Solucionario Calculo i Chungara

EJERCICIOS RESUELTOS DE CALCULO I Alvaro Cabrera Javier 4 de septiembre de 2014

Alvaro Cabrera Javier

2

CALCULO I - CHUNGARA

ÍNDICE GENERAL

Índice general 1. NUMEROS REALES Y DESIGUALDADES

7

2. VECTORES EN EL PLANO

11

3. GEOMETRIA ANALITICA

19

4. LIMITES

53

5. DERIVADAS

83

6. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

103

7. EXTREMOS DE UNA FUNCION

111

8. INTEGRALES

117

9. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES

137

Alvaro Cabrera Javier

3

CALCULO I - CHUNGARA

ÍNDICE GENERAL

Alvaro Cabrera Javier

4

CALCULO I - CHUNGARA

PREFACE

INTRODUCCION Este solucionario está basado en el libro de APUNTES Y PROBLEMAS DE CALCULO I de VICTOR CHUNGAR CASTRO, EDICION 1993.

Alvaro Cabrera Javier

5

CALCULO I - CHUNGARA

INTRODUCCION

Alvaro Cabrera Javier

6

CALCULO I - CHUNGARA

CAPÍTULO 1. NUMEROS REALES Y DESIGUALDADES

Capítulo 1 NUMEROS REALES Y DESIGUALDADES Los teoremas se demuestran usando los axiomas de campo conmutativo de los Números Reales u otros Teoremas ya demostrados. Tales axiomas son: Si, a, b, c 2 R: P1. a+b=b+a Conmutatividad de la suma. P2. (a + b) + c = a+ (b + c) Asociatividad de la suma. P3. a+0=a Existencia de neutro aditivo (0). P4. a + ( a) = 0 Existencia de opuesto ( a). P5. ab = ba Conmutatividad del producto. P6. (ab) c = a (bc) Asociatividad del producto. P7. a1 = a Existencia del neutro multiplicativo (1). 1 P8. aa = 1 Existencia del inverso (a 6= 0). P9. a (b + c) = ab + ac Distributividad del producto. P10. a 2 R+ (a > 0) Tricotomía de los reales. a 2 R (a < 0) a=0 Si: a > 0, b > 0 ) a + b > 0 P11. Clausura de la suma y el producto. ab > 0 P12. 8a 9b=b > a Del supremo. 1. Demostrar los siguientes Teoremas de los Números Reales: a) a + x = b =) x = b b) ( 1) a = c) a (b d)

a

a

c) = ab

ac

( a) = a

e) ab = 0 =) a = 0 ó b = 0 f ) (ab)

1

= a 1b

1

g) a + a = 2a h) a0 = 1, a 6= 0 2. Demostrar los siguientes Teoremas sobre Desigualdades: a) a > b =) a

c>b c 1 1 b) 0 < a < b =) > a b 2 c) 0 < a < b =) a < b2

d) 0 < a < b =) ab > 0 p p e) b > 0, a2 < b () b 0 (x 3) (x 2) > 0 8 CALCULO I - CHUNGARA

CAPÍTULO 1. NUMEROS REALES Y DESIGUALDADES c) x2

4 0

g) 2x2

3x + 1 < 0

h) 3x2

7x + 2 < 0

i) x2

4x + 4

j ) x2

2x + 1 < 0

0

k) x2 + 9 < 0 l) x4

1 0

q) x4

17x2 + 16

0

r) x3

6x2 + 12x

8 0

t) x5

5x3 + 4x > 0

u) x2 + 1 v) x

4

18x + 40 < 0

0 3

6x + 13x2

w) x3

x 0

12x + 4 < 0 50x + 24 < 0

5. Resolver las siguientes Inecuaciones Cuadráticas a)

3 >1 x Solución. 3 > 1 x 3 x 3

1 > 0 x x

x Alvaro Cabrera Javier

9

3 x

> 0 < 0 CALCULO I - CHUNGARA

b)

4x 3 >2 2x 8 Solución.

4x

c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) ñ) o) p)

4x 3 2x 8 4x 3 2 2x 8 3 4x + 16 2x 8 13 2 (x 4)

> 2 > 0 > 0 > 0

4 4 2x 6 3 >1 x 2 x 2 x < x x 2 1 >1 x 1 x 1 x 3 < x 4 x 2 x 1 x 2 x 2 x 3 >1 x 5 1 2 + >2 x 2 x 1 3x 1 > 5 < 7h 24k + 55 d= > 25 > > > : d = 3h + 4k 5 5

Resolviendo el sistema: d = 10, h = 3 y k = 9. La ecuación buscada es: (x + 3)2 + (y + 9)2 = 102 5 -25

-12.5

0 0

y 12.5

x

-5

-10

-15

-20

-25

Alvaro Cabrera Javier

45

CALCULO I - CHUNGARA

g) Circunscrita al triángulo de lados: x y + 2 = 0; 2x + 3y 1 = 0; 4x + y 17 = 0. Solución. Hallamos los tres puntos donde pasa la circunferencia x y+2=0 2x + 3y 1 = 0 El punto A ( 1; 1). Luego x y+2=0 4x + y 17 = 0 El punto B (3; 5) …nalmente 2x + 3y 1 = 0 4x + y 17 = 0 El punto C (5; 3).Sea la ecuación de la circunferencia: x2 + y 2 + Cx + Dy + E = 0, sustituendo estos tres puntos en esta ecuación: 8 < 2 C +D+E =0 34 + 3C + 5D + E = 0 : 34 + 5C 3D + E = 0

Resolviendo el sistema: C = la circunferencia

8 yE= 5

32 ,D= 5

5x2 + 5y 2

32x

8y

34 . La ecuación de 5

34 = 0

y 5

2.5

0 -10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10 x

-2.5

h) Circunscrita al triángulo de lados: 3x + 2y 13 = 0; x + 2y 3 = 0; x + y 5 = 0. Solución. Hallamos los tres puntos donde pasa la circunferencia 3x + 2y x + 2y

13 = 0 3=0

3x + 2y x+y 46

13 = 0 5=0 CALCULO I - CHUNGARA

El punto A (5; 1). Luego

Alvaro Cabrera Javier

CAPÍTULO 3. GEOMETRIA ANALITICA El punto B (3; 2) …nalmente x + 2y x+y

3=0 5=0

El punto C (7; 2).Sea la ecuación de la circunferencia: x2 + y 2 + Cx + Dy + E = 0, sustituendo estos tres puntos en esta ecuación: 8 < 26 + 5C D + E = 0 13 + 3C + 2D + E = 0 : 53 + 7C 2D + E = 0

Resolviendo el sistema: C = 17, D = 7 y E = 52. La ecuación de la circunferencia x2 + y 2 17x 7y + 52 = 0 y

10

7.5

5

2.5

0 -5

0

5

10

15 x

-2.5

i) Tangente a: 4x + 3y 40 = 0; centro en la intersección de: x + y = 4; x y = 2. Solución. Hallamos el centro x+y =4 x y=2 C (3; 1). Distancia de un punto a una recta 4 (3) + 3 (1) 5 r = 5

r =

40

entonces la circunferencia (x

3)2 + (y

1)2 = 52

19. Hallar la Ecuación General de la Parábola, que satisface los siguientes datos: a) Vértice: (0; 0); foco: (6; 0). Solución. Dada la forma (y y a = 6. Sustituyendo Alvaro Cabrera Javier

h) = 4a (x

h)2 , donde V (h; k) = (0; 0)

y = 24x2 47 CALCULO I - CHUNGARA

y

25

20

15

10

5

0 -1

-0.5

0

0.5

1 x

b) Vértice: (0; 0); foco ( 2; 0). Solución. Dada la forma (y y a = 2. Sustituyendo

k)2 = 4a (x

h)2 , donde V (h; k) = (0; 0)

y2 = 8x p 8x y = y 25

12.5

0 -62.5

-50

-37.5

-25

-12.5

0

x -12.5

-25

c) Vértice: (2; 4); foco (7; 4). Solución. Dada la forma (y k)2 = 4a (x y a = 7 2 = 5. Sustituyendo 4)2 = 10 (x

(y

-2

y

14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 10

-1

-1 -2 -3 -4 -5 -6

0

1

d) Vértice: (3; 1); foco (3; 5). Alvaro Cabrera Javier

h), donde V (h; k) = (2; 4)

2

3

4

5

2)

6

7

8

9

10 x

48

CALCULO I - CHUNGARA

CAPÍTULO 3. GEOMETRIA ANALITICA Solución. Dada la forma (y k) = 4a (x y a = 5 1 = 4. Sustituyendo y

y

h)2 , donde V (h; k) = (3; 1)

3)2 3)2 + 1 48x + 73

1 = 8 (x = 8 (x = 8x2

15

12.5

10

7.5

5

2.5

0 1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5 x

e) Vértice: (3; 2); Directriz: x

1 = 0.

f ) Vértice: (2; 1); Latus rectum entre: (5; 5); (5; 7). g) Foco: (4; 3); Directriz: x + 2 = 0. 20. Hallar Vértice y Foco de las siguientes Parábolas: a) y 2

16x = 0.

b) y 2

8x

c) x2

24y = 0.

d) x2

4x

6y + 17 = 0. 12y + 64 = 0.

21. Hallar la Ecuación General de la Parábola que satisface los siguientes datos: a) Eje paralelo al eje x; pasa por: (3; 6); vértice: (0; 0). b) Eje paralelo al eje y; pasa por: (4; 1); vértice: (0; 0). c) Eje paralelo al eje x; pasa por: (5; 7); (5; 5); (2; 1). d) Eje paralelo al eje y; pasa por: (6; 2); (2; 1); ( 6; 5). e) Eje paralelo al eje x; pasa por: (3; 5); (6; 1); vértice sobre: 2y

3x = 0.

f ) Latus rectum entre: (3; 3); (3; 2). 22. Un cable colgante forma una parábola, las torres de soporte son de 220 m de altura, separadas entre sí por 1500 m. El punto más bajo del cable está a 70 m de altura. Hallar la altura entre el cable y la base a 150 m de una torre. 23. Hallar la ecuación general de la elipse, que satisface los siguientes datos: a) Centro: (0; 0); semiejes: 6; 2. Alvaro Cabrera Javier 49

CALCULO I - CHUNGARA

b) Centro: (2; 1); semiejes: (4; 2). c) Vértices: ( 5; 0); focos ( 3; 0). d) Focos: ( 4; 0); excentricidad: e = 0;8. e) Vértices: ( 8; 0); e = 0;5. f ) Vértices: (0; 10); focos: (0; 8). g) Vértices: (0; 4); e = 0;25. h) Vértices: ( 1; 3), (9; 3); focos: (1; 3), (7; 3). 1 i) Vértices: (1; 2), (7; 2); e = . 3 2 j ) Focos: (3; 1); (7; 1); e = . 3 k) Vértices: (2; 1), (2; 5); focos: (2; 2), (2; 4). p 2 . l) Un foco: ( 1; 1); directriz: x = 0; e = 2 24. Hallar el Centro y Semieje Mayor y Menor de las siguientes Elipses: a) x2 + 9y 2

9 = 0.

b) x2 + 4y 2

2x

24y + 21 = 0.

c) 4x2 + 9y 2

36 = 0.

d) 9x2 + 4y 2

36x

8y

104 = 0.

25. Hallar la ecuación general de la elipse que satisface los siguientes datos: a) Pasa por: (0; 1), (2; 0); Centro: (0; 0). b) Pasa por:

6;

29 , (2; 7), 5

5;

32 , (7; 4). 5

c) Pasa por: (1; 0), ( 1; 1), (2; 2), (0; 4). 26. Un arco de 80 m de base, tiene forma semielíptica, sabiendo que su altura es de 30 m. Hallar la altura cuando se recorre 15 m del centro. 27. Hallar la ecuación general de la hipérbola que satisface los siguientes datos: a) Centro: (0; 0); semieje real e imaginario: 4; 2; Eje paralelo al eje x. b) Centro: (3; 2); semiejes: 6; 3; eje real paralelo al eje x. c) Vértices: ( 5; 0); focos: ( 13; 0). 5 d) Vértices: ( 6; 0); Excentricidad: e = . 3 e) Focos: ( 4; 0); e = 2. f ) Vértices: (0; 3); focos: (0; 5). g) Vértices: (0; 2); e = 1;5. Alvaro Cabrera Javier

50

CALCULO I - CHUNGARA

CAPÍTULO 3. GEOMETRIA ANALITICA h) Vértices: (1; 3), (7; 3); focos: ( 1; 3), (9; 3). i) Vértices: (1; 2); (3; 2); focos: ( 1; 2), (5; 2). j ) Vértices: (2; 3); (6; 3); e = 3. k) Focos: (3; 4), (3; 2); e = 1;5. 28. Hallar el centro y semiejes real e imaginario de las siguientes hipérbolas: a) 4x2

y2

b) 9x2

16y 2

c) 4x2

y 2 + 36 = 0.

d) 4x2

y2

16 = 0. 36x + 128y

796 = 0.

