Solucion Numeros Complejos

 

Matem´ Mat em´ aticas atic as Avanzadas Avanza das para par a Ingenier´ Inge nier´ ııa a N´umeros umeros Complejos: Problemas Resueltos  z 1  = 3 + 2 i  y  z 2  = 4 + 7 i, calcule: 1. Si Si z  z 1 z2   c) z d)  z 2 /z1 c)  z 1 z2   d) z b) z  +  z2   b) a) z a)  z 1  + z e indique la opci´oon n con su resultado dentro de la siguiente lista: 1) 2 i   2) 2 + 29 i   3) 2 29 i 4) 7 + 9 i   5) 2 + i   6) 1 5 i

·  − −  − −

−

−

 −

Soluci´ o on n

a)  z 1  +  z2   = (3 + 2 i) + (4 + 7 i)  + z = 3 +4 +2i +7i respecto a   i = 7 + 9 i   agrupado respecto b)  z 1

− z2   =

c)  z 1 z2   = = = = =

·

= d)

−

(3 + 2 i) (4 + 7 i) = 3 4+2i 7i respecto a   i = 1 5 i   agrupado respecto

  z2 z1

= = = = =

−  − −

−

·

(3 + 2 i) (4 + 7 i) contra todos (3) (4) + (2 i) (4) + (3) (7 i) + (2 i) (7 i)   todos contra 2 12 + 8 i + 21 i + 14 i 12 + 8 i + 21 i 14   cambiando   i2 = −1 12 14 + 8 i + 21 i

·

·

·

·

−

respecto a   −2−+ 29 i   agrupado respecto

 i

  4+7 i 3+2 i   4+7 i   3−2 i denominador 3+2 i 3−2 i   multiplicando por conjugado del denominador   (4+7 i)·(3−2 i) (3+2 i)·(3−2 i)   12+21 i−8 i−14 i2 9+6 i−6 i−4 i2   multiplicando arriba y abajo 2   12+21 i−8 i+14 9+6 i−6 i+4   cambiando   i = −1   26+13 i 13   agrupado respecto a   i   26   13 distribuyendo o el denominador que es real 13  + 13  i   distribuyend

 ·

= = = 2+i

−4 − 2 i,  z2  = 2 + 4 i  y  z 3  = 3 + 2 i, calcule:  +  z2 ) · (z1 − z3 ) a) z a)  z 1 · (z2 − z3 ) c) (z1  + z

 z 1  = 2. Si Si z

Soluci´ o on n

a)  z 1 (z2

·

− z3)

− − · − − − ·− − ·− − ·− − · − · − − − − c) (z1  + z  +  z2 ) · (z1 − z3 ) = ((−4 − 2 i) + (2 + 4 i)) · ((−4 − 2 i) − (3 + 2 i)) = (−2 + 2 i) · (−7 − 4 i) = (−2) · (−7) + (2 i) · (−7)+ −2)− 14 · (−i +4 i8) +i −(28ii)2· (−4 i) = (14 = 14 − 14 i + 8 i + 8 = 22 − 6 i = = = = = =

( 4 2 i) ((2 + 4 i) (3 + 2 i)) ( 4 2 i) ( 1 + 2 i) ( 4) ( 1) + ( 2 i) ( 1) + ( 4) (2 i) + ( 2 i) (2 i) 4 + 2 i 8 i 4 i2 4 + 2i 8i +4 8 6i

3. Realice Realice los siguientes siguientes c´aalculos: lculos:

 

 

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2

a)   i13 b)   i20 c)   i23 d)   i−7 e)   i−17 y ubique los resultados dentro de esta lista de respuestas: 1) 1 2)

  −1

3)   i 4)

  −i

Soluci´ o on n A tener presente:

 i:: Las primeras potencias enteras de de i i0 = 1, 1 , i1 =  i, i2 =

−1, i3 = i2 · i = −i, i4 = i2 · i2 = 1

El algoritmo de la divisi´on on para enteros: Todo n´umero umero entero n entero  n  se puede expresar en la forma r

n  = 4 q  + r,  +  r,   con 0

3= 4

≤ ≤

·

1

−

con  q    y  r  enteros; a r con q  a  r  se conoce como el residuo de la divisi´oon n y puede obtenerse con la funci´oon n   mod . Observe que si se tiene r tiene  r  = n  =  n mod 4, entonces q  =  = (n

− r)/4

Respuesta:

a) Como 13 mod 4 = 1, q  1,  q  =  = (13 1)/ 1)/4 = 3, as´ı 13 4·3+1 4·3 1 4 3 i =  i i = i i  = 1 i  = i =  i  =  i

  −·

·

b) Como 20 mod 4 = 0, q  0,  q  =  = (20 20 4 5 0 i = i i =1

· ·  −  ·  −  ·

·

− 0)/ 0)/4 = 5, as´ı

c) Como 23 mod 4 = 3, q  3,  q  =  = (23 3)/ 3)/4 = 5, as´ı i23 = i4 5 i3 = i d) Como 7 mod 4 = 1, q  1,  q  =  = ( 7 1)/ 1)/4 = 2, as´ı − 7 1 4 −2 i = i i =  i

−

− − −

−

e) Como 17 mod 4 = 3, q  3,  q  =  = ( 17 − 17 3 4 −5 i i = i = i

−

− − 3)/ 3)/4 = −5, as´ı

Tomando omando en cuenta cuenta las posiciones posiciones posibles de las respu respuestas estas,, debe anotarse:

3,  1,  1 ,  4  4,,  3  3,,  4 2

4. ¿Cu´anto anto debe valer el real x real  x  para que el complejo (3 + x + x i) sea imaginario puro? Respuesta: Soluci´ o on n

Recordemos que para que un n´ umero umero complejo sea imaginario puro se requiere que su parte real sea cero. Como 2

(3 + x + x i) = 9

− x2 + 6 x i

entonces, para que sea imaginario puro se requiere que 9

− x2 = 0. Tenemos dos valores posibles para  x x::  x  = 3 y  x x =  = −3.

 

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3

5. ¿Cu´anto anto debe valer el real x real  x  para que se verifique la igualdad: x 6i   =7 +i 1 i

− −

Soluci´ o on n

Si x 6i   =7 +i 1 i

− −

entonces x 6i   = = = = =

−

− i) · (7 + i) · (7) + (−i) · (7) + (1) · (i) + (−i) · (i) − 7 i + i − i2 − 7i +i +1 − 6i

(1 ( 1) 7 7 8

Igualando Igua lando las partes partes reales reales de ambos miem miembros bros tenemos que x que  x =  = 8 6. Indique Indique los valores valores del n´ umero umero real x real  x  para que el producto: (2 + 7 i) (6 + x + x i)

·

sea: 1) Un imaginario puro 2) Un n´ umero umero real Soluci´ o on n

Recordemos que para que un n´u umero mero complejo sea imaginario puro se requiere que su parte real sea cero. Mientras que para que sea real se requiere que su parte imaginaria sea cero. Como (2 + 7 i) (6 + x + x i) = 12

·

− 7 x + (2 x + 42) i

entonces,

− 7 x = 0: x 0:  x  = 12 12//7. para que sea real se requiere que 2 x + 42 = 0:  x  = −21.

para que sea imaginario puro se requiere que 12

 

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4

7. Cu´anto anto deben valer el real x real  x  y el real y real  y  para que se verifique la igualdad: x + 3 i   + y i  = 1 1 4i

−

Respuesta: Soluci´ o on n

Recordemos que para que dos n´u umeros meros complejos complejos sean iguale igualess sus partes partes reales reales deben ser iguales. iguales. As As´´ı como sus partes partes imaginaria imagi nariass deben ser iguales. iguales. Como x + 3 i

 x

4x  3   i  = 1  y +   + y + 1 4i 17 17 17 17 entonces, requerimos x requerimos  x  y  y  cumplan   + y i  =

−

x 17

 −  12  = 1 17

 12

 +

 −

y





  4x  3  y  +   = 0   + y + 17 17

por tanto x tanto  x =  = 29 y y y  y  = 7

8. Si z1  + z  +  z2  = 10 + 4 i , z1 + z  +  z2  = 10

−8i

z1

− z3  = 4 − 2 i , z1 − z3  = 4 + 4 i z1 · z4  = 1 + 5 i , z1 · z4  = −5 − i 1  2   3 z1 /z5  = −   , z1 / (z5 ) =  +  i 2 5 10 determine dete rmine la parte imaginaria imaginaria de: 1)   z1

− z3 2)   z1 − z3 3)   z1 · z4

 

 

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4)   z1  + z  +  z2 5) (z1 ) / (z5 ) Soluci´ o on n

Recordemos las propiedades importantes que tiene el conjugado de un n´u umero mero complejo El conjugado del conjugado de un n´ u umero mero complejo es el n´ u umero mero complejo original: (c) = c =  c El conjugado de una suma(resta) de n´umeros umeros complejos es la suma(resta) de los conjugados de los complejos: c

 ±   e =  c  ±   e  = c

El conjugado de un producto de n´umeros umeros complejos es el producto de los conjugados de los complejos: c e  =  c  = c

·

 ·   e

El conjugado de un divisi´on on de n´ u umeros meros complejos es la divisi´oon n de los conjugados de los complejos:  c c  = e e



Con ello mente para determinar 1)   z1

− z3, calculemos su conjugado z1 − z3  = z  =  z 1 − z3  = z  =  z 1 − z3  =  4 + 4 i Por lo tanto, z tanto,  z 1 − z3  = 4 + 4 i  = 4 − 4 i 2)   z1 − z3 , calculemos su conjugado z1 − z3  = z  =  z 1 − z3  =  4 − 2 i Por lo tanto, z tanto,  z 1 − z3  = 4 − 2 i  = 4 + 2 i 3)   z1 · z4 , calculemos calculemos su conjugado conjugado z1 · z4  =  z1 · z4  =  z1 · z4  =  1 + 5 i dato

dato

dato

Por lo tanto, z tanto,  z 1 z4  = 1 + 5 i  = 1 4)   z1  + z  +  z2 , calculemos su conjugado

