Solucion Pro Vectores

Problemas de Mecánica: Vectores

5.Vectores 1. Encontrar la componente horizontal y vertical de las siguientes fuerzas: F = 260 lb

θ = 60 0

F = 310 lb

θ = 210 0

En problemas de vectores, cuando se proporciona la magnitud del vector y su orientación, se recomienda: i. Hacer una representación gráfica en el plano para visualizarlo. Si el tratamiento que le vamos a dar es por medio del método analítico, utilizar una regla u objeto recto (no es necesario usar el juego geométrico). Se pueden representar utilizando aproximaciones tanto para la magnitud como para el ángulo, guardando las proporciones cuando son más de dos vectores. Lo anterior es para darnos una idea global de lo que esperaríamos encontrar (Así por ejemplo, al observar la figura vemos que la componente horizontal de F1 es menor que la de F2). ii. Trazar líneas punteadas paralelas a los ejes coordenados a partir de la punta del vector. iii. Escribir sobre los ejes las componentes de los vectores utilizando subíndices para identificarlas. iv. Si el vector se encuentra en el I cuadrante, aplicar los conocimientos de funciones trigonométricas a los triángulos rectángulos que se forman. Cuando el ángulo es mayor de 900, existen dos opciones: a) La primera es aplicar las funciones trigonométricas (como si el vector estuviese en el primer cuadrante) siempre y cuando el ángulo sea medido en sentido contrario a las manecillas del reloj. b) La segunda es trazar el triángulo rectángulo que se forma identificando el cateto opuesto y el adyacente y aplicar las funciones trigonométricas al triángulo formado. Adicionalmente, observar hacia dónde apunta el vector para darle los signos (+ , - ) a nuestros resultados, Así por ejemplo, la componente horizontal del vector F2

apunta hacia la izquierda en sentido del eje x- por lo que a tal componente le habremos de agregar el signo negativo. Lo mismo ocurre para la componente vertical, ya que el vector apunta en sentido del eje y-. Componente rectangular horizontal del vector F1. Del triángulo rectángulo formado y señalado con sombra, aplicamos la función trigonométrica:

Problemas de Mecánica: Vectores

cos θ1 =

cat. ady. F1 x = hip F1

Despejando a la componente horizontal:

F1x = F1 cos θ1 = 260 lb (cos 60 0 ) = 260 lb (0.5) = 130 lb Componente rectangular vertical del vector F1. De la función trigonométrica:

senθ1 =

cat. op. F1 y = hip F1

despejamos la componente vertical

F1 y = F1 senθ1 = 260 lb ( sen60 0 ) = 260 lb (0.8660) = 225.16 lb Componente rectangular horizontal del vector F2.

De la función trigonométrica

cos θ2 =

cat. ady. F2 x = hip F2

despejando a la componente horizontal:

F2 x = F2 cos θ2 = 310 lb (cos 210 0 ) = 310 lb ( −0.8660) = −268.47 lb Componente rectangular vertical del vector F2. De la función trigonométrica

senθ2 =

cat. op. F2 y = hip F2

despejando a la componente vertical:

F2 y = F2 senθ2 = 310 lb ( sen 210 0 ) = 310 lb (−0.5) = −155 lb . Para éste mismo vector F2, encontraremos las componentes basándonos en el triángulo rectángulo que se forma: Componente rectangular horizontal de F2 con θ = 30 0 . De la función trigonométrica

Problemas de Mecánica: Vectores

cos θ2 =

cat. ady. F2 x = hip F2

despejando a la componente horizontal:

F2 x = F2 cos θ2 = 310 lb (cos 30 0 ) = 310 lb (0.8660) = −268.47 lb . Como el vector apunta en sentido de x-, le agregamos el signo negativo F2x = - 268.47 lb. Componente rectangular vertical de F2 con θ = 30 0 . De la función trigonométrica:

senθ2 =

cat. op. F2 y = hip F2

despejando a la componente vertical:

F2 y = F2 senθ2 = 310 lb ( sen30 0 ) = 310 lb (0.5) = 155 lb . Como el vector apunta en sentido de y-, le agregamos el signo negativo F2y = - 155 lb. 2. Encontrar las componentes rectangulares de una fuerza de 50 N, cuya dirección forma un ángulo de 500 por encima de la horizontal. Como el ángulo se mide en sentido contrario a las manecillas del reloj, aplicamos las relaciones: Fx = F cos θ

