solucion de problemas matematicas

Programa Focalizado Geometría de proporción III Marco Teórico 1. Congruencia de triángulos ( ≅ )



1.1 Definición



Dos triángulos son congruentes si poseen lados y ángulos congruentes.

Al superponer dos triángulos congruentes coincidirán totalmente (esta superposición se hace colocando ángulos congruentes correspondientes uno sobre otro).



1.2 Criterios de congruencia Para determinar si dos triángulos son congruentes, existen cuatro criterios:



• Lado, lado, lado (L.L.L.) Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes son congruentes.

•

Lado, ángulo, lado (L.A.L.) Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados congruentes y el ángulo comprendido entre ellos congruentes.



•

Ángulo, lado, ángulo (A.L.A.) Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos congruentes y el lado comprendido entre ellos congruentes.



•

Lado, lado, ángulo (L.L.A.) Si dos triángulos tienen dos lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos respectivamente congruentes, entonces los triángulos son congruentes.

2. Semejanza de triángulos (~)



2.1 Definición Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son congruentes entre sí.



Si dos triángulos son semejantes, entonces sus lados homólogos son proporcionales.



2.2 Teoremas de semejanza Dos triángulos son semejantes si tienen:



2

• •

Cpech

Dos ángulos respectivamente congruentes. Un ángulo igual comprendido entre dos lados proporcionales.

Preuniversitarios

Matemática

• •

Dos lados proporcionales y el ángulo opuesto al mayor de ellos, igual. Tres lados proporcionales.



2.3 Elementos homólogos



Los elementos homólogos en triángulos semejantes corresponden a los lados que están opuestos a los mismos ángulos o elementos que cumplen la misma función en cada triángulo (alturas, bisectrices, transversales y simetrales).



•

Se tienen: ∆ ABC ~ ∆ DEF



C

F

ε

ε

N

M

α

β

α

A

B



β

D

E

M y N: puntos medios



En este caso, el segmento AB es homólogo al segmento DE ; el segmento BC es homólogo al segmento EF ; y el segmento AC es homólogo al segmento DF .



a.





Bisectrices

Transversales

Alturas

Opuesto a ε

Opuesto a β

Opuesto a α

La razón entre elementos homólogos es constante.

hc ta bbB CA AB En ∆ ABC BC = = = = = = k con k constante de proporcionalidad hf td En ∆ DEF EF bbE FD DE b.

La razón entre los perímetros de dos triángulos semejantes es igual a la razón entre sus elementos homólogos.

hc ta bbB BC CA AB P∆ABC = = = = = = =k hf td P∆DEF bbE EF FD DE

Cpech

Preuniversitarios

3

Programa Focalizado

c.

La razón entre las áreas de dos triángulos semejantes es igual al cuadrado de la razón entre sus elementos homólogos.

( ) ( )

BC A∆ABC = A∆DEF EF



2

=

CA

2

FD

= ... = k2

3. División de un segmento



3.1 Interiormente AP





A

P

B

PB

=

m n

=

m n

3.2 Exteriormente AQ



A

B

Q

BQ

4. Geometría de proporción en la circunferencia



4.1 Teorema de las cuerdas

Si dos cuerdas se intersectan en un punto interior de la circunferencia, entonces este punto determina segmentos en las cuerdas, de manera que el producto de las medidas de los segmentos de una de las cuerdas es igual al producto de las medidas de los segmentos de la otra.

Sea P punto interior de la circunferencia.



Sean AB y CD dos cuerdas de la circunferencia (El punto P es la intersección de ambas cuerdas).



Luego, en la figura se cumple que: PA ∙ PB = PC ∙ PD

4

Cpech

Preuniversitarios

B

C

•

P A D

Matemática

4.2 Teorema de las secantes

Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos secantes, el producto de una secante por su segmento exterior es igual al producto de la otra secante por su segmento exterior. Sea P punto exterior a la circunferencia.

Sean PA y PC dos secantes a la circunferencia (El punto P es la intersección de ambas secantes).



Luego, en la figura se cumple que:

C D P B

A

PA ∙ PB = PC ∙ PD



4.3 Teorema de la tangente y la secante

Si desde un punto exterior a una circunferencia se traza una tangente y una secante, entonces, el cuadrado de la medida de la distancia desde ese punto al punto de tangencia, es igual al producto de las distancias que hay desde el punto exterior a los puntos de intersección de la secante con la circunferencia.

