −2 ( sen ( π ) ) ¿ −1  ##  f  ( s = π )=3 π  ¿ ## 

## 

f  ( s 3 ) =f  ( s = π )=¿

Remplazando se tiene: f ( t ) right rdline right none} over {{left ldline f '( t ) right rdline} ^ {3}} = {left ldline {f} ^ {'} left ( 1

k =1

‖f  ( s 1 ) , f  ( s 2 ) , f  ( s 3 ) x f  ( s 1 ) , f  ( s 2 ) , f  ( s 3 )∗f  ( s)‖ = 0 " = ‖f  ( s 1 ) , f  ( s 2 ) , f  ( s 3 ) x f  ( s 1 ) , f  ( s 2 ) , f  # ( s 3 )‖ # 





 # 

# # 



# # 



# # 

## 

## # 

# # 

2



" =0

"#.- Hallar la curvatura de la curva en  R 1

2

 π ) son:  x = +o 2 %) , 0



1

∫ 0

3

, cuyas ecuaciones paran$%ricas.

2

 π ) sen %) k = πt !plic!' l! fo'm&l! , en 1/2 2

solución t 

La curva defnida por

∫ +o#

f  ( t )=(

 π * 2

0



2

%* ,

∫ sen

 π *

2

2

0

%* , 1 )

Haciendo un pequeño artifcio:

Nuestra unción quedara así: (



∫ 2 sen ( π * ) %* , 1

2+o ( π * ) %* , 2

2

0 t 

∫ ¿¿ 0

a) erivando la unción: t 



% ( 2+o ( π * ) %* , 2

0 •



∫ 2 sen ( π * ) %* , 1 ) 2

0

!uedar" de la si#uiente $anera: 2

π t 

¿ ¿

2+o ( , 2 sen ( π t  ) , 0 ¿ ) f # ( t )=¿ 2



Hallando la se#unda derivada: f  left (t right ) = left ("2 en( { {t} ^ {2} )2t} &2+o left ( {t} ^ {2} right ) 2t& 0 right )



Hallando la curvatura(%): f (t) right rdline right none} over {{left ldline f'(t) right rdline} ^ {3}} #  f  ( t ) x ¿

¿ k =¿

f  ( t )∗f (t)= left [matrix {i #  # ! ## 2 +o ( {t} ^ {2} ) # 2en( {t} ^ {2} ) # 0 ## "2en left ( { # 

, +o ( π t  ) 2 πt + , sen ( π t  ) 2 πt  i ( 0 ) ,−  ( 0 ) , k ¿ 2

2

2

2

k = πt 

Hallando el $odulo:



‖√ ( πt ) ‖ 2

 &

 πt 

'o$o a conoce$os la pri$era derivada pode$os allar el $ódulo de la si#uiente $anera:



2

2+o ( π t  )

¿ ¿ ¿ √ ¿

‖f # (t )‖  &

‖f # (t )‖  &

2 √ 2

 *ee$pla+ando en la ecuación de la curvatura: √ 2 2¿

¿ ¿ | πt (0&0&1 )| k = ¿ k =πt 

−)

"1.- Hallar la curvatura de la espiral logar&tmica : ' = e

 para todo t ,

' (ue resultado se o)tiene si  tiende al in%inito. Solución:

*esolviendo por cordenadas polares tene$os que: −)

 x = 'cos) , y ='sen) pe'o : ' = e −)

 x = e

−)

cos), y =e

sen) pe'o

La curva parametrica: e (¿ ¿−)cos),e−) sen) ) C : f  () )=¿ Derivando:

−e −)

(¿ ¿−)sen) −e cos),e−) cos) − e−) sen) )  #  f  ( ) )=¿ −)

f  ( ) ) = e (− sen)− cos),cos) − sen) ) # 

−)

−)

f  ( ) ) = e (− sen)− cos) ) , e (cos) − sen) ) # 

##  () )



=e−) ( (−cos) + sen) ) −(−sen) −cos) ) , (−sen) − cos) )− ( cos) −sen) )) −)

f  () )= 2 e ( sen) ,− cos) ) ## 

f (t) right rdline right none} over {{left ldline f'(t) right rdline} ^ {3}} #  f  ( t ) x ¿

¿ k =¿

⇛ f  ( t ) xf  (t)= left [matrix { # 

{e} ^ {"} ("en"+o )

#

{e} ^ {"} (+o" en)