Fy = F senθ

Fx = 50 N (cos 500)= 50 N (0.6428) = 32.14 N Fy = 50 N (sen 500) = 50 N (0.766) = 38.30 N 3. Encontrar la magnitud y dirección de los vectores cuyas componentes son: Ax = 10

Bx = -10

Ay = 30

By = 30

En este problema, se nos proporcionan las componentes rectangulares y se nos pide encontrar al vector. Para encontrar la magnitud, aplicamos el teorema de Pitágoras A = A = ( Ax ) 2 + ( Ay ) 2 Para encontrar la dirección y sentido, aplicamos la función trigonométrica tangente del ángulo. El ángulo viene dado por la tangente inversa del cociente de la componente vertical entre la componente horizontal.

A  θ = tan −1  y   Ax  Para el vector A

Problemas de Mecánica: Vectores

A = A = (10) 2 + (30) 2 = 1000 = 31.62

 30  −1 0  = tan (3) = 71.56  10 

θ = tan −1 

Para el vector B B = B = (10) 2 + (−30) 2 = 1000 = 31.62

 − 30  −1 0  = tan ( −3) = −71.56 10  

θ = tan −1 

Antes de proceder a graficarlos, es pertinente hacer la siguiente aclaración: Cuando se calcula el ángulo mediante la función tangente inversa, se presenta una complicación debido a que hay dos ángulos menores de 3600 que tienen la misma tangente. Estos dos ángulos difieren en 1800 Por ejemplo: tan 250 = 0.466307 tan (250 +1800 )= tan 2050 = 0.466307 Para salvar dicha dificultad, se debe de seguir lo siguiente: a) Si las dos componentes del vector son positivas, el vector se encuentra en el I cuadrante y el ángulo se calcula directamente de la fórmula. b) Si las dos componentes son negativas, el vector se encuentra en el III cuadrante y al resultado obtenido se le suman 1800. c) Si la componente horizontal es negativa y la vertical positiva, el vector se encuentra en el II cuadrante y al resultado (que es negativo) se le suman 180 0. d) Si la componente vertical es negativa y la horizontal positiva, el vector se encuentra en el IV cuadrante, obteniéndose un ángulo negativo, lo cual nos indica que se mide en sentido de las manecillas del reloj. Para obtener el ángulo medido en sentido contrario a las manecillas del reloj, hay que sumarle 3600. Con las observaciones anteriores, el vector B se encuentra en el II cuadrante por lo que hay que sumarle 1800 al resultado obtenido.

4. Encontrar la magnitud y dirección de los vectores, cuyas componentes son: Cx = -1 0

Dx = 10

Cy = - 30

Dy = - 30

C = C = (C x ) 2 + (C y ) 2 = (10) 2 + (−30) 2 = 1000 = 31.62

Problemas de Mecánica: Vectores

 − 30  −1 0 θC = tan −1   = tan (3) = 71.56  − 10  Como las dos componentes son negativas, el vector se encuentra en el III cuadrante y al ángulo le sumamos 180 0.

θ C = 71.56 0 + 180 0 = 251.56 0 D = D = ( D x ) 2 + ( D y ) 2 = (10) 2 + (−30) 2 = 1000 D =31.62

 − 30  −1 0  = tan ( −3) = −71.56  10 

θ D = tan −1 

θ C = 71.56 0 + 180 0 = 251.56 0 Como la componente horizontal es positiva y la vertical negativa, el vector se encuentra en el IV cuadrante, por lo que al ángulo hay que sumarle 3600.

θ D = −71.56 0 + 360 0 = 288.44 0 5. Un cable arrastra un carro de mina con una fuerza de 120 Newton en una dirección de 120 0 sobre la horizontal. Encontrar las componentes rectangulares de esta fuerza.

Fx = F cos θ =120 N( cos120 0 ) =120 N (−0.5)

Fx = − 60 N Fy = F sen θ =120 N( sen120 0 ) =120 N (0.8660) Fy = 103.92 N

6. Un aeroplano vuela 60 km en una dirección de 40 0 al Oeste del Norte ¿Cuáles son las componentes rectangulares de su desplazamiento del avión?

