Solucionario Aritmética 4° PDF

 

SOLUCIONARIO SOLUCIONARI O - ARITMÉTICA 4°

EDITORIAL INGENIO

9  

H=53 T=29

M=56

17 3

 

M

9

35

E

 

13 15

12

1  

 

11  

∴ Solo F ∩ A = 13

Clave D

U = 10X

S

P m a

b X

  2 

 

a + b + c = 3X

 

U = 10X ⇒  Ap = 40% Clave C

t3

Ar =

 

Al = 8 0

25

25

k =1 =1

k =1 =1

7

 – 3) = 7 ∑  (7k  –

 

k =1 =1

1 3 

G=

• Ar ∩ G = 1  (Ar ∪ G) 11 • Ar ∩ Al g = 1  (Ar ∪ Al g) 9 • Al g ∩ G = 1  (Al ∪ G)

3 5 7

Clave D

7 13  

X

A 2 7

5 3

8 4

G

Clave B

x

x

6

 

Al restar: 30 + 30 + 30 + ... + 30  = x – 1665 30 términos

2

 

⇒ tn = 1n2 + 2⋅n + 3 = n2 + 2n + 3

   

Determinando el número de términos (n) ⇒ n2 + 2n + 3 = 2603 ⇒ n(n + 2) = 2600 ⇒ n(n + 2) = 50⋅52 ⇒  n = 50

 

∴ Hay 50 términos

900 = x – 1665 ∴  x = 2565 9  

 

3; 4; 7; 12; 19; ....; 403 1 3 5 7 ... n términos El último término es: 3 + (1 + 3 + 5 + 7 + ... + ) = 403

 

3 + n2 = 403

Observamos que la suma de los factores de cada sumando es 26 y deducimos que hay 13 términos: S = 1(26 – 1) + 2(26 – 2) + ... 43(26 – 13)

 

Expresando como sumatoria:

10   a1 + a2 + a3 + ... + a8 + a9 + a10 

13

13

13

k =1 =1

k =1 =1

k =1 =1

⇒ n = 20 (N° de diferencias entre términos) ∴ El número de términos es: n + 1 = 21

= 3(10) + 5(10)2 = 530

 (26 – k ) = 26 ∑  k  –  – ∑  k 2 S = ∑  k  (26

95 + 16 + 2x = 135 ⇒  x = 12 Solo A = 95 – 39 = 56

  Clave E

6

(N + 1) + (N + 2) + (N + 3) + ... + (N + 30) = 1665 (N + 31) + (N + 32) + (N + 33) + ... + (N + 60) = x

 

C

   

 

 

A = r  = 2 = 1 ; B = t0 – A = 3 – 1 = 2 2 r y C = t0 = 3

 

10

2

8 

 

2x

a10 + a12 = 2(44)  x + 47 = 2(44) ∴  x = 41

 

B 15

9 11 11

r

La suma es: ⇒ 21a = 924 ⇒ a = 44 La suma del décimo y décimo segundo término es 2 veces el término central: cen tral:

 

Siendo tn = An2 + Bn + C

4 

A=95

 

 

 

10

14  

2 2

Ordenando simétricamente los términos: término de lugar 11

(25)(26)   – 75 = 2200 2

Hallando las diferencias sucesivas entre sus términos consecutivos. 3; 6; 11; 18; 27; 38; ..... ; 2603

 

4 

 

⇒  n2 = 202 = 400

a – 10r, a – 9r, ...; a; ...; a + 9r, a + 10r 

 

13

25

11

 

k =1 =1

r

 – 3) = 7 ∑   k  –  – 25(3) ∑  (7k  –

 

n

 – 1) = n2 ∑  (2k  –

t4

tk  = 7k  – 4 + 11 + 18 + 25 + ...    – 3 7 7 7 Hallemos la suma de los 25 términos:

m + n + p  = 5X

0 2

∴ N° caramelos es:

Determinemos la razón y el término general: t1 t2

TX

26 ⋅ 13 ⋅ 14     – 13⋅ 14 ⋅ 27  2 6 S = 2366 – 819 – 1547 S =

∴ ∑ = 50

↓

1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n – 1) 20 sumandos

7 

c

↓

N° caramelos:

   

6k   + 5 = ....... 5

5 35 10 65 15 95 20 125 25 155 ∴ La suma es: 35 + 65 + 95 + 125 + 155 = 475 6 

n

c

12  

 

5; 11; 17; 23; ..... 6 6 6 El término general tk  = 6k  –   – 1 como es el mayor número de dos cifras, se cumple: 6k  –  – 1 < 100 ⇒  k  <  < 16,2 El mayor número de dos cifras es para k  =  = 16 ∴ El mayor número 6(16) – 1 = 95

15

 

CAP 04

ADICIÓN DE ENTEROS

28

6 6 6 ⇒ tk  = 6k  +  + 5 Como nos piden los cinco primeros términos que terminen en 5.

24

 ACTIVIDADES N = 55

 

x  =29

De la sucesión: 11; 17; 23; 29; 35; .....  6

Clave A

A = 55

12

17

⇒ x = 100 – (20 + 6 + 4 + 24 + 17) ∴ x = 29

  Clave E

6

20

5 

E 4

D

∴ X #(∼E ∩ ∼T)

10  

I

I 9

15 21

U=100

15  

 

a1 + a2 + a3 + ... + a8 = 3(8) + 5(8)2 = 544

 

Al restar : a9 + a10 = 530 – 344

 

∴ a9 + a10 = 186

 

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4 

       

Siendo N el número, al dividir: Por defecto: N 29   Por exceso: N 29 re q+1 re q Se cumple re – re = 11 Propiedad re + re = 29 Resolviendo re = 20 y re = 9 Reemplazando: N 29   ⇒ N = 29q + 20 20  q

 

310 < N < 360 ⇒ 310 < 29q + 20 < 360 ⇒  10 561 561 < n  ≤ 846 ⇒  562 ≤  n  ≤ 846

5 

Por ser residuo: q2 < 38 ⇒ q = 1; 2; 3; 4; 5; 6 Pero D = 38q + q2 es de 3 cifras, entonces: Si q  = 1 ⇒  D = 38×1 + 12  ⇒  D = 39 q  = 2 ⇒  D = 38×2 + 22  ⇒  D = 80 q  = 3 ⇒  D = 38×3 + 32  ⇒  D = 123 q  = 4 ⇒  D = 38×4 + 42  ⇒  D = 168 q  = 5 ⇒  D = 38×5 + 52  ⇒  D = 215 q  = 6 ⇒  D = 38×6 + 62 ⇒ D = 264 ∴ Son 4 números de 3 cifras.

                 

• q =  cifras r =  cifras 19 = 10

 

• D  39     D = 39 · 10 + 19 = 409

 

2 

 

• D + d = 323 • D  d     D = 16d + d – 1

 

  323

 

\ D + 18 = 323   D = 305

9 

\ Dmáx = 11(41) + 39 = 490   4 + 9 + 0 = 13

Clave C

d – 1 16

1   D  d     D = 11d + 39 < 500 39 11   d < 41,9   41 máx

 

19 10

  8 

Sea la división: D2 38   ⇒ D = 38q + q2 q  q

 

∴ Desde 562 hasta 846

CUADERNO DE TRABAJO

• re = 20 • r = d – 1    20 + d – 1  = d  3 3   d = 39   r = 19

• n  17     n = 17q + 3q    n = 20q

 

• 3q < 17   qmáx = 5  qmín = 1

 

\ nmáx = 20(5) = 100  nmín = 20(1) = 20

Suma: 100 + 20 = 120

 

• D  43     D = 43d + 28 6  

D 43 D + 194 43 36  q   ⇒  36 + 194 q + x ⇒  36 + 194 43  

 

 

15 x = 5

 

∴ aumenta en 5

 

D 24   ⇒ D + x  24   ⇒ 23 + x  24   0  10 23  20 23 + x 20 + 10

 

⇒  23 + x = 2410

   

• 450 < 43d + 28 < 500   D = 458

 

10

3   D  61

43 d

 

D + 421 61 43 + 421 q + x 464

\ Aumenta en x = 7.

 

⇒  x = 217

4 

3q  qe

    2qe + 3q = 82    2(q + 1) + 3q = 82    

   

Clave E

5 

• D  d   • D + 49

d  9 + 49 18 + 4 58

58 d  6 4

 

r q 

 

• D = 18d + 9 = 18(13) + 9 = 243

• D d   ⇒  4D 4d   4(d–r)  qe (d–r)  qe Por dato se cumple: • 4(d – r) – (d – r) = 9 ⇒  d = r + 3 • 4(d – r) = d  ⇒  3d = 3d = 4r 

 

\ D + d = 243 + 13 = 256

r 3) = 4r Reemplazo: (1) en en (2): (1): 3(d = +12 ⇒  r = 9 Luego

   

De la división por defecto D = ... 5 = 12q + 9 ∴  q menor = 3 10

4 

2 

Siendo D el número entero positivo D 67   ⇒  D = 67q + 6q = 73q

   

6 

 

= 4d + 6   d = 13



     

• D = dq + r 984 – d – q = dq + 31   q = 17 52 

52

Clave D

• D d   ⇒ D×4 2d   13  q 4×13  2q • 4×13 = (2d)q' + 16 ⇒ 18 = dq' ⇒ d = 18

Clave D

• D + d + q = 984   D = 984 – d – q • r + re = d    d = 52 

6q q El número de valores que toma D es igual al número de valores que toma q. Resto < divisor ⇒ 6q < 67 1; 2; 3; ... ; 11 ∴ D toma 11 valores

 

4 

Residuo máximo: 20 ⇒  d = 21

 

D 21   ⇒ D = 398 20 18

 

D + x  21     0 18 + 7

31 21

  

• a + b = 40 • a  b ⇒  a = 4b  – 4  4b + b = 40 ⇒  b = 8 ⇒  a = 32

3 

  58

... (1) ... (2)

1 

 

 

Clave C

TAREA 

 

q  18

Sustituyendo (1) en (2): 18q + 6 + x = 18q + 18×3 + 17 x = 54 + 17 – 6 = 65 Siendo r el resto por defecto D d

\ 2q = 2(23) = 46

  1 + 3 + 4 + 6 = 14

D + x  18   ⇒  D + x = 18(q + 3) + 17 ... (2)   17 q + 3

9 

 

\ D = 82q + 2qe = 82(16) + 2(17) = 1346

 

Al agregar el máximo número el residuo resulta

   

2q     1081 = (2q)q + q  • 1081 2q   q  q q = 23

464 61 427 x = 7 37

q = 16

... (1)

10  

Clave C

• D  82   • D  82   2qe  q

Sea la división: D 18 6  q   ⇒ D = 18q + 6

Clave E

máximo. Como el divisor es 18 el máximo valor que puede tomar el residuo es 17.

 

Clave C

28 d

7   rmáx = 23 ⇒  d = 23 + 1 = 24   Para que sea mínimo el número que se debe aumentar al dividendo, el nuevo resto debe ser cero:

8 

Clave C

3q  q

Clave A

• r + re = 43    r = 28   r – re = 13   re = 15

– d = 16d + d – 1   d = 18

⇒ x = 127

⇒  D + x = 21⋅25 

398

 

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EDITORIAL INGENIO

 = 63000...0  = 63×10k  11   N  =

2 

 ceros k  ceros

como N  =  = 2k ×5k ×32×71 CD(N ) = (k  +  + 1)(k  +  + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 96  + 1)2×6 = 96 ⇒  k  =  = 3 (k  + ⇒  Se colocan 3 cifras cero.

