Solucion de examen de ecuaciones diferenciales ESPOL

´ ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL LITORAL ´ FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMATICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

´ Y RUBRICA ´ SOLUCION Primera Evaluaci´on de ECUACIONES DIFERENCIALES 5 de Julio de 2013 1. (10 puntos) Resuelva la siguiente ecuaci´on diferencial: √ y ′ + xy = x y . ´ SOLUCION: La ecuaci´on y ′ + xy = xy 1/2 es de Bernoulli. Utilizando el cambio de variable z = y 1−1/2 y reemplazando z ′ = 21 y −1/2 y ′ se tiene: z ′ + 12 xz = x2 Alternativa 1: De z ′ + 21 xz = 0 se tiene: z ′ = − 12 xz ⇒

z′ z

x2

2

= − 12 x ⇒ ln|z| = − x4 + C ⇒ z0 = Ce− 4 (Soluci´on Homog´enea).

La soluci´on particular es clara al observar que para z1 = 1 ⇒ z1′ = 0 ⇒ 0 + 21 x(1) =

z = Ce

2 − x4

+1

Alternativa 2: Resolviendo z =

u(x) = e 1 2 3 4 5

R

1 xdx 2

R

=e

u(x)g(x)dx+C , u(x)

x2 4

⇒z=

Z

donde u(x) = e 2

x x4 e 2

e

dx + C x2 4

R

p(x)dx

:

x2

=

e 4 +C e

x2 4

x2

⇒ z = Ce− 4 + 1

Reconoce la ecuaci´on de Bernoulli Obtiene correctamente z ′ + 12 xz = x Encuentra la soluci´on de la ecuaci´on homog´enea z ′ + 21 xz = 0 Encuentra la soluci´on particular zp = 1 Presenta la soluci´on z = zc + zp y realiza el cambio de variable

1

2 2 2 2 2

puntos puntos puntos puntos puntos

x 2

⇒

2. (10 puntos) Resuelva la ecuaci´on: d2 y = x2 y dx2 dy

haciendo el cambio de variable u = x2 y conociendo que du

= 0 para x ≤ 0.

´ SOLUCION: u = x2 ⇒ ⇒

du = 2x dx

dy du dy dy = = 2x dx du dx du

dy d2 y du dy d2 y d2 y = 2 + 4u 2 ⇒ 2 = 2 + 2x 2 dx du du dx du du Entonces se tiene: 4u

dy d2 y +2 = uy 2 du du

d2 y dy 1 dy 1 ⇒ 2+ − y = 0 y como = 0, du 2u du 4 du ⇒

1 1 d2 y 1 − y = 0, y de la ecuaci´on caracter´ıstica correspondiente r2 = ⇒ r = ± 2 du 4 4 2 1

1

x2

x2

⇒ y(u) = C1 e 2 u + C2 e− 2 u ⇒ y(x) = C1 e 2 + C2 e− 2 1 2 3 4

Si calcula correctamente la primera y segunda derivada Sustituye correctamente la segunda derivada en la ecuaci´on original Aplica la hip´otesis y resuelve Escribe la soluci´on en la variable original

3 2 3 2

puntos puntos puntos puntos

3. (15 puntos) El “Hombre de Acero” se encuentra 100 metros por encima de Luisa Lane en el momento en que ella es dejada caer por el General Zod desde la ventana de un edificio. En ese instante ´el va en busca de ella. Superman logra atrapar y salvar a Luisa cuando ella alcanza m una velocidad de 24,542 seg . El aire ofrece una resistencia que es proporcional a la velocidad kg instant´anea con una constante α = 20 seg . ¿Cu´antos segundos tarda Superman en alcanzar a Luisa? ¿Qu´e fuerza constante hacia abajo en Newtons necesit´o Superman? Suponga que las masas de Superman y de Luisa son, respectivamente, de 75 y 50 kg. Trabaje con gravedad m g = 10 seg 2 ´ SOLUCION: La ca´ıda libre de Luisa y las condiciones del problema resulta en la ecuaci´on diferencial mg − αv = m

2

dv dt

Resolviendo para v se obtiene: mL g  − mαt mL g  v0 − +  e L vL (t) = α α como vL (t) =

dx , dt

donde xL (t) es la posici´on luego del tiempo t, se obtiene: mL  mL g mL  mL g  − mαt mL g  L + xL (t) = t− v − v − e   0 0 α α  α α  α

Reemplazando los datos del problema en la ecuaci´on de v(t) se obtiene:   (50)(10) − 20 t (50)(10) + − e 50 ⇒ tL = 10seg 24,542 = 20 20 y la posici´on de Luisa en el tiempo t = 10 reemplazando en la ecuaci´on de xL (t): 50 (50)(10) (10) − xL (10) = 20 20



