Solucion Sesión 8_Derivadas

Departamento de Ciencias

Calculo Calcul o 1_Ingeniería

SESIÓN 8 Tema: Derivada de una Función

1.

Calcular la derivada de las siguientes funciones:

a)  f ( x)



 x5

x4



5



2

3x 2



5

Solución:  f ' ( x) 

5 x 4



5

4 x3



2

3(2 x)

  f ' ( x)  x4  2 x3  6 x

b)  f ( x) 

33

x2

2



18 7

x. 6 x 

9 5

x 3 x2

6



13

x2.6 x

Solución: Primero reescribimos la función

 f ( x) 

 f ( x) 

3 2

2

.x

3 2

3



2

x

3



18 7 18 18 7

1

x. x

6

7

x

6





9 5

9 5

2

x. x

5

x

3



3



6 13

1 2

x .x6

13

6 13

x6

Ahora derivamos la función usando la regla de potencias d  dx 2

 f '( x) 

3 2 3 1 ( x ) 2 3

 f '( x)  x

7



18 7 6 1 ( x ) 7 6

1

1

2

3

6

3



3x



3x

( x n )



nx

5



9 5 3 1 ( x ) 5 3

n

1



13



6 13 6 1 ( x ) 13 6

7



x6

1

Departamento de Ciencias

 f '( x) 

c)  f ( x) 

1 3

 x

8 5 x

5

3



3



x

4

Calculo 1_Ingeniería

6

x

2



x

3





3

3

x2

6



x7

1 2x2

Solución: Reescribiendo la función dada, usando la ley del exponente negativo: 1  x

 f ( x) 

8

x

5

5





3x

4





2x



3



 x

n



 x



n

2



2

Derivamos la función usando: d  dx

 f

( x) 

8 5

( 5 x

  f ( x)  8 x6

d)   f ( x)  ( x

20

51

)



5

 12 x

12

 6x

3(4 x



4 1

)



( x n )

2(3x



nx

31

n

1



)(

2 x

2 1

2

)

6 x4  x3

)( x8  2 x)

Solución: Derivamos usando la regla del producto

( f .g )  f g   gf     f ( x)  ( x20  6 x12 )( x8  2 x)



(x 8  2 x ) (x 20  6 x 12 )

  f ( x)  ( x20  6 x12 ) (8 x 7  2)



(x 8  2 x ) (20 x19  72 x 11)

  f ( x)  8 x27  2 x 20  48 x19  12 x12  20 x 27  72 x19  40 x 20  144 x 12

2

Departamento de Ciencias

Calculo 1_Ingeniería

  f ( x)  28 x27  42 x20  120 x19  156 x12

3

e)   f ( x)  ( 3 x  5).( x

3



x)

Solución: Derivamos usando la regla del producto

(  f . g )  f g  1 3

 f ( x)  ( x  5) ( x

3

x )  ( x

1

 f ( x)  ( x

3



5) (3 x

7

 f ( x)  3 x

 f ( x) 

10 3

3

1



3

7

x

3



 f ( x)  15 x2 

f)  f ( x) 

2



1 3

x

2

x )

3

10 3

15 x

1

5

x

3

x7







3

(x

3

x ) ( x 3  5) 1

3



3

3

2



1

3

g f  

1

3





3

2



5 3



x

2

x )( x 3 ) 3

2

3

1

3

1



3

7

x

3



1 3

1

x3

2

x3 2

3 3  x





15 x 2 5 3 3 x2

1  3  x 1  3  x

Solución: Primero reescribimos la función 1

 f ( x) 

1   x 3 1

1   x 3 Derivamos usando la regla de cociente

 f gf   fg  ( )   g g 2 3

Departamento de Ciencias

 f ( x) 

Calculo 1_Ingeniería

1

1

3

3

(1   x ) (1  x

1

) 

1

(1  x ) (1  x 3 ) 3

1

(1 1 3

(1   x ) (  f ( x) 

1 3

 x 3 ) 2



2

1

3

3

x )

(1  x ) (



2

1

x3)

3

1

(1   x 3 ) 2 1

3

 f ( x) 

2

 x

3

1

1



3

x

3

(



1 3

2

x

3

1



3

1

x3)

1

(1   x 3 ) 2 1

3

 f ( x) 

2

 x

3

1

1



3

x

3

2

1



3

x

3

1



3

1

x

3

1

(1   x 3 ) 2 2

2

  x 3 3

 f '( x) 

