solucion4

MATEMÁTICAS PARA LA EMPRESA II

RELACIÓN 4

EXTREMOS RELATIVOS DE UN CAMPO ESCALAR 

SOLUCIÓN

1. Hallar y clasificar los extremos relativos de las siguientes funciones: a) f(x,y) = 3x4 –x2 +2x2y –2xy Al resolver el sistema: ∂f(x, y)  = 12x 3 − 2x + 4xy − 2 y = 0 ∂x  ∂f(x, y) = 2 x 2 - 2x = 0  ∂y 

obtenemos que los puntos críticos son: (0,0) y (1,-5). El determinante de la matriz hessiana en un punto cualquiera es: 36x 2 − 2 + 4y 4x - 2 Hf(x, y) = 4x - 2 0 y en concreto, en los puntos críticos: Hf(0,0) =

Hf(1,-5) =

−2 -2

-2

0

0 y 20>0, luego (- 2 , 2 ) es un mínimo relativo 4 20

d) f(x,y) = y4 –4xy +4x2 Calculamos, en primer lugar, los puntos críticos resolviendo el sistema: ∂f(x, y)  = −4y + 8x = 0 ∂x  ∂f(x, y) 3 = 4y − 4x = 0  ∂y 

De él se obtienen tres puntos críticos: (0,0), (

1 2 2

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,

1 1 1 ) y (,). El determinante 2 2 2 2 2

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RELACIÓN 4

de la matriz hessiana en un punto cualquiera es: Hf(x, y) =

8 -4 - 4 12y 2

Si analizamos dicho determinante en los puntos críticos, obtenemos: Hf(0,0) =

Hf(

1 2 2

Hf(-

8 -4 1 1 1 )= >0 y 8>0, por lo tanto ( , ) es un mínimo relativo -4 6 2 2 2 2

,

1 2 2

8 -4 0 y 8>0, por lo tanto (,) es un mínimo relativo -4 6 2 2 2 2

e) f(x,y) = x3 +y3 –3(x+y) +1 Los puntos críticos son 4: (1,1), (1,-1), (-1,1) y (-1,-1) y se obtienen resolviendo el sistema: ∂f(x, y)  = −3x 2 - 3 = 0  ∂x  ∂f(x, y) 2 = 3y − 3 = 0   ∂y

El determinante de la matriz hessiana en un punto cualquiera es: Hf(x, y) =

6x 0 . 0 6y

Su análisis en los puntos críticos es el siguiente: 6 0 >0 y 6>0, luego (1,1) es un mínimo relativo 0 6 6 0 Hf(1,-1) = 0 1 2 g) f(x,y) = (x-4) Ln(xy) Al resolver el sistema: ∂f(x, y) (x - 4)  = Ln(xy) + = 0 ∂x x  ∂f(x, y) x − 4 = =0  ∂y y 

se deduce que sólo hay un punto crítico: el (4,1/4). El determinante de la matriz hessiana en un punto cualquiera es: 1 4 + 2 x x Hf(x, y) = 1 y

1 y −x+4 y2

y su análisis en el punto crítico nos indica que éste es un punto de silla ya que: 1/2 4 Hf(4,1/4) = 0 −1 2 2 −1 1 −1 2 0 0 64 2 / 3 − 4 4 3 / 2 0 4 4 4 3/ 2 4 2 / 3 64 2 / 3 4 4 3 / 2 0 44 3 / 2 44 2 / 3 0 >0 0 0 2 En consecuencia, la matriz hessiana representa a una forma cuadrática D.P. y el punto crítico es un mínimo relativo.

2. Dada la función f(x,y)= x 3 –3/2kx2 –y2 + 4. Se pide: a) Hallar sus extremos relativos para los distintos valores de k ∈ ℜ, k  ≠ 0 Para ello, debemos resolver el sistema: ∂f(x, y)  = 3x 2 − 3kx = 0 ∂x  ∂f(x, y) = −2y = 0  ∂y 

de donde se deduce la existencia de dos puntos críticos: (0,0) y (k,0). El determinante de la matriz hessiana en un punto cualquiera es: Hf(x, y) =

6x - 3k  0 0 −2

y en concreto en los puntos críticos: 1) Hf(0,0) =

- 3k  0 = 6k, luego se pueden distinguir dos casos: 0 −2

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RELACIÓN 4

Caso 1.1) 6k>0 → k>0 → -3k 0 , luego (-a,0) es un mínimo relativo. 2 0 8a  b) Calcular el valor o valores que debe tomar a para que la derivada direccional de f tenga un valor igual a - 2 en el punto (1,1) siguiendo la dirección del vector v=(1/ 2 , -1/ 2 ). Al ser las derivadas parciales continuas en cualquier punto, f es diferenciable en cualquier punto y, en concreto, en (1,1). En consecuencia:   1/ 2   − 8a 2 = D v f  (1,1) = ∇f  (1,1) · v = (8 - 4a , 8 + 4a )· =− 2  2  − 1/ 2  2

2

De donde se deduce, que a= ± 1/2. 4*. Hallar y clasificar los extremos relativos de la función: f(x,y) = x5 –5/2px2 +q (y-1)2 según los valores de p, q ∈ ℜ , p, q ≠ 0. Buscamos aquellos puntos que anulan el vector gradiente: 5x 4 − 5px = 0  2q(y − 1) = 0  Estos puntos críticos son: (0,1), ( 3  p ,1). A continuación, analizamos el valor del determinante de la matriz hessiana:  20x 3 − 5p 0    Hf(x, y) =  0 2q   

en dichos puntos críticos. 1) Hf(0,1) =

− 5p

0

0 = -10pq 2q

Se pueden distinguir dos casos:

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RELACIÓN 4

 p < 0, q > 0 → −5p > 0 → (0,1) mínimo relativo Caso 1.1) -10pq>0 → pq 0, q < 0 → −5p < 0 → (0,1) máximo relativo  p < 0, q < 0 → (0,1) punto de silla Caso 1.2) -10pq0 →   p > 0, q > 0 → (0,1) punto de silla

2) Hf( 3  p ,1) =

15p 0 = 30pq 0 2q

Se pueden distinguir dos casos:  p < 0, q < 0 → 15p < 0 → ( 3  p ,1) máximo relativo Caso 2.1) 30pq>0 → pq>0 →  3  p > 0, q > 0 → 15p > 0 → (  p ,1) mínimo relativo  p < 0, q > 0 → (3  p ,1) punto de silla Caso 2.2) 30pq0 y –1/30, luego (1,-3/2) es un mínimo relativo 2 2 6 4 Hf(2,-3) = 0 y –10