(50)(10) − 20



e

−

(20)(10) 50

50 + 20

  (50)(10) − ⇒ xL (10) = 188,65 20

Por lo tanto, el tiempo que le toma a Superman llegar a Luisa y la posici´on de superman en el tiempo t, son respectivamente tS = 10seg y xS (10) = 100 + 188,65 = 288,65 Para Superman las condiciones del problema nos llevan a la siguiente ecuaci´on diferencial: (mg + F ) − αv = m

dv dt

donde F es la fuerza que imprime Superman para alcanzar a Luisa, Resolviendo para v se obtiene:   mS g + F mS g + F − αt vS (t) = e mS +  v0 − α α y nuevamente resolviendo para xS (t) se obtiene:     αt mS mS mS g + F mS g + F mS g + F −m t− e S + v0 − v0 − xS (t) = α α  α α  α Reemplazando los datos de Superman del problema en la ecuaci´on de xS (t) se obtiene: (75)(10) + F 75 288,65 = (10) − 20 20



(75)(10) + F − 20

⇒ F = 886,6966 − 750 ⇒ F = 136,6966N

3



e

−

(20)(10) 75

75 + 20



(75)(10) + F − 20



1 2 3 4 5

Plantear la ecuaci´on diferencial para Luisa en t´erminos de la velocidad Encontrar que toma t = 10seg que Luisa sea atrapada por Superman Calcular la distancia que recorre Luisa en su ca´ıda de x = 188,65 metros Plantear la ecuaci´on diferencial para Superman en t´erminos de la velocidad Encontrar la fuerza constante F = 136,7 Newtons

1 punto 3 puntos 4 puntos 2 puntos 5 puntos

4. (10 puntos) Resuelva la siguiente ecuaci´on diferencial: y ′′′ − 7y ′′ + 16y ′ − 12y = xe2x ´ SOLUCION: y ′′′ − 7y ′′ + 16y ′ − 12y = xe2x

(1)

Resolviendo la ecuaci´on homog´enea: y ′′′ − 7y ′′ + 16y ′ − 12y = 0 Considerando: yc (x) = erx yc′ (x) = rerx yc′′ (x) = r2 erx yc′′′ (x) = r3 erx Reemplazando y simplificando se tiene que: erx (r3 − 7r2 + 16r − 12) = 0 de donde se tiene que: (r3 − 7r2 + 16r − 12) = 0 resolviendo la ecuaci´on anterior se tiene las ra´ıces r1 = 2, r2 = 2, r3 = 3 por lo que: yc (x) = c1 e2x + c2 xe2x + c3 e3x Encontramos una soluci´on particular por el m´etodo de coeficientes indeterminados de la forma: yp (x) = (Ax + B)e2x xs donde s = 2 por lo que: yp (x) = (Ax3 + Bx2 )e2x entonces: yp′ (x) = (3Ax2 + 2Bx)e2x + 2(Ax3 + Bx2 )e2x

(2)

yp′′ (x) = (6Ax + 2B)e2x + 4(3Ax2 + 2Bx)e2x + 4(Ax3 + Bx2 )e2x

(3)

4

yp′′′ (x) = 6Ae2x + 6(6Ax + 2B)e2x + 12(3Ax2 + 2Bx)e2x + 8(Ax3 + Bx2 )e2x

(4)

Reemplazando las ecuaciones (2),(3) y (4) en la ecuaci´on (1) y simplificando se tiene que: −(6Ax + 2B)e2x + 6Ae2x = xe2x

⇒ −6Axe2x + (−2B + 6A)e2x = xe2x por lo que: −6A = 1 ⇒ A = −

1 6

−2B + 6A = 0 ⇒ B = −

1 2

entonces una soluci´on particular de la ecuaci´on 1 es: 1 1 yp (x) = (− x3 − x2 )e2x 6 2 y la soluci´on general de la ecuaci´on 1 es 1 1 y(x) = c1 e2x + c2 xe2x + c3 e3x + (− x3 − x2 )e2x 6 2 1 2 3 4 5 6

Plantea la ecuaci´on homog´enea y su respectiva ecuaci´on caracter´ıstica Encuestra las tres ra´ıces de la ecuaci´on caracter´ıstica r1 = 2, r2 = 2, r3 = 3 Expresa la soluci´on de la ecuaci´on homog´enea yc (x) = c1 e2x + c2 xe2x + c3 e3x Plantea la soluci´on particular yp (x) = (Ax + B)e2x x2 Deriva, reemplaza y calcula A = − 61 y B = − 12 Presenta la soluci´on y = yc + yp

1 punto 2 puntos 2 puntos 1 puntos 2 puntos 2 puntos

5. (15 puntos) Encuentre la soluci´on de la siguiente ecuaci´on diferencial en potencias de x: (x − 1)2 y ′′ + (x − 1)y ′ − y = 0 Adem´as, utilizando artificios algebraicos que correspondan, determine a qu´e funciones sencillas convergen las soluciones. ´ SOLUCION: 2