## {2e} ^ {"} (e

f  ( t ) xf (t)= {e} ^ {"} ("en"+o )* {2e} ^ {"} ("+o)" {2e} ^ {"} (en )* {e} ^ {"} (+o" en) # 

f  ( t ) xf  (t)= {2e} ^ {"2} (en*(+o) {+o } ^ {2} )" {2e} ^ {"2} (en )* (+o)" en) # 

f  ( t ) xf (t)= {2e} ^ {"2} # 

f  ( t ) xf (t) right rdline = {e} ^ {"} $rt {2} # 

¿

‖f # ( ) )‖=√ e−2) (−sen) −cos) )2 +e−2) ( cos) −sen) )2 ❑ ‖f # ( ) )‖=√ e−2) ( sen)2 + 2 cos)sen) + cos)2 ) + e−2 ) ( sen) 2−2 cos)sen) + cos)2 )

‖f # ( ) )‖=√ 2 e−2 )= e−) √ 2 f  (t) right rdline right none} over {{left ldline f'(t) right rdline} ^ {3}} = {{e} ^ {"} $rt {2}} over {{le #  f  ( t ) x ¿

¿ k =¿

2)

k =

e

√ 2

2

"".- Hallar la curvatura de la espiral de *rqu&medes

' =)  para toda t

'(ue resultado.  x = 'cos), y = 'sen) pe'o : ' = )  x =) cos) , y = )sen)

La curva parametrica: C : f  ( ) )=( )cos),)sen) ) f # () )=(−) sen ) + +o# ) , ) +o# ) + sen) )

f - # ( ))=(−)cos) −sen) − sen),−)sen) + cos) + +o )) f - # ( ))=(−)cos) −sen) − sen), −)sen) + cos) + cos) ) f - # ( ))=(−)cos) − 2 sen), −)sen) + 2+o ) ) ⇛ f  ( t ) xf (t)= left [matrix {i #  #  ## "en  +o # +o  en # 0 ## "+o  "2en # "en  2+ # 

⇛ f  ( t ) xf  (t)= 0&0&( "en  +o )* ( "en  2+o )" ( "+o  "2en )* ( +o  en ) # 

⇛ f  ( t ) xf (t)= 0&0&( "en  +o)* ("en  2+o )( +o   2en)* (+o  en) # 

Remplazando en la ecuacion: f (t) right rdline right none} over {{left ldline f'(t) right rdline} ^ {3}} #  f  ( t )∗¿

¿ k =¿

"+.- alcular el radio de la curvatura de la carioide ' =1 + cos),en)= 0 Solución

'o$o radio de la curvatura es:  . ( ) )=

1

k  ( ) )

La ecuación de la curvatura es () f (t) right rdline right none} over {{left ldline f'(t) right rdline} ^ {3}} #  f  ( t )∗¿

¿ k =¿

*esolviendo por cordenadas polares tene$os que:

2

) +2

= ( )2+ 1 )3/ 2

 x ='cos) , y ='sen) pe'o ' = 1+ cos) C ='cos) , y ='sen) pe'o ' =1 + cos)

-ntonces la curva de la carioide .'/ esta epresada por : C : x =( 1+ cos) ) cos), y =( 1 + cos) ) sen)

La curva en or$a para$etri+ada es :

( 1 +cos) ) cos) , ( 1+ cos) ) sen) )) f  ( ) )=¿ f  ( ) ) =( (1 + cos) ) (− sen) )− sen)cos) ) , ( 1 + cos) ) cos) + (−sen) ) cos) # 

f  ( ) ) =( (−sen) ) −2 sen)cos) ) , ( cos) + cos) )− ( sen) ) cos) # 

2

f  ( ) ) =( (−sen) ) −sen 2 ) ) , ( cos) + cos) )−( sen) ) cos) # 

2

f  ( )= 0 ) =( (− sen 0 )− sen 20 ) , ( +o0 + +o0 ) −( sen 0 ) +o 0 # 

2

f  ( )= 0 ) =0& 2 , 0 # 

f  ( ) )=( (−+o ) ) − +o2 ) ) , ( −sen)−2 sen) ) + 1 # # 

f  ( ) =0 )= ( (−+o0 ) − +o20 ) , (−sen 0 −2 sen 0 ) # # 

f  ( ) =0 )=−2, 0&0 # # 

‖0&2&0 x −2&0&0‖= , / 3

k =

3

‖0&2&0‖

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