1

(1   x )

3 2

 f ( x)  

g)  f ( x) 

2



 

1

3 (1  x )

3 2 3

x

2

2 1 1   3 3 (1   x ). x 3   

2

2



1

3 (x

3

2

 x 3 )2

2 3( 3  x  3 x2 ) 2

x3  2 x 2  7  x4  x3  x

Solución: Derivamos usando la regla del cociente

  f  gf   fg     g    g  2

  f ( x) 

( x 4  x3  x)( x3  2 x2  7)  ( x3  2 x2  7)( x4 ( x

4

3

 x  x)

3

 x  x)

2

4

Departamento de Ciencias

  f ( x) 

 f ( x) 

( x 4  x3  x)(3x 2  4 x)  ( x3  2 x 2  7)(4 x3  3x 2 1) ( x4  x3  x)2

(3 x6  4 x 5  3x5  4 x 4  3x 3  4 x 2  (4x 6  3x 5  x 3  8x 5  6x 4  2x 2  28x 3  21x 2  7) ( x 4  x3  x )2  x 6  4 x5  2 x 4  26 x3  19 x 2  7

 f ( x)  

h)

Calculo 1_Ingeniería

  f ( x)



( x 4  x3  x) 2

x(senx 3cos x) 

Solución: Derivamos usando la regla del producto (  f .g )  f g   gf  

 f ( x)  x (sen x

3cos x)



(sen x



3cos x) x

  f ( x)  x (cos x



3 senx)  (sen x  3cos x ).1

  f ( x)  x cos x



3 x sen x

  f ( x)  ( x  3) cos x

i)





(3x





sen x



3 cos x

1) sen x

  f ( x)   xsenx  1 2 x cos x  5

Solución:   f ( x)  ( x sen x  1)(2 x cos x   f '( x)  2( x sen x   f '( x)  2( x sen x



2

2

1)( x cos x)'



1)( x sen x  cos x)

  f '( x)  2( x2 sen2 x   f '( x)   2 x2 sen2 x



 5)' 





(2 x cos x

 5)( x sen x 

(2 x cos x  5)( x sen x)'



(2 x cos x  5)( x cos x

x senx cos x  x sen x  cos x )



2x sen x cos x  2x sen x  2cos x 2

2

  f '( x)  2 x cos x  2 x sen x



1)

4x sen x cos x  2x sen x



sen x)

2x 2 cos 2 x  2x sen x cos x

 5 x cos x  5 senx



2x 2 cos 2 x  2x sen x cos x



5 x cos x  2cos x  5 sen x

5 x cos x  5 sen x



5

Departamento de Ciencias 2

2

Calculo 1_Ingeniería 2

2

  f '( x)  2 x cos x  2 x (1 cos x)



  f '( x)  2 x2 cos 2 x  2 x2  2 x2 cos 2 x   f '( x)  4x 2 cos2 x

 j)

 f ( x) 



(4x sen x



(4x sen x 

 5x  2) cos x  (2x  5) sen x

(4 x sen x

 5 x  2) cos

5x  2) cos x  (2x  5) sen x



x  (2 x  5) sen x 2x 2

 sen( x)  x3  1

Solución: Derivamos usando la regla del cociente

  f  gf   fg     g    g  2

Entonces:

 f '(x) 

 f '(x) 

k)

 f ( x) 

( x3  1) ( sen x) '  sen x ( x3  1) ' ( x3  1) 2 ( x3  1) (cos x) '



3x2 sen x

( x3  1) 2

 x  senx 1  tgx

Solución: Derivamos usando la regla del cociente

  f  gf   fg     g    g  2

Primero reescribir la función, usando la identidad:  sen x

tan  x



cos  x

Entonces:

6

Departamento de Ciencias

Calculo 1_Ingeniería

 f ( x)

 f '(x) 

 f '(x) 

 f '(x) 

( sen x



 f '(x) 

l)

  f ( x)





x sen x cos x cos x  sen x

cos x)( x sen x cos x ) ' ( sen x

( sen x



cos x)( sen x cos x



 

(x sen x cos x )(sen x cos x)

( sen x



cos x)( sen x cos x



 sen x 2

( sen x



 x

+ cos

2

 x =

cos x)(sen x cos x



cos x ) '





sen x)

cos x) 2

x (cos x cos x  sen x sen x) )  ( x sen x cos x)(cos x 2

sen



2

x (sen x cos x) ')  ( x sen x cos x)(cos x ( sen x

usando la identidad:

 f '(x) 

 x  senx  sen x 1 cos x





2sen x cos x





sen x)

