Solución Taller 5
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Universidad Industrial de Santander Facultad de Ingenierías Físico‐Mecánicas Escuela de Ingeniería Civil Mecánica de Fluidos
TALLER EJERCICIOS
1.
Para conservar la energía del agua, un “reductor de flujo” es instalado en la cabeza de la ducha como se muestra en la Figura 1. Si la presión en el punto 1 permanece constante y todas las pérdidas, excepto la obtenida por el “reductor de flujo” son despreciadas. Determine el valor del coeficiente de pérdidas del “reductor de flujo” si este está allí para reducir el caudal por un factor de 2. Desprecie la gravedad.
Reductor de Flujo
. 50 huecos de diámetro .
(1) .
Figura 1
Solución Para resolver el problema el problema es necesaria la ecuación de energía. No hay que hay que modificarla aún porque necesitamos primero los valores cuando no tenemos aún el “reductor de flujo”. Para poder determinar la presión, que como el enunciado dice, permanece constante, siendo el punto punto 2 la salida de la ducha, se tiene
2
2
Como se trata de una ducha, la diferencia de alturas es despreciable y además y además no tenemos información que nos diga cuánto es. Así mismo sabemos que la presión en el punto 2 es la presión atmosférica y podemos y podemos considerarla 0 , de esta forma obtenemos, despejando ⁄
2
Y reemplazando por los valores conocidos
Despejando
2 2 2 0.5 4 12 733.386
Ahora es necesario encontrar las velocidades en cada punto, para el punto
Donde
es el área del tubo. Así obtenemos
Ahora, para el punto
Donde
2
tenemos que
50 0. 05 4 12 1466.772 1466.772 2 733.386 1466. 7 72 733. 3 86 2 8.068 10
es el área de los huecos. Obteniéndose
De esta forma, la presión es
1
Conociendo la presión, procedemos a calcular las velocidades cuando tenemos el “reductor de flujo”. Sabiendo que el caudal después de puesto el “reductor de flujo” es la mitad del obtenido inicialmente, entonces tenemos que para los nuevos caudales Sabiendo que
Y de la misma forma
12 12 12 12 733.386 366.693 12 12 12 12 1466.772 733.386
Como en el caso en que existe el reductor, existen pérdidas es necesario establecer la ecuación de energía modificada, así
Donde
2 2
son las pérdidas obtenidas por la presencia del reductor.
Como las pérdidas se dan sobre la carga de velocidad inicial, puede escribirse
Donde
2 2 2
es el coeficiente de pérdidas que debe hallarse.
De la misma forma que se hizo inicialmente se sabe que la diferencia de alturas
0
21 8.068 10
es despreciable, que la presión en el punto
es la presión atmosférica y podemos
considerarla , y que además la presión en el punto
es de
Porque el enunciado lo menciona así. Y además de todo conocemos los valores de velocidad
2 8.068 10 733.386 2 366.693 366.6293 733. 366. 1 3 86 6 93 8.068 10 2 1 733. 3 86 366. 6 93 8.068 10 2 7 33. 3 86 366. 6 93 1 8.068 10 2 . 0.3 ⁄ 0. 0 02 6.0
De esta forma, despejando
de la ecuación de Bernoulli modificada, tenemos
Reemplazando por los valores conocidos
Despejando
2.
A través del sistema de tuberías mostrado en la Figura 2 fluye agua a una tasa de , y la rugosidad es de . El coeficiente de pérdidas para cada uno de los filtros mostrados es , y todas las pérdidas menores son despreciables. Determine la potencia suministrada al agua por la bomba si la presión inmediatamente antes de la bomba es la misma inmediatamente después del último filtro.
Bomba
. Figura 2
Filtros
Solución
Como podemos ver existe la presencia de una bomba. La bomba nos va a proporcionar una altura
, la cual estará encargada de vencer las pérdidas que vamos a obtener por la
presencia de los filtros, que
, y las pérdidas por longitud,
. Por esta razón vamos a obtener
2 2 12
Visto de otra forma, mediante la ecuación de energía modificada podemos decir que:
Donde los puntos
y
son el punto inmediatamente antes de la bomba y el punto
inmediatamente después de los filtros, respectivamente.