D x = D cos θ = 60 Km( cos130 0 ) = 60 Km ( −0.6428)

D x = −38.57 Km D Y = D sen θ = 60 Km(sen130 0 ) = 60 Km (0.7660) Dy = 45.96 Km

Problemas de Mecánica: Vectores 7. Un barco navega hacia el noroeste con una rapidez de 40km/hr. Hallar la componente de su rapidez en dirección del Oeste. Considerando el ángulo de 1350

Vx = V cos θ = 40 Vx = - 28.28

Km Km (cos135 0 ) = 40 (0.7071) hr hr

Km hr

Considerando el ángulo de 450

Vx = V sen θ = 40 Vx = 28.28

Km Km (sen450 ) = 40 (0.7071) hr hr

Km hr

Vx = -28.28 km/hr (Se le agregó el signo negativo porque el vector V apunta en dirección del eje x-). 8. Encontrar la magnitud y dirección de la fuerza resultante producida por una fuerza vertical hacia arriba de 40 N y una fuerza horizontal hacia la derecha de 30 N. a) Por el método analítico. b) Por el método gráfico. Analítico. Como los vectores se encuentran sobre los ejes, sus componentes rectangulares son iguales a las magnitudes, es decir: F1 y = F1 = 30 N

F2 x = F2 = 40 N

FR = FR = ( F2 x ) 2 + ( F1 y ) 2

FR = FR = ( 40 N ) 2 + (30 N ) 2 FR = FR = 2500 N 2 = 50 N Para determinar su orientación:

 R1 y θ D = tan −1   R2 x

 40 N  = tan −1 ( ) = 53.130 30 N 

9. Encontrar la magnitud y dirección de la resultante de tres fuerzas: F1 = 5 N

θ 2 = 45 0 

F2 = 3 N

φ2 = 180 0

Método Gráfico

F3 = 7 N

θ 3 = 225 0

Problemas de Mecánica: Vectores

Método Analítico: FR = FR = ( FRx ) 2 + ( FRy ) 2 donde:

FRx = F1x + F2 x + F3 x FRy = F1 y + F2 y + F3 y . Para las componentes en el eje x FRx = F1 cos θ1 + F2 cos θ2 + F3 cos θ3

FRx = 5 cos 45 0 + 3 cos180 0 + 7 cos 225 0 FRx = 3.5355 + 8 − 39 + 8 − 4.9497) FRx = −4.4142 N . Para las componentes en el eje y FRy = F1 senθ1 + F2 senθ2 + F3 senθ3

FRy = 5sen 45 0 + 3sen180 0 + 7 sen 225 0 FRy = 5(0.7071) + 3(0) + 7( −0.7071) FRy = −1.4142 N sustituyendo los valores encontrados

FR = FR = ( −4.4142) 2 + (−1.4142) 2 FR = FR = 19.48 + 2 = FR = FR = 4.63 N

21.48

.

Para encontrar el ángulo

 FRy θ R = tan −1   FRx

θ R = 17.76 0 .

 − 1.4142 N  −1  = tan −1   = tan (0.3204)  − 4.4142 N  

Problemas de Mecánica: Vectores Como ambas componentes son negativas, el vector resultante se encuentra en el III cuadrante por lo que tenemos que sumarle 1800.

θ R = 197.76 0 10. Un vector D tiene 2.5 m de magnitud y apunta hacia el Norte. ¿Cuáles son las magnitudes y direcciones de los siguientes vectores? a) - D b) D / 2 c) -2.5 D d) 4.0 D a) magnitud de 2.5 y apunta hacia el sur b) magnitud 1.25 y apunta hacia el norte. c) magnitud 6.25 y apunta hacia el sur d) magnitud 10 y apunta hacia el norte 11. Calcular el producto punto y la magnitud del producto cruz de los vectores: a) F1 = 260 lb

θ1 = 60 0

b) Cx = -10

Cy = -30

F2 =310 lb

Dx = 10

θ1 = 210 0 Dy = - 30

a) Producto punto: F1 •F2 = F1 F2 cos θ12

Donde

θ12

es el menor ángulo que se forma entre F1 y F2 ( (θ = 210 0 − 60 0 = 150 0 )

F1 • F2 = (260lb)(310lb)(cos150 0 ) = 69801.64lb 2 a) Producto cruz: F1 ×F2 = F1 F2 senθ12