·

− 5i

 z2  = dato  10 z1  + z  + z  =  z 1  +  +  z2  = z  =  z 1  + z  +  z2  = z Por lo tanto, z tanto,  z 1  + z  +  z2  = 10

−8i

− 8 i = 10 + 8 i

5) (z1 ) / (z5 ), calcu calculemos lemos su conjugado conjugado

   z 1 z5

 =

  z1   z1 = =dato z5 z5

Por lo tanto, (z (z1 ) / (z5 ) =  z 1  = 9. Si Si z

1 + 3 i  y  z 2  =

−

4

− −

 −1/2 −1/2 = −1/2 = −1/2 + 0 i

8 i, calcu calcule: le: a)

  z1 z2

c)

  z1 z2

e)

  z1 z2

5

 

 

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Soluci´ o on n

a)

  z1 z2

  −1 + 3 i −4 − 8 i   − 1 + 3 i  −4 + 8 i = −4 − 8 i · −4 + 8 i   (−1 + 3 i) · (−4 + 8 i) = (−4 − 8 i) · (−4 + 8 i)   −20 − 20 i = =

  − 14 −80  41 i   −1 + 3 i = −1 + 3 i = −4 − 8 i −4 + 8 i   −1 + 3 i · −4 − 8 i = −4 + 8 i −4 − 8 i   (−1 + 3 i) · (−4 − 8 i) = (−4 + 8 i) · (−4 − 8 i)   28 − 4 i =

= c)

  z1 z2

80

 −  201  i

  7 20

= e)

  z1 z2

  z1   z1   z1 =  =  = z2 z2 z2  7  1 7 1  i  i  =   20 =  +  20 20 20

=

  z1 z2

  −       

10. Supong Supongaa dados los siguientes siguientes n´ umeros umeros complejos en sus diferentes representaciones: 1)   z1  = 3

− 2i

(2,, 4) 2)   z2  = (2 1

3)   z3  = 5 e 3  π  i  π ) − 43 π)   5   −2

4)   z4  = 5 ci cis( s( 5)   z5  =



2

5



Determine   la parte real  de: 1) (z1 )2 2) (z2 )3 3) (z3 )4 4) (z4 )5 Soluci´ o on n

6

 

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7

 z  = x  y i  que satisface la ecuaci´oon: 11. Determine el n´ u umero mero complejo complejo z  =  x +  + y n: z  = 5 z¯ + (5 + i)  y . Reporte el valor de x de  x  y de de y Soluci´ o on n A tener presente:

Qu Qu´´e es el  conjugado  de un n´ u umero mero complejo: x + y  + y i  = x  =  x

−yi

Cu´ando ando dos n´ umeros umeros complejos son iguales:  b1 i  = a a1  +  +  b2 i  + b  =  a 2 + b

→ a1  =  a2   y  b 1  = b  =  b 2

Un n´ umero umero complejo es cero si y s´olo olo si su parte real y su parte imaginaria son cero: w  = 0

 ↔ Re( w) = 0 y Im(w Re(w Im( w) = 0

 z  = x  y i  en la ecuaci´oon: Sustituyendo z Sustituyendo  =  x +  + y n: z   = 5 z¯ + (5 + i) x +  y i   = 5 (x + y  + y  + y i) + (5 + i) = 5 (x y i) + (5 + i) = 5x 5yi +5+ i x +  y i   = 5 x + 5 + ( 5 y + 1) i  + y

·

· −−

−

De la igualdad igualdad obtenemos obtenemos las ecuaciones ecuaciones:: x   = 5 x + 5 y   = 5 y + 1

 −

Resolviendo las ecuaciones obtenemos: x =

− 54   y  y  =   61

Debemos entregar como respuesta

−1.25 25,, 0.1666  x,,  y  y  z  z.. Despu´ Este problema se puede hacer f´acilmente acilmente en la calculadora. Primeramente se limpian la variables  x Des pu´eess se define defin e z  como  x +  y i. Seguido de ello notamos que como en muchas situaciones es m´aass convien  como x  + y conviente te escribir escribir la relaci´ relaci´oon A n  A  = B  =  B   como A B  = 0; con esta observaci´oon n la expresi´on on que va a dar origen a nuestras ecuaciones se maneja como

− z − (5 z¯ + (5 + i)) = 0

Salvamos el lado derecho en una variable auxiliar, y resolvemos para x para  x  y  y  obligando que la parte real y la parte imaginaria sean cero.

 

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8

 z  = x  y i  que satisface la ecuaci´oon: 12. Determine el n´ u umero mero complejo complejo z  =  x +  + y n: z  =

−5 i z¯ + (−5 + i)

 y . Reporte el valor de x de  x  y de de y Soluci´ o on n A tener presente:

Qu Qu´´e es el  conjugado  de un n´ u umero mero complejo: x + y  =  x  + y i  = x

−yi

Cu´ando ando dos n´ umeros umeros complejos son iguales:  b1 i  = a a1  +  +  b2 i  + b  =  a 2 + b

→ a1  =  a2   y  b 1  = b  =  b 2

Un n´ umero umero complejo es cero si y s´olo olo si su parte real y su parte imaginaria son cero: w  = 0

 ↔ Re( w) = 0 y Im(w Re(w Im( w) = 0

 z  = x  y i  en la ecuaci´oon: Sustituyendo z Sustituyendo  =  x +  + y n: z   = x +  y i   =  + y = = i x +  y  + y   =

  −5 i z¯ + (−5 + i)   −5 i (x +  y i) + (−5 + i)  + y

x y i) + ( 5 + i) 5 i  (  (x 5y 5xi + 5+ i 5 y 5 + (1 5 x) i

 − −−  − −

−− −

De la igualdad igualdad obtenemos obtenemos las ecuaciones ecuaciones:: x  = 5y 5 y   = 1 5x

 − − −

Resolviendo las ecuaciones obtenemos: x =

 5   y  y  = 12

− 13 12

Debemos entregar como respuesta

0.416 416,, 1.083

−

 x,,  y  y  z  z.. Despu´ Este problema se puede hacer f´acilmente acilmente en la calculadora. Primeramente se limpian la variables  x Des pu´eess se define defin e z  como  x +  y i. Seguido de ello notamos que como en muchas situaciones es m´aass convien  como x  + y conviente te escribir escribir la relaci´ relaci´oon A n  A  = B  =  B   como A B  = 0; con esta observaci´oon n la expresi´on on que va a dar origen a nuestras ecuaciones se maneja como

− z − (−5 i z¯ + ( −5 + i)) = 0

Salvamos el lado derecho en una variable auxiliar, y resolvemos para x para  x  y  y  obligando que la parte real y la parte imaginaria sean cero.

 

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9

 z  = x  y i  que satisface la ecuaci´oon: 13. Determine el n´ u umero mero complejo complejo z  =  x +  + y n: z  = (1 + i) z¯ + (3 + 3 i)  y . Reporte el valor de x de  x  y de de y Soluci´ o on n A tener presente:

Qu Qu´´e es el  conjugado  de un n´ u umero mero complejo: x + y  + y i  = x  =  x

−yi

Cu´ando ando dos n´ umeros umeros complejos son iguales:  b1 i  = a a1  +  +  b2 i  + b  =  a 2 + b

→ a1  =  a2   y  b 1  = b  =  b 2

Un n´ umero umero complejo es cero si y s´olo olo si su parte real y su parte imaginaria son cero: w  = 0

 ↔ Re( w) = 0 y Im(w Re(w Im( w) = 0

 z  = x  y i  en la ecuaci´oon: Sustituyendo z Sustituyendo  =  x +  + y n: x +  y i   =  + y = = = x +  y i   =  + y

 

(1 + i) x + y  + y i + (3 + 3 i) (1 + i) (x y i) + (3 + 3 i) (1 + i) x (1 + i) y i + 3 + 3 i   x + x  y + 3 + 3 i  + x i y i + y +   x + y  + y +  + 3 + (x ( x y + 3) i

· · − ·− −·

−

· ·

De la igualdad igualdad obtenemos obtenemos las ecuaciones ecuaciones:: x   =   x + y  + y +  + 3 y   =   x y + 3

−

Resolviendo las ecuaciones obtenemos: x =

−9 y  y  = −3

Debemos entregar como respuesta

−9, −3  x,,  y  y  z  z.. Despu´ Este problema se puede hacer f´acilmente acilmente en la calculadora. Primeramente se limpian la variables  x Des pu´eess se define defin e z  como  x +  y i. i. Seguido de ello notamos que como en muchas situaciones es m´as conviente escribir la relaci´oon A  como x  + y n  A  = B  =  B   como A B  = 0; con esta observaci´oon n la expresi´on on que va a dar origen a nuestras ecuaciones se maneja como

− z − ((1 + i) z¯ + (3 + 3 i)) = 0

Salvamos el lado derecho en una variable auxiliar, y resolvemos para x para  x  y  y  obligando que la parte real y la parte imaginaria sean cero.

