Solucion Hoja de Trabajo_ Sesion 5 (2)

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SESIÓN 5 Funciones Reales de Variable Real – Composición de Funciones

1.

Halle f

g y g f , si existe, en los siguientes casos:

a) f(x)  x  1; g(x)  2x  5 Solución: En primer lugar vemos el dominio de la composición:

Dom( f  g )  x  R / x  Dom( g )  g ( x)  Dom( f ) Podemos observar:

Dom( f )  IR y para calcular el dominio de la otra función se procede de la siguiente manera: 2x  5  0  x  5 / 2

5 2

 

Esto significa que: Dom( g )   ,   Ahora obtenemos el dominio de la compisición

f

g

  5 Dom( f g )   x  IR / x   ,   2 x  5  IR  2     5 5 5 Dom( f g )   x  IR / x   ,   x   ,     ,  2 2   2 Como este conjunto es no vacío, exíste

f

g , siendo:

f g  f ( g ( x))  ( g ( x))  1  2 x  5  1 x  5 / 2,  Ahora vemos el dominio de la composición

g f

Dom( g f )  x  R / x  Dom( f )  f ( x)  Dom( g )



Dom( f g )  x  IR / x  IR  ( x  1)  5 / 2, 

 1

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Resolviendo:

( x  1)  5 / 2,  

5 5 3  x  1     1  x   1   x   2 2 2

Es decir: ( x  1)   5 / 2, 

 3 / 2, 

Con lo que reemplazando se tiene:





Dom( f g )  x  IR / x  IR  x  3 / 2,   3 / 2,  Como este conjunto es no vacío exíste

f

g , siendo:

g f  g ( f ( x))  2( f ( x))  5  2( x  1)  5  2 x  3 x  3 / 2,  b) f(x)  ex ; g(x)  ln(x) Solución: Veamos los dominios de las funciones:

Dom( f )  IR Para calcular el dominio de la función logarítmica, debemos recordar que este tipo de funciones aplican solamente a cantidades positivas, es decir:

Dom( g )  0,   Ahora calculamos:

Dom( f  g )  x  IR / x  Dom( g )  g ( x)  Dom( f )

Dom( f  g )  x  IR / x  0,   ln( x)  IR Pero

ln( x)  IR si x  0

Es decir:

Dom( f g )  x  IR / x  0,   x  0,    0, 

Ahora calculamos

f g  f ( g ( x))  e g ( x)  eln( x)  x, donde x  0,  2

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Por otro lado:

Dom( g f )  x  IR / x  Dom( f )  f ( x)  Dom( g )



Dom( g f )  x  IR / x  IR  e x  0,  Pero



e x  IR si x  IR

Es decir:

Dom( g f )  x  IR / x  IR  x  IR  IR Ahora calculamos

g f  g ( f ( x))  ln( f ( x))  ln(e x )  x, donde x  IR

c) f(x)  2x  1; g(x)  2x  5 Solución: Veamos los dominios de las funciones:

Dom( f )  IR Dom( g )  IR

Ahora calculamos:

Dom( f  g )  x  IR / x  Dom( g )  g ( x)  Dom( f ) Dom( f  g )  x  IR / x  IR  2x  5  IR Pero

2 x  5  IR si x  IR

Es decir:

Dom( f g )  x  IR / x  IR  x  IR  IR

Ahora calculamos

f g  f ( g ( x))  2( g ( x))  1  2(2 x  5)  1  4 x  11, donde x  IR

Por otro lado:

Dom( g f )  x  IR / x  Dom( f )  f ( x)  Dom( g ) 3

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Dom( g f )  x  IR / x  IR  2 x  1 IR Pero

2 x  1 IR si x  IR

Es decir:

Dom( g f )  x  IR / x  IR  x  IR  IR Ahora calculamos

g f  g ( f ( x))  2( f ( x))  5  2(2 x  1)  5  4 x  3, donde x  IR

d) f(x) 

x 1 1 ; g(x)   3 x2 x

Veamos los dominios de las funciones:

Dom( f )  IR  2

Pues el denominador debe ser diferente de cero.

Dom( g )  IR  0

Ahora calculamos:

  1  Dom( f  g )   x  IR / x  IR  0    3   IR  2 x    1 1  Para que   3   IR  2 debemos asegurar que  3  2 dado que siempre e un x x  snúmero real por que el dominio de g , asi lo establece. 1 1 1  3  2   5    x x x 5 Es decir:

Dom( f  g )  x  IR / x  IR  0  x  IR  1/ 5  IR  0, 1/ 5 Ahora calculamos

f  g  f ( g ( x)) 

g ( x)  1 (1 / x)  3  1 2 x  1   , donde x  IR  0, 1 / 5 g ( x)  2 (1 / x)  3  2 5 x  1 4

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Por otro lado:

x 1   Dom( g f )   x  IR / x  IR  2   IR  0 x2   x 1  IR  0 x2

Para que

debemos asegurar que

número real por que el dominio de

f

x 1  0 dado x2

que siempre es un

, asi lo establece.

x 1  0  x 1 x2 Es decir:

Dom( g f )  x  IR / x  IR  2  x  IR  1  IR  2,1 Ahora calculamos

g f  g ( f ( x)) 

2.