16x + 2y + 19 = 0.

29. Hallar la ecuación de la hipérbola que satisface los siguientes datos: a) Pasa por:

20 ; 4 ; (4; 0); centro: (0; 0). 3

28 52 ; 9 , ( 4; 1), ; 7 . 3 3 p p c) Pasa por: (2; 2), 2 2; 3 , 2 2; 1 , ( 2; 2). 7x d) Vértices: ( 6; 0); asíntotas: y = . 6 e) Centro: (0; 0); latus rectum: 36; c = 12; eje paralelo al eje y. b) Pasa por: (12; 1);

30. Hallar la resolución de los siguientes problemas de geometría analítica. a) Hallar la ecuación de la esfera de radio 4 cuyo centro está en la intersección de las rectas: x + 2y 5 = 0; 2x y 5 = 0. b) Hallar la mínima distancia entre la recta: 3x + 4y 36 = 0; y la circunferencia: x2 + y 2 6x 2y + 6 = 0. Hallar también los puntos de la recta y circunferencia que determinan esa mínima distancia. c) Hallar la ecuación de circunferencia, que pasa por los puntos: ( 1; 1); (8; 2) es tangente a la recta: 3x + 4y 41 = 0. d) Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice es el centro de la circunferencia x2 + y 2 4x 8y + 11 = 0. Su latus rectum entre (3; 2) y (3; 6). e) Hallar la ecuación de la elipse, cuyo centro coincide con el vértice de la parábola: y 2 12x 2y + 25 = 0. Sus semiejes son: 4; 2. f ) Hallar el lugar geométrico de puntos, que dividen a las ordenadas de los 1 puntos de una circunferencia x2 + y 2 = R2 , en la relación: . 2 g) Un punto P se mueve de manera que el producto de pendientes de las dos rectas que unen al punto P con los puntos …jos ( 2; 1); (6; 5) es constante e igual a 4. Hallar la ecuación del lugar geométrico. Alvaro Cabrera Javier 51 CALCULO I - CHUNGARA

h) La órbita de la tierra es una elipse, en uno de sus focos está el sol; el semieje mayor es de 148;5 106 km, su excentricidad 0;017. Hallar la máxima distancia entre la tierra y el sol. i) Hallar el lugar geométrico de los puntos, cuya distancia al punto …jo 3 8 (0; 6) sea de la correspondiente distancia a la recta y = 0. 2 3

Alvaro Cabrera Javier

52

CALCULO I - CHUNGARA

CAPÍTULO 4. LIMITES

Capítulo 4 LIMITES Hallar los siguientes Límites Algebraicos con radicales 9 x p x !9 3 x Solución.

1. l m

p 2 32 ( x) p lm x !9 3 x p p (3 x) (3 + x) p = lm x !9 3 x p p = l m 3 + x = 3 + 9 = 6==

9 x p = lm x !9 3 x

x !9

p

x 2 x !4 x 4 Solución.

2. l m

p

p

x 2 lm = x !4 x 4

2

p

x 2 p lm p 2 = lm p x !4 ( x) 22 x !4 ( x 2) ( x + 2) 1 1 1 = lm p =p = == x !4 x + 2 4 4+2

p

x+8 3 x !1 x 1 Solución. p x+8 3 = lm x !1 x 1

3. l m

x

p

p p 2 32 x+8 3 x+8+3 x+8 p p lm = lm x !1 x !1 (x (x 1) x + 8 + 3 1) x + 8 + 3 x 1 x+8 9 p p = lm = lm x !1 (x x !1 (x 1) x + 8 + 3 1) x + 8 + 3 1 1 1 = lm p =p = == x !1 x + 8 + 3 6 9+3

x 2 x !2 x + 2 2 Solución.

4. l m p

p (x 2) x + 2 + 2 p lm p x !2 x+2 2 x+2+2 p p (x 2) x + 2 + 2 (x 2) x + 2 + 2 = lm = lm p 2 x !2 x !2 x+2 4 x+2 22 p p (x 2) x + 2 + 2 x+2+2 = lm = lm x !2 x !2 x 2 p = 4 + 2 = 4== Alvaro Cabrera Javier 53 CALCULO I - CHUNGARA x 2 lm p = x !2 x + 2 2

p

x+1 x !3 3 x Solución. p x+1 2 = lm x !3 3 x

5. l m

2

p x+1 2+ x+1 p lm x !3 (3 x) 2 + x + 1 p 2 22 x+1 4 x 1 p p = lm = lm x !3 (3 x !3 (3 x) 2 + x + 1 x) 2 + x + 1 3 x 1 p p = lm = lm x !3 (3 x !3 x) 2 + x + 1 2+ x+1 1 1 p = = == 4 2+ 3+1 2

p

x+7 3 x !2 x2 4 Solución. p x+7 3 lm = x !2 x2 4

6. l m

= = = = =

x

p x+7 3 x+7+3 p lm x !2 (x 2) (x + 2) x + 7 + 3 p 2 32 x+7 p lm x !2 (x 2) (x + 2) x + 7 + 3 x+7 9 p lm x !2 (x 2) (x + 2) x + 7 + 3 x 2 p lm x !2 (x 2) (x + 2) x + 7 + 3 1 1 p p = lm x !2 (x + 2) x+7+3 (2 + 2) 2 + 7 + 3 1 1 = == (4) (6) 24 p

p

x+6 x !3 x 3 Solución. p x x+6 lm = x !3 x 3

7. l m

p

p x+6 x+ x+6 p lm x !3 (x 3) x + x + 6 p 2 x2 x+6 x2 x 6 p p = lm = lm x !3 (x x !3 (x 3) x + x + 6 3) x + x + 6 (x 3) (x + 2) x+2 p p = lm = lm x !3 (x x !3 x + 3) x + x + 6 x+6 3+2 5 5 p = = = == 3+3 6 3+ 3+6 Alvaro Cabrera Javier 54 CALCULO I - CHUNGARA x

p

CAPÍTULO 4. LIMITES p

5x + 4 x !1 x 1 Solución. p 5x + 4 lm x !1 x 1

8. l m

3

3

= = = =

p

x+2 2 3x + 2 Solución. p x+2 2 lm 2 = x !2 x 3x + 2

9. l m

p

p 5x + 4 3 5x + 4 + 3 p lm x !1 (x 1) 5x + 4 + 3 p 2 5x + 4 32 5x + 4 9 p p = lm lm x !1 (x x !1 (x 1) 5x + 4 + 3 1) 5x + 4 + 3 5x 5 5 (x 1) p p lm = lm x !1 (x x !1 (x 1) 5x + 4 + 3 1) 5x + 4 + 3 5 5 5 5 =p lm p = == =p x !1 5x + 4 + 3 6 9+3 5 (1) + 4 + 3

x !2 x2

= = = =

2 10. l m x !3 1

lm

p

x !2 (x

lm

x !2 (x

lm

x !2 (x

lm

x !2 (x

lm

x !2 (x

p x+2 2 x+2+2 p 2) (x 1) x + 2 + 2 p 2 x+2 22 p 2) (x 1) x + 2 + 2 x+2 4 p 2) (x 1) x + 2 + 2 x 2 p 2) (x 1) x + 2 + 2 1 1 1 p p = = == 4 1) x + 2 + 2 (2 1) 2 + 2 + 2

p x+1 p x 2

Solución. p 2 x+1 p lm = x !3 1 x 2

p p p 2 x+1 2+ x+1 1+ x 2 p p p lm x !3 1 x 2 1+ x 2 2+ x+1 h i p p 2 2 x+1 2 1+ x 2 i = lm h p p 2 x !3 2+ x+1 12 x 2 p p [4 x 1] 1 + x 2 [3 x] 1 + x 2 p p = lm = lm x !3 [1 x !3 [3 x + 2] 2 + x + 1 x] 2 + x + 1 p p 1+ x 2 1+ 3 2 1 p p = lm = = == x !3 2 + 2 x+1 2+ 3+1 Alvaro Cabrera Javier 55 CALCULO I - CHUNGARA

p x 1 1 11. l m p x !2 x + 7 3 Solución. p x 1 lm p x !2 x + 7

p

2x + 1 12. l m x !4 x Solución. p 2x + 1 lm x !4 x

p

p p p x 1 1 x 1+1 x+7+3 p p lm p x !2 x+7 3 x+7+3 x 1+1 i p h p 2 x 1 12 x+7+3 i p = lm h p 2 x !2 x+7 32 x 1+1 p p [x 2] x + 7 + 3 x+7+3 p = lm p = lm x !2 x !2 [x 2] x 1 + 1 x 1+1 p 2+7+3 6 = p = = 3== 2 2 1+1

1 = 3

x+5

4 p

x+5

4

= = = = =

p 3x x+8 p 13. l m x !1 2x x+3 Solución. p 3x x+8 p lm = x !1 2x x+3 =

= = = Alvaro Cabrera Javier

p

p p p 2x + 1 x+5 2x + 1 + x + 5 p p lm x !4 (x 4) 2x + 1 + x + 5 p p 2 2 2x + 1 x+5 p p lm x !4 (x 4) 2x + 1 + x + 5 2x + 1 x 5 p p lm x !4 (x 4) 2x + 1 + x + 5 x 4 p p lm x !4 (x 4) 2x + 1 + x + 5 1 1 1 p lm p = == =p p x !4 2x + 1 + 6 x+5 2 (8) + 1 + 4 + 5

p p p 3x x + 8 3x + x + 8 2x + x + 3 p p p lm x !1 2x x + 3 2x + x + 3 3x + x + 8 h i p p 2 (3x)2 x+8 2x + x + 3 i lm h p p 2 x !1 x+3 3x + x + 8 (2x)2 p (9x2 x 8) 2x + x + 3 p lm x !1 (4x2 x 3) 3x + x + 8 p (x 1) (9x + 8) 2x + x + 3 p lm x !1 (x 1) (4x + 3) 3x + x + 8 p p (9x + 8) 2x + x + 3 (9 + 8) 2 + 1 + 3 34 p p lm = = == x !1 (4x + 3) 3x + 21 x+8 (4 + 3) 3 + 1 + 8 56 CALCULO I - CHUNGARA

CAPÍTULO 4. LIMITES p

x2 + 5 3 x !2 x 2 Solución. p x2 + 5 3 lm = x !2 x 2

14. l m

lm

p

x2 + 5 (x p

x !2

2)

3 p

p

x2 + 5 + 3

x2 + 5 + 3

2

x2 + 5 32 x2 + 5 9 p p = lm = lm x !2 (x x !2 (x 2) x2 + 5 + 3 2) x2 + 5 + 3 x2 4 (x 2) (x + 2) p p = lm = lm x !2 (x x !2 (x 2) x2 + 5 + 3 2) x2 + 5 + 3 2+2 2 x+2 =p = == = lm p 2 2 x !2 x + 5 + 3 3 2 +5+3 p p 2x 1 x+4 p 15. l m p x !5 2x 6 x 1 Solución. p p p p p p 2x 1 x+4 2x 1 + x + 4 2x 6 + x 1 p p p p p = lm p x !5 2x 6 x 1 2x 6 + x 1 2x 1 + x + 4 p p p 2 p 2 2x 1 x+4 2x 6 + x 1 = lm p p p 2 2 p x !5 2x 6 x 1 2x 1 + x + 4 p p (2x 1 x 4) 2x 6 + x 1 p p = lm x !5 (2x 6 x + 1) 2x 1 + x + 4 p p (x 5) 2x 6 + x 1 p p = lm x !5 (x 5) 2x 1 + x + 4 p p p p 2 (5) 6 + 5 1 2x 6 + x 1 2+2 2 p = lm p =p = = == p x !5 2x 3+3 3 1+ x+4 2 (5) 1 + 5 + 4 1 x p 3 x !1 1 x Solución.