 

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10

 z  = x  y i  que satisface la ecuaci´oon: 14. Determine el n´ u umero mero complejo complejo z  =  x +  + y n: z  = ( 2 + i)  z  z +  + ( 2 + 5 i)

−

−

 y . Reporte el valor de x de  x  y de de y Soluci´ o on n A tener presente:

Qu Qu´´e es el  conjugado  de un n´ u umero mero complejo: x + y  + y i  = x  =  x

−yi

Cu´ando ando dos n´ umeros umeros complejos son iguales:  b1 i  = a a1  +  +  b2 i  + b  =  a 2 + b

→ a1  =  a2   y  b 1  = b  =  b 2

Un n´ umero umero complejo es cero si y s´olo olo si su parte real y su parte imaginaria son cero: w  = 0

 ↔ Re( w) = 0 y Im(w Re(w Im( w) = 0

 z  = x  y i  en la ecuaci´oon: Sustituyendo z Sustituyendo  =  x +  + y n: z   = ( 2 + i)  z  z +  + ( 2 + 5 i) x +  y i   = ( 2 + i) (x +  y i) + ( 2 + 5 i)  + y  + y

− − − − i (−2 + 5 i) −22 xx −− yy +− (x =    − (2x+−(x x +  y i   = y + 5) i  + y ( x2 y−) 2 + De la igualdad igualdad obtenemos obtenemos las ecuaciones ecuaciones:: x  = 2x y 2 y   =   x 2 y + 5

 − − − −

Resolviendo las ecuaciones obtenemos: x =

  13 − 11   y  y  = 10 10

Debemos entregar como respuesta

−1.1, 1.3  x,,  y  y  z  z.. Despu´ Este problema se puede hacer f´acilmente acilmente en la calculadora. Primeramente se limpian la variables  x Des pu´eess se define defin e z  como  x +  y i. i. Seguido de ello notamos que como en muchas situaciones es m´as conviente escribir la relaci´oon A  como x  + y n  A  = B  =  B   como A B  = 0; con esta observaci´oon n la expresi´on on que va a dar origen a nuestras ecuaciones se maneja como

− z − ((−2 + i)  z  z +  + ( −2 + 5 i)) = 0

Salvamos el lado derecho en una variable auxiliar, y resolvemos para x para  x  y  y  obligando que la parte real y la parte imaginaria sean cero.

 

 

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11

 x + y i, con x 15. Suponga un n´umero umero complejo z complejo z =  = x con  x = 0 y y y  y = 0; supon suponga ga ta tambi´ mbi´en en que est´a determinando su argumento principal calculando



θ  = tan−1

 

y x



Para cada una de las siguiente alternativas: a)   z  en el segundo cuadrante b)   z  en el primer cuadrante c)   z  en el cuarto cuadrante d)   z  en el tercer cuadrante indique la opci´oon n que contiene el argumento principal en la lista: 1)   θ  π 2)   θ +  + π 3)   θ

−π

Recuerde las reglas: el argumento de un n´umero umero complejo se calcula directamente con la tangente inversa si el complejo est´a en los cuadrantes a la derecha (1 y 4) pero se suma π suma  π  para si el complejo est´a segundo cuadrante y se resta π resta  π  si el complejo est´ a en el tercer cuadrante.  θ  + π  π a)   z  en el segundo cuadrante, Arg(z Arg( z ) =  θ + b)   z  en el primer cuadrante, Arg(z Arg( z ) =  θ c)   z  en el cuarto cuadrante, Arg(z Arg( z ) =  θ d)   z  en el tercer cuadrante, Arg(z Arg( z ) =  θ

−π

16. Sin hacer uso de una calculadora, calculadora, determine determine el argumen argumento to principa principall de cada uno de los siguiente siguientess n´umeros umeros complejos: a) z a)  z 1  = 1 + i   b) z b)  z 2  = d) z d)  z 4  = 1 + i   e) z e)  z 5  =

−

√ 3 i   c)c) z z  = −√ 3 − i − − 1 3 √ 3 − i

Respuesta:

Debemos tener en mente los tr´ tr´ıangulos obtenidos del cuadrado de lado 1 y el tr tr´´ıangulo equil´atero atero de lado 2.

√ 21

1

2

30o

1

45o

√ 3

2

60o 1 2

1 De aqu´ aq u´ı:ı:

√ 

 1 3  1   ,   tan(30o ) = tan(45o ) = ,   tan tan (60o ) = 1 1 3

√ 

o en t´eerminos rminos de las inversas: 1

−

tan

 π 1 o 1 − 1  = 45 = 4 ,   tan



√ 3

 π 1 −  = 60 = 3 ,   tan o

    1

 π  1 o 3  = 30 = 6

 √  

a) Pa Para ra A Arg rg (z1 ), al estar z estar  z 1  en el primer cuadrante tenemos que Arg(zz1 ) = tan−1 Arg(



Im(z1 ) Im(z  = tan−1 Re(zz1 ) Re(

 π 1  = 4 1

 

 

Ma3002, N´ umeros umeros Complejos: Problemas Resueltos 

12

b) Para Para Arg (z2 ), grafiquemos el n´ umero umero complejo y utilicemos adecuadamente el tri´angulo angulo obtenido del tri´aangulo ngulo equil´ateatero.

−1

60o Arg(zz2 ) Arg(

−√ 3 z2

De la figura anterior obtenemos Arg(zz2 ) = Arg(

2 −(180 − 60 ) = −(π −  13 π)  π ) = −  π 3 o

o

c) Para Para Arg (z3 ), grafiquemos el n´ umero umero complejo y utilicemos adecuadamente el tri´angulo angulo obtenido del tri´aangulo ngulo equil´ateatero.

−√ 3 30o

−1

Arg(z3 ) Arg(z

z3

De la figura anterior obtenemos Arg(zz3 ) = Arg(

−(180 − 30 ) = −(π −  16 π)  π ) = − 5  π 6 o

o

umero umero complejo y utilicemos adecuadamente el tri´aangulo ngulo obtenido del cuadrado. d) Pa Para ra Arg Arg (z4 ), grafiquemos el n´

z4 1

45o 1

−

De la figura anterior obtenemos Arg(zz4 ) = 180o Arg(

o

− 45

=  π

 3 −  14 π =  π  =  π 4

Arg(zz4 ) Arg(

 

 

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13

e) Para Para Arg (z5 ), grafiquemos el n´ umero umero complejo y utilicemos adecuadamente el tri´angulo angulo obtenido del tri´aangulo ngulo equil´ateatero.

√ 3 30o Arg(zz5 ) Arg(

−1

z5 De la figura anterior obtenemos Arg(zz5 ) = Arg(

−30

o

=

− 16 π

17. Realic Realicee los siguientes siguientes c´aalculos: lculos: a)   z1  =  i 16 b)   z2  =  i 21 c)   z3  =  i 23 d)   z4  =  i −10 e)   z5  =  i −17 y calcule el argumento principal de cada uno. Soluci´ o on n

Como 4

a)   z1  =  i 16 =  i 4·4 = i4

 · · 

= 1, Arg(z Arg(z1 ) = 0.

b)   z2  =  i 21 =  i 5·4+1 = i4

5

c)   z3  =  i 23 =  i 5·4+3 = i4

5

d)   z4  =  i −10 =  i −3·4+2 e)   z5  =  i −17 =  i −5·4+3

 π/ 2 i  =  i , Arg Arg (z2 ) =  π/2

π/22 i3 =  i 3 = i, Arg(z Arg(z3 ) = π/ −3 2 i =  i 2 = 1, Arg(z = i4 Arg(z4 ) =  π −5 3 i =  i 3 = i, Arg π/2 = i4 Arg (z5 ) = π/2

−

· ·

−

− −

−



18. Deter Determine mine el m´ odulo odulo de cada uno de los n´u umeros meros complejos: a)   z1  = 9 + 2 i b)   z2  = 3 i c)   z3  = 4

− 3i

Soluci´ o on n

 y i  representa la distancia del origen en el plano complejo al punto (x, Recuerde que el m´odulo odulo de un complejo z complejo  z  = x  =  x +  + y (x, y) y por tanto:

|z| = |x + y  + y i| =

 

x2 + y 2

y representando distancia, no puede tomarse la ra´ ra´ız negativa. Otra cosa a recordar es no llevar   i  en  y 2 . 2

a) z1 = b) z2 =

 | |  | | c)   |z3 | =

2

√  √  √  √  √  √  (4)2 + (−3)2 = 16 + 9 = 25 = 5

    

(9) + (2) = 8811 + 4 = 85 85 (0)2 + (3)2 = 0 + 9 = 9 = 3

 

Ma3002, N´ umeros umeros Complejos: Problemas Resueltos 

 

19. Si z1 = 6 y z2 = 2, determine el m´odulo odulo de los siguientes n´u umeros meros complejos:

 | |

 | |

1)   z2 2)   z1 z2

·

3)   z2 /z1 4)   z12 2

5) (z1 )

Soluci´ o on n

Recordemos Recor demos las propiedade propiedadess importante importantess que tiene el m´ odulo odulo de un n´ umero umero complejo El m´odulo odulo del conjugado de un n´u umero mero complejo es el m´odulo odulo del complejo complejo original:

|z | = |z | El m´odulo odulo de un producto es el producto de los m´odulos: odulos:

|z1 · z2| = |z1| · |z2| El m´odulo odulo de una divisi´on on es la divisi´oon n de los m´oodulos: dulos:





z1 z1 = z2 z2

 | | | |

El m´odulo odulo de una potencia real es la potencia de los m´odulos odulos n

n

|z | = ( |z|)

Con ello mente para determinar 1) z2 = z2 =dato  2

 | | | | 2)   |z1 · z2 | = |z1 | · |z2 | =  6 · 2 = 12 3)   |z2 /z1 | = |z2 | / |z1 | =  2/  2 /6 = 1/3 2 4) z12  = |z1 | =  6 2 = 36 2 2  2 2 = 4 4) (z2 )2  = |(z2 )| = |z2 | = dato

dato

 

 

dato

dato

20. Supong Supongaa dados los siguientes siguientes n´ umeros umeros complejos en sus diferentes representaciones: 1)   z1  = 3

− 2i

2)   z2  = (2 (2,, 4)

3)   z3  = 5 e 13  π  i  π ) 4)   z4  = 5 ci cis( s( 43  π) 5)   z5  =



−   5   −2 2   5



14

 

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15

Determine el m´odulo odulo de cada uno. Soluci´ o on n

  | | 32 + (−2)2 = √ 13 √  √  b)   |z2 | = 22 + 42 = 20 a) z1 =

 

c) En el formato formato POLAR tenemos tenemos directame directamente nte el m´oodulo dulo del compl complejo: ejo: 1  π  i z3 = 5 e 3 =5

|

| | |

d) En el formato formato CIS tenemos directame directamente nte el m´odulo odulo del complejo: z4 = 5 cis( 4/3 π ) = 5

| | |

−

|

e) En el formato matr matricial icial el primer rengl´ rengl´ on on contiene las partes real y compleja del n´ umero: umero: z5 = 52 + ( 2)2 = 29