T

P

A

B

Sea P un punto exterior a la circunferencia. Sea PT una tangente a la circunferencia en el punto T y PB una secante. Luego, en la figura se cumple que: 2

PT = PA ∙ PB

Cpech

Preuniversitarios

5

Programa Focalizado Ejercicios PSU 1.

Si en un triángulo equilátero se dibuja una de sus transversales de gravedad, se forman dos triángulos



A) B) C) D) E)

2.

En la figura, ∆ ABC ≅ ∆ EFG, entonces ¿cuánto mide FG ?



A) B) C) D) E)

equiláteros congruentes. acutángulos congruentes. acutángulos escalenos congruentes. isósceles rectángulos congruentes. escalenos rectángulos congruentes.

C

4 cm 5 cm 12 cm 13 cm Ninguna de las medidas anteriores.

E

F

5 cm

A

B

13 cm

G

3. En la figura, ∆ ABC ≅ ∆ FGE. Si ∠ ACB = 58º, entonces ¿cuánto mide el ángulo GEH?

A) B) C) D) E)

58º 61º 119º 122º Faltan datos para determinarlo.

A

G C

H

B

6

E

F

4.

En la figura, se tiene el rectángulo TQSR y el triángulo PQR equilátero de 30 cm de perímetro. ¿Cuánto mide la región sombreada?



A)

25�3 cm2



B)

25 �3 cm2 2



C)

5�3 cm2



D)



E)

Cpech

5 �5 cm2 2 5 �3 cm2 2

Preuniversitarios

P

R

S

T

Q

Matemática 5.

En la figura, ABCD es un rombo. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)? D



I) ∆ AEB ≅ ∆ CEB II) ∆ DEC ≅ ∆ BEC III) ∆ AED ≅ ∆ CED



A) B) C) D) E)

6.

En la figura, ABCD rectángulo, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?





I) ∆ AEB ≅ ∆ CED II) ∠ BAC ≅ ∠ BDC III) ∆ AED ≅ ∆ BEC

A) B) C) D) E) 7.

Sólo I Sólo II Sólo III Sólo I y III I, II y III

Sólo I Sólo II Sólo III Sólo I y III I, II y III



A) B) C) D) E)



C

B

D

C

E

A

B

En el triángulo PQR de la figura, ∆SQR ≅ ∆TRQ. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) SQ ≅ TR II) ∠ RQS ≅ ∠ QTR III) ∠ RQT ≅ ∠ SRQ



E

A

Sólo I Sólo II Sólo III Sólo I y III Sólo II y III

P

S

Q

T

R

Cpech

Preuniversitarios

7

Programa Focalizado 8.

Dos triángulos son semejantes si



A) B) C) D) E)

9.

En la figura, ∆ ABC ~ ∆ DEF, AB = 7 cm, AC = 14 cm y BC = 11 cm. Si DE = 21 cm, ¿cuánto mide EF ? A E



A) B) C) D) E)

tienen igual perímetro. tienen igual área. sus ángulos son proporcionales en una razón distinta de 1. sus lados son proporcionales. sus tres lados respectivos coinciden.

3,6 cm 13,3 cm 33 cm 42 cm Ninguna de las medidas anteriores.

B

C

D

F

10. En la figura, ∠ QPR ≅ ∠ TSR, RS = 4 y SP = 9. ¿Cuál es la razón entre las áreas de los triángulos RST y RPQ?

A)



B)



C)



D)



E)

16 169 16 81 8 26 4 9 8 9

R

S

T

P

Q

11. En la figura, ∆ ABC ~ ∆ DEF. Si el área del triángulo DEF mide 36 cm2, el área del triángulo ABC mide C

8

A) B) C) D) E)

Cpech

48 cm2 64 cm2 96 cm2 2 192 cm ninguna de las medidas anteriores.