16. l m

lm

1

x !1 1

x p = 3 x

(1 lm

x !1

(1 (1

=

lm

x !1

(1 = = Alvaro Cabrera Javier

p p 3 x) 1 + 3 x + x2 p p p 3 3 x) 1 + 3 x + x2 p p 3 x) 1 + 3 x + x2 p 3 1 ( 3 x) p p 3 x) 1 + 3 x + x2

lm

x !1

lm1+

x !1

57

p 3

1p x 3 x + x2 = 3== CALCULO I - CHUNGARA

17. l m

x !1

p 5

x 1 x 1

Solución. p p p 5 5 x4 + x3 + x2 + 5 x + 1 lm p p p p 5 5 5 x !1 (x 1) x4 + x3 + x2 + 5 x + 1 p 5 15 ( 5 x) = lm p p p p 5 5 5 x !1 (x 1) x4 + x3 + x2 + 5 x + 1

p 5

p (5x

x 1 lm = x !1 x 1

= =

lm

x !1

(x

p 5

1)

lm p 5

p 5

1)

x 1 p p p 5 5 x4 + x3 + x2 + 5 x + 1 1 p 5

p 5

x4 + x3 + x2 + 1 1 = = 1+1+1+1+1 5

18. l m

x !4

1

x !1

p 5

x+1

p 3

x 3 4 x

Solución. q x 3 1 + x 3 + 3 (x 3)2 1 x 3 1 = lm lm q p x !4 x !4 4 x 3 (4 x) 1 + x 3 + 3 (x 3)2 =

=

=

=

p 1 5x p 19. l m 3 x !1 1 x Alvaro Cabrera Javier

p 3

p 3

p 3

lm

x !4

(4

1 x+3 q p 3 x) 1 + x 3 + 3 (x

(4

x !4

4 p x) 1 + 3 x 1

lm

1+

x

3 q 3 + 3 (x

x) 1 +

lm

x !4

p 3

3

x

(4

lm

x !4

p 3

13

p 3

x

3+

58

x

q

3+

3

q 3

(x

3)2

3)2

3)2 1

= (x

3)2

1+

p 3

4

3+

q 3

(4

3)2

CALCULO I - CHUNGARA

1 = == 3

CAPÍTULO 4. LIMITES Solución.

1 !1 1

lm

x

p p p 5 3 x3 + x4 1 + 3 x + x2 lm p p p p p p p 3 5 5 5 x !1 (1 3 x) 1 + 3 x + x2 1 + 5 x + x2 + x3 + x4 p p p 5 3 1 + 3 x + x2 15 ( 5 x) = lm p p p p 3 p 5 5 5 x !1 13 ( 3 x) 1 + 5 x + x2 + x3 + x4 p p 3 (1 x) 1 + 3 x + x2 = lm p p p p 5 5 5 x !1 (1 x) 1 + 5 x + x2 + x3 + x4 p p 3 1+1+1 3 1 + 3 x + x2 = = == = lm p p p p 5 5 5 x !1 1+1+1+1+1 5 1 + 5 x + x2 + x3 + x4

p 5 x p = 3 x

p 3 x+1 20. l m p x !0 x + 1

(1

p 5

x) 1 +

p 5

p 5

x+

x2 +

p 5

1 1

Solución.

p 3 x+1 lm p x !0 x + 1

1 = 1

p 3 lm

x !0

p

x+1

1

x+1

1 p 3

q 3

p

(x + 1)2 +

x+1+1

p x+1+1 x+1+1 q p 3 (x + 1)2 + 3 x + 1 + 1

p 3

p 13 x+1+1 = lm q p p x !0 2 3 x+1 12 (x + 1)2 + 3 x + 1 + 1 p (x + 1 1) x + 1 + 1 = lm q p x !0 (x + 1 1) 3 (x + 1)2 + 3 x + 1 + 1 p p x+1+1 0+1+1 2 = lm q = q = == p p x !0 3 3 3 (x + 1)2 + 3 x + 1 + 1 (0 + 1)2 + 3 0 + 1 + 1

p m x 1 21. l m p n x !1 x 1 Alvaro Cabrera Javier

59

x+1

3

CALCULO I - CHUNGARA

Solución. p m 1 p m 2 p 1) ( m x) + ( m x) + ::: + m x + 1 p m 1 p m 2 p 1) ( m x) + ( m x) + ::: + m x + 1 p n 1 p n 2 p (x 1) ( n x) + ( n x) + ::: + n x + 1 = lm p m 1 p m 2 p x !1 (x 1) ( m x) + ( m x) + ::: + m x + 1 p n 1 p n 2 p ( n x) + ( n x) + ::: + n x + 1 = lm p m 1 p m 2 p x !1 ( m x) + ( m x) + ::: + m x + 1 n = m

p m x lm p n x !1 x

1 = 1

p 3 x+7 22. l m p x !1 x + 3 Solución.

2 2 p 3

=

=

=

=

p (mx lm x !1 p (nx

p x + 7 (2) + 4 x+3+2 lm p p p p 2 x !1 3 x+3 2 x+3+2 x + 7 + 3 x + 7 (2) + 4 p p 3 3 x+7 23 x+3+2 lm p p p 2 2 x !1 3 22 x+3 x + 7 + 3 x + 7 (2) + 4 p (x 1) x + 3 + 2 lm p p 2 x !1 (x 1) 3 x + 7 + 3 x + 7 (2) + 4 p x+3+2 1 lm p = == p 2 3 3 x !1 3 x+7 + x + 7 (2) + 4

p x 23. l m p x !1 x

x+7

2

p 3

x+7

2

+

p 3

p 4 x p 3 x

Solución. hp i p 2 p p p p 3 2 3 4 4 4 x) ( x) + ( x) ( x) + ( x) ( x) + ( x) hp = lm p p p p p 2i 2 x !1 3 ( x x) ( x) + ( x) ( 3 x) + ( 3 x) p 4 p 4 hp 2 p p p 2i ( x) ( 4 x) ( x) + ( x) ( 3 x) + ( 3 x) hp i = lm p p p 2 p p p p 3 3 3 2 3 x !1 3 4 4 4 ( x) ( x) ( x) + ( x) ( x) + ( x) ( x) + ( x) p 3 (x 1) ( x + 1) p = lm p 4 x !1 ( x 1) ( x + 1) p p 3 (x 1) ( x + 1) 3 3 = lm = l m x + 1 = == 4 x !1 x 1 4 x !1 2 Alvaro Cabrera Javier 60 CALCULO I - CHUNGARA p ( x

p 4

CAPÍTULO 4. LIMITES

24. l m

x !4

pp

x+7 x 4

3

Solución.

lm

x !4

pp

x+7 x 4

3

=

= =

25. l m

p

x !4

p x+ x x 4

lm

x !4

x+7

3 pp

pp

x+7+3

(x 4) x+7+3 2 pp x+7 32 = lm pp x !4 (x 4) x+7+3 p p ( x 2) ( x + 2) = lm pp p x !4 (x 4) x + 7 + 3 ( x + 2) =

1

pp

lm

x !4

(x

4)

l m pp x !4 pp

pp

x

4

p x + 7 + 3 ( x + 2)

1

p x + 7 + 3 ( x + 2) 1

4+7+3

p

= 4+2

1 == 24

3

Solución. = = =

= = =

p x2 x 26. l m p x !1 x 1 Alvaro Cabrera Javier

p p p x 3 x 1+ x 3+ x p lm p x !4 (x 4) 1 + x 3 + x p p 2 2 ( x) 1+ x 3 p lm p x !4 (x 4) 1 + x 3 + x p p 2 x 3 1 x 3+1 p p lm p x !4 (x 4) 1 + x 3 + x x 3+1 h p i 2 2 x 3 12 p p lm p x !4 (x 4) 1 + x 3 + x x 3+1 2 p p lm p x !4 1 + x 3+ x x 3+1 2 1 p = p p 4 1+ 4 3+ 4 4 3+1 1+

p

61

CALCULO I - CHUNGARA

Solución. x2 lm p

x !1

p

x = 1

x

=

= = = =

p p x) (x2 + x) ( x + 1) p p 1) (x2 + x) ( x + 1) p 2 p 2 (x2 ) ( x) ( x + 1) lm p 2 p x !1 ( x) 12 (x2 + x) p x (x3 1) ( x + 1) p lm x !1 (x 1) (x2 + x) p x (x 1) (x2 + x + 1) ( x + 1) p lm x !1 (x 1) (x2 + x) p x (x2 + x + 1) ( x + 1) p lm x !1 x2 + x p (1) (12 + 1 + 1) 1 + 1 p =3 12 + 1 (x2 lm p x !1 ( x

p

p 3

7 + x3 2x x !1 x 1 Solución.

27. l m

lm

x !1

p 3

7 + x3 2x = x 1 =

=

=

=

p 3

7+

x3

lm

x !1

(x

lm

x !1

(x

1)

lm

x !1

h p 3

2

p 3

x3

+ 2x 7 + + 4x i p 2 7 + x3 + 2x 3 7 + x3 + 4x2 3

(2x)3 i p 2 7 + x3 + 2x 3 7 + x3 + 4x2 7 + x3

7 (1

7 + x3

2

x3 )

+ 2x

p 3

7 + x3 + 4x2

i

1)

(x

7 (1 x) (1 + x + x2 ) h p i p 2 1) 3 7 + x3 + 2x 3 7 + x3 + 4x2

7 (1 + x + x2 ) p 2 7 + x3 + 2x 3 7 + x3 + 4x2 7 (1 + 1 + 12 ) 7 = p p 2 2 3 3 4 7 + 13 + 2 (1) 7 + 13 + 4 (1)

lm p x !1 3

=

h p 3

p 3

7+

x3

(x

lm

x !1

1)

2x h p 3

h p 3

Hallar los siguientes límites 6 . +9 Solución.

1. l m

8x

x !1 4x

x

Alvaro Cabrera Javier

8x 6 =2 !1 4x + 9 62 CALCULO I - CHUNGARA

lm

2

i

CAPÍTULO 4. LIMITES x2 + 1 . x !1 x 1 Solución.

2. l m

x2 + 1 lm =1 x !1 x 1

6x3 + x + 3 . x !1 2x3 + x2 + 1 Solución.

3. l m

x

6x3 + x + 3 =3 !1 2x3 + x2 + 1

lm

x2 + 1 . x !1 x4 + 1 Solución.

4. l m

x

x2 + 1 =0 !1 x4 + 1

lm

p

x2 + 1 . x !1 x + 1 Solución.

5. l m

lm

p

x !1

x2 + 1 =1 x+1

(2x + 3)4 (3x + 2)3 6. l m . x !1 x7 + 1 Solución.

(2x + 3)4 (3x + 2)3 lm = 432 x !1 x7 + 1

p

p 1+ x 7. l m p . x !1 1+x Solución. lm

x !1

p

p 1+ x p =0 1+x

6

(2x2 + 1) 8. l m . x !1 (3x3 + 1)4 Solución.

6

(2x2 + 1) 64 lm = 4 3 x !1 (3x + 1) 81

(x + 1)m xn . x !1 xm (xn 1) Solución.

9. l m

x

Hallar los siguientes límites: Alvaro Cabrera Javier

(x + 1)m xn =1 !1 xm (xn 1)

lm

63

CALCULO I - CHUNGARA

1. l m x2

9x.

x !1

Solución. l m x2

2. l m

p

x !1

x+1

p

x

1.

Solución. lm

3. l m

p

x !1

p

x !1

x2 + 1

9x = 1

x !1

p

x+1

x

1=

x.

Solución. lm

p

x !1

p

4. l m x x !1

p x2 + 1 + x x = lm x2 + 1 x p x !1 x2 + 1 + x 1 x2 + 1 x2 = lm p = lm p 2 2 x !1 x + 1 + x x !1 x + 1 + x 1 1 = p =0 = 1 1+1+1 p

x2 + 1

x + 1.

Solución. p

lm x

x !1

x+1 =

lm

x !1

p

x

x+1

1 1 1 1 2 2 1 x = lm rx x = =1 1 x !1 1 0 1 1 + + 2 x x x3 x4

x2 x 1 p = lm x !1 x + x+1 5. l m x2 x !1

p

p x+ x+1 p x+ x+1

x4 + 1.