 

| |

√ 

−

21. Supong Supongaa dados los siguientes siguientes n´ umeros umeros complejos en sus diferentes representaciones: 1)   z1  = 3

− 2i

2)   z2  = (2 (2,, 4) 1

3)   z3  = 5 e 3  π  i

− 43 π)  π )   5   −2

4)   z4  = 5 ci cis( s( 5)   z5  =

2

5





Determine el  argumento  de cada uno de los n´u umeros meros complejos complejos dados. Reporte su resultado resultado en  radianes  en ( π, +π]. Soluci´ o on n

−

a) Notamos que por los signos de la parte real e imaginaria el n´ u umero mero complejo est´a en el cuarto cuadrante. Por tanto − 1 Arg(zz1 ) = tan (2 Arg( (2//3) 0.588

−

≈−

b) Notamos que por los signos de la parte real e imaginaria el n´ u umero mero complejo est´a en el cuarto cuadrante. Por tanto − 1 Arg(zz2 ) = +tan (4 Arg( (4//2) 1.107

≈

c) En el formato formato POLAR tenemos tenemos directamente directamente el argum argument entoo del complejo complejo:: 1   1  π  i  arg(5 (5 e 3 ) = 3  π Arg(zz3 ) =  arg Arg( d) En el formato formato CIS tenemos tenemos directamente directamente el argum argument entoo del complejo complejo:: Arg(zz4 ) =  arg Arg(  arg(5 (5 cis( cis( 4/3 π)) = 4/3 π

−

−

e) En el formato matricial el primer rengl´on on contiene las partes real y compleja del n´u umero mero y por los signos de la parte real e imaginaria el n´ umero umero complejo est´a en el cuarto cuadrante : − 1 −2 arg((z5 ) = +tan arg 0.308 5 El problema con este formato es que no est´a   consolidado; algunos autores utilizan la primera columna. En cuyo caso, el complejo estar´a en el primer cuadrante y por tanto,

 ≈−

Arg(z5 ) = tan−1 Arg(z

 ≈ 2 5

0.308

22. Par Paraa los siguientes siguientes n´ umeros umeros complejos: 1)   z1  = 3∠80

o

2)   z2  = 2∠ 16  π o

ciss (4 (400 ) 3)   z3  = 4 ci 4)   z4  = 3 ci ciss 16  π

 

5)   z5  = 3cis(120o ) determine

 

 

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16

a) La parte imaginaria de z de  z 1 b) La parte imaginaria de z de  z 2 c) La parte imaginaria de z de  z 3 d) La parte real de z de  z 4 e) La parte real de z de  z 5 Escribimos los n´ umeros umeros en sus formas bin´omicas: omicas: o

o

1)   z1  = 3∠80   = 3 cos(80 ) + 3 sin (80 ) i 2)   z2  = 2∠ 16  π  = 2 cos 16  π + 2 sin 16  π i

· ·

· ·

0.52094 + 2. 2.9544 i . 1 73205 + i

   ·· ≈≈   ··   ··  ·· ≈≈

o

3)   z3  = 3 ci ciss (4 (400o ) = 3 cos (40o ) + 3 sin (40o ) i 4)   z4  = 3 ci ciss

1 6  π

 = 3 cos

1 6  π

+ 3 sin

1 6  π

·

2.29813 + 1. 1.92836 i

i

2.59808 + 1. 1.5 i

·

5)   z5  = 3cis(120o ) = 3 cos(120o ) + 3 sin (120 (120o ) i

·

·

· ≈ −1.5 + 2.2.59808 · i

·

23. Sin hacer uso de una calculadora, determine la opci´oon n que contiene el argumento principal de cada uno de los siguientes n´ u umeros meros complejos: a)   z1  =

−e− b)   z2  = −e

1  π  i 4

1 4  π  i

1

c)   z3  =  e− 4  π 1 4  π  i

d)   z4  =  e 1  π  i e)   z5  =  e 4 −

1

positivo, y por tan tanto to Arg (z3 ) = 0.  =  e − 4  π es real positivo, c) Aqu´ Aq u´ı z 3  = e 1

 z 4  =  e− 4  π  i en su forma d) Al estar estar z forma polar, Arg (z4 ) = 1

− 14 π.  π .

 π .  z 5  =  e 4  π  i en su forma forma polar, Arg (z5 ) =   14  π. e) Al estar estar z 1

a) Observe que el complejo   z1   = e− 4  π  i , no est´a en su forma polar: el signo negativo delantero cambia las cosas; si 1  z 1  es su opuesto respecto zo  =  e − 4  π  i y  z 1  = zo   entonces z es t´a en su forma polar y y z respecto al origen. Arg (zo ) = 14  π   y entonces  z o  s´ı est´  z 1  queda en el segundo segundo,, y as as´´ı queda en el cuarto cuarto cuadrant cuadrantee mien mientras tras que que z

−

 π Arg(zz1 ) = Arg(z Arg( Arg(zo ) + π + π =  = π

 −

−

 3 −  14 π =  π  =  · π 4 1

 z 2  = e 4  π  i , no est´a en su forma polar: el signo negativo delantero cambia las cosas; si b) Similarmen Similarmente te al inciso anterior anterior z zn   =   e 14  π  i y   z2   = zn   entonces  entonces   zn  s´ı est´ es t´a en su forma polar y   z2  es su opuesto opuesto respecto respecto al ori origen gen.. Arg (zn ) =   14  π   y  z 2  queda en el tercero, y aass´ı queda en el primer primer cuadrant cuadrantee mien mientras tras que que z

 −

Arg(zz2 ) = Arg(z Arg( Arg(zn )

−

− π  =   14 π − π  = − 34 · π

 z  visto como vector al multiplicarlo por  z o   si  z o  e 24. Describa el efecto geom´etrico etrico sobre el n´ nu umero ´mero complejo complejo z si z  ess . . . a)   zo  =

√ 

3 2 

+   21  i

b)   zo  =   21  +

√ 

3 2 

i

c)   zo  =

−2 i d)   z  =   61 − i o

e)   zo  =   21  i

Ubique el efecto en la lista siguiente: 1) Se comprime 2) Se comprim comprimee y cam cambia bia de sentido sentido 3) Se estira

 

 

Ma3002, N´ umeros umeros Complejos: Problemas Resueltos 

17

4) Se estira y cambi cambiaa de sentido sentido 5) Gira en el sentido del reloj 6) Gira en contra del sentido del reloj 7) Se comprime y gira en el sentido del reloj 8) Se comprime y gira en contra del sentido del reloj 9) Se estira y gira en el sentido del reloj 10) Se estira y gira en contra del sentido del reloj Soluci´ o on n A tener presente: Que cuando se usa la representaci´  =  a∠φ   y  z o  =  r∠θ : on on polar para el producto de complejos  z 1  = a

z1 z2  = (a∠φ ) (r∠θ ) = (a r)∠φ+θ

·

·

·

es decir: los m´odulos odulos se multiplican y los argumentos se suman. As´ı desde el punto de vista del m´odulo r odulo  r::  a.. Por consiguiente, esto equivale a estirar el vector original. Si zo =  r >  1, el modulo del producto a producto  a r  ser´a mayor que que a

| | ·  r  = 1, el modulo del producto a  a.. Por consiguiente, esto equivale a mantener la longitud del Si |z | =  r = producto  a · r  ser´a igual que que a o

vector original.

 a.. Por consiguiente, esto equivale a comprimir el vector Si 0  < zo =  r <  1, el modulo del producto a producto  a r  ser´a menor que que a original.

| |

·

Por otro lado, desde el punto de vista de θ de  θ::  θ > φ  y como los ´aangulos Si θ Si  θ >  0, entonces φ entonces  φ +  + θ ngulos son positivos en sentido contrario a las manecillas del reloj, entonces la multiplicaci´on on har´a un giro en el sentido contrario de las manecillas del reloj.  θ < φ   y como los ´angulos Si   θ <  0, entonces   φ  +  + θ angulos son negativos en sentido de las manecillas del reloj, entonces la multiplicaci´ on on har´a un giro en el sentido de las manecillas del reloj.  θ =  φ entonces Si θ Si  θ  = 0, entonces φ entonces  φ +  + θ  = φ  entonces la direcci´on on del vector se mantiene. √ 

a) Como z Como  z o  = 23  +  12  i  = 1∠30 , entonces el efecto sobre z sobre  z  de multiplicarlo por z por  z o  ser´a: a: mantener su misma longitud y girarlo o en el sentido contrario de las manecillas del reloj ( un ´aangulo ngulo de 30 ) c) Como z Como  z o  = 2 i  = 2∠−90 , entonces el efecto sobre z sobre  z  de multiplicarlo por z por  z o  ser´a: a: estirarlo (en un factor 2) y girarlo en el o sentido de las manecillas del reloj ( un ´angulo angulo de 90 ) e) Como   zo   = 1/2 i   = 0.5∠90 , entonces el efecto sobre   z   de multiplicarlo por   zo   ser´a: a: comprimirlo (a la mitad de su o longitud) y girarlo en el sentido contrario de las manecillas del reloj ( un ´angulo angulo de 90 )

−

 −

o

o

o

Es importante observar que para ubicar la opci´on on con la respuesta correcta no hace falta determinar el valor exacto del m´ odulo, odulo, s´oolo lo si es mayor que 1, igual a 1 o menor que uno. Y que para ello se pueden usar las propiedades

|Re( Re(zz )| ≤ |z |

  |Im( Im(zz )| ≤ |z | As´ı es obvio que  | 16 − i| >  1, porque la parte imaginaria es 1 y la real no es cero. O que | 32  +   12  i | >  1 porque la parte real es   y

mayor que 1. Por otro lado, para distinguir si el giro es en contra o a favor de la manecillas del reloj, no hace falta calcular el valor preciso del argumento; basta ubicar el cuadrante donde se encuentra el complejo y para ello basta con los signos de la parte real y de la parte imaginaria. 25. Deter Determine mine el cuadrant cuadrantee donde se encue encuentr ntraa 1/z 1 /z   si 1)   z  se encuentra en el interior del cuadrante 4 2)   z  se encuentra en el interior del cuadrante 1 3)   z  se encuentra en el interior del cuadrante 2 4)   z  se encuentra en el interior del cuadrante 3

 

Ma3002, N´ umeros umeros Complejos: Problemas Resueltos 

 

18

(1 significar´a primero, p rimero, 2 segundo, s egundo, etc´etera) etera) Soluci´ o on n A tener presente:

 y i es: i  es: Que el inverso de un n´ umero umero complejo z complejo  z  = x  =  x +  + y 1

 

  = = =

z

   

x x2 +y 2

1

x2 +y 2

1 x2 +y 2

 −

x  (  (x z

  y  i x2 +y 2

− y i)i)

 ·

Que la multiplicaci´on on por un real positivo  r  deja al producto r producto  r z  en el mismo cuadrante donde estaba  z . Como consecuencia consecuencia de los pun puntos tos anterio anteriores res y puest puestoo que a  =

  1 x2 + y 2

es un real positivo: 1/z 1 /z   y  z  est´aan n en el mismo cuadrante. Que al tomar el conjugado a un n´u umero mero complejo lo pasa del primer cuadrante al cuarto cuadrante y viceversa; y del segundo cuadrante al tercero y viceversa.