       

   

⇒ N = 2x ⋅ 3 y ⋅ 5z ⋅ 72 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 17 ⋅ 19

 

• 20   2   • 20   3   • 20   3 3 2 6 4 10 2 5 2 2 2

Clave B

Sea N = 2a ⋅ 7b  ⇒  SDN = 2  – 1 ⋅ 7  – 1 2–1 7–1

⇒ 7N = 2a ⋅ 7b+1  ⇒ SD7N =

 

a+1

b+2

2  – 1 7  – 1 ⋅   2–1 7–1

a+1 SD7N – SDN  = 2  – 1 [7b+2 – 1 – 7b+1 + 1] 6 a +1 2  – 1 b+1 217 = ⋅ 7 (7 – 1) 6 31⋅7 = (2a+1 – 1)7b–  ⇒  b = 1 31 = 2a + 1 – 1 ⇒  2a + 1 = 25  ⇒  a = 4 4 1 ∴N = 2 ⋅ 7 = 112

       

1

 

x = 10 + 5 + 2 + 1 = 18;  y = 6 + 2 = 8; z = 8

 

N = 218 ⋅ 38 ⋅ 54 ⋅ 72 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 17 ⋅ 19 3 

 

40 = 23⋅51  ⇒  ∅(40) = 22⋅50(1)(4) = 16

 

∴  ∅(100) + ∅(40) = 40 + 16 = 56

• Reemplazando tenemos: A3 + B3 + 23 = 1682 ⇒  A3 + B3 = 1674

 

4 

60

33 = 27; 53 = 125; 73 = 343; 113 = 1331 Los que cumplen: A3 + B3 = 1674 Sean A = 11 B=7 ∴ A + B + C = 2 + 7 + 11 = 20

 

= 22⋅31⋅51 

⇒  ∅(60) = 2⋅30⋅50(1)(2)(4)

10  

Sea 100! = ...x 000...0(21) 

 

100! = ...x ⋅ 21

 

Como 100! contiene mas factores 3 que factores 7 entonces para determinar n  bastará calcular el exponente de 7 en 100!

 

 

   

5 

 

 

 

∅(300) = 21⋅30⋅51(1)(2)(4) = 80

 

Hay 80 números menores que 300 que no tienen factores comunes con 300.

 

∴ Serán 300 – 80 = 220 que si tienen algún

1 

6 

 

 

0

2 

200 = 23⋅52  y 160 = 25⋅51 Observamos que ambos números tienen los mismos factores primos entonces los PESI con 160 también deben ser PESI con 200. ∴ ∅(200) = 22⋅51(2 – 1)(5 – 1) = 80

3 

ii) N = a2⋅b1 ⇒ ∅(N) = a⋅b0(a – 1)(b – 1) = 420 ⇒  a(a – 1)(b – 1) = 7⋅6⋅10

∴ x + y + z = 4

 

⇒  a = 7 ∧  b = 11 ∴  N = 72⋅11 = 49⋅11 = 539

 

∴ N = 23×32 = 72 ∧ ∑cifras es: 7 + 2 = 9 Clave E

 

 ACTIVIDADES

8 

 

CAP 12

 

El exponente de 2 se obtiene dividiendo 10 entre 2. 10   2 5 2 El exponente de 2 es: 2 2 1   5+2+1=8 20

4 

5  

 

   

2 Un exponente de 6 es: 223 + 74 + 24 + 8 + 2 = 330 ∴ La potencia de 6 es 6330.

8 = 23  ⇒  (8) = 22(2 – 1) = 4

Clave C

Clave E

12 = 22 · 3 ⇒  (12) = 2(2 – 1)  30(3 – 1) = 4

⇒  2 + 1 = 3

5 2 1 2

2 1

9 3 3

Clave C

 

3 1

6   7 2

2 1

 

1 3 1

 

\ F(N) =

666   3 222 3 74 3 24 3 8 3

NÚMEROS PRIMOS III 1 

 

Como 6 = 2⋅3 debemos encontrar el exponente de 2 y 3 en 666! Pero en 666! aparece más factores 2 que factores 3 y para determinar la potencia de 6 bastará encontrar el exponente de 3 en la D.C. de 666!

0

Clave E

4  

N = a5  ⇒  ∅(N) = a4(a – 1) = 420 ∃ valor para a

6 = 2 · 3 ⇒  (6) = 2 (2 – 1) 3 (3 – 1) = 2

factor común.

   

 

3...x ⋅ 3n ⋅ 7n

CUADERNO DE TRABAJO

300 = 22⋅31⋅52

⇒  a; b; c {2; 3; 7} ó {3; 5; 7} abc = 372; 732; 375; 735 ⇒ 735 = 31×51×72 

Si CD(N2) = 35 ⇒  N2 = 26 y 34

n =

son PESI con 60.

 

15  

(x > 0)

100   7 14 7 2 ⇒  n = 14 + 2 = 16 ∴ Termina en 16 ceros.

∴ Hay 16 números menores que 60 que

 

7   i)

Clave A

(si cumple)

n ceros

Clave D

14   a, b y c  ∈ {2; 3; 5; 7}

(no cumple)

∅(60) = 16

 

• Ahora veamos los resultados de los primos impares elevados al cubo.

 

 

de donde a = 3, b = 1, c = 1 ii) n = 6 ⇒  6! = 24⋅32⋅51 de donde a = 4, b = 2, c = 1 ∴ a + b + c = 4 + 2 + 1 = 7

 

• Si A, B y C fuesen primos impares la suma de cubos sería impar entonces c debe ser 2.

 

 

100 = 22⋅52  ⇒  ∅(100) = 2⋅5⋅(1)(4) = 40

Clave B

13  

9   i) n = 5 ⇒  n! = 23⋅31⋅51

b+1

a+1

12  

En 20! están los factores primos: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19. Los factores 11; 13; 17 y 19 están una sola vez y además está dos veces en 7 y 14.

3 +1 = 4 Clave D

7 3     7! = 23 + 1 · 32 · 5 · 7 2   D7! = 5 · 3 · 2 · 2 = 60

DN   F(7!) = 60  = 30 2 2 Clave A

7  

   

30 5 6

5   1

 30!

= 2a · 56 + 1 · F (a > 7)

  30!

o) = 107 · F1 (F1  10

\ 30! termina en 7 ceros. Clave B

 

SOLUCIONARIO SOLUCIONARI O - ARITMÉTICA 4°

8  

•

12 2 6 2 3 2 1  

•

12 3 4 3 1  

•

4 

12 5 2

 

= 210 · 35 · 52 · 7 · 11

 

  12!

 

  D12!

 

Basta averiguar el exponente de 5 en 90! 90   5 18 5   ⇒  18 + 3 = 21 3 ∴ Termina en 21 ceros.

= 11 · 6 · 3 · 2 · 2 = 792 • F(N) = DN  2

 

9  

 

9 3 3

= 792 2   = 396

3 1 

Clave D

  9!

= 2a · 34 · F

  9!

= 64 · F1  (F1  6)

2 

o

Clave B

   

• N = (1 · 2)(2 · 2)(3 · 2)(4 · 2) ... (40 · 2) N = 240 · 40! I. (F)

   

⇒ ∅

(18) = 2

 

(1)3 (2) = 6

Clave B

• 50 = 2⋅52  ⇒  ∅(50) = 20(1)51(4) = 20

∴ ∅(100) + ∅(120) = 40 + 32 = 72

 

  N = 240 · 238 · F

15   3 5 3 1  

2 10

N = 278 · F (F  2)

2

2 2 2 1

• 12   2   6 2 3 2 1

  • 12   3 4 3 1

• 12   5 5

6 

Como 21 = 3⋅7, se debe calcular el mayor exponente de 7 en 800!:

   

11  

• 600 = 23352 y # menores que 600: 599

 

• Los números menores que 600 que tienen un solo divisor común con 600 son los que son PESI con 600 e igual a: ∅(600) = 22(1)30(2)51(4) = 160

 

∴ Los que tienen al menos 2 divisores co-

munes con 600 son 599 – 160 = 439

⇒  12! = 210⋅35⋅52⋅7⋅11

• Como 12 = 22⋅3, averiguamos el mayor exponente de 2 y 3 en 100!: 100   2 100   3 50 2 33 3 25 2 11 3 12 2 3 3 6 2 1 3 2 1

 

⇒ 100 = 297⋅348⋅F = (22)48⋅348⋅2F = 1248⋅2F

 

∴El mayor exponente de 12 en 100! es 48.

Clave B

• 14   2     2 7 3 2 1

13  

⇒  14! = 2 ⋅3 ⋅5 ⋅7 ⋅11⋅13 ⇒  D14! = 12⋅6⋅3⋅3⋅2⋅2 = 2592

   

 

• 14 = 2⋅7 ⇒ Suciente averiguar el mayor exponente

de 7 en 80!:

• 14!  = 210⋅35⋅5⋅72⋅11⋅13 10 ⇒ D = 11⋅6⋅2⋅3⋅2⋅2 = 1584 ∴ Disminuye en: 2592 – 1584 = 1008

 

Clave A

 

   

80   7 11 7 1 ∴  11 + 1 = 12

Clave B

Clave A

• 15! = 12!⋅13⋅14⋅15 = 211⋅36⋅53⋅72⋅11⋅13 • 4! = 23⋅3 ⇒ ∅ (4!) = 22(1) 30(2) = 8 • 6! = 24⋅32⋅5 ⇒ ∅ (6!) = 23(1) 31(2) 50(4) = 192 • 5! = 23⋅3⋅5 ⇒  D5! = 4⋅2⋅2 = 16 16  ⇒ F(5!) = 2  = 8 • 6! = 24⋅32⋅5 ⇒  D6! = 5⋅3⋅2 = 30 30  ⇒ F(6!) =   = 15 2

12  

⇒ 114 + 16 + 2 = 132

• 14   3 4 3 1

7 

 

o

N! = 81  ⇒  N = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9  = 9! 3 3 32 ∴ N = 9 Clave D

Clave D

11 5 2 2

3 

10  

⇒  5 + 1 = 6

800   7 114 7   16 7 2

  o

TAREA 

 

Clave A

Clave E

5 

Clave E

2 

⇒ N = 211⋅36⋅53⋅72⋅11⋅13 = 15!

 

Clave A

4  

• 4032 = 28⋅32⋅7 = 12⋅7⋅4⋅3⋅2⋅2

• 100 = 22⋅52 ⇒  ∅(100) = 2(1)5(4) = 40

 

\ En N el exponente de 2 es 78.

 

Clave C

o

5

 

∴ Se debe multiplicar por 3.

9 

• 120 = 23⋅3⋅5 ⇒  ∅(120) = 22(1)30(2)50(4) = 32

    40! = 75 · F (F  7)

Suma = 38

1 

 

1

 

   40! = 2 5 (a > 9) 8 5   40! termina en 9 ceros. 1

III. (V) 40 2 20

 

• El exponente de 3 debe aumentar en 1.

  3 

5

 

 

 

Clave D

a ·  8 + 1 · F

II. (V)

 

0

 

termina en 4 ceros.

10  

⋅

2

  • 18 = 2 3  

\ Como 9! contiene a 64, escrito en base 6

 

 

• 12! = 210⋅35⋅52⋅7⋅11 ⇒ D12! = 11⋅6⋅3⋅2⋅2 = 792 CD = 792 + 132 = 924 = 11⋅7⋅3⋅2⋅2

8 

REFORZANDO 1

  F(12!)

EDITORIAL INGENIO

14  

•9 2     2 4 2 2 1 • 9 3 3 3 1

 

 

• Averiguamos Averiguamos el exponente de 3 en 90!: 90   3 30 3 10 3 3 3 1 44 ⇒  90! = 3 F = 922F ∴ Termina en 22 ceros.

