Solucion S5_ Integral Definida

Departamento de Ciencias

Calculo 2_Ingeniería

SESIÓN 5 Tema: Integral definida 1. Calcule las siguientes integrales definidas: π 2

1) Hallar

 cos 2 xdx 0

Solución: En primer lugar, sea u  2 x Su diferencial es du  2dx, de aquí dx 

du 2

Ahora sustituyendo, se obtiene π 2

 0

cos udu 2

π 2



1 cos udu 2 0



1 senu  2 0 2



1 sen2 x  2 0 2



1  π  1  sen  2.     sen  2.0   2  2  2

π

π

00 0 π 2

2) Hallar

 cos(Lnx)dx 0

Solución: 1 En primer lugar, sea t  Lnx Su diferencial es dt  dx, de aquí dx  xdt . x

Recordar que Lne x  t  x  et , entonces dx  et dt . Ahora sustituyendo, se obtiene

1

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π 2

π 2

 cos(Lnx)dx   cos te dt t

1

1

t

Luego, según el método de ILATE, identificamos a cos(t ) como Trigonométrica y e como Exponencial. Sea u  cos(t ) , su diferencial es du  sen(t )dt Además, sea dv  et dt , integrando sería v  et .





Ahora aplicando la definición udv  uv  duv , se obtiene

e

t

cos(t )dx

 cos(t )(et )   (et )(sen(t ))dt  cos(t )(et )   (et )(sen(t ))dt …. (I)

Posteriormente, según el método de ILATE, identificamos a sen(t ) como Trigonométrica y

et como Exponencial. Sea u  sen(t ) , su diferencial es du  cos(t )dt Además, sea dv  et dt , integrando sería v  et .





Ahora aplicando la definición udv  uv  duv , se obtiene

 e sen(t )dx t

 (sen(t ))(et )   (et )(cos(t ))dt ….(II)

Reemplazando (II) en (I):

 e cos(t )dx  (cos(t ))(e )  (sen(t ))(e )   (e )(cos(t ))dt t

t

t

t

2 et cos(t )dx  (cos(t ))(et )  (sen(t ))(et ) t  e cos(t )dx 

(cos(t ))(et )  ( sen(t ))(et ) 2

Luego, reemplazando en la primera integración: π 2

π 2

 cos(Lnx)dx   cos te dt t

1

π 2

 1

1

(cos(t ))(et )  ( sen(t ))(et ) cos( Lnx)dx  2

2

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π 2

 et cos( Lnx)dx   2 1



   cos(t )  sen(t )  

 e Lne x   cos( Lnx)  sen( Lnx)   2    

 x     cos( Lnx)  sen( Lnx)  2 Luego, reemplazando los valores de x

         1         cos  Ln     sen  Ln        cos  Ln 1   sen  Ln 1   4    2    2   2 





         1         cos  Ln     sen  Ln         4    2    2   2 

3

3) Hallar

 (4  2x)sen(4x  x )dx 2

1

Solución: En primer lugar, sea u  4 x  x 2 Su diferencial es du  (2 x  4)dx, de aquí dx 

du 2 x  4

Ahora sustituyendo, se obtiene 3

3

 (4  2x)sen(4x  x )dx   sen(u)du 2

1

1

  cos(u)   cos(4 x  x2 ) Luego, reemplazando los valores de x:

  cos(4 x3  32 )  cos(4 x1  12 )   cos(3)  cos(3) 0

3

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e

4) Hallar

 (ln x) dx 2

1

Solución: e

e

 (ln x) dx   (ln x)(ln x)dx 2

1

1

Sea u  Ln( x) , su diferencial es du 

1 dx x

Además, sea dv  Lnx , integrando sería

v  x( L n x  1)