Si sabemos por principio de conservación de la masa que los caudales se conservan y el área del tubo es la misma, entonces
Las alturas
y
son iguales o se desprecia su diferencia
.
Y como el problema nos dice que la presión en ambos puntos es la misma, entonces .
De esta forma vamos a obtener nuevamente que
El término
Donde
2 2
puede escribirse como
es el coeficiente de pérdidas por longitud, dado por la ecuación de Darcy ‐
Weisbach como
Y
es el coeficiente de pérfidas debido a los filtros, de tal forma que si para un filtro
tengo un coeficiente así
, para
filtros, mi coeficiente es
2 5
. Con esto podemos reescribir
Para determinar la velocidad sabemos que
0. 23 4 12 13.75
Entonces
Tenemos todo para hallar
, excepto el factor de fricción , por esto es necesario recurrir
al diagrama de Moody. Para esto necesitamos determinar el número de Reynolds
Donde
es la viscosidad cinemática del fluido, en este caso se tomará para el agua
1.2110
es la velocidad media del flujo y
De esta forma
Además necesitamos la relación
Donde
es el diámetro de la tubería
2 1 3. 7 5 12 1.2110 1.894 10 0.0202 1.00 10
es la rugosidad del tubo y , el diámetro del mismo. Así
Con el diagrama de Moody se encuentra
0.0215
De esta forma
2 5 1 3. 7 5 232.2 0.0215 8012 2 56 118.37
Para determinar la potencia, sabemos que esta tiene unidades de decir que la potencia
Siendo , la potencia, , el peso específico del fluido, y
. Así podemos
el caudal
62.40 . 2.0 4.0
Con
3.
La fuente mostrada en la Figura 2 está diseñada para proveer un chorro de agua que alcance una altura entre y sobre la boquilla de forma periódica. Para lograr esto el agua contenida en la pileta entra en una bomba, pasa a través de un regulador de presión que mantiene la presión constante después de la válvula de control. La válvula es controlada electrónicamente para proveer la altura de agua deseada. Para una altura de , el coeficiente de pérdidas de la válvula es de . Conociendo que el área del tubo es de veces el área de la boquilla de salida. Determine el coeficiente de pérdidas de la válvula para la altura máxima permisible. Desprecie todas las pérdidas a excepción de la pérdida obtenida por la válvula.
2.0 5
50
Regulador Bomba
de Presión
Figura 3
Válvula
.
Solución
Para comenzar, es necesario establecer tres puntos sobre los cuales se va a aplicar la ecuación de Bernoulli modificada. Estos tres puntos se muestran en la Figura 3.1
Figura 3.1
Para comenzar, debemos encontrar el valor de la velocidad para cualquier altura,
.
Estableciendo nuestro nivel de dátum en el punto 1, aplicamos la ecuación de energía, obteniendo
2 2 0 20 0 1 2 1 2 2 2.0 29.812 6.264 5
Sabiendo que
y
que la velocidad en el punto
, ya que estamos en la atmósfera, con es
se obtiene
1 1 ,
, y
Entonces
Para
, se obtiene
Como sabemos que el diámetro del tubo es principio de conservación de la masa
veces mayor al de la boquilla de salida, y por
5 5 5 6.2564 1.253 12 2 2 2 2 2
Donde obviamente
y
son las áreas de la boquilla y el tubo, respectivamente, y como
Podemos determinar
Aplicando ahora la ecuación modificada de energía entre los puntos
y , obtenemos
Donde
son las pérdidas obtenidas por la válvula, y podemos escribirlo como
Siendo
es el coeficiente de pérdidas por la válvula, obtenemos
Reemplazando
⁄
Como podemos ver, constante así obtenemos
2 50 2 49 2 1 2 49 29.1.25381 6.921
4.0
no depende de la altura del chorro , entonces permanece
varíe. Haciendo ahora todo nuestro procedimiento para
29.814 8.859 8.8559 1.772 2 2 2 12 1 . 7 72 1 . 7 72 6.921 29.81 29.81 1 4 . 60 0.3 10 14.5 0.20 ⁄
En este momento
no es conocido, pero el resto de valores sí, entonces, reemplazando
en la ecuación modificada de energía entre los puntos
Despejando
4.
y
A través de una tubería de de longitud y de diámetro, se bombea agua desde un tanque más bajo hasta otro más alto donde la diferencia de cotas entre superficies de agua es de como se muestra en la Figura 4. La suma de los coeficientes de pérfidas menores es de . Si la bomba proporciona y el caudal de agua es de . Determine la rugosidad del tubo.