Preuniversitarios

F 32

A

24

B

D

E

Matemática 12. ¿En cuál(es) de las siguientes figuras el triángulo M es semejante con el triángulo P? I) II) III) M 48º 81º

M

P

M 48º



A) B) C) D) E)

P

49º

49º

P

50º

Sólo en I Sólo en III Sólo en I y en III Sólo en II y en III En I, en II y en III

13. En la figura, ABCD es un rectángulo, ¿cuál(es) de los siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?



I) ∆ DCB ∼ ∆ AED II) ∆ EDA ∼ ∆ ADB III) ∆ ABE ∼ ∆ DAE



A) B) C) D) E)



Sólo I Sólo II Sólo III Sólo I y II I, II y III

D

C E 35º

55º

A

B

14. En la figura, PS ⊥ QR. ¿Cuál(es) de las siguientes semejanzas es(son) verdadera(s)? I) ∆ MSR ~ ∆ QTR II) ∆ RMS ~ ∆ PQS III) ∆ PQS ~ ∆ PMT

R S



A) B) C) D) E)

Sólo III Sólo I y II Sólo I y III I, II y III Ninguna de ellas.

M 30º P

T

Q

Cpech

Preuniversitarios

9

Programa Focalizado 15. En la figura, el triángulo ABC está inscrito en la semicircunferencia de centro O. ¿Cuál(es) de las siguientes semejanzas es(son) FALSA(S)? I) ∆ ABC ~ ∆ ACD II) ∆ ACB ~ ∆ CDB III) ∆ DAC ~ ∆ DCB

A) B) C) D) E)

D

A

Sólo I Sólo III Sólo II y III I, II y III Ninguna de ellas.

O

B

C

16. Un punto R divide interiormente al trazo PQ en la razón 3 : 7. Si PR = 21 cm, entonces ¿cuánto mide el segmento PQ?

A) B) C) D) E)

70 cm 49 cm 30 cm 25 cm 9 cm

17. En la figura, D divide al segmento AB en la razón 4 : 5. Si DB = 35 cm, ¿cuánto mide AB ?

10

A) B) C) D) E)

Cpech

79 cm 63 cm 44 cm 34 cm 28 cm

Preuniversitarios

A

D

B



Matemática 18. ¿Cuál(es) de los siguientes segmentos PQ está(n) dividido(s) por el punto R en la razón 2 : 5? 5





I) P

2

R

P

10

R

II)

Q

25

Q

14



III) P



A) B) C) D) E)

4

R

Q

Sólo I Sólo I y II Sólo I y III Sólo II y III I, II y III

19. En la figura, S es punto medio de PQ y el segmento RS triplica al segmento PR. El segmento PR es al segmento RQ como

A) B) C) D) E)

1 :8 1 :7 1 : 6 1 :4 1 :3

P

R

S

Q

20. Un segmento está dividido interiormente en la razón 2 : 3 : 5 y la medida del segmento mayor es 85 cm. ¿Cuál es la longitud del segmento menor?

A) B) C) D) E)

62 cm 51 cm 34 cm 17 cm Faltan datos para determinarlo.

Cpech

Preuniversitarios

11

Programa Focalizado 21. En la figura, R divide exteriormente al trazo PQ en la razón 8 : 3. Si PQ = 60 cm, entonces ¿cuánto mide PR?

A) B) C) D) E)

96 cm 85,7 cm 36 cm 25,7 cm Ninguna de las medidas anteriores.

P

Q

R

22. En la figura, AB y CD cuerdas, ED = 5, AE = 25 y BE = 8. ¿Cuál es el valor de CD ?

A) B) C) D) E)

28 33 40 45 Ninguno de los valores anteriores.

C B E D A

23. En la figura, el diámetro AB de la circunferencia mide 40 cm y la distancia entre el centro O de la circunferencia y la cuerda CD es de 12 cm. ¿Cuánto mide CD ?

A) B) C) D) E)

36 cm 32 cm 18 cm 16 cm Faltan datos para determinarlo.

E C A

D

O

B

24. Una cuerda perpendicular al radio de una circunferencia de radio 13 cm, está a 12 cm del centro, entonces ¿cuál es la longitud de la cuerda?

12

A) B) C) D) E)

Cpech

24 cm 12 cm 10 cm 5 cm Ninguna de las medidas anteriores.

Preuniversitarios

Matemática 25. En la figura, AB y AE son secantes, AC = 3 cm, AE = 12 cm y ED = 8 cm. La medida de BC es

A) B) C) D) E)



B

16 cm 13 cm 10 cm 7 cm ninguna de las medidas anteriores.