Ahora aplicando la definición udv  uv  duv , se obtiene e

e

 (ln x)(ln x)dx  (Ln( x))( x)(Ln( x) 1)   x(Ln( x) 1)  x dx 1

1

1

e

 ( Ln( x))( x)( Ln( x)  1)   ( Ln( x)  1)dx 1

e e   ( Ln( x))( x)( Ln( x)  1)    Ln( x)dx   dx   1  1

 ( Ln( x))( x)( Ln( x)  1)  ( x)( Lnx  1)  x

 ( Ln( x))( x)( Ln( x)  1)   x  Lnx  1  1 

 ( Ln( x))( x)( Ln( x)  1)   x  Lnx  1  1  ( x)( Ln( x))( Ln( x)  1)   x  Lnx  2  ( x) ( Ln( x))( Ln( x)  1)   Lnx  2  ( x) ( Ln( x))2  Ln( x)  Lnx  2  x( Ln2 ( x))  2 x( Ln( x))  2 x

Reemplazando el valor de x: e

 (ln x) dx  e(Ln (e))  2e(Ln(e))  2e - (Ln (1))  2(Ln(1))  2 2

2

2

1

=  e  2e  2e  0  0  2  e  2 4

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5) Hallar

e

3 x

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dx

1

Solución: 1

1

1  En primer lugar, sea t   x  t   x 2 Su diferencial es dt   x 2 dx de aquí dx  2

dt 1

.

1  x 2 2

1

Luego,

1  dt   x 2 dx  2 xdt  dx 2 (2 xdt )(1)  dx(1) 2 xdt  dx

2( x )dt  dx 2tdt  dx

Luego reemplazando en la integral definida inicial: 4

e

3 x

4



dx  3 et (2tdt )

1

1

4



 6 et tdt 1

t

Luego, según el método de ILATE, identificamos a t como Algebraica y e como Exponencial. Sea u  t , su diferencial es du  dt . Además, sea dv  et dt , integrando sería v  et .





  6  te  e   6  te  e 



Ahora aplicando la definición udv  uv  duv , se obtiene

6 et tdx  6 (t )(et )   et dt t

t

t

t

Reemplazando el valor de “t” en función a “x”:



 6  xe

x

 e

 4

x

1

5

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Reemplazando los valores de “x”:



 6  4e

4

 e



4

  6  1e

 

 1

 6 2e2  e2  6 e1  e1



 

 6 3e2  6 2e1



 6 3e2  2e1

 e

1









1

6) Hallar

 x( x

2

 1)3dx

0

Solución: En primer lugar, sea u  x 2  1 Su diferencial es du  2 xdx de aquí dx  1

Luego,



1



x( x  1) dx  x(u )3 2

3

0

0

1



 0

du . 2x

du 2x

u 3du 2 1



1 3  u du 2 0

u4  2 x4

1

 0

Reemplazando el valor de “t” en función a “x”:

( x 2  1)4  8

1

 0

Reemplazando los valores de “x”:



(12  1)4 (02  1)4  8 8



(2)4 (1)4 16  1 15    8 8 8 8 6

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 8

7) Hallar  sec 2 xdx 0

Solución: Aplicando integrales  8

 tan x  0

Reemplazando los valores de x:  tan



 tan 0 8  2 1

 2

8) Hallar  e3  

tan 2 x xdx e 3

4

Solución: Aplicando integrales: 



2

2





4

4

  e3 dx   e3 tan 2 xdx  2

 e3 x  e3  (sec2 x  1)dx 

4

  2  2  3 3 2  e x  e   (sec xdx   dx     4 4 





2

2





4

4

 e3 x   e3 (tan x  x)   2

 e3 ( x  tan x  x)  

4

7

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Calculo 2_Ingeniería  2

 e3 (tan x)  

4

 e3 (tan





 tan ) 2 4



9) Hallar

4

x

 cos

2

x

0

dx

Solución: Sabiendo que: 



4

4 x 2 dx  0 cos2 x 0 x sec xdx

2

Según el método de ILATE, identificamos a x como Algebraica y sec xdx como Exponencial. Sea u  x , su diferencial es du  dx. Además, sea dv  sec2 x , integrando sería v  tan x





Ahora aplicando la definición udv  uv  duv , se obtiene 

 4

4

 x sec xdx  x tan x   tan xdx 2

0

0

 4

 x tan x   tan xdx 0

 4

 x tan x  ln(cos x)  0

 

 

 4

tan





 ln(cos )  0 tan 0  ln(cos0) 4 4

 2  ln    0  0 4 2  



 4

 4

 ln

 2   ln(2)