Bomba
Figura 4
40
Solución
1
Para solucionar el problema es necesario aplicar la ecuación de energía modificada, estableciendo nuestro dátum en la superficie del agua del tanque más bajo (Punto ), así
Donde
2 2
,
y
son la altura proporcionada por la bomba, las pérdidas por longitud y
las pérdidas menores, respectivamente.
0 10 10 10 2 2 10 2
Sabemos que las presiones
y
son nulas o iguales, así que se eliminarán. Además, si
los tanques mantienen su nivel de agua, las velocidades en cada punto serán nulas. Sabemos también que
y
. De tal manera que
Lo cual puede escribirse como
Siendo
el coeficiente de pérdidas menores y
el coeficiente de pérdidas por longitud,
el cual según la ecuación de Darcy ‐Weisbach, es
Así
Determinando la velocidad del flujo
4 0.0.230 2.829
Determinando la altura proporcionada por la bomba
4000020 98100. 20.387 2 . 8 29 20.387 10 29.81 0.603 14.5 0.055 1.002 10 ⁄ 1. 2.0802290.103 8.470 10 0.028 0.0280.3 .
Reemplazando
Despejando
Como tenemos
y necesitamos la rugosidad del tubo, debemos recurrir al diagrama de
Moody. Para esto, debemos calcular el número de Reynolds
Utilizando en este caso, para el agua
Entrando en el diagrama de Moody se obtiene
Entonces, despejando la rugosidad,
, se obtiene
5.
Usted entra a trabajar a una empresa y después de unos meses se da cuenta de que su jefe es un man muy bruto de esos que se graduaron a punta de copia en todos los exámenes y que además de todo se las tira de mucha mierda. Él le dice a usted que las pérdidas menores, es decir, obtenidas por los accesorios del sistema son siempre despreciables comparadas con las pérdidas por fricción en los conductos rectos. Esta es su oportunidad para demostrarle que es una bestia y hacerlo quedar mal frente a todos. Demuéstrelo con los cálculos apropiados basándose en la Figura 5, teniendo en cuenta que el agua recorre el sistema entrando por el punto y saliendo por el punto con un caudal de , y que el diámetro de la tubería es de .
0.75
0.020 ⁄
Codo de 90°
.
. B
Codo de
A
90°
.
.
.
Reducción a
Te
Tubería de Hierro Galvanizado
Válvula de Bola Cerrada
Figura 5 Solución
La solución consiste simplemente en verificar cómo es cada una de las pérdidas respecto a la otra. Primero hallamos las pérdidas por longitud. Para esto debemos calcular la longitud total recorrida por el agua, siendo esta
Determinando la velocidad del flujo
6 641 17 0.0.07205 4 12
6.519 1.21010 ⁄ 0. 7 5 6 . 5 19 12 1.210 10
Ahora se determina el número de Reynolds
Con para el agua como
3.367 10
Como se sabe que la tubería es de hierro galvanizado, remitiéndose al diagrama de Mooduy, en la lista de rugosidades puede verse que
De esta manera
0.0005 0.0.000575 12 8.00 10 0.0372 2 17 6 . 5 19 0.0372 0.75 232.2 . 0.75 3⁄4
Encontrando ahora en el diagrama el valor de , se obtiene
Calculando las pérdidas por longitud
Ahora deben calcularse las pérdidas menores, o por accesorios. Para esto nos remitimos a la carta que les entregué junto con el diagrama de Moody. De allí podemos ver que para una tubería de diámetro
(
). Los coeficientes de pérdidas para los
diferentes accesorios presentes en el problema son:
Accesorio
Codo Recto 90° “Te” de Derivación Cono de Reducción
0.63 3.0 0.5
Se sabe entonces que las pérdidas por accesorios están dadas por
Reemplazando
2 6.5192 20.633.00.5 232. . 15%
85%
Pueden darse cuenta que las pérdidas por accesorios son mucho mayores a las pérdidas por longitud, siendo estas apenas un representado por las pérdidas menores.
de las pérdidas totales contra un
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