Clave E

7 4

   

⇒  9! = 2 ⋅3 ⋅5⋅7 ⇒  D9! = 8⋅5⋅2⋅2 = 160

 

160  ⇒ F(9!) =   = 80 2

15   n! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9 ⋅ 10 = 10! Clave E

 

⇒  n = 10

Clave D

4 

21

 

SOLUCIONARIO SOLUCIONARI O - ARITMÉTICA 4°

15  

 

Si los gastos gastos representan el 18% de la ganancia bruta, la ganancia neta es el 82%. ∴ 82  ⋅ 250 = 205 100

6 

EDITORIAL INGENIO

Capital : C Monto : S / . 8 400 M =C+I

   

Tiempo : 6 meses Tasa : 24% anual

3   C +

4  

1200

 ACTIVIDADES

CAP 17

MODELOS FINANCIEROS I 1 

   

2   r% anual

Capital: C

 

t = 30 meses

 

I  =  =

I  =  = C

Crt   ⇒ C = Cr⋅30   ⇒ r = 40 1200 1200 ∴ Tasa = 40% anual

 

 

 

   

\ 

C2 

C3

 

6%

8%

10%

 

I1 

 

6% C1  =

=

6  

I3

Tasa: 12% semestral 24% anual Tiempo t = 8 meses Interés I  =  = 416 Crt   ⇒  416 = c⋅24⋅8   I= 1200 1200 ∴ c = 2 600

7 

   

Gana 7%

4  

Gana 7%

4 meses

8 meses

12 meses 1 año

Para la tasa del 7% cuatrimestral: C = S / . 5 200 t = 7 años 5 meses = 89 meses 7% cuatrimestral < > 21% anual La tasa cuatrimestral lo hemos convertido en tasa anual para poder utilizar la fórmula:

 

   

I  =  =

 

I  =  =

 

r1 = 20% anual

r2 = 25% anual

 

t  = 2 años

t  = 2 años

 

I 1 =

 

Monto = 2C + 2C  + C  = 8 700 5 2 C = 3 000 ∴ 2C = 6 000

 

5  

 

M5 años  = C + I5 años

   

   

 

12 ×100% = 20% 60

Clave C

C1

C C  = 2  = 3     C1 = 2k ; C2 = 3k ; C3 = 5k  2 3 5 8 % cuatrimestral r% = 24% anual = 8% t = 2 cuatrimestrales

M = 10k  +  + 8%2(2k ) + 8%2(3k ) + 8%2(5k ) = 3480  = 3000 k  = \ El mayor capital: C3 = 15 000

   

9   C1 – C2 = 1500

     

10% 16% 1 año 1 año M1  = M2     C1 + 10% C1  = C2 + 16% C2 

   

 

(20)×1 3k (34) (34)×1 4k (20)   –   = 462 100 100 Resolviendo: K  =  = 2 100 ∴ Cmayor = 4K = 8400

 

⇒ 40 500 = I 3 años ⇒ 40 500 = C×45×3   ∴ C = 30000

2

Condición: I menor – I mayor = 462

 = 1   I  =

100

100

 

(–)

M8 años – M5 años  = I8 años – I5 años  

C×25×2  C  =  

En 12 meses  x = 12

Clave A

1200

M8 años  = C + I8 años

I 2 =

  Para no que trabajar con fracciones suponer el capital total es: 7K vamos a Luego: Cmayor = 4 (7K ) = 4K  7  – 4K  =  = 3K  Cmenor = 7K  –

   

5

8  

En 40 meses   S / . 40

10

C × r × t   (t en meses)

5200 × 21 ×  89  = 8099 1200

C×20×2  2C   =  

Sea M = 100

\ r =

 

 

100

5,75% C – 3,25% C = 275   C = 4400 4 4

2  I  =  =  (100) = 40   5    3   C =  (100) = 60     4

5

  9   C + C = Capital = 2C

Gana 7%

Gana 21%

   

20 15 12 – ∴ C3 = 1 200

 

36k  = 1248   3k  =  = 10 400 100

Clave D

C1 = C2 = C3 = 500  = 100

 

C2 = k 

8% C2  = 10% C3 –

3   C=?

C1 = 2k  

Clave E

C1 

I2 

 

2k  · 8 ·  2 + k  · 10 ·  2 = 12 480 100 100

 

 

=

C

Clave D

 

Sabiendo el tiempo: 1 año 4% sem 8% anual 2,5% trim 10% anual

 

C

3 C  4 20% anual 16  años 12

5   C = 3k  

En (1): C + 7(100) = 1 700 ⇒ C = 1 000 8 

  = 3009   C = 2950

4 18% anual 16  años 12 16 C 16 3 M = C + 20% 12 × 4 C + 18% 12× 4  = 45360 \ C = 36000

 

C + I7m  = 1700 C + I11m = 2100 –   I4m = 400   I1m = 100

7  

C = 3 240 t = 5 años Tasa: 12% anual Si no se especica el período de la tasa se considera anual: C × r × t  3240 × 12 × 5    = 1944 I  =  =  = 100 100

28C   ∴ C = 7 500 25

⇒ 8 400 =

1200

Clave A

⇒ 8 400 = C + C × 24 × 6  

Clave E

C · 3 · 8

C 1500 C1 + C2  = 2  =  =

58 55

3

 

\ C1 + C2 = 56 500

10  

7560

CUADERNO DE TRABAJO

   

3,5% 1 año

7600 · 5 ·  3 = 95 soles

 

I 1 

1200

Clave D

   

2  

C1



C · 12 · 8

100

  = 2880   C = 3000 Clave B

113

Clave C

8 ×7560 = 6720 9 r% 1 año I 2

• I 1 – I 2  = 4,2 r%6720 – 3,5%7560 = 4,2 ⇒  r% = 4%

Clave C

4 

29

 

SOLUCIONARIO SOLUCIONARI O - ARITMÉTICA 4°

EDITORIAL INGENIO

Mayo →  27 días  Junio →  12 días

12   C = 8K   ⇒  C1 = 3K  

Tiempo = 39 días

 

 

r% = 6%bimestral = 36%anual

 

 

⇒  I = 36% 39  × 10950 = 421,2

 

6  

TAREA  1   I 2 = 2(2400) = S / . 4800

I 3 = 3(2400) = S / . 7200

 

365

I 1/4 = 240÷4 = S / . 60

7   C1  + C2

   

3   I 4 años  – I 2 años = 350

2% 3% 4% 1 año 1 año 1 año

40%C – 20%C = 350 ⇒ C = 1750

 

 

∴ M = 1750 + 40%1750 = 2450

 

2%C1 = 3%C2 = 4%C3

 

C1

 

C + I2 años  = 8000 C + I3 años  = 9000 –  

I1 año = 1000

 

⇒  C = 6000  

 

 

• 8% bimestral < > 48% anual. 4800⋅48⋅15    1200 ∴ I = 2880

 

Clave E

I=

 

Clave A

 

   

C = 12000 r% = 0,1% dinero t = 18×30 = 540 días ⇒  I = 0,1%540 × 12000 ⇒ I = 6480 Clave B

5   r1 = 2% mens.

   

 

t = 5 meses

C

 

180 días = 1 semest. r1% = 9% semest.

1 semest. r2 = 10% semest.

 

I 1 

I 1

M = C + 9%C + 10%C = 10710 ⇒  C = 9000 Clave C

15  

F = 64K  =  = Clave B

r2 = 1%mens.

 

   

Clave E

4 

5 8 33,3%  8  año 12

   

4,5%(15K ) + 6%(10K ) = 2805 ⇒ K  =  = 2200 ∴ F = 64×2200 = 140800 Clave C

 ACTIVIDADES

CAP 18

MODELOS FINANCIEROS II 1   C = 400

 

t = 3 meses

 

r = 2% = 0,02

M = C(1 + r%)t M = 400(1 + 0,02)3 ∴ M = 424,48

2,7% mensual 20 meses

2   C = 2000

M = 13K  +  + 33,3%  8  (5K) 12 + 2,7%20(8K) = 83500  = 4500 K  = ∴ C1 + C2 = 13×4500 = 58500

M = C(1 + r%)t M = 2000(1 + 0,04)5 M = 2433,31

 

r = 4% = 0,04

 

t = 5

 

 = M – C ⇒ I = 2433,31 – 2000 I  =

 

 = 433,31 ∴ I  =

Clave D

3   r = 18% anual

11   C1 + C2 = 70000

 

t = 5 meses

2%5C – 1%5C = 240 ∴ C = 4800+

La ganancia o interés es: I = 20%(100) = 20 soles

Terreno = 3 (64K ) = 24K  8 3   Casa = (40K ) = 15K  8

Resto = 25K  15K  10K  4,5% anual 6% anual 1 año 1 año

Este problema lo vamos a resolver por falsa suposición ya que no indica a cuánto asciende el monto. Supongamos que el monto es: M = 100 soles.

 ; C2 = 8K  10   C1 = C2  ⇒  C1 = 5K  ;  

C

C ; 1% ; t = 75 días Icomercial – Icomún = 3

Si de C = S / . 80 hemos ganado I = S / . 20 en un año, podemos conocer el valor de la tasa. 20 ∴ r% =  × 100% = 25% 80 Clave C

C1 +

C1⋅7⋅20

100

  = C2 +

  C2⋅4⋅20

100

 

 

 

12C1 9C2

C 3K   ⇒   =   ⇒  1 =   C2 4K  5 5  = 70000 ⇒  K  =  = 10000 ⇒  7K  =

I 1  – I 2 = 240

30

Clave A

 

  4 

9

De ambos deducimos que el capital resulta: C = 100 – 20 = 80 soles

C = S / . 1200 t = 20 meses  = S / . 240 I  = C⋅r⋅t  1200⋅r⋅20   =   = 240 1200 1200 Se obtiene r = 12, la tasa impuesta es de 12% anual.

 

 

C C 5200 C1 + C3  = 2 = 3 =  =  

 

I=

3 

14  

 75 1%  75 C – 1% C = 3 360 365 ∴ C = 105120 9 

• 1 año 3 mes < > 15 meses.

 

Clave C

I 3

⇒  r = 50 Clave E

2 

I 2 =

 

4 3 13 ∴ C1 + C3 = 3600 8 

∴ La tasa es 50%

 

6

 

REFORZANDO  = C⋅6⋅r  = C  1   I  = 1200 4

I 1  =

12 m – I10 m = 1200 ⇒  I 2 m = 1200 I 12 5%2C = 1200 ⇒  C = 12000

 

 

En 5 años: ∴Monto = 6000 + 5000 = 11000

 

Clave B

13   r% = 5% mensual

+ C3 = 5200

 

4  

3K ⋅8⋅6 5K ⋅6⋅6  +   = 827000 1200 1200  = 10000 K  =  = 50000 ∴ C2 = 5K  = 8K  +  +

Clave A

2   I 1/2 = 240÷2 = S / . 120

 

y C2 = 5K 

 

∴ C1 = 30000

   

  Clave A

 

Pero la capitalización es mensual entonces r = 18%÷12 = 1,5% mensual. C = 4800 M = C(1 + r%)t 4

r = 1,5% = 0,015 t = 4

M = 4800(1 + 0,015) M = 294,55 I = M – C = 5094,55 – 4800  = 294,55 ∴ I  =

 

SOLUCIONARIO SOLUCIONARI O - ARITMÉTICA 4°

EDITORIAL INGENIO

9 

     

Int. Simple Int. Compuesto 2  I = 20%(3) = 60%C1  I = [(1 + i)3 – 1]C2   I = (1,15)3 – 1 = 0,52C2  Los intereses son iguales:   C1 13  0,6C1 = 0,52C2  ⇒  =   C2 15 Clave B 3   

10    

 

2,5% mensual < > 5% bimestral • C(1,05)4 = 1944,81 ∴ C = S / . 1600 •

     

A interés simple en 5 meses produce: 5(5%) = 25% A interés compuesto: (1 + r)5 – 1 = (1,04)5 – 1 = 21,66% 25% > 21,66% ∴ 5% de interés simple.

• h1 = 40  = 0,20 200 20 • h5 = 200 = 0,10

    0,20 + 0,30 + 0,15 +   h4 + 0,10 = 1   h4 = 0,25    

 

8 + 20 + 42 + f 4 + 42 + 20 + 8 = 200   f 4 = 60

 

Dato: x3 · f    3 = 1260   x3 · 42 = 1260   x3 = 30

 

• x3 + 3w = x6    18 + 3w = 39   w = 7   x4 = 18 + 7 = 25

 

• h = h1 = H 1 = 0,15   como f 1 = 3 f 2    h1 = 3h2 

 f 4

  h2 = 0,05

 = h  = 0,25   f 4 = 50 200 4 \ f   f 2 – f 4 + h4 – h5 = 10,15

 

 

• h6 = h2 = 0,05

 xi   f i   hi   H i

4 11 18 25 32 39 46

2   3f  f 2    f 3

60

  f 3   f 2 3 f 2

0,15 0,,05 0 0,15 0,30 0,15 0,05 0,15

0,15 0,20 0,35 0,65 0,80 0,85 1  

  h5 = h3 = 3(0,05) = 0,15 4   • 10 + 4w = 70   w = 15   • 8 + f 2 = 16   f 2 = 8   • 28 + f 5 = 38   f 5 = 10   • 8 = 0,16   n = 50

\ x4 + n = 25 + 200 = 225

 

• 45 + f 7 = 50   f 7 = 5  f  5  f 4 = 4     h4 =  = 0,10 50 n

 

• h4 = 1 – 2(0,15 + 0,05 + 0,15)  = 0,30 • h4 = 30  = 60    n = 200 100 n

 

n

  tasa = 15%÷6 = 0,025 y n = 21

 f 1 + f 2 + f 3 + f 4 + f 5 + f 6 + f 7 = 200

8 

•

Clave C

12  

 

•  f 2  = 0,30   f 2 = 60 200

 