 (ln  2  )  ln(2) 1/2

8

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Calculo 2_Ingeniería  

4

10) Hallar

 (x

2

2



1  ln  2   ln(2) 4 2

 4



ln  2  2

xdx  1)( x  2)

Solución: Considerando: x x A B C     ( x  1)( x  2) ( x  1)( x  1)( x  2) x  1 x  1 x  2 2

Multiplicando por el MCM=(x+1)(x-1)(x+2)  x A B C       ( x  1)( x  1)( x  2)  ( x  1)( x  1)( x  2) x  1 x  1 x  2  x  A( x  2)( x  1)  B( x  1)( x  2)  C ( x  1)( x  1)

Para hallar el valor de A,B y C hacemos: Si x  1 : 1  B(1  1)(1  2)

1  B(6)

B

1 6

Si x  1 : 1  A(1  1)(1  2)

1  A(2) A

1 2

Si x  2 : 2  C (2  1)(2  1)

2  C (3)

9

Departamento de Ciencias C

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2 3

Luego, la integral será: 1 2   1   4  2 xdx 6 3 2 ( x2  1)( x  2)  2  x  1  x  1  x  2    4

4  1 1 2      dx 2( x  1) 6( x  1) 3( x  2)  2 4

4

4



1 1 1 1 2 1 dx   dx   dx  2 2 x 1 6 2 x 1 3 2 x2



ln( x  1) ln( x  1) 2ln( x  2)     2 2 6 3 2 2 4

4

4

Reemplazando los valores de x: 

ln(5) ln(3) ln(3) ln(1) 2ln(6) 2ln(4)      2 2 6 6 3 3



3ln(5)  3ln(3)  ln(3)  ln(1)  4ln(6)  4ln(4) 6



2ln  3  4ln  4   3ln  5  4ln  6  6

 44 x53  ln  3 4  3 x6    6  2000  ln   729    6 2x  1 2x 1 1 x2  1 dx  1 x2  1 dx  1 x2  1 dx 1

11) Hallar

1

1

Solución: La primera integral, la resolvemos usando cambio de variable: Sea u  x 2  1 Su diferencial es du  2 xdx de aquí dx 

du . 2x

10

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2x  1 du 1 x2  1 dx  1 u dx  arctgx1 1

Luego,

1

1

1

1

1

1

 ln u   arctgx 

Reemplazando el valor de “u” en función de “x”: 1

1

1

1

 ln( x  1)   arctgx  2





 ln 12  1  ln  1  1  arctg 1  arctg  1 2

π  π     4  4 

π 2

2

12) Hallar

 xe dx x

1

Solución: x

En primer lugar, según el método de ILATE, identificamos a x como Algebraica y e como Exponencial. Sea u  x , su diferencial es du  dx. Además, sea dv  e x , integrando sería v  e x .





Ahora aplicando la definición udv  uv  duv , se obtiene 2

1 xe dx x

2

 xe x   e x 1

 xe x 

2

1

 ex 

2

1

 2e2  e  (e2  e)  e2 5

13) Hallar  x x 2  9dx 3

11

Departamento de Ciencias

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Solución: du . 2x

En primer lugar, sea u  x2  9. Su diferencial es du  2 xdx, de aquí dx  Ahora sustituyendo, se obtiene

x

 du 

x 2  9dx   u x    2x  1 u du 2



5

1 u 3/2  ( ) 2 3 / 2 3 5

1  ( x 2  9)3/2  3 3

1 1  (52  9)3/2  (32  9)3/2 3 3 1 1  (16)3/2  (0)3/2 3 3 

64 3

 4

14) Hallar  ln(sin x)cos xdx 1

Solución: En primer lugar, sea u  senx. Su diferencial es du  cos xdx, de aquí dx 

du . cos x

Ahora sustituyendo, se obtiene  4

 ln(sin x)cos xdx 1

π 4

  ln(u )du 1

0

Según el método de ILATE, identificamos a ln u como Trigonométrica y x como Algebraica.