C A D E

26. En la figura, O centro de la circunferencia, AC y DC son secantes, BC = 4 cm, DC = 16 cm y DE = 7 cm. El diámetro de la circunferencia mide

A) B) C) D) E)

32 cm 17 cm 16 cm 8,5 cm ninguna de las medidas anteriores.

D E O

A

C

B

27. En la circunferencia de la figura, DC es tangente a la circunferencia en D, AC es secante, AC = 36 cm y AB = 20 cm. ¿Cuánto mide DC ? D



A) �26 cm



B) 2�13 cm



C) 24 cm



D) 12�5 cm



E)

C

B

A

Ninguna de las medidas anteriores.

28. Desde un punto situado a 53 cm del centro de una circunferencia de diámetro 56 cm, se traza una tangente a la circunferencia, entonces ¿cuánto mide dicha tangente?

A) 52 cm



B) 45 cm



C) 10�14 cm



D) �106 cm



E)

Ninguna de las medidas anteriores.

Cpech

Preuniversitarios

13

Programa Focalizado 29. En la figura, ∠ QPR = α, ∠ RQP = β y ∠ PRQ = γ. Se puede determinar la medida del trazo UT si: R

(1) ∠ TSU = α y ∠ SUT = γ (2) ∠ UTS = β



U

10 cm



A) B) C) D) E)

(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional.

5 cm

P

Q

S

T

30. En la figura, AC y DB cuerdas. Se puede determinar la medida del trazo EA si: (1) CE = 9 cm y DB = 22 cm. (2) DE = 18 cm.

C B



A) B) C) D) E)

(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional.

E A D

14

Cpech

Preuniversitarios

Matemática Tabla de corrección Pregunta 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Alternativa

Nivel Análisis Aplicación Aplicación Análisis Análisis Análisis Análisis Conocimiento Aplicación Aplicación Aplicación Análisis Análisis Análisis Análisis Aplicación Aplicación Análisis Aplicación Aplicación Aplicación Aplicación Análisis Análisis Aplicación Aplicación Aplicación Análisis Evaluación Evaluación

Cpech

Preuniversitarios

15

Programa Focalizado Solucionario 1. La alternativa correcta es E. En un triángulo equilátero la transversales de gravedad, la alturas, las simetrales y las bisectrices coinciden y son congruentes.

Por lo tanto, en el triángulo ABC equilátero, CD es altura, bisectriz, transversal de gravedad y simetral. C

30º 30º

60º

60º

A



D

B

Al trazar la transversal de gravedad se forman dos triángulos escalenos rectángulos congruentes.

2. La alternativa correcta es C.

∆ ABC ≅ ∆ EFG, entonces: AB = EF = 13 cm, AC = EG = 5 cm, ∠ ACB = ∠ FGE = 90º, BC = FG C



13 cm

E

F

5 cm 5 cm A



16

13 cm

B

G

Entonces: Aplicando Teorema de Pitágoras en el triángulo EFG: FG = 12 cm (Trío pitagórico)

Cpech

Preuniversitarios

Matemática 3. La alternativa correcta es D. A



G C

H

B

E

F

Si ∆ ABC ≅ ∆ FGE, entonces:

∠ ACB ≅ ∠ FEG ∠ CBA ≅ ∠ EGF ∠ BAC ≅ ∠ GFE



Por lo tanto, ∠ GEH = 180º – 58º = 122º



4. La alternativa correcta es B.

Si el perímetro del triángulo PQR mide 30 cm, entonces el lado del triángulo PQR mide 10 cm.



P





R

S

T

Q

TQSR es un rectángulo, entonces Δ TQR ≅ Δ SRQ Área ∆ PQR 2 2 lado �3 Área sombreada = 4 2 102 �3 Área sombreada = 4 2 100 �3 Área sombreada = 4 2 Área sombreada =

(Reemplazando) (Desarrollando) (Simplificando)

Área sombreada = 25 �3 cm2 2 Cpech

Preuniversitarios

17

Programa Focalizado 5. La alternativa correcta es E. D



E

A

C

B



Los lados del rombo son congruentes, sus diagonales son perpendiculares y se dimidian, entonces: AE ≅ EC DE ≅ EB AD ≅ DC ≅ CB ≅ BA

18



Por lo tanto:



∆ AEB ≅ ∆ CEB ∆ DEC ≅ ∆ BEC ∆ AED ≅ ∆ CED



I) Verdadera. II) Verdadera. III) Verdadera.