Respuesta:

 z  est´a en el cuarto cuadrante, entonces z /z est´ a) Si Si z entonces  z  est´a en el primer cuadrante; por tanto, 11/z  est´a en el primer cuadrante.  z  est´a en el primer cuadrante, entonces z /z est´ b) Si Si z entonces  z  est´a en el cuarto cuadrante; por tanto, 11/z  est´a en el cuarto cuadrante. /z   si 26. Par Paraa cada opci´ on on indique i ndique en qu´ q u´e cu cuadrante adrante estar´a 1/z  1)   z  = 6

− 4i 2)   z  = 5 − 3 i 3)   z  = −5 − 4 i 4)   z  = −5 + 3 i 5)   z  = −2 − 3 i

Soluci´ o on n

 y i Recuerde que si z si  z  = x  =  x +  + y 1  =   x z x2 + y 2

 − x 2 +y  y2   i = x 2 +1  y 2 · (x − y i) =  |z1|2 · z

es decir que   z1  tiene la misma direcci´on on que z que  z ; es decir, que   z1   y  z  est´an an en el mismo cuadrante: 1)   z  = 6

− 4 i  est´a en el cuadrante 4: su conjugado est´a en cuadrante 1. Por tanto, su inverso est´a en el cuadrante 1. 2)   z  = 5 − 3 i  est´a en el cuadrante 4: su conjugado est´a en cuadrante 1. Por tanto, su inverso est´a en el cuadrante 1. 3)   z  = −5 − 4 i  est´a en el cuadrante 3: su conjugado est´a en cuadrante 2. Por tanto, su inverso est´a en el cuadrante 2. 4)   z  = −5 + 3 i  est´a en el cuadrante 2: su conjugado est´a en cuadrante 3. Por tanto, su inverso est´a en el cuadrante 3. 5)   z  = −2 − 3 i  est´a en el cuadrante 3: su conjugado est´a en cuadrante 2. Por tanto, su inverso est´a en el cuadrante 2.  z 1  = 3∠35 ,  z 2  = 2∠−30   y  z 3  = 7∠70 , calcu calcule: le: 27. Si Si z o

a)   z1 z3 b)   z32

·

c) 1/z12 d)   z1 /z2 e)   z1 z22 /z3

·

o

o

 

 

Ma3002, N´ umeros umeros Complejos: Problemas Resueltos 

19

Soluci´ o on n

a)  z 1 z3  = 3∠35

·

 · 7

∠70o

o

2

b)  z 32   = (7 ∠70 ) = 72 o



·

  = (3 7)∠35

+70o   =

21∠105

o

·70o   = 49 ∠140o

∠2

2 c) 1/z12   = (1/ (1//3)∠−35 (1 /3∠35 ) = (1 o

o



2



o

= (1/ (1 /9)∠−70

o

d)  z 1 /z2  = (3∠35 ) / (2∠−30 ) = (3/ (3/2)∠35 −(−30 )  = (3/ (3/2)∠65 o

o ∠35

e)  z 1 z2 /z3   =

·

  3

o

o ∠−30 ∠ 70o

·(2

12 7

 √   =

3∠35o

2

 ) =

7

  3∠35o ·4∠−60o 7∠70o  

=

o

=

o

(22 ) ·

−25o −70o   =

12 7



o · − 2 ( 30)

∠

7∠70o

  12∠35o −60o 7∠70o  

∠

o

=

  12∠−25o 7∠70o

−95o

∠

28. Para cada uno los n´ umeros umeros complejos: 1)   z1  =

3+i 2 2 i) 2 2 i) 3 + i)   1 2 2 i) ( 3 + i)

− − −√ −

(  ( 2)   z2  = (

− − · √  4)   z4  = √ 3 + i 2 (−2 − 2 i)   1 √  5)   z5  = (−2 − 2 i) · ( 3 + i)2

3)   z3  =

(

 

determine el  argumento principal en grados.  Sugerencia: Utilice la forma polar. Soluci´ o on n

√ 

Observe que los n´umeros c umeros  c 1  = 3 + i  y  c 2  = ´estos est os son so n f´aaciles ciles de llevar a la forma polar:

√ 

 a  = c1 = Para  c 1  = 3 + i,  a = Para c puede calcular como

| |

 1 √  3

θ  = tan−1

−2 − 2 i  se repiten en los c´alculos alculos que debemos hacer. Y observe tambi´en en que

 √ 

( 3)2 + 1 =

√ 4 = 2 y que al est  c estar ar c

  − −   √ −  −

 −

2 2

−

| |

 √  

−135o

= =

3+i   c1  = c2 ( 2 2 i)  

− −

(2

√ 2

∠30o

2)

 1 √ 

2

=

∠−135o

    √  2 2 2

=

∠30o

−(−135o )

∠165o

√ 

o

∠

√ 2

∠

o

−165o

∠

 

−135o −30o

∠

=

∠

− −

  ( 2 2 i)   c2 = c1 ( √ 3 + i) √  2 2   ( ) −135 2 2 =   = 2 30 2

 z 2   = 2) 2) z

o

− 185

o

√  

−

180o = 45 o

Por lo tanto c tanto  c 1  = 2∠30   y  c 2  = 2 2  z 1   = 1) 1) z

el primer cuadrante su argumento principal se

 = 30o

Para  c 2  = 2 2 i,  b  = c2 = ( 2)2 + ( 2)2 = Para c tangente inversa para el c´alculo alculo de su argumento φ  = tan−1

1  en

o

−135

√ 8 = 2 √ 2 y que al estar en el tercer cuadrante debemos corregir la

 

 

Ma3002, N´ umeros umeros Complejos: Problemas Resueltos 

 z 3   = 3) 3) z =

  ( 2

1   1 = c2 c1 2 i) ( 3 + i)    √  1 = 4 √ 2 1 ( ) −135 (2 2) −135 ·2 30

· √ 

− −

o

∠

=  z 4   = 4) 4) z = = =

·

o

∠

∠

  √     √  1 4 2

=

−(−105o )

∠

3+i   c1   = c2 2 ( 2 2 i)2   2 30 √  2 =

− − 2

∠ −135o

)

∠30

o



−(−270

∠300o

o

−360o   =

29. Con los n´ umeros umeros complejos:



(1

 

 = )

4

1 4

)

(4

 √  1 2)

∠−105o

∠105o

o   2 √  2∠30 2 2

2

   1 4

  √  1 4 2

o

∠

( 2 8

 

=

o +30o

20



∠300

=

  2∠30o 8∠−270o

∠2·(−135o )

o

para argumento argumento principal −60o   Corregir para

∠

 (7 + 8 i) (8 + 7 i)  (8 + 7 i) 2)   z2  = (7 + 8 i)   1 3)   z3  = (7 + 8 i) (8 + 7 i)   (8 + 7 i) 4)   z4  = (7 + 8 i)2   1 5)   z5  = (7 + 8 i) (8 + 7 i)2

1)   z1  =

·

·

determine: a) el mod´ ulo ulo de z de  z 1  z 2 b) el argumento de de z  z 3 c) el argumento de de z d) el mod´ ulo ulo de z de  z 4 e) el mod´ ulo ulo de z de  z 5 Sugerencia: Utilice la forma polar. Soluci´ o on n

Observe que los n´ umeros  umeros   c1  = 7 + 8 i   y   c2  = 8 + 7 i  se repiten en los c´alculos alculos que debemos hacer. Y observe tambi´en en que aunque los argumentos no son f´aaciles ciles de calcular son complementarios. Es decir, suma 90 grados. Le conviene hacer un tr´ tr´ıangulo con catetos 7 y 8 para observ observar ar la relaci´ oon. n.

| | √ 72 + 82 = √ 113 y que al estar c estar  c 1  en el primer cuadrante su argumento principal se puede

 a  = c1 = Para  c 1  = 7 + 8 i,  a = Para c calcular como θ  = tan−1

 ≈ 8 7

48. 48.814o Con calculadora

| | √ 82 + 72 = √ 113 = a =  a  al estar c estar  c 2  en el primer cuadrante su argumento principal se puede

 b  = c2 = Para  c 2  = 8 + 7 i,  b = Para c calcular φ  = tan−1



7  = 90  =  90o 8

−

tan−1

 a∠  = a  =  a∠θ   y  c  = Por lo tanto c tanto  c  = a 2

1

o

90



8  = 90o 7

−θ

−θ

  (7 + 8 i)   c1  = c2 (8 + 7 i)   a a = a 90 − = a ∠θ−(90 −θ)

 z 1   = 1) 1) z

∠θ

∠

o

θ



o

= 1∠2·θ−90   = 1 ∠2·48.81 −90   = 1∠7.62 o

o

o

o

  θ   obtenida

con calculadora

 

 