1 Sea v  ln u , su diferencial es dv  . Además, sea dt  1du , integrando sería t  u u





Ahora aplicando la definición udv  uv  duv , se obtiene

12

Departamento de Ciencias π 4

π 4

1

1

 ln(u)du  u ln u 

Calculo 2_Ingeniería π 4

1   u   du u 1  

π 4

π 4

1

1

 u ln u    du

Reemplazando el valor de “u” en función de “x”: π 4

π 4

1

1

 senx ln( senx)   senx 

Reemplazando los valores de x: π π π  sen ln(sen )  sen1ln(sen1)  sen  sen1 4 4 4 

2 2 π ln( )  sen(1)ln( sen(1))  sen  sen(1) 2 2 4



2 π ln 2  ln 2  sen(1)ln( sen(1))  sen  sen(1) 2 4



21 2   sen(1)  ln 2  ln 2   sen(1)ln( sen(1))  2 2 2 





2 ln 2 2  sen(1)ln(sen(1))   sen(1) 4 2

3

15) Hallar

x 1



dx 16 x 2  9

Solución: En primer lugar, observemos que no es aplicable ninguna de las reglas básicas de integración expuestas anteriormente. Para usar una sustitución trigonométrica hay que advertir que

16 x 2  9 

 4 x 2  32

es de la forma

u 2  a 2 . Por tanto, hacemos la

sustitución 13

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16 x 2  9

4x θ 3

u  a sec θ  4 x  3sec θ  sec θ 

4x 3sec θ  x 3 4

Utilizando derivación y el triángulo mostrado, obtenemos

dx 

3sec θ tan θdθ y 3tan θ  16 x 2  9 4

Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al siguiente resultado

x

dx 16 x 2  9

3



 1

3sec θ tan θdθ 4 3sec θ 3 tan θdθ 4 3



 3 dθ 1

1

1  θ 3

3

 1

1 16 x 2  9  arctg 3 3

3

 1

1 3 15 1 7  arctg  arctg 3 3 3 3 1 7   arctg 15  arctg  3 3  2. Resolver los siguientes problemas 1)

La función costo marginal de un fabricante es: C '  0.8q  4 . Si actualmente la fábrica produce q  50 unidades al día, ¿Cuánto costará doblar la producción? Solución: La función costo, C (q), se halla integrando la función costo marginal, C ‘(q), así 100

100

0

0

 C '   0.8q  4 14

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Para calcular esta integral, solo se integra su primer y segundo componente, quedando la función costo, C (q) de esta forma:  0.8q 2  100   4q    2 0 Para hallar el costo de doblar la producción a 100 unidades, se da de la siguiente manera: 0.8(100)2 0.8(0) 2  4(100)   4(0) 2 2  80 x50  4 x100  4400



2)

La definición de costo marginal de un fabricante es:

dC  0.02q  30 . Si la w2sproducción actual es dq

q = 70 unidades por semana, ¿cuánto más costará incrementar la producción a 100 unidades por semana? Solución: La función costo, C (q), se halla integrando la función costo marginal, C ‘(q), así 100

100

70

70

 C'

 0.02q  30

Para calcular esta integral, solo se integra su primer y segundo componente, quedando la f función costo, C (q) de esta forma:  0.02q 2  100   30q    2  70 Para hallar el costo de doblar la producción a 100 unidades, se da de la siguiente manera: 0.02(100)2 0.02(70)2  30(100)   30(70) 2 2  100  3000  49  2100  951 

3)

Una fábrica creada en 2000 ve como poco a poco empieza a desgastarse su equipo, por lo que sus costos de mantenimiento empieza a aumentar. Si se conoce que el incremento de esos costos viene dada por la función: M '(t )  140t 2  9800 en euros por año. ¿qué costo total tendrá esta fábrica desde el año 2010 al 2015? Solución:

15

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La función incremento de costo de mantenimiento, M (t), se halla integrando la función incremento de costo, M‘(t), así 5

5

0

0

2  M '(t )  140t  9800

Para calcular esta integral, solo se integra su primer y segundo componente, quedando la función costo, C (q) de esta forma:  140t 2 5   4q    2 0

Para hallar el costo total que tendrá esta fábrica desde el año 2010 al 2015, se da de la siguiente manera: 140(5)2 140(0)2  9800(5)   9800 3 3  5833.33  49000  54833.33



4)

dG  50t  20 dt litros por hora. Si no cierra el grifo hasta la tres de la tarde, ¿Cuántos litros se habrá derramado?