Solución. lm x

2

x !1

6. l m

x !1

p 3

p

p 2 x + x4 + 1 p x4 + 1 = l m x x4 + 1 x !1 x2 + x4 + 1 x4 x4 1 1 1 p p = lm = lm = =0 2 4 2 4 x !1 x + 1 x + 1 x !1 x + x + 1

x+1

p

2

p 3

x.

Solución. lm

x !1

p 3

x+1

p 3

x = =

Alvaro Cabrera Javier

lm

x !1

p 3

p 3

x+1

lm h p x !1 3

x+1 64

p p 2i x + 1 ( 3 x) + ( 3 x) h p i p p p 2 2 3 3 3 3 x+1 + x + 1 ( x) + ( x)

h p 3

x

x+1

2

+

p 3

1

2

+

p 3

p 3

p 3

2

i=

1 =0 1

x + 1 ( x) + ( x) CALCULO I - CHUNGARA

CAPÍTULO 4. LIMITES 7. l m ex+1

ex .

x !1

Solución. l m ex+1

ex =

x !1

8. l m 3x

2x .

x !1

Solución.

9. l m ln (x

1)

x !1

ln x.

Solución. l m ln (x

x !1

1)

ln x =

l m ln

x

x !1

= ln l m 1 x !1

1 x 1 =0 x

x2 . x !1 x+1 Solución.

10. l m x

x2 + x x2 x x2 = lm = lm =1 x !1 x + 1 x + 1 x !1 x + 1

lm x

x !1

1

11. l m

3 x3

x !1 x

1 Solución. 1

12. l m

x Solución. p

x !1

.

1 p . 1 x

x !1 1

13. l m

1

p 3

x

x.

Solución.

14. l m

x3

x !1 x

1 Solución.

15. l m

x3

x !1 x2

1

x2 .

x2 . x+1

Solución. Alvaro Cabrera Javier

65

CALCULO I - CHUNGARA

2x .

16. l m 23x x !1

Solución. x3 x !1 1 x2 Solución.

17. l m

x.

n

m x !1 1 xm Solución.

18. l m

19. l m x

xn

1

.

sen x.

x !1

Solución. 20. l m ln 2x

ln x.

x !1

Solución. 21. l m sen x !1

p

x+1

sen

p

x.

Solución.

1 1 p . 2 x !0 x x Solución.

22. l m

1 lm 2 x !0 x

p 1 x x2 p = lm p x x !0 x2 x

cambio de variables u2 = x p x x2 u u4 1 0 1 u3 p = l m = lm = l m =1 x !0 x2 x u !0 u4 u u !0 u4 0 1

23. l m

6 x2

x !3 x

3 Solución. lm

1

x !3 x

24. l m

x !1 1

9

3 p

6 3

x

.

x2

9

x+3 6 x = lm 2 2 !3 x x !3 x 9

= lm x

3 1 1 = lm = 9 x !3 x + 3 6

2 p . 1 3x

Solución. Hallar los siguientes Límites Exponenciales y Logarítmicos: Alvaro Cabrera Javier 66 CALCULO I - CHUNGARA

CAPÍTULO 4. LIMITES 3

1. l m (1 + x) x x !0

Solución. 3

3

1

l m (1 + x) x = l m

x !0

= e3

l m (1 + x) x

x !0

x !0

1

2. l m (1 + x) 2x x !0

Solución. l m (1 +

x !0

1 x) 2x

=

l m (1 +

x !0

1 2

1 x) x

1

= e2

1

3. l m (1 + 2x) x x !0

Solución. 1

2

1

l m (1 + 2x) x =

x !0

= e2

l m (1 + 2x) 2x

x !0

1

4. l m (1 x !0

x) x

Solución.

1 x

1

l m (1

x !0

x) x = l m (1 + ( x)) x !0

=e

1

2

5. l m (1 + 3x) x x !0

Solución.

2

6

l m (1 + 3x) x = l m (1 + 3x) 3x = e6

x !0

x !0

1

6. l m (1 x !0

8x) 4x

Solución.

1

l m (1

x !0

7. l m

x !1

1 1+ x

8x) 4x = l m (1 + ( 8x)) x !0

lm

x !1

8. l m

x !1

=e

2

3x

Solución. Aplicando un cambio de variable u =

2 1+ x

2 8x

1 1+ x

3x

1 x

3 = l m (1 + u) u = e3 u !0

x

Solución. Aplicando el cambio de variable u = lm

Alvaro Cabrera Javier

x !1

2 1+ x

x

2 x 2

= l m (1 + u) u = e2 67

u !0

CALCULO I - CHUNGARA

9. l m

1

x !1

6x

1 3x

Solución. Aplicando el cambio de variable u =

lm

x !1

x !0

6x

= l m (1 + ( u)) u !0

2 u

=e

2

1 x

1 + 7x 1 + 2x

10. l m

1

1 3x

1 3x

Solución. lm

x !0

1 + 7x 1 + 2x

1 x

1

l m (1 + 7x) x

=

x !0

1

=

l m (1 + 2x) x

e7 = e5 e2

x !0 1

11. l m (x

1) x

x !2

2

Solución. 1

l m (x

x !2

1) x

x !0

= l m (1 x !2

1+x

1) x

1 x !2

Solución. lm

7x

2)) x

2

=e

1 x

3+x 3 x

x !0

13. l m

= l m (1 + (x

2

1 x

3+x 3 x

12. l m

1 2

1

x Solución.

x !0

lm

7x

x !0

5x 1 x !0 3x 1 Solución.

1 x

14. l m

5x !0 3x

1 1

lm

x

15. l m

2x

2

x

x Solución.

x !0

lm

Alvaro Cabrera Javier

x !0

2x

68

2 x

x

CALCULO I - CHUNGARA

CAPÍTULO 4. LIMITES 8x 4x x !0 6x 3x Solución.

16. l m

8x !0 6x

4x 3x

xx lm x !a x

aa a

xa lm x !a x

ax a

lm

x

x x aa x !a x a Solución.

17. l m

x a ax 18. l m x !a x a Solución.

ln (1 x) x !0 x Solución.

19. l m

ln (1 x) !0 x

lm

x

1+x 1 x Solución.

20. l m

1

x !0 x

ln

lm

1

x !0 x

x e x !e ln x 1 Solución.

ln

1+x 1 x

21. l m

x e !e ln x 1

lm

x

Hallar los siguientes Límites Trigonométricos: sen x 8x Solución

1. l m

x !0

sen x 1 sen x 1 1 = lm = (1) = !0 8x 8 x !0 x 8 8

lm

x

sen 7x x !0 x Solución.

2. l m

sen 7x sen 7x =7lm =7=7 !0 x !0 7x x

lm

x

sen 8x 4x Solución.

3. l m

x !0

2 sen 8x sen 8x sen 8x = lm =2lm =2 x !0 4x x !0 8x 2 x !0 4x Alvaro Cabrera Javier 69 CALCULO I - CHUNGARA lm

4. l m

6x

x !0 sen 2x

Solución.

lm

6x

x !0 sen 2x

=

1 1 1 = = =3 1 1 sen 2x sen 2x lm lm x !0 6x 3 x !0 2x 3

sen 12x x !0 sen 2x Solución.

5. l m

sen 12x lm = x !0 sen 2x

sen 12x lm x !0 sen 2x

1 sen 12x 12x = l m 12x 1 x !0 sen 2x 12x 12x

sen 12x 12x = 6 1 sen 2x lm 6 x !0 2x lm

=

x !0

x sen 7x x !0 x sen 3x Solución.

6. l m

lm

x

x !0 x

sen 7x = sen 3x

x lm

x !0

x 1

=

lm

x !0

1

x sen 7x x x = lm x sen 3x x !0 x x sen 7x 7lm 1 x !0 7x = sen 3x 1 3lm x !0 3x

1 1

7 sen 7x 7x 3 sen 3x 3x

7 =3 3

tan 3x x !0 x Solución.

7. l m

sen 3x tan 3x 1 sen 3x lm = l m cos 3x = l m 3lm =3 x !0 x !0 x !0 cos 3x x !0 3x x x 8. l m

tan 8x

x !0 tan 4x

Solución.

sen 8x sen 8x tan 8x cos 4x lm = l m cos 8x = l m 2 l m 8x = 2 x !0 cos 8x x !0 tan 4x x !0 sen 4x x !0 sen 4x cos 4x 4x Alvaro Cabrera Javier 70 CALCULO I - CHUNGARA

CAPÍTULO 4. LIMITES sen 9x

9. l m

x !0 sen 6x

sen 5x sen 4x

Solución.

sen 9x lm x !0 sen 6x

1 sen 9x (sen 9x sen 5x) lm x = lm x x !0 1 x !0 sen 6x (sen 6x sen 4x) x x 9 sen 9x 5 sen 5x 9 5 9x 5x = = lm =2 4 sen 4x x !0 6 sen 6x 6 4 6x 4x

sen 5x = sen 4x

sen 5x x sen 4x x

sen2 x !0 1 cos x

10. l m x

Solución.

sen2 x 1 = lm !0 1 cos x x !0 1

lm

x

11. l m x !

3

cos2 x (1 = lm x !0 cos x

cos x) (1 + cos x) = l m (1 + cos x) = 2 x !0 1 cos x

2 cos x 1 3x

2 cos x 1 1 = 3x x ! 3 Alvaro Cabrera Javier Solución. l m

1 71

0 = . 0 CALCULO I - CHUNGARA

Primera forma: Si u =

u

3x =) x =

2 cos x 1 = lm 3x x ! 3

2 cos lm

= =

=

=

=

=

u 3

3

1

u

u !0

u u + 2 sen sen 3 3 3 3 lm u !0 u u p u cos + 3 sen 1 3 3 lm u !0 u u u 1 p3 cos sen 3 3 lm + lm u !0 u 3 u !0 u 3 u u cos 1 cos + 1 p3 3 3 lm + u u !0 u 3 cos + 1 3 u p 1 cos2 3 1 3 lm + u u !0 u 3 cos + 1 3 p sen u sen u 3 lm + u u !0 u 3 cos + 1 3 p p 0 3 3 1 + = 2 3 3 2 cos

=

3

cos

1

sen x

3 1 2 cos x x ! 3 Alvaro Cabrera Javier 12. l m

72

CALCULO I - CHUNGARA

CAPÍTULO 4. LIMITES sen x Solución. l m x !

1

3

sen

3 = 2 cos x

3

1

3 1 2

2

sen x lm x !

3

3 2 cos x

1

= =

2 cos u

3 sen u

2 cos u cos 2 sen u cos 3 3 sen u p lm u !0 1 cos u 3 sen u sen u u p lm u !0 1 cos u 3 sen u u u 1 1 cos u p lm 3 u !0 u 1 1 cos u 1 + cos u p lm 3 u !0 u 1 + cos u 1 p sen u sen u lm 3 u !0 u 1 + cos u p 3 3

=

=

=

=

=

= sen x !1 1 x

1

lm

u !0

3

sen u

lm

u !0

0 = . Si u = x 0

1

13. l m x

sen x 0 = . Si u = 1 !1 1 x 0

Solución. l m x

lm

sen (

u !0

u)

=

u

lm

sen cos u

u !0

sen u lm u !0 u

= = x + cos x x !1 x + sen x Solución.

x cos sen u u

14. l m

x

15. l m x !

4

x + cos x !1 x + sen x

lm

cos x sen x cos 2x

Solución.

cos x sen x cos 2x ! 4 73 CALCULO I - CHUNGARA

lm x

Alvaro Cabrera Javier

1

cos x x2 Solución.

16. l m

x !0

lm

x !0

1

cos x = x2

cos x 1 + cos x x !0 x2 1 + cos x 2 sen x 1 = lm 2 x !0 x 1 + cos x 1 = 2 lm

1

2

(1

17. l m x !

sen x) 3 cos x

2 Solución.

2

(1

lm x !

1 x !0 sen x Solución.

sen x) 3 cos x

2

1 tan x

18. l m

1 tan x

1 sen x

lm

x !0

sen x x x ! cos 2 Solución.

19. l m

lm

x !

cos x

20. l m

sen x x cos 2

cos 2x x2

x !0

Solución.

cos x

lm

x !0

21. l m x !

4

cos 2x x2

sen x cos x tan x 1

Solución. lm x !

4

sen x cos x tan x 1

sen x p x !1 1 x Solución.