F1 ×F2 = (260lb)(310lb )( sen150 0 ) = 40300lb 2 b) Para encontrar el producto punto y la magnitud del producto cruz, primero debemos de encontrar las magnitudes y direcciones de los vectores, lo cual se hizo en el problema 4 de esta misma serie, siendo éstos:

C = 31.62

θ C = 251.56 0

D = 31.62

θC = 288.44 0

C • D = C D cos θCD = (31.62)(31.62) cos(288.44 0 − 251.56 0 )

C • D = 999.8244 cos 36.88 0 = 799.89 C ×D = C D senθCD

Problemas de Mecánica: Vectores C ×D = (31.62)(31.62) sen36.88 0 = 600.14

12. Dados los vectores A y B que tienen las siguientes componentes: Ax = 3.2 Ay = 1.6 Bx = 0.5 By = 4.5 Encontrar el ángulo entre los dos vectores. El ángulo entre los vectores viene dado por el producto punto: A • B = A B cos θAB

despejando el ángulo: cos θAB =

A •B A B

.

Por otro lado, el producto punto entre dos vectores, expresado en función de los vectores unitarios es:

A • B = ( Ax iˆ + A y ˆj ) • ( B x iˆ + B y ˆj ) . Efectuando las multiplicaciones como si fuese el producto de dos binomios del álgebra elemental, pero conservando el producto punto: A • B = Ax iˆ • B x iˆ + Ax iˆ • B y ˆj + Ay ˆj • B x iˆ + A y ˆj • B y ˆj

A • B = Ax B x (iˆ • i ) + Ax B y (iˆ • ˆj ) + A y B x ( ˆj • iˆ) + Ay B y ( ˆj • ˆj ) donde: iˆ •i = i i cos θ = (1)(1) cos 0 0 =1 ˆj • ˆj = j j cos θ = (1)(1) cos 0 0 =1

iˆ • ˆj = i j cos θ = (1)(1) cos 90 0 = 0 ˆj •iˆ = j i cos θ = (1)(1) cos 90 0 = 0

teniendo que el producto punto entre los vectores A y B se reduce a:

A • B = Ax B x + Ay B y . En nuestro problema:

A • B = 3.2(0.5) + (1.6)( 4.5) = 1.6 + 7.2 = 8.8 Adicionalmente a lo anterior, tenemos que las magnitudes de los vectores son: A = ( Ax ) 2 + ( A y ) 2 = (3.2) 2 + (1.6) 2 = 3.577 B = ( B x ) 2 + ( B y ) 2 = (0.5) 2 + ( 4.5) 2 = 4.527 Sustituyendo los valores encontrados en la ecuación para el ángulo:



 8.8 −1 0   = cos (0.5434) = 57  (3.577)(4.527) 

θ AB = cos −1 

Problemas de Mecánica: Vectores b) Encontrar las componentes x y y de un vector ( B ) que sea perpendicular al vector A = 3.2i + 1.6j y que tenga 5 unidades de longitud. Es decir: Bx = ? By = ? B=5 El problema se puede resolver de una forma sencilla, sin embargo, lo resolveremos utilizando el formulismo matemático, para ello aplicamos: o

El producto cruz entre dos vectores y determinamos la magnitud del vector resultante C

C=AxB C = A ×B = A B senθAB

donde: A = ( Ax ) 2 + ( A y ) 2 = (3.2) 2 + (1.6) 2 = 3.577 B=5

θ = 90 0 por ser perpendiculares Sustituyendo: C = (3.577)(5) sen 900 C = 17.885 o

El producto punto entre los vectores

A • B = A B cos θAB

A • B = (3.577)(5) cos 90 0

A•B = 0 Por otro lado, en el inciso anterior de este mismo problema tenemos que el producto punto entre los vectores A y B en función de sus componentes viene dado por: A • B = Ax B x + Ay B y Adicionalmente, determinaremos el producto cruz entre los vectores y lo expresaremos de igual forma en función de sus componentes rectangulares: A x B = (Ax i + Ay j ) x (Bx i + By j ) A x B = ( Ax i x Bx i ) + ( Ax i x By j )+( Ay j x Bx i )+ ( Ay j x By j ) A x B = Ax Bx ( i x i ) + Ax By ( i x j ) + Ay Bx ( j x i ) + Ay By ( j x j ) donde: ixi=0 ix j=k j x i = -k jxj=0