Una persona deja el grifo abierto a las ocho de la mañana. El agua sale a razón de:

Solución: La razón a la que se sale el agua, G (t), se halla integrando la función , G‘(t), así

7

7

0

0

 G '(t )   50t  20 Para calcular esta integral, solo se integra su primer y segundo componente, quedando la función costo, C (q) de esta forma:  50t 2 7   20t    2 0

Para hallar la cantidad de litros de agua derramada, se da de la siguiente manera: 50(7)2 50(0)2  20(7)   20(0) 2 2  25x49  20 x7  1365



5)

En un partido de máxima expectación, las puertas de un estadio de fútbol se abren a las 16:00 horas, y los aficionados entran en él a razón de: 5(1  t )3  185(1  t )2 aficionados por hora, t horas 16

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después de la apertura de las puertas de acceso. ¿cuántos aficionados entrarán hasta las 18:00 horas, cuando está previsto el comienzo del partido? Solución: La cantidad de aficionados que entran V(t), se halla integrando la función de la razón en la que entran, V’(t) 2

2

0

0

3 2 V '(t )   5(1  t )  185(1  t )

Para calcular esta integral, solo se integra su primer y segundo componente, quedando la función costo, C (q) de esta forma:  5(1  t )4 185(1  t )3  2    4 3  0

Para halar la cantidad de aficionados que entrarán en dos horas, se da de la siguiente manera:  5(3)3 185(3)2   5(1)3 185(1) 2       3   4 3   4



6)

4510 3

El beneficio marginal de una cierta compañía es de: B'(x)  10(20  x)e x/20 dólares por unidad cuando el nivel de producción es de “x” unidades. Si el beneficio de la compañía es de $12 000 cuando se produce 150 unidades. Determine el beneficio implicado en incrementar la producción de 100 a 300 unidades. Solución: El beneficio B( x) se determina integrando B '( x) con respecto a x . Así B( x)   B '( x)dx  10(20  x)e x /20 dx

Para integrar ambos miembros, se emplea la integración por partes usando el método de ILATE, identificamos a e



x 20

como Exponencial y (20  x) como Algebraica.

Sea u  20  x , su diferencial es du  1.

Además, sea dv  e x /20 dx , integrando sería

v  20e x /20 .





Ahora aplicando la definición udv  uv  duv , se obtiene

 (20  x)e

 x/20

 (20  x)20e x/20   20e x/20 ( 1)

 (20  x)20e x/20   20e x/20 (1) 17

Departamento de Ciencias

Calculo 2_Ingeniería

 (20  x)20e x/20  20( 20)e x/20  e x/20 (20x  400  400)  e x/20 (20x  400  400)

 10(20x)e x/20

 200xe x/20

Luego, reemplazando los valores de x:

 200xe x/20

300



100

 200(300e300/20  200e100/20 )  20000e15 (3  e10 )

7)

Una función de costo marginal de un fabricante es:

dc 500q . Si c está en dólares,  2 cq q  50q  600

determine el costo implicado en incrementar la producción de 100 a 300 unidades. Solución: Considerando: q q A B    q  50q  600 (q  10)(q  60) q  10 q  60 2

Multiplicando por el MCM  (q  60)(q  10)  q A B      (q  60)(q  10)  (q  10)(q  60) q  60 q  10  q  A(q  60)  B(q  10)

Para hallar el valor de A y B hacemos: Si q  60 : 60  B(70)

6 B 7

Si q  10 : 18

Departamento de Ciencias

Calculo 2_Ingeniería

10  A(70) 1 A 7

Luego, la integral será: 300

300

qdq q  500  2 q  50q  600 (q  10)(q  60) 100 100

500 

6   1  7   500    7 dq q  10 q  60  100    300

4

4

1 6 dq  500 dq 7(q  60) 7(q  10) 2 2

 500

4



4

500 1 500 x6 1 dq  dq   7 2 7(q  60) 7 2 (q  10) 4

4

500 x6 500  ln(q  60)   ln(q  10)  7 7 2 2

Reemplazando los valores de x: 

3000ln(360)  3000ln(160)  500ln(290)  500ln(90) 7

19