Clave E

11  

N° alumnos que tuvieron más de 08: 1 (15) + 10 + 4 (15) = 25 5 5 25 \ El porcentaje:  = 50% 50

9 

• 0,85 + h5 = 1   h5 = 0,15

 

• Si el ancho de clase es w

 f 5 =  f 5     h5 = 10 = 0,20 50 n

 

h5  = 8 · 10 + 0,20 = 82 \ f   f 2 · f    7 + h4 0,10

 

I 3 = [20 + 2w; 20 + 3w; x3 = 30 • 0,10 + h2 = 0,25   h2 = 0,15

 

• Como  f 3 = f 4    h3 = h4

   

• h1 + h2 + h3 + h4 + h5 = 1 0,10 + 0,15 + h3 + h4 + 0,15 = 1   h3 = h4 = 0,05

 

• Como h3 = 0,10  f 1 = 2a

21

 

 

M = 4000(1 + 0,15)

 

∴ M = 6718, 33

Clave C

  13  

   

M1 = C(1 + i)t  ⇒ M1 = 6000(1,1)4 = 8784,6 M2 = C2(1,15)2 = 8784,6 C2 = 6642,4 Clave E

14  

M = C(1 + i)t  y r = 10%bim = 5%men

 

5000(1 + 0,05)6 = 4000(1 + i)4 (1 + i)4 = 5  ⋅ 1,056  ⇒  (1 + i)4 = 1,675 4 ⇒  i = 0,1376 ⇒  r = 13,76%

   

Clave D

15  

 

     

TEA = 100[(1 + i/  – 1]% n = 123 = 4 TEA = 100[(1 + 0,18/4)4 – 1]% TEA = 19,25% I  =  = 19,25%(4000) = 770 n)n

 ACTIVIDADES

5  

 

6 

 

   

4  (150) + 200 + 5  (250) = 385 10 10 385 ×100% = 38,5% \  1000  xi

• F2 = n + 2n = 18   n = 6

 

50 54 58 62 66

[48; 52 [52; 56 [56; 60 [60; 64 [64; 68

• 18 + 26 + 2m = 80   m = 18

xi   f i

6 12 26 18 18

f 2 = 3a

f 3 = 6a

 

11 = 2a + 3a + 6a    a = 1 I i

• 48 + 3w + w = 62   w = 4 2 18 \ Nos piden: 12 + 26 +   = 47 2

 

xi   f i   hi   F i   H i

[20; 24 [24; 28

22 26

2 3

0,10 0,15

2 5

0,10 0,25

[28; 32 [32; 36 [36; 40

30 34 38

6 6 3

0,30 0,30 0,15

11 17 20

0,55 0,85 1

∴ x4 + x2 + f 5 – f 2 = 34 + 26 + 3 – 3 = 60

0,96

Clave A

 

Como la distribución es simétrica: h1 = h7 = 0,04;  f 1 = f 7 = 8  f 1  = h1  n

CAP 19

 

 xi

2

 

 

[5; 15 [15; 25 [25; 35 [35; 45 [45; 55 [55; 65 [65; 75

8 = 0,04

n

  n = 200 1   5 + m + 2m + 1 = 36   m = 10   • h  = m  = 10 

 f 3  = h3  n

10  

Como f i es directamente proporcional a hi:

 

0,1  = h2     h  = 0, 2   2 2a a   

xi   f i   hi

10 20 30 40 50 60 70

8 20 42 60 42 20 8

0,04 0,10 0,21 0,30 0,21 0,10 0,04

  

La es  f i igual a 1:  

   

0, 1 + 0, 2 + 0,3 8  + h4 = 1   h4 = 5 18 1/99 2/ 1/ 2/99 7/1 /188   

  

 

   

4 

 f 3

 = 0,21   f 3 = 42 = f 5 200

 

 

 

Como: f 2 +  f 5  = 62   f 2 = 20 = f 6 

42

  



• b + 1  = 7/18    b = 6 b ? 1 5/18 • a  = b + 1     a = 2   

36 36 • H 3 = 5 + m + 2m = 35 36 36 10 35 45 \ h2 + H 3 =  +  =  = 1,25 36 36 36 32

h3 = 0,30

• F3 = f 1 + f 2 + f 3

7    H  6 + h7 = 1   h7 = 0,04 

TABLA DE FRECUENCIA

 

h2 = 0,15

  

 

0,1 0,38  f 2 = a + 2a = 3a = 6 F3 = a + 2a + (b + 1) = 2 + 4 + 7 = 13

 

\ f   f 2 + F3 = 6 + 13 = 19

 

 

SOLUCIONARIO SOLUCIONARI O - ARITMÉTICA 4°

n = 1 + 16 + 21 + 9 + 8 + 3 + 2 = 60

CUADERNO DE TRABAJO

 

• Menores que 70: 8k  +  + 3k  +  + 2k  =  = 13k  • Mayor o igual que 80: k 

     

   

   

Clave D

• Siendo W  el  el ancho de clase 13 + 3W  =  = 28   W  =  = 6 Además cc = 10 + 2 W  =  = 10 + 12 = 22  c = 2 3d = 28 + W  =  = 28 + 6 = 34  d = 4 • 24 + 24 + a2 + bb + aa = 80   a0 + bb + aa = 54 a + b = 4 y 2 a + b = 5 Resolviendo: a = 1 y b = 3 \ a · b + c · d = 1 · 3 + 2 · 4 = 11

 

hi

 

1000 - 1200

18

1200 - 1400

72

1400 - 1600

21

0,175

1600 - 1800

3

0,025

 

F i

     

6

Edades   x

24

6

6

8

8

8

43 44 45 46 47 48 I 2 I 3

 

De 44 a 47 años son: 6 + 6 + 8 + 8 = 28 personas

 

• Siendo el total: 9 + 18 + 24 + 29 = 80 28 \ El porcentaje es: ×100% = 35% 80

6

 

\  f  f 4 + h1 + h4 = 15 +

  Clave D

 

f i

 

F i

[30; 34〉 

32

11

11

[34; 38〉

36

19

30

[38; 42〉

40

30

60

[42; 46〉

 44

[46; 50〉

48

 

hi   H i%

     

REFORZANDO 1 

     

 3/4(19 + 58)   100% = 82,1%      88

Clave C

Clave E

Notas

2   x2 + w + w + w = x5    w = 5

# alumnos

 

\ 

0 - 3 4 - 7 8 - 11 12 - 15 16 - 20 8

12

28

32

28  + 32 + 20 = 59 4

20

   

I i 

2

2

2

2

5

6

7 I 2

8

9

10  

 

        

 [16; [24; 24 32   [32; 40  [40; 48  [48; 56 

21 9 8 3 2

3

  f 6 = 2k ;  f 5 = k ;  f 4 = 3k  x + 2k    = 0,25 \ h5 = 12k 

Clave D

 

0,250 + 0,250 + h3 + 0,125 + 0,125 = 1   h3 = 0,250

•  f 3  = 5     f 3 = 5 y    f 4 = y  f 4 1

 

 y = h1 + h2    y = 0,50

 

• f 3 – f 1 = 10   5 y – 10x = 10    y – 2x = 2   6 y – 12x = 12 De (1) y (2):  23x = 115 x = 5 \ f   f 2 = x = 5

 

1 16

1

 

• n = 127   11x + 6 y = 127

 

[0; 8  [8; 16 

2

 f   f   = 2  = 3     f 1 = 2k ;  f 2 = k ;  f 3 = 3k 

•  f 1  = 10      f 1 = 10x    f 2 = x  f 2 1

 

f i

   

 f 1

Clave D

(1)

Clave C

6  

• f 1 + 9 = 15   f 1 = 6 • h1(%) = 6 ×100%   h1% = 10% 60 • h2(%) = 9 ×100%   h2% = 15% 60 Entre 4 y 16 integrantes: (15 + 35 + 20)%60 = 42

3    f 1 = f 2 = 4   h1 = h2 = 0,250

2

• Obtuvieron notas mayores a 8:  2 + 16 + 16     ×100% = 68%   50   

 

Dado: a + b = 41% Resolviendo a = 18%; b = 23% Se pide a + b + 2a = 77%

0,125 12,5%

 f 2 = 10

 

Niños entre 7 y 13 años: 20 + 30 + 50 + 5 = 105  105   100% = 70%  150  

\ 

9  

 

35  = 15,28 125

4   hi = a + b + 2a + b = 100%   3a + 2b = 100%

 

  • 50   ×100% = 35%   a = 8 a + 10 + 16 + b = 50   b = 16 • Considerando que la nota es variable discreta.

20 ; h  = 15 125 4 125

h1 =

3 

125  =  f 1   1000 88   f 1 = 11

 

a + 10

  

 

Clave B

 

20

    n = 125   f 4 = 15 2   h2 = 0,32 = 40 n

  h1 =

 

   

5

15

90

w 8   30 + 4w +  = 48 2 w = 4

• Siendo la edad una variable discreta.

 

10 12

 35 18 + 16    100% = 44, % Nos piden:   6 60   

 

• 39 + f 4 = 60   f 4 = 21

18

 

 

  50      72 = 18 +  200    f 3 = 21  f 3 = 3  f 3 = 6 48

Clave E

4 

f i

Los que ganan por los menos S / . 1350 (desde el 2° intervalo)

 

•  f 2  =  f 3      f 2 = q    f 3 = 2q  k  2k  • 12 + q + 2q + 21 = 60   q = 9 \ Tienen 14 o 15:  f 2 + f 3 = 3q = 27

 

 

1800 - 2000

 

 

Sueldos

7  

Clave D

3 

1    f 4 = 60 – 44 = 16

16 x

3

(13k  +  + k ) = 7 ×100% = 70% 20k  10

2 

30

Clave D

\ 

 

TAREA 

 12 + 21 + 9 +  5   100% = 78,3% \       60

  1 

EDITORIAL INGENIO

     

 

4     x = 2  = 0,125 0,250  f 1 + f 2 + f 3 + f 4    z = 14

 

\ x + y + z = 2 + 0,50 + 14 = 16,50

 

x

Clave C

(2)

2 + 30 + 20 + 12 = 64   100 64  = 64% 15  = 15% ii) 6 + 7 + 2 = 15   100

4   i)

 

Clave C

Clave B

4 

33

 

SOLUCIONARIO SOLUCIONARI O - ARITMÉTICA 4°

EDITORIAL INGENIO

5  

I i

 

[20 - 28〉  [28 - 36〉  [36 - 44〉 [44 - 52〉 [52 - 60〉

f i

 

F i

 

12

12

0,20

0,20

9

21

0,15

0,35

18

39

0,30

0,65

9

48

0,15

0,80

12

60

0,20

1

•  f 2  = 0,15   f 2 = 9 60  f 3 = 18 h4 = 0,15

   

hi   H i

6 

 

 H 2 = 0,35

• 0,8 + h5 = 1   h5 = 0,20 • 5a  = 5b     b = 0,05 4a 0,20

 

\ H   H 3 – H 2 = h3 = 0,30

b

Clave C

8  

I i

[2 - 4〉  [4 - 6〉  [6 - 8〉 [8 - 10〉 [10 - 12〉 [12 - 14〉

 

• 0,70 + h4 + 0,10 = 1   h4 = 0,20

 

• 7 + 2w + w = 14,5   w = 3 2

 

 

xi 3 5 7 9 11 13

 

f i

 

5 4 2 8 2 4

 

F i   x f  i i 5 9 11 19 21 25

15 20 14 72 22 52

25 9 

     

Clave D

10  

 

• I 1 = [75 – 5; 75 + 5  = [70; 80

 

• 52 + f 5 = 60   f 5 = 8

 

• f 1 = 10%(60) = 6   f 4 = 20%(60) = 12

 

• f 1 + f 2 + f 3 + f 4 + f 5 = 60   f 3 = 20 6 14

1   h1 = h5 = 0,10

 

x = 22(0,10) + 26(0,15) + 30(0,40) + 34(0,25)

 

x = 30,4

+ 38(0,10)

8

I i [70; 80〉 [80; 90〉 [90; 100〉 [100; 110〉 [110; 120〉  f i 6 14 20 12 8 \ En más de hora y media es:

2 

Mo = 24 x =

  Clave E

 

• f 3 = h3n    f 3 = 20

 

• f 1 + f 2 + f 3 + f 4 = 58   f 4 = 22   f i 12 1 2 4

[48 - 52〉 [52 - 56〉 [56 - 60〉 [60 - 64〉

20 22 18 4

 

hi

 

   

0,15

58 76

0,95

 

14  

• H 5 + h6 = 1  0,95 + h6 = 1   h6 = 0,05

 

•  f 6  =  f 3   h6 h3

10  =  f 3     f   = 50 3 0,05 0,25 • f 4 =  f 3     f 4 = 50 2 2

I i   [500 - 700〉  [700 - 900〉  [900 - 1100〉 [1100 - 1300〉 [1300 - 1500〉

[1500 - 1700〉 10

5 

f i

 

 f 1   f 2

 

• 15 + a + c = 2c    a + (15 + a) = 35  a = 10

 

  f 4 = 25

 

\ Mayores de 34 son: c + a + c + 15 = 75

 

\ Ganan entre 900 y 1300: 50 + 25 = 75.