(x − 2x + 1) ∞ X n=2

∞ X

∞ X n=2

an (n)(n − 1)x

an (n)(n−1)xn −2

∞ X n=2

n−2

+ (x − 1)

an (n)(n−1)xn−1 +

∞ X n=1

∞ X n=2

an x n = 0

n=0

5

an (n)x

n−1

−

∞ X

an x 2 = 0

n=0

an (n)(n−1)xn−2 +

∞ X n=1

an (n)xn −

∞ X n=1

an (n)xn−1 −

∞ X n=2

∞ X n=0

an (n)(n − 1)xn − 2 an+1 (n + 1)xn −

∞ X

∞ X

an+1 (n)(n + 1)xn +

n=1

∞ X

an+2 (n + 1)(n + 2)xn +

n=0

∞ X n=1

an (n)xn −

an x n = 0

n=0

1

0

1

1

0

1

0

1

−2a2 (1)(2)x + a2 (2)(1)x + a3 (3)(2)x + 1a1 x − a1 x − a2 (2)x − a0 x − a1 x + 1)an − 2an+1 (n)(n + 1) + an+2 (n + 1)(n + 2) + nan − an+1 (n + 1) − an ]xn = 0

∞ X n=2

[n(n −

[2a2 − a1 − a0 ] x0 + [−4a2 + 6a3 + a1 − 2a2 − a1 ] x1 | | {z } {z }

+

a2 = 21 a0 + 21 a1 ∞ X n=2

a3 = 21 a0 + 12 a1

[n(n − 1)an − 2an+1 (n)(n + 1) + an+2 (n + 1)(n + 2) + nan − an+1 (n + 1) − an ] xn = 0 {z } | an+2 =

    

an+1 (n+1+2n2 +2n)+an (−n2 +n−n+1) a (n+1+2n2 +2n−n2 +1) an (n2 +3n+2) = n = (n+1) =an (n+1)(n+2) (n+2)(n+1) (n+2)

;n≥2

     1 1 1 1 1 1 2 3 a0 + a1 x + a0 + a1 x + a0 + a1 x 4 + · · · ⇒ y(x) = a0 + a1 x + 2 2 2 2 2 2     1 1 1 1 ⇒ y(x) = a0 1 + x2 + x3 + · · · +a1 x + x2 + x3 + · · · 2 2 2 2 {z } {z } | |     

1+ 12

x2 1−x

x+ 21

x2 1−x

 2   2    1 x x 1 + a1 x + ⇒ y(x) = a0 1 + 2 1−x 2 1−x

1 2 4 4 5

Si el estudiante nada hace o presenta incoherencias en el desarrollo del tema Se define la funci´on a determinar en t´erminos de series y reemplaza en la ecuaci´on Determina correctamente la relaci´on de recurrencia y los valores de los coeficientes a2 y a3 Genera algunos t´erminos de la relaci´on de recurrencia y determina las dos soluciones expresadas en series de potencias de la ecuaci´on dada Determina las dos funciones a las cuales convergen las series de potencias encontradas

0 puntos 3 puntos 4 puntos 3 puntos 5 puntos

6. (10 puntos) Si las funciones y1 y y2 son soluciones linealmente independientes de L[y] = y ′′ + p(x)y ′ + q(x)y = 0, determine bajo qu´e condiciones las funciones y3 = a1 y1 + a2 y2 y y4 = b1 y1 + b2 y2 tambi´en forman un conjunto linealmente independiente de soluciones. Justifique cada paso con su demostraci´on. ´ SOLUCION: Reduciendo el Wronskiano se tiene : a1 y1 + a2 y2 b1 y1 + b2 y2 = (a1 b2 − b1 a2 )(y1 y2′ − y2 y1′ ) 6= 0 W (y3 , y4 ) = ′ a1 y1 + a2 y2′ b1 y1′ + b2 y2′ 6

y como se sabe que y1 y y2 son linealmente independientes, se tiene que y1 y2 ′ ′ ′ y1 y2′ = (y1 y2 − y2 y1 ) 6= 0

entonces (a1 b2 − b1 a2 ) 6= 0 para que y3 y y4 sean linealmente independientes.

Por lo tanto la condici´on que se busca es: a1 a2 6 0 b1 b2 = 1 2 3 4

Reconoce el uso del Wronskiano para resolver el problema Reduce y agrupa el Wronskiano a (a1 b2 − b1 a2 )(y1 y2′ − y2 y1′ ) 6= 0 Determina que (y1 y2′ − y2 y1′ ) 6= 0 por que y1 y y2 son Linealmente independientes Determina las condiciones para que y3 y y4 sean linealmente independientes

7

1 3 3 3

puntos puntos puntos puntos