2

cos x

1

x cos 2 x  x sen 2 x )  (x sen x cos x )(cos x



sen x )

1  2 sen x cos x  sen2 x cos x



x sen3 x



sen x cos 2 x  x cos 3 x

1  2 sen x cos x

x ln x



x

Solución: Recordar que la derivada del logaritmo natural es:

 f '( x)  ( x ln x



dx

(ln  x)

1 

x

x) '

 f '( x)  ( x ln x)'



 f '( x)  ( ln x



x.

 f '( x)  ln x

1 1



d 

( x) ' 1  x

)1

 f '( x)  ln x 7

Departamento de Ciencias

m)

 f ( x)

Calculo 1_Ingeniería

 x ln x 



 x3



ln x

Solución:  f '(x)

( x3



ln x) ( x ln x) '



( x ln x) ( ln x



( x3



ln x) ( ln x



 x3

 f ( x)

ln 2 x

( x3

 f '( x)  

n)



e x 

ln 2  x





( x3



ln x)



ln x) '

2

1 x . )  ( x ln x) (3x 2  x 3 ( x  ln x) 2



( x

 f '( x) 



( x3  f '( x) 

 f '( x) 

3

( x ln x) ( x3





3



1)



ln x)

3x3 ln x





1 x

)

ln x

2

2 x3 ln x

ln x)2 2 x3 ln x  x3



ln x)2

cos x

ln x

Solución:   f '(x) 

(e x



cos x) ' ln x

x) '(e x



cos x)

(ln x)2

(e x

1 ( )(e x  x (ln x)2



sen x) ln x



sen x)

 f '(x) 

 x

  f '(x) 

 (ln

(e

ln x





(e

x





cos x )

cos x)

x(ln x)2

8

Departamento de Ciencias

o)

  f ( x)

Calculo 1_Ingeniería

x arctgx





Solución:   f '( x)  ( x ) ' arctg x

 f '( x) 

2.

arctg x 2  x





x (arctg x) '

x 1   x 2

Balística. Los expertos en Balística pueden identificar el arma que disparó cierta bala estudiando las marcas en el proyectil. Las pruebas se realizan disparando en un bulto de papel. Si la distancia S, en centímetros, que la bala recorre en el papel está dada por s(t)

3

27 (3 10t)  para 0  t  0,3 segundos, encuentre la velocidad de la bala en un décimo de segundo después de que golpea el papel. 





Solución Derive la función s(t) 3

s(t)  27  (3  10t)



2

2

s'(t)  3(3  10t) (10)  30(3  10t)

Analice la derivada en el décimo segundo

1 1 2 s'( )  30(3  10  ) 10 10



120

La velocidad es de 120 cm/s

3.

En el instante

t



0,

un saltador se lanza desde un trampolín que está a 16 metros sobre el nivel 2

del agua de la piscina. La posición del saltador viene dada por s(t)   8t metros y

t



8t  16 ; con

s

en

 en segundos.

a) ¿Cuándo entra el saltador en el agua? b) ¿Cuál es su velocidad en ese momento? Solución a) Saltador entra al agua significa que s(t)=0. Es decir: 2

s(t)  8t  8t  16



2

0   8(t



t  2)  8(t  2)(t  1)  t=2 segundos

b) La velocidad es la derivada de la posición. Es decir: 9

Departamento de Ciencias

Calculo 1_Ingeniería

s'(t)   16t  8  s'(2)   16(2)  8  24 El saltador entra al agua con una velocidad de 24 m/s

4.

Un cohete se desplaza según la función  y

 100t  

2

2000t 

, en la que y es la distancia recorrida en

km y t el tiempo en horas. a) Calcula la función velocidad b) Calcula la función aceleración (así como la función velocidad se obtiene derivando la función distancia, la función aceleración se obtiene derivando la función velocidad) c) ¿Cuánto vale la velocidad inicial ? ¿ y la aceleración inicial?

Solución Un cohete se desplaza según la función  y

 100t  

2

2000t 

, en la que y es la distancia recorrida en

km y t el tiempo en horas. a) La función velocidad es la derivada de la función dada  y'  100    4000t 

b) La función aceleración es la segunda derivada de la función dada  y' '



4000

c) La velocidad inicial sucede cuando (t=0) v0



100 km / h

Y la aceleración inicial, será a0



4000 km / h

2

10