22. l m

lm

Alvaro Cabrera Javier

sen x p x

x !1 1

74

CALCULO I - CHUNGARA

CAPÍTULO 4. LIMITES 23. l m x2 1

cos

x !1

1 x

Solución. l m x2 1

cos

x !1

1 x

cos mx cos nx !0 x2

24. l m x

Solución. Utilizando la identidad cos A cos B = 2 sen

lm

x !0

cos mx cos nx = x2

2 sen lm

p

1

25. l m

mx

A

B 2

nx 2

m+n lm 2 x !0

m2

sen x x

m+n 2 m+n 2

m

n 2

sen x lm

x !0

x

n2 2

cos x

x2

x !0

Solución. lm

1

26. l m 2

2

p

cos x

x2

x !0

x !

sen

sen

x2

x !0

= 2

=

mx + nx 2

A+B 2

x tan x

Solución. lm x !

27. l m

arcsen x

2

2

x tan x

arctan x x3

x !0

Solución. lm

arcsen x

arctan x x3

x !0

Hallar los siguientes Límites de Funciones Especiales (Evaluar previamente el Límite Lateral Derecha, luego el izquierdo). 1. l m

1

x !3 x

3 Solución. lm

Alvaro Cabrera Javier

x !3 x

75

1 3 CALCULO I - CHUNGARA

m 2 m n 2

n

2. l m jx x !2

2j

Solución. l m jx

2j

x !2

3. l m kxk x !3

Solución. l m kxk

x !3

4. l m fxg x !1

Solución. l m fxg

x !1 1

5. l m e x x !0

Solución.

1

l m ex

x !0

6. l m sgn (x) x !2

jxj

Solución. jxj

l m sgn (x)

x !2

jx 2j x 2 Solución.

7. l m

x !2

jx !2 x

2j 2

lm

x

8. l m

x

jxj

x Solución. x !0

lm

x !0

jxj kxk x !0 fxg x Solución.

x x

jxj

9. l m

jxj kxk !0 fxg x

lm

x

Hallar los siguientes Límites de Funciones de distinta naturaleza: p 3 1+x 1 1. l m p x !0 1 + x 1 Solución. p 3 1+x 1 lm p x !0 1 + x 1 Alvaro Cabrera Javier 76 CALCULO I - CHUNGARA

CAPÍTULO 4. LIMITES 3)2 (x 1)4 x !2 x3 3x2 + 4 Solución.

2. l m

(2x

lm

(2x

x !2

(xm + 1)n (xn 1)m 3. l m x !1 x2mn 1 Solución.

4. l m

x !0

ex

2

3)2 (x 1)4 x3 3x2 + 4

(xm + 1)n (xn 1)m lm x !1 x2mn 1

cos x x2

Solución. lm

x !0

5. l m

2

cos x x2

esen x

esen 3x

x !0

ex

x

Solución. lm

x !0

(1 + mx)n (1 + nx) x !0 x2 Solución.

esen x

esen 3x x

6. l m

(1 + mx)n (1 + nx) !0 x2

lm

x

2x 2 x !0 tan x Solución.

x

7. l m

2x 2 lm x !0 tan x

p p x 2 3x+2 p 8. l m p 3 x !6 x + 3 x + 21 Solución.

x + x2 + x3 + x4 x !1 x 1 Solución.

9. l m

p p x 2 3x+2 p lm p 3 x !6 x + 3 x + 21 4

x + x2 + x3 + x4 4 !1 x 1 77 CALCULO I - CHUNGARA

lm

x

Alvaro Cabrera Javier

x

10. l m

x !1

x2

x2 + 2 x2 1

Solución. lm

x !1

11. l m

x !0

x2

x2 + 2 x2 1

1 x2

1 + x4x 1 + x2x

Solución. lm

x !0

x + x2 + ::: + xn 12. l m x !1 x 1 Solución.

1 x2

1 + x4x 1 + x2x

n

x + x2 + ::: + xn !1 x 1

n

lm

x

13. l m

ln (cos 4x)

x !0 ln (cos 2x)

Solución.

ln (cos 4x) !0 ln (cos 2x)

lm

x 1

14. l m (cos x) sen x x !0

Solución.

1

l m (cos x) sen x

x !0

15. l m (1 + sen x)cot x x !0

Solución. l m (1 + sen x)cot x

x !0

ln (1 + 4x ) !1 ln (1 + 2x )

16. l m x

Solución. x

cos x 17. l m x !0 cos 3x Solución.

ln (1 + 4x ) !1 ln (1 + 2x )

lm

1 x2

cos x !0 cos 3x 78

lm

x

Alvaro Cabrera Javier

1 x2

CALCULO I - CHUNGARA

CAPÍTULO 4. LIMITES 18. l m (tan x + cos x)csc x x !0

Solución. l m (tan x + cos x)csc x

x !0 1

19. l m x e x x !1

1

Solución. 1

1

l m x ex

x !1

20. l m

x !1

1 + x4x 1 + x2x

1 x2

Solución. 1 + x4x 1 + x2x

lm

x !1

sen x x !0 x Solución.

21. l m

1 x2

sen x x sen x

sen x x

lm

x !0

ln x x !1 log x Solución.

sen x x sen x

22. l m

ln x !1 log x

lm

x

23. l m x !

4

cos x sen x sen 4x

Solución. lm x !

24. l m x [ln (x + a) x !1

4

cos x sen x sen 4x

ln x]

Solución. l m x [ln (x + a)

x !1

25. l m x sen x !1

ln x]

1 x

Solución. l m x sen

Alvaro Cabrera Javier

x !1

79

1 x

CALCULO I - CHUNGARA

1

26. l m (sen x) tan x x !0

Solución.

1

l m (sen x) tan x

x !0

x2 x !1 x2 Solución.

2x + 1 4x + 2

27. l m

x

x2 x2

2x + 1 4x + 2

l m jx

1j

lm

x !1

28. l m jx

x

1j

x !2

Solución. x !2 a

x

ax aa 29. l m a x !a x ax Solución.

a

ax lm x !a xa

2x arcsen x x !0 2x + arctan x Solución.

x

aa ax

30. l m

2x arcsen x !0 2x + arctan x

lm

x

kxk x !2 x Solución.

31. l m

kxk !2 x

lm

x

ln (cos x) x !0 x Solución.

32. l m

ln (cos x) !0 x

lm

x 3

33. l m x 2 x !1

p

x3 + 1

p

x3

1

Solución.

3

l m x2

x !1

p

x3 + 1

p

x3

1

34. l m (sgn (x))2 x !0

Solución. l m (sgn (x))2

Alvaro Cabrera Javier

x !0

80

CALCULO I - CHUNGARA

CAPÍTULO 4. LIMITES jxj kxk x !1 sgn (x) fxg Solución.

35. l m

jxj kxk !1 sgn (x) fxg

lm

x

sgn (x) + kxk x !0 jxj + fxg Solución.

36. l m

sgn (x) + kxk !0 jxj + fxg

lm

x

Determinar si son continuas (C) o No Continuas (NC) las siguientes Funciones, indicar además los Puntos de Discontinuidad si los hubiera. 1. f = 3x + 1 Solución. 2. f = 5x2

2

Solución. 3. f =

1

x 3 Solución.

4. f = ex Solución. 5. f = cos x Solución. 6. f = tan x Solución. 7. f =

2 x x2

x 1 x>1

Solución. 8. f =

4 x

x 1

x 2 x>2

Solución. 9. f =

2x + 1 3

x 6= 2 x=2

Solución. 10. f =

4 x2 x+2

Solución. Alvaro Cabrera Javier

x 5

y

5

3.75

2.5

1.25

7.5

10

12.5

15

17.5

20 x

12. f (x) =

p 5

x

1+1

y 2

1.5

1

0.5

0 -5

-2.5

0

2.5

5 x

13. f (x) =

1 x

4 y

50

25

0 -5

-2.5

0

2.5

5 x

-25

Alvaro Cabrera Javier

98

CALCULO I - CHUNGARA

CAPÍTULO 5. DERIVADAS 14. f (x) =

jxj x y

1

0.5

0 -5

-2.5

0

2.5

5 x

-0.5

-1

Hallar los máximos y mínimos en las siguientes funciones:

1. f (x) = x2

10x + 27 y

100

75

50

25

-5

0

5

10

15 x

2. f (x) = x3

3x2

9x + 30 y 75

50

25 0 -2.5

0 -25

2.5

5 x

-50

-75

Alvaro Cabrera Javier

99

CALCULO I - CHUNGARA

3. f (x) = x4

2x2 + 4 y

15

12.5

10

7.5

5

2.5 0 -2

-1

0

1

2 x

x2 )

4. f (x) = ln (9 5. f (x) = x3 e

x

6. f (x) = jx 2j + 3 p 7. f (x) = 3 x 4 + 1 Hallar los intervalos de crecimiento e intervalos de concavidad respectivamente de las siguientes funciones: 1. f (x) = x2

8x + 1

2. f (x) = x3

6x2 + 9x + 12

3. f (x) = x4

2x2 + 4

4. f (x) = ln ( x2 + 6x

8)

Gra…car, analizando sus características las siguientes funciones: 1. f (x) = x2

12x + 38

2. f (x) = 8x

x2

3. f (x) = x3

6x2 + 9x + 1

4. f (x) = x3

12x

5. f (x) = x4

2x2 + 3

6. f (x) = 3x5

25x3 + 60x

7. f (x) = ln (1 + 6x 8. f (x) =

x2 )

ln x x2 x

9. f (x) = 15xe 3 Alvaro Cabrera Javier

100

CALCULO I - CHUNGARA

CAPÍTULO 5. DERIVADAS 10. f (x) = e4 11. f (x) = jx

x2

1j + jx

12. f (x) = jx2

3j

4x + 3j

Demostrar: 1. Si f (x) = 3x2

5x + 1; demostrar que se cumple: y 00 + xy 0

2. Si f (x) = e2x

1, demostrar que se cumple: y 00 + y 0

3. Si f (x) = esen x , demostrar que se cumple: y 00

2y

6y

6 = 0.

cos xy 0 =

y sen x

5x = 4.

Hallar las derivadas indicadas: 1. f (x 2. f

2) = 2x3 + 7x; f 0 (x) =?

x+1 3

= 4x2

2x + 1; f 0 (x) =?

3. f (2x + 1) = e4x+1 ; f 0 (x) =? 4. f (4x

1) = 8x2

6x + 1; f 0 (3x + 1) =?

5. f (5x + 2) = 23x 1 ; f 0 (10x + 2) =? 6. f (x) = x2

6x + 6; f 0 (x) = f (x)

7. f (x) = sen x; f 0 (x) = f (x)

Alvaro Cabrera Javier

101

CALCULO I - CHUNGARA

Alvaro Cabrera Javier

102

CALCULO I - CHUNGARA

CAPÍTULO 6. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

Capítulo 6 APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 1. Hallar dos número (x; u) de producto p máximo; sabiendo que la suma del primero más el doble del segundo es de 24. Solución. p = xu x + 2u = 24

(1) (2)

resolviendo: p = (24 derivando:

dp = 24 du

y

x = 24

2u2

2u) u = 24u

4u = 0 =) u = 6 2 (6) =) x = 12

Resp. u = 6, x = 12 y p = 72. 2. Hallar dos números (x; u) de producto igual a 64, de manera tal que su suma s sea mínima. Solución. xu = 64 p=x+u

(1) (2)

(1) en (2): p= derivando:

64 + 1 = 0 =) u = u2

dp = du

y

64 +u u

64 =) x = 8 8 y p = +16. x=

Resp. u =

8, x =

8

8

3. Hallar el valor del área A máxima del rectángulo inscrito en un triángulo equilátero de lado igual a 4. Solución. El grá…co del problema: C

D

A

Alvaro Cabrera Javier

E

B

G

F

103

H

CALCULO I - CHUNGARA

4. Hallar dos números (x; u) de suma igual a 20 de manera tal que la suma s de sus cuadrados sea mínima. Solución. x + u = 20 s = x2 + u2

(1) (2)

(1) en (2) x)2

s = x2 + (20 derivando:

ds = 2x + 2 (20 dx

x) ( 1)

igualando a cero x

20 + x = 0 =) x = 10; u = 10

5. Hallar las dimensiones (radio r y altura h) del cilindro de volumen máximo, que posee la super…cie conocida s. Solución. El volumen máximo: V = r2 h, donde la super…cie está dada por: s