Problemas de Mecánica: Vectores Donde k se determina usando la regla de la mano derecha, siendo un vector unitario perpendicular a i y a j, que se encuentra en dirección del eje de las z en el espacio tridimensional. Sustituyendo estos valores en el producto cruz entre los vectores A y B A x B = Ax Bx ( i x i ) + Ax By ( i x j ) + Ay Bx ( j x i ) + Ay By ( j x j ) A x B = Ax Bx ( 0 ) + Ax By ( k ) + Ay Bx ( -k ) + Ay By ( 0 ) A x B = Ax By ( k ) + Ay Bx ( -k ) C = A x B = ( Ax By - Ay Bx )( k ) Donde C está en la dirección del vector unitario k, su magnitud viene expresada por: C = Ax By - Ay Bx Esta misma magnitud es la que encontramos anteriormente, es decir, C = 17.885 Resumiendo todo lo anterior, tenemos que: C = Ax By - Ay Bx = 17.885 Resultando un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Éstas son las componentes B x y By, las cuales determinaremos a continuación: Ax By - Ay Bx = 17.885 Ax Bx + Ay By = 0 Sustituyendo los valores de las componentes del vector A: 3.2 By - 1.6 Bx = 17.885 3.2 Bx + 1.6 By = 0 Multiplicando la segunda ecuación por -2 3.2 By - 1.6 Bx = 17.885 (-2) (3.2 Bx + 1.6 By )= 0 (-2) Efectuando el producto 3.2 By - 1.6 Bx = 17.885 -6.4 Bx - 3.2 By = 0 Reagrupando términos y sumando: 3.2 By - 1.6 Bx = 17.885 + - 3.2 By - 6.4 Bx = 0 - 8 Bx = 17.885 Despejando a la componente: Bx = 17.885 / -8 Tenemos que: Bx = - 2.235 De igual forma se encuentra la componente B y, multiplicando la primera ecuación por 2 (aunque también se puede hacer sustituyendo el valor de B s encontrado, en cualquiera de las dos ecuaciones) ( 2 ) ( 3.2 By - 1.6 Bx ) = 17.885 ( 2 )

Problemas de Mecánica: Vectores 3.2 Bx + 1.6 By = 0 obteniendo: 6.4 By - 3.2 Bx = 35.77

+

1.6 By + 3.2 Bx = 0 8 By = 35.77 Despejando By By = 35.77 / 8 By = 4.471 Para comprobar nuestros resultados, calcularemos la magnitud del vector B utilizando las componentes: B = B = ( Bx ) 2 + ( B y ) 2 = ( −2.235) 2 + (4.471) 2 = 4.99 +19.99 = 24.98 = 5 y el ángulo:

B  4.471 θ = tan −1  y  = tan −1 ( ) = tan −1 (−2) = 63.47 0 2.232  Bx  Como la componente horizontal es negativa, a este ángulo le sumamos 180 0, obteniendo el ángulo medido con respecto al eje de las x+.

θ B = 1800 − 63.470 = 116.520 y la diferencia entre

θB

y

θA

es

θ B − θ A = 116.523 − 26.56 = 900 - θB Ahora resolveremos el mismo problema, aunque de una manera no muy ortodoxa, es decir, sin el formulismo vectorial. a' ) Encontrar el ángulo entre A y B Conociendo las componentes podemos determinar los ángulos que forman cada vector con respecto al eje de las x+, posteriormente, calculamos la diferencia entre ambos ángulos y obtenemos el ángulo entre ellos.

A   1.6  −1 0 θ A = tan −1  y  = tan −1   = tan (0.5) = 26.565  3.2   Ax  B   4 .5  −1 0 θ B = tan −1  y  = tan −1   = tan (9) = 83.658  0 .5   Bx 

θ B − θ A = 83.6580 − 26.5650 = 57.090 b' ) Encontrar las componentes x y y de un vector ( B ) que sea perpendicular al vector A = 3.2i + 1.6j y que tenga 5 unidades de longitud. Es decir: Bx = ? By = ? B=5

Problemas de Mecánica: Vectores Para que el vector B sea perpendicular a A, debemos de sumarle 900

θ B = θ A + 90 = 26.5650 + 900 = 116.5650 Conociendo el ángulo y la magnitud, podemos encontrar las componentes

Bx = B cosθB = 5 cos116.5650 = 5( −0.4472) = −2.236 By = B senθB = 5sen116.5650 = 5(0.8944) = 4.472