Cpech

Preuniversitarios

Matemática 6. La alternativa correcta es E. D



C

E

A



B

Las diagonales del rectángulo son congruentes y se dimidian, entonces:

I)

Verdadera, ya que: AE ≅ CE EB ≅ ED AB ≅ CD



Entonces: ∆ AEB ≅ ∆ CED



Verdadera, ya que:

II)

∠ BAC ≅ ∠ DCA (Alternos internos entre paralelas) por lo tanto: CE ≅ DE , entonces ∆ DEC isósceles de base DC , por lo tanto: ∠ DCA ≅ ∠ BDC



Por lo tanto: ∠ BAC ≅ ∠ BDC

III)

Verdadera, ya que: AE ≅ BE AD ≅ BC ED ≅ EC



Entonces: ∆ AED ≅ ∆ BEC



Cpech

Preuniversitarios

19

Programa Focalizado 7. La alternativa correcta es D.

P

Si ∆ SQR ≅ ∆ TRQ, entonces: SQ ≅ TR, QR ≅ RQ y SR ≅ TQ ∠ RQS ≅ ∠ TRQ, ∠ RQT ≅ ∠ SRQ y ∠ QSR ≅ ∠ QTR





I) Verdadera. II) Falsa. III) Verdadera.

Q

8. La alternativa correcta es D. Por definición de semejanza.

9. La alternativa correcta es C. A

7 cm

B





C

21 cm

D

F

∆ ABC ~ ∆ DEF, entonces: AB = DE AB = DE

BC = AC = k EF DF BC EF

7 = 11 21 EF



EF = 21 ∙ 11 7 EF =

3 ∙ 11 1

EF = 33 cm

20

E

14 cm

11 cm

Cpech

Preuniversitarios

S

(Reemplazando) (Despejando EF )



(Simplificando) (Multiplicando)

T

R

Matemática 10. La alternativa correcta es A. R

4

T

S 9 P

Q



Si ∠ QPR ≅ ∠ TSR, entonces ST // PQ , por lo tanto Δ RST ~ Δ RPQ.



RS = k RP

(Reemplazando)

4 =k 13



La razón entre las áreas es k2, entonces:

Área ∆ RST Área ∆ RPQ

= k2



Área ∆ RST Área ∆ RPQ

= 4 13

Área ∆ RST Área ∆ RPQ

= 16 169



(Reemplazando)

( ) 2

(Desarrollando)

11. La alternativa correcta es B. C



F 32

A

24

B

D

E



Si ∆ ABC ~ ∆ DEF, entonces:



AC = k DF

(Reemplazando)



32 = k 24

(Simplificando por 8)



4 =k 3



Cpech

Preuniversitarios

21

Programa Focalizado La razón entre las áreas es k2, entonces:



Área ∆ ABC Área ∆ DEF

= k2



Área ∆ ABC 36

= 4 3





(Reemplazando)

( )

Área ∆ ABC 36

2

= 16 9 Área ∆ ABC = 36 ∙ 16 9



4 ∙ 16 1



Área ∆ ABC =



Área ∆ ABC = 64 cm2

(Desarrollando) (Despejando Área ∆ ABC)

(Simplificando)

(Multiplicando)

12. La alternativa correcta es C.

I)

Verdadera, ya que:



M

P

48º



Como los ángulos son congruentes, entonces las rectas son paralelas, por lo tanto los triángulos son semejantes.



II) Falsa. No se puede determinar que los triángulos son semejantes, ya que no podemos establecer si las rectas son paralelas.

M P

22

48º

Cpech

Preuniversitarios

Matemática

III) Verdadera, ya que:

81º

81º P

M

49º

49º



50º

Ubicando los ángulos que faltan, por criterio AA, los triángulos son semejantes.

13. La alternativa correcta es E. D



A

35º 55º

C E

35º 55º

35º



Entonces: Δ DCB ∼ Δ AED Δ EDA ∼ Δ ADB Δ ABE ∼ Δ DAE



I) Verdadera. II) Verdadera. III) Verdadera.