2 r2 2 r

1 rs 2

2 r3

s = 2 r2 + 2 rh =) h = sustituyendo en el volumen V = r2

s

2 r2 2 r

=

derivando el volumen con respecto al radio 1 dV = s dr 2

6 r

la altura s h=

2

= 0 =) r =

s 2 r 6 s 2 6

r

s 6

r s =2 6

6. Hallar las dimensiones (radio r y altura h) del cilindro de volumen máximo, que puede inscribirse en un cono de radio basal: R = 9 y altura h = 12. 12 y 4 Solución. De la grá…ca = =) y = r. 9 r 3 y r

12 h

9

Alvaro Cabrera Javier

104

CALCULO I - CHUNGARA

CAPÍTULO 6. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS donde h = 12

y = 12

4 r, sustituyendo en el volumen del cilindro 3 4 r 3

V = r2 h = r2 12 derivando

dV = dr

12r2

=

4 3 r 3

4r2 = 0

24r

donde r = 6 y h = 4. 7. Hallar las dimensiones (radio r y altura h) del cilindro de área lateral máxima que se puede inscribir en una esfera de radio R = 8. r 2 h h2 Solución. De la …gura 82 = r2 + =) r = 64 4 4

8

h/2

r

El área lateral está dado por: r

A = 2 rh = 2

64h2

h4 4

derivando con respecto a h h3 )

dA (128h = r dh 64h2 y el radio r=

h4 4

r

64

p = 0 =) h = 8 2

p 128 =4 2 4

8. El material que se usa para fabricar las tapas y los fondos de los envases de cierta bebida de forma cilíndrica, cuesta el doble que el material usado para los lados. Hallar la razón de la altura h al radio r; para que el costo de producción de los envases sea mínimo, si su volumen es …jo. Solución. ****

Alvaro Cabrera Javier

C = 2 r2 p1 + 2 rhp2 p1 = 2p2 105 CALCULO I - CHUNGARA

entonces C = 4 r2 + 2 rh p2 dC h = 4 r2 + 2 rh = 0 =) = dp2 r

2

9. Un granjero desea cercar un terreno rectangular, uno de cuyos lados, ya está cubierto por una cadena de cerros, dispone para ello de 500 m de malla olímpica, hallar el área A máxima que se puede cercar. Solución. A = ab 2a + b = 500 entonces A = 500a 2a2 dA = 500 4a = 0 da donde a = 125 m y b = 250 m. A = (125) (250) = 31250 m2 10. Hallar el área A máxima del rectángulo que puede inscribirse entre: y = 4 x2 con el eje de abcisas. Solución. A = xy y = 4 x2

(1) (2)

A = x 4 x2 = 4x x3 Derivando: dA =4 dx

p 2 3 3x2 = 0 =) x = 3

y y=4 p 16 3 Resp. El área es: A = . 3

4 8 = 3 3

11. Hallar el área A máxima del rectángulo que puede inscribirse entre y = e con el eje de abcisas.

x2

Solución. Alvaro Cabrera Javier

A = xy 2 y=e x 106

(1) (2)

CALCULO I - CHUNGARA

CAPÍTULO 6. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS (2) en (1): x2

A = xe derivando:

dA =e dx

x2

+ xe

x2

( 2x)

igulando a cero: e

x2

entonces:

1

2x

2

= 0 =) x =

p

2 2

1 1 y=e 2 = p e

1 Resp. El área A = 2

r

2 . e

12. Hallar la mínima distancia D del origen a la parábola: y =

p

x + 1.

Solución. Aplicando la fórmula de la distancia entre dos puntos: D = donde (x1 ; y1 ) = (0; 0) el origen p D = x2 + y 2

q

(x2

sustituyendo la ecuación de la parábola p D = x2 + x + 1 derivando

donde x =

dD 1 = p (2x + 1) = 0 2 dx 2 x +x+1 1 . La distancia mínima es: 2 r p 3 1 1 D= +1= 2 4 2

: 13. Hallar la mínima distancia D entre el punto P (1; 2) a la recta 3x + 4y = 5. Solución. Aplicando la fórmula de la distancia entre dos puntos: D2 = 5 3x (x2 x1 )2 + (y2 y1 )2 , donde (x1 ; y1 ) = (1; 2) y (x2 ; y2 ) = x; , 4 sustituyendo: 2 5 3x D2 = (x 1)2 + 2 4 4 derivando: dD 2 = 2 (x dx Alvaro Cabrera Javier

1) + 2 107

5

3x 4

3 2 =0 4 CALCULO I - CHUNGARA

x1 )2 + (y2

y1 )2 ,

donde x =

7 , entonces la mínima distancia es 25 D2 =

2

7 25

1

5 4

+

21 100

2

2

=

36 25

6 donde D = . 5 14. Hallar las coordenadas del punto (x; y) que pertenece a la parábola: y = 2x2 ; que está más cercano al punto P (9; 0). Solución. Aplicando la fórmula de la distancia entre dos puntos: D2 = (x2 x1 )2 + (y2 y1 )2 , donde (x1 ; y1 ) = (9; 0) y (x2 ; y2 ) = (x; 2x2 ), sustituyendo: D2 = (x = (x

9)2 + 2x2

0

2

9)2 + 4x4

derivando:

2dD = 2 (x 9) + 16x3 = 0 dx donde la solución real es: x = 1 y y = 2.

15. Hallar la mínima distancia D entre la parábola: y =

p

6x al punto (3; 2).

Solución. Aplicando la fórmula de la distancia entre dos puntos: D2 = y2 (x2 x1 )2 + (y2 y1 )2 , donde (x1 ; y1 ) = (3; 2) y (x2 ; y2 ) = ; y , susti6 tuyendo: 2 y2 2 D = 3 + (y 2)2 6 derivando: 2dD y2 = 2 3 dx 6 y3 = 4=0 9 donde y =

p 3

y + 2 (y 3

2)

36 = 3: 301 9, sustituyendo en la ecuación de la distancia: !2 2 (3;3019) D2 = 3 + ((3;3019) 2)2 6

donde la distancia mínima es: D = 1;759. 16. Hallar el punto de la elipse: vértice: (0; b).

x2 y2 + = 1; que tenga máxima distancia al a2 b2

Solución. Alvaro Cabrera Javier

108

CALCULO I - CHUNGARA

CAPÍTULO 6. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS x2 y 2 17. Hallar el punto (x; y) de la elipse: 2 + 2 = 1; cuya tangente, forma con los a b ejes coordenados del primer cuadrante un triángulo de área mínima. Solución. 18. Hallar las dimensiones (a; a; b) de un triángulo isósceles, de área máxima, que puede inscribirse en una semicircunferencia de radio R; si el vértice opuesto, al lado b, debe estar en el centro de la base. Solución. 19. Inscribir en una semiesfera de radio R un paralelepípedo de base cuadrada, de manera que su volumen V sea máximo. Solución. 20. A un río de ancho A se le construye en ángulo recto un canal de ancho B; cual es la longitud L máxima de los barcos, para que puedan doblar por este canal. Solución.

Alvaro Cabrera Javier

109

CALCULO I - CHUNGARA

Alvaro Cabrera Javier

110

CALCULO I - CHUNGARA

CAPÍTULO 7. EXTREMOS DE UNA FUNCION

Capítulo 7 EXTREMOS DE UNA FUNCION 1 Example 1 y = x + x 1. Dominio: y =x+

x2 + 1 1 = x x

– –∞

+ +∞

0

Dom f (x) : ( 1; 0) [ (0; +1) Análisis de simetría: f ( x) = f (x): la función es par (simetría respecto al eje y. f ( x) = f (x): La función es impar (simetría con respecto al orígen de coordenadas). En otro caso no es simétrica. f ( x) =

x+

1 = x

f (x)

es par.

2. Continuidad: La función es continua en ( 1; 0) o (0; +1) porque es la suma de las funciones 1 continuas x y . La función es discontinua en x = 0 porque no existe f (0). x Clasi…cación de la discontinuidad: 9 x2 + 1 = l m f (x) = l m+ = +1 > x !0+ x !0 x Divergente x2 + 1 > ; l m f (x) = l m = 1 x !0 x !0 x 3. Asíntotas. a) Asíntotas verticales. La recta x = 0 es asíntota vertical. b) Asíntotas oblícuas. y = mx + b, a la derecha: m = b =

x

x

x2 + 1 lm =1 !+1 x2 x2 + 1 lm x !+1 x

= lm

x !+1

1 x

=0

la asíntota a la derecha es: y = x. A la izquierda: m = b = Alvaro Cabrera Javier

x

x

x2 + 1 =1 ! 1 x2 x2 + 1 lm x ! 1 x 111 lm

1 = lm =0 x !+1 x CALCULO I - CHUNGARA

la asíntota a la izquierda es: y = x. 4. Construcción de un esquema. 5. Cálculo de los puntos críticos. Monótona y extremos. Condiciones necesarias de extremos: f (x) = x + f 0 (x) = 1

1 x 1 x2 1 (x + 1) (x = = 2 2 x x x2

1)

puntos críticos de primera especie. a) Puntos de dominio de f donde no existe la derivada de f la derivada no existe en x = 0 pero no es punto crítico, porque x = 0 no pertenece al dominio de f. b) f 0 (x) = 0 + –∞

– –1

0

k=1

( 1; 1) ( 1; 0) (0; 1) (1; +1)

la la la la

función función función función

– k=2

es es es es

+ +∞

1 k=1

estrictamente estrictamente estrictamente estrictamente

creciente. decreciente. monótona decreciente. creciente.

En x = 1 hay un punto de máximo local. Máximo local en f ( 1) = ( 1) +

1 = ( 1)

2 =) P1 ( 1; 2)

En x = 1 hay un punto de mínimo local en f (1) = 1 +

1 = 2 =) P2 (1; 2) 1

6. Intervalos de concavidad y convexidad y puntos de in‡exión. Condición necesaria de puntos de in‡exión. f 0 (x) = 1 x 2 f 00 (x) = 3 x

2

Puntos extremos de segunda especie: a) Puntos del dominio de f donde no existe f 00 (x). La segunda derivada no existe en x = 0, pero no es punto crítico de segunda especie porque no pertenece al dominio de f . b) Puntos donde la segunda derivada se anula

Alvaro Cabrera Javier

2 f 00 (x) = 3 112 x

CALCULO I - CHUNGARA

CAPÍTULO 7. EXTREMOS DE UNA FUNCION –

+

–∞

+∞

0

7. Trazado del grá…co de la función: y

10

5

0 -15

-10

-5

0

5

10

15 x

-5

-10

Example 2 y = p 1. Dominio:

x2 x2 1 y=p +

–∞

x2 x2 =p x2 1 (x + 1) (x –1

0

1) + +∞

1

Dom f (x) : ( 1; 0) [ (0; +1) Análisis de simetría: f ( x) = f (x): la función es par (simetría respecto al eje y. f ( x) = f (x): La función es impar (simetría con respecto al orígen de coordenadas). En otro caso no es simétrica. ( x)2 = f (x) f ( x) = q 2 ( x) 1

es simétrica con respecto a y.

2. Continuidad: Clasi…cación de la discontinuidad: l m f (x) =

x ! 1

l m f (x) =

x !+1

x

x

x2 lm p = +1 ! 1 x2 1 x2 lm p = +1 !+1 x2 1

9 > > = > > ;

Divergente

La función es continua en ( 1; 1), imaginaria ( 1; 1) y continua en (1; +1). La función es discontinua en x = 1 porque no existe f ( 1). 3. Asíntotas. Alvaro Cabrera Javier 113 CALCULO I - CHUNGARA

a) Asíntotas verticales. La recta x = 1 y x = 1 son asíntotas verticales. b) Asíntotas oblícuas. y = mx + b, a la derecha: lm p

m =

x !+1

b =

lm

x x2 x2

x !+1

=1 1 p x x2 1 p x2 1

=0

la asíntota a la derecha es: y = x. A la izquierda: m = b =

x

lm p

x ! 1

x2

lm

p

x ! 1

1

=

1

x2 +x x2 1

= lm

x !+1

1 x

=0

la asíntota a la izquierda es: y = x. 4. Construcción de un esquema. 5. Cálculo de los puntos críticos. Monótona y extremos. Condiciones necesarias de extremos: x2 x2 1 p 2x x2 1

f (x) = p f 0 (x) =

p

x2 2

2x 2 p = 2 x x

x3 x2 1

1

=

2 (x2 1) x2 p x x2 1

2

x x2 2 p = 1 x x2 1

puntos críticos de primera especie. a) Puntos de dominio de f donde no existe la derivada de f la derivada no existe en x = 1 pero no es punto crítico, porque x = 1 no pertenece al dominio de f y x = 0 no existe la derivada. b) f 0 (x) =p0 En x = + 2 hay un punto de máximo local. Máximo local en p 2 p p 2 f 2 =q p = 2 =) P1 2; 2 2 2 1 p En x = 2 hay un punto de mínimo local en p 2 p 2 f (1) = q p = 2 =) P2 2; 2 2 2 1 – –∞

Alvaro Cabrera Javier

+

–1.41 –1

– 0 114

1

+ +∞ 1.41 CALCULO I - CHUNGARA

CAPÍTULO 7. EXTREMOS DE UNA FUNCION p 2 1; p p2; 1 1; p 2 2; +1

la la la la

función función función función

es es es es

estrictamente estrictamente estrictamente estrictamente

decreciente. creciente. decreciente. creciente.