4 

 

 

 

Clave C

Al modicar las 3 últimas notas, la   Me = 12.  

\ Varían de S / . 44 a S / . 52: 4 + 20 = 24.

• 15 + a + c + (a + c) = 85   a + c = 35 b = 25

2 5 2 5 4 2

2 7 9 14 18 20

 = 20

30 80 34 90 76 40

 = 350

9 + 10 + 22 + 36 + 26 + 28   + 15 = 12,16 12 Mo = 12  xi)   f i   F i   x f  Notas ( x i i Me = 12 09 1 1 9

   

 

    

15 16 17 18 19 20

4   x =

Clave A

 

 xi   f i   F i   x f  i i

F i   H i

n = 80  

350  = 175 20 Me = 18 = x4  porque 20 F4 = 14   2 Se pide Me – x:   18 – 17,5 = 0,5

 

• f 1 + f 2 = 16   f 2 = 4

[40 - 44〉  [44 - 48〉 

%(x) =  23    100% = 95,8%  24   3   x =

 

 

2×20 + 21 + 2×22 + 3×24 + 25 + 28   10

x = 23

 

60 – 40   =4 13   w = 6   h1 = 0,15; h6 = 1 – 0,95 = 0,05 n 76    =     n = 80 1 0,95   • f 1 = h1n    f 1 = 12

Gastos diarios ($)

CAP 20

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

 

34

Clave A

 ACTIVIDADES

• 75 + 2w = 95   w = 10

• Como x1 = 23,5; x2 = 30,5; x3 = 37,5 x4 = 44,5; x5 = 51,5   Los anchos de clase son iguales

 

64

Nos piden: 880 – (64 + 64) = 752

\ De [7; 16 hay 0,3 + 0,2 + 0,2 es 70%.

12  

Clave C

Total = 55 + b    20 ×100 = b    b = 25 55 + b 6 ×100 = 10   c = 8 80 27 –  a×100 = a    a = 15 80 \ c + b – a = 8 + 25 – 15 = 18

64

Clave D

5 + 4 + 2 +  8×100% = 76% \ 

 

36  =  f 5 + f 6 + f 7   99 n  f 1 + f 2 + f 3 + f 4 63  =   99 n   n = 880

I i [4; 7〉 [7; 10〉 [10; 13〉 [13; 16〉 [16; 19〉 hi 0,20 0,30 0,20 0,20 0,10

Pesos   f i

[50 - 60〉  [60 - 70〉  [70 - 80〉 [80 - 90〉 [90 - 100〉 [100 - 110〉 [110 - 120〉

=

20 + 12 + 8 = 40.

 = 6 + 10 + 26 + 4 = 46 \ a + b + c + k  =

 

h5 + h6 + h7 

    a = 3m; b = 5m

n n   a = 6     + 2k  +  + 3k  +  + 3m + 5m = 40   m = 2   k  + b = 10

 

 

 

0,15 0,25 3k  +  + 2k  +  + k  = 0,60   6k   = 0,60   n = 40

 

• 0,50 + h3 = 0,70   h3 = 0,20

 

0,60 + 0,25 + h5 = 1   h5 = 0,15  =

 

Clave C

 + 2k  +  + 3k  =  = 24   k  =  = 4 7   k  + a

50 + 7w = 120   w = 10

Clave B

• 0,1 + 3b + h3 + 5b + 0,20 = 1 0,1 + 0,15 + h3 + 0,25 + 0,20 = 1   h3 = 0,30

 

15  

 

   

 

• 0,20 + h2 = 0,50   h2 = 0,30

• f 3 = 18

\ f   f 3 + h4 + H 2 = 18,5

 

11  

50 25

 

 f 5

Clave C

 

10 11 12 13 14 15

1 2 3 2 2 1

2 4 7 9 11 12

10 22 36 26 28 15

Hallando la media: 6 · 20 + 8 · 24 + 10 · 32 + 12 · 24 + 14 · 20 x = 120 120 + 192 + 320 + 288 + 280 1200   = 10 x =  = 120 120 Determinando I i   xi   f i   F i la mediana: Me  I 3 Porque: F3 = 74  

120  2

[5 - 7〉  [7 - 9〉 [9 - 11〉 [11 - 13〉 [13 - 15〉

6 8 10 12 14

20 24 32 24 20

20 44 74 100 120

 

SOLUCIONARIO SOLUCIONARI O - ARITMÉTICA 4°

Me = 9 + 2  (60 – 44) = 10 32 \ x – Me = 10 – 10 = 0

   

CUADERNO DE TRABAJO

 

 

Por ser simétrica Mo = Me = x  22 + 26 =   = 24 2 \ Me + x = 48

8 

I i

 

xi   f i

[16 - 20〉  [20 - 24〉  [24 - 28〉 [28 - 32〉

Ordenando las edades: 15; 15; 16; 16; 16; 17; 18; 18; 19; 20

 

18

15

22

35

26

35

 

30

15

 

Me = 16 + 17   = 16,5   x = 17 2 Mo = 16 \ 2Me – (x + Mo) = 33 – (17 + 16) = 0

 

   

• x3 = x1 + 12  (w = 6)   x1 + x3 + f 2 = 70   x1 = 26

 

\ x = Me = Mo =

9

 

 

 

f i

[204 - 222〉  [222 - 240〉  [240 - 258〉 Resto: [258 - 276〉  70%60%n = 42%n  [276 - 294〉 = f 1 + f 2 + f 3  [294 - 312〉    f 4 = 18% [312 - 330〉

\ Me = 258 +

 

I i

204 + 7w = 330   w = 18

8  

     42%       

 f 1  f 2  f 3  f 4  f 5  f 6  f 7

         

18%

     40%n       

 

xi

[200 - 400〉  [400 - 600〉  [600 - 800〉

 

2k   5k  3k 

9 

I i

   

 

3 

f i   xi f    i  

xi2 f    i

15

30 30

450

6750

25

30

750

18750

35

40

1400

49000

45

25

1125

50625

6750 + 18750 + 49000 +  50625 – (29,8)2

 

S2 =

 

50 S2 = 112,96   S = 10,6 \ x + S = 40,43

10  

Siendo el ancho de clase w

 

26 + 2w + w = 46   w = 8 2 [10 - 18〉  [18 - 26〉  [26 - 34〉 [34 - 42〉 [42 - 50〉 [50 - 58〉

14 22 22 30 38 46 54

 

 f 1 24

• n = 105 2

 

9

20

70

15

30

100

21

20

120

27

50

170

• n = 30 + 20 + 50 + 40 + 80 = 220  n = 110 2 110 – 100   = 48,75 \ Me = 45 + 15 ·  40

105 – 100   = 46,875 40

 

x =

35(0,1) + 45(0,4) + 55(0,3) + 65(0,2) 1 35 + 180 + 165 +  130 = 51 x = 10

 

Clave A

60 + 7 y + 8x + 45 y + 20   x = 8,8   6 y + 3x + 10

 

60 + 28x + 52 y = 52,8 y + 26,4x + 88

   

1,6x = 0,8 y + 28   16x = 8 y + 280 2x = y + 35

   

\ x + y = 19

Clave C

TAREA  1   x = 30×11 + 40×12 + 20×13 + 10×14 + 30×15

30 + 40 + 20 + 10 + 30

x = 12,77

 

2   x = 16 + 36 + 20 + 48 + 13 + 28 + 30

15

 

x = 12,7

 

Me = 12

 

Mo = 12

 

18  1 3   x =

Clave C

F i   x f  i i 2m 3m

2m 5m

 

x = 50(0,15) + 60(0,22) + 70(0,20) + 80(0,28)

 

x = 70,6

+ 90(0,15)

30 16

7  

 

 f  24  =  f 6     f   = 16   1  = 1 2m 3m m

 

40 + (70 + f 3) + (94 + f 3) = 216   f 3 = 6

 

El intervalo modal es I 4 = [34 – 42

 

d1 = 30 – f 3 = 24

 

  24  = 39,05 \ Mo = 34 + 8× (24 + 14)

d2 = 30 – 16 = 14

 

moda

4 

Mayor 

   

  b = a + 1; c = a + 2

 

2 2 2 4 1 2 2 15

2 4 6 10 11 13 15

16 36 20 48 13 28 30 191

xi f i 10×20 + 12×30 + 14×40 + 14×10  = 20 + 30 + 40 + 10  f i

Clave B

7 números

y  f 6 = 8

8 9 10 12 13 14 15

Me = 12 + 14   = 13 porque f 1 + f 2 = 50 = 100 2 2 Mo = 14 porque f 2 es la mayor frecuencia.

 

a; a; b; c; c; c; (a + 3)  

m

 xi   f i   F i   x f  i i

x = 12,6

  6   h4 = 0,28

 f 3

 f 6

i 50  

Clave E

10  

 

5

20  =  f 1     f   = 25 4 100 100 + f 4 450 + 750 + 1400 +  1125 = 29,8 x = 125

f i

 

36  = 0,3 120   C + 0,4 + 0,3 + 0,2 = 1   0,1

h4 =

 

i

50

4   h3 =

[10 - 20〉  [20 - 30〉  [30 - 40〉 [40 - 50〉

xi

i

3

Clave D

xi

 

Clave C

x   f    F 

Clave B

• n = 210

\ Me = 45 + 15 · 

0,2 0,5 0,3

 

I i

\ El menor valor es 16.

 

 

i

[0 - 6〉  [6 - 12〉 [12 - 18〉 [18 - 24〉 [24 - 30〉

38 + 44   = 41 2

Es simétrica: x = Me = 15 \ x + Me = 30

deben sumar 36

hi

10 + 3w = 40   w = 10   a = 30 = b; c = 40 40

 

= 150

15 ; 16 ; 17 ; 17 ; 17 ; 20 ; 24 ; 24

 

  3    Mo = 400 + 200  k       = 520 3k  +  + 2k 

 

 

2   x = 18,75   Suman

18  (50% – 42%) = 276 18%

I i

I 

 

Clave A

7 

Por ser simétrica: •  f 1 = f 6 ;  f 2 = f 5 ;  f 3 = f 4   f 2 = 6

  1 

6 

EDITORIAL INGENIO

Suma:  

 

a + a + (a + 1) + 3(a + 2) + (a + 3) = 59   a  = 7: 7; 7; 8; 9; 9; 9; 10

 

\ x =

7 + 7 + 8 +  9 = 7,75 4

Clave A

El intervalo modal es: [18; 22 De donde: I i   f i   F i wo = 22 – 18 = 4 [10 - 14〉  15 15 d1 = 25 – 20 = 5; [14 - 18〉 20 35 d2 = 25 – 22 = 3 [18 - 22〉 25 60 4(5)   [22 - 26〉 22 82 x  = 18 + o

xo = 20,5 (5 + 3)

 

[26 - 30〉

18 100 Mayor  f  f i

100 – 35 Me = 18 + 4 2  = 20,4 25 4 

35

 

SOLUCIONARIO SOLUCIONARI O - ARITMÉTICA 4°

 

• Sumamos 37,88 del Q3: 42,5 + 37,88 = 80,38

 

Son valores atípicos los que están fuera del intervalo: [–20,63; 80,38] y no hay ningún valor atípico.  = 4 4   n = 4 + 6 + 5 + 1 = 16; N  =

 

• Cálculo del cuartil inferior (Q1):  j(n + 1) 1(16 + 1)  j = 1   N   = 4   = 4,25   Q1 está entre x4 y x5

 

Q1

12

 

13



x4 0,25

 

 

    5 

 

[0 - 5〉 [5 - 10〉 [10 - 15〉 [15 - 20〉

  6 

 

10 15

Fi – 1 = 15; f i = 15; w = 5

 

 = 10 n = 18; D9 = ?;  j = 9; N  =

 

 

 

  D9 está entre x17 y x18 

x17 0,1 D9 9 

15 30

[30 - 40〉  [40 - 50〉 [50 - 60〉 [60 - 70〉 [70 - 80〉

 

 

8

8

15 23 23 46 18 64 6

70

P40 P60

 jn  – F N  i – 1    Pj = li + ·w  f i

• Para j = 40: 40×70  – 23 100   ×12 = 28 + 2,6 = 30,6 P40 = 28 + 23 • Para j = 60: 60×70  – 23 100   ×12 = 28 + 9,91 = 37,91 P60 = 28 + 23

 

   

4

   

 

2

3

5

10

 

• n = 8, para j = 1; N  =  = 4 1(8 + 1)   = 2,25   4   Q1 está entre x2 y x3

 

 

• n = 8, para j = 3; N  =  = 4 3(8 + 1)     = 6,75 4   Q3 está entre x6 y x7

 



x6 0,75 Q3

x3

x7

14

17

 

190 x

 

x8

7  

x8

I i   f i   F i

[0 - 15〉 [15 - 30〉 [30 - 45〉 [45 - 60〉

24 24

li = 30; Fi – 1 = 42; f i = 32

18 42

 jn  – F N  i – 1 Q3 Q3 = li + w ·   f i

32 74 6 80

7 

 

(16,25 – 3,5)1,5 = 12,75 • Intervalo: [3,5 – 12,75; 16,25 + 12,75] = [–9,25; 29]

 

\ 50 no está en este intervalo, entonces 50

3×80 4   – 42   = 30 + 8,44 = 38,44 32 El 25% de los escolares con mayor propina reciben desde S / . 38,44.