Halle f

1 1 x2 4x 1 3 3 3 , donde x  IR  2,1 x 1 f ( x) x 1 x 1 x2

g y g f , si existe, en los siguientes casos:

a)

 x  2; f ( x)    x  1:  x ; g ( x)   2 1  x ; 2

si x  1 si x  1 si x  0 si x  0

Solución: En primer lugar consideramos las funciones:

f1( x)  x  2; si x  1, f 2 ( x)  x  1; si x  1

g1( x)  x 2 ; si x  0 , g2 ( x)  1  x 2 ; si x  0 5

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Se observa que ya nos dan el dominio de las funciones:

Dom( f1)  ;1 ,

Dom( f 2 )  1, 

Dom( g1)  ;0

Dom( g2 )  0; 

,

 Para realizar la composición de

f1 g1 , f1 g 2 ,

composición de



f  g , se debe f 2 g1 y f 2 g 2

,

analizar la posibilidad de realizar la



 

Dom( f1 g1 )  x  IR / x  ;0  x 2  ;1

Pero x 2  ;1 si x2  1  x2  1  0  ( x  1)( x  1)  0  x  1;1

Luego:

Dom( f1 g1 )  x  IR / x  ;0  x   1;1  1;0

Con lo que garantiza:

f1 g1 ( x)  f1  g1 ( x)   x 2  2, x  1;0









Dom( f1 g2 )  x  IR / x  0;   1  x 2  ;1

Pero 1  x 2  ;1 si 1  x2  1   x2  0  x2  0  x  IR

Luego:





Dom( f1 g2 )  x  IR / x  0;   x  IR  0;  Con lo que garantiza:

f1 g2 ( x)  f1  g2 ( x)    x 2  3, x  0; 



 

Dom( f 2 g1 )  x  IR / x  ;0  x 2  1; 



Pero x 2  1;  si x2  1  x2  1  0  ( x  1)( x  1)  0  x  ; 1  1; 

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Luego:

Dom( f 2 g1 )  x  IR / x  ;0  x  ; 1  1;    ; 1 Con lo que garantiza:

f 2 g1 ( x)  f 2  g1 ( x)   x 2  1, x  ; 1







Dom( f 2 g2 )  x  IR / x  0;   1  x 2  1, 



Pero 1  x 2  1,  si 1  x2  1   x2  0  x2  0  x {}

Luego:





Dom( f 2 g2 )  x  IR / x  0;   x {}  {} Por lo tanto no existe f 2 g 2 Finalmente se tiene:

 x 2  2, x   1;0   ( f  g )( x)   x 2  3, x  0;   2   x  1, x  ; 1 De manera similar g f . b)

 x  2; si x  1; 1  f ( x)   2 si x  1; 2  x  2 x ;  2 ;  g ( x)   x  1 1  x; 

si x   2; 1 si x  0; 6

Vamos a calcular g f , entendiéndose que g1 , g 2 son las componentes de g y que f1 , f 2 son las componentes de f.



Dom( g1 f1 )  x  IR / x  1;1  ( x  2)  2; 1

 7

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Pero ( x  2)  2; 1 si 2  x  2  1  4  x  3  x   4; 3 Luego:





Dom( g1 f1 )  x  IR / x  1;1  x  4; 3  {} Con lo que se prueba que no existe g1 f1



Dom( g1 f 2 )  x  IR / x  1; 2  x 2  2 x   2; 1



Pero x 2  2 x   2; 1 es totalmente falso, entonces x  

Luego:



Dom( g1 f 2 )  x  IR / x  1; 2  x 



   

Con lo que se prueba que no existe g1 f 2

Dom( g2 f1 )  x  IR / x  1;1   x  2   0;6  Pero  x  2   0;6 si 0  x  2  6  2  x  4  x  2; 4

Luego:

Dom( g2 f1 )  x  IR / x  1;1  x  2;4   1;1

Con lo que garantiza:

g2 f1 ( x)  g2  f1 ( x)   1  ( x  2)   x  1, x  1;1



Dom( g2 f 2 )  x  IR / x  1; 2  x 2  2 x  0, 6 Pero x 2  2 x  0,6 si

x2  2 x  0 



x2  2 x  6

x2  2 x  0  x 2  2 x  0  x( x  2)  0  x  ; 2  0; 

x2  2 x  6  x2  2 x  0  x 2  2 x  36  x 2  2 x  36  0

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x2  2 x  0 (restringido por la primera parte)



x2  2 x  36  0  ( x  1)2  37  0  x  1  37

 x  1



37  0

 x  1  37; 1  37 De la intersección de ambas inecuaciones se tiene:

x  1  37; 2  0; 1  37 Luego:



Dom( g2 f 2 )  x  IR / x  1; 2  x  1  37; 2  0; 1  37

  1; 2

Con lo que garantiza g 2 f 2

g2 f 2 ( x)  g2  f 2 ( x)   1  x 2  2 x , x  1; 2 Finalmente se tiene:

 x  1, x  1;1  ( g f )( x)   2  1  x  2 x , x  1; 2 g2 f 2 ( x)  g2  f 2 ( x)   1  x 2  2 x , x  1; 2 De manera similar f  g .

3.

Se debe construir una lata cilíndrica para almacenar un volumen de 3 pulgadas cúbicas de líquido. El costo del material que se usará para la parte superior e inferior de la lata es de 3 centavos de dólar por pulgada cuadrada, y el costo del material que se usará para la parte lateral es de 2 centavos por pulgada cuadrada. a) Expresar la altura como función del radio de la base. b) Expresar el costo total de fabricación en función del radio de la base Solución:

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h

r a) Según el gráfico el radio de la base es r y la altura del cilindro es h ; además el volumen del cilindro es V   r 2h ; por información del problema el volumen es de 3 pulgadas cúbicas, entonces reemplazando en la fórmula se tiene:

De donde se obtiene la altura como función del radio.

b) Para hallar el costo, tenemos que conocer la cantidad de pulgadas cuadradas para la base y la tapa y para la parte lateral:

A1   r 2 in 2 .  C1  3 r 2 ¢ A2   r 2 in 2 .  C2  3 r 2 ¢

h

A3  2 rh in 2 .  C3  4 rh ¢

2 r Luego obtenemos el costo total de fabricación de la lata:

Componiendo con “ h ”:

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4.

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Si se invierte al 4% de interés compuesto anual, por lo tanto la cantidad A(x) de la inversión después de un año es A( x)  1.04 x . a) Hallar A A; A A A; A A A A y explicar qué representan estas composiciones. b) Hallar una fórmula para n composiciones de A. Solución: a) Como la función A , tiene como dominio el intervalo 0,  , es posible componer consigo mismo las veces que se desee, siendo el dominio de estas composiciones el intervalo 0,  Veamos:

( A A)( x)  A( A( x))  1.04(1.04 x)  (1.04)2 x Se entiende como el dinero acumulado después de dos años.

( A A A)( x)  A( A( A( x)))  1.04(1.04(1.04 x))  (1.04)3 x Se entiende como el dinero acumulado después de tres años.

( A A A )( x)  A( A( A( A( x))))  1.04(1.04(1.04(1.04 x)))  (1.04) 4 x Se entiende como el dinero acumulado después de cuatro años. b) Por deducción es:

(A 5.

An veces A ... A)( x)  A( A( A( A...A( x))))  1.04(1.04(1.04(1.04...(1.04x))))  (1.04)

n

x

La función g(x)  2x  50 que indica el salario semanal de un vendedor, determinado por el número de unidades "x " vendidas cada semana. Un análisis revela que la cantidad vendida cada semana por el vendedor depende del precio cobrado por el producto, dada por la función x(p)  150  2,5p ; donde "p" es el precio expresado en dólares. a) Halle el salario semanal en función del precio por unidad. b) Use el apartado anterior para calcular el salario semanal esperado para un precio de $30. Solución: a) Nos piden realizar la composición g x , para esto veamos la variación de las variables x y p , para esto debemos observar que la curva de la demanda x(p)  150  2,5p tiene sentido en el primer cuadrante y esto es posible si x  0,150

y p  0,60 , pues si p= 0,

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entonces x = 150, además si p = 60, entonces x = 0. Luego Dom( g )  0,150

y

Dom(x)  0,60 , entonces: Dom( g x)  x  IR / x  Dx  x( p)  Dg

Dom( g x)  x  IR / x  0,60  (150  2.5 p)  0,150  Dom( g x)  x  IR / x  0,60  0  150  2.5 p  150

Dom( g x)  x  IR / x  0,60   150  2.5 p  0

Dom( g x)  x  IR / x  0,60  0  p  60

Dom( g x)  x  IR / x  0,60



Con lo que se puede realizar la composición:

( g x)( p)  g (x( p))  2(150  2.5 p)  50  350  5 p, p  0,60 b) Si el precio es de $30 , el salario sería de g (30)  350  5(30)  200 .