6. Intervalos de concavidad y convexidad y puntos de in‡exión. Condición necesaria de puntos de in‡exión. f 0 (x) =

00

x2 2 p x x2 1 p 2x2 x2 1

p

x2

f (x) =

1+ p

x x2

1

x

x2 (x2 1) p x3 + x2 x p 2x2 x2 1 x2 1 = x2 (x2 1) 2x4 2x2 x3 x2 + x p = x2 (x2 1) x2 1 2x3 x2 3x + 1 p = x (x2 1) x2 1

Puntos extremos de segunda especie: a) Puntos del dominio de f donde no existe f 00 (x). La segunda derivada no existe en x = 1. b) Puntos donde la segunda derivada se anula f 00 (x) =

2x3 x2 3x + 1 p x (x2 1) x2 1

–

+

–∞

+∞

0

7. Trazado del grá…co de la función: y

x 1

–1

Alvaro Cabrera Javier

115

CALCULO I - CHUNGARA

Alvaro Cabrera Javier

116

CALCULO I - CHUNGARA

CAPÍTULO 8. INTEGRALES

Capítulo 8 INTEGRALES Hallar las siguientes integrales inmediatas. Z 1. (x9 + 9x + 9x + 9) dx. Solución. Z

2.

Z

p 9

x+

x9 + 9x + 9x + 9 dx = 1 9 x + + 9 x x 9

Solución. Z p 9

1 10 9x 9 x + + x2 + 9x + c== 10 ln 9 2

dx.

1 9 x x+ 9 + + x x 9

Z

dx =

9 10 x9 10

= 3.

Z

x2 1 dx. x+1 Solución.

Z

Z p

x2 1 dx = x+1

p x+ 3x 4. dx. x Solución. Z p

x+ x

p 3

x

Z

=

Z

Z

1

x 1

6.

1 2

+

9 x + x 9

dx

1 1 + 9 ln x + x2 + c 8 8x 18

1

x2 x

= 2x 2 5.

9

1 1) dx = x2 2

(x

dx =

1

x9 + x

1

+ x3 x

+x

3 x 2

x + c==

2 3

5 3

2

dx

dx

+ c==

Z

6x2 dx. x 1 Solución.

Z

Z

Z 6x2 1 dx = 6 x+1+ dx x 1 x 1 = 3x2 + 6x + 6 ln (x 1) + c==

(ex 3x ) dx.

Solución.

Z

x x

(e 3 ) dx =

Alvaro Cabrera Javier

Z

(3e)x (3e)x (3e) dx = = + c== ln 3e ln 3 + 1 117 CALCULO I - CHUNGARA x

7.

Z

x

1 n n dx.

Solución. Z

1 n x n dx

= =

x

1 n +1 n

1 n +1 n 1 nx n + c

+c

Aplicando el Método de Sustitución, calcular las siguientes integrales: Z 1. (2x 5)7 dx. Solución. u = 2x 5 =) du = 2dx Z Z 1 1 7 (2x u7 dx = (2x 5) dx = 2 16

2.

Z

5)8 + c

8

45x4 (1 + x5 ) dx.

Solución. u = 1 + x5 =) du = 5x4 dx Z Z 4 5 8 45x 1 + x dx = 9 u8 du = u9 + c = 1 + x5

3.

Z

p

Z

p

9

+c

10x dx. 3 + 5x2 Solución. u = 3 + 5x2 =) du = 10xdx Z Z 10x du p p dx = u 3 + 5x2 Z 1 = u 2 du p p u + c = 2 3 + 5x2 + c =

2x3 dx. 1 + x4 Solución. u = 1 + x4 =) du = 4x3 dx Z Z du 2x3 1 p p dx = 4 2 u 1+x Z 1 1 = u 2 du 2 p p = u + c = 1 + x4 + c Alvaro Cabrera Javier 118 CALCULO I - CHUNGARA 4.

CAPÍTULO 8. INTEGRALES 5.

Z

ex + 1 dx. ex 1 Solución.

Z

ex + 1 dx = ex 1 = =

si u = 1

e

x

=) du = e x dx

Z

Z

Z

Z

1+

2 ex

dx + 2 dx + 2

Z

Z

dx

1 1 ex e 1

e: 1 e

x x

dx

x

e

x

dx

Z

du u = x + 2 ln juj + c = x + 2 ln 1 e x + c =

Z

dx + 2

e2x dx. ex + 1 Solución. u = ex + 1 =) du = ex dx Z Z e2x ex ex p p dx = dx ex + 1 ex + 1 Z Z 1 1 (u 1) du p = = u 2 u 2 du u 1 2 3 u 2 2u 2 + c = 3 3 1 2 x = (e + 1) 2 2 (ex + 1) 2 + c 3 Z 6 sen x dx. 7. 5 2 cos x Solución. u = 5 2 cos x =) du = 2 sen xdx Z Z 6 sen x du dx = 3 5 2 cos x u = 3 ln juj + c = 3 ln j5 2 cos xj + c Z ln x 8. dx. x dx Solución. u = ln x =) du = x Z Z ln x 1 dx = udu = u2 + c x 2 2 ln x = +c 2 Alvaro Cabrera Javier 119 CALCULO I - CHUNGARA 6.

p

9.

Z

xex

2

1

dx.

Solución. u = x2

1 =) du = 2xdx Z

10.

Z

xe

x2 1

Z 1 eu du dx = 2 1 u = e +c 2 1 x2 1 = e +c 2

esen x cos xdx.

Solución. u = sen x =) du = cos xdx Z

11.

Z

sen x

e

cos xdx =

Z

= eu + c = esen x + c

tan x ln (cos x) dx.

Solución. u = ln (cos x) =) du = Z

sen x dx cos x

tan x ln (cos x) dx = = =

12.

Z

Z

udu

1 2 u +c 2 1 2 ln jcos xj + c 2

p cos x p dx. 2 x

Solución. u =

p

dx x =) du = p 2 x Z

Z

eu du

1 p 13. dx. 1+ x+1 Alvaro Cabrera Javier

p Z cos x p dx = cos udu 2 x = sen u + c p = sen x + c

120

CALCULO I - CHUNGARA

CAPÍTULO 8. INTEGRALES Solución. u = 1 + Z

p

dx x + 1 =) du = p 2 x+1

1 p dx = 1+ x+1 = = = =

14.

Z

p

dx x+1

p

x

1

p 2 x + 1du u Z u 1 2 du u Z 1 1 2 du u 2u 2 ln u + c p p ln 1 + x + 1 2 1+ x+1

Z

2

+c

.

Solución. Z

p

dx x+1

p

x

1

= =

Z Z

p

p p

x+1+

x+1

p

2

x 1 dx p 2 x 1

p x + 1 + x 1 dx x+1 x+1 p p x + 1 + x 1 dx

Z 1 = 2 3 1 = (x + 1) 2 + (x 3

15.

Z

4x3 dx. 1 + x8

Z

sen x dx. 1 + cos2 x

3

1) 2 + c

Solución. u = x4 =) du = 4x3 dx Z Z 4x3 4 du dx = 1 + x8 4 1 + u2 = arctan x4 + c 16.

Solución. u = cos x =) du = sen xdx Z Z sen x du dx = 2 1 + cos x 1 + u2 = arctan u + c = arctan cos x + c Aplicando el Método de Integración por Partes, calcular: Alvaro Cabrera Javier 121 CALCULO I - CHUNGARA

1.

Z

x cos 3xdx.

Solución. u=x

=) du = dx 1 dv = cos 3xdx =) v = sen 3x 3 Z

2.

Z

x sen 3x x cos 3xdx = 3 x sen 3x + = 3

Z 1 sen 3xdx 3 1 cos 3x + c 9

xe5x dx.

Solución. u=x

=) du = dx e5x dv = e5x dx =) v = 5 Z

3.

Z

xe5x xe dx = 5 xe5x = 5 5x

Z 1 e5x dx 5 e5x +c 25

x sec2 xdx.

Solución. u=x =) du = dx 2 dv = sec dx =) v = tan x Z

4.

Z

x3 sen xdx.

Z

p

Z

4x arcsen xdx.

2

x sec xdx = x tan x = x tan x

Z

tan xdx

ln jcos xj + c

Solución.

5.

x ln xdx.

Solución.

6.

Solución.

Alvaro Cabrera Javier

122

CALCULO I - CHUNGARA

CAPÍTULO 8. INTEGRALES 7.

Z

x3 arctan xdx.

Z

e2x cos 3xdx.

Z

cosm xdx.

Z

xm sen xdx.

Z

81x8 ln xdx.

Z

2x3 ex dx.

Z

x2 ex sen xdx.

Solución.

8.

Solución.

9.

Solución.

10.

Solución.

11.

Solución.

12.

2

Solución.

13.

Solución. Aplicando el método de expresiones cuadráticas, integrar: Z 6 dx. 1. 5x2 + 1 Solución.

2.

3.

Z

4dx . + 4x + 20 Solución. Z

x2

x+3 dx. + 6x + 1 Solución. x2

Alvaro Cabrera Javier

123

CALCULO I - CHUNGARA

4.

Z

(x3 + 2x) dx . x4 + 4x2 + 1 Solución.

5.

Z

6.

Z

5x2 + 12x + 26 dx. x2 + 6x + 34 Solución. x2 x + 1 . x2 + x + 1 Solución.

7.

Z

8.

Z

cos x dx. 1 + sen2 x Solución. 2x dx. 1 + 4x Solución.

Aplicando el Método de las Integrales trigonométricas, calcular: Z 1. sen6 x cos xdx. Solución.

2.

Z

sen4 cos3 xdx.

Z

sen3 x cos2 xdx.

Z

sen5 x cos3 xdx.

Z

sen4 x cos2 xdx.

Solución.

3.

Solución.

4.

Solución.

5.

Solución.

Alvaro Cabrera Javier

124

CALCULO I - CHUNGARA

CAPÍTULO 8. INTEGRALES 6.

Z

cos4 xdx.

Z

sen 3x cos 5xdx.

Z

sen

Z

cos x cos2 2xdx.

Solución.

7.

Solución.

8.

9.

2x x cos dx. 3 3 Solución.

Solución.

10.

Z

sen3 x 4 cos 3

dx.

x Solución.

11.

Z

tan x sec2 xdx.

Z

tan2 x sec4 xdx.

Z

tan3 xdx.

Z

sec7 xdx.

Z

cot6 xdx.

Solución.

12.

Solución.

13.

Solución.

14.

Solución.

15.

Solución. Alvaro Cabrera Javier

125

CALCULO I - CHUNGARA

16.

Z

sec x csc3 xdx.

Solución.

Aplicando el Método de Sustitución Trigonométrica, integrar: Z dx p . 1. x2 22 x2 Solución.

2.

Z

3.

Z

x3 dx . a2 x 2 Solución. p

dx . 22 + x2 Solución. x2

4.

Z p

5.

Z

p

6.

Z

p

7.

Z

p

8.

Z

p

x2 1 dx. x Solución.

x2

a2 dx.

Solución. x2 dx . x 2 a2 Solución. 1 dx. 4x x2 Solución. 54dx . + 4x + 13)2 Solución. (x2

Aplicando el Método de las Fracciones Parciales, integrar: Alvaro Cabrera Javier 126 CALCULO I - CHUNGARA

CAPÍTULO 8. INTEGRALES 1.