 

\ Q1 + Q3 = 10,8 + 16,2 = 27

68

12

80

3×80  – 48 4 Q3 = 30 + 10   20 \ Q3 = 30 + 6 = 36 I i

 

[0 - 8〉  [8 - 16〉 [16 - 24〉 [24 - 32〉 [32 - 40〉

f i   F i 12

12

18

30

15

45

10

55

5

60

Clave A

 

30

• 30%60 = 18  w = 8; li = 8; j = 30

Clave E

8,9 10,8 11,8 12,5 15,4 16,2 16,5 Q1 Q2 Q3

20

 

2   R = 17 – 12 = 5

Q3 = 30 + 15×

24

li = 30; Fi – 1 = 48; f i = 20

Clave B

3  

8 24 Q 3 48

 

1   R = Dato mayor – Dato menor = 17 – 6 = 11

x7

8 16

 = 4 w = 10; j = 3; n = 80; N  =

8  

x6

f i   F i

 

CUADERNO DE TRABAJO

x5

 

[0 - 10〉  [10 - 20〉 [20 - 30〉 [30 - 40〉 [40 - 50〉

es un valor atípico.

x4

Elaboramos la tabla: I i

    Q3 = 14 + 0,75(3) = 16,25

 

x3

Q3 = 195

1×36  – 8   – F1 4  = 10 + 10 ·  4   = 11 Q1 = li + w ·  10  f 1

 

 

x2

x9  

 f 2 = 10, w = 10  jn

 

• Amplitud intercuartílica por 1,5:

x1

Q3

 = 4, F1 = 8 6   n = 8 + 10 + 12 + 6 = 36,  j = 1, N  =

50

 

 = 4; w = 15  j = 3; n = 80; N  =

0,25

Q3 = 190 + 0,25(20) Clave C

\ Son atendidos entre 30,6 min y 37,91 min.

 

  Q3 = 190 + x 210

    Q1 = 3 + 0,25(2) = 3,5

x2 0,25 Q1

3 14 17

x7 

Q3 = ?

Clave B

2 3 5 

13

x6 

Q2

20

 

• 90%(50) = 45 • 45 ganan menos de S / . 70  los 5 mejores pagados ganan entre 70 y 80 soles x5 

n 36

Hallando la ubicación de Q3:  j(n + 1) 3(10 + 1)   = 8,25  j = 3; n = 10; N  = 4   = N  4   Q3 está entre x8 y x9:

P90

x4 

9 4

Clave B

 

50

x3 

8 12

Pero x3 = x4 = ... = x9 = x10 = 6   Q1 = 6

Q1

12 31

10   x1  x2 

7 10

 

 

15 19

5

6 8

5   x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 25 48 52 84 120 155 132 190 210 243

4

14 45

5 2

Hay 36 datos. El cuartil inferior abarca el 25% de los datos: 25%36 = 9   Q1 = x9  El cuartil inferior está entre el dato 9( x9) y el dato 10 (x10).

  D9 = 20 + 0,1(10) = 21

I i   f i   F i

P70

• n = 70; N  =  = 4; w = 12 li = 28; Fi – 1 = 23; f i = 23

x18

 xi  f i 

 

El 10% superior está encima de P90.

 

     

4  

 j(n + 1) 9(18 + 1)   = 17,1  = N  10

10 20 30

 

El 20% intermedio está entre P40 y P60. [4 - 16〉  [16 - 28〉 [28 - 40〉 [40 - 52〉 [52 - 64〉

 

 

5

I i   f i   F i

 

 

5

• n = 40; j = 70; N  =  = 100

8    xi 8 9 10 12 13 14 15 16 19 20 30  f i  2 1 1 3 3 1 1 2 1 2 1

70×40  – 15 100 10 40 P70 = 10 + 5   15   P70 = 10 + 4,33 = 14,33   \ Nota mínima = 14,33

 

 

El 30% superior está encima del P70. I i   f i   F i

   

 

  Q1 = 12 + 0,25 = 12,25

• Cálculo del cuartil superior (Q3):  j(n + 1) 3(16 + 1)   = 12,75  j = 3    = N  4   Q3 está entre x12 y x13: Pero x12 = x13 = 14   Q3 = 14 \ Q1 + Q3 = 12,25 + 14 = 26,25

 

 

x5

EDITORIAL INGENIO

 

 = 100 n = 60; N  =

 

Fi – 1 = 12; f i = 18

 

30×60  – 12 100   = 8 + 2,67 = 10,67 P30 = 8 + 8 18 Clave B

Clave B

4 

37

 

SOLUCIONARIO SOLUCIONARI O - ARITMÉTICA 4°

EDITORIAL INGENIO

20% intermedio

9   0%

 

40% 60% 100% I i

 

3  

 

[6 - 12〉  [12 - 18〉 [18 - 24〉 [24 - 30〉 [30 - 36〉

15

15

20

35

24

59

16

75

5

80

 

 

3×60  – 42 4 Q  = 36 + 12×   = 36 + 3,27 = 39,27

 

\ Q1 + Q3 = 15,1611+ 39,27 = 54,43

  P40 P60

 

• Cálculo del P40:

 

• j = 40; N  =  = 100; n = 80

 

40×80  – 15 100   6 = 12 + 5,1 = 17,1  P40 = 12 + 20 • Cálculo del P60: 60×80  – 35 • j = 60; Fi – 1 = 35   P60 = 18 + 6 100 24  f i = 24 P60 = 18 + 3,25 = 21,25    

       

10 10 19 29 13 42 11 53 7

[0 - 5〉  [5 - 10〉 [10 - 15〉 [15 - 20〉 [20 - 25〉

     

10  

15 15 20 35 30 65

25 90 P60 20 110

   

• Debemos calcular P70. • n = 9; j = 70; N  =  = 100  j(n + 1) 70(9 + 1)   =7    = N  100 \ P70 = x7 = 168

  7 

48

x1 

x2 

x3 

x4 

 

x7 

x8 

x9 

x10  x11 

   

 

I i

w = 25; li = 50; Fi – 1 = 35

[0 - 25〉  [25 - 50〉 [50 - 75〉 [75 - 100〉 [100 - 125〉

10

10

 f i = 36

25 36

35 P60 71

1   R = Dato mayor – Dato menor = 18 – 8 = 10

24

95

15 110

x5 

x6

68

70 x12

25%

50%

25%

 = 100     n = 12; N  = P75 100%

  

0

P25

(n + 1) 25(12 + 1)  =   = 3,25 N  100

 

• Para j = 25   j

 

2 62 64

x4

  P25 = 62 + 0,25(2)

 

P25 = 62,5

(n + 1) 75(12 + 1)  =   = 9,75 N  100

 

• Para j = 75   j

 

6 92 98

  P75 = 92 + 0,75(6) x10   P75 = 96,5



x9 0,75 P75

Clave E

8  

 

Ordenando los datos: 10,5 11,5 13,5 15,2 15,4 16,8 18,8 Q1 

 

Q2 

Q3

\ Q1 + Q3 = 11,5 + 16,8 = 28,3

 

     

Clave E

TAREA 

 j(n + 1) 3(55)   = 41,25  = N  4

 

  Q3 está entre x41 y x42

 

\ Pero x41 = x42 = 13   Q3 = 13

n = 80  40%80 = 32

8

 = 100; w = 5   j = 40; N  =

12 20

li = 15; Fi – 1 = 20; f i = 24

8

24 44 P40 20 64 16 80

 jn  – F N  i – 1     Pj = li + w ·  f i

4   n = 3 + 5 + 8 + 10 + 14 + 9 + 5 = 54

 = 4;  j = 3   N  =

I i   f i   F i

[5 - 10〉  [10 - 15〉 [15 - 20〉 [20 - 25〉 [25 - 30〉

 

Clave A

1   R = Dato mayor – Dato menor = 25 – 6 = 19

64

Clave C

2   R = 32 – 2 = 30 3 

60×110  – 35 100 P60 = 50 + 25 36 P60 = 50 + 21,53 = 71,53

62

72 84 92 98 110 120 • El 50% intermedio está entre P25 y P75.

Clave D

f i   F i

 

52



 = 100; n = 110 100% • j = 60; N  =

60%

Ordenando los datos:

x3 0,25 P25

REFORZANDO

Clave A

 

P20 = 5 + 1,75 = 6,75

40% superior  0%

 

20×110  – 15 P20 100 P20 = 5 + 5   20

60×110  – 65 100   = 15 + 0,2 = 15,2 P60 = 15 + 5 25 \ P20 + P60 = 6,75 + 15,2 = 21,95

 

El 40% superior es mayor o igual que P60.

 

 

n = 110; N  =  = 100

 

 

x1  x2  x3  x4  x5  x6  x7  x8  x9 148 150 152 153 155 162 168 169 170

  I i   f i   F i

Clave C

 

60

Ordenando los datos:

   

\ El 20% intermedio está entre 17,1 y 21,25.

 

 

1×60  – 10 Q1 4 Q1 = 12 + 12  19 Q3 Q1 = 12 + 3,16 = 15,16

3

4  

w = 6; Fi – 1 = 15; f i = 20

 

Para j = 1:

[0 - 12〉  [12 - 24〉 [24 - 36〉 [36 - 48〉 [48 - 60〉

 

f i   F i

6 

 = 4 n = 60; N  =

I i   f i   F i

40×80 P40 = 15 + 5× 100   –  20 = 15 + 2,5 = 17,5 24

 

Clave C

Clave A

2  

 

 

x1  x2  x3  x4  x5  x6  x7  x8 10,2 10,5 12,9 13,4 13,4 15,8 16,5 17,6 (n + 1) 1(8 + 1) •  j   = 2,25  = N  4

 



x3  

Q1 = 11,1

 

(n + 1) 3(8 + 1) •  j  =   = 6,75 N  4

 

  Q3 está entre x6 y x7

 

0,7 16,5   Q  = 15,8 + 0,75(0,7) 15,8 3 

x6 0,75 Q3  

x7  

Q3 = 16,33

\ Q1 + Q3 = 11,1 + 16,33 = 27,43

38

30% 40% 30%

  

4 

P30

P70 100%

  n =  f i = 54; N  =  = 100

 j(n + 1)

9 

 

I i   f i   F i

   

[10 - 20〉 [20 - 30〉 [30 - 40〉 [40 - 50〉

 

 

Pero x16 = x17 = 8   P30 = 8

 

• Para j = 70:  j

 

  P70 está entre x38 y x39

 

Pero x38 = x39 = 13   P70 = 13

 

 

\ El 40% intermedio de notas está entre 8 y 13.