6.

Un estudio ambiental de cierta comunidad suburbana sugiere que el nivel diario promedio de monóxido de carbono en el aire será C(p)  0,4p  1 partes por millón cuando la población sea

p miles. Se estima que en t años la población de la comunidad será p(t)  8  0,2t2 miles. a) Exprese el nivel de monóxido de carbono en el aire como una función del tiempo. b) ¿Cuál será el nivel de monóxido de carbono en 2 años, a partir de hoy? c) ¿Cuándo alcanzará el nivel de monóxido de carbono las 6.2 partes por millón? Solución: a) Nos piden hallar:

C ( p(t ))  0.4(8  0.2t 2 )  1  4.2  0.08t 2 , t  0 b) Nos piden hallar:

C (2)  4.2  0.08(2)2  4.52 Partes por millón c) Nos piden calcular el valor de la variable t

6.2  4.2  0.08t 2  2  0.08t 2  t 2  25  t  5 Dentro de 5 años alcanzará .

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7.

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Encuentre f g h , si existe, en cada caso. a)

f(x)  x  1; g(x)  x; h(x)  x  1

b)

f(x)  x4  1; g(x)  x  5; h(x)  x

Solución: a)

Veamos el dominio de las funciones: Dom( f )  IR , Dom( g )  0;  ; Dom(h)  IR





Veamos primero Dom( f  g )  x  IR / x  0,   x  IR Pero



x  IR si x  0,  , luego:





Dom( f  g )  x  IR / x  0,   x  0,   0,  Ahora veamos Dom( f  g h)  x  IR / x  Dom(h)  h( x)  Dom( f  g )



Dom( f  g h)  x  IR / x  IR  ( x  1)  0; 



Pero ( x  1)  0;  si x  1  0  x  1  x  1;  , luego:





Dom( f  g h)  x  IR / x  IR  x  1;   1;  Finalmente

( f  g h)( x)  f  g (h( x))   f ( x  1)  x  1  1, x  1;  b) Veamos el dominio de las funciones: Dom( f )  IR ; Dom( g )  IR ; Dom(h)  0;  Veamos primero Dom( f  g )  x  IR / x  IR  ( x  5)  IR Pero ( x  5)  IR si x  IR , luego:

Dom( f  g )  x  IR / x  IR  x  IR  IR Ahora veamos Dom( f  g h)  x  IR / x  Dom(h)  h( x)  Dom( f  g ) 13

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



Dom( f  g h)  x  IR / x  0;   x  IR Pero

x  IR si x  0;  , luego:





Dom( f  g h)  x  IR / x  0;   x  0;   0;  Finalmente

( f  g h)( x)  f  g (h( x))   f ( x  5)  8.





4

x  5  1, x  0; 

Una compañía que vende microcomputadoras determinó que su utilidad total está dada por U (q)  0.08q 2  80q  260 , donde q es el número de unidades producidas y vendidas. Suponga que q está en función del tiempo, en meses, donde q(t)  5t  1 . Halle la utilidad total en función del tiempo. Solución: Hallamos la composición

U (q(t))  0.08(5t  1)2  80(5t  1)  260 , donde t  0 9.

Suponga que la ganancia de la producción y la venta de q unidades de un producto se q2  200 . Además, que para cierto mes, el número de 100 unidades producidas en el día t del mes es q  q(t)  1000  10t . a) Encuentre ( p q)(t) para expresar la ganancia como función del día del mes b) Encuentre el número de unidades producidas y la ganancia en el día 15 del mes.

determina por medio de p(q)  180q 

Solución: a) Se debe calcular p(q(t))  180(1000  10t) 

(1000  10t)2  200, t  0 100

b) Primero se calcula q(15) = 1 000 + 10(15)=2500; luego (2500)2 p(2500)  180(2500)   200  387300 100 Es decir en el 15 día se produce 2500 unidades y la ganancia es de 387 300.

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10. Un fabricante determina que el número total de unidades de producción por día, q, es una función f del número de empleados, m, donde:

q  f (m) 

40m  m2 4

El ingreso total, r, que recibe por la venta de q unidades, está dado por la función g, donde r  g(q)  40q . Determine (g f )(m) . ¿Qué es lo que describe esta función compuesta? Solución: Se tiene Dom(g)= 0;  , para hallar el dominio de f, hay que resolver la desigualdad : 40m  m2  0  m2  40m  0  m(m  40)  0  m 0;40 4

Entonces Dom(g)= 0; 40 , luego:

  40m  m2 Dom(g f)  mIR / m  0;40   0,    0;40 4   Luego

 40m  m2 (g f)(m)  g(f(m))  40  4 

 2   400m  10m , x  0;40 

Esta función describe el ingreso de acuerdo al número de empleados.

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