Z

3x

9 dx. 5x + 4 Solución. x2

x x2

A B 3 = + 5x + 4 x 4 x 1 Ax A + Bx 4B = (x 4) (x 1) (A + B) x (A + 4B) = (x 4) (x 1)

1 2 donde A + B = 1 y A + 4B = 3, resolviendo este sistema: A = y B = , 3 3 sustituyendo 2 1 + 3 (x 4) 3 (x 1) Z

2.

3x x2

Z Z 9 1 1 dx = 2 dx + dx 5x + 4 x 4 x 1 = 2 ln jx 4j + ln jx 1j + C

Z

5x 2 dx. x2 4 Solución. Aplicando fracciones parciales 5x x2

2 5x 2 = 4 (x + 2) (x 2) A B = + x+2 x 2 Ax 2A + Bx + 2B = (x + 2) (x 2) (A + B) x 2 (A B) = (x + 2) (x 2)

luego A+B =5 A B=1 La solución es: [A = 3; B = 2], entonces Z Z 5x 2 3 2 dx = + dx 2 x 4 x+2 x 2 Z Z 1 1 = 3 dx + 2 dx x+2 x 2 = 3 ln jx + 2j + 2 ln jx 2j + C Z

x2 3. dx. x2 3x + 2 Alvaro Cabrera Javier

127

CALCULO I - CHUNGARA

Solución. Dividiendo: x2 x2

entonces x2

+3x 3x

x2 2 1 2

3x + 2

3x 2 x2 =1+ 2 3x + 2 x 3x + 2

Aplicando fracciones parciales 3x x2

2 A B = + 3x + 2 x 2 x 1 (A + B) x (A + 2B) = (x 2) (x 1)

luego: A+B =3 A + 2B = 2 La solución es: A = 4 y B = Z

4.

Z

1 x2

4

x2

1, entonces

x2 dx = 3x + 2

Z

1+

4

1

dx x 2 x 1 Z Z Z 1 1 = dx + 4 dx dx x 2 x 1 = x + 4 ln jx 2j ln jx 1j + C

dx.

Solución. Aplicando fracciones parciales: 1 x2

A B + 4 x+2 x 2 (A + B) x + 2 (B A) = (x + 2) (x 2) =

luego A+B =0 2 (B A) = 1 1 1 y B = , entonces 4 4 Z Z 1 1 1 dx = 2 x 4 4 x 2 1 = ln jx 2j 4 Alvaro Cabrera Javier 128 La solución es: A =

Z 1 1 dx 4 x+2 1 ln jx + 2j + C 4 CALCULO I - CHUNGARA

CAPÍTULO 8. INTEGRALES 5.

Z

x2 + 2 dx. x3 + 4x2 + x 6 Solución. Aplicando Ru¢ ni 1

+4 1 5 2 3

1 1 2 1 entonces: x3 + 4x2 + x parciales x2 + 2 x3 + 4x2 + x

6 = (x

6 6 0

1) (x + 2) (x + 3). Aplicando fracciones

B C + 6 x 1 x+2 x+3 A (x + 2) (x + 3) + B (x 1) (x + 3) + C (x 1) (x + 2) = (x 1) (x + 2) (x + 3) 2 (A + B + C) x + (5A + 2B + C) x + (6A 3B 2C) = (x 1) (x + 2) (x + 3)

donde:

=

A

+1 5 6 6 0

+

8 <

A+B+C =1 5A + 2B + C = 0 : 6A 3B 2C = 2

11 1 La solución es: A = , B = 2 y C = , entonces: 4 4 Z Z Z Z x2 + 2 1 1 11 1 1 dx = 2 dx + dx x3 + 4x2 + x 6 4 x 1 x+2 4 x+3 1 11 = ln jx 1j 2 ln jx + 2j + ln jx + 3j + C 4 4 Z 2x2 + 41x 91 6. dx. x3 2x2 11x + 12 Solución. Z Z Z Z 2x2 + 41x 91 1 1 1 dx = 4 dx 7 dx + 5 dx 3 2 x 2x 11x + 12 x 1 x+3 x 4 = 4 ln jx 1j 7 ln jx + 3j + 5 ln jx 4j + C 7.

Z

x2 + 6x + 2 dx. x3 + 2x2 + x Solución. Z

4x2 + 7x + 30 8. dx. (x + 3) (x2 + 4x + 8) Solución. Alvaro Cabrera Javier

129

CALCULO I - CHUNGARA

9.

10.

Z

x2 + 3x 3 dx. x3 x2 Solución. Z

3x4 + 5x3 2x + 2 dx. (x2 + 1)2 (x 1)

Solución.

11.

Z

12.

Z

2x2 + 3x + 8 dx. x3 + 4x Solución. (x4 2x2 + 1) dx . (x + 1) (x2 1)2

Solución.

13.

Z

1 dx. x (x + 1)2

Solución.

14.

Z

15.

Z

x4

dx. x4 1 Solución.

1 dx. x6 + 1 Solución.

Aplicando el Método de las Racionales Trigonométricas, integrar: 1.

Z

2.

Z

dx . 2 + 3 cos x Solución. 2 sen x dx. 2 + cos x Solución.

Alvaro Cabrera Javier

130

CALCULO I - CHUNGARA

CAPÍTULO 8. INTEGRALES 3.

4.

Z

dx . 2 sen x Solución. Z

dx . 4 cos x + 3 sen x + 5 Solución.

5.

Z

6.

Z

1 + cot x dx. 1 cot x Solución. dx . 3 2 sen x + cos x Solución.

Aplicando la Sustitución Inversa y otras sustituciones, integrar: Z 1 p dx. 1. 8x x2 Solución.

2.

Z

3.

Z

4.

Z

5.

dx 1 4x Solución. p

x2

dx x 2x Solución. p

x2

.

1

.

(x 3) dx p . x2 6x + 1 Solución. Z

dx . x + 8x + 1 Solución. p

x2

Z

x5 dx p 6. . 1 x2 Solución. Alvaro Cabrera Javier

131

CALCULO I - CHUNGARA

Aplicando el Método de las Integrales Binómicas, calcular: Z dx 1. p p 10 . x ( 4 x + 1) Solución.

2.

Z

dx p . 3 x3 2 x3 Solución.

3.

Z

4.

Z

dx p . 1 + x2 Solución. x4

p x 1 + x2 dx.

Solución.

Aplicando alguno de los Métodos de Integración, calcular: Z p 1. x7 1 + x4 dx. Solución.

2.

Z

dx . x 2 + 3x Solución.

3.

Z

4.

Z

5.

p

dx p x2 x x2 Solución.

1

.

dx . + x2 Solución. x4

Z

x2 5x + 9 dx. x2 5x + 6 Solución.

Alvaro Cabrera Javier

132

CALCULO I - CHUNGARA

CAPÍTULO 8. INTEGRALES 6.

Z r

x 1

x

dx.

Solución.

7.

Z

e3x (x3

Z

e

2x2 + 5) dx.

Solución.

8.

p 3

x

dx.

Solución.

9.

Z

10.

Z

ex dx e2x + 4ex Solución.

5

.

earcsen x dx.

Solución.

11.

Z

12.

Z

ln x 1 dx. ln2 x Solución. ln x dx. x3 Solución.

13.

Z

14.

Z

arcsen x dx. x2 Solución.

sen

p

xdx.

Solución.

15.

Z

x + sen x dx. 1 + cos x Solución.

Alvaro Cabrera Javier

133

CALCULO I - CHUNGARA

16.

Z

17.

Z

dx . 1 + tan x Solución. dx . 1 + sen x + cos x Solución.

18.

Z

19.

Z

20.

Z

21.

Z

22.

dx . 1 + cos2 x Solución. dx p (x 1) 6x Solución.

5

.

dx p . (x + 2) x2 + 2x Solución. dx . x 1 + x3 Solución. Z

p

dx x2

(2 + Solución.

23.

x2

Z

p

5 x3 ) 3

.

tan xdx.

Solución.

Usando la de…nición de la Integral De…nida, calcular: 1.

Z

3

8xdx. 1

Solución.

Z3

8xdx = 4 x2

3 1

= 4 32

12 = 32==

1

Alvaro Cabrera Javier

134

CALCULO I - CHUNGARA

CAPÍTULO 8. INTEGRALES 2.

Z

5

6x2 dx. 0

Solución.

Z5

5 0

6x2 dx = 2 x3

= 2 53

03 = 150==

0

Aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo (Regla de Barrow), integrar: Z 2 9x3 dx. 1. 0

Solución.

Z2

9 4 x 4

2 0

=

(6x + 3) dx = 3x2 + 3x

5 0

=3

9x3 dx =

9 4 2 4

04 = 36==

0

2.

Z

5

(6x + 3) dx. 2

Solución. Z5

52 + 5

(5

0) = 75==

2

3.

Z

3

(6x2

2x + 1) dx.

1

Solución. Z3

6x2

2x + 1 dx = 3x3

x2 + x

3 1

1

= 3 (3)3 = 72== 4.

Z

3

32 + 3

3 (1)3

12 + 1

tan xdx.

0

Solución. Z3

tan xdx =

ln cos xj03 = 1 + cos

3

0

5.

Z

1

xex dx. 0

Solución.

Z1

xex dx

0

Alvaro Cabrera Javier

135

CALCULO I - CHUNGARA

6.

Z

2

2 ( x + 1) dx. 2 0 x + 3x + 2 Solución.

Z2

2 ( x + 1) dx x2 + 3x + 2

0

7.

Z

1

p x 1 + x2 dx.

0

Solución.

Z1

p x 1 + x2 dx

0

8.

Z

e

x2 ln xdx. 1

Solución.

Ze

x2 ln xdx

1

Alvaro Cabrera Javier

136

CALCULO I - CHUNGARA

CAPÍTULO 9. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES

Capítulo 9 APLICACIONES DE LAS INTEGRALES 1. Resolver las siguientes diferenciales: dy dx dy b) dx dy c) dx dy d) dx a)

= 9x2

P (1; 5)

= 8x

P (2; 8)

= ex

P (0; 0)

= 8x2 + 1

P (0; 0)

2. Hallar las ecuaciones de las Curvas, que poseen la Pendiente: m y pasan por el punto indicado. a) m = 2x (0; 1) b) m = 4 2x (2; 4) c) m = 2x 6 (7; 9) bx d) m = p (a; 0) 2 a a x2 3. Hallar las Areas comprendidas entre las Funciones e Intervalos indicados: a) b) c) d) e)

y y y y y

= x2 ; 0 x 2 = 4 x2 ; 0 x 2 = x2 4x + 5; 0 x = x3 + 1; 0 x 1 = 2x ; 0 x 2

f ) y = cos x; 0

x

3

2

4. Hallar las áreas comprendidas entre las curvas de: a) y = x2 ; y = x + 2 Solución. Para hallar los límites resolvemos el sistema: y = x2 y =x+2 cuya solución es: [x = [ 1; 2]. Z 2 A = (x + 2) 1

1; y = 1] ; [x = 2; y = 4]. Entonces los límites son

x

2

dx =

Z

1 2 2 1 3 = x 1 + 2 [x]2 1 x 2 3 3 3 9 = +6 3= +3= 2 2 2 Alvaro Cabrera Javier 137

2

xdx + 2 1 2 1

1 = [4 2

Z

2

dx 1

Z

2

1] + 2 [2 + 1]

x2 dx 1

1 [8 + 1] 3

CALCULO I - CHUNGARA

: b) y = x2 4; y = 3 2x2 Solución. Para hallar los límites resolvemos el sistema: y = x2 4 y = 3 2x2 El intervalor está en: x =

1p 1p 21; 21 3 3

c) y = 9 x2 ; y = x + 3 Solución. Para hallar los límites resolvemos el sistema: y = 9 x2 y =x+3 El intervalor esta en: [ 3; 2] d) y = ex ; y = e x ; 0 x 2 Solución. La grá…ca de las funciones: 1 ;y=0 1 + x2 Solución. La grá…ca de las funciones

e) y =

f ) y (x) = e x sen x; 0 Solución. g) y = x2 ; y = Solución.

p

x

x

h) y = x2 ; y = x3 Solución. i) y 2 + 8x = 16; y 2 Solución.

3; x = 0; y = ex

j ) y = e2x k) x

2=3

+y

24x = 48

2=3

1

2=3

=a x2 2 l) y = x ; y = ; y = 2x 2 x2 y 2 m) 2 = 1; x = 2a a b2 n) x2 y 2 = 16 ñ) x2 = 12 (y Alvaro Cabrera Javier

1) 138

CALCULO I - CHUNGARA