 

   

7

15 22

n = 75  75%(75) = 56,25

 = 100; f i = 25; li = 30 N  = Fi – 1 = 40; w = 10

18 40 25 65 P75 10 75

 jn  – F N  i – 1 Pj = li + w ·   f i

(n + 1) 70(54 + 1)  =   = 38,5 N  100

Clave C

Debemos calcular P75    j = 75 [0 - 10〉  7

30(54 + 1) • Para j = 30:   = 16,5  = 100 100   P30 está entre x16 y x17

 

2,4 12,9 10,5   Q1 = 10,5 + 0,25(2,4)

x2 0,25 Q1

El 40% intermedio está entre P30 y P70 0

  Q1 está entre x2 y x3

 

5 

75×75  – 40 P75 = 30 + 10× 100   = 30 + 6,5 = 36,5 25 \ La nota mínima debe ser 36,5 Clave B

 

SOLUCIONARIO SOLUCIONARI O - ARITMÉTICA 4°

10  

   

I i   f i   F i

[0 - 8〉  [8 - 16〉 [16 - 24〉 [24 - 32〉 [32 - 40〉

18 30

T i

N  =  = 100; f i = 13; li = 24

27 57

[0 - 4〉  [4 - 8〉 [8 - 12〉 [12 - 16〉 [16 - 20〉

 

10 80

 

Fi – 1 = 57; w = 8  jn

 

 

 – Fi – 1

Pj = li + w ·  N 

11  

80×80  – 57 100   = 24 + 4,31 = 28,31 P80 = 24 + 8× 13

       

 

[0 - 10〉  [10 - 20〉 [20 - 30〉 [30 - 40〉 [40 - 50〉

6

 

15 31

     

 

50

3  j = 3    (100) = 75 4 n = 100; N  =  = 4; w = 4 Fi – 1 = 55; f i = 25; li = 14

I i   f i   F i 10 10 15 25 30 55

 jn  – F N  i – 1 Qj = li + w ·   f i

25 80 Q3 20 100

3×100  – 55 100   = 14 + 3,2 = 17,2 Q3 = 14 + 4× 25

       

 

I i

 

[0 - 20〉  [20 - 40〉 [40 - 60〉 [60 - 80〉 [80 - 100〉

50 170 Q3 30 200

6 

77 N  =  = 100; n = 110; w = 20 Fi – 1 = 71; f i = 24; li = 60

1 

n

27 39 32 71

24 95 P70 15 110

 jn

 – Fi – 1

    N 

Pj = li + w ·

 f i

70×110  – 71 100   = 60 + 5 = 65 P70 = 60 + 20× 24

 xi   f i   xi f i  

4

2

• S2 = i=1xi  f i  – (x)2  6

 

n

535 S2 =   – 11 S2 = 2,1

  2 

   

(6,82)2 

7 8

xi2

 xi2 f i

16

32

2

8

1 3 5 11

6 36 36 21 49 147 40 64 320 75 535

       

[0 - 5〉 [5 - 10〉 [10 - 15〉 [15 - 20〉

24 24 20 44 16 60 8 68

1 4 Q1  j = 1; n = 68; w = 5 Fi – 1 = 0; f i = 24; li = 0 1 (68) – 0 4   = 3,54 Q1 = 0 + 5 24

Edad

3  

( x  xi)   f i   xi f i   xi2 f i

13 14 15 16   xi f  i  =  f i

3 6 5 6

39 84 75 96

507 1176 1125 1536

39 + 84 + 75 + 96  = 14,7 3+6+5+6

 

• x =

 

• S2 =

 

507 + 1176 + 1125 +  1536 – 14,72 S2 = 20 2 \ S  = 1,11

2

40

800

22

4

88

1936

24

3

72

1728

26

1

26

676

 

x =

20 + 21 + 24 + 26 + 30 + 31 + 32 + 34 + 3   9

= 24,6

n

xi2

 

Utilizando: S2 = i=1

 

• Cálculo de la varianza:

 

2   2   2   2   2   2   2   2   2 S2 = 20 + 21 + 24 + 26 + 30 + 31 + 32 + 34 + 3  – 24,62

n

· x–2

  

9 2 S  = 79,6 \ Desviación estándar: S = 8,9

 + 3k   + 2k  + 3k  + k   = 1 50 100 25 50 100 Resulta k  =  = 5 Se forma la tabla:

7   hi = 1  

   

 xi

k 

 

45 55 65 75 85

hi

xi hi   xi2 hi

 

5/50 = 0,10 15/100 = 0,15 10/25 = 0,40 15/50 = 0,30 5/100 = 0,50

4,50 8,25 26,00 22,50 4,25

202,50 453,75 1690,00 1687,50 361,25

x = xi hi = 4,5 + 8,25 + 26 + 22,5 + 4,25

 

 

S2 = xi2 hi – x2 = (202,50 + 453,75 + 1690 +

 

S2 = 104,75

 xi) Edad ( x

   

6 12 18 25

30 36 42 63

150 216 294 567

Anchura de clase constante es w. 8 + 3w = 17   w = 3 Las frecuencias son:  f 1 = 6;  f 2 = 20;  f 3 = 12;  f 4 = 10;  f 5 = 12 I i

 

[5 - 8〉  [8 - 11〉 [11 - 14〉 [14 - 17〉 [17 - 20〉

  f i   F i   xi f i   xi2 f i

6 6 6 7

1687,5 + 361,25) – 65,52

8 

xi2 f i  – x2   f i

5 6 7 9

N  =  = 4    (68) = 17

Clave E

20

x = 65,5

4   I i   f i   F i

f i   xi f i   xi2 f i

 

 

Clave C

14  

[19 - 21〉  [21 - 23〉 [23 - 25〉 [25 - 27〉

 

• x = 600 + 800 + 1000 +  1200 = 900 4 2 2 2 2 • S2 = 600  + 800  + 1000  +  1200 – 9002 4 2 S  = 50000 ⇒  S = 223,6

xi

Rango: R = 34 – 3 = 31 • Hallando la media:

 

• x = 75  = 6,82 11

f i   F i  j = 70  70%(110) = 12 12

CAP 22

 

• x = 40 + 88 + 72 +  26 = 22,6 10 • S2 = 800 + 1936 + 1728  + 676 – 22,62  10 2 S  = 3,24   S = 1,8

 

60 120

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Clave D

13  

40 60

 ACTIVIDADES

 jn  – F N  i – 1     Q3 = li + w ·  f i

12 43 Q3

3×50  – 31 4 Q3 = 30 + 10× 12   = 30 + 5,42 = 35,42

[2 - 6〉  [6 - 10〉 [10 - 14〉 [14 - 18〉 [18 - 22〉

20 20

I i

Clave E

Clave B

12  

3 w = 4; Fi – 1 = 120 li = 12;  f i = 50

2×200   – 120 3   = 12 + 1,07 = 13,07 T 5 = 12 + 4× 50

3 (50) = 37,5; F  = 31 i – 1 4  f i = 12; li = 30; w = 10

6

10 16

7

N  =  = 3  2 (200) = 133,3

 j = 3; n = 50; N  =  = 4;

I i   f i   F i

5  

 = 200 N  =

 jn  – F N  i – 1 Pj = li + w ·   f i

 f i

Clave A

 

T 5

I i   f i   F i

 

13 70 P80

 

Tercio    j = 2   sup.   

15  

 j = 80  n = 80 12 12   80%80 = 64

EDITORIAL INGENIO

xi

 

f i

 

xi f i

 

6,5

6

39

253,5

9,5

20

190

1805

12,5

12

150

1875

15,5

10

155

2402,5

12

222

4107

18,5

 = 60  = 756  = 10443

    xi f  756  = i  = 60  f i

12,6

 

x =

 

2 S2 = xi  f i  – x2 = 10443 56   = 12,6  f i

 

S2 = 15,29 (varianza)

2

 

• x = 30 + 36 + 42 + 63  = 6,84 6+6+6+7 • S2 = 150 + 216 + 294 + 567   – (6,84)2 = 2,3 6+6+6+7

xi2 f i

\ S = 3,91(desviación estandar) 4 

39

 

SOLUCIONARIO SOLUCIONARI O - ARITMÉTICA 4°

EDITORIAL INGENIO

9 

4  

20 + 3w = 80   w = 20 I i

 

 

[20 - 40〉  [40 - 60〉  [60 - 80〉 [80 - 100〉

xi  

2 f i   xi f    i   xi  f    i

30

5

150

4500

50

15

750

37500

70

20

1400

98000

90

10

900

81000

150 + 750 + 1400 +  900 = 64 50 4500 + 37500 + 98000 +  81000 – 642 S2 = 50

 

   

 

15

48

70

96

90

90

44

453

8 64

6 36

8

9

10

11

12

13

14

S

1

2

8

9

10

9

8

5

52

 xf i

7

16

72

90 110 108 104 70

577

 

 

xf i

( x  xi)2 f i

15

112,5

843,8

12,5

25

312,5

39,06

17,5

30

525

9188

22,5

25

562,5

12656

27,5

20

550

15125

80

2063

41719

 – (x)2 

41719  – (17,93)2 = 41,12 115

Clave B

 

3,09 = 1,76

S • CV  =  = ×100% x

I i

6 36

 

xi

[0 - 10〉  [10 - 20〉 [20 - 30〉 [30 - 40〉

 

f i

 

xf i

( x  xi)2 f i

5

6

30

150

15

10

150

2250

25

12

300

7500

35

8

280

9800

36

760 19700

 

• S2 = i=1  – x2 = 1375  – (12,88)2 = 6,12 n 6 Clave B

4 

160

216

2592

20

15

300

6000

28

12

336

9408

36

5

180

6480

60

1072

24640

 

[0 - 10〉  [10 - 20〉 [20 - 30〉 [30 - 40〉 [40 - 50〉

xi

 

f i

 

xf i

( x  xi)2 f i

5

8

40

200

15

16

240

3600

25

24

600

15000

35

20

7000

24500

45

12

540

24300

80

2120

67600

 

xi

 

f i

 

xf i

( x  xi)2 f i

405

9

5

45

15

20

300

4500

21

23

483

10143

27

17

459

12393

33

15

495

16335

80

1782

43776

 – (x)2 = 43776  – (22,28)2 = 51,02 80

n

51,02 = 7,14

 

 S =

 

S 7,14 ×100% = 32% • CV  =  = ×100% = 22,28 x Clave C

TAREA  1  

 xi

15 6 10 19 12 6 25 17 14 16 140

| x  – x| 1

8

4

i

  Clave A

Clave B

n

• x = 2120  = 26,5 80 • S2 = i=1 n  – (x)2 67600  – (21,5)2 = 142,75   80

 – (x)2 

(xi)2 f i

n

n

40

18

91,45 = 9,56

I i

Clave B

(xi)2 f i

 xi 2

( x  xi)2 f i

10

• x = 1782  = 22,28 80

 

19700  – (21,11)2 = 101,54 36

 

xf i

4

n

• S2 = i=1

• x = 103  = 12,875 8

 

(xi)2 f i

[6 - 12〉  [12 - 18〉 [18 - 24〉 [24 - 30〉 [30 - 36〉

 – (x)2

n

 

 xi 12 16 10 12 15 16 9 13 103  xi2  144 256 100 144 225 256 81 169 1375

f i

24640  – (17,87)2 = 91,45 60

10  

i 2i i =1(x )  f 

I i

 

12

i=1

\ S =

 

n

7  

xi

[0 - 8〉  [8 - 16〉 [16 - 24〉 [24 - 32〉 [32 - 40〉

• S2 =

• x = 760  = 21,11 36

57 605

 

n

Clave E

6  

I i

• x = 1072  = 17,87 60

1,76 ×100% = 15,83%   11,1

Clave E

40

 

41,12 = 6,41 S 6,41 ×100% = 35,8% • CV  =  = ×100% = 17,93 x

6563  – (11,1)2 = 3,09 52

 

Clave B

10 15 12 100 225 144

n

 S =

 

6,12  = 2,47

f i

 S =

 

9  

 – (x)2 

 

• S2 =  – x2 = 605  – (9,5)2 = 10,58 n 6

 S =

 

7,5

n

Clave B

7

• S2 = i=1

n

 

xi

n (xi)2 f i

• S2 = i=1

n

 xi 2

 

n

(xi)2 f i

i=1

3  

 

• x = 2063  = 17,93 115

 

• x = 57  = 9,5 6

 

