solucionario (AntiDemidovich_ Matemática Superior_ Problemas Resueltos) I.I. Liashkó... [et al.] .-Introducción al Análisis. Cálculo Diferencial p

MATE MATICA SUPERIOR PR0BLEMA5 RESUELTOS I. I. Liashko, 4. K. Boiarchuk Id. C. Gai, G. R Colovath Analisis matematico Introduction il analisis Calculo diferencial para hinciones de una variable

TEMATI/IKA URSS

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Matemitica superior Problemas resueltos. Tonio 1. Analisis matematico: introduccidn al anjlisis y calculo diferencial para funriones de una variable Traduction de la cuarta edition rusa (1997) Esta serie consta de ocho volumenes- Los cuatro primeros tomos con Jos que se abre esta obra, cstan dedicados al estudio practico de las funriones, las sucesiones, las series, el calculo diferencial e integral de las f unciones de una y varias variables; en ellos se presentan soluciones completamente detalladas de los problemas expuestos en el famoso libra de B. P. Demidovich. En los tomos 5 y 6, aparte de una detaliada exposition de la teorfa de las funciones de variable compleja, se resuelven escrupulosamente cerca de 400 problemas, muchos de los cuales aparecen en la inmortal coleccion del matematico sovietico L. L Volkoviski Ademas de los temas caractensticos de los cursos de este tipo, en esta parte de la obra se hallan cuestiones menos comunes como son la integral de Newton—Leibniz y la derivada de Fermat—Lagrange. Se presta una especial a tend on a las aplicaciones conformes. En aproximadamente 800 problemas resueltos paso a pa so, los tomos 7 y 8 abarcan todos los topicos del curso habitual de la teona de las ecuaciones diferenciales. En cada seccion se expone el nunimo teorico estrictamente necesario para la resoluci6n de los problemas correspondientes; muchos de estos aparecen en la genial coleccion de A. F.Filfppov. Asimismo, en estos volumenes se analizan toda una serie de temas bastante atlpicos para libros de esta clase (teona de la prolongation de la solution del problems de Cauchy, ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de primer orden no lineales, algunos metodos numericos para la resolution de ecuaciones diferenciales, aplicacion de los criterios de existencia de los ciclos limites en el piano fasico, etc.). En la edicion de este libro participaron; Director Vicedirector Director de production Director de sistemas Traduction Diseno Enmaquetacion Procesamiento de texto Correction Realization tecnica

Domingo Marin Ricoij Natalia Finoguienova Irina Makieeva Viktor Romanov Viktoria Malishenko, Konstantin Miedkov y Maria Andridnova Viktor Romanov y Vasili Podobied Natalia Beketova Svietlana Bondarenko y Anna Tiiirina Igor Korovin, Larisa Kirdidshkina y Luis Rodriguez Garcia Natalia Arincheva y Elena Logvinova

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Editorial URSS http:// urssjsa.ac.ru

ISBN 5-88417-183-8 (Obra completa) 5^88417-184-6 (Tomo 1)

€> Editorial URSS, 1999

De la editorial

Los cuatro prinieros iomos que abren la seric "Ma tenia lica superior. Problemas resueltos", soil la traduccion al castellano de la obra "Manual de cons Li It a de analisis matemitico", bautizadn por los estudiantes sovieticos con el seudotitulo de "Anti-Demido vich". Las dos prim eras ediriones fueron rcalizadas durante la existencia de la Union Sovietiea con una tiiada total de mas dc 200 mil ejernplares. tin 1995, tras un gran intervalo de a us enda en li brer fas y bibliotecas, Editorial URSS y el colectivo de autores acordaron no s61o limitar.se a llevar a cabo la tcrcera edition (revisada y ampliada) del "Anti-Demidovich", sino crear ademAs un proyecto que de algiin modo desarrollase en otras rainas de ia matematica el camino ma read o por el "Anti-Demidovich". Asf nacio la serie "Mateniatiea superior. Problemas resueltos", la cual asimismo incktye, por a bora, dos lomos sobre la teorfa de la variable compleja y dos tomos sobre la feorfa de las ecuaciones diferenciales. li.stas partes de !a serie ban sido denominadas, respect iv a mcnte, "AntiVoikoviski" y "Anti-Filfppov" no solo debido a que muchos de los problemas que en el las se presentan aparecen enunciados en las magnificas colecciones de problemas de L. 1. Volkoviski y A. F. Fitfppov, sino tambicn como un sfmbolo de reconocimiento a cstos autores.

Moscil

1999

Capitulo

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Introduccion al analisis §1. Elementos de la teoria de conjuntos 1.1, Sfmbolos logicos Frecuentemente, en las matenititicas algunas exprcsiones verba tes se sustituyen por sfmbolos. Asf, por ejcmplo, el snnbolo V sustituye a la expresion "para to do" o "t ualquiera que sea", y el simbolo 3, a la expresi6n "existe". Los sfmbolos V y 3 se llaman fiumtificadores. La notacion A B (implication) quiere deck que la validez del enunciado A predetermina la validez del enunciado B. Si, ademas, de la.validez del enunciado B se deduce la validez de A, cscribimos A & B. Si A B, el enunciado B es condicion neeesaria y sufiricntc para que se cumpla la afirmacion A. Si las a firmadones A y B son simullAneamente validas, so cscribe A A B. Si a I menos una de las a firmadones es valida, se denota A V B. 1.2. Opcraciones con conjuntos El concepto matemitico de conjunto de elementos se considers ra intuitive. Un conjunto se define por una regla o un criterio con forme al cual se determina si un elemento dado perlencce o no al conjunto. Los conjuntos se designan mediante el sfmbolo A = {a:}, dortde x es la notacion general para todos los elementos del conjunto A, Frecuentemente los conjuntos sueten escribirse de la forma A — {a, fe, . . } , donde entre Ilaves van indieados sus elementos. Usaremos las notaciones siguientes: N, conjunto de los numeros naturales; %, conjunto de los numeros enteros; Q, conjunto de los numeros racionales; R, conjunto de los numeros rcales; C, conjunto de los numeros complejos; Zn, conjunto de los numeros enteros no negativos. La notacidn a C. A (o A 3 a) significa que el elemento a pertenece al conjunto A. La notacion a g A {o A 2 a) significa que el elemento a no pertenece a I conjunto A. Si cada uno de los elementos dt; un conjunto B, pertenecen a un conjunto A, se dice que B es un subamjunto del conjunto A, y en ese caso se escribe B C A {o A D B) (fig, 1). N6tese que VA se verifica que A C A, pues, naturalmente, todo elemento del conjunto A

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Gipilulo I. I i i L i o c U k c i o i i

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