Ma3002, N´ umeros umeros Complejos: Problemas Resueltos 

  (8 + 7 i)   c2   1  = = c1 z1 (7 + 8 i)   1 1 = 1 7 62   = 1 ∠−7.62  = (1)∠−7.62

21

 z 2   = 2) 2) z

∠ .

 z 3   = 3) 3) z =



o

o

  1   1  = c1 c2 (7 + 8 i) (8 + 7 i)   1   1   ·   a 90 − = (a2 ) a

·

∠θ

o

∠

 1

=

·

 1

−(90o )  =

a2

=

∠θ+90o −θ

θ

  1 (a2 )∠90o

 1

−90o   = 113

a2

∠

o

−90o   =

∠

∠

 1 − 113  i

 z  = 5 + 7 i  determine el cuadrante donde est´a 30. Si Si z



1)   z 3



 

2)   z 5 3)   z 7 4)   z 9 5)   z 11 Etiquete los cuadrantes por enteros de manera que 1 significar´a primero, p rimero, 2 ssegundo, egundo, etc´etera. etera. Soluci´ o on n

La forma polar de z de  z  = 5 + 7 i  = r  =  r eθ i tiene r θ

  ≈   8.602   0.9505 54. 54.46  ≈ ≈ Por tanto,

o

≈ 163 163..38 . Por tanto, z tanto,  z 3 cae en el segundo cuadrante. 272..311 . Por tanto, z tanto,  z 5 cae en el cuarto cuadrante. 2) el argumento de z de  z 5 es 5 θ ≈ 272 √  determine la parte real dde:e: 31. Si z Si  z  = 1 + 3 i   , determine  z 3 es 3 θ 1) el argumento de de z

o

o

1) 1)zz −2

2) 2)zz 2

3) 3)zz 3

4) 4)zz 4

5)z 5)z 6

Soluci´ o on n

 z tiene Recuerde que el c´alculo alculo de d e potencias pote ncias y ra r a´ıces se facili facilita ta con la n notaci´ otaci´oon n polar. Y en este caso el complejo complejo z  tiene un argumento f´ aacil cil de calcular. Como est´a en el primer cuadrante su argumento principal es: Arg(zz ) = tan−1 Arg(

 √  

3  = 60o 1

su m´odulo odulo ser´a  r  = z =

||

 z −2 1) 1) z

o

=  z 2 2) 2) z

−2

= (2∠60 )

  √  √     12 + ( 3)2 =

= 2−2

1+3=

o

2

= (2∠60 ) = 22 o



·

4

= (2∠60 ) = 24 o

−120o



o

 z 5) 5) z

6



6

6

3   2

·60o   = 4 ∠120o



i  =

− 18 −

√ 

3   8

i



· − 12  +

√ 

3 2 



i  =

−2 + 2 √ 3 i

·60o   = 16 ∠240o

∠4



= (2∠60 ) = 2 o

√ 

∠2

1 2

= 16 (cos(240o ) + sen(240o ) i) = 16

·

.

∠

 · (cos(−120 ) + sen(−120 ) i) =   14 · − 12 −

  1 4

∠60o

1

−2·60o   = 4

∠

= 4 (cos(120o ) + sen(120o ) i) = 4  z 4 4) 4) z

√ 4 = 2. Por tanto la forma polar queda  z  = 2

·60o   = 64 ∠360

∠6

o

· −  −



√ 

3   2

i  =



8

√ 

8 3i

− −

= 64∠360 −360   = 64∠0  = 64 = 64 + 0 i o

o

o

Un estudia estudiante nte de Ingenie Ingenierr´ıa deber´ıa ıa conoc conocer er los l os valores de las funcione funcioness trigonom´ t rigonom´etricas etricas en angulos ´angulos  simples .

 

 

Ma3002, N´ umeros umeros Complejos: Problemas Resueltos 

22

 z  = 32. Si Si z

−4 − 4 i  determine el cuadrante donde est´a √  1) la segunda ra´ ra´ız de z √  2) la tercera ra ra´´ız de z √  3) la segunda ra´ ra´ız de z √  4) la primera ra´ ra´ız de de z   4

  5

  6

  7

Soluci´ o on n Notas: 1) Las ra ra´´ıces estar´an an ordenadas de manera que la primera ra´ıızz es la principal; ubicando la l a ra ra´´ız primera las siguientes

estar´ an an ubicadas siguiendo el orden de aparici´on on en el sentido antihorario. 2) Para los cuadrantes estar´an an etiquetados por enteros de manera que 1 significar´a primero, p rimero, 2 segundo, etc´etera. etera. A tener presente:  n -esima de z  ra´ız  n-esima de  z   es Que si z si  z  = r  =  r CIS( CIS(θθ) entonces la j la  j  ra´

√ r · CIS n



θ + 2 π ( j n

− 1)



√ 2 · CIS − 3 π 4 √   ra´ a´ız ız de z   es 1) el argumento de la segunda la  segunda r

 

Respuesta: La forma CIS de z de  z   es z es  z  = 4

  4

. Por lo tanto,

3

α  =

 π  + 2 π (  − 4 π +  (22 −   1) =   5  π ≈ 56. 56.25 4 16

o

por tanto, tal ra´ ra´ız est´a en el primer cuadrante. 33. Si una ra ra´´ız cuarta del n´ n umero u ´mero complejo z complejo  z  es el complejo w  = 2

− 2i

determine el argument determine argumentoo en grados grados de las ra´ ra´ıces rest restant antes es de   z.   Reporte Reporte sus res result ultado adoss como como n´ umeros umeros en el in inter terv valo o o ( 180 , 180 ].

−

Soluci´ o on n

 n -´eesimas Sabemo s que las ra´ Sabemos ra´ıces  n-´ si mas de un n´u umero mero complejo forman un pol´ pol´ıgono regular de n de  n  lados. Tenemos que se tratan de ra ra´´ıces cuartas. Es decir, que el pol pol´´ıgono regular es de cuatro lados. En angulo ´angulo en el cual est´an an separadas es 3600 /4 = 90o . Y  w  rot´andola todas ellas tienen el mismo m´odulo. odulo. Para generar todas las ra´ ra´ıces de z de  z , usemos la ra ra´´ız conocida conoci da w andola angulos ´angulos de 90 grados. Llevemos a w a  w  a su forma polar:

|w| =

 

22 + ( 2)2 =

−

√ 

√ 

8= 2 2

y

Arg(w) = tan−1

− 

2  = 2

−45

o

Observe que al estar   w   en el cuart cuartoo cuadr cuadrant antee no hubo necesidad de corregir corregir el valor valor que da la tangente tangente inversa. inversa. As As´´ı w  = r  =  ro  = 2 2 ∠−45 . Las tres ra´ııces ces que nos faltan (son cuatro en total y  w  es una) son:

 √    √    √    √  

r1  = 2

2

r2  = 2

2

r3  = 2

2

o

−45o +90o

∠

−45o +2·90o

∠

−45o +3·90o

∠

 √    √    √  

= 2 2

∠45o

= 2 2 = 2 2

∠135o

∠225o

 √  

= 2 2

34. Resue Resuelv lvaa la ecuaci´ ecuaci´ on: on: 4

− i + 4 z + z  +  z 2 = 0

Reporte las partes imaginarias de las ra´ ra´ıces. Soluci´ o on n

∠225o

−360o

 √  

= 2 2

−135o

∠

 

Ma3002, N´ umeros umeros Complejos: Problemas Resueltos 

 

23

Esta ser´a llaa estrateg´ııa: a: dejaremos s´oolo lo los t´eerminos rminos en  en   z   en el lado derecho; en vista de que la mayor potencia de   z  es 2, completaremos cuadros perfectos. z2 + 4 z   = 4 + i + i 2 z + 4 z   + 4 = 4 4 + i + i 2 (z + 2) =   i

 − −

Si tomamos ra´ıızz cuadrada en ambos lados tenemos:   2

z + 2 = i  i  se obtienen de la f´oormula: las ra´ ra´ıces cuadradas cuadrada s de de i rmula:

√ 

R  = cis



 π

2 + 2 π j

2



,   para j para  j  = 0, 1

Es decir, R  =



√ 2 +   1 √ 2 i 2 − 1 √ 2 −   1 √ 2 i

  + 12 2

2

As As´´ı llas as solucio s oluciones nes a la ecuaci´on on son: z  =

−2 + R + R =  =

√ 2 +   1 √ 2 i 2 − − √ 2 −   12 √ 2 i

 −

2 +   21 2   21

35. Resue Resuelv lvaa la ecuaci´ ecuaci´ on: on: (z

− (−1 + 5 i))3 = i

Reporte los m´odulos odulos de las ra´ ra´ıces. Soluci´ o on n

De la ecuaci´on on tenemos t enemos al sacar ra´ ra´ız c´u ubica: bica: z

− (−1 + 5 i) =

√ 

  3

y de all´ al l´ı z  =

−1 + 5 i +

√ 

 3

i

i

 

 

Ma3002, N´ umeros umeros Complejos: Problemas Resueltos 

24

Las tres ra´ıces ıces c´ubicas ubicas de i de  i  son √ 

r0   = CIS( π6 ) = 23  +   21  i√  3  1 r1   = CIS( π6   +   23π  ) = 2   + 2  i r2   = CIS( π6   +   43π  ) =  i

−

Por tanto, las tres ra´ ra´ıces de nuestra ecuaci´oon n son z1   = z2   = z3   =

√ 

3 2 √  3

  − 1 +   112  i → |z1| ≈ 5.501

1 +   11  i 2 z3 12+ 4 i

z2

5.807

  −   − → | | ≈→4|.123| ≈

Paraa hacer este problema en la calculadora Par calculadora,, prime primeramen ramente te definimos definimos la funci´ funcion ´on cis:

 i.. En la siguiente figura se ilustra c´omo Ela figura anterior tambi´en en se s e muestra muestr a c´omo omo generar las ra´ ra´ıces c´u ubicas bicas de de i omo sumar a cada una u na de estas ra´ ra´ıces el complejo c omplejo 1 + 5 i.

 −

Teniendo la lista de resultados, el siguiente paso es obtener el m´odulo y luego su aproximaci´on on num´erica. eri ca.