55º B

14. La alternativa correcta es D. R



30º M

60º

S

60º P



I)

60º

30º T

Q

Verdadera, ya que: ∠ SMR ≅ ∠ RQT, ∠ MRS ≅ ∠ TRQ, ∠ RSM ≅ ∠ QTR, entonces: ∆ MSR ~ ∆ QTR.

Cpech

Preuniversitarios

23

Programa Focalizado

II) Verdadera, ya que: ∠ MRS ≅ ∠ QPS, ∠ SMR ≅ ∠ SQP, ∠ RSM ≅ ∠ PSQ, entonces: ∆ RMS ~ ∆ PQS. III) Verdadera, ya que: ∠ QPS ≅ ∠ TPM, ∠ SQP ≅ ∠ PMT, ∠ PSQ ≅ ∠ MTP, entonces: ∆ PQS ~ ∆ PMT

15. La alternativa correcta es E. El triángulo ABC está inscrito en la semicircunferencia, entonces ∆ ABC rectángulo en C.

A

D

a b

O

b

B

a

C



I)

Verdadera, ya que: ∠ CAB ≅ ∠ CAD, ∠ ABC ≅ ∠ DCA, ∠ BCA ≅ ∠ ADC, entonces: ∆ ABC ~ ∆ ACD

II)

Verdadera, ya que: ∠ CAB ≅ ∠ BCD, ∠ BCA ≅ ∠ CDB, ∠ ABC ≅ ∠ DBC, entonces: ∆ ACB ~ ∆ CDB

III) Verdadera, ya que: ∠ ADC ≅ ∠ CDB, ∠ CAD ≅ ∠ BCD, ∠ DCA ≅ ∠ DBC, entonces: ∆ DAC ~ ∆ DCB

24

Por lo tanto, ninguna de ellas es falsa.

Cpech

Preuniversitarios

Matemática 16. La alternativa correcta es A.

Si R divide al trazo PQ interiormente, en la razón 3 : 7, entonces: 21 cm



P

R

Q



PR = 3 RQ 7

(Reemplazando)



21 = 3 RQ 7

(Despejando RQ )



RQ =



RQ = 49 cm

Por lo tanto, PQ = PR + RQ = 21 + 49 = 70 cm.

21 ∙ 7 3



(Simplificando y multiplicando)

17. La alternativa correcta es B.

35 cm A

D

B



Si D divide al trazo AB en la razón 4 : 5, entonces:



AD = 4 DB 5

(Reemplazando)



AD = 4 35 5

(Despejando AD )



AD =



4 ∙ 35 5



(Simplificando y multiplicando)

AD = 28 cm

Por lo tanto, AB = AD + DB = 28 + 35 = 63 cm.

Cpech

Preuniversitarios

25

Programa Focalizado 18. La alternativa correcta es D.



I)

Falsa, ya que: 5

2

P

PR = 2 RQ 3



Verdadera, ya que:



10

P



Q

R

25

Q

PR = 10 RQ 25

(Simplificando por 5)

PR = 2 RQ 5





3

R



II)



III) Verdadera, ya que: 14



4

P

10

R

Q



PR = 4 (Simplificando por 2) RQ 10



PR = 2 RQ 5

19. La alternativa correcta es B. Llevando los datos al dibujo:

26

x P

3x R

4x S

Q



PR = x (Simplificando) RQ 7x



PR = 1 RQ 7

Cpech

Preuniversitarios

Matemática 20. La alternativa correcta es C. Segmento mayor = 85 cm. Segmento menor : Segmento del medio : Segmento mayor = 2 : 3 : 5, entonces: Segmento mayor = 5k 5k = 85

(Despejando k)

k = 85 5

(Dividiendo)

k = 17 Entonces: Segmento Menor = 2k Segmento Menor = 2 ∙ 17 Segmento Menor = 34 cm

(Reemplazando k) (Multiplicando)

21. La alternativa correcta es A. 60 cm



P

Q

R

PR = 8 QR 3



(Reemplazando)

60 + QR = 8 QR 3



3(60 + QR) = 180 + 3QR = 180 = 180 =

8QR 8QR 8QR – 3QR 5QR



180 = QR 5



36 cm = QR



(Desarrollando) (Distribuyendo)



(Despejando QR ) (Dividiendo)

Por lo tanto, PR = PQ + QR = 60 + 36 = 96 cm.