I i

[5 - 10〉  [10 - 15〉 [15 - 20〉 [20 - 25〉 [25 - 30〉

• x = 577  = 11,1 52

1000 6000 18000 8000

11 + 8 + 10 + 9 + 12   + 6 = 9,3 6

 xi  xi2 

|xi – x | f i

i=1

 xi  f i 

• S2 = 2  

8  

( x  xi)2 f i 49 128 648 900 1210 1296 1352 980 6563

xi2 f i

• x = 56  = 9,3 6 • D x = 10  = 1,7 6

 

 xf i

( x  xi)2 49 64 81 100 121 144 169 196

 xi 11 8 10 9 12 6 56  x| | xi –  – x |  1,7 1,3 0,7 0,3 2,7 3,3 10

 

56

75,89  = 1,36   x = 56

CUADERNO DE TRABAJO 1   x =

11 4

D 

 

• x = 100 + 300 + 600 +  200 = 24 50 • S2 = 1000 + 6000 + 18000 +  8000 – 242 50 2 S  = 84

 

10 9

• D x =

n

100 300 600 200

9 10

 

5  

10 15 20 5

8 12

 

10 + 15 + 20 = 0,9  

10 20 30 40

7 10

n

10   h4 = 0,10

 xi   f i   xi f i  

6 8

• x = 453  = 8,09 56

 

S2 = 324   S = 18

 

5 3

| xi – x| 3,09 2,09 1,09 0,91 0,91 1,91 2,91 | xi – x| f i 9, 9,27 27 16 16,7 ,711 10 10,899,1117,2 ,899,1117,200 17 17,2011,6 ,2011,600 75 75,89 ,89

x =

 

 xi  f i 

140  = 14 10 44   D x =  = 4,4 10 x =

5

2

8 11 11 3

0

2

44

 

SOLUCIONARIO SOLUCIONARI O - ARITMÉTICA 4°

2  

 xi

• x = 113  = 14,125 8

 

3  

10 12 15 16 14 13 19 14 113 100 144 225 256 196 169 361 196 1652

 xi2

 xi

n

• S2 = i=1  – x2 = 1652  – (14,125)2 = 192,375 n 8

192,375 = 13,87

\ S =

 x i2

• S2 = i=1  – x2 = 1535  – (13,625)2 = 6,23 n 8

 

 

xi

 

f i

 

( x  xi)2 f i

xf i

5

5

25

125

15

10

150

2250

25

15

375

9375

35

18

630

22050

45

12

540

24300

60

1720

58100

• x = 1720  = 28,67 60

 

\ S = 2,49  2,5

 

I i

[0 - 10 〉  [10 - 20〉 [20 - 30〉 [30 - 40〉 [40 - 50〉

• x = 109  = 13,625 8

n

 

8  

15 10 16 18 13 14 11 12 109 225 100 256 324 169 196 121 144 1535

 xi2

 

xi2

 

EDITORIAL INGENIO

Clave E

n

3  

 

I i

xi   f i   xi f i   xi2

 

[0 - 12 〉  [12 - 24〉 [24 - 36〉 [36 - 48〉 [48 - 56〉

• x =

( x  xi)2 f i

6

8

48

36

288

18

19

342

324

6156

30

13

390

900

11700

42

11

462

1764

19404

52

9

468

2704

24336

60

1710

4  

 xi  f i 

8 4

9 5

10 10

 xf i

32

45

100 132 168 104

11 12

12 14

13 8

(xi)2 f i

• S2 = i=1

 

14 5

58

\ S2 = 146,56

70 651

• x = 651  = 11,12 58 • D x = 77,9  = 1,34 58

 

61884

  xi f  1710  = 28,5 i  = 60  f i

9  

5  

 – x2 = 61884  – (28,5)2 = 219,15 n 60

Clave A

 xi  f i 

5

6

7

8

9

10

11

13

4

6

7

8

9

15

12

3

52

 xf i

20 36 49 64 81 150 132 39

667

2

4  

I i

xi   f i   xi f i   xi2

 

[5 - 10 〉  [10 - 15〉 [15 - 20〉 [20 - 25〉 [25 - 30〉

( x  xi)2 f i

7,5

12

90

36,25

675

12,5

16

200

156,25

2500

17,5

24

420

306,25

7350

22,5

20

450

506,25 10125

27,5

16

440

756,25 12100

88 1600

32750

 

x  f  • x = i i  = 1600  = 18,18 n 88

 

( x  xi)

• S2 = i=1

 

• S2 = i=1

 

  S = 6,45

n

 – (x)2 = 6511 

 

S 2,15 ×100% = 23,2% • CV  =  = ×100% = 9,26 x

[2 - 6〉  [6 - 10〉 [10 - 14〉 [14 - 18〉 [18 - 22〉

xi   f i   xf i | xi – x| | xi – x| f i 4

10

40

9

92,0

8

15

120

5

78,0

12

30

360

1

36,0

16

25

400

3

70,0

20

20

400

7

136,0

100 1320

 xi

10 18 12 9

 xi2

100 324 144 81 121 225 169 289 1453

11

15

13

17

105

| xi – x| 3,1 4,9 1,1 4 2,125 1,88 0,13 3,88 21,25

 

• x = 105  = 13,12 8

 

• D x = i=1

n

 =

7  

21,25  = 2,7 8

8

10

12 11

9

13 15

13

10

101

 xi2 64 100 144 121 81 169 225 169 100 1173

   

• xi = 101  = 11,12 9n 2  xi

• S2 = i=1

n

 

[0 - 20〉  [20 - 40〉 [40 - 60〉 [60 - 80〉 [80 - 100〉

Clave D

2    xi

I i

Clave D

12

120

41

9

– (11,22)2 = 4,4 Clave C

I i

20

150

1125

16

200

2500

17,5

10

175

3063

50

535

6713

 – (x)2 

 

xi

Clave A

 

f i

 

xf i

( x  xi)2 f i

150

1125

7,5

20

12,5

30

375

4688

17,5

60

1050

18375

22,5

50

1125

25313

40

1100

30250

200

3800

79750

27,5

• x = 3800  = 19 200

 

11  

n

 – (x)2 

79750  – (19)2 = 37,75 200

27

810

21

554,7

50

32 1600

1

17,5

70

24 1680

19

466,9

15 1350

39

110 5560

 

• x = 5560  = 50,55 110

 

|xi – x | f i 2117,5 • D x = i=1   = 19,25  = 110 n Clave C

 

xi

 

f i

 

xf i

( x  xi)2 f i

225

3375

15

15

25,0

20

500

12500

35,0

30

1050

36750

45,0

25

1125

50625

55,0

10

550

30250

100

3450 133500

 

• x = 3450  = 34,5 100

 

• S2 =

591,8

2117,5

I i

[10 - 20〉  [20 - 30〉 [30 - 40〉 [40 - 50〉 [50 - 60〉

486,5

n

 – (x)2 = 1173 

7,5 12,5

Clave C

30

90

25

19,76 = 4,45

• S2 = i=1

xi   f i   xf i | xi – x| | xi – x| f i 10

10

n

n

|xi – x |

( x  xi)2 f i

4

(xi)2 f i

412

• x = 1320  = 13,2 100 • D x = 412 = 4,12 100

 

n

[5 - 10〉  [10 - 15〉 [15 - 20〉 [20 - 25〉 [25 - 30〉

Clave C

REFORZANDO 1  

• S2 = i=1

10  

 – x2 = 32750  – (18,18)2 = 41,65 88

S 6,45 ×100% = 35,48% \ CV  =  = ×100% = 18,18 x

xf i

2,5

• x = 535  = 10,7 50

\ S =

4,61 = 2,15

 

 

– (9,26)2 = 4,61

 S =

I i

f i

50

 

6  

 

  6713  – (10,7)2 = 19,76

72

n

xi

n

n

(xi)2 f i

 

(xi)2 f i

25 36 49 64 81 100 121 169

• x = 667  = 9,26 72

n

xi2 f i

 

( x  xi)2 f i 100 216 343 512 729 1500 1452 507 6511

 

I i

[0 - 5〉  [5 - 10〉 [10 - 15〉 [15 - 20〉

n

• S2 = i=1

Clave B

| xi – x| f i 3,22 2,22 1,22 0,22 0,78 1,78 2,78 77,9

xi2 f i

 

n

 – (x)2 = 58100  – (28,67)2  60

n

(xi)2 f i

i=1

n

 – (x)2 

 133500   – (34,5)2 

50

S2 = 144,75   S = 144,75 = 12 Clave D

41

4 

 

SOLUCIONARIO SOLUCIONARI O - ARITMÉTICA 4°

13  

P(acierte el 1°) = 3   5

 

P(no acierte el 1°) = 2  5 P(acierte el 2°) = 3   4 P(no acierte el 2°) = 1  4

     

2  1  1 ⇒ P(no acierte ambos) = 5 × 4  = 10 ∴ P(acierten) = 1 – 1  = 9 10 10 Clave D

14  

   

EDITORIAL INGENIO

Blancas: B   40 – A 40 Negras: N Azules: A A 3   =   ⇒  A = 15 40 8 N  = 1   40 – A 5 1  ⇒  N  =   ⇒  N = 5 25 5

15  

 

10 7   10

Total : 50

15 8

 

⇒ Aprobaron sólo matemática: 17 – 10 = 7

 

 

20 4 ∴ P B  =   =   

  Clave B

H(25)

⇒ Aprobaron los dos cursos: 50 – 40 = 10

⇒  B = 40 – (A + N) = 40 – 20 = 20

25 5

40 M(17)

 

 

A'

Matemática: 17   Historia: 25   Desapro.: 8

n(MH) = 7 + 10 + 15 = 32 P[(M – H)/M ∪ H] = 7  

32

Clave B

45

4 

 

SÍMBOLOS DE LA PATRIA Somos libres, seámoslo siempre, y antes niegue sus luces el sol, que faltemos al voto solemne que la patria al Eterno elevó.

Bandera

Himno Nacional del Perú

Escudo

ACTA DE SUSCRIPCIÓN DEL ACUERDO NACIONAL El 22 de julio de 2002, conscientes de nuestra responsabilidad de alcanzar el bienestar de la persona, así como el desarrollo humano y solidario en el país, los representantes de las organizaciones políticas, religiosas, de la sociedad civil y del Gobierno, sin perjuicio de nuestras legítimas diferencias, hemos aprobado un conjunto de políticas de Estado que constituyen un Acuerdo Nacional, a cuya ejecución nos comprometemos a partir de hoy. Las políticas que hemos acordado están dirigidas a alcanzar cuatro grandes objetivos: • Democracia y Estado de Derecho • Equidad y Justicia Social • Competitividad del País • Estado Efciente, Transparente y Descentralizado  

1.- Democracia y Estado Estado de Derecho Derecho Convenimos en que el Estado de Derecho y la democracia representativa son garantía del imperio de la  justicia y de la vigencia v igencia de los derechos fundamentales, así como un aspecto esencial conducente a lograr la paz y el desarrollo del país.

2.- Equidad y Justicia Social Afrmamos que el desarrollo humano integral, la susuperación de la pobreza y la igualdad de acceso a las oportunidades para todos los peruanos y peruanas, sin ningún tipo de discriminación, constituyen el eje principal de la acción del Estado.

3.- Competitividad del País Concordamos que para lograr el desarrollo humano y solidario en el país, el Estado adoptará una política económica sustentada en los principios de la economía social de mercado, reafrmando su rol promotor, regulador, solidario y subsidiario en la actividad empresarial.   4.- Estado Efciente, Transparente y Descentralizado

Afrmamos nuestra decisión de consolidar un Estado efciente, transparente y descentralizado al servicio de las personas, como sujetos de derechos y obligaciones. Finalmente, nos comprometemos a establecer los mecanismos de seguimiento necesarios para institucionalizar el cumplimiento de las veintinueve políticas de estado del Acuerdo Nacional, mediante la convocatoria a reuniones periódicas nacionales y regionales del Acuerdo Nacional, el establecimiento de una secretaría técnica autónoma, la creación de una ofcina estatal de apoyo y enlace, y su difusión permanente a la sociedad en su conjunto. En testimonio de lo cual este Acuerdo Nacional que ahora suscribimos tiene carácter vinculante y quedará abierto a la adhesión de otras fuerzas políticas y organizaciones sociales, comprometiéndonos a observarlo y cumplirlo durante los próximos veinte años. Suscrito en la ciudad de Lima, siendo Presidente de la República don Alejandro Toledo Manrique, a los veintidós días del mes de julio del año dos mil dos.