36. Resue Resuelv lvaa la ecuaci´ ecuaci´ on: on: (3

− 5 i + (−3 − i)  z )4 = −1

Reporte las partes reales de las ra´ ra´ıces. Soluci´ o on n

Primeramente Primerame nte obtengamos obten gamos las ra r a´ıces cuartas de z de  z 0  = r   = z0   = 1 θ   = arg(zo ) = π

  | |

 −

−1:

 

Ma3002, N´ umeros umeros Complejos: Problemas Resueltos 

 

25

Las raices cuartas cuartas est´ an an dadas por la f´ormula: ormula: R  =

√ 

  4





θ  + 2 π n   para n para  n =  = 0, 1, 2, 3 1cis 4

As As´´ı al tomar ra ra´´ız cuadrta en la ecuaci´oon n original se tiene 3

− 5 i + (−3 − i)  z  = R  =  R

Por tanto z  =

 R

−3+5i −3 − i

Teniendo la lista de resultados, el siguiente paso es obtener la parte real de cada complejo y luego su aproximaci´oon n num´ num ´eeric r ica. a.

37. Supong Supongaa dados los siguientes siguientes n´ umeros umeros complejos en sus diferentes representaciones: 1)   z1  = 3

− 2i

(2,, 4) 2)   z2  = (2 1

3)   z3  = 5 e 3  π  i

− 43 π)  π )

4)   z4  = 5 ci cis( s( 5)   z5  =



  5 2 2 5

−



 

 

Ma3002, N´ umeros umeros Complejos: Problemas Resueltos 

Determine la  parte real  de w  = 3 z1

− z2 − 3 z3 − 4 z4 + z  +  z5

Soluci´ o on n

Como hay sumas involucradas, es conveniente convertir todos los complejos a la forma binomial: 1)   z1  = 3

− 2i

2)   z2  = 2 + 4 i √   π ) + sen( 13  π)  π ) i  =   52  +   5 2 3  i 3)   z3  = 5 cos( 13  π)

· 4)   z4  = 5 ·

 



5)   z5  =  5 +  5  + 2  2 i

√ 

 π ) i  = − 52  +   5 2 3  i  π ) + sen(− 43  π) − 43 π)

cos(



Entonces Ent onces basta capturar los n´ umeros umeros complejos y hacer la operaci´on on pedida:

38. Supong Supongaa dados los siguientes siguientes n´ umeros umeros complejos en sus diferentes representaciones: 1)   z1  = 3

− 2i

(2,, 4) 2)   z2  = (2 1

3)   z3  = 5 e 3  π  i  π ) − 43 π)   5   −2

4)   z4  = 5 ci cis( s( 5)   z5  =



2

5



Determine la parte real y la parte imaginaria de: z3  + 5 z4 2 z1 + 2 z5 Soluci´ o on n

26

 

Ma3002, N´ umeros umeros Complejos: Problemas Resueltos 

 

39. Supong Supongaa dados los siguientes siguientes n´ umeros umeros complejos en sus diferentes representaciones: 1)   z1  = 3

− 2i

2)   z2  = (2 (2,, 4) 1

3)   z3  = 5 e 3  π  i

− 43 π)  π )   5   −2

4)   z4  = 5 ci cis( s( 5)   z5  =



2

5



Determine   la parte real  de: 1) (z1 )2 2) (z2 )3 3) (z3 )4 4) (z4 )5 Soluci´ o on n

40. Supong Supongaa dados los siguientes siguientes n´ umeros umeros complejos en sus diferentes representaciones: 1)   z1  = 3

− 2i

2)   z2  = (2 (2,, 4) 1

3)   z3  = 5 e 3  π  i

− 43 π)  π )   5   −2

4)   z4  = 5 ci cis( s( 5)   z5  =



2

5



Determine  la parte imaginaria  de la ra´ ra´ız princi principal pal de: 1)   2 z1

√  √ z2 √ z3

2)

  3

3)

  4

27

 

 

Ma3002, N´ umeros umeros Complejos: Problemas Resueltos 

4)

28

√ z4

  5

Soluci´ o on n

Si recordamos recordamos que la calculadora calculadora proporciona proporciona la ra´ ra´ız principal principal de n´ umeros umeros complejos y que ya tenemos capturados los n´ u umeros meros de un problema anterior:

41. Supong Supongaa dados los siguientes siguientes n´ umeros umeros complejos en sus diferentes representaciones: 1)   z1  =

−4 + 5 i

2)   z2  = (3 (3,, 5) 1

3)   z3  = 3 e 2  π  i

− 23 π)  π )

4)   z4  = 3 ci cis( s(

Determine el argumento principal de cada uno. Reporte su resultado en  radianes  en ( π, +π]. a Para z Para  z 1  =

− −4+5 i, reconocemos que el n´umero  forma bin´omica y omica  y podemos calcular el argumento usando la umero est´a en la la forma

 π:: tangente tange nte inve inversa, rsa, pero p ero estando el n´ u umero mero en el segundo cuadrante debemos corregir sumando  π Arg(z1 ) = π Arg(z =  π +  + tan−1

 ≈  5 4

−

2.2455

umero umero est´a en la forma la  forma de par ordenado  y podemos calcular el argumento +5), reconocemos que el n´ a )   b Para Para   z2   = (3, +5), usando la tangente inversa, estando el n´ umero umero en el primer cuadrante directamente tenemos: Arg(z2 ) = tan−1 Arg(z

 ≈ 5 3

1.03038

1

b )   c Para z Para  z 3  =  3 e 2  π  i , reconocemos que el n´ u umero mero est´a en la forma la  forma polar polar   y obtenemos directamente el m´odulo odulo (r (r  =  3  3)) y

 π): el argumento (θ (θ  =   12  π ):  1 Arg(zz3 ) = 2  π Arg(

 ≈ 1.5708 umero umero est´a en la  notaci´on on CIS   y obtenemos directamente el m´odulo odulo c )   d Para   z4   =   3 cis − 23  π , reconocemos que el n´ 2  π): ( θ  = − 3  π ): (r  = 3  =  3)) y el argumento (θ 2 Arg(zz4 ) = −  π  ≈ −1.04719755 Arg( 3

 

42. d ) Si

√ 

 1  1 z  =  i 3 2 2 determine las ra ra´´ıces cuartas de z de  z .  Reporte los  argumentos  de la ra ra´´ız principal y las dos siguientes; debe reportar 3 valores intepretados como angulos ´angulos en radianes en el intervalo ( π, π].

−

−

Soluci´ o on n

En los problemas de potencias y ra´ ra´ıces es m´ as as con conven venient ientee usar la forma polar. En nuestro nuestro ejemplo z  =

− 12 √ 3 +  12 i =  i  = 1 · e

de donde r   = 1  π  = 150o θ   =   56  π =

5  π i 6

 

 

Ma3002, N´ umeros umeros Complejos: Problemas Resueltos 

r  =

θ  =

1

 5 6

 π

Las La s ra´ııces c es  cuartas de  cuartas  de  z  se obtienen de la f´ormula: ormula:





θ  + 2 π j  i 4 aj   =   4 r e

√  ·

para los valores j valores  j  = 0, 1, 2, 3

θ1  =  θ 0  +

 1 4

 π θ0  =

 θ 4

5   =   24  π

 z  y determinamos su m´odulo Capturamos z Capturamos odulo (r (r) y su argumento (θ ( θ ):

Habiendoo li Habiend limpiado mpiado la variable varia ble ´ındice ındice  j , capturamos la f´ormula ormula de las ra ra´´ıces cuartas:

29

 

Ma3002, N´ umeros umeros Complejos: Problemas Resueltos 

 

Generamos con el comando   seq  la lista li sta ccon on las l as rraa´ıces cuartas:

Y determinamos sus argumentos (note la ventaja de aplicar la funci´oon n  angle  sobre una lista):

43. Si 1)   z1  =

5+3i

−

3

2)   z2  = 2 e 4  π  i calcule w1  =

 z2   z1  +   z23  + z y  w 2  = z1 z2 z1 z2

−

−

Reportee Re(w Report Re(w1 ), Im(w Im(w1 ), Re(w Re(w2 ) y Im(w Im(w2 ) Soluci´ o on n

Capturamos los n´ u umeros meros complejos en nuestra calculadora y ponemos las f´ormulas ormulas que definen w definen  w 1   y  w 2 .

30

 

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31

44. Para cada uno de los n´umeros umeros complejos: 1)   z1  = ( 1 + 5 i) ( 5

−

2

· − − 4 i)

2)   z2  = (3 + 5 i)  (5 + 4 i) (2 + 5 i) 3)   z3  = 5 5i   ( 1 + 2 i) 4)   z4  = (5 + 3 i)2   1 5)   z5  = (4 + 5 i) ( 1 3 i)2

−

· −

·− −

Determine: a) la parte imaginaria de z de  z 1 b) la parte real de  z 2 c) el mod´ ulo ulo de z de  z 3  z 4 d) el argumento de de z  z 5 e) el argumento de de z Soluci´ o on n

Al ingresar los datos en la calculadora autom´aticamente aticamente se realizan las operaciones. Capturaremos cada c´alculo alculo en una variable; como los nombres   z 1,   z 2 etc son palab palabras ras reserv reservadas, adas, utilizaremos utilizaremos otros nombres nombres para las variable variabless donde se almacenar´ aan n los resultados resultados..