Cpech

Preuniversitarios

27

Programa Focalizado 22. La alternativa correcta es D. C B 8 E 5

25

D

A



Aplicando teorema de las cuerdas:

CE ∙ ED = AE ∙ EB CE ∙ 5 = 25 ∙ 8 25 ∙ 8 5



CE =



CE = 40



(Reemplazando) (Despejando CE) (Simplificando y multiplicando)

Por lo tanto, CD = 40 + 5 = 45

23. La alternativa correcta es B.

Si el diámetro de la circunferencia mide 40 cm, entonces el radio mide 20 cm.



Como OE es radio de la circunferencia y perpendicular a la cuerda, ésta se dimidia. E



8 C A

x

F

x

D

12 B

O 20

G



28

Aplicando teorema de las cuerdas:

Cpech

Preuniversitarios

Matemática EF ∙ FG = CF ∙ FD 8 ∙ 32 = x ∙ x 2 256 = x �256 = x 16 = x

(Reemplazando) (Multiplicando) (Aplicando �26)

Por lo tanto, CD = 32 cm

24. La alternativa correcta es C. Como la cuerda CD es perpendicular al radio, la cuerda se dimidia. E



1 C A

x

F

x

D

12 B

O 13

G



Aplicando el teorema de las cuerdas:

EF ∙ FG = CF ∙ FD 1 ∙ 25 = x ∙ x 25 = x2 5 = x

(Reemplazando) (Multiplicando) (Aplicando �26)

Por lo tanto, CD = 10 cm

Cpech

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29

Programa Focalizado 25. La alternativa correcta es B. B



C

3

A

4 D

8 E

Aplicando el teorema de las secantes: AC ∙ AB = AD ∙ AE



3 ∙ AB = 4 ∙ 12 AB =



AB = 16 cm



(Despejando AB )



4 ∙ 12 3



(Reemplazando)



(Simplificando y multiplicando)

Por lo tanto, BC = 16 – 3 = 13 cm

26. La alternativa correcta es A. D

A

7 O x



E B

9 4

C

Aplicando el teorema de las secantes:

CA ∙ CB = CD ∙ CE (x + 4) ∙ 4 = 16 ∙ 9 x + 4 = 4 ∙ 9 x + 4 = 36 x = 36 – 4 x = 32

(Reemplazando) (Dividiendo la ecuación por 4) (Multiplicando) (Despejando x)

Por lo tanto, el diámetro de la circunferencia mide 32 cm.

30

Cpech

Preuniversitarios

Matemática 27. La alternativa correcta es C. D



C 16 B

20 A



Aplicando el teorema de la tangente y la secante: 2

CB ∙ CA = CD 16 ∙ 36 = CD2 �16 ∙ �36 = CD

(Reemplazando) (Aplicando �26) (Resolviendo) (Multiplicando)



4 ∙ 6 = CD 24 = CD

Por lo tanto, CD = 24 cm

28. La alternativa correcta es B. D

A

28

O

28

25

B

C

53



Aplicando el teorema de la tangente y la secante: 2

CB ∙ CA = CD 25 ∙ 81 = CD2 �25 ∙ �81 = CD

5 ∙ 9 = CD 45 = CD



(Reemplazando) (Aplicando �26) (Resolviendo) (Multiplicando)

Por lo tanto, CD = 45 cm

Cpech

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31

Programa Focalizado 29. La alternativa correcta es E. R



U

10 cm

5 cm

P

Q

S

T



(1) ∠ TSU = α y ∠ SUT = γ. Con esta información, no es posible determinar la medida del trazo UT, ya que aunque podemos establecer que los triángulos son semejantes, falta conocer el homólogo de UT .



(2) ∠ UTS = β. Con esta información, no es posible determinar la medida del trazo UT, ya que no podemos establecer si los triángulos son semejantes.

Por lo tanto, la respuesta es: Se requiere información adicional.

30. La alternativa correcta es C.

C B E A D



(1) CE = 9 cm y DB = 22 cm. Con esta información, no es posible determinar la medida del trazo EA, ya que faltan datos. (2) DE = 18 cm. Con esta información, no es posible determinar la medida del trazo EA, ya que faltan datos. Con ambas informaciones, es posible determinar la medida del trazo EA, ya que se puede aplicar el teorema de las cuerdas. Por lo tanto, la respuesta es: Ambas juntas.

32

Cpech

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