Lo que se pide de los n´ umeros umeros complejos complejos se obtiene obtiene en forma directa directa mediant mediantee algunos algunos comandos comandos de la calculador calculadoraa como se ilustraa en las figuras siguiente ilustr siguientes: s:

 

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32

 z  = x  y i  que satisface la ecuaci´oon: 45. Determine el n´ u umero mero complejo complejo z  =  x +  + y n: z  =

−5 i z¯ + (−5 + i)

 y . Reporte el valor de x de  x  y de de y Soluci´ o on n A tener presente:

Qu Qu´´e es el  conjugado  de un n´ u umero mero complejo: x + y  + y i  = x  =  x

−yi

Cu´ando ando dos n´ umeros umeros complejos son iguales:  b1 i  = a a1  +  +  b2 i  =  a 2 + b  + b

→ a1  =  a2   y  b 1  = b  =  b 2

Un n´ umero umero complejo es cero si y s´olo olo si su parte real y su parte imaginaria son cero: w  = 0

 ↔ Re( w) = 0 y Im(w Re(w Im( w) = 0

 z  = x  y i  en la ecuaci´oon: Sustituyendo z Sustituyendo  =  x +  + y n: z   = x +  y i   =  + y = = x +  y i   =  + y

  −5 i z¯ + (−5 + i)   −5 i (x +  y i) + (−5 + i)  + y   −5 i  ( (xx − y i) + (−5 + i)   −5 y − 5 x i + −5 + i   −5 y − 5 + (1 − 5 x) i

De la igualdad igualdad obtenemos obtenemos las ecuaciones ecuaciones:: x  = 5y 5 y   = 1 5x

 − − −

Resolviendo las ecuaciones obtenemos:  5 13 x =   y  y  = 12 12

−

Debemos entregar como respuesta

0.416 416,, 1.083

−

 x,,  y  y  z  z.. Despu´ Este problema se puede hacer f´acilmente acilmente en la calculadora. Primeramente se limpian la variables  x Des pu´eess se define defin e z  como  x +  y i. Seguido de ello notamos que como en muchas situaciones es m´aass convien  como x  + y conviente te escribir escribir la relaci´ relaci´oon A n  A  = B  =  B   como A B  = 0; con esta observaci´oon n la expresi´on on que va a dar origen a nuestras ecuaciones se maneja como

− z − (−5 i z¯ + ( −5 + i)) = 0

Salvamos el lado derecho en una variable auxiliar, y resolvemos para x para  x  y  y  obligando que la parte real y la parte imaginaria sean cero.

 

 

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33

 z 1   y  z 2  dos numeros complejos tales que 46. Sean Sean z

|z1| = 3 y   |z2| = 6  z 1 2) z  +  z2  y el de 2) Determine el m´odulo odulo de 1) z 1)  z 1  + z Soluci´ o on n A tener presente:

 z 1   y  z 2  es de 30 grados. − z2  si el ´aangulo ngulo entre entre z

Que la suma y la resta de n´umeros umeros complejos se rigen por la ley del paralelogramo.

z 1  +  z 2 z 2 z 2

− z 1 α z 1

α

180o − α

La ley de los cosenos: que en un tri´angulo angulo cuyos lados a lados  a  y  b  y cuyo ´angulo angulo entre ellos es θ es  θ  el lado apuesto a θ a  θ,, digamos c, debe cumplir: c2 =  a 2 + b2

2 a b cos( cos(θθ )

− b

 

c

θ a

Respuesta:

| − z1|  y  d  = |z2 + z  +  z1 |   entonces

 b  = z2 ,  c =  c  = z2 De los resultados comentados comentados si a si  a  = z1 ,  b =

| |

c2

| |

= 32 + 62 2 3 6 cos(30o ) = 45 18 3

−√  · · ·

− | − z1| ≈ 3.7179. 32 + 6 2 + √ 2 · 3 · 6 · cos(1800 − 30 )

por tanto, c tanto,  c =  = z2 d2

o

= = 45 + 18 3

 +  z1 por tanto, d tanto,  d  = z2  + z

|

| ≈ 8.7279.

 

 

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34

47. Si z1 = 3 y z2 = 5, determine el m´odulo odulo de los siguientes n´u umeros meros complejos:

 | |

 | |

1)   z1 /z2 2)   z1 z2

√ z1 √  4) ( z¯1 )2 z2 √  5) (z )2 / z¯ 3)   z2

 3

1

2

Soluci´ o on n A tener presente:

Las propiedades del m´odulo odulo en n´ u umeros meros complejos:

•   El m´odulo odulo del conjugado es igual al m´oodulo dulo del n´ u umero mero sin conjugar: |z| = |z| •   El m´odulo odulo de un producto es igual al producto de los m´odulos: odulos: |z1 · z2| = |z1| · |z2| •   El m´odulo odulo de una potencia es la potencia del m´oodulo: dulo: |z | = |z| •   El√ m´odulo odulo de una ra´ ra´ız es la ra´ ra´ız del m´oodulo: dulo: | z| = |z| n

n

n

 

  n

Respuesta:

1) z1 /z2 = z1 / z2 = 3/ 3 /5

 | | | | | | 2)   |z1  z¯2 | = |z1 | · |z2 | = 3 · 5 = 15 √  √  √  3)   |z2 z1 | = |z2 | · | z1 | = |z2 | · |z1 | = 5 3

 

 z 1   y  z 2  dos numeros complejos tales que 48. Sean Sean z

|z1| =

√ 

65 y z2 = 9

 | |  z 1  + z  +  z2 . + i.. Determine el m´oodulo dulo de de z Supongaa que z Supong que  z 1 − z2  = −1 + i Soluci´ o on n A tener presente:

Que la suma y la resta de n´umeros umeros complejos se rigen por la ley del paralelogramo.

z 1  +  z 2 z 2 z 2

− z 1 α z 1

α

180o − α

La ley de los cosenos: que en un tri´angulo angulo cuyos lados a lados  a  y  b  y cuyo ´angulo angulo entre ellos es θ es  θ  el lado apuesto a θ a  θ,, digamos c, debe cumplir: c2 =  a 2 + b2

− 2 a b cos( cos(θθ )

 

 

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b

 

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c

θ a

3

+ i =  = Como  z 1 z2  = 1 + i Como z a   = z1 = 65 b   = z2 = 9 c   = z2 z1 = 2

√ 2CIS( − √ −  π ), entonces para calcular el ´aangulo θ  z 1   y  z 2  utilicemos la ley de los cosenos con: 2 CIS( 4  π), ngulo  θ  entre  entre z  | |  | |   | − | √ 

 θ  de: Despejamos θ Despejamos c2 =  a2 + b2

− 2 a b cos( cos(θθ)

y obtenemos o

θ

≈ .1243549945 = 7.7.125016344

Si nosotros utilizamos la informaci´on on del problema 15 de esta misma tarea tenemos: z1  +  z2  + z

2

= z1 2 + z2

2

7.125016344o )

2 z1 z2 cos(180o

| | | | | | − | || | |z1 +  z2 | ≈ 17  + z 17..02938637 Por tanto,

−

49. Resue Resuelv lvaa la ecuaci´ ecuaci´ on: on: (3

− 5 i + (−3 − i)  z )4 = −1

Reporte las partes reales de las ra´ ra´ıces. Soluci´ o on n

Primeramente Primerame nte obtengamos obten gamos las ra r a´ıces cuartas de z de  z 0  =

−1:

r   = z0   =   1 θ   = Arg(zo ) = π

  | |

 −

Las raices cuartas cuartas est´ an an dadas por la f´ormula: ormula: θ  + 2 π n   4 R  = 1 cis   para n para  n =  = 0, 1, 2, 3 4

√ 

·





As As´´ı al tomar ra ra´´ız cuarta en la ecuaci´oon n original se tiene 3

− 5 i + (−3 − i)  z  = R  =  R

Por tanto  R 3 + 5 i z  = 3 i

− − −

 

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Teniendo la lista de resultados, el siguiente paso es obtener la parte real de cada complejo y luego su aproximaci´oon n num´ num ´eeric r ica. a.

50. Si z1  + z  +  z2  = 10 + 4 i , z1 + z  +  z2  = 10

−8i

− z3  = 4 − 2 i , z1 − z3  = 4 + 4 i z1 · z4  = 1 + 5 i , z1 · z4  = −5 − i 1  2   3 z1 /z5  = −   , z1 / (z5 ) =  +  i 2 5 10 z1

determine dete rmine la parte imaginaria imaginaria de: 1)   z1

− z3 2)   z1 − z3 3)   z1 · z4  +  z2 4)   z1  + z 5) (z1 ) / (z5 ) Soluci´ o on n

Recordemos las propiedades importantes que tiene el conjugado de un n´u umero mero complejo El conjugado del conjugado de un n´ u umero mero complejo es el n´ u umero mero complejo original: (c) = c =  c El conjugado de una suma(resta) de n´umeros umeros complejos es la suma(resta) de los conjugados de los complejos: c

 ±   e =  c  ±   e  = c

El conjugado de un producto de n´umeros umeros complejos es el producto de los conjugados de los complejos: c e  =  c  = c

·

 ·   e

El conjugado de un divisi´on on de n´ u umeros meros complejos es la divisi´oon n de los conjugados de los complejos: c



 =

 c

e

e

 

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Con ello mente para determinar 1)   z1

− z3, calculemos su conjugado z1 − z3  = z  =  z 1 − z3  = z  =  z 1 − z3  =  4 + 4 i Por lo tanto, z tanto,  z 1 − z3  = 4 + 4 i  = 4 − 4 i 2)   z1 − z3 , calculemos su conjugado dato

− z3  = z  4 − 2 i  =  z 1 − z3  = Por lo tanto, z tanto,  z 1 − z3  = 4 − 2 i  = 4 + 2 i 3)   z1 · z4 , calculemos calculemos su conjugado conjugado z1 · z4  =  z1 · z4  =  z1 · z4  =  1 + 5 i Por lo tanto, z tanto,  z 1 · z4  = 1 + 5 i  = 1 − 5 i z1

dato

dato

4)   z1  + z  +  z2 , calculemos su conjugado z1  + z  z2  = dato  10  +  z2  = z  =  z 1  + z  +  z2  = z  =  z 1  +  + z Por lo tanto, z tanto,  z 1  + z  +  z2  = 10

−8i

− 8 i = 10 + 8 i

5) (z1 ) / (z5 ), calcu calculemos lemos su conjugado conjugado

   z 1 z5

 =

  z1   z1 = =dato z5 z5

Por lo tanto, (z (z1 ) / (z5 ) =

 −1/2 −1/2 = −1/2 = −1/2 + 0 i

 

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